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Matem´ atica B´ asica (Notas de Aula) Francisco Edson da Silva Simone Batista Natal, janeiro de 2012.

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Apostila matemática básica

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Matematica Basica

(Notas de Aula)

Francisco Edson da Silva

Simone Batista

Natal, janeiro de 2012.

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Conteudo

1 Nocoes Iniciais de Funcoes 1

1.1 Funcao: Definicao e notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Domınio e contra-domınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Analise visual de graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Continuidade de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Funcoes crescentes, decrescentes e constantes . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Funcoes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.4 Extremos local e absoluto de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Simetria: funcao par e funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Simetria em relacao ao eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Simetria em relacao ao eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.3 Simetria em relacao a origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Funcoes polinomiais 27

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Estudo do grafico de uma funcao de 1o grau . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3 Modelando problemas com funcoes de 1o grau . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Definicao e grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Zeros da funcao de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.3 Coordenadas do vertice do grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.4 Imagem e estudo do sinal da funcao quadratica . . . . . . . . . . . 43

2.3.5 Modelando problemas com funcoes de 2o grau . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ii

Page 3: MatematicaBasica VP

3 Funcao Modular 51

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 A funcao modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Equacoes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Funcao Exponencial 60

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Propriedades da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Construcao do grafico da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Funcao Logarıtmica 73

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Consequencias da definicao do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Sistemas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5 Propriedades operatorias dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6 Mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7 A Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8 Funcoes inversıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8.2 Grafico de funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.9 Equacoes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10 Equacoes logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.11 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Operacoes com Funcoes e Funcao Composta 94

6.1 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Trigonometria e Funcoes Trigonometricas 101

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Medidas de arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

iii

Page 4: MatematicaBasica VP

7.5 Funcoes periodicas e o ciclo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.6 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.7 Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.8 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.9 Funcoes cotangente, secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.10 Relacoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.11 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.11.1 A Funcao arcosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.11.2 A Funcao arcocosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.11.3 A Funcao arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.11.4 A Funcao arcocotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.11.5 A Funcao arcossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.11.6 A Funcao arcocossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A Introducao aos Conjuntos 130

A.1 Nocoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.2 Representacao dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.3 Relacao de pertinencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.4 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.5 Conjunto Universo - Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.6 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.7 Operacoes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.8 Numero de elementos do conjunto uniao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B Conjunto dos Numeros Naturais, IN 144

B.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B.2 Operacoes com numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

C Conjunto dos Numeros Inteiros, Z 148

C.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

C.2 Operacoes com numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C.3 Numeros opostos ou simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

C.4 Modulo de um numero inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

C.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

iv

Page 5: MatematicaBasica VP

D Conjunto dos Numeros Racionais, IQ 155

D.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

D.2 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

D.3 Representacao decimal das fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

D.4 Operacoes com numeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

D.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais . . . . . . . . . . . . . . . 167

D.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

E Conjunto dos Numeros Irracionais, II 171

F Conjunto dos Numeros Reais, IR 172

F.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

F.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

F.3 Potenciacao com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

F.4 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

F.5 Potenciacao com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

F.6 Propriedades basicas da Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

F.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

G Plano Cartesiano 187

G.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

G.2 O sistema de coordenadas cartesianas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . 188

G.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

H Polinomios 197

H.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

H.2 Valor numerico de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

H.3 Polinomio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

H.4 Grau de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

H.5 Igualdade de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

H.6 Operacoes com polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

H.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

I Produtos notaveis e fatoracao 206

I.1 Produtos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

I.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

I.3 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

I.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

v

Page 6: MatematicaBasica VP

J Trabalhando com Numeros 214

J.1 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

J.2 Arredondamento de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

J.3 Notacao cientıfica e notacao de engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

J.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

vi

Page 7: MatematicaBasica VP

Capıtulo 1

Nocoes Iniciais de Funcoes

Este livro tem por objetivo principal apresentar um estudo introdutorio sobre funcoes

reais de variaveis reais sem o uso das nocoes e conceitos relacionados a limite e derivada.

Ou seja, queremos estudar funcoes com as ferramentas do Ensino Medio para que o

estudante possa, apos o estudo dos capıtulos deste livro, iniciar um curso de Calculo

Diferencial e Integral sem as dificuldades que, hoje em dia, os estudantes universitarios

que iniciam um primeiro curso de Calculo na universidade encontram.

Comecaremos o livro, portanto, por este capıtulo onde damos as nocoes gerais de

funcoes (definicao, domınio, contra-domınio, imagem e algumas nocoes preliminares) para

nos capıtulos seguintes estudar tipos especıficos e muito importantes de funcoes (funcoes

poliomiais de primeiro e sengundo graus, modular, exponencial, logarıtmica, composta

e trigonometrica) cujo conhecimento sera extremamente importante e imprescindıvel ao

se estudar limites, derivadas e integrais em um curso ou texto de Calculo Diferencial e

Integral.

Antes do estudante comecar a leitura e estudo deste primeiro capıtulo do livro, acon-

selhamos que seja lido e estudado os apendices de A a G deste livro, nos quais e feita uma

breve revisao das operacoes aritmeticas fundamentais (adicao, subtracao, multiplicacao,

divisao, exponenciacao e radiciacao) no contexto dos conjuntos numericos, bem como a

nocao de par ordenado e plano cartesiano, as definicoes e o uso de polinomios e produtos

notaveis e tambem os conceitos relacionados a arredondamento de numeros e notacao

cientıfica e de engenharia, topicos que, em alguns casos, acabam gerando dificuldades

de aprendizado nos estudante universitarios das areas de exatas ao iniciar seus cursos

universitarios.

Aos estudantes que tiverem completa seguranca dos temas abordados nos apendices

mencionados, sugerimos o imediato estudo do capıtulo que se segue, onde, como ja dito,

vamos estudar e revisar alguns importantes conceitos relacionados a funcoes e aprender a

fazer algumas simples analises dos graficos de funcoes.

1

Page 8: MatematicaBasica VP

1.1 Funcao: Definicao e notacoes

Para comecarmos a entender o conceito de funcao, comecemos imaginando duas

grandezas que apresentam alguma relacao entre si. Por exemplo: instante de tempo e

posicao de um carro.

Intante (s) Posicao (m)

0 0

1 5

2 15

3 30

4 50

5 75

Ha uma relacao direta entre os elementos dos conjuntos instante de tempo e posicao

do carro. Este tipo de relacao chamamos de funcao.

Sejam A e B conjuntos. Uma funcao de A em B e uma “regra” que associa a cada

elemento x ∈ A um unico elemento y ∈ B.

Para indicar uma funcao f de A em B escrevemos:

f : A→ B

Nesta definicao, temos que:

• A e chamado de domınio da funcao f e e denotado por D(f) ou Dom(f) ou Domf ;

• B e chamado de contra–domınio da funcao f ;

• o elemento y ∈ B associado ao elemento x ∈ A e chamado de imagem de x por f

e escrevemos y = f(x);

• a imagem de A por f , ou simplesmente, a imagem de f e a reuniao das imagens

dos elementos de A. Usamos as seguintes notacoes para a imagem de f : Im(f), Imf

f(A) ou f [A]. Portanto

Im(f) = f(x)| x ∈ A ou

Im(f) = y ∈ B∣∣ y = f(x) para algum x ∈ A

2

Page 9: MatematicaBasica VP

Exemplo 1: Consideremos a funcao de A em B: representada no diagrama abaixo:

Neste exemplo temos:

⋄ domınio: D(f) = 1, 2, 3, 4, 5

⋄ contra–domınio: a, c, d, 1, 2, 4

⋄ imagem: Im(f) = a, d, 1, 4

Note que a “regra” que associa a cada elemento do domınio um unico elemento do

contra-domınio e dada pelas setas. Note, tambem, que a imagem de f nao e igual ao seu

contra–domınio.

A funcao do exemplo 1 pode ser especificada de outros modos. Por exemplo:

i) f :1, 2, 3, 4, 5 → 1, 2, 4, a, c, d

1 7→ 1

2 7→ a

3 7→ d

4 7→ d

5 7→ 4

ii) f :1, 2, 3, 4, 5 → 1, 2, 4, a, c, d

x f(x)

1 1

2 a

3 d

4 d

5 4

3

Page 10: MatematicaBasica VP

Quando a quantidade de elementos do domınio de uma funcao e muito grande ou

infinita, torna–se inconveniente e ate mesmo impossıvel apresentar a funcao listando seus

valores um a um. Precisamos de um “esquema mais geral”.

Exemplo 2: Tomemos como exemplo a funcao dada por:

f : IN→ IN

f(x) = 2x

Temos:

⋄ domınio: D(f) = IN

⋄ contra–domınio: IN

⋄ imagem: Im(f) = numeros pares positivos ouIm(f) = 0, 2, 4, . . .

Exemplo 3: Dada a funcao:

f : IN∗ → IQ

f(x) =1

x

Temos:

⋄ domınio: Domf = IN∗

⋄ contra–domınio: IQ

⋄ imagem:1, 1

2, 13, 14, . . .

Exemplo 4: Dada a funcao:

f : IN∗ → IR

f(x) =1

x

Temos:

• domınio: Domf = IN∗

• contra–domınio: IR

• imagem:1, 1

2, 13, 14, . . .

4

Page 11: MatematicaBasica VP

As funcoes dos exemplos 3 e 4 sao iguais? Nao! Pois tem contra-domınios diferentes.

Duas funcoes f e g sao ditas iguais e escreve-se f = g ou f ≡ g se, e apenas se, as

funcoes f e g satisfizerem as 3 condicoes abaixo:

1. Domf = Domg

2. contra–domınio de f = contra-domınio de g

3. f(x) = g(x), ∀x ∈ Domf = Domg

Exemplo 5: Consideremos a funcao:

f : Z∗ → IR

f(k) =1

k

Temos:

⋄ domınio: Domf = Z∗

⋄ contra–domınio: IR

⋄ imagem:1, 1

2,−1

2, 13,−1

3, . . .

Note que apesar de possuirem o mesmo contra-domınio, as funcoes dos exemplos 4 e

5 nao sao iguais, pois tem domınios e imagens diferentes entre si.

Exemplo 6: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f

dada por:

f : IN→ IR

f(n) = (−1)n

Temos:

⋄ Domınio: Domf = IN

⋄ Contra-domınio: IR

⋄ imagem: Imf = −1, 1

5

Page 12: MatematicaBasica VP

Exemplo 7: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f

dada por:

f : IN→ IR

f(x) =

1 se x e par,

−1 se x e impar.

Temos:

⋄ Domınio: Domf = IN

⋄ Contra–domınio: IR

⋄ imagem: Imf = −1, 1

Lembrando que

(−1)n =

1 se n e par,

−1 se n e impar.

Vemos que as funcoes dos exemplos 6 e 7 sao iguais.

Exemplo 8: Diga quais sao, o domınio, o contra-domınio e a imagem da funcao f

dada por:

f : IN→ Z

f(x) =

x2, se x e par

−x+12, se x impar

Temos: Domf = IN e contra–domınio = Z. Para encontramos a imagem de f ,

vamos entender o “funcionamento” de f calculando alguns valores dessa funcao:

x f(x) x f(x) x f(x)

0 0 5 -3 10 5

1 -1 6 3 11 -6

2 1 7 -4 12 6

3 -2 8 4 13 -7

4 2 9 -5 14 7

6

Page 13: MatematicaBasica VP

Vamos apresentar os valores tabelados acima usando um esquema grafico. Desta

forma, temos que:

Da figura, percebemos que Imf = Z.

Exemplo 9: Considere a funcao f dada por:

f : IR→ IR

f(x) = 3

Temos:

⋄ Domf = IR

⋄ contra–domınio = IR

⋄ Imf = 3

Este e um exemplo de funcao constante.

Estudaremos mais detalhadamente este e outros tipos de funcoes, por hora vamos

apresentar nossa convencao sobre domınio e contra-domınio de funcoes.

1.2 Domınio e contra-domınio

Vamos trabalhar apenas com funcoes de variavel real. Ou seja, funcoes cujos domınios

sao subconjuntos dos reais e que assumem valores reais (as imagens tambem sao subcon-

juntos dos reais).

Nestes casos, e comum fornecer apenas a “formula” ou “regra” que define a funcao,

ficando convencionado que:

1. o domınio e o mais amplo subconjunto dos reais para o qual a “formula” ou “regra”

dada nao tem restricoes;

2. o contra-domınio sera sempre o conjunto dos reais.

7

Page 14: MatematicaBasica VP

Exemplos:

1. Considere a funcao f(x) dada por:

f(x) =1

x

Quais sao o domınio e o contradomınio de f(x)?

Resposta: Temos:

• contra–domınio: IR

• Domf = x ∈ IR∣∣x = 0 = IR∗

2. Determinar o domınio da funcao

f(x) =1

3x− 2

Domf = x ∈ IR∣∣3x− 2 = 0

Resposta: Como nao ha divisao por zero, a funcao f(x) esta definida para todos

os numeros reais, x ∈ IR, exceto para os valores de x que satisfazem a equacao:

3x− 2 = 0 =⇒ 3x = 2 =⇒ x =2

3

Assim, temos que:

Domf = x ∈ IR∣∣ x = 2/3 = IR− 2/3

Para determinarmos o domınio de uma funcao real verificamos, sempre, os valores de

x que tornam a funcao indeterminada. O domınio da funcao e o conjunto dos reais menos

estes valores. Ou seja, e o subconjunto dos reais que contem os numeros reais com excecao

dos valores que tornam a funcao indeterminada.

