notas1

Captulo I

Logica

La logica es el estudio de razonamiento correcto. Mas especficamente se tratade razonamiento deductivo: en un argumento, una conclusion debe estar justificadapor s misma, o se debe deducir de afirmaciones precedentes. Un ejemplo:

Si Socrates es un ser humano, entonces Socrates es mortalSocrates es un ser humano

Socrates es mortal

El smbolo con los tres puntos se lee por lo tanto. En este ejemplo, las dosprimeras afirmaciones estan justificadas por s mismas, y la ultima se deduce delas precedentes. La validez de la deduccion depende solo de la forma de lasafirmaciones implicadas.

I.1. Logica de Proposiciones

Una proposicion es una afirmacion que sin ambiguedad debe ser verdadera ofalsa. Estos valores de verdad posibles los denotamos con V y F. Una proposicionse construye de proposiciones mas basicas usando conectivos logicos. A diferenciade conectivos usados en el lenguaje diario, estos tienen un significado preciso queen algunos casos puede ser diferente.

Ejemplo. Algunos de los siguientes enunciados son proposiciones, otros no losson:

- Todas las vacas tienen cuatro patas 4

- Hay mas de 200 estudiantes en la clase de matematicas discretas 4

- Existe vida en otros planetas 4

- Socrates es mortal 4

- 2+ 2 8

1

2 CAPITULO I. LOGICA

-5 < 3 4

- Venga aqu 8

- Los cretanos son siempre mentirosos. Epimenides (cretano) 8

- Este enunciado es falso 8

- El enunciado siguiente es falso. El enunciado anterior es verdadero. 8

Las tres ultimas son paradojas que resultan de permitir que las afirmacionesmismas sean el objeto del cual se afirma algo. Esto en general no se permite.

I.1.1. Proposiciones Compuestas

Usamos las variables p, q, r, . . . para denotar proposiciones de tal forma quepodemos construir proposiciones compuestas en terminos de estas proposicionesusando conectivos logicos. Por ejemplo,

Socrates es mortal y 2+ 2 = 4

Si todas las vacas tienen cuatro patas, entonces existe vida en otrosplanetas

tienen las formas p y q y si r entonces s. Estos ejemplos reflejan que lasproposiciones que se conectan son arbitrarias; no se requiere relacion semanticaentre ellas.

A continuacion para cada conectivo damos su tabla de verdad, la cual indicael valor de verdad de la proposicion compuesta para cada combinacion de valorde verdad de p y q.

Negacion

Corresponde a la conectiva lingustica no y se denota por . La negacion dep se escribe p, se lee no p, y es verdadera exactamente cuando p es falsa.

p p

V F

F V

Conjuncion

Corresponde a la conectiva lingustica y y se denota por . Por ejemplo

Socrates es mortal y 2+ 2 es 4.

I.1. LOGICA DE PROPOSICIONES 3

La conjuncion de las proposiciones p y q se escribe p q, se lee p y q, y esverdadera exactamente cuando ambas proposiciones p y q son verdaderas:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

En el lenguaje ordinario, con frecuencia otras preposiciones (que dan un significadoadicional) reemplazan la conjuncion:

Los estudiantes de las ultimas filas no escuchan bien a pesar de que elprofesor esta usando el microfono.

Disyuncion

Corresponde a la conectiva lingustica o y se denota por . La disyuncion dep y q se escribe pq, se lee p y q, y es falsa exactamente cuando ambas p y q sonfalsas.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Note que la disyuncion logica es inclusiva, p y q pueden ser ambas verdaderas.Por otra parte, en el lenguaje ordinario la conectiva o es usualmente exclusiva,p o q pero no ambas pueden ser verdaderas, como en la pregunta

Quiere te o cafe ?

Implicacion

Corresponde a la conectiva lingustica implica y se denota por. La implica-cion de p a q se escribe p q, se lee p implica q, y es falsa exactamente cuandop es verdadera y q es falsa. La justificacion radica en que de una falsedad de pue-de deducir cualquier afirmacion (vea la anecdota a continuacion): si hay 500estudiantes en esta aula entonces yo soy de marte.

p q p qV V V

V F F

F V V

F F V


Note que la tabla de p q es igual a esta (solo es F cuando ambas p y qson F, o sea cuando p es V y q es F). Se puede tomar pq como la definicion dep q: las dos formas son logicamente equivalentes (esto se define mas adelante).

Una proposicion condicional puede aparecer en diferentes formas en el lenguaje.Por ejemplo, la imlicacion si p entonces q puede escribirse como

- q, si p

- p solo si q

- p es una condicion suficiente para q

- q es una condicion necesaria para p

- q, siempre que p

- q provisto que p

- no p, a menos que q

- q, a menos que no p

Con frecuencia, en el lenguaje ordinario la implicacion tiene un significadodiferente; por ejemplo en:

Si haces la tarea entonces puedes ir a cine esta noche

denota la necesidad de que la primera parte sea verdadera (que haga la tarea)para que la segunda parte pueda ser verdadera (ir a cine). Es decir la implicaciones en el sentido contrario: si puede ir a cine entonces es porque ha hecho la tarea.

