Plans Experience

8/18/2019 Plans Experience

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J.S. Pierre Intro plans d'expérienceJ.S. Pierre Intro plans d'expérience 11

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nsns

Les plans d’expérienceLes plans d’expérience

Initiation à leur analyse etInitiation à leur analyse età leur constructionà leur construction

J.S. Pierre J.S. Pierre

mercredi 9 janvier 200mercredi 9 janvier 200



J.S. Pierre Intro plans d'e 2

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nsnsPlan du coursPlan du cours

IntroductionIntroduction Le plan à un !acteurLe plan à un !acteur

Plans à deux !acteursPlans à deux !acteurs Plans !actorielsPlans !actoriels

"omplets"omplets IncompletsIncomplets

#utres plans#utres plans "arré latin"arré latin Split$plotSplit$plot




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nsns

IntroductionIntroduction

%oca&ulaire de la%oca&ulaire de la

plani'cation et deplani'cation et del’analyse de variancel’analyse de variance




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nsns(é'nition(é'nition

)n plan d’expérience consiste en)n plan d’expérience consiste enla mise en *uvre or+anisée d’unla mise en *uvre or+anisée d’un

ensem&le d’unités expérimentalesensem&le d’unités expérimentalesde mani,re à révéler les e-ets dede mani,re à révéler les e-ets dedi-érents traitementsdi-érents traitements

xemple / comparer les e-ets dexemple / comparer les e-ets deuatre anti&iotiues sur uneuatre anti&iotiues sur unesouc1e de &actériessouc1e de &actéries




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nsns%oca&ulaire%oca&ulaire

%aria&le à expliuer%aria&le à expliuer u réponseu réponse "e ue l’on mesure"e ue l’on mesure

"onstitu3ent4 les résultat du plan"onstitu3ent4 les résultat du plan 5ésultat univarié5ésultat univarié 5ésultat multivarié5ésultat multivarié

%aria&le explicative%aria&le explicative "ovaria&le"ovaria&le

%aria&le uantitative mesurée préala&lement à%aria&le uantitative mesurée préala&lement àl’expériencel’expérience 6on in7uencée par le plan6on in7uencée par le plan

8acteur8acteur nsem&le de modalités disjointesnsem&le de modalités disjointes




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nsns8acteurs8acteurs

n appelle !acteur un ensem&len appelle !acteur un ensem&lede traitements de m:me naturede traitements de m:me nature

; 3liés par une similitude lo+iue4; 3liés par une similitude lo+iue4et mutuellement exclusi!set mutuellement exclusi!s

"es di-érents traitements sont"es di-érents traitements sont

nommésnommés modalitésmodalités ou encoreou encoreniveauxniveaux 3levels43levels4




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nsnsexempleexemple

ssai sur les col<as= réalisé en 200> par lesssai sur les col<as= réalisé en 200> par lesétudiants de l’). le !acteur variété ; aétudiants de l’). le !acteur variété ; auatre modalitésuatre modalités

ParapluieParapluie ?anto ?anto (armor(armor (armor 6ain(armor 6ain

(ans le m:me essai= le !acteur terreau ; a(ans le m:me essai= le !acteur terreau ; a

trois modalitéstrois modalités ?erreau de semis ?erreau de semis ?erreau de repiua+e ?erreau de repiua+e ?erreau pour plantes d’intérieur ?erreau pour plantes d’intérieur




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nsns)nités expérimentales)nités expérimentales

n nomme unitésn nomme unitésexpérimentales ; ou individus ;expérimentales ; ou individus ;

les o&jets 3les o&jets 3a prioria priori identiues4 suridentiues4 surlesuels on appliue leslesuels on appliue lestraitementstraitements xemplexemple

"as des anti&iotiues / @ unité"as des anti&iotiues / @ unitéexpérimentale A une &oBte de Petriexpérimentale A une &oBte de Petri

"as des col<a / @ unité expérimentale A @"as des col<a / @ unité expérimentale A @+odet perdu avec > +raines+odet perdu avec > +raines




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nsns5essources= allocation5essources= allocation

5essources / nom&re d’unités5essources / nom&re d’unitésexpérimentales disponi&leexpérimentales disponi&le

#llocation / répartition des#llocation / répartition desressources parmi les modalitésressources parmi les modalités xemple / col<a= allocationxemple / col<a= allocation

éuili&réeéuili&rée




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nsns#nalyse des plans#nalyse des plans

5el,ve de la statistiue5el,ve de la statistiue (é'nition(é'nition

n appelle Statistiue un ensem&len appelle Statistiue un ensem&lede tec1niues de mat1ématiuesde tec1niues de mat1ématiuesappliuées destinées à extraire leappliuées destinées à extraire lesignalsignal dudu bruitbruit Si+nal / ce ui estSi+nal / ce ui est signifantsignifant Cruit / ce ui estCruit / ce ui est insignifantinsignifant vis à visvis à vis

du si+nal étudié 3aléatoire4du si+nal étudié 3aléatoire4




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nsns(eux citations(eux citations

5ené ?1om /5ené ?1om / « Halte au hasard, silence au« Halte au hasard, silence au

bruit ! »bruit ! » Le Débat n°3 juilletaot "#$% éditionsLe Débat n°3 juilletaot "#$% éditions

&allimard, 'aris, "#(p)&allimard, 'aris, "#(p)

« *e +ui limite le vrai ce nest pas« *e +ui limite le vrai ce nest pasle -aux mais linsi.ni/ant »le -aux mais linsi.ni/ant »

'rédire nest pas expli+uer pa.e "3('rédire nest pas expli+uer pa.e "3(




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nsns"onstruction des plans"onstruction des plans

5el,ve de la 5ec1erc1e5el,ve de la 5ec1erc1eopérationnelleopérationnelle

"’est à dire des tec1niues"’est à dire des tec1niuesd’d’optimisationoptimisation

6ous aurons donc la c1ar+e6ous aurons donc la c1ar+e

d’optimiser sur la &ase de nosd’optimiser sur la &ase de nosconnaissances statistiuesconnaissances statistiues




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nsns

@. Le plan à un !acteur@. Le plan à un !acteur

u plan enu plan en

randomisation totalerandomisation totale




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nsns@. Plan à )n !acteur@. Plan à )n !acteur

@.@. Dise en *uvre@.@. Dise en *uvre @.2. #[email protected]. #nalyse

#nalyse de variance#nalyse de variance

"omparaisons multiples de moyennes 3tests post 1oc ;"omparaisons multiples de moyennes 3tests post 1oc ; Su&stituts à ou extensions de l’analyse de varianceSu&stituts à ou extensions de l’analyse de variance

#nova non paramétriue#nova non paramétriue Dod,le linéaire +énéralisé 3dé'nition4Dod,le linéaire +énéralisé 3dé'nition4

@.E. [email protected]. optimisation (étermination du nom&re de répétitions nécessaires(étermination du nom&re de répétitions nécessaires #llocation optimale eu é+ard aux o&jecti!s du plan#llocation optimale eu é+ard aux o&jecti!s du plan






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nsnsxemplexemple

Guatre anti&iotiuesGuatre anti&iotiueset un témoinet un témoin

"lométocilline"lométocilline Pénicilline HPénicilline H Pénicilline %Pénicilline % Sul&actamSul&actam ?émoin ?émoin

20 &oBtes de culture20 &oBtes de culture PP

Sulacta!




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nsns

@.2. #[email protected]. #nalyse




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nsns

L’analyse de varianceL’analyse de variance




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nsnsLe mod,le statistiueLe mod,le statistiue

Guel est le mod,le statistiue du planGuel est le mod,le statistiue du planà un !acteur 3e-ets 'xés4 à un !acteur 3e-ets 'xés4

0 0 ijij est le résultat mesuré sur laest le résultat mesuré sur la j j i1mei1me

u.e. de lau.e. de la ii i1mei1me modalitémodalité

n reconnaBt le mod,le den reconnaBt le mod,le del’éc1antillonna+e strati'él’éc1antillonna+e strati'é

ij i ijY µ α ε = + +-et moyen -et de la modalité i résidu




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nsnsCutCut

5ejeter l’1ypot1,se nulle /5ejeter l’1ypot1,se nulle /

0 1 2 ... ... 0i p H α α α α ⇔ = = = = = #&sence totale d’e-et du !acteur#&sence totale d’e-et du !acteur ypot1,ses alternativesypot1,ses alternatives

, 0ii α ∃ ≠




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nsns

La décomposition desLa décomposition des

sommes de carrés d’écartssommes de carrés d’écarts "onsidérons un écart à la moyenne"onsidérons un écart à la moyenne

des valeurs o&servéesdes valeurs o&servées

..ij y y− Intercalons dans cet écart la moyenneIntercalons dans cet écart la moyenne

des individus d’une modalitédes individus d’une modalité

. . ..i j ii y y y y− + −




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nsnsHrap1iuementHrap1iuement

ij y..

y

..

y ij

y

.i y

Dodalité @

Dodalité 2

Dodalité E 3i 4



J.S. Pierre Intro plans d'e 2"

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nsnslevons au carrélevons au carré

( ) ( )2 2

. .. .. .ij i i i j y y y y y y− −+− =

( ) ( ) ( ).

