Mechanica

Lennaert Huiszoon

November 14, 2010

Abstract

Dit is een samenvatting van de stof voor het eerste schoolexamen Natu-

urkunde. De onderwerpen die behandeld worden zijn: beweging, krachten,

energie en momenten.

Contents

1 Inleiding 2

2 Kinematica: Beweging 3

2.1 Tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Plaats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.1 Gemiddelde snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3.2 Snelheid op een tijdstip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.1 Gemiddelde versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Versnelling op een tijdstip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Dynamica: Kracht en beweging 8

3.1 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Kracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 De wetten van Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Interacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4.1 duw- of trekkracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.2 Zwaartekracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.3 Wrijvingskracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.4 Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.5 Normaalkracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.6 Veerkracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.7 Spankracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.8 Gravitatiekracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Kracht en rechtlijnige beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

3.5.1 Eenparige beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.2 Eenparig versnelde beweging . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.3 Vrije Val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.6 Kracht en kromlijnige beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6.1 Schuine en horizontale worp . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6.2 Eenparige cirkelbeweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6.3 Hemelmechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.7 Modelleren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Arbeid en energie 16

4.1 Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.1 Arbeid verricht door zwaartekracht . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Arbeid verricht door wrijvingskracht . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Kinetische energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Zwaarte-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Warmte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Wet van behoud van energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 Vermogen en rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Statica: Kracht en evenwicht 20

5.1 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Zwaartepunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Algemene evenwichtsvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Inleiding

Doel van de natuurkunde is het beschrijven van de wereld/natuur/heelal metnatuurwetten. De natuurwetten zijn wiskundige verbanden tussen grootheden.

Grootheden zijn dingen die we kunnen meten. Door middel van metingen kun-nen de natuurwetten worden getoetst. Grootheden worden uitgedrukt in een-heden:

grootheid = getal× eenheid

waarbij het getal in de wetenschappelijke notatie staat: een getal tussen de 1 en10 maal een macht van 10. Bijvoorbeeld:

m = 9, 170 · 1031kg

De cijfers voor de macht van tien heten signi�cante cijfers. Het aantal signi�-cante cijfers is een maat voor de nauwkeurigheid van de meting. Vuistregel: hetantwoord van een natuurkundige berekening moet hetzelfde aantal signi�cantecijfers hebben als het minst nauwkeurige getal in de opgave.

2

2 Kinematica: Beweging

Kinematica is het onderdeel van de natuurkunde dat beweging bestudeert. Voorhet gemak zullen we ons vooralsnog beperken tot rechtlijnige beweging. Derelevant grootheden en SI eenheden zijn tijd, plaats, snelheid en versnelling.

2.1 Tijd

Tijd is datgene dat de klok aanwijst. De eenheid van tijd is seconde. Somsworden de eenheden minuut (1 min = 60 s), uur (1 h = 60 min), dag (1 dag =24 h) en jaar (1 jaar = 365 dag) gebruikt. Vaak nemen we t = 0 als begintijd.Tijdsduur is het verschil van twee tijden:

∆t = t2 − t1

2.2 Plaats

Plaats is datgene dat de lineaal aanwijst. De eenheid van plaats is meter .De plaats-tijdfunctie x(t) van een lichaam geeft voor elk tijdstip t de plaats xvan dat lichaam. De gra�ek van x(t) heet het plaats-tijddiagram. Voor eenvoorbeeld, zie �guur 2.1. De verplaatsing op een tijdsinterval [t1, t2] is

∆x = x(t2)− x(t1)

De verplaatsing is positief (negatief) als het lichaam naar rechts (links) beweegt.De afgelegde weg s is het daadwerkelijke aantal meter dat een lichaam heeft

afgelegd. Als x(t) bekend is, kunnen s en ∆x worden berekend. Andersom kandit niet. Dit is de reden waarom we voornamelijk de plaatsfunctie gebruiken.

2.3 Snelheid

2.3.1 Gemiddelde snelheid

De gemiddelde snelheid op een tijdsinterval [t1, t2] kan je berekenen met

vgem =∆x

∆t=x(t2)− x(t1)

t2 − t1In het x(t) diagram is dit de richtingscoë�ciënt van de lijn door (t1,x(t1))en(t2,x(t2)), zie �guur 2.2 . Bovenstaande formule kan je omschrijven als

∆x = vgem ·∆t

3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

x(m

)

Figure 2.1: plaatstijd diagram x(t) = t3 − 6t2 + 10t− 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

x(m

)

Figure 2.2: De gemiddelde snelheid op het interval [2s, 4s] is gelijk aan ∆x∆t =

2−−24−2 = 2m/s.

