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mécanique du solide indéformable cours d'algérie pdf
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MECANIQUERATIONNELLE
Cours&exercicesrsolus
Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,
Cintique et Dynamique des Solides
A. KADI
U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S
10,zz
O
A
L
L/2
R
21,xx
0y
0x
2z
C
CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES
TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)
SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)
UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique
Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
276
A.KADI
CHAPITRE VII
CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACTS
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Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
277
A.KADI
CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACT
1. Mouvement de deux solides en contact
Soient deux solides et lis aux repres et mobiles par rapport un
repre fixe . Les deux solides en mouvement sont assujettis un contact ponctuel tout
instant en un point fixe I appartenant au plan
)( 1S )( 2S 1R 2R
0R
)( tangent en ce point aux deux solides.
1I
1S
(2S
t In
2I
n
1
2n : la normale au plan )(
)(t )(n
Au point de contact des deux solides
nous pouvons distinguer :
- : point du solide en contact avec le solide linstant t ; 11 SI 1S 2S- : point du solide en contact avec le solide au mme instant t ; 22 SI 2S 1S- : la position commune de 0RI 11 SI et 22 SI au mme instant t ; Le point gomtrique I nappartient ni ni . Les points occupent
gomtriquement la mme position mais ils ont des rles cinmatiques diffrents.
1S 2S 21,, III
Lensemble des points constitue une courbe 0RI dcrite sur le plan ( ) Lensemble des points constitue une courbe 11 SI 1 dcrite sur le solide 1SLensemble des points constitue une courbe 22 SI 2 dcrite sur le solide 2SLa vitesse de glissement du solide du solide par rapport au solide appartient au plan 2S 1S
)( tangent au point de contact. Soit un point du solide et un point du solide 1M 1S 2M
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278
A.KADI
2S ; daprs ce que lon a vu prcdemment sur le champ des vitesses des points dun solide,
nous pouvons crire dans le repre fixe : += 11011010 )()( IMMVIV += 22022020 )()( IMMVIV
La vitesse de glissement du solide par rapport au solide est donne par la relation : 2S 1S
)()()( 10
20 IVIVIVg
= Comme les trois points occupent la mme position gomtrique nous pouvons crire :
+= 110122021020 )()()( IMIMMVMVIVg
21121
02
0 )()()( += MMMVMVIVg
Le vecteur rotation du solide par rapport au solide a pour expression : 2S 1S= 010212
Do : on retrouve ici la loi de Chasles. += 011202
Le vecteur rotation du solide par rapport au solide a deux composantes, lune
tangent et dans le plan , lautre normale au plan : :
12 2S 1S
)(t )(
n
+= nt02)( 12
= nnt : Vecteur rotation de roulement du solide par rapport au solide ; 2S 1S
= nnn )( 12 : Vecteur rotation de pivotement du solide par rapport au solide 2S 1S
En gnral, lorsque deux solides sont en contact ponctuel, il peut y avoir :
Glissement , roulement et pivotement de lun sur lautre.
La condition de roulement sans glissement est vrifie lorsque la vitesse de glissement est
nulle : == 0)()()( 1020 IVIVIVg )()( 1020 IVIV
=
Si le solide est fixe alors : 1S 0)()( 0)( 10
20
10
=== IVIVIVDans ce cas, quel que soit , avec en roulement sans glissement par rapport au
solide , nous pouvons crire : ;
2SM 2S
1S += MIIVMV 112100 )()(
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279
A.KADI
comme alors : = 0)( 10 IV
= MIMV 1120 )(
Si : on dit que le solide roule sans glisser sur le solide ; = 0)(IVg 2S 1S
Si : on dit que le solide ne pivote pas sur le solide ; = 0n 2S 1S
Si : on dit que le solide ne roule pas, il glisse sur le solide ; = 0n 2S 1S
1.1. Mouvement de deux solides en contact en plusieurs points
Dans le cas o deux solides sont en contact en plusieurs points, les considrations prcdentes
peuvent tre reprise en chaque point de contact.
