Upload
dani-efterpi
View
256
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 1/10
Universitas Gadjah Mada 1
Bab 5 Potensial Skalar
A. Pendahuluan
Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan
informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi yang sama
dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan memudahkan
dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat hubungan antara
medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari potensial skalar,
atau sebaliknya. Akan disajikan juga tentang tenaga potensial listrik hubungannya dengan
potensial skalar.
Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
definisi dan sifat-sifat potensial skalar, dapat menentukan potensial skalar dan beragam
sistem distribusi muatan, dan dapat menentukan potensial skalar dan hubungannya dengan
medan listrik yang telah diketahui, serta dapat tenaga potensial listrik sistem muatan.
B. Penyajian
5.1 Definisi Potensial Skalar
Pada ungkapan medan listrik
∑
(persamaan (3-2)), kita dapat mengganti
dengan sehingga diperoleh
dengan | | Didefinisikan medan skalar yang di sebut sebagai potensial skalar atau potensial
elekstrostatik:
Dengan demikian kita dapat menulis
medan listrik merupakan negative gradien potensial skalar ; dan berlaku bahwa
Satuan potensial skalar: volt .(V); dari persamaan (5-3), medan listrik dapat dinyatakan
dalam volt/meter yang kenyataannya sering digunakan. Mengingat satuan untuk
sebelumnya adalah newton/coulomb, maka berarti 1 volt = 1 joule/coulomb.
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 2/10
Universitas Gadjah Mada 2
Mengingat teorema Stokes: ∮ ∫ ( ) dan menurut persamaan (5-4) bahwa
, maka diperoleh
dengan C adalah lintasan tertutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik
merupakan medan konservatif.
Potensial skalar pada persamaan (5-2) diungkapkan dalam SKC:
Karena merupakan besaran skalar, maka secara umum akan lebih mudah menghitung
medan listrik secara tidak langsung dengan menggunakan persamaan (5-2) dulu,
kemudian mendiferensialkannya menggunakan persamaan (5-3), dari pada mengevaluasi
langsung jumlahan vektor persamaan (3-2); inilah alasan mengapa penting secara praktis.
Potensial listrik dari terdistribusi muatan kontinyu:
Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)
Jika semua ragam distribusi muatan tersebut hadir serentak, total di suatu titik merupakan
jumlahan skalar dari semua ragam sumbangan persamaan (5-2) dan persamaan (5-7)
hingga persamaan (5-9), dan total di suatu titik dapat diperoleh sebagai negative gradien
dari potensial skalar total ini.
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 3/10
Universitas Gadjah Mada 3
Jika potensial skalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang:
maka kita akan memperoleh yang sama seperti semula (persamaan (3-2)). Jadi, secara
prinsip, potensial skalar selalu menyertakan suatu tetapan tambahan dan kita dapat
memilihnya secana sembanang tanpa menyebabkan perubahan pokok permasalahan.
Seringkali, meskipun tidak selalu, dipilih C = 0, sehingga potensial = 0 di tempat yang
sangat jauh dari muatan-muatan ( ).
Integral garis medan antara titik awal P1 di dan titik akhir P2 di serupa dengan Gambar
1-16:
Jadi kita dapat menulis:
yang menghubungkan perubahan (beda) potensial skalar dan integral garis . Hasil ini
hanya bergantung pada nilai-nilai di titik awal dan titik akhir, nilai integral garis tidak
bergantung pada lintasan, berarti adalah medan konservatif. [Jika lintasannya tertutup,
berarti , maka persamaan (5-11) kembali menghasilkan persamaan (5-5).]
Pada persamaan (5-11), sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam definisi
telah lenyap saat menghitung beda potensial. Kita dapat menggunakan persamaan (5-11)
untuk menghitung beda potensial antara dua titik jika medan telah diketahui atau diperoleh
dengan cara lain
Suatu permukaan dengan nilai tetap disebut permukaan ekipotensial.
Ingat: Gradien skalar memiliki arah normal (tegak lurus) terhadap permukaan yang memiliki
nilai skalar tetap, dan menuju permukaan dengan nilai skalar yang lebih besar. Jadi, gradien
potensial listrik () tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, demikian juga dengan
tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 5-2 di mana
permukaan-permukaan ekipotensial digambarkan sebagai garis tak putus, sedangkan garis
putus (disebut garis gaya atau garis medan) digambar untuk menunjukkan arah di tiap titik
untuk kasus > . (Nilai numerik lebih besar di daerah di mana garis-garis gaya
saling berdekatan dari pada nilai di daerah di mana garis-garis gaya terpisah lebih jauh.)
