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ELEMENTOS DE FSICA

MATEMTICA

vol.4

Instituto de Fsica, Universidade de So Paulo, CP 66.318

05315-970, So Paulo, SP, Brasil

Jos Maria Filardo Bassalo

Mauro Srgio Dorsa Cattani

Publicao IF E-Book 168515/05/2014

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ELEMENTOS DE FSICA MATEMTICA(vol.4)

Jos Maria Filardo BassaloMauro Srgio Dorsa Cattani

Teoria de Grupos e Clculo Exterior

Os Autores (Bassalo e Cattani) dedicam esse livro, respectivamente, a :Clia, J, Gisa, Lucas , Vitor, dria, Saulo, Anna-Beatriz e Matheus

eMaria Luiza, Maria Beatriz, Marta e Olvia.

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1

Prefcio

Este livro d continuidade aos Volumes 1, 2 e 3 do estudo da aplicao daMatemtica Fsica, nos quais os autores trataram da soluo das EquaesDi ferenciais Ordinrias (EDO). No caso de coeficientes constantes, no Volume 1,usamos os mtodos usuais de soluo: Mtodo Geral (Operadores Diferenciais e Sriesde Frbenius) e Mtodo das Transformadas (Laplace e Fourier). Nas EDO decoeficientes variveis, lanamos mo de algumas Funes Especiais (Bessel, Hermite,Hipergeomtricas, Laguerre e Legendre). O Volume 2 composto de duas partes. NaParte I so resolvidas algumas das Equaes em Deri vadas Parciais (EDP) de usofrequente em livros textos de Fsica: DAlembert, Fourier, Laplace, Poisson eSchrdinger. Na soluo dessas equaes usamos, basicamente, as tcnicas da

Separao de Variveis e da Funo de Green. A Parte II trata do Clculo dasVar iaes. Depois de apresentarmos um pequeno histrico de como surgiu esseClculo, estudamos a Equao de Euler-L agrange em trs situaes: a) diversasvariveis dependentes; b) diversas variveis independentes; c) diversas variveisdependentes e independentes. Depois tratamos dos Mul tipl icadores de Lagrange, parao estudo dos problemas variacionais com vnculos. O Volume 2 concludo com oMtodo Variacional de Rayleigh-Ri tz. O Volume 3, tambm composto de duas

partes. Na Parte I, estudamos as Equaes I ntegrais (EI). Iniciamos com umaIntroduo Histrica seguida de uma apresentao dos diversos tipos de EI. Segue,ento, as solues da Equao de Vol ter ra e da Equao de Fredholm. A Parte I finalizada com um Captulo destinado a estudar as aplicaes das EIa alguns tpicos daFsica. A Parte II dedicada ao estudo das I ntegrais de Trajetr ias No Relati vsticas.Depois de uma Introduo Histrica, apresentamos a definio de Propagador deFeynman (PF) e de I ntegrais de Trajetri a seguido de seus respectivos clculos. AParte II encerrada com o clculo do PF de oito Equaes de Schrdinger NoLineares.

Como os Volumes 2 e 3, este Volume 4 tambm composto de duas partes:Parte I- Teoria de Grupos e Parte IIClculo Exterior. Para o bom entendimento decada tema abordado neste Volume 4, ele acompanhado da resoluo de algunsexerccios. A Teori a de Grupos dividida em 4 Captulos. O Captulo 1 composto dosseguintes itens: a) Definies de Grupo; b) Alguns exemplos de Grupos importantes no

Estudo da Fsica (p.e.: o de Rotaes, o de Lorentz e o de Permutaes); c)Demonstraes de teoremas importantes (p.e.: do rearranjamento e o de Laplace) edefinies complementares relacionadas aos grupos exemplificados; d) Estudo doisomorfismo e homomorfismo entre grupos quaisquer. O Captulo 2 tem 6 itens: a)Definies de Representaes de Grupos; b) Teoremas Fundamentais dasRepresentaes com nfase nas Representaes Irredutveis, seguido do Lema de Schure do Teorema da Ortogonalidade e sua representao geomtrica; c) Carteres dasRepresentaes e sua interpretao geomtrica; d) Produto direto de Representaes; e)Bases de Representaes; f) Sries e Coeficientes de Clebsch-Gordan. Os 6 itens doCaptulo 3, tratam, respectivamente, de: a) Definies de Grupos de Lie; b) Exemplosde Grupos de Lie [O(n); U(n); SU(n); SL(n); M(u); C(2)]; c) Transformaes

Infinitesimais e Parmetros (Geradores) de Grupos; d) Constantes de Estrutura doGrupo de Lie; e) lgebra de Lie e Operadores de Casimir; f) Teoremas Gerais das

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lgebras de Lie (Diagramas de Schouten). O Captulo final (4) da Parte I trata daTeoria do Momento Angular e composto de dois itens: a) Representaes Irredutveisdo Grupo SU(2) (Spinoriais; Rotacionais; e Harmnicos Esfricos); b) Operador de

Momento Angular: b1,2) Orbital (L ) (clssico e quntico); b3) lgebra de L ; b4)

Auto-funes e auto-valores de 2L e dez

L ; b5) Operador de Momento Angular Total:

SLJ ; b6) Operadores escada:

O ; b7) Adio de Momentos Angulares; b8)Operadores Tensoriais e Teorema de Wigner-Eckart.

AParte II, que apresenta o Clculo Exter ior, composta de 5 Captulos,que so complementados com Problemas Propostos. Assim, o Captulo 5, que trata dosEspaos Vetoriais, dividido em quatro itens: a) Definies e Propriedades; b) EspaosDuais; c) Espaos Vetoriais Euclidianos; d) Transformaes ou Operadores Lineares.Os Tensores, objeto do Captulo 6, tem tambm quatro itens: a) Produto Tensorial deEspaos Vetoriais; b) lgebra Tensorial; c) Os Smbolos de Kronecker e o de Levi-Civita, seguido do estudo de Determinantes; d) Tensor de Levi-Civita. O Captulo 7estuda a lgebra Exterior em seis itens: a) lgebra Exterior de Ordem 2; b) lgebra

Exterior de Ordem p; c) Produto Exterior entre p-vetores; d) Dualidade; e) ProdutoInterno entre p-vetores. A Diferenciao Exterior exposta no Captulo 8, com seisitens: a) Formas Diferenciais; b) Diferenciao de Formas; c) Aplicaes e Mudanasde Variveis; d) Variedades e Sistemas de Coordenadas; e) Campos Vetoriais eTensoriais Sobre Variedades; f) Variedades Riemannianas. Por fim, o Captulo 9, quefecha o livro, desenvolve a Integrao Exterior, em quatro itens: a) Integrao deFormas; b) Teorema Generalizado de Stokes; c) Derivada de Lie; d) DerivadaConvectiva e Integrao sobre Domnio Mvel.

Registre-se que os ndices onomsticos, as aplicaes Fsica e asrefernciasdos dois temas tratados neste livro podem ser encontradas nos dois livrosque os mesmos publicaram pelaEditora Livraria da Fsica(ELF) - Teoria de Grupos eClculo Exter ior, respectivamente, em 2008 e 2009 (tambm publicados como e-booksencontrados, respectivamente, nos stioshttp://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1661.pdf ehttp://publicasbi.if.usp.br/PDFs/pd1666.pdf).

Um dos autores (MSDC) agradece Maria Luiza Mattos Cattani pelareviso gramatical e ortografia do texto.

Por fim, os autores agradecem a Jos Roberto Marinho, Editor da LF, pelapermisso de usar os Captulos contidos neste volume, e a Virgnia de Paiva,Bibliotecria do Instituto de Fsica da Universidade So Paulo (IF/USP) peladiagramao deste e-book.

Belm e So Paulo, 16 maio de 2014

Jos Maria Filardo BassaloProfessor Titular Aposentado da UFPA e Membro daAcademia Paraense de Cincias

Mauro Srgio Dorsa CattaniProfessor Titular Aposentado do IF/USP e Membro Titular dasAcademias Paulista e

Paraense de Cincias

2
http://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1661.pdfhttp://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1661.pdfhttp://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1661.pdfhttp://publicasbi.if.usp.br/PDFs/pd1666.pdfhttp://publicasbi.if.usp.br/PDFs/pd1666.pdfhttp://publicasbi.if.usp.br/PDFs/pd1666.pdfhttp://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1661.pdf

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NDICE

Parte ITEORIA DE GRUPOS

Cap. 1Grupo, 11.1 - Primeiras Definies, 11.2 - Exemplos de Grupos, 21.3 - Teoremas Elementares e outras Definies, 161.4 - Isomorfismo e Homomorfismo, 30

Cap. 2Representaes de Grupos, 12.1 - Primeiras Definies, 1

2.2 - Teoremas Fundamentais sobre Representaes de Grupos, 212.2.1 - Interpretao Geomtrica do Teorema da Ortogonalidade, 302.3 - Carteres das Representaes, 31

2.3.1 - Interpretao Geomtrica do Teorema da Ortogonalidade dosCarteres de um Grupo, 33

2.4 - Produto Direto de Representaes, 512.5 - Bases para Representaes, 562.6 - Sries e Coeficientes de Clebsch-Gordan, 60

Cap.3Grupos e lgebras de Lie, 913.1 - Grupos de Lie, 91

3.2 - Exemplos de Grupos de Lie, 933.3 - Transformaes Infinitesimais e Parmetros de Grupos, 993.4 - Constantes de Estrutura, 1033.5 - lgebra de Lie, 1183.6 - Teoremas Gerais sobre as lgebras de Lie, 142

Cap. 4Teoria do Momento Angular, 1514.1 - Representaes Irredutveis do Grupo SU(2), 151

4.1.1 - Representaes Spinoriais, 1514.1.2 - Representao por Matriz Rotao, 1604.1.3 - Representao por Harmnicos Esfricos, 163

4.2 - Operador de Momento Angular, 1684.2.1 - Momento Angular Orbital: Conceito Clssico, 1684.2.2 - Momento Angular Orbital: Conceito Quntico, 1684.2.3 - A lgebra dos Operadores de Momento Angular, 1684.2.4 - Auto-Funes e Auto-Valores dos Operadores L2e Lz, 1704.2.5 - Operador de Momento Angular Total, 1774.2.6 - Operadores Ladder (Escada), 1794.2.7 - Adio de Dois Momentos Angulares, 1844.2.8 - Operadores Tensoriais e Teorema de Wigner-Eckart, 195

I

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Parte IICLCULO EXTERIOR

Cap. 1Espaos Vetoriais, 31.1 - Espaos Vetoriais, 3

1.1.1Definies e Propriedades, 3

1.1.2Espaos Duais, 61.1.3Espaos Vetoriais Euclidianos, 91.1.4Transformaes ou Operadores Lineares, 14

PROBLEMAS (1.1), 21

Cap. 2Tensores, 232.1Tensores, 23

2.1.1Produto Tensorial de Espaos Vetoriais, 232.1.2lgebra Tensorial, 262.1.3Smbolos de Kronecker e de Levi-Civita, Determinante, 292.1.4Tensor de Levi-Civita, 32