La interpretacion p solo si q no se aplica algunas veces en el lenguaje ordi-nario: si llueve entonces no voy y llueve solo si voy.

Anectoda. La definicion de implicacion puede ser difcil de aceptar para algunaspersonas. La idea de que una afirmacion falsa implica cualquier afirmacion (siP es falso, entonces P Q es cierto sin importar que es Q) es impugnada confrecuencia. En una reunion, el gran matematico y filosofo Bertrand Russell tratabade explicar este punto a un individuo obstinado quien finalmente acordo aceptarlosi Russell poda probar que 0 = 1 implicaba que Russell era el Papa. Russellreflexiono brevemente y entonces argumento: si 0 = 1, entonces 1 = 2. Puesto queyo y el Papa somos dos, entonces yo y el Papa somos uno. Q.E.D. (aparece en ellibro Infinitesimal Calculus de J. M. Henle y E. M. Kleinberg).

Doble Implicacion

Corresponde a la conectiva lingustica si y solo si y se denota por . Ladoble implicacion de p y q se escribe p q, se lee p si y solo si q, y esverdadera exactamente cuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.


p q p qV V V

V F F

F V F

F F V

La doble implicaion es equivalente a la conjuncion de la implicacion en ambasdirecciones: (p q) (q p).Otras Notaciones

La notacion que hemos usado no es completamente estandar. Otras notacionespara la negacion son , y una raya sobre la variable; para la conjuncion el cual sepuede omitir; para la disyuncion +; para la implicacion (que nosotros usamospara la implicacion logica mas adelante) y .

16 Funciones Logicas Binarias

Obviamente, otros conectivos de dos proposiciones son posibles: cada una delas 24 = 16 diferentes tablas de verdad posibles corresponde a un conectivo di-ferente. Pero cualquiera de ellos se puede expresar (es equivalente) a una formaproposicional (este concepto se define a continuacion) con los conectivos ya defi-nidos. Todas las 16 posibilidades aparecen en la siguiente tabla.

p q V pq

pq

p pq

q pq

pq

pq

pq

q

p6q

p

p6q

pq

F

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V F

Como se ve, todas se pueden expresar en terminos de las cuatro basicas y la ne-gacion . Entre estas son importantes el o exclusivo , y las negaciones de 22

.odenotadas con y , llamadas tambien las barras de Sheffer. Estas ultimas sonimportantes en el contexto de circuitos digitales donde las compuertas correspon-dientes se llaman NAND y NOR. Estos conectivos tienen la propiedad de ser cadauno sol un conjunto completo de conectivos, esto es, cualquier otra funcionbooleana puede expresars en terminos de cada una de ellas solamente (ver solu-cion del taller 1). Otros conjuntos completos de conectivos son , y ,, lo quese puede verificar con las leyes de de Morgan (ver mas adelante).


I.1.2. Formas Proposicionales

Un hecho esencial en logica es que la validez de una deduccion depende solode la forma de que ella tenga. En el ejemplo inicial, si tomamos p : Socrates esun ser humano y q : Socrates es mortal entonces la deduccion all se puedereescribir como

p qp

q

La deduccion es igualmente valida independinentemente de que proposiciones sus-tituyan las variables p y q. Solo depende de la forma proposicional de las premisasy la conclusion.

Definicion. Una forma proposicional es cualquier expresion formada por:

a) variables proposicionales como p, q, r, . . .

b) conectivos logicos ,,,c) parentesis ( y )

de la siguiente manera

1. una variable es una forma proposicional

2. si A y B son formas proposicionales, entonces

(A), (A B), (A B) y (A B)son tambien formas proposicionales.

El proposito de los parentesis es eliminar posible ambiguedad. Cuando esta noexiste entonces se pueden omitir.

Precedencia. Usualmente se da precedencia en el orden ,,,,.I.1.3. Valor de Verdad y Tabla de Vedad

Una asignacion de valor de verdad V o F a cada una de las variables proposicio-nales involucradas se extiende a cualquier formula proposicional C de la siguientemanera

1. si C es una variable proposicional p entonces v(C) = v(p)

2. si C es de una de las formas

(A), (A B), (A B) o (A B),entonces v(C) esta dado en terminos de v(A) y v(B) por la tabla de verdaddel conectivo correspondiente.


Los valores de verdad de una formula proposicional dependiendo de los posiblesvalores de verdad asignados a las variables proposicionales involucradas se listanen una tabla de verdad para la formula proposicional. Veamos algunos ejemplos:

? p q:p q p p q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

? (p q) p q:p q p q (p q) p q p q (p q) p qV V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

? = (p (q r)) ((pq) (p r)): Primero, el diagrama arriba (arbolde analisis gramatico) muestra los pasos que se siguen en la construccion de. Entonces la tabla de verdad se construye siguiendo esos pasos en ordeninverso.

p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r)

V V V V V V V V V

V V F V V V F V V

V F V V V F V V V

V F F F F F F F V

F V V V F F F F V

F V F V F F F F V

F F V V F F F F V

F F F F F F F F V


I.1.4. Tautologa y Equivalencia

Definicion. Una forma proposicional es una tautologa si toma el valor V cual-quiera que sea la asignacion de valores a las variables proposicionales involucradas.Similarmente, una forma proposicional es una contradiccion si toma el valor Fcualquiera que sea la asignacion de valores a las variables proposicionales involu-cradas.

