REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL GERVASIO RUBIODOCTORADO EN EDUCACIÓN

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA DE LOS ESTUDIANTES DEL PLAN

DE ESTUDIOS DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS E INFORMÁTICA DE LA UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA

SANTANDER

Monografía presentada como requisito para optar a una calificación en la asignatura seminario I

Autor: Cesar Augusto Hernández SuarezTutor: Dr. José G. Becerra Parada

San José de Cúcuta, Enero de 2010

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INDICE GENERAL

pp.INTRODUCCIÓN……………………………………………………………… 1LA RESOLUCION DE PROBLEMAS…….………………………………… 6A MODO REFLEXION FINAL…...……..…………………………………... 15CONCLUSION……………………………..…………………………………... 16REFERENCIAS………………………………………………………………... 17

INTRODUCCIÓN

Este proyecto surge como resultado de una investigación realizada en la Universidad Francisco de Paula Santander en estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática durante los años 2008 y 2009.

Se conoció que los estudiantes de la Universidad y especialmente los de Licenciatura en Matemáticas e Informática presentan grandes dificultades en la resolución de problemas, específicamente relacionados con la demostración matemática. Esto se ha constatado por el autor en más de 10 años de experiencia como docente y en investigaciones desarrolladas, entre los que se destacan, (Hernández, 2009); (Hernández y otros, 2008); los cuales han evidenciado diferente dificultades por parte de los estudiantes.

Entre ellas se destacan las siguientes:• Poca solidez de los conocimientos previos.• Pruebas ICFES con muy bajos resultados.• Falta de sistematicidad del estudio independiente y poco aprovechamiento del

tiempo dedicado a este.• Dificultades en el tratamiento metodológico de los problemas en la educación

básica y media.

Ante las diferentes dificultades y contradicciones reflejadas en las relaciones que los estudiantes establecen con la matemática, el Comité Curricular del Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemáticas e Informática propuso generar algunos ámbitos de discusión para conocer y analizar ciertas definiciones de la didáctica de la matemática, que podrían resultar sumamente útiles a la hora de pensar en las prácticas pedagógicas de esta disciplina.

Por lo tanto se hace necesario, fortalecer el trabajo de una forma más amplia, fundamentalmente, en la resolución de problemas, las habilidades fundamentar-demostrar y la heurística en general, lograr una participación más productiva de los estudiantes en las clases, de manera que reflexionen y extraigan sus propias conclusiones, así como que los estudiantes identifiquen sus errores y los de sus compañeros, profundizando en sus causas.

Para ello, se pretende analizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemática del Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemáticas e Informática, discutir sus enfoques didácticos, cuestionar sus prácticas pedagógicas e implementar algunas actividades, especialmente relacionada con la resolución de problemas.

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El proceso de enseñanza-aprendizaje a través de la resolución de problemas es actualmente uno de los métodos más utilizados dentro de la Didáctica de la Matemática, pues se persigue que los estudiantes desarrollen procesos eficaces del pensamiento en la resolución de problemas, los cuales, además de contribuir a su independencia cognoscitiva, elevan la confianza en las posibilidades de éxito y aumentan la motivación por el estudio. (Gil y De Guzmán, 1993; Schoenfeld, 1991).

Lo anterior, lo que quiere decir es que resolver problemas es considerado, actualmente, como una actividad de especial importancia, por su valor formativo. Lo esencial para comprender la importancia de esta actividad radica en la idea siguiente: “resolver un problema es hacer lo que se hace cuando no se sabe qué hacer, pues si se sabe lo que hay que hacer ya no hay problema”. Esto, evidentemente, rompe con la idea de que sea una actividad basada en la repetición de acciones o estrategias algorítmicas ya asimiladas y deja claro el reto de que el individuo se enfrenta a situaciones que lo deben poner a prueba, por su novedad, por la diversidad de posibilidades al cambiar las condiciones en que se manifiesta esa situación.

