Metodo de La Doble Intregracion

8/18/2019 Metodo de La Doble Intregracion

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO MONOGRAFICO





“ ÑO DE L DIVERSIFIC CIÓN PRODUCTIV Y DEL

FORT LECIMIENTO DE L EDUC CIÓN”

TRABAJO DE MONOGRAFICO-METODO

DE LA DOBLE INTEGRACION


ING.JOSE GORA GALLO

GARCIA FERNANDEZ MIGUEL ELIAS

VI SEMESTRE

2015HUANCAYO_PERÚ





3

INDICE

INDICE ................................................................................................................................. 3

DEDICATORIA....................................................................................................................... 4

INTRODUCCION ................................................................................................................... 5

1._METODO DE LA DOBLE INTREGRACION ............................................................................. 6

1.1._PROCESO DE INTEGRACIÓN......................................................................................... 8

1.2._CRITERIOS DE SIGNONS: ............................................................................................ 9

1.3._HIPOTESIS Y LIMITACIONES: ....................................................................................... 9

1.4._ EJEMPLOS ................................................................................................................ 9

2._CONCLUSIONES ............................................................................................................. 15

3._BIBLIOGRAFIA................................................................................................................ 15





4

DEDICATORIA

Este trabajo va dedicado a los

alumnos que investigan

distintos métodos para hallar

deflexiones en un elemento

estructural.





5

INTRODUCCION

Como sabemos existen diferentes métodos para hallar deflexiones en vigas, ahora

conoceremos un método llamado método de la doble integración, su uso requiere la

capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momen to

flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga

por medio del cálculo integral.

Este método produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite

la determinación directa del punto de máxima deflexión, por lo tanto es un métodogeométrico





6

1 _METODO DE LA DOBLE INTREGRACION

Es el más general para determinar deflexiones, como sabemos las mayores deflexiones

son ocasionadas por vigas. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de

cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza

cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y

deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración

produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la

determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de

la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en

función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga

prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos

entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar

respecto a ‘x’. Planteamos:

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de

frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy

pequeña, es satisfactoria la aproximación:

Formula 01

Formula 02





7

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta

tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’

medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración

que, al igual que ‘C1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer

sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os)

punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta

información.

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’

medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración

que, al igual que ‘C1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer

sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os)

punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta

información.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por

ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Formula 03

Formula 4





8

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’: x = LB →

y = 0

Debido al empotramiento ‘A’: x = LA → y = 0 x = LA → θ = 0

1 1 _PROCESO DE INTEGRACIÓN

El método de la doble integración para calcular la flecha de las vigas consistesimplemente en integrar la ecuación (1).

La primeraintegración nos da la pendiente en un punto cualquiera de la viga y lasegunda,la flecha “y” para cada valor de “x”. Indudablemente, el momento flector M ha de estarexpresado como función de la coordenada “x”, antes de poder integrar la ecuación. Para

los casos que estudiaremos, las integraciones son sumamente fáciles.

Dx/dy

Como la ecuación diferencial (1).es de segundo orden su solución contendrá dosconstantes de integración, que deberá calcularse a partir de las condicionesdependiente o flecha conocidas en determinados puntos de la viga. Por ejemplo, en elcaso de una viga en voladizo, se determinarán las constantes por las condiciones devariación de pendiente cero y flecha nula en el extremo empotrado. Para describir elmomento flector en las diversas regiones a lo largo de la viga, frecuentemente se

necesitan dos o más ecuaciones. En tal caso, debe escribirse la ecuación 1 para cadaregión y en cada una de ellas se obtendrán dos constantes en la integración, constantes





9

en la integración, constantes en la integración, constantes que deberán determinarse demodo que las deformaciones y pendientes sean continuas en los puntos comunes a dos

regiones.

1 2 _CRITERIOS DE SIGNONS:

Se conservarán los criterios de signos delosmomentos flectores, adoptadas en el cap. 6. Las cantidades e que aparecen en laecuación (1) son, indudablemente, positivas, por lo que si M espositivo para un cierto valor de “x”, también lo es con el criterio anterior designios delos momentos flectores es necesario considerar la coordenada x positiva hacia laderecha a lo largo de la viga y la flecha y positiva hacia arriba.

1 3 _HIPOTESIS Y LIMITACIONES:

Al deducir la formula número uno (1) se supone que las deformaciones producidas porla ecuación del cortante son despreciables comparadas conlasproducidas por la flexión. También se supone que las deformaciones sonpequeñasque las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección dela viga. Además, se admite que la viga es recta antes delaaplicación de las cargas. Todas estas condiciones se añaden alas hipótesis referentes ala teoría de las vigas.

1 4 _ EJEMPLOS

Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reacciones verticales en la vigade la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reaccionesdesconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y sele integra sucesivamente.