Cas particuliers :
- Si deux solides et sont en contact en deux points A et B et si la vitesse de
glissement en ces deux points est nulle alors le vecteur rotation
est un vecteur directeur de la droite AB passant par les deux points :
2S 1S
== 0)()( 00 BVAV12
=+= 0)()( 1200 ABAVBV = 012 AB
AB//12- Si deux solides et sont en contact en plus de deux points et si la vitesse de
glissement est nulle en tous ces points, ils sont ncessairement ports par le mme axe
donc ils sont aligns.
1S 2S
1.2 Transmission par friction dun mouvement de rotation entre deux cylindres
Soient deux cylindres et de rayons respectifs et lis un bti fixe et ayant
des mouvement de rotation daxes respectifs et
1S 2S 1R 2R
),( 1zO ),( 2
zO
Leur vitesse de rotation respective est donne par : et = 10101 z
= 10202 z
Soit P un point de contact entre les deux solides. Les axes de rotation sont parallles : .
1z
La condition de roulement sans glissement au point P scrira : = 0)(0 PV
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280
1011
00 )()(
2022
00 )()(
A.KADI
Le point de contact P peut tre associ au solide et , par la cinmatique du solide nous
pouvons crire : V
1S 2S
1SP += POOVP
V 2SP += POOVP
or nous avons V et les points et alors : = 0)(0 P 1O 2O
= POPO 202101
1x01
02
1z
1z 1
R
2R 1O
2O
P
Dans la transmission de mouvement par friction, les deux cylindres ont des mouvements de
rotation de sens contraire si le contact se fait lextrieur et de mme sens si le contact se fait
lintrieur des cylindres.
Les points sont aligns. Si O alors O POO ,, 21 = 111 xRP
= 122 xRP
Do : = POPO 202101
= 1210211101 xRzxRz
2021
01 RR =
1
202
01
RR=
Si le contact se fait lintrieur (cylindre lintrieur du cylindre ) les deux cylindres
tourneront dans le mme sens :
2S 1S
Do : = POPO 202101
= 1210211101 xRzxRz
1R
2R 1O
2O
P
2021
01 RR =
1
202
01
RR=
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SP
A.KADI
2. Mouvement plan sur plan
2.1. Dfinition
Le mouvement dun solide (S) li un repre par rapport un repre fixe
est un mouvement plan sur plan si et seulement si, un plan ( du solide
reste en concidence avec un plan
),,,( 11111zyxOR
),,,( 00000zyxOR )
)( 0 li au repre . ),,,( 00000zyxOR
On tudie ainsi le mouvement relatif de deux plans, lun constituant le rfrentiel fixe. Les
vecteurs sont orthogonaux aux plans et 10 zz )( SP )( 0 respectivement en O et O . 1
1z
0z
0y
0x 1x
1y
0(
SP(I.
o 1o
Le vecteur rotation instantan du solide (S) li par rapport au repre fixe
est donn par :
),,,( 11111zyxOR
),,,( 00000zyxOR
= 001 zTous les points du solide se dplacent paralllement au plan ( )0 , leurs vecteurs vitesses sont aussi parallles ce plan, alors nous aurons : )(SP
+= 000 )()()( ytgxtfPV V 0 )( 0 0 =
zP
On remarque dans ce cas que lautomoment V du torseur cinmatique
, dcrivant le mouvement est nul. En effet nous avons :
0 )( 01 0 =
P
[ ] =
)(
0
01
PVC P
0)()( )( 00001
0 =
+=
zytgxtfPV , nous pouvons conclure que :
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282
A.KADI
- Si Cte= , la rsultante du torseur tant nul, alors le torseur est un couple et le mouvement est une translation rectiligne sur le plan
001 ==
)( 0 , laxe central du torseur reste indfini ;
- Si varie au cours du temps, alors , dans ce cas le torseur est un glisseur dont laxe central est laxe instantan de rotation orthogonal au plan (
=010 ) donc parallle .
