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    1 Geor ge B " Dantz igUno d e lo s p ad re s d e la p ro gram ac io n lin ea l,r ama f und ament al d e l a i nv es ti ga cio n operativaINTRODUCCION A LAINVES'rIGACION OPERA'l'IV A

    En este capitulo se presenta una introducci6n a los conceptos generales de Investigaci6nOperativa (en adelante tOe), que provee el marco general con que se abordaran los problemas deoptimizaci6n en este libro. Se enfatizan los aspectos de modelamiento que son de gran importanciaen las aplicaciones practicas, En la secci6n 1"1" se mencionan algunos de los antecedentes quepermitieron el desarrollo de esta disciplina. En la secci6n 12. se discute la metodologia con que la1.0. aborda los problemas, esto es, la manera en que enfrenta, analiza e identifica los aspectosrelevantes de una situaci6n que son necesarios para construir un modelo y en la secci6n 1.3. seilustra, pOI'medio de algunos ejemplos, esta metodologia. En la secci6n 1A" se presenta la formageneral del problema de optimizacion, que es el tema central de este libra. Finalmente, en Ia secei6n1.5" se discuten algunos conceptos relacionados con la soluci6n de estos modelos y la complejidadque ellos pueden presentar, 1 0 eual incide en la eficiencia can que se pueden obtener soluciones.

    Se espera que al final de este capitulo, el lector sea eapaz de analizar un problema eidentificar sus aspectos mas relevantes utilizando la metodologia de 1.0., y tambien de establecer lapotencial complejidad que el problema posee desde el punto de vista de su resolucion.

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    2 Op tim i za cio /t y Modelos para la Gestion1.1. ; ,QUE ES LA INVESTIGACION OPERA TIV A?

    La Enciclopedia Britanica [Torno 8, pp. 964] define la investigacion operativa como "laaplicacion de metodos cientificos a fa administracion y gestion de organizaciones militares,g ub er namenta le s, c omer cia le s e industriales". Gass [1983] resume el concepto de investigaci6noperativa como la ciencia de la toma de decisiones y, en este sentido, la contribucion cientifica massignificativa es el desarrollo de modelos de apoyo a la toma de decisiones. Efectivamente, estadisciplina encuentra sus areas de aplicacion mas fuertes precisamente en los problemas de gestion endiversas organizaciones y se apoya en diferentes disciplinas cientificas, la mayor parte de las cualespertenece al ambito de la matematica aplicada.

    Una de las disciplinas principales de la Lo.. es la programacion matematica, El problemabasico que se trata aqui es el de encontrar el mejor valor de alguna medida de desempefio (funci6nobjetivo), siempre que las variables de decision involucradas cumplan adicionalmente ciertascondiciones 0 restr icciones, Este no es, desde luego, un problema nuevo. Uno de los problemas masantiguos de la humanidad ha sido precisamente el de asignar eficientemente recursos escasos. Suformalizacion, en terminos analiticos matematicos, es, sin embargo, un problema diferente. Algunosde los primeros tratamientos de este tipo de problemas se encuentran en Fourier y Lagrange,originados en los estudios de la mecanica. De hecho, Lagrange [1788] desarrolla formulacionesespecificas y determina condiciones para encontrar el mejor valor de funciones sujeto a cierto tipo derestricciones. Esto es 1 0 que hoy en dia se conoce como metodo de los multiplicadores de Lagrange,Desarrollos en el tema de programacion matematica surgieron tambien en el ambito de la economia;cabe citar a este respecto los trabajos de Walras [1874]. Uno de los conceptos mas interesantes es eldesarrollo de los modelos de crecimiento y de asignacion de recursos con caracteristicas lineales devon Neumann [1945]. En estos trabajos se encuentran los origenes de la programacion lineal.Igualmente importantes son los trabajos de Kantorovich [1939] y Leontief [1951] quienesdesarrollaron modelos de asignacion de recursos. En muchos de estos trabajos se establecieronrelaciones teoricas de importancia. Sin embargo, la necesidad practica de resolver muchos de estosproblemas tuvo su impulso final durante la Segunda Guerra Mundial. En muchos ambitos de lasoperaciones militares se abordaron problemas de gran tamafio destinados a resolver la asignacionoptima de los recursos y la correcta puesta en practica de la Iogistica. Varios de estos problemascorresponden a 1 0 que hoy conocemos como problemas de transportee Los primeros procedimientos"practices" para resolver tales problemas fueron desarrollados entonces. Posteriorrnente, Dantzigtrabaj6 en forma intensiva en un algoritmo especifico para problemas lineales mas generales: elalgoritmo Simplex, ver Dantzig [1951a, 1951b, 1951c y 1963], por ejemplo , El desarrollo poraqueUa misma epoca de los computadores electronicos dio un fuerte impulso a las tecnicascuantitativas de la investigacion operativa, en particular a la programaci6n matemat ica , Hoy en dia,estas son disciplinas de amplio uso en la resoluci6n de una gran cantidad de problemas de toma dedecisiones en las mas diversas organizaciones.

    1.2. ;,COMO SE USA LA INVESTIGACION OPERA TIV A?La metodologia que se aplica para enfrentar una situacion particular con el enfoque de

    m~r~stlgalcic,noperativa varia segun las caracteristicas de esta. Un marco muy general puede ser elque se discuten a continuacion.

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    Capitulo 1 In tro duc cio n a la In ve stig ac io n Op era tiv a 3Definicion del problema

    Definir el problema corresponde a identificar el ambito del sistema en estudio, establecer el(los) objetivo(s) del mismo e identificar las alternativas de decision del sistema.

    Para establecer el ambito es necesario desarrollar un modele conceptual del sistema que seesta estudiando. Esto consiste en identificar sus componentes y las relaciones existentes entre elIas,definir los lirnites 0 fronteras del mismo, el medio ambiente, y las posibles influencias de este sobreel sistema.

    Otro aspecto importante es establecer el objetivo del estudio. Para ello es posible estudiar elcomportarniento del sistema que se desea mejorar, a fin de detenninar los posibles problemasexistentes. Note que solo es posible observar sintomas de los problemas, y que ellos pueden teneruna 0 mas causas (las cuales deberian ser descubiertas en este proceso). Una vez identificado unconjunto de causas, se puede definir el objetivo especifico del estudio y proponer diferentes cursosde accion conducentes a obtener el mejoramiento deseado. Para esto, la Ln propane identificar lasdecisiones que son tomadas en el ambito del sistema y que son susceptibles de ser tomadas en formadiferente. Los objetivos especificos deben ser cuantificables a fin de poder evaluar la eficiencia y/oeficacia de las soluciones propuestas. Se denomina medida de efectividad el 0 los criterios quepermiten cuantificar los objetivos especificos.

    En las definiciones tanto del ambito como de los objetivos del estudio es importanteconsiderar los objetivos de la organizacion, del solicitante del estudio y de los participantesinvolucrados en las decisiones consideradas. En cuanto a la generacion de altemativas, la idea esseleccionar un numero reducido de ellas, las que se estime que son mas efectivas. Por alternativas desolucion, en este caso, nos referimos a lineas gruesas de accion consistentes con los objetivos delestudio. Las decisiones detalladas seran consecuencia del analisis. POI'ejemplo, en un problema dedistribucion de productos, cada modo de transporte posible (terrestre, aereo y maritimo) define unasolucion posible. Sin embargo, en esta etapa no es necesario establecer la proporcion de productosque utilizaran cada modo de transporte.

    Es importante destacar que para el desarrollo de 1 0 anterior no existe una metodologia; sinembargo, hay aspectos que es aconsejable tener en cuenta y que se discuten a continuacion:- La dim ension esp acial del sistem a: se refiere a los lirnites entre el sistema y el medio 0 marco dereferencia, POl' ejemplo, si se trata de un problema de produccion, el modelador debe definir si elsistema sera una planta 0 sucursal de la empresa, la totalidad de la empresa, el sector productivonacional, etc. Otro caso es e 1 de un problema de distribucion en diferentes modos de transporte. Si laempresa puede utilizar transporte terrestre, aereo y maritimo, se debe definir si se considerara ladistribucion que se realiza par uno de estos medias (solo el terrestre, por ejemplo), 0 si seconsiderara el conjunto de ellos.

    La dim ension tem poral del sistem a u horizonte: corresponde al periodo para el cual se hara eldisefio y al establecimiento de las unidades temporales dentro del periodo ..A modo de ejernplo,un modele de planificacion de la produccion puede tener un horizonte de un afio, pero este puedeser dividido en meses, trimestres, semestres, etc" Los subperiodos no tienen necesariamente lamisma extension. Se acostumbra a definir los primeros periodos mas cortos que los finales,puesto que la capacidad de prediccion disminuye bacia el final del horizonte,

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    4 Optimizacion y Mod elo s p ar a la G estio n

    - Nivel de las decisiones: corresponde a definir cuales son las decisiones que aborda el estudio ycuales las no abordadas. Aqui es importante diferenciar entre las decisiones estrategicas y lasoperativas. Las primeras comprometen, por 10 general, a gran parte de la organizacion y susobjetivos, y son de largo plazo. Las decisiones operativas estan focalizadas al interior de laorganizacion, el impacto sobre el resto de la misma es bajo y son de corto plazo, POI' ejemplo, si unaempresa decide instalar una nueva planta 0 desarrollar un negocio 0 producto nuevo; esta es unadecision estrategica. En cambio, la programacion de las maquinas, variaciones en el envase de unproducto, mejoras en la operacion de un servicio, son decisiones operativas,- Separab il idad de las decisiones: se refiere al grado de interrelacion que existe entre las diferentesdecisiones posibles de ser abordadas en el estudio. Esto esta intimamente relacionado con ladimension espacial del sistema y el nivel de las decisiones por considerar. Si bien las decisionestomadas en una componente del sistema generan siempre reacciones en las otras componentes, elgrade de influencia de la reaccion sobre la componente en cuesti6n puede ser distinto. Es posibleseparar componentes de un sistema cuando el nivel de influencia de las reacciones a las decisionestomadas en una componente es debit

    A modo de ejemplo, supongamos que se esta estudiando el comportamiento del flujovehicular en un cruce detenninado y que en una de las calles convergentes al cruce existe unsernaforo que los vehiculos enfrentan despues de pasar dicho cruce. Si este semaforo esta lejos delcruce, no producira efectos importantes sobre la congesti6n observada, POl' el contrario, si elsemaforo esta muy cerca del cruce, por ejemplo, a una cuadra, el efecto de la congesti6n producidapOI' el semaforo afectara la situaci6n en el cruce. En este caso, no es aconsejable estudiar elfenorneno de congesti6n en el cruce en forma independiente del semaforo.- Grado de precision numerica: se refiere al enor que se esta dispuesto a aceptar en los valoresnumericos de la solucion. Evidentemente, la solucion tendra por 10 menos el error que contienen losdatos. Es importante destacar que la incertidumbre esta presente en todos los ambitos y que los datosutilizados estaran siempre afectados pOI'algun grado de error (en la medicion, por ejernplo). Estoofrece dos opciones: la primera consiste en utilizar herramientas metodol6gicas que tomen en cuentala incertidumbre presente en el problema, como son los modelos matematicos estocasticos 0probabilisticos. La otra opci6n se refiere a situaciones en que la incertidumbre se puede considerar 10suficientemente pequefia como para despreciarla y poder entonces utilizar metodologiasdeterministicas. Este ultimo enfoque es el que se sigue en este texto.- Tiempo y recurso humano disponible: se refiere a los plazos establecidos para el estudio y alequipo de trabajo y sus caracteristicas: numero de personas, especialidad, presupuesto, etc.- Te cno log ia d is pon ib le : se refiere a las metodologias con que se cuenta y a las caracteristicas de losequipos computacionales, La selecci6n de la metodologia que se utiliza es irnportante, puesto queinfluye fuerternente en el enfoque con que se abordara el problema y en el tipo y calidad de lassoluciones, Se debe estudiar: la conveniencia de metodologias existentes y que se encuentrandisponibles como producto computacional comercial, versus desarrollar una nueva forma deresoluci6n; caracteristicas de los equipos computacionales existentes en la organizacion; costos ycaracteristicas de otros equipos; etc,

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    Capitulo 1 In tr od uc cio n a la In ve stig ac id n O p er ativ a 5Observamos que los aspectos antes mencionados son elementos que se deben tener en cuenta

    y que por 10 general, son recursivos y estan muy relacionados. Por 10 tanto, un modelador debera, almenos, plantearse estas interrogantes al momento de empezar su trabajo.

