Tous les Q.C.M posés au Bac S de Juin 2002 à Novembre 2006

Exercice 1 Nouvelle Calédonie Novembre 2006

L'espace est rapporté à un repère orthonormalO,−→ı ,−→ ,−→k.On considère :

les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ; 1 ; 2) et D(1 ; −4 ; 0) les plans (P1) : 7x + 4y − 3z + 9 = 0 et (P2) : x− 2y = 0. les droites (∆1) et (∆2) dénies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs8><>: x = −1 + t

y = −8 + 2tz = −10 + 5t

t ∈ R

8><>: x = 7 + 2t′

y = 8 + 4t′

z = 8− t′t′ ∈ R

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquerasur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucunejustication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence deréponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

a. b. c d.1. Le plan (P1)est

Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD)

2. La droite (∆1)contient

Le point A Le point B Le point C Le point D

3. Position rela-tive de (P1) et de(∆2)

(∆1) est stricte-ment parallèle à(P1)

(∆1) est inclusedans (P1)

(∆1) coupe (P1) (∆1) est ortho-gonale à (P1)

4. Position rela-tive de (∆1) etde (∆2)

(∆1) est stricte-ment parallèle à(∆2)

(∆1) et (∆2)sont confondues

(∆1) et (∆2)sont sécantes

(∆1) et (∆2)sont non copla-naires.

5. L'intersectionde (P1) et de(P2) est unedroite dont unereprésentationparamétriqueest

8>><>>: x = t

y = −2 +1

2t

z = 3t

8><>: x = 2ty = tz = 3 + 6t

8><>: x = 5ty = 1− 2tz = t

8><>: x = −1 + ty = 2 + tz = −3t

1

Exercice 2 France métropolitaine Juin 2006

SoitO,−→ı ,−→ ,−→k

un repère orthonormal de l'espace.On considère les points

A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2),E(3 ; 2 ; −1), I

3

5; 4 ; −9

5

Pour chacune des cinq armations suivantes, dire, sans le justier, si elle est vraie ou si elleest fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1) Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

(CD)

8><>: x = −1 + 2ty = −1 + tz = 1− t

(t ∈ R ).

5) Le point I est sur la droite (AB).

2

Exercice 3 Amérique du Nord Juin 2006Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la ré-ponse choisie. Aucune justication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de ré-ponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :4 sont marqués oui , 3 sont marqués non et 3 sont marqués blanc .

Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite unbulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué oui , le joueurreçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué non , il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué blanc , il reçoit 20 centimes d'euro.

Question 1 Le jeu est :

A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable

Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué oui est égale à

A : 216

625B : 544

625C : 2

5

Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne.Question 3 : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes diérentes est égale à :

A : 4

15B : 11

30C : 11

15

3

Exercice 4 Antilles-Guyane Juin 2006QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justicationn'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point,l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note estramenée à 0.Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondantà votre réponse.

1) L'équation e2x − 3ex − 4 = 0 admet dans R :a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2

solutions2) L'expression −e−x

a. n'estjamais néga-tive

b. est tou-jours néga-tive

c. n'est néga-tive que si xest positif

d. n'est né-gative que six est négatif

3) limx→+∞

2ex − 1

ex + 2=

a. −1

2b. 1 c. 2 d. +∞

4) L'équation diérentielle y = 2y′ − 1 a pour ensemble de solutions :a.x 7→ ke2x− 1avec k ∈ R

b.x 7→ ke 1

2x+1

avec k ∈ R

c.x 7→ ke 1

2x−1

avec k ∈ R

d.x 7→ ke2x+

1

2avec k ∈ R

4

Exercice 5 Polynésie Juin 2006Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner unedémonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormalO,−→ı ,−→ ,−→k, on donne les points A(0 ; 0 ;

2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et parH le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : l'ensemble des points M de l'espace tels que−−→AM · −−→BC = 0 est le plan (AlO) .

Proposition 2 : l'ensemble des points M de l'espace tels que −−→MB +

−−→MC

= −−→MB −−−→MC

est lasphère de diamètre [BC] .

Proposition 3 : le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 .Proposition 4 : le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x + y + 2z = 4 et le point H a pour

coordonnées

8

9;

4

9;

8

9

Proposition 5 : la droite (AG) admet pour représentation paramétrique8><>: x = t

y = 2tz = 2− 2t

(t ∈ R ) .

Exercice 6 Polynésie Juin 2006 Spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner unedémonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Proposition 1 : pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n − 1 .Proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x2 + x ≡ 0 (modulo 6) alors

x ≡ 0 (modulo 3) .Proposition 3 : l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation 12x− 5y = 3

est l'ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ∈ Z .Proposition 4 : il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et

PPCM(a, b)− PGCD(a, b) = 1 .

Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pourécriture bca en base dix.

Proposition 5 : Si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M− N est aussi divisible par 27 .

