5/25/2018 NOR4

1/50

F c n d x n (m) i (n) se o b i n parametrii n nodul 1 :

5/25/2018 NOR4

2/50

n care DB reprezint matricea de transmitere peste nodul B i are form a(3.113)D, 1 1 (b)

iar DAa este matricea de transmitere pestetronsonul AB avnd forma (3.110)sincos a aGI,

GIva sinu cosunde, conform (3.108)

(c)

(1)Introducnd n (a) condiiile la limit c? = 0, MB = 0 ' innd seamade (1>), (c) i (d) se obine ecuaia pulsaiilor proprii

duu JP> sin + cos a = 0, sau tg = l l

5/25/2018 NOR4

3/50

c) Expresia momentelor de torsiune dinamice esteMx{xt) M%cosco/= M% cosaax costo/ = 5,3908 cosaax costo/ (ni)

care conduce la diagrama momentelor dinamic e maxi me (fig. 3.3.7, /).nt r u c t M m i n = M max> solicitareade torsiune este alternant s i m e t r i c .C. PROBLEME PROPUSE

3.3.8. B a r a de oel dinfigura3.3.8 are s e c i u n e a i n e l a r cud= 50mm,D = 70 mm i lungimea / = 3,6 m. A s u p r a acesteia a c i o n e a z c u p l u l defore Fcosco/, nBi c u p l u l de fore 3F cos to/, nC. B r a u l celor d o u c u p l u r i este b 400mm. SecunoscF= 3k Nico= 0,8pt unde px estep u l s a i a f u n d a m e n t a l a v i b r a i i l o r torsionale. Secer: a) pu l s a i i l e iformelep r o p r i i ale v i b r a i i l o r torsionale; b)expresia r o t i r i l o r de torsiune cu precizarea r o t i r i i maxime; c) diagramele momentelor de torsiune dinamicemaxime i minime.

Fi g . 3.3.8 Fig.3.3.93.3.9. B a r a ACB, f i x a t laambele capete (fig. 3.3.9), este di n oel rotundcu d= 80 mm il= 4 m. Laj u m t a t e a l u n g i m i i acesteia este f i x a t un disccu masa M 120 kg i diametru D= 300 mm,asupra c r u i a se a p l i c c u p l u l perturbator JHX (0 = M*'0cos to/, cu JLX'0 = 2kNmi to = 1,2 J>|S se determine: a) p u l s a i i l e i formele v i b r a i i l o r p r o p r i i torsionale;b) expresia r o t i r i l o r dinamice de torsiune irotirea m a x i m ; c) diagramelemomentelor dinamice de torsiune maxime i minime.3.3.10. Garnitura de p r j i n i deforaj a unei sondeze (fig. 3.3.10, o) ares e c i u n e a i n e l a r cu D = 66,68 mm, d 57,15 mm ilungimea / = 300 m.L a c a p t u l l i b e r se a p l i c periodic ntimp,pe c t e o j u m t a t e de p e r i o a d ( T / 2=7j/co), (fig. 3.3.10, b),un c u p l u perturbator JLX (0= - ~M X,- Cunosc n d factorul de amortizar e pentru modurile p r o p r i i va= 0,06, Jftx0 =2,5kNm,co = 0,8pu se cer :a) pu l s a i i l eiformele p r o p r i i ale v i b r a i i l o rtorsionale neamortizate; b) p u l s a i i l e p r o p r i i amortizate; c) expresiilerot i r i l o r i momentelor dinamice amortizate de torsiune.

306

m x i t )t ~_.x,o3T6' :2,5kNm

1 2 w 2b)o)

Fig. 3.3.10

IP,

:ai*(t)=DTS*'0cosojt

Fi g . 3.3.113.3.11. Og a r n i t u r de p r j i n i deforaj este f o r m a t dinp r j i n i de forajcu Di = 101,6 mm.d,= 84,8 mm pe lungimea ZT= 2800 m i p r j i n igrele cuD,= 184,2 mm,d2= 71,4 mmpe lungimeal = 210m (fig. 3.3.11).L a c a p t u l inferior se a p l i c c u p l u l de torsiune perturbator M(f) ==Jt* COS J%0=5 kNm.S se determine: a) pulsa i i l e v i b r a i i l o r p r opr i i torsionale; b)r o t i r i l e imomentele de torsiune nv i b r a i a f o r a t s t a b i l i z a t .

5/25/2018 NOR4

4/50

CAPITOLUL4V I B R A I IL E F U N D A I I L O R M A S I V E

D E M A I N IF u n d a i i l e masive de ma i n i sunt, n general, b l ocur i de beton, c o n s i derate r i g i de , amplasate pe sol , parial sau total n g r o p a t e . Conlucrareacu s o l u l s e r ea l i zeaz p r i n intermediul t l p i i de f unda i e ( s upr a f a p r i n careb l ocu l s e r eazem pe s o l ) i p r i n s upr a f ee l e laterale a l e b l ocu l u i c nd acestaeste n g r o p a t i umplutura l a t e r a l este d in materiale pulverulente, binecompactate.Pe baza acestor considerente f u n d a i a m a s i v a unei m a i n i constituieu n sistem cu ase grade de libertate, a c r u i comportare d i n a m i c s e stud i a z p r i n metoda d e p l a s r i l o r .C a l c u l u l dinamic a l f unda i e i cuprinde determinarea tensiunilor staticei dinamice su b talpa d e f u n d a i e ; stabilirea a m p l i t u d i n i l o r v i b r a i i l o rpentru d e p l a s r i , viteze, acce l e r a i i l a n i ve l u l elementelor componente ale

ma i n i i i compararea l o r cu n i ve l u r i l e admisibile ; moda l i t i l e de combatere a transmiterii v i b r a i i l o r i reducere a efectelor lo r pentru oameni saualte structuri .A. NOIUNI, MODELE l FORMULE DE CALCUL

Gradele de libertate al e unui bloc r i g i d , c o n l u c r n d elastic cu s o l u l p r i nintermediul t l p i i de f unda i e ( f i g . T . 4 . 1 , a) sunt d e p l a s r i l e u, v, w i rot i r i l e 9*, 9", 9*.D a c x este a x a l o n g i t u d i n a l i L dimensiunea f u n d a i e i n a c e a s t d i r ec i e , rotirea d u p x este d e n u m i t basculare, ia r rotirea d u p z, tangaj.D a c p l a n u l xO y esle u n plan de simetrie geometric, mecanic, elastic,dinamic i de ncr ca r e , atunci modelul dinamic a l f u n d a i e i r m n e numaicu trei grade de libertate ( f i g . T . 4 . 1 , b), care se vor nota v = rn, 9* = 7] t,U = vj, i pot fi alei n centrul t l p i i de f un da i e ( f i g . T . 4 . 1 , c ) s au n centrulb l ocu l u i de f unda i e (O b n f i gu r a T . 4 . 1 , b).

1.Caracteristici elastice ale solului i coeficienide rigiditate pentru fundaii masiveConstantele elastice a l e s o l u l u i , n ipoteza de corp omogen, continuu iizotrop sunt : E, m o d u l u l d e elasticitate l o n g i t u d i n a l ; G, m o d u l u l d e elasticitate t r an s v e r s a l i p ., coe f i c i en t u l l u i Poisson. Intre e l e ex i s t r e l a i ade izotropie

E m 2(1 + p.)G. (4.1)308

0 l3=ul"

c \c LFig. T.4.1

L a s o l i c i t r i dinamice modulele de elasticitate s e no t eaz cu E, Gd ia u v a l o r i m a i mari d e c t cele statice. V a l o r i orientative pentru acestea suntdate n tabelul 4 . 1 , unde, n funcie de natura s o l u l u i , ma i sunt indicategreutatea s pec i f i c i r ez i s t e na adm i s i b i l .

A v n d I n vedere gradul mare de neomogenitate a s o l u r i l o r , proiectantulunei f u n d a i i trebuie s se asigure d e v a l o r i certe al e caracteristicilor elasticea l e s o l u l u i , determinate p r i n procedee geotehnice pe amplasamentul f u n d a i e i . n ipoteza con l uc r r i i b l ocu l u i de f unda i e cu s o l u l numai p r i n intermediult l p i i de f unda i e , tensiunile care s e dez vo l t s ub ac i une a dep l a s r i l o r ca racteristice b l ocu l u i s e expr i m p r i n r e l a i i de forma : la deplasarea ve r t i c a l ( f i g . T . 4 . 2 , a)(4.2)

309

5/25/2018 NOR4

5/50

Tabelul 4.1Tipulsolului

Greutateaspecificy(kN/m*)RezistentaadmisibillOtr,, N/mm N/mm*

6.N /mm* HGranit 25,53-25,10 5 (7,25-8,6)10* (3,02-3,74)10* 0.15-0,20Gresie 22,74-24,31 5 (2,76-5,5)10* 0,10-2,36)10* 0,17-0,24Nisipdens(compactat) 18,1-22,0 3,4-4,8 193-33*. 75-130 0,28-0,34Nisipcucompactaremedie 17,25-20,4 2,4-3,4 152-225 56-98 0,30-0,36Nisipafnat 14,90-19,60 1,4-2,4 103-193 37,4-73 0,32-0,38Argil tare 19,6-22,80 1,9-2,9 207-276 73,3-100 0,38-0,41Argilmedie 18,04-21,20 0,9-1,9 138-207 48-73 0,41-0,44Argilmoale 15,70-19,60 0,5-1,0 69-138 24-48 0,44-0,47

la deplasarea or izontal (fig.T.4.2, b)T1 = C^AUt C X_(1 - (jix,)(1 + u.)a/A

la rotire fa de axa or izontal z (fig.T.4.2, c)E 1

(4.3)