    Construccion del modeloUna de las principales caracteristicas de la 1.0. es la utilizacion de modelos matematicos en

    la resolucion de los problemas. Un modelo es una representacion idealizada de una situacion uobjeto concreto con un objetivo determinado, tal como un avion 0 automovil a escala, la maqueta deuna construccion, un mapa, etc" Los modelos de la figura 1,1, han capturado los elementosesenciales de los objetos representados, es decir, aquellos que permiten identificarlos y diferenciarlosde otros de su misma especie. Modelar una situacion, en base a los objetivos, implica capturar, pormedio de un proceso de abstraccion, los factores dominantes que deterrninan eI comportamiento delsistema en estudio.

    La calidad de un modelo, esto es cuan bien representa este la realidad, depende de lapercepcion, creatividad, intuicion, conocimiento e imaginacion del modelador, En la practica, no sepueden considerar todos los factores y todas las relaciones existentes entre ellos; por 1 0 tanto, debenseleccionarse aquellos que sean mas relevantes, esto es, aquellos que tengan un impacto significativosobre los objetivos establecidos. De este modo, un m odelo es una ap roxim acion de fa realidad.

    Figura 1.1.Modelo s d e o b je to s

    Los modelos matematicos emplean elementos matematicos en la representacion: simbolos,variables, funciones etc, Muchas de las aplicaciones de 1.0. utilizan este tipo de modelos paragenerar y evaluar altemativas de solucion.

    Los elementos caracteristicos de un modelo matematico son: variables, restricciones ymedidas de efectividad. Las restricciones y las medidas de efectividad expresan cuantitativa 0matematicamente las relaciones entre las variables. Las restricciones representan las limitacionesque debe imponerse a las decisiones consideradas. POI' otra parte, cada medida de efectividadcorresponde a un criterio que se utilizara para comparar distintas opciones de disefio. Esto es,establece cual es el criterio para eonsiderar una opcion mejor que otra. Las variables que intervienenen un modele pueden ser:

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    6 Opt imizacion y Mode lo s p ar a la G e stio n- V ariables de decision 0 endogenas: representan las decisiones cuantificables abordadas pOl' elestudio, cuyos valores se intenta determinar pormedio de la resolucion del modelo. Es posible, enalgunos casos, incluir en estas variables distintas opciones de disefio.- V ar ia ble s exogenas 0 pardmetros: representan aquellas decisiones que son 0 han side tomadasfuera del ambito del sistema considerado. Desde el punto de vista del modelo, estas variables sondatos que pueden tener comportamiento aleatorio 0 deterministico.

    De esta forma, resolver un modelo implica intentar determinar el valor de las variables dedecision de modo que se cumplan las restricciones y que se obtenga el mejor valor posible; es decir,que se optimice la funcion objetivo. Los modelos que optimizan la funcion objetivo se denominanmodelos de programacion matematica u optimizacion.

    - V aria ble s de e sta do : son variables que caracterizan la situacion en que se encuentra el sistema enun instante dado y su valor depende de las variables de decision y de los parametres.

    A pesar de 1 0 atractivo que puede resultar este enfoque, en la practica existen muchassituaciones donde las caracteristicas de las decisiones no permiten construir un modele matematicoadecuado. POI'o tro lado, aun cuando sea posible construir un modele maternatico, el grado decomplejidad y el tarnafio del rnismo pueden ser tales que no es posible resolverlo con las tecnicasmatematicas y los computadores disponibles hasta el momento.

    Otro tipo de modelos son los de juegos. Estos modelos se utilizan cuando en el sistemaconsiderado existen varias componentes que toman decisiones que estan interrelacionadas, Elmodelo permite evaluar una alternativa propuesta por uno de los tomadores de decision, perrnitiendola participacion activa de los otros tomadores de decision. Si, pOI' ejemplo, una empresa deseaestudiar el efecto de lanzar al mercado un producto nuevo, puede representar el comportamiento dela competencia pOI'medio de tecnicas de la teoria de juego, donde las empresas de .la competenciason los otros jugadores. Este enfoque ha sido aplicado preferentemente como una herramienta quepermite aprender y comprender el comportamiento de sistemas complejos. Estos modelos requierenun menor grade de abstraccion que los anteriores. En la practica, la dificultad de su aplicaci6n resideen los problemas que presenta el disponer de informacion valida para el modelamiento delcomportamiento de los distintos "jugadores".

    Un enfoque diferente para abordar sistemas complejos es la sirnulacion. En un modele desimulacion, las relaciones entre las decisiones no requieren ser expresadas explicitamente comofunciones matematicas. Las componentes del sistema se pueden relacionar en forma l6gica. Esteenfoque permite replicar el comportamiento del sistema bajo condiciones dadas. Los resultados son,generalmente, un conjunto de medidas 0 indicadores de desempefio, seleccionados de manera tal quepermitan evaluar el comportamiento del sistema. De esta forma, es posible evaluar la respuesta delsistema ante un conjunto de condiciones, previamente disefiadas, 1 0 que ayuda a cornprender mejorel comportamiento del mismo y permite seleccionar de entre las altemativas experimentadas la quese considere mas adecuada. Es importante destacar que el espiritu de un modele de simulacion no esoptimizar, sino r e produc ir compo rt am i ent o, es decir, simular. Esto se realiza, generalmente, en elcornputador .

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    Capltulo 1 Introduccion a fa I nv es tig ac io n Ope ra tiv a 7Finalmente, estan los prototipos. Este enfoque opera directamente con el sistema real bajo

    estudio. Se disefia un conjunto de experimentos 0 altemativas que seran ensayados en el sistemareal, evaluando e interpretando los resultados, Por ejemplo, si se desea determinar el numero decajeros que se debe tener en un superrnercado, de modo que el costa de operacion del sistema noexceda una cantidad dada y que el tiempo de espera de los clientes sea 1 0 menor posible, se puedeexperimental' can varias altemativas, ensayando cada una durante un tiempo en el supermercado yevaluando los resultados, La interpretacion de los resultados debe ser cuidadosa, puesto que elnumero de altemativas examinadas debe ser reducido, a causa del (eventualmente) elevado costo deexperirnentar con el sistema real.

    Hacemos notar que actualmente en muchas aplicaciones la simulacion es utilizada comoaltemativa frente a los prototipos. En la actualidad, la enorme capacidad computacional permiterealizar simulaciones complejas a menor costa que la intervencion directa sobre el sistema real. Laindustria aeroespacial es un buen ejernplo de esto: el uso de sofisticadas herramientas de disefio ysirnulacion permite experimental' variadas situaciones que antiguamente requerian tuneles de viento.

    De acuerdo al grade de abstracci6n que requieren los diferentes tipos de modelos, se puedenclasificar en el orden mostrado en Ia figura 1.2,

    ModeloMaternatlco

    Juegos Sirnulaci6n Prototipo

    crece grado de abstracci6nFigura 1.2. G ra do d e a bs tra cc io n d e lo s m o de lo s.

    La seleccion del tipo de modelo que se ha de utilizar en una situaci6n dada, dependera de lacomplejidad de la situaci6n planteada, del tiempo y la tecnologia disponible para obtener unasoluci6n. Otro factor importante en la seleccion del tipo modele es el costa (de desarrollo eimplementacion). En el capitulo 2 se aborda con mas detalle el proceso de modelamiento y sepresentan modelos matematicos de apoyo a la gesti6n en divers as situaciones.

    Resoluclon del modeloDeterminar la solucion de un modele matematico consiste en deterrninar los valores de las

    variables de decisi6n de manera que se cumplan las limitaciones 0 restricciones consideradas y quese optimice la medida de efectividadleficiencia establecida. Para el profesional experimentado, estaetapa es, poria general, sencilla puesto que se trata de seleccionar y aplicar 1atecnica mas adecuadapara el modelo. Muchas de las tecnicas de investigacion operativa se encuentran disponibles en

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    8 Optimizacion y Modelos pam la Gestio"paquetes computacionales comerciales. Sin embargo, para problemas complejos, en muchasocasiones es necesario desarrollar metodologias especializadas de solucion.

    Las soluciones pueden obtenerse de diversas formas, dependiendo de las caracteristicas delmodelo:

    - Solucion analitica: el valor de las variables de decision se establece explicitamente en funcion delos parametres del modelo por medio de operaciones de calculo y algebra.- Solucion numerica: los valores de las variables de decision, en este caso, se obtienen por mediode procedimientos denominados algoritmos 0 metodos. Estos procedimientos son general menteiterativos, esto significa que dada una solucion inicial, que puede 0 no cumplir con las restricciones,en cada iteracion los valores de las variables se modifican de modo de mejorar el valor de la medidade efectividad asociado. Cuando la tendencia de las nuevas soluciones examinadas es a mejorar elvalor de la medida de efectividad, entonces, pOI' 1 0 general, el procedimiento converge a unasolucion. Gran parte de este libra esta dedicada a la resolucion de modelos matematicos por mediode procedimientos denominados algor i tmos ,

    Sin embargo, no es posible resolver todos los modelos maternaticos por medio de algoritmos.Esto se debe, por una parte, a que en algunos problemas, la rapidez de convergencia de losalgoritrnos disponibles es lenta, es decir, se requiere un gran mimero de iteraciones para obtener lasolucion optima y, ademas, cada una de ellas requiere un gran esfuerzo computacional. POl' otraparte, la complejidad del modelo puede ser tal que resulte imposible obtener computacionalrnenteuna solucion optima. Para algunas de estas situaciones se han desarrollado procedimientosdenominados heuristic as, que son tambien iterativos, pero que no garantizan optimalidad de lasolucion, tratan solo de determinar buenas soluciones y se basan en reglas simples. Este tipo demetodos se puede utilizar como parte de algoritmos optimizantes, a fm de acelerar la convergencia,o bien para obtener soluciones aceptables no necesariarnente optimas. En la seccion 1.5. se discutencon mas detalle los conceptos de algoritmos, metodos y complej idad ,

    Ademas de la solucion del modelo, es conveniente proveer informacion acerca delcomportamiento de esta ante variaciones en los valores de los parametres del modele. Este analisis,denominado analisis de sensibilidad, permite determinar cuales son los parametres criticos delmodelo. En la practica, gran cantidad de los valores de los parametres posee incertidumbre, es decir,son estimaciones, en cuyo caso es necesario estudiar el comportamiento de la solucion obtenida antepequef ias perturbaciones de los valores estimados, particularmente para los mas criticos, "

    Validaci6n del modeloSe trata de analizar la capacidad del modele para predecir razonablemente el desempefio del

    sistema ante diversas altemativas de decision. El mejor modele es aquel que mejor predice y noaquel que se ajusta mejor a los datos. En primer lugar, es necesario verificar si la solucion esrazonable, para enseguida realizar pruebas de consistencia, validez de los supuestos, etc. Un modelopuede resultar que no es valido debido a que, pOI"ejemplo, se omitieron variables 0 relacionesrelevantes, se incluyeron variables 0 relaciones no pertinentes, relaciones inadecuadas 0inconsistentes, valores de los datos estimados incorrectarnente 0 con un error mayor que el

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    Capitulo 1 In tr od uc cid n a la In ve stig ac io n O p e ra tiv a 9aceptable, etc"Mientras el modele y su solucion no se consideren satisfactorios, deben efectuarse las. .correcciones necesanas.

