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Trabajo Fin de Grado

MODELOS MATEMÁTICOS

BASADOS EN ECUACIONES

DIFERENCIALES Y SU

APLICACIÓN A LA

ECONOMÍA.

Facultad d

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Jurí

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as

Alumno: Guillermo Vilches Mendoza

Julio, 2019

2

Abstract

Mathematical models based on differential equations have many uses today in our

lives, in different fields such as Biology, Physics, or as the case of this work the

Economy. Within this last area, we must express that something as extremely important

as supply and demand and everything that comes with it, such as price stability or

instability and to be able to better known future markets, is based on a model of this

type.

In this work, in first place, an introduction to the concepts of mathematical models,

their construction, validation and the different types that we can find is presented.

Secondly, all relevant aspects of the differential equations are examined, treating

aspects such as a brief historical introduction about the differential equations, the

ordinary differential equations of the first order and the differential equations of a

higher order. Third and finally, the applications of these mathematical models based on

differential equations to the economy are analyzed, within this topic we can see

developed the application of supply and demand, together with its economic principle

and some practical examples of both It is like other applications.

Resumen

Los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales tienen muchas

utilidades a día de hoy en nuestras vidas, en diferentes ámbitos como la Biología, la

Física, o como el caso de este trabajo la Economía. Dentro de este último ambiente,

debemos expresar que algo tan sumamente importante como es la oferta y la demanda y

todo lo que conlleva consigo como la estabilidad o inestabilidad de precios y de poder

conocer mejor mercados futuros, está basado en un modelo de este tipo.

En este trabajo se expone, en primer lugar una introducción a los conceptos de los

modelos matemáticos, su construcción, validación y los diferentes tipos que podemos

encontrarnos. En segundo lugar, se examina todo lo relevante de las ecuaciones

diferenciales, tratando aspectos como una breve introducción histórica sobre las

ecuaciones diferenciales, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y las

ecuaciones diferenciales de orden superior. En tercer y por último lugar, se analiza las

aplicaciones de estos modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales a la

economía, dentro de este tema podemos ver desarrollado la aplicación de la oferta y la

demanda, junto con su principio económico y algunos ejemplos prácticos tanto de esta

como de otras aplicaciones.

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ÍNDICE

TEMA 1: MODELOS MATEMÁTICOS .................................................................... 4

1.1. Introducción. ...................................................................................................... 4

1.2. Construcción o elaboración de un modelo. ........................................................ 5

1.2.1 Validación de modelos. ..................................................................................... 7

1.3. Breve introducción histórica de los modelos matemáticos en la economía....... 8

1.4. Clasificación y tipos de modelos matemáticos. ............................................... 13

TEMA 2: ECUACIONES DIFERENCIALES .......................................................... 16

2.1 Introducción .......................................................................................................... 16

2.2 Breve historia sobre las Ecuaciones Diferenciales. ............................................... 17

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. ........................................... 20

2.3.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables. .......................................... 20

2.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas. ........................................................... 22

2.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas. .................................................................. 24

2.3.4. Ecuaciones diferenciales lineales. .................................................................. 27

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. ............................................ 29

2.4.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden. .................... 30

2.4.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes

contantes. ................................................................................................................. 31

TEMA 3: APLICACIONES A LA ECONOMÍA ...................................................... 34

3.1 Introducción .......................................................................................................... 34

3.2 Oferta y demanda. ................................................................................................. 37

3.2.1 Principio económico de oferta y demanda. ..................................................... 39

3.3. Otras aplicaciones ................................................................................................ 43

3.3.1 Modelo de capitalización compuesto continúo. .............................................. 44

3.3.2 Modelo de bonos o letras del tesoro. .............................................................. 46

CONCLUSIONES ........................................................................................................ 49

BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 50

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1.1. Introducción.

Para comenzar este trabajo tenemos que familiarizarnos en primer lugar con los

modelos matemáticos y para ello un primer paso sería saber que es un modelo así como

conocer sus objetivos y las ventajas que nos ofrece para el estudio de diversas

situaciones de la vida real.

Para estudiar que es un modelo matemático debemos plantearnos previamente ¿Qué

es un modelo? Para ello vamos a una definición propuesta por el profesor Sixto Ríos

[2]:

“Un modelo es un objeto, concepto o conjunto de relaciones, que se utiliza

para representar y estudiar de forma simple y comprensible una porción de la

realidad empírica”.

Por consiguiente debemos exponer lo que es un modelo matemático [1]:

“Un modelo matemático es un modelo que utiliza fórmulas matemáticas

para representar la relación entre distintas variables, parámetros y

restricciones”.

Es decir, un modelo matemático es una muestra abreviada, mediante funciones,

ecuaciones o fórmulas matemáticas, de un hecho real o fenómeno o en otro caso una

relación entre dos variables.

Con lo anteriormente expuesto, podemos decir que los modelos matemáticos pueden

describir nuestras creencias o pensamientos de cómo funciona el mundo. Lo que nos

lleva a poder construir de una misma realidad distintos tipos de modelos. Cabe destacar

que la eficacia del proceso de modelización puede venir determinada por el

conocimiento de esa realidad y de las oportunidades que podamos tener de trabajar o

experimentar con ello [2].

A partir de aquí sabemos que los modelos matemáticos nos pueden ofrecer una

visión amplia del conocimiento de una realidad pero para la utilización de la

modelización como herramienta hay que tener muy en cuenta que los modelos pueden

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ser muy precisos para algunas situaciones y erróneos en otros casos. El éxito o fracaso

de dichos modelos, viene determinado por la exactitud con la que esta modelización

representa al objeto o realidad inicial, y no con la precisión con las que las matemáticas

estudian el modelo. Un ejemplo de ello está relacionado con los dos grandes genios

Einstein y Newton. Por un lado, es conocido que el modelo matemático de la mecánica

newtoniana es capaz en la actualidad de utilizarse para pronosticar muchas situaciones

con precisión aunque otro modelo matemático como el propuesto en la teoría de la

relatividad de Einstein nos exponga que este es inexacto [3].

Para comprender qué es un modelo matemático, debemos estudiar cuáles son sus

objetivos, entre los que se pueden destacar [4]:

Desarrollar la comprensión científica, mediante la expresión

cuantitativa de una realidad (así como mostrando lo que sabemos, lo que

puede hacernos descubrir lo que no sabemos).

Tratar el efecto de los cambios en un sistema dinámico.

Colaboración en la toma de decisiones (especialmente las más

difíciles en entornos económicos, como son aquellas a largo plazo):

Decisiones tácticas de los directivos.

Decisiones estratégicas de los planificadores.

1.2. Construcción o elaboración de un modelo.

Para la construcción o elaboración de un modelo matemático, necesitamos varias

etapas en las que apoyarnos.

La primera en la que debemos centrarnos es un proceso de abstracción, el cual

nos conduce a un procedimiento a través del cual podamos identificar los componentes

más importantes de la situación o problema a resolver. Para conocer dichos

componentes debemos realizar una conceptualización del problema a resolver, que debe

incluir como mínimo los siguientes aspectos:

Conocer de manera general la situación o problema que se quiere

modelar.

Definir los objetivos del modelo a conseguir.

Realizar un modelo conceptual basado en hipótesis que tiene que

ser tan simple como sea posible.

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Tener un conocimiento de las leyes que rigen la situación o

problema.

Para realizar esta primera etapa de abstracción necesitaremos el uso de las

matemáticas (apropiadas para cada caso concreto) para poder plantear el problema, es

decir, expresar el modelo en forma de ecuaciones algebraicas y/o ecuaciones

diferenciales y complementadas con una serie de requisitos lógicos. [14]

Una vez que tenemos el modelo descrito cuantitativamente y hemos incorporado las

ecuaciones al modelo, pasamos a una segunda etapa de interpretación. En ella

debemos analizar los elementos y su comportamiento, tanto individual como en su

conjunto, ya que puede guardar algún tipo de relación. Para ello nos centraremos en un

proceso de estudio analítico, para comprobar que las ecuaciones expuestas logran

contestar a las cuestiones planteadas al principio del proceso. De ser así, debemos

encontrar una solución a estas ecuaciones. En caso contrario deberíamos volver a

plantear unas nuevas hipótesis y construir nuevas ecuaciones que nos lleven a encontrar

las respuestas a nuestras preguntas iniciales.

Llegado el momento en el que obtenemos una solución genérica debemos volver a

analizar las hipótesis planteadas para saber si se puede simplificar el modelo. En caso

afirmativo, se debe intentar simplificar y volver a repetir los pasos seguidos

anteriormente y volver a contrastar nuestras soluciones obtenidas con los objetivos

iniciales.

Figura 1.- Esquema del proceso seguido en la modelización matemática (extraído de [15]).

Finalmente, una vez que resuelto dicho modelo debemos relacionar las soluciones

con los hechos reales. Para ello debemos plantearnos algunas cuestiones tales como:

¿Están las soluciones en armonía con la intuición? ¿Confirman las soluciones los

experimentos realizados? [2]

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La Figura 1, muestra de una manera más visual como el proceso que hemos

comentado es cíclico. Como puede apreciarse, el proceso de retroalimentación no hace

más que enriquecer al modelo y probablemente acercarnos con mayor fiabilidad a la

situación o problema analizado.

1.2.1 Validación de modelos.

Llegados a este apartado debemos pasar a una etapa muy importante como es la de

validar nuestro modelo construido. El objetivo de esta validación no es más que

determinar la credibilidad del modelo concreto elaborado para la situación de partida

planteada.

Dentro de esta comprobación, se pueden encontrar diferentes tipos de errores. Por

ejemplo, un error en el que el modelador descarte su modelo cuando este modelo no está

bien especificado. En este caso, el diseñador perderá el tiempo intentando volver a

estudiar un modelo que ya está bien reformulado y como consecuencia no se debe

volver a pasar a estudio. Otro tipo de error común es cuando el modelo no está bien

especificado, pero no sea descartado por el usuario. Entonces, lo que ocurre es que el

usuario se encuentra tomando decisiones fundamentadas en un modelo matemático

incorrecto.

Si nos centramos en un atributo esencial para este tipo de estudio como puede ser la

credibilidad, cabe destacar que en los dos tipos de errores anteriores (algunos autores

llaman Error tipo I y Error tipo II), a priori el primero de ellos no afectaría a la

credibilidad del modelo, pero el segundo si se vería afectada. Así que para ello, es

prioritario por técnicas de control de calidad, y técnicas de validaciones de modelos.

Entre estas técnicas de validaciones de modelos, en [14] podemos encontrar las

siguientes:

Validación del modelo conceptual: Este tipo de validación se

centra principalmente en contrastar si las suposiciones y teorías que

inician al modelo son del todo ciertas, así como las relaciones causales,

fenómenos, que tengan suficiente nivel de detalle y sin lugar a duda que

las formulaciones se encuentren de una forma lógica.

Validación de los datos: Se centra fundamentalmente en que los

datos usados son necesarios y correctos. A partir de ahí se puede evaluar

y verificar el modelo.

Validación del software: En este apartado nos estamos centrando

principalmente en unos requisitos tales como, que los algoritmos de

integración y resultados de las ecuaciones expuestas sean

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numéricamente apropiados al tipo de problema. Además, los resultados

deben ser fáciles de interpretar y que no presenten ambigüedades. Por

último, que tenga una precisión adecuada y que se pueda implementar, o

que se puedan exportar a otras máquinas.

