华东师范大学数学科学学院编math.ecnu.edu.cn/~lfzhou/course/gt1/GTbook1806.pdf · 内容共分十五章：第一章点集拓扑学简介；第二章基本群和同伦论基础;

几何与拓扑讲义

华东师范大学数学科学学院编

· 2 ·

· i ·

前言

微分流形是现代数学的基础语言之一，代数拓扑是现代数学的一门主要分

支，它们对现代数学的其它分支有着深远的影响和应用，在理论物理等学科也

有广泛的影响.

本书是编者在华东师范大学数学科学学院开设研究生学位基础课程“几何与

拓扑”的讲义基础上不断修改、完善的结果. 本书的目的是介绍现代几何与拓扑

学的一些基本知识. 希望这些知识的掌握与运用有助于提高学生的数学修养和

能力，为进一步的数学学习和研究提供基石. 内容共分十五章：第一章点集拓

扑学简介；第二章基本群和同伦论基础; 第三章多元微分学复习；第四章微

分流形; 第五章切空间与切丛；第六章线性李群和线性李代数；第七章张量

和张量场；第八章外微分和 de Rham上同调；第九章定向、积分和 Stokes定

理；第十章欧氏空间的子流形几何；第十一章向量丛和联络；第十二章黎曼

流形初步；第十三章单纯同调论; 第十四章奇异同调论; 第十五章流形的定向

和对偶性.

对于已经熟悉点集拓扑和多元微积分的读者，可以略去第一、第三章. 第四

章到第十二章属于现代微分流形和微分几何的初步内容，其余章节是代数拓扑

的初步内容. 每一章配置了一定数量习题，目的是为了读者更好地掌握课程内

容.

本书的微分流形部分，即第四章到第十二章，是以周青的讲稿为基础修订

而成，其余章节是以黄荣培的讲稿为基础修订而成，最后由黄荣培修改成书稿.

初稿在华东师范大学数学科学学院 2017级研究生学位基础课程试用过，效果

良好.

限于编者的水平和经验，书中存在不当之处需要改进，衷心期望读者对本

书的不足之处给予批评指正.

编者

2018年 6月

· ii ·

目目目录录录

1 点点点集集集拓拓拓扑扑扑简简简介介介 1

1.1 集合及其运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 拓扑空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 一些基本的拓扑性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 基基基本本本群群群与与与同同同伦伦伦论论论基基基础础础 21

2.1 同伦的含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 基本群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 覆盖空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 多多多元元元微微微分分分学学学复复复习习习 41

3.1 Rm上的光滑函数和光滑映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 反函数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 切向量与导算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 微微微分分分流流流形形形 57

4.1 微分流形的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 微分流形的例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 正则子流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 切切切空空空间间间和和和切切切丛丛丛 73

5.1 切空间与切映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 切丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 可积分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

iii

· iv · 目录

6 线线线性性性 Lie 群群群和和和线线线性性性 Lie 代代代数数数 89

6.1 线性 Lie 群和 Lie 代数的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Lie 代数与单参数子群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3 Baker-Campbell-Hausdorff 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7 张张张量量量和和和张张张量量量丛丛丛 105

7.1 多重线性函数与张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2 对称算子和反对称算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3 外积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 张量丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 外外外微微微分分分和和和 de Rham 上上上同同同调调调 121

8.1 流形上外微分的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2 单位分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.3 de Rham 上同调群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.4 Frobenius 定理的对偶形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9 定定定向向向、、、积积积分分分和和和 Stokes 定定定理理理 141

9.1 流形上积分的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.2 具有紧支集的 de Rham 上同调群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.3 带边流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.4 Stokes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10 Euclid 空空空间间间的的的子子子流流流形形形几几几何何何 157

10.1 曲面几何和活动标架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.2 Gauss-Bonnet 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.3 欧氏空间中的子流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.4 欧氏空间中超曲面的基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.5 联络的初步印象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11 向向向量量量丛丛丛和和和联联联络络络 173

11.1 向量丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.2 联络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

目录 · v ·

12 黎黎黎曼曼曼几几几何何何初初初步步步 189

12.1 黎曼度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.2 黎曼联络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

12.3 黎曼曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

12.4 测地线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

12.5 曲线长度的第一、第二变分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13 单单单纯纯纯同同同调调调论论论 211

13.1 单纯复形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.2 单纯同调群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.3 重心重分与单纯逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14 奇奇奇异异异同同同调调调论论论 243

14.1 奇异单形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

14.2 奇异同调群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

14.3 相对同调群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

14.4 正合序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

14.5 Mayer-Vietoris正合列及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

14.6 切除定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

14.7 Jordan-Brouwer分离定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

14.8 粘贴空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

15 流流流形形形的的的定定定向向向与与与对对对偶偶偶性性性 289

15.1 流形的定向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.2 奇异上同调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

15.3 上积与卡积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

15.4 对偶性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

15.5 流形上的不动点理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

· vi · 目录

第第第一一一章章章点点点集集集拓拓拓扑扑扑简简简介介介

本章简单介绍学习微分流形和代数拓扑所需要的点集拓扑知识，想进一步

了解点集拓扑知识的读者可以选择专门的点集拓扑书籍学习.

1.1 集集集合合合及及及其其其运运运算算算

集合是指某些具有某种特征的事物或对象的全体，构成集合的事物或对象

称为集合的元素.

在数学中，往往要对世界上的各种事物抽象出其特征进行研究，而不一定

需要或者也不可能知道这些事物的具体内容，这就需要产生集合这样的概念.

例如，我们可以把全班同学看成是一个集合，班中的每一位学生就是这个

集合的一个元素. 全体实数构成一个集合，称为实数集，一般记为 R.

通常用大写字母 A,B,C, · · · 等表示集合，用小写字母 a, b, c, · · · 等表示集合的元素. 如果元素 a是集合 A的一个元素，则称 a属于 A, 记为 a ∈ A. 否则就称 a不属于 A, 记为 a /∈ A.集合通常用列举法和描述法来表示. 列举法就是将集合的元素一一列出，例

如，自然数集就可以表示为

N = 0, 1, 2, 3, · · · .

整数集可以表示为

Z = 0,±1,±2,±3, · · · .

描述法是通过描述集合中元素所具有的性质来表示集合，一般表示为

A = a | a具有性质 P.

例如，一元二次方程 x2 + ax+ b = 0的根表示为

x | x2 + ax+ b = 0.

1

· 2 · 第 1章点集拓扑简介

不含有任何元素的集合称为空集, 记为 ∅. 只有有限个元素的集合称为有限集，既不是有限集，又不是空集的集合称为无限集.

如果集合A的元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的一个子集，

记为 A ⊂ B. 空集是任何集合的子集，即 ∅ ⊂ A.

如果 A是 B 的子集，而 B 又是 A的子集，则称 A与 B 相等, 记为 A = B.

即

A ⊂ B,B ⊂ A ⇐⇒ A = B.

集合有并、交、差三种基本运算.

定定定义义义 1.1.1 设 A与 B 是两个集合，集合

x | x ∈ A或者 x ∈ B

称为集合 A与集合 B的并集, 记为 A ∪B. 集合

x | x ∈ A并且 x ∈ B

称为集合 A与集合 B 的交集, 记为 A ∩B. 集合

x | x ∈ A并且 x /∈ B

称为集合 A与集合 B的差集, 记为 A−B或 A\B.

上面定义的集合的并、交、差运算有如下的基本运算规律.

定定定理理理 1.1.1 设 A,B,C 是集合，则下列等式成立：

(1) 幂等律：

A ∪ A = A,

A ∩ A = A.

(2) 交换律：

A ∪B = B ∪ A,

A ∩B = B ∩ A.

(3) 结合律：

(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

1.1 集合及其运算 · 3 ·

(4) 分配律：

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

(5) De Morgan律：

A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C),

A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C).

证明: 我们只证明分配律的第一式 (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)，其余各式可以用类似方法证明.

按照集合相等的定义，就是要证明 (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 和(A ∩B) ∪ C ⊃ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)同时成立.

对任意 x ∈ (A∩B)∪C, 则 x ∈ A∩B或 x ∈ C. 当 x ∈ A∩B时，x ∈ A并且 x ∈ B，当然也有 x ∈ A ∪ C 并且 x ∈ B ∪ C，因此 x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).当 x ∈ C 时，自然有 x ∈ A ∪ C 并且 x ∈ B ∪ C，因此 x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).所以 (A ∩B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).同理可证 (A∩B)∪C ⊃ (A∪C)∩ (B ∪C). 这两个关系说明 (A∩B)∪C =

(A ∪ C) ∩ (B ∪ C). 2

数学中函数的自变量和应变量，有向线段的始点和终点等概念都是给出了

给定集合中某些元素之间的关系，为定义集合的关系，我们先定义笛卡尔乘积.

定定定义义义 1.1.2 设 A和 B是两个集合，它们的笛卡尔乘积空间是有序对的集合：

A×B = (a, b)| a ∈ A, b ∈ B.

实际上我们要定义的集合的关系就是笛卡尔乘积的一个子集.

定定定义义义 1.1.3 设 X 和 Y 是两个集合, R是 X × Y 的一个子集，即 R ⊂ X × Y，则称 R是从 X 到 Y 的一个关系. 如果 (a, b) ∈ R，则称 a与 b是 R-相关的，记

为 a R b.

设 A ⊂ X，则 Y 的子集 R(A) = b ∈ Y |存在 a ∈ A使得 a R b, 称为集合A对于关系 R的象集.

我们知道每两个实数可以比较大小, 从上面的定义看出两个集合中的元素还

不一定有关系，更不用说比较大小或前后，下面介绍序的概念.


定定定义义义 1.1.4 集合 X 上的一个偏序 R是 X 上一个具有传递性的关系，即满足

a R b, b R c =⇒ a R c.

集合 X 上的一个偏序 R如果满足：

(1) a R b, b R a⇒ a = b,

(2) 对任意 a, b ∈ X, a R b, b R a中至少有一个成立.

则称 R是集合 X 上的一个全序.

例如，实数集的大小关系是一个全序. 一般地，序关系 R也记为 ≺. x ≺ y

也读作 x小于 y.

定定定义义义 1.1.5 设 (X,≺)是一个偏序集，如果每个能与 x ∈ X 比较的元素都小于x，则称 x为 X 的一个最大元素. 设 A ⊂ X，如果存在 x ∈ X, 对每个 a ∈ A有a ≺ x，则称 x为 A的一个上界.

引引引理理理 1.1.2 (Zorn引理)：设 (X,≺)是一个偏序集，如果 X 的每个全序子集有

上界，则 X 中有最大元素.

此引理是一个与选择公理等价的命题，其证明超出本书范围.

我们可以用集合的关系来定义映射，函数的一种推广.

定定定义义义 1.1.6 设 A和 B 是两个集合，从 A到 B 的一个映射 f : A → B 是从 A

到 B 的一个关系 f ⊂ A×B，满足(1) 对任意 a ∈ A，存在 b ∈ B, 使得 (a, b) ∈ f，(2) 如果 (a, b) ∈ f , (a, b1) ∈ f，则 b = b1.

通常如果 (a, b) ∈ f，记为 b = f(a).

定定定义义义 1.1.7 对映射 f : X → Y，如果 Y 中每一个元素都有原象，即 f(X) =

Y，则称 f 是一个满射. 如果 X 中不同的点的象是 Y 中不同的点，即对任意

x1 = x2 有 f(x1) = f(x2)，则称 f 是一个单射. 如果 f 既是单射又是满射，则

称 f 是一个一一对应，或双射.

前面说过，只有有限个元素的集合称为有限集，现在给出可数集的一个稍

微严格点的定义.

定定定义义义 1.1.8 设 X 是一个集合，如果 X 是空集或者存在正整数 n ∈ Z+, 使得集

合 X 和集合 1, 2, · · · , n之间有一个一一对应，则称集合 X 是一个有限集. 如

果存在一个从 X 到正整数集 Z+的单射，则称 X 为可数集.

1.1 集合及其运算 · 5 ·

容易证明可数集有性质：

性性性质质质 1.1.3 可数集的任何子集是可数集. 两个可数集的笛卡尔乘积也是可数

集.

整数集 Z和偶数集 2Z之间有一个一一对应 z 7→ 2z, 按照定义它们都是可数

集，但似乎整数集 Z比偶数集 2Z元素要多一点，毕竟偶数集 2Z是整数集 Z的真子集. 如何判别两个集合，特别是无限集之间有一个一一对应，或者说它

们的基数相等，一般用下面的 Cantor-Bernstein定理.

定定定理理理 1.1.4 设 X 和 Y 是两个集合，如果从 X 到 Y 有一个单射，并且从 Y 到

X 也有一个单射，则 X 和 Y 之间有一个一一对应.

证明: 设 φ1 : X → Y , φ2 : Y → X 是定理条件中的单射，记 Y1 = φ1(X),

X1 = φ2(Y ). 则 φ1 : X → Y1, φ2 : Y → X1是一一对应.

记 X2 = φ2(Y1), 则 φ = φ2 φ1 : X → X2是一一对应, 而且 X2 ⊂ X1. 归纳

定义Xi+2 = φ(Xi), 则 φ : Xi → Xi+2是一一对应, i = 1, 2, · · · . 这样得到一个集合序列

X ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · .

把 X 分解成一列互不相交的子集的并

X =(X −X1) ∪X1 = (X −X1) ∪ (X1 −X2) ∪X2

=(X −X1) ∪ (X1 −X2) ∪ (X2 −X3) ∪ · · · ∪D,

其中 D = X ∩X1 ∩X2 ∩X3 ∩ · · · .类似地，X1 = (X1 − X2) ∪ (X2 − X3) ∪ (X3 − X4) ∪ · · · ∪ D1, 其中 D1 =

X1 ∩X2 ∩X3 ∩ · · · .由 X ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · 知 D = D1. 因为 φ 是一一映

射，φ : Xi −Xi+1 → Xi+2 −Xi+3也是一一对应.

我们把上述关于 X 和 X1的分解重新排列成

X = D ∪ (X −X1) ∪ (X1 −X2) ∪ (X2 −X3) ∪ (X3 −X4) ∪ · · · ,

X1 = D ∪ (X2 −X3) ∪ (X1 −X2) ∪ (X4 −X5) ∪ (X3 −X4) ∪ · · · .

定义映射 ψ : X → X1, 使得在上述分解的奇数项为恒等映射，偶数项为 φ. 则

ψ : X → X1是一一对应，而 φ2 : Y → X1也是一一对应，所以可以构造一一对

应 (φ2)−1 ψ : X → Y . 2


1.2 度度度量量量空空空间间间

我们通常讨论的 n维欧氏空间 Rn 是 n个实数空间的乘积空间，即 Rn =

R× · · · × R, 它的元素是由 n个实数组成的有序数组，记为 (x1, x2, · · · , xn), 或简记为 x. 由于 Rn 上可以定义加法和数乘，所以它是一个向量空间，因此 Rn

中的元素按不同情况，有时称为一个点，有时也称为一个向量. Rn的几何性质

是由欧氏内积，x · y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn, 决定的，这个内积可以用来求

向量的长度和夹角. Rn中两个点之间的距离可以用连接它们的有向线段表示的

向量的长度来计算，这样，Rn就成了一个度量空间. 实际上度量空间是欧氏空

间的一种推广，而且以后讨论的黎曼流形也是一个度量空间. 因此我们下面给

出度量空间的严格定义.

定定定义义义 1.2.1 设 X 是一个集合，d : X ×X → R是一个二元函数, 如果对于任意

x, y, z ∈ X, 满足

(1) 正定性: d(x, y) ≥ 0, 并且 d(x, y) = 0当且仅当 x = y;

(2) 对称性: d(x, y) = d(y, x);

(3) 三角不等式: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),

则称 d是集合 X 的一个度量, (X, d)称为一个度量空间, d(x, y)称为点 x到点 y

的距离.

例 1.2.1 n维欧氏空间 Rn.

对任意点 x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn, 令

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2.

这个 d称为 n维欧氏空间 Rn的通常度量.

要证明这个 d是一个度量，我们需要下面的 Schwarz不等式.

引引引理理理 1.2.1 设 x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn, 则有不等式

n∑i=1

xiyi ≤

√√√√ n∑i=1

(xi)2

√√√√ n∑i=1

(yi)2.

证明: 对任意实数 t ∈ R, 我们有

0 ≤n∑i=1

(xi + tyi)2 =n∑i=1

(xi)2 + 2tn∑i=1

xiyi + t2n∑i=1

(yi)2.

1.2 度量空间 · 7 ·

因此，当∑n

i=1(yi)2 = 0时，关于变量 t的一元二次方程

n∑i=1

(xi)2 + 2tn∑i=1

xiyi + t2n∑i=1

(yi)2 = 0

最多只有一个实数根，它的判别式

∆ = (2n∑i=1

xiyi)2 − 4n∑i=1

(xi)2n∑i=1

(yi)2 ≤ 0.

当∑n

i=1(yi)2 = 0 时，yi = 0, 此不等式自然成立. 开方后就得到我们需要的

Schwarz不等式. 2

例 1.2.1的证明: 正定性和对称性自然成立，我们只需证明三角不等式.

d(x, z)2 =n∑i=1

(xi − zi)2

=n∑i=1

[(xi − yi) + (yi − zi)]2

=n∑i=1

(xi − yi)2 + 2n∑i=1

(xi − yi)(yi − zi) +n∑i=1

(yi − zi)2

≤n∑i=1

(xi − yi)2 + 2

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

√√√√ n∑i=1

(yi − zi)2 +n∑i=1

(yi − zi)2

=(

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2 +

√√√√ n∑i=1

(yi − zi)2)2

=(d(x, y) + d(y, z))2.

开方后得 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), 所以在此通常度量下，欧氏空间 Rn是一个

度量空间. 2

通过简单计算同样可以验证下面两个度量空间.

例 1.2.2 Hilbert空间 H = x = (x1, x2, · · · )| xi ∈ R,∑∞

i=1(xi)2 <∞.

对任意点 x = (x1, x2, · · · ), y = (y1, y2, · · · ) ∈ H, 令

d(x, y) =

√√√√ ∞∑i=1

(xi − yi)2.


例 1.2.3 离散度量空间.

如果对每一个 x ∈ X 存在一个实数 δ(x) > 0使得对任意 y ∈ X, y = x 有

d(x, y) > δ(x), 则称 (X, d)为离散度量空间.

事实上, 每个集合上有一个离散度量:

d(x, y) =

0, 当 x = y,

1, 当 x = y.

下面看度量空间中一个重要的集合—球形邻域.

定定定义义义 1.2.2 设 (X, d)是一个度量空间, x ∈ X, 对任意实数 ε > 0, 集合

Bε(x) = y ∈ X| d(x, y) < ε

称为一个以 x为中心, ε为半径的球形邻域. 简称为 x的一个 ε-邻域. 集合

Bε(x) = y ∈ X| d(x, y) ≤ ε

称为一个以 x为中心, ε为半径的闭球体.

球形邻域有下述性质:

性性性质质质 1.2.2 度量空间 (X, d)的球形邻域具有下述性质:

(1) 每一点 x ∈ X 至少有一个球形邻域, 并且点 x属于它的每个球形邻域;

(2) 对于点 x ∈ X 的任意两个球形邻域, 存在 x的一个球形邻域同时包含于

两者之中;

(3) 如果 y 属于 x ∈ X 的某一个球形邻域, 则有一个 y的球形邻域包含于 x

的那个球形邻域中.

证明: 性质(1),(2)可以从定义直接得到，我们只证明性质(3).

设 y ∈ Bε(x), 取 δ = ε− d(x, y), 对任意 z ∈ Bδ(y),

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε− d(x, y) = ε.

即 z ∈ Bε(x), 所以 y的球形邻域 Bδ(y)包含于 x的球形邻域 Bε(x)中. 2

下面定义一个更一般的有着球形邻域相似的性质，但无几何形状的集

合—开集.

1.2 度量空间 · 9 ·

定定定义义义 1.2.3 设 A是度量空间 X 的一个子集，如果 A中每个点都有一个球形邻

域包含于 A(即对每个 a ∈ A，存在实数 ε > 0使得 Bε(a) ⊂ A)，则称 A是度量

空间 X 中的一个开集.

性性性质质质 1.2.3 度量空间 X 中的开集具有下列性质:

(1) 集合 X 本身和空集 ∅都是开集;

(2) 任意两个开集的交是一个开集;

(3) 任意一个开集族的并是一个开集.

证明: (1) 集合 X 中每一点的球形邻域当然包含在 X 中，所以 X 是一个开集.

空集 ∅不含有任意元素，我们就认为它满足开集的条件.

(2) 设 U, V 是 X 中的任意两个开集，若 U ∩ V = ∅, 则由(1)知 U ∩ V 是开集. 当 U ∩ V = ∅时，对任意 x ∈ U ∩ V , 则存在 ε1, ε2 > 0, 使得 Bε1(x) ⊂ U ,

Bε2(x) ⊂ V . 取 ε = minε1, ε2, 则

Bε(x) ⊂ Bε1(x) ∩ Bε2(x) ⊂ U ∩ V.

所以 U ∩ V 是一个开集.

(3) 设 Uαα∈A是 X 中的一个开集族，对任意 x ∈ ∪α∈AUα, 则存在 α0 ∈ A,使得 x ∈ Uα0 . 由于 Uα0 是开集，存在 ε > 0, 使得 Bε(x) ⊂ Uα0 ⊂ ∪α∈AUα, 所以∪α∈AUα是一个开集. 2

我们将在下一节用这个性质来定义拓扑空间. 一个常用的与函数连续性有关

的集合是：邻域.

定定定义义义 1.2.4 设 x是度量空间 X 中的一个点, U 是 X 的一个子集，如果存在一

个开集 V 使得 x ∈ V ⊂ U，则称 U 是点 x的一个邻域.

我们比较函数连续性和度量空间中映射的连续性的定义，会发现有些相似

之处.

数学分析中一元函数 f : D → R的连续性:

定定定义义义 1.2.5 设 f : D → R是一个函数，x0是D内的一个聚点, 如果对任意实数

ε > 0, 存在实数 δ > 0, 使得当 x ∈ (x0− δ, x0 + δ)∩D时, 有 |f(x)− f(x0)| < ε,

则称函数 f(x)在 x0处连续.

度量空间中映射的连续性:


定定定义义义 1.2.6 设 X 和 Y 是两个度量空间, f : X → Y 是一个映射, 以及 x0 ∈ X,

如果对于 f(x0) 的任意一个球形邻域 Bε(f(x0)), 存在 x0 的某一个球形邻域

Bδ(x0), 使得 f(Bδ(x0)) ⊂ Bε(f(x0)), 则称映射 f : X → Y 在点 x0处是连续的.

我们比较平面上的三个度量. 设 (x1, y1), (x2, y2)是平面上两个点, 定义度量:

d1((x1, y1), (x2, y2)) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,d2((x1, y1), (x2, y2)) = max|x2 − x1|, |y2 − y1|,d3((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 − x1|+ |y2 − y1|.

在这三个度量下, 原点的 r-球形邻域的图形为:

这三个图形的形状不一样，光滑性也不一样，但是它们定义的邻域是一样

的. 事实上, 这三个度量在下述意义下是等价的.

定定定义义义 1.2.7 如果对度量空间 (X, d1)和 (X, d2), 存在两个正数 C1, C2, 使得对任

意 x, y ∈ X 有C1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ C2d1(x, y),

则称 d1, d2是等价度量.

最后给一个有界集和直径的定义.

定定定义义义 1.2.8 设 A是度量空间 (X, d)的一个子集, 如果存在一个正数 R, 使得对

任意 x, y ∈ A有 d(x, y) ≤ R, 则称 A是一个有界集. d(x, y)的上确界称为集合

A的直径，记为 diam(A) = supd(x, y)| x, y ∈ A.

1.3 拓拓拓扑扑扑空空空间间间

我们用度量空间中开集的性质 1.2.3来定义一个空间的拓扑结构.

1.3 拓扑空间 · 11 ·

定定定义义义 1.3.1 设 X 是一个集合, T是 X 的一个子集族. 如果 T满足如下条件:

(1) X, ∅ ∈ T;

(2) 若 A,B ∈ T, 则 A ∩B ∈ T;

(3) 若 T1 ⊂ T, 则 ∪A∈T1A ∈ T,

则称 T 是 X 的一个拓扑. (X,T)称为一个拓扑空间. T 中的每一个元素称为拓

扑空间 X 的一个开集.

对度量空间 (X, d), 令 Td为由X 中的所有由定义 1.2.3定义的开集构成的集

族, 则由性质 1.2.3知道 (X,Td)是X 的一个拓扑, 我们称 (X,Td)是X 的由度量

d诱导出来的拓扑.

这就说明度量空间是拓扑空间，下面举几个拓扑空间的例子.

例 1.3.1 平庸空间.

设 X 是一个集合, T = ∅, X, 则 T是 X 的一个拓扑, 称为 X 的平庸拓扑.

例 1.3.2 离散拓扑.

T = 2X , 即由 X 的所有子集构成的集族, 称为 X 的离散拓扑.

例 1.3.3 设 X = a, b, c. 令 T = ∅, a, a, b, a, b, c, 它是 X 的一个拓扑.

它既不是平庸空间也不是离散空间.

设 A是 X 的一个子集, X − A也称为 A关于 X 的一个补集. 当我们考虑的

问题中的基础集 X 自明时，就称 A的补集为 X − A，记为 A′.

例 1.3.4 有限补空间.

T = U ⊂ X|U ′ 是 X 的一个有限子集 ∪ ∅ 是 X 的一个拓扑, 称为 X 的

有限补拓扑.

但拓扑空间与度量空间毕竟有区别，有一类特殊的空间是可度量化空间.

定定定义义义 1.3.2 设 (X,T)是一个拓扑空间, 如果存在 X 的一个度量 d, 使得拓扑 T

就是由度量 d诱导的拓扑 Td, 则称 (X,T)是可度量化空间.

每一个只有有限点的度量空间的诱导拓扑是离散拓扑. 只要将 ϵ取为两点间

距离最小值的一半, 则每个点的 ϵ-球形邻域只含一个点.

一个平庸空间只要多于一个点, 它就不是离散空间. 因此它不是可度量化的.

所以拓扑空间比度量空间的范围要广泛.

下面我们给出拓扑空间之间的连续映射的定义：

定定定义义义 1.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空间, f : X → Y 是一个映射. 如果 Y 中每

一个开集 U 的原象 f−1(U)是X 中一个开集, 则称映射 f : X → Y 是从 X 到 Y

的连续映射.


连续映射具有性质:

定定定理理理 1.3.1 设 X,Y, Z 是拓扑空间，则有

(1) 恒同映射 idX : X → X 是连续映射,

(2) 如果 f : X → Y 和 g : Y → Z 都是连续映射，则它们的复合映射

g f : X → Z 也是连续映射.

证明: (1) 设 U 是 X 的任意一个开集，则 i−1X (U) = U 当然是 X 的开集，所以

iX : X → X 是连续映射.

(2) 设W 是 Z 的任意开集，由于 g : Y → Z 是连续映射，g−1(W )是 Y 的

一个开集. 又由于 f : X → Y 是连续映射，f−1(g−1(W ))是 X 的一个开集. 而

(g f)−1(W ) = f−1(g−1(W ))，所以 g f : X → Z 是连续映射. 2

定定定义义义 1.3.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间, f : X → Y 是一个一一对应, 并且 f 和

f−1都是连续的, 则称 f 是一个同胚映射.

同胚映射具有性质

定定定理理理 1.3.2 设 X,Y, Z 是拓扑空间，则有

(1) 恒同映射 idX : X → X 是一个同胚;

(2) 如果 f : X → Y 是一个同胚, 则 f−1 : Y → X 也是一个同胚;

(3) 如果 f : X → Y 和 g : Y → Z 都是同胚, 则 g f : X → Z 也是同胚.

证明: (1) 由定理 1.3.1, idX , id−1X = idX 是连续映射，所以 idX : X → X 是一个

同胚.

(2) 因为 f : X → Y 是一个同胚, 则 f , f−1是连续映射，而 (f−1)−1 = f , 所

以 f−1 : Y → X 是一个同胚.

(3) 由于 f : X → Y 和 g : Y → Z 都是同胚, 则 f 和 g 都是一一对应，f ,

f−1, g和 g−1都是连续映射. 所以 gf 是一一对应，gf 和 (gf)−1 = f−1 g−1

都是连续映射. 因此，g f : X → Z 是一个同胚. 2

拓扑空间的某种性质 P , 如果为某一个拓扑空间所具有, 则必为与其同胚的

任何一个拓扑空间所具有, 则称此性质 P 是一个拓扑不变性质.

拓扑不变性质是同胚的拓扑空间所共有的性质. 拓扑学的任务是研究拓扑不

变性质，同时也研究互不同胚的拓扑空间有多少类.

1.4 一些基本的拓扑性质 · 13 ·

1.4 一一一些些些基基基本本本的的的拓拓拓扑扑扑性性性质质质

设 U是一个集族，Y 是一个集合. 集族 A ∩ Y | A ∈ U 称为集族 U在集合

Y 上的限制, 记为 U|Y .

定定定理理理 1.4.1 设 Y 是拓扑空间 (X,T)的一个子集, 则集族 T|Y 是 Y 的一个拓扑.

证明: 只要看下面的等式就可.

(1) ∅ ∩ Y = ∅, X ∩ Y = Y ;

(2) (A ∩ Y ) ∩ (B ∩ Y ) = (A ∩B) ∩ Y ;

(3) ∪A∈T1(A ∩ Y ) = (∪A∈T1A) ∩ Y . 2

T|Y 称为相对拓扑，(Y,T|Y )称为 (X,T)的拓扑子空间.

当 Y 是开集时, T|Y ⊂ T.

定定定义义义 1.4.1 拓扑空间 (X,T)的一个开集的补集称为闭集.

由 De Morgan 律知:

∅, X 是闭集, 两个闭集的并是闭集, 闭集的交是闭集.

定定定义义义 1.4.2 设 A是拓扑空间 X 的一个子集, 如果点 x ∈ X 的每个邻域 U 中都

有 A中异于 x的点, 即 (U − x) ∩ A = ∅, 则称点 x是集合 A的一个聚点或极

限点.

集合 A的聚点全体称为集合 A的导集.

集合 A和它的全体聚点的并称为集合 A的闭包, 记为 A.

定定定理理理 1.4.2 集合 A的闭包是闭集.

证明: 只要证明它的余集 A′是开集.

对任意 x ∈ A′, 由于它不是 A的聚点, 存在一个包含 x的开集 Ux使得

(Ux − x) ∩ A = ∅.

由 x /∈ A知 Ux ∩A = ∅, 从而 Ux中任意点也不是 A的聚点. 所以 Ux ∩ A = ∅, 即Ux ⊂ A′.

因此 A′ ⊂ ∪x∈A′Ux ⊂ A′, 即 A′ = ∪x∈A′Ux是开集. 2


定定定理理理 1.4.3 A是闭集的充要条件是 A = A.

证明: 设 A是闭集，则它的补集 A′ 是开集. 所以 A′ 中不含有 A的聚点, 因此

A = A.

反之当 A = A时, 由上面定理知 A是闭集. 2

下面介绍拓扑空间中的另一概念—连通集.

定定定义义义 1.4.3 如果拓扑空间 X 只有 ∅, X 两个既开又闭集, 则称 X 是连通空间.

因此，拓扑空间X 是连通的充要条件是X 不能分成两个不相交的非空既开

又闭集的并.

定定定理理理 1.4.4 设 T0 和 Tww∈W 是拓扑空间 X 的连通集, 如果对每个 w ∈ W ,

T0 ∩ Tw = ∅, 则 T0 ∪ (∪w∈WTw)也是连通集.

证明: 假设 T0 ∪ (∪w∈WTw) = V1 ∪ V2 是两个不相交的开集 V1, V2 之并. 则

T0 = (T0 ∩ V1) ∪ (T0 ∩ V2).T0 ∩ V1, T0 ∩ V2是 T0的两个不相交开集, 由连通性知其中之一是空集.

不妨设 T0 ∩ V2 = ∅, 则 T0 = T0 ∩ V1, 因此 T0 ⊂ V1.

同理 Tw ∩ V1, Tw ∩ V2之一是空集, 由 T0 ∩ Tw = ∅知 Tw ⊂ V1.

所以 T0 ∪ (∪w∈WTw) = V1, 即 V2 = ∅. 因此 T0 ∪ (∪w∈WTw)是连通集. 2

例 1.4.1 实数区间, Rn及其球体, 长方体都是连通的.

证明: 我们只证明实数空间 R的连通性，其它情形同理可证，或用 R的连通性和定理 1.4.4证明.

用反证法，假设实数空间 R 不连通，则存在 R 的两个不相交闭集 U 和

V , 使得 R = U ∪ V . 选取 a ∈ U 和 b ∈ V , 不妨设 a < b. 令 U1 = U ∩ [a, b],

V1 = V ∩ [a, b], 则 [a, b] = U1 ∪ V1, U1 ∩ V1 = ∅. 由于 b是 U1 的一个上界，所

以 U1 有上确界，记为 b1. 因为 U1 是闭集，所以 b1 ∈ U1. 这时 b1 < b, 而且

(b1, b] ⊂ V1. 由于 V1是闭集，所以 b1 ∈ V1, 即 b1 ∈ U1 ∩ V1, 这与 U1 ∩ V1 = ∅矛盾，所以实数空间 R是连通的. 2

例 1.4.2 有理数集 Q作为实数空间 R的子空间是一个不连通空间.

因为对任意无理数 r, 集合 (−∞, r)∩Q = (−∞, r]∩Q是Q的一个即开又闭的非空子集，或者说 Q可以表示成两个不相交开集 (−∞, r) ∩ Q, (r,+∞) ∩ Q的并集，所以有理数集 Q是一个不连通空间.


定定定理理理 1.4.5 设 f : X → Y 是连续的满映射, X 是连通的, 则 Y 也是连通的.

证明: 假设 Y = V1 ∪ V2是两个不相交开集之并, 则 X = f−1(V1) ∪ f−1(V2)也是

不相交开集之并. 因此 f−1(V1), f−1(V2)中有一个为空，即 V1, V2中有一个为空.

所以 Y 是连通的. 2

推推推论论论 1.4.6 设 f : X → Y 是连续的, X 是连通的, 则 f(X)也是连通的.

下面介绍紧致集.

定定定义义义 1.4.4 设 S 是一个集合，V ⊂ 2S 是 S 的一个子集族，如果 ∪V ∈VV = S，

则称 V是 S 的一个覆盖.

如果 S 是一个拓扑空间, 每个 V ∈ V是开集, V称为 S 的一个开覆盖.

如果 S 的每个开覆盖, 有一个有限子覆盖, 则称 S 是紧致的. 即对每个开覆

盖 V, 存在有限个开集 V1, V2, · · · , Vk ∈ V使得 ∪ki=1Vi = S.

例 1.4.3 闭区间 [a, b]是紧致的.

证明: 假设闭区间 [a, b]不是紧致的，则存在 [a, b]的一个开覆盖 Uαα∈A, 不存在有限开覆盖. 将区间 [a, b] 平分成两个区间，则其中至少有一个不能被

Uαα∈A有限覆盖，记这个区间为 [a1, b1] ⊂ [a, b]，这时 b1 − a1 = 12(b− a).

再将区间 [a1, b1]平分成两个区间，则其中至少有一个不能被 Uαα∈A 有限覆盖，同样记这个区间为 [a2, b2] ⊂ [a1, b1]，这时 b2 − a2 = 1

22(b− a).

重复这一步骤，可以得到一个区间序列 [an, bn], n = 1, 2, 3, · · · , 满足

[an+1, bn+1] ⊂ [an, bn], bn − an =1

2n(b− a)→ 0, (n→∞).

并且每个区间不能被 Uαα∈A有限覆盖.

由区间套定理，存在唯一的 ξ ∈ [an, bn]. 因此存在 α0 ∈ A, 使得 ξ ∈ Uα0 , 由

于 limn→∞ an = limn→∞ bn = ξ，存在自然数N , 当 n > N 时，[an, bn] ⊂ Uα0 . 这

是一个矛盾，所以闭区间 [a, b]是紧致的. 2

同理可证，Rn中的闭长方体是紧致的.

例 1.4.4 Rn不是紧致的.

事实上，以原点为球心，自然数 n为半径的开球体全体是 Rn 的一个开覆

盖，它没有有限子覆盖，否则 Rn 就被其中有限个球体中的最大球体覆盖，即

Rn是一个有界集.


定定定理理理 1.4.7 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.

证明: 设 X 是一个紧致空间，B 是 X 的一个闭子集，Uαα∈A 是 B 的一个开

覆盖，这时 Uαα∈A∪X−B是X的一个开覆盖，由于X是一个紧致空间，

所以存在 X 的一个有限开覆盖 Uα1 , · · · , Uαk, X − B. 因此，Uα1 , · · · , Uαk

是 B的一个有限开覆盖，所以 B是一个紧致集. 即紧致空间中的每一个闭子集

都是紧致子集. 2

例 1.4.5 Rn中的有界闭子集是紧致的.

定定定理理理 1.4.8 连续映射将紧致集映到紧致集.

证明: 设 X 是一个紧致空间，f : X → Y 是一个连续映射，Uαα∈A 是f(X) 的一个开覆盖，因此，f−1(Uα)α∈A 是 X 的一个开覆盖，由于 X

是一个紧致空间，存在 X 的一个有限开覆盖 f−1(Uα1), · · · , f−1(Uαk)，这

时，Uα1 , · · · , Uαk是 f(X)的一个有限开覆盖，所以 f(X)是一个紧致集, 即

连续映射将紧致集映到紧致集. 2

定定定理理理 1.4.9 设 S 是紧致拓扑空间, 则它的每个无穷子集有聚点.

证明:（反证法）假设 S 的一个无穷子集 A无聚点．则对任何 a ∈ A，存在包含a的开集 Ua使得 (Ua − a) ∩ A = ∅, 因此 Ua ∩ A = a．即 A是离散的．

由于 A无聚点，则 A = A是闭集，所以 A是紧致的．Uaa∈A是 A的一个

开覆盖．所以有有限开覆盖 Ua1 , Ua2 , · · · , Uak．因此 A = a1, a2, · · · , ak．这是一个矛盾，所以结论成立．　 2

下面给出我们需要的几个分离性空间的概念.

定定定义义义 1.4.5 设 X 是一个拓扑空间．对 X 中的任意两个不同点，

(1) 如果存在一个开集包含其中一个点而不包含另一个点，则称 X 是一个

T0空间．

(2) 如果存在两个开集分别包含其中一个点而不包含另一个点，则称 X 是

一个 T1空间．

(3) 如果存在两个不相交开集分别包含其中一个点而不包含另一个点，则称

X 是一个 T2空间, 或 Hausdorff空间.

例 1.4.6 X = a, b, T = ∅, a, a, b是 T0空间, 但不是 T1空间.

例 1.4.7 X 是含有无穷多点的有限补空间, 它是 T1空间, 但不是 T2空间.


定定定理理理 1.4.10 X 是 T1空间的充要条件是 X 的每个点是闭集.

证明: 充分性：对任意两个不同点 a, b ∈ X, 由于 X 的每个点是闭集，X − a,X − b是两个分别包含 a, b中一个点而不包含另一个点的开集，所以 X 是 T1空间.

必要性：对固定的 a ∈ X, 由于 X 是 T1空间，对任意 x ∈ X − a, 存在开集 Ux, 使得 x ∈ Ux, a /∈ Ux. 因此，X − a = ∪x∈X−aUx是开集，所以，点 a

是闭集，即 X 的每个点是闭集. 2

定定定理理理 1.4.11 Hausdorff空间中的紧致集是闭集.

证明: 设 X 是一个 Hausdorff 空间， A 是 X 中的一个紧致集. 对固定的

b ∈ X − A, 由于 X 是 Hausdorff空间，对任意 x ∈ A, 存在开集 Ux, Vbx, 使得

x ∈ Ux, b ∈ Vbx, 且 Ux ∩ Vbx = ∅. 由于 A是一个紧致集，Uxx∈A 是 A的一个

开覆盖，存在 A的一个有限开覆盖 Ux1 , · · · , Uxk，这时，Vb = ∩ki=1Vbxi 是开

集，并且 Vb ∩ A = ∅. 因此，X − A = ∪b∈X−AVb是开集，所以，A是闭集，即

Hausdorff空间中的紧致集是闭集. 2

定定定理理理 1.4.12 设 X 是紧致空间, Y 是 Hausdorff 空间，f : X → Y 是连续的一

一对应. 则 f : X → Y 是同胚.

证明: 要证明 f−1 : Y → X 是连续的, 只要证明 f = (f−1)−1将开集映成开集.

由于 f : X → Y 是一一对应, 只要证明它将闭集映成闭集.

设 V 是X 中的一个闭集, 由定理 1.4.7, V 是紧致集, 定理 1.4.8说明 f(V )也

是紧致集, 而定理 1.4.11的结论是 Hausdorff空间中的紧致集是闭集, 即 f(V )是

闭集. 所以 f : X → Y 是同胚. 2

定定定义义义 1.4.6 设 X 是一个度量空间, U是 X 的一个开覆盖. 如果存在一个实数

δ > 0, 使得 X 中的每一个直径小于 δ的集合包含在某个 U ∈ U内, 则称 δ是开

覆盖 U的一个 Lebesgue数.

定定定理理理 1.4.13 每一个紧致度量空间的开覆盖有一个 Lebesgue数.

证明: 设 U是紧致度量空间 X 的一个开覆盖. 因此对任意 x ∈ X，存在 U ∈ U

使得 x ∈ U , 所以存在 r(x) > 0使得 B2r(x)(x) ⊂ U . 于是 Br(x)(x) : x ∈ X是 X 的一个开覆盖，由于 X 是紧致空间，存在有限个开球体 Br(x1)(x1), · · · ,Br(xk)(xk)覆盖 X.


令 δ = minr(x1), · · · , r(xk), 下面证明此 δ是开覆盖 U的一个 Lebesgue数.

设 A ⊂ X 是一个半径小于 δ的非空集合，对任意 x ∈ A，存在 Br(xi)(xi)使得 x ∈ Br(xi)(xi), 对任意 y ∈ A，

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) < δ + r(xi) ≤ 2r(xi).

所以，A ⊂ B2r(xi)(xi), 因此存在 U ∈ U使得 A ⊂ U . 这就证明了 δ是 U的一个

Lebesgue数. 2

下面看一下拓扑基的概念.

定定定义义义 1.4.7 设 (X,T)是一个拓扑空间, B是 T的一个子族. 如果 T中的每一元

素(开集)是 B中的某些元素的并, 则称 B是拓扑 T的一个基, 或 B是 X 的一个

拓扑基.

度量空间的诱导拓扑中的非空开集可以看成是球形邻域的并

U = ∪x∈UBϵx(x).

即度量空间的拓扑可以由它的所有球形邻域通过并生成. 所以，所有球形邻域

构成度量空间的一个拓扑基.

定定定理理理 1.4.14 设 B是拓扑空间 (X,T)的一个开集族, 则 B是 X 的一个基的充

要条件是对每一个 x ∈ X 及包含 x的开集 Ux, 存在 Vx ∈ B使得 x ∈ Vx ⊂ Ux.

证明: 必要性：若 B是 X 的一个基，对每一个 x ∈ X 及包含 x的开集 Ux, 存

在 B1 ⊂ B, 使得 Ux = ∪V ∈B1V , 由 x ∈ Ux = ∪V ∈B1V 可知存在 Vx ∈ B 使得

x ∈ Vx ⊂ Ux.

充分性：对任意开集 U ∈ T, 由定理条件，对每一个 x ∈ U , 存在 Vx ∈ B使

得 x ∈ Vx ⊂ U . 因此，U = ∪x∈UVx, 所以，B是 X 的一个基. 2

定定定理理理 1.4.15 设 X 是一个集合. B是集合 X 的一个子集族. 如果 B满足条件:

(1) ∪B∈BB = X;

(2) 如果 B1, B2 ∈ B，则对任意 x ∈ B1 ∩ B2，存在 B ∈ B使得 x ∈ B ⊂B1 ∩B2，

则 X 的子集族

T = U ⊂ X|存在 BU ⊂ B使得 U = ∪B∈BUB

是集合 X 的唯一的一个以 B为基的拓扑.


证明: 我们先验证 T是 X 的一个拓扑.

(1) 由条件(1)知，X ∈ T. 而由 ∅ ⊂ B得 ∅ = ∪A∈∅A ∈ T.

(2) 设 A1, A2 ∈ T, 则存在 B1,B2 ⊂ B, 使得 A1 = ∪B1∈B1B1 和 A2 =

∪B2∈B2B2成立. 因此

A1 ∩ A2 = (∪B1∈B1B1) ∩ (∪B2∈B2B2) = ∪B1∈B1,B2∈B2B1 ∩B2.

下证 B1 ∩ B2 ∈ T. 由条件(2), 对任意 x ∈ B1 ∩ B2，存在 Wx ∈ B 使得

x ∈ Wx ⊂ B1 ∩B2. 由

B1 ∩B2 = ∪x∈B1∩B2x ⊂ ∪x∈B1∩B2Wx ⊂ B1 ∩B2,

得 B1 ∩B2 = ∪x∈B1∩B2Wx ∈ T.

因此，A1 ∩ A2 中的每一项 B1 ∩ B2 都是 B中某些元素之并，所以 A1 ∩ A2

也是 B中某些元素之并，因此，B1 ∩B2 ∈ T.

(3) 设 T1 ⊂ T, 则对每个 U ∈ T1, 存在 BU , 使得 U = ∪B∈BUB. 因此我们有

∪U∈T1U = ∪U∈T1(∪B∈BUB) = ∪B∈∪U∈T1

BUB ∈ T.

所以 T是 X 的一个拓扑，由 T的定义知 B是拓扑 T的一个基.

假设集合 X 还有一个拓扑 T 以 B为它的一个基，由拓扑基的定义，任意

U ∈ T 必为 B 中某些元素之并，所以 U ∈ T，即 U ∈ T ⊂ T. 反之，由于

B ⊂ T, 所以对任意 V ∈ T，由于 V 是 B中某些元素之并，因此 V 也是 T中某

些元素之并，而 T是一个拓扑，所以 V ∈ T，即 T ⊂ T. 因此 T = T. 即以 B为

基的拓扑是唯一的. 2

定定定义义义 1.4.8 设 X 是一个拓扑空间, x ∈ X, 记 Ux为 x的邻域系. Ux的子族 Vx

如果满足条件: 对每个 U ∈ Ux, 存在 V ∈ Vx 使得 V ⊂ U , 则称 Vx 是 x的一个

邻域基.

定定定义义义 1.4.9 一个拓扑空间如果有一个可数拓扑基, 则称此拓扑空间是一个满足

第二可数性公理的空间, 简称 A2空间.

例 1.4.8 实数空间 R满足第二可数性公理.

全体端点为有理数的开区间组成实数空间 R的一个可数基.

定定定义义义 1.4.10 一个拓扑空间如果它的每一点处有一个可数邻域基, 则称此拓扑

空间是一个满足第一可数性公理的空间, 简称 A1空间.


例 1.4.9 每个度量空间满足第一可数性公理.

在度量空间的每点处，全体以该点为球心，半径为有理数的开球体构成一

个可数邻域基.

如果拓扑空间具有某个性质 P , 而它的任意拓扑子空间也都具有性质 P，则

性质 P 称为拓扑空间的可遗传性质.

例如，离散性，平庸性，Hausdorff性质，第一可数性，第二可数性等都是

可遗传的性质.

习题

1. 证明 De Morgan律：A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)，A − (B ∩ C) =

(A−B) ∪ (A− C).2. 设 X 和 Y 是两个集合，f : X → Y 和 f : Y → X 是两个映射，证明：如果

f g = idY , 则 g是一个单射，f 是一个满射.

3. 证明:两个可数集的笛卡尔乘积也是可数集.

4. 证明: Hilbert空间 H = x = (x1, x2, · · · )| xi ∈ R,∑∞

i=1(xi)2 < ∞. 关于

d(x, y) =√∑∞

i=1(xi − yi)2是一个度量空间.

5. 证明: 平面 R2上定义的三个度量:

d1((x1, y1), (x2, y2)) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,d2((x1, y1), (x2, y2)) = max|x2 − x1|, |y2 − y1|,d3((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 − x1|+ |y2 − y1|.

是等价的.

6. 证明: 空间 (X,T), T = U ⊂ X|X −U 是X 的一个有限子集 ∪ ∅ 是一个拓扑空间.

7. 设 (X,T)是一个拓扑空间，∞是一个不属于X 的元素，令X∗ = X ∪ ∞,T∗ = T ∪ X∗. 证明 (X∗,T∗)是一个拓扑空间.

8. 设 T1, T2是集合 X 的两个拓扑，证明 T1 ∩ T2也是集合 X 的一个拓扑.

9. 证明: 平面 R2是连通的.

10. 设 Y 是一个离散空间, 并且含有不止一个点, 证明: 拓扑空间 X 是连通的

充要条件是每一个连续映射 f : X → Y 是常值映射.

11. 证明: 闭正方形 [−1, 1]× [−1, 1]是紧致的.

12. 证明: 欧氏平面上正方形 [−1, 1]× [−1, 1]上的连续函数是一致连续的.

第第第二二二章章章基基基本本本群群群与与与同同同伦伦伦论论论基基基础础础

前面说过，拓扑学的主要任务是研究拓扑不变性质，同时也研究互不同胚

的拓扑空间有多少类. 我们要引入各种拓扑不变量用来区分不同胚的拓扑空间.

本章介绍的基本群就是一个重要的拓扑不变量, 在研究拓扑空间时它起到了很

重要的作用，缺点是一个拓扑空间的基本群不太好求. 通过运用拓扑空间的基

本群，我们可以把关于拓扑空间和连续映射的问题归结为群和同态的代数问

题，希望通过解决代数问题来解决拓扑问题，这是代数拓扑的基本策略.

2.1 同同同伦伦伦的的的含含含义义义

定定定义义义 2.1.1 设 f, g : X → Y 是拓扑空间之间的两个连续映射，A ⊂ X，满足

f |A = g|A，I = [0, 1], 如果存在连续映射 F : X × I → Y 使得

(1) 对任意 x ∈ X，F (x, 0) = f(x)，F (x, 1) = g(x);

(2) 对任意 x ∈ A，t ∈ I, F (x, t) = f(x) = g(x).

则称 F 是从 f 到 g的相对于 A的同伦. 简记 f ≃ g rel A. 当 A为空集时, 简记

f ≃ g.

对任意 t ∈ I, ft(x) = F (x, t)是从X 到 Y 的连续映射. 同伦的意义就是当时

间 t从 0上升到 1时, 映射 ft从 f 连续形变到映射 g.

例 2.1.1 设 X = Y = Rn, idRn 为恒等映射, g 为常值映射 0, 则 F (x, t) = tx定

义了一个从 g到 idRn 的同伦.

定定定义义义 2.1.2 如果 X 上的恒等映射同伦于 X 到其中某一点的常值映射, 则称空

间 X 是可(点)缩的.

定定定理理理 2.1.1 同伦是等价关系. 即对 X → Y 的连续映射 f, g, h, 有

(1) f ≃ f ,

(2) f ≃ g隐含 g ≃ f ,

(3) f ≃ g和 g ≃ h可推出 f ≃ h.

21

· 22 · 第 2章基本群与同伦论基础

证明: (1) 作同伦映射 H(x, t) = f(x)就得到 f ≃ f .

(2) 设 f ≃ g对应的同伦映射为 F : X × I → Y , 则 G(x, t) = F (x, 1 − t)是g ≃ f 的对应同伦映射.

(3) 设有同伦映射 F,G : X × I → Y 使得

F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x).

则映射

H(x, t) =

F (x, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2,

G(x, 2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1

说明 f ≃ h. 2

这里的映射 H(x, t)的连续性由下面的粘合定理给出.

定定定理理理 2.1.2 设X 和 Y 是拓扑空间, X = A∪B, 其中 A,B是X 的闭(开)集, 设

f : A→ Y 和 g : B → Y 是连续映射, 且当 x ∈ A ∩B时, f(x) = g(x), 则映射

h(x) =

f(x), x ∈ A,g(x), x ∈ B

是连续映射.

证明: 假设 A,B是 X 的闭集, F 是 Y 中的任意闭集, 则

h−1(F ) = (h−1(F ) ∩ A) ∪ (h−1(F ) ∩B) = f−1(F ) ∪ g−1(F ).

由 f : A → Y 的连续性知 f−1(F ) 是 A 中的闭集, 即存在 X 的闭集 F1 使得

f−1(F ) = F1 ∩ A. 由于 A是 X 的闭集, 所以 f−1(F )也是 X 的闭集.

同理 g−1(F )也是 X 的闭集, 因此 h−1(F )也是 X 的闭集, 即 h : X → Y 是

连续的.

当 A,B是 X 的开集时, 同理可证. 2

定定定理理理 2.1.3 设 X,Y, Z 是拓扑空间, f0, f1 是 X 到 Y 的同伦映射, g0, g1 是 Y 到

Z 的同伦映射, 则 g0 f0, g1 f1是 X 到 Z 的同伦映射.

证明: 先证(1) g0 f0 ≃ g0 f1, (2) g0 f1 ≃ g1 f1, 由传递性知 g0 f0 ≃ g1 f1.(1) 设 F : X × I → Y 是 f0到 f1的同伦映射, 则 G = g0 F : X × I → Z 是

g0 f0到 g0 f1的同伦.

(2) 设 H : Y × I → Z 是 g0 到 g1 的同伦映射, 则 K(x, t) = H(f1(x), t) :

X × I → Z 是 g0 f1到 g1 f1的同伦. 2

2.2 基本群 · 23 ·

定定定义义义 2.1.3 如果存在连续映射 f : X → Y 和 g : Y → X 使得 g f ≃ idX 和

f g ≃ idY , 则称拓扑空间X 和 Y 具有相同的同伦类型，f 是X 到 Y 的同伦等

价，g为 f 的逆同伦，记作 f : X ∼= Y .

容易证明“具有相同的同伦类型”是等价关系. 一般简称两个空间同伦等

价.

推推推论论论 2.1.4 X 是可缩空间的充要条件是 X 同伦等价于一个点.

例 2.1.2 设 O是 Rn的原点，则 Rn − O与单位球面 Sn−1是同伦等价的.

证明: 设 f : Sn−1 → Rn − O是包含映射，定义映射

g : Rn − O → Sn−1, g(x) =x

|x|.

由此函数定义得

g f = idSn−1 , f g(x) = x

|x|.

定义映射

H : (Rn − O)× I → Rn − O,

H(x, t) = tx+ (1− t) x|x|.

由于 t+ (1− t)/|x| > 0, 这个映射定义是合理的，它就是 f g和 idRn−O之间

的同伦. 由 g f = idSn−1 和 f g ∼= idRn−O 可知，Rn − O与单位球面 Sn−1

是同伦等价的.

2.2 基基基本本本群群群

定定定义义义 2.2.1 满足 α(0) = x0, α(1) = x1 的连续映射 α : I = [0, 1]→ X 称为拓扑

空间 X 中从 x0 到 x1 的一条道路. 点 x0 称为道路 α的始点，点 x1 称为道路 α

的终点.

如果 X 中任意两点 x0, x1有一条连接它们的道路, 则称 X 是道路连通的.

如果对 X 中任意点 x，存在 x的一个道路连通的邻域基，则称 X 是局部道

路连通的.

定定定理理理 2.2.1 道路连通空间是连通的.


证明: 假设X = U ∪ V 是两个不相交的开集之并, 取 x0 ∈ U , x1 ∈ V , 由于X 是

道路连通的, 存在一条从 x0到 x1的道路 α.

α−1(U), α−1(V )是 I = α−1(U) ∪ α−1(V )的两个不相交开集, 且 0 ∈ α−1(U),

1 ∈ α−1(V ). 这与 I 的连通性矛盾. 所以结论成立. 2

下面的例子说明道路连通空间与连通空间毕竟是不一样的.

例 2.2.1 下图中的图形 X = A ∪ B ⊂ R2, 具有相对拓扑, 是连通但不是道路连

通的. 其中 A = (0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1, B = (x, sin(1/x))|0 < x ≤ 1.

证明: (1) 假设 X = U ∪ V 是两个不相交的开集之并, 不妨设 (0, 1) ∈ U .由于 A = A ∩X = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V )是连通的, A ∩ U , A ∩ V 是 A的两个

不相交的开集，得 A ∩ V = ∅.对开集 U , 存在 (0, 1)球形邻域 Bε((0, 1)) ∩X ⊂ U , 但它含有 B 中的点, 即

B ∩ U = ∅, 由 B = (B ∩ U) ∪ (B ∩ V )的连通性知 B ∩ V = ∅.所以 V = (A ∩ V ) ∪ (B ∩ V ) = ∅, 因此 X 是连通的.

(2) 设 α是以 (0, 1)为起点的道路, 由于 A是闭集, 得 α−1(A)是 I 的闭集.

现证 α−1(A)是 I 的开集. 对任意 t0 ∈ α−1(A), 对开集 U = X ∩ B1/2(α(t0)),

由连续性质知存在 ε > 0 使得 α((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ U . 如果有 |t1 − t0| < ε,

使得 α(t1) ∈ B, 则 α((t0 − ε, t0 + ε))在 U 中包含 α(t1)的弧段是 U 的既开又

闭集. 这与 α((t0 − ε, t0 + ε))的连通性矛盾. 所以 α((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ A, 即

(t0 − ε, t0 + ε) ⊂ α−1(A), 因此 α−1(A)是 I 的开集.

由 0 ∈ α−1(A)和 I 的连通性知 α−1(A) = I, 即 α(I) ⊂ A. 因此没有道路能

连接 (0, 1)和 B中的点. 所以 X 不是道路连通的. 2

定定定义义义 2.2.2 设 α, β 是空间 X 中两条从 x0 到 x1 的道路, 如果存在连续映射

F : I × I → X 满足:

2.2 基本群 · 25 ·

对所有 s ∈ I, F (s, 0) = α(s), F (s, 1) = β(s),

对所有 t ∈ I, F (0, t) = x0, F (1, t) = x1,

则称 α和 β 是保持端点不变同伦的. 记作 α ≃ β rel (0, 1). 映射 F 称为从 α到

β 的同伦映射.

这是映射同伦的特例, 因此道路同伦是一个等价关系. 与道路 α同伦等价的

道路构成的等价类记为 [α]. 称为 α的同伦类. 通俗地讲，α形变到 β 的过程中

碰不到空间 X 的洞. 比如说圆环上的一个同心圆分成两半，其中的一半不可能

在圆环内形变到另一半，这是因为圆环中间有一个洞.

下面在道路等价类集合上定义一个乘法，使得它成为一个群.

定定定义义义 2.2.3 设 α是从 x0 到 x1 的道路, β 是从 x1 到 x2 的道路. 它们的乘积是

一条从 x0到 x2的道路 αβ 定义为

αβ(t) =

α(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2,

β(2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1.

α的逆道路是一条从 x1到 x0的道路 α−1, 定义为 α−1(t) = α(1− t).

定定定理理理 2.2.2 设 α0 ≃ α1 rel (0, 1) , β0 ≃ β1 rel (0, 1), 且 αi(1) = βi(0),

则 α0β0 ≃ α1β1 rel (0, 1).

证明: 设 F 是 α0到 α1的同伦, G是 β0到 β1的同伦. 则

H(s, t) =

F (2s, t), 0 ≤ s ≤ 1/2,

G(2s− 1, t), 1/2 ≤ s ≤ 1

是 α0β0到 α1β1的同伦. 所以 α0β0 ≃ α1β1 rel (0, 1). 2

定定定理理理 2.2.3 设 α0 ≃ α1 rel (0, 1), 则 α−10 ≃ α−1

1 rel (0, 1).

证明: 设 F 是 α0到 α1的同伦, 则H(s, t) = F (1− s, t)是 α−10 到 α−1

1 的同伦. 所

以 α−10 ≃ α−1

1 rel (0, 1). 2

因此我们可以在道路同伦类集合上定义乘法和求逆运算:

[α][β] = [αβ], [α]−1 = [α−1].


定定定理理理 2.2.4 设 x ∈ X, ex : I → X 是常值道路，定义为 ex(t) = x, α是从 x0 到

x1的道路, 则

[ex0 ][α] = [α], [α][ex1 ] = [α], [α][α−1] = [ex0 ], [α−1][α] = [ex1 ].

证明: 作映射 F : I × I → X 为

F (s, t) =

x0, 2s ≤ 1− t,α(2s−1+t

1+t), 2s ≥ 1− t.

这个映射的构造要点是过点 (s, 1)、(s/2 + 1/2, 0)的直线(左下图的虚线)上取值

α(s). 从表达式看出

F (s, 0) = (ex0α)(s), F (s, 1) = α(s), F (0, t) = x0, F (1, t) = α(1) = x1.

所以 ex0α ≃ α rel (0, 1), 即 [ex0 ][α] = [α].

同理可证第二式.

作映射(右上图)

F (s, t) =

α(2s− t), t ≤ 2s ≤ 1,

α(2− 2s− t), 1 ≤ 2s ≤ 2− t,x0, 其它.

从表达式看出

F (s, 0) = (αα−1)(s), F (s, 1) = x0, F (0, t) = x0, F (1, t) = α(0) = x0.

所以 αα−1 ≃ ex0 rel (0, 1), 即 [α][α−1] = [ex0 ].

同理可证第四式. 2

定定定理理理 2.2.5 （结合律）([α][β])[γ] = [α]([β][γ]), 其中 α, β, γ 满足 α(1) = β(0),

β(1) = γ(0).

2.2 基本群 · 27 ·

证明: 由于

((αβ)γ)(s) =

α(4s), 0 ≤ s ≤ 1/4,

β(4s− 1), 1/4 ≤ s ≥ 1/2,

γ(2s− 1), 1/2 ≤ s ≤ 1.

(α(βγ))(s) =

α(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2,

β(4s− 2), 1/2 ≤ s ≥ 3/4,

γ(4s− 3), 3/4 ≤ s ≤ 1.

则映射

F (s, t) =

α( 4s

t+1), 4s− 1 ≤ t ≤ 1,

β(4s− t− 1), 4s− 2 ≤ t ≥ 4s− 1,

γ(4s−t−22−t ), 0 ≤ t ≤ 4s− 4.

就是我们要的同伦. 2

下面我们讨论起点和终点都为 x0 的闭道路同伦类集合，记为 π1(X, x0). 从

上面的定理知 π1(X, x0)是一个群. 这个群称为空间 X 的以 x0为基点的基本群.

从形式上看基本群 π1(X, x0)依赖于基点 x0 的取法，而且当两个点不是道路连

通时，相应的以这两个点为基点的基本群应该没有关系，下面的定理说在同一

个道路连通分支内，不同基点处的基本群是同构的.

定定定理理理 2.2.6 设 α是从 x0 到 x1 的一条道路, 则由 [β] 7→ [α−1βα]定义的映射是

群 π1(X, x0)到群 π1(X, x1)上的一个同构 α∗.

证明: 由前面三个定理知，对任意 [β1], [β2] ∈ π1(X, x0),

α∗([β1][β2]) = [α−1β1β2α] = [α−1β1α][α−1β2α] = α∗([β1])α∗([β2]).

即 α∗是一个同态, 而 (α−1)∗是其逆. 所以 α∗是从群 π1(X, x0)到群 π1(X, x1)上

的一个同构. 2

推推推论论论 2.2.7 设 X 是一个道路连通空间, 则群 π1(X, x0)在同构意义下与基点 x0

的选取无关.

因此, 对道路连通空间 X, π1(X, x0)通常记为 π1(X) , 称为 X 的基本群.

例 2.2.1 X = x0是一个单点集, π1(X) = [ex0 ] = e只有一个单位元.

下面讨论由连续映射联系的两个拓扑空间的基本群之间的关系，先做一个

准备工作.


定定定理理理 2.2.8 设 X 和 Y 是道路连通空间, f : X → Y 是连续映射, α, β 是以 x0

为基点的闭道路，并且 α ≃ β, 则 f(α) ≃ f(β).

证明: 设 H : I × I → X 是 α和 β 之间的同伦映射，则 f H : I × I → Y 是

f(α)和 f(β)之间的同伦映射，所以 f(α) ≃ f(β). 2

定定定义义义 2.2.4 设 X 和 Y 是道路连通空间, f : X → Y 是连续映射. 对 x0 ∈ X, 定

义映射 f∗ : π1(X, x0)→ π1(Y, f(x0))为

f∗([α]) = [f(α)],

对任意 [α] ∈ π1(X, x0). f∗称为由 f 诱导的同态.

定定定理理理 2.2.9 设 X,Y, Z 是道路连通空间, x0 ∈ X. 则

(1) 对恒等映射 id : X → X, 有 (id)∗ = id,

(2) 若 f : X → Y , g : Y → Z 是连续映射, 则 (g f)∗ = g∗ f∗,(3) 设 F : X × I → Y 是从映射 f0到 f1的同伦, 则 (f1)∗ = σ∗ (f0)∗,其中 σ是 Y 中从 f0(x0)到 f1(x0)的道路 σ(t) = F (x0, t).

证明: (1) 对任意 [α] ∈ π1(X, x0), (id)∗([α]) = [id(α)] = [α], 所以 (id)∗ = id.

(2) 对任意 [α] ∈ π1(X, x0),

(g f)∗([α]) = [g f α] = g∗([f α]) = g∗ f∗([α]).

所以 (g f)∗ = g∗ f∗.(3) 建立映射 G : I × I → Y，G(s, t) = F (α(s), t). 则

G(s, 0) = (f0 α)(s), G(s, 1) = (f1 α)(s),

G(0, t) = F (x0, t) = σ(t), G(1, t) = σ(t).

按下图作映射

H(s, t) =

σ−1(2s), s ≤ 1−t

2,

G(4s+2t−23t+1

, t), 1−t2≤ s ≤ t+3

4,

σ(4s− 3), s ≥ t+34.

这是 σ−1(f0 α)σ 到 f1 α 的同伦. 按照定理 2.2.6 的记法，我们得 (f1)∗ =

σ∗ (f0)∗.

2.2 基本群 · 29 ·

2

推推推论论论 2.2.10 具有相同同伦类型的道路连通空间的基本群同构.

推推推论论论 2.2.11 可缩空间的基本群是平凡的.

推推推论论论 2.2.12 π1(Rn) = e.

定定定义义义 2.2.5 设 X 是道路连通空间，如果 X 的基本群 π1(X) = e, 则称 X 是

一个单连通空间.

除了几个简单拓扑空间的基本群外，一般拓扑空间的基本群不太容易求. 下

面准备求 n-维球面 Sn(n ≥ 2)的基本群，S1 的基本群在下一节给出. 先做个准

备工作.

定定定理理理 2.2.13 设 U, V 是拓扑空间 X 的两个开集，其中 V 是单连通的，X =

U ∪ V , 并且 U ∩ V = ∅是道路连通的. 则对 x0 ∈ U 有

i∗ : π1(U, x0)→ π1(X, x0)

是一个满同态，这里 i : U → X 是包含映射.

证明: 对任意 [α] ∈ π1(X, x0), 则 α : I → X 是以 x0为基点的一条闭道路. 这时

α−1(U), α−1(V )是区间 I 的一个开覆盖，由定理 1.4.13知存在一个 Lebesgue

数 δ > 0, 使得区间 I 中直径小于 δ 的集合包含在开集 α−1(U), α−1(V )之一中.

取 m是满足 1/m < δ 的一个正整数，则 α([k/m, (k + 1)/m])包含在开集 U, V

之一中.

若 α([k/m, (k+1)/m]) ⊂ V , 当 α(k/m), α((k+1)/m) ∈ U 时, 由于 U ∩V 是道路连通的，存在 U ∩ V 中的连接 α(k/m), α((k + 1)/m)的道路 α([k/m, (k +


1)/m]), 而 V 是单连通的保证 α([k/m, (k + 1)/m])与 α([k/m, (k + 1)/m])是同

伦的，我们用 α([k/m, (k + 1)/m])替换 α([k/m, (k + 1)/m])得到的新道路与 α

同伦. 当 α(k/m) /∈ U 时，α([(k − 1)/m, k/m]) ⊂ V , 这时合并这两个集合为

α([(k − 1)/m, (k + 1)/m]), 同理可以处理 α((k + 1)/m) /∈ U 的情形.

用数学归纳法重复上述过程，我们可以找到 U 中的一条以 x0为基点的闭道

路 α与 α同伦，所以 i∗([α]) = [α], 即 i∗ : π1(U, x0) → π1(X, x0)是一个满同态.

2

推推推论论论 2.2.14 设 U, V 是拓扑空间 X 的两个单连通开集，X = U ∪ V , 并且

U ∩ V = ∅是道路连通的. 则 X 也是单连通的.

例 2.2.2 设 n ≥ 2, 试求球面 Sn的基本群.

取球面 Sn 的两个开集 U = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn| xn+1 > −1/2, V =

(x1, · · · , xn+1) ∈ Sn| xn+1 < 1/2, 则 U ∪ V = Sn, U, V 都同胚于 Rn, 因此

是单连通的. U ∩ V = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn| − 1/2 < xn+1 < 1/2 同胚于Sn−1 × (−1/2, 1/2) 是道路连通的，所以由推论 2.2.14 知 Sn 是单连通的，即π1(Sn) = 0.

推论 2.2.11说明可缩空间的基本群是平凡的. 但是可缩空间毕竟太特殊了，

下面介绍收缩核的概念.

定定定义义义 2.2.6 设 A是拓扑空间 X 的一个子集，如果存在一个连续映射 r : X →A使得 r 保持 A的每一点不动，即 R|A = idA, 则称 A为 X 的一个收缩核，r

称为收缩映射.

设 i : A → X 是包含映射，对任意 a ∈ A, 此包含映射和收缩映射诱导基本群之间的同态映射

i∗ : π1(A, a)→ π1(X, a),

r∗ : π1(X, a)→ π1(A, a).

由于 r i = idA, 我们得到

r∗ i∗ = id : π1(A, a)→ π1(A, a).

所以 i∗是单射， r∗是满射. 但是这些性质还不足以在以后求其它空间的基本群

时派太大用场, 下面对此收缩映射加条件，定义一个形变收缩核的概念.

定定定义义义 2.2.7 设 A为 X 的一个收缩核，r : X → A是对应的收缩映射，如果存

在连续映射 F : X × I → X 满足

2.3 覆盖空间 · 31 ·

(1) 对任意 x ∈ X，F (x, 0) = x，F (x, 1) = r(x)，

(2) 对任意 a ∈ A，t ∈ I, F (a, t) = a.

则称 A为 X 的一个形变收缩核.

定定定理理理 2.2.15 设 A为X 的一个形变收缩核，则包含映射 i : A→ X 诱导基本群

π1(A, a)到 π1(X, a)的一个同构.

证明: 由于 A是 X 的一个形变收缩核，i r同伦于恒等映射 id : X → X, 所以

i∗ r∗ = id : π1(X, a)→ π1(X, a).

而上面已经证明

r∗ i∗ = id : π1(A, a)→ π1(A, a).

所以

r∗ : π1(X, a)→ π1(A, a)

是一个同构. 2

我们可以用这个定理来证明两个空间有同构的基本群，也可以求出不同构

的基本群来证明一个子空间不是形变收缩核. 例 2.2.2中的 U ∩ V 就是以 Sn−1

为它的一个形变收缩核.

2.3 覆覆覆盖盖盖空空空间间间

定定定义义义 2.3.1 设 X 和 E 是道路连通且局部道路连通拓扑空间，p : E → X 是连

续映射，如果对每个 x ∈ X 都存在一个道路连通开邻域 U，使得 p−1(U)是 E

中不相交开集 Si 的并，且每个 Si 都由 p同胚地映到 U 上，则 E 称为 X 的一

个覆盖空间. 这样的 U 称为被均匀覆盖的.

例 2.3.1 设 p(t) = (cos 2πt, sin 2πt), 则 p : R→ S1是覆盖空间.

对圆周 S1 上点 x, 可以找到一个数 t0 ∈ [0, 1), 使得 x = (cos 2πt0, sin 2πt0).

取 U 为圆周上以 x为中点的开半圆周，则

p−1(U) = ∪∞n=−∞(t0 + n− 1

4, t0 + n+

1

4),

即 p−1(U)的道路连通分支是区间 (t0 + n− 14, t0 + n+ 1

4).

下面我们讨论唯一提升定理.


定定定理理理 2.3.1 设 p : (E, e0)→ (X, x0)是一带基点的覆盖空间, 即满足 p(e0) = x0,

Y 是连通空间, f : (Y, y0) → (X, x0)为连续映射, 如果存在映射 f ′ : (Y, y0) →(E, e0)使得 p f ′ = f , 则映射 f ′唯一.

证明: 假设存在另一个映射 f ′′ : (Y, y0)→ (E, e0)使得 p f ′′ = f , 令

A = y ∈ Y |f ′(y) = f ′′(y),

B = y ∈ Y |f ′(y) = f ′′(y).

则 y0 ∈ A, A ∩B = ∅, Y = A ∪B. 现证 A,B都是开集.

对任意 y1 ∈ A, 设 U 是 f(y1)的被均匀覆盖的一个邻域, 则 f ′(y1) = f ′′(y1)

在 p−1(U)的某一叶 S 内, 则 f ′−1(S) ∩ f ′′−1(S)是包含在 A内的开邻域. 因此 A

是开集.

对任意 y2 ∈ B, 设 U 是 f(y2)的被均匀覆盖的一个邻域, 则 f ′(y2)在 p−1(U)

的某一叶 S1 内, 而 f ′′(y2)在 p−1(U)的另一叶 S2 内，由覆盖空间的定义，S1 ∩S2 = ∅. 则 f ′−1(S1) ∩ f ′′−1(S2)是包含在 B内的开邻域. 因此 B是开集.

由于 Y 是连通的, 得 B = ∅, 所以 f ′ = f ′′. 2

我们先证明一个特殊的提升定理-道路提升定理.

定定定理理理 2.3.2 设 p : (E, e0)→ (X, x0)是覆盖空间, σ是X 中始点为 x0的道路, 则

在 E 中存在以 e0为始点的唯一道路 σ′使得 p σ′ = σ.

证明: 唯一性由上一个定理得到.

情形 1 如果整个空间 X 被均匀覆盖, 设 e0在叶 S 内, 记 ψ = (p|S)−1 : X →S, 则取 σ′ = ψ σ即可.

一般地, 由覆盖空间的定义和 I 的紧性, 我们可将 I 用 0 = t0 < t1 < · · · <tn = 1划分, 使得 σ将每个区间 [ti, ti+1]映入 σ(ti)的一个均匀覆盖邻域.

由情形 1, 我们可以提升 σ|[0,t1]为映射 σ1 : [0, t1]→ E, 并且 σ1(0) = e0.

归纳假定可提升 σ|[0,ti]为映射 σi : [0, ti]→ E, 并且 σi(0) = e0. 由情形 1, 我

们可以提升 σ|[ti,ti+1] 为将 ti 映到 σi(ti)的映射, 将此映射与 σi 结合, 得到 σi+1,

最后 σ′ = σn. 2

定定定理理理 2.3.3 (覆盖同伦定理) 设 p : (E, e0) → (X, x0)是覆盖空间, f : (Y, y0) →(X, x0)具有提升 f ′ : (Y, y0)→ (E, e0). 那么对于所有 y ∈ Y 满足 F (y, 0) = f(y)

的同伦 F : Y × I → X, 均可提升为对所有 y ∈ Y 满足 F ′(y, 0) = f ′(y)的同伦

F ′ : Y × I → E.

2.3 覆盖空间 · 33 ·

证明: 1. 如果整个 X 被均匀覆盖, 则结论显然.

2. 由覆盖空间的定义和 I 的紧性, 对于每个 y ∈ Y , 我们可以求得一个开

邻域 Ny 和 I 的一个划分 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1, 使得 F 将 Ny × [ti, ti+1]

映到 F (y, ti) 的一个均匀覆盖邻域之内. 由第 1 步和上面定理的归纳过程, 我

们可以在 Ny × I 上把 F 提升为映射 F ′ : Ny × I → E, 对所有的 y′ ∈ Ny 有

F ′(y′, 0) = f ′(y′)成立.

3. 在第 2步中, 设 Ny ∩Ny′ = ∅, Ny × I 和 Ny′ × I 上都有提升.

对任意 y1 ∈ Ny ∩ Ny′ , 我们可以得到 F |y1×I 的两个提升, 它们在点 (y1, 0)

处一致, 由于 y1 × I 连通, 根据唯一提升定理知这两个提升相同.

因此那两个提升在 (Ny ∩ Ny′) × I 上一致, 从而可以粘合得到所要求的在

Y × I 上 F 的提升 F ′. 2

推推推论论论 2.3.4 若 α, β 是 X 中以 x0 为始点的道路, 且 α ≃ β rel (0, 1), 则它们的

以 e0为始点的提升 α′e0≃ β′

e0rel (0, 1). 特别地, α′

e0, β′

e0具有相同的终点.

例 2.3.2 π1(S1) ∼= Z.证明: 设 p(x) = (cos 2πx, sin 2πx) : R→ S1, 这是个覆盖映射.

对道路 σ, [σ] ∈ π1(S1, (1, 0)), 以 0为始点作提升 σ′, 由于 p−1((1, 0)) = Z, 定义映射

χ : π1(S1, (1, 0))→ Z, χ([σ]) = σ′(1).

对任意 [α], [β] ∈ π1(S1, (1, 0)), 设m = α′(1), n = β′(1), 则 β′′(s) = m + β′(s)是

从 m到 m + n的道路, 使得 p β′′ = β. 这时 α′β′′ 是 αβ 的以 0为始点的提升,

终点为m+ n. 因此

χ([α][β]) = χ([αβ]) = (α′β′′)(1) = m+ n = χ([α]) + χ([β]).

对任意 n ∈ Z, 定义 α′(s) = ns, 则 χ([p α′]) = n, 即 χ是满同态.

设 χ([α]) = 0, 则 α的以 0为始点的提升 α′ 的终点为 0. 由于 R是可缩的,

α′ ≃ 0 rel (0, 1), 投影到 S1上得 α ≃ e rel (0, 1) 所以 [α] = [e], 即 χ是单同态.

所以 χ是同构, 即 π1(S1) ∼= Z. 2

这个结果的直接应用就是我们可以利用基本群证明 Brouwer不动点定理.

定定定理理理 2.3.5 单位圆盘 D2的边界 S1不是 D2的收缩核.

证明：假设存在一个收缩映射 r : D2 → S1, 使得 r i = idS1 , 这里 i : S1 → D2是

包含映射，它们诱导同态

id : π1(S1)i∗−→ π1(D2)

r∗−→ π1(S1).


由于 π1(D2) = e, 这与 π1(S1) ∼= Z矛盾. 所以结论成立. 2

定定定理理理 2.3.6 (Brouwer不动点定理) 任意连续映射 f : D2 → D2 一定有不动点，

即至少存在一点 x ∈ D2, 使得 f(x) = x.

证明：(反证法)假设映射 f 没有不动点，对任意 x ∈ D2，有 f(x) = x. 从 f(x)

出发向 x作射线，交圆周 S1于一点 g(x). 因此有函数 λ(x) ≥ 1, 使得

g(x)− f(x) = λ(x)(x− f(x)).

容易证明 λ(x)是一个连续函数，这样得到连续映射 g : D2 → S1，

g(x) = λ(x)x+ (1− λ(x))f(x).

明显地对 x ∈ S1, 有 g(x) = x, 即 g是一个收缩映射，这与定理 2.3.5矛盾, 所以

f 有不动点. 2

为了计算环面 T2 = S1 × S1 的基本群，我们讨论乘积空间的基本群. 设

X1, X2是两个拓扑空间，pi : X1 ×X2 → Xi是投影映射，xi ∈ Xi, 则有基本群

之间的映射

(pi)∗ : π1(X1 ×X2, (x1, x2))→ π1(Xi, xi).

构造映射

φ : π1(X1 ×X2, (x1, x2))→ π1(X1, x1)× π1(X2, x2),

[α] 7→ ((pi)∗([α]), (pi)∗([α])).

定定定理理理 2.3.7 设 X1, X2 是两个道路连通拓扑空间，上面定义的映射 φ是一个同

构.

证明: 对任意 [αi] ∈ π1(Xi, xi), 定义 X1 ×X2 中的闭道路 α(s) = (α1(s), α2(s)),

则 pi α = αi, 而且

φ([α]) = ((pi)∗([α]), (pi)∗([α])) = ([p1(α)], [p2(α)]) = ([α1], [α2]).

即 φ是一个满射.

设 φ([α]) = ([α1], [α2]) = ([ex1 ], [ex2 ]), 则存在从 αi 到 exi 的同伦映射 Hi :

I × I → Xi, 定义映射

H : I × I → X1 ×X2, H(s, t) = (H1(s, t), H2(s, t)).

则 H 是从 α到 e(x1,x2)的同伦映射，即 [α] = [e(x1,x2)], φ是一个单射.

2.3 覆盖空间 · 35 ·

所以 φ是一个同构. 2

例 2.3.3 π1(T2) ∼= π1(S1)× π1(S1) ∼= Z× Z.下面介绍映射提升定理.

定定定理理理 2.3.8 设 p : (E, e0)→ (X, x0)是一带基点的覆盖空间, 即满足 p(e0) = x0,

X,Y 是道路连通空间, f : (Y, y0) → (X, x0)为连续映射, 则存在 f 的提升映射

f ′ : (Y, y0)→ (E, e0)的充分必要条件是 f∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0)).

证明: (必要性) 设 f ′ : (Y, y0)→ (E, e0)是 f : (Y, y0)→ (X, x0)的提升映射，它

们诱导基本群之间同态：

f∗ : π1(Y, y0)→ π1(X, x0),

f ′∗ : π1(Y, y0)→ π1(E, e0).

由 f = p f ′得

f∗(π1(Y, y0)) = p∗ f ′∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0)).

(充分性) 设 f∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0))，我们需要定义映射 f ′ : (Y, y0) →(E, e0)，满足 f = p f ′.

对任意 y ∈ Y , 由于 Y 是道路连通空间, 存在一条以 y0 为始点，y 为终

点的道路 α, 由道路提升定理 2.3.2知存在唯一的以 e0 为始点的道路 α′, 使得

p α′ = f α. 定义 f ′(y) = α′(1).

下面证明这个映射不依赖道路 α 的选择. 设 β 是另一条以 y0 为始点，y

为终点的道路，β′ 是 f(β) 的以 e0 为始点的提升道路，则 αβ−1 是一条以 y0为基点的闭道路，因此 [f (αβ−1)] = [f(α)f(β−1)] ∈ f∗(π1(Y, y0)). 由定理

条件 f∗(π1(Y, y0)) ⊂ p∗(π1(E, e0)) 知存在 E 中一条以 e0 为基点的闭道路 γ，

使得 [f (αβ−1)] = [p(γ)]. 设 γ′ 是 f (αβ−1) 的以 e0 为始点的提升道路，

由于 f (αβ−1) ≃ p(γ) rel (0, 1)，由覆盖同伦定理知 γ′ ≃ γ rel (0, 1). 因此

γ′(1) = e0, 即 γ′|[1/2,1] 是 f(β−1)的一个以 e0 为终点的提升道路. 改变道路方向

得到 (γ′|[1/2,1])−1 是 f(β)的一个以 e0 为始点的提升道路. 由道路提升的唯一性

知 β′ = (γ′|[1/2,1])−1. 这样 α′(1) = γ′(1/2) = β′(1), 即我们定义的映射 f ′不依赖

道路 α的选择.

最后证明映射 f ′ 的连续性，即对任意 y ∈ Y , 及 f ′(y)的一个开邻域 U，

要找到 y 的一个开邻域 V , 使得 f ′(V ) ⊂ U . 取 U ′ 是 f(y)的一个均匀覆盖邻

域，并且满足 U ′ ⊂ p(U), 则 f ′(y)在 p−1(U ′)的某一叶 S 内, 缩小 U ′ 为 U ′′ 使


得 U ′′ ⊂ p(U ∩ S). 由于 f : Y → X 是连续映射, 存在 y 的一个开邻域 V , 使得

f(V ) ⊂ U ′′. 由于 E,X 都是局部道路连通的，我们可以缩小 V 使得它是道路连

通的. 这时由道路提升的性质知 f ′(V ) ⊂ U，所以映射 f ′是连续映射. 2

推推推论论论 2.3.9 设 p : (E, e0) → (X, x0)是覆盖空间, 如果 Y 是单连通的且局部道

路连通，则任意映射 f : (Y, y0)→ (X, x0)可提升为 f : (Y, y0)→ (E, e0).

定定定义义义 2.3.2 设 p : E → X 是覆盖空间, 如果 E 是单连通的，则称 E 是 X 的单

连通覆盖空间，或称为万有覆盖空间.

例 2.3.4 R是 S1的万有覆盖空间, Sn(n > 1)是 RPn的万有覆盖空间.

定定定理理理 2.3.10 设 p : (E, e0)→ (X, x0)与 p′ : (E ′, e′0)→ (X, x0)是拓扑空间 X 上

的两个单连通覆盖空间, 则存在一个保持纤维的同胚 ϕ : (E ′, e′0)→ (E, e0), 即 ϕ

满足 p ϕ = p′.

证明: 从推论 2.3.9 知道，p′ : (E ′, e′0) → (X, x0) 有提升映射 ϕ : (E ′, e′0) →(E, e0), 满足 p ϕ = p′. 同理，存在 p : (E, e0) → (X, x0) 的提升映射 ψ :

(E, e0)→ (E ′, e′0), 满足 p′ ψ = p. 由

p′ (ψ ϕ) = p ϕ = p′, (ψ ϕ)(e′0) = e′0

知 ψ ϕ 是 p′ 的一个提升. 但是 idE′ 也是 p′ 的一个提升，由提升的唯一性

知，ψ ϕ = idE′ . 同理可以得到 ϕ ψ = idE，所以 ϕ和 ψ都是同胚映射. 2

因此在同胚意义下，一个道路连通拓扑空间的单连通覆盖空间是唯一的.

定定定理理理 2.3.11 设 p : (E, e0) → (X, x0)是单连通覆盖空间, p′ : (E ′, e′0) → (X, x0)

是 X 的任意一个覆盖空间. 则存在一个覆盖映射 p : (E, e0) → (E ′, e′0), 使得

p′ p = p.

