Embed Size (px)
Citation preview
9317142پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌های‌ریاضی‌‌‌‌‌پژوهش
(علوم‌دانشگاه‌خوارزمینشریه)
کنترل بهینه کسری تأخیری با استفاده از توابع حل عددی مسائل
کلاهی بهبود یافته
علوم‌ریاضی،گروه‌ریاضی،بابلسر،ایرانۀ؛دانشگاه‌مازندران،دانشکد*سمیه‌نعمتی
علوم‌ریاضی،گروه‌ریاضی،تهران،ایرانۀ‌یدالله‌اردوخانی؛دانشگاه‌الزهرا،دانشکد
03/02/17پذیرش29/08/16دریافت
چکیده
به‌حل‌عددی‌دسته توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته از استفاده با این‌مقاله، مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌‌در ای‌از
پردازیم‌می توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌می. به‌معرفی‌حساب‌کسری‌و پردازیم‌ابتدا نوع‌ریمان. لیوویل‌و-انتگرال‌کسری‌از
ضرب‌و‌ماتریس‌عملیاتی‌‌سپس،ماتریس‌عملیاتی‌انتگرال‌کسری،حاصل.شوند‌مشتق‌کسری‌از‌نوع‌کاپوتو‌در‌نظر‌گرفته‌می
برای‌حل‌مسئله‌کنترل‌بهینه،توابع‌موجود‌در‌مسئله‌با‌استفاده.شوند‌ای‌مورد‌نظر‌معرفی‌می‌برای‌بردار‌توابع‌پایه‌یتأخیر
توابع‌پایه می‌از ماتریس.شوند‌ای‌تقریب‌زده و یافته خواص‌توابع‌کلاهی‌بهبود از استفاده های‌عملیاتی‌معرفی‌شده،با
با‌حل‌دستگاه‌حاصل،ضرایب‌مجهول‌توابع‌وضعیت‌و‌ورودی‌کنترل.شود‌دستگاهی‌از‌معادلات‌جبری‌غیرخطی‌حاصل‌می
جای با و تقریبی‌از‌جواب‌مسئله‌حاصل‌می‌تعیین‌شده شود‌گذاری‌این‌مقادیر، . چند‌مثال‌عددی‌پایاندر از‌‌گوناگون،
.شود‌یید‌دقت‌و‌کارآیی‌روش‌پیشنهادی‌در‌نظر‌گرفته‌میأمسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌برای‌ت
لیوویل،مشتق‌کاپوتو،ماتریس‌عملیاتی‌انتگرال،-کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری،توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته،انتگرال‌ریمان‌ۀمسئل:کلیدی ای واژه
ماتریس‌عملیاتی‌حاصلضرب،ماتریس‌عملیاتی‌تأخیر
مقدمه
غیرصحیحی‌دلخواه‌ۀ‌ها‌از‌هر‌مرتب‌های‌مشتقات‌و‌انتگرال‌های‌اخیر،موضوع‌حساب‌کسری‌که‌شامل‌نظریه‌در‌دهه
،مدل[2]،مدل‌انتقال‌گرما[1]شناسی‌آب:های‌جهان‌واقعی‌مانند‌طور‌گسترده‌در‌توصیف‌بسیاری‌از‌پدیده‌است،به
پویا دما[4]مالی،[3]ویسکوالاستیسیته و موتور کنترل پدیده[5]، دیگر‌و است[8]-[6]های شده استفاده ،.
معرفی‌روش مرتب‌های‌مدل‌هایی‌برای‌تعیین‌جواب‌بنابراین، های‌با دکسری‌اهمیت‌زیادی‌دارۀ این‌مدل. ها‌‌اغلب،
های‌تحلیلی‌برای‌این‌دسته‌از‌معادلات‌‌تعیین‌جواب.دیفرانسیل‌کسری‌هستند-شامل‌معادلات‌دیفرانسیل‌و‌انتگرال
برخی.اند‌شدهها‌معرفی‌‌های‌عددی‌بسیاری‌برای‌یافتن‌تقریبی‌از‌جواب‌آن‌رو،روش‌از‌این.دشوار‌و‌یا‌غیرممکن‌است
و[12]،روش‌عناصر‌متناهی[11]ها،روش‌موجک[10]9،روش‌تبدیل‌سومودو[9]ها،روش‌طیفی‌تاو‌از‌این‌روش
.ندهست[14]،[13]محلی‌روش‌هم
های‌کنترل‌و‌وضعیت،که‌‌از‌متغیر‌ای‌سازی‌یک‌تابعی‌روی‌مجموعه‌کمینهتعریف‌کلی‌یک‌مسئله‌کنترل‌بهینه‌به
برخی‌از.ها‌اشاره‌دارد‌ها‌و‌کنترل‌های‌دینامیکی‌روی‌وضعیت‌شود،تحت‌محدودیت‌به‌آن‌شاخص‌عملکرد‌گفته‌می
[email protected] نویسنده مسئول *
1. Sumudu
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد141 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
کنترل‌‌ۀشوند‌و‌منجر‌به‌مسئل‌های‌دینامیکی‌استفاده‌می‌عنوان‌محدودیتمعادلات‌دیفرانسیل‌کسری‌وجود‌دارند‌که‌به
دلیل‌کاربرد‌در‌مهندسی‌و‌فیزیک‌توجه‌زیادی‌را‌به‌خود‌جلب‌‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌به.شوند‌بهینه‌کسری‌می
ای‌و‌موروثی،و‌فرآیندهای‌دینامیکی‌شامل‌پخش‌‌عنوان‌مثال،نشان‌داده‌شده‌است‌که‌مواد‌با‌اثرات‌حافظه‌به.اند‌کرده
های‌مرتبه‌صحیح‌‌تر‌از‌مدل‌رتبه‌کسری‌مناسبهای‌م‌متخلخل‌فراکتال‌با‌استفاده‌از‌مدل‌ۀگاز‌و‌هدایت‌گرما،در‌ناحی
[15]شوند‌بندی‌می‌مدل می‌کاربرد. مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌را یافت[16]-[18]توان‌در‌های‌دیگری‌از اکثر.
گونه‌‌های‌عددی‌باید‌برای‌حل‌این‌های‌تحلیلی‌و‌دقیق‌نیستند،بنابراین‌روش‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌دارای‌جواب
ی‌و‌انتخاب‌شوندمسائل‌معرف های‌دینامیکی‌از‌مرتبه‌صحیح‌انجام‌‌سیستم‌ۀ‌کنترل‌بهین‌ۀ‌کارهای‌زیادی‌در‌زمین.
