Modele matematice în mecanic - camo · Modele matematice în mecanică Neculai Andrei Research Institute for Informatics, Center for Advanced Modeling and Optimization, 8-10, Averescu

Modele matematice în mecanică

Neculai Andrei Research Institute for Informatics,

Center for Advanced Modeling and Optimization, 8-10, Averescu Avenue, Bucharest 1, Romania.

Academy of Romanian Scientists, 54, Splaiul Independentei, Bucharest 5, Romania.

E-mail: [email protected] 1. Legile mecanicii Primul savant modern prin care ştiinţa se defineşte în ea însăşi în opoziţie cu scolasticismul Evului Mediu este Galileo Galilei. El introduce o schimbare fundamentală de metodă în cercetarea ştiinţifică a Naturii, fiind în egală măsură un om de ştiinţă şi un teoretician al metodei ştiinţifice. Împreună cu Francis Bacon este întemeietorul ştiinţei experimentale. În lucrarea sa Dialoghi el spune: „o singură experienţă este de ajuns pentru a infirma o mie de raţionamente şi o mie de raţionamente nu pot să facă falsă o singură experienţă“. Cuvântul experiment provine din latinescul „experimentum” – o încercare, un test (experiri – a încerca, a testa) şi reprezintă o acţiune sau un proces considerate pentru a descoperi ceva care nu este cunoscut sau de a verifica (ilustra) ceva cunoscut. Un experiment este o experienţă controlată, în sensul că acest control permite repetarea experienţei exact în aceleaşi condiţii. Astfel, experienţa se poate transmite şi verifica, ceea ce este foarte important. Galileo era convins că lumea are o structură matematică şi că pentru a ajunge la cunoaştere trebuie să utilizăm atât simţurile cât şi raţiunea în următoarea manieră: 1) Observarea atentă a faptelor dintr-un experiment. 2) Elaborarea ipotezelor matematice, ca o explicaţie a fenomenului observat, adică a legilor naturale formulate în expresii matematice. 3) Verificarea acestor ipoteze prin noi experimente. Galilei este cel care a înţeles în profunzime demersul lui Pitagora, precizând pentru prima dată în istoria gândirii omeneşti conceptul de lege naturală ca o expresie matematică, ca un model matematic. Galilei şi-a dezvoltat teoriile sale în timpul unei mari mişcări intelectuale. Într-adevăr, Biserica Catolică era zguduită de marii reformatori protestanţi Martin Luther şi Jean Calvin care argumentau şi impuneau o interpretare mai literară a Sfintelor Scripturi.

Galileo Galilei (1564-1642)

Pe de altă parte, în domeniul ştiinţei se manifestă disputa dintre cele două concepţii: „geocentristă“ a lui Claudius Ptolemeu şi „heliocentristă“ a lui Nicolaus Copernic. În 1632, la Florenţa, Galilei publică lucrarea: „Dialoghi quatro sopra i due massimi sistemi del mondo, Ptolemaico et Copernico“ – „Patru dialoguri

♦ NECULAI ANDREI – COMPLEMENTE DE MODELARE ŞI OPTIMIZARE ♦ 2

asupra celor două mari sisteme ale lumii, ptolemeic şi copernican.“ Într-o manieră puţin lipsită de diplomaţie, aduce argumente solide concepţiei copernicane, ceea ce-i atrage anumite prejudicii din partea Bisericii Catolice1. El construieşte o lunetă cu care face numeroase observaţii astronomice care confirmă teoria heliocentrică a lui Copernic şi care a făcut posibilă răspândirea ideilor lui în toată Europa. În lucrarea sa „Discorsi e dimonstrazioni matematichi intorno a due nove scienze“ - „Discursuri şi demonstraţii matematice în jurul a două noi ştiinţe“, publicată în 1638, Galilei defineşte o nouă concepţie despre mişcare care va fi magistral continuată şi dezvoltată de Isaac Newton. Unul dintre cele mai importante experimente ale lui Galilei a fost cel referitor la căderea corpurilor pe plane înclinate. Pentru a micşora frecarea, corpurile alese erau sfere. În urma acestor experimente Galilei a concluzionat că orice obiect în mişcare, dacă nu este obstrucţionat, va continua să se mişte cu o viteză constantă de-a lungul unei linii orizontale. Acesta este principiul inerţiei în versiunea lui Galilei. Deşi argumentele sale erau excepţionale, totuşi concluzia sa nu era întru-totul adevărată. Pentru el o suprafaţă orizontală era una care în orice punct al ei era perpendiculară pe direcţia către centrul Terrei. Ca atare, această suprafaţă de fapt era o sferă centrată în centrul Terrei. Galilei şi-a dat seama că Terra este foarte mare aşa încât local suprafaţa sa este plată, chiar dacă în realitate ea este o sferă. Deci obiectele de pe suprafaţa Terrei par a se deplasa în linii drepte. Spre deosebire de Aristotel care gândea că mişcarea caută starea de repaos, Galilei şi-a dat seama că starea naturală a mişcării este mişcarea cu o viteză constantă pe o linie dreaptă, inerţia fiind responsabilă de continuitatea mişcării. Mai târziu Newton va corecta observaţiile lui Galilei formulând, pentru prima dată, în mod corect, principiul inerţiei. În aceeaşi idee cu a lui Heraclit (phanta rei), Galilei era convins că cauza tuturor schimbărilor este mişcarea, care are legile ei intrinsece, independente de orice voinţă exterioară mişcării, legi care se pot cunoaşte doar din cercetarea temeinică a naturii. Într-un cuvânt, Galilei este primul savant modern care a orientat gândirea către o ştiinţă pur matematică şi experimentală, pledând pentru aplicarea matematicii în cercetările experimentale, conjugând raţionamentul deductiv cu cel inductiv. Unul dintre contemporanii lui Galilei cu o contribuţie deosebită la înţelegerea funcţionării sistemului nostru planetar şi la consolidarea teoriei copernicane a fost Johannes Kepler.

1 Pe 31 octombrie 1992 Biserica Romano-Catolică a admis greşeala făcută cu 359 de ani în urmă în ceea ce priveşte persecuţia lui Galileo Galilei. Anunţul a fost făcut de Papa Ioan Paul al II-lea la o întrunire a Academiei Pontificale de Ştiinţe a Vaticanului. În discursul său Papa a argumentat că: problemele de bază ale acestui caz se referă atât la natura ştiinţei cât şi la natura credinţei… într-o zi s-ar putea să ne aflăm într-o situaţie similară, ce va necesita ca ambele părţi să fie conştient informate asupra domeniului şi limitelor propriilor lor competenţe”.

♦ MODELE MATEMATICE ÎN MECANICĂ ♦

3

Un împătimit al astronomiei şi pitagorician convins, de-a lungul vieţii sale a căutat armonia matematică a lumii. Kepler a beneficiat de datele astronomice înregistrate cu mare acurateţe de Tycho Brahe încercând descrierea structurii sistemului nostru planetar. După mai multe încercări, în care a propus diferite structuri ale sistemului planetar, în lucrările Astronomia nova şi Harmonices mundi el precizează cele trei legi de mişcare ale planetelor:

Johannes Kepler (1571-1630)

1. Legea I. Planetele descriu elipse, Soarele ocupând unul dintre focare. 2. Legea II. Legea ariilor. Raza vectoare a planetei descrie (mătură) arii

egale în timpuri egale. 3. Legea III. Raportul dintre pătratul timpului de revoluţie şi cubul semiaxei

mari este acelaşi pentru toate planetele.

Aceste legi au fost formulate de Kepler în mod empiric, în urma unor combinări şi analize numerice ale observaţiilor astronomice făcute de Tycho Brahe. Ulterior Kepler a încercat o sinteză a acestor legi într-una singură, dar nu a reuşit. Insuccesul lui Kepler se datorează faptului că el căuta forţa pe tangentă aşa după cum recomanda Aristotel. Aproape 100 de ani mai târziu, Newton urmând gândirea lui Galilei a căutat forţa de-a lungul razei vectoare reuşind să formuleze legea atracţiei universale şi din aceasta să deducă legile lui Kepler. Dar cel mai mare om de ştiinţă al umanităţii, în tradiţia stabilită de Galilei, cu contribuţii esenţiale la fundamentul întregii ştiinţe moderne este Isaac Newton. La fel ca mulţi gânditori ai timpului şi el a avut un spectru larg de preocupări. Paralel cu Leibniz a creat un nou tip de calcul, calculul diferenţial şi integral, care a permis introducerea concepţiei localiste de modelare a fenomenelor naturale prin sisteme de ecuaţii diferenţiale. A demonstrat legea gravitaţiei universale şi a arătat că traiectoriile corpurilor cereşti sunt conice. Continuând opera lui Galilei, Newton a studiat mişcarea corpurilor în medii rezistente, creând aşa numita mecanică Newtoniană, enunţând în mod clar şi distinct cele trei legi ale mecanicii clasice.

Sir Isaac Newton (1642-1727)

Lucrările sale principale au fost „Philosophiae naturalis principia mathematica“ şi „Opticks“. Descoperirea, împreună cu Leibniz, a calculului


diferenţial şi integral a constituit o sursă uriaşă de tehnici şi metode de rezolvare a unor probleme dificile de matematică şi ale ştiinţelor naturii. Rezultatele sale excepţionale sunt o consecinţă a puterii sale de analiză combinată cu o erudiţie şi abilitate înnăscută de „citire a naturii“, de a efectua experimente practice. Într-un anumit sens lucrările lui Newton pot fi considerate ca ultimele într-o serie de mari realizări care au marcat definitiv cultura noastră, serie care a început cu „Elementele“ lui Euclid şi a contituat cu „Almagestul“ lui Ptolemeu, „De revolutionibus orbium coelestium“ al lui Copernic şi „La Géométrie“ lui Descartes. Dar, în acelaşi timp, lucrările lui Newton pot fi considerate primele într-o serie de lucrări excepţionale ca „Méchanique Analitique“ a lui Lagrange, „Treatise on Electricity and Magnetism“ a lui Maxwell, „Principia Mathematica“ a lui Russell, „The Foundations of Mathematics“ a lui Hilbert sau „Elements of Mathematics“ a lui Bourbaki etc. care au remodelat cultura noastră, modul nostru de gândire, şi care au adus în prim plan problema matematizării ştiinţei în sensul formalizării naturii, adică a exprimării sale în simboluri matematice. Opera sa fundamentală „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ – „Principiile matematice ale filosofiei naturale“, publicată la Londra în 1687, este considerată una dintre cele mai influente cărţi care a dominat gândirea ştiinţifică a ultimilor secole, furnizând instrumentele intelectuale fundamentale pentru realizarea revoluţiei industriale. Principia a stabilit o nouă paradigmă a mişcării mecanice, prezentând pentru prima dată acel salt intelectual remarcabil de la observaţii la relaţii matematice riguroase. Aici Newton prezintă cele trei legi ale mişcării mecanice, cunoscute şi ca principiile mecanicii clasice: 1. Principiul inerţiei. „Un corp îşi păstrează starea de repaos sau de mişcare

rectilinie şi uniformă, atât timp cât nu intervine vreo forţă care să-i modifice această stare.“ [Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statuum suum mutare.]

