NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN SỐ HỌC LỚP 6imgs.khuyenmai.zing.vn/files/tailieu/tai-lieu-pho-thong/trung-hoc... · Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 1

NHỮNGDẠNGTOÁNCƠBẢNSỐHỌCLỚP6

(Dànhchohọcsinhkhá,giỏi)

§1.SOSÁNHHAILUỸTHỪA

A. Kiếnthứccơbản

1. Đểsosánhhailuỹthừa,tathườngđưavềsosánhhailuỹthừacùng

cơsốhoặccùngsốmũ.

- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ

lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

Vớia>1vàm>nthìam>an

- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số

lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

Vớin>0vàa>bthìan>bn

2. Ngoàicáchtrên,đểsosánhhai luỹthừatacòndùngtínhchấtbắc

cầu,tínhchấtđơnđiệucủaphépnhân(a<bthìa.c<b.cvớic>0)

- Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n=am.n

- Luỹ thừa của một tích: (a.b)n=anbn

- Luỹ thừa một thương: an:bn=(a:b)n , hay :n

n n aa b

b

- Luỹ thừa tầng: nn mma a

B. Bàitậpápdụng

1. So sánh các số sau:

a. 2711 và 818

b. 6255 và 1257

c. 32n và 23n

d. 536 và 1124

e. 523 và 6.522

f. 339 và 1121

g. 19920 và 200315

h. 7.213 và 216

2. So sánh các hiệu sau: 7245 – 7243 và 7244 – 7243

3. Tìm xN, biết:

a. 16x < 1284

b. 15< 5x <1075

c. 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100..........0 :218

18 chữ số 0



4. Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + ... + 29. So sánh S với 5.28

§2.CHỮSỐTẬNCÙNGCỦAMỘTTÍCH,MỘTLUỸTHỪAA. Kiếnthứccơbản

1. Chữsốtậncùngcủamộttích:

- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.

- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng

là 5.

- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

2. Chữsốtậncùngcủamộtluỹthừa:

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ

(khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n đều

có tận cùng là 1.

...34n = ...1 ...74n = ...1 ...94n = ...1

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n

≠0) đều có tận cùng là 6.

...24n = ...6 ...44n = ...6 ...84n = ...6

- Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ

thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có

chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.

- Đối với các số tự nhiên có 2 tận cùng là 25, 76 khi luỹ thừa với số mũ bất

kì thì đều cho một số tự nhiên cũng có 2 chữ số là 25, 76.


1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 3358 ; 2335 ; 765234

2. Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.

A = 405n+ 2405 + 3 (n N ; n ≠ 0)

3. Tích 2.22.23.....210. 52.54.56 … .514. Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

4. Chứng minh rằng tổng S = 1 + 31+ 32 + 33 + ... + 330 không phải là một số

chính phương.

§3.SỐNGUYÊNTỐ.HỢPSỐ.PHÂNTÍCHMỘTSỐRA

THỪASỐNGUYÊNTỐA. Kiếnthứccơbản

1. Địnhnghĩa

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó



- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có ước khác 1 và chính nó nói cách khác

là có nhiều hơn 2 ước

- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó

dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố

2. Tínhchất

- Một số tự nhiên A được biểu diễn (phân tích) dưới dạng một tích

A = a1k1 .a2k2.a3k3. … .ankn thì tổng số ước số của A là

(k1+1)(k2+1)(k3+1)…(kn+1)

- Nếu một tích các số tự nhiên chia hết cho số nguyên tố p thì phải có ít

nhất một thừa số của tích chia hết cho p. Nếu tích đó là tích của các số

nguyên tố thì p trùng với một trong những thừa số của tích

- Nếu tích của hai sốa, b chia hết cho một sốnguyên tốp thì mọt trong hai

sốa, b chia hết cho p

- Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a ⋮ p hoặc b ⋮ p.

- Đặc biệt nếu an ⋮ p thì a ⋮ p và ngược lại

3. Mộtsốđịnhlí

- Định lí Euler

NÕu m lµ 1 sè nguyªn d¬ng (m) lµ sè c¸c sè nguyªn d¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng nhau víi m, (a, m) = 1

Th× a(m) 1 (mod n) - Định líFermat

NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 1 (mod p) - Định lí Wilson

NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( p - 1)! + 1 0 (mod p) B. Bàitậpápdụng

1. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?

a = 1.3.5.7...13 + 20

b = 147.247.347 – 13

2. Cho nN*. Chứng minh rằng số 111....12111...1 là hợp số . n chữ số1 n chữ số1

3. Cho n>2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1

không thể đồng thời là số nguyên tố.

4. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3

a. Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.

b. Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là

hợp số

5. Cho p và p + 8 là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p + 100 là số nguyên tố

hay hợp số.



6. Chứng minh rằng những số sau là hợp số

a. 676767

b. 108 + 107 + 7

c. 175 + 244 + 1321

d. 311141111

e. 10100- 7

f. 1! + 2! + 3! +…+ 100!

7. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n±1

8. Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn

3 thì n chia hết cho 6

9. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1)

chia hết cho 24

10. Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố

lẻ liên tiếp (p>3). Chứng minh rằng một số tự nhiên nằm giữa hai số

nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.

11. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3

khi chia cho 12 đều dư 1

12. Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r

13. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên 2n – 1 là số nguyên tố (∀n N, n>2)

thì số tự nhiên 2n + 1 là hợp số

14. Tìm số n N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.

15. Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại 2 số mà

tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

§4.ƯỚCCHUNG,ƯỚCCHUNGLỚNNHẤT–BỘICHUNG,BỘI

CHUNGNHỎNHẤT


1. Địnhnghĩa

- Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả những số đó. Ước

chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp

ước chung của các số đó.

- Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả những số đó. Bội chung

nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập

hợp bội chung của các số đó.

2. Tínhchất



- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi chúng chỉ có duy

nhất một ước chung là 1.

- Ba số tự nhiên được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau khi từng cặp 2

trong 3 số đó nguyên tố cùng nhau và chỉ có duy nhất một ước chung

của 3 số là 1

- Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.

ab=BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)

- Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng là những

số nguyên tố cùng nhau

- Nếu a ⋮ m và a ⋮ n thì a ⋮ BCNN(m,n). Từ đó suy ra:

+ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho

tích của chúng.

+ Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó

chia hết cho tích của chúng


1. Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:

a. Hai số lẻ liên tiếp.

b. 2n + 5 và 3n + 7 (n N)

2. Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:

a. (a, a – b) = 1

b. (ab, a + b) = 1

3. Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau

a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n N).

Tìm (a, b).

4. Cho a + 5b ⋮ 7 (a, b N). Chứng minh rằng 10a + b ⋮ 7. Mệnh đề đảo lại

có đúng không?

5. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là

16.

6. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.

7. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.

Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng

nhau hoặc có một ước chung là 19

Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15

8. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5,

chia cho 13 thì dư 8



9. Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 – 1 chia

hết cho 6

10. Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1

11. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A cho 4 hoặc 6 đều dư 1.

Tìm A biết A < 400

12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10,

chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23

§5.SỐCHÍNHPHƯƠNG


1. Địnhnghĩa

Số chính phương là bình phương của 1 số tự nhiên

2. Tínhchất

- Số chính phương chỉ có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa

số nguyên tố với số mũ chẵn

Hệ quả: a2⋮ p(p∈ ℙ )→a2⋮ p2vàa⋮ p

- Số ước của 1 số chính phương là 1 số lẻ và ngược lại 1 số tự nhiên có số

ước là 1 số lẻ là số chính phương

3. Phươngphápchứngminh

- Phương pháp phản chứng

- Kẹp n2 < A < (n+1)2

- Chữ số tận cùng

- Phân tích thành bình phương

B. Bài tập áp dụng

1. Các số sau có chính phương hay không

A = 3 + 32 + 33 + … + 320

B = 100! + 8

C = 19922 + 19932 + 19942

D = 1 + 9100 + 94100 + 1994100

E = 12 + 22 + 32 + … + 1002

F = 13 + 23 + 33 + … + 1003

2. Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì các số sau là số chính phương

A = (10n + 10n-1 + 10n-2 +…+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1

B = 111. .1��

555. .5��

6



C = 111. .1��

+ 444. .4��

+ 1

D = 999. .9��

8 000. .0��

1

E = 111. .1��

222. .2��

5

F = 444. .4��

3. Cho A = 11. .1��

; B = 11. .1��

; C = 66. .6��

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương

4. Chứng minh rằng

a. Tổng của 2 số chính phương lẻ không là 1 số chính phương

b. Một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là 1 số

lẻ

5. Một số chính phương có chữ số hàng chục là 5. Tìm chữ số hàng đơn vị

6. Chứng tỏ các số sau không là số chính phương

a. ��

b. ��

c. ��

d. �� + �� + ��

7. Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính

phương

8. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho nếu cộng nó với số gồm hai chữ số ấy

viết theo thứ tự ngược lại thì ta được 1 số chính phương

9. Tìm n ∈ ℕ* sao cho 1! + 2! + 3! + … + n! là 1 số chính phương

§6.NGUYÊNLÍDIRICHLETVÀỨNGDỤNGTRONGBÀITOÁN

CHIAHẾT


Nguyênlícơbản:

Nhốtn+1conthỏvàoncáilồngthìbaogiờcũngcó1cáilồng

nhốtítnhất2conthỏ


1. Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.

2. Cho dãy số : 10; 102; 103; ...;1020.

Documents

NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN SỐ HỌC LỚP 6imgs.khuyenmai.zing.vn/files/tailieu/tai-lieu-pho-thong/trung-hoc... · Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội