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Apostila matemática básica
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Matematica Basica
(Notas de Aula)
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Natal, janeiro de 2012.
Conteudo
1 Nocoes Iniciais de Funcoes 1
1.1 Funcao: Definicao e notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Domınio e contra-domınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Analise visual de graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Continuidade de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Funcoes crescentes, decrescentes e constantes . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Funcoes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Extremos local e absoluto de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Simetria: funcao par e funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Simetria em relacao ao eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Simetria em relacao ao eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Simetria em relacao a origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Funcoes polinomiais 27
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Estudo do grafico de uma funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Modelando problemas com funcoes de 1o grau . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Definicao e grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Zeros da funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 Coordenadas do vertice do grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.4 Imagem e estudo do sinal da funcao quadratica . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Modelando problemas com funcoes de 2o grau . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
3 Funcao Modular 51
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 A funcao modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Equacoes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Funcao Exponencial 60
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Propriedades da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Construcao do grafico da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Funcao Logarıtmica 73
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Consequencias da definicao do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4 Sistemas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Propriedades operatorias dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7 A Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.8 Funcoes inversıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8.2 Grafico de funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.10 Equacoes logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.11 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Operacoes com Funcoes e Funcao Composta 94
6.1 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Trigonometria e Funcoes Trigonometricas 101
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Medidas de arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.4 Ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
iii
7.5 Funcoes periodicas e o ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.7 Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.8 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.9 Funcoes cotangente, secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.10 Relacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.11 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.11.1 A Funcao arcosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.11.2 A Funcao arcocosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.11.3 A Funcao arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.11.4 A Funcao arcocotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.11.5 A Funcao arcossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.11.6 A Funcao arcocossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A Introducao aos Conjuntos 130
A.1 Nocoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.2 Representacao dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.3 Relacao de pertinencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.5 Conjunto Universo - Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.6 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.7 Operacoes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.8 Numero de elementos do conjunto uniao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B Conjunto dos Numeros Naturais, IN 144
B.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.2 Operacoes com numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C Conjunto dos Numeros Inteiros, Z 148
C.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
C.2 Operacoes com numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.3 Numeros opostos ou simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.4 Modulo de um numero inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
iv
D Conjunto dos Numeros Racionais, IQ 155
D.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
D.2 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
D.3 Representacao decimal das fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
D.4 Operacoes com numeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
D.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . 167
D.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
E Conjunto dos Numeros Irracionais, II 171
F Conjunto dos Numeros Reais, IR 172
F.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
F.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
F.3 Potenciacao com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
F.4 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
F.5 Potenciacao com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
F.6 Propriedades basicas da Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
F.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
G Plano Cartesiano 187
G.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
G.2 O sistema de coordenadas cartesianas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . 188
G.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
H Polinomios 197
H.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
H.2 Valor numerico de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
H.3 Polinomio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
H.4 Grau de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
H.5 Igualdade de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
H.6 Operacoes com polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
H.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
I Produtos notaveis e fatoracao 206
I.1 Produtos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
I.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
I.3 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
I.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
v
J Trabalhando com Numeros 214
J.1 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
J.2 Arredondamento de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
J.3 Notacao cientıfica e notacao de engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
J.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
vi
Capıtulo 1
Nocoes Iniciais de Funcoes
Este livro tem por objetivo principal apresentar um estudo introdutorio sobre funcoes
reais de variaveis reais sem o uso das nocoes e conceitos relacionados a limite e derivada.
Ou seja, queremos estudar funcoes com as ferramentas do Ensino Medio para que o
estudante possa, apos o estudo dos capıtulos deste livro, iniciar um curso de Calculo
Diferencial e Integral sem as dificuldades que, hoje em dia, os estudantes universitarios
que iniciam um primeiro curso de Calculo na universidade encontram.
Comecaremos o livro, portanto, por este capıtulo onde damos as nocoes gerais de
funcoes (definicao, domınio, contra-domınio, imagem e algumas nocoes preliminares) para
nos capıtulos seguintes estudar tipos especıficos e muito importantes de funcoes (funcoes
poliomiais de primeiro e sengundo graus, modular, exponencial, logarıtmica, composta
e trigonometrica) cujo conhecimento sera extremamente importante e imprescindıvel ao
se estudar limites, derivadas e integrais em um curso ou texto de Calculo Diferencial e
Integral.
Antes do estudante comecar a leitura e estudo deste primeiro capıtulo do livro, acon-
selhamos que seja lido e estudado os apendices de A a G deste livro, nos quais e feita uma
breve revisao das operacoes aritmeticas fundamentais (adicao, subtracao, multiplicacao,
divisao, exponenciacao e radiciacao) no contexto dos conjuntos numericos, bem como a
nocao de par ordenado e plano cartesiano, as definicoes e o uso de polinomios e produtos
notaveis e tambem os conceitos relacionados a arredondamento de numeros e notacao
cientıfica e de engenharia, topicos que, em alguns casos, acabam gerando dificuldades
de aprendizado nos estudante universitarios das areas de exatas ao iniciar seus cursos
universitarios.
Aos estudantes que tiverem completa seguranca dos temas abordados nos apendices
mencionados, sugerimos o imediato estudo do capıtulo que se segue, onde, como ja dito,
vamos estudar e revisar alguns importantes conceitos relacionados a funcoes e aprender a
fazer algumas simples analises dos graficos de funcoes.
1
1.1 Funcao: Definicao e notacoes
Para comecarmos a entender o conceito de funcao, comecemos imaginando duas
grandezas que apresentam alguma relacao entre si. Por exemplo: instante de tempo e
posicao de um carro.
Intante (s) Posicao (m)
0 0
1 5
2 15
3 30
4 50
5 75
Ha uma relacao direta entre os elementos dos conjuntos instante de tempo e posicao
do carro. Este tipo de relacao chamamos de funcao.
Sejam A e B conjuntos. Uma funcao de A em B e uma “regra” que associa a cada
elemento x ∈ A um unico elemento y ∈ B.
Para indicar uma funcao f de A em B escrevemos:
f : A→ B
Nesta definicao, temos que:
• A e chamado de domınio da funcao f e e denotado por D(f) ou Dom(f) ou Domf ;
• B e chamado de contra–domınio da funcao f ;
• o elemento y ∈ B associado ao elemento x ∈ A e chamado de imagem de x por f
e escrevemos y = f(x);
• a imagem de A por f , ou simplesmente, a imagem de f e a reuniao das imagens
dos elementos de A. Usamos as seguintes notacoes para a imagem de f : Im(f), Imf
f(A) ou f [A]. Portanto
Im(f) = f(x)| x ∈ A ou
Im(f) = y ∈ B∣∣ y = f(x) para algum x ∈ A
2
Exemplo 1: Consideremos a funcao de A em B: representada no diagrama abaixo:
Neste exemplo temos:
⋄ domınio: D(f) = 1, 2, 3, 4, 5
⋄ contra–domınio: a, c, d, 1, 2, 4
⋄ imagem: Im(f) = a, d, 1, 4
Note que a “regra” que associa a cada elemento do domınio um unico elemento do
contra-domınio e dada pelas setas. Note, tambem, que a imagem de f nao e igual ao seu
contra–domınio.
A funcao do exemplo 1 pode ser especificada de outros modos. Por exemplo:
i) f :1, 2, 3, 4, 5 → 1, 2, 4, a, c, d
1 7→ 1
2 7→ a
3 7→ d
4 7→ d
5 7→ 4
ii) f :1, 2, 3, 4, 5 → 1, 2, 4, a, c, d
x f(x)
1 1
2 a
3 d
4 d
5 4
3
Quando a quantidade de elementos do domınio de uma funcao e muito grande ou
infinita, torna–se inconveniente e ate mesmo impossıvel apresentar a funcao listando seus
valores um a um. Precisamos de um “esquema mais geral”.
Exemplo 2: Tomemos como exemplo a funcao dada por:
f : IN→ IN
f(x) = 2x
Temos:
⋄ domınio: D(f) = IN
⋄ contra–domınio: IN
⋄ imagem: Im(f) = numeros pares positivos ouIm(f) = 0, 2, 4, . . .
Exemplo 3: Dada a funcao:
f : IN∗ → IQ
f(x) =1
x
Temos:
⋄ domınio: Domf = IN∗
⋄ contra–domınio: IQ
⋄ imagem:1, 1
2, 13, 14, . . .
Exemplo 4: Dada a funcao:
f : IN∗ → IR
f(x) =1
x
Temos:
• domınio: Domf = IN∗
• contra–domınio: IR
• imagem:1, 1
2, 13, 14, . . .
4
As funcoes dos exemplos 3 e 4 sao iguais? Nao! Pois tem contra-domınios diferentes.
Duas funcoes f e g sao ditas iguais e escreve-se f = g ou f ≡ g se, e apenas se, as
funcoes f e g satisfizerem as 3 condicoes abaixo:
1. Domf = Domg
2. contra–domınio de f = contra-domınio de g
3. f(x) = g(x), ∀x ∈ Domf = Domg
Exemplo 5: Consideremos a funcao:
f : Z∗ → IR
f(k) =1
k
Temos:
⋄ domınio: Domf = Z∗
⋄ contra–domınio: IR
⋄ imagem:1, 1
2,−1
2, 13,−1
3, . . .
Note que apesar de possuirem o mesmo contra-domınio, as funcoes dos exemplos 4 e
5 nao sao iguais, pois tem domınios e imagens diferentes entre si.
Exemplo 6: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f
dada por:
f : IN→ IR
f(n) = (−1)n
Temos:
⋄ Domınio: Domf = IN
⋄ Contra-domınio: IR
⋄ imagem: Imf = −1, 1
5
Exemplo 7: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f
dada por:
f : IN→ IR
f(x) =
1 se x e par,
−1 se x e impar.
Temos:
⋄ Domınio: Domf = IN
⋄ Contra–domınio: IR
⋄ imagem: Imf = −1, 1
Lembrando que
(−1)n =
1 se n e par,
−1 se n e impar.
Vemos que as funcoes dos exemplos 6 e 7 sao iguais.
Exemplo 8: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f
dada por:
f : IN→ Z
f(x) =
x2, se x e par
−x+12, se x impar
Temos: Domf = IN e contra–domınio = Z. Para encontramos a imagem de f ,
vamos entender o “funcionamento” de f calculando alguns valores dessa funcao:
x f(x) x f(x) x f(x)
0 0 5 -3 10 5
1 -1 6 3 11 -6
2 1 7 -4 12 6
3 -2 8 4 13 -7
4 2 9 -5 14 7
6
Vamos apresentar os valores tabelados acima usando um esquema grafico. Desta
forma, temos que:
Da figura, percebemos que Imf = Z.
Exemplo 9: Considere a funcao f dada por:
f : IR→ IR
f(x) = 3
Temos:
⋄ Domf = IR
⋄ contra–domınio = IR
⋄ Imf = 3
Este e um exemplo de funcao constante.
Estudaremos mais detalhadamente este e outros tipos de funcoes, por hora vamos
apresentar nossa convencao sobre domınio e contra-domınio de funcoes.
1.2 Domınio e contra-domınio
Vamos trabalhar apenas com funcoes de variavel real. Ou seja, funcoes cujos domınios
sao subconjuntos dos reais e que assumem valores reais (as imagens tambem sao subcon-
juntos dos reais).
Nestes casos, e comum fornecer apenas a “formula” ou “regra” que define a funcao,
ficando convencionado que:
1. o domınio e o mais amplo subconjunto dos reais para o qual a “formula” ou “regra”
dada nao tem restricoes;
2. o contra-domınio sera sempre o conjunto dos reais.
7
Exemplos:
1. Considere a funcao f(x) dada por:
f(x) =1
x
Quais sao o domınio e o contradomınio de f(x)?
Resposta: Temos:
• contra–domınio: IR
• Domf = x ∈ IR∣∣x = 0 = IR∗
2. Determinar o domınio da funcao
f(x) =1
3x− 2
Domf = x ∈ IR∣∣3x− 2 = 0
Resposta: Como nao ha divisao por zero, a funcao f(x) esta definida para todos
os numeros reais, x ∈ IR, exceto para os valores de x que satisfazem a equacao:
3x− 2 = 0 =⇒ 3x = 2 =⇒ x =2
3
Assim, temos que:
Domf = x ∈ IR∣∣ x = 2/3 = IR− 2/3
Para determinarmos o domınio de uma funcao real verificamos, sempre, os valores de
x que tornam a funcao indeterminada. O domınio da funcao e o conjunto dos reais menos
estes valores. Ou seja, e o subconjunto dos reais que contem os numeros reais com excecao
dos valores que tornam a funcao indeterminada.
8
1.3 Graficos de funcoes
As funcoes podem ser representadas em termos de graficos cartesianos.
Para a construcao de um grafico (ou esboco de grafico) de uma funcao precisamos
obter e estudar os limites e as derivadas da funcao em todo o domınio da funcao. Como
so aprenderemos a estudar e utilizar adequadamente as derivadas de uma funcao em um
curso de Calculo I, ou melhor dizendo, em um texto mais avancado, vamos apresentar
uma forma alternativa de obtermos o grafico de algumas funcoes simples.
Por esta estrategia alternativa, para construirmos o grafico de uma funcao precisamos
conhecer sua lei de correspondencia (y = f(x)) e seu domınio.
Os passos para se construir uma funcao a partir destas duas informacoes sao:
1. Costruımos uma tabela com os valores de x e os valores corresppondentes de y
(calculados a partir da lei y = f(x));
2. representamos cada par ordenado (a, b) como um ponto do plano cartesiano;
3. ligamos os pontos marcados por meio de uma curva que e o grafico da funcao.
Exemplos
1. Construir os graficos da funcao: y = 2x .
Calculando o valor da funcao para alguns valores de x temos:
x f(x) = 2x
-4 -8
-3 -6
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
Um esboco do grafico desta funcao, com apenas tres dos pontos da tabela marcados,
e mostrado na figura a seguir.
9
2. Construir os graficos da funcao: y = 5 .
Neste caso temos que o grafico da funcao representa uma reta paralela ao eixo x,
como mostrado na figura abaixo.
10
3. Construir os graficos da funcao: y = x2 − 5 .
Construindo o esboco deste grafico, pelo procedimento descrito para os exemplos
anteriores, temos a curva mostrada no plano cartesiano da figura a seguir.
Mesmo sem termos a expressao matematica que define a variavel dependente em ter-
mos de uma variavel independente, podemos obter diversas informacoes sobre uma funcao
a partir da analise de seu grafico.
Antes, porem, vamos enunciar uma importante regra para, a partir de uma curva no
plano cartesiano, determinarmos se ela representa uma funcao y = f(x).
“Um grafico (curva) no plano cartesiano representa y como funcao de x se e
somente se nenhuma linha vertical (imaginaria ou nao) cruza a curva em
mais de um ponto.”
Esta e uma implicacao direta da definicao de funcao, onde temos que a funcao ‘leva’
um valor de x em um unico valor de f(x).
Analiticamente, podemos dizer que toda vez que for possıvel escrever y = f(x) com
um unico valor de y, ou seja, isolar o y na expressao matematica, o grafico cartesiano de
y como funcao de x correspondera a uma funcao.
11
Exemplos
1. Determine se os graficos representados no plano cartesiano sao funcoes y = f(x).
Resposta: Usando a nossa regra para determinar se um grafico no plano cartesiano
representa uma funcao vemos que: os graficos das figuras (a) e (b) SAO funcoes
y = f(x); e os graficos das figuras (c) e (d) NAO sao funcoes y = f(x).
2. Determine se as expressoes abaixo representam funcoes:
a) y + x = 9
Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:
y = 9− x
Onde temos que a expressao final esta escrita como y = f(x) e para cada valor
de x temos um unico valor de y, portanto a expressao y = 9 − x representa
uma funcao.
b) y2 + x2 = 9
Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:
y2 = 9− x2 =⇒ y = ±√9− x2
12
Onde temos que a expressao de y em termos de x traz dois valores diferentes de
y para cada valor de x. Portanto, a expressao y = ±√9− x2 NAO representa
uma funcao y = f(x).
c) 3x2 + y = 0
Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:
y = −3x2
Onde temos que y = f(x) e, portanto, temos uma funcao.
d) 2x+ 2y3 = 0
Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:
2y3 = −2x =⇒ y = 3√−x ==⇒ y = − 3
√x
Onde temos y = f(x) e, portanto, uma funcao.
1.4 Analise visual de graficos de funcoes
A partir da representacao de uma funcao no plano cartesiano, podemos determinar
muitas informacoes a respeito do comportamento da funcao.
Vamos estudar algumas destas informacoes e, principalmente, aprender algumas
definicoes que nos serao muito importantes no estudo de graficos. Depois poderemos
passar para nosso estudo sobre os alguns dos principais tipos de funcoes.
Vale ressaltar que os conceitos e nocoes que serao apresentados nesta secao serao
apresentados apenas graficamente e que se estudo analıtico e matematicamenete rigoroso
sera feito em um curso/texto de calculo diferencial e integral com o uso das nocoes e
ferramentas de limites e derivadas.
1.4.1 Continuidade de uma funcao
Uma das mais importantes propriedades da maioria das funcoes que modelam sistemas
do mundo real e o fato de serem contınuas.
Sem nos preocuparmos com definicao analıtica e falando apenas graficamente, uma
funcao e contınua num ponto se o grafico da funcao nao apresenta, naquele ponto, alguma
descontinuidade. Costuma-se dizer que uma funcao e contınua em todo o seu domınio se
o seu grafico pode ser tracado “sem tirarmos o lapis do papel”.
Vamos a alguns exemplos graficos, onde temos um exemplo de funcao contınua e
exemplos de funcoes com os varios tipos de descontinuidades.
13
Exemplos
1. Funcao contınua.
Uma funcao contınua tem seu grafico tracado com uma unica linha sem saltos ou
outras descontinuidades.
2. Funcao com descontinuidade removıvel.
Uma funcao que possui uma descontinuidade removıvel e uma funcao que tem um
ponto onde ela nao esta definida, mas que seu grafico continua apos a descon-
tinuidade como se fosse uma continuacao da propria curva. Este tipo de descon-
tinuidade esta mostrado na figura a seguir. Este tipo de descontinuidade e chamada
de removıvel, pois a curva poderia tornar-se contınua se redefinissemos f(a).
14
3. Funcao com descontinuidade de salto (pulo).
Neste caso, no ponto onde a funcao e descontınua ha um salto nos valores da funcao.
Como o caso apresentado na figura a seguir.
4. Funcao com descontinuidade infinita.
Uma funcao possui uma descontinuidade infinita em x = a se, neste ponto, o valor
da funcao vai para +∞ ou para −∞.
15
1.4.2 Funcoes crescentes, decrescentes e constantes
Outra propriedade das funcoes que se pode perceber facilmente a partir de seu grafico
esta relacionada ao fato da funcao ser crescente, decrescente ou contante em um intervalo.
No entanto, para este caso vamos observar esta propriedade graficamente e, a seguir,
defini-la analiticamente a partir dos exemplos a seguir.
Exemplos
1. Funcao crescente.
2. Funcao decrescente.
16
3. Funcao constante.
4. Funcao decrescente de −∞ < x ≥ a; constante de a ≤ x ≤ b; e crescente de
b ≤ x ≤ ∞;.
Analiticamente temos que uma funcao f e:
⋄ Crescente em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo, uma
variacao positiva em x resulta em uma variacao positiva em f(x)
Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2)− f(x1) > 0.
Quando isto ocorre para todos os valores de x do domınio f , dizemos que a funcao
e estritamente crescente.
⋄ Decrescente em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo,
uma variacao positiva em x resulta em uma variacao negativa em f(x)
Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2)− f(x1) < 0.
Quando isto ocorre para todos os valores de x do domınio f , dizemos que a funcao
e estritamente decrescente.
17
⋄ Constante em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo, uma
variacao positiva em x resulta em uma variacao nula em f(x).
Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2) = f(x1).
1.4.3 Funcoes limitadas
Graficamente, e simples entender o conceito de funcao limitada. Assim, vamos apre-
sentar a definicao de funcao limitada e exemplificar com um grafico.
Exemplos
1. Funcao limitada inferiormente: Uma funcao f e limitada inferiormente se existe
algum numero b que seja menor ou igual a todo numero da imagem de f .
2. Funcao limitada superiormente: Uma funcao f e limitada superiormente se
existe algum numero b que seja maior ou igual a todo numero da imagem de f .
18
3. Funcao limitada: Uma funcao f e limitada se existe algum numero a que seja
menor ou igual a todo numero da imagem de f e, tambem, se existe numero b que
seja maior ou igual a todo numero da imagem de f .
Ha tambem os casos de funcoes que nao sao limitadas inferiormente e nem superior-
mente, como a funcao mostrada na figura a seguir.
No curso/texto de Calculo Diferencial e Integral, o estudante aprendera a determinar
os limites inferior e superior de uma funcao atraves do calculo de suas derivadas. Por
hora, seria possıvel, por exemplo, usarmos as relacoes de desigualdade para verificar os
limites inferior e superior de algumas funcoes simples, mas nao vamos nos focar nisto, pois
o objetivo em nosso livro e conhecer as nocoes gerais de funcoes e estudar alguns tipos
especıficos de funcoes e, para estes tipos especıficos, estudaremos os limites das imagens
das funcoes.
19
1.4.4 Extremos local e absoluto de uma funcao
Muitos graficos sao caracterizados pelos “picos e vales” que apresentam quando mudam
o comportamento de crescimento para decrescimento e vice-versa.
Os valores extremos de uma funcao (extremo local) podem ser caracterizados como
maximo local ou mınimo local.
A analise algebrica dos extremos de uma funcao sera feita usando as ferramentas
matematicas do Calculo I. Por hora, vamos aprender a identifica-los graficamente.
A distincao entre os tipos de extremos de uma funcao pode ser observada nos graficos
dos exemplos a seguir.
Exemplos:
1. Grafico com mınimo local em a e maximo local em b.
2. Grafico com mınimo absoluto em a, e maximo local em b e mınimo local em c.
20
3. Grafico com maximo absoluto em a.
1.5 Simetria: funcao par e funcao ımpar
A simetria de uma funcao pode ser caracterizada grafica, numerica e algebricamente.
Vamos estudar a simetria das funcoes das tres maneiras. E, mais ainda, vamos estudar
tres tipos de simetria, embora apenas dois tipos estejam relacionados a funcoes.
1.5.1 Simetria em relacao ao eixo y
Consideremos a funcao: f(x) = x2 − 5. Graficamente temos:
O grafico parece o mesmo quando olhamos do lado esquerdo e direito do eixo y.
21
Numericamente temos que o s valores da funcao para alguns valores da variavel inde-
pendente x estao expressos na tabela abaixo.
x f(x)
−3 4
−2 −1−1 −40 −51 −42 −13 4
Algebricamente, vemos que para todos os valores de x do domınio de f , temos:
f(−x) = f(x)
Funcoes com esta propriedade sao chamadas de funcoes pares.
1.5.2 Simetria em relacao ao eixo x
Consideremos a funcao: x = f(y) = y2. Graficamente temos que:
22
O grafico parece o mesmo quando olhamos acima e abaixo do eixo x.
Numericamente temos que:
y x
−3 9
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Graficos deste tipo NAO sao graficos de funcoes!!! Pois, para um certo valor da
variavel independente x temos dois valores possıveis para a variavel dependente y.
1.5.3 Simetria em relacao a origem
Consideremos a funcao: f(x) = x3. Graficamente temos o esboco desta funcao
mostrado na figura a seguir.
23
O grafico parece o mesmo quando olhamos tanto seu lado esquerdo para baixo quanto
seu lado direito para cima.
Numericamente temos que:
x f(x)
−3 −27−2 −8−1 −110 0
1 1
2 8
3 27
Algebricamente temos que para todos os valores de x do domınio de f :
f(−x) = −f(x)
Funcoes com esta propriedade sao chamadas de funcoes ımpares.
Resumindo
Para se determinar se uma funcao e par devemos:
• Graficamente: observar sua simetria em relacao ao eixo y;
• Algebricamente: verificar se f(−x) = f(x).
Para se determinar se uma funcao e ımpar devemos:
• Graficamente: observar sua simetria em relacao a origem;
• Algebricamente: verificar se f(−x) = −f(x).
Ao termino deste primeiro capıtulo onde apresentamos as principais nocoes da teoria
geral de funcoes, recomendamos aos estudantes entender e refazer todos os exemplos que
fizemos antes de comecar os exercıcios a seguir.
24
1.6 Exercıcios
1. Determine se as expressoes a seguir definem y = f(x). Em caso de resposta negativa,
justifique.
a) y = 2
b) y = −3
x+ 7
c) x = 7
d) x2 + y2 = 3
e) y = 4xy + 3
2. Determine, algebricamente, o domınio das funcoes a seguir.
a) f(x) = x2 + 4
b) f(x) =5
x− 4
c) f(x) =3x− 1
(x+ 3)(x− 1)
d) f(x) =1
x+
2
x− 1
e) f(x) =x
x2 − 5x
f) f(x) =√9− x2
g) f(x) =
√x2 − 8
x− 2
h) f(x) =
√x2 − 8
(x2 + 1)(x+ 1)
i) f(x) =√x4 − 16x2
j) f(x) = 5√−x+ 7
k) f(x) =1 + x
3√9− x2
l) f(x) =
√2−√x
3. Determine, algebricamente, a imagem das funcoes a seguir.
a) f(x) = 10− x2
b) f(x) = 5 +√4− x
25
c) f(x) =x2
1− x2
d) f(x) =3 + x2
4− x2
e) f(x) =1
x+
2
x− 1
f) f(x) =
1, se x < 0
−1, se x ≥ 0
4. Esboce o grafico de cada uma das funcoes abaixo e identifique os intervalos nos quais
a funcao e crescente, decrescente ou constante.
a) f(x) =∣∣x+ 2
∣∣− 1
b) f(x) = 3− (x− 1)2
c) f(x) =√9− x2
5. Verifique, tracando o grafico e comprove algebricamente, se as funcoes a seguir sao
pares ou ımpares.
a) f(x) = 2x4 − 8
b) f(x) = −5x3
c) f(x) = 2x3 − 3x
d) f(x) =3
1 + x2
e) f(x) =1
x
f) f(x) = 7x3 − 5x2
∗ ∗ ∗
26
Capıtulo 2
Funcoes polinomiais
2.1 Introducao
As funcoes polinomiais estao entre as funcoes mais familiares em nosso dia-a-dia. Essas
funcoes podem e sao usadas para descrever e modelar diversas situacoes/sistemas do
cotidiano.
Neste capıtulo de nosso livro vamos definir as funcoes polinomiais e estudar dois tipos
especıficos destas funcoes: as funcoes polinomiais de primeiro grau e as funcoes polinomiais
de segundo grau. Mas antes do estudante comecar o estudo deste capıtulo, sugerimos a
leitura e estudo do apendice G deste livro, onde relembramos a definicao de polinomio,
alguns conceito a eles relacionados e as principais operacoes envolvendo polinomios.
Assim, apos a leitura e estudo do apendice G do livro, vamos a definicao de funcao
polinomial.
Seja n um numero natural. Sejam a0, a1, a2, . . . , an−1, an numeros reais com an = 0.
A funcao dada por:
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x
n−1 + anxn
e uma funcao polinomial de grau n.
A partir desta definicao devemos fazer os seguintes lembretes ao estudantes.
1. Aqui estamos considerando valida a nossa convencao sobre o domınio e contra-
domınio de nossas funcoes, ou seja, a funcao polinomial definida acima e uma funcao
f : IR→ IR.
2. Os termos ai sao os coeficientes da funcao. E an e chamado coeficiente principal.
3. A funcao f(x) = 0 e uma funcao polinomial. Ela tem grau n = 0 e coeficiente
a0 = 0. Todas as funcoes constantes sao funcoes polinomiais de grau n = 0.
27
Exemplo: Quais das funcoes a seguir sao funcoes polinomiais? Para as funcoes
polinomiais, defina o coeficiente principal e o grau da funcao.
a) f(x) = 3x5 − 4x2 +1
3Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 5 e coeficiente principal
a5 = 3.
b) f(x) = 7x−4 − 8
Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois uma das potencias de x possui
coeficiente negativo.
c) f(x) =√9x4 + 16x2
Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois a funcao esta dentro de um
radical e nao e possıvel extrai-la do radical de forma que ela tenha a estrutura de
um polinomio.
d) f(x) = 13x− 9x3
Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 3 e coeficiente principal
a3 = −9.
e) f(x) =√16x4 − 40x2 + 25
Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois a funcao esta dentro de um
radical e nao e possıvel extrai-la do radical de maneira que ela assuma a forma de
um polinomio. Veja que
f(x) =√16x4 − 40x2 + 25 =
√(4x2 − 5)2 = |4x2 − 5|
Tornando a funcao f(x) uma funcao modular que sera estudada mais a frente.
f) f(x) = ax+ b
Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 1 se a = 0 e de grau n = 0
se a = 0.
g) f(x) = ax2 + bx+ c
Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau: n = 2 se a = 0; de grau n = 1
se a = 0 e b = 0; e de grau n = 0 se a = b = 0.
Nas secoes seguintes deste capıtulo vamos estudar apenas dois tipos de funcoes poli-
nomiais: as funcoes polinomiais de 1o grau; e as funcoes polinomiais de 2o grau.
28
2.2 Funcao de 1o grau
2.2.1 Definicao
Uma funcao de primeiro grau ou funcao linear ou funcao afim e uma funcao
polinomial de grau n = 1. Assim, tem a forma:
y = f(x) = mx+ b
com m, b ∈ IR e m = 0
A equacao da funcao y = f(x) = mx + b, nesta forma, tambem e chamada de forma
reduzida da funcao de 1o grau.
O coeficiente principal da funcao, m, e chamado de coeficiente angular da funcao.
O numero b e chamado coeficiente linear da funcao.
A funcao de primeiro grau tem como grafico uma reta. Por mais que o estudante ja
esteja familiarizado as funcoes de primeiro grau, vale enfatizar alguns pontos importantes
sobre as funcoes deste tipo. Estes pontos serao discutidos nas subsecoes a seguir.
2.2.2 Estudo do grafico de uma funcao de 1o grau
1. Uma funcao de primeiro grau e uma reta e, por isto, pode ser completamente definida
a partir de dois pontos quaisquer que estejam na reta.
2. O coeficiente angular, m, determina a inclinacao da reta: se m > 0 a funcao f(x) e
crescente; se m < 0 a funcao f(x) e decrescente; e se m = 0 a funcao e constante.
3. O coeficiente linear, b, e o valor da funcao para x = 0, ou seja, b = f(0). Este e o
valor onde a reta intercepta o eixo y. Ou seja, o ponto (0, b) pertence a funcao.
4. A funcao linear, que tem m = 0, intercepta o eixo x em um ponto.
4.1. O valor onde a reta intercepta o eixo x e chamado de zero da funcao.
4.2. Para determina-lo basta igualar a funcao a zero: f(x) = 0. Ou seja, resolver a
equacao de primeiro grau dada por: mx+ b = 0.
mx+ b = 0 =⇒ mx = −b =⇒ x = − b
m
Desta forma, a raız de uma equacao de primeira grau e dada por x = − b
m
5. Uma funcao linear troca de sinal (passa de positiva para negativa ou de negativa
para positiva) no ponto em que a reta intecepta o eixo x, ou seja, no zero da funcao.
29
5.1. Se a funcao e crescente (m > 0) a funcao passa de negativa para positiva no
zero da funcao. Ou seja, se m > 0:
y = f(x) < 0⇒ x < −m
b
y = f(x) > 0⇒ x > −m
b
5.2. Se a funcao e decrescente (m < 0) a funcao passa de positiva para negativa no
zero da funcao. Ou seja, se m < 0:
y = f(x) > 0⇒ x < −m
b
y = f(x) < 0⇒ x > −m
b
Exemplos
1. Encontre a forma reduzida e o zero das funcoes de primeiro grau dadas pelas ex-
pressoes a seguir e faca um esboco de seu grafico.
a) f(x) = 2(x− 1) + 3(x+ 1)− 4(x+ 2)
Resolucao: Abrindo as multiplicacoes na expressao da funcao:
f(x) = 2(x− 1) + 3(x+ 1)− 4(x+ 2) = 2x− 2 + 3x+ 3− 4x− 8
f(x) = x− 7 (2.1)
que a expressao da funcao de primeiro grau y = f(x) na forma padrao, onde
m = 1 e b = −7.Ja o grafico dessa funcao pode ser facilmente esbocado se tomarmos dois pontos
que satisfacam a equacao da funcao e os marcarmos no plano cartesiano e depois
tracemos a reta que liga os dois pontos.
Para o primeiro ponto podemos tomar x = 0 e, pela equacao da funcao, obte-
mos f(0) = −7, Assim, o ponto P = (0,−7) pertence a curva da funcao de
primeiro grau y = f(x) = x− 7.
Para o segundo ponto podemos, por exemplo, fazer f(x) = 0 e, assim, obtemos
x = 7. Portanto o ponto Q = (7, 0) pertence ao grafico da funcao y = f(x) =
x− 7.
Um esboco do grafico dessa funcao e mostrado na figura abaixo.
30
b) f(x) = 2− 5x
Resolucao: A funcao ja esta em sua forma padrao, apenas teve seus termos
escritos em ordem trocada. Assim, podemos escrever que:
f(x) = −5x+ 2
Onde m = −5 e b = 2.
Por calculo analogo ao do item anterior, vemos que os pontos P = (0, 2) e
Q = (2
5, 0) obedecem a equacao da funcao e, portanto, pertencem ao seu
grafico.
O esboco do grafico da funcao y = f(x) = −5x + 2 e mostrado na figura a
seguir.
