Mean-Variance Analysis

TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management

Mean-Variance Analysis


Context of risk-return portfolio optimization

risk

performance

i 1n xi 1, xi 0

),(min rxQx

E

Portfolio optimization

Market data

Statisticalprocessing

Implementation

Dynamics

New information

xT


Hovedpunkter

• Studere (performance) for porteføljer med hensyn på utbytte (forventet profitt) og risiko (varians)

• Formulere klassisk kvadratisk programmeringsmodell


3.2 Mean-Variance Optimering

• Markowitz 1952• Trade-off mellom porteføljens utbytte og risiko• Basis for mange risk management verktøy brukt

i dag• Mean-Variance analyse som

– positivt verktøy: Støtter hypotese om hvordan finansielle markeder eller inverstorer oppfører seg. Eksempel: CAPM

– normativt verktøy: Beslutningsstøtte, konstruksjon av effektive porteføljer


Effektiv portefølje

• Maximalt forventet utbytte gitt en øvre begrensning for risiko

eller

• Minimal risiko for et gitt forventet utbytte


3.2.1 Kanonisk formulering

• Bestem optimal proporsjonal allokering xi for aktiva nr. i hvor

slik at krav for effektiv portefølje er tilfredsstilt• Forventet utbytte for portefølje:

• Varians:

Matriseform:

1

1n

ii

x

1

( ; )n

i ii

R x r r x

2 2' '

1 '

( ) [( ( ; ) ( ; )) ]n n

ii i ii i

x R x r R x r x x

2 ( ) Tx x Qx


Maksimer forventet utbytte

Max

s.t.

• ω: øvre grense for risiko• Ikke-lineær restriksjon vanskelig å løse

2

1

( ; )

( )

1n

ii

R x r

x

x


Minimer varians

Min

s.t.

μ: nedre restriksjon for forventet utbytte

• Lineære restriksjoner

2

1

1( )

2

( ; )

1n

ii

x

R x r

x


Minimer varians (forts.)

• Analytisk løsning ved kvadratisk programmering:

Lagrange-multiplikator for restriksjon for forventet utbytte

Lagrange-multiplikator for normaliseringsskranken

• Variering av μ tilsvarer generering av ulike porteføljer

* 1 11

1

1x Q Q


Minimer varians (forts.)

• Efficient frontier:

• Porteføljen med lavest varians: Global minimum variance portfolio


Minimering av varians ved risikofritt aktiva

Min

s.t.

xf: beholdning av risikofritt aktiva

• Analytisk løsning:

2

1

1( )

2

( )n

i f i fi

x

r r x r

* 1

* *

1

( )

1

f

n

f ii

x Q r

x x


Minimering av varians ved risikofritt aktiva

• One-fund Theorem:

Når det finnes et risikofritt aktiva i mengden av mulige investeringsmuligheter, vil enhver effektiv portefølje bli representert ved en kombinasjon av det risikofrie aktiva og en enste portefølje T med risiko

• Portefølje T: Tangency portfolio

• Efficient frontier utvides med et lineært segment, stigningstall (Sharpe ratio) /T f Tr r


Efficient frontier

• Multi-objective nonlinear program: Målfunksjon er vektet kombinasjon av utbytte og risiko

Min

s.t.

• λ: Vekting av risiko. For hver verdi av λ finnes en optimal portefølje

• X: Mengde av lovlige løsninger

2

1

( ) (1 ) ( ; )

1n

ii

x R x r

x

x X


Generelle formuleringer

• Eksplisitte forutsetninger for generering av mean-variance efficient frontiers:– Investorer vurderer kun forventet utbytte og varians for

porteføljen– Investorer velger porteføljen med lavest mulig varians for et gitt

utbytte– Investeringen skjer over en periode, som tilsvarer

risikohorisonten til modellen

• Implisitte forutsetninger i den kanoniske modellen:– Investorer kan selge short– Investorenes beslutninger påvirker ikke markedspris, og

likviditetsrisiko fanges ikke opp– Investeringer i deler av aksjer mulig– Ingen transaksjonskostnader/skatter


Restriksjon på short sale

• Short salg ekskludert ved å kun tillate positive posisjoner for alle i.• Uten short salg: Mange variabler settes til null• Maximum grense for investert beløp i én aktiva for alle i

: vektor for øvre grenser

– Feil i estimering av utfall og kovarianser porteføljen trekkes mot overestimerte aktiva. Max restriksjon minsker denne feilen

– Markedspriser påvirkes i større grad ved trading av store posisjoner

0ix

0 iix x

x


Generelle restriksjoner

• Politiske/ regulatoriske krav begrenser investeringen i spesielle sett av aktiva. Eks:– Begrense kreditt- og valutarisiko– Begrense likviditetsrisiko i små markeder

• Beskrives vha lineære restriksjoner på formen

evt. eller =

for risikokategorier j = 1,...,K

= hvis aktiva i ikke tilhører risikokategori j

hvis aktiva i tilhører risikokategori j

1

n

ij i ji

a x b

ija 0

1


Now what?

- Serious experiments with portfolios of interest to institutional investor

- 8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia

- 8 J.P. Morgan bond indices for the same markets- time range: January 1, 1999 – May 15, 2002- totally 829 daily price data- A nice set to test risk management ideas: 11 September

2001, Argentinian crisis July 2001, …- more than 80000 mean-VaR optimization problems

solved

We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios


Turbulent times …J.P. Morgan Bond Indices (Developed Markets and EMBI+ for

Emergin Markets) Argentina JPEMAR Index USD

0.0000

50.0000

100.0000

150.0000

200.0000

250.00001 55 10

916

321

727

132

537

9

433

487

541

595

649

703

757

811

865


Turbulent times …Morgan Stanley Equity Indices* USA MSDUUS Index USD

0.0000

200.0000

400.0000

600.0000

800.0000

1000.0000

1200.0000

1400.0000

1600.0000

1 56 111

166

221

276

331

386

441

496

551

606

661

716

771

826

881


Risk-return tradeoff

risk

performance

out of sample image of efficient frontier

in-sample efficient frontier

Past contains no information about the future


In sample mean-variance frontier and its out of sample image

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

StDev (%)

retu

rn (

%)


Out of sample drift of in sample mean-variance frontier

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

StDev (%)

retu

rn (

%)


Straighforward rebalancing

24/04/00 02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

Date

Po

rtfo

lio v

alu

e

transaction costs 1%no transaction coststarget returnout of sample return


Partial rebalancing

24/04/00 02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

Date

Po

rtfo

lio v

alu

etransaction costs 1%no transaction coststarget returnout of sample return


Partial rebalancing: low risk portfolio

24/04/00 02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Date

Po

rtfo

lio v

alu

e



Partial rebalancing: medium risk portfolio

24/04/00 02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Date

Po

rtfo

lio v

alu

e



Partial rebalancing: high risk portfolio

24/04/00 02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Date

Po

rtfo

lio v

alu

e



Fraction of US bonds in high risk portfolio

02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020

10

20

30

40

50

60

70

Date

Fra

ctio

n o

f a

sse

t in

po

rtfo

lio (

%)


Fraction of Argentinian bonds in high risk portfolio

02/08/00 10/11/00 18/02/01 29/05/01 06/09/01 15/12/01 25/03/02 03/07/020

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Date

Fra

ctio

n of

ass

et in

por

tfol

io (

%)

Documents

Mean-Variance Analysis