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Tansformation Laplace
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ITII Correction de quelques exercices sur la Transformation de Laplace M. Berne 1 Calcul de Transformées
1.c - Transformée de ( ) ² sin cos 2tf t t t e t t= − Solution
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
( )
2
22
22 2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
2
3
2
3
"
2
1
'
( ² s in ) ( ) [ ( s in ) ] " ( ) ( ' )
11
2 1 2 2 2 1
1
2 1 8
1
6 2
1
3 121
ˆ ( c o s 2 ) ( ) [ ( c o s 2 ) ] ' ( )
p
p
pp
L t t p L t p th é o r è m e d e s d é r iv é e s d u n e tr a n s fo r m é e
p
p p p p
p
p p
p
p
p
p
p
D e m e m e L t t p L t p
× × ×
−
+
+
=
= +
=
− + + +=
+
− + +=
+
−=+
−=+
= −
= −
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
2
22
2
222
2
3
4
4 2
4
4
4
4
4
'
( ) ( ) ² s in c o s 2 ( )
3 1 ( 1)2( 1)1
t
p p
p
pp
F in a le m e n t L f t p L t t e t t p
p ppp
+
+ −
+
+
= −
−=
= −
− − −= −−+
1.e - Transformée de 3 1 cos( ) t tt
f t e− −=
Solution
Soit ( ) 1 cos .g t t= − On a 3( ) ( )tt f t e g t−= d’où
21 3( ( )) ( ) ( ( ) ) ( 3)
3 ( 3) 1pL t f t p L g t p
p p+= + = −
+ + +
Or [ ] '( ( )( ( )) ( ) ( )L f tL t f t p p= − . Il vient donc
2
2
2
ˆ
ln
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ( )) ( 3)
3 13( 3) 1
( 3) 1ln
3lim ( ( )) ( ) 0
( 3) 1lim 0
3
p
p
L f t p L t f t p dp
L g t p dp
p dppp
pc
pc L f t p
pc
p
→∞
→∞
= −
= − +
=
=
+ − ++ +
+ ++
+=
+ ++ =
+
∫∫
∫
où la constante doit etre choisie telle que
donc telle que d'o,
2ln
0 .
( 3) 1( ( )) ( )
3
c
pL f t p
p=
=
+ ++
ù
Finalement
2 Calcul d’originales
2.b - Originale de 21
2( )( ) pL f p
p p+=
+ +
Solution
On a 22
22
22
71 7 72 2 1 7
2 2
1 1 21 2 2 22
2'p
p
ppp p d oùp p
× ×+ ++
+ + = + ++ +
+ +
=
2 2
2
2 2 22 2
7
71 7 1 7
2 2 2 2
7 7
7
7 7
7
11 12 2
2
12 2
12 2
cos ( ) sin ( )
( ) cos sin
t t
t
p p
ppp p
L e t p L e t p
f t e t t
− −
−
+++
+ ++ + + +
+
+
=
=
=
Alors
Donc
2.c - Originale de 2 23
( 2 2)( ) ( ) pL f p
p p+=
+ +
Solution
( )( )
( )
0
2 2 2 2
1
2
3 1 2 1
( 2 2) ( 1) 1 ( 1) 1
(cos 2 sin ) sin (cos 2 sin ) sin ( )
sin( ) sin( )
(cos 2sin ) ( 1) (sin ) ( 1)
(cos 2sin ) sin ( 1)
(cos 2sin ) sin ( )t
t
p p
p p p p
t t t t d
t t
t t p t p
t t t p
e t t t p
L LL
L
τ τ τ τ
τ τ τ τ
×
×
×
×
−
+ + +
+ + + + + +
+ ∗ = + −
= − + + − −
=
= + + +
= + ∗ +
= + ∗
∫
On a
Calcul
( )
[ ] [ ]
0 0
0 0 0 0
0 0
1 1
2 2
1 1 1
2 4 2
1 1 1
2 4 2
1
2
cos( ) cos( )
sin sin(2 ) cos(2 ) cos
sin cos(2 ) sin(2 ) cos
sin (cos cos( )) (sin sin( )) cos
sin sin cos
t t
t t t t
t tt
t
t
d t t d
t d t d t d t d
t t t t t
t t t t t t t
t t t t
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ
+ − − − − +
= − + − −
= + − + − −
= + − − + − − −
= + −
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
D'où 1
( ) (cos 2 sin ) sin ( 2) sin cos2
t tf t e t t t e t t t t×− −= + ∗ = + −
2.f - Originale de 3 21
( 1)( )( )L f p
p=
+
Solution
( )( )
( )( )
3 2 2 2 2
2 22 222
2
2
1
3
2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1
2 2( 1) 1 1 31
2 22
1: ( 1) 1
9
: ( 1) , , 1
1lim
(p
p p p p
C p D E p FA B
p ppp
A p puis p donne A
B p puis dérivation puis p donne
B → −
×
×
++
+ + − +
− + − ++ + +
+ +−−
+ → − =
+ → −
=
=
=
On a
Calcul des coefficients
12 2 2 3
'2 (2 1) 2
lim1) ( 1) 9p
p
p p p p→ −− −
= =− + − +
( )
2 2
2 2
3 2 2 2 2
1 3
2 2
3 3 3
2 3 3 3
'
( , ) : ( 1)
1 4 4 (1 1
6(3 ) 6(1 ) (1 )1 31
2 21 1
3 62
: 0 '9
2: 0 1 '
2 2 9
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1
9 (
)
p
d où
C D p p puis i donne
i iC i D
i i ii
C D
E p puis p donne B E d où E
C EF p donne A B D F d où F
p p p p
p
×
×
−− + →
− −+ = = = =
+ + −+ +
= − =
→ ∞ + = = −
= = + − + − + =
=+ + − +
=
Donc
( ) ( )
( )
2 22 222
1 1 112 1 1 22 2 2
1) 9 1 3 9 1 31 32 22 2
1 11 2 23 1
2
p p
ppp
p
p
− − − −+ − −
+ +− +− +
− −−
−
Il faut déterminer les originales de chacun des éléments simples ci dessus, en particulier de
( )
( ) ( )
( )
2 2 22 222
1 1 3 2 31 2 2 23 33 1 3 1 33
2 2 2 22
1 3 1 3 1 2 3 1cos sin sin
3 2 2 2 2 23 3
2 3 1 3 3 1cos sin sin
2 2 2 23 3 3
3 1 3cos sin
2 23
p
p p
L p p
L t t p
t t
t t t
t
L
×
×
− −= −
− + − ++
= − − −
= − − ∗ −
−
−
Calcul
0
0
0
3 3 1 3 3sin cos sin sin ( )
2 2 2 23
1 3 3sin ( ) sin ( )
2 2 2
1 3 3cos ( ) cos ( )
2 22 3
t
t
t
t t d
t t d
t t d
τ τ τ τ
τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ
×∗ = − −
= − + + − −
− − − − − +
∫
∫
∫
( ) 23 2
0
0
3 1 3 3
2 2 23
1 3 1 3cos sin sin sin cos (2 )
2 2 22 3
1 3 1 3sin (2 ) cos
6 2 22 3
1 3 1 3 1 3sin sin cos
2 2 3 2 22 3
1 1 1 3 2 3 1 3( 2) ( ) sin sin cos
( 1) 9 2 3 2 23 3 3
t
t
ttL p L
p
t t t t t t
t t t
t t t t t
e t e t t t t t
τ
τ
−
− ∗ = + −
− − +
= − +
= + − − ++
Donc
2
2
( )
2 3 2 3cos sin ( )
9 2 23
1 3 3( ) ( 2) ( 2) cos 3 ( 2) sin
9 2 2
t
tt
p
L p
f t t
e t t
e e t t t t−
− −
= + − + + −
Finalement
2.h - Originale de Arc tg2
( )( ) pL f p π= −
Solution
[ ] ( )[ ]
2
''
'
( )
( )
1( ) Arc tg ( sin ) ( )
2 1
( ) ( ( ) ) ( )
sin( ) sin ( )
L f
L f
p p L pp
p L t f t p
t f t f t
t
tt
t
π= − = − = −
+
= −
= =
On a
Or
Donc et
3 Résolution d’équations différentielles
3.a - Résolution de 2 5 5 (0 ) 1 '(0 ) 2" ' t avec y yy y y t e + +−+ + = + = = −
Solution - Image de l’équation par la transformation de Laplace
2 2
( ) ( ) ( ( )) ( )
' ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 1
" ( ) ( ) ( 0 ) ' ( 0 ) ( ) 2
L
L
L
y t y p L y t p
y t p y p y p y p
y t p y p p y y p y p p
+
+ +
→ =
→ − = −
→ − − = − +
%
% %
% %
2" 2 ' 5 ( 2 5 ) ( ) 2L
y y y p p y p p+ + → + + − +% 2−
2
22
1 55
( 1)
" 2 ' 5 5 1 5( 2 5 ) ( )
( 1)(0 ) 1 '(0 ) 2
Lt
t L
t ep p
y y y t ep p y p p
p py y+ +
−
−
+ → ++
+ + = +⇔ + + − = +
+= = −%
D'où
- Décomposition de ( )y p% en somme de fractions simples
2 2 2
2 2 2
2
2 2
1 5 1( )
( 1) ( 1) 2
( 1)
( 1) 1 ( 1) 2
1: ( 1) 1
4: 0 1
, : ( 1) 2 1 2
1 5 1 5 (22 2 1
4 2 1 4
y p pp p p
A B C D p E
p p p p
A p puis p donne A
C p puis p donne C
D E p puis p i donne
ii D E i
i
×
×
×
×
= + ++ + +
+ += + + +
+ + + +
+ → − =
→ =
+ + + →
++ = − + + − = − +
−
%
Calcul des coefficients
1) 92 1
(2 1)(2 1) 4
9' 0
45 1
: 2 12 5 2 5
7 1 1 9' 0
10 4 2 20
ii i
d où D E
C D EB p donne A B
d où B et finalement B
×
+ − = −− +
= = −
− += − − − = − − +
= + − − =
- Détermination de la solution y(t) , originale de ( )y p%
2 2 2
1 1 1 9 2( )
4 ( 1) 8 ( 1) 2
1 9( ) 1 sin 2
4 8t t
y pp p p
y t t e e t− −
= + −+ + +
= + −
%
3.f - Résolution de "' (0 ) 1 ' (0 ) 2 "(0 ) 1ty y avec y y ye −+ + +− = = = − = −
Solution - Image de l’équation par la transformation de Laplace
2 2
3 2 3 2
_______________________________________________________
( ) ( ) ( ( )) ( )
' ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 1
" ( ) ( ) ( 0 ) ' ( 0 ) ( ) 2
''' ( ) ( ) ( 0 ) ' ( 0 ) " ( 0 ) ( ) 2 1
L
L
L
L
y t y p L y t p
y t p y p y p y p
y t p y p p y y p y p p
y t p y p p y p y y p y p p p
+
+ +
+ + +
→ =
→ − = −
→ − − = − +
→ − − − = − + +
%
% %
% %
% %
__________________________________________________
3 2
3 2
''' ( 1) ( ) 2 1
1
1
''' 1( 1) ( ) 2 1
1(0 ) 1 '(0 ) 2 "(0 ) 1
L
Lt
t L
y y p y p p p
p
y y ep y p p p
py y y
e
+ + +
−
−
− → − − + +
→+
− =⇔ − − + + =
+= = − = −
%
%
D'où
- Décomposition de ( )y p% en somme de fractions simples
( )( )
( )
22
22
2
1 1( ) 2 1
1 ( 1)( 1)
1
21 1 1 3
2 2
1: ( 1) 1
21
: ( 1) 12
1 3, : ( 1)
2 2
3 2 1 33
2 21 3
y p p pp p p p
C p DA B
p pp
A p puis p donne A
B p puis p donne B
C D p p puis p i donne
ii C D
i
×
×
×
×
= + − −+ − + +
+ += + +
+ −+ +
+ → − = −
− → = −
+ + + →
++ = − −
+
%
Calcul des coefficients
2 1 3 1 3 23
2 23 3 3 3
41 3 ' 2 1
3
i ii i
i i
ii d où C D
i
× ×− +
= − −− −
= − = − + = = −−
- Détermination de la solution y(t) , originale de ( )y p%
( )( )
22
1 1 31 1 1 2 23( ) 22 1 1 1 3
2 2
py p
p pp
+ −= − +
+ −+ +
+
%
2 3 1 3( ) ch 2 cos sin
2 23
t
y t t t te−
= − + −
3.d - Résolution de 2 2 (cos sin ) (0 ) 1 '(0 ) 1" ' t y yy y y t avec + += = −− + = +
Solution - Image de l’équation par la transformation de Laplace
2 2
______________________________________________________________________________
2
( ) ( ) ( ( )) ( )
' ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 1
"( ) ( ) ( 0 ) ' ( 0 ) ( ) 1
'' 2 ' ( 2 1) ( ) 1 2
2
L
L
L
L
y t y p L y t p
y t p y p y p y p
y t p y p p y y p y p p
y y y p p y p p
+
+ +
→ =
→ − = −
→ − − = − +
− + → − + − + +
%
% %
% %
%
2
22
1(cos sin ) 2
1
'' 2 ' 2(cos sin ) 1( 2 1) ( ) 3 2
(0 ) 1 '(0 ) 1 1
L
L
pt t
p
y y y t t pp p y p p
y y p+ +
++ →
+
− + = + +⇔ − + − + =
= = − +%
D'où
- Décomposition de ( )y p% en somme de fractions simples
( )2 2
2 2
2
22
1 1( ) 2 3
1 ( 1)
( 1) 1 1
: ( 1) 1 0
1 1, : ( 1) 2 ( 1) 1
( 1)
' 1 1
: 1 ' 0
py p p
p p
A B C p D
p p p
A p puis p donne A
iC D p puis p i donne C i D i i
i i
d où C D
B p puis p donne B C d où B
×
×
× ×
×
+= + −
+ −
+= + +
− − +
− → =
++ → + = + = = − +
− −
= = −
→ ∞ = + =
%
Calcul des coefficients
- Détermination de la solution y(t) , originale de ( )y p%
2
1( ) ( ) cos sin
1
py p donne y t t t
p
−= = −
+%
3.(c) - Résolution de 24 13 (2 sin cos3 ) (0 ) '(0 ) 0" ' t y yy y y e t t + += =− + = +
Solution - Image de l’équation par la transformation de Laplace
2 2
___________________________________________________________________
2
2
( ) ( ) ( ( )) ( )
' ( ) ( ) ( 0 ) ( )
"( ) ( ) ( 0 ) ' ( 0 ) ( )
'' 4 ' 13 ( 4 13) ( )
2(cos 3 2 sin )
L
L
L
L
Lt
y t y p L y t p
y t p y p y p y p
y t p y p p y y p y p
y y y p p y p
pt te
+
+ +
→
→
→
→
→
=
− =
− − =
− + − +
−+
%
% %
% %
%
2 2 2
2
22 2 2
12
( 2) 3 ( 2) 1
'' 4 ' 13 (cos 3 2 sin )
(0 ) 0 '(0 ) 0
2 1( 4 13) ( ) 2
( 2) 3 ( 2) 1
t
L
p p
y y y t t
y y
pp p y p
p p
e
+ +
− + − +
− + = +
= =
−⇔ − + =
− + − +
+
+%
D'où
- Décomposition de ( )y p% en somme de fractions simples
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 22 2
22 2
4 13 ( 2) 3
2 1 1( ) 2
( 2) 3 ( 2) 1 ( 2) 3
( 2) ( 2) ( 2)
( 2) 3 ( 2) 1( 2) 3
, : ( 2) 3 2) 3(
p p p
py p
p p p
A p B C p D E p F
p pp
A B p puis p
×
×
− + = − +
−= +
− + − + − +
− + − + − += + +
− + − +− +
− + − →
%
Notant que il vient
Calcul des coefficients
22 2
2
3 3
' 1 , 0
1 1, : ( 2) 1 2) (2)
3 41
' 0 ,4
: 0 ' 0
2 1: 2 '
9 9 9 4
(
i donne Ai B i
d où A B
E F p puis p i donne E i Fi
d où E F
C p puis p donne C E d où C
B DD p donne F d où D
× ×
×
+ =
= =
− + − → + = =+
= =
→ ∞ = + =
= = + + = −
- Détermination de la solution y(t) , originale de ( )y p%
( )
( )( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 22 2
2 1 1 1 1( )
4 ( 2) 3 4 ( 2) 1( 2) 3
2
2 1 2 3
3 ( 2) 3 ( 2) 3( 2) 3
1( ) cos 3 ( 2) ( ) sin 3 (
3
py p
p pp
Calcul de l'antécédent de l'élément de deuxième espèce de multiplicité
p p
p pp
L u t t p L u t t p
× ×
× ×
−= − +
− + − +− +
− −=
− + − +− +
= − −
%
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
0
2)
1( ) cos 3 * ( ) sin 3 ( 2)
3
1 1( ) cos 3 * ( ) sin 3 cos 3 sin 3( )
3 31
sin 3(6
TC
t
L u t t u t t p
On effectue le produit de convolution
u t t u t t t d
t
τ τ τ
τ
×
× ×
= −
= −
= −
∫
τ+( )
[ ]
( )
0
0 0
0
2 2
2
) sin 3( )
1 1sin 3 sin 3(2 )
6 21 1
sin 3 cos 3(2 )6 21
sin 36
1
1 1 1( ) sin 3 ( 2)
4 ( 2) 3 12
1 1
4 ( 2) 1
t
tt
t
t d
d t d
t
Antécédents des éléments de deuxième espèce de multiplicité
L u t t pp
p
t
t t
t t
ττ
τ τ τ
τ τ τ
τ ==
+ − −
= − −
= + −
=
− = − −− +
− +
∫
∫
∫
( )
( )2
1( ) sin ( 2)
4
( ) (2 1) sin 3 3 sin12
t
L u t t p
Finalement la solution de l'équation différentielle proposée est
y t t t te
= −
= − +