4

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

x(m

)

Figure 2.3: De snelheid op t = 3, 5 s is gelijk aan de rc van de raaklijn.

2.3.2 Snelheid op een tijdstip

In de limiet ∆t → 0 wordt de gemiddelde snelheid de snelheid op een tijdstip.De snelheid-tijdfunctie v(t) is daarom de afgeleide van de plaats x(t):

v(t) = x′(t)

Als de formule voor x(t) bekend is, kan je v(t) dus berekenen door te di�eren-tiëren. Voorbeeld: als x(t) = 6t4 − 5t2 − 1 dan is v(t) = 24t3 − 10t.

Snelheid kan positief of negatief zijn. Een positieve snelheid is een bewegingnaar 'rechts', een negatieve snelheid is een beweging naar 'links'.

Gra�sch kan je met behulp van de raaklijnmethode uit een x(t)-diagram desnelheid op een tijdstip vinden, zie �guur 2.3 . Als je dat voor elk tijdstip doet,krijg je het snelheid-tijddiagram in �guur 2.4 .

Als de formule voor v(t) bekend is, én je kent de beginplaats x0, dan kan je deplaatsfunctie x(t) berekenen door te primitiveren. Voorbeeld: als v(t) = 12t−8t7

dan is x(t) = 6t2 − t8 + x0.Gra�sch kan je met behulp van de oppervlaktemethode uit een v(t)-diagram

de verplaatsing vinden. Zie �guur??.

5

-5

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

v(m

/s)

Figure 2.4: Het snelheid-tijd diagram v(t) = 3t2 − 12t+ 10

-5

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

v(m

/s)

Figure 2.5: De gemiddelde versnelling op het interval [1s, 4s] is gelijk aan ∆v∆t =

10−14−1 = 3m/s

2.

6

2.4 Versnelling

2.4.1 Gemiddelde versnelling

De gemiddelde versnelling op een tijdsinterval [tbegin, teind] kan je berekenenmet

agem =∆v

∆t=v(teind)− v(tbegin)

teind − tbeginIn het v(t) diagram is dit de richtingscoë�ciënt van de lijn door (tbegin,v(tbegin))en(teind,v(teind)), zie �guur 2.5. Bovenstaande formule kan je omschrijven als

∆v = agem ·∆t

2.4.2 Versnelling op een tijdstip

In de limiet ∆t → 0 wordt de gemiddelde versnelling de versnelling op een

tijdstip. De versnelling a(t) is dus de afgeleide van de snelheid v(t):

a(t) = v′(t)

Als de formule voor v(t) bekend is, kan je a(t) dus berekenen door te di�eren-tiëren. Voorbeeld: als v(t) = 6t4 − 5t2 − 1 dan is a(t) = 24t3 − 10t.

De versnelling kan positief of negatief zijn. Een positieve versnelling is eentoename van de snelheid, een negatieve versnelling is een afname van de snelheid.Een beweging heet versneld als v en a allebei positief of allebei negatief zijn.Een beweging heet vertraagd als de éen positief en de andere negatief is. Eenbeweging heet eenparig als de versnelling nul is. Een beweging heet eenparig

versneld als de versnelling constant is.Gra�sch kan je met behulp van de raaklijnmethode uit een v(t)-diagram de

snelheid op een tijdstip vinden, zie �guur 2.6. Als je dat voor elk tijdstip doet,krijg je het versnelling-tijddiagram, zie �guur 2.7.

Als de formule voor a(t) bekend is, én je kent de beginsnelheid v0, dankan je de snelheidsfunctie v(t) berekenen door te primitiveren. Voorbeeld: alsa(t) = 12t− 8t7 dan is v(t) = 6t2 − t8 + v0 .

Gra�sch kan je met behulp van de oppervlaktemethode uit een a(t)-diagramde snelheidsverandering vinden. Zie �guur??.

2.5 Conclusie

De versnelling is de tweede afgeleide van de plaats. Dit noteren we als

a(t) = x′′(t)

Als de formule voor x(t) bekend is, kan je a(t) dus berekenen door tweemaal tedi�erentiëren. Voorbeeld: als x(t) = 5t3 + 3t2 dan a(t) = 30t+ 6.

7

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

v(m

/s)

Figure 2.6: De versnelling op t = 3, 5s is gelijk aan de rc van de raaklijn.