2

...

2

.. i iij ij y y y y y y − + −= −

( ) ( ) ( ) ( ).

2

. . . .

2

.. ..2 2i i i i iij iji j y y y y y y y y y y= − + − −+ − −




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nsnsSommonsSommons

Sur toutes les unitésSur toutes les unités

( )

2

..1 1

in p

iji j

y y= = − =∑∑

( ) ( ). .

2 2

..

1 1 1

in p

i i

p

ij i

i j i

y n y y y= = =

= + +− −∑∑ ∑

( ) ( ). . ..

1 1 1

.

1

0 0

2 2i in n p p

ij ij

i j i

i i i

j

y y y y y y= = = =

= =

+ −− −∑ ∑ ∑∑@ > 2 > E @ > 2 > E




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nsnst 'nalementt 'nalement

( )2

..

1 1

Somme des carrésdes écarts totale

in p

ij

i j

T

y y= =

− =∑∑@ > > 2 > >E

( ) ( )2 2

. . ..

1 1 1

Somme des carrésSomme des carrésdes écarts inter des écarts intra

in p p

ij i i i

i j i

BW

y y n y y= = =

= − + −∑∑ ∑@ >> 2 > >E@ > > 2 > > E




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nsns6otations commodes6otations commodes

S"S" ? ? / Somme des carrés des écarts/ Somme des carrés des écartstotaletotale

S"S"CC / Somme des "arrés des carts Inter/ Somme des "arrés des carts Inter

3CetKeen43CetKeen4 u !actorielleu !actorielle

S"S" / Somme des "arrés des carts/ Somme des "arrés des cartsIntra 3it1in4Intra 3it1in4 u résiduelleu résiduelle

S"S" ? ? A S"A S"CC M S"M S"

? A M C ? A M C




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nsnsSousSous HHoo

#u produit par#u produit parles de+rés deles de+rés deli&erté ; pr,sli&erté ; pr,s

?outes ces ?outes cessommes desommes decarré mesurentcarré mesurent

la m:me c1osela m:me c1ose

ij ij y µ ε = +

( ) ( ) 21T E SCE n σ = −

( ) 2

ijVar ε σ =

( ) ( ) 21 B E SCE p σ = −

( ) ( ) 2

w E SCE n p σ = −




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nsnsn particuliern particulier

Sous Sous 00= variance ; inter et variance ; intra= variance ; inter et variance ; intrasont é+ales en espérancesont é+ales en espérance

( ) ( ) 2 21

1

B B

SCE E SCE p E

pσ σ

= − ⇒ = ÷−

( ) ( ) 2 2ww

SCE E SCE n p E n p

σ σ = − ⇒ = ÷−

2

1

w BSCE SCE E E

n p pσ

= =

÷ ÷− − t donc





J.S. Pierre Intro plans d'e "0

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nsns(’oO la statistiue(’oO la statistiue

8 de 8is1er /8 de 8is1er /

( )

( )

1 B p

w

n p

SCE

F SCE

−

−

=

Si 8 est asse< +rand ; onSi 8 est asse< +rand ; ondécidera ue le !acteur a un e-etdécidera ue le !acteur a un e-et




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nsns

"omment est distri&ué 8"omment est distri&ué 8

"ela dépend des 1ypot1,ses sur les erreurs"ela dépend des 1ypot1,ses sur les erreurs Si les erreurs sontSi les erreurs sont

$ (istri&uées normalement$ (istri&uées normalement

$ Indépendantes deux à deux$ Indépendantes deux à deux $ #vec une espérance nulle$ #vec une espérance nulle $ t une variance uni!orme$ t une variance uni!orme σσ22 indépendante de laindépendante de la

modalitémodalité i i

Le numérateur est distri&ué comme unLe numérateur est distri&ué comme un χχ22 à p @à p @

de+rés de li&ertéde+rés de li&erté Le dénominateur est distri&ué comme unLe dénominateur est distri&ué comme un χχ22 à n à n

p de+rés de li&ertép de+rés de li&erté 8 est alors distri&ué comme une varia&le de8 est alors distri&ué comme une varia&le de

2isher 4nedecor2isher 4nedecorà p @ et n p de+rés deà p @ et n p de+rés de

li&ertéli&erté




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nsns

Pour rejeter Pour rejeter oo

n peut utiliser une ta&len peut utiliser une ta&le

xemple / 8 A>.= dl@ A >= dl2 A >>xemple / 8 A>.= dl@ A >= dl2 A >>

8 est$il asse< +rand8 est$il asse< +rand



J.S. Pierre Intro plans d'e ""

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nsns(écision(écision

Sur la &ase de la ta&leSur la &ase de la ta&leprécédenteprécédente La valeur supérieure limite est 2.QLa valeur supérieure limite est 2.Q Le seuil de la ta&le estLe seuil de la ta&le est αα A 0.0QA 0.0Q >. est supérieur à 2.Q>. est supérieur à 2.Q

n déclare l’e-et du !acteurn déclare l’e-et du !acteursi+ni'cati! au seuilsi+ni'cati! au seuil αα A 0.0QA 0.0Q




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nsns)tilisation d’un lo+iciel)tilisation d’un lo+iciel

Par exemplePar exemple 55 Pro&l,mePro&l,me 6natalanta 6natalanta

#nova directe /#nova directe /> attach(anatal)> attach(anatal)

> anova(lm(Lo~station %in% altitude))> anova(lm(Lo~station %in% altitude))

Analysis of Variance Table Analysis of Variance Table

Response: LoResponse: Lo

f !um !" #ean !" $ value r(>$)f !um !" #ean !" $ value r(>$)

station:altitude & '*'+ ++,+ -&&' . //e0-* 111station:altitude & '*'+ ++,+ -&&' . //e0-* 111

Residuals '-/ ,+'&- ++/,+Residuals '-/ ,+'&- ++/,+

000000

!i2nif codes: + 31114 +++- 3114 ++- 314 ++ 34 +- 3 4 -!i2nif codes: + 31114 +++- 3114 ++- 314 ++ 34 +- 3 4 -

>>

%aleur de 2

Pro&a&ilité exacted’un 2 supérieur

"ode de niveau(e si+ni'cativité




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nsns

#utre utilisation du#utre utilisation du

lo+iciello+iciel n c1erc1e la pro&a&ilité exacten c1erc1e la pro&a&ilité exacte

d’o&tenir un 8 supérieur ou é+al àd’o&tenir un 8 supérieur ou é+al à

>. avec dl@ A > et dl2 A >>>. avec dl@ A > et dl2 A >>> pf(56757557lo8ertail9$)> pf(56757557lo8ertail9$)

-; +++/**/,/-; +++/**/,/

> < v=rification de la table> < v=rification de la table> pf(/6757557lo8ertail9$)> pf(/6757557lo8ertail9$)

-; +++/-/'-; +++/-/'






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nsns

%alidité%alidité

(es résultats(es résultats




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nsns

"omment contrTler la"omment contrTler la

validité des résultats validité des résultats Hrap1iuesHrap1iues

isto+ramme des résidusisto+ramme des résidus (roite de enry des résidus(roite de enry des résidus 5ésidus en !onction de l’estimée5ésidus en !onction de l’estimée 5ésidus en !onction de l’ordre des données5ésidus en !onction de l’ordre des données

?ests ?ests 6ormalité des résidus6ormalité des résidus

Uolmo+orovUolmo+orov S1apiro$ilVsS1apiro$ilVs

+alité des variances+alité des variances CartlettCartlett

# relativiser 3#nova ro&uste ; aux écarts# relativiser 3#nova ro&uste ; aux écarts

aux 1ypot1,ses4aux 1ypot1,ses4

é id f i d l' i é




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nsnsxemple / #natalantaxemple / #natalanta

> lm(Lo~station %in% altitude)0>m-> lm(Lo~station %in% altitude)0>m-

> plot(m-fit7m-res)> plot(m-fit7m-res)

> abline(+7+)> abline(+7+)

> title(?Lo : r=sidus en fonction> title(?Lo : r=sidus en fonction

de l4estim=e?)de l4estim=e?)

1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85

# 0 . 6

# 0 . 4

# 0 . 2

0 . 0

0 . 2

0 . 4

!1$%it

! 1 $ r

e s

Lo : résidus en fonction de l'estimée




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nsnsxemple / #natalantaxemple / #natalanta

> hist(m-res7main9?Lo : @isto2ramme des r=sidus?)> hist(m-res7main9?Lo : @isto2ramme des r=sidus?)