Por ejemplo veamos que p (p) es una tautologa (principio del medio ex-cluido):

p p p (p)

V F V

F V V

y (p q) (p q);p q p q p (p q) (p q) (p q)V V V F V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

Definicion. Se dice que A y B son logicamente equivalentes, y se escribeA B, si la forma proposicional (A B) es una tautologa. (Es comun usar para denotar equivalencia logica, por ejemplo en el libro de Johnsonbaugh.)

I.1.5. Propiedades de los Conectivos

Cada una de las siguientes propiedades de los conectivos ,, se verificapor medio de una tabla de verdad. En los ejemplos de tablas de verdad arriba yahemos verificado dos de ellas (una ley de De Morgan y una ley distributiva). Lasotras son igualmente faciles de verificar.

Nombre1 Conmutatividad: p q q p p q q p2 Asociatividad: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r)3 Distributividad: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)4 Identidad: p V p p F p5 Negacion: p p V p p F6 Doble negacion: (p) p7 Idempotencia: p p p p p p8 De Morgan: (p q) p q (p q) p q9 Dominacion: p V V p F F10 Absorcion: p (p q) p p (p q) p11 Neg. de V y F: V F F V


Algunas equivalencia que involucran la equivalencia se listan a continuacion(estas no se usan con frecuencia; no se discutieron en clase, pero algunas hanaparecido en uno u otro contexto):

Nombre1 Conmut.: p q q p p q q p2 Asociat.: (p q) r p (q r) p (q r) (p q) r4 Distrib.: p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r)

p (q r) (p q) (p r)5 Ident.: p F p V p p6 Negac.: p p V p p V7 Idempot.: p p p p p p8 DeMorg.: (p q) p q (p q) p q9 Domin.: p V V F p V10 Absorc.: p (p q) p p (p q) p

(p q) p p

I.1.6. Formas Normales Disyuntiva y Conjuntiva

Primero una aclaracion. Los conectivos y son binarios y asociativos:

p (q r) = (p q) r; p (q r) = (p q) r,

y con base en esto se pueden extender a cualquier numero de argumentos sin im-portar la asociacion: la conjuncion de varios argumentos es V exactamente cuandotodos los argumentos son V , y la disyuncion de varios argumentos es F exacta-mente cuando todos los argumentos son F. As que la disyuncion y conjuncion devarios argumentos esta bien definida.

Consideremos como ejemplo la siguiente funcion de valores de verdad f(p, q, r):

p q r f(p, q, r)

V V V V

V V F F

V F V F

V F F V

F V V F

F V F V

F F V V

F F F F

Para cada una de las lneas en la tabla con f(p, q, r) = V se obtiene facilmenteuna forma que es V solo para los valores de verdad de p, q, r en esa lnea. Enorden para las cuatro lneas con V (1,4,6,7) estas formas son

p q r, p q r, p q r, p q r.


Conectando estas formas con disyuncion se obtiene una forma que tiene la mismatabla dada para f(p, q, r):

(p q r) (p q r) (p q r) (p q r).

Esta es la llamada forma normal disyuntiva para f(p, q, r), y consiste de unadisyuncion de conjunciones de variables o sus negaciones.

Existe una forma dual que consiste de conjunciones de disyunciones. Paraobtener esta nos concentramos en las lneas con f(p, q, r) = F. Para cada una seobtiene una disyuncion que es F solo para los valores de p, q, r en esa lnea. Paralas lneas 2,3,5,8, son

p q r; p q r; p q r; p q r

Y la conjuncion de estas es equivalente a f(p, q, r):

(p q r) (p q r) (p q r) (p q r)

Esta es la forma normal conjuntiva.

I.1.7. Reglas de Inferencia

Definicion. Si A y B son formas proposicionales se dice que A implica logi-camente B, y se escribe A B, si la forma proposicional (A B) es unatautologa. Una implicacion logica A B se llama una regla de inferencia.

Por ejemplo, una de las reglas de inferencia mas importantes es:

p (p q) qEsta se le llama modus ponendo ponens que quiere decir (mas o menos que) elmodo de afirmar por medio de una afirmacion, o mas brevemente modus po-nens.

La implicacion logica tambien se expresa como

? B es una consecuencia logica de A

? A es una condicion suficiente de B

? B es una condicion necesaria de A

Usualmente en una regla de inferencia la forma A es una conjuncion de formasllamadas premisas y la forma B es la conclusion. La siguiente tabla muestralas principales reglas de inferencia. Las premisas a la derecha de cada regla y queaparecen separadas por una coma se entienden implcitamente unidas por mediode conjuncion. As que la regla 3 es trivial, pero se introduce porque como veremoslas premisas aparecen en lneas diferentes de una prueba.


