El movimiento ondulatorio es la propagacin de una onda por un medio. En este proceso se propaga energa de un lado a otro sin transferencia de materia.

Una onda es una perturbacin que viaja en el tiempo ya sea a travs de un medio material o a travs del espacio.

El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, una cuerda, un trozo de metal o el vaco.

Movimiento Ondulatorio

Caractersticas

La longitud de onda l es la distancia mnima entre dos puntos cualesquiera sobre una onda que se comportan idnticamente.

La frecuencia es la tasa de tiempo a la cual la perturbacin se repite a s misma,

Cresta

Valle

v

*

Tipos de ondas

Una onda viajera es una perturbacin que se propaga a lo largo de un medio a una velocidad definida. Segn el medio en el que se propagan se clasifican en:

Ondas Mecnicas

Las ondas mecnicas requieren de un medio elstico (slido, lquido o gaseoso) para propagarse. Las partculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte de materia a travs del medio. Dentro de las ondas mecnicas tenemos las ondas elsticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagnticas

Las ondas electromagnticas no requieren de un medio para propagarse, por lo que se propagan a travs del vaco. Esto se debe a que las ondas electromagnticas son producidas por las oscilaciones de un campo elctrico en relacin con un campo magntico asociado

*

De acuerdo a las vibraciones de las partculas del medio con respecto a la direccin de propagacin delas ondas, se clasifican en:

Onda transversal.

Una onda viajera que causa que las partculas del medio perturbado se muevan perpendicularmente al movimiento de la onda se conoce como onda transversal.

Onda longitudinal.

Una onda viajera que causa que las partculas del medio perturbado se muevan paralelas al movimiento de la onda se conoce como onda longitudinal.

Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las ondas en la superficie del agua. stas tienen componentes longitudinal y transversal.

*

Onda transversal

Onda longitudinal

*

Ondas viajeras unidimensionales

Una onda viajera se puede representar como una funcin y = f(x). Al desplazamiento mximo del pulso se le llama amplitud.

Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores como:

y = f(x vt)

Si el pulso se desplaza a la derecha y por

y = f(x + vt)

Si el pulso se desplaza a la izquierda.

Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la funcin y se le llama a veces funcin de onda.

*

ejemplo

Un pulso de onda se mueve hacia la derecha y se representa por

Graficar en t = 0, 1, 2 s.

*

Tarea

Una onda se describe por

Encuentre a) la direccin de movimiento de la onda, b) la rapidez, c) la amplitud mxima, d) la amplitud cuando t = 0.5 en x = 1.5.

*

Superposicin e interferencia de ondas

El principio de superposicin establece que:

Si dos o ms ondas viajeras se mueven a travs de un medio, la funcin de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales.

Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que no lo cumples son ondas no lineales.

La combinacin de ondas independientes en la misma regin del espacio para producir una onda resultante se denomina interferencia.

La interferencia es constructiva si el desplazamiento es en la misma direccin y destructiva en caso contrario.

*

Interferencia constructiva

Interferencia destructiva

La velocidad de ondas en cuerdas

La velocidad de ondas mecnicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensin en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es m, la velocidad de la onda es:

*

Ejemplo

1 m

Una cuerda tiene 0.300 kg de peso y una longitud de 6 m. la cuerda pasa por una polea y sostiene un objeto de 2 kg. Calcule la rapidez de un pulso viajando a lo largo de la cuerda.

*

Reflexin y transmisin de ondas

Pulso incidente

Pulso reflejado

Reflexin de un pulso de onda viajera en el extremo fijo de una cuerda alargada.

El pulso reflejado se invierte, pero su forma permanece igual.

*

Pulso incidente

Pulso reflejado

Reflexin de un pulso de onda viajera en el extremo libre de una cuerda alargada.

El pulso reflejado no se invierte.

*

Pulso incidente

Pulso reflejado

Pulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda ligera unida a una cuerda pesada. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda ms pesada.

Pulso incidente

Pulso reflejado

Pulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda pesada unida a una cuerda ligera. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda ms ligera.

*

Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir, cuando B es ms denso que A), el pulso se invierte en la reflexin.

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (es decir, cuando A es ms denso que B), el pulso no se invierte en la reflexin.

*

Ondas armnicas o senoidales

Una onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en funcin de la posicin est dado por:

Esta sera una instantnea de la onda senoidal en t = 0.

