Mecânica dos Materiais

Torção

Tradução e adaptação: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.

Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

3 - 2

Esforços de Torção em veios circulares

3 - 3

Tensões de corte

• Um momento torçor aplicado ao veio origina tensões de corte nas faces perpendiculares ao eixo axial.

• As condições de equilibrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm o eixo do veio.

3 - 4

• O ângulo de torção no veio é proporcional ao momento troçor aplicado T e ao comprimento do veio L.

L

T

∝

∝

φ

φ

Deformações por torção em veios

• Num veio circular sujeito a torção, as secções transversais mantém-se planas e circulares, porque o veio circular é axisimétrico.

• As secções transversais de veios não-circulares (não axisimétricos) sofrem distorção quando sujeitos a torção.

convenções

3 - 5

3 - 6

Tensão de corte

• Considere-se o elemento representado num veio de secção circular. Quando um momento torçor é aplicado, o elemento considerado sofre uma deformação como se representa na figura.

• A deformação de corte é proporcional ao ângulo de torção e ao raio do veio:

maxmax e γρ

=γφ

=γcL

c

LL

ρφ=γρφ=γ ou

• Dado que as extremidades do elemento se mantêm planas, a deformação de corte γ é igual ao ângulo de torção φ:

3 - 7

Tensões no domínio elástico

Jc

dAc

dAT max2max τρ

τρτ ∫ =∫ ==

• Notando que o somatório dos momentos da distribuíção de tensões de corte tem de equilibrar o momento torçor aplicado ao veio na secção em causa,

421 cJ π=

( )41

422

1 ccJ −= π e maxJ

T

J

Tc ρ=τ=τ

• Obtendo-se:

• Multiplicando a equação anterior pelo módulo de distorção de corte G:

maxγρ

γ Gc

G =

maxτρ

τc

=

Da Lei de Hooke, γτ G= , e então

A tensão de corte varia linearmente com a cota radial da secção transversal.

3 - 8

Tensões normais

• Os elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo do veio estão sujeitos apenas a tensões de corte. Para outras orientações, podem surgir tensões normais, ou combinações de tensões de corte com tensões normais.

( )

max0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o ττ

σ

ττ

===

==

A

A

A

F

AAF

• Se considerarmos um elemento orientado a 45o

com o eixo do veio, temos

• O elemento a está sujeito a corte puro

• O elemento c está sujeito a tensões normais de tracção em duas faces e de compressão nas outras duas.

3 - 9

Modos de falha por torção

• Os materiais dúcteis normalmente sofrem falha por tensões de corte. Os materiais frágeis são menos resistentes em tracção que em corte.

• Quando sujeito a torção, um provete de um material dúctil, rompe ao longo de um plano de tensões de corte máximas, ie. num plano perpendicular ao eixo do veio.

• Quando sujeito a torção, um provete de um material frágil, rompe ao longo de planos perpendiculares à direcção na qual a tensão normal de tracção é máxima, ie. ao longo das superfícies que fazem 45o com o eixo longitudinal do veio.

Exemplo – diagrama de momentos torçores

3 - 10

Diagrama de momentos torçores

3 - 11

Exemplo

3 - 12

Cont.

3 - 13

3 - 14

O veio BC tem uma secção circular ôca com diametro interior 90 mm e diametro exterior de 120 mm.

Os veios AB e CD são de secção circular maciça com diamtero d.

Para os carregamentos ilustrados na figura, determinar:

(a) As tensões de corte no veio BC,

(b) O diametro minimo d para os veios AB e CD se a tensão de corte admissivel para o material destes veios for 65 MPa.

Exemplo 3.1

3 - 15

SOLUTION:

• Considerar secções nos veios AB e BC e efectuar o equilibrio estático para calcular os momentos torçores aplicados em cada troço do veio:

( )

CDAB

ABx

TT

TM

=⋅=

−⋅==∑

mkN6

mkN60 ( ) ( )

mkN20

mkN14mkN60

⋅=

−⋅+⋅==∑

BC

BCx

T

TM

Exemplo 3.1 cont.

3 - 16

• Tensões de corte no veio BC

(veio circular ôco)

( ) ( ) ( )[ ]46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

−×=

−=−=ππ

ccJ

( )( )

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

=

×

⋅===

−J

cTBCττ

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

=

==

τ

τ

τ

τ

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

=

=

τ

τ

Exemplo 3.1 cont.

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• Para o veio AB (ou CD), sabendo a tensão de corte admissivel, calcular diametro d minimo:

m109.3865mkN6

65

33

2

max

42

max

−

π

π

×≥⇒≤⋅

=τ≤τ

==τ

cMPac

MPa

c

Tc

J

Tc

adm

mm8.772 == cd

Exemplo 3.1 cont.

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Angulo de torção no domínio elástico

• Relação entre o ângulo de torção e a distorção de corte máxima:

L

cφγ =max

• No domínio elástico, a deformação de corte e a tensão de corte são relacionadas pela Lei de Hooke:

JG

Tc

G== max

maxτ

γ

• Igualando e resolvendo em ordem ao ângulo de torção:

JG

TL=φ

• Se os momentos torçores e/ou a secção do veio variarem ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção será dado por:

∑=i ii

ii

GJ

LTφ

Exemplo

3 - 19

Os dois veios em aço representados na figura estão acoplados através da

engrenagem. Determinar o angulo de torção da extremidade A do veio AB

quando é aplicado um binário T=45 Nm.