De acuerdo a lo expuesto anteriormente, por consiguiente, se plantea el siguiente problema de investigación: ¿Cómo mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática de la Universidad Francisco de Paula Santander?

En correspondencia con lo anterior se propone como objetivo: Diseñar y validar una propuesta didáctica, basada en la resolución de problemas, para contribuir al mejoramiento del proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática de la Universidad Francisco de Paula Santander.

Para dar cumplimiento a este objetivo se plantean las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son los presupuestos teóricos que favorecen la aplicación de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática?

2. ¿Cuáles son las características del proceso de enseñanza-aprendizaje del plan de estudios de Licenciatura en Matemáticas e Informática de la Universidad Francisco de Paula Santander?

3. ¿Cómo puede estructurarse el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática, mediante la resolución de problemas?

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4. ¿Contribuye la propuesta didáctica diseñada a mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática?

Para dar respuesta a estas preguntas se trazan las siguientes actividades:

1. Fundamentación de los antecedentes relacionadas con la aplicación de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática de la Universidad Francisco de Paula Santander.

2. Caracterización del proceso de enseñanza-aprendizaje del plan de estudios de Licenciatura en Matemáticas e Informática de la Universidad Francisco de Paula Santander.

3. Elaboración de una propuesta didáctica encaminada a contribuir a mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática, mediante la resolución de problemas.

4. Comprobación en la práctica de la validez de la propuesta didáctica diseñada.

Para desarrollar estas actividades se aplicaron los siguientes métodos:

1. Del nivel teórico:

• Histórico: Para investigar el desarrollo histórico y tendencias actuales del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática.

• Análisis documental: Para la fundamentación de los antecedentes relacionadas con la aplicación de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje, así como para la caracterización del proceso de enseñanza-aprendizaje en estudiantes de otras universidades.

• Análisis y síntesis: Para arribar a conclusiones a partir del estudio de las fuentes bibliográficas y sistematizar las características de la enseñanza basada en la resolución de problemas del proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática.

• Modelación: Para elaborar la propuesta didáctica, basada en la resolución de problemas del proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática.

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2. Del nivel empírico:

• Diagnostico de métodos, estrategias y creencias relacionadas con la resolución de problemas utilizadas por los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática.

• Prueba diagnóstica para determinar el nivel de desempeño cognitivo de la resolución de problemas de los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática.

• Entrevista: Para caracterizar el estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas, para determinar los antecedentes de la aplicación de los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática y para controlar el desarrollo del pre-experimento.

• Pre-experimento: Para comprobar la validez de la propuesta didáctica presentada, mediante su puesta en práctica.

• Observación: Para obtener información acerca de las modificaciones que se producen en el desempeño cognitivo de los estudiantes durante la puesta en práctica de la propuesta didáctica diseñada.

• Pruebas de competencias y de desempeño: Para obtener información sobre el comportamiento de los indicadores determinados en la propuesta didáctica, en el transcurso de su aplicación.

3. Estadísticos:

• Análisis de frecuencia: Para comprobar la existencia de cambios en el desempeño cognitivo de los estudiantes, a partir de la comparación de los resultados obtenidos en los instrumentos aplicados.

• Prueba t: Para demostrar la validez de la propuesta didáctica diseñada.

La novedad científica del presente trabajo deberá consistir en la articulación, en una propuesta didáctica para el proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática, basada en la resolución de problemas, utilizando recursos heurísticos y la reflexión metacognitiva de los procedimientos aplicados por los estudiantes en la elaboración de los conocimientos, mediante el uso de medios informáticos.

La contribución a la teoría deberá estar dada por la adecuación de los fundamentos de la enseñanza basada en la resolución de problemas para su articulación con los presupuestos teóricos del proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas del eje

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disciplinar en matemáticas en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas e Informática. Establecer en lo posible una didáctica de la matemática basada en la resolución de problemas o una nueva didáctica de la resolución de problemas.

