Maths-i.Lesson-1.NEW [ ]users.uwg.gr/~fkoutel/maths/files/M1-01.pdf · Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ

Φρ. ΚουτελιέρηςΦρ. ΚουτελιέρηςΕπίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων

Τηλ. Τηλ. 26410726410741964196EE--mailmail [email protected]@cc.uoi.gr

Μαθηµατικά Ι 1/58Ακαδ. Έτος 2009-10

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Γραµµική άλγεβρα ...Γραµµική άλγεβρα ...

... είναι τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ... είναι τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε τη ασχολείται µε τη µελέτη διανυσµάτωνµελέτη διανυσµάτων, , διανυσµατικών χώρωνδιανυσµατικών χώρων, , γραµµικών γραµµικών


διανυσµατικών χώρωνδιανυσµατικών χώρων, , γραµµικών γραµµικών απεικονίσεωναπεικονίσεων και και συστηµάτων γραµµικών συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων εξισώσεων µέσω τωνµέσω των πινάκωνπινάκων. .

Περιεχόµενα του µαθήµατοςΠεριεχόµενα του µαθήµατος

1.1. Πίνακες & ορίζουσεςΠίνακες & ορίζουσες2.2. Γραµµικά συστήµαταΓραµµικά συστήµατα3.3. ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα


3.3. ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα4.4. Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκωνΑναλλοίωτα µεγέθη πινάκων

Κ1: Πίνακες & ΟρίζουσεςΚ1: Πίνακες & Ορίζουσες

1.1. Ορισµοί Ορισµοί 2.2. Πράξεις πινάκωνΠράξεις πινάκων3.3. Αντιστροφή πίνακα Αντιστροφή πίνακα 4.4. Όµοιοι πίνακεςΌµοιοι πίνακες


4.4. Όµοιοι πίνακεςΌµοιοι πίνακες5.5. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσώνΟρίζουσες και ιδιότητες οριζουσών

Κ2: Γραµµικά συστήµαταΚ2: Γραµµικά συστήµατα

1.1. Ορισµοί Ορισµοί 2.2. Επίλυση CrammerΕπίλυση Crammer3.3. Επίλυση GaussΕπίλυση Gauss4.4. Οµογενές σύστηµαΟµογενές σύστηµα


4.4. Οµογενές σύστηµαΟµογενές σύστηµα5.5. Σύστηµα σε µορφή πίνακαΣύστηµα σε µορφή πίνακα6.6. Επίλυση µε αντίστροφο πίνακαΕπίλυση µε αντίστροφο πίνακα

Κ3: ∆ιανύσµαταΚ3: ∆ιανύσµατα

1.1. Ορισµοί Ορισµοί 2.2. Είδη διανυσµάτωνΕίδη διανυσµάτων3.3. Πράξεις διανυσµάτωνΠράξεις διανυσµάτων4.4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό


4.4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενογινόµενο

Κ4: Κ4: ΑναλλοίωταΑναλλοίωτα µεγέθη µεγέθη πινάκωνπινάκων

1.1. Ορισµοί Ορισµοί 2.2. Εύρεση ιδιοτιµώνΕύρεση ιδιοτιµών3.3. Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Πίνακες & ΟρίζουσεςΠίνακες & Ορίζουσες


Πίνακες & ΟρίζουσεςΠίνακες & Ορίζουσες


α α α α α α

Πίνακας ονοµάζεται κάθε ορθογώνια διάταξη mxn στοιχείων της µορφής


11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

...

n

n

m m mn

A

α α αα α α

α α α

=

⋮ ⋮ ⋮ɶ

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

...

n

n

m m mn

A

α α αα α α

α α α

=

⋮ ⋮ ⋮ɶή

m (=πλήθος γραµµών), n (=πλήθος στηλών)


11 12, ,..., mnα α αΤα πρέπει να είναι οµοειδήδηλ. να ανήκουν στο ίδιο σύνολο.


Στα πλαίσια του δικού µας µαθήµατος είναι Στα πλαίσια του δικού µας µαθήµατος είναι πραγµατικοίπραγµατικοί εκτός αν αναφέρεται ρητώς εκτός αν αναφέρεται ρητώς κάτι διαφορετικό.κάτι διαφορετικό.


Αν , i=1,..., m, j=1,... ,n τότε λέµε

ο πίνακας ο πίνακας ανήκει στο σύνολο ανήκει στο σύνολο ΜΜ όλων όλων

,i jα ∈ℝ


ο πίνακας ο πίνακας ανήκει στο σύνολο ανήκει στο σύνολο ΜΜ όλων όλων των πινάκων µεγέθους των πινάκων µεγέθους mmxxnn

και συµβολίζουµε ( )mxnA∈Μ ℝɶ


Αν τότε ο πίνακας ονοµάζεται

τετραγωνικός πίνακας διάστασης nτετραγωνικός πίνακας διάστασης n

m n=


τετραγωνικός πίνακας διάστασης nτετραγωνικός πίνακας διάστασης n

και συµβολίζουµε ( )nA∈Μ ℝɶ


Ισότητα πινάκων:

∆υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα ∆υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα

,ij ijA B a b i j= ⇔ = ∀ɶ ɶ


∆υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα ∆υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα προς ένα προς ένα όλαόλα τα τα αντίστοιχααντίστοιχα στοιχεία στοιχεία τους ίσατους ίσα

βρίσκονται σε βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσειςαντίστοιχες θέσεις


1α

α


Πίνακας στήλη: 2

m

Sα

α

=

⋮ɶ


[ ]


Πίνακας γραµµή: [ ]1 2 ... nG α α α=ɶ


Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) άνω:

11 12 1... nα α α


11 12 1

22 2

...

0 ...

...

0 0 ...

n

na

nn

K

α α αα α

α

=

⋮ ⋮ ⋮ɶ


Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) κάτω:

11 0 ... 0α


11

21 22

1 2

0 ... 0

... 0

...

...

k

n n nn

K

αα α

α α α

=

⋮ ⋮ ⋮ɶ


Μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας:

1 0 ... 0


1 0 ... 0

0 1 ... 0

...

0 0 ... 1

I

=

ɶ ⋮ ⋮ ⋮


Πρόσθεση/Αφαίρεση πινάκων:,ij ij ijC A B c a b i j= ± ⇔ = ± ∀

ɶ ɶɶ


11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1

21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

... ... ...

... ... ...

... ... ...

... ... ...

n n n n

n n n n

m m mn m m mn m m m m mn mn

b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b

α α α α α αα α α α α α

α α α α α α

± ± ± ± ± ± ± =

± ± ±

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


∆υο πίνακες µπορούν να προστεθούν ∆υο πίνακες µπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν µόνο όταν έχουν ή να αφαιρεθούν µόνο όταν έχουν και και οι δυοοι δυο τις ίδιες διαστάσεις τις ίδιες διαστάσεις και και


οι δυοοι δυο τις ίδιες διαστάσεις τις ίδιες διαστάσεις και και µάλιστα το αποτέλεσµα έχει και αυτό µάλιστα το αποτέλεσµα έχει και αυτό τις ίδιες διαστάσειςτις ίδιες διαστάσεις..


Παράδειγµα:

1 2 1 2 5 6 1 5 2 6 4 8− − + −


1 2

3 4A = ɶ

5 6

7 8B

− = − ɶ

1 2 5 6 1 5 2 6 4 8

3 4 7 8 3 7 4 8 10 4A B

− − + − + = + = = − + − − ɶ ɶ

1 2 5 6 1 5 2 6 6 4

3 4 7 8 3 7 4 8 4 12A B

− + − − − = − = = − − + − ɶ ɶ


Ιδιότητες πρόσθεσης:

A B B A+ = +ɶ ɶ ɶ ɶ

1. Μεταθετική

( ) ( )+ + = + +


ɶ ɶ ɶ ɶ2. Προσεταιριστική3. Ουδέτερο στοιχείο4. Αντίθετο στοιχείο5. Ισοδυναµία

( ) ( )A B C A B C+ + = + +ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ0 0A A A+ = + =ɶ ɶ ɶɶ ɶ( ) ( ) 0A A A A+ − = − + =ɶ ɶ ɶ ɶ ɶA B A C B C+ = + ⇔ =

ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ


ΕξωτερικόςΕξωτερικός πολλαπλασιασµός :,ij ijB A b a i jλ λ= ⇔ = ∀

ɶ ɶ


11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a

a a a

a a a

α α α λ λ λα α α λ λ λ

λ

α α α λ λ λ

=

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮



1 2 1 2 7 1 7 2 7 14× ×


1 2

3 4A = ɶ

7λ=

1 2 7 1 7 2 7 147

3 4 7 3 7 4 21 28Aλ

× × = = = × × ɶ


Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού:

( ) A A Aλ µ λ µ+ = +1.ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ

ΠΡΟΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝΠΡΟΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ


( ) A A Aλ µ λ µ+ = +ɶ ɶ ɶ

1.2.3.4.

( )A B A Bλ λ λ+ = +ɶ ɶ ɶ ɶ( ) ( )A Aλ µ λµ=ɶ ɶ1A A=

ɶ ɶ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝΠΙΝΑΚΩΝ

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ


Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού:

0 0A=5.

ΜΗ∆ΕΝΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣΜΗ∆ΕΝΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ


0 0A=ɶ ɶ

5.6.7.8.

0 0λ =ɶ ɶ , 0A B A Bλ λ λ= ⇔ = ≠ɶ ɶ ɶ ɶ, 0A A Aλ µ λ µ= ⇔ = ≠ɶ ɶ ɶ ɶ

ΜΗ∆ΕΝΜΗ∆ΕΝ


ΕσωτερικόςΕσωτερικός πολλαπλασιασµός:

( ), ( ), ( )A B C∈Μ ∈Μ ∈Μℝ ℝ ℝ


1

( ), ( ), ( )

, ,

x x xk k

k

n

ij

n

pjp

m

p

m

i

A B C

C A B c a jib=

∈Μ ∈Μ ∈Μ

= ⋅ ⇔ = ∀∑

ℝ ℝ ℝɶ ɶ ɶ

ɶ ɶɶ


ΕσωτερικόςΕσωτερικός πολλαπλασιασµός:11 12 1 11 12 1... ...

... ...k nb b b

b b b

α α αα α α


21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11 11 12 21 1 1 11 12 12 22 1 2 11 1 12 2 1

21 11 22

... ...

... ...

... ...

... ... ... ...

k n

m m mk k k kn

k k k k n n k kn

b b b

b b b

b b b b b b b b b

b

α α α

α α α

α α α α α α α α αα α

⋅ =

+ + + + + + + + +

+=

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

21 2 1 21 12 22 22 2 2 21 1 22 2 2

1 11 2 21 1 1 12 2 22 2 1 1 2 2

... ... ... ...

...

... ... ... ...

k k k k n n k kn

m m mk k m m mk k m n m n mk kn

b b b b b b b b

b b b b b b b b b

α α α α α α α

α α α α α α α α α

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + +

⋮ ⋮ ⋮


∆υο πίνακες µπορούν να ∆υο πίνακες µπορούν να πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µόνον πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µόνον όταν το πλήθος των στηλών του όταν το πλήθος των στηλών του


όταν το πλήθος των στηλών του όταν το πλήθος των στηλών του πρώτου είναι ίσο µε το πλήθος των πρώτου είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του δεύτερου.γραµµών του δεύτερου.



1 2 1 2 5 6


1 2

3 4A = ɶ

5 6

7 8B = ɶ

1 2 5 6

3 4 7 8

1 5 2 7 1 6 2 8 19 22

3 5 4 7 3 6 4 8 43 50

A B

⋅ = ⋅ =

× + × × + × = = × + × × + ×

ɶ ɶ


Στον εσωτερικό πολλαπλασιασµό Στον εσωτερικό πολλαπλασιασµό δεν δεν ισχύει η µεταθετική ιδιότηταισχύει η µεταθετική ιδιότητα..


A B B A⋅ ≠ ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ



2 1− 2 1 3 2 6 1 4 1 7 5− − − − + −

∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ !!!!∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ !!!!