31
c) f(x) =x+ 3
2− x+ 2
3− 12
Resolucao: Abrindo as multiplicacoes e somaas de fracoes na expressao da
funcao:
f(x) =x
2+
3
2− x
3− 2
3+
1
6=
3x− 2x
6+
9− 4 + 1
6
f(x) =x
6+ 1 (2.2)
que a expressao da funcao de primeiro grau y = f(x) na forma padrao, onde
m =1
6e b = 1.
Usando calculo analogo ao dos itens anteriores percebemos que os pontos P =
(0, 1) e Q = (−6, 0) pertencem ao grafico da funcao e, portanto, o esboco do
grafico da funcao e mostrado na figura a seguir.
2. O grafico da funcao f(x) e a reta que passa nos pontos P = (−2, 2) e Q = (2, 0).
Determine o valor de f(1/2).
Resolucao: Sabemos que o coeficiente angular de uma reta pode ser definido em
termos das coordenadas de dois pontos pertencentes a reta como:
m =∆y
∆x=
y2 − y1x2 − x1
Assim:
m =y2 − y1x2 − x1
=2− (−2)
,−2=
4
−2= −2
Desta forma:
y = −2x+ b
Usando um dos pontos, por exemplo o ponto P , temos que:
2 = −2(−2) + b =⇒ b = 2− 4 =⇒ b = −2
32
Portanto:
y = f(x) = −2x− 2
E:
f
(1
2
)= −21
2− 2 =⇒ f
(1
2
)= −3
2.2.3 Modelando problemas com funcoes de 1o grau
Diversos problemas e situacoes do cotidiano podem ser modelados em termos de funcoes
de primeiro grau. O estudo destas situacoes resume-se ao estudo da funcao de primeiro
grau que as modelam.
Nos exemplos a seguir vamos descrever dois problemas que podem ser modelados por
equacoes de primeiro grau e resolve-los. Nos exercıcios deste capıtulo ha alguns outros
problemas deste tipo.
Exemplos
1) Os irmaos Pedro e Paulo compraram um carro em sociedade. O carro custou R$
9.870,00 e eles combinaram que Pedro pagaria3
4do que Paulo pagaria. Quanto
cada irmao pagou pelo carro?
Resolucao: Podemos modelar este problema em termos de uma funcao/equacao
de primeiro grau, considerando que a parte que Paulo vai pagar do valor carro vale
x.
Assim, Pedro pagara3
4x e temos que:
x+3
4x = 9.870, 00
Para sabermos quanto cada irmao pagou pelo carro temos que resolver a equacao
acima, que dara o valor pago por Paulo, e depois multiplicar este resultado por3
4para obter o valor pago por Pedro.
Assim, temos:
x+ 34x = 9.870, 00⇒
(1 + 3
4
)x = 9.870, 00⇒ 7
4x = 9.870, 00⇒
x = 47· 9.870, 00⇒ x = 5.640, 00
Desta forma, Paulo pagou R$ 5.640,00. E Pedro, por sua vez, pagou y = 9.870, 00−5.640, 00 = 4.230, 00 ou y =
3
4· 9.870, 00 = 4.230, 00.
33
2) Carlos e Ana sao casados. Ele e 5 anos mais velho que ela e a soma de suas idades
e igual a 51 anos. Determinar:
a) a idade de Carlos e de Ana hoje;
Resolucao: Para calcular as idades de Carlos e Ana vamos, primeiro, modelar
o problema em termos de uma equacao de primeiro grau.
Considerando que a idade de Carlos e igual a x, assim temos:
x+ x− 5 = 51
Resolvendo a equacao acima temos:
x+ x− 5 = 51⇒ 2x = 51 + 5⇒ x =56
2⇒ x = 28
Portanto, a idade de Carlos e igual a 28 anos e a idade de Ana e igaul a 23
anos.
Esta parte do problema tambem poderia ser resolvida considerando a idade
de Ana como sendo x, mas neste caso a conta seria levemente diferente e o
resultado exatamente igual.
b) ha quantos anos Carlos tinha o dobro da idade de Ana.
Resolucao: Neste caso, reescrevemos a equacao para as idades considerando
que a diferenca de idade entre eles sempre foi de 5 anos. Assim, em algum
momento do passado a idade de Carlos era 2y e tambem era igual a idade de
Ana, y, adicionada de 5 anos. Entao:
2y = y + 5⇒ 2y − y = 5⇒ y = 5
Desta forma, quando a idade dele era o dobro da dela eles tinham 10 e 5 anos,
respetivamente. Como, hoje, Carlos tem 28 anos, isto ocorreu ha 18 anos.
34
2.3 Funcao de 2o grau
2.3.1 Definicao e grafico
Uma funcao de segundo grau ou funcao quadratica ou funcao parabolica e
uma funcao polinomial de grau n = 2. Assim, a funcao de segundo grau tem a forma:
y = f(x) = ax2 + bx+ c
com a, b, c ∈ IR e a = 0
A funcao de segundo grau pode ser usada para modelar diversas situacoes do cotidi-
ano. Estudar uma funcao de segundo grau e estudar o problema/situacao que pode ser
modelado por ela.
A funcao de segundo grau tem como grafico uma parabola. Por isto tambem e chamada
de funcao parabolica.
Vamos determinar o grafico de algumas funcoes quadraticas.
Exemplos: Determine o grafico das funcoes a seguir.
1. y = f(x) = x2 + x
Resolucao: Escolhendo alguns valores para a variavel independente x e calculando
os valores da funcao nestes valores temos, por exemplo, a tabela a seguir:
x f(x) = x2 + 2x
−2 0
−1 −10 0
1 3
2 8
A partir destes dados, podemos tracar a curva mostrada no grafico da figura a seguir
onde foram marcados os pontos da tabela e a curva ligando estes pontos.
35
2. y = f(x) = −2x2 + 1
Resolucao: Escolhendo alguns valores para a variavel independente x e calculando
os valores da funcao nestes valores temos, por exemplo, a tabela a seguir e, a partir
dela, tracamos o esboco da figura seguinte.
x f(x) = −2x2 + 1
−2 −7−1 −10 0
1 1
2 −7
36
Ao fazermos os esbocos dos graficos das funcoes acima, percebemos algumas coisas
importantes e interessantes sobre as funcoes de segundo grau.
1. Se a > 0 a concavidade da parabola esta voltada para cima.
2. Se a < 0 a concavidade da parabola esta voltada para baixo.
Tambem percebemos que se fizermos uma escolha inicialmente equivocada de valores
para a variavel dependente x podemos nao observar logo a forma do grafico.
Como os zeros ou raızes de uma funcao determinam os pontos onde a curva corta o eixo
x, podemos tracar mais facilmente o grafico de uma funcao de segundo grau determinando:
(i) as raızes desta funcao; (ii) as coordenadas do vertice desta parabola.
Assim, vamos estudar as subsecoes seguintes para facilitar a nossa determinacao do
grafico de uma funcao de segundo grau.
2.3.2 Zeros da funcao de 2o grau
Chamamos de zeros ou raızes da funcao de segundo grau, os numeros reais x que
satisfazem a equacao: f(x) = 0. Assim, as raızes da equacao de segundo grau e dada pela
formula de Baskara:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
Para relembrarmos a determinacao das raızes de equacoes de segundo grau vamos
resolver as equacoes do exemplo a seguir. Devemos lembrar que a formula de Baskara para
equacoes de segundo grau vale sempre, mas para equacoes de segundo grau incompletas
(b = 0 ou c = 0) nao e necessario aplicar a formula para resolver tal equacao.
Exemplo: Determine as raızes das funcoes a seguir:
a) f(x) = x2 − 5x+ 6
Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula
de Baskara, temos que:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−(−5)±
√(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1
=5± 1
2
Portanto, temos:
x′ =5 + 1
2= 3
e
37
x′′ =5− 1
2= 2
Que sao as raızes da funcao de segundo grau f(x) = x2 − 5x+ 6
b) f(x) = 4x2 − 4x+ 1
Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula
de Baskara, temos:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−(−4)±
√(−4)2 − 4 · 4 · 12 · 4
=4± 0
8=
1
2
Neste caso, a funcao de segundo grau tem apenas uma raiz. Que sao as raızes
da funcao de segundo grau f(x) = x2 − 5x+ 6
c) f(x) = 2x2 + 3x+ 4
Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula
de Baskara, temos:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−(−5)±
√(−5)2 − 4 · 2 · 42 · 2
=4±√−7
4⇒ x@
Neste caso, a funcao de segundo grau nao possui raızes reais. Isto quer dizer
que o grafico da funcao f(x) = 2x2+3x+4 nao interceptara o eixo das abcissas.
d) f(x) = 4x2 − 1
Resolucao: Tomando a equacao 4x2 − 1 = 0, vemos que esta equacao de
segundo grau esta incompleta, portanto podemos resolve-la diretamente sem
aplicar a formula de Baskara. Assim:
4x2 − 1 = 0⇒ 4x2 = 1⇒ x2 =1
4⇒= ±
√1
4⇒
x′ = 1
2
x′′ = −12
e) f(x) = 4x2 + 2x
Resolucao: Tomando a equacao 4x2 + 2x = 0, vemos que esta equacao de
segundo grau esta incompleta, portanto podemos resolve-la diretamente sem
aplicar a formula de Baskara. Assim:
4x2 + 2x = 0⇒ 2x(x+ 2) = 0
A igualdade expressa na equacao acima sera verdade se 2x = 0 ou se x+2 = 0.
Portanto, resolvendo estas duas equacoes de primeiro grau temos as duas raızes
da equacao de segundo grau 4x2 + 2x = 0.
Ou seja:
2x(x+ 2) = 0
2x = 0⇒ x′ = 0
x+ 2 = 0⇒ x′′ = −2
38
Em alguns casos, paraa estudar funcao quadratica ou o problema por ela modelado,
faz-se necessario usar que:
x′ + x′′ = − b
a
x′ · x′′ =c
a
Exemplo: Determine a funcao quadratica cujo produto das raızes e 6 e cuja soma
e 5 e que tem a = 3.
Resolucao: Usando as expressoes para o produto e soma das raızes de uma equacao
de segundo grau temos
x′ + x′′ = − c
a⇒ − b
a= 5⇒ b = −5a
x′ · x′′ =c
a⇒ c
a= 6⇒ c = 6a
Usando que a = 3 nas expreessoes acima, obtemos que b = −15 e c = 18, portanto
a equacao de segundo grau que satisfaz as condicoes do enunciado e
3x3 − 15x+ 18 = 0
2.3.3 Coordenadas do vertice do grafico
Sabemos, sobre a concavidade da parabola, que:
a) quando a > 0, a concavidade da parabola esta voltada para cima, portanto a
parabola tem um ponto de mınimo;
b) quando a < 0, a concavidade da parabola esta voltada para baixo, portanto a
parabola tem um ponto de maximo.
Podemos, ainda, escrever a funcao quadratica (forma padrao):
f(x) = ax2 + bx+ c
Na sua forma canonica:
f(x) = a(x− h)2 + k
onde (h, k) e o vertice da parabola.
39
Podemos achar os valores das coordenadas do vertice da parabola expandido a funcao
em sua forma canonica e comparando com a sua forma padrao.
Desta forma:
f(x) = a(x− h)2 + k = a(x2 − 2hx+ h2) + k
f(x) = ax2 − 2ahx+ ah2 + k
Comparando a equacao acima com a funcao quadratica em sua forma padrao, temos:
b = −2ah ⇒ h = − b
2a
E tambem:
c = ah2 + k = a
(− b
2a
)2
+ k =b2
4a+ k
Que nos fornece:
k =4ac− b2
4a
Portanto, as coordenadas do vertice da parabola sao:
PV =
(− b
2a,4ac− b2
4a
)=
(− b
2a,−∆
4a
)Embora seja interessante deduzirmos as coordenadas do vertice da parabola para qual-
quer funcao de segundo grau, nao precisamos desta deducao para determinar as coorde-
nadas do vertice da parabola das funcoes que possuem raizes reais (uma ou duas). Nestes
casos, so precisamos saber que a coordenada xV e a media das raızes da funcao de segundo
grau e que a coordenada yV e o valor da funcao para x = xV , ou seja:
xV =x′ + x′′
2; yV = f(xV )
No caso em que x′ = x′′, temos que
xV = x′; yV = f(xV )
Exemplo: Determine as coordenadas dos vertices da parabola das funcoes a seguir
e reescreva a funcao quadratica em sua forma canonica.
a) f(x) = x2 − 5x+ 6
Resolucao a.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:
xV = − b
2a= − −5
2 · 1=
5
2
e
yV =4ac− b2
4a=
4 · 1 · 6− (−5)2
4 · 1= −1
4
Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5
2,−1
4).
40
Resolucao a.2: Tomando a equacao x2 − 5x + 6 = 0 e resolvendo-a pela
formula de Baskara, temos:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−(−5)±
√(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1
=5± 1
2⇒
x′ = 3
x′′ = 2
Assim, temos que:
xV =x′ + x′′
2=
3 + 2
2=
5
2
e
yV = f(xV ) = f
(5
2
)=
(5
2
)2
−5(5
2
)+6 =
25
4−25
2+6 =
25− 50 + 24
4= −1
4
Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5
2,−1
4).
b) f(x) = 4x2 − 4x+ 1
Resolucao b.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:
xV = − b
2a= − −4
2 · 4=
4
8=
1
2
e
yV =4ac− b2
4a=
4 · 4 · 1− (−4)2
4 · 4=
16− 16
16=
0
16= 0
Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (1
2, 0).
Resolucao b.2: Tomando a equacao 4x2 − 4x + 1 = 0 e resolvendo-a pela
formula de Baskara, temos:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−(−4)±
√(−4)2 − 4 · 4 · 12 · 4
=−(−4)± 0
8=
1
2
Como a funcao de segundo grau tem apenas uma raiz, temos que xV = x′ = x′′
e yV = 0. Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (1
2, 0).
c) f(x) = x2 + 5x+ 7
Resolucao c.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:
xV = − b
2a= − 5
2 · 1= −5
2
e
yV =4ac− b2
4a=
4 · 1 · 7− (5)2
4 · 1=
28− 25
4=
3
4
41
Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5
2,3
4).
Resolucao c.2: Tomando a equacao x2 + 5x + 7 = 0 e resolvendo-a pela
formula de Baskara, temos:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a=−5±
√52 − 4 · 1 · 72 · 1
=−5±
√−2
2⇒ @x ∈ IR
Como a funcao de segundo grau nao tem raızes reais, nao podemos deteminar
as coordenadas de seu vertice usando suas raızes.
2. Escreva a equacao da funcao quadratica que tem por vertice o ponto PV = (1, 3) e
passa no ponto P = (0, 5)
Resolucao: Considerando a funcao de segundo grau na sua forma canonica:
f(x) = a(x− h)2 + k
E substituindo os valores das coordenadas do vertice da parabola na equacao acima,
PV = (h, k) = (1, 3), temos:
f(x) = a(x− 1)2 + 3
Como a parabola passa no ponto P = (0, 5), temos que:
f(0) = a(0− 1)2 + 3 = 5⇒ a · 12 + 3 = 5⇒ a = 5− 3⇒ a = 2
Portanto, na forma canonica, a funcao de segundo grau que obedece as condicoes
do enunciado e:
f(x) = 2(x− 1)2 + 3
Expandindo a equacao acima, podemos escreve-la na forma padrao. Vamos a esta
expansao:
f(x) = 2(x− 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x+ 1) + 3 = 2x2 − 4x+ 2 + 3
f(x) = 2x2 − 4x+ 5
Vale lembrar que poderıamos tambem, ter resolvido este exemplo partindo da funcao
de segundo grau na forma padrao, ao inves da forma canonica, e determinando os
coeficientes a, b e c da funcao. Fica para o estudante resolver esse exemplo por esta
forma.
42
2.3.4 Imagem e estudo do sinal da funcao quadratica
O conjunto imagem de uma funcao, como ja vimos em um dos capıtulos anteriores, e
o conjunto dos valores que a funcao pode assumir.
Para as funcoes quadraticas, ha duas possibilidades:
1. Quando a > 0, a funcao tem um mınimo e
Imf =
y ∈ IR|y ≥ yV =
4ac− b2
4a
2. Quando a < 0, a funcao tem um maximo e
Imf =
y ∈ IR|y ≤ yV =
4ac− b2
4a
Estudar o sinal de uma funcao e determinar os intervalos onde a funcao e positiva,
negativa e nula.
Para o estudo do sinal de uma funcao quadratica, vamos considerar as duas possibili-
dades usada para se estudar a imagem da funcao.
1. Quando a > 0 e a funcao:
i) tem duas raızes reais distintas e x′ < x′′, o valor da funcao sera: positivo para
x < x′ e para x > x′′; negativo para x′ < x < x′′; nulo para x = x′ e para
x = x′′.
ii) tem uma raiz real (x’=x”), o valor da funcao sera: positivo para x = x′; nulo
para x=x’.
iii) nao possui raiz real, o valor da funcao sera sempre positivo.
2. Quando a < 0 e a funcao:
i) tem duas raızes reais distintas e x′ < x′′, o valor da funcao sera: negativo para
x < x′ e para x > x′′; positivo para x′ < x < x′′; nulo para x = x′ e para
x = x′′.
ii) tem uma raiz real (x’=x”), o valor da funcao sera: negativo para x = x′; nulo
para x=x’.
43
iii) nao possui raiz real, o valor da funcao sera sempre negativo.
Exemplo: Estude o sinal da seguinte funcao quadratica f(x) = 3x2 − 4x
Resolucao: Esta funcao de segundo grau tem concavidade voltada para cima (a =
3 > 0) e raızes determinadas por:
3x2 − 4x = 0⇒ x(3x− 4) = 0
x′ = 0
x′′ = 43
Portanto, o sinal desta funcao e dado por:y > 0⇔
(x < 0 ou x > 4
3
)y < 0⇔ 0 < x < 4
3
2.3.5 Modelando problemas com funcoes de 2o grau
Diversos problemas e situacoes do cotidiano podem ser modelados em termos de funcoes
de segundo grau. O estudo destas situacoes resume-se ao estudo da funcao de 2o grau que
as modelam, suas raizes e ou imagens.
Nos exemplos a seguir vamos descrever dois problemas que podem ser modelados
por equacoes de segundo grau e resolve-los. Nos exercıcios desta secao ha alguns outros
problemas deste tipo.
Exemplos
1. Um clube de futebol dispoe de um campo de futebol com 100 metros de comprimento
e 70 metros de largura. Querendo cercar o campo com uma cerca de area retangular,
mas deixando um espaco entre o campo e a cerca com largura fixa, o dirigente do
clube pediu a um funcionario para determinar:
a) a expressao para a area cercada em termos da largura da pista;
Resolucao: Vamos primeiro desenhar o campo e uma faixa de largura x em
torno dele, como mostrado na figura a seguir.
44
Assim, podemos equacionar a area total cercada escrevendo, diretamente, que:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x)
b) a area cercada se a largura da pista for de 4,5 metros.
Resolucao: Substituindo o valor da largura da faixa na expressao acima
temos:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = (100 + 2 · 4, 5)(70 + 2 · 4, 5)A(x) = (100 + 9)(70 + 9) = 109 · 79 = 8611 m2
2. Entre todos os retangulos cujos perımetros sao iguais a 100 centımetros, encontre
as dimensoes do que tem a area maxima.
Resolucao: Podemos considerar um retangulo geral de base igual a y e altura igual
a x. Desta forma, sua area pode ser escrita como:
A = xy
O perimetro ou soma do comprimento dos lados deste retangulo deve ser igual a
100, portanto temos que:
2x+ 2y = 100
O que nos permite escrever, diretamente, que:
2x+ 2y = 100⇒ x+ y = 50⇒ y = 50− x
Substituindo este valor na expressao para a area dos retangulos, ficamos com:
A(x) = x(50− x) = 50x− x2
45
Como o coeficiente a = −1 < 0, esta funcao tem concavidade voltada para baixo e
possui um maximo no vertice de sua parabola, que e a area maxima.
Atencao a notacao usada neste exemplo!
A funcao A = f(x) e a funcao quadratica estudada.
Lembrando que o xV e a media das raızes da funcao de segundo grau, vamos deter-
minar as raızes e o xV e a area do retangulo de area maxima.
Assim:
A(x) = x(50− x) = 0⇒
x′ = 0
x′′ = 50
Entao:
xv =x′ + x′′
2=
0 + 50
2= 25
E, desta forma:
A(25) = 25(50− 25) = 25 · 25 = 625 cm2
O que nos diz que o retangulo de perımetro igual a 100 cm que tem area maxima e
o quadrado de lado igual a 25 cm.
3. Num terreno, que tem a forma de um triangulo retangulo com catetos de medidas
20 e 30 metros, deseja-se contruir uma casa retangular de dimensoes x e y (com o
segmento y paralelo ao menor dos catetos, como mostrado na figura a seguir).
Detemine:
46
a) a expressao de y em funcao de x;
Resolucao: Pela figura e usando semelhanca de triangulos, podemos escrever:y
30− x=
20
30⇒ y =
20
30(30− x)
O que nos da para y como funcao de x, ou seja, y = f(x):
y(x) =2
3(30− x)
b) a area da casa, A, como funcao de x;
Resolucao: A area da casa sera:
A = xy
Substituindo o resultado do item a na expressao acima, temos a area da casa
em funcao de x:
A(x) = x2
3(30− x)⇒ A(x) =
2x
3(30− x)
Ou ainda:
A(x) = 20x− 2x2
3
c) a area da casa, A, como funcao de y;
Resolucao: Podemos inverter a equacao encontrada no item a para escrever-
mos x = f(y). Ou, ainda, podemos observar pela figura, que podemos escrever:x
20− y=
20
30⇒ x =
2
3(20− y)
Ou seja:
x(y) =2
3(20− y)
Substituindo a expressao encontrada para x(y) na expressao para a area da
casa:
A = xy =⇒ A(y) =2
3(20− y)y
Portanto:
A(y) =40y
3− 2y2
3
d) o valor de x para que a area ocupada pela casa sera maxima.
Resolucao: A expressao da area da casa em funcao de x (resposta do item b)
e uma funcao de segundo grau com coeficiente a = −2
3< 0, portanto a funcao
A(x) tem concavidade voltada para baixo e um maximo em seu vertice.
Encontrando as raızes da funcao:
47
A(x) =2x
3(30− x) = 0⇒
x′ = 0
x′′ = 30
Portanto:
xv =x′ + x′′
2=
0 + 30
2= 15
E, desta forma:
A(15) =2 · 153
(30− 15) =30
3(15) = 150 m2
Perceba que, neste exemplo, o terreno ocupado pela casa e um retangulo que
tem comprimento x = 15 m e largura y = 10 m.
2.4 Exercıcios
1. Escreva cada uma das funcoes de primeiro grau a seguir em sua forma padrao e
esboce seus graficos.
a) f(x) = (3x+ 2)− 2x
b) f(x) =x+ 1
3+
x− 1
2− x+ 3
4
2. Encontre a funcao de primeiro grau tal que f(−1) = 2 e f(3) = −2.
3. Determine o numero real x tal que sua metade mais a sua terca parte e igual a -5.
4. Considere as funcoes de primeiro grau definidas por y = ax+5 e y = −ax+9, com
a > 0. Determine se seus graficos se interceptam e, em caso afirmativo, determine
este(s) pontos de interseccao.
5. Paulo e Pedro recebem o mesmo salario por hora de trabalho. Apos Paulo ter
trabalhado 4 horas e Pedro 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 15,00 a
mais que Pedro. Quanto eles ganham por hora de trabalho?
6. Dona Maria, de 52 anos, tem dois filhos: Joao de 23 anos e Pedro de 26 anos.
a) Ha quanto tempo a soma das idades dos tres era igual a 71 anos?
b) Daqui a quanto tempo a soma das idades dos tres sera igual a 131 anos?
48
7. Um criador de passaros compra, mensalmente, racao e milho num total de 1000 kg.
A racao custo R$ 4,00 por quilograma e o milho custa R$ 2,50 por quilograma. Se
x representa a quantidade, em quilogramas, de racao comprada, determine:
a) a expressao matematica da funcao gasto, g(x), em reais;
b) o gasto em um mes onde o criador comprou 700 quilogramas de milho.
8. Na Escola de Ciencias e Tecnologia da UFRN, a media parcial dos alunos em um
componente curricular e obtido multiplicando-se a nota da primeira avaliacao por 4
e a nota da segunda avaliacao por 5 e dividindo-se o resultado obtido por 9. Se esta
media for maior ou igual a 7,0, o aluno e dispensado da avaliacao final. Sabendo
que um aluno tirou nota 5,5 na primeira avaliacao, quanto ele precisara tirar na
segunda para nao precisar fazer a avaliacao final?
9. De um modo geral, a lei que rege as transacoes comerciais e V = C + L, onde: V
e o preco de venda do produto; C e o custo do produto; e L e o lucro obtido na
transacao. Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Alem
disso, ha uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida.
Sabendo que o preco final de venda do objeto e de R$ 2,00 por unidade, determine
o numero mınimo de unidades que deve ser produzido para que a empresa comece
a ter lucro.
10. As tarifas aplicadas por duas agencias de locacao de automoveis, para um mesmo
veıculo, sao:
Agencia A Agencia B
R$ 144,00 por dia R$ 141,00 por dia
R$ 1,675 por km rodado R$ 1,70 por km rodado
a) Para um percurso diario de 110 quilometros, qual agencia oferece o menor
preco?
b) Seja x o numero de km percorridos durante um dia. Determine o intervalo
de variacao de x de modo que seja mais vantajosa a locacao de um carro na
agencia A do que na agencia B.
11. Determine as raızes reais de cada uma das funcoes quadraticas dadas:
a) f(x) = x2 − 3x+ 2
b) f(x) = 3x2 − 7x+ 2
49
c) f(x) = −x2 − 3
2x+ 1
d) f(x) = x2 − 2x
e) f(x) = −3x2 + 6
f) f(x) = x2 + (1−√3)x−
√3
g) f(x) = x2 − 4√3 + 12
12. Determine os valores de m, com m ∈ IR, de modo que a a funcao f(x) seja uma
funcao de segundo grau.
a) f(x) = (m− 1)x2 + 2x− 3
b) f(x) = (m2 − 5m+ 4)x2 − 4x+ 5
13. Determine o valor de p para o qual a funcao quadratica f(x) = x2 + (3p + 2)x +
(p2 + p+ 2) tenha uma unica raiz.
14. As raızes da funcao f(x) = x2 − 2px + 8 sao positivas e uma e o dobro da outra.
Qual o valor de p?
15. Determine o parametro m de modo que a funcao f(x) = x2 +mx+ (m2 −m− 12),
de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva.
16. Entre todos os retangulos cujos perımetros sao iguais a 100 centımetros, encontre
as dimensoes do que tem a area maxima.
17. Determine o valor de m da funcao real f(x) = −3x2 +2(m− 1)x+m+1, para que
o valor maximo da funcao seja 2.
18. Determine o perımetro do retangulo de area maxima que pode ser inscrito em um
triangulo isoceles de base igual a 4 cm e altura igual a 6 cm.
∗ ∗ ∗
50
Capıtulo 3
Funcao Modular
3.1 Introducao
EmMatematica e Fısica, muitas vezes trabalhamos com funcoes definidas por sentencas
matematicas diferentes em intervalos diferentes.
Exemplo: Considere as funcoes a seguir que sao definidas por sentencas
matematicas diferentes em mais de um intervalo e esboce os seus graficos.
1) f(x) =
−1, se x < 0
1, se x ≥ 0
Resposta: Para tracarmos o esboco de uma funcao definida por expressoes
matematicas diferentes em intervalos diferentes devemos tracar a curva que repre-
senta a funcao em cada intervalo em separado e, a seguir, unir/representar estas
curvas em um mesmo grafico. Esta funcao, tambem conhecida como funcao degrau,
tem grafico bastante caracterıstico. Na figura a seguir temos: (a) o grafico da funcao
no intervalo x < 0; (b) o grafico da funcao no intervalo x ≥ 0; e (c) o grafico da
funcao em todo o seu domınio.
51
2) f(x) =
1, se x < 0
x+ 1, se x ≥ 0
Resposta: O grafico desta funcao esta representado na figura a seguir, onde temos:
(a) o grafico da funcao no intervalo x < 0; (b) o grafico da funcao no intervalo x ≥ 0;
e (c) o grafico da funcao em todo o seu domınio.
3) f(x) =
x+ 2, se x ≤ −11, se − 1 < x < 0
x2 + x, se x ≥ 0Resposta: O grafico desta funcao esta representado na figura a seguir, onde temos:
(a) o grafico da funcao no intervalo x ≤ −1; (b) o grafico da funcao no intervalo
−1 < x < 0; (c) o grafico da funcao para x ≥ 0; e (d) o grafico da funcao em todo
o seu domınio.
52
3.2 A funcao modular
A funcao modular e um tipo especial de funcao definida por sentencas matematicas
diferentes em mais de um intervalo. Com a diferenca que, com o uso de modulos, ela pode
ser apresentada em termos de uma unica expressao.
Vejamos como isto ocorre.
A funcao modular e a funcao dada por:
f(x) = |x|
Esta funcao pode ser escrita, em termos de sentencas matematicas diferentes definidas
em dois intervalos diferentes. Ou seja, podemos escrever que:
f(x) = |x| =
−x, se x ≤ 0
x, se x ≥ 0
Esta funcao tem grafico mostrado na figura a seguir:
Neste livro vamos tratar, tambem, como funcao modular toda funcao na qual apareca
a variavel independente, x, ou combinacoes envolvendo-a, dentro de um modulo. Assim,
chamaremos de funcao modular as funcoes definidas por sentencas matematicas diferentes
em intervalos diferentes como, entre outras, as funcoes dadas a seguir:
f(x) = |x2 − x|g(x) = 3x− |x3 + 5|
h(x) =3
1− |x|+ 7x3
As funcoes escritas acima e todas as funcoes escritas em termos de modulos podem
ser escritas em termos de diferentes sentencas matematicas em intervalos diferentes.
Vejamos alguns exemplos de como escrever uma funcao modular em termos de suas
expressoes nos diferentes intervalos.
53
Exemplo: Considere as funcoes modulares a seguir e escreva-as em termos de suas
expressoes matematicas em cada intervalo.
a) f(x) = |2x|Resolucao: O argumento do modulo desta funcao e uma funcao linear, portanto
ela troca de sinal uma unica vez e isto acontece no ponto em que
2x = 0⇒ x = 0
Para x ≥ 0 temos que o argumento do modulo sera positivo, portanto:
f(x) = 2x se x ≥ 0
E, para x < 0 o argumento do modulo sera negativo, por isto, para escrevermos a
expressao matematica da funcao sem o modulo temos que multiplicar o argumento
do modulo por −1. Ou seja:
f(x) = −2x se x < 0
Desta forma, temos que:
f(x) = |2x| =
−2x, se x < 0
2x, se x ≥ 0
b) g(x) = |4− 2x|Resolucao: Neste caso a funcao vai trocar de sinal em:
4− 2x = 0⇒ 2x = 4⇒ x = 2
Portanto, para x ≥ 2 temos que o argumento do modulo sera negativo e, para
escrever a funcao sem o modulo, precisamos multiplicar seu argumento por −1:
g(x) = −(4− 2x) = −4 + 2x se x ≥ 2
E, para x < 2 o argumento do modulo sera positivo, por isto, para escrevermos a
expressao matematica da funcao sem o modulo basta retirar o modulo. Ou seja:
g(x) = 4− 2x se x < 2
Desta forma, temos que:
54
g(x) = |4− 2x| =
4− 2x, se x < 2
−4 + 2x, se x ≥ 2
c) h(x) = 3x− |x2 − 1|Resolucao: Neste caso, o argumento do modulo e uma funcao quadratica que: (i)
se tiver duas raızes reais ira trocar de sinal duas vezes; (ii) se tiver uma raiz real ou
nenhuma raiz real nao ira trocar de sinal
Verificando a funcao e calculando suas raızes, temos:
x2 − 1 = 0⇒ x2 = 1⇒ x = ±1
Portanto, o argumento do modulo tem duas raızes reais e ira trocar de sinal duas
vezes.
Como o coeficiente do x2 e positivo, a concavidade da parabola e voltada para cima
e, portanto, temos que para valores de x menores que o valor da primeira raiz o
argumento do modulo e positivo e podemos retirar o modulo. O mesmo acontece
para valores de x maiores que o valor da segunda raiz. Ja para valores de x entre os
valores das duas raizes, o argumento do modulo e negativo e so podemos remover o
modulo multiplicando seu argumento por −1.
Assim, temos que:
(i) para x < −1⇒ h(x) = 3x− x2 + 1;
(ii) para x > 1⇒ h(x) = 3x− x2 + 1; e
(iii) para −1 ≤ x ≤ 1⇒ h(x) = 3x− [−(x2 + 1)] = 3x+ x2 − 1.
Portanto, temos que:
h(x) = 3x− |x2 − 1| =
3x− x2 + 1, se x < −1 ou se x > 1
3x+ x2 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 1
Pode-se, tambem, escrever a funcao acima como:
h(x) = 3x− |x2 − 1| =
3x− x2 + 1, se x < −13x+ x2 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 1
3x− x2 + 1, se x > 1
55
d) r(x) = 3− x
|x2 − 16|Resolucao: Neste caso tambem temos, no argumento do modulo, uma funcao de
segundo grau com concavidade voltada para cima e com duas raızes reais (x = ±4).No entanto, na hora de fazermos a analise devemos excluir do intervalo onde a
funcao esta definida, os pontos em que o argumento do modulo se anula, pois nestes
pontos a funcao nao esta definida por serem pontos que anulariam o denominador
de uma fracao.
Assim:
(i) para x < −4 e para x > 4 temos que a funcao pode ser escrita como:
r(x) = 3− x
|x2 − 16|= 3− x
x2 − 16
(ii) para −4 < x < 4 temos que:
r(x) = 3− x
|x2 − 16|= 3− x
−(x2 − 16)= 3 +
x
x2 − 16
Portanto, temos que:
r(x) = 3− x
|x2 − 16|=
3− x
x2−16, se x < −4
3 + xx2−16
, se − 4 ≤ x ≤ 4
3− xx2−16
, se x > 4
3.3 Equacoes modulares
Resolver uma equacao e achar o valor ou o conjunto de valores que a satisfaz. Ate o
momento aprendemos a resolver, especificamente, equacoes de primeiro e segundo graus.
Nesta secao queremos aprender a resolver equacoes em que aparecem modulos e que
chamaremos de equacoes modulares.
Para resolvermos equacoes modulares vamos considerar que, de modo geral, se k e um
numero real positivo e temos que |x| = k, entao temos que x = k ou x = −k.Vamos usar esta propriedade para podemos resolver as equacoes modulares. Vejamos
como nos exemplos a seguir.
56
Exemplo: Resolva as equacoes modulares a seguir:
a) |3x− 2| = 3
Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso
em que o argumento do modulo e positivo, o que nos permite escrever diretamente
a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento do modulo e negativo,
onde para retirarmos o modulo multiplicamos seu argumento por −1.
i) Neste primeiro caso, podemos escrever que:
3x− 2 = 3⇒ 3x = 5⇒ x =5
3
ii) Neste segundo caso, temos que:
−(3x− 2) = 3⇒ −3x+ 2 = 5⇒ 3x = −3⇒ x = −1
Portanto, o conjunto solucao da equacao modular |3x − 2| = 3 e S =x ∈ IR|x = −1;x =
5
3
, ou, de forma abreviada S =
−1, 5
3
.
b) |2x− 1| = |x+ 3|Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso
em que os argumentos dos modulos sao positivo, o que nos permite escrever dire-
tamente a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento de um dos
modulos e positivo e o argumento do outro e negativo, onde para retirarmos os
modulos vamos multiplicar um dos argumentos por −1.
i) Neste caso, podemos escrever que:
2x− 1 = x+ 3⇒ x = 4
ii) Neste caso, temos que:
2x− 1 = −(x+ 3)⇒ 2x− 1 = −x− 3⇒ 3x = −2⇒ x = −2
3
Portanto, S =
−2
3, 4
.
b) |x2 + 3| = |4x− 1|Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso
em que os argumentos dos modulos sao positivo, o que nos permite escrever dire-
tamente a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento de um dos
modulos e positivo e o argumento do outro e negativo, onde para retirarmos os
modulos vamos multiplicar um dos argumentos por −1.
57
i) Neste caso podemos escrever que:
x2 + 3 = 4x− 1⇒ x2 − 4x+ 4 = 0
Resolvendo esta equacao de segundo grau por Baskara, obtemos que x′ = x′′ =
2
ii) Neste caso temos que:
x2 + 3 = −(4x− 1)⇒ x2 + 4x+ 2 = 0
Resolvendo esta equacao de segundo grau por Baskara, obtemos que x′ = 2+√2
x′′ = 2−√2.
Portanto, S =2−√2, 2, 2 +
√2.
3.4 Exercicios
1. Determine o valor de x nas expressoes a seguir:
a) x =∣∣√2− 1
∣∣b) x =
∣∣2−√5∣∣c) x =
∣∣3√2− 4√3∣∣
d) x =∣∣√3− 1
∣∣− ∣∣1−√3∣∣c) x =
∣∣∣√2− ∣∣1−√2∣∣∣∣∣2. Simplifique a expressao y = 1 +
|x− 2|x− 2
3. Determine o domınio das funcoes reais a seguir:
a) f(x) =√|5− 3x| − 9
b) f(x) =x− 3√|x− 4|
c) f(x) =|x− 5|√1− |x|
d) f(x) =x2 − 3x− 9
|2x+ 1| − 3
4. Escreva as funcoes modulares a seguir em termos de funcoes definidas em dois ou
mais intervalos e determine os seus graficos a partir da determinacao dos graficos
de suas partes.
58
a) f(x) = |5x|
b) f(x) = |2x− 3|
c) f(x) = |3x+ 5|
d) f(x) = |x2 − 9|
e) f(x) = |25− x2|
f) f(x) = |x2 + 4x|
g) f(x) = |x| − 3
h) f(x) = |x|+ x
i) f(x) = |x− 3|+ (x− 2)
j) f(x) = 3x|x|
k) f(x) =|x|x
5. Resolva as equacoes modulares a seguir:
a) |x− 2| = 5
b) |2x+ 5| = |x+ 3|
c) |x− 5| = −2x+ 3
d)
∣∣∣∣ x− 1
2x+ 3
∣∣∣∣ = 4
e) |x|2 − 4|x|+ 4 = 0
∗ ∗ ∗
59
Capıtulo 4
Funcao Exponencial
4.1 Introducao
Nos capıtulos anteriores, onde comecamos o nosso estudo de funcoes e de algumas
funcoes elementares, vimos que diversas situacoes do cotidiano podem ser modeladas
usando-se funcoes bastante simples, como as funcoes polinomiais de primeiro e de segundo
graus.
Mas apesar de serem bastante simples de serem estudadas e tenham graficos com
propriedades bem cracterısticas, as funcoes de primeiro e segundo graus modelam apenas
uma pequena porcao dos problemas e situacoes que encontramos em nosso cotidiano.
Para modelar e estudar as outras situacoes e problemas precisaremos conhecer e estu-
dar funcoes como as exponencial, logaritmıca, trigonometricas e combinacoes envolvendo
estas funcoes e tambem as polinomiais.
Neste capıtulo estudaremos a funcao exponencial e aprenderemos a trabalhar com ela
e a contruir o grafico desta funcao e de diversas combinacoes envolvendo-a e tambem as
funcoes polinomiais.
Mas, o que e uma funcao exponencial?
Antes de definirmos esta funcao, vale ressaltar que ela aparece em muitas situacoes
de nosso cotidiano. O crescimento populacional, por exemplo, quer seja de comunidades
animais (inclusive humanas) e vegetais pode ser descrito em termos de uma funcao ex-
ponencial.. O decaimento radioativo de amostra tambem e descrito em termos de uma
funcao exponencial.
Por estas e muitas outras razoes, vamos definir a funcao exponencial e estuda-la breve-
mente neste capıtulo de nosso livro.
60
Considere a tabela a seguir onde consta a populacao brasileira (segundo o censo oficial
do IBGE) no decorrer de varios anos do seculo passado e no inıcio deste seculo.
Ano Populacao brasileira
1940 41.236.315
1950 51.944.397
1960 70.070.457
1970 93.139.037
1980 119.002.706
1991 146.825.475
1996 157.070.163
2007 183.987.291
2010 190.755.799
Estes dados nao seguem nenhuma funcao polinomial. Seu grafico tem a forma apresen-
tada na figura a seguir, onde plotamos os pontos em um plano cartesiano (fora de escala)
com o eixo x correspondendo ao tempo (ano) e o eixo y correspondendo a populacao
brasileira. Tambem acrescentamos a curva ligando os pontos no grafico.
61
Considere, tambem, a seguinte tabela.
x f(x)
-4 0,0625
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
Os dados da tabela acima podem ser plotados no plano cartesiano como mostrado na
figura abaixo, onde novamente colocamos a curva ligando os pontos da tabela.
A funcao que descreve o comportamento dos dados das duas tabelas acima (apro-
ximadamente para a primeira tabela e exatamente para a segunda tabela) e a funcao
exponencial. Mas, o que e uma funcao exponencial?
62
Definicao:
• Sejam a e b constantes reais, uma funcao exponencial em x pode ser escrita na
forma:
f(x) = a · bx
onde a e diferente de zero, b e positivo e b = 1.
A constante b e a base da funcao exponencial.
Exemplos
1. Considere as funcoes a seguir e diga quais sao exponenciais.
a) f(x) = 3x
Sim. f(x) e uma funcao exponencial com a = 1 e b = 3.
b) g(x) = 5x−8.
Nao. g(x) e uma funcao potencia.
c) h(x) = 9 · 5−x.
Sim. h(x) e uma funcao exponencial com a = 9 e b = (1/5).
4.2 Propriedades da funcao exponencial
Nesta secao, vamos apresentar as principais propriedades das funcoes exponenciais e
mostrar exemplos do uso destas propriedades.
1. Dada uma funcao exponencial f(x), temos que: f(0) = a.
Ou seja, uma funcao exponencial intercepta o eixo y em y = a, qualquer que seja a
base.
2. Para a > 0, se b > 1, a funcao exponencial f(x) = a · bx e uma funcao crescente.
Ou seja, se:
x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
3. Para a > 0, se 0 < b < 1, a funcao exponencial f(x) = a · bx e uma funcao
decrescente. Ou seja, se:
x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
63
4. Considerando uma funcao exponencial do tipo f(x) = bx (ou seja, a = 1), para todo
b > 0 e b = 1, temos que se:
bx1 = bx2 ⇒ x1 = x2
5. Considerando a funcao exponencial:
5.1 Se a > 0, para todo x ∈ IR, f(x) > 0. O grafico da funcao y = f(x) esta
sempre acima do eixo x. Ou seja, Im(f) = IR∗+.
Se b > 0, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez
menores.
Se 0 < b < 1, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez
maiores.
5.2 Se a < 0, para todo x ∈ IR, f(x) < 0. O grafico da funcao y = f(x) esta
sempre abaixo do eixo x. Ou seja, Im(f) = IR∗−.
Se b > 0, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez
menores.
Se 0 < b < 1, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez
maiores.
Exemplos
1. Para que valores de m a funcao f(x) = 2 ·mx e crescente?
Resposta: Na funcao f(x) = 2 · mx temos que a = 2 > 0, portanto, para que a
funcao seja crescente, a base da exponencial deve ser maior que 1. Assim: m > 1.
2. Detemine m tal que a funcao f(x) =(m− 1)x
10seja decrescente.
Resposta: Nesta funcao temos que a =1
10> 0, portanto, para que a funcao seja
decrescente, a base da exponencial deve estar entre zero e um (excluindo-se estes
valores). Ou seja:
0 < m− 1 < 1⇒ 1 < m < 2
Assim, os valores de que tornam f(x) =(m− 1)x
10decrescente sao 1 < m < 2.
64
4.3 Construcao do grafico da funcao exponencial
Usando as propriedades da funcao exponencial, podemos construir o seu grafico, bem
como o de funcoes que envolvam combinacoes de funcoes exponenciais.
Vamos a alguns exemplos para ilustar.
Exemplo: Construa o grafico das seguintes funcoes:
1. f(x) = 3x
Resposta: A funcao exponencial y = f(x) = 3x tem a = 1 e b = 3. Usando as
propriedades da funcao exponencial, vemos que: para x = 0 =⇒ f(0) = 1; e como
b = 3 > 1 =⇒ f(x) e crescente. Portanto, a funcao f(x) tem a forma mostrada no
esboco da figura a seguir.
2. g(x) = 3 · 2x
Resposta: A funcao exponencial y = g(x) = 3 · 2x tem a = 3 e b = 2. Portanto,
temos que: para x = 0 =⇒ g(0) = 3; e como b = 2 > 1 =⇒ g(x) e crescente. Na
figura a seguir e mostrado um esboco do grafico de g(x).
65
Por comparacao, colocamos na figura a seguir os esbocos dos graficos de f(x) = 3x
e g(x) = 3 · 2x, as funcoes dos exemplos anteriores. Veja que o grafico de g(x) esta
sempre acima do grafico de f(x).
66
3. h(x) = 23x
Resposta: Pelas propriedades da exponenciacao1 temos que 23x = (23)x = 8x.
Portanto, a funcao h(x) pode ser reescrita como h(x) = 8x, que tem a = 1 e b = 8.
O esboco do grafico desta funcao e mostrado na figura abaixo.
4. q(x) = 5−x
Resposta: A funcao q(x) pode ser reescrita como q(x) =
(1
5
)x
, que e uma funcao
exponencial com a = 1 e b = 1/5. Portanto: para x = 0 =⇒ q(0) = 1; e como
b = 1/5 < 1, a funcao e decrescente. A funcao q(x) tem grafico mostrado no esboco
da figura abaixo.
1No apendice F ha uma revisao sobre potenciacao de numeros reais e nela sao apresentadas as pro-
priedades da potenciacao.
67
5. r(x) = 4 + 3x
Resposta: Conhecendo a forma e o grafico da funcao f(x) = 3x, como mostrada
no exemplo 1, temos que somar 4 unidades a imagem da funcao f(x) em cada
ponto de seu domınio para obter a funcao r(x). Portanto, a funcao r(x) e crescente,
interceptara o eixo y em y = 5 e tendera ao eixo y = 4 no lugar de tender ao eixo
x (que e o eixo y = 0). O esboco da funcao r(x) e mostrado na figura abaixo onde,
por comparacao, esbocamos tambem a curva de f(x) = 3x.
6. s(x) = −3x
Resposta: A funcao s(x) = −3x e a funcao f(x) = 3x invertida em relacao ao eixo
x.Ou seja, todos os pontos da imagem de f(x) com o sinal trocada sao imagens de
s(x). Na figura abaixo e mostrado o esboco do grafico de s(x) e, por comparacao,
colocamos tambem o esboco do grafico de f(x).
68
7. t(x) = |2x − 2|Resposta: Perceba que a funcao m(x) = 2x − 2 que e a funcao argumento do
modulo da funcao t(x) tem uma parte positiva (para x > 1) e outra negativa (para
x < 1). Portanto, a funcao t(x) e uma funcao definida em dois intervalos e dada
por: −2x + 2 , para x < 1
2x − 2 , para x ≥ 1
Na figura a seguir temos o esboco dos graficos das funcoes m(x) = 2x − 2 e n(x) =
−2x + 2.
A funcao t(x) tem grafico dado por n(x) para x < 1 e por m(x) para x ≥ 1. Assim,
o esboco do grafico de t(x) e mostrado na figura a seguir.
69
4.4 Equacoes exponenciais
Equacao exponencial e uma equacao em que aparece uma incognita no exponente de
pelo menos uma potencia.
Podemos citar como exemplos de equacoes exponenciais as seguintes equacoes:
i) 2x = 32
ii)
(1
3
)x
= 81
iii) 4x − 2x = 12
O metodo mais utilizado para se resolver equacoes exponenciais consiste em reduzir
ambos os membros da equacao a potencias de mesma base b (0 < b = 1) e aplicar a
propriedade 4 (bx1 = bx2 ⇒ x1 = x2).
Quando isto e possıvel podemos resolver a equacao facilmente.
Quando nao for possıvel, precisaremos usar funcoes logarıtmicas (proximo capıtulo).
Exemplo: Resolva as seguintes equacoes exponenciais.
a) 2x = 32
Resolucao: Temos que:
2x = 32⇒ 2x = 25 ⇒ x = 5
b)
(1
3
)x
= 81
Resolucao: Neste caso:(1
3
)x
= 81⇒(1
3
)x
= 34 ⇒(1
3
)x
=
(1
3
)−4
⇒ x = −4
c) 4x − 2x = 12
Resolucao: Como 4x = (22)x = (2x)2, podemos escrever a equacao 4x − 2x =
12 como
(2x)2 − 2x = 12
Fazendo y = 2x, temos:
y2 − y = 12⇒ y2 − y − 12 = 0
Resolvendo esta equacao de segundo grau, encontramos que y = 4 e y = −3.Testando os valores encontrados para y na equacao y = 2x, temos:
70
y = 2x
y = 4⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2
y = −3⇒ −3 = 2x ⇒ @x ∈ IR
Assim, a solucao da equacao 4x − 2x = 12 e x = 4.
d) 22x+1 · 43x+1 = 8x−1
Resolucao: Esta equacao pode ser reescrita como:
22x+1 · 22(3x+1) = 23(x−1) ⇒ 28x+3 = 23x−3 ⇒ 8x+ 3 = 3x− 3⇒ x = −6
5
Portanto, a solucao da equacao 22x+1 · 43x+1 = 8x−1 e x = −6
5.
e) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306
Resolucao: Para resolver esta equacao, podemos por o termo de menor
potencia, 3x−1, em evidencia. Assim, temos que:
3x−1(1− 3 + 32 + 33
)= 306⇒ 3x−1·34 = 306⇒ 3x−1 = 9⇒ 3x−1 = 32 ⇒ x = 3
Portanto, a solucao da equacao 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306 e x = 3.
4.5 Exercıcios
1. Construa os graficos das seguintes funcoes exponenciais:
a) f(x) = 3x
b) f(x) =
(1
5
)x
c) f(x) = 3x+12
d) f(x) = 21−x
e) f(x) = 2x − 5
f) f(x) = |3x − 7|
g) f(x) = 5− 2x
h) f(x) = 4|x|
i) f(x) = 5− 4|x|
j) f(x) = x · 4x
71
k) f(x) = 2− |x · 4x|
2. Resolva as seguintes equacoes exponenciais:
a) 2x = 512
b) 5x =1
625c) 100x = 1000
d) 23x+2 = 32
e) 821−3x = 27
f) (3x)x = 98
g) (2x)x+4 = 32
h)(32x−7)3
9x+1= (33x−1)4
i) 83x =3√32x
j) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306
k) 23x + 23x+1 + 23x+2 + 23x+3 = 240
l) 4x − 2x − 2 = 0
m) 9x + 3x+1 = 4
n) 3x2+ 1
x2 =81
3x2+ 1
x2
3. Resolva os seguintes sistemas de equacoes exponenciais:
a)
4x+y = 32
3x−y =√3
b)
2x · 2y = 32
3x · 3√9y = 81
∗ ∗ ∗
72
Capıtulo 5
Funcao Logarıtmica
5.1 Introducao
Ao estudarmos equacoes exponenciais, so tratamos os casos em que era possıvel reduzir
as potencias a uma mesma base. Entretanto, nem sempre isto e possıvel.
Exemplo: Considere a equacao 3x = 17.
Neste caso nao podemos reduzir o numero 17 a base 3.
Sabendo que 9 < 17 < 27, temos que 32 < 3x < 33. Assim, podemos garantir que
2 < x < 3, mas nao sabemos o valor de x e, com o estudado ate agora, nao podemos
determina-lo.
Para resolvermos o tipo de equacao mostrado no exemplo anterior vamos definir o
logaritmo e, a partir dele, a funcao logarıtmica.
5.2 Logaritmo
Sendo a e b numeros reais e positivos, com a = 1, chama-se logaritmo de a na base a
o expoente x ao qual se deve elevar a base b de modo que a potencia bx seja igual a a.
Assim, representamos por:
logb a = x⇒ bx = a
Na expressao logb a = x temos que:
• b e a base do logaritmo;
• a e o logaritmando;
• x e o logaritmo.
73
Para entendermos melhor o que e o logaritmo vamos a alguns exemplos.
Exemplos
1. log2 4 = 2, pois 22 = 4
2. log3 81 = 4, pois 34 = 81
3. log5 1 = 0, pois 50 = 1
4. log2√2 =
1
2, pois 21/2 =
√2
5. log6 6 = 1, pois 61 = 6
6. log 15125 = −3, pois
(1
5
)−3
= 53 = 125
A definicao do logaritmo pode ser utilizada para resolver diversas equacoes exponen-
ciais. Vejamos alguns exemplos de equacoes exponenciais resolvidas utilizando-se apenas
a definicao do logaritmo e um pouco de algebra.
Exemplo: Usando a definicao de logaritmo, calcule:
a) log21
8Resolucao: Temos que:
log21
8= x⇒ 2x =
1
8⇒ 2x =
1
23⇒ 2x = 2−3 ⇒ x = −3
b) log16 0, 25
Resolucao: Neste caso, temos que:
log16 0, 25 = x⇒ 16x = 0, 25⇒ 16x =1
4⇒ 42x = 4−1 ⇒ 2x = −1⇒ x = −1
2
c) log 3√9 3
Resolucao: Temos que:
log 3√9 3 = x⇒ (3√9)x = 3⇒ 9
x3 = 3⇒ 3
2x3 = 3⇒ x =
3
2
74
5.3 Consequencias da definicao do logaritmo
A partir da definicao do logaritmo podemos perceber que o logaritmo tem algumas
propriedades simples e muito importantes.
As seguintes propriedades decorrem, diretamente, da definicao do logaritmo.
1. O logaritmo de 1, em qualquer base b, e igual a 0.
logb 1 = 0, pois b0 = 1
2. O logaritmo da base, qualquer que seja ela, e igual a 1.
logb b = 1, pois b1 = b
3. A potencia da base b e expoente logb a e igual a a.
blogb a = a
4. Se dois logaritmos em uma mesma base sao iguais, entao os logaritmandos tambem
sao iguais.
logb a = logb c⇒ a = c
5.4 Sistemas de logaritmos
O conjunto formado por todos os logaritmos dos numeros reais positivos em uma base
b (0 < b = 1) e chamado sistema de logaritmos de base b.
Existem dois principais sistemas de logaritmos que sao muito utilizados em
matematica:
1. Sistema de logaritmos decimais: e o sistema de logaritmos de base 10.
Indicaremos os logaritmos da base 10:
log10 a ≡ log a
75
2. Sistema de logaritmos neperianos ou sistema de logaritmos naturais: e o
sistema de logaritmos de base e.
O numero e e o numero irracional que vale e = 2, 71828 . . .. Estes logaritmos sao
bastante utilizados pois facilitam diversas deducoes e modelagem de problemas.
loge a ≡ ln a
Estes sistemas de logaritmos sao bem mais utilizados que os sistemas de logaritmos em
qualquer outra base. E as propriedades estudadas para logaritmos em geral aplicam-se a
eles. Nao vamos entrar em maiores detalhes sobre esses sistemas de logaritmos, apenas
vamos ressaltar que o sistema de logaritmos natural e o mais utilizado em matematica e
fısica do ensino superior.
5.5 Propriedades operatorias dos logaritmos
Alem das propriedades dos logaritmos que sao obtidas diretamente de sua definicao, os
logaritmos possuem outras propriedades importantes e necessarias ao trabalharmos com
eles. Estas propriedades sao chamadas de propriedades operatorias e vamos estuda-las
nesta secao.
Ha quatro propriedades operatorias envolvendo logaritmos.
1. Logaritmo do produto: em qualquer base, o logaritmo do produto de dois
numeros reais e positivos e igual a soma dos logaritmos dos numeros. Ou seja,
se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:
logb(a · c) = logb a+ logb c
2. Logaritmo do quociente: em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois
numeros reais e positivos e igual a diferenca entre o logaritmo do dividendo e o
logaritmo do divisor. Ou seja, se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:
logba
c= logb a− logb c
3. Logaritmo da potencia: em qualquer base, o logaritmo de uma potencia de base
real e positiva e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potencia.
Ou seja, se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:
logb(ar) = r · logb a
76
4. Logaritmo com potencia na base: se a base do logaritmo pode ser escrita como
br, o logaritmo de qualquer numero nesta base e igual a:
logbr(a) =1
r· logb a
Vejamos alguns exemplos simples envolvendo o uso das propriedades operatorias do
logaritmo.
Exemplos
1. Determine o valor de logbx2
3√y, sabendo que logb x = −2 e logb y = 3.
Resolucao: Temos que:
logbx2
3√y= logb
x2
y13
=213
logbx
y= 6[logb x− logb y] = 6[−2− 3] = −30
2. Se E = 1 + log a+ 2 · log b− log c, determine o valor de E.
Resolucao: Temos que:
E = 1 + log a+ 2 · log b− log c = log 10 + log a+ log b2 − log c = log
(10ab2
c
)
3. Sabendo que log3 2 = x, calcule em funcao de x o valor de log33√48.
Resolucao: Neste caso, temos que:
log33√48 = log3 48
13 =
1
3log3(2
4·3) = 1
3
[log3 2
4 + log3 3]=
1
3[4 log3 2 + 1] =
4x+ 1
3
5.6 Mudanca de base
Ha situacoes em que temos que converter um logaritmo de certa base para outra.
Como, por exemplo, ao usar as propriedades operatorias, os logaritmos devem estar todos
na mesma base. Se nao estao, alguns logaritmos precisam mudar de base.
Assim, devemos aprender a regra para mudanca de base.
Dado um logaritmo na base b podemos escreve-lo na base c a partir da relacao:
logb a =logc a
logc b
77
Exemplos
1. Sabendo que log8 x = k, determine, em funcao de k, os seguintes logaritmos:
a) log2 x
Resolucao: Fazendo a mudanca de base:
log2 x =log8 x
log8 2=
k
log23 2=
k13log2 2
= 3k
b) logx 16
Resolucao: Fazendo a mudanca de base:
logx 16 =log8 16
log8 x=
log8 82
k=
2 log8 8
k=
2
k
2. Se log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, qual o valor de log2 3?
Resolucao: Temos que:
log2 3 =log 3
log 2=
0, 48
0, 3= 1, 6 =
8
5
5.7 A Funcao logarıtmica
Depois de estudarmos os logaritmos, suas propriedades e as operacoes com estes, pode-
mos definir a funcao logarıtmica.
Dado um numero real b (com 0 < b = 1), chama-se funcao logarıtmica de base b
a funcao:
f : IR∗+ → IR
f(x) = logb x (5.1)
Funcoes logarıtmicas tem diversas aplicacoes. Vejamos, por exemplo, a seguinte
situacao:
Exemplo: Fulano Beltrano vai investir seu 13o salario em um fundo de investimento
que rende 2% ao mes. Quantos meses ele precisa deixar o dinheiro no fundo de
investimento para que seu valor seja duplicado?
A funcao numero de meses e uma funcao logarıtmica. Vejamos como obte-la.
78
Vamos chamar de c o capital investido por Fulano. Assim, o saldo do fundo de
investimento ao final do primeiro mes sera c + 2% de c, ou seja:
c+2
100c = c+ 0, 02c = 1, 02c
A final do segundo mes teremos:
1, 02c+2
100(1, 02c) = 1, 02c(1 + 0, 02) = (1, 02)2c
Entao, ao final de n meses teremos: (1, 02)nc
Como queremos saber o numero de meses para que o investimento dobre de valor,
devemos ter que:
(1, 02)nc = 2c⇒ (1, 02)n = 2
Aplicando o logaritmo de ambos os lados, temos:
log1,02(1, 02)n = log1,02 2
n log1,02(1, 02) = log1,02 2
n = log1,02 2
Que e aproximadamente 35 meses.
Se quisessemos que este capital fosse multiplicado por x terıamos:
n(x) = log1,02 x
79
5.8 Funcoes inversıveis
5.8.1 Definicao
Pelo que vimos ate aqui, o logaritmo e o inverso da exponencial.
Assim, podemos afirmar que a funcao logaritmo e a funcao inversa da funcao expo-
nencial. Mas, o que e uma funcao inversa? Como sabemos se uma funcao e inversıvel?
Para entender isto, vamos abrir um apendice em nosso capıtulo sobre a funcao logar-
itmica e relembrar a nossa definicao de funcao e, desta forma, definir a funcao inversa e
apresentar uma tecnica simples para obtermos o grafico de uma funcao inversa em termos
do grafico conhecido de uma funcao.
Quando x e y sao variaveis que se interrelacionam de modo que para cada valor
atribuıdo a x esta associado um unico valor de y, dizemos que y e funcao de x.
y = f(x)
Se tambem acontece que a cada valor atribuıdo a y esta associado um unico valor de
x, dizemos que a funcao e inversıvel e que x tambem e funcao de y.
Essa relacao recebe o nome de funcao inversa de f , e e representada por f−1.
Na pratica, invertemos a equacao que da y = f(x) e obtemos uma expressao onde
temos x = f(y) e, nesta expressao, substituimos x por f−1(x) e y por x na expressao
f(y). Vejamos alguns exemplos a seguir.
Exemplos
1. Considere as seguintes funcoes e obtenha, se possıvel, a funcao inversa.
a) f(x) = x+ 5
Resolucao: Temos que:
y = f(x) = x+ 5⇒ x = y − 5⇒ f−1(x) = x− 5
b) f(x) =x
2+ 1
Resolucao: Temos que:
y = f(x) =x
2+ 1⇒ x
2= y − 1⇒ x = 2y − 2⇒ f−1(x) = 2x− 2
c) f(x) = x3
Resolucao: Para esta funcao, temos:
y = f(x) = x3 ⇒ x = 3√y ⇒ f−1(x) = 3
√x
80
d) f(x) =x+ 3
x− 3Resolucao: Para esta funcao, temos:
y = f(x) =x+ 3
x− 3⇒ yx−x = 3y+3⇒ x = 3
(y + 1
y − 1
)⇒ f−1(x) = 3
(x+ 1
x− 1
)e) f(x) = x2 + 3
Resolucao: Para esta funcao, temos:
y = f(x) = x2 + 3⇒ x2 = y − 3⇒ x = ±√y − 3⇒ f−1@
f) f(x) = 10x
Resolucao: Para esta funcao, temos:
y = f(x) = 10x ⇒ log y = log 10x ⇒ x = log y ⇒ f−1 = log x
Deste ultimo item, percebemos explicitamente que a funcao logaritmica e a funcao
inversa da exponencial.
5.8.2 Grafico de funcoes inversas
Como ainda nao aprendemos a fazer uso dos ferramentas do Calculo Diferencial para
a construcao de graficos, a maneira padrao de se construir o grafico de uma funcao
e atribuindo valores a variavel independente e descobrindo, ponto a ponto, o valor da
variavel dependente (funcao).
Mas, para o grafico de funcoes inversas, se conhecemos o grafico da funcao original,
podemos determina-lo a partir do seguinte procedimento:
1. Tracamos o grafico da funcao
2. Tracamos a reta y = x.
3. Espelhamos cada ponto do grafico da funcao em relacao a reta y = x.
A curva encontrada e o grafico da funcao inversa.
Vejamos alguns exemplos.
81
Exemplo: Considere as funcoes dadas a seguir e trace, em um mesmo plano carte-
siano, os graficos de f(x) e f−1(x).
a) y = 2x
Resolucao: Segundo o procedimento descrito para obtermos o grafico da funcao
inversa f−1(x) em termos do grafico conhecido da funcao f(x), temos o grafico
mostrado na figura a seguir, onde antes determinamos que f−1(x) =x
2.
b) y = 2x+ 3
Resolucao: A funcao inversa de f(x) = 2x + 3 e f−1(x) =x− 3
2. Assim, seu
grafico e o de f(x) estao esbocados na figura a seguir.
82
c) y = 10x
Resolucao: Neste caso, temos que f−1(x) = log x. Assim, os esbocos de f(x) e
f−1(x) sao mostrados na figura abaixo.
d) y = x3
Resolucao: Neste caso, f−1(x) = 3√x. Os esbocos de f(x) e f−1(x) estao marcados
na figura abaixo.
83
5.9 Equacoes exponenciais
As equacoes exponenciais que nao podem ser reduzidas a uma igualdade de potencias
de mesma base pela aplicacao das propriedades das potencias podem ser resolvidas
utilizando-se a definicao de logaritmo e suas propriedades operatorias.
Vejamos os seguintes exemplos:
Exemplo: Resolva as equacoes exponenciais a seguir.
a) 3x = 5
Resolucao: Podemos utilizar o logaritmo nesta equacao exponencial, de forma
que:
3x = 5⇒ log3 3x = log3 5⇒ x = log3 5
b) 24x−1 = 7
Resolucao: Antes de aplicarmos o logaritmo nesta equacao, podemos ree-
screve-la como:
24x−1 = 7⇒ 24x
2= 7⇒ 24x = 14⇒ log2 2
4x = log2 14⇒ 4x = log2 14
O que nos da para x o valor:
x =log2 14
4
c) 2x−1 = 32x−3
Resolucao: Vamos reescrever esta equacao na forma:
2x−1 = 32x−3 ⇒ 2x
2=
32x
33
Para resolvermos a equacao acima podemos aplicar o logaritmo na base 2 ou
na base 3. Por ambos os procedimentos chegaremos a mesma resposta, mesmo
que, aparentemente, elas parecam diferentes. Vamos aplicar o logaritmo na
base 2 neste exemplo e deixamos para o estudante repetir o procedimento
aplicando o logaritmo na base 3.
2x
2=
32x
33⇒ log2
(2x
2
)= log2
(32x
33
)⇒ log2(2
x)− log2 2 = log2(32x)− log2 3
3
Assim, temos que:
x− 1 = 2x log2 3− 3 log2 3⇒ x =1− 3 log2 3
1− 2 log2 3
84
Caso tivessemos aplicado o logaritmo na base 3, terıamos obtido, explicita-
mente:
x =3− log3 2
2− log3 2
As respostas acima sao iguais e valem:
x =1− 3 log2 3
1− 2 log2 3=
3− log3 2
2− log3 2= 1, 73042271030919 ≃ 1, 73
5.10 Equacoes logarıtmicas
As equacoes logaritmicas que podemos resolver utilizando a definicao do logaritmo e
suas propriedades operatorias sao de quatro tipos.
Nesta secao vamos estudar estes tipos de equacoes e a forma de resolve-los.
1. Equacoes redutıveis a uma igualdade entre dois logarıtmos de mesma base.
logb f(x) = logb g(x)
Neste caso a solucao e obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. Ou seja, primeiro en-
contramos os valores de x que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) e, para estes valores,
testamos a condicao de existencia verificando se f(x0) > 0 ou se g(x0) > 0.
Exemplo: Resolva as seguintes equacoes logarıtmicas.
a) log2(2x− 5) = log2 3
Resolucao: Fazendo:
2x− 5 = 3⇒ x = 4
Como g(x) = 3 > 0, temos que o valor encontrado, x = 4, e solucao da equacao
log2(2x− 5) = log2 3.
b) log3(3− x) = log3(3x+ 7)
Resolucao: Fazendo:
3− x = 3x+ 7⇒ x = −1
Verificando a condicao de existencia:
85
f(x = −1) = 3− (−1) = 4 > 0
Portanto, x = −1 e solucao da equacao.
2. Equacoes redutıveis a uma igualdade entre um logarıtmo e um numero real.
logb f(x) = r
A solucao e obtida impondo-se f(x) = br.
Nestes casos nao ha necessidade de verificarmos a condicao de existencia, pois ela
sempre e satisfeita.
Exemplo: Resolva as seguintes equacoes logarıtmicas.
a) log5(2x− 3) = 2
Resolucao: Fazendo:
log5(2x− 3) = 2⇒ 5log5(2x−3) = 52 ⇒ 2x− 3 = 25⇒ x = 14
b) log3(x2 + x− 4) = 3
Resolucao: Fazendo:
log3(x2 + x− 4) = 3⇒ 3log3(x
2+x−4) = 33 ⇒ x2 + x− 31 = 0⇒ x =1± 5
√5
2
3. Equacoes que sao resolvidas por meio de uma mudanca de incognita.
Exemplo: Resolva a equacao:
a) (log3 x)2 − 2 · log3 x = 3
Resolucao: Fazendo:
y = log3 x
Podemos reescrever a equacao logarıtmica como:
86
(log3 x)2 − 2 · log3 x = 3⇒ y2 − 2y = 3
Resolvendo a equacao de segundo grau acima, encontramos y = −1 e y = 3.
Substituindo estes valores na equacao y = log3 x temos:
log3 x = −1⇒ 3log3 x = 3−1 ⇒ x =1
3
e
log3 x = 3⇒ 3log3 x = 33 ⇒ x = 9
4. Equacoes que sao resolvidas usando-se as propriedades operacionais dos logaritmos
ou mudancas de base.
Exemplo: Resolva as seguintes equacoes:
a)log3 3x
log3 x2= 2
Resolucao: Usando as propriedade operacionais dos logaritmos podemos reescrever
a equacao acima:
log3 3x
log3 x2= 2⇒ log3 3 + log3 x
2 log3 x= 2⇒ 1+log3 x = 4 log3 x⇒ 3 log3 x = 1⇒ log3 x =
1
3
Esta equacao e do tipo logb f(x) = r, portanto:
w log3 x =1
3⇒ 3log3 x = 3
13 ⇒ x =
3√3
b) 2 · log x = log(2x− 3) + log(x+ 2)
Resolucao: Usando as propriedade operacionais dos logaritmos podemos reescrever
a equacao acima:
2 · log x = log(2x− 3) + log(x+ 2)⇒ log x2 = log[(2x− 3)(x+ 2)]
Esta equacao logarıtmica e do tipo logb f(x) = logb g(x), portanto:
x2 = (2x− 3)(x+ 2)⇒ x2 + x− 6 = 0⇒ x′ = 2 e x′′ = −3
87
Como f(x) = x2 > 0, os dois valores encontrados para x sempre satisfazem a
condicao de existencia.
Repare que a condicao de existencia deve ser verificada em f(x) = x2 ou em g(x) =
(2x− 3)(x+ 2).
5.11 Comentarios
Sobre as equacoes exponencias e logaritmıcas, podemos fazer os seguintes comentarios:
1. Para se resolver equacoes exponenciais que nao podem ser reduzidas a uma potencia
de mesma base, utilizamos a definicao e propriedades dos logaritmos.
2. Para se resolver equacoes logarıtmicas vamos, tambem, utilizar as propriedades dos
logaritmos.
Tambem e muito importante lembrarmos aos estudantes que exponencias e logaritmos
sao de extrema importancia no Calculo Diferencial e Integral e na resolucao de diversas
equacoes que descrevem e modelam situacoes/problemas fısicos.
Devemos aprender a trabalhar com exponencias e logaritmos. Para este aprendizado
ser otimizado e para que consigamos trabalhar bem com eles, devemos treinar, ou seja,
fazer muitos exercıcios, como os apresentados nas listas deste capıtulo e tambem do
capıtulo anterior..
5.12 Exercıcios
1. Determine o valor dos logaritmos a seguir:
a) x = log25 0, 008
b) x = log 3√54√5
c) x = log 3√7 49
d) x = log 15√27
3√81
2. Detemine o valor de y nas expressoes a seguir:
a) y = log 3√4
√2 + log 3√100
6√0, 1− log 100
88
b) y = log4(log3 9) + log3(log 1000)
3. Supondo m > 0 e m = 1, calcule os seguintes logaritmos:
a) x = logm23√m
b) x = log√m
1
m
4. Determine o valor de:
a) x = 3log3 2
b) x = 4log2 3
c) x = 16log2 5
5. Determine o valor de y nas expressoes:
a) y = log4 4 + log√8 1 + 2 log 10
b) y = 32+log3 2
c) y = 54−log3 6
d) y = 81+log2 3
e) y = ln e+ 2 ln 3√e
f) y = eln 2
g) y = e1+ln 3
6. Supondo que a, b e c sao reais positivos, determine:
a) x = log5
(5a
bc
)b) x = log
(b2
10a
)c) x = log3
(ab2
c
)d) x = log2
(8a
b3c2
)7. Desenvolva os logaritmos a seguir, sabendo que a, b e c sao reais positivos.
a) x = log2
(b2√a
c
)
89
b) x = log
√ab3
c2
c) x = log3
(ab3
c3√a2
)d) x = log
(4√a2b
3√10c
)
8. Sabendo x, y e b sao reais positivos e, sabendo ainda, que logb x = 2 e logb y = 3,
detemine.
a) z = logb(x2y3
)b) z = logb
(4√x
by
)c) z = log3
(ab3
c3√a2
)d) z = log
(4√a2b
3√10c
)
9. Sejam a, b e c reais positivos, determine a expressao cujo desenvolvimento
logarıtmico vale:
a) z = log2 a+ log2 b− log2 c
b) z = 2 log a− log b− 3 log c
c) z = 2− log a+ 3 log b− 2 log c
d) z =1
3log a− 1
2log c− 3
2log b
d) z = 2 +1
3log2 a−
1
6log2 b− log2 c
10. Sabendo que log x+ log y = m, determine, em funcao de m, o valor de:
a) z = log1
x+ log
1
y
b) z = log1
x2+ log
1
y2
c) z = log x10 + log y10
11. Escreva na base 10 os seguintes logaritmos:
a) x = log2 7
90
b) x = log100 3
12. Se x e y sao reais positivos e logy x = 3, qual o valor de:
a) z = logx y
b) z = logx2 y
13. Determine o valor de y na expressao:
y = log3 2 · log4 3 · log5 4 · log6 5 · log7 6 ·· log8 7 · log9 8 · log10 9
14. Faca o esboco do grafico das seguintes funcoes:
a) f(x) = 3 + log x
b) f(x) = − log x
c) f(x) = 5 log x
d) f(x) = 3 log(x− 4)
e) f(x) = | log x2|
f) f(x) = 5− | log x|
15. Resolva as seguintes equacoes:
a) 3x = 5
b) 4x = 19
c)
(3
2
)x
= 2
d) 4x+1 = 5
e) 52x+3 = 50
f) 4x = 5 · 32x+3
g) 43x−1 = 3x+2
h) 4x + 3 · 4x+2 = 5x
i) log4(3x+ 2) = log4(2x+ 5)
j) log2(5x2 − 14x+ 1) = log2(4x
2 − 4x− 20)
91
k) log 13(5x− 4) = log 1
36
l) logx(4x− 3) = logx(2x+ 1)
m) logx(6x− 5) = logx(2x− 1)
n) logx+5(3x2 − 5x− 8) = logx+5(2x
2 − 3x)
o) logx(3x2 − 13x+ 15) = 2
p) logx−2(2x2 − 11x+ 16) = 2
q) log2(x− 3) + log2(x+ 3) = 4
r) 2 log x = log 2 + log(x+ 4)
16. Resolva o seguinte sistema de equacoes:
x+ y = 6
log2 x+ log2 y = log2 8
17. A lei N(t) = a · 2bt representa o crescimento de uma populacao de bacterias que se
reproduz em um laboratorio de pesquisa. Neste caso, N(t) e o numero de bacterias
no instante t (com t em horas) e a e b sao constantes reais. Sabendo-se que no inıcio
da observacao havia 3000 bacterias e que, apos duas horas de observacao, havia 4800
bacterias, detemine:
a) os valores das constantes a e b;
b) o numero de bacterias existentes apos meia hora de observacao;
c) o tempo mınimo necessario para que o numero de bacterias seja maior que 3
milhoes. (Use a aproximacao que 210 ∼ 103)
18. A populacao de Natal e de 800.000 habitantes e cresce a uma taxa de 3, 75% ao ano.
Quando, aproximadamente, a populacao chegara a 1 milhao de pessoas?
19. A meia-vida do fosforo-32 e de cerca de 14 dias. Inicialmente a cerca de 8 gramas
presentes.
a) Expresse a quantidade de fosforo-32 remanescente em funcao do tempo t.
b) Quando restara apenas 1 grama?
20. Determine quanto tempo e necessario para triplicar o valor de um investimento com
taxa de juros de 5, 5% composta mensalmente.
92
21. Suponha que em um ano o numero de casos de uma doenca seja reduzido em 20%.
Se existe 10.000 casos hoje, quantos anos serao necessarios:
a) para reduzir o numero de casos para 1000?
b) para eliminar a doenca, isto e, para reduzir o numero de casos a menos de 1?
22. Para cada funcao f (x) abaixo, determine sua funcao inversa f−1 (x), identificando
seus respectivos domınio e imagem e trace seus graficos.
a) f (x) = x5
b) f (x) = x2 + 1 para x ≤ 0
c) f (x) =1
x2para x > 0
d) f (x) =1
2x− 7
2
e) f (x) = x2 − 3x+ 2 para x ≥ 32
∗ ∗ ∗
93
Capıtulo 6
Operacoes com Funcoes e Funcao
Composta
A partir de duas funcoes e, muitas vezes, interessante e necessario obtermos uma outra
funcao. Esta nova funcao pode ser obtida diretamente pela aplicacao de uma das operacoes
aritmeticas usuais ao par original de funcoes ou atraves da composicao de funcoes.
Neste capıtulo vamos estudar brevemente as operacoes aritmeticas usuais envolvendo
funcoes e tambem a composicao de funcao.
6.1 Operacoes com funcoes
Uma maneira simples e importante de se construir novas funcoes e usando as operacoes
usuais (adicao, subtracao, multiplicacao e divisao) a pares de funcoes usando as definicoes
a seguir.
a) Adicao de funcoes
Considere a funcao h(x) que e a soma das funcoes f(x) e g(x). Assim:
h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
b) Subtracao de funcoes
Se a funcao h(x) que e a diferenca entre as funcoes f(x) e g(x), temos que:
h(x) = (f − g)(x) = f(x)− g(x)
94
c) Multiplicacao de funcoes
A funcao h(x) que e o produto das funcoes f(x) e g(x), portanto:
h(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x)
d) Divisao de funcoes
Desde que g(x) = 0, se a funcao h(x) e o quociente entre as funcoes f(x) e g(x),
temos que:
h(x) =
(f
g
)(x) =
f(x)
g(x)
Em cada caso acima, o domınio da nova funcao consiste de todos os valores que
pertencem, simultaneamente, ao domınio de f(x) e ao domınio de g(x). E, como vemos,
as raızes da funcao do denominador sao excluıdas do domınio do quociente de funcoes.
Exemplo: Considere as funcoes f(x) = x2 e g(x) =√x+ 1. Obtenha cada uma
das funcoes h(x) abaixo e encontre seus domınios.
a) h(x) = (f + g)(x)
Resposta: Temos que:
h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 +√x+ 1
Como o domınio de f(x) e todo o conjunto dos numeros reais e o domınio da
g(x) e o conjunto de todos os numeros reais que tornam o argumento da raiz
maior ou igual a zero, entao o domınio de h(x) sendo o conjunto de todos os
numeros que pertencem ao domınio de f(x) e de g(x) sera igual ao domınio de
g(x). Ou seja:
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1
b) h(x) = (f − g)(x)
Resposta: Temos que:
h(x) = (f − g)(x) = f(x)− g(x) = x2 −√x+ 1
E, o domınio de h(x) e dado por:
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1
95
c) h(x) = (f · g)(x)Resposta: Temos que:
h(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x) = x2√x+ 1
E, o domınio de h(x) e dado por:
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1
d) h(x) =
(f
g
)(x)
Resposta: Temos que:
h(x) =
(f
g
)(x) =
f(x)
g(x)=
x2
√x+ 1
Para o domınio de h(x), neste caso, temos que excluir os pontos que tornam
a raiz igual a zero (x = −1), pois a funcao g(x) esta no denominador de h(x).
Assim, o domınio de h(x) sera:
Dh = x ∈ IR|x > −1
e) h(x) = (f · f)(x)Resposta: Temos que:
h(x) = (f · f)(x) = f(x) · f(x) = x4
E, o domınio de h(x) e dado por:
Dh = Df = x ∈ IR
f) h(x) = (g · g)(x)Resposta: Temos que:
h(x) = (g · g)(x) = g(x) · g(x) =√x+ 1
√x+ 1 = (
√x+ 1)2 = x+ 1
Embora possamos simplificar a expressao de h(x) para h(x) = x+1, o domınio
da funcao h(x) nao e igual ao domınio da expressao x + 1 (que e o conjunto
dos numeros reais, pois h(x) a partir de duas funcoes com domınios restritos.
Ou seja, o domınio de h(x) e dado por:
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1
96
6.2 Funcao composta
Existem situacoes em que uma nova funcao e construıda pela combinacao de funcao,
mas por uma combinacao que nao e feita por meio de operacoes simples. Um nova funcao
pode ser obtida aplicando-se as leis (expressoes) envolvidas, primeiro uma e depois a
outra.
Esta operacao usada para combinar funcoes, que nao esta baseada nas operacoes ar-
itmeticas, e chamada de composicao de funcoes. E a funcao obtida por meio dessa
composicao e chamada de funcao composta.
Vamos a definicao da composicao de funcoes.
Definicao: Sejam f(x) e g(x) duas funcoes tais que o domınio de f(x) se intersec-
ciona com a imagem de g(x). A funcao composta f de g, denotada por (f g)(x) edada por:
(f g)(x) = f(g(x))
Nesta composicao, e aplicada aos pontos do domınio a funcao g e depois a funcao f .
O domınio da funcao (f g)(x) consiste de todos os valores de x que estao no domınio
de g e cujo valor g(x) encontra-se no domınio de f .
A funcao composta (g f)(x) e definida de forma similar. No entanto, na maioria dos
casos (f g)(x) e (g f)(x) sao funcoes diferentes.
Exemplos:
1) Considere as funcoes f(x) = ex e g(x) =√x. Encontre as funcoes h = (f g)(x) e
r(x) = (g f)(x) e seus domınios.
Resolucao: Para a funcao h(x) temos que:
h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = e
√x
Esta funcao h(x) tem como domınio todos os numeros reais nao negativos, ou seja,
Dh = x ∈ IR|x ≥ 0
Pois g(x) tem este domınio e todos os valores de g(x) deste domınio estao no domınio
de f(x).
97
Para a funcao r(x) = (g f)(x), temos:
r(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = f(ex) =√ex
que tem por domınio todos os numeros reais, ou seja,
Dr = IR
Podemos concluir, por exemplo que as funcoes h(x) e r(x) tem expressoes (leis)
matematicas diferentes e tambem domınios diferentes.
Se fizessemos os graficos destas funcoes perceberıamos que as curvas que represen-
tam estas funcoes sao completamente diferentes e, tambem, que suas imagens sao
diferentes, mesmo que estas funcoes tenham sido compostas a partir das funcoes
f(x) e g(x).
2) Sejam as funcoes f(x) = x2 − 1 e g(x) =√x, determine as funcoes compostas a
seguir e seus domınios.
a) h(x) = (f g)(x)Resolucao: Obtendo a funcao h(x), temos:
h(x) = (f g)(x) = f(√x) = (
√x)2 − 1
Ja, para determinarmos o domınio de h(x), devemos analisar primeiro o
domınio dda g(x). O Dg e o conjunto de todos os numeros reais positivos
maiores ou iguais a zero. Ja o domınio Df e todo o conjunto dos reais.
Portanto o domınio de h(x) sera igual ao domınio de g(x). Ou seja:
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ 0
b) r(x) = (g f)(x)Resolucao:
Obtendo a funcao r(x), temos:
r(x) = (g f)(x) = g(x2 − 1) =√x2 − 1
Para deteminarmos o domınio da r(x) devemos analisar, primeiro, o domınio de
f(x) que e todo o conjunto dos reais. Como depois e tirada a raiz quadrada de
f(x), entao o domınio de r(x) so pode conter valores para os quais x2− 1 ≥ 0.
Ou seja:
98
Dh = Dg = x ∈ IR|x ≤ −1 ou x ≥ 1
Dada uma funcao h(x) e possıvel, em muitos casos, encontrar funcoes f(x) e g(x) tais
que h(x) = (f g)(x). Ou seja, e possıvel decompor a funcao h(x) em termos de funcoes
f(x) e g(x).
Exemplo: Para cada funcao h(x), encontre funcoes f(x) e g(x) tais que h(x) =
f(g(x))
a) h(x) = (x+ 1)2 − 3(x+ 1) + 4
Resolucao: Observando que h e uma funcao quadratica em termos de x+1, pode-
mos escrever que: f(x) = x2 − 3x+ 4 e g(x) = x+ 1
b) h(x) =√x3 + 1
Resolucao: Ha, ao menos, duas maneiras de decompormos a funcao h de forma
que h(x) = f(g(x)).
De acordo com a primeira maneira, podemos dizer que f(x) =√x e g(x) = x3 + 1,
de onde teremos que h(x) = f(g(x)) =√x3 + 1.
Pela segunda forma, temos que f(x) =√x+ 1 e g(x) = x3. O que tambem fornece
h(x) = f(g(x)) =√x3 + 1.
Em um primeiro curso de Calculo Diferencial e Integral, ao trabalharmos com derivada
de funcoes, muitas vezes precisaremos da nocao de funcao composta e tambem ao trabal-
harmos com integracao de funcoes. Portanto, devemos ter atencao e cuidado ao estudar-
mos este topico de funcao composta e devemos entender e saber fazer todos os exercıcios
da lista a seguir.
6.3 Exercıcios
1. Dadas as funcoes a seguir encontre as formulas para as funcoes (f+g)(x), (f−g)(x),(fg)(x), (f/g)(x) e (f g)(x).
a) f(x) = x2 e g(x) =√x+ 1
b) f(x) = (x− 1)2 e g(x) = 7x− 4
c) f(x) =√x+ 5 e g(x) =
1
x
d) f(x) =√x+ 1 e g(x) = |x− 1|
99
e) f(x) = x3 e g(x) =3√1− x3
f) f(x) = 10x e g(x) = 3x2
2. Para as funcoes f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f g)(x), (gf)(x), (f f)(x)e (g g)(x).
a) f(x) = x2 + 3 e g(x) =√x+ 1
b) f(x) = 3x+ 2 e g(x) = x− 2
c) f(x) = x2 − 1 e g(x) =1
x− 1
d) f(x) =1
x− 1e g(x) =
√x
e) f(x) =1
4xe g(x) =
1
5xf) f(x) = log2 3x e g(x) = 2x
g) f(x) = 3x2 +5
xe g(x) = e2x
i) f(x) = log x2 e g(x) = 3x3 − 5x
j) f(x) = 10x e g(x) = 4x3 − 5
3. Dadas as funcoes a seguir, determine f(x) e g(x) de modo que as funcoes possam
ser escritas como y = f(g(x)). [Lembrete: Podem existir mais de uma maneira de
decomposicao das funcoes.]
a) y =√x2 − 5x
b) y = (x3 + 1)3
c) y = |3x− 4|
d) y =1
x3 − 5x+ 3
e) y = (x+ 2)3 + 1
∗ ∗ ∗
100
Capıtulo 7
Trigonometria e Funcoes
Trigonometricas
7.1 Introducao
Neste capıtulo queremos estudar as funcoes trigonometricas, as relacoes fundamentais
entre elas e as funcoes trigonometricas inversas.
Lembrando que, epistemologicamente, trigonometria vem do grego e significa ’medida
dos tres angulos’ e nos remete ao estudos dos angulos, lados e outros elementos de um
triangulo.
Vamos comecar nosso estudo de trigonometria e funcoes trigonometricas fazendo uma
breve introducao sobre medidas de angulos e sobre o ciclo trigonometrico. A seguir ap-
resentaremos as principas funcoes trigonometricas e mostraremos algumas das relacoes
fundamentais entre elas e definiremos as funcoes trigonometricas inversas.
101
7.2 Medidas de arcos e angulos
Consideremos uma circunferencia de centro em O e raio r, como a mostrada na figura
a seguir.
O angulo α e chamado de angulo central e tem a mesma medida do arco de circun-
ferencia subtendido por ele. Desta forma, o arco que subtende uma circunferencia inteira
mede 360o.
Por definicao, o grau e o arco unitario que subtende1
360da circunferencia que contem
o arco a ser medido.
O ‘grau’, no entanto, nao e a unica medida de angulo e de arco de circunferencia.
Outra unidade de medida de angulo extremamente importante e que sera a mais utilizada
por nos daqui por diante e o radiano, cujo sımbolo e o rad.
O radiano (rad) e o arco unitario cujo comprimento e igual ao raio da circunferencia
que contem o arco a ser medido. O radiano equivale a1
2πda circunferencia1.
Como um angulo pode ser medido em graus ou em radianos, podemos obter a relacao
direta entre estas medidas utilizando o fato que 2π rad = 360o.
Resumindo
1. O angulo central de uma circunferencia tem a mesma medida do arco de circun-
ferencia subtendido por ele.
2. O grau (o) e o arco unitario que subtende1
360da circunferencia que contem o arco
a ser medido.
1O comprimento da circunferencia e igual a 2πr
102
3. O radiano (rad) e o arco unitario cujo comprimento e igual ao raio da circun-
ferencia que contem o arco a ser medido e equivale a1
2πda circunferencia.
4. Podemos expressar o valor de qualquer angulo em graus ou em radianos, mas vamos
dar preferencia ao radiano.
Outra medida de angulo e arco de circunferencia que tambem e utilizada e o grado,
cujo sımbolo e o grad ou o gr, que equivale a1
400da circunferencia.
Exemplo: Converta os angulos a seguir para radianos.
a) θ = 30o
Resolucao: Por regra de tres simples, temos que:
360o −→ 2π rad
30o −→ x rad=⇒ x =
30o · 2π360o
=⇒ x =π
6rad
b) θ = 150o
Resolucao: Neste caso:
360o −→ 2π rad
150o −→ x rad=⇒ x =
150o · 2π360o
=⇒ x =5π
4rad
c) θ = 52o
Resolucao: Neste caso:
360o −→ 2π rad
52o −→ x rad=⇒ x =
52o · 2π360o
=⇒ x =13π
45rad
No caso de termos angulos em radianos e querermos transformar em graus, podemos
usar a mesma relacao de correspondencia para obter esses valores via regra de tres. No
entanto, nao vamos fazer exemplos destes calculos aqui, embora tenhamos colocado varios
exercıcios desse tipo na lista de exercıcios do final do capıtulo.
103
7.3 Comprimento de arco
Fixada a medida de um arco de circunferencia em radianos, seu comprimento depende
do raio da circunferencia em que o arco esteja contido. O comprimento de um arco, para
o angulo medido em radianos, vale:
l = α · r
Exemplos
1) Detemine o comprimento do arco de circunferencia para os angulos subentendidos
nas circunferencias de raios especificados a seguir.
a) α =π
6na circunferencia de raio r = 5 cm;
Resolucao: Podemos escrever que:
l = α · r = π
6· 5 =
5π
6cm
Observe que a unidade de comprimento de arco sera a mesma unidade em que
o raio da circunferencia foi explicitado. No caso acima, centımetros.
b) α = 3π na circunferencia de raio r = 2 m;
Resolucao: Podemos escrever que:
l = α · r = 3π · 2 = 6π m
c) α = 45o na circunferencia de raio r = 10 cm;
Resolucao: Neste caso, vamos primeiro converter o valor do angulo α = 45o
para radianos:
360o −→ 2π rad
45o −→ α rad=⇒ α =
45o · 2π360o
=π
4rad
E, entao, temos:
l = α · r = π
4· 5 =
5π
4cm
104
7.4 Ciclo trigonometrico
A palavra ciclo, no estudo da trigonometria, significa circunferencia com direcao pre-
definida. Ou seja, e uma circunferencia orientada.
Pode-se trabalhar no sentido horario ou no sentido anti-horario.
O chamado ciclo trigonometrico e:
a) um ciclo orientado no sentido anti-horario;
b) sua origem e no ponto A (sobre o eixo positivo de x);
c) o centro da circunferencia coincide com a origem do sistema cartesiano;
d) o raio da circunferencia e o raio unitario (r = 1⇒ l = 2π);
e) os eixos dividem o cırculo em quatro quadrantes.
Para cada numero real x, vamos associar um ponto P na circunferencia da seguinte
maneira:
a) Se x = 0, entao P = A;
b) Se x > 0, partimos de A e realizamos sobre a circunferencia um percurso de com-
primento x, no sentido anti-horario. O ponto final do percurso e o ponto P ;
105
c) Se x < 0, fazemos o percurso no sentido horario.
Assim, podemos associar a cada numero x um ponto do ciclo trigonometrico. Para
cada ponto P do ciclo trigonometrico que e imagem de um numero real α, ele tambem
sera imagem de:
α+ 2π (α mais uma volta)
α+ 4π (α mais duas voltas)
α+ 6π (α mais tres voltas)
. . .
α− 2π (α menos uma volta)
α− 4π (α menos duas voltas)
α− 6π (α menos tres voltas)
Ou seja, temos que:
x ∈ IR∣∣ x = α± 2kπ, k ∈ Z
Exemplo: Para que angulos, o ponto P estara sobre o mesmo ponto do ciclo
trigonometrico que α =π
6Resposta: Ao completar mais uma volta sobre o ciclo trigonometrico, por exemplo,
o ponto P estara na mesma posicao. Ou seja:
x1 = α+ 2π =π
6+ 2π =
13π
6
106
O mesmo valera para todos os pontos do tipo:
xi = α+ 2kπ =π
6+ 2kπ
Tais como: x =25π
6, x =
37π
6, etc.
Se partindo do ponto P de coordenadas α =π
6e dermos uma volta negativa com-
pleta (sentido horario) ou mesmo mais voltas completas neste sentido, tambem
voltaremos para o mesmo ponto do ciclo trigonometrico. Ou seja, nos pontos do
tipo
xi = α− 2kπ =π
6− 2kπ
tambem estarao sobre o ponto P do ciclo trigonometrico.
Assim, os pontos, por exemplo, x = −11π
6, x = −23π
6, x = −35π
6, entre outros,
estao sobre o ponto P .
Ao fazermos os graficos das funcoes senα, cosα, tgα e outras funcoes trigonometricas
perceberemos melhor esta periodicidade das funcoes. Mas devemos lembrar que as
funcoes trigonometricas (que estamos estudando neste capıtulo) nao sao as unicas funcoes
periodicas. Muitas outras serao estudadas em outros componentes curriculares e/ou textos
mais avancados.
7.5 Funcoes periodicas e o ciclo trigonometrico
Uma funcao f : IR → IR e dita periodica se existir um numero real p > 0, tal que
f(x+ p) = f(x), ∀x ∈ IR.
O menor valor de p que satisfaz a igualdade e chamado perıodo.
Ou seja, funcao periodica e aquela cujo valor, a partir de certo valor de x, se repete.
As funcoes trigonometricas sao funcoes periodicas e vamos estudar as principais funcoes
trigonometricas nas seccoes seguintes.
Para entendermos e estudarmos as funcoes trigonometricas, vamos considerar o ciclo
trigonometrico da figura:
Neste ciclo vamos definir:
a)−−→OB ⇒ eixo dos senos;
b)−→OA⇒ eixo dos cossenos;
107
c)−→AC ⇒ eixo das tangentes;
d)−−→BC ⇒ eixo das cotangentes.
7.6 Funcao seno
Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:
A funcao sen(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:
a) E a projecao do ponto P no eixo y ou, mais especificamente, no eixo dos senos (OB
e OB’).
b) Como a projecao de P esta dentro do cırculo trigonometrico, que tem raio igual a
1, a imagem de f(α) e o intervalo [−1, 1], ou seja, −1 ≤ sen(α) ≤ 1;
c) Nos 1o e 2o quadrantes, o seno e positivo; nos 3o e 4o quadrantes o seno e negativo;
d) Nos 1o e 4o quadrantes, a medida que o angulo cresce o seno tambem cresce; nos 2o
e 3o quadrantes, o seno e decrescente;
e) A partir de α = 2π, o seno se repete, ou seja, a funcao sen(α) e periodica de perıodo
2π;
f) A funcao seno e uma funcao ımpar, ou seja, f(α) = −f(−α).
108
O grafico da funcao seno e apresentado na figura a seguir.
Olhando o grafico, vemos explicitamente que a funcao, partindo de α = 0, volta para
o mesmo ponto e com o mesmo sentido de crescimento para α = 2π, como ja haviamos
discutidos nas propriedades desta funcao.
A partir do grafico da funcao f(α) = senα , podemos contruir o grafico de outras
109
funcoes que envolvam o seno. Vamos a alguns exemplos simples.
Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao seno, o grafico das seguintes
funcoes trigonometricas:
a) g(α) = 2senα
Resposta: Esta funcao tem o mesmo perıodo da funcao senα e tambem parte, em
α = 0, de g(0) = 0. Porem, sua amplitude e duas vezes maior, ou seja, no lugar
de oscilar no intervalo [−1, 1] como a funcao f(α) = senα, a funcao g(α) oscila no
intervalo [−2, 2]. Assim, seu grafico tera a forma mostrada na figura abaixo, onde
plotamos tambem, para comparacao, o grafico de f(α).
b) g(α) = −1
3senα
Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tambem tem a forma do grafico de
f(α) =senα, mas sua amplitude e menor e nos intervalos onde a f(α) e positiva a
g(α) e negativa e vice-versa. O grafico de g(α) e mostrado na figura abaixo onde,
para termos de comparacao, temos o grafico de f(α) = senα.
c) g(α) = sen(2α)
Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tem a forma na funcao f(α) =senα,
mas a sua oscilacao e mais ‘rapida’. Na verdade, enquanto a funcao f(α) executa
um perıodo de oscilacao a funcao g(α) executa dois perıodos de oscilacao.
Pois, considerando uma funcao do tipo h(α) = sen(ωα), o perıodo dela sera T =2π
ω.
Assim: (i) se ω > 1 a funcao h(α) tera um perıodo menor que a funcao f(α) = sen(α)
110
que tem ω = 1 e executara uma oscilacao mais rapidamente que f ; e (ii) se 0 < ω < 1
a oscilacao sera mais lenta (e o perıodo maior) que a funcao f .
Assim, o grafico de g(α) esta mostrado na figura abaixo (em comparacao com o
grafico de f(α) tambem mostrado nesta figura).
d) g(α) = −1
2sen(3α)
Resposta: Usando o raciocınio descrito nos itens anteriores, construimos o grafico
de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =
senα.
e) g(α) = |sen(2α)|Resposta: Usando o raciocınio descrito nos itens anteriores e lembrando a definicao
111
de modulo, construimos o grafico de g(α) que e mostrado na figura a seguir em
comparacao com o grafico de f(α) = senα.
O estudante deve familiarizar-se a construcao de graficos que envolvam a funcao sen(α)
e suas composicoes. Recomendamos que o estudante entenda e refaca os esbocos de
graficos do exemplo acima e recomendamo que faca, usando seu proprio racioncınio e nao
calculadora grafica ou computador, os varios exercıcios solicitados na lista ao final deste
capıtulo.
7.7 Funcao cosseno
Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:
A funcao cos(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:
a) E a projecao do ponto P no eixo x ou, mais especificamente, no eixo dos senos (OA
e OA’).
112
b) Como a projecao de P esta dentro do cırculo trigonometrico (que tem raio igual a
1) a imagem de f(α) e o intervalo [−1, 1], ou seja, −1 ≤ cos(α) ≤ 1;
c) Nos 1o e 4o quadrantes, o cosseno e positivo; nos 2o e 3o quadrantes o cosseno e
negativo;
d) Nos 3o e 4o quadrantes o cosseno e crescente; nos 1o e 2o quadrantes, o cosseno e
decrescente;
e) A partir de α = 2π, o cosseno se repete, ou seja, a funcao cos(α) e periodica de
perıodo 2π;
f) A funcao cosseno e uma funcao par, ou seja, f(α) = f(−α).
O grafico da funcao cosseno e apresentado na figura a seguir:
Olhando o grafico, vemos explicitamente que a funcao, partindo de α = 0, volta para
o mesmo ponto e com o mesmo sentido de crescimento para α = 2π, como ja haviamos
discutidos nas propriedades desta funcao.
A partir do grafico da funcao f(α) = cosα podemos contruir o grafico de outras
funcoes que envolvam o cosseno. Vamos a alguns exemplos simples.
Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao seno, o grafico das seguintes
funcoes trigonometricas:
113
a) g(α) = 2cosα
Resposta: Como no caso da funcao seno, o numero real multiplicado pela funcao
cosseno ira mudar sua amplitude de oscilacao. Assim, a imagem da funcao g ira
oscilar no intervalo [-2,2]. E seu grafico tera a forma mostrada na figura abaixo,
onde plotamos tambem, para comparacao, o grafico de f(α).
b) g(α) = −1
2cosα
Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tera sua amplitude alterada em
relacao ao grafico de f(α) = cosα e o sinal negativo inverte o sinal de g(α) em
relacao ao sinal de f(α). Ambas as curvas sao mostradas na figura a seguir.
c) g(α) = cos(3α)
114
Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tem a forma na funcao f(α) = cosα,
mas a sua oscilacao e mais ‘rapida’. Na verdade, enquanto a funcao f(α) executa
um perıodo de oscilacao a funcao g(α) executa tres perıodos de oscilacao.