5

Exercice 7 La Réunion Juin 2006Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre armations proposées, deuxsont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de laquestion et les deux armations qu'il pense exactes. Aucune justication n'est demandée. Lesquatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L'espace est rapporté à un repère orthonormalO,−→ı ,−→ ,−→k.

1) Soit P le plan d'équation 2x + 3y + 4z − 1 = 0.a. La distance du point O au plan P est égale à 1.

b. La distance du point O au plan P est égale à 1√29

.

c. Le vecteur−→n1 ;

3

2; 2est un vecteur normal au plan P.

d. Le plan Q d'équation −5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.2) On désigne par P le plan d'équation 2x + y − z = 0, et par D la droite passant par le

point A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur−→u (1 ; −4 ; −2).

a. La droite D est parallèle au plan P.b. La droite D est orthogonale au plan P.c. La droite D est sécante avec le plan P.

d. Un système d'équations paramétriques deD est

8><>: x = 1 + ty = 1− 4tz = 1− 2t

(t ∈ R ).

3) On désigne par E l'ensemble des pointsM(x ; y ; z) tels que : x+y+z = 3 et 2x−z = 1.Soit le point A(1 ; 1 ; 1).a. L'ensemble E contient un seul point, le point A.b. L'ensemble E est une droite passant par A.c. L'ensemble E est un plan passant par A.d. L'ensemble E est une droite de vecteur directeur

−→u (1 ; −3 ; 2).

4) ABCD est un tétraèdre quelconque. SoitP le plan passant par A et orthogonal à la droite(BC).a. Le plan P contient toujours le point D.b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.c. Le plan P est toujours l'ensemble des pointsM de l'espace tels que :

−−→BM · −−→BC =

−−→BA · −−→BC .

d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

6

Exercice 8 Pondichery avril 2006Dix armations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous.Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'armation, et avec le plus grandsoin, la mention VRAI ou FAUX.Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Iln'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à0.

1) Pour tout réel x, ex désigne l'image de x par la fonction exponentielle.

Armation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea)b = e(ab).Armation 1. b Pour tous les réels a et b : ea−b =

ea

eb.

Armation 1. c La droite d'équation y = x + 1 est la tangente à la courbe repré-sentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.

2) Soit f une fonction numérique dénie sur un intervalle ouvert I et soita un élément de I.

Armation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.Armation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.Armation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction h 7→ f(a + h)− f(a)

hadmet une limite nie en 0.

3) On considère deux suites (un) et (vn) dénies sur N .

Armation 3. a Si lim un = +∞ et si lim vn = −∞ alors lim (un + vn) = 0.Armation 3. b Si (un) converge vers un réel non nul et si lim vn = +∞,

alors la suite (un, × vn) ne converge pas.Armation 3. c Si (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est positive et

si lim vn = 0, alors la suite

un

vn

ne converge pas.

Armation 3. d Si (un) et (vn) convergent alors la suite

un

vn

converge.

7

Exercice 9 Antilles-Guyane septembre 2005Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.Chaque réponse juste rapporte I point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il seraretiré 0, 5 point par réponse fausse.La note nale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.

SoitO,−→ı ,−→ ,−→k

un repère orthonormal.1) La droite passant par A(1 ; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1),

et la droite représentée par

8><>: x = −11− 4ty = 8 + 2tz = 11 + 5t

t ∈ R sont :

¤ sécantes¤ strictement parallèles¤ confondues¤ non coplanaires

2) Soient le plan P d'équation 2x + 3y − z + 4 = 0 et la droite D représentée par8><>: x = ty = tz = 8 + t

t ∈ R

¤ P et D sont sécants.¤ P et D sont strictement parallèles.¤ D est incluse dans P .¤ Aucune de ces possibilités n'est vraie.

3) La distance du point A(1 ; 2 ; −4) au plan d'équation 2x + 3y − z + 4 = 0 est :

¤ 8√

14

7¤ 16¤ 8

√14

¤ 8

74) Soient le point B(−3 ; 4 ; 1) et la sphère S d'équation x2 + y2 + z2 = 16 .

¤ B est à l'intérieur de S.

¤ B est à l'extérieur de S

¤ B est sur S.

¤ On ne sait pas.

8

Exercice 10 France métropolitaine septembre 2005 obligatoireCandidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialitéPour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquerasur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absencede réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Aucune justication n'est demandée.

1) Soit z le nombre complexe de module√

2 et d'argument π

3. On a alors :

A : z14 = −128√

3− 128iB : z14 = 64− 64iC : z14 = −64 + 64i

√3

D : z14 = −128 + 128i√

3

2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'axe 3et le point T d'axe 4i. Soit (E) l'ensemble des pointsM d'axe z tels que |z−3| = |3−4i|.A : (E) est la médiatrice du segment [ST].B : (E) est la droite (ST).C : (E) est le cercle de centre Ω d'axe 3− 4i, et de rayon 3.D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

3) On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produitscalaire

−−→AC · −−→CF est égal à :

A :√

3 B : −3 C : −√

3 D ;3

2.