ن‌سعی‌ا،برخی‌از‌محققهای‌وسیع‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری،اخیراً‌با‌وجود‌کاربرد(.[19]-[21]مانند)شده‌است
های‌بیان‌‌روش‌توان‌به‌ها‌می‌ند‌که‌از‌بین‌آنهای‌عددی‌برای‌حل‌این‌نوع‌از‌مسائل‌بپرداز‌اند‌به‌گسترش‌روش‌کرده
.دکراشاره[22]-[34]شده‌در
های‌قدرت،های‌زندگی‌واقعی‌مانند‌ارتباطات،سیستم‌نظریه‌معادلات‌دیفرانسیل‌تأخیری‌که‌در‌بسیاری‌از‌پدیده
میلادی9177،اولین‌بار‌در‌سال(مراجعه‌شود]36[،]33[به)حمل‌و‌نقل،بیولوژی،الکترونیک‌و‌شیمی‌کاربرد‌دارد
معرفی‌شد]37[در مسئله‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌یک‌مسئله‌کنترل‌بهینه‌است‌که‌در‌آن‌شاخص‌عملکرد.
گرفته‌میتحت‌م نظر عادلات‌دیفرانسیل‌کسری‌تأخیری‌در ]40[-]38[شود . اساس]49[در یک‌روش‌عددی‌بر
می9های‌برنشتاین‌ای‌جمله‌چند تابع‌وضعیت‌ظاهر در آن‌تأخیر در کسری‌که کنترل‌بهینه شود،برای‌حل‌مسئله
یک‌تکنیک‌عددی‌برای‌حل‌مسئله‌کنترل‌بهینه‌که‌در‌آن‌تأخیر]42[که،نویسندگان‌در‌‌حالی‌در.معرفی‌شده‌است
در2های‌لژاندر‌ای‌جمله‌های‌عملیاتی‌چند‌از‌ماتریس.اند‌دهد‌پیشنهاد‌کرده‌هم‌در‌تابع‌وضعیت‌و‌هم‌در‌کنترل‌رخ‌می
های‌‌یه‌موجکیک‌روش‌عددی،با‌استفاده‌از‌پا]44[در‌آخر،در.برای‌حل‌این‌نوع‌از‌مسائل‌استفاده‌شده‌است]43[
های‌ذکر‌شده،شاخص‌عملکرد‌مربعی‌در‌نظر‌‌در‌روش.برای‌حل‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌ارائه‌شده‌است3برنولی
.گرفته‌شده‌است
گیریم‌در‌این‌مقاله،مسئله‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌زیر‌را‌در‌نظر‌می
0min ( , ( ), ( )) ,
ft
J h t x t u t dt (9)
با‌شرایط
( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ), [ ,0],
( ) ( ), [ ,0],
(0) , 1,2, , 1,i i
D x t c t x t d t u t e t x t f t u t g t
x t a t t
u t b t t
D x x i n
(2)
و
0 ft t ،0 , ft ، 1n n .
این مفهوم‌کاپوتو‌فرض‌می‌در مشتق‌در شود‌جا، . شکل‌انتگرالی‌محدودیت‌دینامیکی‌در 2)ابتدا مفهوم( در را
چنین‌دیگر‌توابع‌موجود‌در‌‌های‌وضعیت،کنترل‌و‌هم‌سپس،با‌استفاده‌از‌تقریب‌متغیر.آوریم‌می‌دست‌بهلیویل-ریمان
دینامیکی 2)محدودیت اس( یافته، بهبود کلاهی توابع اساس ماتریسبر از روش‌‌تفاده توابع، این عملیاتی های
1. Bernstein
2. Legendre 3. Bernoulli
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
142حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
.یابد‌لژاندر‌و‌در‌آخر،روش‌ضرایب‌لاگرانژ،مسئله‌به‌حل‌دستگاهی‌از‌معادلات‌جبری‌کاهش‌می-گیری‌گاوس‌انتگرال
،معادلات‌انتگرال[45]توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌برای‌حل‌برخی‌از‌معادلات‌از‌جمله،معادلات‌انتگرال‌فردهلم‌دوبعدی
استراتونویچ 9ولترای‌ولترا[46] انتگرال معادلات خطی[47]فردهلم-، ولترای انتگرال معادلات از دستگاهی ،
اند‌و‌نشان‌داده‌شده‌که‌تقریب‌توابع‌‌استفاده‌شده،[49]چنین‌برای‌حل‌معادلات‌دیفرانسیل‌کسری‌استراتونویچ‌و‌هم
.تری‌است‌بیشهمگرایی‌‌میزانبا‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌نسبت‌به‌توابع‌کلاهی‌دارای
.شود‌در‌این‌مقاله،ابتدا‌مقدماتی‌از‌حساب‌کسری‌و‌سپس‌خواص‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌در‌بخش‌دوم‌بیان‌می
معر به سوم، بخش ماتریسدر حاصل‌فی کسری، انتگرال عملیاتی یافتههای بهبود کلاهی توابع تأخیر و ضرب
تحت(9)بخش‌چهارم‌به‌بیان‌یک‌تکنیک‌عددی‌برای‌حل‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌به‌شکل.پردازیم‌می
.شود‌ر‌نظر‌گرفته‌میهایی‌در‌بخش‌پنجم‌د‌برای‌نشان‌دادن‌کارآیی‌و‌دقت‌روش،مثال.یابد‌اختصاص‌می(2)شرایط
.پردازیم‌در‌آخر،در‌بخش‌ششم‌به‌بیان‌نتایج‌می
مفاهیم اساسی های انتگرال و مشتق کسری عملگر
انتگرال‌کسری.شود‌‌در‌این‌بخش‌به‌صورت‌مختصر‌به‌مرور‌برخی‌از‌مفاهیم‌اولیه‌در‌حساب‌کسری‌پرداخته‌می
.ها‌و‌مشتقات‌کسری‌هستند‌ترین‌تعاریف‌انتگرال‌ادهلیوویل‌و‌مشتق‌کسری‌کاپوتو‌دو‌تعریف‌از‌پر‌استف-ریمان
0از‌مرتبهIلیوویل-عملگر‌انتگرال‌ریمان.2تعریف [50]شود‌تعریف‌می‌صورت‌دینب:
0α
11( ) ( 0,
I
( )
) ,( )(
0
)
, ,
t
t y d
y t
y t
(3)
که‌در‌آن
,=)( 1
0dtet t
.تابع‌گامای‌اویلر‌است
αفرض‌کنید.1تعریف ، ،n یک‌تابع‌پیوسته‌حقیقی‌مقدار‌تعریف‌شده‌روی و
[50]شود‌تعریف‌می‌صورت‌دینگاه‌مشتق‌کسری‌کاپوتو‌ب‌باشد،آن
:کنند‌صدق‌می(4)لیوویل‌و‌مشتق‌کسری‌کاپوتو‌در‌خاصیت-عملگر‌انتگرال‌کسری‌ریمان1
( )
=0
( ( )) = ( ) (0) , 1< , > 0.!
ini
i
tI D y t y t y n n t
i
(4)
ها توابع کلاهی بهبود یافته و خواص آن
یافته توابع‌کلاهی‌بهبود0
{ ( )}n
ii t
3)صورت‌‌‌هب روی‌بازه باز[45].شوند‌میتعریف( واقع ۀدر
=,1,0,1,2برای زیربازهnمذکور‌به ni شود‌که‌در‌آن‌‌تقسیم‌می
و
nیک‌عدد‌صحیح‌زوج‌است.