O grafico de g(α) esta mostrado na figura abaixo (em comparacao com o grafico de
f(α) tambem mostrado nesta figura).
d) g(α) =1
3cos(2α)
Resposta: Usando o raciocınioo descrito nos itens anteriores, construimos o grafico
de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =
cosα.
e) g(α) = α cos(α)
Resposta: Usando o raciocınioo descrito nos itens anteriores, construimos o grafico
de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =
cosα. Perceba que o grafico de f oscila entre as retas y = α e y = −α.
115
Novamente devemos lembrar ao estudante a importancia de saber contruir graficos que
envolvam as funcoes trigonometricas, neste caso a funcao cosseno e combinacoes desta.
Portanto, o estudante deve tentar refazer todos os exemplos acima e, ao final do capıtulo,
fazer os varios exercıcios solicitados.
7.8 Funcao tangente
Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:
A funcao tg(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:
a) E a projecao do ponto P no eixo das tangentes (marcado na figura).
b) Como o eixo das tangentes e tangente ao ciclo trigonometrico, a tg(α) pode assumir
qualquer valor real. Ou seja, Im = IR;
116
c) Nos 1o e 3o quadrantes, como a projecao esta acima do eixo x, a tangente e positiva.
Equivalentemente, no 2o e 4o quadrantes, a tangente e negativa.
d) A funcao e crescente em todo intervalo.
e) A funcao e periodica com perıodo π.
f) O domınio da funcao nao inclui os pontos x =π
2± kπ, com k ∈ Z.
A funcao tg(α) pode, ainda, ser escrita em termos das funcoes seno e cosseno como:
tg(α) =sen(α)
cos(α)
Esta relacao pode ser obtida diretamente por comparacao de triangulos semelhantes na
figura do ciclo trigonometrico onde definimos a funcao tangente. Esta relacao e chamada
de segunda relacao trigonometrica fundamental. A primeira relacao veremos um
pouco mais a seguir.
Vale lembrar que em alguns textos e livros a funcao tangente aparece representada
por f(α) = tanα no lugar de f(α) = tgα. Nao iremos usar, em nosso livro, essa notacao
que vem do textos de origem inglesa, mas ela representa a mesma tangente que estamos
escrevendo como f(α) = tgα.
O grafico da funcao tangente e mostrado na figura a seguir:
117
Neste grafico visualizamos as propriedade da funcao tangente que foram descritas
anteriormente.
Podemos, como feito para as funcoes seno e cosseno verificar o comportamento do
grafico de funcoes que envolvam a tangente e combinacoes da tangente. Nos exemplos a
seguir faremos isto.
Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao tangente, o grafico das seguintes
funcoes trigonometricas:
a) g(α) = 2tgα
Resposta: O numero real (> 1) multiplicando a funcao tangente faz ela crescer
mais rapidamente. Na figura a seguir temos o grafico de g(α) = 2tgα e, comparati-
vamente, o grafico de f(α) = tgα.
b) g(α) = tg(2α)
Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tera seu perıodo alterado em relacao
ao grafico de f(α). Ambas as curvas sao mostradas na figura a seguir.
7.9 Funcoes cotangente, secante e cosecante
Alem das funcoes seno, cosseno e tangente, podemos definir as seguintes funcoes
trigonometricas, cujas expressoes matematicas e graficos sao mostrados a seguir.
118
⋄ Funcao Cotangente:
cotgα =1
tg(α)=
cos(α)
sen(α)
Cujo grafico esta representado na figura a seguir.
⋄ Funcao Secante:
secα =1
cos(α)
Cujo grafico esta representado na figura a seguir.
⋄ Funcao Cossecante:
cossecα =1
sen(α)
119
Cujo grafico esta representado na figura a seguir.
120
Queremos que os estudantes tenham um primeiro contato com estes graficos, mas
queremos uma atencao bem maior aos graficos das funcoes seno, cosseno e tangente e
de suas combinacoes, pois estas funcoes trigonometricas sao mais fundamentais para se
trabalhar, por enquanto, do que as funcoes secante, cossecante e cotangente.
7.10 Relacoes fundamentais
A partir do ciclo trigonometrico abaixo:
Podemos verificar facilmente a chamada primeira relacao fundamental da
trigonometria:
sen2(α) + cos2(α) = 1
que e deduzida usando-se o teorema de Pitagoras no triangulo da figura acima.
A relacao trigonometrica que e chamada de segunda relacao fundamental e a
definicao da tangente em termos do seno e do cosseno:
tg(α) =sen(α)
cos(α)
Esta relacao ja foi citada numa das secoes anteriores e tambem ja foi explicada que
ela e facilmente provada usando-se o ciclo trigonometrico e a comparacao de triangulos
121
nesse ciclo.
Usando a primeira relacao trigonometrica e o ciclo trigonometrico, podemos deduzir
outras importantes relacoes trigonometricas. Como, por exemplo:
tg2(α) + 1 = sec2(α)
cotg2(α) + 1 = cossec2(α)
Com um pouco mais de trabalho, pode-se deduzir tambem que:
sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a)
cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a)sen(b)
Estas relacoes sao importantes para a deducao de varias identidades trigonometricas.
Vamos usa-las mas, no entanto, nao vamos deduzi-las em nosso livro. Fica a cargo do
estudante pesquisar sua deducao.
Usando estas ultimas relacoes trigonometricas podemos deduzir, por exemplo, que:
sen(2a) = 2sen(a) cos(b)
cos(2a) = cos2(a)− sen2(a)
Identidades e relacoes trigonometricas sao importantes, por exemplo, para simplificar
diversas expressoes que envolvam funcoes trigonometricas e sao usadas, por exemplo, no
calculo de intregrais.
A pratica e um melhor traquejo em seu uso e obtida com treino, ou seja, fazendo-se
bastante exercıcio.
7.11 Funcoes trigonometricas inversas
As funcoes trigonometricas sao funcoes periodicas, portanto, nao possuem funcao in-
versa em todo o seu domınio.
Sendo assim, as funcoes trigonometicas inversas ou f funcoes arco sao apenas
relacoes trigonometricas, mas de extrema importancia.
Para encontrarmos as relacoes chamadas de funcoes trigonometricas inversas pre-
cisamos restringir o domınio das funcoes trigonometricas para que, dentro deste sub-
conjunto do domınio, a funcao trigonometrica possua funcao inversa.
122
7.11.1 A Funcao arcosseno
Para definirmos a funcao arcosseno vamos considerar a funcao seno definida por:
f :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
f(α) = sen(α)
Assim, a funcao arcoseno e definida como:
g : [−1, 1]→[−π
2,π
2
]g(α) = arcsen(α)
Ela representa o arco ou angulo que tem como seno, dentro do intervalo de domınio
considerado, o valor α.
Seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se que voce poderia construir
este grafico a partir do grafico da funcao seno no intervalo em que definimos que ela e
inversıvel e usando o espelhamento do grafico da funcao senα em relacao a reta f(α) = α.
7.11.2 A Funcao arcocosseno
Para definirmos a funcao arcocosseno vamos considerar a funcao cosseno definida por:
f : [0, π]→ [−1, 1]
f(α) = cos(α)
A funcao arcocosseno e definida como:
123
g : [−1, 1]→ [0, π]
g(α) = arccos(α)
Ela representa o arco ou angulo que tem como cosseno, dentro do intervalo de domınio
considerado, o valor α. E seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se que
voce poderia construir este grafico a partir do grafico da funcao cosseno no intervalo em
que definimos que ela e inversıvel.
7.11.3 A Funcao arcotangente
Para definirmos a funcao arcotangente vamos considerar a funcao tangente definida
por:
f :[−π
2;π
2
]→ IR
f(α) = tg(α)
A funcao arcotangente e definida como:
g : IR→[−π
2;π
2
]g(α) = arctg(α)
A funcao arcotangente de α representa o arco que tem como tangente, dentro do in-
tervalo considerado, o valor α. Seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se,
124
novamente, que voce poderia construir este grafico a partir do grafico da funcao tangente
no intervalo em que definimos que ela e inversıvel.
7.11.4 A Funcao arcocotangente
Para definirmos a funcao arcocotangente vamos considerar a funcao cotangente definida
por:
f : [0; π]→ IR
f(α) = cotg(α)
A funcao arcocotangente e definida como:
g : IR→ [0, π]
g(α) = arccotg(α)
A funcao arcocotangente de α representa o arco que tem como cotangente, dentro do
intervalo considerado, o valor α.
Apesar de definirmos esta e as proximas funcoes inversas trigonometricas, nao vamos
nos ater ao estudo de seus graficos, ficando apenas com suas definicoes matematicas.
125
7.11.5 A Funcao arcossecante
Para definirmos a funcao arcossecante vamos considerar a funcao secante definida por:
f :[0;
π
2
[∪]π2; π]→ IR−]− 1, 1[
f(α) = sec(α)
A funcao arcosecante e definida como:
g : IR−]− 1, 1[→[0;
π
2
[∪]π2; π]
g(α) = arcsec(α)
A funcao arcosecante de α representa o arco que tem como secante, dentro do intervalo
considerado, o valor α.
7.11.6 A Funcao arcocossecante
Para definirmos a funcao arcocossecante vamos considerar a funcao cossecante definida
por:
f :[−π
2, 0[∪]0,
π
2
]→ IR−]− 1, 1[
f(α) = cosec(α)
A funcao arcocossecante e definida como:
g : IR−]− 1, 1[→[−π
2, 0[∪]0,
π
2
]g(α) = arccosec(α)
A funcao arcocosecante de α representa o arco que tem como cossecante, dentro do
intervalo considerado, o valor α.
7.12 Exercıcios
1. Exprima em radianos os seguintes angulos:
a) x = 60o
b) x = 15o
126
c) x = 75o
d) x = 240o
e) x = 45o
2. Exprima em graus os seguintes angulos:
a) x =π
4rad
b) x =2π
3rad
c) x =π
6rad
d) x =5π
6rad
3. Determine o comprimento do arco AB definido em uma circunferencia de raio igual
a 10 cm e que subtende um angulo central AOB = 2 rad.
4. Duas polias, de tamanhos diferentes, estao ligadas por uma correia comum e inex-
tensivel. Sabendo que o raio da polia maios e de 5 cm e da polia menor e de 2 cm,
detemine o quanto deve girar :
a) a polia maior para que a menor de uma volta completa;
b) a polia menor para que a maior de uma volta completa.
5. Determine, quando possıvel, o valor de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante
e cotangente dos seguintes angulos:
a) x =π
2b) x = π
c) x =π
6
d) x =5π
6e) x = 120o
f) x = 210o
g) x = 150o
6. Determine o valor de y dado pelas seguintes expressoes:
a) y = sen140o − sen40o
127
b) y =senπ
4· sen2π
3
sen7π6· sen5π
3
c) y =senπ
3− 2 · senπ
6
sen3π2− 3 · senπ
2
d) y =cos(−π) · sen
(−π
2
)sen5π
2· cos 8π
5
e) y =tgπ
3· tg3π
4− tg0
tg(−π
3
)· tg(−5π
6
)f) y =
tg2π − sen2π + cos π
senπ + cos 2π − tgπ
g) y =tg2π − sen2π + cos π
senπ + cos 2π − tgπ
7. Determine os valores reais de m para os quais podemos ter:
a) senx =2−m
3
b) cos x =2m− 3
4
8. Sendo x um arco do 2o quadrante, qual o sinal da expressao y =tgx · cotg(x+ π
2)
cotgx · cotg(x+ π)?
9. Sendo x um arco do 3o quadrante, qual o sinal da expressao y =senx · cosx · secxtgx · sec(x+ π)
?
10. Sabendo que 2senx+ 5 cosx = 0 e queπ
2< x < π, obtenha senx e cos x.
11. Encontre os valores de x para os quais:
a) senx = cos x
b) cos2 x = 1
c) cos2 x− sen2x = 0
12. Simplifique a expressao:
y =sec x− cossecx
1− cotgx
13. Verifique se as seguintes identidades trigonometricas sao verdadeiras.
a) senx · sec x = tgx
b) (1− cosx)(1 + cosx) = sen2x
128
c) cotgx+ senx1+cosx
= cossecx
c)tga+tgb
cotga+cotgb = tga · tgb
14. Usando relacoes trigonometricas, determine o valor de y nas expressoes abaixo:
a) y = tg2x+ tg4x
b) y =cos2x
1− senx
c) y =1− sen2x
cotgx · senx
15. Determine:
a) y = arccos
(−√2
2
)b) y = arccos (−1)
c) y = arccos (−1) + arccos
(1
2
)d) y = arccos (−1)− arccos
(1
2
)+ π
16. Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes y = f(x):
a) f(x) = 3 cos(x)
b) f(x) = sen(x2
)c) f(x) = 3sen(2x)
d) f(x) = 5− sen(3x)
e) f(x) = 2x+ cos(2x)
f) f(x) = 3|sen(2x)|
g) f(x) = exsen(x)
h) f(x) = 2x+ |sen(3x)|
∗ ∗ ∗
129
Apendice A
Introducao aos Conjuntos
A.1 Nocoes iniciais
Os conjuntos numericos sao conjuntos cujos elementos sao numeros que guardam,
entre si, uma caracterıstica comum e, por isto, possuem elementos perfeitamente carac-
terizados.
Ao estudarmos e trabalharmos em Matematica, Fısica e Engenharia, estamos fazendo
operacoes dentro de um conjunto numerico. Por exemplo, ao fazermos uma operacao entre
dois elementos de um conjunto numerico e obtendo como resultado um outro elemento
desse mesmo conjunto numerico, quando dizemos que a operacao esta definida dentro
deste conjunto numerico.
Precisamos conhecer os principais conjuntos numericos e aprender a trabalhar e ope-
rar matematicamente com os elementos deste conjuntos. Assim, nos primeiros apendices
de nosso livro iremos revisar as operacoes aritmeticas fundamentais no contexto dos con-
juntos numericos. Para tanto, neste apendice A iremos estudar/revisar algumas nocoes
e conceitos basicos sobre teoria geral dos conjuntos, para nos proximos apendices estu-
darmos os principais conjuntos numericos (desde o conjunto dos numeros naturais ate o
conjunto dos numeros reais) e as operacoes aritmeticas que estao definidas dentro desses
conjuntos.
Assim, neste apendice, para revisarmos algumas nocoes basicas da Teoria dos Con-
juntos, vamos comecar relembrando os principais conceitos e definicoes referentes a con-
juntos. Estes primeiros conceitos que precisamos relembrar/conhecer sao as definicoes
relacionadas a conjuntos e a seus elementos.
• Conjunto e uma colecao bem definida de objetos.
• Os objetos de um conjunto sao chamados de membros ou elementos.
130
• Classe, colecao e famılia sao sinonimos para conjuntos.
• Para designar os conjuntos usamos letras maiusculas.
Podemos tomar como exemplo os seguintes conjuntos:
1. A = 1, 3, 5, 7, . . . .
2. B = 0, 2, 4, 6, . . . .
3. IN = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , conjunto dos numeros naturais.
4. W = amarelo, branco, preto.
5. V = v : v e um segmento orientado, horizontal,
orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 .
6. P = x : x e aluno da Escola de Ciencia e Tecnologia.
As definicoes e propriedades que vamos estudar neste capıtulo valem tambem para os
conjuntos numericos. Mas, o que sao conjuntos numericos?
Conjunto Numericos: sao conjuntos cujos elementos sao numeros que guardam
entre si uma caracterıstica comum. Tais conjuntos possuem elementos muito bem carac-
terizados.
Os principais conjuntos numericos sao:
• IN: conjunto dos numeros naturais;
• Z: conjunto dos numeros inteiros;
• IQ: conjunto dos numeros racionais;
• II: conjunto dos numeros irracionais;
• IR: conjunto dos numeros reais;
• C: conjunto dos numeros complexos.
Estes conjuntos numericos, excetuando-se o conjunto C serao revisados/estudados nos
proximos apendices de nosso livro na revisao sobre as operacoes aritmeticas basicas. Mas,
antes de os estudarmos, precisamos estudar alguns conceitos e importantes propriedades
relacionadas a todos os conjuntos, assim como duas das operacoes entre conjuntos.
131
A.2 Representacao dos conjuntos
Nos exemplos de conjuntos que vimos ate aqui, usamos duas maneiras distintas para
especificar os conjuntos.
a) Listando seus elementos separados por vırgulas e entre chaves.
1. A = 1, 3, 5, 7, . . . .
2. B = 0, 2, 4, 6, . . . .
3. IN = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , conjunto dos numeros naturais.
4. W = amarelo, branco, preto.
b) Descrevendo as propriedades que caracterizam estes elementos.
5. V = v| v e um segmento orientado, horizontal,
orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 .
6. P = x| x e aluno da Escola de Ciencia e Tecnologia.
Um mesmo conjunto pode ser especificado por qualquer das duas maneiras. Assim,
por exemplo, podemos ter:
1. A = 1, 3, 5, 7, . . . A = x| x e um numero ımpar
2. B = 0, 2, 4, 6, 8, . . . B = x| x e um numero parB = x = 2k| x ∈ IN
3. C = 1, 2, 3, 4, 5C = x| x ∈ IN; 1 ≤ x ≤ 5
Observacoes importantes
1. A ordem na qual os elementos sao apresentados dentro do conjunto nao e importante.
Assim, os conjuntos D = a, b, c, d e C = b, d, c, a sao identicos.
2. O conjunto vazio e, em nosso livro e na maioria dos livros didaticos, representado
pelo sımbolo ∅.
3. Usa-se, normalmente, o sımbolo ♯ para representar o numero de elementos de um
conjunto.
132
4. Usamos retiscencias apos indicar alguns elementos de um conjunto (como no con-
junto A = 1, 3, 5, 7, . . . ) para indicar que o conjunto e infinito. Por convencao,
so colocamos as retiscencias quando ja esta subentendido quais sao os proximos
elementos do conjunto (no caso do conjunto A, ja se percebeu que os elementos a
seguir sao 9, 11, 13 e os demais numeros ımpares).
Exemplo: Determine o numero de elementos dos conjuntos enunciados a seguir.
a) P = x| x ∈ IN; 0 < x < 1Resposta: Nao ha nenhum numero natural que obedeca a condicao 0 < x < 1, ou
seja, P = ∅ =⇒ ♯P = 0.
b) C = amarelo, azul, vermelho, brancoResposta: O numero de elementos de C e 4, ou seja, ♯C = 4.
c) IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . Resposta: O conjunto dos numeros naturais tem infinitos elementos, ou seja, ♯IN =
+∞.
A.3 Relacao de pertinencia
A letra grega ∈ da a relacao de pertinencia entre elementos e conjuntos. Por exemplo,
dado o conjunto A = 1, 3, 5, 7, . . . , podemos escrever que: 1 ∈ A; e 2 /∈ A.
Vamos entender melhor o uso da relacao de pertinencia com o exemplo a seguir.
Exemplo: Considere os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, . . . e B = 0, 2, 4, 6, . . . . Pode-mos escrever que:
a) 0 ∈ A?
Resposta: Nao, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros ımpares e o zero
e par. Podemos escrever que 0 /∈ A.
b) 7 ∈ A?
Resposta: Sim, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros ımpares e o
numero sete e ımpar.
c) 1 ∈ B?
Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e o
numero um e ımpar. Podemos escrever que 1 /∈ B.
133
d) 3 ∈ B?
Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e o
numero tres e ımpar. Podemos escrever que 3 /∈ B.
Devemos ressaltar que, de forma alguma, pode-se usar ∈ para relacionar um conjunto
a outro. Por exemplo, se A = 1, 3, 5, 7, . . . e C = 1, 3, 5, NAO podemos escrever
que C ∈ A.
A.4 Subconjuntos
Consideremos dois conjuntos A e B. Esses conjuntos sao tais que todos os elementos
do conjunto A sao tambem elementos do conjunto B.
Dizemos que o conjunto A e subconjunto de B e escrevemos:
A ⊂ B ou A ⊆ B
Tambem podemos dizer que B contem A e escrever:
B ⊇ A
Se A ⊆ B e existe um elemento de B que nao pertence a A, dizemos que A e subcon-
junto proprio de B e escrevemos:
A B
Para que dois conjuntos sejam iguais devemos ter a seguinte condicao:
A = B ⇔ A ⊆ B; B ⊆ A
Exemplo: Considere o conjunto dos numeros naturais IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . ., oconjunto A = 1, 3, 5, 7, . . . e o conjunto vazio ∅. Podemos escrever que:
i) A IN?
Resposta: Sim, pois todo elemento de A tambem e elemento de IN e em IN
ha elementos que nao pertencem a A.
ii) ∅ A?
Resposta: Sim, pois todo elemento de ∅ tambem e elemento de A e ha
elementos de A que nao pertencem ao conjunto ∅.
iii) ∅ ∈ A ?
Resposta: Nao, ∅ nao e elemento do conjunto A.
134
iv) ∅ ⊂ A ?
Resposta: Nao, pois ∅ nao e elemento do conjunto A.
v) ∅ ⊂ ∅ ?Resposta: Sim, pois todo elemento do conjunto ∅ pertence ao conjunto ∅.
Importante: Sejam A, B e C tres conjuntos. Entao, e sempre verdade que:
1. A ⊆ A
2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, entao A = B.
3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, entao A ⊆ C.
A.5 Conjunto Universo - Ω
Uma teoria e desenvolvida, em geral, usando subconjuntos de um dado conjunto. O
conjunto de todos os subconjuntos usados na teoria e denominado conjunto universo.
Normalmente, usamos a letra grega Ω (Omega maiuscula) para indicar este conjunto.
Exemplos:
1. Ao estudarmos populacoes ou ao fazermos contagem de elementos, o conjunto uni-
verso e o conjunto dos numeros naturais, ou seja,
Ω = IN = 0, 1, 2, 3, 4, ....
2. Em nosso livro o conjunto universo sera o conjunto dos numeros reais, Ω = IR.
3. Na maioria dos componentes curriculares da area de exatas, o conjunto universo e
o conjunto dos numeors reais (IR), mas em alguns poucos casos e o conjunto dos
numeros complexos (C).
135
A.6 Diagrama de Venn
O chamado diagrama de Venn e uma representacao grafica de um ou mais conjuntos.
Nela, os conjuntos sao representados por areas fechadas dentro de um plano.
Assim, o conjunto A = a, b, c, d, tem como diagrama de Venn qualquer uma das
representacoes mostradas na figura abaixo:
O conjunto universo Ω e representado pelo interior de um retangulo. Assim, o conjunto
A, subconjunto do conjunto universo Ω e este proprio, tem como representacao o diagrama
de Venn dado pela figura a seguir:
Exemplo: Considere os conjuntos representados nas figuras abaixo.
O que podemos afirmar sobre os conjuntos A e B nas situacoes representadas pelas
figuras (a), (b) e (c)?
Resposta: Na figura (a) temos que A ⊆ B. Na figura (b) os conjuntos A e B tem
alguns elementos em comum. E na figura (c) os conjuntos A e B sao disjuntos.
136
A.7 Operacoes com conjuntos
Agora que revisamos os principais conceitos e definicoes relacionados aos conjuntos
vamos estudar/relembrar duas das principais operacoes entre conjuntos, que sao a uniao
e a interseccao de conjuntos. As outras operacoes entre conjuntos (subtracao, diferenca
simetrica e complementacao) ficam a cargo do estudante pesquisar e estudar em material
complementar.
• Uniao
A primeira operacao que vamos estudar e a uniao entre conjuntos. Vamos a sua
definicao.
Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A ∪ B a uniao dos conjuntos A e B e
que e o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Ou seja:
A ∪B = x| x ∈ A ou x ∈ B.
Em termos dos diagramas de Venn, a uniao de dois conjuntos A e B e representada
pela figura a seguir:
Assim, o conjunto A ∪ B e representado, no diagrama de Venn, pela area de A e de
B, incluindo a area comum a estes dois conjuntos.
A uniao de tres conjuntos sera indicada por: A ∪B ∪ C.
Generalizando, a uniao de n conjuntos A1, A2, A3, . . . An sera indicada por∪n
k=1 Ak.
Ou seja:
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An =n∪
k=1
Ak
137
Exemplo: Dados os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, ..., B = 0, 2, 4, 6, 8, ... e IN =
0, 1, 2, 3, 4, ..., determine:
a) A ∪B.
Resposta: O conjunto A∪B, que e o conjunto dos elementos que pertencem
a A ou a B e dado por:
A ∪B = 0, 1, 2, 3, 4, ... = IN
b) B ∪ IN.
Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN, assim temos
que:
B ∪ IN = IN
• Interseccao
A interseccao de conjuntos e considerada a operacao inversa da uniao de conjuntos.
Vamos a sua definicao.
Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A∩B a interseccao entre os conjuntos A
e B que e o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ou seja:
A ∩B = x| x ∈ A e x ∈ B.
Em termos dos diagramas de Venn, a interseccao de dois conjuntos A e B e represen-
tada pela area que pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. A representacao
da interseccao dos conjuntos A e B no diagrama de Venn e mostrada na figura a seguir.
A interseccao de tres conjuntos sera indicada por: A ∩B ∩ C.
Generalizando, a interseccao de n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera indicada por:∩nk=1 Ak. Ou seja,
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · · ∩ An =n∩
k=1
Ak.
138
Dizemos que dois conjuntos sao disjuntos se sua interseccao e vazia. Ou seja, dados
os conjuntos A e B, se A ∩B = ∅ dizemos que A e B sao disjuntos.
Exemplo: Dados os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, ..., B = 0, 2, 4, 6, 8, ... e IN =
0, 1, 2, 3, 4, ..., determine:
a) A ∩B.
Resposta: O conjunto A ∩ B e o conjunto dos elementos que pertencem a
A e, ao mesmo tempo, pertencem a B. Como os conjuntos A e B nao tem
elementos em comum (A e B sao disjuntos), temos que:
A ∩B = ∅
b) B ∩ IN.
Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN (B e sub-
conjunto de IN). Desta forma temos que:
B ∩ IN = B ⇒ B ⊂ IN
Ha outras operacoes entre conjuntos (subtracao, diferenca simetrica e comple-
mentacao) mas nao vamos relembra-las aqui, pois estamos interessados em estudar os
conjuntos numericos e as operacoes entre elementos destes conjuntos e nao entre os con-
juntos.
A.8 Numero de elementos do conjunto uniao
Dada a uniao entre dois ou mais conjuntos finitos, muitas vezes, mesmo sem conhecer-
mos os elementos de cada conjunto, precisamos saber o numero de elementos do conjunto
uniao.
Para tanto, precisamos precisamos definir uma expressao matematica para calcular o
numero de elelemtos do conjunto uniao em termos do numero de elementos de cada um
dos conjuntos individuais e das interseccoes entre eles.
Vamos primeiro considerar a uniao entre os conjuntos A e B finitos, de forma que ♯A
seja o numero de elementos do conjunto A, ♯B o numero de elementos de B e ♯(A∩B) o
numero de elementos do conjunto A ∩ B. Desta forma, o numero de elelemtos de A ∪ B
sera dado por:
♯(A ∪B) = ♯A+ ♯B − ♯(A ∩B)
139
onde foi subtraıdo o ♯(A ∩ B) pois, por serem os elementos comuns aos conjuntos A e B
sao somados duas vezes quando contamos os elementos de A e depois os elementos de B.
Analogamente, podemos obter o numero de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C, onde
A, B e C sao conjuntos finitos, como:
♯(A ∪B ∪ C) = ♯A+ ♯B + ♯C − ♯(A ∩B)− ♯(A ∩ C)− ♯(B ∩ C) + ♯(A ∩B ∩ C)
A partir do conteudo revisado e/ou estudado neste apendice, e importante que o
estudante verifique seus conhecimentos fazendo os exercıcios constantes na lista a seguir.
A.9 Exercıcios
Vamos alguns exercıcios para fixar melhor os conceitos que acabamos de relembrar.
1. Dados os conjuntos A = 0, 1, B = 0, 2, 3 e C = 0, 1, 2, 3, classifique em
verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmacao abaixo.
a) ( ) A ⊂ B
b) ( ) 1 ⊂ A
c) ( ) A ⊂ C
d) ( ) B ⊃ C
e) ( ) B ⊂ C
f) ( ) 0, 2 ∈ B
2. Se A ⊂ B ⊂ C e x /∈ B, entao, necessariamente:
a) ( ) x /∈ C
b) ( ) x ∈ A
c) ( ) x ∈ C
d) ( ) x /∈ A
e) ( ) x ∈ A ou x ∈ C
3. Dados os conjuntos abaixo: A = 1, 3, 4, 7, 8, 9, B = 1, 2, 3, 4, 5 e C = 1, 3,podemos fazer as seguintes afirmacoes sobre eles: i) C ⊆ A; ii) C ⊆ B; iii) B * A;
e iv) A * B. Usando as nocoes de subconjuntos, podemos fazer outras afirmacoes
sobre os conjuntos A, B e C? Quais?
140
4. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de A∩B e 30, o numero
de elementos de A∩C e 20 e o numero de elementos de A∩B ∩C e 15. Determine
o numero de elementos de A ∩ (B ∪ C).
5. Se A, B e A ∩ B sao conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, qual o
numero de elementos do conjunto A ∪B?
6. Sabendo-se que a, b, c, d∪X = a, b, c, d, e, c, d∪X = a, c, d, e e b, c, d∩X =
c, determine o conjunto X?
7. Sejam ♯A = 2, ♯B = 3 e ♯C = 4, entao e verdadeiro que:
(a) ♯(A ∩B) ≤ 1
(b) ♯(A ∪ C) ≤ 5
(c) ♯((A ∩B) ∩ C) ≤ 2
(d) ♯((A ∪ C) ∩ C) ≤ 2
(e) ♯(A ∩ ∅) ≥ 2
8. Dados os conjuntos A = 1, 2,−1, 0, 4, 3, 5 e B = −1, 4, 2, 0, 5, 7 assinale a
afirmacao verdadeira:
(a) A ∪B = 2, 4, 0,−1
(b) A ∩ (B − A) = ∅
(c) A ∩B = −1, 4, 2, 0, 5, 7, 3
(d) (A ∪B) ∩ A = −1, 0
(e) n.d.a.
9. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentecas a seguir:
a) ( ) 1 ∈ 1
b) ( ) 1 ⊆ 1
c) ( ) 1 ∈ 1
d) ( ) ∅ ∈ 1
e) ( ) ∅ ⊆ 1
10. Dados os conjuntos A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, B = 3, 6, 9, 12, 15 e C =
0, 5, 10, 15, 20, determine:
141
a) A ∪B
b) A ∩B
c) A ∩ C
d) A ∪ C
e) B ∪ C
f) A ∩B ∩ C
g) A ∪B ∪ C
h) A ∩ (B ∪ C)
i) (A ∩B) ∩ (B ∪ C)
11. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de A∩B e 45; o numero
de elementos de A∩C e 40 e o numero de elementos de A∩B∩C e 25. Determinar
o numero de A ∩ (B ∪ C).
12. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam ingles, 163 estudam frances e 52
estudam ambas as lınguas. Quantos alunos estudam ingles ou frances? Quantos
alunos nao estudam nenhuma das duas?
13. Fez-se uma pesquisa de mercado com a populacao de uma cidade sobre o consumo
de sabao em po de tres marcas distintas A, B e C. Na tabela abaixo sao mostrados
os resultados da pesquisa em relacao a populacao consultada.
Marcas No consumidores
A 109
B 203
C 162
A e B 25
A e C 28
B e C 41
A, B e C 5
Nenhuma 115
Determine o numero de pessoas:
(a) consultadas;
(b) que nao consomem as marcas A ou C;
142
(c) que consomem pelo menos duas marcas;
(d) que consomem as marcas A e B mas nao consomem a marca C;
(e) que consomem apenas a marca C.
14. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respon-
dessem sim ou nao: gosta de musica? gosta de esportes? Responderam sim a
primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim a segunda pergunta; 25 respon-
deram sim a ambas; e 40 nao a ambas. Qual o total de jovens entrevistados?
15. De um total de 35 estudantes estrangeiros que vieram ao Brasil, 16 visitaram Ma-
naus, 16 visitaram Sao Paulo e 11 visitaram Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram
Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram tambem Sao Paulo. Determine o numero
de estudantes que visitaram Manaus ou Sao Paulo.
16. Em uma cidade constatou-se que as famılias que consomem arroz nao consomem
macarrao. Sabe-se que 40% consomem arroz, 30% macarrao, 15% arroz e feijao, 20%
macarrao e feijao e 60% consomem feijao. Determinar a percentagem correspondente
as famılias que nao consomem esses produtos.
∗ ∗ ∗
143
Apendice B
Conjunto dos Numeros Naturais, IN
B.1 Introducao
O conjunto IN, que ja foi utilizado em alguns exemplos e exercıcios do apendice anterior,
e o conjunto dos numeros naturais.
IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
O conjunto IN e um conjunto infinito e surgiu da necessidade natural de se contar
objetos (dedos, ovelhas do rebanho, filhos, dias, etc.). Os outros conjuntos numericos sao
ampliacoes do conjunto dos numeros naturais.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por uma reta numerada.
Cada elemento marcado na reta acima corresponde a um elemento de N.O conjunto IN possui alguns subconjuntos importantes:
1. O conjunto dos numeros naturais nao nulos.
IN∗ = 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ IN∗ = IN− 0
Atualmente alguns autores usam como convencao que IN∗ e conjunto dos numeros
naturais. Neste caso, o conjunto IN = IN∗∪0 e chamado de conjunto dos naturais
estendidos. Nao usaremos esta convencao!