2. Principiul independenţei acţiunii forţelor. „Acceleraţia unui corp este proporţională cu forţa motoare aplicată şi este îndreptată în direcţia după care acţionează forţa.“ [Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.]

3. Principiul acţiunii şi reacţiunii. „La orice acţiune corespunde totdeauna o reacţiune egală şi contrară: sau acţiunile reciproce a două puncte materiale sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar.“ [Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contraris dirigi.]

Primele două principii au fost enunţate de Galilei. Newton le-a sistematizat, le-a exprimat în relaţii matematice, şi le-a încadrat într-un sistem complet, minimal şi necontradictoriu, ca adevărate axiome ale mecanicii. Principiul al II-lea al mecanicii Newtoniene exprimă ecuaţia fundamentală a dinamicii,


5

F ma= ,

care leagă forţa de masa şi acceleraţia imprimată corpului. Aristotel intuise o asemenea legătură dintre forţă şi masă, dar prin intermediul vitezei. Totodată, principiul al II-lea conţine şi principiul paralelogramului forţelor: „când asupra unui punct material acţionează simultan două forţe având direcţii diferite, efectul este acelaşi ca şi când asupra punctului ar acţiona o forţă unică denumită rezultantă şi care are ca mărime direcţie şi sens diagonala paralelogramului având drept laturi forţele considerate.“ Cu aceasta, într-o formă sintetică, principiul al II-lea se poate formula ca: „efectul unei forţe asupra unui corp este independent de viteza lui, precum şi de acţiunile altor forţe.“

F m a

Tot în Principia Newton prezintă cele patru „reguli pentru a filosofa“ – regulae philosophandi, cunoscute ca şi „regulile cercetării ştiinţifice“: 1. Regula I. „ Singurele cauze care pot fi admise în explicarea fenomenelor

sunt cauzele care există real şi actual.“ [Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quam quć et verć sint et earum phćnomenis explicandis sufficiant.]

2. Regula II. „Efectele de acelaşi gen trebuie să fie atribuite, pe cât posibil, aceleiaşi cauze.“ [Ideoque effectum naturalium ejusdem generis ećdem assignandć sunt causć, quatenus fieri potest.]

3. Regula III. „Calităţile corpurilor care nu sunt susceptibile nici să se mărească, nici să scadă în intesitate, ca şi cele care aparţin tuturor corpurilor asupra cărora se poate face experienţa trebuie considerate ca aparţinând tuturor corpurilor, în general.“ [Qualitates corporum quć intendi et remitti nequeunt, qućque corporibus omnibus competunt in quibus experimenta instituere licet, pro qualitatibus corporum universorum habendć sunt.]

4. Regula IV. „În filosofia experimentală, propoziţiile scoase prin inducţie din fenomene trebuie privite, cu toate ipotezele contrare, ca fiind aproape adevărate, până când alte fenomene le vor confirma în întregime sau vor face să se vadă că ele sunt supuse unor excepţii.“ [In philosophia experimentali, propositiones ex phćnomenis per inductionem collectć, non obstantibus contrariis hypothesibus, pro veris aut accurate aut quamproxime haberi debent, donec alia occurrerint phćnomena, per quć aut accuratiores reddantur aut exceptionibus obnoxić.]

Metoda experimentală a lui Newton se bazează pe două principii. Primul este cel al lui Occam: entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem – nu trebuie să multiplicăm cantităţile explicative mai mult decât este necesar. Al doilea arată că Natura are o economie a ei, adică ea nu se risipeşte în fenomene, şi ca atare şi gândirea trebuie să respecte aceeaşi economie, fără a se complica în tot felul de explicaţii metafizice, pe baza unor ipoteze care nu răsar din experienţă.


Newton s-a ilustrat ca un adevărat om de ştiinţă dovedind, pentru prima dată, posibilitatea saltului intelectual de la observaţii şi intuiţii la exprimarea în termeni matematici a fenomenelor naturale. El a precizat o astfel de metodă, o astfel de cale, de sinteză în modele matematice a mişcării mecanice. Newton a fost un mare sistematizator care a dat tonul în ceea ce priveşte matematizarea naturii fizice (cosmice, macroscopice, dar nu şi microscopice) prin crearea instrumentelor necesare realizării acestui demers (calculul diferenţial), precum şi aplicarea acestui instrument în mişcarea mecanică. 2. Ecuaţiile Lagrange Problema fundamentală a mecanicii constă în stabilirea unor relaţii între forţele care acţionează asupra unui sistem de corpuri materiale şi mişcarea mecanică realizată de aceste corpuri. Sau altfel spus, studiul mişcării şi echilibrului corpurilor materiale, precum şi studiul forţelor care solicită aceste corpuri. Aceasta a fost rezolvată de Newton. Opera lui a fost continuată cu un deosebit succes de urmaşii săi, Euler, Daniel Bernoulli, Laplace, Maupertuis, d’Alembert, Lagrange, Hamilton, Poisson, Jacobi etc.

Joseph Lagrange (1736-1813)

Dar cel care a dat o formă magistrală metodei analitice ilustrând puterea calculului diferenţial în rezolvarea problemei fundamentale a mecanicii a fost Joseph Louis Lagrange. „Méchanique Analitique“ a lui Lagrange, care a apărut exact la 100 de ani după „Principia“ lui Newton, reprezintă una dintre culmile de reprezentare în termeni matematici, foarte generali, a fenomenelor mecanice. Atât de puternic s-a dovedit calculul diferenţial, încât spre deosebire de Principia lui Newton care abundă în figuri şi raţionamente geometrice, Mecanica lui Lagrange nu are nici o figură geometrică (on ne trouvera point de figures dans cet ouvrage), fiind în întregime analitică în sensul cel mai adevărat al cuvântului.

El introduce principiul deplasărilor virtuale pe care-l aplică în formularea ecuaţiilor de mişcare a sistemelor mecanice, ca un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi.


7

Cel care continuă opera lui Lagrange este Sir William Rowan Hamilton care stabileşte sistemul de ecuaţii canonice, cunoscute ca ecuaţiile Hamilton-Jacobi şi care încearcă să deducă legile fundamentale ale mecanicii dintr-un principiu unic variaţional cunoscut ca principiul lui Hamilton. Caracteristic pentru principiul lui Hamilton nu este numai echivalenţa sa cu legile mecanicii ale lui Newton, ci faptul că acesta are avantajul deosebit de a fi aplicabil deasemenea sistemelor nemecanice. Aceasta a condus la crearea unei mecanici foarte generale care explică atât sistemele mecanice cât şi cele nemecanice (electrice, fluidice etc.) cunoscută ca mecanica generalizată. Sir William Hamilton (1805-

1865) De-a lungul timpului, în procesul rezolvării problemei fundamentale a mecanicii, cele trei legi ale lui Newton au fost analizate şi interpretate. Pe această cale s-a ajuns la stabilirea aşa numitelor principii analitice ale mecanicii, care în esenţă se bazează pe legile lui Newton. Acestea reprezintă o expresie matematică avansată a legilor mecanicii, ce fundamentează aşa numita mecanică analitică. Principiile analitice, care stau la baza mecanicii analitice, se împart în două categorii: principiile diferenţiale şi principiile integrale sau variaţionale.

Principiile diferenţiale analizează fenomenul mecanic la un moment dat, considerând variaţii de timp şi spaţiu elementare în jurul unui punct. Principalele principii diferenţiale sunt: principiul lucrului mecanic virtual, principiul lui d’Alembert şi principiul lui Gauss sau al celei mai mici constrângeri.

Principiile integrale analizează fenomenul mecanic într-un interval finit de spaţiu şi timp, reducând problema fundamentală a mecanicii la determinarea unor valori care fac staţionare anumite integrale. Din această categorie fac parte: principiul lui Hamilton şi principiul celei mai mici acţiuni al lui Maupertuis.

Principiul lucrului mecanic virtual (sau al deplasărilor virtuale, sau încă al vitezelor virtuale) poate fi considerat ca legea fundamentală a mecanicii analitice. Deplasările virtuale sunt deplasări infinit mici, instantanee, arbitrare, compatibile cu legăturile şi care se produc în punctele unde se aplică forţele care acţionează asupra sistemului. Lucrul mecanic virtual este produs de forţele care acţionează sistemul atunci când acestea au deplasări virtuale. Principiul lucrului mecanic virtual exprimă faptul că pentru sisteme fără frecări şi care sunt în echilibru, lucrul mecanic virtual al forţelor care acţionează sistemul este nul. Parţial, acest principiu a fost articulat şi de Guido Ubaldi, Torricelli şi Jean Bernoulli, dar forma definitivă i-a dat-o Lagrange în 1788.


Jean d’Alambert (1717-1783)

Principiul lui d’Alembert, formulat de acesta în lucrarea sa „Traité de dynamique“, publicată în 1743, exprimă faptul că dacă într-un sistem în mişcare se introduc pe lângă forţele date şi a celor de legătură şi forţele de inerţie, atunci sistemul poate fi tratat ca orice sistem static în echilibru. Lagrange a arătat că acest principiu este o altă exprimare a principiului deplasărilor virtuale.

