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8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
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M u l t i d e s t i n a t i o n M e s s a g e P a s s i n g M e
c h a n i s m
C o n f o r m i n g t o B a s e W o r m h o l e R o u t i n g S
c h e m e
1
D h a b a l e s w a r K . P a n d a , S a n j a y S i n g a l a
n d P r a d e e p P r a b h a k a r a n
D e p t . o f C o m p u t e r a n d I n f o r m a t i o n S c i
e n c e
T h e O h i o S t a t e U n i v e r s i t y , C o l u m b u s ,
O H 4 3 2 1 0 - 1 2 7 7
T e l : ( 6 1 4 ) - 2 9 2 - 5 1 9 9 , F a x : ( 6 1 4 ) - 2 9 2
- 2 9 1 1
E - m a i l : f p a n d a , s i n g a l , p r a b h a k a g @ c
i s . o h i o - s t a t e . e d u
A b s t r a c t : T h i s p a p e r p r o p o s e s a n o v e l
c o n c e p t o f m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m m e c h a
n i s m w h i c h
a l l o w s a m e s s a g e t o b e p r o p a g a t e d i n a w
o r m h o l e n e t w o r k c o n f o r m i n g t o t h e u n d e r
l y i n g b a s e
r o u t i n g s c h e m e ( e c u b e , p l a n a r , t u r n ,
o r f u l l y a d a p t i v e ) . U s i n g t h i s m o d e l , a n
y s o u r c e h a s p o t e n -
t i a l t o d e l i v e r a m e s s a g e t o m u l t i p l e d
e s t i n a t i o n s i n a n y v a l i d p a t h i n t h e s y s t
e m c o n f o r m i n g t o
t h e b a s e r o u t i n g s c h e m e w h i l e e n c o u n t
e r i n g o n l y a s i n g l e c o m m u n i c a t i o n s t a r t
- u p . T h e e x i b i l -
i t y o f s e n d i n g u n i c a s t m e s s a g e s e x i s t
s u n d e r t h i s m o d e l a s a s u b s e t o p e r a t i o n .
T w o s c h e m e s a r e
d e v e l o p e d a n d e v a l u a t e d u n d e r t h i s m o
d e l t o p e r f o r m f a s t m u l t i c a s t i n g o n 2 D / 3
D m e s h e s / t o r i .
N o t o n l y d o t h e s e s c h e m e s d e m o n s t r a t e
s u p e r i o r i t y o v e r U m e s h ( u n i c a s t - b a s e d
m u l t i c a s t ) 2 5 ]
a n d H a m i l t o n i a n - P a t h - b a s e d 2 4 ] s c h e
m e s , t h e y i n d i c a t e a v e r y u n i q u e a n d i n t e
r e s t i n g r e s u l t
t h a t t h e c o s t o f m u l t i c a s t o p e r a t i o n s
c a n b e r e d u c e d o r k e p t n e a r - c o n s t a n t i n e
- c u b e s y s t e m s a s
t h e d e g r e e o f m u l t i c a s t ( n u m b e r o f d e s
t i n a t i o n s / s r c ) i n c r e a s e s . T h e p r o p o s e
d s c h e m e s c a n a l s o
t a k e a d v a n t a g e o f r o u t i n g - a d a p t i v i t
y a n d i r r e g u l a r i t y i n s y s t e m t o p o l o g y t o
f u r t h e r r e d u c e t h e
c o s t o f m u l t i c a s t o p e r a t i o n s . T h e s e r
e s u l t s a r e t h e r s t o n e s i n t h e w o r m h o l e - r
o u t i n g l i t e r a t u r e
t o p r o p o s e m u l t i c a s t i n g s c h e m e s w i t h
s u c h r e d u c e d o v e r h e a d a n d p r o v i s i o n f o r
t a k i n g a d v a n t a g e
o f a d a p t i v i t y . T h i s m u l t i c a s t m o d e l l
a y s a n e w f o u n d a t i o n t o b u i l d w o r m h o l e - r
o u t e d d i s t r i b u t e d -
m e m o r y s y s t e m s w i t h f a s t c o l l e c t i v e c
o m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n s a n d d i s t r i b u t
e d - s h a r e d - m e m o r y
s y s t e m s w i t h f a s t c a c h e - c o h e r e n c y s u
p p o r t .
1
T h i s r e s e a r c h i s s u p p o r t e d i n p a r t b y t
h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t # M
I P - 9 3 0 9 6 2 7 .
1
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C o n t e n t s
1 I n t r o d u c t i o n 1
2 M u l t i d e s t i n a t i o n M e c h a n i s m a n d B a s
e - R o u t i n g - C o n f o r m e d - P a t h ( B R C P ) M o d e
l 3
2 . 1 M u l t i d e s t i n a t i o n W o r m h o l e M e c h a
n i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3
2 . 2 P a t h s C o n f o r m i n g t o B a s e R o u t i n g :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
2 . 3 I n t r i n s i c B e n e t s : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
3 D e a d l o c k - F r e e d o m a n d A r c h i t e c t u r a
l S u p p o r t s 6
3 . 1 C o m m u n i c a t i o n C h a n n e l D e p e n d e n c
y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
3 . 2 C o n s u m p t i o n C h a n n e l D e p e n d e n c y :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
3 . 3 A r c h i t e c t u r a l S u p p o r t s : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
4 M u l t i c a s t i n g 1 0
4 . 1 H i e r a r c h i c a l L e a d e r - b a s e d S c h e m
e ( H L ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
0
4 . 1 . 1 T h e b a s i c H L s c h e m e : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
4 . 1 . 2 E - c u b e R o u t e d 2 D M e s h e s : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2
4 . 1 . 3 T a k i n g A d v a n t a g e o f A d a p t i v i t y
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
4 . 2 M u l t i p h a s e G r e e d y S c h e m e ( M G ) : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
4 . 2 . 1 T h e b a s i c s c h e m e : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5
4 . 2 . 2 R e d u c i n g t h e n u m b e r o f s t e p s r e q
u i r e d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6
4 . 2 . 3 T a k i n g A d v a n t a g e o f A d a p t i v i t y
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7
4 . 3 E e c t o f c h a n g e s i n t o p o l o g y : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 . 3 . 1 M u l t i d i m e n s i o n a l M e s h e s : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 . 3 . 2 S y s t e m s w i t h I r r e g u l a r T o p o l o g
i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 . 3 . 3 W r a p - a r o u n d T o r i : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9
5 B r o a d c a s t i n g 2 0
5 . 1 H i e r a r c h i c a l L e a d e r - b a s e d S c h e m
e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
0
5 . 2 M u l t i p h a s e G r e e d y S c h e m e ( M G ) : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0
6 S i m u l a t i o n E x p e r i m e n t s a n d R e s u l t s
2 1
6 . 1 O v e r a l l C o m p a r i s o n f o r 2 D M e s h e s w
i t h E - c u b e R o u t i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: 2 2
6 . 2 E e c t o f A d a p t i v i t y : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
6 . 3 C o m p a r i s o n f o r 3 D M e s h e s : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 4 E e c t o f I r r e g u l a r T o p o l o g y : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 5 E e c t o f W r a p a r o u n d : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6
6 . 6 S c a l a b i l i t y w i t h I n c r e a s i n g S y s t
e m S i z e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: 2 7
7 C o n c l u s i o n s a n d F u t u r e R e s e a r c h 2
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2
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T h o u g h H a m i l t o n i a n p a t h - b a s e d r o u t i
n g d e m o n s t r a t e s s i g n i c a n t p o t e n t i a l , i
t s d e v e l o p -
m e n t h a s b e e n i n a d i r e c t i o n w h i c h i s d i
e r e n t f r o m t h e c o n v e n t i o n a l d e v e l o p m e n
t a l t r a c k o f
w o r m h o l e - r o u t e d s y s t e m s . I n t h e p a s t
, t h e w o r m h o l e - r o u t e d s y s t e m s s t a r t e d w
i t h e - c u b e r o u t -
i n g 1 3 ] . R e c e n t l y i n t h e l i t e r a t u r e , v
a r i o u s d e t e r m i n i s t i c a n d a d a p t i v e r o u t
i n g s c h e m e s h a v e
b e e n p r o p o s e d 1 , 7 , 1 1 , 1 5 , 1 7 , 3 1 ] . T h o
u g h t o d a y ' s c o m m e r c i a l a n d e x p e r i m e n t a
l s y s t e m s
( I n t e l P a r a g o n 1 9 ] , C r a y T 3 D 1 2 ] , N c u b
e - 3 1 6 ] , S t a n f o r d D A S H 2 1 ] ) u s e o n l y e - c u
b e r o u t i n g ,
a n a t u r a l e x t e n s i o n f o r t h e s e m a c h i n e
s i n n e a r f u t u r e w i l l b e t o g o f o r s o m e a d a p
t i v e r o u t i n g
s c h e m e . I n o r d e r t o i m p l e m e n t H a m i l t o
n i a n - p a t h - b a s e d r o u t i n g , t h e s e m a c h i n
e s n e e d t o g o
t h r o u g h a c o m p l e t e s e t o f r o u t e r m o d i c
a t i o n . H e n c e , i t i s l e s s l i k e l y t h a t a s y s
t e m i n n e a r
f u t u r e w i l l b e a b l e t o t a k e a d v a n t a g e o
f t h e p o t e n t i a l o f H a m i l t o n i a n - p a t h - b a
s e d r o u t i n g .
I f t h e w o r m h o l e - r o u t e d s y s t e m s i n n e a
r - f u t u r e g o f o r a d a p t i v e r o u t i n g , a n a t u
r a l q u e s t i o n
a r i s e s w h e t h e r t h e s e s y s t e m s , b e s i d e
s d e l i v e r i n g h i g h e r s y s t e m t h r o u g h p u t d
u e t o a d a p t i v i t y ,
c a n a l s o i m p l e m e n t f a s t c o l l e c t i v e c o
m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n s b y t a k i n g a d v a n
t a g e o f a d a p t i v i t y .
T h e c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n a l g o r i
t h m s p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e s o f a r h a
v e b e e n g e a r e d
t o w a r d s e - c u b e r o u t i n g . V e r y l i t t l e w
o r k h a s b e e n d o n e t o t a k e a d v a n t a g e o f a d a
p t i v i t y t o
p e r f o r m t h e s e o p e r a t i o n s f a s t e r . I n 1
4 ] , D u a t o h a s p r e s e n t e d a t h e o r y o f d e a d l
o c k - f r e e a d a p t i v e
m u l t i c a s t r o u t i n g . A s i n g l e - p a t h - b a
s e d a d a p t i v e w o r m h o l e r o u t i n g s c h e m e i s
p r o p o s e d i n 2 2 ] t o
a c c o m m o d a t e b o t h u n i c a s t a n d m u l t i c a
s t c o m m u n i c a t i o n i n h y p e r c u b e s . H o w e v e
r , n o w o r k h a s
b e e n d o n e t o d e v e l o p c o m m u n i c a t i o n m e
c h a n i s m s f o r k - a r y n - c u b e w o r m h o l e n e t w
o r k s w h i c h
c a n b l e n d w e l l w i t h t h e a v a i l a b l e a d a p
t i v i t y i n a s y s t e m t o f a c i l i t a t e e c i e n t i
m p l e m e n t a t i o n
o f c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n o p e r a t i
o n s .
I n t h i s p a p e r , w e t a k e s u c h a n a p p r o a c h
i n d e n i n g a n e w f r a m e w o r k o f B a s e - R o u t i n
g -
C o n f o r m e d - P a t h ( B R C P ) m o d e l . T h i s m o
d e l i s t i g h t l y - c o u p l e d w i t h m u l t i d e s t i
n a t i o n m e s s a g e -
p a s s i n g m e c h a n i s m w h i l e p r o v i d i n g e x
i b i l i t y f o r u n i c a s t m e s s a g e s . U n l i k e t h
e H a m i l t o n i a n -
p a t h - b a s e d s c h e m e , t h e B R C P m o d e l a l l
o w s a m u l t i d e s t i n a t i o n m e s s a g e t o b e p r o
p a g a t e d
t h r o u g h a n y p a t h i n t h e n e t w o r k a s l o n g
a s i t i s a v a l i d p a t h c o n f o r m i n g t o t h e b a s
e - r o u t i n g
s c h e m e . F o r e x a m p l e o n a 2 D m e s h w i t h e -
c u b e ( r o w - c o l u m n ) r o u t i n g , a v a l i d p a t h
c a n b e
a n y r o w , c o l u m n , o r r o w - c o l u m n . I f t h e
n e t w o r k s u p p o r t s p l a n a r - a d a p t i v e r o u t
i n g , a m e s s a g e
c a n a l s o b e p r o p a g a t e d a l o n g a d i a g o n a
l p a t h . S i m i l a r e x i b i l i t y e x i s t s f o r n e t
w o r k s s u p p o r t i n g
f u l l y - a d a p t i v e r o u t i n g a n d t u r n m o d e
l .