证明: 由于 E是单连通且局部道路连通，p′是覆盖映射，由推论 2.3.9知，存在

p的提升

p : (E, e0)→ (E ′, e′0),

使得 p′ p = p. 下面证明 p是一个覆盖映射.

先证明 p是满射. 设 e′ 是 E ′ 上任意点，γ 是 E ′ 中连接 e′0 和 e′ 的道路，

则 p′ γ 是 X 中的道路. 因此，γ 是 p′ γ 在 E ′ 中以 e′0 为起点的提升. 由于

p : (E, e0) → (X, x0)是覆盖空间, 设 p′ γ 关于 p的提升为 γ, 即 p γ = p′ γ.这时 p γ是 E ′中一条以 e′0为始点的道路，而且满足

p′ p γ = p γ = p′ γ.

2.3 覆盖空间 · 37 ·

这说明 p γ, γ 都是 p γ = p′ γ 关于 p′ : (E ′, e′0)→ (X, x0)的提升，由提升的

唯一性知， p γ = γ. 所以 p(γ(1)) = γ(1) = e′, 即 p是满射.

对任意 e′ ∈ E ′, x = p′(e′), 设 U ⊂ X 是 x的关于覆盖映射 p和 p′ 的公共均

匀覆盖邻域，并且设 U 是道路连通的. 这时设

p−1(U) = ∪iUi, p′−1(U) = ∪αVα,

其中 Ui, Vα 都与 U 同胚. 由于 U 道路连通，Ui, Vα 也道路连通. 因为 e′ ∈p′−1(U) = ∪αVα, 不妨设 e′ ∈ V1, 而

p−1(∪αVα) = p−1(p′−1(U)) = p−1(U) = ∪iUi,

由连续性，对每一 i, p(Ui)在某个 Vα中，由连通性，它正好是其中一个连通分

支，所以可以设 p−1(V1) = ∪Uij , 其中 ij 是 i的一个子列. 映射

p′ p = p : Uij → U, p′ : V1 → U

是同胚，因此 p : Uij → V1 也都是同胚. 这就证明了 p : (E, e0) → (E ′, e′0)是一

个覆盖映射. 2

下面证明拓扑空间上万有覆盖空间的存在性.

定定定理理理 2.3.12 连通流形都有万有覆盖空间, 它是与底空间同维数的流形. (流形

的定义见第四章定义 4.1.1)

证明: 设M 是一个连通流形，由于流形是局部道路连通的，所以连通流形是道

路连通的. 对固定的 x0 ∈ M , 记 Ω(M,x0)为M 中以 x0 为起点的连续道路. 如

果 α, β ∈ Ω(M,x0)满足 α(1) = β(1), 并且 α ≃ β, rel0, 1, 则称 α, β 等价，记

为 α ∼ β，以 ⟨α⟩表示 α的等价类. 记

M = Ω(M,x0)/∼ = ⟨α⟩| α ∈ Ω(M,x0)

为 Ω(M,x0)关于这一等价关系所得的商空间. 定义 M 到M 的投影映射

p : M →M, p(α) = α(1).

这是个满射，下面证明 p是一个覆盖影射，并且 M 是单连通的.

1. 定义 M 上的拓扑，使得 M 成为一个拓扑空间且 p 是局部同胚. 对

任意 ⟨α⟩ ∈ M , 设 V 是 α(1) 在 M 中的开邻域. 以 ⟨α, V ⟩ 表示 M 中所有形

如 ⟨αβ⟩的元素的集合，其中 β 是以 α(1)为起点像完全在 V 中的道路. 对于

⟨τ⟩ = ⟨αβ⟩, ⟨αβ′⟩ ∈ ⟨α, V ⟩, 由

⟨αβ′⟩ = ⟨αββ−1β′⟩ = ⟨τβ−1β′⟩


知道，对任意 ⟨τ⟩ ∈ ⟨α, V ⟩, 都有

⟨τ, V ⟩ = ⟨α, V ⟩.

设 ⟨α1, V1⟩ ∩ ⟨α2, V2⟩ = ∅, 则 V1 ∩ V2 = ∅. 如果 ⟨γ⟩ ∈ ⟨α1, V1⟩ ∩ ⟨α2, V2⟩, 则我们有

⟨γ, V1 ∩ V2⟩ ⊂ ⟨α1, V1⟩ ∩ ⟨α2, V2⟩ = ⟨γ, V1⟩ ∩ ⟨γ, V2⟩.

定义 ⟨α, V ⟩为 M 中的开集，上式说明所有形如 ⟨α, V ⟩的集合构成 M 的一个拓

扑基. 所以 M 是一个拓扑空间. 如果 V 是M 中的单连通开集，则 p : ⟨α, V ⟩ →V 是一个同胚.

2. 证明 M 是连通的. 对任意 ⟨α⟩ ∈ M , 记 αs(t) = α(st), s ∈ I, 则 ⟨αs⟩是 M

中连接 ⟨α⟩与 e0 = ⟨α0⟩的一条连续道路，α0是M 中常值道路. 所以 M 是道路

连通的.

3. 证明 p是覆盖映射. 设 V 是M 中点 x的一个单连通开邻域, 则

p−1(V ) = ∪α⟨α, V ⟩,

其中 α ∈ Ω(M,x0) 是任意一条使得 α(1) = x 的连续道路. 由于 V 是单连通

的，V 中任意两条起点终点分别相同的道路是相对同伦的. 这说明 p : ⟨α, V ⟩ →V 是一个同胚. 如果 ⟨α, V ⟩ ∩ ⟨β, V ⟩ = ∅, 前面证明了 ⟨α, V ⟩ = ⟨β, V ⟩. 这证明了p−1(V ) = ∪α⟨α, V ⟩是M 上一些都与 V 同胚并且互不相交的开集之并. 所以 V

是均匀覆盖邻域，即 p是覆盖映射.

利用覆盖映射 p : M →M 和M 是一个 n维流形，可得 M 也是一个 n维流

形.

4. 证明 M 是单连通的. 用 α0 表示 x0 处的常值道路，e0 = ⟨α0⟩ ∈ M . 设 σ

是 M 中任意一条以 e0 为起点和终点的闭道路，现在要证明 [σ] ∈ π1(M, e0)是

单位元. 记 α = p σ, α是M 中以 x0为起点的闭道路. 由 αs(t) = α(st)定义了

M 中一族道路 αs, 而 f(s) = ⟨αs⟩定义了 M 中以 e0为起点的一条道路. 由

p(f(s)) = αs(1) = α(s) = p(σ(s)), f(0) = σ(0) = e0

和提升的唯一性得 σ(s) = f(s). 由于 σ是 M 中 e0处的闭道路，σ(0) = σ(1), 即

⟨α0⟩ = ⟨α1⟩. 由 M 定义知，这时有同伦 F : α ≃ ex0 , rel0, 1. 将此同伦提升为

F : σ ≃ ee0 , rel0, 1.

因此， [σ]是 π1(M, e0)的单位元. 这证明了 M 是单连通的，它是M 的万有覆

盖空间. 2

2.3 覆盖空间 · 39 ·

注意：上面的证明中省略了 M 是一个满足第二可数公理的 Hausdorff空间

的证明，读者可以自证之. Hausdorff性质可以从M 的 Hausdorff性质和我们构

造的均匀覆盖邻域得到，第二可数性需要先证明流形M 的基本群是可数的.

习题

1. 证明：两个拓扑空间具有相同的同伦类型关系是等价关系.

2. 证明单位圆柱面 S1 × R与单位圆 S1同伦.

3. 设 f, g : X → Y 都是常值映射，证明 f ≃ g当且仅当 f(X), g(X)在 Y 的同

一个道路连通分支内.

4. 设 F : I × I → X 是一个连续映射，f(s) = F (s, 0), g(s) = F (1, s),

h(s) = F (0, s), k(s) = F (s, 1)是 X 的四条道路，证明 fg ≃ hk.

5. 设 f, g : I → X 是两条都以 x0 为始点，x1 为终点的道路，证明 f ≃ g当且

仅当 fg−1同伦于 x0处的常值道路.

6. 设 X 是局部道路连通空间，证明 X 的开集的连通分支是开集.

7. 证明 Rn中的每个星形点集是单连通的.

8. 设 A是拓扑空间 X 的一个子集，Y 是一个非空拓扑空间，证明 A × Y 是X × Y 的一个收缩核的充分必要条件是 A是 X 的一个收缩核.

9. 设 p : E → X 是一个覆盖映射，证明 E 是紧致的充分必要条件是 X 是紧致

的，并且 p是有限层覆盖映射.

10. 设 p : E → X 是一个覆盖映射，X 是一个 Hausdorff空间，证明 E 也是一

个 Hausdorff空间.

11. 设 p : E → X 是一个覆盖映射，x0 ∈ X，p−1(x0) = x0, xa, x2. 设 γi是 E

中连接 e0和 ei的道路，i = 1, 2. 试证明 [pγi] ∈ π1(X, x0),并且 [pγ1] = [pγ2].12. 设 p : (E, e0)→ (X, x0)是一个覆盖映射，试证明 p∗ : π1(E, e0)→ π1(X, x0)

是单射.


第第第三三三章章章多多多元元元微微微分分分学学学复复复习习习

我们将要研究的微分流形局部上是一个 m维欧氏空间，因此本章将复习 m维

线性空间 Rm 上的光滑函数和光滑映射，再介绍微积分的一个基本定理—反函

数定理, 最后将偏导算子推广到一般的导算子.

3.1 Rm 上上上的的的光光光滑滑滑函函函数数数和和和光光光滑滑滑映映映射射射

我们的注意力将集中在 Rm上，这里的

Rm = (u1, u2, · · · , um)| ui ∈ R

是标准的实m维线性空间. 对于 Rm中的任意两个点

u = (u1, u2, · · · , um), v = (v1, v2, · · · , vm) ∈ Rm.

它们之间的距离定义为

d(u, v) =

√√√√ m∑i=1

(ui − vi)2.

这使得 Rm成为一个度量空间. u ∈ Rm的一个 ϵ–邻域定义为

Bϵ(u) = v ∈ Rm; d(u, v) < ϵ.

而一个集合 U ⊂ Rm 被称为是一个开集，如果对于任意的 u ∈ U，存在一个

ϵ > 0，使得 Bϵ(u) ⊂ U . 这些都是标准的定义. 如果不加以说明，我们所讨论的

区域 U ⊂ Rm都被假定是 Rm中的开集.

一个函数 f : U → R 通常也写作 f(u1, u2, · · · , um)，它表示 f 在点 u =

(u1, u2, · · · , um) ∈ U 处的取值. 这个函数在 u0点的偏导数定义为:

∂f(u0)

∂ui= lim

h→0

f(u10, · · · , ui0 + h, · · · , um0 )− f(u10, · · · , ui0, · · · , um0 )h

.

41

· 42 · 第 3章多元微分学复习

当然，这要求上面式子中的极限存在, 但是即使偏导数存在也不能保证函

数连续，因此我们对函数需要更高的要求. 如果所有的偏导数都存在，而且连

续，这样的函数被称为连续可微函数，简称为 C1函数. 开集 U 上所有 C1函数

全体记作 C1(U)，显然这是一个交换代数，我们有数乘，加法和乘法. 有时也

采用简化的记号 ∂/∂ui = ∂i.

上面的做法是我们在微积分课程里的做法，现在我们要用另外一个做法. 我

们称函数 f 在 u0点可微，如果存在一个向量 A = (a1, . . . , am)，使得

f(u0 + h) = f(u0) +m∑i=1

aihi + o(∥h∥).

我们做一个约定：当进行矩阵乘法的时候，上标被理解成行指标，而下标

则被理解成列指标. 所以尽管我们写 u = (u1, u2, . . . , um)，做矩阵乘法时，它则

是一个列向量：

u =

u1

u2

...

um

,而 A = (a1, a2, . . . , am) = [a1, a2, . . . , am]则是一个行向量.

定定定理理理 3.1.1 如果 f 在 u0 的一个邻域中所有偏导函数连续，那么 f 在 u0 可

微. 反过来，如果 f 在 u0 可微，那么 f 在 u0 点的所有偏导数都存在，而且

ai = ∂if(u0).

证明: 这里的第一个断言就是带 Peano余项的 Taylor公式. 关于第二个断言，

我们令 h = (0, . . . , hi, . . . , 0)，那么可微性所说的就是

f(u10, . . . , ui0 + hi, . . . , um0 )− f(u10, . . . , ui0, . . . , um0 ) = aih

i + o(|hi|).

这蕴含着 ∂if(u0)存在，而且等于 ai. 2

接下来考虑映射 f = (f 1, f 2, . . . , fn) : U → V ⊂ Rn. 我们称 f 在 u0是可微

的，如果存在矩阵 An×m = [aji ]，使得

f(u0 + h) = f(u0) + Ah+ o(∥h∥).

需要注意的是，看上去这个表达式与上面的一致，但是现在公式的两端都是向

量. 不难证明，如果 f 可微，那么所有的 ∂ifj(u0)都存在，而且

aji = ∂ifj(u0).

这个矩阵就是我们以前所说的 Jacobi矩阵，记作 Df(u0).

3.1 Rm上的光滑函数和光滑映射 · 43 ·

定定定理理理 3.1.2 (链锁法则): 如果 f : U → V 在 u0 点可微，而且 g : V → W 在

v0 = f(u0)点可微，那么两个映射的复合 g f 在 u0可微，而且 D(g f)(u0) =Dg(v0) Df(u0).

证明: 根据假定，我们有

(g f)(u0 + h) = g(f(u0 + h)) = g(f(u0) +Df(u0)h+ o(∥h∥)

)=g(f(u0)) +Dg(f(u0))

(Df(u0)h+ o(∥h∥)

)+ o(∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥

)=(g f)(u0) +Dg(v0)Df(u0)h+Dg(v0)o(∥h∥) + o

(∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥

).

显然 Dg(v0)o(∥h∥) = o(∥h∥). 注意到∥∥∥∥∥o(∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥

)∥h∥

∥∥∥∥∥ =

∥∥o(∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥)∥∥

∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥

∥h∥

6 o(1)

(∥Df(u0)h∥∥h∥

+ o(1)

).

所以 o(∥Df(u0)h+ o(∥h∥)∥

)= o(∥h∥). 这就完成了证明. 2

如果对于任意的 1 6 r 6 k，函数或者映射 f 的所有 r阶偏导数都存在而且

连续，我们称这样的函数或者映射是 Cr 的. C∞函数或者光滑函数所指的是

C∞(U) =∞∩r=1

Cr(U),

也就是所有的偏导数都连续的函数. 通常我们也用 C0函数表示连续函数，但是

在我们的课程中多数时候仅仅考虑光滑函数和光滑映射.

关于 Cr 映射的有趣的事实是如下的另一个描述. 假定 U ⊂ Rm, V ⊂ Rn，

而 f : U → V，那么对于任意的 g ∈ Cr(V )，复合 g f : U → R，我们记g f = f ∗(g). 这定义了一个映射

f∗ : Cr(V )→ Map(U,R).

定定定理理理 3.1.3 f : U → V 是 Cr 的，当且仅当 f ∗的像落在 Cr(U)中.

证明: 链锁法则告诉我们：如果 f 是 Cr 的，那么 f ∗(Cr(V )) ⊂ Cr(U). 反

之，如果对于任意的 g ∈ Cr(V )，g f ∈ Cr(U). 特别地，我们考虑坐标函数

vi : V → R，那么 vi f = f∗(vi)恰好是 f = (f 1, f 2, . . . , fn)的第 i个分量函数

f i. 如果 f 的所有分量函数是 Cr 的，那么 f 就是 Cr 的，这就是我们的定义. 2


3.2 反反反函函函数数数定定定理理理

接下来，我们介绍微积分中的一个基本定理—反函数定理.

定定定理理理 3.2.1 如果 U, V ⊂ Rm 是两个开集，f : U → V 是一个 Cr 映射，而且在

u0 ∈ U 点处 f 的 Jacobi矩阵Df(u0)是非退化的，那么存在 u0, v0 = f(u0)的邻

域 U0, V0 = f(U0)和一个 Cr 映射 g : V0 → U0，使得

g f = id : U0 → U0, f g = id : V0 → V0,

而且

Dg(f(u)) = [Df(u)]−1.

一般说来，对于映射 f : U → V，我们有另外一个映射 g : V → U，使得

g f = id : U → U，那么 f 是单的. 通常的情况下，我们说一个映射是单的，

意味着 f(u1) = f(u2)⇒ u1 = u2. 显然上面的条件保证了通常意义下的单. 事实

上如果 f(u1) = f(u2)，那么

u1 = g f(u1) = g f(u2) = u2.

另外一方面，如果 f g = id : V → V 的话，我们则可以保证 f 是满的. 对于任

意的 v ∈ V，令 u = g(v)，那么 f(u) = f g(v) = v. 如果我们仅仅考虑集合和

映射的话，这两种单或满的说法是相互等价的.

我们在光滑或者 Cr 的意义下说单或者满，指的是 f 和 g 都是光滑的或者

Cr 的. 在这样的意义之下，我们现在的说法更强一些. 我们已经看到现在的说

法蕴含了过去的说法. 要说明的确是强一些，我们考察

f(u) = u3 : R→ R.

在过去的意义之下，它既是单的，也是满的，不过这时它的逆 f−1(u) = 3√u在

原点不是可微的.

如果 f : U → V 在光滑或者 Cr 的意义之下既是单的，也是满的，我们称

它为一个微分同胚. 我们这里说法是在范畴论意义下讲的，如果我们将讨论限

制在群和群同态上，这就是单同态、满同态和同构，当然我们也可以对其他结

构来讲，这是数学的精神.

反函数定理中所说的叫做局部微分同胚. 显然，微分同胚的逆还是微分同

胚，微分同胚的复合也还是微分同胚.

反函数定理的证明: 由于 Rm 上的线性同构是微分同胚，所以我们不妨假定

u0 = 0, v0 = f(0) = 0，而且 Df(0) = I.

3.2 反函数定理 · 45 ·

我们的证明分成两步：首先证明 f 在局部有连续的逆；然后证明这个连续

的逆事实上是 Cr 的.

1) 我们能找到 ϵ > 0，对于任意的 v ∈ Bϵ/2(0)，存在唯一的 u ∈ Bϵ(0)，使得 f(u) = v. 不仅如此，这样定义的逆 v 7→ u还是连续的.

设 h(u) = u− f(u)，那么 Dh(0) = 0. 由于所有的偏导数连续，所以我们有

ϵ > 0，使得在 Bϵ(0) ⊂ U 上，Dh的任何分量的绝对值都小于K = 1/2m.

这样一来，对于任意的 u1, u2 ∈ Bϵ(0)，成立

|hi(u2)− hi(u1)| =∣∣∣∣∫ 1

0

d

dthi(u1 + t(u2 − u1))dt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣m∑j=1

(∫ 1

0

∂jhi(u1 + t(u2 − u1))dt

)(uj2 − u

j1)

∣∣∣∣∣6(

m∑j=1

(∫ 1

0

∂jhi(u1 + t(u2 − u1))dt

)2) 1

2(

m∑j=1

(uj2 − uj1)

2

) 12

6√mK∥u2 − u1∥.

所以

∥h(u2)− h(u1)∥ 6 mK∥u2 − u1∥ =1

2∥u2 − u1∥.

特别地，如果 u ∈ Bϵ(0)，我们有

∥h(u)∥ = ∥h(u)− h(0)∥ 6 1

2∥u∥ 6 ϵ

2,

即 h(Bϵ(0)) ⊂ Bϵ/2(0).对于任意的 v ∈ Bϵ/2(0)，我们定义映射

Tv(u) = v + h(u) : Bϵ(0)→ Rm.

由于 ∥Tv(u)∥ 6 ∥v∥+ ∥h(u)∥ 6 ϵ2+ ϵ

2= ϵ，所以

Tv : Bϵ(0)→ Bϵ(0).

而且

∥Tv(u2)− Tv(u1)∥ = ∥v + h(u2)− v − h(u1)∥ 61

2∥u2 − u1∥.

也就是说，这是一个压缩映像.

根据压缩映像原理，Tv 在 Bϵ(0)上有唯一的不动点 u使得 Tv(u) = u，即

u = v + h(u)，或者说

v = u− h(u) = f(u).


这就是我们要求的逆映射 g = f−1.

为了证明这个逆 f−1是连续的，由三角不等式，我们有

∥u2 − u1∥ = ∥u2 − f(u2)− u1 + f(u1) + f(u2)− f(u1)∥6 ∥u2 − f(u2)− u1 + f(u1)∥+ ∥f(u2)− f(u1)∥= ∥h(u2)− h(u1)∥+ ∥f(u2)− f(u1)∥

6 1

2∥u1 − u2∥+ ∥f(u2)− f(u1)∥.

所以

∥u2 − u1∥ 6 2∥f(u2)− f(u1)∥.

也就是说

∥f−1(v2)− f−1(v1)∥ 6 2∥v2 − v1∥.

这说明 f−1是连续的.

现在我们定义 V0 = Bϵ/2(0), U0 = f−1(V0). 接下来我们证明：

2) 设 v = f(u) ∈ V0，而且 u ∈ U0，那么 f−1 在 v 可微，而且 Df−1(v) =(Df(u)

)−1. 进一步，如果 f 是 Cr 的，那么 f−1也是 Cr 的.

由于 f 是 C1的，所以

f(u′)− f(u) = Df(u)(u′ − u) + o(∥u′ − u∥).

重写这个等式，我们有

v′ − v = Df(u)(f−1(v′)− f−1(v)) + o(∥u′ − u∥).

所以

f−1(v′)− f−1(v) =(Df(u)

)−1(v′ − v) +

(Df(u)

)−1o(∥u′ − u∥).

我们仅仅需要证明 o(∥u′ − u∥) = o(∥v′ − v∥)就行了. 而∣∣o(∥u′ − u∥)∣∣∥v′ − v∥

=

∣∣o(∥u′ − u∥)∣∣∥u′ − u∥

∥u′ − u∥∥v′ − v∥

6 2

∣∣o(∥u′ − u∥)∣∣∥u′ − u∥

→ 0.

这就证明了 f−1在 v可微，而且 Df−1(v) =(Df(u)

)−1.

一旦我们证明了 Df−1(v) =(Df(u)

)−1，下面的证明就简单了. 因为

Df−1(v) =(Df(f−1(v))

)−1,

3.2 反函数定理 · 47 ·

而(Df(x)

)−1是 Cr−1 的，根据归纳法，如果 f−1 是 Ck 的, k 6 r − 1，我们知

道Df−1(v)是两个 Ck映射的复合，再求矩阵的逆运算，所以它是 Ck的，这就

得到 f−1是 Ck+1的.

这样我们就完成了反函数定理的证明. 2

反函数定理的证明中用到了压缩映像原理. 我们先看一下压缩映射的概念.

定定定义义义 3.2.1 在度量空间 X 中有一个映射 T : X → X，如果存在一个数 α,

0 < α < 1, 使得对所有的 x, y ∈ X, 成立

d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y),

则称 T 是一个压缩映射.

定定定理理理 3.2.2 设 X 是一个完备的度量空间，T 是 X 上的一个压缩映射，则 T

存在唯一一个不动点.

证明: 设 x0 是 X 中任意点，令 x1 = T (x0), x2 = T (x1) = T 2(x0), · · · , xn =

T (xn−1) = T n(x0), · · · . 我们先证明 xn是 X 中的柯西点列.

d(xn+1, xn) ≤ αd(xn, xn−1) ≤ · · · ≤ αnd(x1, x0).

当 n > m 时，

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + · · ·+ d(xn−1, xn)

≤ (αm + αm+1 + · · ·+ αn−1)d(x0, x1)

= αm1− αn−m

1− αd(x0, x1)

≤ αm

1− αd(x0, x1).

所以当 m → ∞, n → ∞ 时，d(xm, xn) → 0, 即 xn 是 X 中的柯西点列. 由于

X 是完备的, 存在 x ∈ X, 使得 xn → x(n→∞), 由

d(x, T (x)) ≤ d(x, xn) + d(xn, T (x)) ≤ d(x, xn) + αd(xn−1, x)→ 0

知 d(x, T (x)) = 0, 即 x = T (x).

如果又有 y ∈ X 使得 T (y) = y，则有

d(x, y) = d(T (x), T (y)) ≤ αd(x, y).

因为 α < 1, 所以必须有 d(x, y) = 0, 即 x = y. 2

作为反函数定理的一个推论，我们有如下的隐函数定理：


定定定理理理 3.2.3 假定 U ⊂ Rm × Rn 是开集，f : U → Rn 是一个 Cr 映射，使得

f(u0, v0) = 0，而且 Jacobi 矩阵

Df(u0, v0) = [Duf(u0, v0), Dvf(u0, v0)]

中的 Dvf(u0, v0) 是一个非退化矩阵，那么存在一个 Cr 隐函数 g : Rm → Rn,

满足 g(u0) = v0，而且在 (u0, v0) 附近成立

f(u, v) = 0⇔ v = g(u).

证明: 构造 U 到 Rm × Rn 的一个映射

F (u, v) =(u, f(u, v)

).

这个 F 的 Jacobi 矩阵是

DF =

[I 0

Duf Dvf

].

显然，DF (u0, v0) 是非退化的.

根据反函数定理，我们在 (u0, v0) 和 (u0, 0) 的附近有局部反函数 G(u, v) =

(h(u, v), g(u, v)) : Rm × Rn → Rm × Rn，使得 F G = id.

也就是说

(u, v) = F G(u, v) = F (h(u, v), g(u, v)) = (h(u, v), f(h(u, v), g(u, v))).

这说明 h(u, v) = u，而且 v = f(u, g(u, v)).

令 g(u) = g(u, 0) : Rm → Rn. 这样一来 f(u, v) = 0 ⇔ F (u, v) = (u, 0)，或

者说 (u, v) = G F (u, v) = G(u, 0) = (u, g(u)). 我们就证明了定理. 2

如果我们将 G : Rm × Rn → Rm × Rn 看作一个局部坐标变换，那么

v = f G(u, v) : Rm × Rn → Rn

就是一个投影. 这也就是说，相差一个坐标变换 (微分同胚) 的话，这样的映射

就是一个投影. 它将这样映射的局部描写得很清楚了.

更进一步的推广是如下的秩定理：

定定定理理理 3.2.4 假定 U ⊂ Rm 是开集，f : U → Rn 是一个 Cr 映射，而且 Jacobi

矩阵 Df(u) 的秩为常数 k，那么对于 u0 ∈ U 和 f(u0) ∈ Rn，我们有两个邻域

u0 ∈ U0, f(u0) ∈ V0 和两个 Cr 微分同胚：g : U0 → U1, h : V0 → V1，使得

h f g−1(u1, . . . , um) = (u1, . . . , uk, 0, . . . , 0).

3.2 反函数定理 · 49 ·

证明：不妨假定 u0 = 0, f(u0) = 0，而且在 0 的一个邻域中，Jacobi 矩阵的

k × k 子矩阵∂(f 1, . . . , fk)

∂(u1, . . . , uk)

是非退化的.

我们定义 g(u1, . . . , um) = (f 1(u), . . . , fk(u), uk+1, . . . , um)，显然

Dg =

∂(f1, . . . , fk)

∂(u1, . . . , uk)∗

0 Im−k

是非退化的，所以 g 在原点附近是一个 Cr 微分同胚. 这样在原点的一个小邻

域内每一点可以表示成 (f1(u), . . . , fk(u), uk+1, . . . , um), 则

f g−1(f1(u), . . . , fk(u), uk+1, . . . , um) = (f1(u), . . . , fk(u), fk+1(u), . . . , fn(u)).

将 (f 1(u), . . . , fk(u), uk+1, . . . , um) 记为 (u1, · · · , um), 则有

f g−1(u1, . . . , um) = (u1, . . . , uk, fk+1(u), . . . , fn(u)).

而 D(f g−1) = DfD(g−1) 也有常数秩 k，并且

D(f g−1) =

Ik 0

∗ ∂(fk+1, . . . , fn)

∂(uk+1, . . . , um)

.所以

∂(fk+1, . . . , fn)

∂(uk+1, . . . , um)= 0

是一个零矩阵. 这说明 fk+1, . . . , fn 仅仅是 u1, . . . , uk 的函数.

最后，我们定义

h(v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn) = (v1, . . . , vk, vk+1 − fk+1, . . . , vn − fn).

显然

Dh =

[Ik 0

∗ In−k

].

这是一个 Cr 微分同胚. 这样

h f g−1(u1, . . . , um) = (u1, . . . , uk, 0, . . . , 0).

这就证明了秩定理. 2


3.3 切切切向向向量量量与与与导导导算算算子子子

下面我们讨论 Rm 中的切向量. 设 u0 ∈ U ⊂ Rm 是一个固定的点，

u(t) = (u1(t), . . . , um(t))

是一条曲线，而且 u(0) = u0. 那么曲线 u(t) 在原点的切向量是

a = u(0) =

(du1(0)

dt, . . . ,

dum(0)

dt

)= (a1, . . . , am).

所有 u0 点的切向量组成一个线性空间，它叫做 U 在 u0 点的切空间，记作

Tu0U，它同构于 Rm.

如果我们有一个函数 f : U → R，那么

d(f u)dt

∣∣∣∣t=0

=m∑i=1

dui(0)

dt

∂f

∂ui

∣∣∣∣u0

=m∑i=1

ai∂f

∂ui

∣∣∣∣u0

.

这也叫作点 u0 ∈ U 的一个方向导数，习惯上也记作

∂a =m∑i=1

ai∂

∂ui

∣∣∣∣u0

.

由于标准基 ei 对应于 ∂/∂ui|u0，我们可以将在 u0 的偏导数算子 ∂/∂ui|u0 看作是切空间 Tu0U 的标准基.

u0 点的方向导数仅仅依赖于函数在点 u0 的偏导数，所以我们引入如下的

定义：设

C∞(u0) = C∞(U)/f ∼ g; ∃ϵ, f |Bϵ(u0) = g|Bϵ(u0).

它是由所有在 u0 附近一致的光滑函数的等价类组成的环，这个环叫做点 u0 的

光滑函数芽. 尽管我们也可以定义和讨论 Cr 函数芽，在我们的课程中，主要讨

论光滑的函数.

首先，我们来证明函数芽 C∞(u0) 的定义与 u0 的邻域 U 的选择无关. 为了

这个目的，我们需要构造所谓的截止函数. 对任意的 ϵ > 0，所谓截止函数是一

个 C∞ 函数 h : Rm → R，使得 h > 0, h|Rm−B2ϵ(u0) ≡ 0，而 h|Bϵ(u0) ≡ 1.

这个截止函数的构造要分成几步：

1) 函数

h1(u) =

exp

(− 1u

), u > 0,

0, u 6 0

3.3 切向量与导算子 · 51 ·

在 R 上是 C∞ 的. 这是一个简单的微积分练习：

dnh1(u)

(du)n= Pn

(1

u

)h1(u),

其中 Pn(u) 是一个 u 的多项式. 当 u → 0+ 的时候，由于 h1 是 o(us). 所以 h1在 0 点有任意阶连续导数. 其他地方任意阶导数的连续性是显然的.

2) 对于 ϵ > 0，我们定义

h2(u) = h1(u− ϵ)h1(2ϵ− u),

这个函数是 C∞，而且非负的. 在区间 (ϵ, 2ϵ) 之外，h2 ≡ 0, 在 (ϵ, 2ϵ) 上 h2 > 0.

3) 函数

h3(u) =

∫ ∞

u

h2(t)dt∫ ∞

−∞h2(t)dt

是 C∞ 的，而且 0 6 h3 6 1，在区间 (−∞, ϵ)上 h3 ≡ 1，而在 (2ϵ,∞)上，h3 ≡0.

4) 那么

h(u) = h3(∥u− u0∥), u ∈ Rm

在 Bϵ(u0) 上恒等于 1，在 B2ϵ(u0) 之外，这个函数恒等于 0. 这就是我们所要求

的截止函数.

如果 B2ϵ(u0) ⊂ U，对于任意函数 f ∈ C∞(U)，f 在 B2ϵ(u0) 上的限制也

是 C∞ 的. 反之，一旦我们有了截止函数 h，我们可以看到对任意的 f ∈C∞(B2ϵ(u0))，hf 可以延拓成 U 上的一个 C∞ 函数，而在 Bϵ(u0) 上 f = hf，

即 hf ∼ f . 所以我们证明了用 C∞(U) 与用 C∞(B2ϵ(u0)) 所定义的函数芽

C∞(u0) 没有区别. 由于 ϵ 可以任意小, 所以函数芽的定义与邻域 U 的选择无关.

方向导数在函数芽上是有意义的，因为一个等价类中的所有函数在 u0 点具

有相同的偏导数. 显然，方向导数满足如下的性质：

1) ∂a(λf + µg) = λ∂af + µ∂ag.

这说明 ∂a : Cr(u0)→ R 是线性的.

2) ∂a(fg) = f(u0)∂ag + g(u0)∂af .

第二条性质也叫 Leibniz 法则. C∞(u0) 上满足 Leibniz 法则的线性算子也叫

作导算子.

函数芽 C∞(u0) 上的导算子全体将记作 D(u0)，不难看出两个导算子之和也

还是一个导算子，常数乘上一个导算子的结果还是一个导算子. 所以 D(u0) 是

一个线性空间. 不仅如此，我们还有


定定定理理理 3.3.1 如果X ∈ D(u0) 是一个导算子，那么存在 a ∈ Tu0U，使得X = ∂a.

证明: 首先，我们来证明 X1 = 0. 根据 Leibniz 法则：

X1 = X(1 · 1) = 1X1 + 1X1 = 2X1.

这说明 X1 = 0. 由于 X 是线性的，所以所有的常数函数被映到 0.

现在我们将函数 f 在 u0 附近写成

f(u) = f(u0) +∑i

(∫ 1

0

∂if(u0 + t(u− u0))dt)(ui − ui0).

记

gi(u) =

∫ 1

0

∂if(u0 + t(u− u0))dt,

我们看到 g ∈ C∞(u0)，而且 gi(u0) = ∂if(u0). 这样

Xf = 0 +∑i

(Xg · 0 + gi(u0)X(ui − ui0)

)=∑i

∂if(u0)X(ui − ui0),

这样一来，ai = X(ui − ui0) 就是定理中所要求的. 2

从这个定理中我们看到 C∞(u0) 上的所有导算子 D(u0) 同构于 Tu0U . 这给

出了切空间的一个抽象定义.

对于一个 C∞ 映射 f : U → V，我们有 f ∗ : C∞(V )→ C∞(U). 如果 f(u0) =

v0，X ∈ D(u0) 是 u0 ∈ U 处的一个导算子，那么对于任意的 g, h ∈ C∞(v0)，

我们有

X((λg + µh) f) = X(λg f + µh f) = λX(g f) + µX(h f),

而且

X((gh) f) = X((g f)(h f)) = g(f(u0))X(h f) + h(f(u0))X(g f).

这样，我们就定义了 C∞(v0) 上的一个导算子 f∗X ∈ D(v0).

如果我们用局部坐标的话，X =∑

i ai ∂∂ui

∣∣u0, f∗X =

∑j b

j ∂∂vj

∣∣v0，根据链

锁法则，我们有

(f∗X)g =∑i

ai∂(g f)(u0)

∂ui

=∑i

ai∑j

∂g(v0)

∂vj∂f j(u0)

∂ui

=∑j

(∑i

∂ifj(u0)a

i

)∂

∂vj

∣∣∣∣v0

g.

3.3 切向量与导算子 · 53 ·

也就是说

bj =∑i

∂ifj(u0)a

i.

这个映射 f∗ : D(u0) → D(v0) 是一个线性映射，在标准基下它的矩阵表示就是

Jacobi 矩阵. 事实上，不需要这个局部的表示，我们也可以推断出这个映射是

线性的.

对于切空间 Tu0U，我们来考虑它的对偶空间 T ∗u0U，即 Tu0U 上的线性函数

所组成的线性空间. 这个空间中的向量也叫做余切向量，而 T ∗u0U 则称为余切

空间.

从抽象的意义下讲，我们在 T ∗u0U 中有一组对偶基 αj 满足

αj

(∂

∂ui

∣∣∣∣u0

)= δji .

这里 δji 称为 Kronecker 符号，当 i = j 时, δji = 1, i = j 时, δji = 0. 余切空间

T ∗u0U 是由 αj 生成的, 我们的目的是希望将这组基与 C∞(u0) 联系起来.

我们已经知道 X ∈ D(u0) = Tu0U 定义了一个 C∞(u0) 上的函数. 反过

来，f ∈ C∞(u0) 也定义了一个 Tu0U 上的函数

df(X) = Xf,

而

df

(∂

∂ui

∣∣∣∣u0

)=∂f(u0)

∂uj.

所以 f 和 g 定义 Tu0U 上相同的函数，当且仅当它们在 u0 点有相同的一阶偏导

数. 这建议我们用微分 df 来定义 Tu0U 上的线性函数，显然

duj

(∂

∂ui

∣∣∣∣u0

)= δji .

所以 dui 是 ∂∂ui

∣∣u0的对偶基.

如果考虑 f ∈ C∞(u0) 的话，在一阶展开式

f(u) = f(0) +∑i

gi(u)(xi − xi0)


中，我们进一步展开

gi(u) = gi(u0) +∑j

(∫ 1

0

∂jgi(u0 + s(u− u0))ds)(uj − uj0)

= ∂if(u0) +∑j

(∫ 1

0

∫ 1

0

∂jif(u0 + ts(u− u0))tdsdt)(uj − uj0)

= ∂if(u0) +∑j

(∫ 1

0

∫ t

0

∂jif(u0 + s(u− u0))dsdt)(uj − uj0).

这样就有

f(u) = f(u0) +∑i

∂if(u0)(ui − ui0) +

∑ij

gij(u)(ui − ui0)(uj − u

j0).

所以 T ∗u0U = I/I2，这里的 I = f ∈ Cr(u0); f(u0) = 0 是一个极大理想，而 I2

是由所有 I 中的任意两个函数的乘积所生成的理想.

我们称函数 ⟨X, df⟩ = Xf : Tx0U × T ∗x0U → R 为配合. 它关于两个分量都

是线性的，而且它是非退化的：即如果 ⟨X, df⟩ = 0, ∀df ⇒ X = 0，而且反过

来，⟨X, df⟩ = 0,∀X ⇒ df = 0. 这是因为⟨∂

∂ui, duj

⟩= δji .

对于 C∞ 映射 f : U → V, dg ∈ T ∗f(u)M，我们定义

f ∗(dg)(X) = ⟨f∗X, dg⟩.

我们来将这个 f∗ 具体的写下来

f∗

(∑j

αjdvj

)(∂

∂ui

)=

⟨f∗

(∂

∂ui

),∑j

αjdvj

⟩

=

⟨∑k

∂fk

∂ui∂

∂vk,∑j

αjdvj

⟩=∑j

αj∂f j

∂ui.

它仍然是 Jacobi 矩阵.

如果我们在开集 U ⊂ Rm 的每一个点上给一个切向量 X(u)，这也叫作一个

向量场. 在每一个 u，切向量可以写成标准基的线性组合

X(u) =∑i

ai(u)∂i.

3.3 切向量与导算子 · 55 ·

我们可以将 X(u) 等同于一个向量值函数

X(u) 7→ (a1(u), . . . , am(u)).

如果这个向量值函数是 C∞ 的，我们称 X(u) 是一个光滑切向量场.

对于一个光滑向量场 X(u) 和一个光滑函数 f，我们有

Xf(u) =∑i

ai(u)∂if(u).

这还是一个光滑函数.

对于光滑的余切向量场

ω(u) =∑i

αi(u)dui,

我们可以类似的定义，这里就不再赘述了.

习题

1. 设 A = [aij] 是一个 n ×m 矩阵，y = Ax 定义了一个 Rm 到 Rn 的线性映

射，证明它是 C∞ 的，而且它的 Jacobi 矩阵就是 A.

2. 构造一个函数 f : R→ R. 它是 C2 的，但不是 C3 的.

3. 构造一个 B1(0) ⊂ Rm 到 Rm 的微分同胚.

4. 证明如果存在 Rm 到 Rn 的微分同胚, 则m = n.

5. 考虑 2× 2 实矩阵 [a b

c d

], ad− bc = 1,

证明分式线性变换

z 7→ az + b

cz + d

限制在上半平面 C+ = z = x+ iy ∈ C; y > 0 是一个到自身的微分同胚.

6. 如果 X,Y ∈ D(u) 是点 u 处的导算子，λ ∈ R, 试证明 X + Y 和 λX 也是点

u 处的导算子.

7. 在平面区域 U 上，X = x ∂∂x

+ y ∂∂y, f = x2 + y2, 试计算 Xf .

8. 设 f(u, v) = (uv, u2, 3u+ v), w = xydx+ zdy − yzdz, 试求 f ∗(w).


9. 如果 f ∈ C∞(Rm), 证明 n 阶的 Taylor 展开式可以写作

f(u) = f(u0) +m∑j=1

∂jf(u0)(uj − uj0) + · · ·

+1

n!

∑1≤j1,··· ,jn≤n

gj1···jn(u)(uj1 − uj10 ) · · · (ujn − u

jn0 ),

其中 gj1···jn(u) 也是光滑的，而且 gj1···jn(u0) = ∂j1 · · · ∂jnf(u0).

第第第四四四章章章微微微分分分流流流形形形

本章给出微分流形的定义，通过几个常见流形的例子，希望使读者对微分流形

及其性质有一个直观的印象.

4.1 微微微分分分流流流形形形的的的概概概念念念

我们首先看一个最常见的微分流形的例子.

例 4.1.1 m维单位球面：

Sm = u = (u1, . . . , um+1) ∈ Rm+1; ∥u∥ = 1.

我们来考虑 Sm上的一组开覆盖

U±i = u ∈ Sm;±ui > 0.

在 U±i 上，我们可以定义“坐标”：

φ±i : U±

i → Rm,

(u1, . . . , ui, . . . , um+1) 7→ (u1, . . . , ui, . . . , um+1),

这里的 ui表示 ui缺失. 显然，这些 φ±i 都是连续的，因为

∥φ±i (u2)− φ±

i (u1)∥ 6 ∥u2 − u1∥.

另一方面，φ±i 的逆映射

(φ±i )

−1 : B1(0) → U±i ,

(u1, . . . , ui, . . . , um+1) 7→(u1, . . . ,±

√1−

∑j =i(u

j)2, . . . , um+1),

也是连续的.

对于一个 Sm上的函数 f : Sm → R，我们想知道它是否具有“可微”性. 通

常的办法是看它能不能够延拓成 Sm 在 Rm+1的一个开邻域上的可微函数. 如果

我们不想利用外部空间的话，则可以考虑

f (φ±i )

−1 : B1(0)→ R

57

· 58 · 第 4章微分流形

的可微性.

这样一来，我们还有一个问题需要解决. 如果 u0 ∈ U+i ∩U+

j ，那么 f(φ+i )

−1

和 f (φ+j )

−1所定义的可微性是否相同？

注意到

f (φ+i )

−1 (φ+i (φ+

j )−1) = f (φ+

j )−1.

要注意的一点是我们在上面的写法中偷了一个懒，原因是这里映射的复合不符

合值域落在定义域中的要求. 不过在点 u0附近这样写是没有问题的，我们将来

还会这样写，这样的写法将被理解为在最大可以定义的地方成立.

f (φ+i )

−1 和 f (φ+j )

−1 所定义的可微性是否相同，取决于 φ+i (φ+

j )−1 是

否有足够的可微性. 在我们现在的例子中

φ+i (φ+

j )−1(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un+1)

= φ+i

u1, . . . , ui, . . . ,√1−∑k =j

(uk)2, . . . , un+1

=

u1, . . . , ui, . . . ,√1−∑k =j

(uk)2, . . . , un+1

.

这当然是一个光滑函数，所以我们现在用不同的坐标系来定义的函数的可微

性不会有差别. 上面的映射 φ+i (φ+

j )−1 也叫坐标变换，坐标变换如果是 Cr 的

话，那么我们定义函数的直到 r阶的可微性将是一致的. 坐标变换是可微的两

个局部坐标系也叫做相容的坐标系.

现在我们开始微分流形的正式定义.

定定定义义义 4.1.1 一个拓扑空间M 被称为是一个 m维 (拓扑) 流形，如果它是一个

满足第二可数公理的 Hausdorff 空间，而且是局部 m维 Euclid 空间的，这意

味着：对任意的 x ∈ M，存在一个 x的开邻域 U 和一个映射 φ : U → Rm，这

个 φ 的像 φ(U)是 Rm 的一个开集，而且 φ : U → φ(U)是一个同胚.

对于拓扑流形来讲，满足第二可数公理，即有可数邻域基，和满足 Haus-

dorff 分离公理，即每两点有两个不相交的邻域，是技术性的条件，不满足这

些条件的拓扑空间的确是存在的，但是它们有点太怪了. 局部 Euclid 条件才

是我们所真正希望的. 设想一下一个视力不怎样的蚂蚁在一个气球上爬，它是

不能理解它自己是处在一个球面上的，它所能够看到的地方与平面没有什么差

别. 事实上，我们人也一样. 最早的时候，我们也以为大地是平坦的. 尽管古希

腊人断定大地是一个球，人们还是无法想像为什么我们能生活在球上而不掉下

4.1 微分流形的概念 · 59 ·

去，直到后来 Magellan 的环球航行最终证实了地球是圆的. 局部 Euclid 条件

所描述的就是这样的空间.

这里的 (U,φ) 被称为流形 M 上的坐标系，U 称为一个坐标邻域，而

φ : U → φ(U), φ−1 : φ(U)→ U 分别被称为坐标映射和参数化. 坐标映射的分量

φ(p) = (x1(p), · · · , xm(p))称为 U 的局部坐标. 如果我们有 (U1, φ1), (U2, φ2) 两

个坐标系，那么

φ2 φ−11 : φ1(U1 ∩ U2)→ φ2(U1 ∩ U2)

叫作坐标变换. 显然，它的逆 φ1 φ−12 也是一个坐标变换. 如果它们都是 C∞

的，我们说这两个坐标系是光滑相容的.

定定定义义义 4.1.2 流形M 上的一个光滑微分结构是指一簇坐标系 A = (Uα, φα)，它满足

1) Uα 是一个M 的覆盖；

2) 任意两个 A 中的坐标系 (Uα, φα), (Uβ, φβ) 是光滑相容的；

3) 假如我们还有一个坐标系 (V, ψ)，它与 A 中所有的坐标系光滑相容，那

么 (V, ψ) ∈ A.

流形M 和它上面的一个光滑微分结构一起被称为一个光滑流形.

光滑微分结构中所要求的前两条的意义是明显的. 第一条让我们在每一点都

可以定义光滑函数，第二条保证了在两个不同坐标系下定义的光滑函数不会出

现歧异. 按照陈省身先生的说法：“第三条是数学家的大国沙文主义，什么都要

做到最大”. 这种最大性所带来的直接好处就是定义同样的可微性的光滑微分结


构变成是唯一的了. 实际上，这一条件并不是太重要的，满足前面两条的一簇

坐标系也叫做一个坐标覆盖. 从任意一个坐标覆盖出发，我们总可以通过添加

所有与坐标覆盖中所有坐标系都光滑相容的坐标系来使它达到最大. 我们把它

写成一个定理.

定定定理理理 4.1.1 设M 是一个拓扑流形，(Vα, ψα) 是M 的一个光滑相容的坐标覆

盖，则存在M 的唯一一个光滑结构使得 (Vα, ψα) 也是其中的一个坐标邻域.

证明：我们定义M 的一个微分结构：

U = (U,φ)|(U,φ)与每个 (Vα, ψα)光滑相容.

由于 (Vα, ψα) 是 U 的一部分，所以 U 是一个M 的覆盖，即 U 满足光滑流形

定义的条件(1). 对任意一对坐标系 (U1, φ1), (U2, φ2) ∈ U,如果 U1∩U2 = ∅,则对任意 p ∈ U1 ∩ U2 = ∅, 存在一个 (Vα, ψα) 使得 p ∈ Vα, 所以在W = U1 ∩ U2 ∩ Vα上

φ2 (φ1)−1 = (φ2 (ψα)−1) (ψα (φ1)

−1)

是光滑的，因此 φ2 (φ1)−1 在 U1 ∩ U2 上是光滑的，即 (U1, φ1)与 (U2, φ2) 是

光滑相容的. 所以 U 满足定义的条件(2).

对每一个与 U 中坐标邻域光滑相容的坐标系 (U,φ) 当然也与每个 (Vα, ψα)

光滑相容. 所以 (U,φ) ∈ U, 即 U 也满足定义的条件(3). 唯一性由条件(3)决定.

因此 U 是M 的唯一一个满足定理要求的光滑结构. 2

这个定理说明，我们在验证微分流形时，只要对一个容易验证的特殊坐标

覆盖进行验证光滑性就可以了.

4.2 微微微分分分流流流形形形的的的例例例子子子

前面讲的 Sm ⊂ Rm+1 是一个光滑微分流形. 因为 (U±i , φ

±i ) 是一组光滑相容

的坐标覆盖.

例 4.2.1 m 维线性空间 Rm.

显然，Rm 是一个微分流形，它是满足第二可数公理的 Hausdorff 空间.

实际上每个度量空间是 Hausdorff 空间，对任意两点 x, y, 开球体 Bd(x,y)/2(x),Bd(x,y)/2(y)就是点 x和 y的两个不相交的开邻域. 以坐标为有理数的点为球心、

半径为有理数的开球体全体组成的集合是 Rm 的一个可数拓扑基. 我们可以给

一个整体的坐标系：

(Rm, φ = id : Rm → Rm).

4.2 微分流形的例子 · 61 ·

只要我们添加所有与这个坐标系相容的坐标系进来，我们就可以得到一个微分

结构.

例 4.2.2 流形的开子流形.

如果M 是一个光滑流形，那么M 的任意开集 U ⊂ M 也是一个光滑流形.

首先由于第二可数公理和 Hausdorff性质是子空间拓扑的遗传性质，即有可数

拓扑基的 Hausdorff 空间的子集仍然是一个有可数拓扑基的 Hausdorff 空间. 所

以 U 也是一个有可数拓扑基的 Hausdorff 空间. 其次如果 (Uα, φα) 是M 上的

一个光滑结构，那么 (Uα ∩ U,φα|Uα∩U) 就是 U 上的一个光滑结构.

例 4.2.3 连续函数的图像.

如果 f : U → R 是 Rm 中一个开集 U 上的连续函数，它的图像定义为

Γ(f) = (u, f(u)) ∈ Rm × R| u ∈ U,

设 π : Rm × R → Rm 是投影映射，φ = π|Γ(f) : Γ(f) → U 是 π 在 Γ(f)上的限

制，它是连续的，而且 φ−1(u) = (u, f(u))也是连续的，所以 φ是一个同胚. 因

此 (Γ(f), φ) 就是一个整体的坐标覆盖. 第二可数公理和 Hausdorff性质都可以

从 Rm 的拓扑性质得到. 注意，我们这里并没有要求 f 更多的可微性，f 的连

续性保证了映射 φ 是一个同胚. 所以 Γ(f) 是一个光滑流形.

同理，连续映射 f : U ⊂ Rm → Rn的图像也是一个光滑流形.

例 4.2.4 矩阵群.

我们讨论 m × n 矩阵群 Mm×n, 这只需要一个整体坐标系，坐标函数

φ :Mm×n → Rmn 定义为

φ(A) = φ((aij)) = (a11, · · · , a1n, · · · , am1, · · · , amn).

通过这个映射将 Rmn上的拓扑诱导成Mm×n 上的一个拓扑，使得它成为一个光

滑流形.

例 4.2.5 一般线性群.

我们考察一般线性群：

GL(n,R) = A ∈Mn×n| detA = 0.

注意到求 n× n矩阵的行列式决定的函数 det :Mn×n → R 是一个连续函数，所以如果 detA = 0，那么在这个矩阵 A 附近的所有矩阵的行列式都不为零. 这说

明 GL(n,R) 是 Mn×n ≈ Rn×n 中的开集，所以 GL(n,R)是矩阵群Mn×n的一个

开子流形.


例 4.2.6 乘积流形.

定定定理理理 4.2.1 如果M,N 分别是 m 维和 n 维的光滑流形，那么M × N 是一个m+ n 维的光滑流形.

证明: M,N 是有可数拓扑基的 Hausdorff 空间，所以M × N 也是具有可数拓扑基的 Hausdorff 空间.

如果 (Uα, φα), (Vβ, ψβ) 分别是M,N 的微分结构，那么

(Uα × Vβ, φα × ψβ : Uα × Vβ → Rm × Rn)

就构成M ×N 的一个坐标覆盖. 这使M ×N 成为一个光滑流形. 2

定理中的流形M ×N 也叫做M 与 N 的乘积流形. 根据这个定理，m 维环

面 Tm = S1 × · · · × S1︸︷︷︸m

也是一个流形.

例 4.2.7 m 维实射影空间.

RPm 是 Rm+1 中所有过原点的直线构成的空间，或者说是所有一维子空间

构成的集合，它叫做m 维实射影空间. 对每一条直线 ℓ ∈ RPm，它可以由一个单位向量 v(ℓ) ∈ Sm 确定. 注意到对每一个一维子空间 ℓ，我们有两个单位向量

±v(ℓ)，所以RPm = Sm/(u ∼ −u).

这是所谓商空间的一个特殊情形. 设 X 是一个集合，R ⊂ X ×X 是一个关系，也就是说 x ∼R y ⇔ (x, y) ∈ R. 我们说 ∼R 是一个等价关系，如果

1) x ∼R x, ∀x ∈ X；2) x ∼R y ⇒ y ∼R x,∀x, y ∈ X；3) x ∼R y, y ∼R z ⇒ x ∼R z.一旦在 X 上有一个等价关系 R，我们可以定义 x ∈ X 的等价类：

[x] = y ∈ X; y ∼R x.

根据等价关系的条件，我们有

1)∪x∈X [x] = X；

2) 如果 [x] ∩ [y] = ∅，那么 [x] = [y].

由等价类组成的集合叫做商集合，记作 X/ ∼R= [x]; x ∈ X，而

π(x) = [x] : X → X/ ∼R

4.2 微分流形的例子 · 63 ·

是一个满的映射.

如果 X 是一个拓扑空间，我们称 X/ ∼R 上使得 π 连续的最小拓扑为商拓

扑. 假定 T 是 X 上的拓扑，那么商拓扑是

TX/∼R= V ⊂ X/ ∼R; π−1(V ) ∈ T.

在我们的射影空间 RPm = Sm/(u ∼ −u) 中，π : Sm → RPm 是一个开映射，即开集 U ⊂ Sm 的像集合 π(U) ⊂ RPm 是开集. 这是因为

π−1(π(U)

)= U ∪ (−U)

是开集.

定定定理理理 4.2.2 如果 π : M → M/ ∼R 是一个开映射，那么M 是第二可数的蕴含

M/ ∼R 也是第二可数的.

证明: 假设 Bα 是M 的一簇可数邻域基，那么 Cα = π(Bα) 就是M/ ∼R 的一簇邻域基. 由于 π 是开映射，所以 Cα 是开的. 对于 V ⊂ M/ ∼R 是一个开集，那么 U = π−1(V ) 是一个开集，而

U =∪

Bα⊂U

Bα.

所以

V = π(U) =∪

Bα⊂U

Cα.

这说明 Cα 是一簇可数邻域基. 2

根据这个定理，射影空间 RPm 有一簇可数邻域基.

定定定理理理 4.2.3 如果 π : M → M/ ∼R 是一个开映射，那么 M/ ∼R 是 Hausdorff

当且仅当 R ⊂M ×M 是一个闭集.

证明: 如果M/ ∼R 是一个Hausdorff空间，那么对于 x ∼R y, [x] = [y] ∈M/ ∼R可以被两个不相交的开集 [x] ∈ Vx, [y] ∈ Vy 分离. 对于 Ux = π−1(Vx), Uy =

π−1(Vy), (x′, y′) ∈ Ux × Uy，都成立 x′ ∼R y′. 这说明 Ux × Uy 是 (x, y) 的一个邻

域，而且 Ux × Uy ⊂ M ×M − R. 所以M − R 是一个开集，这说明 R 是一个

闭集.

反过来，如果 R ⊂ M ×M 是闭的，那么对任意的 (x, y) ∈ R，我们有它的邻域 Ux × Uy ⊂ M ×M − R，这样 Vx = π(Ux), Vy = π(Uy) 就是分离 [x], [y] 的

两个开集. 2


在 Sm × Sm 上定义函数

f(u, v) =

(m+1∑i=1

(ui + vi)2

)(m+1∑i=1

(ui − vi)2)

: Sm × Sm → R.

显然，等价关系 u ∼ −u 恰好是 f−1(0)，这当然是一个闭集，所以 RPm 是Hausdorff 的.

为了得到 RPm 的一组坐标覆盖，我们注意到在每个 U±i 中，没有两个

点是等价的. 事实上，所有与 U+i 中点等价的另一个点在 U−

i 中，这说明

π : U+i → Ui = π(U+

i ) 是一个同胚，它的逆记作 τi =(π|U+

i

)−1: Ui → U+

i . 而

(Ui, φ+i τi : Ui → Rm)就是我们所要求的坐标覆盖.这使 RPm 成为一个m维

流形.

4.3 正正正则则则子子子流流流形形形

定定定义义义 4.3.1 如果M 是一个 m 维光滑微分流形，N ⊂ M 被称为是一个正则子

流形，如果对任意 x ∈ N，存在M 的一个坐标系 (U,φ)，使得

U ∩N = φ−1(Rn × 0).

注意：(U ∩N,φ|(U∩N)) 是N 上的一个坐标系，如果两个这样的坐标系是相

容的话，那么限制到 N 上的坐标系也还是相容的. 所有的这些坐标系至少给出

N 上的一个坐标覆盖，所以正则子流形本身也是一个光滑流形.

比如说

Sn =

(u1, . . . , un+1, 0, . . . , 0) ∈ Rm+1;

n+1∑i=1

(ui)2 = 1

⊂ Sm

4.3 正则子流形 · 65 ·

是一个正则子流形. 而M × ∗ ⊂M ×N 也是一个正则子流形.

接下来我们研究两个光滑微分流形 M,N 之间的映射 f : M → N . 设

(Uα, φα) 和 (Vβ, ψβ) 分别是M,N 的微分结构. 那么

ψβ f φ−1α : Rm → Rn

叫做 f 的局部表示. 注意到这里映射的复合再一次不符合值域落在定义域中的

要求，事实上，这个映射的定义域是 φα(f−1(Vβ)∩Uα). 我们将在所有它们有自

然定义的地方来理解这些映射.

映射 f 被称为是光滑的，如果它的所有局部表示都是光滑的. 事实上，要

检查 f 是否是 Cr 的，我们并不需要检查所有微分结构中的坐标系. 我们仅仅需

要在坐标覆盖下检查就行了，假定 (Ui, φi) 和 (Vj, ψj) 分别是M,N 的坐标

覆盖，那么只要 ψj f φ−1i 是光滑的，对于任意的坐标系 (Uα, φα), Vβ, ψβ)，

我们有

ψβ f φ−1α = (ψβ ψ−1

j ) (ψj f φ−1i ) (φi φ−1

α )

也都是光滑的.

不难看出，两个光滑映射的复合仍然是光滑的. 而且 id : M → M 总是光滑

的.

对于光滑映射 f :M → N，如果我们有一个光滑映射 g : N →M，使得

g f = id :M →M, f g = id : N → N.

我们称 f 是一个光滑微分同胚，而 g 是 f 的逆.

由于 R 是一个光滑流形，所以光滑函数是光滑映射的一个特殊情形. 我们

将光滑流形M 上所有的光滑函数全体所组成的空间记作 C∞(M). 显然这是一

个交换代数，我们有数乘，两个函数的加法和乘法.

如果我们有一个光滑映射 f :M → N，那么函数的复合：

Mf−−−→ N

gfy ygR R

给出一个环同态 f ∗ : Cr(N)→ Cr(M).

考虑一个光滑映射 f :M → N，对于 x0 ∈M 和 f(x0) ∈ N，我们有这两个点附近的坐标系 (U,φ), (V, ψ)，使得 ψ f φ−1 在 φ(x0) 附近是光滑的. 我们称

它的 Jacobi 矩阵

D(ψ f φ−1)(φ(x0))


的秩为映射 f 在 x0 点的秩，记作 rankx0f . 这个定义并不依赖于我们局部坐标

系的选择. 显然，rankx0f 6 min(dimM, dimN).

如果 f :M → N 是一个光滑微分同胚，g = f−1，那么

dimM = rankxid = rankx(g f) 6 min(rankxf, rankf(x)g) 6 dimN.

同样

dimN 6 min(rankxf, rankf(x)g) 6 dimM.

这样，我们就得到 dimM = dimN = rankxf . 所以，流形的维数是微分同胚的

不变量.

我们来考察几种特殊的光滑映射：假定 f : M → N 是一个光滑映

射，(U,φ), (V, ψ) 是 x0 和 y0 = f(x0) 的两个坐标系，不妨假定 φ(x0) =

0, ψ(y0) = 0. 在这两个坐标系下，f 的局部表示是

F = ψ f φ−1 : φ(U)→ ψ(V ).

1) 如果 dimM = dimN = rankx0f，那么在 x0 附近，f 是一个局部同胚.

本质上这就是反函数定理. 由于 F 的 Jacobi 矩阵 DF (x) 在原点是非退化

的，根据反函数定理，在原点 0 附近 F 是一个局部微分同胚，G 是它的逆. 这

样

φ−1 G ψ

就是 f 的局部逆.

要注意的是我们仅仅能够证明这是一个局部微分同胚，即使在每一点 x0，

都有 dimM = dimN = rankx0f，我们也不能得到更多，即一般不能得到是一个

整体微分同胚. 我们考虑下面的例子.

例 4.3.1 π : Sm → RPm，这个 π 在每一点都是局部同胚，但是射影空间中任

意一点都有两个原像，所以它可不能是一个微分同胚.

2) 如果m = dimM > dimN = rankx0f = n，我们称 f 在 x0 处是一个淹没.

根据反函数定理，我们有局部坐标变换 g : φ(U)→ Rm，使得

F g−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn).

这样我们可以在 x0 附近选择新的坐标系 (U,φ′ = g φ)，在这个新的坐标系下，f 的局部表示

ψ f (φ′)−1 = F g−1.

4.3 正则子流形 · 67 ·

如果我们看 f−1(y0) 的话，在局部坐标系 (U,φ′) 下，

f−1(y0) ∩ U = (φ′)−1(0× Rm−n).

这说明，在局部 f−1(y0) 是一个m−n 维的子流形. 如果 f 在 f−1(y0) 的每一点

都是淹没，那么 f−1(y0) 就是一个子流形. 我们将它叙述成一个定理：

定定定理理理 4.3.1 假定 f : M → N 是一个光滑映射，对于任意 y0 ∈ N，如果 f 在

f−1(y0) 的每一个点上都是淹没，那么 f−1(y0) 是M 的一个子流形.

考察函数 f : Rm+1 → R

f(u1, . . . , um+1) =m+1∑i=1

(ui)2.

这个映射的 Jacobi 矩阵是

Df(u) = (2u1, . . . , 2um+1).

除非 x = 0，在所有其他地方，f 都是淹没. 所以 Sm = f−1(1) 是一个 m 维子

流形.

定定定义义义 4.3.2 一个群 G 被称为是一个 Lie 群，如果它是一个光滑流形，而且群

运算：

g 7→ g−1 : G→ G, (g, h) 7→ gh : G×G→ G

都是光滑的.

我们不难看出一般线性群 GL(n,R) 是一个 Lie 群，因为

(A,B) 7→ AB

是多项式函数，而

A→ A−1 =1

detAA♯

是有理函数，这里的 A♯ 是 A 的伴随矩阵. 这两个映射在它们的自然定义域上

都是光滑映射.

我们的下一个例子是特殊线性群 SL(n,R) ⊂ GL(n,R). 根据定义

SL(n,R) = A ∈Mn×n; detA = 1.

考虑函数

det :Mn×n → R.


我们需要计算偏导数 ∂detA/∂ai0j0，将 detA 按照第 i0 行展开：

detA =n∑j=1

ai0jAi0j,

这里的 Ai0j 是 ai0j 的代数余子式，注意：作为 aij 的函数 Ai0j 不包含 ai0j0，所

以∂detA

∂ai0j0= Ai0j0 .

如果 detA = 1，至少一个代数余子式不等于零，所以在 SL(n,R) 上，函数 det

是一个淹没，所以 SL(n,R) 是一个子流形.

接下来我们考虑正交群

O(n) = A ∈Mn×n;AAT = I.

定义函数 F (A) = AAT :Mn×n → Sym(n,R)，这里 Sym(n,R) ≈ Rn(n+1)

2 是 n 阶

实对称矩阵.

我们看 DF (A0)：由于

(A0 +H)(A0 +H)T = A0AT0 + A0H

T +HAT0 + o(∥H∥),

所以

DF (A0)(H) = A0HT +HAT

0 = A0

((A−1

0 H)T + A−10 H

)AT

0 .

这可以被看作三个映射的复合：1) H → A−10 H，2) H → HT + H 和 3) H →

A0HA−10 : Sym(n,R) → Sym(n,R)，如果 A0 是可逆的，那么 1) 和 3) 都是线

性同构，所以 rankA0(DF ) 等于 H → H +HT 的秩. 而这个映射的核就是反对

称矩阵，即它的秩恰好是 n2 − n(n−1)2

= n(n+1)2

. 这说明 F 是一个淹没，所以

O(n) = F−1(I) 是一个 n(n−1)2维的流形.

利用子流形的定义，我们选择特殊的局部坐标系，不难看出

定定定理理理 4.3.2 如果 f : M → N 是一个光滑映射，M1 ⊂ M,N1 ⊂ N 是子流形，

而且 f(M1) ⊂ N1，那么 f |M1 :M1 → N1 也是光滑的.

根据这个定理，我们知道 SL(n,R) 和 O(n) 都是 Lie 群.

3) 如果 rankx0f = dimM < dimN，我们称 f 在 x0 是一个浸入. 根据秩定

理，我们有局部坐标变换 g : φ(U)→ Rm 和 h : ψ(V )→ Rn，使得

h F g−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0).

4.3 正则子流形 · 69 ·

这样我们可以在 x0, y0 附近选择新的坐标系 (U,φ′ = g φ), (V, ψ′ = h ψ)，在新的坐标系下，f 的局部表示

ψ′ f (φ′)−1 = h F g−1,

所以

V ∩ f(U) = (ψ′)−1(Rm × 0).

也就是说，f(U) 是一个子流形.

如果 f 在每一点都是一个浸入，那么 f 被称为是一个浸入，而 f : M → N

被称为是一个浸入子流形；进一步，如果 f : M → f(M) 还是一个同胚的

话，f : M → N 则被称为一个嵌入子流形. 下面就是一个是浸入子流形但不是

嵌入子流形的例子.

例 4.3.2 考虑曲线

f : (−π, π)→ R2, f(t) = (sin t, sin 2t).

这条曲线的图像就是平面上的一个“8”字，也称为双纽线. 由于 f ′(t) =

(cos t, 2 cos 2t) = 0, 它是一个浸入子流形. 由于它的像是一个紧致集，而原像

(−π, π)不是紧致集，所以它不是一个嵌入子流形.

作为截止函数的一个应用，我们来证明：

定定定理理理 4.3.3 如果M 是一个紧致流形，那么对于充分大的正整数 N，存在一个

嵌入：f :M → RN .

这个定理告诉我们，任何紧致流形可以被看作 Euclid 空间的一个子流形.

证明：对于每一个 x ∈M，我们有一个局部坐标系 (Ux, φx : Ux → Vx ⊂ Rn). 不

妨假定 φx(x) = 0，且存在 ϵ > 0，使得 clB2ϵ(0) ⊂ Vx. 我们来延拓 φx 到整个流

形上. 利用截止函数 h，我们的函数 h′x = h φx 在 φ−1x (B2ϵ(0)) 之外为 0，而在

U ′x = φ−1

x (Bϵ(0)) 上为 1，h′xφx 便很容易地可以延拓到M 上，我们记即这个映

射为

ψx :M → Rn.


注意到 U ′x = φ−1

x (Bϵ(0)) ⊂ M 是一个开集，而且在 Wx = (h φx)−1(1) ⊃ U ′x

上，ψx = φx，所以 ψx : Wx → Rm 到像上是一个同胚.

我们知道 U ′x 是M 的一个开覆盖. 根据假定：M 是紧致的，所以我们有

一个有限子覆盖 Uxiki=1. 构造如下的映射：

ψ = (ψx1 , . . . , ψxk , h′x1, . . . , h′xk) :M → Rk(m+1).

我们现在来证明这个 ψ :M → Rk(m+1) 是一个嵌入. 这需要证明两点：ψ 是

一个浸入，而且到像上是一个同胚.

证明 ψ 是一个浸入，我们需要证明在每一点 x0 ∈ M，rankx0ψ = m. 由于

U ′xi是一个开覆盖，所以存在 i0，使得 x0 ∈ U ′

xi0，这样在局部坐标 (U ′

xi0, φxi0 )

下，我们的 ψxi0 (φxi0 )−1 = id. 所以 rankx0ψ = m.

要证明 ψ 到像上是一个同胚，我们先证明这是一个单的浸入. 如果 ψ(x) =

ψ(x′)，那么一定有一个 i0，使得 x ∈ Uxi0 . 这样一来，由于 ψ(x) = ψ(x′)，我们

有 x, x′ ∈ Wxi0，而 ψxi0 限制在Wxi0

上是一个到像上的同胚，所以 x = x′. 这

就证明了 ψ 是单的.

如果这个映射是单的，那么我们就有 ψ−1 : ψ(M)→M . 要证明 ψ 是一个同

胚，那么我们还需要证明 ψ−1 的连续性. 我们要证明闭集的原像仍是闭集. 如

果 C ⊂ M 是一个闭集，由于M 是紧的，C 也是紧的，那么它是在 ψ−1 下的

原像是 ψ(C) 也是紧的. 而 RN 是 Hausdorff 的，所以 ψ(C) 也是闭的. 也就是

说 ψ−1 连续. 这就完成了我们的证明. 2

最后我们研究一个例子.

例 4.3.3 环面 T2中的子流形.

首先 T2 = R2/Z2，这里的等价关系意味着：x ∼ y ⇔ x− y ∈ Z2.

我们考虑映射 f(t) = [t(1, α)] : R → T2，不难看出 [(x0, y0)] 的局部坐标系

可以取 U[(x0,y0)] = π(Bϵ(x0, y0)), φ = π−1 (ϵ < 12). 这样 f 在 t0 的局部表示就是

F (t) = φ f(t) = φ f(t0) + (t− t0)(1, α),

而

DF (t0) = (1, α) = 0.

所以 f 在每一点的秩都是 1，而 f : R→ T2 是一个浸入子流形.

如果 α 是一个有理数，p/q 是 α 的即约分数表示，那么 f(q) ∼ 0 = f(0)，

所以 f 是一个周期函数，而 q 是最小周期. 这样 f : R/Zq → T2 是一个嵌入子

流形.

4.3 正则子流形 · 71 ·

对于任意的 b ∈ R，我们有整数 n,m，使得∣∣∣∣b− (n+mp

q

)∣∣∣∣ 6 1

2q.

我们知道对于任意的 q，一定存在一个 p′，使得 |b−p′/q| 6 12q. 由于 p, q 互素，

所以我们有

mp ≡ p′ mod q, (m < q),

即mp = p′ − nq，也就是说p′

q= n+m

p

q.

这说明对于任意 y 轴上的点 [(0, b)]，我们有 f(m) = [m(1, p/q)]，它与 [(0, b)]

的“距离”不超过 12q.

对于任意的 [(x0, y0)]，我们知道 f(t) 与 [(x0, y0)] 的距离与 f(t − x0) 与[([x0], y0 − x0α)] 的距离相同. 这里的 x0 = x0 − [x0] 是 x0 的小数部分. 将

上面两条结合起来，我们知道对于任意 [(x0, y0)] ∈ T2，存在 f(t0)，使得它与

[(x0, y0)] 的“距离”不超过 12q.

如果 α 是一个无理数，那么 f 是单的，如果我们有 t1, t2，使得 f(t1) ∼f(t2)，即

(t2 − t1)(1, α) ∈ Z2.

这是不可能的.

另一方面，我们要证明 f(R) ⊂ T2 事实上是一个稠密子集. 利用连分数逼

近，我们有

定定定理理理 4.3.4 对于无理数 α，我们有任意大的互素整数 p, q，使得∣∣∣∣pq − α∣∣∣∣ < 1

q2.

这样对于任意的 b ∈ R，我们有 n,m(m < q)，使得∣∣∣∣b− (n+mp

q

)∣∣∣∣ 6 1

2q.

这样一来

|b− (n+mα)| 6∣∣∣∣b− (n+m

p

q

)∣∣∣∣+m

∣∣∣∣pq − α∣∣∣∣ 6 1

2q+m

q2<

3

2q.

接下来的证明与上面一样. 由于 q 可以任意大，我们得到 f(R) 在 T2 中是

稠密的.


习题

1. 证明两个光滑映射的复合仍然是光滑的.

2. 证明连通流形是道路连通的, 即对流形中任意两点 p, q 存在流形中一条连续

曲线 f(t), 0 ≤ t ≤ 1, 使得 f(0) = p, f(1) = q.

3. 设X = (x, y) ∈ R2| y = ±1,它是平面上两条直线.定义等价关系：(x, 1) ∼(x,−1), 对所有 x = 0. 试证明商空间M = X/ ∼是局部欧氏的，并且满足第二可数公理，但是它不是 Hausdorff空间.

4. 设 r± : U± = Sm − (0, · · · , 0,±1) → Rm,

r±(u1, · · · , um, um+1) =

1

1∓ um+1(u1, · · · , um).

这个映射叫做球极投影. 证明 (U±, r±) 也给出了 Sm 上的一组坐标覆盖.

5. 设 f : M → N 是一个光滑映射，它在每一点都是一个局部微分同胚，证明

它是一个开映射，即开集的像也是开集.

6. 举出一个光滑映射的例子，它处处是局部微分同胚，但整体上不是一个微

分同胚.

7. 定义映射 φ : S2 → R4 使得 φ(x, y, z) = (x2 − y2, yz, zx, xy). 证明：φ是从S2 到 R4 的浸入子流形，并且 φ诱导出 P2R 到 R4 的嵌入子流形.

8. M ⊂ N 是一个子流形，f : M → R 是一个光滑映射的充分必要条件是：对于任意的 x ∈ M，存在 x 的在 N 中的一个邻域 U 和一个光滑映射 F : U → R,使得 F |U∩M = f |U∩M .

9. 设 Gkn 是 Rn+k 中所有 k− 维子空间组成的集合，证明它有一个流形的结构.

10. 设 GL0(n,R) = A ∈ GL(n,R); detA > 0, 证明它是连通的.

11. 设

J =

[0 In−In 0

]∈ GL(2n,R),

而

Sp(2n,R) = A ∈ GL(2n,R), AJAT = J

叫做辛群. 试证明它是一个李群.

12. 设 G,H 是两个李群，试证明它们的乘积 G×H 还是一个李群.

第第第五五五章章章切切切空空空间间间和和和切切切丛丛丛

微分几何中的曲线和曲面是放在三维欧氏空间 E3 中讨论的，通过研究曲线的

切线和曲面的切平面的性质可以研究曲线和曲面的性质. 微分流形一般不再有

象 E3 那样的外围空间，流形上切空间的定义就比较抽象，要用第三章中给出

的导算子来定义. 本章讨论切空间及流形之间映射诱导的切映射的性质，建立

由全体切空间组成的流形的切丛的概念，研究切向量场的性质，最后给出由部

分切向量组成的分布的可积条件，即 Frobenius 条件.

5.1 切切切空空空间间间与与与切切切映映映射射射

与 Euclid 空间的情形相同，我们也可以定义 x ∈M 的光滑函数芽

C∞(x) = C∞(M)/ ∼,

其中的等价关系是 f ∼ g ⇔ 存在 x 的一个邻域 V，使得在 V 上 f ≡ g.

同样定义 C∞(x) 上的导算子 X : C∞(x)→ R 为满足 Leibniz 法则的线性映

射.

定定定义义义 5.1.1 所有的 C∞(x) 上的导算子全体构成一个线性空间 D(x)，这个线性

空间被定义成M 在 x 点的切空间 TxM .

如果 f : M → N 是一个光滑映射，x ∈ M, y = f(x) ∈ N 和 X ∈ D(x)，我

们用如下的方法定义 f∗X ∈ D(y)：对于 g ∈ C∞(N)，定义

f∗X(g) = X(g f) = X(f ∗(g)).

由于 f ∗ 是环同态，所以 f∗X 是线性的. 而

f∗X(gh) = X(f∗(g)f∗(h)) = f∗(g)(x)X(f∗(h)) + f ∗(h)(x)X(f∗(g))

= g(y)f∗X(h) + h(y)f∗X(g)

告诉我们 Leibniz 法则也满足，所以 f∗X ∈ D(y).

73

· 74 · 第 5章切空间和切丛

不难验证，这样我们就定义了一个线性同态 f∗ : TxM → TyN，而且如果

f :M → N, g : N → W，那么

(g f)∗ = g∗ f∗ : TxM → Tf(x)N → Tgf(x))W.

这里有意思的是我们什么都可以从流形 M 上的光滑函数空间 C∞(M) 出

发，来得到我们想要的概念. 实际上这是有着深刻原因的，我们花些时间来研

究 C∞(M).

我们知道如果 f : M → N 是光滑流形之间的光滑映射，那么我们就有一个

环同态 (带单位的环同态)：

f ∗ : C∞(N)→ C∞(M).

实际上，对于任意的映射 f :M → N，我们都有

f ∗ : C∞(N)→ Map(M,R).

定定定理理理 5.1.1 f 是光滑的充分必要条件是 f ∗(C∞(N)) ⊂ C∞(M).

证明：我们已经知道这个条件是必要的. 对于充分性，我们需要在每一点

x ∈M 验证 f 的可微性.

对于 y = f(x) 的一个坐标系 (V, ψ)，我们首先证明存在 x 的一个邻域 U，

使得 f(U) ⊂ V . 我们作一个 V 上的截止函数 h，它在 V 外为 0，在 y 附近为 1.

由于 f∗(h) = h f 是光滑的，所以 x ∈ U = (h f)−1((1/2,∞))是一个开集. 如

果适当缩小 U，我们可以假定 (U,φ) 是 x 的一个局部坐标系. f 的局部表示是

F = ψ f φ−1 : U → V.

要证明它的可微性，我们只要检查它的分量函数 F i 就行了. 假定 gi = h(yi ψ)，这是光滑的，而 f ∗(gi) = gi f 的局部表示就是

gi f φ−1 = (h f φ−1)F i.

这个函数是光滑的. 另一方面，在 φ(x) 附近，h f φ−1 = 1，也就是说，F i

在 φ(x) 附近是光滑的. 这样就完成了定理的证明. 2

我们这里讲的是流形的情形，不过结论与前面 Rm 的开集中的一样.

固定一个点 x0 ∈M，令 Ix0 = f ∈ C∞(M); f(x0) = 0，显然环同态

rx0 : C∞(M)→ R, rx0(f) = f(x0)

是满的，而 ker(rx0) = Ix0，所以 Ix0 是 C∞(M) 的一个极大理想. 反过来，我们

有

5.1 切空间与切映射 · 75 ·

定定定理理理 5.1.2 如果M 是一个紧流形，I ⊂ C∞(M) 是一个极大理想，那么存在

一个 x0 ∈M，使得 I = Ix0.

证明：如果 I 是一个极大理想，那么我们要证明 I 中的所有函数有一个公

共零点. 不然的话，对于任意的 x ∈ M，我们有 fx ∈ I ⊂ C∞(M)，使得

fx(x) = 0，由于 fx 是连续的，所以在 x 的某一个邻域 Ux 上 fx = 0. 由于 fx 和

−fx 都在 I 中，所以我们不妨假定 fx 在 Ux 上是严格正的. 利用截止函数，我

们可以假定 fx > 0，并且在一个小一点的邻域 U ′x 上严格正.

这样的 U ′x 成为M 的一个开覆盖，所以它有有限子覆盖

U ′1 = U ′

xi, . . . , U ′

k = U ′xk.

现在我们令

g(x) =k∑i=1

fxi(x) ∈ I.

显然它是非负的. 实际上，对于任意的 x，存在一个 U ′i，使得 x ∈ U ′

i，所以

g(x) > 0. 这样 1 = 1gg ∈ I，所以 I = C∞(M). 这是一个矛盾.

这就证明了，存在一个 x0 ∈ M，使得 f(x0) = 0, ∀f ∈ I. 也就是说，I ⊂Ix0 . 由于 I 是一个极大理想，所以 I = Ix0 . 2

实际上，我们还可以证明 x ∈ M | f(x) = 0,∀f ∈ Ix0 = x0，也就是

说 Ix0 中所有函数的公共零点是唯一的. 对于任意的 x = x0，我们可以找

到 x 的一个邻域 U，它不包含 x0，这样在 x 附近的一个截止函数 h，就满足

h(x) > 0, h(x0) = 0，所以 h ∈ Ix0，而 x 不在 Ix0 中函数的公共零点中.

这里的讨论类似于多项式函数环上的 Hilbert 定理.

假定M,N 是两个紧流形，对于环同态 η : C∞(N) → C∞(M), (η(1) = 1)，

我们来构造一个映射 f : M → N，使得 η = f∗，一旦我们做到了这一点，

这个映射 f 就是 C∞ 的. 对于 x0 ∈ M，我们有极大理想 Ix0，不难看出

η−1(Ix0) ⊂ C∞(N) 也是极大理想，根据前面的定理，存在 y0 ∈ N，使得

Iy0 = η−1(Ix0). 这定义了一个映射 f :M → N .

我们来验证 f ∗ = η. 对于 g ∈ C∞(N), η(g) ∈ C∞(M)，g(y0) = ry0(g),

η(g)(x0) = rx0(η(g))，而

C∞(N)η−−−→ C∞(M)

ry0

y yrx0C∞(N)/Iy0 C∞(M)/Ix0


是交换图，所以 f ∗g(x0) = g(y0) = η(g)(x0)，即 f∗ = η.

这就证明了：

定定定理理理 5.1.3 如果 M,N 是两个紧致光滑流形，任给一个环同态 η : C∞(N) →C∞(M)，存在唯一一个光滑映射 f : M → N，使得 η = f ∗. 特别地，M 与 N

是光滑微分同胚的充分必要条件是 C∞(M) 与 C∞(N) 同构.

这个定理说明函数环 C∞(M) 是紧流形M 的完全不变量，所以所有的东西

都可以从函数环导出也就不奇怪了. 利用函数环来研究流形的优点是不依赖于

任何的坐标系. 这是有用的，因为不依赖坐标的定义是直接的，不需要检查坐

标变换下的不变性. 但缺点是过于抽象. 通常我们并不采用这样的方法来研究流

形，因为这样做的话，我们就需要在无限维空间上的讨论，这会增加问题的困

难程度. 我们希望将现在的这些抽象定义与前面的具体讨论联系起来.

设 (U,φ) 是 x 点附近的一个局部坐标系，对于任意函数 f ∈ C∞(M)，f

在 U 上的限制也是光滑的. 反之，我们可以利用截止函数 h，对于任意的

f ∈ C∞(U)，hf 可以延拓成 M 上的一个光滑函数，而在 x 的某个邻域上

f = hf，即 hf ∼ f . 所以我们也可以用 U 上的光滑函数空间 C∞(U) 来定义 x

点的函数芽 C∞(x).

坐标映射 φ : U → V = φ(U) ⊂ Rm 是一个微分同胚，所以 C∞(U) 同构

于 C∞(V )，而且 C∞(x) 同构于 C∞(φ(x)). 进一步，我们有 D(x) ≈ D(φ(x)) =

Tφ(x)Rm，所以 (φ−1)∗

(∂

∂ui

∣∣∣∣φ(x)

)

就可以看作 TxM 的一组基. 注意，我们这里将 U ⊂ M,V ⊂ Rm 看作是流形的

开子集，所以它们也是流形；而 φ 则是这两个流形之间的微分同胚.

对于光滑映射 f :M → N，它的局部表示是

F = ψ f φ−1.

那么，像我们前面做的那样，在两组基(φ−1)∗

(∂

∂ui

∣∣∣∣φ(x)

),

(ψ−1)∗

(∂

∂vj

∣∣∣∣ψ(f(x))

)

下 f∗ 的局部表示恰好是 Jacobi 矩阵 DF . 而 (g f)∗ = g∗ f∗ 就是链锁法则.

5.2 切丛 · 77 ·

5.2 切切切丛丛丛

定定定义义义 5.2.1 将光滑流形 M 的所有切空间 TxM 放在一起，这个集合叫做切

丛，记作

TM =∪x∈M

TxM.

我们要赋予 TM 一个光滑流形的结构.

对于一簇M 的坐标覆盖 (Uα, φα)，我们选择

TUαM =∪x∈Uα

TxMφα−→ φα(Uα)× Rm

为 TM 的坐标覆盖. 对于 X ∈ D(x)，

φα(X) =(φα(x), X(u1 − φ1

α(x)), . . . , X(um − φmα (x))).

对于这样的两个坐标系 (TUαM, φα), (TUβM, φβ)，它们之间的坐标变换是

φβ (φα)−1 =(φβ φ−1

α , D(φβ φ−1

α

)): φα(Uα ∩Uβ)×Rm → φβ(Uα ∩Uβ)×Rm.

注意：如果 φβ φ−1α 是光滑的，那么D

(φβ φ−1

α

)也是光滑的. 所以 (TUαM, φα),

(TUβM, φβ) 是相容的. 这不仅使 TM 成为一个局部 Euclid 空间的拓扑空间，而

且我们得到了一组坐标覆盖.

TM 满足Hausdorff公理比较简单，如果我们有两个切向量X1, X2 ∈ TM，它们分别属于不同点 x1, x2 的切空间 Tx1M,Tx2M，由于M 是 Hausdorff 的，

所有我们有M 的两个不相交开集 U1, U2 分离 x1, x2，这样 TU1M,TU2M 就是分

离 X1, X2 的两个不相交开集. 如果 X1, X2 在同一个点的切空间 TxM 中，那

么 TxM ⊂ TUMφ→ φ(U) × Rm，我们在 φ(U) × Rm 中可以找到两个不交开集

V1, V2 分离 φ(X1), φ(X2)，所以 φ−1(V1), φ−1(V2) 就是 TM 中分离 X1, X2 的两

个不相交开集.

