Mechanical metallurgyresearch.iaun.ac.ir/pd/montazerolghaem/pdfs/UploadFile... · 2018-04-20 · 4/20/2018 4 شﻧﺮﮐ و شﻧﺗ لﻳﻠﺣﺗ : لوا لﺻﻓ ﻪﻣدﻘﻣ

4/20/2018

1

دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 1


4/20/2018

2



4/20/2018

3


تنش و کرنشتحليل


4/20/2018

4

کرنش و تنش تحليل : اول فصل

مقدمه - 1Structural) اي سازه سيستم رفتار تحليل براي را نياز مورد مباني كرنش، و تنش ھاي تحليل

system) نمايد مي فراھم دارد، قرار بارگذاري اثر تحت كه.

تنشتحليل

مفاھيم بنيادي تنش •

تانسور تنش •

تبديالت در تانسور تنش •

تنش ھاي اصلي •

تنش ھاي برشي ماكزيمم يا مينيمم •

معادالت تعادل •

کرنشتحليل

مفاھيم بنيادي كرنش •

تانسور كرنش •

تبديالت در تانسور كرنش •

كرنش ھاي اصلي •

كرنش ھاي برشي •

معادالت سازگاري •



تحليل تنش–2

تعريف تنش ) الف

نيرو ( دارد قرار آن سطح در کننده عمل ھاي نيرو اثر تحت که بگيريد نظر در را دلخواه عمومي جسم يک جسم ميان از را Q موھومي دلخواه صفحه يک .) P3 و P2 و P1 متمرکز ھاي نيرو و p2 و p1 گسترده ھاي

و (+) عالمت با را Q صفحه سوي يک .دھد مي برش A سطح امتداد در را جسم صفحه اين .دھيد عبور .دھيم مي نمايش )- ( منفي عالمت با را ديگر سوي


4/20/2018

5


امتداد در ) مماسي يا برشي نيروي ( و ) عمودي يا نرمال نيروي ( مؤلفه دو به توان مي را نيروي:نمود تجزيه Q صفحه به نسبت S مماسي بردار و N نرمال واحد بردار

Q مثبت سمت در جسم از قسمتي در جسم از ديگر قسمت به را نيروھايي

اين .نمايد مي اعمال Q منفي سمت وسيله به Q صفحه طريق از نيروھا سمت دو در جسم قسمت دو مستقيم تماسQ از که را نيرويي .شوند مي منتقل

وسيله به A از ΔA جزيي سطح طريق ΔF با شود مي منتقل Q راست سمت .دھيم مي نمايش



22SN FFF ∆+∆=∆

:مقدار متوسط نيرو در واحد سطح عبارتند از

) تنش متوسط (

) تنش نرمال متوسط (

) تنش برشي متوسط (


4/20/2018

6


بنابراين بردار تنش به . مفھوم تنش در يك نقطه با فرض بي نھايت كوچك شدن حاصل مي شود:صورت زير مشخص مي شود

AF

A ∆∆

=→∆

lim0

σ

:و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماسي به صورت زير تعريف مي شوند

AFN

AN ∆

∆=

→∆lim

0σ

AFS

AS ∆

∆=

→∆lim

0σ

)تنش نرمال (

)تنش برشي يا مماسي (


:اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم، مي توان چھار مشخصه زير را براي آن بيان كرد


.است سطح واحد در نيرو جنس از تنش بردار1)

طرف به نقطه آن از گذرنده برش خاص مقطع طرف يك نيروھاي عمل نمايانگر نقطه، ھر در تنش بردار )2.است ديگر

مؤثر تنش بردار ارزيابي در ابتدا از سطح آن راستاي كه كند مي عمل سطحي روي نقطه، ھر در تنش بردار )3.است بوده

مي تنش نھايت بي نقطه يك در يعني ( باشد نمي خاص جھت و راستا يك به محدود نقطه يك در تنش بردار )4 .)كرد تعريف توان

نتيجه داد، در تشخيص توان نمي مستقل راستاي از سه بعدي، بيش سه فضاي نقطه در يک از آنجا که در توان بردار تنش مربوط به مي مستقل مشخص باشند، راستاي سه بردار تنش مربوط به سه اي ھرگاه در نقطه

.کردتعيين را راستاي اختياري ھر دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 12

4/20/2018

7


تانسور تنش) ب

:بارھايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسیم مي شوندكه در سـطح جسـم آزاد عمـل مـي كننـد، نظیـر (Surface Forces)نیروھاي سطحي -1

نیروھاي تماسي كه شامل بارھـاي متمركـز و واكـنش ھـا در يـك نقطـه مـي باشـند و .بارھاي گسترده

كــه در حجــم جســم آزاد عمــل مــي كننــد، نظیــر (Body Forces)نیروھــاي حجمــي -2.نیروھاي ثقلي و نیروھاي اينرسي

ديـاگرام جسـم نقطه از يک در (State of Stress)مشخص نمودن حالت تنش براي بـي بـا ابعـاد مسـتطیل مکعب يک جسم آزاد به صورت اين . مي کنیمآزاد استفاده

نقطه مورد نظـر ديگر شود، به عبارت مي در نظر گرفته dzو dyو dxکوچک نھايت شود کـه وجـوه آن مي کوچک فرض بینھايت با ابعاد مستطیل مکعب يک به صورت

.مي باشند zو yو xمحورھاي با موازي



مـي کنـيم و فـرض مي دھيم نشان Oگوشه در مبدا يک کوچک را با بينھايت و سھولت ارائه مطالب، عنصر براي سادگي .باشندمي ) ثابت(حجمي يکنواخت تنش در سرتاسر عنصر ھاي که مولفه

)به دو مولفهبرشي نيرو مولفه تجزيه کنند و مي که از نتطه مورد نظر عبور صفحاتي در مورد توضيح (

.داريمرا σxzو σxyو σxxھاي تنش xوجوه عمود بر محور يا صفحات براي

.داريمرا σyzو σyyو σyxھاي تنش yوجوه عمود بر محور يا صفحات براي

.داريمرا σzzو σzyو σzxھاي تنش zوجوه عمود بر محور يا صفحات براي دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 14

4/20/2018

8


در ارتباط با مفھوم حالـت تـنش در يـك نقطـه، نـه مؤلفـه :تنش به صورت زير وجود دارند

AF

AF

AF z

Axz

y

Axy

x

Axx ∆

∆=

∆

∆=

∆∆

=→∆→∆→∆

limlimlim000

σσσ

AF

AF

AF z

Ayz

y

Ayy

x

Ayx ∆

∆=

∆

∆=

∆∆

=→∆→∆→∆

limlimlim000

σσσ

AF

AF

AF z

Azz

y

Azy

x

Azx ∆

∆=

∆

∆=

∆∆

=→∆→∆→∆

limlimlim000

σσσ

: xوجوه عمود بر محور يا صفحات براي

: yوجوه عمود بر محور يا صفحات براي

: zوجوه عمود بر محور يا صفحات براي

دھنده امتداد مربوط به مولفه نمايش bاست که بر صفحه عمود است و امتدادي دھنده نمايش σab ،aتوجه شود که در . تنش است دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 15


:تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tσσσ

σσσ

σσσ

. ( نشان مي دھند بطور اختصار تانسور تنش را بصورت)نمايش تانسوري

ھا xمحور بیانگر 1ھا yمحور بیانگر 2ھا zمحور بیانگر 3


4/20/2018

9

کرنش و تنش تحلیل : اول فصل

:انواع كمیت ھا

يك كمیت اسكالر، كمیتي است كه تنھا داراي يك مؤلفه در يك دسـتگاه مختصـات مؤلفه مذكور ھنگامي كه در مختصات اختیـاري ديگـري بـه نـام . است اختیاري

).تانسور از مرتبه صفر( تغییري نمي كند اندازه گیري شود،

يك كمیت برداري، كمیتي است كه داراي سه مؤلفـه در يـك دسـتگاه مختصـات مؤلفه ھاي مذكور ھنگامي كه در مختصات اختیاري ديگري به . است اختیاري

تانسـور از مرتبـه (نام اندازه گیري شوند، به صورت قانونمند تغییر مي كنند ).اول

مؤلفـه در يـك دسـتگاه 9يك كمیت تانسوري، از مرتبه دوم كمیتـي اسـت كـه داراي مؤلفه ھاي مذكور ھنگامي كه در مختصات اختیاري ديگري . است مختصات اختیاري

)تانسور از مرتبه دوم( به نام اندازه گیري شوند به صورت قانونمند تغییر مي كنند .



:خواص تانسور تنش عبارتند از

تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گيرد ، - 1

عناصر قطر اصلي تانسور، مؤلفه ھاي قائم تنش ھستند، - 2

ھستند،) مماسي ( عناصر واقع در غير قطر اصلي، مؤلفه ھاي برشي - 3

تانسور تنش يك اصطالح رياضي است كه به موجوديتي فيزيكي به نام تنش اطالق مي شود، - 4

.تانسور تنش متقارن است - 5

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tσσσ

σσσ

σσσ


4/20/2018

10


0 0x yz zy yz zyM dxdydz dxdydzσ σ σ σ= ⇒ − = ⇒ =∑

:ديگر داريمبه عبارت . تقارن برخوردار استخاصیت توان اثبات کرد که تانسور تنش از مي

, ,xy yx xz zx zy yzσ σ σ σ σ σ= = =

مطـابق . مـي نويسـیمتقارن، معادله تعـادل مکعـب تـنش را خاصیت اثبات براي از محورھا و نسبت يک وارد بر مکعب حول ھر نیروھاي لنگر بايد معادالت تعادل،

:ديگر داريمبه عبارت . به ھر نقطه، معادل صفر گردد

0 0y zx xz zx xzM dxdydz dxdydzσ σ σ σ= ⇒ − = ⇒ =∑0 0z yx xy yx xyM dxdydz dxdydzσ σ σ σ= ⇒ − = ⇒ =∑

از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده اسـت، نیروھاي ناشي در معادالت باال از کلـي نیـز صـحیح بـه دسـت آمـده در حالـت نتیجـه توان نشان داد کـه ولي مي

ھـاي برشـي تـنش کمیـت ھـاي دھند که مي معادالت تعادل باال نشان . استطوري ھستند و جھت آنھا ھمیشه مساوي واقع در دو سطح عمود مجاور ھم،

.شوندمي دور ھمديگر که از يا اين بوده ھمديگر به طرف يا است که دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 19


مؤلفه ھاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياري) پ

و xبردار تنش و و در صفحاتي كه به ترتيب عمود بر محورھاي

y وz مي باشند، عبارتند از:

++=

++=

++=

kjiT

kjiT

kjiT

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

σσσ

σσσ

σσσ

را كه از مكعب تنش بريـده شـده اسـت، مـورد مالحظـه قـرار مـي Pاينك بردار تنش در يك صفحه مايل دلخواه .دھيم


4/20/2018

11


:عبارت است از Pبردار نرمال واحد عمود بر صفحه

knjmilN ++=

.كوسينوس ھاي ھادي بردار واحد مي باشند n و m و l كه در آن



) Principal Stresses & Principal Planes( تنش ھاي اصلي و صفحات اصلي ) ت

صـفحه ايـن در Sتـنش براينـد به گونه اي است كـه ABCصفحهراستاي فرض كنید كه : ديگر داريمعمود بر صفحه است، به عبارت

در آن نقطــه اســت و (Principal Plane)اصــلي در ايــن صــورت صــفحه مــذکور، صــفحه اصـلي ، تـنش S = Snو تـنش (Principal Direction)راستاي اصـلي نرمال آن، راستاي

(Principal Stress) شودنامیده مي.باشد بگونه اي كه Oيك صفحه اصلي در نقطه ABCکه صفحهکنید فرض

مشابه بردار نرمال واحد nو mو lھمان كوسینوس ھاي ھادي داراي Sصورت در اين

:عبارتند از zو yو xدر راستاي Sدر اين صورت مؤلفه ھاي . مي باشد

nSSmSSlSS

z

y

x

=

==


4/20/2018

12


:آمد خواھد در زير صورت به مايل صفحه يك در تنش ھاي مؤلفه به مربوط معادالت صورت اين در

( )( )

( )

=−++

=+−+

=++−

000

SnmlnSmlnmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

σσσ

σσσ

σσσ

:داريم نيز تانسوري گذاري نماد صورت به

( ) 0=− Sn ijiji δσ

:در نماد گذاري تانسوري، دلتاي كرونكر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود

0

1

=⇒≠

=⇒=

ij

ij

jiji

δ

δ

x xx yx zxS l m nσ σ σ= + +

zyyyxyy nmlS σσσ ++=

zzyzxzz nmlS σσσ ++=nSSmSSlSS

z

y

x

=

==



مساوي آن ضرايب دترمينان بايد باشند، n و m و l ازاي به صفر غير جواب داراي مذكور معادالت اينكه براي :داريم ديگر عبارت به .باشد صفر

Cubic ( سومي درجه معادله يك مذكور، دترمينان بسط از Equation ( ازاي به S داشت خواھيم:

0322

13 =−−− ISISIS

0=

−

−

−

=−

SS

SS

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ijij

σσσ

σσσ

σσσ

δσ

( )( )

( )

=−++

=+−+

=++−

000

SnmlnSmlnmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

σσσ

σσσ

σσσ


4/20/2018

13


:كه در آنھا داريم

zzyyxxI σσσ ++=1 )مجموع قطر تانسور تنش )

zzyz

yzyy

zzxz

xzxx

xy

xyxx

yyI

σσ

σσ

σσσσ

σσ

σσ−−−=2

مجموع كوفاكتور ھاي قطر تانسور ( )تنش

( )2223 2 xyzzzxyyyzxxzxyzxyzzyyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

I σσσσσσσσσσσσ

σσσ

σσσ

σσσ

++−+==

)دترمينان تانسور تنش(

0322

13 =−−− ISISIS



Real) حقيقي ريشه سه داراي باال معادله که کرد ثابت توان مي Root) تنش سه حداقل نتيجه در و است در ھا جواب اين پسرفتي جايگذاري از .شوند مي داده نشان σ3 و σ2 و σ1 صورت به که دارند وجود اصلي

مي دست به n و m و l متناظر ھادي ھاي کوسينوس ،مايل صفحه يک در تنش ھاي مولفه به مربوط معادالت:شرط با البته ،آيند

2 2 2 1l m n+ + =

خواھند بفرد منحصر متناظر، اصلي راستاي سه صورت اين در باشند، متمايز σ3 و σ2 و σ1 ريشه اگرسه اين در باشند، مساوي ريشه سه اين از ريشه دو اگر .بود خواھند (Orthogonal) متعامد يکديگر بر و بود

بر که باشند دلخواھي راستاي دو ھر تواند مي ديگر راستاي دو و بود خواھد بفرد منحصر راستا يک صورت بفردي منحصر راستاي ھيچ صورت اين در باشند، مساوي ريشه سه ھر اگر .باشند مي متعامد راستا نخستين عنوان به تنش وضعيت اين .شوند انتخاب توانند مي دلخواھي متعامد راستاي سه ھر و داشت نخواھند وجود.است معروف ھيدرواستاتيک تنش حالت


4/20/2018

14


1 xx yy zz xx yy zzI σ σ σ σ σ σ′ ′ ′= + + = + +

در O نقطه در را ´z و ´y و ´x محورھاي متفاوت مجموعه يک ،z و y و x محور سه جاي به که کنيد فرض به بود، خواھد شده ذکر سومي درجه معادله مانند اصلي ھاي تنش تعيين معادله صورت اين در .بگيريم نظر´σ ھاي تنش حسب بر I3 و I2 و I1 که اين جز

x و σ´y و σ´

y شد خواھند تعريف جديد محورھاي به نسبت. :داريم مثال عنوان به

1

2

3

...

...

xx yy zzIII

σ σ σ′ ′ ′= + +

==

شده انتخاب مختصات محورھاي به بستگي که است واضح و باشند مي فيزيکي ھاي کميت اصلي، ھاي تنش اما σ1 براي را مشابھي مقادير که اين تا باشند يکسان مختصاتي دستگاه ھر در بايد I3 و I2 و I1 مقادير بنابراين .ندارند

:داشت خواھيم مثال عنوان به بنابراين .دھند دست به σ3 و σ2 و



I1 و I2 و I3 ناورداھاي ترتيب به (Invariants) شوند مي ناميده تنش تانسور سوم و دوم و اول.