8

Page 15: MatematicaBasica VP

1.3 Graficos de funcoes

As funcoes podem ser representadas em termos de graficos cartesianos.

Para a construcao de um grafico (ou esboco de grafico) de uma funcao precisamos

obter e estudar os limites e as derivadas da funcao em todo o domınio da funcao. Como

so aprenderemos a estudar e utilizar adequadamente as derivadas de uma funcao em um

curso de Calculo I, ou melhor dizendo, em um texto mais avancado, vamos apresentar

uma forma alternativa de obtermos o grafico de algumas funcoes simples.

Por esta estrategia alternativa, para construirmos o grafico de uma funcao precisamos

conhecer sua lei de correspondencia (y = f(x)) e seu domınio.

Os passos para se construir uma funcao a partir destas duas informacoes sao:

1. Costruımos uma tabela com os valores de x e os valores corresppondentes de y

(calculados a partir da lei y = f(x));

2. representamos cada par ordenado (a, b) como um ponto do plano cartesiano;

3. ligamos os pontos marcados por meio de uma curva que e o grafico da funcao.

Exemplos

1. Construir os graficos da funcao: y = 2x .

Calculando o valor da funcao para alguns valores de x temos:

x f(x) = 2x

-4 -8

-3 -6

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

Um esboco do grafico desta funcao, com apenas tres dos pontos da tabela marcados,

e mostrado na figura a seguir.

9

Page 16: MatematicaBasica VP

2. Construir os graficos da funcao: y = 5 .

Neste caso temos que o grafico da funcao representa uma reta paralela ao eixo x,

como mostrado na figura abaixo.

10

Page 17: MatematicaBasica VP

3. Construir os graficos da funcao: y = x2 − 5 .

Construindo o esboco deste grafico, pelo procedimento descrito para os exemplos

anteriores, temos a curva mostrada no plano cartesiano da figura a seguir.

Mesmo sem termos a expressao matematica que define a variavel dependente em ter-

mos de uma variavel independente, podemos obter diversas informacoes sobre uma funcao

a partir da analise de seu grafico.

Antes, porem, vamos enunciar uma importante regra para, a partir de uma curva no

plano cartesiano, determinarmos se ela representa uma funcao y = f(x).

“Um grafico (curva) no plano cartesiano representa y como funcao de x se e

somente se nenhuma linha vertical (imaginaria ou nao) cruza a curva em

mais de um ponto.”

Esta e uma implicacao direta da definicao de funcao, onde temos que a funcao ‘leva’

um valor de x em um unico valor de f(x).

Analiticamente, podemos dizer que toda vez que for possıvel escrever y = f(x) com

um unico valor de y, ou seja, isolar o y na expressao matematica, o grafico cartesiano de

y como funcao de x correspondera a uma funcao.

11

Page 18: MatematicaBasica VP

Exemplos

1. Determine se os graficos representados no plano cartesiano sao funcoes y = f(x).

Resposta: Usando a nossa regra para determinar se um grafico no plano cartesiano

representa uma funcao vemos que: os graficos das figuras (a) e (b) SAO funcoes

y = f(x); e os graficos das figuras (c) e (d) NAO sao funcoes y = f(x).

2. Determine se as expressoes abaixo representam funcoes:

a) y + x = 9

Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:

y = 9− x

Onde temos que a expressao final esta escrita como y = f(x) e para cada valor

de x temos um unico valor de y, portanto a expressao y = 9 − x representa

uma funcao.

b) y2 + x2 = 9

Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:

y2 = 9− x2 =⇒ y = ±√9− x2

12

Page 19: MatematicaBasica VP

Onde temos que a expressao de y em termos de x traz dois valores diferentes de

y para cada valor de x. Portanto, a expressao y = ±√9− x2 NAO representa

uma funcao y = f(x).

c) 3x2 + y = 0

Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:

y = −3x2

Onde temos que y = f(x) e, portanto, temos uma funcao.

d) 2x+ 2y3 = 0

Resolucao: Isolando o y na expressao matematica:

2y3 = −2x =⇒ y = 3√−x ==⇒ y = − 3

√x

Onde temos y = f(x) e, portanto, uma funcao.

1.4 Analise visual de graficos de funcoes

A partir da representacao de uma funcao no plano cartesiano, podemos determinar

muitas informacoes a respeito do comportamento da funcao.

Vamos estudar algumas destas informacoes e, principalmente, aprender algumas

definicoes que nos serao muito importantes no estudo de graficos. Depois poderemos

passar para nosso estudo sobre os alguns dos principais tipos de funcoes.

Vale ressaltar que os conceitos e nocoes que serao apresentados nesta secao serao

apresentados apenas graficamente e que se estudo analıtico e matematicamenete rigoroso

sera feito em um curso/texto de calculo diferencial e integral com o uso das nocoes e

ferramentas de limites e derivadas.

1.4.1 Continuidade de uma funcao

Uma das mais importantes propriedades da maioria das funcoes que modelam sistemas

do mundo real e o fato de serem contınuas.

Sem nos preocuparmos com definicao analıtica e falando apenas graficamente, uma

funcao e contınua num ponto se o grafico da funcao nao apresenta, naquele ponto, alguma

descontinuidade. Costuma-se dizer que uma funcao e contınua em todo o seu domınio se

o seu grafico pode ser tracado “sem tirarmos o lapis do papel”.

Vamos a alguns exemplos graficos, onde temos um exemplo de funcao contınua e

exemplos de funcoes com os varios tipos de descontinuidades.

13

Page 20: MatematicaBasica VP

Exemplos

1. Funcao contınua.

Uma funcao contınua tem seu grafico tracado com uma unica linha sem saltos ou

outras descontinuidades.

2. Funcao com descontinuidade removıvel.

Uma funcao que possui uma descontinuidade removıvel e uma funcao que tem um

ponto onde ela nao esta definida, mas que seu grafico continua apos a descon-

tinuidade como se fosse uma continuacao da propria curva. Este tipo de descon-

tinuidade esta mostrado na figura a seguir. Este tipo de descontinuidade e chamada

de removıvel, pois a curva poderia tornar-se contınua se redefinissemos f(a).

14

Page 21: MatematicaBasica VP

3. Funcao com descontinuidade de salto (pulo).

Neste caso, no ponto onde a funcao e descontınua ha um salto nos valores da funcao.

Como o caso apresentado na figura a seguir.

4. Funcao com descontinuidade infinita.

Uma funcao possui uma descontinuidade infinita em x = a se, neste ponto, o valor

da funcao vai para +∞ ou para −∞.

15

Page 22: MatematicaBasica VP

1.4.2 Funcoes crescentes, decrescentes e constantes

Outra propriedade das funcoes que se pode perceber facilmente a partir de seu grafico

esta relacionada ao fato da funcao ser crescente, decrescente ou contante em um intervalo.

No entanto, para este caso vamos observar esta propriedade graficamente e, a seguir,

defini-la analiticamente a partir dos exemplos a seguir.

Exemplos

1. Funcao crescente.

2. Funcao decrescente.

16

Page 23: MatematicaBasica VP

3. Funcao constante.

4. Funcao decrescente de −∞ < x ≥ a; constante de a ≤ x ≤ b; e crescente de

b ≤ x ≤ ∞;.

Analiticamente temos que uma funcao f e:

⋄ Crescente em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo, uma

variacao positiva em x resulta em uma variacao positiva em f(x)

Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2)− f(x1) > 0.

Quando isto ocorre para todos os valores de x do domınio f , dizemos que a funcao

e estritamente crescente.

⋄ Decrescente em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo,

uma variacao positiva em x resulta em uma variacao negativa em f(x)

Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2)− f(x1) < 0.

Quando isto ocorre para todos os valores de x do domınio f , dizemos que a funcao

e estritamente decrescente.

17

Page 24: MatematicaBasica VP

⋄ Constante em um intervalo se, para quaisquer dois valores de x no intervalo, uma

variacao positiva em x resulta em uma variacao nula em f(x).

Ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) ou x2 − x1 > 0⇒ f(x2) = f(x1).

1.4.3 Funcoes limitadas

Graficamente, e simples entender o conceito de funcao limitada. Assim, vamos apre-

sentar a definicao de funcao limitada e exemplificar com um grafico.

Exemplos

1. Funcao limitada inferiormente: Uma funcao f e limitada inferiormente se existe

algum numero b que seja menor ou igual a todo numero da imagem de f .

2. Funcao limitada superiormente: Uma funcao f e limitada superiormente se

existe algum numero b que seja maior ou igual a todo numero da imagem de f .

18

Page 25: MatematicaBasica VP

3. Funcao limitada: Uma funcao f e limitada se existe algum numero a que seja

menor ou igual a todo numero da imagem de f e, tambem, se existe numero b que

seja maior ou igual a todo numero da imagem de f .

Ha tambem os casos de funcoes que nao sao limitadas inferiormente e nem superior-

mente, como a funcao mostrada na figura a seguir.

No curso/texto de Calculo Diferencial e Integral, o estudante aprendera a determinar

os limites inferior e superior de uma funcao atraves do calculo de suas derivadas. Por

hora, seria possıvel, por exemplo, usarmos as relacoes de desigualdade para verificar os

limites inferior e superior de algumas funcoes simples, mas nao vamos nos focar nisto, pois

o objetivo em nosso livro e conhecer as nocoes gerais de funcoes e estudar alguns tipos

especıficos de funcoes e, para estes tipos especıficos, estudaremos os limites das imagens

das funcoes.

19

Page 26: MatematicaBasica VP

1.4.4 Extremos local e absoluto de uma funcao

Muitos graficos sao caracterizados pelos “picos e vales” que apresentam quando mudam

o comportamento de crescimento para decrescimento e vice-versa.

Os valores extremos de uma funcao (extremo local) podem ser caracterizados como

maximo local ou mınimo local.

A analise algebrica dos extremos de uma funcao sera feita usando as ferramentas

matematicas do Calculo I. Por hora, vamos aprender a identifica-los graficamente.

A distincao entre os tipos de extremos de uma funcao pode ser observada nos graficos

dos exemplos a seguir.

Exemplos:

1. Grafico com mınimo local em a e maximo local em b.

2. Grafico com mınimo absoluto em a, e maximo local em b e mınimo local em c.

20

Page 27: MatematicaBasica VP

3. Grafico com maximo absoluto em a.

1.5 Simetria: funcao par e funcao ımpar

A simetria de uma funcao pode ser caracterizada grafica, numerica e algebricamente.

Vamos estudar a simetria das funcoes das tres maneiras. E, mais ainda, vamos estudar

tres tipos de simetria, embora apenas dois tipos estejam relacionados a funcoes.

1.5.1 Simetria em relacao ao eixo y

Consideremos a funcao: f(x) = x2 − 5. Graficamente temos:

O grafico parece o mesmo quando olhamos do lado esquerdo e direito do eixo y.

21

Page 28: MatematicaBasica VP

Numericamente temos que o s valores da funcao para alguns valores da variavel inde-

pendente x estao expressos na tabela abaixo.

x f(x)

−3 4

−2 −1−1 −40 −51 −42 −13 4

Algebricamente, vemos que para todos os valores de x do domınio de f , temos:

f(−x) = f(x)

Funcoes com esta propriedade sao chamadas de funcoes pares.

1.5.2 Simetria em relacao ao eixo x

Consideremos a funcao: x = f(y) = y2. Graficamente temos que:

22

Page 29: MatematicaBasica VP

O grafico parece o mesmo quando olhamos acima e abaixo do eixo x.

Numericamente temos que:

y x

−3 9

−2 4

−1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Graficos deste tipo NAO sao graficos de funcoes!!! Pois, para um certo valor da

variavel independente x temos dois valores possıveis para a variavel dependente y.

1.5.3 Simetria em relacao a origem

Consideremos a funcao: f(x) = x3. Graficamente temos o esboco desta funcao

mostrado na figura a seguir.

23

Page 30: MatematicaBasica VP

O grafico parece o mesmo quando olhamos tanto seu lado esquerdo para baixo quanto

seu lado direito para cima.

Numericamente temos que:

x f(x)

−3 −27−2 −8−1 −110 0

1 1

2 8

3 27

Algebricamente temos que para todos os valores de x do domınio de f :

f(−x) = −f(x)

Funcoes com esta propriedade sao chamadas de funcoes ımpares.

Resumindo

Para se determinar se uma funcao e par devemos:

• Graficamente: observar sua simetria em relacao ao eixo y;

• Algebricamente: verificar se f(−x) = f(x).

Para se determinar se uma funcao e ımpar devemos:

• Graficamente: observar sua simetria em relacao a origem;

• Algebricamente: verificar se f(−x) = −f(x).

Ao termino deste primeiro capıtulo onde apresentamos as principais nocoes da teoria

geral de funcoes, recomendamos aos estudantes entender e refazer todos os exemplos que

fizemos antes de comecar os exercıcios a seguir.