La contribución práctica deberá radicar en que los profesores cuenten con:

1. Una propuesta didáctica que, sustentada en la aplicación de la enseñanza basada en la resolución de problemas, utilizando las tecnologías de la información y las comunicaciones para favorecer la participación activa de los estudiantes en la elaboración de los conocimientos y el establecimiento de métodos de trabajo matemático, a partir de la reflexión metacognitiva de los procedimientos heurísticos aplicados.

2. Un conjunto de recomendaciones metodológicas y materiales didácticos, que, diseñados según las características del proceso de enseñanza-aprendizaje basada en la resolución de problemas y utilizando las potencialidades de los medios informáticos, complementen la propuesta didáctica.

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.

La resolución de problemas es el resultado de varios pasos o análisis previos de una situación planteada y como tal cobra relativa importancia, pues se constituye en la base que garantiza la consecución de un resultado correcto, analítica y matemáticamente hablando.

Se consulto literaturas analizando criterios referentes a la resolución de problemas. Teniendo como fundamento teórico el aporte de Polya (1945), el esquema heurístico general, completándolo con las propuestas de Shoenfeld (1985) con relación a cómo desarrollar la resolución de problemas. Allan Schoenfeld, quien estudia y critica el método heurístico de G. Polya, perfeccionándolo en buena medida, al derivar subestrategias más asequibles al trabajo con los estudiantes.

Se asumen ambos criterios porque además de tenerse en cuenta la heurística o táctica de solución hay que considerar la aplicación de destrezas a situaciones en la que dispone de variedad de recursos, existiendo así una interacción dinámica entre el contenido de las ideas matemáticas y los procesos empleados en la resolución de problemas basándose en esas ideas. 

Se debe tener en cuenta los conceptos fundamentales esgrimidos por la Teoría de la Enseñanza basada en el enfoque Histórico – Cultural cuyo interés se centra principalmente en el desarrollo integral de la personalidad. Seleccionar como marco teórico – metodológico el materialismo dialéctico e histórico aplicado de una manera creadora por Vigotski a la ciencia psicológica.

A través de las fortalezas de esta teoría aplicadas a la educación actual posibilita que el estudiante se eleve mediante la colaboración, la actividad conjunta a un nivel superior. Partiendo de lo que aún no puede hacer solo, llegar a lograr un dominio independiente de sus funciones.

Los contenidos básicos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática son indispensables para lograr un aprendizaje sólido y aplicable, tanto a la vida cotidiana como en el desempeño profesional.

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La prioridad consiste en lograr que todos los docentes de las diferentes asignaturas del eje disciplinar en Matemáticas de la Licenciatura en Matemáticas e Informática contribuyan a que los estudiantes aprendan a razonar lógicamente, a buscar de manera heurística soluciones a problemas.

La matemática, así como su proceso de enseñanza-aprendizaje ha tenido, como principal medio y fin, la resolución de problemas matemáticos. Halmos expresó su convencimiento de que "los problemas son el corazón de la Matemática" (1980, p. 524). Desde esta perspectiva, en vista de que el contenido determina el método, esto nos conduce a afirmar que los problemas también son el "corazón" de la Didáctica de la Matemática.

La resolución de problemas permite combinar elementos de conocimiento, reglas, técnicas destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solución a una situación nueva. Es una actitud cognitiva compleja que caracteriza una de las actividades humanas más inteligentes.

Es a partir de la publicación de George Polya en 1945 de su obra “How to solve it” o “Cómo Plantear y Resolver Problemas” que se ilustra por primera vez un camino didáctico hacia la enseñanza de la resolución de problemas. Redescubre y desarrolla la heurística, y precisa una serie de estrategias que deben constituir una herramienta fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas.

Con su propuesta de las cuatro etapas abrió el camino de una didáctica de la resolución de problemas:

1. Comprensión del problema.

2. Concebir el plan de solución.

3. Ejecutar el plan de solución.

4. Evaluar la solución.

Polya establece por lo menos dos grandes tipos de problemas con especificidades para su abordaje: el de los problemas por resolver y el de los problemas por demostrar. En el primero de ellos el propósito es descubrir una incógnita, siendo sus principales elementos la incógnita, los datos y la condición. El otro tipo de problema es el de problemas por demostrar, cuyo propósito es señalar la exactitud o falsedad de una afirmación adecuadamente formulada; sus elementos principales son la hipótesis y la conclusión.

A partir de estos trabajos otros investigadores han propuesto etapas, pasos, estrategias para facilitar la resolución de los mismos, donde la primera constituye la base

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fundamental ya que de allí dependerá la consecución o no del cometido planteado, pero en su mayoría están destinados a los problemas matemáticos y no a los problemas escolares.

Estos problemas escolares son tipificados, en mayor o menor medida, y para cuya solución se desarrollan procedimientos más o menos rutinarios. Los problemas se consideran rutinarios porque en el proceso de resolución se pueden encontrar las vías de solución de una manera directa en el propio contenido de la asignatura, y en ellos se emplean procedimientos que no llegan a ser propiamente algorítmicos, pero tampoco llegan a ser procedimientos heurísticos de búsqueda abierta, sino de una determinación o selección entre dos o más rutinas ya preestablecidas que sí son, por lo general, procedimientos algorítmicos o cuasi algorítmicos.

También es importante considerar, al hacer una revisión de algunos textos matemáticos se observa que la inmensa mayoría de los problemas que se consideran son rutinarios, que los estudiantes los resuelven desplegando un proceder aprendido casi en forma algorítmica y donde prácticamente no es necesario ningún procedimiento de búsqueda.

Estos textos, por lo general, están repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. Por eso es importante diferenciar entre ejercicio y problema.. La diferencia que se enmarca entre los conceptos de problema y de ejercicio se sustenta en los objetivos que cada uno se propone. Los ejercicios se proponen para el aprendizaje de hechos y habilidades específicas y los problemas permiten la adquisición de enfoques generales que ayudan a enfrentar situaciones diversas, ayudan a .aprender a aprender. (González, 1987.)

Pero si la actividad matemática para los algebristas del siglo XVI, que fue un verdadero problema, se encuentra que actualmente, para los estudiantes no constituye ya ningún reto notable. El estudiante tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es mecanizar el algoritmo. Esta metodología, es utilizada por un famoso libro muy conocido en el ámbito escolar, tanto por estudiantes como por profesores: “el Algebra de Baldor”.

La solución de los problemas que conducen a ecuaciones o a fórmulas es otro ejemplo típico de este proceder rutinario, y lo más lamentable es que después que adquieren estas herramientas tan poderosas las utilizan indiscriminadamente en situaciones que requieren recursos menos potentes para resolverlas.

Sí se quiere acercar a una situación didáctica que pueda ser utilizada como vía para enseñar a resolver problemas, es necesario incluir problemas con procedimientos de solución no rutinarios, logrando que los estudiantes aprendan a resolverlos.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de enseñanza-aprendizaje y toma los contenidos matemáticos,

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cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.

Se trata de considerar como lo más importante:

1. Que el estudiante manipule los objetos matemáticos2. Que active su propia capacidad mental3. Que ejercite su creatividad4. Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo

conscientemente5. Que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su

trabajo mental6. Que adquiera confianza en sí mismo7. Que se divierta con su propia actividad mental8. Que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida

cotidiana9. Que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.

Como se observa, esta vía de enseñanza contribuye al cumplimiento del sistema de principios didácticos, al carácter científico, a la vinculación de la escuela con la vida, la actividad independiente del estudiante y el carácter consciente y activo del proceso de enseñanza. La enseñanza, como fenómeno de la realidad objetiva, es un proceso que se desarrolla dialécticamente, subordinándose a las leyes de la dialéctica, es un proceso en el cual existen aspectos que se contraponen, la enseñanza y el aprendizaje, la forma y el contenido, la esencia y el fenómeno, lo particular y lo general, lo viejo y lo nuevo.

¿Cuáles son las ventajas de este tipo de enseñanza? ¿Por qué esforzarse para conseguir tales objetivos? He aquí unas cuantas razones interesantes:

1. Porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas.

2. Porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos.

3. Porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo.

4. Porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas.

5. Porque es aplicable a todas las edades.

¿En qué consiste la novedad? ¿No se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestras clases de matemáticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espontánea los métodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:

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¿?Exposición de

contenidosEjemplos Ejercicios sencillos Ejercicios más

complicadosProblema

Grafico 1. Fases de enseñanza que tradicionalmente usan los profesores de matemática.

De acuerdo a criterio del autor, la forma de presentación de un tema matemático basada en la resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo:

1. Propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...)

2. Manipulación autónoma por los estudiantes3. Familiarización con la situación y sus dificultades4. Elaboración de estrategias posibles5. Ensayos diversos por los estudiantes6. Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)7. Elección de estrategias8. Ataque y resolución de los problemas9. Recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)10. Afianzamiento formalizado (si conviene)11. Generalización12. Nuevos problemas13. Posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas,...

En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida por el profesor, colocando al estudiante en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido....

El método de enseñanza por resolución de problemas presenta algunas dificultades que no parecen aún satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma práctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran, la componente heurística, es decir la atención a los procesos de pensamiento y los contenidos específicos del pensamiento matemático.

Existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atención primordial se centra en los aspectos heurísticos, puestos en práctica sobre contextos diversos, unos más puramente lúdicos, otros con sabor más matemático.

Algunas de estas obras cumplen a la perfección, en opinión del autor, su cometido de transmitir el espíritu propio de la actitud de resolución de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupación con este tipo de actividad. Sin embargo creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por

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producir obras que efectivamente apliquen el espíritu de la resolución de problemas a la transmisión de aquellos contenidos de la matemática de los diversos niveles que en la actualidad pensamos que deben estar presentes en la educación.

En este sentido la enseñanza por problemas puede representar aspectos diferentes que en la práctica se entremezclan y no siempre hay claridad de que se está utilizando. Por esta razón se esclarece en qué sentido se están utilizando los términos que actualmente se mueven como las tendencias más importantes en la llamada enseñanza por problemas:

Enseñanza problémica consiste en problematizar el contenido de enseñanza, de tal forma que la adquisición del conocimiento se convierte en la resolución de un problema en el curso de la cual se elaboran los conceptos, algoritmos o procedimientos requeridos. Está muy elaborada desde el punto de vista didáctico y tiene un cuerpo categorial muy estructurado. En esta forma de enseñanza poco se deja a la improvisación. Se supone la forma en que debe proceder el alumno y es como si el hilo conductor del pensamiento del profesor determinara la actividad del alumno.

La enseñanza por problemas que consiste en el planteamiento de problemas complejos en el curso de cuya solución se requieren conceptos y procedimientos matemáticos que deben ser elaborados. Este procedimiento se asemeja a la enseñanza por proyectos y resulta complejo de realizar, en la mayor parte de las veces los problemas se limitan a una función motivacional y a aportar un contexto en el que adquiere sentido los conceptos y procedimientos matemáticos que se pretende estudiar.

La enseñanza basada en problemas que consiste en el planteo y resolución de problemas en cuya resolución se produce el aprendizaje. En este caso no se trata de problematizar el objeto de enseñanza ni de plantear problemas complejos que requieran de nuevos conocimientos matemáticos, más bien se trata de resolver problemas matemáticos relacionados con el objeto de enseñanza, sin confundirse con él, y que van conformando hitos en el nuevo aprendizaje. Este tipo de enseñanza no está didácticamente estructurado, no se dispone de categorías y formas de acción previstas y queda mucho a la creatividad del docente y a la independencia y capacidad de los estudiantes

La enseñanza de la resolución de problemas debe ser bien diferenciada de las anteriores, y que se ha difundido mucho mediante los textos que enuncian y practican "estrategias" para resolver problemas y después plantean problemas para aplicarlas. Esta nueva forma es otra tarea urgente, independiente de las anteriores y que, en rigor, debe precederlas. Incluso se han elaborado textos sobre "estrategias" con este enfoque.