T o d e m o n s t r a t e t h e p o t e n t i a l o f t h i s n
e w m e c h a n i s m , w e d e v e l o p a n d p r e s e n t t w o
s c h e m e s
f o r b r o a d c a s t / m u l t i c a s t . B r o a d c a s t
i n g i s a n i m p o r t a n t c o l l e c t i v e c o m m u n i c
a t i o n o p e r a t i o n 2 6 ] .
W h e n t h i s o p e r a t i o n t a k e s p l a c e o v e r a
s u b s e t o f p r o c e s s e s o r t h e p r o c e s s e s a r e
n o t c o n t i g u o u s l y
a l l o c a t e d i n a s y s t e m , i t r e d u c e s t o m u
l t i c a s t o p e r a t i o n f r o m t h e s y s t e m ' s p e r
s p e c t i v e . T h e s e
s c h e m e s p e r f o r m f a r b e t t e r c o m p a r e d t
o t h e U m e s h 2 5 ] a n d t h e H a m i l t o n i a n - p a t h
- b a s e d 2 4 ]
4
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s c h e m e s e v e n f o r s y s t e m s w i t h e - c u b e r
o u t i n g . A s t h e n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s f o
r a m u l t i c a s t
i n c r e a s e s , w e s h o w t h a t t h e o v e r h e a d o
f m u l t i c a s t c a n i n f a c t b e r e d u c e d . W i t h i
n c r e a s e i n
a d a p t i v i t y i n t h e n e t w o r k , t h e s c h e m e
s p e r f o r m e v e n b e t t e r . W e a l s o s h o w t h a t t
h e m o d e l c a n
t a k e a d v a n t a g e o f i r r e g u l a r i t y i n t o p
o l o g y a n d s p a t i a l p o s i t i o n s o f t h e p a r t i
c i p a t i n g n o d e s t o
p e r f o r m m u l t i c a s t i n g f a s t e r . I t i s s h
o w n t h a t t h i s m o d e l c a n b e v e r y e a s i l y i m p
l e m e n t e d i n
t h e e x i s t i n g r o u t e r s b y i n c o r p o r a t i n
g m i n o r a d d i t i o n a l l o g i c t o t h e r o u t e r a n
d h e n c e , c a n b e
i n c o r p o r a t e d i n t o n e a r - f u t u r e w o r m h
o l e - r o u t e d s y s t e m s t o o b t a i n s i g n i c a n t
p e r f o r m a n c e g a i n
w i t h m i n i m a l i n c r e a s e i n c o s t .
T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . T h e
m u l t i d e s t i n a t i o n m e c h a n i s m a n d t h e B R C
P m o d e l
a r e i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 2 t o g e t h e r w
i t h t h e i r i n t r i n s i c b e n e t s a n d t h e a s s o c
i a t e d d e a d l o c k -
f r e e d o m p r o p e r t i e s . A h i e r a r c h i c a l l
e a d e r - b a s e d s c h e m e i s p r e s e n t e d i n s e c t
i o n 3 t o p e r f o r m
b r o a d c a s t i n g / m u l t i c a s t i n g o n d e t e r
m i n i s t i c a n d a d a p t i v e - r o u t e d s y s t e m s .
A m u l t i p h a s e g r e e d y
s c h e m e i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 4 . S i m u
l a t i o n e x p e r i m e n t s a n d r e s u l t s a r e p r e s
e n t e d i n s e c t i o n 5 .
F i n a l l y , w e c o n c l u d e t h e p a p e r w i t h f u
t u r e r e s e a r c h d i r e c t i o n s .
2 M u l t i d e s t i n a t i o n M e c h a n i s m a n d B a s
e - R o u t i n g - C o n f o r m e d -
P a t h ( B R C P ) M o d e l
I n t h i s s e c t i o n , r s t w e d i s c u s s w o r m h o
l e m e s s a g e p a s s i n g m e c h a n i s m w i t h m u l t i
p l e d e s t i n a t i o n s .
T h e n w e s h o w h o w m u l t i d e s t i n a t i o n m e s
s a g e s c a n b e e e c t i v e l y r o u t e d i n a w o r m h o
l e n e t w o r k
u s i n g a v a i l a b l e p a t h s c o n f o r m i n g t o t
h e b a s e r o u t i n g . I n t r i n s i c b e n e t s o f t h i
s m o d e l t o g e t h e r
w i t h d e a d l o c k - f r e e d o m p r o p e r t i e s a n
d a r c h i t e c t u r a l s u p p o r t s a r e d i s c u s s e d
.
2 . 1 M u l t i d e s t i n a t i o n W o r m h o l e M e c h a
n i s m
T h e c o n c e p t o f w o r m h o l e m e s s a g e p a s s i
n g m e c h a n i s m w i t h m u l t i p l e d e s t i n a t i o n
s w a s r s t i n -
t r o d u c e d b y L i n a n d N i i n 2 3 ] . T h e y u s e d
i t t o g e t h e r w i t h a H a m i l t o n i a n - P a t h - b a
s e d r o u t i n g
s c h e m e t o p e r f o r m m u l t i c a s t o p e r a t i o
n s . W e d e s c r i b e t h i s m e c h a n i s m b r i e y i n t
h i s s e c t i o n . I n
s i n g l e d e s t i n a t i o n w o r m h o l e m e s s a g e
- p a s s i n g , e v e r y m e s s a g e c o n s i s t s o f a b o
d y a n d a h e a d e r
w i t h t h e d e s t i n a t i o n n u m b e r . F o r a m u l
t i d e s t i n a t i o n m e s s a g e , t h e h e a d e r c o n s
i s t s o f m u l t i p l e
d e s t i n a t i o n s a n d c a n s p a n m u l t i p l e i t
s . T h e s e n d e r n o d e c r e a t e s t h e l i s t o f d e s
t i n a t i o n s a s a n
o r d e r e d l i s t , d e p e n d i n g o n t h e i r i n t e
n d e d o r d e r o f t r a v e r s a l , a n d i n c o r p o r a t
e i t i n t o t h e h e a d e r .
D i e r e n t w a y s t o e n c o d e s u c h m u l t i d e s t
i n a t i o n a d d r e s s e s h a v e b e e n p r o p o s e d r e
c e n t l y 1 0 ] . I n
t h i s p a p e r , w e e m p h a s i z e o n a l l - d e s t i
n a t i o n e n c o d i n g d u e t o i t s s i m p l i c i t y f o
r i m p l e m e n t a t i o n .
O n c e t h e w o r m i s i n j e c t e d i n t o t h e n e t w
o r k , i t i s r o u t e d b a s e d o n t h e a d d r e s s i n t
h e l e a d i n g
h e a d e r i t c o r r e s p o n d i n g t o t h e r s t d e s
t i n a t i o n . A s s o o n a s t h e w o r m r e a c h e s t h e
r o u t e r o f t h e
5
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
6/33
r s t d e s t i n a t i o n n o d e , t h e i t c o n t a i n i
n g t h i s a d d r e s s i s r e m o v e d b y t h e r o u t e r .
N o w t h e w o r m i s
r o u t e d t o t h e n o d e w h o s e a d d r e s s i s c o n
t a i n e d i n t h e n e x t h e a d e r i t ( s e c o n d d e s t
i n a t i o n i n t h e
o r d e r e d l i s t ) . W h i l e t h e i t s a r e b e i n g
f o r w a r d e d b y t h e r o u t e r o f t h e r s t d e s t i n
a t i o n n o d e t o i t s
a d j a c e n t r o u t e r , t h e y a r e a l s o c o p i e d
( c o n s u m e d ) i t - b y - i t t o t h e s y s t e m b u e r b
y t h e r o u t e r -
p r o c e s s o r i n t e r f a c e o f t h e r s t d e s t i n
a t i o n . T h i s p r o c e s s i s c a r r i e d o u t i n e a c
h i n t e r m e d i a t e
d e s t i n a t i o n n o d e o f t h e o r d e r e d l i s t .
W h e n t h e m e s s a g e r e a c h e s t h e l a s t d e s t i n
a t i o n , i t i s n o t
r o u t e d a n y f u r t h e r a n d g e t s c o m p l e t e l
y c o n s u m e d b y t h e l a s t d e s t i n a t i o n n o d e
.
F i g . 1 i l l u s t r a t e s a n e x a m p l e o f t h i s m
e c h a n i s m w i t h 3 n e i g h b o r i n g d e s t i n a t i o
n s . A t y p i c a l
m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m f o r m a t w i t h a l
l d e s t i n a t i o n e n c o d i n g i s s h o w n i n F i g . 1
a . F i g u r e 1 b
s h o w s a s n a p s h o t o f t h e s y s t e m w h e n i t A
o f t h e m e s s a g e h a s r e a c h e d t h e r o u t e r o f n
o d e d 3 .
I t i s a s s u m e d t h a t t h e h e a d e r i t s h a v e b
e e n a p p r o p r i a t e l y c o n s u m e d a t t h e r e s p e
c t i v e n o d e s
p r i o r t o t h i s s t e p . F i g . 1 c s h o w s t h e m o
d i e d s y s t e m s t a t e w h e n t h e w o r m m o v e s a h e
a d b y o n e
i t . E a c h i t i s c o p i e d t o t h e s y s t e m b u e r
o f t h e a s s o c i a t e d n o d e a n d a l s o p r o p a g a t
e d a h e a d
t o t h e n e x t n o d e . I t i s t o b e n o t e d t h a t s
u c h a m e c h a n i s m i s q u i t e p o w e r f u l a n d c a n
d e l i v e r
a m e s s a g e t o m u l t i p l e d e s t i n a t i o n s m u
c h f a s t e r t h a n u s i n g m u l t i p l e u n i c a s t m e
s s a g e s . T h i s
m u l t i d e s t i n a t i o n s c h e m e i s a l s o q u i t
e g e n e r a l i n t h e s e n s e t h a t u n i c a s t m e s s a
g e s c a n a l w a y s b e
i m p l e m e n t e d u n d e r t h i s s c h e m e a s a s u b
s e t o p e r a t i o n w i t h o n l y o n e d e s t i n a t i o n
.
d1d3 d2
data destinations
ABC........ ....D
BCD
BAB
RouterRouterRouter
Node d1 Node d2 Node d3
AC A
ABC
AAB
RouterRouterRouter
Node d1 Node d2 Node d3
(b) (c)
(a)
F i g u r e 1 : M u l t i d e s t i n a t i o n w o r m h o l e
m e c h a n i s m w i t h a m u l t i c a s t / b r o a d c a s t w
o r m : ( a ) a t y p i c a l f o r m a t
o f m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m w i t h a l l d e s
t i n a t i o n e n c o d i n g , ( b ) s n a p s h o t o f t h e s
y s t e m w h e n i t A o f t h e
w o r m h a s r e a c h e d t h e r o u t e r o f n o d e d 3 a
n d ( c ) s n a p s h o t o n e c l o c k c y c l e l a t e r .
2 . 2 P a t h s C o n f o r m i n g t o B a s e R o u t i n
g
T h e l i s t o f d e s t i n a t i o n s i n a m u l t i d e s
t i n a t i o n w o r m i s o r d e r e d b y t h e s e n d e r n o
d e . T h i s o r d e r i n g
d e p e n d s o n t w o p a r a m e t e r s : 1 ) t h e i n t e
n d e d t r a v e r s a l o f t h e m e s s a g e t o a s e t o f d
e s t i n a t i o n s a n d
2 ) t h e f e a s i b i l i t y o f t h e i n t e n d e d p a t
h t o b e t r a v e r s e d b y t h e w o r m i n t h e n e t w o r
k . O b v i o u s l y ,
t h e r s t p a r a m e t e r d e p e n d s o n t h e a p p l i
c a t i o n a n d t h e s e c o n d o n e i s d e t e r m i n e d b
y t h e r o u t i n g
6
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
7/33
c o n s t r a i n t o f t h e u n d e r l y i n g n e t w o r k
. C o n s i d e r a m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m w i t h
n d e s t i n a t i o n s
f r o m a s o u r c e s w i t h a n o r d e r e d d e s t i n a
t i o n l i s t f d
1
; d
2
; : : : ; d
n ? 1
; d
n
g ( t h e r s t a n d t h e l a s t
d e s t i n a t i o n s a r e d
1
a n d d
n
, r e s p e c t i v e l y ) . T h e v a l i d i t y o f t h i s
w o r m d e p e n d s o n t h e u n d e r l y i n g
r o u t i n g s c h e m e . A s s u m e t h e n e t w o r k s u
p p o r t s a d e a d l o c k - f r e e r o u t i n g s c h e m e R
w h i c h c a n
b e e - c u b e 1 3 ] , p l a n a r - a d a p t i v e 1 1 ] , t
u r n - m o d e l 1 7 ] , f u l l y - a d a p t i v e 1 5 ] , o r a
n y o t h e r r o u t i n g
s c h e m e . T h e B a s e - R o u t i n g - C o n f o r m e d
- P a t h ( B R C P ) m o d e l i s d e n e d a s f o l l o w s
:
D e n i t i o n 1 A m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m w i
t h a n o r d e r e d d e s t i n a t i o n l i s t f d
1
; d
2
; : : : ; d
n ? 1
; d
n
g
i n a n e t w o r k s u p p o r t i n g r o u t i n g s c h e m
e R c o n f o r m s t o t h i s b a s e r o u t i n g i t h e d e s
t i n a t i o n s e t
f d
1
; d
2
; : : : ; d
n ? 1
g c a n b e c o v e r e d a s i n t e r m e d i a t e n o d e s
o n o n e o f t h e p o s s i b l e p a t h s f r o m s t o
d
n
u n d e r t h e r o u t i n g c o n s t r a i n t R .
