MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADEpmbortolon.wdfiles.com/local--files/home/Met Quant_Capitulo 9.pdf · Teste de Hipótese: σconhecido Exemplo de teste com cauda à

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1

MÉTODOS

QUANTITATIVOS

APLICADOS À

CONTABILIDADE

Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc.


Fundamentos de Testes

de Hipóteses: Testes

para Uma Amostra

Cap. 9


Exercício 1

Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa

para a seguinte situação: inspeciona-se uma

amostra de 142 peças de uma grande remessa,

encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor

garante que não haverá mais de 6% de peças

defeituosas em cada remessa. O que tentamos

descobrir é se a afirmação do fornecedor é

verdadeira.


Exercício 2Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar

para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de

defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a

remessa, para verificar a qualidade.

a.indique Ho e H1

b.O fornecedor não deseja remeter lotes com elevado

risco de devolução em razão de número excessivo de

unidades defeituosas, mas também não deseja remeter

lotes com percentagem de defeituosos muito menor que

a estabelecida, de modo que ele também, fornecedor,

faz seu teste antes de proceder à remessa. Indique Ho e

H1.


Exercício 3

Via de regra, em um tribunal os integrantes do

júri não se deixam enganar por provas falsas,

quer sejam a favor ou contra o réu. Tais

enganos ocorrem sim, mas com baixa

probabilidade. Tendo em mente a “filosofia” do

teste de hipóteses da inferência estatística com

qual alternativa se deve trabalhar?

(a) O réu é inocente até prova em contrário.

(b) O réu é culpado até prova em contrário.


Teste de Hipóteses: σ conhecido

Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido:

Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de

teste

Determine o valor crítico de z para o nível de confiança

especificado a partir de uma tabela ou usando o Excel

Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite

H0; caso contrário não rejeite Ho

n

σ

μXZ


Teste de Hipótese: σ conhecido

Não rejeita H0 Rejeita

H0

Rejeita

H0

Há dois valores

críticos

definindo as

regiões de

rejeição /2

-Z

0

H0: μ = 3

H1: μ ≠ 3

+Z

/2

Valor

crítico

inferior

Valor

crítico

superior

3

Z

X



Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso médio das barras de chocolate produzidas em uma fábrica é igual a 3 onças.

Declare as hipóteses nula e alternativa

H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 (este é um teste bi-caudal)

Especifique o nível desejado de significância

Suponha que = .05 seja escolhido para este teste

Escolha um tamanho de amostra

Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja

escolhido



2.0.08

.16

100

0.8

32.84

n

σ

μXZ

Determine a técnica adequada

σ é conhecido então pode-se usar o teste Z

Estabeleça os valores críticos

Para = .05 os valores críticos de Z são ±1.96

Colete os dados e calcule a estatística de teste

Suponha que os resultados da amostra sejam:

n = 100, X = 2.84

(σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da

empresa)

Então a estatística de teste é:



Rejeita H0 Não rejeita H0

A estatística de teste está na região de rejeição?

= .05/2

-Z= -1.96 0

Rejeita H0 se

Z < -1.96 ou

Z > 1.96;

caso

contrário não

rejeite H0

= .05/2

Rejeita H0

+Z= +1.96

Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a

estatística de teste está na região de

rejeição de Ho



Decida e interprete o resultado

Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese

nula e conclui que há evidências suficientes de

que a média do peso das barras de chocolate

não é igual a 3 onças.



As 6 etapas do Teste de Hipóteses:

1. Defina a hipótese nula, H0 e a hipótese alternativa

H1

2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da

amostra n.

3. Determine a técnica estatística adequada e o teste a

ser realizado.

4. Encontre os valores críticos e determine a região de

rejeição.



5. Colete os dados e calcule a estatística de

teste a partir da amostra.

6. Compare a estatística de teste com o valor crítico

para determinar se a estatística de teste caiu na

região de rejeição. Faça a decisão estatística:

Rejeitar H0 se a estatística de teste cair na região

de rejeição. Escreva a decisão no contexto do

problema em questão.



