Modelado de tránsito y optimización del flujo vehicular en

INSTITUTO POLITEacuteCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIOacuteN EN COMPUTACIOacuteN

ldquoModelado de traacutensito y optimizacioacuten del flujo vehicular en paralelordquo

T E S I S

Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

M A E S T R Iacute A E N C I E N C I A S D E L A C O M P U T A C I Oacute N

P R E S E N T A

I N G J O N A T A N Aacute L V A R E Z M Eacute N D E Z

D I R E C T O R D E T E S I S

D R R E N Eacute L U N A G A R C Iacute A

MEacuteXICO DF DICIEMBRE 2014

RESUMEN

En la presente tesis se propone un modelo para el comportamiento de flujo del traacutensito vehicular a partir de una representacioacuten de ecuaciones de flujo continuo dentro de un grafo direccionado El algoritmo propuesto da una solucioacuten inicial con todos los paraacutemetros dentro de valores preestablecidos y a partir de eacutesta se busca mejorar la solucioacuten anterior mediante variaciones diferenciales implementadas en paralelo para cada ecuacioacuten de flujo evaluando y sincronizando dentro del algoritmo las condiciones de frontera

Palabras Clave Modelado Traacutensito Vehicular Flujo Vehicular Ecuacioacuten de Flujo Coacutemputo en Paralelo Optimizacioacuten Multiobjetivo

ABSTRACT

In this work is presented a model for the vehicular traffic flow behavior using a representation of continuous flow equations into a directed graph The algorithm proposed gives an initial feasible solution with all the parameters within preset values and from this it is expected to improve the previous solution by differential variations implemented in parallel for each flow equation evaluating and synchronizing the boundary conditions

Key words Modeling Vehicular Traffic Traffic Flow Flow Equation Parallel Computing Multi-objective Optimization

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por bendecirme con la vida y permitirme llegar hasta este momento rodeado de gente maravillosa por todas las oportunidades que me ha dado por todos los retos que me ha puesto por todas las alegriacuteas que me ha brindado

Es mi maacutes profundo deseo el agradecer a todas las personas e instituciones que hicieron posible la elaboracioacuten de la presente tesis en primer lugar quiero agradecer al Instituto Politeacutecnico Nacional (IPN) por la preparacioacuten profesional de primer nivel que he recibido Ser egresado de la Escuela Superior de Coacutemputo (ESCOM) y ahora del Centro de Investigacioacuten en Computacioacuten (CIC) es para mi motivo de gran orgullo y satisfaccioacuten a la vez de representar un enorme compromiso para llevar dignamente los valores y objetivos de mi Alma Mater

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea (CONACyT) en conjunto con la Secretariacutea de Investigacioacuten y Posgrado (SIP) y el Centro de Investigacioacuten en Computacioacuten (CIC) por el apoyo brindado con las instalaciones y equipo necesarios para realizar la presente investigacioacuten ademaacutes de haberme apoyado econoacutemicamente con las becas ofrecidas

Ademaacutes tambieacuten debo hacer mencioacuten de mi director de tesis el Dr Reneacute Luna Garciacutea ya que me brindoacute sus conocimientos y su tiempo para resolver las dudas que se me fueron presentando Asiacute mismo quiero mencionar que no soacutelo fue director de mi tesis sino ademaacutes un amigo al sufrir y celebrar junto a miacute todas mis fallas y logros dentro del CIC Gracias por todo el apoyo y confianza depositada en miacute durante la realizacioacuten de este trabajo y por la paciencia que me tuvo

Tambieacuten quiero agradecer a mis padres (Ofelia y Claudio) y hermano (Pedro Alonso) que sin su ayuda consejos regantildeos y palabras de aliento nunca hubiera llegado tan lejos y no escribiriacutea estas palabras Gracias por siempre creer en miacute los amo

En esta ocasioacuten quiero expresar mi maacutes sincero y profundo agradecimiento a Migdaled esa persona especial que conociacute en el CIC esa persona que me apoyoacute y me ayudoacute con sus palabras de aliento a terminar lo que ya habiacutea empezado que incluso me ayudoacute en la redaccioacuten del presente documento ademaacutes de ser compantildeera miacutea en esta etapa de mi vida Con ella viviacute muchas cosas durante la estancia en el CIC pero lo maacutes importante es que estaacute conmigo en las buenas y en las malas Gracias amor por tu apoyo y comprensioacuten Te amo

Es mi deseo agradecer tambieacuten a mis amigos Araceli Brayan David Edwin Enrique Netz Nico Shatagua y Simoacuten quienes con sus juegos y apoyo siempre me hicieron sentir bien dentro del Centro y que de alguna u otra forma colaboraron en la realizacioacuten de esta tesis Un especial agradecimiento a Juan Carlos con quien compartiacute ideas horas de trabajo de deporte y de viaje

Al jurado que examinoacute la tesis y que fueron parte de eacuteste proceso gracias por enriquecer este trabajo con sus observaciones y comentarios

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

CAPIacuteTULO I DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA 14

11 INTRODUCCIOacuteN 14

12 DESCRIPCIOacuteN DEL PROBLEMA 15

13 OBJETIVO GENERAL 15

14 OBJETIVOS PARTICULARES 15

15 JUSTIFICACIOacuteN 15

16 ORGANIZACIOacuteN DEL DOCUMENTO 16

CAPIacuteTULO II ESTADO DEL ARTE 18

21 MODELOS MATEMAacuteTICOS 18

211 Modelos Macroscoacutepicos 19

212 Modelos Microscoacutepicos 20

213 Modelos Cineacuteticos 22

22 MODELOS COMPUTACIONALES 22

221 Algoritmo de Colonia de Hormigas 23

222 Algoritmo de Enjambre de Partiacuteculas 23

223 Algoritmos Geneacuteticos 24

CAPIacuteTULO III MARCO TEOacuteRICO 25

31 ENFOQUE GLOBAL 25

32 MODELO BAacuteSICO 26

33 MODELOS DE PRIMER ORDEN 27

331 Modelo de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) 28

332 Modelo de Lighthill-Whitham con difusioacuten (LWD) 28

333 Modelo de Nelson 29

334 Modelo de Jordan 30

34 MODELOS DE SEGUNDO ORDEN 30

341 Modelo de Kerner-Konhaumluser 31

35 MODELOS DE ORDEN SUPERIOR 32

36 APROXIMACIOacuteN NUMEacuteRICA 33

361 Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten de adveccioacuten 33

362 Meacutetodo de diferencias finitas 35

37 MODELOS LOCALES 36

371 Flujo maacuteximo 37

372 Algoritmo FordndashFulkerson 37

373 Algoritmo Edmonds-Karp 38

38 OPTIMIZACIOacuteN 38

381 Conceptos matemaacuteticos 39

3811 Conjunto de nivel 39

3812 Gradiente 41

3813 Matriz hessiana 41

382 Meacutetodos de optimizacioacuten 42

3821 Optimizacioacuten por punto uacutenico con base en la derivada 44

3822 Optimizacioacuten local y global 48

3823 Optimizacioacuten Multiobjetivo 48

3824 Buacutesqueda Local 50

39 COacuteMPUTO EN PARALELO 52

391 MPI 53

392 ROOT 54

310 AJUSTE DE CURVAS 55

3101 Histograma 56

31011 Definicioacuten matemaacutetica 58

3102 Ajuste de datos a una distribucioacuten de probabilidad 59

3103 Prueba chi cuadrada de Pearson 62

3104 Prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov 62

3105 Prueba de AndersonndashDarling 63

CAPIacuteTULO IV METODOLOGIacuteA 64

41 CONSTRUCCIOacuteN DEL GRAFO 65

42 FUNCIONES OBJETIVO 66

43 BUacuteSQUEDA DE CONFIGURACIOacuteN INICIAL FACTIBLE 67

44 OPTIMIZACIOacuteN DE FUNCIONES OBJETIVO 68

45 BUacuteSQUEDA Y OPTIMIZACIOacuteN EN PARALELO 68

46 ANAacuteLISIS DE RESULTADOS 70

CAPIacuteTULO V RESULTADOS 74

51 EXPERIMENTO 1 GRAFO CON 6 NODOS Y 10 ARISTAS 74

52 EXPERIMENTOS CON DATOS DE GOOGLE MAPS 76

521 Experimento 2 Lunes 900 am Meacutexico DF 76

522 Experimento 3 Viernes 700 pm Meacutexico DF 81

523 Experimento 4 Prediccioacuten del comportamiento del traacutensito ante el cierre de una vialidadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip84

CAPIacuteTULO VI CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO 88

61 CONCLUSIONES 88

62 TRABAJO FUTURO 88

APEacuteNDICE A 90

A1 COMPARACIOacuteN ENTRE EL MEacuteTODO PSO Y EL MEacuteTODO OCN 90

APEacuteNDICE B 92

B1 EXPERIMENTO 1 GRAFO 4 NODOS Y 6 ARISTAS 92

B4 EXPERIMENTO 4 GRAFO 75 NODOS 320 ARISTAS 96

BIBLIOGRAFIacuteA 98

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Ejemplo de curvas de nivel para una funcioacuten 39

Figura 2 Ejemplo de isosuperficies o superficies de nivel 40

Figura 3 Curvas integrales paralelas a las curvas de nivel de la funcioacuten 40

Figura 4 Buacutesqueda por punto uacutenico con base en la derivada 46

Figura 5 Ejemplo de una funcioacuten unimodal dos veces diferenciable 46

Figura 6 Buacutesqueda por punto uacutenico sustituyendo la matriz hessiana por la matriz identidad 47

Figura 7 Ejemplo de los diferentes laquopicosraquo y puntos de ensilladura de una funcioacuten 48

Figura 8 Diagrama general del proceso de optimizacioacuten multiobjetivo 51

Figura 9 Diagrama del proceso de optimizacioacuten multiobjetivo con un enfoque paralelo 52

Figura 10 Esquema comparativo entre el coacutemputo en serie y el coacutemputo en paralelo 53

Figura 11 Captura de pantalla de un histograma desarrollado con el framework ROOT 55

Figura 12 Ejemplo de un histograma para una funcioacuten de densidad de probabilidad 57

Figura 13 Ejemplo de un diagrama de frecuencias 57

Figura 14 Ejemplo de una distribucioacuten de probabilidad ajustada a los datos de un histograma 61

Figura 15 Metodologiacutea propuesta 64

Figura 16 Representacioacuten visual de la construccioacuten del grafo a partir de una red vehicular 66

Figura 17 Metodologiacutea propuesta para buacutesqueda y optimizacioacuten en paralelo 69

Figura 18 Ejemplo de archivo de salida 70

Figura 19 Ejemplo de histograma de flujo para los resultados obtenidos 70

Figura 20 Ejemplo una distribucioacuten normal ajustada al histograma 71

Figura 21 Captura de pantalla de la herramienta de visualizacioacuten 73

Figura 22 Representacioacuten graacutefica del grafo 74

Figura 23 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad normal 75

Figura 24 Situacioacuten que presentan las viacuteas principales de la Ciudad de Meacutexico el diacutea lunes a las 900 am 77

Figura 25 Mapa de la Ciudad de Meacutexico con el modelado del traacutensito vehicular 77

Figura 26 Modelado de las principales vialidades de la Ciudad de Meacutexico permitiendo que 60 de ellas tengan contraflujos 78

Figura 29 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad gamma 80

Figura 30 Situacioacuten que presentan las viacuteas principales de la Ciudad de Meacutexico el diacutea viernes a las 700 pm 81

Figura 34 Situacioacuten del traacutensito vehicular ante el cierre de una vialidad 84

Figura 37 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad Weibull 87

Figura 38 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad beta 92

Figura 41 Histograma del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad normal 94

LISTA DE TABLAS

Tabla 1 Clasificacioacuten de los modelos de traacutensito vehicular 19

Tabla 2 Clasificacioacuten de los meacutetodos de optimizacioacuten 44

Tabla 3 Comparacioacuten de ajuste para las distribuciones aplicadas al histograma 72

Tabla 4 Paraacutemetros encontrados para las distribuciones de probabilidad (β χ2 γ y normal) para el histograma de los flujos del grafo 72

Tabla 5 Configuracioacuten de valores para el grafo 75

Tabla 15 Paraacutemetros encontrados para las distribuciones de probabilidad (β χ2 γ y weibull) para el histograma de los flujos del grafo 87

Tabla 16 Comparacioacuten entre los tiempos de optimizacioacuten usando el meacutetodo PSO y el meacutetodo OCN 90

Tabla 17 Relacioacuten de los grafos construidos con el tiempo que tardan en converger a una solucioacuten 91

Capiacutetulo I Definicioacuten del problema

11 Introduccioacuten

Histoacutericamente el estudio y modelado del traacutensito vehicular tienen sus oriacutegenes en los antildeos 30rsquos cuando el investigador norteamericano Bruce Douglas Greenshields aplicoacute por primera vez meacutetodos fotograacuteficos y matemaacuteticos para la medicioacuten de diferentes variables relacionadas con el flujo de traacutensito vehicular y la descripcioacuten de su comportamiento [23] Fue el mismo Greenshields quien posteriormente postuloacute la existencia de una relacioacuten lineal entre la velocidad y la densidad del traacutensito [24]

Antildeos maacutes tarde surgieron los primeros planteamientos en la teoriacutea del flujo de traacutensito vehicular [41] en los cuales se confirmaron los postulados de Greenshields y la existencia de una estrecha relacioacuten entre las variables fundamentales del flujo de traacutensito vehicular la velocidad 119907 la densidad 120588 y el flujo ɸ

Actualmente existen tres enfoques teoacutericos para modelar el traacutensito vehicular [35] 1) Los modelos macroscoacutepicos describen el flujo de traacutensito de manera anaacuteloga a como sucede en

los liacutequidos o gases en movimiento es por esto que en ocasiones se les llama modelos hidrodinaacutemicos [65] Estos modelos son capaces de describir fenoacutemenos colectivos como la evolucioacuten del congestionamiento vial en una determinada regioacuten o la velocidad de propagacioacuten de las ondas de traacutefico Sus principales variables de estudio son la densidad de traacutensito 120588(119909 119905) el flujo ɸ(119909 119905) y la velocidad promedio 119907(119909 119905)

2) Los modelos microscoacutepicos a su vez analizan el flujo de traacutensito vehicular considerando lo que sucede con cada vehiacuteculo de manera individual en cada instante de tiempo En ellos se describe la reaccioacuten de cada conductor (aceleracioacuten frenado cambio de carril etc) dependiendo de su entorno Este tipo de modelos pueden ser estudiados utilizando modelos car-following [11 21 59] y autoacutematas celulares [48 61] Sus principales variables de estudio son la posicioacuten de los vehiacuteculos 119909120572(119905) su velocidad 119907120572(119905) y aceleracioacuten 120572(119905)

3) Los modelos cineacuteticos combinan los enfoques de los modelos microscoacutepicos y macroscoacutepicos

en un modelo hiacutebrido en los cuales las secciones criacuteticas de la red de flujo de traacutensito vehicular se describen mediante alguacuten modelo microscoacutepico mientras que el resto de la red de flujo se estudia con alguacuten modelo macroscoacutepico [65] Tambieacuten se recurre al empleo de ecuaciones cineacuteticas de Boltzmann para su anaacutelisis [26 57 66 67]

Es de nuestro particular intereacutes el estudio de los modelos macroscoacutepicos

12 Descripcioacuten del Problema

Las sociedades modernas requieren contar con sistemas eficientes de transporte que permitan llegar a los destinos deseados a tiempo y de manera segura Desafortunadamente la infraestructura vial existente cuenta con recursos limitados algunos de ellos con capacidad reducida y ademaacutes el incremento de sus usuarios es una constate diaria por lo tanto es necesario encontrar soluciones y contar con estrategias que permitan la toma de decisiones para prevenir y minimizar la congestioacuten de traacutensito vehicular

13 Objetivo General

Proponer un modelo de traacutensito vehicular que permita modelar y optimizar el comportamiento de flujo de traacutensito vehicular a partir de una representacioacuten de ecuaciones de flujo dentro de un grafo dirigido

14 Objetivos Particulares

Analizar la teoriacutea concerniente al modelado de flujo de traacutensito vehicular Estudiar los modelos continuos de flujo vehicular Proponer un modelo de flujo de traacutensito vehicular que modele el flujo dentro de un grafo

dirigido con capacidades maacuteximas y miacutenimas Proponer un meacutetodo de optimizacioacuten multiobjetivo para el flujo de traacutensito vehicular del

modelo propuesto Validar los resultados del modelo propuesto

15 Justificacioacuten

El problema del transporte es un problema que ha concernido al hombre mucho antes incluso de la llegada del automoacutevil pero ha sido en antildeos recientes que el tema de los congestionamientos viales ha adquirido una mayor importancia Hoy en diacutea el constante aumento de vehiacuteculos en la infraestructura vial y la mala planificacioacuten de las viacuteas de transporte han propiciado congestionamientos en varios puntos de las grandes urbes y los embotellamientos de vehiacuteculos se han convertido en uno de los grandes problemas que hay que afrontar a diario aunado a esto se tienen otras repercusiones tanto en la calidad de vida de las personas como en el medio ambiente por mencionar algunos encontramos el aumento en los costos de operacioacuten de los vehiacuteculos (gasolina mantenimiento etc) incremento en el nuacutemero de accidentes aumento de la emisiones de agentes contaminantes presencia de estreacutes en los conductores y agravamiento de la calidad del aire

A pesar que los problemas de movilidad en las ciudades son claros las posibles soluciones a estos son contradictorias y se encuentran en etapas prematuras es aquiacute donde destaca el importante papel

de la investigacioacuten Construir simplemente maacutes caminos no es la solucioacuten y como lo enuncia [63] en su ley fundamental del congestionamiento en autopistas laquola demanda latente se expande para ocupar el espacio creado siempre que se mejora la capacidad de las carreterasraquo Un ejemplo de esto se puede encontrar en la paradoja de Braess para el traacutensito vehicular [6] la cual menciona laquoampliar una red vial causaraacute una redistribucioacuten del traacutensito vehicular que resultaraacute en mayores tiempos individuales de viajeraquo dicho de otra forma conductores individuales no coordinados siguiendo sus estrategias oacuteptimas personales no siempre logran el estado maacutes beneacutefico para el traacutefico en su conjunto

Es por ello que surge la necesidad de estudiar y desarrollar modelos concernientes al flujo de traacutensito vehicular que permitan entender las causas y consecuencias de los fenoacutemenos que en eacuteste se presentan y a su vez permitan contar con estrategias para la toma de decisiones y asiacute prevenir yo minimizar los congestionamientos vehiculares

La optimizacioacuten de la infraestructura vial requiere reproducir situaciones de traacutensito que permitan realizar pruebas de investigacioacuten lo cual es complicado pues produciriacutea situaciones difiacuteciles como congestionamientos accidentes viales etc Ha sido a traveacutes de las investigaciones y estudios realizados por varios cientiacuteficos que se han obtenido propiedades del traacutensito y modelos que resultan uacutetiles para realizar simulaciones por medio de las cuales es posible establecer y manipular variables y condiciones del entorno y conocer el efecto que esto tendriacutea en el comportamiento del traacutensito vehicular en una determinada regioacuten debido a lo anterior es que actualmente se le da gran importancia al modelado y simulacioacuten de flujo de traacutensito de vehiacuteculos ya que permite obtener datos sobre su dinaacutemica sin necesidad de interferir en el lugar mismo

En el presente trabajo propone un modelo de flujo de traacutensito vehicular que permita modelar el comportamiento del traacutensito vehicular a partir de una representacioacuten en un sistema de ecuaciones de flujo dentro de un grafo direccionado

16 Organizacioacuten del Documento

Este trabajo consta de 6 capiacutetulos organizados de la siguiente manera

El capiacutetulo I plantea la problemaacutetica del estudio del traacutensito vehicular los objetivos generales y particulares del presente trabajo y la justificacioacuten del problema

El capiacutetulo II presenta el estado del arte esto es se muestra un panorama general de la investigacioacuten realizada en el aacutembito de la teoriacutea del flujo vehicular a traveacutes del tiempo

En el capiacutetulo III correspondiente al marco teoacuterico se describen los conceptos necesarios para el desarrollo de esta tesis esto es los conceptos de fluidos y la manera en que eacutestos se emplean para representar ciertos fenoacutemenos observados en el traacutensito vehicular Ademaacutes se incluye una descripcioacuten de los modelos que sirven de base para el modelo presentado De igual forma se detallan los conceptos y meacutetodos matemaacuteticos aplicados en la optimizacioacuten multiobjetivo

En el capiacutetulo IV se describe la metodologiacutea desarrollada para la resolucioacuten de la problemaacutetica planteada en el capiacutetulo I Se explica el modelo propuesto la interaccioacuten de las ecuaciones de flujo dentro del grafo dadas las capacidades maacuteximas y miacutenimas por arista asiacute como las consideraciones necesarias para poder realizar una optimizacioacuten multiobjetivo en paralelo del flujo de traacutensito vehicular

En el capiacutetulo V se muestran los resultados obtenidos de dicho modelo junto con su interpretacioacuten

