Miguel Gómez DomínguezJosé Luis Rosado Olmo

Drawing Bipartite Graphs on Two Parallel Convex Curves por Emilio Di Giacomo, Luca Grilli y Giuseppe Liotta. Journal of Graph Algorithms and Applications

También está relacionado con el estudio de las pruebas planaridad radial iniciado por Bachmaier, Brandeburgo y Forster

Introducción Curvas convexas paralelas Curvas emparejadas Grafo ciempiés Grafo Garra Grafo Bosque de Ciempiés Grafo abanico

En este articulo de investigación se tratará el problema de como dibujamos un grafo bipartito de manera que sus aristas no se corten, es decir, estudiaremos el caso de los dibujos planos de grafos bipartitos.

Un grafo bipartito es biplanar si admite que los vértices de los conjuntos partitos se encuentren en rectas paralelas.

Ejemplo:Tenemos un grafo bipartito biplanar al que le queremos añadir un vértice que se una con todos los demás.

Si las rectas en las que están los vértices las curvamos podríamos mantener la biplanaridad.

Dos curvas convexas son paralelas si cada normal a una curva también es una normal a la otra curva y la distancia entre los puntos donde se cruzan las normales de las dos curvas es constante.

Si llamamos L a la curva interior de las dos curvas estas están emparejadas si existen dos puntos contenidos en dicha curva interior tal que el segmento de línea recta que pasa por estos puntos también lo hace sobre un punto de la curva exterior.

Dos curvas emparejadas Dos curvas no emparejadas

Un grafo se denomina ciempiés si al borrar todos los vértices de grado uno produce un camino (posiblemente vacío).

Una 2-garra es un grafo que tiene un vértice de grado 3 (llamado centro) que es adyacente a tres vértices de grado 2.

Un grafo G es un bosque de ciempiés si y sólo si G es acíclico y no contiene 2-garra.

Un grafo bipartito permite dibujar una curva biplanar en dos curvas no emparejadas si y sólo si se trata de un bosque de ciempiés.

Una familia especifica de grafos bipartitos son los grafos abanicos que admiten una curva biplanar en dos curvas emparejadas.

Un grafo bipartito es un abanico si tiene un vértice u, llamado ápice, que está compartido por todos los vértices que forman los palillos del abanico.

Si entre cada dos vértices de los palillos del abanico existe otro vértice unido a estos dos con dos aristas lo llamaremos triplete del abanico.

Una cuña es una porción encerrada entre las rectas que unen dos puntos de la curva exterior y un punto de la curva interior.

Sea G un abanico bipartito con n vértices y ápice u. Sea A y B dos curvas emparejadas y W (p,q,r) una cuña de A.

El abanico G admite dibujar una curva biplanar contenida en A, B en el interior de la cuña tal que:

1.- La primera y la ultima arista de G están representadas por los segmentos qr y pq.

2.- Por cada triplete del abanico, los tres puntos que definen el triplete, definen una cuña de A,B