Modèles Compartimentaux

G.Sallet

& Université de METZ

Un exemple: Tuberculose 2 souchesSusceptibles

Latents 1

Latents 2

Infectieux 1

Infectieux 2

Traités

Un exemple: Tuberculose 2 souches

˙ S = −β2

SI2N

−μS +Λ−β1

SI1N

˙ E 1 = −rT−μE1−β2

E1I2

N−k1E1

L +p˜ r I1 +β1

SI1N

+σβ1

TI1N

Le principeCompartiments

•Une quantité de matières cinétiquement homogène. En particulier toute quantité entrante est instantanément mélangée avec le reste

•Un compartiment peut-être abstrait

•Les matières d ’un compartiment ne se transforment pas.

Analyse compartimentale

n compartiments qi quantité dans le compartiment i

fij, fji, Ii Oi fonctions de qQuantités toutes ≥ 0L ’extérieur est noté compartiment 0

Équations

˙ q i = fij −fji( )j≠i∑ + fi0 −f0i

Équations

fjiq1,K,qi−1,0,qi+1,K,qn ()=0 Cela traduit qu ’il ne peut rien sortir si le compartiment est vide !

Un théorème bien utile

A(x)=Df(sx)ds 0

1

∫

Théorème

Si une fonction f est telle que f(0)=0

Alors

Où A(x) est la matrice f(x)=A(x).x

preuve :

f(x)=f(x)−f(0)=ddt 0

1

∫f(tx ()dt

ddt

f(tx) ()=Df(tx).x

Équations

˙ q i = fij −fji( )j≠i∑ + fi0 −f0i

on définit fji =aji(q).qi

d ’où

˙ q i =− a0i + ajij≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .qi + aij.qj

j≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +fi 0

Équations

˙ q i =− a0i + ajij≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .qi + aij.qj

j≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +fi 0

on définit

aii =− a0i + ajij≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Puis la matrice et le vecteur

A= aij( )

On a alors ˙ q =A(q).q+E0

E0 = fi0( )

Propriétés ˙ q =A(q).q+E0

On notera la flèche qui apporte dans i

venant de j, la quantité de matières

aijaij qj

Propriétés de la matrice A(q)

Un telle matrice s ’appellera matrice compartimentale

aij ≥0 pour i ≠j

aii ≤0

aiji=1

n

∑ ≤0

1

2

3 aiji=1

n

∑ =ajj + aiji≠j∑

ajj =− a0j + aiji≠j∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=−a0j

Propriétés du système Une matrice telle que s ’appelle

une matrice de Metzler

aij ≥0 pour i ≠j

Δ = x ∈IRn | xi ≥0 ∀i, xi ≤M∑{ }

Lemme 1 : toute matrice de Metzler laisse invariant l ’orthant

Lemme 2 : toute matrice compartimentale laisse invariant pour tout M le simplexe

x∈IRn |xi ≥0 ∀i{ }

Modèles Mathématiques

enEpidémiologie

G.Sallet

& Université de METZ

Historique

1760 Daniel Bernoulli

1927 W.O Kermack et A.G McKendrick

1906 W.H. Hamer

1908 R. Ross

D. Bernoulli

Méthode mathématique pour évaluer l’efficacité des techniques de variolation

D. Bernoulli Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir Mémoire mathématiques Académie royale des sciences Paris 1760

W.H. Hamer

1906 Hamer postule :

The course of an epidemics depends on the rate of contact between susceptibles and infectious individuals

i.e. « principe d’action de masse »

R. Ross

1911

‘ As a matter of fact all epidemiology, concerned as it is with variation of disease from time to time or from place to place, must be considered mathematically, however many variables are implicated, if it is to be considered at all…and the mathematical method of treatment is really nothing but the application of careful reasoning to the problem at hand’

R. Ross

prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que les anophèles transmettent les parasites du paludisme

1908 modèle continu pour la transmission du paludisme, avec action de masse. Fondateur de l’épidémiologie mathématiqueDans sa quête pour établir qu’il n’était pas nécessaire d’éradiquer complètement les moustiques pour supprimer le paludismeNotion de seuil !

