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Operaciones con raices
(Blitzer: 7.1, 7.3, 7.4)
Martin-Gay, Developmental Mathematics 2
Extracción de raíces
La operación inversa de elevar un número a
una potencia es extraer la raiz al número.
Para representar esta operación usamos el
símbolo llamado radical:
radical
radicando
índice
raíz
Martin-Gay, Developmental Mathematics 3
Raiz Cuadrada
La operación inversa de cuadrar es tomar la
raiz cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de otro
número a, si b2 = a.
93porque39 2
648porque864 2
Martin-Gay, Developmental Mathematics 4
La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota a
La raiz cuadrada negativa se denota
a
Raiz Cuadrada Principal
9 de negativa cuadrada raiz la es39
NOTA: 9 no es un número real.
Martin-Gay, Developmental Mathematics 5
La raiz cúbica de un número real se define
ab si soloy si ba 33
Nota: Para las raíces cúbicas, NO se restringe
el valor del radicando a valores positivos.
Raíces cúbicas
3273
3 64
3 125
porque 33 = 27
porque (-4)3 = -64
porque (-5)3 = -125
4
5
Martin-Gay, Developmental Mathematics 6
ab si soloy si ,ba nn
En general,podemos determinar otras raíces.
La raiz enésima se define como:
Raiz enésima
Si el índice, n, es par, la raiz se define
sólo para a ≥ 0.
Si el índice, n, es impar, la raiz se define
para todo número real.
Martin-Gay, Developmental Mathematics 7
Raiz enésima - ejemplos
2325 porque (-2)5 = -32
4 256 porque _______________
6 729 porque _______________
Martin-Gay, Developmental Mathematics 8
Propiedad #1:
Si Ran Rbn y entonces,
n
n
n
b
a
b
a
Martin-Gay, Developmental Mathematics 9
Ejemplos:
a)
b)
c)
25
16
25
16
5
4
3
1000
8
3
3
16
2
Martin-Gay, Developmental Mathematics 10
Propiedad #2:
Si Ran entonces,
y aan
n aan n
99 ,33 :Ejemplo3
32
Martin-Gay, Developmental Mathematics 11
Propiedad #3:
Si Ran y Rbn entonces,
nnn baba
232929 : Ejemplo
Martin-Gay, Developmental Mathematics 12
Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que
90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior
= 9 ∙ 10 = 9 10 = 3 10
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
Martin-Gay, Developmental Mathematics 13
Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 2503
Solución:
Como 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
2503
= 125 ∙ 2 3
=
= 1253
23
= 5 23
Martin-Gay, Developmental Mathematics 14
Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 33 ∙ 53∙ 23
Solución:
Martin-Gay, Developmental Mathematics 15
Radicales semejantes
Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplo: 5853 y
Dos radicales semejantes se pueden sumar o restar usando la propiedad distributiva como se muestra.
nn aqap n aqp )(
Martin-Gay, Developmental Mathematics 16
Ejemplos: Simplifique cada expresión
a) 2225
b)
2)25( 23
33 3538
33222532c)
3 2 42
35
f)
g)
Martin-Gay, Developmental Mathematics 17
331275 ) a
3334325
3334325
333235
3325
36
Ejemplo
Realice las operaciones indicadas.
Martin-Gay, Developmental Mathematics 18
40390160 ) b
Ejemplo (continuación)
Martin-Gay, Developmental Mathematics 19
nnn abba
n a n bSi y son números reales,
Multiplicación de radicales
Martin-Gay, Developmental Mathematics 20
Simplifique cada multiplicación.
a)
b)
c)
6532 6352 1810 2910
2310
230
33 25352
6155
Martin-Gay, Developmental Mathematics 21
Multiplicación de binomios
)75)(71(
49745
7475
742
77757)5(1
Martin-Gay, Developmental Mathematics 22
Tenemos que hacer enfatizar, que estas dos propiedades aplican sólo a radicales con el mismo índice.
a)
b)
5
152
5
152 32
12
21
43
73
43
73
4
7
2
7
5
15232ó
5
352
Simplifique cada división.