En el capiacutetulo VI se escriben las conclusiones obtenidas y el trabajo futuro que se surge de los resultados obtenidos en esta liacutenea de investigacioacuten

Capiacutetulo II Estado del arte

Hoy en diacutea el modelado de situaciones y problemas reales ha adquirido gran relevancia para el adecuado funcionamiento de las sociedades modernas ya que ha sido a traveacutes de eacuteste que se han podido explicar reproducir y solucionar algunos de los fenoacutemenos que se presentan diariamente En particular en lo referente al problema del flujo de traacutensito vehicular se han realizado mediciones y se han propuesto diferentes modelos para caracterizar y explicar la gran variedad de fenoacutemenos que el flujo de traacutensito exhibe los entornos en los que se desarrolla los posibles estados en que se puede apreciar los factores y condiciones con los que interactuacutea asiacute como los medios requeridos para su optimizacioacuten

Los modelos de flujo de traacutensito vehicular se pueden clasificar con respecto a su nivel de agregacioacuten es decir con la manera en que representan el fenoacutemeno por su estructura matemaacutetica o por alguacuten otro de sus aspectos conceptuales [65] Para eacuteste trabajo se clasificaraacuten y explicaraacuten los modelos matemaacuteticos y computacionales para el estudio del flujo de traacutensito vehicular sin llegar a profundizar en el tema

21 Modelos Matemaacuteticos

En la teoriacutea del flujo de traacutensito vehicular se puede encontrar diferentes maneras de abstraer los fenoacutemenos que en eacuteste se presentan y modelarlos matemaacuteticamente Estos modelos se pueden clasificar por su nivel de detalle (microscoacutepico mesoscoacutepico o macroscoacutepico) por la escala de las variables independientes (continuas o discretas) por la representacioacuten de sus procesos (deterministas o estocaacutesticos) por su forma de operacioacuten (analiacutetica o simulacioacuten) o por la escala de su aplicacioacuten (redes tramos o intersecciones de las carreteras) En particular en eacutesta seccioacuten se describiraacuten uacutenicamente por su nivel de detalle

La tabla 1 presenta un panorama general de los principales modelos clasificados de acuerdo a los criterios mencionados anteriormente

Principalmente existen tres modelos Los modelos macroscoacutepicos en el que destacan el modelo baacutesico de Lighthill y Whitham de 1955 [41] los modelos de aceleracioacuten de Payne [51 52] y Kuumlhne [38] el modelado cineacutetico de gas de Helbing [27] y el modelo hidrodinaacutemico de Pipes [54] Los modelos microscoacutepicos que incluyen a los modelos car-following de Bando [2] y de Gipps [21] los modelos con autoacutematas celulares basados en el modelo de Nagel y Schreckenberg de 1992 [48] y el modelo de Fukui e Ishibashi [18] por mencionar algunos Y finalmente los modelos cineacuteticos de Prigogine [56] y de Pavier-Fontana [50]

Nivel de detalle Modelo

DI1 SC2 RE3 OP4

AR5 v d l o c sl ml al d n u

oacutepic

o MIXIC d s s SIMONE d s s PELOPS d s s Modelos car-following c ds as FOSIM d s s Autoacutematas celulares d s s INTEGRATION d d s

oscoacute

Modelos de distribucioacuten de avance

Modelos de gas cineacutetico reducidos

Modelos de gas cineacutetico mejorados

Modelos de gas cineacutetico multicarril

Modelos de gas cineacutetico multiclase

Modelos multicarril multiclase

Modelos de grupos c d a

oacutepic

Modelo LWR c d a Modelos tipo Payne c d a Modelos tipo Helbing c d a Modelos por ceacutelulas de transmisioacuten

METANET d d s Modelo semidiscreto sd s a FREFLO d d s MASTER d d a

Tabla 1 Clasificacioacuten de los modelos de traacutensito vehicular

1 Dimensioacuten (otra diferente del tiempo y del espacio) velocidad v velocidad deseada d posicioacuten lateral l (carriles) o alguacuten otro o

2 Escala (continua c discreta d y semi-discreta sd) 3 Representacioacuten (determinista d estocaacutestica s) 4 Operatividad (analiacutetica a simulacioacuten s) 5 Aacuterea de aplicacioacuten (cortes transversales c tramos de un solo carril sl tramos de muacuteltiples carriles ml tramos

con carriles agregados al discontinuidades d red de autopistas n and red urbana u)

211 Modelos Macroscoacutepicos

Los modelos macroscoacutepicos describen el flujo vehicular de manera anaacuteloga a como se describe un liacutequido o gas en movimiento ie se fundamentan en el uso de ecuaciones de la dinaacutemica de fluidos Es por esto que tambieacuten se les conoce con el nombre de modelos hidrodinaacutemicos [65]

En este enfoque se consideran como variables relevantes la densidad de traacutensito 120588(119909 119905) el flujo ɸ(119909 119905) la velocidad promedio 119907(119909 119905) y en algunos casos la varianza de la velocidad 1205901199072(119909 119905) La calidad y confiabilidad de los resultados dependen principalmente de la exactitud de las ecuaciones de flujo aplicadas y de la eleccioacuten de un meacutetodo de integracioacuten numeacuterica conveniente

De acuerdo con lo anterior estos modelos son capaces de representar fenoacutemenos colectivos debido a que los automoacuteviles se consideran como partiacuteculas que fluyen a traveacutes de una red de conductos Dichos fenoacutemenos pueden ser la evolucioacuten de las regiones donde se presentan los congestionamientos viales la velocidad de propagacioacuten de las ondas de traacutensito la evolucioacuten de la velocidad promedio la aparicioacuten y evolucioacuten de ondas de choque o de soluciones viscosas entre otros

Debido a la naturaleza colectiva de los fenoacutemenos que estudian estos modelos son especialmente uacutetiles cuando no se necesita considerar el efecto que tiene en el flujo de traacutensito los cambios de carril de los automoacuteviles la diversidad de automoacuteviles existentes o bien cuando la informacioacuten de entrada existente proviene de fuentes distintas y presenta caracteriacutesticas heterogeacuteneas yo son inconsistentes Es particularmente importante eacutesta capacidad de poder incorporar fuentes de datos heterogeacuteneas puesto que permite la estimacioacuten y prediccioacuten en tiempo real de los estados del traacutensito vehicular para un horizonte de tiempo 120591 con actualizaciones cada 120549119905 intervalos de tiempo

Dentro de los modelos macroscoacutepicos encontramos inicialmente el modelo baacutesico de Lighthill y Whitham (modelo LWR) publicado en 1955 [41] en el cual se introduce una descripcioacuten basada en la ecuacioacuten de continuidad con la suposicioacuten de que el flujo o la velocidad soacutelo dependen de la densidad esto es al no haber un tiempo de relajacioacuten se presenta el fenoacutemeno de adaptacioacuten instantaacutenea ademaacutes de existir la presencia de ondas de choque ie un aumento muy apreciable de la densidad en un intervalo muy corto de longitud y de tiempo [47]

En 1979 Payne propuso sus modelos con ecuacioacuten de aceleracioacuten en los cuales reemplazoacute la suposicioacuten de la adaptacioacuten instantaacutenea de la teoriacutea de Lighthill-Whitham antildeadiendo una ecuacioacuten de inercia la cual es similar a la ecuacioacuten de Navier-Strokes [51] La contribucioacuten de Payne en este trabajo consistioacute en introducir una ecuacioacuten de aceleracioacuten adicional para la velocidad media 119881 la cual incluyoacute un tiempo de relajacioacuten para la velocidad media cada cierto tiempo 120591 Por su parte Kuumlnhe en 1984 agregoacute un teacutermino de viscosidad y comenzoacute a utilizar meacutetodos de la dinaacutemica no lineal [38]

En 1995 Helbing propuso un modelo (modelo H) que usa ecuaciones de Euler y Navier-Stokes en el cual la varianza de la velocidad 1205901199072(119909 119905) es empleada como una cantidad de equilibrio sin embargo en situaciones donde no lo hay puede considerarse como una variable dinaacutemica [25] En particular para predecir un embotellamiento de traacutensito un incremento en la varianza se considerara como el principal indicador

212 Modelos Microscoacutepicos

En los modelos microscoacutepicos se consideran unidades individuales llamadas unidades conductor-vehiacuteculo y denotadas como 120572 las cuales con sus caracteriacutesticas y comportamiento forman de

manera colectiva el flujo de traacutensito global Ademaacutes eacutestos modelos toman en cuenta caracteriacutesticas propias del comportamiento humano como el tiempo de reaccioacuten de cada conductor su grado de cortesiacutea o agresividad el uso de las luces de cambio (direccionales) o el tiempo para cambiar de carril asiacute como de caracteriacutesticas de los automoacuteviles como el tiempo de aceleracioacuten o el tiempo de frenado Sus principales variables de estudio son la posicioacuten 119909120572(119905) la velocidad 119907120572(119905) y la aceleracioacuten 120572(119905) de los vehiacuteculos

Histoacutericamente los modelos car-following fueron los primeros modelos microscoacutepicos en desarrollarse esto debido primordialmente a la extensa investigacioacuten desarrollada en 1958 por la compantildeiacutea automotriz norteamericana General Motors [28 29] Los modelos car-following se sustentan en las leyes de estiacutemulo-respuesta (conductismo) en donde la respuesta al cambio en la velocidad se mide por la aceleracioacuten y dicho estiacutemulo pude tener distintos oriacutegenes permitiendo asiacute la obtencioacuten de diferentes modelos A pesar de la variacioacuten de los modelos todos ellos suponen la existencia de una relacioacuten lineal entre la velocidad y el espaciamiento entre vehiacuteculos o bien entre la aceleracioacuten y la diferencia de velocidades entre vehiacuteculos consecutivos

Los modelos de car-following de una sola viacutea como los de Rothery [59] suponen la existencia de una alta correlacioacuten entre los vehiacuteculos cuyo rango de separacioacuten intervehicular es de 100 a 125 metros En ellos se asume que el conductor es un agente activo que responde a estiacutemulos sensoriales y esto se refleja en la aceleracioacuten o desaceleracioacuten del vehiacuteculo dependiendo de sus propias habilidades psicomotoras asiacute como de las condiciones fiacutesicas del automoacutevil y del camino Estos tipos de modelos tambieacuten exponen un mecanismo de conduccioacuten en el cual el conductor realiza tres tares la percepcioacuten a traveacutes de la cual recaba informacioacuten de su entorno la decisioacuten que es la interpretacioacuten de la informacioacuten y finalmente la ejecucioacuten de maniobras de control

Otra de las contribuciones que se ha realizado a la teoriacutea de los modelos microscoacutepicos son los modelos con autoacutematas celulares (AC) tambieacuten conocidos como modelos de salto Los autoacutematas celulares son sistemas que evolucionan en el tiempo con base en reglas locales y tanto el tiempo como el espacio fase son discretos En estos modelos el camino se representa por cadenas de celdas que estaacuten ocupadas por a lo maacutes una partiacutecula y el movimiento tiene lugar saltando entre celdas mientras que la posicioacuten de las partiacuteculas es actualizada simultaacutenea y paralelamente Eacuteste enfoque ha tenido gran aceptacioacuten dentro de los modelos microscoacutepicos debido a que permiten observar de manera directa las interacciones individuales de los automoacuteviles y relacionarlas con caracteriacutesticas del flujo de traacutensito ademaacutes permiten que diferentes vehiacuteculos tengan diferentes comportamientos al conducir

El uso de modelos de autoacutematas celulares se remonta a Gerlough [19 20] y a Cremer y Ludwig [12] quienes posteriormente realizaron diferentes extensiones a estos En 1992 Biham Middleton y Levine [4] usaron un modelo de AC con velocidad maacutexima para traacutefico bidimensional y unidimensional de varios carriles En el mismo antildeo Kai Nagel y Michael Schreckenberg [48] propusieron un modelo probabiliacutestico con velocidad maacutexima 119907119898119886119909 = 5 que se comparoacute favorablemente con los datos reales el cual ha sido retomado y extendido subsecuentemente por diversos autores [47]

En el antildeo 2000 Knospe Santen Schadschneider y Schreckenberg publicaron el modelo de traacutensito vehicular K-S-S-S [36] usando un autoacutemata celular basado en el modelo Nagel-Schrekeberg y que

modela el flujo de traacutensito tomando en cuenta el uso de luces de freno que avisan a los vehiacuteculos sucesores sobre posibles reducciones de velocidad provocando asiacute un flujo maacutes suavizado al conducir Posteriormente en el antildeo 2002 Knospe et al propusieron el modelo K-S-S-S_2 [37] para anaacutelisis de flujo de traacutensito en dos carriles

213 Modelos Cineacuteticos

Los modelos cineacuteticos tambieacuten conocidos como modelos mesoscoacutepicos combinan los enfoques de los modelos macroscoacutepicos y microscoacutepicos en un modelo hiacutebrido en el cual los paraacutemetros microscoacutepicos (velocidad individual de los vehiacuteculos espacio intervehicular etc) pudieran depender de cantidades macroscoacutepicas como la densidad la velocidad local o la varianza de la velocidad

En estos modelos la dinaacutemica del flujo de traacutensito vehicular generalmente consiste de una simplificacioacuten que mientras captura lo esencial del flujo de traacutensito requiere menos demanda de informacioacuten y son computacionalmente maacutes eficientes Existen dos aproximaciones principales aquellas en las que no se consideran vehiacuteculos de manera individual sino que son agrupados en pelotones o caravanas que se mueven a lo largo de la red de flujo (permitiendo la existencia de pelotones de un solo vehiacuteculo) como en el modelo de Leonard y colaboradores [40] y aquellos en los que la dinaacutemica del flujo estaacute determinada por la dinaacutemica simplificada de los vehiacuteculos individuales como es el caso en [33] Otra de las principales diferencias recae en el manejo del tiempo los enfoques maacutes comunes [16 33 42] se basan en tiempo siacutencrono es decir el tiempo en el modelo avanza cada 120549119905 unidades de tiempo mientras que por otro lado se encuentran los modelos orientados a eventos que utilizan tiempo asiacutencrono ie el estado del modelo cambia cuando sucede alguacuten evento predefinido [8]

Como parte del estado del arte de los modelos cineacuteticos se encuentran los modelos cineacuteticos de gas (Gas-kinetic traffic models por su nombre en ingleacutes) los cuales usan colisiones ideales para describir la dinaacutemica de una cantidad llamada densidad espacio-fase 120588rsquo(119909119907 119905) la cual es una relacioacuten entre la densidad de traacutensito y la distribucioacuten de probabilidad local de la velocidad de los vehiacuteculos El modelo de Prigogine [56] es un ejemplo de eacutesta aproximacioacuten y considera que la cantidad baacutesica es una funcioacuten de distribucioacuten 119891 (119909119907 119905) que describe el nuacutemero de vehiacuteculos en una cierta localizacioacuten y velocidad en el tiempo 119905 A su vez en el trabajo realizado por Paveri-Fontana [50] se introduce una funcioacuten de distribucioacuten generalizada a la de Prigogine esta funcioacuten 119892(119909 119907 119905119908) describe el nuacutemero de vehiacuteculos con velocidad 119907 y velocidad deseada 119908

22 Modelos Computacionales

Desde la llegada de las supercomputadoras en la deacutecada de los antildeos 60rsquos los cientiacuteficos han tenido en ellas la oportunidad de comprobar sus investigaciones en un breve periodo de tiempo sobre todo aquellas relacionadas con grandes y complejos fenoacutemenos del mundo real Todos estos sistemas han evolucionado a lo largo del tiempo para ofrecer cada vez mejores iacutendices de desempentildeo resultados maacutes precisos y reduccioacuten en los tiempos de ejecucioacuten pero de nada sirve contar con todos estos

equipos si no se desarrollan meacutetodos y algoritmos eficientes que aprovechen al maacuteximo los recursos disponibles

En eacutesta seccioacuten se describe de manera breve algunos de los modelos computacionales maacutes utilizados en el aacutembito del modelado de traacutensito vehicular

221 Algoritmo de Colonia de Hormigas

El algoritmo de la colonia de hormigas o ACO por sus siglas en ingleacutes (Ant Colony Optimization) es una teacutecnica de optimizacioacuten que tomoacute como inspiracioacuten las colonias de hormigas y su habilidad para organizarse como conjunto para localizar y recolectar alimento sin el control de una unidad central coordinadora Dorigo [15] propuso el primer algoritmo de colonia de hormigas para optimizar problemas discretos aunque su aplicacioacuten en la optimizacioacuten de modelos de flujo de traacutensito vehicular fue posible cuando se realizaron extensiones a eacuteste modelo para problemas continuos [5 43] En estos algoritmos el comportamiento de los conductores es simulado asumiendo que ellos eligen su ruta oacuteptima que resulta de considerar las condiciones de viajar la distancia maacutes corta y raacutepida con el menor nuacutemero de cambios de ruta posibles En el modelo [17] los conductores eligen la ruta oacuteptima entre dos puntos considerando la longitud del camino y el congestionamiento de las carreteras Como estos otros ejemplos se pueden encontrar en la bibliografiacutea [14 30 32]

222 Algoritmo de Enjambre de Partiacuteculas

Los algoritmos de enjambre de partiacuteculas o PSO por sus siglas en ingleacutes (Particle Swarm Optimization) son teacutecnicas de optimizacioacuten estocaacutesticas basadas en poblaciones e inspiradas en los movimientos de los enjambres de algunos animales Estos meacutetodos se atribuyen originalmente a los investigadores Kennedy Eberhart [34] y Shi [62]

Eacutesta teacutecnica permite optimizar un problema a partir de una poblacioacuten de soluciones candidatas denotadas como partiacuteculas moviendo eacutestas por todo el espacio de buacutesqueda seguacuten reglas matemaacuteticas que tienen en cuenta la posicioacuten y la velocidad de las partiacuteculas El movimiento de cada partiacutecula se ve influido por su mejor posicioacuten local hallada hasta el momento asiacute como por las mejores posiciones globales encontradas por otras partiacuteculas a medida que recorren el espacio de buacutesqueda El fundamento teoacuterico de eacuteste algoritmo es hacer que el enjambre de partiacuteculas converja raacutepidamente hacia las mejores soluciones Al tratarse de una teacutecnica metaheuriacutestica no garantiza la obtencioacuten de una solucioacuten oacuteptima en todos los casos puesto que asume pocas o ninguna hipoacutetesis sobre el problema a optimizar y puede aplicarse en grandes espacios de soluciones candidatas

En lo relacionado con la aplicacioacuten de eacutestos meacutetodos en la teoriacutea de traacutensito vehicular encontramos que [64] dio solucioacuten a la deteccioacuten oportuna de incidentes de traacutensito vehicular usando un algoritmo tipo PSO y [1] propone un sistema de control de coordinacioacuten para el traacutensito en redes viales urbanas

223 Algoritmos Geneacuteticos

En 1975 John Holland presenta su trabajo titulado laquoAdaptation in Natural and Artificial Systemsraquo [31] a partir del cual se empieza a construir el estudio de los algoritmos geneacuteticos surgiendo asiacute una de las liacuteneas maacutes prometedoras de la inteligencia artificial Son llamados algoritmos geneacuteticos porque se inspiran en la evolucioacuten bioloacutegica y su base geneacutetico-molecular Estos algoritmos hacen evolucionar una poblacioacuten de individuos sometieacutendola a acciones aleatorias semejantes a las que actuacutean en la evolucioacuten bioloacutegica (mutaciones y recombinaciones geneacuteticas) asiacute como tambieacuten a una seleccioacuten de acuerdo con alguacuten criterio en funcioacuten del cual se decide cuaacuteles son los individuos maacutes adaptados que sobreviven y cuaacuteles los menos aptos que son descartados

Un algoritmo geneacutetico es un meacutetodo de buacutesqueda dirigida basada en probabilidad Bajo una condicioacuten muy deacutebil que el algoritmo mantenga elitismo ie que mantenga siempre al mejor elemento de la poblacioacuten sin hacerle ninguacuten cambio se puede demostrar que el algoritmo converge al oacuteptimo en otras palabras al aumentar el nuacutemero de iteraciones la probabilidad de tener el oacuteptimo en la poblacioacuten tiende a uno

Muchos son los autores que han aplicado los conocimientos de eacutesta aacuterea para el modelado pero sobre todo para la optimizacioacuten del flujo de traacutensito vehicular por mencionar algunos en [68] se propone un modelo para la optimizacioacuten de la coordinacioacuten de las sentildeales de traacutensito en las intersecciones de las carreteras basado en algoritmos geneacuteticos por su parte [22] presenta un algoritmo geneacutetico como una posible solucioacuten para el problema de la coordinacioacuten de las luces de traacutensito En [9] presenta un algoritmo geneacutetico auto-adaptativo para dar solucioacuten al problema del re-enrutamiento del flujo de traacutensito vehicular en una red de carreteras