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

( )III

σ σ σ

σ σ σ σ σ σσ σ σ

= + +

= − + +=

فرم تنش، ناورداھاي صورت اين در ،بگيريم نظر در مختصات محورھاي عنوان به را اصلي راستاھاي اگر:گرفت خواھند خود به را زير ساده

که ھستند مستقل کميت سه شوند، مي ظاھر باال معادالت در که I3 و I2 و I1 ناورداھاي که شد يادآور بايد توان مي σ3 و σ2 و σ1 بودن معلوم با ديگر عبارت به .نمايند مي مشخص را σ3 و σ2 و σ1 نيز و تنش حالت دست به را σ3 و σ2 و σ1 توان مي نــــیز I3 و I2 و I1 داشتن با و نمود محاسبه را I3 و I2 و I1 ھاي کميت.آورد


4/20/2018

15


)Axial Strain(محوري کرنش ) ب

x) مختصات به P نقطه در ذره يک ،يابد مي تغييرشکل جسم يک که ھنگامي - , y , z) نقطه به P´ مختصات به (x+u ,y+v , z+w) نقطه در اي ذره ھمچنين .يابد مي انتقال Q مختصات به (x+dx , y+dy , z+dz) نقطه به Q´ به

x+dx+u+du) مختصات , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw) کوچک بينھايت خطي عنصر و يابد مي انتقال PQ=ds خطي عنصر صورت به P´Q´ طول به ds´ آيد مي در.



Lagrangian) الگرانژي محوري کرنش - axial strain)نقطه در P در که شود مي تعريف زير صورت به :دارد کاربرد بزرگ ھاي شکل تغيير

2

22

0 2'lim ds

dsdsds

−=

→ε

:شودزير تعريف مي به صورت Pدر نقطه ) Engineering axial strain(محوري مھندسي کرنش -

0

'lim ds

ds dseds→

−=

.کوچک کاربرد داردتئوري ھاي تغييرشکل و تئوري ھاي ابتدايي کرنش در مقاومت مصالح و اين


4/20/2018

16


Oz , Oyمحورھاي درجھت Pي در نقطه محوري مھندسي کرنش , Oxعبارت است از:

zwe

yve

xue

zz

yy

xx

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

محوري کرنش به ،کنيم نظر صرف الگرانژي محوري کرنش در موجود دومي درجه جمالت از اگر واقع در ھاي کرنش اساسا و است پذير امکان کوچک بسيار ھاي تغييرشکل در واقع در امر اين و رسيم مي مھندسي .باشند کوچک ھا کرنش کميت يا و ھا شکل تغيير که شوند مي فرض مساوي ھنگامي الگرانژي و مھندسي محوري



زاويه اي يا برشيکرنش ) پ

.دھدمي جسم را نشان زاويه اي شکل تغيير در واقع برشي کرنش

مقدار . خواھد کردتغيير قائم زاويه ي شکل جسم، تغيير پس از . مي گيريمقائم در نظر يک زاويه ي Pي در نقطه . گرددمي آن مشخص کوسينوس توسط زاويه ي جديد

' '. ' 'cos' ' . ' '

P Q P SP Q P S

α =


4/20/2018

17


xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

ε ε εε ε ε ε

ε ε ε

=

: عبارت اند ازمھندسي تانسور کرنش

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eeeeeeeee

e

: تانسور کرنش و خواص آن) ت. گذاشتنمايش تانسور به يک کرنش در آن نقطه در ھاي مؤلفه طريق توان از مي را Pي در نقطه تغييرشکل

. داشته باشندھايي است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباھت طبيعي

: عبارت است ازالگرانژي تانسور کرنش



برشي که حداقل سه صفحه که متقابال متعامدند وجود دارند که در آن تنش دريافتيم نقطه يک در مطالعه تنش در ).اصليصفحات (صفر است

که اي صفحه يعني باشد؟ صفر برشي کرنش آنھا در که دارند وجود صفحاتي آيا که شود مي مطرح سئوال اين آن بر عمود ابتدا در که A مانند برداري بنابراين .کند نمي تغييري جسم تغييرشکل از بعد آنھا ھاي نرمال جھت

.کند نمي تغييري ان راستاي ولي بلند، يا شود مي کوتاه يا است، صفحه

و ھستند اصلي راستاھاي آنھا بر نرمال راستاھاي که شوند مي ناميده اصلي صفحات صفحاتي، چنان .است مثبت جواب.شوند مي ناميده اصلي ھاي کرنش ،نيز صفحات اين با متناظر ھاي کرنش


4/20/2018

18


:زير مي رسيممشابه سومي به معادله درجه نھايت ، در کنيمعمل اصلي تنش ھا و صفحات يافتن مشابه طريقه اگر به

0''' 322

13 =−−− III εεε

ھاي اصليکرنش

1

2 2 22

2 2 23

'

' ( )

' . . 2 ( . )

xx yy zz

xy yz zx xx yy yy zz zz xx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

I

I

I

ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

= + +

= + + − + +

= + − + +

:تانسور کرنشناورداھاي



3213

1332212

3211

')('

'

εεεεεεεεε

εεε

=++−=

++=

III

: به عنوان مثال. باشندمي کرنش ھمانند تنش تبديل روابط 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2XX xx yy zz yz zx xyl m n m n n l l mε ε ε ε ε ε ε= + + + + +

:عبارتند از ھاي اصلي نيز کرنش نسبت به کرنش ناورداھاي

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )XY xx yy zz yz zx xyl l mm n n mn m n nl n l l m l mε ε ε ε ε ε ε= + + + + + + + +

:به دست آوردزير را به صورت ھاي برشي ماکزيمم توان کرنش مي باز ھم به طور مشابه با حالت تنش،

)(21

)(21

)(21

213

312

321

εεγ

εεγ

εεγ

−±=

−±=

−±=


4/20/2018

19

óبه اعمالی تنش یا بار میزان از تابعی سازه در آمده بوجود کرنش یا شکل تغییر میزان .است سازه

óخطی کرنش با تنش رابطه بارگذاري، کم مقادیر در و ساده کششی بارگذاري در .است

óهوك قانون رابطه، این به )Hook’s law( ضریب به و .گویند E االستیسیته مدول Yang’s( یانگ مدول یا modulus( گویند.óدر معموال که میباشد پاسکال االستیسیته مدول واحد است، بعد بی کرنش چون

.است GPa مرتبهó407-45 بین فلزات براي یانگ مدول GPa است تغییر در تنگستن و منیزیم براي.


Eσ ε=


4/20/2018

20

óشکل تغییر متناسبند، هوك قانون طبق کرنش و تنش آن در که شکلهایی تغییر به .گویند االستیک

óفیزیکی تعبیر E صلبیت یا و سفتی همان stiffness است.است االستیک شکلهاي تغییر برابر در ماده مقاومت معرف که

óبسیار مهندسی شکلهاي تغییر محاسبه در االستیک مدول.است مهم óبرداشتن با یعنی .نیستند دائمی االستیک شکلهاي تغییر .میگردد بر خود اولیه شکل به قطعه بار


óکرنش و تنش کشسانی رابطه پلیمرها، و بتن خاکستري، چدن مثل مواد بعضی در non-linear( نیست خطی elastic(.

óمواد براي .نیست پذیر امکان خط شیب روي از االستیسیته مدول یک تعیین لذا tangent( سکانت یا و تانژانت مدول از غیرخطی االستیک or secant( استفاده .میشود

óتنش منحنی بر مماس شیب برابر تانژانت مدول-.میباشد تنش از خاصی محدوده در کرنشóبه مرکز از اتصالی خط شیب برابر سکانت مدول

.میباشد بررسی مورد تنش نقطه


4/20/2018

21

óبین پیوندهاي فشردگی یا کشیدگی باعث االستیک شکلهاي تغییر اتمی، مقیاس در .میشود اتمها فاصله تغییر باعث و میشود اتمی

óمدول و میشود تر سخت اتمها بین فاصله تغییر باشد، قویتر اتمی بین نیروي هرچه .یابد می افزایش االستیک

óتوازن نقطه در فاصله-نیرو منحنی شیب با است متناسب االستیسیته مدول

óفلزات حد در سرامیکها االستیسیته مدول.است آن از تر پایین پلیمرها و

.است اتمی پیوندهاي نوع در علت


0r

dFEdr

∝

óبوده دما به وابسته االستیسیته مدولچرا؟ .یابد می کاهش دما افزایش با و

óدارد االستیک رفتار بارگذاري، کم مقادیر در نیز برش و فشار حالت در ماده.óاست یکسان مواد اکثر براي فشار، و کشش حالت در االستیک کرنش-تنش منحنی.óمتناسبند هم با زیر رابطه مطابق برشی کرنش و برشی تنش:

.است برشی کرنش-برشی تنش منحنی شیب برابر و گویند برشی مدول G به


Gτ γ=

4/20/2018

22

óاعمال با یعنی .نیست زمان به وابسته مواد االستیک رفتار لحظه تا و ایجاد ماده در االستیک کرنش بالفاصله تنش.ماند می باقی ثابت ثابت، بار اعمال

óوابسته کرنش از هایی مولفه عمل، در مهندسی مواد اغلب در کرنش تنش، اعمال از بعد یعنی .دارد وجود نیز زمان به

تنش، برداشتن یا یا و است افزایش به رو همچنان االستیک.شود صفر کامل بطور کرنش تا است الزم زمان

óگویند غیرکشسانی را، زمان به وابسته االستیک رفتار این.óکه است زیاد پلیمرها در اما کم، فلزات در کشسانی غیر رفتار

.گویند viscoelastic ویسکواالستیک رفتار آن به


óراستاي در محوره تک کشش آزمایش در جسمی وقتی z بارگذاري.شودمی کرنش و طول افزایش دچار راستا این در شود،میóراستاي در طول افزایش این z راستاي در طول کاهش با مصادف

x, y راستاي در کرنش موجب و باشدمی x, y شودمی.,x راستاي در کرنش y به است، ماده خواص جزء که پواسون نام به ضریبی توسط

.شوندمی مرتبط z راستاي در کرنش

óهمسانگرد مواد در )isotropic( کرنشهاي yε,xε باشندمی برابر.óاست کشش بر عمود جهت در کرنش بودن انقباضی دلیل به منفی عالمت.


yx

z z

εεν

ε ε= − = −

4/20/2018

23

óنیز دیگر جهت در شوند، کشیده جهت یک در چنانچه که دارند وجود مواد از بعضی پلیمري فومهاي مثل .است منفی پواسون ضریب مواد این در .شوندمی منبسط

óبین فلزات براي عمل در اما .است 0.25 تئوري بصورت پواسون ضریب مقداري .است تغییر در 0.25-0.35

óحین ماده در حجمی تغییر حالت این در .است 0.5 برابر پواسون ضریب حداکثر .دهد نمی روي شکل تغییر

óهم به زیر رابطه طبق پواسون ضریب و برشی مدول یانگ، مدول همسانگرد، مواد در :مربوطند

óمقدار فلزات اغلب در G 0.4 حدودE میباشد.


( )2 1EG

ν=

+

óنیست گیرياندازه جهت به وابسته مواد مکانیکی خواص همسانگرد، مواد در.óبا مکانیکی خواص یعنی هستند، غیرایزوتروپیک االستیک رفتار داراي مواد از برخی

.میکند تغییر ماده، بلوري جهت تغییرóخواص از بیشتري تعداد تا است الزم جهت به خواص وابستگی دلیل به مواد این در

.شود معین کامال ماده االستیکی مشخصات تا شود، گیري اندازه ماده مکانیکیóهمسانگرد خواص ها، دانه بلوري جهت بودن رندوم دلیل به بلوري چند مواد در

.شود ساماندهی بلورها جهت خاصی، فرایند طی آنکه مگر .است


4/20/2018

24

óیابد می ادامه 0.005 حدود کرنش تا فقط االستیک رفتار فلزات اغلب در. óکرنش با متناسب تنش دیگر شوند، کرنش دچار مقدار این از بیش مواد چنانچه

بار برداشتن با یعنی .میدهد روي ماده در پالستیک یا دائمی شکل تغییر و نیست.برنمیگردد خود اولیه شکل به ماده

óبه االستیک منطقه از عبور فلزات اغلب در .است تدریجی پالستیک

انحنا رویم، پیش پالستیک منطقه در هرچه¡.میشود بیشتر


پیوندهاي و شکسته را فعلی موقعیت در خود قبلی پیوندهاي اتمها اتمی، دیدگاه از¡ .میکنند ایجاد جدید هاي همسایه با جدید

تنش، برداشتن با بنابراین .میشود اتمها جابجایی باعث اتمها وسیع تعداد در امر این¡.نمیگردند باز خود قبلی موقعیت به اتمها

.است متفاوت غیربلوري و بلوري مواد براي ماده شکل تغییر و اتمها جابجایی مکانیزم¡ لغزش فرایند توسط ماده پالستیک شکل تغییر و اتمها جابجایی بلوري مواد در¡

)slip( میکنند حرکت نابجاییها فرایند این در .میدهد روي. مایعات همانند پالستیک شکل تغییر و اتمها جابجایی فرایند غیربلوري مواد در¡

.میدهد روي ویسکوز جریان توسط


4/20/2018

25

óتغییر و بدهند االستیک شکل تغییر تنها که میشوند طراحی اي بگونه ها سازه اغلب .میشود آنها نامناسب عملکرد باعث پالستیک، دائمی شکل

óمیدهد، روي تسلیم پدیده یا پالستیک شکل تغییر آن در که تنش تا است الزم لذا .)میدهد روي کوچک تنش تغییر برابر در بزرگ کرنشهاي تسلیم در( .شود مشخص

óمیدهد، روي تدریجی بصورت پالستیک به االستیک حالت از رفتار تغییر که موادي در خطی حالت از نمودار که است جائی تسلیم نقطهproportional( تناسب حد نقطه این به .میشود خارج

limit( نقطه .گویند P لذا .است مشکل نمودارها برخی در تناسب حد تعیین¡

رسم االستیک خط موازي 0.002 کرنش از راست خط یک.گویند تسلیم استحکام تنش، این به .کند قطع را نمودار تا میشود


óگویند تسلیم استحکام آمده بدست تنش به و تسلیم نقطه آمده بدست نقطه به.óمرتبه در تسلیم تنش Mpa است.óباشد ماده مشخصه نشاندهنده که میرود بکار سبب بدین استحکام کلمه.óاستفاده است غیرخطی ابتدا از االستیک رفتار که موادي براي این در لذا .نیست عملی ε=0.002 کرنش در موازي خط از

استحکام عنوان به ε=0.005 کرنش با معادل تنش از حالت.میشود استفاده تسلیم شکستگی یک با پالستیک-االستیک مرز فوالدها برخی در¡

پایین تسلیم نقطه مواد این در .است معین نمودار در ناگهانی.میگیرند نظر در تسلیم استحکام عنوان به)تسلیم نقطه پدیده(


4/20/2018

26

óکشش تست دستگاه صلبیت که است مشاهده قابل هنگامی تسلیم، نقطه پدیده .باشد باال بسیار

óاست دائمی شکل تغییر برابر در ماده مقاومت بیانگر تسلیم استحکام فلزات، در. 35 از تسلیم استحکام MPa 1400 تا آلومینیوم براي MPa استحکام فوالد براي

.است متغیر باال

óچیست؟ پالستیک و غیراالستیک االستیک، رفتار تفاوت :کوئیز


óبه تا یابد می افزایش فلزات در پالستیک شکل تغییر براي الزم تنش تسلیم، از بعد F نقطه در تا یابد می کاهش تنش سپس .برسد M نقطه در حداکثر مقدار یک

.بشکندóنقطه( کرنش-تنش نمودار در تنش حداکثر به M( گویند کششی استحکام.óیک که است تنشی حداکثر تنش این

به تنش چنانچه .کند تحمل میتواند سازه منجر بماند، باقی آن در و برسد مقدار این.شد خواهد شکست بهقسمت در شکل تغییر نقطه، این از قبل تا¡

.است یکنواخت میانی


4/20/2018

27

óگلویی یا مقطع سطح کاهش به شروع جسم از قسمتی کششی، استحکام نقطه از بعد در و میشود شده گلویی قسمت به محدود شکل، تغییر مابقی سپس .میکند شدن.میدهد روي شکست نهایت

óشکست استحکام میدهد، روي شکست آن در که تنشی به fracture strength .گویند

ó50 از و متفاوت گوناگون مواد در کششی استحکام Mpa 3000 تا آلومینیوم برايMpa است متغیر باال استحکام فوالدهاي براي.

óاستحکام منظور است، طراحی مقاصد براي ماده استحکام از صحبت وقتی معموال زیادي پالستیک شکل تغییر دچار ماده کششی، استحکام در زیرا .است تسلیم.نیست کاربردي که میشود

óباشد می مهم فلزات دهی شکل فرایند در شکست استحکام.



4/20/2018

28

óکشش آزمایش )Tension Test( تعیین براي متداول بسیار آزمایشهاي از یکی .است مکانیکی خواص

óتا میشود اعمال تدریج به پیوسته و ثابت نرخ یک با باریک قطعه یک به کششی نیروي .است مخرب تستهاي جزء لذا .دهد روي شکست نهایتا و پالستیک شکل تغییر آن درóولی است، دایروي مقطع سطح معموال .باشد استاندارد بصورت باید قطعه ابعاد و شکل

.باشد نیز مستطیل شکل به میتواندóشکلها تغییر که است علت این به استخوانی شکل .دهد روي میانی قسمت در شکست و


óمورد آن خواص و باشد فشاري نیروهاي تحت عمل در قطعه چنانچه compression( فشار تست آزمایش از باشد، نیاز test( استفاده

.میشودóاعمالی نیروي تنها است، کشش تست همانند آزمایش این اساس

.است فشاريóمیباشند منفی کرنش و تنش نیرو، حالت، این در.óفشار تست معایب و مزایا:.دارد بیشتري مقبولیت انجام، راحتی دلیل به کشش تست1. شکل تغییر و زیاد کرنشهاي تحت که موادي براي فشار تست2.