现在我们来证明 TM 也有一组可数基，我们知道 M 有一组可数基

Vi，Rm 也有一组可数邻域基 Wj，我们希望用 Vi × Wj 来做 TM 的

可数邻域基. 问题是如果 Vi 不包含在某个 Uα 中的话，那么我们甚至不知道如

何定义 Vi ×Wj. 我们在 Vi 中剔除所有不包含在某一个 Uα 中的开集，我们来

证明余下的 Vi 仍然构成一组邻域基. 实际上，我们仅仅需要证明那些被剔除的

Vi 仍然可以写成余下的 Vi 的并就行了. 假定 Vi0 是某个被剔除的开集，那么

Uα ∩ Vi0 =∪

Vi⊂Uα∩Vi0

Vi.


右端并中的所有 Vi 都包含在 Uα，所以

Vi0 =∪α

(Uα ∩ Vi0) =∪α

∪Vi⊂Uα∩Vi0

Vi

.

这样就结束了证明. 我们将上面所做的写成一个定理.

定定定理理理 5.2.1 如果M 是一个光滑流形，那么切丛 TM 也是一个光滑流形.

我们假定以后除非特别说明以外，讨论的流形和映射都是光滑的，这会使

我们的说法简单一些.

如果我们有一个映射 f : M → N，将过去定义的 f∗ : TxM → Tf(x)N 放在

一起，我们有

f∗ : TM → TN.

在局部坐标系下 f 的局部表示是

ψβ f φ−1α : φα(Uα)× Rm → ψβ(Vβ)× Rn,

(u, a) 7→ (ψβ f φ−1α (u), D(ψβ f φ−1

α )u(a)).

这个 f∗ 也叫做切映射. 我们定义映射 π : TM → M，它将 x 点的切向量 Xx 送

到 x. 在局部，这就是一个投影，所以光滑. 而且如果 f : M → N 光滑，那么

下图交换：

TMf∗−−−→ TN

π

y yπM −−−→

fN

显然，我们有链锁法则

(g f)∗ = g∗ f∗ : TM → TN → TW,

而且，如果 f 是一个微分同胚，那么 f∗ : TM → TN 也是.

现在我们来重新叙述映射 f :M → N 是淹没或者浸入. 称 f 是一个淹没，

如果对于任意的 x，f∗ : TxM → Tf(x)N 是满同态；称 f 是一个浸入，如果对

任意 x，f∗ : TxM → Tf(x)N 是单同态.

我们来定义 π : TM → M，这个投影映射将 TxM 中的切向量映到 x. 在局

部坐标系下：

φα π φ−1α (u, a) = u.

我们来引入一个更加一般的概念：

5.2 切丛 · 79 ·

定定定义义义 5.2.2 流形 M 上的一个向量丛是 (E,M, π, F )，其中 E 也是一个流

形，π : E → M 是一个映射，F 是一个线性空间 (并且有一个标准拓扑)，

使得对任意 x ∈M，存在 x 的一个邻域 U，并且有局部平凡化：

π−1(U)φ−−−→ U × F

π

y yp1U U

不仅如此，在两个局部平凡化的重叠部分：

(U ∩ V )× F ψ←−−− π−1(U ∩ V )φ−−−→ (U ∩ V )× F

p1

y π

y yp1U ∩ V U ∩ V U ∩ V

我们的转换函数 φ ψ−1(x, v) = (x, gx(v)) 中的 gx 都是线性同构.

微分同胚 φ|π−1(x) : π−1(x)→ x×F 赋予 π−1(x)一个线性空间的结构，转

换函数的要求保证了这个线性空间的结构不依赖于局部平凡化的选择. 换句话

说：向量丛联系流形的每个点一个线性空间，在局部这些线性空间被“整齐”

地排列起来.

最简单的向量丛是 π = p1 : M × F → M，这样的向量丛也叫做平凡丛，它

有一个整体的平凡化. 切丛是向量丛的一个特殊例子，但一般说来切丛不一定

是平凡的.

定定定义义义 5.2.3 向量丛 π : E → M 的光滑截面是一个映射 s : M → E，使得

π s = id :M →M . 切丛的截面叫做切向量场.

如果我们有一个映射 f :M → F，那么这个映射的图像

s(x) = (x, f(x)) :M →M × F

是平凡丛的一个截面. 反过来讲，我们的条件 π s = id 的充分必要条件是

s(x) ∈ π−1(x)，对于平凡丛来讲，截面就是映射的图像.

一般情况中，在局部平凡化之下：

φα s φ−1α (u) = (u, a(u)).

也就是说局部看，它就是一个映射的图像，不过现在是一个整体的说法.


对于切向量场 X，它的局部表示就是

x 7→

(u,

m∑i=1

ai(u)∂

∂ui

).

这与我们过去所讲的 Euclid 空间上向量场的概念是一致的. X 是光滑的，也就

是说 ai(u) = X(ui) 是光滑的. 这样，我们就得到

定定定理理理 5.2.2 流形 M 上的切向量场 X 是光滑的充分必要条件是对任意 f ∈C∞(M)，Xf 也是光滑的.

有一点要注意的，如果 f : M → N 是光滑映射，X 是M 上的一个光滑切

向量场. 那么在 y0 = f(x0)，我们有切向量 f∗(Xx0) ∈ Ty0N . 但是，第一，如

果 f 不是满的，我们不能在每一点 y ∈ N 上有这样定义的切向量；第二，如果 f 不是单的，即存在 x1 = x2，使得 y0 = f(x1) = f(x2)，这个时候，f∗(Xx1)

并不见得等于 f∗(Xx2). 所以我们一般不能说 f∗X 是 N 上的切向量场, 除非

f :M → N 是一个微分同胚. 在这种情况下，我们有

(f∗X)y = f∗(Xf−1(y)) : N → TN.

显然 π (f∗X) = id，而验证 f∗X 的光滑性是直接的. 对于 g ∈ C∞(N)，我们有

(f∗X)g = X(f ∗(g))

是光滑的. 根据上面的定理，f∗X 是光滑的.

5.3 可可可积积积分分分布布布

关于上面的注，我们有一个概念：

定定定义义义 5.3.1 设 f : M → N 是光滑映射，X, X 分别是流形M 和 N 上的切向

量场, 我们称 X 与 X 是 f 相关的，如果对任意 x ∈M，f∗(X|x) = X|f(x).

接下来我们考虑流形上的常微分方程. 假定X 是流形上的一个切向量场, 我

们定义方程df(t)

dt= X(f(t)), f(0) = x0

的解是一个映射 f : (a, b) → M, (a < 0 < b)，使得 f(0) = x0，而且对任意的

t0 ∈ (a, b)，f∗(∂/∂t|t0) = Xf(t0).

5.3 可积分布 · 81 ·

在 x0 的局部坐标系 (U,φ) 下，采用局部表示 u(t) = φ f(t)，我们的方程成为

u(t) = a(u(t)), u(0) = φ(x0).

根据常微分方程解的存在性定理，我们有

定定定理理理 5.3.1 对于流形M 上常微分方程

df(t)

dt= X(f(t))

存在 ϵ > 0 和 x0 的一个邻域 U，使得对于任意初值 f(0) = x′ ∈ U，上述的方程在区间 (−ϵ, ϵ) 上都有解 fx′(t).

映射

ΦX(x, t) = fx(t) : U × (−ϵ, ϵ)→M

叫做流形M 上的一个局部流. 这是因为

ΦX(ΦX(x, t), s) = ΦX(x, t+ s).

根据微分方程解依赖于初值得可微性，Φ 是一个光滑映射.

如果 Xx0 = 0，那么满足初值 f(0) = x0 的解 fx0(t) : (−ϵ, ϵ)→ M 是一个浸

入子流形. 我们可以在 x0 附近重新选择坐标系，使得 f 在新的坐标系下的局部

表示是

φ fx0(t) = (t, 0, . . . , 0).

定义新的映射

ψ(t, u2, . . . , um) = φ ΦX(φ−1(0, u2, . . . , um), t) = φ fφ−1(0,u2,...,um)(t).

它在原点的 Jacobi 矩阵

Dψ(0) = I.

所以 ψ 是一个局部微分同胚，这样 φ′ = ψ−1 φ 可以作为 x0 附近的一个新的

坐标系，而且在新的坐标系下，fφ−1(0,u2,...,um)(t) 的局部表示成为

ψ−1 φ fφ−1(0,u2,...,um)(t) = (t, u2, . . . , um).

在这个坐标系 (U ′, φ′) 下，X 的局部表示就可以简单地表示成：

(φ′)−1∗

(∂

∂u1

).


定定定理理理 5.3.2 X 是流形M 上的一个切向量场, 如果 Xx0 = 0，那么在 x0 附近，

我们可以选择一个局部坐标系 (U,φ)，在这个坐标系下

X = (φ−1)∗

(∂

∂u1

).

X = 0 的点叫做 X 的奇点. 上面定理讲，在奇点以外，X 的局部表示非常

简单. 而 X 生成的局部流在这组坐标系下就可以表示成

φ Φ (φ× id)−1(u1, u2, . . . , um, t) = (u1 + t, u2, . . . , um).

接下来我们希望推广这个定理到更加多的向量场的情形. 如果 X1, . . . , Xk

是 k 个向量场, 如果它们在 x0 点线性无关 (注意：这个条件是 X = 0 的一个自

然推广). 我们的问题是在 x0 点能不能找到一个局部坐标系 (U,φ)，使得

Xi = (φ−1)∗

(∂

∂ui

).

为了研究这个问题，我们需要引入一个新的概念：如果 X, Y 是M 上的两

个切向量场, f ∈ C∞(M) 是一个光滑函数，那么 Xf, Y f 都是光滑的. 进一步

我们可以定义

[X, Y ]f = X(Y f)− Y (Xf).

我们想说明 [X, Y ] 仍然是一个向量场, 也就是说，对于 x0 ∈ M，我们要证明[X, Y ]x0 ∈ D(x0). [X, Y ]的线性性质是显然的，我们要验证的仅仅是 Leibniz法

则.

[X,Y ]x0(fg) = Xx0(Y (fg))− Yx0(X(fg))

= Xx0(gY f + fY g)− Yx0(gXf + fXg)

= g(x0)Xx0(Y f) +Xx0gYx0f + f(x0)Xx0(Y g) +Xx0fYx0g

− g(x0)Yx0(Xf)− Yx0gXx0f − f(x0)Yx0(Xg)− Yx0fXx0g

= g(x0)(Xx0(Y f)− Yx0(Xf)) + f(x0)(Xx0(Y g)− Yx0(Xg))= g(x0)[X, Y ]x0f + f(x0)[X, Y ]x0g.

我们称 [X, Y ] 为 X,Y 的 Poisson 括号，它表示两个切向量距离可交换的差别.

我们考虑开集 U ⊂ Rm 上的切向量场 ∂/∂ui, ∂/∂uj，那么[∂

∂ui,∂

∂uj

]f =

∂

∂ui

(∂f

∂uj

)− ∂

∂uj

(∂f

∂ui

)=

∂2f

∂ui∂uj− ∂2f

∂uj∂ui= 0,

这是因为求偏导数的次序可以交换.

5.3 可积分布 · 83 ·

Poisson 括号运算满足如下的性质：如果 X,Y, Z 是三个向量场, 那么

1) [X,Y ] = −[Y,X]；

2) [X,λY + µZ] = λ[X,Y ] + µ[X,Z]；

3) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0，这叫做 Jacobi 恒等式.

根据 1) 和2)，我们有

1’) [X,X] = 0；

2’) [·, ·] 是双线性的.

实际上，1’) 和 2’) 也可以推出 1) 和 2). 它们蕴含 2) 是显然的. 对于 1)，我们

有

0 = [X + Y,X + Y ] = [X,X] + [X,Y ] + [Y,X] + [Y, Y ].

进一步，我们还有

4) [fX, gY ] = f(Xg)Y − g(Y f)X + fg[X,Y ].

这实际上是一个直接计算：

[fX, gY ]h = fX(gY h)− gY (fXh)

= fgXY h+ f(Xg)Y h− fgY Xh− g(Y f)Xh= f(Xg)Y h− g(Y f)Xh+ fg[X,Y ]h.

这个性质也告诉我们 [X, Y ]x0 不仅仅依赖于 Xx0 , Yx0，也依赖于它们在 x0 附近

的值.

最后，如果 f : M → N 是光滑映射，Xi, Xi(i = 1, 2) 分别是 f 相关的，那

么我们还有

5) f∗([X1, X2]) = [X1, X2]，这说明 [X1, X2] 与 [X1, X2] 也是 f 相关的.

对于任意的 g ∈ C∞(M)，我们有

f∗[X1, X2]g = [X1, X2](g f) = X1X2(g f)−X2X1(g f)= X1((X2g) f)−X2((X1g) f) = (X1X2g) f − (X2X1g) f= ((X1X2 − X2X1)g) f = ([X1, X2]g) f.

特别地，如果 f :M → N 是一个微分同胚，那么 f∗([X,Y ]) = [f∗X, f∗Y ].

这样一来，如果存在 x0 附近的一个坐标系，使得 k 个线性无关的切向量场

X1, . . . , Xk 等于

Xi = (φ−1)∗

(∂

∂ui

)


的话，我们就应当有

[Xi, Xj] =

[(φ−1)∗

(∂

∂ui

), (φ−1)∗

(∂

∂uj

)]= (φ−1)∗

([∂

∂ui,∂

∂uj

])= 0.

这是存在这样的坐标系的必要条件. 反过来，我们有

定定定理理理 5.3.3 如果 X1, . . . , Xk 是流形 M 上的 k 个向量场, 它们在 x0 点线性无

关，而且对于任意的 1 6 i, j 6 k, [Xi, Xj] = 0，那么存在 x0 点附近的一个局部

坐标系 (U,φ)，使得

Xi = (φ−1)∗

(∂

∂ui

).

证明：这是一个局部的定理，我们不妨就在 Rm 的一个开集上证明就行了.

我们先来考虑两个向量场的情形：

X1 =∂

∂u1, X2 =

n∑i=1

ai(u)∂

∂ui.

这两个向量场生成了两个局部流：

Φ1(u1, . . . , um, t) = (u1, . . . , um) + (t, 0, . . . , 0), Φ2(u, s),

而dΦ2(u, s)

ds= X2(Φ2(u, s)).

根据我们的假定

0 = [X1, X2] =

[∂

∂u1,

m∑i=1

ai∂

∂ui

]=

m∑i=1

∂ai

∂u1∂

∂ui.

所以，对任意 i,∂ai

∂u1= 0.

在这个情况下

dΦ1(Φ2(u, s), t)

ds= X2(Φ1(Φ2(u, s), t)),

而 Φ1(Φ2(u, 0), t) = Φ1(u, t) = Φ2(Φ1(u, t), 0). 常微分方程解的唯一性说明

Φ1(Φ2(u, s), t) = Φ2(Φ1(u, t), s),

即这两个局部流是交换的.

5.3 可积分布 · 85 ·

对于 k 个无关的向量场的情形，我们有 k 个局部流 Φi(u, ti). 根据我们的假

定，这 k 个局部流两两可交换. 定义：

Θ′(t1, . . . , tk) = Φ1(Φ2(· · ·Φk(0, tk) · · · , t2), t1) : Rk → U.

这是一个局部浸入，因为

(Θ′)∗

(∂

∂ti

∣∣∣∣0

)= Xi.

所以我们有新的局部坐标 (t1, . . . , tm)，使得

Θ′(t1, . . . , tk) = (t1, . . . , tk, 0, . . . , 0)

这样

Θ(t1, . . . , tk, tk+1, tm) = Φ1(Φ2(· · ·Φk((0, . . . , tk+1, . . . , tm), tk) · · · , t2), t1)

在原点附近是一个局部微分同胚，而在这个新的坐标系下，Xi就有最简单的表

示

Xi = Θ∗(∂

∂ti).

我们就完成了定理的证明. 2

如果 X1, . . . , Xk 是 k 个线性无关的向量场, 那么它们在每一点生成一个 k

维子空间

Lk(X1, . . . , Xk) = spanX1, . . . , Xk

这叫做一个分布. 如果我们有一局部坐标系 (U,φ)，使得

Lk(X1, . . . , Xk) = Lk

((φ−1)∗

(∂

∂u1

), . . . , (φ−1)∗

(∂

∂uk

)),

那么这个分布被称为可积的.

如果一个分布是可积的，那么对于 i, j 6 k，我们有

[Xi, Xj] =

[k∑l=1

al∂

∂ul,

k∑s=1

bs∂

∂us

]

=k∑s=1

k∑l=1

(al∂bs

∂ul− bl∂a

s

∂ul

)∂

∂us≡ 0 mod X1, . . . , Xk.

也就是说，这些向量场的 Poisson 括号还是落在这个分布之中. 这个条件也叫

做 Frobenius 条件. 而如下的 Frobenius 定理说：


定定定理理理 5.3.4 流形M 上的一个分布是局部可积的充分必要条件是它满足 Frobe-

nius 条件.

证明：我们取一个局部坐标系，令

Ej =∂

∂uj, 1 6 j 6 m,

将 Xi 写成 Ej 的线性组合：

Xi =m∑j=1

ajiEj, 1 6 i 6 k,

不妨假定 k × k 矩阵 A = [aji ]16j6k 是非退化的，而且记 A−1 = [bji ].

进一步，我们令

Yi =k∑j=1

bjiXj =k∑j=1

bji

(m∑l=1

aljEl

)= Ei +

m∑l=k+1

αliEl,

显然，它们确定了同一个分布，即 Lk(X1, . . . , Xk) = Lk(Y1, . . . , Yk). 而它们同

样满足 Frobenius 条件. 即

[Yi, Yj] =k∑l=1

clijYl =k∑l=1

clij

(El +

m∑s=k+1

αslEs

).

另一方面，我们有

[Yi, Yj] =

[Ei +

m∑l=k+1

αliEl, Ej +m∑

s=k+1

αsjEs

]=

m∑l=k+1

βlijEl.

这两个式子要相等，必须要求所有的 clij = 0. 这就证明了 [Yi, Yj] = 0.

根据前面的定理 5.3.3，我们就有局部坐标，使得

Lk(Y1, . . . , Yk) = Lk

((φ−1)∗

(∂

∂u1

), . . . , (φ−1)∗

(∂

∂uk

)).

我们就完成了证明. 2

最后，我们说两句余切丛.

定定定义义义 5.3.2 将流形M 上所有的余切空间 T ∗xM 放在一起，这个集合叫做余切

丛，记作

T ∗M =∪x∈M

T ∗xM.

5.3 可积分布 · 87 ·

我们要赋予 T ∗M 一个流形的结构.

对于一簇M 的坐标覆盖 (Uα, φα)，我们选择

T ∗UαM =

∪x∈Uα

T ∗xM

φα−→ φα(Uα)× Rm

为 T ∗M 的坐标覆盖. 对于 ω ∈ T ∗xM，

φα(ω) =

(φα(x),

⟨∂

∂ui, (φ−1)∗(ω)

⟩).

对于这样的两个坐标系 (T ∗UαM, φα), (T

∗UβM, φβ)，它们之间的坐标变换是

φβ (φα)−1 =(φβ φ−1

α , D(φα φ−1

β

)): φα(Uα ∩Uβ)×Rm → φβ(Uα ∩Uβ)×Rm.

注意：与切丛比较的话，我们这里所写的 D(φα φ−1

β

)是切丛对应映射矩阵的

逆 (加转置). 这样，我们的余切丛 T ∗M 也成为一个流形.

如果 f : M → N 是映射，那么我们仅有 f ∗ : T ∗f(x)N → T ∗

xM，它们并不能

拼起来成为一个光滑映射. 但是对于一个 N 上的余切向量场 ω : N → T ∗N

x 7→ f∗(ωf(x))

也是M 上的一个余切向量场, 在局部坐标系下，很容易检查它的光滑性. 在局

部如果我们有

f(u) = (f1(u), . . . , fn(u)), dg =n∑i=1

∂g

∂vidvi,

那么

f∗(dg) =n∑i=1

∂g

∂vi(f(u))f ∗(dvi) =

n∑i=1

∂g

∂vi(f(u))

m∑j=1

∂f i(u)

∂ujduj

=m∑j=1

∂(g f)∂uj

duj = d(f ∗g),

这恰好是一阶微分的不变性.

习题

1. 假定M ⊂ N 是一个子流形, 那么对于任意 x ∈ M , 利用局部坐标系，我们

可以自然地将 TxM 看作是 TxN 的一个子空间. 在这样的看法下，试证明 TM

可以看作是 TN 的一个子流形.


2. 如果 f : M → N 是一个微分同胚，那么对于任意M 上的向量场 X，存在

唯一一个 N 上的向量场 Y，使得 X 与 Y 是 f 相关的.

3. 设 f 是平面上的一个光滑函数，f 的梯度是一个向量场

gradf =∂f

∂u1∂

∂u1+∂f

∂u2∂

∂u2.

对函数 f(u1, u2) = (u1)2 + (u2)2 和 f(u1, u2) = (u1)2 − (u2)2 的情形，分别画出

f 的梯度场.

4. 设

X1 = −x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2+ x4

∂

∂x3− x3 ∂

∂x4,

X2 = −x3∂

∂x1− x4 ∂

∂x2+ x1

∂

∂x3+ x2

∂

∂x4,

X3 = −x4∂

∂x1+ x3

∂

∂x2− x2 ∂

∂x3+ x1

∂

∂x4

是三维球面 S3 = (x1, x2, x3, x4)|∑4

i=1(xi)2 = 1 上的三个向量场, 试证明

X1, X2, X3 是 TxS3 的一组标准正交基.

5. 试找出 S2n−1 上的一个非零切向量场.

6. 流形M 上的一个向量场 X 被称为是完备的，如果对于任意 x0 ∈M，过 x0点 X 的积分曲线在整个 R 上存在. 证明平面单位圆盘上的向量场

X = −u2 ∂

∂u1+ u1

∂

∂u2

是一个完备的向量场, 并计算 X 生成的流.

7. 设 R 在 R2 上的作用（流） θ(t, x, y) 定义为

θ(t, x, y) = (xe2t, ye−3t),

试求它的诱导切向量场 X.

8. 如果M 是一个闭流形，证明它上面的任意光滑向量场是完备的.

9. 设

X = u1∂

∂u1+ u2

∂

∂u2, Y = u1

∂

∂u1− u2 ∂

∂u2.

计算 [X,Y ].

第第第六六六章章章线线线性性性 Lie 群群群和和和线线线性性性 Lie 代代代数数数

Lie 群是特殊的微分流形，它不但有微分结构，还有代数结构使之成为一个

群，它有着广泛的应用. 本章我们将讨论的一般线性群 GL(n,R) 简单地记作GLn. 我们主要研究的是一般线性群 GLn 的嵌入闭子群 G ⊂ GLn，这样的 Lie

群也叫线性 Lie 群，我们也研究它们的 Lie 代数，讨论 Lie 群和它的 Lie代数之

间的关系，特别是局部 Lie 群的结构.

6.1 线线线性性性 Lie 群群群和和和 Lie 代代代数数数的的的基基基本本本性性性质质质

我们先复习 Lie群的概念(定义 4.3.2).

如果一个群 G是一个光滑流形，而且它的群运算

(g, h) 7→ gh : G×G→ G, g 7→ g−1 : G→ G

都是光滑的, 则称 G为一个 Lie 群.

在 Lie 群 G 上，对于 g ∈ G，我们定义 G 上的左平移和右平移：

Lg(h) = gh, Rg(h) = hg : G→ G.

根据 Lie 群的定义，它们都是光滑的. 显然 Lg Lh = Lgh, Rg Rh = Rhg, L−1g =

Lg−1 , R−1g = Rg−1 . 所以 Lg, Rg 都是微分同胚.

利用左平移，我们可以证明：

定定定理理理 6.1.1 G ⊂ GLn 是一个闭子流形，当且仅当存在一个单位元 I 的局部坐

标系 (U,φ)，使得 U ∩G = φ−1(Rk × 0).

证明: 显然，这个条件是必要的，我们仅仅检查充分性.

如果存在一个 I 的局部坐标系 (U,φ)，使得 U ∩ G = φ−1(Rk × 0)，那么对于任意的 g ∈ G，(Lg(U), φ Lg−1) 就是 g 附近的一个坐标系，而且(

φ Lg−1

)−1(Rk × 0) = Lg

(φ−1(Rn × 0)

)= Lg(U ∩G) = LgU ∩ LgG.

89

· 90 · 第 6章线性 Lie 群和线性 Lie 代数

余下需要证明的是 G 是闭的. 如果我们有一个序列 gi ∈ G，gi → g∞ ∈GLn，那么 g∞ ∈ G.为了证明这一点，我们首先在 I 附近找另外一个邻域 V 使得，对于 g, h ∈

V，我们有 gh−1 ∈ U，这是因为

(g, h) 7→ gh−1 : GLn ×GLn → GLn

是连续的. 根据假定，g−1i g∞ → I，我们有 i0，如果 i > i0 足够大，那么

g−1i g∞ ∈ V ⊂ U，不仅如此，我们还有

g−1i0gi = g−1

i0g∞(g−1

i g∞)−1 ∈ U.

在 U 中看，G 中的序列 g−1i0gi 收敛到 g−1

i0g∞ ∈ G. 所以 g∞ ∈ G. 这就完成

了我们的证明. 2

定定定义义义 6.1.1 Lie 群 G 上的一个向量场 X 被称为是左不变的或者是右不变的，

如果对任意的 g ∈ G，(Lg)∗X = X Lg 或者 (Rg)∗X = X Rg.

接下来我们主要讨论左不变向量场, 关于右不变向量场的讨论是平行的. 显

然，所有左不变向量场组成的空间 g 是一个线性空间. 假定 X, Y ∈ g 是两个左

不变向量场, 那么

(Lg)∗[X, Y ] = [(Lg)∗X, (Lg)∗Y ] = [X Lg, Y Lg] = [X,Y ] Lg

也是左不变的. Poisson 括号在 g 上的限制叫做 Lie 括号，而 g 和这个 Lie 括号

一起叫做 G 的 Lie 代数. 抽象地讲：

定定定义义义 6.1.2 线性空间 V 和它上面的一个满足如下性质的二元运算

[·, ·] : V × V → V

一起被称做一个 Lie 代数.

1) [u, v] = −[v, u]；2) [u, λv + µw] = λ[u, v] + µ[u.w]；

3) [[u, v], w]] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0.

Lie 代数是一个非结合代数的例子.

如果 X ∈ g，那么

X(g) = (Lg)∗(X(I)).

6.1 线性 Lie 群和 Lie 代数的基本性质 · 91 ·

换句话说：X 由它在单位元 I 上的值 X(I) 完全确定，或者说 g = TIG，以后

对这两个空间我们将不加以区分.

利用这种一一对应，我们在 TIG 中取一组基 A1, . . . , Ak. 那么由它们生成的

k 个左不变向量场 X1, . . . , Xk 是处处线性无关的. 对于任意 g ∈ G 上的切向量X，有唯一的方式将它写成 Xi 的线性组合：

X =∑i

aiXXi

这样我们就得到了 TG 的一个平凡化 (整体的平凡化)：

X 7→ (π(X), a1, . . . , ak) : TG→ G× Rk.

我们来看最简单、也是最重要的例子—一般线性群. 一般线性群 GLn 是

Mn×n(R) ≈ Rn2中的开集，所以它的切丛是

T (GLn) = GLn ×Mn×n(R).

而

(Lg)∗(h,A) = (gh, gA), (Rg)∗(h,A) = (hg,Ag).

对于 A ∈ TIGLn =Mn×n(R)，它所确定的左不变向量场就是

X(g) = gA : GLn →Mn×n(R).

现在我们假定 X, Y ∈ gln，X(I) = A, Y (I) = B，也就是说

X =n∑

i,j=1

(n∑k=1

uikakj

)∂

∂uij, Y =

n∑i,j=1

(n∑k=1

uikbkj

)∂

∂uij.

我们来计算 [X,Y ]：

[X, Y ] =∑i,j

(n∑k=1

(X(uikb

kj )− Y (uika

kj ))) ∂

∂uij

=n∑

i,j=1

uik

(n∑k=1

(akl blj − bkl alj)

)∂

∂uij.

这样 [X, Y ](I) = AB−BA. 在 TIGLn =Mn×n(R)上 Lie括号有十分简单表示：

[A,B] = AB −BA.

对于一般的代数 F 来讲，[a, b] = ab− ba 就定义了一个 Lie 代数，Lie 括号

度量了这个代数与交换代数的差距. 我们上面讲的实际上是由矩阵代数诱导的


Lie 代数结构. 这个结构与由左不变向量场的 Poisson 括号定义的 Lie 代数结构

一致.

如果我们在 g 中选择一组基 X1, . . . , Xk，根据前面的讨论，我们有

[Xi, Xj] =∑k

ckijXk.

这组常数 ckij 叫做 Lie 群 G 或者更准确地应当叫 Lie 代数 g 的结构常数. 由于反

交换律和 Jacobi 恒等式，这些常数应当满足：

1) ckij = −ckji；

2)∑s

(csijc

lsk + csjkc

lsi + cskic

lsj

)= 0.

这两个等式的推导是直接的，读者可以自行完成. 满足这两组等式的结构常数

完全确定了 Lie 代数 g 中的 Lie 括号.

对于线性 Lie 子群 G，TIG 看作 TIGLn =Mn×n(R) 的子空间，任取 A,B ∈TIG，它们分别在 G 和 GLn 生成左不变向量场 X, X, Y, Y，由于 X, Y 限制在

G 上就是 X,Y，所以 X, Y 分别与 X, Y 是相关的，这样 [X, Y ] 限制在 G 上就

是 [X,Y ]. 这也告诉我们 TIG上 Lie括号还是 [A,B] = AB−BA. 也就是说 TIG

上用左不变向量场定义的 Lie 括号和用矩阵代数定义的 Lie 括号运算也是一致

的. 它构成 gln 的一个子代数.

如果G 是一个 Lie 群，设G0 是G 的包含单位元 I 的道路连通分量 (流形上

的道路连通分量等于连通分量).

定定定理理理 6.1.2 G0 ⊂ G 是一个正规子群.

证明: 如果 g(t) 是一条连接 g(0) = I 与 g(1) = g 的道路，那么 hg(t)h−1 就是一

条连接 I 与 hgh−1 的道路. 这就证明了 hG0h−1 ⊂ G0. 2

进一步我们可以看出，G0 的每一个陪集都是一个道路连通分量，都微分

同胚于 G0，所以 G/G0 是一个离散群. 研究 Lie 群的目的是利用可微性，我们

不会感兴趣那些离散的部分. 虽然我们不假定以后研究的都是连通 Lie 群，但

是我们感兴趣仅仅是 G0. 注意的是 GLn 事实上就是不连通的，GL0n = A ∈

GLn; detA > 0.在 TIG 中选择一组基 A1, · · · , Ak，我们定义 GLn 上的不变向量场 X1, · · · ,

Xk，由于

[Xi, Xj] ≡ 0, mod X1, · · · , Xk,

也就是说，分布 Lk(X1, . . . , Xk) 满足 Frobenius 条件，这时 G0 就是 Lk 的包含

I 的最大连通积分子流形.

6.1 线性 Lie 群和 Lie 代数的基本性质 · 93 ·

设 U 是 Lie 群中单位元 I 的一个连通邻域，通常我们还假定 U−1 = g ∈G| g−1 ∈ U. 这不难做到，由于 g → g−1 : G → G 是一个微分同胚，所以 U−1

也是开集，这样 V = U ∪ U−1 就满足我们要求的条件.

定定定理理理 6.1.3 对于 Lie 群来讲，我们有

G0 = g = g1g2 · · · gs| gi ∈ U =∞∪i=1

U i.

证明: 设

W = g = g1g2 · · · , gs| gi ∈ U.

显然 I ∈ W，而且 W 是一个开集. 这是因为，如果 g ∈ W，那么 gU ∈ W .

另外，我们来证明 G − W 也是开的. 如果 g ∈ G − W，我们来证明 gU ⊂G − W . 不然 gU ∩ W 非空，存在 h = g1g2 · · · gs = ggs+1 ∈ gU ∩ W，那么g = g1 · · · gsg−1

s+1 ∈ W . 这是一个的矛盾. 所以等式成立. 2

这个定理说明单位元的一个邻域 U 是 G0 的生成集. 而我们的线性 Lie 群又

是嵌入在 GLn 中的，搞清楚上面的乘法实际上等于说我们搞清楚了 G0. 这导

致了如下的抽象定义：

定定定义义义 6.1.3 假定 U 是一个微分同胚于 Rm 中一个开集的微分流形，e ∈ U 是一个固定的点，而 V ⊂ U 是 e 的一个邻域. 我们有

1) 一个光滑映射：

(x, y) 7→ xy : V × V → U,

使得 xe = x = ex，这个映射被称为局部乘法，而 e 也叫做单位元；和

2) 一个光滑的局部逆映射

x 7→ x−1 : V → V,

使得 xx−1 = e = x−1x.

我们还要求局部的结合率：

3) 如果 xy, yz ∈ V，那么 (xy)z = x(yz).

这样的 (U, V, e) 被称为一个局部 Lie 群.

与 Lie 群的定义比较，我们的乘法和逆仅仅是局部定义的. 不难看出，逆的

唯一性，消去律在局部 Lie 群上也成立. 我们前面的讨论说明，任意 Lie 群 G

的单位元所在的连通分量 G0 由它的局部 Lie 群所决定.


对于局部 Lie 群来讲，我们也可以定义局部同态，局部左 (右) 平移，局部

左不变向量场等等. 有意思的是，在一个 Lie 群的局部 Lie 群上的局部左平移

是整体的左平移的一个限制，所以局部左不变向量场也是一个整体左不变向量

场的限制，所以它们确定单位元切空间上的同样的 Lie 代数.

6.2 Lie 代代代数数数与与与单单单参参参数数数子子子群群群

定定定义义义 6.2.1 我们定义矩阵的指数映射如下

exp(A) =∞∑k=0

Ak

k!.

矩阵 A 的模定义为

∥A∥ = max∥x∥=1

∥Ax∥.

那么∥∥Ak

k!

∥∥ 6 ∥A∥kk!

. 这样一来，由于级数

∞∑k=0

∥A∥k

k!= e∥A∥

是收敛的，所以这个指数函数对任意 A 是收敛的. 如果 A,B 是可交换的话，

那么级数的运算可以像数一样进行. 我们就有 exp(A) exp(B) = exp(A+ B). 这

也说明 exp(A) 是可逆矩阵，它的逆是 exp(−A).根据这个级数展开，我们有

exp(A)− exp(0) = A+ o(∥A∥),

所以 exp 在 0 点的 Jacobi 是恒同. 这蕴含它是一个到 I ∈ GLn 附近的局部同胚，事实上，它的逆映射也可以用矩阵对数函数写出来：

log(A) =∞∑k=1

(−1)k−1(A− I)k

k.

这个函数的收敛半径则是 ∥A− I∥ < 1.

如果我们有一个左不变向量场 X,X(I) = A，我们定义

φX(t) = exp(tA) : R→ GLn.

那么

1) φX(0) = I；

6.2 Lie 代数与单参数子群 · 95 ·

2) φX(t)φX(s) = φX(t+ s).

所以 φX : R→ GLn 是一个群的同态. 这也叫做 GLn 的单参数子群. 另一方面

φX(t) = lim∆t→0

φX(t+∆t)− φX(t)∆t

= φX(t) lim∆t→0

φX(∆t)− I

∆t= φX(t)A,

所以 φX(t) 是向量场 X 过单位元 I 的一条积分曲线.

而 X 生成的流为：

ΦX(g, t) = g exp(tA).

这个时候，我们不再称它为局部流了，因为每一条积分曲线在 R 上都有定义.

对于线性 Lie 子群 G ⊂ GLn，我们可以在 GLn 的单位元 I 附近选择一个局

部坐标 (U,φ)，使得 U ∩ G = φ−1(Rk × 0). 对于 A ∈ TIG，A 所确定的左不变向量场与 G 相切，所以它所确定的单参数子群 φX(t) ∈ G，它也被叫做 G 的

单参数子群.

这也说明 exp |g : g→ G 也是一个局部微分同胚，G 确定的局部 Lie 群也确

定了 g 原点的一个邻域上的局部 Lie 群，只不过现在局部乘法的定义应当是

(A,B) 7→ Z = log(exp(A) exp(B)),

局部逆是简单的 A 7→ −A.回到单参数子群的讨论，我们有如下的定理：

定定定理理理 6.2.1 线性 Lie 群 G 中的单参数子群由它在单位元 I 处的切向量确定，

所以 G 中单参数子群一一对应于 Lie 代数 g 中的向量.

作为这个单参数子群定理的一个应用，我们来证明

定定定理理理 6.2.2 f : G→ H 是一个光滑同态，那么如下的图是交换的：

g −−−→f∗

h

exp

y yexp

Gf−−−→ H

证明：对于任意的 A ∈ g，exp(tA) 定义了 G 中的一个单参数子群，而

f(exp(tA)) 是 H 中的一个单参数子群，而这个单参数子群由它在单位元处

的切向量确定：d

dt

∣∣∣∣t=0

f(exp(tA)) = f∗(A),


即

f(exp(tA)) = exp(tf∗(A)).

定理所说的是 t = 1 的情形. 2

不仅如此，对于 A ∈ g, f∗A ∈ h，我们可以用它们在 G 和 H 上分别生成两

个左不变向量场 X, X. 显然，它们是 f 相关的. 所以，我们还有：

定定定理理理 6.2.3 如果 f : G → H 是一个光滑同态，那么 f∗ : g → h 是一个 Lie 代

数的同态，即它是线性的，而且

f∗[A,B] = [f∗A, f∗B].

根据单参数子群与 Lie 代数中向量的一一对应，我们可以计算 O(n) 和

SL(n,R) 的 Lie 代数.

如果 A ∈ o(n)，那么 exp(tA) ∈ O(n). 根据正交群的定义

exp(tA) exp(tAT) = I.

在 t = 0 点对 t 微分，我们得到

A+ AT = I,

所以 o(n) = ASym(n,R) 是所有反对称矩阵组成的子空间.

对于 A ∈ sl(n,R)，我们要计算 det exp(tA). 对于 A，我们有非退化矩阵

Q，使得

A = Q

λ1 ∗ · · · ∗0 λ2 · · · ∗...

.... . .

...

0 0 · · · λn

Q−1.

进一步

exp(tA) = Q

eλ1 ∗ · · · ∗0 eλ2 · · · ∗...

.... . .

...

0 0 · · · eλn

Q−1.

最后，我们有

det exp(tA) = exp(t(λ1 + · · ·+ λn)

)= exp(ttrA).

6.2 Lie 代数与单参数子群 · 97 ·

所以 sl(n,R) = A| trA = 0.看一个很有用的例子 sl(2,R)：取它的一组基

H =

[1 0

0 −1

], a† =

[0 1

0 0

], a =

[0 0

1 0

].

那么 [a†, a] = H, [H, a†] = 2a†, [H, a] = −2a.从一个线性 Lie 群 G ⊂ GLn 出发，我们有一个 Lie 代数 g ⊂ gln. 如果我们

反过来，希望能够从 Lie 代数出发得到 Lie 群的话，我们有几个困难需要克服.

如果我们有一个 gln 的 Lie 子代数 g 出发，无论用左平移 (Lg)∗ 生成的一个可

积的分布，或者利用指数映射 exp，我们可以构造一个局部 Lie 群 U ⊂ GLn，

这个局部 Lie 群上的局部乘法和局部逆可以由矩阵乘法和逆来定义. 如果这个

局部 Lie 群的确是由某个 Lie 群 G 确定的话，我们就知道了 G0.

这个想法所遇到的第一个问题是：是否所有的 Lie 代数都是 gln 的子代数？

这个问题的答案是肯定的，它叫做 Ado 定理. 这个定理的证明相当复杂. 这个

证明也离开了主题，所以我们就不在这里证明它了. 我们这里证明一个简单的

情形来使大家相信这个定理差不多是正确的.

定定定理理理 6.2.4 设 g 是一个抽象 Lie 代数，如果它的中心

Z(g) = A ∈ g; ∀B ∈ g, [A,B] = 0

是平凡的，那么 g 同构于某个 gln 的子代数.

证明：我们定义

A 7→ φA(·) = [A, ·] : g→ Hom(g).

由 Jacobi 恒等式，我们有

φ[A,B](Z) = [[A,B], Z] = −[[B,Z], A]− [[Z,A], B]

= [A,φB(Z)]− [B,φA(Z)] = (φAφB − φBφA)Z = [φA, φB]Z,

所以 φ 是一个 Lie 代数的同态. φ 的核恰好是中心 Z(g). 根据我们的假定，这

是一个单同态，所以 g 同构于 glk2 的一个子代数. 2

注意 Hom(g) 是线性空间 g 到自身的全体自同态组成的线性空间. 如果 g 是

一个 k 维线性空间的话，Hom(g) = glk2 的维数是 k2.

第二的问题是：同一个 Lie 代数或许可以以不同的方式放入 gln，这样构造

出来的单位元附近的乘法相同吗？接下来我们就准备回答这个问题.


对于线性 Lie 群中的一个元素 g ∈ G，映射

Rg−1 Lg(h) = ghg−1 : G→ G

是一个群同态，而且还是一个微分同胚. 这样它就诱导一个 g = TIG 的自同

构：

Ad(g) = (Rg−1)∗ (Lg)∗ : G→ GL(g),

这个映射叫做 G 的伴随表示. 这也是一个群同态. 这里的 GL(g) 是 g 上的所有

线性同构.

我们记

ad = Ad∗ : g→ Hom(g).

我们来计算 ad，对于单参数子群 g(t) = exp(tA)，它的切向量 A ∈ g，那么

Adg(t)(X) = exp(tA)X exp(−tA) : g→ g

就是一个 GL(g) 上的一个单参数子群，它在原点的切向量是

adA(X) =d

dt

∣∣∣∣t=0

exp(tA)X exp(−tA) = AX −XA = [A,X].

根据前面所讲的 Lie 代数与单参数子群的关系，我们就得到

Adexp(tA)(X) = exp(tadA)(X).

6.3 Baker-Campbell-Hausdorff 定定定理理理

有了这些准备之后，我们来证明所谓的 Baker-Campbell-Hausdorff 定理，

对于单位元附近的两个元素 exp(A), exp(B)，我们希望求得一个 Z，使得

exp(Z) = exp(A) exp(B),

也就是说，我们要给出 Lie 代数上局部 Lie 群结构中的乘法公式

Z = log(exp(A) exp(B)

)的表达式.

当 A,B 可交换的时候，Z = A+B. 一般情况下，我们有

6.3 Baker-Campbell-Hausdorff 定理 · 99 ·

定定定理理理 6.3.1 (Baker-Campbell-Hausdorff 公式)：如果令

g(z) =z log z

z − 1= 1−

∞∑k=1

(1− z)k

k(k + 1),

那么

Z = A+

∫ 1

0

g(exp(adA) exp(tadB)

)dtB.

注意：当 |z − 1| < 1 时，g(z) 收敛. 所以，只要 A,B 足够小, 我们有∥∥ exp(adA) exp(tadB)− I∥∥ < 1,

所以 g(exp(adA) exp(tadB)

)是有意义的.

证明: 如果定义

Z(t) = log(exp(A) exp(tB)

),

我们要计算的是 Z(1). 由定义 exp(Z(t)) = exp(A) exp(tB)，所以

exp(−Z(t)) ddt

exp(Z(t)) = (exp(A) exp(tB))−1 exp(A) exp(tB)B = B.

这里需要一个对 exp(Z(t)) 的微分公式：

命命命题题题 6.3.2

exp(−Z(t)) ddt

exp(Z(t)) =1− exp(−adZ(t))

adZ(t)

dZ(t)

dt,

这里的算子要理解成

1− exp(−adZ(t))adZ(t)

=∞∑k=0

(−adZ(t))k

(k + 1)!.

证明：设

Y (s, t) = exp(−sZ(t)) ddt

exp(sZ(t)),


我们对 s 微分，得到：

∂Y

∂s=exp(−sZ(t))(−Z(t)) ∂

∂texp(sZ(t)) + exp(−sZ(t)) ∂

∂t(Z(t) exp(sZ(t))

= exp(−sZ(t))(−Z(t)) ∂∂t

exp(sZ(t)) + exp(−sZ(t))∂Z(t)∂t

exp(sZ(t))

+ exp(−sZ(t))Z(t) ∂∂t

exp(sZ(t))

= exp(−sZ(t))dZ(t)dt

exp(sZ(t))

=Adexp(−sZ(t))dZ(t)

dt

=exp(−sadZ(t))dZ(t)

dt.

这样一来，由于 Y (0, t) = 0，我们有

exp(−Z(t)) ddt

exp(Z(t)) = Y (1, t) =

∫ 1

0

∂

∂sY (s, t)ds,

而∂Y

∂s= exp(−sadZ(t))

dZ(t)

dt=

∞∑k=0

(−1)ksk

k!(adZ(t))

k dZ(t)

dt.

积分一次，就得到我们所需要的. 2

回到 Baker-Campbell-Hausdorff 定理的证明：我们得到

1− exp(−adZ(t))adZ(t)

dZ(t)

dt= B,

或者说dZ(t)

dt=

1− exp(−adZ(t))

adZ(t)

−1

B.

根据我们定义 exp(Z(t)) = exp(A) exp(tB)，所以

Adexp(Z(t)) = Adexp(A)Adexp(tB).

这样，我们就有

exp(adZ(t)) = exp(adA) exp(tadB),

而

adZ(t) = log(exp(adA) exp(tadB)

),


所以

dZ(t)

dt=

1−

(exp(adA) exp(tadB)

)−1

log(exp(adA) exp(tadB)

) −1

B = g(exp(adA) exp(tadB)

)B.

最后注意到 Z(0) = A，积分一次，我们就得到 Baker-Campbell-Hausdorff

公式. 2

这个定理回答了第二个问题. 它告诉我们，Lie 代数结构确定了单位元 I 附

近的两个元素的乘积. 虽然我们前面可以将 Lie 群 G 的单位元附近的一个邻域

U 嵌入一般线性群，通过矩阵的乘法来理解 U 上两个元素的乘积. BCH 定理说

这样的乘法由 Lie 代数结构完全确定；不仅如此它还给出了计算这个乘积具体

公式，尽管实际计算还是非常的复杂.

我们从这个定理可以看出：

定定定理理理 6.3.3 如果我们有一个两个 Lie 代数之间的同态 φ : g → h，那么我们有

在 Lie 代数所确定的局部 Lie 群之间有一个局部同态 f : U → V，使得 f∗ = φ.

证明: 我们仅仅需要检查 φ : g→ h 限制在局部群上就是一个局部群同态，而这

是显然的：

φ(Z) = φ(A) + φ

(∫ 1

0

g(exp(adA) exp(tadB)

)dtB

)= φ(A) +

∫ 1

0

g(exp(adφ(A)) exp(tadφ(B))

)dtφ(B).

因为后面这一项中都是 Lie 括号，和它们的复合. 2

这个定理的一个直接推论是：同构的 Lie 代数所确定的局部 Lie 群是同构

的.

最后一个问题是局部 Lie 群是否可以由一个 Lie 群导出，如果可以，这样的

Lie 群是否唯一.

考虑 Lie 群的同态：f : R→ S1 = R/Z，这个同态在单位元附近是一个局部微分同胚，所以它们有相同的局部 Lie 群，相同的 Lie 代数，但是这两群不是

同构的，它们甚至不微分同胚. 不过，我们有如下的定理：

定定定理理理 6.3.4 对任意局部 Lie 群来讲，存在唯一 (同构的意义下的唯一) 的单连

通 Lie 群 G，使得 G 的局部 Lie 群与它同构.


定理的证明相当啰嗦，我们给出一个证明轮廓，有能力的同学可以根据这

个轮廓补出完整的证明.

假定 (U, V, e, ·, −1) 是一个局部 Lie 群，我们从一个 V 中元素生成的自由群

F 开始：

F = g1 · · · gs; gi ∈ V ,

这个群中的元素就是一个由 V 中元素组成的有限字，乘法就是将两个字接起

来.

设 N 是由

g1, g2, g3, gi ∈ V, g1g2g3 = 1

生成的正规子群. 那么 π : F → F/N = G 是商群.

首先我们要使它成为一个拓扑群. 设 Vi 是 V 中 e 的一组邻域基，那么

B = π(gVi); g ∈ F

给出了 G 上的一个拓扑. 这也就是说，我们要验证 B 满足邻域基公理. 在这个

拓扑下，我们可以证明 π : V → G 是一个到像上的同胚. 这样我们可以将 V 看

作是 G 的一个局部群，而且

G =∪i

U i.

V 同胚于 R 的一个开子集，所以这可以被看作原点附近的一个坐标系. 我

们用左平移，可以得到 G 上的一组坐标覆盖. 而坐标系的相容性可以由局部

Lie 群上乘法的光滑性得到.

要证明 G 还是单连通的，我们考虑一条闭曲线 c : [0, 1] → G, c(0) = c(1) =

e. 将这条曲线同伦于一条“折线”，即

e→ g1 → g1g2 → · · · → g1g2 · · · gs−1 → g1g2 · · · gs−1gs = e.

在 g1g2 · · · gi 到 g1g2 · · · gigi+1 之间的线段是

g1g2 · · · gi ci :[i

s,i+ 1

s

]→ G,

其中 ci :[is, i+1

s

]→ V 是从 e 到 gi+1 的“直线”.

由于 g1 · · · gs = e，所以 g1 · · · gs ∈ N，而 N 的生成元是 hg′1g′2g

′3h

−1 是同伦

与零的，所以它们的乘积也同伦于零，这样所有 N 中的元素都同伦于零. 这样

就证明了 c 同伦于零.


习习习题题题

1. 证明 gl(n,R) 的 Jacobi 恒等式.

2. 设

A =

0 a b

0 0 c

0 0 0

, (a, b, c ∈ R),

试计算 exp(tA).

3. 设 R 在 GL(2,R) 上的作用 θ 定义为

θ(t, A) =

[1 t

0 1

]A, A ∈ GL(2,R),

证明 θ(t, A) 是作用在 GL(2,R) 上的单参数变换群，试求它的诱导切向量场.

4. 设 G 是 GL(4,R) 中由下列元素组成的李子群cos γ sin γ 0 α

− sin γ cos γ 0 β

0 0 1 γ

0 0 0 1

, (α, β, γ ∈ R),

试求它的李代数.

5. 计算辛群 Sp(2n,R) 的李代数.

6. 设

SU(2,C)) =

A =

[a b

c d

]: a, b, c, d ∈ C, detA = 1, ATA = I

是二阶特殊酉群.

(1) 证明它微分同胚于三维球面 S3;

(2) 计算它的李代数.


第第第七七七章章章张张张量量量和和和张张张量量量丛丛丛

研究切空间的对偶空间–余切空间的性质对微分流形的认识与研究切空间的性

质有着一样重要的作用，特别是后面我们会看到，外微分形式、外微分形式的

运算和外微分形式的积分是研究微分流形的重要工具. 本章将讨论对偶空间的

元素，即线性函数及其推广形式-张量. 主要介绍张量积、张量场、微分形式和

外积.

7.1 多多多重重重线线线性性性函函函数数数与与与张张张量量量

我们先介绍一些多重线性代数，我们从对偶线性空间开始.

假定我们有一个 m 维线性空间 V，而 v1, · · · , vm 是它的一组基. V 的对偶

空间 V ∗ = f | f : V → R 是 V 上的所有线性函数. 显然，这也是一个线性空

间. 一个线性函数 f ∈ V ∗ 由它在基上的取值确定，所以满足 f i(vj) = δji 的线性

函数 f 1, · · · , fm是 V ∗ 的一组基. 因为任意 f 可以写成

f =∑i

f(vi)fi.

而且，如果∑

i aifi = 0，那么将这个函数作用在 vj 上，我们就得到 0 =∑

i aiδij = aj，这说明 f i 是线性无关的. 这也说明 dim(V ∗) = dimV，而这组基

也叫做是 vi 的对偶基.

在 V, V ∗ 之间存在一个自然的配合：

⟨v, f⟩ = f(v).

由于 ⟨vi, f j⟩ = δji，这个配合是非退化的. 也就是说：

⟨v, f⟩ = 0, ∀v ∈ V ⇒ f = 0 而且 ⟨v, f⟩ = 0,∀f ∈ V ∗ ⇒ v = 0.

这样一来，从配合的角度来看，v(f) = ⟨v, f⟩ 也定义了 V ∗ 上的一个线性函

数，而且

V ⊂ (V ∗)∗.

105

· 106 · 第 7章张量和张量丛

再因为它们的维数相同，我们就有 V ≈ (V ∗)∗. 注意我们现在讨论的是有限维

的情形，到了无限维的情形，V ≈ (V ∗)∗ 就不见得再成立了.

如果我们在 V 中另取一组基 vi =∑

j ajivj，并令 f i =

∑j b

ijf

j 是它的对偶

基，那么

δji = ⟨vi, f j⟩ =∑k,l

aki bjl ⟨vk, f

l⟩ =∑l

alibjl ,

也就是说，[bji ] 是 [aji ] 的逆矩阵.

如果我们的基变换是 vi =∑

i ajivj，那么对于

v =∑i

aivi =∑i,j

aiajivj =∑j

ajvj,

坐标变换是

aj =∑i

aji ai, aj =

∑i

bjiai.

同样在对偶空间中，f i =∑

j bijf

j，有

f =∑i

bifi =

∑i,j

bibijf

j =∑j

bjfj,

所以坐标变换是

bj =∑i

bij bi, bj =∑i

aijbi.

如果我们有一个线性映射 φ : V → W，那么对于任意的 g ∈ W ∗，我们有

φ∗(g) = g φ ∈ V ∗. 不难看出，这样一个映射

φ∗ : W ∗ → V ∗

是线性的. 用配合来写的话：

⟨v, φ∗(g)⟩ = ⟨φ(v), g⟩.

如果我们在 V,W 上分别取基 v1, . . . , vm 和 w1, . . . , wn，在 V ∗,W ∗ 中它们的

对偶基分别是 f1, . . . , fm 和 g1, . . . , gn. 设

φ(vi) =∑j

ajiwj,

那么有

⟨vi, φ∗(gj)⟩ = ⟨φ(vi), gj⟩ = ⟨∑k

akiwk, gj⟩ = aji ,

7.1 多重线性函数与张量 · 107 ·

所以

φ∗(gj) =∑i

ajifi.

为了简化我们的记号，以后我们将采用 Einstein 约定：一旦一个单项式中

出现一对相同的指标，那么将自动对这个指标求和. 即

wjaji =

∑j

wjaji .

对于两个线性空间 V,W，函数

f : V ×W → R

被称为是双线性的，如果

f(λ1v1 + λ2v2, µ1w1 + µ2w2) =λ1µ1f(v1, w1) + λ1µ2f(v1, w2)

+ λ2µ1f(v2, w1) + λ2µ2f(v2, w2).

显然，所有 V ×W 上的双线性函数构成一个线性空间.

假定 V,W 的基分别是 v1, . . . , vm 和 w1, . . . , wn，而在 V ∗,W ∗ 中的对偶基分

别是 f 1, . . . , fm 和 g1, . . . , gn.

对于双线性函数 f 来讲，它由所有 (vi, wj) 的值完全确定. 所以由

f i,j(vk, wl) = f i(vk)gj(wl) = δikδ

jl

决定的 f i,j 就构成了双线性函数空间的一组基. 这是因为任意双线性函数 f 可

以写成它们的线性组合

f = f(vi, wj)fi,j,

这里我们已经采用了 Einstein 约定, 即单项式中遇到上下重复的指标，就意味

着这个指标在指定范围内求和. 除了它们包含一组基之外，它们也还是线性无

关的：如果

ai,jfi,j = 0

那么作用在 (vk, wl) 上的时候，我们就得到 ak,l = 0.

习惯上我们将双线性函数组成的空间记作

V ∗ ⊗W ∗,

称为 V ∗ 与W ∗ 的张量积，而且将 f i,j 记作 f i ⊗ gj. 它的维数 dim(V ∗ ⊗W ∗) =

dim(V ∗)dim(W ∗).


注意到 τ : (f i, gj) 7→ f i ⊗ gj 定义了一个从 V ∗ ×W ∗ 到 V ∗ ⊗W ∗ 的双线性

映射. 这是因为任意的双线性映射H : V ∗ ×W ∗ → X 由H(f i, gj) 所确定. 另一

个方面，h : V ∗ ⊗W ∗ → X 的线性映射由 h(f i ⊗ gj) 确定，如果我们定义

h(f i ⊗ gj) = H(f i, gj)

那么 H = h τ . 这样，我们就得到：

定定定理理理 7.1.1 线性空间 V ∗,W ∗ 的张量积 V ∗ ⊗W ∗ 满足如下性质：

对任意的双线性映射：H : V ∗ ×W ∗ → X，存在唯一的线性映射

h : V ∗ ⊗W ∗ → X,

使得 H = h τ .

张量积的这个性质叫做它的通有性质，事实上满足这样性质的线性空间在

同构的意义下是唯一的. 这也可以看做抽象地定义张量积的一种方式.

如果我们考虑 V ∗×W ∗ 上的双线性函数，那么我们就得到 V ⊗W . V,W 与

V ∗,W ∗ 之间的配合自然地延拓成 V ⊗W 与 V ∗ ⊗W ∗ 之间的一个配合：

⟨v ⊗ w, f ⊗ g⟩ = ⟨v, f⟩⟨w, g⟩.

我们这里将 V ⊗W 中的向量写成了 v ⊗ w，可以写成 v ⊗ w 形式的向量叫做纯张量积，或者叫做可分解的张量，要注意的是：一般的 V ⊗W 中的向量

不一定是纯张量积. 如果

v = aivi, w = bjwj,

那么

v ⊗ w = aibjvi ⊗ wj.

我们看到矩阵 [aibj] 的秩小于或等于 1. 事实上，V ⊗W 中的向量

aijvi ⊗ wj

是一个纯张量积的充分必要条件是矩阵 [aij] 的秩小于或等于 1. 尽管这样，我

们有一组纯张量积组成的基，而配合是双线性的，所以我们才可以那样写.

不难看出，这个配合是非退化的. 有了这个配合之后，我们就知道 V ∗⊗W ∗

与 V ⊗W 对偶，而且f ⊗ g(v ⊗ w) = f(v)g(w).

如果我们有两个线性映射 hV : V → V ′, hW : W → W ′，那么

hV × hW (v, w) = (hV (v), hW (w)) : V ×W → V ′ ×W ′

7.1 多重线性函数与张量 · 109 ·

是一个双线性映射，它与 τ1 : V′×W ′ → V ′⊗W ′ 的复合 τ1 (hV × hW ) 也是双

线性的. 根据张量积的通有性质，我们有一个线性映射，记作

hV ⊗ hW : V ⊗W → V ′ ⊗W ′,

它将 v ⊗ w 映到 hV (v)⊗ hW (w).

如果我们将 v ∈ V 分别写成 (a1, . . . , am)，即

v = aivi.

将 V ′,W,W ′ 中的向量 v′, w, w′ 写成 (a′1, . . . , a′m′), (b1, . . . , bn), (b′1, . . . , b′n

′). 那

么映射 hV , hW 可以分别被矩阵 A = [aik], B = [bjl ] 来表示：

hV (vi) = aki v′k, hW (wj) = bljw

′l,

或者说

a′k= aki a

i, b′l= bljb

j.

如果我们分别记

v ⊗ w = (a1w, . . . , amw), v′ ⊗ w′ = (a′1w′, . . . , a′

m′w′)

那么

hV ⊗ hW (vi ⊗ w) = aki v′k ⊗Bw,

也就是说

a′kw′ = akiBa

iw,

所以 hV ⊗ hW 的矩阵表示就是a11B a12B · · · a1mBa21B a22B · · · a2mB...

.... . .

...

am′

1 B am′

2 B · · · am′m B

.在矩阵论中，常常采用这样方式定义两个矩阵的张量积.

张量积给我们带来许多方便. 例如 Hom(V,W ) = V ∗ ⊗ W；如果 f(vi) =

ajiwj，那么

f = ajifi ⊗ wj.

我们在这里所关心的一类空间是

V kl =

(k⊗i=1

V

)⊗

(l⊗

j=1

V ∗

),


它的基是

vi1 ⊗ · · · ⊗ vik ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jl .

如果我们在 V 中另取一组基 vi = ajivj，那么在对偶空间 V ∗ 中的对偶基就

成为 f i = bijfj，这里 aki b

jk = δji . 这样

f = ai1···ikj1...jlvi1 ⊗ · · · ⊗ vik ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jl

= ai1···ikj1...jlvi1 ⊗ · · · ⊗ vik ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jl

= ai1···ikj1...jlbs1i1 · · · b

skikaj1t1 · · · a

jltlvs1 ⊗ · · · ⊗ vsk ⊗ f t1 ⊗ · · · ⊗ f tl ,

我们就得到坐标变换公式：

ai1···ikj1...jl= as1···skt1...tl

bi1s1 · · · bikskat1j1 · · · a

tljl.

与 V 的基的变换公式进行比较，我们看到坐标的所有下指标的变换与 V 的基

变换类似，而所有上指标的变换则与 V ∗ 中的基变换类似. 称张量的下指标为协

变指标，上指标为反变指标，而 V kl 中的向量被称为 k 阶反变 l 阶协变张量，

简称为 (k, l) 型张量. 特别地，V 0l 和 V k

0 中的向量被分别称为 l 阶协变张量和 k

阶反变张量. 张量的这个坐标变换公式实际上也是张量定义的经典方式. (0, 0)

型张量就是 R.所谓线性空间 V 上的 k 重线性函数是一个映射

f : V × · · · × V︸︷︷︸k

→ R

它关于每一个分量都是线性的.

不难看出，这样的映射由 f 在 (vi1 , . . . , vik) 上的取值确定. 所以它可以等同

于 V ⊗ · · · ⊗ V 上的线性函数. 如果定义 V ⊗ · · · ⊗ V 与 V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ 之间的配

合：

⟨vi1 ⊗ · · · vik , f j1 ⊗ · · · ⊗ f jk⟩ = f j1(vi1) · · · f jk(vik)

也就是说，V 上的 k 重线性函数的空间就是 k 阶协变张量所组成的空间

V 0k = V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗.

7.2 对对对称称称算算算子子子和和和反反反对对对称称称算算算子子子

设 Sk 是 1, 2, . . . , k 上的置换群，那么对于任意的 f ∈ V 0k , σ ∈ Sk，记

fσ(v1, . . . , vk) = f(vσ(1), . . . , vσ(k))

7.2 对称算子和反对称算子 · 111 ·

定定定义义义 7.2.1 称一个 f ∈ V 0k 为一个对称张量，如果对于任意的 σ ∈ Sk，都有

fσ = f；所有对称张量组成 V 0k 中的一个线性子空间 Σk(V ∗). 如果对于任意的

σ，都有 fσ = sgn(σ)f，这样的 f 被称为反对称张量；所有反对称张量也组成

一个子空间 Λk(V ∗).

显然 Σ1(V ∗) = Λ1(V ∗) = V ∗. 对于 k = 2 的情形，f ∈ V ∗ ⊗ V ∗，设

aij = f(vi, vj),

而对称张量或者反对称张量就是说矩阵 [aij] 是对称的或者反对称的. 为了方

便，我们也定义 Σ0(V ∗) = Λ0(V ∗) = R.进一步，我们在 V 0

k 上定义两个算子：

S(f) =1

k!

∑σ∈Sk

fσ, A(f) =1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ)fσ.

这两个算子分别叫做对称算子和反对称算子. 显然，对于任意的 f ∈ V 0k，都有

S(f) 和 A(f) 分别是对称的和反对称的. 这是因为

S(f)µ =1

k!

∑σ∈Sk

fµσ =1

k!

∑µσ∈Sk

fµσ = S(f),

A(f)µ =

(1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ)fσ

)µ

= sgn(µ)1

k!

∑σµ∈Sk

sgn(σµ)fσµ = sgn(µ)A(f).

另一方面，如果 f 本身就是对称张量，那么 S(f) = f；如果 f 本身就是反对称

的，我们则有 A(f) = f . 即

S : V 0k → Σk(V ∗), S|Σk(V ∗) = id;

A : V 0k → Λk(V ∗), A|Λk(V ∗) = id.

如果我们有一个线性映射 φ : W → V，对于 V 上的一个 k 重线性函数 f，

复合

W × · · · ×W φ×···×φ−−−−→ V × · · · × V f−−−→ R给出了W × · · · ×W 上的一个 k-线性函数，记作

φ∗(f)(w1, . . . , wk) = f(φ(w1), . . . , φ(wk)).

显然，对于 σ ∈ Sk，我们有

(φ∗(f))σ = φ∗(fσ),


所以 φ∗ 与 S,A 都可以交换，也就是说

φ∗(S(f)) = S(φ∗(f)), φ∗(A(f)) = A(φ∗(f)).

不仅如此，对于 f ∈ V 0k , g ∈ V 0

l ，我们还有

φ∗(f ⊗ g)(w1, . . . , wk+l) = f ⊗ g(φ(w1), . . . , φ(wk+l))

= f(φ(w1), . . . , φ(wk))g(φ(wk+1, . . . , φ(wk+l))

= φ∗(f)(w1, . . . , wk)φ∗g(wk+1, . . . , wk+l)

= φ∗f ⊗ φ∗(g)(w1, . . . , wk+l).

7.3 外外外积积积

虽然我们偶尔也会关心对称张量，我们关心比较多的是反对称张量. 取 V 0k

中的标准基：

f i1 ⊗ f i2 ⊗ · · · ⊗ f ik .

在 A 作用下的像

A(f i1 ⊗ f i2 ⊗ · · · ⊗ f ik) = 1

k!f i1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik

中包含了 Λk(V ∗) 的一组基. 通过这个公式，我们定义了一个新的记号：

f i1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik = k!A(f i1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik)

=∑σ∈Sk

sgn(σ)f iσ(1) ⊗ f iσ(2) ⊗ · · · ⊗ f iσ(k) .

首先注意到，

A(f i1⊗ · · · ⊗ f ij ⊗ · · · ⊗ f il ⊗ · · · ⊗ f ik)

=1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ)f iσ(1) ⊗ · · · ⊗ f iσ(j) ⊗ · · · ⊗ f iσ(l) ⊗ · · · ⊗ f iσ(k)

= − 1

k!

∑σ∈Sk

sgn(σ)f iσ(1) ⊗ · · · ⊗ f iσ(l) ⊗ · · · ⊗ f iσ(j) ⊗ · · · ⊗ f iσ(k)

= −A(f i1 ⊗ · · · ⊗ f il ⊗ · · · ⊗ f ij ⊗ · · · ⊗ f ik).

第二个等号是由于上下两式相差一个对换 (j, l), 具体可以看它们作用在自变量

上的效果. 因此，如果我们交换 f ij 与 f il，就有

f i1 ∧ · · · ∧ f ij ∧ · · · ∧ f il ∧ · · · ∧ f ik = −f i1 ∧ · · · ∧ f il ∧ · · · ∧ f ij ∧ · · · ∧ f ik .

7.3 外积 · 113 ·

这样，如果 ij = il，我们就有

f i1 ∧ · · · ∧ f ij ∧ · · · ∧ f il ∧ · · · ∧ f ik = 0.

注意，当 k > m 的时候，我们总有一对 ij = il. 也就是说 Λk(V ∗) = 0, ∀k > m.

不仅如此，我们还可以假定 Λk(V ∗) 由

f i1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik , i1 < i2 < · · · < ik

生成.

接下来我们来证明这些向量是线性无关的. 如果∑i1<···<ik

ai1···ikfi1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik = 0,

这里我们没有用 Einstein 约定，因为我们的求和是有限制的，不是对所有的指

标求和. 对于 j1 < · · · < jk，将上面的函数作用在 (vj1 , . . . , vjk) 上，我们就得到

aj1···jk = 0.

这就证明了这的确构成了 Λk(V ∗) 的一组基，同时我们也知道

dim(Λk(V ∗)) = Ckm.

对于 f ∈ Λk(V ∗), g ∈ Λl(V ∗)，我们定义所谓的外积：

f ∧ g = (k + l)!

k!l!A(f ⊗ g).

不难看出

Λ(V ∗) =m⊕k=0

Λk(V ∗)

构成一个代数，它的维数是

dimΛ(V ∗) =m∑k=0

dimΛk(V ∗) =m∑k=0

Ckm = 2m,


这个代数叫做 V 上的外代数. 实际上，我们仅仅需要验证外积是结合的. 对于

(v1, . . . , vk+l+n)，我们有

(f ∧ g) ∧ h(v1, . . . , vk+l+n)

=1

(k + l)!n!

∑σ∈Sk+l+n

sgn(σ)(f ∧ g)(vσ(1), . . . , vσ(k+l))h(vσ(k+l+1), . . . , vσ(k+l+n))

=1

(k + l)!n!

∑σ∈Sk+l+n

sgn(σ)1

k!l!

∑µ∈Sk+l

sgn(µ)f(vσµ(1), . . . , vσµ(k))×

× g(vσµ(k+1), . . . , vσµ(k+l))h(vσ(k+l+1), . . . , vσ(k+l+n))

=1

(k + l)!k!l!n!

∑µ∈Sk+l

sgn(µ)∑

σ∈Sk+l+n

sgn(σ)f(vσµ(1), . . . , vσµ(k))×

× g(vσµ(k+1), . . . , vσµ(k+l))h(vσ(k+l+1), . . . , vσ(k+l+n))

=(k + l + n)!

(k + l)!k!l!n!

∑µ∈Sk+l

sgn(µ)(A(f ⊗ g ⊗ h)

)µ(v1, . . . , vk+l+n)

=(k + l + n)!

k!l!n!A(f ⊗ g ⊗ h)(v1, . . . , vk+l+n).

如果计算 f ∧ (g ∧ h)(v1, . . . , vk+l+n) 的话，我们将得到同样的结果. 这样就得到

了结合律.

如果 φ : W → V 是线性映射，那么

φ∗(f ∧ g) = φ∗((k + l)!

k!l!A(f ⊗ g)

)=

(k + l)!

k!l!φ∗(A(f ⊗ g))

=(k + l)!

k!l!A(φ∗(f ⊗ g)) = (k + l)!

k!l!A(φ∗f ⊗ φ∗g) = φ∗f ∧ φ∗g.

事实上，在 T (V ) =⊕

k,l Vkl 上，如果用 ⊗ 作为乘法运算的话，我们会得

到张量代数. 这个代数是无穷维的，这里也就不再赘述了.

外积还满足所谓的反交换律：如果 f ∈ Λk(V ∗), g ∈ Λl(V ∗)，那么

f ∧ g = (−1)klg ∧ f.

7.3 外积 · 115 ·

对于 (v1, . . . , vk+l)，我们有

f ∧ g(v1, . . . , vk+l) =1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)f ⊗ g(vσ(1), . . . , vσ(k+l))

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(k))g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l))

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)g(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l))f(vσ(1), . . . , vσ(k))

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)g ⊗ f(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l), vσ(1), . . . , vσ(k)).

假定 µ ∈ Sk+l, µ(1, . . . , k + l) = (k + 1, . . . , k + l, 1, . . . , k)，那么

1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)g ⊗ f(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l), vσ(1), . . . , vσ(k))

=1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σ)g ⊗ f(vσµ(1), . . . , vσµ(k+l))

= sgn(µ)1

k!l!

∑σ∈Sk+l

sgn(σµ)g ⊗ f(vσµ(1), . . . , vσµ(k+l))

= sgn(µ)(k + l)!

k!l!A(g ⊗ f)(v1, . . . , vk+l)

= sgn(µ)g ∧ f(v1, . . . , vk+l).

我们很容易看出 sgn(µ) = (−1)kl. 这样，我们就得到了反交换律.

如果 ω1, . . . , ωk ∈ V ∗ 是 k 个向量，在标准基下的表示是

ωi = aijfj,

那么

ω1 ∧ · · · ∧ ωk = a1j1 · · · akjkf j1 ∧ · · · ∧ f jk .

我们来计算 f j1 ∧· · ·∧f jk , j1 < · · · < jk 前的系数. 不妨假定 j1 = 1, . . . , jk = k，

这样一来，我们仅需要计算∑16j1,...,jk6k

a1j1 · · · akjkf j1 ∧ · · · ∧ f jk =

∑σ∈Sk

a1σ(1) · · · akσ(k)sgn(σ)f 1 ∧ · · · ∧ fk

= det([aij]16j6k)f1 ∧ · · · ∧ fk.

一般情况下，f j1 ∧ · · · ∧ f jk , j1 < · · · < jk 前的系数是矩阵 [aij] 中第 j1, . . . , jk 列

所组成的矩阵的行列式.

这个计算有几个推论：


推推推论论论 7.3.1 k个向量ω1, . . . , ωk ∈ V ∗ 是线性无关的，当且仅当ω1∧· · ·∧ωk = 0.

推推推论论论 7.3.2 假定 k 个向量 ω1, . . . , ωk ∈ V ∗ 线性无关，如果

k∑i=1

ωi ∧ ξi = 0,

那么 ξi 可以表示成 ωi 的线性组合

ξi = hijωj,

而且 hij = hji .

证明: 在左面作 ω1 ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωk 的外积，我们得到

ω1 ∧ · · · ∧ ωk ∧ ξi = 0,

也就说它们线性相关.而 ω1, . . . , ωk ∈ V ∗线性无关，所以 ξi可以写成 ω1, . . . , ωk

的线性组合.

令 ξi = hijωj，这样我们就有

0 =k∑

i,j=1

hijωi ∧ ωj =

∑i<j

(hij − hji )ω

i ∧ ωj,

所以 hij = hji . 2

3) 在 V ∗ 中的坐标变换下，Λk(V ∗) 中标准基的变换公式可以用坐标变换矩

阵的子矩阵的行列式写出.

我们前面是在 Λ(V ∗) 上定义了外积，使它成为一个外代数. 实际上，我

们也可以构作 Λk(V )，并在 Λ(V ) =⊕n

k=0 Λk(V ) 上定义外积. 由于 Λk(V ∗) ⊂

V 0k (V ),Λk(V ) ⊂ V k

0 (V )，而在 V 0k 与 V k

0 之间存在一个配合，我们来计算这个配

合在子空间上的限制：

⟨v1 ∧ · · · ∧ vk,f 1 ∧ · · · ∧ fk⟩

=∑σ,µ∈Sk

sgn(σµ)⟨vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(k), fµ(1) ⊗ · · · ⊗ fµ(k)⟩

=∑σ,µ∈Sk

sgn(σµ)fµ(1)(vσ(1)) · · · fµ(k)(vσ(k))

=∑σ,µ∈Sk

sgn(σµ)f1(vσµ−1(1)) · · · fk(vσµ−1(k))

= k!det[f i(vj)].

7.4 张量丛 · 117 ·

这说明 Λk(V ∗) 与 Λk(V ) 互为对偶，而且 f i1 ∧ · · · ∧ f ik 几乎就是 vi1 ∧ · · · ∧ vik的对偶基.

有一点我们在这里没有交待的是：如果我们有 f : V → W，那么就有

f∗ : W ∗ → V ∗. 不仅如此，它们还诱导了外代数上的同态：

f ∗ : Λk(W ∗)→ Λk(V ∗).

不仅如此，假定

Vf−−−→ W

g−−−→ S,

那么我们有 (g f)∗ = f∗ g∗. 我们将验证的细节留给读者自行完成. 自然的推

论是如果 f : V → W 是一个同构，那么 f ∗ 也是同构. 我们这里要用到 id∗ = id.

要注意的是：实际上 f 能够诱导

f∗ :k⊗i=1

V →k⊗i=1

W, f ∗ :k⊗i=1

W ∗ →k⊗i=1

V ∗.

这两个映射的方向不同，我们没有自然的方法诱导 V kl 与W k

l 之间的同态.

7.4 张张张量量量丛丛丛

接下来，我们要将这些代数结构搬到流形上去. 先回顾一下流形的切向量丛

和余切向量丛.

设M 是一个流形，我们称

TM =∪x∈M

TxM, T ∗M =∪x∈M

T ∗xM

为流形的切丛和余切丛. 具体构造时，我们取了M 的一簇坐标覆盖 (Uα, φα).

对于每一个 Uα，我们构造 TM, T ∗M 的局部坐标

TUM → φα(U)× Rm, Xx 7→(u1, . . . , un;X(u1), . . . , X(un)

),

T ∗UM → φα(U)× Rn, df 7→

(u1, . . . , un;

∂f

∂u1, . . . ,

∂f

∂un

).

我们的确应当证明 TM, T ∗M 是 Hausdorff 的，而且有一组可数邻域基. 但是使

得它们成为流形的真正关键步骤是坐标转换函数是光滑的. 这是因为在坐标邻

域覆盖的地方

(u′1, . . . , u′

n) = φ′ φ−1(u1, . . . , un),


从而，切空间中的基变换公式就是

∂

∂ui=∂u′j

∂ui∂

∂u′j,

所以

X(u′j)

=∂u′j

∂uiX(ui),

∂f

∂u′j=

∂ui

∂u′j∂f

∂ui.

同样的做法允许我们构造流形M 上的张量丛. 对于 (k, l) 型张量，我们有

T k,lM =∪x∈M

(k⊗i=1

TxM

)⊗

(l⊗

j=1

T ∗xM

)=∪x∈M

V kl (TxM).

在局部，我们同样有

T k,lU M → φα(U)× V kl (R), Xk,l 7→ (ui; ai1···ikj1···jl).

根据前面导出的坐标变换公式，我们有

a′i1···ikj1···jl = as1···skt1···tl

∂u′i1

∂us1· · · ∂u

′ik

∂usk∂ut1

∂u′jk· · · ∂u

tl

∂u′jl

是一个光滑的变换. 这样得到的流形叫做 (k, l) 型张量丛. 张量丛的截面叫做张

量场.

我们更加感兴趣的是

ΛkM =∪x∈M

Λk(T ∗xM).

局部平凡化是

ΛkUM → φα(U)× Λk(Rm), df1 ∧ · · · ∧ dfk 7→(ui;

det

[∂(f 1, . . . , fk)

∂(ui1 , . . . , uik)

]),

坐标变换是

a′i1···ik = aj1···jkdet

[∂(uj1 , . . . , ujk)

∂(u′i1 , . . . , u′ik)

].

向量丛ΛkM 的截面叫做M 上的 k-形式，所有的 k-形式全体是一个C∞(M)

模，记作 Ωk(M) = Γ(ΛkM). 1-形式就是原来我们讲的余切向量场.

在局部坐标系下，一个 k-形式 ω 的局部表示就是

ai1···ikdui1 ∧ · · · ∧ duik .

7.4 张量丛 · 119 ·

为了方便起见，我们除了需要直接在整体上做的时候，都假定我们在一个

局部坐标系中，而 k-形式都采用局部表示. 如果我们有一个映射 f : N → M，

那么我们有

f∗ : TxN → Tf(x)M.

这个映射也诱导了 f ∗ : Ωk(M)→ Ωk(N)，根据我们前面的说法：

f ∗(ω) = ai1···ikf∗(dui1) ∧ · · · ∧ f∗(duik)

= ai1···ik∑

j1<···<jk

det

[∂(f i1 , . . . , f ik)

∂(uj1 , . . . , ujk)

]dvj1 ∧ · · · ∧ dvjk ,

而且

f∗(ω ∧ ξ) = f∗ω ∧ f ∗ξ.

如果我们有

Mf−−−→ N

g−−−→ W,

那么，对于任意的 x ∈M，我们有

TxMf∗−−−→ Tf(x)N

g∗−−−→ Tg(f(x))W, T ∗xM

f∗←−−− T ∗f(x)N

g∗←−−− T ∗g(f(x))W.

这样，我们就得到

(g f)∗ = f ∗ g∗.

直接推论是如果 f : M → N 是一个微分同胚，那么 f ∗ : Ωk(N)→ Ωk(M) 是一

个模同构.

习习习题题题

1. 将 V × V 上的双线性函数 f 表示成 V × V 上的对称函数和反对称函数之和.

2. 在矩阵群Mn×n 上定义函数： f :Mn×n ×Mn×n → R 满足

f(A,B) = tr(ATB).

证明 f 是Mn×n 上的对称正定双线性形式.

3. 设 w1 = x1dx1 + x2dx2, w2 = x2dx1 + x1dx2 是 R2 上的两个余切向量场, 求

w1, w2 线性无关的区域，并在该区域内求出 w1, w2 的对偶基.

4. 设 v, w, v, w是向量空间 V 上的一次形式，v, w线性无关，且 v∧w = v∧w，证明 v, w 是 v, w 的线性组合，且 v, w 线性无关的.


5. 设 w1, · · · , wr 是 n 维向量空间 V 上的一次形式，且线性无关，φ 是一个 p

次外形式，则存在 p− 1 次外形式 φ1, · · · , φr 使得 φ = w1 ∧ φ1 + · · · + wr ∧ φr

的充要条件是 w1 ∧ · · · ∧ wr = 0.

6. 设三阶协变张量ϕ满足ϕ(X, Y, Z) = ϕ(Y,X,Z)和ϕ(X,Y, Z) = −ϕ(X,Z, Y ),

则 ϕ 为零张量.

7. 设 φ ∈ Λk(V ∗), 如果存在一次形式 ωi ∈ V ∗, 使得 φ = ω1 ∧ · · · ∧ ωk, 则称 φ

是可分解的. 试证明：如果 ω1, ω2, ω3, ω4 线性无关，则 ψ = ω1 ∧ ω2 + ω3 ∧ ω4

不可分解.

8. 设 φ = 2dy ∧ dz + 4dz ∧ dx+ 2dx ∧ dy, 试分解 φ.

9. 设 V 是三维线性空间，证明 V 上的每一个外形式是可分解的.

第第第八八八章章章外外外微微微分分分和和和 de Rham 上上上同同同调调调

我们在这一章中要研究流形上的“微分”，就是在微分形式上作外微分. 这是

函数微分的一个自然推广，而且用起来非常方便. 为了构造流形上的外微分，

我们建立了流形上取单位元 1 的函数的一个分解—单位分解，这是研究整体流

形性质的一个重要工具. 作为应用，介绍了流形的 de Rham上同调和 Frobenius

定理的对偶形式.

8.1 流流流形形形上上上外外外微微微分分分的的的性性性质质质

定定定义义义 8.1.1 流形M 上的外微分是一个线性映射

d : Ωk(M)→ Ωk+1(M)

使得：

1) 对于 f ∈ C∞(M) = Ω0(M)，(df)(X) = Xf,∀X ∈ Γ(TM)；

2) 如果 ω1 ∈ Ωk(M)，那么

d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2;

3) d d = 0 : Ω0(M)→ Ω2(M).

这里的 1) 告诉我们 df 就是前面定义的 df：f 的微分看作切空间的对偶向

量.

我们首先来看 Euclid 空间中开集 U ⊂ Rm 上的情形. 在这个情形下，对

ω = fdui1 ∧ · · · ∧ duik .

我们首先来证明

d(dui1 ∧ · · · ∧ duik) = 0.

对 k 作归纳法. k = 1 时是我们上面的 3). 如果 l = k − 1 时对，那么

d(dui1 ∧ · · · ∧ duik) = d2ui1 ∧ (dui2 ∧ · · · ∧ duik)− dui1 ∧ d(dui2 ∧ · · · ∧ duik) = 0.

121

· 122 · 第 8章外微分和 de Rham 上同调

这样一来，我们的外微分算子只能是

dω = df ∧ (dui1 ∧ · · · ∧ duik) =(∂f

∂uidui)∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik .

这个定义是满足 1) 的. 对于 2) 来讲，如果 ω1 = fdui1 ∧ · · · ∧ duik , ω2 =

gduj1 ∧ · · · ∧ dujl，那么

d(ω1 ∧ ω2) = d(fgdui1 ∧ · · · ∧ duik ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujl)

=

(∂f

∂uig + f

∂g

∂ui

)dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujl

=∂f

∂uigdui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujl+

+ f∂g

∂uidui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujl

= (df ∧ dui ∧ · · · ∧ duik) ∧ (gduj1 ∧ · · · ∧ dujl)++ (−1)k(f ∧ dui ∧ · · · ∧ duik) ∧ (dg ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujl)

= dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2.

对于 3) 的验证几乎也是显然的

d df = d

(∂f

∂uidui)

=∂2f

∂uj∂uidui ∧ duj

=∑i<j

(∂2f

∂uj∂ui− ∂2f

∂ui∂uj

)dui ∧ duj = 0.

上面的讨论告诉我们，在 Euclid 空间中开集上的外微分不仅存在而且是唯

一的. 有意思的是，如果我们将 U ⊂ Rm 看作一个流形的话，外微分算子将不

依赖于坐标系的选择，因为我们的定义并不涉及坐标系.

如果 ω = Pdx+Qdy +Rdz，那么

dω = (Pydy + Pzdz) ∧ dx+ (Qxdx+Qzdz) ∧ dy + (Rxdx+Rydy) ∧ dz= (Ry −Qz)dy ∧ dz + (Pz −Rx)dz ∧ dx+ (Qx − Py)dx ∧ dy = curl(ω).

如果 ω = Pdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Qdx ∧ dy，那么

dω = Pxdx ∧ dy ∧ dz +Qydy ∧ dz ∧ dx+Rzdz ∧ dx ∧ dy= (Px +Qy +Rz)dx ∧ dy ∧ dz = div(ω).

实际上，这不算是一个全新的概念，我们在微积分中曾经遇到过，只不过现在

更加广泛一些.

8.2 单位分解 · 123 ·

我们上面所讨论的 Euclid 空间中的情形也可以理解成流形M 上局部的情

形. 从另外一个角度看的话，如果外微分存在，它一定是一个局部算子，也就

是说：

定定定理理理 8.1.1 如果 d 是流形M 上的一个外微分算子，而且 ω1 与 ω2 在 x ∈ M的一个邻域 U 中一致，那么 dω1(x) = dω2(x).

证明：我们取 x ∈ U 的一个截止函数 h，即在 x 附近，h = 1；而在 x 的某一

紧邻域之外，h = 0. 这样，在M 上

h(ω1 − ω2) ≡ 0,

所以

0 = d(h(ω1 − ω2)) = dh ∧ (ω1 − ω2) + h(dω1 − dω2).