La funcin para todo t es:

*

El tiempo que tarda en recorrer una distancia de una longitud de onda recibe el nombre de periodo, T. La velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo se relacionan por medio de

El nmero de onda angular k y la frecuencia angular w se definen como:

Otras relaciones son:

Si la fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:

*

Ejemplo

Una onda senoidal que viaja en la direccin de x positivas tiene una amplitud de 15cm, una longitud de onda de 40cm y una frecuencia de 8Hz. El desplazamiento en t = 0 y x = 0 en tambin 15cm. Encuentre a) el nmero de onda angular k, el periodo T, la frecuencia angula w y la rapidez de la onda. b) determine la constante de fase f y escriba la expresin general para la onda.

*

Tarea

Un tren de onda senoidal se describe por

y = (0.25 m) sen (0.30x 40t)

Donde x se mide en metros y t en segundos. Determine a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el nmero angular de onda, d) la longitud de onda, e) la rapidez de la onda y f) la direccin del movimiento.

*

Ondas senoidales en cuerdas

Un mtodo para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una cuerda continua.

*

La forma de la onda se puede expresar como:

El punto P se mueve solo en sentido vertical con una velocidad y una aceleracin dada por:

Los valores mximos son:

*

Energa transmitida por ondas senoidales en cuerdas

Dm

Onda senoidal que viaja en una cuerda. Cualquier segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energa total.

Dx

Dm = m Dx

La energa potencial elstica es

Usando la relacin w2 = k/m

Para una masa Dm:

Dado que Dm = m Dx

Si Dx 0

Sustituyendo y = sen(kx wt)

*

Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:

Similarmente se puede calcular la energa cintica:

La energa total es:

La potencia es:

La rapidez de transferencia de energa de cualquier onda senoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.

*

Ejemplo

Una cuerda para la cual m = 5 x 102kg/m se somete a una tensin de 80N Cunta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60Hz y una amplitud de 6cm?

Solucin La velocidad de la onda en la cuerda es:

*

Tarea

Una cuerda tensada tiene una masa de 0.180kg y una longitud de 3.6m Qu potencia debe proporcionarse para generar ondas seniodales con una amplitud de 0.100m y una longitud de onda de 0.300m y para que viaje a una rapidez de 30m/s?

*

Ecuacin de onda

La fuerza resultante en la direccin y es:

Para ngulos pequeos se cumple:

O sea

La 2a. Ley de Newton:

De aqu obtenemos:

Por lo tanto

o

*

Si consideramos que la funcin de onda senoidal que satisface la ecuacin de onda anterior mente encontrada es de la forma:

Entonces sus derivadas correspondientes son:

La sustitucin de estas ecuaciones en la ecuacin de onda

Ejercicios

Ejercicio 1: La elongacin de una onda transversal armnica que se propaga en una cuerda se representa en el sistema S.I con la ecuacin Calcular: (a) la amplitud, (b) la frecuencia angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el nmero de onda, (e) la longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) la velocidad de vibracin de un punto de la cuerda ubicado en x = 0;30 m en t = 0;60 s, (h) la aceleracin de un punto en el instante en el cual se encuentra ubicado en la cresta.

Ejercicio 2: Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre dos mximos consecutivos es de 1.20 m. Tambin se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la direccin de propagacin cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la onda.

Ondas sonoras

Las ondas sonoras son el ejemplo ms importante de ondas longitudinales. Pueden viajar a travs de cualquier medio material con una velocidad que depende de las propiedades del medio. Si se propaga en un medio elstico y continuo, las partculas en el medio vibran para producir una variacin local de presino densidad a lo largo de la direccin de movimiento de la onda. Estos cambios originan una serie de regiones de alta y baja presin llamadas condensaciones y rarefacciones, respectivamente.

Las variaciones de presin, humedad o temperatura del medio, producen el desplazamiento de las molculasque lo forman. Cada molcula transmite la vibracin a la de su vecina, provocando un movimientoen cadena. Esos movimientos coordinados de millones de molculas producen las denominadas ondas sonoras, que producen en el odo humano una sensacin descrita comosonido.

CATEGORAS DE ONDAS MECNICAS

2. Las ondas infrasnicas

3. Las ondas ultrasnicas

1. Las ondas audibles

El sonido tiene un margen muy amplio de frecuencias, sin embargo se considera que el margen audible por el ser humano oscila, como mximo, entre 20 Hz y 20.000 Hz.

Los sonidos cuyas frecuencias son inferiores a 20 Hz se denominan infrasonidos, y los de frecuencias superiores a 20.000 Hz, ultrasonidos. En ambos casos se trata de sonidos inaudibles por el ser humano.

