MODULO 2 FACTORIZACIONES2ºmedio

8/14/2019 MODULO 2 FACTORIZACIONES2medio

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EJERCICIOS I.- Halla el factor comn de los siguientes ejercicios :

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9.b4-b3 =

10.4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20. =22

9

8

4

3xyyx

21. =++24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa

22. =+ babaabba3322

25

16

15

8

5

12

35

4

SEGUNDO CASO.- FACTORIZACION POR AGRUPACION DE TERMINOS

En este caso hay algunos trminos que tienen factores comunes, entonces se deben agrupar deacuerdo al trmino comn, igual que en el primer caso, luego se debe expresar como el producto delbinomio o polinomio comn.

EJEMPLOS.-

1) Factorizar byaybxax +++

En el primer y segundo trmino el factor comn es xY en el tercer y cuarto trmino el factor comn es y.

Agrupamos :(a x+ b x)+(a y + b y)

FACTORIZAMOS LOS DOS PRIMEROS POR X Y LOS DOS SIGUIENTES POR Y

x(a + b) + y( a+ b) SI OBSERVAS APARECIO UN BINOMIO COMUN

( ) ( )yxba ++ AHORA QUEDO COMO UN PRODUCTO.

2) Factorizar nmmnm 8463 2 +

En el primer y segundo trmino el mxmimo comn divisor entre el 3 y 6 es 3 y el factor literalcomn es m y su menor exponente es 1.

En el tercer y cuarto trmino el mximo comn divisor es 4 y no tienen factores literalescomunes.

( ) ( )nmnmm 2423 + binomio comn ( m 2n)

( ) ( )432 + mnm ahora esta expresado como un producto.


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3) Factorizar yxxaxyyaaxxa 23222 222 ++

El primer y tercer trmino tienen en comn 2a , el segundo y cuarto trmino tienen encomn la a y la x , y el quinto y sexto trmino tienen en comn la x y su menor exponente es dos.

( ) ( )yxxaxyaxyaxa23222 22)2( +++

( ) ( ) ( )yxxyxaxyxa 222 22 +++ debes hacer un cambio de signo en el segundo binomio

( ) ( ) ( )yxxyxaxyxa 222 22 + binomio comn (x 2y)

( ) ( )222 xaxayx + ahora esta expresado como un producto.

EJERCICIOS :23. a2 + ab + ax + bx = 24. ab + 3a + 2b + 6 =

25. ab - 2a - 5b + 10 = 26. 2ab + 2a - b - 1 =

27. am - bm + an - bn = 28. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

29. 3x2 - 3bx + xy - by = 30. 6ab + 4a - 15b - 10 =

31. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 32. a3 + a2 + a + 1 =

33. ac - a - bc + b + c2 - c =

34. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =35. ax - ay - bx + by - cx + cy =

36. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

37. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

38. =++ zxyzxyxzx 753143

3

10

4

21

4

15 2

39. =+ bnbmamam5

16

5

4

3

8

3

2

TERCER CASO.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

Si se tiene una diferencia(resta) entre dos cuadrados perfectos, esto es equivalente a una suma por

diferencia.

( ) ( )bababa += 22

EJEMPLOS.-

1) ( ) ( ) 222 416 xx son cuadrados perfectos ( ) ( )44 + xx

2) ( ) ( ) ( ) ( )727272494 222 + mmmm

3)

+

8

6

4

3

8

6

4

3

64

36

16

9 2aaa


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EJERCICIOS:

40. 9a2 - 25b2 = 41. 16x2 - 100 =

42. 4x2 - 1 = 43. 9p2 - 49q2 =

44. 36m2n2 - 25 = 45. 49x2 - 64t2 =

46. 169m2

- 196 n

2

= 47. 121 x2

- 144 k

2

=48. = 22 b

36

49a

25

949. = 44 y

16

9x

25

1

50. 3x2 - 12 = 51. 5 - 180f2 =

52. 8y2 - 18 = 53. 3x2 - 75y2 =

54. 45m3n - 20mn = 55. 2a5 - 162 a3 =

CUARTO CASO.- TRINOMIO ORDENADO DE LA FORMA cbxax ++2 , donde a es un cuadradoperfecto, es decir tiene raz cuadrada exacta.

Esta expresin se transforma en un producto de binomio cuyo trmino comn es la raz de a,luego se deben encontrar dos nmeros que multiplicados den como resultado el valor de c y que sumados

den el valor de b.