1 Stratonovich
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد144 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
(3)
صورت‌این در غیر
11فرد‌باشد‌و اگر niداریم ،
(6) 2
1( ( 1) )( ( 1) ),t i h t i h
h
( 1) ( 1) ,i h t i h
صورت‌این در غیر
22زوج‌باشد‌و اگر niداریم ،:
(7 )
),2)()(1)((
2
12
hithith
,2)( ihthi
),2)()(1)((2
12
hithith
,2)( hitih
صورت این در غیر
و
(8)
صورت این در غیر
چنین،با‌استفاده‌از‌تعریف‌این‌توابع،خواص‌‌هم.مستقل‌خطی‌هستند توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌در‌فضای
:زیر‌برقرار‌است
اگر زوج باشد و
اگر فرد باشد و
0L]2یک‌تابع‌دلخواه ]y , ftمی به‌را یافته ترکیب‌خطی‌توابع‌کلاهی‌بهبود از استفاده (1)صورت‌‌توان‌با
تقریب‌زد،
(1) 0
y t y Ψ ,n
T
n i i
i
t a t A t
>
که‌در‌آن
(90) 0 1Ψ t [ , , , ] ,T
nt t t
(99) 0 1, , , ,T
nA a a a
. که‌‌طوری‌به
عملیاتی توابع کلاهی بهبود یافتههای ماتریس
گیری‌کسری،حاصلضرب‌و‌تأخیر‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌‌های‌عملیاتی‌انتگرال‌در‌این‌بخش‌به‌معرفی‌ماتریس
.پردازیم‌می
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
142حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
ماتریس عملیاتی انتگرال کسری
داریم(3)لیوویل‌در-با‌استفاده‌از‌تعریف‌عملگر‌انتگرال‌ریمان
(92)
1
0
1.
Γ
t
i iI t t d
tiI)(اکنون‌بسط‌تابع
:گیریم‌صورت‌در‌نظر‌می‌دینرا‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌ب
:داریم(92)بنابراین،با‌استفاده‌از.دهستن در‌نقطه مقدار که‌در‌آن‌ضرایب
(93)
1
0
1, , 0,1,2, , .
Γ
jh
ij ijh d i j n
دو‌‌ۀای‌از‌درج‌ای‌قطعه،یک‌چندجمله برای شود‌که‌‌می‌ملاحظه،(8)-(3)از‌معادلات
.راحتی‌قابل‌محاسبه‌است‌به(93)همین‌دلیل‌قسمت‌انتگرالی‌‌است،به
:آوریم‌دست‌می‌هب(93)در(3)گذاری‌‌با‌جای
(94)0
1
1
0, = 0,
[ (3 2 )], = 1,2 ( 3)
=
[ (2 6 3 ) 2 (1 )(2 )2 ( 3)
( 2) (2 2 )], > 1.
j
j
hj
hj j j
j j j
گیریم‌های‌فرد‌نتیجه‌می برای با‌در‌نظر‌گرفتن‌تعریف
(93)
1
1
0, < ,
2(1 ), = ,
( 3)=
2[( 1) ( 1 )
( 3)
( 1) ( 1 )], > ,
ij
j i
hj i
hj i j i
j i j i j i
زوج‌داریم ازای‌‌چنین‌به‌و‌هم
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد142 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
1
1
1 1
1
0, < 1,
( ), = 1,2 ( 3)
2 (2 ) , = ,2 ( 3)
=
[3 (4 ) 6(2 )], = 1,2 ( 3)
[( 2) (2 2 2 ) 6( )2 ( 3)
(2 ) ( 2) (2 2 2 )], > 1.
ij
j i
hj i
hj i
hj i
hj i j i j i
j i j i j i
(96)
.برقرار‌است9ۀ‌با‌توجه‌به‌مطالب‌بیان‌شده،قضی
αو(90)بردار‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌در Ψفرض‌کنید:2 ۀقضی گاه‌‌باشد،آن
(97) Ψ Ψ ,I t P t >
صورت‌‌است‌که‌به ۀلیوویل‌از‌مرتب-ماتریس‌عملیاتی‌انتگرال‌کسری‌ریمان که‌‌طوری‌به
شود‌زیر‌معرفی‌می
1 2 3 4 1
0 1 2 3 2 1
1 0 1 2 3 2
0 1 4 3( )
1 0 5 4
0 1
1 0
0
0
0
0 0 0= ,
0 0 02 ( 3)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
n n
n n
n n
n n
n n
hP
که‌در‌آن
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
142حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
(98)
1
1 1
0
1 1
= (3 2 ),
= (2 6 3 ) 2 (1 )(2 ) ( 2) (2 2 ),
= 2,3, , ,
= 4(1 ),
= 4[( 1) ( 1 ) ( 1) ( 1 )], = 1,2, , 1,
k
k
k k k k k
k n
k k k k k n
1
1
0
1
1
1 1 1
= ,
= 2 (2 ),
= 3 (4 ) 6(2 ),
= ( 2) (2 2 ) 6 (2 ) ( 2) (2 2 ),
= 2,3, , 2.