Nombre Premisas Conclusion

1 Simplificacion conjuntiva (Simp): p q p2 Adicion disyuntiva (Adic): p p q3 Conjuncion (Conj): p, q p q4 Modus Ponens (MP): p, p q q5 Modus Tollens (MT): q, p q p6 Silogismo disyuntivo (SD): p, p q q7 Silogismo hipotetico (SH): p q, q r p r8 Dilema constructivo (DC): p q, p r, q s r s9 Prueba trivial (Trivial): q p q10 Prueba vaca (Vaca): p p q11 Prueba por contradiccion (Contr): p F p12 Reduccion al absurdo (Abs): p q, p q p13 Separacion de casos (Casos): p q, p r, q r r

Otra regla importante es modus tollens o modus tollendo tollens (modo denegar negando o metodo de negar el consecuente). Esta regla puede derivarsede modus ponens sando el contrapositivo o contrarecproco. (Modus tollenscorresponde a una prueba indirecta mientas que modus ponens corresponde auna prueba directa.)

Contrapositivo, Converso, Inverso

Para un condicional si p entonces q (p q) se definen los siguientes con-dicionales relacionados:

Contrapositivo: si no q entonces no p q pConverso: si q entonces p q pInverso: si no p entonces no q p q

El contrapositivo, o tambien contrarecproco, es equivalente a la proposicionoriginal, y el converso y el inverso lo son entre s, pero estos no son equivalentesa la proposicion original.

Ejemplo. Para la proposicion original

si n y m son ambos pares entonces n+m es par

tenemos

Contrapositivo: si n+m es impar entonces n y m no son ambos paresConverso: si n+m es par entonces n y m son ambos paresInverso: si n y m no son ambos pares entonces n+m no es par

En este caso, mientras que la implicacion directa (original) y el contrapositivo sonverdaderas, las otras dos implicaciones son falsas.


I.1.8. Argumentos, Validez y Pruebas

Definicion. Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas estas exceptola ultima se llaman premisas (o supuestos o hipotesis), La afirmacion final es laconclusion. El smbolo se lee por lo tanto y usualmente se escribe antes de laconclusion. En una forma de argumento aparecen variables proposicionales enlugar de proposiciones y se dice que es valida si sin importar que proposicionesse sustituyen por las variables proposicionales en las premisas, si las premisasresultantes son todas verdaderas, entonces la conclusion es tambien verdadera. Sedice que un argumento es valido si su forma es valida.

Definicion. Dado un argumento con premisas P1, P2, . . . , Pn y conclusion Q,una prueba formal de la validez del argumento consiste de una lista de pro-posiciones que terminan con Q, tal que cada proposicion en la lista satisface unode los siguentes criterios:

(a) es una premisa de el argumento

(b) se deriva de una o mas de las proposiciones anteriores en la lista usando unade las reglas de inferencia

(c) se obtiene de una de las proposiciones anteriores usando una equvalencialogica

Ejemplo. Consideramos el siguiente argumento:

Si las gafas estan en la mesa de la cocina las v al desayunar. Le elperiodico en la sala o en la cocina. Si le el periodico en la sala entoncesestan sobre la mesa de centro. No v las gafas al desayunar. Si le unlibro en la cama entonces las gafas estan en la mesa de noche. Si le elperiodico en la cocina entonces las gafas estan sobre la mesa de lacocina.

Primero damos nombre a las siguientes proposiciones:

P: las gafas estan en la mesa de la cocinaQ: v las gafas al desayunarR: le el periodico en la salaS: le el periodico en la cocinaT : gafas estan en la mesa de centroU: le un libro en la camaV : las gafas estan en la mesa de noche

Con esto, se tiene la siguiente informacion:


1. P Q2. R S3. R T4. Q5. U V6. S P

Queremos deducir T de esta informacion, es decir queremos verificar la validezde la forma de argumento (realmente no es necesario pasar a una forma convariables p, q, r, . . .; podramos dejarlo en terminos de P,Q, R. . . .).

p q premisar s premisar t premisaq premisau v premisas p premisa

t

donde hemos reemplazado variables (minusculas) por las proposiciones (mayuscu-las). La siguiente es una prueba de la validez de esta forma de argumento:

1. p q premisa2. r s premisa3. r t premisa4. q premisa5. u v premisa6. s p premisa7. p MT 1,48. s MT 6, 79. r SD 2,810. t MP 3,9

A la derecha escribimos para cada afirmacion si es una premisa o la regla deinferencia que se ha usado y las afirmaciones previas a que se ha aplicado.

I.1.9. Metodo de Prueba Condicional

Para establecer la validez de un argumento:

p1, p2, . . . , pn q rverificamos el argumento de

p1, p2, . . . , pn, q rLa justificacion de esto es que

p (q r) (p q) r


Ejemplo. Probar la validez del siguiente argumento usando el metodo de pruebacondicional:

Si compro el libro entonces debo prestarselo a Juan y Mara. Si se lopresto a Juan o Mara entonces debo prestarselo tambien a Rosa. Porlo tanto, si compro el libro entonces debo prestarselo a Rosa.