Otros científicos, como Schoenfeld, coinciden con la obra de Polya. En la década de los 80, se destacan los trabajos del profesor Allan Schoenfeld, quien estudia y critica el método heurístico de G. Polya, perfeccionándolo en buena medida, al derivar subestrategias más asequibles al trabajo con los estudiantes. Este autor, que ha develado cuatro categorías del conocimiento y comportamiento necesarias para caracterizar

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adecuadamente las formas de solucionar problemas, publica en 1985 su obra más importante, “Mathematical Problem Solving”.

Su aporte más significativo es que a partir de reconocer las ideas de Polya, las desarrolla y considera cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:

Dominio del conocimiento o recursos: Representan un inventario de lo que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento. Aquí incluye, entre otras cosas, los conocimientos informales e intuitivos de la disciplina en cuestión, hechos y definiciones, los procedimientos rutinarios, y otros recursos útiles para la solución.

Los métodos heurísticos: En esta dimensión se ubican las estrategias generales que pueden ser útiles en la resolución de un problema.

Las estrategias metacognitivas o el monitoreo o autoevaluación del proceso utilizado al resolver un problema.

El sistema de creencias en la cual se ubica la concepción que tenga el individuo acerca de las matemáticas. Según Schoenfeld, las creencias establecen el contexto dentro del cual funcionan las restantes tres dimensiones.

Teniendo en cuenta todo lo anteriormente expuesto se puede asumir que el presente trabajo tiene como fundamento teórico el aporte de Polya, el esquema heurístico general, completándolo con las propuestas de Schoenfeld con relación a cómo desarrollar la resolución de problemas.

Pues no solo debe tenerse en cuente la heurística o táctica de solución, sino que también hay que considerar la aplicación de destrezas a situaciones en la que dispone de variedad de recursos, existiendo una interacción dinámica entre el contenido de las ideas matemáticas y los procesos empleados en la resolución de problemas basándose en esas ideas. En tanto, además se tendrán presentes los aspectos metacognitivos de la conducta de resolver problemas.

Niveles de desempeño cognitivo para la resolución de problemas. Para medir los niveles de desempeño cognitivo en cualquier asignatura de la Matemática se consideran tres niveles:

Nivel I: En este nivel se consideran los estudiantes que son capaces de resolver ejercicios formales eminentemente reproductivos (utilizar algoritmos rutinarios usuales), es decir, en este nivel están presentes aquellos contenidos y habilidades que conforman la base para la comprensión Matemática.

Nivel II. Situaciones problemáticas, que están enmarcadas en los llamados problemas rutinarios, que tienen una vía de solución conocida, al menos para la mayoría de

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los estudiantes, que sin llegar a ser propiamente reproductivas, tampoco pueden ser consideradas completamente productivas. Este nivel constituye un primer paso en el desarrollo de la capacidad para aplicar estructuras Matemáticas a la resolución de problemas.

Nivel III. Problemas propiamente dichos, donde la vía por lo general no es conocida para la mayoría de los estudiantes y donde el nivel de producción de los mismos es más elevado. En este nivel los estudiantes son capaces de reconocer estructuras matemáticas complejas y resolver problemas que no implican necesariamente el uso de estrategias, procedimientos y algoritmos rutinarios sino que posibilitan la puesta en escena de estrategias, razonamientos y planes no rutinarios que exigen al estudiante poner en juego su conocimiento matemático.

