2013

MONOGRAFIA FASORES

CESPEDES MARCELO, TOLEDO CHRISTIAN

INDICE

FORMULA DE EULER .................................................................................................................... 1

VECTORES ROTATIVOS ............................................................................................................... 1

AMPLITUDES COMPLEJAS (FASORES) ................................................................................... 3

Propiedades de los fasores ...................................................................................................................... 4

Diferenciación con fasores ...................................................................................................................... 4

Integración con fasores ............................................................................................................................ 5

APLICACIONES ............................................................................................................................... 6

Aplicación al caso de un oscilador forzado ............................................................................................ 6

Aplicaciones en un circuito rlc ............................................................................................................... 8

CONCLUSIÓN: .............................................................................................................................. 11

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 12

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FORMULA DE EULER

La Fórmula de Euler, establece que:

𝑒𝑗𝑥 = cos 𝑥 + 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝑥

para todo número real 𝑥. Aquí, 𝑒 es la base del logaritmo natural, 𝑖 es la unidad

imaginaria, sen 𝑥 y cos 𝑥 son funciones trigonométricas.

O bien:

𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑗𝑦 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝑦)

siendo 𝑧 la variable compleja formada por: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦.

VECTORES ROTATIVOS

Como vemos en el gráfico anterior si trazamos una circunferencia de radio 𝐴. Las coordenadas de los ejes 𝑥𝑦 de un punto 𝑃 cualquiera que pertenence a la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜙 ; 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜙

Sí la partícula recorre la circunferencia con un MCU (movimiento circular uniforme), su

angulo 𝜙 se modificará (variará) a una velocidad angular constante 𝜔0,

𝜙(𝑡) = 𝜔0𝑡 + 𝜙0

2

Si tomamos un instante 𝑡 cualquiera, la posición de la partícula quedará descrita de la

siguiente forma:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡 + 𝜙0) ; 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 + 𝜙0)

De manera que si, dado un MCU, miramos la proyección del movimiento en uno de los ejes, lo

que tenemos es un MAS (movimiento armónico simple).

La conexión entre el MCU y el MAS ofrece la posibilidad de representar a este ultimo en la

forma de un vector rotatorio o fasor: efectivamente, si tenemos una masa moviéndose en el

eje 𝑋 según la expresión habitual

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡 + 𝜙0),

imaginaremos que a este movimiento real se halla asociado otro hipotético

𝑌 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 + 𝜙0),

y que la composición de ambos arroja un MCU. Para recuperar el MAS real, no tenemos mas

que tomar la parte 𝑥 y desechar la 𝑦.

Si expresamos esto en como un vector

�⃗� = 𝑥𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ + 𝑦𝑢𝑦⃗⃗ ⃗⃗⃗ = [𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡 + 𝜙0)𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ + 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 + 𝜙0)𝑢𝑦⃗⃗ ⃗⃗⃗]

O bien podemos asociar al MAS 𝑥, el siguiente número complejo

𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = [𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔0𝑡 + 𝜙0)] + 𝑗[𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 + 𝜙0)]

Así, 𝑧 es un fasor en movimiento circular uniforme en el plano complejo; su parte real, 𝑥, es el

MAS. Este tratamiento tiene algunas ventajas, dado que, a partir de la relación de Euler

definida anteriormente podemos escribir 𝑧 como

𝑧 = 𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜙0)

Lo que facilitara el análisis oscilaciones. Sí derivo 𝑧 respecto al tiempo 𝑡, encontramos que

𝑧′ =𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑗𝜔0𝐴𝑒𝑗(𝜔0𝑡+𝜙0) = 𝑗𝜔0𝑧

El fasor 𝑧′ obtenido al derivar forma un angulo de 90°, medido en el sentido contrario al

movimiento de las agujas del reloj, con el fasor 𝑧

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AMPLITUDES COMPLEJAS (FASORES)

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como cos 𝛼 =𝑒𝑗𝛼+𝑒−𝑗𝛼

2 se puede ver el voltaje con la expresión:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚cos (𝛼𝑡 + 𝜃)