Capiacutetulo III Marco teoacuterico

31 Enfoque global

En eacuteste tipo de modelos el flujo de vehiacuteculos en una viacutea se concibe como un flujo compresible de un fluido descrito por variables macroscoacutepicas asociadas al comportamiento colectivo del sistema Se requiere de un nuacutemero grande de vehiacuteculos circulando en la carretera de manera que hablar de variables como la densidad la velocidad promedio y algunas otras que proporcionen una medida significativa del comportamiento del flujo

Los modelos macroscoacutepicos estaacuten restringidos a la descripcioacuten de variables colectivas es decir variables que no distinguen a cada vehiacuteculo y que reflejan cantidades promediadas

Al describir el flujo de traacutensito de manera anaacuteloga a como sucede en los liacutequidos o gases en movimiento en ocasiones se les llama modelos hidrodinaacutemicos [65] Sus principales variables de estudio son la densidad de traacutensito ρ(x t) el flujo ɸ(x t) y la velocidad promedio v(x t) sin embargo no son las uacutenicas El nuacutemero de variables a tomar en cuenta en el modelado dependeraacute de la informacioacuten que se tenga disponible y del grado de detalle con que se quiera describir el problema y la solucioacuten

En la literatura se han desarrollado modelos de diferentes tipos que consideran variables distintas en su descripcioacuten lo importante es poder verificar la consistencia de sus resultados y su poder predictivo

Los fundamentos matemaacuteticos de todos los modelos macroscoacutepicos de flujo de traacutensito vehicular consisten baacutesicamente en la relacioacuten hidrodinaacutemica descrita en la ecuacioacuten (7) y la ecuacioacuten de continuidad la cual describe la evolucioacuten temporal de la densidad en funcioacuten de la diferencia de flujos La velocidad macroscoacutepica de los vehiacuteculos estaacute definida de forma que satisfaga dicha relacioacuten hidrodinaacutemica y la ecuacioacuten de continuidad es derivada directamente de la conservacioacuten del flujo de vehiacuteculos Por lo tanto ambas ecuaciones son ecuaciones de paraacutemetros libres y se mantienen para cualquier modelo macroscoacutepico arbitrario

A pesar de que los modelos macroscoacutepicos tienen base en la dinaacutemica de fluidos es necesario tomar en cuenta la existencia de diferencias esenciales entre el flujo de vehiacuteculos y el flujo de liacutequidos o gases

1 En un fluido cada partiacutecula es isotroacutepica y reacciona a estiacutemulos de las demaacutes partiacuteculas que lo rodean mientras que un vehiacuteculo se considera anisoacutetropo y responde soacutelo a estiacutemulos de los vehiacuteculos en frente suyo

2 La ley de conservacioacuten del momento se mantiene para fluidos pero no para traacutefico vehicular

3 El nuacutemero de vehiacuteculos es mucho menor que el nuacutemero de partiacuteculas en un fluido 4 Un vehiacuteculo es un sistema vivo dado que el conductor tiene personalidad propia y eacutesta se

mantiene praacutecticamente sin cambios durante su trayecto

5 No pueden existir automoacuteviles con velocidad negativa

De acuerdo con Aw y Rascle [1] todo buen modelo macroscoacutepico de flujo de traacutensito vehicular necesita reunir al menos la siguiente lista de requerimientos

1 El sistema debe ser hiperboacutelico (Sistemas Hiperboacutelicos de Leyes de Conservacioacuten) 2 Las velocidades de propagacioacuten de las ondas en cualquier solucioacuten de cualquier problema

debe de ser a lo maacutes igual a la velocidad promedio 3 Frenar debe de producir ondas de choque cuya velocidad de propagacioacuten debe de ser

negativa o no-negativa mientras que acelerar debe de producir ondas de rarefaccioacuten (proceso por el que un cuerpo o sustancia se hace menos denso) lo cual en cualquier caso satisface la condicioacuten anterior

La condicioacuten 1 refiere a que los vehiacuteculos no pueden ser creados ni destruidos La condicioacuten 2 debate la existencia de caracteriacutesticas maacutes raacutepidas que el traacutensito La condicioacuten 3 es sugerida de la observacioacuten directa del traacutensito real y refiere a la existencia de un tiempo de reaccioacuten de los conductores ante eventos frente y detraacutes de ellos

32 Modelo Baacutesico

Primero vamos a considerar que el flujo de vehiacuteculos ocurre a lo largo de una carretera y que soacutelo tenemos un carril donde los vehiacuteculos avanzan en una direccioacuten de manera que realmente tenemos un problema unidimensional y unidireccional Ademaacutes consideramos que la carretera en cuestioacuten es un circuito cerrado donde hay un nuacutemero fijo de vehiacuteculos En este caso prestamos atencioacuten a la densidad y las condiciones del problema nos permiten escribir que

Nuacutemero total de vehiacuteculos = 120588(119909 119905)119889119909 = 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 (1)

Con el objeto de pasar a una ecuacioacuten de evolucioacuten para la densidad consideremos un tramo de la carretera situado entre [l1 l2] el cambio temporal estaraacute dado por

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

El nuacutemero de carros por unidad de tiempo que entran en l1 menos el nuacutemero de carros por unidad de tiempo que salen de l2 es decir el flujo de automoacuteviles en el tramo l1-l2 El nuacutemero de vehiacuteculos por unidad de tiempo que salen o entran de un tramo de carretera es el flujo por lo tanto la ecuacioacuten (2) la podemos reescribir como

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

Si suponemos que el flujo vehicular es una funcioacuten lo suficientemente regular como para aplicar el teorema fundamental de caacutelculo tendremos que

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

Esto es vaacutelido para cualquier tramo de carretera y para cualquier 119905 gt 0 por lo que se cumple

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

Que es la bien conocida ecuacioacuten de continuidad Cabe notar que la ecuacioacuten (5) es vaacutelida cuando hay conservacioacuten de la cantidad que la satisface en este caso la densidad Se puede extender la definicioacuten anterior al caso cuando hay fuentes de entrada y salidas de vehiacuteculos

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

Donde 120601119894119899 y 120601119900119906119905 corresponden al nuacutemero de vehiacuteculos por unidad de tiempo que entran y salen al carril en estudio en la posicioacuten x al tiempo t hay que considerar que estas cantidades deben de tomarse como datos y no estaacuten determinadas por la dinaacutemica del sistema

Para la ecuacioacuten (1) de densidad dada podemos observar que la velocidad promedio interviene expliacutecitamente dado que el flujo estaacute dado por

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

Las ecuaciones modeladas son ecuaciones en derivadas parciales y ademaacutes contienen teacuterminos no lineales esto implica que debemos estudiar las caracteriacutesticas de estas ecuaciones y los meacutetodos numeacutericos que permitan obtener una solucioacuten adecuada

Podemos clasificar a los modelos de acuerdo con el nuacutemero de variables a considerar durante el estudio siendo los modelos de primer orden aquellos que soacutelo consideran a la densidad como variable relevante y los que consideran a la densidad y la velocidad promedio se les denominan modelos de segundo orden o modelos tipo Navier-Stokes Asimismo los modelos que consideran un nuacutemero mayor de variables les podemos llamar ldquomodelos de orden superiorrdquo

33 Modelos de primer orden

Los modelos que se presentan a continuacioacuten son modelos de primer orden es decir incluyen una ecuacioacuten constitutiva que nos dice como variacutea la velocidad promedio con la densidad esto con el objetivo de cerrar la ecuacioacuten de continuidad que acabamos de describir

331 Modelo de Lighthill-Whitham-Richards (LWR)

En el modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR) publicado en 1955 se incluye la ecuacioacuten de Greenshields como ecuacioacuten constitutiva para el flujo vehicular

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

Siendo 119881119898119886119909 la maacutexima velocidad permitida en la carreteta y 120588119898119886119909 la maacutexima densidad los valores tiacutepicos para estas variables son 119881119898119886119909 = 120 kmh y la densidad 120588119898119886119909 en el intervalo de 140 - 160 vehiacuteculoskm La ecuacioacuten de Greenshields representa de manera cualitativa las caracteriacutesticas que se han observado en el flujo vehicular como la de tomar el maacuteximo valor a densidades bajas y el miacutenimo valor a densidades altas Tambieacuten esta ecuacioacuten nos dice que el flujo es funcioacuten de (119909 119905) soacutelo a traveacutes de la densidad

Al realizar la sustitucioacuten de la ecuacioacuten constitutiva (8) en la ecuacioacuten de continuidad (5) obtendremos la siguiente ecuacioacuten

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

Si hacemos un cambio lineal en la ecuacioacuten (9) en la escala de densidad 120588 = 120588119898119886119909 1minus120588prime

tomamos variables adimensionales 119909prime = 120588119898119886119909119909 119905prime = 120588119898119886119909119881119898119886119909119905 obtendremos la ecuacioacuten de Burgers sin viscosidad

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

Este modelo presenta ondas de choque es decir un aumento muy apreciable de la densidad en un intervalo muy corto de longitud Esta caracteriacutestica no es deseable en los modelos de traacutensito sobre todo porque los datos experimentales no muestran esas propiedades En los datos reales podemos apreciar la formacioacuten de cuacutemulos y embotellamientos pero no ocurren de manera espontaacutenea Esto significa que el modelo que estamos trabajando no arroja resultados realistas y por lo tanto no es una buena representacioacuten de nuestro problema

332 Modelo de Lighthill-Whitham con difusioacuten (LWD)

Considera una modificacioacuten para evitar la aparicioacuten de la onda de choque en el modelo LWR En 1974 Lighthill eligioacute una ecuacioacuten constitutiva diferente

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

Donde 119863 es una constante positiva llamada coeficiente de difusioacuten La sustitucioacuten directa de la nueva ecuacioacuten constitutiva (11) en la ecuacioacuten de continuidad (5) nos lleva a

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

Se puede observar que la estructura no lineal de la ecuacioacuten de Burgers persiste pero ahora hay un teacutermino en segundas derivadas de la densidad que asemeja a un teacutermino de difusioacuten usual Eacutesta es la ecuacioacuten de Burgers usual que tambieacuten se puede escribir en teacuterminos de variables

adimensionales tomando 120588 = 120588119898119886119909 1minus120588prime

2 119909prime = 120588119898119886119909119909 119905prime = 120588119898119886119909119881119898119886119909119905 y el coeficiente de

difusioacuten adimensional queda como 119863prime = 120588119898119886119909119881119898119886119909

119863 Con lo cual la ecuacioacuten queda en forma

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

333 Modelo de Nelson

El modelo de Nelson toma como punto de partida el modelo LWD pero eacuteste a su vez modifica el coeficiente de difusioacuten con el objetivo de lograr la descripcioacuten de laquoflujo sincronizadoraquo el cual es la transicioacuten entre los dos sistemas de traacutensito el flujo libre y el flujo congestionado La manera maacutes simple de entender el concepto se tiene si consideramos una carretera con dos carriles ambos en la misma direccioacuten de circulacioacuten Bajo ciertas condiciones de densidad alta sucede que los vehiacuteculos van con velocidad constante aunque diferente en cada carril Esta situacioacuten representa una sincronizacioacuten entre ambos carriles que ademaacutes no permite que los vehiacuteculos cambien de carril Cuando solamente se tiene un carril de circulacioacuten necesitamos tomar un sistema de referencia que se mueva con la velocidad promedio de los vehiacuteculos y entonces veremos que hay un frente inmoacutevil todo ello a densidad alta

Nelson usoacute un coeficiente de difusioacuten dependiente de la densidad en particular la ecuacioacuten constitutiva que es necesaria para cerrar la ecuacioacuten depende de la densidad evaluada en posicioacuten y tiempo desplazados

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

Donde 119879 es un tiempo de reaccioacuten en que los conductores tratan de ajustar su velocidad en cualquier posicioacuten al tiempo 119905 de manera que 119879 es en realidad un tiempo de retraso en la respuesta Por otra parte los conductores tratan de compensar dicho retraso ajustando la densidad a una cierta distanciacedil adelante de su posicioacuten 119909 (distancia de anticipacioacuten) Tanto 119879 como 120582 se consideran cantidades pequentildeas y se desarrolla en serie de manera que el coeficiente de difusioacuten queda de la forma

119863(120588) = minus120582120588119881prime(120588) minus 1198791205882[119881prime(120588)]2 (15)

La cantidad 119881prime(120588) es la derivada de la velocidad dada por el diagrama 119881119890(120588) minus 120588 respecto de la densidad y es negativa Su principal problema es que eacuteste coeficiente de difusioacuten puede ser negativo para valores de densidad menores que la maacutexima El valor preciso depende del diagrama fundamental que se utilice cualitativamente esto significa que a partir de ciertas densidades el conductor compensa maacutes de lo necesario

334 Modelo de Jordan

En el modelo de Jordan se corrige una de las principales fallas de los modelos de primer orden expuestos anteriormente al tomar como punto de partida la ecuacioacuten de continuidad (5) e introducir una ecuacioacuten constitutiva las sentildeales se propagan con rapidez infinita esto es una perturbacioacuten en el flujo se siente al mismo tiempo en todas las posiciones de la carretera En el aacutembito del traacutensito vehicular significa que los conductores reaccionan instantaacuteneamente ante los cambios que se presentan a cualquier distancia delante de ellos

Este aspecto se ha hecho notar en la literatura y se ha propuesto una correccioacuten a la ecuacioacuten constitutiva (5) para el flujo que incluye un tiempo de reaccioacuten para los conductores

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

Quedando la ecuacioacuten para la densidad de la forma

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

Eacutesta ecuacioacuten se conoce como ldquoecuacioacuten hiperboacutelica de Burgers (HBE)rdquo en la cual 1198790 es el tiempo de reaccioacuten de los conductores

La introduccioacuten del tiempo de reaccioacuten tiene como consecuencia el hecho de que ahora el coeficiente de difusioacuten es 119863 gt 0 y constante la velocidad de las sentildeales ya es finita y estaacute determinada por el coeficiente de difusioacuten y el tiempo de reaccioacuten Desde el punto de vista matemaacutetico la introduccioacuten de este tiempo cambia de manera fundamental la estructura de la ecuacioacuten ya que ahora en lugar de una ecuacioacuten tiacutepica de la difusioacuten es una ecuacioacuten de onda

34 Modelos de segundo orden

Los modelos de segundo orden consideran tanto a la densidad 120588(119909 119905) como a la velocidad 119907(119909 119905) entre las variables relevantes en la descripcioacuten Nuevamente la ecuacioacuten de continuidad (5) seguiraacute siendo vaacutelida sin embargo a diferencia con los modelos de primer orden ahora necesitamos una ecuacioacuten diferencial adicional que nos permita describir la dinaacutemica de ambas variables Esto significa que ademaacutes de la ecuacioacuten de continuidad tendremos una ecuacioacuten para la velocidad y eacutesta debemos proponerla o bien deducirla a partir de un modelo cineacutetico Los modelos de segundo

orden han pasado por varias etapas pero comparten la similitud con la ecuacioacuten de Navier-Stokes en la dinaacutemica de fluidos en reacutegimen compresible

341 Modelo de Kerner-Konhaumluser

El modelo de Kerner-Konhaumluser (modelo K) considera la ecuacioacuten de continuidad (5) para la densidad y en lugar de la ecuacioacuten constitutiva para el flujo ɸ propone una ecuacioacuten dinaacutemica para eacutel de esta forma se tiene que

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

donde 120578 gt 0 es constante y juega un papel semejante a la viscosidad volumeacutetrica en flujo compresible a su vez 120591 gt 0 es un tiempo de relajamiento en el cual los conductores tratan de ajustar su velocidad La ecuacioacuten (18) tambieacuten se puede escribir en la forma

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

La cual tiene similitud con la ecuacioacuten de Navier-Stokes en la dinaacutemica de flujo compresible En la ecuacioacuten (19) la cantidad 119979(119909 119905) se conoce con el nombre de ldquopresioacuten de traacuteficordquo por su semejanza con el tensor de presiones Ademaacutes el modelo K propone que la presioacuten de traacutefico se escriba en la forma

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

Donde Θ0 es la varianza que en eacuteste caso se propone como Θ(119909 119905)0 = Θ0 = 11988802 = 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 gt 0 Si reescribimos las ecuaciones (19) y (20) podemos ver que la ecuacioacuten para la velocidad promedio es

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

En la cual de igual manera se puede apreciar su similitud con la ecuacioacuten de Navier-Stokes

Debemos recordar que ademaacutes debemos tomar en cuenta la ecuacioacuten (5) para la densidad de manera que las ecuaciones (19) y (21) estaacuten acopladas y no son lineales Evidentemente la solucioacuten seraacute numeacuterica En la solucioacuten se puede observar que la densidad y velocidad estaacuten muy relacionadas ya que a una densidad alta corresponde una velocidad baja mientras que por el contrario a una densidad baja corresponde una velocidad alta

Ademaacutes al transcurrir el tiempo el perfil de densidad adquiere un maacuteximo pronunciado Es conocido que este modelo presenta algunas dificultades para ciertos valores de los paraacutemetros resultando densidades mayores que la maacutexima y velocidades negativas

35 Modelos de orden superior

Los modelos de orden superior al segundo los llamamos modelos de orden superior el modelo de Helbing (H) que describiremos en esta seccioacuten pertenece a dicho conjunto debido a que considera tres variables relevantes en la descripcioacuten El modelo H se propuso para superar las dificultades mencionadas antes para el modelo K Entonces se tomoacute en cuenta a la varianza como variable relevante y se propuso una ecuacioacuten dinaacutemica para determinar su comportamiento Evidentemente dicha propuesta necesita de paraacutemetros adicionales y datos obtenidos a partir del comportamiento empiacuterico

El modelo H contiene a las variables (120588119881Θ) y por lo tanto se tienen tres ecuaciones acopladas no lineales para ellas Ademaacutes de una ecuacioacuten para la varianza el modelo H contiene en sus paraacutemetros al tamantildeo de los vehiacuteculos y un tiempo relacionado con el avance del conductor

Las ecuaciones correspondientes a eacuteste modelos son

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

Se puede apreciar que estas ecuaciones tienen la estructura de la dinaacutemica de fluidos donde ademaacutes de las ecuaciones de la densidad y la velocidad se considera la temperatura Es importante notar que a pesar de la analogiacutea la presencia de teacuterminos anaacutelogos no significa que se tenga el mismo significado Al igual que antes 119979 denota a la presioacuten de traacutefico y 119973 corresponde al equivalente del flujo de calor y es una medida de la asimetriacutea en la estructura de la funcioacuten de distribucioacuten de velocidades

Para el modelo H se tienen las expresiones siguientes

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

Que corresponden a los coeficientes que intervienen en la presioacuten de traacutefico y en 119973 Las cantidades 1205780 1205820 son constantes y 119904(119881) = 119897 + 119881Δ119879 es una correccioacuten que toma en cuenta el tamantildeo de los vehiacuteculos l es su longitud y Δ119879 es un tiempo relacionado con el avance del conductor Por otra parte para la varianza que corresponde al estado homogeacuteneo y estacionario Θ119890(120588119881)

36 Aproximacioacuten numeacuterica

Se estudia la aproximacioacuten numeacuterica de los modelos de primer orden para traacutefico vehicular Se presenta la aproximacioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten de adveccioacuten por medio de esquemas de diferencias finitas y se analiza el error de truncamiento que se introduce al discretizar las ecuaciones

A continuacioacuten se presenta coacutemo modificar estos esquemas para aproximar ecuaciones conservativas y se aplican a un problema de traacutefico vehicular cuando se usan distintos modelos de primer orden

361 Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten de adveccioacuten

Consideacuterese el siguiente problema lineal de adveccioacuten con condiciones iniciales

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

= 0minusinfin lt 119909 lt infin 119905 gt 0 (27)

119906(119909 0) = 120593(119909)minusinfin lt 119909 lt infin

Esta es la ecuacioacuten hiperboacutelica de primer orden maacutes sencilla que se puede tener sin embargo su aproximacioacuten numeacuterica presenta varias dificultades que a continuacioacuten se analizan Los meacutetodos que se usaraacuten son meacutetodos de diferencias finitas que consisten en aproximar las derivadas parciales de primer orden por medio de cocientes El primer paso para aplicar estos meacutetodos es acotar la regioacuten donde se va aproximar la solucioacuten Supoacutengase que se selecciona un intervalo [119886119887] isin ℝ despueacutes de analizar la ecuacioacuten y de decidir que lo que pasa con la solucioacuten en la regioacuten que se estaacute despreciando no cambia mucho el comportamiento global de eacutesta Al acotar la regioacuten se debe

imponer una condicioacuten de frontera acorde con el problema a resolver que pueden ser tipo Dirichlet como 119906(119886 119905) = 120572 o condiciones de frontera perioacutedicas 119906(119886 119905) = 119906(119887 119905)

El segundo paso es discretizar las variables temporales y espaciales Dado 119879 gt 0 sean 119873 y 119872 dos

nuacutemeros naturales y sean ∆119905 = 119879119872

y ℎ = (119887minus119886)119873

Asociados a estas cantidades definimos los siguientes puntos 119905119895 = 119895∆119905 para 119895 = 01 hellip 119872 y 1199090 = 119886 119909119894 = 119886 + 119894ℎ con 119894 = 1 hellip 119873 Si u es solucioacuten del problema anterior entonces para cada 119909119894 119905119895 u satisface