F i g u r e 2 s h o w s e x a m p l e s o f m u l t i d e s t i
n a t i o n w o r m s u n d e r B R C P m o d e l . F o r e x a m p
l e ,
i n a n e c u b e s y s t e m ( a s s u m i n g m e s s a g e s
a r e r o u t e d r s t a l o n g r o w a n d t h e n a l o n g c o
l u m n ) , a
m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m c a n c o v e r a s e t
o f d e s t i n a t i o n s i n r o w / c o l u m n / r o w - c o l
u m n o r d e r . I t i s t o
b e n o t e d t h a t a s e t o f d e s t i n a t i o n s o r d
e r e d i n a c o l u m n - r o w m a n n e r w i l l b e a n i n v
a l i d p a t h u n d e r
B R C P m o d e l f o r e - c u b e s y s t e m s . S i m i l a
r l y , i n a p l a n a r a d a p t i v e s y s t e m , a m u l t i
d e s t i n a t i o n
w o r m c a n c o v e r a s e t o f d e s t i n a t i o n s a l
o n g a n y d i a g o n a l i n a d d i t i o n t o t h e e x i b i
l i t y s u p p o r t e d
b y t h e e c u b e s y s t e m . S u c h a d d i t i o n a l p
a t h s a r e s h o w n a s b o l d l i n e s i n t h e g u r e . I
f t h e
u n d e r l y i n g r o u t i n g s c h e m e s u p p o r t s w
e s t r s t t u r n m o d e l , i t c a n p r o v i d e f u r t h e
r e x i b i l i t y i n
c o v e r i n g a l o t o f d e s t i n a t i o n s u s i n g a
s i n g l e w o r m . F o r t h i s t u r n m o d e l e x a m p l e
, a n o n - m i n i m a l
w e s t r s t r o u t i n g s c h e m e i s a s s u m e d . I f
t h e b a s e r o u t i n g s c h e m e s u p p o r t s n o n - m i
n i m a l r o u t i n g
t h e n t h e t r a v e r s a l o f m u l t i d e s t i n a t i
o n w o r m s c a n a l s o c o n f o r m t o n o n - m i n i m a l
p a t h s . H e n c e ,
t h i s m o d e l i s q u i t e g e n e r a l a n d c a n b e u
s e d b y a n y r o u t i n g s c h e m e . I f t h e b a s e r o u
t i n g s c h e m e
s u p p o r t s n o n - m i n i m a l r o u t i n g t h e n t h
e t r a v e r s a l o f m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s c
a n a l s o c o n f o r m t o
n o n - m i n i m a l p a t h s 3 0 ] . A s i m i l a r b u t r
e s t r i c t e d m e t h o d o f u s i n g o n l y r o w - p a t h
a n d c o l u m n -
p a t h i n e - c u b e m e s h e s h a s a l s o b e e n i n d
e p e n d e n t l y p r o p o s e d r e c e n t l y b y B o p p a n
a , C h a l a s a n i ,
a n d R a g h a v e n d r a 8 ] .
2 . 3 I n t r i n s i c B e n e t s
T h e s i g n i c a n t b e n e t o f B R C P m o d e l c o m e
s f r o m t h e f a c t t h a t a m e s s a g e c a n b e d e l i v
e r e d
t o m u l t i p l e d e s t i n a t i o n s w i t h t h e s a m
e o v e r h e a d a s t h a t o f s e n d i n g i t t o a s i n g l
e d e s t i n a t i o n ,
i f t h e d e s t i n a t i o n s c a n b e g r o u p e d i n t
o a s i n g l e w o r m u n d e r B R C P m o d e l . E v e n t h e
s i m p l e s t
e - c u b e r o u t i n g s c h e m e c a n t a k e a d v a n t
a g e o f t h i s m o d e l b y g r o u p i n g d e s t i n a t i o
n s o n r o w , c o l -
u m n , o r r o w - c o l u m n . A s t h e a d a p t i v i t y
o f t h e b a s e r o u t i n g s c h e m e i n c r e a s e s , m o
r e a n d m o r e
d e s t i n a t i o n s c a n b e c o v e r e d b y a s i n g l
e m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m . A s t h e n u m b e r o
f d e s t i n a t i o n s
7
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
8/33
Ecube Planar adaptive Turn model (west-first non-minimal)
source destination
F i g u r e 2 : E x a m p l e s o f m u l t i d e s t i n a t i
o n w o r m s u n d e r t h e B R C P m o d e l c o n f o r m i n g
t o d i e r e n t
b a s e r o u t i n g s c h e m e s i n a 2 - D m e s h . I n a
d d i t i o n t o e c u b e p a t h s , a d d e d e x i b i l i t y
f o r n e w p a t h s
u n d e r p l a n a r a n d w e s t r s t r o u t i n g s c h e
m e s a r e s h o w n i n b o l d l i n e s .
p e r s o u r c e i n c r e a s e s i n o p e r a t i o n s l i
k e m u l t i c a s t a n d b r o a d c a s t , l e s s n u m b e r
o f m u l t i d e s t i n a t i o n
w o r m s a r e n e e d e d t o c o v e r t h e m c o m p a r e
d t o t h e u n i c a s t - b a s e d s c h e m e s . I f t h e s e
t o f d e s t i n a -
t i o n s d e m o n s t r a t e s o m e s p a t i a l o r g a n
i z a t i o n ( r o w , c o l u m n , d i a g o n a l , o r b l o c
k ) t h e n a s u i t a b l e
s c h e m e b a s e d o n t h e u n d e r l y i n g r o u t i n
g c o n s t r a i n t c a n b e d e v e l o p e d t o c o v e r t h
e m u s i n g a s f e w
m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s a s p o s s i b l e .
S i m i l a r l y , d e p e n d i n g o n t h e t e c h n o l o g i
c a l p a r a m e t e r s ( t h e
r a t i o o f c o m m u n i c a t i o n s t a r t - u p t i m e
t o l i n k - p r o p a g a t i o n t i m e ) , a p r o g r a m m e
r / c o m p i l e r c a n
o p t i m i z e o n t h e g r o u p i n g t o i m p l e m e n t
t h e r e q u i r e d c o m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n w
i t h m i n i m a l
t i m e .
H e n c e , t h i s m o d e l o p e n s u p a n e n t i r e l y
n e w f r a m e w o r k t o g e t h e r w i t h i t s c h a l l e n
g e s f o r
d e v e l o p i n g o p t i m a l a l g o r i t h m s t o i m p
l e m e n t d e n s e c o m m u n i c a t i o n l i k e c o l l e c
t i v e c o m m u n i c a -
t i o n o p e r a t i o n s 2 6 ] w i t h m i n i m a l t i m e
. I n t h i s p a p e r , w e e m p h a s i z e o n t h i s f r a m
e w o r k b y
d e v e l o p i n g a n d e v a l u a t i n g a l g o r i t h m
s f o r b r o a d c a s t a n d m u l t i c a s t w h i c h i s a n
i m p o r t a n t c o l l e c -
t i v e c o m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n . B e f o r
e g o i n g a h e a d w i t h d e v e l o p i n g c o m m u n i c a
t i o n a l g o r i t h m s
u s i n g t h e B R C P m o d e l , w e d i s c u s s a n d p r
e s e n t r e s u l t s w i t h r e s p e c t t o d e a d l o c k -
f r e e d o m a n d
t h e n e c e s s a r y a r c h i t e c t u r a l s u p p o r t
s t o i m p l e m e n t t h i s m o d e l o n k - a r y n - c u b e
s y s t e m s .
3 D e a d l o c k - F r e e d o m a n d A r c h i t e c t u r a
l S u p p o r t s
I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s p o s s i b l e d
e a d l o c k i s s u e s a r i s i n g o u t o f m u l t i d e s t
i n a t i o n w o r m h o l e -
r o u t i n g . W e e v a l u a t e c h a n n e l d e p e n d e
n c i e s a n d s h o w t h a t t h e r e i s p o s s i b i l i t y
o f d e a d l o c k d u e
t o c o n s u m p t i o n c h a n n e l d e p e n d e n c i e s
r a t h e r t h a n t h e c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l s
. W e d e r i v e t h e
n e c e s s a r y n u m b e r o f c o n s u m p t i o n c h a n
n e l s t o b e s u p p o r t e d i n a s y s t e m f o r a c h i e
v i n g d e a d l o c k -
f r e e d o m .
8
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
9/33
3 . 1 C o m m u n i c a t i o n C h a n n e l D e p e n d e n c
y
T h e B R C P m o d e l a s s u m e s t h a t t h e b a s e r o
u t i n g R i s f r e e f r o m d e a d l o c k u n d e r u n i c a
s t m e s s a g e
p a s s i n g . A m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m g e t
s r o u t e d i n a p i e c e - w i s e m a n n e r f r o m t h e s
o u r c e a s w e l l a s
f r o m o n e o f i t s d e s t i n a t i o n t o t h e n e x t
d e s t i n a t i o n . B e t w e e n n e i g h b o r i n g d e s t
i n a t i o n s , t h e w o r m
c a n t a k e d e t e r m i n i s t i c / a d a p t i v e p a t
h c o n f o r m i n g t o t h e u n d e r l y i n g r o u t i n g s
c h e m e . B a s e d o n
d e n i t i o n 1 , t h e i n t e r m e d i a t e d e s t i n a
t i o n s a r e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e y c a
n b e c o v e r e d o n
o n e o f t h e p o s s i b l e p a t h s f r o m t h e s o u r
c e t o t h e n a l d e s t i n a t i o n c o n f o r m i n g t o t
h e u n d e r l y i n g
r o u t i n g s c h e m e . T h i s i n d i c a t e s t h a t a
v a l i d m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m d o e s n o t i m
p o s e a n y a d d e d
c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l d e p e n d e n c y ( p
h y s i c a l o r v i r t u a l c h a n n e l d e p e n d i n g o n
t h e u n d e r l y i n g
r o u t i n g s c h e m e ) i n t h e n e t w o r k . S i m i l
a r l y , a m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m w i t h a s i n
g l e d e s t i n a t i o n
i s e q u i v a l e n t t o t h e t r a d i t i o n a l u n i c
a s t w o r m . H e n c e , t h e i n c o r p o r a t i o n o f m u
l t i d e s t i n a t i o n
w o r m s i n t o a n e t w o r k , s u p p o r t i n g a g i v
e n r o u t i n g s c h e m e , d o n o t c r e a t e a n y c y c l
i c d e p e n d e n c y
o f c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l s . T h i s l e a d
s t o :
L e m m a 1 V a l i d m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s
s a t i s f y i n g d e n i t i o n 1 c a n c o e x i s t i n a n e
t w o r k t o -
g e t h e r w i t h u n i c a s t w o r m s w i t h o u t l e a
d i n g t o d e a d l o c k .
3 . 2 C o n s u m p t i o n C h a n n e l D e p e n d e n c
y
B e s i d e s c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l d e p e n
d e n c y , i t c a n b e n o t e d t h a t a m u l t i d e s t i n
a t i o n w o r m r e -
q u i r e s t h e u s a g e o f r o u t e r - p r o c e s s o r
c o n s u m p t i o n c h a n n e l a t a l l o f i t s d e s t i n
a t i o n s d u r i n g i t s
p r o p a g a t i o n . H e n c e , a d d e d d e p e n d e n c
y a c r o s s m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s m a y a r i
s e i f e a c h n o d e
i n t h e s y s t e m h a s l i m i t e d n u m b e r o f c o n
s u m p t i o n c h a n n e l s . D e p e n d i n g o n t h e t y p
e s o f p a t h s
a v a i l a b l e o r u s e d i n a s y s t e m , t h e r e m i
g h t b e d i e r e n t d e a d l o c k s c e n a r i o s a n d r e
q u i r e m e n t o f
d i e r e n t n u m b e r o f c o n s u m p t i o n c h a n n e
l s . S i n c e e - c u b e r o u t i n g p a t h s a r e a l w a y
s a s u b s e t o f
p a t h s s u p p o r t e d b y a n y a d a p t i v e r o u t i
n g s c h e m e , w e r s t a n a l y z e t h e c o n s u m p t i o
n c h a n n e l d e -
p e n d e n c y o n e - c u b e t w o - d i m e n s i o n a l m
e s h e s . L a t e r w e g e n e r a l i z e o u r r e s u l t t o
o t h e r t o p o l o g i e s
a n d r o u t i n g s c h e m e s .