PROBLEMAS (2.1), 37

Cap. 3lgebra Exterior, 393.1lgebra Exterior, 39

3.1.1lgebra Exterior de Ordem Dois, 393.1.2lgebra Exterior de Ordem p, 443.1.3Produto Exterior entre p-Vetores (Formas), 513.1.4Dualidade, 523.1.5Produto Interno entre p-Vetores (Formas), 57

PROBLEMAS (3.1), 59

Cap. 4Diferenciao Exterior, 614.1Diferenciao Exterior, 61

4.1.1Formas Diferenciais, 614.1.2Diferenciao de Formas, 624.1.3Aplicaes e Mudanas de Variveis, 704.1.4Variedades e Sistemas de Coordenadas, 744.1.5Campos Vetoriais e Tensoriais Sobre Variedades, 814.1.6Variedades Riemannianas, 95

PROBLEMAS (4.1), 105

Cap. 5Integrao Exterior, 1075.1. - Integrao Exterior, 1075.1.1Integrao de Formas, 1075.1.2Teorema Generalizado de Stokes, 1115.1.3Derivada de Lie, 1155.1.4Derivada Convectiva e Integrao Sobre Domnio Mvel, 120

PROBLEMAS (5.1), 121Bibliografia, 122,123Currculos Resumidos dos Autores J.M.F.Bassalo e M.S.D.Cattani, 124,125

II

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PARTE I

TEORIADE GRUPOS

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CAPTULO 1

Grupo1

1.1Primeiras Definies

Definio 1.1.1 Um conjunto G consistindo dos elementos

a, b, c,... G = {a,b,c,...} {G, *}

chamado de Grupo para uma dada operao (*), se seus elementossatisfazem s seguintes propriedades:

a) a,b G, a*b = c G (Condio de Fechamento);

b) a,b,c G, (a*b)*c = a*(b*c) (Condio de Associatividade;

c) e G, tal que: a G, a*e = e*a = a (e chamado o

Elemento Unidade);

d) a G, a1 tal que: a*a1 = a1*a = e (a1 chamado o

Elemento Inverso de a).

Definio 1.1.2 Se para a,b G tem-se a*b = b*a, diz-se

que o grupo Comutativo ou Abeliano.

Definio 1.1.3 O nmero de elementos de um grupo

chamado de ordem do grupo. Os grupos podem ser finitos ou

infinitos.

Definio 1.1.4 Um grupo cujos elementos so

caracterizados por um nmero de parmetros contnuos chamado

Grupo Contnuo.

1

Esta parte deste Captulo foi ministrada pelo professor Jos Maria Filardo Bassalono Curso de Extenso, realizado em 1985, na UFPA, sobre Teoria de Grupo.

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2

Exerccio 1.1.1 Mostre que:

a) Se a,b G, ento para as equaes:

a*x = b e y*a = b, tem-se, de maneira unvoca:x = a1 *b e y = b* a1;

b) Se a,b G, ento:

(a*b)1 = b1* a1;

c) Se a G e n inteiro, por

definio, temos (Bak e Lichtenberg, 1967):

III) an = a*a*a* .... a*, se n > 0;

III) an = e, se n = 0;

III) an = a1* a1* a1* ... a1* , se n

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3

b) Vetores no R3 . O conjunto de vetores no espao

tridimensional forma um grupo infinito Abeliano em relao adio

vetorial, pois:

II I)

B,A R3; ( + BA ) =

C R3;

I II)

C,B,A R3; ( + BA ) +

C = +A (

+ CB );

III) e

0 ;

+ 0A =

+A0 =

A ;

IV)

A R3, (

A )1

A ;

A +(

A ) = (

A )+

A =

0 .

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.2.1 a) Verifique as propriedades de grupo do

conjunto de vetores no R3, usando para

isso a regra do paralelogramo;

b) Mostre que o conjunto dos racionais (Q)

forma um grupo Abeliano em relao

multiplicao.

-------------------------------------------------------------------------------------c) Grupo de Rotaes. O conjunto de rotaes de um

vetor no R3em torno do eixo dos zde um certo ngulo , forma umgrupo contnuo Abeliano denotado por 0(2). Vejamos como.

Por definio, temos:

)y,x(r)(R)'y,'x('r

=

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4

A figura anterior nos mostra que:

x' = x cos + y sen

y' = x sen + y cos .

As equaes acima podem ser colocadas na forma matricial,da seguinte maneira:

=

=

yx

)(Ryx

cossensencos

'y'x

.

Mostremos, agora, que R() forma um grupo, com relao

seguinte operao definida por:

'r)(R''r;r)(R'r 21

==

+== r)(Rr)(R)(R''r 1212 ,

onde:

=

=

11

111

22

222 cossen

sencos)(R;

cossen

sencos)(R .

Usando a definio de produto de matrizes, vir:

=

=

11

11

22

2212 cossen

sencos

cossen

sencos)(R)(R

=

+

12122112

12121212

sensencoscoscossencossen

cossensencossensencoscos

=

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5

= )(R)cos()(sen

)(sen)cos(12

1212

1212 +

++

++.

Portanto:

I) R(2) R(1) = R (2 + 1) = R().

A regra da multiplicao de matrizes nos permite facilmente

mostrar que:

II) R(3) [R(2) R(1) ] = [R(3) R(2)] R(1);

III) R(0) R(

) = R(

) R(0) = R(

);

IV) R() R() = R() R() ) = R(0) ,

onde:

=

=

10

01

0cos0sen

0sen0cos)0(R

oo

oo

.

------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.2.2 Demonstre as propriedades II, III e IV dogrupo 0 (2).

-------------------------------------------------------------------------------------

d) Grupo de Lorentz. As Transformaes de Lorentz da

Relatividade Restrita formam um grupo. Vejamos como. (Smirnov,

1970)

As Transformaes de Lorentz a duas variveis so definidas

por:x' = (x vt)

t' = (t 2c

vx) ,

onde:

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6

( )cv;1

cv1 2

12

21

2

2==

=

.

Usando a representao matricial, teremos:

=

t

x)v(L

t

x

c

v

v

't

'x

2

.

Assim, sejam duas Transformaes de Lorentz L1(v1) e L2(v2)e formemos o seu produto L2L1. Ento:

L2L1 =

111

111

222

222

c

c

c

c =

=

+

+

1212121

122

12

212112121212

cc

cc=

= [21(1+2+1)] .

+

+

+

+

11

)(c1

1

c)(1

12

21

12

21

.

Segundo a Relatividade Restrita, temos:

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7

221

213

cvv

1

vvv

+

+= ,

portanto:

=+

=+ )1(1

1.

1

1)1( 12

21

22

1212

=

)cvv

cv

cv(1

cvv

1

)cv1()

cv1(

cvv

1

4

22212

222

21

221

2

212

22

221

+

+=

+

Por outro lado, notemos que:

cv

1

)c

vv2

c

vv1(

)vv2vv(

c1

cv

2

23

2

21

4

22

21

212

22

122

23 =

++

++=

= 1

221

4

22

21

2

22

2

21

2

23

212

22

212

212

22

1

cvv

1

)cvv

cv

cv

(1

c

v1

vv2cvv

c

vv2vv

+

+

=

++

++.

Portanto:

21(1 + 2+1) = 3

2

23

c

v1

1 =

.

Por outro lado, temos:

3

221

21

12

21 v

cvv

1

vv

1

cc=

+

+=

+

+ ,

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8

23

2

12

122

12

12

c

v

c

vv1

)vv(c

1

1cc =

+

+=

+

+

.

Por fim, temos:

L2L1 = 3 3

23

3 L1

c

v

v1=

,

ou seja:

I) L2L1 =L3;L1, L2, L3 L(v).

A regra de multiplicao de matrizes permite mostrar que:

II) L1(L2L3) = (L1L2) L3 ;

III) L0L = LL0= L ; L0L (0) =

1001

;

IV) L1L = LL1= L0; L1L (-v) .

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.2.3 a) Mostre as propriedades II, III e IV do

Grupo de Lorentz;

b) Mostre que as Transformaes de Lorentzespaciais formam um grupo. [Chame

( )== thcv ];

c) Mostre que o grupo de rotaes 0(2) e oGrupo de Lorentz L(2) deixam invariantes,respectivamente:

2222 yx'y'x +=+ e 2222 yx'y'x = ;

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9

d) Mostre que as Transformaes de Poincarformam um grupo.

-------------------------------------------------------------------------------------

e) Grupo de Permutaes Sn (Smirnov, 1980)

Definio 1.2.1 Sejam n (> 1) objetos que numeramoscom os nmeros inteiros 1, 2 ,3, ... , n. Com eles podemos formar n!permutaes. Seja uma delas:

= n321 P...PPP

n...321

P (P1P2P3... Pn).

Tal permutao significa que o elemento que est na posioou ordem indicada por P1, vai para a primeira posio, o que est naposio ou ordem indicada por P2, vai para a segunda posio, e assim

sucessivamente. Por exemplo, a permutao

213

321indica que a

permutao que quer se realizar, obtida da permutao fundamental(1 2 3), fazendo com que o seu terceiro elemento (3) ocupe a primeira

posio, o seu primeiro (1) ocupe a segunda posio e o seu segundo

elemento (2) ocupe a terceira posio. Vejamos um segundo exemplo:

( ) ( )dcbaeedcba43215

54321=

.

Definio 1.2.2Chama-se de Permutao Inversa P-1 a

operao que significa fazer com que o primeiro elemento da

permutao fundamental ocupe a ordem ou posio indicada por P1, o

segundo elemento da permutao fundamental ocupe a ordem ou a

posio indicada por P2, e assim sucessivamente. Portanto:

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,3512454321

P4152354321

P 1

=

=

( ) ( )acbPcba213321P 1 =

= .

Da definio acima, fcil mostrar que ( ) PP 11 = .

Definio 1.2.3 Chama-se Produto de PermutaesP1P2

permutao obtida primeiro aplicando P2e depois P1. Assim, se:

=

312

321P1 e

=

231

321P2 ,

ento:

P1P2=

=

123

321

321

321

312

321

.

Vejamos um outro exemplo:

( )

( ) ( ).bdecadcbae35142

54321

edcba43215

54321

35142

54321

=

=

=

Por outro lado:

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11

( ) ( )bdecaedcba24531

54321=

, ento:

=

24531

54321

43215

54321

35142

54321.

Definio 1.2.4 Chama-se de Permutao Unitria E, a

permutao na qual cada elemento substitudo por ele prprio. Ela

representada por:

=

n...321

n...321E .

------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1.2.1 Mostre que o conjunto de permutaes S3

forma um grupo.

------------------------------------------------------------------------------O grupo S3 formado pelos seguintes elementos:

.132

321

e P213

321

P

;123

321P;

231

321P;

312

321P;

321

321E

54

321

=

=

=

=

=

=

a) Propriedades de Fechamento:

E321

321

312

321

312

321PP 11 =

=

= ;

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12

421 P213

321

231

321

312

321PP =

=

= ;

531 P132321

123321

312321PP =

=

= ;

;P123

321

213

321

312

321PP 241 =

=

=

.P

123

321

132

321

312

321PP 351 =

=

=

De maneira anloga, demonstra-se que:

P2P1= P5; P2P2= E; P2P3= P4; P2P4= P3; P2P5= P1; P3P1= P4;

P3P2= P5; P3P3= E; P3P4= P1; P3P5= P2; P4P1= P3; P4P2= P1;

P4P3= P2; P4P4= P5; P4P5= E; P5P1= P2; P5P2= P3; P5P3= P1;

P5P4= E e P5P5= P4.

b) Propriedade Associativa:

(P1P2) P3= P1(P2P3).