0z
2.2. Paramtrage du solide
la position du solide est dtermine par :
a) La position du point dans le repre est donne par :
)(1 SO 0R
=+= 0
0
001 yx
R
yyxxOO
b) Lorientation du repre par rapport au repre fixe
dfinie par la vitesse de rotation : tel que
),,,( 11111zyxOR ),,,( 00000
zyxOR
= 001 z ==
),(),( 1010 yyxx
Le passage du repre vers le repre sexprime par les relations suivantes : 0R 1R
La matrice de passage de vers est donne par : 1R 0R
+= 001 sincos yxx
= 01 zz
+= 001 cossin yxy
=
1000cossin0sincos
01
RRP
Le mouvement plan sur plan est un mouvement trois degrs de libert : ),,( yx ; deux degrs de translation et un degr de rotation.
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283
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2.3. Vecteurs vitesse et acclration dun point quelconque du solide Si P est un point quelconque du solide (S) , il aura pour coordonnes :
Dans : , le point P est fixe dans le solide. 1R += 111 ybxaPO
Dans : 0R )cossin()sin(cos 0000111 +++=+= yxbyxaybxaPO
++= 001 )cossin()sincos( ybaxbaPO
+
=0
cossinsincos
0
1
baba
R
PO
Dans : 0R ++++=+= 000011 )cossin()sincos( ybaxbayyxxPOOOOP
+++
=0
cossinsincos
0
baybax
R
OP
La vitesse du point P par rapport se dduit de deux faons : 0R
a) Par la cinmatique du solide :
+
+
=+=
0cossinsincos
00
0
)()(
0
1011
00
baba
R
yx
POOVPV
0
)sincos(
)cossin(
)(
0
0
++
=
bay
bax
R
PV
b) Par drivation :
++
=
+
==
0)sincos(
)cossin(
0
sincos
cossin
)(
00
00
bay
bax
R
bay
bax
R
dtOPdPV
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A.KADI
Lacclration du point P par rapport se dduit facilement par drivation du vecteur
vitesse V , dans le mme repre.
0R
)(0 P
+++
==
0)cossin()sincos(
)sincos()cossin(
)()( 2
2
0
000
babay
babax
R
dtPVdPV
2.4. Centre instantan de rotation
Soient deux points A et B du solide (S) li un repre en mouvement par
rapport au repre fixe li au plan
),,,( 11111zyxOR
),,,( 00000zyxOR )( 0
0z
0y
0x
0(
o
BA
)(0 AV
)(0 BV
)(tI
)(S
)(t
Comme les vitesses V et V appartiennent au solide et au plan )(0 A
)(0 B )( 0 , nous pouvons crire daprs la loi de distribution des vitesses :
+= 0100 )()( ABAVBV
o est la vitesse de rotation du repre par rapport au repre . Le vecteur vitesse
de rotation instantan est normal au plan
01 1R 0R
)( 0 , ce qui entrane que laxe instantan de rotation est perpendiculaire ()(t )0 .
Ltude sur les torseurs a montr que quel que soit le point pris sur laxe central dun torseur,
le moment en ce point est parallle laxe central.
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285
0
A.KADI
Dans le cas dun torseur cinmatique, tous les points de laxe instantan de rotation (axe
central) ont une vitesse parallle cet axe. De plus dans le cas dun mouvement plan sur plan
tous les points du solide ont leurs vitesses parallles au plan ( ) . Par consquent, le point dintersection I entre le plan ( )0 et laxe instantan de rotation )(t , a une vitesse nulle. Ce point est appel centre instantan de rotation : (C.I.R.)
2.4.1. Dtermination analytique du centre instantan de rotation (C.I.R.)
Soit P un point quelconque du solide. La loi distribution des vitesses nous permet dcrire : =+= 01
01
00 )()( IPIPIVPV
La position du C.I.R sobtient en multipliant vectoriellement cette expression par : 01
=
= 2
01
01
01
01
0 )( IPIPPV
do : 201
01
0 )(
=
PVIP
- le vecteur
IP est perpendiculaire au vecteur vitesse V au point P ; )(0 P
- il a pour module : 01
0 )(
=
PVIP
2.4.2. Dtermination gomtrique du centre instantan de rotation (C.I.R) Si le point I est un centre instantan de rotation du solide (S) , nous pouvons le dterminer
gomtriquement en connaissant la vitesse de deux points A et B du solide.