    Para verificar si el modelo responde a las expectativas, en el sentido de entregar el tipo deinformacion que se espera, se acostumbra a analizar inicialmente la solucion para instancias 0versiones del modelo de tamafio pequefio. Si estos resultados son aceptables, realizar enseguida unanalisis de escenarios, esto es, estudiar la respuesta del modele ante diferentes situaciones posibles.

    Para los sistemas que estan operando, la metodologia tradicionalmente utilizada para validarun modelo consiste en una prueba retrospectiva, esto es, estudiar la capacidad del modele parapredecir la situacion actual, a partir de datos de periodos anteriores. El modelo se considerara validosi es capaz de reproducir el comportamiento del sistema en el pasado. Surge, entonces, la pregunta:l,el sistema se cornportara en el futuro, de la rnisma forma que en el pasado? Otra alternativa esprobar e 1 modelo con conjuntos de datos experimentales, es decir, que caracterizan situacionesdisefiadas para tal proposito.

    Para sistemas que no estan operando pueden utilizarse datos experimentales 0 bien datosobtenidos de un modele de simulacion.

    Implementacion y control del modeloUna vez desarrollado el estudio y validado el modelo, este y sus soluciones deben

    transformarse en herrarnientas de apoyo a la toma de decisiones en la organizacion. Esto implicarealizar 1 0 siguiente:- Establecer procedimientos (manuales y/o computacionales) al interior de la organizacion queaseguren la disponibilidad de los datos que el modele requiere, en forma oportuna y con la debidaconsistencia.- Establecer procedimientos que permitan, con los datos, resolver el modelo y obtener asi lars)solucionres). Esto corresponde, entre otras cosas, a la implementaci6n computacional de losalgoritmos 0 metodos desarrollados 0 a la instalacion y puesta en marcha del software comercial quese considere apropiado.- Establecer los procedimientos que perrnitan transformar las soluciones propuestas por el modeloen acciones especificas en Ia organizacion.

    Dado que el modele se construye sobre un conjunto de supuestos, al implementar la soluciony utilizarla repetidamente en el tiempo, es necesario establecer un sistema de con11'01que permitadetectar cualquier desviacion de los supuestos. Esto permitira efectuar oportunamente lasmodificaciones que correspondan, cuando los cambios sean significativos.

    Por ejemplo, si se considera el sistema de despacho de productos de una empresa, esta puedeestar interesada en hacer mas eficiente el ruteo de vehiculos de transporte, esto es, disefiar rutas demodo que el reparto se realice en menos tiempo y, pOI'1 0 tanto, a menor costo, El problema de ruteode vehiculos puede ser resuelto mediante algoritmos de programacion matematica y/o heuristicasque no es necesario comentar en este momento.

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    10 Optimizacion y Modefos para fa Gestioll

    La primera etapa de la implementaci6n, en este caso, requiere establecer la forma de proveeral modelo con las necesidades de despacho a distintos lugares, la disponibilidad de productos, ladisponibilidad de vehiculos y los tiempos de viaje entre los distintos lugares de entrega y 1aplanta.Los tres primeros deben actualizarse cada vez que se desea efectuar una programacion. En cambio,los tiempos de viaje tienen caracteristicas mas permanentes en el tiempo. La segunda etapa consisteen Ia implementacion computacional de los metodos de soluci6n, construcci6n de la interfaz entre elsoftware y los usuarios y puesta en march a del(os) sistema(s) en el lugar donde seran tomadas lasdecisiones. La tercera, implica el disefio de los procedimientos administrativos necesarios paraejecutar las decisiones tomadas, basandose en 1a solucion del modelo. POl' ejemplo, establecer elformato y contenido de las hojas de ruta y otros formularios, entrenar al personal en la gesti6n delsistema, manuales de usuario, etc.

    Hacemos notar que la soluci6n del modelo debe set' analizada por el tomador de decisiones,quien podra modificarla incorporando, en la decision final, elementos que no se han considerado enel modelo. Tal seria el caso, por ejernplo, si en el sistema de distribuci6n anterior, un camion sufreun desperfecto mecanico durante su itinerario de reparto. El tomador de decisiones tarnbien podriamodificar algunas de las rutas sugeridas pOl'el modelo a fin de cumplir con determinados criterios 0compromisos con los clientes y/o transportistas.

    En el ejemplo, uno de los datos clave son los tiempos de viaje que son de caracter maspermanente en el tiempo que los otros datos. Sin embargo, es necesario diseiiar mecanismos demonitoreo y control del sistema que permitan detectar cambios significativos en los supuestos, Eneste caso, un incremento sostenido de la congestion vehicular' en la ciudad puede llevar a quedespues de algun tiempo sea necesario revisar y actualizar los valores utilizados inicialmente paralos tiempos de viaje.

    Para finalizar, es conveniente destacar algunos puntos importantes en el desarrollo desistemas de apoyo a 1agest ion, Existen experiencias de aplicaciones de 1.0. en situaciones reales queno han tenido exito. A nuestro juicio, las principales causas de estos fracasos se podrian resumir endos: falta de integraci6n e interacci6n entre el equipo de desarrollo y las personas que estaran a cargode la operacion del sistema en la organizacion y problemas de disefio, particularmente de la interfazcomputacional con el usuario. Lo anterior esta avalado pOl'las tendencias modernas en el ambito deldisefio de sistemas que incorporan la participacion del usuario/operador durante el desarrollo delproyecto, Esto garantiza no solo que el disefio final corresponda a los requerirnientos del c1iente,sino que tarnbien permite una deteccion mas oportuna de errores y su correccion. El efecto neto esuna disrninuci6n en el tiempo total de desarrollo del sistema y la construcci6n de un producto quepuede ser utilizado de inmediato y con alta confiabilidad. Respecto a la interfaz, es importante queesta provea un medio facil, rapido y amistoso para ingresar los datos del modelo y para interpretarsus resultados.

    A continuaci6n, se ilustran algunos de los elementos discutidos en esta secci6n con unasituacion particular' que se conoce genericamente como problema de transporte.

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    Capitulo 1 In tr od uc cio n a la In ve stig ac io n O p er ativ a 11Ejemplo 1: Un problema de transporte1.Introducclon

    Una gran corporacion minera posee refinerias de cobre de distintas capacidades productivas,Varios puertos a 1 0 largo de la costa deben embarcar cada mes deterrninadas cantidades de metalpara satisfacer la demanda extema. Dado que los niveles de produccion en las refinerias sondiferentes; que los requerimientos en los puertos tambien son distintos entre si y que ladisponibilidad de vias de distribucion (carreteras y ferrocarril) varia segun Ia epoca del afio porrazones climaticas, es evidente que la rnejor estrategia de distribucion del cobre no esnecesariamente aquella que abastece un puerto desde la refineria mas proxima.

    En este problema es necesario compatibilizar las necesidades de embarque con la produccionde las refinerias de la "mejor" forma posible, Para ello se requiere determinar la cantidad de metalque cada refineria envia a cada puerto en cada mes. Si en algun mes, la capacidad productiva esmenor que los requerimientos del mismo mes es posible enfrentar este deficit temporal produciendomas cantidad que la requerida en alg(m(os) mes(es) anteriortes). l .Como se comparan entre S I lasdistintas altemativas de solucion? Se necesita un criterio que permita compararlas ..En este caso, uncriterio posible es el costa del sistema, otro criterio pOI' considerar podria ser el porcentaje dedemanda cubierta (satisfecha) 0 bien el volumen total de metal ernbarcado.

    2. Definicion del problema2.1" Definicion del nivel de decision: se puede considerar la decision respecto de cuanto y cuando

    producir conjuntamente con la de cuanto enviar desde cada refineria a cada puerto ..Alternativamente, las decisiones de produccion podrian ser tomadas en forma exogena alsistema y en este caso solo es relevante la decision de cuanto transportar entre refinerias ypuertos.

    2.2. Dimension espacial del problema: se debe establecer si las refinerias pOI' considerar serantodas las que la corporacion posee en el pais, 0 bien si se restringira a un subconjunto deellas: las que estan en una determinada region, en dos regiones, etc.

    2.3. Dimension temporal del problema: se refiere al horizonte de tiempo que se considerara en elestudio, pudiendo ser, en este caso, uno 0mas aiios subdivididos en meses, 0 bien uno 0masmeses.

    2A Separabilidad de las decisiones: como se menciono anterionnente, las decisionesrelacionadas a los niveles de produccion podrian ser tomadas en forma separada de lasdecisiones relacionadas con la distribucion del metal. Esto se puede hacer cuando lasdecisiones de produccion estan fuertemente ligadas a politic as estrategicas de la corporacion,las cuales tienen mas importancia que las decisiones relativas a la distribucion, que songeneralmente consideradas de nivel tactico u operative.Otro factor que se debe tener en cuenta, al separar las decisiones, es la dimension espacial. Silas decisiones de distribucion de cobre en algunas regiones son independientes de las de otrasregiones, entonces es posible descomponer el problema en subproblernas, cada uno de estesasociado a la distribucion de metal del conjunto de regiones que interactuan entre si.

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    12 Optimizacion y Mode fo s p ara fa Gestion

    Igualmente, se pueden considerar en forma conjunta ambos medios de transporte: camiones yferrocarril, 0 bien separadamente, Tal seria el caso, por ejemplo, cuando existen contratos devolumen comprometidos con alguno(s) de los medios de transporte.

    2.5.. G rado de prec ision num erica: en este tipo de problemas existen parametres, como lademanda (0 ventas) que son estimados y que, por 1 0 tanto, tienen algun grade de error 0incertidumbre. Lo mismo ocurre con otros parametres, aunque en men or grade, por ejemplo,con los tiempos de viaje entre diferentes localidades. POl'esta raz6n, muchas veces, no sejustifica buscar soluciones con un grade de precision excesivamente alto.