Als de formule voor a(t) bekend is, én je kent de beginsnelheid v0 en de be-ginplaats x0, dan kan je de plaats x(t) berekenen door tweemaal te primitiveren.Voorbeeld: als a(t) = 6t dan v(t) = 3t2 + v0 en x(t) = t3 + v0t+ x0.

Samenvattend: als je van een lichaam de versnelling, de beginsnelheid en de

beginplaats kent, kan je de plaats in principe op elk tijdstip berekenen.

3 Dynamica: Kracht en beweging

Dynamica is het onderdeel van de natuurkunde dat kracht en beweging bestudeert.De relevante grootheden zijn, naast de kinematische grootheden van het vorigehofdstuk, kracht en massa.

3.1 Massa

Massa is hoeveelheid materie. De eenheid van massa is kilogram (kg).

3.2 Kracht

Kracht is de oorzaak van bewegings- of vormverandering. Als een lichaam vanvorm of snelheid verandert heeft er een kracht gewerkt op dat lichaam. Kracht iseen vectorgrootheid : het heeft een aangrijpingspunt, een grootte en een richting.Soms schrijven we ~F om het vectorkarakter te benadrukken, zoals in tekeningenwaar krachten als pijltjes worden weergegeven.

8

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

t(s)

a(m

/s^

2)

Figure 2.7: Het versnelling-tijd diagram a(t) = 6t− 12

Op een lichaam kunnen meerdere krachten werken. De resultante kracht

Fres krijg je door alle vectoren op te tellen ('kop-aan-staart' methode of paral-lellogrammethode).

Omgekeerd kan je elke kracht ~F ontbinden in twee loodrechte op elkaarstaande krachten ~Fx en ~Fy . Deze componenten zijn dan

Fx = F · cosα Fy = F · sinα

met α de hoek tussen ~F en ~Fx.

3.3 De wetten van Newton

De relatie tussen kracht en beweging is samengevat in de tweede wet van Newton

Fres = m · aDeze formule is de belangrijkste formule uit de klassieke of Newtoniaanse

mechanica, de natuurkunde voor 1900. Met deze formule kan je de versnelling(en dus de snelheid en dus de plaats) van een lichaam op elk tijdstip uitrekenenals de krachten bekend zijn.

Uit de formule zie je ook dat de eenheid Newton kan worden afgeleid iot defundamentele SI eenheden:

1N = 1kg ·ms−2

9

Een kracht van één Newton is dus de kracht die nodig is om een massa van 1kg te versnellen met 1 m/s2.

Uit de tweede wet van Newton kan je de eerste wet van Newton a�eiden: alsFres = 0 dan is a = 0 en dus v constant. In woorden: als er op een lichaamgeen resultante kracht werkt zal de snelheid van dat lichaam niet veranderen.

Er is ook de derde wet van Newton: als lichaam A op lichaam B een krachtuitoefent, dan oefent lichaam B op lichaam A een even grote, maar tegengesteldgerichte kracht uit.

3.4 Interacties

Krachten ontstaan door wisselwerking/interactie van een lichaammet zijn omgev-ing. Het is heel belangrijk dat je goed onderscheid maakt tussen de krachtendie op een lichaam werken, en de krachten die het lichaam op zijn omgeving

uitoefent. Vanwege de derde wet komen deze krachten altijd in paren!

3.4.1 duw- of trekkracht

Dit is de kracht verricht door mensen of dieren op een lichaam.

3.4.2 Zwaartekracht

De zwaartekracht is de aantrekkende kracht die de aarde op ons uitoefent. InNederland kan je de zwaartekracht berekenen met

Fz = 9, 8 ·m

De grootheid g = 9, 8m/s2 heet de valversnelling . Inderdaad, als Fres = Fz danma = mg dus a = 9, 8m/s2. Later meer over "valbeweging."

3.4.3 Wrijvingskracht

Wrijvingskracht is de kracht op een bewegend lichaam ten gevolge van contactmet de lucht (luchtwrijving) of een ondersteunend oppervlak (schuifwrijving, rol-wrijving). Wrijvingskracht is altijd tegengesteld gericht aan de bewegingsricht-ing. Er is geen algeme formule voor wrijving. Soms kan luchtwrijving beschrevenworden met Fw,lucht = k · v2.

3.4.4 Gewicht

Gewicht is de kracht die een lichaam uitoefent op een ophangpunt of een on-dersteunend oppervlak ten gevolge van de zwaartekracht. Voorbeeld: als ik opeen weegschaal sta voelt de weegschaal een kracht van 800 N (en wijst de wijzer"80 kg" aan). Nog een voorbeeld: het gewicht dat een hangend blok van 12 kgop een touw uitoefent is 120 N.

Gewicht wordt vaak onjuist verwisseld met massa, zoals in 'mijn gewichtis 80 kg'. Dit is onjuist omdat gewicht een kracht is en kilogram de eenheid

10

van massa. Massa en gewicht worden vaak verwisseld omdat in alle dagelijksesituaties (zoals hierboven) de waarde alleen maar een factor 10 (eigenlijk 9,8)verschilt. Zodra lichamen niet meer stilstaan vlakbij het aardoppervlak geldtdit verband tussen massa en gewicht vaak niet meer. Voorbeeld: op de maanben ik nog steeds 80 kg, maar is mijn gewicht ongeveer 120 N. In vrije val benik zelfs gewichtsloos!

3.4.5 Normaalkracht

Normaalkracht Fn is de kracht die een ondersteunend oppervlak verricht op eenlichaam. De richting is altijd loodrecht op dat oppervlak.

3.4.6 Veerkracht

De kracht die een ingedrukte of uitgerekte veer uitoefent op een lichaam

3.4.7 Spankracht

De kracht die een gespannen koord/touw uitoefent op een lichaam.

3.4.8 Gravitatiekracht

Gravitatiekracht is de kracht tussen twee massa's m1 en m2 op onderlinge afs-tand r . De formule is

Fg = G · m1 ·m2

r2

met G = 6 · 10−11Nm2/kg2 de gravitatieconstante. De hierbovengenoemdezwaartekracht is een speciaal geval van gravitatiekracht. Inderdaad, als éénvan de massa's de aarde maarde is en de onderlinge afstand (ongeveer) de straalvan de aarde raarde geldt Fz = Fg en dus

g =GMaarde

r2aarde

Door 'aarde' te vervangen door 'planeet' of 'ster' kan je de valversnelling opplaneten en sterren berekenen.

3.5 Kracht en rechtlijnige beweging

We zullen nu de tweede wet van Newton, Fres = m · a, gebruiken om metbehulp van primitiveren de plaats, snelheid en versnelling te vinden voor eenaantal eenvoudige voorbeelden. Uit Fres berekenen we a. Uit a berekenen wedoor primitiveren v en x.

11

3.5.1 Eenparige beweging

Een lichaam beweegt eenparig als Fres = 0. Hieruit volgt:

x(t) = v0t+ x0

v(t) = v0

a(t) = 0

met x0 de beginplaats en v0de snelheid. Het plaats-tijddiagram is een rechtelijn met richtingscoë�cient v0.

3.5.2 Eenparig versnelde beweging

Een lichaam met massa m beweegt eenparig versneld als Fres = constant 6= 0.Hieruit volgt door primitiveren:

x(t) =1

2a0t

2 + v0t+ x0

v(t) = a0t+ v0

a(t) = a0

met x0 de beginplaats en v0de beginsnelheid en a0 = Fres/m de versnelling. Hetsnelheid-tijddiagram is een rechte lijn met richtingscoë�cient a0. Het plaats-tijddiagram is een parabool. Als de beginplaats en beginsnelheid nul zijn, krijgje de formules uit het boek:

x =1

2at2

v = at

3.5.3 Vrije Val

Een speciaal geval van een eenparig versnelde beweging is de wrijvingloze of vrijeval van een lichaam onder invloed van de zwaartekracht. Er geldt Fres = Fz =mg dus a = Fres/m = g . De valversnelling is gemeten en heeft in Nederlandde waarde g = 9, 8m/s2. Hieruit volgt (we gebruiken nu y voor de plaats omdatde beweging verticaal is):

y(t) =1

2gt2 + v0t+ y0

v(t) = gt+ v0

12

a(t) = g

met y0 de beginplaats en v0de beginsnelheid in de horizontale richting. Als debeginplaats en beginsnelheid nul zijn, krijg je de formules uit het boek:

y =1

2gt2

v = gt

3.6 Kracht en kromlijnige beweging

Bij beweging in meerdere dimensies moeten we rekening houden met het vec-torkarakter van kracht, versnelling en snelheid. We beperken ons tot twee di-mensies. De tweede wet van Newton, ~Fres = m · ~a, wordt dan uitgeschreven incomponenten als:

Fres,x = m · ax Fres,y = m · ay

3.6.1 Schuine en horizontale worp

We passen dit nu toe op een lichaam dat vanaf beginplaats (x0y0) met begin-snelheid (vx,0, vy,0) beweegt onder invloed van de zwaartekracht. De kracht-componenten zijn

Fres,x = 0 Fres,y = m · g

met g = 9, 8m/s2. Dus de versnellingscomponten zijn

ax = 0 ay = g

De beweging in de horizontale (x−)richting is dus een eenparige beweging en debeweging in de verticale (y−)richting is een eenparig versnelde beweging:

x(t) = vx,0t+ x0 y(t) =1

2gt2 + vy,0t+ y0

vx(t) = vx,0 vy(t) = gt+ vy,0

a(t) = 0 ay(t) = g

Kiezen we nu beginplaats (0, 0) en beginsnelheid (v, 0), dan krijgen we de for-mules voor de horizontale worp:

x(t) = vt y(t) =1

2gt2

vx(t) = v vy(t) = gt

13

Kiezen we nu beginplaats (0, 0) en beginsnelheid (vx,0, vy,0), dan krijgen we deformules voor de schuine worp:

x(t) = vx,0t y(t) =1

2gt2 + vy,0t

vx(t) = vx,0 vy(t) = gt+ vy,0

Op elk tijdstip kunnen we de totale snelheid uitrekenen met de stelling vanPythagoras:

v =√v2x + v2

y

De hoek die de snelheidsvector maakt met de horizon kan je bereken met

tan(α) =vxvy

3.6.2 Eenparige cirkelbeweging

Als de resultante kracht wordt gegeven door

Fres =mv2

r

doorloopt het lichaam een cirkel met straal r met constante snelheid v. Dezekracht wordt middelpuntzoekende kracht Fmpz genoemd. De omlooptijd T is detijd die nodig is om de cirkel één keer te doorlopen. De frequentie f = 1

T is hetaantal omlopen per seconde. Er geldt:

v =2πr

T= 2πrf

Het is handig de afgelegde weg s(t) = vt van het lichaam aan te geven met dehoek

φ(t) =s(t)

r=vt

r

Deze hoek is niets meer dan het aantal stralen ('radii') r dat in de afgelegdeweg s past. De eenheid van φ noemen we daarom radialen. Het verband met deeenheid graden vinden we als volgt. Als het lichaam een hele cirkel, 360 graden,heeft afgelegd dan is s = 2πr en φ = 2πr/r = 2π. Er geldt dus

360◦ = 2πrad

ofwel

1◦ =π

180rad 1rad =

180

π

◦

De hoeksnelheid ω is het aantal radialen dat het lichaam per seconde a�egt. Dus

14

ω =2π

T= 2πf

De relaties met andere grootheden zijn

v = ωr

φ(t) = ωt

3.6.3 Hemelmechanica

Planeten bewegen onder invloed van de gravitatiekracht in cirkelbanen eenparigom de zon. Er geldt dus Fg = Fmpz ofwel

Gmplaneet ·mzon

r2=mplaneet · v2

r

waarbij r de afstand tussen de middelpunten van de planeet en de zon is. Doorinvulling van v = 2πr/T krijgen we de derde wet van Kepler:

T 2

r3=

4π2

G ·mzon

Omdat het rechterlid constant is voor alle planeten in het zonnestelsel, is hetlinkerlid dat ook. In plaats van cirkelbeweging om de zon kunnen we ook decirkelbeweging van satellieten en de maan om de aarde bestuderen. In de derdewet van Kepler moeten we dan natuurlijk mzonvervangen door maarde.

3.7 Modelleren

Stel we kennen van een lichaam:

1. de massa m

2. de beginplaats x0

3. de beginsnelheid v0

4. de krachten Fi

Dan kunnen we uitrekenen:

• de versnelling a = Fres/m met behulp van de tweede wet van Newton.