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 4/10
Universitas Gadjah Mada 4
5.2 Potensial Muatan Titik Tunggal
Ditinjau sebuah muatan titik Q yang terletak di .Potensialnya, menurut persamaan (5-2):
dengan | |. Dengan demikian, medan listrik:
yang tentu saja sesuai dengan persamaan (3-2) untuk muatan tunggal.
Nilai yang diberikan oleh persamaan (5-12) sebagai sebuah fungsi jarak R dari Q
ditunjukkan oleh Gambar 5-3 untuk kedua tan Q. Permukaan-permukaan ekipotensial
diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertentu
untuk ; hasilnya adalah
sehingga permukaan-permukaan ini berkaitan dengan R = tetapan, yaitu berupa bola-bola
yang berpusat pada muatan Q. Situasi ini ditunjukkan oleh Gambar 5-4 di mana kita telah
mengasumsikan Q bernilai positif sehingga . Menurut Gambar 5-2, haruslah
tegak lurus terhadap bola-bola ini dan dengan demikian memiliki arah radial ke luar dari Q,
sesuai dengan persamaan (5-13).
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 5/10
Universitas Gadjah Mada 5
Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu , dengan persamaan (4-10), yaitu
⁄ , maka diperoleh bahwa
Dengan kata lain, potensial skalar memenuhi persamaan diferensial ini yang dikenal sebagai
“persamaan Poisson”. Di dalam daerah di mana = 0, persamaan (5-15) berubah menjadi
“persamaan Laplace”:
5.3 Potensial Distribusi Muatan Bola Seragam
Ditinjau: Bola berjejari a, bermuatan total Q, rapat muatan tetap
Akan dihitung potensial skalar di titik sejauh dari pusat bola (Gambar 5.5).
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 6/10
Universitas Gadjah Mada 6
Jadi diperoleh
Integrasian ke dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2. Jika kita
menggunakan , maka persamaan (5-17) menjadi
Integrasi ke dapat diperoleh dengan menggunakan tabel integral, hasilnya
Sekarang ada dua kasus yang akan ditinjau.
Kasus I: Di luar bola, r > a; padahal r a, berarti kita punya r > r , sehingga | | | |dalam persamaan (5-19) menjadi dan integral ke sama
dengan 2/z . Dengan memasukkan hasil ini ke persamaan (5-18) dan mengintegrasikannya
ke r , maka diperoleh potensial di suatu titik di luar (outside) bola sejauh r dari pusatnya
sebagai
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 7/10
Universitas Gadjah Mada 7
Kasus II: Di dalam bola, r < a, sehingga r > r atau r < r .
Jika r < r < a, maka persamaan (5-19) menjadi
jika r < z < a, maka persamaan (5-19) sama dengan 2/r seperti sebelumnya. Dengan
demikian, ungkapan potensial di dalam (inside) bola sejauh r dari pusatnya adalah
Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) memberikan nilai potensial yang sama, yaitu
⁄ , di permukaan bola di mana r = a.
Substitusi persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) ke dalam persamaan (5-3) akan
menghasilkan medan listrik di luar dan di dalam bola, berturut-turut sebagai
Ini sesuai dengan hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss.
Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) menunjukkan bahwa nilai-nilai tetap berkaitan
dengan nilai-nilai r yang tetap; dengan kata lain, permukaan-permukaan ekipotensialnya
berupa bola-bola sepusat yang berpusat di titik asal sistem koordinat (yaitu di pusat distribusi
muatan).
Gambar 5-6 menunjukkan plot potensial sebagai fungsi r dalam contoh ini; negatif slope
kurva ini memberikan medan listrik E r .