I
)(0 BV
)(0 AV
A B
(S)
En effet nous avons : = IAAV 010 )( V
IAA )(0
)(0 = IBBV 010 )( V
IBB
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0
A.KADI
Le centre instantan de rotation (C.I.R.) se trouve lintersection des normales aux vecteurs
vitesses partir du point A et V partir du point B . Cette mthode est
souvent utilise pour vrifier les coordonnes du (C.I.R.) dtermin dj analytiquement.
)( 0 AV
)(0 B
Dans le cas particulier dun disque, il est trs facile de le vrifier :
)(0 BV
)(0 AV
I
B
A
Les vitesses aux points A et B sont tangentes aux disques.
En traant les deux perpendiculaires aux vitesses
Respectivement en A et B, leur point dintersection
est le point I centre du disque ayant une vitesse nulle.
3. Base et roulante
Le centre instantan de rotation (C.I.R.) est un point mobile par rapport et par rapport
au repre li au solide. Il dcrit deux courbes diffrentes dans les deux repres, on appelle
alors :
0R
1R
- Base du mouvement : du plans (PS) du solide sur le plan ( ) , la trajectoire du point I dans le repre ; 0R
- Roulante du mouvement : du plans (PS) du solide sur le plan )( 0 , la trajectoire du point I dans le repre ; 1R
Nous pouvons exprimer le vecteur vitesse du point I dans le repre , nous avons en effet : 0R
)()()( 10
1011
000
dtIOdOV
dtIOOOd
dtOIdIV
+=+==
En introduisant les coordonnes du point I dans le repre tel que : 1R
=+= 0
1
111 I
I
II yx
R
yyxxIO ;
Par la formule de la cinmatique du solide nous pouvons crire :
+=+= IOIVIOdt
IOddt
IOd1
01
11
01
11
10
)(
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A.KADI
on obtient finalement ++= IOOVIVIV 1011010 )()()(
Comme le point I est le centre instantan de rotation, son expression analytique est donne
par : )(201
100
11
=
OVIO )( 10101 OVIO
=
On obtient alors : )()( 10 IVIV
= Cette galit indique que la vitesse du centre instantan de rotation est la mme dans les deux
repres et . 0R 1R
Il en rsulte que la base et la roulante sont deux courbes tangentes en I chaque instant.
Lgalit des vitesses au point I dans les deux repres montre que la roulante roule sans
glisser sur la base.
3.1. Equation de la base
La position du point centre du repre li au solide par rapport au repre fixe est
dfinie par ses coordonnes dans le repre : ;
1O 1R 0R
0R
=+= 0
0
001 yx
R
yyxxOO
La position du point I dans le repre est donne par : 1R )(
201
100
11
=
OVIO qui scrit
aussi sous la forme : )(
2
10
01
=
OVzIO , or nous avons :
+==== 00100
10
10
10 )( y
ddyx
ddx
dOOd
dtd
dOOd
dtOOdOV
En remplaant lexpression de dans celle de nous obtenons : )( 10 OV
IO1
=
+== 00000
2
10
01
)(x
ddyy
ddxy
ddyx
ddxz
OVzIO
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A.KADI
Ainsi le vecteur position du point I dans le repre est exprim par la relation : 0R
)()( 0011 ++=+= y
ddxyx
ddyxIOOOOI
Cette quation dfinit la trajectoire (appele base) du centre instantan de rotation dans le
repre . 0R
=+=
=
=
0)(
)(
)(
0
0
0
tZ
yddxytY
xddyxtX
R
OI
I
I
I
3.2. Equation de la roulante
Pour obtenir la trajectoire (appele roulante) dans le repre li au solide, il suffit
dexprimer les vecteurs unitaires du repre en fonction de ceux de . En effet, nous
avons daprs la matrice de passage dtermine prcdemment :
1R
0R 1R
= 110 sincos xxx += 110 cossin xxy
=
+== 00000
2
10
01
)( xddyy
ddxy
ddyx
ddxzOVzIO
Alors la trajectoire dans le repre aura pour quations paramtriques : 1R
=+=
=
=
0)(
sincos)(
cossin)(
1
1
1
0
1
tZddyy
ddxtY
ddy
ddxtX
R
IO
I
I
I
En connaissant la matrice de passage de vers , il est trs facile de dduire la trajectoire
de la roulante partir de la base o inversement.
0R 1R