Optim Multi Dg Kendala 5 7

8/18/2019 Optim Multi Dg Kendala 5 7

1/17

OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGANKENDALA KESAMAAN

Fungsi kontinu ⇒ Min f(x)Kn!"#" g $ % &' !i "n" $ % ' *' +++

Vkto, Rn' s-","t ≤ n

=

n x

x

x

x 2

1

+

+

+


2/17

Pn-#s"i"n !ng"n . /"," 0

1. Μετοδε Συβστιτυσι Λανγσυνγ α. νψατακαν ν ϖαριαβελ δενγαν (ν−µ) ϖαριαβελ λαιν

β. συβστιτυσικαν µ κενδαλα κε φυνγσι τυϕυαν, φυνγσι τυϕυαν µενγανδυνγ ν−µ ϖαριαβελ

χ. σελεσαικαν οπτιµασι ν−µ ϖαριαβελ τανπα κενδαλα

1onto2n-"


3/17

1onto20

Miniuk"n f(x' x*' x.)% 3(x*4 x*

*4 x.*)

Kn!"#" g% x5 x* % &g*% x4x*4x.5

6"7"80g% & ⇒x% x*

g*% & ⇒x4x4x.5%& ⇒ x.%5*xf(x' x*' x.)% 3(x*4 x*4 (5*x)*)%3(*x*4(5*x)*)⇒ f(x)

1 x

f

δ

δ % 3(9x4*(5*x)(5*))% *x5*(5*x)

1 x

f

δ

δ % & ⇒ x5(5*x)% & ⇒ x54*x% & ⇒ .x%

x% :.' x*% :.

x.% 5*:. % :.

2

1

2

x

f

δ

δ % *49%;


4/17

*+ Mto! 1onst,"in! V",i"tion

"+ Untuk n % *' % "g", f(x>

' x*>

),u="k"n o=tiu x>' x*

> 2",us

nu2i 01221=−

x

g

x

f

x

g

x

f

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

8+ S-","t =,#u "g", f(x

>

) ,u="k"no=tiu

1onto2n-"

0

.........

..........

....

1

1

21

21

=

m

mm

k

m

mk

mk

x

g

x

g

x

g

x

f

x

g

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

...

+++


5/17

Miniuk"n f % ?5@x5 ;x*5 9x.4 *x*4*x*

*4 x.*4 *x

x*4*xx.

Kn!"#" x4x*4*x.% . 6"7"80n % .' % ' A8i# -. % x.' -* % x* s2ingg" -% x 011

11

≠==

=

x

g j

g

g j

k % 4 % *

==

12

12

12

12

x

g

x

g

x

f

x

f

y

g

y

g

y

f

y

f

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

5;49x*4 *x 5@4

9x4*x*4*x.

% 5;49x*4*x4@59x5*x*5*x.

% *4*x*4*x5*x. % & ⇒x1 – x2 + x3 – 1 = 0 ...(1)L"n$utk"n


6/17

k % 4 * % . % n

=

13

13

y

g

y

g

y

f

y

f

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

594*x.4*x 5@4 9x4*x*4*x.

*

% 594*x.4*x4;5@x59x*59x.

% *5*x.5;x59x*

% *(;5x.5.x5*x*)% & ⇒3x1+2x2+x3-6= 0 ... (2)

.x4*x*4x.5; % & +++ (*)

x x*4x. % & +++()(5

)

*x4 .x* 5 ; % &

x2= 5 -

2x1 3


7/17

x x*4x. % &

x3 = 8 - 5x1

3

5 *x.

4x. % &

.x4*x4.x..% &

x4.x. @% &

x

x x*4*x* % .

5 *x

.4*x @ 5 x

.% .

.x

4 5 *x

4 ; 5 &x

% ?

?x% *

x % 9 C

.

x* % C

?

x. % 9

?