تست در شدن گلویی پدیده( .است مطلوب دارند، قرار پالستیک)کشش

.دارد کاربرد )بتون( هستند ترد کشش در که موادي براي3.

.فشار تست در کمانش یا و شدن اي بشکه مشکل4.


4/20/2018

29

óتعریف زیر بصورت برشی تنش شود، اعمال قطعه به خالص برشی نیروي حالتیکه در :میشود

óزاویه تانژانت بصورت برشی کرنش حالت این در θ میشود تعریف.óمیشود جسم مقطع سطح در متغیر خالص برشی تنش تولید پیچشی نیروي.óمیباشد ... و ها مته قدرت، انتقال محورهاي شامل پیچش از عملی مثالهاي.óاست پیچشی گشتاور مقدار از تابعی تنش ها میله این در.


0

FA

τ =

óمدنظر قطعه خمشی استحکام و دارد قرار خمشی بار معرض در قطعه که شرایطی در bending( خمش تست از باشد، test( میشود استفاده.

óسه خمش( یک توسط قطعه وسط سپس .میگیرد قرار گاه تکیه دو بین در قطعه .میگیرد قرار بارگذاري معرض در )نقطه چهار خمش( گاه تکیه دو یا )نقطه

óاست متغیر خمش هنگام مقطع سطح طول در فشاري و کششی تنش توزیع.


4/20/2018

30

óنمود استفاده کشش تست از نمیتوان سرامیکها همچون ترد مواد خواص تعیین در. :زیر علت سه به

.است مشکل کشش تست خاص قطعه تهیه1.

.میشوند خرد میگیرد، قرار دستگاه گیره داخل که قسمتهایی2.

.نمود اعمال میتوان آنها به کمی بسیار کرنش3. معموال بارگذاري .میشود استفاده خمش تست از مواد این خواص تعیین براي بنابراین.یابد می ادامه قطعه شکست تا

óیافت ترد مواد شکست مدول و شکست استحکام خمشی، استحکام خمش، تست از .میشود


óاز گرفته نشات تنش کل، در از گرفته نشات کرنش و بارگذاري

.است جسم در موجود شکل تغییر مستقل هم از کرنش و تنش اما

به مکانیکی خواص توسط و نبوده.مربوطند هم


4/20/2018

31

óوقوع از قبل ماده پالستیک شکل تغییر میزان گیري اندازه براي معیاري پذیري شکل .است ماده در شکست

óترد مواد باشند، داشته شکست از قبل کمی پالستیک شکل تغییر که موادي به Brittle گویند.

óپذیر شکل مواد شکست، از قبل توجه قابل پالستیک شکل تغییر داراي مواد به ductile گویند.

óصورت دو به کمی بصورت پذیري شکل میزان :شود بیان

طول افزایش درصد1.

مقطع سطح کاهش درصد2.


óاست شکست لحظه در پالستیک کرنش درصد برابر طول افزایش درصد.

óکه lf و شکست لحظه در قطعه طول l0 است آن اولیه طول.óمیانی بخش از قسمتی کشش، تست در طول افزایش درصد محاسبه براي :مهم نکته

داده رخ شدن گلویی پدیده کششی، استحکام نقطه از بعد طرفی از .میرود بکار نمونه .میشود متمرکز نقطه این در شکست لحظه تا پالستیک شکل تغییر عمده وóدچار نمونه از زیادي کسر شود، گرفته نظر در کوچک قطعه اولیه طول چنانچه لذا

.آید می بدست باالیی عدد EL% براي نتیجه در و شده گلویی پدیدهó50 از کوچکتر نباید اولیه طول مقدار بنابراین mm باشد.


0

0

% 100fl lEL

l−

= ×

4/20/2018

32

óمیشود تعریف زیر بصورت مقطع سطح کاهش درصد:

óکه Af و شکست لحظه در مقطع سطح A0 است اولیه مقطع سطح.ó%RA مواد اغلب براي .است اولیه طول از مستقل %EL و %RA نیستند یکسان.óدما کاهش با .هستند اتاق دماي در متوسطی نسبتا پذیري شکل داراي فلزات اغلب

.میکنند پیدا تردتري رفتار موادóدارد اهمیت دلیل دو به مواد پذیري شکل دانش:طراحان نیاز مورد سازه یک در شکست از قبل پالستیک شکل تغییر میزان1. تولید و ساخت فرایند طی در مجاز پالستیک شکل تغییر میزان2.


0

0

% 100fA ARA

A−

= ×

óمیزان در طراح اشتباه صورت در زیرا .گویند نیز گذشت با مواد پذیر شکل مواد به محلی پالستیک شکل تغییر دچار شکست، بجاي قطعه طراحی، تنش محاسبه.میشود

óشکست کرنش که میشود گفته موادي به تقریبا ترد مواد εf 5 از کمتر آنها در% .EL=5%% دیگر عبارتی به یا باشد


4/20/2018

33

óتعیین کرنش-تنش نمودار و کشش آزمایش از مکانیکی مهم خواص از برخی تاکنون .گردید

óوجود ،جسم در موجود قبلی شکلهاي تغییر به حساس مواد مکانیکی خواص .میباشد حرارتی عملیات و ناخالصیها

óنیست حساس موارد این به که است االستیک مدول تنها.óیابند می کاهش دما افزایش با کششی و تسلیم استحکام مقادیر.óیابد می افزایش دما، افزایش با پذیري شکل.


óو االستیک شکل تغییر هنگام انرژي جذب در ماده توانایی بیانگر ارتجاعی خاصیت .است باربرداري از پس انرژي این بازگرداندن

óارتجاعی مدول از آن بیان براي Ur انرژي میزان برابر ارتجاعی مدول .میشود استفاده تسلیم نقطه تا باري بی حالت از ماده شکل تغییر براي ماده حجم واحد بر کرنشی.میباشد

óتنش نمودار زیر مساحت برابر ارتجاعی مدول عددي، لحاظ از-)J/m3( .میباشد تسلیم نقطه تا کرنش

:خطی االستیک رفتار با مواد براي

تسلیم استحکام داراي دارند، خوبی ارتجاعی خاصیت که موادي¡)فنرها ساخت( .باشند می پایین االستیسیته مدول و باال


0

y

rU dε

σ ε= ∫21

2 2y

r y yUE

σσ ε= =

4/20/2018

34

óدارد وجود چقرمگی براي گوناگون تعریف دو: برابر در ماده مقاومت میزان بیانگر که است ماده از خاصیتی شکست چقرمگی1.

.میباشد ماده در ترك حضور زمان در ،شکست شکل تغییر انجام و انرژي جذب میزان در ماده توانایی چقرمگی، دیگر بیان2.

.میباشد شکست از قبل ،پالستیکóبدون که ساخت اي ماده تا است هزینه پر بسیار یا ناپذیر امکان عمل، در آنجائیکه از

چقرمگی لذا نشود، ترك و عیب دچار کارکرد طول در یا و باشد عیبی هرگونه.میباشد اي سازه مواد طراحی در مکانیکی مهم خواص از یکی شکست

óمتفاوت شرایط دو در شکست چقرمگی گیري اندازه:استاتیکی بارگذاري شرایط1.باال کرنش نرخ با دینامیکی بارگذاري شرایط2.


óاز چقرمگی گیري اندازه براي ،)پایین کرنش نرخ( استاتیکی بارگذاري شرایط در .میشود استفاده کشش تست نتایج

óشکست نقطه تا کرنش-تنش نمودار زیر مساحت با است برابر چقرمگی حالت این در .)J/m3 واحد(óشکاف قطعه یک براي ضربه تست از )باال کرنش نرخ( دینامیکی بارگذاري شرایط در

.میشود استفاده )notch( دارóحال عین در و مستحکم باید فلز باال، چقرمگی براي

.باشد پذیر شکلکمتري چقرمگی داراي باال، استحکام وجود با ترد مواد¡

.هستند پذیر شکل مواد به نسبت


4/20/2018

35

óمیشناسید )فلزات( مواد مکانیکی خواص تعیین براي دیگري آزمایشهاي چه. óچیست؟ نقطه چهار و نقطه سه خمش آزمایشóچیست؟ ضربه تست یا چارپی آزمایش


óتنش کششی، استحکام نقطه از بعد که شد مشاهده مهندسی کرنش-تنش نمودار در .یابد می کاهش

óمنطقه این در تنش مقطع، سطح کاهش و شدن گلویی پدیده دلیل به صورتیکه در .شود استفاده حقیقی کرنش-تنش از است مناسب گاهی بنابراین .یابد می افزایش

óتغییر هیچ شکل تغییر حین ماده در چنانچه :)تسلیم نقطه در فقط( ندهد روي حجمی

محاسبه طول و مقطع سطح بار، میزان به توجه با حقیقی کرنش/تنش موارد بقیه در¡.میشود


0

, ln iT T

i

lFA l

σ ε= =

( ) ( )1 , ln 1T Tσ σ ε ε ε= + = +

4/20/2018

36

óاست ناچیز بسیار االستیک منطقه در مهندسی و حقیقی کرنش- تنش اختالف.óحقیقی، کرنش/تنش نمودار در .است پالستیک شکل تغییر منطقه در تفاوت عمده

.است افزایشی همواره حقیقی، کرنش اعمال براي الزم تنشóاست حقیقی کرنش/تنش مبناي بر محاسبات تمامی پالستیسیته در.óطبق میتوان را شدن گلویی آغاز تا تسلیم آغاز از پالستیک رفتار فلزات بیشتر براي

:کرد مدل زیر رابطه

ón و K هستند ماده جنس به وابسته ثوابت. óمقدار n کرنش توان آن به .است کوچکتر یک از

.گویند سختی


nT TKσ ε=


4/20/2018

37

óروي از بار چنانچه قطعه، در پالستیک شکل تغییر اعمال از بعد و کشش تست در .یابد می کاهش جسم در آمده بوجود شکل تغییر از مقداري شود، برداشته قطعه

óباشد می قطعه در موجود االستیک کرنش به مربوط بازیافت، قابل شکل تغییر این.óشیب با مستقیم خط یک طبق نمودار باربرداري، هنگام در کرنش،-تنش نمودار در

قابل و االستیک موجود کرنش از مقداري نتیجه در .میباشد االستیسیته مدول.است بازیافت

óمیشود؟ توجیه چگونه اتمی دیدگاه از :سوالóخطی االستیک رفتار ابتدا در قطعه مجدد، بارگذاري در

رفتار نمودار طبق مجددا سپس و برسد قبلی نقطه به تا دارد)سختی کرنش( .میرود پیش پالستیک


óماده موضعی پالستیک شکل تغییر برابر در ماده مقاومت میزان بیانگر سختی .میباشد )فرورفتگی(ó دیگر ماده خراش در ماده یک توانایی مبناي بر سختی تعیین براي اولیه آزمایشهاي

و یک طلق مثل ماده نرمترین براي و داشت نام Mohs موس آن کیفی معیار .بود.بود 10 الماس مثل ماده ترین سخت براي

óمورد ماده سطح به خاص شرایط تحت کوچک جسم یک اخیر، آزمایشهاي در سختی به و گیري اندازه شده ایجاد فرورفتگی سایز و عمق .میشود فشرده آزمایش.میشود مرتبط جسم

óاست کوچکتر سختی شماره و بیشتر فرورفتگی عمق نرم، مواد در.óهستند نسبی همگی سختی اعداد.


4/20/2018

38

óزیر دالیل به .است استفاده مورد دیگر تستهاي از بیشتر بسیار سختی تستهاي: آن انجام ابزار و نیست خاص قطعات تهیه به نیاز .هستند ارزان و ساده تستها این1.

.است ارزان.است مخرب غیر آزمایش2..آید می بدست آزمایش این از کششی استحکام نظیر ماده خواص از دیگر برخی3.سختی تستهاي انواع¡Rockwell –راکول1.Brinell –برینل2.Knoop – ویکرز و نوپ3. and Vickers



4/20/2018

39

óاست سنجی سختی تستهاي ترین رایج از یکی.óالماس جنس از مخروطی و سخت فوالد جنس از کروي :دارد سنبه نوع دوóاست مختلف قطرهاي داراي کروي سنبه.óاولیه، فرعی بارگذاري در .میگیرد صورت اصلی و فرعی بارگذاري دو سختی تعیین در

.میشود اعمال بزرگتري بار اصلی، بارگذاري در سپس و شده اعمال کمتري بار مقدارóاست آزمایش دقت افزایش دلیل به امر این.óمشخص ثانویه و اولیه بارگذاري در شده ایجاد فرورفتگی اختالف مقایسه با سختی

.میشودóسطحی راکول – راکول :راکول سنجی سختی نوع دو


بارگذاري ثانويه اولیه باکذاري60-100-150 10 kg Rockwell

15-30-45 3 kg Superficial Rockwell


óدارد کاربرد نازك قطعات براي سطحی راکول تست.óنامگذاري راکول آزمایش در سمبه نوع بعالوه اصلی بار و فرعی بار گوناگون ترکیبات

.میشودóسختی عدد بصورت تست نتاج نهایت در :میشوند معرفی بارگذاري نوع و

80HRB HR راکول و سختی معرف تستB معرف.استبارگذاري نوع

4/20/2018

40


ó20 زیر و 100 باالي اعداد که هرچند .باشد تواند می 130 راکول سختی حداکثر .باشند می دقیق غیرóراکول سنجی سختی در خطا آمدن بوجود دالیل:.باشد فرورفتگی میزان برابر 10 حداقل باید ضخامت باشد؛ نازك خیلی قطعه-.شود ایجاد لبه نزدیک فرورفتگی- حداقل d قطر به رفتگی فرو مراکز بین فاصله .شوند ایجاد هم نزدیک رفتگی فرو دو-

3d باشد.


ó10 قطر با شکل کروي سنبه یک آزمایش این در mmاثرگذاري فلز سطح روي بر .است تنگستن کربید یا شده سخت فوالد از آن جنس .میکند

ó3000-500 بین بار میزان kg 500 هاي پله با که است kg یابد می افزایش.ó30-10( ثانیه چند مدت به بار تست حین s( میشود داشته نگه ثابت.óبرینل سختی HB است اعمالی بار میزان و شده ایجاده فرورفتگی سایز از تابعی.óعدسی روي گیري اندازه مقیاس که مخصوص میکروسکوپ توسط فرورفتگی قطر

.شود می گیري اندازه است، شده مدرج آن

óP ،بار D و گذار اثر کره قطر d است شده ایجاد حفره قطر.óاست تنش جنس از برینل سختی.

( )2 2

2PHBD D D dπ

=− −

4/20/2018

41


óبکار سنجی سختی براي الماس جنس از شکل هرمی سنبه یک روش، این در .میرود

ó1000-1 بین و است برینل و راکول تستهاي از کمتر بسیار اعمالی نیروي g است.óشود می گیري اندازه مخصوص میکروسکوپ توسط فرورفتگی قطر.óشود صیقلی و صاف دقت به باید روش این در جسم سطح.óنیز کوچک سطوح براي لذا .است کوچک بسیار شده ایجاد رفتگی فرو روش این در

.هستند اجرا قابلóبرد بکار نیز ترد مواد براي میتوان را نوپ سختی تست.

óP و بار d1 و l است جسم در شده ایجاد فرورفتگی قطر حداکثر.2 2

1

14.2 1.854,P PHK HVl d

= =


óیک از آمده بدست سختی مقیاسهاي تا است نیاز بعضا .شود تبدیل دیگر مقیاس به روش

óو ندارد دقیقی تعریف که است ماده از خاصیتی سختی وجود تشابهی سنجی سختی مختلف روشهاي بین نیز

.نداردóبه سنجی سختی براي فراگیري تبدیل روش لذا

.ندارد وجود مختلف روشهايóماده نوع به توجه با مختلف مقیاسهاي تبدیل چگونگی

.میشود مشخص تجربی روشهاي از و

4/20/2018

42


óدارند تنگاتنگی ارتباط سختی و کششی استحکام. óنیست خطی مواد تمامی براي ارتباط این شکل مطابق البته.óاست زیر بصورت کششی استحکام و برینل سختی رابطه فوالدها اغلب در:

( ) 3.45TS MPa HB= ×


óیک دقیقا شوند، گیري اندازه نیز دستگاهها ترین دقیق توسط اگر مکانیکی خواص .آیند نمی بدست مقدار

óخطاي ساخت، فرآیند تفاوت تست، روش تغییرپذیري این در موثر عوامل جمله از .است دستگاه کالیبراسون و اوپراتور

óدر لذا .شود لحاظ مکانیکی خواص در قطعیت عدم این نحوي به باید طراحی در .باشد احتماالت و آماري اطالعات اساس بر باید ها داده موارد برخی

óاستاندارد انحراف و میانگین از اطالعات پراکندگی درجه و مقدار تعیین براي اغلب :میشود استفاده

( )2

1 1,1

n n

i ii i

x x xx s

n n= =

−= =

−

∑ ∑

4/20/2018

43


óخواص در تغییر کارکرد، هنگام سازه به واقعی اعمالی بار میزان در قطعیت عدم طراحی هنگام که است مسایلی جمله از ... و مواد در نقایص وجود مواد، مکانیکی

.گیرد قرار لحاظ مورد بایدóاعمال قابل مجاز تنش حداکثر کاهش و اطمینان ضریب بکارگیري ها شیوه از یکی

.باشد می سازه به

óجداگانه بار ضریب از استفاده متفاوت، طبیعت با بارگذاریها در بخصوص دیگر روش این به .باشد می سازه به اعمالی بار میزان کردن بزرگتر و بارگذاریها از یک هر برايLRFD روش، (Load & Resistance Factor Design) ضریب سه داراي

.است زیر بصورت جداگانه

óγD مرده، بار ضریبγL و زنده بار ضریبφ است ماده مقاومت ضریب.D D L L Uγ σ γ σ φσ+ ≤

yw N

σσ =


óاز آنجا در و نیست گو پاسخ پل و هواپیما مثل حساس هاي سازه در روش این البته .شود می استفاده دوبل ایمنی سیستمهاي یا .میشود استفاده باال چقرمگی با مواد

óچنانچه زیرا .است مهم بسیار امري بار ضریب و اطمینان ضریب مناسب تعیین می سازه سنگینی و مواد حد از بیش بکارگیري باعث شود، انتخاب بزرگ خیلی.شود می سازه تخریب باعث شود گرفته نظر در کوچک خیلی چنانچه و شود

óباشد می 4-1.2 محدوده در معموال اطمینان ضریب مقدار.

óقبلی، تجارب اقتصادي، مسایل اساس بر بار ضریب و اطمینان ضریب دقیق تعیین از حاصل مالی/جانی نتایج اهمیت و مواد مکانیکی خواص محاسبات، دقت میزان.باشد می سازه تخریب

4/20/2018

44

:شکل پذيري§حد اکثر تغییر شکل پالستیک قبل از شکست▪قابلیت تحمل کرنش ھاي دائمي و تغییر شکل ھاي پالستیکي قبل از شکست▪کیلومتر80=عیار 24طال، ): مواد شکننده= مواد کمتر داکتیل (مواد داکتیل يا شکل پذير ▪خم کاري و نورد کاري▪بدنه اتومبیل، پوکه فشنگ▪:سختي§

مقاومت در برابر نفوذ مکانیکي جسم خارجي▪مقاومت در برابر خراش و سايش▪.الماس سخت ترين ماده است▪ابزار ھاي برشي ساختمان ماشین ھاي ابزار: کاربرد مواد سخت▪:چقرمگي§

مقاومت در برابر نیروھاي ناگھاني و جذب مقدار معیني انرژي بدون تغییر شکل پالستیک▪.به استحکام و شکل پذيري ماده بستگي دارد▪کرنش تا نقطه شکست–سطح زير منحني تنش ▪ابزار ھاي فرزکاري و چرخ دنده ھاي تحت اثر نیرو ھاي ضربه اي▪


:شکنندگي§حد تسلیم ندارند، گلويي نمي . با تغییر شکل پالستیک کم بسرعت مي شکنند▪

.در مقابل کشش ضعیف تر از فشارند. شوندچدن، شیشه و مواد سرامیکي▪قابلیت چکش خواري§

به تفاوت با ( قابلیت تبديل شدن به ورق نازک بدون پارگي با استفاده از فشار ▪).خاصیت شکل پذيري توجه فرمايید

سرب، آلومینیم، مس و قلع ▪)فنريت(قابلیت ارتجاعي §

توانايي جذب انرژي در محدوده االستیک توسط آن ماده و برگشت آن پس از ▪برداشتن نیرو

.کرنش در محدوده االستیک است-مقدار آن برابر سطح زير منحني نمودار تنش▪کاربرد درکمک فنر ھا و فنر ھا ▪سفتي§

مقاومت در برابر تغییر شکل پالستیک▪سفتي بیشتر= مدول االستیسیته باالتر ▪


4/20/2018

45

تنش تحت قطعه چند يا دو به جسم يک جدايش : شکست¡ )....و گذاري بار سرعت -دما( کاري شرايط در و اعمالي

است مرحله دو شامل همواره شکست¡Crack) ترک زني جوانه -1¡ Nucleation): مرحله اين در

شود مي ايجاد ترک

Crack)ترک رشد -2¡ Growth): ترک طول مرحله اين در کند مي رشد ترک اصطالح به يا شود مي زياد

دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد137

:شکست ¡جدایش یا تقسیم شدن یک جسم جامد در اثر اعمال تنش به دو یا چند

.قسمت:مرحله تشکیل می شود 2فرایند شکست از Crack Initiation 1- شروع تركCrack Growth 2 - رشد ترك

هر ترکی منجر به شکست نمی شود، برخی متوقف و برخی منحرف می .شوند

جهت ایجاد شکست در ماده نیاز به تامین شدن انرژي الزم جهت ایجاد این .سطوح جدید خواهد بود

.این انرژي از طریق بارگذاري روي ماده تامین می شود به مقدار انرژي ذخیره شده در ماده در حین بارگذاري تا شکست چقرمگی

. شکست می گوینددانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 138

4/20/2018

46

کاهش سطح مقطع قبل از شکست به يا طول درصد افزايش ¡.باشدمي جهت نوع شکست معياري عنوان

قطعه مانند دما ، سرعت تغيير شرايط کاري توجه داشت که بايد ¡.نوع شکست شودتغيير تواند باعث مي ... وبارگذاري


در خطرناک و مخرب اي پديده شکست پديده که انجايي از¡ خارجي تنش بين رابطه از که است الزم است ها سازه طراحي

.باشيم اگاه ... و ماده خواص-قطعه در موجود ترک طول و

و شکست برابر در مقاوم هاي سازه طراحي در روابط اين فهم¡ .است مهم بسيار پديده اين کنترل

ترک –تنش حالت و مقدار -مواد خواص بين رابطه که علمي¡ شکست مکانيک کند مي بررسي را ترک رشد مکانيزم و ها

.شود مي ناميدهدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد140

4/20/2018

47

بحراني اندازه به ترک اينکه از پس معموال ترد شکست در¡ مي پي در پي را اتمي هاي پيوند زياد سرعت با ترک برسد، پديده اين به .شود مي کامل شکست پديده و شکند

Cleavage شود مي گفته



4/20/2018

48

ü شکست برشیShear :این نوع شکست با . در نتیجه لغزش بیش از حد در صفحه لغزش فعال رخ می دهد

.تنش هاي برشی ترغیب می شودü رخ برگی(شکست کلیواژ: (

شکست توسط تنش هاي کششی عمود بر صفحه رخ برگی بلور شناختی کنترل می .شود


:از دیدگاه کریستالو گرافی : الف

ü رشته اي یا الیافی.ü دانه اي.سطح مقطع حاصل از شکست برشی در بزرگنمایی کم خاکستري ¡

و بصورت رشته اي بنظر می رسد و با فرورفتگی و ) مات و کدر(.برامدگی هاي ریز متعددي می باشد

سطح شکست کیلیواژ بدلیل بازتاب نور از سطوح رخ برگی همواره براق ¡.و به صورت دانه ظاهر می شود

v غالبا سطح شکست شامل مخلوطی از شکست دانه اي و رشته ايو مرسوم است درصد شکست هر یک از این دو نوع گزارش داده .است.شود

)Shearدرصد ( ¡)نمونه هاي ضربه( ¡ دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 144

4/20/2018

49

Crack at Weld in Swing Arm


More Serious Motivation


4/20/2018

50


طرح هاي شکست

(aکلیواژ)رخ برگی (Cleavage

(b شبه رخ برگیQuasi- Cleavage

(c گسیختگی گود شده)دیمپلی(Dimpled Ruptured


4/20/2018

51

¡ (aکلیواژ)رخ برگی (Cleavage :üنشان دهنده شکست تردي است که در امتداد صفحات بلور شناختی رخ می دهد.ü مشخصه این شکست وجوه سطحی است که معموال در حد و اندازه دانه فریت در

.فوالد هستندü معموال این وجوه مسطح به عالمت رودخانه یاRiver Pattern می باشند.ü عالئم رود خاته در نتیجه حرکت ترك در درون بلور در امتداد صفحه موازي ایجاد

.می شوندüجهت طرح رودخانه اي جهت اشاعه ترك می باشد.


Cleavage Features


4/20/2018

52

River Patterns (brittle materials)


¡(b شکست شبه رخ برگی)Quasi- Cleavage: (üاین شکست به رخ برگی مرتبط است ولی با آن فرق دارد.üعمدتا در فوالد هاي آب داده و بازپخت شده در دماي کم مشاهده می شود.ü عبارت شبه رخ برگی از آن رو به این شکست اطالق می شود که وجوه روي سطح

.شکست صفحات رخ برگی واقعی نیستندü اغلب در شکست هاي فوق فرو رفتگی و برامدگی هاي ناشی از گسیختگی در اطراف

.و پیرامون وجوه شکست مشاهده می شود


4/20/2018

53

Quasi-Cleavage Fracture



4/20/2018

54

¡c( گسیختگی گود شده)دیمپلی(Dimpled Ruptured:

ü با فرورفتگی هاي فنجانی شکلی که بسته به حالت تنش ممکن است

.متساوي المحور ، سهموي و یا بیضوي باشد مشخص می شود

üاین نوع شکست معرف شکست نرم است)Ductile.(


Dimple Formation (Ductile)


4/20/2018

55

Dimpled Fracture (Ductile)


ü شکست نرم)Ductile(:در قبل و حین ) مومسان(با تغییر شکل پالستیک شکست نرم -1¡

اشاعه ترك مشخص می شود و معموال در سطوح شکست مقدار .زیادي تغییر شکل نا خالص وجود دارد

.معموال مطلوب ترند -2¡.سطح شکست به تنش اعمالی بصورت برشی قرار دارد -3¡ü شکست ترد)Brittle:(با سرعت زیاد اشاعه ترك و بدون هیچگونه تغییر شکل نا خالص و -1¡

.تغییر شکل میکروسکوپی مشخص می شود).مخرب و فاجعه انگیز(معموال نا مطلوبند -2¡.سطح شکست به تنش اعمالی محدود است -3¡


4/20/2018

56

:تقسيم کردتوان شکست را به دو دسته مي در کل ¡

است که در شکستي : (Ductile Fracture)شکست نرم -1¡دهدزيادي مي شکل تغيير ان ماده قبل از وقوع شکست

است که در شکستي : (Brittle Fracture)شکست ترد -2¡دهدکمي مي شکل تغيير ان ماده قبل از وقوع شکست



4/20/2018

57

داردخاص خود را مکانيزم هر کدام از انواع شکست ¡

است که اين اما نکته مهم ولي است اهسته و معموالناپيوسته ترک رشد ترک در شکست نرم رشد ¡

. استسريع و پيوسته در شکست ترد رشد ترک

با (بحراني رسيد سريع طول يک ترک به اينکه در شکست ترد پس از ¡نهايي منجر کند و قطعه به شکست مي رشد ) سرعت صوت در جامدات

دارداهميت زيادي سازه ها براي طراحي که مي شود

خطرناک است چرا؟بسيار شکست ترد ¡


نرم مانند طال بسيار مواد اتاق دماي وسرب در

سطح مقطع شکست مواد نرم


4/20/2018

58

حفره ابتدا گلويي ناحيه در نرم شکست در حفره اين سپس و (b) زند مي جوانه هايي شود مي ايجاد ترک و پيوندند مي هم به ها

(c) . حفره زني جوانه(عمليات اين تکرار با کرده زشد ترک )ترک به انها پيوستن و ها سرعت به بحراني طول به رسيدن از پس و

.شود مي ترک باعث و کرده رشد

زني که رشد ترک به جوانه انجايي از دارد رشد ترک در بستگي حفره ها

است ناپيوسته شکست نرم آهسته و دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد163

Cup andسطح مفطع شکست نرم به صورت Cone است

coneCup

حفره ھادانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد164

4/20/2018

59

Cup and Cone Fracture (Ductile)



4/20/2018

60

اوليهترک جوانه زده در نوک ترکھاي حفره

ترک رشد کرده

1مرحله

2مرحله

a2

a1


ترک صورت سريع و با رشد زياد شکل تغيير شکست ترد بدون ¡. مي گيرد

مي که باعث مي گيرد صورت اعمالي رشد ترک عمود بر تنش ¡.صاف باشدسطحي شود سطح شکست به صورت


4/20/2018

61



4/20/2018

62


v کاهش دما ، افزایش آهنگ کرنش و شرایط تنش سه بعدي تمایل به.شکست ترد را زیادتر می کند

v شکست ترد در فلزاتBCC وHCP مشاهده شده ولی در فلزاتFCC غیر از مواردي که به تردي مرز دانه کمک می کند، شکست ترد مشاهده

.نشده استv فلزاتBCC در نمودار انرژي ضربه برحسب دما، در دماهاي پایین افت

دارند بطوریکه دماي انتقال تردي به نرمی FCCبیشتري نسبت به فلزات TDBTT درBCC بسیارقابل توجه می باشد.


4/20/2018

63

طبقه بندي شکست بر اساس نظر گنسامراستفاده اصطالح مورد شرح رفتار

برشی رخ برگی حالت بلور شناختی

رشته اي دانه اي شکست شکل ظاهري

ترد نرم کرنش منجر به شکست


ü شکست درون دانه اي)Transgranolar(:.در این حالت شکست از داخل دانه عبور می کند -1¡از این دسته می ) دماي محیط(معموال شکست فلزات در دماي پایین -2¡

.باشندü شکست مرز دانه اي)Intergranolar: (. شکست در راستاي مرز دانه اتفاق می افتد - 1¡غالبا در ساختارهاي متالورژي پودر و یا در دماهاي باال که مرز دانه -2¡

.استحکام کمتري از دانه دارد اتفاق می افتددانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 174

4/20/2018

64

ها پيش روي کند که ترک درون دانه -1¡اي درون دانه شکست حالت در اين

استصورت گرفته ¡ (Transgranular Fracture)



4/20/2018

65

.عیوب ناشی از فرایند هاي ساخت1)).تغییرات بارگذاري–تغییر شرایط اقلیمی (تغییرات کاربردي 2).طراحی نامناسب3).جنس نامناسب4)ناشی از شرایط سرویس5)

(a خستگی

(b خوردگی

(cخزش

(dتردي هیدروژنی

(eو........


تغيير شکل ) يکماه تا چند ده سال(در اجسام تحت بارگذاري ثابت، در طول زمان : خزش§. صورت مي پذيرد

کرنش و نيز شکست مواد به زمان -در محيط هاي خورنده و دماهاي کاري باال، رفتار تنش§.بستگي خواهد داشت

.در محيط هاي غير خورنده و دماي محيط نيز ممکن است رفتار خزش صورت پذيرد§مقدار خزش به مدول االستيسيته ماده، استحکام حد سيالن، تنش وارد شده به آن و دماي §

.کاري بستگي دارد.در فلزاتي مثل آلومينيم و سرب، خزش در دماهاي معمولي و باالتر اتفاق مي افتد §.در فوالد آلياژي خزش در دماهاي بسيار باال اتفاق مي افتد§.در چوب و بتون، درجه حرارت در خزش پارامتر مهمي نيستند§در طراحي توربين هاي بخار، ديگ بخار، موتور هاي بخار و موتور هواپيما خزش پارامتر §

. مهمي است 178

4/20/2018

66

بطور ناگهاني، غير قابل انتظار و با نتايج فاجعه آميز رخ مي دهد و در اکثر ▪.مواد مهندسي وجود دارد

در اثر بار گذاري هاي مکرر و تنش هاي متناوب بوجود مي : شکست خستگي▪.آيدکه دربار گذاري هاي ثابت مي (در تنش هاي بسيار کمتر ازتنش حد سيالن ▪

.اتفاق مي افتد) توانند تحمل کننددر قطعاتي که تحت تنش متناوب هستند، بايد تنش ماکزيمم بر مبناي ▪

.شکست خستگي در نظر گرفته شودمکانيزم شکست، بصورت تشکيل ترک ها و بروز کرنش سختي است که به ▪

باعث رشد (ضعف ساختار کريستالي و کيفيت سطح نامطلوب مربوط مي شود ).ترک ها مي شود 179

.مطالعه و بررسی میکروسکوپی سطح شکست1).یافتن دالیل شکست2).جلوگیري و پیشگیري از شکست مجدد3)چرا ؟ . انجام می شود SEMمعموال شکست نگاري با استفاده از میکروکوپ الکترونی ¡: SEMمزایاي ¡Øبررسی سطح واقعی.Ø سطح خشن(عمق زیاد کانونی.(Øمناسب بودن میزان دسترسی بزرگنمایی.


4/20/2018

67


Ranges of Magnification


4/20/2018

68

Transgranular Fracture§Ductile fracture by microvoid coalescence§Brittle fracture (cleavage)§Fatigue crack initiation and growth

ó Intergranular Fracture§ Grain boundary separation

with microvoid coalescence§ Grain boundary separation

without microvoidcoalescence


از لذا شکند مي را اتمي هاي پيوند اعمالي تنش شکست هنگام¡ غلبه اتمي بين هاي نيرو بر بايد اعمالي تنش تئوري جهت .کند اما است الزم شکست براي زيادي تنش تئوري نظر از اين بنابر¡ شکست براي کمتري بسيار تنش عمل در که شود مي مشاهده

.است الزم مواد

ماده در ميکروسکوپي و ريز ترکهاي وجود تطابق، عدم اين علت.است


4/20/2018

69

اعمال تنش يا حين ترک ها در ماده از قبل وجود دارند اين ¡اطراف ناحيه تنش در افزايش ترک ها باعث . شوندايجاد مي

. شودمي ترک ترک ها به عنوان تنش افزا ديگر به عبارت ¡

(Stress Raisers) عمل مي کنند.


اعمالي تنش خارجي

تنش در نوک ترک


4/20/2018

70

مانند شکل و زيادي ترک به عومل نوک نتش در توريع مقدار و ¡ترک به براي يک به عنوان مثال . داردبستگي ... طول ترک و

اعمالي در داخل ورق که در جهت عمود بر تنش بيضي شکل به زير در نوک ترک از رابطه ماکزيمم قرار گرفته باشد تنش

مي آيددست :a داخلينصف طول ترک اي يا طول ترک لبه

:ρ انحناي نوک ترکشعاع

در ماکزيمم تنش توک ترک

اعمالي تنش خارجي


ضريب را اعمالي در نوک ترک به تنش ماکزيمم نسبت تنش گاهي ¡.مي ناميمتمرکز تنش

عواملي نظير تغيير تواند توسط مي داشت که تمرکز تنش ياد به بايد ¡.ايجاد شودها ميکروترک حفره ها و -سطح مقطع


4/20/2018

71

ها و رشد پيوند شکست براي تنش الزم تئوري از لحاظ ¡ترک برابر است با

E: : يانگمدولγ :انرژي سطحي


¡σm= σcدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد190

4/20/2018

72

انرژي از استفاده شکست تنش بيني پيش جهت ديگر روش¡ شده جذب انرژي روش اين در .است ماده توسط شده جذب.برسد شکست انرژي به بايد ماده توسط

شکست انرژي = ماده توسط شده جذب انرژي¡

بحراني تنش بين اي رابطه شکست مکانيک اصول از استفاده با¡ ارائه شکست )چقرمگي( تافنس و ترک روي پيش براي الزم .است شده


¡σc : با ترک روي پيش براي الزم بحراني تنش a طول

¡Kc: Fracture toughness نشان که است ماده خاصيت يک شکست تافنس¡

در ترد شکست مقابل در جسم مقاومت دهنده .است ترک حضور

.است آن واحد¡دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد192

4/20/2018

73

¡Y و قطعه اندازه و هندسه تابع که است بعد بدون پارامتر يک .است معلوم آن رياضي روابط و آن مقادير که است ...و ترک


تنش عمود بر ترک است

Mode I

تنش در امتداد ترک است


4/20/2018

74

است که تنش عمود بر حالتي رشد ترک براي حالت بهترين ¡اين ها بر اساس طراحي معموال بنابراين Mode Iترک است

حاالت هم سازه ساير شود تا در برابر مي انجام بارگذاري حالت اين باشد بنابر ايمن در برابر شکست


¡KIC دارد متعددي بستگي از ماده است که به عوامل خاصيتيريز ساختارسرعت کرنش و -انها عبارتند از دمامهمترين که

اندازه دانه افزايش سرعت کرنش و افزايش –با کاهش دما ¡KIC مي يابدکاهش.


4/20/2018

75

است تر ناک خطر نرم شکست از ترد شکست -1¡

ترد مواد براي بيشتر مربوطه روابط و شکست مکانيک علم -2¡.دارد کاربرد متوسط ductility يا

چرا؟ .دارند باالتري KIC باال ductility با مواد -3¡



4/20/2018

76


معلوم ھستند KICو Yبا توجه به فرمول چون ¡σو aداريم دو پارامتر

تقسیم بر اساس شکست بھ دو دستھ طراحي اساس این بر ¡شودمي

¡


4/20/2018

77

با طول معلوم وجود ھايي در قطعه ترک - 1¡توان حد مي حالت به کمک رابطه اين در : دارد

. کردتعیین را اعمالي اکثر تنش مجاز


لذا و است اعمالي تنش تحت سازه يا قطعه - 2¡شود مي تعيين قطعه در مجاز ترک طول حداکثر


4/20/2018

78

در ماده مقاومت تعيين آزمايش اين انجام از هدف¡ .شوند مي اعمال باال سرعت با كه هايي بار برابر شود مي گيري اندازه آزمايش اين از كه هايي داده¡

با گذاري بار شرايط در ماده شكست انرژي ميزان صورت به اعمالي بار حالت اين در .است باال سرعت

است ديناميك كرنش نرخ ازمايش اين در باال سرعت از منظور¡

(strain rate .است باال(دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد203

بار كشش ازمايش در شد گفته قبال كه طور همان¡ اصطالح وبه شود مي اعمال اهسته صورت به اعمالي از بسياري در كه ازانجايي اما است استاتيك اعمالي بار

است ضربه صورت به اعمالي نيروي عملي موارد انرژي ميزان آزمايش اين .شد ابداع ضربه ازمايش به اعمالي بار كه هنگامي ماده توسط شده جذب .كند مي گيري اندازه را است ضربه صورت


4/20/2018

79

بر كرنش اعمال سرعت شد گفته قبال كه طور همان¡ با مثال عنوان به دارد زيادي اثر مواد خواص روي

گذاري بار دماي كاهش يا بار اعمال سرعت افزايشDuctile مواد شود مي باعث تنش تمركز وجود يا

است الزم اين بنابر .دهند نشان خود از ترد رفتار رفتار نحوه و ماده مقاومت كه شود طراحي ازمايشي.كند مي بيان را ضربه برابر در ماده


خالصه صورت به ضربه ازمايش ازطراحي هدف¡:از است عبارت

كرنش نرخ با بارها برابر در جسم رفتار نحوه - 1¡)ديناميك هاي بار(باالديناميك هاي بار مقابل در مواد رفتار بر دما اثر - 2¡

مواد شكست رفتار بر تنش تمركز اثر - 3¡دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد206

4/20/2018

80

ضربه ازمايش انجام براي كلي استاندارد روش دو¡ دارد وجود

¡1- Charpy¡2-Izod


.است زير شكل به ها نمونه روش دو هر در¡ يك كه است مستطيل مكعب شكل صورت به ها نمونه¡

ابعاد داراي شكاف اين .است شده ايجاد آن در(Notch)شكاف است مشخص

Notch


4/20/2018

81

بعد پاندول امدن باال ارتفاع تفاوت ارتفاع به نسبت نمونه شكست از

شده صرف انرژي دهنده نشان اوليهاست نمونه شكست جهت

واقع در شده جسم شكست صرف كه انرژي اين امده دست به ضربه ازمايش از كه است نمونه تافنس

و Impact toughness or impact energy

.شود مي ناميدهدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد209


4/20/2018

82

IZod Charpy


نمونه شكست از بعد پاندول امدن باال ارتفاع تفاوت¡ نشان شدن رها زمان در پاندول اوليه ارتفاع به نسبت شرايط تحت ماده ماده شكست انرژي ميزان دهنده.است اي مقايسه داده يك كه است ضربه


4/20/2018

83

بر دما اثر بررسي منظور به توان مي را ضربه آزمايش¡.برد كار به شكست هنگام در شده جذب انرژي ميزان

جذب انرژي كاهش باعث دما كاهش ديگر عبارت به.شود مي ترد شكست و ماده توسط شده

بر دما اثر گيري اندازه براي توان مي ضربه تست از .كرد استفاده ماده شكست انرژي


در شديدي كاهش خاص دماي يك درBCC ساختار با فلزات¡ گونه اين ديگر عبارت به .دهند مي نشان خود از شكست انرژي دمايي محدوده يا( خاص دماي يك در دما كاهش با فلزات مي تبديل ترد كامال ماده يك به نرم ماده يك از )كم بسيار .شوند

را دما اين توان مي مختلف هاي دما در ضربه آزمايش انجام با¡.نمود تعيين

بايد زيرا دارد اساسي اهميت ها سازه طراحي در دما اين تعيين¡.شود مي ترد استفاده مورد الياژ دمايي چه در بدانيم


4/20/2018

84



4/20/2018

85


آيد مي دست به داده دو حداقل ضربه آزمايش از¡¡1 - DBTT( ductile-brittle transition temperature)

ضربه بار تحت شكست تا شده جذب انرژي ميزان - 2

بدون و دار شكاف هاي نمونه روي بر ضربه ازمايش انجام با گاهي - 3 مواد حساسيت توان مي شده جذب شكست انرژي مقايسه و شكاف ميزان شود باعث شكاف وجود اگر .كرد بررسي را شكاف وجود به

در كند پيدا زيادي كاهش ضربه ازمايش در شده جذب انرژي شكاف به حساسيت ماده كه شود ميگفته اينصورت

(Notch Sensitivity)دارددانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد218

4/20/2018

86

:عوامل موثر در نوع شکست§ساختار کريستالي، خلوص ماده، خواص مکانیکي ▪

و حرارتي آن، دماي کاري، نوع تنش ھاي وارد شده، حالت تنش، نرخ بارگذاري و عوامل

محیطي:انواع شکست§

شکست نرم، شکست ترد، شکست خزشي و ▪شکست ناشي از خستگي

:شکست نرم§با پديده رشد ترک ھا و گلويي شدن اتفاق مي ▪

).2-8شکل (افتد بین (وقتي تنش با استحکام ھمچسبي ▪

برابر شود ترک ھا شروع به رشد مي ) مولکولي.کنند

درجه اتفاق مي افتد 45شکست در زاويه ▪در فرآيند ھاي فلز کاري مثل کشش عمیق و ▪

.استفاده مي شود) فورجینگ(آھنگري 219

مواد مهندسي داراي خواص مختلفي هستند و مهندس بايد براي کار خود آنها ¡.را انتخاب کند

:گروه هستند 5مواد مهندسي ¡)آهن، مس، آلومينيم، نقره و طال: مثل(فلزات - 1 )ماسه، آجر، شيشه و گرافيت: مثل(سراميک ها - 2 ) PP ،ABS: مثل(پليمر ها - 3 )و پشم شيشه در رزين هافيبر هاي کربن: مثل(کامپوزيت ها - 4

)موادي که درترانزيستور ها و آي سي ها بکار مي روند: مثل(نيمه هادي ها -5. فرآيند انجام گرفته روي مواد روي ساختار و خواص آنها اثر مي گذارد¡


4/20/2018

87

.خواص مواد به ساختار آنها بستگي دارد¡

):فلزات(ساختار کريستالي مواد ¡.هنگام سرد شدن از حالت ذوب، اتم ها بشکل منظمي قرار مي گيرند§اگر آنها را باخط بهم وصل کنيم يک شکل هندسي سه بعدي تشکيل مي §

).شبکه فضايي(دهند کوچکترين واحد ساختار شبکه فضايي : شبکه واحد§


): 2-1شکل (غالبا مکعبي يا شش وجهي منظم است : ساختارکريستالي¡: مهمترين آنها) نوع وجود دارد 14(انواع شبکه کريستالي ¡

)FCC(مکعب با وجوه مرکز دار §)BCC(مکعب مرکز دار §)HCP(هگزاگونال ساده §

.موادي که در اثر حرارت ساختار اتمي آنها تغيير مي کند): پليمري(مواد چند شکلي ¡الستيک، (موادي که اتم هاي آنها شبکه کريستالي تشکيل نمي دهند ): آمرف(مواد بيشکل ¡

)شيشه هاي فلزي، ترموپالست ها، پليمرهاي شفاف

222

4/20/2018

88

)FCC(مکعب با وجوه مرکز دار ¡يک اتم در هر گوشه و يک اتم در مرکز هر وجه§مس، طال، نيکل، آلومينيم، و آلياژ هاي اين فلزات§شکل پذيري باال، هدايت الکتريکي خوب§)BCC(مکعب مرکز دار ¡

يک اتم در هر گوشه و يک اتم در مرکز مکعب§آهن، سديم، واناديم، موليبدن§تغيير شکل پالستيکي§)HCP(هگزاگونال ساده ¡

شش اتم در هر گوشه يک شش وجهي، يک اتم در مرکز آن، سه اتم در صفحه هاي مياني§روي، کادميم، کبالت و تيتانيم§.شکل پذير خوبي دارند و براحتي تغيير شکل مي دهند§


.بررسی رابطه بین ساختار و خواص مواد را بررسی می کند¡¡Structure vs Properties

:ساختار¡

ساختار نحوه قرار گرفتن اتمها در کنار هم¡


4/20/2018

89

تمام خواص از ساختار یعنی نحوه کنار هم قرار گرفتن اتمها ¡.نتیجه می شود

.بنابراین با کنترل ساختار می توان خواص راکنترل کرد ¡



Electronic Structure(<10-12m)

Atomic Structure (10-6m)=Microstructure

Macro structure

4/20/2018

90


Processing

Structure Property


فلزي پیوند ماهیت علت به فلزات در هنگام که دارد وجود آزاد هاي الکترون کنند می حرکت پتانسیل اختالف اعمال

شوند می رسانایی ایجاد باعث و

نظیر موادي در ها الکترون اما اتمی مراکز به طعام نمک

حرکت براي و اند چسبیده نیستند ازاد

4/20/2018

91


ساخته کربن از دو هر الماس و گرافیت قرار نحوه در تفاوت علت به اما اند شده

گرافیت )ساختار( هم کنار در اتمها گرفتن کامال الماس ولی است الکتریکی رساناي است نارسانا

رساناي الکتریکی: گرافیت

نارسانا: الماس


.و ساخت مواد می تواند خواص یک ماده را تغییر دهدفرآوري روش

single crystalpolycrystal:low porosity

polycrystal:high porosity

4/20/2018

92

خواصی هستند که مربوط به کنش ماده با : خواص فیزیکی¡سایر مواد یا انواع محرکها می باشد

دي الکتریکی -مغناطیسی–نوري -مثل خواص شیمیایی¡....و

مربوط به خواصی از ماده است که ماده :خواص مکانیکی ¡هنگام اعمال بار از خود نشان می دهد

ductility -سختی–آستحکام کششی -مثل تنش تسلیمToughness)چقرمگی(


:دسته کلی تقسیم می شوند 4بنابراین مواد مهندسی به ¡

فلزات موادي هستند که اتمها در آنها با پیوند : فلزات -1¡. فلزي در کنار هم قرار دارند

قابلیت – Ductility High -استحکام نسبتا باال: خواص¡رسانایی حرارتی والکتریکی-شکل دادن


4/20/2018

93

ترکیبات شیمیایی حاصل از دو یا چند : سرامیک ها -2¡عنصر مثل فلز و غیرفلز

¡Al + O=Al2O3نوع پیوند در سرامیکها یونی وکوواالنسی است¡

مقاوم دربرابر -تردي-تنش تسلیم و استحکام باال: خواص¡رسانایی الکتریکی آنها طیف -حرارت و عوامل شیمیایی

.گسترده اي دارد


از زنجیره هاي طوالنی از مولکول هاي : پلی مر ها -3¡تکرار شونده تشکیل شده اند که معموال کربن عنصر

.ساختاري اصلی استپلی اتیلن ) : === اتیلن( :C2H2مانند ¡

-نقطه ذوب پایین–استحکام پایین : خواص عمومی¡قابلیت شکل پذیري مناسب


4/20/2018

94

: کامپوزیت ها -4¡

ترکیب دو یا بیشتر از مواد هستند که داراي خواصی هستند ¡که هیچ یک از اجزاء به تنهایی ندارند

:دسته کلی تقسیم می شوند 3به ¡

کامپوزیت هاي پایه پلی مري -1¡کامپوزیت هاي زمینه فلزي -2¡کامپوزیت هاي زمینه سرامیکی -3¡


اتمی بین پیوندهاي-2¡ درك براي .اند شده تشکیل هم کنار در ها اتم گرفتن قرار از مواد تمام¡

.داریم اتم بین پیوند مطالعه به نیاز مواد خواص برخی:دارند پیوند همدیگر با صورت دو به ها اتم

یونی، پیوندهاي شامل پیوندها این :)اصلی( اولیه پیوندهاي 1¡.هستند قوي پیوندهایی طورکلی به و هستند فلزي و کواالنسی