k k k k k k
k n
های‌ماتریس‌با‌درایه(97)ۀ،رابط(96)-(94)در‌معادلات با‌معرفی:اثبات P
داده‌شده(98)که‌در
.آید‌دست‌می‌است‌به
تابع 1)ۀصورت‌معادل‌توسط‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌به اگر آن( می‌تقریب‌زده‌شود، با توان‌‌گاه را
:تقریب‌زد‌صورت‌دینب(97)استفاده‌از( )( ) ( ) ( ).T
ny yI It t A P t > >
ماتریس عملیاتی حاصلضرب
:[45]گاه‌داریم‌تعریف‌شوند،آن(99)و(90)صورت‌‌ترتیب‌بهبه و Ψاگر‌بردارهای
(91)( ) ( ) ( ),Tt t A A t >
:شود‌داده‌می‌صورت‌دیناست‌که‌ب ۀضرب‌از‌مرتب‌ماتریس‌عملیاتی‌حاصل که‌در‌آن
).,,,(=~
10 naaadiagA
ماتریس عملیاتی تأخیر
)منظور‌معرفی‌ماتریس‌عملیاتی‌تأخیر،هر‌یک‌از‌توابع‌‌به )it 0را‌که‌در‌آن است،با‌استفاده‌از
)گذاری‌بنابراین،با‌جای.زنیم‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌تقریب‌می )it جای‌بهyداریم(1)در:
0
( ) ( ) ( ).n
i i jj
t jh t
>
)ای‌‌با‌در‌نظر‌گرفتن‌بردار‌پایه )tداریم:
(20)( ) ( ),t tR >
Rکه‌در‌آن)ۀشود‌و‌یک‌ماتریس‌از‌مرتب‌ماتریس‌عملیاتی‌تأخیر‌نامیده‌می 1) ( 1)n n است‌صورت‌دینب:
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0 ( ) (2 ) ( )
( ) (2 ) ( )0
.0 ( ) (2 ) ( )
0 ( ) (2 ) ( )n n n
h h nh
h h nh
h h nh
h h nh
R
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد142 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
)توان‌‌گاه‌می‌تقریب‌زده‌شود،آن(1)صورت‌معادله‌توسط‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌به اگر‌تابع )y t را‌با
:تقریب‌زد‌صورت‌دینب(20)استفاده‌از
( ) ( ).T
y t tA R >
حل عددی مسئله کنترل بهینه کسری تأخیری
بهینه کنترل مسائل عددی حل به بخش، این 2)-(9)صورت‌بهدر یافته( بهبود کلاهی توابع از استفاده با
را‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته،gوx،u،c،d،e،fبرای‌رسیدن‌به‌این‌هدف،توابع.پردازیم‌می
:زنیم‌صورت‌تقریب‌می‌دینترتیب،ب‌به
(29)
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
nT
i ii
nT
i ii
nT
i ii
nT
i ii
nT
i ii
nT
i ii
nT
iii
x t t X t
u t t U t
c t t C t
d t t D t
e t t E t
f t t F t
g t t G t
x
u
c
d
e
f
g
>
>
>
>
>
>
>
درایه‌طوری‌به بردارهای‌که درایهUوXهای و بردارهای‌مجهول باGوC،D،E،Fهای که هستند معلوم
جای در متناظر توابع 1)گذاری می( شوند‌حاصل جای. تقریب‌با توابع‌گذاری شاخص‌عملکردuوxهای ،Jدر
:آید‌دست‌می‌صورت‌به‌دینتقریبی‌از‌آن‌ب
0
[ , ] ( , ( ), ( )) .ft T TJ X U h t X t U t dt > (22)
،داریم(22)لژاندر‌برای‌انتگرال-گیری‌گاوس‌با‌استفاده‌از‌انتگرال
1
[ , ] ( ( 1), ( ( 1)), ( ( 1))),2 2 2 2
mT Tf f f f
k k k k
k
t t t tJ X U h X U
(23)
,k،1,2که‌در‌آن ,k mۀای‌لژاندر‌از‌درج‌جمله‌های‌چند،صفرmوk[51]دهای‌متناظر‌هستن‌ها‌وزن.
)حال‌متغیر‌وضعیت‌تأخیری )x t و‌متغیر‌کنترل‌تأخیری( )u t صورت‌‌به(29)و(20)با‌استفاده‌از
:شوند‌تقریب‌زده‌می(24)
(24)( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
T T
T T
x t X t X R t
u t U t U R t
> >
> >
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
142حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
و‌با‌استفاده‌از‌خاصیت‌بیان(2)روی‌سیستم‌دینامیکی‌‌‌ۀلیوویل‌از‌مرتب-از‌طرف‌دیگر،با‌اعمال‌انتگرال‌ریمان
:،داریم(4)شده‌در
(23)0( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )],x t x t I c t x t d t u t e t x t f t u t g t
که‌در‌آن1
0 0
1
( ) (0)!
ini
i
tx t a x
i
.
جای 29)های‌‌گذاری‌تقریب‌اکنون‌با ) 24)و ) 23)در ) سیستم‌دینامیکی‌در 2)تقریبی‌از حاصل(26)صورت‌‌به(
:شود‌می
(26)( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )],
T T T T T T
T T T T T
X t A t I X t t C U t t D
X R t t E U R t t F G t
0بردار‌ضرایب‌تقریب‌تابعAکه‌در‌آن ( )x t0گزینی‌تابع‌‌بر‌اساس‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌است‌که‌با‌جای ( )x t
:داریم(26)در(91)و(97)با‌استفاده‌از.آید‌دست‌می‌به(1)در( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
T T T T T
T T
X t A t X CP t U DP t X R E t
U R FP t G P t
به‌دستگاهی‌از‌معادلات‌جبری‌خطی(2)کلاهی‌بهبود‌یافته،سیستم‌دینامیکی‌در‌با‌توجه‌به‌استقلال‌خطی‌توابع
:یابد‌کاهش‌می‌صورت‌دینب( ) ( ) ( ) ( ) 0.T T T T T T TX A X CP U DP X R E U R FP G P
داریم(29)و‌تقریب‌این‌تابع‌در‌معادله(2)درuاز‌طرف‌دیگر،با‌توجه‌به‌شرط‌اولیه‌برای‌تابع
(0) (0) (0),Tu b U >
و‌یا
(0) (0) 0.TU b
:کنیم‌اکنون،با‌استفاده‌از‌روش‌ضرایب‌لاگرانژ‌تعریف‌می* ( ) ( )
1 2
( ) ( )
1 2
[ , , , ] [ , ] [
] [ (0) (0)] .
T T T T T
T T T
J X U J X U X A X CP U DP X R E
U R FP G P U b
بردار‌ضرایب‌لاگرانژ‌مجهول‌به‌شکل1ضریب‌لاگرانژ‌مجهول‌و2که‌در‌آن
1 1,0 1,1 1,2 1,[ , , , , ] ,T
n
:به‌صورت‌زیر‌هستند(2)تحت‌شرایط(9)با‌توجه‌به‌روش‌ضرایب‌لاگرانژ،شرایط‌بهینگی‌شاخص‌عملکرد.است
(27)
* *
1 2 1 2
* *
1 2 1 2
1 2
[ , , , ] [ , , , ]0, 0,
[ , , , ] [ , , , ]0, 0.
J X U J X U
X U
J X U J X U
های‌تابع‌وضعیت‌‌گذاری‌تقریب‌با‌جای.شوند حاصل‌می(27)با‌حل‌دستگاه‌معادلات2وX،U،1های‌‌مجهول
( ) ( )Tx t X t>ورودی کنترل تابع )و ) ( )Tu t U t> حاصل(23)در بهینه شاخص‌عملکرد از تقریبی ،
.شود‌می
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد122 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
های عددی مثال
منظور‌نشان‌دادن‌دقت‌و‌کارآیی‌روش‌پیشنهادی،چند‌نوع‌مختلف‌از‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌‌در‌این‌بخش،به
برای‌حل‌آن‌تأخیری‌را‌در‌نظر‌می کنیم‌ها‌اعمال‌می‌گیریم‌و‌این‌روش‌را های‌این‌‌مثال‌ۀقابل‌ذکر‌است‌که‌در‌هم.