8/17

.+ Mto! Mu#ti=#ik"to,

6ik" titik5titik kst, !",i fungsi % f(xC-) 2",us !itntuk"n!ng"n ,st,iksi µ(xC-)%&' "k" 8,#"ku =,s-","t"n s8"g"i

8,ikut0µ(xC-)%&C

R

y x y x f y

y x y x f x

∈

=+

=+

λ

λµ δ

δ

λµ δ

δ

0)];();([

0)];();([

Penentuan Titik Ekstrem

y y y x

f

y x

f

δ

δµ

δ

δµ

δ δ

λµ δ

δ

δµ

δ

λµ δ ..

)(2

)( 22

2

2 +

+=∆

2

2

2)(

++

x y

f

δ

δµ

δ

λµ δ & →

< & →

1"t"t"n0);();;( y x y x f f µ µ ==

Mto! t,s8ut $ug" 8,#"ku untuk n ",i"8# 88"s!"n ,st,iksi (n 4 =,s"""n) 1onto2n-"


9/17

1onto20

Fungsi % f(xC-) % x*

4 x- 4 -*

Rst,iksi 0 µ(xC-) % x- ? % & Tntuk"n titik kst,in-"H

6"7"8 0( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

=+

=+

=

0;;

0;;

0;

y x y x f y

y x y x f x

y x

λµ δ

δ

λµ δ δ

µ - ? %

&*x 4 - 4 λ-% &

x 4 *- 4 λx% &

xC* % ± .

-C* % ± . λ % 5 .

Ni#"i kst, "!"#"2 P (.C.C*) J P* (5.C5.C5*)


10/17

Pnntu"n 6nis TitikEkst, 0

2)2(;;;1)(;;2)(2

222

2

2

2

=+==+=+=

=+

y f x

y y

x y x f x

y x f

δ µ δ

δ δµ

δ δµ λ

δ δ λµ δ

δ δµ

δ λµ δ

O#2 k",n" itu022 2)1(22 y xy x ++−=∆ λ

Untuk P 8,#"ku0

∆ % *>? *(5.)>.>. 4 *>? % * < & ⇒ Miniu

Untuk P* 8,#"ku0

∆ % *>? *(4.)>(5.)>(5.) 4 *>? % 5.; < & ⇒ M"ksiu


11/17

Mto! L"g,"ng

Πρινσιπνψα αδαλαη µεναµβαηκαν σατυ ϖαριαβελ λ

1. Σψαρατ περλυ αγαρ φ(ξ1∗,ξ2∗) µερυπακαν ϕαωαβαν µασαλαη οπτιµασιΜινιµασι φ(ξ 1∗,ξ2∗)

Κενδαλα γ(ξ 1,ξ2) = 0

αδαλαη →

( )

( )

( ) 0,

0,

0,

*

2

*

1

*

2

*

1

22

*

2

*

1

11

=

=

+

=

+

x x g

x x x

g

x

f

x x x

g

x

f

δ

δ λ

δ

δ

δ

δ λ

δ

δ


12/17

2. Μισαλκαν ξ συατυ ϖεκτορ µασαλαη οπτιµασι φ(ξ) τερηαδαπ κενδαλα γ(ξ) = 0 διδαπατ δενγαν

∇φ(ξ) = λ∇γ(ξ), δαν γ(ξ) = 0 Λ(ξ ι,λ) = ∇φ(ξι) + λ∇γ(ξι)

ςεκτορ ξ, ψ µεµενυηι περσαµααν τερσεβυτ = τιτικ κριτισ3. Σψαρατ χυκυπ αγαρ φ(ξ∗) µερυπακαν µινιµυµ ρελατιφ

*

1 1

2

x x x x x x

Qn

i

m

j

ji

ji

=

= ∑∑

= =

δ δ δ δ

δ Dnit Positif

9+ O=ti"si u#ti",i"8# !ng"n kn!"#"=,ti!"ks"""nP,insi=n-" "!"#"2 n"8"2 ",i"8# s#"/k t"kng"tif - $