A abordagem do p-valor

O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste igual ou mais extrema do que o resultado da amostra, considerando que a hipótese nula H0 seja verdadeira

Também conhecido como nível observado de significância

Menor valor de a partir do qual H0 pode ser rejeitada




Converta a estatística da amostra (ex. X) para

a estatística de teste (ex. Estatística Z)

Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando

o Excel

Compare o p-valor com

Se p-valor < , rejeita H0

Se p-valor , não rejeita H0




Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer direção) se a verdadeira média é = 3.0?

.02282.0)P(Z

.02282.0)P(Z

X = 2.84 é traduzida para

uma estatística Z = -2.0

p-valor

=.0228 + .0228 = .0456

.0228

/2 = .025

-1.96 0

-2.0

Z1.96

2.0

.0228

/2 = .025




Compare o p-valor com

Se p-valor < , rejeita H0

Se p-valor , não rejeita H0

Aqui: p-valor = .0456 = .05

Como .0456 < .05,

você rejeita a hipótese

nula

.0228

/2 = .025

-1.96 0

-2.0

Z1.96

2.0

.0228

/2 = .025



Relação com Intervalo de Confiança

100

0.8 (1.96) 2.84 a

100

0.8 (1.96) - 2.84

Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo

para um nível de confiança de 95% é:

2.6832 ≤ μ ≤ 2.9968

Como o intervalo não contém o valor da média

especificado na hipótese (3.0), você rejeita a hipótese

nula a um nível de significância = .05



Testes Unicaudais

Em muitos casos, a hipótese alternativa se

concentra em uma determinada direção

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

Este é um teste de cauda à esquerda (ou

inferior) já que a hipótese alternativa foca

em valores menores do que a média 3

Este é um teste de cauda à direita (ou

superior) já que a hipótese alternativa foca

em valores maiores do que a média 3.


Teste de Hipótese: σ conhecidoTeste de cauda à esquerda

Há somente um valor crítico, já que a área de

rejeição concentra-se em uma cauda apenas.

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α

-Z

μ

Z

X

Valor crítico


Teste de Hipótese: σ conhecidoTeste de cauda à direita

Há somente um valor crítico, já que a área de

rejeição concentra-se em uma cauda apenas.

Rejeita

H0

Não Rejeita

H0

α

Z

μ

Valor crítico

Z

X



Exemplo de teste com cauda à direita

Um gerente de uma companhia telefônica acha que a

conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou,

e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês.

A companhia deseja testar essa afirmação. Dados

históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10.

H0: μ ≤ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês

H1: μ > 52 a média é maior do que $52 por mês

Forma do teste de hipótese:




Suponha que = .10 seja escolhido para o teste

Encontre a região de rejeição:

Rejeita H0Não rejeita H0

= .10

Z0

Rejeita H0

1- = .90




Qual é o Z dado a = 0.10?

Z .07 .09

1.1 .8790 .8810 .8830

1.2 .8980 .9015

1.3 .9147 .9162 .9177z 0 1.28

.08a = .10

Valor Crítico

= 1.28

.90

.8997

.10

.90




Obtenha a amostra e calcule a estatística de

teste.

Suponha que uma amostra com os seguintes

resultados: n = 64, X = 53.1 (=10

assume-se conhecido a partir de dados

históricos)

Então a estatística de teste é:

0.88

64

10

5253.1

n

σ

μXZ




Conclua e interprete o resultado:

= .10

1.280

Rejeita H0

1- = .90

Z = .88

Não é possível rejeitar H0 já que Z = 0.88 ≤ 1.28

i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior do que $52




Calcule o p-valor e compare com

Rejeita

H0

= .10

Não Rejeitar H0 1.28

0

Rejeita H0

Z = .88 .1894

.810610.88)P(Z

6410/

52.053.1ZP

53.1)XP(

p-valor = .1894

Não rejeitar H0 já que o p-valor = .1894 > = .10


Teste de Hipóteses:

σ desconhecido

Se o desvio padrão da população não é

conhecido usa-se o desvio padrão amostral S.

Devido a essa mudança, deve-se usar a

distribuição t ao invés da distribuição Z para

testar a hipótese nula sobre a média.

Todas as demais etapas, conceitos e

conclusões são os mesmos.