𝑣(𝑡) =𝑉𝑚

2(𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 + 𝑒−𝑗𝜃𝑒−𝑗𝜔𝑡) =

𝑉

2𝑒𝑗𝜔𝑡 +

𝑉∗

2𝑒−𝑗𝜔𝑡

Con {𝑉 = 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃

𝑉∗ = 𝑉𝑚𝑒−𝑗𝜃 y una corriente con la expresión 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜙)

Con 𝑖(𝑡) =𝐼

2𝑒𝑗𝜔𝑡 +

𝐼∗

2𝑒−𝑗𝜔𝑡 , donde {

𝐼 = 𝐼𝑚𝑒𝑗𝜙

𝐼∗ = 𝐼𝑚𝑒−𝑗𝜙

Las expresiones complejas 𝑉𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 e 𝐼𝑚𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 contienen toda la información acerca de la

tensión y la corriente:

• 𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 son las amplitudes (voltios/amperios de pico/eficaces).

• 𝜃𝑣 𝑦 𝜃𝐼 son las fases iniciales.

• 𝜔 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] es la frecuencia angular o pulsación. La frecuencia en Hz: 𝒇 = 𝝎/𝟐𝝅.

Podemos definir un fasor entonces como una cantidad compleja que se emplea para

representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal. 𝐹 = 𝐹𝑚𝑒𝑗𝜃 es un número complejo con:

• módulo: la amplitud de la magnitud que representa. • fase: la fase de dicha magnitud en 𝑡 = 0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

𝑓(𝑡) = 𝐹𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑅𝑒[𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡]

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Los números complejos V (voltaje) e I (corriente) se denominan fasores0 F y permiten agilizar

notablemente los cálculos y formalizar más concisamente la teoría del régimen permanente

sinusoidal

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Propiedades de los fasores

• El empleo de fasores sólo es válido para señales sinusoidales.

• El fasor es un número complejo independiente del tiempo.

• 𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 son las amplitudes de señal.

• 𝜃𝑣 𝑦 𝜃𝐼 son las fases iniciales.

• La representación gráfica y las operaciones con fasores son idénticas a las de los números

complejos.

• Los cálculos del régimen sinusoidal permanente se realizarán con fasores y únicamente cuando

sea necesario obtener la expresión en función del tiempo de las corrientes y voltajes.

• Los fasores no sirven para analizar el régimen transitorio

Ejemplo

Señal Fasor

𝑣(𝑡) = 5 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +𝜋

3) 𝑉 = 5𝑒

𝜋3 = 5 cos (

𝜋

3) + 𝑗 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) = 2,5 + 𝑗√3

𝑖(𝑡) = 5 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +𝜋

3)

=5 cos( 𝜔𝑡 +𝜋

3−

𝜋

6)

= 5 cos( 𝜔𝑡 +𝜋

3−

𝜋

6)

𝐼 = 5𝑒−𝜋6 = 5 cos (

𝜋

6) − 𝑗 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

6) = √3 − 𝑗2,5

DIFERENCIACIÓN CON FASORES

Si tenemos una función 𝑔(𝑡) con su parte real 𝑥(𝑡) y su parte imaginaria 𝑦(𝑡), y definimos la función:

𝑓(𝑡) = 𝑅𝑒[𝑔(𝑡)] = 𝑅𝑒[𝑥(𝑡) + 𝑗𝑦(𝑡)] = 𝑥(𝑡)

diferenciando 𝑓(𝑡):

𝑑𝑓

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑅𝑒[𝑔(𝑡)] =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Si diferenciamos 𝑔(𝑡) y luego tomamos la parte real:

𝑑𝑔(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡[𝑥(𝑡) + 𝑗𝑦(𝑡)] =

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑗

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

𝑅𝑒 [𝑑𝑔(𝑡)

𝑑𝑡] =

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑅𝑒[𝑔(𝑡)]

Al final:

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𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑅𝑒[𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡] = 𝑅𝑒[

𝑑(𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡)

𝑑𝑡]

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

𝑓(𝑡) = 𝐹

𝑓′(𝑡) = 𝑗𝜔𝐹

𝑓′′ = (𝑗𝜔)2𝐹 = −𝜔2𝐹

.

.