R. Ross

˙ x =−β1 xy+β1y−r x

˙ y =−β2 xy+β2x−μy

⎧ ⎨ ⎩

Modèle de Ross (1911)

˙ x =ax−bxy

˙ y =cxy−dy⎧ ⎨ ⎩

Lotka-Volterra (1924)

W.O Kermack A.G. McKendrick

1927 Contribution à la théorie mathématique des épidémies

Notion de «threshold» seuil

Maladies Infectieuses

Microparasites

Macroparasites

virus Bacteries Protozoaires

Nématodes IntestinalesSchistosomiasis (Bilharziose) Filarioses Onchocercose

Microparasites

petite taille Measles Rougeole Mumps Oreillons Whooping cough Coqueluche Rubella Rubéole Diphtheria Diphtérie Chicken pox Varicelle Gonorrhoea Gonorhée AIDS SIDA Malaria Paludisme Trypanosomiasis…...

Reproduction dans l’hôte

durée de l’infection courte relativement à la durée de vie de l’hôte

une certaine immunité

Cours d’une maladie

Infection microparasitique

Infections Microparisitiques

modèles Compartimentaux

SusceptiblesInfecté LatentsInfectieuxRecovered et immuns

population divisés en parties homogènes

Infections Microparisitiques on ne distingue pas le degré de l’infection

Infectionpar les protozoaires sont entre les deux e.g Malaria, Trypanosomiasis

au contraire la densité parasitique est essentielle dans les infections macroparatiques

Modèles Compartimentaux Susceptibles

capable de contracter la maladie et de devenir infectés

Exposed

Infectives

Removed

individus latent qui ayany contracté la maladie ne la transmette pas encore

transmette la maladie aux susceptibles

ne transmettent pas la maladie ( guéris, morts, quarantaine…)

Modèles Compartimentaux

Modèle SIRS

Modèles Compartimentaux

SIRS avec dynamique vitale

Le modèle Kermack-McKendrick classique

avec dynamique vitale

Le modèle Kermack-McKendrick

SIRS dynamique vitale, immunité temporaire

Le modèle Kermack-McKendrick

Modélisation du contact Représentation mathématique du mécanisme de la transmission

Qu’est ce que S(t), I(t), R(t) ?•La taille de la population ?

•Une densité ?

Modélisation du contact

S(t), I(t), R(t) ?•Originellement Kermack-McKendrick S,I,R étaient une densité de population par unité de surface (Ile de Bombay)

vraie loi d ’action de masse. Si • le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission)

Modélisation du contact S(t) nombre de susceptiblesI(t) le nombre d ’infectieuxN(t) la population totale

• le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission) d ’une personne par unité de temps

le nombre de moyen de contacts par unité de temps d ’un susceptible

•D ’où est le nombre de nouveaux cas par unité de temps dus à S susceptibles.

Modélisation du contactβIN

S

• Si on utilise une forme d ’incidence du type

–La vraie action de masse est aussi plus réaliste pour les populations animales.

– pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche, varicelle, diphtérie, scarlatine) avec des populations variant entre

1000 et 400 000 on trouve que

Modélisation du contactβIN

S vraie action de masse

pseudo action de masse

The reproduction number R0

R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse.

Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz :cadre rigoureux 1990-1991

Introduite par Macdonald dans le contexte du paludisme. (1952)

R0 et la notion de seuil

Modèle SIRS

deux équilibres :

˙ S =−βSI+γR˙ I = β SI−νI˙ R = νI −γR

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

N,0,0( )

νβ

,γ(Nβ −ν)β(ν +γ)

,ν(Nβ −ν)β(ν +γ)

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠

Comme N=S+I+R est constant on peut réécrire le système

avec s=SN

, i =IN

, r =RN

équilibres :

1,0( ) νβN

,γ

ν +γ1−

νβN

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Il y a un équilibre faisable dans le simplexe si :

1−ν

βN< 0 with

Il y a deux équilibres si :

1−ν

βN> 0 if

νβN

1−νβN

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

γν +γ

1−ν

βN

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

deux équilibres :

R0 =βNν

> 1 si

l’équilibre est stable

Jacobien en ν

βN,

γν +γ

1−ν

βN

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

R0 =βNν

> 1

l’équilibre endémique est stable :