O veio AB é livre de rodar nas chumaceiras E e F, enquanto o veio DC está fixo

em D. Todos os veios têm um diametro d=20 mm e são maciços.

G=80GPaResp.: +0.0850 rad

Cont.

3 - 20

Cont.

3 - 21

3 - 22

• Sendo dados as dimensões do veio e os momentos torçores aplicados, pretende-se calcular os momentos de reação nos apoios A e B.

Veios estaticamente indeterminados

• Efectuando a análise de corpo livre do veio:

temos apenas uma equação, que não é suficiente para calcular os momentos em A e B: problema

estaticamente indeterminado

CBA TTT =+

CAA TTJL

JLT =+

12

21

• Substituindo na equação de equilibrio anterior:

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 00 =⇒=−⇒=φ+φ

• Vamos dividir o veio em duas partes e impor a compatibilidade de deformações em C:

TC

TC

L1

L2

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3 - 24

3 - 25

Projecto de veios de transmissão

• As principais especificações para um veio de transmissão são:

- potência- velocidade

• Determinar o binário aplicado ao veio para uma especificada potência e velocidade de rotação:

f

PPT

TfTP

π=

ω=

π=ω=

2

2

• Calcular a secção transversal do veio:

( )

( ) ( )ôcos circulares veios2

maciços circulares veios2

max

41

42

22

max

3

max

τ=−

π=

τ=

π=

=τ

Tcc

cc

J

Tc

c

J

J

Tc

• O projectista tem de selecionar o material para construção do veio e determinar a secção transversal do mesmo por forma a garantir as especificações pretendidas, sem que sejam excedidas as tensões de corte admissiveis para o material seleccionado.

Nota: neste capitulo considera-se apenas o caso de veios de trasnmissão sujeitos exclusivamente a esforços de torção.

3 - 26

Concentração de tensões

• A obtenção da equação

foi baseada na torção de um veio de secção circular com secção uniforme e em que as secções tranversais se mantêm planas.

J

Tc=maxτ

J

TcK=maxτ

• Os factores de concentração de tensões são aplicados através da equação:

• A necessidade da utilização de acoplamentos, flanges, engrenagens, roldanas, tambores, etc. ligados aos veios através de chavetas ou outros processos que implicam descontinuídades e reduções de secção podem causar concentrações de tensão.

Concentração de tensões

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Concentração de tensões (cont.)

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Exemplo

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P.5-44 pag. 207, Hibbeler, 5th ed. (adaptado)O navio hidrofoil representado na figura possui um veio fabricado em aço S355 EN10025, com um comprimento de 100ft. Está ligado em linha a um motor diesel com uma potencia máxima de 2500 hp para uma velocidade de rotação no veio de 1700 rpm. Sendo o veio de secção circular ôca com um diametro exterior de 203 mm e uma espessura de parede de 9.5 mm, determine a tensão de corte máxima no veio. Determine também o angulo de torção no veio para a potencia máxima.

Torção de secções não axisimétricas

3 - 30

3 - 31

3 - 32

Torção de secções não-circulares

• Para relações elevadas de a/b, a tensão de corte máxima e o ângulo de torção para outras “secções abertas” são as mesmas que para a secção rectangular.

Gabc

TL

abc

T3

22

1max == φτ

• Para secções transversais rectangulares:

• As equações anteriores são válidas apenas para a torção de veios com secções axisimétricas

• As secções transversais planas de veios não circulares não se mantêm planas e as tensões e deformações não variam linearmente.

Torção de secções não-circulares (cont.)

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3 - 34

Torção de secções fechadas com paredes finas

• Somando as forças na direcção x em AB,

a tensão de corte varia inversamente com a espessura da parede da secção.

( ) ( )

corte de fluxo

0

==τ=τ=τ

∆τ−∆τ==∑qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

( ) ( )

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

=

===

====

∫∫

τ

τ

• Cálculo do binário de torção a partir do integral dos momentos elementares resultantes da tensão de corte na parede:

∫=t

ds

GA

TL24

φ

• Ângulo de torção (Cap. 11)

Problema

3 - 35

Os 3 eixos circulares maciços, encontram-se ligados por engrenagens conforme representado na figura.Sabendo que todos os eixos têm o mesmo diâmetro de 19 mm e que o módulo de elasticidade transversal é G = 75.8 GPa, determine:

a) O ângulo de torção da extremidade A

b) O ângulo de torção da extremidade E

Problema

3 - 36

O trem de engrenagens da figura transmite uma potência de 7.5 kW, do motor em A à máquina em F.

Considerando a frequência do motor de 30 Hz, e uma tensão de corte admissível de 60 MPa para o material utilizado nos veios, determinar os diâmetros dos diferentes veios.

(dAB=15 mm, dCD=20.4 mm, dEF=27.6 mm)

Problema

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φB = 0.648ºφC = 0.486º

Problema

3 - 38

Problema

3 - 39