24

Page 31: MatematicaBasica VP

1.6 Exercıcios

1. Determine se as expressoes a seguir definem y = f(x). Em caso de resposta negativa,

justifique.

a) y = 2

b) y = −3

x+ 7

c) x = 7

d) x2 + y2 = 3

e) y = 4xy + 3

2. Determine, algebricamente, o domınio das funcoes a seguir.

a) f(x) = x2 + 4

b) f(x) =5

x− 4

c) f(x) =3x− 1

(x+ 3)(x− 1)

d) f(x) =1

x+

2

x− 1

e) f(x) =x

x2 − 5x

f) f(x) =√9− x2

g) f(x) =

√x2 − 8

x− 2

h) f(x) =

√x2 − 8

(x2 + 1)(x+ 1)

i) f(x) =√x4 − 16x2

j) f(x) = 5√−x+ 7

k) f(x) =1 + x

3√9− x2

l) f(x) =

√2−√x

3. Determine, algebricamente, a imagem das funcoes a seguir.

a) f(x) = 10− x2

b) f(x) = 5 +√4− x

25

Page 32: MatematicaBasica VP

c) f(x) =x2

1− x2

d) f(x) =3 + x2

4− x2

e) f(x) =1

x+

2

x− 1

f) f(x) =

1, se x < 0

−1, se x ≥ 0

4. Esboce o grafico de cada uma das funcoes abaixo e identifique os intervalos nos quais

a funcao e crescente, decrescente ou constante.

a) f(x) =∣∣x+ 2

∣∣− 1

b) f(x) = 3− (x− 1)2

c) f(x) =√9− x2

5. Verifique, tracando o grafico e comprove algebricamente, se as funcoes a seguir sao

pares ou ımpares.

a) f(x) = 2x4 − 8

b) f(x) = −5x3

c) f(x) = 2x3 − 3x

d) f(x) =3

1 + x2

e) f(x) =1

x

f) f(x) = 7x3 − 5x2

∗ ∗ ∗

26

Page 33: MatematicaBasica VP

Capıtulo 2

Funcoes polinomiais

2.1 Introducao

As funcoes polinomiais estao entre as funcoes mais familiares em nosso dia-a-dia. Essas

funcoes podem e sao usadas para descrever e modelar diversas situacoes/sistemas do

cotidiano.

Neste capıtulo de nosso livro vamos definir as funcoes polinomiais e estudar dois tipos

especıficos destas funcoes: as funcoes polinomiais de primeiro grau e as funcoes polinomiais

de segundo grau. Mas antes do estudante comecar o estudo deste capıtulo, sugerimos a

leitura e estudo do apendice G deste livro, onde relembramos a definicao de polinomio,

alguns conceito a eles relacionados e as principais operacoes envolvendo polinomios.

Assim, apos a leitura e estudo do apendice G do livro, vamos a definicao de funcao

polinomial.

Seja n um numero natural. Sejam a0, a1, a2, . . . , an−1, an numeros reais com an = 0.

A funcao dada por:

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn

e uma funcao polinomial de grau n.

A partir desta definicao devemos fazer os seguintes lembretes ao estudantes.

1. Aqui estamos considerando valida a nossa convencao sobre o domınio e contra-

domınio de nossas funcoes, ou seja, a funcao polinomial definida acima e uma funcao

f : IR→ IR.

2. Os termos ai sao os coeficientes da funcao. E an e chamado coeficiente principal.

3. A funcao f(x) = 0 e uma funcao polinomial. Ela tem grau n = 0 e coeficiente

a0 = 0. Todas as funcoes constantes sao funcoes polinomiais de grau n = 0.

27

Page 34: MatematicaBasica VP

Exemplo: Quais das funcoes a seguir sao funcoes polinomiais? Para as funcoes

polinomiais, defina o coeficiente principal e o grau da funcao.

a) f(x) = 3x5 − 4x2 +1

3Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 5 e coeficiente principal

a5 = 3.

b) f(x) = 7x−4 − 8

Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois uma das potencias de x possui

coeficiente negativo.

c) f(x) =√9x4 + 16x2

Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois a funcao esta dentro de um

radical e nao e possıvel extrai-la do radical de forma que ela tenha a estrutura de

um polinomio.

d) f(x) = 13x− 9x3

Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 3 e coeficiente principal

a3 = −9.

e) f(x) =√16x4 − 40x2 + 25

Resposta: Esta NAO e uma funcao polinomial, pois a funcao esta dentro de um

radical e nao e possıvel extrai-la do radical de maneira que ela assuma a forma de

um polinomio. Veja que

f(x) =√16x4 − 40x2 + 25 =

√(4x2 − 5)2 = |4x2 − 5|

Tornando a funcao f(x) uma funcao modular que sera estudada mais a frente.

f) f(x) = ax+ b

Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau n = 1 se a = 0 e de grau n = 0

se a = 0.

g) f(x) = ax2 + bx+ c

Resposta: Esta e uma funcao polinomial de grau: n = 2 se a = 0; de grau n = 1

se a = 0 e b = 0; e de grau n = 0 se a = b = 0.

Nas secoes seguintes deste capıtulo vamos estudar apenas dois tipos de funcoes poli-

nomiais: as funcoes polinomiais de 1o grau; e as funcoes polinomiais de 2o grau.

28

Page 35: MatematicaBasica VP

2.2 Funcao de 1o grau

2.2.1 Definicao

Uma funcao de primeiro grau ou funcao linear ou funcao afim e uma funcao

polinomial de grau n = 1. Assim, tem a forma:

y = f(x) = mx+ b

com m, b ∈ IR e m = 0

A equacao da funcao y = f(x) = mx + b, nesta forma, tambem e chamada de forma

reduzida da funcao de 1o grau.

O coeficiente principal da funcao, m, e chamado de coeficiente angular da funcao.

O numero b e chamado coeficiente linear da funcao.

A funcao de primeiro grau tem como grafico uma reta. Por mais que o estudante ja

esteja familiarizado as funcoes de primeiro grau, vale enfatizar alguns pontos importantes

sobre as funcoes deste tipo. Estes pontos serao discutidos nas subsecoes a seguir.

2.2.2 Estudo do grafico de uma funcao de 1o grau

1. Uma funcao de primeiro grau e uma reta e, por isto, pode ser completamente definida

a partir de dois pontos quaisquer que estejam na reta.

2. O coeficiente angular, m, determina a inclinacao da reta: se m > 0 a funcao f(x) e

crescente; se m < 0 a funcao f(x) e decrescente; e se m = 0 a funcao e constante.

3. O coeficiente linear, b, e o valor da funcao para x = 0, ou seja, b = f(0). Este e o

valor onde a reta intercepta o eixo y. Ou seja, o ponto (0, b) pertence a funcao.

4. A funcao linear, que tem m = 0, intercepta o eixo x em um ponto.

4.1. O valor onde a reta intercepta o eixo x e chamado de zero da funcao.

4.2. Para determina-lo basta igualar a funcao a zero: f(x) = 0. Ou seja, resolver a

equacao de primeiro grau dada por: mx+ b = 0.

mx+ b = 0 =⇒ mx = −b =⇒ x = − b

m

Desta forma, a raız de uma equacao de primeira grau e dada por x = − b

m

5. Uma funcao linear troca de sinal (passa de positiva para negativa ou de negativa

para positiva) no ponto em que a reta intecepta o eixo x, ou seja, no zero da funcao.

29

Page 36: MatematicaBasica VP

5.1. Se a funcao e crescente (m > 0) a funcao passa de negativa para positiva no

zero da funcao. Ou seja, se m > 0:

y = f(x) < 0⇒ x < −m

b

y = f(x) > 0⇒ x > −m

b

5.2. Se a funcao e decrescente (m < 0) a funcao passa de positiva para negativa no

zero da funcao. Ou seja, se m < 0:

y = f(x) > 0⇒ x < −m

b

y = f(x) < 0⇒ x > −m

b

Exemplos

1. Encontre a forma reduzida e o zero das funcoes de primeiro grau dadas pelas ex-

pressoes a seguir e faca um esboco de seu grafico.

a) f(x) = 2(x− 1) + 3(x+ 1)− 4(x+ 2)

Resolucao: Abrindo as multiplicacoes na expressao da funcao:

f(x) = 2(x− 1) + 3(x+ 1)− 4(x+ 2) = 2x− 2 + 3x+ 3− 4x− 8

f(x) = x− 7 (2.1)

que a expressao da funcao de primeiro grau y = f(x) na forma padrao, onde

m = 1 e b = −7.Ja o grafico dessa funcao pode ser facilmente esbocado se tomarmos dois pontos

que satisfacam a equacao da funcao e os marcarmos no plano cartesiano e depois

tracemos a reta que liga os dois pontos.

Para o primeiro ponto podemos tomar x = 0 e, pela equacao da funcao, obte-

mos f(0) = −7, Assim, o ponto P = (0,−7) pertence a curva da funcao de

primeiro grau y = f(x) = x− 7.

Para o segundo ponto podemos, por exemplo, fazer f(x) = 0 e, assim, obtemos

x = 7. Portanto o ponto Q = (7, 0) pertence ao grafico da funcao y = f(x) =

x− 7.

Um esboco do grafico dessa funcao e mostrado na figura abaixo.

30

Page 37: MatematicaBasica VP

b) f(x) = 2− 5x

Resolucao: A funcao ja esta em sua forma padrao, apenas teve seus termos

escritos em ordem trocada. Assim, podemos escrever que:

f(x) = −5x+ 2

Onde m = −5 e b = 2.

Por calculo analogo ao do item anterior, vemos que os pontos P = (0, 2) e

Q = (2

5, 0) obedecem a equacao da funcao e, portanto, pertencem ao seu

grafico.

O esboco do grafico da funcao y = f(x) = −5x + 2 e mostrado na figura a

seguir.

31

Page 38: MatematicaBasica VP

c) f(x) =x+ 3

2− x+ 2

3− 12

Resolucao: Abrindo as multiplicacoes e somaas de fracoes na expressao da

funcao:

f(x) =x

2+

3

2− x

3− 2

3+

1

6=

3x− 2x

6+

9− 4 + 1

6

f(x) =x

6+ 1 (2.2)

que a expressao da funcao de primeiro grau y = f(x) na forma padrao, onde

m =1

6e b = 1.

Usando calculo analogo ao dos itens anteriores percebemos que os pontos P =

(0, 1) e Q = (−6, 0) pertencem ao grafico da funcao e, portanto, o esboco do

grafico da funcao e mostrado na figura a seguir.

2. O grafico da funcao f(x) e a reta que passa nos pontos P = (−2, 2) e Q = (2, 0).

Determine o valor de f(1/2).

Resolucao: Sabemos que o coeficiente angular de uma reta pode ser definido em

termos das coordenadas de dois pontos pertencentes a reta como:

m =∆y

∆x=

y2 − y1x2 − x1

Assim:

m =y2 − y1x2 − x1

=2− (−2)

,−2=

4

−2= −2

Desta forma:

y = −2x+ b

Usando um dos pontos, por exemplo o ponto P , temos que:

2 = −2(−2) + b =⇒ b = 2− 4 =⇒ b = −2

32

Page 39: MatematicaBasica VP

Portanto:

y = f(x) = −2x− 2

E:

f

(1

2

)= −21

2− 2 =⇒ f

(1

2

)= −3

2.2.3 Modelando problemas com funcoes de 1o grau

Diversos problemas e situacoes do cotidiano podem ser modelados em termos de funcoes

de primeiro grau. O estudo destas situacoes resume-se ao estudo da funcao de primeiro

grau que as modelam.

Nos exemplos a seguir vamos descrever dois problemas que podem ser modelados por

equacoes de primeiro grau e resolve-los. Nos exercıcios deste capıtulo ha alguns outros

problemas deste tipo.

Exemplos

1) Os irmaos Pedro e Paulo compraram um carro em sociedade. O carro custou R$

9.870,00 e eles combinaram que Pedro pagaria3

4do que Paulo pagaria. Quanto

cada irmao pagou pelo carro?

Resolucao: Podemos modelar este problema em termos de uma funcao/equacao

de primeiro grau, considerando que a parte que Paulo vai pagar do valor carro vale

x.

Assim, Pedro pagara3

4x e temos que:

x+3

4x = 9.870, 00

Para sabermos quanto cada irmao pagou pelo carro temos que resolver a equacao

acima, que dara o valor pago por Paulo, e depois multiplicar este resultado por3

4para obter o valor pago por Pedro.

Assim, temos:

x+ 34x = 9.870, 00⇒

(1 + 3

4

)x = 9.870, 00⇒ 7

4x = 9.870, 00⇒

x = 47· 9.870, 00⇒ x = 5.640, 00

Desta forma, Paulo pagou R$ 5.640,00. E Pedro, por sua vez, pagou y = 9.870, 00−5.640, 00 = 4.230, 00 ou y =

3

4· 9.870, 00 = 4.230, 00.

33

Page 40: MatematicaBasica VP

2) Carlos e Ana sao casados. Ele e 5 anos mais velho que ela e a soma de suas idades

e igual a 51 anos. Determinar:

a) a idade de Carlos e de Ana hoje;

Resolucao: Para calcular as idades de Carlos e Ana vamos, primeiro, modelar

o problema em termos de uma equacao de primeiro grau.

