Instrumentación y Regulación PID

EI-330-2

Sistemas de Control Automático

• El Control Automático de Sistemas trata de regular, con la mínima intervención humana, el comportamiento dinámico de un sistema mediante órdenes de mando.

• Sistema: conjunto de elementos, físicos o abstractos, relacionados entre sí de forma que modificaciones o alteraciones en determinadas magnitudes en uno de ellos pueden influir o ser influidas por los demás.

• Variables del sistema: magnitudes que definen el comportamiento de un sistema. Su naturaleza define el tipo de sistema: mecánico, químico, eléctrico, electrónico, económico, térmico.

Variables de un Sistema

• Variables de Estado: conjunto mínimo de variables del sistema tal que, conocido su valor en un instante dado, permiten conocer la respuesta (variables de salida) del mismo ante cualquier señal de entrada o perturbación.

Otras definiciones de interés

• Planta: equipo con el objetivo de realizar una operación o función determinada. Es cualquier equipo físico que se desea controlar (motor, horno, reactor, caldera).

• Proceso: cualquier serie de operaciones que se desea controlar con un fin determinado. Perturbación: señal de comportamiento no previsible que tiende a afectar adversamente al valor de la salida de un sistema.

Otras definiciones de interés (cont.)

• Realimentación: operación que, en presencia de perturbaciones tiende a reducir la diferencia entre la salida y la entrada de referencia, utilizando la diferencia entre ambas como parámetro de control.

• Servomecanismo: sistema de control realimentado en el cual la salida es una magnitud de tipo mecánico (posición, velocidad o aceleración).

Sistema de regulación automático: sistema de control realimentado en el que la entrada de referencia y/o la salida deseada varían lentamente con el tiempo.

Control en bucle (lazo) abierto: sistema de control en el que la salida no tiene efecto sobre la acción del control (Ejemplo: lavadora, semáforos).

Control en bucle (lazo) cerrado: aquel en el que la salida tiene un efecto directo sobre la señal de control (utiliza la realimentación para reducir el error).

Control en lazo (o bucle) abierto

• La señal de entrada (o referencia) u(t) actúa directamente sobre el dispositivo de control (Regulador), para producir, por medio del Actuador, el efecto deseado en las variables de salida y(t). El regulador NO comprueba el valor que toma la salida. Problema: Claramente sensible a las perturbaciones que se produzcan sobre la planta.

Ejemplos en lazo (o bucle) abierto

Control en lazo (o bucle) cerrado• La salida del sistema se mide por medio de un

Sensor, y se compara con el valor de la entrada de referencia u(t). De manera intuitiva se deduce que, de este modo, el sistema de control podría responder mejor ante las perturbaciones que se produzcan sobre el sistema.

Ejemplos Control en lazo cerrado

Controlador PID

• Un controlador PID es un mecanismo de control por realimentación ampliamente usado en sistemas de control industrial. Este calcula la desviación o error entre un valor medido y un valor deseado.

• El algoritmo del control PID consiste de tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. 

Controlador PID

• Como se menciono antes el algoritmo del control PID consiste de tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo.

• Para entender de mejor forma al controlador PID debemos recurrir a las matemáticas

• La acción proporcional está dada por:

Función Constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión:

f (x) = ex

Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281

Sea y = ex

Tabla de valores

x y

-4 0,018-3 0,050-2 0,135-1 0,3680 11 2,7182 7,3893 20,085

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 x

y

Gráfica

FUNCIÓN EXPONENCIAL

• La acción derivativa esta dada por:

Si tenemos una función definida por 2xy

La mayoría contestaría: “su derivada es:”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

xdx

dy2

LA DERIVADA

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente

en términos geométricos

Recta secanteRecta tangente

“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”

“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”

La recta secante y la recta tangente

en una funciónFunción original

La recta secante y la recta tangente

en una funciónFunción original

Recta secante

La recta secante y la recta tangente

en una funciónFunción original

Recta tangente

Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

2 1

2 1

y ym

x x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

2 1

2 1

y ym

x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Recta tangente

Pero y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

1 1( , )x y

2 1

2 1

?y y

mx x

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1

Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y2 2( , )x y

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

Observa que el punto

Cada vez se acercamás al punto1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 2( , )x y

Atajo

Volver amostrar

Continuar

tanm

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Aprox.tanm secm Procedemos

a sustituir: 12

12sec xx

yym

tanm

12

12sec xx

yym

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

y y

x x

Considerando: ( )y f xtanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

)( 1xf

)( 2xf

tanm

Procedemosa sustituir:

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

2 1x x x Ahora

Consideremos:

2 1( ) ( )f x f x

x

2 1x x x

tanm

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f x

x

2 1x x x

tanm

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f x

x

2 1x x x

tanm

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

2 1x x x

Podemos expresar lo anterior así:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 0x

Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:

Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo

2 2( , )x y

1 1( , )x y

tanm

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm

1 1( ) ( )f x x f x

x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm

lim

0x

1 1( ) ( )f x x f x

x

dx

dy=

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdx

dy2

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:

2)( xxfy

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim

0

Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:

Al evaluar el término

)( xxf se puede observar que:

2)()( xxxxfy

Al sustituirlo obtenemos:

xxxx

dxdy

x

22

0

)(lim

)( xxf )(xf

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

xxxxxx

dxdy

x

222

0

))()(2(lim Reduciendo

términos:

xxxx

dxdy

x

2

0

)()(2lim

Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:

x

xxxdxdy

x

2

0

)()(2lim xx

xx

00lim2lim

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdx

dy2

0

• La acción integrativa esta dada por:

b

adxxf )(

SUMAS INFERIORES

1inf )1,( mhfS abh ;

SUMAS INFERIORES

21inf )2,( mhmhfS 2

abh

;

SUMAS INFERIORES

4

1421in f ....)4,(

kkmhmhmhmhfS

4

abh

;

SUMAS INFERIORES

8

1821in f ....)8,(

kkmhmhmhmhfS

8

abh

;

SUMAS INFERIORES

1 6

11 621in f ....)16,(

kkmhmhmhmhfS

16

abh

;

SUMAS INFERIORES

n

kkn mhmhmhmhnfS

121in f ....),(

n

abh

;

bxyaxen trefba joÁreanfSn

),(in f

SUMAS SUPERIORES

1sup )1,( MhfS abh ;

SUMAS SUPERIORES

21sup )2,( MhMhfS 2

abh

;

SUMAS SUPERIORES

4

1421su p ....)4,(

kkmhMhMhMhfS

4

abh

;

SUMAS SUPERIORES

8

1821su p ....)8,(

kkMhMhMhMhfS

8

abh

;

SUMAS SUPERIORES

1 6

11 621su p ....)1 6,(

kkMhMhMhMhfS

16

abh

;

SUMAS SUPERIORES

n

kkn MhMhMhMhnfS

121su p ....),(

n

abh

;

bxyaxen trefba joÁreanfSn

),(su p

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( su pin f nfSnfSdxxfÁreann

b

a

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Como A(x) es una primitiva de f

se escribe:

x

adttfxA )()(

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:

b

aaFbFdxxf )()()(

REGLA DE BARROW

x

adttfxA )()(

Esta función cumple:

y como A(a)=0 :

A´(x)=f(x)

por tanto si F es una primitiva de f :

)(0)()( aFCCaFaA

Es decir:

)()()()( aFxFdttfxAx

a

CxFxA )()(

REGLA DE BARROW

b

aaFbFdxxf )()()(

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces: