Noether e la nascita delle superleggi: simmetrie e invarianze

7/27/2019 Noether e la nascita delle superleggi: simmetrie e invarianze.

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Luisa Bonolis

AIF, gruppo di storia della fisica

Matematici e fisici a Gttingen. Amalie EmmyNoether e la nascita delle superleggi:simmetrie e invarianze

In mathematics you dont understand things.You just get used to them.Johann von Neumann

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation

of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research andthat it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also

to our bafflement, to wide branches of learningEugene Paul Wigner (1960)

Premessa

Senza la geometria di Bernard Riemann (1826-1866), inventata nel 1854, o senza la teo-ria dellinvarianza sviluppata dai matematici Arthur Cayley (1821-1895) e J.J. Sylvester

(1814-1897), e da una schiera dei loro seguaci, la teoria generale della relativit di Einstein(1879-1955) non avrebbe potuto essere formulata. Senza lintera teoria matematica deiproblemi al contorno che ebbero origine dai lavori di J.C.F. Sturm (1803-1855) e J. Liou-ville (1809-1882), non sarebbe stato possibile sviluppare la meccanica ondulatoria nel1925. La rivoluzione della fisica moderna inaugurata nel 1923 con i lavori di Max Born(1882-1970), Pascual Jordan (1902-1980), Werner Heisenberg (1901-1976) e P.A.M. Dirac(1902-1984) non avrebbe avuto inizio senza la necessaria matematica delle matrici inven-tata da Cayley nel 1858, ed elaborata successivamente da un piccolo numero di matema-tici. Il concetto di invarianza, di ci che non cambia nel corso del continuo flusso dei fe-nomeni naturali, ha finito col permeare tutta la fisica moderna. Esso ebbe origine neldiciottesimo secolo nellambito del lavoro sulla teoria delle equazioni algebriche svoltointorno al 1770 da Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), in cui compare, seppure implici-tamente, il concetto di gruppo, che sessantanni pi tardi sar pienamente sviluppato daEvariste Galois (1811-1832) poco prima della sua precoce morte in duello. Quasi centoanni dovranno trascorrere prima che i fisici si accorgano che le simmetrie del mondo mi-croscopico si esprimono attraverso il linguaggio matematico della teoria dei gruppi.

Sono solo alcuni degli esempi che mostrano come dalla matematica pura possano sca-turire fruttuose applicazioni alla fisica, senza che nessuno dei matematici coinvolti in que-ste ricerche potesse immaginarne le implicazioni future. merito di Galilei laver con tan-ta efficacia espresso lesistenza di questo legame profondo tra matematica e scienze dellanatura (Il Saggiatore, cap. V) su cui vale la pena di focalizzare ogni tanto lattenzione: Lafilosofia scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico luniverso), ma non si pu intendere se prima non simpara a intenderla lingua, e conoscer i caratteri, ne quali scritto. Egli scritto in lingua matematica, e icaratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi impossibi-le a intenderne umanamente parola; senza questi un aggirarsi vanamente per un oscu-


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ro laberinto. Questo passo di Galilei dovrebbe essere fissato nella memoria di tutti, coscome da tutti sono conosciuti i versi iniziali della Divina Commedia. Dopo secoli di frut-tuosa sinergia, non senza stupore Eugene Paul Wigner, come molti altri, ha riflettuto sul-llirragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, ma anche sul fascinoestetico di queste costruzioni formali in cui la realt naturale si lascia inquadrare e non a

caso ha aperto il suo famoso articolo (Wigner 1960) con una citazione da Bertrand Rus-sell: Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty a beautycold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature,without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable ofa stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the ex-altation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excel-lence, is to be found in mathematics as surely as in poetry. Daltra parte, David Hilbert(1862-1943), uno degli ultimi giganti della matematica del diciannovesimo secolo, osservche la matematica non altro che un gioco che si fa sulla carta, seguendo certe sempliciregole e usando dei segni privi di significato. Riguardo la riflessione su questo misteriosolegame tra fisica e matematica, esiste ormai una letteratura vastissima, ma continuer

sempre a stupirci, soprattutto se pensiamo a come sistemi assai diversi mostrano compor-tamenti simili, cos che fenomeni diversi possono essere descritti dalle stesse equazioni.Aspetti sofisticati di questo rapporto tra ambiti della realt apparentemente assai lontanisono ripetutamente emersi allinterno della stessa fisica nella seconda met del ventesimosecolo, come per esempio quelli della cross-fertilization tra i linguaggi della fisica dellamateria condensata e la fisica delle particelle.

Introduzione

Nel diciannovesimo secolo la matematica e la fisica si svilupparono prendendo corpo

come argomenti di ricerca separati. La crescente richiesta di rigore, la rinascita del meto-do assiomatico, lemergere dellastrazione, furono alcune delle caratteristiche generali delsecolo che suscitarono la sensazione che soltanto la matematica pura potesse essere defi-nita come matematica a tutti gli effetti, mentre tutto il resto, specialmente la matema-tica applicata, doveva avere una posizione rispettabile, ma subordinata. I fisici dal cantoloro non erano molto interessati alla matematica: la ricerca fisica consisteva principal-mente nel fare esperimenti, e in questo senso esisteva quindi un profondo divario tra ma-tematica e fisica. Perfino il lavoro di Jean-Baptiste Fourier (1768-1830) era considerato ma-tematica. Le cose cambiarono un po con James C. Maxwell (1831-1879) che, riflettendosullinsegnamento della filosofia naturale che allepoca significava una formazione siain matematica pura, sia nellesperimento afferm che ogni campo della fisica non era daconsiderare merely as a collection of facts to be coordinated by means of the formulaelaid up in store by the pure mathematicians, but as itself a new mathesis by which newideas may be developed (1873). Il famoso detto di Hertz La teoria di Maxwell il siste-ma di equazioni di Maxwell ben esprime lo spirito della transizione alla fisica teoricamoderna, cos come si manifesta nella sintesi di Maxwell. Nonostante ci, i fisici che la-vorarono nella seconda met del diciannovesimo secolo continuarono ad avere prevalen-temente una mentalit empirica e restarono scarsamente interessati alle investigazioniformali, che invece costituivano lo scopo principale dei fisici matematici, a loro voltapoco interessati alla fisica, che pure costituiva la radice della loro ispirazione.

Verso la fine del diciannovesimo secolo, la fisica teorica trov un impegno del tuttonuovo nei confronti della matematica e i fisici teorici cominciarono a prendere le distan-ze dagli sperimentali. Nonostante ci, il ruolo del fisico teorico come tale era ben lonta-no dallessersi affermato. ben noto che nel 1874, quando Max Planck (1858-1947) en-tr allUniversit di Monaco e discusse le prospettive della ricerca in fisica con Philipp vonJolly, gli fu detto che la fisica era essenzialmente una scienza completa, specialmente dopo

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la scoperta della conservazione dellenergia, con piccole prospettive di futuri sviluppi. For-tunatamente Planck decise di studiare fisica nonostante il futuro incerto che gli era statopresentato; pi tardi ricord che quando nel 1889 egli stesso fu nominato successore diGustav R. Kirchhoff (1824-1887) allUniversit di Berlino, era lunico teorico in un mon-do di fisici sperimentali, che per di pi consideravano la fisica teorica una disciplina su-

perflua. Nel suo graduale emergere come disciplina autonoma, la fisica divenne un cam-po dotato di un settore sperimentale dominante accanto a un piccolo settore teorico.Soltanto nel 1915 Wilhelm Wien (1864-1928) fu in grado di parlare di una unione allapari dei due rami che insieme formano lattuale potente fisica teorica.

Il calcolo era stato il linguaggio matematico della fisica nel corso del diciannovesimosecolo, dopo lesplosione della matematica delle equazioni differenziali inaugurata daNewton e da Leibniz. Il trionfo di questo strumento matematico fu certamente una delleragioni per cui alla fine del diciannovesimo secolo la fisica pensava di aver raggiunto lasua conclusione. Nulla sembrava dover essere ancora scoperto, tutto poteva essere calco-lato, dagli eventi astronomici agli invisibili campi di Maxwell. La matematica era consi-derata sempre pi un aspetto naturale della fisica, ma il calcolo non appariva pi adegua-

to per descrivere domini come lelettrodinamica e la termodinamica, cos che i fisiciavevano sviluppato forme di matematica come lalgebra vettoriale e la meccanica statisti-ca per i loro scopi interni alla disciplina, nellambito dei problemi di loro interesse.

Muovendosi da aspetti metrici dello spazio, cio dalla geometria, la matematica avevaappena inventato un gran numero di strumenti formali, che a prima vista apparivano benlontani da una descrizione pratica della realt: la geometria stava svelando il suo volto piastratto. Nel suo ultimo volume Erkenntnis und Irrtum, apparso nel 1905, Ernst Mach(1838-1916), nel ricostruire anche la storia della geometria fino alla scoperta delle geome-trie non euclidee di Nikolaj I. Lobachevskij (1792-1856) e di Jnos Bolyai (1802-1860) edella concezione fisica della geometria di Riemann, metteva in guardia contro i rischi diuna ricerca condotta senza alcuna idea di applicazione alla realt come quella di im-

maginare per il nostro spazio un numero di dimensioni oltre le tre dello spazio dato dainostri sensi, o di concepire la rappresentazione di questo spazio attraverso qualsiasi geome-tria che si allontani in modo sostanziale dalla euclidea. In quello stesso periodo il lin-guaggio matematico della fisica si allontan definitivamente dal suo guscio cartesianoesplorando propriet che generalizzavano i concetti diffusi in geometria come le trasfor-mazioni di Lorentz della relativit speciale, insieme al potere e alle possibilit offerte daivettori, e particolarmente dallanalisi tensoriale introdotta da Gregorio Ricci-Curbastro(1853-1925) e Tullio Levi-Civita (1873-1941), che preparava lo scenario per la relativit ge-nerale. Una nuova forma di interazione tra matematici e fisici si manifest quando la ma-tematica assunse sempre pi il ruolo di fondamento strutturale per la descrizione della re-alt fisica. Tale processo ebbe un ruolo fondamentale anche nel forgiare una nuovarelazione tra i matematici e i fisici. Questo legame divenne particolarmente intenso quan-do entrambi condivisero unarea di interesse comune a livello intellettuale e culturale al-linizio del secolo ventesimo, allorch la rivoluzione concettuale di Einstein modific pro-fondamente la nostra visione delluniverso fisico.

Gttingen, la mecca della matematica

La richiesta di Einstein che le leggi che governano la gravitazione debbano essere cova-rianti rispetto a qualsiasi trasformazione di coordinate suonava molto familiare a mate-matici come il tedesco Felix Klein (1849-1925), che circa trentanni prima, quando avevasolo 23 anni, aveva affermato nel suoErlanger Programm che ci che importante nonsono le figure geometriche, ma i gruppi di trasformazioni sotto cui queste restano invaria-te. Secondo questo approccio unificato tutte le geometrie sono riconducibili allo studiodei movimenti e delle propriet di uno spazio che risultano invarianti sotto un particola-

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re gruppo di trasformazioni, cos che tali gruppi possono essere utilizzati a loro volta perclassificare le diverse geometrie. In questa nuova visione unificata la geometria euclidea ele non euclidee acquistano uno status comune: qualsiasi geometria consiste in uno spaziocostituito da punti e da un gruppo di trasformazioni che spostano le figure di tale spazioconservandone le relative propriet. In questo senso la geometria euclidea diventa la geo-

metria caratterizzata dal gruppo delle traslazioni e delle rotazioni nel piano.Per questo motivo Klein sentiva che esisteva un solo passo tra le idee alla base dellateoria speciale e generale della relativit e il suo Programma di Erlangen, sottolineandocome la teoria speciale potesse essere considerata come la teoria dellinvarianza del grup-po delle trasformazioni di Lorentz (1919).

Nel 1870 Klein aveva concepito un profondo interesse per la teoria dei gruppi e il con-cetto di simmetria insieme al norvegese Sophus Lie (1842-1899), durante un soggiorno aParigi nel 1870, soggiorno che segn profondamente il destino delle loro successive ricer-che. Nel cercare una generalizzazione alla teoria dei gruppi, sviluppata da Evariste Galois(1811-1832) nellambito della sua pionieristica ricerca sulle soluzioni delle equazioni al-gebriche, Lie studi i sistemi di equazioni alle derivate parziali e come le loro soluzioni

fossero invarianti sotto alcuni tipi di gruppi continui di trasformazione. La sua consape-volezza dellimportanza di questi aspetti per la fisica gli fece affermare che I principi del-la meccanica hanno una origine gruppale lapplicazione allottica e alla fisica matema-tica delle mie idee apparir certamente fruttuosa. La teoria dei gruppi si suddivide nellostudio dei gruppi finiti, che descrivono particolari trasformazioni discrete, come le rota-zioni, e in quello dei gruppi che descrivono le trasformazioni continue. Lie dedic linte-ra vita alla teoria dei gruppi continui; cre lalgebra e i gruppi che hanno il suo nome, perstudiare la simmetria delle equazioni differenziali e delle equazioni alle derivate parziali,un lavoro di evidente utilizzazione in fisica, ma che non trover applicazioni nel XIX se-colo. A quellepoca non esisteva alcuna connessione evidente con un qualsiasi problemafisico; ancora nel 1900, conversando con un collega a proposito delle aree della matema-

tica che per un fisico era pi utile conoscere, James Jeans affermava con convinzione:possiamo scartare anche la teoria dei gruppi, che non sar mai di alcuna utilit in fisica.La teoria di Lie eserciter invece una influenza enorme sugli studi novecenteschi e rivele-r tutta la sua efficacia con lapplicazione di questi metodi alla meccanica quantistica di-venendo poi uno strumento basilare per la fisica moderna.

Essendo stato assistente di Julius Plcker (1801-1868), Klein era stato profondamenteinfluenzato da quella che gli era apparsa una intima connessione tra le differenti lineedi sviluppo della geometria e la meccanica. Nel 1875 occup una cattedra alla TechnischeHochschule di Monaco dove ebbe tra i suoi allievi anche Max Planck, Luigi Bianchi (1865-1928), Gregorio Ricci-Curbastro e Arnold Sommerfeld (1868-1951), che fu poi suo assi-stente per molti anni. Nel 1886 Klein si spost allUniversit di Gttingen, la cui grandetradizione scientifica le aveva conferito una solida posizione nel campo della matemati-ca, principalmente come risultato dei contributi di Carl Friedrich Gauss, Peter Gustav Le-jeune Dirichlet, Bernhard Riemann. Allinizio del secolo Gttingen era ormai consideratala Mecca della matematica, e Klein, sempre nel suo stile da dio lontano che dirigevatutto dallalto delle nuvole, dedicava molto del suo tempo e delle sue energie alla realiz-zazione del suo sogno di rendere Gttingen il centro del mondo scientifico, in particola-re per la ricerca nel campo della matematica. Introdusse gli incontri settimanali per discu-tere le recenti ricerche e istitu una stanza di lettura con annessa biblioteca di matematicadove gli studenti potevano accedere liberamente ai libri messi a loro disposizione in scaf-fali aperti. Gi alla fine dellOttocento aveva creato una Societ per lo sviluppo della ma-tematica applicata e della meccanica e parallelamente aveva gradualmente organizzatolUniversit in una serie di istituti scientifici e tecnici che sarebbero stati il futuro model-lo per i complessi scientifico-tecnologici che in seguito si sarebbero sviluppati intorno avarie universit americane. Effettivamente Gttingen divenne il modello per i miglioricentri di ricerca per la fisica e la matematica a livello mondiale, come lInstitute for Advan-

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ced Studydi Princeton e il franceseInstitute des Hautes tudes Scientifiques a Bures-sur-Yvet-te, vicino Parigi. Unaltra notevole iniziativa di Klein fu quella di organizzare dei corsi pergli insegnanti di scuola superiore.