4) Une fonction g est dénie sur l'intervalle ]−∞ ; 0] par g(x) =

√x2 − 2x

x− 3; soit Γ sa courbe

représentative dans un repère du plan.A : Γ admet une asymptote d'équation y = −1.B : Γ n'admet pas d'asymptote.C : Γ admet une asymptote d'équation y = x.D : Γ admet une asymptote d'équation y = 1.

5) Soit la fonction f dénie sur R par

f(x) =Z x

0e−t2 dt

La fonction f ′′, dérivée seconde de la fonction f sur R , est dénie par :A : f ′′(x) =

Z x

0−2te−t2 dt.

B : f ′′(x) =Z x

0−2xe−x2 dx.

C : f ′′(x) = −2xe−x2

.

D : f ′′(x) = e−x2

.

9

Exercice 11 France métropolitaine septembre 2005 spécialitéCandidats ayant choisi l'enseignement de spécialité Pour chaque question, une seuledes quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de laquestion et la lettre correspondant à la réponse choisie.Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absencede réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune jus-tication n'est demandée.

1) On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation :x2− x + 4 ≡ 0 (modulo 6).A : toutes les solutions sont des entiers pairs.B : il n'y a aucune solution.C : les solutions vérient x ≡ 2 (modulo 6).D : les solutions vérient x ≡ 2 (modulo 6) ou x ≡ 5 (modulo 6).

2) On se propose de résoudre l'équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiersrelatifs.A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k − 7 ; 5− 24k), k ∈ Z .B : L'équation (E) n'a aucune solution.C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k − 7 ; 5− 12k), k ∈ Z .D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k ∈ Z .

3) On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 1 7892 005. On a alors :A : n ≡ 4 (modulo 17) et p ≡ 0 (modulo 17).B : p est un nombre premier.C : p ≡ 4 (modulo 17).D : p ≡ 1 (modulo 17).

4) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A etB d'axes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse[AB] si et seulement si le point M d'axe z est tel que :A : z =

b− ia1− i .

B : z − a = eiπ4 (b− a).C : a− z = i(b− z).D : b− z =

π

2(a− z).

5) On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu dusegment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle 2π

3; soit g

la similitude directe de centre A, de rapport 1

2et d'angle π

3; soit h la symétrie centrale

de centre 1.A : h g f transforme A en B et c'est une rotation.B : h g f est la réexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].C : h g f n'est pas une similitude.D : h g f est la translation de vecteur

−−→AB .

10

Exercice 12 Polynésie septembre 2005Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à laréponse choisie. Aucune justication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponseest comptée 0 point.Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

O,

−→u ,

−→v.

1) Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon√

3.Son axe z vérie :a. |z − 2 + 5i|2 = 3.b. |z + 2− 5i|2 = 3.c. |z − 2 + 5i| = 3.

2) On considère trois points A, B et C d'axes respectivesa, b et c, deux à deux distinctset tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le pointM est un point dont l'axe z

est telle que les nombres complexes z − b

c− aet z − c

b− asont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABCb. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] .c. M est l'orthocentre du triangle ABC.

3) Soit A et B les points d'axes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle dediamètre [AB]. On appelleG l'isobarycentre des points A, B et C et on notezG son axe.

a. |zG − 3− 2, 5i| = 5

6.

b. zG − (1 + i) =1

3(4 + 3i) .

c. zG − (3 + 2, 5i) =1

3(4 + 3i).

11

Exercice 13 Nouvelle-Calèdonie novembre 2005Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à laréponse choisie. Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte1 point. Uneréponse fausse enlève 0, 5 point. L'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cettepartie est négatif, la note correspondant est ramenée à zéro.

1) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.On extrait simultanément trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deuxboules noires et une boule rouge ?

A75

512B

13

56

C15

64D

15

282) Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population.

Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasarddans la population soit grippée est 0, 25.Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter lagrippe ?

A1

120B

3

40

C1

12D

4

40

3) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.Il gagne 10 euros si le dé marque 1. Il gagne 1 euro si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagnerien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.Quelle est la variance de X ?

A 2 B 13

C 16 D 17

4) La durée d'attente T, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse estune variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ =

1

6. On a donc pour

tout réel t > 0 : P(T < t) =Z t

0λe−λxdx ( avec λ =

1

6)

où t désigne le temps exprimé en minutes.Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondieà 10−4 près) que son temps total soit inférieur à 5 minutes ?

A 0, 2819 B 0, 3935

C 0, 5654 D 0, 6065

12

Exercice 14 Amérique du sud septembre 2005

Dans cet exercice, une réponse par VRAI ou FAUX , sans justication, est demandéeau candidat en regard d'une liste d'armations. Toute réponse conforme à la réalité mathéma-tique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L'absence de réponse n'est pascomptabilisée. Le total ne saurait être négatif.