80250 2

1

xxxVMx

500 kg/m

x

V V

M

8.00 m

500 kg/m

1 2Fig. 4

Criterio de

signos: +





10

212

2

250xxVdx

dEI y

Integrando:

)CxxV

dx

EIdy1

3

250

2 1

321

)CxCxxV

EIY 212

250

6 21

431

Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en cualquier

punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente por lo que

sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:

1

32

1

3

8250

2

80 C

)()(V

11 326666642 V.,C

La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El apoyo 1) es

simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e igualando a cero, se tiene: C 2 =

0

En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos obtener

una ecuación en función de la reacción V1 la que al resolverse nos da su valor.

832666664212

8250

6

80 1

431 )V.,(

)()(V

V1 = 1500.00 kg





11

Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.

V1 + V2 - 500(8) = 0

V2 = 2500.00 kg

Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse sumando

momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la ecuación de momentos.

M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0

M2 = 4000.00 kg.m

Fin del problema.

Problema 2. Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 5).

Trace también los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. Si la

sección transversal es compacta rectangular de 15x25 cm, calcule la flecha al centro

del claro para un módulo elástico de 250,000.00 cm4.

500 kg/m

4000 kg.m

2500

500 kg

800 kg

5.00 m 5.00 m

1 2

Fig. 5





12

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones

desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se

le integra sucesivamente.

)xMxVM x 15011

)x)x(MxVM x 21955800 111111

Integrando la ecuacion 1).

112

2

MxVdx

EId y

)CxMxV

dx

EIdy3

2 11

21

)CxCxMxV

EIY 4

26 21

21

31

En las ecuaciones 3) y 4), la pendiente (dy/dx) y la felcha (Y) son cero en el apoyo 1,

esto es cuando x = 0. Para esta condición C1 y C2 son cero.

C1 = C2 = 0

Integrando la ecuación 2).

800 kg

x

X

1

M1 M2

V1 V2

Criterio de

signos: +





13

)x(MxVdx

EIdy5800 11112

1

2

)C)x(

xMxV

dx

EIdy5

2

5800

2 3

2

1

11

2

11

1

)CxC)x(xMxV

EIY 66

5800

26 413

31

211

311

En las ecuaciones 3) y 5) la pendiente es la misma cuando x = x 1 = 5. Al comparar estasecuaciones resulta C3 = 0

En las ecuaciones 4) y 6) la flecha es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar estas

ecuaciones resulta C4 = 0

Se requieren ahora 2 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen para x 1 =

10 en 5) y 6), ya que en este apoyo la pendienete y la flecha son cero.

En 5) cuando x1 = 10, (dy/dx1 = 0):

2

51080010

2

100

2

1

2

1

M V

50V1 - 10M – 10,000.00 = 0 -------- 7)

En 6) cuando x1 = 10, (Y = 0):

0106

5)-10(800

2

10M

6

1043

321

31

CC)()(V

166.666 V1 - 50 M1 - 16,666.666 = 0 ------- 8)





14

Resolviendo las ecuaciones 7) y 8).

V1 = 400 kg

M1 = 1000 kg.m

Diagramas de cortante y de momento.

Flecha al centro del claro. Se obtiene en la ecuaciómn 4) para x = 5.00 m.

)CxCxMxV

EIY 426

21

21

31

E = 250,000.00 kg/cm2

43

255311912

2515cm.,

)(I

cm.).,(.,

)(., Y 8530

255311900000250

1066616664 6

Fin del problema.

800 kg

400 kg 400 kg

1000 kg.m1000 kg.m

400

400

1000

10001000

Fuerza Cortante

Momento Flector

EI

., Y

66616664





15

2 _CONCLUSIONES

En conclusión el desplazamiento o pendiente de un punto específico sobre una viga o

marco puede determinarse usando el método de doble integración, sin embargo este

método se formuló a partir de ecuaciones escritas en el cuerpo de este informe, por

tanto este método se limita por tanto a problemas que implican deflexiones pequeñas

causadas por flexión.

3 _BIBLIOGRAFIA

https://prezi.com/2is4kz0jm_d8/metodo-de-doble-integracion/#

http://es.slideshare.net/ESCORPION110/resistencia-de-materiales-tema- 6

https://es.wikipedia.org/wiki/Deflexión_de_sistemas_estructurale s

https://prezi.com/2is4kz0jm_d8/metodo-de-doble-integracion/

http://es.slideshare.net/ESCORPION110/resistencia-de-materiales-tema-6

https://es.wikipedia.org/wiki/Deflexi%C3%B3n_de_sistemas_estructurales

https://es.wikipedia.org/wiki/Deflexi%C3%B3n_de_sistemas_estructurales

http://es.slideshare.net/ESCORPION110/resistencia-de-materiales-tema-6

https://prezi.com/2is4kz0jm_d8/metodo-de-doble-integracion/

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