La figura leggendaria di Klein attirava a Gttingen studenti da tutto il mondo, partico-larmente dagli Stati Uniti. Nel 1895 Klein riusc nel suo scopo di avere David Hilbert sulla

cattedra di matematica, dove questultimo continu ad insegnare fino alla fine della suacarriera. Hilbert si era laureato nel 1885 con una tesi che riguardava la teoria degli inva-rianti algebrici, un argomento che allora era considerato allavanguardia e che rimase il suoargomento di ricerca favorito per diversi anni. A quel tempo ci si poneva il problema discoprire se esistesse una base, cio un insieme finito di invarianti, nei cui termini potesse-ro esprimersi, attraverso una funzione polinomiale, integralmente e senza eccezioni, tuttigli altri infiniti invarianti. Ventanni prima Gordan aveva ottenuto un risultato chiave nel-la teoria che tuttavia era relativo a un solo insieme semplificato di forme algebriche. Glisforzi successivi di matematici tedeschi, inglesi, francesi e italiani non erano riusciti in unventennio a venir a capo della forma pi generale del teorema, nota appunto come pro-blema di Gordan che era tra i pi aperti e tra i pi dibattuti nei circoli matematici del-

lepoca. Nel 1888 Hilbert aveva risolto il problema tagliando il nodo gordiano: invece difornire la prova costruendo la soluzione del problema, o dimostrando come si poteva co-struire, non aveva fatto altro che provare che tale soluzione doveva esistere sempre, per ne-cessit logica, perch lipotesi contraria avrebbe portato ad una contraddizione. Mettendoda parte il pesante formalismo di Gordan, aveva aggirato la difficolt con una pura di-mostrazione di esistenza. A tutti coloro che continuavano a dichiarare che le assunzioni diesistenza non hanno significato se non nel caso in cui siano effettivamente in grado di spe-cificare loggetto di cui si afferma lesistenza, Hilbert rispondeva invariabilmente: Il valo-re delle pure dimostrazioni di esistenza consiste proprio nel fatto che rendono superflua lacostruzione dei singoli enti e che costruzioni estremamente differenti possono essere sin-tetizzate in ununica idea fondamentale in modo che soltanto ci che essenziale alla di-

mostrazione risulti chiaramente in evidenza; brevit ed economia di pensiero sono laragion dessere delle dimostrazioni di esistenza. Soltanto Klein sembr riconoscere imme-diatamente la potenza di questo lavoro: assolutamente semplice e quindi ammirevole daun punto di vista logico, e arriv a indicare in Hilbert colui che aveva portato la teoria de-gli invarianti a uno stadio di consapevolezza critica. Fu allora che Klein decise che avreb-be fatto chiamare Hilbert a Gttingen alla prima occasione. Nel corso del II Congresso in-ternazionale di matematica tenuto a Parigi nel 1900 Hilbert present una relazione daltitoloMathematische Probleme: Chi di noi non solleverebbe volentieri il velo dietro cui sicela lavvenire, per gettare uno sguardo sui progressi della nostra scienza e sui segreti delsuo ulteriore sviluppo nei secoli futuri? si chiedeva Hilbert. Il congresso, a cavallo di duesecoli, gli offriva loccasione per tracciare un bilancio dello sviluppo raggiunto dalla mate-matica e per analizzare i numerosi problemi ancora aperti. I famosi 23 problemi di Hilbertda allora hanno costituito alcuni dei principali obiettivi degli sforzi successivi, stimolandola scoperta di nuovi metodi e spesso di nuove teorie di grande generalit e rappresentan-do la traccia per grandissima parte della ricerca del XX secolo.

Il forte interesse di Hilbert nei confronti della fisica matematica contribu alla notevo-le reputazione delluniversit di Gttingen nel campo delle scienze fisiche. Lunit orga-nica di matematica e fisica era daltra parte un risultato che la moderna Scuola di Gttin-gen aveva ereditato da Friedrich Gauss e da Wilhelm Weber, e Hilbert fu sempre benlontano dal disattendere le speranze di Klein in una rinascita della tradizione. Dopo il1900 Hilbert decise di mettersi a studiare fisica e si occup attivamente di fisica classicaprima, e poi di teorie relativistiche e di meccanica quantistica. Hilbert coltivava questi in-teressi in stretto contatto con Hermann Minkowski, un altro degli astri di Gttingen. Que-sto rapporto molto profondo, grazie al quale ebbero sempre una forte influenza reciprocanel rispettivo lavoro scientifico, era maturato nel corso degli studi universitari. La mentebrillante e la precocit del timido Hermann, parecchio pi giovane di tutti i suoi compa-



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gni, avevano affascinato il giovane David. Appena diciottenne Minkowski aveva vinto ilGrand Prix des Mathmatiques dellAcadmie des Sciences di Parigi con una memoria sullarappresentabilit di ogni numero come somma di cinque quadrati. Lentusiastico amoreper la matematica aveva unito Hilbert e Minkowski, in unamicizia durata fino alla mor-te precoce di questultimo, avvenuta allinizio del 1909.

Minkowski si dedic fino allultimo istante alle applicazioni della matematica alla fisi-ca. Nel 1905 Hilbert e Minkowski avevano deciso di dedicare il seminario che tenevanoin comune a un soggetto nel campo della fisica lelettrodinamica dei corpi in movimen-to. Come ricorda Max Born, che allepoca era assistente di Hilbert, le ore dei seminari era-no eccitanti e stimolanti. La contrazione di Fitzgerald, il tempo locale di Lorentz, lespe-rimento di Michelson e Morley, tutto veniva discusso ampiamente ed essi ascoltavanodelle affermazioni del tutto incredibili a proposito dellelettrodinamica. Nello stessoanno, idee analoghe vennero esposte in due memorie sullelettrodinamica e sulla relati-vit speciale da un impiegato dellufficio brevetti di Berna Ma di tutto ci, ricordaBorn nulla era ancora noto a Gttingen e il nome di Einstein non venne menzionatodurante i seminari. Quando il lavoro dellimpiegato di Berna divenne noto a Gttingen

Minkowski si ricord del suo allievo: Ah, Einstein, quello che saltava sempre le lezioni non lo avrei mai creduto capace di questo! Nel frattempo Minkowski era nel pieno del-la sua creativit. Nel 1907 si era reso conto che il lavoro di Lorentz e di Einstein potevaessere compreso meglio in uno spazio non-euclideo. Egli consider spazio e tempo, cheprecedentemente venivano considerati indipendenti, accoppiati in un continuum a quat-tro dimensioni, introducendo il concetto di cronotopo, che costitu la struttura base pertutti i successivi lavori sulla relativit. Per mezzo dellartificio matematico di introdurreuna quarta coordinata immaginaria per il tempo (x4 = ict) insieme alle tre coordinate spa-ziali, Minkowski ottenne che le trasformazioni di Lorentz risultassero identiche alla tra-sformazione ortogonale del sistema quadridimensionale, il cosiddetto spazio di Minkow-ski. Durante lincontro annuale della Societ degli scienziati e dei medici tedeschi

present una relazione dal titolo Spazio e Tempo. Limmagine dello spazio e del tempoche intendo sottoporvi inizi Minkowski con la sua voce pacata ed esitante scaturiscedal terreno della fisica sperimentale, e in ci consiste la loro forza. Sono profondamenteconnaturati. Da ora in poi lo spazio e il tempo come nozioni separate sono destinati a sva-nire in pure ombre e solo una sorta di unione dei due conserver una realt indipenden-te. Nella sua teoria della relativit ristretta Einstein aveva mostrato che quando gli even-ti meccanici sono descritti con luso di orologi e regoli per misurare le distanze, ladescrizione dipende dal moto del laboratorio nel quale gli strumenti vengono utilizzati,e aveva formulato le relazioni matematiche che connettono differenti descrizioni dellostesso evento fisico. Minkowski introdusse nella teoria della relativit la sua semplice ideamatematica dello spazio-tempo per mezzo del quale le differenti descrizioni di un feno-meno possono essere rappresentate matematicamente in un modo molto semplice. ciche stato denominato il grande momento della geometrizzazione: La geometria tri-dimensionale diventa un capitolo della fisica quadridimensionale. Ora capite perch,egli disse ai suoi ascoltatori, ho esordito dicendo che spazio e tempo diventeranno deifantasmi, e soltanto un mondo in s e per s sopravviver. Tali idee furono apprezzatesolo successivamente da Einstein, che pi tardi le utilizzer nella formulazione della teo-ria generale della relativit.

Minkowski e Hilbert erano soprannominati Castore e Polluce. A differenza di Klein un uomo piuttosto bello, con barba e capelli nerissimi, alto e distaccato nella sua tipicaaria regale Hilbert era di media statura, vivace, con una barba rossiccia e dallabbiglia-mento non pretenzioso; non aveva affatto laria del professore. Fin dallinizio Hilbert ave-va deciso che, attraverso la scelta dei soggetti, avrebbe educato se stesso esattamente comei suoi allievi e che quindi non avrebbe mai ripetuto sempre le stesse lezioni. AttraversoSommerfeld chiamava presso di s degli assistenti, che avevano il compito di ampliare lasua cultura nel campo delle scienze fisiche.

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Allinizio del XX secolo gli studenti di matematica di tutto il mondo ricevevano lo stes-so consiglio: Fai la valigia e vai a Gttingen. A Hermann Weyl (1885-1955), arrivato aGttingen nel 1903, Hilbert apparve come il Pifferaio Magico della fiaba, che con lirre-sistibile richiamo del suo dolce flauto lo attirava nel profondo fiume della matemati-ca. In quello stesso semestre 1903-1904, una giovane donna stava frequentando come

uditrice le lezioni di Hilbert, Klein e Minkowski. Amalia Emmy Noether era nata a Erlan-gen, una piccola citt del Sud della Germania, il 23 marzo 1882. In questo importante cen-tro universitario, una delle tre universit libere del Paese (non fondate dalla Chiesa) in-segnava suo padre Max, un uomo di grande intelligenza, pieno di calore umano e diinteressi e uno dei maggiori rappresentanti della scuola algebrico-geometrica. La madre diEmmy, Ida Kaufmann, apparteneva a una ricchissima famiglia ebrea. A quellepoca nonesistevano scuole superiori dove le ragazze potessero prepararsi a sostenere lesame di ma-turit, che apriva la possibilit di frequentare luniversit; in Germania e in Austria ledu-cazione formale delle donne finiva allet di 14 anni e la loro iscrizione regolare alluniver-sit era del tutto fuori questione. Nel 1898 il Senato accademico delluniversit diErlangen, dove il padre di Emmy era professore, dichiar che lammissione di studenti di

sesso femminile avrebbe sovvertito lordine accademico. Ma la discussione su questi temiera molto infiammata e nel 1900, quando Emmy aveva diciotto anni, luniversit di Erlan-gen consent finalmente alle donne di assistere alle lezioni, il permesso rimaneva tuttaviasubordinato al parere del titolare; anche la possibilit di sostenere un colloquio finale perottenere un certificato universitario dipendeva completamente dalle simpatie dellesami-natore. Fino alla prima guerra mondiale esistevano ancora in Germania professori che sirifiutavano di fare lezione se erano presenti donne in aula! Eppure nel 1908 il ministroprussiano delleducazione si trov nella necessit di ribadire che laccesso delle donne allelezioni non doveva essere subordinato al personale grado di disapprovazione dellinse-gnante riguardo leducazione mista! Nellaprile del 1900 Emmy sostenne brillantementelesame di stato per linsegnamento del francese e dellinglese. Ma non divenne mai unin-

segnante di lingue. Nellautunno dello stesso anno, insieme ad unaltra ragazza, era la soladonna presente fra i circa mille studenti della popolazione universitaria di Erlangen. Dal1900 al 1903 frequent come uditrice le lezioni di matematica, romanistica e storia e nelfrattempo si preparava per lesame di maturit. Nel 1900 lUniversit di Erlangen registra-va solo due donne su 986 studenti. Nel luglio del 1903 Emmy sostenne come privatistalesame di maturit; si spost a Gttingen per lanno accademico 1903-1904, dove seguanche le mitiche lezioni del divino Felix, di sicuro ben lontana dallimmaginare che die-ci anni dopo lei stessa avrebbe in qualche modo fatto parte di quellOlimpo. Quello stes-so anno nelle universit bavaresi venne concessa la possibilit di iscrizione alle donne cheavevano sostenuto la licenza. Nellautunno del 1904 Emmy si iscrisse regolarmente alluni-versit di Erlangen, Facolt di filosofia, frequentando esclusivamente i corsi di matemati-ca. Era lunica donna insieme a 46 uomini.1

Nel 1907 si laurea summa cum laude; suo relatore di tesi Paul Gordan, il re dellateoria degli invarianti, collega e grande amico di suo padre. Rapidamente Emmy Noetherinizia a lavorare, senza alcun contratto n compenso, presso lIstituto di Matematica di Er-langen, collaborando con suo padre e con i due successori di Gordan. Uno di loro in par-ticolare, Ernst Fischer, ebbe uninfluenza notevole sul suo lavoro nel campo dellalgebra.Fischer divent uno dei suoi pi importanti interlocutori, con lui poteva parlare di ma-tematica a suo piacimento. Sotto la sua guida Emmy Noether pass dallo stile algoritmi-co alla Gordan allapproccio assiomatico e astratto di Hilbert. La Noether della maturitsar chiamata la madre della moderna algebra astratta e costituir un estremo e gran-dioso esempio di pensiero concettuale assiomatico in matematica: difficile immaginareun contrasto maggiore rispetto al pi puro stile formale che aveva caratterizzato la sua tesi,

un lavoro che lei stessa liquider definendolo una giungla di formule, una pura faccen-da di conti. La sua reputazione cresce insieme alle sue pubblicazioni: nel 1908 viene elet-ta membro del Circolo Matematico di Palermo, lanno successivo viene invitata a far par-



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te dellaDeutsche Mathematiker Vereinigung. la prima donna a partecipare alla riunione an-nuale della Societ. Emmy ama molto questi incontri annuali che soddisfano il suo natu-rale desiderio di parlare di matematica come lei stessa diceva sempre. I primi anni erapraticamente lunica donna attiva presente, a parte le mogli dei partecipanti.

Einstein a Gttingen

Negli anni fra il 1913 e il 1914 la Noether intensific i suoi contatti con Felix Klein eDavid Hilbert i quali allepoca si stavano interessando della teoria della relativit genera-le di Einstein. Hilbert era ormai il personaggio di punta della vita scientifica di Gttingene dopo la morte di Henri Poincar era ormai considerato il pi grande matematico del-lepoca.

A differenza della relativit speciale, che rappresentava la sintesi e la conclusione dellescoperte di una generazione di scienziati, la relativit generale stata una creazione indi-viduale, solitaria, una geniale intuizione, poggiata per su solide basi matematiche. Nella

teoria speciale le propriet di trasformazione del campo elettromagnetico erano state de-rivate come conseguenza dellinvarianza relativistica. Come ha sottolineato Wigner, sitrattava di inversione di tendenza rispetto al passato, una lezione importante che gradual-mente sarebbe entrata a far parte del DNA dei fisici: fino ad allora i principi di inva-rianza erano stati derivati dalle leggi del moto Ora per noi naturale derivare le leggidi natura e verificare la loro validit per mezzo dei principi di invarianza, piuttosto chederivare le leggi di invarianza da quelle che noi pensiamo essere le leggi di natura. Que-sto profondo cambiamento di atteggiamento era divenuto pi radicale nella ricerca di Ein-stein di una teoria generale della relativit. Il principio di covarianza generale, ovvero lin-varianza in forma delle leggi di natura sotto trasformazioni arbitrarie, deve dettare ladinamica della gravit, dello spazio-tempo stesso. A quellepoca Einstein, che inizialmen-

te aveva considerato la trascrizione di Minkowski della sua teoria speciale in una formatensoriale una erudizione superflua, ora si era completamente arreso alla necessit di pa-droneggiare quella che la maggior parte dei matematici considerava una branca esotericadella loro disciplina, un puro gioco formale: il calcolo differenziale assoluto. Nelle manidi Einstein il calcolo tensoriale sviluppato da Ricci-Curbastro e Levi-Civita rappresent ilfondamento matematico per affrontare i formidabili problemi posti dalla formulazionedella teoria, la cui elaborazione fu particolarmente impegnativa e si protrasse per circa set-te anni. Nel 1912 Einstein scriveva a Arnold Sommerfeld: Una cosa certa, in tutta la miavita non ho mai lavorato tanto duramente, e lanimo mi si riempito di un sacro rispet-to per la matematica, la parte pi sottile della quale avevo finora considerato, nella miadabbenaggine, un inutile orpello. Di fronte a tale problema, loriginaria teoria della rela-tivit un gioco da ragazzi.

Certamente Einstein, pi di ogni altro, comprese le conseguenze della simmetria delleleggi fisiche e il loro collegamento con la struttura matematica dello spazio-tempo mettendone in luce le profonde e rivoluzionarie implicazioni: Le leggi della fisica devo-no essere di natura tale da valere in sistemi di riferimento in moto arbitrario e non gisolo in quelli in moto uniforme, come richiedeva la relativit speciale. Gi nel 1910 Kleinaveva osservato che relativit significa invarianza rispetto a un gruppo di trasformazionie implica perci una particolare simmetria delle equazioni della teoria, a sua volta un ri-flesso della geometria dello spazio-tempo postulata per linsieme degli eventi fisici. Eraquindi naturale che la sua attenzione fosse attratta dai lavori di Emmy Noether, che aquellepoca aveva al suo attivo numerose pubblicazioni sulla teoria degli invarianti ed eraormai considerata unautorit sullargomento. Hilbert e Klein, immersi fino al collo nellateoria della gravitazione, la invitarono a Gttingen nellaprile del 1915.

Dal 29 giugno al 7 luglio del 1915 Einstein venne invitato a tenere sei conferenze a Gt-tingen sullo stato delle sue ricerche su gravitazione e relativit e cos scrisse a Sommerfeld

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al suo ritorno a Berlino: Con mia grande gioia sono riuscito a convincere completamen-te Hilbert e Klein Berlino non ha nulla a che fare con Gttingen quanto a vivacit de-gli interessi accademici. Sono entusiasta di Hilbert: un personaggio autorevole. A que-stepoca Einstein non aveva ancora del tutto completato la teoria, che presentava alcuniproblemi. I progressi pi importanti risalgono al periodo tra lottobre e il novembre di

quellanno. In effetti non tutti i fisici avevano reagito entusiasticamente alla lotta di Ein-stein. Planck per esempio lo aveva esplicitamente scoraggiato, cos che dopo aver dimo-strato laccordo della teoria con il moto del perielio di Mercurio, Einstein scrisse a Besso il21 dicembre del 1915: Leggi i giornali! Perfino Planck ora comincia a prendere la cosaseriamente, anche se ha ancora qualche resistenza.2

Nel frattempo, dopo la visita di Einstein, Hilbert aveva iniziato a lavorare intensamen-te sulla relativit generale, mirando fin dallinizio ai fondamenti assiomatici della fisica ea una formula generale che unificasse la gravitazione con lelettromagnetismo, basando-si sulla sua padronanza del formalismo matematico. In novembre Emmy Noether scrive-va a Ernst Fischer: Qui la teoria degli invarianti molto popolare La prossima settima-na Hilbert parler dei suoi invarianti differenziali di Einstein e cos tutti dovranno cercare

di capirci qualcosa.Il passo finale verso il completamento della teoria generale della relativit fu fatto qua-si contemporaneamente da Einstein e da Hilbert. Tra il 7 e il 20 novembre i due hanno unfitto scambio di lettere da cui traspare una notevole cordialit nel quale comunicanoluno allaltro gli ultimi risultati. Hilbert a Einstein: Il tuo sistema [di equazioni] si accor-da, per quanto mi dato di vedere, esattamente con ci che ho trovato nelle ultime setti-mane e ho esposto allAccademia.

Il 25 novembre Einstein presentava allAccademia prussiana la versione definitiva del-le equazioni del campo gravitazionale che rappresentavano il completamento della strut-tura logica della teoria la scoperta pi preziosa della mia vita, come scrisse a Sommer-feld il 9 dicembre successivo. Il 20 novembre Hilbert aveva sottoposto a sua volta

allAccademia delle scienze di Gttingen una nota Grundlagen der Physik (Fonda-menti della fisica) nella quale derivava le equazioni definitive del campo gravitazionalecome soluzione di un problema variazionale. difficile stabilire quanto ciascuno avesseappreso dallaltro, tuttavia Hilbert ammise pubblicamente che la grande idea di base eradi Einstein. Alla fine del suo lavoro Hilbert magnificava il metodo assiomatico, del qua-le era il re, che aveva utilizzato impiegando i pi potenti strumenti dellanalisi, ovvero ilcalcolo delle variazioni e la teoria degli invarianti.3 Fin dallinizio la concezione di Hil-bert si era focalizzata sulla geometria come scienza della natura; in questo senso lavven-to della relativit generale appariva come la pi straordinaria dimostrazione della sua an-tica visione di una armonia prestabilita tra matematica e realt. Da quel momento Hilbertdivenne sempre pi entusiasta sul significato della covarianza generale e consider la teo-ria di Einstein come il pi alto risultato del pensiero umano.

Le speranze nel circolo di Hilbert erano al culmine; il sogno di una legge universaleche fosse in grado di rendere conto sia della struttura generale del cosmo, sia di quella ditutti i nuclei atomici, sembrava vicino alla sua realizzazione, scrisse Hermann Weyl, chefaceva anche lui parte di quel circolo. La sua visione, nel solco della tradizione iniziata daMinkowski, si basava sullidea che i ruoli dei fisici e dei geometri potessero confluire inuna comune esplorazione di una scienza unificata.

Einstein dal canto suo era un po irritato da questa invasione di campo dei matemati-ci, e criticava Hilbert in una cartolina ad Ehrenfest del 25 maggio 1916: Non mi piace laformulazione di Hilbert. inutilmente specializzata e, per quanto riguarda la materia,inutilmente complicata ha le pretese di un superuomo camuffate dietro la tecnica. Il15 dicembre Einstein scrisse a Klein: Mi sembra che lei sopravvaluti il valore del puntodi vista formale. Questo pu avere un valore quando una veritgi scoperta richiede di es-sere formulata in forma finale, ma dal punto di vista euristico fallisce sempre. La sua im-pressione era che Hilbert, Klein e i loro seguaci volessero dimostrare ai fisici quanto fos-



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sero pi brillanti di loro. La fede di Hilbert nel metodo assiomatico veniva giudicata daEinstein infantile, come quella di un bambino che inconsapevole dei trabocchetti delmondo reale, come scrisse a Hermann Weyl nel novembre del 1916. Lo stesso Weyl pen-sava che il lavoro di Hilbert nel campo della fisica avesse un valore limitato se confronta-to con il suo lavoro nella matematica pura e in un ricordo di Hilbert sottoline successi-

vamente che uomini come Einstein e Niels Bohr trovano nel buio la propria via verso leloro concezioni della relativit generale o della struttura atomica, attraverso una esperien-za e una forma di immaginazione diverse da quelle dei matematici, sebbene la matemati-ca sia senza dubbio un ingrediente essenziale. John von Neumann, un altro grande ma-tematico, anche lui fortemente impegnato sul fronte della fisica, osserv a sua volta aproposito del lavoro di Einstein e delle sue ricadute sulla matematica: La scoperta dellarelativit generale ci ha obbligato a revisionare la nostra visione sulle relazioni della geo-metria, in un assetto totalmente nuovo.

Nonostante le loro visioni differenti, Hilbert e Einstein certamente provavano unaqualche ammirazione reciproca, tanto che Hilbert propose Einstein per il prestigioso pre-mio Bolyai del 1915 per lalto spirito matematico che permea tutti i suoi risultati.

Nel frattempo, Hermann Weyl, che aveva fatto il suo dottorato con Hilbert nel 1908, fucatturato dal fascino dei lavori di Einstein. Nel 1918 pubblic Gravitation und Elektrizitt,il primo tentativo di una generalizzazione matematica della teoria di Einstein. Nel ripren-dere lipotesi accennata da questultimo nel 1916 di combinare gravitazione ed elettroma-gnetismo, Weyl costru quella che chiam una pura geometria metrica infinitesimale; ilsuo tentativo fu importante soprattutto perch port alla ribalta il concetto di invarianzadi gauge, che esprime linvarianza della lagrangiana del sistema4 sotto alcuni particolarigruppi di trasformazioni locali e non solo globali.5 Anche la teoria di Maxwell dotata diuna simmetria di gauge, che tuttavia non era stata messa inizialmente in evidenza cometale. Questo formalismo, che si sarebbe rivelato uno dei pi proficui nella successiva pra-tica della costruzione di teorie, alla base del Modello Standard, la descrizione in un uni-

co quadro teorico delle tre forze fondamentali della natura: elettromagnetismo, interazio-ne nucleare debole e interazione nucleare forte.I principi di simmetria furono costantemente alla base dellopera di Weyl nellambito

delle teorie fisiche, che include la pionieristica applicazione della teoria dei gruppi allameccanica quantistica tra la fine degli anni Venti e linizio degli anni Trenta. Nel 1952 di-chiar: Per quanto ne so, tutte le affermazioni a priori in fisica hanno la loro origine nel-la simmetria.

Simmetria delle leggi: Emmy Noether

Dopo che le porte della mecca si furono aperte di fronte a Emmy Noether, Hilbert eKlein, ben determinati a farla restare, posero il problema della sua collocazione accademi-ca e gi il 20 luglio del 1915 la spinsero a fare richiesta per labilitazione. Luniversit diGttingen era stata la prima universit tedesca a fornire il titolo di dottore a una donna,ma concedere labilitazione era tuttaltra faccenda. Nellintera Germania nessuna donnaaveva ancora ottenuto labilitazione allinsegnamento. Lintera Facolt di Filosofia, checomprendeva filosofi, filologi e storici insieme ai matematici e agli studiosi di scienze na-turali, doveva votare laccettazione della tesi di abilitazione. Naturalmente lopposizioneveniva in particolare dai membri non matematici della facolt. Come si pu consentireche una donna diventi Privatdozent? Se diventa Privatdozentpu diventare professore emembro del Senato accademico. Si pu permettere che una donna entri a far parte del Se-nato? Queste erano le ragioni formali. Ma preoccupazioni ben pi inquietanti agitavanole menti: Cosa penseranno i nostri soldati quando torneranno alluniversit e scopriran-no che si chiede loro di studiare sotto la guida di una donna? Hilbert, che non aveva pelisulla lingua ed era sempre molto diretto nelle sue argomentazioni, sembra rispondesse

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cos agli argomenti formali: Cari signori, non vedo perch il sesso della candidata debbacostituire un argomento contro la sua ammissione comePrivatdozent. In fin dei conti il Se-nato accademico non uno stabilimento termale.

Nonostante gli sforzi a cui partecip, tra laltro, lo stesso Einstein Hilbert e Klein nonriuscirono nellintento. In seguito alle violente controversie sorte allinterno del Senato

accademico Hilbert risolse il problema a modo suo. Le lezioni di fisica matematica teo-ria degli invarianti annunciate con il nome del professor Hilbert, venivano tenute daFrulein Noether. Nel corso del semestre invernale 1916-17 la Noether tenne lezioni sullateoria degli invarianti e continu a lavorare su questi argomenti per i quali lo stesso Kleindimostrava un fortissimo interesse che scaturiva dallindividuare una correlazione fra leidee alla base della teoria speciale e generale della relativit e il suo Programma di Erlan-gen, vero e proprio manifesto sullimportanza dei gruppi di trasformazioni e dei loroinvarianti per la geometria. Secondo Klein, la teoria di Einstein sulla gravitazione giustifi-cava in modo sorprendente la sua grande ammirazione per Riemann, che nellultimo pa-ragrafo della sua famosa lezione inaugurale del 1854, Sulle ipotesi che costituiscono ifondamenti della Geometria aveva scritto: Ci ci conduce nel dominio di unaltra

scienza, nel dominio della Fisica .Anche la connessione fra le leggi di conservazione della meccanica classica (energia,impulso, momento angolare e moto uniforme del centro di massa) e le corrispondentisimmetrie dello spazio-tempo (traslazioni nello spazio e nel tempo, rotazioni e trasforma-zioni di Galileo e di Lorentz) erano da diversi anni al centro degli interessi di Klein, comesi deduce dal testo delle conferenze da lui tenute negli anni 1915-1917 sugli sviluppi del-la matematica nel XIX secolo. Le leggi di conservazione sono tra le pi fondamentali del-la fisica, tanto da essere qualificate come principi. Tra i principi di conservazione dellameccanica classica il pi fondamentale senza dubbio quello che riguarda lenergia. Lalegge di conservazione dellenergia in meccanica afferma che lenergia totale di un siste-ma isolato costante. Il secondo grande principio quello che riguarda la quantit di

moto o impulso dei corpi; il terzo il momento angolare. Tutti e tre hanno un equi-valente nella teoria della relativit e in meccanica quantistica. La storia della derivazionedelle leggi di conservazione della meccanica classica a partire dallinvarianza formale del-le leggi della fisica risaliva gi a Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), William Rowan Ha-milton (1805-1865) e Carl Gustav Jacob Jacobi (1805-1851). Nel 1890 Henri Poincar(1854-1912) mise in evidenza, senza dimostrarla esplicitamente, la connessione fra inva-rianza delle equazioni del moto sotto traslazioni spaziali, traslazioni temporali, rotazionie trasformazioni di Galilei e conservazione dellenergia, dellimpulso, del momento ango-lare e del moto uniforme del centro di massa. Nel 1911 Klein basandosi su un lavoro diGustav Herglotz, si rese conto che la connessione fra le propriet di simmetria di un siste-ma e le sue leggi di conservazione erano correlate al lavoro di Lie sulla teoria dei gruppiapplicata alle equazioni differenziali. Cos chiese a Friedrich Engel, suo ex studente e col-laboratore di Lie per molti anni, di derivare le dieci leggi di conservazione della meccani-ca classica in un caso particolare e nellambito della teoria di Lie. Pur non essendosi occu-pato delle applicazioni alla fisica, Lie aveva gi affermato esplicitamente: I principi dellameccanica hanno unorigine gruppale, origine che fu dimostrata da G. Hamel nel 1904.Continuando questa linea di pensiero, Engel mostr nel 1916 la connessione fra il grup-po di invarianza della meccanica classica e le leggi di conservazione della quantit dimoto, del momento angolare e della velocit del baricentro. Queste ricerche estendevanoalla meccanica galileiana e relativistica il punto di vista che Klein aveva gi applicato contanto successo alla geometria.

Nel frattempo Hilbert continuava a occuparsi di relativit generale e in particolare del-lapparente venir meno delle leggi di conservazione dellenergia-impulso. Questo restavail punto debole della teoria. Hilbert lo aveva citato in un lavoro come il venir meno delteorema dellenergia. In una lettera a Klein affermava che questa appariva essere una ca-ratteristica distintiva della teoria generale. Hilbert affermava anche di aver chiesto a



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Emmy Noether di aiutarlo a chiarire la faccenda. Nel 1916 anche Klein stava lavorando aquesto problema della conservazione dellenergia che lui definiva vettore dellenergiadi Hilbert e a questo proposito scriveva a Hilbert: Lei sa che la signorina Noether con-tinua a consigliarmi nel mio lavoro ed certo grazie a lei che sono diventato competentenellargomento. Parlando di recente con Frulein Noether dei risultati ottenuti con il suo

vettore dellenergia, mi ha detto di aver derivato la stessa cosa a partire dalla sua nota diun anno fa [Grundlagen der Physik] e di averlo annotato su un manoscritto che ho esami-nato. Nel presentare i suoi risultati sul vettore dellenergia allAccademia, Klein ringrazia-va la Noether per il suo contributo al proprio lavoro. Nel rispondere a Klein, Hilbert sot-tolineava a sua volta: Emmy Noether, al cui aiuto ho fatto ricorso per chiarire le questioniconnesse alla mia legge dellenergia . Lesperto di teoria degli invarianti, come Hil-bert una volta si era autodefinito, ricorreva allaiuto dellantica allieva del re degli inva-rianti! Nello stesso periodo la Noether raccontava a unamica che un gruppo di Gttin-gen, al quale apparteneva anche lei, stava eseguendo calcoli difficilissimi per Einstein.Nessuno di noi capisce a che cosa possano servire. A questo punto sembrerebbe proprioche anche Emmy stesse sguazzando in piena teoria della relativit. Il 24 maggio 1918 Ein-

stein scrive a Hilbert a proposito di un articolo pubblicato da Emmy nel mese di gennaio:Ieri ho ricevuto dalla signorina Noether un lavoro molto interessante sugli invarianti. Miimpressiona molto il fatto che qualcuno riesca a comprendere questioni di questo tipo daun punto di vista cos generale. Non sarebbe stato male mandare la vecchia guardia diGttingen a scuola dalla signorina Noether. Di sicuro sa perfettamente il fatto suo!

Sophus Lie non visse abbastanza a lungo da vedere la sua visione profetica sulle leggidella natura come invarianti delle trasformazioni infinitesime realizzata pienamente nellavoro di Emmy Noether,Invariante Variationsprobleme, presentato da Felix Klein nella riu-nione del 26 luglio 1918 della Reale Societ delle Scienze di Gttingen.6 Questo lavoro, incui la Noether fornisce la soluzione di un problema relativo alla teoria della relativit ge-nerale che n Hilbert n Klein n Einstein erano stati in grado di risolvere, era destinato a

influenzare profondamente lo sviluppo della fisica moderna.7

Vi si presentavano due teo-remi e i loro inversi che rivelavano nel modo pi generale la connessione tra simmetrie eleggi di conservazione in fisica, generalizzando tutti i precedenti risultati a tutti i gruppicontinui finiti e infiniti. Il lavoro della Noether incorporava in modo del tutto inedito dif-ferenti campi della matematica e della fisica matematica:

1)La teoria degli invarianti algebrici e differenziali

2)La geometria di Riemann e il calcolo delle variazioni nel contesto della relativit gene-rale, della meccanica e della teoria dei campi

3)La teoria dei gruppi, in particolare la teoria dei gruppi di Lie per risolvere o ridurre leequazioni differenziali per mezzo dei loro gruppi di invarianza.

Loriginalit di questo teorema consiste proprio nel fondare i principi di conservazionesullinvarianza formale delle leggi della fisica. Linteresse maggiore del teorema sta quin-di nel mettere in corrispondenza ciascun principio di conservazione di una quantit fisi-ca con una invarianza formale delle leggi. Pi precisamente enuncia che, per ciascunasimmetria continua come per esempio una rotazione nello spazio o una simmetria di-screta come linversione temporale o riflessione spaziale della funzione di Lagrange cherappresenta il sistema fisico, esiste una quantit che si conserva nel corso dellevoluzionedi questo sistema. Le conclusioni pi interessanti del teorema si ottengono nel caso di tra-sformazioni cosiddette euclidee, perch in questo caso le grandezze conservate hanno unainterpretazione fisica immediata. Le trasformazioni euclidee hanno la caratteristica di nondeformare gli oggetti: si tratta di traslazioni temporali, traslazioni spaziali o rotazioni. Inqueste situazioni semplici il teorema fornisce i tre risultati seguenti: se la lagrangiana re-sta invariante (simmetrica) per una traslazione temporale, lenergia totale del sistema siconserva nel corso del movimento; nel caso di invarianza per traslazioni spaziali, la quan-tit che si conserva limpulso (quantit di moto del sistema); infine, se si ha invarianza

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per rotazione (i parametri necessari per descriverla sono tre), si conserva il momento an-golare (tre componenti). Ciascuno dei tre grandi principi di conservazione della fisica sifonda quindi in ultima analisi su una simmetria di tipo particolare. Il teorema di Noetherfa quindi apparire un legame del tutto inatteso fra il contenuto delle leggi fisiche e la strut-tura dello spazio-tempo stesso. La conservazione dellenergia in particolare ha come diret-

ta implicazione la costanza delle leggi della fisica, e dunque luniformit del tempo. Laconservazione della quantit di moto ci rinvia a quella che si potrebbe chiamare luniver-salit delle leggi (la fisica si scrive nello stesso modo a Parigi e a Londra), e dunque alluni-formit dello spazio. La conservazione del momento angolare implica invece che lo spa-zio isotropo (non esiste una direzione privilegiata).

Nel primo teorema Emmy Noether mostrava, come caso particolare, che in teorie del tipodella relativit generale esistono delle identit nel caso di questa teoria sono le cosiddetteidentit di Bianchi che forniscono delle leggi di conservazione locali di tipo differenzialele quali in uno spazio tempo piatto si trasformano nelle ordinarie leggi di conservazione del-lenergia e dellimpulso.8 La bellezza e limportanza straordinaria di quello che diverr notocome Teorema di Noether sta proprio nella combinazione di due propriet: estrema-

mente generale da una parte e dallaltra fornisce la possibilit di costruire immediatamentele quantit conservate data la funzione di Lagrange e il suo gruppo di invarianza.Nel lavoro di Emmy confluivano cos una serie di ingredienti che ne facevano lapice

dellevoluzione di questi campi di ricerca rendendo molto pi profonda la comprensionedei principi di conservazione e fornendo lo strumento per le grandi scoperte delle simme-trie di gauge che caratterizzeranno il XX secolo, proprio grazie al fatto che il teorema sibasa su una versione generalizzata della teoria del gruppi. La generalit del teorema in-fatti tale che attraverso di esso la matematica ha acquistato una portata euristica del tut-to inedita: diventa possibile derivare a priori e in modo del tutto stupefacente lesistenzadi entit fisiche ben determinate. Tutto ci non ha fatto che accrescere il mistero sulla na-tura del potere creativo del linguaggio matematico, apparentemente un semplice mecca-

no di simboli, come affermava Hilbert, eppure cos prossimo alla natura delle cose. Il teo-rema di Noether non soltanto ha fornito un senso chiaro al principio di conservazionedellenergia, fino a quel momento avvolto nel mistero, ma andava ben oltre esponendoin forma pi generale le conseguenze dinamiche delle simmetrie. In questo modo ha poigiocato un ruolo essenziale nella scoperta delle leggi fondamentali che governano le inte-razioni che si osservano tra particelle elementari. Le simmetrie che le riguardano, indivi-duate a partire dal dopoguerra e la comprensione che queste comportano delle conse-guenze dinamiche sono alla base della successiva formulazione del Modello Standarddelle particelle elementari.

Questi risultati cos fondamentali furono comprensibilmente molto apprezzati da Ein-stein, il quale, in una lettera a Hilbert si rifer al penetrante pensiero matematico dellaNoether.

Questo lavoro, che rappresent la sua tesi di abilitazione, si allontanava in qualchemodo dalla sua principale linea di ricerca, lo sviluppo della moderna algebra astratta, uncampo in cui, secondo lautorevole parere di Hermann Weyl, la Noether aveva creato unnuovo epocale stile di pensiero. Nel 1919 ottenne lincarico diPrivatdozent. Una posizio-ne che rappresentava il pi basso dei gradini nella scala accademica, che non comporta-va alcuno stipendio. Nel 1923 Hilbert riusc a ottenere per lei lincarico di nicht-beamteterauseordentlicher Professor, sempre non retribuito. Un incarico di insegnamento per lalge-bra le consent finalmente di disporre di un piccolo stipendio. Nel frattempo, le preoccu-pazioni dei membri pi reazionari del Senato accademico venivano smentite in modoeclatante. Intorno a Emmy Noether ruotava uno dei pi fertili gruppi di ricerca della Gt-tingen fra le due guerre.

Nel 1933, quando il partito nazista prese il potere, gli ebrei furono obbligati a lasciarele loro posizioni accademiche. La scuola di Hilbert riceve il colpo pi duro. Nessun pre-giudizio di nazionalit, di sesso o razziale vi aveva mai avuto cittadinanza. A quellepo-



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ca a Gttingen ben tre dei quattro istituti di matematica e fisica erano guidati da ebrei: Ri-chard Courant, James Franck e Max Born. Weyl prese il posto di Courant. Scrisse innume-revoli lettere, incontr membri del governo, ma nulla pot essere cambiato. Sua moglieera in parte ebrea e gli amici, tra cui Einstein che era gi a Princeton, lo scongiurarono dipartire prima che avvenisse il peggio. Lultimatum si applicava anche a Emmy Noether.

Non si erano mai viste tante firme illustri come quelle poste in calce agli appelli inviati alMinistero per il caso Noether. Il nome di Hilbert era in cima alla lista. Hilbert aveva dapoco compiuto settantanni e il giorno del suo compleanno era stato ben lontano dallim-maginare sorte peggiore per la sua Gttingen. Durante un banchetto Hilbert fu apostrofa-to dal nuovo ministro nazista per leducazione: Come va la matematica a Gttingen, orache labbiamo liberata dallinfluenza ebraica? Matematica a Gttingen? rispose Hil-bert. Non se ne vede pi nemmeno lombra.

Circa due anni dopo la sua forzata emigrazione negli Stati Uniti, Emmy Noether morinaspettatamente per una complicazione chirurgica, mentre era allapice del suo poterecreativo, come disse Weyl. In un necrologio a lei dedicato, comparso il 3 maggio 1935sul New York Times, Einstein comment: Gli sforzi della maggior parte degli esseri uma-

ni si consumano nella lotta per il pane quotidiano, ma la maggior parte di coloro che, oper fortuna o per un dono speciale, sono sollevati da questa lotta, sono largamente assor-biti nel migliorare i loro beni terreni. Dietro lo sforzo diretto ad accumulare i beni terrenirisiede troppo frequentemente lillusione che questo sia lo scopo pi sostanziale e pi fon-damentale da raggiungere; fortunatamente, esiste una minoranza composta da coloro chemolto presto riconoscono che le esperienze pi belle e soddisfacenti offerte allumanitnon derivano dallesterno, ma sono connesse con lo sviluppo delle sensazioni, pensieri eazioni dellindividuo. Gli artisti veri, i ricercatori e i pensatori sono sempre stati personedi questo tipo. Indipendentemente dal corso pi evidente della vita di questi individui, ifrutti dei loro sforzi restano nonostante tutto i contributi di maggior valore che una gene-razione pu trasmettere ai suoi successori.

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Note

1 In quello stesso periodo Lise Meitner (1878-1968) studiava fisica, matematica e filosofia allUniversit diVienna, dove era entrata nel 1901. Nel 1906 fu la seconda donna a conseguire il dottorato in fisica allUni-versit di Vienna. Nel 1907 si trasfer a Berlino, dove segu le lezioni di Max Planck e inizi a collaborare conil radiochimico Otto Hahn, con cui avrebbe lavorato per oltre trentanni. Poich le donne in Prussia non era-no ammesse alluniversit, Lise era costretta ad entrare dalla porta di servizio e non poteva accedere alle aulee ai laboratori degli studenti. Il divieto venne annullato solo nel 1909.2 Il 18 novembre Einstein aveva scritto a Paul Ehrenfest: Per alcuni giorni sono stato fuori di me per lec-citazione e la gioia. La questione riguardava la precessione del perielio di Mercurio, per il quale Le Verrier,nel 1859, aveva riscontrato uno spostamento residuo di 38 per secolo che non poteva essere spiegato inbase agli effetti della gravitazione newtoniana e per la quale aveva ipotizzato qualche azione sconosciuta.Nel 1882 tale avanzamento era stato fissato con precisione a 43 per secolo. Einstein applic la sua teoriadella gravitazione e scopr che poteva rendere esattamente conto dellavanzamento residuo senza ricorre alune invisibili n ad alcuna speciale ipotesi. Contemporaneamente Einstein aveva calcolato con precisionelentit della deflessione di un raggio di luce al suo passaggio in prossimit del forte campo gravitazionaleesercitato dal Sole. Questa predizione sar confermata sperimentalmente in modo spettacolare nel 1919, annoin cui la fama mondiale di Einstein salir alle stelle. Questi calcoli furono appunto presentati da Einstein il18 novembre 1915, in una memoria che precede di pochi giorni quella contenente le equazioni definitivedel campo gravitazionale.3 Recenti ricerche di archivio e lanalisi delle carte di Hilbert hanno dimostrato che in realt non apparecredibile la versione accreditata fino a qualche tempo fa che Hilbert e Einstein abbiano scoperto indipenden-temente le stesse equazioni di campo. Laffermazione di Hilbert che le sue equazioni fossero in accordo conquelle di Einstein non contenuta nella pagina iniziale delle bozze della rivista; in effetti, prima dellepocain cui larticolo di Hilbert fu pubblicato in una forma revisionata alla fine di marzo del 1916, egli era statoin grado di modificare le sue equazioni di campo perch fossero in accordo con quelle di Einstein.4 In meccanica un sistema viene formalmente caratterizzato da una funzione matematica che dipende dal-

la sua posizione (coordinate spaziali) e dalla sua velocit, oltre che dal tempo. Questa funzione, detta lagran-giana dal nome del matematico di origine italiana Lagrange uguale alla differenza fra energia cineticae energia potenziale del sistema. Il problema fondamentale consiste nel determinare quali sono le leggi fisi-che che restano valide quando si cambia il sistema di coordinate, effettuando delle trasformazioni di simme-tria: come nel caso delle rotazioni o delle traslazioni, per esempio.5 La teoria della relativit generale una cosiddetta teoria di gauge, ovvero caratterizzata da un gruppo disimmetria continuo infinito, a cui appartiene come sottogruppo quello delle traslazioni temporali. Linva-rianza rispetto al gruppo di trasformazioni che caratterizza la relativit generale equivale a postulare che ogniosservatore possa scegliere arbitrariamente i suoi sistemi inerziali. Ci troviamo per la prima volta di fronte auna simmetria locale anzich globale, la quale, invece di dipendere da un numero finito di parametri, dipen-de da sei funzioni arbitrarie. Una invarianza cos vasta una conseguenza necessaria della richiesta che la di-namica, e non soltanto la cinematica, possa essere ricondotta alla geometria.6 La Noether probabilmente non era nemmeno presente alla seduta. Le donne non erano ammesse in so-ciet scientifiche cos esclusive. A questo proposito infatti bene sottolineare che la Royal Societydi Londra,

fondata nel 1662, ha eletto il primo membro di sesso femminile nel 1945 e lAcadmie des Sciences di Pari-gi, fondata nel 1666, ha ammesso per la prima volta una donna soltanto nel 1962!7 Il membro sinistro delle equazioni di campo di Einstein (R 1/2 g R = T, dove R il cosiddettotensore di Ricci, g il tensore metrico, R la curvatura scalare e T il tensore energia) soddisfa quattro



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identit ([R 1/2 g R]; = 0) dette identit di Bianchi, dal nome del matematico italiano Luigi Bianchi, dicui, fino al 25 novembre 1915, Einstein, era certamente ancora alloscuro. Il tensore G = R 1/2 g R,detto appunto tensore di Einstein, perch fu Einstein a comprenderne limportanza per la gravitazione, co-struito a partire esclusivamente dal tensore di Riemann e dalla metrica ed automaticamente a divergenzanulla: G; = 0. Tuttavia Einstein non si rese conto che le identit di Bianchi implicano a loro volta che an-che T; = 0; tale relazione esprime la conservazione dellenergia e dellimpulso. Cos i principi di conserva-zione dellenergia e della quantit di moto conseguono automaticamente dalle equazioni del campo e dalle

identit di Bianchi, mentre Einstein fece uso di questi principi di conservazione come di un vincolo impo-sto alla teoria, piuttosto che una conseguenza quasi immediata della covarianza generale. Le leggi di conser-vazione rimangono lunico punto debole del lavoro di compendio pubblicato da Einstein nel marzo 1916(Annalen der Physik 49, 769), dove esse sono verificate mediante un calcolo diretto anzich con una argo-mentazione basata sullinvarianza. Apparentemente neppure Hilbert conosceva le identit di Bianchi; e ineffetti, nel novembre 1915 n Hilbert n Einstein erano ancora a conoscenza di questa strada maestra per ladeduzione dei teoremi di conservazione. Il problema dei principi di conservazione nella relativit generalefurono appunto affrontati da Emmy Noether a partire da quellepoca. Nel 1918 Emmy Noether dimostrerche le identit sono in realt la conseguenza particolare di un teorema molto pi generale.8 Il teorema di Noether dimostra che linvarianza rispetto a trasformazioni dipendenti da funzioni arbitra-rie d luogo a leggi di conservazione locali anzich globali, come avviene nel caso di trasformazioni dipen-denti da un numero finito di parametri. Questa localit delle leggi di conservazione riflette la possibilit discegliere localmente, anzich globalmente, il sistema di riferimento, ossia limpossibilit di dare una separa-zione oggettiva fra inerzia e gravitazione a causa della complicazione introdotta dalla curvatura dello spazio-tempo e dalluso di coordinate locali. Nella teoria generale lenergia non si conserva localmente, come av-viene nelle teorie di campo classiche gravitazione newtoniana, elettromagnetismo, idrodinamica, ecc. dove si pu dimostrare che il flusso di energia attraverso i confini di un volume arbitrario equivale al tassocon cui lenergia diminuisce allinterno del volume. Questo implica che c un trasferimento di energia ver-so e dal campo gravitazionale e quindi non ha senso parlare di una localizzazione dellenergia. In regioni del-lo spazio-tempo prossime a una sorgente gravitazionale, dove la curvatura di Riemann diversa da zero, siproduce localmente un venir meno del principio di conservazione dellenergia. Il bilancio energetico nonpu esser discusso indipendentemente dalle coordinate che si utilizzano per calcolarlo, e di conseguenza siottengono risultati differenti in vari sistemi di coordinate - alcuni dei quali sono artefatti del calcolo stesso.Tuttavia, nonostante venga meno il principio di conservazione locale, esiste un principio di conservazionesu larga scala, come dimostr la Noether nel suo primo teorema.

Quaderno 21 67

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Noether e la nascita delle superleggi: simmetrie e invarianze