-گیری‌گاوس‌بخش‌برای‌انتگرال از 10mلژاندر استاستفا شده ده این‌مثال‌برنامه. نرم‌های‌مربوط‌به با افزار‌‌ها
.چنین،برای‌حل‌دستگاه‌معادلات‌حاصل‌از‌روش‌تکراری‌نیوتن‌استفاده‌شده‌است‌هم.اند‌متمتیکا‌نوشته‌و‌اجرا‌شده
:[24]گیریم‌دهد‌را‌در‌نظر‌می‌که‌در‌آن‌هیچ‌تأخیری‌رخ‌نمی(28)مسئله‌کنترل‌بهینه‌کسری:2مثال
(28) 2
9/101 2
2 4
0
20min ( ) ( ) ,
9 (9 /10)
tJ x t t u t t dt
با‌شرایط
(21)1.1 2( ) ( ) ( ),
(0) '(0) 0.
D x t t x t u t
x x
)2توابع )x t tو
0Jکمینۀهستند‌و‌مقدارJشاخص‌عملکرد‌‌ۀ‌کنند‌کمینه
حاصلJمقادیر‌تقریبی.کنیم‌را‌حل‌می(21)-(28)ۀمسئلnبا‌استفاده‌از‌روش‌پیشنهادی‌و‌با‌مقادیر‌مختلف.است
های‌لژاندر‌و‌با‌‌ای‌با‌استفاده‌از‌چندجمله[24]از‌روش‌بیان‌شده‌در‌این‌مقاله‌و‌جواب‌حاصل‌از‌روش‌ارائه‌شده‌در
1.314مقدار‌تقریبی با‌قرار‌دادن.اند‌گزارش‌شده9در‌جدول، 3J e نمودار.شود‌حاصل‌می
.نمایش‌داده‌شده‌است9ها‌در‌شکل‌‌دقیق‌آن‌های‌همراه‌جواب‌به باxوuهای‌تقریبی‌برای‌توابع‌‌جواب
1با 2برای مثال ]14[با روش nازای مقادیر مختلف به Jمقایسه مقادیر تقریبی شاخص عملکرد . 2جدول
[24]روش‌لژاندر‌روش‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
n m
4 8 16 32 64 128 258 8
666/6 e 5- 686/1 e 6- 191/1 e 7- 696/1 e 8- 606/1 e 9- 611/6 e 10- 668/6 e 11- 7.034e-8
با استفاده ( سمت چپ) xو تابع وضعیت ( سمت راست) uهای دقیق و تقریبی تابع کنترل مقایسه جواب. 2شکل
2nاز 2برای مثال ،[42]-[44]گیریم‌مسئله‌کنترل‌بهینه‌کسری‌زیر‌که‌در‌آن‌تأخیر‌در‌تابع‌وضعیت‌وجود‌دارد‌را‌در‌نظر‌می: 1مثال
[52].
n 2
دقیق جواب
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
xt
n 2
دقیق جواب
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
t
ut
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
122حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
22 2
0
1min ( ( ) ( )) ,
2J x t u t dt
سیستم‌دینامیکیبا
( ) ( 1) ( ), 0 1,
( ) 1, [ 1,0],
D x t x t u t
x t t
0که‌در‌آن 2t 1و‌درt ،( ) 0x t .
جواب با روش‌حاضر از استفاده nهای‌عددی‌با با 1های‌مختلف‌و از‌به استفاده نتایج‌عددی‌با همراه
پالس-و‌توابع‌هایبرید‌بلاک[44]های‌برنولی،موجک[43]های‌لژاندر‌ای،چندجمله[42]های‌برنشتاین‌ای‌چندجمله
برای‌‌و‌مقادیر‌مختلف های‌عددی‌با‌‌چنین،جواب‌هم.نمایش‌داده‌شده‌است2،در‌جدول[52]و‌لژاندر
.اند‌رسم‌شده2در‌شکلxو‌تابع‌وضعیتuتابع‌کنترل‌ورودی
1با 1های موجود دیگر برای مثال و مقایسه آنها با روش nبه ازای مقادیر مختلف Jمقادیر تقریبی . 1جدول
توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌‌روش
n248963264928236392
J2996/96873/06383/06404/06392/06266/06243/06239/06223/0
]42[های‌برنشتاین‌‌ای‌چندجمله‌روش
(6m )
]43[های‌لژاندر‌‌ای‌چندجمله
(6M )
]44[های‌برنولی‌‌موجک
(2k ،6M )
]32[هایبرید‌لژاندر
(4K ،4M )
J6389/04727/03048/08392/0
به ازای مقادیر (سمت چپ) xو تابع وضعیت ( سمت راست) uتابع کنترل های تقریبی جواب. 1شکل
a=1, 0.9,0.8, 0.7 ازبا استفادهn=64 1برای مثال
شود‌که‌در‌آن‌تأخیر‌در‌کنترل‌‌ورت‌در‌نظر‌گرفته‌میص‌دیندر‌این‌مثال،یک‌مسئله‌کنترل‌بهینه‌کسری‌ب:2مثال
.[53]،[43]دهد‌ورودی‌رخ‌می1
2 24
0
1min ( ( ) ( )) ,
2J x t u t dt
با‌شرایط
1( ) ( ) ( 0.1) ( ), 0 , 0 1,
4
(0) 1,
( ) 0, [ 0.1,0].
D x t x t u t u t t
x
u t t
1
0.9
0.8
0.7
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
xt 1
0.9
0.8
0.7
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
t
ut
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد121 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
1ازای‌بهnبا‌استفاده‌از‌مقادیر‌مختلفJهای‌حاصل‌از‌روش‌پیشنهادی‌در‌این‌مقاله‌برای‌‌جواب ،در‌جدول
و[43]های‌لژاندر‌ای‌چندجملهاند،روش‌‌هایی‌که‌از‌قبل‌برای‌این‌مسئله‌پیشنهاد‌شده‌روش.است‌‌نشان‌داده‌شده3
ای‌در‌روش‌چندجمله.ندهست[53]9های‌بزیر‌ترین‌مربعات‌بر‌اساس‌منحنی‌روش‌تقریب‌کم 7Mهای‌لژاندر‌با
0.0143671Jمقدار‌تقریبی 0.1565867و‌در‌روش‌دوم‌مقدارJ 3در‌جدول‌‌که‌چنان.حاصل‌شده‌است
.مطابقت‌دارند‌تقریباً[53]شود،جواب‌حاصل‌از‌روش‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌و‌جواب‌روش‌ارائه‌شده‌در‌مشاهده‌می
64nهای‌تقریبی‌حاصل‌از‌‌چنین،نمودار‌جواب‌هم 1و, 0.9, 0.8, 0.7 برای‌تابع‌کنترلuو‌تابع‌وضعیت
xشود‌مشاهده‌می3در‌شکل.