L e m m a 2 O n a n e - c u b e 2 D m e s h , o n l y t w o c o
n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e a r e s u c i e n t
i f
e i t h e r r o w o r c o l u m n p a t h s a r e u s e d b u t
n o t b o t h . T h r e e c o n s u m p t i o n c h a n n e l s a r
e s u c i e n t
i f b o t h r o w a n d c o l u m n p a t h s a r e u s e d . H
o w e v e r , s u p p o r t i n g a l l p o s s i b l e p a t h s c
o n f o r m i n g t o
e - c u b e ( r o w , c o l u m n , a n d r o w - c o l u m n )
r e q u i r e s f o u r c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r
n o d e .
P r o o f : F i r s t l e t u s c o n s i d e r o n l y r o w o
r c o l u m n p a t h s i n a n e - c u b e m e s h a s s h o w n i
n F i g . 3 a .
T h e w o r m W 1 i s t r y i n g t o c o v e r d e s t i n a t
i o n B r s t a n d t h e n D ( t h e d e s t i n a t i o n l i s t
o f e a c h
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w o r m s h o w n i n t h e g u r e i s o r d e r e d a s d e n
e d i n F i g . 1 ) . S i m i l a r l y , t h e w o r m W 2 i s t r
y i n g
t o c o v e r d e s t i n a t i o n s D r s t a n d t h e n B .
C o n s i d e r e a c h n o d e h a v i n g o n l y o n e c o n s u
m p t i o n
c h a n n e l . D u r i n g t h e p r o p a g a t i o n o f t h
e s e t w o m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s , a s c e n a
r i o m a y a r i s e
w h e r e t h e c o n s u m p t i o n c h a n n e l o f n o d e
B i s b e i n g h e l d b y t h e w o r m W 1 a n d t h a t o f D b
y t h e
w o r m W 2 . N o w t h e w o r m s W 1 a n d W 2 n e e d a d d
i t i o n a l c o n s u m p t i o n c h a n n e l s a t n o d e s D
a n d
B , r e s p e c t i v e l y . I n t h e a b s e n c e o f a d d
i t i o n a l c o n s u m p t i o n c h a n n e l p e r n o d e , t
h i s s i t u a t i o n l e a d s
t o a d e a d l o c k . T h i s c a n b e a l l e v i a t e d b
y p r o v i d i n g t w o c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e
r n o d e . S i m i l a r
s o l u t i o n s h a v e b e e n p r o p o s e d i n 8 ] f o r
c o l u m n - p a t h r o u t i n g . S u c h a r g u m e n t c a n
a l s o s h o w t h a t
t h e d u a l - p a t h - b a s e d H a m i l t o n i a n - r o
u t i n g 2 4 ] r e q u i r e s t w o c o n s u m p t i o n c h a n
n e l s p e r n o d e .
B C D E1(D,B)
W2(B,D)
(w1)
(w2)
W1(B,A)
W2(C,B)
W3(D,C)
W4(A,D)
(w1)
(w2)
(w3)
(w4)
A B
CD
(a) (b)
B,A)
W2(C,B)
W3(D,C)
W4(A,D)
(w1)
(w2)
(w3)
(w4)
A B
CD
W5(D,A)
(C,D)
W7(B,C)
W8(A,B)
(w5)
(w6)
(w7)
(w8) W1(C,B,A)
W2(C,B)
W3(A,D,C)
W4(A,D)
(w1)
A B
CD
W5(D,A)
W6(B,C,D)
W7(B,C)
W8(D,A,B)
(w5)
(w1)
A
(w8) (w2)
(w8)
(w3)(w7)(w6)
(w6)
(w3)
(w4)
(c) (d)
worm propagation (consumption channel being held by a worm)
F i g u r e 3 : E x a m p l e s o f d e a d l o c k d u e t o m
u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s t h r o u g h c o n s u m p
t i o n c h a n n e l
d e p e n d e n c y i n 2 D m e s h w i t h e - c u b e r o u t
i n g : a ) r o w o r c o l u m n p a t h w i t h o n e c o n s u m
p t i o n
c h a n n e l / n o d e , ( b ) r o w a n d c o l u m n p a t h
s w i t h o n e c o n s u m p t i o n c h a n n e l / n o d e , ( c
) r o w a n d
c o l u m n p a t h s w i t h t w o c o n s u m p t i o n c h a
n n e l / n o d e , a n d ( d ) r o w , c o l u m n , a n d r o w -
c o l u m n
p a t h s w i t h t h r e e c o n s u m p t i o n c h a n n e l
s p e r n o d e .
O u r p r o p o s e d B R C P m o d e l i s m o r e g e n e r a
l t h a n t h e H a m i l t o n i a n o r c o l u m n - p a t h r o
u t i n g .
C o n s i d e r b o t h r o w a n d c o l u m n p a t h s b e i
n g u s e d i n a n e - c u b e m e s h . W i t h o n e c o n s u m
p t i o n
c h a n n e l p e r n o d e , F i g . 3 b s h o w s a c y c l i
c d e p e n d e n c y b e t w e e n f o u r m u l t i d e s t i n a
t i o n w o r m s
l e a d i n g t o a d e a d l o c k . S u c h d e a d l o c k s
i t u a t i o n c o n t i n u e s t o p e r s i s t , a s s h o w n
i n F i g . 3 c , e v e n
i f t w o c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e a
r e a v a i l a b l e . T h e p r o b l e m c a n b e a l l e v i a
t e d b y a l l o w i n g
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t h r e e c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e
.
F i n a l l y , c o n s i d e r r o w , c o l u m n , a n d r o
w - c o l u m n p a t h s a s d e n e d u n d e r t h e B R C P m o
d e l f o r
e - c u b e r o u t i n g . F i g u r e 3 d s h o w s a d e a d
l o c k s i t u a t i o n w i t h f o u r r o w - c o l u m n w o r
m s ( W 1 { W 4 )
a n d f o u r c o l u m n w o r m s ( W 5 { W 8 ) . W i t h t h
r e e c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e , i t c a
n b e s e e n
t h a t a t n o d e A , t h e c h a n n e l s h a v e b e e n t
a k e n a w a y b y w o r m s W 1 , W 5 , a n d W 8 , r e s p e c t
i v e l y
b e f o r e t h e a r r i v a l o f w o r m W 3 . S i m i l a r
s i t u a t i o n a l s o h a p p e n s a t n o d e s B , C , a n d
D l e a d i n g t h e
w o r m s t o d e a d l o c k . T h i s p r o b l e m c a n o n
l y b e a l l e v i a t e d b y h a v i n g f o u r c o n s u m p t
i o n c h a n n e l s
p e r n o d e . S i n c e t h e n o d e d e g r e e i s f o u r
f o r 2 D m e s h , t h e r e c a n b e m a x i m u m f o u r m e s
s a g e s
e n t e r i n g a n o d e a t a n y g i v e n t i m e . B y u s
i n g f o u r c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e ,
i t c a n b e
s i m p l y s e e n t h a t a m e s s a g e a r r i v i n g a t
a n o d e i s a l w a y s g u a r a n t e e d a f r e e c o n s u m
p t i o n c h a n n e l .
T h e a b o v e r e s u l t s , d e r i v e d f o r 2 D m e s h
s u p p o r t i n g e - c u b e r o u t i n g , c a n e a s i l y b
e e x t e n d e d
t o k - a r y n - c u b e t o p o l o g y . I f t h e b a s e r
o u t i n g s c h e m e r e q u i r e s v v i r t u a l c h a n n e
l s p e r p h y s i c a l
c h a n n e l t h e n t h e r e c a n b e m a x i m u m 2 n v w
o r m s t r y i n g t o e n t e r a n o d e a t a n y t i m e . T h
i s l e a d s
t o :
T h e o r e m 1 A k - a r y n - c u b e s y s t e m w i t h a b
a s e r o u t i n g R r e q u i r e s 2 n v c o n s u m p t i o n c
h a n n e l s
p e r n o d e t o s u p p o r t d e a d l o c k - f r e e m u l
t i d e s t i n a t i o n c o m m u n i c a t i o n u n d e r t h e
B R C P m o d e l w h e r e
t h e b a s e r o u t i n g R u s e s v v i r t u a l c h a n n
e l s p e r p h y s i c a l c h a n n e l t o s u p p o r t d e a d
l o c k - f r e e u n i c a s t
c o m m u n i c a t i o n .
3 . 3 A r c h i t e c t u r a l S u p p o r t s
T h e a b o v e t h e o r e m i n d i c a t e s t h a t o n l y
4 c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e a r e r e q u
i r e d f o r a
2 D e - c u b e m e s h a n d 8 c o n s u m p t i o n c h a n n
e l s f o r 2 D f u l l y - a d a p t i v e s y s t e m 1 5 ] . S i
m i l a r l y , a
3 D s y s t e m w i l l r e q u i r e 6 a n d 1 2 c o n s u m p
t i o n c h a n n e l s f o r e - c u b e a n d f u l l y - a d a p
t i v e r o u t i n g ,
r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e s e c o n s u m p t i
o n c h a n n e l s a r e n e e d e d t o p r o v i d e d e a d l o
c k - f r e e d o m i n s t e a d
o f i n c r e a s i n g n e t w o r k t h r o u g h p u t 2 ] ,
t h e y c a n b e c o n g u r e d a s v i r t u a l c o n s u m p t
i o n c h a n n e l s
i n s t e a d o f p h y s i c a l c o n s u m p t i o n c h a n
n e l s . B y r e s t r i c t i n g m u l t i d e s t i n a t i o n
w o r m m o v e m e n t
a l o n g s o m e d i m e n s i o n ( s ) o f a s y s t e m , t
h e r e q u i r e m e n t o f v i r t u a l c o n s u m p t i o n c
h a n n e l s c a n b e
r e d u c e d f u r t h e r a s s h o w n i n L e m m a 2 .
E a c h v i r t u a l c o n s u m p t i o n c h a n n e l i s n
o t h i n g b u t a D M A c h a n n e l . S i n c e t h e c u r r e
n t t e c h -
n o l o g y s u p p o r t s m u l t i p l e ( 2 - 4 ) D M A c h
a n n e l s o n a s i n g l e c h i p , t h e a b o v e r e q u i r
e m e n t t r a n s l a t e s
d o w n t o i n c o r p o r a t i o n o f 1 - 2 a d d i t i o n
a l D M A c h i p s a t e a c h p r o c e s s o r - r o u t e r i n
t e r f a c e . H e n c e , i t
i s a v e r y l o w c o s t s o l u t i o n t o i n c o r p o r
a t e t h e s e a d d i t i o n a l c h a n n e l s i n a s y s t e
m . I t i s t o b e n o t e d
t h a t s y s t e m s l i k e I n t e l P a r a g o n a l r e a
d y h a v e p r o v i s i o n t o u s e u p t o t w o p h y s i c a
l c o n s u m p t i o n
1 1
-
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12/33
c h a n n e l s f o r e a c h r o u t e r w h i l e m a t c h i
n g t h e a g g r e g a t e b a n d w i d t h o f t w o c o n s u m
p t i o n c h a n n e l s
w i t h t h a t o f t h e p r o c e s s o r - m e m o r y b u s
. A s t h e t e c h n o l o g y i s m o v i n g t o w a r d s 6 4 -
b i t p r o c e s s o r s
w i t h 6 4 = 1 2 8 b i t s - w i d e p r o c e s s o r - m e m
o r y b u s a n d 1 6 = 3 2 b i t - w i d e c o m m u n i c a t i o
n c h a n n e l s , i t
i s n o t i m p o s s i b l e t o p r o v i d e 4 ? 8 p h y s i
c a l c o n s u m p t i o n c h a n n e l s w i t h m o r e n u m b
e r o f v i r t u a l
c o n s u m p t i o n c h a n n e l s p e r n o d e . I n a d d
i t i o n t o p r o v i d i n g m o r e c o n s u m p t i o n c h a
n n e l s , f o r m u l -
t i d e s t i n a t i o n m e s s a g e p a s s i n g , t h e r
o u t e r i n t e r f a c e s h o u l d h a v e l o g i c t o c o n
c u r r e n t l y a b s o r b a s
w e l l a s f o r w a r d i t s a t d e s t i n a t i o n r o u
t e r s . C u r r e n t w o r m h o l e r o u t e r s i m p l e m e
n t a b s o r b l o g i c
a t n a l d e s t i n a t i o n s a n d f o r w a r d l o g i c
a t i n t e r m e d i a t e r o u t e r s . S o v e r y l i t t l e
a d d i t i o n a l l o g i c
i s n e e d e d t o e n h a n c e i t t o s u p p o r t a b s o
r b a s w e l l a s t r a n s m i t m e c h a n i s m . H e n c e ,
t h e B R C P
M o d e l i s a f e a s i b l e s o l u t i o n f o r c u r r e
n t a n d n e a r - f u t u r e g e n e r a t i o n w o r m h o l e
- r o u t e d s y s t e m s .