Simbolizamos las proposiciones:

C: Compro el libro

J: Se lo presto a Juan

M: Se lo presto a Mara

R: Se lo presto a Rosa

La conclusion que se busca es C R. Usando el metodo de prueba condicional(PC) agregamos C a las premisas y se tiene la siguiente prueba:

1. C JM premisa2. JM R premisa3. C premisa PC4. JM MT 1,35. J Simp 46. JM Adic 57. R MT 2,69. C R PC 3,7

I.1.10. Pruebas por Resolucion

Las reglas de inferencia que se han estado usando no son independientes. Unapuede ser reemplazada por otras junto equivalencias logicas. Por ejemplo MTpuede ser reemplazado con SD:

1. p q premisa2. p premisa3. p q equivalencia de 14. p eqivalencia de 25. q SD 3,4

Resolucion es otra regla de inferencia que aplica a premisas en forma de clausu-las, esto es, disyunciones de variables o sus negaciones (hemos llamado estas lite-rales antes). Por ejemplo

u v w

La regla de resolucion toma dos clausulas y produce una clausula:

(p `1 `m) (p ` 1 ` n) (`1 `m ` 1 ` n)


donde las `i y `j son literales. Informalmente, se cancelan p y p y quedan las

otras literales. No lo vamos a probar aqu, pero dadas la premisas en forma declausulas, una prueba puede restringirse a usar solo la regla de resolucion. Unafroma de ver la validez de la regla de resolucion es que p o p es V :

si p es V entonces p es F y por lo tanto ` 1 ` n es V

si p es V entonces p es F y por lo tanto `1 `m es V

Por lo tanto se tiene que ` 1 ` n o `1 `m :

(`1 `m) (` 1 ` n) (`1 `m ` 1 ` n)Ejemplo. Consideramos el argumento:

p q premisap r premisar s premisa

q s

y la prueba usando solo resolucion

1. p q premisa2. p r premisa3. r s premisa4. p s resolcion 2,35. q s resolucion 1,4

Si las premisas o conclusion no estan en forma de clauslas, estas deben sertransformadas a clausulas por medio de equivalencias. Cualquier forma proposi-cional tiene una equivalente en forma normal conjuntiva, la cual es una conjuncionde clausulas; cada una de esas clausulas se convierte en una premisa. Ademas esusual que las pruebas de resolucion se realicen por contradiccion: se asume la ne-gacion de la conclusion, la cual entonces puede convertirse en mas de na premisa.En este caso se debe llegar a una falsedad (F).

Ejemplo. Consideramos el argumento (en la tarea, pero no asignado):

p (r s) premisat s premisau p premisaw premisauw premisa

tw conclusion


Primero reescribimos todas las premisas y negacion de la conclusion comoclausulas (disyunciones de variables o sus negaciones): Usando equivalencias, ob-tenemos:

p (r s) p (r s) p (r s) (p r) (p s),t s t s,

u p u p.Primero reescribimos el argumento con solo clausulas:

p r premisap s premisat s premisau p premisaw premisauw premisa

tw conclusion

Una prueba directa usando resolucion:

1. p r premisa2. p s premisa3. t s premisa4. u p premisa5. w premisa6. uw premisa7. t p resolucion 2,38. t u resolucion 4,79. tw resolucion 6,8

Para escribir una prueba por contradiccion, primero negamos la conclusion

(tw) t w t w,que entonces debe escribirse como dos premisas (escribimos de nuevo w aunqueno es necesario porque esta all como premisa) en la prueba:


1. p r premisa2. p s premisa3. t s premisa4. u p premisa5. w premisa6. uw premisa7. t premisa prueba por contrad.8. w premisa prueba por contrad.9. s resolucion 3,710. p resolucion 2,911. u resolucion 4,1012. w resolucion 6,1113. F resolucion 5,12

Alternativamente, haciendo la prueba directa y luego resolviendo con la nega-cion de las conclusion:

1. p r premisa2. p s premisa3. t s premisa4. u p premisa5. w premisa6. uw premisa7. t premisa prueba por contrad.8. w premisa prueba por contrad.9. t p resolucion 2,310. t u resolucion 4,911. tw resolucion 6,1012. w resolucion 7,1113 F resolucion 5,12.

En este caso ambas alternativas tienen la misma longitud (pero no es necesa-riamente el caso).

I.1.11. Paradoja de Carroll:Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

(Este es un ejemplo de las paradojas que pueden aparecer cuando se mezcla la deduccionen diferentes niveles de discurso.) En una historia escrita por Lewis Carroll (autor de Lasaventuras de Alicia en el pas de las maravillas y cuyo nombre real era Charles LutwidgeDodgson), Aquiles trata de convencer a la tortuga de que A y B implican Z a continuacion:


A : Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una ala otra

B : Dos lados de este triangulo son cosas iguales a la misma cosa

Z : Dos lados de este triangulo son iguales uno al otro

La tortuga dice que no puede aceptar a menos que acepte el condicional C:

A: Dos cosas que son iguales a una misma cosa son iguales una a la otra

B: Dos lados de este triangulo son cosas iguales a la misma cosa

C: Si A y B son ciertas entonces Z es cierta

Z: Dos lados de este triangulo son iguales uno al otro

Pero una vez Aquiles escribe la nueva premisa C y la tortuga la acepta, esta afirma queantes de aceptar Z ahora una nueva premisa D es necesaria:




D: Si A, B y C son ciertas entonces Z es cierta


y una vez aceptada la premisa D, igualmente un nuevo condicional es necesario antes de quela tortuga peda aceptar Z:




D: Si A, B y C son ciertas entonces Z es cierta

E: Si A, B, C y D son ciertas entonces Z es cierta


lo cual puede continuar indefinidamente . . .