• de snelheid met behulp van integreren:

v(t) = v0 +

ˆ t

0

a(s)ds

15

• de plaats met behulp van integreren:

x(t) = x0 +

ˆ t

0

v(s)ds

Als de kracht eenvoudig is, bijvoorbeeld constant, dan zijn de integralen een-voudig te berekenen. Als de kracht niet eenvoudig is, bijvoorbeeld in realistischesituaties met wrijving, moeten we óf heel slim zijn (zodat we de integralen kun-nen doen) of gebruik maken van een computerprogramma zoals EXCEL. Ditlaatste noemen we modelleren. De truc is om de tijd t onder te verdelen intijdstintervalletjes met lengte∆t. Tijdens interval [ti, ti + ∆t] nemen we aan datde versnelling a(ti), de snelheid v(ti) en plaats x(ti) niet veranderen. Dit is eengoede benadering van de werkelijkheid als de tijdstap klein is. De integratiefor-mule voor de snelheid kunnen we dan benaderen door

v(ti+1) = v(ti) + ∆vi met ∆vi = a(ti)∆t

In woorden: de snelheid in het volgende tijdsinterval, i + 1, is gelijk aan desnelheid in tijdsinterval i plus de verandering van de snelheid in tijdsinterval i.Eenzelfde formule vinden we voor de plaats:

x(ti+1) = x(ti) + ∆xi met ∆xi = v(ti)∆t

Met EXCEL kan zo stapje voor stapje plaats en snelheid worden berekend.Tot slot nog een klein �loso�sch intermezzo: we kunnen dit in principe voor

elk systeem doen. Als punt 1-4 voor het systeem bekend zijn kunnen we met eencomputer die krachtig genoeg is de toekomst en het verleden tot onbegrensdeprecisie uitrekenen. Als we voor het systeem het heelal zelf kiezen, zo bedachtde Franse wiskundige/natuurkundige/�losoof Laplace, dan liggen toekomst enverleden dus vast. Deze �loso�sche stroming wordt determinisme genoemd.In de moderne natuurkunde, de kwantummechanica, gaat deze redenering nietmeer op omdat punt 2 en 3 niet samen kunnen gaan.

4 Arbeid en energie

Heel veel berekeningen in de natuurkunde worden sterk versimpeld door gebruikte maken van behoudswetten. Zulke wetten stellen dat bepaalde grootheden nietveranderen in de tijd. Een belangrijk voorbeeld is de wet van behoud van energie:

de totale energie van een gesloten systeem is constant.De ingrediënten van deze belangrijke wet zijn: arbeid, kinetische energie,

zwaarte-energie en warmte.

4.1 Arbeid

De arbeid die een kracht F verricht op een lichaam is per de�nitie:

W = F · s · cos(α)

16

waarbij s de afgelegde weg van het lichaam en α de hoek tussen de kracht en deverplaatsing. Deze formule is alleen geldig voor constante krachten. De eenheidvan arbeid is N ·m. Dit noemen we Joule J.

Met behulp van deze formule kunnen we formules opstellen voor de arbeidverricht door twee spe�cieke krachten:

4.1.1 Arbeid verricht door zwaartekracht

De arbeid verricht door de zwaartekracht Fz = mg op een lichaam is

Wz = m · g ·∆h

waarbij ∆h het hoogteverschil (verticale verplaatsing) van het lichaam is. Merkop dat de arbeid verricht door de zwaartekracht niet afhangt van de vorm vande weg die het lichaam doorlopen heeft.

4.1.2 Arbeid verricht door wrijvingskracht

De arbeid verricht door de wrijvingskracht Fw is:

Ww = −Fw · s

waarbij het minteken van cos(180◦) = −1 komt; de wrijvingskracht is altijdtegengesteld aan de verplaatsing.

4.2 Kinetische energie

De bewegings of kinetische energie van een lichaam is per de�nitie

Ek =1

2·m · v2

De relatie tussen arbeid en kinetische energie is als volgt. Beschouw een lichaammet massa m dat vanuit stilstand gedurende een tijd t een constante krachtF = ma ondervindt. De arbeid verricht op dat lichaam is dan W = F · s =ma · s = ma · 1

2at2 = 1

2m(at)2 = 12mv

2. De arbeid verricht op het lichaam is

dus gelijk aan de toename van zijn kinetische energie. In het algemeen geldt dewet van kinetische energie en arbeid :∑

W = ∆Ek

In woorden: de totale arbeid verricht op een lichaam is gelijk aan de veranderingvan de kinetische energie van dat lichaam. Als de kinetische energie afneemt,∆Ek < 0, dan wordt er negatieve arbeid,

∑W < 0 op het lichaam verricht.

Oftewel, het lichaam verricht positive arbeid op zijn omgeving. Met anderewoorden: als een lichaam (kinetische) energie heeft, kan het arbeid verrichten.Dit is de reden waarom mensen verslaafd zijn aan energie!