Johann Gauss (1777-1855)

Principiul lui Gauss sau al constrângerii minime se bazează pe ideea că dacă un punct material M , de masă ar parcurge, liber de legături, traiectoria

mMA , iar datorită unor legături

oarecare traiectoria MB , atunci cantitatea ar trebui să aibă o valoare minimă. Şi

pentru acest principiu se arată echivalenţa sa cu principiul deplasărilor virtuale.

m AB. 2

Pierre Maupertuis (1698-1759)

Principiul lui Maupertuis sau al minimei acţiuni, formulat în 1745, se exprimă sub forma: ori de câte ori în natură se produce mişcarea unui sistem material, atunci sistemul trebuie să lucreze astfel încât integrala produsului dintre masă, viteză şi spaţiu – integrală considerată pe intervalul de spaţiu şi de timp dintre două poziţii succesive date – să fie minimă. Cum cantitatea

se numeşte acţiune, de aici derivă numele principiului. Această formulare a principiului minimei acţiuni al lui Maupertuis o regăsim în principiul lui Hamilton pe care-l vom detalia imediat.

mvs

Legile mecanicii, aşa cum au fost formulate de Newton, sunt exprimate în termenii conceptelor vectoriale de forţă, moment şi acceleraţie. Formulările ulterioare, în special cele ale lui d’Alembert, Lagrange şi Hamilton, sunt bazate pe conceptele scalare de energie şi lucru, care dau o anumită frumuseţe şi eleganţă mecanicii. Deşi, multe aplicaţii ale mecanicii se bazează pe considerarea directă a legilor lui Newton, totuşi experienţa a arătat că metodele generalizate, bazate pe


9

conceptele de energie şi principiile variaţionale, sunt mult mai generale şi mai puternice [Plăcinţeanu, 1958], [Vâlcovici, Bălan, Voinea, 1968]. Deşi ecuaţiile de mişcare se pot introduce în manieră Lagrangeană, totuşi pentru simplificarea prezentării vom deduce aceste ecuaţii plecând de la principiul lui Hamilton. Considerăm un sistem cu grade de libertate, caracterizat de un set de coordonate generalizate

nn q q qn= [ , , ],1 unde q q ti i= ( ) fiind funcţii

continue, cel puţin de două ori continuu diferenţiabile. Fie q t şi două puncte din spaţiul configuraţiilor de la două momente de timp diferite t şi Atunci, principiul lui Hamilton afirmă că: mişcarea sistemului între aceste două configuraţii se face astfel încât:

( )0 q t( )1

0 t1 .

( )δ δT W t+ =∫ dt

t

0

1

0,

unde este energia cinetică, lucrul mecanic efectuat de sistem, iar T W δ reprezintă variaţia cantităţilor corespunzătoare. Această expresie a principiului lui Hamilton este valabilă atât pentru sisteme conservative cât şi pentru cele neconservative. Cantitatea δW se numeşte lucru virtual şi se defineşte ca lucrul făcut de sistem în timpul deplasărilor virtuale. În coordonate generalizate

δ δW Q q Qi ii

n

= ==∑ . ,

1δq

unde Q sunt cunoscute ca forţele generalizate, care formează vectorul i

[ ]Q Q Qn= 1 , ,… . Notăm că lucrul făcut de forţele generalizate, care acţionează asupra unui sistem dinamic, în general, depinde de drumul sau de traiectoria de-a lungul căreia are loc mişcarea. Totuşi, sunt anumite clase de forţe pentru care lucrul depinde numai de punctul iniţial şi de cel final al traiectoriei şi nu de toată traiectoria. Astfel de forţe se numesc conservative, şi de aici sistemele asupra cărora acţionează numai forţe conservative sunt numite sisteme conservative. Ca exemple de forţe conservative menţionăm forţele gravitaţionale, electrostatice, elastice etc. Forţele neconservative sunt acelea care depind de viteză, timp sau de alţi parametri, diferiţi de poziţie. Matematic, condiţia pentru ca o forţă să fie conservativă este ca Q q.δ să fie o diferenţială exactă, adică să fie obţinut ca gradientul unei funcţii scalare, QQ V= −∇ . Funcţia V V q= ( ) se numeşte potenţial, un termen introdus de Lagrange. Semnul minus este convenţional, direcţia pozitivă a forţei este întotdeauna în direcţia descreşterii energiei potenţiale. Deci lucrul W făcut de forţele conservative este:

W Q q V q V= = − ∇ = − +∫ ∫d d( ) const, unde constanta aditivă din relaţia de mai sus depinde de datele sau punctul iniţial în care se calculează lucrul mecanic. Evident că această constantă care se adună la V nu are nici un efect asupra lui Q .


0

Pentru sisteme conservative principiul lui Hamilton se scrie sub forma:

( ) ( )δ δ δT W t T V tt

t

t

t

+ = − =∫∫ d d0

1

0

1

,

unde W V= − + const şi comutarea operatorilor δ şi integrală este permisă deoarece ambele funcţii energetice T şi V sunt funcţii întregi. În cazul general al sistemelor neconservative lucrul virtual δW nu este integrabil şi δ nu se poate deplasa în afara integralei. De obicei se introduce funcţia L T V= − , numită Lagrangean, în raport cu care principiul lui Hamilton se scrie sub forma:

δ L tt

dt0

=∫ 01

.

Lagrangeanul este o funcţie L L q q t= ( , , ) în care apar atât coordonatele generalizate cât şi vitezele generalizate. De obicei vitezele generalizate apar în expresia energiei cinetice. Coordonatele generalizate apar în expresia energiei potenţiale şi de asemenea în mod frecvent şi în expresia energiei cinetice. Pentru sistemele conservative timpul t nu apare în mod explicit, dar acesta poate fi prezent pentru acele sisteme care implică deplasarea restricţiilor, a sistemului de coordonate sau funcţii potenţial dependente de timp. Ecuaţiile lui Lagrange sunt o consecinţă directă a principiului lui Hamilton. Într-adevăr, utilizând tehnicile de calcul variaţional obţinem imediat:

δ∂∂

∂∂

δT tTq t

Tq

q ti i

ii

n

t

tt

ddd

dt0

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∫∫ ,

10

11

şi

δ δW t F q ti ii

n

t

tt

d dt0

==∑∫∫ .

10

11

Din expresia principiului lui Hamilton, ţinând seama că δqi sunt arbitrari, rezultă imediat ecuaţiile Lagrange:

∂∂

∂∂

Tq t

Tq

Fi i

i−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

dd

,0 i n= 1, , .

Ecuaţiile Lagrange sunt cele mai generale ecuaţii de mişcare. Pentru sisteme conservative condiţia Euler-Lagrange de staţionaritate a integralei care exprimă principiul lui Hamilton conduce imediat la ecuaţiile Lagrange:

ddt

Lq

Lqi i

∂∂

∂∂

,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − = 0 i n= 1, , .


11

Observăm că ecuaţiile Lagrange sunt un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, care împreună cu condiţiile iniţiale furnizează un set complet de condiţii pentru descrierea mişcării sistemului.

n

Ecuaţiile Lagrange reprezintă o perfecţiune şi eleganţă matematică în sensul reducerii ecuaţiilor de mişcare la o formă universală care este aceeaşi pentru toate sistemele de coordonate. Formalismul Lagrangean este exprimat în termenii coordonatelor generalizate şi a vitezelor generalizate. Ecuaţiile de mişcare sunt ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul doi, iar mişcarea este exprimată în funcţie de valorile iniţiale ale coordonatelor şi vitezelor. Hamilton a transformat cele ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, ecuaţiile Lagrange, într-un sistem de 2 ecuaţii diferenţiale de ordinul unu în variabilele

şi

nn

qi pi , unde pi sunt momentele generalizate. Deşi sistemul canonic Hamilton se poate deduce direct din ecuaţiile Lagrange, totuşi o cale comodă de construcţie a acestuia este prin introducerea Hamiltonianului:

H q p t p q L q q t( , , ) . ( , , ),= −

unde şi q q, p sunt poziţia, viteza şi respectiv momentul generalizat, în care

pLqi

i=∂∂

.

Cu acestea, din principiul lui Hamilton şi ţinând seama de faptul că variaţiile δqi şi δpi pot fi alese arbitrar, rezultă sistemul canonic al lui Hamilton:

∂∂Hp

qi

i= , i n= 1, , ,

∂∂Hq

pi

i= − , i n= 1, , .

Ecuaţiile de mai sus, cunoscute ca ecuaţiile canonice Hamilton sau ecuaţiile canonice Jacobi, reprezintă un sistem de 2 ecuaţii diferenţiale de ordinul unu în variabilele şi

nqi pi , care împreună cu condiţiile iniţiale furnizează

un set complet de ecuaţii diferenţiale care descriu mişcarea sistemului considerat. i = 1, , ,n

Diferenţa principală dintre ecuaţiile Lagrange şi sistemul canonic Hamilton este că şi qi pi sunt variabile independente în ecuaţiile canonice, având aceeaşi poziţie în determinarea mişcării sistemului, în timp ce în ecuaţiile Lagrange numai

sunt variabile independente. qi

Hamilton a adus mecanica la un nou grad de perfecţiune cu influenţe cruciale asupra tuturor domeniilor ştiinţifice ca: mecanica fluidelor, teoria macroscopică a câmpului electromagnetic, teoria maşinilor generalizate, teoria oscilaţiilor, fenomene de transport, mecanica cuantică, precum şi în calculul


variaţiilor şi în controlul optimal al sistemelor dinamice cu legături în care principiul lui se exprimă ca principiul lui Pontriaghin. 3. Exemple de modele matematice din mecanică În continuare să prezentăm câteva exemple de modele matematice din mecanică, bazate pe ecuaţiile Lagrange, tema acestei prezentări. 3.1. Pendulul plan simplu Considerăm un pendul simplu format dintr-un punct material de masă suspendat printr-o legătură rigidă de lungime

ml, care se mişcă în plan, ca în figura

1. θ l l l− cosθ Fig. 1. Pendulul plan simplu Observăm că viteza pendulului este v l= .θ Deci energia cinetică este