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

La aproximacioacuten numeacuterica del problema anterior en una regioacuten acotada consiste en determinar 119880119894119895 asymp 119906119909119894119905119895 para 119894 = 01 hellip 119873 y 119895 = 1 hellip 119872 Los esquemas de diferencias utilizan la serie de

Taylor para aproximar las derivadas parciales la precisioacuten del esquema depende del nuacutemero de teacuterminos de la serie que se usen Los maacutes sencillos son los expliacutecitos que se obtienen al discretizar la derivada parcial respecto al tiempo por el siguiente cociente

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

La forma en la que se discretice el teacutermino espacial daraacute lugar a distintos meacutetodos expliacutecitos El maacutes sencillo es el siguiente esquema

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

Denotamos por 119880 119895 = 1198801119895 hellip 119880119873

119895 en el caso de imponer condiciones de tipo Dirichlet en 1199090 el sistema a resolver para cada 119895 = 1 hellip 119872 es el siguiente con 119880 0

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119894 = 1 hellip 119873 (31)

Al discretizar las derivadas se introduce un error (error de truncamiento) que se puede estimar a traveacutes de la Serie de Taylor Ilustremos la forma en que se calcula aplicaacutendolo al esquema anterior Sea u la solucioacuten exacta del problema en una regioacuten acotada y asumamos que sus derivadas parciales de segundo orden son continuas entonces

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

Al substituir u y usar el hecho que es solucioacuten de la ecuacioacuten se obtiene

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

Entonces se define como error de truncamiento en el punto 119909119894 119905119895 y que se denotaraacute por 119864119879119894119895 a todo

el lado derecho de la anterior expresioacuten Dado que las derivadas parciales de segundo orden de u estaacuten acotadas el valor absoluto del error de truncamiento del esquema numeacuterico es aproximadamente

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

Definicioacuten Se dice que un meacutetodo de diferencias finitas es de orden p si existen constantes C y D mayores que cero que satisfacen que el error de truncamiento para cualquier punto 119909119894 119905119895 de la discretizacioacuten

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

Definicioacuten Se dice que un meacutetodo de diferencias finitas es consistente si para cualquier discretizacioacuten el valor absoluto del error de truncamiento 119864119879

119894119895 tiende a cero cuando ∆119905 y h tienden a cero

362 Meacutetodo de diferencias finitas

El meacutetodo de diferencias finitas es un meacutetodo numeacuterico de caraacutecter general que permite la resolucioacuten aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en dominios finitos Es de una gran sencillez conceptual y constituye un procedimiento muy adecuado para la resolucioacuten de una ecuacioacuten bidimensional como la ecuacioacuten (27) A continuacioacuten se definen diferentes esquemas de aplicacioacuten del meacutetodo de diferencias finitas

Euler hacia adelante

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119895 minus 119880119894minus1119895 minus

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

En teoriacutea de grafos una red de flujo o una red de transporte es un grafo dirigido donde cada arista tiene asociada una capacidad maacutexima que no puede ser excedida y cada nodo tiene flujos de entrada (positivos) y flujos de salida (negativos) En todo momento se debe satisfacer la restriccioacuten que la cantidad de flujo que entra en un nodo debe ser la misma que sale de eacuteste las uacutenicas excepciones son los nodos de origen los cuales pueden tener maacutes flujo de salida y los nodos de destino los cuales pueden tener maacutes flujo de entrada

En la literatura las redes de flujo se utilizan principalmente para modelar el flujo de traacutensito en un sistema de carreteras redes de comunicacioacuten fluidos en tuberiacuteas corrientes eleacutectricas en circuitos eleacutectricos entre otros

Se puede describir matemaacuteticamente a una red de flujo de la siguiente manera

Sea 119866 = (119881119864) un grafo dirigido en el cual cada arista (119906 119907) isin 119864 tiene una capacidad no-negativa 119888(119906119907) ge 0 y sea s el nodo de origen y t el nodo de destino

El flujo en G es la funcioacuten 119891119881 times 119881 rarr ℝ con las siguientes propiedades para todos los nodos u y v

Restriccioacuten de capacidad 119891(119906 119907) le 119888(119906119907)

Simetriacutea 119891(119906119907) = minus119891(119907119906)

Conservacioacuten de flujo sum 119891(119906119908) = 0119908isin119881minus119904119905

Otro concepto importante es la capacidad residual definida como la capacidad de flujo adicional para una arista una vez que una determinada cantidad de flujo ya estaacute siendo transportada a traveacutes

de eacutesta 119888119891 = 119888(119906119907) minus 119891(119906119907) A partir de eacuteste concepto se da la definicioacuten de red residual denotada como 119866119891119881119864119891 que representa la cantidad de capacidad de flujo disponible en la red

Un camino aumentado es un camino (11990611199062⋯ 119906119896) en la red residual donde 1199061 = 119904 119906119896 = 119905 y 119888119891(1199061119906119894+1) gt 0 Se dice que una red ha alcanzado su maacutexima capacidad de flujo una vez que ya no sea posible obtener caminos aumentados en la red residual 119866119891

Para construir la red residual 119866119891 del grafo G se sigue el siguiente procedimiento

Pseudocoacutedigo Nodos de Gf = V Aristas de Gf = Ef donde Ef se define como

PARA TODA arista (x y) isin E Si f(x y) lt 119888(x y) entonces (x y) isin Ef cf = c(x y) minus f(x y) Si f(x y) gt 0 entonces (y x) isin Ef cf = f(x y)

371 Flujo maacuteximo

El problema consiste en determinar la maacutexima capacidad de flujo que puede ser transportado a traveacutes de la red a partir del nodo origen y salir por el nodo de destino sin violar ninguna restriccioacuten de capacidad El procedimiento para conocer el flujo maacuteximo de una red consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria del nodo origen al nodo destino y asignar el flujo maacuteximo posible en esa trayectoria

En la literatura podemos encontrar algunos algoritmos que calculan el flujo maacuteximo de una red como son los algoritmos de Ford-Fulkerson Edmonds-Karp y Goldberg-Tarjan

372 Algoritmo FordndashFulkerson

Eacuteste algoritmo fue disentildeado por L R Ford Jr y D R Fulkerson en el antildeo 1956 para calcular el flujo maacuteximo en una red de transporte eacuteste algoritmo tiene una complejidad 119874(119881119864119888119898119886119909)

La idea principal del algoritmo consiste en mientras exista un camino del nodo de origen al nodo de destino con capacidad en todas las aristas de ese camino mandar flujo a traveacutes de eacutel Despueacutes volver a buscar otro camino con las mismas caracteriacutesticas y volver a mandar la mayor cantidad de flujo posible a traveacutes de eacutel Asiacute sucesivamente hasta que ya no exista alguacuten otro camino posible Un camino que cuenta con capacidad para transportar flujo se denomina camino aumentado

Pseudocoacutedigo PARA TODA arista (u v) f(u v) larr 0 MIENTRAS exista un camino p del nodo origen s al nodo destino t en Gf tal que cf(u v) gt 0 PARA TODAS las aristas (u v) isin p

Encontrar cf(p) = mincf(u v) (u v) isin p PARA TODA arista (u v) isin p

f(u v) larr f(u v) + cf(p) ie enviar flujo a traveacutes del camino f(v u) larr f(v u) minus cf(p) ie el flujo que podraacute regresar despueacutes

373 Algoritmo Edmonds-Karp

Eacuteste algoritmo es una implementacioacuten del algoritmo Ford-Fulkerson para caacutelculo del flujo maacuteximo en redes con complejidad 119874(1198811198642) El algoritmo fue publicado por primera vez por el cientiacutefico sovieacutetico Yefim Dinic en 1970 e independientemente por Jack Edmonds y Richard Karp en 1972

El algoritmo es ideacutentico al algoritmo de Ford-Fulkerson excepto porque se tiene un orden definido para buscar los caminos aumentados El camino encontrado debe ser el camino maacutes corto con capacidad disponible esto se puede encontrar mediante una buacutesqueda en anchura (Breadth-first search BFS)

Pseudocoacutedigo PARA TODA arista (u v) f(u v) larr 0 Hacer buacutesqueda en anchura (BFS) para encontrar un camino p del nodo origen s al nodo destino t en Gf tal que cf(u v) gt 0 PARA TODAS las aristas (u v) isin p

38 Optimizacioacuten

En matemaacuteticas ciencias de la computacioacuten ciencias administrativas etc la optimizacioacuten matemaacutetica (o programacioacuten matemaacutetica) es la eleccioacuten del mejor elemento de un conjunto de elementos disponibles con respecto a alguacuten criterio

En el caso maacutes simple un problema de optimizacioacuten consiste en maximizar o minimizar una funcioacuten de variables reales eligiendo sistemaacuteticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y calculando el valor de la funcioacuten La generalizacioacuten de las teacutecnicas y meacutetodos de optimizacioacuten forman parte de un aacuterea grande de las matemaacuteticas aplicadas De forma general la optimizacioacuten incluye el descubrimiento de los laquomejores valoresraquo de alguna funcioacuten objetivo dado un dominio definido incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios

Antes de describir la teoriacutea concerniente a los meacutetodos de optimizacioacuten es necesario conocer la herramienta matemaacutetica que eacutestos usan los conceptos fundamentales en los cuales sustentan su funcionamiento asiacute como los principales operadores de los que hacen uso

381 Conceptos matemaacuteticos

En eacutesta seccioacuten describimos brevemente algunas de las principales herramientas matemaacuteticas que emplean los meacutetodos de optimizacioacuten matemaacutetica para la buacutesqueda de los valores maacuteximos yo miacutenimos de las funciones objetivo

3811 Conjunto de nivel

Un conjunto de nivel es el conjunto de curvas que conectan los puntos en los que una funcioacuten de varias variables tiene un mismo valor constante Esas curvas son uacutetiles para la representacioacuten de maacutes de dos dimensiones (o cantidades) en graacuteficos bidimensionales

Un conjunto de nivel se define matemaacuteticamente como un conjunto 119867 y 119891119867 rarr ℝ es un campo escalar sobre 119867 El conjunto de nivel 119862119896 para la funcioacuten 119891 es el subconjunto de puntos 119909 en 119867 para los cuales 119891(119909) = 119896 es decir 119862119896 = 119909 isin 119867|119891(119909) = 119896 Dada su definicioacuten es posible que un conjunto de nivel pueda coincidir con el conjunto vaciacuteo

Si 119867 = ℝ2 los conjuntos de nivel son curvas y se les llama curvas de nivel curvas de contorno o isoliacuteneas En la figura 1 se muestra un ejemplo de las isoliacuteneas de una funcioacuten

Figura 1 Ejemplo de curvas de nivel para una funcioacuten

Si 119867 = ℝ3 los conjuntos de nivel son superficies y se les llama isosuperficies o superficies de nivel En la figura 2 se muestra un ejemplo de las isosuperficies de una funcioacuten

Figura 2 Ejemplo de isosuperficies o superficies de nivel

Para dimensiones mayores no se cuenta con una representacioacuten graacutefica de estos conjuntos y las superficies obtenidas se conocen como hipersuperficies de nivel

Si el conjunto 119867 coincide con ℝ119899 y el campo escalar 119891 es de clase 1198621 entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel de la siguiente manera Sea 119862119896 un conjunto de nivel y 119888 119868 sub ℝ rarr 119862119896 una curva diferenciable Los vectores gradiente del campo 119891 sobre la curva son ortogonales a los vectores velocidad de la curva En efecto para todo 119905 en 119868 se cumple que

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

Derivando respecto de 119905 se obtiene

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

Como se observa en la figura 3 las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de 119891 son ortogonales a los conjuntos de nivel asociadas a dicha funcioacuten En fiacutesica estas curvas integrales se las suele llamar liacuteneas de campo o liacuteneas de fuerza seguacuten el contexto

Figura 3 Curvas integrales paralelas a las curvas de nivel de la funcioacuten

Si la funcioacuten 119891 es diferenciable el gradiente de 119891 en un punto 1198830 es cero o perpendicular al conjunto de nivel de 119891 en ese punto

Cuando las isoliacuteneas estaacuten muy cerca unas de otras la longitud del gradiente es grande y la variacioacuten aumenta abruptamente Si las isoliacuteneas adyacentes tienen el mismo grosor de liacutenea la direccioacuten del gradiente no puede determinarse y por ello se emplean diferentes grosores o se rotulan o etiquetan numeacutericamente de este modo la direccioacuten del gradiente puede ser faacutecilmente apreciada

3812 Gradiente

En caacutelculo vectorial el gradiente nabla119891 de un campo escalar 119891 es un campo vectorial El vector gradiente de 119891 evaluado en un punto geneacuterico 119909 del dominio de 119891 nabla119891(119909) indica la direccioacuten en la cual el campo 119891 variacutea maacutes raacutepidamente y su moacutedulo representa el ritmo de variacioacuten de 119891 en la direccioacuten de dicho vector gradiente El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar esto es

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

De forma geomeacutetrica el gradiente es un vector normal (o perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se estaacute estudiando llaacutemese (119909 119910) (119909119910 119911) (119905119894119890119898119901119900 119905119890119898119901119890119903119886119905119906119903119886) etceacutetera El gradiente tiene propiedades importantes que han sido aprovechadas en diferentes meacutetodos de optimizacioacuten numeacuterica entre los que destacan Es ortogonal a las superficies equiescalares definidas por 120601 = 119888119905119890 Apunta en la direccioacuten en que la derivada direccional es maacutexima Su norma es igual a esta derivada direccional maacutexima Se anula en los puntos estacionarios maacuteximos miacutenimos y puntos de silla

3813 Matriz hessiana

La matriz hessiana es la matriz cuadrada de las segundas derivadas parciales de una funcioacuten 119891 de 119899 variables Eacutesta matriz describe la curvatura local de la funcioacuten 119891

Dada una funcioacuten real 119891 de 119899 variables reales 119891(1199091 1199092 hellip 119909119899) si la todas las segundas derivadas de 119891 existen y son continuas sobre el dominio de la funcioacuten se define la matriz hessiana de 119891 como 119867119891(119909) donde

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

O bien en forma matricial como

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Una de las principales aplicaciones de la matriz hessiana es dentro de los meacutetodos tipo Newton para optimizacioacuten numeacuterica de problemas a gran escala Debido a que en la praacutectica es computacionalmente costoso calcular la matriz hessiana completa muchos meacutetodos cuasi-Newton (como el algoritmo BFGS [49]) han desarrollado aproximaciones de eacutesta

382 Meacutetodos de optimizacioacuten

En teacuterminos simples podemos decir que la optimizacioacuten consiste en intentar maximizar las caracteriacutesticas deseadas de un sistema mientras que al mismo tiempo se busca minimizar las no deseadas Dichas caracteriacutesticas y la forma en que se buscaraacute mejorarlas dependeraacute de cada sistema De manera maacutes formal podemos describir la optimizacioacuten como el proceso que consiste en encontrar el valor que maximice o minimice una funcioacuten 119891(119909) conocida como funcioacuten objetivo a partir de la eleccioacuten sistemaacutetica de valores de entrada tomados de un conjunto permitido (Dominio) En la praacutectica los sistemas maacutes complejos tienen propiedades que dependen de maacutes de una variable se dice entonces que su funcioacuten objetivo 119891(11990911199092 hellip 119909119863) tiene D paraacutemetros o variables que afectan a cada propiedad a optimizar En la literatura a las funciones objetivo cuyo valor se quiere minimizar se les denomina funciones de costo para el caso especial en el cual se busca que la funcioacuten objetivo a minimizar llegue a cero se le conoce como funcioacuten de error En contraste cuando se busca maximizar la funcioacuten objetivo a eacutesta se le designa con el nombre de funcioacuten de aptitud A pesar de no existir una uacutenica manera de clasificar las funciones objetivo es posible diferenciarlas por algunos de sus atributos a considerar para su optimizacioacuten Entre los principales atributos de las funciones objetivo podemos enlistar los siguientes

bull Cuantificacioacuten de paraacutemetros Eacuteste aspecto refiere al hecho de saber si las variables de la funcioacuten objetivo son continuas o discretas o incluso si son elementos de un conjunto finito definido Tambieacuten refiere al hecho de conocer si son del mismo tipo o no

bull Dependencia de paraacutemetros En eacuteste aacutembito es necesario responder a la pregunta de si se

pueden optimizar de manera independiente cada una de las variables de la funcioacuten objetivo (funcioacuten separable) o los valores de algunas de ellas dependen de los valores de otras (funcioacuten con variables dependientes)

bull Dimensionalidad Este atributo hace referencia a la cantidad de variables (D) por las cuales

estaacute definida la funcioacuten objetivo Otra interpretacioacuten que comuacutenmente se le da refiere a la cantidad de dimensiones en las cuales estaacute definido el problema

bull Modalidad Se dice que una funcioacuten objetivo es unimodal si eacutesta tiene un uacutenico miacutenimo o

maacuteximo local si por el contrario la funcioacuten objetivo tiene varios miacutenimos o maacuteximos locales se dice que la funcioacuten objetivo es multimodal En ocasiones no es posible conocer a priori este dato

bull Dependencia del tiempo Eacutesta caracteriacutestica hace referencia al hecho de conocer si el

oacuteptimo local encontrado permanece estacionario o es dinaacutemico es decir si dicho oacuteptimo cambia o permanece constante con el transcurso del tiempo

bull Restricciones Por medio de eacutesta propiedad podemos decir si la funcioacuten objetivo estaacute sujeta o no a condiciones de igualdad yo de desigualdad

bull Diferenciabilidad Eacuteste aspecto responde a las preguntas iquestEs diferenciable la funcioacuten en todos los puntos de intereacutes iquestEs soacutelo una o dos veces diferenciable en los puntos de intereacutes Como se veraacute maacutes adelante es deseable que estaacute propiedad se cumpla para poder aplicar alguacuten meacutetodo matemaacutetico de optimizacioacuten

Una vez conocidas o estudiadas las caracteriacutesticas del problema a optimizar el siguiente paso es elegir el meacutetodo de optimizacioacuten que maacutes se adecue a eacuteste En la tabla 2 se muestra una primera clasificacioacuten de los meacutetodos de optimizacioacuten con base en el nuacutemero de puntos o vectores que usan para explorar el espacio de posibles soluciones del problema Un segundo criterio que se utilizoacute para clasificar los meacutetodos de optimizacioacuten fue de acuerdo con si eacutestos hacen uso o no de meacutetodos matemaacuteticos que empleen el concepto de derivada para la buacutesqueda de maacuteximos o miacutenimos

Muchos de los algoritmos de optimizacioacuten necesitan comenzar a partir de un punto factible La factibilidad del problema consiste en encontrar dicho punto vaacutelido dentro del dominio del problema sin prestar mayor importancia al valor obtenido al evaluarlo en la funcioacuten objetivo Eacuteste puede ser considerado como el caso especial de la optimizacioacuten donde el valor de la funcioacuten objetivo es el mismo para toda solucioacuten y asiacute cualquier solucioacuten es oacuteptima

Punto uacutenico Multipunto

Buacutesqueda basada en la derivada

Descenso del gradiente Gradiente conjugado Meacutetodos del tipo Cuasi-

Newton

Teacutecnicas con inicio muacuteltiple Teacutecnicas de agrupamiento

Buacutesqueda directa (sin uso de derivada)

Camino aleatorio (Random Walk)

Hooke-Jeeves

Nelder-Mead Algoritmos evolutivos Algoritmos de evolucioacuten

diferencial Algoritmos geneacuteticos Heuriacutesticas

Tabla 2 Una clasificacioacuten de los meacutetodos de optimizacioacuten y algunos de sus meacutetodos maacutes representativos

Nota En los meacutetodos de optimizacioacuten multipunto no se realizoacute una distincioacuten entre los meacutetodos que actuacutean sobre varios puntos de forma paralela y los meacutetodos que lo hacen de forma secuencial

Una viacutea para obtener tal punto es relajar las restricciones del problema usando una o varias variables de holgura con suficiente holgura cualquier punto de partida llega a ser factible De eacutesta forma el siguiente paso consistiraacute en minimizar esas variables de holgura al punto de ser nulas (cero) o negativas Se denomina condiciones de primer orden o condiciones necesarias de optimalidad a la ecuacioacuten o al conjunto de ecuaciones indicando que las primeras derivadas son iguales a cero en un oacuteptimo local Para los meacutetodos de optimizacioacuten con base en la derivada los puntos candidatos a solucioacuten de los problemas de optimizacioacuten son encontrados en los puntos donde la primera derivada o el gradiente de la funcioacuten objetivo es cero o estaacute indefinido

Mientras la prueba de la primera derivada identifica a los puntos que son candidatos a optimizar la funcioacuten objetivo no es posible distinguir si dicho punto es un miacutenimo un maacuteximo o ninguno de los dos Soacutelo si la funcioacuten objetivo es dos veces diferenciable estos puntos pueden ser distinguidos estudiando su segunda derivada o su matriz de segundas derivadas (matriz hessiana) Las condiciones que distinguen a los maacuteximos o miacutenimos de otros puntos estacionarios son llamadas condiciones de segundo orden o condiciones suficientes de optimalidad Si un punto que es candidato a solucioacuten satisface las condiciones de primer y segundo orden es suficiente para establecer al menos optimalidad local Si la matrix hessiana es definida positiva en un punto entonces el punto es un miacutenimo local si la matrix hessiana es definida negativa entonces el punto es un maacuteximo local finalmente si la matriz hessiana es indefinida entonces el punto es alguacuten tipo de punto de ensilladura

