51

maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

������������� ���������������������������� � �!#" � �$�!#" �&% '�)(*���'+, ��- � ��./�10'�$� % �

2/3�465$387

9;:=<?>@<BAC>D<FEHGC<BIJ>LKNMO:�PRQS3C>LTVUBAXWR:=<&UYAXWZK\[]K\A^THM_7/:`3�:�AaGC<YQH<?<&Tb4=<&<?UY<a47c3C>DWR:=de3^fFKgTH[?hjiHM@Kg3CTkKjTlWR:=<nm/oqp@r^s@t@uwv�oqxLt8y$zFoqx?{|oqp^}St8s�~�pZ�V�Vt8{�vw�?�Y�t8{�oqx?oqt8}w���H� �8������KjhghjK\A^U�2/387;A^T���A^U�Kgh�WO3�T��8��<?TH>Dd����a���8�=U�KjWR:��C5$<?3C>@�C<5#AaQw>LKg<?h`�=WO3C��<aM&�8��AXWD>LK\[L�_�F  ¡�>L[]d��^A^T�4�5$<?3�>D��<���A^hgU�3CT��c¢|5B�a�H�a�`WO3�T`<&dKNMYAChgMD3£KgTH[]hgiH4=<84¤��Qwi=WB:=<'MD:`3�iwh\4n>D<aA^hghgd¥Q�<'[]3�THM@Kg4=<&>D<84nAV¦w:=d=M@K\[]KNMOW&��`A^UF<8MY§£AC[a¨1iwhjh\A^��:nKNMFTw3CWYKgTH[]hgiH4=<84¤��ACh�WJ:=3Ciw��:n:=<�7cA�MF[?<?>DWOA^KgTwhjdnAUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h©¦H:`d�M@K\[]KNMZWX� ª�«_f/WJ:=<8ML<C��K¬WB713�iwh\4­�C<?T=<&>@AChjhgdVQ�<'A^��>D<&<84WJ:�AXWY���©2����_ACU�Kjh¬WO3CTl¢O®&¯�°��aPJ±���ª���7/:=3`ML<'4�KNMD[?38GC<?>LKg<8MYAC>D<'>D3�i=WZKjT=<?hgdiHML<84­KgT­ML<&GC<&>@ACh�Qw>@ACTH[L:=<8M#3^f/UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&M?��KNM�WR:=<�U�3=MZW�KghjhgiHMOWD>LKg3CiHM&��`WO3��C<8M/¢Z®X¯w®X²8PL®&²C°�³�ª¤ACT�4B�=U�KjWJ:6¢O®&¯`´^±8PL®&¯�¯C³`ª¤A^>@<;:`<&hg4BKgT�:wKj��:Y<8MOWZ<?<&UKgTCWZ<&>@T�AXWZKg3CT�A^hghgdC��Qwi=W$WR:=<aKg>#[?>D<aAXWZKgGC<�7c3C>D�'7;ACM$4�3CT=<Y3Ci=WDM@K\4=<FIJ>@<?h\A^T�4¤��`WO3��C<8Mµ713�>O�=KjT���AXW�¨cA^U�QH>@K\4���<�A^T�4F�=U�KjWJ:YAXW�«_¶=f�3�>@4¤�·�F  ¡�>L[]d�¢O®a¸^´��aP¸8²`ª�KNM1¦w>D3�QHAaQ�hgdFTw3CW17c<?hgh��=Tw387/T��=A^T�4�:=<�hjKgGC<84�U�3=MZWc3^f�:wKNMcAC4`iwh�WchjKjf�<KgT6¹H>@ACTH[]<��

IJT WR:HK\McA^>DWZK\[]hg<C�`71<�KjT�WZ<?T�4�WD3Y4�KNM@[]iHMLM�WR:=<�>D<&UYA^KgTwKgT���IJ>LKNMO:'UYAXWJ:�P<?UBAXWZKg[?KgACT¥KgTbWJ:wKNM�hjKNMOW&��5$<?3�>D��<��wA^hgUB3�T���7/:=3���7/KjWR:=3�i=W�UYA^�=KgT���A^T=dUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h=4�KNMD[?38GC<&>@Kg<8Mµ[?3CU�¦HAC>@AaQ�hg<�7/KjWJ:FWJ:=3`ML<c3^fHWR:=<cWJ:w>@<?<cUYAXWJ:�P<?UBAXWZKg[?KgACTHM·UF<&TCWZKg3CT=<84YAaQS38GC<��a<]¶�<?>DWZ<84YA��C>@<XAXW�KgT�ºHiw<&TH[]<;3CTYUYAXWJ:=<?UBPAXWZK\[?A^hS>@<aML<aA^>L[L:�A^T�4�WZ<aAC[L:HKjT���KgT6»©iw>@38¦H<_ACT�4 ¡�UY<?>LK\[?A�KgT�WJ:=<#ML<&[]3�T�4:�A^hjfH3^f�WJ:=<$®&²8WJ:F[?<?T�WZiw>@dC�µ9;:HK\M·KgT�ºHiw<&TH[]<c7;ACM·4=<?>LKjG�<84�fq>@3CU¼f�3CiH>µWZ<?¶=WOPQS3`3���M#WJ:=AXW���A^hgU�3CT­¦wi`Q�hjKNMD:`<84­KgT½��i�Q�hgKjTnQ�<]WZ7c<?<&T�®&¯^¾`¯6A^T�4e®&¯C±`´��»�A�[L:�3^fwWJ:=<8ML<�A^¦=¦�<XAC>D<84#KgTYAXWµhg<aACMOW�WJ:w>@<?<�<84�KjWZKg3CTHM&�^A^T�4�¦w:=3CWO3C��>@AC¦w:wK\[>@<?¦w>LKgTCWDM�3^f�WJ:=<�E�T=AChµ<84�KjWZKg3CTHM�3^f©<aAC[L:£QS3=3C���SUYAC4=<YKjT£WR:=<'®&²C±�°w  M/Q=dWJ:=<�¨1:=<?h\ML<aAF�©i`Q�hgK\MD:wKgT���¨13�U�¦HA^T=d�3^f�¿�<?7ÁÀ©3C>O���=UYACd�MZWZKghgh¤QH<�AaG8A^Kgh¬PAaQ�hg<C����A^hgU�3CT�  M/>@3^hg<�ACM_A�4wK\MLML<&UBKgT�AXWO3C>�A^T�4�¦�38¦wiHhgAC>@KgÂ?<&>_3Cf�[?3CT�WZ<?UBP¦S3C>LA^>@d'>@<8ML<XAC>@[L:6KgTVA^hg�C<]QH>@A�ACT=4£�C<?3�UF<?WD>@d':�ACM_QH<&<?T¥A�[L�=Tw387/hj<84���<84Q=dVU�3=MZW�:wKNMOWO3C>LK\A^THM�3^f;UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?M&��ACh�WJ:=3Ciw��:VWJ:=<?>@<�K\MFA�WZ<?T�4=<?TH[?d

´^±

Page 2: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ´`¸

f�3C>�WJ:=<�MD:=3C>DWZ<?>B:wKNMZWO3�>LKj<8MBWO3­>@<?¦H<aAXWBWR:=<6MDACUF<�QHACM@K\['A�MLML<aMLMDUF<&TCW�3^f:wKNM�KgU�¦�3�>OWOACTH[]<���A^T�4�hgK¬WRWJhg<_<?h\ML<C�·�b<_7c3Ciwh\4�hjKg�C<_:`<&>D<�WO3F3�i=WRhgKgT`<�MD3CUY<4=<]WOA^Kgh\M�3CfH:wKNM·713�>O�=KjT��/hgKjf�<C�C[?3CTH[?<?T�WD>LAXWZKjT���3CT�:wKNM·UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h`AC[�WZKgG`PK¬WZKg<8M?� ¢�IRW�KNMYKgU�¦�3�>OWOACTCWYWO3V¦S3CKgT�WB3�i=WFWJ:�AXW���AChjU�3CT½QH<&[&A^UY<'2/<&�CK¬i�M�©>@3^f�<8MLMO3�>�3^f��_KgG=KjTHK¬WZd AXW 9�>LKgTwKjWZd�¨13^hghg<?�C<£��i`Q�hjKgT ¢q9_¨c�#ª�KgT�®&¯�±C±A^T�4 <8MLML<?T�WZKgAChjhgdn[]<aACML<84­WO3bQH<�KgT`G�3^hgGC<84nKgT½>@<aML<aA^>L[L:nhg<?GC<&h1UBAXWJ:`<&UBPAXWZKg[&MBWR:=<&>D<aA8fNWZ<&>&� ª �b<�7/Kjhgh_4=<8M@[]>LKjQ�<�WR:=<�[]3�TCWZ<&TCW@M�3^f$WR:=3=ML<'QS3=3C��M&�KjT�4�K\[?AXWZKgT��'TH38GC<?h·f�<aAXWZiw>@<aM$7/:wK\[L:­A^¦=¦H<aA^hg<84�WO36:wKNM#>@<XA�4=<?>LM?��ACT=4b4�KNMOP[]iHMLM/WJ:=<aKj>$MO:=3�>OWO[?3CU�KjT��`M?��ML<?<?T�fq>@3CU A�h\AXWZ<?>_¦�3�KjT�W�3Cf©G`Kg<?7��/�b<�7/KghjhA^h\MO3�¦w>@38G=Kg4=<�[]3�TCWZ<&U�¦�3�>@AC>Dd�<&G`K\4=<?T�[]<$WO3�KghjhgiHMOWD>LAXWZ<�WJ:=<�<]¶=WZ<&TCW�3CfµWJ:=<KjT�º�iw<?TH[?<�<]¶�<?>L[]KNML<84'Q`d���A^hgU�3CT�  McWZ<]¶=WDQS3=3C��M&�

���F� �!#"%$'&)(�*+!-,#.0/1�&32546��7�/8/679�;:�")7�,-&<,#:>= % $?!#!-/8@�/6-9A�BC!#,-&9;:`<&>D<�AC>D<�ML<&GC<&>@ACh©MO3�iw>@[?<8M#�CKgG`KgT��£4=<]WOACKjh\M�3Cf/��AChjU�3�T�  M�hjKjf�<C�V«�T=<�KNMA^T½3�QwKjWZiHA^>@d¥Q=dn2/3�QH<?>DW��`WOA^7c<?hghED;AChjh��_�j®]�R��D;A^hgh;:�AC4nQ�<?<?TeA£¦wiH¦wKjh3^f���A^hgU�3CT�  M�AXW�9_¨c� KjT ®X¯��^¯^PJ�C²w�B��KNM�3CQHK¬WZiHAC>DdVK\M#¦�<?>@:�A^¦�M�A�hgK¬WRWJhg<WO3=3�A�4`iwhgAXWD3C>@dC�=A^h�WJ:=3CiH�C: KjW�[]3�TCWOACKjTHM;i�ML<]f�iwh¤KgT�f�3C>@UYAXWZKg3CT��CD;A^hgh¤7;ACM;A¦�38¦wiHhgAC>·hg<&[]WZiw>@<?>©A^T�4F7/>@KjWZ<?>�3�TBA�MZW@>D3�Tw3CUYdC�^A�Mµ7c<?hghwACM�A$¦w>@3^f�<8MLM@Kj3�T=AChACMOWD>@3CTw3�UF<?>X��ACT�46:`<FWZ<?T�4=<84�WO3 Q�<F<&TCWJ:`iHM@KgA�MZWZK\[�KgT£:wKNM_KgT�WZ<?>@<aMOWDM$A^T�438¦wKjTHKj3�THM?�µ¡�Tw3CWR:=<&>�3CQHK¬WZiHAC>Dd��XM@Kg�CT=<84F¨��&���&���j�a7;ACM¤7/>LKjWRWZ<?T�Q=d�¨1:=AC>Dhg<8M��A�MO¦�<?>1��3^hgdC�S� ´C±8�R�·��3^hgdY7;ACM©AChgMD3FACT�ACMOWD>@3CTw3�UF<?>X�^Qwi=Wc:=<_4�K\4�3C>LKg�CKgT=ACh>D<8ML<aA^>L[L:�KjTbA^hg�C<]Qw>LAw�S<8MO¦�<&[?KgAChjhgdGF`iHAXWZ<?>LTwKg3CTHM$A^T�4¥¨1hgK�HS3�>@4¥A^hg�C<]Qw>LACM&�9;:`<&>D<BKNM#A^Tw3CWR:=<&>�i�THM@Kg�CT=<84£3�QwK¬WZi�A^>@d�KgT�IYt8{KJ�sD���©�¬®&¾^�R��¦H<?>@:�A^¦SM$AChgMD3Q`d �C3^hgdC�1MDKgTH[?<�KjW�[]3�TCWOACKjTHM�4=<?WOA^KghgMB>LAXWR:=<&>BM@KgUBKgh\A^>BWO3bWJ:`3=ML< KgT)� ´C±8�R�9;:`<�zFoqx]{�oqp8}�t8s�~npZ�LIFt8{�oqp8}�t8y�m�oqpDrCsDt@uHv=~l¢|��¿MD/ªF:�A�MFA^TeA^>DWZKg[?hj< 3CT��A^hgU�3CT�Q=d���3C:HT£����Dc<&>@T�AC>@4¤�·� ¾C���S7/:=3�7;ACM;WJ:=<?TGDcKNMO:=38¦63^fc«$MLMD3C>@dA^T�4�h\AXWZ<?>�Q�<&[&A^UF<1¡�>L[L:`QHK\MD:=38¦#3^fH��i�Q�hgKjT��·¡_h�WJ:=3Ciw��:ND1<&>LT=AC>@4�MOWZiH4�Kg<84UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?M¤AXW·9_¨c�F�XA^T�4$:wKNM�A^>DWZK\[]hg<�MD:=387�M�A^¦=¦w>@<&[?KgAXWZKg3CT$A^T�4#i�T�4=<?>DPMZWOACT=4wKjT���3Cf¤��AChjU�3�T�  M©UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?ACh=713�>O���^:wKNM©A�[?[]3�i�TCWc[]3CT�[]<?T�WD>LAXWZ<8M3CT½��AChjU�3CT�  M�WR:=<&3^hj3��CK\[?ACh©A^T�4n[]hg<?>LK\[?A^h�713�>O���µ7/:HKg[L:n7c<�7/Kghjh1hgAC>D��<?hgdKj��Tw3C>@<�:=<?>@<C�/�b<�f�3Ci�T�46WJ:=<FA^>DWZK\[]hg<$3�TV��A^hgU�3CT�Q=d6¡����H�S§£[X¨13�TwT=<?hghKjTe� ³H®]�·4wK\M@A^¦=¦S3CKgTCWZKgT��H�Sf�3�>�KjW$ML<&<?UF<846WD3 QH<Bh\A^>@�C<?hgd'A ¦HA^>LA^¦H:w>@A�ML<�3^f¦HA^>DWDM/3Cf���3^hgd�  M;3�QwK¬WZi�A^>@dC��¡�M_A��©>@38GC3=MOWc3Cf�9_¨c� 7cA�M;7/>LK¬WZKgT���AaQ�3�i=W3CT=<Y3Cf1:wKNM$¦w>@<84=<&[]<8MLMD3C>LM�A�M$��>D38G�3`MOW&��A'�C3=3�4£38¦=¦�3�>OWZi�THK¬WZd�WO3��CKgGC<�AUB3�>D<�4=<?WOA^Kghj<84�ACMLML<8M@MDUF<&TCW;3^f���A^hgU�3CT�  M;AC[L:wKg<?G�<?UY<?T�WDM/A^T�4�KgT�ºHiH<?TH[?<WO3£A6713�>Dh\4�7/K\4=<BAXiH4wKj<&TH[]<�7;ACM#U�KNMLML<a4�� 9;:=<�:wKNMZWO3�>Dd¥3^f/9_¨c�F�1� ³`´a�R�:=A�M�ML<?G�<?>LA^h�>@<]f�<?>@<?T�[]<8M;WO3 ��AChjU�3�T6ACT�4'��KjG�<8M;KjTHMOWOA^T�[]<8M/3^f�:wKNM�QHK¬WZKgT��

Page 3: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

´^¯ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

7/KjW&�HACT�KgT�WZ<?>@<aMOWZKgT���ACMD¦H<&[]W/3^f©��A^hgU�3CT�  M;¦H<&>@MD3CT�A^hgKjWZdC�©¡�T6<aA^>@hjKg<?>/:HK\MOPWO3�>Dd�3^f�9_¨c�Y�`WJ:=AXWc3^f·¨13�THMZWOACTCWZK\AF§VA8¶�71<&hjh���� ³�³8�R�`AChgMD3F��KjG�<aM�<]¶=WD>LAC[]WDMfq>@3CU 3^WJ:=<?>BA^¦=¦w>@<&[?KgAXWO3�>Dd¥A^>DWZKg[?hj<8M�7/>LKjW�WZ<&T½AXW�WJ:=<�WZKgUF<�3Cf���A^hgU�3CT�  M4=<aAXWR:��;¢��=KgTH[]<#7/>LK¬WZKgT��BWJ:wKNM;¦HA^¦�<?>X��3Ciw>/AXWRWZ<?T�WZKj3�T':�A�M1Q�<?<&T�4�>LA^7/T'WO3A^TnAC>OWZK\[]hg<�Q`d­9#���Y�·�=¦�<XAC>DUBA^T��c� �`¸X�R�µQHi=WF71<�:�AaG�<BQ�<?<&Tni�T=AaQ�hg<�WO3UYAC�C<#iHML<#3^f·WJ:=<$KgT�f�3�>DUBAXWZKj3�T'[]3�TCWOACKjT=<84'WJ:`<&>D<aKgT�� ª

9;:=<?>@<�A^>@<BWZ713�[?3CU�¦H<?WZKjT���QwKg>DWR:H¦�hgA�[]<8M#f�3C>F�wA^hgUB3�T��B¨13�>O�VACT=4��i�Q�hgKjT��e��:�AXW�KNM�[]<&>OWOACKjT K\MBWJ:�AXW�:`<67;ACMBQS3C>LT 3�Te´��¥�=<&¦�WZ<?U�Q�<?>X�®&¯H®&²H�·¡�Mcf|A^>�A�M;71<#:�AaGC<$QH<&<?T6AaQ�hj<$WO3�4�KNM@[]38GC<&>&��ACT`d�AC>OWZK\[]hg<$7/>@KjWRWZ<?Tiw¦½WO3½®X²C°��'WJ:�AXWY��KjG�<8M�KgT�f�3C>@UYAXWZKg3CTn3�T ��A^hgU�3CT�  MYQwKj>DWJ:w¦�h\AC[]<'MZWOAXWZ<8MWJ:�AXW�:=<�7;ACMBQS3C>LT KjT���i�Q�hgKjT��Á9;:�iHM&�1f�3C>�<]¶wACUB¦�hg<C�/5B��9#�1�=WO3C��<aM&�7/>LK¬WZKgT�� 3�Tb��AChjU�3�T£KjT��D9;:=<F2/<&G=Kj<&7!3^f�WJ:=<�¨1:`iw>L[L:`<8M� �f�3C>B®X� �Ci�T=<®&¯�²�´YMZWOAXWZ<8M����������������� �!��"$#%���&��'(��)+*-,/.0'1)+2���3%�546#7��'(�98�:0:�:0�<;!*-�=4�>=*?#%���@�A'(�?�546#7��'(�98*-,!.�����,!��3B�DC/���FE 3G����'(�(2A����H .0'1��.0�(,!�I*J'(.&*�*7��"<�?��H7,K'1)L"<�?���FE ���A)+*J'�"<��>�,��3M�=47��"0863N���O*-,P'�"!�D.0��4J"�'(�Q��3M)+*-,I�/,0�(�1R+E-���S�I�UTV����3W,�"�"L���YXKH-�O���&HZ�5���OH-,0�98)+*7,�.��&'()['(.=8\:0:�:¢q»14�7;A^>L4��_387;4=<?T£¢O®&¯^¾`³8PL®&²H®&³�ª�7;ACM���>D3Cf�<8M@MD3C>�3Cf�»©T���hjKNMD:^]�KjWZ<?>LAXWZiw>D<AXW 9_¨c� fq>@3CU ®&¯�±`¸6i�T�WZKgh_:wKNM�4=<aAXWJ:��Á��A^hgU�3CTe7cA�MBEH>@MOW []3�iHM@KjTe3^f��387c4=<&T�  M;U�3CWR:=<&>&� ª

9;:=<63CQwKjWZiHAC>Ddn3Cf���AChjU�3�T KgT`_�vH�a_�oN�����B3^f�´^³b��ACT�iHAC>Dd ®X²C°^¾7;ACM/7/>LKjW�WZ<&T�Q=d9Dc<?>LT�A^>L4¤��Qwi=W_KjW$4�3`<8M/Tw3^W�UF<?T�WZKg3CT¥��AChjU�3�T�  M�QwKj>DWJ:�P¦�h\AC[]<�� 9;:=<£h\AXWZ<?> 3�QwKjWZiHA^>@dC�/A^h\MD3 Q=d Dc<?>LT�A^>L4¤�/KgT WJ:`<cbcsDpXxL�@�0d^oN}`r^�pZ��{�vw��m�s�oN{|o\�Dvfe�xLt7d��]�B~Ff�3�>�®&²�°^¾6MZWOAXWZ<8M�WJ:=AXWF��AChjU�3�T¥7;ACM#QS3C>LTbKjT��i�Q�hgKjT��wQwi=W Dc<?>LT�A^>L4¤  Mc�$¿�DlAC>OWZK\[]hg<C�`¦wi`Q�hjKNMD:=<a4'KgT¥®X²w®X´w�`MOWOAXWZ<8M1WR:�AXW:=<�7cA�M;Q�3�>LT�KgT¥¨13C>D��� D1<&>LT=AC>@4�[]3�>D>@<8MO¦S3CT�4=<84'7/K¬WJ:£��A^hgU�3CT�  M;>@<?h\AXWOPKgGC<8M1ACT�4�fq>LKj<&T�4wM�7/:=<&T []3�UB¦HKjhgKjT��Y:wKNM1�$¿�D�AC>OWZK\[]hg<�A^T�4�:=<�UYA^d�:�AaGC<f�3Ci�T�4­T=<?7�KgT�f�3C>@UYAXWZKg3CT­3CT­WJ:=<�QwKg>OWJ:w¦�h\AC[?<C�6¿�3�T`<?WJ:`<&hj<8MLM&��WJ:=<�KNM@MDiw<>@<?UYACKjT�M©¦H<&>D¦�hg<]¶�KgT��H��f�3C>17/:wKjhg<_U�3=MZWc>D<X[]<&TCW;A^>DWZKg[?hj<8M�3�T'��A^hgU�3CT�:�AaGC<�CKgGC<&T½¨13C>O�¥ACM�:wKNM�QHKj>DWJ:w¦�hgA�[]<���WJ:=<�MZWOACT�4�A^>L4¥MD3Ciw>L[]<�3CfcKgT�f�3C>@UYAXWZKg3CT3CT��C>LAC4`iHAXWZ<8M13^f�9_¨c�F��� ¯8�R���CKgGC<8M/��i�Q�hgKjT6A^T�4 WJ:`<�[?iw>D>@<?T�W�«�>@4wT=ACTH[]<�=iw>@GC<&d�3^f�IJ>@<?h\A^T�4'MOWD>@<?<?W��CiwK\4=<$WO3���i�Q�hgKjT��HKgT�KjWDM�ML<X[�WZKg3CT�3CT�f|ACUB3�iHMM@[]Kg<?T�WZK¬E�[F¦H<&>@MD3CT�A^��<8M_7/:=3 :�AaG�<�hjKgGC<84�KgT¥��i`Q�hjKgT��¤4�3`<aM�WJ:=<YM@A^UY<C�_IRf¨13C>D�¥KNM�WR:=< [?3C>@>D<X[�WFACTHMO7c<?>X�©��A^hgU�3CTnUBAC4=<�Tw3¥AXW�WZ<&U�¦�WFWO3¥[]3C>@>@<&[�W<?>@>@3CT=<?3�iHMYAC>OWZK\[]hg<8MF¦Hi�Q�hgKNMO:=<84½KgTe:wKNM�hjKjf�<]WZKgUF<��cACT=4½¦�3=MLM@KjQ�hgdn:=<64wKg4Tw3CW��`TH387�WJ:`<�ACTHMD71<&>c:HKjU�ML<?hjfZ�

��AChjU�3�T£UYAXW@>@K\[]iHhgAXWZ<84�AXW$9_¨c��KgT ®&¯�³C³�ACT�46�C>LAC4`iHAXWZ<84�ACM�EH>@MOW

Page 4: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ´C²

�=<?TwKg3C>�§£3=4=<&>@AXWD3C>#KjTn§£AXWJ:=<?UBAXWZKg[&M#A^T�4­�©:=d�MDK\[?M$KgT ®&¯C³�¯w��A8:=<aAC4¥3^f��KjhghjK\A^U2�3CQH<&>OW@M1ACT=4���KjhghjK\A^U DcKgT�4�3CT Dchg3`3�4¤��9;:=<�4=<&�C>@<?<�<?¶wA^U�KjTwPAXWZKj3�THM�7c<?>@<�:=<?h\4YKgT�«$[]WO3CQ�<?>X��AXW�WJ:=<�QH<&�CKgTwTwKgT���3^f�§�K\[L:�A^<?hgUYA�M·WZ<?>@U6�A^T�46WJ:�i�M���AChjU�3CT�7;ACM��ZiHMOW�TwKgT=<]WZ<?<&T£dC<aA^>LM/3^h\467/:=<?T£:=<���>@A�4`iHAXWZ<84¤�¡_M·>D<aAC4=<&>@M�UYACd$TH3^WµQ�<�f�A^U�KjhgK\A^>�7/KjWJ:�WJ:=<1MOWZd=hj<13^fwi�TwKgGC<&>@M@KjWZd$<?¶wA^U�KjTwPAXWZKj3�THM�KgT UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[?M�KjT WR:=<�TwKjT=<?WZ<?<?T�WJ:'[?<?T�WZiw>Dd��=71<�¦w>D<8ML<&TCW;QH<&hj387MO3�UF<�3^f1WR:=< F`iw<8MZWZKg3CT�M_WJ:�AXW�71<&>D<�¦S3`ML<84VKjT ®&¯�³C¯H�Y9;:=<8ML<BAC>D<YWOA^��<?Tfq>D3�U �¬®a�a�R�b�=Kj¶n¦HA^¦�<?>LMB3^f/WZ<?T F�iH<aMOWZKg3CTHMY<XA�[L: 7c<?>@< ML<]WB38GC<?>FWJ:w>D<&<4�A^d�M?��7/KjWJ:63CT=<�¦HA^¦�<?>/KgT�WR:=<�U�3C>LTwKgT���A^T�4'3CT=<#KjT6WJ:=<#<?GC<&TwKgT��H�©9;:=<<]¶wA^U�KgT`<&>@M17c<?>@<_§�>;§£A^hg<]WX�=§£>;��A�4�hg<XKg>X�`ACT=4 §�>�]�i�Q=d��·9;:=<?>@<_7;ACM1AMZW@>D3�T���QwK\ACM¤WD387cAC>@4wM�UF<&[L:�ACTwKg[&M¤KgT�U�3`MOWµ3Cf�WR:=< F`iw<8MOWZKj3�THM�¦S3=ML<a4��87/K¬WJ:[?A^h\[]iHhjiHM�AChgMD3_¦w>@3CU�KgT=<?T�W&��9;:`<1f�3CiH>OWJ:F¦�A^¦H<&>&�^ML<?W·Q=d�§�>©��A�4�hg<XKg>X�^[]3CTwPWOA^KgT`<84BML<?G�<?>LA^h�F`iw<8MZWZKg3CTHM·3�TFWJ:=<;�C<?3�UF<?WD>@d�3^f�hgKgT`<8M�ACT=4YMOiH>Of|A�[]<8M&�CA^T�4WR:HK\M�¦HA^¦�<?>�UYACd�71<&hjh�:�AaG�<BAC¦`¦�<XAChj<84VWO3£��A^hgU�3CT����CKgGC<?T¥:wKNM�KgTCWZ<&>D<8MOWKjT�A^T�AChjd`WZK\[_��<?3CUY<]W@>Dd��

TV��� ,����� ���+3�)[�!�P�@'(>�*-)K�('(�7,S"<# ,!.��=�J"F)F���6)+�(2� ,���J,0�7H�'(.04J���S�V)L�5,S��.&*?��)[*-,��K�0)K��>='���,0��%��'(�-)�8J���7HU�����=,5'(� >='���,�� �������7,S"087)[*-,S'1���������-,S"I,0����,0�(��� ,D��.��=�-,=�� ��� '(�7HQ)+*7,D�(,0�7>�)+* ����HQ,��64 �0)F'(�=��"P��3V)[*-,��&'(>=*6)P�('��-,D�I*J'(.&* '�"Y)+*-,D"L*7���L)F,S"F)H7' "F)F����.0, # ,�)[�/,0,0�U)[�!��>='���,0� �&'(>=*6)Y�('(�7,S"I'(� "�� ��.0,=�� ���+3V)+*���,�, H�'����A,�)F,���"Y��3K��� ,0�(�('��J"L�='�H .047)��0)P�&'(>=*6)����7>=�(,S"08 )+*7,D"L47� ��3V)+*-,"�64J����,S"I��3V)+*7,S'1�O��,0.0'��7���6.����("�'�"I.0�=��"F)L���-)��� ���c*7��)Y'�"��Q,04J"L��'(,���� "Y)+*-,0����,0� 8�����HU*-�S� '�"P'1)��7�����=,�H��� � � '(�7H )[*-, >=,0�-,��&���$,!�-4J�0)F'(�=� ��3!"L47�L3G��.�,�"D��3/��,!�=���(4-)F'(�=� ���=47��H^���-2 ��"7' "!#���7H H-,�H64-.0,�)+*-,$� �S�L)F'����\H�'&%B,���,0�6)[' ���M,!�-4J�0)F'(�=�9�' �(�+3I)[*-,Z��� ,)" ��3P�^.��=�-,��I*J'(.@* )F�=4-.@*-,S"A�^"L47�L3G��.�, ��3I)+*-,�"&,�.0�=�7H ���&H-,��H-,S"L.��&'(# , �?"L4��L3G��.0,D��3V)+*-,5"����A,D���&H-,���87)[*-,$�7�����-,D��3<.0���6)L��.@)Y�I'(�(�\,��*�=,0�(���J,�A"L4��L3G��.0, ��3V)+*7,�"&,�.0�=�7H ���&H7,�����!+ �,� '(�7H )[*-,�,!�-4J�0)F'(�=� ��3!)+*-,�"L4��L3��.0,�3W�����A,�H #62 �@'(>�*-) �('(�-,S".-F�='(��'��7> )+*-,�%��'(�-)F"$��3B'(�-)[,���"�,0.�)['����Z��3%)[�/�5.047���,S"$��39H���46#��(,O.047��=�0)F47��,!�?��H7,O#62A�/�7�����-,�I*-��"�, H�'1��,0.@)F'(�=� '�"Y>='���,0�98 ����HQH7,�H64-.0,P)+*-,$� �S�L)F'����\H�'&%B,���,0�6)[' ���M,!�-4J�0)F'(�=�9���A^hgU�3CT£KgTH[]hgiH4=<84£§6<&iHMOTHKj<&>&  M�WJ:=<?3�>D<&U KgTV:wKNM_WZ<]¶=WDQS3=3C�­� 5#9/�_�R�SQHi=W:`<�U�KNMLMO¦�<?hghj<84'WJ:=<$T�ACUF<�ACM/§6<&i�TwKj<&>&�

��A^hgU�3CT�M@AXW©WJ:=<_¹w<&hjhg387�MO:HKj¦�»©¶�ACU�KjT�AXWZKg3CTBKjT£®X¯^¾`°$ACT�4�7cA�M�<?hg<&[]PWZ<a4nA6¹H<?hghj387�3^fcWJ:`<'¨13Chjhg<?��<BKgT ®&¯C¾H®C���_<�7cA�M#3C>L4�A^KgT=<a4b4=<aAC[]3�TVKgT®&¯^¾�¾$ACT�4F¦w>LKg<8MZW©KgTFWJ:=<_¨1:�iH>@[L:B3^fSIJ>D<&hgACT=4YKgT'®X¯^¾`�w�·«�T�:wKNM�QH<X[]3CU�KgT��A�¹H<?hghj387����wA^hgUB3�T¥>@<&[?<aKjG�<a4¥A6[]3^hghj<&�C<YWZi=WO3C>LMD:wKj¦��¤7/:wKg[L:b:=<Y>@<]WOACKjT=<84i�TCWZKgh1®X¯C±�±w�1¹H>D3�U ®X¯^¾=����:=<FA^h\MD3�ML<?>@GC<846ACM_A�4wKjG=KgTwK¬WZd�hg<&[�WZiH>D<&>&�/9;:=<

Page 5: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

³C° ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

4`i=WZKj<8Mc3^f·A�WZi=WO3�>1:�A�4 [L:�A^T���<a4�f�3^hjhg387/KgT���WJ:=<_>@<]f�3C>@U�M�KgT�WJ:=<�WZi=WO3C>LK\A^hMDd=MOWZ<?U KjT�WD>@3�4`i=[?<84¥KgTbWJ:`<�U�K\4=PL®&¯C³�°w  M?��IRW�7;ACM$WJ:=<�[?A�ML<BWR:�AXW�<?G�<?>@dMOWZiH4=<?T�Wc<&TCWZ<&>LKjT��YWJ:`<#[]3Chjhg<?��<�:�AC4�WD3F¦�h\AC[]<�:wKgU�ML<&h¬fµi�T=4=<&>�WJ:=<�WZiHK¬WZKg3CT3^f©3�T=<�3^f�WJ:=<F�Ci�THKj3�>_¹w<&hjhg387�M�7/:=3�7;ACM�A�WZi=WO3C>X����¦£WO3£®&¯�³^¾���WZi=WO3C>LM:�AC4 hj<X[�WZiw>@<84 3�Twhjd�WD3FWJ:=<aKj>;387/T ¦Hiw¦wKghgM&�wAC[?>D3=MLM1AY7/Kg4=<$>LA^T��C<$3^f·MOi`Q�P�Z<&[]WDM&�/Qwi=W&�/f�3Chjhg387/KjT��bWJ:=<£>@<]f�3C>@U�M?�cWJ:=<?deAC4�U�KjW�WZ<84 ¦wiH¦wKjh\M'3^f#3^WJ:=<?>WZi=WO3�>@M1WO3BWJ:=<XKg>;hj<X[�WZiw>@<8M;A^T�4�WJ:=<?d�hg<&[]WZiw>@<a4'3CT�AFU�3�>D<$hjKgU�K¬WZ<84�>LA^T��C<3^f�MDi�Q �Z<X[�WDM&�k¹Hiw>DWR:=<&>DU�3C>@<C�1>D<&U�i�T=<?>LAXWZKj3�T½Tw3nhg3CT���<?> 4=<&¦H<&T=4=<84e3CTWJ:=<FT`i�U�QH<?>$3^f©¦Hiw¦wKghgM$i�T�4=<?>�WJ:`<FWZi=WO3C>X  M��CiHKg4�ACTH[]<���Qwi=W#3CTHhjd63CT£WR:=<WZi=WO3�>&  M�ML<&TwKg3C>LK¬WZd���§�i�[L:£3^f1WJ:`<BMZWZKgU�iwhgiHM�f�3C>#7/>LKjWZKjT�����A^hgU�3CT�  M_EH>@MOWWZ7c36WZ<]¶=WDQS3=3C��M�U�i�MZWF:�AaG�<�[?3CUY<�fq>@3CU WR:=<�WZi=WD3C>X  M�hg<&[]WZiw>@<aM�WR:�AXWF:=<��AaG�<14`iw>LKgT���WJ:=<�®X¯^¾�°H  M&��IRW�KNM�KjT�WZ<?>@<8MZWZKgT��_WD3�Tw3CWZ<�WJ:�AXW©��A^hgU�3CTFML<&>DG�<a4ACM1WZi=WO3�>�WD3YQS3^WJ: 3Cf����w2����_ACU�Kjh¬WO3CT�  M;MO3�THMc4�iH>@KgT��YWR:=<B®&¯`�^°w  M_¢�WJ:`<&d4�K\4�Tw3^W_4�KNMOWZKjT���iwKNMO:'WJ:=<?U�ML<?hgGC<8M/AC[&AC4=<&UBK\[?AChjhgdwª��

IJT�®X¯C±�´w�cWR:=<£»�>@A�MOU�i�M��=U�K¬WJ:�  M'��>D3Cf�<8M@MD3C>�3Cf�§VAXWR:=<&UYAXWZK\[?M�AXW9_¨c�Y��¨1:�A^>@hg<aMY5$>@AaG�<aM�¢O®&¯H®X´aPJ²C²`ª��µ>D<8M@Kj��T=<a4¥WJ:=<�¦w>@3^f�<8MLMO3�>@MD:wKg¦��6��<:�AC46Q�<?<?T£AC¦=¦�3�KjT�WZ<846KjTn®X¯^¾�³�ACT�4'¦Hi�Q�hgKNMO:=<84�WZ71<&TCWZd�<aKj��:`W_UYAXWJ:=<?UBPAXWZK\[?A^hH>D<8ML<aA^>L[L:B¦�A^¦H<&>@M�KjT'MOi�[L:�A^>@<aACM�ACM��C<&3CUF<?WD>@dC�;F�i�AXWZ<?>LTwKg3CTHM&��ACT=4WJ:=<�[?A^h\[]iHhjiHM;3Cf·38¦�<?>LAXWZKj3�THM&�=AChjh�¦�38¦wiHhgAC>;WO38¦wK\[?Mcf�3C>/>@<8ML<XAC>@[L:�AXW_9_¨c�4`iw>LKjT��­WJ:=<­®&²^WR:�[?<?T�WZiw>Dd��ÁIJT�®&¯C¾H®�:=<�¦wi�Q�hgKNMO:=<84 AbWD>LA^THMDh\AXWZKj3�T½3^fWZ7c3��C<?3�UF<?WD>LKg[&A^h�UY<?U�3CKg>@M�3^f�§�K\[L:=<?hS¨1:�ACMDhg<aM©3CT�[]3�T=<aM©3^f�WJ:`<�ML<&[]3�T�44=<?��>D<&<£A^T�4�MD¦w:=<?>LKg[&A^h_[?3CTwK\[?M&�cWO3C��<]WJ:=<?>�7/KjWJ:�Tw3^WZ<8M'A^T�4�AC4w4wK¬WZKg3CTHM&�A^T�4�ACT£A^¦=¦H<&T=4wK¬¶63^f�:wKNM�387/T�7c3C>D���µ�j®&²8�R��5$>@AaG�<8M?  M/U�3CTw3��C>LA^¦w:�7;ACM¦w>@3CQHAaQ�hgdVKgT�ºHiH<?T�WZKgAChc3�T½��A^hgU�3CT���ACT=4­KjWYKNM F`iw3^WZ<84­3�[?[&ACM@Kj3�T�A^hghjd¥KjT��AChjU�3CT�  MYWZ<]¶=W@Q�3=3C��M�¢qACh�WJ:=3Ciw��: ��A^hgU�3CT UBKNMOWOA^��<?Twhgd­7/>D3CWZ<�WJ:�AXWYKjWDM4�AXWZ<#3^f�¦wi`Q�hjK\[?AXWZKg3CT'7cA�M�®X¯C³=¸^ª��IRWB713�iwhg4b:�AaGC<�ML<&<?UY<a4��µKgTnG=Kj<&7�3Cf_��A^hgU�3CT�  M�<&UBKgT=<?TH[?<�KjT WR:=<

UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h¤7c3C>@hg4��HA^T6<?U�KgT=<?TH[?<�QHACML<84�¦HAC>OWZK\[]iwh\A^>@hgd�3CT6WJ:=<�>D<&¦wi�PWOAXWZKg3CT�3^f�:HK\M WZ<]¶=W@Q�3=3C��M&�;WJ:=AXW�:=<£7cA�M�WJ:=<V7c3C>DWJ:wKj<8MOW'MDi=[&[]<8MLMO3�>�WO35$>LAaGC<8M?�·¹w3�>�7/:�AXWZ<?G�<?>�>@<XA�MO3�T��^:=3871<&GC<&>&���wA^hgUB3�T�U�iHMOW�:�AaGC<�AChj>@<XA�4�d4=<&[?Kg4=<84¥WO3�[]3�TH[]<&TCW@>@AXWZ<�:wKNM#<&T`<&>D��Kj<8M#KgTbWR:=<&3^hj3��Cd��¤KjTHMOWZ<aAC4¥3^f;UYAXWJ:�P<?UBAXWZKg[&M?�`A^T�4B:=<�T=<?GC<&>©3�H�<?>@<84B:wKjU�ML<&h¬f�ACM1A�[?ACT=4wKg4�AXWZ<;f�3�>�WJ:`</G8A�[?A^T�WUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h�¦w>@3^f�<8MLMD3C>LMO:wKg¦���IJT�MZWZ<aAC4¤��A6G8AC[&A^TH[?dV:�AC4b3�[?[?iw>D>@<84bKjTWJ:=<�¡�>L[L:`QHK\MD:=38¦��#KgT��H  MO]�<X[�WZiw>@<8MO:wKg¦�KjT���KjG=KgTwKjWZdC��9;:`</3���[]<;3^f¤¡�>L[L:�PQwKNMD:`38¦��#KjT���  M ]�<&[]WZiw>D<&>�[?3CU�UYACT=4=<84�A'MDAChgAC>Dd'3^f��_¸8°�°�¦H<?>#A^THT�i�U6�< F`iHACh�WO3 WJ:=AXW�3^f�WJ:`<Y�©>@3^f�<8MLMO3�>@MD:wKg¦�3Cf�§£AXWJ:=<?UYAXWZK\[?M&�HA�[?3CTHM@K\4=<?>LAaQ�hj<MDi�U�KjTYWJ:`<$®&¯�±C°H  M&��¡_[&[]3C>L4�KgT��_WD3���3^hjd��w� ´C±w�8¦�� ³^¾`²8�R�C��A^hgU�3CT�:�A�4�QH<&<?T

Page 6: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ³H®

hj<84�WO3�Q�<?hgKj<&GC</WJ:�AXW�A�[]<&>OWOACKjT���KghghjK\A^U ]�<&<C�C7/:=3�:�A�4YQ�<?<&T�A^¦=¦�3�KjT�WZ<84¹w<?hghg3873^f/WJ:=<�¨13Chjhg<?��< KgTl®&¯�³C²H�·7c3CiHhg4nTH3^W�A^¦=¦�hjdbf�3�>FWJ:=<�]�<&[]WZiw>D<?PMO:wKg¦���IRfD]�<?<B7c<?>@<YWD36AC¦=¦�hjd�f�3�>$WR:=<�¦S3`M@KjWZKj3�T���:=<�7cA�M$[?<?>DWOA^KgT£WO36Q�<¦w>D<?f�<?>@>D<84�38G�<?>;��A^hgU�3CT�Q=d�G=Kj>DWZiw<_3Cf�:wKNM1ML<&TwKg3C>LK¬WZdBKgT�WJ:=<�¹w<&hjhg387�MD:wKj¦����T�f�3�>OWZi�T�AXWZ<?hgd­f�3C> �wA^hgUB3�T��P]�<?<�[L:�A^T���<a4 :wKNM�U�KjT�4¤�cA8fNWZ<?>�§£Kg[L:�A^<&h2/3CQ�<?>DWDM :�A�4�A^hg>D<aAC4�d½QH<?<&TlA^¦=¦S3CKgTCWZ<84Á��>D3Cf�<8M@MD3C>�3Cf�§£AXWJ:`<&UYAXWZK\[?M&�A^T�4 3�Q�WOA^KgT=<84�WJ:=<$hg<&[]WZiw>@<aMD:wKg¦��©9;:`iHM/��A^hgU�3CT�7cA�M�f|>DiHMOWD>LAXWZ<84 KgT�WJ:wKNM¦w>D3�U�3^WZKg3CTn38¦=¦�3�>OWZi�THK¬WZde¢q2/3�QH<?>DWDMY>D<?WOA^KgT=<a4nWR:=<�¦H>D3Cf�<aMLMD3C>LMO:HKj¦ni�T�WZKjh®&¯`¸^²w�©ACT=4 ]�<?<'WJ:=<'hg<&[]WZiw>D<8MD:wKg¦½i�T�WZKjh/:wKNM�4=<aAXWR: KjTk®&¯�¯C³�ª]� ��A^hgU�3CT:=A�4£WD3'7;A^KjW�A f�iH>OWJ:=<?>$f�3CiH>�dC<aA^>LM_Q�<]f�3C>@<�AC[L:wKg<?G=KgT���WJ:=<�ML<?TwKg3C>$¦�3=MOPK¬WZKg3CT¥:`<B4=<8ML<?>@GC<84¤�¤A^h�Q�<aK¬W$KjT¥:wKNM$ML<X[]3�T=4�MD¦H<X[]K\A^hgK¬WZd63Cf14�KgG`KgTwKjWZdC��9;:=<[]Kg>@[?i�U�MOWOA^T�[]<8MB3^f�:HK\M�<&hj<&G8AXWZKj3�T½WO3¥WJ:=<64wKjG=KgTwK¬WZd½¦w>D3Cf�<8M@MD3C>LMD:wKj¦���f�3^hjPhj387/KgT��F3�T�fq>@3CU :wKNM/4=<X[]KNM@Kj3�T�Tw3^WcWO3B3�H�<?>;:wKgU�ML<?hjfµACM;AF[&A^T�4�K\4�AXWZ<�f�3�>WR:=<�UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?AChw¦w>@3^f�<8MLMO3�>@MD:wKg¦���AC>D<$A^h\MO3Y4=<aM@[]>LKgQH<84�KgTV� ³�´��`Tw3CWZ<�®&²H�¦�� �^¾�³^���wACh�WJ:=3Ciw��:�WJ:=<?>@<$KNM/TH3BUY<?T�WZKj3�T63^f/]�<?<�  M/¦S3=M@M@KgQ�hj<#>@3^hg<C�XV�&��"L� 4J"!�7��'1)+* � "$T<����3N,S"�"L����"L*J'�� ��3 � ��)+*-,0�?�0)['�.�"K3N,���� ����.0���6)/'(� �!' � � �O�7���1R����� 3W��� ��,S��"L���J"5�I*�'�.&* �/,?*7����,�# ,�,0� 47�7��#��(,�)L� H�'�"L.0����,���8\H�'�H^�J��) ��%B,��*�'(��"&,��(3K��"D�?.����7H7' H7�0)F,=89��� )[*-��4J>=* *-,D�O��"5"�,0�J'(���5)L�?)+*7,D)+�!� �J,0�(�(���I"��I*-�H7'�H�.0�=� �J,�)F,�� � '(.&*���,0���Y�=#J,��L)L"K���7H?;\���I�J"�,0�7H��$����HA# ,�) )F,�� �64 ����'��J,�H )[*7���,S'1)+*7,@������, .���� "L.��S��.0,0�12 *�����,^# ,�,0� ��,S"�,���-'(��>f*J'(��"�,0�13�3W��� )+*-,�Y,0>�'14J"TV����3W,S"&"L����"L*J'��a��3 �5'��7'(��'()+268P��"Q)+*-,^�6.0.04��J���6)��/47)[.@*-,������!��" ���J�12 ,S'(>=*6)2�,S����"!����H7,��/)[*7���U�7���(���=�98-���7H�*J'�"K��,S"�'(>=�7�0)F'(�=� �0)!)[*-,Y��>�,���3 ��3W)[2-R "�,!��,0�?)F�#J,0.0�=�A,�/'�"L*-��� ��3 �Q,S�0)+* .0�=4���H �J��)I*�����,�# ,0,0� �7��,�H�'(.�)F,�HB�

IJT �¬®���¦=¦�� ¶`¶�KgKjKjP�¶`¶�KgG`����D;AChjh$4=<aM@[]>LKgQH<8M'hj<X[�WZiw>@<8M�Q=dÁ��A^hgU�3CT WJ:�AXW':=<AXW�WZ<&T�4=<a4'KgTb®X¯��C¯8PZ�^²w��P,��O��"���� ��H���'1�&��#��(,�)F,S��.@*-,���� � �J���L)['�.�4J�������12���,���,0� # ,��D)+*-,�.0�=47��"�,Q���.��=�J'(.0"0� � ) �O��"����,S"L47��,�H )+*7��) �/,Q*7�=H ��,S�=H ��� �!,@��,U��,S��H�'(��> *�' " #%�6�=E%8"L� )+*-,?�(,0.�)[4���,S"A��3W)[,0��)L�6��E )+*-,?�('��-,Z��3I"L*-���I'(��> 4�"5)[*-,�'(� ��������,���,0�6)L"P���, "7)[,0�J"�'(�=��"K�I*�'�.&*Z*-,I�!��".�7��,!� �S�&'��7>D3N���!3N4-)F47��,Y,�H7'()['(�=�J"0���P,Y�/�=4�� H�E-'(�7H��12,��J.0��4��&��>�,P*�' "���4��J'(�("V)L�D�?��E�,/)+*-,�'1�$.0������,0�6)L"08����7H�,)��,0�?*-�=���=47�$)+*-,0� #62��"LE-'��7>I3N���\)[*-,S'1� ,)%B���L)L"\)L�P��'�HD*J'(� '���64J,S"F)F'(���J"M�I*�'(.@*D�!,@��,/�6.0.04 �62�'(�7>P*�'(��0)P)[*-,D���=�A,0�A)����P,D4J"�,�H )F�?�O���&� 4�"Y)+*7��)I)+*-, >��6�-H )[*�'��7>="O�/,���,A���="F)[�12� )[*7��,S"L*7,�H �=4-)�8 � #J4-)D"F)F'(�(�K)+*-,���,��!,@��,�"L�=��,���,S���-'(��>�"0� :0:0:������("L� �0) )F,0�7H-,�H�7���(���=� � "���,�.�)F47��,�"Z��� � X<�(,0��,��-)F���L2f;!*-,0����,�)F'(.����P��27�7����'(.0"08 � ���7H �-,!�=,��"L*7����� �K3W����>=,@)P)+*-,DH7,���'(>�*-)O�I'1)+* �I*J'(.&*Q�/,5��,0.0,S'���,�H *J'�"I'��(�(4J"F)L�&�0)['����J"P��3 )+*-,4�"�, ��3<H�'&%B,���,��-)['����9,��64 �0)F'(�=��"I'�� H727�7����'(.0"0�

Page 7: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

³�´ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

��iw>LKjT���WJ:=<�WZ<&T�iw>@<�3^f/:wKNM�WZi=WD3C>LMO:wKg¦�����A^hgU�3CTn:�AC4b38¦=¦S3C>DWZi�TwK¬WZKg<8M#WO3hg<&[�WZiH>D<�:=3CTH3Ciw>LM/MZWZi�4=<?T�WDM�A^T�4�KgTCW@>D3�4`i�[]<#WJ:=<?UWD3�WR:=<#T=<?7¼UYAXWJ:=<?UBPAXWZK\[?A^h�WJ:=<?3�>LKj<8M�A^T�4VWZ<&[L:wTHK F`iw<8M#QH<aKgT��£4=<?G�<?hg38¦H<84¥AXW�WJ:�AXW#WZKjUY<C���b<UYACd�f�3C>@U MD3CUY<�K\4=<XAY3^fµWJ:`<�[?3CT�WZ<?T�W�3^f�WJ:=<8ML<�hg<&[]WZiw>@<aM;Q=d�hg3=3C�=KgT��BAXWG8A^>LKg3CiHMF<]¶wA^U�KgT=AXWZKg3CTn¦�A^¦H<&>@M�WJ:=AXWB:=<�7/>D3CWZ< 4`iw>LKjT��£WR:=<¥®&¯��C°w  M?�6IJT®&¯`�^°H��:=<F<?¶wA^U�KjT=<846f�3�> DcKNMO:=38¦f]µA^7�  M�§VAXWR:=<&UYAXWZK\[?A^h·�©>@<?U�K¬i�U ACT=4KgTH[]hgiH4=<84'WR:=< F`iw<8MZWZKg3CT�M?�� � � '(�7H?)[*-,Y.0�=�7H7'()['(�=�Z)[*7�0)/)+�!� .0�=��'�.�"!"L*-�=4J��H�)L�=4-.&*��I*7�="&,�,��64 �0)F'(�=��"O����,>='���,��M���+ � � '��7HQ)+*-,5� 4J� )F'��7�(,/�%�='(�6)L"I��3\)[*-,5.047���,

������������� ��������� ��������� � :

IJT WJ:=< ��<?��>D<&<'»�¶wACUBKgT�AXWZKj3�Tn3^f�®X¯���®��µ:=<�ML<]WBAV¦HA^¦�<?>B3CT½¡_hj��<]Qw>LAw���K H�<?>@<?T�WZKgACh1¨cA^h\[]iwhgiHM$A^T�4V¡_T�A^hgd�WZK\[Y5$<&3CUY<]WD>@dC��7/:wK\[L:£KgTH[]hgiH4=<84VWR:=<F`iw<8MZWZKg3CT� �/�-������,5)+*-,5,��64 �0)F'(����� ����� � ��b<�7c3CT�4=<?>¤7/:=<]WJ:=<?>µ:=<�KjT�WZ<?T�4=<84#WJ:�AXW�WJ:`<©MD3^hgi=WZKj3�T�KjT#WZ<&>DU�M�3^fwM F`iHAC>D<>@3`3CWDM&�¤7/:wKg[L:­A^>LKNML<8M_KgTbWJ:`<YWJ:=<?3C>@d�3^f1WJ:`<�[]3�THMOWD>@i=[]WZKj3�TV3CfcA'>D<&�Ciwh\A^>¦S3^hjd=��3CT�3^f1®8¸YMDK\4=<8M?�wMD:=3Ciwh\4�QH<���KjG�<?T��

IJT�WJ:=<��_<&�C>@<?<�»©¶�ACU�KjT�AXWZKg3CTF3Cf�®&¯��^¾H�8:=<�ML<]WEF�iH<aMOWZKg3CTHM�3�T��©:=d�MZPK\[?A^h$¡_MOWD>@3CTw3�UFdeA^T�4�:=<VA^h\MD3n<]¶wA^U�KgT`<84�KgT�WJ:=<VM@A^UF<�d�<XAC>�3CTÁWR:=<��KNMOWO3C>LK\[?AChEDc3=3C��M�3Cf/WJ:`<�«�hg4 9�<8MOWOA^UY<?T�WYf�3�>�WJ:=<'2/<&�CK¬i�MB��>D3Cf�<8M@MD3C>3^f;�_KgG=KjTHK¬WZd�  M��©>@<?U�K¬i�U6��IJT ®&¯`��¸=���wA^hgUB3�T��¤WJ:=<?T­�_3�T=<?��AChO]�<&[]WZiw>@<?>KgT£§£AXWJ:`<&UYAXWZK\[?M&��<]¶wA^U�KgT=<a463�T�WR:=<F9;:=<&3C>@d�3^f1¨1iw>@GC<8M&�HA^T�4�¡�hg�C<?Qw>@Af�3C>�WJ:=</§�3�4=<?>LAXWO3C>LMD:wKj¦SM·KjT�§£AXWJ:=<?UBAXWZKg[&MµACT=4�§£AXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h=�©:=d�M@Kg[&M?�¡�U�3�T��B:HK\M�F�iH<aMOWZKg3CTHM;7c<?>@<C���� � �@'1)[,?H����I�^)[*-, ,��64 �0)F'(���J"5��3/)+*7, )L����>�,0�6)L"D�0)D)+*7, �%�='(�6)L"5��3!'(���J,)"7'(�=���3V)+*-,5.047���,��

��� ��� � ��� � � ��� � � � � + :� ���c*7��)I'�"O)[*-,$�����(4�,D��3 )+*-,DH7,@)F,�����'(�7���6)

!!!!!!!

�#" �#" �$" �% " &�" '(" )% � "*& � "+' � "*) �% � "*& � "+' � "*) �

!!!!!!!

Page 8: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ³�³

���7H � �7HZ)[*-,DH-,�)F,@����'��7���-)/�I*J'(.@*Q' "Y'1)L"I"�64 ����,��

��A^hgU�3CTnUYAC>D>LKg<84b¹H>@ACTH[]<8M�¡_TwT=<'��AChjG8AC4w3C>�KgT�®&¯^¾�¾H��ACT�4bWR:=<�[?3Ciw¦�hg<KjTwKjWZK\A^hghjd hjKgGC<84eAXW£®£¨cAC>Dhg<]WD3CT 9µ<?>@>LAC[]<��12�AXWJ:wU�KgT=<aM&�;�_i`Q�hjKgT��Á9;:=<?d:=A�4FU�38G�<a4�WO3�´��_<?d`WZ<8MOQHiw>Dd�9µ<?>@>LAC[]<1Q=d�®&¯C¾�¯w�a>@<?UBA^KgTwKjT���WJ:=<?>@<1i�T�WZKjh®&¯C±`�/3�>c®X¯C±�±w��9;:=<?d�WR:=<&TYU�38GC<84�WO3$¯H®1�b<?hghgKjT��CWO3CT�2/3�A�4 ¢�WR:HK\M�:=3�iHML<K\M_¦w>@3CQHAaQ�hgd'MOWZKjhghµMOWOA^T�4�KgT��H��ACM;WJ:=<�:=3CiHML<8M/KgT��¥<&hjhgKgT��^WO3�T£2/3�A�4 f�3�>DUA�[]3�TCWZKgT�iH3CiHM;WZ<&>D>LAC[?<C�H4�AXWZKgT���fq>@3CU WJ:`<���Kg[]WO3C>LK\A^T6<?>LAw��7/K¬WJ:�T`i�U�QH<&>¯w®£WJ:=<¥ML<X[]3�T=4 h\ACMOW':=3�iHML<VKgTÁWJ:=<£WZ<&>D>LAC[?<Xª���¹·KjT�A^hghgdC��:�AaG=KjT��½QH<?<&TA^¦=¦�3�KjT�WZ<84l��>D38G�3`MOW�3^fF9µ>LKjTwKjWZdk¨13^hghj<&�C<£KgT ®X¯C¯�¯w�_��AChjU�3CTÁWO3=3C�eiw¦>D<8M@Kg4=<&TH[]<BKgTVWJ:=<��©>@38GC3=MZWX  M���3Ci�ML<C�F9;:=<?>@<B71<&>D<�M@K¬¶¥[L:HKjh\4�>@<?TV3Cf�WJ:=<UYA^>@>LKgAC�C<���f�3Ciw>�QS38d=MBA^T�4 WZ713¥�CKg>Dh\M?��QHi=W�3�Twhgd­WZ713¥3^f�WJ:=<�[L:HKjh\4�>@<?TMOiw>@G=KjG�<84e��AChjU�3�T���7/:=3­4�Kj<84e3CT�´C´¥�`A^T`iHA^>@dC�/®X²C°^¾��½��KNM�7/Kjf�<6:�AC44�Kj<84bKgTe®X¯`¸^¯w�Y¡_T���}n�V�?��p^s�oqt8� TH3^WZK\[]<C��7/>@KjWRWZ<?TbQ=dV»�������5$7/d=TwTA^T�4�>@<&[&A^hghj<84�KgT­� ³�³w�`¦�� ´w®a¸a����4=<8MD[?>LKjQ�<aM/��AChjU�3�T�  M1f�i�T=<?>LA^h�¦w>@3�[]<8MLM@Kj3�T��� 47�fT<�������="F)f�!��" )[*-, �J��"F)f�?��� '(� � ��,0�����7H �I*-��"�, ����,�R ,0��'(�-,0��.0, �������.@E-���S�I�(,�H�>�,�H # )+*-, '����A,0�J"�, �7���6.0,S"&"�'(�=� �I*J'(.&* �=� )+*-, ��� )+*������64J���L2"F)L��,@)F.&*7,�H *7���13 �=�O��2 3N����� C/*7� �J,0�?)L� .0,0��,@)F,��L2 �!��"�)+*-, ��47)+�O�S�&H�����H�-'�"�'�#7�(, "&'(>�� ��3$���7�0)F'(�������\>��@'(,�3+�

��A^hgU�3CT�KNM©QwiH>@Kg<84�7/KjWR:�<aKg�C:`W©f|ACU�Kjhgd�UF<?U�Q�<?>LM©KgT�WJ:`<�f|A^U�KghjdBG8A&iHh�W�KgT§�3Ci�T�W���<?>@3CUY<1¨1<?UY<]WZ<?>@dC�8��i�Q�hgKgT��µ9;:=<�G8AXiwh¬WµKNM�hg3�[?AXWZ<84�3CT#WJ:=<�MD3Ci=WJ:MDK\4=<$3^f�WJ:=<_¦HAXWJ:��=Tw387/T'ACM1WJ:`<�]�3�T��F�­A^hg�S��9;:=<_i�TH¦w>D<&¦HA^>@<84�G=KNMDKjWO3�>K\M�i�TwhjKg�C<&hjdVWO36EHT�4¥WJ:`<�G8AXiwh¬W�Q`db[L:�A^TH[?<C��A�M$WR:=<&>D<�KNM�Tw3�:=<aAC4wMOWO3�T`<��A^T�4�WJ:=<�hgK\4�3^fµWJ:`<$G8AXiwh�W;KNMc[?38GC<&>D<84�KgT f�3ChjK\A^��<C��9;:`<$7c3C>L4wM�� ¹�¡_§£I�]`À�·¡ �A]�9�«$¹l5#»;«$2;5#»)��¡A]�§¥«$¿F �A^>@<B4�KNM@[]<&>@THKjQ�hg<Y7/KjWJ:b4wK ��[]iHh�WZdC�¿�3^W/U�3C>@<�WR:�ACT'¾`°Fd`A^>L4wM1AC7cACdC�=3CT WJ:`<�M@A^UY<$M@K\4=<�3Cf�WJ:=<?]�3CT��B�bAChj�ACMYWJ:`<���AChjU�3CT G8A&iHh�W&��Qwi=W�ML<]W�QHAC[L�bf�iw>DWJ:`<&>Bfq>D3�U WJ:=< ¦HAXWJ:��1K\MYWJ:=<�C>LAaGC< 3Cf#��AChjU�3�T�  MYf|ACU�3CiHMYf�<?hghg387 UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[?KgACT ��KghjhgKgACU 2/387;A^T�_A^U�Kgh�WO3�T���9;:=<_:=<XA�4wMOWO3CT=<_3Cf��_ACUBKgh�WD3CT�KNM;MZWZKghgh�¦�<?>Df�<&[�WJhgd�hj<&�CKgQ�hj<$A^T�4K\M/f|A^>/<aACM@Kg<?>;WO3BEHT�4'WJ:=ACT6�wA^hgUB3�T�  M;GaAXiwh¬W&�

9;:=3`ML<Y7/:`36A^>@<BKjT�WZ<?>@<8MZWZ<84£KgTn��A^hgU�3CT�  M�[&A^>@<?<&>$A�M$��>D3Cf�<8M@MD3C>�3^f�_KgG=KjTwKjWZdC�XWJ:=<�WJ:=<?3^hg3C��Kg[&A^haQ�3=3��=M�:`<�¦Hi�Q�hgKNMO:=<84¤�8A^T�4$KjT�:HK\M�EwfNWZ<?<&T�dC<aA^>LMACMc�©>@38GC3=MZW�3^f�9_¨c�Y�`UYA^d�>@<XA�4BWJ:`<$A^>DWZKg[?hj<8M©ACT�4�Q�3=3��=M©WJ:=AXW171<�UF<?TwPWZKj3�T`<84�AXW�WJ:=</QH<&�CKgTwTwKgT���3^fSWR:HK\M1ML<&[]WZKj3�T��µ¡�[?[]3�>@4wKjT��#WO3F5B�`9#���`WO3��C<8M&���A^hgU�3CT�<?T �Z38d�<a4)+*-,�����"F)/�@'(.&*J�12Z,0�7H����/,�HU��.0�=H-,0��'(.���� �%��"�'1)F'(�=�987'(3\�J��)I'��QX<4������ ,=8��0)O�(,S��"F)'(� )[*-, K�&'()[' "L* �["L�����7H�"0� �J���D���I'��7> )L�Z)+*7,A�('�#J,��&���('1)[2 ��3!� H-,0.0,S��"&,�H # ,0�-,�R

Page 9: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

³^¾ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

3G��.�)L���A��3/)[*-,?����"F)�� ��' )[*��/.0,��-)[4��L2689)[*-,�TV��������"F) *7��" ��� ,S"F)L�0)F,Z��3!*J'�" ���I��I*J'(.&* ����E�,S"I*J'�"��%��"�'()['(�=� �/���L)+* ������,�)+*7����� � 8 + + + �A26,S�S���9;:wKNM·KjT�[]3CUY<�UBA^d�AC[&[]3Ci�T�W�f�3�>µ7/:=d���AChjU�3CTF7cA�M�AaQ�hg<©WO3�UYA^��<���K¬fNWDMµ3^f38GC<&> �/±w� °C°�°cWO3_9_¨c�Y�8A/hgAC>D��<�MDi�U¼3CfwU�3CT=<?d$KjT�WR:=<�®&²8WJ:�[?<?T�WZiw>Dd���� ³`´��¦�� ´^²`´a�R��9;:=<?>@<�KNMµA�ML<XAXWZ<84#UBA^>@Q�hj<cMZWOAXWZiw<13^f���AChjU�3�T�Q=d#��3C:HTF��iw��:=<aM&�i�T=GC<aKghj<84�3CT�®&¾��Ci�T=<�®X²w®C®��^7/:wK\[L:�MZWOACT�4wM�T=<XAC>�WJ:`<#¨cA^U�¦HA^THKjhg<�KgT�WR:=<UYACKjTLF`iHAC4w>@ACT��Chg<13CfHWJ:=<;9µ>LKjTHK¬WZdB¨13Chjhg<?��<#¢�WJ:`</MOWOAXWZiw<c3C>LKj��KjT�AChjhgd�MZWD3`3�4<?h\ML<?7/:=<&>D<aª��

��:wKghg</71</A^>@<cTw3^W©AXWRWZ<?U�¦�WZKgT��$WO3�4=<aM@[]>LKgQH<���AChjU�3CT�  M·¦H<&>@MD3CT�AChjKjWZdKgT�WJ:wKNM_A^>DWZK\[]hg<C��WZ7c3�A^T=<&[&4�3^WZ<8M�AaQS3Ci=W�:wKjU6��WO3^h\46KjT � ³�³w�w¦=¦�� ´�®8¸XPZ´�®&¯^���UYACd�QH<aA^>/>@<?¦�<]WZKjWZKj3�T':=<&>D<��� ���62^"F)L���&'�,S"A����,�)F����H ��3/)+*-,�>���,S�0) ����� � " ��# "�,0�6)F��'(�7H-,�H7�-,�"�"0�A�6)L���7H7'��7>.��S��,0�(,�"�"L�12QH7��,S"�"�,�HZ�=��)+*-,YE=,���#�R "F)L���7,Y�=�-,PH��S268-���7H�"F)L�S�&'��7> #�������E-�(2���)K)[*-,"LE6268%�I'1)[*^*J'�"5�(�=�7>Z�I*J'1)F,A*���'1� �64J'���,��&'(�7>Q'(� )[*-, #���,0,��0,=89*-, �!��"5��'�"F)L��E�,0�3N���O�D#7��'(�7H?# ,0>�>��S�!#62?�DE-'(�7H�����H����=H-2��I*-� � %B,���,�H?)L� �(,S�=H?*J'(� ��.@����"�"/)[*-,"F)L��,0,�)��(:�:0:

� �-,��-4��7H7��2A*-,P��.0.0'�H-,0�6)L���(�12�#7���=4J>�*6)K)L�A�6)��6TV�0)L�&'�.&E � "IC!�0)[*-,�H7�&���J)[*-,"����A,/.&*7���&'1)[2D"�,�������� )+*7��) *7,$*7�=H ����,S��.@*-,�H5)[*-,���,/�I26,S�S�V# ,�3W����,=� �����!,!�=,���8*-, �/,0�6)�)+*�����4J>=* �I'1)+*^'()P)L�Z)[*-, #J'1) )F,���,0�7H98%��,S��"L���J'(�7>U)+*7��)P*7���13$)[*-, .0�=�7R>���,�>��0)F'(�=�Q*7�=H��J��)O# ,0,0��)+*-,���,=86)+*��0)O���-,/�64 �S�L)F,��!*���H�*7,S�S�&HZ���7H?3N����>���) )F,0�)+*7,P"�,������=�98 ����H�)+*��0)!)+*-,P��,0����'(�J'(�7> �64 �S�L)F,��/�!�=4���HQ# ,$�=,��L2Z>=���=HZ)L��*-,S�S�'1)P��>���'(� �-� �7���6.0,S"�"P��3<,)"7*��04�"F)F'(�=�U�!���L)[*62U��3$X<4-.0�(' HQ*J'(��"�,0�13[�

� ��� �!-"%$�&)(�* " �6:3/8" �6: , 46�! 7�/�*�/���7�4�IJT�WJ:=<_QHKjQ�hgKj3��C>LA^¦w:=dB3^f�WJ:wKNMc¦HAC¦H<?>X�`71<$:�AaGC<���KjG�<?T AFhjKNMOWc3Cf·��A^hgU�3CT�  MUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^hc>D<8ML<aA^>L[L:n¦HA^¦�<?>LM?� 9;:`<8ML<�A^>@< WOAC�C<?T fq>D3�U WJ:=<�2/38d`A^h�=3�[]Kg<]WZd�  M �©t8{Jt8yjp@r�JH��pO����x?oq�]}�{|o �cx�b/tLuw�?sL��GC3^h\M&� �)ACT�4 ��IOIOI��SA^T�4'71<:=38¦H<6WJ:�AXW�WR:=<6hgK\MOW KNM�>@<XA�MO3�T�AaQ�hjdn[]3�U�¦�hj<?WZ<C�ÁIRW�7/Kghjh_QH<£ML<?<&T½f|>D3�UWJ:=<6WZK¬WJhg<aM�WR:�AXW AChjU�3=MZW AChjh�:HK\M ¦HA^¦�<?>LM�A^>@<�4=<?G�3^WZ<84 WD3n�C<?3�UF<?WD>LKg[&A^hMDi�Q �Z<X[�WDM&����iw>LKjT�� WR:=<�®X²8WJ:£[]<&TCWZiH>Dd���UBA^T=d'UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^THM_[]3CTHT`<X[�PWZ<84Á7/KjWJ:l9_¨c� ¦wi�Q�hgKNMO:=<84 WZ<?¶`W@Q�3=3��=M'3C>�>@<aML<aA^>L[L: ¦HA^¦�<?>LM 3�TÁ�C<&3^PUF<?WD>@dC�#3^fNWZ<&T)3^fFWJ:=< MDd`T�WJ:=<]WZK\[^�$>@AXWJ:=<?>�WJ:�A^T¼WJ:`<nACT=AChjd`WZK\[^�$G8A^>LKj<?WZd¢�KgTkWR:HK\M'>@<aMD¦H<X[�WX�#��AChjU�3�TÁ7cA�M <?¶w[]<?¦wWZKj3�T=ACh|��ACM':wKNM'QHKgA�M'7;ACM'iHMDi�PA^hghgd�WO3eWJ:`<nACT=AChjd`WZK\[¥M@K\4=<­3^fY��<?3�UF<]W@>Ddwª]� 9;7c3 WZ<?¶=WDQS3`3��Á7/>LK¬WZ<&>@M&�AC[]WZKjG�< 4`iw>LKjT��­��A^hgU�3CT�  MY¦w>LKjUY<C��7c<?>@<'��3C:wT½§£iwhg[&A8:=dC��7/:=3=ML<�bcs�oN}H�x?o uSyj�]�BpZ���Vp�d��]s�}����Lp8���]{�s�~¥¢O®&¯���´CªcAC[L�=Tw387/hg<84��C<84'WJ:=<�KjT�º�iw<?TH[?<�3^f5$>LAaGC<8M?  M�W@>@ACTHMOh\AXWZKg3CT�3^f·¨1:�A�MOhg<8M�A^T�4 �wA^hgUB3�T�  M��©p8}�oqx����Lx?{|oqp^}w�C��ACT=4

Page 10: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ³`�

2/Kg[L:�AC>@4¥9�387/THML<&T�4¤�¤7/:=3`ML< ��vwt@u�{R�?sL�'p8}½{NvH���Vp�d��]s�} ���@p^���?{�s�~VpZ�{NvH��b/p^oN}H{

���oN}S�

�t8}\d ��oNsDx]yg�]�F¢�WZ713nG�3^h\M?�g�#®&¯C±�³w��®&¯C±`�Cª]�cMD3Ciw��:`W�WO3

f|A^U�KghjK\A^>LKgÂ?<�>@<XA�4=<?>LM�7/KjWJ:bWR:=<�7c3C>O�V3^f/§�Kg[L:=<&h©¨1:�A�MOhg<8M?�·A^T�4£WD3�¦w>D3CP�C>@<aMLM6Q�<?dC3�T�4k§�iHhg[&A8:=dS  M6QS3`3���� 9;:=3`ML<n¹w<&hjhg387�M67/:=3�7/>D3CWZ<­�C<?3CPUF<]W@>LKg[&A^hF>@<8ML<XAC>@[L:¼¦HAC¦H<?>LM£KgTH[?hjiH4=<84!�`A^UY<8MV§£A�[X¨1iwhghgAC�C:���¨1:=AC>Dhg<8M5$>@AaG�<aM&�¤��KghjhgKgACU 2/387;A^Tb�_A^U�Kgh�WO3�T ¢q3^fNWZ<?Tb<?U�¦�hg38d=KjT�� F`iHAXWZ<?>LTwKg3CTwK\[WZ<&[L:wTwK F`iw<8M@ª]�Y¡_T=4w>D<&7 �=<XAC>Dhg< �_AC>OWX�B��AChjU�3�T��Y2/K\[L:�A^>L4)9�387/THML<&T�4¤���KjhghjK\A^U ��Tw387%Dciw>LTHM@Kg4=<��a��3C:HT �_<&hjh\MµIJT��C>LA^U6�X��3C:HT���KjhghgKgACU �`WZi�QHQ�M&�IRW;KNM;KgTCWZ<&>D<8MOWZKjT��YWO3�Tw3CWZ<_WJ:�AXW&�=KgT�AYhj<?WRWZ<?>cWO3����w2����_ACUBKgh�WD3CT��w4�AXWZ<84¹w<]Qw>@iHAC>Dd�´���®&¯`�C´w��A^T�4 ¦wi�Q�hgKNMO:=<84�KgT¥� ´^°H�`¦�� ³�³^¾^�R�=¡©iw��iHMZWZi�Mc��<#§�3C>DP��A^T�7/>@3^WZ<C��P��� .0����,S"K'1)$)[*7�0)<)[*-,I>=,��=��,@)L�@'(.����J,)"-)[,0�J"�'(�=��"K)L��E�,O"L4-.@*?���6��)/'(� � ��,0�����7H ��K�=47��"�,0�13[8 CP���P�&����,S"08 � ��.SC/4�������>=*M8 �����(�����M8�� CP8I����,����(��� '��c)+*-,0� ������&H7�(2Q��"L��4J�M'�� X$�7>=������HQ.�����,S"P�S#%��47)O)+*-,0� �IJT�:HK\M�>D<&¦�hjd��w4�AXWZ<a4�¹w<?Qw>Di�A^>@d ²w�¤®X¯��C´w�¤� ´C°w�=¦�� ³C³��8���w��A^U�Kgh�WO3�T'7/>@3^WZ<���I)+*J'(�JE )+*7�0)5)[*-,���, ���A�U>���,S�0)F,���8\��� �0) �(,S��"F) �Z������,A>=,0�-,��&���K����)['()[4 H-,A3W�����4���,P>=,0����,�)L�L2Z'(� � ��,0�����7H�)[*7���Z'(� X<�7>=�����7H9�$;!*-, ��,0�(�����I"I��3 ;��JCP���A�J�S��,�-,S�S���(2 ���(�9>=,0����,�)[,���"08%���7HQ"L�=�A,5��3V)+*-,0� �S��,D,)"-)L��,0��,0�12Z>��6�-H �=�-,S"08M:�:0:����A^hgU�3CT�  M�¦HAC¦H<&>@M�AC>D<#f�3�>/WJ:=<�U�3`MOW_¦HAC>OW�F`iwKjWZ<FMD:`3�>OWX�w3^fNWZ<&T�Tw3�U�3C>@<WR:�ACT½>@<aML<aA^>L[L:­Tw3^WZ<8MB3C>�A^THTw3Ci�TH[?<?UY<?T�WDM?� §£3C>@<?38GC<&>&��:=< ¦Hi�Q�hgKNMO:=<84GC<?>@d�hjKjWRWJhj<$UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^hH>@<8ML<XAC>@[L:�A^fNWZ<?>c3CQ�WOACKjTwKgT���WJ:=<_¦H>D3Cf�<aMLMD3C>LMO:HKj¦3^f14�KgG=KjTHK¬WZd��Y��A^hgU�3CT£7;ACM$[]hg<aA^>@hjd6KgT�ºHiw<&TH[]<84¥Q`d6WJ:=<Y[?hjKgUYAXWZ<B3^f1�C<?3CPUF<]W@>LKg[Y>D<8ML<aA^>L[L:6WJ:=AXW#<]¶�KNMOWZ<a4¥AXW#9_¨c�Y�¤Qwi=W#71<�[?ACTwTw3CW#M@A^d�f�3C>�[?<?>DPWOA^KgT�WJ:�AXW/��AChjU�3�T 7;ACMcA�f�3^hghg3871<&>13CfµA^T=d�¦HAC>OWZK\[]iwh\A^>1¦H<&>@MD3CT�AC[�WZKgGC<$AXWWR:=<�¨13^hghj<&�C<�KgT£WJ:=< ®X¯^¾�°H  M_3C>B®&¯`�^°w  M�¢q<]¶w[]<&¦�W$¦S3=M@M@KgQ�hjd£§VAC[X¨1iHhjh\A^��:��MO3�UF<$3^f�7/:`3=ML<_7c3C>D� ��A^hgU�3CT64=<8MD[?>@KgQH<8McKgT�:HK\M;QS3=3C��MLª�����<�ML<&<?U�M1WO3:=AaG�<YQ�<?<&Tbh\A^>@�C<&hjd£ML<&h¬fNPRUYA�4=<C��KgT�ºHiH<?TH[?<a4bQ=dV:HK\M#>@<aAC4�KgT��63^fc��3�TH[]<?Phj<?W&  M©QS3`3����H� ³�²8�R��ACT=4YWJ:=<;>D<8ML<aA^>L[L:F¦HAC¦H<?>LM�3Cf¤MDi�[L:B[?3CT�WZ<?U�¦S3C>LA^>LKj<8M�A�M¨cA^d=hj<&dC�^�_<?>@UBKjWZ</A^T�4Y��d`hgGC<8MOWZ<?>X�µ2/<&��AC>@4�KgT��$�wA^hgUB3�T�  Mµ387/TY>D<8ML<aA^>L[L:���C3^hgd�7/>@3^WZ<#KgTb� ´^±H��¦�� ³`�8¾C���� )O�!��4J��H # ,D����"F)I47��3��'1�I)L�Z�����(���=�Q)F�/-F4JH�>=,D*�' "I.0���6)L�@'(#�47)['����J"!)L���?�0)[*7R,��?�0)F'(.0"Z#62 *J'�",� � �J,���" ���(�=�-,=� ��, *7��H ��>���,S��) H�'�"L�('(E�, )L��)+*-, �J*627"�'�.0���)L����46#��(,O��3 �O�&'()['(��>*#6*-,O���-H7,S"F)+�(2 .��=��� 4���'�.0��)[,�H *�' "$H7' "L.0����,@�@'(,S"<)L�P3N�&'(,0�7H�"08���/��,S"�,����,�H?)[*-,0� 3W���!'(��.0����%���&��)['(�=�Z'(��*J'�"/#%�6�=E-"086"L�D)+*7��)K'1)/'�"!�D����) )F,@�/��3, "7)L��,���,?H7'���.04J� )+2 )L�Q"���2 *-�S� � 4-.@* '�" *J'�"0�Q:�:0:0:�:0: � 3O����������� � "5���@'(>�'��7���.��=�6)L�&'�#�47)['(�=�J"I)L�Z"L.0'(,0��.0,=8 )+*-,D����"F)P�/���L)+*62 ��3K����)['�.�,A�S��,A*�' "Y"L����4-)F'(���J"5��3

Page 11: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

³C± ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

)+*7,�������#��(,0� ��3 )+*7,�H7,�>���,0,P��3<� "L4��L3G��.0,5��,0.0'������6.0���B)L�?� >='���,0�U"L4��L3G��.0, #J*J'�"��,S"�,S����.&*7,S"O'(�Z.0�=���-,0.�)F'(���Z�I'1)+*Z"L4��L3G��.0,S"O"L46#*-[,0.�)/)F�A>�'��=,0�Z.0�=�7H�'1)['����J"087�����SR�(�=>��=4J"K)L�D)[*-��"�,���3\C/*���"L�(,�"/'��,�7�����-,P.�4����,S"!#-*J'�"/.�� ��"�"&'��J.��0)F'(�=�U��3M.04���=,�"$��3H���46#��(,D.047��=�0)[4���, #�*J'�"I.0�=�7H�'1)['����J"O3N���P��,)� ,S�0)F,�HQ���6��)F"P��3$��� ,��64J��)['(�=� # ���7H*J'�"!)+*7,�����,0� ��3 )+*7,�.0�=��"F)L���6)Y���J*7���������J'(.P�&�0)F'(�?��3\)+*-,�3N��4��O)L����>�,0�6)L"!3N������ �%��'��6)I��� ��.046#�'�.�.04����,����3^hjd 4w3�<8M�Tw3CW�UY<?T�WZKj3�T 7/:�AXW�KNM?�cKjTe3CiH>B38¦HKjTwKg3CT��1��A^hgU�3CT�  M�UYA��Z3C>AC[L:HKj<&GC<?UY<?T�W�KjT6UBAXWR:=<&UYAXWZK\[?A^h�>@<8ML<XAC>@[L:��=T�A^UY<?hgdC�w:HK\M�713�>O� [?3CTH[?<?>LT�PKgT��­WR:=<�WZ7c<?T�WZd ML<?G�<?TehjKgT=<8M�3CT An[]i`QwK\[�MDiw>Df|AC[?<C��IJT �C<&<?¦wKgT��­7/K¬WJ:��3^hjd�  M�>@<?UYAC>O�FAaQS38GC<��C��A^hgU�3CT�7/>@3^WZ</GC<&>DdFhjKjWRWRhg<�KgT�WJ:`</>@<8ML<XAC>@[L:YhjKjWZ<?>DPAXWZiw>@<#3CT�WJ:wKNM�MOi`Q �Z<X[�W&�19�3��CKgGC<�MD3CUY<#4=<?WOA^KghgM&�w7c<#>D<X[?A^hgh�WJ:�AXW_AB[?i�QHKg[MDiw>Of�AC[]<BKgTVWJ:=<FWJ:w>@<?<�4�KgUF<&THM@Kj3�T=ACh·[?3CU�¦�hg<]¶V¦w>@3��Z<X[�WZKgGC<BMO¦HA�[]<����`¢�%BªKNM�4=<]E�T`<84'Q=d'A^T�< F`iHAXWZKg3CT�3^fµWJ:`<$f�3�>DU

� ¢������ ��������� � ª��Á°�

7/:=<?>@< � KNM�AF:`3�U�3C�C<&T=<?3Ci�M�¦�3^hgd=Tw3CU�K\A^h�KjT�WJ:=<�����3Cf�4=<?�C>@<?<�³H��9;:�iHM&�WJ:=<#MD3^PJ[?AChjhg<84'¹H<?>@UYAXW�MDiw>Of�AC[]<

� ���� � � ��� � ���� � �� ��°

KNM�A^Tb<]¶wA^U�¦�hg<Y3CfcA6[]i`QwK\[YMDiw>Df|AC[?<C�B9;:`<�MDiw>Df|AC[?<YKNM�M@A^K\4£WO36Q�<�}�p8}����oN}`r�J�yjt8scKjfµWJ:=<?>@<#K\M�Tw3�¦�3�KjT�W��!3�T�WR:=<�MDiw>Of�AC[]<$f�3�>/7/:wKg[L:

� � ¢���ª� ��� �l°

f�3C>YA^hgh��L�'�b<�UBA^d­MDKgU�Kjh\A^>@hgd¥4=<]E�T`<�A�MDiw>Df|AC[?<�3^f/4=<?��>D<&<�� i�MDKgT��VA:=3CU�3C��<?T=<?3�iHMc¦�3Chjd=Tw3�UBK\A^h¤3Cf·4=<&�C>@<?< ���

IRW�KNMB�`TH387/T WJ:�AXWBKgT½��<?T=<?>LA^h;A¥MDiw>Df|AC[?<'3Cf�4=<?��>D<&<!�kKjT"� � ¢�%Bª[]3�TCWOACKjT�M#Tw3�hjKgT=<8M#hjd=KgT���<?T�WZKj>@<?hgd£7/KjWR:HKjTbWJ:=<�MOiw>Df|A�[]<�K¬f#�%$ ³H� �=<?<��f�3C>/<?¶wA^U�¦�hj<���� �^³w�=¦��g®?¾`²8�R�©��A^hgU�3CT�MO��<]WO[L:=<8M;A � �C<&T=<?>LKg[C �¦w>@3`3Cfµ3Cf�WJ:wKNMKgT6� 5#9/�Y�H®&¯�±�´w�8¦�� ´C²8�R�µ¡ÁMDiw>Df|AC[?<;3^f¤4=<?�C>@<?<$®;3C>�´#[?3CT�WOA^KgTHM�KjTwEHTwKjWZ<?hgdUYACT=d_hgKjT=<8M?�·9;:=<�[?A�ML<·3Cfw4=<?�C>@<?<�³;KNM�<8MD¦H<X[]K\A^hghjd$KjT�WZ<?>@<8MZWZKgT��H�aACM·¨cA^d=hj<&dMD:`387c<84�KjT¥®&¯C¾�²$WJ:�AXW1A�Tw3�T�PJMDKgT��CiHhgAC>�[]i`QwK\[_MDiw>Of�AC[]<�[]3CT�WOA^KgTHMcAXW�U�3`MOWA'EHTwKjWZ<�T�i�U�Q�<?>�3CfchgKjT=<8M&��¹wiw>DWJ:`<&>DU�3�>D<��¤7/K¬WJ:nMO3�UF<B< H�3C>DW&�µ3CT=<�[?A^TMD:`387 WR:�AXW�A_TH3CT�PJM@KjT���iwhgAC>·[?i�QHKg[cMOiH>Of|A�[]<cA^hg7cACd=M·[]3�TCWOACKjT�M·AXW�hg<XA�MZW�3CT=<

Page 12: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ³=¸

hjKgT=<V¢qML<&<C�µf�3C>�<?¶�ACU�¦�hj<��c� ¾`´w�µ�©>@38¦S3`M@KjWZKj3�T­¸=� ´a��ª���IJT []3�>D>@<8MO¦S3CT�4=<&TH[]<7/K¬WJ:Á¨cA^d=hj<&dn4�iH>@KgT��e®&¯^¾`²w����AChjU�3�T½¦w>@38GC<84­WJ:�AXWYWJ:=<?>@<6A^>@<'<?¶�A�[�WJhgdWZ71<&TCWZd�ML<?GC<&T hgKjT=<8M/3�T�ABTw3�T�PRM@KgT��Ciwh\A^>/[?i�QwK\[#MOiH>Of|A�[]<��

9;:=<'E�>@MOW�UYA��Z3C>�A^>DWZKg[?hj<�3CT½WJ:`<�WZ7c<?T�WZd½ML<?G�<?TehjKgT=<8M�K\MBWJ:�AXW�3^f¨cA^d=hj<&dC��� ²8�R�1¨cA^d=hg<?d�<&T=4=<84':wKNM/¦HAC¦H<?>/KgT�WJ:`<$f�3^hghg387/KjT���UYACTwT=<?>X�:�:�:��I�?��2 ��,0�6)F'(��� '(�^.0���J.0�(4J"�'(�=� )[*7�0)5)+*-, �I*-����,�"L46#*-[,0.�)D��3/)+*J'�"5��,0����'1��!��"/H7,!�=,0�(���J,�HA'��Z�5.����L��,S"��%�=�7H-,0�J.0,I�I'1)[* �Q���<�����(�����M8-����HA'�� �J���L)['�.�4J������8)+*7�0)��!��� '(�7H7,@#�)F,�HZ)L�?*J'(� 3W����)+*-,DH-,�)F,�����'(�7�0)F'(�=� ��3V)+*7,��64�� # ,��I��3<�('��-,S"4 �%�=� )+*7, "L4��L3��.0,����7H 3W���5)+*-,A'(����,S"F)F'(>=��)['(�=�J"D.��=�J�-,0.@)F,�H �I'()+*^)[*-,D��,!����,S"FR,��-)F�0)F'(�=� ��3$)[*-, )[�/,0�6)[2-R "&,)��,0� �('(�7,S"D#62 �A,S����"���3K)[*-, �(,�) )F,���"��%8���8���8���8�� 8� 8 ��"YH-,!��,0�(��� ,�H ��#%����,=�

9;:`< M@A^UF< GC3^hgi�UF< 3^f�WJ:=< �©t^�?s�o d?r`�lt^}\d zNJ�?y�oN} �Vt8{�vw�?��t^{|oqxLt8y�=p�J�s�}St^y_[]3�TCWOACKjT=<84 A¥¦HAC¦H<?>�Q=d½��AChjU�3CT���7/:wK\[L:½¦w>@<8ML<?T�WZ<84½MDiw¦=¦�hj<?PUF<?T�WOA^>@d�Tw3CWZ<8McWO3'¨cA^d=hg<?d�  Mc¦HAC¦H<&>&�

��A^hgU�3CT�4=<?GC3CWZ<84�A�f�<&7l¦HAC�C<8M1KjT'WJ:`<$G8A^>LKg3CiHM1<84�K¬WZKg3CT�M;3^f1� 5#9/���WO3�WJ:`<�MDi�Q �Z<&[�W�3CfµWJ:=<$WZ71<&TCWZd�ML<?G�<?T�hjKgT=<aM&�HACT=4�4=<8MD[?>LKjQ�<a4�:wKNM�[?3CT�WD>LKjPQwi=WZKj3�T6KjT�AYf�3=3^WDTH3^WZ<C�wA�Mcf�3^hghj387�M&�;!*-,?)+*-,0���L2 ��3O�&'(>=*6) �('(�7,S" �=� � .046#J'(.����K"L47�L3G��.�,Z�!��" �J��"F) "F)F4JH�'(,�H '(��)+*-,2�,S��� ��' � �?'(�Q��.0���L��,S"��%����H-,0��.0,5# ,�)+�!,0,�� �Q���JC!��27�(,�2 ���7HU�A,=8-)[*-,Y��,�"L4�� )L"��3B�I*J'(.@*A�!,���,��J46#7�(' "L*-,�H98���������� ����������� ��! �"�$# �%�'&(�*)%+"�,����) �.-/��#1032 �3�,� �4#+8�=������65 �(8��*�9� � �!' 8 � � � � �Q���JC!��27�(,�2 ����"F)O�=# "�,���=,�H�)+*��0)!�AH-, � ��'1)F,I�64�� # ,@���3 �&'(>=*6)Y��'(�-,S"I�A4�"F)I��'(,D���Q)+*7,�"L4��L3G��.0, #J)+*-,5H-,�)F,@����'��7�0)F'(��� ��3\)[*7�0)I�64�� # ,@���"���#%����,=8�����HU)[*-,DH7' "L.04�"�"&'(���J"I'(�87Y�L)��*� ��' �!,���, "L4 �*�7�('(,�HU#62Q�A,=�

IRW;7;ACM1h\A^>@�C<?hgdBhj<?fNWcWD3Y3CWR:=<&>17c3C>D�C<?>LM�WD3Y<&hji�[]K\4�AXWZ<�WJ:=<$QH<aA&i=WZKjf�iwh¤[]3�UBPQwKjT�AXWO3�>LKgAChHA^T�4�A^hg�C<?Qw>@ACKg[1>@<?h\AXWZKj3�THM·WJ:=AXWcA^>@<�ACMLMO3�[?KgAXWZ<84Y7/K¬WJ:�WJ:=<�[]3CTwPEH�Ciw>LAXWZKg3CT½3Cf_WJ:=<�WZ71<&TCWZd½ML<&GC<&T½hgKjT=<8M?�;A^T�4eA^Te<]¶=WZ<?T�MDKgGC<�hgK¬WZ<&>@AXWZiw>@<3CT6WJ:=<�MOi`Q �Z<&[]W�<]¶�KNMZW@M?�;9;:=<?>@<�ML<?<?U�M;WD3�QH<�Tw3�<&hj<&UF<&TCWOAC>Dd�A^¦=¦w>@3�AC[L:WO3�7/>LK¬WZKgT�� 4�387/T�<?¶�¦�hjK\[]KjWJhjd WR:=<FAChj��<]Qw>LA^K\[�f�3C>@U 3Cf·WJ:=<�hgKjT=<8M&��<&GC<?T6KgTWR:=<_[&ACML<�3Cf�WR:=<_¹H<?>@UYAXW1MDiw>Df|AC[?<�UF<&TCWZKg3CT=<84�AaQS38GC<��µ9;:=<?>@<�KNM�AF5#AChj3�KNMWR:=<&3C>@<]WZK\[�¦w>@3CQ�hg<?U6��hj<aAC4�KgT��$WO3�A^TB< F`iHAXWZKg3CTB3^f¤4=<?��>D<&<;´`¸�3CQ�WOACKjT=<84YQ`d<?hgKjU�KgT=AXWZKg3CT�WZ<&[L:wTwK F`iw<8M?��WJ:�AXW�KNM1AXWRWOAC[L:=<84BWO3FWR:=< F�iH<aMOWZKg3CT�3^f�4=<?WZ<?>@UBPKjTwKgT���WJ:`<BhgKjT=<8M?�Y¡ >@<aACMD3CT�AaQ�hjd�<?hg<?UY<?T�WOA^>@d£A^¦=¦w>@3�A�[L:6WO3�ACT¥<?¶�¦�hjK\[]KjWKjT=GC<8MOWZKj�`AXWZKj3�T�UYA^d�Q�<�f�3Ci�T�4�KgTV� ¾`´����=<X[�WZKg3CT'¸X�R��¹w3�>1A�U�3C>@<_AaQSMZW@>@A�[�WA^¦=¦w>@3�AC[L:��`3�T=<$UBA^d [?3CTHMDiwh¬W�� ´C´w��¨1:�A^¦�WZ<&> �F���=<X[�WZKg3CT�¾^�R�

��A^hgU�3CT�  MBhgA�MZW�¦wi`Q�hjKNMD:=<a4½>D<8ML<aA^>L[L:­¦HA^¦�<?>X��WJ:=AXW�3^fY®&¯`¸^³w��KNMB3CTWR:=<�<&hj<&UF<&TCWOAC>Dd'WJ:`<&3C>@d�3^f©T`i�U�QH<&>@M&��ACT�46K¬W$K\M�A�>LAXWR:=<&>/f�<?<]Q�hg<�<�HS3�>OWX�

Page 13: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

³C¯ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

��AChjU�3CT�QH<&��ACT':wKNM/¦�A^¦H<&>�ACMcf�3^hghg387�M?��/�I'�"L* )L���?��E�, �A3W,��a��,0�����LE-"089:0:�:08��7' �5)L� �J�7HU)+*7,D�647� # ,��O��3�� >=47��,S"Y'(�)+*7,�� ,��&'(�-HQ��3V� .0'1��.04J���0)F'(�7>�H-,0.0'(�?���J�I*-��"�,5��,0.0'������6.����B' "I� ���&'(��,P�64�� # ,����;!*J'�" ' " ,!�-'�H-,0�6)[�12 )+*-,�"����A,���"D)L� � �7H �I*��0) �%���!,@�A��3 ��+ ' " H7'��-'�"�'�#7�(,�#62)+*7,/���&'(��,��I'1)+* ��,0�?��'(��H-,�� � #J���Y)F�?"L������,5)+*-,5,��64 �0)['���� ��+���� � ���AChjU�3CT WJ:�iHM17/KNMO:=<84�WD3FEHT�4�WR:=<$3C>L4=<?>c3^f�®X°�U�3�4`iwhj3�A���KjG�<?T�¦H>@KgUF<��9;:=<�MOi`Q �Z<&[]Wc7;ACM;M@[?AC>@[?<?hgdB3�>LKj��KjT�A^h¤AXW;WJ:=<_WZKgUF<���AChjU�3CT�7/>@3^WZ<C�=M@KjT�[]<KjW17;ACM�W@>D<aAXWZ<84�KjT�MDi�[L:�i�TwKjG�<?>LM@K¬WZdFWZ<]¶=WDQS3=3C��M�A�M�WJ:�AXW©3^f���d=UF<&>@M&��� ´����¦�� ´^±`�a�R��Qwi=WB�wA^hgUB3�T­UYAC4=<�Tw3�>@<]f�<&>D<&TH[]<�WD3£A^T=dV¦wi`Q�hgK\MD:=<84nMO3�iw>@[?<8M?�A^T�4':wKNM/>@<aMDiwh¬WDM/A^>@<#<aMLML<&TCWZK\A^hghjd�WD>LKjG=K\A^h��

¡_h�WJ:=3Ciw��: ��AChjU�3�T []<aACML<84!WO3kQ�< KjT=GC3ChjG�<a4 KjT�>@<aML<aA^>L[L:!hg<?G�<?hUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&M/MO3=3�T6A^fNWZ<?>�3�Q�WOA^KgTwKgT���:wKNM�¦w>@3^f�<8MLMD3C>LMO:wKg¦���:=<FMOWZKjhgh�UBA^KgT�PWOA^KgT=<84 ACT KgTCWZ<&>D<8MOW�KjTeUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h F`iw<8MZWZKg3CTHM�AXW�WJ:=<6>D<X[]>@<XAXWZKg3CT�A^hhg<?GC<&h|��M@KjT�[]< :wKNMbT=ACUF<eA^¦=¦H<aA^>LMVKgT ¢qG=Kj>DWZiHA^hghgd�ªV<?G�<?>@d)hjKNMOW­3Cf'[]3�T�PWD>LKgQwi=WO3�>@M�WO3�WJ:=<�¦wi`Q�hjK\[?AXWZKg3CT �Vt8{�vw�?��t^{|oqxLt8y�� JH�]�L{�oqp8}H�

��� oN{�v _�vH�]oNs��p^y J�{�oqp8}w����sDp8� {�vw� ��� d�JHxLt8{�oqp8}�t8y _�oN���]����� 9;:wKNM ML<&>LKgACh 7;ACM¦wi`Q�hjKNMD:=<a4 QH<?WZ71<&<?T ®X¯C±C¾kA^T�4 ®X²w®X¯w�YACT�4!KjW­[?3CT�WOA^KgT`<84¤��38G�<?>¥WR:=<dC<aA^>LM&��MOWOAXWZ<?UF<&TCW@M�A^T�4�MD3^hgi=WZKj3�THM�3^f�U�3�>D<;WJ:�A^T�®X¯ D°�°C°$UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h¦w>@3CQ�hg<?U�M&� �b<­:=AaG�<¥TH3^W6f�3Ci�T�4kUYA^T=d�<?¶�ACU�¦�hj<8M63^fB¦w>@3CQ�hg<?U�M�3C>MD3^hji=WZKg3CT�MV[]3�TCW@>LKjQwi=WZ<84�Q=d!��AChjU�3CT)WJ:�AXWV7c<?>@<½AC[]WZiHA^hghgdk¦wi`Q�hgK\MD:=<84¤�Qwi=WYWR:=<�f�3Chjhg387/KjT���¦H>D3�Q�hj<&U 3Cf;:HK\M&�/� ¾`³8�R�·MD:=387�M�:wKgU 713�>O�=KjT��6KgT½A^Ti�TH[L:�A^>LAC[]WZ<?>LKNMZWZK\[_AC>D<aAw�7�)[,0,�)L��)F47�`��3�� "�'�H-,�" '�"A"���4�� ��� '(�7H7, �J�J'1)F,��64�� # ,�� ��3O)F'(��,S"08<���7H )[*-,�647� #J,���"V)F4��&��'��7>D4��Z�S��,���HJH-,�H�)L�=>�,�)[*-,���#6�I*7�0)!'�"K)+*-,O.@*7���J.0,I)[*7�0)/�5>='���,0��647� #J,������I'(���\# ,D��.@)F4 ���(�(2 ���L�&'���,�H �0) �¢q¡¼WZ<&<]WO3CWZi�UKNM�A�MOUBA^hgh¤WO38¦�KjT�MD[?>@KgQH<84'7/K¬WJ:6hg<]WRWZ<?>LM;3C>/T`i�U�QH<&>@M&� ª� ��� �!-"%$�&)(�* " �6:3/8" �6: , 46�! : /��3:�B)$ $�� *��AChjU�3CT�  McT�A^UY<_7c3Ciwh\4 M@[?AC>@[?<?hgdBAXWRWD>LAC[]W;ACT=d�AXWRWZ<&TCWZKg3CT�A^U�3CT��YUYAXWJ:�P<?UBAXWZKg[?KgACTHM MD3½UBA^T=d�dC<aA^>LM A^fNWZ<?>�:wKNM64=<XAXWJ:ÁKjfF:wKNM�>D<&¦wi=WOAXWZKg3CT�7;ACMQHA�ML<a463�Twhgd'3�T�:wKNM_>@<8ML<XAC>@[L:�¦HA^¦�<?>LM?��¡�M�7c<FMOWOAXWZ<a46KgT�WJ:=<�KgTCW@>D3�4`i�[�PWZKg3CT�����AChjU�3�T�  MFhgA�MZWZKgT���f|ACUF<'hjKg<8MFKgTnWJ:=< KgT�ºHiw<&TH[]<'<]¶�<?>DWZ<84nQ=d¥f�3�iw>WZ<]¶=W@Q�3=3C��M�:=</7/>@3^WZ<��µ9;:=<8ML</71<&>D<��!e _wsD�Lt8{�o\�?�#p8} ��p^}Hoqx �¤�@x?{�oqp8}w���%e_wsD�Lt8{�o\�]�Yp8}�{�vw����o¬ravw�?s b;yjt8}�� � J�s��a�]� � �µ���L�?p8}H� �]}H{�sDp=d�JHx?{Rp^s�~Y{JpB{NvH��Vp�d��]s�}!��o¬rXvH�]sZe�y r`��?sDt��Ke _wsD�Lt8{�o\�?��p8}­{�vw�Ze�}St^y�~8{�oqx �/�Lp^���?{|s�~6pZ�_�v=sD�L�1z�oN���]}H��oqp8}w���µ�b<1:�AaG�<©�CKgGC<&TF4=<]WOACKjh\M�3CfwWJ:`<1G8A^>LKj3�iHMµ<a4wK¬WZKg3CTHMµ3^fWJ:=<aML<$QS3`3���M;KjT'WJ:`<$QwKgQ�hjKg3C��>@AC¦w:=d�3^fµWR:HK\M/AC>OWZK\[]hg<C��9;:=<�KgT�f�3�>DUBAXWZKj3�T KNM

Page 14: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ³�²

UYA^KgTwhgdF<?¶`W@>@A�[�WZ<84�f|>D3�U!WJ:=< Dc>LKjWZK\MD:�§�iHML<?i�U6  M ���]}��]sDt^y �©t8{Jt8ygpDr�JH�#pZ�bcs�oN}H{J�0d�m_pXp��8�B¢�WO3 ®X²��C��ª�A^T�4 _�vw�MIFt^{|oqp^}St8y��·}Hoqp8} �©t8{Jt8ygpDr�JH��¢�¦H>D<?P®&²��C±�KgUB¦H>@KgT�WDM@ª]��A^h¬WJ:`3�iw�C: WR:=<�MO3�iw>@[?<8MF4�3¥Tw3^WBKjTH[?hji�4=<�AChjhc<84�K¬WZKg3CT�M3^f1��AChjU�3CT�  M�WZ<]¶=WDQS3=3C��M?�/�b<F7/Kghghµ[]3�THM@Kg4=<&>_<aAC[L:�QS3=3C��KjTVA ML<?¦HAC>@AXWZ<ML<&[�WZKg3CT¥3^f1WR:HK\M�AC>OWZK\[]hg<C�YIRW�7/Kjhgh�QH<�ML<&<?T£WJ:�AXW#<XA�[L:V3^f1WJ:`<Bf�3�iw>#WZK¬WJhg<8M7cA�M�WD>LA^THMDh\AXWZ<a4 KgTCWO3nQS3^WJ:Á¹H>D<&TH[L:�A^T�4e5$<&>DUBA^T��/ACT=4 WJ:=<8ML<6WD>LA^THMOPhgAXWZKg3CTHM�3^fNWZ<?T 7c<?T�W�WJ:w>@3Ciw��:eML<&GC<?>LA^h/<84�KjWZKg3CTHM£¢q7/:wK\[L:�71<�:�AaGC<6Tw3CWAXW�WZ<&U�¦�WZ<84 WD3�K¬WZ<&UBKgÂ?<aª���9;:=<�5$<?>@UYACT�WD>LA^THMDhgAXWZKg3CT�M13CfµWJ:=<$f�3Ciw>_UYA^KgTQ�3=3C��M&�8<XA�[L:�Q=d$WR:=</5$<?>@UYACT�UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[?KgACT�¢�«_WRWO3`ª���Kghj:=<?hgU!¹·Kj<84�hg<?>¢Z®&¯�³�´8P@®X²w®X´�ª��^7/:=3Y713�>O�C<84�UBA^KgTwhjd�KgT����iH>@K\[L:��`71<&>D<�<8MO¦�<&[]K\A^hghgdB:HKj��:whjd>D<&��A^>L4=<84¤��9;:=<�:wKNMZWO3�>LKgACT¥3Cf;M@[]Kg<?TH[?<C������9#��§6<&>DÂ���7/>@3^WZ<�ACM#f�3Chjhg387�M3^f·WR:=<8ML<#WD>LA^T�MOh\AXWZKj3�THM&��� ³^¾���¦�� ¾C¾^�·A^T�4�WJ:=<aKj>_< H�<&[�W�3CT'WR:=<#WZ<aAC[L:wKgT���3^f�C<?3�UF<?WD>@d�KjT£5$<?>@UYACT=d�KjT�WJ:=<�ML<&[]3�T�4�:�A^hjf·3Cf�WJ:=<�®&²^WR:�[]<&TCWZiw>@d����,@���?���62A'(��H-,0,�HA*7��H��J��)K#J,0,0���!���6)F'(�7>5'(�?���&'(>='(�7���J��,S"�,S����.&*M8-#�47)V)+*-,!�-,��'�H-,S��"I��3 ����#J'14�"08B�-)[,S'��-,���8 �-)F�04 H6)�8�T$��4�.@E�,@��8%���7H �P�&��"�"L�?���J� '(� >�,0�=�A,�)L�L23W�=47�7H �J� �=H�*-,���,��-)F"?)F'(�(�G8I����'(�J�12 )+*����=4�>=*f)[*-, )L�&���J"L���0)F'(�=��"Q��3 ����������� � ")[,)"-)LR #%�6�=E-"O#62 � '(,�H��(,���8 ���-,�� "��J'1�&'1)P.0����,����=,��Y>=,0����,�)L�&'(.����9)F,S��.@*�'��7>���CiHMOW;QH<]f�3�>D<���AChjU�3CT�  Mc4=<XAXWJ:���§6<&>DÂ#4=<8MD[?>@KgQH<84���A^hgU�3CT�  M�KgT�ºHiH<?TH[?<�KgT� ³`����¦=¦�� ±C¯^¾CPR±�¯��8�SKgT WJ:=<8ML<#713�>@4wM&�;!*-,Q��,��&'1)�8$*7���/,!��,���8K��3P*7���-'(�7> #7���=4�>=*6)�)L��>=,�)+*-,��?)+*-,Q�-,�� ' H-,S��"A�I*J'(.@*,��?���7�0)F,�H�3N���=��)[*-,Y"L.@*-�6���9��3 T ���J.0,���,@)Y���7HUC/*���"L�(,�"O'(� ���&����.0,=87��3 C!��27�(,�2���7H �627���=,�"F)[,��Q'�� X<��>������7H98P'(�-)F� � .��=�J�-,0.@)F,�H H��6.�)L�&'(�-,=85���7H ��3A*����-'(��>>�'���,0�?)+*7,O'(� � ,@)F4J"V)L�5)+*-,!3N47�7H�����,0�6)L���7��,����-H7,0�(�('(��>D��3B)[*-,!)F, "7)LR #%�6��E7"$����H"L.&*-�6���1R #%�6�=E-" ��3I���(>=,�#7�&� ���7H^>=,0����,�)L�L2 '(� )+*J'�"D.0��4��6)L�L2 � K�&'1)L��'(���O���7H '����,@���?���62687# ,0�(����>�"P47�7H7,0��'��S#7�12�)L�?���P�7���(���=�Q��3<�546#7�('(�M�¹w<?hgKj¶ �#hj<aKgT 7cA�MYAChgMD3VAV�C>@<XAXWF<&TCWJ:`iHM@KgA�MZWYf�3C>���A^hgU�3CT�  MYQ�3=3C��M&�¥�_<4=<aM@[]>LKgQH<84'WJ:`<&U A�H�<&[]WZKj3�T�AXWZ<?hgd�ACMcf�3^hghj387�M&�;!*-,�2 �S��,��('(E�,A��,@3N��,S"L*J'(��> ���7H '(�J"F)L��4-.�)F'���, �O����E-"�)+*�����4J>�* �/�6�-H ����H � ,�� H���7H .04�� )F'��=�0)[,�H >��S�&H7,��J"08/�I*-,���,Q)[*-, >�4J'�H-, H7�&�S�I"Z��) )F,��-)['(�=� ����� )L� )+*J'�"#J,S�047)+2685�J��� )F�f)+*7��) "F)L�&���7>=, ���*�J,S���&����.0,=85�I'1)+*-�=4-) 3N����.0'(��> ,!��,��L2-)+*J'(��>'(�6)L� � �@'(>�' H "F27"F)[,0� ��353�04J� )+��,S"�" �J,��L3N,0.@)F'(�=�9:�:0:����7H �I'1)+*-�=4-) H7'(>=>='(�7> �=4-)'(�7H�'��-'�H64 ���J4J"�,�3N4�� �������-)F"!���7H?)L�&����"F3N,��L�&'(�7>A)+*7,�� )L� .04�� )F'�����)[,�HZ"L��'(�B��.0.0���&H7R'(�7>?)L� �7�@'(��.0'����(,S"P��3<'(�-)[,0�J"�'���,5.�4J� )F'����0)F'(�=�9� �+� )[*�' " �J�S�/,��P>����&H-,0� �/,D*7���=,���(�O>������I� 4 �M8$*-,���,Z�!, *7����,Z>��0)+*-,���,�H )+*-,Z3W�=47�7H��0)F'(��� ��3�E-�J���I�(,�H�>�,Q����I*�'(.@* �/,D*7���=,�)L��#�4J'(��H9�9;:`<9F`iw3^WZ<�KNMFWOA^��<?T­fq>@3CU A^T »�T��ChgKNMO:nh\A^T���iHA^��<�GC<?>LM@Kj3�Tn3^f�¦HAC>OWB3^f

Page 15: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¾�° ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�#hg<XKgT�  M;¦�3=MOWR:`i�U�3CiHMDhgd�¦wi�Q�hgKNMO:=<84'hj<X[�WZiw>@<8M?��� ´�¸���GC3^h��=I���¦��j®X±��8���=f�3�i�T=4KgTe�j®&¯H�S¦�� ¸C�a�R� ¢q9;:=<B>D<&G`Kg<?7c<?>$3^f �#hj<aKgT�  M�hg<&[]WZiw>@<aM$KgT � �^±^��TH3^WZ<8M�WR:�AXW��AChjU�3CT >D<&UYA^>D�C<84¤�`7/:=<?T �#hg<aKjT <?T?F`iwKg>D<84 7/:`d�AXW/�_i`Q�hgKjT WR:=<&>D<�71<&>D<3CTHhjd¥WJ:w>D<&<�f|AC[?iwh�WZKg<8M?�µWJ:=<?3^hg3C��dC�µ[?hgA�MLMDK\[?MFA^T�4bUYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?M&��7/:=<&>D<aACMAXW_¨cA^U�Qw>LK\4��C<$A^hghHWJ:=<�T=<&71<8MOW;MDi�Q �Z<&[�W@M�7c<?>@<�WOAXiw��:�W�� � À©<8M?�=Qwi=W_¨cA^UBPQw>LK\4��C<#KNM�MD3�ACU�QwKjWZKj3�iHM��g  ª��

�#hg<aKjT�7;ACM�¦w>@3CQHAaQ�hgd$MDd=U�¦HAXWJ:`<?WZKg[·WD3$��AChjU�3CT�  MµMZWZd=hg<C�8M@KjTH[?< �#hg<aKjT7;ACM6�=Tw387/T¼Tw3^W�WO3 Q�<nWO3=3 KjT�WZ<?>@<8MZWZ<84)KgTkWJ:=<­KjT�WD>LK\[?AXWZ< 4=<?WOA^KghgM�3^fWJ:=<?3C>LKg<8M?��A^T�4b¦w>@<]f�<?>@>@<a4­QH>D3`AC4b¦wK\[�WZiw>@<8M?�6��< M@KgU�Kjh\A^>@hjdb¦w>LA^KNML<84¥WR:=<��AChjU�3CTwPR¹·Kg<a4whj<&>�ML<?>LKj<8M�3Cf�WZ<?¶`W@Q�3=3��=MBKgT :wKNM �cyj�?���?}H{Jt8s���t8{�vw�?��t8{�o ��8p8}6v��p&vH�]sD�?} ��{Jt8}\dLu'J�} �8{J�Ft�J=�L�7P�(�V)+*��0) '�" �7,�,�H-,�H '(� )[*-,�>�,0�=�A,�)L�L2 ��3O'(�������&'����6)D)[*-,0���L2^,S"�� ,0.0'����(�12 ' "D)L�# ,D3N��4��7H '(� )+*7,D)[,)"-)�#%�6�=E-"P��3 �A�9�����������M8 �I*�'(.@* *7����,D.0���-)L�&'(#J4-)F,�H ����"F))L��"��7��,S�=H )+*7,D'�H-,S��"Y�I*J'(.@* ���&' "�,A*7,@��,=�I;!*-, ��,����?��� ,�H7'1)F'(�=�^��3K�7���(���=� � "#%�6�=EU#62,� � � '�,�H7��,@��*7��"Y���(�!��27"Y,0� -[�S2�,�H ��� 47�64J"L4J���(�12Z�I' H-,D4J"�,=�

9;:=<Y5$<?>@UYACT�GC<&>@M@Kg3CT�3^f �#hg<aKjT�  M�QS3=3C�'EH>LMZW#A^¦=¦H<aA^>@<84'KgT ®X²C°C¯H�c9;:=<F`iw3^WZ<�AaQS38GC<�KNM�f|>D3�U WJ:=< »©T���hjKNMD:bWD>LA^THMDhgAXWZKg3CTb3^f;WJ:=<�WJ:wKg>@4b<84�KjWZKj3�T��� ´^¯w��¦��j®X³��a�R�¹·Kg<a4whj<&>&  MVG�<?>LM@Kj3�THM�3^f ��AChjU�3�T�  M£Q�3=3C��MV71<&>D< U�3�>D<­WJ:�A^T �ZiHMOW

WD>LA^T�MOh\AXWZKj3�THM&��9;:=<#EH>@MOW�<84�KjWZKj3�THM�7c<?>@<�MDACKg4'WO3�Q�<�AC4�AC¦�WZ<84'KgT�WO3'5$<?>DPUYACTb¢|�_<&i=WDM@[L:'Q�<XAC>DQ�<XKjWZ<]W�ª�ACT�4 h\AXWZ<?>;3CT=<8Mc71<&>D<�fq>@<?<&hjd A�4�A^¦�WZ<84 KjT�WO35$<?>@UYACT ¢Nf|>D<aK`QH<aA^>@QH<aK¬WZ<?WLª]�µ¹·Kj<84�hg<?>�KgTH[]3�>D¦S3C>LAXWZ<84$UYAXWZ<?>LK\A^h�3^f�:wKNM�387/TKgTCWO3�WJ:=<�5$<?>@UYACT�G�<?>LM@Kj3�THM?�

��AChjU�3�T�7cA�M�A^T�<aA^>@hjd UF<?U�Q�<?>�3Cf#WR:=<f]�3CT�4�3�T §VAXWR:=<&UYAXWZK\[?A^h�=3�[]Kg<]WZde¢ ]µ§V�wª���7/:wKg[L:b:=< �Z3CKgT=<a4bKgT ®&¯C±�±w�BIJT ®&¯`¸^±w���_<?Tw>@db�=U�KjWJ:��WJ:=<?T��©>@<8M@Kg4=<&TCW�3Cf=WR:=<Y]µ§V���X��AaG�<�ACT�AC4w4w>D<8MLM¤WO3�WR:=<1��3=[?Kj<?WZdC�XKjTF7/:wKg[L::=<FTw3CWZ<84�:=387�dC3Ci�T�� D1>LKjWZKNMO:£UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^THM�3^fNWZ<?T¥[L:`3=ML<#WO3�MZWZiH4wdA^hg�C<?Qw>@A/ACT�4#�C<?3�UF<?WD>@d_WJ:w>@3Ciw��:$WR:=<1KjT�º�iw<?TH[?<�3Cf���A^hgU�3CT�  M¤WZ<?¶`W@Q�3=3��=M&�� ¾`����¦�� ´C±8�R�C!��� �!,ZH���46#�)D)+*7��) � 4-.@* ��3/)[*-, �7��,�3N,���,��J.0,�3N��� >=,0����,�)L�&'(.����/���7H����(>=,�#7R�&��'(.����\"�� ,�.04J���0)F'(�=�Q�I*J'(.@*Q�!,D�J��)F'(.0,D�����=�7>���4��I26�=47�7>��?�0)+*-,0�?�0)F'(.0'����J"O'�"H64J,�)F�Q)+*7,?�=H���'1�&��#7��,A�!���FE7" ��3O�����\����������� #<���7H .���� �!,ZH7�=46#7)5)[*7�0)�8 '13��)+*-,���� �S�L)L"I��3<�?�0)+*-,0�?�0)F'(.����%"L.0'(,0�J.�, *7��HQ# ,0,�� ,��64 ���(�(2U3N���L)F47�7��)[,D'(� � �7H7R'(��> ��� ,)"*�%��"�'()F����8<�!,Z"L*-�=4�� H ��# "�,����,Q� �I' H-,���'��6)[,���,S"F)?'(�M8$����H � -[4J"F)F,@�� ���7��,0.0'��0)F'(�=� ��3[87)[*-,$�7���=>���,S"�"I�I*J'(.@*Q*7��"I# ,0,0� ��.&*J'(,!��,�H �

9;:=< ���]}��]sDt^y �]}\d�����WO3�<XA�[L:6GC3^hgi�UF<#3^f�WJ:=<QbcsDpXxL�@�0d^oN}`r^�YpZ��{�vw� �µp8}��

Page 16: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¾�®

dCp8} �Vt8{�vw�?��t^{|oqxLt8y���pXx?oq�]{�~ÁQH<?WZ71<&<?T ®X¯C±C±eA^T�4�®&²�°C° ML<?>@GC<8M�A�M£A7cACd'3Cf�UY<XA�MOiH>@KgT���:=387)U�i�[L:�¦w>@A�[�WZKNM@KjT���UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^THM;i�ML<a4£�wA^hjPUB3�T�  M$WZ<]¶=WDQS3=3C��M#<aK¬WJ:=<?>#f�3�>��C<?T=<&>@ACh·>@<]f�<&>D<&TH[]<B3C>#WD3�U�3CWZKjG8AXWZ<YWR:=<aKg>387/T�>@<8ML<XAC>@[L:��wMDKgTH[?<F[]KjWOAXWZKj3�THM;�CKgGC<&T6KjT6WJ:=<�¦HAC¦H<?>LM/¦wi`Q�hgK\MD:=<846KjT6WJ:=<bcsDpXx@�L�0d8oN}=r8� 4`iw>LKgT��nWJ:wKNM�WZKgUF<bA^>@<£hgK\MOWZ<84�KgTÁWJ:wKNM�KgT�4=<]¶¤� ¡ >D3�iw�C:[]3Ci�T�W�>D<&GC<aA^hg<84 ¯`¸£¦HA^¦�<?>LMYWR:�AXW�[]KjWZ<84e��AChjU�3�T½3CT=<'3C>�U�3C>@< WZKgUF<8M&�IJT¥¦HAC>OWZK\[]iHhgAC>&�S<aKj��:�W#¦HAC¦H<?>LM$KjTbGC3Ch|���_IDIOIB¢Z®&¯�¯w®?PR¯`´Cª/ACT=4£WZ<?T¥¦HA^¦�<?>LMKjTeGC3^h����_I � ¢O®&¯C¯`´aPJ¯C³`ª�[]KjWZ<84 WZ<?¶`W@Q�3=3��=MBQ=d ��AChjU�3�T�� ¡�i=WR:=3�>@M�[?K¬WDPKjT��¥�wA^hgUB3�TnKjT�[]hgiH4=<84¤�B¹c� Dc>@Kg3=MD[L:wK��µ¡F��¨cACd=hj<&dC�����µ¡���§£A�[?§£A8:=3�T��¡��;2��c¹H3C>LMOd`WJ:������1��A^U�U�3CT�4¤�/���/�=¦�3CWRWZK\MD7c3`3�4=<���§n�c���1§ �c�_Kjhgh|����9]µA^U�Q���»��w����2/3Ci=WJ:������ ����¨1hgK�HS3�>@4¤���F�H�H�w���H��UBKjWJ:��H���%]�A^>@U�3C>X�]©�µ���µ2�3C�C<&>@M&�·���µ���·2/3CiHML< DcAChjh���¹1�����·§£AC[&A&iHhgACdC�µ¡F�·¿F�µ��:HK¬WZ<?P:`<aAC4��`¡F�8D$� �_<&U�¦H<C�=¡��w5B��5$>D<&<?Tw:HKjhgh|���F�=5B� �S<&i=WR:=<&T��`ACT�4�¡��=§£A^TwPTw:=<XKgU6�/9;:wKNM�KNM_ACT�KjU�¦w>@<8M@M@KgGC<�hgKNMZW_7/:HKg[L:6f�iwhghgd'KgT�4�Kg[&AXWZ<8M;WJ:`<�<?¶=WZ<?T�W3^f��wA^hgUB3�T�  M;KjT�º�iw<?TH[?<C�©9;:=<#>D<?f�<?>@<?TH[?<8M1Q�<&[&A^UF<$f�<&71<&>/KjT'WJ:`<�®X¯C²C°H  M&�¦H<?>@:�A^¦SM/ACM���AChjU�3CT�  M/[?3CT�WZ<?U�¦�3�>@AC>LKj<8M/4�Kg<84'3�>/[]<aACML<84�WD3BQ�<�AC[]WZKjG�<C�

��:wKghj<b71<¥:�AaGC<£[?AXWOAChj3��Ciw<84 f|AaG�3Ciw>LAaQ�hj<�38¦HKjTwKg3CT�M�3^fY�wA^hgUB3�T�  MWZ<]¶=WDQS3=3C��M?�_K¬W�ML<?<&U�M WO3 iHM�WJ:�AXW&��3CTÁ3�[&[?ACM@Kg3CTHM&�_��AChjU�3CT�  M'7/>LK¬WZKgT��7cA�MY4=<?EHTwKjWZ<?hgdni�TH[]hg<XAC>BACT�4nQHAC4whjdn<?¶=¦H>D<8MLML<84¤�­IJTk� ¸=�©¦�� ³C²^��� Dc>@3�[L�>@ACK\ML<84�WJ:=<+F`iw<8MZWZKg3CT�3Cf�7/:`<?WJ:`<&>$��AChjU�3�T�  M�WZ<]¶=WDQS3=3C��M/7c<?>@<�>@<XAChjhgd'A�M[]hg<XAC>�A^T�46ACM;¦S38¦wiwh\A^>/7/KjWR:£MOWZiH4=<&TCWDM_ACM;:wKNM�3�QwKjWZiHA^>LKNMZW@M/[]h\A^KgUF<84¤���_<4=<aM@[]>LKgQH<8M/A^T6A^THTw3^WOAXWZ<84�[]38¦=d�3^f/� ¨;�¤�¤®&¯`¸^²8�¤KgT ]�<aKg[?<aMOWZ<?>��_TwKgGC<?>LM@K¬WZd]�KgQw>@AC>Dd¥7/:wK\[L:bQ�<XAC>@MFMOi�[L:n[]3�UBUY<?T�WDMFA�M �D��A^hjf;WR:=< Dc3=3C�¥i�T�EwW�f�3�>MZWZiH4=<&TCW@M�Qwi=W��C3=3�4Vf�3C>�A�§£AXWJ:HM$WZ<aAC[L:=<?>#3Cfc¡�T�AChjd`WZK\[?A^h�5$<&3CUY<]WD>@dC� �OTw3CW·<aACMDdC�8KgTFf�AC[�W�GC<&>Dd�4wK ��[]iHh�W&� �OQHA�4�hjd�<?¶�¦w>D<8MLML<84�A^T�4F<]¶�¦�hgACKjT=<84¤� �OhgK¬WRWJhj<;3�>·TH3$i�ML< �=MD:=<?<&>µ>@i�QHQwKNMO:�� ��OI�T=<&GC<?>�>@<?UY<?U�QH<&>D<84FWO3#:�AaGC<c>D<aAC4Ae¨1:�A^¦�WZ<&>'7/:HKg[L:Á>@< F`iwKg>@<a4lMO3 U�i�[L:Á<?hgi�[]K\4�AXWZKj3�TÁA^T�4�>@<&[]<aKgGC<84ÁMD3hjKjWRWRhg<C� �IJT£A�[?38¦`d'3^f�� �_�c¨��µ®&¯`�C´a�¤WJ:�AXW�7c<�:=AaG�<�iHML<84¤�H7c<#f�3Ci�T�4�WJ:=<[]3CU�UY<?T�Wf�OI�EHT�4bK¬WFKgU�¦�3=MLM@KjQ�hg<�WO3�UYAC�C<�:=<aAC4¥3C>�WOACKjh©3Cf1WJ:wKNM�AXW@>D3CP[]Kg3CiHMDhjdV7/>@KjWRWZ<?T­i�T��C>LA^U�UBAXWZKg[&A^h�Tw3CT�ML<?THML<��BI#4�36Tw3CW��`TH387 7/:�AXW�KNMACMLML<?>DWZ<84YKgT�WJ:wKNMcAXW�WZ<&U�¦�W1AXWcAFML<?T�WZ<?TH[?<C� ���:wKghj<$MZWZiH4=<&TCW@M1MD3CUY<]WZKgUF<8MhgACd£WJ:=<�Q�hgACUF<�f�3�>#WR:=<aKg>�387/T­KjTH[?3CU�¦w>@<]:=<?THM@Kg3CT­AXW�WJ:`<�f�<?<]WY3^fcWR:=<aKg>hj<X[�WZiw>@<?>LM�3C>�7/K¬WJ:�WJ:=<XKg>�WZ<?¶`W@Q�3=3��=M&�^WJ:=<8ML</<]¶wA^U�¦�hg<8M©MOiH�C�C<8MOW�WJ:=AXW1�wA^hjPUB3�T�  M�7/>LKjWZKjT��Y7cA�M�Tw3^W;A^hg7cACd�M�A^¦=¦w>@<&[?KgAXWZ<84BQ=d�MZWZiH4=<&TCW@M�U�3C>@<_KgT�WZ<?>DP<aMOWZ<84�KjT�¦HACMLM@KgT��F<]¶wACUBKgT�AXWZKj3�THM�WR:�ACT�4�7c<?hghgKjT��B3CT WR:=<$EHT=<?>;¦S3CKgTCW@M/3^fUB3�4=<&>@T6��<?3CUY<]W@>Dd��

Page 17: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¾`´ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�<�# ")7�/��6: ,K*�/G$'& % $'&<,#4�� /84�: ,#$'&C*9;:=<�<aA^>@hgdY¦wi`Q�hgK\MD:wKgT��Y:HK\MOWO3�>Dd�3^f���A^hgU�3CT�  McUB3=MOW�f|ACUB3�iHM;A^T�4�<&T=4`iw>DPKgT��#WZ<]¶=WDQS3=3C���Je _�sD�Lt^{|o\�?�#p8} ��p^}Hoqx �¤�@x?{�oqp8}w���CKNM©A#hgK¬WRWJhj<�[?3CU�¦�hgKg[&AXWZ<a4A^T�4�4w3�<8MµTw3^W�ML<?<?UkWO3�:=AaG�<©QH<&<?TF[?3CU�UF<&TCWZ<84�iH¦�3�TFQH<?f�3C>@<©Q=d�A^T=dC3�T`<7/>LK¬WZKgT��FAaQS3Ci=W1��AChjU�3�T����¥<�7/KghghwWD>@dYWO3�i�Tw>LAaGC<&hwMO3�UF</3^f¤WJ:=</UFd�MOWZ<?>@dWJ:�AXW/MDiw>@>D3�i�T�4wM1WR:=<$EH>LMZW_AC¦=¦H<aA^>LA^TH[?<_3^f·WJ:wKNM/QS3`3����

IJT6WJ:=<�®&¯C¾�°H  M&�H��A^hgU�3CT6:�AC4�¦�h\A^TwT=<84�WO3�7/>LKjWZ<�A�WD>@<XAXWZKNML<#KgT6WZ713GC3Chji�UY<aM©3CT�A^T�AChjd`WZK\[1��<?3�UF<]W@>Dd��^KgTCWZ<&T=4=<84�f�3�>�WJ:=<�iHML</3^f¤i�T�4=<?>@�C>LAC4`i�PAXWZ<8M#AXW$9_¨c�Y��9;:`<YEH>LMZW#GC3Chji�UY<F7;ACM_WO3'Q�<B4wKjG=K\4=<a4VKjT�WO3�WZ7c3 ¦HAC>OWDM&���A^>DW_I�[?3CTHM@KNMZWZKgT�� 3Cf©<?hg<?UY<?T�WOA^>@d6ACT�A^hgd�WZK\[���<?3CUY<]W@>Dd���A^T�4£��AC>OW�IOI/3^fWJ:=<F�C<&3CUY<]WD>@d�3^f�[]3�TwK\[FML<&[]WZKj3�THM&�H7/KjWR:bMO¦�<&[?KgAChµ<&UB¦H:=A�M@K\M_3CT¥UB3�4=<&>@T4=<?G�<?hg38¦wUF<&TCW@M_KgT£WJ:=<YMDi�Q �Z<&[�WX��9;:=<YML<&[?3CT�4�G�3^hji�UY<'¢|��A^>DW_IOIDI_3^f�WR:=<WD>@<aAXWZK\ML<aª©7;ACM�WO3�QH<#4=<?G�3^WZ<84�WD3Y:wKg�C:=<&>c¦�h\A^T=<#[]iw>@GC<8M&��9;:wKNM;¦�hgACT 7;ACM<8MLML<?T�WZKgAChjhgd�f�iwhjEHhghj<84¤�S7/KjWR:��©p8}�oqx����Lx?{|oqp^}w��3^f;®&¯C¾�¯Yf�3C>@U�KjT��BWJ:=<#EH>@MOWGC3Chji�UY<6ACT�4 ��o¬rXvH�]s�b;yjt8}�� � J�s��8����3^f�®&¯`�C´£WJ:`<�ML<X[]3CT�4¤����:�AXW�KNMMDiw>D¦H>@KNM@KgT���WO3�iHM�KNM/WJ:�AXW&�SKjT½®&¯^¾�¸=���wA^hgUB3�T£4=<&[?Kg4=<84�WO3�KNMLMDiw<F<aAC[L:63^f��A^>DWDMBI�A^T�4eIOI�ML<?¦HAC>@AXWZ<&hjd��©<?T�WZK¬WJhg<84 e _�s@�@t^{|o\�?�¥p8}ae�}�t8y�~8{�oqx ���Lp8����]{�s�~ �fb/t^s�{ ���U_�vw����o¬rXv�{ ��oN}S�6t^}\d �·oNs@x]yj����7/:wK\[L:nA^¦=¦H<aA^>@<84bhgAXWZ<KgTV®&¯C¾=¸��`ACT=4�e _�sD�Lt^{|o\�?��p^} e�}St8y¬~8{|oqx �/�Lp^���?{|s�~�t^}\d�p8}�{�vw��_�vw�Lp8s�~pZ� bcyjt8}�� � J�s��a�]�� b/t8s�{�� ��� �©p8}�oqx �¤�Lx]{�oqp8}H�C��7/:wKg[L:­7;ACM$WO3¥A^¦=¦H<aA^>KgT£��ACT�iHAC>DdV®&¯^¾`¯w�/¨138¦wKj<8M_3^f�<XA�[L:�ML<?¦HAC>@AXWZ<$¦HA^>DW�AC>D<�G�<?>@d >LA^>@<C�HACT=4T=<aK¬WJ:=<?>�KNM'hgKNMZWZ<84lKjTlWR:=<�D1>LKjWZKNMO:¼§�iHML<?i�U6  M ���?}S�?sDt8y �©t8{Jt8ygpDr�JH�npZ�bcs�oN}�{R�0d­m_pXp��8�¥3�> _�vw� IFt^{|oqp^}St^y �·}Hoqp8} �©t8{Jt8yjp@r�JH�C��9;:=<V9�>LKgTwKjWZd¨13^hghj<&�C< ]�KgQw>LA^>@d�:�A�M$[?38¦wKg<aM$3Cfc��A^>DWDM�I�ACT=4VIOI�Q�3�i�T=4VWO3��C<]WJ:=<?>$KgTbAM@KjT���hj<_GC3^hgi�UF<��C<?T�WZKjWRhg<84�3CT�WR:=<_MD¦wKgT=< ��t^y���p^}�� �����@p^���?{�s�~ ��� � �S�=9;:wKNM[]38¦=d 7cA�M�¦w>@<aML<&TCWZ<84 WD3nWJ:`< ]�KgQw>@AC>Dd½Q`d���AChjU�3CT�:HKjU�ML<?hjf�KgT�®&¯C²�±w�9;:=<?>@<£KNM'AChgMD3½A [?38¦=d½3^fF��AC>OW�I�3�Twhgd KgT�WJ:=<¥¿_AXWZKg3CT�ACh ]�KgQw>LA^>@d½3^fIJ>@<?h\A^T�4¤�

9;:=<#¦w>@<]f|A�[]<$3^f1� ¡�5$IR����7/:HKg[L:'71<#KgTH[]hgiH4=<$QH<?hg387���UYAC�C<8M1K¬W_[?hj<aA^>WJ:�AXW1��A^hgU�3CT�Qw>@3Ciw��:�W©3�i=W�WJ:`<�EH>@MOW©¦HAC>OW�3Cf�WJ:=<;WD>@<aAXWZK\ML<�A�M©A�ML<?¦�A^>LAXWZ<GC3Chji�UY<�WO3_¦H>D38G=K\4=<©A^T�<&hj<&UF<?T�WOA^>@d$KjT�WD>@3�4�i�[]WZKj3�T�WO3_ACT=AChjd`WZK\[��C<&3CUY<]WD>@dMDiwK¬WOAaQ�hg<$f�3C>;EH>LMOW_A^T�4'ML<X[]3�T=4 dC<aA^>;i�T�4=<?>@�C>LAC4`iHAXWZ<8McAXW/9_¨c�Y��+)Y�O��"5�J��)5� 2 ���@'(>�'��7���$'(�6)F,��-)['(�=� )L�,�J46#7�(' "L*^���^'��7H-,!� ,0�7H-,0�6)O)L��,S�0)F'�"&,A�=�7P�7���(2-)['�. ��,0�=�A,�)L�L268\#�47)D�&�0)+*-,��A� "L4����7��,���,0�6)�)F� )[*-,?���&H�'(�7���L2 ,0�(,0��,��-)LR���L2 �!���FE7"��=� )[*7�0)5"L46#�-F,�.�)�89'�� �I*�'�.&* �I��,S���6)Y)L�Z>='���,���� ��.0.��=47�-)���3$)[*-,���&'(�J.�'��J���$�=H�H�'1)F'(���J"5���=H-,A#62 ���-H-,��&�^>=,0����,�)L�&'(.?����H^����>�,�#7�&��'(.?��,@)[*-�-H�")L�^)[*-,U)[*-,0���L2 ��3DC/4����,S"�����H �747�L3G��.�,�"0� �+� �0) )F,0� �7)F'(��> )L� ,)"7,0.04-)F,Z)+*J'�"