Considerando que a idade de Carlos e igual a x, assim temos:

x+ x− 5 = 51

Resolvendo a equacao acima temos:

x+ x− 5 = 51⇒ 2x = 51 + 5⇒ x =56

2⇒ x = 28

Portanto, a idade de Carlos e igual a 28 anos e a idade de Ana e igaul a 23

anos.

Esta parte do problema tambem poderia ser resolvida considerando a idade

de Ana como sendo x, mas neste caso a conta seria levemente diferente e o

resultado exatamente igual.

b) ha quantos anos Carlos tinha o dobro da idade de Ana.

Resolucao: Neste caso, reescrevemos a equacao para as idades considerando

que a diferenca de idade entre eles sempre foi de 5 anos. Assim, em algum

momento do passado a idade de Carlos era 2y e tambem era igual a idade de

Ana, y, adicionada de 5 anos. Entao:

2y = y + 5⇒ 2y − y = 5⇒ y = 5

Desta forma, quando a idade dele era o dobro da dela eles tinham 10 e 5 anos,

respetivamente. Como, hoje, Carlos tem 28 anos, isto ocorreu ha 18 anos.

34

Page 41: MatematicaBasica VP

2.3 Funcao de 2o grau

2.3.1 Definicao e grafico

Uma funcao de segundo grau ou funcao quadratica ou funcao parabolica e

uma funcao polinomial de grau n = 2. Assim, a funcao de segundo grau tem a forma:

y = f(x) = ax2 + bx+ c

com a, b, c ∈ IR e a = 0

A funcao de segundo grau pode ser usada para modelar diversas situacoes do cotidi-

ano. Estudar uma funcao de segundo grau e estudar o problema/situacao que pode ser

modelado por ela.

A funcao de segundo grau tem como grafico uma parabola. Por isto tambem e chamada

de funcao parabolica.

Vamos determinar o grafico de algumas funcoes quadraticas.

Exemplos: Determine o grafico das funcoes a seguir.

1. y = f(x) = x2 + x

Resolucao: Escolhendo alguns valores para a variavel independente x e calculando

os valores da funcao nestes valores temos, por exemplo, a tabela a seguir:

x f(x) = x2 + 2x

−2 0

−1 −10 0

1 3

2 8

A partir destes dados, podemos tracar a curva mostrada no grafico da figura a seguir

onde foram marcados os pontos da tabela e a curva ligando estes pontos.

35

Page 42: MatematicaBasica VP

2. y = f(x) = −2x2 + 1

Resolucao: Escolhendo alguns valores para a variavel independente x e calculando

os valores da funcao nestes valores temos, por exemplo, a tabela a seguir e, a partir

dela, tracamos o esboco da figura seguinte.

x f(x) = −2x2 + 1

−2 −7−1 −10 0

1 1

2 −7

36

Page 43: MatematicaBasica VP

Ao fazermos os esbocos dos graficos das funcoes acima, percebemos algumas coisas

importantes e interessantes sobre as funcoes de segundo grau.

1. Se a > 0 a concavidade da parabola esta voltada para cima.

2. Se a < 0 a concavidade da parabola esta voltada para baixo.

Tambem percebemos que se fizermos uma escolha inicialmente equivocada de valores

para a variavel dependente x podemos nao observar logo a forma do grafico.

Como os zeros ou raızes de uma funcao determinam os pontos onde a curva corta o eixo

x, podemos tracar mais facilmente o grafico de uma funcao de segundo grau determinando:

(i) as raızes desta funcao; (ii) as coordenadas do vertice desta parabola.

Assim, vamos estudar as subsecoes seguintes para facilitar a nossa determinacao do

grafico de uma funcao de segundo grau.

2.3.2 Zeros da funcao de 2o grau

Chamamos de zeros ou raızes da funcao de segundo grau, os numeros reais x que

satisfazem a equacao: f(x) = 0. Assim, as raızes da equacao de segundo grau e dada pela

formula de Baskara:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Para relembrarmos a determinacao das raızes de equacoes de segundo grau vamos

resolver as equacoes do exemplo a seguir. Devemos lembrar que a formula de Baskara para

equacoes de segundo grau vale sempre, mas para equacoes de segundo grau incompletas

(b = 0 ou c = 0) nao e necessario aplicar a formula para resolver tal equacao.

Exemplo: Determine as raızes das funcoes a seguir:

a) f(x) = x2 − 5x+ 6

Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula

de Baskara, temos que:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−5)±

√(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1

=5± 1

2

Portanto, temos:

x′ =5 + 1

2= 3

e

37

Page 44: MatematicaBasica VP

x′′ =5− 1

2= 2

Que sao as raızes da funcao de segundo grau f(x) = x2 − 5x+ 6

b) f(x) = 4x2 − 4x+ 1

Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula

de Baskara, temos:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−4)±

√(−4)2 − 4 · 4 · 12 · 4

=4± 0

8=

1

2

Neste caso, a funcao de segundo grau tem apenas uma raiz. Que sao as raızes

da funcao de segundo grau f(x) = x2 − 5x+ 6

c) f(x) = 2x2 + 3x+ 4

Resolucao: Tomando a equacao x2 − 5x+ 6 = 0 e resolvendo-a pela formula

de Baskara, temos:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−5)±

√(−5)2 − 4 · 2 · 42 · 2

=4±√−7

4⇒ x@

Neste caso, a funcao de segundo grau nao possui raızes reais. Isto quer dizer

que o grafico da funcao f(x) = 2x2+3x+4 nao interceptara o eixo das abcissas.

d) f(x) = 4x2 − 1

Resolucao: Tomando a equacao 4x2 − 1 = 0, vemos que esta equacao de

segundo grau esta incompleta, portanto podemos resolve-la diretamente sem

aplicar a formula de Baskara. Assim:

4x2 − 1 = 0⇒ 4x2 = 1⇒ x2 =1

4⇒= ±

√1

4⇒

x′ = 1

2

x′′ = −12

e) f(x) = 4x2 + 2x

Resolucao: Tomando a equacao 4x2 + 2x = 0, vemos que esta equacao de

segundo grau esta incompleta, portanto podemos resolve-la diretamente sem

aplicar a formula de Baskara. Assim:

4x2 + 2x = 0⇒ 2x(x+ 2) = 0

A igualdade expressa na equacao acima sera verdade se 2x = 0 ou se x+2 = 0.

Portanto, resolvendo estas duas equacoes de primeiro grau temos as duas raızes

da equacao de segundo grau 4x2 + 2x = 0.

Ou seja:

2x(x+ 2) = 0

2x = 0⇒ x′ = 0

x+ 2 = 0⇒ x′′ = −2

38

Page 45: MatematicaBasica VP

Em alguns casos, paraa estudar funcao quadratica ou o problema por ela modelado,

faz-se necessario usar que:

x′ + x′′ = − b

a

x′ · x′′ =c

a

Exemplo: Determine a funcao quadratica cujo produto das raızes e 6 e cuja soma

e 5 e que tem a = 3.

Resolucao: Usando as expressoes para o produto e soma das raızes de uma equacao

de segundo grau temos

x′ + x′′ = − c

a⇒ − b

a= 5⇒ b = −5a

x′ · x′′ =c

a⇒ c

a= 6⇒ c = 6a

Usando que a = 3 nas expreessoes acima, obtemos que b = −15 e c = 18, portanto

a equacao de segundo grau que satisfaz as condicoes do enunciado e

3x3 − 15x+ 18 = 0

2.3.3 Coordenadas do vertice do grafico

Sabemos, sobre a concavidade da parabola, que:

a) quando a > 0, a concavidade da parabola esta voltada para cima, portanto a

parabola tem um ponto de mınimo;

b) quando a < 0, a concavidade da parabola esta voltada para baixo, portanto a

parabola tem um ponto de maximo.

Podemos, ainda, escrever a funcao quadratica (forma padrao):

f(x) = ax2 + bx+ c

Na sua forma canonica:

f(x) = a(x− h)2 + k

onde (h, k) e o vertice da parabola.

39

Page 46: MatematicaBasica VP

Podemos achar os valores das coordenadas do vertice da parabola expandido a funcao

em sua forma canonica e comparando com a sua forma padrao.

Desta forma:

f(x) = a(x− h)2 + k = a(x2 − 2hx+ h2) + k

f(x) = ax2 − 2ahx+ ah2 + k

Comparando a equacao acima com a funcao quadratica em sua forma padrao, temos:

b = −2ah ⇒ h = − b

2a

E tambem:

c = ah2 + k = a

(− b

2a

)2

+ k =b2

4a+ k

Que nos fornece:

k =4ac− b2

4a

Portanto, as coordenadas do vertice da parabola sao:

PV =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)=

(− b

2a,−∆

4a

)Embora seja interessante deduzirmos as coordenadas do vertice da parabola para qual-

quer funcao de segundo grau, nao precisamos desta deducao para determinar as coorde-

nadas do vertice da parabola das funcoes que possuem raizes reais (uma ou duas). Nestes

casos, so precisamos saber que a coordenada xV e a media das raızes da funcao de segundo

grau e que a coordenada yV e o valor da funcao para x = xV , ou seja:

xV =x′ + x′′

2; yV = f(xV )

No caso em que x′ = x′′, temos que

xV = x′; yV = f(xV )

Exemplo: Determine as coordenadas dos vertices da parabola das funcoes a seguir

e reescreva a funcao quadratica em sua forma canonica.

a) f(x) = x2 − 5x+ 6

Resolucao a.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:

xV = − b

2a= − −5

2 · 1=

5

2

e

yV =4ac− b2

4a=

4 · 1 · 6− (−5)2

4 · 1= −1

4

Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5

2,−1

4).

40

Page 47: MatematicaBasica VP

Resolucao a.2: Tomando a equacao x2 − 5x + 6 = 0 e resolvendo-a pela

formula de Baskara, temos:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−5)±

√(−5)2 − 4 · 1 · 62 · 1

=5± 1

2⇒

x′ = 3

x′′ = 2

Assim, temos que:

xV =x′ + x′′

2=

3 + 2

2=

5

2

e

yV = f(xV ) = f

(5

2

)=

(5

2

)2

−5(5

2

)+6 =

25

4−25

2+6 =

25− 50 + 24

4= −1

4

Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5

2,−1

4).

b) f(x) = 4x2 − 4x+ 1

Resolucao b.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:

xV = − b

2a= − −4

2 · 4=

4

8=

1

2

e

yV =4ac− b2

4a=

4 · 4 · 1− (−4)2

4 · 4=

16− 16

16=

0

16= 0

Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (1

2, 0).

Resolucao b.2: Tomando a equacao 4x2 − 4x + 1 = 0 e resolvendo-a pela

formula de Baskara, temos:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−(−4)±

√(−4)2 − 4 · 4 · 12 · 4

=−(−4)± 0

8=

1

2

Como a funcao de segundo grau tem apenas uma raiz, temos que xV = x′ = x′′

e yV = 0. Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (1

2, 0).

c) f(x) = x2 + 5x+ 7

Resolucao c.1: Tomando as coordenadas do vertice da parabola, temos:

xV = − b

2a= − 5

2 · 1= −5

2

e

yV =4ac− b2

4a=

4 · 1 · 7− (5)2

4 · 1=

28− 25

4=

3

4

41

Page 48: MatematicaBasica VP

Portanto, o vertice da parabola e o ponto PV = (5

2,3

4).

Resolucao c.2: Tomando a equacao x2 + 5x + 7 = 0 e resolvendo-a pela

formula de Baskara, temos:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a=−5±

√52 − 4 · 1 · 72 · 1

=−5±

√−2

2⇒ @x ∈ IR

Como a funcao de segundo grau nao tem raızes reais, nao podemos deteminar

as coordenadas de seu vertice usando suas raızes.

2. Escreva a equacao da funcao quadratica que tem por vertice o ponto PV = (1, 3) e

passa no ponto P = (0, 5)

Resolucao: Considerando a funcao de segundo grau na sua forma canonica:

f(x) = a(x− h)2 + k

E substituindo os valores das coordenadas do vertice da parabola na equacao acima,

PV = (h, k) = (1, 3), temos:

f(x) = a(x− 1)2 + 3

Como a parabola passa no ponto P = (0, 5), temos que:

f(0) = a(0− 1)2 + 3 = 5⇒ a · 12 + 3 = 5⇒ a = 5− 3⇒ a = 2

Portanto, na forma canonica, a funcao de segundo grau que obedece as condicoes

do enunciado e:

f(x) = 2(x− 1)2 + 3

Expandindo a equacao acima, podemos escreve-la na forma padrao. Vamos a esta

expansao:

f(x) = 2(x− 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x+ 1) + 3 = 2x2 − 4x+ 2 + 3

f(x) = 2x2 − 4x+ 5

Vale lembrar que poderıamos tambem, ter resolvido este exemplo partindo da funcao

de segundo grau na forma padrao, ao inves da forma canonica, e determinando os

coeficientes a, b e c da funcao. Fica para o estudante resolver esse exemplo por esta

forma.

42

Page 49: MatematicaBasica VP

2.3.4 Imagem e estudo do sinal da funcao quadratica

O conjunto imagem de uma funcao, como ja vimos em um dos capıtulos anteriores, e

o conjunto dos valores que a funcao pode assumir.

Para as funcoes quadraticas, ha duas possibilidades:

1. Quando a > 0, a funcao tem um mınimo e

Imf =

y ∈ IR|y ≥ yV =

4ac− b2

4a

2. Quando a < 0, a funcao tem um maximo e

Imf =

y ∈ IR|y ≤ yV =

4ac− b2

4a

Estudar o sinal de uma funcao e determinar os intervalos onde a funcao e positiva,

negativa e nula.

Para o estudo do sinal de uma funcao quadratica, vamos considerar as duas possibili-

dades usada para se estudar a imagem da funcao.

1. Quando a > 0 e a funcao:

i) tem duas raızes reais distintas e x′ < x′′, o valor da funcao sera: positivo para

x < x′ e para x > x′′; negativo para x′ < x < x′′; nulo para x = x′ e para

x = x′′.

ii) tem uma raiz real (x’=x”), o valor da funcao sera: positivo para x = x′; nulo

para x=x’.

iii) nao possui raiz real, o valor da funcao sera sempre positivo.

2. Quando a < 0 e a funcao:

i) tem duas raızes reais distintas e x′ < x′′, o valor da funcao sera: negativo para

x < x′ e para x > x′′; positivo para x′ < x < x′′; nulo para x = x′ e para

x = x′′.

ii) tem uma raiz real (x’=x”), o valor da funcao sera: negativo para x = x′; nulo

para x=x’.

43

Page 50: MatematicaBasica VP

iii) nao possui raiz real, o valor da funcao sera sempre negativo.

Exemplo: Estude o sinal da seguinte funcao quadratica f(x) = 3x2 − 4x

Resolucao: Esta funcao de segundo grau tem concavidade voltada para cima (a =

3 > 0) e raızes determinadas por:

3x2 − 4x = 0⇒ x(3x− 4) = 0

x′ = 0

x′′ = 43

Portanto, o sinal desta funcao e dado por:y > 0⇔

(x < 0 ou x > 4

3

)y < 0⇔ 0 < x < 4

3

2.3.5 Modelando problemas com funcoes de 2o grau

Diversos problemas e situacoes do cotidiano podem ser modelados em termos de funcoes

de segundo grau. O estudo destas situacoes resume-se ao estudo da funcao de 2o grau que

as modelam, suas raizes e ou imagens.

Nos exemplos a seguir vamos descrever dois problemas que podem ser modelados

por equacoes de segundo grau e resolve-los. Nos exercıcios desta secao ha alguns outros

problemas deste tipo.

Exemplos

1. Um clube de futebol dispoe de um campo de futebol com 100 metros de comprimento

e 70 metros de largura. Querendo cercar o campo com uma cerca de area retangular,

mas deixando um espaco entre o campo e a cerca com largura fixa, o dirigente do

clube pediu a um funcionario para determinar:

a) a expressao para a area cercada em termos da largura da pista;

Resolucao: Vamos primeiro desenhar o campo e uma faixa de largura x em

torno dele, como mostrado na figura a seguir.

44

Page 51: MatematicaBasica VP

Assim, podemos equacionar a area total cercada escrevendo, diretamente, que:

A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x)

b) a area cercada se a largura da pista for de 4,5 metros.

Resolucao: Substituindo o valor da largura da faixa na expressao acima

temos:

A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = (100 + 2 · 4, 5)(70 + 2 · 4, 5)A(x) = (100 + 9)(70 + 9) = 109 · 79 = 8611 m2

2. Entre todos os retangulos cujos perımetros sao iguais a 100 centımetros, encontre

as dimensoes do que tem a area maxima.

Resolucao: Podemos considerar um retangulo geral de base igual a y e altura igual

a x. Desta forma, sua area pode ser escrita como:

A = xy

O perimetro ou soma do comprimento dos lados deste retangulo deve ser igual a

100, portanto temos que:

2x+ 2y = 100

O que nos permite escrever, diretamente, que:

2x+ 2y = 100⇒ x+ y = 50⇒ y = 50− x

Substituindo este valor na expressao para a area dos retangulos, ficamos com:

A(x) = x(50− x) = 50x− x2

45

Page 52: MatematicaBasica VP

Como o coeficiente a = −1 < 0, esta funcao tem concavidade voltada para baixo e

possui um maximo no vertice de sua parabola, que e a area maxima.

Atencao a notacao usada neste exemplo!

A funcao A = f(x) e a funcao quadratica estudada.

Lembrando que o xV e a media das raızes da funcao de segundo grau, vamos deter-

minar as raızes e o xV e a area do retangulo de area maxima.

Assim:

A(x) = x(50− x) = 0⇒

x′ = 0

x′′ = 50

Entao:

xv =x′ + x′′

2=

0 + 50

2= 25

E, desta forma:

A(25) = 25(50− 25) = 25 · 25 = 625 cm2

O que nos diz que o retangulo de perımetro igual a 100 cm que tem area maxima e

o quadrado de lado igual a 25 cm.

3. Num terreno, que tem a forma de um triangulo retangulo com catetos de medidas

20 e 30 metros, deseja-se contruir uma casa retangular de dimensoes x e y (com o

segmento y paralelo ao menor dos catetos, como mostrado na figura a seguir).

Detemine:

46

Page 53: MatematicaBasica VP

a) a expressao de y em funcao de x;

Resolucao: Pela figura e usando semelhanca de triangulos, podemos escrever:y

30− x=

20

30⇒ y =

20

30(30− x)

O que nos da para y como funcao de x, ou seja, y = f(x):

y(x) =2

3(30− x)

b) a area da casa, A, como funcao de x;

Resolucao: A area da casa sera:

A = xy

Substituindo o resultado do item a na expressao acima, temos a area da casa

em funcao de x:

A(x) = x2

3(30− x)⇒ A(x) =

2x

3(30− x)

Ou ainda:

A(x) = 20x− 2x2

3

c) a area da casa, A, como funcao de y;

Resolucao: Podemos inverter a equacao encontrada no item a para escrever-

mos x = f(y). Ou, ainda, podemos observar pela figura, que podemos escrever:x

20− y=

20

30⇒ x =

2

3(20− y)

Ou seja:

x(y) =2

3(20− y)

Substituindo a expressao encontrada para x(y) na expressao para a area da

casa:

A = xy =⇒ A(y) =2

3(20− y)y

Portanto:

A(y) =40y

3− 2y2

3

d) o valor de x para que a area ocupada pela casa sera maxima.

Resolucao: A expressao da area da casa em funcao de x (resposta do item b)

e uma funcao de segundo grau com coeficiente a = −2

3< 0, portanto a funcao

A(x) tem concavidade voltada para baixo e um maximo em seu vertice.

Encontrando as raızes da funcao:

47

Page 54: MatematicaBasica VP

A(x) =2x

3(30− x) = 0⇒

x′ = 0

x′′ = 30

Portanto:

xv =x′ + x′′

2=

0 + 30

2= 15

E, desta forma:

A(15) =2 · 153

(30− 15) =30

3(15) = 150 m2

Perceba que, neste exemplo, o terreno ocupado pela casa e um retangulo que

tem comprimento x = 15 m e largura y = 10 m.

2.4 Exercıcios

1. Escreva cada uma das funcoes de primeiro grau a seguir em sua forma padrao e

esboce seus graficos.

a) f(x) = (3x+ 2)− 2x

b) f(x) =x+ 1

3+

x− 1

2− x+ 3

4

2. Encontre a funcao de primeiro grau tal que f(−1) = 2 e f(3) = −2.

3. Determine o numero real x tal que sua metade mais a sua terca parte e igual a -5.

4. Considere as funcoes de primeiro grau definidas por y = ax+5 e y = −ax+9, com

a > 0. Determine se seus graficos se interceptam e, em caso afirmativo, determine

este(s) pontos de interseccao.

5. Paulo e Pedro recebem o mesmo salario por hora de trabalho. Apos Paulo ter

trabalhado 4 horas e Pedro 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 15,00 a

mais que Pedro. Quanto eles ganham por hora de trabalho?

6. Dona Maria, de 52 anos, tem dois filhos: Joao de 23 anos e Pedro de 26 anos.

a) Ha quanto tempo a soma das idades dos tres era igual a 71 anos?

b) Daqui a quanto tempo a soma das idades dos tres sera igual a 131 anos?

48

Page 55: MatematicaBasica VP

7. Um criador de passaros compra, mensalmente, racao e milho num total de 1000 kg.

A racao custo R$ 4,00 por quilograma e o milho custa R$ 2,50 por quilograma. Se

x representa a quantidade, em quilogramas, de racao comprada, determine:

a) a expressao matematica da funcao gasto, g(x), em reais;

b) o gasto em um mes onde o criador comprou 700 quilogramas de milho.

8. Na Escola de Ciencias e Tecnologia da UFRN, a media parcial dos alunos em um

componente curricular e obtido multiplicando-se a nota da primeira avaliacao por 4

e a nota da segunda avaliacao por 5 e dividindo-se o resultado obtido por 9. Se esta

media for maior ou igual a 7,0, o aluno e dispensado da avaliacao final. Sabendo

que um aluno tirou nota 5,5 na primeira avaliacao, quanto ele precisara tirar na

segunda para nao precisar fazer a avaliacao final?

9. De um modo geral, a lei que rege as transacoes comerciais e V = C + L, onde: V

e o preco de venda do produto; C e o custo do produto; e L e o lucro obtido na

transacao. Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Alem

disso, ha uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida.

Sabendo que o preco final de venda do objeto e de R$ 2,00 por unidade, determine

o numero mınimo de unidades que deve ser produzido para que a empresa comece

a ter lucro.

10. As tarifas aplicadas por duas agencias de locacao de automoveis, para um mesmo

veıculo, sao:

Agencia A Agencia B

R$ 144,00 por dia R$ 141,00 por dia

R$ 1,675 por km rodado R$ 1,70 por km rodado

a) Para um percurso diario de 110 quilometros, qual agencia oferece o menor

preco?

b) Seja x o numero de km percorridos durante um dia. Determine o intervalo

de variacao de x de modo que seja mais vantajosa a locacao de um carro na

agencia A do que na agencia B.

11. Determine as raızes reais de cada uma das funcoes quadraticas dadas:

a) f(x) = x2 − 3x+ 2

b) f(x) = 3x2 − 7x+ 2

49

Page 56: MatematicaBasica VP

c) f(x) = −x2 − 3

2x+ 1

d) f(x) = x2 − 2x

e) f(x) = −3x2 + 6

f) f(x) = x2 + (1−√3)x−

√3

g) f(x) = x2 − 4√3 + 12

12. Determine os valores de m, com m ∈ IR, de modo que a a funcao f(x) seja uma

funcao de segundo grau.

a) f(x) = (m− 1)x2 + 2x− 3

b) f(x) = (m2 − 5m+ 4)x2 − 4x+ 5

13. Determine o valor de p para o qual a funcao quadratica f(x) = x2 + (3p + 2)x +

(p2 + p+ 2) tenha uma unica raiz.

14. As raızes da funcao f(x) = x2 − 2px + 8 sao positivas e uma e o dobro da outra.

Qual o valor de p?

15. Determine o parametro m de modo que a funcao f(x) = x2 +mx+ (m2 −m− 12),

de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva.

16. Entre todos os retangulos cujos perımetros sao iguais a 100 centımetros, encontre

as dimensoes do que tem a area maxima.

17. Determine o valor de m da funcao real f(x) = −3x2 +2(m− 1)x+m+1, para que

o valor maximo da funcao seja 2.

18. Determine o perımetro do retangulo de area maxima que pode ser inscrito em um

triangulo isoceles de base igual a 4 cm e altura igual a 6 cm.

∗ ∗ ∗

50

Page 57: MatematicaBasica VP

Capıtulo 3

Funcao Modular

3.1 Introducao

EmMatematica e Fısica, muitas vezes trabalhamos com funcoes definidas por sentencas

matematicas diferentes em intervalos diferentes.

Exemplo: Considere as funcoes a seguir que sao definidas por sentencas

matematicas diferentes em mais de um intervalo e esboce os seus graficos.

1) f(x) =

−1, se x < 0

1, se x ≥ 0

Resposta: Para tracarmos o esboco de uma funcao definida por expressoes

matematicas diferentes em intervalos diferentes devemos tracar a curva que repre-

senta a funcao em cada intervalo em separado e, a seguir, unir/representar estas

curvas em um mesmo grafico. Esta funcao, tambem conhecida como funcao degrau,

tem grafico bastante caracterıstico. Na figura a seguir temos: (a) o grafico da funcao

no intervalo x < 0; (b) o grafico da funcao no intervalo x ≥ 0; e (c) o grafico da

funcao em todo o seu domınio.

51

Page 58: MatematicaBasica VP

2) f(x) =

1, se x < 0

x+ 1, se x ≥ 0

Resposta: O grafico desta funcao esta representado na figura a seguir, onde temos:

(a) o grafico da funcao no intervalo x < 0; (b) o grafico da funcao no intervalo x ≥ 0;

e (c) o grafico da funcao em todo o seu domınio.