Validación operacional: Estudiar si los resultados obtenidos son

correctos y si presentan el grado de aproximación requerido.

Por otro lado encontramos dos diferentes técnicas de validación de los

modelos

Cualitativas: Entre las que se corresponden con preguntas del

tipo: ¿Qué pasa si…? O una verificación centrada en el amplio

conocimiento de expertos ¿Qué opinas sobre…?

Cuantitativas: Realizar diferentes tipos de estudio tales como,

comparación de datos, analizar la sensibilidad del modelo, ante ciertos

cambios en alguno de los parámetros y repetir de una manera más

profunda las simulaciones para su estudio, [14].

1.3. Breve introducción histórica de los modelos matemáticos en la

economía.

El inicio relevante de los modelos matemáticos comenzó en los siglos XVI y XVII

en el campo de la física. Posteriormente llegó a extenderse a la ciencia relacionada con

la biología y en época temprana del siglo XIX empezó a utilizarse en economía.

Los comienzos de estos modelos matemáticos aplicados a la economía empiezan

con el trabajo de Johann Heinrich Von Thünen “The Isolated State” que data del año

1826. Lo que Thünen mostró, a través de este trabajo, estaba relacionado con la

situación geográfica de la actividad económica. Esta teoría se centra en las principales

cuestiones sobre donde había que ubicarse, y el porqué de ello, para las actividades

económicas. El trabajo de Thünen estaba centrado en la actividad agrícola y para ello

era importante analizar su ubicación. Su modelo predecía un único mercado envuelto

de tierras agrícolas, y además todos estos cultivos deberían estar situados en una llanura

de uniformidad física. Como consecuencia, los costes de transporte están vinculados

con el volumen enviado y la longitud recorrida. Este modelo prueba que los

cultivadores más cercanos al mercado producirán aquellos productos que tienen mayor

valor, lo que les proporcionará los beneficios netos máximos. El principal factor

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concluyente en el alquiler de su situación geográfica será los costes del transporte. Por

ello nos lleva a deducir que cuando los costes de transporte son bajos, el alquiler de la

ubicación será alto, y del mismo modo en caso contrario, en el que cuando los costes de

transporte sean altos el alquiler será bajo. Está situación nos produce un gradiente del

alquiler el cual va en descenso con la distancia recorrida al mercado, hasta llegar a cero.

En “The Isolated State” también abordó la situación geográfica en función de si la

agricultura podía ser intensiva o extensiva. Siguiendo su razonamiento, concluye

diciendo que la agricultura intensiva se ubicará más cerca del mercado y su gradiente

tendrá una pendiente más pronunciada que la agricultura extensiva. Esto nos hace llegar

a los diferentes tipos de cultivos, en el que los productos perecederos (frutas, verduras,

lácteos) traerán consigo gradientes pronunciados, mientras que los demás productos

(granos, cereales) irá disminuyendo su pendiente [5].

En 1838 la economía siguió utilizando los modelos matemáticos a través de un

matemático y economista llamado Antoine Augustin Cournot. El modelo de Cournot

explica el equilibrio dentro de un contexto con mercados en duopolio. En estos

mercados, Cournot comienza de una base en la que se dividen el mercado en función de

diferentes tipos de empresas. Cada empresa debe actuar detenidamente ya que la otra

actuará en consecuencia, lo que provocará reacciones inmediatas en la empresa

competidora. Cournot llega a la conclusión, [6], de que el mercado se encontrará en

equilibrio, cuando cada empresa obtenga los mejores resultados posibles en función de

los resultados de las empresas competidoras.

Figura 2.- Punto de equilibrio del modelo de Cournot.

En la gráfica se muestra las curvas de reacción de las dos empresas o participantes

sometidos a estudio. El punto donde se cruzan estas dos curvas es el punto que Cournot

determinó como punto de equilibrio [6].

Hoy en día, el modelo de Cournot es estudiado en compañía de los trabajos del

matemático estadounidense John Forbes Nash. En el que su tesis doctoral, relacionada

con la Teoría de Juegos, (1950) Nash encontró un equilibrio dentro del cual el resultado

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óptimo de cada participante es la mejor solución a las tácticas de los otros participantes.

Este hecho le mereció el premio Nobel de economía en 1994.

El equilibrio de Nash se muestra en un juego en forma normal con “n”

participantes [7],

“G = {S1,....,Sn:u1,....,un}, entonces las estrategias s1*,....,sn* forman un equilibrio

de Nash si, para cada jugador i, s* es la mejor respuesta del jugador i a las estrategias

de los otros n-1 jugadores, (s1*,....,si-1*,si+1*,....,sn*)”.

“El equilibrio de Nash con dos jugadores y estrategias puras coincide con el

equilibrio de Cournot cuando compiten dos empresas en cantidades producidas”.

Otra de las grandes aportaciones de las matemáticas y los modelos a la economía

vino por parte del economista francés Léon Walras (1916-2005). Una de sus citas más

famosa es la siguiente [9]:

“Las matemáticas serán la lengua especial para hablar de hechos cuantitativos, y

en consecuencia la economía será una ciencia matemática con el mismo título de la

mecánica y de la astronomía.”.

Walras fue el primero en enfrentar grandes problemas económicos con las

matemáticas, a pesar de no ser un matemático brillante. Su objetivo era el de, a través

del lenguaje de las matemáticas, construir un modelo en el que se pudiese entender el

cambio de una economía rural a una economía capitalista. Estaba basado en el

modelo del equilibrio general bajo una competencia perfecta. El gran modelo de

equilibrio general del mercado competitivo, se elaboraba a través de un innumerable

sistema de ecuaciones lineales y no lineales, de las cuales debían resolverse al mismo

tiempo para los ámbitos de consumo, producción, capital y moneda.

Aunque Walras nunca utilizó de manera eficiente las herramientas clásicas de las

matemáticas [9], como por ejemplo: el cálculo diferencial, ni los determinantes, ni los

vectores, ni los multiplicadores de Lagrange, en este caso, esta cuestión queda en un

segundo plano ya que el problema planteado por Walras, sería el que iniciaría de

manera definitiva la senda hacía la formalización de la economía o lo que actualmente

conocemos como economía matemática.

En 1881, el economista y estadístico Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926),

también quiso dejar su granito de arena en el campo de los modelos matemáticos y la

teoría de juegos, a través de la llamada caja de Edgeworth. Se trata de una herramienta

gráfica que se utiliza para interpretar y estudiar el intercambio de diferentes bienes entre

dos individuos. Su principal utilidad es encontrar el equilibrio competitivo dentro de un

sistema económico simple. Este instrumento gráfico nos permite representar las

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diferentes cestas posibles de consumo y las distintas preferencias de cada individuo en

cuestión, ofreciéndonos una explicación completa de las características importantes de

ambos individuos expuestos al estudio.

La caja de Edgeworth persigue el objetivo de encontrar una cantidad de los bienes

que sea favorable para ambos individuos y con ello que sea eficiente, es decir, que

llegue el punto en el cual no se dé la posibilidad de mejorar la conveniencia de uno de

los individuos sin perjudicar el bienestar del otro [10]. Para obtener dicho objetivo esta

herramienta indica en una misma gráfica los bienes de los dos individuos, uno de ellos

se representa horizontalmente y el otro de manera vertical. Esto nos proporciona la

información de que la altura y anchura de la esta gráfica venga explicada por la cantidad

de bienes estudiados.

Una vez construido la caja, nos faltaría por estudiar las curvas de indiferencia de

cada uno de los individuos. Estas curvas nos permiten explorar las distintas

composiciones de bienes que conceden un mismo nivel de bienestar o satisfacción al

individuo estudiado. Si a su vez estas curvas de indiferencia las representamos en el

interior de la caja de Edgeworth, observaríamos diferentes puntos donde se producen

una intersección entre los dos individuos. ¿Qué nos quieren decir dichos puntos? Estos

puntos no son más que el valor donde se equilibran las relaciones marginales y se

obtiene una eficiencia máxima. Uniendo dichos puntos obtendremos la curva de

contrato, que es aquella en la que se encuentran todos y cada uno de los puntos

eficientes de la caja de Edgeworth.

Figura3.- Gráfico correspondiente a la caja de Edgewortth (extraído de [10])

12

Más tarde, en torno al año 1930 se incorporan a la economía algunas nuevas

herramientas provenientes de las matemáticas clásicas como son: el cálculo diferencial,

las ecuaciones diferenciales (aspecto que trataremos en el siguiente tema), y alguna que

otra herramienta gráfica como la teoría de grafos. Estas herramientas habían sido ya

utilizadas en la física, y se usaron con el objetivo de poder estudiar la economía a través

de diferentes modelos matemáticos. En la siguiente tabla podemos destacar algunos

paralelismos entre la física y la economía:

Física Economía

Partículas Agentes

Fuerzas Demanda y oferta

Potencial Función de utilidad

Velocidad Marginalidad

Aceleración Rendimiento

Principio de optimización Agentes optimizadores

Equilibrio Equilibrio

Centro de masa Agente representativo

Rozamiento Interacciones

Tabla 1. Paralelismos entre la física y la economía (seleccionado de [9]).

Para concluir esta breve historia de los modelos matemáticos en la economía no

podemos olvidarnos sobre el importante papel que juega la econometría en la actual

sociedad. Sus inicios se remontan al año 1930, cuando el 29 de Diciembre se constituye

en Cleveland la Econometric Society promovida inicialmente por Charles F. Roos,

Ragnar Frisch e Irving Fisher. A continuación ofrecemos una definición clásica de lo

que es esta rama de la ciencia, propuesta en 1930 por uno de los creadores de esta

sociedad, Ragnar Frisch [11]:

“La experiencia ha mostrado que cada uno de estos tres puntos de vista,

el de la estadística, la teoría económica y las matemáticas, es necesario, pero por sí

mismo no es suficiente para una comprensión real de las relaciones cuantitativas de la

vida económica moderna. Es la unión de los tres aspectos lo que constituye una

herramienta de análisis potente. Es la unión lo que constituye la econometría”.

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1.4. Clasificación y tipos de modelos matemáticos.

En esta clasificación que vamos a exponer se incluyen dentro de los modelos

matemáticos cuantitativos deterministas (detrás de estos modelos se halla una función

que explica su actuación) y de los modelos dinámicos (aquellos que cambian con el

tiempo), los cuales se pueden dividir en dos grandes bloques:

Modelos discretos: Se definen como aquellos modelos en los que

las variables de estado cambian de manera instantánea en momentos

aislados de tiempo. Lo que podemos entender por ello es que el tiempo

toma valores que son números naturales, incluido el cero. Un ejemplo de

ello sería: El ingreso por renta que recibe la población en relación a una

unidad determinada de tiempo. Los modelos discretos están

representados a través de ecuaciones en diferencias.

Modelos continuos: En estos modelos incluimos aquellos en los

que las variables de estado evolucionan de una manera continua a medida

que va transcurriendo el tiempo. En este caso, los valores que toma la

variable tiempo son números reales. Un ejemplo que podemos destacar

en este apartado sería, la velocidad con la que transcurre la caída de un

objeto desde una superficie a otra. Este tipo de modelos son estudiados a

través de un conjunto de ecuaciones diferenciales.