17

4.3 Zwaarte-energie

De potentiële energie van een lichaam op plaats x is gelijk aan de arbeid dienodig is om het lichaam zonder versnelling van een beginplaats x = 0 naarplaats x te brengen. We passen dit algeme concept nu toe op de zwaartekracht.Beschouw een lichaam met massa m op hoogte h = 0. Om het lichaam metconstante snelheid omhoog te tillen is een kracht Ftil = Fz nodig. De arbeidverricht door Ftil is danWtil = Ftil ·h = mg ·h. De potentiële of zwaarte-energievan een lichaam op hoogte h is dus:

Ez = m · g · h

Merk op dat op de beginplaats h = 0 de zwaarte-energie nul is. Het punth = 0 noemen we het nulpunt van de zwaarte-energie. Dit punt is vaak handiggekozen, zoals op de grond of een tafel.

4.4 Warmte

Warmte is energie die ontstaat door wrijving. De hoeveelheid warmte Q wordtgede�nieerd als minus de arbeid verricht door de wrijvingskracht:

Q = −Fw · s

4.5 Wet van behoud van energie

We hebben totnogtoe niks anders gedaan dan arbeid, kinetische energie, zwaarte-energie en warmte de�nieren. Alle formules kwamen uit de lucht vallen. Dede�nities blijken echter zeer zinvol! Zo hebben we al gezien dat ze de wet vankinetische energie en arbeid tot gevolg hebben:

W1 +W2 + ... =1

2mv2

eind −1

2mv2

begin

waar veind en vbegin de begin en eindsnelheid van het lichaam zijn. We beperkenons nu tot een lichaam waar alleen zwaartekracht en wrijving op werkt. Vul nuW1 = Wz = mg∆h = mg(hbegin−heind) enW2 = Ww = −Fws in bovenstaandeformule, verplaats wat termen van links naar rechts, en we krijgen:

1

2mv2

begin +mghbegin =1

2mv2

eind +mgheind + Fws

oftwel de wet van behoud van energie:

Ek,begin + Ez,begin = Ek,eind + Ez,eind +Q

Een aantal opmerkingen:

• de wet zegt dat de totale hoeveelheid energie aan het begin en het eindvan ieder proces hetzelfde is.

18

• met behulp van de wet kunnen voor zeer complexe bewegingen met gemakplaatsen en snelheden berekend worden.

• de uitkomsten van deze berekeningen hangen niet af van onze keuze voorhet nulpunt van de zwaarte-energie. Als we een ander nulpunt haddengekozen, wordt links en rechts van de energiebalans slechts dezelfde, con-stante, term toegevoegd.

• de wet stelt ook dat voor elk realistisch proces warmte ontstaat. Warmteis energie die het lichaam verliest en afgeeft aan zijn omgeving. In depraktijk is dit vervelend, omdat warmte moeilijk weer is om te zetten inandere energievormen. We spreken van warmteverlies.

Nog een klein intermezzo: eigenlijk is warmte ook een vorm van kinetische en-ergie, maar niet van het lichaam in kwestie, maar van de moleculen die dewrijving veroorzaken (die gaan namelijk sneller trillen). Het e�ect van wrijvingis dus dat de kinetische energie van één lichaam wordt omgezet in de kinetis-che energie van heel veel lichamen, de moleculen. Bij elk natuurverschijnselwordt energie dus verdeeld over meer en meer deeltjes, omdat bij elk verschi-jnsel warmte ontstaat. Dit principe heet de tweede wet van de thermodynamica.

De grootheid die de verdeling van energie over deeltjes meet noemen we en-

tropie. De tweede hoofdwet zegt dus dat bij elk proces de entropie toeneemt.Processen waarbij de entropie afneemt worden niet waargenomen. Zo heb jeheel vaak een stuiterende bal langzaam minder zien stuiten tot hij stil ligt (doorwrijving), maar nooit een stilliggende bal plotseling steeds sneller zien stuiteren(door ontrekken van energie aan de omringende moleculen).

4.6 Vermogen en rendement

Voor technische toepassingen zijn de begrippen vermogen en rendement belan-grijk. Het vermogen P dat een kracht levert is de arbeid W die de krachtverricht per tijdseenheid. In formule

P =W

t

De SI eenheid van vermogen is Joule per seconde. Dit noemen we Watt . Somsis het niet helemaal duidelijk welke krachten nou precies arbeid verrichten, zoalsbij een gloeilamp. In dat geval de�nieren we het vermogen als

P =E

t

waarbij E de energie is die het apparaat nodig heeft om te werken. Het vermogendat een constante kracht levert kunnen we schrijven als

P =Fs

t= Fv

19

Als op een lichaam arbeid wordt verricht, krijgt dat lichaam 'nuttige energie',kinetische energie, en ontstaat er 'nutteloze energie', warmte. Het nuttig ver-mogen is dat deel van het vermogen dat gebruikt wordt om nuttige energie temaken.

