Mono Ana 1 Correccion Final 21

8/16/2019 Mono Ana 1 Correccion Final 21

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUARECINTO UNIVERSITARIO ¨ RUBÉN DARÍO ¨

FACULTAD DE EDUCACIÓN E IDIOMADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

SEMINARIO DE GRADUACIÓN

Uso del Micoso!" #od$ E%cel & l' C'lc(l'do'Cie)"*+c'$ co,o Rec(sos Tec)ol-.icos dis/o)i0les e)el /oceso de e)se1')2'3'/e)di2'4e de l' Ed(c'ci-)

Medi'5

I)!o,e de Se,i)'io de G'd('ci-) /'' o/"' 'l"*"(lo de Lice)ci'"(' e) Cie)ci's de l' Ed(c'ci-) co)

,e)ci-) e) F*sic' M'"e,6"ic'

T("o7 A)"o)io P''4-) G(e8''

C'e'7 F*sic'3 M'"e,6"ic'

El'0o'do /o79 A)' M'*' L-/e2 G'i"6)

9 R',-) S'l8'do :'i,es Bo)ill'


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ÍNDICE PÁGINASDedicatoria 3Agradecimiento 4Introducción 5Capítulo1: Conceptos undamentales del !lge"ra 8

1. Sistema de números reales 92. Valor absoluto 123. Notación científica 124. Emleo de la notación científica utili!ando calculadora 135. E"onentes # radicales 1$$. E"resiones al%ebraicas 23

$.1. &re'e rese(a )istórica 23$.2. *en%ua+e al%ebraico 24$.3. ,ios de e"resiones al%ebraicas 2-$.4. Valor numrico de una e"resión al%ebraica 2-

-. /so de la calculadora del sistema oerati'o 0indos 29

8. eraciones con olinomios 49. &inomio de Neton 421. Números combinatorios 43Capítulo #: Ecuaciones lineales $ cuadr!ticas 4$1. &re'e rese(a )istórica 4-2. Ecuaciones lineales con una 'ariable 483. Solución de una ecuación lineal con una 'ariable 494. Ecuación cuadrtica 5$5. /so de la calculadora en modo EN 58Capítulo %:Sistemas de ecuaciones lineales $31. &re'e rese(a )istórica $4

2. Sistemas de ecuaciones lineales $43. 6todo ara solucionar un sistema de ecuaciones lineales $54. 6odo EN ara resol'er sistemas de ecuaciones lineales $$5. 6atrices # determinantes -$. /so de E"cel ara calcular determinantes 81-. /so de E"cel ara calcular in'ersa. 91Conclusiones 94&ecomendaciones 95'i"liograía 9$(e"graía 9$&espuestas de los e)ercicios propuestos 9-

Dedicatoria

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7 ios adre: ;ue es 7mor # bondad: # el ;ue 'i'e en el amor 'i'e en ios # iosen l. &rindndonos confian!a # fortale!a en los momentos difíciles. or ;ue

donde )a# amor no )a# miedo.

7 nuestros adres e )i+os: e+emlo de erse'erancia # desinters ;uienes en

estos 5 a(os nos brindaron su ao#o incondicional. 7 nuestro tutor: docente for+ador incansable de nuestro futuro # bienestar: or su

entre%a # dedicación a su labor.

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Agradecimiento

7%radecemos a ios or )abernos ermitido culminar la carrera # or la sabiduríabrindada.

7 nuestros )i+os or ser una moti'ación ara lo%rar alcan!ar este roósito.

7 nuestros maestros or dotarnos de los me+ores conocimientos ara un me+ordeseme(o en la labor educati'a.

7 nuestro tutor # ami%o el octor 7ntonio ara+ón


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Introducción

*a educación es un fenómeno comle+o con características: sicoló%icas:didcticas: eda%ó%icas: etc. El desarrollo de la )umanidad: est li%ado a los

a'ances científicos # tecnoló%icos: imoniendo nue'os retos a todos los elementosin'olucrados en el roceso de ense(an!a arendi!a+e.

El uso de la tecnolo%ía %uía el desarrollo de la educación a ni'el mundial:las comutadoras reresentan un re;uerimiento bsico ara el a'ance de losrocesos de ense(an!a arendi!a+e: ;ue conlle'en al cumlimiento decometencias en los estudiantes.

*a relación entre la tecnolo%ía # la educación a tra's del tiemo estestrec)amente conectada: a tal unto ;ue cada discilina adota diferentes ras%ostecnoló%icos articulares en sus alicaciones: en muc)os aíses de nuestro

continente se onen en rctica ro%ramas diri%idos a la alicación de recursostecnoló%icos en el mbito educati'o.

*a alicación de los recursos tecnoló%icos tiene un %ran imacto en laense(an!a: en articular en la ense(an!a de las 6atemticas. En Nicara%ua laimlementación de los recursos tecnoló%icos es todo un uni'erso or descubrir.

*os nue'os ro%ramas de matemticas: >Transformación Curricular 2010,Enfoque por Competencias?: su%ieren acti'idades de arendi!a+e enfocadas al usode recursos tecnoló%icos: se les llama recursos *IC >Tecnología de la Informacióny de la Comunicación?: se su%iere la imlementación de softare eseciali!ados:

ero no se indica cómo conse%uir el softare: su instalación: tutoriales: etc.

En conclusión es una tarea difícil acceder a esas alicaciones: or di'ersosfactores entre ellos or no ser %ratuitos: se tiene ;ue comrar una licencia oin'esti%ar un serial ara )acerlas funcionar: no son de libre uso: los docentes notienen la caacidad de conse%uir estas )erramientas ara lle'ar a cabo esa tarea# utili!ar los recursos tecnoló%icos rouestos.

En la +NAN ,anagua # en otras uni'ersidades del aís: los lanes deestudio de las carreras de 6atemtica # @ísicaA6atemtica: contemlanasi%naturas como 6atemtica 7sistida or comutadora: en la cual dotan a los

futuros docentes de )erramientas de informtica %eneral # al%unas alicadas a lasmatemticas: ero se tiene la roblemtica ;ue el lan de estudio es mu# escaso# muc)as 'eces no se cuenta con laboratorios: no tiene un erfil de alicacionesconcretas a las matemticas: en conclusión el docente no es rearado arautili!ar los recursos tecnoló%icos.

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*a necesidad de la alicación de recursos tecnoló%icos en matemticas: laroblemtica de los docentes or;ue no mane+an todas las alicaciones de losa;uetes informticos bsicos e incluso una )erramienta ;ue est ms accesiblecomo es la calculadoraB la ine"istencia de tutoriales o documentos donde uedanconsultar ;ue estn acorde con el nue'o lan de estudio: nos )a lle'ado a

elaboración de este documento: el cual uede ser'ir como un dossier o inclusocomo tutorial: ;ue guíe al estudiante de la mano a tra's de %rficos #dia%ramaciones: resentando cómo )acer uso de la tecnolo%ía: mostrandoe+emlos.

*a estructura del documento ermite familiari!arse con la teoría: con losconcetos necesarios ara el tratamiento de e+emlos # e+ercicios rouestos:osteriormente se resentan los e+emlos resueltos cuidadosamente dia%ramadosaso or aso ara ;ue el lector ueda reroducirlos osteriormente: usando sucalculadora científica.

El uso de los recursos tecnoló%icos: >uso de la c? tiene ;ue serbalanceado no odemos sobre utili!arlo ni infrautili!arlo. 7ctualmente en loscentros úblicos # ri'ados de Nicara%ua los recursos informticos son ocoutili!ados en la discilina de matemticas: las discilinas ;ue los utili!an conma#or frecuencia sonC *as Diencias Sociales # las Diencias Naturales: lasmatemticas estn mu# rele%adas con resecto a estas discilinas.

*a utili!ación de los recursos tecnoló%icos en la ense(an!a # arendi!a+ede las matemticas e"i%e la reestructuración de los contenidos: >se realizó en laTransformación curricular, 2010 ? mtodos # medios de ense(an!a > didácticageneral ?. Estas ra!ones )acen necesario una rofunda # constante re!calificación de los rofesores de las discilina de matemticas: la ;ue ermita enfrentar loscambios re'olucionarios ;ue la nue'a tecnolo%ía e"i%e # oder dotar a las nue'as%eneraciones de bac)illeres de )erramientas ;ue les ermitan un me+ordeseme(o en la uni'ersidad.

7l%unas muestras del imacto # utilidad de la uesta en rctica de nuestrotraba+o: el cual est diri%ido tanto a docentes de matemtica: estudiantes #docentes ,D: es la otimi!ación del tiemo: el docente uede lanear una clasedinmica # ms didctica: la matemtica se 'uel'e atracti'a: el estudiante odrreali!ar con ma#or facilidad el anlisis de los datos estadísticos: romue'e laconstrucción de roblemas: elimina la mecani!ación: en todo el roceso seromue'e la comrensión.

El docente no debe estar reso en lo tradicional: tiene un nue'o ael deestimulador # facilitador del arendi!a+e. El rofesor de 6atemticas tiene ;ue serromotor del uso correcto # sistemtico de la comutadora: #a ;ue la matemtica;ue necesitaba un estudiante en el si%lo asado: no es la misma ;ue se necesita)o# en día.

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El 6NE reali!a esfuer!os continuos desde )ace al%unos a(os oracceder al mundo informtico: dotando de laboratorios de comutación adiferentes centros úblicos: # contratando in%enieros en sistemas: calificndoloscomo ocentes ,D: ;uienes se encar%an de administrar los recursos tecnoló%icosdesde un laboratorio en el centro: ero FS est utili!ando correctamente todos

estos recursos: o toda'ía se%uimos con la ti!a en la manoG

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C'/*"(lo ;

8

Conceptos Fundamentales de

Es"'ci-) de "e) de ci(d'd de M


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1- Con)unto de los n.mero reales

Es mu# imortante su conocimiento: ues son los elementos con los cuales setraba+ar en adelante. En el l%ebra de los números reales se encuentran las

ra!ones fundamentales de las transformaciones al%ebraicas: #a sea cone"resiones racionales o irracionales.

Es imortante el conocimiento del con+unto de los números reales # sussubcon+untos: así como las roiedades ;ue los ri%en. 7 continuación definiremoslos subcon+untos de este imortante con+unto uni'erso.

• N.meros Naturales-

Se desi%nan or NB N H I: 1: 2: 3: 4:...J # constitu#e a;uel con+unto denúmeros ;ue sir'en ara contar: )abiendo sido este su ori%en esecífico.

Estos números )an ser'ido de base ara la estructuración de los dems.

• N.meros Enteros-

Es a;uel con+unto de números cu#a raí! est en losnúmeros naturales: mismos ;ue al no e'idenciar lale# de cerradura en la resta: imrimieron lanecesidad de crear un con+unto comlementario denúmeros constituido or los ne%ati'os de 'alor absoluto natural: los cuales unidos forman un solo al

cual se le conoce como el con+unto de númerosenteros.

7 este con+unto se lo desi%na or K # es i%ual aK H I... L3: L2: L1:: 1: 2: 3: 4:...J.