Page 18: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¾`³

H-,S"�'�>�� ��3N��4��7H "L����,^'(�J.0������,0�J'(,0��.0, 3N����� )+*-, 3G��.@)�8P)+*7��)Z)+*-,���, �O��"Q���"�'(�7>=�(,5�!���LEZ'��Q>=,0�-,��&���M4�"�,D��������> )[*-,�"F)[4 H-,0�6)L"/��3 )+*J'�"IC/���(�(,0>�,=8 )L� �I*J'(.@*�I.0��4J��H ��,�3N,@�D3N���5,0�(,0��,0�6)F���L2 '(�73N�������0)F'(�=�9�D;!*-,����0)F, �������M�(��2�H � "P)L��,S�0)[' "�,*7��H^#J,0,0� 3N���D"L�=�A, 2�,S����"5��47)���3 ���&'(�-)�8%���7H �J�Z��)+*-,����/���LE *7��"�)L��E�,0� '1)L"�7����.0,5��"O�D��,0.0��>=�J'�"�,�HU)F, "7)LR #%�6��E�3N���!)[*-,Y4J"�,���3\��4�� -[4���'(���O"F)[4 H-,0�6)L"0�<;!*J'�"H-, �J.0'(,0�J.�2 �M*�����,!��) )F,�� ��)F,�H5)L�5"L4 �����12 '(��)+*7,$3N���(�����I'(�7> �J��>�,�"08=�I*J'(.@*A*7���=,#J,0,0� H-�&���I� 4 � �I'1)+* ��� ,S"�� ,0.0'����<��,�3W,���,0�J.�,Z)F�Q)+*7,�.0�=47��"&,���3O"F)F4JH72(�J47�LR"L4�,�H '(� )[*�' "A.0�����(,0>�,=� 7P" )[*-,Z.0����"�"��J��� .0�=���A,0�J.0'(�7> )[*-,U"F)F4JH72 ��3P)+*J'�""L.�'�,��J.0, �S��,5�J��)O��,��64J'1��,�H98�H64��&'(��> )[*-,D������������.@*�'(��> )F,���� 86)L������6.0,�,�HU# ,�2-R���7H )+*-, �7����� ,��L)F'(,S"?��3P)+*-, �Y'(>=*6)��9'(�7, ���7H C/'1��.0�(,=8!'1)�*7��"�# ,0,�� )+*-�=4�>=*6)��H �-'�"��S#7�(,Q)L� ��46#��('�"L*M8<�I'1)[*-�=4-)�H-,0����268<)+*7��)�%���L)['(�=�f��3Y)[*-,,����,S"�,0�6)��/���LE�I*�'(.@* '�"I��,��64J'1��,�HQ3N���P)+*-,�'1�Y'(����,�H�'��0)F,�4J"�,=� �!*7���=,=8�3W���Y)[*-,D"�����,���,S��"L�=�M8H7' "L.�4J"�"�,�H^)[*-,S"�, ������� ,@�L)F'(,S" ��) >���,S�0)F,�� �(,0�7>�)+*M8 �I3N,S����89)+*���� ���="F)5��,S�=H-,���"�I'(�(�!������������,=�U;!*-,Z�=H�H�'1)F'(���J"D�I*J'(.&* �5*7����,?���=H-,A)L� )+*-,?�?�0) )F,�� 4�"L4 �����12.��=�6)L��'��-,�H '(� ,���,���,0�6)L�S�L2 )L��,S�0)F'�"�,S"D.0�=��"&'�"F)D.&*J'(, ��2 '(� ��)L���(,��&��#��12^.0���J'(��4J".����(�(,0.�)['����?��3J,)"���� �7�(,�" � C/*7��� "0� �����&�����7H 5����@� �@8����7H '��A������.0.��=47�-) ��3J)+*-��"�,�A,�)+*7�-H7"/��3V��#��&'�H�>�,�HZ�J��)L�0)F'(���� C/*7� �J"0���65A�7���7H'5������@� �<�I*�'(.@*U*7���=,P���0)F,0�12#J,0.0�=�A,�"L�A�A4-.&*U4�"�,�HB8����7HZ�I*�'(.@*Z)[*-,�;\47)F����"!���M,0.@)F4���,S"O*7����,=87H64��&'(�7> )+*-,����"F)O3N,��c26,S�S��"087�?�=H-,I>=,0�-,��&���(�(2UE-�J���I�U��������> )+*7,Y.�����H7'�H��0)F,S"/3W���O*-���J����"0�

;!*-,U�7,�.0�=�7H�TV�S�L) ��3!)+*J'�" ;M��,S�0)F'�"�,=8V.0���-)F��'(�J'(�7> )+*7, )[*-,0���L2 ��3YC/���J'(.�-,0.�)['����J"08K' "A'(�-)[,0�7H7,�H )F� #J, ��46#��('�"L*7,�H �0)�)+*-,Z# ,0>='(���J'(��>^��3P�-,)"-) ��'(�����L2;M,���� 8%����HU)[*-,5��,0����'(�7H7,��P��3V)+*-,5�!���LE ��"�"L�6�=�^�S3W)[,��D��"P'�"P3W�=47��H ���&��.@)F'(.�R��#7�(,=�

�O*7����,�)L�?��,@)F4��&� )+*7����E7"!)F� �Q���%;\���I�J"�,0�7H 3N���������62U4J"�,�3W4J� "L4�>=>=,S"FR)['(�=�J"08V���7H 3N����� 4-.@* E-'(��H *-,0��� '(� "L4�� ,@�@'(�6)F,���H7'(��>U)[*-, ������>���,S"�"A��3O)[*-,S"�,�J��>�,�"A)[*7���=4J>�* )[*-,UTV��,�"�"!#I���7H�)L� )[*-,Z#%���S�&H ��35;9�@'(��'()+2 C/���(��,�>=, 3N����)+*-,�('(# ,��&���/��"�"&'�"F)L���J.0,?�I*�'(.@*^)[*-,�2 *�����,A��%B���&H7,�H )L�Q)+*-,�7��,S"&,��-)$�J46#7��'(.��0)['����M�

�5X � ���5X � 7�� � ���; ��� � �F; � C � ���\X �5XO8� -�) 2 �/�,��� )%+-8 �!' � �9;:`<�A�4�GC<&>OWZKNML<&UF<?T�WDM�AXW�WJ:=</QH<&�CKgTwTwKgT��$3Cf�WR:=<�z+J�]y�oN} �µ}�o��a�?sL��oN{|~ ��t^y���]} dCt8s�f�3�>V®X¯^¾�¯H��� ¾`¯8�R�;ACTwTw3�i�TH[]<84eWJ:=<VA^¦=¦H<aA^>LA^T�[]<�3^fF��AChjU�3�T�  M e_�sD�Lt^{|o\�?�$p8} e�}�t8y�~8{�oqx ���Lp8���?{|s�~ �5b/t8s�{ �S�^AXW©A�[?3`MOW�3^fS�CM?�g�CA^T�4YMZWOAXWZ<84WR:�AXW#��A^>DW�IOI�7;ACM�WO3 Q�<F¦wi`Q�hjKNMD:=<a4£KjU�UF<84�K\AXWZ<?hgdC�$9;:=<FQHA�[L��[?38GC<?>�3^fWR:=<�[?38¦`d�3Cf�� ¡�5$IR�wKgTYWJ:=</9_¨c� ]�KgQw>LA^>@dFAC4wGC<?>DWZKNML<84�WJ:�AXW���AC>OW�IOI���[]3CTwPWOA^KgTwKjT���WJ:=<�WJ:=<?3�>Dd�3Cf©[]3CTHKg[�ML<X[�WZKg3CTHM&��7cA�M;WO3�Q�<�¦wi`Q�hjKNMD:=<a46KgT£�`A^T`i�PA^>@d �¬®X¯^¾�¯^���Y¡cW#hg<aACMOW#3�T=<B[?38¦`d63Cfc��A^>DW#IOI_7;ACM�¦w>LKgTCWZ<84­A^T�4¥Q�3�i�T=4��Qwi=W�7c<FA^>@<�Tw3CW$[]<&>OWOACKjT6Kjf�A^T=d6[]38¦wKg<8M�7c<?>@<�<?GC<&>_3�HS<&>D<84�f�3C>$MDAChj<���A�M71<�:�AaGC<�ML<?<&T¥TH3£AC4�G�<?>DWZK\ML<&UF<&TCWDM$>@<?h\AXWZKjT��'WO3£��AC>OW#IOI���_SvH� �µp8} dCp^}

Page 19: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¾C¾ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�©t8{Jt8yjp@r�JH�FpZ��m�p&p �a���������� ��� � �H7/:wK\[L:�hgKNMZWDMcQS3=3C��Mc¦wi�Q�hgKNMO:=<84�KgT'»�T��^Ph\A^T�4bQH<]WZ7c<?<&T ®&¯w®X±'ACT�4½®X¯���®���:�ACM#<&TCW@>@Kg<8M�f�3�>�Q�3CWJ: e _�sD�Lt^{|o\�?��p8}

e�}St^y�~8{�oqx ���Lp8���?{|s�~ � b�t8s�{ �'ACT�4 �©p^}Hoqx����Lx?{|oqp^}w�C�w7/:HKg[L:67c<?>@<$QS3^WJ:¦wi`Q�hjKNMD:=<a4BKgT ]�3CT�4�3�TFQ=d���:wKjWRWOA^�C<&>©A^T�4�¨13H�g�^Qwi=W©UYAC�C<8M·Tw3#UF<&TCWZKg3CT3^f�e _wsD�Lt8{�o\�?��p8}fe�}St^y�~8{�oqx ���@p^���?{�s�~6t^}\d�p8}­{�vw�f_�vH�@p^s�~6pO�?b;yjt8}��� J�s��a�]��Qb/t^s�{ � ��� �©p8}�oqx �¤�@x?{�oqp8}w������:�AXW�KNM#[]<&>OWOACKjT�KNM�WJ:�AXW$��A^>DWDM/IA^T�4�IOI;7c<?>@<�[]3CU�QHKjT=<84�WO3�f�3C>@UWJ:=<#EH>LMZW�<84�KjWZKg3CT�3^f �©p8}�oqx����Lx]{�oqp8}H�C�7/:wK\[L:­7cA�M#¦wi�Q�hgKNMO:=<84­KgTe®X¯^¾`¯w� ��AChjU�3CT�  M�3�QwKjWZiHA^>LKNMZW@M D1<&>LT=AC>@4­ACT=4��3^hjd6��KjG�<FA�¦wi`Q�hgKg[&AXWZKj3�T£4�AXWZ<F3^f�®X¯^¾�¸Yf�3C>�WJ:`<FEH>LMZW$<a4wK¬WZKg3CT¥3^f �©p8}�oqx���Lx?{|oqp^}w�C��7/:=<?>@<aACM/WJ:=<Y[?3C>@>D<X[�W�4�AXWZ<YKNMF®X¯^¾�¯H��9;:=<?d6U�i�MZW$:=AaG�<F[]3�T�Pf�iHML<84�WJ:=<�KjT�[]3CU�¦�hg<]WZ<�� ¡�5$IR����¦wi`Q�hjKNMD:`<846KgTn®&¯C¾=¸=�H7/K¬WJ:�WJ:`<Y[]3CU�¦�hg<]WZ<� ¨;�`���·¦wi`Q�hjKNMD:=<a4 KjTÁ®X¯^¾`¯w��9;:=<£®&°�¯6¦HA^��<aMF3^f_��AC>OW�I#f�3�>DU WJ:`<�EH>@MOW<aKj��:`Wc[L:�A^¦�WZ<&>@M�A^T�4BWJ:`<Y®&²`´$¦HA^��<aM�3^f���A^>DW�IDI�WR:=<�h\ACMOWcM@Kj¶�[L:�AC¦�WZ<?>LM�3^f�©p8}�oqx �¤�Lx]{�oqp8}H�C�©��A^>DWcIDIc[?3CT�WOA^KgT=<a4 WJ:=<�f�3Chjhg387/KjT���A�4�GC<&>OWZKNML<?UY<?T�W&�T�7 �$; �����&�%�I'(���<# ,�J46#7�(' "L*-,�H^��"5"�� ,�,�H7'(�(2 ��"�)[*-, 7/4-)[*-����� "5��)[*-,��5,0��>=��>�,�R��,��-)F"!�I'��(� � ,@����'()�8J���7H �I'(�(� .0���-)F��'(�^��� ��.0.0��4��6)P��3<)+*7, �7����� ,��L)F'(,S"Y��3<)[*-,*J'(>�*7,@�DT<� ���-,�C/47���,S"08 )L��>=,�)+*-,����I'1)+*^� ��,��7,@�&��� �+��H-,)"B8J���7H � ��)F,S"P��� )[*-,*J'�"F)L���L2 ��3V)[*-,�������,5��,0�?�S�LE7��#��(, �Q,@)[*-�-H�"Y����HQ;!*-,0����,0��"0�9;:=<©EH>LMOW·A^T�4�ML<X[]3CT�4$<84�KjWZKj3�THM�3Cf���A^hgU�3CT�  M �©p^}Hoqx �¤�Lx]{�oqp8}H�¤[?3CT�WOA^KgT=<a4Tw3�AXi=WJ:`3�>&  Mµ¦w>D<?f|AC[?<C�^7/:HKg[L:YK\M�A$¦wKjWZd�KgTYG=Kg<?7 3^fHWJ:=</[]3�T�f�iHM@Kj3�TY[&A&i�ML<a4Q=d$WR:=<©<aA^>@hgKj<&>�¦wi`Q�hjK\[?AXWZKg3CT�3Cf9e`_wsD�Lt8{�o\�?�/p8}Qe�}�t8y�~8{�oqx ���Lp8���]{�s�~8�·9;:=<EH>LMZW�<84�KjWZKj3�TY4�K\4¤�^:=387c<?GC<&>&�aKgTH[]hgiH4=<;A/fq>@3CT�WZKNMO¦HKj<X[]<;AC4�G�<?>DWZK\ML<&UF<&TCWX�aWR:=<EH>LMZW�¦HAC>OW�3^fS7/:wK\[L:F7c<;4wK\MD¦�h\A^d�QH<&hj387¼¢NWJ:=<cML<X[]3�T=4F¦HA^>DW�3^fHWJ:=<;AC4�G�<?>DWOPKNML<?UY<?T�W$KNM��ZiHMZW$WJ:=<YAC4wGC<?>DWZKNML<?UY<?T�W�7/:wK\[L:�:�AC4£AChj>@<XA�4�d6A^¦=¦H<aA^>@<846KjT� ¡�5$IOIR��ª��;!*-,53N���(�����I'(�7> �J��>�,�"I3N����� TV���L)L"��@�J���7H ���@�7��3$�?;9��,S��)[' "�, �=�7 � 7�� �5;.�LC�5X � � XK; � ��8 ���7H ��� )[*-,�; ��X � � � � � T � 7 � XaC� � 5�X/�%8\'(�6)F,���H-,�H3N���P)+*-,54J"�,D��3���7H-,���>��&��H-4J�0)F, �6)F4 H-,0�6)L"!��3 )+*7,����J'���,@��"&'1)+2 ��3V�546#7��'(�9��b<�7/Kghjh�4=<?G�3^WZ<;WJ:=<_>@<8MZWc3^f¤WJ:wKNM1ML<X[�WZKg3CT�WO3B[]3�THM@Kg4=<&>@AXWZKg3CT�3^f¤WJ:=<_G8AC>@KjP3Ci�M�<84�KjWZKj3�THM�3Cf�WR:=<�[?3CU�¦�hg<]WZ< �©p8}�oqx ���Lx?{|oqp^}w�C�·9;:=<�f�3Ciw>DWZ<?<&T�[L:�A^¦�WZ<&>@M3^f/� ¨;����®&¯C¾�¯^��AC>D<�ACMcf�3Chjhg387�M?�¨1:�A^¦�WZ<&>/I�� 9;:=<#¦�3�KjT�W¨1:�A^¦�WZ<&>/IOI�� 9;:=<#>LKj��:�W/hgKjT=<¨1:�A^¦�WZ<&>/IOIDI�� »©¶�ACU�¦�hj<8M;3CT'WJ:=<$>LKg�C:`W/hjKgT=<¨1:�A^¦�WZ<&>/I �F� 9;:=<#>LKj��:�W/hgKjT=<�[?3CT�WZKjT`iw<84¨1:�A^¦�WZ<&> �F� »)F�i�AXWZKj3�THM;AaQ�38G�<_WJ:=<$EH>@MOW_4=<?��>D<&<

Page 20: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¾=�

>D<&¦w>@<aML<&TCWZKgT��B>@Kg�C:`W/hgKjT=<8M¨1:=AC¦�WZ<?> ��I�� 9;:=<#[?Kj>L[]hg<¨1:=AC¦�WZ<?> ��IOI�� »�¶wA^U�¦�hg<8M;3CT'WR:=<�[]Kg>L[]hg<¨1:=AC¦�WZ<?> ��IOIDI�� 9;:=<#[?Kj>L[]hg<�[]3�TCWZKgT�iH<a4¨1:=AC¦�WZ<?>/I �Y� �©>@38¦H<&>OWZKg<8Mc[?3CU�U�3CT'WO3�A^hgh�[]iH>DG�<aMc3CfµWJ:=<�ML<&[]3�T�4

4=<?��>D<&<C��4=<84�i�[?<a4'fq>@3CUWR:=<#�C<&T=<?>LA^h¤< F`iHAXWZKg3CT¨1:=AC¦�WZ<?> �Y� » F`iHAXWZKg3CTHMc3Cf�WJ:=<�ML<&[]3�T�4 4=<?��>D<&<�>@<]f�<&>D>@<84�WD3YWJ:=<

[]<&TCW@>D<�A�M;3C>LKj��KjT¨1:=AC¦�WZ<?> ��I�� 9;:=<$¦�A^>LAaQ�3^h\A¨1:=AC¦�WZ<?> ��IOI�� »�¶wA^U�¦�hg<8M/A^T�4 U�KNM@[]<?hgh\A^T=<?3�iHMc¦w>D38¦�<?>DWZKj<8M

3^fµWR:=<�[?3CTwK\[�ML<X[�WZKg3CTHM¨1:=AC¦�WZ<?> ��IOIDI�� §6<]WJ:=3�4wM;3^f�AaQw>LKg4w�C<84 TH3^WOAXWZKg3CT¨1:=AC¦�WZ<?> ��I �F� 5$<?3�UF<]W@>LKg[&A^h�UF<?WR:=3�4wM9;:=<�EH>LMZW1WZ71<&hjG�<_[L:�A^¦�WZ<&>@M&�`7/:wKg[L:�3�[&[]iw¦=d6®&²�²#¦HA^��<aM&�=[]3CT�MZWZKjWZi=WZ<

A#f|A^Kg>@hjdB[]3CU�¦�hg<]WZ</KgTCW@>D3�4`i�[�WZKg3CTBWO3#WJ:=<_MOWZiH4�dF3Cf�A^T�A^hgd`WZKg[c�C<&3CUY<]WD>@d�KgTWR:=<B¦�hgACT=<C�¤iw¦¥WO36A^T�4£KgTH[]hgiH4�KgT��6[]3CTHKg[BML<&[]WZKj3�THM?�¤MDiwKjWOAaQ�hj<Yf�3C>#i�T�4=<?>DP�C>LAC4`iHAXWZ<8M?�'IJTÁ� ¡�5$IDIR������AChjU�3CT­KgT�4�Kg[&AXWZ<84bWR:�AXW�WJ:=<�U�3C>@<�AC4�G8ACTH[]<84¨1:=AC¦�WZ<?>LM �_IOIDI1ACT=4 �_I �¼UBKg�C:`W;QH<$3CU�KjW�WZ<84 Q`d�>@<XA�4=<?>LM1[?3CU�UF<&TH[]KgT��WR:=<�MZWZiH4wdb3Cf_[]3�TwKg[ ML<&[�WZKg3CT�M?�V9;:=<'713�>O�V7;ACMF¦�38¦HiwhgAC>Ff�3�>�WZ<aAC[L:wKgT��¦wiw>@¦�3=ML<8M?��¦HA^>DWJhjdY3CT�AC[&[]3�i�TCW�3Cf�WR:=<�<?¶=WZ<?THM@KgGC<;WD>@<aAXWZUF<?T�W&��7/K¬WJ:�¦�hg<?TwPWZK¬f�iwhH<]¶wA^U�¦�hg<aM&�^3CfHWJ:wKNM�<?hg<?UY<?T�WOA^>@d�UYAXWZ<&>@K\A^h��µ9;:=<cWJ:wKg>OWZ<&<?T�WR:�[L:�A^¦�WZ<&>7cA�M;3CT�WJ:`<#UY<]WJ:=3=4HM/3^f�AaQw>LKg4���<84'TH3^WOAXWZKg3CT���ABWO38¦wK\[#[]3�TCWZKgT�iH<a4�KgT�A^hghMOi`Q�ML< F�iH<?T�W·<84�KjWZKj3�THM&�CA^h¬WR:=3�iw�C:�KjW�:�ACMµf|A^hghg<?TF3�i=W�3^fwf|AaG�3Ciw>·Tw387;AC4�ACd=M&�¹w3C>/¦H>D3Cf�<aMLM@Kg3CT�A^hSUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[?KgACTHM?�`KjW�7cA�M�WJ:=<$EHT�A^h�[L:�A^¦wWZ<?>X��3�[?[?iw¦=d`PKjT��¥¦`¦�� ´C³C²8PJ³C°�°6KjT½WJ:`< EH>LMZW�<84�K¬WZKg3CT���3CT½��<?3�UF<]W@>LKg[&A^h©UY<]WJ:=3=4HM�WJ:�AXW7cA�M;3^fµ��>D<aAXWZ<8MZW/KgTCWZ<&>D<8MOW&���b<�7/Kjhgh�Qw>LKg<]ºHd�4=<8MD[?>@KgQH<#KjWDM�[?3CT�WZ<?T�WDM?�

9;:=< [L:�AC¦�WZ<?>bQH<&�CKgTHM­7/K¬WJ: WR:=< ¦w>LKgTH[]Kg¦�hj< 3Cf�4`iHA^hgKjWZd!A^T�4�WJ:=<UF<]WJ:=3�4V3Cf1>@<&[?Kj¦w>@3�[?AChµ¦S3^h\A^>LM?��«_f©WJ:`<�UY<]WJ:=3=4V3^fc>D<X[]Kg¦w>D3�[&A^h·¦�3^h\A^>LM&�7/:wKg[L:�[?3CTH[?<?>LTHM/A�4`iHA^hgK¬WZd'QH<?WZ71<&<?T�¦�3�KjT�WDM_ACT�4 hgKjT=<8M&����A^hgU�3CT67/>@3^WZ<KjT�AYf�3=3^WDTH3^WZ<$WO3£� ¨;����®&¯C¾�¯^���;!*�' "D#J,S�047)['(3W4J� �A,�)+*7�-H �!��"5'(�6)L���-H647.�,�H #62 � �9T ���J.0,���,@)�8M�I*-��"�,���.0.0�=47�6)�I'(�(��#J,Q3N��4��7H ��)�)+*-, .0������,0��.0,0�A,0�6)A)L� )[*-,U3N�=47�L)[* ������47��,Q��3DCK��,0�(��, � "���=4��&�7����

9;:`<&>D<_WJ:`<&T�f�3^hghj387�M1AFML<&[]WZKj3�T�3CT�:�A^>@U�3CTwK\[/A^T�4�ACTw:�A^>@UB3�TwK\[;¦w>D38¦�<?>DPWZKj<8M�3^f�[]3�TwK\[?M&�_9;:wKNM�ML<X[�WZKg3CT�7;ACM_KjT�º�iw<?TH[?<84£Q=d WJ:=<F7c3C>D�'3Cf©§�Kg[L:=<&h¨1:=A�MOhg<8M?�·IRW1KNM1MOi�[?[?<?<84=<84�Q=dFWJ:=<�UF<?WJ:`3�4�3Cf�KgT�EHTHK¬WZ<8M@KjUBA^h\M?��9;:=</EHT�ACh

Page 21: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¾�± ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

ML<&[]WZKj3�T¥KNM#WJ:=<�UF<?WJ:`3�4¥3^f;¦w>@3��Z<&[]WZKj3�THM&��7/:wK\[L:n�wA^hgUB3�Tb4=<8M@[]>LKgQH<84­ACMf�3^hghj387�M&�;!*-,A�A,�)+*7�-H '�"P)+*-,A'(����,0�6)['���� ��3.� �9T �=��.0,0�(,�)��D�7,0, *J'�"��"� � � )���@8 �J46#7�(' "L*-,�H'(� )[*-,D26,S�S� �!' � � ���O"L*����(� # , >=���=H '13<)[*-,D"L�('(>=*6)5"LE=,�)F.&* *-,���, >='���,0� '(�7H647.�,�"���62 ��,S��H7,�� )L�Q"F)F4JH72 �U�/���LE%8M3N���=� �I*�'�.&*(��*7����, � ,@��*���� " H-,��&'��=,�H ������,'(��3W�����?�0)['���� )+*����Q3N����� ���62U��)+*7,@�P'(�U)[*-,�)+*-,0���L2U��3<.�4����,S"0�

9;:wKNM;f�3=3^W@Tw3^WZ<#7;ACMcU�3�4�K¬E�<a46KgT�WJ:`<$f�3�iw>OWJ:�<84�K¬WZKg3CT��HACMcf�3^hghg387�M?�:0:0:@�-,0,O*J'�"��"� � �%)������� ��� � 2 � ����,)��� ��� � 2 � -�) ����� ��8*�J46#7��'�"L*-,�H�'(��)[*-,!26,S�S� ��' � � 8���!���LEZ�I*J'(.@*98 �!#J,0�('�,)��,=8 ����2Q# ,5��,0>=���&H-,�H ��"I)[*-,53N��4��7H7�0)F'(�=� ��3 � �-H7,��&���,0����,�)L�L26� �+��'1)D�!,@��,Z)F�04J>�*-)D)+*-, ���&'(�J.�'��7�(,S"08 )[*7�0)D)+*7,�����,0��"5.��=�J.�,��&�J'(��>'(� �J�J'1)F,0�12�H�'�"F)L���-) �%��'��6)L"<����2A# ,O,)"-)F,0�7H-,�H )L� �J�J'1)F,��%��'(�-)F"K�������&'�>�*6)/�('(�-, #)+*��0)I)+*7,�����,0��"O.0���J.0,@�@��'(��>�"F27"F)F,���"O��3<.0'1��.0�(,S"�����2U# ,D,)"-)F,���H-,�HU)L��.0�=��'�.�"*7���7'(�7> )[�!� �%�='(�6)L"�.��=�����=� #O����H )+*7��)A)[*-,0����,0��"�.��=�J.�,��&�J'(��> '(�?��>�'(���S�L2�%�='(�6)L"Y���7HU��'(�-,S"I�?��2U# ,D, "7)[,0�7H7,�H?)L����,S��� �%��'��6)L"I���7HQ�('(�7,S"0�

9;:=<©EHT�ACh�ML<&[]WZKj3�T�3^f�WJ:=<�f�3=3^W@Tw3^WZ<©��KjG�<?T�AaQS38GC<��X[?3CTH[?<?>LTwKgT���KjUBA^��KjT�A^>@d¦S3CKgTCWDM�A^T�4�hjKgT=<8M?�w7;ACM;>@<]f�<&>D>@<84'WO3�ACMcWJ:=<$uSs�oN}�x]o u�yj��pZ�Bx@p^}H{�oN}?J�oN{�~8�©IRW7;ACM�A/[?3CT�WZ<?T�WZKj3�iHM�KNMLMOiH<�7/:`<&T�KjT�WD>@3�4`i=[?<84#Q`d#��3CT�[]<?hg<]WX�&A�M¤K¬WµKjT=GC3ChjG�<a4WJ:=<�iHML<#3^f�[]3CU�¦�hg<]¶�UF<]WJ:=3�4wM;KgT�>@<aA^h¤�C<&3CUY<]WD>@dC�wACT�4 KjW_7;ACM/MOWD>@3CT��Chgd38¦=¦�3=ML<84eQ`dÁ¨cAXi�[L:`d��;7/:`3eML<?>@GC<84 ACM'An>D<?f�<?>@<?<�f�3�> 3�T`<V3^f���3CTH[?<]Phg<]W&  M/>@<?h\AXWZ<84'¦�A^¦H<&>@M&�©9;:=<�A^>DWZKg[?hj<#Q=d'2�<?T� <�9·AXWO3CT�3CT���3�TH[]<&hj<?W&��� ¾=¸X�R�¦w>@38G=Kg4=<8M·KjTwf�3C>@UYAXWZKg3CT�3�TY:wKNM�7c3C>D��A^T�4�WJ:=<;¦w>D3�Q�hj<&U�MµKjW�<?TH[?3Ci�T�WZ<?>@<84¤��b<�A^h\MO36Tw3CWZ<�:`387 ��A^hgU�3CTb>D<?f�<?>LM#WO3�WJ:=<�MOi`Q �Z<&[]W�3^f � §�3�4=<&>@T 5$<&3^PUF<?WD>@d� �KjT WJ:wKNM�f�3=3^WDTH3^WZ<C� §�3�4=<?>LTe�C<&3CUF<?WD>@dC��A�M�4=<?G�<?hg38¦H<84 KgTeWR:=<h\AXWZ< ®&¯^WR:�ACT=4e<aA^>@hjdk®&²^WR:�[?<?T�WZiw>DdeQ=de§£3CT��C<��/��3CTH[?<?hg<]W&�_¨1:�ACMDhg<aM&�A^T�4B3^WJ:=<?>LM&�8>D<&¦w>D<8ML<&TCWZ<84YWJ:`<cEH>LMOW©UYA �Z3�>�<]¶=WZ<?T�MDKg3CTB3^f�¦wiw>@</�C<&3CUY<]WD>@d¢qA�M$38¦`¦S3=ML<a4£WO36A^T�A^hgd`WZKg[F�C<?3�UF<?WD>@d�ª_QH<&dC3�T=4£WJ:`<�MOWOAXWZ<YKgT¥7/:HKg[L:VWR:=<5$>@<?<?��M�:�AC4Yhg<]fNW©KjW&��9;:=<1WZ7c3#�C<&3CUF<?WD>@d#WZ<]¶=WDQS3=3C��M�¦wi`Q�hjKNMD:=<a4BKgTB��i`Q�PhgKjT�WJ:�AXW�7c<�>@<]f�<&>D>@<846WO3�KgT¥�=<X[�WZKg3CT¥´w�HWJ:=3`ML<F3^f�§�iwh\[?A^:`d6A^T�4�9µ387/T�PML<?T�4¤�w[?3CT�WOA^KgT=<a4 WJ:=<�¦w:w>LACML< � §�3�4=<&>@T�5$<?3�UF<?WD>@dS �KgT�WJ:`<aKg>;WZK¬WJhg<8M?�

9;:=<�f�3�iw>OWJ: ACT�4 hgAXWZ<&>½<84�KjWZKj3�THM 3Cf½� ¨;�`�6[]3�TCWOACKjT=<84ML<?¦�A^>LAXWZ<[L:�A^¦�WZ<&>@M_3CT£<aAC[L:�3Cf�WJ:`<FWO38¦wK\[?M_3^f©>@<&[]Kg¦w>@3�[?A^h�¦�3^h\A^>LM&��:�A^>@U�3CTwK\[�ACT=4A^TH:=AC>DU�3�TwKg[ ¦w>@38¦H<?>DWZKg<aM�3Cf$[?3CTwK\[?M&�©WJ:=<6UF<]WJ:=3�4½3Cf�¦w>@3��Z<X[�WZKg3CTHM�ACT=4WJ:=<�UY<]WJ:=3=4'3^f·KjTwEHTwKjWZ<aM@KgUYAChgM&��¡lf�iH>OWJ:=<?>/[L:�A^¦�WZ<&>&�=3�T KgT`G8AC>@K\A^T�WDM/ACT=4[]38G8AC>@K\A^T�WDMY3^f�MDd�MZWZ<&U�MF3Cf�[]3�TwKg[&M?��7;ACMBAC4 �Z3CKgT`<84¤� 9;:HK\MB7;ACMB[]hg<XAC>DhgdKgT�ºHiw<&TH[]<84�Q=d���AChjU�3CT�  M;T=<?7c<?>/7c3C>D��3CT�KjT=G8A^>LK\A^T�W/WJ:`<&3C>@dC�

Page 22: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¾�¸

9;K¬WJhg<�¦HA^��<#3^fe _wsD�Lt8{�o\�?�Yp^} e�}�t8y�~8{�oqx ���Lp8���?{|s�~

�b�t8s�{ �

Page 23: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¾�¯ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

9;KjWJhj<�¦HAC�C<$3^fe _�sD�Lt^{|o\�?�Bp8} e�}�t8y�~8{�oqx �/�Lp^���?{|s�~

�b/t8s�{ � �

Page 24: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¾`²

¡�f�<aAXWZiw>@</3^f©� ¨;�¤�H®&¯C¾�¯^�wK\M©WJ:`</KgTH[?hjiHM@Kg3CT�3Cf�<?¶=WZ<?THM@KgGC<;f�3=3^W@Tw3^WZ<8M&�UYA^T=d63^f©7/:HKg[L:V4wKg4VTw3^W�MOiH>DG=KgGC<�KgTCWD3 h\AXWZ<?>$<a4wK¬WZKg3CTHM&���=3CUY<F3^f�WJ:=<8ML<f�3`3CWDTw3CWZ<8M�[]3�TCWOACKjTÁ[?iw>LKj3�iHM�AC4wUBKNMLM@Kj3�THM�3Cf�f�3�>D��<]WOf�iHhjT=<8MLM�3C>�h\AC[L� 3^f�`TH387/hj<84���<�3^f�WJ:`<FhjKjWZ<?>LAXWZiw>@<C�1¹H3C>�<]¶wA^U�¦�hg<C�H3�T6¦�� ´C²C¯�3Cf/� ¨;���µ®&¯^¾`¯8�R�:`<�7/>@3^WZ<���I3N����>=,�)D�I*-,���, �P�A,�)��I'1)+* )+*-, 3W���(�(���I'��7> ��,@)[*-�-H ��3K�=#7)L��'(��'��7>Q)+*-,�7������R,@�L)F'(,S"���3K����>���,S"P"L46#�)F,���H-,�H �0)Y)[*-,53N�6.�4J"P3W���=� )[*-��"�, ��3$"L�?���(�\.0'1��.0�(,S"����^�"���*-,���,=�(:�:0:Qwi=W1KgT�hgAXWZ<&>�<84�KjWZKj3�THM&�C:=<_4=<&[?Kg4=<84BWJ:�AXW1��3C:wT�§�iwh\[?A^:`dB:�AC4B�CKgGC<&T�WJ:wKNMUF<]WJ:=3�4¤�

� ¨;�¤��®X¯`¸8²^�C7;ACM¤WJ:=<©h\ACMOW�WO3$[]3�TCWOACKjT�ACT`d#[L:�A^T���<aM&��¡_hjh=MOi`Q�ML< F`iw<?T�W<a4wK¬WZKg3CTHM�:�AaGC</QH<&<?T�>@<aK\MLMDiw<8M�3^f�WJ:=<_M@K¬¶=WJ:�<84�KjWZKj3�T���9;:`<&dF:�AaGC<�[?3CT�WZKjTwPiw<84�WO3_AC¦=¦H<aA^>X�XA�M·¨1:=<?h\ML<XA/��i�Q�hgKNMO:HKjT��$¨13�U�¦HA^T=d_>@<?¦H>@KgT�WDM?�aWD3/WJ:`<1<?T�43^fHWJ:=<cWZ71<&TCWZKg<]WJ:�[]<&TCWZiw>@dC���©p8}�oqx �¤�@x?{�oqp8}w�;7;ACM���A^hgU�3CT�  M·U�3`MOW�¦�38¦wiwPhgAC>�WZ<]¶=WDQS3=3C�BKjT�WZ<&>DU�M�3Cf�MDAChj<8M©ACT=4B¦w>@3CQ�AaQ�hjdFWR:=</3�T`<;f�3�>�7/:wK\[L:�:=<�KNMQH<8MZW·�=Tw387/T�� Dc3=3C��M¤3�T�[]3CTHKg[�ML<X[�WZKg3CTHM�AC¦=¦H<aA^>@<a4�f|ACKj>@hgd_>@<?�CiHhgAC>Dhgd_4`iw>DPKjT��#WJ:=<�®&¯^WJ:BACT=4�®X²8WJ:�[]<?T�WZiw>LKg<aM&�=A^T�4YWR:=<�MDi�Q �Z<&[�W�f�3�>DUY<84BA#��<?dY¦HA^>DW3^f�AYi�THKjG�<?>LMDKjWZd�UBAXWR:=<&UYAXWZK\[?Mc[]3CiH>@ML<�����3CUF<$WZ<?¶`W@Q�3=3��=M&�wMDi=[L:�ACMcWJ:�AXW3^fH9µ3=4w:�i�T�WZ<?>X�w� ��´a�R�XAChgMD3�>LA^T#WO3$ML<?G�<?>LA^h^<84�KjWZKj3�THM�QHi=W·Tw3�T=<�ML<?<&U�M�:�AaGC<AXW�W@>@A�[�WZ<84#WJ:=<cA�HS<X[�WZKg3CTFWR:�AXW·7cA�M�>@<8ML<?>@GC<84#f�3C>���AChjU�3CT�  M·QS3`3�����IRW�7cA�M¦H<?>@:�A^¦SM�K¬WDM�U�Kj¶=WZiw>D<c3^fS<?hg<?UY<?T�WOA^>@d�UF<?WR:=3�4wM�A^T�4YKjT�WD>@3�4`i=[]WZKj3�T�WO3$WJ:=<UB3�4=<&>@TV�C<?3�UF<?WD>@d 3^f�WJ:=<�®&²^WJ:£[]<?T�WZiw>@d'7/:HKg[L:£AC¦`¦�<XAChj<84�WO3 >D<aAC4=<&>@M&�«�T`<;UBA^dY[?3CU�¦HAC>D</��A^hgU�3CT�  M�QS3`3���7/KjWR:BWJ:�AXW�3^f¤��d=UF<&>@M&�H� ´8¾^�R�^7/:wK\[L:7cA�M�iHML<84YAXW1¨cA^U�QH>@K\4���<cQ�<]f�3�>D<���AChjU�3CT�  M�QS3=3C�FAC¦`¦�<XAC>D<84¤�·��d=UF<&>@M&  MQ�3=3C��KNM�hgK¬WRWJhg<�U�3C>@<#WR:�ACT6WR:=<#EH>LMOW_<aKj��:�W$[L:=AC¦�WZ<?>LM/3Cf©�wA^hgUB3�T�  M?��7/K¬WJ:Tw3CT=<b3^f�WJ:=<¥U�3�>D<b<]¶w[]KjWZKgT�� U�3�4=<?>LTlUBAXWZ<?>LK\A^h��9�3�4�:`i�TCWZ<&>&  Mb®&¯`�C�WD>@<XAXWZKNML<;4=<XACh�W�7/K¬WJ:�MO3�UF<cU�3C>@<;A�4�G8A^TH[?<84�WO38¦HKg[&M?�^MDi�[L:YACM·WJ:=<;UF<?WR:=3�43^f�AaQw>LKg4w�C<84BTw3^WOAXWZKg3CT���Qwi=W1AC��A^KgT�K¬W1K\M�UYACKjTwhgd�4=<?GC3CWZ<84FWD3�<?hg<?UF<&TCWOAC>DdUYAXWZ<?>LK\A^h��

IJT£®&²C¾�¯H�^3CT�WJ:=<�:`i�T=4w>D<84`WJ:�A^TwTwKgGC<&>@M@A^>@d�3CfSWJ:=</EH>LMOWcA^¦=¦�<XAC>@ACTH[]<3^f$� ¨;����®&¯C¾�¯^���SWJ:=< �Vt8{�vw�?��t8{�oqx@t^y ��t��X�?{|{J�$[]3�TCWOACKjT=<84¥A�MD:`3�>OW#[]<&hj<]QwP>@AXWO3�>DdYTw3^WZ<�Q=dB»_�`�F�`¿_<?G=Kjhghg<C�¤� ³=¸X�R��<&TCWZKjWJhj<84 ����AChjU�3CT��j �WO3C��<]WJ:=<?>17/K¬WJ:A�fq>@3CT�WZKNMO¦HKj<X[]<$¦w:=3^WO3��C>LA^¦w:�3Cf�WJ:`<_WZK¬WJhg<�¦�A^�C<�3^f1� ¨;����®&¯C¾�¯^����9;:=<�ML<?TwPWZKjUY<?T�WDM�<?¶=¦H>D<8MLML<84VKgTbWR:=<�AC>OWZK\[]hg<�ML<?<?U WO3�:�AaGC<BQH<?<&T­f�<?h¬W�Q`d¥UYACT`d¦H<?38¦�hg</KgTCWZ<&>D<8MOWZ<a4�KgTBWJ:`</MOWZiH4�dBA^T�4YWZ<XA�[L:wKjT��$3^f��C<&3CUY<]WD>@dC�µ�¥< F`iw3CWZ<WR:=<�AC>OWZK\[]hg<�KgT�f�iwhgh|�;!*-,A��,S�S�&�7,@� ��3K�=�-,�>�,0�-,��&�0)F'(�=� ' "5)+*-, )[,S��.&*7,@�D��3$)[*-, �-,)"-)�89���7H ��"D����4J�(,

Page 25: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

�^° ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

'1) ' " ���J�12 3N�����QH7,�.��=H-,����A"L�U)[*7�0) �Z)F,)"-)�#%�6�=E^���D)L��,S��)[' "�, �7����27"D'1)L" � �S�L)'(�f)+*-, H-,!��,0�(���J�A,0�6)���35'1)L"�"L46#�-F,0.@)ZH�'1��,0.�)+�12 #O�I*��0)Z'�"����&'(>='(�7���Y'(� �?�0) )F,�����Y�A,�)[*-�-HU' "Y��# "L����#J,�HQ#-2Z��,S��H7,���"P���7H � ,�����,S�0)[,�"O)+*-,5#%�6�=E-"O�I*J'(.&*Q)+*7,@2'(� )+*7,S'1�O)F47�&�Q�O�&'1)F,=�!C/*��L27"F)L��� � "�� # ���$��� � ����H ����# "L�=� � " �"� � � 2�� 2��'�,).��� ����,3N��4��6)F��'(��R *-,S�=H7"086#J4-)/)+*-,I2��=47��> �?�0)+*-,0�?�0)F'(.0'����ZH���,S"!����)!>�� )F� )+*-,0� �J��� #*-,!'(� #J'(# ,S"V)[*-,S'1�V�I' "�H7�=� )[*7���=4�>=*�.&*7�����7,���"V3G��"L*J'(�=�-,�H?'(�?*J'�"<���I�?�('(3W,�)F'(�A,=�

;\�Q)+*-, ��4��(,A)+*7,@��,�'�"5�=�-,���47)L�&��>=,0��4J"D'(�J.@��,�H7'(#��(,?>������&'���4J" ,)"7.0,!�7)F'(�=���� ����������� �(�Y;!*-, ������,D"F)F���7H�"Y�J��)P3W������� 47�JE-�J���I� �7�����=��"F)5���7H ������3W,S"&"L�����3$H7'��7'(��'()+268-�J���P>�,0�-,��&'(.����(�12 3W���Y)[*-,�3W�=4��Y����)+*-,0�?�0)['�.0���%)L��,S�0)F'�"&,S"Y��3V�I*�'�.&*)+*���,0,D*7����,5"L4*%B,���,�H )[*-,5.0�������=�U3G�0)F,=� � �����(����� ��' " � 7 ;M��,S�0)F'�"�,A���^C/�=��'�.�7,�.�)F'(�=��"K.��=�6)L��'���'(��> ���Z��.0.0��4��6)K��3%)+*-,O����"F)/'(� �%���L)L���6)<���-H-,��&�����(>�,�#��&��'(.���7H^>=,0����,�)L�&'(.��A,�)+*7�-H7"!�9���7H �J��)[*�'��7>U,0�("&,���7P�7H ��4��D3N�����-)[' "���'(,0.0,?"L*-���I")+*��0)V)+*J'�"V#%�6�=E%8��I*J'(.@*A"L.@*-�6��� #%��27"K���7H 47�7H7,���>��&�=H64 �0)[,�"V��3 )L�-H7��2A����,/4���>=,�H)L�U��,S�=H ��" �Q���0)+)[,��D��3/.0�=47��"�,=8 *7��"�'�� "L�=# ,@�D3G��.�)D��,S��.@*-,�H^'()F"D.0,0�6)F,0�7�S�L26��+)I'�"I)[*-,5������,0�6)/3W���Y�=47�Y"����(47)[,=�9;:=< WJ:wKg>L4 <84�KjWZKj3�T½3^fB� ¨;�`�/7;ACMB¦wi`Q�hjKNMD:=<a4½KjTa]�3�T=4w3CT��©>LAXWJ:=<?>�WJ:�A^TKgT6��i`Q�hjKgT���ACT�4�WJ:wKNM/UBA^d :�AaG�<�<&THMOiH>D<84'WJ:=AXW/KjW_<?T��Z38dC<84'A�7/K\4=<?>�[?Kj>DP[]iHhgAXWZKg3CT­WJ:�A^T­WJ:=<�EH>LMZWYWZ713V<a4wK¬WZKg3CTHM&� �_TwhjKg�C<�WR:=< EH>@MOWBACT�4nML<&[]3�T�4<84�KjWZKj3�THM?�=KjW;[?3CT�WOA^KgT=<a4 A^T AXi=WJ:=3C>X  M�¦w>D<?f|AC[?<C�`7/:wK\[L: 4�K\4�Tw3CW1<]¶�¦�hgKg[?K¬WJhgdhgKjTw�¥WJ:=<�Q�3=3��£WO3½� �_�;¨����·A^T�4bK¬WB7cA�M�Tw3�hg3CT���<?>FMOWOAXWZ<84bWR:�AXW�KjWF7;ACMKgTCWZ<&T=4=<84bf�3�>#WR:=<�iHML<�3Cf;MOWZiH4=<&TCWDM�3^fcWR:=< �_TwKjG�<?>LM@K¬WZd¥3^f/�_i`Q�hjKgT��'IRWDMM@A^hg<aMµUYACd�A^h\MO3�:=AaG�<©QH<&<?TYKjU�¦w>@38GC<84�Q=d$WJ:`<;A^¦=¦�<XAC>@ACTH[]<�KgTY��<&[?<?U�QH<&>®&¯`�C�c3CfHA;f|AaGC3�iw>LAaQ�hj<�QS3`3��#>D<&G`Kg<?7­KgTFA/7/K\4=<?hgd�>@<aAC4�M@[]Kg<?T�WZK¬E�[��Z3Ciw>LT�A^h��� ´^³8�R� ¡�[?[]3�>@4wKjT���WO3 � ¸=�µ¦�� ³�³8�R��WJ:wKNM�>@<?G=Kg<?7 7;ACM#7/>LKjWRWZ<?T­Q=d¥9;:=3CUBACM¡�>L[L:=<?>;��Kg>@MOW�¢Z®X¯C³C°^P@®X¯C²`´Cª��µ��Kg>@MOWc7;ACM13CT=<$3^f�WJ:=<�EH>@MOW D1>LKjWZKNMO:'UYAXWJ:�P<?UBAXWZKg[?KgACTHM1WO3�MZWZiH4wd�f�3C>/A��©:��w�F��KgT'UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[?M&�=7/:wKg[L:':=<$�`A^KgT=<a4KgT�®&¯���´$AXW©WJ:`<��_TwKgGC<?>LM@K¬WZdB3^f¤§£AC>DQwiH>D��KgT 5$<?>@UYACT`d��·�_KNM�WJ:=<aM@KNM�WO38¦HKg[7;ACMcWJ:=<$��<?3�UF<]W@>Dd�3Cf·<&hjhgKg¦�MD3CK\4wM/A^T�4':wKNM/UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h�>D<8ML<aA^>L[L:�7;ACMKgT�WJ:=<�A^>@<XA�3^fw�C<&3CUY<]WD>LK\[?ACh8WD>LA^THMOf�3C>@UYAXWZKg3CT�M?���_Kj>LMOWµQH<X[?ACUF<1��>D3Cf�<8M@MD3C>3^f/�©iH>D<�§£AXWJ:=<?UBAXWZKg[&M#AXW ��TwKgGC<&>@M@KjWZd­¨13^hghj<&�C<��K]�3�T�4�3CTbKjT�®X¯C±�±'ACT=4h\AXWZ<?>#7cA�M���Kg>D<X[�WO3�>$3Cfc�`WZiH4wKj<8M�AXW#WJ:`<�2/38d`A^h�¿_AaG8A^h©¨13^hghj<&�C<C��5$>@<?<&T�P7/K\[L:�����<$WJ:`3�iw�C:`W/:wKg�C:whgd�3^f���A^hgU�3CT��wA�Mc:`<#<?¶=¦H>D<8MLML<84�WJ:=<�f�3Chjhg387/KjT��38¦wKgTwKg3CT�3^f�:wKjU KjT�:wKNM.�Z3�iw>LT=ACh|��� ¸=�H¦�� ³C¾^�R�:0:0: �����!� 2 �J���L)/)+*-,P������,��<E-�J���c*�'(� )+*-,P������,��V��,S"�� ,0.�)!*J'(� #-#62?�7�0)F4���,*-,�'�"I�A"�'(��>��(,�R ��'��7H-,�H98-���-H-,�"F)!�?���98-#J4-)O*-,�'�"O,0�7H����!,�H��I'1)[* ���U'��6)[,0�(��,�.�R)F4J��� �%���!,��P���7H �A.�� �J�S#�'(��'1)+2 ��3 �!���LEQ"L4-.&* ��"I�/,5�&����,0�12Q��,0,@)����Kg>LMZW 7;ACM A^T KjTwºHiw<?T�WZK\A^h�A�4�U�KjTHK\MOWD>LAXWO3�>�KjT�UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[?ACh;ACT�4eM@[]KjP