1و با nبه ازای مقادیر مختلف Jمقادیر تقریبی شاخص عملکرد . 2جدول 2برای مثال
n248963264928236392
J9367/09333/09330/09338/09340/09337/09337/09336/09336/0
ازای مقادیر به (سمت چپ) xو تابع وضعیت( سمت راست) uتابع کنترل های تقریبی جواب. 2شکل
a=1,0.9,0.8,0.7 با استفاده ازn=64 2برای مثال ، [44]، [42]گیریم‌کنترل‌بهینه‌کسری‌زیر‌با‌تأخیر‌در‌کنترل‌و‌وضعیت‌را‌در‌نظر‌می‌ۀ‌در‌این‌مثال،مسئل:4مثال
[54]1
2 2
0
1 1min ( ( ) ( )) ,
2 2J x t u t dt
با‌شرایط
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 1,
3 2 3
1( ) 1, [ ,0],
3
2( ) 0, [ ,0],
3
D x t x t x t u t u t
x t t
u t t
0که‌در‌آن 1t و1
( ) 0,3
x t t .
1برایnبا‌مقادیر‌مختلفJنتایج‌عددی‌برای همراه‌نتایج‌‌با‌استفاده‌از‌روش‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌به
[42]های‌برنشتاین‌ای‌های‌چندجمله‌حاصل‌از‌روش برنولی‌توابع‌هایبرید‌بلاک، موجک[54]پالس‌و های‌برنولی‌‌و
تا‌سه‌رقم‌با کمینهتوان‌دریافت‌که‌مقدار‌‌با‌در‌نظر‌گرفتن‌مقادیر‌جدول‌می.شود‌مشاهده‌می4،در‌جدول[44]
1. Bezier
1
0.9
0.8
0.7
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
1.00
1.05
1.10
1.15
t
xt
1
0.9
0.8
0.7
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
t
ut
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
122حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
0.234Jدرست‌معنای 64حاصل‌از‌‌های‌تقریبی‌علاوه،نمودارهای‌جواب‌به.استn 1,0.9,0.8,0.7و
.شود‌مشاهده‌می4در‌شکلxو‌تابع‌وضعیتuبرای‌تابع‌کنترل
1با 4های موجود دیگر برای مثال ها با روش و مقایسه آن nازای مقادیر مختلف به Jمقادیر تقریبی. 4جدول
توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌‌روش
n248963264928236392
J2134/02291/02303/02394/02386/02338/02336/02344/02348/0
]42[های‌برنشتاین‌‌ای‌چندجمله‌روش
(6m )
]34[پالس‌و‌برنولی‌‌‌هایبرید‌بلاک
(3N ،1M )
]44[های‌برنولی‌‌موجک
(2k ،6M )
J3136/03739/09027/0
به ازای مقادیر (سمت چپ) xو تابع وضعیت ( سمت راست) uتابع کنترل های تقریبی جواب. 4شکل
a=1,0.9,0.8,0.7 با استفاده ازn=64 4برای مثال
مصرفی‌بر‌حسب‌ثانیه‌توسط‌پردازنده‌برای‌حل‌دستگاه‌معادلات‌غیرخطی‌حاصل‌از‌اجرای‌روش‌در‌آخر،مدت‌زمان
.شود‌مشاهده‌می3،در‌جدول4-9های‌‌پیشنهادی‌در‌این‌مقاله‌برای‌مثال
4-2های زمان مصرفی برحسب ثانیه توسط پردازنده برای مثال. 2جدول
n 248963264928236392
9000/0مثال 000/0 096/0 047/0 901/0 461/0 873/9 601/90 ─
2000/0مثال 000/0 000/0 093/0 047/0 987/0 828/0 433/4 972/21
3000/0مثال 000/0 000/0 093/0 014/0 406/0 860/9 483/99 864/71
4000/0مثال 000/0 096/0 039/0 990/0 468/0 707/2 601/93 798/901
گیری نتیجه
در‌این‌مقاله،یک‌روش‌عددی‌بر‌اساس‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌برای‌حل‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری
لژاندر‌و‌روش‌ضرایب-گیری‌گاوس‌همراه‌روش‌انتگرال‌ای‌به‌های‌عملیاتی‌توابع‌پایه‌استفاده‌از‌ماتریس.شده‌است‌داده
به را نظر مورد مسئله معادلات‌جبری‌غیرخطی‌کاهش‌میلاگرانژ، از دهد‌حل‌دستگاهی حاصل،. حل‌دستگاه با
دست‌آمده‌در‌‌ههای‌ب‌گذاری‌تقریب‌با‌جای.شود‌های‌تقریبی‌برای‌تابع‌کنترل‌ورودی‌و‌تابع‌وضعیت‌حاصل‌می‌جواب
نه‌کسری‌روش‌پیشنهادی‌روی‌چند‌نوع‌مختلف‌از‌مسائل‌کنترل‌بهی.شود‌شاخص‌عملکرد،تقریبی‌از‌آن‌حاصل‌می
ای‌در‌نظر‌گرفته‌شد‌که‌در‌آن‌‌منظور‌نشان‌دادن‌دقت‌بالای‌روش،در‌مثال‌اول‌مسئله‌به.تأخیری‌اعمال‌شده‌است
های‌حاصل‌از‌روش‌پیشنهادی‌با‌جواب‌دقیق‌‌با‌مقایسه‌جواب.هیچ‌تأخیری‌رخ‌نداده‌و‌جواب‌تحلیلی‌آن‌موجود‌است
1
0.9
0.8
0.7
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t
xt 1
0.9
0.8
0.7
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
t
ut
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد124 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
،دقت‌بالای‌روش‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته[24]های‌لژاندر‌در‌یا‌شده‌بر‌اساس‌چندجمله‌دادهو‌مقایسه‌آن‌با‌روش
شود‌یید‌میأت جواب‌هم. مثال‌چنین، نشان‌هب4-2های‌‌هایی‌که‌در است‌همگرایی‌این‌جواب‌ۀدهنددست‌آمده ها با.
[43]شده‌در‌‌دادههای‌‌حاصل‌از‌روش‌پیشنهادی‌در‌این‌مقاله‌با‌روشxوuهای‌تقریبی‌توابع‌‌نمودار‌جوابۀ‌مقایس
مشاهده‌می[44]و جواب‌شود‌که‌بر‌خلاف‌روش، شرایط‌اولیه‌‌های‌مذکور، های‌روش‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌در
کنند‌صدق‌می های‌‌ریسهسنبرگی‌و‌مات‌ماتریس‌عملیاتی‌انتگرال‌کسری‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته‌یک‌ماتریس‌بالا.