Em vista da propriedade anterior, temos:

(P1P2) P3= P4P3= P2,

P1(P2P3) = P1P4= P2.

c) Elemento Unidade:

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13

PiE = EPi= Pi. (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5).

Assim, por exemplo:

11 P312

321

321

321

312

321EP =

=

= ,

11 P312

321

312

321

321

321EP =

=

= .

d) Elemento Inverso:

5,4,3,2,1,0i.EPPPP 1iii

1i ===

.

Assim, por exemplo, usando a Definio 1.2.2, vir:

EPPPP 1-444

1

4 == ,

5

1

14 P132

321

213

321P =

=

=

.

Ento, em vista do resultado anterior, temos:

-1 -1

4 4 5 4 4 4 4 5P P = P P = E; P P = P P = E .

As propriedades a, b, c e d, permitem escrever a seguinte tabelade multiplicao para o grupo S3.

E P1 P2 P3 P4 P5E E P1 P2 P3 P4 P5P1 P1 E P4 P5 P2 P3

P2 P2 P5 E P4 P3 P1

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14

P3 P3 P4 P5 E P1 P2P4 P4 P3 P1 P2 P5 EP5 P5 P2 P3 P1 E P4

------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.2.4 a) Termine a demonstrao das

propriedades do grupo S3;b) A tabela de multiplicao do grupo S3mostra que ele no-comutativo.Demonstre a afirmativa;

c) Mostre que o conjunto de permutaes

S4forma um grupo no-comutativo.-------------------------------------------------------------------------------------

Vimos que dado um conjunto de n (> 1) elementos podemosformar o grupo de permutaes Sn. Contudo, as permutaes paraobter cada elemento (a partir do elemento anterior) desse grupo podemser um nmero par ou nmero mpar. O grupo formado ento de todasas permutaes pares dos nmeros 1,2,..., n chamado de Grupo

Alternado ouAlternativo Ancuja ordem (nmero de elementos) n!/2(Jansen e Boon, 1967).

Por exemplo, para os nmeros 1,2,3, as permutaes formadasde deslocamentos pares e mpares, so:

1,2,3 1,3,21,2,3

2,3,12,1,3

1,2,3

2,1,31,2,3

3,1,21,3,2

1,2,3

3,2,11,2,3

par(0) mpar(1) par(2) mpar(1) par(2) mpar(1)

Dado um elemento do grupo de permutaes Sn, podemosformar um conjunto de permutaes que se compe de subconjuntosconstitudos por Permutaes Circulares ou Cclicas.Assim:

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15

).3,1()5,4,2()5,4,2()3,1(25143

54321==

Pois, como vemos, na permutao considerada existem duas

permutaes cclicas entre os nmeros 1 e 3, e 2,4 e 5 respectivamente,

ou seja: (1,3) e (2,4,5) (5,2,4)(4,5,2). Vejamos outros exemplos:

)4,3,1) (6,5,2()6,5,2) (4,3,1(521463

654321==

,

pois: (1,3,4)(4,1,3)(3,4,1) e (2,5,6)(6,2,5).-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.2.5 Encontre as permutaes cclicas de

45213

54321e

24531

54321,

24531

54321.

-------------------------------------------------------------------------------------f) Reflexo Espacial.O conjunto de reflexes espaciais em torno

da origem forma um grupo. Seus elementos so definidos por:

E(x,y,z) = (x,y,z) E( rr

) = ( rr

) , (Identidade)

P(x,y,z) = (x,y,z) P( rr

) = ( rr

) . (Paridade)-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.2.6 Mostre que:a) E e P formam um grupo;

b) P2

= E.-------------------------------------------------------------------------------------

g) Grupo Unitrio U(1). O conjunto de elementos definido por:

g() = ei ,

um grupo contnuo de um parmetro (). (Este o grupo daEletrodinmica Quntica).-------------------------------------------------------------------------------------

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16

Exerccio 1.2.7 Mostre que:a) O conjunto {g()} forma um grupo;b) O conjunto U(1) unitrio.

-------------------------------------------------------------------------------------

1.3 Teoremas Elementares e outras Definies

Teorema 1.3.1 - Teorema do Rearranjamento. Seja Gum grupo de ordem gcom os elementos: E,A2,A3,...,Ag. Se Ak umelemento arbitrrio desse grupo, ento cada elemento ocorre uma e

somente uma vez na seqncia EAk= Ak,A2Ak, A3Ak,...., AgAk.Demonstrao:

Seja X qualquer elemento de G. Seja ainda XAk1 = Ar ; ento

XAk1Ak = ArAk= X, logo X pertence seqncia dada. Por outro

lado, Xno pode ocorrer duas vezes na seqncia dada pois, se ArAk=X e AsAk= X, ento Ar= As. Certamente o mesmo acontece para aseqncia: AkE = Ak, AkA2, AkA3 ... AkAg. ( atravs desse teoremaque se constri as tabelas de multiplicao de um grupo finito).

Corolrio 1.3.1Se JE, ,J,...,J,J kA3A2A so nmeros taisque cada elemento Xdo grupo correspondente a um nmero J ento:

===== XAg

1XA

g

1A

g

1JJJ .

------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.1 Construa a tabela de multiplicao do grupoG = {E, A, B} {G, *}, dado abaixo:

* E A BE E A BA A

B B

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O elemento (2,3), isto , segunda linha e terceira coluna nopode ser nem A e nem B, pois haveria repetio da linha ou da coluna.

Assim: (2,3) = E. O mesmo ocorre para o elemento (3,2). O Teorema1.3.1 permite concluir que: (2,2) = B e (3,3) = A. fcil ver que essatabela goza da Propriedade Associativa, pois, por exemplo:

* E A BE E A BA A B E

B B E A-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.1 Construa as possveis tabelas de multiplica-o do grupo G = {E,A,B,C} {G,*},indicado abaixo:

* E A B C

E E A B CA AB BC C

-------------------------------------------------------------------------------------

Definio 1.3.1 Seja xqualquer elemento de um grupo. A

seqncia: E, x, x2, x3,...., xn= E denominada perodo de x e n

chamado a ordemde x.

fcil ver que o perodo de x forma um grupo Abeliano,

chamado Grupo Cclico, sendo que x chamado o gerador desse

grupo. s vezes, um nico elemento no suficiente para gerar o

grupo todo, precisando-se, ento, de mais de um gerador. Assim, ao

nmero mnimo de geradores requeridos para definir a estrutura do

grupo chamamos de grau (rank) do grupo. Ao conjunto mnimo dos

(E*A)*B = A*B = E ,

E*(A*B) = E*E = E .

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elementos que geram o grupo chamamos de base. Um grupo pode ter

mais de uma base.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.2 Calcule os perodos do grupo dereflexo espacial, e determine suas ordens.

-------------------------------------------------------------------------------------Conforme vimos, esse grupo formado porE, P. Sendo P2= E, ento ele de ordem 2.

-------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1.3.3 Calcule os perodos do grupo S3, e

determine suas ordens.-------------------------------------------------------------------------------------

O grupo S3 formado por:

S3 = {E, P1, P2, P3, P4, P5}.

Usando-se a tabela de multiplicao desse grupo vista noExemplo 1.2.1, v-se que:

a) P12

= E; logo sua ordem 2;b) P2

2 = E; logo sua ordem 2;c) P3

2 = E; logo sua ordem 2;d) P4

2 = P5; P43= P4

2P4 = P5P4 = E, logo sua ordem 3;

e) P52 = P4; P5

3 = P52P5 = P4P5 = E, logo sua ordem 3.

-------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1.3.4 Seja o grupo G = {E, A, B, C} {G, *}

dado pela tabela abaixo. Calcule seu grau(rank).

* E A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A E

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19

A tabela nos mostra que:

A2 = E ; B2 = E ; C2 = E ,

A3 = A2 *A = A ; B3 = B ; C3 = C .

Portanto, nenhum elemento do grupo capaz de gerar o grupo

todo. Por outro lado, vemos que:

A*B = C ; B*A = C ;

A*C = B ; C*A = B ;

B*C = A ; C*B = A .Assim, os pares {A,B} , {A,C} e {B,C} so capazes de gerar o

grupo todo, pois:

G = {A2 = B2 = E ; A;B; A*B }

= {A2 = C2 = E ; A;C; A*C }

= {B2 = C2 = E ; B;C; B*C } .

Conclui-se, portanto, que o grau (rank) desse grupo vale 2,

j que bastam apenas dois elementos do grupo para gerar os demais.

Por outro lado, esse grupo possui trs bases, a saber:

{A, B}, {A, C} e {B, C} .

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.3.2 Calcule os graus (ranks) e as bases

dos grupos definidos pelas seguintes tabelasde multiplicao:

* E A B CE E A B CA A B C E

B B C E A

a

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C C E A B

* E A B C

E E A B CA A E C BB B C A EC C B E A

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.3.3 a) Calcule todos os perodos do grupo S4

e determine suas ordens;

b) Mostre que as razes n da unidadeformam um grupo cclico de ordem nemrelao ao produto. Determine o geradordesse grupo;

c) Mostre que l, i, l, i formam umgrupo cclico.

-------------------------------------------------------------------------------------

Definio 1.3.2 Um conjunto H dito um subgrupode um grupo G, isto , H G, se ele satisfaz os axiomas de grupo. claro que todo grupo tem dois subgrupos triviais ou imprprios: H ={E, G}.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.5 Mostrar que o conjunto depermutaes cclicas do grupo S3 um subgrupo prprio.-------------------------------------------------------------------------------------

No Exemplo 1.2.1, vimos que o grupo S3 formado por:

S3 = {E, P1, P2, P3, P4, P5} .

As permutaes cclicas formadas de S3so E, P4e P5, pois:

b)

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21

=

=

=

132

321P

213

321P

321

321E 54 .

Assim:S3c= {E, P4; P5} .

Vejamos, agora, se esse conjunto forma um grupo. Para isso necessrio que ele satisfaa Definio 1.1.1. Assim, segundo a tabelado Exemplo 1.2.1, temos:

a) Condio de Fechamento:EP4= P4 ; EP5 = P5; P4P5= E;

b) Condio de Associatividade:

E(P4P5) = EE = E ; (EP4) P5= P4P5= E;

c) Elemento Unidade:

EP4 = P4E = P4;EP5 = P5E = P5;

d) Elemento Inverso:

P41P4 = P4P41 = E,

P51P5 = P5P51 = E.

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 1.3.4 Mostre que:

a) O conjunto dos nmeros pares um subgrupo do grupodos nmeros inteiros em relao adio;

b) A3 S3;c) O elemento unidade de H o mesmo de G.

-------------------------------------------------------------------------------------Definio 1.3.3 Para qualquer subgrupo H G e qualquer

elemento a G, mas a H, aH (ou Ha) dito uma classe lateral

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22

(coset) esquerda ( direita). [Note-se que uma classe lateral(coset)no necessariamente um subgrupo.]