• N.meros &acionales-

Este con+unto sur%ió como consecuencia de la no clausurati'idad de los

enteros or la di'isión ;ue tiene un resultado no entero: de donde aarecióel con+unto de números ;ue comrende este caso fundamental al ;ue sedenominó números racionales: desi%nndolo con la letra :

Simbólicamente se defineC H IaMbC a∈K: b∈K # b J.

entro de este con+unto estn los decimales simles # decimaleseriódicos.

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Matematica en lahistoria

os n!meros negati"osaparecieron porprimera "e# en la $ndia%en el libro de&rahmagupta


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• N.meros irracionales-

Se reresentan simbólicamente or O: esor;ue constitu#en el comlemento de losnúmeros racionales # ;ue inclu#en: +ustamente

a;uellos decimales o números ;ue no uedene"resarse: de nin%una manera como unafracción o un número racional.

E+emloC la raí! cuadrada de los númerosrimos: el 'alor de i >P?: etc.

Este tio de números se conocen comonúmeros inconmensurables dado de ;ue deellos solamente se uede dar unaaro"imación: ero no el 'alor ;ue

efecti'amente ellos reresentan.

• N.meros reales-

Este sistema numrico constitu#e una baseesecial ara el anlisis e interretación de multilicidad de )ec)os:fenómenos # acti'idades rcticas de la ciencia o la tecnolo%ía.

01

Clasicacion de numeros decimales

Matemática en la historia

Pi (π ) es la letra griegautilizada para representar larazón entre la longitud y eldiámetro de lacircunferencia. Pi fue usado

por primera vez por William Jones, en 1706. Joan!einric, matemáticoalemán era un n"meroirracional, en la actualidadan sido calculadas más de


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Este con+unto est constituido or la unión de los números racionales >;uecomrenden los números naturales: los números enteros # los númerosfraccionarios? # los irracionales: es decir Q H R. *os números realescumlen con ciertas roiedades.

Reales{ Racionales{ Enteros { Positivos ( Naturales)Cero Negativos

Fraccionarios{ Positivosnegativos Irracionales{ Positivos Negativos

¿

,ios de números ;ue se utili!an en l%ebra

#- /alor a"soluto

El 'alor absoluto de un número: reresentado or el símbolo | x| reresenta ladistancia no diri%ida de cual;uier unto de la recta numrica )asta el u ori%en dela misma. /na distancia siemre es ositi'a or lo ;ue el 'alor absoluto decual;uier número siemre ser ositi'o. os números ouestos tienen el mismo'alor absoluto. E+emlos

Dalcular el 'alor absoluto de los si%uientes números

a? −5b? 6c? | x|d? |− x|

SoluciónCa! −5 Escri"imos el #alor entre "arra,

|−5| Toda distancia es positi#a y sólo se considera la magnituddel #alor y no el signo

00


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/!

m

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4

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¿5

b? 6¿|6| Escri"imos el #alor entre "arra para denotar el #alor

a"soluto,

¿ 6 $a magnitud es %, el signo siempre es positi#o&c? | x|

¿ xd? | – x|

¿ x Para ambos casos se aplica la definici ó n , representan distanciasno dirigidasde cualquier punto

%- Notación cientíica

*a notación científica es una forma mu# con'eniente de escribir números

sumamente %randes o sumamente e;ue(os: # al mismo tiemo ermitecomarar fcilmente estas %randes o e;ue(as ma%nitudes. Donstitu#e unaalicación de las le#es de los e"onentes.

Es necesario recordarle ;ue ara ;ue un número este e"resado en notacióncientífica debe tener la forma a !10n donde a debe ser ma#or o i%ual a 1 # menor ;ue 1: n es un número entero

E+emloC

*a distancia ;ue recorre un ra#o de lu! en un a(oes: aro"imadamente 9500000000000 "m .Estenúmero en notación científica se escribe

9.5 !1012

#m . El e"onente ositi'o 12 indica ;ueel unto decimal se debe correr 12 lu%ares )acia laderec)a así 9.5 !1012=9500000000000

*a notación se alica similarmente ara númerose;ue(os: el eso estimado de una molcula deo"í%eno es

0.000 000 000 000 000 000 000053 gramos : ennotación científica 5.3 !10−23 gramos . Ele"onente ne%ati'o indica ;ue se debe desla!ar elunto decimal 23 lu%ares )acia la i!;uierda.

0- Empleo de la notación cientíica usandocalculadora

02


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6uc)as calculadoras cambian automticamente a notación científica cuando noueden desle%ar los resultados en la antalla luminosa. ara el número a !10n

: se surime el 1 #: con frecuencia el e"onente aarece en las calculadorascomo E. Nosotros en nuestro traba+o utili!amos el modelo resentado: de i%ualforma )a# otras marcas # modelos ;ue resentan las mismas articularidades.

Este mismo modelo ermite asar de len%ua+e común a notación científica.E+emloC

a ¿ Si multilicamos 282 or 5 en una calculadora: la antalla mostrar1.41 " 11. Esto si%nifica 1.41 " 111: el e"onente ositi'o 11 indica ;ue el untodecimal se debe correr 11 lu%ares )acia la derec)a. *as calculadoras con unatecla E o EE ermiten dar entrada a números en notación científica.

/tili!ando notación científica con calculadoraA Dambiemos 20820000=2.082 !107 # 5000=5.0 !103 Este roceso

anterior lo odemos reali!ar en la calculadora. ST@, $A ntroduce

20820000 ulse

+/

aarecer la

cantidad en notación científica ulse la misma tecla # el e"onente 'aria:resiona

+/

e ir aumentando el e"onente en notación científica.

A resiona

2.082

1.41

" 111

b¿ ara cambiar .35$98 a notación científicaSoluciónC

A Dambiemos 0.0035698=3.5698 !10−3

A resiona: 3.5$98+ 3

0.0035698

c ¿ Dalcular 3$- " 5 usando notación científica.

resiona3.67

1.835 " 111

E)ercicios resueltos:

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odemos con'ertir a la notación cientifíca multilicando or 1 si ele%imos en 'e!de este número la e"resión 1b !10−b : donde " es el número de lu%ares ;uesern remla!ados.

1. *a temeratura cerca del centro del sol es de unos 2 U el'in.

Escribirlo en notación cientifíca.SoluciónC• Es necesario mo'er el unto decimal - lu%ares )acia la i!;uierda de modo

;ue se ubi;ue entre los di%itos 2 # • ara ello se eli%e 107 !10−7

• 2 ! (107 !10−7 ) multiplicando por 1¿ (20000000 !10−7 )!107 propiedad asociati#a y conmutati#a¿2. !107

ara 'erificar la solución utili!a la calculadoraresiona

2

2. *a lon%itud de onda de cierta lu! ro+a es .$$ cm. Escribe este númeroen notación cientifícaSoluciónC

• Necesitamos desla!ar el unto decimal 5 lu%ares )acia la derec)a.Esco%emos 105! 10−5 ara 1.

• esues multilicamos

• 0.000066 ! (105

!10−5

) multiplicado por 1¿ (0.000066 !105 ) !10−5 propiedad asociati#a¿6.6 !10−5

ara 'erificar la solución utili!a la calculadoraresiona

0.000066 6.6 !10

−5

VerificaciónCresiona

6.6

0.000066

3. *a lu! recorre unos 9 4$ Wm en un a(o. Escribe este númeroen notación cientifícaSoluciónC

• 9460000000000 !10−12

! 1012

¿ 9.46 !1012

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resiona9460000000000

9.46 !1012

VerificaciónCresiona

9.46

9460000000000

Don'ertir a notación estndar.

1& 7.893! 105=789300 desplazando el punto decimal ' lugares (acia la

derec(a&

2& 4.7 ! 10−8=0.000000047 desplazando el punto decimal ) lugares (acia la

derec(a&

*& 7.893! 1011=789300000000

+& 5.67 !10−5=0.0000567

6ultilicar # di'idir utili!ando la notación científica

1. (3.1 !105 ) (4.5 !10−3 )¿ (3.1! 4.5 ) (105 !10−3 )¿13.95! 102

/sando la calculadoraC

resiona3.1 4.5

13.95 " 12

2. 7.2 !10

−7

8.0 !106

¿ 7.28.0

! 10

−7

106

0. 9 !10−13

/sando la calculadoraC

resiona7.2

8

.9 " 1A13

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E)ercicios propuestos1. Don'ertir a notación cientifíca.

a? 4- b? 2 $ c? 8$3 d? 95- e? .1$f? .2$3

2. Escribe el número en notación cientifíca.a? *a masa de un electrón es de

.911 %.b? *a oblación de Estados /nidos es de alrededor de 2- .c? /n electrón osee una car%a de .48 unidades

electrostticas.d? El 'olumen de un %rano de arena es de alrededor de

.35 m3

e? El eso de una ballena a!ul es de 25 $5 W%.

3. Don'ertir a notación decimala? 4 ! 10−4

b? 5 !10−5

c? 6.73 !108

d? 9.24 !107

e? 8.923 !10−10

4. 6ultilica o di'ide: # escribe en notación cientifíca la resuesta.a? (2.3 !106 ) (4.2! 10−11)b? (6.5 !103 ) (5.2 !10−8 )

c? (2.32 !10−8

) (5.7 !10−4

)d? (3.2 !10−6 ) (8.2 !10−6 )

06

Clase pr!ctica 1


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2- E3ponentes $ radicales

• E3ponentes enteros

*a otenciación como sabemos resulta del

roducto de factores reetidos: así tenemos or e+emlo ;ue 5.5.5.5. se escribe simlemente5

4 : en este caso 5 es la base # 4 es ele"onente.

ui! lo ms imortante de esta oeración sonlas le#es: uesto ;ue ellas nos 'an a ermitir mane+ar los e"onentes # utili!arlos en latransformación de e"resiones ;ue contienen otencias

4e$es de los e3ponentes

am

! an=am+ n

am

an =am−n $ m>n

(am )n=am !n

(a !b )m=am ! bm

( ab )m

=a

m

bm $ b & 0

a1=a

a0=1 $ a & 0

4e$es de la radicación

n√ a !b= n√ a ! n√ b

n√ ab =n√ an√ b

n√ a

m=am % n

n√ an=a

m√

n√ a=

m! n√ a

En la oeración de otenciación: conocida la base # ele"onente debemos encontrar el 'alor de la otencia: eroe"iste una oeración en la ;ue nos dan la otencia # ele"onente # debemos encontrar la base: esta oeración se laconoce con el nombre de radicación asíC

En %eneral si , # a son números reales # n es unnúmero entero ositi'o ma#or ;ue 1: entonces a esla raí! nAesima de 6 sí # solo síC

7l i%ual ;ue la otenciación las le#es de los radicales son mu# imortantes # comouna raí! no es ms ;ue una otencia con e"onente fraccionario: es ló%ico deducir ;ue los radicales obedecen a las mismas le#es de los e"onentes ero condistinta simbolo%ía.

07

#n 1$%$, &risto' (udol'introduce el signo de radical

√ a .

Pro)a)lemente este s*m)olo se popularizo al ser similar a laletra r, de radi+, ue en lat*n

T


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Es necesario anali!ar los radicales con índice ar # radicandone%ati'oB or definición la raí! cuadrada de un númerone%ati'o es un número ;ue ele'ado al cuadrado de comoresultado el número ne%ati'o: ero sabemos ;ue todo númeroreal ele'ado al cuadrado da como resultado un número

ositi'o o cero ero en nin%ún caso un número ne%ati'o e acuerdo con este anlisis debemos tener resente ;ue lasraíces de índice ar # radicando ne%ati'o no estn definidasdentro del con+unto de los números reales.

/na alicación mu# imortante de los radiales es laracionali!ación: ;ue es una oeración ;ue tiene or ob+etoeliminar los radicales del numerador o del denominadorB araello es necesario entender claramente lo ;ue si%nifica la con+u%ada del numeradoro del denominador.

E3ponentes racionales-

Don frecuencia es ms fcil traba+ar con e"onentes racionales ;ue con radicales.,oda otencia de e"onente fraccionario e;ui'ale a una raí! en la ;ue eldenominador del e"onente es el índice de la raí! # el numerador del e"onentees el e"onente del radicando.

En la ma#or arte de los roblemas es ms fcil sacar rimero la nAsima raí! #desus ele'ar la nAsima otencia # no al re's.

/so de función e"onencial en la calculadora

*as calculadora científica tienen una tecla e"onencial x

o

Dalcular 5-

resiona 5 x 7 -8125

Dalcular3

−4

x 4 +¿ ¿ ( .12345$-9

08

;ndice radical

n√ a=b


19/110

E)ercicios resueltos:

1. Domletación de la tabla

Notación e"onencial otenciación otencia 7. (−5 )2 (−5 ) (−5 ) 25&. −73 −(7 ) (7 ) (7 ) −343D. (−6 )5 (−6 ) (−6 ) (−6 ) (−6 ) (−6 ) −7776

. [ (−2 )! (3 ) ]2 [ (−2 ) (−2 ) ]! (3 ) (3 ) 3$E. (9 )4 (9 ) (9 ) (9 ) (9 ) $5$1

/sando la calculadoraSolución

7. resiona

'

5

( x 2

25

&. resiona

- x 3 −343

D. resiona'

$( x 5

−7776. resiona

' '

2( ! '

3 ( ( x 2 36

E. resiona ' 9 ( x 4 $5$1

2. E"resar como una sola otencia

a? (−3 )5! (−3 )3=(−3 )5 +3=(−3 )8 aplicando propiedad 1)olución conla calculadora

resiona'

3( x 5 !

' 3 ( x 3

6561

b? 72 !73 !74=72+3+ 4=79 seaplicala propiedad 1)olución conla calculadora

09


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Qadicando Xndice Qaí!

ositi'o mar ositi'a

ar ositi'a

Ne%ati'o mar Ne%ati'a

ar ∄ en los >

E)ercicios propuestos:

1. Escribir en forma de otencias los si%uientes números

a? (−3 )! (−3 )

b? (−2 )! (−2) ! (−2 )! (−2 )c? 7 !7 !7 ! 7 !7 !7d? (−6 )! (−6 )! (−6 )! (−6 )! (−6 )e? '! '! '! '! '! 'f? 9 !9 ! 9 !9! 9! 9

2. ndicar el si%no de cada otencia

a? 52

b? (−2 )4

c? 13121

d? (−10 )100

e? (−1 )15

f? −(−3 )3

3. Qesol'er las si%uientes oeraciones usando calculadora

a? [ (−2 )2 ]3

20

Clase pr!ctica #


22/110

b? [ (−1 )3 ]4

c? [23 ]3

d? [ (−10 )2 ]4

4. Domletar las tabla

roducto otenciandicada

otencia &ase E".

5 !5 !5 !5

(−4 )! (−4 ) ! (−4 )! (−4 ) ! (−4 ) −1024 −4 5(−3 )4

(−6 )! (−6 )! (−6 )! (−6 )(−7 )3

5. E"resar como una sola otencia comrueba el resultado usando lacalculadora

a? (2 !2 )2

22! 22

b? (5+5 )3

103!103

c? (2 !5 )3

! (2 !5 )2

! (2 !5 )7

[ (−2 )4 ! (−5 )2 ]

d? [32! (−3 )3 !3 ! (−3 )2 ]2

[3 ! (−3 )2 ]4

22


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7- E3presiones alge"raicas

7- 1- 're8e rese9a istóricaEl l%ebra es la rama de las matemticas en la ;ue se usan letras arareresentar relaciones aritmticas. *as oeraciones fundamentales del l%ebrason adición: sustracción: multilicación: di'isión # clculo de raíces. *a aritmtica:sin embar%o: no es caa! de %enerali!ar las relaciones matemticas.

El l%ebra clsica: ;ue se ocua de resol'er

ecuaciones: utili!a símbolos en 'e! de númerosesecíficos # oeraciones aritmticas ara determinar cómo usar dic)os símbolos. El l%ebra moderna onems atención en las estructuras matemticas. *osmatemticos consideran al l%ebra moderna como uncon+unto de ob+etos con re%las ;ue los conectan orelacionan ra!ón or la ;ue se dice ;ue el l%ebra es elidioma de las matemticas.

El ri%en del al%ebra es babilonio: desarrollarontcnicas # mtodos ara medir # contar: imulsados en

arte or la necesidad de resol'er roblemas rcticosde intercambio comercial # del desarrollo de las tcnicascarto%rficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertasse )an encontrado e+emlos de tablas de raícescuadradas # cúbicas: # el enunciado # solución de 'ariosroblemas uramente al%ebraicos: entre ellos al%unose;ui'alentes a lo ;ue )o# se conoce como unaecuación.

*a )istoria del l%ebra comen!ó en &abilonia: dondefueron caaces de resol'er ecuaciones lineales

(ax=b ) # cuadrticas (a x2+bx=c ) : así comoecuaciones indeterminadas como x2+ '2= *2 : con'arias incó%nitas. *os anti%uos babilonios resol'íancual;uier ecuación cuadrtica emleando esencialmentelos mismos mtodos ;ue )o# se ense(an. *osmatemticos ale+andrinos Terón # iofante: continuaroncon la tradición de &abilonia. Esta anti%ua sabiduría sobre resolución de

23

Mahommedibn Musa al?h@ari#mi% nació apro,)

en el aAo 781 en &agdag%Brabia 'ho $raD(% muri.apro,) en el aAo 851.

+scribi. sobreastronom=a% geograE=a matemáticas% su obra al

ebr@almuDabalah Euetraducida al lat=n%con"irtiGndolo en aleberDue acab. deri"ando enel actual álgebra)

a palabra ebr se reerea la operaci.n de pasar alotro lado del igual untGrmino de una ecuaci.n

la alabra mu abalah


24/110

ecuaciones encontró: a su 'e!: aco%ida en el mundo islmico: en donde se lallamó Yciencia de reducción # e;uilibrioZ.

En las ci'ili!aciones anti%uas se escribían las e"resiones al%ebraicas utili!andoabre'iaturas sólo ocasionalmente: en la edad media: los matemticos rabes

fueron caaces de describir cual;uier otencia de la incó%nita , # desarrollaron ell%ebra fundamental de los olinomios.

Esta l%ebra incluía multilicar: di'idir # e"traer raíces cuadradas de olinomios:así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemtico: oeta #astrónomo ersa mar )a##am mostró cómo e"resar las raíces de ecuacionescúbicas utili!ando los se%mentos obtenidos or intersección de secciones cónicas:aun;ue no fue caa! de encontrar una fórmula ara las raíces.

7 rinciios del si%lo : el matemtico italiano *eonardo @ibonacci consi%uióencontrar una aro"imación cercana a la solución de la ecuación cúbica

x

3

+2 x2

+ cx=d & @ibonacci )abía 'ia+ado a aíses rabes: or lo ;ue conse%uridad utili!ó el mtodo arbi%o de aro"imaciones sucesi'as.

/n a'ance imortante en el l%ebra fue la introducción: en el si%lo V: desímbolos ara las incó%nitas: ara las oeraciones # otencias al%ebraicas.ebido a este a'ance: el *ibro de la -eometría >1$3-?: escrito or elmatemtico # filósofo francs Qen ecartes se arece bastante a un te"tomoderno de l%ebra. *a contribución ms imortante de escartes a lasmatemticas fue el descubrimiento de la %eometría analítica: ;ue reduce laresolución de roblemas %eomtricos a la resolución de roblemas al%ebraicos.

urante el si%lo V se continuó traba+ando en la teoría de ecuaciones # en 1-99el matemtico alemn Darl @riedric)


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ara oder mane+ar el len%ua+e al%ebraico es necesario comrender lo si%uienteC

• Se usan todas las letras del alfabeto.• *as rimeras letras del alfabeto se determinan or re%la %eneral como

constantes. Dual;uier número o constante como el 'ocablo %rie%o i.

• or lo re%ular las letras , y # z se utili!an como las incó%nitas o 'ariablesde la e"resión al%ebraica.

E+emlos de situaciones ms comunes ;ue in'olucran los roblemas dematemticas con len%ua+e al%ebraicoC

Se uede denominar a un número cual;uiera con letra del alfabeto: ore+emloC

a=unn+merocualquierab=unn+merocualquierac=un n+mero cualquiera

*a suma de dos números cuales;uieraa+b=la suma de dos n+meroscualquiera x+ '=la suma de dosn+meros cualquiera

*a resta de dos números cuales;uieraa−b=lasuma de dosn+meros cualesquieram−n=la sumade dosn+meros cualesquiera

*a suma de dos números cuales;uiera menos otro número cual;uieraa−b+c=lasuma de dosn+mero cualesquiera menos otro n+mero cualquiera

*istado de frases con un contenido matemtico traducidas a una e"resiónal%ebraicaC

;rase E3presión alge"raica

.n n/mero aumentado en 1 1

.n n/mero disminuido en 10 z 10

El producto de dos n/meros a 3 "

4os #eces la suma de dos n/meros 2 a "!

4os #eces un n/mero sumado a otro 2a "

Cinco #eces un n/mero '

El cociente de dos n/meros a"

25


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1. Escribe en len%ua+e al%ebraico las si%uientes e"resionesC

1? Número de ruedas necesarias ara fabricar 3 autos.

2? Número de córdobas ara cambiar or 3 dólares.

3? Número de atas de un corral con a %allinas # " atos.

4? Número de ersonas ;ue )a# en una )abitación desus de lle%ar 2.

5? Número de cromos ;ue me ;uedan desus de erder 12 en el +ue%o.

$? *a edad de un adre es trile de la de su )i+o.

-? /n número ms 3 unidades.

8? /n número menos - unidades.

9? *a mitad de un número.

1?El doble de un número menos 3 unidades.

11?Qestar la mitad de un número al 2.

12?7(adir 8 al doble de un número.

13?El doble de un número menos su mitad.

14?os números ares consecuti'os.

2. Esco%er dos números enteros no nulos.1? Dalcular el cuadrado de su suma.2? 7l número obtenido restarle el cuadrado de su diferencia.3? i'idir el resultado obtenido or el roducto de los dos números.4? Fu resultado se obtieneG

26

Clase pr!ctica %


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3. Se )a acolado un cilindro en una semiesfera del mismo radio.

1? E"resa su 'olumen V en función de r # ).

2? Si la altura del cilindro es i%ual al dimetro de la base: e"resa V enfunción de r solamente.3? En este último caso: Fcul ser el 'olumen: si el dimetro de la base

mide -[8 cmG

7-%- *ipos de e3presiones alge"raicas

a? eendiendo del número de sumandos: tenemosC

•

6onomios >1 sumando? C 5 x

5,3 x

5 ,

4

3 , π r

3

• olinomios >'arios sumandos? 3 x '2+2 '+4

b? 7l%unos olinomios tienen nombre roioC• 6onomio• binomio >2 sumandos?• trinomio >3 sumandos?: ...

c) os e"resiones al%ebraicas searadas or un si%no se llama ecuación.5 x+3=2 x−1

d? /n caso articular de ecuación es la identidad: en la ;ue los dos lados de lai%ualdad son e;ui'alentes. (a+b )2=a2+2 ab+b2

7-0- /alor num6rico de una e3presión

Si en una e"resión al%ebraica se sustitu#en las letras or números # se reali!a laoeración indicada se obtiene un número ;ue es el 'alor numrico de la e"resiónal%ebraica ara los 'alores de las letras dados.

E+emlosC

a? etermina el 'alor numrico de − x2+3 x−4, si x=2SoluciónC

Sustituir el 'alor de la 'ariable x en la ecuación − x2+3 x−4 −(2 )2+3 (2 )−4=¿ −4+6−4=¿ −8+6=¿ −2

27


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)olución conla calculadora :Qecomendamos ;ue antes de introducir los trminos a lacalculadora lo lantee en su cuaderno rimero: los números semantienen constantes # sustituimos las 'ariables or los 'aloresasi%nados re'iamente reali!ando la sustitución de la 'ariable.

resiona− ' 2 ( x

2 + 3 ! 2 −

4

A2

b) etermine el 'alor numrico de −6 a x3 '2, s i a=5, x=1, '=2

SoluciónC• Sustitu#endo el 'alor de las 'ariables or el 'alor asi%nado en la

ecuación −6 a x3 '2 : se obtiene ;ueC−6 (5 ) (1 )3 (2 )2=¿

−6 (5 ) (1 ) (4 )=¿• −120

)olución conla calculadora :

resiona− 6 ! 5 !

0 x 3 ! 2 x

2

A12

c? eterminar el 'alor numrico de −2 x2+ax−b,six=−3, a=−2,b=−7

SoluciónCSustitu#endo el 'alor de las 'ariables de la ecuación or su 'alor asi%nado

−2 x2+ax−b −2 (−3 )2+ (−2 ) (−3 )− (−7 )=¿

−2 (9 )+6+7=¿

−18+6+7=¿

28


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−18+13=¿

−5

)olución conla calculadora

resiona− 2 ! ' − 3

( x 2 + ' − 2

( ! ' − 3 ( −

' − 7 (−

5

Encontrar el #alor num5rico de la epresión 3 x3+

ax

c +3 , si x=−1,a=49,c=7


resiona! ' − 0 (

x 3 + ' 49 ' −

0 ( ( % + 3

−7

29


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etermine el 'alor numrico corresondiente en cada una de las si%uientes

e"resiones utili!ando la calculadoraC

1- 2 x2+a2−b,six=3, a=−2, b=5

#- 5 x3+ ac +b,six=−4, a=24, c=3

%- 3

5 x

3 '

2 * , six=

−12

, '=−34

, *=5

3

0- 3√ x '−2*six=−8, '=2, *=

1

4


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ara reali!ar un clculo sencillo

1. Escriba el rimer número del clculo.2. Ta%a clic en > ara sumar: en ? ara

restar: en @ ara multilicar o en ara

di'idir.3. Escriba el si%uiente número del clculo.4. Escriba los restantes oeradores #

números.5. Ta%a clic en B.$. ,ambin uede utili!ar el teclado

numrico ara escribir números #

oeradoresB ara ello: resione

&*N/6.

ia%rama de las funciones de la calculadora estndar

30


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F()cio)es de l' c'lc(l'do' es"6)d' & e=(i8'le)"es del "ecl'do

32

C'lc(l'do' Cie)"*+c' de #od


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arareali!ar un clculo científico

1. En el menú /er : )a%a clic en Cientíica.

2. Ta%a clic en un sistema numrico.

3. Ta%a clic en el tama(o de resentación ;ue desea utili!ar # continúe con elclculo.

4. En los sistemas de numeración )e"adecimal: octal # binario: los cuatrotama(os de resentación disonibles sonC

• ord >reresentación de $4 bits?:• ord >reresentación de 32 bits?:• 0ord >reresentación de 1$ bits?• te >reresentación de 8 bits?.

5. ara el sistema numrico decimal: los tres tama(os de resentacióndisonibles sonC

• Se"a%esimal.• Qadin.• Dentesimal.

33

F()cio)es de l' C'lc(l'do' Cie)"*+c' de #od


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34

O"'s F()cio)es de l' C'lc(l'do' Cie)"*+c' de #od


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$. /na 'e! utili!ada la calculadora estar disonible con solo resionar el

botón selecciona calculadora.

-. ara reali!ar un clculo estadístico

a? En el menú /er : )a%a clic en Cientíica.

b? Escriba el rimer %ruo de datos # )a%a clicen Sta ara abrir el Cuadro de estadísticas.

c? Ta%a clic en &E* ara 'ol'er a laDalculadora # en Dat ara %uardar el 'alor.

d? Escriba el resto de los datos # )a%a clic enDat desus de escribir cada dato.

e? Ta%a clic en A8e: en Sum o en s.

f? ,ambin uede utili!ar el teclado numricoara escribir números # oeradoresB ara ello: resione &*N/6.

%? A8e calcula el romedio de los 'alores %uardados en el Cuadro deestadísticas: Sum calcula la suma de los 'alores # scalcula la des'iaciónestndar.

h) esus de escribir todos los datos: uede 'er la lista si )ace clic en Sta.i) El Cuadro de estadísticas ermite reali!ar un se%uimiento del número de

'alores %uardados ;ue se muestran en la arte inferior del cuadro dedilo%o. ara eliminar un 'alor de la lista uede )acer clic en CD o bien

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uede eliminar todos los 'alores si )ace clic en CAD. 7l )acer clic enCargar : el número mostrado en la antalla de la Dalculadora cambia or elnúmero seleccionado en el Cuadro de estadísticas.

ara transferir números entre las 'istas Estndar # Dientífica

1. Ta%a clic en ,S ara almacenar el número mostrado.

2. En el menú /er : )a%a clic en la 'ista ;ue desee.

3. Ta%a clic en ,& ara recuerar el número almacenado.

4. *a Dalculadora borra el contenido de la antalla al cambiar entre las 'istasEstndar # Dientífica. Si si%ue los asos 1 a 3 descritos anteriormente:odr transferir números entre las 'istas.

5. /n número escrito en formato )e"adecimal: octal o binario se con'ertir alformato decimal al transferirlo de la 'ista Dientífica a la 'ista Estndar.

ara traba+ar con números almacenados en memoria

1. ara almacenar el número mostrado: )a%a clic en ,S.2. ara recuerar un número almacenado: )a%a clic en ,&.3. ara borrar la memoria: )a%a clic en ,C.4. ara sumar el número mostrado al número #a almacenado en

memoria: )a%a clic en ,>. ara 'er el nue'o número: )a%a clic en,&.

5. 7l almacenar un número: aarece una , en el cuadro situadoencima de las ociones de memoria. Si almacena otro número: stereemla!ar al almacenado actualmente en memoria.

/tili!ar los e;ui'alentes del teclado de los botones de la Dalculadora

7 continuación se muestra una lista alfabtica de los botones de la Dalculadora #sus e;ui'alentes del teclado. Duando utilice la Dalculadora: odr 'er ele;ui'alente del teclado de un botón de la Dalculadora si )ace clic con el botónsecundario del mouse >ratón? en dic)o botón #: a continuación: )ace clic en u6es esto

'otón *ecla 'otón *ecla

% % Oct F7

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F > Int ;

) ) Inv i

* * In n

+ + log l+/- F9 Lsh <

- - M+ CTRL+P

. . o bien MC CTRL+L

/ / Mod %

0-9 0-9 MR CTRL+R

1/x MS CTRL+!

" #$TRR n! &

'e CTRL+ O bien ( canaliación)

Reoce,o R#TRC# pi

in F Qword F123e F4 Radián F5

C #C s CTRL+6

C# 6#L sin ,

co, o sqrt

6a 8$ Sta CTRL+

6ec F Su CTRL+T

exa:e,ial F2 tan

, ord F5

6=o F2 "or >

#x x #$%

F-# ' #$& ?

, ord F5

Cene,ial F4 #$' 3

/tili!ar secuencias de teclas como funciones

*as si%uientes secuencias de teclas se interretan como funciones al e%ar datosen la Dalculadora. or e+emlo: abra elara abrir un accesorio: )a%a clic enInicio: seleccione *odos los programas: Accesorios #: a continuación: )a%a clicen el ro%rama ;ue desee.

37


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Don el &loc de notas abierto escriba lo si%uienteC

1. 1#%:m2. Doie 1#%:m desde el &loc de notas # %uelo en la Dalculadora. Se

mostrar el número 123 ;ue: adems: se almacenar en la memoria de laDalculadora.

3. *a tabla muestra al%unas funciones.

Cc &orra la memoria.

Ce ermite escribir números con notación científica en forma decimal.

C

m

7lmacena en memoria el número mostrado.

C Suma el número mostrado al número almacenado en la memoria.

C; &orra el clculo actual.

38


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Cr 6uestra el número almacenado en la memoria.

@unciona de la misma forma ;ue Dat. Ta%a clic en Sta antes de utili!ar esta

tecla.

&eairma tus conocimientos resol8iendo los e)ercicios de las clasespr!cticas anteriores usando la calculadora de (ord-

Clase pr!ctica 1

1 Don'ertir a notación cientifíca.a 4- b 2 $ c 8$3

2 Escribe el número en notación cientifíca.a *a masa de un electrón es de

.911 %.b *a oblación de Estados /nidos es de alrededor de 2- .c /n electrón osee una car%a de .48 unidades

electrostticas.

3 Don'ertir a notación decimala 4 ! 10−4

b 5 !10−5

Clase pr!ctica #: 1H a " cJ #H e J %H d1 Escribir en forma de otencias los si%uientes números

a (−3 )! (−3 )b (−2 )! (−2 ) ! (−2 )! (−2 )c 7 !7 !7 ! 7 !7 !7

2 ndicar el si%no de cada otencia

e (−1 )15

f −(−3 )3

3 Qesol'er las si%uientes oeraciones usando calculadora

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d [ (−10 )2 ]4

Clase pr!ctica 0: 1 #

etermine el 'alor numrico corresondiente: en cada una

de las si%uientes e"resiones utili!ando la calculadoraC

1 2 x2+a2−b,six=3, a=−2, b=5

# 5 x3+

ac

+b,six=−4, a=24, c=3

K- Lperaciones con polinomios1. Suma de olinomioC ara sumar dos o ms olinomios

se reducen los trminos seme+antes2. Qesta de olinomiosC *a resta de olinomios se reali!a

sumando el minuendo con el ouesto aditi'o delsustraendo.

*& 6ultilicación de olinomiosC El roducto de dosolinomio se encuentra alicando las le#es distributi'as# las roiedades de las otenciación

6roductos nota"les7 Son ciertos roductos ;ue: or su usofrecuente: se escriben or simle insección.

Productos nota"les

(a+b )

2

=a

2

+2 ab+b

2

(a−b )2=a2−2 ab+b2

(a+b )3=a3+3 a2b+3 a b2+b3

(a−b )3=a3−3 a2b+3 a b2−b3

(a+b ) ( a−b )=a2−b2

(a+ x ) (a+ ' )=a2+ ( x+ ' )a+ x '

41

/atemáticos del siglo

El último teorema deFermat

#s imposi)le dividir uncu)o en suma de doscu)os, en generalcualuier potenciasuperior a dos en dos

potencia del mismogrado.

#n su "ltimo teorema,2ermat 316014166$5a-rma ue si n es unentero mayor o igual ue

, entonces no e+istenn"meros enteros +, y y ztales ue cumplan laigualdad

*n= xn+ 'n

#n el ao 188$, &ndre9Wiles, un matemático)ritánico de la


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42/110


43/110


44/110

@actorial de un númeroEl factorial de un número entero n>0 : denotado or n - se defineor

n -=n (n−1 ) (n−2 ) (3 ) (2 )1 -

or definición 1-=1 . or tanto odemos escribir n -=(1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (n−3 ) ( n−3 ) (n−2 ) (n−1 ) n

E+emlosC

a¿3 -= (3 ) (2 ) (1 )=6b ¿ 8 -=(8 ) (7 ) (6 ) (5 ) ( 4 ) (3 ) (2 ) (1 )=40320

1-N.meros Com"inatorios

El número de combinaciones diferentes de " elementos tomados de uncon+unto de n elementos diferentes: se reresenta orC

C " n=(n" )=

n -

" - (n−" )-

E+emlosa

¿C ¿47

=(74)= 7 -

4 - (7−4 )-=7 (6 )(5)4 -

4 -3 - =7 (6 )(5)4 -4 -3 (2 ) 1 =35

e i%ual forma con la calculadora se uede conocer los coeficientes de cadatrmino utili!ando la tecla , es decir a - combinaciones.

C 47=(74)

resiona4

35

b

¿C ¿02=(20)=

2-

0 - (2−0 )-= 2 -

2-0 -= 2 -

2 -1=1

e i%ual forma con la calculadora se uede conocer los coeficientes de cadatrmino utili!ando la tecla

44


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C 02=(20)

resiona

1

1

c

¿C ¿55=(55)=

5 -

5 - (5−5 )-=

5 -

5 -0 -=

5-

5 -1=1

e i%ual forma con la calculadora se uede conocer los coeficientes de cadatrmino utili!ando la tecla

C 55=(55)

resiona5 5

1

/tili!ando números combinatorios: obtenemos el desarrollo de (a+b )n de lasi%uiente formaC

(a+b )n=(no)an b0+(n1)a

n−1b1+(n2)an−2 b2+ +(n" )a

n−" b" + +¿

( nn−1)an−( n−1)

bn−1+(nn)a

n−nb

n

e la e"resión anterior odemos obser'ar ;ueC1. El rimer # último trmino del desarrollo son an ' bn .2. (a+b )n tiene n+1 trminos.

3. El WAsimo trmino esC

(

n

"

)a

n−" b

"

4. *as otencias de a disminu#en una unidad en cada trmino consecuti'o:mientras ;ue las otencias de b aumentan una unidad.

5. *os coeficientes de cada trmino se obtienen con los númeroscombinatorios.

$. En (a−b )n los trminos se alternan ositi'os # ne%ati'os.

45


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Clase pr!ctica 2

1. esarrolle las si%uientes e"resiones # comruebe los resultados ara x=1 .

a- 5 ( x+4 )

"- ( x+5 )2

c- ( x−4 )2

d- ( x+3 )2

e- ( x+1 )3

- ( x+2 ) ( x−9 )

g- ( x+1.2 ) ( x+3 )

- (7− x ) (9− x)

i- ( x−0.9 ) ( x+4.2 )

)- ( x− 34 )( x + 12 )2. Dalcular el número de combinaciones

a. C 36=(63)

b. C 3

7

=(7

3)c. C 8

9=(98)

46


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d. C 07=(70)

e. C 48=(84)

47


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C'/*"(lo ?

48

+cuaciones ineales cuadráticas


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1- 're8e rese9a istórica

El estudio del l%ebra estu'o estrec)amente li%ado con elestudio de las ecuaciones: imortancia si%ue 'i%ente:

muc)as de las alicaciones de la matemtica re;uierendel lanteamiento # resolución de di'ersos tios deecuaciones.

/na ecuación es una i%ualdad entre dos e"resionesal%ebraicas: denominadas miem"ros: en las ;ue aarecen'alores conocidos o datos: # desconocidos o incógnitas:relacionados mediante oeraciones matemticas.

*os 'alores conocidos ueden ser números: coeficientes oconstantesB # tambin 'ariables cu#a ma%nitud se )a#a

establecido como resultado de otras oeraciones.

*as incó%nitas: reresentadas %eneralmente or letras:constitu#en los 'alores ;ue se retende )allar. or e+emlo: en la ecuaciónC

*a letra reresenta la incó%nita:mientras ;ue el coeficiente 3 # losnúmeros 1 # 9son constantesconocidas. Qesol'er una ecuación esencontrar los 'alores de las incó%nitas

;ue la satisfacen: # se llama solución de una ecuación a cual;uier 'alor de dic)as 'ariables ;ue cumla la i%ualdadlanteada.

,odo roblema matemtico uede e"resarse en forma de una o ms ecuaciones:no todas las ecuaciones tienen solución: #a ;ue es osible ;ue no e"ista nin%ún'alor de la incó%nita ;ue )a%a cierta una i%ualdad dada. ,ambin uede ocurrir;ue )a#a 'arios o incluso infinitos 'alores ;ue la satisfa%an.

En el caso de ;ue cual;uier 'alor de la incó%nita )a%a cumlir la i%ualdad: lae"resión se llama identidad

E+emlosC2 x +4=10( Ecuación lineal o rimer %rado2 x

2+ x +5=9( Ecuación cuadrtica o de se%undo %rado3 x

3+5 x 2 – 2 x+1=8 ( Ecuación de tercer %rado

49

/o se debeconEundir losmiembros de unaecuaci.n con sustGrminos) +stos!nicamente soniguales cuando enun miembro de unaecuaci.n sepresenta una solacantidad)

os tGrminos Due no

-rimer miembro :egundomiembro

3 x−1=9+ x


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P&LPIEDADES DE 4A IG+A4DADSupongamos Oue a , b , c son n.meros reales 8aria"les o e3presionesalge"raicas

Qefle"i'aC a=aSimtricaC a=b⇒b=a,ransiti'aC a=b ' b=c⇒a=crinciio de sustituciónC Si a=b : entonces a uede ser sustituida or b en cual;uier e"resión donde inter'en%a a

#- Ecuación lineal con una 8aria"leSean a , b , c constantes reales con a & 0 . Se llama ecuación lineal o de rimer %rado con una 'ariable a toda ecuación de la forma ax+b=cE+emlosC

a¿−3 x+2=0

b ¿ 35

( x−2 )=0

os ecuaciones lineales con una 'ariable son e;ui'alentes si tienen el mismocon+unto solución.

ara resol'er ecuaciones lineales usaremos el conceto de ecuacionese;ui'alentes. ara esto \transformaremos\ la ecuación ori%inal en otrase;ui'alentes a ella: )asta obtener una ecuación de la forma x=c : donde x es una incó%nita # c es una constante real.

,ransformaciones ;ue se ueden usar ara obtener ecuaciones e;ui'alentes

entre síC1. ermutar miembros de la ecuación.ax+b=c Es e;ui'alente a c=ax+b

2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la i%ualdad.ax+b=c Es e;ui'alente a ax+b+d=c+d

3. 6ultilicar ambos miembros de la i%ualdad or un mismo número diferentede cero.

ax+b=c Es e;ui'alente a d (ax+b)=dc con d &0

*a resolución de roblemas es la arte esencial de la educación matemtica #a;ue ermite combinar elementos de conocimiento: re%las: tcnicas destre!as #concetos re'iamente ad;uiridos ara dar una solución a una situación nue'a.Es una actitud co%niti'a comle+a ;ue caracteri!a una de las acti'idades )umanasms inteli%entes.

En 1945


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camino de una didctica de la resolución de roblemasC >comrensión delroblema: concebir el lan de solución: e+ecutar el lan de solución # e'aluar lasolución?.

%- Solución de una ecuación lineal con una 8aria"le

ara encontrar la solución de una ecuación se alica la roiedad uniforme de lasi%ualdades. Si en los dos miembros de una i%ualdad se suma: se resta: semultilica o se di'ide un mismo número: la i%ualdad se conser'a. Esto es:

)i a=b entonces , • a+c=b+c • a−c=b−c• a∗c=b∗c • a % c=b % c s i c & 0

Dual;uier trmino de una ecuación se uede asar de un miembro a otrocambindosele el si%no. Esto es:

• x+a=b⟹ x=b−a • x−a=b⟹ x=b+a

1. Elimine todas las fracciones multilicando cada lado or el mínimo común denominador.

2. uitar arntesis en caso de )aber.3. Simlifi;ue los trminos seme+antes: usando la

roiedad aditi'a de la i%ualdad ara lo%rar ;ue laecuación ten%a la formaC ax=b

4. ese+e la 'ariable mediante la roiedad multilicati'ade la i%ualdad

5. Verifi;ue el resultado con la ecuación ori%inal

E+emlosCQesuel'a las ecuacionesC

a ¿ 2 x +3=5ASimlificamos los trminos seme+antes usando la roiedadaditi'a

2 x+3−3=5−3⟹2 x=2A/sando la roiedad multilicati'a

2 x ( 12 )=2(12 )⟹ x=1ADomrobación

2 (1 )+3=5⟹5=5)olución con la calculadora lacomprobación

resiona2 ! + 3

5

AEl con+unto solución es )={1 }

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b ¿ 12=−2 (2 x−6 )Arimero ;uitamos arntesis multilicando or A1/2

12(−12 )=−2 (2 x−6 )⟹−6=2 x−6A6ediante la roiedad aditi'a.−6 +6=2 x−6 +6⟹0=2 xA/sando roiedad multilicati'a.

0(−12 )=2 x (−12 )⟹0= xAor la roiedad refle"i'a.

x=0

ADomrobación

12=−2 [2 (0 ) ]−6⟹12=12

Comprobación conlacalculadora

resiona 2 ' 2 !