و واندروالس پیوندهاي شامل پیوندها این :)فرعی( ثانویه پیوندهاي 2¡ و انتقال پیوندها این در .هستند ضعیف نسبتاً که هستند هیدروژنی.ندارد وجود الکترون اشتراك


4/20/2018

95

.شود می یافت ها آن آلیاژهاي و فلزات در پیوند نوع این¡ آزاد الکترون بودن دارا فلزات؛ الکترونی ساختار مشخصه ترین مهم¡

).ندارند هسته به خاص تعلق ها الکترون این( .است مدل اساس بر است شده ارائه فلزي پیوند تشریح براي که مدلی¡

صورت به آزاد نهاي الکترو مدل این در است "آزاد الکترون دریاي" نظر در ندارند اتم یک به خاص تعلق که آزاد نهاي الکترو از دریایی اتم هسته و باقیمانده غیرواالنس هاي الکترون و شوند می گرفته بار داراي یونی هاي هسته .دهند می را یونی هاي هسته تشکیل.شناورند الکترون دریاي این در و هستند مثبت خالص



4/20/2018

96

عامل اتصال اتم ها در پیوند فلزي، جاذبه بین الکترون هاي آزاد و ¡.هسته یونی با بار مثبت است

.ماهیت پیوند فلزي غیرجهت داراست¡:به کمک این مدل می توان برخی خواص فلزات را توضیح داد¡

.فلزات رساناي خوب الکتریسته هستند¡ماده اي رساناي خوب الکتریسیته است که بتواند با کمترین مقدار ¡

را از خود ) یا یون/الکترون و(پتانسیل اعمالی؛ حامل هاي بار الکتریکی مواد فلزي به علت دارا بودن الکترون هاي آزاد، به نیروي . عبور دهد

.محرکه کمی براي انتقال جریان نیاز دارند


این نوع پیوند در ترکیباتی یافت می شود که متشکل از یک ¡.عنصرالکترونگاتیو و یک عنصر الکتروپوزتیو باشند

.پیوند اتمی حاکم در بسیاري از سرامیک ها، یونی است¡.پیوند یونی براساس انتقال و داد وستد الکترون است¡در این پیوند عنصر فلزي با دادن الکترونهاي الیه ظرفیت خود به عنصر نافلز ¡

موجب می شود تا هر دو عنصر به آرایش گاز پایدار می رسند و فلز به یون . تبدیل می شود) آنیون(و نافلز به یون منفی ) کاتیون(مثبت

است NaClیک مثال کالسیک در این مورد ¡


4/20/2018

97


.عامل پیوند، جاذبه الکترواستاتیکی بین یون مثبت و یون منفی است¡ماهیت پیوند یونی، غیرجهت داراست یعنی مقدار پیوند در تمام جهات اطراف ¡

.یک اتم یکسان است:برخی خواص مواد با پیوند یونی¡

:الف مواد با پیوند یونی، رسانایی الکتریکی خوبی ندارند¡از ). الکترون آزاد وجود ندارد(در این مواد عامل رسانایی، حرکت یون هاست ¡

آنجایی که اندازه بزرگ تر یون ها و نیروي دافعه ي بین بارهاي هم نام مانع .حرکت آزادانه یون ها می شود؛ این مواد رسانایی خوبی ندارند

.ب مواد با پیوند یونی شکل پذیري خوبی ندارند¡این امر با توجه به مکانیزم تغییر فرم و قرار گرفتن بارهاي هم نام در کنار هم و ¡

ایجاد نیروي دافعه بین آن ها حین تغییر فرم توضیح داده .می شود¡


4/20/2018

98

پیوند کوواالنسی به شکل خالص در الماس، سیلیکون و ژرمانیوم . 1¡.یافت می شود

پیوند کوواالنسی پیوند اتمی حاکم در سرامیک هاي سیلیکاتی و . 2¡.شیشه ها است

تنگستن، مولیبدن، تانتالم (پیوند اتمی برخی فلزات با نقطه ذوب باال . 3¡.عالوه بر پیوند فلزي؛ ماهیت کوواالنسی نیز دارد) …… و .پیوند کوواالنسی در پلیمرها نیز وجود دارد. 4¡در این پیوند نزدیک . پیوند کوواالنسی براساس شراکت الکترون است. 5¡

شدن دو هسته موجب ایجاد یک اوربیتال الکترونی جدید شامل الکترون در این حالت الکترون هاي به . هاي به شراکت گذاشته شده می شود

.شراکت گذاشته شده را می توان متعلق به هر دو اتم دانست



4/20/2018

99

یکی از مهم ترین مشخصه هاي پیوند کوواالنسی جهت دار بودن آن . 6¡به علت نامتقارن بودن شکل اربیتال ها، قدرت پیوند بین اتمی در . است

.تمام جهات یکسان نیست

برخی ویژگی هاي مواد با پیوند کوواالنسی. 7¡این مواد به . الف مواد با پیوند کوواالنسی عایق خوب الکتریسته هستند¡

.علت فقدان الکترون آزاد و ذرات یونی رساناي الکتریسته نیستند

ب مواد کوواالنسی به علت ماهیت جهت دار بودن پیوندشان، شکل ¡در واقع تغییر فرم این مواد مستلزم تغییر در . پذیري ضعیفی دارند

زاویه پیوندي آن هاست و تغییر در زاویه پیوندي یعنی شکست پیوند .کوواالنسی


در بسیاري از مواد، پیوندهاي بین اتمی ترکیبی از پیوندهاي اولیه یا ثانویه ¡.است

پیوند اتمی موجود در ترکیبات بین فلزي، ترکیبی از پیوند فلزي و پیوند . 1¡هرچه اختالف الکترونگاتیویته دو فلز بیشتر باشد، سهم پیوند یونی . یونی است.بیشتر است

. پیوند اتمی موجود در سرامیکها، ترکیبی از پیوند یونی و کوواالنسی است. 2¡سهم پیوند کوواالنسی در سرامیک ها را می توان به صورت رابطه زیر بیان

:کرد¡ -] exp =سهم پیوند کوواالنسی 0.25 ΔE 2]

اختالف الکترونگاتیویته است که هرچه کمتر باشد؛ سهم ΔEکه در آن ¡. پیوند کوواالنسی بیشتر خواهد بود

نوع پیوند در بسیاري از مواد مولکولی، ترکیبی از پیوند کوواالنسی و . 3¡.است) واندروالس و هیدروژنی(پیوندهاي ثانویه


4/20/2018

100

برحسب ) و انرژي پتانسیل(منحنی تغییرات نیروي بین اتمی ¡فاصله ي بین اتمی

اصول پیوند اتمی را می توان با درنظرگرفتن اندرکنش دو اتم ایزوله که ¡در فواصل دور؛ . از فاصل هاي دور به هم نزدیک می شوند، درك کرد

با نزدیک شدن دو اتم به هم؛ دو . اندرکنشها قابل صرف نظر کردن استمقدار . بین آن ها شکل می گیرد) جاذبه و دافعه(نوع نیروي بین اتمی

آن ها تابعی از فاصله بین اتمی استمنشاْ نیروي جاذبه، بستگی به نوع پیوند اتمی دارد و به طور کلی . 1¡

.ناشی از نیروي بین مراکز با بار مثبت و منفی استمنشاْ نیروي دافعه، هم پوشانی الکترون هاي الیه آخر است که با هر . 2¡

.چه بیشتر نزدیک شدن دو اتم، مقدار آن افزایش می یابد



Fe Fe

اتمها بعد از برقراري پیوند در یک فاصله در کنار هم قرار می گیرند تعادلی

فاصله تعادلی بین : فاصله بین اتمیمراکز دو اتم که در مورد عناصردو برابر شعاع اتمی است

تا تعادلیانرژي الزم جهت جدا کردن اتمها ازفاصله : انرژي پیوند شکست پیوندانرژي الزم براي = است بی نهایت

4/20/2018

101

می دانیم که هنگامی که دو اتم به هم نزدیک می شوند بین ¡انها نیروهاي جاذبه و دافعه ایجاد می شود که می تواند از منشا

هاي زیر باشد ¡


:نیرو هاي جاذبه حاصل از جاذبه یون منفی-یون مثبت

هسته-ابر الکترونی : نیرو هاي دافعه حاصل از دافعه

ابر الکترونی- ابر الکترونیهسته -هسته


4/20/2018

102


انرژي . فاصله، نقطه مینیمم آن است -مهمترین مشخصه منحنی انرژي.، انرژي پیوند استr0متناظر با فاصله ي تعادلی

حداقل انرژي مورد نیاز براي جدا کردن و یا شکستن E0انرژي پیوندي .پیوند است

.انرژي پیوندي تابع نوع پیوند بین اتمی است


4/20/2018

103

برخی خواص مواد وابسته به انرژي پیوندي و شکل منحنی انرژي .فاصله است

.هرچه انرژي پیوندي بیشتر باشد؛ دماي ذوب بیشتر است

در مقیاس اتمی؛ مقدار مدول یانگ تابعی از مقاومت پیوند اتمی در در واقع مدول یانگ متناسب . برابر تغییر فاصله ي تعادلی اتم هاست. r0فاصله در نقطه ي -است با شیب نمودار نیروي بین اتمی


فاصله براي دو ماده با مدول االستیسیته ي باال و پائینی - نمودار نیرویابدبه طورکلی با افزایش انرژي پیوندي؛ دماي ذوب و مدول یانگ افزایش می-


4/20/2018

104

ساختار کریستالی مواد:مواد را از نظر نظم اتمی می توان به سه دسته تقسیم کرد

مثل گازها: مواد بی نظم-

، اتم ها در طی )کریستال ها(در این مواد ): کریستال(مواد با نظم بلند دامنه -در . فاصله هاي طوالنی اتمی داراي نظم تکرار شونده یا آرایش پریودي هستند

واقع طی انجماد، اتم ها خود را در یک الگوي سه بعدي تکرار شونده آرایش می در این مواد، . دهند به صورتی که هر اتم بانزدیک ترین اتم همسایه پیوند دارد

.عدد همسایگی براي اتم هاي بالک در سرتاسر کریستال حفظ می شود

در این مواد نظم اتمی تا چند فاصله ي اتمی ): آمورف(مواد با نظم کم دامنه -.حفظ می شود و عدد همسایگی متغیر است

یکی از روش هاي تهیه مواد آمورف فلزي، سریع سرد کردن مذاب آن ها با -در این سرعت هاي باالي انجماد، . است K/Sec 106سرعت هاي در حدود

.اتم ها فرصت کافی براي آرایش منظم در موقعیت هاي مشخص اتمی را ندارند دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 266


ساختار تصادفي: بخار اب

ساختار مایع

ساختار یخ

4/20/2018

105

وجود یک رابطه مشخص بین اجزا به : (Order)نظم ¡طوري که نسبت هر جز با سایر اجزا مشخص و قابل پیش

.بینی باشد

فضا را پر کرده اند و هیچ تصادفیدر گازها اتها به صورت ¡ (No Order)نظمی وجود ندارد


در مایعات اتمها نسبت به هم ساختار نسبتا منظمی دارند اما ¡این نظم با گذشت زمان به هم می خورد: اوال¡

این نظم درکل ماده وجود ندارد بلکه این نظم به تعداد : ثانیا¡محدودي از اتمها محدود می شود که در این حالت به این نظم

نظم با دامنه کوتاه: ¡ (Short range Order)گفته می شود


4/20/2018

106



4/20/2018

107

موادي هستند که در انها کل اتمها در یک ساختارمنظم و ¡تکرار شونده در فواصل طوالنی در کنار هم قرار گرفته اند


)سیستم هاي تبلور( سیستم هاي بلوري ¡ است تر راحت گاهی دارند وجود مختلفی بلوري ساختارهاي که آنجا از¡

بندي گروه اتمی آرایش یا و واحد سلول شکل مبناي بر را آنها که سلول شکل یعنی واحد سلول هندسی ي پایه بر فقط روش این .کنیم واحد سلول در اتمها موقعیت به توجه بدون و السطوح متوازي واحد,xمختصاتی سیستم یک روش این در .است y, z شود می برقرار. از یک هر و واحد سلول هاي گوشه از یکی در مبدا که اي بگونه

السطوح متوازي لبه سه از یکی روي بر y،x وz مختصات محورهاي کامل طور به واحد سلول هندسی شکل .گردد می منطبق مبدا مجاور:شود می تعیین پارامتر 6 توسط


4/20/2018

108

x (a)طول بردار در امتداد محور -1¡ y (b)طول بردار در امتداد محور -2¡ z (c)طول بردار در امتداد محور -3¡ b (a)و cزاویه ي بین بردار -4¡ a (ß)و cزاویه ي بین بردار -5¡ b (γ)و aزاویه ي بین بردار -6¡


وجود دارد b ،a ،a،ß،γو cبر این اساس هفت تلفیق احتمالی ¡که هر کدام یک سیستم بلوري یا سیستم تبلور جداگانه را مشخص

مکعبی، تتراگونال، : این هفت سیستم بلوري عبارتند از. می کنند¡.هگزاگونال، ارتورمبیک، رمبوهدرال، مونوکلینیک و تري کلینیک

این سیستم ها نحوه قرارگیري اتم ها در سلول واحد را در نظر نمی ¡در صورتی که نحو ه قرارگیري اتمها در سلول واحد را در. گیرند

حالت قرارگیري اتم ها در سلول واحد بوجود خواهد 14نظر بگیریم، ¡.شبکه براوه گفته می شود 14حالت، 14به . آمد


4/20/2018

109


از انجایی که ساختار هاي کریستالی از کنار هم قرار گرفتن ¡اتمها در کنار هم به صورت منظم و تکرار شونده به دست امده است این امکان وجود دارد که بتوان یک واحد سازنده را پیدا

به این واحد تکرار . کرد که از تکرار ان کل ساختار ایجاد شود.می گوییم unit cellشونده

:Unit cellتعریف ¡کل واحد یک ساختار کریستالی که از تکرار ان کوچکترین ¡

ساختار را درخود حفظ کند خواص کلایجاد شود و ساختار


4/20/2018

110

می تواند با توجه به روابط و مقادیر Unit Cellانواع مختلف ¡پارامتر به دست اید به عنوان مثال اگر 6مختلف براي این

¡α=β=γ=90º a = b = cو ¡انگاه شکل حاصل مکعب ساده خواهد بود و یا ¡a = b≠cاگر ¡ºو¡ 90=α=β وγ =º 120 باشدخواهد بود ( Heaxagonal)شکل به صورت هگزاگونال¡



4/20/2018

111



4/20/2018

112

دسته تقسیم می شود 3این نوع از سیستم ساختاري خود به ¡مکعبی ساده -1¡¡Simple Cubic (SC)¡مکعبی با اتم در مرکز -2¡¡Body Centered Cubic (BCC)

مکعب با اتم در وجوه مکعب -3Face centered Cubic (FCC)



اتمھا در گوشھ مكعب واقع شده اند

Cubic Lattice

4/20/2018

113

کنار در سخت کره هایی چیدن از حاصل ساختار صورت به می توان را فلزي بلور یکHard-Ball) سخت کرات مدل را آن که گرفت نظر در هم Model) می نامند.