(4.4)n care : c (N/m*) reprezint coefic ientul de compresiune e lastic uniform, cx este coeficientul delunecare e lastic uniform, ia rcv, coeficientul

AR

*~* syKyAvi ;

^ Af?=k waa) i y

rj,=KA xb)

Fig. T.4.2

sr v i -, I r J ^elCl

310

de compresiune e lastic neuniform. Valor ile acestora, In ipoteza semispa-iului infi nit, se e x p r i m n funcie de termenii x * x, care, la rndullor, depind deraportul la tur ilor L/B aletlpii defun daie , de arie A - BLi sunt dai n tabelul 4.2 reprodui d up lucrarea [14].TABELUL 4.2

0,2 0,333 0,5 1 1,5 2 3 5

Xv 1,22 1,13 1,09 1,06 1,07 1,09 1,13 1,22Xx 0,55 0,53 0,54 0,50 0,45 0,42 0,37 0,29X 1,62 1,65 1,72 1,98 2,24 2,50 2,97 3,59

Pentru o plac c ircul ar % 1,13.n cazul rotirii fa de axa ver tical y (fig .T.4.1, a) no ta t cp = 6 sedezvolt tensiunea t 9 = re -0, unde pentru fundaia circular c6 = \,% R

drep tunghiu la r ce = 7,075\VBL(B* + V)

(4.5, a)(4.5, b)

Rotirea fa de axa x se t r a te az n modsimilar ca cea fa de axa z,cu precizarea c B r eprez in t latura parale l cu axa fa de care se facerotaia . Torsorul tensiunilor de pe talpa de fun daie, fa de centrul acesteia,n cazul deplasrilor caracteristice di n figura T.4.2, are componentele

1 v kuAv ; F* = K,LX ; JH? = K, t 9 t ,n funcie de coeficienii de rigiditate ai terenului

Kv - ctA, K = cxA, = c9-I,(4.6)

(4.7)n care cv, t csunt definii de (4.2), (4.3), (4.4) ; A = BL este aria tlpiide fundaie, ia r Iz momentul de inerie geometric a l tlpii de fu nd aie fafide ax a z (axa fa de care se face rotaia . I, = BL*f 12).

Coeficienii de rigiditate ai blocului (4.7) reprezint reaciunile elasticeale solului (4.6), la deplasrile caracteristice egale cu unitatea (A = 1,A , = 1, cp, = 1).Pentru tran sla ia fa de z (fig. T.4.1) intervine coeficientul K similarcu K.Pentru rotaia fa de axa x, coeficientul de rigiditate este de forma

(4.8)n care cVx se de te rmin cu (4.4) cu precizarea c B este latura paralelcu x, iarIx este momentul de inerie geometric al tlpii de fundaie fa deaxa x (cu notaiile di n figura T.4.1, a, It = LB*/\2).

311

5/25/2018 NOR4

6/50

Pentru rotaia fa de axa y (o torsionare a blocului), coeficientulderigiditate este

unde cese determin cu (4.5,a, b),~iar J, ca moment de inerie' polar (geometric) al tlpii de fundaie ( / - = IT + h).

2. Coeficieni derigiditate pentru blocuri ngropatecu luareanconsideraieaefectului umpluturilorlaterale

Conlucrarea dintre blocul defundaie isol, at t prin talpa de fundaie,c t >prin feele laterale, constituie un fenomen deosebit de complex i deaceea efectul umplu tur ilo r laterale se evalueaz, de regul, pe baza unordjjierminri experimentale [4], [20], [66],efectuate pe fundaii circularedreptunghiulare.n tabelul 4.3 se indic coeficienii de rigiditate ai blocului, dup lucrarea [4],care in seama de efectul umpluturii prin intermediul coeficienilor y, , 5epr, dai n tabelul4.4 n funcie de nlimea de ngropare hi raza echivalent r0.

TABELUL 4.1Deplasarea Fundai e circular J F u n d a i e dreptunghiular

vert i ca l (direciay) 4o> = 5#1- |X *1= P r / T lv1- |X

orizontal (direciax) 32(1 - (x)K = nlx7- 8(i K = 2(\+ | i)G-B, - > /iZ-5,

rota i e fa de z,9* (tangaj) K O r3(1 - u) 1- (Xrota i e fa dex,>orizontal (xsauz) - n 5.= 5, = 1+ 0,55(2|x) r

rota i e fadez,9, (tangaj) */ BL*r.= - l/V 37C+ 1,2(1 -, x ) +

+0,2(2 - (x)| J

rota i e fajj de axax,rp(basculare) i l B'L5 9 > = 1+ i,2(i - h)- 4+ 0,2(2 - (x) J

rota i a

5/25/2018 NOR4

7/50

Introducerea n calcule a efectului umplu tur i i , care mrete frecventeleproprii ale sistemului i reduce mrimea amplitudinilor , necesit realizarean jurul fundaiilor a unor umpluturi de cel puin un metru grosime,dinbalast foarte bine compactat, care smenin contactul permanent dintrebloc i sol.3. Ecuaiile de micare, fr amortizare,n planul xOy

Se consider un bloc de fundaie simetric fa de planul .tOi/ (fig. T . 4 . 4 , ,a'),avnd centrul de mas al blocului Oi al mainii 0. pe verticala centruluitlpii de fundaie 0. naesl caz,sisternu1 p rez in t trei grade delibertate:7] (deplasarea dup y); rj8(rotirea fa de axaz)irs (deplasarea dup r),care se aleg n centrul tlpii de fun daie (fig. T.4.4, a, a').Forele perturbatoare provin din rol alia maselor neecliilihrate ale mainii, se aplic n02 i au componentele

F, .= F*cos to/; Fp =Fcs in ti, (4.10)unde w, viteza de rotaie a pieselor n micare, reprezi nt pulsa ia foieiperturbatoare.

Fig. T.4.4314

Ecuaiile de micare se stabilesc pr in metoda deplasrilor (v. cap. 2)si in cazul neglij rii amort izrii , au forma matr icealA/r , + Rr= F. (4.11)

Matricea de rigiditate se determin dnd succesiv, pe forma de baz(cublocajele y, tj2, rj, introduse) deplasrile unitare v) 1 (fig.T.4.4,b),y |S = 1 (fig. T.4.4, r),r{3= 1 (fig. T.4.4,d)i evalund reaciunile din legtur i , pe Laza rea ciuni lor elastice precizate n figura T.4.2 i a expresiilor (4.7).D ; n 7), = 1 (fig. T.4.4, b)se obinr = K, ; r =. 0 ; r= 0. (4.12)D i n y2 i (fig. T.4.4,r),ecuaiile de echilibru aleforelor i reaciuni lorcondur la

r = 0 ; r 2 K9 - hh % 4-QmdJ- R,; r 3= 0 (4.13)nade Q = n\bg, Qm = mmg, sunt greutile blocului respectiv ale mainii.D i n echilibrul blocului cudep'asarea r)3= 1, se. obin

r = 0 ; r - 0 ; r3 S K. r . (4.14)D i n expresiile (4.12), (4.13), (4.14), r e zu l t cmatricea de rigiditate estediagonal.Matr icea maselor se obine n mod similar cu matricea de rigiditate,dnd succesiv formei de baz accel eraii unitare pe direciile parametrilorde oscilaie i eva lund eforturile nblocaje, pebaza ecuaiilor rle echilibru.Dac se d tji = 1, ntruct centrele.de mas aleblocului imainii sunipe direcia Ini y]t, se obin termenii

ffin = mh + mm = m; ma i= 0 ; ma l= 0 (4.15)D i n acceler aia 7)2= 1 (fig. T.4.4,e),n blocaje se dezvol t r eaciunil efl = J\;h ( 4 J 6 )

m 3 2 = m,, r-mmrf = m'2Se observ c m2 2= = J 2 r eprez in t momentul de inerie masic fade axa z cetrece pr in 0. n modsimilar , din t(8= 1 se deducm : s = 0; m 2 3= rnb-^- + mmd = m'; m = m -f- tfim = m (4.17)

i n n d seama de (4.10), vectorul forelor perturbatoare F (4.11),arecomponenteleF j = F ccos al; ^ 2 = F c r f sin co/; F, = F sin co

5/25/2018 NOR4

8/50

undeJLi reprezint momentul Forelor exterioare huj direciaparam tirului 2care este o rotaie.Folosind component ele mat ric.e lor M, R, i ale vectorilor F i v,, ecuaia

matriceal (4.11) conduce la ecuaiile ie micare ale bloculuim i j , -f Kr) = F cos al ;

J 2 y , 2 4- rn'r3 4- Srjj = F c d sin o' I;n'7), 4 "iii 4- -KrT)> = F s i u >

(4.19)

(4.20)

Se observ c parame trul Kj,este independent , iar paTUnetxii tj, i rj,sunt cuplai numai pTin matricea de inerie.Observaie. Dac parametrii de oscilaie ie aleg in centrul de mas alsistemului (fig. T.4.5), atunci ecuaiile coresininzloare parametrilor yZ(rotaia), 7j (depl asar ea orizontal) sunt cuplate mimai prin matricea dcrigiditate.Ecuaia "corespunztoare parametrului y,, rmne (4.19), iar ecuaiile,parametrilor tj. i tj, devin

JU, 4 (R,4- Kjfyj* - Kd,y s m fff, sin aimi), - K.dsr + K r i g , = F sin , - rn'p*An = 0b) (K,-mp>) A, = n; r) mp1 Ai 4- (K , mp') AB = 0care, ntruct trebuie s aib soluii diferitede cea banal, conduc la ecuaiil e pu lsaiilorproprii

(4.22)

FcosCi)tFsi ncot

ff| - JiP2 m' pa

mp'K , mp1

(4.23) d iXor d2

00 \v (4-24) Fig. T4.5316

nade s-au notat pulsaiile de rotaie i de translaie

iac ja ia inet r i i a i f i independeni i factorul adimensionalmja (m')a (4.26)

D i n (4.24) se obin pulsaiile proprii n situaia gradelor de libertate tij,tj, cuplate

Dac pulsaiile/, p " sunt in ordinea p < p' < p" atunci pulsaiileproprii sunt p = p p, = p ' i p3 = p" i formele proprii corespunztoarese dete rmin dup metodologia general (v. cap. 2).5. Vibraii forate stabilizate, fr amortizare

Vibraiile verticale forate, stabilizate, sunt descrise de soluia p arti cula ra ecuaiei (4.19), care esteTu = Cj cos w/ = cos to/ m cos cos oo/K, - mu1 K, _ j^ l T ' .~ Pi

(4.28)unde Ai ,= F V K , r e pr e zi nt deplasarea static produs de F i

- f * - - r r b ( 4 - 2 9 )coeficientul dinamic pentru vibraii verticale.