在 x 的一个邻域中 h = 1，所以 dh(x) = 0；另一个方面，h(x) = 1. 所以我

们就得到 dω1(x) = dω2(x). 2

因此我们知道外微分算子是局部的，而且由定义 8.1.1的条件(1)知在局部它

是唯一的，所以如果外微分算子存在的话，它一定是唯一的.

8.2 单单单位位位分分分解解解

接下来，我们来证明外微分的存在性. 在进一步研究之前，我们需要一些关

于单位分解的准备工作.

对流形 M 上的任意函数 f , supp(f) = p ∈M |f(p) = 0称为函数 f 的支

集，即使得函数 f 不等于 0的点集的闭包. 如果 supp(f)是紧致集，则称函数 f

具有紧致支集.

定定定义义义 8.2.1 设 U = Uαα∈A 是流形 M 的一个开覆盖，一簇函数 λα : M →R 被称为是隶属于 U 的一个单位分解，如果

1) 对于任意的 α，满足 supp(λα) ⊂ Uα；

2) 对任意 x ∈ M，存在 x 的一个邻域 Bx，使得 Bx 仅仅与有限多个

supp(λα) 有非空交；这个条件也叫局部有限条件；

3) λα > 0，而且∑

α λα = 1.

局部有限条件保证流形M 的每一点处存在一个邻域，使得只有有限个 λα在此邻域上不为 0. 因此条件(3)中的和式的收敛性得到保证.


单位分解是一个很重要的工具，它将流形的整体分解成局部. 有时候 bump

函数也可以做到这一点，但是这里的局部有限性条件更强. 首先我们来证明单

位分解的存在性.

定定定理理理 8.2.1 对于流形M 上的任意一个开覆盖 U，存在隶属于 U 的单位分解.

在证明这个定理之前，我们还需要一个拓扑学的引理：

引引引理理理 8.2.2 对于流形 M 上的任意一个开覆盖 U，存在一簇坐标覆盖 (Vi, φi)

和一簇开覆盖Wi，使得每一个 Wi ⊂ Vi 是紧的，而且每一个 Vi 包含在某一个

Uα 中，φi(Wi) = Bϵi(ui)，进一步，对于M 的任意紧子集 C，仅有有限多个 Vi与 C 有非空交.

证明：由于M 有可数邻域基，而且它是局部 Euclid 的，所以局部紧. 这样我

们可以找到一个可数开覆盖 Qi，使得 Qi 是紧的.

我们要找到一个递增的子序列 nk，使得

Pk =

nk∪i=1

Qi ⊂nk+1∪i=1

Qi.

取 n1 = 1, P1 = Q1. 令 n2 是最小的整数，使得

P1 ⊂n2∪i=1

Qi,

这样的 n2 存在是因为 P1 的紧性. 我们就取

P2 =

n2∪i=1

Qi.

因为 P2 是有限多个紧集的并集，所以也是紧的. 令 n3 是最小整数，使得

P2 ⊂n3∪i=1

Qi,

而且取

P3 =

n3∪i=1

Qi.

一直这样做下去，就可以得到 nk, Pk. 如果想要严格的地写出这个序列，我们

可以使用数学归纳法.

8.2 单位分解 · 125 ·

显然M =∪∞i=1Qi ⊂

∪∞k=1 Pk，而且根据我们的构造，

Pk−1 ⊂nk∪i=1

Qi ⊂ IntPk.

设 Lk = Pk − IntPk−1,Mk = IntPk+1 − Pk−2. 这样 Lk 是紧集，Mk 是开集.

而 Pk ⊂ IntPk+1, Pk−2 ⊂ IntPk−1，所以Mk 是 Lk 的一个开邻域.

为了叙述方便，我们引入如下的说法. 我们称 (W,V ) 是一个允许的邻域

对，如果 V 包含在某一个 Uα 中，V 上有一个坐标映射 φ : V → Rn，使得

W ⊂ V 是紧的，而且 φ(W ) = Bϵ(u).

现在对于每一个 x ∈ Lk，我们可以选择一个允许的邻域对 (Wx, Vx)，使得

x ∈ Wx，而且 Vx ⊂ Mk. 利用流形的局部 Euclid 性质，这样的允许邻域对的存

在性是不难看出的. 由于 Lk 的紧性，我们可以选择有限多个这样的允许邻域

对，使得 Wxi 覆盖了 Lk. 将对所有 Lk 的有限覆盖排列起来，我们就得到了

(Wi, Vi). 使得

M ⊂∞∪k=1

Lk ⊂∞∪i=1

Wi.

其他条件在我们的构造中都得到了满足，只余下局部有限性是需要证明

的. 对于任意紧集 C ⊂ M，我们的 IntPk 也是一个开覆盖，所以存在 Pk，

使得 C ⊂ Pk. 当 l > k + 2 的时候，那些覆盖 Ll 的允许邻域对 (Wi, Vi) 中的

Vi ⊂ Ml = IntPl+1 − Pl−2，所以它们与 C 的交一定是空集. 这就完全证明了引

理. 2

单位分解存在性定理的证明：对于任意覆盖 U，上面的引理告诉我们存在

(Wi, Vi, φi). 使得 (Vi, φi) 是坐标覆盖，Wi 是开覆盖，Wi ⊂ Vi 是紧

集，φi(Wi) = Bϵi(ui)，Vi 包含在某一个 Uα 中，而且对于 M 的任意紧子集

C，仅有有限多个 Vi 与 C 有非空交.

我们对每一个 (Wi, Vi)，构造一个截止函数 hi，使得 0 6 hi 6 1；在 Wi

上，hi ≡ 1，而 supp(hi) ⊂ Vi.

考虑函数 h =∑

i hi. 对于任意 x ∈ M，我们选择 x 的一个紧邻域 Bx. 根据

我们的构造，仅有有限多个 Vi 与 Bx 交非空，所以在 Bx 上，上面的 h 是一个

有限和. 这蕴含了 h 是光滑的. 另外，Wi 是M 的一个覆盖，所以 x 一定属

于某一个Wi，这说明 h > 1.

我们令 gi = hi/h，这组函数 gi 就是隶属于开覆盖 U′ = Vi 的单位分解.

对每个 i, 我们可以选择一个 a(i) ∈ A使得 Vi ⊂ Ua(i). 对每个 α ∈ A, 我们定义


光滑映射 λα :M → R满足

λα(x) =∑

i:a(i)=α

gi(x).

当没有 i满足 a(i) = α时，定义 λα = 0. 这时有

supp(λα) =∪

i: a(i)=α

Vi =∪

i: a(i)=α

Vi ⊂ Uα.

并且 0 ≤ λα ≤ 1,∑

α λα =∑

i gi = 1, supp(λα)满足局部有限条件. 所以 λα就是我们要找的单位分解. 2

作为单位分解的一个应用，我们可以证明 C0 函数可以用 C∞ 函数来逼近：

定定定理理理 8.2.3 任给 f ∈ C0(M) 和 ϵ > 0，存在一个 C∞ 函数 g，使得

maxx∈M|f(x)− g(x)| < ϵ.

证明：由于 f 是连续的，对于任意一点 x，存在 x 的一个邻域 Ux，使得

|f(y)− f(x)| < ϵ, ∀y ∈ Ux. 这样的 Ux 构成了M 的一个开覆盖.

现在我们选择一个隶属于 Ux 的单位分解 λi，记 supp(λi) ⊂ Uxi . 那么我

们构造函数

g =∑i

λif(xi).

这是一个光滑函数，我们考虑 |f(x)− g(x)|：

|f(x)− g(x)| =

∣∣∣∣∣∑i

λi(x)f(x)−∑i

λi(x)f(xi)

∣∣∣∣∣ 6∑i

λi(x)|f(x)− f(xi)|.

只要 λi(x) = 0，那么 x ∈ Uxi，所以 |f(x)− f(xi)| < ϵ. 代入上面的式子，我们

得到

|f(x)− g(x)| <∑i

λi(x)ϵ = ϵ.

这就证明了逼近定理. 2

回到我们关于外微分算子的讨论. 有了单位分解之后，我们便可以利用局部

的外微分算子来定义整体的外微分算子了. 假设 (Ui, φi) 是一组局部坐标覆盖，在 Ui 上我们有唯一的局部外微分 di，并取一个隶属于 Ui 的单位分解 λi，

我们现在定义一个整体的外微分如下：

dω =∑i

di(λiω).

8.3 de Rham 上同调群 · 127 ·

在 x 附近，我们有一个紧邻域 Bx ⊂ Uj，在这个 Bx 上求和是一个有限和，而

且所有的 di 是唯一的，都等于 dj. 那么在 Bx 上∑i

di(λiω) =∑i

djλi∧ω+∑i

λidiω = dj

(∑i

λi

)∧ω+

∑i

λidiω =∑i

λidiω.

也就是说，上面的定义也可以写成

dω =∑i

λidiω.

验证外微分必须满足的 1) 和 2) 就变得显然了. 对于 3)，我们知道

d(df) =∑i

λidi(df)

在 supp(λi) 上，d = di，所以我们就得到 di(df) = 0.

单位分解不是定义外微分的唯一方法. 实际上，从外微分是局部算子出发，

我们根本可以用局部坐标下外微分的唯一性来定义整体的外微分，也就是说我

们可以直接证明用局部坐标系定义的外微分与坐标系的选择无关. 不过，单位

分解本身是很有用的.

8.3 de Rham 上上上同同同调调调群群群

流形上外微分有一条重要性质：

定定定理理理 8.3.1 d2 = 0，即对于任意的 ω ∈ Ωk(M)，都有 d(dω) = 0.

证明：我们仅仅需要在每一点附近检查 d2 = 0 就行了. 在 x 点附近的一个局部

坐标系下，我们可以不妨假定 ω = fdui1 ∧ · · · ∧ duik 是一个单项式，那么

dω = df ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik ,

而

d(dω) = d(df) ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik = 0.

这样就证明了定理. 2

定定定义义义 8.3.1 我们称

0 −−−→ Ω0(M)d−−−→ Ω1(M)

d−−−→ · · · d−−−→ Ωn(M) −−−→ 0


为 de Rham 复形. 记 Zk(M) = kerd : Ωk(M) → Ωk+1(M), Bk(M) = Imd :

Ωk−1(M)→ Ωk(M)，它们分别被称为 k 维闭链群和边缘链群.

由于 d2 = 0，Bk(M) ⊂ Zk(M)，它们的商群

HkDR(M) = Zk(M)/Bk(M)

被称为流形M 的 de Rham 上同调群.

我们来计算H0DR(M) = Z0(M). 如果 f ∈ Ω0(M)，而且 df = 0，那么 f 是

局部常数. 这蕴含 f 在M 的每一个连通分量上取常数. 所以

H0DR(M) = Rs,

这里的 s 是M 的连通分量的个数.

事实上，在

H∗DR(M) =

n⊕i=0

HiDR(M)

上我们还有一个环结构. 假定 [ω1] ∈ HkDR(M), [ω2] ∈ Hl

DR(M)，由于

d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2 = 0,

所以 ω1 ∧ ω2 确定一个Hk+lDR (M) 中的同调类，我们需要证明的是这个同调类不

依赖于等价类 [ω1], [ω2] 中代表元的选择.

(ω1 + dµ1) ∧ (ω2 + dµ2) = ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ dµ2 + dµ1 ∧ (ω2 + µ2)

= ω1 ∧ ω2 + (−1)kd(ω1 ∧ µ2) + d(µ1 ∧ (ω2 + µ2)).

所以外积诱导了同调类上的一个乘法

[ω1] ∧ [ω2] 7→ [ω1 ∧ ω2] : HkDR(M)⊕Hl

DR(M)→ Hk+lDR (M).

我们称H∗DR(M)为M 的 de Rham上同调环.由于H∗

DR(M) =⊕n

i=0 HiDR(M)，

而且 ∧ : HkDR(M)⊕Hl

DR(M)→ Hk+lDR (M)，这样的附加结构也叫做分次环.

如果我们有一个映射 f : M → N . 前面我们已经讲过这个 f 诱导了一个映

射

f ∗ : Ωk(N)→ Ωk(M).

我们来考察外微分与 f ∗ 的关系.


定定定理理理 8.3.2 f :M → N 是一个映射，那么 df∗ = f∗d，即如下的图是交换的：

Ωk(N)d−−−→ Ωk+1(N)

f∗y yf∗

Ωk(M) −−−→d

Ωk+1(M).

证明：在 k = 0 的情形，这个定理就是一阶微分的不变性，我们前面已经证明

了. 所以假定 k > 0，而且仅仅需要在局部坐标系下检查这个定理成立就行了.

设

ω = advi1 ∧ · · · ∧ dvik ∈ Ωk(N)

是一个单项式，那么

f ∗ω = (f∗a)f ∗(dvi1) ∧ · · · ∧ f ∗(dvik)

= (f∗a)d(f∗vi1) ∧ · · · ∧ d(f ∗vik),

所以

df∗ω = d(f ∗a) ∧ d(f∗vi1) ∧ · · · ∧ d(f ∗vik)

= f∗(da) ∧ f ∗(dvi1) ∧ · · · ∧ f ∗(dvik)

= f∗(da ∧ dvi1 ∧ · · · ∧ dvik) = f ∗dω.

2

现在我们来考察下面的交换图；

Ωk−1(N)d−−−→ Ωk(N)

d−−−→ Ωk+1(N)

f∗y f∗

y f∗y

Ωk−1(M)d−−−→ Ωk(M)

d−−−→ Ωk+1(M)

如果 ω ∈ Zk(N)，那么 df∗ω = f∗dω = 0，也就是说 f ∗ω ∈ Zk(M). 这样我们就

有

Zk(N)f∗−−−→ Zk(M)

π−−−→ HkDR(M).

又由于 f ∗dω = df∗ω，我们看到 f ∗(Bk(N)) ⊂ Bk(M)，即 Bk(N) ⊂ ker(π f∗). 这说明了 f ∗ 诱导了一个 de Rham 上同调群之间的映射：

f∗ : HkDR(N)→ Hk

DR(M).

另一方面，由于 f∗(ω1∧ω2) = f∗ω1∧ f∗ω2，所以 f ∗ 保持上同调类的乘法，

所以它事实上是一个分次环的环同态：

f∗ : H∗DR(N)→ H∗

DR(M).


同样，如果我们有

Mf−−−→ N

g−−−→ W,

那么，它们诱导了：

H∗DR(M)

f∗←−−− H∗DR(N)

g∗←−−− H∗DR(W ).

我们有 (g f)∗ = f∗ g∗. 这说明 de Rham 上同调环是流形的微分同胚不变量.

定定定理理理 8.3.3 假定我们有两个映射 f0, f1 : M → N，使得存在一个同伦映射

F : M × R→ N，而且 F |M×0 = f0, F |M×1 = f1. 那么 f ∗0 = f ∗

1 : H∗DR(N)→

H∗DR(M).

证明：我们来证明存在 hk : Ωk(N)→ Ωk−1(M)，使得

f∗1 − f∗

0 = hk+1 d+ d hk.

如果这是对的话，对于任意的 ω ∈ Zk(N)，我们有

f ∗1 (ω)− f ∗

0 (ω) = hk+1 dω + d hk(ω) = d hk(ω) ≡ 0 mod Bk(M).

也就是说 [f ∗0 (ω)] = [f ∗

1 (ω)] ∈ H∗DR(M). 这样就得到我们需要的结果.

对于任意的 η ∈ Ωk(N)，F ∗(η) ∈ Ωk(M × R)，对于 F ∗(η)，我们有一个自

然的分解：

F ∗(η) = dt ∧ ξ + ω,

这里的 ξ : R→ Ωk−1(M), ω : R→ Ωk(M). 在局部，ξ, ω 可以写成

ξ = ai1···ik−1(u, t)dui1 ∧ · · · ∧ duik−1 , ω = bj1···jk(u, t)du

i1 ∧ · · · ∧ duik .

因为 f0, f1 与 t 无关，f ∗1 (dt) = 0 = f ∗

0 (dt)，所以

f∗1 (η) = bj1···jk(u, 1)du

i1 ∧ · · · ∧ duik , f ∗0 (η) = bj1···jk(u, 0)du

i1 ∧ · · · ∧ duik .

我们定义

hk(η) =

∫ 1

0

ξ =

(∫ 1

0

ai1···ik−1(u, t)dt

)dui1 ∧ · · · ∧ duik−1 .

显然，这是一个线性同态. 现在我们来计算

d hk(η) =(∫ 1

0

∂ai1···ik−1

∂uidt

)dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik−1 .


由定理 8.3.2知，F ∗与 d可交换，所以

F ∗(dη) =d(F ∗(η)) = d(dt ∧ ξ + ω)

=−∂ai1···ik−1

∂uidt ∧ dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik−1

+dbj1···jkdt

dt ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik + ∂bj1···jk∂ui

dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik .

由 hk 的定义得到

hk+1 d(η) =−(∫ 1

0

∂ai1···ik−1

∂uidt

)dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik−1

+

(∫ 1

0

dbj1···jkdt

dt

)dui1 ∧ · · · ∧ duik

=−(∫ 1

0

∂ai1···ik−1

∂uidt

)dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik−1

+(bj1···jk(u, 1)− bj1···jk(u, 0)

)dui ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duik .

这样我们就得到

hk+1 d(η) + d hk(η) = f ∗1 (η)− f ∗

0 (η).

这就完成了证明. 2

这个定理可以叙述成“同伦的映射在 de Rham 上同调环上诱导相同的环同

态”.

我们可以用此定理来计算 Rm 的 de Rham 上同调群. 定义映射

F (u, t) = tu : Rm × R→ Rm.

则 f0(u) = F (u, 1) = id : Rm → Rm，而 f1(u) = F (u, 0) 是一个常值映射. 对于

常值映射来讲，我们有

f ∗1 (ω) = 0 : Ωk(Rm)→ Ωk(Rm),∀k > 1.

这样在HkDR(Rm) 上 id∗ = 0. 所以

HkDR(Rm) =

R, k = 0,

0, k > 1.

实际上计算稍微复杂一点的光滑流形的 de Rham上同调群是一件技术性很

强的工作. 下面我们介绍一个方法将流形表示成一些有比较简单的 de Rham上


同调群的开集的并，依靠这些开集上的 de Rham上同调群来表示光滑流形的

de Rham上同调群. 这就是Mayer-Vietoris定理.

设 U, V 是光滑流形M 的两个开子集，且M = U ∪ V , 我们有四个包含映射

i1, i2, j1, j2. 实际上，我们有交换图

U

U ∩ Vi1 - M

j1 -

Vj2

-

i2-

这四个包含映射诱导出微分形式之间的映射，并且有交换图

Ωp(U)

Ωp(M)j∗1 - Ωp(U ∩ V )

i∗1 -

Ωp(V )i∗2

-

j∗2-

这里的映射 i∗1, i∗2, j

∗1 , j

∗2 事实上就是限制映射，例如对 ω ∈ Ωp(M), j∗1(ω) = ω|U .

记 h∗ = i∗1 − i∗2, k∗ = j∗1 ⊕ j∗2 . 这样我们得到了线性空间之间的线性映射列

Ωp(M)k∗−→ Ωp(U)⊕ Ωp(V )

h∗−→ Ωp(U ∩ V ).

关于这些线性空间和线性映射序列，代数拓扑学中有相应的名称. 详细的可

以参看第 15章第2节的内容.

定定定义义义 8.3.2 设 Cn, fn是一个线性空间和线性映射序列

· · · −→ Cn fn−→ Cn+1 fn+1−→ Cn+2 · · ·

且满足 fn+1 fn = 0, 则称 Cn, fn是一个上链复形，记为 C = Cn.若两个上链复形 Cn, dn, C ′n, d′n之间的一个线性映射

Φ = Φn : C = Cn → C ′ = C ′n, Φn(Cn) ⊂ C ′n

满足 d′ Φn = Φn+1 d, 则称 Φ是 C 到 C ′的一个上链映射.

定义 8.3.1定义的 de Rham复形就是一个上链复形，并且 i∗1, i∗2, j

∗1 , j

∗2 , h

∗, k∗

都是上链映射.


定定定义义义 8.3.3 由线性空间和线性映射组成的序列

Cf−→ D

g−→ E

称为在 D处正合, 如果 f 的像等于 g的核，即 ker g = Im(f).

如果线性空间和线性映射组成的序列

· · · −→ Gi−1ϕi−1−→ Gi

ϕi−→ Gi+1 · · ·

在每个 Gi处正合, 则称这个序列是正合序列.

上链复形和上链映射组成的序列

Cf−→ D

g−→ E

称为在 D处正合, 如果对每个维数 q, 线性空间和线性映射的序列

Cpfp−→ Dp

gp−→ Ep

都在 Dp处正合.

引引引理理理 8.3.4 设 U, V 是光滑流形M 的两个开子集，且M = U ∪ V , 则上链复形

和上链映射序列

0 −→ Ωp(M)k∗−→ Ωp(U)⊕ Ωp(V )

h∗−→ Ωp(U ∩ V ) −→ 0.

是一个短正合列.

证明：设 ω ∈ Ωp(M)满足 k∗(ω) = 0, 由于

k∗(ω) = j∗1 ⊕ j∗2(ω) = (ω|U , ω|V ) = (0, 0).

从M = U ∪ V 可以看出 ω = 0，即 k∗是单射, 所以序列在 Ωp(M)处正合.

对任意 ω ∈ Ωp(M)，

h∗ k∗(ω) = h∗(ω|U , ω|V ) = ω|U∩V − ω|U∩V = 0,

所以 Im(k∗) ⊂ kerh∗.

设 (ω1, ω2) ∈ Ωp(U) ⊕ Ωp(V )满足 h∗(ω1, ω2) = 0, 由于 h∗(ω1, ω2) = ω1|U∩V

−ω2|U∩V , 即得 ω1|U∩V = ω2|U∩V , 定义M 上的 p-形式

σ(x) =

ω1(x), x ∈ U,ω2(x), x ∈ V.


则 k∗(σ) = (ω1, ω2).

因此 Im(k∗) ⊃ kerh∗, 所以 Im(k∗) = kerh∗，即序列在 Ωp(U) ⊕ Ωp(V )处正

合.

对任意 ω ∈ Ωp(U ∩ V )，设 λ1, λ2是隶属于开覆盖 U, V 的一个单位分解，定义 θ1 ∈ Ωp(U)为

θ1(x) =

λ2(x)ω(x), x ∈ U ∩ V,0, x ∈ U − supp(λ2).

在 U ∩ V − supp(λ2)上可能有重复定义，但是都是 0, 所以 θ1 ∈ Ωp(U). 同理可

以定义 θ2 ∈ Ωp(V )为

θ2(x) =

−λ1(x)ω(x), x ∈ U ∩ V,0, x ∈ V − supp(λ1).

这时我们有

h∗(θ1, θ2) = θ1|U∩V − θ2|U∩V = λ2ω − (−λ1ω) = (λ1 + λ2)ω = ω.

即 h∗是满射, 所以序列在 Ωp(U ∩ V )处正合. 2

对上面定理中的 de Rham复形和上链映射 h∗, k∗的短正合列, 及每个维数 q,

我们定义一个线性映射(连接同态)

∆ : HpDR(U ∩ V )→ Hp+1

DR (M).

考察交换图表

d

y d

y d

y0 −−−→ Ωp−1(M)

k∗−−−→ Ωp−1(U)⊕ Ωp−1(V )h∗−−−→ Ωp−1(U ∩ V ) −−−→ 0

d

y d

y d

y0 −−−→ Ωp(M)

k∗−−−→ Ωp(U)⊕ Ωp(V )h∗−−−→ Ωp(U ∩ V ) −−−→ 0

d

y d

y d

y0 −−−→ Ωp+1(M)

k∗−−−→ Ωp+1(U)⊕ Ωp+1(V )h∗−−−→ Ωp+1(U ∩ V ) −−−→ 0

d

y d

y d

y其中每个横行都是正合的.

对 ω ∈ Zp(U ∩ V ), 定义

∆ : HpDR(U ∩ V )→ Hp+1

DR (M), [ω] 7→ [(k∗)−1 d (h∗)−1(ω)].


定定定理理理 8.3.5 上面定义的连接同态 ∆是合理的.

证明：参考定理 14.4.2的证明. 2

定定定理理理 8.3.6 (Mayer-Vietoris)设 U, V 是光滑流形 M 的两个开子集，且 M =

U ∪ V , 则下面关于开覆盖 U, V 的Mayer-Vietoris同调序列是正合的.

· · · ∆−→ HpDR(M)

k∗−→ HpDR(U)⊕Hp

DR(V )h∗−→ Hp

DR(U ∩V )∆−→ Hp+1

DR (M) −→ · · ·

证明：参考定理 14.4.3的证明. 2

例 6.3.1 设 n ≥ 1, 求HpDR(Sn).

解：由于 Sn连通，H0DR(Sn) = R.

在单位球面 Sn = (x1, · · · , xn+1) ∈ Rn+1|∑n+1

i=1 (xi)2 = 1中取两个开集

U = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn|xn+1 > −1

2, V = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn|xn+1 <

1

2.

则 Sn = U ∪ V , U, V 分别微分同胚于 Rn, U ∩ V 同伦等价于 Sn−1(沿大圆弧形

变). 所以

HpDR(U) = Hp

DR(V ) =

R, p = 0,

0, p > 1,Hp

DR(U ∩ V ) = HpDR(S

n−1).

当 n = 1时，U ∩ V 同伦等价于两个点，考察Mayer-Vietoris正合列

0 −→ H0DR(S1)

k∗−→ H0DR(U)⊕H0

DR(V )h∗−→ H0

DR(U ∩ V )

∆−→ H1DR(S1)

k∗−→ H1DR(U)⊕H1

DR(V ) −→ · · · ,

即

0 −→ R k∗−→ R⊕ R h∗−→ R⊕ R ∆−→ H1DR(S1) −→ 0,

所以H1DR(S1) = R.

当 n > 1时，U ∩ V 是连通的，上面的Mayer-Vietoris正合列变为

0 −→ R k∗−→ R⊕ R h∗−→ R ∆−→ H1DR(S1) −→ 0,

即得H1DR(Sn) = 0. 对 p > 1, 考察下一段Mayer-Vietoris正合列

· · · −→ Hp−1DR (U)⊕Hp−1

DR (V )h∗−→ Hp−1

DR (U ∩ V )∆−→ Hp

DR(Sn)


k∗−→ HpDR(U)⊕Hp

DR(V ) −→ · · · ,

即

0 −→ Hp−1DR (Sn−1)

∆−→ HpDR(S

n) −→ 0,

因此Hp−1DR (Sn−1) ∼= Hp

DR(Sn).所以得结果

HpDR(S

n) =

R, p = 0, n,

0, 0 < p < n.

8.4 Frobenius 定定定理理理的的的对对对偶偶偶形形形式式式

最后，我们给出 Frobenius 定理的对偶形式以及在 Lie 群上的一个应用. 我

们先证明一个引理：

定定定理理理 8.4.1 假设 ω ∈ Ω1(M), X, Y ∈ Γ(TM)，那么

dω(X, Y ) = X⟨Y, ω⟩ − Y ⟨X,ω⟩ − ⟨[X, Y ], ω⟩.

证明：我们要证明的式子关于 ω 是线性的，所以不妨假定 ω = gdf 是一个单项

式. 这样 dω = dg ∧ df，所以

dg ∧ df(X,Y ) = ⟨X, dg⟩⟨Y, df⟩ − ⟨X, df⟩⟨Y, dg⟩ = XgY f −XfY g.

另一方面，⟨X,ω⟩ = ⟨X, gdf⟩ = gXf，所以

Y ⟨X,ω⟩ = Y gXf + gY (Xf).

同理，我们有 X⟨Y, ω⟩ = XgY f + gX(Y f).

所以

XgY f −XfY g = X⟨Y, ω⟩ − Y ⟨X,ω⟩ − g⟨[X, Y ], df⟩= X⟨Y, ω⟩ − Y ⟨X,ω⟩ − ⟨[X,Y ], ω⟩.

这就是我们所需要的. 2

现在我们来叙述 Frobenius 条件的对偶条件. 如果 Lk = Lk(X1, . . . , Xk)是一

个 k 维分布，考虑它在每一点的化零子空间

L⊥k (x) = ω ∈ T ∗

xM, ⟨Xi, ω⟩x = 0.

8.4 Frobenius 定理的对偶形式 · 137 ·

当 x 在 M 中变动时，这生成一个 m − k 维的子空间场. 事实上它可以由

T ∗M 中的 m − k 个处处无关的 1-形式生成. 如果我们扩充 X1, . . . , Xk 到

X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xm 成一组处处无关切向量场的话，取它的对偶 1-形式场

ω1, . . . , ωk, ωk+1, . . . , ωm，后面m− k 个 1-形式 ωk+1, . . . , ωm 就生成了

Lm−k = spanωk+1, . . . , ωm = L⊥k .

而原来的分布可以写成方程组

ωA = 0, k + 1 6 A 6 m.

这也叫作 Pfaff 方程组. 如果分布可积，那么存在局部坐标 u1, . . . , um，使得

L⊥k = Lm−k(ωk+1, . . . , ωm) = Lm−k(duk+1, . . . , dum).

这时候我们也称 Pfaff 方程组完全可积.

根据先前的定理 8.4.1，对于 1 6 i, j 6 k，我们有

dωA(Xi, Xj) = Xi⟨Xj, ωA⟩ −Xj⟨Xi, ω

A⟩ − ⟨[Xi, Xj], ωA⟩ = −⟨[Xi, Xj], ω

A⟩.

这样，Frobenius 条件：[Xi, Xj] ≡ 0 mod (X1, . . . , Xk) 就等价于

dωA(Xi, Xj) = 0, 1 6 i, j 6 k, k + 1 6 A 6 m.

我们将 dω 写成

dωA = aijωi ∧ ωj +

m∑B=k+1

ψB ∧ ωB, aij = −aji.

直接计算

dωA(Xi, Xj) = 2aij.

所以 Frobenius 条件等价于

dωA ≡ 0 mod ωk+1, . . . , ωn.

因此 Frobenius 定理也可以叙述成：

定定定理理理 8.4.2 Pfaff 方程组

ωA = 0, k + 1 6 A 6 n

完全可积的充分必要条件是：

dωA ≡ 0 mod (ωk+1, . . . , ωn).


对于 Lie 群 G，我们称 ϕ ∈ Ω1(G) 为一个 Maurer-Cartan 形式，如果对任

意的 g ∈ G，L∗gϕ = ϕ Lg−1，即 ϕ 是左不变的 1-形式.

与前面讲的左不变向量场的情况一样，所有的 Maurer-Cartan 形式由它在

单位元上的取值唯一确定.

事实上，如果我们在 TIG 上取一组基 A1, . . . , Ak，并设 α1, . . . , αk 是对偶

基，我们分别用 Ai 和 αj 生成左不变向量场 Xi 和Maurer-Cartan 形式 ωj，那

么

⟨Xi(g), ωj(g)⟩ = ⟨(Lg)∗Ai, ωj(g)⟩ = ⟨Ai, L∗

gωj(g)⟩ = ⟨Ai, αj⟩ = δji .

也就说，在任意点 g ∈ G，ωj 与 Xi 对偶. 这样一来，如果我们记

dωi =1

2

∑j,k

aijkωj ∧ ωk, aijk = −aikj,

我们就有

dωi(Xj, Xk) = aijk.

另一方面，如果 cijk 是 Lie 群的结构常数，那么

dωi(Xj, Xk) = Xj⟨Xk, ωi⟩ −Xk⟨Xj, ω

i⟩ − ⟨[Xj, Xk], ωi⟩ = −cijk,

即 aijk = −cijk.对于线性群 GLn，Maurer-Cartan 形式可以确切地写出来：

ϕ = g−1(dg).

由于 0 = d(g−1g) = (dg−1)g + g−1dg，所以

dϕ = dg−1 ∧ dg = −g−1(dg)g−1 ∧ (dg) = −ϕ ∧ ϕ.

假设 G 是一个 Lie 群，它的基本Maurer-Cartan 形式满足结构方程

dϕi = −1

2

∑j,k

cijkϕj ∧ ϕk, 1 6 i, j, k 6 r.

如果我们有一个映射 f :M → G，那么 ωi = f ∗ϕi 满足同样的方程. 我们要证明

它的逆也成立.

定定定理理理 8.4.3 如果在流形M 上我们有 s 个 1-形式 ωi，它们满足同样的方程

dωi = −1

2

∑j,k

cijkωj ∧ ωk, 1 6 i, j, k 6 s,

那么在任意 x0 ∈ M，我们有一个 x 的连通邻域 U 和一个映射 f : U → G，使

得 ωi = f ∗ϕi. 进一步，如果我们有两个这样的映射 f, f1. 那么它们相差一个左

平移 Lg，使得 f1 = Lg f .

8.4 Frobenius 定理的对偶形式 · 139 ·

证明：令 π1, π2 分别是M ×G 到M 和 G 上的投影. 考虑M ×G 上的 Pfaff 方

程组

θi = π∗1ω

i − π∗2ϕ

i = 0.

由于 ϕi 是 G 的基本Maurer-Cartan 形式，它们是处处无关的，所以 θi 也是处

处线性无关的. 另外

dθi = −1

2

∑j,k

cijk(ωj ∧ ωk − ϕj ∧ ϕk)

= −1

2

∑j,k

cijk(ωj ∧ ωk − ωj ∧ ϕk + ωj ∧ ϕk − ϕj ∧ ϕk)

= −1

2

∑j,k

cijk(ωj ∧ θk − θj ∧ ϕk) ≡ 0 mod (θ1, . . . , θs).

根据上面的定理，这个 Pfaff 方程组是完全可积的. 即在 (x0, a0) ∈ M × G附近有一个邻域 U × V，在这个邻域上，积分流形是

φi(x, a) = 0, 1 6 i 6 s,

而且 φi(x0, a0) = 0. 由于 L⊥(θ1, . . . , θs) = L⊥(dφ1, . . . , dφs)，再加上 ϕi 是无关

的，所以∂(φ1, . . . , φs)

∂(a1, . . . , as)

是非退化的. 根据隐函数定理，我们有唯一的 f : U0 → V0，使得 a0 = f(x0)，

而且 φi(x, f(x)) = 0,∀i.定义 F (x) = (x, f(x)) : U0 → U0 × V0，由于 L⊥(θi) 是 F∗(TM) 的化零子空

间，所以 F ∗(θi) = 0. 即

0 = F ∗(θi) = F ∗(π∗1ω

i − π∗2ϕ

i) = (π1 F )∗ωi − (π2 F )∗ϕi = ωi − f ∗ϕi.

这就完成了 f 的存在性的证明.

关于唯一性部分，如果 f1 : U0 → G, f1(x0) = a1 也满足定理的条件，那么

F1(x) = (x, f1(x)) 也是 L⊥(θi) 所确定的积分子流形. 令 g = a0a−11 ，那么 Lg f1

满足同样的初值条件，所以它们相同. 2

习题

1. 设 f(u, v) = (uv, u2, 3u+ v), w = xydx+ zdy − yzdz, 试求 f ∗(dw).

2. 设 α 是闭形式，β 是恰当形式，求证 α ∧ β 也是恰当形式.


3. 设

w =−ydx+ xdy

x2 + y2.

证明 w 是一个闭微分形式，但不是一个恰当形式.

4. 计算 de Rham 上同调环H∗DR(S1).

5. 计算M = R− (0, 0) 的 de Rham 上同调环H∗DR(M).

6. 设 ω ∈ Ωk(M), X1, · · · , Xk+1 ∈ Γ(TM)，证明

dω(X1, · · · , Xk+1) =k+1∑i=1

(−1)i−1Xiω(X1, · · · , Xi, · · · , Xr+1)

+∑i<j

(−1)i+jω([Xi, Xj], X1, · · · , Xi, · · · , Xj, · · · , Xk+1).

7. 设 X ∈ Γ(TM), 定义映射 iX : Ωk(M) → Ωk−1(M) 使得对 X1, · · · , Xk−1 ∈Γ(TM)，φ ∈ Ωk(M) 有

iXφ(X1, · · · , Xk−1) = φ(X,X1, · · · , Xk−1),

对 f ∈ Ω0(M) = C∞(M), 规定 iXf = 0. 证明：

(1) i2X = 0;

(2) 对 φ ∈ Ωk(M), ψ ∈ Ωs(M), 有

iX(φ ∧ ψ) = (iXφ) ∧ ψ + (−1)kφ ∧ (iXψ).

8. 设 X ∈ Γ(TM), 定义映射 LX : Ωk(M) → Ωk(M) 使得对 φ ∈ Ωk(M)

有LXφ = iXdφ+ d(iXφ), 对 f ∈ C∞(M), 规定 LXf = Xf . 证明：

(1) LXd = dLX ;

(2) 对 φ ∈ Ωk(M), ψ ∈ Ωs(M), 有

LX(φ ∧ ψ) = (LXφ) ∧ ψ + φ ∧ (LXψ);

(3) 对 f ∈ C∞(M) 有 LfXφ = df ∧ iXφ+ fLXφ.

9. 设 i = 1, · · · ,m, ωα = dyα − aαi (x1, · · · , xm, y1, · · · , yk)dxi, α = 1, · · · , k. 试求 ωα = 0, α = 1, · · · , k 的可积条件.

第第第九九九章章章定定定向向向、、、积积积分分分和和和 Stokes 定定定理理理

本章将欧氏空间上的普通积分利用单位分解推广到可定向流形上的微分形式的

积分，将经典的 Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式推广到带边流形上成为

一般的 Stokes 公式，并且将此积分应用到计算具有紧支集的 de Rham 上同调

群上.

9.1 流流流形形形上上上积积积分分分的的的定定定义义义

设M 是一个 m 维流形，ω 是M 上的一个有紧致支集的 m 形式. 我们希望定

义 ω 在流形M 上的积分.

最自然的方法当然是利用单位分解. 假定我们有一个 M 的坐标覆盖

(Uα, φα)，令 λi 是隶属于 Uα 的一个单位分解，我们将 ω 分解成∑i

λiω.

由于 ω 有紧支集，上面的 λiω 仅有有限多个非零. 对于每一个 λiω，它的支集

落在一个局部坐标系 (U,φ) 中，所以在局部

λiω = f(u)du1 ∧ · · · ∧ dum.

我们定义 ∫M

λiω =

∫Rm

f(u)du1 · · · dum.

最后将有限项加起来就行了：∫M

ω =∑i

∫M

λiω.

这个想法最最自然了.

但是这里有一个问题：如果 λiω 还落在另外一个坐标系 (V, ϕ) 中，我们也

可以采用另一个局部表示

λiω = f(u(v))det

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]dv1 ∧ · · · ∧ dvm.

141

· 142 · 第 9章定向、积分和 Stokes 定理

根据这个表示，我们的∫M

λiω =

∫Rm

f(u(v))det

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]dv1 · · · dvm.

另一方面，我们从微积分中积分的坐标变换知道∫Rn

f(u)du1 · · · dum =

∫Rm

f(u(v))

∣∣∣∣det [∂(u1, . . . , um)∂(v1, . . . , vm)

]∣∣∣∣ dv1 · · · dvm.如果 det[∂ui/∂vj] < 0 的话，我们就会相差一个符号，这样的情况下，我们积

分的定义就会遇到问题. 这个讨论导致了如下的定义：

定定定义义义 9.1.1 流形 M 上有两个局部坐标系 (U,φ), (V, ϕ)，我们称这两个坐标系

是保持定向的，如果坐标转换函数

u(v) = φ ψ−1(v) : ψ(U ∩ V )→ φ(U ∩ V )

的 Jacobi 行列式

det

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]> 0.

注意，如果这个条件成立，那么这个坐标转换函数的逆也自动满足同样的条件.

如果流形M 有一簇坐标覆盖 U = (Uα, φα)，使得其中任意两个都是保持定向的，我们称这样的流形M 是可定向的.

进一步这样一簇保持定向的坐标覆盖 U = (Uα, φα) 还满足：任意与 U 中

的所有坐标系保持定向的坐标系也落在 U 中，我们称这样的 U 是流形M 的一

个定向.

我们这里说定向时，也将坐标覆盖做到最大，道理与我们定义微分结构的

时候一样，保证了唯一性，本质上一个定向由一个两两保持定向的坐标覆盖完

全确定了.

我们来证明 m 维球面 Sm 是一个可定向流形，我们前面计算过它的一组坐标覆盖 (U±

i , φ±i ) 的坐标转换函数：v = φ+

i (φ+)−1j (u):

vk = uk, k = i, j; vj =

√1−

∑k =j

(uk)2.

所以，根据 i < j 或者 i > j，Jacobi 矩阵分别是：

∂(v1, . . . , vi, . . . , vm+1)

∂(u1, . . . , uj, . . . , um+1)=

I 0 0 0

0 0 I 0

∗ − ui√1−

∑k =j(u

k)2∗ ∗

0 0 0 I

,I 0 0 0

∗ ∗ − ui√1−

∑k =j(u

k)2∗

0 I 0 0

0 0 0 I

.

9.1 流形上积分的定义 · 143 ·

它的行列式是

(−1)i+j ui√1−

∑k =j(u

k)2.

同样可以计算 φ−i (φ+)−1

j 的 Jacobi 行列式，它是

(−1)i+j−1 ui√1−

∑k =j(u

k)2.

我们现在的这些坐标系不能够保持定向. 但是，如果我们修改我们的坐标映

射，在 φ+i 的 i mod 2 个分量上加上负号，而在 φ−

i 的 i − 1 mod 2 个分量上

添加负号，那么所有的坐标转换函数就都成为保持定向的了. 这就得到了 Sm

的一个保持定向的坐标覆盖，所以 Sm 是可定向的.

有了流形M 上的定向之后，我们便可以按上面的方法来定义积分. 不过，

我们还需要检查我们的定义与单位分解的选择无关.

假定我们有两个单位分解 λi, µj，而 suppλi ⊂ Ui, suppµj ⊂ U ′j，那么我们可

以有两种方式来定义 ω 的积分：∑i

∫M

λiω,∑j

∫ ′

M

µjω,

这里的积分∫M,∫ ′M表示分别用局部坐标系 Ui 或者 U ′

j 来计算的积分. 我们希望

证明这两种定义的结果是一样的.

考虑 µjλiω 的积分，由于 (Ui, φi) 与 (U ′j, φ

′j) 是保定向的，前面的计算告诉

我们：无论在哪一个坐标系下计算积分，结果是一样的. 即∫M

µjλiω =

∫ ′

M

µjλiω.

这样我们就有∑i

∫M

λiω =∑i,j

∫M

µjλiω =∑i,j

∫ ′

M

µjλiω =∑j

∫ ′

M

µjω.

这就证明了两种定义的值相同. 所以我们关于定向流形上的积分是合理的.

显然，我们这里定义的积分是线性的，即∫M

(aω + bξ) = a

∫M

ω + b

∫M

ξ.

关于流形的定向，我们还希望多说几句.


定定定理理理 9.1.1 流形 M 是可定向的当且仅当存在一个处处非零的 m 形式 ω ∈Ωm(M).

证明：必要性的证明：如果 (Uα, φα) 是一个定向，设 λi 是隶属于 Uα 的一个单位分解，使得 suppλi ⊂ Ui. 我们令

ωi = λidu1 ∧ · · · ∧ dum,

而

ω =∑i

ωi.

注意到 suppωi = suppλi，而且 suppλi 又是局部有限的，所以 ω 是有定义的.

我们来证明 ω 是处处非零的. 在任意点 x 上，假定 λi0(x) > 0，那么在局部

坐标系下

ω =

(λi0 +

∑i =i0

λidet

[∂(v1i , . . . , v

mi )

∂(u1, . . . , um)

])du1 ∧ · · · ∧ dum = 0,

即 ω 处处非零.

充分性的证明：假定 ω ∈ Ωm(M)，而且处处非零. 对于任意局部坐标系

(Uα, φ)，在局部

ω = f(u)du1 ∧ · · · ∧ dum.

由于 ω = 0，那么 f > 0 或者 f < 0 (这里我们假设了 Uα 是连通的). 如

果 f > 0，我们将这个 (Uα, φα) 留下. 不然的话，我们作一个新的坐标映射

φ′α = τ φα，这里的

τ(u1, . . . , um) = (−u1, . . . , um).

在 (Uα, φ′α) 下，

ω = −f(u)du′1 ∧ · · · ∧ du′m.

这时 −f > 0，我们就留下 (Uα, φ′α). 显然，如果我们从一个坐标覆盖出发的

话，所有留下的局部坐标系也构成一个坐标覆盖.

最后我们来证明我们选出来的坐标覆盖中任意两个局部坐标系是保持定向

的. 在两个坐标邻域重叠的地方

ω = f(u)du1 ∧ · · · ∧ dum = f(u(v))det

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]dv1 ∧ · · · ∧ dvm,

而且

f > 0, fdet

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]> 0,

9.2 具有紧支集的 de Rham 上同调群 · 145 ·

这就蕴含了

det

[∂(u1, . . . , um)

∂(v1, . . . , vm)

]> 0.

这就是我们想要证明的. 所以我们完成了定理的证明. 2

这个定理证明中的构造还可以给出更加多的结论. 如果我们在流形M 上有

一个定向，利用必要性证明中的构造，我们可以得到一个 ω，那么在这个定向

的所有局部坐标系下，都有

ω = fdu1 ∧ · · · ∧ dum, f > 0.

这个构造不是唯一的，如果另外一个单位分解得到一个 ξ. 由于 Λm(T ∗xM) 是一

维的线性空间，我们看到存在一个 f > 0，使得 ξ = fω.

在充分性的证明中，如果从一个处处非零的m-形式出发，得到一个坐标覆

盖，进一步添加所有可能的这样的局部坐标的话，我们就可以得到一个定向.

而且我们在 ω 上乘上一个正的函数，不会改变我们的定向. 而乘上 −1 的话，所得到的定向将是不同的.

这样一来，我们知道

定定定理理理 9.1.2 可定向流形M 上至少有两个定向. 如果它是连通的，那么恰好有

两个定向. 在两个不同的定向下对一个 m-形式进行积分，所得的结果恰好相差

一个符号.

9.2 具具具有有有紧紧紧支支支集集集的的的 de Rham 上上上同同同调调调群群群

我们假定M 是可定向的，引入记号

Ωkc (M) = ξ ∈ Ωk(M)| supp(ξ) 是一个紧致集合,

这叫做具有紧支集的 k-形式空间.

对一个有紧支集的 k-形式外微分，其结果是一个有紧支集的 k + 1-形式，

所以

0 −−−→ Ω0c(M)

d−−−→ Ω1c(M)

d−−−→ · · · d−−−→ Ωmc (M) −−−→ 0.

记 Zkc (M) = kerd : Ωk

c (M) → Ωk+1c (M) = Zk(M) ∩ Ωk

c (M), Bkc (M) = Imd :

Ωk−1c (M) → Ωk

c (M)，分别称为紧支集上闭链群和紧支集上边缘链群. 而

d2 = 0 告诉我们 Bkc (M) ⊂ Zk

c (M)，商群

Hkc (M) = Zk

c (M)/Bkc (M)


则被称为M 的紧支集 de Rham 上同调群.

对于紧流形 M 来讲，Ωkc (M) = Ωk(M), Zk

c (M) = Zk(M), Bkc (M) =

Bk(M)，所以 Hkc (M) = Hk

DR(M). 对于非紧流形来讲，这两个同调群就不

同了.

我们来计算 H∗c(R). 考虑 f ∈ Z0

c (R)，显然 df = 0，那么 f 就是一个常数.

另一方面，f 有紧支集，所以 f ≡ 0. 这样H0c(R) = 0.

如果 fdt ∈ Z1c (R)，并假定 suppf ⊂ (a, b)，那么我们令

g(t) =

∫ t

−∞f(s)ds.

显然 dg = fdt，而这个也有紧支集的充分必要条件是∫R f(s)ds = 0. 这说明

H1c(R) = R.除非流形是紧的，这个时候紧支集的 de Rham 上同调理论与通常的 de

Rham 理论没有差别. 在一般流形的情况下，光滑映射 f : M → N 未必诱导了

f ∗ : Ωkc (N)→ Ωk

c (M). 在 de Rham 上同调理论中，如果我们有

M × R

π

yxs0M

其中 π 是投影，s(x) = (x, 0) 是零截面. 那么 π s = id，所以 s∗ π∗ = id :

H∗DR(M) → H∗

DR(M). 另外一方面，我们有 π∗ s∗ : Ω∗(M × R) → Ω∗(M × R)是链同伦于 id 的. 虽然我们前面证明的同伦定理不是以这样的形式出现的，但

本质是一样的.

在 de Rham 上同调理论中，对于 Ωk(M ×R) 中的形式 ω，它们有一个自然

的分解：

ω = dt ∧(aiπ

∗(ξi))+ bjπ

∗(ηj), ξi ∈ Ωk−1(M), ηj ∈ Ωk(M).

这样，

hk(ω) =

∫ t

0

ai(u, s)dsπ∗(ξi) : Ωk(M × R)→ Ωk−1(M × R)

就满足 id− π∗ s∗ = h d+ d h，这就说明在链水平上 π∗ s∗ ∼ id，所以在上

同调水平就有 π∗ s∗ = id.

同样的做法对于截面 s1(x) = (x, 1) 也适用，我们仅仅需要在定义 hk 的时

候，将积分的下限改为 1 就行了. 这样 s∗ = π∗−1 = s∗1. 同伦的两个映射诱导相

同的 de Rham 上同调群之间的映射也可以从这里导出.


对于紧支集 de Rham 上同调群，我们也希望建立类似的定理. 这里遇到的

第一个问题就是 π∗ : Ω∗c(M)→ Ω∗(M ×R) 的像不再是紧支集的. 所以我们要另

外定义一个叫做沿纤维积分的映射：

i∗ : Ωkc (M × R)→ Ωk−1

c (M), i∗(ω) = (−1)k(∫

Rai(u, t)dt

)ξi.

显然

di∗(ω) = (−1)k(∫

R

∂ai∂uj

dt

)duj ∧ ξi + (−1)k

(∫Raidt

)dξi,

i∗(dω) = i∗

(−dt ∧ ∂ai

∂ujduj ∧ ξi − dt ∧ aidξi

)= (−1)k+2

(∫R

∂ai∂uj

dt

)duj ∧ ξi + (−1)k+2

(∫Raidt

)dξi

是相等的. 所以 i∗ : Ω∗c(M × R) → Ω∗−1

c (M) 是一个链映射. 注意，在这里我们

的指标向下平移了一个.

另外，我们还需要定义一个反过来的链映射. 取一个 fdt ∈ Ω1c(R),

∫R fdt =

1，那么我们定义：

e∗ : Ωkc (M)→ Ωk+1

c (M × R), e∗(ξ) = (−1)k+1fdt ∧ π∗(ξ).

这也是一个链映射. 而且，根据定义就有 i∗ e∗ = id. 反过来，在链群的水平

上，

e∗ i∗(ω) = (−1)k(∫

Rai(u, s)ds

)e∗(ξ

i) = f

(∫Rai(u, s)ds

)dt ∧ π∗(ξi) = ω.

但是我们可以证明：

定定定理理理 9.2.1 e∗ i∗ : Ωkc (M × R)→ Ωk

c (M × R) 与 id 是链同伦的.

证明：我们来构造一个链同伦 hk : Ωk(M × R) → Ωk−1c (M × R). 对于 ω =

dt ∧(aiπ

∗(ξi))+ bjπ

∗(ηj) ∈ Ωkc (M × R)，我们定义

hk(ω) =

(∫ t

−∞ai(u, s)ds−

∫ t

−∞f(s)ds

∫Rai(u, s)ds

)π∗(ξi).


这样一来

(id− e∗ i∗)ω =

(ai(u, t)− f(t)

∫Rai(u, s)ds

)dt ∧ π∗(ξi) + bjπ

∗(ηj),

dhk(ω) =aidt ∧ π∗(ξi)− f(t)(∫

Raids

)dt ∧ π∗(ξi)

+

(∫ t

−∞

∂ai∂uj

ds−∫ t

−∞f(s)ds

∫R

∂ai∂uj

ds

)duj ∧ π∗(ξi)

+

(∫ t

−∞aids−

∫ t

−∞f(s)ds

∫Raids

)dπ∗(ξi),

hk+1dω =hk+1

(−dt ∧ ∂ai

∂ujduj ∧ π∗(ξi)− aidt ∧ dπ∗(ξi)

+∂bj∂tdt ∧ π∗(ηj) + bjdπ

∗(ηj)

)=−

(∫ t

−∞

∂ai∂uj

ds−∫ t

−∞f(s)ds

∫R

∂ai∂uj

ds

)duj ∧ π∗(ξi)

−(∫ t

−∞aids−

∫ t

−∞f(s)ds

∫Raids

)dπ∗(ξi) + bjπ

∗(ηj)

−∫ t

−∞f(s)ds

(∫R

∂bj∂tds

)π∗(ηj).

注意到∫R ∂bj/∂tds = 0. 所以，我们有

id− e∗ i∗ = dhk + hk+1d.

这就证明了 e∗ i∗ 链同伦于 id. 2

根据这个定理，我们知道Hkc (M) = Hk+1

c (M × R). 特别地，根据归纳法，我们就有

Hkc (Rm) =

R, k = m,

0, k = m.

积分对可定向流形同调理论的研究有很大帮助. 对于 ξ ∈ Ωm−1c (M)，我们考

虑积分 ∫M

dξ =

∫M

d

(∑i

λiξ

)=∑i

∫M

d(λiξ).

注意：由于 ξ 有紧支集，所以上面的和式是一个有限和. 由于 λiξ 的支集就落

在一个坐标系中，对于每一项 ∫M

d(λiξ),


我们可以在这个坐标系下直接积分. 在局部坐标系下，λiξ = fjdu1 ∧ · · · ∧ du

j∧

· · · ∧ dum，所以∫Rm

d(λiξ) =∑j

(−1)j−1

∫Rm

∂fj∂uj

du1 · · · dum

=∑j

(−1)j−1

∫Rn−1

(∫R

∂fj∂uj

duj)du1 · · · du

j· · · dum = 0.

这个计算可以看成是我们后面要讲的 Stokes 定理的一个特殊情形.

假定M 是可定向的流形，在定向流形上∫M定义了 Zm

c (M) = Ωmc (M) 上的

一个函数，而∫M在 Bm

c (M) 上取值为零. 这样一来，∫M事实上是Hm

c (M) 上

的一个函数.

取M 的一个坐标系，并构造

ω = hdu1 ∧ · · · ∧ dum,

其中的 h 是一个截止函数. 这样一来∫M

ω > 0.

我们就得到如下的定理：

定定定理理理 9.2.2 如果M 是可定向的，那么Hmc (M) = 0.

看上去定理的证明之中并没有真的用到流形的定向，实际上我们是用了. 没

有定向的话，我们是不能定义积分的.

接下来我们考虑 Sm 上的一个具体映射：

r(u1, . . . , um+1) = (−u1, . . . ,−um+1) : Sm → Sm.

这个映射叫做球面的对径映射. 我们在 U+1 上取坐标映射 φ+

1 (u1, . . . , um+1) =

(−u2, . . . , um+1)，按照上面讲的，我们在 U−1 上取坐标映射 φ−

1 (u1, . . . , um+1) =

(u2, . . . , um+1). 在这样两个局部坐标系下，r 的局部表示是

φ+1 r (φ−

1 )−1(u2, . . . , u

m+1) = (u2,−u3, . . . ,−um+1).

如果我们在 U−1 上选择

ω = hdu2 ∧ · · · ∧ dum+1,

其中 h(u) = h(∥u∥) 是一个截止函数，那么∫Smω =

∫Rm

hdu2 · · · dum+1 = a > 0.


另一方面，det(Dφ+1 r (φ−

1 )−1) = (−1)m−1，所以∫

Smr∗(ω) =

∫Rm

h(−1)m−1du2 · · · dum+1 = (−1)m−1a.

当m 是偶数的时候，∫Sm r

∗([ω]) = −∫Sm [ω]，所以 r 不会同伦于 id.

作为一个推论，我们可以证明：当 m 为偶数的时候，TSm 不是一个平凡丛. 事实上，我们有

定定定理理理 9.2.3 当m 为偶数的时候，TSm 不存在一个恒不为零的切向量场.

证明：我们用反证法. 如果 TSm 有一个处处非零的切向量场 X，我们不妨想象

Sm ⊂ Rm+1，而且 X(u) ⊥ u, ∥X∥ = 1. 这是因为 X(u) 可以看作 Sm 上一条过u 点的曲线在 u 点的切向量. 令 θ(t) 是一个函数，使得 θ(−∞, 0] = 0, θ[1,∞) =

1，构造

F (u, t) = u cos(θ(t)π) +X(u) sin(θ(t)π) : Sm × R→ Sm.

显然，F (u, 0) = u, F (u, 1) = −u，这就是一个从 id 到对径映射 r 同伦. 这个矛

盾说明这样的 X 不存在. 2

9.3 带带带边边边流流流形形形

在叙述和证明 Stokes 定理之前，我们还需要一些准备知识.

我们从半空间 Rm+ = (u1, . . . , um) ∈ Rm| um > 0 开始，它是 Rm 的一个闭

子集，集合 ∂Rm+ = (u1, . . . , um) ∈ Rm

+ | um = 0 称为是 Rm+ 的边界，它同胚于

Rm−1，而 IntRm+ = Rm

+ − ∂Rm+ 叫做内部. 这个空间是我们研究带边流形的模型

空间.

第一个问题是如何理解 Rm+ 上的光滑函数. 实际上，对任意子集 S ⊂ Rm，

我们说函数 f : S → R 是光滑的，如果 f 可以光滑地延拓到 S 的一个开邻域

上. 即存在一个包含 S 的开集 U 和一个光滑函数 F : U → R，使得 F |S = f .

注意 f 的光滑延拓并不唯一.

对于我们的模型空间 Rm+ 来说，IntRm

+ 中的点与 Rm 中的点无异，事实上

IntRm+ 微分同胚于 Rm.

如果 U ⊂ Rm+ 是一个开集，而且 U ∩ ∂Rm

+ = ∅，φ 是 U 与 Rm+ 中另一个

开集 V 之间的一个微分同胚. 我们要证明 φ(U ∩ ∂Rm+ ) = V ∩ ∂Rm

+，也就是

说 φ|U∩∂Rm+是 U ∩ ∂Rm

+ 与 V ∩ ∂Rm+ 之间的一个微分同胚. 事实上，我们仅需

9.3 带边流形 · 151 ·

要证明 φ(U ∩ ∂Rm+ ) ⊂ V ∩ ∂Rm

+ 就行了. 因为，如果这是对的，那么我们也就

有 φ−1(V ∩ ∂Rm+ ) ⊂ U ∩ ∂Rm

+ . 如果不对的话，我们就有 u ∈ U ∩ ∂Rm+，使得

φ(u) ∈ V ∩ IntRm+ . 再用反函数定理，我们就得到一个矛盾，因为反函数定理断

言 φ−1 是 φ(u) 到 u ∈ Rm 的一个局部微分同胚，而实际上 u ∈ ∂Rm+ .

不仅如此，如果记 v = φ(u)，由于

vm(u1, . . . , um−1, 0) = 0, vm(u1, . . . , um) > 0(um > 0),

所以∂vm

∂ui(u1, . . . , um−1, 0) = 0,

∂vm

∂um(u1, . . . , um−1, 0) > 0,

即∂(v1, . . . , vm)

∂(u1, . . . , um)

∣∣∣∣∂Rm

+

=

[∂(v1,...,vm−1)∂(u1,...,um−1)

∗0 ∂vm

∂um

].

这样一来

det

[∂(v1, . . . , vm)

∂(u1, . . . , um)

]> 0.

就蕴含了

det

[∂(v1, . . . , vm−1)

∂(u1, . . . , um−1)

∣∣∣∣∂Rm

+

]> 0,

∂vm

∂um

∣∣∣∣∂Rm

+

> 0.

也就是说，如果 φ 是保持定向的话，它在 ∂Rm+ 上的限制也是保持定向的.

定定定义义义 9.3.1 一个拓扑空间M 被称为是一个 m 维带边流形，如果它是一个满

足第二可数公理的 Hausdorff 空间，而且对任意的 x ∈ M，存在一个 x 的开邻

域 U 和一个映射 φ : U → Rm+，这个 φ 的像 φ(U) 是 Rm

+ 中的一个开集，而且

φ : U → φ(U) 是一个同胚. 这样的 (U,φ) 也被称为M 的一个局部坐标系. 不仅

如此，如果我们有两个局部坐标系 (U,φ), (V, ψ)，在它们重叠的地方，坐标转

换函数：

ψ φ−1 : φ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V )

是一个光滑同胚.

称 x ∈ M 是一个边界点，如果 x 有一个局部坐标系 (U,φ)，使得 φ(x) ∈∂Rm

+ . 根据上面的讨论，这个定义不依赖于局部坐标系的选择. 所有的边界点的

集合叫做M 的边界，记作 ∂M .

当然最简单的带边流形的例子就是我们的模型空间 Rm+，除此之外，最简单

的应当算是m 维实心球了.

Dm = (u1, . . . , um) ∈ Rm, ∥u∥ 6 1.


对于 u0 ∈ B1(0)，局部坐标系就可以取

φ(u) = u+ (0, . . . , 0, 1) : B1(0)→ B1(0) + (0, . . . , 0, 1).

对于 u0 ∈ Dm, ∥u0∥ = 1，我们则有

u 7→ g(u) 7→ h g(u) : U = v ∈ Dm; ∥v − u0∥ < 1/2 → Rm+ ,

这里的 g ∈ SO(m), g(u0) = (0, . . . ,−1)，而

h(u1, . . . , um−1, um) =

u1, . . . , um−1, um +

√√√√1−m−1∑i=1

(ui)2

.

不难验证坐标转换函数是光滑的.

如果 x ∈ ∂M，那么存在 (U,φ)，使得φ(x) ∈ ∂Rm+ . 这样φ−1(∂Rm

+ ) ⊂ ∂M，

而且是 x 在 ∂M 中的一个邻域 U ′，而 φ|U ′ : U ′ → ∂Rm+ = Rm−1. 这说明 ∂M 也

是局部 Euclid 的，不过维数是m − 1. 用这样的方式我们可以在 ∂M 上给出一

簇坐标覆盖，按照前面的说法，这簇坐标覆盖中的任意两个坐标系还是 C∞ 相

容的. 所以 ∂M 上有一个自然的m− 1 维的流形结构.

不仅如此，如果M 是可定向流形，那么 ∂M 也是. 从上面 Rm+ 上局部微分

同胚的讨论中我们还看到M 上的定向 du1 ∧ · · · ∧ dum−1 ∧ dum 诱导边界上的定向 (−1)mdu1 ∧ · · · ∧ dum−1，这也叫做外指法向量诱导的 ∂M 上的自然定向.

∂Rm+ 同胚于 Rm−1，而 ∂Dm 同胚于 Sm−1.

对于带边流形M，我们一样可以定义切空间，余切空间等概念，所有的推

导是平行的. 特别地，我们也可以定义 de Rham 上同调群. 有关同伦的结果也

是一样的.

同样从函数 h : R→ R, h(−∞, 0] = 1, h[1,∞) = 0 出发. 定义映射

F (u, t) = h(t)x : Dm × R→ Dm.

这给出了 id : Dm → Dm 到常值映射之间的同伦. 所以

HkDR(Dm) =

R, k = 0,

0, k > 1.

作为带边流形理论的一个应用，我们来证明著名的 Brouwer 不动点定理.

定定定义义义 9.3.2 设M 是一个流形，S ⊂ X 是一个子集，我们说 S 是M 的一个收

缩核，如果存在一个映射 F : X → S ⊂M，使得 F i = id : S → S.

9.3 带边流形 · 153 ·

我们有如下的定理：

定定定理理理 9.3.1 Sm−1 ⊂ Dm 不是 Dm 的收缩核.

证明：由于 Sm−1 是可定向的. 根据前面的定理 9.2.2，我们有 Hm−1DR (Sm−1) =

Hm−1c (Sm−1) = 0.

如果 Sm−1 ⊂ Dm 是一个收缩核，那么

i∗ F ∗ = id : Hm−1DR (Sm−1)

F ∗→ Hm−1

DR (Dm)i∗→ Hm−1

DR (Sm−1).

这是不可能的，因为Hm−1DR (Dm) = 0. 这个矛盾就证明了我们的定理. 2

现在我们来证明 Brouwer 不动点定理.

定定定理理理 9.3.2 f : Dm → Dm 是一个连续映射，那么 f 一定有一个不动点，即存

在 x0 ∈ Dm，使得 f(x0) = x0.

证明：我们首先假定 f 是光滑的，如果 f 没有不动点，那么对于任意的

x ∈ Dm，f(x) = x，令

u(x) =x− f(x)∥x− f(x)∥

,

而且 F (x) = x + λu(x)，使得 ∥F (x)∥ = 1，而且 λ > 0. 事实上我们可以解出

λ：

λ =√

1− ∥x∥2 + (x · u(x))2 − x · u(x).这个 F 便是 Dm 到 Sm−1 的一个收缩映射. 这个矛盾说明 f 一定有一个不动点.

对于 f 仅仅是连续的情形，如果 f 没有不动点，那么 ∥x − f(x)∥ 在紧集 Dm 有一个正的下界 ϵ > 0. 我们用前面的方法构作一个光滑的 f 来逼近

f . 做法与前面一样，对每一个 x ∈ Dm，我们可以找到一个邻域 Ux，使得

maxy∈Ux ∥f(y)− f(x)∥ 6 ϵ/2. 由于 Dm 是紧致的，存在 Dm 的一个有限开覆盖

Uxi. 再选择一个隶属于 Uxi 的单位分解 λi. 假定 suppλi ⊂ Uxi，我们令

f(x) =∑i

λif(xi).

这个 f 是光滑的，由于 Dn 是凸的，所以 f : Dm → Dm. 而且

∥f(x)− f(x)∥ = ∥∑i

λi(f(x)− f(xi))∥ ≤ϵ

2

∑i

λi ≤ϵ

2.

进一步

∥x− f(x)∥ > ∥x− f(x)∥ − ∥f(x)− f(x)∥ > ϵ− ϵ

2=ϵ

2.

也就是说，f 也没有不动点，这与我们前面讲的矛盾. 这个矛盾便证明了

Brouwer 不动点定理. 2


9.4 Stokes 公公公式式式

现在我们来叙述并证明 Stokes 定理：

定定定理理理 9.4.1 如果M 是一个定向流形，ω ∈ Ωn−1c (M) 是一个有紧支集的 m − 1

形式，那么 ∫M

dω =

∫∂M

ω.

注意：定理中等式的右端理解成 ω = i∗(ω)，而 ∂M 上的定向为外指法向诱

导的自然定向.

证明：与过去一样，我们选择一个隶属于坐标覆盖的单位分解 λi，那么∫M

dω =∑i

∫M

d(λiω).

然后，我们就可以在局部坐标系 (Ui, φi) 中计算∫M

d(λiω)

假定 λiω = fjdu1 ∧ · · · ∧ du

j∧ · · · ∧ dum. 我们分两种情况计算这个积分：如果

Ui ∩ ∂M = ∅，那么∫Rm

d(λiω) =∑j

(−1)j−1

∫Rm

∂fj∂uj

du1 · · · dum

=∑j

(−1)j−1

∫Rm−1

(∫R

∂fj∂uj

duj)du1 · · · du

j· · · dum = 0.

如果 Ui ∩ ∂M = ∅，注意到 i∗dum = 0，我们有∫Rm+

d(λiω) =∑j

(−1)j−1

∫Rm+

∂fj∂uj

du1 · · · dum

=n−1∑j=1

(−1)j−1

∫Rm−1+

(∫R

∂fj∂uj

duj)du1 · · · du

j· · · dum+

+ (−1)m−1

∫Rm−1

(∫R+

∂fm∂um

dum)du1 · · · dum−1

= (−1)m∫Rm−1

fm(u1, . . . , um−1, 0)du1 · · · dum−1 =

∫∂M

λii∗(ω).

9.4 Stokes 公式 · 155 ·

所以，我们就得到 ∫M

dω =

∫∂M

ω.

这就证明了 Stokes 定理. 2

我们在微积分中曾经遇到过 Green 定理：设 D ⊂ R2 是一个具有光滑边界

的有界区域，那么 ∮∂D

Pdx+Qdy =

∫D

(Qx − Py)dxdy.

还有 Gauss 定理：设 D ⊂ R3 是一个有界区域，这个区域的边界是一个光滑曲

面，那么 ∫∂D

Pdydz +Qdzdx+Rdxdy =

∫D

(Px +Qy +Rz)dxdydz

都是 Stokes 定理的特例. 而微积分课程中遇到的 Stokes 定理，则可以看成是如

下形式的推广：

定定定理理理 9.4.2 设 φ :Mn → N 是一个可定向紧致带边流形的浸入，ω ∈ Ωn−1(N),

那么 ∫∂M

φ∗(ω) =

∫M

φ∗(dω).

习题

1. 应用流形上的 Stokes 公式直接验证数学分析中的 Green 公式，Stokes 公式

和 Gauss 公式.

2. 设

w =−ydx+ xdy

x2 + y2,

C 为任一包含原点的平面闭区域的正向边界曲线，计算∫Cw.

3. 设

w =xdy ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy

(x2 + y2)3/2,

计算∫S2(r)w, 其中 S2(r) 方向取外侧.

4. 证明一次形式 ω = (x2 + 2xy − y2)dx + (x2 − 2xy − y2)dy 是一个恰当形式,

求出它的原函数.

5. 证明: 单连通流形上闭的一次形式 ω 总是恰当形式.


6. 证明：对微分流形M，它的切丛 TM 是一个可定向流形.

7. 设M 是 n 维紧致流形，α, β 分别是M 上的 k 和 n− k− 1 次外微分形式，

试比较∫Mα ∧ dβ 和

∫Mdα ∧ β 的值.

第第第十十十章章章 Euclid 空空空间间间的的的子子子流流流形形形几几几何何何

本章以三维欧氏空间中的曲面为例介绍用活动标架法研究内蕴几何，用活动标

架给出 Gauss-Bonnet 定理的一个内蕴证明，再将活动标架法推广到高维欧氏

空间的子流形几何上，得到相应的结果，最后从中提炼出联络的概念.

10.1 曲曲曲面面面几几几何何何和和和活活活动动动标标标架架架

通常研究微分几何都是从曲线开始，但是我们这里将从曲面开始. 其原因有

二，一是曲线有点过分简单，二是曲线没有内蕴几何.

作为一个引子，我们从一个光滑浸入的曲面片

x = x(u1, u2) : U ⊂ R2 → R3

出发. 按照通常的做法，我们有自然标架：

X1 =∂x

∂u1, X2 =

∂x

∂u2, e3 =

X1 ×X2

∥X1 ×X2∥.

这样我们定义

ds2 = (dx, dx) =(X1du

1 +X2du2, X1du

1 +X2du2)

= ∥X1∥2(du1)2 + 2(X1, X2)du1du2 + ∥X2∥2(du2)2

= E(du1)2 + 2Fdu1du2 +G(du2)2.

这叫做曲面的第一基本形式，它给出了曲面上曲线的长度. 如果 f(t) =

(u1(t), u2(t)) 是曲面上的一条曲线，我们就有曲线的长度公式

ℓba =

∫ b

a

√E(u1(t)

)2+ 2Fu1(t)u2(t) +G

(u2(t)

)2dt,

或者说在 f(t) 点，切向量 (u1, u2) 的长度是√E(u1)2 + 2Fu1u2 +G(u2)2.

如果我们换一组记号：将

dx = X1du1 +X2du

2 = X1 ⊗ du1 +X2 ⊗ du2

157

· 158 · 第 10章 Euclid 空间的子流形几何

看作一个 (1, 1)-张量，注意这里的 Xi = x∗(∂/∂ui

)与 dui 是对偶的. 那么

ds2 = (dx, dx) = Edu1 ⊗ du1 + F (du1 ⊗ du2 + du2 ⊗ du1) +Gdu2 ⊗ du2.

这是 TxU 上的一个对称 2 阶协变张量，也就是一个二次型，它在

X = ai∂

∂ui, Y = bi

∂

∂ui

上的取值是

ds2(X, Y ) = Ea1b1 + F (a1b2 + a2b1) +Ga2b2.

它实际上是切空间上的一个内积，它遗传了 R3 上的 Euclid 内积.

我们在 TxU 中选择两个单位正交的切向量场

ei = ajiXj,

那么它的对偶向量场是 ωj = bjidui，其中矩阵 [bji ] 是矩阵 [aji ] 的逆矩阵. 那么

dx 可以重写成

dx = Xi ⊗ dui = bjiej ⊗ aikωk = ej ⊗ ωj.

而第一基本形式则成为

ds2 =2∑i=1

ωi ⊗ ωi.

这是因为 (ei, ej) = δij.

现在的 e1, e2, e3 构成了曲面上的一个单位正交标架场, 这叫做活动标架. 用

活动标架来替代原来的自然标架，我们会得到很大的便利，这一点将在以后看

到.

这组标架 e1, e2, e3 满足的运动方程应当是如下的形式：

deA = eB ⊗ ωBA , A,B = 1, 2, 3,

这里的 ωBA 还是 1 形式.

在曲面上，我们还有第二基本形式

II =

(∂2x

(∂u1)2, e3

)(du1)2 + 2

(∂2x

∂u1∂u2, e3

)du1du2 +

(∂2x

(∂u2)2, e3

)(du2)2

=−(∂x

∂u1,∂e3∂u1

)(du1)2 −

[(∂x

∂u1,∂e3∂u2

)+

(∂x

∂u2,∂e3∂u1

)]du1du2

−(∂x

∂u2,∂e3∂u2

)(du2)2.

10.1 曲面几何和活动标架 · 159 ·

第二基本形式关于第一基本形式的两个特征值叫做主曲率，而两个主曲率的乘

积叫做曲面的 Gauss 曲率.

不难看出

II = −(dx, de3) = −2∑i=1

ωi ⊗ ωi3.

这看上去也简洁不少.

由于 (eA, eB) = δAB，所以

0 = d(eA, eB) =(eC ⊗ ωCA , eB

)+(eA, eC ⊗ ωCB

)= δCBω

CA + δACω

CB ,

或者说 ωBA + ωAB = 0 是反对称的，当然 ω11 = ω2

2 = ω33 = 0，而 II = ωi ⊗ ω3

i .

由于 d2 = 0，所以

0 = d2x = d(ei⊗ωi) = ei⊗dωi+eA⊗ωAi ∧ωi = ei⊗ (dωi+ωij ∧ωj)+e3⊗ω3i ∧ωi.

这样一来，我们就得到三个外微分方程：

dωi = −ωij ∧ ωj, (i = 1, 2); ω3j ∧ ωj = 0.

由于 ω1, ω2 是线性无关的，所以 ω3j ∧ ωj = 0 蕴含了

ω3i = hijω

j, hij = hji.

这样一来，我们的第二基本形式就可以写成：

II = −(dx, de3) = hijωi ⊗ ωj.

所以，曲面的 Gauss 曲率是K = h11h22 − h12h21.如果我们考察

0 = d2eA = d(eB ⊗ ωBA) = eB ⊗ dωBA + eC ⊗ ωCB ∧ ωBA = eB ⊗ (dωBA + ωBC ∧ ωCA)

就得到

dωBA = −ωBC ∧ ωCA .

特别地

dω21 = −ω2

3 ∧ ω31 = −ω3

1 ∧ ω32 = −(h11ω1 + h12ω

2) ∧ (h21ω1 + h22ω

2)

= −(h11h22 − h12h21)ω1 ∧ ω2 = −Kω1 ∧ ω2.

这是Gauss称为“惊人”的定理，它说Gauss曲率仅仅由第一基本形式就确定了.


将 dω21 看作是 TxM ⊗ TxM 上的双线性函数，我们有

dω21(e1, e2) = −K.

在初等微分几何课程中，要花许多时间来证明这个定理. 利用活动标架仅仅

几行就够了. 当然，你们会问：实际计算时活动标架会带来方便吗？

我们看一个例子. 假设曲面的第一基本形式是：

ds2 =4((du)2 + (dv)2

)(1− u2 − v2

)2 .

我们就有

ω1 =2du

1− u2 − v2, ω2 =

2dv

1− u2 − v2.

这是余切空间的一组基，所以

ω21 = pω1 + qω2.

由于 dω1 = −ω12 ∧ ω2 = pω1 ∧ ω2，而

d

(2du

1− u2 − v2

)=

4vdv ∧ du(1− u2 − v2)2

= −v 2du

1− u2 − v2∧ 2dv

1− u2 − v2.

所以我们有 p = −v. 同样因为 dω2 = −ω21 ∧ ω1 = qω1 ∧ ω2，而

d

(2dv

1− u2 − v2

)=

4udu ∧ dv(1− u2 − v2)2

= u2du

1− u2 − v2∧ 2dv

1− u2 − v2.

我们得到 q = u，这样就有

ω21 = − 2vdu

1− u2 − v2+

2udv

1− u2 − v2.

对它求外微分，我们有

dω21 =

2(1− u2 + v2)du ∧ dv(1− u2 − v2)2

+2(1 + u2 − v2)du ∧ dv

(1− u2 − v2)2

=2du

1− u2 − v2∧ 2dv

1− u2 − v2= ω1 ∧ ω2.

这说明K = −1.

10.2 Gauss-Bonnet 定定定理理理

我们再用活动标架来给出如下的 Gauss-Bonnet 定理的一个内蕴证明.

10.2 Gauss-Bonnet 定理 · 161 ·

定定定理理理 10.2.1 设M 是一个可定向紧曲面，K 是它的 Gauss 曲率，那么∫M

Kdvol = 2πχ(M),

其中 dvol 是体积元，如果 ω1 ∧ ω2 与定向一致的话，那么 Kdvol = −dω21. 而

χ(M) 是M 的 Euler 数，如果我们将M 做三角剖分，那么 χ(M) = V −E+F .

其中 V 是顶点数，E 是边数，F 是面数.

我们总假定选择 e1, e2，使得 ω1 ∧ ω2 与曲面的定向一致.

设 X 是M 上的一个切向量场, 我们假定它仅有有限多个奇点. 在那些不是

X 的奇点的地方，我们定义 α 是从 e1 到 X 的角度，那么定义e1 = (cosα)e1 + (sinα)e2,

e2 = −(sinα)e1 + (cosα)e2.

对应的对偶基则变成 ω1 = (cosα)ω1 + (sinα)ω2,

ω2 = −(sinα)ω1 + (cosα)ω2.

这样

dω1 = −(sinα)dα ∧ ω1 + (cosα)dω1 + (cosα)dα ∧ ω2 + (sinα)dω2

= dα ∧ (−(sinα)ω1 + (cosα)ω2)− (cosα)ω12 ∧ ω2 − (sinα)ω2

1 ∧ ω1

= dα ∧ ω2 − ω12 ∧ ω2 = −(ω1

2 − dα) ∧ ω2,

dω2 = −(ω21 + dα) ∧ ω1.

从而 ω21 = ω2

1 + dα. 有一点要注意的是，我们讲的向量场 e1 与 X 的夹角 α 实

际是一个多值函数. 在局部，α 是可以定义的，但不能在整体上的定义. 但是

dα 不同，总是有意义的.

假定 x ∈ M 是 X 的一个孤立奇点，那么我们在 x 附近选择一个圆盘邻域

D，使得在 D 上，X 没有别的奇点. 在边界 ∂D 上，我们可以计算∮∂D

dα.

不难看出，这个积分的结果应当是 2π 的一个整数倍. 我们还要证明这个积分的

结果不依赖于 D 的选择，而且与标架场的选择也无关.

如果我们选择另外一个 D′ ⊂ D，那么∮∂D

dα−∮∂D′

dα =

∫D−intD′

d(dα) = 0.


对于两个 x 点的圆盘邻域 D,D1，我们总能够找到一个更小的圆盘邻域 D′，使

得 D′ ⊂ D,D′ ⊂ D1. 所以这个积分的结果与 D 的选择无关.

现在假定我们还有一个标架场 e′1, e′2，那么 α′ 是 X 与 e′1 的夹角，而 β 是

e′1 与 e1 之间的夹角，那么

dα = dα′ + dβ.

注意到 α, α′ 仅仅能够定义在 D − x 上，而 β 却是在 D 上都有定义. 所以∮∂D

dα−∮∂D

dα′ =

∮∂D

dβ =

∫D

d2β = 0.

这样我们就可以作如下的定义：

定定定义义义 10.2.1 如果 x 是 X 的一个孤立奇点，那么

ix(X) =1

2π

∮∂D

dα

被称为 X 在点 x 的指标.

直观上看，ix(X) 是切向量场绕 x 的旋转的圈数.

Gauss-Bonnet 定理的证明：在M 上选择一个仅有有限个孤立奇点的切向量场

X，在每个孤立奇点附近选择小的邻域 Di. 这样一来

2π∑i

ixi(X) =∑i

∮∂Di

dα =∑i

∮∂Di

ω21 −

∑i

∮∂Di

ω21

= −∫M−

∪iDi

dω21 −

∫∪

iDi

dω21

=

∫M−

∪iDi

Kdvol +

∫∪

iDi

Kdvol =

∫M

Kdvol.

这样我们就证明了， 12π

∫MKdvol 等于 X 所有奇点的指标和. 无论我们选择怎

样的有有限孤立奇点的切向量场, 它的奇点的指标和都是一个常数.

我们来选择一个特殊的切向量场, 使得它的奇点的指标和恰好就是 Euler

数，我们就完成了定理的证明. 选择M 的一个三角剖分，这个切向量场的构造

如下：

10.3 欧氏空间中的子流形 · 163 ·

这个切向量场在每个三角形的内部有一个指标为 +1 的奇点，在每条边上有一

个指标为 −1 的奇点，而每一个顶点也是一个指标为 +1 的奇点. 将这些指标相

加，我们恰好得到 Euler 数. 2

Gauss-Bonnet 定理的证明中，我们事实上还顺带证明了 Hopf 指标定理：

定定定理理理 10.2.2 紧致定向曲面 M 上具有有限奇点的向量场的指标和等于 M 的

Euler 数.

10.3 欧欧欧氏氏氏空空空间间间中中中的的的子子子流流流形形形

接下来我们还是研究局部几何，这次我们研究一个 Rm 中的开集 U 到 Rn

中的一个浸入 x : U → Rn. 仍然记

dx = ei ⊗ ωi.

这里关于 i 的求和从 1 到m. 我们选择的 ei 是切空间中的一组单位正交标架场.

ωi 是余切空间中的对偶向量场. 这样我们就有第一基本形式

ds2 = (dx, dx) =m∑i=1

ωi ⊗ ωi.

我们添加 eα, α = m+1, · · · , n，扩充这组标架到 Rn 中的一组单位正交标架

场. 就有

deA = eB ⊗ ωBA ,

注意：这里的 A 是从 1 到 n 求和的. 由于

0 = d(eA, eB) = (eC ⊗ ωCA , eB) + (eA, eC ⊗ ωCB) = ωBA + ωAB,


这个时候，我们有 n−m 个第二基本形式

IIα = −(dx, deα) = −(ei ⊗ ωi, eA ⊗ ωAα ) = ωi ⊗ ωαi .

利用 d2 = 0，我们就有

0 = d2x = ei ⊗ dωi + ei ⊗ ωij ∧ ωj + eα ⊗ ωαj ∧ ωj,

所以

dωi = −ωij ∧ ωj, ωαj ∧ ωj = 0.

这样一来

ωαi = hαijωj, hαij = hαji; ω

iα = hiαjω

j, hiαj = −hαij.

而那些第二基本形式则可以写成 IIα = hαijωi ⊗ ωj.

不仅如此

0 = d2eA = d(eB ⊗ ωBA) = eB ⊗ (dωBA + ωBC ∧ ωCA).

所以

dωBA = −ωBC ∧ ωCA .

特别地，我们有

dωji = −ωjk ∧ ω

ki − ωjα ∧ ωαi = −ωjk ∧ ω

ki + hjαlh

αikω

k ∧ ωl.

这个方程也叫做 Gauss 方程.

Gauss 方程右端的最后一项也被称为曲率张量

Ωji = dωji + ωjk ∧ ω

ki =

1

2Rjiklω

k ∧ ωl, Rjikl = hαikh

jαl − h

αilh

jαk.

让我们来理解 Ωji 的几何意义. 我们假定 U 中有一张曲面 u = u(v1, v2)，我

们选择的 e1, e2 是它的单位正交切向量场, 那么将 u 看作是 U ⊂ Rn 中的曲面，

它的 Gauss 曲率是

−dω21(e1, e2) = ω2

k ∧ ωk1(e1, e2).

由于 x : U → Rm 还是弯曲的，所以看作 Rm 中的曲面，它的 Gauss 曲率是

−dω21(e1, e2) = ω2

k ∧ ωk1(e1, e2)−R2112.

比较这两个公式，我们看到曲率张量描写的是空间弯曲所带来的曲面 Gauss 曲

率的附加变化.

10.3 欧氏空间中的子流形 · 165 ·

我们更多感兴趣的是曲面的内蕴几何，而不是它是如何放置在 Rm 中的. 即

那些仅仅依赖于第一基本形式 ds2 的性质.

一旦有了 ds2 =∑m

i=1 ωi ⊗ ωi 之后，我们可以得到 ωi. 这是余切空间的一组

基，所以

ωji = Γjikωk,Γjik = −Γ

ijk,

这里的 Γijk 叫做联络系数. 根据

dωi = −ωij ∧ ωj = Γijkωj ∧ ωk,

我们可以确定 Γijk, (j = k). 对于 Γijj 来讲，我们可以通过 Γijj = −Γjij 来计算. 注

意：如果 i = j 的话，我们知道 ωii = 0，所以那些联络系数都为零.

进一步，曲率张量

Ωji = dωji + ωjk ∧ ω

ki ,

也是可以由 ds2 确定.

如果我们换一组标架 ei = ejaji，我们不再假定 ei 仍然是单位正交的向量场,

所以这里的 A = [aji (x)] ∈ GL(n). 如果用 [bji ] 表示 A 的逆 A−1，那么 ei 的对偶

1-形式则为

ωi = bijωj.

这时，

dx = ei ⊗ ωi.

而第一基本形式则可写作

ds2 = (ei, ej)ωi ⊗ ωj = gijω

i ⊗ ωj.

但是

dei = ej ⊗ daji + ek ⊗ ωkj aji mod eα

= ej ⊗ (daji + ωjkaki ) = ej ⊗ bjl (da

li + ωlka

ki ).