Tenemos que hacer la observación de que puede darse el caso en que existan

sistemas de gran complejidad en el que existan de forma sincronizada variables de

estado tanto de un modelo continuo como de un modelo discreto. En esta situación,

habría que fijarse en la influencia de una y otra variable y del objetivo ante el que nos

enfrentamos y se estudiará el sistema como perteneciente a uno de los tipos

anteriormente expuestos [12].

Cabe destacar que los modelos más apropiados para el caso que nos concierne (la

economía) son los del tipo discreto, donde los resultados vienen acompañados de un

periodo de tiempo, que suelen ser días, meses, etc. Ejemplos de ellos sería el ya citado

anteriormente como es el ingreso por renta que recibe la población en un determinado

periodo de tiempo o aspectos relacionados con el Producto Interior Bruto (PIB) o

Importaciones y Exportaciones en su unidad de tiempo correspondiente.

Si subdividimos a su vez los modelos continuos y discretos podemos encontrar

dentro de los primeros los basados en ecuaciones en diferenciales y los basados en

14

sistemas de ecuaciones diferenciales. Por otro lado dentro del segundo bloque se pueden

distinguir los basados en ecuaciones en diferencias y los basados en sistemas de

ecuaciones en diferencias. Estos cuatro grupos de modelos resultantes de está

subdivisión se podrían volver a subdividir aún más. Por ejemplo, modelo de Leslie, o de

las cadenas de Markov, son un tipo especial de modelos basados en sistemas de

ecuaciones en diferencias. Por otro lado, los modelos independientes o dependientes de

la densidad de población, son casos particulares de los basados en ecuaciones

diferenciales y en ecuaciones en diferencias.

A continuación vamos a comentar brevemente, dos tipos de modelos, los cuales

suelen utilizarse en diferentes situaciones, como son los modelos lineales y no lineales

que se encuentran incluidos tanto dentro de los basados en ecuaciones en diferencias,

como en ecuaciones diferenciales.

Si nos centramos en los modelos lineales y no lineales. El modelo será lineal cuando

los efectos no tienen ningún tipo de proporción con sus respectivas causas, si se diera el

caso contrario nos encontraríamos ante un modelo no lineal. Cuando se da el caso de

que el modelo no es lineal su modelización viene a través de una función no lineal. En

estos modelos se producen una serie de correlaciones internas que hacen que no sea

posible la descomposición del sistema en sus diferentes partes para poder estudiarlo o

examinarlo de manera separada. De estos modelos no lineales salen los más atractivos

como por ejemplo, los movimientos del precio de las acciones en bolsa [13].

Desde otra perspectiva aparecen los modelos lineales, que por su parte se han

utilizado en gran cantidad de ocasiones para el estudio de la economía, intentando

adivinar el valor de algunas variables. ¿Qué ocurriría si conociésemos el valor de las

acciones de una empresa determinada en un momento concreto del tiempo? ¿Y si

conociésemos el valor del PIB de un año futuro en concreto? Por caprichos del destino,

estos sistemas lineales poseen sus deficiencias y no se ajustan de la manera que nos

gustaría a los agentes o variables económicas.

En el ámbito de la economía existen una gran cantidad de variables que pueden

hacer cambiar el sistema. Un ejemplo de esto y dando nuestra gran producción en aceite

de oliva, ¿Puede afectar el cambio climático a la venta de aceite de oliva? En principio

la primera respuesta que se nos viene a la mente sería que no, pero si pensamos que esto

puede llevar a un descenso de lluvias y con ello nos lleve a una disminución en la

recogida de aceituna. En consecuencia llevaría a que distintas fábricas o cooperativas no

reciban la misma cantidad de inputs, y si la demanda sigue igual o incluso en auge,

como se ha dado en estos últimos periodos, se verán obligados a subir el precio de dicha

15

producción para intentar equilibrar oferta y demanda y con ello se verá afectado la venta

de aceite de oliva. Con lo cual podemos obtener dos aspectos importantes de este

ejemplo el primero de ellos es que a la pregunta de antes puede ser que la respuesta sea

que sí, y el segundo es la exposición de lo comentado anteriormente como que en el

ámbito de la economía ejercen su fuerza diferentes variables y con lo que la hace de

mayor dificultad para su estudio.

16

2.1 Introducción

Para comenzar con la exposición de este tema, debemos estudiar en primer lugar los

conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Lo iniciaremos con una breve

introducción histórica, posteriormente presentaremos las ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden, siguiendo por las ecuaciones diferenciales de orden superior

y estudiando su resolución. Finalizaremos, con el objetivo básico de este trabajo, como

es el estudio de algunos de los modelos elementales basados en ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Para ello comenzamos exponiendo una definición de lo que se entiende por

ecuaciones diferenciales, y una definición de manera sencilla es [16]:

Definición 2.1. Una ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las

derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables

independientes.

Las ecuaciones diferenciales las podemos clasificarlas de acuerdo a diversos

criterios, aunque a continuación explicaremos su clasificación según su tipo y su orden,

que será lo que más nos interesa en este trabajo.

La clasificación según el tipo podemos diferenciar dos, en primer lugar las

ecuaciones diferenciales ordinarias (son las que someteremos a estudio durante este

trabajo) que son aquellas que solo contienen derivadas ordinarias de una o más variables

dependientes con respecto a una única variable independiente. Y en segundo lugar, las

ecuaciones en derivadas parciales que son aquellas que contienen las derivadas parciales

de una o incluso más variables dependientes, respecto de dos o más variables

independientes. [17]

17

Si ahora nos centramos en el estudio de su clasificación según el orden, debemos

definir lo que se entiende por orden de una ecuación diferencial. [16]

Definición 2.2. Se define el orden de una ecuación diferencial, como el orden de la

derivada más alta entre todas las que figuran en esta ecuación diferencial.

Con lo cual, existen ecuaciones diferenciales de primer orden o de segundo orden o

incluso de orden superior hasta orden “n”. Como consecuencia, es común estudiar, por

un lado las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden y por otro lado

las ecuaciones diferenciales de orden superior.

De esta manera, la definición simbólica más general de una EDO es la siguiente

[16].

Definición 2.3. Se define una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, como

una expresión funcional del tipo:

F(x, y, dy/ dx, d2y /dx2 , . . . , dny/ dxn ) = 0

Donde “F” es una función real de sus (n+2) argumentos, y(x) es la función

desconocida.

2.2 Breve historia sobre las Ecuaciones Diferenciales.

Si ligamos el concepto de ecuación diferencial a la noción de integral, podemos

decir que la existencia de estas puede ser desde el origen de las matemáticas, y con ello

la idea de ecuaciones diferenciales. El concepto de integral ha estado presente, al

principio solo para el cálculo de áreas y volúmenes y no como un método formal y

demostrado (para ello deberíamos esperar a Newton y Leibniz). Aunque la primera

referencia escrita sobre el cálculo de volúmenes aparece con las matemáticas egipcias,

en el llamado papiro de Moscú (1890 a.C.), con un ejercicio relacionado con el cálculo

del volumen de tronco piramidal. En su resolución se hace uso de un procedimiento

sistemático de integración, a pesar de no tener rigor ni formalismo, fue el procedimiento

conocido como exhaustivo de Antifonte de Atenas (480-411 a.C.). El método fue usado

al estudiar la cuadratura del círculo (área del círculo) a través de circunscripción e

inscripción de polígonos a una circunferencia para poder conseguir con ello cotas

inferiores y cotas superiores al área, y como consecuencia de ello del cálculo del

número π. [18]

18

Si nos centramos en Europa, no se repetiría el uso del procedimiento exhaustivo

hasta llegados al sigo XVII, con la aparición de Cavalieri (1635), quien inició su teoría

de los indivisibles, con el objetivo del cálculo de integrales mediante una aproximación

geométrica. Así que como consecuencia de ello, las áreas y volúmenes eran calculados a

través de un número indefinido de áreas planas paralelas y un número de segmentos

paralelos. Esta teoría fue unida de manera exitosa con el cálculo en diferencias finitas,

para de ese modo poder formalizar y dar rigor al cálculo integral. Esto se obtuvo

gradualmente gracias a los aportes de diferentes autores como pueden ser el caso de

Wallis (1656) o Gregory (1667).

Izquierda: Leibniz (Extraído de [25]) Derecha: Newton (Extraído de [26])

Aunque finalmente fueron Newton (1687 – 1736) y Leibniz (1684 – 1686) los que

dieron rigor, y con ello formalizaron el cálculo integral con el llamado Teorema

Fundamental del Cálculo (cabe destacar, que a pesar de la polémica desatada, que lo

descubrieron cada uno de forma independiente). Es importante recalcar en el caso de

Leibniz, que a pesar de ser marginado en su momento, el sistema de terminología y

notación utilizado del cálculo integral y diferencial, es el que es usado actualmente. Este

autor también sistematizó todo lo referente al cálculo de infinitesimales incluyendo

algunas reglas bastante claras para manejar dichos infinitesimales, lo que trajo consigo

una formalización más completa del cálculo diferencial e infinitesimal. [18]

Newton no estuvo únicamente relacionado con las integrales, que muestran ser las

ecuaciones diferenciales más simples, sino que fue él quien utilizó los primeros modelos

basados en ecuaciones diferenciales, diferentes de las integrales, a través de sus estudios

relacionados con el movimiento de los planetas, entre otras cuestiones de ámbito físico.

Su razonamiento para estos conceptos se centraba en el movimiento y en la dinámica de

los cuerpos, él veía las variables como algo cambiante que evolucionaba con el tiempo

19

(lo que denominó fluente) y calcular de esa manera sus razones de cambio en función al

tiempo (lo que llamó fluxiones). Con estas dos denominaciones apareció su interés para

estudiar las relaciones entre estos dos conceptos, lo que él denominada el cálculo de las

fluxiones a partir de los fluentes. Es lo que hoy en día corresponde al cálculo

diferencial, mientras que por otro lado el cálculo integral estaba relacionado con

encontrar los fluentes a partir de las fluxiones. También cabe mencionar alguna

terminología que introdujo como “ecuaciones fluxionales” lo que correspondería a las

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que lo estudiaremos en el siguiente

apartado de este tema. [18]

No hay que olvidar que Leibniz llegó paralelamente e independientemente a las

mismas conclusiones que Newton, en lo relacionado al ámbito del cálculo diferencial e

integral. Estos dos autores son conocidos como los padres del cálculo diferencial e

integral.

Posteriormente, tras diversos matemáticos (Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange…)

y diferentes trabajos en los siglos XVII y XVIII, los cuales no debemos subestimar

como por ejemplo la transformada de Laplace o los multiplicadores de Lagrange, entre

otros, llegamos al siglo XIX donde acabaremos con este breve proceso histórico.

Llegados a este momento es cuando se necesitó demostrar todos los hechos que

habían sido aceptados con anterioridad sin justificación teórica. De esta época cabe

destacar al matemático Cauchy (quien fundamentó e implantó la teoría de la variable

compleja y con ello su aplicación a las ecuaciones diferenciales, Teorema de Cauchy-

Kovalewski), y los matemáticos Jacobi y Jordan (el primero de ellos encontraría

solución a aquellos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales donde los coeficientes

fueran constantes, en el caso en el que la matriz de dicho sistema fuera diagonalizable, y

el segundo de ellos lo haría a través de la forma canónica cuando la matriz no sea

diagonalizable). Por otro lado, debemos citar a Picard (su aportación fue un método de

sucesivas aproximaciones para fijar con precisión el Teorema de existencia y unicidad

de las ecuaciones diferenciales de orden “n”), y por último al gran matemático francés

Poincaré, sus estudios en relación con la periodicidad y estabilidad de las soluciones del

sistema solar le guiaron a iniciar el estudio de otro tipo de ecuaciones diferenciales,

como son las ecuaciones no lineales, que se encuentran ligadas a lo que se conoce con el

nombre de caos determinista. [18]

20

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Llegados a este apartado lo primero que debemos hacer es distinguir entre los

distintos métodos básicos de resolución de ecuaciones diferenciales elementales de

primer orden y primer grado, que podemos encontrarnos como son:

Ecuaciones diferenciales de variables separables.

Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Ecuaciones diferenciales exactas.

Ecuaciones diferenciales lineales.

2.3.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables.

En primer lugar, debemos dar una definición de lo que son este tipo de ecuaciones

diferenciales [19]:

Definición 2.4. Una ecuación diferencial de variables separables tiene la forma

f(x) dx + g (y) dy = 0,

donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o

una constante”

Para la resolución de este tipo de ecuaciones utilizamos un método de integración

directa a través del cual las variables de la ecuación junto con su diferencial se pueden

separar del modo siguiente:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0

Para estar más claro expondremos la resolución a través de un ejemplo [17]:

Ejemplo 2.1. Resolver la ecuación diferencial ordinaria (1 + 𝑥) 𝑑𝑦 – 𝑦 𝑑𝑥 = 0

Solución. Comenzaremos dividiendo la expresión por el valor (1 + x). Entonces,

para todos los valores de 𝑥 ≠ −1, 𝑦 ≠ 0, podemos escribir:

∫𝑑𝑦

𝑦= ∫

𝑑𝑥

1 + 𝑥

ln|y| = ln |1 + x| + c1

21

y = eln|1+x|+c1 y = eln|1+x| *ec

1 y = |1+x|ec1

La solución se podrá escribir como:

y(x) =±𝑒c1 (1+x), donde {|1+x| = 1+ x, x ≥ -1; |1+x| = -(1+ x), x < -1}

Si denominamos a la constante “c” como ± e c1, podemos escribir la solución como:

y(x) = c (1+x).

Solución alternativa: Como cada una de las integrales nos proporciona como

resultado un logaritmo, la selección más sensata de la constante de integración es ln|c|,

en vez de c:

Ln|y| = ln|1+x| + ln |c|, o bien ln|y| = ln|c (1+x)|,

y entonces, y (x)= c (1+x); 𝑐 ∈ ℜ

Nota: En los casos en los cuales no todas las integrales indefinidas sean logaritmos,

una opción apropiada o beneficiosa sería usar ln|c|.

Ejemplo 2.2. Sea 𝐶 = 𝐶(𝑡) el saldo de una cuenta corriente que evoluciona con el

tiempo y 𝑟 = 𝑟(𝑡) una tasa de interés continuo y Co el saldo en el tiempo 𝑡 = 0, [27].

El modelo que se propone, está basado en la hipótesis de que el ritmo de

crecimiento del capital es directamente proporcional al capital existente en cada

momento. De esta forma, 𝐶´(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝐶(𝑡), que se resuelve por este método de

separación de variables.

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝑟(𝑡)𝐶(𝑡) →

𝑑𝐶

𝐶= 𝑟(𝑡)𝑑𝑡,

∫𝑑𝐶

𝐶= ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 → ln|𝐶| = ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡,

ln|𝐶| = 𝑅(𝑡) + 𝐾 → 𝐶 = 𝑒𝑅(𝑡)+𝐾 → 𝐶 = 𝐾𝑒𝑅(𝑡).

En el tiempo 𝑡 = 0 tenemos que Co el saldo inicial, por tanto

Co = K𝑒𝑅(0) → K = Co𝑒−𝑅(0)

22

y al sustituir en la solución general resulta

C = Co𝑒𝑅(𝑡)𝑒−𝑅(0) = Co𝑒𝑅(𝑡)−𝑅(0).

Recordando que 𝑅(𝑡) − 𝑅(0) = ∫ 𝑟(𝑠)𝑡

0𝑑𝑠 donde s es una variable auxiliar,

obtenemos que

𝐶 (𝑡) = Co𝑒∫ 𝑟(𝑠)𝑡0

𝑑𝑠.

2.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Para desarrollar este apartado sobre las ecuaciones diferenciales homogéneas, y ver

su resolución a través de un ejemplo, hay que empezar con una definición de las

mismas.

Una definición apropiada de estas sería la siguiente [19]:

Definición 2.5. La ecuación diferencial homogénea es de la forma:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

donde M y N tienen la propiedad de que para toda t > 0, la sustitución de x por

tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.

M (tx, ty) =tn M(x, y) ; N (tx, ty) = tn M(x, y)

En este caso de ecuaciones diferenciales se puede reducir a las vistas anteriormente

(ecuaciones de variables separables) a través de sustituciones apropiadas.

Para poder visualizarlo de forma más práctica lo veremos mediante el siguiente

ejemplo, extraído de [20]:

Ejemplo 2.3. Resolver la siguiente Ecuación Diferencial, (x-y) dx + xdy = 0

Para su resolución lo haremos a través de unos sencillos pasos.

Paso 1. Determinar la homogeneidad

a) Escribir la Ecuación Diferencial de la forma 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑜,

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑓(𝑦, 𝑥)

23

En nuestro caso:

(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0

(𝑥 − 𝑦) + 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= −(𝑥 − 𝑦)

𝑆𝑖 𝑥 ≠ 0,𝑑𝑦

𝑑𝑥=(𝑦 − 𝑥)

𝑥

b) Multiplicar la resultante Ecuación Diferencial por un determinado

factor que nos la pueda convertir en la forma: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 (

𝑦

𝑥) 𝑜

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑓 (

𝑥

𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(𝑦 − 𝑥)

𝑥∗

1

𝑥1

𝑥

→ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(𝑦−𝑥)

𝑥𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥−𝑥

𝑥𝑥

𝑥

Simplificando

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥− 1

1 =

𝑦

𝑥− 1

Paso 2. Seleccionar una sustitución apropiada a cada caso, en este caso:

𝑢 =𝑦

𝑥; 𝑜 𝑣 =

𝑥

𝑦

Entonces:

𝑢 =𝑦

𝑥→ 𝑦 = 𝑢𝑥 →

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢 + 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Por tanto:

24

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦

𝑥− 1

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑢 − 1

y ahora estamos en condiciones de separar las variables:

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑢 − 1 − 𝑢

Paso 3. Desarrollar una nueva Ecuación Diferencial (la que ahora es separable ya

estudiada en el apartado anterior) y su forma en este caso es:

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝐹(𝑢) − 𝑢, 𝑜, 𝑦

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝐹(𝑣) − 𝑣

Obtenemos:

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= −1 → 𝑑𝑢 = −

𝑑𝑥

𝑥

Paso 4. Integrar y regresar a las variables iniciales.

𝑑𝑢 = −𝑑𝑥

𝑥

∫ 𝑑𝑢 = −∫𝑑𝑥

𝑥+ 𝐶

𝑢 = − ln |𝑥| + 𝐶

Si 𝑢 =𝑦

𝑥, entonces,

𝑦

𝑥= − ln 𝑥 + 𝐶. Es decir, 𝑦(𝑥) = −𝑥 ln |𝑥| + 𝐶𝑥

En definitiva, la solución buscada es:

𝑦(𝑥) = −𝑥 ln |𝑥| + 𝐶𝑥; 𝐶 ∈ ℜ

2.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas.

Empezaremos, como en los otros dos casos anteriores, con una definición de este

tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias, [21]:

25

Definición 2.6. La ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, diremos que

es exacta cuando se cumpla que 𝜕𝑀

𝜕𝑦=

𝜕𝑁

𝜕𝑥

La solución de este tipo de ecuaciones viene determinada por una función de dos

variables Φ(𝑥, 𝑦) = 𝐶, donde la función Φ(𝑥, 𝑦) se determina como solución del

sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales siguiente:

{

𝜕Φ

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕Φ

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

Para poder resolver el citado sistema tendremos que seguir tres pasos [21]:

Paso 1: Integración parcial:

Se integra 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a x, o 𝑁(𝑥, 𝑦) respecto a y, según nos

venga mejor. Entonces obtendremos:

Φ(𝑥, 𝑦) = ∫𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦),

O bien,

𝛷(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥)

La función g(y), o g(x), según nos haya venido mejor, es una función

incógnita que resulta de la indeterminación en la variable y si se ha

integrado respecto a x, o en x si se ha integrado respecto a y.

Paso 2. Derivada parcial:

Se deriva Φ(𝑥, 𝑦) respecto a y, si se ha integrado 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a

x, o se deriva respecto a x, si se ha integrado 𝑁(𝑥, 𝑦) respecto a y.

Paso 3. Integral final:

De la expresión reciente obtenemos la función incógnita 𝑔(𝑦) o bien

𝑔(𝑥) según nos haya sido beneficioso, desde este punto ya encontramos

la expresión de Φ(𝑥, 𝑦).

Un aspecto a tener en cuenta en este tipo de ecuaciones diferenciales

es que en este paso final de integración no tenemos en cuenta la

26

constante de la solución, debido a que la constante del resultado de este

tipo de ecuaciones diferenciales es la que vemos en Φ(𝑥, 𝑦) = 𝐶.

Ejemplo 2.4. Para la ecuación diferencial [28]

(6𝑥𝑦 + 2𝑦² − 5)𝑑𝑥 + (3𝑥² + 4𝑥𝑦 – 6) 𝑑𝑦 = 0

se tiene

𝑀(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 5, 𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 6,

y puesto que

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 6𝑥 + 4𝑦 =

𝜕𝑁

𝜕𝑥,

es exacta. Por tanto, existirá una función Φ(𝑥, 𝑦) = 𝐶 tal que

𝜕𝐹

𝜕𝑥= Φ(𝑥, 𝑦),

𝜕𝐹

𝜕𝑦= Φ(𝑥, 𝑦).

Para resolverla,

𝜕Φ(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 6𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 5

Integrando respecto de la variable x,

Φ(𝑥, 𝑦) = ∫ (6𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 5 )𝑑𝑥 = 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 5𝑥 + 𝜑(𝑦)

Ahora derivamos esta expresión respecto de la variable y,

𝜕Φ(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 6 = 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝜑′(𝑦)

Es decir, 𝜑′(𝑦) = −6, por tanto, 𝜑(𝑦) = −6𝑦 + 𝐶.

La solución buscada es:

Φ(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 5𝑥 − 6𝑦 + 𝐶; 𝐶 ∈ 𝑅

27

2.3.4. Ecuaciones diferenciales lineales.

En primer lugar debemos decir que llegados a este apartado, debemos saber que este

tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias, es uno de los de mayor importancia en la

modelización matemática. Esto no es ni más ni menos que por la gran cantidad de

aplicaciones de las situaciones que se modelan a través de una ecuación de este tipo. Por

lo tanto, debemos estudiarla con una atención especial [22], además de ser un campo

muy conocido y completo. Sin embargo, en el lado opuesto (ecuaciones no lineales)

vemos que con carácter general no se conoce casi nada acerca del método de resolución

de este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias, [23].

2.3.5.1. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Para ello, vamos a mostrar una definición de lo que se entiende de ecuación

diferencial lineal [19]:

Definición 2.7. “La forma general de una ecuación lineal de primer orden es

𝑦′ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥).

Si 𝑟(𝑥) = 0, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de

polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones

igualadas a cero); si 𝑟(𝑥) ≠ 0 entonces es lineal no homogénea.”

Una vez que ya conocemos la definición, debemos decir los métodos de resolución

de dichas ecuaciones entre los que destacamos [19]:

Si 𝑟(𝑥) = 0, entonces es evidente que la ecuación diferencial es

de variables separables y se resuelve como hemos visto anteriormente.

Si 𝑟(𝑥) ≠ 0, en este caso se resuelve o a través del método del

factor integrante. Esto es, se trata de buscar una función que nos pueda

convertir la ecuación diferencial en exacta y resolverla posteriormente.

Como ya hemos comentado anteriormente las ecuaciones diferenciales lineales han

sido estudiadas con profundidad a lo largo de los últimos 200 años. En este apartado

estudiaremos una parte de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden [28]:

28

Teorema 2.1. El problema de valores iniciales con una ecuación diferencial lineal

de primer orden tiene solución y es única si las funciones p(x) y q(x) son continuas.

[28]

La resolución de la ecuación homogénea asociada expuesta anteriormente, como se

ha comentado anteriormente, es una ecuación de variables separables y su solución es

de la forma,

𝑦(𝑥) = 𝑐𝑒−∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡; 𝐶 ∈ ℜ

Debemos destacar que para resolver la ecuación lineal completa, también se puede

utilizar el método conocido como variación de las constantes. Dicho método se basa en

tomar la solución general de la ecuación homogénea y obligar como solución de la

ecuación completa haciendo depender de x a la constante de integración C, [28].

Un ejemplo de este método para poder comprenderlo mejor sería el siguiente [19].

Ejemplo 2.5. Resolver la ecuación 𝑦′ = 2𝑦 + 𝑥.

Es evidente que la ecuación 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥 es lineal, donde 𝑓(𝑥) = −2, 𝑟(𝑥) = 𝑥 .

Multiplicando toda la ecuación diferencial inicial por la función (factor integrante):

𝑒∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−∫ 2𝑑𝑥 = 𝑒−2𝑥,

se obtiene que,

𝑦′𝑒−2𝑥 − 2𝑒−2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒−2𝑥.

Pero el primer miembro se puede expresar como la derivada de un producto de

funciones:

(𝑦𝑒−2𝑥)′ = 𝑥𝑒−2𝑥.

Integrando los dos miembros:

𝑦𝑒−2𝑥 = ∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥.

Resolvemos la integral del segundo miembro haciendo uso de la integración por

partes, llamando 𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥𝑑𝑥, y se obtiene:

29

∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥

2𝑒−2𝑥 +

1

2∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −

𝑥

2𝑒−2𝑥 −

1

4𝑒−2𝑥 + 𝐶; 𝐶 ∈ ℜ

Es decir, 𝑦𝑒−2𝑥 == −𝑥

2𝑒−2𝑥 −

1

4𝑒−2𝑥 + 𝐶. Dividiendo toda la expresión por

𝑒−2𝑥, la solución puede escribirse como:

𝑦(𝑥) = −𝑥

2−1

4+ 𝐶𝑒2𝑥; 𝐶 ∈ ℜ

Dentro de este apartado podemos incluir como un ejemplo, a la aplicación de estas

ecuaciones a la economía, en el ámbito ya más que conocido y de vital importancia en

el desarrollo de la economía como es el de la oferta y la demanda. Este ejemplo lo

veremos con más detenimiento en el tema siguiente.

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Una vez llegado a este apartado y con respecto a lo citado anteriormente, sobre los

dos grandes bloques en los que podemos dividir las ecuaciones diferenciales (lineales y

no lineales), hemos de decir que al ser tan grande el campo de este apartado debemos

centrarnos, en primer lugar en las ecuaciones diferenciales lineales. Una definición de

este tipo de ecuaciones es la siguiente [23]:

Definición 2.8. Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación del tipo:

an(x)yn+ an-1(x)yn-1+…+ a1(x)y’+ a0(x)y = b(x)

donde ai (x), i= 0, 1,2,…,n y b(x) son funciones continuas en algún intervalo I y

además an(x) ≠ 0, ∀ x ∈ I .

Cuando en esta definición el b(x) = 0, se le llama ecuación diferencial homogénea

asociada a la ecuación lineal anterior

an(x)yn+ an-1(x)yn-1+…+ a1(x)y’+ a0(x)y = 0

Si de otro modo, observamos que las funciones que estamos estudiando ai (x) =

0,1,2,…,n son todas funciones constantes, entonces dicha ecuación la definimos como

ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes [23].

30

A continuación centraremos nuestro estudio en las ecuaciones diferenciales

ordinarias lineales de segundo orden y ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de

segundo orden con coeficientes constantes.

2.4.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden.

Como hemos comentado en el apartado anterior, nos hemos centrado principalmente

en las ecuaciones diferenciales lineales, por su mayor grado de conocimiento y estudio.

Ahora estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

principalmente por dos motivos. El primero de ellos es que su explicación teórica ya

viene un poco definida con el apartado anterior cuyo valor de n en este caso sería 2. Y el

segundo de estos motivos, y el cual más importante, sería su importancia práctica en el

mundo real [23].

Sabemos que una ecuación diferencial lineal de segundo orden sería del tipo [23]

a2(x)y´´ + a1(x)y´ + a0(x)y = b(x), donde a2(x),a1(x),a0(x), y, b(x) son funciones

continuas en algún intervalo I y además a2(t) ≠ 0, ∀ x ∈ I .

La ecuación diferencial escrita en forma canónica, la cual es lo más común en este

tipo de ecuaciones viene dada por [23]:

y´´ + p(x)y´ + q(x)y = g(x).

Dentro de este apartado podríamos subdividir a su vez en varios otros, como pueden

ser: ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden completa, método de

variación de parámetros y método de reducción del orden. Aunque a continuación sólo

explicaremos uno de ellos, el método de reducción del orden.

2.4.1.1 Método de reducción del orden.

Para utilizar este método [23], debemos conocer una solución particular de la

ecuación diferencial lineal homogénea,

y´´ + p(x) y´ + q(x)y = 0

De ser así podemos hallar otra solución de la ecuación anterior aplicando este

método.

31

Si la función y1 (x) es una solución particular de dicha ecuación, hacemos el cambio

de variable y(x) = z(x) y1(x), y derivamos

y´ = z´y1 + zy1´ , y´´=z´´y1 + 2z´y1´ + zy1´´ .

Si ahora sustituimos,[23], estos valores en la ecuación inicial, teniendo en cuenta

que y1 es una solución particular de ella misma, la ecuación diferencial inicial se

transforma en y1(x)z´´ + (2y1´(x) + p(x)y1(x))z´ = 0.

Cuando llegamos aquí y con el cambio v = z´ reduce la ecuación a una ecuación

inicial a una ecuación lineal homogénea de primer orden

y1(x)v´ + (2y1´(x) + p(x) y1(x))v = 0,

la cual podemos encontrar su solución por separación de variables

v(x) = (c / y12(x)) exp(−∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥), 𝑐 𝜖 ℝ,

y como únicamente precisamos una solución podemos coger c =1. Con lo cual,

𝑧´ = 𝑣 → 𝑧 = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡,

y su nueva solución es

y2(x) = zy1(x) = y1(x) ∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑥

2.4.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con

coeficientes contantes.

Este tipo de ecuaciones diferenciales en las que nos vamos a adentrar en este

apartado, [23], son ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden del tipo:

y´´ + a1y´+ a2y = g(x)

donde a1 y a2 son constantes.

Para su resolución se puede proceder tal y como hemos estudiado en las secciones

anteriores.

32

Dentro de este apartado podemos encontrar, [23], la ecuación lineal homogénea de

segundo orden con coeficientes constantes, la ecuación diferencial lineal completa de

segundo orden con coeficientes constantes y el método de los coeficientes

indeterminados, que será sobre el que centremos nuestro estudio en el próximo

apartado.

2.4.2.1 Método de los coeficientes indeterminados.

Este método tiene como objetivo principal encontrar una solución particular de

aquellas ecuaciones diferenciales lineales completas con coeficientes constantes, y

como destacado, que no utiliza el cálculo de integrales [23].

Para ello vamos a estudiarlo a través de dos ejemplos:

Ejemplo 2.6. Hallar una solución particular de la siguiente ecuación diferencial,

[23], 𝑦´´ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥

Este método consiste en suponer la solución mirando el tipo de función 𝑔(𝑥) = 𝑒3𝑥,

del término independiente. Como nos encontramos ante una función exponencial

podemos probar con la solución particular de la forma 𝑦 = 𝐴𝑒3𝑥.

Sustituyendo en la inicial obtenemos que

9𝐴𝑒3𝑥 + 4𝐴𝑒3𝑥 = 𝐴𝑒3𝑥 → 𝐴 =1

13

Entonces la solución particular que buscábamos es 𝑦(𝑥) =1

13𝑒3𝑥.

Ejemplo 2.7. Encontrar una solución particular de la ecuación diferencial, [24]:

𝑦´´ + 2𝑦´ + 3𝑦 = 6𝑥 + 1

Observamos que el término independiente es un polinomio de primer grado,

entonces probamos como solución particular con otro polinomio de primer grado.

Probemos con la solución yp = Ax + B. Si sustituimos en la ecuación inicial del

ejemplo: y’’ =0, y’=A, obtenemos:

L[yp] = 0 + 2A + 3(Ax + B) = 3Ax + (2A + 3B)

33

Yp será solución si: 3Ax + (2A + 3B) = 6x + 1; ∀ x 𝜖 ℝ

Entonces: {3𝐴 = 6

2𝐴 + 3𝐵 = 1 → {

𝐴 = 2𝐵 = −1

La solución pedida es: yp = 2𝑥 − 1

34

3.1 Introducción

Para este último tema, lo enfocaré de una forma más práctica hacia la utilización de

los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales con su aplicación a la

economía. Está introducción la comenzaremos con un ejemplo práctico sencillo para ir

adentrándonos en este tema, y consideraremos que la variable independiente es el

tiempo t en lugar de x.

Ejemplo 3.1. Sea y(t) el precio en euros de un coche en el momento “t”. Algunos

aspectos que debemos tener en cuenta es que la depreciación del mismo es un 10%

anual, que cada año pagamos una cantidad fija de mantenimiento de 300 euros y que su

precio inicial sería de 20.000€.

La evolución del precio viene dada por, el siguiente modelo de EDO:

{𝑦′(𝑡) = 𝛽𝑦(𝑡) + 𝛿

𝑦(0) = 𝑦0

Donde 𝛽 < 0 y representa la depreciación del coche. (En este caso particular -0,1

anual)

Donde 𝛿 > 0 y representa el valor mantenimiento anual del coche. (En este caso

particular 300€)

Caso general. Expresamos la derivada cociente de diferenciales

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝛽𝑦 + 𝛿

Y, procedemos a separar las variables,

35

1

𝛽∫

𝛽𝑑𝑦

𝛽𝑦 + 𝛿= ∫ 𝑑𝑡

Integramos, ambos lados de la ecuación diferencial,

1

𝛽ln(𝛽𝑦 + 𝛿) = 𝑡 + 𝑐

Y, despejamos el valor de la función buscada 𝑦(𝑡),

ln(𝛽𝑦 + 𝛿) = 𝛽𝑡 + 𝑐

𝛽𝑦 + 𝛿 = 𝑘𝑒𝛽𝑡

𝑦(𝑡) =−𝛿 + 𝑘𝑒𝛽𝑡

𝛽

Observemos que, al ser la tasa de devaluación 𝛽 < 0, cuando el tiempo t es

“muy grande”, (es decir, tiende a infinito), entonces la función tiende al valor −𝛿

𝛽. Este

valor es conocido como valor residual del bien.

Caso particular 1. Analizaremos el modelo resolviendo la EDO a través del

método de variables separadas.

El problema de valores iniciales a resolver es:

𝑦′ = −0,1𝑦 + 300; 𝑦(0) = 20000€

Separando las variables,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −0,1𝑦 + 300 ∫

𝑑𝑦

300−0,1𝑦= ∫ 𝑑𝑡

E integrando,

−1

0,1∫

−0,1

300 − 0,1𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑡

1

−0,1ln[300 − 0,1𝑦] = 𝑡 + 𝐶; 𝐶 ∈ ℝ

36

Procedemos a despejar el valor de 𝑦(𝑡),

ln(300 − 0,1𝑦) = −0,1𝑡 + 𝐶′

300 − 0,1𝑦 = 𝑐𝑒−0,1𝑡 𝑦 =300−𝑐𝑒−0,1𝑡

0,1

Para conocer el valor en cada momento del coche, es necesario poder determinar

el valor de la constante C. Para ello, tenemos en cuenta el valor inicial del coche,

𝑦(𝑡) =1

0,1[300 − 𝑐𝑒−0,1𝑡]

𝑦(0) = 20000 =1

0,1[300 − 𝐶] 2000 = 300 − 𝐶

Es decir, 𝐶 = −1700. En consecuencia:

𝑦(𝑡) =1

0,1[300 + 1700𝑒−0,1𝑡]

𝑦(𝑡) = 3000 + 17000𝑒−0,1𝑡

Observemos, como el valor residual del coche coincide con el límite de esta

función cuando t tiende a infinito, y es de 3000 euros.

Caso particular 2. Volveremos a analizar el modelo resolviendo la EDO a

través del método de las ecuaciones lineales de primer orden.

𝑦′ = −0,1𝑦 + 300 ; 𝑦(0) = 20000

La ecuación diferencial es lineal con 𝑝(𝑡) =0,1; q(t)=300. Necesitamos, en

primer lugar, encontrar el valor del factor integrante,

𝜇(𝑡) = 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒∫ 0,1𝑑𝑡 = 𝑒0,1𝑡

Multiplicamos la ecuación diferencial por el valor del factor integrante,

𝑒0,1𝑡𝑦′ + 0,1𝑒0,1𝑡𝑦 = 300𝑒0,1𝑡

Y expresamos el primer miembro como la derivada de un cociente de funciones,

(𝑦𝑒0,1𝑡)′ = 300𝑒0,1𝑡

37

Integramos, los dos miembros de la EDO,

𝑦𝑒0,1𝑡 = ∫ 300𝑒0,1𝑡𝑑𝑡

Es decir, 𝑦𝑒0,1𝑡 =300

0,1∫ 0,1𝑒0,1𝑡𝑑𝑡, cuyo valor es:

𝑦(𝑡)𝑒0,1𝑡 = 3000𝑒0,1𝑡 + 𝐶; C 𝜖 ℝ

𝑦(𝑡) = 3000 + 𝑐𝑒−0,1𝑡

Y finalizamos encontrando el valor de la constante de integración,

𝑦(0) = 20000 = 3000 + 𝐶 𝐶 = 17000

El precio del coche, en cada momento t, viene dado por la función:

𝑦(𝑡) = 3000 + 17000𝑒−0,1𝑡

3.2 Oferta y demanda.

Sin lugar a duda la aplicación más conocida de estos modelos matemáticos a la

economía se centra en la oferta y la demanda.

Como ya es conocido, la ley de la oferta y la demanda es algo tan sumamente

importante en la economía como fundamental para afrontar cualquier tipo de política de

precios, políticas de estrategias (cartera, productos, etc.), negocios o cualquier otro tipo

de operación dentro del sector de la economía.

En primer lugar, debemos conocer que la demanda es el número de unidades que

desean adquirir los consumidores en un tiempo determinado. Mientras que la oferta es

el número de unidades que los ofertantes están dispuestos a vender en un determinado

tiempo. Todo ello lleva consigo un precio determinado. Sabemos que este precio varía a

lo largo del tiempo, lo cual llamaremos 𝑝(𝑡), pero también debemos conocer que tanto

la oferta como la demanda dependen también a su vez de la dirección que creen los

consumidores que tomará dicho precio, lo que es lo mismo que la tasa de cambio del

precio o llamado la derivada de 𝑝′(𝑡).

38

A partir de estas consideraciones, es posible construir un modelo elemental de la

oferta y la demanda, basado en las EDO, [29]:

Demanda: depende del precio del bien y de cómo varía dicho precio.

𝐷 = 𝑓(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡))

Oferta: del mismo modo, la oferta también es función del precio y de su

variación,

𝑆 = 𝑔(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡))

Con lo que llamaremos f a la función de demanda y 𝑔 a la función de oferta.

Para que las anteriores consideraciones tengan sentido se debe asumir las siguientes

cuatro hipótesis, [30]:

1- Economía competitiva y libre: Esto viene a decirnos que tanto

los consumidores como productores compiten de forma libre para la

determinación de sus precios.

2- No existe demora en el suministro: Esto no es más que una

aproximación ya que en la realidad podemos ver una demora entre el tiempo

de producción real y el mercado del consumidor.

3- No se consideran los precios de otros bienes: En este modelo

económico en concreto no se tienen en cuenta los precios de otros bienes del

mercado. En este caso los bienes que más afectarían a este modelo serían

aquellos bienes sustitutivos o complementarios con respecto al bien

estudiado.

4- Los precios, demanda y oferta varían de forma continua: Los

precios toman valores discretos, pero en la realidad se pueden aproximar con

bastante certeza adoptando valores continuos.

Una vez que sabemos cómo expresarlo y tenemos en cuenta los aspectos anteriores,

debemos escribir el principio económico de oferta y demanda

39

3.2.1 Principio económico de oferta y demanda.

Este principio dice que el precio de un bien en cualquier tiempo 𝑡, es decir 𝑝(𝑡),

viene determinado por la condición de que tanto la demanda como la oferta son iguales

en 𝑡, lo que podemos expresar de la siguiente manera, [30]:

𝑓(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡)) = 𝑔(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡))

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial de primer orden. Es evidente que

cambiando el valor de las funciones f y g, obtendremos modelos económicos diferentes.

Para el trabajo que estamos realizando, consideraremos la forma más sencilla de ambas

funciones, siguiendo a [29], que se corresponden con ecuaciones del tipo lineal:

𝑓(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡)) = 𝑎1𝑝(𝑡) + 𝑎2𝑝′(𝑡) + 𝑎3

𝑔(𝑝(𝑡), 𝑝′(𝑡)) = 𝑏1𝑝(𝑡) + 𝑏2𝑝′(𝑡) + 𝑏3

Ahora ya que conocemos las funciones, solo debemos reemplazarlas y resolver la

ecuación diferencial:

𝑎1𝑝(𝑡) + 𝑎2𝑝′(𝑡) + 𝑎3 = 𝑏1𝑝(𝑡) + 𝑏2𝑝

′(𝑡) + 𝑏3

Que puede expresarse como:

(𝑎2 − 𝑏2)𝑝′(𝑡) + (𝑎1 − 𝑏1)𝑝(𝑡) = (𝑏3 − 𝑎3)

Debemos asumir también que: 𝑎1 ≠ 𝑏1 , 𝑎2 ≠ 𝑏2 , 𝑎3 ≠ 𝑏3. En este caso, podemos

reescribir la ecuación diferencial de la forma canónica:

𝑝′(𝑡) +(𝑎1 − 𝑏1)

(𝑎2 − 𝑏2)𝑝(𝑡) =

(𝑏3 − 𝑎3)

(𝑎2 − 𝑏2)

Resolvemos esta EDO que es lineal, haciendo uso del procedimiento anteriormente

indicado, obteniendo:

𝑝(𝑡) = 𝑒−∫

(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑑𝑡(∫ 𝑒

∫(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑑𝑡 (𝑏3−𝑎3)

(𝑎2−𝑏2)𝑑𝑡 + 𝐶); C 𝜖 ℝ

Es decir, 𝑝(𝑡) = 𝑒−(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡(∫ 𝑒

(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡 (𝑏3−𝑎3)

(𝑎2−𝑏2)𝑑𝑡 + 𝐶). Operando,

40

𝑝(𝑡) = 𝑒−(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡(𝑒

(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡 (𝑏3 − 𝑎3)

(𝑎1 − 𝑏1)+ 𝐶)

Finalmente, el valor del precio del bien viene dado por la expresión:

𝑝(𝑡) = ((𝑏3 − 𝑎3)

(𝑎1 − 𝑏1)) + 𝑒

−(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡𝐶

Cuando 𝑡 = 0 , 𝑝(𝑡) = 𝑝0 , con esa condición inicial en la ecuación diferencial

obtenemos el valor de la constante de integración,

𝑝0 = ((𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1)) + 𝐶 ; 𝑝0 − (

(𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1)) = 𝐶

Entonces, la función 𝑝(𝑡) correspondiente al precio resulta ser:

𝑝(𝑡) = ((𝑏3 − 𝑎3)

(𝑎1 − 𝑏1)) + 𝑒

−(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)𝑡(𝑝0 − (

(𝑏3 − 𝑎3)

(𝑎1 − 𝑏1)))

Observemos que el valor del precio está condicionado por el término (𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1) . De

este modo podemos distinguir ahora tres tipos de casos, [29]:

1- Si 𝑝0 =(𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1) es evidente que 𝑝(𝑡) = 𝑝0 , la interpretación de

este caso al estudio que estamos haciendo sería que nos encontramos que el

precio es constante, ya que es indiferentemente el instante de tiempo 𝑡.

2- Si (𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2) > 0 ahora, al ser el exponente de la función

exponencial negativo, entonces en el límite al precio 𝑝(𝑡), cuando 𝑡

aumenta, tiende a (𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1) . En este caso nos encontramos ante una

estabilidad de precios, lo que podría ser la mejor opción dentro de los 3 casos

que estamos planteando, tanto para consumidores como fabricantes. El valor

del límite (𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1) es lo que llamaremos precio de equilibrio.