Teorema 1.3.2 - Teorema de Lagrange.Seja um grupo finitoG e um subgrupo H G. Se a, b G, mas a, b H, ento:

G = E H + a2H + a3H + ... + akHe

G = H E + Ha2+ Ha3+ ... + Hak,

onde k chamado de ndicede H.

No faremos a demonstrao desse Teorema, no entanto,vamos mostrar o seu resultado atravs de um exemplo (Meijer eBauer, 1962).-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.6 Mostre o Teorema de Lagrangepara o grupoS3e o seu subgrupo

c3SH= .

-------------------------------------------------------------------------------------

Nos Exemplos 1.2.1 e 1.3.5, vimos que G S3= {E, P1, P2,P3, P4, P5} e { }54c3 P,PE,SH = . Tomemos a = {a1, a2, a3} {P1,

P2, P3}, ento, usando a tabela do Exemplo 1.2.1, vir:

=

=

=

=

351

241

11

1

PPP

PPP

PEP

Ha ;

=

=

=

=

152

342

22

2

PPP

PPP

PEP

Ha ;

=

=

=

=

253

143

33

3

PPP

PPP

PEP

Ha .

Portanto:

G S3 = H + a1H = H + a2H = H + a3H,

sendo, ento, 2 o ndice de H.


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23

=

=

=

=

215

314

11

1

PPP

PPP

PE P

Ha ;

=

=

=

=

325

124

22

2PPP

PPP

PE P

Ha ;

=

=

=

=

135

234

33

3PPP

PPP

PE P

Ha .

Portanto:

G S3 = H + 1Ha = H + 2Ha = H + 3Ha ,

o que confirma o ndice 2 de H em S3. fcil ver que aH ou Ha no forma um grupo, pois, sendo

aH = Ha = {P1, P2, P3}, ento, P1 P2 = P4aH ou Ha.

-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.5

a) Uma classe lateral (coset)aH (Ha) no contm nenhum

elemento de H;

b) Duas classes laterais (cosets) (direito ou esquerdo) ou

so idnticos ou no tm elemento comum;

c) A ordem m de um subgrupo H de um grupo infinito G

divisor interno de g que a ordem de G;

d) Mostre o Teorema de Lagrangepara G = S4e H =c4

S .

-------------------------------------------------------------------------------------

Definio 1.3.4 Se existe um elemento G de tal modo que

se a, b G, tivermos:

a -1 = b (ou -1a = b),

ento b chamado de conjugado ou equivalente de a, ou seja: a ~ b.

Da definio acima, facilmente, demonstra-se que:

a) a ~ a;

b) Se a ~ b, ento b ~ a;

c) Se a ~ b e b ~ c, ento a ~ c;

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24

d) Se G Abeliano, ento todo elemento de G conjugado

de si prprio.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.6 Demonstre as propriedades acima.-------------------------------------------------------------------------------------

Analisando-se a Definio 1.3.4 v-se que se G for um grupo

de transformaes, ento essa definio corresponde transformao

de similaridade.

Definio 1.3.5 Ao conjunto de conjugados ou equivalentes de

um elemento a G, chama-se de classe de G.

Da definio acima, facilmente demonstra-se que:

a) O elemento apertence classe de G relativo a si prprio;

b) Se a e bso conjugados, ento a classe de a a mesma da de b;

c) Se ae bno so conjugados, ento suas classes no tm

nenhum elemento comum;

d) Se cada elemento de Gpertence a uma classe relativa a si

prprio, ento podemos decompor G em classes;e) Qualquer elemento de G que comuta com todos os

elementos de G, forma uma prpria classe. A identidade

um exemplo disso.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.7

a) Demonstre as propriedades acima;

b) Encontre as classes do grupo A4;c) Encontre as classes do grupo S4.

-------------------------------------------------------------------------------------

Definio 1.3.6 Um subgrupo H de G dito normal ou

invariante, a G, ento: aHa-1= H.

Da definio acima, facilmente demonstra-se que:

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a) As classes laterais (cosets)direito e esquerdo de Hso

iguais; portanto H, como coleo, comuta com todos os

elementos de G;

b) H contm todos os elementos de cada classe de G, ou no

contm nenhum deles;

c) Cada grupo Gsempre contm os subgrupos invariantes

H = G e H = E.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.8 Demonstre as propriedades acima.

-------------------------------------------------------------------------------------Definio 1.3.7 Um grupo que no tem seus subgruposinvariantes imprprios triviais (G e E), chamado simples. Senenhum dos subgrupos invariantes prprios de um grupo Abeliano,ento o grupo chamado semisimples.

Definio 1.3.8 O grupo formado pelas classes laterais(cosets) do subgrupo invariante H e pelo prprio H chamado de

grupo fator de G e denotado por G/H. se o grupo G for finito, aordem do grupo fator o quociente das ordens de G e de H,respectivamente.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.3.9Mostre que:

a) O conjunto das classes laterais (cosets) de H invariante

forma um grupo com relao ao produto classe lateral

(coset);b) HH = H .

-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.7Dado o grupo S3, obtenha suas classes, seus

grupos invariantes, e seus grupos fatores.-------------------------------------------------------------------------------------

O grupo S3tem os seguintes elementos: {E, P1, P2, P3, P4, P5}.

Os inversos desses elementos so:

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E-1 = E; 11P = P1 ; 12P

= P2 ; 13P = P3 ; 14P

= P5 e 15P = P4,

conforme se pode ver usando-se a Definio 1.2.2.

a) Formemos as classes de S3. Para isso, usemos a Definio

1.3.5 e a tabela do Exemplo 1.2.1.

a.1)CE

Como E ~ E, ento CE= {E}.

a.2)1P

C

EP1E1= P1 ; P1P1 11P

= P1 ; P2P1 12P = P3 ; P3P1 13P

= P2;

P4P1 14P = P2; P5P1 15P = P3.Portanto:

1PC = {P1, P2, P3} .

a.3)2P

C

De maneira anloga ao caso anterior, fcil ver que:

2PC =

1PC = {P1, P2, P3} .

a.4)3P

C

De maneira anloga ao caso de1P

C , fcil ver que:

3PC =

2PC =

1PC = {P1, P2, P3) .

a.5)4P

C

EP4E1= P4 ; P1P4P1

1= P5; P2P4P51 = P4;

P5P4P51= P4.

Portanto:

4PC = {P4, P5} .

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a.6)5P

C

De maneira anloga ao caso anterior, fcil ver que:

5PC = 4PC = {P4, P5} .Esses resultados, mostram que:

G S3= E +1P

C +4P

C = E +2P

C +4P

C = E +3P

C +4P

C =

= E +1P

C +5P

C = E +2P

C +5P

C = E +3P

C +5P

C .

b) Formemos, agora, os grupos invariantes de S3. Para isso,

usemos a Definio 1.3.6 e a tabela do Exemplo 1.2.1.

b.1) Seja H S3C= {E, P4, P5} G.

Segundo a Definio 1.3.6, H ser invariante se a G,

ento a Ha1 = H. Assim:

EHE1= HEHEPEEPPEEP

EEEE1

51

5

414

1

=

=

=

P1HP11= HHPP

PPPP

PPPP

EEPP1

11

41

451

51

411

111

=

=

=

=

De maneira anloga demonstra-se que:

P2HP21= H; P3HP3

1= H ; P4HP41= H e P5HP5

1= H .

Portanto S3C um invariante.

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28

b.2) Seja o conjunto S'3 = {E, P1, P2, P3} . Como P1P2= P4S'3,

ento esse conjunto no subgrupo de E e, portanto, no podemos

nem testar a definio de invarincia.

b.3) Seja o conjunto Hi= {E, Pi (i = 1, 2, 3, 4, 5)}

fcil ver que:

PiHiPi1 Hi, portanto, Hino invariante.

c) Obteno do grupo fator de G. Para isso, usemos a

Definio 1.3.8 e a tabela do Exemplo 1.2.1.

Vimos no item b.1, que o subgrupo S3C um invariante.

Portanto, as classes laterais (cosets) de S3CH = {E, P4, P5}, so:

P1H; P2H; P3H; P4H e P5H, ento, o grupo fator de G ser:

G/H = {P1H, P2H, P3H, P4H, P5H} .

Tais classes laterais (cosets) valem, respectivamente:

P1H =

======

=

}P,E,P{HP};E,P,P{HPPPP}P,P,P{HP};P,P,P{HP;PPP

PEP

455544351

21331322241

11

;

As duas ltimas classes laterais (cosets) (P4H; P5H),

mostram que: HH = H. O resultado do item acima mostra que:

S3 = H + P1H = H + P2H =H + P3H .

-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.8 Seja o grupo S3 e tomemos o grupo

alternativo A S3Cformado pelas permutaes cclicas de S3. Mostre

que S3 um grupo no simples e no-semisimples.-------------------------------------------------------------------------------------

Sendo S3= {E, P1, P2, P3, P4, P5} e A3= {E, P4, P5}, ento: EP4=

P4; EP5 = P5; P4P5 = E, portanto, A3 Abeliano. No Exemplo 1.3.7

mostramos que A3 invariante. Ora, como A

3 um subgrupo

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29

invariante no-trivial de S3 e Abeliano, logo, segundo a Definio

1.3.7, S3 no-simples e no-semisimples.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.3.9 Seja o espao vetorial R3. Calcule o grupo

fator desse espao vetorial.

O sub-espao vetorial R2formado pelos vetores do plano xoy

um subgrupo invariante de R

3

, pois:212 RvRv =

rr

, onde 3Rv r

.

Tomemos, agora, um vetor zr

pertencente ao R3e que esteja

situado no eixo dos z. Ento, o conjunto de vetores formado pela soma

vetorial de zr

com vetores do R2, ou seja, 2Rz+r

uma classe lateral

(coset) de R3

. Esse conjunto representado por todos os vetores quetm suas extremidades situadas em um plano zperpendicular ao eixo

dos ze paralelo ao plano xoy, conforme mostra a figura. Assim, cada

um desses planos corresponde a umaclasse lateral (coset)de R3e

forma uma srie contnua.

O grupo fator de R3 constitudo pelas projees dos vetores

pertencentes s classes laterais (cosets) no eixo oz, ou seja, o

elemento Fz do grupo fator obtido desprezando-se os vetores

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30

diferena entre os diferentes vetores cujas extremidades encontram-se

no plano z. Em Matemtica isto representado pelo smbolo de

congruncia:

( )2Rmod''v'vv Krrr .

Essa notao significa que esses vetores so iguais, se

desprezarmos o vetor diferena que est situado no plano z. Assim, o

grupo fator ser R3/R2= OZR1.

oportuno observar que podemos generalizar o que acabamosde ver, ao aplic-lo ao caso do espao vetorial Rn. Assim, Rn um

grupo de dimenso ne, por seu lado, H um subgrupo invariante de

dimenso m < n, ento, o grupo fator F ser constitudo pelos vetores

ivr

, 'vir

, ''vir

, ..., de tal modo que:

( )Hmod''v'vv iii Krrr

,

e a dimenso de F G/H ser m-n, e representa a projeo sobre um

eixo, plano ou hiperplano.

1.4 Isomorfismo e Homomorfismo

Definio 1.4.1 Isomorfismo. Sejam dois grupos G e G, tal

que:

1. A cada elemento gi G corresponde a um e somente um

elemento giG, isto

giG gi G;

2. Se gig

j= g

k, ento g

ig

j = g

k, para todos os elementos de G e G.