Tensiunile diuamice maxime i minime sub talpa de fundaie se determincu expresiaQ W I amVmaxlmtn ~ (4.JUJ

unde Q = Q* + Qm este greutatea blocului de fundaie i a mainii.D i n foia orizontal Fsin w/ .(fig. T.4.6, a) sunt excitate numa i gradelede libert ate r,g i tj,, ale cror expresii se determin ca soluie particular

a sistemului (4.20).Adoptnd soluia

tj, = C'asin o/ ; tj, = C 8sin oo/, (4.31)i introduc nd-o n (4.20), se obine sistemul algebric

( , - J2 t o % ' 2 - m'w*C, = Fd (4.32)- m'oi'C, 4- f K , - mw2 )C , = F

3,17

5/25/2018 NOR4

9/50

6 .Fsincot

a)

b)c)

d)

TT/T TI- j_ i)

giFi g . T46

din care rezult amplitudinile Ct CCi = mJ,*) (1 - P/w") ; C a=

j i - J,co'+m'dai*mJ,

5/25/2018 NOR4

10/50

unde p este dat de (4.23), iar factor ul de amor tiza re v se determin n irelaia (54) (4.45)In care v factorul deIn modin care px ,mitate cu

Factoriiumpluturii,tabelul 4.5

reprezint factorul de amortizare geometric pe direcia y, iar v,amortizare intern al solului,similar se admit expresiile/> = a /np.v. , ; >= 2 . / ^ , , ^ (4.4)

p 9 , se determin cu (4.25), iaT factorii de amortizare, iii ccnfor-54]) suntv, = t 3 f V i ; v = + v f H - 4 7 )de amortizare v, depind de modul de vibraie, de iufluenade influena ineriei, de caracteristicile solului i se dau inreprodus din lucrarea [54].

TA BHLV1 -4.5Modul (tevibraie Factor ilaloratiiiiiplu-turii (a)

Vertical(axa y)Ori/(ntal

(axa x sau z)

Rotai e(axaz)(tangaj)

1+1,9(1- [4 lk_r.

a, =l-t-l,9(2-[i> A,

Factor datoratinarM (S) Coeficient Factorul de amortizaregeometriev.

1ii. m4 P o

H o t a i e(axa x)(basculare)

R o t a i i(axa y)(torsiune)

^ , = 1 -l 0,7(1/io- IA) +0,6(2 -

7 _. Sfi n32(1 ,x) p>30

9(1 -n) A

- (4 b0,6(2 - 3( 1-x) J 0 p4

P re

0,425v, = r0,288v, = . ,

O.lSa,(1 -fn^S ,"),/ (J?JS

D,l.">i9

0,61 4- 2'

Not : Razel e r r M , rB, r, , sunt precizate n tabelu l 4.4 ;h '. Joz = -h sunt momentele de inerie rnasice fa de axele x, y, Itrecnd prin centrul tlpii de fundaie.Coeficienii n_j / * repr odui dii]) [54] suni dai in tabelul 4.6.320

TABELUL 4.68" VB | 3 \ ,2 1 0,8 0,5 0,2

5/25/2018 NOR4

11/50

Tensiunile pe teren se d e t e r m i n en (4.30), s u p r a p u n n d f o r e l e permanente;cu Fd.D a c d e p l a s r i l e orizon tale la talp a de f unda i e se n e g l i j e a z , alunoparametrul t)2 este independ ent i i n n d seama de (4.38) i ( 4 . 4 ) , e cua i ade m i c a r e , d e d u s din (4.43), devine i + 2 v ^ p ^ T ) , -t- p|e-02 =^ sin / = ^ - s i n o/ (4.53)

S ol u i a acesteia, s i m i l a r cu s o l u i a ecua i e i (4.42), este

(4.54)D i n aceasta se ob i n : p u l s a i a v i b r a i i l o r p i o p r i i la r o t a i i cu amortizar e _

p\>= P * - > / * " = ^ ; ( 4 ' 5 5 > coeficientul dinamic la r o t a i i cu amortizare

A ' m 1 (4.56)- - u'/pj, )' + ( 2 ^ / p ) ' rotirea d i n a m i c m a x i m

momentul dinamic max i m f a de axa z din centrul t l p i i de f u n d a i eJU = J g - ' r v V 1 + (2 V " / P ^ ) 2 = -TflF,r (4.58)

D u p determinarea momentului J Zd = A f se ap l i c (4.36) i se obintensiunile maxime i minime pe talpa de f unda i e .C n d b l o c u l de f u n d a i e are d e p l a s r i orizontale la n i v e l u l t l p i i de f u n da i e , dep l a s r i l e dinamice i tensiunile pe sol se ob i n p r i n rezolvarea sistem u l u i de ecua i i (4.43).L u c r r i l e [3], [4] a p r e c i a z n s c gradele de liber tate rj2 i rj, (fig. T.4.7)se pot considera independente d a c este nde p l i n i t c ond i i ay / a + o : >,., A o>. (4.59)

unde co T = p, ^ 1 - 2 \% = p f l v/l - 2 sunt pu l s a i i l e de rezonan , ad i c va l o r i l e to pent ru care (4.51) i (4.56) sunt maxime, iar p u l s a i aforei perturbatoare.Observuir. A m p l i t u d i n i l e dinamice la nivelul feei superioare a f unda i e isunt, de r e g u l , limitate n f unc i e de f r ecvena os c i l a i i l o r . A s t f e l , pentri > & hi

7. Fundaii masivecustraturielasticelabazD a c sub tal pa de f u n d a i ee x i s t un strat elastic ( p l u t ,cauciuc etc.) atunci coe f i c i en i ide rigiditate se d e t e r m i n i n n d^ seama de elasticitate a s o l u l u i ia stratului elastic suplimentar.A l e g n d parametrii de o s c i laie ca n figura T.4.8 i i nndseama c s o l u l i str atul elasti cconstituie ' ,;.elemente n serie,coeficientul de rigiditate la d e p l a s r i verticale K se d e t e r m i n din relaia

PLUTAFi g . T48

1A' (4.60)Iu care kWt r e p r e z e n t n d coeficientul de rigiditate al s o l u l u i se s t a b i l e t ecu (4.7) sau cu formulele din tabelul 4.3, iar kVP, coeficientul de rigidit ateal plutei se c a l c u l e a z cu foi mula

(4.61)unde Ep, Ap, dp r e p r e z i n t modulul de elasticit ate, a ria, respectiv grosimeastiatului elastic dc p l u t .

Pentru r o t a i i (parametrul /)), coeficientul de rigiditate se d e t e r m i n n mod s i m i l a r , di n r e l a i a(4.62)

n care kls datorat s o l u l u i , se c a l c u l e a z cu (4.7) sau cu formulele dintabelul (4.3), iar pentru fr P datorat stratului elastic (de p l u t ) , seap l i c r e l a i a s i m pl i f i c a t h r T dr (4.63)

unde ICT r e p r e z i n t momentul de i ne r i e geometric fa de axa z al ar ieiplutei. n continuare, ecua i i l e de m i c a r e , d e p l a s r i l e i tensiunile se d e t e r m i n ca n cazurile precedente.8. Fundaii masive pe arcuri

Rezernarea b l o c u r i l o r de f u n d a i e pe c u t i i de arcuri, de r e g u l cu amorti-zoare de tip v s c o s , se r e a l i z e a z atunci c n d elasticitatea s o l u l u i i a straturilor elastice sub talpa de f unda i e ne conduc la s o l u i a do r i t p r i v i n df r ecvene l e p r opr i i i amplitudinile n v i b r a i a f o r a t .

323

5/25/2018 NOR4

12/50

O kk O 0 0

O k k O XO 0z'XO 0

Fi g .T.4.9

coe f i c i en i i de amortizarebi = 4 ; fr. = U>

n c a z u l unui bloc (fig. T.4.9) s i metric, fa de p l a n u l xOy, cv deplas r i orizontale nule la b a z i rezematpe patru cu t i i de arcuri elico>i

5/25/2018 NOR4

13/50

Pentru LjB = 2 000/1 &O0= 1,25, d in tabelul 4.2, prin i nterpolri l i niare, se scot factorii

& - l>0r>5; X . r = 0,475 ; = 2,11 .D i n tabelul 4.1,pentru sol cu o . = 0,4 N/ram, se scot modulul de elasticitate dinamic E = 252 N / m ma i coeficientul de. contr acie transver salu. = 0,306, de asemenea, prin interpolare liniar.C u relaiile (4.2), (4.3), (4.4) se determin coeficienii elastici de compresiune uniform, lunecare uniform i respectiv compresiune neuniform,. = I* Ei - ti- 4x

E~ = 1,065 2S2

l m 0,4751 - 0,S06" rn3V3.2

2521^=== 0,1655 N/mm3

= 2,11

(1-0,306-0,475) (1+0,306) 10 v ^0,06 N/nun ' ;

252 1= = 0,328 N/mm'.* L

5/25/2018 NOR4

14/50

C u (4.34) se c a l c u l e a z c u p l u l de i ne r i e m ax i m i respectiv fora dei n e r i e m a x i m jftf = .7 2 to 2C 2 = 59011,86 - 1 0 3 N m m ; F i ' 0- / n 2 C 3 = 30235,1N .