− 6 12

AEl con+unto solución esC )= {0 }&esolución de ecuaciones de la orma ax. b=c

ara resol'er ecuaciones de la forma ax+b=c : se reali!a la transosición detrminos # a continuación se di'ide cada miembro de la ecuación entre elcoeficiente de la incó%nita. 7sí:

ax+b=c⟹ax=c−b⟹ x= c−ba

ax−b=c⟹ax=c+b⟹ x=c+b

a

,cnicas ara la resolución de roblemas de alicación

1. Si el roblema se e"resa or escrito: lalo con cuidado 'arias 'eces #considere los datos +unto con la cantidad desconocida ;ue )a deencontrarse.

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2. ntrodu!ca 'ariables ara denotar las cantidades desconocidas. Este es unode los asos ms imortantes en la solución.

3. Si es necesario )a%a un dibu+o ara darse una idea.4. *iste los datos conocidos # sus relaciones con la cantidad desconocida.5. @ormule una ecuación ;ue describa con recisión lo ;ue se e"resa en

alabras.$. Qesuel'a la ecuación formulada.-. Domruebe las soluciones obtenidas consultando el enunciado ori%inal del

roblema.

E+emlosC

a ¿ Sobre la 'ida de iofante >25 d. de D.? aarece en los si%los V o V unei%rama al%ebraico ;ue constitu#e una ecuación lineal # diceCY,ranseúnte: staes la tumba de iofanteC es l ;uien con esta sorrendente distribución te dice elnúmero de a(os ;ue 'i'ió. Su +u'entud ocuó su se"ta arte: desus durante la

docea'a arte su me+illa se cubrió con el rimer 'ello. asó aún una stima artede su 'ida antes de tomar esosa #: cinco a(os desus: tu'o un recioso ni(o;ue: una 'e! alcan!ada la mitad de la edad de su adre: ereció de una muertedes%raciada. Su adre tu'o ;ue sobre'i'irle: llorndole durante cuatro a(os. etodo esto: deduce su edad\.

Solución• Sea x la edad ;ue 'i'ió iofante.• Su +u'entud ocuo una se"ta arte de su 'ida.

x6

• esus: durante la docea'a arte su me+illa se cubrió de 'ello.

( x6 + x12 )• asó una stima arte de su 'ida antes de tomar esosa.

( x6 + x12 )+ x7• Dinco a(os desus: tu'o un recioso ni(o.

( x6 + x12 )+ x7 +5• /na 'e! alcan!ada la mitad de la edad de su adre: ereció de una muerte

des%raciada.

[( x6 + x12 )+ x7 +5]+ x2• Su adre tu'o ;ue sobre'i'irle: llorndole durante cuatro a(os.

[( x6 + x12 )+ x7 +5]+ x2 +4• e todo esto: deduce su edad.

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*a e"resión anterior reresenta en suma la 'ida de iofante: lue%oC

[( x6 + x12 )+ x7 +5]+ x2 +4= x x

6 +

x

12 +

x

7 +

x

2 +

9

1 = x⟹

14 x +7 x +12 x +42 x +756

84 = x

75 x +75684

= x⟹75 x+756=84 x⟹84 x−75 x=756

9 x=756⟹ x =756

9 =84

Interpretación:• c)enta # cuatro a(os fue la edad de iofante.• Su +u'entud ocuó una se"ta arte de su 'ida.84

6 =14años .

Comprobaciónconlacalculadoraresiona

0 % 6 !

14

• esus: durante la docea'a arte su me+illa se cubrió de 'ello.84

6 +

84

12=14+7=21años.

Comprobaciónconlacalculadora

resiona 84 % 6 %21

• asó una stima arte de su 'ida antes de tomar esosa.84

6 +

84

12+

84

7 =14+7+12=33años.

Comprobaciónconlacalculadoraresiona

84 % 6 %

84 % 733

• Dinco a(os desus: tu'o un recioso ni(o.84

6 +

84

12+

84

7 +5=14+7+12+5=38años.

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resiona8 ! 4 7 '

21 −144

Interpretación:• 4 )ombres a 8 monedas resulta 32 monedas: 1$ mu+eres a - monedas

resulta 112 monedas: entonces 32 ]112 H144 monedas.

c ¿ 7l re%untrsele a it%oras or el número de sus alumnos: dio la si%uienteresuestaC Y*a mitad de mis alumnos estudia 6atemtica: la cuarta arte estudia@ísica: la stima arte arende @ilosofía # aarte de stos )a# tres ancianosZFuedes deducir cuntos alumnos tenía el famoso matemtico %rie%oG

Solución• Sea * el número total de alumnos ;ue tiene it%oras. *a mitad de sus

alumnos estudia 6atemtica: esto lo e"resamos or *2

. *a cuarta arte

estudia @ísica imlica *4

.

• *a stima arte estudia @ilosofía seria *7

# tendríamos ;ue a(adir a los

tres ancianos. *2

+ *4

+ *7

+3= *

*2

+ *4

+ *7

+3− *=0⇒28 *+14 *+8 *+168−56 *

56 =0

50 *+168−56 *56

=0⇒−6 *+168

56 =0⇒−6 *=−168⇒ *=

−168−6

*=28

Interpretación:Estudian 6atemtica.

*2

=28

2 =14 :

Estudian @ísica *4

=28

4 =7 :

Estudian @ilosofía. *7

=28

7 =4 .

Sumando tenemosC 14]-]4]3H28 alumnos.

Comprobaciónconlacalculadora

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resiona04 7 4

28

Clase pr!ctica 7

Qesuel'a las si%uientes ecuaciones lineales. Verifica la i%ualdad )aciendo uso dela calculadora.

1¿14− (5 x−1 ) (2 x+3 )=17−(10 x+1 ) ( x−6 )

2 ¿ ( 4−5 x) (4 x−5 )=(10 x−3 ) (7−2 x )

3¿−3 (2 x+7 )+ (6−5 x )−8 (1−2 x )= ( x−3 )

4 ¿184−7 (2 x+5 )=301+6 ( x−1 )−6

5¿14 x−(3 x+2 )−10=10 x−1

6 ¿ (5−3 x )−(−4 x +6 )=5 x+17

7¿ – ( x−1− (2 x+5 ) )= x

Qesuel'a los si%uientes roblemas.

1¿ /n estudiante de un curso de l%ebra obtiene notas de -5: 82: -1 # 84 enlos e"menes. Fu calificación en sus si%uientes ruebas ele'ar su romedio a8G

2 ¿ /na ersona uede intar un muro en 5 )oras: otra lo )ace en $ )oras #una tercera ersona tarda 12 )oras en intar el mismo muro. FDunto tardarían sila intaran entre las tres ersonasG

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3 ¿ El dí%ito de las unidades de un número de 2 dí%itos es 5 ms ;ue el dí%itode las decenas. Si el número ori%inal se di'ide or el número con los dí%itos

in'ertidos: el resultado es3

8 . Encuentre el número ori%inal

4 ¿ En cierta rueba mdica dise(ada ara medir la tolerancia a loscarbo)idratos: un adulto in%iere - on!as >o!? de una solución %lucosa al 3^Bcuando la rueba se alica a un ni(o: la concentración de %lucosa debe disminuiral 2^. FDunta solución de %lucosa al 3^ # cunta a%ua se necesita a fin derearar - o! de una solución de %lucosa al 2^G

5 ¿ El a%ua cubre el -.8^ de la suerficie terrestre: es decir: cerca de361 (106 ) #m2 . Dalcula aro"imadamente la suerficie total de ,ierra.

6 ¿ Seiscientas ersonas asisten a resenciar el estreno de una elícula. *os

boletos ara adultos cuestan D_ 5 # los ni(os D_ 2. Si la ta;uilla recibió un totalde D_ 24: FDuntos ni(os asistieron al estrenoG

7 ¿ *as edades de un matrimonio suman $2 a(os. Si se casaron )ace 1 a(os

# la edad de la no'ia era de la edad del no'io. Fu edad tienen actualmenteG

8¿ `os tiene el doble de dinero ;ue 6art)a # el trile ;ue 6aría. Si `osre%alara D_ 14 a 6art)a # D_ 35 a 6aría: los tres ;uedarían con i%ual cantidad.FDunto dinero tiene cada unoG

9¿ El doble de un número ms el trile de su sucesor: ms el doble delsucesor de ste es 14-. Tallar el número.

10¿ /n traba+ador ercibe D_ 492 de salario desus de restar lasdeducciones: las cuales corresonden a 4^ del sueldo bruto. FDul es el sueldobrutoG

11¿ Tallar dos números enteros ares consecuti'os cu#a suma sea 194.

12¿ *a cabe!a de un e! corresonde al tercio de su eso total: la cola a uncuarto del eso # el resto del cuero esa 4.$ W% FDunto esa el e!G

13¿ /n farmacutico debe rearar 15 mililitros de %otas oftlmicas ara unaciente con %laucoma. *a solución )a de tener un in%rediente acti'o de 2^: eroel farmacutico sólo tiene en e"istencia soluciones al 1^ # 1^. FDunto de cadatio de solución re;uiere la elaboración de la recetaG

14¿ /n reso dice a su carceleroC To# es mi cumlea(os # ni si;uiera scunto tiemo me ;ueda de condena. u casualidad: tambin es )o# mi

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cumlea(os. FDuntos a(os cumlesG Veinticinco. o cumlo cincuenta # cuatro.Saldrs de la crcel el día ;ue #o sea e"actamente el doble de 'ie+o ;ue tú.FDuntos a(os de condena le ;uedan al resoG

0- Ecuación cuadr!tica-

/na ecuación de la forma a x2+bx+c=0 : con a , b , c ϵ R # a & 0 : sedenomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

eendiendo del 'alor de la constante b ' c : las ecuaciones cuadrticas seclasifican en incomletas # comletas.

Ecuacionesincompletas{son aquellasen las cuales b=0 ó c=03 x2−5=0,−2 x2+7=0,−4 x2=0 Ecuaciones completas

{son aquellas en las cualesb & 0 ' c & 0

4 x2+5 x−1=0

Solucionar una ecuación cuadrtica consiste en encontrar los'alores de la incó%nita ;ue )acen 'erdadera la i%ualdad.


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a

x

% @

'%

A 0

B>

%>C

%%'%

A0

>

C

%%

a%

%

%

Soluciones de una Ecuación incompleta con bx=0

Solución de una ecuación cuadr!tica completa

ara resol'er una ecuación comleta: de la forma a x2+bx+c=0 se utili!an tresmtodosC

Solución or factori!ación. Solución or comletación de cuadrados. Solución or fórmula %eneral.

Este último es de nuestro inters ues arenderemos como solucionar ecuacionescuadrticas )aciendo uso de la calculadora./na %enerali!ación del rocedimiento de comletación de cuadrados se )aceutili!ando una e"resión llamada fórmula general o fórmula de la cuadrática&

x=−b .√

b

2

−4 ac2 a &plicando la formula general con una calculadora sencilla

Qecomiendo coiar el e+ercicio en el cuaderno # lue%o introducirlo a la calculadoraa=2,b=−3, c=−6

x=−b .√ b2−4 ac

2 a

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6ED*Q 6E D*Q1. resione : aarecer en la EN resione

0

.