>>

> ""norm(m-res7main9?Lo (res) : droite de @enry> ""norm(m-res7main9?Lo (res) : droite de @enry

?)?)> ""line(m-res)> ""line(m-res)

> shapirotest(m-res> shapirotest(m-res))

!hapiro0ilB normality test!hapiro0ilB normality test

data: m-resdata: m-res

9 +,&6&7 p0value 9 ++++-+,* 9 +,&6&7 p0value 9 ++++-+,*

Lo : Histogramme des résidus

!1$res

& r e ' u e n c (

#0.6 #0.4 #0.2 0.0 0.2 0.4

0

2 0

4 0

6 0

8 0

#" #2 #1 0 1 2 "

# 0 . 6

# 0 . 4

# 0 . 2

0 . 0

0 . 2

0 . 4

Lo (res): droite de Henry

)*eoretical +uantiles

S a ! p l e + u a n t i l e s




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nsns5ésumé5ésumé

L’analyse de variance permet de ju+erL’analyse de variance permet de ju+erl’e-et de tout un ensem&le del’e-et de tout un ensem&le demodalitésmodalités

n compare une estimation de lan compare une estimation de lavariance interindividuellevariance interindividuelle # partir de la somme des carrés des écarts# partir de la somme des carrés des écarts

inter 3C4inter 3C4

t à partir de la somme des carrés dest à partir de la somme des carrés desécarts intra 34écarts intra 34

Par la statistiuePar la statistiue 22 de 8is1erde 8is1er

Il nous reste à comparer les modalitésIl nous reste à comparer les modalités






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nsns)ne mauvaise idée)ne mauvaise idée

"omparer toutes les moyennes deux"omparer toutes les moyennes deuxà deux par un testà deux par un test tt

Pouruoi est$ce une mauvaise idée Pouruoi est$ce une mauvaise idée Prenons un exemplePrenons un exemple Supposons ue nous avons comparéSupposons ue nous avons comparé

uatre moyennes deux à deux etuatre moyennes deux à deux etue nous o&tenions le ta&leauue nous o&tenions le ta&leausuivant /suivant /




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nsns#vec les codes 1a&ituels#vec les codes 1a&ituels

m@m@ m2m2 mEmE m>m>

m@m@ W 3@4W 3@4 WW 324WW 324 W 3E4W 3E4

m2m2 6S 3>46S 3>4 W 3Q4W 3Q4

mEmE W 3X4W 3X4

D>D>




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nsns

Guelle est laGuelle est la

pro&a&ilitépro&a&ilité

(’avoir pris au moins(’avoir pris au moins

une décision !ausse une décision !ausse




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nsnsL’événementL’événement

#voir pris au moins une décision#voir pris au moins une décision!ausse!ausse

n s’est trompé une !ois et une seulen s’est trompé une !ois et une seule uu n s’est trompé deux !oisn s’est trompé deux !ois uu

n s’est trompé trois !oisn s’est trompé trois !ois YY.. n s’est trompé six !oisn s’est trompé six !ois






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nsnsLe dé&ut du calculLe dé&ut du calcul

3@4 est !ausse ? 324=3E4=3>4=3Q4=3@4 est !ausse ? 324=3E4=3>4=3Q4=3X4 sont correctes3X4 sont correctes

p A 0.0QW0.99W.9QZEW3@$p A 0.0QW0.99W.9QZEW3@$β)β) ββ est le manque de puissance duest le manque de puissance du

testtest ……










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nsns

#vanta+es et#vanta+es et

inconvénientsinconvénients #vanta+es / vala&le pour tous#vanta+es / vala&le pour tous

types de comparaison multipletypes de comparaison multiple

3paramétriues= non3paramétriues= nonparamétriues= Y4paramétriues= Y4

Inconvénients /Inconvénients /

Dinorant deDinorant de αα Perte de puissance très rapidePerte de puissance très rapide





PP




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nsns

Les cour&es deLes cour&es de

puissancepuissance

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 "0 40 50 60 70

test1

test2

test"

Série4

∆

1 β

Sc1e-é= "ontrastes=

Con!erroni= SidaV= (unett

?uVey=6eKman$Ueuls

PP(S de 8is1er=t par paires

3sans correction4

α

PP




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nsns

Guelues tests &ienGuelues tests &ien

connus et appréciésconnus et appréciés tendue studentiséetendue studentisée

(e (uncan(e (uncan

(e 6eKman \ Ueuls(e 6eKman \ Ueuls (e ?uVey(e ?uVey

88 corri+é de Con!erronicorri+é de Con!erroni

?est de (unett ?est de (unett "omparaison à un témoin"omparaison à un témoin

PP




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nsns ?ests extr:mes ?ests extr:mes

PP(S 3LS(4 de 8is1erPP(S 3LS(4 de 8is1er Puissant= non conservati!= enPuissant= non conservati!= en

+énéral déconseillé+énéral déconseillé ?est des contrastes de Sc1e-é ?est des contrastes de Sc1e-é

#&solument conservati!= tr,s peu#&solument conservati!= tr,s peu

puissantpuissant

PP




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nsns

@.E [email protected] ptimisation

"omment !aire un"omment !aire un

meilleur planmeilleur plan

PP




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nsns

"alcul du nom&re de"alcul du nom&re derépétitions nécessairesrépétitions nécessaires

PP




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nsns

"omment poser le"omment poser le

pro&l,me pro&l,me Il !aut déterminerIl !aut déterminer quatrequatre

param,tresparam,tres

@. Le risue@. Le risueα

désirédésiré 2. La puissance @$2. La puissance @$

β

désirée désirée

E. La di-érenceE. La di-érence∆

à mettre enà mettre en

évidenceévidence >. La variance résiduelle du mod,le>. La variance résiduelle du mod,le

σ

2

PP




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nsnsLa uestion correcte /La uestion correcte /

Sac1ant ue j’attend une varianceSac1ant ue j’attend une varianceσ

2

"om&ien dois$je !aire de répétitions"om&ien dois$je !aire de répétitions

Pour mettre en évidence unePour mettre en évidence unedi-érence d’ordredi-érence d’ordre

∆

entre modalitésentre modalités

#vec une puissance#vec une puissanceβ

t un risue de premi,re esp,cet un risue de premi,re esp,ceα

PP




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nsnsDaisYDaisY

"omment avoir une idée de la"omment avoir une idée de la

variance résiduellevariance résiduelleσ

Plusieurs solutionsPlusieurs solutions 8aire une préexpérience8aire une préexpérience "ompulser la &i&lio+rap1ie"ompulser la &i&lio+rap1ie "1erc1er des données d’essais antérieurs"1erc1er des données d’essais antérieurs Interro+er les vieuxInterro+er les vieux YY..



PP"omment !ait$on "omment !ait$on




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nsns

"adre / le test < de l’écart"adre / le test < de l’écartréduitréduit

#4 #2 0 2 4 6

β

/2

/2

0 @

2

: a : b

δ

2

: : a b dM A

PP




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nsnst donc Yt donc Y

2 : : a b dM A

2

2 2

: :

n

a b

s

(M A

22

22

2n : : a bs ] _̂F` M _F _F, (

PP




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nsns#vec 8#vec 8

Le !acteur est à e-ets 'xés $ leLe !acteur est à e-ets 'xés $ lenumérateur est 'xénumérateur est 'xé

n joue donc sur le dénominateurn joue donc sur le dénominateuret on ne peut jouer ue sur leset on ne peut jouer ue sur lesde+rés de li&erté du dénominateurde+rés de li&erté du dénominateur

pr p A p3r$@4pr p A p3r$@4 6e peut se !aire ue par itération6e peut se !aire ue par itération



PP




PPlala

nsns

n2A>2

Q3r$@4A>25AIntSup3>2RQ4M@A9M@A@0)n e-ort total de Q0 &oBtesLe jeu en vaut$il la c1andelle

PP




PPlala

nsns5ec1erc1e de n5ec1erc1e de n

> -0pf(/75755)

-; ++*+,,6

> -0pf(/757+)

-; ++5-*++6

> -0pf(/757-++)

-; ++5&/',/5

> -0pf(/7576+)

-; ++56,*-/&

> -0pf(/757&+)

-; +++-,5,6

> -0pf(/757&)

-; ++5,'**5

PP




PPlala

nsns

ptimisation deptimisation del’allocationl’allocation

6méliorer le contraste ! 6méliorer le contraste !