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31

Deste modo, G e G, so ditos isomrficos, ou seja: G G.

Portanto, eles tm a mesma tabela de multiplicao.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.4.1 Mostre que o grupo S3 isomorfo ao

grupo que mantm um tringulo eqiltero

idntico a si prprio.-------------------------------------------------------------------------------------

O grupo que mantm um tringulo eqiltero idntico a si

prprio definido por (veja as figuras a seguir).

E: Operao da identidade, a qual deixa a figura idntica a si

prpria;

P1: Reflexo em torno da linha A, isto , troca o vrtice 1por 2;

P2: Reflexo em torno da linha B, isto , troca o vrtice 2 por 3;

P3: Reflexo em torno da linha C, isto , troca o vrtice 1 por 3;

P4: Rotao de 120 no sentido horrio em torno do centro o,

isto , o vrtice 3vai para o lugar de 1, este para o lugar de 2, e estepara o lugar de 1;

P5; Rotao de 120 no sentido anti-horrio em torno do centro

o, isto , o vrtice3vai para o lugar de 2, este para o lugar de 1, e este

para o lugar de 3.

fcil ver que esse grupo satisfaz mesma tabela de

multiplicao do grupo S3 e que foi construda no Exemplo 1.2.1. Por

exemplo P1P2= P4, pois:

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32

Outro exemplo: P4P3= P2

Exerccio 1.4.1 a) Complete a tabela de multiplicao do

Exemplo 1.4.1.

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33

b) Mostre que o grupo S2 isomorfo ao

grupo de reflexes espaciais.-------------------------------------------------------------------------------------

Definio 1.4.2 Homomorfismo. Dois grupos G e G so

homomrficos, se os elementos de G podem ser postos em uma

correspondncia (no um a um) com os elementos de G e desde que

esta correspondncia preserve as leis de multiplicao dos dois

grupos.

O diagrama a seguir esclarece a definio dada.

Obs: O conceito de Homomorfismo muito usado em cristalografia.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 1.4.2 Seja Sno grupo de permutaes de n (> 1)

objetos. Ao conjunto de permutaes pares

associamos o nmero +1, e ao de

permutaes mpares, o nmero 1. O

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34

conjunto formado por +1 e 1 forma um

grupo multiplicativo e homomrfico do

grupo Sn. O elemento +1 corresponde ao

Grupo Alternativo de Sn, isto , An, e 1

sua classe lateral (coset) (Meijer e Bauer,

1962).-------------------------------------------------------------------------------------

Teorema 1.4.1 Se um grupo G possui um subgrupoinvariante H, ento G homomrfico ao grupo fator G/H.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 1.4.2 a) Se G homomrfico a G, e se E o elemento de unidade de G, mostreque:

I) O conjunto de elementos de G quecorresponde a E forma um subgrupoinvariante de G;

II) G isomrfico ao grupo fator G/H.

b) Mostre a ltima afirmao do Exemplo1.4.2.

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35

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CAPTULO 2

Representaes de Grupo1

2.1 Primeiras Definies

Definio 2.1.1 Uma representao de um grupo um

grupo de identidades matemticas homomrficas ao grupo abstrato

original. Uma representao linear uma representao em termosde operadores lineares. Assim, se fizermos uma aplicao

homomrfica de um grupo arbitrrio G num grupo de operadores D

(G) L, dizemos que D (G) uma representaode Gno espao de

representaes L. Se a dimenso de L ndizemos que a representao

tem dimenso n. quando a representao dada em forma de matrizes,

ela denotada por Di j (G). Como pode haver vrias representaes

para um mesmo grupo, ento denotaremos D() (G) [ou jiD (G)] para

uma dada representao de dimenso . Os elementos de uma

representao devem ter as seguintes propriedades:

a) D (RS) = D (R) D (S), R, S G;

b) D (R1) = [D (R)]-1, R G;

c) D (E) = I ; E : Elemento unitrio de G.

A definio acima permite tirar duas concluses:

1

Esta parte deste Captulo foi ministrada pelo professor Jos Maria Filardo Bassalono Curso de Extenso, realizado em 1985, na UFPA, sobre Teoria de Grupo.

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2

I) Cada grupo tem uma representao unidimensional que

denotada pelo nmero 1;

II) O determinante de cada matriz representao tambm umarepresentao, pois:

det D (R) . det D (S) = det [D (R) D (S)] = det [D (RS)].-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.1.1 Usando a propriedade a) da Definio

2.1.1, demonstre as propriedades b) e c).

-------------------------------------------------------------------------------------Definio 2.1.2Quando a correspondncia entre os elemen-

tos de Ge os de D (G) um isomorfismo, a representao dita fiel

(faithful). Neste caso, a ordem de D (G) a mesma de G.

Definio 2.1.3 Duas representaes D (G) e D (G) so

ditas equivalentes, se R G, existe uma transformao de

similaridade S, tal que:

D (R) = S1D (R) S.

Definio 2.1.4 Uma representao matricial dita

redutvel se, por transformaes de similaridade, sua matriz pode ser

posta na forma:

=

(R) D0

(R)(R) ADD (R)

(k)

(i)

,

onde D(i) (R) (i = 1,2,. . ., k) so tambm representaes do mesmo

grupo.

a) Ela dita completamente redutvelse A (R) = 0;

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3

b) Quando ela no pode ser escrita nessa forma, ela dita

irredutvel;

c) Uma representao totalmente redutvel a soma direta derepresentaes irredutveis (estas podem aparecer vrias

vezes), isto :

( )

DaD= ,

onde {a} so nmeros inteiros positivos e a dimenso de D a soma

das dimenses de D(). ( oportuno salientar que essa soma norepresenta soma de matrizes!)-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.1.2 a) Demonstre que cada representao

matricial D(G) de um grupo finito G equivalente a uma

representao unitria;

b) Demonstre que:

==

ijn

ijnnji GGGse,0

GGGse,1)G(D ,

onde GkG, uma representao fiel de G e denominada regular.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.1.1 Encontre um conjunto de representaes

irredutveis do grupo S3.-------------------------------------------------------------------------------------

O grupo S3, conforme vimos no Exemplo 1.2.1, dado

por:

E = (123) ; P1= (213) ; P2= (132) ; P3= (321) ; P4= (312) ;

P5= (231) com a seguinte tabela de multiplicao:

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4

E P1 P2 P3 P4 P5E E P1 P2 P3 P4 P5

P1 P1 E P4 P5 P2 P3P2 P2 P5 E P4 P3 P1P3 P3 P4 P5 E P1 P2P4 P4 P3 P1 P2 P5 EP5 P5 P2 P3 P1 E P4

a) Primeiramente vamos encontrar as representaes uni-dimensionais

de S3. A tabela de multiplicao acima nos mostra que:

EP21 = ; EP22 = ; EP

23 = ,

ento:

1)(PD)(PD)(PD)(PD1(E)D)(PD 2112

112

1 ===== ,

ento:D (P1) = 1.

Analogamente:

D (P2) = D (P3) = 1.


EPPPPP;PP 45424

345

24 ==== ,

EPPPPP;PP 54525

354

25 ==== ,

ento:

1(E)D)(PD)(PD)(PD)PP(D)P(D 43

4244

24

34 ===== ,

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5

logo:

234 t,t,11)(PD == , onde: 32

i

2

1t += .

Analogamente:

245 tt,1,)(PD)(PD == .

Examinando-se, ainda, a tabela de multiplicao de S3, v-se que:

P1P2= P4 e P1P3= P5,

ento:

D (P1P2) = D (P1) D (P2) = D (P4) (1) (1) = 1 = D (P4).

Analogamente:

D (P1P3) = D (P5) = 1,

v-se, ento, que das trs solues de D(P4) = D(P5), apenas a soluo1 satisfatria. Assim, temos apenas duas representaes uni-

dimensionais de S3:

D(1)(g) = 1, g S3,

D(1)(E) = D(1)(P4) = D(1)(P5) = 1,

D(1)

(P1) = D(1)

(P2) = D(1)

(P3) = 1.

Tais representaes so Homorfismos.

b) Agora, vamos encontrar uma representao bi-dimensional de S3.

Sendo D(2)(E) = I, ento (2)1 0

D (E) =0 1

.

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6

Por outro lado, temos (vide tabela de multiplicao):

EPPP 2322

21 === ,

ento:

D(2) ( 2iP ) = D(2)(E) = I; (i = 1,2,3).

Seja:

(2)i

a bD (P ) =

c d

,

ento:

1.dbc;0cdac

0bdab;1bca

10

01

dc

ba

dc

ba

2

2

=+=+

=+=+

=

Tomemos a equao:

ab + bd = 0 b (a+d) = 0 b = 0 (ou a = d).

Tomamos, no entanto, b = 0. Ento, sendo:

a2+ bc = 1 a2=1 a = 1.


ac + cd = 0 c (a+d) = 0 c = 0 (ou a = d).

Tomemos, no entanto, c = 0. Ento, sendo:

bc + d2= 1 d2= 1 d = 1.

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7

Assim, podemos ter trs possibilidades para a representao D(2)(Pi):

10

01

;10

01

;10

01

.

Vamos escolher a primeira delas e supor que:

(2)2

-1 0D (P ) =

0 1

.

Se, no entanto, fizermos:

(2) (2)1 3

1 0 -1 0D (P ) = e D (P ) = ,

0 -1 0 -1

veremos que, sendo [vamos descarregar o ndice (2)]:

P1P3= P5, ento D (P1P3) = D (P1) (P3) = D (P5).Ora:

D (P1) D (P3) =

=

10

01

10

01

10

01= D (P2) D (P5).

Por outro lado:

D (P2) D (P3) = D (P2P3) = D (P4), pois P2P3= P4.

Ora:

D (P2) D (P3) =

=

10

01

10

01

10

01= D (P1) D (P4).

Por fim:

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8

D (P2) D (P1) = D (P2P1) = D (P5), pois P2P1= P5.

Ora:

D (P2) D (P1) =

=

10

01

10

01

10

01= D (P3) D (P5).

Agora, vamos escolher uma outra possibilidade para as

representaes D (Pi) (i = 1,2,3), isto :

=

10

01)P(D 2 ;

=

10

01)P(D 1 ;

=

10

01)P(D 3 .

De maneira anloga ao caso anterior, demonstra-se que:

D (P2) D (P1) = D (P5) D (P2P1),

D (P2) D (P3) = D (P4) D (P2P3).

Tomemos, agora, uma outra alternativa, qual seja:

=

10

01)(PD 2 ;

=

10

01)(PD 1 ;

=

10

01)(PD 3 .

Portanto, com esses valores, fcil ver que:

D (P2) D (P1) = D (P5) D (P2P1),

D (P2) D (P3) = D (P4) D (P2P3),

D (P1) D (P3) = D (P5) D (P1) D (P3).

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9

Assim, s nos resta uma de trs possibilidades:

2

-1 0

D (P ) = 0 1

ou 21 0

D (P ) = 0 -1

ou

2

-1 0D (P ) =

0 -1

.

Procuremos, agora, outras representaes. Sendo:

(P4)3= (P5)3= E, ento:

D3(P4) = D3(P5) = D (E) =

1 0

0 1

.

Tomemos, portanto:

=dcba)P(D 4 .