4 M u l t i c a s t i n g
W o r m h o l e - r o u t e d s y s t e m s a r e i n c r e a s
i n g l y b e i n g u s e d t o s u p p o r t d i s t r i b u t e d
m e m o r y , s h a r e d
m e m o r y o r d i s t r i b u t e d s h a r e d m e m o r y p
r o g r a m m i n g p a r a d i g m s . T o i m p l e m e n t t h e
s e p a r a d i g m s ,
t h e s y s t e m s n e e d f a s t i m p l e m e n t a t i o n
o f c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n a n d s y n c h r
o n i z a t i o n o p e r -
a t i o n s . M u l t i c a s t i n g i s a v e r y i m p o r t
a n t c o l l e c t i v e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n a
n d p l a y s a n i m -
p o r t a n t r o l e i n p r o v i d i n g p r o g r a m a n d
d a t a d i s t r i b u t i o n i n d i s t r i b u t e d m e m o r
y s y s t e m s a n d
c a c h e c o h e r e n c y s u p p o r t i n d i s t r i b u t
e d s h a r e d m e m o r y s y s t e m s . I n t h i s s e c t i o
n , w e a d d r e s s
h o w e c i e n t l y t o i m p l e m e n t m u l t i c a s t i
n g u n d e r t h e B R C P m o d e l i n w o r m h o l e s y s t e
m s . W e
p r o v i d e t w o s c h e m e s t o a c c o m p l i s h f a s
t m u l t i c a s t i n g i n s u c h s y s t e m s .
4 . 1 H i e r a r c h i c a l L e a d e r - b a s e d S c h e m
e ( H L )
I n t h i s s e c t i o n w e d e s c r i b e a h i e r a r c h
i c a l l e a d e r b a s e d s c h e m e f o r m u l t i c a s t .
T h e s c h e m e i s
f o r m a l l y d e s c r i b e d b e l o w a n d s p e c i c e
x a m p l e s a r e c o n s i d e r e d i n t h e s u b s e q u e n
t s e c t i o n s .
4 . 1 . 1 T h e b a s i c H L s c h e m e
C o n s i d e r a m u l t i c a s t p a t t e r n f r o m a s o
u r c e s w i t h a d e s t i n a t i o n s e t D . L e t L
0
d e n o t e t h e s e t
D f s g . T h e H L s c h e m e o p e r a t e s b y p a r t i t
i o n i n g t h i s s e t L
0
i n t o d i s j o i n t s u b s e t s . A n o d e i n
e a c h s u b s e t i s d e s i g n a t e d a s t h e l e a d e
r n o d e f o r t h a t s e t s u c h t h a t t h e l e a d e r n o
d e c a n f o r w a r d
a m e s s a g e t o t h e m e m b e r s o f i t s s e t u s i n
g a s i n g l e m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m u n d e r t
h e B R C P
m o d e l . T h e l e a d e r s o b t a i n e d t h u s a r e t
e r m e d l e v e l 1 l e a d e r s . L e t u s d e n o t e t h i s
s e t o f l e v e l 1
l e a d e r s b y L
1
.
T h i s s e t L
1
i s f u r t h e r p a r t i t i o n e d i n t o d i s j o i n t
s u b s e t s a n d l e a d e r s a r e a g a i n d e s i g n a t e
d f o r
e a c h s u b s e t o b t a i n e d . L e t u s c a l l t h i s
n e w s e t o f l e a d e r s ( l e v e l 2 l e a d e r s ) L
2
. T h i s p r o c e s s o f
1 2
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
13/33
h i e r a r c h i c a l g r o u p i n g i s c o n t i n u e d a
s l o n g a s i t i s p r o t a b l e ( w e s h a l l d e n e w h a
t w e m e a n b y
t h i s s h o r t l y ) t o d o s o , s a y f o r k s t e p s .
E v e n t u a l l y , a f t e r m g r o u p i n g s t e p s , w e h
a v e m s e t s o f
l e v e l i l e a d e r s , 1 i m . N o t e t h a t L
m
L
m ? 1
: : : L
1
L
0
.
O n c e t h i s p a r t i t i o n i n g h a s b e e n a c c o m
p l i s h e d , t h e a c t u a l m u l t i c a s t t a k e s p l a
c e i n t h e
f o l l o w i n g m a n n e r : T h e s o u r c e p e r f o r m
s a u n i c a s t - b a s e d m u l t i c a s t ( U m e s h a l g o
r i t h m 2 5 ] ) t o
t h e s e t L
m
. ( I n c a s e t h e s o u r c e h a p p e n s t o b e t h e s
o l e l e v e l m l e a d e r , t h e n t h i s p h a s e i s
e l i m i n a t e d . ) A s s o o n a s e a c h l e a d e r g e
t s t h e m e s s a g e , i t s e n d s o u t a s e r i e s o f m u
l t i d e s t i n a t i o n
w o r m s t o c o v e r t h e o t h e r d e s t i n a t i o n n
o d e s i n i t s s e t . N o t e t h a t a l e v e l i l e a d e r
i s a l s o a l e v e l
i ? 1 l e a d e r ( 1 i m ) . T h u s , e a c h l e v e l j l e
a d e r ( 1 j m ) i s a c t u a l l y r e s p o n s i b l e
f o r s e n d i n g o u t j m u l t i d e s t i n a t i o n w o
r m s , o n e f o r e a c h l e v e l i n w h i c h i t i s a l e a
d e r . A s i n g l e
m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m i s s e n t o u t b y t
h e l e a d e r a t e a c h l e v e l t o c o v e r a l l t h e n o
d e s o n i t s s e t .
T h e m u l t i c a s t i s a c c o m p l i s h e d a s s o o n
a s e a c h d e s t i n a t i o n i n t h e s e t D h a s r e c e i
v e d t h e m e s s a g e .
A s s u m i n g t h e g r o u p i n g h a s a l r e a d y b e e
n d o n e , F i g . 4 g i v e s t h e p s e u d o - S P M D - c o d
e e x e c u t e d
b y e a c h n o d e p a r t i c i p a t i n g i n t h e m u l t
i c a s t . I t i s a s s u m e d t h a t t h e m a x i m u m l e a
d e r l e v e l f o r
e a c h n o d e i s s t o r e d i n a l o c a l v a r i a b l e
L a t e a c h n o d e .
/* Pseudo code for each participating processor */
multicast()
/*L is the leader level for each node*/{
If ( my_id == source )
participate in umesh multicast with level m leaders;
else {
receive message;
if ( L == m) /* Level m leader */participate in umesh
multicast;
for ( i =L-1; i >=0; i--)
send out multidestination worm i ; }
}
F i g u r e 4 : P s e u d o - S P M D - c o d e e x e c u t e d
b y e a c h n o d e p a r t i c i p a t i n g i n t h e m u l t i c
a s t .
T h e p a r t i t i o n i n g o f t h e d e s t i n a t i o n s
e t i n t o d i s j o i n t s u b s e t s c a n b e a c c o m p l i
s h e d i n a v a r i e t y
o f w a y s . H e r e i s w h e r e t h e a c t u a l p o w e r
o f t h e H L s c h e m e c o m e s i n t o p l a y . T h e s c h e
m e c a n
t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e b a s e r o u t
i n g s c h e m e o f t h e s y s t e m b e i n g u s e d i n o r d
e r t o d e r i v e t h e
b e s t g r o u p i n g . F o r e x a m p l e , i f t h e r o u
t i n g s c h e m e u s e d i s e c u b e r o u t i n g , t h e n t
h e p a r t i t i o n i n g
i s d o n e s u c h t h a t t h e n o d e s i n e a c h s e t f
o r m e d l i e o n a v a l i d e c u b e p a t h . I f t h e s y s
t e m s u p p o r t s
s o m e f o r m o f a d a p t i v e r o u t i n g t h e n a d v
a n t a g e c a n a l s o b e t a k e n o f t h i s a s s e t b y u
s i n g a d i e r e n t
1 3
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
14/33
p a r t i t i o n i n g s c h e m e . T h e s e i s s u e s a r
e d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e t a i l i n t h e s u b s
e q u e n t s e c t i o n s .
T h e g r o u p i n g / p a r t i t i o n i n g c a n b e l o o
k e d u p o n a s a f u n c t i o n w h i c h t a k e s a s i n p u
t a s e t o f
n o d e s , p e r f o r m s t h e g r o u p i n g a n d r e t u
r n s t h e s e t o f l e a d e r n o d e s . T h i s f u n c t i o
n i s d i e r e n t
f o r d i e r e n t g r o u p i n g s c h e m e s . L e t u s d
e n e F
e
: L
i
! L
i + 1
t o b e a f u n c t i o n w h i c h t a k e s i n
a d e s t i n a t i o n s e t L
i
a s i n p u t , p e r f o r m s d i m e n s i o n o r d e r e c
u b e g r o u p i n g , a n d r e t u r n s t h e s e t o f
l e a d e r s L
i + 1
. I t s h o u l d b e n o t e d t h a t L
j
2 2
L
0
, ( 0 j m ) , w h e r e 2
L
0
s t a n d s f o r t h e p o w e r
s e t o f L
0
.
A n i s s u e t h a t n e e d s t o b e a d d r e s s e d i s w
h a t l e v e l o f g r o u p i n g w i l l l e a d t o t h e b e s
t m u l t i c a s t
p e r f o r m a n c e o r i n o t h e r w o r d s : w h e n i s
i t p r o t a b l e t o g o f o r a n o t h e r l e v e l o f g r o
u p i n g b e y o n d
t h e c u r r e n t o n e ? N o t e t h a t e a c h l e v e l o
f g r o u p i n g i n t r o d u c e s a n o t h e r p h a s e i n t
h e m u l t i c a s t .
S i n c e e a c h p h a s e i s a s s o c i a t e d w i t h a c
o m m u n i c a t i o n s t a r t u p t i m e o v e r h e a d (
t
s
) , t h e g o a l o f
t h e g r o u p i n g s h o u l d b e t o r e d u c e t h e n u
m b e r o f l e v e l s a s f a r a s p o s s i b l e . A t t h e s
a m e t i m e ,
s i n c e t h e r s t p h a s e o f t h e m u l t i c a s t i s
a U m e s h b a s e d m u l t i c a s t t o t h e h i g h e s t l e
v e l l e a d e r s ,
a n e o r t n e e d s t o b e m a d e t o r e d u c e t h e s i
z e o f t h e s e t L
m
. T h i s t e n d s t o f a v o r l a r g e r n u m b e r
o f g r o u p i n g l e v e l s . I t c a n b e s e e n t h a t
i f l o g
2
( j L
i
j ) > l o g
2
( j L
i + 1
j ) + 1 , t h e n i t i s p r o t a b l e t o
g o i n f o r a n o t h e r l e v e l o f g r o u p i n g . T h
i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n
:
O b s e r v a t i o n 1 A m u l t i c a s t o p e r a t i o n c
a n b e a c h i e v e d i n ( m + 1 ) p h a s e s u s i n g d l o
g
2
( j L
m
j + 1 ) e +
m c o m m u n i c a t i o n s t a r t - u p s t o t h e d e s t
i n a t i o n s e t D w h e r e m i s t h e n u m b e r o f g r o u
p i n g l e v e l s
f o u n d o u t b y t h e g r o u p i n g f u n c t i o n . I f
t h e s o u r c e h a p p e n s t o b e t h e s o l e l e v e l m l
e a d e r , t h e n t h e
m u l t i c a s t c a n t a k e p l a c e i n m p h a s e s u s
i n g m c o m m u n i c a t i o n s t a r t - u p s .
4 . 1 . 2 E - c u b e R o u t e d 2 D M e s h e s
I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r a s y s t e m w h
i c h u s e s e c u b e r o u t i n g a s t h e b a s e r o u t i n
g s c h e m e .
C o n s i d e r t h e m e s h i l l u s t r a t e d i n F i g .