PP




PPlala

nsnsPrincipePrincipe

n dit u’une allocation estn dit u’une allocation estoptimale si elle minimise laoptimale si elle minimise la

variancevariance de l’ensem&le desde l’ensem&le descontrastescontrastes auxuels onauxuels ons’intéresses’intéresse

6ous avons à dé'nir ce ue l’on6ous avons à dé'nir ce ue l’onentend parentend par contrastecontraste

PP




PPlala

nsns(é'nition(é'nition

n appellen appelle contrastecontraste toutetoutecom&inaison linéairecom&inaison linéaire dede

moyennes dont la somme desmoyennes dont la somme descoecients est nullecoecients est nulle

1 1 2 2

1 2

...

... 0

p p

p

C a m a m a m

a a a

= + + +

+ + + =

PP




PPlala

nsns"as particulier"as particulier

"omparaison de deux moyennes"omparaison de deux moyennes

12 1 2C m m= − n e-et /n e-et /

( )12 1 21 1C m m= × + − ×

PP L’ ll ti dé d dL’ ll ti dé d d




PPlala

nsns

L’allocation dépend desL’allocation dépend des

o&jecti!so&jecti!s "as @ / on s’intéresse de la m:me"as @ / on s’intéresse de la m:me

mani,re à tous les contrastes dumani,re à tous les contrastes du

type mtype mii $ m$ m j j

"as 2 / on s’intéresse"as 2 / on s’intéresseessentiellement à la comparaisonessentiellement à la comparaison

à un témoin mà un témoin m

ii m m

00 "as E / n c1erc1e à démontrer la"as E / n c1erc1e à démontrer la

linéarité d’une relation dose$e-etlinéarité d’une relation dose$e-et

PP




PPlala

nsns"as @"as @

n s’intéresse de la m:me !aFon à tous les contrastesn s’intéresse de la m:me !aFon à tous les contrastesélémentairesélémentaires

Guelle est la variance d’un contraste élémentaire Guelle est la variance d’un contraste élémentaire

( )

2 22 1 1

ij i j

r r

ij r i j i j

C m m

Var C n n n n

σ σ σ

= −

= + = +

÷ ÷ "ette variance est d’autant plus petite"ette variance est d’autant plus petite

ue nue nii et net n j j sont +rands= mais c’estsont +rands= mais c’est

trivialtrivial

PP G ll t lG ll t l




PPlala

nsns

Guelle est laGuelle est la

contrainte contrainte n se 'xe le nom&re totaln se 'xe le nom&re total

d’unités expérimentalesd’unités expérimentales

disponi&les 3ressources4disponi&les 3ressources4

1

p

i

i

n N

=

=∑

PP




PPlala

nsnsn pose le pro&l,men pose le pro&l,me

?rouver le minimum de ?rouver le minimum de

1 1

i jn n+ Sous la contrainte d’é+alitéSous la contrainte d’é+alité

1

p

i

i

n N =

=∑

PP S l ti ! lSolution on !orme le




PPlala

nsns

Solution / on !orme leSolution / on !orme le

la+ran+ien ; la+ran+ien ;

( )1 2

1

1 1, ,..., ,

p

p i

ii j

n n n n Nn n

λ λ =

= + + − ÷

∑L

Guantité àminimiser Dultiplicateur de

La+ran+e

"ontrainte3uantité A 04

PP l l dé i én annule les dérivées




PPlala

nsns

n annule les dérivéesn annule les dérivées

partiellespartielles

SoitSoit

2

10

in n

i

λ ∂

= − + =∂

L

1

i

nλ

=

PP




PPlala

nsns"onclusion /"onclusion /

#llocation éuili&rée#llocation éuili&rée ptimale lorsue toutes lesptimale lorsue toutes les

comparaisons sont é+alementcomparaisons sont é+alementintéressantesintéressantes

PP




PPlala

nsns"as 2"as 2

"omparaisons à un témoin privilé+iées"omparaisons à un témoin privilé+iées

10 1 0

20 2 0

0 0

0

1

.....

p p

p

i

i

C m m

C m m

C m m

C m pm=

= −

= −

= −

= −∑

( ) 2 2

1 0

1 1 p

i i

Var C pn n

σ =

= +

∑

PP




PPlala

nsnsLa+ran+ienLa+ran+ien

( ) 2

0 1

1 00

1 1, ,..., ,

p p

p i

i ii

n n n p n Nn n

λ λ = =

= + + − ÷

∑ ∑L

2

2

2

0

10

10

0

in n

i

pn n

λ

λ

∂= − + =

∂

∂ = − + =∂

L

L





PP




PPlala

nsns"as E"as E

Les modalités sont trois doses deLes modalités sont trois doses de!ertilisant éuiréparties 3ex!ertilisant éuiréparties 3ex

@0=20=E0 )nités4@0=20=E0 )nités4 n c1erc1e à démontrer lan c1erc1e à démontrer la

linéarité de la réponse à la doselinéarité de la réponse à la dose

1 32 1 2 32 0

2

m mm m m m

+= ⇔ − + =

PP




PPlala

nsns%ariance du contraste%ariance du contraste

La+ran+ien /La+ran+ien /

( ) 2

1 2 3

1 4 1Var C

n n nσ

= + + ÷

( )

3

1 2 301 2 3

1 4 1

, , , iin n n n Nn n nλ λ =

= + + + − ÷ ∑L

PP




PPlala

nsnsSolutionSolution

( )3

1 2 3

01 2 3

1 4 1, , , i

i

n n n n N n n n

λ λ =

= + + + − ÷ ∑L

12

1 1

22

2 0

1 10

4 20

nn n

nn n

λ λ

λ λ

∂ = − + = ⇒ =∂

∂ = − + = ⇒ =∂

L

L

PP




PPlala

nsnsSolution /Solution /

Pour montrer la linéarité d’unePour montrer la linéarité d’unerelation= on c1ar+era d’avanta+erelation= on c1ar+era d’avanta+eles modalités médianesles modalités médianes

2 1 32 2= =n n n

PP




PPlala

nsns

Plans à deux !acteursPlans à deux !acteurs

"roisement= 1iérarc1ie="roisement= 1iérarc1ie=interaction=interaction=

ort1o+onalitéort1o+onalité

PP




PPlala

nsns

Les !acteurs peuventLes !acteurs peuvent:tre:tre"roisés"roisés

m&oBtés 3nested4 oum&oBtés 3nested4 ou1iérarc1iues1iérarc1iues

8ixes ou aléatoires8ixes ou aléatoires

tudiés ou contrTléstudiés ou contrTlés

PP




PPlala

nsnsa4 8acteurs croisésa4 8acteurs croisés

a@ / mod,le additi! a@ / mod,le additi! -ets indépendants-ets indépendants

#2 / mod,le interacti! #2 / mod,le interacti! -ets particulier de c1aue-ets particulier de c1aue

com&inaison de modalitéscom&inaison de modalités

#E / mod,les croisés non#E / mod,les croisés nonort1o+onauxort1o+onaux

PP




PPlala

nsnsDod,le croisé additi! Dod,le croisé additi!

(eux !acteurs sont dits croisés si on(eux !acteurs sont dits croisés si onpeut classi'er leurs modalités danspeut classi'er leurs modalités dansuneune table à double entréetable à double entrée

Exemple :Exemple : Sexe et altitude dans leSexe et altitude dans le jeu de données anatalanta jeu de données anatalanta

Les moyennes par li+ne et par colonneLes moyennes par li+ne et par colonne

de la ta&le o&tenue ont un sensde la ta&le o&tenue ont un sens

PP criture du mod,lecriture du mod,le




PPlala

nsns

criture du mod,lecriture du mod,le3'xe43'xe4

-ets 'xes-ets 'xes

ij i j ij ; m a b eA M M M

Effet « moyen »

Effet du facteur 1

Effet du facteur 2

Aléatoireerreur

résidu

PP criture du mod,lecriture du mod,le




PPlala

nsns

criture du mod,lecriture du mod,le3aléatoire43aléatoire4

-ets aléatoires-ets aléatoires

ij i j ij ; 6 9m eA M M M

Effet « moyen »

Effet du facteur 1(aléatoire)

Effet du facteur 2

(aléatoire)Aléatoireerreur

résidu

PP




PPlala

nsnsDod,le mixteDod,le mixte

-ets 'xés et aléatoires-ets 'xés et aléatoires

ij i j ij ; 9m a eA M M M

Effet « moyen »

Effet du facteur 1(fixé)

Effet du facteur 2

(aléatoire)Aléatoireerreur

résidu

PPl




PPlala

nsns%otre responsa&ilité%otre responsa&ilité

(éclarer un !acteur comme 'xe ou aléatoire(éclarer un !acteur comme 'xe ou aléatoireest de votre responsa&ilitéest de votre responsa&ilité 8ixe / c1aue modalité8ixe / c1aue modalité vous intéressevous intéresse