T mv ml= =12

12

2 2 .θ 2

Pe de altă parte, energia potenţială este ( )V mg l l= − cos .θ

Cu acstea funcţia Lagrange se scrie imediat sub forma

( )L T V ml mg l l= − = − −12

2 2 cos .θ θ

Ecuaţiile de mişcare ale pendulului sunt ddt

L L∂∂θ

∂∂θ

,⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ − = 0

adică

sin .θ θ+ =gl

0

Aceeaşi ecuaţie de mişcare se obţine din conservarea energiei. Într-adevăr, energia totală a sistemului este:

( )E ml mg l l= + −12

2 2 cos .θ θ


13

Deci dEdt

ml mgl= + =2 0sin .θθ θ θ

Observăm că această ecuaţie are două soluţii: fie ,θ = 0 fie ecuaţia de mişcare de mai sus. Prima soluţie corespunde situaţiei în care pendulul atârnă fără nici un balans. A doua soluţie corespunde unui alt tip de mişcare. Dacă energia E este mai mică decât o anumită valoare critică, atunci pendulul se va mişca periodic înainte şi înapoi. Pe de altă parte, dacă energia E este mai mare decât valoarea critică, atunci pendulul se va roti în jurul punctului de suspensie. Dacă energia este egală cu valoarea critică, atunci sunt două posibilităţi. Prima, dacă pendulul începe mişcarea, atunci acesta se va apropia de poziţia verticală din ce în ce mai mult, dar fără să o atingă în timp finit. A doua este situaţia în care pendulul stă exact în poziţie verticală, în care rămâne un timp nedefinit. Dacă energia este zero, atunci pendulul atârnă de punctul de suspensie în poziţie verticală. Valoarea critică a energiei E este acea valoare a energiei potenţiale pentru θ π= ± , adică

E mglcr = 2 . În acest caz putem determina θ ( ).t Într-adevăr, legea de conservare a energiei se scrie:

( )212

2 2mgl ml mg l l= + − cos ,θ θ

care se poate rearanja sub forma:

cos ,θ ωθ

= 220

unde ω0 =gl

este frecvenţa micilor oscilaţii. Considerând că pendulul începe

mişcarea din θ = 0, atunci soluţia acestei ecuaţii este

θωω

( ) arcsinexp( )exp( )

.ttt

=− −+ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

1 21 2

0

0

Când timpul creşte, atunci vedem că θ tinde către π . Adică pendulul are exact atâta energie cât îi trebuie pentru a atinge poziţia verticală de sus, dar acesta nici odată nu o va atinge în timp finit. Evident că aceasta este o situaţie idealizată, care nici odată nu va fi întâlnită în practică.


3.2. Pendulul dublu. Un pendul dublu este un sistem mecanic format din asocierea a două pendule simple, ca în figura 2. Acest sistem mecanic este un exemplu tipic de sistem fizic care poate avea o mişcare haotică. Considerăm pendulul dublu cu masele şi respectiv ataşate rigid de barele de lungime

m1

m2 l1 şi respectiv l2 . Se cere să se scrie ecuaţiile de mişcare ale acestui sistem, adică modelul matematic al acestuia. y x θ1 l1 m1

θ 2 l2 m2

Fig. 2. Pendulul dublu. În sistemul de coordonate ales poziţiile maselor sunt următoarele: x l1 1 1= sinθ y l1 1 1= − cosθ x l l2 1 1 2 2= +sin sinθ θ

y l l2 1 1 2 2= − −cos cosθ θ . Vitezele acestora sunt:

[ ]v l lT

1 1 1 1 1 1 1= cos sinθ θ θ θ

[ ]v l l l lT

2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2= + +cos cos sin sinθ θ θ θ θ θ θ θ . Cu acestea energia cinetică a sistemului este:

T m v m v= +12

121 1

22 2

2

[ ]= + + + −12

12

21 12

12

2 12

12

22

22

1 2 1 2 1 2m l m l l l l cos( ) .θ θ θ θ θ θ θ

Energia potenţială a sistemului este: V m gy m gy= +1 1 2 2

= − + −( ) cos cosm m g .l m gl1 2 1 1 2 2 2θ θ


15

Dispunând de expresia energiilor putem imediat scrie Lagrangeanul sistemului ca: L T V= −

= + +12

121 2 1

212

2 22

22( )m m l m lθ θ

+ − + + +m l l m m gl m gl2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2cos( ) ( ) cos cos .θ θ θ θ θ θ Cu acestea, ecuaţiile de mişcare ale sistemului sunt următoarele:

ddt

L L∂∂θ

∂∂θ

,1 1

0⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − =

ddt

L L∂∂θ

∂∂θ

,2 2

0⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − =

Avem succesiv: ∂∂θ

θ θ θ θL

m m gl m l l1

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2= − + − −( ) sin sin( ),θ

∂∂θ

θ θ θL

m m l m l l( ) cos( ),1

1 2 12

1 2 1 2 2 1 2= + + −θ

ddt

Lm m l m l l

∂∂θ

θ θ θ( ) cos( )1

1 2 12

1 2 1 2 2 1 2θ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + + −

− − −m l l2 1 2 2 1 2 1 2( ) sin( ),θ θ θ θ θ respectiv:

∂∂θ

θ θ θ θ θL

m l l m gl2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2= − −sin( ) sin ,

∂∂θ

θ θ θL

m l m l l cos( ),2

2 22

2 2 1 2 1 1 2= + −θ

ddt

Lm l m l l

∂∂θ

θ θ θcos( )2

2 22

2 2 1 2 1 1 2θ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + −

− − −m l l2 1 2 1 1 2 1 2( )sin( ).θ θ θ θ θ Cu acestea ecuaţiile Lagrange ale sistemului sunt:

( ) cos( ) sin( )m m l m l m l1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 22

1 2+ + − + −θ θ θ θ θ θ θ + + =( ) sinm m ,g1 2 1 0θ

m l m l m l2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 12

1 2cos( ) sin( )θ θ θ θ θ θ θ+ − − − + =m g2 2 0sin .θ 3.3. Pendulul invers. Considerăm un cărucior de masă care se poate deplasa pe un plan orizontal cu coeficientul de frecare , pe care se află un pendul de masă , inerţie

mc

b mp I şi lungime 2l, ca în figura 3.


mp I θ 2l F mc

b x

Fig. 3. Pendulul invers.

Considerând căruciorul solicitat de o forţă să se determine modelul matematic al mişcării pendulului.

F

Pentru determinarea modelului matematic al mişcării vom separa corpurile şi vom aplica a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre ele. În figura 4 se arată corpurile împreună cu toate forţele care acţionează asupra lor. P Iθ 2 l Iθ R

θ l F mc bx R m gp

x P

Fig. 4. Forţele care acţionează asupra corpurilor. Legea a doua a lui Newton aplicată căruciorului în direcţia orizontală furnizează ecuaţia: m x bx R Fc .+ + = (3.3.1) Analog, însumând forţele care acţionează asupra pendulului în direcţia orizontală, găsim: R m x m l m lp p p= + −cos sin .θ θ θ θ2 (3.3.2) Din (3.3.1) şi (3.3.2) obţinem: ( ) cos sin .m m x bx m l m l Fc p p p+ + + − =θ θ θ θ2 (3.3.3)


17

Pentru a obţine a doua ecuaţie a mişcării scriem bilanţul forţelor care acţionează perpendicular pe pendul, precum şi bilanţul momentelor în centrul de masă al pendulului. Obţinem: P R m g m l m xp p psin cos sin cos .θ θ θ θ θ+ − = + (3.3.4) şi − − =Pl Rl Isin cos .θ θ θ (3.3.5) Din (3.3.4) şi (3.3.5) rezultă cea dea doua ecuaţie a mişcării:

( )I m l m gl m lxp p p+ + = −2 sin cos .θ θ θ Deci modelul matematic al pendulului invers este:

( ) cos sin .m m x bx m l m l Fc p p p+ + + − =θ θ θ θ2

( )I m l m gl m lxp p p+ + = −2 sin cos .θ θ θSă prezentăm acum modelul liniarizat al pendulului în jurul lui θ π= . Presupunem că θ π ϕ= + , unde ϕ este un unghi mic pe care-l face pendulul cu verticala locului. Atunci, cos ,θ = −1 sinθ ϕ= − şi .θ 2 0= Ca atare, în jurul poziţiei verticale modelul liniarizat al pendulului este:

( ) ,m m x bx m l Fc p p+ + − =ϕ

( ) I m l m gl m lxp p+ − =2 .ϕ ϕ p

Considerând ca variabile de stare mărimile: x, ,x ϕ şi ϕ , iar ca ieşire poziţia căruciorului x şi aceea a pendulului ϕ , rezultă următorul model liniarizat în reprezentarea variabilelor de stare.

2 2 2

2 2

2 2

0 1 0 0( )

0 0( ) ( )

0 0 0 1( )

0 0( ) ( )

p p

c p c p c p c p

p c p p

c p c p c p c p

b I m l m l gx xm m I m m l m m I m m lx x

m lb m m m glm m I m m l m m I m m l

ϕ ϕϕ ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

0

0

2

2

2

I m lm m I m m l

m lm m I m m l

F

p

c p c p

p

c p c p

+

+ +

+ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

( )

( )

,


y

xx

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 0 0 00 0 1 0 .ϕ

ϕ

3.4. Pendulul lui Furuta. În figura 5 se arată o variantă a pendulului lui Furuta. Acesta constă din patru corpuri inerţiale legate rigid între ele. Un ax central cu momentul de inerţie J , rigid legat de un braţ orizontal de lungime la şi masă , braţul pendulului de lungime

ma

l p şi masă , legat la un capăt de braţul orizontal şi la celălalt capăt purtând o masă Se presupune că în braţele pendulului masele sunt uniform distribuite. Scopul este de a descrie ecuaţiile de mişcare ale pendulului când axul central este solicitat cu un moment extern

m p

m.

u. z m , m p l p θ , ma la y ϕ J u x

Fig. 5. Pendulul lui Furuta. Pentru a scrie ecuaţiile de mişcare ale acestei structuri mecanice considerăm un punct P de pe braţul pendulului, caracterizat de vectorul de poziţie:

[ ]r r r r r r r r r r r ra p x a p y a p z a p

T( , ) ( , ) ( , ) ( , )= (3.4.1)

unde


19

r r r r rx a p a p( , ) cos sin sin ,= −ϕ ϕ θ r r r r ry a p a p( , ) sin cos sin ,= +ϕ ϕ θ (3.4.2) r r r rz a p p( , ) cos .= θ Variabila ra este poziţia radială pe braţul orizontal, iar rp este poziţia radială pe braţul pendulului, măsurate de la centrul de rotaţie corespunzător celor două corpuri. Cu acestea, viteza punctului este: P

, (3.4.3) [ ]v r r v r r v r r v r ra p x a p y a p z a p

T( , ) ( , ) ( , ) ( , )=

unde: v r r r r rx a p a p p( , ) sin cos sin sin cos ,= − − −ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ

v r r r r ry a p a p p( , ) cos cos cos sin sin ,= + −ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ (3.4.4) v r r rz a p p( , ) sin .= − θ θ Din relaţiile de mai sus putem imediat calcula expresia pătratului mărimii vitezei punctului : P

(3.4.5) ( )v r r r r r r ra p a p a p p2 2 2 2 2 2( , ) sin cos .= + + +θ ϕ ϕθ θ θ2 2

Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare ale pendulului, în continuare vom prezenta expresia energiilor cinetice şi potenţiale corespunzătoare sistemului de corpuri din figura 5. Energia cinetică se calculează ca:

T v= ∫12

2d ,m

unde este dat de (3.4.5). Energia potenţială este calculată sub forma: vV g r mz= ∫ d ,

unde rz este dat de (3.4.2). Considerând, pe rând, fiecare dintre cele patru corpuri inerţiale, obţinem: Axul vertical al pendulului:

T Jc =12

2 ,ϕ

Vc = 0; Braţul orizontal al pendulului:

T v sml

s m laa

a

l

a a

a

= =∫12

016

2 2( , ) ,d0

ϕ 2

Va = 0; Braţul pendulului:

T v l sml

sp ap

p

l p

= =∫12

2

0

( , ) d

12

13

12

16

2 2 2 2 2m l l m l l m lp a p p a p p p+ 2⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + +sin cos ,θ ϕ ϕθ θ θ


V g r l sml

s m glp z ap

p

l

p p

p

= =∫ ( , ) cos ;d0

12

θ

Masa m:

( )T m l l ml l mlm a p a p p= + + +12

12

2 2 2 2 2 2sin cos ,θ ϕ ϕθ θ θ

V mglm p= cos .θ Cu acestea, energia cinetică totală a pendulului este: T T T T Tc a p m= + + + , (3.4.6) iar energia potenţială totală: V V V V Vc a p m= + + + . (3.4.7) Considerând Lagrangeanul sistemului: L T V= − , (3.4.8) atunci ecuaţiile de mişcare sunt date de:

ddt

L L∂∂ϕ

∂∂ϕ

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = 0 (3.4.9)

ddt

L Lu

∂∂θ

∂∂θ

,⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − = (3.4.10)

Ţinând seama de relaţiile de mai sus obţinem:

∂∂ϕ

L= 0,

∂∂ϕ

θ ϕL

J m m m l m m la p a p p sin= + + +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

13

13

2 2 2

+ +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟m m l lp a p

12

cos ,θ θ

∂∂θ

ϕ θ θ ϕθL

m m l m m l lp p p a p= + θ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟1

312

2 2 cos sin sin

+ +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟m m glp p

12

sin ,θ

∂∂θ

ϕ θ θL

m m l l m m lp a p p pcos .= +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟1

213

2

Introducând aceste relaţii în ecuaţiile Lagrange (3.4.9)-(3.4.10) de mai sus şi considerând notaţiile:


21

α = + + +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟J m m m la p a

13

2 ,

β = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟m m lp p

13

2 ,

γ = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟m m l lp a p

12

,

δ = +⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟m m glp p

12

,

obţinem următorul model matematic al mişcării pendulului lui Furuta: (3.4.11) ( )α β θ ϕ γθ θ βϕθ θ θ γθ θ+ + + −sin cos cos sin sin ,2 22 u= γϕ θ βθ βϕ θ θ δ θcos cos sin sin .+ − − =2 0 (3.4.12) Pentru integrare, modelul (3.4.11)-(3.4.12) se poate pune sub următoarea formă convenabilă:

ddtϕ ϕ= ,

{ddt sin cos

sin sin cosϕαβ β θ γ θ

βγθ θ βγϕ θ θ=+ −

− −1

2 2 2 22 2 2

, }2 2β ϕθ θ θ γδ θ θ βsin cos sin cos− + u

ddtθ θ= ,

{ddt sin cos

sin cosθαβ β θ γ θ

γ θ θ θ=+ −

− +1

2 2 2 22 2

( )β α β θ ϕ θ θ βγϕθ θ θ+ +sin sin cos sin cos2 2 22 +

. ( ) }δ α β θ θ γ θ+ −sin sin cos2 u


3.5. Pendule cuplate elastic Să considerăm două pendule, ambele cu aceeaşi masă şi lungime l legate printr-un arc, ca în figura 6. Distanţa dintre punctele de aplicaţie ale pendulelor este

.

m

d d l θ1 θ 2 m

Fig. 6. Două pendule cuplate printr-un arc elastic. Când pendulele sunt scoase din poziţia lor de echilibru cu un unghi θ1 , respectiv θ 2 , atunci masele se situează pe poziţiile ( l sin ,θ1 − l cosθ1 ) şi respectiv ( d l+ sin ,θ 2 − l cosθ 2 ). Deci, lungimea cu care arcul este deformat este

∆x d l l l l= + − + − −( sin sin ) ( cos cos )θ θ θ θ2 12

2 12 d

= − − + − + −2 1 222 1 2 1

2l dl[ cos( )] (sin sin )θ θ θ θ d d. Pentru deplasări mici (adică θ i mici) avem: sinθ θi i≈ şi cos / .θ θi i≈ −1 22 Deci

∆x l dl d d≈ − + − + −22 1

22 1

22( ) ( )θ θ θ θ . Presupunând că θ i << 1, atunci putem scrie:

∆x dl

dd

ld

l≈ + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ + − −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = −1

21 1

12

212 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θ .

Cu acestea energia cinetică a maselor este:

T ml= +12

212

22( )θ θ ,

iar energia potenţială:

V mgl k x= − + +(cos cos ) ( )θ θ1 221

2∆

= − + + −mgl kl(cos cos ) ( ) .θ θ θ θ1 22

2 121

2


23

Cu acestea funcţia Lagrange se scrie imediat sub forma

L T V ml mgl kl= − = + + + − −12

12

212

22

1 22

2 12( ) (cos cos ) ( )θ θ θ θ θ θ .

Ecuaţiile de mişcare ale pendulului sunt

ddt

L L

i i

∂∂θ

∂∂θ

,⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − = 0

adică: ml mgl kl kl2

12

12

2( ) ,θ θ θ= − + + ml kl mgl kl2

22

12

2( ) .θ θ θ= − + 3.6. Sfera pe o bară înclinată O sferă de masă este plasată pe o bară înclinată sub unghiul m θ care este antrenată la centru de un cuplu τ . Sfera, aflată la distanţa r de centrul barei se poate mişca liber în lungul acesteia, figura 7. Se cere modelul matematic al mişcării sferei pe bară. y m τ r

θ x

Fig. 7. O sferă pe o bară înclinată. Presupunem că atât motorul cât şi bara nu au inerţie rotaţională, astfel încât inerţia de rotaţie a sistemului în jurul centrului de rotaţie este:

J mr= 2 . Energia cinetică a sistemului este:

( )T J mr m r r= + = +12

12

12

2 2 2 2 .θ θ 2

Energia potenţială este: V mgy mgr= = sin .θ

Cuacestea Lagrangeanul sistemului este:

( )L T V m r r mgr= − = + −12

2 2 2 sin .θ θ


Presupunem că sistemul are un coeficient de frecare rotaţională vâscoasă ν , atunci puterea disipată este:

P =12

2νθ .

Introducând coordonatele generalizate [ ]q rT

= θ , precum şi forţa generalizată

atunci ecuaţiile Lagrange sunt următoarele: [ ]QT

= τ 0 ,

ddt

Lq

Lq

Pq

Q∂∂

∂∂

∂∂

.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + =

Ţinând seama de expresiile Lagrangeanului şi a puterii disipate rezultă ecuaţiile Lagrange:

ddt

mrmr

mgrmr mg

2

2 0 0cos

sinθ θ

θ θνθ τ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

−−

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥,

adică: 2

0 0

2

2mrr mr

mrmgr

mr mgcos

sinθ θ θ

θ θνθ τ+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

−−

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥.

De unde rezultă că: cos

,θθ θ νθ

= − − − +2

2 2

r τr

gr mr mr

sin .r r g= −θ θ2 Cu acestea modelul matematic al mişcării sferei pe bară este:

ddtθ θ= ,

ddt

rr mr

gr mr

cos,θ

νθ

θ τ= − +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − +

22 2

ddt

r r= ,

ddt

r m g sin .= −θ θ2

3.7. Modelul unor mase cuplate prin legături elastice Să considerăm sistemul mecanic format din două mase şi , cuplate ca în figura 8, prin intermediul legăturilor elastice cu coeficienţii

m1 m2

k1 şi respectiv k 2 . Sistemul are două grade de libertate x1 şi x2 . Energia cinetică a sistemului este:


25

T m x m x x= + +12

121 1

22 1 2

2( ) .