    2,6. Tiempo, recurso humano y tecnologla disponible: problemas de este tipo que involucrandecisiones tacticas/operativas y rutinarias justifican, en muchos casos, invertir en recursosque permitan obtener buenas soluciones en forma oportuna, puesto que los ahOI'I'Osque setendran a 1 0 largo del tiempo suelen compensar con creces la inversion inicial.En los capitulos siguientes se discuten con mas detalle modelos y tecnicas que permiten

    abordar problemas de distribucion 0 transporte, como el descrito aqui.

    Las disciplinas de la investigacten operativaLa LO. en su evolucion a 1 0 largo del tiempo puede visualizarse como un conjunto de

    disciplinas complementarias. Entre las mas importantes se pueden mencionar:Programaci6n matematica U optimizaci6n que incluye un conjunto de conceptos y tecnicaspara abordar el problema de determinar los valores de las variables de decision de un modelo,de modo que se obtenga, por un lado, el mejor valor de alguna(s) medida(s) de rendimiento 0efectividad y que, por otro lado, cumplan con las restricciones impuestas en el modelo. Cuandoel modele contiene mas de una medida de rendimiento, se habla de programaci6n matematicamulticriterio; y cuando contiene s610 una, se trata de prograrnacion matematica unicriterio. Porotra parte, la consideracion explicita de la incertidumbre en los modelos trae consigo diferenciasmetodo16gicas importantes en el tratamiento de estes con respecto al case en que no seincorpora explicitamente la incertidumbre. De esta forma, se identifican dos areas especificas:programaci6n maternatica deterministica y programaci6n matematica estocastica.Programaci6n dinamica; que es una tecnica que aborda la resoluci6n de los problemasidentificando estructuras dinamicas entre las variables de decision, por ejemplo, problemas quedescriben la evoluci6n en el tiempo de cierto sistema cuyas condiciones, en un periodo,dependen del estado del sistema en el periodo anterior,Teoria de colas: esta vasta disciplina se ocupa de tecnicas y conceptos que permiten abordarproblemas cuyo modelo basico es el de una cola 0 fila de entidades que esperan ser atendidaspor un servidor. Una enonne cantidad de situaciones practicas se puede ubicar dentro de estemarco, Esta teoria provee las herramientas para estudiar el comportarniento de estos sistemas,Simulaci6n: es una disciplina, como ya se ha dicho, que pennite el estudio de sistemascomplejos, mediante el uso del computador, con el objeto de reproducir su comportamiento y,

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    Capitulo 1 In tr oduc cio n a la In ve stig ac io n Ope ra tiv a 13adernas, permite incorporar tanto relaciones maternaticas como relaciones logicas entre lascomponentes del sistema.Teoria de juegos: aborda problemas donde dos 0mas agentes intentan a1canzar cierto estado deequilibrio.

    EI impacto de la lnvestigaclon operativa en la gestlon modern aLa 1.0. ha tenido un enorrne impacto en la gesti6n de las organizaciones, aunque en

    numerosas oportunidades se ha cuestionado su verdadera utilidad. En efecto, muchos de los grandesmodelos desarrollados en los a iio s 6 0 y 70 no pudieron ser resueltos satisfactoriamente a causa deque los recursos computacionales existentes entonces resultaron insuficientes. Sin embargo, lasituaci6n hoy en dia es diferente, ya que el gran desarrollo de las herramientas computacionales, asicomo la introduccion de nuevos conceptos y teorias han permitido resolver en forma exacta 0aproximada muchos de esos problemas que eran originalmente intratables. De la misma forma, losnuevos productos computacionales permiten construir, a un costo aceptable y en un tiempoconsiderablemente menor, interfaces adecuadas y amistosas, tanto parael ingreso de los datos comopara la interpretacion de las soluciones de los modelos.

    POI' otro lado, la alta competitividad que actua1mente enfrentan las empresas en algunossectores ha provocado que los margenes de utilidad se reduzcan considerablemente, dejando menosgrados de libertad para los problemas de gestion. En este ambiente, los modelos de Lf). hanmostrado ser excelentes herramientas de apoyo a la toma de decisiones en diferentes niveles,superando ampliamente a los procedimientos intuitivos 0 basados en la experiencia, Una revision dela literatura reciente en algunas de las publicaciones periodicas importantes del area, comoOpe ra tio n s R es ea rc h e Interfaces entre otras, perrnite apreciar el gran exito que sigue teniendo la1.0. en la practica.

    Los problemas de gesti6n que enfrentan grandes organizaciones de transporte, como laslineas aereas (ver Smith et als. [1992], por ejemplo) constituyen una de las areas destacables de losultimos afios, En este sector se han desarrollado nuevos metodos para la gestion de los sistemas dereservaciones y de asignacion de flotas y tripulaciones. Otra area de gran impacto ha sido 1alogistica, particularmente los problemas de despacho y ruteo de vehiculos. En este ambito, much asempresas estan alcanzando ventajas competitivas importantes, gracias a las tecnicas de 1.0. quepermiten un manejo mas eficiente de sus sistemas. Un ejemplo de esto en Chile son los sistemas dedespacho de camiones desarrollados por A Weintraub y R Epstein (Weintraub y Bare [1996],Weintraub et als. [1996] y Epstein et als>[1999]) que se encuentran en operacion en varias empresasforestales del pais, Estas aplicaciones fueron merecedoras del premio Edelmann en el afio 1998.Invertir esfuerzos, tiempo y recursos en mejorar la gestion de operaciones rutinarias se justificapuesto que su aplicacion repetitiva reportara ahorros significativos en el mediano 0 largo plazo. Unatabla resumen sobre aplicaciones destacadas de la 1.0. en los ultimos afios se puede consultar en lapagina 5 de Hillier y Lieberman [1997].

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    14 Optimizacioll y Modelos para fa Gestien;,De que trata este libro?

    Las disciplinas mencionadas anterionnente han sido estudiadas por una gran cantidad deinvestigadores y aplicadas a diversas areas, Este libro se concentra en las dos primeras, es decir,programacion matematica y programacion dinamica, desde un punto de vista deterministico yunicriterio. Estas areas de la 1.0. estan entre las que han tenido mayor desarrollo y aplicacion, ycuentan con herramientas que permiten abordar, con la misma estrategia, tanto problemas simplescomo complejos. Esto es util, para lectores que estan siendo introducidos a los temas propios de laLn., puesto que permite emplear el enfoque inductivo, Deseamos enfatizar que aplicaremos estastecnicas en la resolucion de modelos de apoyo a la gestion, los que seran abordados con mas detalleposteriormente.

    1.3. ANALISIS DE ALGUNOS CASOS INTRODUCTORIOS1.3.1. Asfgnacion de Horarios a Cursos1. Introducclen

    A continuacion se discute el problema de asignacion de horarios a cursos en una institucionque tiene regimen curricular' flexible, En este tipo de regimen curricular, la determinaci6n de loshorarios de clases es un problema complejo, dado que deben compatibilizarse factores como:disponibilidad horaria de los profesores, necesidad de los alumnos de tomar simultaneamente varioscursos, disponibilidad de salas de clases, consideraciones de caracter pedagogico como por ejemplo,que se puede realizar a 1 0 mas una cIase de un mismo curso pOI'rna,

    Con el objetivo de comprender mejor la situacion, se considerara el caso de una Escuela deIngenieria formada pOI'varios departamentos. En esta Escuela, cada semestre se dicta un conjunto decursos, Cada uno de elIos requiere de un horario y una sala disponible en ese horario, ademas delprofesor y los alumnos. Algunos cursos tienen varias secciones. Las decisiones asociadas a laasignacion de horarios son l,que cursos dictar en el semestre?, l,cuantas secciones requiere cadacurso?, l,quien dicta el curso?, l,que horario asignar a cada curso/secci6n? y l,que sala asignar a cadacurso/secci6n? Para tomar estas decisiones es necesario tener informaci6n de: el mimero de clasessemanales de cada CUI'SO, los conjuntos de cursos que los alumnos deben 0 desean cursarsimultaneamente, horario disponible de cada profesor, numero de alumnos por curso, capacidad delas salas de clase, etc,

    Cada departamento de la Escuela (Quimica, Matematicas, Ingenieria Industrial, IngenieriaElectrica, etc.) asigna los horarios de los cursos que dicta y que corresponden a cursos deespecialidad; en cambio, la Direccion de la Escuela, en forma centralizada, asigna los horarios a loscursos de Plan Comun, 1 0 que corresponde aproximadamente a los 6 primeros semestres de lacarrera,

    En Ortiz [1989] se presenta un estudio detallado de este problema para el Departamento deIngenieria Industrial de la Universidad de Chile.

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    Capitulo 1 Introduccion a la Investigacion Operativa 15

    F ig ur a 1 .3 . Ho ra rio s d e clases

    l.Cmindo un horario es mejor que otro? Se pueden considerar diversos criterios pararesponder esta pregunta. Desde el punta de vista de los alumnos, un huen horatio es aquel que lespermite tomar todos los cursos que desean; mejor aim si el horatio resultante para cada alumno tienelas clases concentradas en algun momento del dia, por ejemplo, en la manana, En este caso, elhorario deberia ser tal que maximice el mimero de cursos que tienen clases en la manana 0 queminimice el numero de horas libres. Otra forma de analizar esto es asumir que conseguir un horariosin topes es dificil dadas las Iimitaciones (en algunos casas, irnposible), y que, par 10 tanto, se tratarade disefiar un horario tal que minimice el numero de cursos que tienen topes (y que los alumnosdesean tamar simultaneamente). Desde el punta de vista de los profesores, un huen horatio es aque1que les asigna clases en los dias y las horas por las que ellos tienen preferencia.

    2. Definicion del problema2.1. Definicion del nivel de decision: se puede considerar la situacion mas simple, es decir, quesolo se desea decidu' el horatio que tendra cada curso, 1 0 que implica que las otras decisiones

    son tomadas previamente, 0 sea se consideran undato del problema. Esto quiere decir que sedispone de un numero siempre suficiente de salas y de una lista de los cursos que se debendictar y del numero de secciones de cada uno, as! como los profesores que dictaran cadacurso, La lista de cursos y secciones puede ser elaborada por el jefe de carrera 0 la entidadque corresponda,Por otro lado, se pueden considerar varias de las decisiones anteriormente enunciadas encanjunto, como par ejemplo: decidu' el horatio y las salas; decidir el horario, salas y mnnerode secciones; decidir horario, salas, numero de secciones y cursos, etc.

    22. Dimension espacial del problema: esta relacionada can el numero de departamentos que seincluiran en el problema; para estos efectos se puede considerar al Plan Comun como undepartamento mas. Se debe establecer si el sistema se considerara formado pOl' solo undepartamento, un subconjunto de ellos, a bien todos los departamentos de la Escuela.

    2.3. Dimension temporal del problema: se refiere al periodo de tiempo par'a el cual se hara eldisefio. En el caso particular' de la Escuela de Ingenieria, dado que el curriculo es semestral,el periodo natural es un semestre si solo se consideran las decisiones respecto a horarios y/o

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    16 Optimizac ion y Modefos para fa Gestidnr

    salas. En cambio, si ademas se consideran las decisiones de numero de secciones y/o cursos,el periodo puede ser un afio 0mas.