ELEMENTOS O FACTORES PARA QUE EXISTA SONIDO

1. Una fuente de vibracin mecnica, llamada fuente sonora

DIAPAZN

PLATILLOS

BATERA

GUITARRA

CUALIDADES DEL SONIDO

Las magnitudes que caracterizan la percepcin y permiten distinguir entre los diferentes sonidos son las llamadas cualidades del sonido. Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad especificando tres caractersticas de su percepcin:

Intensidad:Es una sensacin asociada a la percepcin del sonido por los humanos. La intensidad es la propiedad del sonido que hace que ste se capte como fuerte o como dbil. Un sonido muy fuerte, produce dolor en los odos pero sigue siendo audible.

Tono: Nos indica si un sonido es alto (violn) o bajo (tambor). El tono est asociado a la frecuencia, ya que cuanto menor sea la frecuencia, ms bajo es el tono y viceversa. Por esto, se hace una clasificacin de las frecuencias: Un sonido esgravesi la frecuencia es baja, y esagudosi la frecuencia es elevada.

Timbre: Cuando escuchamos a la vez dos instrumentos que producen un sonido de igual intensidad y de igual tono, podemos diferenciar el uno del otro a travs del timbre. Cuando los instrumentos reproducen una nota, a esta le acompaan sus armnicos, que son mltiplos de la frecuencia representada. Gracias a estos armnicos, es posible diferenciar los distintos instrumentos ya que cada uno tiene sus propios armnicos.

VELOCIDAD DE ONDAS SONORAS

Lavelocidad del sonidoes la velocidad de propagacin de lasondas sonoras. En la atmsferaterrestre es de 343m/s (a 20 C de temperatura). La velocidad del sonido vara en funcin del medio en el que se trasmite.

La velocidad de propagacin de la onda sonora depende de las caractersticas del medio en el que se realiza dicha propagacin y no de las caractersticas de la onda o de la fuerza que la genera. Su propagacin en un medio puede servir para estudiar algunas propiedades de dicho medio de transmisin.

Velocidad del sonido en distintos medios(a 20 C)SustanciaDensidad(kg m-3)Velocidad(m /s)AireEtanolBencenoAguaAluminioCobreVidrioHierro1,207908701.0002.7008.9102.3007.9003441.2001.3001.4985.0003.7505.1705.120

La velocidad de las ondas sonoras depende de la comprensibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un mdulo volumtrico B y una densidad de equilibrio , la velocidad de las ondas sonoras en ese medio es:

De manera general, la velocidad de todas las ondas mecnicas se obtiene de una expresin de la forma

Pulso longitudinal a travs de un medio compresible.

Mdulo de compresibilidad

Elmdulo de compresibilidad(B) de un material mide su resistencia a la compresin uniforme y, por tanto, indica el aumento de presin requerido para causar una disminucin unitaria de volumendada.

El mdulo de compresibilidad se define segn la ecuacin:

dondeP es la presin,V es el volumen,P y Vdenotan los cambios de la presin y de volumen, respectivamente. El mdulo de compresibilidad tiene dimensiones de presin, por lo que se expresa en pascales(Pa) en el Sistema Internacional.

El inverso del mdulo de compresibilidad indica la comprensibilidadde un material y se denomina coeficiente de comprensibilidad.

Velocidad de ondas sonoras

Pulso longitudinal a travs de un medio compresible.

La velocidad de la ondas sonoras depende de la compresibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un mdulo volumtrico B y una densidad de equilibrio r, la velocidad de las ondas sonoras en ese medio es

De hecho, la velocidad de todas las ondas mecnicas se obtiene de una expresin de la forma general

*

Ondas sonoras armnicas

Cuando un mbolo oscila senoidalmente, las regiones de condensacin y rarefaccin se establecen de forma continua.

La distancia entre dos condensaciones consecutivas es igual a la longitud de onda, l.

A medida que esta ondas viajan por el tubo, cualquier volumen pequeo del medio se mueve con movimiento armnico simple paralelo a la direccin de la onda.

Si s(x, t) es el desplazamiento de un pequeo elemento de volumen medido a partir de su posicin de equilibrio, podemos expresar esta funcin de desplazamiento armnico como

s(x, t) = smx cos(k x t)

donde smx es el desplazamiento mximo medido a partir del equilibrio, k es el nmero de onda angular, y es la frecuencia angular del mbolo.

*

Onda longitudinal senoidal que se propaga en un tubo lleno de gas.

La fuente de la onda es el mbolo de la izquierda.

*

Onda de presin

Onda de desplazamiento

Onda de variacin de presin

*

La variacin de la presin del gas, DP, medida desde su valor de equilibrio, tambin es peridica y est dada por

DP = DPmx sen(k x t)

La amplitud de presin DPmx es el cambio mximo en la presin a partir de su valor de equilibrio. La amplitud de presin es proporcional a la amplitud de desplazamiento, smx:

DPmx = r v smx

Donde smx es la velocidad longitudinal mxima del medio frente al mbolo.