#léatoire / c1aue modalité n’est pour vous#léatoire / c1aue modalité n’est pour vousu’uneu’une unité d’échantillonnageunité d’échantillonnage 3+rappe43+rappe4 xemple / c1oix judicieux pour anatalantaxemple / c1oix judicieux pour anatalanta

Sexe / !acteur 'xéSexe / !acteur 'xé #ltitude / !acteur 'xé#ltitude / !acteur 'xé

Station / !acteurStation / !acteur 8ixé si c1aue station est un o&jet d’étude8ixé si c1aue station est un o&jet d’étude #léatoire si les stations ne représentent ue la#léatoire si les stations ne représentent ue la

varia&ilité du terrainvaria&ilité du terrain

PPll




PPlala

nsnsxemplexemple

LittoralLittoral

3@43@4

#ltitude#ltitude

324324

DlesDles

3@43@4

< < @@@@@@

< < @@2@@2

x x @@E@@E

< < @2@@2@

< < @22@22

x x @2E@2E

8emelles8emelles

324324

< < 2@@2@@

< < 2@22@2

x x 2@E2@E

< < 22@22@

< < 222222

< < 22E22E

PPll




PPlala

nsnsxemplexemple

read.ta&le3anatal.txt=1A?4$anatal read.ta&le3anatal.txt=1A?4$anatal

attac13anatal4 attac13anatal4

anatalfsexeb$!actor3sexe4 anatalfsexeb$!actor3sexe4 anatalfstationb$!actor3station4 anatalfstationb$!actor3station4

anatalfaltitudeb$!actor3altitude4 anatalfaltitudeb$!actor3altitude4

summary3anatal4 summary3anatal4 Sexe= station et altitude doiventSexe= station et altitude doivent

apparaBtre comme des !acteursapparaBtre comme des !acteurs

PPll xemple / !acteursxemple / !acteurs




PPlala

nsns

xemple / !acteursxemple / !acteurscroiséscroisés

> Analysis o ariance !able> Analysis o ariance !able



seCe - +/+6- +/+6- */&, ++-6/& 1seCe - +/+6- +/+6- */&, ++-6/& 1

altitude - +*&-* +*&-* -6-*+ /*&e0+ 111altitude - +*&-* +*&-* -6-*+ /*&e0+ 111

Residuals '-& --&/+5 ++'&+Residuals '-& --&/+5 ++'&+

000000

!i2nif codes: + 31114 +++- 3114 ++- 314 ++ 34!i2nif codes: + 31114 +++- 3114 ++- 314 ++ 34+- 3 4 -+- 3 4 -

PPll é




PPlala

nsnsrt1o+onalitért1o+onalité

(eux !acteurs croisés sont dits(eux !acteurs croisés sont ditsort1o+onaux si leurs nom&res deort1o+onaux si leurs nom&res derépétitions par li+ne= colonne etrépétitions par li+ne= colonne etcase véri'ent la relation suivante /case véri'ent la relation suivante /

. .

..

i jij

n nn

n

A

!équili"re est un cas particulier

PPll "onséuence de"onséuence de




PPlala

nsns

"onséuence de"onséuence del’ort1o+onalitél’ort1o+onalité

Si deux !acteurs croisés sontSi deux !acteurs croisés sontort1o+onaux= les sommes deort1o+onaux= les sommes decarrés d’écart correspondantscarrés d’écart correspondantssont additi!s et ajustéssont additi!s et ajustés Le type I est a&solument correctLe type I est a&solument correct

pour c1aue !acteurpour c1aue !acteur

Sinon= ils sont partiellementSinon= ils sont partiellementcon!ondus 3con!oundin+4 etcon!ondus 3con!oundin+4 etdoivent :tre analysés en type IIIdoivent :tre analysés en type III

PPllrt1o+onalité etrt1o+onalité et




PPlala

nsnsplani'cationplani'cation

expérimentaleexpérimentale n utilise couramment des plansn utilise couramment des plans

non ort1o+onaux parnon ort1o+onaux par

constructionconstruction Plans en &locs incomplets éuili&résPlans en &locs incomplets éuili&rés

3CI43CI4 Plans en &locs incompletsPlans en &locs incomplets

partiellement éuili&rés 3CIP4partiellement éuili&rés 3CIP4 Plans !ractionnairesPlans !ractionnaires



PPlala xemple / !acteursxemple / !acteurs




PPlala

nsns

xemple / !acteursxemple / !acteurscroiséscroisés

anatal.mod@b$lm3LogsexeWalt=dataAanatal4anatal.mod@b$lm3LogsexeWalt=dataAanatal4

anova3anatal.mod@=ss?ypesAE4 anova3anatal.mod@=ss?ypesAE4 Analysis of Variance Table Analysis of Variance Table



seCe - +/+6- +/+6- *5'- ++-6-/ 1seCe - +/+6- +/+6- *5'- ++-6-/ 1

altitude - +*&-* +*&-* -6/-5+ /*-'e0+ 111altitude - +*&-* +*&-* -6/-5+ /*-'e0+ 111

seCe:altitude - ++*65 ++*65 -6*/ +-&5+'seCe:altitude - ++*65 ++*65 -6*/ +-&5+'Residuals '-* --*/+ ++'*,Residuals '-* --*/+ ++'*,

PPlala Dod,le additi! etDod,le additi! et




PPlala

nsns

Dod,le additi! etDod,le additi! etinteracti! interacti!

m#les femelles

Littoral

altitude

m#les femelles

Littoral

altitude

PPlala i i




PPlala

nsnscriturecriture

Dod,le additi! Dod,le additi!

$odèle interactif

ij7 i j ij7 ; m a b eA M M M

ij7 i j ijij 7 ; m a b . eA M M M"

PPlala d d i i d d i t ti




PPlala

nsnsrdre des interactionsrdre des interactions

rdre @ / !acteurs deux à deuxrdre @ / !acteurs deux à deux dre 2 / !acteurs trois à troisdre 2 / !acteurs trois à trois

YY etc.etc. 6otations lo+icielles6otations lo+icielles

5 / !@/!2= !@/!2/!E= !@W!2 A5 / !@/!2= !@/!2/!E= !@W!2 A

!@M!2M!@/!2!@M!2M!@/!2 S#S= minita& / !@W!2= !@W!2W!ES#S= minita& / !@W!2= !@W!2W!E



PPlala D d,l 1ié 1iD d,l 1ié 1i




PPlala

nsnsDod,le 1iérarc1iueDod,le 1iérarc1iue

"omment écrit$on le mod,le "omment écrit$on le mod,le

3 4 j i bij7 i ij7 ; m a eA M M M

Effet du facteur 1

(%iérarc%isant)

Effet du facteur 2(%iérarc%isé)

PPlala xemple / mod,lexemple / mod,le




PPlala

nsns

xemple / mod,lexemple / mod,le1iérarc1iue aléatoire1iérarc1iue aléatoire

# venir# venir

PPlala # t t ti# t t ti




PPlala

nsns#utres notations#utres notations

j ib b

j ib

3 4 j ib

PPlala # t l t# t l t




PPlala

nsns#natalanta#natalanta

αα / sexe/ sexe ββ / altitude/ altitude

( / station( / station #léatoire#léatoire iérarc1isée sous altitudeiérarc1isée sous altitude

3 4 3 4ij7l i j 7 j ij i7 j ij7l ; D = m a b . eA M M M M M M

PPlala #nalyse d’un !acteur#nalyse d’un !acteur




PPlala

nsns

#nalyse d un !acteura yse d u ac eu1iérarc1isé1iérarc1isé

> attach(anatal)

> mod.0lm(Lo~seCeDaltitudeDstation %in% altitude)

> anova(mod)

Analysis of Variance Table

Response: Lo

f !um !" #ean !" $ value r(>$)

seCe - +/+6- +/+6- &'/,* +++&-6 11

altitude - +*&-* +*&-* /'*&5 -6'-e0+* 111

altitude:station * /6,-5 +56-, -*,&+ . //e0-* 111

Residuals '-- 66/,+ ++/65

000

!i2nif codes: + 31114 +++- 3114 ++- 314 ++ 34 +- 3 4 -

PPlala




PPlala

nsns

Les plans !actorielsLes plans !actoriels

PPlala Les plans !actorielsLes plans !actoriels




PPlala

nsns

Les plans !actorielspcompletscomplets

)n plan !actoriel est dit complet si c1aue)n plan !actoriel est dit complet si c1auemodalité du premier !acteur est associéemodalité du premier !acteur est associéeavec c1aue modalité du second !acteuravec c1aue modalité du second !acteur

dans une unité expérimentaledans une unité expérimentale Hénéralisation / un plan !actoriel àHénéralisation / un plan !actoriel à 77 !acteurs!acteurs

est dit complet si toutes les com&inaisonsest dit complet si toutes les com&inaisonspossi&les des modalités de c1aue !acteurpossi&les des modalités de c1aue !acteurpris 2 à 2= E à E= V à V sont associées dans lepris 2 à 2= E à E= V à V sont associées dans le

m:me nom&re d’unités expérimentalesm:me nom&re d’unités expérimentales (ans le cas contraire= il est dit incomplet(ans le cas contraire= il est dit incomplet