Page 26: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� �w®

<?T�WZK¬E�[­MD3�[]Kg<]WZKg<aM&�#A^T�4Á:=<b7cA�M'KgTHMOWD>@i�UF<&TCWOACh$KgT)ML<&[]iH>@KgT��e�wA^hgUB3�T�  M<?hg<&[�WZKg3CT A�MFA£¹H<?hghj387 3CfcWJ:=< 2/38d`A^h1��3=[?Kj<?WZd¥3Cf ]�3�T=4w3CT­KjTl®&¯C±�³w�c� ¸��¦�� ³`�a�R�b�_KNMY>@<?G=Kg<?7 KNMLF`iwK¬WZ<�4=<]WOACKjhg<84 A^T�4 ¦�<?>LMO¦HKg[?iw3CiHM&��A^T�4 KjW�¦wKjTwP¦�3�KjT�WDM�ML<&GC<?>LA^hc>@<XA�MO3�THMF7/:=d½��AChjU�3�T�  MBQS3=3C� 7;ACM�MD3¥¦S38¦wiwh\A^>X� �b<¦w>D<8ML<&TCW�WJ:=<�7/:`3Chj<�3^f1WJ:`<�>@<?G=Kg<?7!:=<?>@<C�·ACM$KjW��CKgGC<8M#A'��3=3=4b[]3�TCWZ<&UBP¦�3�>@AC>Dd�A�M@ML<8MLMDUF<?T�W/3^f���A^hgU�3CT�  M;UYA�MZWZ<&>D¦wKg<&[?<C�� )?'�"��^"L�=4���.�,Q��3�.0���J"�'�H7,@�&�S#7�(, "��0)F'�"F3G��.@)F'(�=� )F� �J�7H98$��������>�"F)?)+*7,Z.������!H��3$��,@�L2 '(� � ,��L3N,�.�)�,�H647.0��)['(�=�7���I#%�6�=E-"��I*�'(.@* ����, H���'��12 '�"�"L4J,�H 3W���=� ��4���7��,S"&"08J�D)L��,S��)[' "�,D"L� )L��4J�12 �����(4 ��#7��,5��"/)+*-,/����,S"�,0�6)�#����7HZ'()!' "I����"L��.@*-,0,��&'(�7>)F���(,S���&�Q)+*7�0)O)[*-,/��46#��('(.�*7��"O"L�A3G�S�Y��,�.0�=>��J' �0,�H '1)L"O��,@�@'1)L"I��"!)L�?H-,0�����7HZ�)+*J'1�&HD,�H�'1)F'(���M�V;!*-,K#%�6�=E5'�" �J��� "L4 ��.0'(,0�6)+�(2P�!,0�(�-E-�J���I�M8S��)[*-,��L�I'�"�,O'1)L"M)['()+�(,��'(>�*-)K��'�"L��,S��H��?���62 #=3W���I��� )[*-��4J>=*�'1)/' "$)L��4J,I)[*7�0)K)+*-,I>���,S�0)F,�� � �S�L)!��39'1)!'�"H-,!����)F,�H�)L�Y���D, "J����'(���0)['���� ��3-)[*-,�������� ,@�L)F'(,S" ��3-)+*7,<.0���J'(.$"&,�.�)F'(�=��"08�2�,�)M)+*J'�"#J,�'(�7>?H7�=�-,P3N����� ���Q���7���12-)F'(.���� �%�='(�6)I��3 �-'(,�� .&*J'(, ��2686'1)O�O��"O�-,0.�,�"�"��S�L2U)F��7��,!� �S��,O)[*-,/��,S��H7,��K#62A�5"&'(��'(�����K'(�*�=,�"F)['(>��0)F'(�=����3%)[*-,.�7����� ,��L)F'(,S"/��3%)[*-,!�('(�-,���7H?.0'1��.0�(, #7"L� )+*7��)�8�'��?3��.�)�86)+*-,I�I*-���(,�.0���J"F)F'1)[47)[,�"/� ��,��L2?, ��.0'(,0�6)K)L��,S�0)[' "�,����)+*7,A,0�(,0��,��-)F"D��3I�������127)['(.?>=,0����,�)L�L268M"L4-.@*���" �?�S2 �I'1)[* ��H �����6)L��>=,?#J,�7����.0,�Hf'�� )+*-,Q*7���7H7"?��3P,!��,��L2 "F)[4 H-,0�6)A�I*-� *7��"?����"F)F,@��,�H )+*7,U,0�(,0�A,0�6)L"��3!X<4-.0�('�H98 �������7, )L�&'(>=�=���=�A,�)L�L2^���7H^���(>�,�#��&�-�$� , ��,0�6)[4���,D)L�U��"�"�,��L)�89)[*7�0)�����=�7>="F)K"F)F4JH7,0�6)L"<���1��,S�=H72?��.��64J��'(�6)F,�HA�I'1)[*�'()F"K�A,��&'()F"08�)[*�' "<'�"K���-,O��3B)[*-,S'1�3���=�=4��&'1)F,A)F,)"-)LR #%�6�=E-"!#93N���D)+*-,A)L��,S�0)F�A,0�6)�)+*�����4J>=*-��47)D'�" �=H7��'1�&�S#7�12 .0�(,S����8"F)L�&'(.�)����7H ,���,�>����6)�8 �6'(� 3G��.�)�8V"L4-.&* ��" .���� # ,Z��.@*�'�,)��,�H �=���12�#62 �=�-,��I*-��8#J,�"�'�H-,�"O)+*7��)��J,��L3N,0.@)P����"F)[,��L2U��3 )+*-,5"L46#*-[,0.�)O�I*�'�.&* .0��� ���J�12U# ,D��.��64J'1��,�H#62f���&'(>='(�7���Y��,S"&,S�S��.@*98��%��"�"&,S"�"�,S" ���("L� )+*7��)Z47�7��.��64�'(�&��#7�(, )L����,��-)Z��3 �(47.�' H, " �%�="&'1)['����M8 ���7H '�" >=4�' H-,�H #62 )+*7��) E-���S�I�(,�H�>�,?��3/)[*-,?H7'���.04J� )['(,�"D4�"L4 �����12,��J.0��4��6)F,@��,�HU#62Q"F)[4 H-,0�6)L"08-�I*J'(.&* ,)"*� ,��&'(,0��.0,D�=���(2Q.���� >='���,=�

;!*�' " )+*J'1�&Hc,�H7'1)F'(�=� ' " ��,!�-'�"�,�H ���7H ,0�J������>�,�H98 ���7H .0�=�6)F��'(�J" �����62'(� �7�����=,0��,0�6)L"Y4��%��� )+*-, 3W�����A,��D)[�/��89�I'()+*^��,�"��J,0.�)D)L�U'1)L"5)[2*� ,=8M�S�L�&���7>=,�R�A,0�6)�8O����Hf'1)L"��!,0�(�1R .@*-��"�,0� ����Hf�64��A,����=4�"?"�,0�(,0.�)['����c��3 ,)"���� ���(,S"0� ;!*-,"F)[4 H-,0�6)��I'(�(�$H��Z�!,0�(�V)L�Z�!���FE^���(�V)[*-,S"�,�.0���J"L.0'(,0�6)F'(��4J"L�1268M���7H )L� �J��2 �J���LR)['(.04J����� �0) )F,0�6)['���� )L�U)[*-��"�,�'(�6)F,���,S"F)['��7> .&*7� �7)F,���"D��� � ��#7�@'�H7>=,�H��J��)L�0)F'(���M� �;!*-,5����"F)P.&*7� �7)F,��I.0���6)L��'(��"I�A"L*-���L)I#�47)O.���,S�S�P��.0.0��4��6)I��3\)+*7,�����"F)O# ,S�04-)F'1R3W4J� ���-H-,��&�?>�,0�=�A,�)L�&'�.I�A,�)[*-�-H7"086��������>�"F)K�I*�'(.@*�'�"K)+*7��)$# ,S�04-)F'13W4J� �A,�)[*-�-H��3V��,0.0'������6.0��� �%��������" ����"F)Y'��6)L���-H64-.0,�HQ#62QT �=��.0,0�(,�)�8%���^��.��64J��'(�6)L����.0,��I'1)+*�I*�'(.@*c����2 # ,^"���'�H )L� 3N����� ���c,!�%�6.@* '(� )+*7, *�' "F)F���L2c��3 ,!��,��L2 26�=47��>���0)[*-,0����)['(.0'����M�

;!*-,�'(� �%���L)L����.0,Y��3\)+*-,S"&,P��,�)+*-�-H�"$�?�S2�# ,Y,�"F)['(�?�0)F,�H�3N���=� )[*-,I3G��.�)�8)+*7�0)�'(� )+*7,D*7����H7"P��3/�-)F,S'(�-,���8J�I'1)+*^"L.�����.0,��(2 ���62 *-,0��� 3N����� ���(>=,�#7�&�78%)+*-,�2*7����,K# ,0.0����,<)[*-,/���="F) �%���!,��L3W4J�7'(�J"F)L��47��,0�6)L"9��3 H�'�"L.0����,��L268����7H *�����,K>='���,0�� �!�=�7H-,��L3N4��B'���"�'�>�*6)P'(�6)L� )[*-,5�7�0)F47��,D���7H,������� ,��L)['(,�"I��3V.04���=,�"!#���� '(�J"�'(>=*6)

Page 27: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

�C´ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�I*J'(.&* '�"08�� ,���*7� �J"08O������, )+*-�����=4�>=* ���7H H7'(��,�.�)Z)[*7��� ���62f�0)+)F��'(�7��#��(,^#62�=�-, �I*-�Q'�"5��.0.04J"F)F�=��,�H )L�Z.������V'(� )+*7, ������, �A,0.&*����J'(.���� ��'�H^��3K���(>�,�#��&��'(..�����.�4J���0)F'(�=�9�

� ,ZH7� �J��) �I'�"L* *-,���,?)L� ��,)�7'���,?)+*-,?��� H����7H�4J"�,0�(,S"�"?H7' "L.04�"�"&'(��� �=�)+*7,�.��=� � �S�&�0)F'���,Z��,��&'1)L" ��3I)+*7,Z���(>=,�#7�&��'(. ���7H�>=,0����,�)L�&'(.Z��,�)+*-�-H�"!#$#%��)+**7����,D4��7H7�=46#�)[,�H��12?)+*7,S'1�P�=H*�=���-)F��>�,�"08 ���7H #%��)[* ����, '(��H7' "��J,0�J"���#7��,��.�[�U)[*-,>���,S�0)[,��/�J���L)I��3V)[*-,$�7��,�"�,0�6)O)L��,S�0)F'�"�,=8%*-���!,!�=,���8�)+*-,�3N������,��Y��3 )[*-,S"�,D��,�)+*�R�-H�"P' "��=H7���7)F,�H #9���7H '��^H-�&���I'(�7> �0) )F,0�6)F'(��� )L��)[*-, '(� �%���L)L���J.0, ��3$)+*-, � ��"F).&*�����)[,���8��!,I�!��4J��H���,���,��(2A��,0�?�S�LE%8�)+*��0)K'13\*�' "$�=#�-F,0.@)O# ,O)L� �=#7)L��'(�U�5)[*-���LR�=4�>=* E-���S�I�(,0>�,Z��3O)+*7, ������� ,��L)['�,S" ��3O.��=�J'(.0"08\)[*-,?"F)[4 H-,0�6)D�I'��(�/H�� �/,0�(�K)L�.0��� #�'(�7,U#%��)+* ��,�)+*-�-H�" )L� � >���,S��)[,��Z,)"-)F,��-) )+*���� ' "�H7�=�-,U*7,@��, #O3N���?)[*-,3G��.�)!.����J����)K# ,YH�'�"��J4-)F,�H98�)[*7�0)K)+*-,���,��L2 3G��.�'��('1)[2��I'1)+*?�I*J'(.&*?��,�"L4�� )L"$.�����# ,�=#7)L��'��-,�H ���(>�,�#��&��'(.����(�1268<�?�S2�'(�7H�'1��,0.�)+�12 �7��,!��,0�6)D)+*7��) '(�6)F'(�?�0)[,���.��64J��'(�6)LR����.0,D�I'1)[* )+*7, �7����� ,��L)F'(,S"���3$.04����,S"I�I*J'(.&* �?�@'(>�' H >�,0�=�A,�)L�&'�.0��� '(����,S"F)F'(>��SR)F'(��� ���("L��"�,0.047��,�"0�IJT6G=Kj<&7k3Cf���AChjU�3�T�  M_AC4�U�KjW�WZ<84�KgT=4=<?Q�WZ<84�T=<aMLMcWO3���3�TH[]<&hj<?W&  Mc¦wKj3�T=<?<?>DPKgT��¥7c3C>D�S��<8MD¦H<X[]K\A^hghjd­WJ:�AXW�[?3CT�WOA^KgT=<a4½KjT)� ³C²8�R�©KjWBUBA^dnQ�<�KgT�f�3�>DUBAXWOPKgGC<#WO3�WOAC�C<#KjT�WO3 A�[?[?3Ci�T�W_MO3�UF<#3^f©��3CT�[]<?hg<]WX  M;¦Hi�Q�hgKNMO:=<84�38¦wKjTHKj3�THM/3CT��AChjU�3CT�  M 713�>O���1KgTÁ¦HAC>OWZK\[]iHhgAC>£� ¨;���$®&¯`�C�8���)�C<aA^T � �_K\[�WD3C>���3CTH[?<?hg<]W¢Z®8¸8¯�¯8PL®&¯C±=¸^ª�7cA�M·WR:=</KgT=GC<?T�WO3�>�3^f¤UYACT`dF3^fSWR:=<;WZ<X[L:wTwK F�iH<aM©3^f�¦w>D3*�Z<&[]WOPKgGC<B�C<?3�UF<?WD>@d'WJ:�AXW�7c<?>@<�MO3�¦�38¦HiwhgAC>�KgT¥WR:=<�®&²^WR:¥[]<?T�WZiw>@dC�¤KgTH[]hgiH4�KgT��WJ:=<�UF<]WJ:=3�4wM�3Cf�4`iHAChjKjWZdC��>D<X[]Kg¦w>@3=[&A^h¤¦S3^h\A^>LM?�w¦H>D3*�Z<&[�WZKg3CT�ACT=46[?3CU�¦�hj<?¶UF<?WJ:`3�4wM&�­��KNMBUYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?ACh�[?AC>D<&<?>Y7cA�M�Q�hgKj��:�WZ<84½Q`d­¦w>LKg3C>LKjWZd­4wK\MOP¦wi=WZ<8M#A^T�4£[?>@KjWZK\[]KNMOU 3Cf�:wKNM � ¦w>LKgTH[]Kg¦�hj<B3^fc[]3CT�WZKgT�iwKjWZdC�g ���KNM#[]3CU�UY<?T�WDMKgT�:wKNM�h\AXWZ<?>�7c3C>D�=M&�#� ¾`°8��ACT=4)� ¾H®?���;MO:=387 WJ:=AXW�:=<£7;ACM�¦HA^>DWZKg[?iwh\A^>@hjdML<?T�MDKjWZKgGC<�WD3 WJ:=< F`iw<8MOWZKj3�TV3Cf1¦w>LKg3C>LK¬WZd63Cfc4�KNM@[]38GC<&>Dd�KgTVUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h>@<aML<aA^>L[L:�A^T�4�:=<�WO3=3C��MOi�[L:�UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^THMµACM·�_ACUBKgh�WD3CTFACT=4B¨cA^d=hj<&dWO3 WOACMD�'f�3�>�f|ACKjhgKgT���WO3�AC4�U�KjW$:wKNMB¢q��3�TH[]<&hj<?W&  M@ª�¦w>LKj3�>@KjWZd6KjT¥MOi�[L:£UBAXWOPWZ<?>LM/ACMcWJ:=<$¦w>D3�Q�hj<&U3^f·KjT�MD[?>@KgQwKgT���3C>/[]Kg>@[?i�U�MD[?>@KgQwKgT��Y¦S3^hgd=�C3CT�M1KgT�3C>A^>@3Ci�T�4�[]3�TwK\[/ML<&[�WZKg3CT�M?�;¢q¹H3C>©U�3C>@<�3�T�WR:=</7c3C>D�F3^f���3�TH[]<&hj<?W&�=¨cACd=hj<&dC�A^T�4­��A^hgU�3CT¥3CT¥WR:HK\M�MDi`Q �Z<&[]W&��ML<&<FWJ:=<BAC>OWZK\[]hg<BQ`d£����¡��µ9�3�4w4¤�1� �C°8�R� ª2/<X[?A^hghgKjT��B�C3^hgd�  Mc>@<?UBA^>O���`KjT�[]hgiH4=<84�KgT6�=<X[�WZKg3CT'´w�`WR:�AXW;K¬W/KNMcUYAXWRWZ<?>c3^f<]¶=W@>D<&UF<;4�K ��[?iwh�WZd�WD3$M@A^d#:=387 U�i�[L:F3CfHWJ:=<1UBAXWZ<?>LK\A^h=KjTY:wKNM·WZ<]¶=WDQS3=3C��M7;ACM�3�>@Kg�CKgT�A^h;WO3½�wA^hgUB3�T��/��3CTH[?<?hg<]WX  M�[?3CU�UF<&TCWDM'AXW�WJ:`<�<&T�4 3Cf#WR:=<F`iw3^WOAXWZKg3CT QH<?hg387��`WOA^��<?T�fq>@3CU � ¾�®C�`¦`¦�� ´w®C®]PZ´�®a´a�R��AC>D<�i�T=4=<&>@MOWOA^T�4�AaQ�hg<C�¿�3�T=<]WJ:=<?hg<aMLM&��ACM�WR:=<�F�iH3^WOAXWZKg3CT KjT�4�K\[?AXWZ<8M&����3CTH[?<?hg<]W'A�[L�=Tw387/hj<84���<84WJ:�AXW/��AChjU�3�T�  M �©p8}�oqx �¤�Lx]{�oqp8}H��:=<?hg¦H<84 WO3�>D<8M@[]iw<_WR:=<#UF<?WJ:`3�4wMc3Cf�:wKNM

Page 28: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� �C³

387/T _wsDt8oN{���Ud���� bcsDpLuSs�o���?{���]��u�sDp��?�Lx?{|o��8�]�Zd���� �µr�J�sD�]�C�¤� ³�²8�R�Cf|>D3�U>D<&hgAXWDPKjG�<$3�Q�hjKgG=Kj3�T��C/,S"�H�'���,���"�,S" �7�����%�="&'1)['����J" "L4�� �(,�" �%���127>=���-,�"�H � ���&H-��, � ��'1� ,�) '(� � ��'1��8'(��"L.��&'()F"$��4?.0'1��.0���J"L.��&'1)L"$�04 " "�,0.�)['����J"$.0�=��'��-4�,S"08�"�,!��,�)L���=4 ��,0�6)<H��,0���=�6)L���,0,S"08��'(�J"�' �64�,�# ,S�04-.0��4��QH � �047)L��,S"08*� �S�I�������'�,�>��,0����,�)L�&' �64�,=8�H����J"!�(, C/*7� �9�*���@8�-,0.�)�� �65A8\H-,����=� � � � � )��� ��� � � � 2 � ����,)��� � � 2 � -�) ����� � ��� �� � �3� � � � ��' � � �@�X<�(�(,�" ���-)�8 H-,!��4J'�" �64J,0���64J,S" ���J���,0,S" "�,04J�(,0�A,0�6)�8 ��) )F'1� �, � � �0)+)[,0�6)F'(�=� H-,�7�(4J"�'(,04���"��,0��'(�7,��-)F" >��,0�=���,@)L��,�"��,�)L�&���7>=,���" � � � � � ��,@#J'14�" ,�) � �� � ,0�� 032 � �/�1��#���� � � ��# # �@8 �!' � ' �@8�"�'1� �c'(�(�('���� ������'(� )L��� ��� � -�) � � � � 2���� �"���) �,�/� �.2�� ��8 ��' ��� �@8 �P,)�B� ��,�����>=,D�����(����� � � � � ��) ����� 2*� - 2�� ��- ��� -�) ��2�� �&8 ��' � � 8�9� � ' � �@:�:�:

� ;!*-,���,Z3N�����(���I"Z� H-,�"L.@�@'��7)F'(�=� ��3Y)+*-,?�!���LE���3$� �=,�#J'14�"08 � �� � ,��G8K����H������'(� )L���U���Z'���"L.��&'(#J'(��>A���7H�.0'1��.047��"L.��&'(#J'(��> �%���(27>��=�J"/'��Z���I������4��7H �%���12-R>��=��"0� �

C/,S"A)+*��,������,0�A,�" � )+*7�="&,Z��3�� ��,�#�'14J"08 � �� �J,0�8$���7H �5����'(� )L�=���/���-) 47�-,���7���(�=>�'�,��,!�-' H-,0�6)F, ����,0. .0,04*" H-,S"������ � � � �� ���*� H7, .0,A;M�&��'1) �,�� � � 2 � � ��,)��� �"� 2 � -�) ����� � �G8JH��=�6)K'(��"/"L�=�6)!��� "&'(� �7�(,P,)"-)[,0�J"�'(�=�Z�04Z.���"OH7,Y� � ,�"��J��.0,�8�.��=����,�(,���,0����� �64J,��(4J'1R ���,0�A,,� � ������'(� )L�=�98��64J'$�-,�.0�=������' "�"���'()�H � ��'(�(�(,04���"A��,S"�7��������,S"���,0.&*-,���.@*-,S" �64J, � �S�?�(,S"?.0'1)L�0)['����J"ZH-,Q� � ,)"7.0,0�(�(,0�6) �"� � � )���8��� � ��� -��) �.2�� � - 2�� � � � � �VH-4 �Y,!�%���"!V�����(���=�M8 �%��"F)��,��&'(,04��!�04���'�,���H7,��7�(4J"KH7,!)L��,0�6)[,���J���,0,S"0�

7 � �#�,�>����&H H7, .0,�H7,��&��'�,@� ,�)D"����=���6)5�=4 �6�&��>=,�8M��� �J46#7��'(.��0)['�����H-, ��' � �-[�=4�'()�8�,0� ���&���J.0,�86H � 47�-, -F4�"F)F,O.��,��$�,�#��&'1)��,=86,�)<� � ��� ��" �J,04�.0���6)L�@'(#�4%�,"��P��,���,)��,���(,S"/�&�,@)[*-�-H-,�"$H-,YH��,0�����J"F)L�&�0)F'(�=��,@)!H-,O��,0.@*-,���.&*-,S"K>��,0�=�&�,�)L�&'��64J,S"KH-4Z;9�&��'1)��,H-,S" TV�������&'$�,�)��,0" �7����-[,0.�)F'���,S"08ZH-, � � ,S"����,0.0, H-,fH�'�"L.����,�H7'() �'�4�,0�(�(,S"(�,�)F��'(,0�6))F�=� #��,0,S"<H-,!�J4�' " ��' ��� 8 �J���<"L4�'()[,!H-,/3����.@*-,04�"�,�"$H7' "L.04�"�"&'(���J"$H7, ���&'(���&'1)��,O,�)$H-,�7���,!��,0�6)['����J"O�04�"�"&' � ,04 -F4�"F)F'��%�,0,S"��64J,5�����9H��,�>=4J'�" �,0,S"0� � �,����J����'���"087�=� H7�='1)��,�>���,�) )F,�� �64�,=8KH����J"��(,Q��� �$� ' H7,U"L�=� ��,0����� �64 ��#7��,Q;M�&��'() �,)�,0�$�,0��,��-)F��'1��,=8� �Q�7���(���=� � � ��'1) �%�='(�6)c��.0.0���&H��, �7�(4J"cH � �0) )F,0�6)['����*�� � � '(� �%���L)L���6)F, ,�)H��,0�('(.��0)F,�)+*��,0���&'�, H7, � � '(�J"L.@�@'��7)F'(�=� H-,S" �%���(27>��=�-,S" �04*" .0�=��'��-4�,S"08D)[*��,0���&'(,�64�,=8+���� � , "�,�� ���(,DH-, � �J;\���I�J"�,0�7H98�'(�9�&�0) )L��.&*-,,�������.0���J"�'�H��,��&�0)F'(���M8 �7�(47)-���)"F27�6)+*%�,�)[' �64�, �64 � �������127)['��-4�,=8Z#J'(,0� �64J, "F2�� #%���(' �64�, ,�)f��#�� �,)�7'��0)F'���,�8 H-,S". � ���,-/� � �0/ � 2 � -�) � . � H-, H7����'1)F,S" .0�=����,���>�,0�6)F,S"08 H7�=�6) � � � �� � ,0�Q"!�#�,@)L��'1)�,�>����(,0�A,0�6)!"�,���-'BH7���J"K"L�=� �1�,0���='1��,P���(�(,0�?���7H987H-, �!' � ' �KT ,047)LR��,�)L��,Y���,0�A,=8"�,��&��'1)�����,0� H7����'() H-,?�(4J'V��,!�7���6.@*-,���8M.0������,���Z)L���-)DH � �047)L��,S"08 H7,A� � �����='1��J��"Y)L�=4�-F�=47��"P)[,0�64 47� .0�=� �7)F,D"L4 �?"�����,��-)Y,)"���.�)5H-, ���UH7'&%��,���,0�J.�,=82��?���=�"�,0��" .�� ��'1)L���(,=85,0�6)L��,�H��,0.0�=4 �6�@'1� ,@) H��,����=�6)L��,�� �7�-'1� �5����'(� )L�=� ��,(� �S�&���31)������'1�P��'(,04*"U"���'�"&'M� � ,S"��7�@'1)P,�)Y��� �%���L) �,0, H-,5��� �64J,S"F)['���� H����6)I'��9"!� ��>�'()��

Page 29: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

�8¾ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

��<aMD¦wKjWZ<�WJ:=<;[]>LK¬WZK\[]KNMDU6�^��3CTH[?<?hg<]W�:�AC4YA�:wKg�C:Y38¦wKgTwKj3�T�3^f���A^hgU�3CT��8M@KjT�[]<KgT­� ¾�°H��¦�� ¾�°��8���=:=<�4=<8MD[?>LKjQ�<a4':wKgU A�M�(,D�(�S26���(, ,�)PH��6.�)[, �����(�����M8�.0,�)Y'(�-)[,�������,@)F,5#�'�,��*�=,�'(�(�����6)Y,�)Y�(47.�' H-,DH-,S"Y���=47R��,0�(�(,S"�H7�6.�)L�&'(�7,S"Y���(>��,0#��&'(.0��R >��,0�=�&�,�)L�&'��64J,S"08(:S:0:¡�TH3^WJ:=<?> ¹H>D<&TH[L: �C<&3CUF<?WZ<?> 7/:=3=ML<�713�>O� KjT�º�iw<?TH[?<84 ��A^hgU�3CT 7;ACM§�K\[L:=<?h�¨1:�ACMDhj<8M�¢Z®8¸8²�³8PL®&¯C¯�°�ª]�Y¨1:=A�MOhg<8M$:wKjU�ML<&h¬fc7/>D3CWZ<BA'WD>@<aAXWZK\ML<B3CT[]3�TwK\[�ML<&[�WZKg3CT�M?�$�¬®a´a�R�cQHi=W 3CTwhgd WJ:=<6EH>LMZW�¦�A^>DW�<?GC<&> A^¦=¦�<XAC>D<84¤�Á�b<f�3Ci�T�4�3CTHhjd�3CT=<#Qw>LKj<?f�>D<?f�<?>@<?TH[?<#WO3 ��A^hgU�3CT6KgT �¬®a´��w¦�� ³�´w®]�R�w7/:wK\[L:671<KgTH[]hgiH4=<�:=<?>@<C�� �7�7���(���=�98-H����J"K"L�=�Z,)"7.0,0�(�(,0�6) �"� � � )������� ����� -�) ��2*� � -/2*� � � �"� � � ��� �,0H�'1)F'(�=�98� ��>=, � � � �@8J,S"F)/�J�����,0�64 ���47�-, �,��64 �0)F'(���Q3N���L)�"�'(� �7��,5H-4Q�('�,�4 .@*-,���.&*��,��

� �# ")7�/��6: ,K*�/G$'& :3/ � ,-@ 3/;7�� !-�&3/ % A 7��'/?*��AChjU�3CT�  M$ML<&[?3CT�4�UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h�WZ<]¶=WDQS3=3C�67cA�M�A e _�s@�@t^{|o\�?��p^}n{NvH���o¬ravw�?sZbcyjt8}�� � J�s��a�]�C��7/K¬WJ:�WJ:=<FMDi�QwWZK¬WJhg< oN}H{J�?}\dC�0d6ta��t��?���JH�]y·{Rp e_wsD�Lt8{�o\�]�_p8} �©p8}Hoqx ���Lx]{�oqp8}H�C�a¦wi`Q�hjKNMD:`<84�KgT�®X¯��C´w��¡_M�71<1UF<?T�WZKg3CT=<84#KjTWJ:=<©¦w>@<?G=Kj3�iHM�ML<X[�WZKg3CT��&WJ:wKNM�7;ACM¤WR:=<cML<&[]3�T�4�G�3^hgi�UF<�3^fHA/WD>@<XAXWZKNML<�3CT�WR:=<A^T�AChjd`WZK\[µ��<?3�UF<]W@>Dd�3^f�MO¦�AC[]<�3Cf=WZ713�4�KgUF<&THM@Kj3�THM&��IRW�KNM�ACKjUY<a4#AXWµA;U�3�>D<AC4wGaACTH[]<84 UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?ACh�AXiH4�Kg<?T�[]<�WJ:�A^Tb� ¨;�=����A^T�4 7cA�M�MDiwK¬WOAaQ�hg<$3CTwhgdf�3C>YML<?TwKg3C>�i�T�4=<&>D��>@A�4�i�AXWZ<aM�3C>F>D<8ML<aA^>L[L:`<&>@M&��IJT­WJ:=<�¦w>@<]f|A�[]< ��AChjU�3CTAC[L�=Tw387/hg<84��C<8MBWJ:=<6KjT�º�iw<?TH[?<£3^f���3CT�[]<?hg<]WX�$� ³C²^����¨1:�ACMDhj<8M&���¬®�®]�R�cACT=4�©h �iH[L��<?>;3CT6:wKNM;7c3C>O���

9;:=<ÁQS3=3C� :�A�M ML<?G�<?T [L:�A^¦�WZ<&>@M&� 4=<aA^hgKjT���7/KjWJ: WR:=<�f�3Chjhg387/KjT��MDi�Q �Z<X[�WDM&��WOACT��C<?T�WZK\A^h_[?3`3�>@4wKjT�AXWZ<8M�/��<?T=<?>LA^h/¦H>D38¦�<?>DWZKj<8M�3Cf#AChj��<]Qw>LA^K\[[]iH>DG�<aM��_[?iw>DG�<8M�3^f$WJ:`<£WR:HKj>L4 4=<?�C>@<?<���[]iw>@GC<8M�3Cf#WR:=<6f�3�iw>OWJ:�4=<?��>D<&< �WD>LA^T�MD[?<?T�4=<?T�WOA^h�[?iw>DG�<8M���C<?T=<&>@ACh¤UF<]WJ:=3�4wM��SAC¦`¦�hgK\[?AXWZKg3CTHMc3^f�WJ:=<�KgTCWZ<&�^P>LA^h�[&A^h\[]iwhgiHM&�c9;:=<?>@<FAC>D<�AChgMD3BWZ71<&TCWZd6M@K¬¶6¦HA^��<8M/3^f�Tw3CWZ<aM&�;9;:`<FTw3^WZ<8MA^>@<�>@<?G�<XAChjKgT��H�SACM_WR:=<&d�4=<aA^h·KjTV¦HA^>DW�7/KjWJ:V4=<]WZ<&>DU�KgT=ACTCW@M�ACT=4£<?hgKjU�KgT�PAXWZKg3CTbWJ:`<&3C>@dC�·A^T�4bKjT�4�K\[?AXWZ<�WJ:=<�QH<&�CKgTwTwKgT���M�3Cf��wA^hgUB3�T�  M�KjT�WZ<?>@<8MZWYKjTKgT`G8AC>@K\A^T�W�WJ:=<?3�>Dd���WJ:=<�MOi`Q �Z<X[�WF3Cf;:HK\MFT=<]¶=WFQS3`3��¥KgT�®&¯`�^²H��9;:=<?>@<�KNMA^h\MD3$A#MD:`3�>OW©4�KNM@[]iHMLM@Kg3CTF3CfHWJ:=<;UF<aA^TwKgT��#3^fS[?3CU�¦�hg<]¶FT`i�U�QH<&>�UF<]WJ:=3�4wMKgT��C<&3CUF<?WD>@dC�`KjT�[]hgiH4�KgT��YA�UY<?T�WZKj3�T 3^f F`iHAXWZ<&>LTwKj3�THM&�^WJ:=<?T AYMOi`Q �Z<&[]W�3^fU�i�[L:�>D<8ML<aA^>L[L:�KjT���i�Q�hgKgT��

9;:=<�MOWZd`hg<�3Cf·7/>LKjWZKjT���KgT � ���c¨��·K\M�hj3=3=ML<?>;WJ:�A^T�WJ:=AXW�KgT � ¨;�`�·ACT=4AXW_WZKgUF<8M#��A^hgU�3CTV4wK\MD¦�h\A^d�M�A Tw3CT�[L:=AChgACTH[]<�7/KjWJ:V>@<?�`A^>L4 WD3 :wKNM$QHAC[L�`P�C>@3Ci�T�46>@<XA�4�KgT��H��A�WD>LA^KjW#71<B4�>D<&7!AXWRWZ<?T�WZKj3�T£WO3'KjTVWR:=<Y¦w>D<&G=Kj3�iHM_ML<X[�PWZKg3CT���IJT�WJ:=<$¦H>D<?f|AC[?<$:=<#7/>LK¬WZ<8M&�

Page 30: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ���

C/���J"�'�H7,@��,�HZ��"!�5#%�6�=E 3N���O�=H*�=���J.0,�HA��,S��H7,@��"08�� ��,0>���,�)$)+*��0) �V*7����,O�J��)/*7�=H)+*-,O�(,�'�"L4���,I3N���K)+*-,!��,S�=H7'��7>D�-,0.0,S"�"����L2A)L�D�?��E�,/)+*J'�"$�/���LE���"$.0�=� �7�(,�)F,I��"K'1)��4J>�*-)K)L� # ,=� �Q2�E-���S�I�(,�H�>�,���3M)+*-,Y����H7,@�!�O�&'()[,���"O�=� ��,0����,�)L�L2?' "0863W���!)+*-,���="F) � ���L)�8\,S'()+*-,�� "�,0.0����H-R *����7H ��� "L4 � ,�� �J.0'���� #$���7H �P.������J��) ,!��,0� .0����'(���.��64 ��'��6)F���J.�,I�I'1)+*Z���(� )+*7,O���="F)K��,0�����LE7��#7��,!�/���LE-"/���7H?��,0����'1��"<�I*�'(.@*���3���0)F,D26,S�S��"O*7���=,5# ,0,0� �J46#7��'�"L*-,�HQ�=�U)[*-,5"L46#�-F,�.�)��«�T�¦�� ´C³C²Y:`<#7/>LKjWZ<aM�GaAC�Ciw<&hjd���Y��"L.��&'�#J,A)+*7, �A,�)[*-�-H ��3K)L�&���J"F3N�����?�0)F'(��� )L� � �9C/*7��"L��,S"08M# ,0.��04�"�, �IE-�J���)+*7�0) ���!��" 3G����'(�('������I'1)+* '1)�8$���7H # ,0�('(,!��,�H '1)A)F� # ,Z*J'�"08<������> #J,�3N����,U)+*-,��46#��('(.��0)F'(��� ��3I���62���)[*-,�� �J� � ,���" �=� )[*-,�"L46#�-F,0.@) .0'1)F,�H�# ,0�(���D� ;!*7,����J�12�O�&'1)F'(�7> ��3� �IC/*7��"L��,S" �?.����c�J��� ��,�3N,��Q)L� '�"Q����)[, "*"7'� �M� � � � 8Y��3D)+*-,7 � ,����.04 �P' "F)L���&' �64�,=86�I*J'(.&*M86*-���!,!�=,��!���J�12�)L��,S�0)L"K��3B)[*-,O.���"�,P�I*-,���,�� � ��

�� .����J�J��)�)[,0�(�I�I*-,�)+*-,�� �D�!��"��(,�H )L�^)+*7,U>=,��7,@�&���I��,�)+*-�-H ��"Z���f��#��7'(��4J", "7)[,0�J"�'(�=�f��3P)[*�' "08K�����I*-,�)+*-,��?"L����, � � �J,����=� )+*7,Q"L46#*-[,0.�)�����2 ����)�#J,3W�=47�7H ��������> � �%C/*7��"L�(,S"!� "������62Z.0�=�6)L�&'(#J4-)F'(�=��"!)L�?"L.0'(,0�6)[' �J.$� ,��&'(�-H�'(.����("0�9;:`<&T��HA�M/AFf�3=3CWDTw3CWZ<$3�T'¦�� ´C±C²w��:=<#7/>LK¬WZ<8M&����J��H�)+*7�0) �D�O��"?��'�"F)L��E=,0� '(�f"L4 ���%��"�'��7> � �M� �$� � �D)[*7�0),� �$C/*7��"L��,S"�*7�=H��46#��('�"L*-,�H ���62-)[*�'��7>���� )[*�' "I"L46#�-F,0.@)P#J,�26�=�7HZ)[*-,D�J��)F,5)L�A)[*-, 7 � ,@���.04 ��'�"FR)F���&'��-4�, ���1��,S�=H-2Q��,@3N,��L��,�H )L�*#�:�:�:9;:wKNM'[?3C>@>D<X[�WZKg3CT WO3 :wKNM'<XAC>DhgKj<&> MDiw>DU�KNM@A^h�KNM'¦�3=MLMDKgQ�hgd <?¶=¦�h\A^KgT=<84 Q`dWR:=<niHMDiHACh�UF<]WJ:=3�4l3CfB¦H>@KgT�WZKjT��ÁA WZ<]¶=W@Q�3=3C���#KgT¼7/:HKg[L:)ML<&[]WZKj3�THM63^fUYA^T`iHM@[]>LKg¦�W�7c<?>@<1ML<]WµKjT�WO3�WZd=¦�<�Q=d$WR:=< �_TwKgGC<?>LM@K¬WZd���>D<8MLM?�X7/:wKghj<13^WJ:=<?>LM71<&>D<�MOWZKjhgh�QH<aKgT���7/>LK¬WRWZ<?T��

«�Tn¦�� ´^°C²H�µ:=<�MD:=387�M�A£4�KNMD>D<&��A^>L4Vf�3C>�>@<8ML<XAC>@[L:wKgT��6:wKNMFMD3Ciw>L[]<8M&�ACM;:=<�7/>LK¬WZ<8M&��Q��� �����B� � '(�(� �'��A���J��"�"���>�,O'(�A*�' " �9�=>='(.=8=�=� �I*J'(.&*�M.������J��) � �S2 �A2D*7���7H��,@�L���=�-,0�=4�"L�12A��,!�7��,S"&,��-)F" �5���('(��,�� � "K, " �J,��&'��A,0�6)L"M)F��*7����,K#J,0,0��"L4-.0.�,�"�"F3W4J�8(:�:0:��A^hgU�3CT�  M MDhgA�[L�½MOWZd`hg<£3Cf#7/>LKjWZKjT�� 4�Kg4 TH3^W UY<?<]W'7/K¬WJ: WJ:=<VA^¦=¦w>@38G8A^h3^f�WJ:=<BUB3�>D<Y¦HA^KgTHMOWOA^�=KgT���9#�¤¡����_Kj>LMOW&��7/:=3�7/>D3CWZ<YACM�f�3^hghg387�M�KgTV:HK\M¦H<?>LMD3CT�A^h �Z3�iw>LT=ACh¤KjT­®X¯��^²H�¤� ¸���¦�� ³�³8�R��I*7����, # ,0,0� �O�&'1)F'(�7> �7��,0�J.&*^���(�\�/,0,0E �7��,!� �S�@'(�7>Z�A2Q��,0����'(� � �=� H-,��&'��=,�H"L47�L3G��.�,�" � 3W��� �12*�,) 24# �%� ��� � 032 � �/�1��# � �+) ' " � ����#%���&'(�=4�" )L��"LEB� ;!*-,���, �S��,�J���&��>��&� ��*J"5)+*7��)/�I*�����, �O�&'1)+)[,0� )+*���,�,A���53N��4��5)['��A,S"�����,��D#J,�3N����, �I.0�=4���H"��0)[' "F3 2�� 2�"�,0�13+� � �64�,�"F)['(�=�A�I*-,�)+*-,��V�����62D�?�0)+*-,0�?�0)F'(.0'����J" ��3J)+*J'�"<H��S2D)L��E=,,!�-4J��� � ��'(�J"!)L�A# ,��(4-.0'�HQ'(�Z)[*-,S'1�YH7,0�����J"F)L�&�0)F'(���J"0:0:0:������(�����Q'(� *�' "�� � � +"�,�� # ���1�� �3� ��� �Y*���"DH-,!����)[,�H ��3N,@� � ��>�,S"5)L�U)+*-,A"�����, "L46#*-[,0.�)�� �O�I' "L* *-,