F c n d reducerea luluror forelor fa de punctul Ose ob i n eforturile(4.35)N = - Q = - 165960 N ; Ml = JH\ +-F

5/25/2018 NOR4

15/50

n t r u c t |omaT | = 0,173 N / m m a < tf = 0,4 N / m m 2 , dimensiunile bloculuide fund aie sunt core spunztor adoptate.c) Rotirea dinamic maxi m a blocului de fundaie, f a,de axa z, nvibraia forat stabilizat este da t de (4.39)Fd 29"512-2 100 1,61 = 0,2854 -10- rad.K),. t)2i-q3)se aleg n centrulOaltlpii (fig. 4.3,a).

.Fcos cot

1 d)

0,07N/mnv

0,056N/mm2T T T W

0,02 .5 0,101N/mnT

Fig. 43830

Greutatea, respectiv masa blocului, masa mainii i greutat ea,resp ectiv masasistemului suntQ = yLBh = 22-2,7-1,8-2,2 = 235,224 kN ;

m > > = ^ = i ^ _ = 23,978 t;g 9,81mn = 0; = JSL = 7,1356 t; Q - Q+ Qm = 305,224 k N ;9 9,81

m = m,, +- m = 31,1136 t.Momentul de inerie masic al sistemului bloc fundaie-main fa deaxa z ce trece pr in O este

m(L+ , ( h 2 23,978(2700' +2 200')J , i 2 + / " " ( t J + m - " " r f = 15 ++ 23,978-1 100' + 7,1356-26002 = 10 148,78-10' N s2 mm.

(S-a neglijat momentul de inerie masic propriu al mainii.)Se calculeaz cu (4.16)

m m m h . JL+ m m . d = 23,978-1 100 + 7,1356-2 600 = 44 928,36 Ns .D i n tabelul 4.1, pentru nisip compactat cu aa = 0,34 N / m m 2 se scot :

E = 193 N / m m 2 ; G = 75 N / m m 2 ; jjl = 0,28.C u relaiile date n tabelul 4.4 se calculeaz

f o _ y BL = y 1800- 2700 ^ 1 2 4 3 ? 8 m m .. . L , 7 ^ " = ^/18Q0-2 70O = , 392,4293 mm V " ^ - V 3 , t

+0,6(1 - - l 4-0,6(1 - 0 , 2 8 ) ^ ^ - = 1,7641;5, = 1 + 0,55(2 - p.) A = 1 + 0,55(2 - 0,28)-^^- = 2,6733;

^ - 1 + 1,2(1 - u ) + 0,2(2 - (x) 1 + 1,2(1 - 0 - 2 8 ) ^ - ++ 0,2- (2 - 0,28)f 2 2 0 0 \ = 3,7219.v ^1 392,4293J

Pentru L/B = 2,7/2,2 = 1,5, din figura T.4.3, se scot factoriiS = 2,27 ; B, = 0,97 ; % - .0,58.

C u relaiile precizate n tabelul 4.3 se calculeaz coeficienii de rigiditateai terenului, innd seama de umplutura lateralK = r ^ r J * 1 0 l v = t t W - 2 , 2 7 ^ 8 0 0 "27 0 0 - 1 > 7 6 4 1

= 919 593,64 N / m m ;331

5/25/2018 NOR4

16/50

K , = 2(1 + ii)C^ ry/BL l, = 2(1 4 0,28)-75-0,97Jl 8002700-2,6733= 197 586,6 N/ mm;1u * V 1 9,28= 2 950 675,7-106 Nmm.

0,58-1 800-2 7 0 0 - 3 , 7 2 1 9

E c u a i i l e de m i c a r e iumetoda d e p l a s r i l o r au forma (4.11)M t)+ Jf i j =F, (a)

n care matricele de rigiditate (E) i respect iv ma tricea maselor (itf )suntr , 2 .)* 1 - (105/171,918)"

. F 20000= a w~' a(D = - ' 0 1 7 ; - '1 0 9 N / m m 2 -

5/25/2018 NOR4

17/50

c) nacestcazrjsO, sistemul a edoar d o u gTadedelibertate d i n a m i c independente, Teprezertate prin parametrii*), irespectiv r| 2ale e r o r e c u a i i ,deduse din (c) i (d), suntrni), -f K, t ] ,= F e o s l2+ K

5/25/2018 NOR4

18/50

PlPi = m

62784031'ir819 1487 8 -IO-

n i . O ' l M C *= 6 ,365

31,11C u (4.27) se obin s oluiile ec uaiei (a)

= 5 #98,303

J>5(>,S67s-'

170,754 s-;

(6 186,365 + 5 4, == 400,85 s_1 , obinut e n. problema 1.3, rezult c umpluturile laterale i nflueneaz puternic valorile pulsaiilor p>roprii.ii) Vibra ia forat stabili zat pe vertical este prod us

5/25/2018 NOR4

19/50

(K vi=2F rd =kdd)

Fi g . 45C oef i c i en i i matriceiderigiditate:pentru ya = 1 (fig. 4.5, c) r e z u l t

O )unde Kj,r e p T e z i n l r e a e iu n e a e l a s t i c a celor patru a r cu r i .

Pentru y;a= 1 (fig. 4.5,d)arcuriled indreapta sec o m p r i m icele di n s t n ga se n t i n d cu A = 1 ti/2. R e a c i u n i l e elastice 2b\ = 2 ( A - / ) = 2(d/2-k) f o r m e a z c u p l u l 2F\ddenumit no eficientul derigiditate la rotaie al arcurilorKm = ZFi-d = 2

5/25/2018 NOR4

20/50

Se observ c pulsaia p rop rie cea mai mare. p, = 35,247 s 1 este maimic cu 27,67% fa de pulsaia per turbatoare i deci sistemul funcioneazcu acordare joas.b) Vibraia forat stabilizat pe verticalei. Sedat ore te foiei perturbai oareFy(t) = F" cos to/. Cu (4.29) i (4.28) se det ermin a1 1 I KMli) = = = 1 ,587 ; Ti, , = 0i =

V " | 1 - (o,//..)-1 I 1 - (45/35,24-73'| J K,8 000 1,587 = 2,064 mm.6.151,288Fora maxim i minim pentru fiecare are

*C 5 7 2 -r Q>ll4-8-l,7 = tll 1^06 k NF m n j / , , = - - - - ~ 4 t 2 ] > 2 . ^ | _ 11,23 k N

conduce, de asemenea, la o solicita re variabil dup un lip de ciclu ondulantpentru care se obine un coeficient d/e siguriiii mai inare de 2,8.Deci deplasarea maxim a centrului mainii arc loc dup vertical cu2,064 mm, iar coeficientul de siguran al arc arilo r este 2,8.4.6. Un bloc de fundaie (fig 4.6) a, l>) eu y * 24 kN/ma , ngropat ntr-unsol nisipos, compactat, este destinat unei maini cu rotor, de greutate Q == 50 kN . care genereaz forele perturbatoare /',,(/) = F cos

5/25/2018 NOR4

21/50

D i n figura T.4.3, pentru L/ B= 2100/1 500 =1 ,4 se obin coefic ienii$ u = 2,18 ; (3, = 0,98 ; p{ = 9,5.

PentTii tipul de soL,nisip dens compactat, din tabelul 4.1 se scotaa =0,36 N / m m2 ; E = 213 N / m m2 ; 67 = 83 N / m m2 ; p. = 0,19.

C u relaiile date n tabelul4.4 se determinr e * JWiz = y/l 5002100/tc = 1 001,34 mm ; rM = ^ ( B F 3 ) / (3n ) =

= 1191,84mm.;lv = 1 -f 0,6(1 - u ) - = 1 -f 0,6(1 - 0,29)- l = 1,77 ;rD 1 00j ,34L = 1 +4.55(2 - ^ . 1 - 1 4 - 0,55(2 - 0,29) = 2,(59;

^ = H 1,2(1 - p > 4- 0,2(2 - u.) [ ) ' = 1 + 1,2(1 - 0,29)-. 1 8 f i 0 + 9 , 2 ( 2 . - 0,29) f 1 8 M f = 3,883.1101,84 \ 1101,84 /

Coeficienii de rigiditate ai terenului se calculeaz cu relaiile date nlabelul 4.3.K = PijBL lt = 2 , 1 8 J T Z f f o W - 1 , 7 7 =

" 1_ ji y 1 -0,29 v= 800,58-10 N/nun ;

K , m2(1 - f pWfay/BL-r = 1001,92-IO3 N / mm;= %BL* l,z = 165150,42-10' Nmm.

Folosind (4.13) se obineR9 = Kl - [Q-- l+

5/25/2018 NOR4

22/50

jr _ 229,69-lC:l0OL,g2-3O' . Vk I j 103 /**; = ; =186,854-10' N / n n m ;k,.T+ *

5/25/2018 NOR4

23/50

0,042

d l i-r-r

O.C320oCM

b)

;>0

I'ig.47componentele :Fy(t) = Fcos o/ i P^ i ) = Fsi ncui.Folosind (4.42) i(4.43)ecuaiile de micare sunt

m i h + l>ui)i + * i / 0 i = J7"cos o/ ;j 2 iJ 2 + + R t\i= Fd sin >/.