La variacin de la presin en un gas es

*

El volumen en un segmento del medio que tiene un espesor Dx en la direccin horizontal y un rea de seccin transversal A es V = ADx.

El cambio en el volumen DV que acompaa al cambio de presin es igual a ADs, donde Ds es la diferencia entre el valor de s en x + Dx y el valor de s en x. Por tanto, podemos expresar DP como

A medida que Dx se aproxima a cero, la proporcin Ds/Dx se vuelve . En consecuencia

A

x

x + Dx

s

s + Ds

*

Puesto que el mdulo volumtrico esta dado por B = r v2, la variacin de la presin se reduce a

DP = r v2smx k sen(k x t)

Adems, podemos escribir k = / v, consecuentemente, DP puede expresarse como

DP = r v smx sen(k x t)

Tomando el valor mximo de cada lado

DPmx = r vsmx

Si el desplazamiento es la funcin senoidal simple dada anteriormente, encontramos que

*

Intensidad de ondas sonoras armnicas

La energa promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:

DE = Dm(w smx)2 = (r ADx) (w smx)2

Donde ADx es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energa a cada capa es

*

Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad de rea, como la tasa a la cual la energa que es transportada por la onda fluye por un rea unitaria A perpendicular a la direccin de propagacin de la onda.

Esto tambin puede escribirse en trminos de la amplitud de presin como

DPmx = r vsmx

*

Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar una escala logartmica, el nivel sonoro b se define como

b 10 log(I / I0)

La constante I0 es la intensidad de referencia.

Niveles sonoros de algunas fuentes

Avin de reaccin150Perforadora de mano;ametralladora 130Sirena; concierto de rock120Tren urbano; segadora elctrica100Trfico intenso80Aspiradora70Cenversacin normal50Zumbido de un mosquito40Susurro30Murmullo de hoja10Umbral auditivo0

*

Ejemplo

Los sonidos mas tenues que el odo humano puede detectar a una frecuencia de 1000Hz corresponden a una intensidad cercana a 1012 W/m2(el llamado umbral auditivo). Los ruidos mas intenso que el odo puede tolerar corresponden a una aproximada de 1W/m2 (el umbral de dolor). Encuentre la amplitud de presin y de desplazamiento asociadas a estos lmites. v = 343 m/s y r = 1.2 kg/m3.

DPmx = r vsmx

*

Ondas esfricas y planas

La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es

Como Ppro es la misma en cualquier superficie esfrica centrada en la fuente, vemos que las intensidades a las distancias r1 y r2 son

En consecuencia, la proporcin entre las intensidades sobre las dos superficies esfricas es

*

Dado que I s2, entonces s 1/r. Por tanto podemos escribir

donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.

Es til representar las ondas esfricas mediante una serie de arcos circulares concntricos con la fuente. Cada arco representa una superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a dicha superficie de fase constante frente de onda.

La distancia entre dos frentes de onda es igual a la longitud de onda, l. Las lneas radiales que apuntan hacia fuera desde la fuente se conocen como rayos

Fuente

Frente de onda

Rayo

*

A distancias de la fuente que son grandes si se les compara con la longitud de onda, podemos aproximar los frentes de onda por medio de planos paralelos. A este tipo de onda se le conoce como onda plana. Cualquier porcin pequea de una onda esfrica alejada de la fuente puede considerarse como una onda plana.

La figura muestra una onda plana que se propaga a lo largo del eje x, lo cual significa que los frente de onda son paralelos al plano yz. En este caso la funcin de onda depende solo de x y de t y tiene la forma

(x, t) = A sen(kx t)

*

Ejemplo

Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.

Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.

Hallar la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40dB

*

Tarea

Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga una intensidad de 4 mW/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2

b 10 log(I / I0)

*

Efecto Doppler

Se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un movimiento relativo entre la fuente y el observador.

Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia otro la frecuencia que escucha el observador es ms alta que la frecuencia de la fuente.

Cuando la fuente y el observador se alejan uno del otro, la frecuencia escuchada por el observador es ms baja que la frecuencia de la fuente.

*

Cuando el observador se mueve hacia la fuente con velocidad v0, la velocidad de la onda es v = v + v0. La frecuencia es entonces

f = v / l = (v + v0) / l

o

f = f (1 + v0/v)

Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es

f = f (1 - v0/v)

v

v0

v0

v

v0

v

v

v

*

Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs, durante cada vibracin la fuente se mueve una distancia vs T = vs /f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces

l = l - D l = l - vs /f

Entonces

f = v / l = v /(l - vs /f ) = v /(v /f - vs /f)

o

f = f /(1- vs /v)

l

vs

*

Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:

f = f /(1 + vs /v)

Los dos resultados se pueden resumir en

f = f (v v0)/(v vs)

Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno alejndose del otro.

*

Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.

Frente de choque cnico

vt

0

1

2

S0

S1

S2

vS t

q

SN

*

Ejemplo

Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia caracterstica de 320 Hz. a) Qu cambio en la frecuencia detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b) Qu longitud de onda detecta una persona conforme el tren se aproxima?

f = f (v v0)/(v vs)

v0 = 0

vs = 40 m/s

f = 320 Hz

f = 320(343 + 0)/(342 40)

= 362

l = 343/362 = 0.95 m

*

Tarea

Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre la frecuencia que escucha un oyente si

La ambulancia se mueve hacia l a 20 m/sLa ambulancia est en reposo y el oyente se mueva hacia ella a 20 m/sLa ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente est en reposo.

*

Superposicin e interferencia de ondas senoidales

El principio de superposicin nos indica que cuando dos o ms ondas se mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos causados por todas las ondas.

Podemos expresar las funciones de onda individuales como

y1 = A0 sen (kx - t)y2 = A0 sen (kx - t - )

*

En consecuencia, la funcin de la onda resultante y es

y = y1 + y2 = A0 [sen (kx - t) + sen (kx - t - )]

Esta puede rescribirse como

y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]

*

Si la constante de fase es cero, entonces la amplitud resultante es 2A0. En este caso, se dice que las ondas estarn en fase, por lo que interferirn constructivamente.

En general, la interferencia constructiva ocurre cuando cos ( / 2) = 1, lo cual es equivalente a que f = 0, 2 p, 4 p, ... rad.

Por otra parte, si f es igual a p rad, o a cualquier mltiplo impar de p, entonces cos (/2) = 0 y la onda resultante tiene amplitud cero.

En este caso, las ondas interferirn destructivamente.

*

Interferencia de ondas sonoras

Dispositivo para producir interferencia en ondas sonoras.

Cuando la diferencia en las longitudes de las trayectorias Dr = r2 - r1 es cero o algn mltiplo de la longitud de onda l, las dos ondas alcanzan el receptor y estn en fase e interfieren constructivamente.

Si la longitud de r2 se ajusta de manera que la diferencia de trayectorias es l/2, 3l/2, ..., nl/2 (para n impar), las dos ondas estn exactamente 180 fuera de fase en el receptor y consecuentemente se cancelan entre s.

La diferencia de trayectoria se puede expresar en funcin de la diferencia de fase como

*

Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden escribirse

y1 = A0 sen (kx - t)y2 = A0 sen (kx + t)

donde y1 representa la onda que viaja hacia la derecha y y2 representa la onda que viaja hacia la izquierda. La suma de las dos funciones produce la funcin de onda resultante y:

y = y1 + y2 = A0 sen (kx - t) + A0 sen (kx + t)

Esta expresin se reduce a:

y1 = (2A0 sen kx)cos t

que es la funcin de una onda estacionaria.

*

Superposicin de dos ondas viajeras que produce una onda estacionaria.

*

La amplitud mxima tiene un valor 2A0. Dicho mximo ocurre cuando las coordenadas x satisfacen la condicin sen kx = 1, o cuando

puesto que k = 2p/l, las posiciones de amplitud mxima, llamadas antinodos, son

Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mnima de cero cuando x satisface la ecuacin sen kx = 0, o cuando

kx = p, 2 p , 3 p, ...

lo que produce

Estos puntos de amplitud cero se denominan nodos.

*

Ejemplo

Dos ondas senoidales se describen por las ecuaciones:

y

donde x, y1 y y2 estn en metros y t en segundos, a) Cul es la amplitud de la onda resultante? b) Cul es la frecuencia de la onda resultante?

y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]

y1 = (5m)sen[2p(4.00x- 1. 2t)]

y2 = (5m)sen[2p(4.00x- 0.25t)]

*

Cuando dos ondas que se propagan en sentidos opuestos interfieren, se produce una situacin muy curiosa: la onda resultante tiene una amplitud que vara de punto a punto, pero cada uno de los puntos oscila con MAS, y en fase con los dems, dando lugar a lo que se conoce comoondas estacionarias.

Las ondas estacionarias pueden observarse en una cuerda sujeta por ambos extremos en la que se produce una vibracin. La onda que viaja hacia la derecha se encuentra con la que se refleja en el extremo fijo y se produce la interferencia de ambas.

Ondas estacionarias en una cuerda

Consideremos una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensin (si no se ejerce tensin sobre la cuerda no habr propagacin de las ondas), en tanto que en el otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio, mediante un dispositivo llamado vibrador que produce un tren de ondas senoidales. Las ondas producida por el vibrador viajan por la cuerda y se reflejaban en el extremo opuesto produciendo ondas estacionarias siempre y cuando la tensin, la frecuencia y la longitud de la cuerda tengan valoresapropiados.