3) f(x) =

x+ 2, se x ≤ −11, se − 1 < x < 0

x2 + x, se x ≥ 0Resposta: O grafico desta funcao esta representado na figura a seguir, onde temos:

(a) o grafico da funcao no intervalo x ≤ −1; (b) o grafico da funcao no intervalo

−1 < x < 0; (c) o grafico da funcao para x ≥ 0; e (d) o grafico da funcao em todo

o seu domınio.

52

Page 59: MatematicaBasica VP

3.2 A funcao modular

A funcao modular e um tipo especial de funcao definida por sentencas matematicas

diferentes em mais de um intervalo. Com a diferenca que, com o uso de modulos, ela pode

ser apresentada em termos de uma unica expressao.

Vejamos como isto ocorre.

A funcao modular e a funcao dada por:

f(x) = |x|

Esta funcao pode ser escrita, em termos de sentencas matematicas diferentes definidas

em dois intervalos diferentes. Ou seja, podemos escrever que:

f(x) = |x| =

−x, se x ≤ 0

x, se x ≥ 0

Esta funcao tem grafico mostrado na figura a seguir:

Neste livro vamos tratar, tambem, como funcao modular toda funcao na qual apareca

a variavel independente, x, ou combinacoes envolvendo-a, dentro de um modulo. Assim,

chamaremos de funcao modular as funcoes definidas por sentencas matematicas diferentes

em intervalos diferentes como, entre outras, as funcoes dadas a seguir:

f(x) = |x2 − x|g(x) = 3x− |x3 + 5|

h(x) =3

1− |x|+ 7x3

As funcoes escritas acima e todas as funcoes escritas em termos de modulos podem

ser escritas em termos de diferentes sentencas matematicas em intervalos diferentes.

Vejamos alguns exemplos de como escrever uma funcao modular em termos de suas

expressoes nos diferentes intervalos.

53

Page 60: MatematicaBasica VP

Exemplo: Considere as funcoes modulares a seguir e escreva-as em termos de suas

expressoes matematicas em cada intervalo.

a) f(x) = |2x|Resolucao: O argumento do modulo desta funcao e uma funcao linear, portanto

ela troca de sinal uma unica vez e isto acontece no ponto em que

2x = 0⇒ x = 0

Para x ≥ 0 temos que o argumento do modulo sera positivo, portanto:

f(x) = 2x se x ≥ 0

E, para x < 0 o argumento do modulo sera negativo, por isto, para escrevermos a

expressao matematica da funcao sem o modulo temos que multiplicar o argumento

do modulo por −1. Ou seja:

f(x) = −2x se x < 0

Desta forma, temos que:

f(x) = |2x| =

−2x, se x < 0

2x, se x ≥ 0

b) g(x) = |4− 2x|Resolucao: Neste caso a funcao vai trocar de sinal em:

4− 2x = 0⇒ 2x = 4⇒ x = 2

Portanto, para x ≥ 2 temos que o argumento do modulo sera negativo e, para

escrever a funcao sem o modulo, precisamos multiplicar seu argumento por −1:

g(x) = −(4− 2x) = −4 + 2x se x ≥ 2

E, para x < 2 o argumento do modulo sera positivo, por isto, para escrevermos a

expressao matematica da funcao sem o modulo basta retirar o modulo. Ou seja:

g(x) = 4− 2x se x < 2

Desta forma, temos que:

54

Page 61: MatematicaBasica VP

g(x) = |4− 2x| =

4− 2x, se x < 2

−4 + 2x, se x ≥ 2

c) h(x) = 3x− |x2 − 1|Resolucao: Neste caso, o argumento do modulo e uma funcao quadratica que: (i)

se tiver duas raızes reais ira trocar de sinal duas vezes; (ii) se tiver uma raiz real ou

nenhuma raiz real nao ira trocar de sinal

Verificando a funcao e calculando suas raızes, temos:

x2 − 1 = 0⇒ x2 = 1⇒ x = ±1

Portanto, o argumento do modulo tem duas raızes reais e ira trocar de sinal duas

vezes.

Como o coeficiente do x2 e positivo, a concavidade da parabola e voltada para cima

e, portanto, temos que para valores de x menores que o valor da primeira raiz o

argumento do modulo e positivo e podemos retirar o modulo. O mesmo acontece

para valores de x maiores que o valor da segunda raiz. Ja para valores de x entre os

valores das duas raizes, o argumento do modulo e negativo e so podemos remover o

modulo multiplicando seu argumento por −1.

Assim, temos que:

(i) para x < −1⇒ h(x) = 3x− x2 + 1;

(ii) para x > 1⇒ h(x) = 3x− x2 + 1; e

(iii) para −1 ≤ x ≤ 1⇒ h(x) = 3x− [−(x2 + 1)] = 3x+ x2 − 1.

Portanto, temos que:

h(x) = 3x− |x2 − 1| =

3x− x2 + 1, se x < −1 ou se x > 1

3x+ x2 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 1

Pode-se, tambem, escrever a funcao acima como:

h(x) = 3x− |x2 − 1| =

3x− x2 + 1, se x < −13x+ x2 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 1

3x− x2 + 1, se x > 1

55

Page 62: MatematicaBasica VP

d) r(x) = 3− x

|x2 − 16|Resolucao: Neste caso tambem temos, no argumento do modulo, uma funcao de

segundo grau com concavidade voltada para cima e com duas raızes reais (x = ±4).No entanto, na hora de fazermos a analise devemos excluir do intervalo onde a

funcao esta definida, os pontos em que o argumento do modulo se anula, pois nestes

pontos a funcao nao esta definida por serem pontos que anulariam o denominador

de uma fracao.

Assim:

(i) para x < −4 e para x > 4 temos que a funcao pode ser escrita como:

r(x) = 3− x

|x2 − 16|= 3− x

x2 − 16

(ii) para −4 < x < 4 temos que:

r(x) = 3− x

|x2 − 16|= 3− x

−(x2 − 16)= 3 +

x

x2 − 16

Portanto, temos que:

r(x) = 3− x

|x2 − 16|=

3− x

x2−16, se x < −4

3 + xx2−16

, se − 4 ≤ x ≤ 4

3− xx2−16

, se x > 4

3.3 Equacoes modulares

Resolver uma equacao e achar o valor ou o conjunto de valores que a satisfaz. Ate o

momento aprendemos a resolver, especificamente, equacoes de primeiro e segundo graus.

Nesta secao queremos aprender a resolver equacoes em que aparecem modulos e que

chamaremos de equacoes modulares.

Para resolvermos equacoes modulares vamos considerar que, de modo geral, se k e um

numero real positivo e temos que |x| = k, entao temos que x = k ou x = −k.Vamos usar esta propriedade para podemos resolver as equacoes modulares. Vejamos

como nos exemplos a seguir.

56

Page 63: MatematicaBasica VP

Exemplo: Resolva as equacoes modulares a seguir:

a) |3x− 2| = 3

Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso

em que o argumento do modulo e positivo, o que nos permite escrever diretamente

a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento do modulo e negativo,

onde para retirarmos o modulo multiplicamos seu argumento por −1.

i) Neste primeiro caso, podemos escrever que:

3x− 2 = 3⇒ 3x = 5⇒ x =5

3

ii) Neste segundo caso, temos que:

−(3x− 2) = 3⇒ −3x+ 2 = 5⇒ 3x = −3⇒ x = −1

Portanto, o conjunto solucao da equacao modular |3x − 2| = 3 e S =x ∈ IR|x = −1;x =

5

3

, ou, de forma abreviada S =

−1, 5

3

.

b) |2x− 1| = |x+ 3|Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso

em que os argumentos dos modulos sao positivo, o que nos permite escrever dire-

tamente a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento de um dos

modulos e positivo e o argumento do outro e negativo, onde para retirarmos os

modulos vamos multiplicar um dos argumentos por −1.

i) Neste caso, podemos escrever que:

2x− 1 = x+ 3⇒ x = 4

ii) Neste caso, temos que:

2x− 1 = −(x+ 3)⇒ 2x− 1 = −x− 3⇒ 3x = −2⇒ x = −2

3

Portanto, S =

−2

3, 4

.

b) |x2 + 3| = |4x− 1|Resolucao: Para resolvermos esta equacao vamos considerar dois casos: (i) o caso

em que os argumentos dos modulos sao positivo, o que nos permite escrever dire-

tamente a equacao sem o modulo; e (ii) o caso em que o argumento de um dos

modulos e positivo e o argumento do outro e negativo, onde para retirarmos os

modulos vamos multiplicar um dos argumentos por −1.

57

Page 64: MatematicaBasica VP

i) Neste caso podemos escrever que:

x2 + 3 = 4x− 1⇒ x2 − 4x+ 4 = 0

Resolvendo esta equacao de segundo grau por Baskara, obtemos que x′ = x′′ =

2

ii) Neste caso temos que:

x2 + 3 = −(4x− 1)⇒ x2 + 4x+ 2 = 0

Resolvendo esta equacao de segundo grau por Baskara, obtemos que x′ = 2+√2

x′′ = 2−√2.

Portanto, S =2−√2, 2, 2 +

√2.

3.4 Exercicios

1. Determine o valor de x nas expressoes a seguir:

a) x =∣∣√2− 1

∣∣b) x =

∣∣2−√5∣∣c) x =

∣∣3√2− 4√3∣∣

d) x =∣∣√3− 1

∣∣− ∣∣1−√3∣∣c) x =

∣∣∣√2− ∣∣1−√2∣∣∣∣∣2. Simplifique a expressao y = 1 +

|x− 2|x− 2

3. Determine o domınio das funcoes reais a seguir:

a) f(x) =√|5− 3x| − 9

b) f(x) =x− 3√|x− 4|

c) f(x) =|x− 5|√1− |x|

d) f(x) =x2 − 3x− 9

|2x+ 1| − 3

4. Escreva as funcoes modulares a seguir em termos de funcoes definidas em dois ou

mais intervalos e determine os seus graficos a partir da determinacao dos graficos

de suas partes.

58

Page 65: MatematicaBasica VP

a) f(x) = |5x|

b) f(x) = |2x− 3|

c) f(x) = |3x+ 5|

d) f(x) = |x2 − 9|

e) f(x) = |25− x2|

f) f(x) = |x2 + 4x|

g) f(x) = |x| − 3

h) f(x) = |x|+ x

i) f(x) = |x− 3|+ (x− 2)

j) f(x) = 3x|x|

k) f(x) =|x|x

5. Resolva as equacoes modulares a seguir:

a) |x− 2| = 5

b) |2x+ 5| = |x+ 3|

c) |x− 5| = −2x+ 3

d)

∣∣∣∣ x− 1

2x+ 3

∣∣∣∣ = 4

e) |x|2 − 4|x|+ 4 = 0

∗ ∗ ∗

59

Page 66: MatematicaBasica VP

Capıtulo 4

Funcao Exponencial

4.1 Introducao

Nos capıtulos anteriores, onde comecamos o nosso estudo de funcoes e de algumas

funcoes elementares, vimos que diversas situacoes do cotidiano podem ser modeladas

usando-se funcoes bastante simples, como as funcoes polinomiais de primeiro e de segundo

graus.

Mas apesar de serem bastante simples de serem estudadas e tenham graficos com

propriedades bem cracterısticas, as funcoes de primeiro e segundo graus modelam apenas

uma pequena porcao dos problemas e situacoes que encontramos em nosso cotidiano.

Para modelar e estudar as outras situacoes e problemas precisaremos conhecer e estu-

dar funcoes como as exponencial, logaritmıca, trigonometricas e combinacoes envolvendo

estas funcoes e tambem as polinomiais.

Neste capıtulo estudaremos a funcao exponencial e aprenderemos a trabalhar com ela

e a contruir o grafico desta funcao e de diversas combinacoes envolvendo-a e tambem as

funcoes polinomiais.

Mas, o que e uma funcao exponencial?

Antes de definirmos esta funcao, vale ressaltar que ela aparece em muitas situacoes

de nosso cotidiano. O crescimento populacional, por exemplo, quer seja de comunidades

animais (inclusive humanas) e vegetais pode ser descrito em termos de uma funcao ex-

ponencial.. O decaimento radioativo de amostra tambem e descrito em termos de uma

funcao exponencial.

Por estas e muitas outras razoes, vamos definir a funcao exponencial e estuda-la breve-

mente neste capıtulo de nosso livro.

60

Page 67: MatematicaBasica VP

Considere a tabela a seguir onde consta a populacao brasileira (segundo o censo oficial

do IBGE) no decorrer de varios anos do seculo passado e no inıcio deste seculo.

Ano Populacao brasileira

1940 41.236.315

1950 51.944.397

1960 70.070.457

1970 93.139.037

1980 119.002.706

1991 146.825.475

1996 157.070.163

2007 183.987.291

2010 190.755.799

Estes dados nao seguem nenhuma funcao polinomial. Seu grafico tem a forma apresen-

tada na figura a seguir, onde plotamos os pontos em um plano cartesiano (fora de escala)

com o eixo x correspondendo ao tempo (ano) e o eixo y correspondendo a populacao

brasileira. Tambem acrescentamos a curva ligando os pontos no grafico.

61

Page 68: MatematicaBasica VP

Considere, tambem, a seguinte tabela.

x f(x)

-4 0,0625

-3 0,125

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

Os dados da tabela acima podem ser plotados no plano cartesiano como mostrado na

figura abaixo, onde novamente colocamos a curva ligando os pontos da tabela.

A funcao que descreve o comportamento dos dados das duas tabelas acima (apro-

ximadamente para a primeira tabela e exatamente para a segunda tabela) e a funcao

exponencial. Mas, o que e uma funcao exponencial?

62

Page 69: MatematicaBasica VP

Definicao:

• Sejam a e b constantes reais, uma funcao exponencial em x pode ser escrita na

forma:

f(x) = a · bx

onde a e diferente de zero, b e positivo e b = 1.

A constante b e a base da funcao exponencial.

Exemplos

1. Considere as funcoes a seguir e diga quais sao exponenciais.

a) f(x) = 3x

Sim. f(x) e uma funcao exponencial com a = 1 e b = 3.

b) g(x) = 5x−8.

Nao. g(x) e uma funcao potencia.

c) h(x) = 9 · 5−x.

Sim. h(x) e uma funcao exponencial com a = 9 e b = (1/5).

4.2 Propriedades da funcao exponencial

Nesta secao, vamos apresentar as principais propriedades das funcoes exponenciais e

mostrar exemplos do uso destas propriedades.

1. Dada uma funcao exponencial f(x), temos que: f(0) = a.

Ou seja, uma funcao exponencial intercepta o eixo y em y = a, qualquer que seja a

base.

2. Para a > 0, se b > 1, a funcao exponencial f(x) = a · bx e uma funcao crescente.

Ou seja, se:

x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

3. Para a > 0, se 0 < b < 1, a funcao exponencial f(x) = a · bx e uma funcao

decrescente. Ou seja, se:

x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

63

Page 70: MatematicaBasica VP

4. Considerando uma funcao exponencial do tipo f(x) = bx (ou seja, a = 1), para todo

b > 0 e b = 1, temos que se:

bx1 = bx2 ⇒ x1 = x2

5. Considerando a funcao exponencial:

5.1 Se a > 0, para todo x ∈ IR, f(x) > 0. O grafico da funcao y = f(x) esta

sempre acima do eixo x. Ou seja, Im(f) = IR∗+.

Se b > 0, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez

menores.

Se 0 < b < 1, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez

maiores.

5.2 Se a < 0, para todo x ∈ IR, f(x) < 0. O grafico da funcao y = f(x) esta

sempre abaixo do eixo x. Ou seja, Im(f) = IR∗−.

Se b > 0, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez

menores.

Se 0 < b < 1, a funcao se aproxima do zero quando x assume valores cada vez

maiores.

Exemplos

1. Para que valores de m a funcao f(x) = 2 ·mx e crescente?

Resposta: Na funcao f(x) = 2 · mx temos que a = 2 > 0, portanto, para que a

funcao seja crescente, a base da exponencial deve ser maior que 1. Assim: m > 1.

2. Detemine m tal que a funcao f(x) =(m− 1)x

10seja decrescente.

Resposta: Nesta funcao temos que a =1

10> 0, portanto, para que a funcao seja

decrescente, a base da exponencial deve estar entre zero e um (excluindo-se estes

valores). Ou seja:

0 < m− 1 < 1⇒ 1 < m < 2

Assim, os valores de que tornam f(x) =(m− 1)x

10decrescente sao 1 < m < 2.

64

Page 71: MatematicaBasica VP

4.3 Construcao do grafico da funcao exponencial

Usando as propriedades da funcao exponencial, podemos construir o seu grafico, bem

como o de funcoes que envolvam combinacoes de funcoes exponenciais.

Vamos a alguns exemplos para ilustar.

Exemplo: Construa o grafico das seguintes funcoes:

1. f(x) = 3x

Resposta: A funcao exponencial y = f(x) = 3x tem a = 1 e b = 3. Usando as

propriedades da funcao exponencial, vemos que: para x = 0 =⇒ f(0) = 1; e como

b = 3 > 1 =⇒ f(x) e crescente. Portanto, a funcao f(x) tem a forma mostrada no

esboco da figura a seguir.

2. g(x) = 3 · 2x

Resposta: A funcao exponencial y = g(x) = 3 · 2x tem a = 3 e b = 2. Portanto,

temos que: para x = 0 =⇒ g(0) = 3; e como b = 2 > 1 =⇒ g(x) e crescente. Na

figura a seguir e mostrado um esboco do grafico de g(x).

65

Page 72: MatematicaBasica VP

Por comparacao, colocamos na figura a seguir os esbocos dos graficos de f(x) = 3x

e g(x) = 3 · 2x, as funcoes dos exemplos anteriores. Veja que o grafico de g(x) esta

sempre acima do grafico de f(x).

66

Page 73: MatematicaBasica VP

3. h(x) = 23x

Resposta: Pelas propriedades da exponenciacao1 temos que 23x = (23)x = 8x.

Portanto, a funcao h(x) pode ser reescrita como h(x) = 8x, que tem a = 1 e b = 8.

O esboco do grafico desta funcao e mostrado na figura abaixo.

4. q(x) = 5−x

Resposta: A funcao q(x) pode ser reescrita como q(x) =

(1

5

)x

, que e uma funcao

exponencial com a = 1 e b = 1/5. Portanto: para x = 0 =⇒ q(0) = 1; e como

b = 1/5 < 1, a funcao e decrescente. A funcao q(x) tem grafico mostrado no esboco

da figura abaixo.

1No apendice F ha uma revisao sobre potenciacao de numeros reais e nela sao apresentadas as pro-

priedades da potenciacao.

67

Page 74: MatematicaBasica VP

5. r(x) = 4 + 3x

Resposta: Conhecendo a forma e o grafico da funcao f(x) = 3x, como mostrada

no exemplo 1, temos que somar 4 unidades a imagem da funcao f(x) em cada

ponto de seu domınio para obter a funcao r(x). Portanto, a funcao r(x) e crescente,

interceptara o eixo y em y = 5 e tendera ao eixo y = 4 no lugar de tender ao eixo

x (que e o eixo y = 0). O esboco da funcao r(x) e mostrado na figura abaixo onde,

por comparacao, esbocamos tambem a curva de f(x) = 3x.

6. s(x) = −3x

Resposta: A funcao s(x) = −3x e a funcao f(x) = 3x invertida em relacao ao eixo

x.Ou seja, todos os pontos da imagem de f(x) com o sinal trocada sao imagens de

s(x). Na figura abaixo e mostrado o esboco do grafico de s(x) e, por comparacao,

colocamos tambem o esboco do grafico de f(x).

68

Page 75: MatematicaBasica VP

7. t(x) = |2x − 2|Resposta: Perceba que a funcao m(x) = 2x − 2 que e a funcao argumento do

modulo da funcao t(x) tem uma parte positiva (para x > 1) e outra negativa (para

x < 1). Portanto, a funcao t(x) e uma funcao definida em dois intervalos e dada

por: −2x + 2 , para x < 1

2x − 2 , para x ≥ 1

Na figura a seguir temos o esboco dos graficos das funcoes m(x) = 2x − 2 e n(x) =

−2x + 2.

A funcao t(x) tem grafico dado por n(x) para x < 1 e por m(x) para x ≥ 1. Assim,

o esboco do grafico de t(x) e mostrado na figura a seguir.

69

Page 76: MatematicaBasica VP

4.4 Equacoes exponenciais

Equacao exponencial e uma equacao em que aparece uma incognita no exponente de

pelo menos uma potencia.

Podemos citar como exemplos de equacoes exponenciais as seguintes equacoes:

i) 2x = 32

ii)

(1

3

)x

= 81

iii) 4x − 2x = 12

O metodo mais utilizado para se resolver equacoes exponenciais consiste em reduzir

ambos os membros da equacao a potencias de mesma base b (0 < b = 1) e aplicar a

propriedade 4 (bx1 = bx2 ⇒ x1 = x2).

Quando isto e possıvel podemos resolver a equacao facilmente.

Quando nao for possıvel, precisaremos usar funcoes logarıtmicas (proximo capıtulo).

Exemplo: Resolva as seguintes equacoes exponenciais.

a) 2x = 32

Resolucao: Temos que:

2x = 32⇒ 2x = 25 ⇒ x = 5

b)

(1

3

)x

= 81

Resolucao: Neste caso:(1

3

)x

= 81⇒(1

3

)x

= 34 ⇒(1

3

)x

=

(1

3

)−4

⇒ x = −4

c) 4x − 2x = 12

Resolucao: Como 4x = (22)x = (2x)2, podemos escrever a equacao 4x − 2x =

12 como

(2x)2 − 2x = 12

Fazendo y = 2x, temos:

y2 − y = 12⇒ y2 − y − 12 = 0

Resolvendo esta equacao de segundo grau, encontramos que y = 4 e y = −3.Testando os valores encontrados para y na equacao y = 2x, temos:

70

Page 77: MatematicaBasica VP

y = 2x

y = 4⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2

y = −3⇒ −3 = 2x ⇒ @x ∈ IR

Assim, a solucao da equacao 4x − 2x = 12 e x = 4.

d) 22x+1 · 43x+1 = 8x−1

Resolucao: Esta equacao pode ser reescrita como:

22x+1 · 22(3x+1) = 23(x−1) ⇒ 28x+3 = 23x−3 ⇒ 8x+ 3 = 3x− 3⇒ x = −6

5

Portanto, a solucao da equacao 22x+1 · 43x+1 = 8x−1 e x = −6

5.

e) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306

Resolucao: Para resolver esta equacao, podemos por o termo de menor

potencia, 3x−1, em evidencia. Assim, temos que:

3x−1(1− 3 + 32 + 33

)= 306⇒ 3x−1·34 = 306⇒ 3x−1 = 9⇒ 3x−1 = 32 ⇒ x = 3

Portanto, a solucao da equacao 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306 e x = 3.

4.5 Exercıcios

1. Construa os graficos das seguintes funcoes exponenciais:

a) f(x) = 3x

b) f(x) =

(1

5

)x

c) f(x) = 3x+12

d) f(x) = 21−x

e) f(x) = 2x − 5

f) f(x) = |3x − 7|

g) f(x) = 5− 2x

h) f(x) = 4|x|

i) f(x) = 5− 4|x|

j) f(x) = x · 4x

71

Page 78: MatematicaBasica VP

k) f(x) = 2− |x · 4x|

2. Resolva as seguintes equacoes exponenciais:

a) 2x = 512

b) 5x =1

625c) 100x = 1000

d) 23x+2 = 32

e) 821−3x = 27

f) (3x)x = 98

g) (2x)x+4 = 32

h)(32x−7)3

9x+1= (33x−1)4

i) 83x =3√32x

j) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306

k) 23x + 23x+1 + 23x+2 + 23x+3 = 240

l) 4x − 2x − 2 = 0

m) 9x + 3x+1 = 4

n) 3x2+ 1

x2 =81

3x2+ 1

x2

3. Resolva os seguintes sistemas de equacoes exponenciais:

a)

4x+y = 32

3x−y =√3

b)

2x · 2y = 32

3x · 3√9y = 81

∗ ∗ ∗

72

Page 79: MatematicaBasica VP

Capıtulo 5

Funcao Logarıtmica

5.1 Introducao

Ao estudarmos equacoes exponenciais, so tratamos os casos em que era possıvel reduzir

as potencias a uma mesma base. Entretanto, nem sempre isto e possıvel.

Exemplo: Considere a equacao 3x = 17.

Neste caso nao podemos reduzir o numero 17 a base 3.

Sabendo que 9 < 17 < 27, temos que 32 < 3x < 33. Assim, podemos garantir que

2 < x < 3, mas nao sabemos o valor de x e, com o estudado ate agora, nao podemos

determina-lo.

Para resolvermos o tipo de equacao mostrado no exemplo anterior vamos definir o

logaritmo e, a partir dele, a funcao logarıtmica.

5.2 Logaritmo

Sendo a e b numeros reais e positivos, com a = 1, chama-se logaritmo de a na base a

o expoente x ao qual se deve elevar a base b de modo que a potencia bx seja igual a a.

Assim, representamos por:

logb a = x⇒ bx = a

Na expressao logb a = x temos que:

• b e a base do logaritmo;

• a e o logaritmando;

• x e o logaritmo.

73

Page 80: MatematicaBasica VP

Para entendermos melhor o que e o logaritmo vamos a alguns exemplos.

Exemplos

1. log2 4 = 2, pois 22 = 4

2. log3 81 = 4, pois 34 = 81

3. log5 1 = 0, pois 50 = 1

4. log2√2 =

1

2, pois 21/2 =

√2

5. log6 6 = 1, pois 61 = 6

6. log 15125 = −3, pois

(1

5

)−3

= 53 = 125

A definicao do logaritmo pode ser utilizada para resolver diversas equacoes exponen-

ciais. Vejamos alguns exemplos de equacoes exponenciais resolvidas utilizando-se apenas

a definicao do logaritmo e um pouco de algebra.