    2.4. Grado de separabilidad: existen departamentos que tienen mas interrelaciones que otros.Como pOI' ejemplo, el de Ingenieria Industrial y el de Ingenieria Q uim ica, S i existe unnumero importante de alumnos que toman simultaneamente cursos de ambos departamentos,es conveniente que los horarios de esos cursos sean decididos en fo rm a conjun ta, O traopcion consiste en asignar los horarios a los cursos que tienen mas alumnos prirnero, yenseguida mediante la utilizacion de esta informacion asignar los horarios a los cursos menosnumerosos .

    2S Gradodeprecision numerica: si el numero de cursos que cada alumno desea tamar tiene unalto grado de incert idumbre, la construccion de un horario sin topes 0 con una cantidadpequefia de topes puede resultar irnposible. POI'otro lado, si el numero de alumnos pOl'cursocontiene un error apreciable, la decision respecto de las salas, basada en los horariosasignados, puede resultar inadecuada.

    1.3.2. Localizacion de Maquinaria de Cosecha Forestal1. Introducci6n

    La industria forestal es uno de los sectores donde los modelos y tecnicas cuantitativas hansido ampliamente aplicados para apoyar decisiones a diferentes niveles. A nivel estrategico, unaempresa forestal toma decisiones sobre la plantacion, es decir, sobre que especies plantar, y donde ycuando hacerlo, etc, Del rnismo modo, se c on sid er an e str ate gic as las decisiones relativas ainversiones mayores, como son Ia construcci6n de plantas de celulosa, puertos, etc. Los horizontesde planificacion son tipicamente de tres a cuatro decadas. A nivel tactico, en un horizonte dealgunos afios, se consideran decisiones sobre el manejo y cosecha de las plantaciones ya maduras,esto es, cuando y cuanto cortar en una corta parcial 0 poda del bosque, y cuando cosechar. Tambienen este nivel se encuentran las inversiones en infraestructura vial (construccion de caminos).Finalmente, a myel operativo, los plazos son de algunos meses (una temporada de cosecha) y lasdecisiones estan relacionadas con la forma en que un detenninado bosque es cosechado, utilizandola maquinaria e infraestructura vial disponibles. Este Ultimo es el problema que se describe acontinuacion. En Vera et a ls . [ 1 99 7] se presenta una discusi6n detallada del problema y se prop oneun enfoque de resolucion.

    Figura 1.4. B osq ue d e p in os.

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    Capitulo 1 In tr od uc cid n a la In ve stig ac io n O p er ativ a 17En cierta region de bosque, como la que se muestra en la figura 1.4., que se desea explotar se

    necesita estudiar la localizacion de la maquinaria de explotacion forestal y las construcciones decaminos de acceso a la region> La explotacion a myel operativo se realiza en Chile utilizando dostipos de maquinaria: tractores especiales llamados "skidders", que recogen los troncos cortados y losacumulan en ciertas areas bien delimitadas, y gruas que arrastran los troncos hasta las zonas deacopio llarnadas torres de madereo. Paralelarnente deben construirse carninos al interior del bosqueque permitan el transporte de la madera hacia las areas de salida. Estos caminos se construyen a unestandar adecuado para el transito de camiones pesados. La figura 1.5. muestra la maquinariarnencionada.

    Los costos involucrados son: costos de instalacion de equipos, de construccion de caminos,de transporte y explotacion de la madera. Las decisiones anteriores se deben tomar de manera deminimizarlos costos totales.2. Definicion del problema2.1. Definicion del nivel de decision: como se menciono antes, la explotacion forestal involucra

    decisiones estrategicas, tacticas y operat ivas, En el estudio citado se aborda este ultimo tipode decisiones, esto es, donde localizar la maquinaria de explotacion y que carninos deacceso construir para sacar la madera del bosque.

    Figura 1.5. Maq uin aria d e c os ec ha fo re sta l: sk id de r y to rre d e m a de re o.

    2.2. Dimension espacial del problema: una empresa forestal generalmente posee varias regionesde bosque, geograf icamente disjuntas. Por 1 0 tanto, es necesario establecer si el sistema quese estudiara esta formado pOl'todas las regiones que posee la empresa, pOI' algunas de ellas,o solo por una region.

    2.3. Dimension temporal: dado que la madera cortada debe ser transportada hacia los centros deacopio 1 0 antes posible (al men os durante el mismo periodo en que se corta) , resultaapropiado considerar el problema para una temporada de explotacion,

    2A Grado de separabil idad: los autores del estudio consideran en forma conjunta las decisionesde localizacion de maquinaria y disefio de la red de caminos intemos de acceso, Par otro

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    10 opamtzacton Y moaetos para LaGestionlado, es posible abordar, primero, el problema de Iocalizacion, para, enseguida, conociendola ubicacion de la maquinaria, construir los caminos. Tambien es posible resolver ambos enforma separada, 1 0 que no garantiza compatibilidad entre las soluciones obtenidas. Por mediode procedimientos apropiados, denominados heuristicas, se puede lograr algun grade decoherencia entre las soluciones. Obviamente, cualquier enfoque que implique separacion delas decisiones, conducira a decisiones suboptimas, puesto que ellas estan relacionadas. Sinembargo, si el problema que integra ambos tipos de decisiones resulta inmanejable en lapractica, ya sea pOl' su complejidad 0 por su tamafio, sera necesario separarlas y aceptar unasolucion que no es necesariamente optima,

    2.5. Grado de precision numerica: en problemas como este, los costos considerados estannormalrnente basados en estimaciones promedio y los costos reales suelen diferir de esasestirnaciones, a veces, en cantidades importantes. Por esta razon, no parece necesario obtenersoluciones extrernadamente precisas, 10 que simplifica la busqueda de soluciones aceptables,

    2.6. Disponibilidad de tiempo, recurso humano y tecnologia: en este tipo de situaciones, como enmuchas otras, las cantidades monetarias involucradas son importantes , De ahi que sejustifique invertir recursos en buenos modelos y tecnicas de resolucion, ya que los ahorrosobtenidos en el tiempo compensan largamente la inversion.

    1.3.3. Reemplazo de Equipos de Gran Valor1. Introducchin

    Las operaciones en la gran mineria del cobre pueden ser consideradas de una altacomplejidad, La gran mayoria de dichas operaciones involucran equipos cornplejos, especializados,y en general de alto valor, que interactuan en procesos altamente dependientes. Chile es uno de lospaises donde ha existido gran desarrollo en las operaciones mineras: mejores procesos productivos ymejoramiento de su gestion han caracterizado el desarrollo en las ultimas decadas. No obstante, laalta competencia a nivel mundial, requiere de constante y progresivo esfuerzo por mejorar losprocesos, la calidad de los productos, y reduccion de costos. En Bosch y Varas [1999J se presentaun estudio detallado de este caso.

    Ese estudio fue realizado en una de las mayores minas de cobre a tajo abierto de Chile y delmundo, la mina de Chuquicamata que se rnuestra en la figura 1.6. Las caracteristicas fisicas de lamina son altamente dinamicas. Su extension, profundidad y las pendientes varian a medida que elmaterial es extraido. Este alto dinamismo requiere de equipos e instalaciones que se adaptenfacilmente a las nuevas caracteristicas. Los equipos mas importantes para este trabajo son palas,cargadores frontales y camiones. Las instalaciones relevantes corresponden a botaderos de lastre,lugares de acopio de mineral y puntos de chancado. Estas instalaciones se Iocalizan a unaconsiderable distancia de los puntos de extraccion y, en general, esta distancia crece con laexpansion de la mina.

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    Capitulo 1 Introduccion a la Investigacion Operativa 19E l m ateria l extra ido en la m in a pued e sel' c lasificado com o: mineral y lastre. El lastre es elm ateria l qu e se encuen tra en la superfic ie y su valor econ orn ico es m uy bajo ; e l m in eral es el m ateria lque po see u na alta co ncen tracio n d e co bre, y es el que esta inv olu crado en los proceso s de separaci6 n yfu nd ic io n. A nte s d e co ntin ua r, es n ec esa rio d esc rib ir b re veme nte la s o pe ra cio ne s in vo lu cra das en e stetr ab ajo . E lla s c orr es po nd en a e xtr ac cio n, c arg uio y tr an sp or te d e m a te ria l.

    Figura 1.6. Min a d e c ob re d e C h uq uic am a ta .

    a) Perfo raclen-Tronadura: C orresponde a las activ idades asociadas con las perforaciones yexp losion es que se realizan can el objetivo d e qu eb ra r la ro ca y fa cilita r la ex trac cio n d e m ate ria l.Estas activ idades son guiadas par un p lan de exp lotaci6n de la m ina, en el cual se ind ican losfrentes 0 lug ares, y las fechas en que se realizaran las tron ad uras. E n un a extension determ in ada,cuya explo tacion d ura algu no s m eses, se hacen p erforacion es en las cuales se in trod ucen cargase xp lo siv as y s u m ateria l e s e xtra id o en u n p ar d e d ia s. E sta e xten sio n e s H am a da fre nte a ctiv o.

    Figura 1.7. T ro na du ra y c arg uio d e m a te ria l.

    b ) E xtraccion - C argu io: E n cad a fren te activo existe u na pala que realiza la activ idad d e extrn cci6ny carguio de m ateria l a cam iones. L as palas son equipos de g randes dim ensiones y de alto valor,su s c ap ac id ad es (m e did as p OI's us b ald es ) p ue de n v aria r d e 1 7 a 50 y ard as c ub ic as e n la a ctu alid ad .

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    20 Optimizacion y Modelos para la GestionC ada pala cu enta con el apoyo de alg un equ ip o m eno r, den om inado cargad or fron tal, que realizaactividades de lim pieza del lugar de cargu io, y en algunas ocasiones excepcionales realizao peracio nes d e carg uio . L a fig ura 1 .7. m uestra u na tro nad ura y una pala cargan do m aterial en uncarnien.

    c) Transporte - Descarga: E l tran sp orte es la activ id ad d e m ov im ien to d e m aterial d esd e lo s fren tesactiv os h asta lo s lu gares d e d estin o (bo tad ero s, ch an cad ora y lu gares d e aco pio ) d on de el m ateriales d escarg ad o. E sta activ id ad es realizad a p ar u na flo ta d e cam io nes d e g ran cap acid ad y a lt o va lor .A ctualm en te, esta flota esta fo rm ad a por u no s 120 cam io nes, cu yas cap acid ad es d e carg a v arianentre las 1 0 0 y 250 to nelad as. A lgu no s pu ntos de d escarga p resen tan u na cap acidad lim itad a; si n oh ay ca pa cid ad d is po nib le , lo s c am io ne s d eb en e sp erar p ara re aliz ar s u a ctiv id ad .,

    L a admin istracio n d e la m in a cu en ta actu alm en te co n d os h erram ien tas q ue p erm iten realizaruna p lan ificaci6n en form a separada para la produccion y el parque de cam iones Una de estasherram ien tas es el P lan d e E xp lo taci6n d e L arg o P lazo , q ue d eten nin a las can tid ad es p or p ro du cir y lo sfren tes por exp lotar anualm ente para un horizon te de planificacion dado . Este plan asum e ciertoparqu e d e p alas y o tro d e cam io nes. L a otra herram ienta es un m odelo m atem atico (d e pro gram acio nlineal) que perm ite obtener el tam afio del parque de cam iones y su politica de reem plazo en elho rizon te de exp lo tacio n, E ste m od elo tiene co mo en trad as el n um ero de palas existentes para cad aaiio a si c omo tambie n lo s re qu erim ie nto s d e p ro du ccio n.