Energia potenţială este:

V m gx m g x x k x k x= − − + + +1 1 2 1 2 1 12

2 221

212

( ) .

k1 x1

m1

k 2 x2

m2

Fig. 8. Mase cuplate prin legături elastice

Cu acestea ecuaţiile de mişcare a sistemului sunt următoarele:

ddt

Lx

Lx

∂∂

∂∂1 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − = m x m x x m g m g k x1 1 2 1 2 1 2 1 1( )+ + − − + =

( ) ( )m m ,x m x k x m m g1 2 1 2 2 1 1 1 2 0+ + + − + =

ddt

Lx

Lx

∂∂

∂∂2 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − = m x x m g k x2 1 2 2 2 2( )+ − + =

m x m x k x m g2 1 2 2 2 2 2 0.+ + − = Deci modelul matematic al sistemului de corpuri cu legături elastice de mai sus este:

,xm

m mx

km m

x g12

1 22

1

1 21+

++

+=

.x xkm

x g1 22

22+ + =


3.8. Ecuaţiile de mişcare ale unui tren. Considerăm un tren format dintr-o maşină şi un vagon cu masele , respectiv

Maşina este cuplată cu vagonul printr-o legătură elastică (arc) cu coeficientul m1

m2 .k . Fie forţa aplicată maşinii şi F µ coeficientul de frecare de rostogolire. Sistemul, împreună cu forţele care acţionează asupra lui, se poate reprezenta ca în figura 9. x1 x2 k x x( )1 2− F m1 m2

− −k x x( )1 2 µm gx1 1 µm gx2 2

Fig. 9. Reprezentarea forţelor care lucrează asupra sistemului de corpuri. Aplicând legea a doua a lui Newton obţinem ecuaţiile de mişcare ale trenului:

m x F k x x m gx1 1 1 2 1 1( ) ,= − − − µ m x k x x m gx2 2 1 2 2 2( ) .= − − µ Aceste ecuaţii se pot exprima sub forma ecuaţiilor de stare. Într-adevăr, alegând x1 şi x2 ca variabile de stare, atunci putem scrie:

x v1 1=

vk

mx

km

x gvFm1

11

12 1

1= − + − +µ

x v2 2=

vk

mx

km

x gv22

12

2 2= − − µ

Alegând acum viteza sistemului ca mărime de ieşire, atunci forma matriceală a modelului mişcării trenului este următoarea:

/ /

/ /

/xvxv

k m g k m

k m k m g

xvxv

mF

1

1

2

2

1 1

2 2

1

1

2

2

1

0 1 0 00

0 0 0 10

01

00

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

µ

µ


27

[ ]y

xvxv

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0 1 0 0

1

1

2

2

.

3.9. Modelul matematic al suspensiei unui vehicul. Proiectarea suspensiei unui vehicul este o problemă interesantă. Fie sistemul din figura 10, în care se reprezintă vehiculul de masă , sistemul de suspensie de masă împreună cu elementele care realizează suspensia:

m1

m2 , k1 coeficientul de elasticitate al suspensiei, k2 coeficientul de elasticitate al roţii, coeficientul de amortizare al sistemului de suspensie, b coeficientul de amortizare al roţii, perturbaţia cu care drumul acţionează asupra suspensiei şi forţa externă (de proiectat).

b1

2 wu

x1 m1

k1 u b1

x2 m2

k2 b 2 w

Fig. 10. Reprezentarea suspensiei unui vehicul. O suspensie de calitate trebuie să realizeze o comportare bună a vehiculului şi un confort în ceea ce priveşte interacţiunea cu denivelările drumului. Când vehiculul este solicitat de denivelările drumului, atunci acesta nu trebuie să aibă oscilaţii prea mari, şi în cazul apariţiei lor acestea trebuie să se stingă repede. Deoarece distanţa x w1 − este greu de măsurat şi deformarea cauciucurilor roţilor


x w2 − este neglijabilă, rezultă că vom utiliza distanţa x x1 2− a mărime de ieşire în raport cu care vom face analiza comportării suspensiei. Din cea dea doua lege a lui Newton obţinem ecuaţiile de mişcare: m x b x x k x x u1 1 1 1 2 1 1 2( ) ( )= − − − − +

m x b x x k x x b w x k w x u2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) .= − + − + − + − − Pentru a obţine o reprezentare în spaţiul stărilor trebuie să selectăm variabilele de stare. Pe moment nu cunoaştem care este cea mai bună alegere ale acestor variabile. De aceea, vom începe prin a scrie:

( ) ( )xbm

x xkm

x xu

m11

11 2

1

11 2

1= − − − − +

( ) ( ) ( ) ( )xbm

x x .km

x xbm

w xkm

w xu

m21

21 2

1

21 2

2

22

2

22

2= − + − + − + − −

Alegem prima variabilă de stare ca fiind poziţia x1 . Deoarece derivata intrării nu apare în ecuaţia lui x1 vom alege a doua variabilă de stare ca .x1 A treia variabilă de stare o alegem ca fiind z x x1 1 2= − . Cu acestea, putem scrie:

xbm

zkm

zu

m11

11

1

11

1= − − +

( ) ( )xbm

zkm

zbm

w xkm

w xu

m21

21

1

21

2

22

2

22

2= + + − + − − .

Scăzând a doua ecuaţie de mai sus din prima, obţinem:

( )zbm

bm

zkm

km

zbm

w x11

1

1

21

1

1

1

21

2

22= − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

− − + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

km

w xm m

u2

22

1 2

1 1( ) .

Integrând obţinem:

( )zbm

bm

zbm

w x11

1

1

21

2

22= − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

+ − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − − + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∫ k

mkm

zkm

w xm m

u tt

1

1

1

21

2

22

1 20

1 1( ) d .


29

Observăm că în această ecuaţie nu apare derivata intrării. Mai mult, deoarece x x z2 1 1= − , rezultă că este exprimat numai în funcţie de stările selectate până

acum şi de intrare. Ca atare, integrala din relaţia de mai sus o notăm cu Deci z1

z2 .

( )zkm

km

zkm

w x zm m

u21

1

1

21

2

21 1

1 2

1 1= − + .

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − − + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Cu acestea, putem scrie:

( )zbm

bm

zbm

w x z z11

1

1

21

2

21 1 2= − + .

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − − − +

Substituind această relaţie în ecuaţia lui x1 obţinem:

xb b

m mx

bm

bm

bm

bm

km

z11 2

1 21

1

1

1

1

1

2

2

2

1

11= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

bm

zu

mb bm m

w1

12

1

1 2

1 2.

Cu acestea, considerând variabilele de stare: x1 , ,x1 z1 şi modelul matematic al sistemului de suspensie al unui vehicul, în reprezentarea prin variabile de stare este următorul:

z2

xxzz

b bm m

bm

bm

bm

bm

km

bm

bm

bm

bm

bm

km

km

km

km

xxzz

1

1

1

2

1 2

1 2

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

0 1 0 0

0

0 1

0 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

− + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+ −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

0 01

0

1 1

1

1 2

1 2

2

2

1 2

2

2

mb b

m mbm

m mkm

uw ,


[ ]y

xxzz

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0 0 1 0

1

1

1

2

.

3.10. Paraşuta. Un paraşutist de masă se lansează de la altitudinea m x0 în cădere liberă sub influenţa gravitaţiei. Presupunem că forţa de rezistenţă a aerului este proporţională cu viteza paraşutistului, unde constanta de proporţionalitate este diferită în funcţie de starea paraşutei (închisă sau deschisă). Modelul matematic al paraşutei se obţine din a doua lege a lui Newton sub forma:

mx mg kx,= − − x x( ) ,0 0= ( ) ,x 0 0= unde x este altitudinea la care se află paraşutistul deasupra Pământului, g este acceleraţia gravitaţională, iar k coeficientul de rezistenţă al aerului. Ecuaţia de mişcare de mai sus se poate imediat scrie sub forma unui sistem diferenţial în care apar poziţia şi viteza paraşutistului:

,v gkm

v= − − v( ) ,0 0=

,x v= x x( ) .0 0= Considerând m g, şi k constante, atunci soluţia explicită a sistemului de mai sus este:

v tmgk

ekm

t( ) ,= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

x t xm gk

km

t ekm

t( ) .= + − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

0

2

2 1

Totuşi, în problema paraşutei k nu este o constantă. Forma generală a evoluţiei coeficientului de rezistenţă a aerului este:

k tk t tk t t

d

d( )

, ,, ,=

<≥

⎧⎨⎩

1

2

unde este timpul când paraşuta se deschide. Este posibil ca să fie o funcţie de viteză în sensul că deschiderea paraşutei apare la o anumită viteză a paraşutistului, sau o funcţie de poziţie în care caz deschiderea apare la o anumită altitudine a paraşutistului. Pentru a determina modelul matematic al vitezei paraşutistului este necesar să găsim soluţia pentru

td td

k k= 1 , apoi să calculăm , td


31

după care să rezolvăm problema cu k k= 2 unde condiţiile iniţiale sunt selectate astfel încât să se realizeze continuitatea vitezei şi poziţiei paraşutistului la momentul deschiderii paraşutei: v t v td d( ) ( )+ −= şi x t x td d( ) ( ),+ −= unde este limita la dreapta, respectiv la stânga a lui . În acest caz, pentru

td±

td 0 ≤ <t td viteza paraşutistului este:

v tmgk

ekm

t( ) ,= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

1

1

1

iar, pentru : t td≥

v tmgk

e emgk

ekm

tkm

t tkm

t td d d( ) .( ) ( )

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − − − −

1 2

1 2 2

1 1

Viteza la aterizare se poate calcula imediat din condiţia d dv t/ = 0 . Utilizând ecuaţia de mişcare rezultă că: v t mg kf( ) / .= − Din ecuaţiile de mişcare vedem că acceleraţia paraşutistului este: a g k m v= − − ( / ) . La momentul deschiderii paraşutei apare un salt de acceleraţie, aşa numitul şoc de deschidere, calculat sub forma:

j tat

k tm

v tk tm

a t( )( )

( )( )

( ).= = − −dd

Cum k este constantă pe porţiuni, rezultă că acceleraţia la momentul deschiderii totale a paraşutei are un salt de discontinuitate j t j t j td d( ) ( ) ( ).d= −+ − Dar

deci a td( ) ,− = 0

j tk t a t

mdd d( )