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 8/10
Universitas Gadjah Mada 8
5.4 Potensial Skalar dan Tenaga Potensial
Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya
elektrostatik q dan sebuah gaya mekanik q,m:
atau
Kita bayangkan mengerakkan muatan q dengan sangat lambat dari suatu titik awal ke titik
akhir sepanjang suatu lintasan. Dalam kondisi ini, pada dasarnya kecepatannya selalu nol
dan tetap sehingga percepatannya nol. Muatan akan selalu dalam keadaan setimbang, atausangat hampir setimbang, sehingga persamaan (5-24) berlaku. Kita mengasumsikan
prosedur ini sehingga kita dapat menghitung banyaknya kerja dikerjakan oleh gaya mekanik
luar, dan dengan mempertahankan kecepatan nol kita dapat yakin bahwa tidak akan ada
disipasi atau efek gesekan yang terlibat. Jika kita tulis sebagai kerja yang dilakukan
gaya mekanik luar, maka kita memperoleh
dengan menggunakan persamaan (5-11). Dengan kata lain, kerja yang dilakukan padamuatan sama dengan nilai muatan tersebut dikalikan dengan perubahan potensial. Kerja
yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial muatan sehingga persamaan
(5-46) menjadi
Perubahan ini tak bergantung pada sembarang tetapan tambahan yang dapat
disertakan dalam . Karena ruas kanan persamaan (5-26) telah memiliki bentuk selisih
(beda), maka wajar untuk menulis ruas kiri persamaan tersebut dengan cara yang sama,yaitu , dan dengan perbandingan kita dapat mendefinisikan tenaga
potensial sebuah muatan q di , yaitu , sebagai
Kita dapat menambahkan sembarang tetapan pada ruas kanan persamaan (5-27) tanpa
merubah selisih tenaga potensial. Tetapi, secara umum kita akan memiih bentuk persamaan
(5-27) karena ia memiliki sifat yang memudahkan, yaitu bahwa jika lenyap di tempat jauh
tak hingga, maka demikian juga dengan . Karena satuan tenaga
adalah joule, maka
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 9/10
Universitas Gadjah Mada 9
tampak dari persamaan (5-48) bahwa satuan , yaitu volt, akan sama dengan 1
joule/coulomb.
Contoh: Dua muatan titik
Ditinjau: sebuah sistem yang terdiri dari dua muatan titik q dan Q yang terpisah sejauh R
(Gambar5.10).
Potens di tempat kedudukan q diberikan oeh persamaan (5-12) yaitu
, dan jika
dimasukkan ke persamaan (5-27), maka kita memperoleh
Tenaga ini dapat diinterpretasikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan q
dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan Q dipeahankan tetap di.. Tetapi, karena kesimetrian ungkapan persamaan (5- 28), maka hal ini secara setara
dapat diungkapkan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari tempat
jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan q tetap di . Dengan kata lain, lebih
tepat memandang U e sebagai tenaga potensial bersama sistem dua muatan, bukan
menggambarkannya sebagai milik salah satu muatan atau milik muatan lainnya.
C. Penutup
Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan
soal-soal latihan berikut ini.
1. Apakah vektor merupakan medan elektrostatik? Jika ya,
carilah potensial sedemikian sehingga medan tersebut dapat diperoleh darinya!
2. Dua buah muatan titik q dan -q yang terletak pada sumbu z berturut-turut di z = a dan
z = -a. Carilah potensial di sembarang titik ( x, y, z )! Tunjukkan bahwa bidang xy
merupakan permukaan ekipotensial dan carilah potensialnya!
3. Sebuah bola berjejari a memiliki rapat muatan yang bervariasi terhadap jarak r dari
pusat bola menurut dengan A adalah tetapan dan n 0. Carilah potensial
8/9/2019 Potensial Skalar.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 10/10
Universitas Gadjah Mada 10
di semua titik di dalam dan di luar bola dengan menggunakan persamaan (5.7) dan
ungkapkan hasil yang diperoleh dalam muatan total bola Q!
4. Suatu muatan terdistribusi dengan rapat muatan permukaan yang konstan pada
sebuah piringan lingkaran berjejari a yang terletak di bidang xy yang berpusat di titik
asal O. Tunjukkan bahwa potensial di suatu titik pada sumbu z diungkapkan oleh
Bagaimana ungkapan untuk a yang sangat besar?
5. Ditinjau distribusi muatan pada soal no.2. Berapakah kerja (usaha) yang harus
dilakukan oleh agen (gaya) luar untuk mengubah jarak pemisah kedua muatan dari
2a menjadi a? Ilustrasikan hal ini pada plot U e versus jarak pisah R !
Daftar Pustaka
1. Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York