Si C es positivo indica que los signos de los binomios son iguales y B indica cual es el signo.

Si C es negativo indica que los signos de los binomios son distintos y Bindica el signo del nmero

mayor.

EJEMPLOS.-

1) Factorizar 40132 + aa

El cuadrado perfecto es a, entonces el trinomio se transforma en un producto de binomio con un

trmino comn que es a ,y como 40 es positivo indica que los signos de los binomios son iguales y

como 13 es negativo ,entonces los dos son negativos.

Se deben encontrar dos nmeros que multiplicados den 40 y que sumados den 13

( ) ( ) ( )( )8585852 =++ aaaa

2) Factorizar 1452 xx

Cuadrado perfecto x 14 es negativosignos distintosresta

5 es negativosigno del nmero mayor

( ) ( )57 + xx

3) Factorizar 84525 2 + xx cuadrado perfecto 225x y es el cuadrado de 5x,este es el trmino comn

( ) ( ) 85952

+ xx se deben encontrar dos nmeros que multiplicados den 8 y que Sumados den 9.

Este Indica signos


5/10

signo iguales

( ) ( )8515 xx

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

56. x2 + 4x + 3 = 57. a2 + 7a + 10 =

58. b2 + 8b + 15 = 59. x2 - x - 2 =60. r2 - 12r + 27 = 61. s2 - 14s + 33 =

62. h2 - 27h + 50 = 63. y2 - 3y - 4 =

64. x2 + 14xy + 24y2 = 65. m2 + 19m + 48 =

66. x2 + 5x + 4 = 67. x2 - 12x + 35 =

68. b2 - 12b + 36 = 69. 25x2 + 70xy + 49y2 =

70. m2 - 2m + 1 = 71. x2 + 10x + 25 =

72. 16m2 - 40mn + 25n2 = 73. 49x2 - 14x + 1 =

74. 36x2 - 84xy + 49y2 = 75. 4a2 + 4a + 1 =

76. 1 + 6 + 9a2

= 77. 25m2

- 70 mn + 49n

2

=78. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 79. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

80. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

QUINTO CASO.- Trinomios de la forma cbxax ++2

Donde a no es cuadrado perfecto, para factorizar expresiones como estas se debe amplificarel trinomio por el valor de a, obteniendo as una expresin como el cuarto caso, despus deencontrar los binomios se debe simplificar la expresin por el valor de a.

Ejemplos.-

1) 372 2 ++ xx el valor de a es 2, 2 no es cuadrado perfecto.

6144 2 ++ xx amplificando por el valor de a que es 2

( ) ( ) 6272 2 ++ xx aplicando caso 4

( ) ( )6212 ++ xx producto de binomio con un trmino comn

( ) ( )3212 ++ xx factorizamos por el valor de a y dividimos por el valor de a

( ) ( )2

3212 ++ xxsimplificando los 2 , queda

( ) ( )312 ++ xx

2) 826 2 xx valor de a es 6, 6 no es cuadrado perfecto

481236 2 xx amplificando por 6

( ) ( ) 48626 2 xx aplicando caso 4


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( ) ( )6686 + xx producto de binomio con un trmino comn

( ) ( )1686 + xx factorizando por el valor de a

( ) ( )

6

1686 + xxsimplificando por 6 se obtiene

( ) ( )186 + xx

EJERCICIOS :

81. 5x2 + 11x + 2 = 82. 3a2 + 10ab + 7b2 =

83. 4x2 + 7x + 3 = 84. 4h2 + 5h + 1 =

85. 5 + 7b + 2b2 = 86. 7x2 - 15x + 2 =

87. 5c2 + 11cd + 2d2 = 88. 2x2 + 5x - 12 =

89. 6x2

+ 7x - 5 = 90. 6a2

+ 23ab - 4b2

=91. 3m2 - 7m - 20 = 92. 8x2 - 14x + 3 =

93. 5x2 + 3xy - 2y2 = 94. 7p2 + 13p - 2 =

95. 6a2 - 5a - 21 = 96. 2x2 - 17xy + 15y2 =

97. 2a2 - 13a + 15 =

SEXTO CASO.- SUMA Y RESTA DE CUBOS

( ) ( )

( ) ( )2233

2233

bbaababa

bbaababa

++=+

++=

EJEMPLOS.-

1) 83 x ( ) ( ) 33 2x = ( ) ( )422 2 ++ xxx

2) 643 +x ( ) ( ) ( ) ( )16444 233 ++=+ xxxx

3)125

13 x

( )

+

=

25

1

55

1

5

1 23

3 xxxx

Ejercicios

98 64 x3 = 99 8a3b3 + 27 =

100 27m3 + 6n6 = 101 x6 y6 =


7/10

10227

8

8

1 3 +x = 10364

13 x =

SOLUCIONESAhora debes comparar tus respuestas con las respuestas correctas, espero que tengas un muy buenresultado, de lo contrario necesitas reforzar.

1) 6(x-2)

2) 4(x-2y)

3) 12a(2-b)

4) 5x(2-3x)

5) 7mn(2m+1)

6) 4m(m-5)

7) )34(22 aa

8) X(a+b+c)

9) ( )13 bb 10) 4bx(a3 -1) = ( )1)1(4 2 ++ aaabx 11) ( )5327 + ba12) 3a(b+2c-3d)

13) 4x(5-3y+z)

14) 2x2 (3x2-15x+2)

15) 5xy (2x-3y+5)

16) ( )222 32112 nmmnnm +

17) ( )32

6432 xxxx ++18) ( 23222 89752 qpqppqqp +19) ( )22422322 npnmnpmmppnm ++

20)

yxxy

9

8

4

3

21)

++ 23222

8

1

4

1

2

1

2

1ababbba

22)

+ 22

5

423

7

1

5

4aabaab

23) ( ) ( )xaba ++24) ( ) ( )23 ++ ab25) ( ) ( )52 ab26) ( ) ( )121 + ab27) ( ) ( )nmba +28) ( ) ( 133 2 xax29) ( ) ( )yxbx + 330) ( ) ( )5223 + ab

31) ( ) (

2

321 bax 32) ( ) ( )11 2 ++ aa33) ( ) ( )cbac +134) ( ) ( )cbadc 53223 +


8/10

35) ( ) ( )cbayx 36) ( ) ( )pmba 423 +37) ( ) ( )zyx 5623 +

38) ( )zxxy 754

3

3

21

+

39) ( )

banm

5

4

3

24

40) ( ) ( )baba 5353 +41) ( ) ( )104104 + xx42) ( ) ( )1212 + xx43) ( ) ( )qpqp 7373 +44) ( ) ( )5656 + mnmn45) ( ) ( )txtx 8787 +46) ( ) ( )nmnm 14131413 +47) ( ) ( )kxkx 12111211 +

48)

+ baba

6

7

5

3

6

7

5

3

50) ( ) ( )223 + xx51) ( ) ( )tt 61615 +

52) ( ) ( )32322 + yy53) ( ) ( )yxyx 553 +54) ( ) ( )23235 + mmmn55) ( ) ( )992 3 + aaa56) ( ) ( )31 ++ xx57) ( ) ( )25 ++ aa58) ( ) ( )53 ++ bb59) ( ) ( )12 + xx60) ( ) ( )93 rr

61) ( ) ( )311 ss62) ( ) ( )225 hh63) ( ) ( )14 + yy64) ( ) ( )yxyx 212 ++65) ( ) ( )316 ++ mm66) ( ) ( )41 ++ xx67) ( ) ( )57 xx68) ( ) ( )66 bb

69) ( ) 275 YX +

70) ( ) 21M

71) ( ) 25+x


9/10

72) ( ) 254 nm

73) ( ) 217 x

74) ( ) 276 yx

75) ( ) 212 +a

76) ( ) 231 a+

77) ( ) 275 nm

78) ( ) 225 dac +

79) ( ) 2217 bca +80) ( )7434 zyx 81) ( )( )215 ++ xx82) ( )( )baba 73 ++83) ( )( )341 ++ xx84) ( ) ( )114 ++ hh85) ( )( )521 ++ bb86) ( )( )217 xx87) ( )( )dcdc 25 ++88) ( ) ( )226 + xx89) ( )( )1253 + xx90) ( )( )baba + 6491) ( )( )453 + mm92) ( )( )1432 xx

93)( )( )yxyx 25

+94) ( )( )172 + xx95) ( ) ( )7332 + aa96) ( ) ( )1152 xx97) ( ) ( )325 aa98) ( ) ( )28164 xxx ++99) ( )( ) 23232 + abab

100) ( )( )4222 393 nmnmnm ++101) ( ) ( )( )4224 yyxxyxyx +++

102)

+

+

9

4

3

1

4

1

3

2

2

1 2 xxx

103)

++

16

1

4

1

4

1 2 xxx


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