(a)a) Se calculeaz

Q 6 = Y L B / ) = 22-4-3,205-l,6= 451,264 kN ; rn, = J f c . 4 " ' 2 < S 4 . 46tS 9,81( ? - m - 7 - 5,75-9,81 = 56,4075 k N; (? = Qt + Q = 507,6715 kN;

m = mh + rnm =51,75 tmb(h*+ X) f>\2 , ,, 46

5/25/2018 NOR4

24/50

i a r pu l s a i a v i b r a i i l o r proprii verticale i nnd seama elearnoTtizare ested a t ) sunt : yj,deplasarea pe v e r t i c a l ; t)2 r o t a i a f ade ax azcetrece pT*n O ; r j3 deplasarea pe o r z o n t a l . P u l s a i a v i b r a i i l o rverticale, tensiunile dinamice maxime iminimepe sol ideplasarea v e r t i c a l m a x i m , produse elecomponenta Fu{i) sunt cele calculate la problema4.7.

FyftUF coscot=25cos104t kNRfltl'a Fsi ncot

t=22kN/m-

c)00321 1 0,Ot71N/mm2

Fi g . 48349

5/25/2018 NOR4

25/50

O )E c u a i i l e de m i c a r e c o r e s p u n z t o a r e parametrilor cup l a i ns i y]}au forrna(4.4$)

.faa 4- m'fy + /VQs + ^V) ' - P

5/25/2018 NOR4

26/50

4.9. Un bloc de m a s m = 12 t (fig. 4.), a, /) este fixat prin ase cui iicu arcuri (fiecare eutie a v n d cale patru a r c u r i f i g . 4.0, c) i p r i i d o u amorizeare hidraulicei Coeficientul Ns/mr a. S se determine : o) amp litu dinea v i b r a i i l o rf o r a t e stabilizate produse de for4a perturbatoare F(t) = F cos uit cu F" == 30 k N i *> = 48 s_ 1 ; k) coeficientul de rigiditate K, al absorbitoruluidinamic de m a s m = 100 kg care se a t a e a z tuaseini,, astfel i n c t aceastas nu mai vibreze.. REZOLVARE : a) In figura 4.9, dse p r e z i n t sistemul cui un singur gr adde libertate d i n a m i c eonstaud clin masa b l o c u l u i jti = 12t i elementele echi

valente dc l e g t u r : elementul elastic a v n d c oefici entul ccstot

e)Fig. 48

352

Fo lo s i n d (4.44) se. d e t e r m i n factorul de amortizarev = 2-^-1-= 7 2 =0,0756 rr 2mp 2-12-40

i cu (1.51) se c a l c u l e a z coeficientul dinamic la v i b r a i i f o r a t e cu amor-t izare.1'= 1/ 1 = 1/ 1 = 2,1035.r t b - (u/p)2]"+ C to/p)' K [1 (48/40)2]2+ (2-0,075-48/40)'Deplasarea m a x i m a masei m (fig. 4.9, d) se d e t e r m i n cu (4.50)

hm = X = ( F / K ) - d / = (30 000/19 200) -2,1035 = 3,287 mm.b) P r i n a t a a r e a absorbitorului format din masa ma i element ul elasticcu K se o b i n e sistemul din figura 4.9, o, care are d o u grade de libertatei at c r u i model dinamic este reprezentat n figura.4.9, e. E c u a i i l e de m i care ale acostnia sunt :mV), + (Ar+ K)y[x - Kr, -4- /.y), = F cos cot rv M i - + ) M - o. w

A d o p t n d s o l u i i particulare de formajji = A i cos ca/ 4- Bi sin col; tj, = A, cos co/ + B2s in cot (b)

i [ l i n i nd con d i i a de verificare a sistemului (a), se o b i n e sistemul algebric' A , ( K+ K a - mco2)- A 2 t f a - f B.oco = F

- A1b

5/25/2018 NOR4

27/50

4 . 10. U r i"blocde f u n d a i e , a v n d dimensiunile precizate i n f i g i i T a 4.10, ,este n g r o p a t n t T - u n sol cu p i e t r i t ip gTesie (ca = 0,5 N / m m 2 ; E = 3 4 9 4 N y r n r n2 , G = 1,23 10N / i r r n i 1 , f = (1,19). Acesta s u s i n e d o u m a i n icumasele rii = uit =3 t, care induc t o r e l e perturbatoare orizontale Fa(l) == 40'Sinut (I N) .iFt(l) =30 sinSI(k N) cu n = 15 000 rot/ tni n. Se cer:a) pu l s a i i l e v i b r a i i l o r p r opr i i " i nnd seama de efectul umpluturii laterale i al a m o r t i z r i i , c n d talpa f unda i e i nu are t r a n s l a i i ;b) tensiunile normale maxime iminime su blalpa f u n d a i e i i dep l a s r i l emaxime l a n i ve l u l l agr e l o r ma i n i l o r .REZOLV ARE: = 8053,8933 -10* N s a m m ;n 1 2 /< /*= Jd' +d\ = y/\ 8002 + 9002 2012,4612 mm;

jx m BtZ*SL a. mt - J - J '+ (m, + mt)d* - 6125,3333-10* N s ' m m ;/ , = 'n>

5/25/2018 NOR4

28/50

R91 = - +

5/25/2018 NOR4

29/50

I4 . 11 . O r na i r i - u r i ea l t de m a s m = 2 t este f ixai de c f u n d a i e cumasa mb = 5 t care se r e a z e m pe pardoseala "halei printT- un slrat elasticde c o n s t a n t K = 11 200 N / n r m i un amort izo r de tip v s c o s ele c o n s t a n t b = 112 N s / m m . E x c i t a ia se d a t o r e t e j t t unei fore perturbatoare -F(i) == F c o s c > 1 r , i n d u s de m a i n , ct i anei v i b r a i i armonice a pardoselei( / ) = u0 coso j f . M o d e l u l dinamic al sistemului este prezentat n F igura4.11, a. Se cunosc : Fc = 3 kN , coa = 5>>s -1 , ir, = 0,2 mm, *> = 70 s - 1 .Se cer : a) ecua i a de m i c a r e a sis temu lui ; $) deplasarea m a x i m a ma i n i i .REZOLVARE : a) Sistem ul are un gjsd de libertate. Yifcraia acestuiaeste d e s c r i s de parametrul ig c n d suportul B este. fix i de parametrul tj,

c n d suportul B are deplasarea a r m o n i c u(f) = ji c eo s o,/, n sensul parametrului 7). n acest caz, parametrul de os c i l a i e se e x p r i m p r i nT|a = TIf ff (a)

I z o l n d masa ni = rn,+ m, , = 7 t. i a p l i c n d p r i n c i p i u l lui d'Alc mbert,se introduc forele reprezentate n figura 4.1], b,al c r o r ech i l i b r u conduce lalhj, + &rj + Xr) = F c o s . (t)>

c )Fit: . 4.11

358

(0

i n n d seama de (a), r e l a i a (b) devinem i + ^ _p Kv) = Fcos o>i - mii(t). (c)

I n t r o d u c n d ' e x p r e s i a lu i u(l) se ob i ne ecua i a d i f e r en i a l care descriem i c a r e a masei ;n4 . -p Ky] = Fcos coi/ + mi ' ow lcos co8/. (d)

Soluia acesteia se compune din soluia pri i omogene (7)0fB) care areforma (1.23) i o s o l u i e , p a r t i c u l a r t], ce se ob i ne p r i n suprapunerea deefecte pe baza r e l a i e i (1.49)F cos(oV - i) |_ moi\u cos(co,< - )y > J F V U - ( o . / p J T + ^ v c o d p ) ' K V i l- (a>,/p)T+(2vu,/p)*

Deplasarea t o t a l n v i b r a i a f o r a t s t a b i l i z a t r e z u l t . , A _ F cosQ. i - ,) .

= " < 0 ~ T - (",/p) T + (2VO./P)1 ^1 4-(2vco8/p)'-Costco;/

5/25/2018 NOR4

30/50

dependent deconstanteleAi a ce sel- in di n c ondi ii le imit inie. Admindeon-diiile iniiale ijj = 0,468 ni m i = 0 se obinA = 0,4775 i a = 0,20136.C u ajutorul calculat oriilu i se determinii)e = 0,54 mm i are loc la f = 0,031 s de la pornirea mainii.Oscilaiile libere se sting relativ repede, dup care rmne mimai vibraiafoTat stabil izat , cnd rn,ar = 0,468ram.

C . PROBLEME PROPUSE PENTRU RE20LV/RE

BETON F=10kN

4.12. Ua blocdefundaie din beton (y-=22 UN/m'), avnd dimensiunileprecizate n figura 4.12, a, b,conlucreaz cu solul numai prin intermediultlpii. Soluiestenisip cu comp actaremedie :

5/25/2018 NOR4

31/50

CAPI701UL 5V I B R A I I L E T O R S I O N A L E A l t A R B O R I I O R D R E P I

C U M A I M U L T E D I S C U R IL a a r b o r i i d r e p i , n t r u c t d e f o r m a i i le c l in n c o v o i e r e suni independentede cele de torsiune, v i b r a i i l e torsionale snnl independente

5/25/2018 NOR4

32/50

D a c s e n o t e a z matriceie0

(5-9)

J =J , 0 f>

0 O . . .

f>13 >12-- '> *ha- h Rsistemul generat ele (5.8) ia forma m a t r i c e a l

J't 4- fii -4- RZ = ^n care s-a not al : vectorul necunoscutelor

z = \7../z.. vectorul c u p l u r i l o r d e toTsiuue. perturbatoare

(indicele superior T m a r e n e a z o p e r a i a d e transpunere).