PPlala xemple de planxemple de plan




PPlala

nsns

e p e de p ap p!actoriel complet!actoriel complet

8acteur @ / E modalités= #=C="8acteur @ / E modalités= #=C=" 8acteur 2 / E modalités= h==8acteur 2 / E modalités= h==

8acteur E / 2 modalités a=&8acteur E / 2 modalités a=&

#ha#ha #a#a #a#a

ChaCha CaCa CaCa

"ha"ha "a"a "a"a

#h&#h& #&#& #&#&

Ch&Ch& C&C& C&C&

"h&"h& "&"& "&"&

PPlala " té i ti"aractéristiues




PPlala

nsns"aractéristiues"aractéristiues

rt1o+onalrt1o+onal "omporte au minimum"omporte au minimum p+r p+r unités expérimentalesunités expérimentales

3p==r= respectivement nom&re de modalités des3p==r= respectivement nom&re de modalités des!acteurs @=2=E4. (ans le cas +énéral= produit du!acteurs @=2=E4. (ans le cas +énéral= produit du

nom&re de modalités de c1aue !acteurnom&re de modalités de c1aue !acteur )n plan ui comporte le minimum d’unités)n plan ui comporte le minimum d’unités

nécessaires est ditnécessaires est dit minimalminimal. S’il en comporte plus=. S’il en comporte plus=il est ditil est dit répétérépété . (ans ce cas il doit comporter 2. (ans ce cas il doit comporter 2!ois= E !ois= etcY ce nom&re minimal d’)!ois= E !ois= etcY ce nom&re minimal d’)

mm étant le nom&re de !acteurs= on peut atteindreétant le nom&re de !acteurs= on peut atteindreau plus les interactions d’ordreau plus les interactions d’ordre m(m( sur un plansur un planminimalminimal

PPlala lxemple




PPlala

nsnsxemplexemple

Le plan de la diapositive @@XLe plan de la diapositive @@X Le plan minimal a E x E x 2 A@ unitésLe plan minimal a E x E x 2 A@ unités

expérimentalesexpérimentales

Il permet d’atteindre les interactionsIl permet d’atteindre les interactionsd’ordre @= mais pas l’interaction d’ordred’ordre @= mais pas l’interaction d’ordre22

Les plans répétés contiennentLes plans répétés contiennent

EX=Q>=k2Y )EX=Q>=k2Y ) Les plans !actoriels complets sont lourdsLes plans !actoriels complets sont lourds

et c1erset c1ers

PPlala




PPlala

nsns

"as particulier /"as particulier /

Les plans en &locsLes plans en &locs

PPlala Plans en &locsPlans en &locs




PPlala

nsnsPlans en &locsPlans en &locs

)n des !acteurs est souvent un)n des !acteurs est souvent un!acteur dit &loc ;!acteur dit &loc ;

6on étudié et non intéressant ;= il6on étudié et non intéressant ;= ilsert souvent à contrTlersert souvent à contrTlerl’1étéro+énéité du matériell’1étéro+énéité du matérielexpérimentalexpérimental

Pour un petit nom&re d’unitésPour un petit nom&re d’unitésexpérimentales= on ne !ait pasexpérimentales= on ne !ait pascon'ance à la randomisationcon'ance à la randomisation



PPlala #utre exemple#utre exemple




PPlala

nsns#utre exemple#utre exemple

@2 porcs@2 porcs ?r,s ?r,s

1étéro+,nes1étéro+,nes > traitements> traitements

#=C="=(#=C="=(

E &locsE &locs

PPlala# (

Le plan /Le plan /




a

nsns# (

" C

#(

" C

C # ( "

PPlala #nalyse#nalyse




nsns#nalyse#nalyse

Plans !actoriels et plans en &locsPlans !actoriels et plans en &locs #nalyse de variance ort1o+onale#nalyse de variance ort1o+onale

Ju+ement des interactions 3si Ju+ement des interactions 3sipossi&les4possi&les4

Ju+ement de l’e-et &loc Ju+ement de l’e-et &loc

3si+ni'cati! de pré!érence43si+ni'cati! de pré!érence4 Ju+ement de l’e-et traitement Ju+ement de l’e-et traitement



PPlala

> m-.0lm(-/~bloc1var1ter7data9colEa)

> anova(m-)




nsns Analysis of Variance Table

Response: -/


bloc -- '+5* /&&+ '- 65',e0+ 111

var ' ',,+ -''-& -&+,'* -*6e0-+ 111

ter / &&/+ '6*+ 5,5 +++&5*' 11

bloc:var '' 55/+& -'5+ -&-,* +++,+,* 11

bloc:ter // /+,*6 ,' -//'5 +///,/

var:ter * 6-6* -'*5 -&-5 +-+&*,*

bloc:var:ter *5 5,+'- &** +,6'5 +-*5/+

Residuals 5/* ''-6&- &&,

000

!i2nif codes: + 41114 +++- 4114 ++- 414 ++ 44 +- 4 4 -

PPlala




nsns> m/.0lm(-/~blocDvarDterDbloc:var7data9colEa)

> anova(m/)


Response: -/


bloc -- '+5* /&&+ '5,6* ,&-e0+ 111

var ' ',,+ -''-& -*6//+ -,/6e0-+ 111

ter / &&/+ '6*+ 56&6 +++&,6' 11

bloc:var '' 55/+& -'5+ -*,// ++-+5/5 1

Residuals -6 5-++& &,/

000

!i2nif codes: + 41114 +++- 4114 ++- 414 ++ 44 +- 4 4 -

PPlala #nalyse de l’interaction#nalyse de l’interaction




nsns

y&loc$variété&loc$variété

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

col,a$-ar

! e a n o % c o l , a $ 1 2

/ & P

col,a$loc

loc2loc1loc11

loc7loc9loc4loc8

loc12loc10loc6

loc5

loc"

PPlala



J.S. Pierre Intro plans d'expérienceJ.S. Pierre Intro plans d'expérience

129129

nsns

Plans !actorielsPlans !actorielsincompletsincomplets

Pallier l’insusance desPallier l’insusance des+rands &locs+rands &locs

PPlala



J.S. Pierre Intro plans d'expérienceJ.S. Pierre Intro plans d'expérience

130130

nsns

Clocs incompletsClocs incompletséuili&réséuili&rés

)ne premi,re solution)ne premi,re solution

PPlala Premier exemplePremier exemple



J.S. Pierre Intro plans d'e 1"1

nsnsPremier exemplePremier exemple

## "" (( CC

CC ## "" ((

"" (( CC ##

(( ## CC ""

CC (( "" ##

& AQt AQ

r A>λ AE

PPlala "in constantes"in constantes




nsns"in constantes"in constantes

& / nom&re de &locs& / nom&re de &locs t / nom&re de traitementst / nom&re de traitements

V / nom&re de traitements par &locV / nom&re de traitements par &loc r / nom&re de répétitions d’unr / nom&re de répétitions d’un

traitementtraitement λ :λ : nom&re de répétition d’unnom&re de répétition d’un

contrastecontraste ( )( ) ( )

2 !2 ! !t

k t k λ −= − −



PPlala Sens de l’ecacitéSens de l’ecacité




nsnsSens de l ecacitéSens de l ecacité

?1éor,me / ?1éor,me / 'armi tous les plans connectés'armi tous les plans connectésde param1tres v,b,7, un 9>?, sil existede param1tres v,b,7, un 9>?, sil existemaximise le@cacité minimummaximise le@cacité minimum

n n’en donnera pas la démonstrationn n’en donnera pas la démonstration

Variance d'un contraste élémentaire dans le BIE

Variance du même contraste dans le BE corres!ondant E =

PPlala "onstruction des CI"onstruction des CI




nsns"onstruction des CI"onstruction des CI

"arré de ouden"arré de ouden Plans irréducti&lesPlans irréducti&les

Plans complémentairesPlans complémentaires "atalo+ues de plan 35a+1avarao"atalo+ues de plan 35a+1avarao

@9k@= "oc1ran @9XE4@9k@= "oc1ran @9XE4

Lo+iciels / #l+(esi+n 3PacVa+e deLo+iciels / #l+(esi+n 3PacVa+e de5454

PPlala xemplexemple




nsnsxemplexemple

"onstruction d’un plan optimal pour les ?P"onstruction d’un plan optimal pour les ?P n a @0 variétés d’n a @0 variétés d’ 6rabidopsis thaliana 6rabidopsis thaliana= on sou1aite= on sou1aite

en mettre Q par &oBte de cultureen mettre Q par &oBte de culture n utilise la !onction optCloc de #l+(esi+n sous 5n utilise la !onction optCloc de #l+(esi+n sous 5