Page 31: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

�^± ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

*7�=H )L��E�,0�^��"�� 47.&* )L����46#��(, )L�Z# ,A.���,S�S�D'(�^*J'�"5H-,0���=��"F)L�&��)['(�=�J"���"��Y*7����,H����-,=:0:0:D;A^hgh¤7/>D3CWZ<$WR:=<$f�3^hghj387/KgT��B3^f/� ���c¨���KgT­�j®C�w¶`¶�KgG`����V� 4J"F)�8�*-���!,)��,���8-��HJH98=)[*-�=4�>=* �V��� �J,���*7� � "<,)"*����,S"�"�'(��> �A2 ���I�Z���J'(�J'(�=�98�I*-,0� ��"���2 )[*7�0)Z)[*-, � � � +"�,��� # ���1� � �3� ��� � '�"Q)+*-, �(,S��"F) '(�6)F,���,S"F)['��7> ��3�����(���=� � "$3N�=47�O>���,S�0)K�!���FE7" � � ��- �G��� )!����.&E-"K)+*7,Y�?��>='(.Y��3B)[*-,'��2�� �.- �&��� )/*7��"�J��) )[*-,�'(� �%���L)F���J.�,?'(� ���0)[4���, �%��"�"�,S"&"�,�H #62 )+*-, � � � ��� ��- ��8V�I*J'(.@* 3N�����"L� ���S��>=, � �S�L) ��3K)[*-,�� � 2*�'�,).��� 2 . ��+3� � � ! � ���,� � ��2�� �&� � ��� H���,S"D'1) �(,S�=H)L�Z"L4-.@*^"��7�(,0�7H�'�H )[*-,0���@'(,S"D����H .��=�J.�,!��)['����J"D��"5H7�U)+*-, �(,S"�"L�=��"5'(� & 2����,�,�� � � +"�,� � # ���$��� ���� �_�c¨���ML<&<?U�M�WO3¥:�AaGC<�Q�<?<?T½WJ:`<'hj<aACMOW�MOi�[?[?<8M@MOf�iwhcKjT MDAChj<8MFWZ<?>@U�MY3^f:wKNM$WZ<]¶=W@Q�3=3C��M&�¤MDKgTH[?<BKjW�3CTwhgd�>LA^T�WO3'WJ:w>@<?<B<a4wK¬WZKg3CTHM&��WJ:=<BML<X[]3CT�4�TH3^WQH<aKgT���K\MLMDiw<84�i�T�WZKjh�WZ71<&TCWZd�3�T`<$dC<aA^>LMcA8fNWZ<?>cWJ:=<_E�>@MOW&���b< F�iH3^WZ<�f|>D3�U�j®C�=¶=¶�G��µ3CT'WR:=<�[]Kg>L[]i�U�MZWOACTH[]<8M;3CfµKjWDM/7/>LK¬WZKgT��H�K2 )[*-,�)F'(��,U� "�,0.0���7H ,�H7'()['(�=� ��3 � � � +"�,� � # ���1� � �3� ��� �U�!��"?.0���(�(,�H 3W����8�����(���=�?*7�=HA# ,0.0����,I�DTV����3N,S"�"L���!��39�5'��-'���'1)[268=���7H�*7�=HA)+*64J"<���=H-,O,0��>=��>�,�R��,��-)F"9�I*�'�.&*M8�'(� *J'�" ���I� �/���&H�"08 � �(,�3 )<��,$�J�Y�(,�'�"L4���,K)L�P����E�,$��.��64 ��'(�6)L���J.0,�I'1)[* ��,0.0,0�6)<����)+*-,0�?�0)['�.0���7H�'�"L.0����,��&'(,S"086���<,!�=,0�A)L�PE�,0,!�A4������62 ��,0�����L2D��3�I*7�0) � ����,)�7'(��4J"L�12D*7�=H5E-�J���I�9� ���+�5)[*�' "M,0��,���>�,0�J.@25*-,$� �����('(,�H5)L�YT<����3N,S"�"L���C!��27�(,�2 )L�Y�=#7)L��'(�A�=H*�7'(.0,/��" )L�I)+*7,K.@*-��'�.�,/��3J"L�=�A,K26��4��7>=,�� �?�0)[*-,0���0)F'(.0'����98�I*-�5�!��4J��H?4��7H-,��L)L��E�,/)+*-,O,�H7'1)F'(��>D��3%)[*-,!�/���LE%�<;\�D*�' "K��>���,0,S��#��(,Y"L4���7�@'�"�,=8TV����3N,S"�"L����C!��27�(,�2 ��%B,���,�H )L� H7� )+*J'�" *�'(��"&,��(3+� ;!*�' " � %B,@� �!��" >��&�0)F,@3N4J�(�12��.�.0,!��)[,�H98P���7H )+*-, "&,�.0�=�7Hc,�H�'1)F'(�=� �!��"U)[*-, -F��'(�-)U�!���LE ��3������(�����c���7HC!��27�(,�26�I:0:0:¨cA^d=hg<?d�[]3�TCW@>LKjQwi=WZ<84VWJ:`<FEH>LMZW�[L:�A^¦�WZ<&>&��WZ<?T¥¦HA^��<aM�hg3CT��H��3�T¥[]3=3�>@4�KgT�PAXWZ<8M?��ACMF71<&hjhcACMYML<?GC<&>@ACh©A^>DWZKg[?hj<8M#WD3�WJ:`< T`<&7 <a4wK¬WZKg3CT��V�wA^hgUB3�TnA^h\MO3KgTH[]3�>D¦S3C>LAXWZ<84 KjT�WO3 WR:=<kWZ<]¶=W UBAXWZ<?>LK\A^h'fq>D3�U G8A^>LKj3�iHM i�Tw¦wi`Q�hjKNMD:`<84UYACT�i�MD[?>@Kg¦�WDM_Q=d�¨cACd`hg<?d��HKgTH[]hgiH4�KgT�� 3�T=<�3CT6WJ:=<�WJ:=<?3C>@d 3Cf©<?T=GC<&hj38¦�<8M?�9;:=<YUBA^KgTb[L:�ACT��C<8M_KgT¥WR:=<�ML<&[?3CT�4�<84�KjWZKj3�T¥7c<?>@<FWJ:=<BKjT�WD>@3�4�i�[]WZKj3�TV3^fWZ7c3�T`<&7�[L:=AC¦�WZ<?>LM;3CT�<&T=GC<?hg38¦H<8M/ACT=4�3�T�UF<]W@>LKg[&A^h�UY<]WJ:=3=4HM?�HACT�4�WR:=<3CU�KNMLM@Kj3�T'3Cf·3�T`<$3CT�AC¦`¦�hgK\[?AXWZKg3CTHM13^f�KjT�WZ<?��>@ACh�[?AChg[?iwhji�M?�

�b<�:=AaG�<�WJ:=<Ff�<&<?hgKjT���WJ:�AXW&�¤KgTwKjWZKgAChjhgd£AXW$hg<aACMOW&�µ��AChjU�3�TV¦w>@3CQHAaQ�hgd4�K\4�Tw3CW1¦wi=W;ACM©UFi=[L:�<�HS3�>OWcKjT�WO3Y:wKNM�7/>LKjWZKjT���3Cf�� ���c¨���ACM©:=<$4�Kg4�KjT�WO3:wKNM#3^WJ:=<?>�WZ<]¶=W@Q�3=3C��M�¢qACh�WJ:=3Ciw��:�WJ:=<BML<X[]3CT�4�<84�KjWZKg3CTV7;ACM#A�[]3�THM@Kg4=<&>OPAaQ�hg<FKgUB¦H>D38G�<?UF<&TCW�3CT�WJ:=<�EH>LMOWLª��#��:wKghg<FWJ:=<FQS3=3C��[]<&>OWOACKjTwhgd�:=A�4�KjWDMAC4w:`<&>D<&TCW@M?�`A^T�4B7cA�M�<aMLML<&TCWZK\A^hghjd�WR:=</3�TwhjdB»©T���hjKNMD:Yh\A^T���iHA^��<1WZ<?¶=WDQS3`3��

Page 32: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� �`¸

3CT�K¬WDM/MDi`Q �Z<&[]W1f�3�>cUBA^T=d�d�<XAC>@M&��KjW/:�AC4'hj<8MLMcKjU�¦HA�[�W/3CT�UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^hWZ<XA�[L:wKjT���A^T�4�>@<aML<aA^>L[L:�WJ:�A^T�:wKNM/3^WJ:=<?>;QS3=3C��M?�

� ��� /�*�* $'&<* � & : 7�$ 23A34�:�$�7�= : $ :3/£� $ 2 /;7�& � ,#@ 3/;7��!#@'/�BC7��9;:`<bMOi`Q �Z<X[�W UBAXW�WZ<&>'3Cf�� §£��¡/��KNM h\A^>@�C<&hjd KjT=G8A^>LK\A^T�W WJ:=<?3�>Dd��c3�>'A�M��A^hgU�3CT�[?AChjhg<84 KjW&�HWR:=<�A^hg�C<?Qw>@AY3^f�hgKjT=<aA^>cWD>LA^THMOf�3C>@UYAXWZKg3CT�M?��9;:=<�Q�3=3C��C>@<?7 3Ci=WF3Cf�7/:�AXWF7cA�M�3�>@Kg�CKgT�A^hghjd¥KjT�WZ<?T�4=<84­WO3¥QH<�A^T A^¦=¦�<?T�4�Kj¶¥f�3�>WR:=<cWJ:=<?TYf�3C>DWR:�[]3CU�KgT���QS3=3C��� 5#9/�F�H®&¯C±`´a�R���b<;3CQ�ML<&>DG�<84�KgT��=<X[�WZKg3CT��WR:�AXW�A�M@KgU�Kjh\A^>�MD:=3C>DW�A^¦=¦H<&T=4wK¬¶$:=A�4#A^hg>D<aAC4�d$A^¦=¦H<aA^>@<84_KgT�� �_�c¨��C®&¯���´a�R���A^hgU�3CT�  M�A^KgU!KgTB7/>LKjWZKjT���� §£�_¡��H7;ACMµWO3#KjT�WD>@3�4`i=[?</:wKNM�>D<aAC4=<&>@MµWO3$WJ:=<MZWZiH4wd�3^f·KjT=G8A^>LK\A^T�W1WJ:=<?3�>Dd��`7/:HKg[L:':=A�4�Q�<?<?T64=<?G�<?hg38¦H<84�KgT�WJ:=<�®&¯C¾�°w  MA^T�4l®X¯��C°w  M?�e9;:`<6<?¶�A�[�W�T�AXWZiw>@<�3Cf�KgT=GaAC>LKgACTCW�WJ:=<?3�>Dd­KNM�4�K ��[]iwh¬W�WO3<]¶�¦�hgACKjT���Qwi=WcK¬WcUYACdYQ�<�ML<?<&T�ACM1A�[]3�U�QwKjT�AXWZKg3CT�3^f¤hgKjT=<aA^>cA^hg�C<]Qw>LA#A^T�4A^hg�C<]Qw>LA^K\[©��<?3�UF<]W@>Dd��µ¿_387cA�4�A^d�M?�8KjW©KNM�¦HAC>OWJhgd�MOi`Q�MDi�UF<84BKjTBWJ:=<cWR:=<&3C>@d3^fwWJ:=<�>@<?¦w>@<8ML<?T�WOAXWZKj3�THM¤3Cf�[]h\ACMLM@Kg[&A^h^��>D3�iw¦�M�3CTFWZ<?THMD3C>·A^hg�C<]Qw>LACM&���$AaG`K\4]�<?7/KNM/:�A�M1��KjG�<?T6A�4=<aM@[]>LKg¦�WZKg3CT�3^f�KjT=G8A^>LK\A^T�WcWJ:=<?3�>Dd�ACT�4 KjWDM/UY<]WJ:=3=4HMKjT�AB¦w>@<?G=Kj3�iHM;<84�KjWZKj3�T�3Cf�WJ:wKNM�m J�yNyj�?{|oN}·��� ´^²8�R�

��A^hgU�3CTeWD>LAC[?<84 WJ:=<�3C>LKg�CKgT 3Cf$KgT=GaAC>LKgACTCW�WJ:=<?3�>Dd­WO3 Ab¦HAC¦H<&>�3^fD13=3^hg<C�#� ±8�R�13CfY®&¯C¾H®���A^T�4e:=<6A�[L�=Tw387/hj<84���<84nWJ:wKNM�¦HAC¦H<?>�f�3�>�:�AaG`KgT��KjT�WD>@3�4�i�[?<a4�:HKjU WO3#WJ:`<�MOWZiH4�dY3^f�hjKgT=<XAC>�WD>LA^THMOf�3C>@UYAXWZKg3CT�M?�·¨cACd=hj<&d�:�AC4<]¶=WZ<?T�4=<84 D13=3^hg<C  M#7c3C>O�6WD3£A'UFi=[L:­��>D<aAXWZ<?>�[]h\ACMLM#3Cf�f�i�TH[]WZKj3�THM#WJ:�A^TWR:=3=ML<�[?3CTHM@K\4=<?>@<a4�Q=d Dc3=3^hg<C��¡_M/��A^hgU�3CT�<?¶�¦�hgACKjT=<84�KgT�WJ:=<_¦w>@<]f|A�[]<_WO3� §£��¡��µ®&¯��C²8�R�;!*-, >=,0����,�)L�&'(.����D'�� �%���L)L���J.0, ��3 )[*�' "U)[*-,0���L2�� '(���=�S�@'����-)Q)[*-,0���L2 �5'�" �J���������'(3W,S"F)�� �c*-,0�f�!,^����,^>�'��=,0� )+*7, ,��64 �0)F'(�=� ��3 ���62f.047���, ���U"L4��L3��.0,=8)+*-,�)+*7,����L2U��3<�('(�-,S���I)L�&����"F3N�������0)F'(�=��"��0)Y�=��.0, ����,S"�,0�6)L"I4J"O�I'1)[*Q,��64 �0)F'(���J"��,)����,S"�,0�6)F'(��>A��)+*-,��!.047���,S"O���7H�"L4��L3��.0,S"08J���7H �%�="&"�,S"�"�'��7> � ,@���?���-,0�6)$��,0����R)['(�=�J" )L� )+*-,?>='���,�� �=�-,=8 �I*�'(.@* �I'��(�!#J,�4��7��%B,�.�)F,�H #62 ���62 .&*�����>�,���3O)+*-,��"7,�"D��3!.0��R ���&H�'(�7�0)F,S"0��7Y�7H '(� ��'(E�,��?�����-,���)+*-,�"����A,A)+*-,0���L2 �7��,�"�,0�6)L"D4�"�I'1)+*A.�,��L)L��'�� 3N47�J.�)['(�=�J"\��37)[*-,$>='���,0� ,��64 �0)F'(���M8S)[*-, �=���J'�"L*J'(�7>P��3��I*�'�.&* �A4�"F), " �7��,S"&"I� ������� ,��L)+2Z��3 )+*-,�>�'��=,0�Q.�4����,P���I"L4��L3��.0,=8��I*-���(�12U'��7H-,!� ,0�7H-,0�6)!��3)+*-,�.@*-��'�.�,���3Y��"7,S"0� K,�"�'�H-,�" )+*7,S"�,Z>=,0����,�)L�&'(.����!� ���7�('�.0��)['(�=�J"08V)+*-,�)+*7,����L2*7��"Y��)[*-,��Y'(� �%���L)F���6)O4�"&,S"08��I*J'(.@* �/"L*7���(�9�J��)Y"F)L��� )F�?,0�647��,��&�0)F,��IJT�>@AXWJ:=<?>1MDKgU�Kjh\A^>1GC<aKgT��w��A^hgU�3CT�7/>@3^WZ<�KgT A#f�3=3^W@Tw3^WZ<_3^f�� §£�_¡F��®X¯��^²H�¦�� ��´a�R�:�:�:L'(�*�����&'����6)L"089)+*7,��M8M����,?3W4���.�)F'(�=��"D��3K)[*-,?.0�=, ��.0'(,0�6)L"D,)"*�7��,�"�"�'(��> .0,��L)L��'(�� "7,�H ������� ,��L)['�,S"A��3I)[*-,�.047���,Z���A"L4��L3G��.0,Z�I*J'(.@* �S��,Z'��7H-,!� ,0�7H-,0�6) ��3I��4��

Page 33: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

�^¯ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

.&*7��'(.0,^��3 ��"7,S"!#5"L4-.&*c��"Z)+*7, .��=�7H�'1)F'(��� )[*7�0)Q��.047���, ���Q"L4��L3G��.0,^"L*-�=4J��H*7����, �UH7�=46#7�(,�%��'��6)�8 � CP�9C/�������&'����6)L"���,)����,S"�,0�6)5.0,��L)F��'(�^��)+*-,��5.047���,S"����"L4��L3��.0,S"�*7���7'(�7>�� ��"7,�H���,0���0)F'(�=�f)L�^)[*-,U>='���,0�f�=�-,=8K'(��H-,!� ,���H-,0�6) ��3P�=47�.&*7��'(.0,D��3$��"�,S"0�

9;:=<?>@<½A^>@<½ML<&GC<?T�WZ<?<&T�hj<8MLMD3CTHMVKjT � §£��¡���®&¯`�^²8�R��Qwi=Wb71<½7/KjhghYTH3^WAXWRWZ<?U�¦�W'WO3½4=<8MD[?>LKjQ�<6WR:=<&U KgTÁA^T=d 4=<]WOACKjh���9;:`<£WO38¦wK\[?M 4=<aA^h¬W�7/K¬WJ:KgTH[]hgiH4=<F4=<?WZ<?>@UBKgT�A^T�WDM&��<&hjKgU�KjT�AXWZKg3CT�WJ:`<&3C>@dC�H4wK\M@[]>LKgU�KjT�A^T�WDM&�'F`iHACTCWZK\[?M&�KgT`G8AC>@K\A^T�WDM�A^T�4�[]38G8A^>LK\A^T�WDM&��[?ACTw3CTHKg[&A^h�f�3C>@U�M?���`WZiw>@U6  M�WR:=<&3C>@<?U6��ACT=43C>DWJ:=3C�C3�T�A^h�WD>LA^THMOf�3C>@UYAXWZKg3CTHM&�µ¡)¦H>D3=3^fµ3^fCDc3�>@[L:�A^>L4`W&  M�WR:=<&3C>@<?U6�`WR:�AXWWJ:=<B<aKg�C<&T`G8AChjiw<8M#3CfcA�>D<aA^h�MDd=UBUY<]W@>@K\[BUYAXW@>@Kj¶¥AC>D<�>@<XACh|�¤KNM#QH<&�Ci�T­3CT¦��g®X´`¸=�_9;:wKNM�¦w>@3`3CfZ��iHM@KjT��'�=WZiw>DU >@<?UBA^KgT=4=<&>@M&�SK\M$[]3�THM@Kg4=<&>@AaQ�hgd U�3�>D<[]3�U�¦�hjK\[?AXWZ<84 WJ:�A^TÁU�3�4=<?>LTk¦w>D3=3CfqM?��7/:HKg[L:k<]¶�¦�hj3�K¬W�<aKj��<?T=GC<X[�WO3�>@M KjT[]3�T �Zi�TH[]WZKj3�T'7/KjWJ:'WJ:=<�ACMLMD3=[?KgAXWZ<84 F�i�AC4�>LAXWZKg[_f�3C>@U6�

]�Kj��<#WR:=<�WJ:wKg>L4'<84�KjWZKg3CT�3^f�� ¨;�`�R�wWJ:=<#EH>@MOW_<84�KjWZKj3�T�3^f�� §£�_¡��µ7;ACMWJ:=<#MDi`Q �Z<&[]W�3^f·A�>@<?G=Kg<?7kKjT'WJ:`<Qb�v=oNyjp8�]pLuwv�oqx@t^y��Vt?r`t��?oN}S�F¢ ��� ¢Z®X¯��^²`ª��±`¸aPR±�¯�ª]���b< F`iw3CWZ<_¦HAC>OWc3^f¤WJ:=<�>@<?G=Kg<?7��`7/:wKg[L: UYA^��<8M�AY¦�3=3C>cAXWRWZ<?U�¦�WAXW'Q�<aKjT�� :�i�U�3C>@3Ci�M?�;h\A^>@�C<?hgd AXW'WJ:`<V<]¶�¦H<&THML<£3^f�WJ:=<£<?¶=3CWZKg[£T=ACUF<8M7/:wK\[L:V:�AC4£QH<?<&T¥KgT�WD>@3=4`i�[]<84£WO3 WJ:=<YMDi`Q �Z<&[]W$Q=dV�=d=hgGC<8MZWZ<&>&��2/<aAC4wKjT��WJ:=<�7/:`3Chj<�>@<?G=Kg<?7��µUB3=MOWF3^f;7/:wK\[L:­[?3CTHM@KNMOWDM�3Cf F`iw3CWOAXWZKj3�THM$fq>@3CU WR:=<¦w>@<]f|A�[]<�3Cf©� §£��¡/�R��7c<_[&A^T�3CTHhjd�[]3�TH[]hgiH4=</WJ:�AXW�WJ:`<_>D<&G`Kg<?7c<?>1MD[&A^>L[]<?hgd>@<XA�4 Q�<?dC3�T�4�WJ:=<#¦w>D<?f|AC[?<C��c'1)+*J'(��)[*-,I����"F)O,S'(>=*6)F,�,0�U2�,S����"K)+*-,P����HZ���7H?�!,0�(�1RG)L���-HJH-,0� � ,0��H���3 7P�(>=,@#��&�*7��"Q# ,0,0�c'(���=��H7,�H #62c� *-��"F) ��3A�7,@� ����Hc"F)L�&����>�, '(�6)L��4 H-,���"08Y�I'()+*c)[*-,�-HJHU"L�=47�7H�'(��> �7���A,�"O��3 � �5,�)[,�����'(�7���6)L"08�� � �Y2*� ,��&H-,�)F,�����'(�7���6)L"08�� � �5'�"L.��&'(�?R'(�7���6)L"08�� � X<�?�������6)L"08�� � �[�������&'����6)L"08�� � X���,0.@)L���6)L"08�� � /,�0��47)[' ���6)L"08�� � ��,S"�"&'����J"!��*7���7'(�7>c�J�c.0���J�-,)"7'(�=�98�*-���!,!�=,���8?�I'1)[* ,S'1)+*7,@� � /�6��)L"!� ��� � CK��4-.0'(#7�(,�"!� �@8� C!�����=�J' �����6)L"!� ���3 �J�a��,0�('(>='(��� �@8 � �5'����12-)F'(.0"08��?���7H ��� 4 ���6)F'(.0"0��� � ���62 ���,S�=H-,�� ��3�)[*-, C!��� #��&'�H�>=, � �0)+*-,0�?�0)F'(.���� �=�=47�@�7���G8�)[*-, T<*J'(�(��"L���J*�'�.0���� ��>=� �0'(�-,=8�T$*�'(���="L����*J'(.���� ;M�&����"���.�)['����J"08 �5.=8I*7��"Z�!����H-,���,�H �I*7�0)Q'1) ���(���,S���6) ���!���7H7,���,�H "L�=�A,�)F'(��,S"08/'��7H-,0,�H98!�I*-,�)+*-,���)+*7,@��, �O��"(�*� � ��� �*� � �����)'��# #5'(� )[*-,S"�,^�7,@� ,)"*�7��,�"�"�'(�=��" ���7H "F27� #%����"0� 5$,��L2f3N,�� ,!��,0� ��3 )[*-,# ,S"F)!���0)[*-,0����)['(.0'����J"$��39)+*7,YH7��2�*�����,�� ��'�HZ� 4-.@*��0)+)[,0�6)F'(�=��)L�D)+*7,I"L46#�-F,0.@)��"Z26,�)�#�#J4-)Z)[*-,�2 ����,^# ,�>='(�J��'��7> )L� H7� "L��8 � �7H7'��7>�)+*7��)Z)+*-,���, ' "U��,S���(�12"L�=�A,�)+*J'(��>Q�('�E=,Z�Q�-,�� #��&���J.&*�>������I'(�7> �=4-) ��3!)+*-,�'1� ����H )L��,0,������S268 ������,=8)+*��0)O)+*-,�26�=47�7>�� % ��"L*-�6��)P' "P���1��,S�=H-2 #J,S���&'(��>�3W��4J'1)��I:0:0:IJT�G=Kj<&7­3^fH¨cA^d=hj<&d�  M¤KgU�¦�3�>OWOACTH[]<�WD3;WR:=<�4=<&GC<&hj38¦wUY<?T�W�3^f=KjT=G8A^>LK\A^T�W�WJ:=<]P

Page 34: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� �C²

3C>@dC�aK¬W�UYACd�Q�<17c3C>DWJ:=7/:wKjhg<�WO3�Tw3^WZ<cA^TFAC>OWZK\[]hg<©<?T�WZKjWRhg<84 �_�LxL�?}H{¤{J�]s��BoN}H�p8yjp@r^~FoN} ��t8{�vw�?��t^{|oqx]�;WR:�AXW1¨cA^d=hg<?d�7/>@3^WZ<cKjT6®X¯��^²_3C>;®&¯�±C°H�w�¬®X°8�R�µ9;:=<MOi`Q �Z<&[]W�UYAXWRWZ<?>�KNM�AChj��<]Qw>LAw�¤<8MD¦H<&[?KgAChjhgdVKgT=G8A^>LKgACTCW�WJ:=<?3�>Dd���IRW�WO3Ci�[L:=<8Miw¦�3�T½��>D3�iw¦�M'¢�KgTH[]hgiH4�KgT��£WJ:=<'MDd=UBUY<]W@>@K\[���>D3�iw¦�� �Xª���4=<?WZ<?>@UBKgT�A^T�WDM&�UYAXWD>LK\[]<8M&�HhgKjT=<aA^>/W@>@ACTHMZf�3�>DUBAXWZKj3�THM&��KjT=G8A^>LK\A^T�WDM?�S[]38G8A^>LK\A^T�WDM&�H[?ACTw3CTwK\[?AChf�3C>@U�M&�wA^U�3�T��Y3CWR:=<&>1WJ:wKgT���M&��«�T=<$3Cf�WJ:=<�U�3=MZW/¦w>@<8MD[?Kj<&TCW�3Cf�¨cACd`hg<?d�  MA^>DWZKg[?hj<8M#4=<8MD[?>@KgQH<8M$UYAXW@>LKg[?<aM&�¤7/:wK\[L:V:=<�:�AC4£QH>D3�iw�C:`W_WD3'WJ:=<B¦wi�Q�hgK\[^  MAXW�WZ<&TCWZKg3CT KgTeA­¦�A^¦H<&>�3^f�®&¯`�^¯w� ¡�h¬WJ:`3�iw�C:eTw3CW�MOWD>LK\[�WJhgd >D<&hj<&G8A^T�W�WO3��A^hgU�3CT�  M©7c3C>D�S�Cf�3C>;��A^hgU�3CT�MD¦H<aA^��M©<?¶�[?hji�MDKgGC<&hjdY3^f�4=<?WZ<?>@UBKgT�A^T�WDM&��7c<[?A^THTw3^W;f�3C>@QH<aA^>;f|>D3�U F`iw3^WZKgT���AYhgKjW�WJhg<�3^f©¨cA^d=hj<&d�  M;7/>LKjWZKjT����� ����,0����,���8�'(�Q� "F27"F)F,0����3M"�'�� �7�(,P,!�-4J�0)F'(�=��"08�'139)[*-,Y.0��, �?.0'(,0�6)L"!'(�U)+*-,P�7�0)LR47�&���M"�-4J����,D���&H7,��P�S��, .��=�J"�'�H-,���,�H � � �S�L)Y#-2Z)+*-,0��"�,0����,S"08�)+*J'�"I��,S��H�"I)L��)+*-,)+*-,0���L2Q��3 ����).� ��-/� ��8%��)[*-,0���L2U�I*�'(.@* '(�7H-,0,�HQ��'(>=*6)I*7����,$����,�.0,�H7,�HQ)+*7��)Y��3H-,�)[,�����'(�����6)L"!#�)+*-,/����)L�&'&" ' "08="L�P)L�P"�� ,S��E%8�)[*-,K�?�0)+)[,��<��3 ��H-,�)F,@����'��7���-)�#(:@:0:

��<?>@<�KNM�:wKNM�4=<8MD[?>LKj¦�WZKg3CT 3^f$hjKgT=<XAC>�WD>LA^THMOf�3C>@UYAXWZKg3CTHM&��hg<XA�4�KjT��bWO3bWJ:=<MOi`Q �Z<&[]W�3^f·KjT=G8A^>LK\A^TH[?<C�� � � X 7 �`; � 7 � �*� � �/�7K;.� ��� �B� � �+�c)[*�' "U)[*-,0���L2 )[*-, �����&'��S#7�(,S" ��3��3W4���.�)F'(��� ����,�"L4����%��"�,�H )L�Q# ,���,S"�� ,0.�)['���,0�12 ��'(�-,S���D3W4���.�)F'(���J"D��3O�Q�-,�� "�,�)��3��=�S�&' ��#7�(,�"08 "L�?)[*7�0)O)[*-,53W4���.�)F'(�=� ' "O)L�&����"F3N������,�H '(�6)L���?"�'(��'����S�P3W4���.�)F'(�=���3V)[*-,S"�, �7,@� �����&'���#��(,S"08 �I'1)+* ��3<.0��4���"�, ��� )[,���,�H �=����4�,S"Y��3V)[*-,5.���, ��.0'(,0�6)L"08���7H )+*-, �-4�,S"F)F'(�=� �O��"�)L� � �7H )+*-,U��,�� �0)['����J"��I*�'(.@* ,)"7'�"F)F,�H # ,�)+�!,0,0� )+*-,���&'�>�'(�����\���7H?�7,@� .0��, ��.0'(,0�6)L"O����H�)+*-,P.���, ��.0'(,0�6)L"K��39)[*-,I�('(�7,S�S�O,��64 �0)['����J"0�;!*-, H-,�)F,@����'��7���-)!.0�=� �%��"�,�H ��3V)[*-,5.0�=, ��.0'(,0�6)L"Y��3 )+*-,5�('(�7,S�S��,!�-4J�0)F'(�=��"Y'�""���'�HZ)L� # ,O)+*-, � 2�� � # � ��2 . ).� ��� � . 2��/����) ��2*� 8 ���7H��I*7,��Z)+*J'�"!H-,�)[,�����'(�����6)K'�"47�J'1)+2A)+*-,!)L�&���J"F3W��������)['(�=��'�"/"���'�H�)L�D#J, � � � ��2�� � # �*�6���+)<�O��"/�=#J"&,@���,�H�)[*7�0)�Y.0,��L)F��'(�A3W4���.�)F'(�=� ��3�)[*-,K.0��, ��.�'�,��-)F"08��7���A,0�125)[*-,/H�'�"L.��&'���'(�7���6)�8��%��"�"�,S"&"�,�H����,��?���FE���#7�(,�������� ,��L)+268=3N��4��7H?�S3W)[,��L�O�S�&H�"K)F�D# ,0�(�=�7>5)L�D'1)K��"$�=�-,I��39�5.0����"�"��3�3W4���.�)F'(�=��"�.����(��,�Hf���&'(>='(�7���(�12 *62*� ,��&H-,�)F,@����'��7���-)F"08V#J4-)?���S� � � �*��� ����� ) ��8���7HU'1)!�!��"!'(�Z)[*�' "!�������7,@�/)+*��0)K)[*-,������=#7�(,0� ��3\�('(�-,S���O)L�&����"F3N�����?�0)F'(�=�U�(,�H)F��)[*-,5>�,0�-,��&���9)[*-,0���L2U��3V.0�������&'����6)L"0�

]�Kg�C<?7/KNML<���:`<&>D<#KNM/:wKNM/4=<?EHTwKjWZKj3�T�3CfµKgT=GaAC>LKgACTCWX�� � 5 7 ���67 � ;�� � 7Y�A'(���=�S�&' ���6)<' "<�I3N47�J.�)['�������3J)+*7,K.0��, �?.0'(,0�6)L"V��3B�I�&�0)F'(�=�7������7H '��6)[,0>��&���V*7�����=>�,0�-,0�=4�"Y3W4���.�)F'(�=�^��� �64 ���-)['(.=8J)+*-, .&*7���&��.�)F,��&'�"F)F'(. �7������R,@�L)[2Z�I*-,���,0��3<'�"I��"O3W���(�(���I" �!�7���A,0�1268-'(3V�A�('(�7,S�S�I)L�&���J"F3W��������)['(�=� '�"I,)%B,0.�)[,�H��� )+*-, �64 ���-)['(.=8%)[*-,0�^)+*7, �-,�� �����(4J,A��3!)+*-,�'(���=�S�@'����-)5' "5)L� �U3G��.�)L��� ���� �,!�-4J���-)L�5)+*7,/���&'(>='(�7��� �����(4J, #�)[*-,!3G��.�)L���/'(� �64J,S"F)['���� ���� �64J��)F'(,0�6)<��3%)+*-,/)[�/�

Page 35: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

±C° ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�����(4J,S" �D# ,S'��7> � �%���!,@����3O)[*-,����-H64J�(4J"D��3O)L�&����"F3N�������0)F'(�=�98$���7H )+*7,?)+�!������(4J,S"I# ,S'(��>�)+*64J"O,!�-4J���%�I*-,0� )+*-,�)L�&����"F3N�������0)F'(�=� '�"I4���'(���-H-4��������(:0:0:¡/fNWZ<&>�hgK\MOWZKgT��¥WJ:=<6¦w>LKjT�[]Kg¦HA^h/WZ<?¶=WDQS3`3���M�3CT WR:=<�MDi�Q �Z<X[�WDM�3Cf_WJ:=<�A^>DWOPK\[]hg<¥¢�Q=d �=¦S3^WRWZKNMO7c3=3�4=<C� Dc>LKj3=MD[L:HK|� D;A^h¬WDÂ?<&>&��¹�A��AV4wK Dc>@i�Tw3`ª]��¨cA^d=hj<&d[]3�TH[]hgiH4=<84':wKNM�A^>DWZKg[?hj<$Q=d >@<&[?3CU�UF<&T=4wKjT�����A^hgU�3CT�  M;T=<?7lWZ<]¶=WDQS3=3C���7P�7H ,)"-)F,0�7H7'��7>I)L�5�-,S�����12A���(�-)[*-,/"L46#�-F,�.�)L" �$�7���(���=�98 � �M,S"�"L�=��"<'��6)L���-H64-.�)L���L2)L��)+*-,5���-H-,��&� *J'(>�*7,@�����(>=,�#7�&�78�� ' ����8��546#7�('��98 ��' � �7���:=<?TFWR:=<cML<&[]3�T�4#<a4wK¬WZKg3CTY3^f�� §£�_¡���AC¦=¦H<aA^>@<a4�KjT�®X¯C±�±w�aK¬W·7cA�Mµ4w3Ci`Q�hj<WJ:=<£MDKgÂ?<�3Cf#WR:=<6EH>LMOW <84�K¬WZKg3CT��;ACT�4 �wA^hgUB3�T�A^¦S3^hj3��CKgÂ?<84 KjT WJ:=<�¦w>@<]Pf|A�[]<�WJ:�AXW�K¬W@M�WZKjWRhg<�7;ACM�TH3�hj3�T��C<?>YA^¦=¦w>@38¦w>LKgAXWZ<���ACM#WJ:=<�7c3C>D�V[]3�THMZWZKjPWZi=WZ<84nU�3C>@<�3^f_A�WD>@<XAXWZKNML<�WJ:�A^T AVML<?WF3^f�hg<8MLMO3�THM?�£9;:=<'T`<&7 <a4wK¬WZKg3CT7;ACMYTw3^WZ<&713�>OWJ:=dVf�3�>�A^T½<?¶=WZ<?THM@KgGC< T`i�U�QH<&>�3^f�<?¶�¦�hjK\[]KjW�[&A^h\[]iwh\AXWZKg3CTHM3^f·KjT=G8A^>LK\A^T�WDM&�I]�<8MLMO3�T � ��IOI#¢q¡�¦`¦�hgK\[?AXWZKg3CTHM1WO3�QwKgT�A^>@d F�i�A^T�WZKg[&M@ªc[]3�T�PWOA^KgTHMBG8A^>LKg3CiHMYG8ACMOWYf�3�>DU�iHhgAC<C��<XA�[L:½3�[?[?iw¦=d=KjT��VML<&GC<&>@ACh1¦HAC�C<8M&�­9;:=<QS3`3��£UYACd£QH<�M@A^K\4VWO36QH<�Tw3CWO3C>LKg3CiHM�f�3C>�3�T=<Y¦HAC>OWZK\[]iHhgAC>#[&A^h\[]iwh\AXWZKg3CT��WJ:�AXW$3CfcA6MO��<?7!KgT=G8A^>LKgACTCW�� 3^f;4=<?�C>@<?<FEwfNWZ<?<&TbAXWRWOA�[L:`<84£WO3�A QwKgT�A^>@dML<]¶=WZK\[^�V9;:=<'>D<8MDiwh�WB3^f/WJ:=< [?AChg[?iwhgAXWZKg3CT [?3CT�WOA^KgTHM'®&³C±=¸ WZ<?>@U�MFA^T�4nKjW3�[?[?iw¦wKg<aM/WR:HKj>DWZ<?<&T'¦HAC�C<8M&� DcAChjh�WR:`iHM/4=<8M@[]>LKjQ�<846�wA^hgUB3�T�  M;713�>O��3�T��KgT�:HK\M�3CQwKjWZiHA^>@dC�¤�j®C��¶=¶�G=KjKj�R��+)!' "!'(�Z)[*�' "/#%�6�=E � � ��7 8 ��' � � �9)[*7�0)Y�7���(���=�Z*7��"!47�7H7,@�L)L��E=,0�Z"L�=��,Y��3M)[*-,����"F)A3N������'�H7��#��(,U.����(.04�� �0)['����J"?)+*7��)?���62 ��4���,U�?�0)+*7,��?�0)F'(.0'���� *7��"A3G��.0,�H9�;!*-, �%���L)[,0�6)L�=4�"!'(�*�����&'����6)�� ���(�=�-,5��,��64�'(��,S"O"�,!��,@�&��� �J��>�,�"I3N���Y'()F"Y, " �7��,S"FR"�'(�=�M� ��,�*7��" )L��� H 4�" )+*7�0)�8\�I*-,0� )+*7,?�/���LE �O��"�H7�=�-,=8V*-, �����6.�,0,�H7,�H�)L�.&*7,�.@EA'()K#62�)[,�"F)['(��>D�I*-,�)+*7,@�K)+*-,Y"L47� ��3B)+*7,I.0�=, ��.0'(,0�6)L"$�O��" �0,���� � ��"/� 4J"F)# ,�)+*-,?.���"&,�3W���A� "LE�,�� '(���=�S�&' ���6) � � �P,��O��"�H7' "L����26,�H^#62 �J�7H�'(��> �Q#J���1R����.0,���3 "�,!��,@�&���%)[*-��4J"����7H7"08�#�47)�86H�'��-'���'(��>A� �%�="&"�'(#7��,�,��L������87*-,�*7������,�H?)+*J'�"# �������J.�,=85���7H � �7H�'(�7> )+*J'�"U�!��"Q,)"���.�)+�12 ���7,^��3D)[*-, )[�/� .0��, �?.0'(,0�6)L"08�*-,'(����,�H�'��0)F,��(2 "L4�����'�"�,�H^�?�O���=�7>U"&'(>��M8B�I*J'(.&*(�7������,�H )L�Z# , )+*-, .���"�,=8\���7H)+*7,/��,��&'�� .��0)F'(��� �O��"I.0��� ���(,�)[,=�9;:=<�WZ7c3¥MDi�QSML< F`iw<&TCWB<a4wK¬WZKg3CTHMB3CfF� §£��¡/��3�UBKjWRWZ<84­WJ:wKNMBMD¦H<X[�WOA�[]iwh\A^>f�3C>@U�iwh\Aw�·��A^hgU�3CTFAChgMD3�A^hghji�4=<aMµ3CT�¦��j®X²C°/3Cf¤� §£��¡��=®&¯�±C±8�CWO3_A/f�3�>DUFiwhgA3^f�AChjU�3=MZW#²C°�°�WZ<?>@U�M?�S7/:wK\[L:£:=<F:�AC4�[&A^h\[]iwh\AXWZ<84£A^T�467/:wK\[L:VA^¦=¦�<XAC>@MKgT A£¦�A^¦H<&>Y3Cf#¨cA^d=hg<?d���� ��:wKjh���9�>LA^THM&�c®&¯��C¯w��¦�� ¾`���a�R�b�_<'MD¦HA^>@<84n:wKNM>@<XA�4=<?>LM�WJ:=<�4=<]WOACKjh\M?�

9;:=<�KgTH[]hgiHM@Kj3�T 3^f$WR:=<8ML<£[?AChg[?iwh\AXWZKj3�THM?�17/:wK\[L:e7;ACM�:�AC>@4�hgd G=KjWOA^hWO3­WJ:=<�3CQ �Z<X[�W 3Cf$KgT�WD>@3=4`i�[]KgT��n>@<XA�4=<?>LMBWO3­WJ:`<�h\AXWZ<8MZW'>D<8ML<aA^>L[L:`<8MB3CT

Page 36: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ±H®

KjT=G8A^>LK\A^T�W�WR:=<&3C>@dC�_KgT�4�K\[?AXWZ<8M6A^T�ACMD¦H<X[�W�3^f���A^hgU�3CT�  M6UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h¦H<?>LMD3CT�A^hgK¬WZd ��A�WZ<?T�4=<?TH[?d£WO3VQH<�KgT=GC3^hgGC<84­KgT [?A^h\[]iHhgAXWZKg3CTbf�3C>B[?AChg[?iwhgA^PWZKj3�T�  McM@A^�C<��·��3^hgdB4wK\M@A^¦=¦w>@38GC<84B3^f¤WJ:wKNM�WZ<?T�4=<?T�[]dC�`M@KjTH[?<_:=<_7/>@3^WZ<���� ´^±H�¦�� ³`�C�8���� ) '�"08=*-���!,)��,���8�.04��&'(�=4�"\)[*7�0)\)+*-,$3��"L.0'(�7�0)F'(�=���I'1)+* ���&'1)[*���,�)['�.0���=�/���LED"L*-�=4���H*7����, H-,�)L��'(�7,�H �����(����� �=� .����(.04�� �0)['����J"P"L47.&* ��"Y)+*7�0)I��3 � � ��"���#%����,��\�0)P�)['(��,��I*-,0� /�6���(, � "A>���,S�0) .0�=��.0,!��)['(�=���!��" �J4�"L*J'(��>Q�=��)+*-,�����)+*-,0�?�0)['�.0����/������H )L� 3N,!��,@�@'�"L* *7��"F)[,D'�� �7,@� H�'�"L.0����,��L26�9#�H¡��H�_Kj>LMOW_A^h\MO3�3CQSML<?>@GC<84�WJ:=<#hj38G�<�3Cf�[&A^h\[]iwh\AXWZKg3CT��¤� ¸=�w¦�� ³C³^����P,^' " � >���,S�0) .�����.�4J���0)L����8P3N�=�7Hc��3 .����(.04J���0)F'(�7>f3W��� '1)L"Q���I� "���E�,=� �ZH7�.�� ��"�"�*J'(� �����=�7> )[*-,?*�'(>=* ����)+*-,0�?�0)['�.�' ���J" *-���!,!��,@��� ;!*-,Z������,���,S��H72-R��,�.@E����J'(�7>?,0�(,0��,��-)!' "I)L�6� �7���=��'(�-,0�6)O'(� *J'(� �¡�h�WJ:=3CiH�C:�Abf�3Ciw>DWJ: <a4wK¬WZKg3CT�3Cf�� §£�_¡��#AC¦=¦H<aA^>@<a4 KgT�®&¯C¯`���;��A^hgU�3CTAC4�U�KjW�WZ<84lKjTkK¬WDM'¦w>@<]f|A�[]<VWR:�AXW�:`<¥:�AC4�Tw3CW�[?3CT�WD>LKjQHi=WZ<a4ÁWO3eK¬WX���_<7/>D3CWZ<C�;!*-, ����,S"�"L4���,Q��3Y��)+*-,��?,0�7>���>=,0�A,0�6)L"�*7���-'(��> �7��,!��,0�6)F,�H �A,?3N���=� )F��E-'(��>���62 �J���L) '(� )+*-, ����,!�J���&�0)F'(��� ��3!)+*J'�"D�-,�� ,�H�'1)F'(�=����3O� 2 &(2����,�/� � � � +"�,�� # ���$��� �J8/��*�����,Q)L� ,)"*����,S"�"Z�A2f�=#7�('�>=�0)F'(�=��" )L��)+*-, >=�6�-H � �?.0,S" ��3 � 23W�@'(,0�7H �Q���7C!�0)+*J.��S�L)/'(�?��,!�-'�"&'(�7>D)[*-,!�!���LE�����HA"L4�� ,��&'(�6)F,0�7H7'��7>D'1)L" � ��"�"���>=,)+*�����4J>�*Q)+*7,/����,S"�"0�Y:�:�:9;:`<�[?3CT�WD>LKgQwi=WZKj3�T�WO3BWR:=<�MD¦w>@<XA�4 3Cfµ�=Tw387/hg<a4w�C<�AaQ�3�i=W/KjT=G8A^>LK\A^T�W/WR:=<?P3C>@d�UYAC4=<#Q=d�WJ:=<$G8AC>@Kg3Ci�M1<84�KjWZKg3CTHM;3Cfc� §£�_¡��µA^T�4 ¹·Kg<84�hj<&>&  M_5$<&>DUBA^TWD>LA^THMDhgAXWZKg3CT�M/KNM_:wKg�C:HhjKg�C:`WZ<846KjT6WJ:=<�f�3^hghg387/KjT���<?¶=WD>LAC[�W_fq>D3�U*A�>D<&¦�3�>OWX�� ³�±8�R��UBAC4=<�WO3�WR:=<F��<?i=W@MD[L:=<F§£AXWJ:=<?UBAXWZKj��<?>DP ��<&>D<aKgTwKg�Ci�T���KjTn®X¯C²`´BQ`d���1¹c�1§6<&dC<?>£¢O®&¯`�^±8PL®&²�³^¾=ª���:wKgU�ML<?hjf�A­MD¦H<X[]K\A^hgK\MOW KgT KjT=G8A^>LK\A^T�W�WR:=<?P3C>@dC�©�b<NF`iw3^WZ<#fq>@3CU WJ:`<�»�T��ChgKNMO:'WD>LA^THMDh\AXWZKj3�T'��KjG�<?T�Q`d�§6<?>@Â�KjTn� ³��w�¦�� ±�¯��8����Y,0.0��>=��' "�'(��> *-�S� )+*-,Q"��J,0.0'����O��,S"L4J� )L"�'(� )[*�' "�H����?��'(� � '��������&'����6)?)+*-,0���L2 �>��&�=H64 ���(�(2 ��.��64J'1��,�H^�U>���,S��)5#J4J�(E%8 �/,A� 4J"F)Y)[*-, ������, >��&�0)[,�3N4����12 ��.&E-�J���OR�(,�H�>�,/)+*7,$�!���LED��3%�����(����� ���I*-�P*���HA���1��,S�=H7268�'(�A)+*-,/H7'1��,0.�)F'(������3 ���(>=,@#��&�P��"�/,0�(�9��"!>�,0�=�A,�)L�L268�3N47�&�J'�"L*7,�H �����(4 ��#7��,Y.0���-)L�&'(#J4-)F'(���J"/��3\*�' "/�S�I� �6'(�U4��7H-,��LR)F��E-'(��>5)+*-,!����#%�=4��K��3B.����(�(,0.�)['��7>D)[*-,!�I'�H-,0�127R "L.��0) )F,���,�H����0)F,��&'���� '(���5.��=�J.�' "�,�����J��>��&� ��*M� �J���<)+*7, �������A4���>=�0)F'(�=�A'����,��������62 �!,!*7����,K)F��)[*7���JE � '(,�H��(,��#%��)[* 3N���A*�' " ,�H�'1)['�������3Y�����������M8 ���7H^3W���A*7���-'(�7> ���(��,S��H72 >='���,0����� '(�7H-,�R�J,0�7H7,0�6)O'(�6)L���-H64-.�)F'(�=�U)L��)+*-,5"L46#*-[,0.�)�89:0:0:¡_M��$AaG`K\4 ]�<?7/KNM&  M6AC>OWZK\[]hg< � ´^²^�#UBA^��<aM6[?hj<aA^>X�_KgTCWZ<&>D<8MOW£KjTkWJ:=<bMDi�QwP