5 . W e u s e s i n g l e d i m e n s i o n g r o u p i n g a l o n
g d i m e n s i o n 0
i n t h e r s t s t e p t o o b t a i n t h e l e v e l 1 l e a
d e r s a s s h o w n i n t h e g u r e . I n t h e n e x t g r o u
p i n g s t e p ,
t h e l e v e l 1 l e a d e r s a r e g r o u p e d a l o n g d
i m e n s i o n 1 t o g e t t h e t w o l e v e l 2 l e a d e r s s
h o w n i n t h e
g u r e . W e t h u s h a v e 6 l e v e l 1 l e a d e r s a n d
2 l e v e l 2 l e a d e r s i n t h i s e x a m p l e . ( R e m e m
b e r t h a t
e a c h l e v e l 2 l e a d e r i s a l s o a l e v e l 1 l e a
d e r . ) T h e m u l t i c a s t p r o c e e d s a s f o l l o w s
: T h e s o u r c e u s e s
t h e U m e s h a l g o r i t h m t o s e n d o u t t h e m e s
s a g e t o t h e t w o l e v e l 2 l e a d e r s . I n t h e n e x
t p h a s e ,
t h e s e t w o l e v e l 2 l e a d e r s s e n d o u t m u l t
i d e s t i n a t i o n w o r m s a l o n g d i m e n s i o n 1 t o
c o v e r t h e l e v e l 1
l e a d e r s . I n t h e l a s t p h a s e o f t h e m u l t i
c a s t , a l l t h e l e v e l 1 l e a d e r s ( i n c l u d i n g
t h e l e v e l 2 l e a d e r s )
s e n d o u t m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m s a l o n
g d i m e n s i o n 0 t o c o v e r t h e r e m a i n i n g d e s t
i n a t i o n s . T h u s ,
t h e m u l t i c a s t t e r m i n a t e s a f t e r 3 p h a s
e s a n d i n c u r s a c o s t o f 4 c o m m u n i c a t i o n s t
a r t u p s .
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t f o r t h e e c u b e d i
m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g d i s c u s s e d a b o v e
, t h e m u l -
1 4
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
15/33
source destination
level 1 leader
level 2 leader
BRCP(ecube) worm
Unicast worm
dimension 0
mension 1
F i g u r e 5 : A n e x a m p l e m u l t i c a s t i n a 2 - D
m e s h u s i n g e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i
n g i n h i e r a r c h i c a l
l e a d e r - b a s e d s c h e m e .
t i c a s t c a n b e a c c o m p l i s h e d i n a t m o s t 3
p h a s e s . I t d o e s n o t m a k e s e n s e t o u s e m o r e
t h a n
2 e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g s t e p
s , b e c a u s e o n c e a l l t h e d i m e n s i o n s h a v e b
e e n c o v e r e d ,
n o b e n e t c a n b e a c h i e v e d b y i n v o k i n g t h
e g r o u p i n g f u r t h e r . A s s u m i n g t h a t t w o s t
a g e s o f
g r o u p i n g a r e u s e d , t h e n u m b e r o f c o m m u
n i c a t i o n s t a r t - u p s n e e d e d f o r t h e e n t i r
e m u l t i c a s t i s
d l o g
2
( j L
2
j + 1 ) e + 2 . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t f o r a k
k m e s h , 1 j L
2
j k . U s i n g t h e n o t a t i o n
d e v e l o p e d e a r l i e r , L
1
= F
e
( L
0
) ; L
2
= F
e
( L
1
) = F
e
( F
e
( L
0
) ) . T a b l e 1 s h o w s t h e a v e r a g e v a l u e s
f o r L
1
a n d L
2
o b t a i n e d u s i n g t h e d i m e n s i o n o r d e r s c
h e m e d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n f o r d i e r e
n t
n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s . T h e a v e r a g e i
s t a k e n o v e r r a n d o m l y g e n e r a t e d d e s t i n a
t i o n s e t s f o r
e a c h d e s t i n a t i o n s e t s i z e i n a 3 2 3 2 m e s
h . I t c a n b e s e e n f r o m t h e t a b l e t h a t a s t h e
n u m b e r
o f d e s t i n a t i o n s i n c r e a s e s , t h e g r o u p
i n g b e c o m e s m o r e a n d m o r e e e c t i v e a n d t h e
v a l u e o f L
2
a c t u a l l y d e c r e a s e s . T h i s i l l u s t r a t e
s a v e r y i n t e r e s t i n g p r o p e r t y o f t h i s s c h
e m e : t h e m u l t i c a s t
c o s t c a n b e d e c r e a s e d a s t h e d e s t i n a t i
o n s e t s i z e i n c r e a s e s .
T a b l e 1 : A v e r a g e v a l u e s f o r j L
1
j a n d j L
2
j f o r a 3 2 3 2 m e s h u s i n g d i m e n s i o n o r d e r
e c u b e g r o u p i n g .
T h e r o w s r e p r e s e n t d i e r e n t g r o u p i n g l
e v e l s w h e r e a s t h e c o l u m n s s h o w t h e n u m b e
r o f d e s t i n a t i o n s .
n o . o f d e s t s 6 4 1 2 8 1 9 2 2 5 6 3 2 0 3 8 4 4 4 8 5 1
2 5 7 6 6 4 0 7 0 4
j L
1
j 2 8 . 2 5 3 1 . 6 6 3 1 . 9 6 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2
j L
2
j 1 8 . 0 7 1 4 . 9 2 1 2 . 0 0 9 . 4 7 8 . 1 7 7 . 0 0 6 . 0 5
5 . 3 5 4 . 7 8 4 . 2 1 3 . 4 4
s t a r t u p s f o r H L 7 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5
s t a r t u p s f o r u m e s h 7 8 8 9 9 9 9 1 0 1 0 1 0 1
0
7 6 8 8 3 2 8 9 6 9 6 0 1 0 2 4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 . 0 0 2 . 7 6 2 . 3 7 1 . 8 3 1 . 0 0
4 4 4 3 3
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 5
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
16/33
4 . 1 . 3 T a k i n g A d v a n t a g e o f A d a p t i v i t
y
I f t h e s y s t e m u s e s s o m e k i n d o f a d a p t i v
e r o u t i n g s c h e m e ( e g . p l a n a r , T u r n m o d e l
- b a s e d , f u l l y ) ,
t h e n t h e g r o u p i n g c a n b e d e s i g n e d t o t a
k e o f a d v a n t a g e o f t h i s a d d i t i o n a l r o u t i
n g e x i b i l i t y .
T h e s e t o f v a l i d p l a n a r a d a p t i v e p a t h s
i n c l u d e s t h e s e t o f v a l i d e c u b e p a t h s a s a
s u b s e t . T h u s ,
t h e a d a p t i v e g r o u p i n g c a n b e e x p e c t e d
t o g i v e a t l e a s t a s g o o d i f n o t b e t t e r r e s u
l t s t h a n
s i m p l e e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n
g . U s i n g t h e n o t a t i o n d e v e l o p e d e a r l i e r
, t h i s e s s e n t i a l l y
m e a n s t h a t j F
p
( L ) j j F
e
( L ) j , w h e r e F
p
s t a n d s f o r t h e g r o u p i n g f u n c t i o n u s i n
g p l a n a r a d a p t i v e
r o u t i n g . S i m i l a r l y , i f w e c o n s i d e r a g
r o u p i n g f u n c t i o n u s i n g f u l l y a d a p t i v e r
o u t i n g , s a y F
f
, t h e n
j F
f
( L ) j j F
e
( L ) j . F u r t h e r , s i n c e t h e s e t o f f u l l y a
d a p t i v e p a t h s i n c l u d e s t h e s e t o f p l a n a
r
a d a p t i v e p a t h s a s a s u b s e t , w e a l s o h a v
e j F
f
( L ) j j F
p
( L ) j .
F i g u r e 6 s h o w s t h e s a m e e x a m p l e u s e d e a
r l i e r f o r a s y s t e m w i t h p l a n a r a d a p t i v e r
o u t i n g .
A s c a n b e s e e n , t h e s e t o f l e v e l 1 l e a d e r
s i s 1 l e s s t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g n u m b e r
o b t a i n e d u s i n g
e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g . H o w e
v e r , t h e n u m b e r o f l e v e l 2 l e a d e r s i s t h e s
a m e a s t h e
c o r r e s p o n d i n g n u m b e r o b t a i n e d u s i n g
e c u b e d i m e n s i o n o r d e r r o u t i n g . T h i s i s n
o t s u r p r i s i n g ,
t h o u g h , s i n c e t h e s e t s t h a t t h e g r o u p i
n g f u n c t i o n s o p e r a t e o n a t t h e s e c o n d s t e
p a r e d i e r e n t .
source destination
level 1 leader
level 2 leader
BRCP(planar) worm
Unicast worm
F i g u r e 6 : M u l t i c a s t i n a 2 - D m e s h u s i n g
p l a n a r a d a p t i v e g r o u p i n g .
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a s o p p o s e d t o e c
u b e g r o u p i n g , i t d o e s m a k e s e n s e t o u s e m o
r e
t h a n 2 l e v e l s o f g r o u p i n g h e r e f o r a 2 - d
i m e n s i o n a l s y s t e m . I t i s a d i e r e n t m a t t e
r , h o w e v e r ,
w h e t h e r t h e s e a d d i t i o n a l g r o u p i n g s t
e p s w i l l l e a d t o a n y b e n e t s o v e r t h e g r o u p
i n g s a l r e a d y
o b t a i n e d . W h e t h e r o r n o t i t i s p r o t a b l
e t o g o f o r m o r e l e v e l s o f g r o u p i n g c a n b e v
e r i e d u s i n g
t h e c r i t e r i o n d e v e l o p e d e a r l i e r . E x t
r a g r o u p i n g s s h o u l d b e d o n e o n l y a s l o n g a
s i t r e s u l t s i n s o m e
b e n e t i n t h e m u l t i c a s t p a t t e r n c o m p l e
t i o n t i m e . I n t h i s p a p e r , w e u s e a p a r t i a l
- o r d e r g r a p h
a p p r o a c h 3 0 ] i n d e t e r m i n i n g d i a g o n a l
p l a n a r - a d a p t i v e p a t h s f o r a g i v e n s e t o f
d e s t i n a t i o n s .
4 . 2 M u l t i p h a s e G r e e d y S c h e m e ( M G )
I n t h i s s e c t i o n , w e d e v e l o p a m u l t i p h a
s e g r e e d y s c h e m e . T h i s s c h e m e a t t e m p t s t
o m i n i m i z e t h e
m u l t i c a s t l a t e n c y b y s e n d i n g a s m a n y m
u l t i d e s t i n a t i o n m e s s a g e s a s p o s s i b l e e
a c h s t e p . T h i s i s
m a d e p o s s i b l e b y m a k i n g t h e d e s t i n a t i
o n s w h i c h h a v e r e c e i v e d t h e m e s s a g e a c t a
s s e c o n d a r y
1 6
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
17/33
s o u r c e s .
4 . 2 . 1 T h e b a s i c s c h e m e
C o n s i d e r a k k m e s h . L e t s b e t h e s o u r c e a
n d D , t h e s e t o f d e s t i n a t i o n s . L e t c b e t h
e
c o l u m n h a v i n g t h e l a r g e s t n u m b e r o f d e
s t i n a t i o n s . L e t t h e n u m b e r o f d e s t i n a t i
o n s i n c b e m .
A s s u m e t h a t i n t h e r s t p h a s e , t h e s o u r c
e s s e n d s a w o r m t o o n e o f t h e d e s t i n a t i o n s
i n c , s u c h
t h a t i t c o v e r s t h i s d e s t i n a t i o n a n d a l
l t h e d e s t i n a t i o n s a b o v e o r b e l o w t h i s d e
s t i n a t i o n i n t h a t
c o l u m n . I n t h e n e x t s t e p , t h i s d e s t i n a
t i o n c a n s e n d t h e m e s s a g e t o t h e r e m a i n i n
g d e s t i n a t i o n s
i n t h a t c o l u m n b y s e n d i n g a n o t h e r w o r m
. I n t h e n e x t p h a s e , a l l t h e s e d e s t i n a t i o
n s a l o n g w i t h
t h e o r i g i n a l s o u r c e c a n a c t a s s o u r c e s
. T h u s , w e h a v e e e c t i v e l y a t l e a s t m + 1 s o u
r c e s i n t h e
b e g i n n i n g o f t h e n e x t p h a s e . C o n s i d e r
s e l e c t i n g m + 1 c o l u m n s h a v i n g t h e l a r g e s
t n u m b e r o f
r e m a i n i n g d e s t i n a t i o n s t o r e c e i v e t h
e m e s s a g e i n t h e s e c o n d p h a s e . N o w e a c h o f
t h e m + 1
s o u r c e c a n s e l e c t o n e o f t h e s e c o l u m n s
a n d s e n d t h e m e s s a g e t o a d e s t i n a t i o n i n t
h a t c o l u m n .
T h e d e s t i n a t i o n r e c e i v i n g m e s s a g e i n
e a c h o f t h e s e c o l u m n s c a n f o r w a r d t h e m e s
s a g e t o o t h e r
d e s t i n a t i o n s i n t h e c o l u m n . A l l d e s t i
n a t i o n s r e c e i v i n g m e s s a g e i n t h i s s e c o n
d p h a s e c a n a c t a s
s o u r c e s f o r t h e t h i r d p h a s e . S u c h p r o c
e s s i s c o n t i n u e d , a d d i n g d e s t i n a t i o n s w
h i c h h a v e r e c e i v e d
t h e m e s s a g e t o t h e s o u r c e s e t , u n t i l t h
e r e a r e n o m o r e c o l u m n s l e f t t o b e c o v e r e d
.