2. 7l )acer esto: en la antalla aarecern las oeraciones6o'erse con la tecla direccional )acia la derec)a: nos aarecer

3. Domo la ecuación a resol'er es de se%undo %rado ulsamos2

:

la ma;uina solicitara los 'alores de los coeficientes a , b ' c .6ED*Q

4. resione la tecla

.ara salir del modo EN resione

0

Qesuel'a

E+emloC1¿ 4 x2−5 x=0a=4 ,b=−5, c=0


6ED*Q 6ED*Q

62

+nno=ns

2 3

Degree

2 3


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resione )acia la derec)a

2 + 1

aarecer x1

resione aarecer x2

resiona # re%resa al 'alor anterior.

x1=0 , x2=1.25

2 ¿ 4 x2−4 x−15=0

a=4 ,b=−4, c=−15

)olución con la calculadora

6ED*Q 6ED*Q


2 + +

05

aarecer x1

resione aarecer x2

.

resiona

resiona # re%resara al 'alor anterior.

x1=2.5 , x2=−1.5

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3 ¿ x2−4 x +13=0a=4 ,b=−4, c=−15


6ED*Q 6ED*Q


2 + 03

aarecer x1

resione aarecer x2

.

resiona # re%resa al 'alor anterior.

x1=2 , x2=2 : en la antalla en la arte suerior aarece R⟺ I : estesímbolo nos indica ;ue la solución es comle+a # el 'alor mostrado tienearte real 2. ebido a ;ue en la escuela secundaria no se abordan losnúmeros comle+os no rofundi!amos ms en el tema. Se conclu#e ;ue laecuación tiene solución en los números reales.

4 ¿12 x2+4=5 xara resol'erlo ll'alo a su forma %eneral: 12 x2−5 x +4=0


6ED*Q 6ED*Q


2 + 5 4

aarecer x1

resione aarecer x2

.

resiona # re%resara al 'alor anterior. x1=0.20833 ,

x2=0.208333 En la antalla en la arte suerior aarece R⟺ I

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5 ) 6aría tiene un eda!o de cartulina con el lar%o i%ual aldoble de anc)o. Si recorta un cuadrado de 2 ul%adas decada es;uina # dobla los lados )acia arriba ara formar unaca+a sin taa: tendr una ca+a con un 'olumen de 14ul%adas3. Talle las dimensiones del eda!o de cartulina.

SoluciónCEs necesario tra!ar un es;uema # )aciendo ;ue "reresente la lon%itud desconocida del lado de la cartulina.

Dada lado de la base de la ca+a tendr una lon%itud i%ual x−2−2= x−4

Domo el rea de la ca+a es ( x−4 )2 # la altura es 2: se tiene el 'olumen de laca+a ¿ 2 ( x−4 )2

*a ca+a debe contener 14 ul%3: or lo tanto

2 ( x−4 )2

=140 lle'ando la ecuación a suforma %eneral tendremos

2 ( x−4 )2=140

2( x2−8 x+16 )=1402 x

2−16 x +32=1402 x

2−16 x +32−140=02 x

2−16 x−108=0


6ED*Q 6ED*Q


2 + 06 +

01

aarecer x1

resione aarecer x2

.

resiona # re%resara al 'alor anterior. x

1

=12.37 ,

x2=−4.37

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Clase Pr!ctica <

Qesuel'a las si%uientes ecuaciones de se%undo %rado con calculadora

0) 6 x

2

+5

x−4

=0

2) x2+5 x +6=03) x2+8 x−12=04) x2−3 x+2=05) 2 x2− x−3=06) x2+2 x=3-. 18 x+ x2+81=0

8. 4 x

2

+5 x−4=09. 18 t 2+5 t −3=01. 18 t 2−t +28=011. t 2−8 t −20=012. t 2+24 t +144=013. t 2−3 t +2=014. x2−5 x−14=015. t 2+3 t −28=0

Qesol'er los si%uientes roblemas e interretar resultados.1¿ /na emresa 'ende cal!ado deorti'o a _4 el ar si se iden menos de 5

ares. Si se iden 5 o ms: )asta $: el recio del ar se reduce a una tasa de_.4 or el número edido. FDuntos ares se ueden comrar con _8 4G

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2 ¿ /n salón de clases rectan%ular tiene -2 asientos.Si stos se reacomodaran con tres asientos ms encada fila: el salón tendría dos filas menores. Talla elnúmero ori%inal de asientos en cada fila.

67

C'/*"(lo

:istemas de +cuacionesineales


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1- 're8e rese9a istórica

esde la anti%edad el roblema de resol'er ecuaciones lineales simultneas #aera ob+eto de inters entre los matemticos: or e+emlo en un te"to de la oca

babilónica anti%ua se encuentra un sistema de dos ecuaciones linealessimultneas con dos incó%nitas: llamadas resecti'amente el rimer anillo de lata# el se%undo anillo de lata.

En la cultura D)ina: la contribución al%ebraica ms imortante fue: sin duda: elerfeccionamiento alcan!ado en la re%la de resolución de sistemas de ecuacioneslineales: se%ún consta en el libro $os nue#e capítulos so"re el arte matemático >a(o 25 a. de D?. En esta obra se establece un mtodo %enrico de resoluciónara todos los sistemas: mu# similar al ;ue )o# conocemos como mtodo de


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*a solución de un sistema de ecuaciones lineales: es el %ruo de 'alores de lasincó%nitas ;ue satisface cada una de las ecuaciones resentes en el sistema. eacuerdo con su solución: un sistema de ecuaciones uede ser comatible oincomatible. Se dice ;ue un sistema es incompati"le si no resenta nin%ún 'alor de las incó%nitas ;ue satisfa%a el sistema. /n sistema es compati"le si tiene

solución. 7dems: si la solución es única el sistema es compati"le determinado:# si )a# ms de una solución: se dice ;ue el sistema es compati"leindeterminado-

E+emloC

{ x +3 '=105 x− '=2 )istemade ecuaciones linealesque se verifica para x=1, '=3

{ x+2 '=102 x+4 '=5 )istemaincompatible , nose verifica para ning+nvalor de x ' ' %- ,6todos para solucionar un sistema de ecuaciones lineales

Qesol'er un sistema de sistema de ecuaciones lineales es )allar los 'alores de lasincó%nitas ;ue satisfacen cada una las ecuaciones resentes en el sistema. *osmtodos ms usuales ara resol'er sistemas de ecuaciones linealesC

,6todo de sustitución:Domo su nombre lo indica: se dese+a una incó%nita de una de lasecuaciones # se sustitu#e en la otra: es lamanera ms natural de resol'er un sistema.

*os asos a se%uir ara resol'er un sistemade dos ecuaciones con dos incó%nitas sonCa? Ele%imos una de las ecuaciones ara dese+ar

una de las incó%nitas en trminos de la otra:en %eneral: es la incó%nita ms fcil dedese+ar.

b? Sustituimos la e"resión obtenida en la otraecuación # nos ;ueda una ecuación en unaincó%nita # se resuel'e.

c? *ue%o: lle'amos este resultado a la ecuacióndese+ada en el aso a¿ ara obtener la

otra incó%nita.d? Verificar la solución obtenida en ambasecuaciones.

,6todo de igualación:1. Se dese+a la misma incó%nita en ambas ecuaciones.2. Se i%ualan las e"resiones obtenidas # se resuel'e la ecuación lineal en

una incó%nita ;ue resulta.

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Algo importante>n sistema n !n , es unsistema de n ecuaciones con n incógnitas#


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3. Se calcula el 'alor de la otra incó%nita sustitu#endo la #a encontrada en unade las ecuaciones dese+adas en el rimer aso.

,6todo de reducción:El mtodo de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno

e;ui'alente. En esencia consiste rimero en 'er si al%una de las incó%nitastiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones: si no es así se trata deacomodar ara ;ue así lo sea. *ue%o: restando o sumando miembro amiembro las ecuaciones: se obtiene una ecuación con una incó%nitamenos: esto ;uiere decir ;ue se redu+o el número de incó%nitas: de allí elnombre de reducción o eliminación.*os asos a se%uir sonC

a? rearamos ambas ecuaciones: multilicando >di'idiendo? or unaconstante >número? adecuada ara ;ue una de las incó%nitas ten%a elmismo coeficiente: sal'o si%no ;ue uede ser ositi'o >o ne%ati'o?: enambas ecuaciones.

b? Qestamos >o sumamos?: se%ún si%no del coeficiente: miembro a miembroambas ecuaciones # con ello desaarece una incó%nita: así reducimos elnúmero de ecuaciones: en nuestro caso a una ecuación.

c? Qesol'emos la ecuación obtenida.d? *ue%o a este resultado lo lle'amos a cual;uiera de las dos ecuaciones

iníciales ara obtener la otra incó%nita >o odemos emlear la mismatcnica ara dese+ar la otra incó%nita?.

,6todo por determinante:*a re%la de Dramer aareció en el andice de su traba+o ms conocidosobre a clasificación de cur'as al%ebraicas. *a re%la e"resa las soluciones

de un sistema de ecuaciones lineales mediante determinantes. 7un;ue lare%la lle'a su nombre: or otros matemticos )abían traba+ado antesalrededor de la idea bsica. Sin embar%o: la notación suerior de Dramera#udo a aclarar # oulari!ar el mtodo.

*a re%la de Dramer e"resa ;ue las soluciones de un sistema deecuaciones se ueden encontrar utili!ando determinantesC

x=| 2 x|| 2|

'=| 2 '|| 2|

onde | 2| es el determinante ;ue se obtiene usando la matri! decoeficientes del sistema: # | 2 x| : | 2 '| son los determinantes ;ue seobtienen al sustituir el termino indeendiente en la columna resecti'a de la'ariable ;ue se est determinando.

| 2|=|a11 a12a21 a22|| 2 x|=|b11 a12b21 a22|| 2 '|=|

a11 b11a21 b21|

,odo EN: Est mtodo lo abordaremos a continuación demanera masdetallada.

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0- ,odo EN para resol8er sistema de ecuaciones

*as calculadoras científicas actuales # ;ue estn accesibles a los estudiantesosee esta función ;ue simlifica el tiemo en la resolución de los sistemas de

ecuaciones lineales de 2! 2 # de 3 !3 . 7 continuación resentaremos losasos a se%uir ara la solución se sistema de ecuaciones lineales.

6E D*Q 6E D*Q

1. resione : aarecer en la antalla EN resione

0

.

2. 7l )acer esto: en la antalla aarecern la función

3. Si el sistema es de 2! 2 : es decir 2 incó%nitas # 2 ecuaciones resiona

2

% si el sistema es de3 !3,

es decir 3 incó%nitas # 3 ecuaciones

resione3

) B continuación la calculadora ir idiendo la

introducción de los coeficientes numricos # se resiona

ara

introducir el si%uiente.

En el caso con 2 incó%nitas {a1 x+b1 '=c1a2 x+b2 '=c2E+emloC

Qesol'erC { 3 x−2 '=52 x+7 '=−30


a1=3,b1=−2,c1=5 3 a2=2, b2=7, c2=−3Estos sern lo ;ue se introducirn a la calculadora.

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+nno=ns

2 3


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6ED*Q 6E D*Q

1. resione : aarecer en la EN resione

0

.