Existe uma infinidade de solues. Vamos, inicialmente,

escolher uma matriz real e unitria, isto , ortogonal. Ento, teremos:

D1(P4) [Di j(P4)]T = Dj i(P4) =

db

ca.

A inversa dessa matriz ser:

-1i j 4 j i

d -b a c1 1D (P ) Cof D = =

-c a b ddetD (ad-bc)

.

Portanto:

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10

dbcad

a;bbcad

c;cbcad

b;abcad

d=

=

=

=

.

Tomemos:

.1)bcad(1

)bcad()bcad(dbcad

dd

bcad

aea

bcad

d 2

=+=

==

=

=

Se:

ad bc = +1 a = d e b = c.

Ou, se:

ad bc = 1 a = d e b = c.

Assim:

4

a bD (P ) =

-b a

ou 4a b

D (P ) =c -a

.

Escolhendo:

4a bD (P ) =-b a

.

Sendo, ainda:

D3(P4) = I, ento:

3a b 1 0

=

-b a 0 1

, com a2+ b2= 1,

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11

vir:

33 2 2 3

3 2 3 2a b 1 0a -3b a 3a b-b= =-b a 0 1b -3a b a -3ab

.

Portanto:

3a2 b3= 0,

b (3a2 b2) = 0 b = 0 ou 3a2= b2.

A soluo b = 0 descartvel, seno a representao seria

redutvel. Tomemos, portanto, a segunda soluo:

3a2= b2= 1 a2 4a2= 1 a1

2= .

321bb

413 2 ==

.


a2 3b2a = 1 a (a2 3b2) = 1 23

a a -3 =14

,

21a148a14941a ===

.

Finalmente, escolhendo 32

1b = , teremos:

4

-1 - 31D (P )=

2 3 -1

.

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12

Sendo:

35

1 0D (P )=0 1

, ento 5-1 31D (P )=

2 - 3 -1

,

j que tomamos 32

1b= .

Anteriormente, vimos que D (P2) tem trs possibilidades.

Vamos escolher a seguinte:

2

-1 0D (P )=

0 1

.

Agora, vamos determinar as outras representaes restantes,

isto , D (P1) e D (P2). Sendo:

D (P1) D (P2) = D (P1P2) = D (P4), teremos:

a b -1 0 -1 - 31 =

c d 0 1 2 + 3 -1

2

1a= ; 3

2

1b = ;

3

2

1c = e

2

1d = , ento:

1

1 - 31D (P ) =

2 - 3 -1

.

Por fim:

D (P2) D (P

3) = D (P

2P

3) = D (P

4), ento:

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-1 0 a b -1 - 31 1 1 = a= ; b= 3 ;

0 1 c d 2 2 23 -1

1 1c = 3 e d = - , ento:

2 2

3

1 31D (P )=

2 3 -1

.

Em resumo, uma das representaes irredutveis de S3 ter o

seguinte quadro (os ndices A e B diferenciam as representaes

unidimensionais):

DA(1) DB

(1) D(2)

E 1 1

10

01

P1 1 1

13

3121

P2 1 1

10

01

P3 1 1

133121

P4 1 1

13

3121

P5 1 1

13

3121

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14

Exerccio 2.1.3 Encontre:

a) Os geradores do grupo S3;b) Uma outra representao

irredutvel e bi-dimensional de S3;

c) Todas as representaes

irredutveis do grupo dado pela seguinte tabela de multiplicao:

E A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A E

-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.1.2Encontre uma representao tridimen-

sional e regular para o grupo alternativo A3.-------------------------------------------------------------------------------------

O grupo alternativo A3 formado por:

G1= (123); G2= (312); G3= (231), de modo que fcil ver que:

G1G2= G2; G1G3= G3; G2G3= G1; 121 GG = ; 3

22 GG = ; 2

23 GG = .

Agora, usaremos a definio de representao regular,isto :

n j i(3)ij n

1, se G G =GD {G }=

0, nos demais casos.

Portanto [vamos descarregar o ndice (3)]:

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D11(G1) = 1 ; D12(G1) = 0 ; pois G1G2G1,

D13(G1) = 0 ; pois G1G3G1,

D21(G1) = 0 ; pois G1G1G2; D22 (G1); = 1; pois G1G2= G2,

D23(G1) = 0; pois G1G3G2; D31(G1) = 0; pois G1G1G3,

D32(G1) = 0; pois G1G2G3; D33(G1) = 1; pois G1G3= G3.

Logo [vamos carregar o ndice (3)]:

(3)1

1 0 0D (G )= 0 1 0

0 0 1

.

De maneira anloga, demonstra-se que:

(3) 2

0 0 1

D (G )= 1 0 00 1 0

e (3) 3

0 1 0

D (G )= 0 0 11 0 0

.

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 2.1.4 a) Calcule D (G2) e D (G3) do

Exemplo 2.1.2;

b) Encontre uma representao 6

dimensional regular para S3;

c) Encontre representaesequivalentes da representao regular de A3, para:

=

010

100

001

S1 e

=

102

211

010

S2 ;

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16

d) Encontre a representao

regular para o grupo cclico {E, A, B, C}, onde B = A2 ; C = A3 ; E

= A4.

-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.1.3 Mostre que o conjunto de operadores

lineares {OR} definido por:

)x(R)x(ORrr

; onde xRx rr

,

forma um grupo. Calcule, ento, suas representaes. (Esses operadores

so chamados de Operadores de Wigner.)-------------------------------------------------------------------------------------

a) Vamos mostrar, inicialmente, que esse conjunto {OR}

forma um grupo.

I) Condio de fechamento

Seja: [ ] )x(R)x(ORrr

, ento:

].x[(SR))x()O(O

)]x(R[S)x(RO)]x([OO)x()OO(

RS

SRSRS

rr

rrrr

=

===

Sendo SR = T, ento:

)x(T)x()OO( RSrr

= , logo:

OSOROTOSR, um Operador de Wigner!

II) Condio de Associatividade:

[(OSOR) OT] =)x( r

OSOR[ )xT( r

] = OS )xSRT()]xRT([ rr= .


)x(SRT)]x(RT[O)]x(T[OO)x()]O[(O)O(SRSTRS

rrrr=== ,

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17

ento:

(OSOR) OT= OS(OROT).

III) Elemento Unidade:

)x(E)x()x(E)]x([OErrrr

=== ,

OEE.

IV) Elemento Inverso

,)x(E)x()x(E)xR(R)]x(R[O)]x([OO 11RR1Rrrrrrr =====

ento:

1RRRR ]O[OEOO 1-1

= .

b) Agora, vamos mostrar que as matrizes definidas por:

n)...,2,1,(i)x()R(D)x(R)x(O jijn

1jiiR ==

=

rrr ,

so representaes do grupo {OR}.

Calculemos:

[ ] ).x((R)D(S)D

)x((R)D(S)D)x((S)D(R)D

)x((S)D(R)D)x(O(R)D

)x((R)DO)x(RO)x(OO

kik

n

1k

kijjk

n

1kkjkij

n

1kj,

kjk

n

1kij

n

1jjSij

n

1j

jij

n

1jSiSiRS

r

rr

rr

rrr

=

==

===

=

=

===

===

===

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18


)x((SR)D)x(O)x(OO kikn

1kiSRiRSrrr

=== .

Assim:

)x((SR)D)x((R)]D(S)[D kikn

1kkik

n

1k

rr

=== .

Ento:

D (S) D (R) = D (SR).-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.1.4 Seja {R} = {R1, R2, R3, R4} o grupo derotaes do plano (xy) em torno do eixo dos z, atravs dos ngulos0, 90, 180 e 270, no sentido anti-horrio. Seja })x({ i

ro conjunto

dos Operadores de Wignerdefinido por:

[ ] 111R y)(x,y)(x,Ry)(x,O === ,

[ ] 222R (y,-x)y)(x,Ry)(x,O === ,

[ ] 333R (-x,-y)y)(x,Ry)(x,O === ,

[ ] 444R x)(-y,y)(x,Ry)(x,O === .

Calcule as representaes de {R}.-------------------------------------------------------------------------------------

a) Tomemos o elemento R1. Ento:

1Rj1lj

4

1j1R y)(x,y)(x,O)(RDO

11 ===

=.

Assim:

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19

)(RD)(RD)(RD)(RD 41143113211211111 +++= .

Portanto:

0D)(RD)(RD;1)(RD 14113112111 ==== .


2Rj12j

4

1j2R (y,-x)(y,-x)O)(RDO

11 ===

=,

41243123212211122 )(RD)(RD)(RD)(RD +++= .

Portanto:

D2 2(R1) = 1 ; D1 2(R1) = D32(R1) = D42(R1) = 0.

Analogamente, demonstra-se que:

D3 3(R1) = 1 ; D1 3(R1) = D23(R1) = D43(R1) = 0.

D4 4(R1) = 1 ; D1 4(R1) = D24(R1) = D34(R1) = 0.

Assim [carregando o ndice (4)]:

(4) 1

1 0 0 0

0 1 0 0D (R ) = E0 0 1 0

0 0 0 1

.

b) Agora, tomemos o elemento R2. Ento:

2Rj2ij

4

1j1R (y,-x)y)(x,O)(RDO

22 ===

=.

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20

Assim:

42413231222112112 )(RD)(RD)(RD)(RD +++= .

Portanto:

1)(RD;0)(RD)(RD)(RD 212214213211 ==== .


3Rj22j

4

1j2R (-x,-y)(y,-x)O)(RDO

22

====

.

Assim:

42423232222212123 )(RD)(RD)(RD)(RD +++= .

Portanto:

D3 2(R2) = 1 ; D1 2(R2) = D22(R2) = D42(R2) = 0.Analogamente, demonstra-se que, sendo:

)(RD(-x,-y)OO j23j4

1j4R3R 22 ====

e

)(RD)y,x(x)(-y,OO j24j4

1j1R4R 22 =====

ento:

D4 3(R2) = 1 ; D1 3(R2) = D23(R2) = D33(R2) = 0,

D1 4(R2) = 1 ; D2 4(R2) = D34(R2) = D44(R2) = 0.

Portanto [carregando o ndice (4)]:

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21

(4)2

0 0 0 1

1 0 0 0D (R )=0 1 0 0

0 0 1 0

.

-------------------------------------------------------------------------------------Exerccio 2.1.5 a) Encontre D (R3) e D (R4) do Exemplo

2.1.4;

b) Mostre que o operador H para umpotencial Coulombiano invariante por uma reflexo em torno daorigem;

c) Mostre que {OR} e {R} soHomeomrficos.-------------------------------------------------------------------------------------

2.2 Teoremas Fundamentais Sobre Representaes de

Grupos

Teorema 2.2.1 Cada representao matricial D {G} de

um grupo G equivalente a uma representao unitria. (Cf. Exerccio

2.1.2.a).

Teorema 2.2.2 Uma matriz A que comuta com cada

matriz D{R} de uma representao irredutvel de um grupo G mltipla da matriz unidade, isto : A = E.

Demonstrao:

Por hiptese, temos que:

A D (R) = D (R) A, R G.

Assim:

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22

[A D (R)]+ = [D (R) A]+

D+(R) A+= A+D+(R).

Pelo Teorema 2.2.1, D (R) unitria, ento:

D+(R) = D-1(R).