Page 37: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

±�´ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�Z<&[]W�3^f_KgT=GaAC>LKgACTCWBWJ:`<&3C>@d­7cACT`<84½Q`d­WJ:=<'MOWOA^>DW�3^f�WJ:=<6´C°8WJ:½[?<?T�WZiw>Dd��¦HAC>OWJhgd�QH<X[?AXiHML<���Kgh�QH<&>OWX  M�AaQ�MOWD>LAC[]W;UY<]WJ:=3�4wM/:�AC46MD3^hjG�<84'MD3CUY<�3^f·WR:=<[]<&TCW@>@ACh�EHTwKjWZ<?T=<8MLM/¦w>@3CQ�hg<?U�Mc3^f·WR:=<�MDi�Q �Z<X[�WX��IJT`G8AC>@K\A^T�W;WJ:`<&3C>@d�QH<&��A^TWO3¥QH< >@<aKjT�WZ<?>@¦w>@<]WZ<84nKgTnWJ:=<'´^°^WR: [?<?T�WZiw>@dbi�MDKgT��£WJ:=<�WO3=3^h\MY3^f��C>@3CiH¦>@<?¦w>@<8ML<?T�WOAXWZKj3�T¥WJ:=<?3�>Dd���«�T=<�UBA^d­[]3CU�¦HAC>D< �wA^hgUB3�T�  M�WD>@<aAXWZUF<?T�W�3^f��<&>DU�KjWZ<C  M�h\A^7¼3^f�>D<X[]Kg¦w>@3=[?K¬WZd�f�3C>/WJ:=<�KjT=G8A^>LK\A^T�WDM�3Cf·QHKjT�A^>@d F`iHACTCWZK\[?M&�� §£�_¡F��®X¯��^²H�C¦�� ¯�´8����7/K¬WJ:�WJ:�AXW©3^fµ��¦H<aKNML<?>�KgT£®X²C³`¸��H� ¾�±w� � ¸^³8�R���=¦�<aK\ML<&>UYAC�C<8M�i�ML<�3^f�WJ:=<B¨1hg<]Q�M@[L:�PZ5$3C>L4�A^T'f�3C>@U�iwh\A�f�3C>_WR:=<�>@<?¦H>D<8ML<?T�WOAXWZKg3CTHM3^f�WJ:=<��C>@3Ciw¦�5?] � ¢�%Bª]�c9;:=<�Tw3CWZ<84'��>D3�iw¦�WJ:`<&3C>LKNMZW_��:wKghjKg¦��_A^hghµ4w>D<&7AXWRWZ<?T�WZKj3�T�WO3/WJ:=<�<�HS<X[�WZKgGC<&T`<8MLM¤3CfwUB3�>D<�UB3�4=<&>@TF>D<&¦w>D<8ML<&TCWOAXWZKg3CT$WJ:=<?3C>@dKgT�:HK\M�>D<&G`Kg<?7k3^f��=¦H<aKNML<?>X  M�Q�3=3C� KjTn� ´�®]�R�;!*-,$3W4��7H7���A,0�6)L�����7�0)F4���,$��37)+*7,<.0���J�-,0.�)['(�=� # ,�)+�!,0,0�D)+*-,$.�� ��"�"&'(.����6)[*-,0���L25��33N������"<���7H ��,)����,S"�,0�6)L�0)F'(�=�A)[*-,0���L2 ' "<,!��,�� )L�-H7��2 ����)<"L���I'�H-,0�12���������,0.0'��0)F,�H��"�'1)ZH-,S"�,����,S"�)L� # ,=�f;!*7�0)Z��3 )F,��Z���J�12 "�,!��,0� � ��>=,S"Z��� ,S' "�,��Z'�"Z���1��,S�=H-2.0��� ���(,�)['��7>D*J'�"$"&,�.0�=�7H �����6��3B��3 ��,@����'()[, � "V��,0.0'������6.0'1)+2?)[*-,0����,0� 3N���!#�'��7�S�L23N������"/'�"!����'��7H7'�.0��)['(�=��#%��)+*���3B)+*-,Y4�"�,�3N4����-,S"�"/��3\>����=4��7RG)[*-,0����,�)F'(.O��,@)[*-�-H�"���7HQ���("L�?)[*-,5"L���6��)[*��-,�"�"I��3\)[*-,$�7��,�"�,0�6)I)L��,S�0)F�A,0�6)��

� �� ")7�/��;: ,K*�/ $'& :�3/'�& �?! =3: , 4'�9/8$'" /;:�7�=�$�.1" 7�/8/ -9,#"�/8&��*�,#$'&<*

��AChjU�3CT�  M_hgA�MZW$UYAXWJ:=<?UYAXWZK\[?ACh�QS3`3��67cA�MAe _�sD�Lt^{|o\�?��p8}­{�vw�Ze�}�t8y�~8{�oqx���Lp8���]{�s�~ pO� _Sv�sD�L�£zFoN���?}w��oqp8}H�C�$EH>LMZW�¦wi`Q�hjKNMD:=<a4kKgT ®X¯C±�´w�9;:wKNM7;ACM#WJ:=<�h\A^>@�C<8MZW�3Cf/�wA^hgUB3�T�  M�7c3C>O��M&��¾`±��'¦HA^��<8M�KjTnhg<?T��CWJ:��·ACT�4bWR:=<h\AXWZ<?>�<84�KjWZKj3�THM�7c<?>@<�<&GC<&T hg3CT���<?>X� 9;:=<6EH>LMOW�<a4wK¬WZKg3CT�[]3�TCWOACKjT=<84½EwfNPWZ<?<&T£[L:�A^¦�WZ<&>@M&�H3�T6WR:=<�f�3Chjhg387/KjT���MDi`Q �Z<&[]WDM?��WJ:`<F¦�3�KjT�W���KgTCWZ<&>D¦w>@<]WOAXWZKg3CT3^f/< F�i�AXWZKj3�THM�µWJ:=<�¦�hgACT`<���¦w>D38¦�<?>DWZKj<8M#3Cf F`iHA�4�>LKg[&M#KjT­��<?T=<?>LA^h ��[]h\ACMLM@K¬PE�[&AXWZKj3�Tb3Cf F�i�AC4�>LK\[?M���[?<?T�WD>LA^hcMOiw>Df|A�[]<8M��UY<]WJ:=3�4wM�3^f�AaQw>LK\4��C<84­Tw3CWOA8PWZKg3CT �_[?3CT�f�3�[&A^h�MDiw>Of�AC[]<8M���[]3�T`<8M�ACT�4 MD¦w:=<?>@3^PJ[]3�TwKg[&M�c�C<&T=<?>LA^h;WJ:=<?3C>@d3^f�MOiH>Of|A�[]<8M��F[]iw>@GC<8M6A^T�4¼4=<?G�<?hg38¦HAaQ�hj<8M��#f|A^U�KghjKg<8M63^f�MOiw>Df|A�[]<8M�YMOiw>DPf|A�[]<8M/4=<?>LKgGC<84�f|>D3�U F`iHAC4�>LK\[?M���MOiw>Df|A�[]<8M;3^fµWR:HKj>L4'4=<&�C>@<?<�����<?T=<?>LA^hSWJ:=<]P3C>@d­3^f�MDiw>Df|AC[?<8M?� ¨1:�A^¦�WZ<&> ��IOIOI�¢|�=iH>Of|A�[]<8M�4=<?>LKgGC<84­fq>@3CU F`iHA�4�>LKg[&M@ªQH<&�CKgTHM�7/KjWJ:£A�4�KNMD[?iHMLM@Kj3�T�3Cf�WR:=<�7;AaGC<�MDiw>Df|AC[?<C�HKgT�WD>@3=4`i�[]<846Q=d6¹w>@<aMOPT=<?h©KgT­:wKNM�MOWZiH4�dV3CfchgKg�C:`W&��9;:=<�7cAaG�<�MOiw>Df|A�[]<�:�AC4¥QH<?<&TnMZWZiH4wKj<84­Q=d����2����_A^U�Kgh�WO3�T���7/:=3V:�AC4n¦H>D<84�K\[�WZ<84bWJ:=< ¦w:=<?TH3CUF<&Tw3CTn3Cf_[]3�TwKg[&A^h>@<]fq>LAC[]WZKj3�T�3CT�WJ:=<�QHACM@KNM©3Cf�:wKNM1ACT�A^hgd=M@KNM�3Cf�[]iHMD¦�M�3CT�WJ:=<_MOiH>Of|A�[]<���9;:=<MDiw>Of�AC[]<_:=A�4�A^h\MO3�Q�<?<&T�MZWZiH4wKj<84�Q=dYWR:=<_9µ>LKjTHK¬WZd�¨13^hghj<&�C</UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h¦w:=d�M@Kg[?K\MOW&�=�`A^UF<8M©§VAC[X¨1iHhjh\A^��:���¨1:�AC¦�WZ<?> �_I � ¢��=iw>Df|AC[?<8M©3^f¤WJ:=</WJ:wKg>@4

Page 38: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ±�³

4=<?�C>@<?<aª/[]3�TCWOACKjT=<84�WJ:=<�WJ:=<?3C>@d 3Cf�WR:=<FWZ71<&TCWZd6ML<?G�<?T�hgKjT=<8M_3�T£A�[]i`QwK\[MOiw>Df|A�[]<C��7/:HKg[L:�71<�:�AaG�<$AChj>@<XA�4�d�4=<8MD[?>LKjQ�<a4'KgT���<&[�WZKg3CT�´��

¡�T!KgT�WZ<?>@<aMOWZKgT��kACMD¦H<X[�WV3Cf£� 5#9/�Y�Y®X¯C±`´a�FKNMVACT!A^>DWZKg[?hj<nKgT�WJ:=<A^¦=¦H<&T=4wK¬¶ 3�T WJ:=<�[&A^h\[]iwhgiHMB3^f F�i�AXWZ<?>LTwKg3CTHM&�©A^¦=¦�hgKj<84nWD3b��<?3�UF<]W@>LKg[&A^hKjT=GC<8MOWZKj�`AXWZKj3�THM&�!�_A^U�Kgh�WO3�TÁ:�AC4�KgT=GC<&TCWZ<84 WJ:=< F`iHAXWZ<?>LTwKg3CT�M�KgT!®&¯C¾�³A^T�4BQ�3CWR:���AChjU�3�T�ACT�4�¨cACd=hj<&d�:�AC4�AXWRWZ<?T�4=<84Y:HK\M©hj<X[�WZiw>@<8M�KjT�9_¨c�l3CTF�i�AXWZ<?>LTwKg3CTHMµKjTB�Ci�T=<$®&¯C¾�¯w����A^U�Kgh�WO3�TF7;ACM·A^T�¶�Kg3CiHM�WO3#ML<?<©WJ:=<1A�[?[?<?¦�WDPA^TH[?<�3^fF`iHAXWZ<&>@THKj3�TwKg[�UY<]WJ:=3�4wMµA�M�MOWOA^T�4�A^>L4$>D<8ML<aA^>L[L:_WD3`3ChgM&�a<aMD¦H<X[]K\A^hghjdKjTb�C<&3CUF<?WD>@dC��ACT=4¥2�������5$>@AaG�<8M�>@<&[?3C>L4wM$A'[?3C>@>D<8MD¦�3�T=4=<&TH[]<FKjTe®&¯`��¸QH<]WZ7c<?<&T ��A^U�Kjh¬WO3CTeA^T�4½��AChjU�3�T½3CT WR:=<6MOi`Q �Z<X[�W�3^fMF`iHAXWZ<&>@THKj3�THM�KgT� ´C°w�`¦`¦�� ¯�±8PJ²�´a�R����:HKjhg<#�wA^hgUB3�T ML<?<&U�M©WO3Y:�AaGC<�UBA^KgTCWOACKjT=<84�4�3�i�Q�W@M1A�MWO3�7/:=<]WJ:=<?> F`iHAXWZ<?>LTwKg3CT�M·[?3Ciwh\4BQH</iHML<84FWO3�¦w>@38GC<;A^T=d`WJ:wKjT��$U�3C>@</[]3CTwPGC<?THKj<&TCWJhgd#WR:�ACT�Q=d#WD>LAC4�KjWZKj3�T�A^hCUY<]WJ:=3�4wM?�8:=<1Tw3CT=<]WJ:=<?hg<8MLMµA�4�U�K¬WRWZ<84�WJ:=<QH<aA&i=WZdB3^f F`iHAXWZ<&>LTwKj3�TwK\[;UF<]WJ:=3�4wM&�·��A^U�Kjh¬WO3CT <?T�WZ<?>DWOA^KgT`<84�:wKg�C: :`38¦�<8MWR:�AXW1��AChjU�3�T�713�iwhg4BQ�<&[]3�UF<�A�M��C>@<XAXW©A�4=<&GC3^WZ<&<;3^f3F�i�AXWZ<?>LTwKg3CTHM©A�M�:=<:wKjU�ML<&h¬f¤7;ACM&�CA^T�4B:=<�<?TH[?3Ciw>LA^��<84B��AChjU�3�TYWD3�A^¦=¦�hjd F`iHAXWZ<?>LTwKg3CTHM©7/K¬WJ::wKNM1387/T �C<?3�UF<?WD>LKg[;KgTHM@Kg�C:`W&��ACM�WJ:=<�f�3^hghj387/KgT���¦S3C>DWZKj3�T�3^fµAFhj<?WRWZ<?>X�S� ´^°H�¦�� ²H®]�R�Cf|>D3�U���A^U�Kjh¬WO3CT�WD3Y��A^hgU�3CT��=4�AXWZ<846®X����<?¦�WZ<&U�QH<?>�®&¯`��¸=�CUYA^��<8M[]hg<XAC>&�7Y"K26��4�"�,0,0��)F� *7����,O�I'1)[*7H-�&���I�M863W���!)+*-,�����,S"�,0�6)�863N���=� )[*-,I"L46#*-[,0.�) � �64J��R)[,��&�J'(�=��" �G8J�(,�)I�A,5�0)I�(,S��"F)P��"LE�26��4U)L�����(�(��� �A,P)L� )+*����JE?26��4U3W���O)+*-,�E-'(��H�0) )F,0�6)['���� �I*J'(.&*Q26��4 *7����,5>�'��=,0� ���0)F,0�12U)L�?'1)��

7Y��H�H7�D�J��)!'(�?��>='(�-,P'1)$)L� # , � �0)+)[,��L2686'13 �<�=HJH?)+*7��) �V.0���J"�'�H7,��K26�=4?)F�#J, ���,��� # ��� ��# � ) 2��/ -,��# � � ����# . 8B,!�=,0� '(� )%+ ����8%�I*�'(.@* ���3K)+*-,�"�, ����)[, 2�,S����" �����2A# ,O��,0>��S�&H7,�H���"/�A2 2�� �QH-,!� �S�L)F��,��-)�8�'13B26�=4?"L*7�����J,!��,��K# ,O'(�7H-4-.0,�HA)F���4���"L4�,P'1)�:�:0:0:�:0: �K�=4,�%��"�"�,�"�" � . ��� # �*�����,� � ) 2�-���2 . ��� 2��'�,).� ��- �4#��*�12�� # � �$����8��� )[*-��4J>=* �%*7����,$���1�O�S27" *7�=H5"L�=�A,�)+*J'(��>O��3 �O>�,0�=�A,�)L�&'�.0���") � � ) �=8=���7H5.����L�&'(,�H�S�O�S2^���(�\)+*-,D*7���J����"���3<� 2 H7'��7'�"�'(�=� '(� >=,0����,�)L�L268��I*-,0� �!�O��"08 ��,��L2 �(�=�7>��>=�787���?47�7H7,���>��&�=H64 �0)[,!'(�?�=47� �P�J'���,���"�'1)[26� �+3 2��=4�"L*7������,!��,��$"�,��&'(�=4�"L�(2�)L��E=,4 �?)[*-, � 4 �0)[,��&�J'(�=��"08626�=47� ��� 2����,).� �A�I'��(�%,0�7��#7��,I26��4?)L� >=� 3G���/# ,�26����H ���'(� )+*7�0)I"L46#*-[,0.�)����A^hgU�3CT�  M�KgTCWZ<&>D<8MOWFKgT%F�i�AXWZ<?>LTwKg3CTHM�ML<&<?U�M#WO3V:=AaG�<�4�KjU�KgTwKNMO:=<84­fq>@3CUWR:HK\McWZKgUF<�ACT�4 �_ACU�Kjh¬WO3CT�  M;:=38¦H<8Mcf�3C>/AB:wKg�C:�PR¦w>@3^EHhg<#4�KNMD[?Kj¦�hg<�AXW/9_¨c�71<&>D<�T=<&GC<?>�f�iwhjEHhjhg<84¤� DcdFWJ:=</WZKgUF<�3Cf¤WJ:`<�WR:HKj>L4�<84�K¬WZKg3CT�3Cf�� 5#9/�_�R�CWJ:=<A^¦=¦H<&T=4wK¬¶£3�T F`iHAXWZ<?>LTwKg3CTHM�:�AC4¥4�KNMDAC¦`¦�<XAC>D<84¤��ACM���AChjU�3�TV[]3�THM@Kg4=<&>D<84WR:�AXW�WJ:=< MDi�Q �Z<X[�W�7;ACM�TH387�A�4=< F`iHAXWZ<?hgd£:�A^T�4�hg<84bKjT­WJ:=<�WZ<]¶=WDQS3=3C�b3^f�_<&hjh\A^T�4�A^T�4'9·A^KjW�¢Z®X¯`¸8³`ª��

Page 39: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

±^¾ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

9;KjWJhj<�¦HAC�C<$3^f���]�L�?p8}w��oN}�{|sDp=d�JHx?{Jp8s�~�{Jp�{�vw���£p=dC�?s�} ��o¬rXvH�]s?e�y r��4?sDt

Page 40: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ±`�

�Ci�MZWFA�M�:=<B:�A�4bA�MLMDKNMOWZ<84b��AChjU�3�TbKgTbWJ:`<�¦H>D<&¦HA^>LAXWZKj3�T£3^f/A6T=<?7<a4wK¬WZKg3CT�3^f�� �_�c¨��R�^MD3#AChgMD3�4�K\4�¨cACd=hj<&d�ACMLM@K\MOW©:wKgU KgT�7/>@KjWZKgT���WJ:=<cWJ:wKj>L4<a4wK¬WZKg3CT�3Cf/� 5#9/�_���S7/:wK\[L:6AC¦=¦H<aA^>@<a4�KgTn®&¯=¸a¾H�/¨cA^d=hg<?d�  M/[?3CT�WD>LKgQwi=WZKj3�T7cA�Mµhg<8MLM�WJ:�A^TY:wKNM�¦w>@<?G=Kj3�iHMµ3CT=<C�8Qwi=W�:=<;Tw3CT=<?WR:=<&hj<8MLM�¦H>D38G=K\4=<a4FML<?GC<&>@AChT`<&7¼AC>OWZK\[]hg<8M?�wACT�4'KgT�ºHiH<?TH[?<a4£�wA^hgUB3�T�  M/7/>LK¬WZKgT���3^f�3^WJ:=<?>�AC>OWZK\[]hg<8M?�wA�M��A^hgU�3CT�<]¶�¦�h\A^KgTHM�KgT6WJ:=<�¦w>@<]f|A�[]<#WO3V� 5#9/�Y�µ®X¯`¸a¾C���c��:=<?T6WJ:=<�f�3CiH>OWJ:<a4wK¬WZKg3CT�3^f1� 5#9/�_��7cA�M�Q�<aKjT���¦w>@<?¦HAC>D<84¤�w��AChjU�3�T�WO3=3C��TH3Y¦HAC>OW;KgT WJ:=<>D<&G`KNM@Kg3CT���hg<aAaG`KgT��'WR:HK\M$WD3�:HK\MF[]3^hghj<aA^��iw<Y§£>Y¨cAXWR:�[?A^>DW&��7/:`36hgKj��<?7/KNML<>D<&G`KNML<84�WJ:`<�f�3�iw>DWR:#<84�KjWZKj3�T�3^f�� §£�_¡���KgT�®&¯C¯`���XACM�4=<8M@[]>LKjQ�<84�KgTF�=<X[�WZKg3CT±w�

� 5#9/�_�17;ACM�WJ:=<�3CTwhgd£3CT=<�3^f���AChjU�3CT�  M$UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^h�QS3`3���M$WO3i�T=4=<&>D��3�A�MOi`Q�MOWOA^T�WZKgACh©>@<?G=KNMDKg3CTnA^fNWZ<?>�:wKNMY4=<XAXWJ:���f�3C>FA�EwfNWJ:n<84�KjWZKj3�TA^¦=¦H<aA^>@<84�KjT WZ713YGC3^hgi�UF<8M&��¦Hi�Q�hgKNMO:=<84�KgTV®X²w®X´�A^T�4�®&²H®X�w�µ9;:=<�<84�KjWO3�>3^f�WJ:=<�T=<?7Á7c3C>D�F7;ACMc2/<?��KjT�AChg4�¡F�=���=2/3��C<?>LM&�`A�f�<?hghj387�3Cf�9_¨c�F��9;:=<f�3^hjhg387/KgT��$>@<?G=Kg<?7 3^fHWJ:=<�ML<&[?3CT�4�G�3^hgi�UF<C�CQ`dY§n�7]�3�T��H�w� ³C°^���CMD:=387 WJ:�AXW<?T�WR:`iHM@K\ACMDUkf�3�>��wA^hgUB3�T�  M�7/>LK¬WZKgT���MOWZd=hj<cA^T�4�:wKNM·[L:=3CK\[]<©3CfH[]3CT�WZ<?T�W�MZWZKghjh>D<&UYA^KgT=<84 :wKg�C:�WZ<&T'd�<XAC>@M;A8fNWZ<&>�:wKNM/4=<aAXWR:��� )O'�"O'��6)[,���,S"F)F'(��> )L� �J��)F,�*-��� �('1)+)+�(,5.@*7����>�,�'1)O*7��"!#J,0,0�U�7,�.0,S"&"��S�L2�)L� �?��E=,'(������������� � "5���I� �/���LE%� 7 �!���&H *-,���,?���7H^)+*-,���,A*7��"D# ,0,0�^.&*�����>�,�H989#J4-)��)[*-,��L�I'�"�,D)[*-,����&'�>�'(�����9)[,)"-)O'�"I���(����"F)I'(�6)L��.@)�8J���7HZ)+*-,�"F)[27�(,D����HZ.&*��S�&��.�)[,����3 '1)Q*7����, #J,0,0� .0����,�3W4J�(�12 3N���(�(�S�/,�H #62 )+*7, ,�H7'1)L���Q���7H )[*-��"�, �I*-� *7���=,*-,0��� ,�H�*�'(� :�:0:�:0:�:��+)$'�"K����)<)[*-,!�(,S��"F)!��3M�7���(���=� � "$�����62 �-'(�L)[4J,S"$��"K�P�O�&'1)F,����3K)[,)"-)LR #%�6�=E-"O)[*7�0)P�I*7�0)5*-, "���27"P�?��2Q# , �=H�H7,�H )L�Z#62Q� �0)[,��5,�H�'1)L����"08B#J4-)�-,0,�HQ�&�S��,0�12 #J, H�'�"�������.�,�HU)L�?�?��E�,��!��2U3N���P�-,��!,@�P�A,�)+*7�-H7"O��3V)L��,S�0)F�A,0�6)���7���(���=�U�=��.0,D"���'�HU��3$C!�S2��(,�2Z)+*7��)!*7, � #%��)[* H�'�"L.0����,���,�HU)+*-, � H�'(>=>�'(� � "!�%����H>���)���47)�"L�=�A,Q��3P)+*-,Q#�'�>�>=,S"F)��64�>=>=,@)L"0� � � )?'�"?��3 )F,0�fH�'���.�4J� )?)L�^"L���L)��=4-)�7���(���=� � " ���I� � �64J>=>�,�)L"08 � #J4-) )[*-,���,�.0��� # ,���� H���46#�) ��3I*J'�"A>�,0�J'14�" 3W���.���,S���J'(�7>�4��f����H �S�L�&���7>='(��> )[*-��"�, ���1��,S�=H72 3W�=47�7H98/���7H 3N���,�%��'(�-)['(��> �=4-))+*-, � H�'(>�>='(� � " �Z�I*J'(.@* �/�=4�� H ��,)� ��2Q3N47�L)[*-,��Y�!���LE%�PC/,��L)L��'����12 �?���-2Q��3<)+*-,� �64J>�>=,�)L" �^.0���6)L��'(�-,�H�'(��)+*J'�"A�-,�� �����(4��A,�����,�)+*7,ZH7'1��,0.�) �����-H64-.�) ��3O)+*-,'(�7H�'(.��0)['����J"U*-, >�����,^��3 H7'(��,�.�)F'(�=��"Q'(� �I*�'�.&* 3W4��L)+*7,@� �7���=>���,�"�"Q��'�>�*6)Q#J,���=H-,=�9;:`<6U�KgTwKjT�� ACT�A^hg3C�Cd­7/:wK\[L:���A^hgU�3CT A^¦=¦�hjKg<84 WD3 ¨cACd=hj<&dS  MB713�>O�nKgTKjT=G8A^>LK\A^T�W�WJ:=<?3�>Dd67;ACM�UYAC4=<BKgTb��AChjU�3CT�  M$A^¦=¦w>@<&[?KgAXWO3�>Dd6A^>DWZK\[]hg<C��� ¾�¾^�R�DcAChjh�[]3�TCWZKgT`iw<84BWR:=<$A^T�A^hg3C��d'¢qACh�WJ:=3Ciw��:�KjT�WJ:=<�[?3CT�WZ<]¶=W�3Cf�MZWO3�T=<�F`iHA^>DP>Dd=KgT��H��>LAXWR:=<&>1WJ:�A^T��C3Chg4'U�KjTwKgT��`ªc7/:=<&T':=<�7/>@3^WZ<$KjTn� ´���¦=¦�� ´^±C¯^PJ´C±C²^����P���������(����� �O�&'1)F,S"$��#%�=4-)<C/���J'(.I�7,�.�)F'(�=��" �-����H *J'�"\�/���LED*7��"V#J,0,0� ���64J���L�L2

Page 41: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

±C± ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

'(���I*J'(.&* ���(�!��)[*-,�� �O�&'1)F,���"��0)�*-�=�A,Z���7H ��#����=�=H�*7����,�,!�=,���"�'(�J.�,U��'(�-,�H�I'1)[*-��47)Y,!��,�� ,)"7*7�04J"F)['��7>�'1)L"I��,S"L�=47��.0,S"0�IJT�A$¦HA^¦�<?>X���j®a¸X�R�^¦wi`Q�hgK\MD:=<84BA�M�hgAXWZ</A�M;®&²C¯�°w�8���7]��C»�4w�C<;¦�3�KjT�WZ<84�3Ci=WWJ:�AXW�A^hgh�E�GC<�<84�KjWZKj3�THM�3^f_� 5#9/���R�SA�M�7c<?hgh·A�M�KjWDM$¹w>@<?TH[L:£ACT=4¥5$<?>@UYA^TWD>LA^T�MOh\AXWZKj3�THM&�^[]3CT�WOA^KgT=<84YACTY<&>D>@3C>�KgTFWJ:=</[?A^h\[]iHhgAXWZKg3CTY3^fSWR:=</4�KNM@[]>LKjU�KgT�PA^T�W;3^fµAY[]i`QwKg[�MOiH>Of|A�[]<�KjT WR:H>D<&<�4�KgUF<&THM@Kj3�T=ACh�¦H>D3*�Z<&[�WZKgGC<�MO¦HA�[]<��·»14��C<¦w>@38G=Kg4=<84�[]3�>D>@<&[]WZ<84_f�3�>DUFiwhgAC<©A^T�4¤�84=<8MO¦HK¬WZ<�WJ:=<©<&>D>@3C>X�&:=<�AChgMD3/WZ<8MOWZK¬EH<84WO3BWJ:=<�[]h\A^>LK¬WZd 3^f��wA^hgUB3�T�  M;7/>@KjWZKgT��H�� ��� �!-"%$�&)(�* !#/8@'�4�= �&3254�$'& : ,#& AC,#& @ ,-&�� A</8&C4�/�b<l:�AaGC<�¦w>@38G=Kg4=<84 4�3�[]i�UY<?T�WOAXWZKj3�T KjT WJ:wKNMeA^>DWZKg[?hj<���fq>@3CU G8A^>LKj<84MD3Ciw>L[]<8M&��WO3¥MDiw�C��<8MZWYWR:�AXW���A^hgU�3CT½7;ACMF3CT=< 3Cf�WJ:=< U�3`MOW�KjT�º�iw<?T�WZKgAChWZ<]¶=W@Q�3=3C�b7/>LK¬WZ<&>@MF3^f;WJ:=<£®&²^WR: [?<?T�WZiw>@dC�£��KNMY�CKjfNW&��ACMF3^WJ:=<?>LM�M@A^7 K¬WX�7;ACM#WO3¥4�>@AC7�WO3C��<]WJ:=<?>�MDi�Q �Z<X[�WDMF3^f�[]iH>D>@<?T�WF>@<aML<aA^>L[L:��·4�KNMO¦�h\A^d¥WJ:`<&UWO3�WJ:=<B>@<aAC4=<?>X��A^T�4¥KjhghgiHMZW@>@AXWZ<BWJ:=<BWR:=<&3C>@d�Q`dV71<&hjhjPR[L:=3=ML<?T¥<]¶wA^U�¦�hg<aM&�IJT=<?G=KjWOAaQ�hjd���A�UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^TB3^f�A�h\AXWZ<?>c[]<&TCWZiw>@dB7/:`3Y>D<aAC4HM���A^hgU�3CT�  MQS3`3���M¥7/KghghYE�T=4!WJ:`<&U hgA�[L�=KjT��ÁKgT�¦w>D<X[]KNM@Kj3�T A^T�4�>LKg�C3�iw>&�BQwi=W­:wKNMMOWZd`hg<b3^fY<?¶�<?�C<8M@KNM 7;ACM'WZd=¦wK\[?ACh_f�3�>'WJ:=<¥WZKjUY<C�_7/:=<&TlWJ:=<b4=<?EHTwKjWZKj3�T��hg<?U�UYAH��WJ:=<?3C>@<?U6��¦w>@3=3^f�U�3=4=<½3^f�¦w>@<8ML<?T�WOAXWZKj3�Tkf�3�i�T�4)KjT![?iw>D>@<?T�WUYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&A^hSWZ<]¶=W@Q�3=3C��M/4�K\4�Tw3^W/<?¶=KNMOW&�

9;:=<nMOi`Q �Z<X[�W£UYAXWRWZ<&>�3^fFWZ7c3 3^f���A^hgU�3CT�  M6Q�3=3��=M&��� ���c¨��FACT=4� 5#9/���R��7c3Ciwh\4¥QH< [?hgA�M@M@KjEH<84¥A�M�A^hg�C<]QH>@ACKg[Y�C<&3CUF<?WD>@dC��A�MDi�Q �Z<&[�W�7c<?hgh�=Tw387/TBf�3C>�WJ:=<_4�K ��[]iwh¬WZKj<8M�K¬W�¦H>D<8ML<?T�WDM&� ��T�WZKjhHWR:=<�®X²^¾`°w  M?�8U�3=MZW�QS3=3C��M3CT6A^hg�C<?Qw>@ACKg[��C<?3�UF<?WD>@dB7c<?>@<$KjU�¦w>@<&[?K\ML<#A^T�4'3^fNWZ<&T'A^¦=¦�<XAChj<84�WD3BKgT�WZi�PKjWZKj3�T�3C>¤�C<&T=<?>LKg[�AC>D��i�UF<&TCWDM¤WR:�AXW�<?¶�[?hji�4=<a4#4=<&�C<?T=<&>@AXWZ<�3C>�WD>@3Ci`Q�hj<8MD3CUF<[?A�ML<8M?��«�T=<#:=A�Mc3CTwhgd�WO3�<?¶�ACU�KjT=<�WZ<]¶=WDQS3=3C��M;3^fZ�HM@A^d����H�9]���¨13=3^hjK\4���<C�WO3¥3CQ�ML<&>DG�<�WJ:wKNM�WZ<&T=4=<&TH[]d��¥��AChjU�3CTn:HKjU�ML<?hjf�7;ACM�TH3^WY<?¶�<?U�¦�WFf|>D3�U[]>LKjWZKg[?KNMOU 3^fcWR:=<�KgT=A�4=< F`iHA�[]d£3Cfc:wKNM#W@>D<aAXWZUF<&TCW�3Cf;[?<?>DWOA^KgTVWD38¦wKg[&M?�µACMWJ:=<�f�3^hghj387/KgT��­>D<&G`Kg<?7*Q=de¹c�EDcAXWJ: 3^f����;��Kgh�WD3CT�  M bcyjt^}S� e�y r`��?sDt^oqx� J�s��a�]�$¢O®&²�³�´Cª]�¤� ³^���HMD:=387�M?����73N���L)F47���0)[,0�12�)[*-,P)+*-,0����,�����,0>=���&H�'(�7>A)+*-,/�%��"F)[4J���0)F'(�=�Q��3<�����SR '�.Y)[*7���=4�>=*.0,��L)F��'(� ��3O)+*-,�'(�-)[,���"�,0.�)['����J"A��3Y��� �BR '(.Z���7H �����QR '(.Z���7H�'1)L" �����6��3I*7����,# ,0,�� �(,�3 ) '(�D)[*�' "M.@*7����)F,@� ��"<�����������D�(,�3W) )+*-,0� 8�'(�J.��=� �7��,@)F,$���7HD��' "L�(,S��H�'(��>7��+)P'�"P)L��# ,D��,0>���,�) )F,�H )[*7�0)P)+*-,5)L��4J,D)+*7,�����,0� ,0� #��&��.0'(��>Z�����\.���"�,S"5*7��"Y�J��)26,�)?# ,0,0�f�?��H7, ������'(����#��(, '(� ��� X$�7>=�('�"L* )F, "7)LR #%�6��EB8 � �S�L)F'(.04�� �S���12 ��"?)[*-,,S"�"&,��-)['����M��,S"L4�� )Y�!��"YE-�J���I�Q)L� ����.0��#J'8\:�:0:¡_M$WJ:=<�A^>@�Ci�UY<?T�WDM$3^fcAChj��<]Qw>LA^K\[��C<&3CUY<]WD>@d�7c<?>@<B[?hgAC>@KjEH<84bA^T�4VUBAC4=<

Page 42: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ±=¸

>@Kg�C3�>D3�iHM;Q=d�MDi�[L:�UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[?KgACTHM/ACM#«Y� ��A^>LKNMD�`K���D$��GaACT£4=<?>��bAC<?>DP4=<?T���¡��_�¥<aKgh|��ACT=4l3^WJ:=<?>LM?�#MD3 WJ:=<nMOi`Q �Z<X[�W�QH<X[?A^UY<¥hg<8MLM6KjT�WZiwKjWZKjG�<A^T�4�¦H<&>D:�AC¦�M¥hj<8MLM¥A�[?[?<aMLM@KgQ�hj<½WO3ÁWJ:=<½3�i=WDM@Kg4=<&>V7/:=3k4�K\4!TH3^W¥7/KNMD:WO3nQH<£QHiw>@4=<&T=<a4eQ=d½TH3^WZKg3CTHM�3Cf$KgTCWZ<&>@ML<X[�WZKg3CT U�iwh¬WZKj¦�hgK\[]KjWZKj<8M&�;4wKjG=KNMO3�>[]h\ACMLML<8M?�/:=3^hg3CU�3C>@¦w:wK\[�4�K�HS<&>D<&TCWZK\A^h\M&��WD>LA^T�MD[?<?T�4=<?TH[?<£4=<?��>D<&<C��A^T�4�MD33CT��*��387c<?GC<&>&�$ACM ��AC>@KNMD�=K#M@A^K\4¼AXW'WJ:=<­IJTCWZ<&>@T�AXWZKg3CT�A^hF¨13�T��C>@<aMLM'3^f§£AXWJ:`<&UYAXWZK\[]K\A^THM�KgT£®X²��^°H�<�L«�iH>�A^KgU KNM1Tw3^W�WO3�¦w>@38GC<;WJ:�AXW�3CiH>�f|AXWJ:=<?>LM71<&>D<67/>@3CT��H��Qwi=W�WJ:=AXWBWJ:=<?d 7c<?>@<6>@Kg�C:`W � H� ��AChjU�3�T�  MBTw3�T�PR>@Kg�C3�>D3�iHMA^>@�Ci�UF<&TCW@MF:�AaGC<'QH<&<?Te>D<&¦�hgA�[]<84nQ=dn>LKj��3C>@3CiHM&��K¬f�hj3�T��C<?>�AC>D��i�UF<?T�WDM&�9�3 ML<?<¥WJ:wKNM'KgT¼¦w>@A�[�WZK\[]<��_A½U�3�>D<bU�3=4=<&>LTl¦w>@3=3^fF3CfBAnWJ:=<?3�>D<&U�3^f��A^hgU�3CT�3CT![?i�QHKg[ [?iw>@GC<8M�UYACdkQ�< f�3�i�T=4)KgT � �8¾���¦��g®&²^¾C����ACT�4�A^Tiw¦S4�AXWZ<846G�<?>LMDKg3CT63Cf�A�f|AaGC3�iw>LK¬WZ<$WO38¦wK\[#3^f���AChjU�3�T���MDd�MZWZ<&U�M�3^f©[]3�TwKg[&MA^T�4 F`iHA�4�>LKg[&M?��UBA^d�Q�<�MZWZi�4�Kj<84�KgT­� ��®���¦=¦��j®8¸a¾CPJ´`¸8°8�R���:wKghj<�U�3�4=<?>LTb>D<8ML<aA^>L[L:�>D< F�iHKj>@<8M$A64�K�H�<?>@<?T�WFML<]W#3^f�WZ<?¶=WDQS3`3���M

f�3C>cK¬WDMcQHA�M@Kg[/>@<]f�<&>D<&TH[]<8M&�`[?3CU�¦HAC>D<84�7/KjWJ:�WJ:`3=ML<�iHML<84 KjT£®X²8WJ: [?<?T�WZiw>Dd>D<8ML<aA^>L[L:��8Tw3CT=<?WR:=<&hj<8MLM���A^hgU�3CT�  M�WZ<]¶=W@Q�3=3C��M�[?3CT�WZKjT`iw<cWO3�QH< F`iw3CWZ<84FKgTWR:=<�>@<8ML<XAC>@[L:¥hjKjWZ<?>LAXWZiw>@<C�µA�M#71<�:�AaG�<Yf�3�i�T�4¥Q=d¥Qw>D387�M@KgT���WR:H>D3�iw�C:­Af�<?7 �Z3Ciw>LT�A^h\M?�©9µ3BWOA^��<#AB>LA^T�4�3�U<]¶wA^U�¦�hg<C��KgT�A�[]3^hghj<X[�WZKg3CT�3^f�[]38¦wKg<8M3^f��Vt8{�vw�?��t^{|oqxLt8yMb;sDp&xL�L�0d8oN}=r8�$pO��{�vw���©t8�8]s�o d&r���b©v=oNygpa�?p@uHv=oqxLt8y �¤p&x?oN��]{�~¥KgT½3�iw>B3 ��[]<��©4�AXWZ<a4½QH<?WZ71<&<?TÁ®X²`¸^�£A^T�4�®&²�¯w®��·7c<�f�3�i�T�4­WJ:w>D<&<>D<?f�<?>@<?TH[?<aM�WO3 ��A^hgU�3CT�  MBWD>@<XAXWZKNML<8M&���j®&±8�R�#� ³�¯8�R�1A^T�4¼� ���a�R�17/:HKg[L:eKNM�A�C3=3�4¥[?K¬WOAXWZKg3CTb>D<X[]3�>@46f�3�>�Q�3=3��=M$WJ:�AXW�71<&>D<�T=<aA^>@hjdn®X°C°'dC<aA^>LM�3Chg4bAXWWR:=<'WZKjUY<�WJ:=<?d­7c<?>@<'[]KjWZ<84¤� ¡cWBWR:=< WZKjUY<'3Cf/WR:HK\MB7/>LKjWZKjT�����WR:=<�U�3`MOW>D<X[]<?T�W1[?K¬WOAXWZKg3CTYWO3Y��AChjU�3�T�  M�7c3C>D��WJ:�AXW©71</:�AaGC</ML<&<?T�KNM��¬®X³8�R�C3Cf·®X²C²C±H�

��A^hgU�3CT�  M�¦�h\AC[?< KgT­WJ:`<':wKNMZWD3C>@d¥3Cf;UBAXWJ:`<&UYAXWZK\[?M�AC¦=¦H<aA^>LM#WO3£Q�<ACMLMOiH>D<84¤�8ACM�:wKNM�WZ<?¶=WDQS3`3���M���ACKjT=<84�A^T�i�T`iHMDiHA^hghgd�:wKg�C:Y4=<?�C>@<?<�3Cfw>D<X[]3��^PTwK¬WZKg3CT�f�3�>;AXW/hg<XA�MZW_�C°Yd�<XAC>@M&��A^T�4'KjT'WJ:`<�[&ACML<$3^f �©p^}Hoqx����Lx?{|oqp^}w�C�=f�3�>UB3�>D<FWJ:=ACT½®X°C°�d�<XAC>@M&��2/<&[?3C�CTHK¬WZKg3CT£3�[&[]iw>@>D<84�QS3^WJ:bAXW�WJ:=<F<&hj<&UF<?T�WOPA^>@d�hj<&GC<?h�ACT=4FAXW·WJ:=<c>D<8ML<aA^>L[L:�hj<&GC<?h���«_f�i�TwKjG�<?>LM@K¬WZd`PRhj<&GC<?h`UYAXWJ:=<?UBAXWZKg[&MQ�3=3C��M�7/>LKjWRWZ<?T�3C>�¦Hi�Q�hgKNMO:=<84�KjT�IJ>@<?h\A^T�4¤�C3CTwhgd�¨cA�ML<?d�  M �¤�� JH�?yH{Jp � JHx]�y�o d�3C> Dciw>LTHM@K\4=<#ACT�4'��ACTCWO3�T�  M _SvH�Lp8s�~�pO� � ��JHt8{�oqp8}w�F[&A^T�:�AaGC<$QH<?<&TACM�MDi�[?[?<aMLMOf�iwhHA�M1��AChjU�3CT�  M�7c3C>D��M?�CACT�4BA�M�M@[]Kg<?T�WZK¬ES[/¦wi`Q�hjKNMD:wKjT���KNM�G`Kg>DPWZiHA^hghjd½Tw3CT�PR<]¶�KNMOWZ<?T�WBTw387 KjTeIJ>D<&hgACT�4¤�©KjW�KNM�i�TwhgKg�C<?hgd­WJ:�AXW�ACT`dn3CWJ:`<&>MD[?Kj<&TCWZKjE�[�QS3=3C�­¦wi`Q�hjKNMD:=<a4 KjT IJ>@<?h\A^T�4­7/Kghjhc<?G�<?>YQH<'A�MFMDi�[?[]<8MLMOf�iwh1A�M��A^hgU�3CT�  M?�¹wiw>DWJ:=<?>�¦H>D3��C>@<aMLM�3�T��wA^hgUB3�T�  M�[?AC>D<&<?>�ACT=4#:HK\M�>D<&hgAXWZKg3CT�MO:wKg¦�M�7/K¬WJ:

[]3CT�WZ<?U�¦S3C>LA^>@d_UBAXWR:=<&UYAXWZK\[]K\A^THM�7/Kghjh�>D< F`iwKj>@<�MOWZiH4�d$3^f�:wKNM·[]3C>@>@<aMD¦S3CT�4=P

Page 43: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

±C¯ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

<?T�[]<C�¼¡_[&[]3C>L4�KgT��bWO3Á� ¾`²8�R��WJ:=<?>@<£A^>@<�f|A^U�Kghjde¦HAC¦H<?>LM�ACT=4 hg<]WRWZ<?>LM�3^f��AChjU�3CT­KgTbWR:=<�9_¨c� hgKjQH>@AC>Dd���A^T�4b71<�:�AaGC<�A^hg>@<XA�4�d£Tw3CWZ<a4¥WJ:�AXW#WR:=<�_ACU�Kjh¬WO3CT�[]3�>D>@<8MO¦S3CT�4=<&TH[]<�[]3�TCWOACKjT�M�ML<?G�<?>LA^h¤hg<]WRWZ<?>LM;fq>@3CU ��A^hgU�3CT�WO3�_ACU�Kjh¬WO3CT�3�T�WJ:=<1MDi�Q �Z<X[�W�3Cf?F`iHAXWZ<?>LTwKg3CTHM&�84�AXWZKjT���fq>D3�U ®&¯��`¸=��IJTYAC4w4�KjPWZKg3CT���WJ:=<#hjKgQw>LA^>@d�3^f ��THKjG�<?>LMDKjWZd6¨13Chjhg<?��<?]�3CT�4�3�T':�ACM#®X¯Bhj<?W�WZ<&>@Mcf|>D3�U��AChjU�3CT'WO3�9#�w¡F�H��Kg>@MOW_4�AXWZ<84�QH<]WZ7c<?<&T¥®X¯��C¯YACT=4¥®&¯=¸8³H�IRW©KNM�¦�<?>@:=AC¦�M�4�K ��[]iwh¬W©Tw387 f�3�>�iHM�WO3�AC¦=¦w>D<X[]K\AXWZ<�:=387½:HKj��:whjd���A^hjP

U�3CT��SA^T£A�[?AC4=<&U�Kg[#A^T�4�WJ:=<?3^hg3C��KgACT���7;ACM/>@<?�`A^>L4=<a4�4`iw>LKjT���WJ:=<�h\AXWRWZ<?>¦HAC>OW#3^f�:HK\M#hgKjf�<C�Y9;:=<BUYACT`d£AC¦=¦w>D<X[]K\AXWZKj3�THM�3Cfc��AChjU�3CTVWJ:=AXW#7c<Y:�AaGC<>@<XA�4¤�17/>LKjWRWZ<?T Q�3CWJ:eQ�<]f�3�>D<�A^T�4 A8fNWZ<&>�:=<£4�Kj<84¤��AChjh/¦S3C>DWD>LA^d A¥UBA^TAC4wUBKg>@<a4'WO3�ACT'<?¶`W@>@AC3C>L4�KgT=AC>Dd�<?¶`WZ<&TCWX�©¡_M/KjW_MOWOAXWZ<aM;KgTn� ³`´���¦�� ´^²`´a�R�� ����,�8 � ,���*7� �J"08J)+*���� ���62Q��,0� # ,@�O��3<)+*7,DC/���(�(,0>=, )[*7���=4�>=*-�=4-)Y'()F"P*�' "F)L���L2*-,P�(,�3 )I*J'�"!.0���-)[,0� �%���&�S�&'�,S"/)+*-,P'(� �7��,�"�"�'(�=�Z��3 � >���,S�0)O�?���M87���7H �%��"F)[,��&'()+2*7��"I"�,0,0� ������,S��"L��� )L����,)��,���"�,D)[*�' "���,��&H7'(.�)��

������������ �������������������������������� "!����#$���&%')(*�+��,�

� 7��/� � 7 ;M��,S�0)F'�"&,��=�(7P�7���12-)F'(. ��,��=��,@)L�L26� TV���L) �&�9;!*-, �Y'�>�*6) �M'(�-,?����H C/'1��.0�(,=�' �=��8�'��%8 ��+ ' �M���P�-H�>=,S"P���7H �-��'1)[*��V�546#7��'(�98 �!' � � �

� 7��/��� � 7 ;9��,S��)[' "�,O����7P�7���12-)F'(. ��,0�=�A,�)L�L2 ���7H )+*-,!;!*-,0���L2���3%T<� ���-,YC/4����,S"0�<TV�S�L)���@�-C/�=�J'(.5�7,0.�)['(�=�J"0� ' ����8-'8 � � 8-,��L�&�0)F� �G8 � � � �M�����-H7>=,S"O����HU�-��'()+* �\�546#7��'(�98��' � ' �

� CO� � 7 ;M��,S�0)F'�"�, ���fC/�=�J'(. �7,0.@)F'(�=��"0� ' ����8<'('8 � � 8$,��L�&�0)L� � 8 � + + �9��P�-H�>�,�"����7H�7��'1)+* �V��46#��('(�M8 ��' � ' �� �7HU,�HB� ' ���78J'��%8 � � � �M�����-H7>=,S"Y���7H �7��'1)+* �\�546#��('(�M8 �!' � + �� �&H ,�HB� ' ���78 "*�%8 � � � �9� �M����>��?���98 K�����I�98 �P��,0,0�M8 ���7H �M����>��?���J" � �9�=�7RH����M8 ��' � � ���)+* ,�H9� ' ����8 "*�-'G8 � � � �M� �M�=�7>=�����98 $���S�I�98 �P��,�,0�M8�M����>��?���M8A���7H�Y�=# ,��L)F" � �9�=�7H����M8 ��' �#� �� )+*�,�HB� ' �=��8 "*�%8 � � � �M���M�=�7>=������"08 �P��,0,��M8 �I2�H7,@��8\���7H ��26,@� � �M���7H��=�98��' � �-�� )+* ,�HB� ' ����8*"*�%8 � �4���M� �M����>��?����"08 �P��,�,0�M8J���7H C/�7� � �9�=�7H����M8 ��' � �7�

� �5TKC � 7 ;M��,S�0)F'�"�, ��� )+*-, ��'(>=*-,��?T$�����7, C/4���=,�"0� ' ����8�"7'('G8 ����� �9� �P�-H�>�,�"����7H�7��'1)+* �V��46#��('(�M8 ��' � � �� �7HU,�HB� ' ���78 "7'&"B8 � � ���M�����-H7>=,S"08 �J�="F)F,���8 ���7H C/�7� �K�546#7�('��98 ��' ��� �� �&HQ,�HB� ' ���78 "7'&"B8 � � � �M�����-H7>=,S"08 �J�="F)F,���8J���7H � '(>�>='�" �!�546#7�('��98 ��' � �7�

� � ��7 � �M,S"�"L�=��" �+�-)L���-H64-.�)L���L2A)F�5)[*-,�� �-H-,��&� ��'(>=*-,�� 7P�(>=,@#��&�7� '�"B8 � � � �M�����-H7>=,S"08�7��'1)+*M87����H C/��� �$�546#��('(�M8 �!' � �-�

Page 44: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ±�²

� �7HQ,�H9� ' �=��8*" �%8 � � � �9� �P�-H�>�,�"08%�7��'1)+*M87���7H C/��� �/��46#��('(�M8 ��' � � �� �&H ,�H9� ' ����8 "�'&"B8 �*�!' �M���P�-H�>=,S"08 �J��"F)F,@��8 ����H C/��� �$�546#��('(�M8 �!' � � ���)[* ,�HB� ' ���78 "*�%8 � � + �M���P�-H�>=,S"08 � '�>�>='�"08B���7H C/��� �/��46#��('(�M8 ��' ' � �

� �5;!� � 7 ;M��,S�0)[' "�,�����)[*-, 7P�7���12-)F'(.���,0����,�)L�L2���3M;!*���,0,P�5'(��,0��"&'(���J"0� ' ����8 "*�%8 � � 8,@�L�&��)F� �G8 � � � �9�����-H�>�,S"08B�7��'1)+*M87����H C/��� �K�546#��('(�M8 �!' � � �� �7HQ,�H9� ' �=��8*" �%8 � ��+ �9� �P�-H�>�,�"08%�7��'1)+*M87���7H C/��� �/��46#��('(�M8 ��' � � �� �&H ,�H9� ' ����8 "*�7'('8 � � 8M,��L�&�0)L� �G8 � '#� �M� ���-H7>=,S"08 ����"F)F,���8\���7H C/��� �D�546#7�('(�M8�!' � �����)[*�,�HB� ' ���78 "7'�"B8 � � 8V,��L�&�0)L� �G8 �*��� �M� ���-H7>=,S"08 � '(>=>='�"08$���7H C/�7� ���546#7�('(�M8�!' ' � �� )[* ,�H9� � � �����("0��89��,!�-'�"&,�H #-2 �P,�>='(�7����H 7 �BT � �P��>=,���" �@� 5$���� � 8 ' ����8 "�"7'�'8� � + �M� 5$���� � 8 ' ���78 "*�-'G8 �#� � �9� �M����>��?����"08 �P��,0,��M86���7H�C/�7� � �M�=�7H7�=�M8 � � ��� 8� � ��� �

��� �������� �������� �� �!����#$����%'�(*�+��,�

�G� � 7Y�7���12-)F'�"L.@*-,��,0�=�A,�)L�&'�,�H7,@����,0>�,0�("L.@*��J'1) )F,=8B��'1)5#J,�"L���7H7,���,@� /,����4�.@E-"�'(.@*6)LR'(>�4��7>YH7,��\�-,04J,���,�� �Q,�)+*7�-H-,0� ����� �A�������������M� ���6)F,@� � '1)[�I'1�LE-47��>YH-,S"�5$,��LR3��"�"�,���"0�!�5,�47)L"L.&*?# ,S�S��# ,S'1)F,�) ���=���P� �c'(�(*-,0�(� � '�,�H7��,@���/;M,046#J�-,�� � �M,S'�� �0'(>�8�!' � + �

�# � 7Y�7���12-)F'�"L.@*-, ��,0����,�)L�&'(, H7,S" �P�04��A,�" �=�=� ��,�����>=, �7���(���=�9� ��,047)F"L.@*#J,S����# ,S'1)F,�)������ ����� '��(*-,0�(� � '(,�H7�(,�� � � ������"0� �@�/;\,046#��7,@� � �M,S'�� �0'(>78 ��' �#� �

�. � 5$�����(,S"L47��>�,0� �047�UX$'(��3 �4J*7��4��7> '(�cH7'�,7P�(>=,@#��&� H-,��Z�('(�7,S�S��,�� ;M�&����"F3N��������R)['(�=�-,0� ���=� ��,0����>=,I�7���(���=�9�\��,047)F"L.@* # ,S�S��# ,S'()[,�) �=�=� ��� � '��(*-,0�(� � '(,�H��(,�����-'('('8 � � � �9�/;M,046#J�-,�� � �9,�'�� �0'(>�8 �!' �$� �

�GH�� 7Y�7���12-)F'�"L.@*-, ��,0�=�A,�)L�&'�,�H7,@� * ���*7,@��,0� ,�# ,0�-,0� C/47���,0� ���=� ��,0����>=, �7���1R�����M�V��,047)F"L.@*Z# ,S�S��# ,S'()[,�)������U�P�.�c'(�(*7,���� � '�,�H7��,@��� "*�-'8�� � � �M�K;\,�46#J�-,�� ��9,S'�� �0'(>�8 ��' ��� �

�, � �9, �.0���J"AH � ���(>��,�#���,U"L4����,@�@'(,047���^;M�&��H-4�'1)�H-,�� � ���7>=����'�" � �S� � � !� ��'��9� 7/4J>�R�A,0�6)��, H-, ����)[,�" � ��� � ���P,�����'1)F,=� "7'('G8 � � � �M� �5�04-)[*�'�,@�LR 5P'(�����S��" � TV���&' "08�!' � ' �

�N3 � ;9�&��'1)��, H7, >��,0�=�&�,@)L�@'(, �� H-,04 "fH7'(��,0��"&'(���J" �"�,0.�)F'(���J"U.0�=��' �64�,�" �@� ;M�&��H64J'1)H-, � � ����>�� ��' "^"L47� ���f.0'(���-4�' �,0��, �,�H7'()['(�=� � ��� �A� �Y,S"���� ,�)5 � 5/�04-.&*-,���,�)���5�04-)+*J'(,��LR 5�'(�(������" �/TV���&' "08 ��' ��+ �

�> � ;9�&��'1)��, H7,D>��,0�=�&�,�)L�&'(, ���7���(2-)[' �64�,,��A)L���='�"�H7'(��,0��"&'(���J"0� � 4��6�&��>�,�)L�&�=H64J'1)PH-,� � ���7>=����' "P"L4��Y��� �64 �0)L�&' �,���,��,�H7'1)F'(�=� �J��� � � C/*7,���'��9�<TV���&'�"08 ��' ' � R6� � �

�* � ;9�&��'1)��, H-,�>��,��=��,�)L�&'(, ���7���12-)F'��64J, �.0��4���# ,S" �7�����-,S" �@� � 4��6�&��>=,�)L�&�=H64J'1)AH-,� � ���7>=����' " �J��� � �<C/*-,0��'(� ,�)A"L4J'��-'!H � 4��-,�,�)[4 H-,�"L4��A��,S"�%�='(�6)L" "&'(�7>=4���'(,���"�J��� �A� �5������*7,��M� "�"7'�'('8 � � � �M� �5�04-)[*�'�,@�LR 5P'(�����S��" �!TV�S�@'�"08 �!' ' �7�

Page 45: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¸8° ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

�' �`;M�&�0) )L�0)L�f���7���('1)F'(.0�fH-,0�(�(, "�,��'����J'5.��=�J'(.&*-,=� 5$,���"�'����-, '1)F���('����7�f"L4��(� � 4�� )F'(�?�,�H9�<'(�7>=�(,S"&,�� �S� � �7���������0)L����,Y�5'(�J�7� 7P>�>='147�6)L���7'J>=�(' ,0�(,0�A,0�6)F' H7'J>�,0�=�A,�)L�&' ����7����'1)['�.0� �Y)L��,O.0�6���&H7'��7�0)F,Y,S"F)L�&�0)+)[' H7����)L�&�0) )L�0)L� H-,0�J�����(�����M� � � �%���('G8 � � + � �

����� � � �� �� � � � ��� !����#$���� �������� ��������� ������ �������� �!�"�$#&%� ��'���(��� ��� )%�����*+*, .-/�) � 102���3%"�4%��5�"�) ��6�7�5��*48�

3�� 9��� ��5�) �:;�<�5�>=2#���%�#5?�#5��*A@B�.�3#���%.���5����+%�������%��� )%���3������8 T$*�'��� � ��>7�DC�E� ��' � � �@8 � �SR ��� # � ��4��%� 7Y�J�9� � ��)+*M��F,C � ��' �$� �@8 � ' � R � ' �7�

� ��������� G*� "-/�) � G���H#I� �!�"�$#&% J�) �%)� �D���K%�#5?48�I#L-&�$M� ��N�5�� 68UC!��� #9� ���7H�546#7�� � �0)+*M� ���OC � �!' � � �@8 � � R �$� �

� �QP9�K8 1���R3�� ��O#���#KST�5?U�3%��7�5�U�O������2� �!�"�$#&% ���8VC!��� #9�%����H �546#7�� � �0)+*M� ���VC� ��' � � �@8 � ��R � � �

�7�����H3�� B-T ��� ���#&��3���W�5�V� �!�"�$#&%� ������>3�� X�� �%�����*A*� .-&�) � 687TV���6.=� ��� 7ZY � �!' � � �@8�$� � R �$� � �

� �����+3�� �%��5��*T�[��3���43��#/�#\��?3#5�� ��"���,�!?�*]$�,�!%.�]#9� �!�"�$#&% �#�?3���T-^#_%��&��M! X?U�U�� 68C!��� #9� ����HU�546#7�G��� �0)+*M� ���OY� �!' � ' �@8 � ��R � � �

� �����`3�� +�D��:]ST ��]�5�_�����":^#�?U�a02���3%.�I%�#��bST 4*T��#K02�L������:c#d-/�[M! ��e�7�5�U�O8�f#b-/�[M! ��g� �&�"�$#!% 68 C!��� #M�Q����H �546#7�G� � �0)+*M� ���+Y � ��' � ' �@8 � � R � � #� ��4��%� 7P���M��� �0)[*9�Zh � �!' ��+ �@8 � � ��R � � � �

� �QP9�K8 ;���G#H�) �� �!?���5�9 .?i�U:;�U��#&��3���98KC!��� #M� ���7H��546#7���� �0)[*9� ���2Y � �!' � ' �@8��� ��R ����� �

' �����Q��� 4%��5�� %)�U��%!��:;��%)�.�8S!�U�,-e#R� �&�"�$#!% j�5�]3�� �Wk�l ���)*, ���8 C!��� #9�I���7H�546#7�� � �0)+*M� ����E � �!' �4� �@8 �!' ' R � � � �

�-�������� '$��� ��?� 1$#5�,-T ��D���?�#5�� ��9$�m#1� �&�"�$#!% '���(��� '����U�)*A�5�)*� .��8%C!��� #9�7���7H�546#7�� � �0)+*M� ����E � �!' �4� �@8 � � � R ��� + �

��+ �����n3�� m%)?3#5���.�UoD%�#/��3���n���<%��&��M! ��_���<*��,�TS5?� p%!�!��M #&q�!�) 68VC!��� #M�Z���7H �546#7��� �0)[*9� ���Dr � �!' ��+ �@8 ��� R � � �

� � �����j3�� \%��5��*T�[��3���j���#&X#��4 �s��K#&��3���W�"���,�&?�*]��#&M! \ �s��K#�?V���K�T���8BC!��� #M�����7H�546#7�� � �0)+*M� ���Or � �!' ��+ �@8 ��� �SR �!� � �

��� �Qt> u$�) m*� _vH� wXx9wVy�#�?U:]���z*, 1{p�TS5?U�U�}|#A?.~q� �*T�[8 ��!�_*, m% (���,�!�.��#5?$w^�UyV�!�'?� ���7���U�D[��*2~ �U���O "���3�5�j*� ��'%��,�!�5ST ��1*, p$���5�3�.��| �:; m*, .-/��� 8�&8 ���%3 �4��5H�'(, ��,S'(�-,A47�7H���7>=,@�O���7H6)F, � �0)+*M��Y�h � ��' � + �@8 � � � R � � � �

� � ���7�1� )����| �:; ��2� �!�(?� ��X%��,�!�5ST ���*, <$���5�3�.��| �:A �*, .-&�7� 68 �7�=3 �4��/H�'(,!��,S'��-,O47�7HA����>�,�R�O���7H-)[,,� �0)[*9��EDC � ��' � � �@8 � � ��R � � � # � ��4��%��7P���M� � �0)[*9�XF�F � ��' � � �@8 � ��� R� � � �

� �7�}yV�!��?3#m�[�5�":W�!?3#/��3���a*, <?3#^%��T�&�5ST <�7� �%)� �D���Ts��T 4|#W�!�� �%��,�!�5ST 9*��5���1� � 68 ���73 �47�H�'(,5��,S'(�-,D4��7HU���7>=,��!���7H-)[, � �0)[*9��EOC � �!' � � �@8 � � � R � � ' �

Page 46: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¸�®

��� �����;#�%)?3#��.���5�D� �&?� 5*_� �&�"�$#!% ���8JC!��� #9������HA�546#��� � �0)[*9� ����� � �!' ��� �@8�� � R � � ��!� �����W�) �%)� �D���K%�#�?�� �!�"�$#&% ���8%TV���6.=� ��� 7��� ��' �$� R � � �@8 � �$� R � � � ���� ���>�� ���%)�i�� ����U�j3�� <�����7 ��)*, 58 ��":;�U��#��D>%�#�?3%!�!?8�!��8 C!��� #M������HZ�546#7�� � ��)+*M� ���

h � �!' � � �@8 � ��R �#� ��!' ����� ��� ;������S5?� �: ���^3�� ]�U��8#���*�8%)�U��%!��:;��%)�.�8ST 5*Z$�.�3#��T-/?� �8�T<*J'(���� ��>��\F,Y

� �!' � � �@8 � � + R � � � 8 � � � R � � ' �� �7����� ��� ;������S5?� �: ���^3�� ]�U��8#���*�8%)�U��%!��:;��%)�.�8ST 5*Z$�.�3#��T-/?� �8�T<*J'(���� ��>��\F,Y

� �!' � � �@8 �$� � R �$� ' ���+ ��x� )��:A $���3%�#5?7���T8 ���8 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M�VF � ��' � � �@8 �$� � R � � � �� � �����43�� <�5�)*� .�����7% ���[#��U�]���D��$ �:;�B���� �s��K#&��3������8 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M�DF � ��' � � �@8

� � � R � � � �� � �����R3�� m%��5�O[#&%�����X��� -&�O�?i�U�� ��^02�[��a� �&�"�$#!% ���8 � 4 �S�L)�� ��� � ��)+*M�>F � ��' � � �@8

� � �SR � � �7���� �}yO�&��?3#W3�_� ��5���� �*, 9*, ��!�W%��5����s��T ���8 � ��4��%� 7P�J�9��� ��)+*M�VF �� �!' � ' �@8 '$� R � ' �� �������R%!�&��M! ��p����3�� ]3���U�)*d�5�)*� .��8$T$*�'���<;9�&���J"0� �P��2-���O�-�6.0'(,�)[2nFKE�� � ��' � ' �@8

��� � R � � � �OTV���6.=� �Y��2-���M�7�6.�'�,@)[2+h � ��' � � R � � �@8 �$�#� R �$� ���� � �����A3�� B �s��K#&��3���p������� 2� �!�"�$#&%� ����O% .�O$�) ��(�5�D#��; �?U?U� �D������*M8 � 4 �S�L)�� ��� � �0)+*M�

C � �!' ��' �@8 � ��� R � � � ���� ���' �%���UoD%�#&��3�5� *2~ ��� 3�1� ��5��| �:A W*� WvH:4wByD8 ��U�� ��W 5_{1 50<�!?U�6wI� t> W?U�� ��G*, ��

���5:;:A 5��1*, ���#��T-/?� ��m*T�����[[��%)�U��%�������%)�.�$��z|#a���� 1%��T�&�5ST _*� �?3#W%)?3#5���� ��n ������� '%��T�&�5ST �*, 9*, .-/��� � �6��8 � ��4��%� 7P���M��� �0)[*9��F� � �!' � � �@8 ��� ��R ��� �-�

� � �����z3�� 1*� .-&�) � 1���<��� '� �&�"�$#!% 1�) )%)� �D���K%�#5?<$�;#;-&�$M� ��a���� 689;9�&���J"0� ��� 7 C�Y� �!' � � �@8 � �*� R � ' ' �

��' �����4s��K#&8 ��.��#����4%��TS!�3%)��8�T<*J'(�� ;9�&���J"0� �Y��2-���M�7�6.�'�,@)[2F��� � �!' � + �@8 � � �SR � � + �TV���6.=���P��2-��� �-�6.0'(,�)[2F�� � �!' � �SR � + �@8 ��� � R ��� �*#

� �7�}yO�&�+?� z��1� ����,| �:; ��D#&�!�) d 5A%��,�!�5ST ��W�V#5��#�?U?�| �?� ���8 � �=4 �B� 7P�J�9��� �0)[*9�1F,h� �!' � + �@8 � � � R � � �7�

� + �����n��� m�) �?3#&��3���Z02���3%.�J%������� �%5[�]3�� m:W�Tq�/#�?B*T�i��$#5�D% ��p����oVM! 1�7���U�D[�_�i��6�O#&% �8 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M��Y � ��' � + �@8 � ' � R � ' ' �

��� �����j��� �*, 58 ��":;�U��#&��3���4����3�� <�7�5�U�O��9�5�(%����D$#!%�����X*��T�TS�?� _[#��T-, ��D[�18�^#5�#5? -, �S���#��3%1%!�&��M� 68 � 4 ���L)�� ��� � �0)[*9�DY� �!' � + �@8 ����� R � � � �

� � ��x� )��:A $���3%�#5?X3�� ����) �:;��8 � 4 ���L)�� ��� � �0)[*9��E � �!' �*� �@8 ��� � R ��� ����$� �QP'�T$ ����5�s��K#&*T�.� ��?3#5��#5�\%��K���)*K�i��#&8 ���8 � 4 �S�L)�� ����� ��)+*M��E � �!' �*� �@8 ���*� R ��� � 8

� ��� �� �������z3�� 1*� 5$ ��":;�U��#/��3���a���<3�� '���K%)�(���B#A%�������%-8 � 4 �S�L)�� ��� � �0)+*M�Vr � ��' � � �@8

� + � R ��� � �

Page 47: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¸^´ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

� � ��x� ��5:A 5$�.�3%�#�?(��� ��5�) �:;��8 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M��r � ��' � � �@8 � � � R � � � �� � �����z3�� �%)�U��%)?� ^02���3%.�R8�T�!%.�� ��_3�� '�[�,�!�1%)�U��%)?� ��p02���3%"�R8�,�!%"�z��� '�.��*, ����5��#

-/�[M! .�+�6�D�� ��.�3%�#�?2$�.�3#��T-/?� S8 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M�� � ��' �#� �@8 � � R ��� �� � �����H���5:A ��7�5�U�O����i�a��� 13�� �������5�( �?U�U:;�i��#&��3�5�M8 � 4 ���L)�� ��� � �0)[*9���� �!' � � �@8

� � � R �#� � �� ' �����4��� B�D��:WSK ����5��� �!�"�$#&%� ����5�(3�� ��� �%�����*W*, .-&�) � �02����%"�W%�#��aST �*, ���%����8ST 5*

8�m��#&��3�"� �a���U�� '%��5��*T�[��3�����08 � 4J���L)�� ��� � ��)+*M� �� ��' � � �@8 � R � �� �-�����H���5:A ��6�� �%)�3#�?��[���":;�\�5�(%�������%��08 � 4J���L)�� ��� � �0)+*M�� � ��' � � �@8 �$� � R �$� � �� + �����I��� ^?i�U:;�[��U�T-J%�#5�� ��W�5��% ���[#��U�L%������3%)�08��Q,S"�"&,���>�,�� ��3 � �0)+*7,��?�0)F'(.0"^E

� ��' � ' �@8 ��� ��R � � � �� � �����'�7 ��.�3�T*T�>�U�^3�� >�) �%�� �����K%�#�?U�2�5�T���.�i:; ��08 �U,�"�"�,0�7>=,��<��3�� ��)+*-,0�?�0)['�.�" � � ,@�

�7,@�@'(,S" ��C � ��' ��� �@8�� ��R � � �

� � � � � ��� ��

� � � � �6�%� !���(�G8D��S!�[q�/#����^�D�K��3% ����2x� )���q-, �y�#�?U:]���986TV���6.=� �9�=�7H���� � �0)[*9�-�-�6.=���-,�� "�,��&'�,S" ��F � � � +$� R + � �@8�"�"7'('(R "�"*�-'�'('�

� � � � �45A� /���(� �,�H9� �@8 �Y,0��'(�J'�"L.0,0��.0,S"K���7H �M,�) )F,@��"/��3\�-'(���Y�=# ,@�L) !���(�G�/C!��"&"�,0�(����7H C/��� � �9�=�7H����M8 � � ��� �

� � � �/� !�0)[*98 �P,)�7'(,��f��3 � # �*��� � # ���$��� � ��- � �3� ��� �V#62 �A� ��'(� )L���M8�� �0)+*M� �5� �0,�) )F,C�C�E � � � �$� �@8 � ��� R � � � �

� � � � ��� � � /,��&�7���&H �G8�y�#�?U:]�����Vx� ��5�q-, ������� ���� �������8 � �Z��'�.@)F'(�=�7���L2���3 � �0)['����7���/'(�=>��&� ��*-268��-,0.0����HU�-4������(,0�A,0�6)�8 �=����������@8�,�HB�<#62Z�B� �M,0,=8 � ��� R � � �7�O�-��'()+*M8X<� H-,���� C/��� � �M����H7�=�98 � � ��� �

� � � /'(�=>��&� ��*J'(.����<�5'(.�)['(�=�7���L2 ��3 � �0)[*-,0����)['(.0'����J"0���,�����("0�DC/*7�����(,S" �-.��&'�#��-,���� "�7���J" � � ,@� �/���LE%8 � �4� � �

� � � �A� /�6���(,=8��>�K�7�!�.�$��3���;�5��#�-, .�� .��#�?D��� ��5���^���,?U�U�� �#5�B$��#����"�[�5�":;#&��3�����08-C!���?R#��&'�H�>�, � �0)[*9� �=��4��&�7����Y � ��' � � R � � �@8 � R ��+ ���7H �!+ � R � � �-�

� � � � � �A� K���6.&EB8�' ������":;�U�,-1:^#&��� �:^#/��3%)�B �*��!%�#&��3�5����#������,-&?3�����6�.�i�"�H%������� �% ���3�5�M8 � � �7.�'�,��J.0,Z'(� �+��,0������H �!' + + R � � � + �Q;M�&��H�'1)F'(��� ���7H �P,@3N����� 8<,�HB� #62����� � � 4JHJH7" �,) �4# 8 ��� R � + �!;9�@'(��'()+2 C/���(�(,0>=, �546#7�('����<�546#7��'(�98 � � ' ' �

� ' � �A�%��� /4��L)[.@*7��,0�(� ���7H ;�� �A�B�7�=H7��,S'1��8�7Y��47���J'9�546#7�('���'(,0�J"�,S" � ��� � � R ��' � + �@�7P�(,)"B�J;!*-�=� � C/���(8 �9)&H9� �$�546#7�('��98 � � � � �

� � � 7 �MC!�S27��,@268(���J3�� ^$�.� ��?� ;$#��T-, .�O(��?3#5�� ��1�5�B� �!�"�$#&% ��_�5�\3�� p3���U�)*4���)*, ��08C!��� #9�J���7HQ�546#7�� � �0)+*M� ����E � ��' � � �@8 � �!' R � � � � � C/���(�(,0.�)[,�H � �0)+*-,0�?�0)F'(.����TV� �J,���"08 ������ �&8 ���9� � � � R � � � � �

Page 48: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¸^³

� �!+ � � 7 �%C!�S2��(,�2 �G8 �Y,0.0,��-)O;\,�����'(�J���(�=>�2Q'(� � �0)[*-,0���0)F'(.0"08 � �^;!*-,DX<��>���'�"L* CK27.�R�(��� ��,�H�'��78 7I�L)L"D����H��7.0'(,0��.0,=8 �����G��5A8 ���9� ��� ��R � � � � K�&�=H7#J4��L2 ���7H X��=���J" ��9�=�7H����M8 ��' � + �

� � � � � �IC/*���"L�(,�"08�7 � ,����.�4 *J'�"F)L���&'��64J, "L4��Q� � ���&'�>�'(�7, ,�)Q��, H��,!��,0�(����� ,0��,��-)UH-,S"�&�,@)[*-�-H-,�"O,�� >��,��=��,�)L�&'(,=�.� ������26,� ��K��4J"�"�,0�("08 ��'$� � �

� ��� � � � C/*7��"L�(,S"08V;M�&��'1)��,ZH7,S"5"�,0.�)['(�=�J" .0���J'��64J,S" � ����,���' �,@��, � �S�L)F'(, �@� �5�047)+*J'(,��LR5P'(�����S��" �!TV�S�@'�"08 �!' � � �

� � � � 7 � � ��C/��*-,0�?����H ��� P��� ���(,�"08�x�t ����� �u�5�5S!�[[�>�U�;# � � �6*K�U:A ������3�5��#5?T:]�T*��!?� �����'%.��#5��#&%�$ ��.�3�����%���8 ��� 7P�(>HF��r � � �4� � �@8 ' � R �!+ � �

� � � � �P��� ��,0����>=,A�����(���=�M8 �/� � � �B�(8 � �0)F47��, ��h � � � +#� R + � �@8 � � ��R � � � �� ��� � ��46#��('(� ���J'���,@��"&'1)+2 X�"�����'��7�0)F'(���J"0� � � COCOC����������A�/�c'(���('���� C/4��L�L268

��4��9�$���7H C/��� �$�546#7�('��98 �!'#� �7�� �!� � �a���<�MXKH7>=,=8��7�� 1��%)���5?U?B����$#��T-, .�O��_����#5�J �?U?U� �����%^s��/#������%p%!�&��M! �8 � �0)+*M�

TV���6.=�!C!��� #M�$T<*J'(��/�7�6.=� �� � � � � � �@8 � R � � �� ��� � �a� �$�SX$H�>�,=8��7�� X*T�i��%)�.�U:;�i��#5�O�����#�%!�TS!�3%�� �&�"�$#!% S8=T<���6.�� ��� 7 � � � � � ' + �@8

� � R � ' �� �!' � �a�%CP��� �(,�)F.&*-,���8�=2�) �:^#/6�&�) �#TS!��$��#&%�����5�M8 � ��)+*M� �5� ��,�)+)[,1C�r�h � � � � + �@8 ��� R

' � �� � � � CP� �P�&����,S"08%;M�&���J"L���0)F'(�=� ��3V)[�!� �Q,0���='1��"08 � � )%+"��� � 2 �,�/) � � � 2 . ��2���� � 2 .

)%+ � ��� - 2��1�'! ����� � �?���7H � � )%+"� � +"�,� ��- �4# ��2�� ��- ��8B#-2 � �BC/*7��"L��,S"0���c'1)[*����)[,�" ����H��=HJH7'1)F'(�=��"A���7H ��� 7 �*�J,0�7H�'&" � � )%+"� � # ��- ��) ��2�� 2 . � �1��# � � ���) 2 � +"�,� �.-/��# � � 2��'�,).����� �P�&���-)P����H /��� )L�=���K��46#��('(�M8 ��' � � �

� ��+ � � �<T � �P�&����,S"08 �M'13W, ��3��-'(��c'(�(��'���� �Y�S�!��� ������'(� )L�=�98������G� �����@� �P�-H�>�,�"08� '(>�>='�"08 � C/��� �$�546#��('(�M8 �!' ' �-�

� � � � T � �����(�8 �P,!�-'(,�� ��3 ! � � ��+ � 2*� � �����,� � � � �,� �*2�� �,� � # ��-/+"�,� � � �*� �3�3��#627 �%��� ,S' "�,���8 � �0)[*9� �5� �0,�) )F,mC�r�C � � � � ' �@8 � � ��R � ��� �

� � � � � � �����L)L"L*-���@�-,=8 7P�(>=,@#��&��'(. ��,0����,�)L�L26� �*�7�&'��7>=,@�LR 5$,�������> � /,@����'(�98 �P,S' H-,0�1R#J,���>�8 � ,�� �K���LE%8 � � � �

� ��� � � ;�� 7 � �P'(��"F) �G8 �P,!�-'(,�� ��3 � �"� � ��) ����� 2�� ��2�� ��- ��� -�) ��2�� �?#62 �A�\�����(�����M8T<*J'(�� � ��>���F�� � ��' � � �@8�� � � R � � � �

� � � � �7� �Y2��A,���"08�7 ;9��,S��)[' "�,O����C/�=��'(.I�7,0.@)F'(�=��" � � �7H ,�HB� �@�V;��6�6)F,!��,��J"L�=���\C!���?R#7�&' H7>=,=8 ��' � + �

� � � � �7� �Y2��A,���"08�7 ;9��,S��)[' "�,O���A)+*7,/;!*-,0���L2 ��3�7P�(>=,@#��&��'�.0����X �64 �0)['����J" � � �&HA,�H9� �@���,�'(>�*-)F�=�M8�/,0�(�\���7H C/�7� �!C!��� #7�@'�H7>=,=8 ��' � ' �

� ��� � � CP� ��� �����12 �G8�x� ��5�q-, (y�#�?U:]�5�7w ����� ���� ����Tw(86T<���6.=� �P��2-���-�7�6.0'(,�)+2 ��r � � � + � �@8� � � R � � � �

Page 49: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¸a¾ ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

� � � � �/���D�(,S'(�M8 5K�����(,�"L47�7>=,0� �4�# ,�� H�'(, X$�6)[�I'(.&E-��47�7> H7,@� � �0)+*7,��?�0)F'(Ef'�� � �7����S*���*647�7H7,��L) � � ������"0� �@�!�*�7�@'(�7>=,�� � /,@����'(�98 � � � � R � � �

� � ' � �/� �D�(,S'��98�X$�(,0�A,0�6)L���L2 � �0)[*-,0����)['(.0"/3N����� ��� 7�H*�=���J.0,�HZ�6)L���7H*�%�='(�6)�� 5K�������@8 ��,0����,�)L�L26�`;M�&����"L� �0)[,�H 3N���=� )+*7, ��,����?���a#62 XI� � � �P,�H-�&'�.&E ���7HCP�17 � � �=#7�(,=�$�5����,�� � � ,�� �/���LE%8 � � � �7�

� � � � ��� � � �9,��I' "08,{9#/M���*����i?�ST ����#���*A3�� �3�� ������]���V#5? -, �S���#��3%��i�DM�#��.�3#��D[�08 � �&' "L*� �0)[*9�%�-�6.=� /4J�(�(,�)['��4Y�Y � � ��� � �@8�� � R � ���

� � + � � � �9�=�7>�8 �Y,!�-'(,�� ��3 � �"� � ��) ����� 2�� )%+"� � � �4# ��) �.- � � 2��'�,).��� 2 . ��+�� � �! �%�'�,� � ��2*� �<#62 �A�J������������ � )[*Z,�H9���=���� � 8-��,!�-'�"&,�HU#-2 � � 7 �7TV� �Y�=>�,���" �@8� �0)[*9� �5� �0,�) )F,;F�F,h � � � ��� �@8 �!� + R �!�*� �

� �*� � 7 � �7� � .�C/�=�J�-,0�(�8/y�#�?U:]�5����x� ����q-T S8 �%�?�5'(.�)['����7���L2 ��3 �7.�'�,��-)['�� . K'���>��&���J*6268������ �����@8B,�H9� #62 CP� �A� ��'(���('�"��J'(,=8 ' � R ' � �ZC/*7�����(,S" �7.@�@'(#��7,@��� " �-�=��" � � ,@��K���LE%8 � � � + R ��� �

� � � � � ��P� � .0���S�/,0�(�Y���7H ��� 7 � � ,@#J#M8$;9�@'(��'()+2fC/�����(,0>�, �546#7�('�� ��� � � R � � � � �7P� 7P.���H7,���'�. ��'�"F)L���L26�/C!��� #7�&' H7>=, �P�J'���,���"�'1)[2QTV��,�"�" �/C!��� #7�@'�H7>=,=8 � � ' � �

� �#� � CP� � ��"7�/,0�(�8�7 ��'�"F)L���L2 ��3K;M�&'���'1)[2^C/���(�(,0>=,A�546#��('(� ��� � � R �!' � � �D;!*-, ����'1R��,���"�'1)[2 TV��,�"�" �$�546#7�('��98 � � � � �

� � � � ���7;��*�U,�� �=8 7 ��'�"F)L���L2?��3MX$47����� ,S���U;!*-�=4�>=*6)!'(��)[*-, � '(�-,�)[,0,0�6)[*?C/,0�6)F47�L268��������&� �c'(�(�('���� /����.&E6�!�6�-H^���7H �-�=��" �$XKH7'��=#J4���>�* ����H �M����H7�=�98 �!' � � �

� � � � ���7;��*�U,�� �=8 7 ��'�"F)L���L2?��3MX$47����� ,S���U;!*-�=4�>=*6)!'(��)[*-, � '(�-,�)[,0,0�6)[*?C/,0�6)F47�L268����������&� �c'(�(�('���� /����.&E6�!�6�-H ���7H �-�=��" �$XKH7'��=#J4���>�* ����H �M����H7�=�98 � � +#� �

� � � � � � �/� �Q,�2�,���8K@< .���3%"�D����ST .�X*� ���-T .-, ��D0��#5���� -, ��;yO$#5��*m*, ����u�OM�#��.�3#��D$ ��D��� ����.�� S8 ���S*���,S"L# ,��&'(.@*6) H-,����5,04-)L"L.@*-,0�(� �0)+*-,0�?�0)F'(E�,@�LR �=,���,S'���'(>=47��>4F � �!' � � �@8� �SR � � � �

� � � � XO��� � � ,!�-'��(�(,=8 � �����(�����M8�� � �0)+*M� �5� ��,�)+)[,_Y��DC � � � � ' �@8 � ��� �� � ' � T �KXI� � ,��I"F)[,S�=HB8 �6�DM�#��.�3#��D[�A�5�\�7 ���%)�U?i�W�5�^S!�U��#����I%!�TS��3%)�08�� �0)+*M� TV���6.=�

C!��� #9�$T$*�'���/�7�6.�� ��h � � � '�� �@8 � +*� R � + �-�� � � � ��� ��5 �7T �=��.0,0�(,�)�8�;M�&��'1) �,�H7,S" �7�������&'$�,�)��,0".�7����-[,0.�)F'���,S"OH-,S" �J>=4���,S"0��!��.@*-,0�('(,�� �

TV���&'�"08 ��' � � �� � + � ��� ��5 �%T ���J.0,0�(,�)�8 ;M�&��'1) �, H-,S"��7�������&'$�,�)��,0"�������-F,0.@)F'���,S"�H-,S" � >�4���,S" �GH7,04*"7' �,���,

�,�H7'()['(�=�M87)L����,5"�,0.0���7H �@� �5�047)+*J'(,��LR 5P'��(������" �/TV���&'�"08 ��' � � �� � � � ��� ��5 ��T �=�J.�,0�(,�)�8 7 �*�7�('(.��0)F'(�=��"OH � ���7���(27"�,D,�)IH-,Y>��,0����,�)L�&'�, �N)L�=�A,��7��,0��'(,����@�

� ���(�(,�)LR !��.@*-,0�('(,�� �OTV�S�&' "08 �!' � � �� � � � � � �Y,S'�H98����7H-,���>��&��H-4J�0)F,�7Y��>�,�#7�&��'(. ��,0�=�A,�)L�L26� �M���7H��=� � �0)[*9�%�-�6.=�B�6)F4�R

H-,0�6)I;\,)"-)L" � ��� �@�/C!��� #��&'�H�>�, ���J'���,@��"&'1)+2 TV��,S"�" �OC!��� #7�&' H7>=,=8 � � ' ' �

Page 50: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

� ������������� ����������������������� ¸C�

� � � � �A�J�7���(���=�98 � 4J,S"F)F'(�=� � � � � � � � �0)+*7,��?�0)F'(.���� � 4J,S"F)F'(�=��"08-�I'()+*Z)[*-,S'1�Y�7���(4�R)['(�=�J"0� �7���=� )+*-, � XKH64-.��0)F'(�������<;!'(��,S" � � �������5��@�9CP� �/� �P�-H�>�"L�=� � �7��� ��9�=�7H����M8 ��' � � �

� � � � �A�O�����������M8\y�%)�� ��D% j0>����3���� ��W�T�,�i�����\��3�D�&���2# ��?� �\8 � �0)F47��,aC� � ��' '#� �@8� '*� R � ' � �

� � � � � � ���J�B���7��'1)+*M8V������ X�D�) ��� ��D2��$#&8 \#���*p�����!�6�7 �%5[����������:A 1S!��#5�D%"�� ����5����&�) �:^#&��� �:^#/��3%)�08�T<���6.=� �M����H7�=� � ��)+*M� �7�6.�� � � �!' ��� R � � �@8 � R � � �

� � � � 7 �P�*� ,S'�"�,���8D�5'(, ;!*7,����&'(, H7,@� �P��4���� ,�� �=�=�c,0�7H��('(.&*7,@� � �&H��647�7> �N)[*�'(�&H,�H7'()['(�=� �@�/�����&'(��>�,�� � /,����('(�M8 � � � � �

� � � � � �J; �0)L�=�98�=2�5�D% �?� 5���K �#����2�3%�8�5�08 � �^��'�.@)F'(�=�7���L2U��3K�7.0'(,0�6)F'��J.�/'(�=>��&� �J*6268�=���� ���@8M,�H9�Q#-2�CP� �A� ��'(�(�(' "���'�,�8 ��� R ' � �^C/*7�����(,S"��-.��&'(#J�-,���� "?�-�=��" � � ,���K���FEB8 � � � + R � � �

� � ' � ;!*-,��546#7�('(� ����'��=,���"�'()+2�C!���(,0�7H��S� � �DCOCOC�� �45������@� �P�-H�>�,�" ����H �7��'1)[*����46#��('(�M8 ��' � ' �

� �4� � ;!*-,� ���64�"L.��&'���)PTV� � ,@��"���3�$�@'1)[' "L* �7.�'�,��-)[' "F)F" �!� + + R � ��� + � �P,��/� ��-[,�"F)+2 � "�6)L�0)F'(���7,@�L2 � ��.�, � �M����H7�=�98 � � ' � �

� ��+ � �7��7 �$;\�-H�H98X=2����% �?� 55~ �p�7���.�i����3%;�7� ? ��-K�����08�� �0)[*9� �5� �0,@)+)[,4Y��DC � � ��� ' �@8� � ��R ��' + �

� � � � �7� 7 �=;M�-HJH98=TV����-[,0.�)F'���,Y����H 7P�7���(2-)['�.0��� ��,0�=�A,�)L�L2 �N��,!�-' "�,�H�,�H9� �@�$�-'1���["��=��.T<'1)F����� � �-�=�J" �B)&H9� � �M����H7�=�98 � � � ���

� � � � �&�7;\�-H�*647�6)F,���8 7 ;M��,S�0)[' "�,D�=�QT<� ���-, C/��R ���&H7'(���0)[, ��,0�=�A,�)L�L2Z��" 7 �����('(,�H�)F�)+*-,U�-)L�&��'�>�*6) �9'(�7,Z���7H )[*-,ZC/���J'(.Q�7,0.@)F'(�=��"0� � ��.���'��(����� ���7H C/��� ��C!���?R#7�&' H7>=,=8 ��' � � �

� ��� ��Y� �$� ����� H-,�� � ��,��&H-,0�M8�X$'(��3 �4J*7��4��7> '�� H7'�, ���(>=,@#��&��' "L.&*-, ��,0����,�)L�&'(,�"�,0.��=�7H ,�H9� �@�/�*�7�@'(�7>=,��LR 5$,�������> � K,����('��98 ��,S'�H-,0� # ,���>78 � ,�� �/���LE%8 � � ��� �

� � � � � � ����� ���(E�,���847P�(>=,@#��&��'�.!C/4����,S"0�<TV�&'(�J.0,�)F�=� ���J'���,@��"&'1)+2 T<��,S"�" �VTV�&'(�J.0,�)F�=�M8� � ��+ �

� � � � CP��;���CP��� ���(�8!P9�T$ (�5�;��� 7�U�OM�#��.�3#��DD���K��?3#��� 2%!�TS!�3%)�08 � �0)+*M�VTV���6.=�$C!��� #M�T<*J'(��/�7�6.=� ��r � � � � � �@8 � +#� R � + � �

� ��� � �/�$T � � *J'1)F,=8��Y,!�-'(,�� ��3� 2��,# � � �3�3���,��� �/�,�� � � � �") � ��-���# �3�3� ���,��&(��)%+ ��,� ��) � � � ������� 03� +3� + �3�1� �,�,) �I#62 �/� �D�(,S'��98 � ��)+*M� �5� �0,@)+)[,WF,h�� � � � � � �@8� � � R � � � �

� � � � ;��<�A�<�*�J,S�����?���M8<x� )���q-, ]y�#5?i:]�5� �� �� ���� ���Tw � ���.�U���[ �nv4����*T# �e{'�i� �%��,�&�"�� � � �pv4# � �� ��8 �P,����?�0)+*7,����AF,rVF � � ��� � �@8 � � R � ' ��4 � &<$�� !-/?2C@�/8"�/;& : * I ACU��C>LAXWZ<]f�iwh�WO3 WJ:`<­¿_AXWZKg3CT�ACh�]�KjQw>LA^>@d 3^fIJ>D<&hgACT=4 A^T�4nWJ:=< ]�KgQw>@AC>Ddn3Cf�9µ>@KgTwKjWZde¨13^hghj<&�C<6�_i`Q�hgKjT f�3C>�¦w>@38G=Kg4�KgT��

Page 51: maths.ucd.ierodgow/salmonims.pdf · ³C²H S®X²C²=¸ 7/KjW& HACTKgT WZ@

¸8± ��� ������ � ��� � ³C²H�S®X²C²=¸ �

UF<#7/KjWJ: WJ:=<$f|AC[?KjhgK¬WZKg<8M;WO3B>D<aAC4'>LA^>@<_UYAXWZ<&>LKgACh¤>D<&hgAXWZKgT��FWD3YWJ:wKNM/AC>OWZK\[]hg<C�I�A^U AChgMD3��C>LAXWZ<]f�iwh�WO3 ��KjT�[]<?T�W �#KjT�A^T=<�3Cf�WJ:`<Y�_<&¦HA^>DWZUF<&TCW$3^f�»�AC>Dhgd�©>LKgTCWZ<84NDc3=3C��M&�&9µ>LKjTwKjWZdF¨13^hghj<&�C<I]�KgQw>LA^>@dC�&f�3C>�KgT�f�3�>DU�KgT���UF<�AaQS3Ci=W�WR:=<[]38¦=d'3^f·WR:=<#WZ7c3�¦HA^>DWDM/3Cf���A^hgU�3CT�  M _wsD�Lt8{�o\�]��p^} e�}�t8y�~8{�oqx��/�Lp^���?{|s�~KgT'WJ:=<�9�>LKgTwKjWZd6¨13^hghj<&�C<�]�KgQw>LA^>@dC�

2/3�4�5$387����<?¦HAC>OWZUY<?T�W�3^f·§VAXWR:=<&UYAXWZK\[?M&���THKjG�<?>LMDKjWZd6¨13Chjhg<?��<$��i�Q�hgKgT��Dc<?hjEH<?h\4¤���i�Q�hgKjT6¾��