这说明 ωji = bjl (dali + ωlka

ki ). 这里我们丢掉了那些 eA ⊗ ωAi 的项，但这并不影响

我们计算 ωji .

如果我们采用矩阵的符号 ω = [ωji ] 的话，就有

ω = A−1(dA+ ωA).

上式也可以写成 Aω = dA+ ωA，对它的两端微分，有

Adω + dA ∧ ω = dωA− ω ∧ dA.


从而

A(dω + ω ∧ ω) = dωA− ω ∧ dA− dA ∧ ω + Aω ∧ ω= dωA− ω ∧ dA− dA ∧ ω + (dA+ ωA) ∧ ω= dωA− ω ∧ dA+ ω ∧ Aω= dωA− ω ∧ dA+ ω ∧ (dA+ ωA)

= (dω + ω ∧ ω)A.

所以，曲率张量矩阵满足下面的变换公式

Ω = dω + ω ∧ ω = A−1(dω + ω ∧ ω)A = A−1ΩA.

注意，我们的上标总是行指标，下标总是列指标.

接下来的计算不涉及两个坐标之间的关系，我们就略去字母上的 . 我们来

计算

dgij = (dei, ej) + (ei, dej) = (ek, ej)ωki + (ei, ek)ω

kj = ωki gkj + gikω

kj .

这也可以写成矩阵的形式：令 G = [gij]，那么

dG = ωTG+Gω.

我们在单位正交标架场下得到的 ω 是反对称矩阵的结果是这个一般公式的特

例，因为对于单位正交标架场来讲 G = I.

如果我们取自然标架，即 ei = x∗(∂/∂ui

), ωi = dui，那么

0 = d2x = d(ei ⊗ dui) = eA ⊗ ωAi ∧ dui.

这样，我们得到 ωji ∧ dui = 0. 设 ωji = Γjikduk，我们就得到

Γjikduk ∧ dui = 0.

这蕴含了 Γjik = Γjki.

从我们上面讲的两条，就可以计算出 Γjik. 由于

dgij = gikωkj + gjkω

ki ,

我们得到∂gij∂uk

= gilΓljk + gjlΓ

lik.

引入新的记号 Γijk = gjlΓlik，上面的公式就可以写成

∂gij∂uk

= Γjik + Γijk.

10.4 欧氏空间中超曲面的基本定理 · 167 ·

我们轮换指标，就得到

∂gjk∂ui

= Γkji + Γjki,

∂gki∂uj

= Γikj + Γkij.

注意：前面的另一个条件现在也可以写成 Γijk = Γkji. 后两个式子相加再减去

第一个，我们就有∂gjk∂ui

+∂gik∂uj− ∂gij∂uk

= 2Γikj.

所以

Γlij = glkΓikj =1

2glk(∂gjk∂ui

+∂gik∂uj− ∂gij∂uk

).

从第一基本形式出发，我们可以计算所有的 Γlij. 而

Ωji =

1

2Rjikldu

k ∧ dul = dΓjikduk − ΓmikΓ

jmldu

k ∧ dul

= −

(∂Γjik∂ul

+ ΓmikΓjml

)duk ∧ dul

=1

2

(∂Γjil∂uk− ∂Γjik

∂ul+ Γmil Γ

jmk − ΓmikΓ

jml

)duk ∧ dul.

我们就得到曲率张量 R 的分量

Rjikl =

∂Γjil∂uk− ∂Γjik

∂ul+ Γmil Γ

jmk − ΓmikΓ

jml.

10.4 欧欧欧氏氏氏空空空间间间中中中超超超曲曲曲面面面的的的基基基本本本定定定理理理

最后，我们要证明 Rn 中超曲面的基本定理. 我们先研究 Rn 上的保定向

Euclid 运动群 E+(n).

作为一个集合，E+(n) 可以等同于 SO(n)× Rn：

(g, v)(u) = g(u) + v, ∀u ∈ Rn.

它也可以看作是 GLn+1 的一个子群：

E+(n) =

[g v

0 1

], g ∈ SO(n), v ∈ Rn

=

[SO(n) Rn

0 1

].


我们只要将 Rn 嵌入 Rn × 1 ⊂ Rn+1，那么，我们就有[g v

0 1

][u

1

]=

[g(u) + v

1

].

群中乘法运算和逆运算分别是[g v

0 1

][h u

0 1

]=

[gh g(u) + v

0 1

],

[g v

0 1

]−1

=

[g−1 −g−1(v)

0 1

].

这是一个 Lie 群.

将 E+(n) 上的左不变 1-形式写成

ϕ =

[g−1 −g−1(v)

0 1

][dg dv

0 0

]=

[g−1dg g−1dv

0 0

]进一步我们记

g−1dg = [ϕBA], g−1dv = [ϕA],

其中 ϕBA + ϕAB = 0，这是因为 g−1 = gT，而 gTdg + (dgT)g = d(gTg) = 0. 采用

这样的记号之后，结构方程 dϕ = −ϕ ∧ ϕ 就可以写成

dϕA = −ϕAB ∧ ϕB, dϕAB = −ϕAC ∧ ϕCB.

比较曲面M ⊂ Rm 上正交标架的运动方程：

dωi = −ωij ∧ ωj, ωαj ∧ ωj = 0, dωAB = −ωAC ∧ ωCB .

如果我们补上 ωα = 0，那么 ωA, ωAB 与 Euclid 运动群上的Maurer-Cartan 形式

满足同样的 Pfaff 方程组.

这样，我们就可以将M 浸入 Euclid 运动群，特别复合上映射[g v

0 1

]7→ u : E+(m)→ Rm

之后，由于 ωi 是处处线性无关的，我们就得到了一个M 到 Rn 的一个浸入.

问题是通常我们并不直接给出 ωi, ωαβ . 我们通常给出的信息是曲面的第一基

本形式和第二基本形式.

如果我们有了第一基本形式

ds2 =m∑i=1

ωi ⊗ ωi,

10.5 联络的初步印象 · 169 ·

从 dωi = −ωij ∧ ωj 出发我们可以计算 ωji . 对于超曲面来讲，如果我们还有第二

基本形式

II = hijωi ⊗ ωj,

我们就有了

ωm+1i = hijω

j.

这样一来，结构方程就是 Gauss 方程：

dωji = −ωjA ∧ ω

Ai

和所谓的 Codazzi 方程

dωm+1i = −ωm+1

j ∧ ωji .

这样，我们就得到超曲面的基本定理.

定定定理理理 10.4.1 在Mm 上给定两个二阶对称协变张量场

I =m∑i=1

ωi ⊗ ωi, II = hijωi ⊗ ωj

其中 ωi 是处处线性无关的. 那么在 Rm+1 中存在以 I, II 为第一基本形式和第二

基本形式的曲面的充分必要条件是：它们满足 Gauss 方程和 Codazzi 方程. 并

且任意两块这样的超曲面在 Rm+1 中相差一个 Euclid 运动的情况下是唯一的.

10.5 联联联络络络的的的初初初步步步印印印象象象

上面的讨论和计算都提示我们，在讨论有些几何性质的时候，我们是不需

要外部空间的. 这就是 Riemann 的想法，现在这种几何也叫做 Riemann 几何.

我们希望理解上面的计算中到底有哪些地方是必须依赖于外部空间的，因为看

上去我们的实际计算并不真的需要外部空间.

回顾一下我们前面所做的计算，本质上我们需要得到 ωji = Γjikduk，以后我

们便可以计算浸入流形的曲率了. 但是 ωji 是从标架的运动方程

dXi = XA ⊗ ωAi

中引入的. 我们之所以可以引入 ωji，是因为 Xi 可以看成是M 上取值在 Rn 中

的向量值函数. 如果没有外部空间 Rn 的话，我们不知道 dXi 是什么？抽象地

说，我们现在的确不知道如何对切向量场来进行微分. 为了解决这个困难，我

们引入联络的概念.


设 π : TxRn → TxU 为到 TxU 上的正交投影，即

π(Xi) = Xi, π(Xα) = 0.

我们定义 D = π d. 在子流形M 上看的话：

D(Xiai) = π(Xi ⊗ dai +XA ⊗ ωAi ai) = Xj ⊗ (daj + ωji a

i).

这个映射 D : Γ(TU) → Γ(TU ⊗ T ∗U) 被称为一个联络，它有点像对切向量场

求微分. 这个联络满足如下的基本性质：

1) 因为 π 和 d 都是线性的，所以 D 也是线性的. 即如果 a, b ∈ R, X, Y ∈Γ(TU)，那么 D(aX + bY ) = aD(X) + bD(Y )；

2) 如果 X ∈ Γ(TU), f ∈ C∞(U)，那么由 Leibniz 法则，d(fX) = X ⊗ df +

fdX，另一方面，π(X) = X，所以

D(fX) = X ⊗ df + fD(X)

将 TxRn 中的向量正交投影到 TxM 是一个很有用的想法. 如果我们有一条

曲线 u : (a, b)→M，它的切向量 (速度向量) 是

u(t) = ui(t)Xi,

而加速度向量则是二阶导数

u(t) = uiXi + ui(t)XAΓAiju

j(t).

根据 Newton 第二定律，这表示的是作用在运动质点上的力. 将它投影到切空

间上

π(u(t)) = (uk(t) + Γkijui(t)uj(t))Xk.

如果这部分为零的话，意味着我们在运动质点上施加的力是垂直于 TxM 的. 或

者说，我们施加这个外力的目的是为了约束运动质点在M 上，没有改变质点

运动方向的企图. 这样的曲线是M 上最接近“直线”的曲线，它叫做测地线. 测

地线所满足的方程是

uk = −Γkijuiuj.

这是一个二阶常微分方程，对于给定的初值 ui(t0) = ui0, ui(t0) = vi0，这个方程

有唯一解.

10.5 联络的初步印象 · 171 ·

习题

1. 证明曲面

r(u, v) = (u− u3

3+ uv2, v − v3

3+ vu2, u2 − v2)

的两组参数曲线是相互正交的.

2. 计算椭圆抛物面

r(u, v) = (u, v, u2 + v2)

的第一基本形式、第二基本形式和 Gauss 曲率.

3. 设 r(u, v) = (u+ v, u− v, 4uv) : R2 → R2. 由于 4uv = (u+ v)2 − (u− v)2, 所以在 R3 中它是双曲抛物面 z = x2− y2. 计算它的第一基本形式、第二基本形式和 Gauss 曲率.

4. 如果第一基本形式是

ds2 = (1 + v2)du2 + 2uvdudv + (1 + u2)dv2,

试计算它的 Gauss 曲率.

5. 如果 r = r(u, v) : R2+ → Rn, 它的第一基本形式是

ds2 =du2 + dv2

v2,

试计算它的 Gauss 曲率.

6. 在 (u, v) 平面上的单位圆内，定义第一基本形式

ds2 =(1− v2)du2 + 2uvdudv + (1− u2)dv2

1− u2 − v2,

试计算它的 Gauss 曲率. 如果第二基本形式是

II = −(1− v2)du2 − 2uvdudv − (1− u2)dv2

1− u2 − v2,

证明它们满足 Gauss-Codazzi 方程.

7. 一张曲面被叫做直纹面，如果它是由一簇直线组成的. 一般直纹面的方程可

以写成

r(u, v) = r1(u) + vr2(u).

如果我们固定 u0，让 v 变动，这样得到的 v 曲线是直线. 试证明所有的 v 曲线

都是测地线.


第第第十十十一一一章章章向向向量量量丛丛丛和和和联联联络络络

本章将第五章中的切丛发展成一般的向量丛的概念，讨论向量丛的性质，用子

流形上绝对微分的性质定义了向量丛上的联络，讨论由此衍生的挠率算子和曲

率算子的性质.

11.1 向向向量量量丛丛丛

我们首先回顾一下流形 M 上的向量丛的概念. 所谓 M 上的一个向量丛 π :

E → M，指的是一个流形 E 和一个线性空间 F，而且对任意 x ∈ M，π−1(x)

上有一个线性空间的结构. 不仅如此，我们还有M 的一个开覆盖 Uα 和微分同胚 φα : π−1(Uα)→ Uα × F，使得下面的图可交换：

π−1(Uα)φα−−−→ Uα × F

π

y yp1Uα Uα

而且对任意的 x ∈ Uα，φα,x = φα|π−1(x) : π−1(x)→ x × F 是一个线性同构.

我们称 E 为全空间，M 为底流形, π 为投影，π−1(x) 被称为 x 点的纤维，

通常也记作 Ex, 而线性空间 F 也叫做向量丛的纤维型.

设 π : E → N 是一个向量丛，M ⊂ N 是一个子流形，那么 π : π−1(M) →M 也是一个向量丛. 对于 x ∈ M，纤维 Ex 上的线性结构是自然的. 局部平凡

化 φα : π−1(Uα) → Uα × F 在 π−1(Uα ∩M) 上的限制给出 π−1(M) 的局部平凡

化. 至于 π−1(M) 是否是一个流形，我们可以缩小一点 Uα，使得 (Uα, Uα ∩M)

是微分同胚于 (Rm,Rn × 0) 的，那么 (π−1(Uα), π−1(Uα ∩M)) 就微分同胚于

(Rm,Rn × 0)× F，这就给出了 π−1(M) ⊂ E 的一个子流形结构. 这个丛叫做

E 在子流形M 上的限制丛，通常也记作 E|M .

如果 π : E → M 是一个向量丛，N 是一个流形，那么 id × π : N × E →N ×M 也是一个向量丛. 局部平凡化就是 (id × π)−1(N × Uα) = N × E|Uα →N × Uα × F .

173

· 174 · 第 11章向量丛和联络

E 是一个向量丛，Uα 是底流形 M 上的一个局部平凡化覆盖. 在两个局

部平凡化重叠的地方，我们有：

(Uα ∩ Uβ)× Fφβ←−−− E|Uα∩Uβ

φα−−−→ (Uα ∩ Uβ)× Fp1

y π

y yp1Uα ∩ Uβ Uα ∩ Uβ Uα ∩ Uβ

记 φα 在纤维 Ex 上的限制为 φα,x，这是一个从 Ex 到 F 上的同构. 我们定义线

性同构

gαβ,x = φα,x φ−1β,x : F → F.

这样的一组函数 gαβ : Uα ∩ Uβ → GL(F ) 也叫做向量丛 E 的转换函数.

通常我们不必要花费心思在 E 是否有一个微分结构的问题上，事实上，局

部平凡化和转换函数的光滑性就可以给出 E 的一个微分结构，因为

φα φ−1β (x, v) = (x, gαβ,x(v)) : Uα ∩ Uβ × F → Uα ∩ Uβ × F

可以看作坐标转换函数. 所以我们常常更多地注意局部平凡化.

对于转换函数 gαβ 来讲，显然

1) gαα = id, g−1αβ = gβα；而且

2) 对于 x ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ，我们有：

gαβ,xgβγ,x = φα,x φ−1β,x φβ,x φ

−1γ,x = φα,x φ−1

γ,x = gαγ,x.

所以 gαβgβγ = gαγ. 习惯上，这个条件也叫做上闭链条件.

如果从一组满足上面两个条件的转移函数 gαβ 出发，也可以反过来构造向

量丛：设

Eg =∪α

Uα × F/Uα × F ∋ (x, v) ∼ (x, v′) ∈ Uβ × F ; v = gαβ,x(v

′).

我们首先来证明 Uα×F ∋ (x, v) ∼ (x, v′) ∈ Uβ×F ; v = gαβ,x(v′)的确是一

个等价关系.由 1)，我们得到 (x, v) ∼ (x, v)和 (x, v) ∼ (x, v′)⇒ (x, v′) ∼ (x, v).

根据 2)，我们就可以得到 (x, v) ∼ (x, v′) ∼ (x, v′′) ⇒ (x, v) ∼ (x, v′′). 这样

Uα × F 中的每一个点都代表一个等价类，也就说 Uα × F 是单的映入商空间 E

中的. 投影 π : E → M 是显然有定义的，而且局部平凡化 π−1(Uα) → Uα × F也是自然的. 特别地，这个向量丛的转换函数，还是 gα,β.

11.1 向量丛 · 175 ·

定定定义义义 11.1.1 我们有两个向量丛 π1 : E1 → M,π2 : E2 → N，它们之间的一个

丛映射是一对映射：F : E1 → E2, f :M → N，使得下面的图交换：

E1F−−−→ E2

π1

y yπ2M −−−→

fN

而且，限制在纤维 E1,x 上，F |E1,x : E1,x → E2,f(x) 是一个线性同态.

如果M = N, f = id，而且 F 是一个微分同胚的时候，我们称 (F, id) 是一

个丛同构. 注意 F 是一个微分同胚保证了每一个 F |E1,x 都是从纤维 E1,x 到纤

维 E2,x 的线性同构.

如果 f :M → N 是一个映射，那么

TMf∗−−−→ TN

π1

y yπ2M −−−→

fN

就是一个丛映射.

如果我们有一个丛映射 F : E1 → E2，那么在局部平凡化下，F 可以表示成

Fiα,x = ψi,f(x) F |E1,x φ−1α,x : F1 → F2,

而

Fjβ,x = g2ji,f(x)Fiα,xg1αβ,x

满足这样性质的一组 Fiα,x 定义了一个丛映射. 这也就是我们前面在局部描述 f∗的办法.

如果 π1 : E1 → M,π2 : E2 → M 是M 上的两个向量丛，Uα 是 E1, E2 共同

的局部平凡化覆盖. 这样 Uαβ = U1,α ∩ U2,β 可以作为两个向量丛共同的局部平

凡化覆盖. 所以，我们总可以假定两个向量丛有共同的平凡化覆盖. 进一步，如

果两个向量丛的纤维型都是 F，而且它们在共同的局部平凡化之下有同样的转

换函数，那么

Fαβ = gαβ

定义了这两个向量丛之间的一个丛同构. 前面我们从向量丛 E 的转换函数 gαβ

出发，构造了向量丛 Eg. 这两个向量丛有同样的转换函数，所以它们是同构的.

这也说明，在向量丛同构的意义下我们可以等同向量丛与它的转换函数.


对于向量丛 π : E → M 来讲，我们利用它的转换函数 gαβ 来构造它的对偶

丛：如果我们取

g∗αβ = (gβα)∗ ∈ GL(F ∗).

显然这个 g∗αβ 满足转换函数的条件，它定义了一个向量丛 Eg∗ .

按照我们前面的构造办法，这个向量丛是

Eg∗ =∪α

Uα × F ∗/Uα × F ∗ ∋ (x, v∗) ∼ (x, (v′)∗) ∈ Uβ × F ∗; v∗ = g∗αβ((v

′)∗).

对于 x ∈ Uα ∩ Uβ，我们有

⟨v, v∗⟩ = ⟨gβα(gαβ(v)), v∗⟩ = ⟨gαβ(v), (gβα)∗(v∗)⟩ = ⟨gαβ(v), g∗αβ(v∗)⟩.

这说明配合在等价关系之下不发生变化，这使得 Eg∗x 成为 Eg

x 的对偶空间. 所

以这个丛叫做原来丛的对偶丛，记作 E∗.

假设我们有两个向量丛 π1 : E1 → M,π2 : E2 → M，我们来构造新的向量

丛. 我们假定 E1, E2 有共同的局部平凡化覆盖 Uα，而它们的转换函数分别为

g1αβ, g2αβ.

这样一来，g1αβ ⊕ g2αβ : Uα ∩ Uβ → GL(F1 ⊕ F2) 也满足转移函数所要求的条

件 1) 和 2). 它们所定义的向量丛记作 E1 ⊕ E2，被称为 E1 与 E2 的直和丛. 它

的纤维型是 F1 ⊕ F2.

如果对于这样的做法不太放心的话，我们也可以作如下的构造：设

E1 ⊕ E2 =∪x

E1,x ⊕ E2,x

在每一个E1,x⊕E2,x 上有一个自然的线性空间结构，而且投影 π : E1⊕E2 →M

也是显然的，它将 E1,x ⊕ E2,x 中的向量映到 x. 局部平凡化可以定义为：∪x∈Uα

E1,x ⊕ E2,xφα−−−→ Uα × (F1 ⊕ F2)

π

y yp1Uα Uα

这里的 φα,x = φ1α,x ⊕ φ2

α,x. 这个局部平凡化同时也赋予 E1 ⊕ E2 一个流形的结

构. 这个新的向量丛的转换函数是：

gαβ,x = g1αβ,x ⊕ g2αβ,x.

同样的方法我们可以定义两个向量丛 E1 与 E2 的张量积 E1 ⊗ E2，它的转

换函数是 gαβ = g1αβ ⊗ g2αβ : Uα ∩ Uβ → GL(F1 ⊗ F2)，纤维型是 F1 ⊗ F2.

11.2 联络 · 177 ·

定定定义义义 11.1.2 向量丛 π : E → M 的一个截面是一个映射 σ : M → E，使得

π σ = id. E 的所有截面组成的集合记作 Γ(E).

定义截面时的条件 π σ = id 实际上表述的就是 σ(x) ∈ Ex. 对于两个

截面 σ1, σ2 ∈ Γ(E)，我们可以在每一个纤维中将它们相加，得到的结果记作

σ1 + σ2，它仍然是一个截面. 对于 σ ∈ Γ(E), f ∈ C∞(M)，我们则可以在每

一个纤维中作数乘，其结果 fσ 也还是一个截面. 所以 Γ(E) 实际上是函数环

C∞(M) 上的一个模.

如果 σ ∈ Γ(E), ϕ ∈ Γ(E∗)，那么 ⟨σ, ϕ⟩(x) = ⟨σ(x), ϕ(x)⟩ ∈ C∞(M) 是一个

函数.

在局部平凡化 φα : E|Uα → Uα × F 下，

φσ σ(x) = (x, σα(x)) : Uα → Uα × F

可以等同于映射 σα : Uα → F . 如果选择 F 的一组基 s′1, . . . , s′k，我们则可以进

一步将 σα 写成

σα(x) = ai(x)s′i

这是截面在局部平凡化下的表示. 另一方面，我们也可以定义 si(x) =

φα,x(s′i)，这就构成了 EUα 上的 k 个处处无关的截面，而且

σ(x) = ai(x)si(x).

这样的 si 也称作局部标架场, 即在每一点 x，s1(x), . . . , sk(x) 都成为 Ex 的一组

基.

11.2 联联联络络络

定定定义义义 11.2.1 向量丛 π : E → M 上的联络是一个映射：D : Γ(E) → Γ(E ⊗T ∗M)，它满足下面两个条件：

1) D 是线性的. 即如果 a1, a2 ∈ R, σ1, σ2 ∈ Γ(E)，那么 D(a1σ1 + a2σ2) =

a1D(σ1) + a2D(σ2)；

2) Leibniz 法则：

D(fσ) = σ ⊗ df + fDσ.

通常，我们也称 Dσ 为 σ 的绝对微分.


根据 Leibniz 法则，我们马上可以看到，联络 D 是一个局部算子. 也就

是说，如果我们有两个截面 σ1, σ2，它们在 x 的某个邻域 U 上相等，那么

Dσ1(x) = Dσ2(x). 我们选择一个 x 附近的截止函数，它在 U 之外恒等于零，

而在 x 附近的一个更小的邻域上恒为 1，这样 f(σ1 − σ2) = 0，所以

0 = D(f(σ1 − σ2)) = (σ1 − σ2)⊗ df + fD(σ1 − σ2).

在 x 附近，f 恒为 1，这样 df(x) = 0. 我们就得到

0 = Dσ1(x)−Dσ2(x).

这样一来，研究联络就可以在局部进行. 我们在局部平凡丛 E|Uα 上选择一

组标架场 s1, . . . , sk. 设

Dsi = sj ⊗ ωji .

我们将 si 写成一个行向量 s，将 ωji 写成一个方阵 ω，它也叫联络方阵. 将上面

的公式用矩阵来写，那么

Ds = s⊗ ω.

由于 E|Uα 的每一个截面 σ 都可以表示成

σ = aisi = s · a

那么

Dσ = si ⊗ dai + aisj ⊗ ωji = s⊗ (da+ ωa).

这里的讨论告诉我们：对一个联络 D来讲，它由一组标架场的联络矩阵完全确

定. 实际上，反过来也对，我们给了一组标架场和它的联络矩阵，那么我们就

得到一个联络. 联络有很大的任意性.

到目前为止，我们的讨论是限制在一个局部平凡化上做的，也就是说我们

还不知道整体的联络是否真的存在. 如果没有联络的话，我们还有什么可讨论

的. 关于联络的基本定理是：

定定定理理理 11.2.1 任意向量丛上都存在联络.

为了证明这个定理，我们还需要一个引理：

定定定理理理 11.2.2 如果 D1, D2 是向量丛 E 上的两个联络，λ ∈ C∞(M)，那么

D = λD1 + (1− λ)D2 还是一个联络.

11.2 联络 · 179 ·

证明：我们仅需要检验 D 满足联络所需要满足的两个条件就行了. 线性性质是

显然的，所以检查 Leibniz 性质：

(λD1 + (1− λ)D2)(fσ) = λD1(fσ) + (1− λ)D2(fσ)

= λ(σ ⊗ df + fD1σ) + (1− λ)(σ ⊗ df + fD2σ)

= σ ⊗ df + f(λD1 + (1− λ)D2)σ.

2

这个定理说的是任意联络的“仿射”组合还是一个联络.

联络论基本定理的证明：设 Uα 是向量丛的平凡化覆盖，选一组隶属于 Uα的单位分解 λi. 对每一个 i，由于 suppλi ⊂ Uα，我们在 E|Uα 上构造一个局

部的联络 Di. 最后设

D =∑i

λiDi.

尽管这里的每一个 λiDi 不是联络，但根据上面的定理，这个和是一个联络. 我

们就证明了联络的存在性. 2

E 是 M 上的一个向量丛，我们将 Γ(E ⊗ Λk(T ∗M)) 记作 Ωk(E). 给定 E

上一个联络 D : Ω0(E) → Ω1(E) 之后，我们可以用外微分将它自然地延拓到

dD : Ωk(E)→ Ωk+1(E)：

dD(σ ⊗ ω) = Dσ ∧ ω + σ ⊗ dω.

注意到 σ ⊗ ω 的分解方法并不唯一，因为 (fσ) ⊗ ω = σ ⊗ (fω). 要说明这样的

定义是合理的，我们需要验证 dD 在这两种表达式下作用的结果相等.

dD((fσ)⊗ ω) = (σ ⊗ df + fDσ) ∧ ω + fσ ⊗ dω= Dσ ∧ fω + σ ⊗ (df ∧ ω + fdω)

= Dσ ∧ fω + σ ⊗ d(fω) = dD(σ ⊗ (fω)).

这个计算说明了 dD 的定义是合理的. 这样，我们就有一个广义的 “de Rham 复

形”：

0 −−−→ Ω0(E)dD=D−−−→ Ω1(E)

dD−−−→ · · · dD−−−→ Ωk(E)dD−−−→ · · ·

一般说来，(dD)2 = 0，所以这个序列实际上不是一个真的复形.

不难验证，对于任意的 σ ∈ Ωk(E), η ∈ Ωl(M)，我们都有：

dD(σ ∧ η) = (−1)kσ ∧ dη + dDσ ∧ η.


如果 σ ∈ Ω0(E), ω ∈ Ωk(M)，我们就有

(dD)2(σ ⊗ ω) = dD(Dσ ∧ ω + σ ⊗ dω)= (dD)2σ ∧ ω − (Dσ)⊗ dω + (Dσ)⊗ dω = ((dD)2σ) ∧ ω.

这说明 (dD)2 : Ωk(E) → Ωk+2(E) 完全由 (dD)2 : Ω0(E) → Ω2(E) 所确定. 而

且，(dD)2(fσ) = f(dD)2σ，即 (dD)2 是一个点算子.

我们下面来计算这个 (dD)2 ∈ Ω2(Hom(E)). 在局部我们取一个标架场

s1, · · · , sk，这组标架场下的联络矩阵是 ω = [ωji ]，那么

(dD)2si = dD(sj ⊗ ωji ) = sk ⊗ ωkj ∧ ωji + sj ⊗ dωji

= sj ⊗ (dωji + ωjk ∧ ωki ) = sj ⊗ Ωj

i .

这个算子 (dD)2 叫做曲率算子，而 Ωji 则称为标架场 s1, . . . , sk 下的曲率矩阵.

如果我们换一组处处无关的标架场, 即

s′ = (s′1, . . . , s′k) = (s1, . . . , sk)A = s · A,

其中 A 是一个处处非退化的矩阵函数. 那么

Ds′ = s⊗ (dA+ ωA) = s′ ⊗ A−1(dA+ ωA),

也就是说 ω′ = A−1dA + A−1ωA. 这就是标架变换时联络矩阵的变换公式. 这个

公式不算整齐，它实际上也说明 ω 不是一个张量.

我们从 Aω′ = dA+ ωA 出发，与前面的计算一样，我们得到

Ω′ = A−1ΩA.

特别需要注意的是，我们这里的 Ω 并不是整体上有定义的. 但是如果我们取 Ω

的迹 s1(E,D) = Tr(Ω)，这就是一个不依赖于局部平凡化的 2-形式. 更加一般

地，我们注意到

(Ω′)i = A−1ΩiA.

所以 si(E,D) = Tr(Ωi) 也是整体的 2i-形式.

从 Ω = dω + ω ∧ ω 出发，我们在两边求外微分，那么

dΩ = dω ∧ ω − ω ∧ dω = (dω + ω ∧ ω) ∧ ω − ω ∧ (ω ∧ ω + dω) = Ω ∧ ω − ω ∧ Ω.

这个等式叫做 Bianchi 恒等式.

11.2 联络 · 181 ·

根据 Bianchi 恒等式，我们有

d(si(E,D)) = dTr(Ωi) = Tr(dΩi) = Tr

(i−1∑j=0

Ωj ∧ dΩ ∧ Ωi−1−j

)

= Tr

(i−1∑j=0

Ωj(Ω ∧ ω − ω ∧ Ω) ∧ Ωi−1−j

)

= Tr

(i−1∑j=0

Ωj+1 ∧ ω ∧ Ωi−1−j − Ωj ∧ ω ∧ Ωi−j

)= Tr(Ωi ∧ ω − ω ∧ Ωi) = 0.

这里最后一个等式是因为 Ωi 的元素都是 2i-形式，所以做外积的话与任何形式

都可以交换，这样一来，我们就有 Tr(AB) = Tr(BA). 这些闭形式确定了M 的

de Rham 上同调群中的元素

[si(E,D)] ∈ H2iDR(M).

这就是所谓的示性类，以后我们还要看到，它们实际上也不依赖于联络的选

择，这样它们就成了向量丛 E 的不变量了.

给定 E 上的一个联络 D 以后，我们可以得到 E∗ 上的一个诱导联络

D : Ω0(E∗)→ Ω1(E∗). 做法如下：对于任意 ϕ ∈ Ω0(E∗), σ ∈ Ω0(E)，我们定义

⟨σ,Dϕ⟩ = d⟨σ, ϕ⟩ − ⟨Dσ, ϕ⟩.

我们要证明这的确定义了一个联络，需要检查联络满足的两个条件. 线性性质

是简单的，我们来看 Leibniz 法则. 对于任意 σ，我们有

⟨σ,D(fϕ)⟩ = d⟨σ, fϕ⟩ − ⟨Dσ, fϕ⟩ = df⟨σ, ϕ⟩+ fd⟨σ, ϕ⟩ − f⟨Dσ, ϕ⟩= ⟨σ, ϕ⊗ df⟩+ f⟨σ,Dϕ⟩ = ⟨σ, ϕ⊗ df + fDϕ⟩.

这就证明了 D(fϕ) = ϕ⊗ df + fDϕ.

如果我们在 E 中取局部标架场 s1, . . . , sk，就可以得到 E∗ 中的对偶标架场

s1, . . . , sk，根据定义 (si, sj) = δji，所以联络矩阵

ωji∗= ⟨si, sk ⊗ ωjk

∗⟩ = ⟨si, Dsj⟩ = 0− ⟨Dsi, sj⟩ = −⟨sk ⊗ ωki , sj⟩ = −ωji .

不仅如此，如果 D1, D2 分别是 E1, E2 上的联络，那么

(D1⊕D2)(σ1⊕σ2) = (D1σ1)⊕(D2σ2), (D1⊗D2)(σ1⊗σ2) = (D1σ1)⊗σ2+σ1⊗D2σ2


分别定义了 E1 ⊕ E2 和 E1 ⊗ E2 上的一个联络. 线性性质也是显然的，我们可

以直接验证 Leibniz 法则：

(D1 ⊕D2)(f(σ1 ⊕ σ2)) = (D1 ⊕D2)(fσ1 ⊕ fσ2) = D1(fσ1)⊕D2(fσ2)

= (σ1 ⊗ df + fD1σ1)⊕ (σ2 ⊗ df + fD2σ2)

= (σ1 ⊕ σ2)⊗ df + f(D1σ1)⊕ (D2σ2)

= (σ1 ⊕ σ2)⊗ df + f(D1 ⊕D2)(σ1 ⊕ σ2),(D1 ⊗D2)(fσ1 ⊗ σ2) = (D1fσ1)⊗ σ2 + fσ1 ⊗D2σ2

= (σ1 ⊗ σ2)⊗ df + fD1σ1 ⊗ σ2 + fσ1 ⊗D2σ2

= (σ1 ⊗ σ2)⊗ df + f(D1 ⊗D2)(σ1 ⊗ σ2).

通过局部标架场,不难算出，它们的联络矩阵分别是ω1⊕ω2和ω1⊗I+I⊗ω2.

一个自然的问题是我们能不能找到满足绝对微分 Dσ = 0 的截面. 这样的截

面也叫做平行截面. 零截面当然是平行的，不过我们不感兴趣零截面. 非零的

平行截面就不一定存在了，即使在局部也未必存在.

假设 σ = siai 是一个平行截面，那么 Dσ = 0 等价于

dai + ωijaj = 0,∀1 6 i 6 k.

这是一个 Pfaff 方程组，如果我们令 θi = dai + ωijaj 的话，这个方程完全可积

的条件是

dθi = −ωij ∧ daj + dωijaj = −ωij ∧ daj + (dωij + ωik ∧ ωkj )aj − ωij ∧ ω

jka

k

= −ωij ∧ (daj + ωjkak) + Ωi

jaj ≡ Ωi

jaj ≡ 0 mod (θ1, . . . , θk).

在 Ω = 0 的时候，我们的确可以找到平行的标架场. 但一般情况下，联络就需

要有限制.

如果我们将问题简化一些：

定定定义义义 11.2.2 设 u(t) 是一条M 上的曲线，如果

Dσ

dt= si

(dai

dt+ Γijk

duk

dtaj)

= 0

的话，我们称这个截面 σ 沿着曲线 u(t) 是平行的.

对于给定的曲线 u(t)，沿曲线平行的截面方程是一个一阶线性常微分方程

组dai

dt+ Γijα

duα

dtaj = 0, ∀1 6 i 6 k.

11.2 联络 · 183 ·

对于任意初值，这个方程组的解存在而且唯一. 不仅如此，对任意的 a < b，映

射

siui(a) 7→ siu

i(b) : Eu(a) → Eu(b)

是一个线性同构. 这实际是联络原始的意思，沿曲线的平行移动将两个端点的

纤维“联系”起来了.

定定定义义义 11.2.3 在流形M 的切丛上的联络叫做仿射联络.

在流形的局部坐标系 (Uα, φα) 上，我们可以取自然标架

si =∂

∂ui,

这给出了一个局部标架场. 这样一来，联络就可以写成

Dsi = sj ⊗ ωji = sj ⊗ Γjikduk.

如果我们换一个局部坐标系 (Uβ, φβ)，新的自然标架是

s′i =∂

∂vi=

∂

∂uj∂uj

∂vi= sj

∂uj

∂vi.

这样 s′ = As 中的标架转换矩阵就是 Jacobi 矩阵 A = ∂(u1,...,un)∂(v1,...,vn)

. 从而我们新的

联络矩阵就是

ω′ji =

∂vj

∂uk∂2uk

∂vi∂vldvl +

∂vj

∂ukΓklp

∂ul

∂vi∂up

∂vqdvq,

而新的联络系数为

Γ′jik =

∂vj

∂ul∂2ul

∂vi∂vk+ Γpqr

∂vj

∂up∂uq

∂vi∂ur

∂vk.

这些联络系数 Γkij 不是张量，在坐标变换之下它们不服从张量的变换规则.

切丛 TM 上的联络自然诱导了余切丛 T ∗M 上的联络，进而我们在张量丛

T kl (M) =

(k⊗i=1

TM

)⊗

(l⊗

j=1

T ∗M

)

也有一个联络.

对于余切丛中的对偶标架场 si = dui，我们有

Dsi = −sj ⊗ ωij = −Γjiks

j ⊗ duk.


这样一来，对于切向量场 σ = xisi 和余切向量场 σ∗ = xisi，它们的绝对微

分分别是

Dσ = si ⊗(∂xi

∂uk+ xjΓijk

)duk, Dσ∗ = si ⊗

(∂xi∂uk− xjΓjik

)duk.

类似于方向导数，对于一个切向量场 X = aisi，我们有

DXσ = (X,Dσ) = si ⊗(∂xi

∂uk+ xjΓijk

)(X, duk) = ak

(∂xi

∂uk+ xjΓijk

)si,

DXσ∗ = (X,Dσ∗) = si ⊗


)(X, duk) = ak


)si.

对于 DX，显然我们有 DfX = fDX . 另一方面，类似于偏导数，我们称

xi,j =∂xi

∂uj+ xkΓikj, xi,j =

∂xi∂uj− xkΓkij

为绝对导数. 这些定义都是十分自然的. 由于

Dσ = xi,jsi ⊗ duj, Dσ∗ = xi,jsi ⊗ duj,

我们知道这些绝对导数还是张量，它们多了一个协变指标.

对于一般的 (k, l) 型张量场, 它的绝对微分是一个 (k, l + 1) 型张量场, 算子

DX 和绝对导数可以一样地定义. 我们来看一个 (2, 2) 型张量的例子：如果

σ = aijklsi ⊗ sj ⊗ sk ⊗ sl,

那么

Dσ =

(∂aijkl∂up

+ aqjklΓiqp + aiqklΓ

jqp − a

ijqlΓ

qkp − a

ijkqΓ

qlp

)si ⊗ sj ⊗ sk ⊗ sl ⊗ sp.

我们来看联络的曲率 Ω，注意

1

2Rjikldu

k ∧ dul = Ωji = dωji + ωjk ∧ ω

ki =

∂Γjik∂ul

dul ∧ duk + ΓjpkΓpildu

k ∧ dul

=1

2

(∂Γjil∂uk− ∂Γjik

∂ul+ ΓjpkΓ

pil − ΓjplΓ

pik

)duk ∧ dul.

最后的等式是因为我们总假定 Rjikl 中的指标 k, l 是反对称的. 这样

Rjikl =


∂ul+ ΓjpkΓ

pil − ΓjplΓ

pik.

11.2 联络 · 185 ·

在坐标变换 s′ = As 之下，曲率矩阵的变化满足

Ω′ = A−1ΩA,

所以

R′qprs = Rj

ikl

∂ui

∂vp∂vq

∂uj∂uk

∂vr∂ul

∂vs

是一个 (1, 3) 型张量.

我们现在来看两个绝对导数是否交换的问题. 我们还是通过一个例子来看：

由于

ai,s =∂ai

∂us+ ajΓijs,

所以

ai,st =∂ai

∂us∂ut+∂aj

∂utΓijs + aj

∂Γijs∂ut

+

(∂ak

∂us+ ajΓkjs

)Γikt − ai,kΓkst

=∂ai

∂us∂ut+

(∂aj

∂utΓijs +

∂aj

∂usΓijt

)+ aj

(∂Γijs∂ut

+ ΓkjsΓikt

)− ai,kΓkst.

这就推出

ai,st − ai,ts = aj(∂Γijs∂ut

+ ΓkjsΓikt −

∂Γijt∂us− ΓkjtΓ

iks

)+ ai,k(Γ

kts − Γkst)

= −ajRijst + ai,k(Γ

kts − Γkst).

这个计算告诉我们两件事. 第一，我们可以引入 T kst = Γkts−Γkst. 尽管联络系

数 Γkst 不是一个张量，但是 T kst 是一个张量，它叫做这个联络的挠率. 作为一个

(1, 2) 型张量，它可以被看作一个 Γ(T 20 (M))→ Γ(TM) 的模同态 (点算子)：对

于任意两个切向量场 X = xisi, Y = yisi，

T (X, Y ) = T kijxiyjsk.

定定定理理理 11.2.3

T (X, Y ) = DXY −DYX − [X, Y ].

证明：这个证明就是一个计算.

DXY = xiyj,isj = xi(∂yj

∂ui+ ykΓjki

)sj,


所以

DXY −DYX = xi(∂yj

∂ui+ ykΓjki

)sj − yi

(∂xj

∂ui+ xkΓjki

)sj

= xiykT jiksj +

(xi∂yj

∂ui− yi∂x

j

∂ui

)sj = T (X, Y ) + [X,Y ].

2

定定定义义义 11.2.4 如果联络 D 的挠率张量为零，这样的的联络叫做无挠联络.

无挠联络总是存在的. 事实上，对于任意联络 D，它的联络系数为 Γkij，我

们定义

Γkij =1

2

(Γkij + Γkji

),

这组函数要能够作为联络系数的话，它必须满足联络系数的坐标转换公式. 但

这显然是对的. 为了方便起见，我们仅仅考虑无挠联络.

曲率张量 Rijkl 作为一个 (1, 3) 型张量，对于两个切向量场 X = xisi, Y =

yisi，映射

R(X, Y ) : Γ(TM)→ Γ(TM),

σ = ajsj 7→ ajRijklx

kylsi

叫做曲率算子. 由于挠率张量为零，上面的绝对导数的交换公式则可以写成

[Dsj , Dsi ]σ = −R(si, sj)σ.

定定定理理理 11.2.4 对于无挠联络来讲，我们有

R(X,Y ) = [DX , DY ]−D[X,Y ].

证明：证明是一个直接计算.

[Dxisi , Dyjsj ]σ = [xiDsi , yjDsj ]σ = xiDsi(y

jDsjσ)− yjDsj(xiDsiσ)

= xiyj[Dsi , Dsj ]σ +

(xi∂yj

∂ui

)Dsjσ −

(yj∂xi

∂uj

)Dsiσ

= xiyjR(si, sj)σ +Dxi ∂y

j

∂uisj−yj ∂xi

∂ujsiσ

= (R(X,Y ) +D[X,Y ])σ.

2

实际上，对于一般张量场的情况，两个绝对导数的换位子也可以用曲率和

挠率来表出.

联络系数不是张量也有好处，下面这个定理对于计算有很大的帮助.

11.2 联络 · 187 ·

定定定理理理 11.2.5 对于向量丛 E 上的联络 D 和一个 x ∈ M 来讲，我们总可以找到x 附近的一个标架场, 使得 D 在这组标架场下的联络矩阵 ω 在 x 点等于零.

证明：首先我们在 x 附近任意选择一组标架场 s = (s1, . . . , sk)，在这组标架

场下 D 的联络矩阵是 ω = [ωji ]. 在局部平凡化邻域 Uα 上我们选择局部坐标

uα, (α = 1, . . . , n)，使得 uα(x) = 0.

我们将 ωji 写成

ωji = Γjiαduα

并令

aji = δji − Γjiα(x)uα

这样矩阵 A = [aji ] 在 x 点附近是非退化的，而且 A(x) = I. 现在做标架场变换

s′ = s · A

我们看到 dA(x) = −ω(x)，而在点 x，我们有

ω′(x) = (A−1dA+ A−1ωA)(x) = −ω(x) + ω(x) = 0

这就完成了定理的证明. 2

习题

1. 证明：向量丛 π : E → M 是平凡丛的充分必要条件是它有 k 个处处线性无

关的整体截面，k 是 E 的纤维维数.

2. 证明李群 G 的切丛 TG 是一个平凡丛.

3. 设 M 是一个 n 维流形，T ∗M 是 M 的余切丛，在 M 的局部坐标系

(U, (x1, x2, · · · , xn)) 上构造一个T ∗U 上的 2-形式

w =n∑i=1

dxi ∧ dyi,

其中 (y1, y2, · · · , yn) 是该点的余切向量∑n

i=1 yidxi 的分量. 求证此定义与局部

坐标系的选择无关，即 w 是M 的余切丛 T ∗M 上整体有定义的 2-形式.

4. 设 D1 是流形M 的切丛 TM 上的仿射联络，C 是M 上的光滑2 阶协变向

量值张量场, 证明 D2 = D1 + C 也是切丛 TM 上的仿射联络.

5. 设 Xi 是 m 维流形M 上的 m 个线性无关向量场, 试证明存在一个仿射联

络，使得 Xi 都是平行向量场.


第第第十十十二二二章章章黎黎黎曼曼曼几几几何何何初初初步步步

本章要介绍的黎曼流形是每点切空间上有度量的流形，我们将讨论由此度量决

定的 Levi-Civita 联络和黎曼曲率的性质，及由测地线决定的测地球的性质.

12.1 黎黎黎曼曼曼度度度量量量

黎曼几何的基本出发点是所谓的黎曼度量.

定定定义义义 12.1.1 流形M 上的一个黎曼度量是一个对称正定的 2 阶协变张量场, 也

就是丛 Σ2(T ∗M) 中的一个处处正定的截面. 带有一个黎曼度量的流形也叫黎曼

流形.

黎曼度量实际上是在每一个 TxM 上给了一个内积，也就是过去我们所说的

第一基本形式.

在局部坐标系下，

ds2 =n∑i=1

dui ⊗ dui

就是一个黎曼度量. 要想得到一个M 上的整体度量，我们可以取一组隶属于坐

标覆盖的单位分解 λi，这样

ds2 =∑i

λiφ∗

(n∑j=1

duj ⊗ duj)

就是一个整体正定的对称二次型了. 这是因为半正定的二次型之和还是半正定

的，只要其中有一个是正定的，那么和就是正定的. 这样，我们就得到：

定定定理理理 12.1.1 任意流形M 上都存在黎曼度量.

如果M 上有一个黎曼度量，在局部坐标系下

ds2 = gijdui ⊗ duj.

189

· 190 · 第 12章黎曼几何初步

在坐标变换 s′j =∂vi

∂ujsi 之下，度量张量的变换公式是：

g′kl = gij∂ui

∂vk∂uj

∂vl.

对于任意两个切向量场 X = xisi, Y = yjsj，我们定义

G(X, Y ) = gijxiyj.

在每一点，这就是切空间中两个向量的内积，显然 G(X, Y ) = G(Y,X).

如果我们在流形上有一条曲线 u = u(t)，那么我们便可以度量它的切向量

的长度

∥u∥2 = G(u, u).

这样，曲线的长度就是

s =

∫ b

a

√G(u, u)dt.

由于 [gij] 是非退化的，我们用 [gij] 表示它的逆，即

gijgjk = δki .

显然，它的变换公式是

g′kl= gij

∂vk

∂ui∂vl

∂uj.

所以 gij 是一个对称正定的 2 阶反变张量场.

如果我们有一个 (1, 2) 型张量场 τ = tijksi ⊗ duj ⊗ duk，那么

τ = tijk(si, duj)duk = tijkδ

ji du

k = tiikduk

相当于求迹，所得到的结果仍然是一个张量场. 这样的操作可以对任意的张

量场做，将某一个上标与某一个下标对所有的 i 进行求和，其结果还是一个

张量场. 这样的操作叫做张量的缩并，一个 (k, l) 张量场缩并的结果是一个

(k − 1, l − 1) 型张量场.

同样对于一个 (1, 2) 型张量场 tijk，利用 gij 或者 gij，我们可以构造新的张

量场

giltljk, g

jltilk

分别是 (0, 3) 型张量场和 (2, 1) 型张量场. 这样在张量上的操作分别叫做指标

的下降和上升，其结果也还是一个张量场. 如果原来的是 (k, l) 型张量场, 那

么下降指标的结果是 (k − 1, l + 1) 型张量场, 而上升一个指标的结果则是一个

(k + 1, l − 1) 型张量场.

12.2 黎曼联络 · 191 ·

还有一件事值得指出的. 如果我们在切空间 TxM 上给了一个内积 G(·, ·)x，那么对任意的 v ∈ TxM，

αv(·) = G(v, ·)x : TxM → R

定义了 TxM 上的一个线性函数，这样我们可以自然地等同切空间 TxM 与

余切空间 T ∗xM . 也就是说，切向量 v ∈ TXM 也可以被看作是一个余切向量

αv ∈ T ∗M . 如果 v = aisi, αv = bjduj，那么

bk = bjduj(sk) = αv(sk) = G(v, sk) = aiG(si, sk) = aigik

等于将上指标下降后的结果. 这样一来 αsi = gijduj, 或者说 αsigik = duk. 这也允

许我们在 T ∗M 上引入一个自然的度量：

G∗(αv, αv′) = G(v, v′).

这个度量的度量矩阵就是

G∗(duk, dul) = G(sigik, sjg

jl) = gijgikgjl = gkl.

进一步我们还可以在张量空间 T kl 上也引入诱导度量：

G(si1 ⊗ · · · ⊗ sik⊗duj1 ⊗ · · · ⊗ dujl , si′1 ⊗ · · · ⊗ si′k ⊗ duj′1 ⊗ · · · ⊗ duj′l)

= gi1i′1 · · · giki′kgj1j′1 · · · gjlj′l .

12.2 黎黎黎曼曼曼联联联络络络

定定定义义义 12.2.1 黎曼流形M 上一个联络 D 被称为是容许的，如果 DG = 0.

条件 DG = 0 等价于所有的绝对导数 gij,k = 0，或者说：

∂gij∂uk

= gilΓljk + gjlΓ

lik.

如果再加上联络是无挠的，就回到了我们先前从第一基本形式出发计算联

络系数的情形. 我们可以直接计算出联络系数来：

Γkij =1

2gkl(∂gil∂uj

+∂glj∂ui− ∂gij∂uk

).

这样，我们就得到了黎曼几何的基本定理：

定定定理理理 12.2.1 在任意黎曼流形上，存在唯一的容许无挠联络.


定理中的这个联络也叫 Levi-Civita 联络. Levi-Civita 联络是容许的条件也

可以写成

dgij = ωki gkj + gikωkj .

我们令 ωij = ωki gkj，Levi-Civita 联络的容许条件就可以写成

dgij = ωij + ωji.

注意到

dωij = dωki gkj − ωki ∧ (ωlkglj + gklωlj)

= (dωki + ωkl ∧ ωli)gkj − ωik ∧ ωkj= Ωk

i gkj − ωik ∧ ωkj .

引入记号Ωij = Ωki gkj. 并对联络的容许条件进行外微分，我们得到 dωij+dωji =

0，即

Ωij + Ωji = ωik ∧ ωkj + ωljglk ∧ ωki = ωik ∧ ωkj − ωliglk ∧ ωkj = 0.

12.3 黎黎黎曼曼曼曲曲曲率率率

前面的黎曼曲率张量定义成

Ωji =

1

2Rjikldu

k ∧ dul.

现在

Ωij =1

2Rijkldu

k ∧ dul, Rijkl = gsjRsikl.

根据我们的定义 Rijkl = −Rijlk，由于 Ωij = −Ωji，我们就得到 Rijkl =

−Rjikl.

再由联络的无挠性，ωji ∧ dui = Γjikduk ∧ dui = 1

2(Γjik − Γjki)du

k ∧ dui = 0，

我们得到 ωij ∧ dui = 0. 对它作外微分，我们有

0 = Ωij ∧ dui − ωik ∧ ωkj ∧ dui = Ωij ∧ dui.

这样就有

Rijkldui ∧ duk ∧ dul = 0.

要注意的是 dui ∧ duk ∧ dul 是反对称的，所以

Rijkl +Rkjli +Rljik = 0.

12.3 黎曼曲率 · 193 ·

由于 Rijkl 关于前两个指标反对称，所以

Rjikl +Rjkli +Rjlik = 0.

也就是说，关于后三个指标是反对称的. 这样

Rijkl +Riklj +Riljk = 0.

将上两式相减，我们得到

2Rijkl +Riklj +Riljk +Rkjli +Rljik = 0.

同理

2Rklij +Rkijl +Rkjli +Riljk +Rjlki = 0.

这就看出

Rijkl = Rklij.

我们将上面关于曲率张量性质的计算总结成如下的定理：

定定定理理理 12.3.1 Levi-Civita 联络的曲率张量满足如下的性质：

1) Rijkl = −Rjikl = −Rijlk；

2) Rijkl +Riklj +Riljk = 0；

3) Rijkl = Rklij.

在 u 点的切空间 TuM 中任选四个向量 X = xisi(u), Y = yjsj(u), Z =

zksk(u) 和W = wlsl(u)，我们定义

R(X, Y, Z,W )(u) = Rijkl(u)xiyjzkwl.

上面的定理告诉我们，R(X,Y, Z,W )(u) 满足

1) R(X,Y, Z,W )(u) = −R(Y,X,Z,W )(u) = −R(X, Y,W,Z)(u);2) R(X,Y, Z,W )(u) = R(Z,W,X, Y )(u);

3) R(X,Y, Z,W )(u) +R(X,Z,W, Y )(u) +R(X,W, Y, Z)(u) = 0.

另外，我们还定义

G(X, Y, Z,W )(u) = G(X,Z)(u)G(Y,W )(u)−G(X,W )(u)G(Y, Z)(u).

这个函数显然也满足

G(X,Y, Z,W )(u) = −G(Y,X,Z,W )(u) = −G(X, Y,W,Z)(u),


G(X, Y, Z,W )(u) = R(Z,W,X, Y )(u)

和

G(X,Y, Z,W )(u) +G(X,Z,W, Y )(u) +G(X,W, Y, Z)(u) = 0.

如果 X, Y 是两个向量，θ 是它们之间的夹角，那么

G(X,Y,X, Y )(u) = ∥X∥2∥Y ∥2(1− cos2 θ) = (∥X∥∥Y ∥ sin θ)2

就是 X, Y 所张成的平行四边形面积的平方.

如果 X ′ = a11X + a12Y, Y′ = a21X + a22Y，那么

R(X ′, Y ′, X ′, Y ′)(u) = R(a11X + a12Y, a21X + a22Y,X′, Y ′)(u)

= a11a22R(X, Y,X′, Y ′) + a12a21R(Y,X,X

′, Y ′)(u)

= (a11a22 − a12a21)R(X, Y,X ′, Y ′)(u)

= (a11a22 − a12a21)2R(X,Y,X, Y )(u).

同理

G(X ′, Y ′, X ′, Y ′)(u) = (a11a22 − a12a21)2G(X,Y,X, Y )(u).

这样一来，只要 X,Y 线性无关，那么

R(X, Y,X, Y )(u)

G(X, Y,X, Y )(u)

仅仅依赖于X,Y 所张成的平面，而不依赖于这个平面中的基向量X, Y 的选择.

定定定义义义 12.3.1 假定 E ⊂ TuM 是一个 2 维子空间，X,Y 是它的一组基，我们称

K(E) = −R(X, Y,X, Y )(u)

G(X, Y,X, Y )(u)

为 E 的截面曲率.

实际上，截面曲率包含了黎曼张量的所有信息.

定定定理理理 12.3.2 黎曼流形M 在一点 u 的曲率张量由这点所有 2 维切子空间的截

面曲率唯一确定.

证明：假定 R(X,Y, Z,W )(u) 是一个满足上面条件 1), 2) 的张量，假定对于任

意线性无关的两个切向量 X, Y，都有

R(X,Y,X, Y )(u)

G(X,Y,X, Y )(u)=R(X,Y,X, Y )(u)

G(X,Y,X, Y )(u).

12.3 黎曼曲率 · 195 ·

我们要证明 R(X,Y, Z,W ) = R(X, Y, Z,W )，实际上这就是我们所需要的.

令

S(X, Y, Z,W )(u) = R(X,Y, Z,W )(u)−R(X,Y, Z,W ).

它也满足条件 1) 和 2)，我们的证明也等价于，如果 S(X, Y,X, Y )(u) = 0 蕴含

S(X, Y, Z,W )(u) = 0.

由于

0 = S(X + Z, Y,X + Z, Y )(u)

= S(X,Y,X, Y )(u) + S(X,Y, Z, Y )(u) + S(Z, Y,X, Y )(u) + S(Z, Y, Z, Y )(u)

= 2S(X,Y, Z, Y )(u).

所以 S(X, Y, Z, Y )(u) = 0. 再者 S(Y,X, Y, Z)(u) = S(X, Y,X,W )(u) = 0，所以

0 =S(X,Y +W,Z, Y +W )(u)

=S(X,Y, Z, Y )(u) + S(X,Y, Z,W )(u)

+ S(X,W,Z, Y )(u) + S(X,W,Z,W )(u)

=S(X,Y, Z,W )(u) + S(X,W,Z, Y )(u)

=S(X,Y, Z,W )(u)− S(X,W, Y, Z)(u).

这样我们就有 S(X,Y, Z,W )(u) = S(X,W, Y, Z)(u) = S(X,Z,W, Y )(u)，再由

2) 就可以推出 S(X, Y, Z,W ) = 0. 2

定定定义义义 12.3.2 称黎曼流形 M 在一个点 u 是迷向的，如果在 u 点的截面曲率

K(E) 是一个常数K(u)，不依赖于 2 维切子空间 E 的选取.

注意：曲面总是迷向的. 所以这个定义主要是针对更加高维的黎曼流形来讲

的.

在 u 迷向的话，我们就有 R(X,Y,X, Y ) = −K(u)G(X,Y,X, Y ). 用上一个

定理证明中的方法，我们可以得到

R(X, Y, Z,W ) = −K(u)G(X,Y, Z,W ),

或者说

Rijkl(u) = −K(u)(gik(u)gjl(u)− gil(u)gjk(u)

).

定定定理理理 12.3.3 如果连通流形 M 在每一点都是迷向的，而且 M 的维数 n >3，K(u) 是一个常数 K.


一个处处迷向，而且K(u) 是常数的流形也叫常曲率空间.

证明：我们有

Ωij =1

2Rijkldu

k ∧ dul

= −K2(gikdu

k ∧ gjldul − gjkduk ∧ gildul)

= −Kgikduk ∧ gjldul.

所以 Ωji = −Kgikduk ∧ duj.

对它外微分，我们就得到

dΩji = −(dKgik +Kdgik) ∧ duk ∧ duj

= −dKgik ∧ duk ∧ duj −K(ωliglk + gilωlk) ∧ duk ∧ duj

= −dKgik ∧ duk ∧ duj −Kglkωli ∧ duk ∧ duj.

最后的等式是因为无挠性 ωlk ∧ duk = 0.

另外，根据 Bianchi 恒等式，我们有

dΩji = Ωj

k ∧ ωki − ω

jk ∧ Ωk

i

= −Kgkldul ∧ duj ∧ ωki +Kωjk ∧ gildul ∧ duk

= −Kgklωki ∧ dul ∧ duj.

与上式比较，我们就得到

∂K

∂uldul ∧ duk ∧ duj = 0, ∀k, j.

由于 n ≥ 3, 当 l = j, k 时，∂K∂ul

= 0. 调整 j, k 的取值就得到对所有的 l, ∂K∂ul

= 0.

这就证明了K 是一个常数. 2

下面的这个公式就是当年黎曼在 Gottingen 大学发表就职演讲《论几何学

的基本假设》中所给出的，这个讲演被认为是黎曼几何的开篇.

ds2 =

∑ni=1 du

i ⊗ dui(1 + K

4

∑ni=1(u

i)2)2 .

这个度量所描写的就是常数曲率K 的常曲率空间.

定定定义义义 12.3.3 对黎曼曲率张量 Rjikl 进行缩并，所得到的

Ril = Rkikl

12.3 黎曼曲率 · 197 ·

叫做 Ricci 曲率张量，进一步

R = gijRij

则被叫做数量曲率.

Ricci 曲率可以看作某种意义下对黎曼张量求迹，数量曲率当然是对 Ricci

曲率再一次求迹.

显然

Ril = gjkRijkl = gjkRklij = gjkRlkji = Rli.

所以 Ricci 曲率是一个对称的二次型. 对于 X = xisi(u), Y = yjsj(u) ∈ TuM，定义

Ric(X, Y )(u) = Rijxiyj.

不难看出，Ric(X, Y ) 由所有的 Ric(X,X) 确定.

我们在 u 点的切空间中取一组正交基 e1, . . . , en，那么

R(ei, ei) = Rii =n∑j=1

R(ei, ej, ej, ei) = −∑j =i

R(ei, ej, ei, ej) =∑j =i

K(Eij),

这里的 Eij 是由 ei, ej 张成的 2维切子空间. 也就是说，R(ei, ei)是过 ei 的 n− 1

个两两垂直的 2 维切子空间的截面曲率之和.

对于常曲率空间来讲，我们有

Rij = gklRiklj = −gklK(gil(u)gkj(u)− gij(u)gkl(u)

)= (n− 1)Kgij.

这时候，Ricci 曲率与黎曼度量相差一个常数倍数.

黎曼曲率张量或截面曲率的计算是一个十分繁复的工作，我们举两个简单

的例子.

例 12.3.1 计算欧氏空间 En的截面曲率.

设 xi是欧氏空间 En的通常坐标系，g = ⟨ , ⟩是其标准度量. 则

gij = ⟨∂

∂xi,∂

∂xj⟩ = δij = gij.

其黎曼联络系数

Γkij =1

2gkl(

∂glj∂xi

+∂gil∂xj− ∂gij∂xl

) = 0.


Rjikl =


∂ul+ Γmil Γ

jmk − ΓmikΓ

jml = 0.


所以欧氏空间 En的截面曲率为零.

例 12.3.2 设 n维黎曼流形M 在坐标系 ui中的度量为

ds2 =

∑ni=1 du

i ⊗ dui(1 + K

4

∑ni=1(u

i)2)2 .

其中K 是常数，计算此黎曼流形M 的截面曲率.

令 A = 1 + K4

∑ni=1(u

i)2, 则黎曼流形M 的度量分量为

gij =1

A2δij, gij = A2δij.

∂gij∂uk

= −2 1

A3

K

42ukδij = −

1

A3Kukδij.

其黎曼联络系数

Γkij =1

2gkl(

∂glj∂ui

+∂gil∂uj− ∂gij∂ul

) = − K2A

(δkjui + δkiu

j − δijuk).


∂ul=− K

2

∂

∂uk(δjlu

i + δijul − δiluj

A) +

K

2

∂

∂ul(δjku

i + δijuk − δikuj

A)

=− K

2

δljδki + δjiδkl − δilδkjA

+K

2

δkjδli + δjiδlk − δikδljA

+K

2(δjlu

i + δijul − δiluj)

Kuk

2A2− K

2(δjku

i + δijuk − δikuj)

Kul

2A2

=K

A(δkjδli − δikδlj) +

K2

4A2[(δlju

i − δiluj)uk − (δkjui − δikuj)ul],

Γmil Γjmk − ΓmikΓ

jml =

n∑m=1

K2

4A2[(δmlu

i + δmiul − δilum)(δjkum + δjmu

k − δmkuj)

− (δmkui + δmiu

k − δikum)(δjlum + δjmul − δmluj)]

=K2

4A2[(uiδjku

l + ulδjkui) + (δjlu

i + δjiul − δiluj)uk

− (δklui + δkiu

l − δiluk)uj − (uiδjluk + ukδjlu

i)

− (δjkui + δjiu

k − δikuj)ul + (δklui + δilu

k − δikul)uj

+ (δikδjl − δilδjk)n∑

m=1

(um)2]

=K2

4A2[(δjku

i − δkiuj)ul − (δjlui − δiluj)uk

+ (δikδjl − δilδjk)n∑

m=1

(um)2].

12.4 测地线 · 199 ·


Rjikl =


∂ul+ Γmil Γ

jmk − ΓmikΓ

jml =

K

A2(δkjδli − δikδlj),

Rijkl = gsjRsikl = K(gkjgli − gikglj) = −K(gikgjl − gilgjk).

所以此黎曼流形M 的截面曲率为K.

12.4 测测测地地地线线线

接下来，我们研究黎曼流形上的测地线.

定定定义义义 12.4.1 黎曼流形上的参数曲线 C 被称为是一个测地线，如果它的切向量

沿着曲线是平行的.

在局部坐标系下，参数曲线可以写成 u = u(t) = (u1(t), u2(t), · · · , um(t))，那么测地线方程便是：

d2ui

dt2+ Γijk

duj

dt

duk

dt= 0.

对给定的 u(0) = u0, u(0) = v0 ∈ Tu0M，这个方程有唯一解 u(t).

我们来计算 u(t) 的长度. 注意到

d

dt(giju

iuj) =∂gij∂uk

ukuiuj + 2gijuiuj

= (gilΓljk + gjlΓ

lik)u

kuiuj + 2gijuiuj

= 2(ui + Γiklu

kul)giju

j = 0.

这说明 ∥u∥ 是一个常数，它等于 ∥v0∥. 所以

ℓ(u)|t0 = ∥v0∥t.

现在我们来定义指数映射：

Exp : Tu0M →M.

对于 v0 ∈ Tu0M，我们用初值 u(0) = u0, u(0) = v0 来解测地线方程 u(t)，那么

Exp(v0) = u(1). 也就是说，我们沿着方向 v0 作测地线，Exp(v0) 是测地线上距

离 u0 等于 ∥v0∥ 的那个点. 我们这里有一个问题，测地线方程仅仅是在局部有

解，我们未必总可以得到 u(1). 将这样的映射写成：

ui(t) = f i(t, v).


它满足的方程是： df i(t,v)dt

= gi(t, v),dgi(t,v)dt

= −Γijk(f(t, v))gj(t, v)gk(t, v).

初值条件是

f i(0, v) = ui0, gi(0, v) = vi.

则由常微分方程的存在唯一性定理知存在一个 ϵ > 0，只要 ∥v∥ < ϵ，方程组在

区间 [0, δ] 上有解. 不难验证 f i(ϵt, v) = f i(t, ϵv)，我们不妨假定在 ∥v∥ < ϵ 的时

候，方程在 [0, 1] 上有解. 这意味着在 Tu0M 中原点的一个球形邻域上我们可以

定义映射 Exp. 根据微分方程解依赖于初值的光滑性，我们知道 Exp 是一个光

滑映射.

另外一方面，

vi =df i(t, v)

dt

∣∣∣∣t=0

=df i(1, tv)

dt

∣∣∣∣t=0

=∑j

∂f i(1, 0)

∂vjvj.

我们看到

DExp(0) = I.

所以 Exp在原点附近是一个微分同胚. 我们将 ϵ取得小一些，使得 Exp在 Bϵ(0)上是一个到像上的微分同胚.

定定定义义义 12.4.2 我们称正数

supϵ,Exp : Bϵ(0)→M 是一个到像上的微分同胚

为点 u0 的单射半径，记作 inj(u0). 对于 ϵ 6 inj(u0)，Exp(Bϵ(0)) ⊂ M 也称作

以 u0 为中心，半径为 ϵ 的测地球，记作 Bgϵ (u0). 它是由那些从 u0 出发的测地

线上所有距离小于 ϵ 的点构成的.

这样我们在 u0 点的半径为 ϵ 的测地球 Bgϵ (u0) 上又得到一个局部坐标

φ = Exp−1 : Bgϵ (u0) → Bϵ(0). 这个坐标系叫做 u0 点的法坐标系. 法坐标系有着

很好的性质. 所有过 u0 点的测地线，法坐标下就是一条过原点的直线，它的方

程就是 v(t) = tv0. 不仅如此，我们还有：

定定定理理理 12.4.1 在法坐标系下，Levi-Civita 联络的所有联络系数 Γijk 在 0 点为零.

注意，这会很大地帮助我们进行计算. 例如在 0 点的黎曼曲率张量就可以写

成：

Rjikl(0) =

∂Γjil(0)

∂uk− ∂Γjik(0)

∂ul.

12.4 测地线 · 201 ·

在张量计算的最后结果中，但凡出现 Γjik 的项都可以去掉. 注意，我们这里讲的

是最后的结果，因为它们的微分不为零，所以在中间过程中不能略去. 当然你

们会问，为什么这样能够简化计算呢？在我们检查张量相等的时候，仅仅需要

每一点检验就行了，采用特殊坐标可能会化简运算.

证明：过原点测地线的方程是 v(t) = tv0，代入测地线的微分方程，我们有

Γijk(0)vj0vk0 = 0, ∀vj0, vk0 .

由于 Γijk 关于 j, k 是对称的，这就推出 Γijk(0) = 0. 2

我们将上面的 Exp 做的更加细致一些. 令 U ⊂ M 是一个坐标邻域，u0 ∈U，我们可以在每一个 U 中的点上定义 Exp. 这样的映射可以写成

id× f(t, u, v) : U × Rn → U × U,

其中的 f 满足方程df i(t,u,v)

dt= gi(t, u, v),

dgi(t,u,v)dt

= −Γijk(f(t, u, v))gj(t, u, v)gk(t, u, v).

而初值条件是 f i(0, u, v) = ui, gi(0, u, v) = vi.

同样，我们有一个 (u0, 0) 的邻域 W × Bϵ(0)，使得对于所有在 W × Bϵ(0)

中的初值，f 在 [0, 1] 上可解. 这样

D(id× f)(u, v) =

[I 0

∗ I

].

因此 id × f 在 (u0, 0) 附近是一个微分同胚，不妨假定 id × f 在 W × Bϵ(0)

上的限制就是一个到像上的微分同胚. 我们可以找到一个 u0 的邻域 V，而

且 V × V ⊂ id × f(W × Bϵ(0)). 再取一个 (u0, 0) 的邻域 B × Bϵ′(0)，使得

id× f(B ×Bϵ′(0)) ⊂ V × V . 我们就得到对于每一个 u ∈ B，Expu : Bϵ′(0)→ V

是一个到像上的同胚. 我们将这些讨论总结成如下的定理：

定定定理理理 12.4.2 对每一个 u ∈ M，存在一个 u 的开邻域 B 和一个 ϵ，使得对于任

意 u1 ∈ B，inj(u1) > ϵ.

根据这个定理，我们马上可以得到如下的推论：在任意的紧子集 C ⊂ M

上，单射半径是有正下界的.

我们下面来证明测地球中的从中心出发的测地线的最短性质. 我们先需要证

明一个引理：


引引引理理理 12.4.3 设 Bgϵ (u0) ⊂ M 是一个测地球，u ∈ Bg

ϵ (u0)，那么，对于任意

λv = u，我们有

(Exp∗,u(v),Exp∗.u(w))TuM = (v, w)Tu0M .

证明：我们将 w 在 Tu0M 中分解成

w = w∥ + w⊥,

其中 w∥ 是平行于 v 的部分，而 w⊥ 是垂直于 v 的部分. 由于 Exp∗,u 是线性的，

所以我们只需要证明 ∥Exp∗,u(v)∥TuM = ∥v∥Tu0M 和 (Exp∗,u(v),Exp∗.u(w⊥))TuM

= 0 就足够了.

考虑测地线 u(t) = tv，我们知道这条测地线的切向量的长度是常数，这就

证明了第一个等式.

对于第二个等式，我们做一条曲线 v(s)，使得 ∥v(s)∥Tu0M = ∥v∥Tu0M ,

v(0) = v, dv(0)/ds = w⊥，进一步构造 σ(t, s) = exp(tv(s))，那么

∂σ(t, s)

∂t

∣∣∣∣t

= Exp∗,tvv(s),∂σ(t, s)

∂s

∣∣∣∣s=0

= tExp∗,tvw⊥.

我们要证明

d

dt

(∂σ(t, 0)

∂t

∣∣∣∣t

,∂σ(t, s)

∂s

∣∣∣∣s=0

)TtvM

=d

dt(Exp∗,tvv, tExp∗,tvw

⊥)TtvM = 0.

显然，在 t = 0 的时候 (Exp∗,tvv, tExp∗,tvw⊥)TtvM = 0，而在 t = λ 时就是我们

所需要的等式.

注意到度量在 Levi-Civita 联络下是平行的，所以

d

dt

(∂σ

∂t,∂σ

∂s

)=

(D

dt

∂σ

∂t,∂σ

∂s

)+

(∂σ

∂t,D

dt

∂σ

∂s

),

这里的第一项为零，因为当 s 固定时，∂σ/∂t 是测地线 tv(s) 的切向量，而测

地线是自平行的. 关于第二项，我们注意到

D

dt

∂σ

∂s=D

dt

(∂σi

∂ssi

)=∂2σi

∂t∂ssi +

∂σi

∂sΓjiksj

∂σk

∂t=D

ds

∂σ

∂t.

所以(∂σ

∂t,D

dt

∂σ

∂s

)=

(∂σ

∂t,D

ds

∂σ

∂t

)=

1

2

d

ds

(∂σ

∂t,∂σ

∂t

)=

1

2

d

ds∥v(s)∥2Tu0M = 0.

这就完成了引理的证明. 2

这个引理也叫做 Gauss 引理. 我们所说的测地球中从中心出发的测地线是

最短的指的是下面的定理.

12.4 测地线 · 203 ·

定定定理理理 12.4.4 设 Bgϵ (u0) ⊂M 是一个测地球，u : [0, 1]→M 是一条从 u0 = u(0)

出发的长度小于 ϵ 的曲线，那么整个 c(t) 落在 Bgϵ (0) 之内，而且它的长度至少是测地球中连接 u0 与 u1 = u(1) 测地线的长度，两个长度相等的充分必要条件

是 u(t) 就是那一条测地线.

证明：我们不妨在测地球上做，曲线 u(t) 落在这个测地球中的部分可以写成

u(t) = r(t)v(t)，其中 ∥v(t)∥Tu0M = 1，而且如果整个 u(t) 落在这个测地球中的

话，r : [0, 1] → (−ϵ, ϵ), r(0) = 0, r(1) = ∥u1∥；不然，r : [0, a) → (−ϵ, ϵ), r(0) =0, limt→a r(t) = ϵ. 当然，我们有

u(t) = r(t)v(t) + r(t)v(t) ∈ Tu(t)M.

我们来计算它的长度，由于 ∥v(t)∥Tu(t)M = 1，而且 (v(t), v(t))Tu(t)M = 0，所以

∥u(t)∥2Tu(t)M = |r(t)|2∥v(t)∥2Tu(t)M + |r(t)|2∥v∥2Tu(t)M + 2r(t)r(t)(v(t), v(t))Tu(t)M

> |r(t)|2.

如果不是整个 u(t) 落在这个测地球中的话，我们有

limt→a

∫ t

0

∥u(s)∥Mds > limt→a

∫ t

0

r(s)ds = limt→a

r(t) = ϵ.

这与这条曲线的长度小于 ϵ 矛盾. 这个矛盾说明整条曲线必须全部落在这个测

地球中. 这样的情况下∫ 1

0

∥u(s)∥Mds >∫ 1

0

r(s)ds = ∥u1∥.

也就是说，这条曲线的长度至少是测地球中连接 u0 与 u1 的测地线的长度. 如

果等号成立，我们有 r(t) > 0，也就是说 r(t) 是单调上升的，一旦 r(t) > 0，

我们就有 v(t) = 0，也就是说，v(t) 是一个常向量，这说明 u(t) 就是连接 u0 与

u1 的测地线，只不过我们换了一个参数. 这样，我们就证明了定理. 2

这个定理中的曲线不一定需要每一点都光滑，只要分段光滑就行. 这样

一来，对于 u0 ∈ M，我们可以找到 ϵ，使得对于任意的 u ∈ Bϵ(u0)，都成立inj(u) > 2ϵ. 再用上面的定理，我们得到：

定定定理理理 12.4.5 对于 u0 ∈ M，存在一个 ϵ > 0，对测地球 Bgϵ (u0) 中的任意两点

u1, u2，Bg2ϵ(ui) 都是测地球，而且 u1 ∈ Bg

2ϵ(u2), u2 ∈ Bg2ϵ(u1). 特别地，有唯一

的一条最短测地线连接它们.


现在我们还不能保证连接 u1, u2 的测地线本身也落在测地球 Bgϵ (u0) 之中，

不难看出，这条测地线一定落在 Bg2ϵ(u0) 中. 我们将测地线写成 s(t) = r(t)v(t)

的形式，其中 t 是测地线上的弧长参数，∥v(t)∥ = 1，而且 r(t) : [0, c] →R+, r(0)v(0) = u1, r(c)v(c) = u2.

注意到 r(t) 实际就是 s(t) 到 u0 的测地线的长度. 简单的计算表明

dr2(t)

dt=

d

dt(s(t), s(t)) = 2

(ds(t)

dt, s(t)

)Tu0M

,

d2r2(t)

dt2= 2

(d2s(t)

dt2, s(t)

)Tu0M

+ 2

∥∥∥∥ds(t)dt

∥∥∥∥2Tu0M

.

考察 s(t0) = 0 的极端情形：这个情况下的测地线方程是 s(t) = (t − t0)v，即 r(t) = t− t0, v(t) = v，而

d2r(t)2

dt2

∣∣∣∣t=t0

= 2 > 0.

这样我们就知道存在 δ，只要 ∥s(t)∥Tu0M 6 δ 足够小, 我们就有 d2r2(t)/dt2 >

0，或者说距离函数是一个下凸的函数，也就是说测地线上点到 u0 距离的最大

值一定在端点达到. 这就可以证明只要 u1, u2 ∈ Bgδ(u0)，那么连接它们测地线也

完全落在 Bgδ(u0) 中. 这样的测地球也叫做严格凸的，写成定理的话，我们有：

定定定理理理 12.4.6 设 u0 ∈M，存在一个 δ > 0，使得 Bgδ(u0) 是一个测地球，对任意

的 u1, u2 ∈ Bgδ(u0)，存在唯一的一条最短测地线连接它们，而且这条测地线完

全落在 Bgδ(u0) 之中.

事实上，我们还可以做到对任意的 u1, u2 ∈ Bgδ(u0)，存在唯一的一条最短测

地线连接它们，而且除了端点之外，这条测地线完全落在开球 Bgδ(u0) 之中. 如

果我们从任意一个 u ∈ Bgδ(u0) 出发，Exp−1

u (Bgδ(u0)) 边界上的点到 0 的距离就

是 Bgδ(u0) 上对应点到 u 的测地线的长度，它是 Sn−1 上的一个连续函数.

12.5 曲曲曲线线线长长长度度度的的的第第第一一一、、、第第第二二二变变变分分分公公公式式式

定理 12.4.4说明在一点邻近，测地线是连接两点的最短线. 现在考虑一般连

接两点的曲线中具有最短长度的曲线是否是测地线. 先看一下欧氏空间中的测

地线.

例 12.5.1 欧氏空间 Rn中的测地线.

12.5 曲线长度的第一、第二变分公式 · 205 ·

在欧氏空间 Rn 中，度量系数为 gij = δij, 对应的 Levi-Civita 联络的联络系

数为

Γkij =1

2gkl(

∂glj∂ui

+∂gil∂uj− ∂gij∂ul

) = 0.

因此，测地线方程为d2ui

dt2= 0.

对给定的 u(0) = u0, u(0) = v0 ∈ Tu0M，这个方程有唯一解

u(t) = v0t+ u0.

这是直线方程.

实际上，我们知道在欧氏空间 Rn中，任意两点之间的直线段是连接这两点

的最短曲线，即欧氏空间中的测地线具有长度最短性. 在一般的黎曼流形上，

测地线只有局部最短性. 一个标准的例子是球面，可以证明在球面上大圆，过

圆心的平面与球面的交线，是测地线. 但是内部包含一对对径点的大圆弧就不

是连接两端点的最短线. 下面我们比较相邻曲线的长度，即曲线的弧长变分.

定定定义义义 12.5.1 设 γ : [a, b] → M 是流形M 中的一条光滑曲线，如果存在 ε > 0

和一个光滑映射

Γ : [a, b]× (−ε, ε)→M,

满足

γ(t, 0) = γ(t), ∀t ∈ [a, b],

则称映射 Γ 是曲线 γ 的一个变分. γ 称为变分 Γ 的基曲线. 对每个固定的

u ∈ (−ε, ε), γu(t) = Γ(t, u)定义了M 上的一条曲线，称为变分 Γ的变分曲线.

同样，对固定的 t ∈ [a, b], 我们可以得到曲线 γt = Γ(t, ) : (−ε, ε)→M , γt称为

变分 Γ的横截曲线. 我们记

T (t, u) = dΓ(d

dt), U(t, u) = dΓ(

d

du).

T (t, u)是变分曲线 γu的切向量场, U(t, u)是横截曲线 γt的切向量场. 特别

的， U = U(t, 0)称为此变分的变分向量场.

从这个定义我们可以看出，每个变分有一个变分向量场. 实际上，对黎曼流

形上沿着每一条曲线的光滑切向量场, 存在此曲线的一个变分，使得该向量场

是它的变分向量场.

定定定理理理 12.5.1 设 γ : [a, b]→ M 是黎曼流形M 上的一条光滑曲线，U = U(t)是

沿 γ 有定义的M 的切向量场, 则存在 γ 的一个变分 Γ以 U 为其变分向量场.


证明：由定理 12.4.2, 对每一点 γ(t), 存在 γ(t)的一个开邻域 Vt 和一个 εt > 0,

使得指数映射 Exp在 Vt × B(0, εt)内有定义. 由于区间 [a, b]的紧致性，必存在

ε > 0, 使得对任意 (t, u) ∈ [a, b]× (−ε, ε), Expγ(t)(uU(t))有定义. 所以我们定义

映射

Γ : [a, b]× (−ε, ε)→M,

(t, u) 7→ Expγ(t)(uU(t)).

这时，Γ(t, 0) = γ(t), 对固定的 t, Γt(u)是以 (γ(t), U(t))为初始条件的测地线，

所以 Γ是 γ的一个以 U 为其变分向量场的变分. 2

从 T (t, u)和 U(t, u)的定义我们知道

[T (t, u), U(t, u)] = [dΓ(d

dt), dΓ(

d

du)] = dΓ([

d

dt,d

du]) = 0.

由黎曼联络的无挠性知

DTU = DUT.

每条变分曲线 γu的长度为

L(u) =

∫ b

a

|T (t, u)|dt =∫ b

a

⟨T (t, u), T (t, u)⟩12dt.

下面我们要求出 L′(0)和 L′′(0).

定定定理理理 12.5.2 设 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M 上的一条光滑曲线，其参数 t是

弧长参数. 如果Γ : [a, b]× (−ε, ε)→ M 是 γ 的一个变分，设 L(u)是曲线 γu 的

长度，则有

L′(0) = ⟨γ′, U⟩|ba −∫ b

a

⟨U,Dγ′γ′⟩dt.

其中 U 是 Γ的变分向量场, D是M 上的黎曼联络. 这个公式称为弧长的第一变

分公式.

证明：由于 t是曲线 γ的弧长参数，|T (t, 0)| = 1.

L′(u) =

∫ b

a

d

du⟨T (t, u), T (t, u)⟩

12dt

=

∫ b

a

⟨DU(t,u)T (t, u), T (t, u)⟩⟨T (t, u), T (t, u)⟩ 12

dt

=

∫ b

a

⟨DT (t,u)U(t, u), T (t, u)⟩⟨T (t, u), T (t, u)⟩ 12

dt.


对 u = 0, 我们有

L′(0) =

∫ b

a

⟨DTU, T ⟩dt =∫ b

a

(T ⟨U, T ⟩ − ⟨U,DTT ⟩)dt

=

∫ b

a

(d

dt⟨U, γ′⟩ − ⟨U,Dγ′γ

′⟩)dt

= ⟨γ′, U⟩|ba −∫ b

a


最后两行里的 D可以看成M 的黎曼联络在 γ∗TM 上的诱导联络. 2

一般求曲线长度时，我们要求曲线是分段光滑的，因此我们将变分推广到

分段光滑的情形.

定定定义义义 12.5.2 设 γ : [a, b] → M 是流形 M 中的一条分段光滑曲线，如果存在

ε > 0和一个连续映射

Γ : [a, b]× (−ε, ε)→M,

满足

γ(t, 0) = γ(t), ∀t ∈ [a, b],

并且存在曲线 γ 的一个光滑划分

a = t0 < t1 < · · · < tk = b,

即 γ′(t)在 ti处的左右极限存在，使得 Γ在 [ti−1, ti]× (−ε, ε)上的限制是光滑映射，则称映射 Γ是曲线 γ 的一个分段光滑变分.

用定理 12.5.2相同的证明方法，我们可以得到下面的定理.

定定定理理理 12.5.3 设 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M 上的一条分段光滑曲线，其参数

t是弧长参数. 如果 Γ : [a, b] × (−ε, ε) → M 是 γ 的一个分段光滑变分，U 是 Γ

的变分向量场, 则对 γ 的任意一个光滑划分 a = t0 < t1 < · · · < tk = b, 有弧长

第一变分公式

L′(0) = ⟨γ′, U⟩|ba +k−1∑i=1

⟨γ′, U⟩|t−i

t+i−1

−∫ b

a


定定定理理理 12.5.4 设 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M 上的一条分段光滑曲线，其参数

t是弧长参数. 如果对 γ 的每一个有固定端点的分段光滑变分，有 L′(0) = 0，

则曲线 γ 是一条测地线.


证明：由于我们讨论的分段光滑变分是保持端点不变的，即 Γ(a, u) = γ(a),

Γ(b, u) = γ(b), 所以 U(a) = U(b) = 0. 因此由弧长第一变分公式得

L′(0) =k−1∑i=1

⟨γ′(t−i )− γ′(t+i ), U(ti)⟩ −∫ b

a

⟨U,Dγ′γ′⟩dt = 0.

取定 γ 的一个光滑分划 a = t0 < t1 < · · · < tk = b, 对每个固定的 j, 1 ≤ j ≤ k,

取正数 δ, 使得 2δ < tj − tj−1, 再选取函数 hj ∈ C∞(R)(类似于截止函数), 使得

hj(t) =

1, tj−1 + δ ≤ t ≤ tj − δ,0, t ≤ tj−1或 t ≥ tj.

并且 0 ≤ hj(t) ≤ 1. 令 Uj(t) = hj(t)Dγ′(t)γ′(t), 代入相应的弧长第一变分公式得∫ b

a

⟨Uj(t), Dγ′γ′⟩dt =

∫ tj

tj−1

hj(t)|Dγ′γ′|2dt = 0.

因此，

hj(t)|Dγ′γ′|2 = 0, tj−1 ≤ t ≤ tj.

从 hj(t)的定义看出，当 t ∈ [tj−1 + δ, tj − δ]时，有 Dγ′γ′ = 0. 令 δ → 0, 得

Dγ′γ′ = 0，t ∈ (tj−1, tj). 所以，对每个 j, 曲线段 γ|(tj−1,tj)是测地线，下面证明

γ的光滑性.