( ) ( ).= −

+ +

Un model mult mai realist se obţine dacă se ia în consideraţie şi timpul necesar deschiderii paraşutei [Meade, 1998], precum şi aria secţiunii transversale şi forma paraşutei [Meade şi Struthers, 1999]. 3.11. Bicicleta În cele ce urmează prezentăm modelul matematic al bicicletei [Avila-Vilchis, Martinez-Molina, Canudas-de-Wit, 2003]. Aceasta este reprezentată în figurile 11-14, unde vectorul coordonatelor generalizate este

[ ]q x y f r

T= , , , , , ,Ψ Φ θ θ

in care x şi definesc poziţia vehiculului în raport cu un reper inerţial. Celelalte coordonate generalizate sunt definite în figuri. Vectorul de intrare este

y

[ ]u m b

T= α τ τ, , ,

unde α este unghiul de viraj, τ m şi τ b sunt momentul motorului şi respectiv momentul de frânare. În figura 11 sistemul de referinţă definit de axele ( , , )x y z este inerţial, Gu este centrul de greutate al şasiului (cadrului bicicletei); şi sunt v, v f vr


vitezele vehiculului, a roţii din faţă şi respectiv a roţii din spate în raport cu reperul inerţial considerat; β este unghiul de alunecare al bicicletei, iar β f şi β r sunt unghiurile de alunecare ale roţilor din faţă şi respectiv a celei din spate; este unghiul de viraj al bicicletei în jurul axei verticale; şi

Ψl f lr sunt distanţele de la

centrul de greutate la axul roţii din faţă, respectiv a celei din spate. Se observă că sistemul de referinţă asociat cu roata din faţă este definit de vectorii

( , , )e e ef f f1 2 3 .

Fig. 11. Bicicleta (caracteristici, viteze, unghiuri)

Figura 12 prezintă o vedere laterală a bicicletei, unde Fni şi Fxi ,

( ,i )f r= reprezintă sarcina normală aplicată pe axele roţilor şi respectiv forţele de contact longitudinale pentru cele două roţi. Gs este centrul de greutate al masei suspendate (biciclistului). În acest caz masa suspendată se modelează ca un pendul invers a cărui dinamică este definită de unghiul Φ şi deplasarea x. Sistemul de referinţă este asociat cu masa suspendată aflată la înălţimea ( , ,e e ev v v1 2 3 )r h+ , iar θ f şi θ r sunt vitezele unghiulare ale roţii din faţă, respectiv a celei din spate. Raza roţilor este r.


33

Fig. 12. Bicicleta (forţe, viteze unghiulare)

În figura 13, M z este momentul de aliniere, iar Fyi , ( ,i )f r= sunt forţele laterale de contact pentru roata din faţă, respectiv cea din spate.

Fig. 13. Bicicleta (forţe laterale de contact) Figura 14 prezintă suspensia bicicletei ca un sistem de arcuri cu amortizoare, în care k este coeficientul arcului, este coeficientul de amortizare, iar

cε f şi ε r sunt deformările verticale asociate roţilor. Masa vehiculului este

formată din masa şasiului masa corpului suspendat şi masa celor două roţi Deci masa totală a vehiculului este

mu , ms

mt . m m m mu s t= + + 2 .


Fig. 14. Bicicleta (suspensia)

Modelul matematic al bicicletei este definit în formalismul Lagrangean, în care pentru fiecare componentă a vehiculului (şasiu, masa suspendată şi roţi) se scriu energiile cinetice de translaţie Tt şi respectiv de rotaţie Tr , precum şi energia potenţială U În continuare să analizăm fiecare dintre aceste componente. .1) Şasiul Vectorul de poziţie al şasiului pu , în raport cu un reper inerţial, este dat de poziţia centrului de greutate Gu al şasiului, ca în figura 1:

[ ]p x y ruT

= , , . (3.11.1) Viteza şasiului în reperul inerţial dat este [ ]v x yu

T= , ,0 . (3.11.2)

Viteza unghiulară a şasiului este [ ]ωu

T= 0 0, , .Ψ (3.11.3)

Cu acestea, energia cinetică de translaţie şi de rotaţie, precum şi energia potenţială sunt:

(T m x yut u= +12

2 2 ,) (3.11.4)

T Iur uz=12

2 ,Ψ (3.11.5)

U m gru u= . (3.11.6) 2) Masa suspendată Pentru masa suspendată, vectorul de poziţie ps , în raport cu un reper inerţial, este dat de poziţia centrului de greutate G al acesteia, figura 2: s

px hy h

r hs =

+++

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

sin cossin sin

cos.

Φ ΨΦ ΨΦ

(3.11.7)

Deci viteza masei suspendate, în raport cu reperul considerat, este:


35

vx h hy h h

hs =

− ++ +

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

sin sin cos cossin cos cos sin

sin.

Ψ Φ Ψ Φ Ψ ΦΨ Φ Ψ Φ Φ Ψ

Φ Φ (3.11.8)

Mişcarea unghiulară a masei suspendate este modelată ca aceea a unui pendul invers. Aceasta permite surprinderea într-o manieră mult mai realistă a distribuţiei sarcinilor care acţionează asupra bicicletei la frânare sau la accelerare. Deci viteza unghiulară a masei suspendate este: [ ]ωs

T= 0, , ,Φ Ψ (3.11.9)

unde efectul giroscopic asupra acesteia a fost neglijat. Tensorul de inerţie al masei suspendate este considerat de forma:

II I II I II I I

s

x xy x

yx y yz

zx zy z

=− −

− −− −

z⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥. (3.11.10)

Cu acestea putem scrie imediat energia cinetică de translaţie şi de rotaţie, precum şi energia potenţială a masei suspendate:

( ){T m x y hst s= + + +12

2 2 2 2 2 2 2sin cosΨ Φ Φ Φ +

( )2h y xsin cos sinΨ Φ Ψ Ψ− +

( )}2h y xcos sin cos .Φ Φ Ψ Ψ+ (3.11.11)

T I h msr sT

s s s= +12

12

2 2ω ω Φ =

( ){ }12

22 2 2I m h I Isy s sz syz+ + − .Φ Ψ ΦΨ (3.11.12)

( ) ( )U m g r h k l ls s f r= + + +cos sin .Φ12

2 2 2 Φ (3.11.13)

3) Roata din faţă Vectorii de poziţie şi de viteză corespunzători roţii din faţă a bicicletei sunt:

(3.11.14) [ ]p x l y l rf f f

T= + +cos , sin , ,Ψ Ψ

(3.11.15) [ ]v x l y lf f f

T= − +sin , cos , .Ψ Ψ Ψ Ψ 0

Vectorul vitezei unghiulare pentru această roată este:

[ ]ω θf f

T= 0, , ,Ψ (3.11.16)

unde θ f reprezintă poziţia unghiulară a acestei roţi în planul ei, figura 2. Tensorul de inerţie al roţii este:

( )I diag I I It x y= , , z .


Cu acestea, energia cinetică de translaţie şi de rotaţie, ca şi cea potenţială se scriu sub forma:

{ }T m x y l x l y lft t f f= + − + +12

2 22 2 2 2sin cos ,Ψ Ψ Ψ Ψ Ψf (3.11.17)

( )T I m lfr fT

t f t f f= + +12

12

2 2 2ω ω θ Ψ =

( ) ( ){ }12

2 2 2 2I m l I m lty t f f tz t f+ + + ,θ Ψ (3.11.18)

U m grf t= . (3.11.19) 4) Roata din spate Similar, pentru roata din spate vectorii de poziţie şi de viteză sunt: (3.11.20) [ ]p x l y l rr r r

T= − −cos , sin , ,Ψ Ψ

(3.11.21) [ ]v x l y lr r r

T= + −sin , cos , .Ψ Ψ Ψ Ψ 0

Vectorul vitezei unghiulare pentru această roată este: [ ]ω θr r

T= 0, , ,Ψ (3.11.22)

unde ca mai sus, θ r reprezintă poziţia unghiulară a acestei roţi în planul ei. Pentru această roată energia cinetică de translaţie şi de rotaţie, ca şi cea potenţială sunt date de:

{ }T m x y l x l y lrt t r r r= + + − +12

2 22 2 2 2sin cos ,Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (3.11.23)

( ) ( ){ }T I m l I m lrr ty t r r tz t r= + + +12

2 2 2 2 ,θ Ψ (3.11.24)

U m grr t= . (3.11.25) Cu aceste preparative putem formula Lagrangeanul sistemului sub forma:

L T U= − . După simplificările algebrice corespunzătoare obţinem:

( ) ( )L m x y I m hsy s= + + +12

12

2 2 2 2Φ +

( ){ }12

2 2 2 2 2I I I m l luz sz tz t f r+ + + + Ψ +

( ) ( )12

12

2 2 2 2I m l I m lty t f f ty t r r+ + +θ θ +

m l l x m l l yt r f t r f( ) sin ( ) cos− − − −Ψ Ψ Ψ Ψ

( )I m gh mgr k l lsyz s f rcos sinΦΨ Φ Φ− − − +12

2 2 2 +


37

( ){12

2 2 2 2 2m hs sin cosΨ Φ Φ Φ+ +

( )2h y xsin cos sinΨ Φ Ψ Ψ− +

(3.11.26) ( }2h y xcos sin cos .Φ Φ Ψ Ψ+ ) Ecuaţiile de mişcare ale bicicletei sunt obţinute din ecuaţiile Lagrange:

ddt

Lq

Lq

Qi i

i

∂∂

∂∂

,⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− = (3.11.27)

unde şi Q este a ii = 1 6, ,… i −a forţă generalizată. Avem:

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂θ

Lx

Ly

L L

f r= = = = 0.