Hay puntos del medio en los cuales las ondas se encontrarn en oposicin de fase. La superposicin de las ondas en esos puntos dara una vibracin nula. Los llamaremos nodos de vibracin, o simplemente, nodos. Escojamos como origen de abcisas uno de esos puntos y un origen de tiempos de modo que la ecuacin de la elongacin y1 , cuando la onda 1 este sola, queda de la siguiente forma:

Es decir, para

con lo cual para

En ese caso la ecuacin de la elongacin del punto O ser la superposicin de las elongaciones de las dos ondas y nos da una elongacin y = 0, ser un nodo de vibracin.

y = A sen ( t + / 2)]=A cos (t )

t=0 y1 = A

t=0 y2 = -A

En un punto M, de abcisa x, encontraremos que la ecuacin de los dos frentes de ondas sera:

y1 = A cos( t -kx)

y2 = A cos[t k(-x)]=A cos( t +kx)

Con lo cual la elongacin del punto M sera:

y= y1 + y2 = A [cos( t -kx) + cos( t +kx)]

y= -2Asen [(t -kx + t +kx) / 2)]sen[( t -kx -t -kx) / 2]

y = -2Asen(t ) sen(-kx )

Pero sen(-kx )=-sen(kx )

Luego

y = 2Asen(t ) sen(kx )

La ecuacin anterior es la de un movimiento armnico simple.

Todos los puntos de la cuerda estarn vibrando, salvo los nodos, sin que haya un desplazamiento de la fase. La amplitud del MAS en este caso es 2Asen(kx )

En la figura se representan dos ondas, 1 y 2, que se propagan en sentido opuesto y en el instante inicial, t = 0. En ese instante, las dos ondas estn en oposicin de fase en el punto 0, donde se produce un nodo.

Como resultado de la superposicin de las ondas 1 y 2 se obtiene la onda estacionaria 3, cuya amplitud es 2A.

Se llaman as a los puntos en los que la amplitud es cero. Se caracterizan porque en este caso sen kx = 0, lo cual se cumple cuandokx=n .

Como , se tiene entonces que , con n perteneciente a N.

Los sucesivos nodos de vibracin se encontrarn a

Los nodos de vibracin son equidistantes, dos nodos consecutivos distan media longitud de onda

Nodos

Son los puntos del medio donde la amplitud es mxima, es decir,

2Asen kx = 1

Lo cual se cumple cuando

Como , entonces:

Y finalmente tenemos que:

Vientres

Los sucesivos vientres se encontrarn a:

Los vientres son equidistantes, dos vientres consecutivos distan media longitud de onda. En consecuencia, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es un cuarto de longitud de onda.

De manera general, cuando una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensin y por su otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio y vamos ajustando la tensin en el otro extremos, podemos conseguir los llamados modos normales de vibracin de dicha cuerda. El primer modo normal, mostrado en la figura, tiene nodos en sus extremos y un antinodo a la mitad. Este modo normal, llamado modo fundamental, se presenta cuando la longitud de onda 1 es igual al doble de la longitud L de la cuerda. Los dems modos y la relacin entre la longitud de onda se muestran en la figura:

En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales pueden expresarse convenientemente como:

Donde el ndice n se refiere al isimo modo de vibracin. La frecuencia natural de oscilacin asociada a estos modos se obtiene de la relacin:

Donde la velocidad de onda es la misma para todas las frecuencias. De esta forma tenemos que las frecuencias de los modos normales son

Debido a que:

Donde F es la tensin en la cuerda y es su masa por unidad de longitud, tambin podemos expresar las frecuencias naturales de la cuerda tensada como:

La frecuencia mas baja, corresponde a n=1, es conocida como fundamental o la frecuencia fundamental , y esta dada por.

Ondas estacionarias en columnas de aire

El fenmeno de ondas estacionarias, tambin se puede apreciar en los llamados tubos sonoros abiertos y cerrados.

Los tubos de caa o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitan sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibracin emitiendo un sonido.

Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intrprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acsticas.

El rgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota.

*

Modos normales de vibracin en tubos abiertos

*

En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales en un tubo abierto por sus dos extremos pueden expresarse convenientemente de la siguiente forma:

La frecuencia natural de oscilacin asociada a estos modos se obtiene de la relacin:

De manera general se tiene que las frecuencias de los modos normales son

Con como la velocidad del sonido.