INTEGRACIÓN CON FASORES

Defino ℎ(𝑡) como la integración de 𝑓(𝑡):

ℎ(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑅𝑒[𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡]𝑑𝑡 = 𝑅𝑒[𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡] = 𝑅𝑒[1

𝑗𝜔𝐹𝑒𝑗𝜔𝑡]

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

𝑓(𝑡) = 𝐹

ℎ(𝑡) =1

𝑗𝜔𝐹

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las

integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

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APLICACIONES

Un fasor es un vector utilizado para representar una onda.

Los fasores se utilizan directamente en óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-𝑥 la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de ondas, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en corriente alterna. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes 𝑥 e 𝑦 tiene diferentes significados físicos

APLICACIÓN AL CASO DE UN OSCILADOR FORZADO

Un ejemplo en el que la solución empleando fasores es mucho más simple que la que usa funciones trigonométricas es el caso de un oscilador armónico con rozamiento sometido a una fuerza oscilante.

Suponemos un oscilador armónico unidimensional, de constante 𝑘, masa 𝑚 y coeficiente de rozamiento viscoso 𝑏. Se trata de ver cómo se mueve este oscilador cuando se encuentra sometido a una fuerza

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔𝑡) = 𝑅𝑒(�̂�𝑒𝑗𝜔𝑡)

donde

�̂� = 𝐹0

La ecuación de movimiento para la partícula es

𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 + 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

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o, expresando la velocidad y la aceleración como derivadas de la posición nos queda la ecuación

𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

donde

𝑣 = �̇�

𝑎 = �̈�

Tras un periodo transitorio inicial, el movimiento de la partícula se reduce a oscilaciones

siguiendo a la fuerza, con la misma frecuencia, pero con un posible desfase

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

La ventaja de usar fasores es que transforma las derivadas en multiplicaciones. La velocidad y

la aceleración pueden expresarse también en forma fasorial, siendo sus amplitudes complejas

𝑣 = 𝑗𝜔�̃� 𝑎 = −𝜔2�̃�

Para encontrar la amplitud y desfase de este movimiento oscilatorio, escribimos la ecuación

en forma fasorial, reemplazando las derivadas por multiplicaciones por 𝑗𝜔. Nos queda la

ecuación algebraica

−𝑚𝜔2�̃� + 𝑏𝑗𝜔�̃� + 𝑘�̃� = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

todas las cantidades (F, x, v y a) oscilan con la misma frecuencia, podemos escribirla como una

relación entre fasores

−𝑚𝜔2�̃� + 𝑏𝑗𝜔�̃� + 𝑘�̃� = �̃�

De aquí despejamos el fasor de la posición

�̃� =�̃�

(𝑘 − 𝑚𝜔2) + 𝑗𝑏𝜔

La amplitud de las oscilaciones la hallamos como el módulo del fasor. A su vez, el módulo de

un cociente de números complejos es el cociente de los módulos, por lo que

𝐴 = |�̅�| =𝐹0

√(𝑘 − 𝑚𝜔2)2 + 𝑏2𝜔2

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El desfase entre las oscilaciones de la elongación y la fuerza aplicada lo da el argumento del

fasor

𝜙 = arg(�̃�) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜔𝑏

𝑘 − 𝑚𝜔2)

APLICACIONES EN UN CIRCUITO RLC

Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia)

Circuito RLC

R es la resistencia del circuito.

L es la inductancia de la bobina.

C es la capacidad eléctrica del condensador.

En la mayoría de las aplicaciones que tienen los capacitores e inductores en los circuitos tienen

que ver la variación voltaje y la corriente respecto al tiempo que generan estos dos elementos.

En este caso vamos a analizar un circuito en el cual vamos a colocar dichos elementos en serie

con una resistencia conectados a una fuente de voltaje de CA (corriente alterna) que está en

fase con la corriente. Supongamos que el voltaje aplicado varía senosoidalmente con el tiempo:

𝑣 = 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

mientras que la corriente varía

𝑖 = 𝐼𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)

Donde 𝜙 es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado, donde nuestro objetivo es determinar 𝜙 e 𝐼𝑚.

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Con el fin de resolver este problema, debemos analizar el diagrama de fasores para este circuito.