    L as do s herrarn ien tas anteriores asu men un parqu e d e palas dad o en su ho rizon te d e trabajo .S in em barg o, n o existia un m odelo form al qu e p erm itiera to mar d ecisio nes con resp ecto al parqu e d epalas y a su politica de reem plazo. E l objetivo del trabajo citado fue el desarro llo de este m odeloform al, de m anera que satisfaciendo los p lanes de explo taci6n se determ ine el parque de palasnecesario y su politica de reem plazo (com pra y venta) , de m odo de m inim izar el costo to tal dee xp lo ta cio n. E s im p orta nte h ac er n ow ' q ue e n lo s c os to s to ta le s s e in clu yen c os to s d ire cto s e in dire cto sde palas y cam iones. La edad de una pala es im portan te; no s61 0 p or el costo d irecto de operacion ym antenim iento que aum en ta con la ed ad , sin o po rqu e las tasas de fallas en estos equipo s crecen co n lae da d, g en era nd o a lto s tiem p os d e in ac tiv id ad e n lo s o tro s e qu ip os (cam io ne s y ca rgadore s f ron ta le s ),

    L a cla ra in terre la cio n e ntre la s d ec is io ne s a nte rio re s, e s d ec ir, e l p la n d e e xp lo ta ci6 n, e l p arq ued e p ala s y el d e cam io nes, p ued e llev ar a p en sar qu e la so lu ci6n d e esto s p ro blem as d ebe d eterm in arseen form a conjun ta. S in em bargo, los au to res del estud io estirnaron que existe una clara relacionje ra rq uic a e ntr e e sto s p ro blemas y que por 1 0 tanto es posib le desco mpo ner el sistem a. Par su puestoque este analisis pO I' separado debe hacer las consideraciones de coherencia entre los distintosresul tados,

    2. Definicion del problema2.1. Definicion del nivel de decision: com o se hizo now ', las tres decisiones anteriores (plan deexplotacion, parque de palas y cam iones) pueden ser abordadas en form a conjun ta, S inemba rg o, p ara efe cto s d el e stu dio se c on sid ero la sig uie nte d efin ic io n d el p ro blem a: d ete nn in arel parque de palas necesario para cum plir el plan de explotacion de largo plaza de la ruina, yd ete rm in ar la p olitic a d e re emp la zo (compra y v enta) para ese parqu e, de m odo d e m inim izarel co sta to tal d e exp lo tacio n. E sta d ecisio n p ued e ser co nsid erad a d e n iv el tactic 0, ya que debes atis fa ce r u n p la n d e e xp lo ta ci6 n p re viamen te d ef in id o .

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    Capitulo 1 Introduccion ala Investigacion Operativa 21

    22. Dimension espaciaZdel problema: la em presa posee varias m inas d istribu idas a 1 0 largo delpais , L a d im ension espacia l del p roblem a e st a r el ac ion ada con el numero de m inas que sepueden inclu ir en form a sim ultanea en el m odelo . EI crite rio u tilizado corresponde a: si e l costoy los tiem pos asociados a la posib ilidad de in tercam biar equipos en tre dos m inas sonrazonables, en tonces estas m inas pueden se r consideradas simultaneamente en el m odelo . Encaso con trario , debe seI' analizado cada caso por separado . El m odelo fue utilizado so lo en dosm i na s b as ta nt e cercanas.

    2.3. Dimensiontemporaldelproblema:las decisiones de reemplazo de palas son de caracter anual ,y se basan en el p resupuesto anual de la empresa. S in em bargo , se deben considerar losre qu er irn ie nt os d e e xp lo ta cio n, 1 0 cual define el horizon te de p lan ificac ion. U n aspecto bastan teim portan te es que rnuchos param etres del m odele son deterrn inados desde escenarioso perac io na les (p ro du ctivida de s, falla s, c osto s), y estos poseen horizon tes rned idos en horns 0dlas. Este estud io propuso una m etodo log ia para conciliar este problem a de d iferen teshor izontes temporales . Aunque los deta lles no son m encionados aqu i, e l lec to r in teresadop ue de c on su lta r la re fe re nc ia indicada.

    2.4. Gradode separabilidad: com o se menciono, la c la ra interrelacion en tre las decisiones (p lan deexplotacion, parque de palas y cam iones) podria generar una solucion en form a conjunta. Noobstan te, dada la natu ra leza jerarqu ica, estos problem as pueden ser analizados por separado .Finalm ente , cada uno de eUos debera ser con trastado con las so luciones de los restan tes , y encaso de no estar de acuerdo , debera desarrollarse algun m ecan ism o que resuelva lasincoherencias en tre los d istin tos resu ltados. Esto no fue abordado en el estud io citado .Otro aspecto im portan te pO l' considerar fue el g rade de separab ilidad en los e lem entos delm odele de palas, Es to s ig n if ic a analizar s i e s p os ib le considerar a cada pala en form a ind iv idualy, en tonces, de te r rn ina r su po litica de reem plazo (tal com o 1 0 hace el concep to de costa anualunitario equ iv alen te ). A juicio de los autores del estudio, esto fue considerado inadecuado ,debido a que una decision im portan te es e l parque de palas, A si, so luciones ind iv iduales a n ivelde las palas produciran soluciones suboptimas a nivel del parque. Mas aun, dado que las palascom parten cam iones (debido a las fallas de o tras pal as) y o tros equ ipos e insta lac iones, lascaracteristicas operacionales estan alta rnen te in terre lacionadas, haciendo m uy im preciso suanalisis par separado ..

    2S Grado de precision numerica: es ev iden te que 1 a m edici on de los costos (realizada por unestud io estad istico ) presen ta erro res, los p lanes de largo p lazo presentan las m ism asconsideraciones, asi com o las fa llas de palas y tiem pos de v iaje de los cam iones. S in em bargo ,es im portan te recordar que si b ien el m odelo en trega la po litica de reem plazo para el horizon tede planificacion, so lo la decision del prim er afio es re levan te , y para este periodo la prec isionen la estim acion de los param etres es m ejor que para los aiios posteriores.

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    22 Optimizacion y Modelos para la Gestion1.4.EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIl\fiZACION

    C om o ya se h a d ich o, en este lib ro se ab orda fun dam entalm ente el pro blem a d e program acio nm a tem atic a d ete rm in is tic o y u nic rite rio .. EI p ro blem a g en era l d e p ro gra rn ac i6 n m a tem atic a c on sis te e ndeterm inar lo s val ores d e las variables de decis ion , d e m od o que se o ptim ice el valor de una m ed ida derendirniento 0 efectiv idad y, de tal fo rm a, que se cum plan las restricc iones. Estos valores son lasolucion del problem a, En el m odele m atem atico que se u tilizara para representar este prob lem a, sedenornina funcion objetivo a la m ed ida d e efectiv idad . L as v ariables d e decision seran den otadasxi, X2, ... , Xn De esta form a, se puede expresar la funcion objetivo como una funcion escalarmultivariadaf RfI--+R. Si x = (Xl, X], . , XII) e nto nce s la s restric cio ne s im p lic an qu e lo s v alo re s d e la sv aria ble s d e d ec isi6 n deben pertenecer a u n cierto su bconju nto ScRII, denorninado COllj1l11tO desoluciones factibles. A si, e l prob lem a basico de optirn izaci6n puede ser m odelado de la sigu ien teforma:

    o b ie n,

    S i S = It, 0 sea , si el conjun to de soluciones factibles es todo el espacio (excepto ,p osib lem en te, aq ue llo s p un to s d on de la fu ncio n f no esta defin ida) , se d ice que el p rob lem a es 110restringido; en casu contrario , se d ice que el problem a es COil restriceiones 0 restringido. En esteU ltim o casu el co njun to S puede ser caracterizad o d e diversas form as: un co njun to de igu ald ad es, u nc on ju nto d e d esig uald ad es, u n co nju nto d ad o d e p osib les v alo re s, etc . E n 1 0 que s ig ue , s e r ep re se nta raS p or u n c on ju nto fin ito d e d es ig ua ld ad es , e s d ec ir , s e c on sid er ara e l p ro blem a:

    don de cada un a de las fun ciones gi: R 'J - - + R, i = 1 , .. _ ,m, r ep r es ent a a lguna ca ra c te ri st ic a 0 condicionqu e se d es ea in co rp ora r a la so lu cio n d el m o de lo .S i la s f un cio n es fy gi, i = 1, .", m son lineales afines, es decir, de la fo rm a c1x+fJ , con a

    v ec to r d e RII y f 3 un escalar, se d ice que el prob lem a es de programacidn lineal. Si al m enos una dee lIas n o e s lin ea l, e l p ro blem a es d e programacion 110 linear

    Las restricc iones pueden tener com o argum ento una so la de las variab les del p roblem a. S itodas las variab les son tales que pueden tom ar valo res en un intervalo de la recta real, se d ice que elp ro blema e s c on tin uo y, p Ol'e xte ns io n, q ue la s v aria ble s so n c on tin ua s. S i u na v ariab le to m a v alo re s d eun con junto dado de val ores enteros se dice que ella es entera. S i to das las variables d e un p ro blem ason enteras se dice que el p roblem a es de p ro gr ama cio n e nte ra . U n caso particular' d e este U ltim o escuando las variables pueden tom ar uno de dos valo res posib les, generalrnente 0 0 1 . En este caso setien e u n p ro blema d e p ro gram ac io n b in a ria y ta le s v ar ia ble s s e d en om in an variables b inar ias .

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    Capitulo 1 Introduccitin a la Investigacion Operativa 23De e sta fo rm a , s i la s re str ic cio ne s so n to da s lin ea le s y la s v aria ble s so n c on tin ua s, s e dira que elproblem a es de program acion lineal continua, 0 sim plem ente, de program acion lineaL Si lasre stric cio ne s s on lin ea le s y las variables son binarias, se dice que se trata de un prob lem a dep ro grama cio n lin eal b in aria , etc . S i e l p ro blema co ntie ne a lg un as v aria ble s c on tin ua s y o tra s e ntera s,se dice que es un problem a m ixto . S i adem as las restricciones son lineales, se did que es un problem al inea l mix to .

    Cla sific ac i6 n d e lo s modelo sLos m odelos de optim izacion se pueden clasificar segun D antzig [1 963], de acuerdo a lascaracteristicas de las funciones que interv ienen en 61 , Asi, se dira que un m odele es estocastico sicontiene param etres que se com portan en form a aleatoria , en caso con trario se dira que esdeterm inistico . D e form a sim ilar, si todas las funciones del m odelo son lineales se dira qu e es lineal,e tc . L a fig ur a L 8. m u es tra Ia c la sific ac io n d e lo s m o de lo s d e o ptim iz ac io n d ete rm in is tic os .