Modos normales de vibracin en tubos cerrados

*

En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales en un tubo abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro pueden expresarse convenientemente de la siguiente forma:

La frecuencia natural de oscilacin asociada a estos modos se obtiene de la relacin:

De manera general se tiene que las frecuencias de los modos normales son

Con como la velocidad del sonido.

En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales pueden expresarse convenientemente como:

Donde el ndice n se refiere al isimo modo de vibracin. La frecuencia natural de oscilacin asociada a estos modos se obtiene de la relacin:

Donde la velocidad de onda es la misma para todas las frecuencias. De esta forma tenemos que las frecuencias de los modos normales son

1. Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 Kg est fija de ambos extremos. La tensin de la cuerda es de 20 N.

Cules son las frecuencias de los tres primeros modos de vibracin?Si en un punto ubicado a 0,4 m hay un nodo. En qu modo de vibracin y con qu frecuencia est vibrando la cuerda?Encontrar La frecuencia fundamental y los siguientes tres modos de vibracin de una onda estacionaria sobre una cuerda de 3 metros de longitud y densidad lineal de masa de 9x10-3 Kg/m y que est sometida a una tensin de 20 N.Se forma una onda estacionaria sobre una cuerda de 120 cm de largo fija de ambos extremos. Vibra en 4 segmentos cuando la frecuencia es de 120 Hz.Determine la longitud de onda.Determine la frecuencia fundamental de vibracin.

Ejercicios

Interferencia Espacial

Las ondas sonoras, luminosas y las ondas en el agua, presentan patrones de interferencia en el espacio.

Si se tienen dos fuentes sonoras ligeramente espaciadas se produce interferencia como la de la figura.

P

*

Pulsaciones

Las pulsaciones se producen cuando se superponen dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes.

Sean y1 = A0 cos 2pf1t y y2 = A0 cos 2pf2t, es fcil mostrar que

y = y1 + y2 = A0 cos 2pf1t + A0 cos 2pf2t =

2A0 cos 2p(f1 - f2)/2 t cos 2p(f1 + f2)/2 t

Resultante dos formas de onda senoidales de diferente frecuencia y la misma amplitud.

Note como vara la amplitud de la resultante.

*

Series de Fourier

El teorema de Fourier establece que una funcin peridica y(t) puede escribirse como una suma de senos y cosenos de la forma:

Sntesis de una onda cuadrada como suma de funciones seno.

Esta funcin solo utiliza funciones seno para su sntesis, es decir Bn = 0 para toda n.

*

(

)

(

)

1

0

.

3

2

,

2

+

-

=

t

x

t

x

y

(

)

1

2

,

2

+

=

x

t

x

y

(

)

(

)

1

3

2

,

2

+

-

=

x

t

x

y

(

)

(

)

1

6

2

,

2

+

-

=

x

t

x

y

(

)

(

)

2

5

00

.

5

,

t

x

e

t

x

y

-

-

=

m

F

v

=

m

m

q

m

q

q

m

m

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v

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R

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R

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mv

F

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s

m

F

F

F

r

r

=

=

=

=

=

D

=

=

2

2

2

2

2

2

2

sen

2

x

A

y

l

p

2

sen

(

)

-

vt

x

A

y

l

p

2

sen

T

v

l

=

l

p

2

=

k

f

T

p

p

w

2

2

=

=

T

f

1

=

k

v

w

=

l

f

v

=

(

)

f

w

+

-

t

kx

A

y

sen

T

p

w

2

=

(

)

t

kx

A

t

y

dt

dy

v

x

y

w

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-

-

=

=

=

=

cos

constante

(

)

t

kx

A

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dt

dv

a

x

y

y

w

w

-

-

=

=

=

=

sen

2

constante

)

(

sen

t

kx

A

y

w

-

=

(

)

(

)

A

a

A

v

mx

y

mx

y

2

w

w

=

=

2

2

1

ky

U

=

2

2

2

1

y

m

U

w

=

2

2

2

1

y

m

U

w

D

=

2

2

2

1

y

x

U

w

m

D

=

(

)

dx

t

kx

sen

A

dU

w

mw

-

=

2

2

2

2

1

dx

y

dU

2

2

2

1

mw

=

[

]

l

mw

mw

mw

mw

l

l

l

l

2

2

4

1

0

4

1

2

1

2

2

2

1

0

2

2

2

2

1

0

2

2

2

2

1

2

A

kx

sen

x

A

dx

kx

sen

A

dx

kx

sen

A

U

k

=

-

=

=

=

l

mw

l

2

2

4

1

A

K

=

l

mw

l

l

l

2

2

2

1

A

U

K

E

=

+

=

v

A

T

A

T

A

T

E

P

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

mw

l

mw

l

mw

l

=

=

=

=

s

m

m

kg

N

F

v

/

40

/

10

5

80

2

=

=

=

-

m

(

)