2. O conjunto dos numeros naturais pares.
INp = 0, 2, 4, 6, . . . ⇒ INp = n = 2k| k ∈ IN
144
3. O conjunto dos numeros naturais impares.
INi = 1, 3, 5, 7, . . . ⇒ INi = n = 2k + 1| k ∈ IN
4. O conjunto dos numeros primos:
P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .
B.2 Operacoes com numeros naturais
No conjunto IN estao definidas duas operacoes: adicao e multiplicacao. Isto quer
dizer que: i) adicionando-se dois elementos quaisquer de IN, a soma e elemento de IN; ii)
multiplicando-se dois elementos quaisquer de IN, o produto e elemento de IN. Ou seja:
∀m,n ∈ IN
m+ n ∈ IN
m · n ∈ IN
Ou podemos dizer:
O conjunto IN e fechado em relacao
a adicao e a multiplicacao.
Efetuar as operacoes de soma e multiplicacao dentro do conjunto dos numeros naturais
e bem simples, mas devemos efetua-las com cuidados para evitar enganos.
Vamos resolver algumas expressoes algebricas simples dentro do conjunto IN para
treinar.
Exemplo: Obtenha os resultados das expressoes numericas a seguir.
a) x = 1 + 2 + 3 + 4
Resolucao: Neste caso, somamos os numeros diretamente e obtemos:
x = 1 + 2 + 3 + 4
x = 10
b) x = 2 + 3 · 5.Resolucao: Neste caso, efetuamos a multiplicacao antes da soma. Assim:
x = 2 + 3 · 5x = 2 + 15
x = 17
145
c) x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1.Resolucao: Neste caso, temos:
x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1x = 2 + 14 + 3 + 4
x = 23
Ao trabalharmos com expressoes numericas e mesmo algebricas, devemos lembrar
sempre que:
A multiplicacao precede a soma!!!
No caso de algumas operacoes virem entre parenteses (ou colchetes ou chaves), efe-
tuamos primeiro as operacoes entre parenteses para elimina-los. Vejamos o exemplo a
seguir.
Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.
a) x = (2 + 3) · 4Resolucao:
x = (2 + 3) · 4x = 5 · 4x = 20
b) x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3.
Resolucao:
x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3
x = 15 · 6 + 3
x = 90 + 3
x = 93
Em expressoes numerica e algebricas, e muito importante colocar parenteses, colchetes
e chaves para separar as operacoes e indicar a ordem certa de se efetua-las.
O conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multiplicacao, mas o mesmo nao
ocorre para a subtracao. Isto e, o conjunto IN nao e fechado em relacao a subtracao. Por
exemplo, se tenho duas ovelhas e prometi duas para minha esposa e tres para meu filho,
nao poderei quitar minhas promessas.
146
x = 2− 5 = −3⇒ x /∈ IN
Assim, teve-se a necessidade de ampliar o conjunto N e surgiu o conjunto dos numeros
inteiros Z que estudaremos na proxima seccao.
Embora conjunto IN nao seja fechado em relacao a subtracao, podemos realizar esta
operacao entre numeros naturais e, em muitos caso, obter resoltados dentro do conjunto
dos numeros naturais.
Do estudo/revisao deste conjunto numerico, alem da breve revisao das operacoes ar-
itmetica de adicao e multiplicacao, ficam as regras que sao validas para quaisquer ex-
pressoes algebricas e numericas:
1) Ao efetuar as operacoes de adicao e multiplicacao, a multiplicacao e feita antes da
adicao.
2) Os parenteses, colchetes e chaves sao usados para separar operacoes aritmeticas. As
operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes entre colchetes, que sao
feitas antes das operacoes entre chaves.
B.3 Exercıcios
1. Resolva as seguintes expressoes numericas:
a) x = 2 + 3 · 5 · 2 + 1
b) x = 3 · 2(3 + 1) + 7
c) x = (1 + 2) + (3 + 4) · (5 + 6) + 7
d) x = 39 + [1 + 4 · (2 + 2) · 5] + 1
∗ ∗ ∗
147
Apendice C
Conjunto dos Numeros Inteiros, Z
C.1 Introducao
A primeira extensao do conjunto dos numeros naturais e o conjunto dos numeros
inteiros ou conjunto Z, que esta explicitado a seguir:
Z = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Da representacao acima vemos que todos os elementos de IN pertencem tambem a Z.Ou seja:
IN Z
A representacao geometrica de Z e feita a partir da representacao de IN. Basta acres-
centarmos os pontos correspondentes aos numeros negativos.
O conjunto Z possui alguns subconjuntos notaveis:
1. O conjunto dos numeros inteiros nao nulos.
Z∗ = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Z∗ = Z− 0
2. O conjuntos dos numeros inteiros nao negativos:
Z+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ Z+ = IN
148
3. O conjunto dos numeros inteiros positivos:
Z∗+ = 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ Z∗
+ = IN∗
4. O conjunto dos numeros inteiros nao positivos:
Z− = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0
5. O conjunto dos numeros inteiros negativos:
Z∗− = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1
C.2 Operacoes com numeros inteiros
No conjunto Z estao definidas tres operacoes: adicao, multiplicacao e subtracao. As-
sim, fazendo-se a adicao, multiplicacao ou subtracao entre dois elementos quaisquer de Z,o resultado e elemento de Z. Ou seja:
∀m,n ∈ Z
m+ n ∈ Zm · n ∈ Zm− n ∈ Z
Ou podemos dizer:
O conjunto Z e fechado em relacao
a adicao, a multiplicacao e a subtracao.
No conjunto Z podemos e devemos estar habilitados a fazer as operacoes de adicao,
multiplicacao e subtracao entre seus elementos.
Ao efetuar estas operacoes em expressoes numericas devemos lembrar que:
1. A multiplicacao e feita antes da adicao e da subtracao.
2. A adicao e a subtracao sao efetuadas ao mesmo tempo.
3. As operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes entre
colchetes que sao feitas antes das operac eos entre chaves que sao feitas
antes das operacoes que estao fora destes.
Vamos treinar um pouco resolvendo o exemplo a seguir.
Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.
149
a) x = 3 · (4− 1) + 4
Resolucao:
x = 3 · (4− 1) + 4
x = 3 · 3 + 4
x = 9 + 4
x = 13
b) x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3.
Resolucao:
x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3
x = −2 · [2 + (−5) · (−3)] + 3
x = −2 · [2 + 15] + 3
x = −2 · [17] + 3
x = −34 + 3
x = −31
No exemplo acima usamos, implicitamente, a regra dos sinais para a soma/subtracao
e tambem a regra dos sinais para a multiplicacao/divisao. Estas regras valem sempre e
podem ser enunciadas da seguinte maneira:
1. Regra dos sinais para a soma/subtracao:
a) para numeros com sinais iguais, somamos os coeficientes e mantemos o sinal;
b) para numeros com sinais diferentes, subtraimos os coeficientes e mantemos
o sinal do maior.
2. Regra dos sinais para a multiplicacao/divisao (e eliminacao de parente-
ses):
a) para numeros com sinais iguais, o resultado e sempre positivo;
b) para numeros com sinais diferentes, o resultado e sempre negativo.
O conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao e a subttracao, mas o
mesmo nao ocorre em relacao a divisao, ou seja, o conjunto Z nao e fechado em relacao
a divisao.
150
Por exemplo, se dividimos (-5) por 10, nao existe numero inteiro que seja resultado
desta operacao, ou seja,
x =(−5)10
= −1
2
x /∈ Z
Assim, teve-se uma necessidade de ampliar o conjunto Z e surgiu o conjunto dos
numeros racionais, IQ, que sera estudado na proxima seccao. Por hora, vamos fazer o
exemplo abaixo para fixarmos melhor as ideias e conhecimentos a cerca dos conjuntos IN
e Z. O conjunto dos numeros racionais sera revisado no proximo apendice.
Exemplo: Classifique as sentencas como verdadeiras ou falsa, para ∀m,n, p ∈ IN
a) [(m+ n) · p] ∈ IN
Resposta: Como o conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multi-
plicacao, temos que (m + n) ∈ IN e, por conseguinte, [(m + n) · p] ∈ IN, o que
torna a sentenca verdadeira.
b) [m · (n− p)] ∈ ZResposta: Como o conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao
e a subtracao, e como todo elemento de IN tambem pertence a Z, temos que
(n − p) ∈ Z e, por conseguinte, [m · (n − p)] ∈ IN, o que torna a sentenca
verdadeira.
c) [(m+ n) · (n+ p)] > 0
Resposta: Como m,n, p ∈ IN, as adicoes (m+n) e (n+p) podem ser maiores,
menores ou mesmo iguais a zero, desta forma sua multiplicacao tambem pode
ter qualquer sinal ou mesmo ser igual a zero, o que torna a sentenca falsa.
Tome, por exemplo, m = −5, n = 2 e p = 1, neste caso temos que o resultado
da sentenca e [(m+ n) · (n+ p)] = [(−5 + 2) · (2 + 1)] = −9 < 0.
d) (mp−m) ∈ IN
Resposta: Temos que mp−m = m(p− 1), como m, p ∈ IN temos que m(p−1) ∈ IN ⇔ p ≥ 1, mas como o p tambem pode ser igual a zero, temos que a
expressao e falsa.
Antes de estudarmos o conjunto dos numeros racionais, vamos estudar dois impor-
tantes conceitos que surgem ao estudarmos o conjunto Z e que, por serem conceitos
gerais, tambem serao validos para os outros conjuntos numericos estudados nos apendices
seguintes e em todo o nosso livro. Estes conceitos sao a nocao de numeros opostos ou
simetricos e o modulo de um numero.
151
C.3 Numeros opostos ou simetricos
Dois numeros inteiros sao ditos opostos ou simetricos quando apresentam soma igual
a zero.
Os pontos que representam dois numeros opostos na reta numerada estao igualmente
distantes da origem. Como exemplo podemos visualizar na figura a seguir:
Assim, o oposto de m e −m, e vice-versa.
O oposto de zero e o proprio zero.
Exemplo: Determine quantas unidades devemos diminuir de:
a) 5 para chegar a −9;Resposta: So temos que resolver a equacao 5− x = −9⇒ x = 14. Portanto,
temos que diminuir 14 unidades de 5 para chegar a −9.
b) −2 para chegar a −8;Resposta: Neste caso, temos que resolver a equacao −2 − x = −8 ⇒ x = 6.
Portanto, temos que diminuir 6 unidades de −2 para chegar a −8.
c) 5 para chegar a 12.
Resposta: Pela equacao, 5 − x = 12 ⇒ x = −7, portanto para sairmos de 5
e chegar a 12 temos que somar (e nao diminuir) 7 unidades.
C.4 Modulo de um numero inteiro
O modulo ou valor absoluto de um numero inteiro e a distancia da origem ao ponto
que o representa na reta. Assim, dizemos que o modulo de -5 e 5. E o modulo de 5 e 5.
Indicamos o modulo de um numero inteiro, pelo numero inteiro entre barras verticas.
Ou seja, o modulo de −m e dado por:
| −m| = m ∀m ∈ IN
e o modulo de m e dado por:
|m| = m; ∀m ∈ IN
152
Em alguns textos o modulo de um numero e representado pelo numero entre barras
verticais duplas, ou seja, nesses textos tem-se que |m| = ||m||.
Exemplos: Calcule:
a) x = |10− 7|;Resposta: Resolvendo a expressao, temos:
x = |10− 7| = |3| = 3
b) x =∣∣∣10− |5 + 7|
∣∣∣;Resolucao:
x =∣∣∣10− |5 + 7|
∣∣∣ = ∣∣∣10− |12|∣∣∣ = ∣∣∣10− 12∣∣∣ = | − 2| = 2
c) x = 5−∣∣∣5 + | − 5|+ |5|
∣∣∣;Resolucao:
x = −∣∣∣5 + | − 5|+ |5|
∣∣∣ = 5−∣∣∣5 + 5 + 5
∣∣∣ = 5− |15| = 5− 15 = −10
d) x =∣∣∣|7− 5| − 2 + | − 8|+ |2|
∣∣∣− 1.
Resolucao:
x =∣∣∣|7− 5| − 2+ | − 8|+ |2|
∣∣∣− 1 =∣∣∣|2| − 2+8+2
∣∣∣− 1 = |10| − 1 = 10− 1 = 9
C.5 Exercıcios
1. Resolva as seguintes expressoes numericas:
a) x = 2− 3 · 5 · 2 + 1
b) x = 3 · 2(3 + 1)− 7 · 4 + 2
c) x = (1 + 2) + (3− 4) · (5 + 6)− 7
d) x = 39 + [1 + 4 · (2− 2) · 5] + 11
e) x = 80− 6 · 7 + 5
f) x = 80− (6 · 7 + 5)
153
g) x = (80− 6) · (7 + 5)
2. Ernesto Comprou duas canetas. Uma custou R$ 5,00 e a outra custou R$ 9,00.
Como ele usou uma nota de R$ 20,00 para pagar a compra, qual foi o seu troco?
3. O que podemos afirmar sobre dois numeros nao nulos que possuem o mesmo modulo?
4. Calcule o valor de:
a) x = |4− 7|
b) x = | − 4|+ | − 6|
c) x = 13 + | − 5| − | − 3− 6|
d) x = 2−∣∣| − 4|+ |3|
∣∣5. Em um rigoroso inverno na Finlandia, as 18h, a temperatura na capital Helsin-
quia era de -4 oC. Cinco horas mais tarde, a temperatura caiu mais 3 oC. Qual a
temperatura em Helsinquia as 23h desta noite de inverno?
6. Analisando sua planilha de controle dos gastos domesticos, Marcos descobriu que
pode estar com um pequeno problema financeiro. Marcos tem em seu caixa o valor
total de R$ 600,00 e possui as seguintes dıvidas: R$ 80,00 de telefone; R$ 50,00 de
agua; R$ 60,00 de luz; R$ 210,00 de cartao de credito; e R$ 180,00 de combustıvel.
Marcos conseguira pagar todas as suas contas?
7. Duas pessoas distantes 30m, caminham uma em direcao a outra. Uma pessoa cam-
inhou 12m e a outra caminhou 5m. Qual a distancia que separa essas duas pessoas
agora?
∗ ∗ ∗
154
Apendice D
Conjunto dos Numeros Racionais, IQ
D.1 Introducao
A extensao do conjunto dos numeros inteiros e o conjunto dos numeros racionais
ou conjunto dos numeros fracionarios ou conjunto IQ.
IQ =
0, . . . ,±1
3, . . . ,±1
2, . . . ,±1, . . .
Ou seja:
IQ =
p
q| p ∈ Z e q ∈ Z∗
Assim, vemos que todos os elementos de Z pertencem tambem a IQ. Ou seja:
Z IQ
A representacao de IQ na reta numerada e feita a partir da representacao de Z.
Entre cada elemento de Z marcado na reta ha infinitos elementos de IQ. E entre cada
elemento de IQ marcado acima ha outros infinitos elementos de IQ.
O conjunto numerico IQ possui alguns subconjuntos notaveis:
1. IQ∗: O conjunto dos numeros racionais nao nulos;
2. IQ+: O conjuntos dos numeros racionais nao negativos;
3. IQ∗+: O conjunto dos numeros racionais positivos;
4. IQ−: O conjunto dos numeros racionais nao positivos;
155
5. IQ∗−: O conjunto dos numeros racionais negativos.
Em relacao aos conjuntos numericos apresentados nos apendices de nosso livro ate o
momento, podemos montar o seguinte diagrama de Venn:
D.2 Operacoes com fracoes
Ao estudarmos o conjunto dos numeros fracionarios, IQ, vemos a necessidade de relem-
brar os principais conceitos e definicoes e as operacoes numericas relacionadas as fracoes.
Esta necessidade vem do fato de que muitos estudantes, ao iniciarem um curso supe-
rior na area de exatas, encontram certa dificuldade ao trabalhar com fracoes devido ao
tempo decorrido desde que estudaram tais operacoes em sua vida academica. Para sa-
narmos estas dificuldades e propiciarmos ao aluno uma rapida revisao sobre o assunto,
vamos apresentar estes conceitos, definicoes e operacoes de forma pratica e suscinta neste
apendice de nosso livro.
Para alguns alunos esta seccao do apendice e mesmo este e outros apendices podem
parecer triviais, mas em muitas provas e teste feitos por alunos universitarios nos primeiros
componentes curriculares da area de Matematica aparecem erros de alunos que se equi-
vocam ao realizar as operacoes aritmeticas basicas com fracoes e numeros decimais. Em
alguns casos os alunos realmente apresentam dificuldades em trabalhar com os numeros
em sua forma decimal e/ou fracionaria sem o uso de calculadora e em outros casos isto
ocorre devido ao nervosismo de se estar fazendo uma prova ou teste. Em qualquer destes
dois casos, e importante que o aluno faca esta revisao, quer seja para relembrar o que
esta guardado no fundo de sua mente ou para treinar um pouco e, desta forma, diminuir
o possıvel nervosismo na hora de fazer testes e provas.
Voltando a nossa revisao das operacoes aritmeticas envolvendo fracoes vamos, antes,
relembrar algumas definicoes e conceito a cerca de fracoes.
156
1. Uma fracao e uma forma pictorica usada para representar uma divisao entre dois
numeros. Assim, por exemplo, a divisao entre os numeros 22 e 7 pode ser represen-
tada como a fracao22
7, que tambem pode ser denotada por 22/7.
2. Numa fracao a/b temos que o numero a, que e o dividendo da fracao, e chamado de
numerador e o numero b, que e o divisor da fracao, e chamado de denominador.
3. Uma fracao e, normalmente, usada para representar o numero de partes tomadas
de um objeto ou de um segmento (uma pizza ou uma regua, por exemplo) que
foi dividido em partes iguais. Numa fracao temos que o denominador da fracao
representa o numero de partes iguais em que o segmento foi dividido e o numerador
da fracao representa o numero de partes deste segmento que foram destacadas.
Assim, a fracao 3/4 nos diz que o nosso objeto ou segmento foi dividido em 4 partes
iguais e que dele foram destacadas 3 partes.
4. As fracoes podem ser classificadas como proprias ou improprias. Numa fracao
propria o numerador e menor que o denominador (3/5, 4/9 e 1/2, por exemplo). Ja
numa fracao impropria o numerador e maior que o denominador (5/2, 22/7 e 4/3,
por exemplo).
5. Todos os numeros inteiros sao tambem numeros fracionarios. Um numero inteiro e,
na verdade, uma fracao com denominador igual a 1. Ou seja, 3 = 3/1 e −4 = −4/1,por exemplo.
6. Ao estudarmos fracoes costumamos falar de fracao inversa ou inverso de uma
fracao. Dada uma fracao a/b, a sua fracao inversa e a fracao b/a.
Apos relembrarmos estes conceitos e definicoes, podemos passar a nossa revisao das
operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e a forma como estas operacoes devem ser rea-
lizadas sem o auxılio de calculadoras.
As operacoes aritmeticas envolvendo fracoes estao listadas e explicadas a seguir.
a) Simplificacao
As vezes, duas fracoes aparentemente diferentes representam o mesmo numero. Por
exemplo, as fracoes 8/12 e 6/9 representam o mesmo numero e sao ditas equivalentes.
Assim, cabe a pergunta: quando duas fracoes sao equivalentes?
Podemos dar a seguinte resposta a pergunta acima: duas fracoes sao equivalentes
quando podem ser simplificadas em uma mesma fracao reduzida.
A resposta acima pode ter gerado outras duas perguntas: i) como simplificar uma
fracao? ii) o que e uma fracao reduzida?
157
Vamos responder a estas perguntas aprendendo/relembrando a simplificacao de
fracoes.
Para simplificarmos uma fracao devemos verificar se numerador e denominador da
fracao possuem divisores em comum, ou seja, devemos decompor o numerador e o deno-
minador da fracao em seus fatores primos e simplificarmos os que forem comuns.
Ha tres maneiras simples e completamente equivalentes para se simplificar uma fracao.
Vamos a elas no exemplo a seguir.
Exemplo: Simplifique a fracao x = 8/12.
Resolucao 1: Decompondo os numeros 8 e 12 em seus fatores primos podemos
reescrever esta fracao como:
x =8
12=
2 · 2 · 22 · 2 · 3
Simplificando os termos em comum nos numerador e denominador, ou seja, cortando
no numerador e denominador os termos que sao comuns a ambos, ficamos com:
x =8
12=
2
3
Resolucao 2: Uma forma completamente equivalente de simplificarmos uma fracao
e dividindo numerador e denominador, pelo maior divisor comum entre eles. Ou seja,
o exemplo acima pode ser refeito da seguinte maneira:
Vendo que o maior divisor comum entre 8 e 12 e o numero 4, podemos fazer:
x =8
12=
8 : 4
12 : 4=
2
3
Resolucao 3: Tambem pode-se simplificar a fracao dividindo-se, simultaneamente,
numerador e denominador por divisores que sejam comum aos dois. Este proce-
dimento deve ser realizado ate que nao hajam mais divisores comuns. Ou seja, o
exemplo acima pode ainda ser refeito como a seguir.
Podemos simplificar esta fracao fazendo:
x =8
12=
8 : 2
12 : 2=
4
6=
4 : 2
6 : 2=
2
3
158
A fracao 2/3 obtida nas tres versoes do exemplo acima e chamada de fracao re-
duzida ou de fracao irredutıvel, pois ela nao pode mais ser simplificada. Como
pode ser facilmente verificado, a fracao 6/9 tambem tem como fracao reduzida a
fracao 2/3, por isto dizemos que ela e equivalente ou igual a fracao 8/12 e tambem
a fracao 2/3.
b) Adicao
Para adicionarmos fracoes devemos seguir uma regra simples e pratica que vamos
explicar fazendo os exemplos a seguir.
Exemplo: Determine a soma entre as fracoes 8/12 e 5/4.
Resolucao: Para fazermos esta soma:
x =8
12+
5
4=?
Devemos tirar o MMC (mınimo multiplo comum) entre os denominadores das
fracoes. Ou seja, neste caso, tirar o MMC entre 12 e 4 que e 12. Este sera o
denominador da fracao que e a soma das anteriores.
x =8
12+
5
4=
?
12
Para obtermos o numerador, dividimos o novo denominador pelo denominador de
cada fracao e multiplicamos pelo numerador correspondente e somamos os valores
encontrados. Ou seja, temos que 12 dividido por 12 e igual a 1 que multiplicado por
8 da 8; e 12 dividido por 4 e 3 que multiplicado por 5 vale 15. Assim:
x =8
12+
5
4=
8 + 15
12=
23
12
Quando for possıvel, devemos simplificar a fracao obtida como soma de outras
fracoes.
A regra usada para somar duas fracoes e a mesma usada para somar tres ou mais
fracoes.
Exemplo: Determine as somas a seguir:
a) x =1
3+
2
5+
4
6Resolucao: Somando estas fracoes:
x =1
3+
2
5+
4
6=
10 + 12 + 20
30=
42
30=
42 : 6
30 : 6=
7
5
159
b)7
4+
1
5+ 3
Resolucao: Somando estas fracoes, temos:
x =7
4+
1
5+ 3 =
35 + 4 + 60
20=
99
20
c) Subtracao
O procedimento usado na adicao de fracoes e o mesmo usado na subtracao de fracoes.
Vamos aos exemplos:
Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das subtracoes e/ou somas a
seguir:
a) x =1
3− 2
5Resolucao: Fazendo a subtracao:
x =1
3− 2
5=
5− 6
15=−115
= − 1
15
b) x =2
3− 5
6+
1
4Resolucao: Determinando a fracao resultante:
x =2
3− 5
6+
1
4=
8− 10 + 3
12=
1
12
d) Multiplicacao
Realizar a multiplicacao entre duas ou mais fracoes e bastante simples.
Suponha dadas duas ou mais fracoes e que queiramos obter a fracao que e resultante
de sua multiplicacao. A fracao resultante tem como numerador o produto dos nume-
radores das fracoes que sao os fatores desta multiplicacao e o denominador da fracao
resultante e igual ao produto dos denominadores das fracoes fatores. Quando possıvel
podemos/devemos simplificar a fracao resultante.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das multiplicacoes abaixo:
a) x =1
3· 25
160
Resolucao: Fazendo a multiplicacao:
x =1
3· 25=
1 · 23 · 5
=2
15
b) x =2
3·(−5
6
)·(−1
4
)Resolucao: Determinando a fracao resultante:
x =2
3·(−5
6
)·(−1
4
)=
2 · (−5) · (−1)3 · 6 · 4
=10
72=
10 : 2
72 : 2=
5
36
c) x =1
3· 7 ·
(−5
4
)Resolucao: Determinando a fracao resultante:
x =1
3· 7 ·
(−5
4
)=
1 · 7 · (−5)3 · 1 · 4
=−3512
= −35
12
e) Divisao
A divisao entre duas fracoes tambem pode ser feita com uma regra bastante simples.
Para fazermos a divisao entre duas fracoes multiplicamos a primeira fracao pelo in-
verso da segunda fracao, ou seja, a fracao resultante tem como numerador o produto do
numerador da primeira pelo denominador da segunda fracao e o denominador da fracao
resultante e o produto do denominador da primeira pelo numerador da segunda fracao.
Vamos a alguns exemplos para ilustrar a divisao entre fracoes.
Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das divisoes abaixo:
a) x =1
3:2
5Resolucao: Multiplicando a primeira fracao pelo inverso da segunda temos:
x =1
3:2
5=
1
3· 52=
1 · 53 · 2
=5
6
b) x =2
3:
(−5
6
)Resolucao: Determinando a fracao resultante:
x =2
3:
(−5
6
)=
2
3·(−6
5
)=
2 · (−6)3 · 5
=−1215
= −12
15= −12 : 3
15 : 3= −4
5
c) x =3457
161
Resolucao: Note que, como uma fracao representa a divisao entre dois
numeros, uma divisao entre fracoes pode ser escrita como uma fracao onde
o numerador e o denominador sao fracoes. Assim, realizando a divisao:
x =3457
=3
4:5
7=
3
4· 75=
3 · 74 · 5
=21
20
Entre os exercıcios deste apendice ha alguns exercıcios para ajudar o estudante a
refamiliarizar-se com as operacoes com fracoes. E essencial para um bom aprendizado de
todo o conteudo deste livro que o estudante esteja bem treinado na rapida execucao deste
tipo de operacao sem fazer uso de calculadora.
D.3 Representacao decimal das fracoes
Tomemos um numero racional do tipo
x =
p
q| p ∈ Z; q ∈ Z∗; p = m q | m ∈ IN
Podemos escreve-lo na forma decimal efetuando a divisao do numerador pelo denomi-
nador. Nesta divisao podem ocorrer dois casos.
1. O numeral decimal encontrado possui, apos a vırgula, um numero finito de algaris-
mos nao nulos.
Exs.:
1
5= 0, 2;
8
50= 0, 16;
30
4= 7, 5; etc.
Tais racionais sao chamados de decimais exatos.
2. O numeral decimal encontrado possui, apos a vırgula, infinitos algarismos (nem
todos nulos), que se repetem periodicamente:
Exs.:
1
3= 0, 333 · · · = 0, 3;
7
9= 0, 777 · · · = 0, 7;
1
22= 0, 0454545 · · · = 0, 045; etc.
Tais racionais sao chamados de decimais periodicos ou dızimas periodicas. Os
numeros que se repetem sao chamados de perıodo da dızima.
162
As dızimas periodicas, como pode ser observado nos exemplos acima, podem ser re-
presentadas na forma decimal escrevendo-se o numero e colocando-se retiscencias para se
indicar que os algarismos apos a vırgula continuam indefinidamente ou com uma ‘barra’
sobre o perıodo da dızima, indicando que e esta parte do numero que esta se repetindo.
A fracao que e equivalente a uma dızima periodica e chamada de fracao geratriz.
Para sabermos se uma fracao irredutıvel e equivalente a um decimal exato ou a uma
dızima periodica sem efetuar a divisao basta decompormos o denominador em fatores
primos. Ela sera:
1. Decimal exato: se o denominador contiver apenas os fatores 2 e/ou 5
Exemplo: As fracoes 7/50, 3/4 e 11/160, sao decimais exatos, pois seus denomi-
nadores (50 = 2 · 5 · 5; 4 = 2 · 2; 160 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5) possuem apenas os fatores
primos 2 e 5.
2. Dızima periodica: se o denominador contiver outros fatores primos diferentes de
2 ou 5.
Exemplo: As fracoes 4/9, 13/42 e 25/48, sao dızimas periodicas pois seus denomi-
nadores (9 = 3 · 3; 42 = 2 · 3 · 7; 48 = 2 · 2 · 2 · 3) possuem fatores primos diferentes
de 2 e 5.
D.4 Operacoes com numeros decimais
Ao trabalharmos ou fazermos operacoes com numeros, muitas vezes e mais conveniente
trabalhar com os numeros em sua forma decimal no lugar de os mantermos em sua forma
fracionaria.
Tomemos como exemplo o caso de um atleta em preparacao para uma prova de ve-
locidade que quer calcular sua velocidade media em certo percurso sabendo a distancia
percorrida e o tempo usado para percorrer esta distancia. Este atleta esta percorrendo
um percurso de 400 metros em exatos 42 segundos. Sabendo que a velocidade media e
definida como sendo a razao entre a distancia percorrida e o tempo usado para percorre-la,
o atleta calcula sua velocidade media como:
vm =∆s
∆t=
400
42m/s = 9, 523809 m/s ∼= 9, 52 m/s
O atleta nao diz que percorre 400/42 m/s ou mesmo 200/21 m/s, ele dira que sua
velocidade media e, aproximadamente, igual a 9,52 m/s. Neste e em varios outros casos e
163
mais conveniente trabalhar com os numeros em sua forma decimal do que com os numeros
em sua forma fracionaria.
Nesta secao revisaremos as operacoes com numeros decimais, pois precisamos saber
como realizar as diferentes operacoes aritmeticas com numeros decimais sem precisar
reescreve-los antes em sua forma fracionaria e sem fazer uso de calculadoras.
a) Adicao
Vamos comecar relembrando a regra pratica para se somar numeros decimais (sem o
uso de calculadoras).
Suponha que voce queira somar os numeros 8,45 e 27,5. Como proceder?
No caso da adicao, igualamos o numero de casas decimais e armamos a operacao de
soma colocando a vırgula de um numero embaixo da vırgula do outro e fazemos a soma
dos numeros igual fazıamos no ensino fundamental com numeros inteiros.
Desta forma temos que:
8, 45
+27, 50
35, 95
Assim, temos como resposta para esta soma o valor 35,95.
Este e o procedimento para se somar qualquer numeros de parcelas.
Exemplo: Quanto vale a soma 0, 27 + 11, 3 + 15, 075 ?
Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos que:
0, 270
11, 300
+15, 075
26, 645
b) Subtracao
A regra para realizar uma subtracao entre numeros decimais e a mesma que para a
adicao, com a diferenca que, no caso da subtracao, so podemos subtrair (manualmente)
um numero de outro. Por isto, quando ha varias parcelas devemos, primeiro, somar
as parcelas de mesmo sinal antes de fazermos a subtracao entre as parcelas de sinais
diferentes. Vamos aos exemplos para ilustrar melhor o que estamos falando.
164
Exemplo: Calcule o resultado de cada conta a seguir:
a) 32, 5− 7, 753
Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos
que:
32, 500
− 7, 753
24, 747
b) 23, 54− 47, 3
Resolucao: Como o numero negativo tem maior modulo, vamos igualar o
numero de cassas decimais e subtrair o menor numero do maior e manter o
sinal (negativo, no caso) do numero de maior valor absoluto. Assim:
− 47, 30
+ 23, 54
− 23, 76
c) 23, 541− 47, 3 + 12, 54 + 45− 2, 755
Resolucao: Neste caso somamos, separadamente, as parcelas positivas e as
negativas:
− 47, 300 + 23, 541
− 2, 755 + 12, 540
− 50, 055 + 45, 000
+ 81, 081
E, entao, subtraimos a parcela negativa da positiva:
+ 81, 081
− 50, 055
+ 31, 026
c) Multiplicacao
No caso da multiplicacao, fazemos a conta como se os numeros nao fossem decimais
e, apos, contamos o numero total de casas decimais dos fatores e colocamos este mesmo
numero de casas decimais no produto. Vejamos o exemplo:
Exemplo: Determine o valor de 5, 86× 1, 2.
165
Resolucao: O fator 5,86 tem duas casas decimais e o fator 1,2 tem uma casa
decimal, logo o produto tera tres casas decimais. Fazendo a multiplicacao como se
fossem numeros inteiros temos:
5, 8 6
× 1, 2
1 1 7 2
5 8 6
7, 0 3 2
Onde o resultado ja foi expresso com o numero correto de casas decimais (tres casas
decimais).
d) Divisao
No caso da divisao envolvendo numeros decimais, temos tres passos a seguir: i)
igualamos o numero de casas decimais do dividendo e do divisor; ii) retiramos a vırgula
de ambos os numeros; iii) fazemos a divisao dos numeros inteiros que apareceram.
Vamos ao exemplo para ilustrar este procedimento.
Exemplo: Determine o valor de 15÷ 1, 2.
Resolucao: Igualando o numero de casas decimais temos que a nossa divisao pode
ser escrita como: 15, 0÷ 1, 2.
Retirando a vırgula de ambos, dividendo e divisor, temos que a nossa divisao e a
mesma que: 150÷ 12. E esta conta que devemos fazer.
Armando e fazendo a conta temos que:
150 | 12
30 12, 5
60
0
Ou seja, 15÷ 1, 2 = 12, 5.
Devemos lembrar que operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e numeros decimais
aparecem em diversos exemplos e exercıcios de nosso livro. Tais contas podem, no dia-
a-dia, ser feitas com o uso de calculadoras, mas e importante para o estudante ter a
habilidade e traquejo para conseguir reproduzir boa parte destas contas sem a ajuda de
calculadoras. Estes calculos, no geral, ficam em nossos rascunhos e nao aparecem na
166
resolucao dos exemplos e exercıcios mas e muito importante que saibamos faze-los de
forma praticamente automatica.
D.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais
Trata-se do problema inverso do discutido em secao anterior. Estando o numero
racional escrito na forma decimal, vamos escreve-lo na forma de fracao.
Temos dois casos:
a) O numero e decimal exato.
Assim transformamos o numero em uma fracao cujo numerador e o numero decimal
sem a vırgula. E o denominador e o numeral 1 seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do numero original. A fracao resultante, em alguns casos,
pode ainda ser simplificada.
Exemplos:
1. O numero decimal 0,7.
Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:
0, 7 =7
10
2. O numero decimal 2,35.
Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:
2, 35 =235
100=
47
20
b) O numero e uma dızima periodica.
Neste caso, devemos achar a fracao geratriz da dızima. Vamos explicar o procedi-
mento com dois exemplos.
Exemplos:
1. Seja a dızima periodica 0, 3 = 0, 333 . . . , qual a sua fracao geratriz?
Resolucao: Facamos x = 0, 333 . . . .
Multipliquemos os dois lados da equacao por 10, de forma que 10x = 3, 333 . . . .
Subtraindo, membro a membro a primeira igualdade da segunda:
167
10x− x = 3, 333 · · · − 0, 333 · · · ⇒ 9x = 3⇒ x =3
9=
1
3
Assim, a fracao geratriz de 0, 3 = 1/3.
2. Seja a dızima periodica 0, 4231 . . . , qual a sua fracao geratriz?
Resolucao: Facamos x = 0, 423131 . . .
Multipliquemos os dois lados da equacao por 100, de forma que 100x =
42, 3131 . . .
Multipliquemos, novamente, os dois lados da equacao por 100, de forma que
10000x = 4231, 3131 . . .
Subtraindo, membro a membro a segunda igualdade da terceira:
10000x− 100x = 4231, 3131 · · · − 42, 3131 . . .
9900x = 4189⇒ x =4189
9900
O estudante deve ter percebido nos exemplos acima que subtraimos a dızima com
somente perıodo apos a dızima de uma dızima com exatamente um perıodo antes da
vırgula, de forma a obter um numero inteiro em cada lado da equacao.
D.6 Exercıcios
1. Escreva cada uma das fracoes a seguir em sua forma decimal.
a) x =5
4
b) x =5
12
c) x =3
8
d) x =9
5
e) x =7
4
f) x =7
2
g) x =1
5
168
2. Calcule o valor de x nas expressoes a seguir:
a) x =1
6− 5
4+
2
3
b) x =
(1
2− 1
3
)+
(4
7− 2
7
)− 1
21
c) x = 1 +
(1
2− 1
5
)−(7
4− 5
4
)d) x = 3 +
5
2·(1/2
7/4− 1
9
)+
2
11
e) x =
(2/3
2/5+
3
7
)·(10
4− 5
6:1
3
)+ 2
f) x =1
2−[8
5
(1
3+
3
5
)−(7
4:2
3
)]3. Determine a fracao irredutıvel que e a geratriz de cada uma das dızimas periodicas:
a) x = 0, 666 . . .
b) x = 2, 05252 . . .
c) x = 3, 444 . . .
d) x = 1, 326363 . . .
e) x = 0, 05431431 . . .
f) x = 2, 13131313 . . . ;
4. Calcule:
0, 666 · · ·+15+ 1
335− 1
15
5. Determine o valor de2
0, 666 . . .
6. Qual o valor de x =√
0, 444 · · · + 16
0, 888 · · ·?
7. Seja a/b a fracao geratriz da dızima 1, 3636 . . . . Qual e a dızima periodica equiva-
lente a fracao b/a.
8. Um auditorio esta sendo ladrilhado com ceramica. O pedreiro comecou a trabalhar
ontem e conseguiu ladrilhar1
7do auditorio. Hoje ele ladrilhou mais
3
8. Nesses dois
dias ja foram assentados 870 ladrilhos. Quantos ladrilhos, ao todo, serao colocados
no auditorio?
169
9. Em razao da instalacao da rede de agua, foi construıdo um grande reservatorio.
Anteontem, primeiro dia de funcionamento dessa bomba, ela encheu1
3do reser-
vatorio e ontem ela encheu mais2
5do reservatorio. Se ainda faltam 4400 litros para
completar o reservatorio, qual a capacidade dele?
∗ ∗ ∗
170
Apendice E
Conjunto dos Numeros Irracionais, II
Assim como existem numeros decimais que podem ser escritos como fracoes de numeros
inteiros (numeros racionais), existem os decimais que nao admitem tal representacao.
Eles sao numeros decimais nao exatos que possuem representacao infinita nao
periodica.
Vejamos alguns exemplos:
x = 0, 2121121112111 . . . ; x = 1, 203040 . . .
x =√
2 = 1, 4142136 . . . ; π = 3, 141592 . . . ; etc.
O numero cuja representacao decimal infinita nao e periodica e chamado numero
irracional.
Seu conjunto e representado por II.
O conjunto II e um conjunto a parte dos numeros racionais. Para os conjuntos IQ e II
vale que; IQ ∩ II = ∅.O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado
conjunto dos numeros reais que estudaremos logo a seguir.
∗ ∗ ∗
171
Apendice F
Conjunto dos Numeros Reais, IR
F.1 Introducao
O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado
conjunto dos numeros reais que e representado por IR. Onde, temos que:
IR = IQ ∪ II
Em termos da reta numerada podemos representar o conjunto IR como:
O diagrama de Venn do conjunto dos numeros reais pode ser representado por:
Para os numeros reais, assim como para os inteiros, racionais e irracionais, continuam
valendo os conceitos de numeros opostos e de modulo.
172
F.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo
O conjunto dos numeros reais e ordenado.
Podemos fazer esta comparacao entre quaisquer dois numeros reais que nao sao iguais
usando desigualdades.
Sejam a e b dois numeros reais quaisquer, se:
a > b a− b > 0
a < b a− b < 0
a ≥ b a− b ≥ 0
a ≤ b a− b ≤ 0
Podemos comparar dois numeros reais devido a chamada lei da tricotomia.
Lei da Tricotomia: Sejam a e b dois numeros reais quaisquer, somente uma das
seguintes expressoes e verdadeira:
a < b; a = b ou a > b
Exemplos:
1. Disponha em ordem crescente os seguintes numeros reais 0, 7, 0, 71, 0, 7, 3/4,√
2 /2
e 18/25.
Resolucao: A melhor forma de comparar dois ou mais numeros reais e escreve-los
em sua forma decimal. Reescrevendo os numeros acima em sua forma decimal e em
ordem crescente temos:
0, 7 < 0, 70710678... < 0, 71717171... < 0, 72 < 0, 75 < 0, 7777...
Ou, equivalentemente:
0, 7 <
√2
2< 0, 71 <
18
25<
3
4< 0, 7
2. Considere as seguintes desigualdades e represente-as na reta numerada.
a) x ≤ 2;
b) x ≥ 1;
173
c) −5 < x ≤ 2;
d) −3 ≤ x < 1.
Respostas:
Como vimos no exemplo acima, desigualdades podem ser representadas, na reta real,
por intervalos de numeros reais. Estes intervalos tambem podem ser expressos na forma
da notacao de intervalo.
Considerando que os intervalos podem ser limitados ou nao-limitados e sejam a e
b dois numeros reais quaisquer, temos como intervalos limitados:
Desigualdade Tipo de intervalo Notacao
a ≤ x ≤ b Fechado [a, b]
a < x < b Aberto ]a, b[
a ≤ x < b Fechado-aberto [a, b[
a < x ≤ b Aberto-fechado ]a, b]
E como intervalos nao-limitados:
Desigualdade Tipo de intervalo Notacao
x ≥ a Fechado [a,+∞[
x > a Aberto ]a,+∞[
x ≤ b Fechado ]−∞, b]
x < b Aberto ]−∞, b[
174
Observacoes
1. Intervalos nao-limitados tem um so extremo.
2. Alguns autores usam para o intervalo aberto a esquerda usam “(” no lugar de “]” e
para o aberto a direita “)” no lugar de “[”. Exemplo:
5 < x < 8⇒ (5, 8)
Em nosso livro nao usamos esta notacao com parenteses para intervalo aberto por
achar mais conveniente a notacao com colchetes e para nao confundir a notacao
de intervalo com a notacao de par ordenado (e ponto) onde sempre e usado, por
todos os autores, os parenteses. No entanto, acreditamos que o estudante deve estar
ciente das duas notacoes para intervalo para quando se deparar com autores e/ou
professores que prefiram a notacao diversa da usada em nosso livro.
Em resumo, ha tres formas de representar um intervalo de numeros reais:
1) Usando as desigualdades.
a ≤ x < b
2) Usando a notacao de intervalo.
[a, b[
3) Usando a reta numerada.
Dentro do conjunto dos numeros reais podemos falar, alem da adicao, subtracao,
multiplicacao e divisao, de outras duas operacoes aritmeticas basicas: a exponenciacao e
a radiciacao. Vamos estuda-las nas secoes a seguir.
F.3 Potenciacao com expoente inteiro
Vamos comecar, agora, a estudar a potenciacao e suas propriedades, comecando por
apresentar a definicao de potenciacao com expoentes inteiros e tambem suas propriedades.
175
Um pouco mais a frente, apos definirmos e estudarmos radiciacao, estudaremos a poten-
ciacao com expoentes racionais, que tem as mesmas propriedades que a potenciacao com
expoente inteiro.
A notacao exponencial e utilizada para diminuir/encurtar produtos de fatores que se
repetem.
Exemplos
1. O produto 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 pode ser escrito como 56, ou seja, 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56.
2. O produto (x+1)(x+1)(x+1) pode ser escrito como (x+1)3, ou seja, (x+1)(x+
1)(x+ 1) = (x+ 1)3
Entao, seja a um numero real, uma variavel ou uma expressao algebrica, e n um
numero positivo, temos que:
an = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸n fatores
onde n e o expoente, a e a base.
CUIDADO: A base de −52 e 5. O produto de n fatores de um numero negativo e
escrito como (−a)n. Por exemplo, (−5)3.A potenciacao tem algumas propriedades que sao bastante uteis. Vamos enuncia-las
e ver alguns exemplos de seu uso.
Sejam u e v numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas e m e n numeros inteiros,
valem as seguintes propriedades da potenciacao1:
1. umun = um+n
Exemplo: 52 · 53 = 52+3 = 55
2. um
un = um−n
Exemplo:65
62= 65−2 = 63
3. u0 = 1
Exemplo: 70 = 1
4. u−n = 1un
Exemplo: x−4 =1
x4
1Todas as bases sao consideradas diferentes de zero
176
5. (uv)m = umvm
Exemplo: (3x)2 = 32x2 = 9x2
6. (um)n = umn
Exemplo: (y2)4 = y2·4 = y8
7.(uv
)m=
um
vm
Exemplo:
(x
y
)3
=x3
y3
Estas propriedades podem ser usadas, por exemplo, para simplificar expressoes
algebricas que envolvam potencias. Vejamos exemplos simples.
Exemplo: Simplifique as seguintes expressoes algebricas.
a) z = 3x(x2y5)(5y3x7)
Resolucao: Fazendo as contas temos:
z = 3x(x2y5)(5y3x7) = (3 · 5)(x · x2 · x7)(y5 · y3) = 15x10y8
b) z =4a4b3
5ab6Resolucao: Fazendo as contas temos:
z =4a4b3
5ab6=
4a4a−1
5b6b−3=
4a3
5b3
c) z =
(2x2
5
)−3
Resolucao: Fazendo as contas temos:
z =
(2x2
5
)−3
=
(5
2x2
)3
=53
23(x2)3=
125
8x6
F.4 Radiciacao
Para relembrarmos o que e a operacao de radiciacao e estudarmos suas propriedades,
vamos comecar relembrando a definicao de raiz n-esima de um numero real.
Sejam n um numero inteiro maior que 1 e a e b numeros reais.
1. Se bn = a, entao b e uma raiz n-esima de a.
2. Se a tem uma raiz n-esima, entao a principal raiz n-esima de a e aquela com
mesmo sinal de a.
177
A principal raiz n-esima de a e denotada pela por n√a. O numero inteiro positivo n e
chamado ındice do radical e a e chamado radicando.
Desta definicao para raiz n-esima, temos que:
1. Todo numero real tem exatamente uma raiz n-esima real quando n e ımpar.
Exemplo: 3√8 = 2
2. Quando n e par, os numeros reais positivos tem duas raızes n-esimas reais.
Exemplo: 4√81 = ±3
3. Quando n e par, os numeros reais negativos NAO tem raızes n-esimas reais.
Exemplo: 4√−81 @
4. Quando n = 2 uma notacao especial e usada para indicar a raiz: omitimos o ındice
e escrevemos√a no lugar de 2
√a.
5. Se a e um numero real positivo e n um inteiro par positivo, suas duas raızes n-esimas
sao denotadas por n√a e - n
√a.
A radiciacao tem algumas propriedades que sao bastante uteis. Vamos estuda-las e
ver alguns exemplos de seu uso.
Sejam u e v numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas e m e n numeros inteiros
positivos e maiores que 1, valem as seguintes propriedades da radiciacao, onde estamos
supondo que todas as raızes sao numeros reais e que todos os denominadores sao diferentes
de zero:
1. n√uv = n
√u · n√v
Exemplo:√605 =
√121 · 5 =
√121 ·
√5 = 11
√5
2. n
√u
v=
n√u
n√v
Exemplo:3√2433√9
=3
√243
9=
3√27 = 3
3. m√
n√u = m·n
√u
Exemplo:3
√√50 =
3·2√50 =
6√50
4.(
n√u)n
= u
Exemplo:(√
3)2
= 3
178
5. n√um =
(n√u)m
Exemplo:3√1252 =
(3√125)2
= 52 = 25
6. n√un =
|u|, para n par
u, para n ımpar
Exemplo:i)√
(−5)2 = | − 5| = 5
ii) 3√(−5)3 = −5
As propriedades da radiciacao citadas acima podem ser utilizadas para simplificar
expressoes que contenham raızes de numeros reais ou para racionalizar fracoes que con-
tenham radicais no denominador.
Exemplos
1. Simplifique as expressoes a seguir:
a) z =√675
Resolucao:
z =√675 =
√3 · 3 · 3 · 5 · 5 =
√32 · 3 · 52 = 3 · 5 ·
√3 = 15
√3
b) z =√2x2y2
Resolucao:
z =√2x2y2 =
√2(xy)2 = |xy|
√2
c) z = 3√−48x6
Resolucao:
z =3√−48x6 = 3
√(−2)3 · 2 · 3 · (x2)3 = −2x2 3
√2 · 3 = −2x2 3
√6
d) z =√45x2
Resolucao:
z =√45x5 =
√32 · 5 · x2 · x2 · x = 3x2
√5x
e) z = 2√363−
√27
Resolucao:
z = 2√3 · 112 −
√3 · 32 = 2 · 11
√3− 3
√3 = 22
√3− 3
√3 = 19
√3
2. Racionalize as seguintes fracoes:
179
a) z =
√3
5Resolucao:
z =
√3
5=
√3√5=
√3√5·√5√5=
√3 · 5√52
=
√15
5
b) z = 6
√x3
y4
Resolucao:
z = 6
√x3
y4=
6√x3
6√y4
=6√x3
6√y4·
6√
y2
6√
y2=
6√
x3y2
6√y6
=6√
x3y2
y
F.5 Potenciacao com expoente racional
Ate agora, definimos e trabalhamos com exponenciais (numeros ou expressoes) com ex-
poentes inteiros. No entanto, os expoentes de uma potencia podem ser quaisquer numeros
racionais (fracionarios) e, por isto, precisamos tambem aprender a trabalhar com potencias
de expoentes racionais.
Para tanto, vamos definir a potencia com expoente racional.
Seja x um numero real, variavel ou expressao algebrica e n um inteiro maior que 1.
Temos que:
x1/n = n√x
Se m e n sao inteiros positivos, m/n e uma fracao na forma reduzida e todas as
raızes sao numeros reais, entao:
xm/n = (u1/n)m = ( n√x)m
e
xm/n = (um)1/n = n√xm
Ou seja, toda potencia com expoente racional na forma de uma fracao reduzida cor-
responde a uma raiz e vice-versa.
Exemplos
1. Converta os radicais a seguir para potencias equivalentes.
180
a) z = x7/3
Resposta: z = x7/3 =3√x7
b) z = x1/3y4/3
Resposta: z = x1/3y4/3 = x1/3(y4)1/3 = (xy4)1/3 = 3√xy4
c) z = x−2/3
Resposta: z = x−2/3 =1
x2/3=
13√x2
2. Converta as seguintes potencia para seus respectivos radicais.
a) z =3√2x2
Resposta: z =3√2x2 = (2x2)1/3 = 21/3x2/3
b) z =1
5√x6
Resposta: z =1
5√x6
=1
x6/5= x−6/5
Vale ressaltar que, no caso de expressoes numericas ou algebricas envolvendo radiciacao
e potenciacao e as outras operacoes aritmeticas, resolvemos as operacoes na seguinte
ordem:
(i) primeiro as potencias e radicais;
(ii) em seguida as multiplicacoes e divisoes; e
(iii) por ultimo, as adicoes e subtracoes.
Vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo: Resolva as seguintes expressoes numericas.
a) x = [(52 − 6 · 22)3 + (13− 7)2] : 5
Resolucao:
x = [(52 − 6 · 22) · 3 + (13− 7)2 + 1] : 5
x = [(25− 6 · 4) · 3 + (6)2 + 1] : 5
x = [(25− 24) · 3 + 36 + 1] : 5
x = [1 · 3 + 36 + 1] : 5
x = [3 + 36 + 1] : 5
x = 40 : 5
x = 8
181
b) x = −(−2) · 3 + (−1) · 0−√25− 32 − 53 : 25
Resolucao:
x = −(−2) ·+(−1) · 0−√25− 32 − 53 : 25
x = −(−2) · 3 + (−1) · 0−√25− 9− 125 : 25
x = 6− 0−√16− 5
x = 6− 0− 4− 5
x = −3
F.6 Propriedades basicas da Algebra
O uso e traquejo das propriedades basicas da algebra e extremamente importante.
Por este motivo, dedicamos esta breve secao para reapresentar este topico de matematica
elementar e, desta forma, sanar as possıveis duvidas dos alunos. Em todoo livro, estas
propriedades serao comumente utilizadas na resolucao dos mais variados problemas e
exemplos e, como podemos perceber, elas sao simples e ja estao em nossa mente e cotidiano
ao trabalharmos com numeros e expressoes matematicas. Vamos a elas.
Sejam u, v e w numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas. Valem as seguintes
propriedades:
1. Propriedade comutativa
Adicao: u+ v = v + u
Multiplicacao: uv = vu
2. Propriedade associativa
Adicao: (u+ v) + w = u+ (v + w)
Multiplicacao: (uv)w = u(vw)
3. Propriedade do elemento neutro
Adicao: u+ 0 = u
Multiplicacao: u · 1 = u
4. Propriedade do elemento inverso
Adicao: u+ (−u) = 0
Multiplicacao: u · 1u= 1, u = 0
5. Propriedade distributiva
Multiplicacao com relacao a adicao:
182
u(v + w) = uv + uw; (u+ v)w = uw + vw
Multiplicacao com relacao a subtracao:
u(v − w) = uv − uw; (u− v)w = uw − vw
F.7 Exercıcios
1. Simplifique a expressao|x− 1|x− 1
.
2. Determine o conjunto solucao das seguintes equacoes e inequacoes:
a) |x− 1| = 3
b) |x+ 5| ≤ 4
c) |2x+ 3| < 6
d) |2x− 3| = |4x+ 5|
e) |x− 3|+ |x+ 4| = 7
3. Sejam a, b e c numeros reais quaisquer, classifique cada uma das afirmacoes abaixo
como verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de uma afirmacao falsa, justifique sua
resposta.
a) a > b⇔ a2 > B2
b) a > b⇔ ac > bc
c)√
a2 + b2 ≥ a
d) a2 = b2 ⇔ a = b
e) a3 = b3 ⇒ a = b
f) a4 = 16b4 ⇒ a = 2b ou a = −2b
g) a2 + b2 = 0⇒ a = b = 0
h) a3 + b3 = 0⇒ a = b = 0
4. Dados os intervalos A = [−3, 3[, B =]0,+∞[ e C =]−∞, 2], determine:
a) A ∩B
b) A ∩ C
183
c) B ∩ C
d) A ∩B ∩ C
e) A ∪ C
f) A ∪B ∪ C
g) B ∪ C
5. Converta a notacao de intervalo para desigualdade e vice-versa. Faca a representacao
grafica destes intervalos.
a) −4 < x ≤ 7;
b) ]−∞,−3];
c) ]−∞,+∞[;
d) [4, 8];
e) x > 3;
f) x ≤ 4.
6. Represente os intervalos em termos da notacao de conjuntos e da reta real.
a) [3, 9]
b) [−3, 7[
c) ]− 1, 3[
d) ]0,+∞[
e) ]− 2, 5[
f) ]−∞,+∞[
g) ]2, 9]
h) [3, 6[
7. Considere os numeros reais x e y que obedecem a desigualdade 0 < x < y < 1 e
faca o que se pede:
a) represente estes numeros e o intervalo considerado na reta numerada;
b) represente, na mesma reta numerada, o ponto z = xy.
8. Simplifique as raızes removendo fatores do radicando:
184
a) z =√500
b) z = 3√500
c) z = 4√192
d) z = 3√−27x3y7
e) z =√363x4y5
9. Escreva as expressoes a seguir na forma de potencia:
a) f =√x+ 1
b) f = 3x 3√
x2y
c) f = 5√x3y4
d) f = 3√x3y6
e) f = xyz 3√xy2
10. Escreva as expressoes a seguir na forma de um radical:
a) f = x1/2y3/2
b) f = y−1/3
c) f = x4/5y3/5z−1/5
d) f =
(x
y
)−1/2
11. Determine o valor de:
a) x = −72
b) x = −53
c) x = (−2)5
12. Calcule o valor das expressoes:
a) x =√
5 (√
5 + 3)
b) x = (3 +√
2 )(3−√
2 )
c) x = (3√
2 + 7√
3 )(√
2 −√
3 )
d) x = (5 +√
3 )2
13. Resolva as equacoes:
185
a) 2x = 512
b) 2x+1 − 2x−1 + 2x−3 − 2x−4 = 50
c) 7x =1
2401
d) 53x−7 = 125
e) (5x)x = (252)9
f) 234x
= 512
14. Simplifique as expressoes:
a) z =10−5 · 10−4
102 · 10−5
b) z =3
53 · 3 7
2
316
c) z =x4y3
x2y5
d) z =(3x2)3y4
3y2
e) z =
(3
xy
)−3
f) z =(x−4y3)−2
(y5y−4)−3
g) z =
(4a3b
a2b3
)(3b2
2a2b4
)
∗ ∗ ∗
186
Apendice G
Plano Cartesiano
G.1 Introducao
Em nosso livro aprendemos a representar o grafico de algumas funcoes simples. Para
isto precisamos definir o plano cartesiano e aprender a localizar pontos neste plano. Para
tanto, vamos comecar definindo par ordenado.
Um
ordenado e um conjunto de dois numeros reais em certa ordem. Usa-se a notacapo
(a, b) para indicar o par ordenado onde a e o primeiro elemento e b e o segundo elemento.
Vejamos os seguintes exemplos.
1. (1, 3) e o par ordenado em que o primeiro elemento e 1 e o segundo elemento e 3.
2. (3, 1) e o par ordenado em que o primeiro elemento e 3 e o segundo elemento e 1.
Note que os pares ordenados (1, 3) e (3, 1) diferem entre si pela ordem de seus
elementos.
Os pares ordenados representam coordenadas de pontos. Assim, podemos dizer que
o primeiro par ordenado refere-se as coordenadas do ponto P1 = (1, 3) e o segundo par
ordenado refere-se as coordenadas do ponto P2 = (3, 1).
A maneira geometrica de representar os pontos ou pares ordenados e localiza-los em
um sistema de coordenadas, ou seja, localiza-los no plano denominado plano cartesiano.
187
G.2 O sistema de coordenadas cartesianas no plano
Para localizar um ponto ou um par ordenado no plano usaremos a nocao de Sistema
de Coordenadas Cartesianas no Plano ou Plano Cartesiano. Este sistema de
coordenadas tambem e chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os
eixos formam angulos de 90 entre si.
Para definirmos um sistema de coordenadas:
1. Fixamos um ponto no plano que sera chamado de origem e sera denotado por O.
2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que
passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos (eixo x e eixo y). Em
geral, escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical
que chamamos de eixo y.
3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera considerado positivo. Em geral,
da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.
4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo
a um numero real. Associamos a origem O ao numero zero 0. A partir da origem, no
sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os numeros reais positivos.
E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,
de forma decrescente, os numeros reais negativos.
Os procedimentos descritos acima nos dao o seguinte sistema de eixos coordenados,
onde a origem e a interseccao dos eixos.
188
Fixado um ponto A do plano, chamaremos:
⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
⋄ Ax o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo x.
A coordenada xA (componente do ponto A em relacao ao eixo x) e o numero associado
ao ponto Ax. Ela e chamada de abscissa do ponto A. E o eixo x e chamado de eixo da
abscissas.
Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos:
⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
⋄ Ay o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo y.
189
A coordenada yA (componente do ponto A em relacao ao eixo y) e o numero associado
ao ponto Ay. Ela e chamada de ordenada do ponto A. E o eixo y e chamado de eixo
da ordenadas.
Assim, cada ponto A do plano sera associado a um par de numeros reais xA e yA.
Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas (ou componentes) cartesianas do ponto A
no plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto
A.
Exemplos:
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:
a) A = (0, 3);
b) B = (−2,−4);
c) C = (0, 2);
d) D = (3,−5);
e) E = (1, 6);
f) F = (−4, 0);
g) G = (−1, 1);
h) O = (0, 0);
i) H =(0,−1
3
).
Na figura a seguir e mostrada a representacao destes pontos no sistema cartesiano.
190
Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro
quadrantes.
⋄ Primeiro Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0.
⋄ Segundo Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0.
⋄ Terceiro Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0.
⋄ Quarto Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0.
Estes quadrantes estao destacados e nomeados na figura a seguir.
191
Apos apresentadas estas nocoes sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano
vamos, nos exemplos a seguir, aprender a localizar pontos e regioes no plano cartesiano.
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2 represente as estruturas
geometricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacado na figura a seguir.
192
b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.
c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.
Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.
193
d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.
e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1).Resposta: Estes pontos correspondem a circunferencia de raio 1 e centrada
no ponto P = (−2, 1).
194
f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam
3u.c. do ponto Q = (−1,−2).Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a equacao das duas cir-
cunferencias especificadas. Portanto, sao os dois pontos mascados na figura a
seguir.
g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequacoes x ≤ −3, y ≥ 0 e distam
no maximo 4u.c. da origem O = (0, 0).
Resposta: A regiao explicitada esta marcada na figura a seguir.
195
G.3 Exercıcios
1. Assinale no plano cartesiano os pontos A = (2,−3), B = (0,−4), C = (−4,−5),
D = (−1, 0), E = (0, 5), F = (5, 4), G = (3, 0), H = (−3, 2), I =
(1
2,5
2
),
J = (1, 5), K = (5, 1).
2. O ponto N tem coordenadas (m−2, 5) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine
o valor de m.
3. O ponto P = (a,−b) pertence ao primeiro quadrante. Quais sao os sinais de a e b?
4. Sabendo que o ponto Q = (1− a, b+2) pertence ao quarto quadrante, determine os
possıveis valores de a e b.
5. O ponto R = (−a,−b) pertence ao 3o quadrante. Qual e o sinal do produto a · b?Justifique sua resposta.
6. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes expressoes:
a) x = 2 ;
b) x = 2 e y = −3 ;
c) y = −3 ;
d) x ≤ 2 ;
e) x ≤ 2 e y ≥ −3 ;
f) x ≤ 4 e y = −3 ;
∗ ∗ ∗
196
Apendice H
Polinomios
H.1 Definicao
Um polinomio na variavel real x e uma expressao composta pela soma de produtos de
constantes por potencias inteiras positivas de x e sempre pode ser escrito na forma:
P (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a3x3 + a2x
2 + a1x+ a0
onde n ∈ IN; ai (com i = 0, 1, 2, . . . , n) sao numeros reais chamados coeficientes; e as
parcelas aixi sao chamados termos do polinomio.
Podemos citar como exemplos de polinomios:
a) P (x) = 7x4 − 3x2 + 1
b) P (x) = 2x5 +√3x4 − x
c) P (x) = −3x2 + π
d) P (x) = 0
No entanto, as expressoes a seguir nao sao polinomios.
a) f(x) = x2 − 3x12 + 1
b) f(x) = x−3 + 2x+ 1
Nos dois casos acima temos expoentes de x que nao sao numeros naturais, portanto
estas expressoes nao representam polinomios.
197
H.2 Valor numerico de um polinomio
Quando e atribuıdo um valor fixo para x, por exemplo x = α (α ∈ IR), e calculamos
P (α) = anαn + an−1α
n−1 + . . . + a3α3 + a2α
2 + a1α + a0, dizemos que P (α) e o valor
numerico do polinomio P (x) para x = α.
Exemplo: Determine o valor numerico do polinomio P (x) = 3x3 − 4x2 + 1 para:
a) x = 2;
Resolucao: Fazendo as contas temos:
P (2) = 3 · 23 − 4 · 22 + 1 = 3 · 8− 4 · 4 + 1 = 9
b) x = −1
2;
Resolucao: Fazendo as contas temos:
P
(−1
2
)= 3
(−1
2
)3
− 4 ·(−1
2
)2
+ 1 = −3
8− 4 · 1
4+ 1 = −3
8− 1 + 1 = −3
8
c) x = 0;
Resolucao: Fazendo as contas temos:
P (0) = 3 · 03 − 4 · 02 + 1 = 0− 0 + 1 = 1
d) x = 1;
Resolucao: Fazendo as contas temos:
P (1) = 3 · 13 − 4 · 12 + 1 = 3− 4 + 1 = 0
Observacao: Quando P (α) = 0, dizemos que α e raiz do polinomio P (x). Assim,
no item d acima, temos que x = 1 e raiz do polinomio P (x) = 3x3 − 4x2 + 1.
H.3 Polinomio nulo
Polinomio nulo ou Polinomio identicamente nulo e aquele em que todos os seus
coeficientes sao iguais a zero (an = an−1 = . . . = a2 = a1 = a0 = 0) e, portanto, P (x) = 0.
Exemplo: Supondo que o polinomio P (x) = (a− 7)x3− 4(2− b)x2 +6(c+2)x− d
e identicamente nulo, determine os valores de a, b, c e d.
Resolucao: Se cada coeficiente do polinomio deve ser nulo, temos que:
198
a3 = 0 =⇒ a− 7 = 0⇒ a = 7
a2 = 0 =⇒ −4(2− b) = 0⇒ b = 2
a1 = 0 =⇒ 6(c+ 2) = 0⇒ c = −2a0 = 0 =⇒ −d = 0⇒ d = 0
H.4 Grau de um polinomio
Dado o polinomio P (x) = anxn + an−1x
n−1 + . . . + a3x3 + a2x
2 + a1x + a0, nao iden-
ticamente nulo, com an = 0, dizemos que o grau do polinomio corresponde a mais alta
potencia de x presente nesse polinomio e denotamos por gr(P (x)) = n.
Exemplo: Qual o grau de cada polinomio P (x) a seguir?
a) P (x) = 5x3 − 3x+ 1;
Resposta: O grau do polinomio P (x) e 3, ou seja, gr(p(x)) = 3
b) P (x) = 9x9 − 2;
Resposta: gr(p(x)) = 9.
c) P (x) = −2x;Resposta: gr(p(x)) = 1.
d) P (x) = 7;
Resposta: gr(p(x)) = 0.
H.5 Igualdade de polinomios
Dois polinomios P (x) e Q(x) sao iguais ou identicos, P (x) = Q(x), quando todos os
seus coeficientes sao ordenadamente iguais.
Exemplo: Dados os polinomio P (x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f e Q(x) =
4x4 − 9x3 + 7x+ 1, determine os valores das constantes reais a, b, c, d, e e f , para
que P (x) e Q(x) sejam iguais.
Resposta: Para que P (x) = Q(x), devemos ter a = 0, b = 4, c = −9, d = 0, e = 7
e f = 1.
199
H.6 Operacoes com polinomios
Agora vamos definir as operacoes que podemos realizar com polinomios. Para isto
vamos considerar que sao dados os polinomios P (x) e Q(x), tais que P (x) = anxn +
an−1xn−1+. . .+a3x
3+a2x2+a1x+a0 e Q(x) = bnx
n+bn−1xn−1+. . .+b3x
3+b2x2+b1x+b0,
e tambem temos dado k ∈ IR.
Desta forma podemos realizar as seguintes operacoes com polinomios:
a) Adicao de polinomios
A adicao de polinomios, que e representada por (P + Q)(x) = P (x) + Q(x), e feita
somando-se os coeficientes dos termos de mesma potencia de x em cada polinomio. Ou
seja, a adicao de polinomios e dada por:
(P+Q)(x) = (an+bn)xn+(an−1+bn−1)x
n−1+. . .+(a3+b3)x3+(a2+b2)x
2+(a1+b1)x+(a0+b0)
Exemplo: Dados os polinomios P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e Q(x) = 4x4 + 5x3 +
7x+ 1, qual e o polinomio dado pela soma P (x) +Q(x)?
Resposta: O polinomio soma, (P +Q)(x), vale:
(P +Q)(x) = (3 + 4)x4 + (−8 + 5)x3 + (1 + 0)x2 + (−3 + 7)x+ (0 + 1)
(P +Q)(x) = 7x4 + 3x3 + x2 + 4x+ 1
b) Diferenca de polinomios
A diferenca de polinomios, que e representada por (P −Q)(x) = P (x)−Q(x), e feita
subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesma potencia de x em cada polinomio. Ou
seja, a diferenca de polinomios e dada por:
(P−Q)(x) = (an−bn)xn+(an−1−bn−1)xn−1+. . .+(a3−b3)x3+(a2−b2)x2+(a1−b1)x+(a0−b0)
Exemplo: Dados os polinomios P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e Q(x) = 4x4 + 5x3 +
7x+ 1, qual e o polinomio dado pela diferenca P (x)−Q(x)?
Resposta: O polinomio diferenca, (P −Q)(x), vale:
(P −Q)(x) = (3− 4)x4 + (−8− 5)x3 + (1− 0)x2 + (−3− 7)x+ (0− 1)
(P −Q)(x) = −x4 − 13x3 + x2 − 10x− 1
200
c) Multiplicacao de polinomio por numero real (ou escalar)
Amultiplicacao do polinomio P (x) pelo escalar k, representada por (k·P )(x) = k·P (x)
e feita multiplicando-se k por cada coeficiente do polinomio P (x). Assim, temos que:
(k · P )(x) = (k · an)xn + (k · an−1)xn−1 + . . .+ (k · a3)x3 + (k · a2)x2 + (k · a1)x+ (k · a0)
Exemplo: Dados o polinomio P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e k = −5, determine o
polinomio (k · P )(x).
Resposta: O polinomio (k · P )(x), vale:
(k · P )(x) = (−5)(3x4 − 8x3 + x2 − 3x)
(k · P )(x) = (−5)3x4 + (−5)(−8)x3 + (−5)x2 + (−5)(−3)x(k · P )(x) = −15x4 + 40x3 − 5x2 + 15x
d) Multiplicacao de polinomios
A multiplicacao dos polinomios P (x) e Q(x), que e representada por (P · Q)(x) =
P (x) ·Q(x), pode ser feita utilizando-se a propriedade distributiva da multiplicacao.
Vamos demonstra-la atraves dos dois exemplos a seguir.
Exemplo: Determine o produto dos polinomios P (x) e Q(x) dados a seguir.
a) P (x) = 3x+ 1 e Q(x) = 4x2 − 3x+ 2.
Resolucao: O produto (P ·Q)(x) e dado por:
(P ·Q)(x) = (3x+ 1) · (4x2 − 3x+ 2)
(P ·Q)(x) = 3x · (4x2 − 3x+ 2) + 1 · (4x2 − 3x+ 2)
(P ·Q)(x) = 12x3 − 9x2 + 6x+ 4x2 − 3x+ 2
(P ·Q)(x) = 12x3 − 5x2 + 3x+ 2
b) P (x) = 2x3 − x2 + x e Q(x) = x2 − 5x+ 2.
Resolucao: O produto (P ·Q)(x) e dado por:
(P ·Q)(x) = (2x3 − x2 + x) · (x2 − 5x+ 2)
(P ·Q)(x) = (2x3) · (x2 − 5x+ 2)− x2 · (x2 − 5x+ 2) + x · (x2 − 5x+ 2)
(P ·Q)(x) = 2x5 − 10x4 + 4x3 − x4 + 5x3 − 2x2 + x3 − 5x2 + 2x
(P ·Q)(x) = 2x5 − 11x4 + 10x3 − 7x2 + 2x
201
e) Divisao de polinomios
A divisao do polinomio D(x) (dividendo) por d(x) (divisor), nao nulo, significa que
temos que determinar o polinomio quociente, q(x), e o polinomio resto, r(x), tais que:
a) D(x) = d(x) · q(x) + r(x).
b) gr(r(x)) < gr(d(x)) ou r(x) = 0.
Obs.: Se r(x) = 0, dizemos que D(x) e divisıvel por d(x) ou que a divisao e exata.
A divisao pode ser feita por meio de um algoritmo simples, que simula a divisao de
numeros inteiros, conhecido como metodo da chave. Este algoritmo pode ser descrito
pelas seguintes etapas:
i) divide-se o termo de mais alto grau do polinomio dividendo pelo termo de maior
grau do divisor;
ii) multiplica-se o quociente pelo divisor e subtrai-se este resultado do dividendo;
iii) repete-se o processo ate se obter um polinomio de grau menor que o divisor. Este
ultimo polinomio sera o resto da divisao.
Vamos demonstrar a divisao de polinomios no exemplo a seguir.
Exemplo: Determine a divisao entre os polinomios D(x) e d(x) dados a seguir.
a) D(x) = 3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1 e d(x) = x2 − 2x+ 3.
D −→ 3x5 −6x4 13x3 −9x2 11x −1 x2 −2x +3 ←− d
−3x5 +6x4 −9x3 −9x2 11x −1 3x3 +4x −1 ←− q
4x3 −9x2 11x −1−4x3 8x2 −12x
−x2 −x −1x2 −2x +3
r −→ −3x +2
A divisao feita na ‘conta’ acima pode ser descrita nos seguintes passos.
i) Faz-se a divisao: (3x5) : (x2) = 3x3;
ii) Faz-se a multiplicacao: (3x3) · (x2 − 2x+ 3) = 3x5 − 6x4 + 9x3;
202
iii) Subtrai-se este polinomio do dividendo: (3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1)−(3x5 − 6x4 + 9x3) = 4x3 − 9x2 + 11x− 1;
iv) Recomeca-se o processo, ate que o resto tem grau inferior ao divisor.
Assim, temos que o dividendo pode ser escrito como:
3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1 = (x2 − 2x+ 3) · (3x3 + 4x− 1) + (−3x+ 2)
b) D(x) = x4 − 3x2 + 5x+ 1 e d(x) = x− 2
Neste caso, temos que:
x4 0x3 −3x2 +5x +1 x −2−x4 +2x3 x3 +2x2 +x +7
+2x3 −3x2 +5x +1
−2x3 4x2
x2 +5x +1
−x2 +2x
+7x +1
−7x +14
+15
Pela divisao feita acima, podemos escrever que:
x4 − 3x2 + 5x+ 1 = (x− 2) · (x3 + 2x2 + x+ 7) + 15
A divisao acima e as outras divisoes de polinomio de grau n por um polinomio de
grau 1 tambem podem ser feitas usando o metodo de Briot-Ruffini. Mas iremos deixar
este metodo a parte deste apendice e apresentar apenas o metodo para divisao de um
polinomio de grau qualquer.
H.7 Exercıcios
1. Determine quais expressoes a seguir sao polinomios.
a) y = 3x6 + 5x4 − x3 + 9
b) y = x23 − 5x+ 3
c) y = (a+ 2)x4 − (a2 − 1)x2 −√2
203
d) y = (4x2 − 3)12
e) y = 3x−2 + 2x−1 − 1
f) y = π3
2. Determine o valor de r no polinomio P (x) = x3− rx2 +2, sabendo que x = 1 e raiz
desse polinomio.
3. Seja o polinomio P (x) = x4 − 3x2 − 5. Calcule P (−1)− 1
7P (3).
4. Determine m e n no polinomio P (x) = mx3− 2x2 + nx− 1, sabendo-se que 1 e raiz
do polinomio e que P (−2) = −21.
5. Determinar o polinomio P (x) = ax2 + bx+ c, sabendo-se que P (0) = 5, P (1) = 6 e
P (−2) = −9.
6. Determinar a, b e c de modo que os polinomios P (x) = 15x+3 e Q(x) = (a− b)x2+
(3a+ 2b)x+ (2a− c) sejam iguais.
7. Diga quais afirmacoes sao verdadeiras.
a) A soma de dois polinomios de grau 4 e sempre um polinomio de grau 4.
b) O produto de dois polinomios de graus 5 e 8, respectivamente, e um polinomio
de grau 13.
c) A diferenca de dois polinomios de grau 9 pode ser um polinomio de grau 5.
8. Dados os polinomios P (x) = 8x5− 5x4+7x3− 3x+4 e Q(x) = 4x2− 5, determinar:
a) (P +Q)(x)
b) (P −Q)(x)
c) (P ·Q)(x)
d)(−2) · P (x)
Q(x)
e)P (x)
x+ 2
9. Seja o polinomio P (x) = 2x2 − 3x+ 5, determinar os seguintes polinomios:
a) P (x+ 1)
b) P (1− x)
c) P (x2 − 2x)
204
d) P (x3)
10. Complete os quadrados das expressoes a seguir:
a) z = x2 + 3
b) z = 2x2 + 4
c) z = 3x2 + 3y2
d) z = x2 + x+ 9
e) z = 3x2 + y
f) 5z = x2 − 3x
g) z = x2 − 3x
h) z = x− 9x2
i) z = x4 − 2x2 + 2
j) z = x4 − 3x+1
∗ ∗ ∗
205
Apendice I
Produtos notaveis e fatoracao
I.1 Produtos notaveis
Ao trabalharmos com operacoes entre expressoes algebricas, alguns tipos de expressoes
aparecem com certa frequencia. Estas expressoes, que sao multiplicacoes de polinomios,
sao bastante conhecidas e utilizadas e sao chamadas de produtos notaveis.
Como estes produtos de polinomios sao bastante utilizados, vamos listar os principais e
mostrar alguns exemplos que ajudarao o estudante a adquirir traquejo com a manipulacao
de expressoes algebricas.
Os principais produtos notaveis sao:
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
2. (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
3. a2 − b2 = (a+ b) · (a− b)
4. (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
5. (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
6. a3 + b3 = (a+ b) · (a2 − ab+ b2)
7. a3 − b3 = (a− b) · (a2 + ab+ b2)
8. (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
9. (x− a) · (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab
10. (x+ a) · (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab
11. (x+ a) · (x− b) = x2 + (a− b)x− ab
206
Apresentados os principais produtos notaveis, vamos fazer alguns exemplos para fixar-
mos em nossas mentes a sua forma.
Exemplo:
1. Obtenha o valor das expressoes a seguir desenvolvendo as multiplicacoes e mostre
que e igual a expressao do produto notavel correspondente.
a) (2x− y)2
Resolucao: Desenvolvendo a multiplicacao temos que:
(2x− y)2 = (2x− y) · (2x− y) = 4x2 − 2xy − 2xy + y2
(2x− y)2 = 4x2 − 4xy + y2
Usando o produto notavel, temos que:
(2x− y)2 = (2x)2 − (2 · 2x · y) + (y)2 = 4x2 − 4xy + y2
Como podemos observar, as expressoes sao exatamente iguais
b) (x+ 4z)3
Resolucao: Desenvolvendo a multiplicacao temos que:
(x+ 4z)3 = (x+ 4z) · (x+ 4z)2 = (x+ 4z) · (x2 + 8xz + 16z2)
(x+ 4z)3 = x3 + 8x2z + 16xz2 + 4x2z + 32xz2 + 64z3
(x+ 4z)3 = x3 + 12x2z + 48xz2 + 64z3
Usando o produto notavel temos que:
(x+ 4z)3 = (x)3 + 3 · (x)2 · (4z) + 3 · x · (4z)2 + (4z)3
(x+ 4z)3 = x3 + 12x2z + 48xz2 + 64z3
Onde vemos que as duas expressoes sao exatamente iguais.
I.2 Completar quadrados
Os produtos notaveis mais utilizados sao os dois primeiros, (a + b)2 e (a − b)2. Sua
larga utilizacao deve-se ao fato de estarem relacionados a funcoes de segundo grau que sao
usadas para modelar diversos problemas simples em Matematica, Fısica e Engenharia.
Um polinomio de segundo grau (polinomio onde a maior potencia da variavel e igual
a 2), sempre pode ser reescrito em termos dos produtos notaveis citados acima. Esta
207
operacao usada para reescrever um polinomio e chamada de completar quadrados e
feita por comparacao direta entre os termos do polinomio e o desenvolvimento de um dos
produtos notaveis.
Vejamos os exemplos a seguir para entender esta operacao algebrica.
Exemplo: Complete quadrados com as expressoes a seguir:
a) x2 + 8x
Resolucao: Podemos comparar esta expressao com o produto notavel (a+b)2,
pois o coeficiente do termos em x e positivo. Assim:
(a+ b)2 = a2 +2ab +b2
x2 +6x
Comparando as expressoes acima temos que a = x e 2ab = 8x. Portanto, temos
que 2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16. Desta forma, o produto notavel completo
seria:
(x+ 4)2 = x2 + 8x+ 16
Mas, temos que:
x2 + 8x = x2 + 8x+ 16− 16 = (x+ 4)2 − 16
Ou seja, realizando a operacao de completar quadrados temos:
x2 + 8x = (x+ 4)2 − 16
b) x2 − x+ 3
Resolucao: Para completar quadrado nesta expressao vamos, primeiro, des-
considerar a constante e completar quadrado da expressao x2 − x.
A expressao x2 − x pode ser comparada com (a − b)2, pois o coeficiente do
termo em x e negativo. Assim:
(a− b)2 = a2 −2ab +b2
x2 −x
Comparando as expressoes acima vemos que a = x e que 2ab = x. desta forma,
temos que 2b = 1⇒ b =1
2⇒ b2 =
1
4.
Assim, temos que:
x2 − x =
(x+
1
2
)2
− 1
4
Substituindo este valor na expressao original temos:
x2 − x+ 3 = (x2 − x) + 3 =
(x+
1
2
)2
− 1
4+ 3
208
O que nos da, finalmente:
x2 − x+ 3 = (x2 − x) + 3 =
(x+
1
2
)2
− 11
4
I.3 Fatoracao
Fatorar um polinomio significa reescreve-lo como produto de outros polinomios.
Esta operacao pode ser efetuada dividindo-se por outro polinomio ou pondo um termo
em evidencia e/ou comparando com algum dos produtos notaveis.
Vamos demonstrar esta operacao no exemplo a seguir.
Exemplo: Fatore os polinomios a seguir.
a) P (x) = 2x+ 2
Resposta: Podemos fatorar este polinomio pondo o coeficiente a1 = a2 em
evidencia. Assim:
P (x) = 2x+ 2 = 2(x+ 1)
b) P (x) = x3 − x
Resposta: Podemos fatorar este polinomio pondo o x em evidencia e, depois,
comparando um dos polinomios do produto com os produtos notaveis. Assim:
P (x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x+ 1)(x− 1)
c) P (x) = x4 − 5x2
Resposta: Neste caso, temos que:
P (x) = x4 − 5x2 = x2(x2 − 5) = x2(x+√5)(x−
√5)
d) P (x) = x4 − 1
Resposta: Neste caso, temos que:
P (x) = x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)
e) P (x) = x3 + 8
Resposta: Neste caso, temos que:
P (x) = x3 + 8 = (x+ 2)(x2 + 2x+ 4)
f) P (x) = x6 − 27
Resposta: Neste caso, temos que:
P (x) = x6 − 27 = (x2 − 3)(x4 + 3x2 + 9)
P (x) = (x+√3)(x−
√3)(x4 + 3x2 + 9)
209
I.4 Exercıcios
1. Determine quais expressoes a seguir sao polinomios.
a) y = 3x6 + 5x4 − x3 + 9
b) y = x23 − 5x+ 3
c) y = (a+ 2)x4 − (a2 − 1)x2 −√2
d) y = (4x2 − 3)12
e) y = 3x−2 + 2x−1 − 1
f) y = π3
2. Determine o valor de r no polinomio P (x) = x3− rx2 +2, sabendo que x = 1 e raiz
desse polinomio.
3. Seja o polinomio P (x) = x4 − 3x2 − 5. Calcule P (−1)− 1
7P (3).
4. Determine m e n no polinomio P (x) = mx3− 2x2 + nx− 1, sabendo-se que 1 e raiz
do polinomio e que P (−2) = −21.
5. Determinar o polinomio P (x) = ax2 + bx+ c, sabendo-se que P (0) = 5, P (1) = 6 e
P (−2) = −9.
6. Determinar a, b e c de modo que os polinomios P (x) = 15x+3 e Q(x) = (a− b)x2+
(3a+ 2b)x+ (2a− c) sejam iguais.
7. Diga quais afirmacoes sao verdadeiras.
a) A soma de dois polinomios de grau 4 e sempre um polinomio de grau 4.
b) O produto de dois polinomios de graus 5 e 8, respectivamente, e um polinomio
de grau 13.
c) A diferenca de dois polinomios de grau 9 pode ser um polinomio de grau 5.
8. Dados os polinomios P (x) = 8x5− 5x4+7x3− 3x+4 e Q(x) = 4x2− 5, determinar:
a) (P +Q)(x)
b) (P −Q)(x)
c) (P ·Q)(x)
d)(−2) · P (x)
Q(x)
210
e)P (x)
x+ 2
9. Seja o polinomio P (x) = 2x2 − 3x+ 5, determinar os seguintes polinomios:
a) P (x+ 1)
b) P (1− x)
c) P (x2 − 2x)
d) P (x3)
10. Complete os quadrados das expressoes a seguir:
a) z = x2 + 3
b) z = 2x2 + 4
c) z = 3x2 + 3y2
d) z = x2 + x+ 9
e) z = 3x2 + y
f) 5z = x2 − 3x
g) z = x2 − 3x
h) z = x− 9x2
i) z = x4 − 2x2 + 2
j) z = x4 − 3x+1
11. Prove, por desenvolvimento das multiplicacoes, os produtos notaveis.
a) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
b) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
c) a2 − b2 = (a+ b) · (a− b)
d) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
e) (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
f) a3 + b3 = (a+ b) · (a2 − ab+ b2)
g) a3 − b3 = (a− b) · (a2 + ab+ b2)
h) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
i) (x− a) · (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab
211
j) (x+ a) · (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab
k) (x+ a) · (x− b) = x2 + (a− b)x− ab
12. Resolva as expressoes a seguir.
a) z = (2x− y)3
b) z = (x+ 4y)2
c) z = (3x− 4) · (3x+ 5)
c) z = (3x− 4) · (3x+ 4)
13. Fatorar os seguintes polinomios:
a) y = 6x+ x2
b) y = x2 − 25
c) y = 16x4 − a4
d) y = x7 − 1
e) y = x6 + 2x4 + x2
f) y = x5 − 6x3 + 9x
14. Determine as raızes reais de cada uma das funcoes quadraticas dadas:
a) f(x) = x2 − 3x+ 2
b) f(x) = 3x2 − 7x+ 2
c) f(x) = −x2 − 3
2x+ 1
d) f(x) = x2 − 2x
e) f(x) = −3x2 + 6
f) f(x) = x2 + (1−√3)x−
√3
g) f(x) = x2 − 4√3 + 12
h) f(x) = (2− x)(2x− 5)
15. Determine os valores de m, com m ∈ IR, de modo que a a funcao f(x) seja uma
funcao de segundo grau.
a) f(x) = (m− 1)x2 + 2x− 3
b) f(x) = (m2 − 5m+ 4)x2 − 4x+ 5
212
16. Determine o valor de p para o qual a funcao quadratica f(x) = x2 + (3p + 2)x +
(p2 + p+ 2) tenha uma unica raiz.
17. As raızes da funcao f(x) = x2 − 2px + 8 sao positivas e uma e o dobro da outra.
Qual o valor de p?
18. Determine o parametro m de modo que a funcao f(x) = x2 +mx+ (m2 −m− 12),
de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva.
∗ ∗ ∗
213
Apendice J
Trabalhando com Numeros
Muitas vezes, ao escrever um numero decimal, quer seja um numero exato, uma dızima
perıodica ou um numero irracional, somos impelidos a escreve-lo com muitas casas deci-
mais. Isto pode acontecer:
i) se for um decimal exato por este ter muitas casas decimais;
ii) se for uma dızima pelo perıodo da dızima “demorar” a aparecer;
iii) pelo numero ser irracional (infinitas casas decimais que nao se repetem periodica-
mente).
Nestes casos podemos escrever estes numeros decimais de forma aproximada, sem que
estejamos abdicando de nenhuma informacao relevante a cerca do resultado procurado
em um exercıcio ou problema.
Tomemos como exemplo a fracao:
2
17= 0, 11764705882352941176470588235294 . . .
2
17= 0, 1176470588235294
Podemos escrever esta fracao, na forma decimal aproximada, como:
2
17∼= 0, 117647 ∼= 0, 11765 ∼= 0, 1176 ∼= 0, 118 ∼= 0, 12
A forma como vamos escreve-la e o numero de casas decimais que mantemos ao escreve-
la como numero decimal aproximado depende do numero de algarismos significativos que
estivermos interessados.
Ao escrever um numero de forma aproximada, estamos arredondando-o para um certo
numero de significativos.
214
Muitas vezes em Fısica, Quımica e engenharia, por exemplo, arredondamos um numero
devido a precisao de nossas medidas. Nestes casos, nao ha sentido em se trabalhar com
numeros com muitos significativos quando nossa precisao se restringe a alguns poucos.
Outras vezes arredondamos o numero so para nao levarmos um grande numero de alga-
rismos significativos em nossas notas
Agora, vamos aprender o que e algarismo significativo e a trabalhar com eles e as
regras para de arredondar numeros. Tambem vamos aprender a escrever numeros muito
grandes e muito pequenos de forma concisa usando a notacao cientıfica ou a notacao de
engenharia.
J.1 Algarismos significativos
Antes de aprendermos a arredondar numeros e a identificar para quantos algarismos
significativos devemos arredondar um numero, devemos aprender (ou relembrar) o que
e um algarismo significativo e a identificar em um numero a quantidade de algarismos
significativos que esse tem.
Algarismo significativo: e qualquer dıgito do numero, incluindo o zero se nao for
usado para posicionar a vırgula.
Exemplo: Quantos algarismos significativos tem cada numero abaixo?
a) 1, 2
Resposta: Tem 2 algarismos significativos.
b) 50, 0
Resposta: Tem 3 algarismos significativos.
c) 3, 05
Resposta: Tem 3 algarismos significativos.
d) 0, 0003
Resposta: Tem 1 algarismo significativo.
e) 0, 03456
Resposta: Tem 4 algarismos significativos.
f) 200
Resposta: Tem 3 (ou 2 ou 1) algarismos significativos. Nao podemos ter
certeza, so vendo o numero, se os zeros estao posicionando a vırgula ou nao.
215
Ou seja, para numeros escritos ao acaso, nem sempre e possıvel se determinar o numero
de significativos que o numero tem. Mas ja sabemos o que e um algarismo significativo
e tambem aprendemos a identificar, na maioria dos casos, o numero de algarismos signi-
ficativos que um numero tem.
Ao usarmos uma calculadora ou programa de computador para fazer uma conta, o
resultado pode aparecer com muitas casas decimais ou mesmo algarismos significativos.
Dependendo da conta feita, a calculadora ou computador esta mostrando apenas uma
pequena parte dos algarismos significativos desta resposta.
Quantos algarismos mantemos? Quantos devemos usar? Quantos algarismos signi-
ficativos deve ter a nossa resposta?
A resposta a estas perguntas e simples! Mas depende do tipo de calculo feito para se
chegar ao valor encontrado. Portanto, devemos levar em consideracao, ao determinarmos
o numeros de algarismos significativos do valor encontrado, se o calculo feito para achar
este valor foi:
1. Multiplicacao ou divisao: o numero de algarismos significativo do valor encon-
trado deve ser o mesmo numero de algarismos significativos do valor, dentre os
valores usados no calculo, que tinha menos algarismos significativos.
2. Soma ou subtracao: o numero de algarismos significativos depende da localizacao
da vırgula indicadora da casa decimal nos valores usados para o calculo.
Vamos ao seguintes exemplos para ilustrar estas simples regras.
Exemplos
1. Uma porta tem 2,2 m de altura e 82,1 cm de largura. Qual a area desta porta?
Resolucao: Queremos determinar a area da porta com o numero correto de alga-
rismos significativos. Os dados do problema sao:
h = 2, 2 m (2 algarismos significativos)
l = 82, 1 cm = 0, 821 m (3 algarismos significativos)
A area deve, portanto, ter 2 algarismos significativos.
Fazendo as contas:
A = l · h = 2, 2× 0, 821 = 1, 8062 m2 (5 significativos)
Assim, a resposta, com o numero correto de significativos, e:
A = 1, 8m2
216
2. Qual a area total de uma peca formada por duas figuras planas de areas iguais a
123,62 cm2 e 8,9 cm2?
Resolucao: A area total vale:
A = A1 + A2
Onde:
A1 = 123, 62 cm2(5 significativos, incerteza na 2a casa decimal)
A2 = 8, 9 cm2 (2 significativos, incerteza na 1a casa decimal)
A area resultante deve, portanto, ter uma casa decimal, nao importando o numero
de significativos.
Fazendo as contas:
A = (123, 62 + 8, 9) cm2 = 132, 52 cm2
A = 132, 5 cm2 (4 significativos, incerteza na 1a casa decimal)
J.2 Arredondamento de numeros
Nos exemplos da secao anterior, para conservar e/ou acertar o numero de algarismos
significativos arredondamos alguns numeros. Em diversas situacoes e ocasioes, ao traba-
lhar com numeros, vamos precisar arredonda-los para uma certa quantidade de algarismos
significativos. Mas, como fazer estes arredondamentos de maneira uniforme e de forma
que todos os profissionais, ao arredondar um numero qualquer para um mesmo numero
de algarismos significativos cheguem a mesma resposta?
Para evitar possıveis arredondamentos diferentes para um mesmo numero, ha algumas
regras importantes que utilizamos como convencao na hora de arredondar numeros. Estas
regras estao descritas abaixo e seguidas de exemplos para um melhor entendimento.
Se queremos arredondar um numero para n significativos (por exemplo, 3) e:
1. O (n+1)-esimo significativo e menor que 5, o dıgito n+1 e todos os seguintes serao
truncados:
Exemplos
1. 2, 36232 ∼= 2, 36 (3 significativos)
2. 0, 45619 ∼= 0, 456 (3 significativos)
217
2. O (n+1)-esimo dıgito e igual a 5 seguido de “zeros”, o arredondamento do n-esimo
dıgito sera para um numero par.
Exemplos
1. 2, 455 ∼= 2, 46 (3 significativos)
2. 0, 4565 ∼= 0, 456 (3 significativos)
3. O (n+1)-esimo dıgito e maior que 5 ou igual a 5 seguido de algum numero diferente
de “zero”, o n-esimo dıgito aumenta em uma unidade e os seguintes sao truncados.
Exemplos
1. 0, 72387 ∼= 0, 724 (3 significativos)
2. 562, 5003 ∼= 563 (3 significativos)
Vamos fazer mais alguns exemplos para testar o nosso entendimento do explicitado
ate o momento neste apendice.
Exemplos
1. Quantos algarismos significativos tem os seguintes numeros?
a) 15,0;
Resposta: Tem 3 algarismos significativos.
b) 0,12;
Resposta: Tem 2 algarismos significativos.
c) 0,0007;
Resposta: Tem 1 algarismo significativo.
d) 180.
Resposta: Nao se pode ter certeza. Pode ter 2 pou 3 algarismos significativos.
2. Realize as operacoes aritmeticas a seguir e expresse o resultado com o numero correto
de algarismos significativos.
a) A soma dos valores medidos em um experimento 756; 38,9; 0,81; 4,5.
Resolucao: Usando a regra para soma de numeros decimais estudada em
apendice anterior (ou mesmo uma calculadora) encontramos como resposta
para esta soma:
S = 756 + 38, 9 + 0, 81 = 795, 71
218
Mas, como os valores usados para obter a soma correspondem a medidas de um
experimento, devemos expressar nossa resposta final em termos da precisao da
medida que tem menor precisao. Por isto devemos expressao nossa resposta
final com zero casas decimais, ou seja, devemos arredondar nossa resposta para
um numero inteiro, nao importando o numero de algarismos significativos que
este valor tenha.
Usando a regra de arredondamento de numeros temos que:
S = 796
b) O produto de 5,31 por 3,14159.
Resolucao: O produto dos numeros acima vale:
P = 5, 31× 3, 14159 = 16, 6818429
Como este valor foi obtido a partir de uma multiplicacao, o resultado, devi-
damente arredondado, deve ser expresso com o mesmo numero de algarismos
significativos do numero que tem o menor numero de significativos dentre os
valores usados para fazer a multiplicacao, ou seja, 3 algarismos significativos.
Usando a regra de arredondamento de numeros temos que:
P = 16, 7
E muito importante frisarmos neste momento que, mesmo que expressemos nossas res-
postas em termos de numeros arredondados e com uma quantidade limitada de algarismos
significativos, ao precisarmos usar estes valores para novos calculos devemos usar, para
fazer estes calculos, o valor com o maior numero possıvel de algarismos significativos.
Vamos a um novo exemplo para ilustrar este fato.
Exemplo: Os valores medidos em um experimento 750; 538,3; 120,57; 38,9.
Sabendo que neste experimento estava sendo medida, em metros, a distancia per-
corrida por um movel que se movia em linha reta e sempre no memo sentido e que
o tempo total do movimento foi de 200 segundos, determine:
a) a distancia total percorrida por este movel;
Resolucao: A distancia total percorrida e a soma das distancias percorridas.
Assim:
∆s = 750 + 538, 3 + 120, 57 + 38, 9 = 1447, 77 m ∼= 1450 m
b) A velocidade media do movel ao final de seu movimento.
Resolucao: A velocidade media e a razao entre a distancia percorrida e o
tempo total do movimento, assim:
219
vm =∆s
∆t
Embora a distancia percorrida, com seu valor devidamente arredondado, seja
∆s = 1450 m, para calcular a velocidade media devemos usar como valor para
a distancia o valor calculado sem arredondamento, ou seja, ∆s = 1447, 77 m.
Assim:
vm =∆s
∆t=
1447, 77
200= 7, 23885 m/s ∼= 7, 24 m/s
Se tivessemos usado o valor arredondado de ∆s para fazer a conta encon-
trarıamos como resposta para a velocidade media o valor vm = 7, 25 m/s.
Neste caso, a diferenca entre o valor encontrado pelo procedimento correto e o
valor encontrado pelo procedimento errado diferem muito pouco, mas ha casos
em que a discrepancia entre os valores encontrados por diferentes procedimen-
tos e bastante significativa.
J.3 Notacao cientıfica e notacao de engenharia
Ao trabalharmos com numeros muito grandes ou muito pequenos e conveniente e im-
portante representarmos estes numeros usando potencias de 10.
A principal representacao de numeros em termos de potencias de 10 e chamada de
notacao cientıfica.
Ao usarmos a notacao cientıfica representamos um numero qualquer em termos de um
numero entre 1 e 10 (1 ≤ x < 10) multiplicado por uma potencia de 10.
Vejamos alguns exemplos de numeros muito grandes ou muito pequenos escritos em
notacao cientıfica:
Exemplo: Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica.
a) 1000 = 10 · 10 · 10 = 103
b) 5000 = 5 · 10 · 10 · 10 = 5 · 103
c) 325000000 = 3, 25 · 108
d) 0, 1 = 1/10 = 10−1
e) 0, 001 = 1/1000 = 1/(10 · 10 · 10) = 1 · 10−3 = 10−3
f) 0, 0000000036 = 3, 6 · 10−9
220
Importante: Na notacao cientıfica temos sempre um numero entre 1 e 10 multiplicado
por uma potencia de 10. Quando o numero e exatamente 1 e nao precisarmos escrever
com dois ou mais significativos (como 1,0 ou 1,00, por exemplo) podemos omiti-lo.
Por exemplo, ao arredondarmos o numero 360000 devemos escrever x = 360000 =
3, 6 · 105. E NAO x = 36 · 104 ou 0, 36x106. Ao escrever o numero 10000 em notacao
cientıfica, com um unico significativo, podemos escrever apenas 104.
Ja ao usarmos a notacao de engenharia para representar um numero temos sempre
um numero entre 1 e 1000 multiplicado por uma potencia de 10 com expoente que e
multiplo de 3.
Vejamos alguns exemplos de numeros representados em termos da notacao de engen-
haria.
Exemplo: Escreva os numeros a seguir em notacao de engenharia.
a) 360000 = 360 · 103
b) 0, 000012 = 12 · 10−6
b) 5000 = 5 · 103
J.4 Exercıcios
1. Quantos algarismos significativos tem cada numero abaixo?
a) 1, 32
b) 5, 0
c) 3, 05
d) 0, 0003
e) 0, 03456
f) 200
g) 3, 2× 10−5
h) 540× 109
i) 0, 0102
2. Uma janela tem 1,6 m de largura e 93,2 cm de altura. Determine a area desta janela
com o numero correto de algarismos significativos.
221
3. Qual a area total de uma peca formada por duas figuras planas de areas iguais a
123,62 cm2 e 8,9 cm2?
4. Determine, com o numero correto de algarismos significativos, a velocidade media
de atleta que corre 42,6 km em 2,1 horas.
5. Escreva os numeros a seguir em notacao cientıfica e de engenharia:
a) 35.000.000.000.000;
b) 8510;
c) 457;
d) 0,1;
e) 0,000065;
f) 0,00000000072.
g) 12400000000;
h) 15600;
i) 100;
j) 0,32;
k) 0,0000045;
l) 0,000000123;
m) 1,2.
6. A massa da Terra e aproximadamente igual a 5.970.000.000.000.000.000.000
toneladas. Escreva este numero em termos de notacao cientıfica e de engenharia.
7. Um ano-luz tem, aproximadamente, 1, 5 · 108 km. Escreva este numero em notacao
de engenharia.
∗ ∗ ∗
222