    F ig ura 1 .S. Clas if ic a ci on de mode lo s de te rm in is ti co s :

    Ejemplo 2: El prim er m odele de program acion lineal co ntinua que estudiarem os se trata de un tallerque desea determ inar la cantidad de sillas y m esas que debe producir durante la proxim a sem ana, Paraello cuenta con dos insum os (los m as im portantes): m adera y fierro . A dem as, d ispone de m ano deobra especializada, en particular, el proceso de barnizado 1 0 realiza una persona so lam ente. Ladisponibilirlad de m adera es de 1 0 0 m 2, la de tierra es de 60 m lineales y e l o pe ra rio q ue b arn iz a p ue detrab aja r h asta 50 h oras p or seman a.

    Para fabricar cada silla se requiere 1 m 2 de m adera , 1 m de fierro y 1 h ora p ara b arn iz arlo , ypara cada m esa se necesitan 4 m 2 de m adera , 2 m de fierro y 1 hora para bam izado . S e d esea decid ir lacantidad de m uebles que se deben fabricar de m odo que el beneficia to tal sea m axim o. El beneficio esde M $ 1 para cada silla y de $M 3, carla m esa (M $ =m iles de $) .P ara m o de la r e l p ro blem a s e d efin en la s s ig uie nte s v aria ble s d e d ec is io n:

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    .x] =c an tid ad d e s illa s pO I'f ab ric ar d ur an te la s ema na ,X2 =c an tid ad d e m es as p or fa brica r d ura nte la s em an a.La s r es tr ic ciones s on :

    a ) D is ponib ilid ad d e lo s r ec ur so sL a p ro du ccio n to tal p ued e u tilizar hasta 1 0 0 m 2 d e ma de ra :

    (1.1)L a p ro du ccio n to tal p ued e u tilizar hasta 6 0 m d e fierro :

    (1.2)L a p ro du cc io n to tal p ue de u tiliz ar h asta 5 0 h ora s-h omb re p ara el p ro ce so d e b arn iz ad o:

    (1.3)b ) No -n eg ativ id ad d e la s v ar ia ble s:

    OA)L a fu ncio n o bj etiv o c on sis te e n m a xim iz ar e l b en efic io to tal, 0 sea, m ax z =x r+ 3X2oD e esta fo rm a, el m od elo lin eal es:

    Maxz =XI + 3X2s.a.Xl + 4Xl~ 100xl+2xl~ 60XI + Xl ~ 50

    Xl,Xl~ 0,

    (LI)(2)(L3)0.4)

    S e o bserv a q ue si bien n o se aco stumbra a fab ricar fraccio nes d e sillas 0m esas, en este caso , seles perm ite a las variables de decision tam ar cualqu ier valo r real no negative, puesto que el erro rin cu rr id o s er a a ce pta ble d ados lo s c oe fic ie nte s n umeric os d el mod elo .

    En los cap itulos sigu ientes se m uestran algunas tecnicas que perm iten resolver este tipo demodelos .

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    Capitulo 1 Introduccion a la Investigacion Operativa 2 51.5.EL CONCEPTO DEALGORITMO Y COMPLEJIDAD

    Los modelos de 1.0. son muchas veces de programacion matematica. Para encontrar lassoluciones de estos modelos se utilizan procedimientos denominados algoritmos, metodos yheurlsticas, los cuales son generalmente implementados en el computador. A continuaci6n, seintroducen algunas nociones de estos conceptos aplicados a problemas como pOI'ejemplo, ordenar unalista de numeros, multiplicar dos polinomios, invertir una matriz, encontrar el minimo de una funcion,etc,

    1.5.1.Algoritmos, Metodos y HeuristicasHasta el momento se han discutido modelos para un determinado problema, pero 1 0 que

    obviamente se desea resolver en el computador es un caso especifico del modelo con datoscorrespondientes a una situacion particular. Una instancia de un problema se obtiene especificandovalores particulares para todos los parametres del problema, Si el problema consiste en ordenar unalista, se obtiene una instancia de 61especificando los valores de los elementos de la 1ista y la soluciones la lista ordenada. POI'otro lado, si se desea invertir una matriz, una instancia del problema se obtieneespecificando los coeficientes de ella y la solucion es la matriz inversa. Analogamente, para obteneruna instancia del problema de minimizar una funcion cuadniticaf{x)= a:l+bx+c se deben especificarlos valores de los parametres a, bye y la soluci6n es el punta en e 1 cual la funci6n aIcanza el menorvalor,

    Tratarernos de hacer una distincion entre metodos y algoritmos, si bien en algunos textosespecializados ambos terminos son considerados como sin6nimos. Se dice que un metodo es unasecuencia de pasos, que puede ser finita 0 infinita, cuyo objetivo es determinar la solucion de unproblema para una instancia dada. Es importante destacar que un metoda puede ser una secuenciainfinita,

    Par ejemplo, para el problema de determinar una raiz de la ecuacion: g(x) =x2 - 2, un metodaiterativo muy conocido que resuelve este problema es el de Newton-Raphson. Para esta instanciaparticular, del problema de deterrninar una raiz de un polinomio, la sucesion de puntos { X k } k generadapar el rnetodo se obtiene de la siguiente forma:

    que en este caso se t ransforma en:

    a partir de un punto inicial arbitrario X o : : j : . 0 La solucion de esta instancia del problema es . . J 2 _ Elmetodo garantiza "convergencia" a la raiz mas cercana al punto X o cuando el mimero de iteracionestiende a infinito. Claramente, desde un punto de vista practice, esto no permite realmente resolver elproblema, es decir, encontrar 1a solucion "exacta". La que se hace en 1a practica es modificar laforrnulacion del problema y en lugar de buscar una solucion exacta, se busca una solucion"aproximada", donde la definicion de aproximaci6n es establecida generalmente a traves de cotas de

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    r26 Optimizacion y Modelos para fa Gestione rro l'. E n e l e je mp lo , se p ue de re qu erir e nc on tra r u n p un to x ta l q ue ! x 2-215: E donde E> 0 es dado. Eneste caso el rn ism o proced im ien to iterativo requ iere un num ero fin ito de pasos para determ inar unaso luci6 n del p ro blem a "refo rm ulad o", A l aplicar e l m etod o a esta instancia , u tilizan do com o p un toin ic ia l lo s v al o re s Xo in dicado s en la tabla 1 .1 ., se requiere el rn im ero d e iteracion es sefia lad o, parao bte ner u na so lu cio n c on 8 =10-5, esto es , un valo r final de Xk ta l qu e ig(Xk) 1 5: 10-5. Se observa que lasu cesio n g en erada co nverge a J2 y que Ia convergencia es m as len ta , puesto que requ iere m ayorn um e ro d e ite ra cio ne s c ua nd o e l p un to in ic ia l e sta m a s c erc a d e x =O .

    Algori tmo es u n pro ced irn ien to co nsisten te en u na secu encia fin ita de pasos que g aran tiza elencontrar una solucion de un problem a para una instancia dada. C om o se vera posteriorm ente , enp ro gram ac io n m a te rn atic a m u ch os a lg oritm o s se o rig in an tru nc an do m eto do s in fin ito s, D e e sta fo rm a,la s v erd ad er as h err ar nie nta s q ue s e u tiliz ara n p ar a r es olv er p ro blem as s er an lo s a lg or itm o s .. E jem plo srnuy conocidos son: e l a lgo ritm o de G auss para invertir una m atriz , e l a lgo ritm o de Euclides paradeterm inar el m axim o com un div isor en tre do s numeros e nte ro s, e l "qu ic ks ort" p ara o rd en ar u na listade n um eros, e 1 algoritm o de N ew ton-Raphson (derivado del m etodo de N ew ton-Raphson) parae nc on tr ar u na ra iz a pr ox im a da d e u na fu nc i6 n d ife re nc ia ble , e tc .

    Tabla 1.1. Metodo de New ton -Raph sonPunto inicial: Xo N iim ero de Solucloniteraciones

    1 0 -20 70 1 , 41421371 0 -50 1 70 1 ,41 421 351 0 -70 236 1 ,41 421 405 5 1 ,41 421 3530 8 1 , 41421351 0 0 9 1 ,4142150

    Existen problem as que resultan ser extrem adam ente dific iles y para los cuales no se hande sa rro ll ado a lgo ri tmos , 0 b ien , d e existir, es tos tardan u n tiem po excesiv am en te larg o en enco ntraruna solucion. Esto ha llevado al desarro llo de p rocedim ien tos que en un tiem po "razonab le" sonc ap ac es d e e nc on tra r "b ue nas " a pro xirn ac io ne s d e la so lu cio n, E sto s p ro ce dim ie nto s se c on oc en c om oheuristicas. L a d efin ic io n d e 1 0 qu e es un tiem po "razo nab le" y u na "b uen a" ap ro xim aci6 n dep end erad e c ad a s itu ac i6 n p ar tic u la r.

    A con tinuaci6n , com o ejem plo , se p resen ta una heuris tica par'a un problem a m uy corm m enfabricas y que consiste en la p rogram aci6n de trabajos que deb en ser procesados en determ inadasm aq uin as d e m o do tal q ue e l tie m po to ta l d e p ro ce sa rn ie nto s ea m in im o .Se tra ta de un con jun to de n trabajos que deb e n ser procesados par m m aquinas en form as ec ue nc ia l; e sto e s, c ad a trabajo debe ser p rocesado prim ero por la m aquina 1 , en segu ida poria 2 , e tc .Este problem a se puede reso lver escog iendo un orden para los n trabajos en una de las m aquinas y

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    Capitulo 1 Introduccidn a la Investigacion Operativa 27rep etir ese o rd enam ien to en las o tras m aqu in as, A si, el m im ero total de so lucion es po sib les es (nl)". S i11=5 Y m=3 en tonce s ex is te n iL 72 8.0 0 0 p osib ilid ad es!, en tre las cu ale s se d eb eria b uscar aq uella q uerequiere el m enor tiem po total de procesam iento . H acer esto es una tarea titanica, incluso para uncom pu tad or, esp ecialm en te si se co nsid era qu e en la p rac tica, en lo s am bito s in du striales, se su ele ten erb as ta nte ma s tr ab ajo s y m aqu in as que las m encion ad as. D e hecho , se p ued e d em ostrar que , en g en eral,este es u n p ro blem a d ificil. E xiste u n p ro ced im ien to llam ad o alg oritrn o d e Jo hn so n [1 95 8] q ue p erm itee nc on tra r u na so lu cio n o ptim a p ara el p ro blem a co n d os m aq uin as y qu e o pera d e la sig uien te m an era.

