Mathematical Relations

Mathematical relationsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Accessibility relation 11.1 Description of Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Basic Review of (Propositional) Modal Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 The Four Types of the 'Accessibility Relation' in Formal Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Philosophical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Computer Science Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Algebra over a eld 72.1 Denition and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 First example: The complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 A motivating example: quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Another motivating example: the cross product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Algebra homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Subalgebras and ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Extension of scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Kinds of algebras and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Unital algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Zero algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Associative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.4 Non-associative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Algebras and rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Structure coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Classication of low-dimensional algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Allegory (category theory) 143.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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ii CONTENTS

3.2 Regular categories and allegories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Allegories of relations in regular categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Maps in allegories, and tabulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.3 Unital allegories and regular categories of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.4 More sophisticated kinds of allegory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Alternative algebra 164.1 The associator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Alternatization 195.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.1 Alternating bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.2 Alternating bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.3 Alternating multilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1.4 Alternatization of a bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Ancestral relation 226.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Relationship to transitive closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Antisymmetric relation 247.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Associative property 268.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

CONTENTS iii

8.2 Generalized associative law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.4 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.4.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.4.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.5 Non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.5.1 Nonassociativity of oating point calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.5.2 Notation for non-associative operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Asymmetric relation 349.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10 Better-quasi-ordering 3610.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.3 Simpsons alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.4 Major theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Bidirectional transformation 3811.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.3 Examples of implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12 Bijection 4012.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iv CONTENTS

12.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

13 Bijection, injection and surjection 4613.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4613.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4813.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4813.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.5.1 Injective and surjective (bijective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.5.2 Injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.5.3 Non-injective and surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.5.4 Non-injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.7 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14 Homogeneous relation 5114.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

14.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

14.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

CONTENTS v

15 Cointerpretability 6115.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6115.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

16 Commutative property 6216.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6216.2 Mathematical denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

16.3.1 Commutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3.2 Commutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3.3 Noncommutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6416.3.4 Noncommutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16.4 History and etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6516.5 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.5.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.5.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.6 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.7 Mathematical structures and commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.8 Related properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16.8.1 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.8.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16.9 Non-commuting operators in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.12.1 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.12.2 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.12.3 Online resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

17 Comparability 7117.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.2 Comparability graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.3 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

18 Composition of relations 7318.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.3 Join: another form of composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7418.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7418.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

vi CONTENTS

18.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

19 Congruence relation 7519.1 Basic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7519.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7519.3 Relation with homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7619.4 Congruences of groups, and normal subgroups and ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

19.4.1 Ideals of rings and the general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7719.5 Universal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7719.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7719.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

20 Contour set 7820.1 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

20.1.1 Contour sets of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7920.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

20.2.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7920.2.2 Economic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

20.3 Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8020.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8120.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8120.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

21 Coreexive relation 8221.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

22 Demonic composition 8322.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8322.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

23 Dense order 8423.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

24 Dependence relation 8524.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8524.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

25 Dependency relation 8625.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

26 Homogeneous relation 88

CONTENTS vii

26.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89





27 Directed set 9827.1 Equivalent denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9827.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9827.3 Contrast with semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9927.4 Directed subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

28 Equality (mathematics) 10128.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2 Types of equalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

28.2.1 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2.2 Equalities as predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2.4 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2.5 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

28.3 Logical formalizations of equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.4 Logical formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.5 Some basic logical properties of equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.6 Relation with equivalence and isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

viii CONTENTS

29 Equipollence (geometry) 10529.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

30 Equivalence class 10630.1 Notation and formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.4 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10830.5 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10830.6 Quotient space in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10830.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10830.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10930.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10930.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

31 Equivalence relation 11131.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11131.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11131.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

31.3.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11131.3.2 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.3.3 Relations that are not equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

31.4 Connections to other relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.5 Well-denedness under an equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6 Equivalence class, quotient set, partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

31.6.1 Equivalence class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6.2 Quotient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6.4 Equivalence kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6.5 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

31.7 Fundamental theorem of equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.8 Comparing equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.9 Generating equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.10Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

31.10.1 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11531.10.2 Categories and groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.10.3 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

31.11Equivalence relations and mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.12Euclidean relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11731.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11731.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

CONTENTS ix

31.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11831.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

32 Euclidean relation 12032.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.2 Relation to transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

33 Exceptional isomorphism 12133.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

33.1.1 Finite simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.1.2 Groups of Lie type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.1.3 Alternating groups and symmetric groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.1.4 Cyclic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.1.5 Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333.1.6 Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

33.2 Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

34 Fiber (mathematics) 12634.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

34.1.1 Fiber in naive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.1.2 Fiber in algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

34.2 Terminological variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

35 Finitary relation 12835.1 Informal introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.2 Relations with a small number of places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12935.3 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12935.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13035.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13035.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13035.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13135.8 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

36 Flexible algebra 13236.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13236.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13236.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

37 Foundational relation 133

x CONTENTS

37.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

38 Homogeneous relation 13438.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

38.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135





39 Hypostatic abstraction 14439.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14539.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14539.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

40 Idempotence 14640.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

40.1.1 Unary operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14640.1.2 Idempotent elements and binary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.1.3 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

40.2 Common examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.2.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.2.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.2.3 Idempotent ring elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14840.2.4 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

40.3 Computer science meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14840.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

40.4 Applied examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14940.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14940.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

CONTENTS xi

40.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15040.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

41 Idempotent relation 15141.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

42 Intransitivity 15242.1 Intransitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15242.2 Antitransitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15242.3 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15342.4 Occurrences in preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15342.5 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15342.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15442.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

43 Inverse relation 15543.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

43.1.1 Inverse relation of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15543.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15543.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15643.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

44 Inverse trigonometric functions 15744.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

44.1.1 Etymology of the arc- prex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15744.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

44.2.1 Principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15744.2.2 Relationships between trigonometric functions and inverse trigonometric functions . . . . . 15844.2.3 Relationships among the inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15844.2.4 Arctangent addition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

44.3 In calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15944.3.1 Derivatives of inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15944.3.2 Expression as denite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16044.3.3 Innite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16044.3.4 Indenite integrals of inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

44.4 Extension to complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16344.4.1 Logarithmic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

44.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16544.5.1 General solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16544.5.2 In computer science and engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

44.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16744.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16744.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

xii CONTENTS

45 Near sets 17145.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17345.2 Nearness of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17545.3 Generalization of set intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17545.4 Efremovi proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17545.5 Visualization of EF-axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17645.6 Descriptive proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17645.7 Proximal relator spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17845.8 Descriptive -neighbourhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17945.9 Tolerance near sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18045.10Tolerance classes and preclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

45.10.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18145.11Nearness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18245.12Near set evaluation and recognition (NEAR) system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18345.13Proximity System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18345.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18445.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18445.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18545.17Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

46 Non-associative algebra 19046.1 Algebras satisfying identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

46.1.1 Associator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19146.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19146.3 Free non-associative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19246.4 Associated algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

46.4.1 Derivation algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19246.4.2 Enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

46.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19346.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19346.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

47 Octonion 19547.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

47.1.1 CayleyDickson construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19647.1.2 Fano plane mnemonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19647.1.3 Conjugate, norm, and inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

47.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19847.2.1 Commutator and cross product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19947.2.2 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19947.2.3 Isotopies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

47.3 Integral octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CONTENTS xiii

47.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20047.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20047.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20147.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

48 Partial equivalence relation 20248.1 Properties and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20248.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

48.2.1 Euclidean parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20248.2.2 Kernels of partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20348.2.3 Functions respecting equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

48.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20348.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

49 Partial function 20449.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20449.2 Total function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20549.3 Discussion and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

49.3.1 Natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20549.3.2 Subtraction of natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20549.3.3 Bottom element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20549.3.4 In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20549.3.5 In abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

49.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20649.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

50 Partially ordered set 20750.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20850.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20850.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20850.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20950.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20950.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21050.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21050.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21050.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21150.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21150.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21250.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21250.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21250.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21250.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

xiv CONTENTS

50.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21350.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

51 Preorder 21451.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21451.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21551.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21651.4 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21651.5 Number of preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21651.6 Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21751.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21751.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

52 Prewellordering 21852.1 Prewellordering property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

52.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21852.1.2 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


53 Propositional function 22053.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

54 Quasi-commutative property 22154.1 Applied to matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22154.2 Applied to functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22154.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22254.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

55 Quasitransitive relation 22355.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22355.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22355.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22355.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22355.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

56 Quotient by an equivalence relation 22556.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22556.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22556.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22556.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

57 Rational consequence relation 22757.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

CONTENTS xv

57.2 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22757.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22757.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

57.3 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22857.4 Rational consequence relations via atom preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

57.4.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22957.5 The representation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

57.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22957.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

58 Reduct 23058.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23058.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23058.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

59 Reexive closure 23159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23159.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23159.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

60 Reexive relation 23260.1 Related terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23260.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23260.3 Number of reexive relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23360.4 Philosophical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23460.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23460.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23560.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23560.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

61 Relation algebra 23661.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

61.1.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23661.2 Expressing properties of binary relations in RA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23761.3 Expressive power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

61.3.1 Q-Relation Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23861.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23861.5 Historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23961.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23961.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23961.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23961.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23961.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

xvi CONTENTS

62 Relation construction 24162.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

63 Representation (mathematics) 24263.1 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.2 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

63.2.1 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.2.2 Order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.2.3 Polysemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243


64 Semiorder 24564.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24564.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24564.3 Other results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24864.6 Additional reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

65 Separoid 24965.1 The axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24965.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24965.3 The basic lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25065.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

66 Sequential composition 25166.1 Essential features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25166.2 Mathematics of processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

66.2.1 Parallel composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.2.2 Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.2.3 Sequential composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.2.4 Reduction semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.2.5 Hiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.2.6 Recursion and replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.2.7 Null process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

66.3 Discrete and continuous process algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.5 Current research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.6 Software implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.7 Relationship to other models of concurrency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

CONTENTS xvii

66.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

67 Series-parallel partial order 25667.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25767.2 Forbidden suborder characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25767.3 Order dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25767.4 Connections to graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25867.5 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25867.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25967.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25967.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

68 Surjective function 26068.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26168.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26168.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

68.3.1 Surjections as right invertible functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26268.3.2 Surjections as epimorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26368.3.3 Surjections as binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26468.3.4 Cardinality of the domain of a surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26468.3.5 Composition and decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26468.3.6 Induced surjection and induced bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

68.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26468.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26568.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

69 Symmetric closure 26669.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

70 Symmetric relation 26770.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

70.1.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26770.1.2 Outside mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

70.2 Relationship to asymmetric and antisymmetric relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26870.3 Additional aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26870.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

71 Ternary equivalence relation 27071.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27071.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

72 Ternary relation 271

xviii CONTENTS

72.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.1.1 Binary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.1.2 Cyclic orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.1.3 Betweenness relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.1.4 Congruence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27172.1.5 Typing relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

72.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

73 Tolerance relation 27373.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

74 Total order 27474.1 Strict total order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27474.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27574.3 Further concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

74.3.1 Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27574.3.2 Lattice theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27574.3.3 Finite total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27674.3.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27674.3.5 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27674.3.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27674.3.7 Sums of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

74.4 Orders on the Cartesian product of totally ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27774.5 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27774.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27774.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27774.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

75 Total relation 27975.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27975.2 Properties and related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27975.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27975.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

76 Transitive closure 28176.1 Transitive relations and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28176.2 Existence and description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28176.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28276.4 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28276.5 In logic and computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28276.6 In database query languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28376.7 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28376.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

CONTENTS xix

76.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28476.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

77 Transitive relation 28577.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28577.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28577.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

77.3.1 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28677.3.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28677.3.3 Properties that require transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

77.4 Counting transitive relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28677.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28677.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

77.6.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28777.6.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

77.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

78 Trichotomy (mathematics) 28878.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28878.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

79 Unimodality 29079.1 Unimodal probability distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

79.1.1 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.1.2 Uses and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.1.3 Gauss inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.1.4 VysochanskiPetunin inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.1.5 Mode, median and mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29279.1.6 Skewness and kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

79.2 Unimodal function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29379.3 Other extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29379.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29479.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

80 Weak ordering 29580.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29680.2 Axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

80.2.1 Strict weak orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29680.2.2 Total preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.2.3 Ordered partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.2.4 Representation by functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

80.3 Related types of ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29880.4 All weak orders on a nite set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

xx CONTENTS

80.4.1 Combinatorial enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29880.4.2 Adjacency structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

80.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30080.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

81 Well-founded relation 30181.1 Induction and recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30181.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30281.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30281.4 Reexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30381.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

82 Well-order 30482.1 Ordinal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30482.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

82.2.1 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30582.2.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30582.2.3 Reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

82.3 Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30682.4 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30682.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30782.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

83 Well-quasi-ordering 30883.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30883.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30883.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30883.4 Wqos versus well partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30983.5 Innite increasing subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30983.6 Properties of wqos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30983.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31083.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31083.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31083.10Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

83.10.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31183.10.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31983.10.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Chapter 1

Accessibility relation

In modal logic, an accessibility relation is a binary relation, written as R between possible worlds.

1.1 Description of Terms

A 'statement' in logic refers to a sentence (with a subject, predicate, and verb) that can be true or false. So, 'Theroom is cold' is a statement because it contains a subject, predicate and verb, and it can be true that 'the room is cold'or false that 'the room is cold.'Generally, commands, beliefs and sentences about probabilities aren't judged as true or false. 'Inhale and exhale' istherefore not a statement in logic because it is a command and cannot be true or false, although a person can obeyor refuse that command. 'I believe I can y or I can't y' isn't taken as a statement of truth or falsity, because beliefsdon't say anything about the truth or falsity of the parts of the entire 'and' or 'or' statement and therefore the entire'and' or 'or' statement.A 'possible world' is any possible situation. In every case, a 'possible world' is contrasted with an actual situation.Earth one minute from now is a 'possible world.' The earth as it actually is also a 'possible world.' Hence the oddityof and controversy in contrasting a 'possible' world with an 'actual world' (earth is necessarily possible). In logic,'worlds are described as a non-empty set, where the set could consist of anything, depending on what the statementsays.'Modal Logic' is a description of the reasoning in making statements about 'possibility' or 'necessity.' 'It is possiblethat it rains tomorrow' is a statement in modal logic, because it is a statement about possibility. 'It is necessary thatit rains tomorrow' also counts as a statement in modal logic, because it is a statement about 'necessity.' There are atleast six logical axioms or principles that show what people mean whenever they make statements about 'necessity' or'possibility' (described below). For a detailed explanation on modal logic, see here.As described in greater detail below:Necessarily p means that p is true at every 'possible world' w such that R(w; w):Possibly p means that p is true at some possible world w such that R(w; w) .'Truth-Value' is whether a statement is true or false. Whether or not a statement is true, in turn, depends on themeanings of words, laws of logic, or experience (observation, hearing, etc.).'Formal Semantics refers to the meaning of statements written in symbols. The sentence (p _ q) ! (p _ q), for example, is a statement about 'necessity' in 'formal semantics.' It has a meaning that can be represented by thesymbol R .The 'accessibility relation' is a relationship between two 'possible worlds.' More preciselyplease clarify denition, the'accessibility relation' is the idea that modal statements, like 'its possible that it rains tomorrow,' may not take thesame truth-value in all 'possible worlds.' On earth, the statement could be true or false. By contrast, in a planet wherewater is non-existent, this statement will always be false.Due to the diculty in judging if a modal statement is true in every 'possible world,' logicians have derived certainaxioms or principles that show on what basis any statement is true in any 'possible world.' These axioms describing

1

2 CHAPTER 1. ACCESSIBILITY RELATION

the relationship between 'possible worlds is the 'accessibility relation' in detail.Put another way, these modal axioms describe in detail the 'accessibility relation,' R between two 'worlds.' Thatrelation, R symbolizes that from any given 'possible world' some other 'possible worlds may be accessible, and othersmay not be.The 'accessibility relation' has important uses in both the formal/theoretical aspects of modal logic (theories about'modal logic'). It also has applications to a variety of disciplines including epistemology (theories about how peopleknow something is true or false), metaphysics (theories about reality), value theory (theories about morality andethics), and computer science (theories about programmatic manipulation of data).

1.2 Basic Review of (Propositional) Modal LogicThe reasoning behind the 'accessibility relation' uses the basics of 'propositional modal logic' (see modal logic for adetailed discussion). 'Propositional modal logic' is traditional propositional logic with the addition of two key unaryoperators: symbolizes the phrase 'It is necessary that...' symbolizes the phrase 'It is possible that...'These operators can be attached to a single sentence to form a new compound sentence.For example, can be attached to a sentence such as 'I walk outside.' The new sentence would look like: 'I walkoutside.' The entire new sentence would therefore read: 'It is necessary that I walk outside.'But the symbol A can be used to stand for any sentence instead of writing out entire sentences. So any sentence suchas 'I walk outside' or 'I walk outside and I look around' are symbolized by A .Thus for any sentence A (simple or compound), the compound sentences A and A can be formed. Sentencessuch as 'It is necessary that I walk outside' or 'It is possible that I walk outside' would therefore look like: A A .However, the symbols p , q can also be used to stand for any statement of our language. For example, p can standfor 'I walk outside' or 'I walk outside and I look around.' The sentence 'It is necessary that I walk outside' would looklike: q . The sentence 'It is possible that I walk outside' would look like: q .Six Basic Axioms of Modal Logic:There are at least six basic axioms or principles of almost all modal logics or steps in thinking/reasoning. The rsttwo hold in all regular modal logics, and the last holds in all normal modal logics.1st Modal Axiom:

p$ ::p (Duality)

The double arrow stands symbolizes 'if and only if,' 'necessary and sucient' conditions. A 'necessary' condition issomething that must be the case for something else. Being literate, for instance, is a 'necessary' condition for readingabout the 'accessibility relation.' A 'sucient condition' a condition that is good enough for something else. Beingliterate, for instance, is a 'sucient' condition for learning about the accessibility relation.' In other words, its goodenough to be literate in order to learn about the 'accessibility relation,' however it may not be 'necessary' because therelation could be learned in dierent ways (like through speech). Aside from 'necessary and sucient,' the doublearrow represents equivalence between the meaning of two statements, the statement to the left and the statement tothe right of the double arrow.The half square symbols before the diamond and p symbol in the sentence ' p $ ::p ' stand for 'it is not thecase, or 'not.'The p symbol stands for any statement such as 'I walk outside.' Therefore it could also stand for 'The apple is Red.'Example 1:The rst principle says that any statement involving 'necessity' on the left side of the double arrow is equivalent to thestatement about the negation of 'possibility' on the right.So using the symbols and their meaning, the rst modal axiom, p $ ::p could stand for: 'Its necessary that Iwalk outside if and only if its not possible that it is not the case that I walk outside.'

1.2. BASIC REVIEW OF (PROPOSITIONAL) MODAL LOGIC 3

And when I say that 'Its necessary that I walk outside,' this is the same as saying that 'Its not possible that it is notthe case that I walk outside.' Furthermore, when I say that 'Its not possible that it is not the case that I walk outside,'this is the same as saying that 'Its necessary that I walk outside.'Example 2:p stands for 'The apple is red.'So using the symbols and their meaning described above, the rst modal axiom, p $ ::p could stand for: 'Itsnecessary that the apple is red if and only if its not possible that it is not the case that the apple is red.'And when I say that 'Its necessary that the apple is red,' this is the same as saying that 'Its not possible that it is notthe case that the apple is red.' Furthermore, when I say that 'Its not possible that it is not the case that the apple isred,' this is the same as saying that 'Its necessary that the apple is red.'Second Modal Axiom:

p$ ::p (Duality)

Example 1:The second principle says that any statement involving 'possibility' on the left side of the double arrow is the same asthe statement about the negation of 'necessity' on the right.p stands for 'Spring has not arrived.'Using the symbols and their meaning described above, the second modal axiom, p $ ::p could stand for: 'Itspossible that Spring has not arrived if and only if it is not the case that it is necessary that it is not the case that Springhas not arrived.'Essentially, the second axiom says that any statement about possibility called 'X' is the same as a negation or denialof a dierent statement about necessity 'Y.' The statement about necessity shows the denial of the same originalstatement 'X.'The other axioms can be read and interpreted in the same way, by substituting letters p for any statement and followingthe reasoning. Brackets in a symbolized sentence mean that anything inside the brackets counts as a whole sentence.Any symbol before the brackets therefore applies to the sentence as a whole, not just the letters or an individualsentence.An arrow stands for then where the left statement before the arrow is the if of the entire sentence.Other Modal Axioms:* (p ^ q)$ (p ^q)* (p _q)! (p _ q)* (p! q)! (p! q) (Kripke property)Most of the other axioms concerning the modal operators are controversial and not widely agreed upon. Here are themost commonly used and discussed of these:

(T) p! p

(4) p! p

(5) p! p

(B) p! p

Here, "(T)","(4)","(5)", and "(B)" represent the traditional names of these axioms (or principles).According to the traditional 'possible worlds semantics of modal logic, the compound sentences that are formed outof the modal operators are to be interpreted in terms of quantication over possible worlds, subject to the relationof accessibility. A sentence like (p _ q) ! (p _ q) is to be interpreted as true or false in all or some 'possibleworlds.' In turn, the grounds on which the sentence is true (symmetry, transitive property, etc.) in all 'possible worldsis the 'accessibility relation.'

4 CHAPTER 1. ACCESSIBILITY RELATION

The relation of accessibility can now be dened as an (uninterpreted) relation R(w1; w2) that holds between 'possibleworlds w1 and w2 only when w2 is accessible from w1 .Additionally, to make things more specic, any formula, axiom like (p _q)! (p _ q) can be translated into aformula of rst-order logic through standard translation. That rst-order logic formula or sentence makes the meaningof the boxes and diamonds in modal logic explicit.

1.3 The Four Types of the 'Accessibility Relation' in Formal Semantics'Formal semantics studies the meaning of statements written in symbols. The sentence (p _ q) ! (p _ q) ,for example, is a statement about 'necessity' in 'formal semantics.' It has a meaning that can be represented by thesymbol R , where R takes the form of the 'necessity relation' described below.So, the 'accessibility relation,' R can take on at least four forms, that is, the 'accessibility relation' can be describedin at least four ways.Each type is eit

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