( )( )∂∂

Lm l l x yt r fΨ

Ψ Ψ Ψ Ψ= − +cos sin +

( )m h y xs sin sin cosΨ Φ Ψ Ψ− − + ( )m h y xs cos cos sin .Φ Φ Ψ Ψ−

( )∂∂

Lm gh k l ls f rΦ

Φ Φ= − +sin sin cos2 2 Φ+

( )m hs2 2 2 sin cosΨ Φ Φ Φ− +

( )m h y xs cos cos sinΨ Φ Ψ Ψ− − ( )m h y xs sin sin cos .Φ Φ Ψ Ψ+

( )∂∂Lx

mx m l lt r f sin= + − +Ψ Ψ

{ }m hs − +sin sin cos cos .Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ

( )∂∂Ly

my m l lt r f cos= − − Ψ Ψ+

{ }m hs sin cos cos sin .Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ+

( ){ }∂∂

LI I I m l luz sz tz t f rΨ

Ψ= + + + +2 2 2 2 +

( )( )m l l x y It r f syz− − −sin cosΨ Ψ Φ+

{ }m h h y xs sin sin cos sin .Φ Ψ Φ Ψ Ψ+ −

( )∂∂

LI m h I m hsy s syz s cos

ΦΦ Ψ Φ Φ= + − +2 2 +2

( )m h y xs cos sin cos .Φ Ψ Ψ+


( )∂∂θ

θL

I m lf

ty t f f .= + 2

( )∂∂θ

θL

I m lr

ty t r r .= + 2

( )( )ddt

Lx

mx m l lt r f

∂∂

sin cos⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = + − +Ψ Ψ Ψ Ψ2 −

+

{ }m hs sin sin cos sin sin cosΨ Φ Ψ ΨΦ Φ Ψ Ψ Φ Ψ+ + 2

{ }m hs cos cos cos sin sin cos .Φ Φ Ψ ΨΦ Φ Ψ Φ Φ Ψ− − 2

( )( )ddt

Ly

my m l lt r f

∂∂

cos sin⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= − − −Ψ Ψ Ψ Ψ2 +

+

{ }m hs sin cos cos cos sin sinΨ Φ Ψ ΨΦ Φ Ψ Ψ Φ Ψ+ − 2

{ }m hs cos sin cos cos sin sin .Φ Φ Ψ ΦΨ Φ Ψ Φ Φ Ψ+ − 2

( ){ }ddt

LI I I m l luz sz tz t f r

∂∂Ψ

Ψ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = + + + +2 2 2 2 +

( )( )m l l x x y yt r f− + − +sin cos cos sinΨ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ −

( )I m hsyz s sin cos sinΦ Ψ Φ ΦΨ Φ+ +2 2 Φ+

−

{ }m h y y ys sin cos sin sin cos cosΦ Ψ Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ− + { }m h x x xs sin sin sin cos cos sin .Φ Ψ Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ− +

( )ddt

LI m h Isy s syz

∂∂Φ

Φ Ψ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = + −2 +

+

( )m hs2 2 22cos cos sinΦ Φ Φ Φ Φ− +

( ){ }m h y y ys sin cos cos sin sinΨ Ψ Ψ Φ Φ Φ Ψ+ −

( ){ }m h x x xs cos sin cos sin cos .Ψ Ψ Ψ Φ Φ Φ Ψ− −

( )ddt

LI m l

fty t f f

∂∂θ

θ .⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + 2

( )ddt

LI m l

rty t r r

∂∂θ

θ .⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + 2

Cu acestea obţinem următorul model matematic al bicicletei în formalismul Langrangean: ( ) ( )mx c c csin sin sin cos cos+ − +1 2 2Ψ Φ Ψ Ψ Φ Ψ +Φ


39

−

) Q u1=

( )c c c1 2 2cos cos sin sin cosΨ Ψ Φ Φ Ψ Ψ Φ Ψ Ψ− −

(3.11.28) (c c2 2cos sin sin cos ( ),Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ Φ+

( ) ( )my c c ccos sin cos cos sin− − +1 2 2Ψ Φ Ψ Ψ Φ Ψ +Φ

+

) Q u2=

( )c c c1 2 2sin cos cos sin sinΨ Ψ Φ Φ Ψ Ψ Φ Ψ Ψ+ −

(3.11.29) (c c2 2cos cos sin sin ( ),Ψ Φ Ψ Φ Φ Ψ Φ−

( ) ( )c c x c c1 2 1 2sin sin sin cos sin cosΨ Φ Ψ Ψ Φ Ψ− − − y +

( ) ( )c c h I c xsyz3 22

22+ − +sin sin cosΦ Ψ Φ Ψ Φ Ψ +

3

+

(3.11.30) ( )2 2c h Q usin cos ( ),Φ Φ Φ Ψ =

( ) ( )c x c y I syz2 2cos cos sin cosΦ Ψ Ψ Φ Ψ+ −

( ) ( )c c h c h4 22

2+ −cos sin cosΦ Φ Ψ Φ Φ Ψ−

( ) ( )c h c c Q u2 7 8sin cos sin sin cos ( ),Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ− − = 4

u (3.11.31)

c Qf5 5 ( ),θ = (3.11.32) c Q ur6 6 ( ),θ = (3.11.33) unde ( )c m l lt r f1 = − , c m hs2 = ,

( )c I I I m l luz sz tz t f r32 22 2= + + + + ,

c I m hsy s42= + , c I m lty t f5

2= + , c I m lty t r6

2= + , c m ghs7 = ,

( )c k l lf r82 2= + .

Vectorul forţelor generalizate Q u este format din toate forţele externe care acţionează asupra sistemului:

( )

Q uR

I

F F F C v vF F F C t

F l F l F lL l L l f l f l

F rF r

z

xr xf yf x xv xv

yr xf yf y y

xf f yf f yr r

nf f nr r nf f nr r

m xf

b xr

( )

cos sinsin cos sin( )sin cos

,=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

+ − −+ + +

+ −− − +

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Ψ 00 4

α αα α ηα α

ττ

(3.11.34)

unde

C Cx d=12ρ A


este un coeficient în care ρ este densitatea aerului, Cd este coeficientul de rezistenţă al aerului şi A aria transversală a vehiculului, este viteza vehiculului, este amplitudinea forţei perturbatoare laterale,

vxv

C y η y frecvenţa acestei forţe şi RzΨ este o matrice de rotaţie:

RzΨ

Ψ ΨΨ Ψ=

−⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥cos sinsin cos , (3.11.35)

care realizează trecerea din reperul vehiculului la reperul inerţial. În acelaşi timp, pentru Fxi , Fyi , i f r= , , sunt forţele longitudinale şi laterale de contact asociate roţii din faţă şi a celei din spate, şi Lni f ni , i f r= , , sunt sarcinile statice (verticale) şi respectiv forţele de recul a sistemului de suspensie pentru roata din faţă şi cea din spate, figura 4. Sarcinile verticale au următoarea expresie

(L )ll l

m m gnfr

r fu s=

++ , (3.11.36a)

(L )ll l

m m gnrf

r fu s=

++ , (3.11.36b)

care realizează un raport static al maselor faţă de axul roţii din faţă şi al celui din spate. Din figura 4, presupunând că Φ este mic, putem scrie: f kl clnf f f= +Φ Φ, (3.11.37a) f kl clnr r r= − −Φ Φ. (3.11.37b) Ecuaţiile Lagrange ale bicicletei se pot compactiza sub forma M q q C q q q G q Q u( ) ( , ) ( ) ( ),+ + = (3.11.38) unde

M q

mm

II

cc

syz

syz( )

sin coscos sin

sin coscos sin ,=

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 00 0

0 00 0

0 0 0 00 0 0 0 0

1 2

1 2

1 1 3

2 2 4

5

6

00

0

γ γγ γ

γ γ γγ γ γ

Ψ ΨΨ Ψ

Ψ ΨΨ Ψ

este o matrice simetrică, pozitiv definită, cunoscută ca matricea de inerţie, iar γ 1 1 2= −c c sin ,Φ γ 2 2= c cos ,Φ γ 3 3 2

2= +c c h sin ,Φ γ 4 4 22= +c c hcos ,Φ


41

0C q q

c cc c

cc h

( , ) ,=

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 0 0 00 0 0 0

2 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 2 1 2 2

2 2 3 2 4

2 2 3

4 2 5

ε ρ ρε ρ ρ

ρ εε ρ

Ψ ΦΨ Φ

ΨΦ

este matricea Coriolis, iar ρ1 = cos sin ,Φ Ψ ρ2 = sin cos ,Φ Ψ ρ3 = cos cos ,Φ Ψ ρ4 = sin sin ,Φ Ψ ρ5 = sin cos ,Φ Φ ε ρ ρ1 1 2 5 2 2= − −c c ccos ,Ψ Ψ Φ Ψ ε ρ ρ2 1 2 3 2 2= + −c c csin ,Ψ Ψ Φ Ψ ε ρ3 22= c h ,Φ 5 ε ρ4 2 5= c h ,Ψ şi

G q( ) ,=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

000

00

5γ

este vectorul forţelor conservative, şi γ 5 7 8= − +( cos )sic c n .Φ Φ

Bibliografie Avila-Vilchis, J-C., Martinez-Molina, J-J., Canudas-De-Wit, C., (2003) A new bicycle

model with 3-D dynamic tire/road friction forces. Internal Report No. AP02206, ARCOS Project, Aprilie 2003, Laboratoire d’Automatique de Grenoble, France.

Gäfvert, M., (1998) Modeling the Furuta pendulum. Department of Automatic control, Lund Institute of Technology, ISRN LUTFD2/TFRT–7574–SE, April 1998.

Meade, D.B., (1998) ODE models for the parachute problem. SIAM Review, 40, June 1998, pp. 327–332.

Meade, D.B., Struthers, A.A., (1999) Differential equations in the new millenium: the parachute problem. Int. J. Engng. vol.15, 1999.

Plăcinţeanu, I., (1958) Mecanica vectorială şi analitică. Mecanica corpului cu masă variabilă. Ediţia a II-a. Editura Tehnică, Bucureşti, 1958.

Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., (1968) Mecanica teoretică. Ediţia a II-a, Editura Tehnică, Bucureşti, 1968.

O nouă versiune

25 Aprilie, 2003 – 27 Aprilie 2009

Documents

Modele matematice în mecanic - camo · Modele matematice în mecanică Neculai Andrei Research Institute for Informatics, Center for Advanced Modeling and Optimization, 8-10, Averescu