Con la aplicación de estos niveles el profesor, obtiene algunas ventajas como es el trabajo eficaz con cada una de las diferencias individuales del estudiante, logra estimular el área del saber donde el mismo puede desempeñarse sin ningún problema y contribuye a mantener la autoestima elevada al no sentirse rechazado por dominar determinados contenidos de la disciplina.

En cada uno de estos niveles de desempeño se encuentran presente un sistema de habilidades que los estudiantes deben cumplir, las que se presenta en:

Tabla 1. Sistema de habilidades en la resolución de problemasHABILIDADES

1er nivel 2do nivel 3er nivelIdentificarDescribirInterpretar

IdentificarDescribirInterpretarReflexionarRelacionarAplicar

Fundamentar o argumentarResolver problemas

El profesor en el proceso de enseñanza aprendizaje, mediante tareas desarrolladoras e integradoras debe ir trabajando con sus estudiantes, teniendo en cuenta las diferencias individuales, para permitir que estos asimilen los contenidos. Pudiendo así transitar de un nivel a otro superior de desarrollo cognitivo, rompiendo los esquemas de estancamiento memorístico, repetitivo.

Ahora bien, para lograr tales propósitos es necesario que los profesores utilicen procedimientos en sus clases que atiendan no solo a lo externo del proceso, sino también que profundicen en lo interno, es decir, aquellos procedimientos que promueven un pensamiento cualitativamente superior y que permita, a su vez, no solo el desarrollo cognoscitivo, sino además el de la voluntad, los sentimientos, valores, actitudes y convicciones.

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Para ello, el docente, desplegará estrategias de aprendizajes desarrolladoras, que se clasifican en cognitivas, metacognitivas y auxiliares, en las que entrenarán a los estudiantes en cómo realizar preguntas inteligentes, al tiempo que favorezcan su independencia cognoscitiva y sus cualidades como comunicadores. Se organizarán actividades que los ayuden a clasificar. Se proyectarán tareas que permitan a los estudiantes exponer razones que sustentan sus criterios y poder dar juicios de valor.

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A MODO DE REFLEXIÓN FINAL

En los últimos años se ha destacado que la enseñanza de la matemática se debe basar en el trabajo con problemas. Aunque esto es innegable también es cierto que no es muy claro que significa esto.

No cualquier problema es pertinente para que los estudiantes movilicen sus conocimientos y produzcan nuevas y más complejas relaciones entre los objetos matemáticos. No cualquier problema permite que los estudiantes se vayan aproximando a los conceptos matemáticos.

Que los estudiantes resuelvan problemas no garantiza automáticamente que dominen un concepto matemático. Dichos problemas, y más que eso, toda una variedad de problemas es la que da sentido a un conocimiento matemático. Por lo tanto, la secuencia de actividades que se elija favorecerá (o no) que los estudiantes se apropien y produzcan un conocimiento matemático. Dicha secuencia no es al azar. Está íntimamente ligada con los conocimiento de que disponen los estudiantes, de las intervenciones docentes, de los intercambios entre compañeros, de las “verdades” colectivas a las que se va arribando, de los tiempos que se autorice sin “correr” tras la planificación, de la coordinación con otros docentes y los directivos, en este caso los de la Universidad Francisco de Paula Santander, en definitiva, de un proyecto que ponga en el centro de atención los objetivos reales: la transmisión de una parte de la cultura que la humanidad ha producido y los modos en que son producidos (o al menos proximidades de dichos modos).

Estas decisiones permitirán a los estudiantes comenzar a tener otro tipo de vínculo con el saber, animarse a producir resultados (erróneos, parciales, poco formales) pero justamente de eso se trata, de repensar en las diferentes maneras en que un estudiante que va a hacer un futuro docente de matemática se aproxima cada vez más al quehacer matemático.