3821 Optimizacioacuten por punto uacutenico con base en la derivada

Eacuteste tipo de meacutetodos de optimizacioacuten matemaacutetica son claacutesicos en la literatura y fueron de los primeros en desarrollarse

Usando una notacioacuten convencional la serie de Taylor para una funcioacuten objetivo arbitraria se describe como

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Donde 1199090 es el punto de la funcioacuten 119891(119909) que se estaacute estudiando Para que un punto sea el punto miacutenimo de la funcioacuten es necesario que se cumpla que nabla119891(119909lowast) = 0 ie todas las derivadas parciales en 119909 = 119909lowast deben de ser cero Los teacuterminos de mayor grado en la expansioacuten de la serie de Taylor en los vecinos cercanos a 1199090 no realizan una gran aportacioacuten a eacutesta y pueden ser omitidos durante el caacutelculo Aplicando la regla de la cadena para la derivada en los primeros tres teacuterminos de la serie de Taylor en la ecuacioacuten (48) podemos reescribir el gradiente de un punto arbitrario 1199090 como

nabla119891(119909lowast) = nabla119891(1199090) + 119867(1199090)(119909lowast minus 1199090) = 0 (49)

Y simplificando

119909lowast = minusnabla119891(1199090) ∙ 119867minus1(1199090) + 1199090 (50)

Si la funcioacuten objetivo 119891(119909) es cuadraacutetica entonces podemos aplicar la ecuacioacuten (50) directamente para obtener su miacutenimo La figura 4 muestra como haciendo uso de la ecuacioacuten (50) se calcula el miacutenimo de una funcioacuten cuadraacutetica unimodal en el punto de inicio 1199090

A pesar de existir aplicaciones donde la funcioacuten objetivo es una funcioacuten cuadraacutetica sencilla la mayoriacutea de los problemas a optimizar carecen de eacutesta caracteriacutestica Como se mencionoacute con anterioridad los meacutetodos de optimizacioacuten con base en la derivada pueden ser efectivamente aplicados si la funcioacuten objetivo cumple con los siguientes requisitos

bull La funcioacuten objetivo debe ser dos veces diferenciable bull La funcioacuten objetivo debe ser unimodal ie debe tener un solo miacutenimo

La figura 5 muestra un ejemplo de una funcioacuten diferenciable unimodal

Figura 4 Buacutesqueda por punto uacutenico con base en la derivada Si la funcioacuten es cuadraacutetica y diferenciable entonces el

aplicar la ecuacioacuten (50) permite obtener el miacutenimo de ella

Figura 5 Ejemplo de una funcioacuten unimodal dos veces diferenciable definida por la ecuacioacuten 119943(119961120783119961120784) = 120783120782 minus119942minus(119961120783120784+120785119961120784120784)

El meacutetodo del descenso del gradiente es una de las teacutecnicas maacutes simples que como su nombre lo indica utiliza el operador gradiente pero a diferencia del meacutetodo expuesto previamente este meacutetodo asume que 119867minus1(1199090) puede ser remplazado por la matriz identidad 120128 definida como

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

Debido a la sustitucioacuten de la matriz hessiana por la matriz identidad el meacutetodo ya no converge directamente al miacutenimo sino al punto 1199091 = 1199090 minus nabla119891(1199090) Como se puede intuir el punto 1199091 se encontraraacute maacutes cerca del miacutenimo de la funcioacuten objetivo que el punto 1199090 esto a no ser que se haya elegido un tamantildeo de paso muy grande La relacioacuten 119909119899+1 = 119909119899 minus 120574 ∙ nabla119891(119909119899) define la direccioacuten del siguiente paso donde 120574 es el tamantildeo de paso y proporciona una medida de control para evitar dar pasos demasiado grandes o demasiado pequentildeos En eacuteste tipo de meacutetodos se tiene el problema de elegir un tamantildeo de paso adecuado ya que no existe un tamantildeo oacuteptimo sino que dicho tamantildeo depende de la funcioacuten objetivo a optimizar La figura 6 muestra un ejemplo de la secuencia de pasos que genera el meacutetodo del descenso del gradiente para encontrar un miacutenimo a partir del punto 1199090

Figura 6 Buacutesqueda por punto uacutenico sustituyendo el uso de la matriz hessiana por la matriz identidad

El hecho de sustituir la matriz hessiana por la matriz identidad introduce una serie de problemas que requieren de teacutecnicas maacutes elaboradas para disminuir los efectos negativos de dicha sustitucioacuten Eacutestas teacutecnicas pueden ser de tipo cuasi-Newton en los que se aproxima la matriz hessiana por alguacuten esquema que requiera menos caacutelculos matriciales o bien meacutetodos de tipo gradiente conjugado en los que se opta por usar optimizaciones lineales en direcciones conjugadas para evitar los caacutelculos de las segundas derivadas Detalles adicionales de los meacutetodos de optimizacioacuten claacutesicos con base en la derivada se pueden encontrar en [7 53 55 60]

3822 Optimizacioacuten local y global

Uno de los requisitos que solicitan los meacutetodos claacutesicos de optimizacioacuten con base en la derivada para poder ser aplicados es que la funcioacuten objetivo sea unimodal es decir que tenga un solo miacutenimo o maacuteximo Cuando la funcioacuten objetivo es multimodal eacutesta puede tener varios miacutenimos maacuteximos yo puntos de ensilladura La figura 7 muestra un ejemplo de una funcioacuten multimodal

Figura 7 Muestra los diferentes laquopicosraquo y puntos de ensilladura de la funcioacuten definida por la ecuacioacuten 119943(119961120783119961120784) =

120785(120783 minus 119961120783)120784119942119961120783120784+(119961120784+120783)120784 minus 120783120782119961120783120787minus 119961120783120785 minus 119961120784120787119942119961120783

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

Uno de los problemas que presentan las funciones multimodales a los meacutetodos de optimizacioacuten reside en el hecho de elegir un punto inicial adecuado Eacuteste problema es debido a la tendencia que tienen algunos meacutetodos de optimizacioacuten a ser atraiacutedos durante la buacutesqueda del miacutenimo o maacuteximo global hacia puntos miacutenimos o maacuteximos locales cercanos al punto desde el cual se empezoacute la buacutesqueda Diversas teacutecnicas de inicio muacuteltiple han sido desarrolladas en respuesta al problema del punto inicial y como su nombre lo indica eacutestas teacutecnicas realizan o reinician el proceso de optimizacioacuten a partir de distintos puntos La estrategia maacutes empleada en eacuteste tipo de meacutetodos consiste en realizar una buacutesqueda local por punto uacutenico con base en la derivada con cada uno de los puntos de inicio definidos para posteriormente elegir el que optimizoacute maacutes la funcioacuten objetivo Sin embargo si no se tiene el conocimiento suficiente sobre la funcioacuten objetivo es difiacutecil saber con cuantos puntos de inicio diferentes seriacutea suficiente realizar la buacutesqueda para encontrar el miacutenimo o maacuteximo globales

3823 Optimizacioacuten Multiobjetivo

El problema de la optimizacioacuten multiobjetivo tambieacuten conocido como problema de optimizacioacuten vectorial se define como el problema de encontrar un vector de variables de decisioacuten que satisface

ciertas restricciones y optimice simultaacuteneamente un vector de funciones cuyos elementos representan las funciones objetivo ie encontrar una solucioacuten cuyos valores sean aceptables para las funciones objetivo Las funciones objetivo se designan como 1198911(119909) 1198912(119909) hellip 119891119896(119909) donde k es el nuacutemero de funciones objetivo a resolver Por lo tanto el vector de funciones 119891(119909) a ser optimizadas se define como

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

O maacutes convenientemente como

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

Las variables de decisioacuten son cantidades numeacutericas cuyos valores se deben de elegir en el problema a optimizar Generalmente esas cantidades se representan en un vector 119909 de 119899 variables de decisioacuten

119909 =

11990911199092⋮119909119899

De igual modo se pueden escribir de la forma

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

Eacuteste conjunto de restricciones son llamadas variables de liacutemite restringiendo a cada variable de decisioacuten xj a uacutenicamente poder tomar valores entre los liacutemites inferior xj

(L) y superior xj(U) Esos

liacutemites constituyen el espacio de decisioacuten 119967 de las variables

Ademaacutes en eacuteste tipo de problemas existen restricciones impuestas por las caracteriacutesticas particulares del entorno o de los recursos disponibles se deben de satisfacer todas esas condiciones para poder considerar aceptable una solucioacuten Todas esas restricciones se pueden expresar matemaacuteticamente en forma de desigualdades

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

El nuacutemero de condiciones de igualdad p debe ser menor que el nuacutemero de variables de decisioacuten n por lo tanto el nuacutemero de grados de libertad estaacute dado por 119899 minus 119901

3824 Buacutesqueda Local

En muchas disciplinas existen problemas con muacuteltiples objetivos y su solucioacuten ha constituido un reto para los investigadores La complejidad de esos problemas por sus grandes espacios de buacutesqueda incertidumbre ruido entre otros factores no permite que se utilicen teacutecnicas tradicionales de solucioacuten como investigacioacuten de operaciones o aacutelgebra lineal

Ademaacutes en los problemas con muacuteltiples funciones objetivo no existe una solucioacuten uacutenica existe un nuacutemero de soluciones y todas son oacuteptimas Dado que no se puede determinar una solucioacuten oacuteptima uacutenica para muacuteltiples objetivos en conflicto el problema de la optimizacioacuten multiobjetivo recae en encontrar un nuacutemero de soluciones oacuteptimas locales que compensen cada una de eacutestas funciones

Sin informacioacuten adicional no se puede decidir si una solucioacuten del conjunto de soluciones oacuteptimas locales es mejor que la otra Por lo tanto en la optimizacioacuten multiobjetivo idealmente el esfuerzo debe de radicar en encontrar el conjunto de soluciones oacuteptimas locales considerando todos los objetivos como importantes despueacutes de que eacutese conjunto de soluciones oacuteptimas locales se ha encontrado un usuario con informacioacuten adicional puede usar consideraciones cualitativas para tomar una decisioacuten

El proceso descrito anteriormente se ilustra en el diagrama de la figura 8 Los meacutetodos de buacutesqueda claacutesicos usan aproximaciones punto-a-punto donde en cada iteracioacuten una solucioacuten se modifica a una diferente preferentemente mejor por lo tanto la ejecucioacuten de una sola simulacioacuten produce una sola solucioacuten oacuteptima

Informacioacuten de contexto

Elegir una solucioacuten

Problema de optimizacioacuten multiobjetivoMinMax ƒ1MinMax ƒ2

hellipMinMax ƒk

Sujeto a restricciones

Optimizacioacuten multiobjetivo

Muacuteltiples soluciones oacuteptimas encontradas

Figura 8 Diagrama general del proceso de optimizacioacuten multiobjetivo

Una de las principales diferencias entre los meacutetodos de buacutesqueda claacutesicos y los algoritmos de optimizacioacuten multiobjetivo es que eacutestos uacuteltimos usan un conjunto de soluciones en cada iteracioacuten en lugar de usar una sola posible solucioacuten Si un problema de optimizacioacuten multiobjetivo tiene un solo oacuteptimo se espera que todos los elementos del conjunto de soluciones converjan a eacutese oacuteptimo de lo contrario el conjunto de resultados contendraacute muacuteltiples soluciones oacuteptimas locales todas ellas obtenidas en una sola iteracioacuten

Los algoritmos de optimizacioacuten multiobjetivo requieren de una mayor capacidad de procesamiento dado que requieren una mayor cantidad de evaluaciones de las funciones objetivo La necesidad de mayor velocidad de procesamiento es especialmente importante cuando se optimizan modelos basados en simulaciones Lograr obtener una solucioacuten aceptable puede requerir de decenas de miles de evaluaciones de las funciones objetivo por lo tanto un enfoque paralelo eficiente es crucial para

esos problemas dado que un procesamiento serial podriacutea tomar cientos de horas para optimizar modelos basados en simulaciones La figura 9 propone un diagrama con los pasos baacutesicos para la buacutesqueda en paralelo de soluciones a problemas optimizacioacuten multiobjetivo

Problema de optimizacioacuten multiobjetivo

MinMax ƒ1MinMax ƒ2

hellipMinMax ƒk

Optimizador multiobjetivo

Solucioacuten oacuteptima local

Solucioacuten oacuteptima local Solucioacuten oacuteptima local

Figura 9 Diagrama del proceso de optimizacioacuten multiobjetivo con un enfoque paralelo

39 Coacutemputo en paralelo

Es una alternativa tecnoloacutegica que consiste en el uso de plataformas de muacuteltiples procesadores o de procesadores de varios nuacutecleos (multinuacutecleo) Esta forma de coacutemputo opera sobre el principio de que los problemas grandes a menudo se pueden dividir en problemas maacutes pequentildeos o subproblemas para luego ser resueltos simultaacuteneamente En la figura 10 se observa un esquema general de los procesamientos en serie y en paralelo

La computacioacuten distribuida se encuentra dentro de esta definicioacuten ya que es un modelo que permite resolver problemas grandes utilizando un gran nuacutemero de computadoras organizadas en cluacutesteres que se encuentran separadas fiacutesicamente pero comunicadas entre siacute mediante una red de comunicaciones Cada maacutequina posee sus componentes de hardware y software que el programador percibe como un solo sistema El programador accede a los componentes de software remotos de la misma manera en que accederiacutea a componentes locales de esta forma cada equipo puede realizar caacutelculos independientes sobre diferentes datos o incluso sobre los mismos obteniendo de cada uno de ellos un resultado para finalmente concentrarlos en un solo lugar

Figura 10 Esquema comparativo entre el coacutemputo en serie y el coacutemputo en paralelo

Para paralelizar una aplicacioacuten es necesario contar con las herramientas necesarias para generar programas que realicen coacutemputo en paralelo Dependiendo de la herramienta con que se trabaje seraacute la forma en que se paralelizaraacute la solucioacuten del problema para ser resuelto en varios procesadores En eacuteste aspecto se ha optado por hacer uso de la herramienta MPI

391 MPI

La Interfaz de Paso de Mensajes o MPI por sus siglas en ingleacutes (Message Passing Interface) Es una interfaz para la realizacioacuten de aplicaciones para coacutemputo en paralelo con base en el paso de mensajes y es el estaacutendar para la comunicacioacuten entre los nodos que ejecutan un programa en un sistema de memoria distribuida El modelo de programacioacuten subyacente tras MPI es laquoMuacuteltiples Instrucciones Muacuteltiples Datosraquo (del ingleacutes Multiple Instruction Multiple Data MIMD) siendo un caso especial aquel en el que todos los procesos ejecutan el mismo programa aunque no necesariamente la misma instruccioacuten al mismo tiempo El paso de mensajes es una teacutecnica empleada en programacioacuten paralela para aportar sincronizacioacuten entre procesos y permitir la exclusioacuten mutua Los elementos principales que intervienen en el paso de mensajes son el proceso que enviacutea el proceso que recibe y el mensaje Dependiendo de si el proceso que enviacutea el mensaje espera a que el mensaje sea recibido se puede hablar de paso de

mensajes siacutencrono o asiacutencrono En el paso de mensajes asiacutencrono el proceso que enviacutea no espera a que el mensaje sea recibido y continuacutea su ejecucioacuten siendo posible que vuelva a generar un nuevo mensaje y a enviarlo antes de que se haya recibido el anterior mientras que en el paso de mensajes siacutencrono el proceso que enviacutea el mensaje espera a que un proceso lo reciba para continuar su ejecucioacuten Las implementaciones en MPI consisten en un conjunto de bibliotecas de rutinas que pueden ser utilizadas en programas escritos en los lenguajes de programacioacuten C C++ y Fortran La ventaja de MPI sobre otras bibliotecas de paso de mensajes es que los programas que utilizan la biblioteca son portables (dado que MPI ha sido implementado para casi toda arquitectura de memoria distribuida) y raacutepidos (porque cada implementacioacuten de la biblioteca ha sido optimizada para el hardware en la cual se ejecuta)

392 ROOT

ROOT [10] es un framework para el desarrollo de aplicaciones de anaacutelisis de datos cientiacuteficos a gran escala desarrollado por el CERN (sigla del franceacutes Conseil Europeacuteen pour la Recherche Nucleacuteaire y cuyo nombre oficial en espantildeol es Organizacioacuten Europea para la Investigacioacuten Nuclear) ROOT estaacute implementado en el lenguaje C++ por lo cual es orientado a objetos y ha estado en constante desarrollo desde el antildeo 1994 Proporciona una plataforma de acceso independiente al subsistema de graacuteficos y al sistema operativo de una computadora proveyendo un constructor de interfaz graacutefica de usuario contenedores de clases reflexioacuten1 un inteacuterprete de scripts y liacutenea de comandos para C ++ (CINT) serializacioacuten de objetos y persistencia Entre las herramientas provistas por ROOT encontramos aquellas para la generacioacuten visualizacioacuten y anaacutelisis de histogramas (ver figura 11) funciones y distribuciones ajuste de curvas y minimizacioacuten de funciones aacutelgebra lineal y matricial anaacutelisis multivariable redes neuronales generadores de eventos Monte Carlo acceso a bases de datos herramientas para desarrollo en coacutemputo paralelo visualizaciones geomeacutetricas en 3D manipulacioacuten y generacioacuten de imaacutegenes en formatos como PDF PostScript PNG JPEG SVG LaTeX entre otros En eacuteste trabajo se utilizaron principalmente las herramientas de ajuste de curvas (fitting) y de generacioacuten visualizacioacuten y anaacutelisis de histogramas funciones y distribuciones

1 La reflexioacuten computacional refiere a la capacidad que tiene un programa para observar y opcionalmente modificar su estructura en tiempo de ejecucioacuten

Figura 11 Captura de pantalla de un histograma desarrollado haciendo uso del framework ROOT

310 Ajuste de curvas

El ajuste de curvas o fitting es un proceso matemaacutetico que consiste en construir una funcioacuten matemaacutetica con paraacutemetros definidos que se ajuste de la mejor manera posible a una serie de datos que posiblemente se encuentren sujetos a variables estadiacutesticas Eacuteste proceso puede involucrar el proceso de interpolacioacuten para obtener un ajuste exacto de la funcioacuten a los datos o bien el proceso de suavizado para un ajuste aproximado de la funcioacuten construida a los datos

Las curvas obtenidas del ajuste se pueden usar como complemento visual de informacioacuten para inferir posibles valores de una funcioacuten en regiones donde no hay datos disponibles o bien para resumir las relaciones entre dos o maacutes variables

El proceso de suavizar un conjunto de datos consiste en crear una funcioacuten de aproximacioacuten que trate de obtener los patrones maacutes importantes de la informacioacuten mientras que al mismo tiempo se descarta ruido y otros fenoacutemenos Sin embargo el proceso de suavizado se puede distinguir del concepto de ajuste de curvas en los siguientes puntos

bull El ajuste de curvas a menudo implica el uso expliacutecito de una funcioacuten de forma para el resultado mientras que los resultados inmediatos del proceso de suavizado son las variables ldquosuavizadasrdquo sin necesidad de usar una funcioacuten de forma si es que existe una

bull El objetivo principal del suavizado es dar una idea general de los cambios de valor

prestando poca atencioacuten en lograr una estrecha correspondencia entre los valores de la funcioacuten con los datos mientras que el ajuste de curvas se enfoca en lograr una correspondencia lo maacutes cercana posible entre estos

bull Los meacutetodos de suavizado generalmente tienen asociados un paraacutemetro de ajuste que

permite controlar el grado de suavizado El ajuste de curvas permite ajustar cualquier nuacutemero de paraacutemetros de la funcioacuten necesarios para lograr el mejor ajuste

El suavizado tiene dos importantes aplicaciones en el campo del anaacutelisis de datos la primera es que permite obtener maacutes informacioacuten de los datos bajo la consideracioacuten que el suavizado es razonablemente bueno y la segunda es permitir anaacutelisis flexibles y robustos Tradicionalmente el suavizado de datos es realizado usando el estimador de densidad maacutes simple el histograma

3101 Histograma

Un histograma es una representacioacuten graacutefica que permite observar y evaluar de manera aproximada la distribucioacuten de probabilidad que tiene asociada una serie de datos pertenecientes a la medicioacuten repetida de la variable de un fenoacutemeno Eacutesta representacioacuten fue propuesta en 1895 por el cientiacutefico ingleacutes Karl Pearson

Consiste en la representacioacuten graacutefica de una variable en forma de frecuencias tabuladas que se muestran como barras sobre intervalos discretos llamados bins El aacuterea de cada barra es proporcional a la frecuencia de las observaciones en dicho intervalo ya sea en forma diferencial o acumulada mientras que la altura de las barras es igual a la densidad de la frecuencia del intervalo es decir la frecuencia de observaciones por intervalo divida entre la anchura de eacuteste