CICb$

optClocV3g.=Kit1in(ataA!actor3@/@04=&locVsi<esArep3Q=@044 data.!rame3CICfClocVs4

h@ h@.@ [email protected] [email protected] h@.> [email protected] [email protected] [email protected] h@. [email protected]

@ @ @ 2 @ 2 @ E @ 2 E

2 2 E E > > > > 2 X Q

E E Q > Q Q X X k k

Q Q X 9 9 X k k k

@0 @0 @0 9 @0 9 @0 9

PPlala Guel plan o&tenonsGuel plan o&tenons




nsns nousnous "e n’est pas un CI $ un CI avec ces"e n’est pas un CI $ un CI avec ces

caractéristiues est impossi&lecaractéristiues est impossi&le "’est un CIP à deux classes d’association"’est un CIP à deux classes d’association

crossprod3ta&le3CICfroKs=c3rep3@/@0=rep3Q=@044444

@ 2 E > Q X k 9 @0 @ Q E 2 2 2 2 2 2 2 E

2 E Q 2 E 2 2 2 2 2 2

E 2 2 Q 2 E 2 E 2 2 2

> 2 E 2 Q 2 2 2 2 E 2

Q 2 2 E 2 Q 2 2 E 2 2 X 2 2 2 2 2 Q 2 E 2 E

k 2 2 E 2 2 2 Q 2 E 2

2 2 2 2 E E 2 Q 2 2

9 2 2 2 E 2 2 E 2 Q 2

@0 E 2 2 2 2 E 2 2 2 Q

PPlala




nsns

Les Plans en ClocsLes Plans en Clocsincompletsincompletspartiellementpartiellement

éuili&réséuili&résCIPCIP

PPlala #ssouplissement des#ssouplissement des




nsns CICI Cut / diminuer encore la taille desCut / diminuer encore la taille des

&locs&locs

#ccepter de sacri'er ; certains#ccepter de sacri'er ; certainscontrastescontrastes λλ n’est plus uni!ormen’est plus uni!orme

Il y a desIl y a des classes dassociationclasses dassociation avec une série de constantesavec une série de constantes λλ==λλ@=@=λλ2=2=λλEYEY

PPlala xemples dexemples de




nsns constructionconstruction

c

a

&

d

e

+ 1

!

aa &&&& cccc dddd aa

&& eecc ! ! dd 11aa ++

ee ! ! ! ! 1111 ++++ ee

PPlala "aractéristiues"aractéristiues





& A @2& A @2 t A t A V A 2V A 2 λλ@@ A @ 3ar:tes4A @ 3ar:tes4 λλ22 A 0 3dia+onales4A 0 3dia+onales4

aa &&&& cccc dddd aa

&& eecc ! ! dd 11aa ++

ee ! ! ! ! 1111 ++++ ee





nsns#nalyse#nalyse

CI et CIPCI et CIP #nalyse de variance non ort1o+onale#nalyse de variance non ort1o+onale

CICI "omparaison des moyennes ajustées ;"omparaison des moyennes ajustées ;

CIPCIP "omparaison des moyennes ajustées ;"omparaison des moyennes ajustées ;

Par classe d’associationPar classe d’association Par couples de classes d’associationPar couples de classes d’association



PPlala Pro&l,mePro&l,me




nsns

@Q

20

2Q

E0

EQ

Pro&l,mePro&l,me

#vanta+es / &locs tr,s#vanta+es / &locs tr,s1omo+,nes1omo+,nes

Inconvénients / e-etsInconvénients / e-ets&iaisés= con!usion&iaisés= con!usion

partielle des e-etspartielle des e-ets&locs et traitements&locs et traitements

Par exemplePar exemple a est vu dans lesa est vu dans les

meilleurs &locsmeilleurs &locs e dans des &locse dans des &locs

médiocresmédiocres

aa &&&& cccc dddd aa&& ee

cc ! ! dd 11aa ++ee ! !

! ! 1111 ++++ ee

PPlala SolutionSolution




nsnsSolutionSolution

stimation des e-ets par les moindresstimation des e-ets par les moindrescarrés non ort1o+onauxcarrés non ort1o+onaux

n estime d’a&ord l’e-et &loc 3nonn estime d’a&ord l’e-et &loc 3non

ajusté4ajusté4 n estime l’e-et des traitements surn estime l’e-et des traitements sur

les résidus du mod,le précédentles résidus du mod,le précédent

Les e-ets et somme de carrés associésLes e-ets et somme de carrés associésaux traitements sont dits ajustésaux traitements sont dits ajustés

PPlalaxemplexemple

> anova(lm(rdt~blocDvar7data9bie))




nsns Analysis of Variance Table

Response: rdt


bloc 5 6*-,5 /-5, -*/+6, -+&+e0+, 111

var 5 /5-' *+'5 5'6& 6,,&e0+& 111

Residuals -- -5*/ -'' < $orme correcte pour un FGH

> anova(lm(rdt~varDbloc7data9bie))


Response: rdt


var 5 -&''& 5''5 '/*+/ 56/5e0+* 111

bloc 5 ,/,,' /'/56 -&56&5 &-++e0-+ 111

Residuals -- -5*/ -'' < !i lIon veut sIassurer du statut des blocs

PPlala




nsns

Plans à plusieursPlans à plusieurssyst,mes de &locssyst,mes de &locs

"arrés latins et"arrés latins et+récolatins=+récolatins=

Split$plot et criss$crossSplit$plot et criss$cross

"on!oundin+"on!oundin+3con!usion43con!usion4

PPlala Le carré latinLe carré latin




nsnsLe carré latinLe carré latin

(( CC ## ""

## "" (( CC

(( "" ## CC

CC ## "" ((

"" CC (( ##





nsns#nalyse#nalyse

?rois !acteurs / ?rois !acteurs / Clocs 1ori<ontauxClocs 1ori<ontaux Clocs verticauxClocs verticaux

?raitements ?raitements #ucune interaction n’est accessi&le#ucune interaction n’est accessi&le "ontrai+nant"ontrai+nant

Peu puissantPeu puissant

)sa+e / tr,s !orte 1étéro+énéité des)sa+e / tr,s !orte 1étéro+énéité des)= contrTle de deux +radients)= contrTle de deux +radients

PPlala "arré +réco$latin"arré +réco$latin




nsns"arré +réco latin"arré +réco latin

(( yy CCKK

## << xx "" vv

## << "" vv ((

KK

CC yy xx

KK (( xx "" vv ## << CC yy

CC xx ## << yy "" vv ((

KK"" vv yy CC xx ((

KK## <<





nsns#nalyse#nalyse

Guatre !acteursGuatre !acteurs Clocs 1ori<ontauxClocs 1ori<ontaux Clocs verticauxClocs verticaux ?raitement @ ?raitement @ ?raitement 2 ?raitement 2

Syst,me ort1o+onalSyst,me ort1o+onal #ucune interaction accessi&le#ucune interaction accessi&le ?r,s peu puissant ?r,s peu puissant

PPlala Le split$plotLe split$plot




nsnsLe split plote sp p o

)ne simpli'cation pratiue des plans !actoriels)ne simpli'cation pratiue des plans !actorielscomplets à deux !acteurs étudiés M les &locscomplets à deux !acteurs étudiés M les &locs

xemple / Sur une +rande &oBte de Petri carrée=xemple / Sur une +rande &oBte de Petri carrée=on peut étudier plusieurs mutants d’on peut étudier plusieurs mutants d’ 6rabidopsis 6rabidopsis

Dais on ne peut !aire u’un seul traitementDais on ne peut !aire u’un seul traitement3témoin= ou sucre= ou sucre M 1er&icide43témoin= ou sucre= ou sucre M 1er&icide4

Le !acteur traitements doit donc :tre randomiséLe !acteur traitements doit donc :tre randomiséplus +rossi,rement ue le !acteur mutantplus +rossi,rement ue le !acteur mutant

Split$plot A parcelle coupéeSplit$plot A parcelle coupée

PPlala "omparaison"omparaison




nsns"omparaisonp

##

hh

CC

##

CC

CC

hh

##

CC

##hh

CC

##

CChh

##

CC

CC

##

CC

hh

##

hh

##

CChh

##

CC

##

CC

##hh

CC

CC

hh

CC

##

##hh

##

##

##

##

hh

CC

CC

CChh

##

hh

##

##

CC

CC

CChh

CC

CC

hh

CC

## ##hh ##

Plan !actoriel en &loc Split $ plot





nsns#nalysey

(eux niveaux(eux niveaux n traite le premier !acteurn traite le premier !acteur

comme un &loc complet encomme un &loc complet en +randes parcelles ; +randes parcelles ; Le !acteur sous$&loc ; ouLe !acteur sous$&loc ; ou