برای.همین‌دلیل،هزینه‌محاسباتی‌روش‌پیشنهادی‌کم‌است‌به.عملیاتی‌حاصلضرب‌و‌تأخیر‌این‌توابع‌تنک‌هستند
.نمایش‌داده‌شده‌است3در‌جدول4-9های‌‌یید‌این‌نکته،زمان‌انجام‌محاسبات‌برای‌حل‌مثالأت
منابع
1. Benson D.A., Meerschaert M. M., Revielle, J., "Fractional calculus in hydrologic modeling: a
numerical perspective", Adv. Water Resour., 51 (2013) 479-497.
2. Sierociuk D., Dzielinski A., Sarwas G., Petras I., Podlubny I., Skovranek T., "Modelling heat
transfer in heterogeneous media using fractional calculus", Phil. Trans. R. Soc. A, 371
(2013) 20120146.
3. Larsson S., Racheva M., Saedpanah F., "Discontinuous Galerkin method for an integro-
differential equation modeling dynamic fractional order viscoelasticity", Comput. Method.
Appl. Mech. Eng., 283 (2015) 196-209.
4. Jiang Y., Wang X., Wang Y., "On a stochastic heat equation with first order fractional noises
and applications to finance", J. Math. Anal. Appl., 396 (2012) 656-669.
5. Bohannan G., "Analog fractional order controller in temperature and motor control
applications", J. Vib. Control, 14 (2008) 1487-1498.
6. Jiang Y. L., Ding X. L., "Waveform relaxation methods for fractional differential equations
with the Caputo derivatives", J. Comput. Appl. Math., 238 (2013) 51-67.
7. Das, S., "Fractional Calculus for System Identification and Controls", Springer, New York,
(2008).
8. Irandoust-Pakchin S., Dehghan M., Abdi-Mazraeh S., Lakestani M., "Numerical solution for
a class of fractional convection diffusion equations using the flatlet oblique multiwavelets",
J. Vib. Control, 20 (2014) 913-924.
9. Bhrawy A. H., Doha E. H., Baleanu D., Ezz-Eldien S. S., "A spectral tau algorithm based on
Jacobi operational matrix for numerical solution of time fractional diffusion-wave
equations", J. Comput. Phys., 293 (2015) 142-156.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
122حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
10. Darzi R., Mohammadzade B., Mousavi S., Beheshti R., "Sumudu transform method for
solving fractional differential equations and fractional diffusion-wave equation", J. Math.
Comput., Sci., 6 (2013) 79-84.
11. Heydari M. H., Hooshmandasl M. R., Mohammadi F., Cattani C., "Wavelets method for
solving systems of nonlinear singular fractional Volterra integro-differential equations",
Commun, Nonlinear Sci. Numer. Simul., 19(1) (2014) 37-48.
12. Ma J., Liu J., Zhou Z., "Convergence analysis of moving finite element methods for space
fractional differential equations", J. Comput. Appl. Math., 255 (2014) 661-670.
13. Bhrawy A. H., Baleanu D., Assas L., "Efficient generalized Laguerre-spectral methods for
solving multi-term fractional differential equations on the half line", J. Vib. Control, 20
(2013) 973-985.
14. Bhrawy A. H., Doha E. H., Ezz-Eldien S. S., Gorder R.A. V., "A new Jacobi spectral
collocation method for solving 1+1 fractional Schrödinger equations and fractional coupled
Schrödinger systems", Eur. Phys. J. Plus, 129(12) (2014) 1-21.
15. Zamani M., Karimi-Ghartemani M., Sadati N., "FOPID controller design for robust
performance using particle swarm optimization", J. Frac. Calc. Appl. Anal., 10 (2007) 169-
188.
16. Bohannan G. W., "Analog fractional order controller in temperature and motor control
applications", J. Vib. Control, 14 (2008) 1487-1498.
17. Jesus I. S., Machado J.A.T., "Fractional control of heat diffusion systems", Nonlinear Dyn.,
54(3) (2008) 263-282.
18. Suarez IJ., Vinagre BM., Chen YQ., "A fractional adaptation scheme for lateral control of
an AGV", J. Vib. Control, 14 (2008)1499-1511.
19. Bryson A. E., Ho Y. C., "Applied Optimal Control: Optimization, Estimation, and
Control2", Blaisdell Publishing Company, Waltham, (1975).
20. Gregory J., Lin C., "Constrained Optimization in the Calculus of Variations and Optimal
Control Theory", Van Nostrand-Reinhold, South Carolina (1992).
21. Hestenes M. R., "Calculus of Variations and Optimal Control Theory"”, Wiley, New York,
(1966).
22. Jelicic Z. D., Petrovacki N., "Optimality conditions and a solution scheme for fractional
optimal control problems", Struct. Multidisc. Optim., 38 (2009) 571-581.
23. Biswas R. K., Sen S., "Fractional optimal control problems: a pseudo-state-space approach",
J. Vib. Control 17(7) (2010) 1034–1041.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد122 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
24. Lotfi A., Yousefi S. A., Dehghan Mehdi, "Numerical solution of a class of fractional
optimal control problems via the Legendre orthonormal basis combined with the operational
matrix and the Gauss quadrature rule", J. Comput. Appl. Math., 250 (2013) 143-160.
25. Alipour M., Rostamy D., Baleanu D., "Solving multi-dimensional fractional optimal control
problems with inequality constraint by Bernstein polynomials operational matrices", J. Vib.
Control, 19 (2013) 2523-2540.
26. Almeida R., Torres DFM., "A discrete method to solve fractional optimal control problems",
Nonlinear Dyn., 80(4) (2015) 1811-1816.
27. Tohidi E., Nik HS., "A Bessel collocation method for solving fractional optimal control
problems", Appl. Math. Model., 39(2) (2015) 455-465.
28. Hosseinpour S., Nazemi A., "Solving fractional optimal control problems with fixed or free
final states by Haar wavelet collocation method", IMA J. Math. Control. I., 33(2) (2016)
543-561.
29. Doha E. H., Bhrawy A. H., Baleanu D., Ezz-Eldien S. S., Hafez R. M., "An efficient
numerical scheme based on the shifted orthonormal Jacobi polynomials for solving fractional
optimal control problems", Adv. Differ. Equ., (2015), doi:10.1186/s13662-014-0344-z.
30. Bhrawy A. H., Doha E. H., Tenreiro Machado J. A., Ezz-Eldien S. S., "An efficient
numerical scheme for solving multi-dimensional fractional optimal control problems with a
quadratic performance index", Asian J. Control, 17(6) (2015) 2389-2402.
