math-question-center.com exercices...Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques Théo Héikay − Agrégé

Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques

Théo Héikay − Agrégé de l’Université − Professeur et Chercheur Invité à l’Université Libre de Bruxelles

Quelques exercices de théorie élémentaire d’Analyse Mathématique

It is worth remembering, if only for the sense of calm that it provides, that

We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher

1

L’univers Mathématique est beau, et hors

de lui point de salut.

Des millions d’yeux, je le savais, ont

contemplé ce paysage, mais pour moi il

était comme le premier sourire du ciel.

J’avoue faire ici l’expérience de notre

humilité face à la résolution des exercices,

en vivant chaque instant comme si c’était le premier. Il y a des leçons éthiques et

mathématiques à tirer de cette expérience-là : à chaque fois lire une théorie comme la

première fois. On dit beaucoup que la Mathématique incorpore entre autres, l’art de

l’étonnement.

Mais il y a un double statut de l’étonnement : – une pomme tombe et Newton

découvre les lois de l’attraction universelle. L’étonnement est supprimé par la

connaissance. Il s’agit d’aller au-delà des apparences : c’est le projet de la démarche

scientifique; – mais, au lieu de supprimer l’étonnement, on peut le maintenir. Le

monde est énigmatique, même quand on a tout expliqué et qu’on a dissipé tous les

mystères. Plutôt que se demander à quoi bon faire des Mathématiques en temps de

détresse, il faut se demander d’où vient notre besoin d’avoir la Mathématique

comme l’une des plus belles réalisations de la pensée humaine. Qu'est-ce qu’une

pratique des Mathématiques ? Un grand point d'interrogation à l'endroit du plus

grand sérieux !

L’une des leçons de l’enseignement des Mathématiques est donc de pratiquer l’art de

l’étonnement comme un émerveillement recommencé.

N’ayons pas peur de nous poser cette question : La Mathématique comme expérience

est-elle encore possible aujourd'hui ? Ce fascicule se propose d'interroger la






2

sublimation d’une théorie dans les questions mathématiques, à la lumière de ce que

peut comprendre un étudiant des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles

scientifiques françaises, ou des trois premières années universitaires dans les pays de

l’O.C.D.E. La démarche scientifique sera la base et l'horizon de cette investigation.

Pourquoi s’intéresser à ces étudiants ? Je constate entant qu’universitaire, que

certains ont perdu ce rapport indispensable à la simplicité, à l’étonnement, à

l’hésitation, à la lenteur, au dénuement. Pour certains étudiants, être cohérent, sentir,

de leur point de vue, que la démarche est cohérente ne va pas de soit. Il me paraît

très utile, de les aider à épouser le lest du bonheur pour la grande traversée de la mer

qu’est la vie, d’autant plus que les enseignants et les étudiants ne sont pas dans la

même temporalité. Le temps de l’acquisition interroge donc le nôtre – celui de la

transmission.

En effet, dans quel temps vivez-vous ? Celui de vos projets ou celui de vos rêves ? Du

souci ou du plaisir ? Du métro ou de la grève ? De votre journal ou de vos loisirs ?

Plus que jamais unifiés par l'information, les hommes n'ont pourtant jamais vécu des

temporalités aussi disloquées, hétéroclites, inconciliables.

À la charnière de la transmission des savoirs et des connaissances, j’ai pris beaucoup

de plaisir à rechercher ce souffle « eurêka » dans le « temps incorporé » de ce

fascicule, en répondant aux questions les plus actuelles qui m’ont été posées.

Tissé de perceptions et de défis intellectuels, le temps de la résolution des exercices

de ce fascicule, qui n’est ni celui d’un cours en amphithéâtre ni celui de la recherche

de pointe, devient sensible. À l’imaginaire avide du lecteur, j’offre l’appât savoureux

de mes personnages : Série entière de rayon de convergence infini, intégrales

riemanniennes, théorème de convergence de la loi de Bernoulli vers la loi normale,

intégrales de Wallis, polynômes de Legendre, déterminant de Sylvester, théorème

des fonctions implicites, fonctions holomorphes, formule de résidu, développement






3

en série entière, familles sommables et dénombrables etc. …, dont cet essai aide à

retrouver les caractères mêlés aux paysage de l’Analyse Mathématique. Pourtant,

dans les plis de longues démonstrations, dans le cumul des brouillons et des notes,

dans la cruauté et le ridicule des passions, l’insignifiance du questionnement et le

néant des êtres mathématiques brusquement s’imposent. Les personnages se

contaminent et se brouillent, une profondeur secrète les attire. Tel un flocon de neige

qui flotte dans le vent, sous un ciel bleu-noir, dans l’air du soir, suspendu, hésitant,

ils perdent leur contour absorbé par le style. Ces héros, ces visions, fruits d’une

imagination dont le chercheur sait qu’elle est son seul organe pour jouir de la beauté,

finissent par nous laisser un goût, un seul, âcre et tonique : le goût de l’expérience

mathématique. Du défi intellectuel comme thérapie, comme enchantement (j’entends

par là, un ravissement).

Ce que je fais comme chercheur, a un rapport avec la répétition. Mais la répétition ne

signifie pas réitération uniforme du toujours identique. Au contraire, elle ramène ce

qui en retrait s’abrite dans l’ancien.

Les questions qui sont posées ici, sont certes, pour ceux qui sont blasés, choses du

passé. Mais pour une certaine idée de la science, si nous l’éprouvons comme ce qui

nous est destiné, elles demeurent toujours et elles demeureront toujours un présent

nouveau : quelque chose qui attend de nous que nous allions en pensant à leur

rencontre, et que nous mettions par-là à l’épreuve notre propre pensée et notre

propre création artistique. Car le commencement d’un destin est ce qu’il y a de plus

grand. Il tient d’avance tout ce qui vient après lui sous sa puissance.

Les exercices proposés dans ce fascicule, sont lisibles (et drôles, et percutants, et

riches, et remuant des tas de choses dans toutes les directions — ce qui est le propre






4

de la Mathématique), si vous rétablissez en vous-même, dans votre œil ou votre

oreille, la bonne cadence.

La Mathématique nous enseigne la pensée rapide, mais inversement, elle nous oblige

peut-être à lire plus lentement. Devant un exercice, il appartient à chaque lecteur

d’établir un nouveau rythme, un nouveau tempo. La vitesse nous donne la lenteur,

seul un esprit très rapide peut savourer la lenteur. Les Mathématiques ne se lisent

pas à la même vitesse qu’un roman par exemple.

De la vitesse de lecture, dépendent beaucoup de choses en Mathématique. Cette

discipline nous apprend à mieux voir. On ne voit pas avec ses yeux (ou seulement un

peu), mais avec les concepts, sa langue, son oreille, sa mémoire des mots (peut-être

aussi bien son odorat). Sans énonciation, pas d’éveil de l’image mentale. Engendrés

par des textes, donc, les concepts engendrent eux-mêmes des théories, à l’infini,

comme dans une énumération de générations bibliques. Le concept, parfois, c’est

comme un métronome bloqué ; défaites le corset, le sens explose ; c’est plus lent à

lire, parce que c’est plus riche ; et parce que c’est plus lent, paradoxalement, ça brûle

les étapes.

Les Mathématiciens s’obstinent à utiliser les symboles, qui sont aux yeux du profane

du chinois — Précisément : on pourrait leur faire crédit et penser que cette

obstination veut dire quelque chose : qu’elle nous communique la tension,

l’éblouissement et le péril d’un grand projet, d’un projet d’une autre taille (le contenu

des théories, comme la vitesse de leur lecture, ça fait partie de leur sens).

Ouverte, la forme de ce fascicule se dévoile hors commencement et fin, car, partout et

sans dommage, on peut entamer une lecture, partout on peut refermer le fascicule.

La chronologie qu’implique le volume, son déroulement avec un début, un milieu et

une fin, peuvent être mis à mal par le désir de se promener d’une question à l’autre.






5

Qu’enseigne-t-on en Mathématiques ? Toujours la vivacité, la pensée rapide,

l’allégresse, l’élec- tricité de son langage, « l’histoire d’amour entre les scientifiques et

leurs théories » avec ses «sensations savantes », la conviction qu’une renaissance par

le théorème peut advenir. Toujours le lien étroit du langage conceptuel avec le corps

du scientifique, sujet trop négligé. Toujours le rejet du simplisme, du défaitisme, du

moutonnement, du confort ambiants. Toujours la quête (elle peut avoir bien des

visages) d’une vérité mathématique, d’une « responsabilité à accepter l’abstraction ».

Si bien que, phénomène fréquent en matière de critique pédagogique, chaque

résolution est un autoportrait.

Un Exercice qui fait appel à la pensée pure comme faculté des essences.

Peut-on trouver un équivalent quand n + de n = 1

+

(– 1)

n – 1

n! (ln n)xn ?

Rose de série entière, ô contradiction, volupté de n’être le sommeil de personne sous

tant de paupières. Ô suites perpétuelles / de la liesse éternelle, qui faites / Qu’en un

parfum je sens tous les parfums. Donne-moi un rayon de convergence infini. Je

connais le corps de réels semblable à un talus où s’épanouissent une fonction

indéfiniment dérivable, deux lemmes démontrables et quelques intégrales

riemanniennes.

La résolution de cet exercice passe par un troisième œil qui n’a pas seulement

l’ardeur de la braise, mais traverse aussi la nuit et rend visible ce qui serait dans

l’invisible. Ce regard préalable désigne l’éclat rayonnant de la mer, des astres, de la

lune, mais aussi le chatoiement de l’olivier. Ce troisième œil est l’œil qui éclaire et

resplendit.






6

Ma solution : Les couleurs, les sons, les goûts, les parfums des équations, se répondent.

Chaque épisode est décisif, le moindre déplacement de jeu, comme aux échecs, a une histoire

apparente et secrète. Lemmes, intégrales, séries normalement convergentes, limites clignotant

à l’infini, équivalences et fonctions continues sur un compact participent d’une même énergie

créatrice, chaque concept se nourrissant des autres.

Notons f la fonction à étudier. Montrons que f(x) ~ x +

– ln(ln x).

1° Une expression sous forme intégrale pour f’(x) + f’’(x).

Comme la série (– 1)

n – 1

n! (ln n)xn a un rayon de convergence infini, f est définie sur

IR et est indéfiniment dérivable terme à terme, et on a :

f’(x) + f’’(x) = n = 0

+

(– 1)

n + 1

n! ln

n + 2

n + 1xn.

Lemme 1 _ Soit b > a > – 1 et soit A l’intégrale

0

1

tb – t

a

ln t dt. Alors A = ln

b + 1

a + 1.

Preuve

A = lim 0, > 0

A() avec A() =

0

1

a

b

tu

1 du dt.

Comme (t, u) tu est continue sur [, 1] [a, b], on peut intervertir les deux

symboles intégrales dans cette expression de A(), ce qui donne :

A() =

a

b

1 – u + 1

u + 1 du.






7

Comme 0 <

a

b

u + 1 du

u + 1 <

(b – a) u + 1

a + 1 , on a lim

0, > 0 A() =

a

b

du

u + 1 , ce qui

donne le résultat souhaité.

Notons l’application continue de [0, 1] dans IR telle que :

(t) = t – 1

ln t si 0 < t < 1

&

(0) = 0

&

(1) = 1

,

Alors est continu sur [0, 1] et t, 0 (t) 1.

Pour x < 1 fixé, posons un(t) = (– 1)

n + 1

n! xn tn (t).

On a

0

1

un(t)

1 dt = (– 1)

n + 1 xn

n! ln

n + 2

n + 1 et

n = 0

+

un(t) = – e – xt (t).

Sur [0, 1] la série un(t) converge normalement et on peut donc l’intégrer terme à

terme ; il en résulte f’(x) + f’’(x) = –

0

1

e – xt

(t)

1 dt .

2° _ Un équivalent en + de f’ + f’’.

Soit a quelconque dans ]0, 1[. On partage l’intégrale :

0

1

e – xt

(t)

1 dt = Ha(x) + La(x) avec

Ha(x) =

0

a

e

– xt (t)

1 dt

&

La(x) =

a

1

e

– xt (t)

1 dt

.






8

Posons Ia(x) =

0

a e – xt

– 1

ln t dt. Alors (1 – a) Ia(x) < Ha(x) < Ia(x).

Par ailleurs 0 < La(x) < 1

x e

– ax .

Étudions maintenant Ia(x).

Lemme 2 _ Ia(x) ~ 1

x ln x quand x + (pour tout a).

Preuve :

On introduit

Ja(x) =

0

a

e – xt dt

ln x =

1 – e – ax

x ln x .

On a

Ja(x) ~

x +

1

x ln x .

Écrivons Ia(x) – Ja(x) = –

*

a

e – xt ln (xt) dt

ln t ln x , qui se transforme par le changement

de variable u = xt, en 1

x ln x Ka(x) avec Ka(x) =

0

ax

e – u ln u du

ln x – ln u.

On coupe en trois morceaux cette intégrale en introduisant , tels que 0 < < 1 <

et on suppose x >

a .






9

Sur [0 ; ] on a

0 < e – u ln u

ln x – ln u < 1, d’où

0

e – u ln u du

ln x – ln u < .

Sur [, ax]

on a 1

ln x – ln u

1

ln 1

a

,

d’où

ax

e – u ln u du

ln x – ln u <

1

ln 1

a

+

e – u ln u

1 du.

Soit > 0 ; fixons

3 et tel que

+

e – u ln u

1 du

3 ln

1

a ; comme on a

e – u ln u du

ln x – ln u

K

ln x – ln (pour un certain K), on peut choisir X >

a tel que

x > X,

e – u ln u du

ln x – ln u

3 ,

d'où

x > X, Ka(x) .

On a montré que Ia(x) – Ja(x) <<

1

x ln x , et comme J

a(x) ~

1

x ln x ,

on a bien Ia(x) ~ 1

x ln x .






10

Exprimons à présent l’équivalent de f’ + f’’.

Soit > 0 ; prenons a ; alors Ha(x) – Ia(x) Ia(x).

On a

Ia(x) ~ 1

x ln x et La(x) <<

1

x ln x .

Soit donc X tel que

x > X, Ia(x) ~ 1

x ln x <

x ln x soit La(x) <

x ln x ,

d’où

x > X, f’(x) + f’’(x) + 1

x ln x <

(3 + )

x ln x

et on a bien montré

f’(x) + f’’(x) ~ x +

– 1

x ln x .

3° _ Équivalent de f.

Comme 1

x ln x a un signe constant pour x > 1 et comme

*

+

dx

x ln x diverge, on a

f(x) + f’(x) ~ x +

– ln (ln x).

D’autre part, comme limx +

{ }f(x) + f’(x) = 0, un exercice classique montre que

limx +

f’(x) = 0. Donc f(x) ~ x +

– ln (ln x).






11

Exercice : Rien ne m’est plus sûr que la chose incertaine. _ Trouver la partie principale

de q = 0

n

C2n2

n² + q.

Nous avons tous besoin, pour rendre la réalité supportable, d’entretenir en nous

quelques petites folies.

Les « petites folies » dont je parle, ce sont donc ces espoirs nécessaires qui nous

permettent de croire en des temps meilleurs, et de continuer à mathématiser. Et c’est

un exemple, parmi d’autres, du besoin de rêve d’un chercheur en quête du graal...

Comme nous aimerions, dans nos considérations, éviter l’arbitraire de l’inspiration,

nous demandons ici, à Bernoulli, conseil et assistance de son théorème. Nous ne

pouvons certes pas épuiser, dans le cadre restreint de cet exercice, la plénitude des

connaissances en probabilité. Nous ne faisons que reconnaître ce que le théorème de

Bernoulli de convergence vers la loi normale nous dit de la provenance d’une

intégrale singulière.

Face à un exercice ardu ou à une réalité qui ne cesse d’être décevante, le chercheur

qui n’aime que des valeurs positives, semble avoir trouvé la parade idéale : jamais

pleinement endormi, ni totalement réveillé, il joue avec les frontières de l’imaginaire.

Ma solution : Laissons deviner. Le langage Mathématique, comme la musique, se développe

aussi entre les idées, leurs intervalles, leurs chocs de surprises. C’est un corps qui, pris à

même la vie du passé, sera toujours là.

Il s’agit d’une question très classique dans le calcul des probabilités.

Si on pose 2n² = N, la suite cherchée, Sn, est

Sn =

CN

k /

N

2 k

N

2 +

N

2,






12

2 – N

Sn est la probabilité pour qu’une variable aléatoire XN

suivant la loi de

Bernoulli de paramètre 1

2 et N (X

N = x

1 + … + x

N où les x

i sont de Bernoulli,

élémentaires, avec P2 {x

i = 0} = P

2 {x

i = 1} =

1

2 , et indépendantes), soit comprise

entre N

2 et

N

2 +

N

2 .

Comme XN

est d’espérance N

2 et d’écart-type

N

2, d’après le théorème de

convergence de la loi de Bernoulli vers la loi normale, on a :

limN +

P2

a N

2 X

N –

N

2

b N

2 =

1

2

0

b

e

– t²/2

1 dt.

Donc ici

limn +

2 – 2n²

Sn = 1

2

0

2

e

– t²/2

1 dt =

1

0

1

e – t²

1dt,

Soit

Sn ~ 2

2n²

0

1

e – t²

1dt.

Je vais prouver « taupinalement » ce résultat :

Posons

Sn =

2n²

n²A

n

avec

An =

q = 0

n

an, q

,

précisons que






13

an, q

=

l = 1

q - 1

1 – l

n²

l = 1

q

1 + l

n²

.

Pour tout > 0, il existe > 0 tel que pour tout t tel que :

t , ln(1 + t) – t + t²

2 t² .

On prend n 1

; comme ici 0 < l q n, on a

1

n² ,

d’où

ln

1 – l

n² +

l

n² +

l²

2n4 l²

n4

n² ,

Puis

l = 1

q – 1

ln

1 – l

n² +

q(q – 1)

2n² +

q(q – 1)(2q – 1)

12n4 (q – 1)

n²

n ,

soit

l = 1

q – 1

ln

1 – l

n² +

q²

2n² –

q

2n² +

q3

6n4

n +

3q² – q

12n4 2

n ,

en décidant de prendre également n 1

4 .

De même,

l = 1

q

ln

1 + l

n² –

q²

2n² –

q

2n² <

q3

6n4 2

n ,

et par différence






14

ln an, q

+ q²

n² 4

n .

Pour u 1 (par exemple), on a

eu – 1 K u

où K est une certaine constante > 0. On prendra n 4 (en plus des autres

conditions) ; donc

e – 4/n an, q

eq²/n²

e4/n,

puis

an, q

eq²/n²

– 1 4K

n,

soit

an, q

– e – q²/n² 4K 1

n e – q²/n²

4K

n .

En sommant

1

n + 1 q = 0

n

an, q

– 1

n + 1

q = 0

n

e – q²/n² 4K

n ,

et comme

limn +

1

n + 1

q = 0

n

e – q²/n²

0

1

e

– t²

1 dt

(c’est une somme de Riemann)

on a

limn +

1

n + 1

q = 0

n

an, q

=

0

1

e

– t²

1 dt.

Remarque : on a même limn +

q = 0

n

an, q

– q = 0

n

e – q²/n² = 0.






15

D’après le résultat classique Cn

2n ~

n +

22n

n (intégrale de Wallis), on obtient

Sn ~ (n + 1)

0

1

e

– t²

1 dt

22n²

n² ~

22n²

0

1

e

– t²

1 dt.

Exercice : Il y a tant d’aurores qui n’ont pas encore luit.

Étudier pour tout u0 > 0 et tout a > 0, la suite définie par : u

n + 1 = a + (– 1)

nu

n .

Nous méditons l’existence d’une telle suite. Nous tentons de jeter un regard dans ce

domaine qui, avant toute formulation séquentielle, exerce déjà sa puissance et qui

seul accorde aux suites des nombres ce qui font d’elles ce qu’elles sont.

« Le seul véritable voyage ce ne serait pas d’aller vers d’autres paysages, mais d’avoir

d’autres yeux. »

Cette phrase qu’on trouve intégralement au 5ème tome de À la recherche du temps perdu,

de Marcel Proust, dans La Prisonnière, s’est imposée à moi, en même temps que

j’écoutais Ave, verum corpus de Wolfgang Amadeus Mozart. C’est la première fois que

j’écoute cette musique. Et à la manière de la sonate pour Swann, elle me transporte

« en pays inconnu » et me fait ressentir intensément la réalité.

Le musicien Mozart, insistant, mélodieux, d’une douceur inexorable, parvient ainsi à

me faire « voyager », à me faire percevoir l’univers autrement : il me donne

« d’autres yeux ». Il s’agit là du sens figuré de la vision.






16

Mais les yeux servent évidemment et avant tout à ‘’voir’’, à regarder, à scruter, et

même à « radiographier » le réel. Et le chercheur, tout au long de sa pratique, se

délecte de cette activité...

Le chœur apaisé qu’avait exhalé la musique de Mozart, me désignait un monde dont

je n’étais pas le centre mais dont l’humain est le centre. Mozart exprimait une

attention des hommes pour les hommes, un souci quant à notre vulnérabilité, notre

condition mortelle.

Dans la nuit obscure de l’automne et de la chair, cette musique nous rappelait que

nous étions frères en fragilité. Mozart me révélait qu’il y avait un univers purement

humain, établissant ses propres fêtes, ses règles, ses croyances, ses rendez-vous où les

voix s’enlacent en harmonie pour délivrer une beauté qui ne peut naître que de

l’accord, de l’entente, au prix d’une recherche commune, d’un but consenti, d’une

émotion partagée ... Surgissait un monde parallèle à la nature, celle-là même que le

gel, le froid, la nuit pouvaient anéantir. Un univers inventé, le nôtre. Cet univers-là,

par sa musique, il le reflétait, il le dessinait. Peut-être le créait-il ?

Ma solution : Notre pratique des Mathématiques est un chemin dans les sables, où l’on doit

se conduire par l’étoile du Nord plutôt que par les vestiges qu’on y voit imprimés. La

confusion des traces qu’un nombre presque infini d’interprétations erronées y ont laissées est

si grande, et on y trouve tant de différents sentiers qui mènent presque tous dans des déserts

affreux, qu’il est presque impossible de ne pas s’égarer de la véritable voie que les seuls

théoriciens avisés ont heureusement su démêler et reconnaître.

On montre que :

1° _ Si 0 < a < 1, la suite (un) n’est pas définie pour n 2 quel que soit le choix

de u0.






17

2° _ Si 1 a 5

4 , sauf pour un choix unique u

0 = , la suite (un) n’est pas

définie à partir d’un certain rang ; pour u0 = , on a , pour tout n,

u2n

=

&

u2n + 1

= a +

3° _ Si 5

4 < a A, avec A = 1, 310 702 64…, il existe trois réels , , tels

0 < < et :

a) Si < u0 < , alors u

2n tend vers et u

2n + 1 vers a + ;

b) Si u0 = ou , la suite (un) est de période 4 avec pour valeurs successives

(, a + , , a + ) ;

c) Si 0 u0 < ou u

0 > , la suite (un) n’est pas définie à partir d’un certain

rang.

4° _ Si a > A, prenant u0 dans le segment [0, a² – a] (sinon la suite (un) n’est pas

définie à partir de n = 2), pour un certain , u2n

tend vers et u2n + 1

tend vers

a + .

On introduit f : x a – a + x et on note Ia l’ensemble des x positifs tels

que f est définie en x.

La suite (u2n

) est donnée par

u0 Ia

&

u2n

= f(u2n – 2

).

Les énoncés ci-dessus font intervenir un point fixe de f et un doublet (, ) de

f, c’est-à-dire un couple (, ) tel que < , f() = et f() = .

Si a < 1, alors Ia est ; on en déduit le 1°.






18

Désormais a 1 ; on a

Ia = [0, a² – a]

&

f(Ia) = [ ]0, a – a

;

donc Ia est stable par f si, et seulement si, a – a a² – a, ce qui équivaut

à a A où A est l’unique racine de l’équation en a (> 1) : a – a = a² – a,

soit encore (1) a a ( a – 1)( a + 1)² – 1 = 0.

On trouve A = 1,310 702 64 …

Si la suite (u2n) converge, c’est, bien sûr, vers un point fixe de f. Or, f étant

décroissante, avec

f(0) = a – a

&

f(a² – a) = 0

,

donc f(0) > 0 et f(a² – a) < a² – a (pour a > 1), f admet un unique point fixe

; on trouve comme racine de (² – a)² = + a avec 0 < < a, ce qui

revient à

(2) ² + + 1 = a,

soit

(3) = 1

2 ( 4a – 3 – 1).

Si la suite (u2n) est partout définie et ne converge pas, la fonction f étant

décroissante, les suites (u4n) et (u4n + 2

) sont monotones bornées et convergent

vers les deux éléments d’un doublet de f.

Cherchons donc les éventuels doublet de f, c’est-à-dire les couples (, ) tels que :

0 < , f() = et f() = .

On résout donc

a – a + =

&

a – a + =

avec

0 <






19

soit

= (a – ²)2 – a

&

= (a – ²)2 – a

avec

0 < < a

.

On pose s = + et on obtient après calculs

(4) a = s

s² – 1 +

1

4s² +

1 + s²

4

On trouve aussi

p = = – s² + 1

2(s² – s) +

1

4

s² – 1 – 1

s²

Exprimant que l’équation x² – sx + p = 0 a deux racines réelles distinctes dans

[0, a[, on trouve les conditions

s > 0

&

s² + 2

s < 4a Inf

2s² + 2

s,

1

s² + s

2 .

On utilise la définition de a, par (4), en fonction de s.

Pour s > 1, on a

2s² + 2

s –

1

s² + s

2

= s6 – 1

s4 > 0;

et la condition nécessaire

1

s² + s

2

– 4a 0 revient à

1 – s² – s4

s4 – 2(1 + s²)

s(s² – 1) 0,

et c’est impossible. On a donc l’existence de (, ) si, et seulement si,

0 < s < 1

&

s² + 2

s < 4a 2s² +

2

s






20

On a

4a – s² – 2

s =

1

s²(1 – s²) { }(1 – s²)(1 – s)2 – 4s² ,

d’où la condition 4s² < (1 – s²)(1 – s)², qui se ramène sur ]0, 1[, après

simplification, à

s < 2 – 1.

Pour s = 2 – 1, l’équation x² – sx + p = 0 a une racine double:

= = = s

2 =

2 – 1

2

&

a = 5

4

On a

2s² + 2

s – 4a =

P(s)

s²(1 – s²)

avec

P(s) = – s6 2s4 + 2s3 + 2s – 1

On vérifie aisément que P est convexe, puis croissante sur [0, 2 – 1] ; comme

P ( 2 – 1) = 58 2 – 82 = 2

29 2 + 41 > 0,

P a un et un seul zéro, noté S sur [0, 2 – 1]. Pour s = S, on a p = 0, donc = 0

et = s et a = A.

La relation (4) s’exprime par a = (s), avec ’(s) = – 1 + s²

(1 – s²)2 – 1

2s² (1 – s4) < 0 ;

donc est strictement monotone sur ]0, 1[ et en particulier sur [S, 2 – 1], si

bien que la correspondance a s est une bijection de

5

4 , A sur [S, 2 – 1].

Donc pour tout a vérifiant 5

4 < a A, il existe un et un seul doublet (, ) de f

avec 0 < < .






21

Si a > A, la suite (u2n) n’a donc pas deux valeurs d’adhérences et elle est partout

définie ; elle converge donc vers et on en déduit 4°.

Si a A et a 1, on a a – a a² – a, si bien que l’intervalle

J = [ ]0, a – a est stable par l’application réciproque g de

f : g(y) = (a – y²)2 – a. Comme g est décroissante, la m-ième image J

m = gm(J) est

l’ensemble de points situés entre cm – 1

et cm

, avec c0 = 0, c

m = (a – c²

m – 1)2 – a ;

si on prend u0 dans J

m , alors la suite (un) est définie jusqu’à n = 2m ; pour que

la suite (un) soit partout définie, il faut et il suffit que u0 soit dans

m IN

Jm

= [’, ’] où ’ = limn +

(c2m

), ’ = limm +

(c2m + 1

) ;

en effet, comme g est décroissante, les suites (c2m

) et (c2m + 1

) sont respectivement

croissante et décroissante, et bornées. On a

g(’) = ’

&

g(’) = ’

et, par suite,

f(’) = ’

&

f(’) = ’

Si a est dans

1, 5

4, alors nécessairement ’ = ’ = ; donc la suite (un) n’est

définie que si u0 = ; on en déduit le 2°.

Si 5

4 < a A, l’intervalle [, ] vérifie f([, ]) = [, ] donc g([, ]) = [, ] ; on a

donc [, ] [’, ’], comme f n’a qu’un doublet, on a ’ = et ’ = . On en

déduit 3° c). Le 3° b) est immédiat.






22

Donc, toujours si 5

4 < a A, la suite (un) est définie si, et seulement si, u

0 est

dans [, ] ; prenons u0 dans ], [, et vérifions 3°a), ce qui revient à montrer que

u2n

.

Utilisons pour cette dernière question la fonction h = f ° f – Id : x f(f(x)) – x,

définie sur [, ]. Cette fonction s’annule en , , et seulement en ces points ; elle a

donc un signe constant sur ], [ et sur ], [ ; on a f’() = – 1

4 a + ; comme

a = ² + + 1,

on a

f’() = – 1

4( + 1) = –

1

4(a – 1)

et

0 > f’() > – 1 car a > 5

4 .

Donc, h’() = f’(²) < 0 et il en résulte immédiatement,

h > 0 sur ], [ si u0 ], [

&

h < 0 sur ], [ si u0 [, [

alors f[f(u0)] = u

4 u

0 car h(u

0) 0 (resp. u

4 u

0) et la suite (u

4n) est

croissante (resp. décroissante) donc u4n

↗ ’’ avec < ’’ (resp. u4n

↘ ’’

avec ’’ < ) ; comme ’’ (resp. ’’) est un point fixe de f f , c’est un zéro

de h, et ’’ = . Le résultat voulu vient immédiatement et la preuve est complète.






23

Cet Exercice respire, et est modelé comme un souffle. _ Soit n un entier naturel. Calculer

le maximum du produit :

∏ 0 k < l n + 1

x

l – x

k/ 0 = x

0 < x

1 < … < x

n + 1 = 1

Tâchons de toujours garder un morceau de ciel au-dessus de notre vie.

Ce précieux conseil m’est donné par ma voix intérieure, en soliloquant. Et ce

« morceau de ciel » qu’elle m’intime de garder, c’est justement ce qui pourra me

préserver de la violente réalité, ce qui me permettra de conserver ma « jolie âme ».

Ce que me suggère en fait ma voix intérieure, c’est de garder une porte ouverte sur

l’imaginaire... Essayons de comprendre comment elle se construit au travers de

l’écriture mathématique.

Que signifie donner conseil ? Cela veut dire : préméditer quelque chose, y pourvoir

d’avance et par là faire qu’elle réussisse. De ce fait cette voix règne partout où les

hommes produisent quelque chose, mettent au jour quelque chose, la mènent à

bonne fin, mettent en œuvre, agissent et font.

Ma réponse : La démonstration Mathématique est une ruche de marbre vers laquelle les

concepts se pressent en tourbillonnant. Le temps de la résolution revient, bien qu’enseveli, il

est pourtant là, au milieu de nous, approché, coudoyé, palpé, immobilisé, au soleil. J’aimerais

dire, tranquillement, que chacun de nous – à condition de travailler sérieusement – peut

désormais pouvoir arrêter le soleil.

La réponse est Mn où Mn est tel que

Mn

2 =

{ }112233 … nn

2

(n + 1)n + 1

(n + 2)n + 2

2(n + 1)(n + 2)

113

3 … (2n + 1)

2n + 1 ,

ou encore






24

M0 = 1

Mn

Mn – 1

2

= nn(n + 2)

n + 2

4n + 1

(2n + 1)2n + 1

M1 =

1

4

M2 =

1

25 5

M3 =

3 3

(16.73 7)

etc…

L’étude est assez longue et je vais la séparer en plusieurs étapes.

1° _ Soit D la partie de IRn dont les éléments sont les (x

1, … , x

n) tels que

0 x1 x

2 … x

n 1.

Soit F l’application de D dans IR définie par (x0 = 0, x

1 = 1) :

F(x1, … , x

n) = ∏ { }x

j – x

i / 0 i < j n + 1 .

Alors F est continue sur le compact D, donc F atteint sa borne supérieure Mn.

Tout n-uplet (x1, … , x

n) tel que

F(x1, … , x

n) = Mn

vérifie évidemment

0 < x1 < x

2 < … < x

n < 1,

c’est-à-dire qu’il est intérieur à D. Comme F est C 1, un tel point est un point

critique de F.

Dans le 3° je montrerai que F a au plus un point critique, il en résultera alors sans

réciproque que ce point est le seul où F atteint son maximum.






25

2° _ Dans l’anneau K [X1, … , X

n] notons

k le polynôme symétrique élémentaire

de degré k, k( X

i) le polynôme symétrique élémentaire de degré k du sous-

anneau K [X1, … , X

i, … , X

n] obtenu à partir de K [X

1, … , X

n] par suppression de

l’indéterminée Xi, notons aussi k ( X

iXj ) (i j) le polynôme symétrique

élémentaire de degré k du sous-anneau K [X1, … , X

i, … , Xj , …, X

n].

En dénombrant les occurrences de chaque monôme, on montre aisément les

formules :

k ( X

i) =

k ( X

iXj ) + Xjk – 1

( Xi

Xj ) (i j)

i = 1

n

k ( X

i) = (n – k)

k

i = 1

n

Xik ( X

i) = (k + 1)

k

1 i < j n

k ( X

iXj ) = C

2

n – k

k

i j

Xik ( X

iXj ) = (k + 1)(n – k – 1)

k + 1

i < j

XiXjk( X

iXj ) = C

2

k + 2

k + 2.






26

3° _ Soit (x1, … , x

n) un point critique de F. Alors on a, pour i = 1, 2, …, n,

0 = 1

F F

xi

= j = 0, j i

n + 1

1

xi – x

j

= 2 x

i – 1

xi( x

i – 1)

+ j = 1, j i

n

1

xi – x

j

.

Multiplions par xi( x

i – 1)

k( x

i) et ajoutons membre à membre :

0 = 2 i = 1

n

xi

k( x

i) –

i = 1

n

k( x

i) +

i j

(xi² – x

i)

k( x

i)

xi – x

j

= 2(k + 1) k + 1

– (n – k) k +

1 i j n

(xi² – x

i)

k( x

i) – (x

j² – x

j)

k( x

j)

xi – x

j

Remplaçons

k( x

i) par

k( x

ixj ) + x

j

k – 1( x

ixj )

k( xj ) par

k( x

ixj ) + x

i

k – 1( x

ixj ) ;

le numérateur précédent devient

(xi – x

j) [(x

i + x

j – 1)

k( x

ixj ) + (x

i x

j)

k – 1( x

ixj )]

et il vient finalement (grâce aux formules du 2°,

0 = 2(k + 1)k + 1

– (n – k) k + (k + 1)(n – k – 1)

k + 1 – C

2

n – k

k + C

2

k + 1

k + 1,

soit

(k + 1)(2n – k + 2) k + 1

= (n – k)(n – k + 1) k.






27

Comme 0 = 1, cette formule détermine de façon unique les

k, donc les x

i à

l’ordre près et la condition x1 < x

2 < … < x

n entraîne l’unicité du point critique de

F.

4° _ Pour n fixé, posons

S(x) = j = 1

n

(x – xj) = xn –

1xn – 1 +

2xn – 2 – …. + (– 1)

nn =

j = 0

n

ajxj,

(x1 , x

2 , … , x

n) étant l’unique point déterminée au 3°.

La relation entre k et

k + 1 donne facilement, pour j = 0, 1, …, n – 1,

(n – j)(n + 3 + j) aj + (j + 1)(j + 2)a

j + 1 = 0,

ce que l’on peut généraliser à j = n, n + 1, … en posant an + 1

= an + 2 = … = 0 ;

d’où

– j = 0

+

j(j – 1) ajxj – 4

j = 0

+

j ajxj +

+ n(n + 3) j = 0

+

ajxj +

j = 0

+

j (j + 1)aj + 1

xj + 2 j = 0

+

(j + 1)aj + 1

xj = 0,

soit

x(1 – x)S’’(x) + (2 – 4x)S’(x) + n(n + 3)S(x) = 0.

Cette équation différentielle détermine le polynôme S à un facteur près.

Posons

H(x) = x(x – 1)S(x) = j = 0

n + 1

(2x – xj);

alors on obtient

x(x – 1)H’’(x) – (n + 1)(n + 2)H(x) = 0.






28

5° _ Introduisons le polynôme de Legendre relativement au segment [0, 1]:

Qn(x) =

1

n! d

n

dxn[xn(x – 1)n].

Alors

* Qn est de terme dominant C

n

2nxn ;

* Qn(1 – x) = (– 1)

n Q

n(x) ;

* Qn(1) = 1 ;

* pour m n,

0

1

Q

m(t) Q

n(t)dt

1 = 0 ;

* pour n 1, (n + 1)Qn + 1

(x) – (2n + 1)(2x – 1) Qn(x) + nQ

n + 1(x) = 0 ;

* x(x – 1) Q’’n(x) + (2x – 1) Q’

n(x) – n(n + 1)Q

n(x) = 0,

soit

[x(x – 1) Q’n(x)]’ = n(n + 1)Q

n(x).

En posant

Rn(x) = 1

n! d

n – 1

dxn – 1[xn(x – 1)n] =

0

x

Q

n(t)dt

1,

on obtient

x(x – 1)R’’n(x) = n(n + 1)Rn(x).

On sait alors que H est proportionnel à Rn + 1

.

Précisons ce polynôme Rn + 1

, qui est de degré n + 2.

Si P est de degré au plus n – 1, on a avec P* une primitive de P,

0

1

R

n + 1(t)P(t)

1 dt = –

0

1

Q

n + 1(t)P*(t)

1 dt = 0

Il en résulte que, dans la base orthogonale (Q0, Q

1, …, Q

n + 2)






29

relativement au produit scalaire : (P|Q) =

0

1 P(t)Q(t)

1 dt , on a

Rn + 1

Vect (Qn + 2

, Qn + 1

, Qn).

En utilisant

Rn + 1

(1 – x) = (– 1)n Rn(x),

Rn + 1

(1) = 0, et les termes dominants, on obtient

Rn + 1

(x) = 1

4n + 6 { }Q

n + 2(x) – Q

n(x) =

1

2n + 4 [(2x – 1) Q

n + 1(x) – Q

n(x)].

6° _ Notons C(P) le coefficient dominant du polynôme P. On a

Mn

2 = ∏ { }(x

j – xi)

2/ 0 i < j n + 1 = (– 1) C

2n + 2 R(H,H’) où R(H,H’) est le

déterminant de Sylvester des polynômes H et H’.

Rappel : Si d°P = p et d°Q = q, leur déterminant de Sylvester R(P, Q) est le

déterminant, dans la base

(xp + q – 1

, xp + q – 2

, … , x, 1)

de

(xq – 1P, xq – 2P, … , P, xp – 1Q, xp – 2

Q, … , 1).

Si on note 1………q les racines de Q on a

R(P, Q) = (– 1)pq

c(Q)p k = 1

q

P(k)

Ici R Qn + 1

Qn) = c (Q

n)n + 1

k = 1

n

Qn + 1

(k) (les

k étant les racines de Q

n).

R(Qn, Q

n – 1) = c(Q

n)n – 1

k = 1

n

Qn – 1

(k).

Or






30

Qn – 1

(k) = –

n

n + 1 Q

n – 1(

k),

donc

R(Qn + 1

, Qn) = (– 1)

n n

(n + 1)n c (Q

n)2 R(Q

n, Q

n – 1)

ce qui donne finalement, avec

R(Q1, Q

0) = 1

R(Qn + 1

, Qn) = (– 1)

n(n +1)/2

n!

(n + 1)n [c(Q

1) (Q

2) …c(Q

n)]²

On a ensuite, par un calcul voisin,

R(Rn + 1

, R’n + 1

) = R(Rn + 1

, Qn + 1

) = (– 1)

n + 1

2n + 1

(n + 2)n + 1

c(Qn + 1

)2R(Q

n + 1, Q

n)

= (– 1)(n + 1)(n +2)/2

n!

2n + 1

(n + 2)n + 1

(n + 1)n [c(Q

1) … c(Q

n)c(Q

n + 1)]

2

De plus

c(Rn + 1

) = 1

n + 2 c(Q

n + 1).

Donc

Mn

2 = (– 1)

(n + 1)(n +2)/2 R(H, H’) =

(– 1)(n + 1)(n +2)/2

c(Rn + 1

)2n + 3 R(R

n + 1, R’

n + 1)

= n!(n + 2)

n + 2

(n + 1)n 2

n + 1 [c(Q

1) … c(Q

n)]2

c(Qn + 1

)n + 1

= n!(n + 2)

n + 2

(n + 1)n 2

n + 1 [C

1

2C

2

4 …. C2

2n]2

Cn + 1

2n + 2

2n + 1 .

En simplifiant, on obtient le résultat annoncé ci-dessus.






31

Exercice _ On considère l’équation x = tg x dont l’unique racine dans

n, n +

2

est notée an (n IN*). On pose n =

1

n +

2

. Existe-t-il une série entière p = 0

+

cpzp

telle que na

n =

p = 0

+

cp

2p

n ? Quel est son rayon de convergence ?

Cet exercice me fait dire que la pensée, n’est rien sans quelque chose qui force à penser, qui fait

violence à la pensée

Le véritable savoir repose dans l’expérience de la découverte et de la redécouverte,

une plongée dans l’inconnu où les limites de l’horizon restent toujours à chercher, à

inventer, à aimer, justement parce qu’elles se dérobent et accordent ainsi à l’être

humain sa liberté.

Ma réponse : Des preuves, oui, des preuves. L’art de la démonstration est l’un des plus

difficiles, il demande une grande virtuosité.

1° _ Il existe effectivement une série entière de rayon de convergence R’ > 0 telle que

(1) na

n =

p = 0

+

cp

2p

n.

Il est fort probable que ce résultat et la valeur de R’ se trouvent dans la littérature

mathématique. Dans l’ouvrage Tables of function de E. JAHNKE et F. EMDE (Dover

Publications) addenda page 30, on trouve la formule (avec d’autres notations)

na

n = 1 –

n² –

2

3

n4 –

13

15

n

6 –

146

105

n8 – …

sans aucune autre précision.

Pour montrer l’existence de la série (1), posons






32

an =

n + 1

2 –

n ;

on sait que limn +

n = 0.

On a

n + cotg

n =

1

n

,

ce qui s’écrit aussi

(2) n(

n² +

ncotg

n) =

n.

Considérons l’équation à l’inconnue y

(3) x(y² + y cotg y) = y,

la fonction y y² + y cotg y étant prolongée par 1 en 0. Le théorème des

fonctions implicites nous donne l’existence d’une solution non nulle, unique,

x y définie dans un voisinage de 0 et telle que y = 0 pour x = 0. Cette

fonction est impaire et, si on trouve quelle est développable en série entière,

(4) y = p = 0

+

bp x

2p + 1

de rayon de convergence R’ > 0, on aura

na

n = 1 –

p = 0

+

bp

n2p + 2 pour

n < R’.

2° _ Étude de l’équation

(5) x f(y) = y

où f est développable en série entière

f(y) = n = 0

+

dnyn






33

de rayon de convergence R > 0 et d0 0. Le théorème des fonctions implicites

donne l’existence d’une solution unique y = g(x) définie dans un voisinage de 0

et telle que g(0) = 0. Posons a priori

(6) g(x) = n = 1

+

enxn,

un calcul formel donne par identification dans (5)

e1 = d0

e2 = d1 e1 = d

0 d1

e3 = d1 e

2 + d

2 e1² = d

0 d1² + d

0² d

2

…

On constate facilement que

en = Pn( d

0, d1, … , d

n – 1)

où Pn est un polynôme à coefficients entiers > 0. Il reste à montrer que la série

obtenue est convergente.

Soit ]0, R[. On sait que la série n = 0

+

dnn est convergente, soit alors

M = sup

dnn/ n IN

et considérons l’équation auxiliaire à l’inconnue Y

x

n = 0

+

MYn

n = Y,

c’est-à-dire

Y² – Y + Mx = 0.

Cette équation a une racine et une seule qui tend vers 0 quand x tend vers 0, à

savoir :






34

Y =

2

1 – 1 – 4M x

;

cette solution est développable en série entière de x

Y = n = 1

+

e’nxn

avec un rayon de convergence égal à

4M . Les coefficients peuvent s’obtenir

comme dans le cas de l’équation (5), c’est-à-dire

e’n = P

n

M, M

, … ,

M

n – 1

et comme Pn est un polynôme à coefficients positifs, on a

en

Pn

d

0, d1 , … , d

n – 1 P

n

M, M

, … ,

M

n – 1 = e’

n.

Ceci prouve que la série (6) a un rayon de convergence

4M .

Pour déterminer les coefficients en, on peut procéder par identification, ou utiliser

une formule due à Lagrange

en =

1

n!

d

n – 1

dxn – 1 {f(x)}

n

x = 0

dont je donne une démonstration au paragraphe 4°.

3° Application à l’équation x(y² + ycotg y) = y.

On sait (cf. N. BOURBAKI, Fonctions d’une variable réelle, chap. VI, § 2) que

z cotg z = 1 – 2 n = 1

+

S

2n

2n zn






35

pour z < avec S2n

= k = 1

+

1

k2n .

On a donc

y² + ycotg y = 1 + 2

3 y² – 2

n = 2

+

S

2n

2n y2n pour y < .

On peut prendre ici M = 1, = 3

2 , alors la série (6) a un rayon de

convergence R’ 1

4

3

2 0,306…

Les coefficients bn peuvent s’obtenir par identification ou par la formule de

Lagrange ; on obtint ainsi :

nan = 1 – n² – 2

3 n

4 – 13

15

n6 –

146

105 n

8 – 781

315 n

10 …

Le coefficient n10 a été obtenu par la formule de Lagrange.

4° _ Utilisation des propriétés des fonctions analytiques.

La théorie des fonctions analytiques permet d’obtenir facilement les résultats

précédents. Soit f une fonction holomorphe dans le disque z < IR.

Considérons l’équation

F(z) = z – xf(z) = 0 avec f(0) 0.

Soit r ]0, R[, Cr le cercle z = r et D, le disque ouvert z < r. Soit x 0 tel

que

s(r) = sup

xf(z) < r/ z = r .






36

Comme pour z = r, on a xf(z) < r, les équations z = 0 et F(z) = 0 ont le

même nombre de racines dans Dr, c’est-à-dire une seule, on note y celle de

F(z) = 0, donc xf(y) = y, comme x 0, f(0) 0, on a y 0.

La fonction z z[1 – xf’(z)]

f(z) a un unique pôle simple y dans D, et le résidu

correspondant est y, on a alors y = 1

2i

Cr

z[1 – xf’(z)]

z – xf(z) dz.

Pour z 0, on a

z[1 – xf’(z)]

z – xf(z) =

1 – xf’(z)

1 – x

z f(z)

= 1 + n = 1

+

{f(z)}

n

zn – f’(z){f(z)}

n – 1

zn – 1 xn.

Grâce à la condition sur s(r), la série converge normalement sur le cercle Cr, on peut

intégrer terme à terme, et on a

y = n = 1

1

2i

Cr

{f(z)}

n

zn dz –

Cr

f’(z){f(z)}

n – 1

zn – 1 dz xn.

On a

1

2i

Cr

{f(z)}

n

zn dz = 1

(n – 1)!

d

n – 1

dzn – 1 [f(z)]

n z = 0

et pour n 2

1

2i

Cr

f’(z){f(z)}

n – 1

zn – 1 dz =

1

(n – 2)!

d

n – 2

dzn – 1 f’(z){f(z)}n – 1

z = 0

= 1

n(n – 2)!

d

n – 1

dzn – 1 {f(z)}

n

z = 0

.






37

Dans le développement de y, le coefficient de xn est

1

(n – 1)! –

1

n(n – 2)!

d

n – 1

dzn – 1 {f(z)}

n

z = 0

= 1

n!

d

n – 1

dzn – 1 {f(z)}

n

z = 0

= 1

2in

Cr

{f(z)}

n

zn dz,

résultat valable pour n = 1. On a donc

y = n = 1

+

1

n!

d

n – 1

dzn – 1 {f(z)}

n

z = 0

.

Ces résultats sont valables si

x < r

sup

f(z) / z = r .

Dans le cas où f(z) = z² + z cotg z, on a pour 0 < r <

r

sup

f(z)/ z = r =

1

sup

z + cotg z / z = r ;

la fonction z 1

sup

z + cotg z / z = r est continue sur ]0, [, elle tend vers 0

quand r tend vers 0 ou , elle admet donc un maximum atteint pour un r1 ]0, [

et la série donnant y converge si

x < 1

sup

z + cotg z / z = r1

.

La détermination de sup

z + cotg z / z = r n’a pas été entreprise. En écrivant que

z + cotg z z + cotg z on obtient que R’ > 0, 4356.

Nota _ Pour l’étude du développement en séries entières des fonctions implicites et

la formule de Lagrange, on pourra consulter le cours d’Analyse mathématique de

E GOURSAT, tome 1 chap. IX, § IV et tom II, chap. XIV, § III.






38

Exercice _ Soit x un réel strictement supérieur à 1. Montrer que

n = 1

+

1

xn – 1 =

n = 1

+

xn + 1

xn2 (xn – 1)

et que

n = 1

+

1

xn + 1 =

n = 1

+

(– 1)

n – 1(x2n + 1)

xn2( x2n – 1)

.

De quoi s’agit-il, au fond ? De la poésie, bien sûr. Rien que de la poésie. De quel

éclair ces sommes infinies sont-elles la jouissance ? demandez-vous. Eh bien, de ce

qui advient poétiquement.

Mais encore ? Le fait qu’il puisse y avoir ce rapport entre la convergence, les familles

dénombrables et les familles sommables, en pleine culture, mathématique – l’air de

l’Analyse Mathématique, vous l’avez dans sa musique et dans sa construction – vous

sentez que les gens qui ont créé, cette discipline, ont respiré d’une certaine façon,

marché d’une certaine façon, navigué d’une certaine façon.

Voilà, c’est à la fois extrêmement vif, comme nature, et fabuleux, comme culture. Les

deux, à égalité.

Ma solution : L’objet de la Mathématique est de nous apprendre à lire. Les démonstrations

viennent de la solitude, du silence, de l’inavouable, d’une ombre mobile et jalousement

protégée. De quoi est-il question dans cette résolution ? De la danse des concepts, de leur

corps, du rythme. Et de ce qui les « porte » : la démonstration en tant qu’elle « donne forme »,

poétiquement.

Quand je rédige un exercice mathématique, je m’en sers pour parler plus loin. J’essaye

toujours de montrer qu’on ne voit un concept que si on est capable de le verbaliser. Je ne






39

cherche pas qu’à mathématiser, je cherche aussi à dire, je ne cherche pas qu’à faire, je cherche

aussi à dire.

La convergence des séries est immédiate. On écrit pour x > 1 :

1

xn – 1 =

1

xn 1

1 – 1

xn

= 1

xn k = 0

+

1

xkn = p = 1

+

1

xpn

ce qui donne

F(x) = n = 1

+

1

xn – 1 =

n = 1

+

p = 1

+

1

xpn .

De la même façon, on a

G(x) = n = 1

+

1

xn + 1 =

n = 1

+

p = 1

+

(– 1)

n – 1

xpn .

Ces dernières expressions nous incitent à considérer les familles dénombrables

suivantes :

suivantes : a = {a

n, p / (n, p) R}

b = {bn, p

/ (n, p) R}

avec

R = IN* IN*

an, p

= 1

xpn et bn, p

= (– 1)

n – 1

xpn a et b sont des familles sommables car toutes les

sommes ∑ an, p

et ∑ bn, p

où (n, p) parcourt un sous-ensemble fini de R, sont

majorées par F(x).






40

Il s’agit maintenant de sommer convenablement a et b.

On a

(1) F(x) = n = 1

+

an, n

+ T(a)

avec

T(a) = (n, p) R

(an, n + p

+ an + p, n

).

Preuve _ Notons D = {(m, m)/ m IN*} la diagonale de R et = R\D.

D et constituent une partition de R, donc, a étant sommable, on a

F(x) = (n, p) D

an, p + (n, p)

an, p.

On a

(n, p) D

an, p = n = 1

+

an, n

= n = 2

+

p = 1

n – 1

an, p + n = 1

+

p = n + 1

+

an, p

a étant sommable, on voit, à l’aide d’un schéma par exemple, que

x

y

o A

B

C

D

E

F

G

H

I

J






41

n = 2

+

p = 1

n – 1

an, p = p = 1

+

n = p + 1

+

an, p.

Donc

(n, p)

an, p = n = 1

+

p = n + 1

+

(an, p + ap, n

) = n = 1

+

p = 1

+

(an, n + p

+ an + p, n

).

Ceci établit (1).

On a aussi, bien sûr

(2) G(x) = n = 1

+

bn, n + T(b).

Calculs de T(a) et T(b).

On a

T(a) = 2 (n, p) R

1

xn(n + p) = 2

n = 1

+

1

xn2 p = 1

+

1

xpn = 2 n = 1

+

1

xn2( xn – 1)

.

T(b) = (n, p) R

(– 1)

n – 1 + (– 1)

n + p – 1

xn(n + p) =

n = 1

+

(– 1)

n – 1

xn2 p = 1

+

1 + (– 1)

p

xnp .

= n = 1

+

(– 1)

n – 1

xn2 p = 1

+

2

x2pn = 2 n = 1

+

(– 1)

n – 1

xn2( x2n – 1)

On achève les calculs par (1) et (2).






42

F(x) = n = 1

+

1

xn2 + 2 n = 1

+

1

xn2( x2n – 1)

= n = 1

+

xn + 1

xn2( xn – 1)

.

G(x) = n = 1

+

(– 1)

n – 1

xn2 + 2 n = 1

+

(– 1)

n – 1

xn2(x2n – 1)

= n = 1

+

(– 1)

n – 1 (x2n + 1)

xn2( x2n – 1)

.

L’essentiel de ce travail, est de mettre les outils dont je dispose au service de la

plus grande précision possible.

Je n’ai jamais proposé d’explication, ni posé de question qu’il n’y ait eu d’abord un

problème. Et, dès le moment où vous amenez transparence et clarté dans un exercice,

l’explication est probablement bonne ; ce qui était impossible à expliquer s’éclaire.

Ces résultats sont fidèles au but que je m’étais fixé : sculpter toute une information

opulente dans un noyau de cerise.

Le lecteur pourra trouver autant d’invitations à la lecture des jalons de l’Analyse

Mathématique, dans les réponses des questions que m’ont suggérées des collègues…

À la recherche du réel perdu, telle est l’aventure. Ouvrez les livres, fréquentez les

bibliothèques, écoutez des musiques, essayez donc enfin de vivre les Mathématiques,

dialoguez avec les concepts, mathématisez tant que vous voulez, il n’est question que

de ça. Théorèmes, définitions, démonstrations, images, rigueur, précision, tout vient

de ce défi, de ce fleuve, cataractes d’audaces, chutes d’imaginations, bouillon de






43

culture, frôlements d’idées, tourbillon de neurones, de théories, d’exposés,

d’abstraction, d’intuition, de mots, de concepts. Camps de rencontres, temples

d’amours. Donnez-moi une table de travail, n’importe laquelle, n’importe où,

quelques feuilles de papier, un crayon et un sujet qui suscite ma curiosité, le reste

s’ensuit nécessairement, la plus grande liberté ne peut pas ne pas être là, c’est

automatique. Aimez, ou ennuyez-vous : tel sera le choix.

Professeur de Maths, je n’ai d’autre intention que de répandre, autant que possible,

cette façon d’appréhender le monde, d’être une passerelle entre ceux qui savent et

ceux qui veulent apprendre. Le fond de l’affaire, c’est qu’avec un peu d’effort, un peu

de candeur, celle-là même qu’on perd en acquérant des préjugés, on est capable de

réfléchir et de s’intéresser à toutes les vérités. Amis lecteurs, au fur et à mesure de la

pratique, vous apprendrez vite que la qualité esthétique d’une résolution d’un

exercice reflète la qualité éthique de son auteur.

Une fois la cristallisation commencée, l’on jouit avec délices de chaque nouvelle

beauté que l’on découvre dans ce qu’on aime. Mais qu’est-ce que la beauté ? C’est

une nouvelle aptitude à vous donner du plaisir.

Pour découvrir la nature de la beauté des équations, il convient de rechercher quelle

est la nature des plaisirs de chaque individu.

La beauté que vous découvrez étant donc une nouvelle aptitude à vous donner du

plaisir, et les plaisirs variant comme les individus, la cristallisation formée dans la

tête de chaque homme doit porter la couleur des plaisirs de cet homme. La

cristallisation de la formule mathématique d’un théoricien, ou sa BEAUTÉ, n’est

autre chose que la collection de TOUTES LES SATISFACTIONS de tous les désirs

qu’il a pu former successivement à son égard…






44

Mais, n’oubliez surtout pas que : Maîtrise et enseignement n’ont pouvoir que d’inculquer.

De leur propre fond, ils ne tiennent aucun pouvoir.

De plus, il n’y a pas de Mathématique ni de publication sans exposition, souvent

dangereuse, à l’autre, sans face à face avec le concept. Je ne saurai jamais plus qui je

suis, où je suis, d’où je viens, où je vais, par où passer. Je m’expose à autrui, aux

étrangetés. Il faut bien un jour ouvrir la porte d’ombre, s’avancer vers les premiers

degrés, chercher une lumière pour se reconnaître dans les brouillards de l’ignorance

si épais qu’ils nous renvoient à cette forme de civilité qu’est l’humilité et nous

enseignent ce qu’il y a de légitime dans le désir des belles actions. Là, le chercheur du

graal expérimente le dur, l’extérieur, l’objectif. Jaillissent hors des abysses, boîtes

noires fondatrices, les théorèmes, beaux, les définitions, subtiles, les objets ouvrés,

notre temps et notre vie, ressuscités. J’espère que la lumière artificielle et normative

d’une vérité stable sur mon propre travail ne m’a pas aveuglé au point de me faire

perdre de vue que l’essentiel était dans le mouvement, dans la nécessité organisatrice

dont on éprouve la loi quand les notes prises au hasard trouvent d’elles-mêmes leur

place et produisent une mélodie.

Théo Héikay/pdf

http://www.math-question-center.com/publications-pdf/Temoignage_de_mon_Maitre_de_Recherches.pdf

Documents

math-question-center.com exercices...Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques Théo Héikay − Agrégé