El aacuterea total de un histograma debe ser igual a la cantidad de datos que eacuteste contiene pudieacutendose tambieacuten normalizar para mostrar frecuencias relativas y de eacutesta forma tener un aacuterea igual a 1 y mostrar el porcentaje de ocurrencias en cada categoriacutea Las categoriacuteas son definidas como intervalos consecutivos de una variable que no se traslapan los cuales deben de ser adyacentes y generalmente se busca que sean de la misma anchura Las barras del histograma se dibujan juntas para indicar que se trata de una variable cuantitativa continua (ver figura 12) o bien de forma separada para indicar que se trata de una variable cuantitativa discreta (ver figura 13) en cuyo caso es comuacuten llamarlo diagrama de frecuencias

Los histogramas sirven para obtener una vista general de la distribucioacuten de la poblacioacuten o la muestra respecto a una caracteriacutestica cuantitativa y continua De esta manera ofrecen una visioacuten en grupo permitiendo observar comportamientos grado de homogeneidad o tendencia por parte de la muestra o poblacioacuten por ubicarse hacia una determinada regioacuten de valores dentro del espectro de valores posibles que pueda adquirir la caracteriacutestica o en contraposicioacuten poder observar el grado de variabilidad y por ende la dispersioacuten de todos los valores que toman las partes Tambieacuten es posible no evidenciar ninguna tendencia y obtener que cada miembro de la poblacioacuten adquiere un valor de la caracteriacutestica aleatoriamente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia entre otras cosas

Figura 12 Ejemplo de un histograma para una funcioacuten de densidad de probabilidad

Figura 13 Ejemplo de un diagrama de frecuencias

31011 Definicioacuten matemaacutetica

Matemaacuteticamente un histograma es una funcioacuten mi que contabiliza el nuacutemero de observaciones correspondientes a cada categoriacutea o bin Sea entonces 119899 el nuacutemero total de observaciones y 119896 el nuacutemero total de categoriacuteas el histograma 119898119894 satisface la siguiente condicioacuten

119899 = 119898119894

119896

119894=1

Los diferentes tamantildeos que pueden tener los bins revelan diferentes caracteriacutesticas de la informacioacuten Las primeras guiacuteas sistemaacuteticas para agrupamiento de datos fueron dadas en 1926 por Herber Sturges y de manera general mencionan que usar bins maacutes amplios cuya densidad es baja reduce el ruido debido a la aleatoriedad del muestreo mientras que usar bins maacutes angostos cuya densidad es maacutes alta da una mejor precisioacuten para la estimacioacuten de densidad Por lo tanto variar la anchura de los bins de un histograma puede ser beneacutefico para realizar un mejor anaacutelisis sin embargo los histogramas con bins de igual tamantildeo son los maacutes ampliamente utilizados

A pesar existir diferentes teacutecnicas para determinar el nuacutemero oacuteptimo de bins o categoriacuteas que debe tener un histograma muchos de los meacutetodos existentes hacen fuertes suposiciones sobre el tipo de distribucioacuten Dependiendo de la distribucioacuten actual de los datos y los objetivos del anaacutelisis diferentes tamantildeos de anchura de los bins podriacutean ser apropiados por eso la experimentacioacuten es usualmente necesaria para determinar un ancho apropiado

El nuacutemero de bins 119896 de un histograma puede ser asignado directamente o calculado a partir de una anchura de bin ℎ sugerida de la siguiente manera

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

O bien empleando la raiacutez cuadrada del nuacutemero de observaciones

119896 = radic119899 (53)

Uno de los meacutetodos maacutes utilizados es la foacutermula de Sturges la cual se obtiene a partir de una distribucioacuten binomial e impliacutecitamente asume una aproximacioacuten a la distribucioacuten normal se define como

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

La foacutermula de Rice es una alternativa simple a la foacutermula de Stugers y es descrita de la siguiente manera

119896 = 2radic1198993 (55)

3102 Ajuste de datos a una distribucioacuten de probabilidad

El ajuste de datos a una distribucioacuten de probabilidad o simplemente llamado ajuste de distribucioacuten es el ajuste de una distribucioacuten de probabilidad a un conjunto de datos generados por la medicioacuten repetida de la variable de un fenoacutemeno El objetivo del ajuste de distribucioacuten de probabilidad es describir y pronosticar la frecuencia de ocurrencia de la magnitud de un fenoacutemeno dentro de en un intervalo de valores

El ajuste de datos a una distribucioacuten consiste de 4 etapas la primera de ellas es la eleccioacuten de un modelo o funcioacuten de una familia de distribuciones

El anaacutelisis exploratorio de los datos puede ser un primer paso obtener estadiacutesticas y valores descriptivos como la media la desviacioacuten estaacutendar la asimetriacutea u oblicuidad o la curtosis entre otras y hacer uso de teacutecnicas graacuteficas como histogramas que puedan sugerir el tipo de funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad a usar para ajustar al modelo

Los histogramas pueden ofrecer una perspectiva sobre la asimetriacutea el comportamiento en las orillas la presencia de comportamiento multimodal y valores atiacutepicos de datos Sin embargo los meacutetodos graacuteficos llegan a ser subjetivos por lo tanto es recomendado usar meacutetodos con base en expresiones analiacuteticas como el criterio K de Pearson

Resolviendo una ecuacioacuten diferencial particular podemos obtener una familia de funciones que permitan representar casi todas las distribuciones empiacutericas Esas curvas dependen uacutenicamente de la media la varianza la oblicuidad y la curtosis Con los datos estandarizados el tipo de curva dependeraacute solamente de la medida de oblicuidad y la curtosis como se muestra en la foacutermula

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

1198991205903 es el coeficiente de oblicuidad de Pearson De la misma manera 1205742 =

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

1198991205904minus 3 es el coeficiente de curtosis de Pearson

De acuerdo con el valor de 119870 obtenido a partir de aplicar la foacutermula a los datos disponibles se tendraacute una funcioacuten en particular

El siguiente paso para ajustar los datos a una distribucioacuten consiste en estimar los paraacutemetros de la funcioacuten propuesta En la literatura existen diferentes meacutetodos como los meacutetodos anaacutelogos o el meacutetodo de los L-momentos sin embargo uno de los maacutes ampliamente utilizados es el meacutetodo de maacutexima verosimilitud o MLE por sus siglas en ingleacutes (Maximum likelihood estimation)

En el meacutetodo MLE se tiene una variable aleatoria con una funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad conocida 119891(119909120579) que describe una caracteriacutestica cuantitativa de la poblacioacuten Se debe de estimar el vector de constantes y de paraacutemetros 120579 desconocidos de acuerdo con la informacioacuten de muestra 11990911199092 hellip 119909119899

Eacuteste meacutetodo comienza con la funcioacuten matemaacutetica de estimacioacuten de maacutexima verosimilitud esto es la verosimilitud de un conjunto de datos es la probabilidad de obtener ese conjunto particular de datos dado el modelo de probabilidad elegido Eacutesta expresioacuten contiene los paraacutemetros desconocidos los valores de los paraacutemetros que maximicen la verosimilitud de la muestra son conocidos como estimadores de maacutexima verosimilitud (MLE) la funcioacuten de verosimilitud se define como

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

De esta manera el meacutetodo MLE consiste en encontrar 120579 que maximice 119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) o su funcioacuten logariacutetmica

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

Por ejemplo para el caso de la funcioacuten de distribucioacuten gamma su funcioacuten de verosimilitud seriacutea de la forma

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

O bien su forma logariacutetmica

ln 119871 = 119899120572 ln 120582 minus 119899 lnΓ(120572) + (120572 minus 1) ln 119909119894 minus 120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

El tercer paso en durante el proceso de ajuste de datos a una distribucioacuten de probabilidad consiste en evaluar la calidad del ajuste La evaluacioacuten de la calidad del ajuste es uacutetil para emparejar frecuencias teoacutericas con frecuencias ajustadas por un modelo teoacuterico Hay medidas absolutas y relativas entre las medidas absolutas se encuentran

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

Y en las medidas relativas se pueden usar

120575 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1sum 119910119894119899119894=1

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

Donde 119910119894 son las frecuencias teoacutericas y 119910119894lowast son las frecuencias ajustadas por el modelo Generalmente los iacutendices 120585 y 120575 son expresados en manera de porcentajes

El uacuteltimo paso para realizar el ajuste de datos a una distribucioacuten de probabilidad consiste en realizar pruebas de la bondad de ajuste El emplear pruebas para medir la bondad de ajuste nos permite decir si es razonable o no asumir que una muestra aleatoria viene o no de una distribucioacuten especiacutefica

Las medidas de bondad de ajuste generalmente resumen la discrepancia entre los valores observados y los valores esperados del modelo en cuestioacuten Estas medidas pueden ser usadas en las pruebas de hipoacutetesis estadiacutesticas para probar cuando dos muestras son obtenidas a partir de una distribucioacuten ideacutentica (prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov) o cuando las frecuencias obtenidas siguen una distribucioacuten determinada (prueba 1205942 de Pearson)

Figura 14 Ejemplo de una distribucioacuten de probabilidad ajustada a los datos de un histograma

3103 Prueba chi cuadrada de Pearson

La prueba de chi cuadrada de Pearson es la prueba de bondad de ajuste maacutes vieja existente fue desarrollada en 1900 por Karl Pearson y fue pensada como una prueba de comparacioacuten formal de un histograma con una distribucioacuten de probabilidad Su principal ventaja es que puede ser aplicada a cualquier distribucioacuten a la que se le pueda calcular su funcioacuten de distribucioacuten acumulada y cuyos datos se encuentren separados en bins o clases

Por otro lado el valor obtenido al aplicar la prueba dependeraacute de la forma en que se hayan agrupado los datos Otra de las desventajas de eacutesta prueba es que requiere de datos suficientes para que la aproximacioacuten sea vaacutelida

La foacutermula que da el valor estadiacutestico se escribe como

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

Donde χ2 es el estadiacutestico acumulativo de la prueba de Pearson Oi la frecuencia observada Ei la frecuencia teoacuterica esperada y n el nuacutemero de clases o bins del histograma

Para conocer que tan adecuado es el ajuste de datos realizado es necesario comparar el χ2 obtenido de la prueba de Pearson con el valor criacutetico de la distribucioacuten χ2 Entre maacutes cercano a 1 sea esta relacioacuten se dice que mejor es el ajuste

3104 Prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov

La prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov (Prueba K-S) es una prueba no parameacutetrica que puede ser usada para comparar una muestra de datos con una distribucioacuten de probabilidad de referencia (one-sample K-S test) o para comparar dos muestras de datos entre siacute (two-sample K-S test)

La prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov es maacutes sensible a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la distribucioacuten

La foacutermula que da el valor estadiacutestico se define de la forma

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

La prueba de Kolmogoacuterov-Smirnov destaca sobre la prueba de chi cuadrada de Pearson al no requerir una muestra grande de datos cuando ambas pruebas tienen una muestra lo suficientemente grande son igual de buenas La mayor de sus limitaciones recae en el hecho de la necesidad de especificar por completo todos los paraacutemetros de la distribucioacuten como son su origen altura y

demaacutes paraacutemetros de forma propios ya que dichos paraacutemetros no pueden ser estimados a partir de la muestra de datos

3105 Prueba de AndersonndashDarling

La prueba de Anderson-Darling es una prueba estadiacutestica que permite determinar si una muestra de datos se extrae de una distribucioacuten de probabilidad especiacutefica

En su forma baacutesica eacutesta prueba asume que no existen paraacutemetros a estimar en la distribucioacuten que se estaacute probando en cuyo caso la prueba y su conjunto de valores criacuteticos siguen una distribucioacuten libre Sin embargo la prueba se utiliza con mayor frecuencia en contextos en los que se estaacute probando una familia de distribuciones en cuyo caso deben ser estimados los paraacutemetros de esa familia y debe tenerse estos en cuenta a la hora de ajustar la prueba estadiacutestica y sus valores criacuteticos

Cuando se aplica este meacutetodo para probar si una distribucioacuten normal describe adecuadamente un conjunto de datos es una de las herramientas estadiacutesticas maacutes potentes para la deteccioacuten de la mayoriacutea de las desviaciones de la normalidad

Eacutesta prueba hace uso del hecho que dada una distribucioacuten hipoteacutetica subyacente y asumiendo que los datos son obtenidos a partir de eacutesta distribucioacuten los datos pueden ser transformados en una distribucioacuten uniforme A la muestra de datos transformados se le evaluacutea su uniformidad con la prueba de distancia de Shapiro La foacutermula de la prueba estadiacutestica de Anderson-Darling evaluacutea si los datos 1198841 lt ⋯ lt 119884119899 vienen de una distribucioacuten con funcioacuten acumulativa 119865

Eacutesta prueba se realiza mediante la aplicacioacuten de la foacutermula

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

La prueba estadiacutestica puede entonces ser comparada con los valores criacuteticos de la distribucioacuten teoacuterica Cabe notar que en eacutesta prueba no se estima ninguacuten paraacutemetro de la funcioacuten de distribucioacuten 119865

Capiacutetulo IV Metodologiacutea

Se describen los aspectos de la metodologiacutea tales como la definicioacuten del problema y la construccioacuten del grafo a partir de una red vehicular existente la buacutesqueda de una configuracioacuten inicial factible el proceso de optimizacioacuten multiobjetivo y el anaacutelisis de los resultados obtenidos

Lo primero que se lista es la figura 15 en la que se muestran los pasos a seguir en la metodologiacutea en cada uno de ellos se intenta involucrar tareas necesarias para generar la informacioacuten necesaria para el siguiente paso

Definir funciones objetivo

Buscar una configuracioacuten inicial

factible

Optimizar funciones objetivo

Analizar resultados obtenidos

Construir grafo a partir de una red

vehicular

Figura 15 Metodologiacutea propuesta

41 Construccioacuten del grafo

Se considera el uso de un modelo matemaacutetico para dinaacutemica de fluidos con base en leyes de conservacioacuten y se aplicoacute al estudio del flujo de automoacuteviles en una red vehicular En este aacutembito las redes vehiculares son estudiadas como grafos dirigidos 119866 = (119881119864) compuestos por aristas (119906119907) isin 119864 que representan las vialidades de intereacutes a estudiar y que tienen asociadas una capacidad de flujo 119862(119906 119907) gt 0 y de nodos representando las intersecciones entre aristas Sea 119873 sub 119881 y 119899 isin 119873 tal que 119899 es un nodo principal por el cual entra o sale flujo de la red vehicular

La metodologiacutea estaacute enfocada en redes vehiculares compuestas por un nuacutemero finito de vialidades que tienen asociadas capacidades maacuteximas de flujo vehicular 119862119898119886119909 a la vez estas aristas deben tener asociado un flujo vehicular miacutenimo 119862119898119894119899 no permitiendo asiacute aristas sin flujo alguno

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

Por cada arista del grafo se agrega a eacuteste una arista en direccioacuten opuesta a la original la cual representa el contraflujo de la arista a la cual se asocioacute La arista de contraflujo tiene una capacidad igual a la capacidad total de la arista menos su capacidad actual es decir en todo momento debe de cumplir

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

lowast le 119862(119906119907)119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

Cabe destacar que se nombra como 119862(119906119907)lowast al contraflujo de la arista 119862(119906119907) y no como 119862(119907119906) Con

esta consideracioacuten se puede tener dos vialidades que originalmente en el grafo van en sentido contrario cada una con su propio contraflujo

Una vez construido el grafo con las vialidades de intereacutes se establecen los flujos de entrada y de salida en los nodos correspondientes los nodos por los que no entre o salga flujo al grafo se consideran como nodos de transicioacuten o intermedios y deberaacuten tener una suma de flujos igual a cero esto es el flujo total entrante en dichos nodos debe ser igual al flujo total de salida

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

= 0 forall119894 isin 119881 minus 119873

En los nodos principales por los que entra o sale flujo del grafo se debe de cumplir una condicioacuten similar a la anterior con la diferencia que la suma de los flujos no es cero sino precisamente el flujo que entra o sale a traveacutes de eacutel

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

Ademaacutes la suma total de flujos de entrada en el grafo debe ser igual a la suma de los flujos de salida en eacuteste

120601 = 0119899

forall119899 isin 119873

Las condiciones descritas anteriormente se les conocen como leyes de conservacioacuten de flujo tal como se puede observar en la figura 16

Figura 16 Representacioacuten visual de la construccioacuten del grafo a partir de una red vehicular

42 Funciones objetivo

El siguiente paso consiste en proponer la optimizacioacuten de flujo y definir las funciones objetivo a optimizar Estas funciones permiten manipular el comportamiento del traacutensito vehicular a traveacutes de la maximizacioacuten o minimizacioacuten del flujo de automoacuteviles en determinadas rutas o aristas A cada arista se le asocia un peso o factor de ajuste 119882 para asiacute describir las funciones de la forma

minmax(Z1) = W11ϕ1 + W21ϕ2 + ⋯+ Wm1ϕm

hellip

minmax(Zk) = W1kϕ1 + W2kϕ2 + ⋯+ Wmkϕm

De esta manera se ha descrito nuestro problema de optimizacioacuten multiobjetivo que consiste en optimizar cada una de las funciones definidas (11988511198852 hellip 119885119896) al mismo tiempo que se satisfacen todas las condiciones de capacidad y de conservacioacuten de flujo previamente establecidas

43 Buacutesqueda de configuracioacuten inicial factible

Dada la naturaleza multidimensional del problema la primera accioacuten a realizar consiste en encontrar una configuracioacuten vaacutelida a partir de la cual se empiecen a optimizar las funciones objetivo para ello se establecen porcentajes de holgura en cada una de las condiciones de conservacioacuten para posteriormente durante la buacutesqueda minimizar dicha holgura hasta satisfacer las condiciones de conservacioacuten

Para encontrar una configuracioacuten vaacutelida se realiza una buacutesqueda utilizando el meacutetodo del conjunto de nivel (meacutetodo OCN) realizando pequentildeos incrementos o decrementos en el flujo de cada una de las aristas Dicho procedimiento se describe en el siguiente pseudocoacutedigo

Pseudocoacutedigo REPETIR

Generar un flujo inicial 120601(119905) isin ℝ119899 y t=1 Establecer una holgura 120576 para cada condicioacuten de conservacioacuten de flujo PARA CADA arista HACER 120601(119905+1) = 120601(119905) + ∆119909 HASTA QUE ∆120601 asymp 0

HASTA QUE 120601(119905+1) satisfaga las condiciones de conservacioacuten (con holgura)

Si no se llega a una configuracioacuten vaacutelida se realiza una nueva buacutesqueda a partir de una nueva configuracioacuten inicial

44 Optimizacioacuten de funciones objetivo

Una vez encontrada una configuracioacuten vaacutelida podemos partir de ella para realizar la optimizacioacuten de las funciones objetivo propuestas Se aplica nuevamente la buacutesqueda por el meacutetodo OCN pero esta vez para encontrar los maacuteximos y miacutenimos que optimicen las funciones objetivo

Para cada nueva configuracioacuten oacuteptima que se encuentre se obtienen los flujos correspondientes a cada arista y se guardan en un archivo Se realiza eacuteste procedimiento hasta que el incremento o decremento sea muy cercano o aproximado a cero de tal forma que ya no sea significativo Si no se encuentra alguna solucioacuten se realiza la optimizacioacuten con un valor nuevo para cada arista A continuacioacuten se describe el proceso mencionado anteriormente en forma de pseudocoacutedigo

PARA CADA arista HACER 120601(119905+1) = 120601(119905) + ∆120601 MIENTRAS optimice las funciones objetivo

HASTA QUE ∆120601 asymp 0

Si alguna de las condiciones de conservacioacuten de flujo no se cumple durante el proceso de buacutesqueda o de optimizacioacuten esto nos indica que existe un problema con las capacidades de las vialidades es decir la capacidad de dicha vialidad es insuficiente para la cantidad de flujo que se requiere circule a traveacutes de ella

45 Buacutesqueda y optimizacioacuten en paralelo

La buacutesqueda de una configuracioacuten vaacutelida y la optimizacioacuten de las funciones objetivo se pueden realizar en unidades de procesamiento independientes (UP) esto debido a que el meacutetodo OCN no requiere que se establezcan mecanismos de sincronizacioacuten ni que exista paso de mensajes o comunicacioacuten entre ellos

Aprovechando las caracteriacutesticas mencionadas es posible ejecutar unidades de procesamiento que realicen buacutesquedas y optimizaciones de manera local a partir de una configuracioacuten inicial De esta manera se obtienen resultados distintos en cada una de las unidades de procesamiento

En eacuteste trabajo se dividioacute de manera empiacuterica la carga de trabajo por unidad de procesamiento asignando a cada unidad de procesamiento una buacutesqueda y una optimizacioacuten (ver figura 17) Por lo que no se descarta que existan otras maneras de dividir dicha carga de trabajo

En el siguiente pseudocoacutedigo se describe el proceso de buacutesqueda y optimizacioacuten que se realiza por cada unidad de procesamiento