对每个固定的 j, 1 ≤ j ≤ k, 取正数 δ, 使得 2δ < minti − ti−1, 用向量场Uj(t)表示向量 γ′(t−j ) − γ′(t+j )沿曲线 γ 作平行移动所得到的分段光滑向量场.

再选取函数 kj ∈ C∞(R), 使得

kj(t) =

1, t = tj,

0, |t− tj| ≥ δ.

并且 0 ≤ kj(t) ≤ 1. 令 U(t) = kj(t)Uj(t), 代入相应的弧长第一变分公式得

|γ′(t−j )− γ′(t+j )|2 = 0.

因此，γ′(t−j ) = γ′(t+j ), 1 ≤ j ≤ k, 所以 γ, γ′在区间 [a, b]上是连续的，由测地线

的存在唯一性知 γ是光滑的，即曲线 γ是一条测地线. 2

我们现在来计算 L′′(0). 由于是要讨论临界点的稳定性，我们是在 L′(0) = 0

的条件下计算 L′′(0). 因此我们可以假设基曲线 γ 是一条正规测地线，即参数为

弧长参数的测地线. 从计算弧长第一变分过程中看出

L′′(u) =

∫ b

a

d

du(1

|T |⟨T,DTU⟩)dt.


计算被积函数得

U(1

|T |⟨T,DTU⟩) =−

1

|T |3⟨T,DTU⟩2 +

1

|T |⟨DUT,DTU⟩+

1

|T |⟨T,DUDTU⟩

=− 1

|T |3(T ⟨T, U⟩ − ⟨DTT, U⟩)2 +

1

|T ||DTU |2

+1

|T |⟨T,R(U, T )U +DTDUU⟩.

当 u = 0时，|T | = 1, DTT = 0, 则

⟨T,DTDUU⟩ = T ⟨T,DUU⟩ − ⟨DTT,DUU⟩ = T ⟨T,DUU⟩.

所以我们得到弧长第二变分公式

L′′(0) =

∫ b

a

(|Dγ′U |2 + ⟨R(U, γ′)U, γ′⟩ − (⟨γ′, U⟩′)2)dt+ ⟨γ′, DUU⟩|ba.

因此，当 L′(0) = 0, L′′(0) > 0时，曲线 γ和邻近的所有其它曲线相比较，γ

的长度极小.

习题

1. 设 (V, g) 是欧氏向量空间，a 为二阶对称协变张量，设在一组基下有

gijakl − gilajk + gjkail − gklaij = 0.

证明 a = ρg, 这里 ρ 是常数.

2. 定义映射 φ : S2 → R6 使得 φ(x, y, z) = (x2, y2, z2,√2yz,√2zx,√2xy). 证

明：φ 是从 S2 到 S5 的浸入子流形，并且求出 S2 上由 φ 诱导的黎曼度量.

3. 设 (M, g) 是一个 m 维有向黎曼流形，X 是M 上的一个向量场, 在定向相

符的局部坐标系 (U, xi) 上构造一个 (m− 1)-形式

w =m∑i=1

(−1)i+1√

det(gij)Xidx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm,

其中 X i = dxi(X) 是 X 的分量. 求证此定义与局部坐标系的选择无关.

4. 设 γ(t) 是黎曼流形 M 上的测地线，如果参数变换 t = t(s) 使得 γ1(s) =

γ(t(s)) 也是测地线，证明：t = as+ b, a = 0, b 是常数.

5. 计算 ds2 = 1y2(dx2 + dy2) 的联络系数 Γkij.

6. 设X1, · · · , Xr 是黎曼流形M 上的平行向量场, 试证明：如果X1, · · · , Xr 在

一点线性无关，则它们在流形M 上处处线性无关.


7. 设 m 维黎曼流形M 上存在 m 个线性无关的平行向量场, 试证明黎曼流形

M 的曲率张量为零.

8. 设m 维黎曼流形M 上一条曲线 γ(t) = (x1(t), · · · , xm(t)), t ∈ (a, b) 满足

d2xi

dt2+ Γijk

dxj

dt

dxk

dt= f(t)

dxi

dt.

证明此曲线是测地线.

第第第十十十三三三章章章单单单纯纯纯同同同调调调论论论

代数拓扑与点集拓扑的共同目标是用同胚不变性去决定拓扑空间的性质. 代

数拓扑是用代数工具(代数结构)来描述拓扑空间的结构. 拓扑空间上构造的代

数群一般是拓扑不变量, 用这个代数群来比较拓扑空间, 以此来分类拓扑空间.

理想状态下, 我们希望具有特定拓扑性质的拓扑空间应该是同胚的. 这一类定理

称为分类定理, 因为它们将拓扑空间分成一系列拓扑等价类. 我们这一章讨论的

单纯同调群就是拓扑空间上的一种代数群. 在众多的同调群中，单纯同调群比

较具体也容易掌握，对更好地学习其它的内容会有帮助.

对代数拓扑的系统研究是由法国数学家 Henri Poincare(1854–1912)开始的.

主要讨论路径、曲面和欧氏空间的几何. 例如讨论一些看起来比较明显的事

实，但不容易给出简单证明的例子. 例如

Jordan曲线定理：

欧氏平面上的简单闭曲线 C 将平面分成两个开连通集，它们以曲线 C 为公

共边界，并且有一个开连通集是有界的.

13.1 单单单纯纯纯复复复形形形

我们先从线性空间中的凸集开始.

定定定义义义 13.1.1 设 C 是实线性空间 V 的一个子集，如果对任意的 c1, c2 ∈ C,

t ∈ I = [0, 1]，满足

tc1 + (1− t)c2 ∈ C,

则称 C 是一个凸集.

以后我们所说的线性空间 V 一般是指 n维线性空间

V = Rn = x = (x1, x2, · · · , xn)| xi ∈ R.

定定定义义义 13.1.2 如果 Rn 中的一个由 k + 1个点组成的集合A = v1, v2, · · · , vk+1不包含在 Rn的一个 k − 1维平面内，则称 A是几何独立的.

211

· 212 · 第 13章单纯同调论

从这个定义可以看出，A = v1, v2, · · · , vk+1 是几何独立的等价于向量v2 − v1, · · · , vk+1 − v1是线性无关的.

因此，如果 A = v1, v2, · · · , vk+1是几何独立的，则有1. vi不相同；

2. A中任意三个点不在一条直线上；

3. A中任意四个点不在一个平面上；

4. A中任意 p+ 1个点不在一个 p− 1维平面内.

定定定理理理 13.1.1 设 A = v0, v1, · · · , vk 是一个几何独立集，C 是由 A 生成的凸

集，即 C 是包含 A的最小凸集. 则 C 是由形如∑k

i=0 aivi, ai ≥ 0,∑k

i=0 ai = 1

的点组成，并且 C 中任一点可以唯一表示成上述形式.

证明：由于凸集的交集是凸集，所以 C 是存在的，并且 C 就是所有包含

A = v0, v1, · · · , vk的凸集的交集.

设

C1 = v =k∑i=0

aivi| ai ≥ 0,k∑i=0

ai = 1.

我们先证明 C1是凸集：

设 v =∑k

i=0 aivi, w =∑k

i=0 bivi ∈ C1, 则

tv + (1− t)w =k∑i=0

(tai + (1− t)bi)vi,

k∑i=0

(tai + (1− t)bi) = t

k∑i=0

ai + (1− t)k∑i=0

bi = t+ (1− t) = 1.

所以 tv + (1− t)w ∈ C1, 即 C1是凸集，因此 C ⊂ C1.

下面我们用数学归纳法证明 C1 ⊂ C.

当组合∑k

i=0 aivi中只有一个系数不为 0时, 这个非零系数为 1, 由 vi ∈ C 得∑ki=0 aivi ∈ C.归纳假设当

∑ki=0 aivi中最多有 n(n < k+1)个系数不为 0时,有

∑ki=0 aivi ∈

C.

设∑k

i=0 aivi中有 n+ 1个系数不为 0, 重排系数后设 a0, a1, · · · , an = 0, 这时

an = 1, 则k∑i=0

aivi = (1− an)n−1∑i=0

ai1− an

vi + anvn.

13.1 单纯复形 · 213 ·

由∑n−1

i=0ai

1−an = 11−an

∑n−1i=0 ai =

11−an (1− an) = 1知

∑n−1i=0

ai1−an vi ∈ C.

因为 C 是凸集，对任意 t ∈ [0, 1]有

t

n−1∑i=0

ai1− an

vi + (1− t)vn ∈ C.

取 t = 1− an得k∑i=0

aivi ∈ C.

所以 C1 ⊂ C, 因此 C1 = C.

最后我们证明表示的唯一性.

设 v =∑k

i=0 aivi =∑k

i=0 bivi, 则∑k

i=0(ai − bi)vi = 0.

由于∑k

i=0 ai =∑k

i=0 bi = 1,

0 =k∑i=0

(ai − bi)vi =k∑i=0

(ai − bi)vi − (k∑i=0

ai −k∑i=0

bi)v0 =k∑i=1

(ai − bi)(vi − v0).

v1 − v0, v2 − v0, · · · , vk − v0 的线性无关性意味着 ai = bi, i ≥ 1, 而 a0 =

1−∑k

i=1 ai = 1−∑k

i=1 bi = b0. 所以 ai = bi, ∀i. 这就证明表示的唯一性. 2

定定定义义义 13.1.3 设 v0, v1, · · · , vk是 Rn 中的一个几何独立点集，由 v0, v1, · · · ,vk生成的凸集称为一个 k-单形，记为 σk = ⟨v0, v1, · · · , vk⟩, 即

σk = v =k∑i=0

aivi| ai ≥ 0,k∑i=0

ai = 1,

其中 a0, a1, · · · , ak 称为 v的重心坐标. 集合

k∑i=0

aivi| ai > 0,k∑i=0

ai = 1

称为由 v0, v1, · · · , vk生成的开 k-单形，记为 (v0, v1, · · · , vk). v0, v1, · · · , vk 称为单形 ⟨v0, v1, · · · , vk⟩的顶点.

从这个定义看出，0-单形是一个点，1-单形是一条闭直线段，2-单形是一个

三角形，3-单形是一个四面体.

定定定义义义 13.1.4 若单形 σk 的每个顶点也是单形 σm 的顶点，则称单形 σk 是单形

σm的一个面. 若 k < m, 则称单形 σk 是单形 σm的一个真面.

· 214 · 第 13章单纯同调论

例 13.1.1 2-单形 ⟨a0, a1, a2⟩的面包含：1. 2-单形 ⟨a0, a1, a2⟩;2. 1-单形 ⟨a0, a1⟩, ⟨a1, a2⟩, ⟨a0, a2⟩;3. 0-单形 ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩.

定定定义义义 13.1.5 若两个单形 σk，σm 不相交，或 σk ∩ σm 同时是 σk 和 σm 的一个

面，则称 σk，σm是正常连接的.

例 13.1.2 正常连接的例子

不正常连接的例子

定定定义义义 13.1.6 设K 是 Rn中有限个单形的并集，满足

(1) K 中的单形是正常连接的；

(2) K 中的每个成员的面是K 的一个成员.

则称 K 是 Rn 中的一个单纯复形，简称复形. K 中单形维数的最大值称为复形

K 的维数. K 的几何图形称为复形 K 对应的多面体，记为 |K|.

定定定义义义 13.1.7 设 X 是一个拓扑空间，若存在一个几何复形 K，使得它所对应

的多面体 |K|同胚于 X，则称 X 是一个可三角剖分空间，K 称为 X 的一个三

角剖分.

对拓扑空间的三角剖分，我们有如下结果：

定定定理理理 13.1.2 (Alexandroff, 1928) 每个紧致度量空间可以用多面体无限逼近.

13.1 单纯复形 · 215 ·

定定定义义义 13.1.8 一个 k-单形 σk 的闭包 Cl(σk)是一个由 σk 的所有面组成的复形.

定定定义义义 13.1.9 设K 是一个复形，r是一个正常数. K 的 r骨架(Skeleton)是由K

的所有维数小于或等于 r的单形组成的复形.

例 13.1.3 3-单形 σ3 = ⟨a0, a1, a2, a3⟩. 它的 2骨架是由 σ3的所有真面组成的复形

K, K 所对应的多面体是四面体的边界，它同胚于单位球面 S2 = (x1, x2, x3) ∈R3| (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1. 因此K 是 S2的一个三角剖分.

同样的，n维单位球面 Sn = (x1, x2, · · · , xn+1) ∈ Rn+1|∑n+1

i=1 (xi)2 = 1是

可三角剖分空间，并且 (n+ 1)-单形 σn+1 = ⟨a0, a1, · · · , an+1⟩的 n骨架是 Sn的一个三角剖分.

例 13.1.4 Mobius带：它可以通过扭转 180等同长方形的一对对边组成，它的

三角剖分为

例 13.1.5 环面 T2 = S1× S1：它可以通过将圆柱的两端等同组成，它的三角剖

分为

我们给复形一个定向的概念.

定定定义义义 13.1.10 通过选择 k-单形 σk = ⟨v0, v1, · · · , vk⟩，k ≥ 1 的顶点次序定义

k-单形 σk 的定向.

· 216 · 第 13章单纯同调论

对选定定向的偶置换决定的等价类定义为正定向单形，记为 +σk.

对选定定向的奇置换决定的等价类定义为负定向单形，记为 −σk.如果一个复形 K 的每一个单形给定了一个定向，则称 K 是一个定向复形.

0-单形一般规定为正向单形.

例 13.1.6 对 1-单形 σ1 = ⟨a0, a1⟩，如果规定 a0 < a1, 则+σ1 = ⟨a0, a1⟩，−σ1 =

⟨a1, a0⟩.一般认定，⟨ai, aj⟩的定向是从 ai指向 aj.

例 13.1.7 对 2-单形σ2 = ⟨a0, a1, a2⟩，如果规定 a0 < a1 < a2,则 ⟨a0, a1, a2⟩，⟨a1,a2, a0⟩, ⟨a2, a0, a1⟩记为 +σ2, ⟨a0, a2, a1⟩，⟨a2, a1, a0⟩, ⟨a1, a0, a2⟩记为 −σ2.

为定义边缘算子作准备，我们先定义两个单形的关联数.

定定定义义义 13.1.11 设 K 是一个有向复形，σp+1, σp 是 K 中两个维数相差 1 的单

形，定义单形对 (σp+1, σp)的关联数 [σp+1, σp]如下：

当 σp不是 σp+1的面时，定义 [σp+1, σp] = 0，

当 σp 是 σp+1 的面时，设 +σp = +⟨a0, · · · , ap⟩, 令 v是 σp+1 中不在 σp 内的

一个顶点，则 σp+1 = ±⟨v, a0, · · · , ap⟩.若 +σp+1 = +⟨v, a0, · · · , ap⟩，则定义 [σp+1, σp] = 1，

若 +σp+1 = −⟨v, a0, · · · , ap⟩，则定义 [σp+1, σp] = −1.

例 13.1.8 若 +σ1 = ⟨a0, a1⟩，则 [σ1, ⟨a0⟩] = −1，[σ1, ⟨a1⟩] = 1.

例 13.1.9 若+σ2 = ⟨a0, a1, a2⟩，+σ1 = ⟨a0, a1⟩，+τ 1 = ⟨a0, a2⟩,则 [σ2, σ1] = 1,

[σ2, τ 1] = −1.

定定定理理理 13.1.3 设 K 是一个有向复形，σp 是 K 的一个有向 p-单形，σp−2 是 σp

的一个有向 p− 2维面. 则∑σp−1∈K

[σp, σp−1][σp−1, σp−2] = 0.

13.2 单纯同调群 · 217 ·

证明：设 v0, · · · , vp−2是 σp−2的顶点，使得+σp−2 = ⟨v0, · · · , vp−2⟩, a, b是 σp的

另两个顶点. 我们假定 +σp = ⟨a, b, v0, · · · , vp−2⟩, 则 σp 的关联系数非零的 p-1

维面 σp−1为

σp−11 = ⟨a, v0, · · · , vp−2⟩, σp−1

2 = ⟨b, v0, · · · , vp−2⟩.

按 σp−11 , σp−1

2 的可能方向，要处理四种情况.

(1) +σp−11 = +⟨a, v0, · · · , vp−2⟩, +σp−1

2 = +⟨b, v0, · · · , vp−2⟩, 则

[σp, σp−11 ] = −1, [σp−1

1 , σp−2] = 1,

[σp, σp−12 ] = 1, [σp−1

2 , σp−2] = 1,

因此 ∑σp−1∈K

[σp, σp−1][σp−1, σp−2] = 0.

其它三种情况同理可证.

2

13.2 单单单纯纯纯同同同调调调群群群

定定定义义义 13.2.1 设 K 是一个有向单纯复形，p是一个正整数，

cp : K 的 p−单形 → Z

是一个从 K 的 p-单形集合到整数的一个映射，满足

cp(−σp) = −cp(+σp).

则称 cp是 K 的一个 p维链，或 p-链.

补充定义：0-链就是K 的 0-单形到整数的一个映射.

用整数加法诱导了 p-链集合上的一个加法，使得所有 K 的 p-链的集合构成

一个加法群，这个加法群称为K 的 p维链群，记为 Cp(K).

对固定的 p-单形 σp, 有一个特殊的 p-链 cp，对其它 p-单形 τ p有 cp(τp) = 0,

这个 p-链 cp称为基本 p-链，记为 g · σp, 其中 g = cp(+σp).

一般的，一个 p-链 dp可以表示成一个有限形式和

dp =∑

gi · σpi ,

· 218 · 第 13章单纯同调论

其中，σpi 取遍K的所有 p-单形. 为方便起见，以后我们将 gi · σpi 直接写成 giσpi .

复形K 的 p-链群 Cp(K)具有性质：

1. 设 cp =∑fiσ

pi , dp =

∑giσ

pi , 则 cp + dp =

∑(fi + gi)σ

pi .

2. cp的负链为 −cp =∑

(−fi)σpi .3. p-链群 Cp(K)同构于 Z的直和，个数为K 的 p-单形的个数 αp, 其同构对

应为αp∑i=1

fiσpi ←→ (f1, f2, · · · , fαp).

我们可以用其它代数系统来代替整数 Z, 一般可以是交换群、模或域，这时相应的 Cp(K)就成为交换群、模或向量空间.

下面我们定义链群上的一个基本算子–边缘算子.

定定定义义义 13.2.2 设 gσp是复形K 的一个基本 p链，p ≥ 1, gσp的边缘 ∂(gσp)定义

为

∂(gσp) =∑

σp−1i ∈K

[σp, σp−1i ]gσp−1

i .

用线性性，边缘算子 ∂ 可以延拓成一个同态

∂ : Cp(K) −→ Cp−1(K),∑giσ

pi 7−→

∑∂(giσ

pi ).

补充定义：0-链的边缘为 0.

严格地说，边缘算子 ∂应该写成 ∂p : Cp(K) −→ Cp−1(K).

定定定理理理 13.2.1 设K 是一个有向复形，p ≥ 2，则复合算子

∂2 = ∂ ∂ : Cp(K)∂−→ Cp−1(K)

∂−→ Cp−2(K)

是零同态.

证明：由线性性，只对基本 p-链 gσp证明即可.

∂2(gσp) = ∂(∑

σp−1i ∈K

[σp, σp−1i ]gσp−1

i )

=∑

σp−1i ∈K

[σp, σp−1i ]

∑σp−2j ∈K

[σp−1i , σp−2

j ]gσp−2j

=∑

σp−2j ∈K

∑σp−1i ∈K

[σp, σp−1i ][σp−1

i , σp−2j ]gσp−2

j

= 0.

13.2 单纯同调群 · 219 ·

最后一式用到了定理 13.1.3. 2

定定定义义义 13.2.3 设 K 是一个有向复形，p是一个正整数，如果对 zp ∈ Cp(K)有

∂(zp) = 0, 则称 zp 是 K 的一个 p-闭链. K 的 p-闭链全体称为 K 的 p维闭链

群，记为 Zp(K). 补充定义：Z0(K) = C0(K).

对 p ≥ 0及一个 p-链 bp, 若存在一个 (p + 1)-链 cp+1, 使得 bp = ∂(cp+1), 则

称 bp是 K 的一个 p-边缘链. K 的 p-边缘链全体称为 K 的 p维边缘链群，记为

Bp(K).

由定理 13.2.1知：

定定定理理理 13.2.2 设 K 是一个 n维有向复形，0 ≤ p ≤ n，则

Bp(K) ⊂ Zp(K).

若 K 的维数是 n, 当 p > n时，不存在 p-链，这时记 Cp(K) = 0. 因此，当

p ≥ n时，Bp(K) = ∂(Cp+1(K)) = 0.

定定定义义义 13.2.4 设 wp, zp 是复形 K 的两个 p-链，若存在一个 (p + 1)-链 cp+1, 使

得 wp − zp = ∂(cp+1), 则称 wp, zp是同调的，记为 wp ∼ zp.

容易证明同调关系“∼”是一个等价关系. 同调类可写成

[zp] = wp ∈ Zp(K) : wp ∼ zp= zp +Bp(K)

= zp + ∂(cp+1) : cp+1 ∈ Zp+1(K).

定定定义义义 13.2.5 商群 Hp(K) = Zp(K)/Bp(K)称为复形 K 的 p维同调群.

例 13.2.1 计算复形K = Cl(⟨a0, a1, a2⟩)的同调群.

方向由 a0 < a1 < a2决定，K 有单形：

0-单形：⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩;正向 1-单形：⟨a0, a1⟩, ⟨a1, a2⟩, ⟨a0, a2⟩;正向 2-单形：⟨a0, a1, a2⟩.K 的链群为：

C0(K) = Z0(K) = c0 = g0⟨a0⟩+ g1⟨a1⟩+ g2⟨a2⟩| gi ∈ Z,

C1(K) = c1 = h0⟨a0, a1⟩+ h1⟨a1, a2⟩+ h2⟨a0, a2⟩| hi ∈ Z,

· 220 · 第 13章单纯同调论

C2(K) = c2 = f⟨a0, a1, a2⟩| f ∈ Z.

从

∂c2 = f⟨a1, a2⟩ − f⟨a0, a2⟩+ f⟨a0, a1⟩

可以看出

∂c2 = 0⇔ f = 0.

所以

Z2(K) = 0, B1(K) = f⟨a1, a2⟩ − f⟨a0, a2⟩+ f⟨a0, a1⟩| f ∈ Z.

由

∂c1 =h0⟨a1⟩ − h0⟨a0⟩+ h1⟨a2⟩ − h1⟨a1⟩+ h2⟨a2⟩ − h2⟨a0⟩=− (h0 + h2)⟨a0⟩+ (h0 − h1)⟨a1⟩+ (h1 + h2)⟨a2⟩.

看出

∂c1 = 0⇔ h0 = h1 = −h2.

所以

Z1(K) = h⟨a1, a2⟩ − h⟨a0, a2⟩+ h⟨a0, a1⟩| h ∈ Z,

B0(K) = −(g1 + g2)⟨a0⟩+ g1⟨a1⟩+ g2⟨a2⟩| gi ∈ Z.

从这里可以看出

c0 = (g0 + g1 + g2)⟨a0⟩+ ∂(g1⟨a0, a1⟩+ g2⟨a0, a2⟩),

Z1(K) = B1(K).

因此，我们得到

H0(K) ∼= Z, H1(K) = 0, H2(K) = 0.

例 13.2.2 计算圆 S1的同调群.

圆 S1经三角剖分后得到的复形K 是 2-单形 ⟨a0, a1, a2⟩的 1-骨架，它的方向

由 a0 < a1 < a2决定，K 有单形：

0-单形：⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩;正向 1-单形：⟨a0, a1⟩, ⟨a1, a2⟩, ⟨a0, a2⟩;K 的链群为：

C0(K) = Z0(K) = c0 = g0⟨a0⟩+ g1⟨a1⟩+ g2⟨a2⟩| gi ∈ Z,

13.2 单纯同调群 · 221 ·

C1(K) = c1 = h0⟨a0, a1⟩+ h1⟨a1, a2⟩+ h2⟨a0, a2⟩| hi ∈ Z,

由于每个顶点 ⟨ai⟩与其它顶点 ⟨aj⟩可以用线段(1-链)连接，

H0(K) = [g⟨a0⟩]| g ∈ Z ∼= Z.

由

∂c1 =h0⟨a1⟩ − h0⟨a0⟩+ h1⟨a2⟩ − h1⟨a1⟩+ h2⟨a2⟩ − h2⟨a0⟩=− (h0 + h2)⟨a0⟩+ (h0 − h1)⟨a1⟩+ (h1 + h2)⟨a2⟩.

看出

∂c1 = 0⇔ h0 = h1 = −h2,

所以

Z1(K) = h⟨a1, a2⟩ − h⟨a0, a2⟩+ h⟨a0, a1⟩)| h ∈ Z ∼= Z, B1(K) = 0.

因此，我们得到

H0(K) ∼= Z, H1(K) ∼= Z.

例 13.2.3 计算Mobius带的同调群.

Mobius带的三角剖分是(例 13.1.5)

相应复形的定向由 a0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5决定，

K 的链群为：

C0(K) = c0 = g0⟨a0⟩+ g1⟨a1⟩+ g2⟨a2⟩+ g3⟨a3⟩+ g4⟨a4⟩+ g5⟨a5⟩| gi ∈ Z,

C1(K) = c1 =h1⟨a0, a1⟩+ h2⟨a0, a2⟩+ h3⟨a0, a3⟩+ h4⟨a0, a4⟩+h5⟨a0, a5⟩+ h6⟨a1, a2⟩+ h7⟨a1, a4⟩+ h8⟨a1, a5⟩+h9⟨a2, a3⟩+ h10⟨a2, a5⟩+ h11⟨a3, a4⟩+ h12⟨a4, a5⟩| hi ∈ Z,

· 222 · 第 13章单纯同调论

C2(K) = c2 =f1⟨a0, a3, a4⟩+ f2⟨a0, a1, a4⟩+ f3⟨a1, a4, a5⟩+f4⟨a1, a2, a5⟩+ f5⟨a0, a2, a5⟩+ f6⟨a0, a2, a3⟩| f ∈ Z.


H0(K) = [g⟨a0⟩]| g ∈ Z ∼= Z.

∂c2 =f2⟨a0, a1⟩+ (f5 + f6)⟨a0, a2⟩+ (f1 − f6)⟨a0, a3⟩ − (f1 + f2)⟨a0, a4⟩− f5⟨a0, a5⟩+ f4⟨a1, a2⟩+ (f2 + f3)⟨a1, a4⟩ − (f3 + f4)⟨a1, a5⟩+ f6⟨a2, a3⟩+ (f4 + f5)⟨a2, a5⟩+ f1⟨a3, a4⟩+ f3⟨a4, a5⟩.

比较 ⟨a0, a1⟩, ⟨a0, a5⟩, ⟨a1, a2⟩, ⟨a2, a3⟩, ⟨a3, a4⟩, ⟨a4, a5⟩的系数看出

∂c2 = 0⇔ f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f6 = 0

所以

Z2(K) = 0, H2(K) = 0.

∂c1 =− (h1 + h2 + h3 + h4 + h5)⟨a0⟩+ (h1 − h6 − h7 − h8)⟨a1⟩+ (h2 + h6 − h9 − h10)⟨a2⟩+ (h3 + h9 − h11)⟨a3⟩+ (h4 + h7 + h11 − h12)⟨a4⟩+ (h5 + h8 + h10 + h12)⟨a5⟩.

由于解 ∂c1 = 0太复杂，我们用另一方法. 由

∂(⟨a0, a3, a4⟩) = ⟨a3, a4⟩ − ⟨a0, a4⟩+ ⟨a0, a3⟩

看出

⟨a3, a4⟩ ∼ ⟨a3, a0⟩+ ⟨a0, a4⟩.

同理

⟨a4, a5⟩ ∼ ⟨a4, a1⟩+ ⟨a1, a5⟩, ⟨a5, a0⟩ ∼ ⟨a5, a2⟩+ ⟨a2, a0⟩,

⟨a0, a4⟩ ∼ ⟨a0, a1⟩+ ⟨a1, a4⟩, ⟨a1, a5⟩ ∼ ⟨a1, a2⟩+ ⟨a2, a5⟩,

⟨a2, a0⟩ ∼ ⟨a2, a3⟩+ ⟨a3, a0⟩.

这样

c1 ∼h1⟨a0, a1⟩+ h2⟨a1, a2⟩+ h3⟨a2, a3⟩+ h4⟨a3, a0⟩+ h5⟨a1, a4⟩+ h6⟨a2, a5⟩,

∂c1 =(h4 − h1)⟨a0⟩+ (h1 − h2 − h5)⟨a1⟩+ (h2 − h3 − h6)⟨a2⟩+ (h3 − h4)⟨a3⟩+ h5⟨a4⟩+ h6⟨a5⟩.

13.2 单纯同调群 · 223 ·

因此

∂c1 = 0⇔ h1 = h2 = h3 = h4, h5 = h6 = 0.

所以

Z1(K) = h(⟨a0, a1⟩+ ⟨a1, a2⟩+ ⟨a2, a3⟩+ ⟨a3, a0⟩)| h ∈ Z+B1(K).

从 ∂c2的形式可以看出 ⟨a0, a1⟩+ ⟨a1, a2⟩+ ⟨a2, a3⟩+ ⟨a3, a0⟩ /∈ B1(K). 因此，我

们得到

H0(K) ∼= Z, H1(K) ∼= Z, H2(K) = 0.

例 13.2.4 计算射影平面 P2(R)的同调群.

射影平面 P2(R)的三角剖分是

相应复形K 的定向由图中箭头决定，


H0(K) = [g⟨a0⟩]| g ∈ Z ∼= Z.

K 的每个 1-单形 σ1 仅仅是两个 2-单形 σ21, σ

22 的一个面. 当 σ1 为 ⟨a3, a4⟩,

⟨a4, a5⟩, ⟨a5, a3⟩ 时，关联数 [σ21, σ

1] = [σ21, σ

1] = 1. 这三个 1-单形称为类

型 I 的，其余 1-单形称为类型 II 的. 对类型 II 的 1-单形，相应的关联数

[σ21, σ

1], [σ21, σ

1]反号，即 1,−1.

· 224 · 第 13章单纯同调论

对 2-链 c2, 为了使 ∂c2中类型 II 的 1-单形的系数为 0, 每个 2-单形的系数必

须相同，记为 g, 则

∂c2 = 2g(⟨a3, a4⟩+ ⟨a4, a5⟩+ ⟨a5, a3⟩).

可以看出 ∂c2 = 0⇔ g = 0，所以

Z2(K) = 0, H2(K) = 0.

用同调关系

⟨a0, a1⟩ ∼ ⟨a0, a3⟩+ ⟨a3, a1⟩, ⟨a1, a2⟩ ∼ ⟨a1, a5⟩+ ⟨a5, a2⟩,

⟨a2, a0⟩ ∼ ⟨a2, a4⟩+ ⟨a4, a0⟩, ⟨a0, a3⟩ ∼ ⟨a0, a5⟩+ ⟨a5, a3⟩,

⟨a1, a3⟩ ∼ ⟨a1, a4⟩+ ⟨a4, a3⟩, ⟨a1, a5⟩ ∼ ⟨a1, a4⟩+ ⟨a4, a5⟩,

⟨a2, a5⟩ ∼ ⟨a2, a3⟩+ ⟨a3, a5⟩, ⟨a2, a4⟩ ∼ ⟨a2, a3⟩+ ⟨a3, a4⟩,

⟨a0, a4⟩ ∼ ⟨a0, a5⟩+ ⟨a5, a4⟩.

这样 1-链可以表示成

c1 ∼h1⟨a0, a5⟩+ h2⟨a1, a4⟩+ h3⟨a2, a3⟩+ h4⟨a3, a4⟩+ h5⟨a4, a5⟩+ h6⟨a5, a3⟩,

∂c1 =− h1⟨a0⟩ − h2⟨a1⟩ − h3⟨a2⟩+ (h3 − h4 + h6)⟨a3⟩+ (h2 + h4 − h5)⟨a4⟩+ (h1 + h5 − h6)⟨a5⟩.

因此

∂c1 = 0 ⇔ h1 = h2 = h3 = 0, h4 = h5 = h6.

所以

Z1(K) = h⟨a3, a4⟩+ h⟨a4, a5⟩+ h⟨a5, a3⟩| h ∈ Z+B1(K).

∂c2 中仅含有 ⟨a3, a4⟩, ⟨a4, a5⟩, ⟨a5, a3⟩ 的为 ∂c2 = 2(g⟨a3, a4⟩ + g⟨a4, a5⟩ +g⟨a5, a3⟩). 因此，我们得到

H0(K) ∼= Z, H1(K) ∼= Z/2Z = Z2, H2(K) = 0.

定定定义义义 13.2.6 设 G是一个交换群，如果存在一个子集 A ⊂ G使得 G中的任意

元素 g ∈ G有唯一的表示g =

∑x∈A

nxx,

其中 nx 是整数并且只有有限个不为零，则称 G是一个自由交换群. A称为 G

的一组基.

13.2 单纯同调群 · 225 ·

若复形 K 有 αp 个 p-单形，则 Cp(K)同构于 Z ⊕ · · · ⊕ Z (αp 个 Z)，因此Cp(K)是一个自由交换群. 由于每个自由交换群的子群是自由交换群，Zp(K),

Bp(K)也是自由交换群. 但是，Hp(K) = Zp(K)/Bp(K)不一定是自由交换群，

它一般可以分解成

Hp(K) = G⊕ T1 ⊕ · · · ⊕ Tm,

G是一个自由交换群，Ti是有限循环群.

T1 ⊕ · · · ⊕ Tm称为 Hp(K)的挠子群，表示扭曲.

定定定理理理 13.2.3 设 K 是一个几何复形，K1, K2 是 K 的两个赋予定向的复形，则

同调群 Hp(K1), Hp(K2)是同构的.

证明：设 σp是K的一个 p-单形，仍然记 σp为 σp在K1中对应的正向 p-单形，

用 σp记 σp在K2中对应的正向 p-单形.

定义映射 α(σp) = ±1使得 σp = α(σp)σp.

线性扩充成链群之间的一族同态 φ = φp:

φp : Cp(K1)→ Cp(K2), φp(∑

giσpi ) =

∑α(σpi )giσ

pi .

对K1中的一个基本 p-链 gσp, p ≥ 1.

φp−1∂(gσ) = φp−1(∑

σp−1∈K

g[σp, σp−1]σp−1)

=∑

σp−1∈K

α(σp−1)g[σp, σp−1]σp−1

=∑

σp−1∈K

α(σp)g[σp, σp−1]σp−1

= α(σp)∂(gσp)

= ∂φp(gσ).

即 φp−1∂ = ∂φp, 或者说下图可交换.

Cp(K1)φp−−−→ Cp(K2)

∂

y ∂

yCp−1(K1)

φp−1−−−→ Cp−1(K2).

对 zp ∈ Zp(K1),

∂φp(zp) = φp−1∂(zp) = φp−1(0) = 0.

· 226 · 第 13章单纯同调论

即 φp(zp) ∈ Zp(K2), 所以 φp(Zp(K1)) ⊂ Zp(K2).

对 ∂cp+1 ∈ Bp(K1), φp(∂cp+1) = ∂φp+1(cp+1) ∈ Bp(K2).

因此 φ = φp诱导一个同态：

(φp)∗ : Hp(K1)→ Hp(K2), (φp)∗([zp]) = [φp(zp)].

交换K1, K2的位置，也可以构造一族同态 ψ = ψp:

ψp : Cp(K2)→ Cp(K2),

这时 φp, ψp互为逆映射，因此 (φp)∗, (ψp)∗互为逆映射.

所以 (φp)∗ : Hp(K1)→ Hp(K2)是一个同构. 2

这个定理说明复形的同调群在同构意义下与复形的定向无关.

定定定义义义 13.2.7 设K 是一个复形，S1, S2是两个单形，若

(1) S1 ∩ S2 = ∅,或 (2)存在一列K的 1-单形 σ1, · · · , σk使得 S1∩σ1是S1的一个顶点，S2∩σk

也是 S2的一个顶点，σi ∩ σi+1是 σi, σi+1的一个共同顶点，1 ≤ i < k,

则称 S1, S2是相连通的.

这个连通关系是一个等价关系，它的等价类称为组合分支.

定定定理理理 13.2.4 设K 是有 r个组合分支的复形，则 H0(K)同构于 r个 Z的直和.

证明：设 K ′ 是 K 的一个组合分支，⟨a′⟩是 K ′ 的一个 0-单形，对任意 K ′ 的

0-单形 ⟨b⟩, 存在一列 1-单形

⟨b, a0⟩, ⟨a0, a1⟩, ⟨a1, a2⟩, · · · , ⟨ak, a′⟩.

对整数 g, 构造 1-链

c1 = ±g⟨b, a0⟩ ± g⟨a0, a1⟩ ± g⟨a1, a2⟩ ± · · · ± g⟨ak, a′⟩,

这里的 ±由相应的 1-单形的定向决定，使得 ∂c1 = g⟨b⟩ − g⟨a′⟩或 g⟨b⟩ + g⟨a′⟩.所以 g⟨b⟩同调于 g⟨a′⟩或 −g⟨a′⟩.因此，K ′中的每个 0-链同调于 h⟨a′⟩, h ∈ Z.将上述过程应用于 K 的每个组合分支 K1, · · · , Kr, 存在 Ki 的一个顶点 ai,

Ki中每个 0-链同调于 hi · ⟨ai⟩.

13.2 单纯同调群 · 227 ·

所以对 K 中每个 0-闭链 c0, 存在整数 h1, · · · , hr, 使得 c0 ∼∑r

i=1 hi⟨ai⟩. 映射

r∑i=1

hi⟨ai⟩ → (h1, · · · , hr)

定义了一个同构. 2

定定定义义义 13.2.8 设 K 是一个定向复形，z1p , · · · , zrp是 r 个 p-闭链，若存在不全

为零的整数 g1, · · · , gr 使得∑giz

ip 同调于 0. 则称 z1p , · · · , zrp在同调意义下是

线性相关的，否则，称 z1p , · · · , zrp在同调意义下线性独立.

同调意义下线性独立的 p-闭链 z1p , · · · , zrp的最大个数 r称为复形K 的第 p

个 Betti数，记为 Rp(K).

定定定理理理 13.2.5 设K 是一个 n维定向复形，p = 0, 1, · · · , n，αp是K 的 p-单形的

个数，则n∑p=0

(−1)pαp =n∑p=0

(−1)pRp(K).

证明：设 dip 是一个 p-链的极大集，使得它的非零线性组合都不是 p-闭

链. 记 Dp 是 Cp = Cp(K) 中由 dip 张成的子空间(系数可为有理数)，则

Dp ∩ Zp = Dp ∩ Zp(K) = 0. 因此

Cp = Dp ⊕ Zp, 1 ≤ p ≤ n,

αp = dimCp = dimDp + dimZp.

记 bip = ∂(dip+1),则 bip是Bp = Bp(K)的一组基，zip, i = 1, · · · , Rp,是Zp(K)

中同调意义下线性独立的极大集.

记 Gp是 Zp中由 zip张成的线性空间，则当 0 ≤ p ≤ n− 1时

Zp = Gp ⊕Bp, dimZp = Rp + dimBp.

因此当 1 ≤ p ≤ n− 1时

Rp = dimZp − dimBp = αp − dimDp − dimBp.

边缘算子 ∂(1 · σp+1) =∑

[σp+1, σpi ] · σpi 的关联矩阵

η(p) = ([σp+1, σpi ])

的秩为 rank η(p) = dimBp.

· 228 · 第 13章单纯同调论

由 bip = ∂(dip+1)知： dip+1与 bip的数量一致，即

dimDp+1 = dimBp = rank η(p), 0 ≤ p ≤ n− 1.

列出 Rp的所有表达式

Rp = αp − rank η(p− 1)− rank η(p), 1 ≤ p ≤ n− 1,

R0 = dimZ0 − dimB0 = α0 − rank η(0),

Rn = dimZn = αn − rank η(n− 1).

所以有等式n∑p=0

(−1)pαp =n∑p=0

(−1)pRp(K).

定定定义义义 13.2.9 设 K 是一个 n维复形，则整数 χ(K) =∑n

p=0(−1)pRp(K)称为复

形K 的欧拉示性数.

定定定义义义 13.2.10 三维欧氏空间 E3 中的(直线)多面体是由凸多边形正常连接围成

的立体. 这些多边形称为面，面的交线段称为边，边的交点称为顶点.

边界与 2维球面 S2同胚的多面体称为简单多面体.

面为正多边形且多面体角合同的多面体称为正多面体.

定定定理理理 13.2.6 (欧拉) 设 S 是具有 V 个顶点，E 条边，F 个面的简单多面体，

则

V − E + F = 2.

证明：考虑 S的一个面 τ 有 n0个顶点，n1条边. 在 τ 的内部选一个点 v作为新

顶点，将 v与 τ 的其它顶点相连接，就得到了 τ 的三角剖分，这就多了一个顶

点，n0条边，一个面变成了 n0个面.

这时，顶点数–边数+面数= (V +1)− (E+n0)+ (F +n0− 1) = V −E+F ,

所以重新三角剖分后，V − E + F 不变.

对特定的三角剖分，有

V − E + F = α0 − α1 + α2 = R0(S2)−R1(S2) +R2(S2) = χ(S2).

以正四面体为例，V − E + F = 4− 6 + 4 = 2, 即 χ(S2) = 2. 2

定定定理理理 13.2.7 仅有 5个简单正多面体.

13.2 单纯同调群 · 229 ·

证明：设每个面有 n条边，n ≥ 3, 每个顶点有 m条边连出来，m ≥ 3, 用三种

方法计算两倍总边数得

mV = 2E = nF,

代入 V −E+F = 2得 F (2n−mn+2m) = 4m. 这首先要求 2n−mn+2m > 0,

由

2m > mn− 2n = (m− 2)n ≥ 3(m− 2)

得m < 6, 所以m = 3, 4, 5. 解方程组 F (2n−mn+ 2m) = 4m,

n ≥ 3, 3 ≤ m < 6.

得 (m,n, F )的 5种情况：

(3, 3, 4), (3, 4, 6), (4, 3, 8), (3, 5, 12), (5, 3, 20).

下图就是这 5种情况的图形. 2

例 13.2.4 证明

Hp(Sn) =

Z, p = 0或 p = n,

0, 0 < p < n.n ≥ 1.

证明：Rn+1 中的 (n + 1)-单形的 n骨架就是 Sn 的一个三角剖分. 由于 Sn 是连通的，H0(Sn) ∼= Z.设对应的 (n + 1)-单形为 σn+1 = +⟨a0, a1, · · · , an+1⟩. σj = ⟨a0, · · · , aj, · · · ,

an+1⟩, 0 ≤ j ≤ n + 1, 是 σn+1的一个 n维面，其中 aj 表示去掉顶点 aj. 并且当

j 是偶数时，σj 取正向，当 j 是奇数时，σj 取负向.

记 σij = ⟨a0, · · · , ai, · · · , aj, · · · , an+1⟩ 是 σi, σj 的一个公共面，而且有

[σi, σij] = −[σj, σij].对 n维闭链 z =

∑σi∈K giσi, 在表示式

∂z =∑σi∈K

gi∑σij∈K

[σi, σij]σij

· 230 · 第 13章单纯同调论

中，对固定的 σij, 不全为零的系数为 [σi, σij], [σj, σij], 因此 ∂z = 0 意味着

gi[σi, σij] + gj[σj, σij] = 0. 所以 gi = gj = g, 即 z =∑

σi∈K gσi. 因此 Zn(Sn) ∼= Z,而 Bn(Sn) = 0. 所以 Hn(Sn) ∼= Z.对 0 < p < n, 设 +σp = ⟨a0, a1, · · · , ap⟩, v是一个使 v, a0, a1, · · · , ap几何

独立的顶点. 用 vσp记正向 p+ 1维单形 ⟨v, a0, · · · , ap⟩. 同样对 p链 c =∑giσ

pi ,

记 vc =∑givσ

pi . 则 ∂(vσp) = σp − v∂(σp).

下面设 v是一个固定顶点，含有 v为顶点的 p-单形可以写成 vσp−1, 则 p-闭

链 z可以表示为

z =∑

giσpi +

∑hjvσ

p−1j .

∂z = ∂(∑

giσpi ) +

∑hjσ

p−1j − v∂(

∑hjσ

p−1j ).

z是 p-闭链意味着

∂(∑

giσpi ) +

∑hjσ

p−1j = 0, ∂(

∑hjσ

p−1j ) = 0.

因此

z =∑

giσpi − v∂(

∑giσ

pi ) = ∂(

∑givσ

pi ).

所以 Zp(Sn) = Bp(Sn), 即得 Hp(Sn) = 0, 0 < p < n. 2

13.3 重重重心心心重重重分分分与与与单单单纯纯纯逼逼逼近近近

我们在上面求球面的同调群时，直接选了一个三角剖分得到一个特殊的复

形进行计算的. 这一节我们要说明在同构意义下可剖分拓扑空间的同调群不依

赖于具体的三角剖分方法.

定定定义义义 13.3.1 设K,L是两个复形，φp∞0 是一列同态映射

φp : Cp(K)→ Cp(L),

满足

∂φp = φp−1∂, p ≥ 1,

即下图可交换Cp(K)

φp−−−→ Cp(L)

∂

y ∂

yCp−1(K)

φp−1−−−→ Cp−1(L).

则称φp是从复形 K 到复形 L的一个链映射.

13.3 重心重分与单纯逼近 · 231 ·

定定定理理理 13.3.1 从复形 K 到复形 L的链映射 φp∞0 诱导一个同态映射

(φp)∗ : Hp(K)→ Hp(L).

证明：设 bp = ∂(cp+1) ∈ Bp(K), 则

φp(bp) = φp ∂(cp+1) = ∂ φp+1(cp+1) ∈ Bp(L).

所以

φp(Bp(K)) ⊂ Bp(L).

当 p = 0时，Z0(K) = C0(K), Z0(L) = C0(L), 显然有 φ0(Z0(K)) ⊂ Z0(L).

当 p > 0时，设 zp ∈ Zp(K),

∂φp(zp) = φp−1(∂zp) = φp−1(0) = 0.

所以

φp(Zp(K)) ⊂ Zp(L).

因此 (φp)∗ : Hp(K)→ Hp(L)可以定义为

(φp)∗(zp +Bp(K)) = φ(zp) +Bp(L),

即 (φp)∗([zp]) = [φ(zp)]. 2

定定定义义义 13.3.2 设 φ是复形 K 的顶点集到复形 L的顶点集的一个映射，使得对

K 的每一个 p-单形 σp = ⟨v0, · · · , vp⟩, φ(vi), 0 ≤ i ≤ p是 L的一个单形的顶点，

则称 φ 是复形 K 到复形 L的一个单纯映射.

当 φ(vi)各不相同时，p-单形 ⟨φ(v0), · · · , φ(vp)⟩ = φ(σp) 称为 σp的一个像.

当对某对 i = j, φ(vi) = φ(vj)时，称 φ退化 σp.

设 gσp是 K 的一个基本 p-链，定义

φp(gσp) =

0, 当 φ退化 σp时,

gφ(σp), 当 φ不退化 σp时.

将此映射线性延拓成一个同态

φp : Cp(K)→ Cp(L), φp(∑

giσpi ) =

∑φp(giσ

pi ).

φp∞0 称为由 φ诱导的链映射.

· 232 · 第 13章单纯同调论

定定定理理理 13.3.2 设 φ : K → L是一个单纯映射，则上面定义的同态 φp∞0 是一个链映射.

证明：我们只要对基本 p-链 gσp证明 ∂φp(gσp) = φp−1∂(gσ

p), p ≥ 1.

设 +σp = +⟨v0, v1, · · · , vp⟩.(1) 若 φ不退化 σp，则 φ(σp) = ⟨φ(v0), φ(v1), · · · , φ(vp)⟩. 设 σpi 是由 σp 去

掉第 i个顶点 vi后生成的 (p− 1)-链，用同样的方法构造 φp(σp)i.

∂φp(gσp) = ∂(gφp(σ

p)) =

p∑i=0

(−1)igφp(σp)i,

=

p∑i=0

(−1)igφp−1(σpi ) = φp−1(

p∑i=0

(−1)igσpi )

= φp−1∂(gσp).

(2)当 φ退化 σp时，不妨设 φ(v0) = φ(v1),则 φp(gσp) = 0,所以 ∂φp(gσ

p) =

0. 当 i ≥ 2时，σpi 包含 v0, v1, 则 φ退化 σpi , 所以 φp−1(σpi ) = 0.

φp−1∂(gσp) = φp−1(

p∑i=0

(−1)igσpi ) = φp−1(gσp0)− φp−1(gσ

p1).

由 σp0 = ⟨v1, v2, · · · , vp⟩, σp1 = ⟨v0, v2, · · · , vp⟩, 及 φ(v0) = φ(v1)得 φp−1(gσp0) =

φp−1(gσp1). 所以

φp−1∂(gσp) = 0.

因此有 ∂φp = φp−1∂，即 φp∞0 是一个链映射. 2

设 |K|, |L| 是两个多面体且分别有三角剖分复形 K 和 L, φ 是从复形 K

的顶点集到复形 L 的顶点集的单纯映射，则 φ 可以按下列方法延拓成映射

φ : |K| → |L|:对任意 x ∈ |K|, 找到 K 的一个单形 σr = ⟨v0, v1, · · · , vr⟩, 使得 x ∈ σr, 并且

有 x =∑r

i=0 λivi, λi是 x的重心坐标. 定义

φ(x) =r∑i=0

λiφ(vi).

这个映射称为 |K|到 |L|的一个单纯映射.

容易证明

定定定理理理 13.3.3 每个单纯映射 φ : |K| → |L|是一个连续映射.


设 σ是一个几何单形，用 o(σ)表示相应的开单形，即 σ中重心坐标为正的

点组成的集合.

设 v 是复形 K 的一个顶点，st(v)是所有以 v 为一个顶点的单形组成的集

合，称为 v的星形. ost(v)是所有以 v为一个顶点的开单形组成的集合，称为 v

的开星形.

定定定义义义 13.3.3 设K,L是两个复形，f : |K| → |L|是一个连续映射, 若对K 的每

个顶点 p, 存在 L的一个顶点 q, 使得

f(ost(p)) ⊂ ost(q).

则称 K 关于 f 与 L是星形相关的.

定定定义义义 13.3.4 设 K,L是两个复形，f : |K| → |L|是一个连续映射, 若存在一个

单纯映射 g : |K| → |L|使得 f 与 g同伦. 则称 g是 f 的一个单纯逼近.

例 13.3.1 若 L是一个 p-单形 σp = ⟨v0, v1, · · · , vp⟩的闭包，K 是一个任意复形，取 g : |K| → |L|为 g(x) = v0, ∀x ∈ |K|. 则 g是任意连续映射 f : |K| → |L|的一个单纯逼近.

同伦映射为 H(x, t) = (1− t)f(x) + tv0.

引引引理理理 13.3.4 复形 K 的顶点 v0, v1, · · · , vm 是 K 的一个单形的顶点的充分必要

条件为 ∩mi=0ost(vi) = ∅.

证明：(必要性) 设 v0, v1, · · · , vm是单形 σ的顶点，则

∩mi=0ost(vi) ⊃ o(σ) = ∅.

(充分性)设 x ∈ ∩mi=0ost(vi), 则 x在以 vi为一个顶点的单形 σi的内部.

按定义，σ0 ∩ σ1也是K 的一个单形，显然 σ0 ∩ σ1 ⊂ σ0, x在 σ0 ∩ σ1, σ0上的重心坐标表示是一致的，由于对应 v0 的坐标分量不为零，v0 也是 σ0 ∩ σ1 的一个顶点，同理，v1是 σ0 ∩ σ1的一个顶点. 因此可以用归纳法证明 ∩mi=0σi是一

个以 x为内点的单形，并且 v0, v1, · · · , vm是它的顶点. 2

定定定理理理 13.3.5 设多面体 |K|, |L|有三角剖分K 和 L, f : |K| → |L|是一个连续映射, 并且 K 关于 f 与 L是星形相关的. 则 f 有一个单纯逼近 g : |K| → |L|.

证明：由于K 关于 f 与 L是星形相关的，对每一个K 的顶点 p, 存在 L的一个

顶点 g(p)使得

f(ost(p)) ⊂ ost(g(p)).

· 234 · 第 13章单纯同调论

先证明这个顶点映射是单纯的. 设 v0, v1, · · · , vm是K 的一个单形的顶点，由引

理知它等价于 ∩mi=0ost(vi) = ∅. 因此

∅ = f(∩mi=0ost(vi)) ⊂ ∩mi=0f(ost(vi)) ⊂ ∩mi=0ost(g(vi)).

所以 g(v0), g(v1), · · · , g(vm)是 L的一个单形的顶点，即 g 是一个单纯映射. 用

重心坐标表示，可以延拓为 g : |K| → |L|.设 x ∈ |K|, σ 是 K 的包含 x的一个维数最小的单形. 设 a是 σ 的任一顶

点，由维数的最小性知 x ∈ ost(a), 因此

f(x) ∈ f(ost(a)) ⊂ ost(g(a)).

由 g的延拓方法，g(x)关于 g(a)的重心坐标大于等于 x关于 a的重心坐标, 所

以 g(x) ⊂ ost(g(a)).

设 a0, a1, · · · , ak是 σ的顶点，则上述讨论说明 f(x), g(x)都在 ∩ki=0ost(g(ai))

内. 因此 L中以 g(a0), g(a1), · · · , g(ak)为顶点的单形 τ 包含 f(x), g(x). 由于 τ

是凸的，连接 f(x), g(x)的直线段也在 τ 内，映射

H : |K| × I → |L|, H(x, t) = (1− t)f(x) + tg(x)

是 f(x), g(x)之间的同伦.

所以 g是 f 的一个单纯逼近. 2

这个定理用了条件：K 关于 f 与 L是星形相关的. 下面对一般K, 用重心重

分将K的单形分细，使得满足上面的条件.

定定定义义义 13.3.5 设 σr = ⟨a0, a1, · · · , ar⟩是 Rn中的一个单形，

σr = b(σr) =1

r + 1

r∑i=0

ai

称为单形 σr 的重心.

设K是Rn中的一个复形，σ0, · · · , σp是K中的一个单形序列满足 σi是 σi+1

的一个真面，0 ≤ i ≤ p − 1, 由 σ0, · · · , σp 的重心为顶点的单形 ⟨σ0, σ1, · · · , σp⟩是含在 σp内的一个 p维单形.

所有这样的单形组成的复形

K(1) = ⟨σ0, σ1, · · · , σp⟩| σi是 σi+1的一个真面, σi是K 中的单形

称为K 的第一重心重分.


显然，|K| = |K(1)|. 用归纳法定义 K 的第 n次重心重分 K(n) 是 K(n−1) 的

第一重心重分.

设 σp = ⟨v0, v1, · · · , vp⟩是 Rn 中的 p-单形，σi = ⟨v0, v1, · · · , vi⟩, 0 ≤ i < p,

则 ⟨σ0, σ1, · · · , σp⟩是 K(1) 中的一个单形，当 ⟨v0, v1, · · · , vp⟩为正定向时，定义⟨σ0, σ1, · · · , σp⟩为正定向.

如果K(1)用这一方法取定向，这个定向称为与K 的定向是和谐的.

例 13.3.2 σ1 = ⟨a0, a1⟩, K = Cl(σ1).

K 有一个 1-单形：σ1 = ⟨a0, a1⟩，两个 0-单形：σ00 = ⟨a0⟩，σ0

1 = ⟨a1⟩.则 σ0

0 = a0，σ01 = a1, σ

1是连接 a0, a1的直线段的中点.

这时K(1)的顶点为 a0，a1, σ1，K(1) = ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨σ1⟩, ⟨a0, σ1⟩, ⟨σ1, a1⟩.

如果设 a0 < a1, 则 ⟨a0, σ1⟩, ⟨σ1, a1⟩在K(1)中取正向.

例 13.3.3 σ2 = ⟨a0, a1, a2⟩, K = Cl(σ2).

K 有一个 2-单形：⟨a0, a1, a2⟩, 三个 1-单形：⟨a0, a1⟩, ⟨a1, a2⟩, ⟨a2, a0⟩,三个 0-单形：⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩.记 a01 = b(⟨a0, a1⟩), a12 = b(⟨a1, a2⟩), a20 = b(⟨a2, a0⟩), a012 = b(⟨a0, a1, a2⟩).这时 K(1) = ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩, ⟨a01⟩, ⟨a12⟩, ⟨a20⟩, ⟨a012⟩, ⟨a0, a01⟩, ⟨a01, a1⟩,

⟨a1, a12⟩, ⟨a12, a2⟩, ⟨a2, a20⟩, ⟨a20, a0⟩, ⟨a0, a012⟩, ⟨a01, a012⟩, ⟨a1, a012⟩, ⟨a12, a012⟩,⟨a2, a012⟩, ⟨a20, a012⟩, ⟨a0, a01, a012⟩, ⟨a01, a1, a012⟩, ⟨a1, a12, a012⟩, ⟨a12, a2, a012⟩, ⟨a2,a20, a012⟩, ⟨a20, a0, a012⟩. 如图

定定定义义义 13.3.6 复形 K 的单形直径的最大值称为复形K 的网格，记为 mesh(K).

对单形 σ, 我们有性质：

(1) 对 x, y ∈ σ, 存在 σ的一个顶点 v, 使得 ||x− y|| ≤ ||x− v||.(2) 正维数单形的直径等于最长的 1维面的长度.

· 236 · 第 13章单纯同调论

定定定理理理 13.3.6 对 n维复形K,

lims→∞

mesh(K(s)) = 0.

证明：设 ⟨τ , σ⟩是 K(1) 的任意 1-单形，τ 是 σ = ⟨v0, v1, · · · , vp⟩的一个真面，则 σ = 1

p+1

∑pi=0 vi. 因此存在 σ的一个顶点 v使得

||σ − τ || ≤ ||σ − v|| = || 1

p+ 1

p∑i=0

vi − v||

=1

p+ 1||

p∑i=0

(vi − v)|| ≤1

p+ 1

p∑i=0

||vi − v||

≤ p

p+ 1mesh(K) ≤ n

n+ 1mesh(K).

用归纳法证明可得

mesh(K(s)) ≤ (n

n+ 1)smesh(K).

所以

lims→∞

mesh(K(s)) = 0.

有了这些准备工作后，我们有下面的单纯逼近定理.

定定定理理理 13.3.7 设多面体 |K|, |L|有三角剖分 K 和 L, f : |K| → |L|是一个连续映射. 则存在 K 的一个重心重分 K(k) 和连续映射 g : |K| → |L|，使得(1) g 是

K(k) → L的单纯映射，(2) g与 f 同伦.

证明：由定理 13.3.5，我们只需要证明存在一个正整数 k, 使得K(k)关于 f 与 L

是星形相关的.

由于 |L| 是紧致空间，对开覆盖 ost(v) : v 是 L 的一个顶点，存在一个Lebesque数 η > 0, 使得每一个半径小于 η的球体包含在一个 ost(v)内.

因为 f 一致连续，存在一个实数 δ > 0, 使得当 ||x − y|| < δ 时，有

||f(x)− f(y)|| < η.

取重心重分K(k)使得 mesh(K(k)) < δ/2, 则K(k)关于 f 与 L是星形相关的.

由定理 13.3.5知 g : K(k) → L是 f : |K| → |L|的一个单纯逼近. 2

定定定义义义 13.3.7 设 K 是一个复形，由于 K 的 0-单形也是 K(1)的一个 0-单形，可

以将 C0(K)看成 C0(K(1))的一个子群. 定义 φ0 : C0(K) → C0(K

(1))为包含映

射.


归纳定义：对任意基本 p-链 σp定义

φp(σp) = σpφp−1∂(σ

p).

将 φp线性延拓成一个同态

φp : Cp(K)→ Cp(K(1)), φp(

∑giσ

pi ) =

∑φp(giσ

pi ).

φ = φp称为复形 K 的第一重分链映射.

归纳定义K 的第 n重分链映射为K 的第 n− 1重分链映射与K(n−1)的第一

重分链映射的复合.

φ(n) = φ(n)p : Cp(K)→ Cp(K

(n)).

定定定理理理 13.3.8 重分链映射是一个链映射.

证明：就是要证明

Cp(K)φp−−−→ Cp(K

(1))

∂

y ∂

yCp−1(K)

φp−1−−−→ Cp−1(K(1))

可交换, 而且只要对任意基本 p-链 σp证明

∂φp(σp) = φp−1∂(σ

p).

当 p = 1时，φ0 = id,

∂φ1(σ1) = ∂(σ1φ0∂(σ

1)) = φ0∂(σ1)− σ1∂∂(σ1) = φ0∂(σ

1).

假设对 p− 1时结论成立，则

∂φp(σp) = ∂(σ1φp−1∂(σ

p))

= φp−1∂(σp)− σp∂φp−1∂(σ

p)

= φp−1∂(σp)− σpφp−2∂∂(σ

p)

= φp−1∂(σp).

由归纳法知，对一切 p, ∂φp = φp−1∂, 即 φp为链映射. 2

定定定理理理 13.3.9 设 φ = φp 是复形 K 的第一重分链映射，则存在一个链映射

ψ = ψp : Cp(K(1))→ Cp(K)使得 ψp φp是 Cp(K)上的恒等映射.

· 238 · 第 13章单纯同调论

证明：取单纯映射 f : K(1) → K 满足 f |K = id, f(σ)是 σ 的一个顶点. ψ 是 f

诱导的一个链映射.

设 σp 是 K 的一个 p-单形，τ p 是由 σp 重心重分产生的 K(1) 的一个 p-单形,

则 ψp(τp) = ησp, η = 0, 1, 或 −1.

自然地，ψ0 φ0是 C0(K)的恒等映射.

假设 ψp−1 φp−1是 Cp−1(K)的恒等映射, 则对基本 p-链 σp,

ψp φp(σp) = ψp(σ1φp−1∂(σ

p)) = mσp, m ∈ Z.

而

∂(mσp) = ∂ ψp φp(σp) = ψp−1 ∂ φp(σp)= ψp−1 φp−1 ∂(σp) = ∂(σp).

所以m = 1, 即 ψp φp(σp) = σp, 因此 ψp φp是 Cp(K)上的恒等映射. 2

定定定义义义 13.3.8 设 φ = φp∞0 ，µ = µp∞0 是复形K 到复形 L的一对链映射，若

存在一列同态 Dp : Cp(K)→ Cp+1(L), p = −1, 0, 1, · · · , D−1 = 0, 对下面的图表

Cp+1(K)∂ -Cp(K)

∂ -Cp−1(K)

Cp+1(L)

φp+1 µp+1

? ∂ - DpCp(L)

φp µp

? ∂ - Dp−1Cp−1(L)

φp−1 µp−1

?

使得对每个维数 p, 有

∂Dp +Dp−1∂ = φp − µp.

则称 φ与 µ是链同伦的，D = Dp∞−1称为形变算子.

定定定理理理 13.3.10 设 φ和 µ是复形 K 到复形 L的链同伦的链映射，则它们诱导的

同态 (φp)∗和 (µp)∗是相同的，p ≥ 0.

证明：对任意 [zp] ∈ Hp(K),

(φp)∗([zp])− (µp)∗([zp]) = [φp(zp)− µp(zp)] = [∂Dp(zp) +Dp−1(∂zp)] = 0.

所以 (φp)∗ = (µp)∗. 2


定定定义义义 13.3.9 对复形 K 和 L，若存在链映射，

φ : K → L, ψ : L→ K,

使得复合映射 φ ψ = φp ψp, ψ φ = ψp φp链同伦于恒等映射，则称复形 K 和 L是链同伦等价的.

定定定理理理 13.3.11 链同伦等价复形K 和 L的同维同调群同构.

证明：由定理 13.3.10知

(ψp)∗ (φp)∗ : Hp(K)→ Hp(K),

(φp)∗ (ψp)∗ : Hp(L)→ Hp(L)

是恒等映射，所以 (φp)∗和 (ψp)∗是同构. 2

我们的目标是要证明 K 和 K(1)的同调群同构. 下面我们用第一重分链映射

φ : K → K(1)和定理 13.3.9构造的链映射 ψ : K(1) → K，由定理 13.3.11，只要

证明 φ ψ, ψ φ链同伦于恒等映射就可，现在已知 ψ φ是K 上的恒等映射.

定定定理理理 13.3.12 复形 K 和它的第一重心重分复形 K(1)是链同伦等价的.

证明：只要证明 φ ψ链同伦于恒等映射. 即构造形变算子

D = Dp : Cp(K(1))→ Cp+1(K

(1)), D−1 = 0.

对K(1)的每个基本 p-链 τ p要满足

τ p − φp ψp(τ p) = ∂Dp(τp) +Dp−1∂(τ

p).

先定义 D0, 设 w是 K(1)的一个顶点，则 ψ0(⟨w⟩) = ⟨v⟩, 这里的 v是以 w为

重心的K 的单形 σ的一个顶点. 这时

φ0 ψ0(⟨w⟩) = φ0(⟨v⟩) = ⟨v⟩.

因此

⟨w⟩ − φ0 ψ0(⟨w⟩) = ⟨w⟩ − ⟨v⟩ = ∂(⟨v, w⟩).

所以定义 D0(⟨w⟩) = ⟨v, w⟩. 用这个方法线性扩充成一个同态

D0 : C0(K(1))→ C1(K

(1)).

· 240 · 第 13章单纯同调论

归纳假设已定义了 D0, · · · , Dp−1, 则对K(1)的 (p− 1)-链 c, 有

c− φp−1 ψp−1(c) = ∂Dp−1(c) +Dp−2∂(c).

对K(1)的每个基本 p-链 τ p, 考虑

z = τ p − φp ψp(τ p)−Dp−1∂(τp),

∂z =∂(τ p)− ∂φp ψp(τ p)− ∂Dp−1∂(τp)

=∂(τ p)− φp−1 ψp−1∂(τp)

− (∂(τ p)− φp−1 ψp−1∂(τp)−Dp−2∂∂(τ

p))

=0.

即 z是K(1)的一个闭链，下面证明它是一个边缘链.

设 v是 τ p中一个固定顶点, 则 p-闭链 z可以表示为

z =∑

giσpi +

∑hjvσ

p−1j .

∂z = ∂(∑

giσpi ) +

∑hjσ

p−1j − v∂(

∑hjσ

p−1j ).

z是 p-闭链意味着

∂(∑

giσpi ) +

∑hjσ

p−1j = 0, ∂(

∑hjσ

p−1j ) = 0.

因此

z =∑

giσpi − v∂(

∑giσ

pi ) = ∂(

∑givσ

pi ).

定义

Dp(τp) =

∑givσ

pi ,

即得

∂Dp(τp) = τ p − φp ψp(τ p)−Dp−1∂(τ

p).

再线性延拓即可. 2

因此用数学归纳法可以得到：

定定定理理理 13.3.13 对每个复形 K，Hp(K)和 Hp(K(s))同构.

我们可以把这些结论应用到可三角剖分的拓扑空间上.

定定定理理理 13.3.14 设 X 和 Y 是两个同胚的可三角剖分的拓扑空间，对应的复形分

别是 K 和 L，则 Hp(K)和 Hp(L)同构.


证明：设 f : X → Y 是同胚映射，g : K → L为 f 诱导的同胚映射，则有映射

恒等式

g−1 g = idK , g g−1 = idL.

用 g和 g−1 的单纯逼近诱导的同调群之间的同态映射来表示它们诱导的同态映

射，这样上述等式就诱导同调群之间的同态映射

(g−1p )∗ (gp)∗ = idHp(K), (gp)∗ (g−1

p )∗ = idHp(L).

所以 (gp)∗ : Hp(K)→ Hp(L)是一个同构映射. 2

定定定理理理 13.3.15 设m = n, 则

(1) Sm与 Sn不同胚；

(2) Rm与 Rn不同胚.

证明：(1) 由例 13.2.4知

Hp(Sn) =

Z, p = 0或 p = n,

0, 0 < p < n.n ≥ 1.

即当m = n时，Hm(Sm) = Z与 Hm(Sn) = 0不同构，所以 Sm与 Sn不同胚.

(2) Sm可以看成 Rm的一点紧化空间，假设 Rm与 Rn同胚，则它们对应的

一点紧化空间 Sm与 Sn也同胚，这与(1)的结论矛盾，所以，Rm与 Rn不同胚.

2

习题

1. 设 Rn中的 k + 1个点 a0, a1, · · · , ak是几何独立的，证明其中的任意 p+ 1

个点不能包含在 Rn的一个 p− 1维超平面内.

2. 证明定义 13.2.4定义的链同调关系“∼”是一个等价关系，即满足自反性，对称性和传递性.

3. 计算环面 T2 = S1 × S1的单纯同调群.

4. 设 S1 ∨ S1是两个圆周的独点并，即只有一个交点的并集，试给出它的一个

三角剖分，并计算它的同调群.

5. 求下图表示复形的单纯同调群.

· 242 · 第 13章单纯同调论

6. 证明：∂(1 · vσp) = 1 · σp − v∂(1 · σp).7. 证明：每个单纯映射 φ : |K| → |L|是一个连续映射.

8. 设 x 和 y 是单形 σ 中的两个点，证明存在单形 σ 的一个顶点 v, 使得

||x− y|| ≤ ||x− v||.9. 设 v 是复形 K 的一个顶点，证明 v 的开星形 ost(v) 的直径小于等于

2mesh(K).

第第第十十十四四四章章章奇奇奇异异异同同同调调调论论论

本章我们讨论奇异同调群. 上一章研究的单纯同调群对应的空间是可以三角

剖分的空间，奇异同调群对所有的拓扑空间有定义，它是通过标准单形到拓扑

空间的连续映射来定义奇异单形的，这样就不需要考虑不同的三角剖分是否会

有不同的同调群的问题. 由此很容易看出奇异同调群是拓扑不变量，当然和单

纯同调群一样，我们将证明奇异同调群也是同伦不变量.

14.1 奇奇奇异异异单单单形形形

在欧氏空间 Rq+1 = (x0, x1, · · · , xq)| xi ∈ R中，用 ei记第 i个坐标轴上的

单位点

ei = (0, · · · , 0, 1i, 0, · · · , 0).

Rq+1中以 e0, e1, · · · , eq 为顶点的单形

∆q = (x0, x1, · · · , xq) ∈ Rq+1| 0 ≤ xi ≤ 1,

q∑i=0

xi = 1

称为 q 维标准单形. 标准 0-单形 ∆0 是一个点，1-单形 ∆1 是一条线段，2-单形

∆2是一个三角形，3-单形 ∆3是一个四面体.

设 X 是一个拓扑空间，一个从 q 维标准单形到 X 的连续映射 σ : ∆q → X

称为 X 中的一个 q维奇异单形.

由于 q维标准单形的点可以用重心坐标 (t0, · · · , tq)表示，q维奇异单形 σ也

可以用 σ(t0, · · · , tq)表示. q维奇异单形 σ : ∆q → X 不一定是单射，因此奇异1

单形虽然是一条道路，也可以退化为一个点，这与单纯复形中的单形有一点区

别，就是不大容易从图象上直接作出区别. 这就意味着即使两个单形的像重合

也不能判别它们是相等的.

设 C 是某欧氏空间中的一个凸集，c0, c1, · · · , cq ∈ C, 则存在唯一的线性

映射 ∆q → C 将顶点 e0, e1, · · · , eq 分别映成点 c0, c1, · · · , cq, 这个线性映射记为

243

· 244 · 第 14章奇异同调论

(c0, c1, · · · , cq), 即

(c0, c1, · · · , cq) : ∆q → C,

q∑i=0

xiei 7→q∑i=0

xici.

这个映射称为 q维线性奇异单形.

例 14.1.1 二维奇异单形.

以拓扑空间 X 中全体 q 维奇异单形为基，生成一个自由交换群，记为

Sq(X), 称为 X 的 q维奇异链群，其中的元素称为 X 的一个 q维奇异链，它是

奇异单形的整数系数线性组合：

cq = k1σ1q + · · ·+ krσ

rq , ki ∈ Z, σiq : ∆q → X.

负维数的奇异链群规定为 Sq(X) = 0，q < 0.

q维奇异单形 σq : ∆q → X 的边缘定义为 X 的一个 q − 1维奇异链

∂qσq = ∂(σq (e0, · · · , eq) =q∑i=0

(−1)iσq (e0, · · · , ei, · · · , eq),

或者在重心坐标下

∂qσq(t0, · · · , tq−1) =

q∑i=0

(−1)iσq(t0, · · · , ti−1, 0, ti, · · · , tq−1).

这里 σq (e0, · · · , ei, · · · , eq)是 σq 的第 i个面, 就是将 σq−1 嵌入到 σq 中成为顶

点 ei对面的一个面. 线性扩充后，得到一个边缘算子

∂q : Sq(X)→ Sq−1(X),

∂q(k1σ1q + · · ·+ krσ

rq) = k1∂qσ

1q + · · ·+ kr∂qσ

rq .

特别的，0维奇异链的边缘规定为 0.

例 14.1.2 二维奇异单形 σ的边缘中的 1维奇异单形 σ (e0, e1, e2).

14.2 奇异同调群 · 245 ·

引引引理理理 14.1.1 复合映射 ∂q−1 ∂q :

Sq(X)∂q−→ Sq−1(X)

∂q−1−→ Sq−2(X)

是零映射.

证明：由边缘算子的线性性，只要在标准单形 ∆q 上证明即可.

∂q−1 ∂q(e0, · · · , eq) =∂q−1(

q∑i=0

(−1)i(e0, · · · , ei, · · · , eq))

=

q∑i=0

(−1)i(∑j<i

(−1)j(e0, · · · , ej, · · · , ei, · · · , eq)

+∑j>i

(−1)j−1(e0, · · · , ei, · · · , ej, · · · , eq))

=∑j<i

(−1)i+j(e0, · · · , ej, · · · , ei, · · · , eq)

+∑i<j

(−1)i+j−1(e0, · · · , ei, · · · , ej, · · · , eq)

=0.

将此式用于映射 σq : ∆q → X 就得到 ∂q−1 ∂q(σq) = 0.

14.2 奇奇奇异异异同同同调调调群群群

定定定义义义 14.2.1 设 X 是一个拓扑空间，对 q = 0, 1, · · · , 我们定义 X 上的

q维奇异闭链群 Zq(X) = ker ∂q = zq ∈ Sq(X)| ∂qzq = 0,q维奇异边缘链群 Bq(X) = Im∂q+1 = ∂q+1sq+1| sq+1 ∈ Sq+1(X),q维奇异同调群 Hq(X) = Zq(X)/Bq(X).

这时链复形 S∗(X) = Sq(X), ∂称为 X 的奇异链复形.

· 246 · 第 14章奇异同调论

以后在不会混淆的情况下，我们常省略边缘算子 ∂q 的下标 q, 即边缘算子一

般直接记为 ∂.

一个奇异 1单形 σ : ∆1 → X 的边缘 ∂σ = σ(e1)− σ(e0), 因此，σ为闭链的充分必要条件是 σ是 X 的一条闭道路.

我们本来想研究拓扑空间中的奇异闭链，但是奇异闭链这个集合实在太

大，不容易研究，一个自然的方法是研究奇异闭链中的一些等价类，即将相差

一个高一维链的边缘的闭链看成是等价的，研究这个集合可能容易点.

对 z ∈ Zq(X), 它的等价类 [z] = z + Bq(X) 称为 X 的一个奇异同调类.

对任意 c, c′ ∈ Sq(X), 如果 c − c′ ∈ Bq(X), 则称 c 同调于 c′, 记为 c ∼ c′. 因

此，[z] = [z′] ∈ Hq(X)的充分必要条件为 ∂z = ∂z′ = 0, 并且 z ∼ z′.

例 14.2.1 以 pt记单点空间中的点，则单点空间的同调群为

Hq(pt) =

Z, q = 0,

0, q = 0.

证明：对每个维数 q, 只有一个奇异单形 σq : ∆q → pt, 所以 Sq(pt) = Z. 由∂的定义知

∂qσq =

0, q = 0或奇数,

σq−1, q是大于 0的偶数.

所以，

当 q是大于 0的奇数时，Zq(pt) = Bq(pt) = kσq| k ∈ Z,当 q是大于 0的偶数时，Zq(pt) = Bq(pt) = 0,

当 q = 0时，Z0(pt) = Z, B0(pt) = ∂S1(pt) = 0.

所以

Hq(pt) =

Z, q = 0,

0, q = 0.

定定定理理理 14.2.1 设 X 是一个拓扑空间，Xα, α ∈ A是 X 的道路连通分支族，则

Hq(X) ∼= ⊕α∈AHq(Xα), ∀ q ≥ 0.

证明：事实上我们有

Sq(X) ∼= ⊕α∈ASq(Xα),

14.2 奇异同调群 · 247 ·

使得边缘算子可以逐个在连通分支内进行运算. 因为 ∆q 是道路连通的，每个

奇异 q-单形 σ将 ∆q 映到单个道路连通分支 Xα内. 这样每个 q-链可唯一分解为

c =∑

α∈A cα, cα是 Xα上的奇异 q链. 而且 ∂c =∑

α∈A ∂cα ∈ ⊕Bq−1(Xα).

因此有 Hq(X) ∼= ⊕α∈AHq(Xα), ∀ q ≥ 0. 2

定定定理理理 14.2.2 H0(X) ∼= Z⊕ · · · ⊕ Z, 个数与道路连通分支的个数相同.

证明：只对道路连通空间证明. 由于 S0(X) = Z0(X), 每个 y ∈ Z0(X)可以表示

成 y =∑

x∈X nxx, 这里只有有限个 nx = 0, 定义 Kronecker指数

ε : S0(X)→ Z, ε(∑x∈X

nxx) =∑x∈X

nx.

这个 ε也称为奇异链群上的增广同态.

对每个 1-单形 σ1, ∂σ1 = σ1(e1)− σ1(e0), 因此 ε(∂σ1) = 1− 1 = 0, 所以

B0(X) ⊂ ker ε = ε−1(0).

设 n1x1 + · · ·+ nkxk ∈ Z0(X),∑k

i=1 ni = 0. 取一固定点 x0, 由道路连通性可

以构造 1-单形 σi1使得 σi1(e1) = xi, σi1(e0) = x0, 则

∂(k∑i=1

niσi1) =

k∑i=1

nixi −k∑i=1

nix0 =k∑i=1

nixi.

所以 ker ε ⊂ B0(X), 即得 ker ε = B0(X). 这样 Kronecker指数 ε诱导一个同构

ε∗ : H0(X)→ Z. 因此，H0(X) ∼= Z. 2

实际上，链群和边缘算子 ∂ 是单纯同调和奇异同调的一个共同特性，我们

可以抽象出一个一般的代数概念.

定定定义义义 14.2.2 设 Cn, ∂n是一个交换群和同态序列

· · · −→ Cn∂n−→ Cn−1

∂n−1−→ Cn−2 −→ · · ·

且满足 ∂n−1 ∂n = 0, 则称 Cn, ∂n是一个链复形，记为 C = Cn, ∂n.

对这种链复形，我们可以定义同调群

Hq(C) = Zq(C)/Bq(C) = ker(∂q)/Im(∂q+1).

例 14.2.2 Sq(X), ∂是一个链复形.

· 248 · 第 14章奇异同调论

定定定义义义 14.2.3 设 Cn, ∂n, C ′n, ∂

′n是两个链复形, 如果存在一族同态

Φ = Φn : C = Cn → C ′ = C ′n, Φn(Cn) ⊂ C ′

n

满足 ∂′ Φn = Φn−1 ∂, 则称 Φ是 C 到 C ′的一个链映射.

这时，Φq(Zq(C)) ⊂ Zq(C′), Φq(Bq(C)) ⊂ Bq(C

′). 因此诱导了一个同态

Φ∗ : Hq(C)→ Hq(C′), Φ∗([zq]) = [Φq(zq)].

设 f : X → Y 是连续映射，对X 的一个 q-奇异单形 σ, 则 f σ是 Y 的一个

q-奇异单形, 记为 Sq(f)(σ). 线性延拓成一个同态

Sq(f) : Sq(X)→ Sq(Y ),

它满足 (1) Sq(id) = id, (2) Sq(g f) = Sq(g) Sq(f).

下证 Sq(f)是一个链映射. 对 X 的一个 q-奇异单形 σ : ∆q → X,

∂σ = ∂(σ (e0, · · · , eq) =q∑i=0

(−1)iσ (e0, · · · , ei, · · · , eq),

Sq−1(f)(∂σ) =

q∑i=0

(−1)iSq−1(f)σ (e0, · · · , ei, · · · , eq)

=

q∑i=0

(−1)if σ(e0, · · · , ei, · · · , eq)

=∂(f σ(e0, · · · , eq))=∂ Sq(f)(σ).

由线性性知 Sq−1 f = ∂ Sq, 所以 Sq(f)是一个链映射.

因此得到一个同态

f∗ = Hq(f) : Hq(X)→ Hq(Y ).

而且有

Hq(id) = id, Hq(g f) = Hq(g) Hq(f).

这两个公式表示当 f 是同胚时，Hq(f)是一个同构. 所以奇异同调群是拓扑不

变量.

14.2 奇异同调群 · 249 ·

定定定义义义 14.2.4 拓扑空间 X 的增广奇异链复形 S∗(X) = Sq(X), ∂q定义为

Sq(X) =

Sq(X), 当 q = −1,Z, 当 q = −1.

, ∂q =

∂q, 当 q = 0,

ε, 当 q = 0.

此增广奇异链复形 S∗(X)的同调群 Hq(X) = Hq(S∗(X))称为 X 的简约奇异同

调群.

由定理 14.2.2的证明过程和例 14.2.1知：

推推推论论论 14.2.3 Hq(pt) = 0. 而且 H0(X) = 0当且仅当 X 是道路连通的.

定定定理理理 14.2.4 对非空的拓扑空间 X,

Hq(X) =

Hq(X), q = 0,

H0(X)⊕ Z, q = 0.

证明：由增广奇异链复形的定义，当 q = 0时，Hq(X) = Hq(X).

当 q = 0时，由两种同调群的定义，

H0(X) = Z0(X)/B0(X), H0(X) = Z0(X)/B0(X),

其中 Z0(X) = S0(X), Z0(X) = ker ε, B0(X) = B0(X).

设 c =∑k

i=1 nixi ∈ Z0(X) = S0(X), x0是 X 中一个固定点，则有

c =k∑i=1

nix0 +k∑i=1

ni(xi − x0),

ε(c) =k∑i=1

ni,k∑i=1

ni(xi − x0) ∈ ker ε.

因此

Z0(X) = ker ε = k∑i=1

ni(xi − x0)|k∑i=1

ni = 0 ⊃ B0(X).

这也说明

Zx0 ∩ B0(X) = nx0| n ∈ Z ∩ B0(X) = 0.

所以

H0(X) = Z0(X)/B0(X) = (Zx0 ⊕ Z0(X))/B0(X) ∼= Z⊕ H0(X).

· 250 · 第 14章奇异同调论

这里用了 Zx0 ∼= Z. 2

连续映射 f : X → Y 诱导的链映射 Sq(f) : Sq(X) → Sq(Y )保持 0维链的

Kronecker指数. 我们定义增广链映射 Sq(f) : Sq(X)→ Sq(Y )为

当 q ≥ 0时与 Sq(f)一样.

当 q = −1时，S−1(f) = id : Z→ Z.

与 Sq(f)类似，可以证明 Sq(f)是一个链映射.

例 14.2.3 设 X 是 Rn中一个凸集，则 Hp(X) = 0, p > 0.

证明：设 X = ∅, 取一个固定点 x0, 对任意 p-奇异单形 ϕ, 定义一个 (p+ 1)-奇异

单形 θ:

θ(t0, · · · , tp+1) =

(1− t0)ϕ( t1

1−t0 , · · · ,tp+1

1−t0 ) + t0x0, 0 ≤ t0 < 1,

x0, t0 = 1.

特别地有 θ(0, t1, · · · , tp+1) = ϕ(t1, · · · , tp+1), θ(1, 0, · · · , 0) = x0.

由 X 的凸性知 θ(∆p+1) ⊂ X. 下面证明 θ在 (1, 0, · · · , 0)处的连续性.

limt0→1||θ(t0, · · · , tp+1)− x0|| = lim

t0→1||(1− t0)ϕ( t1

1− t0, · · · , t

p+1

1− t0)− (1− t0)x0||

≤ limt0→1

(1− t0)(||ϕ( t1

1− t0, · · · , t

p+1

1− t0)||+ ||x0||).

由于 ϕ(∆p)是紧致的，||ϕ( t1

1−t0 , · · · ,tp+1

1−t0 )||+ ||x0||有界，所以

limt0→1||θ(t0, · · · , tp+1)− θ(1, 0, · · · , 0)|| = 0.

因此， θ是连续的. 我们定义 T (ϕ) = θ, 再线性延拓成一个同态

T : Sp(X)→ Sp+1(X).

14.2 奇异同调群 · 251 ·

∂Tϕ(t0, · · · , tp) = ∂θ(t0, · · · , tp)

=

p+1∑i=0

(−1)iθ(t0, · · · , ti−1, 0, ti, · · · , tp)

=θ(0, t0, · · · , tp) +p+1∑i=1

(−1)iθ(t0, · · · , ti−1, 0, ti, · · · , tp)

=ϕ(t0, · · · , tp)

+

p+1∑i=1

(−1)i[(1− t0)ϕ( t1

1− t0, · · · , ti−1

1− t0, 0,

ti

1− t0, · · · , t

p+1

1− t0) + t0x0],

T∂ϕ(t0, · · · , tp) = T p∑i=0

(−1)iϕ(e0, · · · , ei, · · · , ep)(t0, · · · , tp)

=

p∑i=0

(−1)iT ϕ(e0, · · · , ei, · · · , ep)(t0, · · · , tp)

=

p∑i=0

(−1)i[(1− t0)ϕ( t1

1− t0, · · · , ti

1− t0, 0,

ti+1

1− t0, · · · , t

p+1

1− t0) + t0x0]

=

p+1∑i=1

(−1)i−1[(1− t0)ϕ( t1

1− t0, · · · , ti−1

1− t0, 0,

ti

1− t0, · · · , t

p+1

1− t0) + t0x0].

所以 ∂Tϕ+ T∂ϕ = ϕ, 这个式子当 t0 = 1时显然成立.