En primer lugar, como todos los elementos están en serie, la corriente en cualquier punto del

circuito debe ser la misma en cualquier instante. Por consiguiente, el voltaje a través de cada

elemento tiene diferentes amplitudes y fases. En particular, el voltaje a través del resistor está

en fase con la corriente, el voltaje a través del inductor adelanta la corriente 90°, y el voltaje a

través del capacitor va retrasado de la corriente en 90°. Utilizando estas relaciones de fase,

podemos expresar las caídas de voltaje instantáneas a través de los tres elementos como:

Diagrama fasorial

𝑣𝑟 = 𝐼𝑚 𝑅 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡)

𝑣𝑙 = 𝐼𝑚 𝑥𝑙 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 90°)

𝑣𝑐 = 𝐼𝑚 𝑥𝑐 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 − 90°)

En este punto, podríamos continuar que el voltaje instantáneo a través de los tres elementos

es igual a la suma

𝑣 = 𝑣𝑟 + 𝑣𝑙 + 𝑣𝑐

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Debido a que la corriente en cada elemento es la misma en cualquier instante, podemos obtener el diagrama de fasores resultante combinando los tres pares de fasores mostrados. Para obtener la suma vectorial de estos voltajes, es conveniente dibujar un diagrama de fasores como se muestra en la figura.

De acuerdo con este diagrama, vemos que la suma vectorial de las amplitudes de voltaje

𝑣𝑟, 𝑣𝑙 , 𝑣𝑐 es igual a un fasor cuya longitud es el máximo voltaje aplicado 𝑉𝑚, donde el fasor 𝑉𝑚

forma un ángulo 𝜙 con el fasor de corriente𝐼𝑚. Se puede observar que los fasores de voltaje

están en direcciones opuestas a lo largo de la misma línea, por lo que se puede construir un

fasor de diferencia , 𝑣𝑙 − 𝑣𝑐 el cual es perpendicular al fasor 𝑣𝑟.

Según él triangulo rectángulo en la figura vemos que:

𝑉𝑚 = √𝑣𝑚2 + (𝑣𝑙 − 𝑣𝑐)2 = √(𝐼𝑚𝑅)2 + (𝐼𝑚 𝑥𝑙 − 𝐼𝑚 𝑥𝑐)2

𝑉𝑚 = 𝐼𝑚 √𝑅2 + (𝑥𝑙 − 𝑥𝑐)2

Por lo tanto

𝐼𝑚 =𝑉𝑚

√𝑅2 + (𝑥𝑙 − 𝑥𝑐)2

Dado que la impedancia del circuito se define como

𝑧 = √𝑅2 + (𝑥𝑙 − 𝑥𝑐)2

Donde la impedancia está dada en 𝑜ℎ𝑚𝑠 por tanto

𝑉𝑚 = 𝐼𝑚 𝑧

En donde esta es la ecuación general para un circuito de 𝐶𝐴 Eliminando el factor común Im de

cada fasor, podemos construir un triangulo de impedancia. A partir de este diagrama

encontramos que él triangulo de fase entre la corriente y el voltaje es:

𝑡𝑎𝑛 𝜙 =𝑥𝑙−𝑥𝑐

𝑅

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CONCLUSIÓN:

En este trabajo se trata de ver una introducción al tema fasores, la aplicación de los mismos en un problema de oscilaciones forzadas y en un circuito eléctrico. Y como los mismos, nos ayudan a simplificar expresiones complejas, como pueden ser ecuaciones diferenciales, en simples cálculos. Como se ve en el caso de la ecuación diferencial del oscilador armónico y el cálculo de la impedancia de circuito RLC. Podríamos tener cierta certeza que la matemática, forma parte del esqueleto de alguna aplicación actual y de aplicaciones futuras.

“No existe rama alguna de las matemáticas, por abstracta que sea, que no pueda algún día ser aplicada a fenómenos del mundo real” Nikolái Lobachevski , 1792-1856

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BIBLIOGRAFÍA

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fasor#Aplicaci.C3.B3n_al_caso_de_un_oscilador_forzado

http://delibes.tel.uva.es/tutorial_cir/tema5/fasores.html http://lcr.uns.edu.ar/fvc/images/FVC-AdrianGago.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor Estudio del régimen sinusoidal permanente. Método de los fasores. José R. Solera Ureña

Depto. Ingeniería Electrónica y Comunicaciones. Universidad de Zaragoza. 2006 http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaciones_forzadas