+rande parcelle ; est aléatoire +rande parcelle ; est aléatoire

PPlala Premier niveauPremier niveau




nsnse e eau

. .i k i k ik y µ α δ η = + + +

ijkl i k ik ijkl j l ij l

y µ α β γ δ η ε = + + + + + +

second niveausecond niveau



PPlala Cut / étudier deCut / étudier de& ! tnom&reux !acteurs




nsns nom&reux !acteursnom&reux !acteurs

n c1erc1e à trier l’in7uence den c1erc1e à trier l’in7uence denom&reux !acteursnom&reux !acteurs

n s’intéresse peu à la linéaritén s’intéresse peu à la linéaritédes e-etsdes e-ets n c1erc1e les !acteurs les plusn c1erc1e les !acteurs les plus

importants 3!acteurs clés4importants 3!acteurs clés4 n s’intéresse à des interactionsn s’intéresse à des interactions

PPlala

nsnsLa &ase / les plans 2La &ase / les plans 2VV




nsnspp

xemple / le plan 2xemple / le plan 2EE

?rois !acteurs à deux ?rois !acteurs à deuxmodalitésmodalités #=C#=C x=yx=y

α β

β

)n des !acteurs peut)n des !acteurs peut jouer le rTle de &locs jouer le rTle de &locs

#x#xα

#x#xββ #y#y

α

#y#yβ

CxCxα

CxCxβ

CyCyα

CyCyβ

PPlala





nsns

Si les modalités sont uantitatives=Si les modalités sont uantitatives=elles doivent :tre aussielles doivent :tre aussicontrastées ue possi&lecontrastées ue possi&le

n atteint les interactions d’ordren atteint les interactions d’ordreV$@V$@

"roissent +éométriuement avec"roissent +éométriuement avec

le nom&re de !acteursle nom&re de !acteurs rt1o+onauxrt1o+onaux

PPlala

nsns

xemplexemple




nsns> m-.0lm(rep~$-D$/D$'D$5D$-:$/D$-:$'D$-:$5D$/:$'D$/:$5D$':$57data9C)

> anova(m-)


Response: rep


$- - *++' *++' 56--,-' '*e0+* 111

$/ - 5+*6, 5+*6, '/*-5,+ '--5e0+6 111

$' - +*5 +*5 5+,/-, *,e0+* 111

$5 - ,/+ ,/+ &'&--/ ++++'' 111$-:$/ - +-+ +-+ +&,& +5-/&5'+

$-:$' - -*6 -*6 -'5&66 ++-55/'- 1

$-:$5 - ++- ++- ++5- +6/'''

$/:$' - +++5+'- +++5+'- ++'/' +6*55+&+

$/:$5 - +-* +-* -/65' +'+6+*+

$':$5 - +-' +-' -+/6- +'&-/,*

Residuals +*/ +-/

$$$

Si+ni!. codes/ 0 WWW 0.00@ WW 0.0@ W 0.0Q . 0.@ @

PPlala

nsnsxemple 3suite4xemple 3suite4




nsnsp 3 4p

> m/.0lm(rep~$-D$/D$'D$5D$-:$'7data9C)

> anova(m/)


Response: rep


$- - *++' *++' 6&+6 '/**e0-+ 111

$/ - 5+*6, 5+*6, ',&,/', /5'6e0-5 111$' - +*5 +*5 5,// &'&e0-+ 111

$5 - ,/+ ,/+ 6,,'' /&,e0+* 111

$-:$' - -*6 -*6 -*55 +++/'+5 11

Residuals -+ -+/ +-+

000

!i2nif codes: + 41114 +++- 4114 ++- 414 ++ 44 +- 4 4 -

> AGJ(m-7m/) df AGJ

m- -/ -&5,'-

m/ & -5+-+'

PPlala

nsns

"onclusions de"onclusions del’exemplel’exemple




nsns l exemplel exemple

n 1iérarc1ise les !acteurs ainsi /n 1iérarc1ise les !acteurs ainsi / 8822 8 8@@ 8 8EE 8 8>> 8 8@@/8/8EE

Seuls 8@ et 8E sont interacti!sSeuls 8@ et 8E sont interacti!s

PPlala

nsns

%isualisation des%isualisation desinteractionsinteractions




nsns interactionsinteractions

8

1 0

1 2

1 4

x$&1

! e a n o % x $ r e p

x$&"

etaalp*a

PPlala

nsns




nsns

8ractions de plans8ractions de plans

u plans !ractionnairesu plans !ractionnaires

PPlala

nsns8ractions de plan8ractions de plan




nsnsp

xemple / on sou1aite étudier Exemple / on sou1aite étudier E!acteurs à deux modalités!acteurs à deux modalités

"ela nous conduirait à un plan"ela nous conduirait à un plan!actoriel 2!actoriel 2EE soit à unitéssoit à unitésexpérimentalesexpérimentales

6os ressources se limitent à >6os ressources se limitent à > 6ous allons !aire une !raction de6ous allons !aire une !raction de

planplan

PPlala

nsns"onstruction d’un 2"onstruction d’un 2EER2R2




nsns

"onsidérons le plan 2"onsidérons le plan 222 avecavecinteractioninteraction

)) 88@@ 8822 II@2@2

@@ M@M@ MM@@

M@M@

22 M@M@ $@$@ $@$@

EE $@$@ MM@@

$@$@

>> $@$@ $@$@ M@M@

)) 88@@ 8822 88EE

@@ M@M@ MM@@

M@M@

22 M@M@ $@$@ $@$@

EE $@$@ MM@@

$@$@

>> $@$@ $@$@ M@M@

)) 88@@ 8822 88EE

@@ ## hh αα

22 ## ββ

EE

CC

hh

ββ>> CC yy αα





PPlala

nsnsGuand les utiliser Guand les utiliser




nsns

n utilisera les !ractions de plann utilisera les !ractions de planpour contrTler 3comme avec despour contrTler 3comme avec des&locs4 des !acteurs de variation&locs4 des !acteurs de variationdont l’e-et est déjà &ien connudont l’e-et est déjà &ien connu

Sans répétition= le troisi,meSans répétition= le troisi,me!acteur est con!ondu non!acteur est con!ondu nonseulement avec l’interaction maisseulement avec l’interaction maisaussi avec la résiduelleaussi avec la résiduelle

PPlala

nsns




nsns

Plans compositesPlans compositescentrauxcentraux

"entral composite"entral compositedesi+nsdesi+ns

PPlala

nsnsPrincipePrincipe




nsns

# un plan !actoriel 2# un plan !actoriel 2VV= on ajoute= on ajouteun point central ;un point central ;éventuellement répété.éventuellement répété.

Les !acteurs doivent :treLes !acteurs doivent :treuantitati!suantitati!s

Prenons un exemplePrenons un exemple

PPlala

nsnsxemplexemple




nsns

2 !acteurs normés à $@=M@2 !acteurs normés à $@=M@ 2 modalités= #=C et x=y2 modalités= #=C et x=y

AC AC 0-0- 0-0-

Ay Ay 0-0- D-D- FCFC D-D- 0-0-

FyFy D-D- D-D-

++++ ++ ++$@

M@

0





PPlala

nsns




nsns

1ttp/RR!r.KiVipedia.or+RKiViRPland1ttp/RR!r.KiVipedia.or+RKiViRPland2kexp"E#9rienceq2kexp"E#9rienceq 3plutTt mauvais. %oir de pré!érence3plutTt mauvais. %oir de pré!érence

l’ori+inal an+lais desi+n o!l’ori+inal an+lais desi+n o!experiments ;4experiments ;4

1ttp/RRKKK.educnet.education.!rRrnc11ttp/RRKKK.educnet.education.!rRrnc1imieRmat1R&enic1ouRcoursRplanRplan.1imieRmat1R&enic1ouRcoursRplanRplan.1

tmtm Con cours mais limité aux plans !actorielsCon cours mais limité aux plans !actoriels

et !ractionnaires 3point de vue deet !ractionnaires 3point de vue dec1imiste4c1imiste4

PPlala

nsnsDod,les compliuésDod,les compliués

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_d%27exp%C3%A9rience




http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/plan/plan.htm













nsns

"roissance tr,s rapide du nom&re"roissance tr,s rapide du nom&red’interactions avec le nom&re ded’interactions avec le nom&re de!acteurs!acteurs

Plus de trois !acteurs etRou covaria&lesPlus de trois !acteurs etRou covaria&les Le recours à la t1éorie des plansLe recours à la t1éorie des plans

d’expérience devient indispensa&led’expérience devient indispensa&le "on!usions d’e-ets"on!usions d’e-ets

"onstruction de plans !actoriels"onstruction de plans !actoriels

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