3- Si (𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)< 0 ,por un razonamiento similar, y puesto que el

exponente de la función exponencial es positivo, observamos que el precio

𝑝(𝑡) aumenta a medida que aumenta el tiempo 𝑡. Si además se cumple que

41

𝑝0 >(𝑏3−𝑎3)

(𝑎1−𝑏1) , entonces se produce una inestabilidad en el precio o lo que

podría ser una inflación continuada. Esta inestabilidad o inflación puede

prorrogarse hasta que los factores económicos evolucionen, lo que puede

llevarnos a un cambio del modelo, modificando la EDO de partida.

Para llevar este caso general a la práctica, veremos a continuación dos ejemplos de

este tipo de casos o sucesos, extraídos de [29] y [30].

Ejemplo 3.2 Supongamos que la oferta y la demanda de un bien están dados en

miles de unidades respectivamente de la siguiente forma:

𝑆 = 160 − 5𝑝(𝑡) − 3𝑝′(𝑡) ;𝐷 = 40 + 3𝑝(𝑡) + 𝑝′(𝑡)

El precio del bien en 𝑡 = 0, es 20€.

a) Encontrar el precio en cualquier tiempo posterior y obtener su

representación gráfica.

b) Determinar si existe estabilidad de precios y el precio de equilibrio en el

caso de que existiera.

Solución:

a) Si nos basamos en el principio económico de oferta y demanda podemos

escribir, igualando ambas expresiones:

160 − 5𝑝(𝑡) − 3𝑝′(𝑡) = 40 + 3𝑝(𝑡) + 𝑝′(𝑡)

Operamos y simplificando:

𝑝′(𝑡) + 2𝑝(𝑡) = 30

Esta ecuación es lineal de coeficientes constantes, o bien podemos resolverla

también por variables separables. La solución general de la ecuación lineal y no

homogénea anterior es:

𝑝(𝑡) = 𝐶𝑒2𝑡 + 15; 𝐶 ∈ ℝ

b) Para poder decir si hay estabilidad o no en los precios, y en caso

afirmativo encontrar el precio de equilibrio, debemos resolver el problema del

valor inicial:

𝑝′(𝑡) + 2𝑝(𝑡) = 30 ; 𝑝(0) = 20

Dado que 𝑝 = 𝐶𝑒−2𝑡 + 15, cuando aplicamos la condición inicial 𝑝(0) = 20

podemos encontrar el valor de la constante de integración,

20 = 𝐶𝑒0 + 15 ; 𝐶 = 5

42

Entonces vemos el precio expresado como una función del tiempo es:

𝑝 = 5𝑒−2𝑡 + 15

Expresado gráficamente:

Figura 3.1 Gráfica del precio en función del tiempo. (Extraído de [30])

En el gráfico podemos observar la curva solución de 𝑝(𝑡). También se puede ver en

el mismo gráfico que cuando 𝑡 → ∞ , 𝑝 → 15. Independientemente del valor inicial, el

precio a largo plazo tiende a ese valor. Es decir, el punto de equilibrio es

asintóticamente estable.

En este suceso nos encontramos en el caso 2 explicado anteriormente, lo que nos

dice que existe una estabilidad de precios y el precio buscado de equilibrio sería 15.

Ejemplo 3.3 La demanda y la oferta vienen dadas en miles de unidades, de la

siguiente forma 𝐷(𝑡) = −4𝑝(𝑡)𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 5𝑝′(𝑡)cos (4𝑡) + 80 y 𝑆(𝑡) =

8𝑝(𝑡)𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 4𝑝′(𝑡)cos (4𝑡) + 120. En 𝑡 = 0, el precio del bien es de 25 unidades

monetarias. Se pide

a) Encontrar el precio en cualquier tiempo

b) Discutir la estabilidad de precios e implicaciones económicas.

Solución: Aplicando el principio conocido de oferta y demanda:

−4𝑝(𝑡)𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 5𝑝′(𝑡)cos (4𝑡) + 80 = 8𝑝(𝑡)𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + 4𝑝′(𝑡)cos (4𝑡) + 120

Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial lineal,

𝑝′(𝑡)𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 12𝑝(𝑡)𝑠𝑒𝑛(4𝑡) = 40

Dividiendo por cos (4𝑡)

43

𝑝′(𝑡) − 12𝑝(𝑡)𝑡𝑔4𝑡 = 40sec (4𝑡)

Podemos aplicar la formula de resolución de la ecuación diferencial lineal,

𝑝(𝑡) = 𝑒−∫ 12𝑡𝑔4𝑡𝑑𝑡(∫ 𝑒∫ 12𝑡𝑔4𝑡𝑑𝑡(40sec (4𝑡))𝑑𝑡 + 𝐶); 𝐶 ∈ ℝ

Resolviendo la integral de la función exponencial,

𝑝(𝑡) = 𝑒3ln (𝑐𝑜𝑠4𝑡)(∫ 𝑒−3ln (𝑐𝑜𝑠4𝑡)(40sec (4𝑡))𝑑𝑡 + 𝐶); 𝐶 ∈ ℝ

Y simplificando la exponencial con el logaritmo,

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(4𝑡)(∫ 𝑐𝑜𝑠−3(4𝑡)(40sec (4𝑡))𝑑𝑡 + 𝐶); 𝐶 ∈ ℝ

O bien,

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(4𝑡)(∫ (40𝑠𝑒𝑐4(4𝑡))𝑑𝑡 + 𝐶); 𝐶 ∈ ℝ

Como 𝑠𝑒𝑐2(4𝑡) = 1 + 𝑡𝑔2(4𝑡), entonces,

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(4𝑡)(∫ (40(𝑠𝑒𝑐2(4𝑡))(1 + 𝑡𝑔2(4𝑡)))𝑑𝑡 + 𝐶) ; 𝐶 ∈ ℝ

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(4𝑡)(∫ (40(𝑠𝑒𝑐24𝑡)𝑑𝑡 + ∫ (40(𝑠𝑒𝑐24𝑡)(𝑡𝑔24𝑡))𝑑𝑡 + 𝐶); 𝐶 ∈ ℝ

Finalmente, el valor buscado del precio es:

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3(4𝑡) (10𝑡𝑔4𝑡 +10

3𝑡𝑔34𝑡 + 𝐶) ; 𝐶 ∈ ℝ

Utilizando la condición inicial: 𝑝0 = 25 = 𝐶

El precio en cualquier tiempo 𝑡 queda de la siguiente manera:

𝑝(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2(4𝑡)(10𝑠𝑒𝑛4𝑡) + (10

3𝑠𝑒𝑛34𝑡) + 25𝑐𝑜𝑠3(4𝑡)

Para que podamos conocer si los precios son estables debemos saber si

(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)> 0 o no lo es, conocemos que

(𝑎1−𝑏1)

(𝑎2−𝑏2)= 𝑡𝑔(4𝑡) y que este valor puede

ser tanto negativo como positivo, según el valor del tiempo. La función tangente

es negativa en el segundo (𝜋

2< 4𝑡 < 𝜋) y cuarto cuadrante (

3𝜋

2< 4𝑡 < 2𝜋), por

lo tanto podemos observar que algunos intervalos de tiempo el precio llegará a

ser estable mientras que en otros intervalos estaremos hablando de un precio

inestable.

3.3. Otras aplicaciones

No solo podemos observar, en el ámbito de la economía, en el modelo de la oferta y

la demanda los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales. Sino que

también existen otros ejemplos en los que podemos encontrar estos tipos de modelos

matemáticos. A continuación vamos a detallar dos de estos ejemplos: Modelo de

44

capitalización compuesto continúo y un modelo de bonos del Estado (en el caso de

España Letras del Tesoro).

3.3.1 Modelo de capitalización compuesto continúo.

De una forma teórica enfocamos este modelo suponiendo que 𝑐(𝑡) representa al

capital disponible en el tiempo 𝑡, 𝑐(0) es el capital depositado inicialmente, y 𝑟 se

corresponde con el tanto por ciento de interés compuesto continuamente.

Dentro del tipo de interés lo más común son dos tipos de casos, el primero de ellos

es que el tipo de interés sea constante a lo largo del tiempo. El segundo caso que nos

podemos encontrar es que el tipo de interés no sea fijo y que su incremento sea variable

a lo largo del tiempo.

El primer caso se modeliza por medio de la EDO de la siguiente manera:

𝑐′(𝑡) = 𝑟𝑐(𝑡); 𝑐(0) = 𝑐0

Resolvemos, esta ecuación diferencial de variables separables,

𝑑𝑐

𝑑𝑡= 𝑟𝑐 → ∫

𝑑𝑐

𝑐= ∫ 𝑟𝑑𝑡 → ln|𝑐| = 𝑟𝑡 + 𝑀

Despejando 𝑐(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡+𝑀, que también puede ser expresada, llamando 𝑘 = 𝑒𝑀

como:

𝑐(𝑡) = 𝑘𝑒𝑟𝑡 ; 𝐾 ∈ ℝ

Como, 𝑐(0) = 𝑐0 = 𝑀, entonces,

𝑐(𝑡) = 𝑐0𝑒𝑟𝑡

Se puede ver como el capital crece (si r es positivo) de manera exponencial.

En el segundo caso, cuando el interés no es fijo, es decir 𝑟 = 𝑟(𝑡). Por ejemplo,

supongamos que la tasa de interés crece de manera lineal, 𝑟(𝑡) = 0,05 + 0,01𝑡. Ahora

el modelo obedece el siguiente problema de valores iniciales:

𝑐′(𝑡) = (0,05 + 0,01𝑡)𝑐(𝑡) ; 𝑐(0) = 𝑐0

Se trata de una ecuación diferencial de variables separables,

𝑑𝑐

𝑐= (0,05 + 0,01𝑡)𝑑𝑡 → ∫

𝑑𝑐

𝑐= ∫ (0,05 + 0,01𝑡)𝑑𝑡

Integrando,

ln|𝑐| = 0,05𝑡 + 0,01𝑡2

2+ 𝑘

Y despejando el capital,

𝑐(𝑡) = 𝑒0,05𝑡+0,01𝑡2

2+𝑘 ; 𝐾 ∈ ℝ

45

Al ser 𝑐(0) = 𝑐0, entonces 𝑐0 = 𝑒𝑘, y podemos reescribir la solución como:

𝑐(𝑡) = 𝑐0𝑒0.05𝑡+0.01

𝑡2

2

El siguiente ejemplo se ha extraído de [31]

Ejemplo 3.4 Una cuenta bancaria tiene 20.000 € depositados y está obteniendo un

beneficio del 5% de interés compuesto continuado. En esta misma cuenta un pensionista

la utiliza para recibir una anualidad de 2.000€. Encontrar el tiempo necesario para que el

saldo de la cuenta sea cero.