Portanto:

D1(R) A+= A+D1(R).

Por outro lado, segundo a Definio 2.1.1.b, temos:

D1(R) = D (R1).

Chamando R1= S, vir:

D (S) A+= A+D (S).

Assim, T G, teremos:

D (T) A = A D (T),

D (T) A+= A+D (T).

Da teoria das matrizes sabe-se que toda matriz pode ser

sempre decomposta em duas matrizes Hermitianas, isto :

-iAAA += + , onde:

( ) ++++ =+= AAA21

A ; ++ == A)A(Ai21A .

Portanto:

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23

(T).DAA(T)D(T)D)A(A

2

1(T)DA

2

1

(T)DA21A(T)D

21A(T)D

21)A(A

21(T)DA(T)D

+

=

+

++=++

+=++=++=+

Por outro lado:

(T).DAA(T)D(T)D)A(A2i1(T)DA

2i1

(T)DAi2

1A(T)D2i1A(T)D

2i1)A(A

2i1)T(DA(T)D

=+=+

=+=+=

Portanto, suficiente considerar Acomo uma matriz Hermitiana. Seja

H essa matriz, ento:

D (R) H = H D (R),

onde:

D (R) D+(R) = E; H = H+.

Se H Hermitiana, pelo Teorema Espectral da lgebra

Linear, existe uma matriz unitria Uque a diagonaliza, ou seja:

HD= U H U1.

Faamos, ento, 1U(R)UD(R)D , portanto:

(R),DHU(R)DUUHU

(R)DHUUH(R)DUUHUU(R)DUH(R)D

D11

1111D

==

====

ou seja:

(R).DHH(R)D DD =

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24

Tomando-se }{H jijiD = , vir:

0)((R)D(R)D)R(Djjiijijiiijjji

== .

Se: G.R0,(R)D, jijjii =

Ento, (R)D redutvel o que contraria a hiptese do teorema.

Assim:

EA ++ = e EA = .

Portanto:

E)i(EiEiAAA +++ +=+=+= EA= C.Q.D.

Teorema 2.2.3 - Lema de Schur. Se {D (R)} de

dimenso m e {D (R)} de dimenso n, so representaes de um

grupo Ge A uma matriz m x ntal que:

(R)AD'A(R)D = ,

ento:

a) Se m = n, logo A = 0 ou no-singular (det A 0), e neste caso

D (R) e (R)D' so representaes equivalentes;

b) Se m n, logo A uma matriz nula.

Demonstrao:

Por hiptese, temos que:

(R)D'AA(R)D = ,

ou:

[ ] [ ]++ = (R)'AD(R)AD ++++ = A(R)D')R(DA .

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25

Sendo D+(R) uma matriz unitria (Teorema 2.2.1), temos:

+ -1D (R) = D (R) , ento:

+ -1 -1 +A D (R) = D' (R) A .

Pela Definio 2.1.1.b, temos: )(RD(R)D -11 = .

Chamando-se (S)D)(RD -1 = , vir:

++ = A(S)D'(S)DA .

Portanto, T G, temos:

(T)D'AA(T)D =

e

+ +A D (T) = D' (T) A (multiplicando por A)

+++ == AA(T)DA(T)D'A(T)DAA .

Ora, se A A+comuta com D(T), pelo Teorema 2.2.2, vir:

A A+= E.

(a) Se m = n, ento A uma matriz quadrada, logo:

det (A A+) = det (E) = n,

det A. det A+= n (det A)2= n.

a.I) Se 0, ento det A 0, logo existe A1, portanto:

D (T) A = A D(T) A1D (T) A = A1A D' (T)

D(T) = A1D (T) A, isto , D(T) e D(T) so equivalentes.

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26

a.II) Se = 0, ento A A+= 0 +k

kjik AA = 0,

ou k

jkik *AA = 0.

Tomando-se i = j, vir: k

*ikik AA = 0

k,i,0A0A ikk

2ik = = .

(b) Se m n, ento A uma matriz retangular. Tomando-se m

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27

onde nrepresenta a dimensionalidade da representao.

Demonstrao:

Como podemos multiplicar matrizes quadradas de ordensdiferentes, vamos, portanto, construir a seguinte matriz:

A =R D()(R) B D+()(R) ,

onde B uma matriz (x ) arbitrria. Multiplicando-se a matriz A

definida acima, pela esquerda, por D ()(S), vir:

D()(S)A =R D() (S) D() (R) B D+()(R) .

Por hiptese, D so representaes unitrias, ento:

D+()(R) = D1()(R) e D+ () (S) D()(S) = E .

Por outro lado, segundo a Definio 2.1.1.b, temos

D1 (S) = D(S1) ,

ento:

D()(S) A =R D()(S) D()(R) B D()(R1) .

sendo:

D()(S1) . D()(S) = D()(S1S) = D()(E) = E ,

logo:

D()(S) A =R D()(S) D()(R) B D()(R1)D()(S1)D()(S) .

Usando-se a Definio 2.1.1.a, vir:

D()(S) A =

R

D()(SR) B D()(R1S1) D()(S).

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28

Ora,

R1S1 = (SR)1, ento:

D()(S) A = R D()(SR) B D()[(SR)1] D()(S).

Sendo, ainda, segundo a Definio 2.1.1.b,

D1(R) = D (R1) e D1(R) = D+(R), ento:

D()(S) A =R D()(SR) B D+()(SR) D() (S) .

Pelo Teorema do Rearranjamento (Teorema 1.3.1), temos:

R D()(SR) B D+() (SR) =

R D()(R) B D +()(R).

Portanto:

D()(S) A =

+R

)()( (R)DB(R)D D()(S).

Ento, D()(S) A = A D()(S) , devido definio de A.

Agora, para demonstrar a tese do teorema, vamos usar o Lema de

Schur(Teorema 2.2.3).

a) Se D()(S) e D()(S) so no-equivalentes (), ento

A = 0, logo:

Aim=jlR

Dij()(R) BjDm

+()(R) = 0 .

Como B arbitrrio, vamos escolher Bj = 1, e os demais

elementos nulos, ento:

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29

0)R(D)R(D )(m)(

ijR

= +l

.

b) Se D()(R) e D()(R) so equivalentes (=), ento:

A = E Aim= im=( ) ()

j mijR j,

D (R) B D (R) + l ll

.

Como B arbitrrio, vamos escolher Bj = 1 e os demaiselementos nulos, ento:

im = .)R(D)R(D)(

m

)(

ijR

+l

Colocando-se i = m e somando-se os dois lados dessa equao

para i = 1,2,...,n, vir:

=

=

+

=

n

1i

)(i

R

n

1i

)(ij )R(D)R(D l ii = n.


= =

=

+

=

)R(D)R(D)R(D)R(D )(1iR

n

1i

)(ij

)(i

R

n

1i

)(ij ll

= = =

=

=

)R(D)R(D)R(D)R(D )(ij

1

R

n

1i

)(i

1)(i

R

n

1i

)(ij ll

=R [D()(R1) D()(R)]j=

R [D()(R1R)]j =

=R D()(E)j= gj.

Assim:

n= g j = j n

gl ,

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30

e

)R(D)R(D )(m)(

ijR

= +l

j

n

gl im .

Agora, juntando-se os resultados dos itens a) e b), teremos:

)R(D)R(D )(m)(

ijR

= +l

n

g jim. C.Q.D.

2.2.1 Interpretao Geomtrica do Teorema daOrtogonalidade

O Teorema da Ortogonalidade (Teorema 2.2.4) nos

mostra que se tomarmos as representaes como vetores de um

espao vetorial de dimenso g, tais vetores so Ortogonais nesse

espao (espao de elemento do grupo). Esses vetores so

representados por trs ndices: , ndice da dimenso da

representao, e i e j, ndices de linha e de coluna da representaopropriamente dita. Os eixos desse espao vetorial so representados

pelos elementos componentes do grupo R = {E,A2,...,Ag}.Portanto, tais

vetores so denotados por )}R(D{ )(ij , onde R representa o ndice de

componentes desses vetores. Quantos desses vetores existem? Uma

representao D()de dimensionalidade n constituda de matrizes(n x n), portanto, contm 2n desses vetores. Assim, o nmero

total deles, vale:

n12+ n2

2+ n32+ . . . =

=

N

1

2n ,

onde essa soma se estende a todas as representaes irredutveis no-

equivalentes. Ora, na teoria dos espaos vetoriais demonstra-se que o

nmero de vetores ortogonais no excede a dimenso do espao,

ento:

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31

=

N

1

2n g.

------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.2.1 Demonstre a Relao de Completezapara asrepresentaes de um dado grupo:

'RR)(*

ij)(

ij

N

1

n

1j,i

)'R(Dg

n)R(D

g

n =

= = .

-------------------------------------------------------------------------------------

2.3 Carteres das Representaes

Definio 2.3.1 O trao de uma representao matricial)(

ijD (R) chamado de carter de Re denotado por:

X() (R) = tr )(ijD (R) = )R(D

i

)(ii

.

Da definio acima, resultam as seguintes conseqncias:

a) Duas representaes equivalentes do mesmo grupo tm os

mesmos carteres, j que o trao de duas matrizes equivalentes so

iguais;

b) O carter da representao do elemento unitrio Edo grupo

igual dimensionalidade da representao, pois a matriz correspon-dente a E a matriz unitria;

c) Todos os elementos de uma dada classe de um grupo tm o

mesmo carter, pois que se A um elemento de uma classe, o outro

tem a forma XAX1e as correspondentes matrizes tm traos iguais.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.3.1 Calcule os carteres do grupo S3.

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32

-------------------------------------------------------------------------------------

Usando-se a Definio 2.3.1 e o resultado do Exemplo 2.1.1,

fcil construir a seguinte tabela de caracteres do grupo S3.

CLASSE X(1) X(2) X(3) ELEMENTOSC1 1 1 2 E

3C2 1 1 0 P1,P2, P3,2C3 1 +1 1 P4, P5

Teorema 2.3.1 Os carteres das representaes irredutveis de

um grupo formam um conjunto vetores ortogonais no espao deelemento de grupo.

Demonstrao:

Vamos partir do Teorema da Ortogonalidade (Teorema

2.2.4):

)R(D)R(D )(m)(ijR = +l n

g

imj.

Faamos i = j e m = e somemos sobre esses ndices,

assim:

= +i

i

R i

)()(ii .n

g)R(D)R(D

lll

ll

Usando-se a definio de carter (Definio 2.3.1), vir

= + (R)(R) XX )()(R

n

g

l,i (i)2.

Sendo:

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33

l,i (i)2= n , teremos:

= + )R(X)R(X )()(R

g.

Porm:

X+() (R) = X*()(R) , logo:

= )R(X)R(X )*()(

R

g.

Contudo, se Ck representa o nmero de elementos em umaclasse Cke S o nmero de classes, ento:

)C()(*Xg

c)C(X

g

c

gc)C(X)C(X

kk

k)(k

S

1k

kk)(*

k)(

S

1k

=

=

==

==

. C.Q.D.

2.3.1 Interpretao Geomtrica do Teorema da

Ortogonalidade dos Carteres de um Grupo

O Teorema 2.3.1 nos mostra que se considerarmos os

carteres das representaes irredutveis de um grupo como sendo

vetores de um espao S-dimensional, tais vetores so ortogonais.