T h e o r e m 2 T h e n u m b e r o f s t e p s r e q u i r e d
f o r t h e b a s i c m u l t i p h a s e g r e e d y s c h e m e i
n a k k
m e s h w i t h a d e s t i n a t i o n s e t D i s l e s s t h
a n o r e q u a l t o 2 d l o g
2
k e + 2 i f t 1 a n d 2 d l o g
t
k e + 2
i f t > 1 w h e r e k t j D j k ( t + 1 ) a n d t i s a n i n
t e g e r .
P r o o f : L e t S b e t h e s e t o f s o u r c e s a t a n y
s t a g e o f t h e a l g o r i t h m . E a c h p h a s e i n t h e
a l g o r i t h m
t a k e s o n e o r t w o s t e p s . I n t h e r s t s t e p ,
a s o u r c e s e n d s a m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m t
o a d e s t i n a t i o n
d i n a c o l u m n , w h i c h a l s o c o v e r s t h e d e s
t i n a t i o n s a b o v e o r b e l o w t h a t p o i n t ( d e p
e n d i n g o n
w h i c h e v e r d i r e c t i o n g i v e s m o r e d e s t i
n a t i o n s i n t h a t c o l u m n ) . I t c a n b e s e e n t h
a t t h i s w o r m
s t i l l c o n f o r m s t o e - c u b e r o u t i n g . I f t
h e r e a r e a n y d e s t i n a t i o n s i n t h a t c o l u m n
w h i c h a r e n o t
c o v e r e d i n t h e r s t s t e p , t h e d e s t i n a t i
o n d a c t s a s a s o u r c e , a n d s e n d s a w o r m w h i c
h c o v e r s t h e
r e m a i n i n g d e s t i n a t i o n s i n t h a t c o l u m
n i n t h e s e c o n d s t e p .
C o n s i d e r t h e c a s e w h e n t 1 . I f t h e n u m b e
r o f s o u r c e s a t a n y p h a s e i s l e s s t h a n t h e n
u m b e r
o f c o l u m n s r e m a i n i n g t o b e c o v e r e d , j S
j i n c r e a s e s a t l e a s t b y a f a c t o r o f t w o a t t
h a t p h a s e . W e
c a n c o m p l e t e t h e m u l t i c a s t i n o n e m o r e
p h a s e w h e n j S j r e a c h e s t h e n u m b e r o f c o l u
m n s h a v i n g
a t l e a s t o n e d e s t i n a t i o n t o b e c o v e r e d
, w h i c h i s n o m o r e t h a n k . E a c h p h a s e r e q u i
r e s a t m o s t
t w o s t e p s . T h u s , t h e n u m b e r o f s t e p s r e
q u i r e d f o r m u l t i c a s t i s a t m o s t 2 d l o g
2
k e + 2 .
C o n s i d e r n o w t h e c a s e w h e r e t > 1 . T h e c
o l u m n h a v i n g t h e l a r g e s t n u m b e r o f d e s t i
n a t i o n s
s h o u l d h a v e a t l e a s t t d e s t i n a t i o n s b y
t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e . T h u s , a t t h e e
n d o f t h e r s t
1 7
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
18/33
p h a s e w e a d d e a c h o f t h e s e d e s t i n a t i o n
s t o t h e s e t S a n d j S j w o u l d b e c o m e a t l e a s t
t . I n t h e
s e c o n d p h a s e , i f j S j > n u m b e r o f c o l u m
n s r e m a i n i n g t o b e c o v e r e d , w e s e l e c t t h e
s e t o f j S j
c o l u m n s h a v i n g t h e m a x i m u m n u m b e r o f d
e s t i n a t i o n s . I f w e d o n o t h a v e j S j c o l u m n
s a f t e r
t h e r s t p h a s e , w e s e l e c t a l l t h e r e m a i n
i n g c o l u m n s . E a c h o f t h e c o l u m n s e l e c t e d
i s a s s i g n e d
a s o u r c e w h i c h s e n d s a w o r m w h i c h c o v e r
s o n e o f t h e d e s t i n a t i o n s d i n t h a t c o l u m n
t o g e t h e r
w i t h t h e d e s t i n a t i o n s a b o v e o r b e l o w d
a s d e s c r i b e d i n t h e r s t p h a s e . A l s o , i n t h
e n e x t s t e p ,
d s e n d s a w o r m c o v e r i n g t h e r e s t o f t h e d
e s t i n a t i o n s i n t h a t c o l u m n , i f t h e r e a r e
a n y . E a c h o f
t h e d e s t i n a t i o n w h i c h r e c e i v e s t h e m e
s s a g e i n t h i s p h a s e b e c o m e s a s o u r c e i n t h
e n e x t p h a s e .
T h e s e l e c t i o n o f t h e j S j c o l u m n s i s d o n
e b y s o r t i n g t h e c o l u m n s i n d e c r e a s i n g o r
d e r o f t h e
n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s i n t h a t c o l u m n
, g r o u p i n g t h e m i n t o b l o c k s o f s i z e j S j a n
d t a k i n g t h e r s t
b l o c k . S i n c e w e h a v e a t l e a s t t s o u r c e s
a t t h e e n d o f t h e r s t p h a s e , w e h a v e j S j t a n
d t h e s i z e
o f a b l o c k s h o u l d b e a t l e a s t t a n d t h e n u
m b e r o f b l o c k s s h o u l d b e a t m o s t k = t . U s i n
g p i g e o n
h o l e p r i n c i p l e , i t c a n b e s e e n t h a t t h e
n u m b e r o f s o u r c e s a f t e r t h e s e c o n d p h a s e
t h e n u m b e r
o f d e s t i n a t i o n s i n t h e b l o c k h a v i n g t h
e m a x i m u m n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s ( k t ) = (
k = t ) = t
2
.
F o l l o w i n g t h e a b o v e a r g u m e n t , i t c a n b
e s e e n t h a t w e h a v e a t l e a s t t
n
s o u r c e s a t t h e e n d
o f t h e n
t h
p h a s e . O n c e w e h a v e e n o u g h n u m b e r o f s o
u r c e s t o c o v e r a l l t h e r e m a i n i n g c o l u m n s
,
w e c a n c o m p l e t e t h e m u l t i c a s t i n t w o m o
r e s t e p s .
T h u s , t h e n u m b e r o f p h a s e s r e q u i r e d t o
c o m p l e t e t h e m u l t i c a s t d l o g
t
k e + 1 a n d t h e
n u m b e r o f s t e p s 2 d l o g
t
k e + 2 .
4 . 2 . 2 R e d u c i n g t h e n u m b e r o f s t e p s r e q
u i r e d
I t c a n b e s e e n t h a t t h e s e c o n d s t e p o f e a
c h p h a s e c a n b e o v e r l a p p e d w i t h t h e r s t s t
e p o f
t h e n e x t p h a s e , w i t h a r o u n d h a l f o f t h e
d e s t i n a t i o n s i n t h e c o l u m n s r e c e i v i n g t
h e m e s s a g e a n d
a c t i n g a s s o u r c e s . T h u s , f o r t h e c a s e w
h e r e t > 1 , a t t h e e n d o f t h e s t e p 1 o f p h a s
e 1 , w e h a v e a t
l e a s t b t = 2 c s o u r c e s . S i m i l a r l y , a t t h
e e n d o f t h e s t e p 2 o f p h a s e 1 ( s t e p 1 o f p h a s
e 2 ) , w e h a v e a t
l e a s t b t
2
= 2 c s o u r c e s . F o l l o w i n g t h e s a m e a r g u m
e n t , w e h a v e a t l e a s t b t
l
= 2 c s o u r c e s a t t h e e n d
o f s t e p 1 o f p h a s e l .
L e t s b e t h e n u m b e r o f p h a s e s r e q u i r e d t
o a c q u i r e a s m a n y s o u r c e s a s r e q u i r e d t o c
o v e r
t h e r e m a i n i n g c o l u m n s , w i t h t h e a b o v e
m o d i c a t i o n . T h e n , a t t h e b e g i n n i n g o f t h
e l a s t p h a s e
w e s h o u l d h a v e b t
s
= 2 c c w h e r e c i s t h e n u m b e r o f c o l u m n s t o
b e c o v e r e d a t t h a t p o i n t . A f t e r
t h i s , w e n e e d a t m o s t t w o m o r e s t e p s t o c
o m p l e t e t h e m u l t i c a s t . T h u s , t h e n u m b e r
o f s t e p s
r e q u i r e d f o r m u l t i c a s t i s r + 2 w h e r e r i
s e q u a l t o t h e l e a s t s s a t i s f y i n g b t
s
= 2 c c .
I f t 1 , f o r a l l p h a s e s e x c e p t t h e l a s t o n
e , t h e n u m b e r o f c o l u m n s c o v e r e d g e t s a t l
e a s t
d o u b l e d . T h e s t e p 2 o f a l l p h a s e s e x c e p
t t h e l a s t o n e c a n b e o v e r l a p p e d w i t h t h e s
t e p 1 o f t h e
1 8
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
19/33
T a b l e 2 : A v e r a g e v a l u e s f o r t h e n u m b e r
o f s t e p s f o r a 3 2 3 2 m e s h u s i n g u m e s h a n d m u
l t i p h a s e g r e e d y
s c h e m e s . T h e c o l u m n s s h o w t h e n u m b e r o
f d e s t i n a t i o n s .
n o . o f d e s t s 6 4 1 2 8 1 9 2 2 5 6 3 2 0 3 8 4 4 4 8 5 1
2 5 7 6 6 4 0 7 0 4
M G s c h e m e 3 . 9 5 3 . 0 5 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 2 5 3 . 6 3
3 . 7 8 3 . 8 5 3 . 9 5 3 . 8 5 3 . 9 0
u m e s h 7 8 8 9 9 9 9 1 0 1 0 1 0 1 0
7 6 8 8 3 2 8 9 6 9 6 0 1 0 2 4
3 . 9 0 3 . 8 0 3 . 6 0 3 . 3 0 2 . 9 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
n e x t p h a s e . T h e l a s t p h a s e r e q u i r e s a t
m o s t 2 s t e p s . F r o m t h e a b o v e a r g u m e n t , a n
d f r o m t h e
f a c t t h a t c c a n n o t b e m o r e t h a n k , w e c o n
c l u d e t h e f o l l o w i n g :
L e m m a 3 T h e n u m b e r o f s t e p s f o r m u l t i l e
v e l g r e e d y m u l t i c a s t f o r a d e s t i n a t i o n s
e t D i n a
k k m e s h w i t h o v e r l a p p e d s t e p s i s l e s s t
h a n o r e q u a l t o d l o g
t
( 2 k ) e + 2 i f t > 1 a n d d l o g
2
( k ) e + 2
i f t 1 , w h e r e k t j D j k ( t + 1 ) .
A n o t h e r o p t i m i z a t i o n c a n b e d o n e a s f o
l l o w s : t h e m u l t i c a s t g e t s c o m p l e t e d a l o
n g t h e r o w s
a s s o o n a s w e h a v e a t l e a s t o n e s o u r c e i n
e v e r y r o w w h i c h h a s a d e s t i n a t i o n t o b e c o
v e r e d .
A n e x a m p l e f o r m u l t i c a s t u s i n g t h e a b o
v e s c h e m e i s s h o w n i n g 7 a n d a c o m p a r i s o n o
f t h e
a v e r a g e n u m b e r o f s t e p s f o r m u l t i c a s t
f o r t h e U m e s h a n d t h e m u l t i p h a s e g r e e d y s
c h e m e a p p e a r s
i n t a b l e 2
source destination
MDB worm
Step 1 Step 2 Step 3
F i g u r e 7 : M u l t i c a s t i n g u s i n g m u l t i d e
s t i n a t i o n w o r m s i n a 2 D m e s h u n d e r m u l t i l
e v e l g r e e d y
s c h e m e .
4 . 2 . 3 T a k i n g A d v a n t a g e o f A d a p t i v i t
y
I n t h e e c u b e r o u t e d s c h e m e , t h e r e c a n b
e c o n t e n t i o n w h e n t w o o r m o r e s o u r c e s i n t
h e s a m e r o w
t r i e s t o s e n d . T h i s c a n b e a v o i d e d b y u s
i n g a d a p t i v e r o u t i n g . F u r t h e r i m p r o v e m
e n t , u t i l i z i n g
1 9
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
20/33
a d a p t i v i t y m i g h t b e t o s e n d w o r m s c o v e
r i n g m o r e n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s e a c h s t
e p c o n f o r m i n g
t o t h e B R C P m o d e l , s o t h a t t h e n u m b e r o f
s t e p s r e q u i r e d i s f u r t h e r r e d u c e d . H e r e
, a d a p t i v i t y
p r o v i d e s m o r e e x i b i l i t y i n g r o u p i n g t
h e d e s t i n a t i o n s , c o m p a r e d t o t h e e c u b e s
c h e m e .