On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de lon-gueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et[CG]. Les éléments utiles de la gure sont don-nés ci-contre.Le candidat est appelé à juger chacune des 10armations suivantes.

AB

C

DE

F

GH

I

J

Armation VRAI ou FAUX

1. −−→AC · −→AI =

1

22. −−→

AC · −→AI =−→AI · −−→AB

3. −−→AB · −→IJ =

−−→AB · −→IC

4. −−→AB · −→IJ = AB× IC× cos

π

3

On utilise à présent le repère orthonormalA ;

−−→AB ,

−−→AD ,

−−→AE

.

Armation VRAI ou FAUX5. Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8><>: x = t + 1

y = 2tz = t

, le paramètre t décrivant R .

6. Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8>>><>>>: x =1

2t + 1

y = t + 1

z =1

2t +

1

2

, le paramètre t décrivant R

7. 6x− 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésiennede la droite (IJ).

8. L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droitepassant par l et par le milieu de l'ar ête [DC].

9. Le vecteur de coordonnées

−412

est un vecteur

normal au plan (FIJ).10. Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1

6.

13

Exercice 15 Antilles-Guyane septembre 2004 spécialitéPour chacune des six armations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justiant le choixeectué.

1) Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.2) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq − 1 est divisible par 2p− 1 et par 2q − 1.3) Pour tout n de N ∗, 2n − 1 n'est jamais divisible par 9.4) L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation :

24x + 35y = 9

est l'ensemble des couples :

(−144 + 70k ; 99− 24k) où k ∈ Z .

5) Soient A et B deux points distincts du plan ; si on notef l'homothétie de centre A et derapport 3 et g l'homothétie de centre B et de rapport 1

3alors g f est la translation de

vecteur−−→AB. .

6) Soit s la similitude d'écriture complexe z′ = iz + (1− i), l'ensemble des points invariantsde s est une droite.

14

Exercice 16 Antilles-Guyane septembre 2004Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctementjustiée. Les trois questions sont indépendantes.

1) La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égaleà 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut direque• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;• le test est positif pour 3 % des personnes saines.Quelle est à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ?¤ 0, 95 ¤ 0, 9 ¤ 0, 15 ¤ 0, 05

2) On considère une planche à clous de ce type :

clou

B

0,3 0,7

R1 R2 R3 R4

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatrerécipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'allervers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives à l'observateur).On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 laprobabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.Que valent p1 et p2 ?

¤ p1 = p2 = 0, 5 ¤ p1 = 0, 216 et p2 = 0, 784¤ p1 = 0, 468 et p2 = 0, 532 ¤ p1 = 0, 468 et p2 = 0, 432.

3) Les 1 000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur :1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 69399375105820974944 5923078164 0628620899 8628034825 34211706798214808651 3233066470 9384460959 0582235725 35940852348111745028 4102701930 5211055596 4462294895 49303019644288109756 6593344612 8475648233 7867831652 71201909145648566923 4603486534 5432664825 3393607260 24914127372450700660 6315580574 8815209209 6282925409 17153643678925903600 1133053054 8820466525 3841469519 41511609433057270365 7595919530 9218611738 1932611793 10511854807446297996 2749567355 8857527240 9122793318 30119491298336733624 4065664308 6025394946 3952247371 90702179860943702770 5392171762 9317675238 4674818467 66910513200056812714 5263560827 7857753427 9778900917 36371787214684409012 2495343054 6549585371 0507922796 89258923542019956112 1290219608 6403441815 9813629774 77130996051870721134 9999998372 9780499510 5973173281 60963185990244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017

15

1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 66914730359825349042 8755460731 1595620633 8235378759 37519577818577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106

Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d'un chirecompris entre 0 et 9.

Pour chaque expérience, on a calculé d2 =k=9Xk=0

(fk − 0, 1)2 où fk représente, pour l'expé-rience, la fréquence observée du chire k.On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvièmedécile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :d1 = 0, 000 422 ; Q1 = 0, 000 582 ; Me = 0, 000 822 ; Q3 = 0, 001 136 ; d9 = 0, 001 45.

En eectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales deπ, on obtient :

¤ 0, 000 456 ¤ 0, 004 56 ¤ 0, 000 314

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales deπ, fait l'hypo-thèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie.Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-ilcette hypothèse ?

¤ Oui ¤ Non ¤ Il ne peut pas conclure.

16

Exercice 17 Nouvelle Calédonie novembre 2004

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)

Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguësera considérée comme une absence de réponse.Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidatdoit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.Aucune justication n'est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1point et 2 réponses correctes rapportent 1

2point.

AB

CD

E

F GH

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.On choisit le repère orthonormalA ;

−−→AB ,

−−→AD ,

−−→AE

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG].L est le barycentre de (A, 1) ; (B, 3).Soit (π) le plan d'équation 4x− 4y + 3z − 3 = 0.

1) Les coordonnées de L sont :a.

1

4; 0 ; 0

b.

3

4; 0 ; 0

c.