31. Ezz-Eldien S. S., Doha E. H., Baleanu D., Bhrawy A. H., "A numerical approach based on
Legendre orthonormal polynomials for numerical solutions of fractional optimal control
problems", J. Vib. Control, 23 (1) (2017) 16-30.
32. Keshavarz E., Ordokhani Y., Razzaghi M., "A numerical solution for fractional optimal
control problems via Bernoulli polynomials", J. Vib. Control, 22 (18) (2016) 3889-3903.
33. Keshavarz E., Ordokhani Y., Razzaghi M., "Bernoulli wavelet operational matrix of
fractional order integration and its applications in solving the fractional order differential
equations", Appl. Math. Model, 38 (24) (20014) 6038-6051.
34. Rabiei K., Ordokhani Y., Babolian E., "The Boubaker polynomials and their application to
solve fractional optimal control problems", Nonlinear Dyn., 88 (2) (2017) 1013-1026.
35. Jamshidi M., Wang C. M., "A computational algorithm for large-scale nonlinear time-delay
systems", IEEE Trans. Syst. Man Cybern, 14 (1984) 2-9.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
122حل‌عددی‌مسائل‌کنترل‌بهینه‌کسری‌تأخیری‌با‌استفاده‌از‌توابع‌کلاهی‌بهبود‌یافته
36. Malek-Zavarei M., Jamshidi M., "Time Delay Systems: Analysis, Optimization and
Applications (North-Holland Systems and Control Series)", Elsevier Science, New York,
(1987).
37. Driver R. D., "Ordinary and Delay Differential Equations, Applied Mathematical Sciences",
Springer, New York, (1977).
38. Witayakiattilerd W., "Optimal regulation of impulsive fractional differential equation with
delay and application to nonlinear fractional heat equation", J. Math. Res., 5(2) (2013) 94-
106.
39. Wang Q., Chen F., Huang F., "Maximum principle for optimal control problem of stochastic
delay differential equations driven by fractional Brownian motions", Optim. Control Appl.
Meth., 37(1) (2016) 90-107.
40. Jarad F., Abdeljawad T., Baleanu D., "Higher order fractional variational optimal control
problems with delayed arguments", Appl. Math. Comput., 218 (2012) 9234-9240.
41. Safaie E., Farahi MH., Farmani Ardehaie M., "An approximate method for numerically
solving multidimensional delay fractional optimal control problems by Bernstein
polynomials", Comput. Appl. Math., 34 (3) (2015) 831-846.
42. Safaie E., Farahi MH., "An approximation method for numerical solution of multi-
dimensional feedback delay fractional optimal control problems by Bernstein polynomials",
Iran. J. Numer. Anal. Optim., 4 (2014) 77-94.
43. Bhrawy A. H., Ezz-Eldien S. S., "A new Legendre operational technique for delay fractional
optimal control problems", Calcolo, 53 (4) (2016) 521-543.
44. Rahimkhani P., Ordokhani Y., Babolian E., "An efficient approximate method for solving
delay fractional optimal control problems", Nonlinear Dyn., 86 (3) (2016) 1649-1661.
45. Mirzaee F., Hadadiyan E., "Numerical solution of linear Fredholm integral equations via
two-dimensional modification of hat functions", Appl. Math. Comput., 250 (2015) 805-816.
46. Mirzaee F., Hadadiyan E., "Approximation solution of nonlinear Stratonovich Volterra
integral equations by applying modification of hat functions", J. Comput. Appl. Math., 302
(2016) 272-284.
47. Mirzaee F., Hadadiyan E., "Numerical solution of Volterra-Fredholm integral equations via
modification of hat functions", Appl. Math. Comput., 280 (2016) 110-123.
48. Mirzaee F., Hadadiyan E., "Solving system of linear Stratonovich Volterra integral
equations via modification of hat functions", Appl. Math. Comput., 293 (2017) 254-264.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
های‌ریاضی‌‌پژوهش9317پاییز‌و‌زمستان،2،شماره4جلد122 (نشریه‌علوم‌دانشگاه‌خوارزمی)
41 حدادیان. میرزائی‌فرشید، الهام، یوسفی برای‌حل‌عددی‌معادلات‌دیفرانسیل‌کسری"نژاد ماتریس‌عملیاتی از ،"استفاده
.9313،پاییز‌و‌زمستان2،شماره2های‌ریاضی،جلد‌‌پژوهش
50. Podlubny I., "Fractional Differential Equations", Academic Press, San Diego, CA, (1999).
51. Devore R. A., Scott L. R., "Error bounds for Gaussian quadrature and weighted-L1
polynomial approximation", SIAM J. Numer. Anal, 21 (1984) 400-412.
52. Wang XT., "Numerical solutions of optimal control for time delay systems by hybrid of
block-pulse functions and Legendre polynomials", Appl. Math. Comput. 184 (2007) 849-
856.
53. Ghomanjani F., Farahi MH., Gachpazan M., "Optimal control of time-varying linear delay
systems based on the Bezier curves", Comput., Appl. Math. 33(3) (2014) 687-715.
54. Haddadi N., Ordokhani Y., Razzaghi M., "Optimal control of delay systems by using a
hybrid functions approximation", J. Optim. Theory Appl., 153 (2012) 338-356.
Dow
nloa
ded
from
mm
r.kh
u.ac
.ir a
t 2:4
6 +
0430
on
Sun
day
Apr
il 11
th 2
021
[ D
OI:
10.2
9252
/mm
r.4.
2.24
1 ]
![SRI VENKATESHA LAKSHARCHANA [HINDI] - Sri ......Sri Venkatesha Laksharchana Sunday, January 27, 2019 351 Á zÉUÏUpÉ×iÉã lÉqÉÈ 352 Á qÉWû®ïrÉã lÉqÉÈ 353 Á G®ÉrÉ](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/60b5e81153d0917fa7792d9c/sri-venkatesha-laksharchana-hindi-sri-sri-venkatesha-laksharchana-sunday.jpg)
![LION BRAND® VANNA’S CHOICE® PENNY LANE AFGHAN...lion brand® vanna’s choice® penny lane afghan w © v & © ] Á Ál v x d ] Á Á x o ] } v v x z](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/6110a223bdb09b4754488bd5/lion-brand-vannaas-choice-penny-lane-afghan-lion-brand-vannaas-choice.jpg)
![B B§BjBvB¤B¶BxB B BaBbB] -~ B{BaB®B¨B·B :} B¤B BvB®BtBgB …€¦ · b1 á ¡bab"b2" 3s á ¡b*b aï: &( Ö ] 0b : Ù4¢ Ñb.4pb bn-+$ Äbxb b babbb]b2 á :!ªbnb®b b b·bzbxb](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5f103f567e708231d4482ae2/b-bbjbvbbbxb-b-babbb-bbabbbb-bb-bvbbtbgb-b1-babb2.jpg)