( S i e )

(5.11)

(5.12)

2 . V i b r a i i libere u a b s e n a c u p l u r i l o r perturbatoare (Jr"i = 0 ) i n e g l i j n d a m o r t i z r i l e ,e c u a i a m a t r i c e a l (5.10) ia forma

JZ + RZ = 0 sau J'th +rlJZ i = 0 ; I = 1, 2, . . ., n (5.1$)/A l egnd o s o l u i e de forma

Zt = 2 X ' c s (jpt - ) , (5.14)unde r e p r e z i n t amplitudinea v i b r a i i l o r libere, sistemul (5.13), i n n dseama de (5.1) i (5.2), devine :

( i i . - JiP*)A - k\*R = o- A - | .2 Z; + ( t j , , + 4 .3 - J 2 P ) Z g - k\,,Z\ = 0 (5 15)

P r i m a i u l t i m a dintre e c u a i i c o n i n c t e d o u necunoscute i toatecelelalte c t e t r e i .Pentru ca sistemul algebric omogen (5.15) s aib solui i diferite de ceab a n a l , determinantul caracteristic trebuie s f i e nu l . A ceas t cond i i e conduce l a ecu a i a pu l s a i i l o r p r opr i i

o o o - A - i . - / / >d in care. s e ob i n va l o r i l e < p,

5/25/2018 NOR4

33/50

b) Utttd rnc-dcH. n t r u c t mo du l ele-a p l icare este identic cu cel iesens n capi tole le 2 i 3, se p r e z i n t numai forma s pec i f i c a relai i lor ele ca l cu l .A s t f e l , amplitudinile n v i b r a i a f o r a t se d e t e r m i n cu expresiaX

unde e c n t n b u i a formei x la v i b r a i a arborelui, in a b s e n a a m o r t i z r ii pentru Oo e(0) = fla

5/25/2018 NOR4

34/50

care pune n eviden matricea derigiditate dinamicii a lunci jh avndcomponentele:r - ti = [ r ) =Kit 1* =z+ t i i* , =mm >care, pentru toate necunoscutele genereaz sistemul ecuaiilor de micare

f'a + s i i i , - Jtit i * = n > 2 j i - ( b 4 l >jTeTmenii acestui sistem sunt:

r . 9"S,i f c ; , dac j este legat direct deJi (5.42)rj= 0, dac j nu este legat direct de J\

r M = 2 s i * i= * i,0 *+ s < - ( 5 . 4 3 )[s-a considerat (v. fig. T.5.1, b) c nodulh este.legat numaidenodurile gi i\.i n continuare, studiul vi braiilor libere i al celor f orate, pornind de lasistemul (5.41), decurge In modidentic ca n cazul anterior, cnd sistemulecuaiilor de. micare avea fornia (5.8).

Se precizeaz ns c ecuaia pulsaiilor proprii cn d se. ine seama demasa arborelui este o ecuaie trans cend ent, acrei rezolvare se efectueaz,de asemenea, printr-un pTocedeu iterativ.Observaie. Vibra iile proprii i forjate torsionale ale arborilor drep ieu.ma i multe discuri, lund n consid eraie masa arborelui, sunt. analizate nlucrarea [60] pe baza matri celor de"transmitere (5.110), (3111), (3.112),(3.114}i transpuse n t r -un program adecvat, numit VTBTOR".M o d u l de aplicare al aceslui program este indicat n problema5.12.

B. PROBLEME REZOLVATE5.1. Pe un arbore (fig. 5.1, a)cu seciune inel ar, av nd tlur 84 mm,dii = 60 mm pe lungimea a - 500 mm i respectiv drJ = 74 mm, d, == 50 mm-pe lungimea b= 300 mm sunt fixate dou discuri omogenecuD , = 600 mm, Q, = 5k N (discul 1) i D, = 500nun, Q =4 IcN (discul2).

Asupra discului 1 acione az un cuplu perturbator armonie M\ = J z l ' V j S co/cuJf t0 2,75 k N m iei= 15(1s"1. S sedetermine : a)pulsai*363

b)

c)

d)

e)

5 /T\ ' .o (1) DlC^DtC,coscot /jN* r r i H b ^

A - A

diex=tUmtn

232 630 7 2 517 369 3Nmm2750000Nmm 2 517369 3

M2 517369 3Nmm

F i g .5.1vibr aiilo r proprii torsionale; b) unghiurilederotire maxim ale discurilorn vibraia forat stabilizat; e) diagramele momentelordetorsiune maximei minime; d) coeficientul de siguran al arborelui cunoscnd t_, == 230N / m m 2 , f - ^ - ) = 2,3.

REZOLVARE .-a)Se alegcaparametri unghiurilede rotaie ale discur i l o r Z, i respectiv Z2 fa de axa de rotaie (fig. 5.1,b). Pr in blocarea21 Probleme de dinamica structurilor cd. 130 3fi9

5/25/2018 NOR4

35/50

discurilor cu pendu l i i cu r i i 1 i 2 se obine foTma de baz a metodei deplasrilor. Ecuaia pulsaiilor proprii ar e foinia

n. care Jx i J 2reprezint momentele de inerie rrasice alediscurilor 1iSfa de axa arboreluiJ t . " a f l L . 2 2 ^ = 2 2 9 3 W 8 Ns'mrnn ; ./.,=12742,1 Ns mm,2 8gr S'9 81Ciar / u , r -- r, i r 2 reprezi nt coeficienii matricei ele rigiditate Jf?(5.9).

Momentele de inerie la torsiune ale seciunilor arborelui surit:T* = T = 32 $6 154,^5 10 2 m m ; T\= J j 2 =

23303,32? I O 2 mm1.Coeficientul de rigiditate la torsiune al arborelui pe intervalul cuprinsiu lre cele dou discuri, folosind (5.3)esteU 1 GI N 8,07-10-36 154,9 56 LI)' , l v > t ) 1 , r i .f q_ i - = u = = 302,21258IO* Nmm.3154S5&-:>G / i, 23 303,:2Pentru a se obine coeficienii matricei derigiditate se procedeaz astfel : pe forma de baz se d deplasarea 27, = 1 i se noteaz re aeiune a

cuplu n blocajul 1 cu r,L i n blocajul 2 cu r n (fig.5.1, c) idin echilibrul discului 1 seobine r n = iar din echilibrul discului 2 se obine se d apoi pe forma de baz deplasarea Zz = 1, din care rezultr l t =; fr}_tin pendulul / i respectiv / = k\_ n pendulul 2.P i n ecuaia pulsaiilor proprii (a) care devine

[ k [ - r ~ *f ~ h l ; , 1 - o - w + W - J - o . d oL "1-2 '>| 1 * tP Jrezult /) = 0, care corespunde rotaiei rigide i pulsaia proprie

= ]/" > ; (c)J 2 Z 8 Jc.jZ, + Z j = I).

Folosind procedeul amplitudinilor maxime, sistemul algebric (5.22),innd seama de (c), devineu j - . -J *-yz\ - / {_ s z =j$o (d)

370

i pentru mrimile precizate, conduce larotir ile maxime nvib raia foratstabilizatZ\ = - 4,50786-10-*rad, ZJ*= - 8,78057- I O - 3 rad.

c) Cuplurile de inerie maxime, determinate cu (5.23), sunt :^ ^ 0 = J l W 2 . z = - 2 3 2630,7 N m m ; Jl\ -= JatoZ = - 2 51736

5/25/2018 NOR4

36/50

2,27'/ 5 1 3,671

2,^77y 8 kNm 2,052C D 0 C D

3,671

I U 0 ^3,6712.277kNtn NI l

1~mre

T i g .5.2z : - 1 , 22815

Se d e t e r m i n cu(5.3), coef icieni i derigiditate latorsiune aiarboreluiJc_i pc i n t e r v a l u l de lungime + cuprins n t r e d i s c u r i l e 1i 28,07-io' aa57 , i 7 t 2 - m = 2 7445,771 ' i n 1 N m m ,J pi' i - 2 r aS57, l7J-10

a + ) X L 400 +500i respectiv k 2 _ 3pe

4 021,2386-10i n t e r v a l u l de lungime cuprins n t r e d i s cu r i l e 2 i 3_ ^ L _M7-H>-3100,3111 -IO'_^ n ^ . i f n tJm

5/25/2018 NOR4

37/50

A)Folosind(5.23) se determini cuplurile de inerie maxime:J f f * = ,/ > Z = - 2277 Ulm, 4fc>*= J:co aZ = - 2,052kNm,J#-'-= Jsci3ZS= - 3,671 tNrn.Ecuaia de eetiilibru dinamic,Jf[f 4 M\xa 4- ./ 2 ,< ' - Z Jc os o , h = 1,2, 3a= l (b)Pentru cuplul perturbator _M*(t) = .J?gcoso/ expresia 5.27)devine

5? = -V =2-=2 a - 1 2 (c)i conduce la :

So = _ _ J 8-10-0,04320 = 7 j 2 76 8 5 . jo-4.1 144941a 12500-1422500-0,0432418 032-(-0,74711)

So _ i 8-ic-(-i,aa8i5) = _ 3(395

5/25/2018 NOR4

38/50

IL1 caro n loc i e Z\ sc i i -uplur i l e de inerie se ca lculeaz cu . (5.31"),troduc Z ; . R e z u l t := J^Zf = 12 500 404,72 - ( - 16,6108 I O - 3 ) =

= - 2,277-10' N m m = - 2 , 2 7 7k N m ; V . 4 = J 2 w 2 Z r - - 2,052IcNm ;yjgJ.M = J a O ) ^ 0 = _3,(571 l cNm.