对 zp ∈ Zp(X), zp = (∂T + T∂)(zp) = ∂(T (zp)) ∈ Bp(X). 所以 Hp(X) = 0,

p > 0.

这个例子中构造了一个链同伦映射 T . 下面给出链同伦的一般定义.

定定定义义义 14.2.5 设 C = Ci, ∂, C ′ = C ′i, ∂

′为两个链复形，f, g : C → C ′ 是两

个链映射，若存在度为 1的同态 T = Ti : C → C ′, Ti(Ci) ⊂ C ′i+1使得

f − g = ∂′T + T∂,

则称 f, g是链同伦的.

定定定理理理 14.2.5 设 f, g : C → C ′是两个链同伦映射，则

f∗ = g∗ : Hp(C)→ Hp(C′).

证明：对 zp ∈ Zp(C), f∗([zp])− g∗([zp]) = [(∂′T + T∂)(zp)] = [∂′(T (zp))] = 0.

所以 f∗ = g∗ : Hp(C)→ Hp(C′). 2

· 252 · 第 14章奇异同调论

定定定理理理 14.2.6 设 f0, f1 : X → Y 是两个同伦映射，则 (f0)∗ = (f1)∗.

证明：设 F : X × I → Y 是 f0, f1之间的同伦映射. 定义映射 g0, g1 : X → X × I为

g0(x) = (x, 0), g1(x) = (x, 1).

则 f0 = F g0, f1 = F g1, 即有交换图

∆q

σ -X

∆q × I

g1? σ × I -X × I

g1? F -Y

f1 -

∆q

g06

σ -X

g0

6

f0-

先证明 S(g0), S(g1)是 S(X)→ S(X × I)的同伦链映射, 即找一个同态

Qq : Sq(X)→ Sq+1(X × I),

使得

Sq(g1)− Sq(g0) = ∂Qq +Qq−1∂.

然后将 Sq(F )作用上去，

Sq(f1)− Sq(f0) =Sq(F g1)− Sq(F g0)=Sq(F ) (Sq(g1)− Sq(g0))=Sq(F ) (∂Qq +Qq−1∂)

=∂Sq+1(F ) Qq + Sq(F ) Qq−1∂.

记 Tq = Sq+1(F ) Qq, 则

Sq(f1)− Sq(f0) = ∂Tq + Tq−1∂.

即 S(f0), S(f1)是 S(X)→ S(Y )的同伦链映射.

14.2 奇异同调群 · 253 ·

对每一个标准 q-单形 ∆q = ⟨e0, · · · , eq⟩, 记 ∆q × 0上的顶点 (ei, 0)为 ai,

∆q × 1上的顶点 (ei, 1)为 bi. 把柱形 ∆q × I 分割成单形，可以在凸集 ∆q × I上定义 (q + 1)-柱形链：

Pq(⟨e0, · · · , eq⟩) =q∑i=0

(−1)i⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩.

再将此映射线性延拓. 讨论边缘公式，

∂Pq(⟨e0, · · · , eq⟩) =q∑i=0

(−1)i∂⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩

=

q∑i=0

(−1)i[∑j≤i

(−1)j⟨a0, · · · , aj, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩

+∑j≥i

(−1)j+1⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bj, · · · , bq⟩]

=

q∑i=0

⟨a0, · · · , ai−1, bi, · · · , bq⟩ −q∑i=0

⟨a0, · · · , ai, bi+1, · · · , bq⟩

+

q∑i=0

(−1)i∑j<i

(−1)j⟨a0, · · · , aj, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩

+

q∑i=0

(−1)i∑j>i

(−1)j+1⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bj, · · · , bq⟩

=⟨b0, · · · , bq⟩ − ⟨a0, · · · , aq⟩

+

q∑j=0

(−1)j∑i>j

(−1)i⟨a0, · · · , aj, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩

+

q∑j=0

(−1)j∑i<j

(−1)i+1⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bj, · · · , bq⟩

· 254 · 第 14章奇异同调论

=⟨b0, · · · , bq⟩ − ⟨a0, · · · , aq⟩

−q∑j=0

(−1)j[∑i<j

(−1)i⟨a0, · · · , ai, bi, · · · , bj, · · · , bq]⟩

+∑i>j

(−1)i−1⟨a0, · · · , aj, · · · , ai, bi, · · · , bq⟩

=⟨b0, · · · , bq⟩ − ⟨a0, · · · , aq⟩ −q∑j=0

(−1)jPq−1(⟨e0, · · · , ej, · · · , eq⟩).

对每一个奇异 q-单形 σ : ∆q → X 定义 X × I 上的一个 (q + 1)-奇异链：

Qq(σ) = Sq+1(σ × id)Pq(⟨e0, · · · , eq⟩).

然后线性扩张成

Qq : Sq(X)→ Sq+1(X × I).

则有

∂Qq(σ) =Sq(σ × id)∂Pq(⟨e0, · · · , eq⟩)=Sq(σ × id)(⟨b0, · · · , bq⟩ − ⟨a0, · · · , aq⟩

−q∑j=0

(−1)jPq−1(⟨e0, · · · , ej, · · · , eq⟩))

=Sq(g1)(σ)− Sq(g0)(σ)−Qq−1(∂σ).

由定理 14.2.3知 (f0)∗ = (f1)∗. 2

按照定义 2.1.3, 对两个拓扑空间 X, Y , 如果存在连续映射 f : X → Y 和

g : Y → X 使得 g f ≃ iX 和 f g ≃ iY , 则 X 和 Y 具有相同的同伦类型.

定定定理理理 14.2.7 设 f : X → Y 是两个拓扑空间 X,Y 的同伦等价映射，则 f∗ :

Hp(X)→ Hp(Y )是一个同构.

证明：设 g : Y → X 是 f 的同伦逆映射，因此

f∗ g∗ = (f g)∗ = idHp(Y ),

g∗ f∗ = (g f)∗ = idHp(X).

所以 g∗ = f−1∗ , f∗是一个同构. 2

我们可以把这个定理应用到形变收缩核上去.

14.2 奇异同调群 · 255 ·

推推推论论论 14.2.8 设 A 是 X 的一个收缩核，i : A → X 是包含映射，则 i∗ :

H∗(A)→ H∗(X)是一个单射，并且 i∗(H∗(A))是 H∗(X)的一个直和因子. 进一

步，若 A是 X 的一个形变收缩核，则 i∗ : H∗(A)→ H∗(X)是一个同构映射.

证明：当 A 是 X 的一个形变收缩核时，A 与 X 同伦等价，由定理 14.2.5

知，i∗ : H∗(A)→ H∗(X)是一个同构映射.

当 A是 X 的一个收缩核时，设 r : X → A是收缩映射，则

r∗ i∗ = (r i)∗ = id∗ = idH∗(A).

所以 i∗ : H∗(A)→ H∗(X)是一个单射.

设C = i∗(H∗(A)), D = ker r∗,下面证明H∗(X) = C⊕D. 对任意 γ ∈ H∗(X),

作分解

γ = i∗r∗(γ) + γ − i∗r∗(γ),

由于

r∗(γ − i∗r∗(γ)) = r∗(γ)− r∗i∗r∗(γ) = r∗(γ)− r∗(γ) = 0,

即 γ − i∗r∗(γ) ∈ D = ker r∗. 因此 H∗(X) = C + D. 设 α ∈ C ∩ D, 则存在

β ∈ H∗(A), 使得 α = i∗(β), 而

0 = r∗(α) = r∗i∗(β) = β.

由此得 α = i∗(β) = 0，即 C ∩ D = 0, 所以 H∗(X) = C ⊕ D，即 i∗(H∗(A))是

H∗(X)的一个直和因子. 2

定理 14.2.6在简约同调群的情况下有相同的结果.

定定定理理理 14.2.9 设 f0, f1 : X → Y 是两个同伦映射，则 (f0)∗ = (f1)∗ : Hq(X) →Hq(Y ).

证明：我们定义同伦算子

Tq : Sq(X)→ Sq+1(Y )

满足

Tq = Tq, q ≥ 0; Tq = 0, q < 0.

这里 Tq 是定理 14.2.6中定义的链同伦算子. 因此

(1) 当 q > 0时，

∂q+1 Tq + Tq−1 ∂q = ∂q+1 Tq + Tq−1 ∂q = Sq(f1)− Sq(f0) = Sq(f1)− Sq(f0).

· 256 · 第 14章奇异同调论

(2) 当 q = 0时，

∂1 T0 + T−1 ∂0 = ∂1 T0 = S0(f1)− S0(f0) = S0(f1)− S0(f0).

(3) 当 q < 0时，

∂q+1 Tq + Tq−1 ∂q = 0 = Sq(f1)− Sq(f0).

所以 T = Tq 是增广奇异链复形 S∗(X) = Sq(X), ∂q 到增广奇异链复形S∗(Y ) = Sq(Y ), ∂q 的链映射 S∗(f1), S∗(f0) 之间的一个链同伦. 因此 (f0)∗ =

(f1)∗. 2

14.3 相相相对对对同同同调调调群群群

我们要在空间对 (X,A)上定义一种同调群 Hq(X,A), 称为相对同调群，这

里 A是 X 的一个真子空间，它对同调群的进一步研究，特别是对同调群的计

算和应用很有用.

记 Sq(A) 是 Sq(X) 的一个子群，q ≥ 0, 它是由映入 A 的奇异 q-单形 σ :

∆q → A ⊂ X 的线性组合构成. 这时边缘算子 ∂ 将 Sq(A)映入到 Sq−1(A). 它诱

导一个同态

∂ : Sq(X)/Sq(A)→ Sq−1(X)/Sq−1(A),

并且Sq(X) −−−→ Sq(X)/Sq(A)

∂

y y∂Sq−1(X) −−−→ Sq−1(X)/Sq−1(A)

可交换，即对任意 cq ∈ Sq(X),

∂(cq + Sq(A)) = ∂cq + Sq−1(A).

因此

∂∂(cq + Sq(A)) = ∂(∂cq + Sq−1(A)) = ∂∂cq + Sq−2(A) = Sq−2(A).

即 ∂ ∂ = 0.

我们记 Sq(X,A) = Sq(X)/Sq(A), Zq(X,A) = ker(∂), Bq(X,A) = Im(∂)，分

别称为 q 维相对奇异链群，相对奇异闭链群和相对奇异边缘链群. 定义空间对

(X,A)的相对奇异同调群

Hq(X,A) = Zq(X,A)/Bq(X,A).

14.3 相对同调群 · 257 ·

当 A = ∅时，由于 Sq(A) = 0, 我们有

Hq(X, ∅) = Hq(X).

设 f : (X,A)→ (X ′, A′)是空间对之间的连续映射，这里要求 f(A) ⊂ A′. f

诱导链同态

Sq(f) : Sq(X)→ Sq(X′),

它满足

Sq(f) : Sq(A)→ Sq(A′),

而且

Sq(f) : Zq(X,A)→ Zq(X′, A′),

Sq(f) : Bq(X,A)→ Bq(X′, A′).

因此，链映射 Sq(f)诱导同态

Hq(f) : Hq(X,A)→ Hq(X′, A′).

容易证明

Hq(id) = id, Hq(g f) = Hq(g) Hq(f).

对 X 上的恒等映射 j : (X, ∅)→ (X,A), 有同态

Hq(j) : Hq(X)→ Hq(X,A).

对包含映射 i : A→ X, 也有同态

Hq(i) : Hq(A)→ Hq(X).

由于 Zq(A) ⊂ Bq(X,A), 我们有

Hq(j i) : Hq(A)Hq(i)−→ Hq(X)

Hq(j)−→ Hq(X,A)

是零同态.

定定定理理理 14.3.1 设 A非空，X 道路连通，则 H0(X,A) = 0.

证明：取 x0 ∈ A, 对 X 上的 0-链 c =∑vxx, 取 αx是从 x0到 x的道路，则

∂(∑

vxαx) =∑

vxx−∑

vxx0 = c−∑

vxx0.

所以 c同调于 A上的一个 0-链，即 H0(X,A) = 0. 2

利用 q维增广奇异链群 Sq(X)和 Sq(A)，我们同样可以定义 q维增广奇异链

群 Sq(X,A) = Sq(X)/Sq(A), 从而可以定义相对简约同调群 Hq(X,A).

· 258 · 第 14章奇异同调论

定定定理理理 14.3.2 当 A非空时，Hq(X,A) = Hq(X,A), 即当 A非空时相对简约同调

群和相对同调群是一致的.

证明：当 q ≥ 0时，Sq(X,A) = Sq(X,A),边缘算子在 q > 0时也一致.当 q = −1时，S−1(X,A) = S−1(X)/S−1(A) = Z/Z = 0, 因此在 S0(X,A) = S0(X,A)上

的边缘算子都是零同态. 所以链复形 S(X,A) = Sq(X,A), ∂ 与 S(X,A) =

Sq(X,A), ∂没有实质的区别，因此 Hq(X,A) = Hq(X,A). 2

定定定义义义 14.3.1 对连续映射 f, g : (X,A) → (Y,B)，如果存在连续映射 H : X ×I → Y，使得 H(X, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x), H(A× I) ⊂ B. 则称 f, g是相对

同伦的.

类似于定理 14.2.4，我们可以证明

定定定理理理 14.3.3 相对同伦映射 f, g : (X,A) → (Y,B)在相对奇异同调群上诱导出

相同的同态映射 f∗ = g∗.

例 14.3.1 设 A = v ∈ Rn| 12≤ ||v|| ≤ 1 是 n 维单位球体 Dn = v ∈

Rn| ||v|| ≤ 1 的子空间. i : (Dn,Sn−1) → (Dn, A) 是包含映射. 定义映射

f : (Dn, A)→ (Dn, Sn−1),

f(v) =

2v, 0 ≤ ||v|| ≤ 12,

v||v|| ,

12≤ ||v|| ≤ 1.

构造映射 F : Dn × I → Dn,

F (v, t) = (1− t)f(v) + tv =

(2− t)v, 0 ≤ ||v|| ≤ 12,

(1− t+ t||v||) v||v|| ,

12≤ ||v|| ≤ 1.

对任意 v ∈ Dn有

F (v, 0) = f(v) = f(i(v)) = i(f(v)), F (v, 1) = v = idDn(v).

当 v ∈ Sn−1时，

F (v, t) = (1− t+ t||v||) v

||v||= v.

所以 F (Sn−1 × I) = Sn−1, 我们有同伦

f i ≃ id(Dn,Sn−1) : (Dn,Sn−1)→ (Dn, Sn−1).

14.4 正合序列 · 259 ·

当 v ∈ A时，||v|| ≥ 12,

||F (v, t)|| = ||(1− t+ t||v||) v

||v|||| = 1− t+ t||v|| ≥ 1− t

2≥ 1

2.

所以 F (A× I) ⊂ A, 我们有同伦

i f ≃ id(Dn,A) : (Dn, A)→ (Dn, A).

这就证明了 i : (Dn,Sn−1)→ (Dn, A)是同伦等价，因此

i∗ : Hq(Dn,Sn−1)→ Hq(Dn, A)

是同构.

14.4 正正正合合合序序序列列列

这一节我们介绍正合同调序列，这是计算同调群的一个有效方法.

定定定义义义 14.4.1 由交换群和同态组成的序列

Cf−→ D

g−→ E

称为在 D处正合, 如果 f 的像等于 g的核，即 ker f = Im(g).

如果交换群和同态组成的序列

· · · −→ Gi−1ϕi−1−→ Gi

ϕi−→ Gi+1 · · ·

在每个 Gi处正合, 则称这个序列是正合序列.

性性性质质质 14.4.1 一个链复形 C = Cq, ∂q是正合列当且仅当 Hq(C) = 0.

特别的，正合列

0 −→ Cf−→ D

g−→ E −→ 0

称为短正合列. 这等价于 f : C → D是一个单射，g : D → E 是一个满射，而

且 g的核 ker g等于 f(C). 因此 C 与D的一个子群 f(C)同构. 在同构意义下，

此短正合列等价于

0 −→ f(C)i−→ D

π−→ D/f(C) −→ 0.

· 260 · 第 14章奇异同调论

定定定义义义 14.4.2 链复形和链映射组成的序列

Cf−→ D

g−→ E

称为在 D处正合, 如果对每个维数 q, 交换群和同态的序列

Cqfq−→ Dq

gq−→ Eq

都在 Dq 处正合.

对给定的链复形和链映射的短正合列

0 −→ Cf−→ D

g−→ E −→ 0.

对每个维数 q, 我们定义一个同态(连接同态)

∆q : Hq(E)→ Hq−1(C).

考察交换图表

∂

y ∂

y ∂

y0 −−−→ Cq+1

fq+1−−−→ Dq+1gq+1−−−→ Eq+1 −−−→ 0

∂

y ∂

y ∂

y0 −−−→ Cq

fq−−−→ Dqgq−−−→ Eq −−−→ 0

∂

y ∂

y ∂

y0 −−−→ Cq−1

fq−1−−−→ Dq−1gq−1−−−→ Eq−1 −−−→ 0

∂

y ∂

y ∂

y其中每个横行都是正合的.

对 eq ∈ Zq(E), 定义

∆q : Hq(E)→ Hq−1(C), [eq] 7→ [f−1q−1 ∂q g−1

q (eq)].

定定定理理理 14.4.2 上面定义的连接同态 ∆q 是合理的.

证明：(1) 先证 f−1q−1 ∂q g−1

q (eq)非空，且每一个元素是闭的.

由于每个横行都是正合的，ker gq = Im(fq), fq : Cq → Dq 是单射，gq :

Dq → Eq 是满射.

14.4 正合序列 · 261 ·

对 eq ∈ Zq(E), 由于 gq : Dq → Eq 是满射，存在 dq ∈ Dq, 使得 gq(dq) = eq.

0 = ∂(eq) = ∂gq(dq) = gq−1(∂eq).

由 Dq−1 处的正合性质，存在 cq−1 ∈ Cq−1, 使得 fq−1(cq−1) = ∂dq, 由于 fq−1 :

Cq−1 → Dq−1是单射，cq−1是唯一的.

fq−2(∂cq−1) = ∂fq−1(cq−1) = ∂∂(dq) = 0,

由 fq−2 的单射性质知 ∂cq−1 = 0, 即 cq−1 ∈ Zq−1(C). 我们的最后目标是

∆q([eq]) = [cq−1].

(2) 现在证明 [cq−1]与 (1)中的 dq 选择无关.

若另有一个 dq ∈ Dq 有 gq(dq) = eq, 则 gq(dq − dq) = 0. 由 Dq 处的正合性

质，存在唯一的 cq ∈ Cq, 使得 fq(cq) = dq − dq. 这时有对应的 cq−1 ∈ Cq−1, 使得

fq−1(cq−1) = ∂dq.

fq−1(cq−1 − cq−1) = ∂(dq − dq) = ∂fq(cq) = fq−1(∂cq).

由 fq−1的单射性质知 cq−1 − cq−1 = ∂cq. 所以 [cq−1] = [cq−1].

(3) 最后证明 [cq−1]与 (1)中的 eq 的选择无关.

对 eq = eq + ∂eq+1 ∈ Zq(E), 存在 dq ∈ Dq, 使得 gq(dq) = eq. 由于 gq+1 :

Dq+1 → Eq+1是满射，存在 dq+1 ∈ Dq+1, 使得 gq+1(dq+1) = eq+1.

gq(dq − dq) = eq − eq = ∂eq+1 = ∂gq+1(dq+1) = gq(∂dq+1),

则 gq(dq) = gq(dq + ∂dq+1). 这时，∂(dq + ∂dq+1) = ∂dq, 在 (1)中取的 cq−1 是相

同的. 由 (2)的结论，dq，dq + ∂dq+1对应的 [cq−1]是相同的. 所以 [cq−1]与 eq的

选择无关. 2

这个证明方法称为追踪法，它是同调代数的常用方法.

定定定理理理 14.4.3 设有链复形和链映射的短正合列

0 −→ Cf−→ D

g−→ E −→ 0.

则有长正合同调序列

· · · −→ Hq+1(E)∆q+1−→ Hq(C)

f∗−→ Hq(D)g∗−→ Hq(E)

∆q−→ Hq−1(C) −→ · · · .

证明：(A) 我们证明在 Hq(E)处的正合性.

· 262 · 第 14章奇异同调论

(A1) 设 dq ∈ Zq(D), 则

∆q g∗([dq]) =∆q([gq(dq)]) = [f−1q−1 ∂ g−1

q (gq(dq))]

=[f−1q−1(∂dq)] = [f−1

q−1(0)] = 0.

即 Im(g∗) ⊂ ker∆q.

(A2) 设 eq ∈ Zq(E), 且∆q([eq]) = 0. 则存在 cq ∈ Cq, 使得

f−1q−1 ∂ g−1

q (eq) = ∂(cq).

因此

∂ g−1q (eq) = fq−1 ∂(cq) = ∂fq(cq).

令 dq = g−1q (eq)− fq(cq), 则 ∂dq = 0, 即 dq ∈ Zq(D). 这时

g∗([dq]) = [gq(dq)] = [eq − gq fq(cq)] = [eq].

即 Im(g∗) ⊃ ker∆q.

所以 Im(g∗) = ker∆q.

(B) 在 Hq(C), Hq(D)处的正合性同理可证. 2

用相同的方法可以证明

定定定理理理 14.4.4 (同调序列的自然性) 设有链复形和链映射的交换图

0 −−−→ Cf−−−→ D

g−−−→ E −−−→ 0

α

y β

y γ

y0 −−−→ C ′ f ′−−−→ D′ g′−−−→ E ′ −−−→ 0

其中两个横行是链复形的短正合列, 则它们的正合同调序列之间有交换图

· · · −−−→ Hq(C)f∗−−−→ Hq(D)

g∗−−−→ Hq(E)∆−−−→ Hq−1(C) −−−→ · · ·

α∗

y β∗

y γ∗

y α∗

y· · · −−−→ Hq(C

′)f ′∗−−−→ Hq(D

′)g′∗−−−→ Hq(E

′)∆′−−−→ Hq−1(C

′) −−−→ · · ·

对空间对 (X,A), 我们有奇异链群的短正合列

0 −→ Sq(A)i−→ Sq(X)

p−→ Sq(X,A) −→ 0.

因此有相应的长正合列.

14.5 Mayer-Vietoris正合列及其应用 · 263 ·

推推推论论论 14.4.5 对空间对 (X,A), 我们有长正合同调序列

−→ Hq+1(X,A)∆q+1−→ Hq(A)

Hq(i)−→ Hq(X)Hq(p)−→ Hq(X,A)

∆q−→ Hq−1(A) −→ .

推推推论论论 14.4.6 对连续映射 f : (X,A)→ (Y,B), 我们有交换图

−−−→ Hq(A)Hq(i)−−−→ Hq(X)

Hq(p)−−−→ Hq(X,A)∆−−−→ Hq−1(A) −−−→

Hq(f)

y Hq(f)

y Hq(f)

y Hq−1(f)

y−−−→ Hq(B)

Hq(i)−−−→ Hq(Y )Hq(p)−−−→ Hq(Y,B)

∆−−−→ Hq−1(B) −−−→ .

这些性质对简约同调群也成立.

推推推论论论 14.4.7 设 A是 X 的一个非空子集, 我们有正合简约同调序列

−→ Hq+1(X,A)∆q+1−→ Hq(A)

Hq(i)−→ Hq(X)Hq(p)−→ Hq(X,A)

∆q−→ Hq−1(A) −→,

它的结尾为

· · · −→ H1(X,A) −→ H0(A) −→ H0(X) −→ H0(X,A) −→ 0.

14.5 Mayer-Vietoris正正正合合合列列列及及及其其其应应应用用用

设 X1, X2是拓扑空间 X 的两个子空间，且 X = X1 ∪X2, 记 U = X1, X2,它是 X 的一个覆盖, 记

SUq (X) = Sq(X1) + Sq(X2) ⊂ Sq(X).

我们有包含映射 i : Sq(X1) + Sq(X2)→ Sq(X). 实际上，我们有交换图

X1

X1 ∩X2

i1 - X1 ∪X2

j1 -

X2j2

-

i2-

其中 i1, i2, j1, j2是包含映射，记 S(h) = (S(i1), S(i2)), S(k) = S(j1)− S(j2). 用ΣXi表示 Xi中奇异单形的集合，则

ΣX1∩X2 = ΣX1 ∩ ΣX2 , ΣUX = ΣX1 ∪ ΣX2 .

· 264 · 第 14章奇异同调论

引引引理理理 14.5.1 链复形和链映射序列

0 −→ S∗(X1 ∩X2)S(h)−→ S∗(X1)⊕ S∗(X2)

S(k)−→ S∗(X1) + S∗(X2) −→ 0.

是一个短正合列.

证明：

S(h)(x) = (S(i1)(x), S(i2)(x)), x ∈ S∗(X1 ∩X2),

S(k)(x, y) = S(j1)(y)− S(j2)(z), (y, z) ∈ S∗(X1)⊕ S∗(X2).

从上面公式可以看出，S(h)是单射，S(k)是满射是显然的.

S(k) S(h)(x) =S(k)(S(i1)(x), S(i2)(x))=S(j1) S(i1)(x)− S(j2) S(i2)(x)=S(j1 i1 − j2 i2)(x) = 0.

所以 Im(S(h)) ⊂ kerS(k).

若对 y =∑

i fiσqi ∈ Sq(X1), z =

∑j gjσ

qj ∈ Sq(X2)有

S(k)q(y, z) = S(j1)q(y)− S(j2)q(z) = 0.

由于 j1, j2 是包含映射，通过适当的调整有 fi − gi = 0. 对非零的 fi 有

σqi ∈ ΣX1∩X2 . 取 x =∑

i fiσqi , 则

S(h)q(x) = (∑i

fiσqi ,∑i

fiσqi ) = (y, z).

因此 Im(S(h)) ⊃ kerS(k), 所以 Im(S(h)) = kerS(k). 2

定定定义义义 14.5.1 设 X1, X2是拓扑空间 X 的两个子空间，如果包含链映射

i : Sq(X1) + Sq(X2)→ Sq(X1 ∪X2)

诱导的同调群同态

i∗ : Hq(S(X1) + S(X2))→ Hq(X1 ∪X2)

是同构，则称 X1, X2是一个Mayer-Vietoris对.

定定定理理理 14.5.2 设 X1, X2是拓扑空间 X 的一个 Mayer-Vietoris对，则有下面

的Mayer-Vietoris正合同调序列

−→ Hq(X1∩X2)h∗−→ Hq(X1)⊕Hq(X2)

k∗−→ Hq(X1∪X2)∆q−→ Hq−1(X1∩X2) −→


证明：由定义 14.5.1和定理 14.4.3即得此定理. 2

定定定义义义 14.5.2 设 U 是 X 的一个子集族，并且 U 是 X 的一个覆盖，即 X =

∪U∈UU , 如果 q 维奇异单形 σ : ∆q → X 的像 σ(∆q)包含在某个 U ∈ U中，则

称 σ 是 q 维 U-小奇异单形. X 中全体 q 维 U-小奇异单形生成 Sq(X)的一个子

群 SUq (X), SU

q (X)称为 X 的 U-小奇异链复形.

这时包含映射 i : SUq (X)→ Sq(X)是一个链映射. 以后会看到，小的奇异单

形要比大的奇异单形在同调群中更重要.

设 U 是拓扑空间 X 的一个子集，IntU 是 U 的所有内点组成的集合，即所

有包含在 U 内的开集的并集.

定定定理理理 14.5.3 设 U是 X 的一个子集族，并且其内部 IntU = IntU | U ∈ U是X 的一个开覆盖，则链映射 i : SU

q (X)→ Sq(X)是链同伦等价.

证明：事实上，我们要构造一个链映射 k : Sq(X) → SUq (X), 使得 k i = id,

i k ≃ id. 因此 i∗ : Hq(SU∗ (X))→ Hq(S∗(X))是同构.

设 C 是凸集，A∗(C)表示 S∗(C)中由全体线性奇异单形生成的子链复形.

对 b ∈ C, 定义同态 b : Aq(C)→ Aq+1(C)为

b : (c0, · · · , cq) 7→ (b, c0, · · · , cq).

这里的 (b, c0, · · · , cq)称为以点 b为顶点的锥形.

我们下面要定义重分链映射 Sd : A∗(C)→ A∗(C).

对 q维线性奇异单形 σ = (c0, · · · , cq), 其重心为

bσ =

q∑j=0

1

q + 1cj.

对 0维链，规定 Sd0 = id, T0 = 0.

归纳定义

Sdqσ = bσ(Sdq−1∂σ),

Tqσ = bσ(Sdqσ − σ − Tq−1∂σ).

下面用数学归纳法证明 Sd是链映射，T 是 Sd与 id的链同伦等价映射.

∂Sd1σ = ∂(bσ(Sd0∂σ)) = ∂(bσ(∂σ)) = ∂σ = Sd0∂σ,

· 266 · 第 14章奇异同调论

归纳假设 ∂Sdq−1τ = Sdq−2∂τ , 则

∂Sdqσ =∂(bσ(Sdq−1∂σ)) = Sdq−1∂σ − bσ(∂Sdq−1∂σ)

=Sdq−1∂σ − bσ(Sdq−2∂∂σ) = Sdq−1∂σ.

所以对任意 q有 ∂Sdq = Sdq−1∂.

∂T1σ = ∂(bσ(Sd1σ − σ)) = Sd1σ − σ − bσ(∂Sd1σ − ∂σ) = Sd1σ − σ − T0∂σ,

归纳假设 ∂Tq−1σ = Sdq−1σ − σ − Tq−2∂σ, 则

∂Tqσ =∂(bσ(Sdqσ − σ − Tq−1∂σ))

=Sdqσ − σ − Tq−1∂σ − bσ(∂Sdqσ − ∂σ − ∂Tq−1∂σ)

=Sdqσ − σ − Tq−1∂σ − bσ(Tq−2∂∂σ)

=Sdqσ − σ − Tq−1∂σ.

所以对任意 q有 ∂Tqσ = Sdqσ − σ − Tq−1∂σ.

用这两个算子，我们来定义重分链映射 Sd : S∗(X) → S∗(X) 及链同伦

T : S∗(X)→ S∗+1(X).

对 q维奇异单形 σ : ∆q → X, 规定

Sdqσ = S(σ)Sdq(e0, · · · , eq),

Tqσ = S(σ)Tq(e0, · · · , eq).

作用到前两个等式，我们有

∂Sdq = Sdq−1∂, ∂Tq + Tq−1∂ = Sdq − id.

根据重心重分的几何性质，一个单形经过足够多次重心重分后，得到

的小单形可以任意的小, 由于 IntU 是 X 的一个开覆盖，对于每个奇异单形

σ : ∆q → X，一定存在最小整数m(σ) ≥ 0, 使得 Sdm(σ)σ是 U小奇异链.

事实上，对 V = σ−1(U)|U ∈ U, IntV是 ∆q 的一个开覆盖. 由于 ∆q 是紧

致的，存在 Lesbeque数 δ > 0, 使得对 C ⊂ ∆q, diam(C) < δ, 则 C 包含在某个

σ−1(U)内，所以存在m ≥ 0, 使得 Sdmσ ∈ SUq (X).

记 σ(j) = σ (e0, · · · , ej, · · · , eq)是 σ的第 j 个面，则m(σ(j)) ≤ m(σ).

对每一个正整数 i, 将 ∂T + T∂ = Sd− id作用在 Sdi−1上得

∂TSdi−1 + TSdi−1∂ = Sdi − Sdi−1.


将此式从 i = 1到 k作和得

∂T (1 + · · ·+ Sdk−1) + T (1 + · · ·+ Sdk−1))∂ = Sdk − id.

定义线性映射

T = T (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ)−1).

则

(∂T + T∂)(σ) =∂T (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ)−1)σ + T(

q∑i=0

(−1)iσ(i))

=Sdm(σ)σ − σ − T (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ)−1)∂σ

+

q∑i=0

(−1)iT (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ(i))−1)σ(i)

=Sdm(σ)σ − σ − T (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ)−1)

q∑i=0

(−1)iσ(i)

+

q∑i=0

(−1)iT (1 + Sd+ · · ·+ Sdm(σ(i))−1)σ(i)

=Sdm(σ)σ − σ −q∑i=0

(−1)iT (Sdm(σi) + · · ·+ Sdm(σ)−1)σ(i).

定义线性映射

k(σ) = Sdm(σ)σ −q∑i=0

(−1)iT (Sdm(σi) + · · ·+ Sdm(σ)−1)σ(i).

这时 k(σ) ∈ SUq (X), 而且在 Sq(X)上有 ∂T + T∂ = i k − id.

另外对 σ ∈ SUq (X)有m(σ) = 0, 则 k i = id.

所以 i : SUq (X)→ Sq(X)是链同伦等价. 2

推推推论论论 14.5.4 若 X = IntX1 ∪ IntX2, 则 X1, X2是Mayer-Vietoris对.

对于增广链复形，也有相应的性质，有短正合列

0 −→ S∗(X1 ∩X2)S(h)−→ S∗(X1)⊕ S∗(X2)

S(k)−→ S∗(X1) + S∗(X2) −→ 0.

所以对于简约同调群，Mayer-Vietoris序列

−→ Hq(X1∩X2)h∗−→ Hq(X1)⊕ Hq(X2)

k∗−→ Hq(X1∪X2)∆q−→ Hq−1(X1∩X2) −→

是正合的.

· 268 · 第 14章奇异同调论

定定定理理理 14.5.5 (Mayer-Vietoris 同调序列的自然性) 设 X1, X2 与 Y1, Y2 是X,Y 中的 Mayer-Vietoris对，映射 f : X → Y 满足 f(X1) ⊂ Y1, f(X2) ⊂ Y2.

则下面的图表可交换

Hq(X1 ∩X2)h∗−−−→ Hq(X1)⊕Hq(X2)

k∗−−−→ Hq(X1 ∪X2)∆−−−→ Hq−1(X1 ∩X2)

f∗

y f∗

y f∗

y f∗

yHq(Y1 ∩ Y2)

h∗−−−→ Hq(Y1)⊕Hq(Y2)k∗−−−→ Hq(Y1 ∪ Y2)

∆−−−→ Hq−1(Y1 ∩ Y2)

定定定理理理 14.5.6 设拓扑空间 X 是两个闭子集 X1, X2 的并，交集 X1 ∩ X2 是其某

个开邻域 V 的形变收缩核, 则 X1, X2是Mayer-Vietoris对.

证明：记 Vj = V ∪Xj, 它是Xj 的一个开邻域，由X1 ∩X2 ⊂ V 得 V1 ∩ V2 = V .

由推论 14.5.4知 V1, V2是Mayer-Vietoris对，即包含映射诱导同构

i∗ : Hq(S(V1) + S(V2))→ Hq(X).

下证包含映射也诱导同构

i∗ : Hq(S(X1) + S(X2))→ Hq(X).

设 F : V × I → V 是 V 到 X1 ∩X2的形变收缩同伦，则 Vj 到 Xj 的形变收

缩同伦 Fj : Vj × I → Vj 可以定义为

Fj(x, t) =

x, x ∈ Xj,

F (x, t), x ∈ V −Xj.

由定理 14.4.6的同调序列的自然性知

· · · −−−→ Hq(X1 ∩X2)h∗−−−→ Hq(X1)⊕Hq(X2)y y

· · · −−−→ Hq(V1 ∩ V2)h∗−−−→ Hq(V1)⊕Hq(V2)


k∗−−−→ Hq(S∗(X1) + S∗(X2))∆−−−→ Hq−1(X1 ∩X2) −−−→ · · ·y y

k∗−−−→ Hq(S∗(V1) + S∗(V2))∆−−−→ Hq−1(V1 ∩ V2) −−−→ · · ·

由定理 14.4.6知第一行到第二行的箭头是包含映射诱导的同态，除第三个外都

是同构. 由“五引理”知 Hq(S∗(X1) + S∗(X2))→ Hq(S∗(V1) + S∗(V2))是同构.

所以 i∗ : Hq(S(X1) + S(X2)) → Hq(X) 是同构，因此 X1, X2 是 Mayer-

Vietoris对. 2

例 14.4.1 求 Hq(Sn), n ≥ 1.

解：对 X = S1 = (x, y)|x2 + y2 = 1, 取 x = (−1, 0), y = (1, 0), z = (0, 1),

z′ = (0,−1). U = S1 − z, V = S1 − z′.

讨论下面这一段Mayer-Vietoris正合序列

H1(U)⊕H1(V )k∗−→ H1(S1)

∆1−→ H0(U ∩ V )h∗−→ H0(U)⊕H0(V ),

由于 U, V 可缩，H1(U) = 0, H1(V ) = 0, 所以 ∆1 是单射，因此 H1(S1) ∼=Im∆1 = kerh∗.

U∩V 有两个道路连通分支，并且与两点空间同伦等价，H0(U∩V ) ∼= Z⊕Z.其元素可写成 ax+by, a, b ∈ Z. 在U和 V 中，x与 y同伦，即在H0(U)和H0(V )

中，[x] = [y]. 而

h∗(ax+ by) = ((i1)∗(ax+ by), (i2)∗(ax+ by)) = ((a+ b)[x], (a+ b)[x]).

所以 kerh∗ = a(x− y)|a ∈ Z, 即 H1(S1) ∼= Z.

对 q > 1,看下面这一段Mayer-Vietoris正合序列

Hq(U)⊕Hq(V )k∗−→ Hq(S1)

∆q−→ Hq−1(U ∩ V ),

由于Hq(U) = 0, Hq(V ) = 0, Hq−1(U ∩ V ) ∼= Hq−1(x, y) = 0. 所以Hq(S1) = 0.

· 270 · 第 14章奇异同调论

对 Sn = (x1, · · · , xn+1)|∑

(xi)2 = 1 ⊂ Rn+1, n > 1. 取 z = (0, · · · , 0, 1),z′ = (0, · · · , 0,−1). U = Sn−z′, U = Sn−z同胚于Rn. U ∩V = Sn−z, z′同胚于 Rn − O, 而 Rn − O与 Sn−1同伦等价.

对Mayer-Vietoris正合序列

Hq(Rn)⊕Hq(Rn)k∗−→ Hq(Sn)

∆q−→ Hq−1(Sn−1)h∗−→ Hq−1(Rn)⊕Hq−1(Rn),

当 q > 1时，两头为零，则 ∆q : Hq(Sn) → Hq−1(Sn−1)是同构. 当 q = 1, n > 1

时，由于 Sn−1 道路连通，h∗ 是单射，这时从正合列看出 ∆q 也是单射，所以

H1(Sn) = 0. 因此

Hq(Sn) =

Z, q = 0, n,

0, q = 0, n.

推推推论论论 14.5.7 对 n = m, Sn，Sm不在同一同伦类中.

我们也可以用简约同调求 Hq(Sn).这里需要两个结果，(1) Hq(Rn) = 0, (2) 对两点空间有 H0(a, b) ∼= Z,

Hq(a, b) = 0, q = 0.

当 n = 0时，S0由两个点组成，则 H0(S0) ∼= Z, Hq(S0) = 0, q = 0.

归纳假设对 Sn−1, 我们有

Hq(Sn−1) =

Z, q = n− 1,

0, q = n− 1.

把 Sn分成两个闭半球

B+ = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn| xn+1 ≥ 0,

B− = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn| xn+1 ≤ 0.

则 B+ ∩ B− = Sn−1, 它是它的一个开邻域的形变收缩核，由定理 14.5.6 知

B+, B− 是 Sn 的一个 Mayer-Vietoris 对. 考虑对应的简约同调的 Mayer-

Vietoris正合序列

Hq(B+)⊕ Hq(B−)k∗−→ Hq(Sn)

∆q−→ Hq−1(Sn−1)h∗−→ Hq−1(B+)⊕ Hq−1(B−),

由于B+, B−同胚于n维球体Dn,它是可缩的，因此有 Hq(B+) = 0, Hq(B−) = 0.

所以 ∆q : Hq(Sn)→ Hq−1(Sn−1)是同构. 最后求得

Hq(Sn) =

Z, q = n,

0, q = n.


再由定理 14.2.4就可以得到结果.

利用这个结果，我们可以证明不动点定理.

定定定理理理 14.5.8 单位球体 Dn的边界 Sn−1不是 Dn的收缩核.

证明：假设存在一个收缩映射 r : Dn → Sn−1, 使得 r i = idSn−1 , i : Sn−1 → Dn

是包含映射，它们诱导同态

id : Hn−1(Sn−1)i∗−→ Hn−1(Dn)

r∗−→ Hn−1(Sn−1).

当 n > 1时，Hn−1(Dn) = 0, 这与 Hn−1(Sn−1) ∼= Z矛盾.

当 n = 1时，S0是两个点，D1连通，结果显然. 2

定定定理理理 14.5.9 (Brouwer 不动点定理) 任意连续映射 f : Dn → Dn 一定有不动

点，即至少存在一点 x ∈ Dn, 使得 f(x) = x.

证明：(反证法)假设映射 f 没有不动点，对任意 x ∈ Dn，有 f(x) = x. 从 f(x)

出发向 x作射线，交球面 Sn−1于一点 g(x), 即得到映射 g : Dn → Sn−1. 明显地

对 x ∈ Sn−1, 有 g(x) = x, 即 g 是一个收缩映射，这与定理 14.5.8矛盾, 所以 f

有不动点. 2

实际上 Brouwer不动点定理有一个直接推广. 设 X 是与 Dn 同胚的拓扑空

间，同胚映射为 φ : X → Dn. 设 f : X → X 是一个连续映射，由

Dn φ−1

−→ Xf−→ X

φ−→ Dn

定义映射 f = φ f φ−1 : Dn → Dn. f 是连续映射，因而至少有一个不动点，

设为 y, f(y) = φ(f(φ−1(y))) = y. 因此 x = φ−1(y)是映射 f 的一个不动点. 所

以与 Dn同胚的拓扑空间也有不动点性质.

定定定义义义 14.5.3 设 n ≥ 1, f : Sn → Sn是一个连续映射，则诱导同态

Hn(f) : Hn(Sn)→ Hn(Sn).

取 Hn(Sn) ∼= Z 的一个生成元 α, 即 Hn(Sn) = kα| k ∈ Z. 则 Hn(f)(α) =

mα, m ∈ Z. 整数 m 与 α 的取法无关，即取生成元 −α 时，Hn(f)(−α) =

−Hn(f)(α) = −mα = m(−α). 整数 m 称为球面映射 f 的 Brouwer 度，记为

deg f = m.

· 272 · 第 14章奇异同调论

容易证明

(1) deg(id) = 1;

(2) deg(f h) = deg(f) deg(h);

(3) deg(常值映射) = 0;

(4) 若 f 同胚，则 deg(f) = ±1;(5) 若 f, g是同伦映射，则 deg(f) = deg(g)；

(6) 若 f : Sn → Sn是一个同伦等价映射，则 deg(f) = ±1.实际上还有

定定定理理理 14.5.10 (Hopf) 如果 f, g : Sn → Sn 是连续映射，并且 deg(f) = deg(g).

则 f, g同伦等价.

这个定理的证明可以在 Alexandroff-Hopf, Topologie I, Berlin, pp. 501-515

中找到.

定定定理理理 14.5.11 设 n > 0, f : Sn → Sn定义为

f(x1, x2, · · · , xn+1) = (−x1, x2, · · · , xn+1).

则 deg(f) = −1.

证明：当 n = 1 时, 取 x = (−1, 0), y = (1, 0), z = (0, 1), z′ = (0,−1). U =

S1 − z′, V = S1 − z. 则 f(U) ⊂ U , f(V ) ⊂ V .

考虑定义∆的交换图

0 −−−→ S1(U ∩ V )S(h)−−−→ S1(U)⊕ S1(V )

S(k)−−−→ S1(U) + S1(V ) −−−→ 0

∂

y ∂

y ∂

y0 −−−→ S0(U ∩ V )

S(h)−−−→ S0(U)⊕ S0(V )S(k)−−−→ S0(U) + S0(V ) −−−→ 0

对生成元 α ∈ H1(S1) ∼= H1(S1(U) + S1(V )), α = c + d, c ∈ S1(U), d ∈ S1(V ).

就是将逆时针方向的圆周 α分成上半圆周 c和下半圆周 d. 这时 S(k)(c,−d) =c− (−d) = c+ d = α. 则

∂(c,−d) = (∂c,−∂d) = (x− y, x− y).

因此 ∆α = x− y.


考虑Mayer-Vietoris正合序列

0 = H1(U)⊕H1(V ) −−−→ H1(S1)∆−−−→ H0(U ∩ V )

f∗

y f∗

y f∗

y0 = H1(U)⊕H1(V ) −−−→ H1(S1)

∆−−−→ H0(U ∩ V )

∆f∗(α) = f∗∆(α) = f∗(x− y) = y − x = −∆(α) = ∆(−α).

由于∆是单射， f∗(α) = −α, 即 deg(f) = −1.归纳假设结论对维数 n− 1 ≥ 0时成立.

这时，i : Sn−1 → U ∩ V 是同伦等价，Mayer-Vietoris正合序列变为

Hn(U)⊕Hn(V ) −−−→ Hn(Sn)∆−−−→ Hn−1(Sn−1) −−−→ Hn−1(U)⊕Hn−1(V )

f∗

y f∗

y f∗

yHn(U)⊕Hn(V ) −−−→ Hn(Sn)

∆−−−→ Hn−1(Sn−1) −−−→ Hn−1(U)⊕Hn−1(V )

左右两侧都为零，因此可以看出 ∆是一个同构.

f∗(α) = ∆−1f∗∆(α) = −∆−1∆(α) = −α.

所以 deg(f) = −1. 2

定定定理理理 14.5.12 设 n > 0, fi : Sn → Sn定义为

fi(x1, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · · , xn+1) = (x1, · · · , xi−1,−xi, xi+1, · · · , xn+1).

则 deg(fi) = −1.

证明：设 h1i : Sn → Sn 是交换第一个、第 i个坐标的映射，则 h1i 是一个同

胚，且 h−11i = h1i, 因此 deg(h1i) = ±1.

由定理 14.5.11知 deg(f1) = −1, 而 fi = h1i f1 h1i,因此 deg(fi) = deg(h1i) deg(f1) deg(h1i) = deg(f1) = −1. 2

定定定理理理 14.5.13 设 A : Sn → Sn是对径映射

A(x1, x2, · · · , xn+1) = (−x1,−x2, · · · ,−xn+1).

则 deg(A) = (−1)n+1.

证明：A可以分解成 A = f1 f2 · · · fn+1.

因此 deg(A) =∏n+1

i=1 deg(fi) = (−1)n+1. 2

· 274 · 第 14章奇异同调论

定定定理理理 14.5.14 设 f, g : Sn → Sn, 对任意 x ∈ Sn, f(x) = g(x), 则 g 与 A f 同伦.

证明：由于 f(x) = g(x)，连接 g(x)和 A(f(x))的直线不过原点，作同伦映射

F : Sn × I → Sn为

F (x, t) =(1− t)A(f(x)) + tg(x)

||(1− t)A(f(x)) + tg(x)||.

则 F (x, 0) = A(f(x)), F (x, 1) = g(x), 即 g与 A f 同伦. 2

定定定理理理 14.5.15 设 f : S2n → S2n 是连续映射, 则存在 x ∈ S2n 使得 f(x) = x, 或

者存在 y ∈ S2n使得 f(y) = −y

证明：(反证法)假设结论不成立，即对任意 x ∈ S2n, f(x) = x, 由定理 14.5.14

知 f 与 A同伦.

另一方面，因为对任意 x ∈ S2n, f(x) = −x = A(x), 由定理 14.5.14知 f 与

A A = id同伦.

因此，(−1)2n+1 = deg(A) = deg(f) = deg(id) = 1, 这是一个矛盾，所以结

论成立. 2

定定定理理理 14.5.16 不存在连续映射 f : S2n → S2n使得对任意 x ∈ S2n，f(x)与 x正

交.

证明：假设存在满足定理要求的映射 f , 由定理 14.5.15知，总有一点 x ∈ S2n,

使得 f(x)与 x平行，因此在这一点 f(x) = 0, 这是一个矛盾，所以结论成立. 2

定定定理理理 14.5.17 球面 S2n上不存在非零的切向量场.

证明：假设球面 S2n 上存在一个非零的切向量场 ϕ(x), 则 f(x) = ϕ(x)/||ϕ(x)||是球面 S2n上的单位切向量场. 这时 f(x)与 x正交，这与定理 14.5.16矛盾，所

以结论成立. 2

事实上，对奇数维球面 S2n+1，总存在非零切向量场, 例如

ϕ(x) = (x2,−x1, x4,−x3, · · · , x2n+2,−x2n+1).

推推推论论论 14.5.18 球面 Sn上存在非零的切向量场的充要条件是 n为奇数.

定理 14.5.6中用到的“五引理”经常要用到，我们在这里列出来，可以用

追踪法来证明它.

14.6 切除定理 · 275 ·

引引引理理理 14.5.19 (五引理) 设下面的交换群和同态的交换图

G1α1−−−→ G2

α2−−−→ G3α3−−−→ G4

α4−−−→ G5yγ1 yγ2 yγ3 yγ4 yγ5H1

β1−−−→ H2β2−−−→ H3

β3−−−→ H4β4−−−→ H5

中的两个横行是正合的，γ1, γ2, γ4和 γ5是同构，则 γ3也是一个同构.

14.6 切切切除除除定定定理理理

定定定理理理 14.6.1 (切除定理)设 U ⊂ A ⊂ X, U ⊂ Int(A), 则包含映射

i : (X − U,A− U)→ (X,A)

诱导相对同调群之间的一个同构

i∗ : H∗(X − U,A− U)→ H∗(X,A).

即切除 U 不影响相对同调群.

证明：设U = X−U, IntA,这时 Int(X−U)∪IntA = X,记U′ = A−U, IntA.由定理 14.5.3知

i : SU∗ (X)→ S∗(X), i′ : SU′

∗ (A)→ S∗(A)

诱导了同调群之间的同构. 而且 SU′∗ (A)是 SU

∗ (X)的子链复形，有一个链映射

j : SU∗ (X)/SU′

∗ (A)→ S∗(X)/S∗(A) = S∗(X,A).

因此链映射 i, i′, j 生成下面的交换图

Hq(SU′∗ (A)) −−−→ Hq(S

U∗ (X)) −−−→ Hq(S

U∗ (X)/SU′

∗ (A)) −−−→ Hq−1(SU′∗ (A))

i′∗

y i∗

y j∗

y i′∗

yHq(A) −−−→ Hq(X) −−−→ Hq(X,A) −−−→ Hq−1(A)

由于 i′∗, i∗是同构，由“五引理”知 j∗也是同构.

SU∗ (X)可以分解成两个子群的和(不是直和)

SU∗ (X) = S∗(X − U) + S∗(IntA).

同样

SU′

∗ (A) = S∗(A− U) + S∗(IntA).

· 276 · 第 14章奇异同调论

因此

SU∗ (X)/SU′

∗ (A) ∼= S∗(X − U)/S∗(A− U) = S∗(X − U,A− U).

与 j 复合，诱导一个同构 H∗(X − U,A− U)→ H∗(X,A). 2

例 14.6.1 设 Dn = x ∈ Rn| ||x|| ≤ 1是 n维闭实心球，A = Sn−1 = ∂Dn是 Dn

的边界，即 n− 1维单位球面，求 Hq(Dn,Sn−1).

解：因为 Dn是可缩空间，即与一点同伦等价，则有

Hq(Dn) =

Z, q = 0,

0, q ≥ 1.

讨论由 Sn−1 → Dn生成的正合列

· · · −→ Hq(Dn) −→ Hq(Dn, Sn−1)∆−→ Hq−1(Sn−1) −→ Hq−1(Dn) −→ · · · .

当 q ≥ 2时，由 Hq(Dn) = 0, Hq−1(Dn) = 0知 ∆ : Hq(Dn,Sn−1) → Hq−1(Sn−1)

是同构.

当 q = 1时，上面的正合列变为

0 = H1(Dn) −→ H1(Dn,Sn−1)∆−→ H0(Sn−1) −→ H0(Dn) −→ H0(Dn,Sn−1).

由定理 4.3.1知 H0(Dn,Sn−1) = 0.

当 n > 1时，由于 Sn−1 道路连通，我们有 H0(Sn−1) −→ H0(Dn)是同构，

所以 H1(Dn, Sn−1) = 0.

当 n = 1时，这时 S0 是两个点，H1(Dn,Sn−1) ∼= ker(H0(S0) → H0(D1)) ∼=Z.所以

Hq(Dn,Sn−1) =

Z, q = n,

0, q = n.

例 14.6.2 设 n ≥ 1, E+n , E

−n 分别是 n维球面 Sn的闭北半球面和闭南半球面，

这时 E+n ∩ E−

n = Sn−1，求证 (E+n , Sn−1)→ (Sn, E−

n )是一切除同构.

证明：我们希望切除开南半球面 U = x ∈ Sn| xn+1 < 0. 但是 U = E−n 不满足

U ⊂ IntE−n .

我们取 V = x ∈ Sn| xn+1 < −1/2, 则 V ⊂ IntE−n , 因此可以切除 V , 得切

除同构

Hq(Sn, E−n )∼= Hq(Sn − V,E−

n − V ).

14.6 切除定理 · 277 ·

但是 (E+n ,Sn−1)是 (Sn − V,E−

n − V )的形变收缩核(沿大圆弧运动). 这时

Hq(E+n , Sn−1) ∼= Hq(Sn − V,E−

n − V ) ∼= Hq(Sn, E−n ).

例 14.6.3 用例 14.6.2的结果直接求 Hq(Dn,Sn−1)和 Hq(Sn).解：将 E+

n 的前 n个坐标投影到 Dn给出同胚

(E+n ,Sn−1)→ (Dn, Sn−1).

因此有 Hq(E+n ,Sn−1) ∼= Hq(Dn,Sn−1).

讨论由 Sn−1 → Dn生成的正合列

−→ Hq(Dn) −→ Hq(Dn, Sn−1)∆−→ Hq−1(Sn−1) −→ Hq−1(Dn) −→ .

当 q ≥ 2时，∆ : Hq(Dn, Sn−1)→ Hq−1(Sn−1)是同构.

讨论由 E−n → Sn生成的正合列

−→ Hq(E−n ) −→ Hq(Sn) −→ Hq(Sn, E−

n )∆−→ Hq−1(E

−n ) −→ .

当 q ≥ 2时，Hq(Sn)→ Hq(Sn, E−n )是同构.

由例 14.6.2知 Hq(E+n ,Sn−1) ∼= Hq(Sn, E−

n ), 所以当 q ≥ 2, n ≥ 1时，

Hq(Sn) ∼= Hq−1(Sn−1).

当 q = 1时，由 Sn−1 → Dn生成的正合列变为

0 = H1(Dn) −→ H1(Dn,Sn−1)∆−→ H0(Sn−1) −→ H0(Dn) −→ H0(Dn,Sn−1) = 0.

当 n > 1时，由于 Sn−1 道路连通，我们有 H0(Sn−1) −→ H0(Dn)是同构，

所以 H1(Dn,Sn−1) = 0.

当 n = 1时，这时 S0 是两个点，H1(Dn,Sn−1) ∼= ker(H0(S0) → H0(D1)) ∼=Z.由 E−

n → Sn生成的正合列变为

0 = H1(E−n ) −→ H1(Sn)

a−→ H1(Sn, E−n )

b−→ H0(E−n )

c−→ H0(Sn) −→ H0(Sn, E−n ) = 0.

这里 c : H0(E−n ) → H0(Sn)是同构，因此 b = 0, 这样 a : H1(Sn) → H1(Sn, E−

n )

是同构. 所以

H1(Sn) ∼= H1(Sn, E−n )∼= H1(E

+n ,Sn−1) ∼= H1(Dn,Sn−1).

· 278 · 第 14章奇异同调论

综合上述结果，当 n ≥ 1时，我们有

Hq(Dn,Sn−1) ∼= Hq(Sn) ∼=

Z, q = n,

0, q = n.

定定定理理理 14.6.2 设 X1, X2 是 X 的子空间，则 X1, X2是 Mayer-Vietoris对的充

分必要条件为包含映射 i : (X1, X1 ∩X2)→ (X1 ∪X2, X2)诱导相对同调群的同

构

i∗ : H∗(X1, X1 ∩X2)→ H∗(X1 ∪X2, X2).

证明：记 SU∗ (X) = S∗(X1) + S∗(X2), 则

SUq (X)/Sq(X2) =Sq(X1)/(Sq(X1) ∩ Sq(X2))

=Sq(X1)/Sq(X1 ∩X2)

=Sq(X1, X1 ∩X2).

所以

Hq(SU∗ (X)/S∗(X2)) = Hq(X1, X1 ∩X2).

对短正合列

0 −−−→ Sq(X2) −−−→ SUq (X) −−−→ SU

q (X)/Sq(X2) −−−→ 0y y y0 −−−→ Sq(X2) −−−→ Sq(X1 ∪X2) −−−→ Sq(X1 ∪X2, X2) −−−→ 0

得到长同调正合列

Hq(X2) −−−→ Hq(SUq (X)) −−−→ Hq(X1, X1 ∩X2)

∆−−−→ Hq−1(X2) −−−→y y y yHq(X2) −−−→ Hq(X1 ∪X2) −−−→ Hq(X1 ∪X2, X2)

∆′−−−→ Hq−1(X2) −−−→

由“五引理”知: i∗ : Hq(SUq (X)) → Hq(X1 ∪ X2) 是同构的充分必要条件为

i∗ : Hq(X1, X1 ∩X2)→ Hq(X1 ∪X2, X2)是同构. 所以结论成立. 2

最后我们考虑空间三元组的同调序列，设 X,A,B 是三个拓扑空间，满足

X ⊃ A ⊃ B. 令 i : (A,B)→ (X,B), j : (X,B)→ (X,A)是包含映射, 则

Sq(X,B)/Sq(A,B) = (Sq(X)/Sq(B))/(Sq(A)/Sq(B))

∼= Sq(X)/Sq(A) = Sq(X,A).

14.7 Jordan-Brouwer分离定理 · 279 ·

我们有短正合列

0 −→ Sq(A,B)Sq(i)−→ Sq(X,B)

Sq(j)−→ Sq(X,A) −→ 0.

因此有相应的长正合列

−→ Hq(A,B)Hq(i)−→ Hq(X,B)

Hq(j)−→ Hq(X,A)∆q−→ Hq−1(A,B) −→

对映射 f : (X,A,B)→ (Y,C,D)有交换图

−−−→ Hq(A,B)Hq(i)−−−→ Hq(X,B)

Hq(p)−−−→ Hq(X,A)∆−−−→ Hq−1(A,B) −−−→

Hq(f)

y Hq(f)

y Hq(f)

y Hq−1(f)

y−−−→ Hq(C,D)

Hq(i)−−−→ Hq(Y,D)Hq(p)−−−→ Hq(Y,C)

∆−−−→ Hq−1(C,D) −−−→

14.7 Jordan-Brouwer分分分离离离定定定理理理

在这一节我们对上一章提到的 Jordan 曲线定理给出一个证明. 我们以

Ik = I × · · · × I 表示 k个单位区间 I 的乘积，称为 k维立方体，I0理解为单点

空间.

定定定理理理 14.7.1 设 A ⊂ Sn同胚于 Ik, 0 ≤ k ≤ n, 则

Hq(Sn − A) ∼=

Z, q = 0,

0, q > 0.

证明：当 k = 0时，A是一个点，Sn − A同胚于 Rn, 因此结论成立.

归纳假设 k < m时结论成立，设 h : A → Im 是一个同胚. 将 Im 分成上下

两半，令

I+ = (x1, · · · , xm) ∈ Im| x1 ≥ 1

2, I− = (x1, · · · , xm) ∈ Im| x1 ≤ 1

2.

则 I+ ∩ I− 同胚于 Im−1. 相应的将 A分成 A+ = h(I+)和 A− = h(I−)之并. 这

时

(Sn − A+) ∪ (Sn − A−) = Sn − (A+ ∩ A−).

所以 Sn − A+,Sn − A−是一个Mayer-Vietoris对. 而

Sn − A = Sn − (A+ ∪ A−) = (Sn − A+) ∩ (Sn − A−).

· 280 · 第 14章奇异同调论

所以存在一个正合列

Hq+1(Sn − (A+ ∩ A−)) −→ Hq(Sn − A) −→ Hq(Sn − A+)⊕Hq(Sn − A−)

−→ Hq(Sn − (A+ ∩ A−)).

当 q > 0时，由归纳假设知这个序列的两端为 0, 所以有同构

Hq(Sn − A)∼=−−−→

i+∗ ⊕i−∗Hq(Sn − A+)⊕Hq(Sn − A−).

设 x ∈ Hq(Sn − A), 并且 x = 0, 则 (i+∗ (x), i−∗ (x)) = 0. 不妨设 i+∗ (x) = 0, 对 A+

重复上述分法，将其分成两片，它们的交集同胚于 Im−1，继续下去可以构造一

个序列

A = A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · ,

使得包含映射

Sn − A ⊂ Sn − Ak

诱导的同调群之间的同态将 x映到 Hq(Sn − Ak)中的一个非零元素, 而且 ∩iAi同胚于 Im−1. 由于这些同态都是由包含映射诱导的，它们所对应的闭链是同一

个，不妨设为 x =∑njϕj. 由归纳假设 Hq(Sn − ∩iAi) = 0, 即 x =

∑njϕj 在

Sn − ∩iAi内是一个边缘链, 设为 ∂(∑

kmkψk). 令

Xb = (∪kψk(σq+1)) ∪ (∪jϕj(σq)),

由于 Xb是 Sn − ∩iAi的一个紧致集，它包含在某个 Sn − Ak 内，在 Sn − Ak 中仍然有 ∂(

∑kmkψk) =

∑njϕj，按照上述构造，x在 Hq(Sn − Ak)中的表示是

非零的，这是个矛盾，所以不存在这样的 x, 即 Hq(Sn − A) = 0.

当 q = 0时，Mayer-Vietoris正合列中的映射

H0(Sn − A) −→ H0(Sn − A+)⊕H0(Sn − A−)

是一个单射，而不是同构，但这足以用上面的构造方法证明H0(Sn −A)只有一个生成元. 即设 x, y是 Sn − A中两个点，使得在 H0(Sn − A)中 [x− y] = 0, 用

上面的方法得到在 H0(Sn − ∩iAi)中 [x− y]也不为零，因此得到矛盾. 2

定定定理理理 14.7.2 设 B ⊂ Sn同胚于 Sk, 0 ≤ k ≤ n− 1, 则

Hq(Sn −B) ∼=

Z, q = 0, n− k − 1

0, 其它.

14.7 Jordan-Brouwer分离定理 · 281 ·

证明：当 k = 0时，Sk 是两个点，Sn −B同伦等价于 Sn−1, 因此结论成立.

归纳假设 k < m时结论成立，当 k = m时，将 B分成 B = B+ ∪B−，其中

B+和 B−都同胚于 Sk的一个闭半球，也同胚于 Ik, 并且 B+ ∩B−同胚于 Sk−1.

这时

(Sn −B+) ∪ (Sn −B−) = Sn − (B+ ∩B−).

所以 Sn − A+,Sn − A−是一个Mayer-Vietoris对. 而

Sn −B = Sn − (B+ ∪B−) = (Sn −B+) ∩ (Sn −B−).

所以存在一个正合列

Hj+1(Sn −B+)⊕Hj+1(Sn −B−) −→ Hj+1(Sn − (B+ ∩B−)) −→ Hj(Sn −B)

−→ Hj(Sn −B+)⊕Hj(Sn −B−).

当 j > 0时，由定理 14.7.2, 这个序列的两头为 0, 因此

Hj+1(Sn − (B+ ∩B−)) −→ Hj(Sn −B)

是一个同构，所以由归纳假定得到结果. 2

定定定理理理 14.7.3 (Jordan-Brouwer分离定理) 设 B是 Sn−1嵌入到 Sn中的像，则 B

将 Sn分成两部分，并且都以 B为边界.

证明：由定理 14.7.2知，H0(Sn − B) = Z ⊕ Z, 所以 Sn − B 有两个道路连通分支. 因为 B是个闭集，Sn − B是一个开集，并且是局部道路连通的，所以道路连通分支也是连通分支, 即 Sn −B有两个连通分支.

设 C1, C2是 Sn−B的两个连通分支. 由于 C1, C2是开的，C1∪B = Sn−C2

是闭的，C1的边界 ∂C1 ⊂ B. 下面证明 B ⊂ ∂C1.

对任意 x ∈ B, 及 x在 Sn中任意开邻域 U , 由于 B是一个嵌入子流形，存在

U ∩B的一个包含 x的子集K, 使得 B −K 同胚于 Dn−1, 实际上 B −K 相当于Sn−1挖去一个洞. 由定理 14.7.1知，H0(Sn − (B −K)) = Z, 即 Sn − (B −K)只

有一个道路连通分支. 取 p1 ∈ C1, p2 ∈ C2, γ是 Sn − (B −K)中连接 p1, p2的一

条道路. 由于 C1, C2是 Sn − B 的两个不同的道路连通分支，γ 只能通过 K, 这

样K 中就含有 C1和 C2中的点，所以 B ⊂ ∂C1.

这就证明了 B是 C1的边界，由对称性，B也是 C2的边界. 2

定定定理理理 14.7.4 设 U1, U2 是 Sn 的两个子集，f : U1 → U2 是一个同胚，如果 U1

是开集，则 U2也是开集.

· 282 · 第 14章奇异同调论

证明：设 x2 = f(x1)是 U2中任意点，V1是 x1在 U1中的一个开邻域，并且 V1同胚于 IntDn, ∂V1 同胚于 Sn−1. 设 V2 = f(V1), 则 ∂V2 = f(∂V1) ⊂ Sn 同胚于Sn−1.

由定理 14.7.2知，Sn−V2是连通的，Sn−∂V2有两个连通分支. 所以 Sn−∂V2是两个不相交的连通集 Sn − V2 和 V2 − ∂V2 的并集. 这两个集合就是 Sn − ∂V2的连通分支，因此 V2 − ∂V2 ⊂ U2是开集, 及 V2 − ∂V2是 x2的一个开邻域. 所以

U2是一个开集. 2

14.8 粘粘粘贴贴贴空空空间间间

到目前为止，我们看到同调群的计算是一个很困难的工作. 下面我们介绍一

类称之为粘贴空间的特殊空间，对这类空间，我们有一套比较有效的计算方法.

定定定义义义 14.8.1 设 X,Y 是两个拓扑空间，A是 X 的一个子空间，f : A → Y 是

一个映射. 在 X,Y 的不交并 X ⨿ Y (X 与 Y 互不相交地拼在一起，各自成为

一个开子集)上，把每一点 a ∈ A与其像点 f(a) ∈ Y 等同起来，即 a ∼ f(a),

∀a ∈ A, 所得的商空间，简称 X ⊃ Af−→ Y 的粘贴空间，记作 Y ∪f X 或

X ∪f Y，f 称为粘贴映射.

n维欧氏空间En中的单位闭球体Dn称为一个 n维闭胞腔，其内部 IntDn =

Dn − Sn−1称为一个 n维(开)胞腔.

映射 f : Sn−1 → X 把球体 Dn粘贴到X 上去得到的空间X ∪f Dn称为X 粘

贴上一个 n维胞腔.

设 X 是一个拓扑空间，A是其子空间，X ⊃ Af−→ pt = Y 的粘贴空间

X ∪f pt记作 X/A, 即在 X 中把 A捏成一点所得空间.

一个点 pt 粘贴上一个 n 维胞腔 Dn ∪f pt 就是把单位球体 Dn 的边界

Sn−1 捏成一点，而保持 Dn 内部的点不动. 这时 Dn ∪f pt的拓扑与单位球面Sn是一致的，即 Dn ∪f pt = Dn/Sn−1与球面 Sn同胚.

柱体 X × I, I = [0, 1], 将上底 X × 1捏成一点所得空间 X × I/X × 1称为

X 上的锥形，记作 CX.

设 f : X → Y 是一个映射，X × I ⊃ X × 0f−→ Y 的粘贴空间称为 f 的映

射柱，记为 Zf .

CX ⊃ X × 0f−→ Y 的粘贴空间 Cf = Y ∪f CX 称为 f 的映射锥，它也可

以看成把 f 的映射柱 Zf 的上底 X × 1捏成一点得到.

14.8 粘贴空间 · 283 ·

把柱形X × I 的上底X × 1, 下底X × 0分别捏成两个点所得空间，称为X

上的双角锥(Suspension), 记作 ΣX.

例 14.8.1 Sn = ΣSn−1 = ΣnS0.

将 f 的映射锥 Cf = Y ∪f CX 分成两部分

C+f = X × [1

2, 1]/X × 1, C−f = Y ∪f (X × [0,

1

2]).

C+f ∩ C−f = X × 12是它的一个开邻域的形变收缩核，由定理 14.5.6 知

C+f, C−f是 Cf 的一个Mayer-Vietoris对.

定定定理理理 14.8.1 设 f : X → Y 是一个映射，则有长正合列

−→ Hq(X)Hq(f)−→ Hq(Y )

Hq(e)−→ Hq(Cf)∆−→ Hq−1(X) −→,

其中 e : Y → Cf 是包含映射.

证明：C+f 是可缩的，缩成其顶点，因此 Hq(C+f) = 0.

由于 C+f, C−f是 Cf 的一个Mayer-Vietoris对，我们有长正合列

Hq(C+f ∩ C−f)Hq(h)−→ Hq(C+f)⊕ Hq(C−f)

Hq(k)−→ Hq(Cf)∆−→ Hq−1(C+f ∩ C−f),

由于C+f ∩ C−f = X × 12同胚于 X, Hq(C+f ∩ C−f) = Hq(X).

因为 Y 是 C−f 的形变收缩核，设 r : C−f → Y 是形变收缩映射，则

Hq(r) : Hq(C−f)→ Hq(Y )是同构，因此有交换图

Hq(C+f ∩ C−f)Hq(h)−−−→ 0⊕ Hq(C−f)

Hq(k)−−−→ Hq(Cf)∆−−−→ Hq−1(C+f ∩ C−f)y Hq(r)

y y yHq(X)

Hq(f)−−−→ Hq(Y )Hq(e)−−−→ Hq(Cf)

∆−−−→ Hq−1(X)

由于第一行到第二行的映射都是同构，所以第二行也是正合列. 2

推推推论论论 14.8.2 对包含映射 i : A → X, 则 C(i) = X ∪i CA, 因此有长正合列

−→ Hq(A) −→ Hq(X) −→ Hq(X ∪i CA)∆−→ Hq−1(A) −→ .

对 f : Sn−1 → X, 由于 CSn−1与 Dn同胚，Cf = X ∪f Dn, 而且我们有

Hq(Sn−1) =

Z, q = n− 1,

0, q = n− 1.

· 284 · 第 14章奇异同调论

推推推论论论 14.8.3 对于 Dn ⊃ Sn−1 f−→ X, 当 q = n, n− 1时，

Hq(X ∪f Dn) ∼= Hq(X),

并且有正合列

0 −→ Hn(X) −→ Hn(X ∪f Dn)∆−→ Hn−1(Sn−1)

Hn−1(f)−→ Hn−1(X) −→ Hn−1(X ∪f Dn)∆−→ 0.

证明：当 q = n, n− 1时, 考虑正合列

0 = Hq(Sn−1)Hq(f)−→ Hq(X) −→ Hq(X ∪f Dn)

∆−→ Hq−1(Sn−1) = 0,

所以

Hq(X ∪f Dn) ∼= Hq(X).

考虑下一段正合列

0 = Hn(Sn−1) −→ Hn(X) −→ Hn(X ∪f Dn)∆−→ Hn−1(Sn−1)

Hn−1(f)−→ Hn−1(X) −→ Hn−1(X ∪f Dn)∆−→ Hn−2(Sn−1) = 0.

因此结论成立. 2

从这个推论我们得到，粘贴一个 n维胞腔后，n维同调群可能不变，也可

能与 Z作直和，n − 1维同调群可能不变，也可能变成以循环群为核的商群，

其余同调群不变.

因此求 Hn(X ∪f Dn), Hn−1(X ∪f Dn) 时要看 Hn−1(f) : Hn−1(Sn−1) →Hn−1(X)的性质.

把定理 14.8.1用于双角锥上就有性质：

推推推论论论 14.8.4 对拓扑空间 X 的双角锥 ΣX, 有同构 ∆ : H(q+1)(ΣX) ∼= Hq(X).

这样也能得到以前关于单位球面的结果：H(q+1)(Sn) = H(q+1)(ΣSn−1) ∼=Hq(Sn−1).

例 14.8.2 求环面 T2 = S1 × S1的同调群.

解：T2可以看成把正方形的两对对边分别顺向叠合而成.

(1) 空心正方形的两对对边分别顺向叠合得到 S1V S1, 即 S1V S1 = S1 ⨿ S1,

这两个圆有一个交点.

14.8 粘贴空间 · 285 ·

可以将 S1V S1 分成 V1 ∪ V2, Vi 是将 S1V S1 的一个圆上去掉一个不包含上述

交点的区间或点，Vi可以缩成一个圆 S1, 这时 V1 ∩ V2同胚于一个“十”字，可以缩成一点, 所以

Hq(Vi) = Hq(S1) =

Z, q = 1,

0, q = 1.Hq(V1 ∩ V2) = 0.

由于 S1V S1 连通，H0(S1V S1) = 0. V1, V2 是 S1V S1 的一个 Mayer-Vietoris

对，我们有正合列

0 = H1(V1 ∩ V2) −→ H1(V1)⊕ H1(V2) −→ H1(S1V S1) −→ H0(V1 ∩ V2) = 0.

所以 H1(S1V S1) ∼= H1(V1)⊕ H1(V2) = Z⊕ Z. 当 q > 1时，有正合列

0 = Hq(V1)⊕ Hq(V2) −→ Hq(S1V S1) −→ Hq−1(V1 ∩ V2) = 0,

即 Hq(S1V S1) = 0. 所以

Hq(S1V S1) =

Z⊕ Z, q = 1,

0, q = 1.

(2) T2 是在 S1V S1 上粘贴一个 2维胞腔，其粘贴映射 f : S1 → S1V S1 在两

个 S1上都正反向各绕一圈，所以 H∗(f) = 0.

由推论 14.8.3, 只须讨论 q = 1, 2的情形，考虑正合列

0 = H2(S1V S1) −→ H2(T2)∆−→ H1(S1)

0−→ H1(S1V S1) −→ H1(T2)∆−→ 0.

所以 H2(T2) ∼= H1(S1) = Z, H1(T2) ∼= H1(S1V S1) = Z⊕ Z. 即

Hq(T2) =

Z⊕ Z, q = 1,

Z, q = 2,

0, q = 1, 2.

例 14.8.3 求实射影空间 P n(R)的同调群.

我们可以把实射影空间 P n(R)看成：

(1) n+ 1维实欧氏空间中过原点的所有直线组成的空间.

P n(R) = Rn+1 − 0/x ∼ λx, ∀λ ∈ R, λ = 0, ∀x ∈ Rn+1 − 0.

· 286 · 第 14章奇异同调论

(2) n维球面上把每一对对径点叠合成一点所成的空间.

P n(R) = Sn/x ∼ −x, ∀x ∈ Sn.

(3) n维实心球(Dn 看成 Sn 的上半球面)把边缘上的每一对对径点叠合成一

点所成的空间.

P n(R) = Dn/x ∼ −x, ∀x ∈ Sn−1.

即 P n(R)看成 P n−1(R)上粘贴一个 n维胞腔而得，粘贴映射 π(n−1) : Sn−1 →P n−1(R)绕 P n−1(R)两圈.

(a) P 1(R) 是把圆周的对径点叠起来，就是半个圆周将端点等同，所以P 1(R)同胚 S1. 因此，

Hq(P1(R)) = Hq(S1) =

Z, q = 0, 1,

0, q = 0, 1.

(b) P 2(R) = P 1(R) ∪π(1) D2, π(1) : S1 → P 1(R)绕 P 1(R)两圈, 所以 deg = 2.


0 = H2(S1) −→ H2(P1(R)) −→ H2(P

2(R)) ∆−→ H1(S1)

H1(π(1))−→ H1(P1(R)) −→ H1(P

2(R)) ∆−→ H0(S1) = 0.

即

0 = H2(P1(R)) −→ H2(P

2(R)) ∆−→ Z ×2−→ Z −→ H1(P2(R)) ∆−→ 0.

由于 ker(H1(π(1))) = 0, 得 H2(P2(R)) = 0, H1(P

2(R)) = Z2, 所以

Hq(P2(R)) =

Z, q = 0,

Z2, q = 1,

0, q = 0, 1.

(c) P 3(R) = P 2(R) ∪π(2) D3, π(2) : S2 → P 2(R)绕 P 2(R)两圈, 所以 deg = 2.


0 = H3(S2) −→ H3(P2(R)) −→ H3(P

3(R)) ∆−→ H2(S2)

H2(π(2))−→ H2(P2(R)) −→ H2(P

3(R)) ∆−→ H1(S2) = 0.

14.8 粘贴空间 · 287 ·

即

0 = H3(P2(R)) −→ H3(P

3(R)) ∆−→ ZH2(π(2))−→ 0 −→ H2(P

3(R)) ∆−→ 0.

得 H3(P3(R)) = Z, H2(P

3(R)) = 0, 所以

Hq(P3(R)) =

Z, q = 0, 3,

Z2, q = 1,

0, 其它.

(d) 用 (b), (c)的方法，可以归纳求得

Hq(Pn(R)) =

Z, q = 0或 q = n =奇数,

Z2, q =奇数, 0 < q < n

0, 其它.

习题

1. 设空间 A由两个点组成, 即 A = a1, a2, 试求 Hq(A)和 Hq(A).

2. 设 σ : ∆q → X 是一个奇异 q-单形，满足 σ(∆q) = x0 ⊂ X. 试给出 ∂σ = 0

的条件.

3. 设 f : X → Y 是连续映射，分别举例说明：

(1) f 是单射，但f∗ : H1(X)→ H1(X)不是单射；

(2) f 是满射，但f∗ : H1(X)→ H1(X)不是满射.

4. 设 f : X → Y , g : Y → Z 是连续映射，证明：

(1) Sq(id) = id : Sq(X)→ Sq(X)；

(2) Sq(g f) = Sq(g) Sq(f) : Sq(X)→ Sq(Z).

5. 设 X 是 Rn 中的一个星形集合, 即存在点 x0 ∈ X, 使得 X 中的任一点与 x0相连的直线段在 X 内. 证明: Hp(X) = 0, p > 0.

6. 空间 X 是环面 T2 = S1 × S1上挖掉一个小洞, 求 X 的奇异同调群.

7. 设 X, Y 是两个非空的拓扑空间，y0 ∈ Y , 证明包含映射 i : X → X × Y ,

i(x) = (x, y0)的诱导同态

i∗ : Hq(X)→ Hq(X × Y )

是单射.

· 288 · 第 14章奇异同调论

8. 设 f : Sn → Sn(n ≥ 1)是 deg f = 0的连续映射, 证明 f 是满映射.

9. 设 A,B是 Sn中的两个连通开集, n ≥ 2, A ∪B = Sn. (a) 写出相应的简约同调群在 H0, H1处的长正合列；(b) 求证：A ∩B是连通的.

10. 设 A是 X 的一个非空子集，X 是可缩空间，证明 Hq(X,A) ∼= Hq−1(A).

11. 设 A是 X 的一个非空子集，A是可缩的，证明 Hq(X,A) ∼= Hq(X).

12. 设有链复形 C,C ′及链映射 f : C → C ′，构造链复形 C = Cq, ∂q：

Cq = C ′q ⊕ Cq−1, ∂q(c

′q, cq−1) = (∂′c′q + f(cq−1),−∂cq−1)

和复形 C+ = C+q , ∂

+q :

C+q = Cq−1, ∂+q = −∂q−1.

若投影同态 p : Cq → C+ 同伦于 0，则存在链映射 h : C → C ′ 使得 h f 同伦id : C → C.

13. 设 SnV Sn是两个单位球面的单点并，计算 SnV Sn的同调群.

14. 设映射 f : Sn → Sn没有不动点，证明 deg f = (−1)n+1.

15. 设映射 f : Sn → Sn不是满映射，证明 f 有不动点.

16. 设映射 f : Sn → Sn对任意 x ∈ Sn有 f(x) = −x，证明 deg f = 1.

第第第十十十五五五章章章流流流形形形的的的定定定向向向与与与对对对偶偶偶性性性

本章将介绍奇异上同调群及其应用–Poincare对偶定理. 奇异上同调群是由

奇异同调群决定的，但是它上面可以定义一个乘法–上积, 这样使得奇异上同调

群成为一个环，因此比奇异同调群有更多的应用.

15.1 流流流形形形的的的定定定向向向

我们要用同调群的生成元来描述拓扑流形的定向，这主要是为后面的

Poincare对偶定理的证明服务的.

定定定义义义 15.1.1 设 X 是 Hausdorff空间，x ∈ X 是其中一点，空间 X 在点 x处的

局部同调群规定为 Hq(X,X − x).

设 U 是 x的一个开邻域，则 X − U 是闭集，X − x是开集，因此

X − U = X − U ⊂ X − x = Int(X − x).

切除定理告诉我们(切除 X − U)

Hq(U,U − x) = Hq(X − (X − U), (X − x)− (X − U)) ∼= Hq(X,X − x).

因此局部同调群只反映 X 在点 x附近的性质，而且有局部同胚不变性.

定定定理理理 15.1.1 设 X,Y 是 Hausdorff空间，x, y 分别是其中一点，设有 x, y 的邻

域 U, V , 以及同胚 ϕ : (U, x)→ (V, y), 则 ϕ∗ : Hq(U,U − x)→ Hq(V, V − y)是一个同构.

定定定理理理 15.1.2

Hq(Rn,Rn − 0) =

Z, q = n,

0, q = n.

289

· 290 · 第 15章流形的定向与对偶性

证明：切除 Rn − Dn得

Hq(Rn,Rn − 0) = Hq(Dn,Dn − 0).

由于 Dn − 0与 Sn−1同伦等价，有

Hq(Dn,Dn − 0) = Hq(Dn, Sn−1).

由例 14.6.1立即得到结果. 2

定定定理理理 15.1.3 设 X 是一个 n维流形，x ∈ X, 则

Hq(X,X − x) =

Z, q = n,

0, q = n.

证明：对 x ∈ X，存在一个开邻域 U 使得 ϕ : U → Rn 是一个同胚，并且

ϕ(x) = 0, 则

Hq(X,X − x) =Hq(U,U − x)=Hq(ϕ(U), ϕ(U − x))=Hq(Rn,Rn − 0)

=

Z, q = n,

0, q = n.

2

在微分流形上，局部定向是用局部坐标系规定的，两个局部坐标系给出相

同或相反的定向取决于坐标变换的 Jacobi行列式的正负.

在拓扑学中，局部定向是用局部同调群的生成元来定义的.

定定定义义义 15.1.2 设 X 是一个 n维流形，x ∈ X, 则 Hn(X,X − x)的一个生成元αx称为 X 在点 x处的一个定向. 在每一点处恰有两个局部定向 ±αx.

在 Rn中，点 a = (a1, · · · , an)处的标准定向 εn是指单形 α : ∆n → Rn满足

α :

e0 7→ (a1 − 1, a2 − 1, · · · , an − 1),

e1 7→ (a1 + 1, a2, · · · , an),· · ·en 7→ (a1, a2, · · · , an + 1).

.

所代表的同调类 [α] ∈ Hn(Rn,Rn−a). 实际上，a是 α的重心. 由于在平移下

不变，所以通常不必指明是哪一点处的标准定向.

15.1 流形的定向 · 291 ·

定定定义义义 15.1.3 设 ϕ : (U, x) → (Rn, a) 是流形 X 在点 x 处的一个局部坐标系,

(ϕ−1)∗(εn) ∈ Hn(U,U − x)称为 X 在点 x处由这个局部坐标系所决定的定向.

例 15.1.1 设 Sn = ⟨a0, a1, · · · , an⟩是以 a0, · · · , an 为顶点的 n维闭单形，Sn =

∂Sn是 Sn的边缘对应的点(边缘集合)，则 (Sn, Sn)同胚于 (Dn, Sn−1).

线性单形 (a0, a1, · · · , an) : ∆n → Sn 的边缘落在 Sn 中，所以它是 (Sn, Sn)

的相对闭链.

现在证明其同调类 [(a0, a1, · · · , an)]是 Hn(Sn, Sn) ∼= Z的生成元.

当 n = 0时，S0 = ⟨a0⟩是一个点，S0 = ∅.

H0(S0, S0) = H0(a0) = k[a0]|k ∈ Z.

当 n > 0时，记 Tn−1 = ⟨a1, · · · , an⟩是 n − 1维闭单形，Λ = a0∂Tn−1 是以

a0为顶，Tn−1 = ∂Tn−1为底的锥. 对空间对 (Sn, Sn)有正合列

0 = Hn(Sn) −→ Hn(Sn, Sn)∆−→ Hn−1(Sn) −→ Hn−1(Sn) = 0.

对空间对 (Sn,Λ)有正合列

0 = Hn−1(Λ) −→ Hn−1(Sn)j∗−→ Hn−1(Sn,Λ) −→ Hn−2(Λ) = 0.

及切除同态

i∗ : Hn−1(Tn−1, Tn−1)→ Hn−1(Sn,Λ).

上面的∆, j∗, i∗都是同构，所以有同构

Hn(Sn, Sn)∆−→ Hn−1(Sn)

j∗−→ Hn−1(Sn,Λ)(i−1)∗−→ Hn−1(Tn−1, Tn−1),

(i−1)∗j∗∆([(a0, a1, · · · , an)]) = (i−1)∗j∗([∂(a0, a1, · · · , an)]) = [(a1, · · · , an)].

由归纳假设 [(a1, · · · , an)]是 Hn−1(Tn−1, Tn−1) ∼= Hn−1(Sn−1, Sn−1)的生成元，

所以 [(a0, a1, · · · , an)]是 Hn(Sn, Sn)的生成元.

这里我们看一下空间对 (X,A) 的同调序列的连接同态 ∆ : Hq(X,A) →Hq−1(A)的具体算法.

设相对闭链 z ∈ Zq(X,A) 是同调类 [z] ∈ Hq(X,A) 的一个代表，则 z ∈Sq(X,A) ⊂ Sq(X), 作为相对闭链，∂X(z) ∈ Sq−1(A).