Pseudocoacutedigo PARA CADA unidad de procesamiento HACER

REPETIR Generar un flujo inicial 120601(119905) isin ℝ119899 y t=1 Establecer una holgura 120576 para cada condicioacuten de conservacioacuten de flujo PARA CADA arista HACER 120601(119905+1) = 120601(119905) + ∆119909 HASTA QUE ∆120601 asymp 0

HASTA QUE 120601(119905+1) satisfaga las condiciones de conservacioacuten (con holgura) REPETIR

GUARDAR el resultado obtenido

Construir un grafo a partir de una red vehicular

Buscar configuracioacuten inicial factible

Figura 17 Metodologiacutea propuesta para buacutesqueda y optimizacioacuten en paralelo

46 Anaacutelisis de resultados

Por cada iteracioacuten que se realice en el meacutetodo de optimizacioacuten se obtienen como resultados la evaluacioacuten de las funciones objetivo los valores de los flujos y contraflujos por arista y la comprobacioacuten de la conservacioacuten del flujo por nodo Ademaacutes se registra el tiempo total de ejecucioacuten para un anaacutelisis estadiacutestico posterior Todos estos valores se almacenan en archivos de texto plano y se encuentran separados por tabulaciones como se muestra en la figura 18

Figura 18 Ejemplo de archivo de salida

Para el anaacutelisis estadiacutestico de los resultados obtenidos es necesario generar un histograma normalizado2 para el cual el eje de las abscisas representa la cantidad de flujo total en el grafo o en alguna vialidad y el eje de las ordenadas es la frecuencia con que se obtuvo esa cantidad de flujo del total de experimentos realizados Eacuteste histograma se encontraraacute normalizado En la figura 19 se muestra un ejemplo

Figura 19 Ejemplo de histograma de flujo para los resultados obtenidos 2 Para un histograma normalizado la suma de todas las frecuencias es igual a 1

Una vez que se ha generado el histograma se ajusta una distribucioacuten de densidad de probabilidad a los datos de dicho histograma En la figura 20 se ejemplifica el ajuste de los datos en eacuteste caso a una distribucioacuten normal de probabilidad

Figura 20 Ejemplo una distribucioacuten normal ajustada al histograma

Obteniendo valores estadiacutesticos como la media desviacioacuten estaacutendar etc con base en la distribucioacuten que mejor se ajustoacute Para seleccionar la distribucioacuten que mejor se ajusta a los datos del histograma se utilizoacute el software EasyFit en su versioacuten 55 pro [45] Eacuteste software permite probar de entre 61 distribuciones de probabilidad diferentes la que mejor se ajuste [46] considerando 3 diferentes pruebas de ajuste [44]

De manera general se describe el pseudocoacutedigo para elaborar los histogramas

Pseudocoacutedigo Generar un nuevo histograma vaciacuteo PARA CADA optimizacioacuten obtenida

Agregar un nuevo bin al histograma con el valor de los flujos obtenidos

FIN PARA CADA Ajustar datos a una distribucioacuten de probabilidad Realizar pruebas de ajuste Obtener media y desviacioacuten estaacutendar

A partir de los resultados obtenidos de las pruebas de ajuste (ver tabla 3) se elige la distribucioacuten de probabilidad que mejor se ajusta a los datos Por cada prueba de ajuste realizada a cada distribucioacuten se le asigna un rango (un entero positivo mayor o igual a 1) siendo el rango con valor 1 la distribucioacuten que mejor se ajustoacute Considerando 1 el ajuste con menor error

Durante las pruebas de ajuste se calculan los paraacutemetros de cada funcioacuten que mejor ajusten la distribucioacuten de probabilidad a los datos del histograma (ver tabla 4)

Distribucioacuten

Kolmogoacuterov Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Estadiacutestico Rango Estadiacutestico Rango Estadiacutestico Rango

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Tabla 3 Comparacioacuten de ajuste para las distribuciones aplicadas al histograma

Distribucioacuten Paraacutemetros

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Chi cuadrada ν=4141

Gamma α=55833 β=74169

Normal σ=17525 micro=41411

Tabla 4 Paraacutemetros encontrados para las distribuciones de probabilidad (β χ2 γ y normal) para el histograma de los flujos del grafo

Por uacuteltimo con base en los valores estadiacutesticos obtenidos a partir de la distribucioacuten de probabilidad se determina los valores de flujo yo configuraciones del grafo maacutes probables y asiacute ayudar en la toma de decisiones

Para facilitar la tarea de la toma de decisiones se desarrolloacute una herramienta de visualizacioacuten en la cual se presenta de manera conveniente el flujo del traacutensito vehicular en cada vialidad y se distinguen las zonas en donde se presentan congestionamientos Como se puede observar en la figura 21 las aacutereas en color rojo representan las zonas con problemas de congestionamiento mientras que las zonas en verde y azul sentildealan aacutereas con flujo vehicular sin problemas en el flujo vehicular

Figura 21 Captura de pantalla de la herramienta de visualizacioacuten

Capiacutetulo V Resultados

En este capiacutetulo se muestran los resultados correspondientes a los pasos descritos en el capiacutetulo IV de este documento En el Apeacutendice B se presenta una compilacioacuten de todos los experimentos realizados

51 Experimento 1 Grafo con 6 nodos y 10 aristas

Se construyoacute un grafo de 6 nodos y 10 aristas (ver figura 22) con la configuracioacuten descrita en la tabla 5 Se establecioacute que todas las aristas pudieran tener contraflujo se permitioacute un 5 de holgura para las restricciones de capacidad miacutenima y maacutexima de cada arista un flujo de entrada de 10 vehiacuteculos por segundo en el nodo 0 y un flujo de salida de 10 vehiacuteculos por segundo en el nodo 5

Figura 22 Representacioacuten graacutefica del grafo

Para eacuteste problema en particular se definieron dos funciones objetivo como se describe a continuacioacuten

Minimizar Z1 = 9Φ05 + 2Φ12 + 10Φ13 + 3Φ21 + 2Φ24 + 10Φ31 + 4Φ34 + 10Φ45 +8Φ51 + Φ52

Maximizar Z2 = Φ05 + Φ24 + Φ52

Nodo origen Nodo destino Capacidad miacutenima Capacidad maacutexima 0 5 2 9 1 2 1 11 1 3 2 6 2 1 1 6 2 4 1 10 3 1 2 5 3 4 2 5 4 5 2 9 5 1 1 5 5 2 1 10

Tabla 5 Configuracioacuten de valores para el grafo

Con la optimizacioacuten de las funciones objetivo se obtuvo el histograma que se muestra en la figura 23 En eacuteste caso vemos que la distribucioacuten de probabilidad que mejor se ajustoacute a los datos fue una distribucioacuten normal con media en 19022 y una desviacioacuten estaacutendar de 21483 (ver tabla 6 y tabla 7) Esto significa que el promedio de flujos obtenidos de la optimizacioacuten se encontraraacuten entre 157254 y 223186

Figura 23 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad normal

Distribucioacuten Kolmogoacuterov-Smirnov Anderson-Darling Chi cuadrada

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν =190

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

52 Experimentos con datos de Google Maps

Usando los datos estadiacutesticos recabados por Google Maps a traveacutes del uso de dipositivos moacuteviles se calcularon los flujos de traacutensito a partir de las velocidades promedio de cada vialidad Las liacuteneas en color verde representan una velocidad mayor o igual a 80 kmh las liacuteneas amarillas una velocidad en un intervalo entre 40 y 80 kmh mientras que las liacuteneas rojas indican que en esa vialidad hay una velocidad menor a los 40 kmh

Cabe mencionar que solamente se analizan vialidades principales es decir vialidades de las cuales Google Maps tiene los suficientes datos recolectados

521 Experimento 2 Lunes 900 am Meacutexico DF

El primero de los experimentos que se realizoacute fue emulando el traacutensito vehicular promedio de los diacuteas lunes a las 900h en la ciudad de Meacutexico (ver figura 24)

Figura 24 Situacioacuten que presentan las viacuteas principales de la Ciudad de Meacutexico el diacutea lunes a las 900 am

Al intentar encontrar una configuracioacuten factible para realizar la optimizacioacuten se observoacute con la herramienta de visualizacioacuten que las vialidades elegidas presentan conflictos vehiculares Muestra de esto son las manchas rojas que se pueden observar en la figura 25

Figura 25 Mapa de la Ciudad de Meacutexico con el modelado del traacutensito vehicular

El siguiente paso que se realizoacute fue optimizar la situacioacuten actual proponiendo que el 60 de las calles tuvieran contraflujo Al permitir dichos contraflujos se observoacute con la herramienta de visualizacioacuten que gran parte de las zonas con conflicto desaparecieron aunque siguen exisitiendo algunas aacutereas con problemas (ver figura 26)

Figura 26 Modelado de las principales vialidades de la Ciudad de Meacutexico permitiendo que 60 de ellas tengan contraflujos

El hecho de proponer contraflujos en algunas vialidades permitiacutea disminuir la cantidad de zonas con problemas de congestionamiento Se ejecutoacute una nueva optimizacioacuten en eacutesta ocasioacuten estableciendo que el 70 de las vialidades tuvieran contraflujo

Al realizar lo descrito anteriormente y haciendo uso nuevamente de la herramienta de visualizacioacuten desarrollada se obtuvo como resultado que disminuyeron las zonas con problemas viales Como se observa en la figura 27 las aacutereas en rojo disminuyeron en tamantildeo y en cantidad

Finalmente se decidioacute realizar una uacuteltima optimizacioacuten eacutesta vez proponiendo que 80 de las vialidades tuvieran contraflujo De nueva cuenta la cantidad de zonas con problemas viales disminuyeron tal como se observa en la figura 28

Con el anaacutelisis estadiacutestico realizado a eacuteste experimento se obtuvo el histograma que se muestra en la figura 29 En eacuteste caso vemos que la distribucioacuten de probabilidad que mejor se ajustoacute a los datos fue una distribucioacuten gamma con media en 56456 y una desviacioacuten estaacutendar de 14079 (ver tabla 8 y tabla 9) Esto significa que el promedio de flujos obtenidos de la optimizacioacuten se encontraraacuten entre 536402 y 592718

Figura 29 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad gamma

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

522 Experimento 3 Viernes 700 pm Meacutexico DF

Con los buenos resultados obtenidos de aplicar la metodologiacutea propuesta en una situacioacuten real (Experimento 2) se decidioacute aplicarla para una situacioacuten con una cantidad mayor de vialidades y utilizar los datos del traacutensito vehicular promedio para los diacuteas viernes a las 1900h en la ciudad de Meacutexico (ver figura 30)

Figura 30 Situacioacuten que presentan las viacuteas principales de la Ciudad de Meacutexico el diacutea viernes a las 700 pm

El primer paso fue encontrar una configuracioacuten factible para realizar la optimizacioacuten al hacer uso de la herramienta de visualizacioacuten se observoacute que las vialidades elegidas presentan conflictos vehiculares Muestra de esto son las manchas rojas que se pueden observar en la figura 31

La mejora que se propuso fue optimizar la situacioacuten actual permitiendo que el 85 de las calles tuvieran contraflujo Al permitir estos contraflujos se observoacute que gran parte de las zonas de las afueras de la ciudad que presentaban conflicto desaparecieron sin embargo la zona centro de la ciudad sigue presentando grandes problemas de traacutensito vehicular (ver figura 32)

La reducida capacidad de flujo vehicular que presentan las vialidades de la zona centro de la ciudad responde a el hecho que no se pudiera disminuir los congestionamientos de esa zona

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

523 Experimento 4 Prediccioacuten del comportamiento del traacutensito ante el cierre de una vialidad

Por uacuteltimo se experimentoacute realizando la prediccioacuten del comportamiento del traacutensito vehicular que se podriacutea presentar debido al cierre de una vialidad

Entre los resultados que se obtuvieron de eacuteste experimento destaca el hecho que no soacutelo las vialidades cercanas resultan afectadas (con aparicioacuten de cogestionamiento vial) sino que eacuteste efecto se propaga a otras vialidades incluso lejanas como se ilustra en la figura 34

Figura 34 Situacioacuten del traacutensito vehicular ante el cierre de una vialidad

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Con base en la metodologiacutea propuesta se pueden definir diferentes niveles de detalle para estudiar el comportamiento del flujo vehicular por ejemplo en la figura 36 podemos observar que se eligioacute un aacuterea menor para estudiar el comportamiento del traacutensito vehicular ante la misma situacioacuten del cierre de una vialidad

El anaacutelisis estadiacutestico realizado a eacuteste experimento se obtuvo el histograma que se muestra en la figura 37 En eacuteste caso vemos que la distribucioacuten de probabilidad que mejor se ajustoacute a los datos fue una distribucioacuten Weibull con media en 51766 y una desviacioacuten estaacutendar de 46279 (ver tabla 14 y tabla 15) Esto significa que el promedio de flujos obtenidos de la optimizacioacuten se encontraraacuten entre 5084042 y 5269158

Figura 37 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad Weibull

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

Tabla 15 Paraacutemetros encontrados para las distribuciones de probabilidad (β χ2 γ y weibull) para el histograma de los flujos del grafo

Capiacutetulo VI Conclusiones y trabajo futuro

En este capiacutetulo se presentan las conclusiones que se han obtenido durante el desarrollo de la tesis y se proponen algunos de los trabajos futuros a desarrollar que podriacutean surgir con fines de mejorarlo

61 Conclusiones

Con base en los experimentos realizados se comproboacute que el modelo propuesto permite optimizar el comportamiento del traacutensito vehicular Asimismo permite la prediccioacuten del comportamiento del traacutensito ante determinadas situaciones

La construccioacuten del grafo dirigido a partir de una red vehicular permitioacute definir direcciones de traacutensito asignar capacidades de flujo y pesos a las vialidades

El uso de las ecuaciones de flujo dentro del grafo ayudoacute a definir el comportamiento del traacutensito vehicular entre un par de nodos

Se mejoraron los modelos estudiados en el estado del arte al proponer un modelo que optimiza el flujo vehicular considerando la existencia de contraflujos en determinadas vialidades

La interpretacioacuten de los resultados obtenidos de la aplicacioacuten del modelo permitioacute detectar puntos o secciones donde se presentan congestionamientos viales

La aplicacioacuten del modelo permite generar estrategias adecuadas para la optimizacioacuten del flujo de traacutensito la deteccioacuten temprana de embotellamientos y la prediccioacuten de traacutefico a corto plazo en los sistemas dinaacutemicos de navegacioacuten asistida

62 Trabajo futuro

Con el fin de mejorar este trabajo se proponen las siguientes liacuteneas de investigacioacuten

Generalizar el modelo propuesto en eacuteste trabajo al estudio del traacutensito vehicular para los casos en los que no se cumple la condicioacuten de conservacioacuten de flujo y aquellos casos en los cuales los flujos de entrada y salida variacutean con el tiempo

Proponer una metodologiacutea para dividir aquellos grafos que tienen una gran cantidad de nodos y aristas por grafos maacutes pequentildeos Solucionaacutendolos de manera individual ya sea secuencial o paralelamente para posteriormente ofrecer una solucioacuten global

Proponer e implementar algoritmos que permitan mejorar el tiempo de ejecucioacuten y la precisioacuten en el caacutelculo de los flujos

Extender el modelo propuesto para incluir otros factores que influyen en el comportamiento del traacutensito vehicular Dichos factores podriacutean ser el estado del tiempo (despejado nublado llovizna chubascos precipitaciones tormentas viento niebla neblina) el estado de las viacuteas de transporte (peralte cambios de pendiente entre otros) etceacutetera

Definir teacutecnicas y reglas que permitan sugerir la creacioacuten de nuevas vialidades que no entren en conflicto con las existentes o bien ayuden a remediar las vialidades que presentan problemas de congestionamiento vial

Apeacutendice A

A1 Comparacioacuten entre el meacutetodo PSO y el meacutetodo OCN

Se realizoacute una comparacioacuten3 de los tiempos de coacutemputo empleados para la optimizacioacuten utilizando el meacutetodo OCN y el meacutetodo de enjambre de partiacuteculas (PSO) Estaacute comparacioacuten se muestra en la tabla 16

En la tabla 17 se enlistan los diferentes grafos construidos durante la experimentacioacuten y se mencionan los tiempos de convergencia a una solucioacuten oacuteptima Los tiempos reportados son tiempos promedio que se obtuvieron de haber utilizado el meacutetodo OCN

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

Meacutetodo PSO Meacutetodo OCN

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

Tabla 16 Comparacioacuten entre los tiempos de optimizacioacuten usando el meacutetodo PSO y el meacutetodo OCN

3 No es el objetivo principal de eacuteste trabajo pero se realizoacute porque hay que encontrar un resultado maacutes raacutepidamente

Nodos Aristas Tiempo (Segundos)

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Tabla 17 Relacioacuten de los grafos construidos con el tiempo que tardan en converger a una solucioacuten

Apeacutendice B

Como continuacioacuten del capiacutetulo V se presentan los resultados obtenidos de la optimizacioacuten del flujo realizada en diversos grafos

B1 Experimento 1 Grafo 4 nodos y 6 aristas

Los resultados se muestran en las siguientes graacuteficas

Figura 38 Histograma de los flujos del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad beta

Distribucioacuten Kolmogoacuterov

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Figura 41 Histograma del grafo optimizado ajustado a una distribucioacuten de probabilidad normal

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

B4 Experimento 4 Grafo 75 nodos 320 aristas

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

1 Aw A amp Rascle M (2000) Resurrection of ldquosecond orderrdquo models of traffic flow SIAM Journal on Applied Mathematics 60(3) 916ndash938

2 Bando M Hasabe K Nakayama A Shibata A amp Sugiyama Y (1995) Dynamical model of traffic congestion and numerical solution Physical Review E 51(2) 1035-1042

3 Ben-Akiva M Bierlaire M Koutsopoulos H amp Mishalani R (2002) Real Time Simulation of Traffic Demand-Supply Interactions within DynaMIT En M Gendreau amp P Marcotte Transportation and Network Analysis Current Trends (Vol 63 paacutegs 19-36) Boston USA Springer US

4 Biham O Middleton A amp Levine D (1992) Self-organization and a dynamical transition in traffic-flow models Physical Review A 46(10) 6124-6127

5 Bilchev G amp Parmee I (1995) The Ant Colony Metaphor for Searching Continuous Design Spaces En T C Fogarty (Ed) Evolutionary Computing (Vol 993 paacutegs 25-39) Sheffield UK Springer Berlin Heidelberg

6 Braess D Nagurney A amp Wakolbinger T (2005) On a Paradox of Traffic Planning Transportation Science 39(4) 446-450

7 Bunday B D amp Garside G R (1987) Optimisation methods in PASCAL (Primera ed) (E Arnold Ed) London UK

8 Burghout W Kotsopoulos H amp Andreacuteasson I (2005) Hybrid mesoscopicndashmicroscopic traffic simulation Proceedings of the 83rd Transportation Research Board annual meeting

9 Cao L Shi Z amp Bao P (2006) Self-adaptive Length Genetic Algorithm for Urban Rerouting Problem En L Jiao L Wang X Gao J Liu amp F Wu (Edits) Advances in Natural Computation (Vol 4221 paacutegs 726-729) Springer Berlin Heidelberg

10 CERN (enero de 2013) ROOT | A Data Analysis Framework Obtenido de httpwwwrootcernchdrupal

11 Chandler R E Herman R amp Montroll E W (1958) Traffic Dynamics Studies in Car Following Operations Research 6(2) 165-184

12 Cremer M amp Ludwig J (1986) A Fast Simulation Model for Traffic Flow on the Basis of Boolean Operations Mathematics and Computers in Simulation 28(4) 297-303

13 Delgado J Saavedra P amp Velasco R M (2011) Modelacioacuten de problemas de flujo vehicular Meacutexico

14 Donati A V Montemanni R Casagrande N Rizzoli A E amp Gambardella L M (2008) Time dependent vehicle routing problem with a multi ant colony system European Journal of Operational Research 185(3) 1174-1191

15 Dorigo M (1992) Optimization learning and natural algorithms Ph D Thesis Politecnico di Milano Italy

16 Florian M Mahut M amp Tremblay N (2001) A hybrid optimizationndashmesoscopic simulation dynamic traffic assignment model En Proceedings of the 2001 IEEE Intelligent Transport Systems Conference (paacutegs 118-123) Oakland USA

17 Foroughi R Montazer A G amp Sabzevari R (2008) Design of a new urban traffic control system using modified ant colony optimization approach Iranian Journal of Science and Technology Transaction B- Engineering 32(B2) 167-173

18 Fukui M amp Ishibashi Y (1996) Traffic Flow in 1D Cellular Automaton Model Including Cars Moving with High Speed Journal of the Physical Society of Japan 65(6) 1868-1870

19 Gerlough D L (1957) Control of Automobile Traffic A Problem in Real-time Computation En Papers and Discussions Presented at the December 9-13 1957 Eastern Joint Computer Conference Computers with Deadlines to Meet (paacutegs 75-79) Washington DC USA ACM