.است چسبیده هم به اتم دو مراکز فاصله نصف مدل این در کره ها شعاع که مکعب یال اندازه به توجه با )کره ها( اتمی شعاع سخت، کرات مدل به توجه با

Lattice) شبکه پارامتر Parameter) است محاسبه قابل شود می نامیده. شعاع با آن رابطه صورت این در باشد a شبکه یال اندازه اگر ساده مکعبی ساختار در

:است زیر صورت به اتمی

.بود خواهد اتم یک حجم و شبکه حجم است بدیهی

Ra 2=3

34 Rπ 3a


Unit cellتعداد اتم ھا در ھر ¡سیستم مكعبي ساده ¡


Unit cellاتم در ھر 1

8 * 1/8=1

4/20/2018

114

(Atomic Packing Factor)اتمی تراکم ضریب .شود می نامیده APF اتمی تراکم ضریب واحد سلول حجم به واحد سلول یک در ها اتم حجم نسبتساده؟ مکعبی سیستم در


(Atomic Packing Factor)اتمی تراکم ضریب APF اتمی تراکم ضریب واحد سلول حجم به واحد سلول یک در ها اتم حجم نسبت.شود می نامیده

APF = a3

4

3π (0.5a)31

atoms

unit cellatom

volume

unit cellvolumeclose-packed directions

a

R=0.5a

contains 8 x 1/8 = 1 atom/unit cell

524.0=APFدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 287

4/20/2018

115

دانسیته و پایین اتمی تراکم دلیل به ساده مکعبی سیستم.است پرانرژي ساختاري آن کم

عنصر( است نادر بسیار بلوري ساختار این در مواد تبلور لذا.)جامد حالت در فلوئور و اکسیژن و Po پلونیوم



اتمھا در گوشھ و مرگز مكعب .واقع شده اند

BCC lattice

4/20/2018

116



8*1/8+1=2


FCC latticeاتمھا در گوشھ ھا و مراكز وجوه قرار گرفتھ اند

4/20/2018

117



8* 1/8+6*1/2=4

ساختار هگزاگونال فشرده Hexagonal Closed Pack (HCP)

صفحه اتمهاي روي درست سلول باالي صفحه اتم هاي فشرده، هگزاگونال ساختار در.دارند متفاوتی موقعیت میانی صفحه اتمهاي ولی هستند سلول پایین


4/20/2018

118

• ABAB... Stacking Sequence

• 3D Projection • 2D Projection

A sites

B sites

A sites Bottom layer

Middle layer

Top layer


APF for a HCP structure = 0.74PPF[0001] = 0.92


4/20/2018

119

در ساختار ھگزاگونال فشرده اتمي صفحات چيدمان متوالي ABABABبه صورت


Rرابطه aاتمی و

تراکم فضایی

تعداد صفحات متراکم

تعداد جهات متراکم

عدد همسایگ

ي

تعداد اتم در سلول واحد

ساختمان

0.523 {100}

3 <100>

61SC

0.686 {110}

4 <111>

82BCC

0.744 {111}

6 <110>

124FCC

0.741 (0001)

3126HCP

Ra 2=

34Ra =

24Ra =

Ra 2=

مقایسھ آرایش اتمي در ساختمان كریستالي فلزات

⟩⟨−

0211


4/20/2018

120

فلزات بلوري ساختار

:می شوند متبلور زیر ساده ساختارهاي از یکی صورت به فلزات اغلب

مکعبی -1Simple ساده مکعب Cubic (SC)Body دار مرکز مکعب Centered Cubic (BCC)Face مرکزدار وجوه با مکعب Centered Cubic (FCC)

Hexagonal فشرده هگزاگونال -2 Colsed Pack (HCP)


ρ = n A

VcNA

# atoms/unit cell Atomic weight (g/mol)

Volume/unit cell

(cm3/unit cell)Avogadro's number

(6.023 x 1023 atoms/mol)


:است محاسبھ قابل زیر كلي رابطھ از فلزات تئوریك دانسیتھ

4/20/2018

121

:داریم مس فلز براي مثال• crystal structure = FCC: 4 atoms/unit cell• atomic weight = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)• atomic radius R = 0.128 nm (1 nm = 10-7 cm)


... گاهی بعضی مواد با تغییر پارامتر هایی نظیر دما یا فشار و ¡ساختار هاي مختلفی از خود نشان می دهند که به این پدیده

پدیده الوتروپی یا پلی مورفیزم.گفته می شود

... خاصیتی از ماده که به علل گوناگون مثل دما و فشار و** بیش از یک ساختار داشته باشد


Fe:273°C 912°C 1394°C 1559°CBCC FCC BCC

Tm

4/20/2018

122

(Anisotropy)ناهمسانگردي همسانگرد آن به باشد جهت از مستقل ماده یک خواص اگر

(Isotrop) ناهمسانگرد ماده صورت این غیر در .شود می گفته .بود خواهد دلیل این به است بلوري جهت از تابعی بلورها فیزیکی خواص عموما فواصل و است متفاوت هم با مختلف جهات در ها اتم فشردگی که .نیست یکسان مختلف جهات در ها اتم اتمها فاصله ،BCC بلور یک در مثال بترتیب c وb و a اصلی جهت 3 در:برابر

.باشد میaaa 2

3,2,

a


موادي ھستند كه خواص در : مواد ايزوتروپیك¡.تمام جھات يكسان ھستند

موادي ھستند كه خواص : مواد غیرايزوتروپیك¡به جھات كريستالي وابسته ھستند


4/20/2018

123

cross sectional area Ao

∆L

length, Lo

F

undeformed

deformed


∆L F Ao

= E Lo

Elastic modulus stress

strain

تنش

كرنش

]111[

]100[

[100][111] 2EE =

تک کشش جهت از تابعی BCC آهن االستیک مدول :مکانیکی ناهمسانگردي از دیگر مثالی.است آن بلور

متراکم جهات در اتمی بیشتر جاذبه دلیل به فشرده جهات راستاي در االستیک مدول تر،.است بیشتر بلور

اندیس هاي بلوري

نام به عالئمی توسط فضا در بلوري صفحات و جهات •.گردند می تعریف بلوري هاي اندیس

و صفحات گذاري اندیس براي میلر سیستم از عموما •.شود می استفاده بلوري جهات


4/20/2018

124

مکعبیجهات در شبکه تعیین اندیس هاي روش

نظر مورد جهت موازات به برداري مختصات مبدا از •.شود می رسم

تعیین مختصات محور سه روي بر بردار هاي مولفه •.شوند می

تبدیل صحیح اعداد کوچکترین به بردار هاي مولفه •.شوند می



4/20/2018

125

[hkl] صورت به و براکت در جهت یک میلر اندیس.شود می داده نشان داده نشان <hkl> صورت به نوع هم جهات تمام ولی.شوند می <111> شکل به مکعب در قطري جهات اندیس مثال:است زیر جهت چهار شامل که شود می داده نشان

[ ] [ ] [ ] [ ]111, 111, 111, 111


مکعبیصفحات در شبکه تعیین اندیس هاي روش مختصات محورهاي با نظر مورد صفحه تقاطع نقاط •

.شود می تعیین ها آن مختصات و تعیین نقاط مختصات معکوس با متناسب صفحه میلر اندیس •

صحیح اعداد کوچکترین به باید که محورهاست با تقاطع.شوند تبدیل (hkl) صورت به و پرانتز در صفحه یک میلر اندیس.شود می داده نشان داده نشان {hkl} صورت به نوع هم صفحات تمام ولیدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد.شوند می 309

4/20/2018

126


:مهم نکته یکسان صفحه آن بر عمود جهت و صفحه یک میلر اندیس.هستند (100) است x محور بر عمود که مکعب وجه اندیس مثال.است [100] برابر نیز x محور اندیس و


4/20/2018

127

در اندیس هاي میلر شبکه هگزاگونال


:نکته به هگزاگونال هاي بلور در جهات و صفحات میلر اندیس:همواره و شود می بیان رقمی چهار صورت

ikhhkil

−=+


4/20/2018

128

( )000111,1,1,1

∞∞∞

∞−∞−

0110

1,1

1,1,11


موادي ھستند كه : (Single crystal)مواد تك كريستال¡در انھا كل اتم ھا با يك ساختار مشخص در در يك

. جھت خاص چیده شده اند

(Poly crystal) مواد پلي كريستال¡موادي ھستند كه در انھا اتمھا از چندين تك كريستال ¡

به ھر كدام از اين تك بلور ھا . ساخته شده اند.گفته مي شود (Grain)دانه


4/20/2018

129

در مواد پلي كريستال اتمھا در : به عبارت ديگر¡قرار جھات گوناگونبا نظم مشخص در اما در

. گرفته اند



Poly crystal Material

Grains

Single crystal

4/20/2018

130



=مرز دانھ= Grain Boundary

Grain 1

Grain 2

4/20/2018

131

ھمواره بین اتمھا جاھاي خالي وجود دارد كه ¡نقش مھمي در خواص مواد و بعضي پديده

. دارند


در فصل قبل ساختار اتمی در حالت ایده ال بررسی شد اما ¡.همواره عیوبی در ساختار کریستالی وجود دارد ¡

وجود عیوب اثرات مهمی بر خواص دارد¡در واقع در بسیاري مواد با طراحی عیوب می توان خواص را ¡

.کنترل کردهر گونه انحراف از نظم ایده ال : (Defects(تعریف عیوب¡

.را عیب می نامند


4/20/2018

132

عیوب را می توان با توجه به ابعاد ان دسته بندي کرد¡عیوبی هستند که : (Point defects)عیوب نقطه اي -1¡

.مربوط به یک یا چند مکان اتمی است¡(Zero dimension)

(line defects)عیوب خطی -2¡عیوبی هستند که در امتداد یک خط در ساختار حضور دارند و ¡

.متمرکز شده اند¡ (One dimensional) =


(Surface defects)عیوب صفحه اي -3¡عیوبی هستند که در امتداد یک صفحه در ساختار حضور ¡

two dimensional=دارند

(Volume defects): عیوب حجمی -4¡.عیوبی هستند که در حجمی از ماده قرار دارند

=Three Dimension


4/20/2018

133

¡1 - Vacancy )جاي خالی (هنگامی ایجاد می شود که یک اتم در جایگاه خود حضور ¡

نداشته باشد



4/20/2018

134


¡Vacancy ھا در ھر دماي خاص يک دانسیته تعادلي:دارند که با رابطه زير مشخص مي شود

¡Nv : تعدادVacancy در واحد حجم(cm3)

¡N : تعداد جايگاه ھاي اتمي در واحد حجم(cm3)

¡Q : انرژي الزم براي ايجاد يک جاي خالي(J)¡K :ثابت بولتزمانJ/atom K 1.38*10-23


4/20/2018

135

هنگامی ایجاد می شود که یک اتم خارجی یا اضافی در مکان ¡.هاي خالی شبکه وارد شود

این اتم اضافی می تواند اتمی از نوع شبکه اتمی زمینه باشد یا ¡.اتمی متفاوت باشد


از انجایی که اندازه مکان هاي خالی کوچکتر از شعاع : نکته ¡کوچکترین اتم ها است اطراف اتم هاي بین نشینی تنش

فشاري ایجاد می شود چرا؟


4/20/2018

136


هنگامی ایجاد می شوند که یک اتم در شبکه اتمی با یک اتم ¡.خارجی جایگزین می شود


4/20/2018

137

اگر اتم جانشین شده از اتم اولیه کوچکترباشد دراطراف خود ¡شبکه را تحت کشش قرار می دهد

اگر اتم جانشین شده از اتم اولیه بزرگترباشد دراطراف خود ¡شبکه را تحت فشار قرار می دهد


از انواع عیوب خطی تنها یک نوع را مورد بررسی قرار می دهیم ¡.یا نابجایی است Dislocationو ان

¡Dislocation انواع مختلفی دارد که ما تنها یک نوع ان رابررسی می کنیم که نابجایی لبه اي است

¡Edge Dislocation


4/20/2018

138

چیده نقص در یک را ذاتیشدن با حذف می توان از صفحه بخشی

.کردایجاد فشرده

با اضافه شدن صفحه یک از بخشی نقص نیز یک فشرده

شدن چیده در تشکیل عارضی

. می شوددانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 334

می تواند به صورت یک صورت یک نیم صفحه اضافی از اتمها ¡.تصور شود که در داخل کریستال پایان می یابد


4/20/2018

139



4/20/2018

140

¡1- Dislocation Line.خطی که در امتداد انتهاي نیم صفحه اضافی است¡

اتم ها در امتداد این خط از نظم معمول موجود در شبکه ¡بنابر این . منحرف می شوند

¡Dislocation line خطی است که بی نظمی حول ان متمرکز شده و به همین ¡

.علت عیب خطی نامیده می شود


Dislocation line


4/20/2018

141

برداري است که اندازه تغییرات شبکه اي دراطراف نابجایی ¡. را که به علت حضور نابجایی ایجاد شده نشان می دهد



4/20/2018

142

باالي خط نابجايي تنش فشاري ايجاد مي ¡شود زيرا اتمھا در اين ناحیه به ھم نزديک

.شده اند

پايین خط نابجايي تنش کششي ايجاد مي شود .زيرا اتمھا در اين ناحیه از ھم دور شده اند



4/20/2018

143

سطح آزاد -1- 3¡اتم ھا در سطوح آزاد يا بیروني جسم تعدادي ¡

. از اتم ھاي ھمسايه خود را از دست داده اندبنابر اين از انجايي که ارايش اتمي در سطح ¡

ماده ازارايش اتمي درون ماده متفاوت است به عنوان عیب مطرح مي شود



کھ اتم ھا در سطح انجایي از خود را از پیوند ھاي از تعدادي

نسبت بھ اتم بنابراین دست داده اند انرژي باالتري داخل ماه ھاي

این انرژي اضافي بھ چرا؟دارند .شودمي گفتھ سطح آزادانرژي

4/20/2018

144

مرز دانه ھا ھمان طور که قبال معرفي شدند ¡.مرز بین دو دانه ھستند

در مرز دانه ھا نظم اتمي موجود در شبکه به ¡. ھم خورد

دراين نواحي که ضخامتي در حدود چند نانومتر ¡دارند اتمھا انرژي باالتري نسبت به اتم ھاي

درون شبکه دارند


براي مشاھده مرزدانه از میکروسکپ ھاي نوري يا §الکتروني مي توان استفاده کرد

میکروسکپ ھاي نوري و میکروسپ ھاي الکتروني §داشته . مي توانند بزرگنمايي متفاوت داشته باشند

.باشند


4/20/2018

145


اماده سازي نمونه براي گرفتن تصاوير با میکروسکپ ¡نوري

بريدن نمونه مورد نظر از سطح نمونه -1¡

جھت از بین بردن خراش ھا : عملیات سنباده زني -2¡و ايجاد سطحي صاف

سنباده زني از سباده ھي خشن تا سنباده ھاي نرم ¡انجام مي شود و در ھر مرحله سعي مي شود

خراشھاي حاصل از مرحله قبل از بین برود


4/20/2018

146

در اين مرحله با استفاده از خمیر : پالیش کردن -3¡الماس خراشھاي حاصل از سنباده زني از بین

مي رود و سطحي کامال صیقلي به دست مي .ايد

سطح جسم صیقلي را با محلول : اچ کردن -4¡ھاي شیمیايي خاص در تماس قرار مي دھیم تا

در اين حالت مرز دانه ھا . با سطح واکنش دھد بیشتر با محلول شیمیايي واکنش مي دھند و

.باعث مي شود که نواحي مرزدانه فرو بروند



4/20/2018

147



بزرگنمایي 100X

4/20/2018

148


از انجايي که اندازه دانه اثرات زيادي بر خواص ¡دارد الزم ... مغناطیسي و–نوري - مکانیکي

معیاري براي گزارش اندازه دانه داشته باشیم.استفاده مي کنیم ASTMبه منظور از استاندارد

ASTM= American Society for Testing Materilas


4/20/2018

149

تھیه 100ابتدا عکسي از نمونه در بزرگنمايي ¡اينچ 1مي کنیم و سپس تعداد دانه ھا در

مربع را مي شماريماز فرمول زير براي محاسبه عدد اندازه دانه¡¡(Grain Size Number استفاده مي کنیم

¡N= 2n-1

تعداد دانه ھا در يک اينچ مربع : Nدر اين فرمول ¡به دست 100که از عکسي در بزرگنمايي

امدهدانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 356

¡n : عدد اندازه دانه(Grain size number)

عدد اندازه دانه مستقیما به معني : نکته ¡اندازه نیست بلکه تنھا براي درک اندازه دانه

است

زياد تر باشد اندازه دانه کوچکتر nھر چه ¡است


4/20/2018

150



4/20/2018

151


ھمان طور که در عکس مشاھده مي شود ¡بعضي دانه ھا در گوشه عکس قرار مي گیرند

و بعضي دانه ھا ) وجوه(و بعضي در لبه ھا.کامال داخل عکس قرار مي گیرند

تعداد دانه اي داخل سطح = تعداد کل دانه ھا¡دانه ¼ + نصف تعداد دانه ھاي در لبه ھا +

ھاي در گوشه ھا


4/20/2018

152

ھمان طور كه قبال گفته شد در بین اتمھا فضال خالي وجود ¡بعدي شكل اين مكان ھا به صورت تتراھدرال 3در حالت . دارد

.و اكتاھدرال است


در اين اشكال ارائه شده اتم ھا در رئوس قرار ¡مي گیرند و در بین انھا فضاي خالي ايجاد مي

شود


4/20/2018

153


ºنشان دھنده مكان ھاي خالي است


ºنشان دھنده مكان ھاي خالي است

4/20/2018

154

اندازه فضا ھاي تترا ھدرال از اكتا ھدرال ¡كوچكتر اس ت

در فضاي اكتا ھدرال اتم ھايي با اندازه ¡¡r/R : مي توانند قرار گیرند ولي 0.2254-0.414

در فظاھاي اكتا ھدرال اتم ھاي با ¡ r/R :0.4146-0.732 مي توانند قرار گیرند.

r :شعاع اتم بین نشینR :شعاع اتم شبكه اصلي


APF = a3

4

3π ( 2a/4)34

atoms

unit cell atomvolume

unit cell

volumea

APF = 0.74

Close-packed directions: length = 4R

= 2 a


4/20/2018

155


IntroductionTransformation of Plane StressPrincipal StressesMaximum Shearing StressExample 7.01Sample Problem 7.1Mohr’s Circle for Plane StressExample 7.02Sample Problem 7.2General State of StressApplication of Mohr’s Circle to the Three- Dimensional Analysis of StressYield Criteria for Ductile Materials Under Plane StressFracture Criteria for Brittle Materials Under Plane StressStresses in Thin-Walled Pressure Vessels

دانشگاه آزاد اسالمي نجف آباد - دکتر حميد منتظرالقائم - متالورژي در توليد 7 - 369

4/20/2018

156


• The most general state of stress at a point may be represented by 6 components,

),, :(Note

stresses shearing,,

stresses normal,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

ττττττ

τττ

σσσ

===

• Same state of stress is represented by a different set of components if axes are rotated.