Pela Teoria dos Espaos Vetoriais, o nmero desses vetores no

excede a dimenso do espao, ou seja: n S.

Teorema 2.3.2 Para um grupo finito, temos:

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34

a) ,gn 2 =

b) N = S, isto , o nmero de representaes irredutveis do

grupo igual ao nmero de classes.

Demonstrao:

Parte a:

Segundo a Definio 2.1.4.c, temos:

D (R) = )R(Da )( .

Usando-se a definio de carter de um grupo (Definio 2.3.1)

vir:

Xj(Ck) = )C(Xa k)(

j

.

Multiplicando-se ambos os membros da equao acima

por kk)*(

j c)C(X , e somando-se em k, teremos:

kk)*(

jk)(

jk

kk)*(

jkjk

c)C(X)C(Xac)C(X)C(X

=

Usando-se o resultado do Teorema 2.3.1, resulta:

,gaagc)C(X)C(X kk)*(

jkjk

==

)R(X)R(Xg

1c)C(X)C(X

g

1a )(*

Rkk

)(*jkj

k

== .

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35

Para demonstrar o proposto no item a) do Teorema em

questo, vamos considerar as representaes regulares do grupo, sem,

contudo, com isso, perdermos a generalidade. As representaes

regulares so definidas por:

=

=.casosdemaisnos,0

,GGGse,1)G(D

ij)reg(ij

Da definio acima, v-se que:

)G(D )reg(ij = 1, para G= E, pois: EGi= Gi. Ento:

X(reg)(E) = g ; X(reg)(R) = 0, para R E.

Portanto, a expresso para a deduzida anteriormente, tomar a

seguinte forma:

*() (reg) *()

R R

*()

1 1a = X(R) X (R) = X (R) X (R) =

g g

1= g X (E) a = n

g


Xj(R) = aXj

()(R) ,

ento:

Xj(reg)(R) =

N

1= aXj

()(R) .

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36

Porm: a= ne Xj(reg)(R) = g, se R = E, logo:

g =N

1= a

X

j

()(E) =N

1= a

n

,

g =N

1= n

2 . C.Q.D.

-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.3.1. Demonstre:

a) O item b) do Teorema 2.3.2;

b) O Teorema da Completeza:

N

1= X(C) ll kkk

)*( gc)C(Xc =

ou:

lll

kk)(*k)( )C(X

g

c)C(X

g

c =

,

onde N o nmero de elementos na classe ck de uma representao

irredutvel de um dado grupo;

c) )(CXNC)(CXN)(CXN)(

kjik

)(

kj

)(

j lllll

= .-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.3.2 Estude a decomposio em representaes

irredutveis do grupo S3.-------------------------------------------------------------------------------------

Os elementos do grupo S3so: E, P1, P2, P3, P4e P5. Ento,sendo:

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37

2

N

1nng

== , logo: 6 = 12+ 12+ 22,

o que significa dizer que o grupo S3 tem apenas duas representaesirredutveis de dimenso 1 e apenas uma de dimenso 2. Portanto,

qualquer representao de dimenso 3 ser redutvel. Calculemos uma

dessas representaes.

a) Elemento

=

321

321E .

=

100

010

001

(E)D ,

b) Elemento

= 312

321

P1 .

Como essa permutao troca o primeiro elemento pelo segundo

e deixa o terceiro irredutvel, vir:

=

c

a

b

c

b

a

IHG

FED

CBA

,

=++

=++

=++

cIcHbGa

aFcEbDa

bCcBbAa

ento:

A = C = 0; B = D = 1 = 1;

E = F = G = H = 0.

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38

1

0 1 0

D (P )= 1 0 0

0 0 1

.

c) Elemento

=

231

321P2 .

fcil ver que:

=

=

bc

a

cb

a

010100

001

bc

a

cb

a

)(PD 2 ,

ento:

=

010

100

001

)(PD 2 .

d) Elemento

=

123

321P3 .

fcil ver que:

=

=

a

b

c

c

b

a

001

010

100

a

b

c

c

b

a

)(PD 3 , ento:

=

001

010

100

)(PD 3 .

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39

e) Elemento

=

213

321P4 .

fcil ver que:

=

=

=

010

001

100

)(PD

b

a

c

c

b

a

010

001

100

b

a

c

c

b

a

)(PD 44 .

f) Elemento

= 132

321

P5 .

fcil ver que:

=

=

=

001

100

010

)(PD

a

c

b

c

b

a

001

100

010

a

c

b

c

b

a

)(PD 55 .

Portanto, a tabela de carteres dessa representao ser:

CLASSE ELEMENTOS XC1 E 33C2 P1, P2, P3 12C3 P4, P5 0

Essa tabela de carteres nos permite descrever que:

( )(R)Da(R)D = ,

ou:

( )* j K j k kk

1a X (C )X (C ) c

g= .

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40

Portanto:

*(1) *(1) *(1)

1 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1a [X (C )X (C ) c X (C )X (C ) c X (C )X (C ) c ]

61

[3 1 1 1 1 3 0 1 2] 1,6

= + + =

= + + =

*(2) *(2) *(2)2 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1a [X (C )X (C ) c X (C )X (C ) c X (C )X (C ) c ]

61

[3 1 1 1 ( 1) 3 0 1 2] 0,6

= + + =

= + + =

*(3) *(3) *(3)3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1a [X (C )X ( ) c X (C )X ( ) c X (C )X ( ) c ]

61

[3 2 1 1 0 3 0 (-1) 2] 1.6

C C C= + + =

= + + =

Portanto: ..

-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.3.2 Estude a decomposio das representaes

irredutveis de uma representao 6-

dimensional regular do grupo S3.

-------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 2.3.3 Verifique as relaes de ortogonalidade e de

completeza para os caracteres das

representaes irredutveis do grupo S3.

-------------------------------------------------------------------------------------

As relaes de ortogonalidade e de completeza dos

caracteres de um grupo so dadas, respectivamente, por:

)3(2)1(1 DDD =

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41

( ) ( )

== gc)(C*X)(CX kk

k

S

1k, (Teorema 2.3.1)

e ( ) ( ) lll

kkkN

1)(C*X

gc)(CX

gc =

=. (Exerccio 2.3.1.b)

A tabela dos carteres de S3 dada por (cf. Exemplo 2.3.1):

CLASSE ELEMENTOS X(1) X(2) X(3)C1 E 1 1 2

3C2 P

1, P

2, P

3 1 -1 0

2C3 P4, P5 1 1 -1

a) Relaes de Ortogonalidade

(1) *(1) (1) *(1) (1) *(1)1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1

X (C )X (C ) c + X (C )X (C ) c +X (C )X (C ) c =

1 1 1 1 1 3 1 1 2 6 g = g,= + + = =

(1) *(2) (1) *(2) (1) *(2)1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2


1 1 1 1 ( 1) 3 1 1 2 1-3 2 0 g = 0,= + + = + = =

(1) *(3) (1) *(3) (1) *(3)1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 3


1 2 1 1 0 3 1 (-1) 2 2 0 2 0 g = 0.= + + = + = =Como:

( ) ( ) )C(X)(CX k*

k = , portanto, as demais relaes de

ortogonalidade so idnticas a essas demonstradas acima.

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42

b) Relaes de Completeza

(1) *(1) (2) *(2)1 1 1 11 1 1 1

(3) *(3)1 11 1 1 1

c c c cX (C ) X (C ) + X (C ) X (C ) +g g g g

c c 111 111 221+ X (C ) X (C ) = + + =1 = =1,

g g 6 6 6

(1) *(1) (2) *(2)1 2 1 21 2 1 2

(3) *(3)1 21 2

1 2

c c c cX (C ) X (C ) + X (C ) X (C ) +

g g g g

c c 1 3 1 3+ X (C ) X (C ) = 1 1 + 1 (-1) +

g g 6 6 6 6

1 3 3 3+ 2 + 0 = - = 0 = ,

6 6 6 6

++ )(CXgc

)(CXgc

)(CXgc

)(CXgc

3(2)*3

1(2)1

3(1)*3

1(1)1

(3) *(3)311 3

1 3

cc 1 2 1+ X (C ) X (C ) = (+1) 1 + 1

g g 6 6 6

2 1 2 2 2 2 2 1 + 2 (-1) = + - = 0 = ,

6 6 6 6 6 6

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85/342

43

(1) *(1) (2) *(2)3 32 22 3 2 3

(3) *(3)322 3

2 3

c cc cX (C ) X (C ) + X (C ) X (C ) +

g g g g

cc 3 2 3+ X (C ) X (C ) = (+1) (+1) + (-1)

g g 6 6 6

2 3 2 6 6 1 + 0 (-1)= - + 0 = 0 = ,

6 6 6 6 6

m

(1) *(1) (2) *(2)2 2 2 22 2 2 2

(3) *(3)2 22 2

2 2

X (C ) X (C ) X (C ) X (C )

3 3 3X (C ) X (C ) 1 1 ( 1)

6 6 6

3 3 3 3 3 ( 1) 0 0 1 ,

6 6 6 6 6

c c c c

g g g g

c c

g g

+ +

+ = +

+ = + = =

(1) *(1) (2) *(2)3 3 3 33 3 3 3

c c c cX (C ) X (C ) + X (C ) X (C ) +g g g g

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86/342

44

(3) *(3)3 33 3

3 3

c c 2 2 2 2+ X (C ) X (C ) = 1 1 + 1 1 +

g g 6 6 6 6

2 2 2 2 2+ (-1) (-1) = + + = 1 = .

6 6 6 6 6Como:

( ) ( ) )C(X)(CX k*

k = , portanto, as demais relaes de

completeza so idnticas a essas demonstradas acima.-------------------------------------------------------------------------------------

Exerccio 2.3.3Verifique as relaes de ortogonalidade e

de completeza para as representaes irredutveis do grupo S3.-------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2.3.4 Construa a tabela de carteres do grupo

alternativo A4.

-------------------------------------------------------------------------------------Primeiro, vamos construir os elementos do grupo A4, que

formado pelas permutaes pares de 4 elementos. O nmero ( N ) deelementos desse grupo dado por:

n! 4!N = = =12

2 2,

assim constitudos:

=

4321

4321I ;

=

3412

4321A ;

=

2143

4321B ;

=

1234

4321C ;

=

2431

4321D ;

=

3241

4321E ;

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87/342

45

=

1342

4321F ;

=

4132

4321G ;

=

1423

4321H ;

=

42134321

J ;

=

31244321

K ;

=

23144321

L .

Para calcular a tabela de carteres desse grupo A4 sem

construir as representaes do mesmo, teremos de calcular

primeiramente as classes equivalentes dos elementos do grupo. Para

isso, vamos seguir o que foi feito no Exemplo 2.3.3. Assim, depois deum clculo simples, porm longo, mostra-se que:

C1= {I} ; C2= {A,B,C} ; C3= {D,F,J,K} ; C4= {E,G,H,L}.

Sendo o nmero de representaes irredutveis igual ao

nmero de classes ento, o grupo A4ter as seguintes representaes:

D(1), D(2), D(3)e D(4),

sendo X(1); X(2); X(3)e X(4), os carteres correspondentes.

Como as dimensionalidades das representaes satisfazem

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