2

3; 0 ; 0

2) Le plan (π) est le plan

a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)3) Le plan parallèle au plan (π) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées

a.1 ; 0 ;

1

4

b.1 ; 0 ;

1

5

c.1 ; 0 ;

1

3

4) a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par

rapport à B.b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

5) Le volume du tétraèdre FIJM est :a. 1

36b. 1

48c. 1

24

17

Exercice 18 Nouvelle Calédonie mars 2005L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 armations. Pour chacuned'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante.Aucune justication n'est demandée.Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguësera considérée comme une absence de réponse.Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonication de 0,25 point est ajoutée chaquefois qu'une question est traitée correctement en entier (c'est- à-dire lorsque les réponses aux 3armations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retraitde 0,25 point.L'abstention n'est pas prise en compte, c'est- à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée â zéro.Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal

O,

−→u ,

−→v.

Pour tout n entier naturelnon nul, pour tout réelθ,eiθn est égal à :

einθ ¤ Faux ¤ Vrai

Q1 cos (θn) + i sin (θn) ¤ Faux ¤ Vrai

cos(nθ) + i sin(nθ) ¤ Faux ¤ Vrai

La partie imaginaire dunombre z est égale à :

z + z

2¤ Faux ¤ Vrai

Q2 z − z

2i ¤ Faux ¤ Vraiz − z

2¤ Faux ¤ Vrai

Soit z un complexe tel quez = x + iy (x et y réels). Si zest un imaginaire pur, alors|z|2 est égal à :

y2 ¤ Faux ¤ Vrai

Q3 −y2 ¤ Faux ¤ Vrai

−z2 ¤ Faux ¤ Vrai

A, B et C sont des pointsd'axes respectives a, b et c

telles que b− a

c− a= i√

3,alors :

BC = 2 AC ¤ Faux ¤ Vrai

Q4−−→AB ,

−−→AC

=

π

2+ 2kπ, k ∈ Z ¤ Faux ¤ Vrai

−−→CA · −−→CB = CA2 ¤ Faux ¤ Vrai

18

Exercice 19 Amérique du nord Juin 2005Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspon-dant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de ré-ponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenéeà 0.

1) Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'axes respectives−2 + 3i, −3− i et 2, 08 + 1, 98i. Le triangle ABC est :(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle(c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle

2) À tout nombre complexe z 6= −2, on associe le nombre complexez′ déni par : z′ = z − 4iz + 2

.L'ensemble des points M d'axe z tels que |z′| = 1 est :(a) : un cercle de rayon 1 (b) : une droite(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point

3) Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.L'ensemble des points M d'axe z tels que z′ est un réel est :(a) : un cercle (b) : une droite(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point

4) Dans le plan complexe, on donne le point D d'axe i. L'écriture complexe de la rotationde centre D et d'angle −π

3est :

(a) : z′ =

1

2− i√

3

2

!z −

√3

2+

1

2i (b) : z′ =

−1

2+ i√

3

2

!z −

√3

2+

1

2i

(c) : z′ =

1

2− i√

3

2

!z −

√3

2− 1

2i z′ =

1

2− i√

3

2

!z +

√3

2+

1

2i

19

Exercice 20 Antilles-Guyane Juin 2005Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comportetrois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondantâ la réponse choisie.Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette biblio-thèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sontfrançais.Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

a. 0, 4 b. 0, 75 c. 1

150

2) Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :

a. 0, 3 b. 0, 8 c. 0, 4

3) La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est

a. 1, 15 b. 0, 4 c. 0, 3

4) La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :

a. 0, 9 b. 0, 7 c. 0, 475

5) La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est françaisest :

a. 4

150b. 12

19c. 0, 3

6) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins unroman policier est :

a. 1− (0, 25)20 b. 20× 0, 75 c. 0, 75× (0, 25)20

20

Exercice 21 Asie Juin 2005

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormalO,−→ı ,−→ ,−→k. On appelleD la droite d'équa-

tions paramétriques :

8><>: x = 1 + 2ty = 2− tz = −3− t

et P le plan d'équation cartésiennex+2y−3z−1 = 0.

Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule armation est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'armation choisie.Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse in-exacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la noteest ramenée à 0.

Numérode la Armation A Armation B Armation Cligne

Le point Le point Le point1. M de coordonnées (−1 ; 3 ; 2) N de coordonnées (2 ; −1 ; −1) R de coordonnées (3 ; 1 ; −4)

appartient à D appartient à D appartient à DLe vecteur Le vecteur Le vecteur

2. −→u de coordonnées (1 ; 2 ; −3)

−→v de coordonnées (−2 ; 1 ; 1)

−→w de coordonnées (3 ; 1 ; −4)

est un vecteur directeur deD est un vecteur directeur deD est un vecteur directeur deD