* s2ingg"iniu f(x) !"n kn!"#" g $(x) ≤

&' $ % ' *' +++ n$"!i G $(x'-) % g $(x) 4 - $*

% &' $ %' *' +++ Titik x> !i"n" f(x>) iniu !ng"n s-","t Ku2n5 Tu/k,

0

1

=+∑∈ i

j

j j

j

i x

g

x

f

δ

δ λ

δ

δ Di"n" i % ' *' +++ n' λ $ > &' $ ∈ $i 6 % kn!"#" "ktif

% kn!"#" ti!"k "ktif


13/17

6ik" ku=u#"n kn!"#" "ktif ti!"k !ikt"2ui'"k"0

0

0

0

01

≥

≤=

=+ ∑=

j

j

j j

m

j i

j

j

i

g

g

x

g

x

f

λ

λ

δ

δ λ

δ

δ ' i % ' *' +++ n

' $ % ' *' +++ ' $ % ' *' +++

' $ % ' *' +++

1onto20

+ Mini"si f(x' x*' x.) % x*4x*

*4 x.49&x4*& x*5.&&&

Kn!"#" g% x5& ≥ &

g*% x4x*5&& ≥ &

g.% x4x*4x.5& ≥ &


14/17

+ Mini"si f(x' x*' x.) % x*4x*

*4 x.49&x4*& x*5.&&&

Kn!"#" g% x5& ≥ &

g*% x4x*5&& ≥ & g.% x4x*4x.5& ≥ &

S-","t Ku2n5Tu/k,

3,2,1,0

3

3

2

2

1

1

1

==+++ i

x

g

x

g

x

g

x

f

δ

δ λ

δ

δ λ

δ

δ λ

δ

δ

1onto20

⇒ *x49&4 λ4 λ*4 λ. % & *x*4*&4 λ*4 λ. % & *x.4 λ. % &

λ $g $ % &' $ % ' *' .

⇒λ(x5&) % & λ*(x4x*5&&) % & λ.(x4x*4x.5&) % &

λ $ ≤ &' $ % ' *' .' λ ≤ &' λ* ≤ &' λ. ≤&D",i λ(x5&) % & ⇒ λ % & "t"u x % &

(i) 6ik & * 9& λ λ λ &


15/17

(i) 6ik" x % & ⇒ *x49&4 λ4 λ*4 λ. % & *x*4*&4 λ*4 λ. % & *x.4 λ. % &⇒λ. % 5*x.

λ* % 5*&5*x*5λ. % 5*&5*x*4*x. λ % 59&5*x5λ*5λ. % 5*&4*x*

Su8stitusi0λ*(x4x*5&&) % &λ.(x4x*4x.5&)% &

S2ingg"0(5*&5*x*4*x.)(x4x*5&&)

5*x. (x4x*4x.5&) % &

Sist ini =un-"i 9 $"7"8"n' -"itu0

5

+ 5*&5*x*4*x. % &' x4x*4x.5&

5&5x*4x. % &

&4x*4x.5& % &?&5*x*% &

x*% &

x% &' x*% 9 #"ngg", x4x*≥ &&

x. % &5x5x*

x. % &5&59 % x% &' x*% 9' x. %

* *& * * & * & & &


16/17

*+ 5*&5*x*4*x. % &' 5*x. % & ⇒ x. % &' x* % 5&x% &' x*% 5&' x. % &' #"ngg", x4x* ≥ &&

.+ x4x*5&& % &' 5*x. % & ⇒ x. % &' &4x* % && ⇒ x* % &x

% &' x*

% &' x.

% &' #"ngg", x

4x*

4x.

≥ &9+ x4x*5&& % &' x4x*4x. & % &

&4x* % &&' &4&4x. %&

x* % & x. % &

x% &' x*% &' x. % &

6"7"8"n ini nu2i kn!"#"

λ. % 5*x. % &&' λ* % 5*&5&&4&&% 5*&' λ % 5*&4&& % 5⇒λ % 5*&' λ* % 5*&' λ. % 5&&

x % &' x* % &' x. % &

S2ingg" titik o=tiu 0x

> % x*> % x.

> % &


17/17

*+ M"ksiuk"n f(x' x*) % xx*' x

Documents

Optim Multi Dg Kendala 5 7