1

377

60

2

2

-

=

=

=

s

Hz

f

p

p

w

(

)

(

)

(

)

(

)

W

P

s

m

m

s

m

kg

P

v

A

P

512

/

40

10

6

377

/

10

5

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

=

=

=

-

-

-

mw

(

)

A

B

A

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y

sen

sen

F

Fsen

Fsen

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q

q

q

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-

=

-

=

(

)

A

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F

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q

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tan

tan

-

=

-

=

A

B

y

x

y

x

y

F

F

D

=

=

2

2

t

y

x

ma

F

y

y

m

2

2

2

2

x

y

t

y

F

=

m

2

2

2

2

2

1

x

y

v

t

y

=

(

)

(

)

x

x

y

x

y

t

y

F

A

B

D

-

=

2

2

m

(

)

t

kx

Asen

t

y

w

w

-

-

=

2

2

2

(

)

t

kx

Asen

k

x

y

w

-

-

=

2

2

2

).

3

4

1

2

3

(

1

.

0

p

p

p

+

-

=

t

x

sen

y

r

B

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=

inercial

propiedad

elstica

propiedad

=

v

V

V

P

V

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A

F

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D

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-

=

D

-

=

r

B

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=

inercial

propiedad

elstica

propiedad

=

v

V

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B

P

D

-

=

D

x

s

B

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s

A

A

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V

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D

D

-

=

D

D

-

=

D

-

=

D

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s

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=

D

(

)

[

]

(

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t

kx

ks

Bs

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kx

s

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B

P

mx

mx

w

w

-

=

-

-

=

D

en

cos

(

)

(

)

2

2

1

2

2

1

mx

mx

s

Av

s

t

x

A

t

E

Potencia

w

r

w

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=

D

D

=

D

D

=

(

)

[

]

(

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t

kx

s

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s

t

t

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s

t

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v

w

-

w

=

w

-

=

=

sen

cos

)

,

(

)

,

(

max

max

(

)

(

)

(

)

kx

s

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A

kx

s

x

A

kx

s

m

mv

K

2

2

max

2

1

2

max

2

1

2

max

2

1

2

2

1

sen

sen

sen

w

D

r

=

w

D

r

=

w

D

=

D

=

D

(

)

(

)

l

w

r

=

w

r

=

=

l

l

2

max

4

1

0

2

2

max

2

1

sen

s

A

dx

kx

s

A

dK

K

(

)

v

s

I

mx

2

2

1

rea

Potencia

w

r

=

=

v

P

I

mx

r

2

2

D

=

2

4

r

P

A

P

I

pro

pro

p

=

=

2

2

2

2

1

1

4

4

r

P

I

y

r

P

I

pro

pro

p

p

=

=

2

1

2

2

2

1

r

r

I

I

=

(

)

(

)

t

kr

sen

r

s

t

x

w

-

=

Y

0

,

m

S

v

v

=

q

sen

f

p

l

2

=

D

r

,...

5

,

3

,

1

4

,...

4

5

,

4

3

,

4

=

=

=

n

n

x

l

l

l

l

,...

3

,

2

,

1

,

0

2

,...

2

3

,

,

2

=

=

=

n

n

x

l

l

l

l

,...

2

5

,

2

3

,

2

p

p

p

=

kx

l

p

2

=

k

2

l

n

x

=

...

2

3

,

,

2

,

0

l

l

l

(

)

2

1

2

p

+

=

n

kx

(

)

2

1

2

2

p

l

p

+

=

n

x

l

p

2

=

k

(

)

4

1

2

l

+

=

n

x

...

4

7

,

4

5

,

4

3

,

4

l

l

l

l

(

)

...

3

,

2

,

1

2

=

=

n

n

L

n

l

l

v

f

=

(

)

...

3

,

2

,

1

2

=

=

=

n

v

L

n

v

f

n

n

l

m

F

v

=

(

)

...

3

,

2

,

1

2

2

=

=

=

n

F

L

n

v

L

n

f

n

m

m

F

L

f

2

1

1

=

1

f

l

s

v

f

=

(

)

...

3

,

2

,

1

2

=

=

=

n

v

L

n

v

f

s

n

s

n

l

s

v

(

)

(

)

...

3

,

2

,

1

,

0

1

2

4

=

+

=

n

n

L

n

l

(

)

(

)

...

3

,

2

,

1

,

0

4

1

2

=

+

=

=

n

v

L

n

v

f

s

n

s

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l

(

)

(

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+

=

n

n

n

n

n

t

f

B

t

f

A

t

y

p

p

2

cos

2

sen