2 1

1 0A

− = ɶ

3 2

1 1B

− = − ɶ

2 1 3 2 6 1 4 1 7 5

1 0 1 1 3 0 2 0 3 2A B

− − − − + − ⋅ = ⋅ = = − − + − − ɶ ɶ

3 2 2 1 6 2 3 0 4 3

1 1 1 0 2 1 1 0 1 1B A

− − − + + − ⋅ = ⋅ = = − − − − − ɶ ɶ


∆υνάµεις πινάκων:0A I=ɶ ɶ1 =


1A A=ɶ ɶ2A A A= ⋅ɶ ɶ ɶ3 2A A A= ⋅ɶ ɶ ɶ…

1n nA A A−= ⋅ɶ ɶ ɶ

Οι δυνάµεις µπορούν να Οι δυνάµεις µπορούν να οριστούν µόνο σε οριστούν µόνο σε

τετραγωνικούςτετραγωνικούς πίνακες.πίνακες.


ΑντίστροφοςΑντίστροφος ενός πίνακα ονοµάζεται ένας άλλος πίνακας ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί και από τις δυο µεριέςκαι από τις δυο µεριές


πολλαπλασιαστεί και από τις δυο µεριέςκαι από τις δυο µεριέςµε τον αρχικό δίνει τον µοναδιαίο πίνακαµοναδιαίο πίνακα.

1A−ɶ

αντίστροφος του A⇔ɶ

1 1A A A A I− −⋅ = ⋅ =ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ


Αντίστροφο έχουν Αντίστροφο έχουν µόνο οι τετραγωνικοί µόνο οι τετραγωνικοί πίνακεςπίνακες..


πίνακεςπίνακες..

1 1A A A A I− −⋅ = ⋅ =ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ


Μια εφαρµογή (άσκηση):Έστω ο n n× πίνακας για τον οποίο είναι γνωστό ότι Να λυθεί η εξίσωση

Αɶ

2 2 0Α + Α =ɶ ɶ ɶΑ−Χ = Α⋅Χ

ɶ ɶ ɶ ɶ


2 2 0Α + Α= ⇔ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ2 2 I IΑ + Α+ = ⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

( )2I IΑ+ = ⇔ɶ ɶ ɶ

( )( )I I IΑ+ Α+ =ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

( ) 1I I−

Α+ =Α+ɶ ɶ ɶ ɶ

Άρα

Α−Χ=Α⋅Χ⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

Επίσης Α=Α⋅Χ+Χ⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

( )IΑ= Α+ ⋅Χ⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

( ) 1I−

Χ= Α+ ⋅Α⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

( )IΧ= Α+ ⋅Α⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

2Χ=Α +Αɶ ɶ ɶ

Χ=−Α ɶ ɶ2 2 0Α + Α= ⇔

ɶ ɶ ɶΤέλος 2 0Α +Α+Α= ⇔

ɶ ɶ ɶ ɶ

2Α +Α=−Αɶ ɶ ɶ


Ο κοινός παράγοντας θέλει πολλή προσοχή.Ο κοινός παράγοντας θέλει πολλή προσοχή.


A B A C⋅ + ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ

( )A B C⋅ +ɶ ɶ ɶ

( )B C A+ ⋅ɶ ɶɶ

A B A⋅ +ɶ ɶ ɶ

( )A B I⋅ +ɶ ɶ ɶ

( )1A B⋅ +ɶ ɶ

ΛΑΘΟΣ !!!!ΛΑΘΟΣ !!!!

Κ1: Πίνακες & ΟρίζουσεςΚ1: Πίνακες & ΟρίζουσεςΜια ακόµη εφαρµογή (άσκηση):

A⋅

Έστω ο πίνακας . Να λυθεί η εξίσωση 0 2

2 0

Α =

ɶA X A I⋅ = +ɶ ɶ ɶ ɶ


A

AX A I⋅

= + ⇔ɶɶ ɶ ɶ ɶ

2 2A X A A⋅ = +ɶ ɶ ɶ ɶ

2A =ɶ

Όµως

2 4A X I X⋅ = ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ

Άρα

4 4I X I A⋅ = + ⇔ɶ ɶ ɶ ɶ

οπότε1

4X I A= + =ɶ ɶ ɶ

1 0 0 210 1 2 04

+ =

0 2 0 2

2 0 2 0

⋅ =

4 0

0 4

=

1 04 4

0 1I

= = ɶ

2 4A A I A+ = +ɶ ɶ ɶ ɶ

και 11 21 12


Όταν πολλαπλασιάζουµε πίνακες, Όταν πολλαπλασιάζουµε πίνακες, προσέχουµε αν ο πολλαπλασιασµός είναι από προσέχουµε αν ο πολλαπλασιασµός είναι από αριστερά ή από δεξιά.αριστερά ή από δεξιά.


αριστερά ή από δεξιά.αριστερά ή από δεξιά.

A

AX A I⋅

= + ⇔ɶɶ ɶ ɶ ɶ

2AXA A A= +ɶ ɶɶ ɶ ɶΑΠΟ ∆ΕΞΙΑΑΠΟ ∆ΕΞΙΑ

2 2A X A A= +ɶ ɶ ɶ ɶ

ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ


αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας

,A Bɶ ɶ

1B P A P−= ⋅ ⋅

Όµοιοι λέγονται δυο πίνακες

τέτοιος ώστε

Pɶ


1B P A P−= ⋅ ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ

τέτοιος ώστε


Πίνακες όµοιοι µε έναν αρχικό πίνακα Πίνακες όµοιοι µε έναν αρχικό πίνακα προκύπτουν αν σε αυτόν κάνουµε προκύπτουν αν σε αυτόν κάνουµε

γραµµοπράξειςγραµµοπράξεις..


γραµµοπράξειςγραµµοπράξεις..

γραµµικέςγραµµικές πράξεις πράξεις στα στοιχεία των στα στοιχεία των

γραµµώνγραµµών


Παράδειγµα γραµµοπράξεων:2 6 10 14

1 4 2 0A

= − ɶ

( ) 11/2Γ Γ→→

1 3 5 7

1 4 2 0

−

( )1 2 2Γ +Γ →Γ→


1 4 2 0

1 10 12 14

A= −

ɶ11→ 1 4 2 0

1 10 12 14

−

1 2 2→

1 3 5 7

0 7 7 7

1 10 12 14

( )3 1 3Γ −Γ →Γ→

1 3 5 7

0 7 7 7

0 7 7 7

( )3 2 3Γ −Γ →Γ→

1 3 5 7

0 7 7 7

0 0 0 0


ΚλιµακωτήΚλιµακωτή µορφή ενός µη µηδενικού πίνακα ονοµάζεται ένας όµοιός του πίνακαςένας όµοιός του πίνακας για τον οποίον ισχύουν:

1. Οι µη µηδενικές γραµµές του είναι πάνω από τις


1. Οι µη µηδενικές γραµµές του είναι πάνω από τις µηδενικές

2. Το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής είναι η µονάδα

3. Το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων κάθε µη µηδενικής γραµµής είναι µικρότερο από το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων της αµέσως προηγούµενης


ΒαθµόςΒαθµός ενός πίνακα ονοµάζεται το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών της κλιµακωτής µορφής τουτης κλιµακωτής µορφής του.

( )


( )rank Aɶ

Aɶ


Ένα παράδειγµα:2 6 10 14

1 4 2 0A

= − ɶ

→ →⋯

1 3 5 7

0 7 7 7


1 4 2 0

1 10 12 14

A= −

ɶ → →⋯ 0 7 7 7

0 0 0 0

( )2 2/7Γ →Γ→

1 3 5 7

0 1 1 1

0 0 0 0

( ) 2rank A⇒ =ɶ


ΟρίζουσαΟρίζουσα ονοµάζεται η γραµµική απεικόνιση

: ( )M →ℝ ℝ


: ( )nM →ℝ ℝ

Ορίζουσα έχουν µόνο Ορίζουσα έχουν µόνο οι οι τετραγωνικοίτετραγωνικοί

πίνακες.πίνακες.

Η ορίζουσα ενός Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι πίνακα είναι αριθµόςαριθµός..


Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες


22xx22

11 12

21 22

a aA

a a

= ɶ

11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= −


Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες

a a a

ΕΠΙΛΕΓΩ ΟΠΟΙΑ∆ΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΗ ή ΣΤΗΛΗΕΠΙΛΕΓΩ ΟΠΟΙΑ∆ΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΗ ή ΣΤΗΛΗ


33xx33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

ɶ

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

...