3. D est incluse dans P D est strictement parallèle à P D est sécante à P

Le point Le point Le point4. G de coordonnées (1 ; 3 ; −2) G de coordonnées (1 ; 3 ; 2) G de coordonnées (1 ; 3 ; −1)

appartient à P appartient à P appartient à PLe plan Q1 d'équation carté- Le plan Q2 d'équation carté- Le plan Q3 d'équation carté-

5. sienne x + 2y − 3z + 1 = 0 sienne 4x− 5y − 2z + 3 = 0 sienne −3x + 2y − z − 1 = 0est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P

La distance du point T de coor- La distance du point T de La distance du point T de coor-6. données (−1 ; −3 ; 2) coordonnées (−1 ; −3 ; 2) données (−1 ; −3 ; 2) au

plan P est :√

14 au plan P est : 14 plan P est : 2√

3

21

Exercice 22 Liban juin 2005Pour chacune des huit armations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie oufausse. Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'ab-sence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

1) Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction dénie et strictement décroissantesur [a ; +∞[, alors lim

x→+∞ f(x) = −∞. 2) Soient f et g deux fonctions dénies sur [0 ; +∞[, g ne s'annulant pas :

Si limx→+∞ f(x) = −∞ et si lim

x→+∞ g(x) = +∞ alors limx→+∞

f(x)

g(x)= −1 .

3) Si fest une fonction dénie sur [0 ; +∞[ telle que 0 6 f(x) 6 √x sur [0 ; +∞[ alors

limx→+∞

f(x)

x= 0

4) On considère un repèreO,

−→ı ,

−→

du plan. Si f est une fonction dénie surR ∗ alors la droite d'équation x = 0 est asymptote à lacourbe représentative de f dans le repère

O,

−→ı ,

−→.

5) La fonction f dénie sur R par f(x) = (x2 + 3x + 1) ex est une solution sur R del'équation diérentielle y′ − y = (2x + 3)ex .

6) Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B aectésrespectivement des coecients 3 et−2. Si G est le barycentre des points A, B et C aectés respectivement des coecients 3,−2et 1 alors G est le milieu du segment [CI] .

7) Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C aectés respectivementdes coecients 3, −2 et 1

L'ensemble des points M du plan tels que ‖3−−→MA − 2−−→MB +

−−→MC ‖ = 1 est le cercle de

centre G et de rayon 1 .8) Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne parM un point quelconque du

plan. Le produit scalaire

−−→MA · −−→MB est nul si et seulement si M = A ou M = B .

22

Exercice 23 Polynésie juin 2005Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon-dant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence deréponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.L'espace est rapporté à un repère orthonormal

O,−→ı ,−→ ,−→k

.

On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).Le plan P admet pour équation cartésienne x + 2y + 2z = 5.

1) L'ensemble des points M de l'espace tels que 4−−→MA −−−→MB

= 2 est :a. un plan de l'espace b. une sphère c. l'ensemble vide.

2) Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le planP sont :a.

11

3;

1

3;

1

3

b.

8

3;

1

3;

7

3

c.

7

3; −1

3;

5

3

.

3) La sphère de centre B et de rayon 1 :

a. coupe le plan P suivant un cercle ;b. est tangente au plan P ;c. ne coupe pas le plan P .

4) On considère la droiteD de l'espace passant par A et de vecteur directeur−→u (1 ; 2 ; −1)

et la droite D′ d'équations paramétriques

8><>: x = 3 + 2ty = 3 + tz = t

(t ∈ R ).

Les droites D et D′ sont :a. coplanaires et parallèles b. coplanaires et sécantes c. non coplanaires.

5) L'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B est :

a. la droite d'équations paramétriques

8>>><>>>: x = −3

2− t

y =3

2− 7t

z = 2 + t

(t ∈ R ).

b. le plan d'équation cartésienne 9x− y + 2z + 11 = 0.c. le plan d'équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0.

23

Exercice 24 La réunion juin 2005Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquersur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justication n'est demandée.Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donnertrois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune, ne rapporte aucun point.Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené àzéro.

1) Les suites suivantes sont convergentes :

a.

2n

n2005

n>0

b.

2n + (−1)n√

n

n + 1

n∈N

c.n sin

1

n

n>0

d.√

n

ln n

n>1

2) On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier natureln, les propriétéssuivantes : un 6 vn 6 wn, lim

n→+∞(un) = −1 et limn→+∞(wn) = 1.

Alors :

a. limn→+∞(vn) = 0.

b. La suite (un) est minorée.c. Pour tout n de N , on a : −1 6 vn 6 1.d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3) Une suite (un) est dénie sur N par¨

u0 = 1, 5un+1 = 2un − 1 pour tout entier naturel n.

a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équationsy = x et y = 2x− 1.

b. La suite (vn), dénie sur N par vn = un − 1, est géométrique.c. La suite (vn) est majorée.d. La suite (wn), dénie sur N par wn = ln (un − 1), est arithmétique.