R0

R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse.

valeur moyenne de la durée infectieuse :

R0

1ν

βNν

durant cette période une force d’infection s’applique sur la population des susceptibles N,

β

le nombre de cas secondaires est donc

0R =βN

ν +d

Les infectieux quittent le compartiment à la vitesse ν +d

d’où

Résultats Classiques (SIRS)

0R ≤1

0R >1

Résultats Classiques (SIRS)

Résultats Classiques (SIRS)

Morts de la peste dans l’île de Bombay : 17.12.1905 to 21.061906

Résultats Classiques (SIRS)

Exemples : MSEIR

N =M +S+E +I +R

˙ M =b(N −S)−(δ +d)M

˙ S =(b−d)S+δM −βSIN

˙ E =βSIN

−(ε +d)E

˙ I =εE −(γ +d)I

˙ R =γI −dR

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

˙ N =(b−d)N

MSEIR ˙ M =b(N −S)−(δ +d)M

˙ S =(b−d)S+δM −βSIN

˙ E =βSIN

−(ε +d)E

˙ I =εE −(γ +d)I

˙ R =γI −dR

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

˙ m =˙ M N

−M ˙ N N2 =

˙ M N

−m(b−d)

m=MN

s=SN

=(1−m−e−i −r)

e=EN

i =IN

r =RN

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

meir ˙ m =b(e+i +r) −δm

˙ e =βi(1−m−e−r)−(ε +b)e

˙ i =εe−(γ +b)i

˙ r =γI −bR

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

La seule entrée du système peut s ’écrire : 0 0 0 0

0 0 βs 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

m

e

i

r

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

˙ q =A(q).q

meir (stabilité de l ’équilibre non endémique) ˙ m =b(e+i +r) −δm

˙ e =βi(1−m−e−r)−(ε +b)e

˙ i =εe−(γ +b)i

˙ r =γi −br

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

A(m,e,i,r) =

−δ b b b

0 −(b+ε) βs 0

0 ε −(b+γ) 0

0 0 γ −b

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

˙ q =A(q).q

meir R0

1 infectieux : vie moyenne 1(b+γ)

cela crée des latents à la vitesse βis

soit (s=1) latents

β(b+γ)

multiplié par la durée de vie moyenne d ’un latent et la vitesse

R0 =βε

(b+γ)(b+ε)

Preuve :meirL ’équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi R0 ≤1

−δ b b b

0 −(b+ε) βs 0

0 ε −(b+γ) 0

0 0 γ −b

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

cT = 0 ε (b+ε) 0( )

cT.A(x) = 0 0 βsε −(b+γ)(b+ε) 0( )

βsε−(b+γ)(b+ε) ≤0˙ m =b(e+i +r) −δm

˙ e =βi(1−m−e−r)−(ε +b)e

˙ i =εe−(γ +b)i

˙ r =γi −br

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

Ω = x∈IRn | xi ≥0 ∀i, xi ≤k∑{ }

Exemples : SEIRS

˙ S =−βg(I )S+ν −νS+δR

˙ E =−βg(I )S−(ε +ν)E

˙ I =εE −(γ +ν)I

˙ R =γI −(δ +ν)R

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

g(I ) >0

g(0) =0

g(I )I

≤c

exemples

SI

SI p

1+aIp

SEIRS

−βg(I )−ν 0 δ 0

0 −(ε+ν) βg(I )

IS 0

0 ε (γ +ν) 0

0 0 γ −(δ+ν)

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

˙ S =−βg(I )S+ν −νS+δR

˙ E =βg(I)S−(ε +ν)E

˙ I =εE −(γ +ν)I

˙ R =γI −(δ +ν)R

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

cT = 0 ε (ε+ν) 0( )

βεg(I )S−(γ +ν)(ε +ν)I ≤0

˙ S =+ν −νS+δR

˙ R =−(δ +ν)R

⎧ ⎨ ⎩

R0 =cβε

(γ +ν)(ε +ν)

βεg(I )I

S−(γ +ν)(ε+ν) ≤0

Le modèle de Ross (1911)

Le modèle de Ross (1911)