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

= − + =

ΕΝΑΛΛΑΞ ΕΝΑΛΛΑΞ ΠΡΟΣΗΜΑΠΡΟΣΗΜΑ


Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες11 12 1

21 22 2

...

...n

n

a a a

a a aA

= ⋮ ⋮ ⋮ɶ


nxnnxn

1 2 ...n n nna a a

⋮ ⋮ ⋮ɶ

11 12 1 22 23 2 21 23 2 21 22 2 1

21 22 2 32 33 3 31 33 3 31 32 3 1111 12 1

1 2 2 3 1 3 1 2 1

... ... ... ...

... ... ... ...... ( 1) ...

... ... ... ...

n n n n

n n n nnn

n n nn n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a aa a a

a a a a a a a a a a a a

−

−+

−

= − + + − =⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


Ένα παράδειγµα:

2 5 73 4 6 4 6 3


2 5 7

6 3 4

5 2 3

=

− −

3 4 6 4 6 32 5 7

2 3 5 3 5 2− + =

− − − −

( ) ( ) ( )2 9 8 5 18 20 7 12 15− + − − − + − − =

2 190 189 1− + − =−


Η ορίζουσα ενός άνωάνω ή κάτω τριγωνικούκάτω τριγωνικούπίνακα ισούται µε το γινόµενο των γινόµενο των

Ιδιότητες οριζουσών:


πίνακα ισούται µε το γινόµενο των γινόµενο των διαγώνιωνδιαγώνιων στοιχείων του.

2 5 75 7 2 7 2 5

0 3 4 0 0 3 3 2 33 4 0 4 0 3

0 0 3

= − − =− × ×

−


Αν εναλλάξουµεεναλλάξουµε δυο γραµµές ή στήλες του πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει αλλάζει



του πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει αλλάζει πρόσηµοπρόσηµο.

2 56 5 1

1 3= − =

5 25 6 1

3 1= − =−



( ), , nA B A B A B M⋅ = ∀ ∈ ℝɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ


( )n ℝɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ


Αν δυο γραµµέςδυο γραµµές ή στήλεςστήλες του πίνακα είναι ίσεςίσες ή ανάλογεςανάλογες, η ορίζουσά του



είναι ίσεςίσες ή ανάλογεςανάλογες, η ορίζουσά του είναι µηδενικήµηδενική.

Να δειχθεί µε βάση το Να δειχθεί µε βάση το προηγούµενο.προηγούµενο.


Αν µια γραµµήµια γραµµή ή στήληστήλη ενός πίνακα πολλαπλασιαστεί µε έναν πραγµατικό



πολλαπλασιαστεί µε έναν πραγµατικό αριθµό, τότε όλη η ορίζουσαόλη η ορίζουσαπολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό.

( ),nnA A A Mλ λ= ∀ ∈ ℝ

ɶ ɶ ɶ


ΠροσαρτηµένοςΠροσαρτηµένος του τετραγωνικού πίνακα Aɶονοµάζεται ο τετραγωνικός πίνακας ( )adj Aɶ


( )adj Aɶ

που κάθε στοιχείο του είναι το αλγεβρικό το αλγεβρικό

συµπλήρωµασυµπλήρωµα του αντίστοιχου στοιχείου του πρώτου

πίνακα.


Ένα παράδειγµα:1 0 1

2 1 1A

− = − ɶ

⇒


2 1 1

1 2 5

A= −

ɶ⇒

( )

1 1 0 1 0 1

2 5 2 5 1 1

2 1 1 1 1 1

1 5 1 5 2 1

2 1 1 0 1 0

1 2 1 2 2 1

adj A

− − − + − + − − − − = − + −

− + − +

ɶ

7 2 1

11 6 1

3 2 1

− = − − −


Σε τι µας χρησιµεύει ο προσαρτηµένος?

( )1 1A adj A

A− =ɶ ɶ


( )Aɶ ɶɶ

Υπάρχει ο αντίστροφος Υπάρχει ο αντίστροφος µόνον όταν η ορίζουσα µόνον όταν η ορίζουσα δεν δεν

είναι µηδένείναι µηδέν..

Documents

Maths-i.Lesson-1.NEW [ ]users.uwg.gr/~fkoutel/maths/files/M1-01.pdf · Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