Pnuttig =Wnuttig

t

Het totaal geleverde vermogen noemen we ook wel het inkomend vermogen. Hetrendement is het percentage nuttig vermogen, dus

η =Pnuttig

Pin· 100%

5 Statica: Kracht en evenwicht

We hebben totnogtoe steeds aangenomen dat de lichamen puntlichamen zijn;massa geconcentreerd in een punt. Een puntlichaam is 'in evenwicht' als deresultante kracht nul is (de eerste wet van Newton). Dit hoofdstuk gaat over deevenwichtsvoorwaarden van realistische, niet-puntvormige lichamen.

5.1 Moment

Het moment is de 'draaiwerking' van een kracht. Het moment wordt bepaalddoor:

• het draaipunt P. Dit is een handig gekozen punt ergens in de ruimte.

• de grootte van de kracht F . De lijn door de krachtvector noemen we dewerklijn.

• de arm d. De afstand van het draaipunt P tot de werklijn van de kracht.

Het moment M ten opzichte van P is te berekenen met

M = ±F · d

waar de + gekozen wordt voor krachten die het lichaam linksom (tegen de klokin) om P willen draaien, en de - gekozen wordt voor krachten die het lichaamrechtsom willen draaien. De SI eenheid van moment is N ·m. Als er meerderekrachten op een lichaam werken, kunnen we het totale moment uitrekenen dooralle momenten op te tellen: Mtotaal = M + M2 + M3 + .... Dit schrijven webondig als

Mtotaal =∑

Mi

Als Mtotaal > 0 draait het lichaam linksom, als Mtotaal < 0 draait het lichaamrechtsom.

20

5.2 Zwaartepunt

Om het moment van de zwaartekracht uit te rekenen moet je het zwaartepuntvan een lichaam nemen als aangrijpingspunt van de zwaartekracht. Voor homo-gene lichamen is het zwaartepunt het "midden" van het lichaam.

Als je een lichaam precies onder het zwaartepunt ondersteund, draait hetniet omdat de arm van de zwaartekracht en dus het moment nul is! Dit geefteen praktische methode om het zwaartepunt van lichamen te vinden.

5.3 Algemene evenwichtsvoorwaarden

Een lichaam noemen we in evenwicht als geldt∑Mi = 0

∑~Fi = 0

De bovenste evenwichtsvoorwaarde wordt soms de hefboomwet genoemd.

21

Index

afgelegde weg, 3arbeid, 16arm, 20

behoudswetten, 16

dag, 3derde wet van Kepler, 15draaipunt, 20

eenparig versnelde beweging, 7eenparige beweging, 7evenwicht, 21

frequentie, 14

gemiddelde snelheid, 3gemiddelde versnelling, 7gewicht, 10gravitatieconstante, 11gravitatiekracht, 11

hefboomwet, 21hoeksnelheid, 14horizontale worp, 13

jaar, 3

kilogram, 8kinematica, 3kinetische energie, 17kracht, 8

massa, 8meter, 3middelpuntzoekende kracht, 14minuut, 3modelleren, 16moment, 20

Newton, 1e wet, 10Newton, 2e wet, 9Newton, 3e wet, 10normaalkracht, 11nulpunt van potentiële energie, 18

omlooptijd, 14oppervlaktemethode (snelheidsverander-

ing), 7oppervlaktemethode (verplaatsing), 5

plaats, 3plaats-tijddiagram, 3plaats-tijdfunctie, 3potentiële energie, 18

raaklijnmethode (snelheid), 5, 7radialen, 14resultante kracht, 9

schuine worp, 14seconde, 3snelheid op een tijdstip, 5snelheid-tijdfunctie, 5

tijd, 3tijdsduur, 3

uur, 3

valversnelling, 10vermogen, 19verplaatsing, 3versnelde beweging, 7versnelling op een tijdstip, 7vertraagde beweging, 7vrije val, 12

warmte, 18Watt, 19werklijn, 20wet van behoud van energie, 18wet van kinetische energie en arbeid,

17wrijvingskracht, 10

zwaartekracht, 10zwaartepunt, 21

22