Rezultatele o b i n u t e p r i i metoda m o d a l c o n c o r d p e f e c t cu cele o b i n u t ep r i n metoda a m p l i t u d i n i l o r matime, f o l o s i t n cadrul problemei 5 .2 .5 .4 . Sistemul din figura 5.4, a este formal , dintr-o b a r , a v n d momentelede inerie l a torsiune geometrice 1[ =400 -IO 1 m m 4 p e i n t e r v a l u l A - 1 (delungime 4a) i l\ m 2(io 40*m m " p e i n t e r v a l u l 1-2 (d e lungime 2,5 a), p ecare sunt fixate d i scul 1 eu momentul de inerie inasie fa de axa bareiJ, = 5 0 k g m i d i s c u l S Ca f , = 30 lqrm 2 . B a r n esle i n c a i r a t pentru torsiune n A i a re l ag re l ng di scur i astfel n e t sistemul nu poate avead e c t v i b r a i i d e torsiune. A s u p r a d i s c u l u i J s e a p l i c c u p l u l perturbat TM[(t) = "$jnc cos co/ i asupTa d i s c u lu i 2 c u p l a i Jt\{t) = - J t c s w ( . Cunosc n d : a = 2(10 m m , 4? = 2 k N rn i o = 0 BPN se cer : a) p u l s a i i l e v i

o l

bl

dl

e)

31 G ' 2lt ) -3T&coscot

2 21=1,6151983

08kNm TtC^eUNrr Z 2 2 : - 1 ' 0 3 1 8 6 5

IkNmi i i r f i i m

lf-alP* + = > (c)

care, ])entru v a l o r i l e numerice al e problemei, devine15 p* - 37,6 -104 p 2 + 12,8 -IO 8 = 0

i are so lu iil e :p , = 63,739553 s- 1 ; p\ = 144,92735 s" 1 .

b) Sistemul algebric omogen, dedus d i n (5.15) :

- K-2Z la + (A"_2 - Z a = 0, (d)pentru a = 1 ; 2, conduce la formele p r o p r i i .A s t f e l , forma proprie 1( f ig . 5 .4 , 6 ) se obine d in (d) pentru

5/25/2018 NOR4

39/50

C u (5.27) se-, c a l c u l e a z componentele cu j l u r i l o r per l u r b a l oare d u p for-ni ele pro j u i i :S = ggg i g i ( - ^ V i . = 5 3 1 4 g l . tj L j . g _ m"-2\, -\( - 9 y ; , =

= 4,(3851 S-10-=ia r cu (5.28), c o e f i c i e n i i d i n a m i c i pentru formele p r o p r i i :

IU = - 1,73823.&1 ; i i ,= = 4,43&238.C o n f o r m (e), r e z u l t amplitudinile l i s c a r i l o i D v i b r a i a f o r a t s t ab i l i z a t :

Z\ = Z , S ; Y I -4-Z&J Sfc = - 2,5 ] ( ) - r a d ; 2 , - Z ? c o s i f2 = ^ S J ^ J+ J & S t y , = - 21,875-ll

d) Sistemul algebric n metoda am pl i i ud i n i l o r maxime (5.22) devine :4- fcj_B - / , > K - = 3JP (g)

- A - L . 2 Z +(iU - J2co 2) = - AP,i pentru m r i m i l e precizate conduce la va l o r i l e

Z\ = - 2,5-IO-3rad, Z = 21,875- I C - 3 r a d , (h)identice cucele din (f).

e) Cu(5.31), se d e t e r m i n c u p l u r i le de i ne r i e la torsiune, maximeJt\** = 7 l W 2 Z = 5- IO 4 -8 0a - ( -2,5-10- s ) = - 80-10* N m m = 0 , 8 k N m ,

5/25/2018 NOR4

40/50

Forma prcprie 1(f io. .5.5, />) Se a d o p t l\v = 1 i din (5.15) rezulta 3 = _ r~ J'l>' = (1,1)05860.

Forma proprie S(fig. 5.5, c).Se a d o p t Z\.2 = 1 i

5/25/2018 NOR4

41/50

5.6. Pentru un multiplicator dc turaie cu r trea pt (fig5. 3,) a v nd raportul de transmitere i = 2, se cunosc : momentele de inerie masice, fa deas ele

5/25/2018 NOR4

42/50

P T I U introducerea m r i m i l o r respective r (k_)ir e z o l v n d acesta seob inampl i tucJini le maxime ale roi lor I , 2 i S i n v i l r a i a f o r a t s t a b i l i z a t .Z\=30,386- l O - 5 rad , Zg =s- 9,366 l - ' r ad , 2%=18,9364 0 - ' r a d ,

i ar pe. la xa rela iei (a)r ezu l i ir o l i re a m a x i m aro.ii8*(23)'= iZ l= -2 (-9,366-1(J-)= 18,7 32 -1CI-" rad.

F o l o s i n d (5.23)seca l cu l ea z cu p l u r i l e de inerie maxime:J>lia = / , Z =3,938 N m ; J/| = J,2g= - 1,484 k Nm ; jJl =

= J3 co3

/^= 4 ,227 k.NJrn.M o d u l deva r i a i e alc u p l u r i l o r deiner ie estedat deexpresiile:S u p r a p u n n d c u p l u r i l e d e inttr e cu cup l u l pertu r lat i i r Se Ii n (liagrara elemomentelor dinamice de. torsiune pentru cei doi arbori*Pentru cos ul = 1 seob i n ncr c r i l e pebaza c r o r a se l ineaz- diagramele uicunenteloT de torsiime maxime, pearbori(fig.>.fi,f). Dac se ine seamade re la ia "(1) se obs erv clireel s;4ista cerca eci inf ic i de echi l i bru dinamicpe unarloTe echivalent ( f i g . 5.6, g):

M\ 4 Mi*~\Jnia\ - - 6 - 3,938 - 1,484 - 2-4,227 = 0.Pentm co sut= 1 seob i n n cr c r i l e iapoi diagramele momentelorde torsiune minime pentru ce i do i arbori, cure au ace-leai ordonate ca i m o mentele maxime, iarsemne schimbate.5,7. Schema unei tran smis ii mecanice p r i n angrenaje d i n a t e este reprez e n t a t nf i gu r a 5 .7, a.Momenteledeiner ie masice fa deaxele de r o t a i ea l e d i s cu r i l o r sunt J",= 80xg m 2 , J&= 7CI k g m , J , = 5(3 k.gm 2 iar ale roi lo rd i n a t e sunt J5= 30 k g m 4 , J a= 40 Igiu iI, =20 k g m . Coef icieni i derigiditate latorsiune aiarborilor suntfc{_2= 400 IcNrn, AJ _S= 300 k N mik% _ t= 2 0 0 k N m . Rapoartele de transmitere suini i 2 _ s= / i , / n 2 =6,8 ;im_= n 4 / / i 2 =2. A s u] ) ra d i s cu l u i 7 se a p l i c c u p l u l perturbator Jftxifym= J K i C o sui cu 4 k N m , o = 50s- 1 . nipoteza r oi l o r d i n a t e r i g i de ,s sedetermine :a) sistemul ecua i i l o r d i f e r en i a l e care descriu v i b r a i i l e torsionale aletransmisiei; b) pu l s a i i l e v i b r a i i l o r p r opr i i torsionale; c)diagramele momentelor torsionale maxime iminime al e arborilor.REZOLVA RE :a)Parametrii de osci laie sunt unghiurile de r o t a i e Z 1 (Z g ) ZsiZ ale roi lor /, 2,5i fa de axele arborilor respectivi. U n g h i u r i l eZ 3 i Z sunt legate de. ungh iul Z 2 p r i n r e l a i i l e:

Z a = ( 2 _ jZ 2 ;Z4 = ,Z2 . (a)Sistemul ecua i i l o r d i f e r en i a l e alev i b r a i i l o r torsionale (5.8) n a l s e n aa m o r t i z r i l o r , areforma :

/ ( Z , 4 4r 1 2 Z 8 4r l s Z s - reZ6 = MAI)Jjfi, +rX + r , A 4-r 2 i Z s 4r 2 6 Z , = 0 (1)J 5 Z 5 4r 5 , 2 , + r 5 2 Z 2 -f- r s s Z s 4r & 6 Z 6 = () V s + rei z> "+62Z2 +" r5^5+ r e< A=( )

384

N T-nu

J 3 ( 3 - 5

Jt&dt )- v O u ^ . ki.-?

1,69576UK m

(D0,99i71 0,8-0,985908 2-1 956162

CD b)5,69576kNm 1,956162kNm

0,985908c)F i g . 5.7

F o r m a deb a z a metodei d e p l a s r i l o r se ob i ne p r i n blocarea larotiread i s cu r i l o r 1, 5, 6ia r oi i d i na t e2.D n d f o r m e i deb a z r o t i r i succesive:Zx = 1, Z2= 1, Z6= 1,Z ,= 1i i nnd seama de metodologia p r e z e n t a t l a problema 5.(1, seo b i n r e a c i u n i l e : i i = rBj = r L2= A'{_2 ; r5 1= / ] 5= 0 ; r8 l= r i a= 0 ;

r 2 = ' - S ^ J - S + i l - i A i _ e ; r5 2= r2 6= 2 , 8 A ' 3 _ 6 ; r9 r 2 8== I 2_4^4- i (c )

r55 = A" s _ 5 ; rM=A J _ 6 .M o m e n t u l dei ne r i e masic J 2corespunde gradului delibertate Z a i ineseamademomenteledei ne r i e masicea le celor trei roi angrenate (2, 3i4),f i i n d dat der e l a i a :

i = 4~ '1-8* 3 4" ' i - i"^4c o r e s p u n z t o a r e f o r m u l e i (h) de la problema5.0.b) C u expresia (d ) sec a l c u l e a z J 2 = 3 - 1 0 4 -pn(8* -4 10*42 2 - 2 - 1 0 = 13 , 5- 10 N s s m m .