Del enunciado es fácil deducir la ecuación diferencial que modeliza la situación,

𝑐′(𝑡) = 0,05𝑐(𝑡) − 2000 ; 𝑐(0) = 20000

Que puede resolverse separando las variables,

𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡= 0,05𝑐(𝑡) − 2000 →

𝑑𝑐

0,05𝑐−2000= 𝑑𝑡

E integrando,

1

0,05∫

0,05𝑑𝑐

0,05𝑐−2000= ∫ 𝑑𝑡 →

1

0,05ln(0,05𝑐 − 2000) = 𝑡 + 𝑘 ; 𝐾 ∈ ℝ

Despejamos el valor de 𝑐(𝑡),

ln(0,05𝑐 − 2000) = 0,05𝑡 + 𝑘 → 0,05𝑐 − 2000 = 𝑒0,05𝑡+0.05𝑘 = 𝑒0.05𝑘 ∗ 𝑒0,05𝑡

0,05𝑐 = 2000 + 𝑒𝑘𝑒0,05𝑡

La solución general de la EDO es:

𝑐(𝑡) =1

0,05[2000 + 𝑒𝑘𝑒0,05𝑡] ; 𝐾 ∈ ℝ

Como 𝑐(0) = 20000 𝑐(0) =1

0,05[2000 + 𝑒0.05𝑘𝑒0] = 20000,

Es decir,

2000 + 𝑒0.05𝑘 = 20000 ∗ 0,05 𝑒0,05𝑘 = −2000 + 20000 ∗ 0,05 = −1000

La expresión del capital disponible en cada momento t, viene dado por

𝑐(𝑡) =1

0,05[2000 − 1000𝑒0,05𝑡]

El saldo se anulará cuando 2000 = 1000𝑒0,05𝑡, es decir cuando t= ln2/0,05=13,86

años, tal y como puede apreciarse en la representación gráfica del capital.

46

Figura 3.2 Gráfica de la función 𝑐(𝑡) =1

0,05[2000 − 1000𝑒0,05𝑡]

3.3.2 Modelo de bonos o letras del tesoro.

Un bono es una promesa de pago en el futuro. Existen muchas entidades que emiten

este tipo de bonos con el fin de poder financiar sus actividades, en este caso, los

gobiernos emiten diversos tipos de bonos denominados, en España, Letras del Tesoro.

Una propiedad de este tipo de financiación es que en todo momento se conoce su

valor final, es decir, tenemos un periodo [0, T] y al final de dicho periodo el valor del

bono es BT. Sin embargo un problema al que nos enfrentamos en estos casos es que no

se conoce el valor en momentos de tiempo intermedios. También debemos decir que el

valor del bono al tiempo 𝑡 dependerá del mercado [32].

Definición 3.1. Sea 𝐵(𝑡), el precio de un bono al tiempo 𝑡. El rendimiento del bono

en el periodo de tiempo [𝑡, 𝑠] se define como [32]:

𝛾(𝑡, 𝑠) =1

𝑠 − 𝑡(𝐵(𝑠) − 𝐵(𝑡)

𝐵(𝑡))

Donde 𝑡 < 𝑠, es decir, es la tasa porcentual de cambio en el valor del bono en el

periodo [𝑡, 𝑠].

Definición 3.2. El rendimiento instantáneo al tiempo 𝑡, 𝑟(𝑡), es el límite de los

rendimientos cuando 𝑠 → 𝑡; esto es,

𝑟(𝑡) = lim𝑠→𝑡

𝛾(𝑡, 𝑠)= 𝑟(𝑡) = lim𝑠→𝑡

1

𝐵(𝑡)[𝐵(𝑠)−𝐵(𝑡)

𝑠−𝑡]=

1

𝐵(𝑡)

𝑑𝐵(𝑡)

𝑑𝑡=

𝐵′(𝑡)

𝐵(𝑡)

La función r(t) también es denominada tasa instantánea (es común denotar esta

tasa de cambio, B′/B, por B̂), la cual expresa la tasa porcentual de cambio en el valor

del bono en el “instante” t.

5 10 15 20

15 000

10 000

5000

5000

10 000

15 000

20 000

47

Notemos que 𝐵(𝑡) satisface la siguiente ecuación diferencial:

𝐵′(𝑡) − 𝑟(𝑡)𝐵(𝑡) = 0

Para resolverla debemos estudiar el caso no autónomo junto con la condición final

𝐵(𝑡) = 𝐵𝑇 (en este caso 𝑡0 = 𝑇).

Caso no autónomo. Se presenta cuando los coeficientes no son constantes.

Dada la ecuación, 𝑥′(𝑡) = 𝑎(𝑡)𝑥(𝑡), se tiene (si 𝑥 ≠ 0) que:

𝑥′(𝑡)

𝑥(𝑡)= 𝑎(𝑡)

Integrando ambos lados

∫𝑥′(𝑡)

𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑡0

En el paso anterior tomamos la antiderivada de 𝑎(𝑡), que por el teorema

fundamental del cálculo es simplemente ∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠𝑡

𝑡0. De aquí obtenemos que

ln(𝑥(𝑡)) = ∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠 + 𝑘𝑡

𝑡0

Entonces, si notamos como 𝑘 = 𝑒𝑘

𝑥(𝑡) = 𝑘(𝑒𝑓(𝑡)) (3.1)

Donde

𝑓(𝑡) = ∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠𝑡

𝑡0

La solución explícita se puede obtener siempre y cuando la función 𝑎(𝑡) se pueda

integrar (debemos notar que si 𝑎(𝑡) = 𝑎, una constante, se obtiene es caso autónomo si

se define 𝐾 ≡ 𝑒𝑘−𝑎𝑡0). La constante 𝑘 se obtiene si se conoce un valor inicial, 𝑥(𝑡0).

La ecuación (3.1) es una solución aun si 𝑘 es negativa. [32]

Después de conocer el caso no autónomo, estamos en condiciones de resolverla

junto con la condición final comentada anteriormente (𝐵(𝑡) = 𝐵𝑇). Por (3.1) la solución

es 𝐵(𝑡) = 𝑘(𝑒∫ 𝑟(𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 ). Si sustituimos 𝑡 = 𝑇, obtenemos que 𝑘 = 𝐵𝑇 y por lo tanto

podemos expresar:

𝐵(𝑡) = 𝐵𝑇 (𝑒∫ 𝑟(𝑠)𝑑𝑠𝑡𝑇 ) = 𝐵(𝑡)(𝑒−∫ 𝑟(𝑠)𝑑𝑠

𝑇𝑡 ) (3.2)

Los límites de integración se invierten dado que 𝑡 < 𝑇 y de esta manera el resultado

queda definido como “el valor presente (en 𝑡) de 𝐵𝑇”. De este modo se ha demostrado

48

que existe una función creciente, 𝛽(𝑡) = 𝑒∫ 𝑟(𝑠)𝑑𝑠𝑡𝑇 , tal que el valor del bono al tiempo 𝑡

es 𝐵(𝑡) = 𝛽(𝑡)𝐵𝑇.

La función 𝛽(𝑡) es denominada el descuento del bono o letra del tesoro y tiene que

satisfacer 𝛽(𝑇) = 1.

El caso más sencillo nos lo podemos encontrar cuando se presenta 𝑟(𝑡) = 𝑟, donde

𝑟 es una constante y entonces se obtiene

𝐵(𝑡) = 𝐵𝑇𝑒−𝑟(𝑇−𝑡).

Alguna de las interpretaciones que podemos deducir de la ecuación (3.2) según [32]

sería, en primer lugar, vemos que el valor de la letra del tesoro o bono al tiempo 𝑡

depende en esencia de los rendimientos en el intervalo [𝑡, 𝑇], es decir, el valor actual es

el valor futuro descontado mediante los rendimientos del periodo.

También podemos destacar la relación existente entre el valor actual y el valor final

del bono, la cual es una relación lineal. Dicho de otro modo sabemos que si se duplicara

el precio 𝐵𝑇, necesariamente se duplicaría 𝐵(𝑡).

Por otro lado podemos decir también que en este caso particular la ecuación

diferencial se ha resuelto “hacia atrás” ya que se ha obtenido el valor presente del bono

o letra del tesoro a partir de un valor futuro ya conocido. Existiría otra posibilidad de

resolver este tipo de problemas, que sería “hacia adelante”, lo que vendría a ser, el valor

actual queda expresado en términos de un valor conocido en el pasado, que por norma

general suele ser el valor inicial.

Si tenemos dos instrumentos, 𝐵1(𝑡) y 𝐵2(𝑡), con tasas 𝑟1(𝑡) y 𝑟2(𝑡) tales que

𝑟1(𝑡) > 𝑟2(𝑡) y 𝐵1(𝑇) = 𝐵2(𝑇) = 𝐵𝑇, entonces los precios de los bonos satisfacen

𝐵1(𝑡) < 𝐵2(𝑡). Esto puede verificarse de la siguiente manera: dado que 𝑟1(𝑡) > 𝑟2(𝑡),

se sabe que

∫ 𝑟1(𝑠)𝑑𝑠 > ∫ 𝑟2(𝑠)𝑑𝑠𝑇

𝑡

𝑇

𝑡

−∫ 𝑟1(𝑠)𝑑𝑠 < −∫ 𝑟2(𝑠)𝑑𝑠𝑇

𝑡

𝑇

𝑡

𝑒−∫ 𝑟1(𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 < 𝑒−∫ 𝑟2(𝑠)𝑑𝑠

𝑇𝑡

Y al multiplicar por 𝐵𝑇 nos queda

𝐵𝑇 (𝑒−∫ 𝑟1(𝑠)𝑑𝑠

𝑇𝑡 ) < 𝐵𝑇(𝑒

−∫ 𝑟2(𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 )

Es decir 𝐵1(𝑡) < 𝐵2(𝑡).

49

CONCLUSIONES

Los modelos matemáticos a lo largo de la historia han intentado dar explicación a

los fenómenos que nos encontramos a nuestro alrededor. En el caso que hemos

estudiado del ámbito de la economía y de los basados en ecuaciones diferenciales

hemos expresado principios económicos como es el caso de la oferta y la demanda que

son de vital y cotidiana utilidad para cualquier persona involucrada en el mundo de la

economía.

Este Trabajo de Fin de Grado trata de dar la importancia que estos modelos poseen

en el mundo actual, ya que no son valorados de la forma que deberían. Aunque como ya

sabemos la economía es un campo en que la incertidumbre es un valor asociado, con el

conocimiento de los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales

expuestos en este trabajo quizás podríamos caminar hacia una economía un poco más

conocida y previsible por todos. Para su mejor conocimiento se deben utilizar las

herramientas expuestas en este trabajo dentro de los tres temas, ya que el

desconocimiento de uno de ellos podría llevarnos a una interpretación equivocada.

Todo el trabajo realizado a lo largo de estos meses me ha hecho comprender los

modelos matemáticos, obteniendo así una pequeña capacidad para poder estudiar los

acontecimientos que nos rodean a través del lenguaje matemático, ya bien sea de una

manera más sencilla o más compleja. Así mismo, podemos sacar como conclusión que a

través de unas bases fuertes tenemos la capacidad de analizar el comportamiento del

pasado y llegar a conocer o plantearnos que ocurrida o como evolucionara el

comportamiento futuro.

La realización de investigación y búsqueda sobre todos aquellos trabajos realizados

sobre los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales en el ámbito de la

Economía me ha hecho descubrir la existencia de que es un sector que está en evolución

y que a pesar de no existir muchos trabajos desarrollados sobre este tema, creo que será

de vital importancia en un futuro próximo. Y con ello aparecer nuevas explicaciones,

principios o leyes económicas basadas en estos modelos matemáticos de ecuaciones

diferenciales, como así lo es en otros ámbitos diferentes, como puede ser la Física o la

Biología.

50

BIBLIOGRAFÍA

Tema 1

[1] Nicole Roldán, P. Modelo Matemático. Disponible en (marzo 2019):

https://economipedia.com/definiciones/modelo-matematico.html

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