Por último se pretende destacar que no son todos “problemas vinculados a la realidad” los que se presentan a los estudiantes. Si sólo se presentan a los estudiantes problemas “reales” se corre el riesgo de que se carezca de sentido. La fuerza de la matemática reside en su capacidad de anticipación, en no necesitar experimentar para encontrar la respuesta a un problema. Es principalmente el conjunto de relaciones que los estudiantes pueden establecer a partir de problemas que se les planteen, lo que caracteriza el “hacer matemáticas”. Estas relaciones pondrán en juego los objetos, los conceptos, el uso del lenguaje matemático, en definitiva, esa porción de construcción cultural que desarrolló la humanidad a lo largo de miles de años que se supone resulta útil para conocer más y mejor y poder tomar decisiones más apropiadas.

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CONCLUSION

La enseñanza por problemas es uno de los modelos de aprendizaje más utilizados en las instituciones de educación superior en los últimos años, y por lo tanto la Universidad Francisco de Paula Santander no puede ser ajena a esta situación. Es conveniente realizar un análisis profundo del mismo, de aquí la realización de este proyecto, así como de la propia situación educativa, para llegar a cosechar los beneficios que promete para estudiantes y profesores. Prevé el desarrollo de los tres componentes esenciales de la Universidad:

El componente académico El componente de extensión El componente investigativo

     La vinculación de estos tres componentes permite encaminar el proceso hacia la

formación de un egresado capaz de enfrentarse a los problemas de su entorno con independencia y creatividad.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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83.Vigotsky, L. S. (1981) Pensamiento y lenguaje. Editorial Pueblo yEducación. La Habana.

DISEÑO DEL CUESTIONARIO

A continuación se ejemplifica a través de algunos problemas, que fueron diseñados en función del marco teórico desarrollado.

En cada uno de los siguientes problemas, marque con una cruz, la opción que Ud. estime más adecuada. Ud. dispone de 60 minutos para resolverlo.

1) Detecte el error en la siguiente demostración a > b a y b números reales tal que a > 0, b > 0

a + 2 > b + 2a(a + 2) > a(b + 2)a(a + 2) log 0,1 > a(b+ 2) log 0,1

Indique cuál de los siguientes caminos utilizó:1) ¿Intentó otra demostración? Teórico2) ¿Verificó numéricamente? Pragmático3) ¿Aplicó propiedades de los números reales? Activo4) ¿Realizó un análisis exhaustivo del razonamiento dado? Reflexivo5) Ninguno de los anteriores .En este caso indique el camino que siguió

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2) Construya una circunferencia inscripta en un triángulo equilátero de 36 cm de perímetro, siendo el radio de la circunferencia r = 3 cm.Compare las áreas del círculo y del triángulo. Se presenta una contradicción, detéctela.

Qué camino siguió para detectar el error:1) ¿Hizo una construcción geométrica? Pragmático2) ¿Aplicó propiedades? Activo3) ¿Planteó inecuaciones? Reflexivo4) ¿Hizo una demostración? Teórico5) Ninguna de las anteriores. En ese caso indique qué camino siguió

3) Dado el siguiente sistema y = x2 - 5x + 6 2x + y – 6 = 0

La solución del sistema está dada por el punto P de coordenadas P = (0; 6). ¿Es esto correcto?

Señale qué camino siguió:1) ¿Resolvió el sistema gráficamente? Activo2) ¿Resolvió el sistema analíticamente? Reflexivo3) ¿Procedió por tanteo? Pragmático4) ¿Analizó el discriminante de la ecuación cuadrática resolvente? Teórico5) Ninguna de las anteriores. En ese caso indique qué camino siguió

4) En un torneo de tenis cada participante juega una vez con cada uno de los restantes. Si en total se juegan 66 partidos. ¿Cuántos son los jugadores participantes?

1) ¿Utilizó una fórmula conocida? Teórico2) ¿Hizo un diagrama de la situación? Activo3) ¿Planteó una ecuación? Reflexivo4) ¿Calculó por tanteo la solución? Pragmático5) Ninguna de las anteriores. En ese caso indique qué camino siguió.

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