• The first part of the chapter is concerned with how the components of stress are transformed under a rotation of the coordinate axes. The second part of the chapter is devoted to a similar analysis of the transformation of the components of strain.


• Plane Stress - state of stress in which two faces of the cubic element are free of stress. For the illustrated example, the state of stress is defined by .0,, and xy === zyzxzyx ττστσσ

The image part with relationship ID rId5 was not found in the file.

• State of plane stress occurs in a thin plate subjected to forces acting in the midplane of the plate.

• State of plane stress also occurs on the free surface of a structural element or machine component, i.e., at any point of the surface not subjected to an external force.

4/20/2018

157


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) θθτθθσ

θθτθθστ

θθτθθσ

θθτθθσσ

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

∆+∆−

∆−∆+∆==∑

∆−∆−

∆−∆−∆==∑

′′′

′′

• Consider the conditions for equilibrium of a prismatic element with faces perpendicular to the x, y, and x’ axes.

• The equations may be rewritten to yield


• The previous equations are combined to yield parametric equations for a circle,( )

22

222

22

where

xyyxyx

ave

yxavex

R

R

τσσσσ

σ

τσσ

+

−=

+=

=+− ′′′

• Principal stresses occur on the principal planes of stress with zero shearing stresses.

o

22

minmax,

90by separated angles twodefines :Note

22tan

22

yx

xyp

xyyxyx

σσ

τθ

τσσσσ

σ

−=

+

−±

+=

4/20/2018

158


Maximum shearing stress occurs for avex σσ =′

2

45by fromoffset

and 90by separated angles twodefines :Note

22tan

2

o

o

22

max

yxave

p

xy

yxs

xyyxR

σσσσ

θ

τ

σσθ

τσσ

τ

+==′

−−=

+

−==


For the state of plane stress shown, determine (a) the principal panes, (b) the principal stresses, (c) the maximum shearing stress and the corresponding normal stress.

SOLUTION:

• Find the element orientation for the principal stresses from

yx

xyp σσ

τθ

−=

22tan

• Determine the principal stresses from

22

minmax, 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−±

+=

• Calculate the maximum shearing stress with

22

max 2 xyyx τ

σστ +

−=

2yx σσ

σ+

=′

4/20/2018

159


SOLUTION:

• Find the element orientation for the principal stresses from

( )( )

°°=

=−−

+=

−=

1.233,1.532

333.11050

40222tan

p

yx

xyp

θ

σσ

τθ

°°= 6.116,6.26pθ

• Determine the principal stresses from

( ) ( )22

22

minmax,

403020

22

+±=

+

−±

+= xy

yxyx τσσσσ

σ

MPa30MPa70

min

max−=

=

σ

σ

MPa10

MPa40MPa50

−=

+=+=

x

xyx

σ

τσ


MPa10

MPa40MPa50

−=

+=+=

x

xyx

σ

τσ

21050

2−

=+

==′ yxave

σσσσ

• The corresponding normal stress is

MPa20=′σ

• Calculate the maximum shearing stress with

( ) ( )22

22

max

4030

2

+=

+

−= xy

yx τσσ

τ

MPa50max =τ

45−= ps θθ

°°−= 6.71,4.18sθ

4/20/2018

160


A single horizontal force P of 150 lb magnitude is applied to end D of lever ABD. Determine (a) the normal and shearing stresses on an element at point H having sides parallel to the x and y axes, (b) the principal planes and principal stresses at the point H.

SOLUTION:

• Determine an equivalent force-couple system at the center of the transverse section passing through H.

• Evaluate the normal and shearing stresses at H.

• Determine the principal planes and calculate the principal stresses.


SOLUTION:

• Determine an equivalent force-couple system at the center of the transverse section passing through H.

( )( )( )( ) inkip5.1in10lb150

inkip7.2in18lb150lb150

⋅==⋅==

=

xMTP

• Evaluate the normal and shearing stresses at H.

( )( )( )

( )( )( )42

1

441

in6.0in6.0inkip7.2

in6.0in6.0inkip5.1

πτ

πσ

⋅+=+=

⋅+=+=

JTc

IMc

xy

y

ksi96.7ksi84.80 +=+== yyx τσσ

4/20/2018

161


• Determine the principal planes and calculate the principal stresses.

( )

°°−=

−=−

=−

=

119,0.612

8.184.80

96.7222tan

p

yx

xyp

θ

σσ

τθ

°°−= 5.59,5.30pθ

( )22

22

minmax,

96.72

84.802

84.80

22

+

−

±+

=

+

−±

+= xy

yxyx τσσσσ

σ

ksi68.4ksi52.13

min

max−=

+=

σ

σ


• With the physical significance of Mohr’s circle for plane stress established, it may be applied with simple geometric considerations. Critical values are estimated graphically or calculated.

• For a known state of plane stressplot the points X and Y and construct the circle centered at C.

xyyx τσσ ,,

22

22 xyyxyx

ave R τσσσσ

σ +

−=

+=

• The principal stresses are obtained at Aand B.

yx

xyp

ave R

σσ

τθ

σσ

−=

±=

22tan

minmax,

The direction of rotation of Ox to Oais the same as CX to CA.

4/20/2018

162


• With Mohr’s circle uniquely defined, the state of stress at other axes orientations may be depicted.

• For the state of stress at an angle θ with respect to the xy axes, construct a new diameter X’Y’ at an angle 2θ with respect to XY.

• Normal and shear stresses are obtained from the coordinates X’Y’.


Cylindrical Pressure Vessel

X

Y

Z tDp

x 2=σ

tDp

y 4=σ

4/20/2018

163


σx

τ (CW)

σσy

σx

σy

2yx σ−σ

=τ

Mohr’s Circle for X-Y PlanesThis isn’t the whole story however…

σx = σ1 and σy = σ2


σ1

τ (CW)

σ

σy

σx

σz

σz = 0 since it is perpendicular to the free face of the element.

σz = σ3 and σx = σ1

σ3

Mohr’s Circle for X-Z Planes

σx

σz = 0

τmax = τxz

231 σ−σ

=τmax

4/20/2018

164


σ1

τ (CW)

σσ2

σy

σx

σz

σz = 0 since it is perpendicular to the free face of the element.

σ3

τmax = τxz

σ1 > σ2 > σ3


σy = 0

σx = P/A

Ductile Materials Tend to Fail in SHEAR

σ1= σx

2x

maxσ

=τ

σ2 = 0

Note when σx = Sy, Sys = Sy/2

4/20/2018

165


σy = 0

σx = P/A

2x

maxσ

=τ

σ1 = 0

σ2= σx


T

T

JcT

xy =τ

xymax τ=τ

σ1 = τxyσ2 = -τxy

CHALK

σ1

Brittle materials tend to fail in TENSION.

4/20/2018

166

¡ Rotating shaft with axial load.¡ Basis for design of shafts.


σx = P/A

τxy = Tc/J

Rmax =τ

σ1 = σx/2+Rσx/2

(σx, τxy)

σ2 = σx/2-R

(0, τyx)

maxxyxR τ=τ+

σ= 2

2

2


• Mohr’s circle for centric axial loading:

0, === xyyx AP

τσσA

Pxyyx 2

=== τσσ

• Mohr’s circle for torsional loading:

JTc

xyyx === τσσ 0 0=== xyyx JTc

τσσ

4/20/2018

167


For the state of plane stress shown, (a) construct Mohr’s circle, determine (b) the principal planes, (c) the principal stresses, (d) the maximum shearing stress and the corresponding normal stress.

SOLUTION:

• Construction of Mohr’s circle( ) ( )

( ) ( ) MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

10502

22 =+==

==−=

=−+

=+

=

CXR

FXCF

yxave

σσσ


• Principal planes and stresses 5020max +=+== CAOCOAσ

MPa70max =σ

5020max −=−== BCOCOBσ

MPa30max −=σ

°=

==

1.53230402tan

p

p CPFX

θ

θ

°= 6.26pθ

4/20/2018

168


• Maximum shear stress

°+= 45ps θθ

°= 6.71sθ

R=maxτ

MPa 50max =τ

aveσσ =′

MPa 20 =′σ


For the state of stress shown, determine (a) the principal planes and the principal stresses, (b) the stress components exerted on the element obtained by rotating the given element counterclockwise through 30 degrees.

SOLUTION:

• Construct Mohr’s circle

( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820

MPa802

601002

2222 =+=+=

=+

=+

=

FXCFR

yxave

σσσ

4/20/2018

169


• Principal planes and stresses

°=

===

4.672

4.220482tan

p

p CFXF

θ

θ

clockwise7.33 °=pθ

5280max

+=+== CAOCOAσ

5280max

−=−== BCOCOAσ

MPa132max +=σ MPa28min +=σ


°=′=

°+=+==

°−=−==°=°−°−°=

′′

′

′

6.52sin52

6.52cos52806.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOLKCOCOK

yx

y

x

τ

σ

σφ

• Stress components after rotation by 30o

Points X’ and Y’ on Mohr’s circle that correspond to stress components on the rotated element are obtained by rotating XYcounterclockwise through

°= 602θ

MPa3.41

MPa6.111MPa4.48

=

+=

+=

′′

′

′

yx

y

x

τ

σ

σ

4/20/2018

170


• State of stress at Q defined by: zxyzxyzyx τττσσσ ,,,,,

• Consider the general 3D state of stress at a point and the transformation of stress from element rotation

• Consider tetrahedron with face perpendicular to the line QN with direction cosines: zyx λλλ ,,

• The requirement leads to,∑ = 0nF

xzzxzyyzyxxy

zzyyxxn

λλτλλτλλτ

λσλσλσσ

222

222

+++

++=

• Form of equation guarantees that an element orientation can be found such that

222ccbbaan λσλσλσσ ++=

These are the principal axes and principal planes and the normal stresses are the principal stresses.


• Transformation of stress for an element rotated around a principal axis may be represented by Mohr’s circle.

• The three circles represent the normal and shearing stresses for rotation around each principal axis.• Points A, B, and C represent the

principal stresses on the principal planes (shearing stress is zero)

minmaxmax 21

σστ −=

• Radius of the largest circle yields the maximum shearing stress.

4/20/2018

171


• In the case of plane stress, the axis perpendicular to the plane of stress is a principal axis (shearing stress equal zero).

b) the maximum shearing stress for the element is equal to the maximum “in-plane” shearing stress

a) the corresponding principal stresses are the maximum and minimum normal stresses for the element

• If the points A and B (representing the principal planes) are on opposite sides of the origin, then

c) planes of maximum shearing stress are at 45o to the principal planes.


Application of Mohr’s Circle to the Three-Dimensional Analysis of Stress

• If A and B are on the same side of the origin (i.e., have the same sign), then

c) planes of maximum shearing stress are at 45 degrees to the plane of stress

b) maximum shearing stress for the element is equal to half of the maximum stress

a) the circle defining σmax, σmin, and τmax for the element is not the circle corresponding to transformations within the plane of stress

4/20/2018

172


• Failure of a machine component subjected to uniaxial stress is directly predicted from an equivalent tensile test

• Failure of a machine component subjected to plane stress cannot be directly predicted from the uniaxial state of stress in a tensile test specimen

• It is convenient to determine the principal stresses and to base the failure criteria on the corresponding biaxial stress state

• Failure criteria are based on the mechanism of failure. Allows comparison of the failure conditions for a uniaxial stress test and biaxial component loading


Maximum shearing stress criteria:

Structural component is safe as long as the maximum shearing stress is less than the maximum shearing stress in a tensile test specimen at yield, i.e.,

2maxY

Yσ

ττ =<

For σa and σb with the same sign,

22or

2maxYba σσσ

τ <=

For σa and σb with opposite signs,

22maxYba σσσ

τ <−

=

4/20/2018

173


Maximum distortion energy criteria:

Structural component is safe as long as the distortion energy per unit volume is less than that occurring in a tensile test specimen at yield.

( ) ( )222

2222 0061

61

Ybbaa

YYbbaa

Yd

GG

uu

σσσσσ

σσσσσσ

<+−

+×−<+−

<


Maximum normal stress criteria:

Structural component is safe as long as the maximum normal stress is less than the ultimate strength of a tensile test specimen.

Ub

Ua

σσ

σσ

<

<

Brittle materials fail suddenly through rupture or fracture in a tensile test. The failure condition is characterized by the ultimate strength σU.

4/20/2018

174


• Cylindrical vessel with principal stressesσ1 = hoop stressσ2 = longitudinal stress

( ) ( )

tpr

xrpxtFz

=

∆−∆==∑

1

1 220

σ

σ

• Hoop stress:

( ) ( )

21

2

22

22

20

σσ

σ

ππσ

=

=

−==∑

tpr

rprtFx

• Longitudinal stress:


• Points A and B correspond to hoop stress, σ1, and longitudinal stress, σ2

• Maximum in-plane shearing stress:

tpr42

12)planeinmax( ==− στ

• Maximum out-of-plane shearing stress corresponds to a 45o rotation of the plane stress element around a longitudinal axis

tpr22max == στ

4/20/2018

175


• Spherical pressure vessel:

tpr221 == σσ

• Mohr’s circle for in-plane transformations reduces to a point

0constant

plane)-max(in

21=

===

τ

σσσ

• Maximum out-of-plane shearing stress

tpr412

1max == στ


• Plane strain - deformations of the material take place in parallel planes and are the same in each of those planes.

• Example: Consider a long bar subjected to uniformly distributed transverse loads. State of plane stress exists in any transverse section not located too close to the ends of the bar.

• Plane strain occurs in a plate subjected along its edges to a uniformly distributed load and restrained from expanding or contracting laterally by smooth, rigid and fixed supports

( )0

:strain of components

x === zyzxzxyy γγεγεε

4/20/2018

176


• State of strain at the point Q results in different strain components with respect to the xy and x’y’ reference frames.( )

( ) ( )( )yxOBxy

xyyxOB

xyyx

εεεγ

γεεεε

θθγθεθεθε

+−=

++=°=

++=

2

45

cossinsincos

21

22

θγ

θεεγ

θγ

θεεεε

ε

θγ

θεεεε

ε

2cos2

2sin22

2sin2

2cos22

2sin2

2cos22

xyyxyx

xyyxyxy

xyyxyxx

+−

−=

−−

−+

=

+−

++

=

′′

′

′

• Applying the trigonometric relations used for the transformation of stress,


• The equations for the transformation of plane strain are of the same form as the equations for the transformation of plane stress - Mohr’s circle techniques apply.

• Abscissa for the center C and radius R , 22

222

+

−=

+= xyyxyx

ave Rγεεεε

ε

• Principal axes of strain and principal strains,

RR aveave

yx

xyp

−=+=

−=

εεεε

εε

γθ

minmax

2tan

( ) 22max 2 xyyxR γεεγ +−==

• Maximum in-plane shearing strain,

4/20/2018

177


• Previously demonstrated that three principal axes exist such that the perpendicular element faces are free of shearing stresses.

• By Hooke’s Law, it follows that the shearing strains are zero as well and that the principal planes of stress are also the principal planes of strain.

• Rotation about the principal axes may be represented by Mohr’s circles.


• For the case of plane strain where the xand y axes are in the plane of strain, - the z axis is also a principal axis- the corresponding principal normal

strain is represented by the point Z = 0 or the origin.

• If the points A and B lie on opposite sides of the origin, the maximum shearing strain is the maximum in-plane shearing strain, D and E.

• If the points A and B lie on the same side of the origin, the maximum shearing strain is out of the plane of strain and is represented by the points D’ and E’.

4/20/2018

178


• Consider the case of plane stress,0=== zbyax σσσσσ

• Corresponding normal strains,

( ) ( )babac

bab

baa

E

EE

EE

εεν

νσσ

νε

σσνε

σνσε

+−

−=+−=

+−=

−=

1

• If B is located between A and C on the Mohr-circle diagram, the maximum shearing strain is equal to the diameter CA.

• Strain perpendicular to the plane of stress is not zero.


• Strain gages indicate normal strain through changes in resistance.

( )yxOBxy εεεγ +−= 2

• With a 45o rosette, εx and εy are measured directly. γxy is obtained indirectly with,

3332

32

3

2222

22

2

1112

12

1

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

θθγθεθεε

θθγθεθεε

θθγθεθεε

xyyx

xyyx

xyyx

++=

++=

++=

• Normal and shearing strains may be obtained from normal strains in any three directions,

4/20/2018

179



4/20/2018

180



Documents

Mechanical metallurgyresearch.iaun.ac.ir/pd/montazerolghaem/pdfs/UploadFile... · 2018-04-20 · 4/20/2018 4 شﻧﺮﮐ و شﻧﺗ لﻳﻠﺣﺗ : لوا لﺻﻓ ﻪﻣدﻘﻣ