4) Deux suites (xn) et (yn) sont dénies pour n > 0 par les relations :

xn =1

n+

1

n + 1+ · · ·+ 1

2net yn =

1

n + 1+

1

n + 2+ · · ·+ 1

2n.

a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.

b. x3 =19

20et y3 =

37

60.

c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.

24

Exercice 25 France métropolitaine Juin 2004Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquerasur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucunejustication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenéeà 0.Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan Pd'équation x + y − 3z + 4 = 0.

1) Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaireau plan P est :

A :

8><>: x = 1 + ty = 1− 2tz = −3

, t ∈ R B :

8><>: x = 2 + ty = −1 + tz = 1− 3t

, t ∈ R

C :

8><>: x = 1 + ty = −2− 2tz = 3t

, t ∈ R D :

8><>: x = 2 + ty = −1 + tz = −3− 3t

, t ∈ R .

2) Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B :

6

5;− 9

5;

3

5

!C :

7

9;− 2

3;

1

3

!D;

8

11;− 25

11;

9

11

!3) La distance du point S au plan P est égale à :

A :

√11

3B :

3√11

C :9√11

D :9

11

4) On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère S et du planP est égaleA : au point I(1 ; −5 ; 0)

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3

s10

11C : au cercle de centre S et de rayon r = 2

D : au cercle de centre H et de rayon r =3√

10

11.

25

Exercice 26 Amérique du nord Juin 2004Dans le plan ane, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB]et J le centre de gravité de ABC.Pour tout réel m, diérent de −1

3, on note Gm le barycentre du système de points pondérés

Sm = (A, 1), (B, m), (C, 2m) .

Pour tout point M du plan on note−−→VM = 3

−−→MA −−−→MB − 2

−−→MC .

Pour chacune des six armations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point,l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramenéà 0.Répondre aux armations sur la page annexe.

Armation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de(

(J, 2),

C,

2

3

!)Pour tout point M ,

−−→VM =

−−→AB + 2

−−→AC .

Pour tout m, distinct de −1

3,−−−→AGm est colinéaire à

−−−−→AG−1 .

IBG− 12est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réel m tel que P = Gm.

26

Exercice 27 Antilles-Guyane Juin 2004noindent Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte1point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré0,5 point par réponse fausse.On ne demande pas de justier. La note nale de l'exercice ne peut être inférieure à zéro.On pose z = −

È2 +

√2 + i

È2−√2.

1) La forme algébrique de z2 est :

A : 2√

2 B : 2√

2− 2i√

2 C : 2 +√

2 + i2−

√2

D : 2√

2 + 2i√

2

2) z2 s'écrit sous forme exponentielle :

A : 4eiπ4 B : 4e−iπ4 C : 4ei 3π4 D : 4e−i 3π

4

3) z s'écrit sous forme exponentielle :

A : 2ei 7π8 B : 2eiπ8 C : 2ei 5π

8 D : 2ei 3π8

4)È

2 +√

2

2etÈ

2−√2

2sont les cosinus et sinus de :

A :7π

8B :

5π

8C :

3π

8D :

π

8

27

Exercice 28 Asie Juin 2004À chacune des trois armations suivantes, répondre par VRAI ou par FAUX .Aucune justication n'est demandée.

Données Armations Réponsesf est la fonction dé-nie sur l'ensemble Rdes nombres réels par :f(x) =

1

1 + ex, C est la

courbe représentative def dans un repère du plan.

La tangente à C au pointd'abscisse 0 est parallèle à ladroite d'équation y = −1

4x.

G est le bary-centre du systèmede points pondérés(A ; −1), (B ; 1), (C ; 4)

L'application du plan danslui-même qui à tout pointMassocie le point M′ tel que−−−→MM′ = −−−→MA +

−−→MB +

4−−→MC , est une homothétiede rapport −3.

f(x) = x sin 3x Les solutions de l'équationf(x) =

1

2x sont : 0 ;

π

18+

2kπ

3ou 5π

18+ 2k′

π

3, k et k′

sont des entiers relatifs.

Le barème est le suivant :• Réponse exacte : 1 point.• Réponse fausse : −0, 5 point.• Absence de réponse : 0 point.• La note attribuée à l'exercice ne peut être négative.

28

Exercice 29 La Réunion Juin 2004Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à laréponse choisie. Aucune justication n'est demandée.Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence deréponse est comptée 0 point.Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Première partiePour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :B1, 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.

1) On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l'aide de B1.La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A :1203

+5 880

7

6 00010

B : 3

120

C :

10

3

!×

120

6 000

3

×

5 880

6 000

7

D :

10

3

!×

3

120

3

×

7

5 880

7

2) Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporteune adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B1 est :

A : 0, 98 B : 0, 4× 0, 95

0, 6× 0, 98 + 0, 6× 0, 02C : 0, 6×0, 98 D : 0, 6× 0, 98

0, 6× 0, 98 + 0, 4× 0, 95

Deuxième partieLa durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne estmodélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement dénie sur l'intervalle[0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètre λ = 0, 000 5). Ainsi la probabilité que le robot tombeen panne avant l'instant t est :

p ([0 ; t[) =Z t

0λe−λx dx.