由于 ∂A∂X(z) = ∂X∂X(z) = 0, 得 ∂Xz ∈ Zq−1(A), 因此 ∆([z]) = [∂Xz] ∈Hq−1(A).

流形的定向是一个整体性质，每一点的定向应该是有联系的，我们要看如

何整体定义流形 X 的定向. 在下述意义下，可以得到一点的一个邻域内的匹配

定向.


定定定理理理 15.1.4 (拓展引理) 给定 αx ∈ Hn(X,X − x), 则存在 x的一个开邻域 U

及 α ∈ Hn(X,X − U), 使得 αx = jUx (α), 这里

jUx : Hn(X,X − U)→ Hn(X,X − x)

是由包含映射诱导的标准同态.

证明：取 z 是代表 αx 的相对闭链，则 ∂z 的支集 |∂z|是 X 中含于 X − x中的紧致集，因此 U = X − |∂z|是 x的一个开邻域，取 α ∈ Hn(X,X − U)是相对于 X − U 的 z的同调类，则 αx = jUx (α). 2

这个定理告诉我们，对 x 邻近的点 y ∈ U , 我们可以选择 αy = jUy (α) ∈Hn(X,X − y)来决定 X 在点 y 处的一个定向. 这样将 X 在 U 内每点处的定

向由 α联系起来. 这里的 α称为 αx在 U 中的一个拓展.

定定定理理理 15.1.5 (局部常值引理) x的每个邻域W 包含 x的一个邻域 U , 使得对每

个 y ∈ U , jUy : Hn(X,X −U)→ Hn(X,X −y)是一个同构(从而 αx在 U 中有

唯一拓展).

证明：设 V 是W 内 x的一个坐标邻域， V 同胚于 Dn, U ⊂ V 对应于 Dn中的

一个半径小于 1的开球体，则对任意 y ∈ U 有交换图

Hn(X,X − U)切除∼= Hn(V, V − U)

∆∼= Hn−1(V − U)

jUy

y y yHn(X,X − y)

切除∼= Hn(V, V − y)∆∼=Hn−1(V − y)

左边的水平同构是切除掉X − V 后得到的同构，右边的连接同态是同构是由于V 可缩. 因为 U 也是可缩的，包含映射 V − U → V − y是同伦等价，右边的箭头是同构，所以 jUy 是一个同构. 2

定定定理理理 15.1.6 (凝聚定理) 如果 αx 生成 Hn(X,X − x), 则可选取 U 和 α ∈Hn(X,X − U)使得对任意 y ∈ U , αy = jUy (α)生成 Hn(X,X − y).

定定定义义义 15.1.4 给定子集 U ⊂ X 及元素 α ∈ Hn(X,X − U), 若对任意 y ∈U，jUy (α)生成 Hn(X,X − y), 则称 α为 X 上沿 U 的局部定向.

下面我们来定义 X 的整体定向.

15.1 流形的定向 · 293 ·

定定定义义义 15.1.5 假设已经给出

(1) Ui是 X 的一个开覆盖，

(2) 对每个 i, 有一个 X 沿 Ui的局部定向 αi ∈ Hn(X,X − Ui),(3) 对任意 x ∈ Ui ∩ Uj，有

jUix (αi) = jUj

x (αj),

则称 (Ui, αi)是 X 的一个定向系，

(4) 每一点 x处有一个局部定向由 αx = jUix (αi)明确定义，

(5) 对另一个定向系 (Vk, βk), 如果 αx = βx 对任意 x ∈ X 成立，则称它们确定同一个定向.

X 的一个整体定向是上述定向系的一个等价类.

如果存在一个定向系，则称 X 是可定向的.

定定定理理理 15.1.7 可定向流形 X 的开子流形 Y 也是可定向的，流形 X 是可定向的

充分必要条件是它的每个连通分支是可定向的.

证明：设 (Ui, αi)是X 的一个定向系，对任意 x ∈ Y , 设 βx ∈ Hn(Y, Y − x)在切除同构(切除 X − Y )

Hn(Y, Y − x) ∼= Hn(X,X − x)

下与 αx对应.

由局部常值引理(定理 15.1.5), 存在 x的一个开邻域 Vx 使得对某个 i, Vx ⊂Y ∩ Ui, 并且 βx 可唯一拓展成 Y 沿 Vx 的局部定向 βx. 取 Vx 足够小, 使得

X − Y ⊂ Int(X − Vx), 因此对任意 y ∈ Vx, 交换图

Hn(X,X − Ui) −−−→ Hn(X,X − Vx) ∼= Hn(Y, Y − Vx)y y yHn(X,X − Ui) −−−→ Hn(X,X − y)∼=Hn(Y, Y − y)

说明，Y 在 y 处由 βx 导出的局部定向等于 βy, 实际上，它们都是由 αi ∈Hn(X,X − Ui)诱导的. 这样 (Vx, βx)是 Y 的一个定向系.

由于流形的连通分支是开集，我们就得到第二个结论. 2

定定定理理理 15.1.8 设 X 连通，则在一点处一致的两个定向相同.

证明：设 A是 X 中两定向一致的点的集合，由局部常值引理(定理 15.1.5), A

与 X − A都是开集，所以由 X 的连通性知 A = X. 2


定定定理理理 15.1.9 每个连通可定向流形仅有两个不同的定向.

例 15.1.2 对 X = Sn及任意 x ∈ X, 由于 Sn − x是可缩的，我们有正合列

0 = Hn(Sn − x) −→ Hn(Sn) −→ Hn(Sn, Sn − x) −→ Hn−1(Sn − x) = 0.

即 Hn(Sn) −→ Hn(Sn,Sn − x)是同构.

取 X = Sn 单独一个集合构成 X 的一个开覆盖，Hn(Sn)的生成元为 α, 则

可以看出 Sn是可定向的.

例 15.1.3 X = Rn可以看成 Sn去掉一点，即 Rn是 Sn的一个开子流形，由定理 15.1.7知，X = Rn是可定向的.

定定定理理理 15.1.10 设 X 是不可定向的连通流形，则存在一个二层连通覆盖空间

p : E → X 使得 E 可定向.

证明：定义

E = (x, αx)| x ∈ X,αx是 Hn(X,X − x)的一个生成元,

p(x, αx) = x.

设 U 是 X 的一个开集，αU 是 X 的沿 U 的局部定向. 对 (U, αU)定义 E 的子集

⟨U, αU⟩ = (x, αx)| x ∈ U, αx = jUx (αU).

下面证明 B = ⟨U, αU⟩是 E的一个拓扑基，即 B的两个集合的交集是 B的元

素的并.

对相交的 ⟨U, αU⟩, ⟨U ′, αU ′⟩, 任意 (x, αx) ∈ ⟨U, αU⟩ ∩ ⟨U ′, αU ′⟩, 由局部常值引理(定理 15.1.5), 存在 x的一个开邻域 U ′′ ⊂ U ∩U ′, 使得 αx在 U ′′上有唯一的拓

展 αU ′′ . 因此

jUU ′′(αU) = αU ′′ = jU′

U ′′(αU ′).

所以

⟨U ′′, αU ′′⟩ ⊂ ⟨U, αU⟩ ∩ ⟨U ′, αU ′⟩.

即 B = ⟨U, αU⟩是 E 的一个拓扑基.

在这个拓扑下，p将 ⟨U, αU⟩同胚映射到 U 上，且

p−1(U) = ⟨U, αU⟩ ∩ ⟨U,−αU⟩,

即 E 是 X 的一个二层覆盖.

15.1 流形的定向 · 295 ·

对每一点 x ∈ X, 及一个可缩开邻域 U , 再取一个大一点的可缩开邻域 V ,

U ⊂ V , 使得 αV 存在，令 αU = jVU (αV ), 同构

Hn(E,E − ⟨U, αU⟩)切除∼= Hn(⟨V, αV ⟩, ⟨V, αV ⟩ − ⟨U, αU⟩)∆∼= Hn−1(⟨V, αV ⟩ − ⟨U, αU⟩)∼= Hn−1(V − U).

使 E 获得沿 ⟨V, αV ⟩的一个局部定向，这说明 E 可定向. 上式的最后一个等价

关系是由于 p : ⟨V, αV ⟩ − ⟨U, αU⟩ → V − U 是一个同胚.

如果 E不连通，则对它的每一个连通分支 C, p|C : C → X 是一个覆盖空间.

由 E 是 X 的二层覆盖，X 连通知 p|C 是一个同胚，因此 C 不可定向，这与可

定向流形的每个连通分支是可定向的结论矛盾，所以 E 连通. 2

推推推论论论 15.1.11 任意单连通流形可定向.

对 n维可定向流形M , 我们总希望找到一个整体的同调类 α ∈ Hn(M), 使得

对任意 x ∈M , 有

αx = jMx (α).

当M 是非紧致流形时，这不大可能，例如 Hn(Rn) = 0, 我们用一个逼近序列

来实现这个目的.

定定定理理理 15.1.12 设M是一个 n维可定向流形，对紧致集合K ⊂M , (a)对 i > n,

Hi(M,M −K) = 0. (b) 若 α ∈ Hn(M,M −K), 并且对任意 x ∈ K, jKx (α) = 0,

则 α = 0.

证明：我们从简单到复杂分步证明.

1. M = Rn, K 是 Rn的一个紧致凸集. 选择一个大的球体 D(r) ⊂ Rn, 使得

K ⊂ IntD(r). 考察交换图

Hi(D(r),Sn(r))id−−−→ Hi(D(r),Sn(r))y y

Hi(M,M −K)jKx−−−→ Hi(M,M − x).

垂直箭头是由切除和同伦等价诱导的同构，所以 jKx 也是同构. 由例 14.3.2知，

当 i = n, Hi(D(r), Sn(r)) = 0. 因此结论成立.


2. K = K1 ∪ K2, K, K1, K2 是 M 的紧致子集，并且定理对 K1, K2 和

K1 ∩K2都成立. 对任意 x ∈ K1, 考察由包含映射诱导的交换图

Hn(M,M −K)jKK1−−−→ Hn(M,M −K1)yjKx yjK1

x

Hn(M,M − x) id−−−→ Hn(M,M − x),

得到 jK1x (jKK1

(α)) = jKx (α) = 0. 已知定理对 K1 成立，我们有 jKK1(α) = 0, 同理

jKK2(α) = 0.

由于 (M,M −K1,M −K2)是一个相对Mayer-Vietoris三元组，因此有下面

的正合列

−→ Hi+1(M,M −K1 ∩K2) −→ Hi(M,M −K)

jKK1⊕jKK2−→ Hi(M,M −K1)⊕Hn(M,M −K1) −→ .

当 i > n时, 由于 Hi+1(M,M −K1 ∩K2) = 0, Hi(M,M −K1) = 0, Hi(M,M −K2) = 0,我们得到Hi(M,M −K) = 0. 因此当 i = n时，jKK1

⊕ jKK2: Hn(M,M −

K)→ Hn(M,M−K1)⊕Hn(M,M−K1)是一个单射. 所以由 (jKK1(α), jKK2

(α)) = 0

得 α = 0. 即定理对K 成立.

3. M = Rn, K = K1 ∪K2 ∪ · · · ∪Kr, 其中每个 Ki 是 Rn 的一个紧致凸集.

这种情况可以用 1，2和归纳法证明.

4. M = Rn, K 是 Rn 的一个紧致集. 对每个 αi ∈ Hi(M,M − K), ∂αi ∈Si−1(M − K). 设 ∂αi =

∑mjϕj, 这是一个有限和，集合 K1 = ∪jϕj(σi−1) ⊂

M −K 是一个紧致集, 因此是一个闭集, N =M −K1 ⊃ K 是一个开集. 所以存

在 α′i ∈ Hn(M,M −N), 使得 jNK (α

′i) = αi.

由于K是紧致的，我们可以找到有限个闭球 B1, B2, · · · , Br覆盖K, 并且

Bj ⊂ N , K ∩Bj = ∅. 设 B = ∪jBj, 我们考察交换图

Hi(Rn,Rn −N)jNB−−−→ Hi(Rn,Rn −B)yjNK yjBK

Hi(Rn,Rn −K)id−−−→ Hi(Rn,Rn −K).

当 i > n时, 由 3知，Hi(Rn,Rn−B) = 0. 因此，αi = jNK (α′i) = jBK(j

NB (α

′i)) = 0,

即Hi(Rn,Rn−K) = 0. 记 α′′ = jNB (α′) ∈ Hn(Rn,Rn−B). 对任意 y ∈ B = ∪jBj,

15.1 流形的定向 · 297 ·

不妨设 y ∈ Bi, 选择一个点 x ∈ Bi ∩K, 考虑下面的交换图

Hn(Rn,Rn − y) id−−−→ Hn(Rn,Rn − y)xjBy xjBiy

Hn(Rn,Rn −B)jBBi−−−→ Hn(Rn,Rn −Bi)yjBK yjBi

x

Hn(Rn,Rn −K)jKx−−−→ Hn(Rn,Rn − x).

由 1的证明，jBix , j

Biy 都是同构. 下半交换图得到 0 = jKx (α) = jKx (jBK(α

′′)) =

jBix (jBBi

(α′′))，所以 jBBi(α′′) = 0, 因此 jBy (α

′′) = jBiy (jBBi

(α′′)) = 0. 由 3得 α′′ = 0,

因此 α = jNK (α′) = jBK(j

NB (α

′)) = jBK(α′′) = 0.

5 M 是流形，K 是同胚于 Rn的开集 U 内的一个紧致集. 切除M − U 得

Hi(M,M −K) ∼= Hi(U,U −K).

用情形 4的结论就得到结果.

6 K = K1 ∪K2 ∪ · · · ∪Kr, Ki是情形 5中的紧致集. 用情形 2的方法就可以

得到结果. 2

定定定理理理 15.1.13 设M 是一个 n维可定向流形，则对任意紧致集合K ⊂M , 存在

唯一的同调类 αK ∈ Hn(M,M −K), 使得对任意 x ∈ K, 有 jKx (αK) = αx.

证明：唯一性由定理 15.1.12得到. 由定理 15.1.6，当K 包含在某点的一个小邻

域 U 内时，存在 αK ∈ Hn(M,M −K), 使得对任意 x ∈ K, 有 jKx (αK) = αx.

设 K = K1 ∪ K2, 并且存在相应的 αK1 和 αK2 满足定理要求. 这时 M −K1,M −K2是一个Mayer-Vietoris对，我们有正合列

0 = Hn+1(M,M −K1 ∩K2) −→ Hn(M,M −K)

φ−→ Hn(M,M −K1)⊕Hn(M,M −K1)ψ−→ Hn(M,M −K1 ∩K2).

其中对 u ∈ Hn(M,M −K), v1 ∈ Hn(M,M −K1)和 v2 ∈ Hn(M,M −K2)有

φ(u) = (jKK1(u), jKK2

(u)),

ψ(v1, v2) = jK1K1∩K2

(v1)− jK2K1∩K2

(v2).

由 αK1∩K2 的唯一性知

jK1K1∩K2

(αK1) = αK1∩K2 = jK2K1∩K2

(αK2),


因此

ψ(αK1 , αK2) = 0.

由Hn(M,M−K1)⊕Hn(M,M−K1)处的正合性，存在唯一的 αK ∈ Hn(M,M−K)满足

φ(αK) = (αK1 , αK2).

由于 φ是由包含映射诱导的同态，从 φ的定义式有

jKK1(αK) = αK1 , jKK2

(αK) = αK2 .

所以，当 x ∈ K 时，不妨设 x ∈ K1, 有

jKx (αK) = jK1x jKK1

(αK) = jK1x (αK1) = αx.

对任意紧致集K, 设 x ∈ K, 取开小邻域 Ux同胚于单位开球 IntDn, Vx ⊂ Ux同胚于半径为 1

2的开邻域. 记Kx = K ∩ Vx是 Ux的紧集，对于Kx, 有定理中要

求的 αKx ∈ Hn(M,M −Kx).

由于 Vx是 K 的一个开覆盖，存在有限个 Vx 也覆盖 K, 对应的紧致集记

为K1, K2, · · · , Kr，并且相应的同调类 αKi. 这时我们有K = K1∪K2∪· · ·∪Kr.

用数学归纳法按照前面的方法证明 αK 的存在性. 2

这个定理中的同调类 αK ∈ Hn(M,M −K)称为流形M 在紧致集K 上的基

本类.

当M 是紧致流形时，这个定理保证存在唯一的整体同调类 α ∈ Hn(M), 使

得对任意 x ∈M 有 jx(α) = αx，jx : Hn(M)→ Hn(M,M − x).这里的同调类 α称为流形M 的基本类.

推推推论论论 15.1.14 如果 n 维紧致流形 M 是可定向的，则存在 α ∈ Hn(M), 使得

αx = jx(α)给出M 的一个定向.

15.2 奇奇奇异异异上上上同同同调调调

我们先复习对偶空间：设 V 是一个 n维线性空间，V 上的线性函数全体 V ∗

称为 V 的对偶空间.

数学中有很多对偶现象，一般由一个双线性函数决定.

例 15.2.1 Stokes公式 ∫D

dω =

∫∂D

ω.

15.2 奇异上同调 · 299 ·

这可以解释为微分形式 ω与积分区域D相对偶，外微分算子 d与边界算子 ∂互

相对偶.

定定定义义义 15.2.1 设 A,B 是两个交换群，

Hom(A,B) = 同态 ϕ : A→ B

表示从 A到 B的全体同态组成的集合.

两个同态 ϕ, ψ : A→ B的和 ϕ+ ψ : A→ B 定义为

(ϕ+ ψ)(a) = ϕ(a) + ψ(a),∀a ∈ A.

这样 Hom(A,B)成为一个交换群，称为从 A到 B 的同态群.

在乘积空间 Hom(A,B)× A上定义一个双线性映射

⟨ · , · ⟩ : Hom(A,B)× A→ B,

(ϕ, a) 7→ ⟨ϕ, a⟩ = ϕ(a).

称为 Kronecker积.

设 f : A→ A′是同态，定义其对偶同态

f∗ : Hom(A′, B)→ Hom(A,B),

满足对任意 ϕ′ ∈ Hom(A′, B), a ∈ A, 有 ⟨f ∗(ϕ′), a⟩ = ⟨ϕ′, f(a)⟩.我们将 B取成整数集 Z.

定定定义义义 15.2.2 交换群和同态序列

· · · ←− Cq+2 δq+1

←− Cq+1 δq←− Cq δq−1

←− Cq−1 ←− · · · ,

若满足 δq+1 δq = 0, 则称

C∗ = Cq, δq是一个上链复形，Cq 为 q维上链群，

δq : Cq → Cq+1为上边缘算子，

Zq(C∗) = ker δq 为 q维上闭链群，

Bq(C∗) = Im(δq−1)为 q维上边缘链群，

Hq(C∗) = Zq(C∗)/Bq(C∗)为 C∗的 q维上同调群.


定定定义义义 15.2.3 X 的 q-维奇异链群 Sq(X)上的同态群

Sq(X) = Hom(Sq(X),Z)

称为 X 的 q-维奇异上链群.

用边缘算子 ∂ : Sq(X)→ Sq−1(X)定义上边缘算子 δ : Sq(X)→ Sq+1(X), 具

体是对任意 cq ∈ Sq(X), cq+1 ∈ Sq+1(X), 满足 ⟨δcq, cq+1⟩ = ⟨cq, ∂cq+1⟩.由于对任意 cq ∈ Sq(X), cq+2 ∈ Sq+2(X),

⟨δ δcq, cq+2⟩ = ⟨δcq, ∂cq+2⟩ = ⟨cq, ∂ ∂cq+2⟩ = 0.

所以 δ δ = 0.

我们可以定义奇异上闭链群

Zq(X) = ker(δ : Sq(X)→ Sq+1(X)).

奇异上边缘群

Bq(X) = Im(δ : Sq−1(X)→ Sq(X)).

硬性规定 B0(X) = 0, 由于 δ δ = 0, 我们有 Bq(X) ⊂ Zq(X), 定义 q维奇异上

同调群

Hq(X) = Zq(X)/Bq(X).

对映射 f : X → Y , 我们有链映射 Sq(f) : Sq(X) → Sq(Y ), 我们也可以定义

奇异上链群之间的映射 Sq(f) : Sq(Y )→ Sq(X)如下：

对任意 q维奇异链 z ∈ Sq(X)和 q维奇异上链 c ∈ Sq(Y ), 由关系式

⟨Sq(f)(c), z⟩ = ⟨c, Sq(f)(z)⟩

决定了映射 Sq(f).

由于对任意 z ∈ Sq+1(X)，c ∈ Sq(Y )有

⟨δSq(f)(c), z⟩ = ⟨Sq(f)(c), ∂z⟩ = ⟨c, Sq(f)(∂z)⟩= ⟨c, ∂Sq+1(f)(z)⟩ = ⟨δc, Sq+1(f)(z)⟩= ⟨Sq+1(f)(δc), z⟩.

即 δ Sq(f) = Sq+1(f) δ, 所以 Sq(f)是一个链映射. 容易证明此链映射满足

Sq(id) = id, Sq(f g) = Sq(g) Sq(f).

15.2 奇异上同调 · 301 ·

因此映射 f 诱导了上同调群之间的同态

Hq(f) : Hq(Y )→ Hq(X),

[z] 7→ [Sq(f)(z)].

满足

Hq(id) = id, Hq(f g) = Hq(g)Hq(f).

同样对空间对 (X,A), 定义

Sq(X,A) = Hom(Sq(X,A),Z).

用边缘算子 ∂ : Sq(X,A) → Sq−1(X,A) 定义上边缘算子 δ : Sq(X,A) →Sq+1(X,A). 所以我们可以定义相对奇异上同调群 Hq(X,A).

设 C = Cn, δ是一个上链复形，定义 Dn = C−n, ∂ = δ : Dn → Dn−1, 则

Dn, ∂是一个链复形，所以上链复形有与链复形相似的性质.

定定定理理理 15.2.1 设 A = An, B = Bn, C = Cn是上链复形，并且

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

是一个短正合列，则有长正合列

· · · −→ Hn(A)f∗−→ Hn(B)

g∗−→ Hn(C)∆−→ Hn+1(A) −→ · · · .

但是一般情况下，从链复形的短正合列推不出相应的上链复形的短正合

列，我们仅有上链复形的半正合性.

定定定理理理 15.2.2 设 A,B,C,G是交换群，如果

Af−→ B

g−→ C −→ 0

是一个正合列，则

Hom(A,G)f∗←− Hom(B,G)

g∗←− Hom(C,G)←− 0.

是正合列.

这个定理的证明留作练习. 这个序列的左侧不一定正合，即 f∗ : Hom(B,G)

→ Hom(A,G)不一定是满射. 这样就不大好用定理 15.2.1得到上同调群的长正

合列来求上同调群. 下面我们用例子来说明.


例 15.2.2 在正合序列

0 −→ Zm−→ Z −→ Zm −→ 0

上取 Hom, 得到序列

0←− Hom(Z,G)m∗←− Hom(Z,G)←− Hom(Zm, G)←− 0.

Hom(Z,G)中的元素 α是由 α(1) ∈ G唯一决定，所以 Hom(Z,G) ∼= G. 而

m∗(α)(1) = α(m · 1) = mα(1),

即m∗(α) = mα. 因此，上面的序列可以写成

0←− Gm←− G←− Hom(Zm, G)←− 0.

定理 15.2.2告诉我们这个序列除左侧外是正合的，所以

Hom(Zm, G) = ker(Gm−→ G) = g ∈ G|mg = 0.

当mG = G时，上述序列的左侧就不是正合的. 这就是说 Hom并不保持序列的

正合性.

要想扩充到短正合列，一般需要加条件.

定定定义义义 15.2.4 对交换群和同态的短正合列

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0,

若 f(A)是 B 的一个直和因子(direct summand), 即存在 B 的一个子群 D 使得

B = f(A)⊕D, 则称上述短正合列是裂正合的.

裂正合性有下面的等价条件.

定定定理理理 15.2.3 设 0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0是正合列，则下列条件等价

(1) 0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0是裂正合的；

(2) 存在同态 f : B → A使得 f f = idA;

(3) 存在同态 g : C → B使得 g g = idC.

证明：(1) ⇒ (2)

由于 B = f(A) ⊕D，对任意 b ∈ B, 存在唯一分解 b = f(a) + d. 由 f 是单

射知 a是唯一的. 定义 f(b) = a, 则 f f(a) = a.

15.2 奇异上同调 · 303 ·

设 b1, b2是 B中任意两点，作分解

b1 = f(a1) + d1, b2 = f(a2) + d2.

则

b1 + b2 = f(a1) + f(a2) + d1 + d2 = f(a1 + a2) + d1 + d2.

因此

f(b1 + b2) = a1 + a2 = f(b1) + f(b2),

即 f : B → A是一个同态.

(2) ⇒ (3)

对任意 c ∈ C, 由于 g 是满射，存在 b ∈ B, 使得 g(b) = c. 定义 g(c) =

b− f f(b), 则

g g(c) = g(b)− g f f(b) = g(b) = c = idC(c).

设另有 b1 ∈ B, 使得 g(b1) = c, 则 g(b− b1) = g(b)− g(b1) = c− c = 0. 由 B

处的正合性，存在 a ∈ A, 使得 f(a) = b− b1. 由于

b− f f(b) =b1 + f(a)− f f(b1 + f(a))

=b1 + f(a)− f f(b1)− f f f(a)=b1 + f(a)− f f(b1)− f(a)=b1 − f f(b1).

所以 g(c)的定义与 b的选择无关.

对 c1 ∈ C, 同理存在 b1 ∈ B, 使得 g(b1) = c1, 则 g(c1) = b1 − f f(b1). 这时g(b+ b1) = g(b) + g(b1) = c+ c1, 因此

g(c+ c1) = b+ b1 − f f(b+ b1) = b− f f(b) + b1 − f f(b1) = g(c) + g(c1).

所以 g : C → B是一个同态.

(3) ⇒ (1)

取 D = g(C), 对任意 b ∈ B, 作分解 b = b− g g(b) + g g(b), 则

g(b) = g(b− g g(b)) + g g g(b) = g(b− g g(b)) + g(b),

所以 g(b − g g(b)) = 0, 存在唯一的 a ∈ A, 使得 b − g g(b) = f(a), 即

b = f(a) + g g(b), 因此 B = f(A) +D.

下面证明这是个直和，即证明 f(A) ∩D = 0.


设 b ∈ f(A) ∩ D, 则存在 a ∈ A 及 c ∈ C, 使得 b = f(a) = g(c), 由

g(b) = g f(a) = 0及 g(b) = g g(c) = c得 b = g(c) = 0, 所以 B = f(A) ⊕D,

即对应的短正合列是裂正合的. 2

定定定理理理 15.2.4 如果交换群和同态的短正合列

0 −→ Cf−→ D

g−→ E −→ 0

中的 E 是自由交换群，则这个序列是裂正合的.

证明：因为 E 是自由交换群，则 E = ⟨e1, e2, · · · ⟩. 由于g是满射，存在 di ∈ D,

使得 g(di) = ei. 定义 g(ei) = di, 再线性扩充得同态 g : E → D.

由 g g(ei) = g(di) = ei得 g g = idE, 由定理 15.2.3的等价条件知

0 −→ Cf−→ D

g−→ E −→ 0

是裂正合的. 2

定理 15.2.2的半正合性可加强到如下的裂正合性.

定定定理理理 15.2.5 设 A,B,C,G是交换群，如果

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

是裂正合的，则

0 −→ Hom(C,G)g∗−→ Hom(B,G)

f∗−→ Hom(A,G) −→ 0.

是裂正合的.

证明：在下面的证明中要用到定理 15.2.3中构造的同态 f : B → A和 g : C →B.

(1) 设 ϕ ∈ Hom(C,G)满足 g∗(ϕ) = ϕ g = 0, 对任意 c ∈ C, g(c) ∈ B, 则

ϕ(c) = ϕ g(g(c)) = 0, 即 ϕ = 0, 所以 g∗是单射.

(2) 对任意 φ ∈ Hom(A,G), 取 ψ = φ f ∈ Hom(B,G). 则 f ∗(ψ) = ψ f =

φ f f = φ. 所以 f ∗是满射.

(3) f ∗ g∗ = (g f)∗ = 0∗ = 0, 所以 Im(g∗) ⊂ ker(f∗).

对任意 φ ∈ ker(f∗) ⊂ Hom(B,G), f ∗(φ) = φ f = 0. 取 ψ = φ g ∈Hom(C,G), 则 g∗(ψ) = φ g g ∈ Hom(B,G).

15.2 奇异上同调 · 305 ·

对任意 b ∈ B, g((g g)(b)) = g(b), 即 g g(b)− b ∈ ker(g), 所以存在 a ∈ A,使得 g g(b)− b = f(a).

g∗(ψ)(b) = φ g g(b) = φ(b+ f(a)) = φ(b).

即 φ = g∗(ψ) ∈ Im(g∗), 所以 Im(g∗) ⊃ ker(f ∗).

因此 Im(g∗) = ker(f ∗), 即在 Hom(B,G)处正合.

(4) 对任意 φ ∈ Hom(A,G), 同态 (f)∗ : Hom(A,G) → Hom(B,G) 满足

f∗ (f)∗(φ) = φ f f = φ. 由定理 15.2.3知

0 −→ Hom(C,G)g∗−→ Hom(B,G)

f∗−→ Hom(A,G) −→ 0.

是裂正合的. 2

用这两个定理的结论，我们可以得到类似于推论 14.4.5的长正合上同调序

列.

定定定理理理 15.2.6 对空间对 (X,A), 我们有长正合上同调序列

0 −→H0(X,A) −→ H0(X) −→ H0(A) −→ · · ·

−→Hq(X)Hq(i)−→ Hq(A)

∆−→ Hq+1(X,A)Hq+1(p)−→ Hq+1(X) −→ · · · .

证明：由于 Sq(X,A)是 Sq(X)中支集(像)不包含在 A内的所有奇异 q-单形生成

的子群，S∗(X,A)是自由链复形，因此

Sq(X) = Sq(A)⊕ Sq(X,A),

并且序列

0 −→ Sq(A) −→ Sq(X) −→ Sq(X,A) −→ 0

是裂正合的. 由定理 15.2.5知

0 −→ Sq(X,A) −→ Sq(X) −→ Sq(A) −→ 0

也是裂正合的. 因此由定理 15.2.1, 我们有长正合列

0 −→H0(X,A) −→ H0(X) −→ H0(A) −→ · · ·

−→Hq(X)Hq(i)−→ Hq(A)

∆−→ Hq+1(X,A)Hq+1(p)−→ Hq+1(X) −→ · · · .

2

我们希望用同调群的结果来计算同一空间的上同调群，在特殊情况下，可

以用下面的结果来求上同调群.


定义一个双线性配对(Kronecker积)

⟨ · , · ⟩ : Hq(X,A)×Hq(X,A)→ Z,([zq] , [zq]) 7→ ⟨zq, zq⟩ = zq(zq).

先证明这个定义的合理性.

⟨zq + δcq−1, zq + ∂cq+1⟩ = ⟨zq, zq⟩+ ⟨zq, ∂cq+1⟩+ ⟨δcq−1, zq⟩+ ⟨δcq−1, ∂cq+1⟩= ⟨zq, zq⟩+ ⟨δzq, cq+1⟩+ ⟨cq−1, ∂zq⟩+ ⟨cq−1, ∂∂cq+1⟩= ⟨zq, zq⟩.

这说明 ⟨zq, zq⟩与 [zq], [zq]中选择的代表无关. 因此可以定义一个标准同态

α : Hq(X,A)→ Hq(X,A)∗ = Hom(Hq(X,A),Z),

α([zq])([zq]) = ⟨[zq], [zq]⟩ = ⟨zq, zq⟩.

定定定理理理 15.2.7 (1) α是满同态；

(2) 存在同态 β : Hom(Hq(X,A),Z)→ Hq(X,A), 使得

α β = id : Hom(Hq(X,A),Z)→ Hom(Hq(X,A),Z);

(3) 若 Hq−1(X,A)是自由的，则 α是同构.

证明：考虑正合列

0 −→ Zq(X,A)i−→ Sq(X,A)

∂−→ Bq−1(X,A) −→ 0.

由于自由群的子群是自由群，这三个群都是自由群，因此，此正合列是裂正合

的，即存在同态 h : Bq−1(X,A)→ Sq(X,A), 使得 ∂ h = id, 并且

Sq(X,A) = h(Bq−1(X,A))⊕ Zq(X,A).

由定理 15.2.5, 有对偶裂正合列

0 −→ Hom(Bq−1(X,A),Z) −→ Sq(X,A) −→ Hom(Zq(X,A),Z) −→ 0.

(1) 设 ϕ ∈ Hq(X,A)∗ = Hom(Hq(X,A),Z), ϕ : Zq(X,A)/Bq(X,A) → Z决

定一个同态: ϕ′ : Zq(X,A)→ Z, 满足 ϕ′(zq) = ⟨ϕ, [zq]⟩. 它把 Bq(X,A)映为 0.

由上述对偶裂正合列，ϕ′与 i : Sq(X,A)→ Zq(X,A)复合得到 ϕ′′ = ϕ′ i ∈Hom(Sq(X,A),Z) = Sq(X,A).

15.2 奇异上同调 · 307 ·

对任意 cq+1 ∈ Sq+1(X,A),

⟨δϕ′′, cq+1⟩ = ⟨ϕ′′, ∂cq+1⟩ = ϕ′ i(∂cq+1) = ϕ′ i i(∂cq+1) = ϕ′(∂cq+1) = 0.

所以 δϕ′′ = 0, 即 ϕ′′ ∈ Zq(X,A)是一个闭上链. 因此

α([ϕ′′])([zq]) = ⟨[ϕ′′], [zq]⟩ = ⟨ϕ′′, zq⟩ = ⟨ϕ′, zq⟩ = ⟨ϕ, [zq]⟩ = ϕ([zq]).

即 α([ϕ′′]) = ϕ, α是满同态.

(2) 定义: β(ϕ) = [ϕ′′], 由(1)中的做法可以看出

β(ϕ1 + ϕ2) = [(ϕ1 + ϕ2)′′] = [ϕ′′

1] + [ϕ′′2] = β(ϕ1) + β(ϕ2).

即 β : Hom(Hq(X,A),Z)→ Hq(X,A)是一个同态，且 α β(ϕ) = ϕ.

(3) 设 zq ∈ Zq(X,A)使得 α([zq]) = 0, 则对所有 zq ∈ Zq(X,A)有

⟨zq, zq⟩ = ⟨[zq], [zq]⟩ = α([zq])([zq]) = 0.

这个 zq 可以诱导一个同态 ψ : Bq−1(X,A)→ Z满足

⟨ψ, ∂cq⟩ = ⟨zq, cq⟩, ∀cq ∈ Sq(X,A).

现在将 ψ扩展成同态 ψ : Sq−1(X,A)→ Z. 考虑正合列

0 −→ Bq−1(X,A)j−→ Zq−1(X,A)

p−→ Hq−1(X,A) −→ 0.

由于Hq−1(X,A)是自由的，此正合列是裂正合的，即Bq−1(X,A)是Zq−1(X,A)

的一个直和因子，存在一个同态 j : Zq−1(X,A) → Bq−1(X,A), 使得 j j =

idBq−1(X,A).

令 ψ′ = ψ j : Zq−1(X,A)→ Z, 用 (1)中的方法将 ψ′扩充成

ψ = ψ′′ = ψ′ i ∈ Hom(Sq−1(X,A),Z).

而从

⟨δψ, cq⟩ = ⟨ψ, ∂cq⟩ = ψ j i(∂cq) = ψ j i i(∂cq)= ψ j(∂cq) = ψ j j(∂cq) = ψ(∂cq) = ⟨zq, cq⟩

得出 zq = δψ, 即 [zq] = 0, 所以 α是单射，因此 α是同构. 2

定定定理理理 15.2.8 奇异上同调具有性质：

(1) 反变函子：对映射 f : A→ B, g : B → C, 则Hq(g f) = Hq(f)Hq(g).


(2) 对映射 f : (X,A)→ (Y,B), 有交换图

Hq(B)∆−−−→ Hq+1(Y,B)

Hq(f)

y Hq+1(f)

yHq(A)

∆−−−→ Hq+1(X,A).

(3) 同伦不变性：若 f同伦≃ g, 则 Hq(f) = Hq(g).

(4) 切除性：若 U ⊂ IntA, 则 Hq(X,A)→ Hq(X − U,A− U)为同构.

(5) 对单点集 P ,

Hq(P ) =

Z, q = 0,

0, q > 0.

证明：(1), (2)的证明略.

(3) 由定理 14.2.4 的证明过程，存在链同伦 Dq : Sq(X) → Sq+1(Y ) 满足

Sq(f)− Sq(g) = ∂Dq +Dq−1∂.

定义映射 Dq+1 : Sq+1(Y )→ Sq(X), 对任意 cq+1 ∈ Sq+1(Y ), cq ∈ Sq(X)满足

⟨Dq+1cq+1, cq⟩ = ⟨cq+1, Dqcq⟩.

对任意 cq ∈ Sq(Y ), cq ∈ Sq(X),

⟨(Sq(f)− Sq(g))(cq), cq⟩ = ⟨Sq(f)(cq), cq⟩ − ⟨Sq(g)(cq), cq⟩= ⟨cq, Sq(f)(cq)⟩ − ⟨cq, Sq(g)(cq)⟩= ⟨cq, (Sq(f)− Sq(g))(cq)⟩= ⟨cq, (∂Dq +Dq−1∂)(cq)⟩= ⟨δcq, Dq(cq)⟩+ ⟨Dq(cq), ∂(cq)⟩= ⟨(Dq+1δ + δDq)(zq), cq⟩.

所以 Sq(f)− Sq(g) = Dq+1δ + δDq, 即有 Sq(f)(zq)− Sq(g)(zq) = δDq(zq).

因此 Hq(f) = Hq(g) : Hq(Y )→ Hq(X).

(4) 对 Sq(X − U,A − U) → Sq(X,A) 的链同伦等价，用 (3) 的方法构造

Sq(X,A)→ Sq(X − U,A− U)的上链同伦等价.

因此 Hq(X,A)→ Hq(X − U,A− U)是同构.

(5)

Hq(P ) =

Z, q = 0,

0, q > 0

15.2 奇异上同调 · 309 ·

是自由群，由定理 15.2.7(3)知 α : Hq(P ) → Hq(P )∗ = Hom(Hq(P ),Z)是同构.

所以，结论成立. 2

利用切除定理，类似于同调群的切除定理和 Mayer-Vietoris 定理的等价

性，我们可以证明相应上同调群的Mayer-Vietoris定理.

定定定理理理 15.2.9 设 X1, X2是拓扑空间 X 的一个 Mayer-Vietoris对，则有下面

的Mayer-Vietoris正合上同调序列

−→ Hq(X1∪X2) −→ Hq(X1)⊕Hq(X2) −→ Hq(X1∩X2) −→ Hq+1(X1∩X2) −→ .

例 15.2.3 计算 Hq(Sn, x0).解：先计算 Hq(Sn, x0).当 n = 0时，S0 = x0,−x0, 取 U = A = x0, 它是 S0 的既开又闭集，由

切除定理知

Hq(S0, x0) ∼= Hq(−x0, ∅) ∼= Hq(−x0) =

Z, q = 0,

0, q > 0.

当 n > 0时，考虑正合列

−→ Hq(x0) −→ Hq(Sn) −→ Hq(Sn, x0) −→ Hq−1(x0) −→ Hq−1(Sn) −→

当 q > 1时，由 Hq(x0) = 0, Hq−1(x0) = 0得 Hq(Sn)→ Hq(Sn, x0)是同构.

当 q = 1 时，由 H1(x0) = 0, H0(x0) → H0(Sn) 是同构得 H1(Sn) →H1(Sn, x0)是同构.

当 q = 0时，由定理 14.3.1知 H0(Sn, x0) = 0.

所以

Hq(Sn, x0) =

Z, q = n,

0, q = n.

是自由群，由定理 15.2.7(3)知 α : Hq(Sn, x0)→ Hom(Hq(Sn, x0),Z)是同构. 即

得

Hq(Sn, x0) =

Z, q = n,

0, q = n.

这种求解方法需要相应的同调群要满足定理 15.2.7的条件 (3). 因此对同调

群有挠子群的拓扑空间，这个方法就失效了. 我们简单引进导出函子和万有系

数定理来解决这个问题.


我们前面讨论的是拓扑空间上的整系数上同调群，下面讨论以一般交换群

G为系数的上同调群.

我们定义 X 的以 G为系数的 q维奇异上链群为

Sq(X,G) = Hom(Sq(X,Z), G),

X 的以 G为系数的 q维奇异上闭链群

Zq(X,G) = ker(δ : Sq(X,G)→ Sq+1(X,G)),

X 的以 G为系数的 q维奇异上边缘群

Bq(X,G) = Im(δ : Sq−1(X,G)→ Sq(X,G)),

X 的以 G为系数的 q维奇异上同调群

Hq(X,G) = Zq(X,G)/Bq(X,G).

同样可以定义空间对 (X,A)的以 G为系数的 q维奇异上同调群

Hq(X,A;G) = Zq(X,A;G)/Bq(X,A;G).

定定定义义义 15.2.5 设 A,G是交换群， F1, F2是自由交换群，并且有短正合列

0 −→ F1f−→ F2

g−→ A −→ 0.

由定理 15.2.2, 我们有交换群和同态的正合列

Hom(F1, G)f∗←− Hom(F2, G)

g∗←− Hom(A,G)←− 0.

我们称

Ext(A,G) = Hom(F1, G)/Imf∗

为正合列 0 −→ F1 −→ F2 −→ A −→ 0的导出函子.

从这个定义，我们得到一个正合列

0 −→ Hom(A,G)g∗−→ Hom(F2, G)

f∗−→ Hom(F1, G) −→ Ext(A,G) −→ 0.

对固定的交换群 A, 总可以找到自由交换群 F1, F2 及适当的同态使得 0 −→F1 −→ F2 −→ A −→ 0是一个正合列. 而且可以证明，在同构意义下，导出函

子 Ext(A,G)仅与 A,G有关.

当 A 也是自由交换群时，可以取 F1 = 0, F1 = A, f = 0, g = id, 从

Hom(F1, G) = 0得 Ext(A,G) = 0.

我们还可以证明下面的万有系数定理(证明较长，略).

15.3 上积与卡积 · 311 ·

定定定理理理 15.2.10 设 G是一个交换群，对拓扑空间 X 有正合列

0 −→ Ext(Hq−1(X,Z), G)β−→ Hq(X,G)

α−→ Hom(Hq(X,Z), G) −→ 0.

此正合列是裂正合的，而且还有

Hq(X,G) = Hom(Hq(X,Z), G)⊕ Ext(Hq−1(X,Z), G).

15.3 上上上积积积与与与卡卡卡积积积

上同调群上有一个称为上积的自然乘法，使得所有上同调群的直和成为一

个分次代数，这在以前介绍流形上的 De Rham上同调群时就已经碰到过. 那里

的外积就是我们要介绍的上积的一个特殊形式.

定定定义义义 15.3.1 设 σ : ∆n → X 是拓扑空间 X 中的一个 n 维奇异单形，对

0 ≤ p ≤ n,

pσ = σ (e0, · · · , ep) : ∆p → X 称为 σ的前 p维面.

σn−p = σ (ep, · · · , en) : ∆n−p → X 称为 σ的后 n− p维面.

对 α ∈ Sp(X), β ∈ Sq(X), 定义它们的上积 α ∪ β ∈ Sp+q(X)为：

对任意 p+ q维奇异单形 σ, 满足

⟨α ∪ β, σ⟩ = ⟨α, σ (e0, · · · , ep)⟩⟨β, σ (ep, · · · , ep+q)⟩ = ⟨α,p σ⟩⟨β, σq⟩.

线性扩充成上积 ∪ : Sp(X)× Sq(X)→ Sp+q(X).

定定定理理理 15.3.1 对 α ∈ Sp(X), β ∈ Sq(X), 上积的边缘公式是

δ(α ∪ β) = (δα) ∪ β + (−1)pα ∪ (δβ).

因而上链的上积诱导上同调群的上积.

Hp(X)×Hq(X)∪−→ Hp+q(X).


证明：对任意 (p+ q + 1)维奇异单形 σ : ∆p+q+1 → X,

⟨δ(α ∪ β), σ⟩ =⟨α ∪ β, ∂σ⟩

=

p+q+1∑i=0

(−1)i⟨α ∪ β, σ (e0, · · · , ei, · · · , ep+q+1)⟩

=

p+1∑i=0

(−1)i⟨α, σ (e0, · · · , ei, · · · , ep+1)⟩⟨β, σ (ep+1, · · · , ep+q+1)⟩

+

p+q+1∑i=p

(−1)i⟨α, σ (e0, · · · , ep)⟩⟨β, σ (ep, · · · , ei, · · · , ep+q+1)⟩

=⟨α, ∂p+1σ⟩⟨β, σq⟩+ (−1)p⟨α,p σ⟩⟨β, ∂σq+1⟩=⟨δα,p+1 σ⟩⟨β, σq⟩+ (−1)p⟨α,p σ⟩⟨δβ, σq+1⟩=⟨(δα) ∪ β + (−1)pα ∪ (δβ), σ⟩.

所以 δ(α ∪ β) = (δα) ∪ β + (−1)pα ∪ (δβ).

从上边缘公式可以看出，对任意 cp−1 ∈ Sp−1(X), zq ∈ Zq(X),

δcp−1 ∪ zq = δcp−1 ∪ zq + (−1)p−1cp−1 ∪ δzq = δ(cp−1 ∪ zq),

则上积有性质

Bp(X)× Zq(X)∪−→ Bp+q(X).

同样对任意 zp ∈ Zp(X), cq−1 ∈ Sq−1(X),

zp ∪ δcq−1 = (−1)p(δzp ∪ cq−1 + (−1)pzp ∪ δcq−1) = δ((−1)pzp ∪ cq−1),

得上积性质

Zp(X)×Bq(X)∪−→ Bp+q(X).

对任意 zp ∈ Zp(X), zq ∈ Zq(X),

δ(zp ∪ zq) = (δzp) ∪ zq + (−1)pzp ∪ (δzq) = 0,

得上积性质

Zp(X)× Zq(X)∪−→ Zp+q(X).

因此上链的上积诱导上同调群的上积

Hp(X)×Hq(X)∪−→ Hp+q(X).

即对任意 α ∈ Zp(X), β ∈ Zq(X)有 [α] ∪ [β] = [α ∪ β]. 2

15.3 上积与卡积 · 313 ·

定定定理理理 15.3.2 上链的上积具有性质：

(1) 结合律：对任意 α1 ∈ Sp(X), α2 ∈ Sq(X), α3 ∈ Sr(X)有

(α1 ∪ α2) ∪ α3 = α1 ∪ (α2 ∪ α3).

(2) 单位元：以 ε = εX ∈ S0(X)记 X 上每点取值为 1的 0维奇异上链，对

任意 α ∈ Sp(X)有

ε ∪ α = α ∪ ε = α.

(3) 自然性：设 f : X → Y , 对任意 β1 ∈ Sp(Y ), β2 ∈ Sq(Y )有

Sp+q(f)(β1 ∪ β2) = Sp(f)(β1) ∪ Sq(f)(β2),

并且 S0(f)(εY ) = εX .

证明：(1) 对任意 (p+ q + r)维奇异单形 σ : ∆p+q+r → X,

⟨(α1 ∪ α2) ∪ α3, σ⟩=⟨α1 ∪ α2, σ (e0, · · · , ep+q)⟩⟨α3, σ (ep+q, · · · , ep+q+r)⟩=⟨α1, σ (e0, · · · , ep)⟩⟨α2, σ (ep, · · · , ep+q)⟩⟨α3, σ (ep+q, · · · , ep+q+r)⟩=⟨α1, σ (e0, · · · , ep)⟩⟨α2 ∪ α3, σ (ep, · · · , ep+q+r)⟩=⟨α1 ∪ (α2 ∪ α3), σ⟩.

所以有结合律：

(α1 ∪ α2) ∪ α3 = α1 ∪ (α2 ∪ α3).

(2) 对任意 p维奇异单形 σ : ∆p → X,

⟨ε ∪ α, σ⟩ = ε(e0)⟨α, σ (e0, · · · , ep)⟩ = ⟨α, σ⟩,

⟨α ∪ ε, σ⟩ = ⟨α, σ (e0, · · · , ep)⟩ε(ep) = ⟨α, σ⟩.

因此 ε ∪ α = α ∪ ε = α，即 ε = εX 是单位元.

(3) 对任意 (p+ q)维奇异单形 σ : ∆p+q → X,

⟨Sp+q(f)(β1 ∪ β2), σ⟩ =⟨β1 ∪ β2, Sp+q(f)(σ)⟩=⟨β1, f σ (e0, · · · , ep)⟩⟨β2, f σ (ep, · · · , ep+q)⟩=⟨β1, Sp(f)(σ (e0, · · · , ep))⟩⟨β2, Sq(f)(σ (ep, · · · , ep+q))⟩=⟨Sp(f)(β1), σ (e0, · · · , ep)⟩⟨Sq(f)(β2), σ (ep, · · · , ep+q)⟩=⟨Sp(f)(β1) ∪ Sq(f)(β2), σ⟩.


所以

Sp+q(f)(β1 ∪ β2) = Sp(f)(β1) ∪ Sq(f)(β2).

对任意 0维奇异单形 σ : ∆0 → X, S0(f)(εY )(σ) = εY (f(σ)) = 1 = εX(σ), 即

有 S0(f)(εY ) = εX . 2

我们看一下 εX 在上同调群中的表现. 对任意 0维奇异单形 σ : ∆0 → X,

⟨δεX , σ⟩ = ⟨εX , ∂σ⟩ = ⟨εX , σ (e1)− σ (e0)⟩ = 1− 1 = 0.

因此 δεX = 0, 即 εX ∈ Z0(X), 而 B0(X) = 0, 所以 [εX ] 是 H0(X) 中的非零

元. 由于 εX 是 S∗(X) = ⊕q≥0Sq(X) 关于上积的单位元，[εX ] 也是 H∗(X) =

⊕q≥0Hq(X)关于上积的单位元.

所以H∗(X) = ⊕q≥0Hq(X)关于上同调群的加法和上积成为一个有单位元的

环，称为上同调环.

下面我们介绍上积的伴随运算-卡积.

定定定义义义 15.3.2 设 X 是一个拓扑空间，β ∈ Sq(X) 是 X 中的一个 q 维奇异上

链，σ是 X 中的一个 (p+ q)维奇异单形，它们的卡积 β ∩ σ ∈ Sp(X)定义为：

β ∩ σ = ⟨β, σ (ep, · · · , ep+q)⟩σ (e0, · · · , ep).

即 β ∩ σ = ⟨β, σq⟩pσ. 线性扩充成卡积 ∩ : Sq(X)× Sp+q(X)→ Sp(X).

定定定理理理 15.3.3 对 β ∈ Sq(X), σ : ∆p+q → X, 卡积的边缘公式是

∂(β ∩ σ) = (−1)p(δβ) ∩ σ + β ∩ (∂σ).

因而此卡积诱导出上下同调群的卡积.

Hq(X)×Hp+q(X)∩−→ Hp(X).

证明：

β ∩ (∂σ) =

p+q∑i=0

(−1)iβ ∩ σ (e0, · · · , ei, · · · , ep+q)

=

p∑i=0

(−1)i⟨β, σ (ep, · · · , ep+q)⟩σ (e0, · · · , ei · · · , ep)

+

p+q∑i=p−1

(−1)i⟨β, σ (ep−1, · · · , ei, · · · , ep+q)⟩σ (e0, · · · , ep−1)

=∂(⟨β, σq⟩pσ) + (−1)p−1⟨β, ∂σq⟩p−1σ

=∂(β ∩ σ) + (−1)p−1(δβ) ∩ σ.

15.3 上积与卡积 · 315 ·

所以 ∂(β ∩ σ) = (−1)p(δβ) ∩ σ + β ∩ (∂σ).

从上边缘公式可以看出，对任意 cq−1 ∈ Sq−1(X), zp+q ∈ Zp+q(X),

(δcq−1) ∩ zp+q = (−1)p(∂(cq−1 ∩ zp+q)− cq−1 ∩ (∂zp+q)) = ∂((−1)pcq−1 ∩ zp+q),

则卡积有性质

Bq(X)× Zp+q(X)∩−→ Bp(X).

同样对任意 zq ∈ Zq(X), cp+q+1 ∈ Sp+q+1(X),

zq ∩ (∂cp+q+1) = ∂(zq ∩ cp+q+1)− (−1)p(δzq) ∩ cp+q+1 = ∂(zq ∩ cp+q+1),

得卡积性质

Zq(X)×Bp+q(X)∩−→ Bp(X).

对任意 zq ∈ Zq(X), zp+q ∈ Zp+q(X),

∂(zq ∩ zp+q) = (−1)p(δzq) ∩ zp+q + zq ∩ (∂zp+q) = 0,

得卡积性质

Zq(X)× Zp+q(X)∩−→ Zp(X).

因此上下链的卡积诱导上下同调群的卡积

Hq(X)×Hp+q(X)∩−→ Hp(X).

即对任意 α ∈ Zq(X), z ∈ Zp+q(X)有 [α] ∩ [z] = [α ∩ z]. 2

与定理 15.3.2一样，我们可以证明卡积的性质.

定定定理理理 15.3.4 链的卡积具有性质：

(1) 结合律：对任意 α1 ∈ Sp(X), α2 ∈ Sq(X), c ∈ Sr(X), r ≥ p+ q有

(α1 ∪ α2) ∩ c = α1 ∩ (α2 ∩ c).

(2) 对偶性：对任意 α1 ∈ Sp(X), α2 ∈ Sq(X), c ∈ Sp+q(X)有

⟨α1 ∪ α2, c⟩ = ⟨α1, α2 ∩ c⟩.

(3) 单位元：上积的单位元也是卡积的单位元，即对任意 c ∈ Sp(X) 有

ε ∩ c = c.

(4) 自然性：设 f : X → Y , 对任意 β ∈ Sq(Y ), c ∈ Sp+q(X)有

β ∩ (Sp+q(f)(c)) = Sp(f)((Sq(f)(β)) ∩ c),


即有交换图Sq(Y )×Sp+q(Y )

∩−→ Sp(Y )

Sq(f)

y Sp+q(f)

x Sp(f)

xSq(X)×Sp+q(X)

∩−→Sp(X).

我们也可以把上积和卡积推广到相对同调的情况.

设 (X,A)是一空间对，上面定义的上积和卡积可以自然地推广为

∪ : Hp(X,A)×Hq(X,A)→ Hp+q(X,A),

∩ : Hq(X,A)×Hp+q(X,A)→ Hp(X,A).

前面讨论的上积和卡积的各种性质对它们都成立. 而且还有

定定定理理理 15.3.5 卡积可以推广到下面的情形：

∩ : Hq(X,A)×Hp+q(X,A)→ Hp(X),

证明：先证明 ∩ : Sq(X,A)× Sp+q(X,A)→ Sp(X)有意义.

对任意 cp+q ∈ Sp+q(X,A), cq ∈ Sq(X,A), cp+q可以表示成 cp+q = c+Sp+q(A),

c ∈ Sp+q(X). 由于 cq|Sp(A) = 0, 对任意 w ∈ Sq(A)有 cq ∩ w = 0, 所以

cq ∩ cp+q = cq ∩ (c+ Sp+q(A)) = cq ∩ c.

因此 cq ∩ cp+q 与 cp+q 所取得代表 c 无关，并且 cq ∩ c ∈ Sp(X). 所以 ∩ :

Sq(X,A)× Sp+q(X,A)→ Sp(X)有意义.

用定理 15.3.3的方法同理可证

∂(cq ∩ (c+ Sp+q(A))) = (−1)p(δcq) ∩ σ + cq ∩ (∂(c+ Sp+q(A))).

由此推出映射

∩ : Hq(X,A)×Hp+q(X,A)→ Hp(X).

2

15.4 对对对偶偶偶性性性

为了介绍 Poincare对偶定理，下面定义一个新的同调群–具有紧致支集的上

同调群.

我们先给出一个有向极限的概念.

15.4 对偶性 · 317 ·

定定定义义义 15.4.1 设 Λ是一个具有偏序 ≺的集合，并且对任意 a, b ∈ Λ, 存在 c ∈ Λ

使得 a ≺ c, b ≺ c, 则称 Λ是一个有向集.

例 15.4.1 设 A是集合 X 的一个子集，U是 X 的包含 A的子集的集合. 定义

U ≺ V 为 U ⊃ V , 则对任意的 U, V , 集合 U ∩ V 满足有向性条件 U ≺ U ∩ V 和V ≺ U ∩ V .

定定定义义义 15.4.2 设 Λ是一个有向集, Xaa∈Λ 是一族集合，对任意 a ≺ b, 存在一

个映射

fab : Xa → Xb.

满足条件

(1) 对每一个 a ∈ Λ, faa = idXa.

(2) 对 a ≺ b ≺ c, 有 f bc fab = fac .

则称 Xa, fab a∈Λ是一个有向族或归纳族.

特别当 Xa是交换群，fab 是同态时，我们有下面的性质.

定定定理理理 15.4.1 设 Ga, fab a∈Λ 是一个交换群和同态的有向族，则存在一个交换

群 G和一族同态

fa : Ga → G, a ∈ Λ,

使得当 a ≺ b时，有 fb fab = fa. 并且 G和这一族同态 fa具有如下性质：

对任意交换群 H 和一族同态 ga : Ga → H, 且当 a ≺ b时，有 gb fab = ga.

存在唯一的同态 g : G→ H, 使得对任意 a ∈ Λ, ga = g fa.

证明：设G+ = ⊕a∈ΛGa是 Gaa∈Λ的直和. G+中每一个元素只有有限个分量不

为 0，Ga的加法自然诱导 G+的加法，即 G+是一个交换群. 设 f+a : Ga → G+

是包含映射，即对 xa ∈ Ga, f+a (xa)的第 a个分量为 xa, 其余为 0.

我们定义 G+ = ⊕a∈ΛGa的一个子群

R =

n∑i=1

(f+c faic (xai)− f+

ai(xai))|存在一个 c ∈ Λ,使得 ai ≺ c

.

构造商群

G = G+/R, π : G+ → G是投影映射.

构造映射

fa = π f+a : Ga → G.


则对任意 a ≺ b, xa ∈ Ga,

fb fab (xa)− fa(xa) = π(f+b f

ab (xa)− f+

a (xa)) = 0,

因此 fb fab = fa.

对任意交换群 H 和满足 gb fab = ga，a ≺ b的一族同态 ga : Ga → H，我们

用下述方式定义同态映射 g : G→ H.

任意 x ∈ G可以表示为 x = π(∑f+a (xa)) =

∑fa(xa), 定义

g(x) = g(∑

fa(xa)) =∑

ga(xa).

对 y =∑

(f+c fac (xa)− f+

a (xa)) ∈ R, a ≺ c, 按投影 π的定义，

0 = π(y) =∑

(fc(fac (xa))− fa(xa)),

则

g(∑

fc(fac (xa))) = gc(

∑fac (xa)) =

∑gc fac (xa) =

∑ga(xa).

所以 g 的定义与 x = π(∑f+a (xa)) 的代表的取法无关. 而且作用在 Ga 上有

g(fa(xa)) = ga(xa), 即 ga = g fa.关系式 ga = g fa表示 g的值由 x的分量 xa对应的值 ga(xa)决定，所以映

射 g是唯一的. 2

这个定理中构造的交换群 G称为有向族 Ga, fab a∈Λ的有向极限，记为

G = lim→a

Ga = ⊕aGa/R.

定定定理理理 15.4.2 如果 xa ∈ Ga满足 fa(xa) = 0, 则存在 b ∈ Λ, a ≺ b, 使得 fab (xa) =

0.

证明：由 fa(xa) = π(f+a (xa)) = 0得 f+

a (xa) ∈ R, 即

f+a (xa) =

∑k≺c

(f+c fkc (yc,k)− f+

k (yc,k)), yc,k ∈ Gk.

从投影 f+a 的定义知

xa =∑c=a

fkc (yc,k)−∑k=a

yc,k,

0 =∑c=h

fkc (yc,k)−∑k=h

yc,k, h = a.

15.4 对偶性 · 319 ·

取比 c大的 b, 即 c ≺ b, 将 fab 作用于第一式，fhb 作用于第二式，相加得

fab (xa) =fab (∑

fka (ya,k)−∑

yc,a) + fhb (∑c=h =a

fkc (yc,k)−∑k=h =a

yc,k)

=∑

fab fka (ya,k)−∑

fab (yc,a) +∑c =a

f cb fkc (yc,k)−∑k =a

fkb (yc,k)

=∑

fkb (yc,k)−∑

fkb (yc,k) = 0.

所以结论成立. 2

定定定理理理 15.4.3 对任意 x ∈ G, 存在 a ∈ Λ及 xa ∈ Ga, 使得 fa(xa) = x.

证明：设 x =∑fb(yb) = π(

∑f+b (yb)), yb ∈ Gb, 这是个有限和，可以取比所有 b

大的 a ∈ Λ, 即有 b ≺ a. 这时 f+a f ba(yb)− f+

b (yb) ∈ R. 因此

x = π(∑

f+b (yb)) = π(

∑f+a f ba(yb)) = fa(

∑f ba(yb)).

取 xa =∑f ba(yb), 就有 fa(xa) = x. 2

下面将有向极限应用到拓扑空间上的相对上同调群上.

定定定义义义 15.4.3 设M 是一个拓扑空间，M 的所有紧子空间 Λ = K按照包含关系构成一个偏序.

K ≺ K ′ 定义为 K ⊂ K ′.

这时 Λ = K是一个有向集，包含映射 i : (M,M −K ′)→ (M,M −K)诱导同

态：

Hq(i) : Hq(M,M −K)→ Hq(M,M −K ′).

定义

Hqc (M) = lim

K紧致Hq(M,M −K).

称为M 的具有紧致支集的上同调群.

当M 紧致时，取K =M , 则 Hqc (M) = Hq(M). 但是M 不是紧致时，这个

等式不一定成立.

例 15.4.2 欧氏空间 Rn的具有紧致支集的上同调群是

Hqc (Rn) =

Z, q = n,

0, q = n.


证明：设 Dn(k)是欧氏空间 Rn 中的以原点为中心，自然数 k为半径的闭球体.

对 Rn中的任意紧致集K, 存在自然数 k, 使得K ⊂ Dn(k). 映射

φK : Hq(Rn,Rn −K)→ Hqc (Rn),

φDn(k) : Hq(Rn,Rn − Dn(k))→ Hq

c (Rn),

φDn(k),K : Hq(Rn,Rn −K)→ Hq(Rn,Rn − Dn(k))

满足 φDn(k) φDn(k),K = φK . 因此，Hnc (Rn) 的元素由 φDn(k) : Hq(Rn,Rn −

Dn(k))→ Hqc (Rn)的像生成，所以

Hnc (Rn) = lim

K紧致Hq(Rn,Rn −K) = lim

k→∞Hq(Rn,Rn − Dn(k)).

空间对 (Rn,Rn − Dn(k))与 (Dn(k), Sn−1(k))是同伦等价的，所以由定理 15.2.6

知

Hq(Rn,Rn − Dn(k)) = Hq(Dn(k),Sn−1(k)) =

Z, q = n,

0, q = n.

由于包含映射 (Rn,Rn − Dn(k + 1))→ (Rn,Rn − Dn(k))是同伦等价，因此

φDn(k+1),Dn(k) : Hq(Rn,Rn − Dn(k))→ Hq(Rn,Rn − Dn(k + 1))

是一个同构，所以

Hnc (Rn) = lim

k→∞Hq(Rn,Rn − Dn(k)) =

Z, q = n,

0, q = n.

这个例子说明具有紧致支集的上同调群与一般上同调群是有区别的，而且

具有紧致支集的上同调群不是同伦不变量.

设M 是 n维可定向流形，对任意紧集 K ⊂ M , αK ∈ Hn(M,M −K)是对

应的基本类，考虑卡积

∩αK : Hq(M,M −K)→ Hn−q(M).

如果K ⊂ K ′, 则

Hq(M,M −K)∩αK−→Hn−q(M)

Hq(i)

y xid

Hq(M,M −K ′)∩αK′−→Hn−q(M).

可交换. 过渡到极限给出同态 P : Hqc (M)→ Hn−q(M).

15.4 对偶性 · 321 ·

定定定理理理 15.4.4 (Poincare对偶定理) 设M 是 n维可定向流形，则同态

P : Hqc (M)→ Hn−q(M)

是同构.

证明：我们要像证明定理 15.1.12一样分步证明.

1. M = Rn. 由例 15.4.1知

Hqc (Rn) = lim

k→∞Hq(Rn,Rn − D(k)) =

Z, q = n,

0, q = n..

另外，我们知道

Hn−q(Rn) =

Z, q = n,

0, q = n..

现在只要证明

P : Hnc (Rn)→ H0(Rn)

是一个同构. 这就是要证明对每一个闭球体 D, 同态

Hn(Rn,Rn − D)→ H0(Rn), x 7→ x ∩ αD.

是一个同构. 由于 Hq(Rn,Rn − D)是自由交换群，由定理 15.2.7知映射

α : Hn(Rn,Rn − D)→ Hn(Rn,Rn − D)∗ = Hom(Hn(Rn,Rn − D),Z)

是一个同构. 对 x ∈ Hn(Rn,Rn − D), [zn] ∈ Hn(Rn,Rn − D), α(x)定义为

α(x)([zn]) = ⟨x, [zn]⟩ = [x ∩ zn].

因此它的对偶映射也是一个同构，就是取 [zn] = αD, 映射

∩αD : Hn(Rn,Rn − D)→ Z = H0(Rn), x→ x ∩ αD

是一个同构. 所以 P : Hnc (Rn)→ H0(Rn)是一个同构.

2. M = U ∪ V , U, V 是M 的开集，并且 Poincare对偶定理对 U, V 和 U ∩ V都成立. 我们将建立具有紧致支集上同调群的Mayer-Vietoris正合列

· · · −→ Hq−1c (M) −→ Hq

c (U ∩ V ) −→ Hqc (U)⊕Hq

c (V ) −→ Hqc (M) −→ · · · .

设K ⊂ U 和 L ⊂ V 是两个紧致集，则有下面的相对Mayer-Vietoris正合列

∆−→ Hq(M,M−K∩L) φ−→ Hq(M,M−K)⊕Hq(M,M−L) ψ−→ Hq(M,M−K∪L)


由切除定理知，我们有同构映射：

Hq(M,M −K ∩ L) ∼= Hq(U ∩ V, U ∩ V −K ∩ L),

Hq(M,M −K) ∼= Hq(U,U −K),

Hq(M,M − L) ∼= Hq(V, V − L).

我们注意到K, L, K ∩L和K ∪L分别可以取遍 U , V , U ∩V 和M 的紧致集. 取

关于有向对 (K,L)的上同调群的有向极限，并且应用到上面的 Mayer-Vietoris

正合列，我们就可以得到具有紧致支集上同调群的Mayer-Vietoris正合列.

通过一个很长的证明我们可以得到下面的交换图

−−−→ Hqc (U ∩ V ) −−−→ Hq

c (U)⊕Hqc (V ) −−−→ Hq

c (M) −−−→

P

y P⊕Py P

y−−−→ Hn−q(U ∩ V ) −−−→ Hn−q(U)⊕Hn−q(V ) −−−→ Hn−q(M) −−−→ .

具体证明可参阅[7]. 由“五引理”就可得到对偶同构 P : Hqc (M)→ Hn−q(M).

3. M 是一个具有包含关系的开集 Uλ的并集，并且对每个 Uλ，Poincare

对偶定理成立. 对M 的每个开集 U , 设K 是 U 的一个紧致集，由切除定理，我

们得到同构

Hq(U,U −K) ∼= Hq(M,M −K).

取有向极限，我们得到同态

τ : Hqc (U)→ Hq

c (M).

由于M 的每个开集不一定包含在 U 内，τ 不一定是一个同构，但是它有性质：

(a) 当 U =M 时，τ 是一个恒等映射.

(b) 当 U ⊂ V ⊂M , 并且 U, V 是M 的开集，则有下面的交换图

Hqc (U)−→ Hq

c (V )y yHqc (M)

id−→Hqc (M).

另外，当 U 是可定向流形M 的开集时，也有下面的交换图

Hqc (U)

τ−→ Hqc (M)

P

y yPHn−q(U)

i∗−→Hn−q(M).

15.4 对偶性 · 323 ·

其中，i : U → M 是包含映射，U 的定向是M 的定向在 U 上的限制. 这个交换

图可以用 P 的定义和卡积的性质直接证明.

由于 Uλ 是由包含关系决定的有向集，因此，有向族 Hqc (Uλ), τλ 和

Hn−q(Uλ), iλ∗可以求有向极限

limHqc (Uλ), limHn−q(Uλ).

而且有同态映射

limHqc (Uλ)→ Hc(M), limHn−q(Uλ)→ Hn−q(M).

由于每个紧致集包含在某个 Uλ 内，所以这两个同态都是同构. 因为对每个 λ,

Poincare对偶映射 P : Hqc (Uλ) → Hn−q(Uλ)是一个同构，应用到有向极限上就

得到 P : Hqc (M)→ Hn−q(M)是一个同构.

4. M 是 Rn的一个开子集. 当M 是凸集时，M 同胚于 Rn, 由情形 1知结论

成立. 一般情况下，由于 Rn有一个由可数个开球体组成的拓扑基. M 可以看成

可数个开球体的并集.

M = ∪∞i=1Bi.

我们记

Mk = ∪ki=1Bi.

用数学归纳法和情形 2方法可以证明定理对Mk 成立. 由情形 3的方法可得定

理对M 也成立.

5. M 是一般的有向流形. 考虑所有使 Poincare对偶定理成立的开集的集

合，这是个非空集合. 由情形 3, 我们应用 Zorn引理可以得到这个集合的一个

最大开集 V . 如果 V = M , 则存在一个开集 B ⊂ M , 使得 B 同胚于 Rn, 并且

B不包含在 V 内. 我们可以用情形 2和情形 4的方法得到 Poincare对偶定理在

V ∪ B上也成立. 这与 V 的最大性矛盾，所以 V = M . 即 Poincare对偶定理在

M 成立. 2

推推推论论论 15.4.5 设M 是 n维可定向流形，则 Hq(M) = 0, q > n.

当M 紧致时, Hqc (M) = Hq(M), 因此有

推推推论论论 15.4.6 设M 是 n维紧致可定向流形，α是其基本类，则

∩α : Hq(M)→ Hn−q(M)

是一个同构.


推推推论论论 15.4.7 设M 是 n维连通可定向流形，则 Hnc (M) ∼= Z.

证明：由M 的连通性知H0(M) ∼= Z, 再由 Poincare对偶定理得Hnc (M) ∼= Z. 2

定定定理理理 15.4.8 设M 是 n维紧致可定向流形，βq = ρ(Hq(M,Z))是M 的第 q 个

Betti数，则 βq = βn−q.

证明：由于M 是紧致的，M 是可剖分空间，因此 Hq(M)与 Hq(M)是有限生

成的. 由万有系数定理知

Hq(M) = Hom(Hq(M),Z)⊕ Ext(Hq−1(M),Z).

由于导出函子 Ext(Hq−1(M),Z) 是个挠子群，可得 ρ(Ext(Hq−1(M),Z)) = 0,

所以 ρ(Hq(M,Z)) = ρ(Hq(M,Z)) = βq. 再由 Poincare 对偶定理 Hq(M,Z) ∼=Hn−q(M,Z), 所以 βq = βn−q. 2

定定定理理理 15.4.9 奇数维紧致可定向流形的 Euler-Poincare示性数 χ(M) = 0.

证明：由于 n是奇数，(−1)n−qβn−q = −(−1)qβa, 因此

χ(M) =n∑q=0

(−1)n−qβn−q = −n∑q=0

(−1)qβq = −χ(M).

即得 χ(M) = 0, 所以奇数维紧致可定向流形的 Euler-Poincare示性数为零. 2

15.5 流流流形形形上上上的的的不不不动动动点点点理理理论论论

第二章中我们用基本群证明了单位圆盘上的 Brouwer不动点定理，第十四

章中用同调群推导了单位球体上的 Brouwer不动点定理. 这个定理在数学中有

广泛的应用. 连续映射的不动点定理实质上就是方程解的存在性定理. 从广义

的角度讲，数学的各个分支都是关于某类方程的学科. 本节介绍一个稍微广一

点的不动点定理，Lefschetz不动点定理.

定定定义义义 15.5.1 设M 是一个 n维可定向紧致流形，在系数为有理数域 Q的同调群 Hq(M,Q)上取一组基，对连续映射 f : M → M , 同态 Hq(f) : Hq(M,Q) →Hq(M,Q)可以表示成一个矩阵 Fq, 定义流形M 的 Lefschetz数为：

L(f) =∞∑q=0

Tr(Fq).

15.5 流形上的不动点理论 · 325 ·

定定定理理理 15.5.1 (Lefschetz不动点定理) 设单纯复形M 是 n维有向流形，f :M →M 是连续映射. 如果 Lefschetz数 L(f) = 0, 则映射 f 至少有一个不动点.

证明：假设 f 没有不动点，在M×M 中看, f 的图像 Γ(f) = (x, f(x))| x ∈M与对角线 ∆(M) = (x, x)| x ∈ M不相交. 设 d是M 上的度量. 由于M 是紧

致的，Γ(f)与 ∆(M)的距离 δ > 0.

由定理 14.3.7知存在复形 K = M 的一个重心重分 K(k) 和映射 f 的一个

单纯逼近 g : K(k) → K, 并且要求 mesh(K(k)) < δ/3. 这时对任意 x ∈ M , 由

于 f(x)和 g(x)在同一个单形内，d(f(x) − g(x)) < δ/3. 对 K(k) 的任意单形 σ,

集合 |σ|与 |g(σ)|是不相交的. 假设 |σ|与 |g(σ)|相交，则存在 x, y ∈ |σ|, 使得x = g(y), 则

d(y, f(y)) ≤ d(y, g(y)) + d(g(y), f(y)) <2

3δ.

这与 δ的选择矛盾.

设 φ 是类似于定理 14.3.9 中定义的重分链映射 φ : C(K) → C(K(k)). 则

φ g : C(K(k))→ C(K(k))是一个链映射. 因此对K(k)中的有向单形 σ, φ g(σ)的表示中 σ的系数为零. 所以 Tr(φ g) = 0. 实际上，对链复形 Cp(K(k))也有类似的 Lefschetz数 L(φ g) =

∑nq=0 Tr(φ g)q, 这时 L(φ g) = 0. 用定理

14.2.5的证明方法容易证明 L((φ g)∗) = 0.

由于 φ : C(K)→ C(K(k))是链同伦等价，φ∗ : H∗(K)→ H∗(K(k))是同构，

而 f 与 g同伦，我们得到 L(f) = L((φ g)∗) = 0. 这与条件 L(f) = 0矛盾, 所以

映射 f 至少有一个不动点. 2

Brouwer 不动点定理是 Lefschetz 不动点定理的一个直接推论. 对单位球

体 Dn, 当 q > 0 时，Hq(Dn) = 0, H0(Dn) = Z. 从零维同调群的几何意义知Tr(F0) = 1, 因而 L(f) = 1. 所以由 Lefschetz不动点定理知 f : Dn → Dn至少有

一个不动点. 这个计算方法有一个直接推论.

推推推论论论 15.5.2 设 X 是一个紧致可缩多面体，则连续映射 f : X → X 至少有一

个不动点.

推推推论论论 15.5.3 设 f : Sn → Sn 是一个度为 m = (−1)n+1 的连续映射，则 f 至少

有一个不动点.

证明：由于 f 的度为m，映射 Hn(f) : Hn(Sn,Q) → Hn(Sn,Q)的迹为m. 而映

射 H0(f) : H0(Sn,Q)→ H0(Sn,Q)的迹为 1. 因此映射 f 的 Lefschetz数

L(f) = 1 + (−1)nm = 0.


所以 f : Sn → Sn至少有一个不动点. 2

习题

1. 设M 是一个 n维紧致流形，且 Hn(M) = 0, 试证明M 是不可定向的.

2. 设 f : X → Y , g : Y → Z 是连续映射，证明：

(1) Sq(id) = id : Sq(X)→ Sq(X),

(2) Sq(g f) = Sq(f) Sq(g) : Sq(Z)→ Sq(X).

3. 设 A,B,C,G是交换群，如果

Af−→ B

g−→ C −→ 0

是一个正合列，证明

Hom(A,G)f∗←− Hom(B,G)

g∗←− Hom(C,G)←− 0.

是正合列.

4. 证明 Hom(Z,Z) ∼= Z, Hom(Z⊕ Z,Z) ∼= Z⊕ Z.5. 计算 Hq(Dn,Sn−1).

6. 证明对任意 α1 ∈ Sp(X), α2 ∈ Sq(X), c ∈ Sr(X), r ≥ p+ q有

(α1 ∪ α2) ∩ c = α1 ∩ (α2 ∩ c).

7. 证明对任意 α1 ∈ Sp(X), α2 ∈ Sq(X), c ∈ Sp+q(X)有

⟨α1 ∪ α2, c⟩ = ⟨α1, α2 ∩ c⟩.

8. 设有向集 Λ 有最大元 m, 即对所有 a ∈ Λ, 有 a ≺ m. 证明对有向族

Ga, fab a∈Λ，fm : Gm → lim→Ga是一个同构.

参参参考考考文文文献献献

[1] 陈省身，陈维桓, 微分几何讲义, 北京大学出版社，北京，1983.

[2] 熊金城, 点集拓扑讲义, 高等教育出版社，北京，2003.

[3] 姜伯驹，同调论，北京大学出版社，北京，2007.

[4] 周建伟，代数拓扑讲义，科学出版社，北京，2007.

[5] Croom F., Basic concepts of algebraic topology, Springer-Verlag, New York,

1978.

[6] Boothby W., An introduction to differentiable manifolds and Riemannian

geometry, Academic Press, Florida, 1986.

[7] Massey, W., A basic course in algebraic topology, Spinger-Verlag, New York,

1991.

[8] Vick, J., Homology theory, Spinger-Verlag, New York, 1994.

[9] Lee J., Introduction to smooth manifolds, Spinger-Verlag, New York, 2013.

327

Index

C∞函数, 43

R-相关, 3

T0空间, 16

T1空间, 16

T2空间, 16

f 相关的, 80

k-形式, 118

Baker-Campbell-Hausdorff 定理, 99

Betti数, 227

Bianchi 恒等式, 180

Brouwer 不动点定理, 153

Brouwer不动点定理, 34, 271

Cantor-Bernstein定理, 5

Codazzi 方程, 169

de Rham 复形, 127

de Rham 上同调群, 128

Einstein 约定, 107

Frobenius 定理, 86

Frobenius 条件, 85

Gauss 方程, 164, 169

Gauss 曲率, 159

Gauss 引理, 202

Gauss-Bonnet 定理, 161

Hausdorff空间, 16

Hilbert空间, 7

Hopf 指标定理, 163

Jacobi 恒等式, 83

Jacobi矩阵, 42

Jordan-Brouwer分离定理, 281

Kronecker 符号, 53

Kronecker积, 299, 306

Lebesgue数, 17

Lefschetz不动点, 325

Lefschetz数, 324

Levi-Civita 联络, 192

Maurer-Cartan 形式, 138

Mayer-Vietoris对, 264

Mayer-Vietoris正合列, 135

Poincare对偶定理, 321

Poisson 括号, 82

Ricci 曲率, 197

Schwarz不等式, 6

Stokes 定理, 154

胞腔, 282

闭包, 13

闭集, 13

闭链, 219

闭链群, 128

边缘链, 219

328

INDEX · 329 ·

边缘链群, 128

边缘算子, 218, 244

变分, 205

变分曲线, 205

变分向量场, 205

标准单形, 243

并集, 2

补集, 11

测地球, 200

测地线, 170, 199

常曲率空间, 196

长正合同调序列, 261

乘积道路, 25

乘积流形, 62

丛映射, 175

带边流形, 151

单参数子群, 95

单纯逼近, 233

单纯逼近定理, 236

单纯映射, 231

单连通空间, 29

单射, 4

单射半径, 200

单位分解, 123

单形, 213

单形的闭包, 215

单形的面, 213

单形的重心, 234

单映射, 44

导出函子, 310

导集, 13

导算子, 51

道路, 23

道路连通, 23

道路提升定理, 32

道路同伦, 25

等价度量, 10

笛卡尔乘积空间, 3

第二基本形式, 158

第二可数性公理, 19

第一基本形式, 157

第一可数性公理, 19

第一重分链映射, 237

定向复形, 216

定向和谐, 235

定向系, 293

度量空间, 6

对称算子, 111

对称张量, 111

对偶丛, 176

对偶空间, 53

多面体, 228

反变张量, 110

反对称算子, 111

反对称张量, 111

反函数定理, 44

仿射联络, 183

分布, 85

覆盖空间, 31

覆盖同伦定理, 33

复形, 214

复形的 r骨架, 215

复形的多面体, 214

复形的网格, 235

关联数, 216

关系, 3

· 330 · INDEX

光滑函数, 43

光滑函数芽, 73

光滑截面, 79

光滑流形, 59

光滑映射, 65

函数的支集, 123

函数芽, 50

弧长的第一变分公式, 206

弧长第二变分公式, 209

活动标架, 158

基本类, 298

基本群, 27

集合, 1

集合的差集, 2

集合相等, 2

几何独立, 211

简约奇异同调群, 249

交集, 2

截面曲率, 194

截止函数, 50

紧支集 de Rham 上同调群, 146

紧致, 15

浸入, 68, 78

浸入子流形, 69

局部道路连通, 23

局部定向, 290, 292

局部李群, 93

局部流, 81

局部同调群, 289

局部坐标, 59

聚点, 13

具有紧致支集的上同调群, 319

距离, 6

绝对导数, 184

绝对微分, 177

均匀覆盖的, 31

卡积, 314

开覆盖, 15

开集, 9, 11, 41

开子流形, 61

可度量化空间, 11

可分解的张量, 108

可积分布, 85

可数集, 4

可缩空间, 21

可微, 42

可遗传性质, 20

空集, 2

黎曼度量, 189

黎曼流形, 189

离散度量空间, 8

离散拓扑, 11

李代数, 90

李代数结构常数, 92

李群, 67, 89

联络, 170, 177

联络的挠率, 185

联络方阵, 178

联络系数, 165

连接同态, 134, 260

连通, 14

连续, 9

连续可微函数, 42

连续映射, 11

链复形, 247

链群, 217

链锁法则, 43

INDEX · 331 ·

链同伦, 238, 251

链同伦等价, 239

链映射, 230, 248

裂正合, 302

邻域, 9, 41

邻域基, 19

流形的定向, 142

满射, 4

满映射, 44

迷向黎曼流形, 195

挠子群, 225

逆道路, 25

欧拉示性数, 228

配合, 54

偏导数, 41

偏序, 4

平凡丛, 79

平行截面, 182

平庸拓扑, 11

奇点, 82

奇异闭链群, 245

奇异边缘链群, 245

奇异单形, 243

奇异链, 244

奇异链复形, 245

奇异上链群, 300

奇异上同调群, 300

奇异同调类, 246

奇异同调群, 245

嵌入子流形, 69

切除定理, 275

切丛, 77, 117

切空间, 50, 73

切向量场, 55, 79

切映射, 78

球极投影, 72

球面的对径映射, 149

球面映射的 Brouwer度, 271

球形邻域, 8

曲率矩阵, 180

曲率张量, 164

全序, 4

三角剖分, 214

商集合, 62

商拓扑, 63

上闭链条件, 174

上边缘算子, 300

上积, 311

上界, 4

上链复形, 132

上链映射, 132

上同调环, 314

实射影空间, 62

示性类, 181

收缩核, 30, 153

数量曲率, 197

双角锥, 283

双射, 4

双线性映射, 107

特殊线性群, 67

同调, 219

同调群, 219

同伦, 21

同伦等价, 23

· 332 · INDEX

同伦类, 25

同胚, 12

同态群, 299

凸集, 211

拓扑, 11

拓扑不变性质, 12

拓扑基, 18

拓扑空间, 11

拓扑流形, 58

拓扑子空间, 13

外代数, 114

外积, 113

外微分, 121

完备向量场, 88

万有覆盖空间, 36

微分结构, 59

微分同胚, 44

唯一提升定理, 32

无挠联络, 186

无限集, 2

五引理, 274

纤维, 173

线性李代数, 89

线性李群, 89

线性奇异单形, 244

相对奇异上同调群, 301

相对奇异同调群, 256

相对同伦, 258

相对拓扑, 13

相容的坐标系, 58

向量丛, 79, 173

协变张量, 110

辛群, 72

星形相关, 233

形变收缩核, 31

形变算子, 238

压缩映射, 47

淹没, 78

一般线性群, 61

一一对应, 4

隐函数定理, 47

映射, 4

映射的秩, 66

映射提升定理, 35

映射柱, 282

映射锥, 282

有界集, 10

有限补拓扑, 11

有限集, 2, 4

有向极限, 318

有向集, 317

有向族, 317

右不变向量场, 90

右平移, 89

诱导链映射, 231

诱导同态, 28

余切丛, 86, 117

余切空间, 53

余切向量, 53

元素, 1

增广奇异链复形, 249

粘合定理, 22

粘贴空间, 282

张量, 110

张量场, 118

张量丛, 118

张量的缩并, 190

INDEX · 333 ·

张量积, 107

整体定向, 293

正常连接, 214

正规测地线, 208

正合, 133, 259

正合列, 133

正合序列, 259

正则子流形, 64

直和丛, 176

直径, 10

直纹面, 171

指标, 162

指数映射, 94, 199

秩定理, 49

重心重分, 234

重心坐标, 213

主曲率, 159

转换函数, 174

追踪法, 261

子集, 2

自由交换群, 224

最大元素, 4

左不变向量场, 90

左平移, 89

坐标变换, 58

坐标覆盖, 60

坐标邻域, 59

坐标系, 59

坐标映射, 59

Documents

华东师范大学数学科学学院编math.ecnu.edu.cn/~lfzhou/course/gt1/GTbook1806.pdf · 内容共分十五章：第一章点集拓 扑学简介；第二章基本群和同伦论基础;

华东师范大学数学科学学院编math.ecnu.edu.cn/~lfzhou/course/gt1/GTbook1806.pdf · 内容共分十五章：第一章点集拓扑学简介；第二章基本群和同伦论基础;