2. 7l )acer esto: en la antalla aarecern las oeraciones

El sistema es de 2! 2 : resiona 2 : resiona 3

− 2 5 2

− 31 en la antalla aarecer

!=−1 resione

# en antalla aarecer '=−4

.

6ED*Q

3. resione0

: ara salir del modo EN.

En el caso con 3 incó%nitas {a1 x+b1 '+c1 *=d1a2 x +b2 '+c2 *=d2a3 x +b3 '+c3 *=d3

E+emloC

Qesol'er

{ x−2 ' +3 *=45 '−10 * =−5

−3 x+4 ' − *=−2

ara resol'er un sistema de 3 !3, es decir 3 incó%nitas # 3 ecuaciones sesi%uen los si%uientes asos.

a1=1, b1=−2, c1=3, d1=4 3a2=0, b2=5, c2=−10,d2=−5 3a3=−3, b3=4, c3=−1, d3=−2

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+nno=ns

2 3


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Estos sern lo ;ue se introducirn a la calculadora.

6ED*Q 6E D*Q

1. resione : aarecer en la EN resione

0 .

2. 7l )acer esto: en la antalla aarecern las oeraciones

3. El sistema es de3 !3

: resiona3

: resiona0

− 2 3 4

5 − 01

− 5 − 3

4 − 0 −

en la antalla aarecer!=4

resione

: en antalla

aarecer '=3

resione

# en antalla aarecer *=2

6ED*Q

4. resione0

: ara salir del modo EN.

73

+nno=ns

2 3

Clase Pr!ctica


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Qesol'er los si%uientes sistemas de ecuaciones lineales: usando la calculadora.

1¿ {2 x+3 '=2 x−2 '=8 2 ¿ {2 x+5 '=163 x−7 '=24 3¿ { 1

3 c+1

2=5

c− 23

d=−1

4 ¿{ 3 m−4 n=2−6 m+8 n=−4

5¿ {2 x+3 '=185 x− '=11

6¿ {2u+ '=120u+2 v=120

7¿ { x−2 '−3 '=−12 x+ '+ *=6 x+3 '−2 *=13 8¿ {4 x+3 '+17 *=05 x+4 '+22 *=04 x+2 '+19 *=0

9¿{ x+2 '−7 *=−42 x+ '+ *=133 x+9 '−36 *=−33

lantear los roblemas # resol'erlo con a#uda de la calculadora.

1¿ /n estudiante imrim 24 %inas en su cuaderno de notas en tres cursosdiferentes. *a diferencia entre las %inas utili!adas ara el rimero # el se%undo

curso es i%ual al número de %inas utili!adas en el tercer curso: mientras ;ue lasuma de las utili!adas entre el se%undo # el tercero es i%ual al número de %inasutili!adas ara el rimero. FDuntas %inas se imrimieron or cada cursoG

2 ¿ Se tienen tres soluciones de cierto cido: la rimera contiene cido al 1^:la se%unda al 3^: la tercera al 5^. /n ;uímico desea emlear las tres araobtener 5 litros de una solución ;ue conten%a 32^ del cido. Si desea usar eldoble de la solución al 5^ ;ue la de 3^ FDuntos litros debe usar de cadasoluciónG

3 ¿ Se clasificó una oblación de %atos sal'a+es en cac)orros >menores de 1 a(ode edad? # en adultos >mínimo 1 a(o?. ,odas las )embras adultas inclu#endo lasnacidas en el a(o anterior: tienen una camada cada +unio: con una role romediode 3 %atitos. Se estima ;ue: en cierta !ona: la oblación de %atos monteses enrima'era es $: # ;ue la relación mac)o a )embra es 1. Dalcule el número deadultos # %atitos en la oblación.

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4 ¿ Nelson se arries%a a re%untar la edad a su no'ia # ella le resondeC ,en%oel doble de edad de la edad ;ue tú tenías cuando #o tenía la ;ue tú tienes:sabiendo ;ue cuando tú ten%as la ;ue #o ten%o nuestras edades sumarn $3a(os. FDules sern las edades de esta are+aG

5 ¿ En una elu;uería: el corte de elo cuesta $ córdobas ara )ombre # 8córdobas ara mu+er. Si se )acen el corte 5 ersonas en un día # a%an en total3 $ córdobas: FDuntos )ombres # mu+eres se cortaron el elo ese díaG

6 ¿ En un testamento dice lo si%uienteC Y,en%o 1 )erederos )ombres # 2)erederos mu+eres. uiero ;ue mi fortuna: ;ue es de D_ 1 : se rearta dela si%uiente formaC ,odos los )ombres recibirn i%ual cantidad de dinero comotambin las mu+eres. *as cantidades ;ue les to;ue a cada )ombre # a cada mu+erdeben ser tales ;ue si se intercambian los aeles de )ombres # mu+eres alreartir la )erencia se a%otaría e"actamente toda la fortunaZ. /sted es la ersonaencar%ada de )acer la 'oluntad de la ersona del testamento. FDómo reartiría la

)erenciaG7 ¿ *a suma de los dí%itos de un número natural de tres dí%itos es 8. Si las cifras

de las decenas # las centenas se intercambian: el nue'o número ;uedaaumentado en 2- con resecto al ori%inal. Si se intercambian los dí%itos de lasdecenas # las unidades: el nue'o número ;ueda disminuido en 9 >con resecto alori%inal?. Enc$ntrar el número.

2- ,atrices $ Determinantes

ara resol'er sistemas de ecuaciones: recurrimos a los coeficientes # trminosconstantes # efectuamos clculos en ellos. esus de ;ue las ecuaciones se )anescrito en la forma 4x+5'=C : las 'ariables no deseme(an nin%ún ael deimortancia en el roceso )asta ;ue determinamos la solución.

*as matrices aarecen or rimera 'e! )acia el a(o 185: introducidas or `.`.S#l'ester . El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemtico 0.Q. Tamilton en1853. En 1858: 7. Da#le# introduce la notación matricial como una formaabre'iada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incó%nitas.

7arecen de forma natural en %eometría: estadística: economía: informtica:física: medicina: etc. 7ctualmente con el uso de las comutadoras: lasoeraciones con matrices son de lo ms común: su alicación se da en todas lasreas del conocimiento

/na matri! es un %ruo de elementos >casi siemre números? debidamenteordenados en filas # columnas. En matemticas: una matri! es un arre%lorectan%ular de números o cantidades abstractas: ;ue ueden sumarse:multilicarse # descomonerse de 'arias formas.

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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/wrhamilton.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/acayley.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/wrhamilton.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/acayley.html


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Se llama matri! de orden (m x n) a todo con+unto rectan%ular de elementos ai6disuestos en m líneas )ori!ontales >filas? # n líneas 'erticales >columnas?.*as 'amos a denotar con letras ma#úsculas del alfabetoC

4=( a11 a12 a13⋯ a1 na21 a22 a23⋯ a2 n⋯⋯⋯⋯

am1 am2 am3⋯ amn)

7bre'iadamente suele e"resarse en la forma 4=( ai6 ) : con i=1,2,. , m # 6=1,2,. , n . *os subíndices indican la osición del elemento dentro de la matri!:i denota la fila # 6 la columna.*os elementos aii ertenecen # definen la

dia%onal rincial de la matri!.

E+emlos

4=(2 2 1

2 2 4

-1 1

2 -1)5=(

1

-2

0 )C =(3 -1 80 5 -9 )

7l%unos tios de matricesC

• 8atriz CuadradaC Es a;uella en la cual coinciden el número de filas #columnas: es decir m=n . En estos casos se dice ;ue la matri! escuadrada de orden n .

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E9emplos

7 =(1 2 -34 0 53 -1 2

) / =(8 -46 9 )*os números 1,0, ' 2 forman la dia%onal rincial de la matri! 7 : −4 ' 6 forman la dia%onal secundaria de la matri! N -

• 8atriz Identidad7 *a matri! cuadrada ;ue tiene i%uales a uno los elementosde dia%onal rincial e i%uales a ceros todos los elementos restantes: seconoce como matri! identidad # se denota or .

ara cual;uier matri! cuadrada 4 : se cumleC 4 I = I 4= 4

I 2 8 2=(1 00 1) I 3 8 3=(1 0 00 1 00 0 1

):i todos los elementos de la matriz son cero, se denomina matriz nula

92 8 2=(0 00 0)93 8 3=(0 0 00 0 00 0 0

)*as matrices nulas no necesariamente deben ser cuadradas.

• 8atriz 4iagonal7 /na matri! cuadrada es dia%onal: si al menos un elementode la dia%onal rincial es diferente de cero e i%uales a cero los elementosrestantes.

E+emlos

E=(3 0 00 -1 00 0 7

) F =(4 00 -3):=(7 ¿-2 ¿5)• 8atriz :im5trica7 /na matri! cuadrada es simtrica si ai6=a 6i

E+emlos

4=(1 -3 5-3 2 15 1 4

) I =(1 0 00 1 00 0 1

) # =(-4 99 -8)• 8atriz ;nti:im5trica7 /na matri! cuadrada es antiAsimtrica si ai6=−a 6i #

los elementos ai6=0

• 8atriz Transpuesta7 *a transuesta de una matri! 4 consiste enintercambiar las filas or las columnas # se denota or 4; . En otras

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alabras: si 4=( ai6 ) es una matri! (mxn ) : entonces 4=(a 6i; ) es una

matriz (nxm ) &E9emplos

4=

(3 -1 4

2 5 -7

-6 0 9

)⟹ 4

; =

(3 2 -6

-1 5 0

4 -7 9

)*a trasuesta de una matri! cumle las si%uientes roiedadesC1- ( 4+5); = 4; + 5;

#- ( 4; ); = 4

%- ("4 ); =" 4 ; , " ∈ R0- ( 45 ); =5; 4;

,ambin odemos definir la simetría # antiAsimetría de una matri! cuadrada entrminos de la matri! trasuesta. Si 4 ; = 4 , entonces 4 es sim5trica y antisim5trica si 4 ; =− 4E+emlos

a¿

Domo 4= 4 t entonces es simetrica.

Si en la matri! 4 tra!amos la dia%onal rincial # doblamos el ael or la ra#aro+a: obser'aremos ;ue los números de la arte suerior de 4 : coinciden con

los de la arte inferior: or tanto la línea se denomina e+e de simetría.b¿

5=(0 3 -4-3 0 54 -5 0

)y 5; =(0 -3 43 0 -5-4 5 0

)& no es simtrica: ero 5; =−5 : entonces 5 es anti sim5trica&

c ¿

C =(−3 0 16 −7 9)*a matri! C no es cuadrada: or tanto no es simtrica ni antiAsimtrica

8atrices Triangulares7 /na matri! cuadrada de orden n se dice ;ue estrian%ular suerior si todos los elementos ba+o la dia%onal rincial sonceros.

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Se dice matri! trian%ular suerior si todos los elementos sobre la dia%onal sonceros

)=(5 0 03 -1 0-4 -5 6

); =(-9 0-7 5)8atriz Escalonada7 Se dice ;ue una matri! es escalonada cuando alrinciio de una fila )a# un cero ms ;ue en la fila anteriorC

b

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