€

I1(t + Δt) = I1(t) + b2aΔt I2

N H − I1

N H

− rI1(t)Δt

€

d

dtI1(t) = b2aI2(1−

I1(t)

N H

) − rI1(t)

Modèle de Ross (1911)

dI1dt

=β1 I2 S1 −(ν1 +μ1)I1

dI2dt

=β2 I1 S2 −(ν2 +μ2)I2

€

dI2

dt=

ab

HI1 S2 − (ν 2 + μ2)I2

€

dI1

dt=

ab2

HI2 S1 − (ν 1 + μ1)I1

nombre de piqûres par moustique par unité de temps

€

a proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection

€

b2

proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique

€

b1

€

dI1

dt=

ab2

HI2 (H − I1)− (r1 + μ1)I1

€

dI2

dt=

ab1

HI1 (M − I2)− (r2 + μ2)I2

€

m =V

H densité anophélienne,

Paludisme : Modèle de Ross (1911)

i1 =I1H

€

di2

dt= ab1 i1 (1− i2)− (r2 + μ2)i2€

i2 =I2

V€

di1dt

= ab2

V

Hi2 (1− i1)− (r1 + μ1)i1

€

dI1

dt=

ab2

HI2 (H − I1)− (r1 + μ1)I1

€

dI2

dt=

ab1

HI1 (V − I2)− (r2 + μ2)I2

€

m =V

H

Plus simplement

€

˙ x = mab2y (1− x) − r x

˙ y = ab1 x(1− y) − μy

⎧ ⎨ ⎩

€

di1dt

= ab2

V

Hi2 s1 − (ν 1 + μ1)i1

€

di2

dt= ab1 i1 s2 − (ν 2 + μ2)i2

€

di1dt

= mab2 i2 (1− i1 ) − ri1

€

di2

dt= ab1 i1 (1− i2)− μi2

€

μ1 << r1

ν2 <<μ2

Paludisme : Modèle de Ross (1911)

Modèle de Ross (1911)

Plus simplement

˙ x =−β1 xy+β1y−r x

˙ y =−β2 xy+β2x−μy

⎧ ⎨ ⎩

Ross 1911

˙ x =−β1 xy+β1y−r x

˙ y =−β2 xy+β2x−μy

⎧ ⎨ ⎩

Lotka 1923

Macdonald 1957

Dietz 1975

Paludisme : Modèle de Ross (1911)

R0

˙ x =−β1 xy+β1y−r x

˙ y =−β2 xy+β2x−μy

⎧ ⎨ ⎩

R0 =β1β2

μr

Equilibre xe =R0 −1

R0 +β2

μ

ye =R0 −1R0

.

β2

μ

1+β2

μ

modèle de Ross

€

˙ x

˙ y

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

−r β1(1− x)

β 2(1− y) −μ

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

x

y

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

−r β1(1− x)

β 2(1− y) −μ

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ≤

−r β1

β 2 −μ

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Si R0 ≤ 1 alors le DFE est GAS

€

˙ x = β1y(1− x) − r x

˙ y = β 2x(1− y) − μy

⎧ ⎨ ⎩

€

R0 =β1β 2

μr=

ma2b1b2

μr

xe =R0 −1

R0 +β2

μ

ye =R0 −1R0

.

β2

μ

1+β2

μ

Si R0 > 1 il existe alors un unique équilibre endémique :

Remarque :

€

(1− xe )(1− ye ) =μr

β1β 2

=1

R0

Que montre ce modèle ?

Si

€

R0 =β1β 2

μr=

ma2b1b2

μr≤1

Le paludisme disparaît

Si

€

R0 =ma2b1b2

μr>1

Le paludisme s’installe de façon endémique

Que montre ce modèle ? C’était l’idée de Ross : il n’est pas nécessaire d’éliminer totalement la population anophélienne pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire cette population en dessous d’un certain seuil :

€

R0 =β1β 2

μr=

ma2b1b2

μr≤1

proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection

proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique

nombre de piqûres par moustique par unité de temps

€

a

€

b2

€

b1

Un modèle simple de la transmission de la Dengue

Aedes Aegypti