20 Gerlough D L (1958) Applications of Computers to Traffic Problems Institute of Transportation and Traffic Engineering

21 Gipps P G (1981) A behavioural car-following model for computer simulation Transportation Research Part B Methodological 15(2) 105-111

22 Gora P (2011) A Genetic Algorithm Approach to Optimization of Vehicular Traffic in Cities by Means of Configuring Traffic Lights En D Ryżko H Rybiński P Gawrysiak amp M Kryszkiewicz (Edits) Emerging Intelligent Technologies in Industry (Vol 369 paacutegs 1-10) Springer Berlin Heidelberg

23 Greenshields B D (1934) The Photographic Method of Studying Traffic Behavior En W C Roy (Ed) Proceedings of the 13th Annual Meeting of the Highway Research Board (Vol 13 paacutegs 382-399) Washington DC USA Highway Research Board

24 Greenshields B D (1935) A Study of Traffic Capacity En W C Roy (Ed) Proceedings of the 14th Annual Meeting of the Highway Research Board (Vol 14) Washington DC USA Highway Research Board

25 Helbing D (1995) Improved fluid-dynamic model for vehicular traffic Physical Review E 51(4) 3164-3169

26 Helbing D (2001) Traffic and related self-driven many-particle systems Reviews of Modern Physics 73(4) 1067-1141

27 Helbing D amp Treiber M (1998) Gas-Kinetic-Based Traffic Model Explaining Observed Hysteretic Phase Transition Physical Review Letters 81(14) 3042-3045

28 Herman R amp Potts R B (1959) Single Lane Traffic Theory and Experiment En Proceedings of the Symposium on Theory of Traffic Flow (paacutegs 147-157) New York USA Elsevier

29 Herman R Montroll E W Potts R B amp Rothery R W (1959) Traffic Dynamics Analysis of Stability in Car Following Operations Research 7(1) 86-106

30 Hoar R Penner J amp Jacob C (2002) Evolutionary swarm traffic if ant roads had traffic lights En Proceedings of the Congress Evolutionary Computation (Vol 2 paacutegs 1910-1915) Washington DC USA IEEE Computer Society

31 Holland J H (1975) Adaptation in Natural and Artificial Systems The University of Michigan Press

32 Hong W-C Pai P-F Yang S-L amp Lai C-Y (2007) Continuous Ant Colony Optimization in a SVR Urban Traffic Forecasting Model En F Sandoval A Prieto J Cabestany amp M Grantildea (Edits) Computational and Ambient Intelligence (Vol 4507 paacutegs 765-773) Springer Berlin Heidelberg

33 Jayakrisham R Mahmassani H S amp Yu T-Y (1994) An evaluation tool for advanced traffic information and management systems in urban networks Transportation Research Part C Emerging Technologies 2(3) 129-147

34 Kennedy J amp Eberhart R (1995) Particle Swarm Optimization En Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks (Vol 4 paacutegs 1942-1948) Washington DC USA IEEE Computer Society

35 Klar A Kuhne D amp Wegener R (1996) Mathematical Models for Vehicular Traffic Surveys on Mathematics for Industry 6(2) 215-239

36 Knospe W Santen L Schadschneider A amp Schreckenberg M (1999) Disorder effects in cellular automata for two-lane traffic Physica A Statistical Mechanics and its Applications 265(3-4) 614-633

37 Knospe W Santen L Schadschneider A amp Schreckenberg M (2002) A realistic two-lane traffic model for highway traffic Journal of Physics A Mathematical and General 35(15) 3369-3388

38 Kuumlhne R (1984) Highway Capacity and Level of Service En Proceedings of the 9th International Symposium on Transportation and Traffic Theory

39 Kuumlhne R (1987) Macroscopic freeway model for dense traffic stop-start waves and incident detection En Papers presented during the 9th International Symposium on Transportation and Traffic Theory (paacutegs 21-42) Delft the Netherlands

40 Leonard D P Gower P amp Taylor N (1989) CONTRAM Structure of the model Reporte 178 Transport and Road Research Laboratory Crowthorne UK

41 Lighthill M J amp Whitham G (1955) On kinetic waves II) A theory of traffic Flow on long crowded roads Proceedings of the Royal Society of London A(229) 281-345

42 Mahut M (2000) Discrete flow model for dynamic network loading Ph D Thesis Deacutepartement drsquoInformatique et de Recherhe Opeacuterationelle Universiteacute de Montreacuteal Center for Research on Transportation University of Montreal

43 Mathur M Karale S B Priye S Jayaraman V K amp Kulkarni B D (2000) Ant Colony Approach to Continuous Function Optimization Industrial amp Engineering Chemistry Research 39(10) 3814-3822

44 MathWave (Agosto de 2013) EasyFit Product Specification Obtenido de httpwwwmathwavecomproductseasyfit_deschtml

45 MathWave (Agosto de 2013) Mathwave data analysis amp simulation Obtenido de httpwwwmathwavecomenhomehtml

46 MathWave (Agosto de 2013) Supported Distributions Obtenido de httpwwwmathwavecompopuphtml-topic=supp_distamplang=enampw=490ampproduct=easyfit

47 Nagel K (1996) Particle Hopping Models and Traffic Flow Theory Physical Review E 53(5) 4655-4672

48 Nagel K amp Schreckenberg M (1992) A cellular automaton model for freeway traffic Journal de Physique I 2(12) 2221-2230

49 Nocedal J amp Wright S (2000) Numerical Optimization (Primera ed) Springer Berlin Heidelberg

50 Paveri-Fontana S L (1975) On Boltzmann-like treatments for traffic flow A critical review of the basic model and an alternative proposal for dilute traffic analysis Transportation Research 9(4) 225-235

51 Payne H J (1979) FREFLO a macroscopic simulation model of freeway traffic Transportation Research Record 72 68-77

52 Payne H J (1979) Research directions in computer control of urban traffic systems (W S Levine E Lieberman amp J J Fearnsides Edits) New York USA American Society of Civil Engineers

53 Pierre D A (1986) Optimization Theory with Applications New York USA Dover Publications Inc

54 Pipes L A (1953) An Operational Analysis of Traffic Dynamics Journal of Applied Physics 24(3) 274-281

55 Press W H Teukolsky S A Vetterling W T amp Flannery B P (1992) Numerical Recipes in C (2Nd Ed) The Art of Scientific Computing (Segunda ed) New York USA Cambridge University Press

56 Prigogine I amp Andrews F C (1961) A Boltzmann-Like Approach for Traffic Flow Operations Research 8(6) 789-797

57 Prigogine I amp Herman R (1971) Kinetic Theory of Vehicular Traffic (Primera ed) New York USA Elsevier Publishing Company Incorporated

58 Rosini M D (2013) Macroscopic Models for Vehicular Flows and Crowd Dynamics Theory and Applications (Primera ed) Springer Berlin Heidelberg

59 Rothery R W (1992) Chapter 4 Car following models En Transportation Research Board Special Report 165 Traffic flow theory (paacutegs 64-103)

60 Scales L E (1985) Introduction to Non-Linear Optimization (Primera ed) MacMillan City amp Guilds

61 Schreckenberg M Barvolic R Esser J Froese K Knospe W Neubert L y otros (1999) Online Traffic Simulation with Cellular Automata En W Brilon F Huber M Schreckenberg amp H Wallentowitz (Edits) Traffic and Mobility (paacutegs 117-134) Springer Berlin Heidelberg

62 Shi Y amp Eberhart R (1998) A modified particle swarm optimizer En Proceedings of IEEE International Conference on Evolutionary Computation (paacutegs 69-73)

63 Small K A Winston C amp Evans C A (1989) Road work a new highway pricing and investment policy Washington DC USA Brookings Institution Press

64 Srinivasan D Loo W H amp Cheu R L (2003) Traffic incident detection using particle swarm optimization En Proceedings of the 2003 IEEE Swarm Intelligence Symposium (paacutegs 144-151)

65 Treiber M amp Kesting A (2013) Traffic Flow Dynamics Data Models and Simulation (M Treiber amp C Thiemann Trads) Springer Berlin Heidelberg

66 Velasco R M amp Marques W (2005) Navier-Stokes-like equations for traffic flow Physical Review E 72(4) 046102

67 Wagner P Nagel K amp Wolf D E (1997) Realistic multi-lane traffic rules for cellular automata Physica A Statistical Mechanics and its Applications 234(3-4) 687-698

68 Zang L Jia L amp Meng X (2009) An Optimization Control Algorithm of Traffic Signals for Urban Arterials En IITA International Conference on Control Automation and Systems Engineering (paacutegs 338-341) IEEE Computer Society

69 Zhao J Tang D Geng X amp Jia L (2010) Urban Arterial Traffic Coordination Control System En F Wang H Deng Y Gao amp J Lei (Edits) Artificial Intelligence and Computational Intelligence (Vol 6320 paacutegs 275-283) Springer Berlin Heidelberg

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

ABSTRACT

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

CONTENIDO

RESUMEN iv

ABSTRACT v

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

3812 Gradiente 41

391 MPI 53

392 ROOT 54

3101 Histograma 56

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

61 CONCLUSIONES 88

APEacuteNDICE A 90

APEacuteNDICE B 92

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

LISTA DE TABLAS

13 Objetivo General

DI1 SC2 RE3 OP4

oacutepic

oscoacute

oacutepic

31 Enfoque global

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971=119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198971119905119894119890119898119901119900

minus119907119890ℎiacute1198881199061198971199001199041198972119905119894119890119898119901119900

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= 120601(1198971 119905) minus 120601(1198972 119905) (3)

120597120597119905 120588(119909 119905)1198891199091198972

1198971= minus

120597120601(119909 119905)120597119909

1198891199091198972

1198971 (4)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 0 (5)

120597120588(119909 119905)120597119905

+120597120601(119909 119905)120597119909

= 120601119894119899(119909 119905) minus 120601119900119906119905(119909 119905) (6)

120601(119909 119905) = 120588(119909 119905)119881(119909 119905) (7)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1minus120588

120588119898119886119909 (8)

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (9)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

= 0 (10)

120601(120588) = 120588119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

120597120588120597119909

120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (12)

120597120588120597119905

+ 120588120597120588120597119909

minus 11986312059721205881205971199092

= 0 (13)

119881(119909 119905) = 119881119890120588(119909 + 120582 minus 119881119879 119905 minus 119879) (14)

120601 + 1198790120597120601120597119905

= 119881119898119886119909 1 minus120588

120588119898119886119909 minus 119863

12059721205881205971199092

119879012059721205881205971199052

minus 11986312059721205881205971199092

+120597120588120597119905

+ 119881119898119886119909 1 minus2120588120588119898119886119909

120597120588120597119909

= 0 (17)

120597120601120597119905

+120597120597119909

120601119881 + 11988802120588 minus 120578120597119881120597119909 =

120588120591

[119881119890(120588)minus 119881] (18)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588)minus 119881] (19)

119979(119909 119905) = 120588(119909 119905)Θ0 minus 120578120597119881(119909 119905)120597119909

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

=Θ0120588120597120588120597119909

+120578012058812059721198811205971199092

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (21)

120597120588120597119905

+120597119881120597119909

= 0 (22)

120597119881120597119905

+ 119881120597119881120597119909

= minus1120588120597119979120597119909

+1120591

[119881119890(120588) minus 119881] (23)

120597Θ120597119905

+ 119881120597120579120597119909

= minus2119979120588120597V120597119909

minus1120588120597119973120597119909

+2120591

[Θ119890(120588119881) minus Θ] (24)

119979 = 120588Θ

1 minus 120588119904(119881) minus 120578120597119881120597119909

119973 = minus120582

120597120579120597119909

120578 =1205780

1 minus 120588119904

120582 =1205820

1 minus 120588119904

120597119906(119909 119905)120597119905

+ 119888120597119906(119909 119905)120597119909

y ℎ = (119887minus119886)119873

120597119906119909119894 119905119895120597119905

+ 119888120597119906119909119894 119905119895

120597119909= 0 (28)

120597119906119909119894 119905119895120597119905

=119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895

∆119905 (29)

120597119906119909119894 119905119895120597119909

=119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895

ℎ (30)

119894= 120593(119909119894)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆119905ℎ119880119894

119906119909119894 119905119895+1 = 119906119909119894 119905119895 + ∆119905120597119906119909119894 119905119895

120597119905+

(∆119905)2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199052+ ⋯ (32)

119906119909119894minus1 119905119895 = 119906119909119894 119905119895 minus ℎ120597119906119909119894 119905119895

120597119909+ℎ2

21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092+ ⋯ (33)

119906119909119894 119905119895+1 minus 119906119909119894 119905119895∆119905 + 119888

119906119909119894 119905119895 minus 119906119909119894minus1 119905119895ℎ =

∆11990521205972119906119909119894 119905119895

1205971199052 +119888ℎ21205972119906119909119894 119905119895

1205971199092 + ⋯ (34)

119864119879119894119895 le 119862ℎ + 119863∆119905 (35)

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)119903 + 119863ℎ119902 119888119900119899 119901 = 119898119894119899(119903119902) (36)

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (37)

Lax-Friedrichs

119880119894119895+1 =

12119880119894+1

119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905) + 119863ℎ2 (38)

Upwind

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus

119888∆119905ℎ119880119894

119895 minus 119880119894minus1119895 119888 gt 0

119888∆119905ℎ119880119894+1

119895 minus 119880119894119895 119888 lt 0

119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ (39)

Leap-Frog

119880119894119895+1 = 119880119894

119895minus1 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (40)

Lax-Wendroff

119880119894119895+1 = 119880119894

119895 minus119888∆1199052ℎ

119880119894+1119895 minus 119880119894minus1

119895 +1198882(∆119905)2

2ℎ2119880119894+1

119895 minus 2119880119894119895 + 119880119894minus1

119895 119864119879119894119895 le 119862(∆119905)2 + 119863ℎ2 (41)

37 Modelos Locales

119891(119888(119905)) = 119896 (42)

nabla119891119888(119905) sdot 119888prime(119905) = 0 (43)

3812 Gradiente

nabla ∙ 119891(119909) = nabla119891(119909) =

⎜⎜⎜⎜⎛

120597119891(119909)1205971199091120597119891(119909)1205971199092⋮

120597119891(119909)120597119909119899 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

119867119891(119909)119894119895 =1205972119891(119909)120597119909119894120597119909119895

119867(119891) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 120597211989112059711990912

120597211989112059711990921205971199091

120597211989112059711990911205971199092120597211989112059711990922

120597211989112059711990911205971199091198991205972119891

1205971199092120597119909119899⋮ ⋱ ⋮

12059721198911205971199091198991205971199091

12059721198911205971199091198991205971199092

⋯12059721198911205971199091198992 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Newton

Hooke-Jeeves

119891(119909) = 119891(1199090) +nabla119891(1199090)

1(119909 minus 1199090) + (119909 minus 1199090)119879

nabla2119891(1199090)2

(119909 minus 1199090) + ⋯ (47)

119891(119909) = 119891(1199090) + nabla119891(1199090)(119909 minus 1199090) +12

(119909 minus 1199090)119879119867(1199090)(119909 minus 1199090)119879 + ⋯ (48)

119909 = (1199091 1199092 hellip 119909119863)

Y simplificando

120128 = 1 0 ⋯ 00⋮

1 ⋯⋮ ⋱

0 0 ⋯ 1

120784+119961120784120784 minus 120783120785119942(119961120783+120783)120784+119961120784120784

119891(119909) =

1198911(119909)1198912(119909)⋮

119891119896(119909)

119891(119909) = [1198911(119909)1198912(119909) hellip 119891119896(119909)]119879

119909 =

11990911199092⋮119909119899

119909 = [11990911199092 hellip 119909119899]119879

119909119894(119871) le 119909119894 le 119909119894

(119880)

119909 isin ℝ119899

1198881 le 119892119895(119909) le 1198882

119895 = 1 hellip 119902

1198881 1198882 isin ℝ

E igualdades

ℎ119896(119909) = 119888

119896 = 1 hellip 119901

119888 isin ℝ

hellipMinMax ƒk

391 MPI

392 ROOT

3101 Histograma

119899 = 119898119894

119896

119894=1

119896 = max119909 minus min 119909

ℎ (52)

119896 = radic119899 (53)

119896 = lceillog2 119899 + 1rceil (54)

119896 = 2radic1198993 (55)

119870 =12057412(1205742 + 6)2

4(41205742 minus 312057412 + 12)(21205742 minus 312057412) (56)

Donde 1205741 = sum (119909119894minus120583)3119899119894=1

sum (119909119894minus120583)4119899119894=1

119871(11990911199092 hellip 119909119899 120579) = 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

ln 119871 (1199091 1199092 hellip 119909119899 120579) = ln 119891(119909119894 120579)119899

119894=1

119871 = (1199091 1199092 hellip 119909119899 120572 120582) = 119891(119909119894 120572 120582) = 120582120572

Γ(120572) 119909119894120572minus1119890minus120582119909119894

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

119899

119894=1

120585 =sum |119910119894 minus 119910119894lowast|119899119894=1

119899 (61)

120585 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1119899

120575 =

sum 119910119894 minus 119910119894lowast

2119899119894=1 119899

sum 119910119894119899119894=1 119899

120575 = sum 119910119894 minus 119910119894lowast2119899

119894=1sum 1199101198942119899119894=1

1205942 = (119874119894 minus 119864119894)2

119864119894

119899

119894=1

119865119899(119909) =1119899 1 119904119894 119910119894 le 119909

0 119890119899 119888119886119904119900 119888119900119899119905119903119886119903119894119900

119899

119894=1

1198602 = minus119899 minus 119878 (68)

119878 = 2119894 minus 1119899

119899

119894=1

[ln119865(119884119894) + ln(1 minus 119865(119884119899+1minus119894))] (69)

factible

vehicular

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) le 119862(119906119907)

119898119886119909 forall(119906 119907) isin 119864

0 lt 119862(119906119907)119898119894119899 le 119862(119906119907) + 119862(119906119907)

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119894

minusϕ119904119886119897119894119889119886119894

ϕ119890119899119905119903119886119889119886119895

minusϕ119904119886119897119894119889119886119895

= 119888119900119899119904119905119886119899119905119890 forall119895 isin 119873

120601 = 0119899

hellip

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Beta 007765 2 3407 2 24832 2

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 003868 1 063951 1 9275 1

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Beta 006434 3 30823 3 76747 4

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 58508 3

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Normal σ=14079 μ=56456

Beta 015234 4 19694 4 004715 3

Chi cuadrada 012223 3 015344 2 008294 4

Gamma 011113 2 015327 1 001008 1

Normal 010969 1 017883 3 001248 2

Beta α1=075611 α2=056742 a=50309 b=55775

Gamma α=84023 β=6339

Normal σ=18375 μ=5326

Beta 020598 2 19184 3 008984 1

Chi cuadrada 023535 4 2616 4 11903 3

Gamma 018649 1 062649 1 010978 2

Normal 021977 3 0 7897 2 14698 4

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Beta 025713 3 23227 4 004167 4

Gamma 024488 2 11406 2 003662 3

Normal 028011 4 19184 3 000151 2

Weibull 024446 1 08069 1 16651E-4 1

Beta α1=11248 α2=18764 a=49334 b=54902

Gamma α=13522 β=38039

Normal σ=13988 μ=51437

Weibull α=46279 β=51766

61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A

Nodos Aristas

Tiempo (segundos)

4 6 00182 00004

6 15 07694 00216

8 24 1273812 01291

10 28 4737058 02347

12 30 12876631 03105

45 184 60105

47 147 5322024

50 213 5648804

55 234 5577638

60 256 5961945

65 274 18436125

68 284 12507034

72 276 1606159

75 320 198834

110 259 3864958

Apeacutendice B

Smirnov

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Gamma α =78402 β =24262

Normal σ =21483 μ =19022

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 003868 1 063951 1 9275 1

Chi cuadrada 010733 4 80137 4 48769 4

Gamma 008721 3 42136 3 2825 3

Normal 007765 2 3407 2 24832 2

Beta α1=20189 α2=15966 a=13841 b=23094

Chi cuadrada ν=190

Gamma α=78402 β=24262

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 00336 3 24599 3 50116 3

Chi cuadrada 016495 4 64349 4 19579 4

Gamma 002589 1 019376 1 43466 2

Normal 002805 2 022035 2 34248 1

Beta α1=32524 α2=34146 a=36675 b=46369

Gamma α=55833 β=74169

Distribucioacuten

Anderson Darling

Chi cuadrada

Beta 006434 3 30823 3 76747 3

Chi cuadrada 0107 4 81323 4 41763 4

Gamma 004 1 043983 1 29791 1

Normal 004086 2 047676 2 35382 2

Beta α1=4046 α2=30868 a=51923 b=59980

Gamma α=16080 β=3511

Bibliografiacutea

RESUMEN

ABSTRACT



13 Objetivo General














31 Enfoque global













37 Modelos Locales







3812 Gradiente








391 MPI

392 ROOT


3101 Histograma




















61 Conclusiones

62 Trabajo futuro

Apeacutendice A


Apeacutendice B





Bibliografiacutea

Documents

Modelado de tránsito y optimización del flujo vehicular en