1) La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est :

A : e− 25002000 B : e5

4 C : 1− e− 25002000 D : e− 2000

2500

2) La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule :E = lim

t→+∞

Z t

0λxe−λx dx.

a. L'intégraleZ t

0λxe−λx dx est égale à :

A : λt2

2e−λt B : − te−λt− e−λt

λ+

1

λC : λte−λt−λe−λt−λ D : te−λt− e−λt

−λ

b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :

A : 3 500 B : 2 000 C : 2 531, 24 D : 3 000

29

Exercice 30 France métropolitaine Septembre 2003

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal directO,

−→ı ,

−→.

On considère les points A et Ω d'axes respectives : a = −1 +√

3 + i et ω = −1 + 2i.On appelle r la rotation de centre Ω et d'angle 2π

3et h l'homothétie de centre Ω et de rapport

−1

2.

1) Placer sur une gure les points A et Ω, l'image B du point A par r, l'image C du pointB par r et l'image D du point A par h.

2) On note b, c et d les axes respectives des points B, C et D.Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 armations, dont chacune débute dans la pre-mière colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces armations. Pour cela il doit remplir letableau de la feuille annexe, en faisant gurer dans chacune des cases la mention VRAI ouFAUX (en toutes lettres).

1. |a− ω| 2 4√

3− i

2. arg(a− ω) −5π

6

47π

6

π

6

3.−→v ,

−−→ΩC

= arg [(ω − i)] −

−→v ,

−−→CΩ

2π

3

4. ω =1

3(a + b + c) a + b + c b− 2i

5. b− d

a− d=

√3

2i −

√3

3i

√3

3i

l'image de Ω par l'image de Ω par l'image de Ω par la6. Le point D est la translation l'homothétie de centre la rotation de centre

de vecteur 1

2

−→AΩ A et de rapport 3

2B et d'angle− π

6

30

Exercice 31 Amérique du nord juin 2003Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions : chacune comportetrois réponses, une et une seule étant exacte.Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en cochantpour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.Toute réponse ambigue sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacteentraîne une bonication, toute erreur est pénalisée.On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant la premièrepanne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sansvieillissement, dénie sur l'intervalle [0,+∞[. Ainsi, la probabilité d'un intervalle [0, t[, notéep([0, t[), est la probabilité que l'appareil ménager tombe en panne avant l'instantt.Cette loi est telle que p([0, t[) =

Z t

0λe−λx dx, où t est un nombre réel positif représentant le

nombre d'années (loi exponentielle de paramètreλ, avec λ > 0).1) Pour t > 0, la valeur exacte de p([t, +∞[) est :

a. 1− e−λt b. e−λt c. 1 + e−λt

2) La valeur de t pour laquelle on a p([0, t[) = p([t, +∞[) est :

a. ln 2

λb. λ

ln 2c. λ

23) D'après une étude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la n

de la première année est 0,18. La valeur exacte deλ est alors :

a. ln

50

41

!b. ln

41

50

!c. ln(82)

ln(100)

4) Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières annéesaprès sa mise en service, la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne l'année suivanteest :

a. p([1, +∞[) b. p([3, +∞[) c. p([2 ; 3[

Dans la suite de l'exercice on prendra λ = 0, 2.5) La probabilité que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des trois premières années,

arrondie à 10−4 près, est :a. 0, 552 3 b. 0, 548 8 c. 0, 451 2

6) Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne parX lavariable aléatoire égale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des troispremières années.La valeur la plus proche de la probabilité de l'événement X = 4 est :

a. 0, 555 5 b. 0, 802 2 c. 0, 160 7

31

Exercice 32 Amérique du nord juin 2002Répondre au Q.C.M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).

Document à rendre avec la copie

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d'entourer laréponse choisie pour chacune des quatre questions.L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée.a. On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pourformer un paquet . Combien de paquets contenant au moins un jeton ayant un numéropair peut-on ainsi former ?

Réponse 1 : Réponse 2 : Réponse 3 :180 330 110

b. A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que :

p(A) = 0, 4 p(B) = 0, 5 p(A ∪ B) = 0, 35.

Combien vaut p(A ∩ B) ?Réponse 1 : Réponse2 : Réponse 3 :

p(A ∩ B) = 0, 1 p(A ∩ B) = 0, 25 Les données sontinsusantes pour répondre.

c. A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels quep(B ∩ A) =

1

6, pA(B) = 0, 25 (probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé).

Combien vaut p(A) ?Réponse 1 : Réponse 2 : Réponse3 :

p(A) =2

3p(A) =

1

24p(A) =

1

12d. Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :

xi 1 2 4

pi

1

2

1

4

1

4Combien vaut l'écart type de X ?

Réponse 1 : Réponse 2 : Réponse 3 :

σ =3

2σ =

s3

2σ = 2

32