25 - Problemedea m a r ni c structurilor c d .130

(d)

3 8 5

5/25/2018 NOR4

43/50

E cua i a pw l M i i l o r proprii (5.1.6), o b s e r v n d (b) i i n n d seama de (c),ia formafe{-i - ^ * 0

- kU + A-A- 5 + < -& *- J*P* ' Ifci '*-*4 H ,o 0 '

care, pentru valorile numerice considerate, conduce la ecua i a>/2 (2 847,6 ;> - 7181,04-10493 rad.r e p r e z i n t rotirile maxime in v i b r a i a f o r a t s t a b i l i / . a l .Cu r e l a i a (5.23) se ob i n cuplurile de inerie maxime :JJlta* = 1,69576 kNm ; M\"= J2Zu 2 = - 0,8*471 kN m ;

yjFi.c m jjfa* = (W85909k N m ;Jti* = W

5/25/2018 NOR4

44/50

S e n o t e a z cu A2 aria s ec i un i i longitudinile a unui dinte al r o i i 2irespectiv cu A 3 cea c o r e s p u n z t o a r e r o ii S,iar cu I,_i 7",momentele dei n e r i e axiale aleacestor s ec i un i f a de a:xa d u p care are loc n c o v o i e r e ad i n t e l u i (axax n f i g . 5.8,d) :A 2 = Aa = A = -S = 456,233 = 282,735 m m ' ;r = J 3 = r = H - S 3 / 1 2 = 4 5 - , 2 8 3 s / 1 2 = 830,106mm".

A r i i l e reduse ale s e c i u n i l o r dreptunghiulare de l a bazele d i n i l o r sunt:A l = A I = A' = - A = '282,735 = 235,6125mm,

a d m i n d contactul dintre o pereche de d i n i la angrenare la nivelulcercurilor derostogolire ( a v n d razele'f?. i respectiv jR 3) , s gea t a f i e c r u i adintre ce i do i d i n i su b ac i unea nu c i f o r e F (cri d i r e c i a tangentei comunela cele d o u c e r c u r i , f i g . 5.8,b, K . I I K . K,JInm ods i m i l a r , d a c se d pe forma de b a z rotirea Z3 1 c n d Z2 =0s e ob i n coe f i c i en i i de rigiditate.,.2-3 _'33 Bl f + T 1 ; / V = Af + ) _ 1 Kt K } \Kt K,t (g)C u expresiile (f) i (g) r e z u l t

r | - * .= 10497,85 -10 N m m ; r*j*= ;f^ 3= 20995,7-IO6 N m m ;rfj- = 41991,4 4O6 N m m .

A v n d d e t e r m i n a t matricea de rigiditate a angrenajului (c) modeluldinamic alsistemului ( f i g . 5.8,a)estereprezentat nf i gu r a 5.8,e,unde n t r efoi le 2 i 3a le angrenajului d i n a t s-a reprezentat l e g t u r a e l a s t i c 23a v n d l acapete coe f i c i en i i derigiditate i 3, respectiv / | ^ 3i coe f i c i en t u l detransmitere / | ^ 3= r|^~3.

In acest f e l , c a l cu l u l dinamic a lsistemuluidearboricuangrenaj ( f i g . 5.8, a)se reduce la ca l cu l dinamic al unui arbore drept ( f i g . 5.8,e), n care roi leangrenajului d i n a t seconstituie n roi succesive r ig i d e , a v n d a c e l e a im omente de i ne r i e masice i o l e g t u r e l a s t i c s p e c i f i c n t r e ele. Sistemulecua i i l o r de m i c a r e , i n t r o d u c n d n (5.19) p a r t i c u l a r i t i l e impuse de coe f i cieni i di fer ii ai matricei derigiditate pe tronsonul 2 3 ( f i g . 5.8, e), este

kl 7(K- t 4 ,.2-3 )Zt 4 r*Z, =

J.Zs + 'i^Z, + (r233-3 + 74_4)Z - = 0U * - + AI_4Z4 = Mii),

b) P o r n i n d de la (h), e c u a i a p u l s a i i l o r p r o p r i i (5.16) ia formaJL _ T r>8

^'1-200

M-2+ 'I2- -I

r23133 1 "8 - 4klA3P

0oFT3- 4

^3-4 ^4/J'

0 (i)

I n t r o d u c n d v a l o r i l e numerice, ecua i a pu l s a i i l o r p r opr i i (i ) devinepXp - 152,98846 40*/)1 + 1775,8408 p 2 - 4366,92014 01 2 ) = 0

i n afara s o l u i e i p =0, conduce la p u l s a i i l e p r o p r i i : = 186,4666s -1 ; p2 = 2S9JJ525s -1 ; p3 = 1185,6525 s-1.

389

5/25/2018 NOR4

45/50

Sistemul a l g c l i i c omogen al a mi>1 U n d i a i l o r f o r m e i p r o p r i i a

5/25/2018 NOR4

46/50

B 2

3o)

'2 ,1

_ (1=1 ^J J 6

i?7>n r

J J 5

b)

5/25/2018 NOR4

47/50

j cj Ado pt nd soluii de forma Z = Z cos co/, sistemul (f) devine :14 - X )z - *{z = jil b- I\Zl 4- (/,< + /2 223 + A< Li J2t o 2 )Z + r\^Z% - A-Z = 0/133Z? f (47 ' + A-3- J3co 2)Z 3 - k{Z%= O .- i&; + (*j + r441-5 - ./4

5/25/2018 NOR4

48/50

c> d IF i g . 5.10Cuplul ie i u e i i e jj&pelitraparametrul cu r o a t a n g r e n a t , d*exemplu Z2(fig. 5.10, {), va fi J%ZZ= (Ja4 i\J9)Z\ ca Tezultat al cupluluide i ne r i ealr o i i 2 i al r o i i angrenate3. n c o n s e c i n , pentru parametrul'Zc r u i a ii corespunde .i o r o a t ang r e n a t /' (fig. 5.10, o) intervine momentul de iner ie , masic:

J\= Jk 4 i'J,. (d)Folosind (c) i (d) sistemul e c ua i i l or d i f e r e n i a l e (5.8), pentru modeluldinamic (fig. 5.10, c) este:+ 4 r i a Z , =^( 0d^Z,.+ f2l- l 4 r32Z24- 4 r 2 ^ S = 0

J J Z .4- M M+ M i + = 0 ()^e^4"fs2 2 4 4"MZa 4"re&Z g 4 ''es^ ^ ^ 8 ^ 8 "4'atZl 4 r 8 8 ^ 8 = 0JS^ O4" 's^4 '"9 = 0

395

I) E c ua i a p u l s a i i l or proprii (5.16), o b s e r v n d (e) i (c), se p r e z i n t subforma determiiantului(f) :J > 2 t'1M4 tj-I-

4 /ft-- Jp't

- ki

fc2 + (ffci

(JMS

i,k[ k3+fcj+flfjr

o- J&V

Jap'o

= o(/)

Plia rezolvarea e c u a i e i (f) se o b i n e o s o l u i e zero c o r e s p u n z t o a r erot a i e i rigide asistemului i un n u m r de cinci p u l s a i i proprii:/h < Pi < Pt < P*

5/25/2018 NOR4

49/50

s i t ua i a ncir* se i n e seama 31 de masa arborelui , s- se Ie termine:a) p u l s a i i l e iferm ele proprii ale v i b r a i i l o r lorsionak ; ocrotiril e dinamiceele torsiune in v i b r a i a f o r a i s t a b i l i z a t c o n s i d e r n d ca e x c i t a i e cuplulJ , ( i >=M\ c s *> cu' 3m = 24 000 Ns-mm2 2 2 2i momentul dei ne r i e masic f a de r al u n i t i i ce lungime al arborelui

7 = H = (n, >1] JL=-50. 7 ' 8 51 0' .J =2 l flj 2 S, 81-10 2= 7,.8559832-l0-8 Ns2mm/mBl,

Momentul de i ne r i e la torsiune al s e c i un i i Iransversale narborelui( s e c i une c i r c u l ar ) esteJ * J S E t' i i l l H * = 3,8174774 0 mm*32 32

iar modulul de elasticitate t r ans ve r s a l a materialului G= 8-IO4 K"/mm?Sistemul e c ua i i l or de m i c a r e are forma (5.41):

J 2 Z 2 +-r a i Z ,f riZe m0, (a) n care c oe f i c i e n i i matriceiderigiditate d i n a m i c sescriu, folosind (5.38),(5.42), (3.43), astfel:

j = r2 a= x, = octg o ; ru=rn= s, = acoseca, ()unde s-a notat

prinp n e l e g nd p u l s a i a proprie.Pentru_/#(/) =0 sistemul (a) descrie o s c i l a i i l e proprii torsionale. Ad-i n i nd s o l u i i defoTma Zy- Z\ cos(/>/ - 9),Z2=Z cos (pl - 6) r e z u l t sistemul algebric omogen:

5/25/2018 NOR4

50/50

Sistemul algebric al arnplitudiin il T maxime (5.22), i n n d seama de (a),(j), (k) i (b) se scrie astfel :

i folosind (i) se c a l c u l e a z j) . S L ^ d k a . = 783,41082-1( ; *J"> = - ^cosec =

= - 78ri,38922-l