    Sean A Y Bias m aquinas y Ai Y B, lo s tiem po s d e p ro cesam ien to d el trabajo i, i = 1 , ... , n encada u na d e ellas. L a regIa es que el trabajo i p reced e en la secu en cia al trab ajo i+1 , no ne ce sa riamen teen fo rm a inm ed iata, si se cump le la sig uien te co nd icio n

    E sto se trad uce en el sig uien te co nju nto d e p aso s:O . G eneraruna lista inicialm ente vacia de tam afio igual al num ero de trabajos (n), p ara u bica r en

    e lla la se cu en cia d e lo s tra ba jo s.1 . Encontrar el m in irno tiem po de procesam iento en tre todos los trabajos y maquinas .2. S i el m in im o corresponde a un tiem po Ai e nto n ce s e l tr ab ajo i se program a en el prim er lugarvacio d e la lista . S i el m in im o co rrespo nd e a u n tiem po B i ; e l tra ba jo i se p ro gram a en el u ltim olu ga r v ac io d e la lista .3, Elim inar los tiem pos de procesam ien to del trabajo i en am bas m aquinas. V olver a 1 .P ar a tr es 0 mas m aq uin as, e l p ro ced im ien to an terio r n o g aran tiza en co ntrar la so lu ci6n o ptim a,S in em barg o, se p ued e u tilizar d e tod os m odo s y se tratara, en este caso, d e la heurlstica de Jo hnson . S is e tie ne n tre s m a qu in as A,Bye e l p ro ce dim ie nto e s e l s ig u ie nte :Tran sfo rm ar lo s tiem po s d e las tres m aqu in as en tiem po s para d os m aquinas ficticias A' y B'd e la s ig uie nte m a ne ra : A/ =Ai+B, y B/= Bj+C iAplicar el meto da d e Jo hn so n a las m aqu in as fictic ias A' y B'.

    E jemp lo 3 : P ara la s m a qu in as A, Bye los tiem pos de procesarn ien to de los trabajos 1 ,2 y 3 son losin dicad os en la tabla 1 .2.Tab la 1 .2 . T iempos d e p ro c es am i en to .

    ulna

    2 3 12c

    21

    3 3 4 1

    Paso 0 : se calculan los tiem po s d e pro cesam ien to para cad a trabajo en las m aqu in as fictic ias A' Y B'que se m uestran en la tab la L 3,

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    La secuencia que se obtiene es trabajo 1, 3 y 2 con un tiempo de procesamiento total de 12unidades. Sin embargo, es facil ver que 1a secuencia de trabajos 1, 2 Y 3 tiene un tiempo deprocesamiento de solo 11 unidades como se ve en la figura 1.9. Esto muestra que efectivamente elprocedimiento es una heuristica y no un algoritmo para el caso de tres maquinas, puesto que noencuentra 1asolucion optima,

    Tabla 1 .3 . T i empo s d e p ro ce sam ient o f ic ti ci os ,

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    F igura 1 .9 . P ro gram ac i6 n d e t ra ba jo s e n m aqu in as .(e l s ombr ea do c or re sp on de a ti ern po s o cio so s)

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    Capitulo 1 Introduccion a la Investigacion Operativa 291.5.2. Complejidad de Problemas

    Los problemas poseen, claramente, distintos grados de dificultad para su resolucion: existenproblemas mas dificiles que otros. Intuitivamente, podemos decir que la dificultad de un problema estarelacionada, por una parte, con la estructura del problema, y por otra, con el tamafio de la instancia. Elejemplo anterior de programacion de trabajos muestra esto claramente. Para indicar el tamafio de unproblema, generalmente se identifican uno 0mas parametres que permitan tener una idea del tamafiode la instancia considerada, Asi, el tamaiio de una instancia dada de un problema sera una funcion Ide los parametres seleccionados. Si se desea ordenar una Iista, el numero de elementos de la lista esgeneralmente considerado un buen indicador del tamafio de Ia instancia. Si se trata de invertir unamatriz, el mimero de elementos se considera el tamafio de la matriz. De esta forma, se dira que se deseaordenar una lista de tamaiio 1 1 si ella contiene n elementos 0 que se desea invertir una matriz de tamafiomxm S I tiene m filas y 1 1 1 columnas. Obviamente, invertir una matriz de 3x3 es mas "facil" que invertiruna de I O O O x l O O O . Como todos sabemos, esta dificultad se traduce, en la practica, en que tomara mastiempo invertir la matriz de mayor tamafio.

    Se puede establecer el tiempo que tomara resolver un problema para una instancia dada, con unalgoritmo 0 metodo particular, en funcion del tamafio de la instancia. Para metodos secuenciales, esdecir, aquellos que solo ejecutan una instruccion en cada instante de tiempo, se puede sustituir lamedida del tiempo pOI'una medida que sea equivalente, como el numero de operaciones aritmeticaselernentales. Se consideran operaciones elementales las comparaciones, sumas, multiplicaciones, etc.

    La disciplina que estudia formalmente estos conceptos se llama Teoria de Complej idad ycaptura elementos tanto de Ciencias de la Computacion como de los fundamentos de Maternaticas.Para llevar adeIante este analisis, se debe disponer de un "modele" de computador en el cual seejecutan los algoritmos. El modele tradicionalmente utilizado es el que se conoce como Maquina deTuring (POl' Alan Turing, uno de los fundadores de la leona de Computacion). Esta maquinaconceptual ejecuta instrucciones simples en forma secuencial, basandose en reglas bien definidas. Eneste sentido se aproxima al comportamiento de un computador electronico como los que conocemos enla vida diaria. Es, entonces, en este modele conceptual de computador que los algoritrnos sonejecutados y sus "tiempos de ejecucion" son medidos y analizados, Esta medicion se traduce, dehecho, en contar el numero de instrucciones simples que la maquina de Turing realiza hasta encontraruna solucion. Una discusion mas profunda de los aspectos tecnicos de este tema esta fuera del ambitode este libro. El lector interesado puede consultar la literatura especializada sugerida en loscomentarios al final del capitulo.

    La complejidad de un algoritmo estara detenninada por el tiempo maximo que requiere elalgoritrno para determinar la soluci6n de una instancia de tamafio I del problema, Interesa estableceruna relaci6n funcional entre el tiempo que requiere el algoritmo y el tamafio de la instancia. Porejemplo, si un algoritrno que ordena una lista de elementos que tiene tamafio 1= n, tiene complejidad0(n2) significa que requiere a 1 0 mas l a - l unidades de tiempo para obtener la solucion, donde k es unaeonstante independiente de n. Un algoritmo que multipliea dos matrices de tamafio I = mxm tienecomplejidad 0(m3) si requiere Ia n3 unidades de tiempo, como maximo.

    De ese modo, la eomplejidad computaeional de un algoritrno se denota O(l(T), y se lee "ordendef(T)", dondejes la relacion entre el tiempo y el tamafio I de la instancia y la notacion 0() indica quela complejidad es menor 0 igual que kf(T), donde k es una constante independiente def(T).

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    30 Optimizacion y Modelos para fa Gestio"

    Es importante destaear que se estableee una eota superior de la eomplejidad de un algoritmopara un tamafio de instancia dado, puesto que existen muchas instancias del mismo tamafio y no todasellas requieren el mismo tiempo (muchos algoritmos de ordenamiento tardan menos tiempo si la listaya esta parcialmente ordenada). Este analisis corresponde, entonces, a estudiar el "pear caso" de entretodas las instancias del mismo tamafio, esto es, estudiar el easo mas desfavorable

    Un algoritmo es de tiempo polinomial si el tiempo que requiere para resolver el problema esuna funei6n polinomial de I, maximizado sobre todas la s instaneias de tamafio I, es decir, sif es unpolinomio en l. Un algoritmo es exponencial si el tiempo requerido para resolver un problema nopuede ser acotado por un polinomio en el tamafio del problema. Los algoritmos polinomiales sonconsiderados eficientes, pues, al aumentar el tamafio del problema, el tiempo necesario para resolverlocrece "poco"; sin embargo, si el algoritmo es exponencial, el tiempo crece "explosivamente" alaumentar el tarnafio, Vease la tabla lA, tomada de Papadimitriou y Steiglitz [1982], de comparacionde funciones de complejidad, donde I es el tamaiio de la instancia y se asume que un problema detamafio I requiere I operaciones elementales para ser resuelto y una operacion elemental requiere0,000001 segundos para ser ejecutada. En ella se aprecia de manifiesto como una complejidadexponencial "explota" incluso para tamafios de problema relativamente pequefios.

    Tabla 1.4. Compa ra ci on d e f un c io n es d e cor np le ji dad.

    Tamafio (l)Complejidad 10 20 30 40 50 60

    1 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006segundo segundo segundo segundo segundo segundoz 2 0,0001 0,0004 0,0009 0,0016 0,0025 0,0036

    segundo segundo segundo segundo segundo segundop 0,001 0,008 0,027 0,064 0,125 0,216

    segundo segundo segundo segundo segundo segundot 0,1 3,2 24,3 1,7 5,2 13,0

    segundo segundo segundo minutos minutos minutos2 ' 0,001 1,0 17,9 12,7 35,7 366segundo segundo minutos dias anos siglos3 1 0,059 58 6,5 3.855 2x108 1,3xlO1 3segundo minutos afios siglos siglos siglos.. ..(Fuente: Papadimitriou, C R, K Steiglitz, Combina to ri al Op tim iz at io n A lg or it hm s a n d Comp le xi ty ,

    Prentice-Hall Inc., Engl ewood C l if fs , N . r,1982)

    La complejidad de un problema esta dada poria complejidad del mejor algoritmo de entretodos los algoritmos que resuelven el problema. Observe que al analizar la complejidad de unalgoritmo particular para un problema se obtiene solo una cota superior para la complejidad delproblema. Se puede, por otro lado, determinar una cota inferior de la complejidad de un problema,

  • 5/10/2018 ovv1

    31/80

    Capitulo 1 Introduccion ala Investigacion Operativa 31p ro ba nd o m a tema tic am en te qu e c ua lq uie r posible a lgo ri tmo (ex is te n te 0 no) debera tener, por 10m en os , la c om p le jid ad e sta ble cid a p oria c ota in fe rio r, P OI'10 tan to , la co mp lejidad de u n p ro blem a see sta ble ce s olo cu an do amb as c ota s c oin cid en . A ctu alm en te e xiste u na g ra n c an tid ad d e p ro blema s p aralos cuales las cotas son dis tin tas , i.e ., para los cuales se desconoce la com plejidad , si b ien existena lg o ritmo s q ue lo s r es ue lv en .

    Los prob lem as pueden ser c lasificados de acuerdo a su grado de com plejidad y, s eg un e sto ,in clu id os e n c ate go rias d e p ro blem as, en tre la s cu ale s a lg un as c orre sp on de ra n a p ro blem a s "fa cile s" yo tra s a p ro blem as "d ific ile s". P ara d efin ir la s d is tin ta s cla ses d e c om p le jid ad se a co stu m bra a e nu nc ia rlo s p ro blem as c omo P ro blemas d e D ec isio n, es decir, u no para el cual la solu cion es 1 a respu esta si 0no. En un P ro blema d e Op tim iz ac io n, e l o bje tiv o c on sis te e n e nc on tra r u na e stru ctu ra q ue sa tis fa gaa lg un crite rio d e o ptim iz ac io n, e n c am b io , u n p ro blema d e d ecisio n c on siste e n d ecid u' s i la re sp ue sta au na p re gu nta p la nte ad a e s si 0 no, C on sid ere , p or e je mp lo , e l p ro blem a d e p ro gram ac io n d e tra ba jo s e nm aquinas com entado anterio rm ente . Se puede enunciar com o prob lem a de op tim izacion y com op ro b lema d e d ec is io n ,P ro blem a de o ptim izac idn : dados los tiem pos de procesam ien to de 1 1 tra ba jo s en m ma


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