σ desconhecido

Lembre que a estatística t com n-1graus de

liberdade é:

n

S

μXt 1-n



σ desconhecido - Exemplo

Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova

York é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis

resultou em X = $172.50 e S = 15.40. Teste a afirmação a um

nível de significância = 0.05.

(Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a

distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição normal)

H0: μ = 168

H1: μ 168




H0: μ = 168

H1: μ ≠ 168

α = 0.05

n = 25

é desconhecido, então usamos a estatística t

Valor Crítico:

t24 = ± 2.0639

Rejeita H0Rejeita H0

α/2=.025

-t n-1,α/2

Não rejeita H0

0

α/2=.025

-2.0639 2.0639

t n-1,α/2

Determine as regiões de rejeição




a/2=.025

-t n-1,α/2 0

a/2=.025

-2.0639 2.0639

t n-1,α/2

1.46

25

15.40

168172.50

n

S

μXt 1n

Não é possível rejeitar H0: não há evidências suficientes de

que o custo médio verdadeiro é diferente de $168

1.46



Relação com Intervalos de

Confiança

Para X = 172.5, S = 15.40 e n = 25, o

intervalo para um nível de confiança de 95% é:

166.14 ≤ μ ≤ 178.86

Como o intervalo contém a média especificada

na hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese

nula a um nível de significância = .05

25

15.4 (2.0639) 172.5 a

25

15.4 (2.0639) - 172.5



σ desconhecido

Lembre que assume-se que a estatística da amostra vem de uma amostra aleatória extraída de uma população com distribuição normal

Se a amostra for pequena (< 30) deve-se testar a hipótese de normalidade da população.

Se a amostra é grande, o Teorema do Limite Central é aplicável e a distribuição da média amostral é normal.


Teste de Hipóteses

Proporções

Variáveis categóricas

Dois possíveis resultados

“Sucesso” (observa-se certa característica)

“Fracasso” (a característica não é observada)

π indica a fração ou proporção da população

em que “sucesso” é observado. É o

parâmetro da população.


Teste de Hipóteses

Proporções

A proporção de “sucesso” na amostra é indicada por p

Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que 5, a

distribuição de p pode ser aproximada pela distribuição

normal com as seguintes média e desvio padrão:

amostra da tamanho

amostra na sucessos de número

n

Xp

pμn

)(1σ

p


Teste de Hipóteses

Proporções

A distribuição amostral de p é

aproximadamente normal, então a estatística

do teste é a Z com valor:

n

pZ

)1(


Teste de Hipóteses

Proporções - Exemplo

Uma empresa de marketing afirma que o índice de resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa afirmativa, uma amostra aleatória de 500 correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30 respostas. Teste a afirmação com um nível de significância = .05.

Primeiro, verifique:

n π = (500)(.08) = 40

n(1-π) = (500)(.92) = 460


Teste de Hipóteses


H0: π = .08 H1: π ≠ .08

α = .05

n = 500, p = .06

Valores Críticos: ± 1.96

z0

Rejeita Rejeita

.025.025

1.96-1.96

Determine a região de rejeição


Teste de Hipóteses


Não rejeitar H0 a

= .05

Estatística de Teste: Decisão:

Conclusão:

Não há evidência

suficiente para rejeitar a

afirmação da empresa

sobre o índice de

resposta ser de 8%.

1.648

500

.08).08(1

.08.06

n

)(1Z

p

z0

.025.025

1.96-1.96

-1.648


Armadilhas potencias do teste

de hipóteses e questões éticas

Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir potenciais vieses.

Não use respondentes humanos sem consentimento informado

Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de dados

Não “espione os dados” para escolher entre teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de significância

Não pratique “descarte de dados” para esconder observações que não suportem as hipóteses formuladas

Divulgue todos os resultados relevantes


Resumo do capítulo

Neste capítulo, nós vimos

Apresentamos a metodologia do teste de hipóteses

Usamos o teste Z para médias (σ conhecido)

Discutimos as abordagens do valor crítico e o p-valor para testar as hipóteses

Fizemos testes unicaudais e bicaudais

Usamos o teste t para médias (σ desconhecido)

Usamos o teste Z para proporções

Discutimos armadilhas e questões éticas

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