I.1.12. Un Acertijo

En un programa de concurso hay dos puertas, una de ellas lleva al gran premioy la otra a un premio de consolacion. Cada una de las puertas tiene escrita sobreella dos afirmaciones cada una de las cuales es verdadera o falsa. Cual puertaescogera ?

Puerta 1

Exactamente dos de estasafirmaciones son verdade-ras

La puerta del premio tieneal menos un afirmacion ver-dadera

Puerta 2

Exactamente tres de estasafirmaciones son falsas

Todas estas cuatro afirma-ciones son falsas

I.2. LOGICA DE PREDICADOS 19

Solucion: Llamemos las proposiciones en la puerta derecha A (arriba) y B (abajo)y las proposiciones en la puerta izquierda C (arriba) y D (abajo). Si D fuera ciertaentonces habra una inconsistencia (debe ser falsa). Para que se tenga consistencia,en cualquier caso

- D debe ser falsa y al menos una entre A, B y C debe ser cierta.

A, C afirman que hay exactamente 2 y 3 afirmaciones falsas respectivamente. Porlo tanto

- a lo mas una entre A y C puede ser cierta.

Tenemos tres casos:

- si A es cierta, entonces C es falsa y B es cierta (porque debe haber dosciertas), y entonces el premio debe estar detras de la puerta 1.

- Si C es cierta, entonces las otras tres son falsas, y el premio debe estar detrasde la puerta 1 (porque es la puerta sin afirmaciones verdaderas).

- Si A y C son falsas, entonces B debe ser cierta (porque debe haber al menosuna cierta entre todas), y el premio debe estar detras de la puerta 1 (porquees la unica con al menos una afirmacion verdadera.

En cualquier caso en que hay consistencia resulta que el premio debe estar detrasde la puerta 1.

I.2. Logica de Predicados

La logica proposicional que hasta ahora hemos considerado es insuficiente paraformalizar argumentos como el siguiente

Todo ser humano es mortalSocrates es un ser humano

Socrates es mortal

Para esto debemos introducir las funciones proposicionales o predicados comouna forma concisa de afirmar o negar una propiedad de diferentes objetos. Y,ademas, los cuantificadores universal y existencial que hacen posible calificar elconjunto de objetos que satisface una sentencia de predicados.

I.2.1. Predicados

Un predicado es una forma concisa de expresar una coleccion de proposicionesque afirman (o niegan) una misma propiedad de diferentes objetos. Por ejemplo,para expresar 2 es par, 3 no es par, 40 es par, 10001 no es par, se introduceentonces el predicado par(n) cuyo argumento n es un numero entero y cuyo valor


cuando se substituye n por un valor es una proposicion que afirma que n es par,y la cual puede ser V o F. As podemos expresar lo anterior como par(2), par(3),par(40), par(10001).

Definicion. Un predicado es una sentencia que contiene un numero un numerofinito de variables y se convierte en una proposicion cuando se sustituyen valoresespecficos de las variables. El dominio o universo de discusion de una variabledel predicado es el conjunto de valores que se puede sustituir por la variable. Elconjunto de verdad del predicado P(x) es el conjunto de todos los elementosdel dominio para los que P(x) es verdadero.

Ejemplo. Consideremos en la siguiente figura las regiones denotas a, b, . . . , g yel predicado N(x, y) que afirma que x es vecino de y en el diagrama. Asumimosque una region es vecina de si misma: N(a, a) es verdadero, etc. Se observa por

ejemplo que N(a, b) y N(b, d) son verdaderos, mientras que N(e, h) y N(f, c) sonfalsos.

I.2.2. Cuantificadores

Una funcion proposicional P(x) (predicado, o proposicion abierta) da lugara una proposicion cuando se asignan valores concretos del universo de discursoU a la variables x. Otra forma de cerrar una sentencia abierta es con el uso decuantificadores universales y existenciales:

Cuantificador Universal: Para todo objeto x en el universo de discursoU, se verifica P(x). Se escribe simbolicamente

x U P(x)

Esta proposicion es verdadera si para todo x U se tiene que P(x) esverdadera.


Cuantificador Existencial: Existe un objeto a en el universo de discursoU, para el cual se verifica Q(a). Se escribe simbolicamente

x U Q(x)

Esta proposicion es verdadera si existe (al menos) un x U tal que P(x) esverdadera.

Aunque no es estandar, aqu vamos a incluir cuando sea conveniente por cla-ridad dos puntos : antes del predicado:

x U : P(x), x U : Q(x)

Si el universo de discurso es claro en el contexto, entonces se puede omitir la parte U y simplemente se escribe

x : P(x), x : Q(x)

Ejemplo. Considere la relacion menor < sobre el conjunto de numeros naturales(con el cero), enteros, racionales positivos y racionales respectivamente. Decidir elvalor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

(a) xy, x < y: Para todo x y y, x es menor que y. Falso en todos los casos.

(b) xy, x < y: Para todo x existe un y mayor. Verdadero en todos los casos.

(c) xy, y < x: Para todo x existe un y menor. Falso en los naturales (no hayelemento menor que 0). Verdadero en los otros casos.

(d) xy, x < y: Existe un x menor que cualquier y. Falso en todos los casos.Pero casi cierto para los naturales, excepto que 0 no es menor que s mismo.

(e) xy, y < x: Existe un x mayor que cualquier y. Falso en todos los casos.

(f) xy, x < y: Existen dos elementos, uno menor que el otro. Verdadero entodos los casos.

I.2.3. Formas de Predicados

En la logica de proposiciones se definio una forma proposicional a partir de loselementos basicos. Analogamente en la logica de predicados se construyen expre-siones complicadas a partir de predicados basicos P,Q, R, . . ., variables x, y, z, . . ., conectivos logicos ,,,,, cuantificadores , parentesis (, ) y constantesa, b, c, . . . (del universo de discurso). Una variable esta libre si no esta cuan-tificada, y esta ligada si esta cuantificada. Una forma de predicados es unaexpresion formada de la siguiente manera:

1. un predicado basico con una variable como argumento


2. si A y B son formas de predicados entonces

(A), (A B), (A B), (A B), (A B)son formas de predicados

3. si A es una forma de predicados con variable libre x, entonces

(x A(x)) y (x A(x))

son formas de predicados, como tambien A(a) para a en el universo dediscurso.

Aqu tambien se omiten parentesis si no existe ambiguedad.

Ejemplo. Consideramos el mapa con regiones a, b, c, . . . , f, g en la figura arri-ba. El universo de discurso es el conjunto de estas regiones y el predicado N(x, y)significa la region x es vecina de la region y (se asume una region es vecina desi misma). Para cada una de las siguientes proposiciones, cual es el significado ycual es el valor de verdad ?

(a) xyN(x, y)

(b) xy(N(x, y) z(N(x, z) N(z, y)))

(c) xy(N(x, y)z((N(x, z)N(z, y))z ((N(x, z)N(z, z )N(z , y)))))

(d) xyz(N(x, y) N(x, z) t(((t 6= x) (t 6= y) (t 6= z)) N(t, x))))I.2.4. Reglas de negacion de cuantificadores

Supongamos que un universo de discurso esta definido. Entonces para cualquierfuncion proposicional P(x)

x P(x) x P(x)x Q(x) x Q(x)

Observacion: Para un dominio de discurso finito con elementos a1, a2, . . . , akentonces

x P(x) (P(a1) P(a2) P(a3) P(ak)y

x P(x) (P(a1) P(a2) P(a3) P(ak)y las reglas de negacion de cuantificadores son simplemente las reglas de de Mor-gan.


Ejemplo. Probar que

x(P(x) Q(x)) (P(x) Q(x))Solucion: Tenemos las equivalencias

x(P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) entra la negacion x (P(x) Q(x)) equivalencia de la implicacion x (P(x) Q(x)) ley de de Morgan x (P(x) Q(x)) simplificacionLos cuantificadores pueden restringirse a un subconjunto del universo de dis-

curso. Por ejemplo, para A U, podemos escribir

x A : P(x) y x A : Q(x)

Estas formas son equivalentes a

x U : (x A P(x)) y x U : (x AQ(x))Veamos que esto es consistente con las reglas de negacion arriba:

(x A : P(x)) x U : (x A P(x)) x U : (x A P(x)) x U : (x A P(x)) x A : P(x).Similarmente:

(x A : Q(x)) x U : (x AQ(x)) x U : (x AQ(x)) x U : (x A) Q(x)) x U : (x A Q(x)) x A : Q(x).Ejemplo. Veamos como ejemplo la definicion de convergencia de una suce-sion de numeros reales. De acuerdo con el libro de Stewart:

la sucesion {an} converge si existe tal que podemos hacer los termi-nos an tan cercanos a como queramos tomando n suficientementegrande.

Para formalizar existe , tan cercanos como queramos, suficientementegrande, necesitamos usar cuantificadores (usamos R para denotar el conjunto denumeros reales y N para denotar el conjunto de numeros naturales 0, 1, 2, 3, . . .):


Una sucesion a0, a1, a2, a3, a4, . . . de numeros reales converge si existeun numero real tal que para todo numero real positivo existe unnatural N tal que para todo natural n si n N entonces se tiene que|an | < :

R R+ N N n N : (n N |an | < )Estamos omitiendo parentesis porque parece claro el alcance de los

cuantificadores. Si se prefiere, por claridad se podra escribir:

R ( R+ (N N (n N : (n N |an | < )))))Si introducimos la convencion de que variables como y son reales,y variables como n y N son naturales, y usando un cuantificador res-tringido n N (ver discusion arriba) entonces podemos escribir masbrevemente

> 0 N n N : (|an | < )

(Note las desigualdades > 0, n N y |an | < . La primera realmente tieneque ser estricta porque en general an no tiene que tomar el valor eventualmente.Las otras dos pueden ser estrictas o no estrictas.)

Que quiere decir entonces que la sucesion no es convergente ? Aplicando laregla de mover la negacion dentro del cuantificador mientras se cambia este deuniversal a existencial y viceversa, la negacion de la formula anterior (la segundaversion) es

> 0 N n N : (|an | < ) = > 0 N n N : (|an | )

En palabras

Para todo existe un intervalo alrededor de (I = ( , + ))tal que la sucesion no permanece eventualmente en ese intervalo (paratodo N existe n N tal que an no esta en I).