4 . 3 E e c t o f c h a n g e s i n t o p o l o g y
I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e s a w a l g o r i t
h m s f o r m u l t i c a s t i n g i n 2 - D m e s h e s . T h e s
a m e a l g o r i t h m s
c a n b e m o d i e d t o w o r k f o r m u l t i d i m e n s i
o n a l s y s t e m s , i r r e g u l a r m e s h e s a n d m e s h
e s w i t h w r a p -
a r o u n d c o n n e c t i o n s ( t o r i ) . I n t h i s s e
c t i o n w e s e e h o w t h e s c h e m e s d i s c u s s e d a b
o v e c a n t a k e
a d v a n t a g e o f t h e s e c h a n g e s i n s y s t e m t
o p o l o g y t o a c c o m p l i s h m u l t i c a s t f a s t e r
.
4 . 3 . 1 M u l t i d i m e n s i o n a l M e s h e s
T h e H L s c h e m e d e v e l o p e d f o r 2 - d i m e n s i
o n a l m e s h e s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s c a n
b e e a s i l y e x -
t e n d e d t o m u l t i d i m e n s i o n a l m e s h e s . F
o r a n - d i m e n s i o n a l s y s t e m , i t i s n o w p o s s
i b l e t o h a v e u p t o
n e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g s . A s
s u m i n g m g r o u p i n g s t e p s a r e u s e d , t h e n u m
b e r o f c o m -
m u n i c a t i o n s t a r t - u p s i n c u r r e d i n t h e
a c t u a l m u l t i c a s t i s e a s i l y s e e n t o b e : d l
o g
2
( j L
m
j + 1 ) e + m .
T h e M G s c h e m e c a n b e e x t e n d e d f o r h i g h e
r d i m e n s i o n s a s f o l l o w s . C o n s i d e r a n ? d i
m e n s i o n a l
m e s h . T h e ' c o l u m n s ' i n t h i s c a s e a r e t h
o s e a l o n g t h e n
t h
d i m e n s i o n . T h e m a x i m u m n u m b e r
o f c o l u m n s i n t h i s c a s e w o u l d b e k
n ? 1
w h e r e k i s t h e w i d t h o f t h e m e s h . T h u s , t
h e n u m b e r o f
s t e p s i s b o u n d e d b y d l o g
t
k
n ? 1
e + 2 i f t > 1 a n d d l o g
2
k
n ? 1
e + 2 i f t 1
w h e r e k t t h e n u m b e r o f d e s t i n a t i o n s k (
t + 1 ) , b y a n a n a l y s i s s i m i l a r t o t h a t f o r 2
? D
m e s h e s .
4 . 3 . 2 S y s t e m s w i t h I r r e g u l a r T o p o l o g
i e s
T h e H L e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g
s c h e m e c a n t a k e a d v a n t a g e o f i r r e g u l a r l
y s h a p e d
m e s h e s . C o n s i d e r a r e c t a n g u l a r 2 - d i m
e n s i o n a l m e s h w i t h t o p o l o g y k
1
k
2
, ( k
1
< k
2
) . I f
g r o u p i n g i s d o n e a l o n g t h e l a r g e r d i m e
n s i o n r s t a n d t h e n a l o n g t h e s m a l l e r o n e ,
a t t h e e n d
o f t h e r s t g r o u p i n g , w e h a v e a t m o s t k
1
l e a d e r s . A t t h e e n d o f t h e n e x t s t e p , w e
s e e t h a t w e
c a n h a v e a t m o s t k
1
l e v e l 2 l e a d e r s . O n t h e o t h e r h a n d i f g r
o u p i n g i s d o n e i n t h e r e v e r s e o r d e r
w e c a n l a n d u p w i t h a t m o s t k
2
l e v e l 2 l e a d e r s . I t i s t h u s b e t t e r ( o n t
h e a v e r a g e ) t o g r o u p
a l o n g t h e l a r g e r d i m e n s i o n r s t . G e n e r
a l i z i n g t h i s , w e c a n s e e t h a t i n o r d e r t o g
e t t h e l e a s t
n u m b e r o f l e a d e r s , g r o u p i n g s h o u l d b e
d o n e s t a r t i n g f r o m t h e l a r g e s t d i m e n s i o
n d o w n w a r d s f o r
a n - d i m e n s i o n a l i r r e g u l a r m e s h .
T h e M G s c h e m e p e r f o r m s b e t t e r f o r r e c t
a n g u l a r m e s h e s c o m p a r e d t o a s q u a r e m e s h
o f
e q u a l s i z e i f t h e l a r g e r d i m e n s i o n i s a
l o n g t h e c o l u m n s . I n t h i s c a s e , t h e n u m b e
r o f d e s t i n a t i o n s
c o v e r e d i n e a c h s t e p i s l i k e l y t o b e h i g
h e r a n d t h e n u m b e r o f c o l u m n s t o b e c o v e r e
d i s l i k e l y
2 0
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
21/33
T a b l e 3 : A v e r a g e v a l u e s f o r t h e n u m b e r
o f s t e p s f o r a 3 2 3 2 m e s h a n d a 3 2 3 2 t o r u s u s
i n g m u l t i p h a s e
g r e e d y s c h e m e . T h e c o l u m n s s h o w t h e n u
m b e r o f d e s t i n a t i o n s .
n o . o f d e s t s 6 4 1 2 8 1 9 2 2 5 6 3 2 0 3 8 4 4 4 8 5 1
2 5 7 6 6 4 0 7 0 4
M e s h 3 . 9 5 3 . 0 5 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 2 5 3 . 6 3 3 . 7 8
3 . 8 5 3 . 9 5 3 . 8 5 3 . 9 0
T o r u s 3 . 0 8 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0
0 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0
7 6 8 8 3 2 8 9 6 9 6 0 1 0 2 4
3 . 9 0 3 . 8 0 3 . 6 0 3 . 3 0 2 . 9 0
2 . 6 5 2 . 2 2 . 0 0 2 . 0 0 2 . 0 0
t o b e l o w e r , c o m p a r e d t o t h e s q u a r e m e s
h . B o t h o f t h e s e t e n d t o r e d u c e t h e n u m b e r
o f s t e p s
r e q u i r e d f o r m u l t i c a s t .
4 . 3 . 3 W r a p - a r o u n d T o r i
T h e H L s c h e m e c a n t a k e a d v a n t a g e o f w r a
p - a r o u n d c o n n e c t i o n s a v a i l a b l e i n t o r i
t o f u r t h e r
i m p r o v e t h e m u l t i c a s t p a t t e r n c o m p l e
t i o n t i m e . F o r m e s h e s , i n e c u b e d i m e n s i o
n o r d e r g r o u p i n g
t h e l e a d e r s w e r e c h o s e n t o b e t h e l e f t m
o s t n o d e i n t h e r o w o r t h e t o p m o s t n o d e i n t
h e c o l u m n .
T h i s w a s d o n e s o t h a t o n l y a s i n g l e w o r m
i s r e q u i r e d t o c o v e r e a c h r o w / c o l u m n . I t
i s e a s i l y s e e n
t h a t t h i s m a y n o t a l w a y s r e s u l t i n t h e b
e s t g r o u p i n g p o s s i b l e i n t e r m s o f t h e n u m
b e r o f l e v e l m
l e a d e r s o b t a i n e d . I f t h e g i v e n s y s t e m
h a s w r a p - a r o u n d c o n n e c t i o n s , t h e n s o m e
o p t i m i z a t i o n s
c a n b e m a d e . S i n c e i n a t o r u s , t h e s y s t e
m i s c o m p l e t e l y s y m m e t r i c , t h e l e a d e r s c
a n b e c h o s e n
a n y w h e r e i n t h e r o w / c o l u m n . I t m a y b e b
e t t e r t o c h o o s e t h e l e a d e r s i n r o w g r o u p i
n g s u c h
t h a t m o r e o f t h e s e l e v e l 1 l e a d e r s c a n b
e g r o u p e d t o g e t h e r d u r i n g l e v e l 2 ( o r c o l
u m n ) g r o u p i n g .
S i m i l a r c r i t e r i a c a n a l s o b e c h o s e n f o
r a d a p t i v e g r o u p i n g , t h e b a s i c i d e a b e i n
g t o r e d u c e t h e
n u m b e r o f n o d e s i n t h e n a l s e t , s a y L
m
, a n d a l s o t h e n u m b e r o f p h a s e s ( l e v e l s
) .
F o r t h e M G s c h e m e , i n s t e p 1 o f e a c h p h a s
e o f t h e a l g o r i t h m , e a c h s o u r c e c a n c o v e r
a w h o l e
c o l u m n u s i n g o n e w o r m , a n d h e n c e r e q u i
r i n g o n l y o n e s t a r t u p . A l s o , a n y w o r m s e n
t a l o n g a
r o w c a n c o v e r t h e e n t i r e r o w . T h u s , i f t
h e a l g o r i t h m r e a c h e s a s t a g e w h e n t h e r e e
x i s t s a s e t o f
s o u r c e s c o v e r i n g a l l t h e r o w s , t h e m u l
t i c a s t c a n b e c o m p l e t e d i n o n e m o r e s t e p .
T h u s , i n t h e
w o r s t c a s e , t h e n u m b e r o f s t e p s r e q u i r
e d w o u l d b e d l o g
t
k e + 1 i f t > 1 a n d d l o g
2
k e + 1 i f t 1 ,
f o r a k k t o r u s w h e r e k t n u m b e r o f d e s t i n
a t i o n s k ( t + 1 ) a n d t i s a n i n t e g e r . I t c a n b
e
s e e n t h a t t h i s i s a s u b s t a n t i a l i m p r o v
e m e n t o v e r t h e c a s e w i t h n o w r a p a r o u n d . T
a b l e 3 s h o w s
t h e a v e r a g e n u m b e r o f s t e p s r e q u i r e d f
o r m u l t i c a s t f o r a 3 2 3 2 m e s h a n d a 3 2 3 2 t o r
u s .
2 1
-
8/3/2019 Message Passing Mechanism-wormhole Routing
22/33
5 B r o a d c a s t i n g
T h e o n e - t o - a l l b r o a d c a s t p a t t e r n 9 , 3
, 2 0 ] i s a s p e c i a l i z e d m u l t i c a s t p a t t e r n
w h e r e t h e m e s s a g e
h a s t o b e s e n t t o a l l t h e n o d e s i n t h e s y s
t e m . I t i s c l e a r t h a t t h e s c h e m e s d i s c u s s
e d a b o v e c a n
b e a p p l i e d f o r b r o a d c a s t t o o , b u t s i n c
e t h i s p a t t e r n i s a n i m p o r t a n t o n e i n a c t u
a l p r a c t i c e , w e
d i s c u s s h o w t h e a b o v e d e s c r i b e d s c h e m
e s a c c o m p l i s h b r o a d c a s t i n g r e a t e r d e t a
i l i n t h i s s e c t i o n .
5 . 1 H i e r a r c h i c a l L e a d e r - b a s e d S c h e m
e
U s i n g e c u b e d i m e n s i o n o r d e r g r o u p i n g
, w e c a n s e e t h a t i n a 2 - D k k m e s h , t h e r e w i l
l b e
e x a c t l y k l e v e l 1 l e a d e r s . S i m i l a r l y ,
a f t e r l e v e l 2 g r o u p i n g , w e a l w a y s l a n d u p
w i t h a t m o s t
1 l e v e l 2 l e a d e r . B r o a d c a s t i s a c h i e v e
d a s f o l l o w s : i f t h e s o u r c e i s n o t t h e l e v e
l 2 l e a d e r , i n
t h e r s t p h a s e , i t s e n d s o u t t h e m e s s a g e
t o t h e l e v e l 2 l e a d e r . T h i s n o d e n o w s e n d s
o u t a
m u l t i d e s t i n a t i o n w o r m t o c o v e r t h e l e
v e l 1 l e a d e r s , w h i c h i n t u r n s e n d o u t m u l t
i d e s t i n a t i o n
w o r m s t o c o v e r t h e r e m a i n i n g d e s t i n a t
i o n s . T h u s , t h e b r o a d c a s t c a n b e c o m p l e t
e d i n c u r r i n g
o n l y 3 s t a r t - u p s . I f t h e s o u r c e h a p p e n
s t o b e t h e l e v e l 2 l e a d e r , t h e b r o a d c a s t c
a n b e a c h i e v e d
i n a t m o s t 2 s t a r t - u p s . I n t h e r s t s t e p ,
t h e s o u r c e s e n d s o u t a m u l t i d e s t i n a t i o n
w o r m t o c o v e r
t h e l e v e l 1 l e a d e r s . I n s t e p 2 , t h e l e v e
l 1 l e a d e r s s e n d o u t m
![Detecting wormhole attacks in 3D wireless ad hoc …19 Wormhole...Recently proposed wormhole detection algorithms focus on wireless network coding system [1], delay tolerant net- works](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5fd567e514077f0a20239b9e/detecting-wormhole-attacks-in-3d-wireless-ad-hoc-19-wormhole-recently-proposed.jpg)