Trate de usar estas definiciones formales para verificar que an = 1/n converge a0 y que bn = (1)

n no es convergente.

Ejercicio. Sea P(x) un predicado sobre el universo de discurso U y A U. Es

(x A : P(x)) (x A : P(x))verdadero ?

Ejercicio. Sean P(x) y Q(x) predicados sobre el universo de discurso U. Son

x(P(x) Q(x)) y x(P(x) Q(x))equivalentes ?

I.2.5. Deduccion

Consideremos el argumento

Todos los seres humanos son mortalesSocrates es un ser humano

Socrates es mortal

Definiendo los predicados

H(x): x es humano

M(x): x es mortal

el argumento se puede reescribir en forma simbolica como

x,H(x)M(x)H(Socrates)

M(Socrates)

Esta deduccion es similar a una aplicacion de la regla modus ponens, peroestrictamente aquella no es aplicable debido a la presencia del cuantificador . Sepuede entonces introducir una regla de inferencia

Modus Ponens Universal: Para cualquier par de predicados, P(x), Q(x) sobreun dominio de discurso U, el siguiente argumento es valido:

x, P(x) Q(x)P(a) para a U particular

Q(a)


Pero tendramos que introducir otras reglas de inferencia como Modus TollensUniversal, etc. Ademas, se tiene la situacion analoga con el cuantificador . Unamejor alternativa es introducir la regla

Instanciacion Universal: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(x), po-demos inferir P(a) para cualquier a en el universo de discurso U. Simboli-camente

x P(x) P(a) para a U arbitrario

Cuando es conveniente, la instanciacion universal se puede hacer a un miembroparticular o especfico (ya que es cierta para un miembro arbitrario). Por ejem-

plo, usando esta regla de inferencia podemos dar una prueba de la regla ModusPonens Universal:

1. x (P(x) Q(x)) premisa2. P(a) premisa, a U particular3. P(a) Q(a) IU 14. Q(a) MP 2,3

En la lnea 3 se ha usado IU para el a particular de la premisa 2.

Para probar la validez de un argumento como

x P(x) Q(x)x P(x)

x Q(x)

necesitamos una regla de inferencia complementaria

Generalizacion Universal: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(a)para a arbitrario en el universo de discurso U, se puede deducir la verdadde x P(x). Simbolicamente

P(a) para a U arbitrario x P(x)

Con esta regla podemos dar la siguiente prueba de la validez del argumentoarriba:

1. x (P(x) Q(x)) premisa2. x P(x) premisa3. P(a) Q(a) IU, a arbitrario4. P(a) IU 25. Q(a) MP 3,46. x Q(x) GU 4

Para el cuantificador existencial se requieren dos reglas de inferencia corres-pondientes:


Instanciacion Existencial: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(x),podemos inferir P(a) para algun a en el universo de discurso U. Simbolica-mente

x P(x) P(a) para a U particular

Generalizacion Existencial: Dada un predicado P(x), de la verdad de P(a)para algun a en el universo de discurso U, se puede deducir la verdad dex P(x). Simbolicamente

P(a) para a U particular x P(x)

Los siguientes ejemplos ilustran el uso de estas reglas de inferencia.

Ejemplo. Construya una prueba formal para el siguiente argumento:

Todos los humanos son mamferos. Algunos humanos son carnvoros.Por lo tanto algunos mamferos son carnvoros.


H(x) : x es un humano

M(x) : x es un mamfero

C(x) : x es carnvoro

El argumento simbolicamente es:

x (H(x)M(x)) premisax (H(x) C(x)) premisa

x C(x) M(x) conclusion

La prueba de validez:

1. x (H(x)M(x)) premisa2. x (H(x) C(x)) premisa3. H(a) C(a) IU 2, a particular4. H(a)M(a) IU 15. C(a) H(a) conmut 36. C(a) simpl 57. H(a) simpl 38. M(a) MP 4,79. C(a) M(a) conj 6,810. x (C(x) M(x)) GE 9

Ejemplo. Construya prueba formal para el siguiente argumento:


Todo empleado es de tiempo parcial o se le paga mensualmente. Todoempleado trabaja dos das a la semana o no trabaja tiempo parcial. Porlo tanto todo empleado al que no se le paga mensualmente trabaja dosdas a la semana.


M(x) : a x se le paga mensualmente

P(x) : x trabaja tiempo parcial

D(x) : x trabaja dos das a la semana

El argumento simbolicamente es

x (P(x) M(x)) premisax (D(x) P(x)) premisa

x (M(x) D(x)) conclusionLa prueba de validez del argumento es:

1. x (P(x) M(x)) premisa2. x (D(x) P(x)) premisa3. P(a) M(a) IU 1, a arbitrario4. D(a) P(a) IU, 25. M(a) P(a) conmut, 36. M(a) P(a) doble negacion, 57. M(a) P(a) equiv. implicacion, 68. P(a) D(a) conmut, 49. P(a) D(a) equiv. implicacion, 810. M(a) D(a) SH, 7,911. x (M(x) D(x)) UG, 10

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