Exemplo: Usando a definicao de logaritmo, calcule:

a) log21

8Resolucao: Temos que:

log21

8= x⇒ 2x =

1

8⇒ 2x =

1

23⇒ 2x = 2−3 ⇒ x = −3

b) log16 0, 25

Resolucao: Neste caso, temos que:

log16 0, 25 = x⇒ 16x = 0, 25⇒ 16x =1

4⇒ 42x = 4−1 ⇒ 2x = −1⇒ x = −1

2

c) log 3√9 3

Resolucao: Temos que:

log 3√9 3 = x⇒ (3√9)x = 3⇒ 9

x3 = 3⇒ 3

2x3 = 3⇒ x =

3

2

74

Page 81: MatematicaBasica VP

5.3 Consequencias da definicao do logaritmo

A partir da definicao do logaritmo podemos perceber que o logaritmo tem algumas

propriedades simples e muito importantes.

As seguintes propriedades decorrem, diretamente, da definicao do logaritmo.

1. O logaritmo de 1, em qualquer base b, e igual a 0.

logb 1 = 0, pois b0 = 1

2. O logaritmo da base, qualquer que seja ela, e igual a 1.

logb b = 1, pois b1 = b

3. A potencia da base b e expoente logb a e igual a a.

blogb a = a

4. Se dois logaritmos em uma mesma base sao iguais, entao os logaritmandos tambem

sao iguais.

logb a = logb c⇒ a = c

5.4 Sistemas de logaritmos

O conjunto formado por todos os logaritmos dos numeros reais positivos em uma base

b (0 < b = 1) e chamado sistema de logaritmos de base b.

Existem dois principais sistemas de logaritmos que sao muito utilizados em

matematica:

1. Sistema de logaritmos decimais: e o sistema de logaritmos de base 10.

Indicaremos os logaritmos da base 10:

log10 a ≡ log a

75

Page 82: MatematicaBasica VP

2. Sistema de logaritmos neperianos ou sistema de logaritmos naturais: e o

sistema de logaritmos de base e.

O numero e e o numero irracional que vale e = 2, 71828 . . .. Estes logaritmos sao

bastante utilizados pois facilitam diversas deducoes e modelagem de problemas.

loge a ≡ ln a

Estes sistemas de logaritmos sao bem mais utilizados que os sistemas de logaritmos em

qualquer outra base. E as propriedades estudadas para logaritmos em geral aplicam-se a

eles. Nao vamos entrar em maiores detalhes sobre esses sistemas de logaritmos, apenas

vamos ressaltar que o sistema de logaritmos natural e o mais utilizado em matematica e

fısica do ensino superior.

5.5 Propriedades operatorias dos logaritmos

Alem das propriedades dos logaritmos que sao obtidas diretamente de sua definicao, os

logaritmos possuem outras propriedades importantes e necessarias ao trabalharmos com

eles. Estas propriedades sao chamadas de propriedades operatorias e vamos estuda-las

nesta secao.

Ha quatro propriedades operatorias envolvendo logaritmos.

1. Logaritmo do produto: em qualquer base, o logaritmo do produto de dois

numeros reais e positivos e igual a soma dos logaritmos dos numeros. Ou seja,

se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:

logb(a · c) = logb a+ logb c

2. Logaritmo do quociente: em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois

numeros reais e positivos e igual a diferenca entre o logaritmo do dividendo e o

logaritmo do divisor. Ou seja, se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:

logba

c= logb a− logb c

3. Logaritmo da potencia: em qualquer base, o logaritmo de uma potencia de base

real e positiva e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potencia.

Ou seja, se 0 < b = 1, a > 0 e c > 0, entao:

logb(ar) = r · logb a

76

Page 83: MatematicaBasica VP

4. Logaritmo com potencia na base: se a base do logaritmo pode ser escrita como

br, o logaritmo de qualquer numero nesta base e igual a:

logbr(a) =1

r· logb a

Vejamos alguns exemplos simples envolvendo o uso das propriedades operatorias do

logaritmo.

Exemplos

1. Determine o valor de logbx2

3√y, sabendo que logb x = −2 e logb y = 3.

Resolucao: Temos que:

logbx2

3√y= logb

x2

y13

=213

logbx

y= 6[logb x− logb y] = 6[−2− 3] = −30

2. Se E = 1 + log a+ 2 · log b− log c, determine o valor de E.

Resolucao: Temos que:

E = 1 + log a+ 2 · log b− log c = log 10 + log a+ log b2 − log c = log

(10ab2

c

)

3. Sabendo que log3 2 = x, calcule em funcao de x o valor de log33√48.

Resolucao: Neste caso, temos que:

log33√48 = log3 48

13 =

1

3log3(2

4·3) = 1

3

[log3 2

4 + log3 3]=

1

3[4 log3 2 + 1] =

4x+ 1

3

5.6 Mudanca de base

Ha situacoes em que temos que converter um logaritmo de certa base para outra.

Como, por exemplo, ao usar as propriedades operatorias, os logaritmos devem estar todos

na mesma base. Se nao estao, alguns logaritmos precisam mudar de base.

Assim, devemos aprender a regra para mudanca de base.

Dado um logaritmo na base b podemos escreve-lo na base c a partir da relacao:

logb a =logc a

logc b

77

Page 84: MatematicaBasica VP

Exemplos

1. Sabendo que log8 x = k, determine, em funcao de k, os seguintes logaritmos:

a) log2 x

Resolucao: Fazendo a mudanca de base:

log2 x =log8 x

log8 2=

k

log23 2=

k13log2 2

= 3k

b) logx 16

Resolucao: Fazendo a mudanca de base:

logx 16 =log8 16

log8 x=

log8 82

k=

2 log8 8

k=

2

k

2. Se log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, qual o valor de log2 3?

Resolucao: Temos que:

log2 3 =log 3

log 2=

0, 48

0, 3= 1, 6 =

8

5

5.7 A Funcao logarıtmica

Depois de estudarmos os logaritmos, suas propriedades e as operacoes com estes, pode-

mos definir a funcao logarıtmica.

Dado um numero real b (com 0 < b = 1), chama-se funcao logarıtmica de base b

a funcao:

f : IR∗+ → IR

f(x) = logb x (5.1)

Funcoes logarıtmicas tem diversas aplicacoes. Vejamos, por exemplo, a seguinte

situacao:

Exemplo: Fulano Beltrano vai investir seu 13o salario em um fundo de investimento

que rende 2% ao mes. Quantos meses ele precisa deixar o dinheiro no fundo de

investimento para que seu valor seja duplicado?

A funcao numero de meses e uma funcao logarıtmica. Vejamos como obte-la.

78

Page 85: MatematicaBasica VP

Vamos chamar de c o capital investido por Fulano. Assim, o saldo do fundo de

investimento ao final do primeiro mes sera c + 2% de c, ou seja:

c+2

100c = c+ 0, 02c = 1, 02c

A final do segundo mes teremos:

1, 02c+2

100(1, 02c) = 1, 02c(1 + 0, 02) = (1, 02)2c

Entao, ao final de n meses teremos: (1, 02)nc

Como queremos saber o numero de meses para que o investimento dobre de valor,

devemos ter que:

(1, 02)nc = 2c⇒ (1, 02)n = 2

Aplicando o logaritmo de ambos os lados, temos:

log1,02(1, 02)n = log1,02 2

n log1,02(1, 02) = log1,02 2

n = log1,02 2

Que e aproximadamente 35 meses.

Se quisessemos que este capital fosse multiplicado por x terıamos:

n(x) = log1,02 x

79

Page 86: MatematicaBasica VP

5.8 Funcoes inversıveis

5.8.1 Definicao

Pelo que vimos ate aqui, o logaritmo e o inverso da exponencial.

Assim, podemos afirmar que a funcao logaritmo e a funcao inversa da funcao expo-

nencial. Mas, o que e uma funcao inversa? Como sabemos se uma funcao e inversıvel?

Para entender isto, vamos abrir um apendice em nosso capıtulo sobre a funcao logar-

itmica e relembrar a nossa definicao de funcao e, desta forma, definir a funcao inversa e

apresentar uma tecnica simples para obtermos o grafico de uma funcao inversa em termos

do grafico conhecido de uma funcao.

Quando x e y sao variaveis que se interrelacionam de modo que para cada valor

atribuıdo a x esta associado um unico valor de y, dizemos que y e funcao de x.

y = f(x)

Se tambem acontece que a cada valor atribuıdo a y esta associado um unico valor de

x, dizemos que a funcao e inversıvel e que x tambem e funcao de y.

Essa relacao recebe o nome de funcao inversa de f , e e representada por f−1.

Na pratica, invertemos a equacao que da y = f(x) e obtemos uma expressao onde

temos x = f(y) e, nesta expressao, substituimos x por f−1(x) e y por x na expressao

f(y). Vejamos alguns exemplos a seguir.

Exemplos

1. Considere as seguintes funcoes e obtenha, se possıvel, a funcao inversa.

a) f(x) = x+ 5

Resolucao: Temos que:

y = f(x) = x+ 5⇒ x = y − 5⇒ f−1(x) = x− 5

b) f(x) =x

2+ 1

Resolucao: Temos que:

y = f(x) =x

2+ 1⇒ x

2= y − 1⇒ x = 2y − 2⇒ f−1(x) = 2x− 2

c) f(x) = x3

Resolucao: Para esta funcao, temos:

y = f(x) = x3 ⇒ x = 3√y ⇒ f−1(x) = 3

√x

80

Page 87: MatematicaBasica VP

d) f(x) =x+ 3

x− 3Resolucao: Para esta funcao, temos:

y = f(x) =x+ 3

x− 3⇒ yx−x = 3y+3⇒ x = 3

(y + 1

y − 1

)⇒ f−1(x) = 3

(x+ 1

x− 1

)e) f(x) = x2 + 3

Resolucao: Para esta funcao, temos:

y = f(x) = x2 + 3⇒ x2 = y − 3⇒ x = ±√y − 3⇒ f−1@

f) f(x) = 10x

Resolucao: Para esta funcao, temos:

y = f(x) = 10x ⇒ log y = log 10x ⇒ x = log y ⇒ f−1 = log x

Deste ultimo item, percebemos explicitamente que a funcao logaritmica e a funcao

inversa da exponencial.

5.8.2 Grafico de funcoes inversas

Como ainda nao aprendemos a fazer uso dos ferramentas do Calculo Diferencial para

a construcao de graficos, a maneira padrao de se construir o grafico de uma funcao

e atribuindo valores a variavel independente e descobrindo, ponto a ponto, o valor da

variavel dependente (funcao).

Mas, para o grafico de funcoes inversas, se conhecemos o grafico da funcao original,

podemos determina-lo a partir do seguinte procedimento:

1. Tracamos o grafico da funcao

2. Tracamos a reta y = x.

3. Espelhamos cada ponto do grafico da funcao em relacao a reta y = x.

A curva encontrada e o grafico da funcao inversa.

Vejamos alguns exemplos.

81

Page 88: MatematicaBasica VP

Exemplo: Considere as funcoes dadas a seguir e trace, em um mesmo plano carte-

siano, os graficos de f(x) e f−1(x).

a) y = 2x

Resolucao: Segundo o procedimento descrito para obtermos o grafico da funcao

inversa f−1(x) em termos do grafico conhecido da funcao f(x), temos o grafico

mostrado na figura a seguir, onde antes determinamos que f−1(x) =x

2.

b) y = 2x+ 3

Resolucao: A funcao inversa de f(x) = 2x + 3 e f−1(x) =x− 3

2. Assim, seu

grafico e o de f(x) estao esbocados na figura a seguir.

82

Page 89: MatematicaBasica VP

c) y = 10x

Resolucao: Neste caso, temos que f−1(x) = log x. Assim, os esbocos de f(x) e

f−1(x) sao mostrados na figura abaixo.

d) y = x3

Resolucao: Neste caso, f−1(x) = 3√x. Os esbocos de f(x) e f−1(x) estao marcados

na figura abaixo.

83

Page 90: MatematicaBasica VP

5.9 Equacoes exponenciais

As equacoes exponenciais que nao podem ser reduzidas a uma igualdade de potencias

de mesma base pela aplicacao das propriedades das potencias podem ser resolvidas

utilizando-se a definicao de logaritmo e suas propriedades operatorias.

Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo: Resolva as equacoes exponenciais a seguir.

a) 3x = 5

Resolucao: Podemos utilizar o logaritmo nesta equacao exponencial, de forma

que:

3x = 5⇒ log3 3x = log3 5⇒ x = log3 5

b) 24x−1 = 7

Resolucao: Antes de aplicarmos o logaritmo nesta equacao, podemos ree-

screve-la como:

24x−1 = 7⇒ 24x

2= 7⇒ 24x = 14⇒ log2 2

4x = log2 14⇒ 4x = log2 14

O que nos da para x o valor:

x =log2 14

4

c) 2x−1 = 32x−3

Resolucao: Vamos reescrever esta equacao na forma:

2x−1 = 32x−3 ⇒ 2x

2=

32x

33

Para resolvermos a equacao acima podemos aplicar o logaritmo na base 2 ou

na base 3. Por ambos os procedimentos chegaremos a mesma resposta, mesmo

que, aparentemente, elas parecam diferentes. Vamos aplicar o logaritmo na

base 2 neste exemplo e deixamos para o estudante repetir o procedimento

aplicando o logaritmo na base 3.

2x

2=

32x

33⇒ log2

(2x

2

)= log2

(32x

33

)⇒ log2(2

x)− log2 2 = log2(32x)− log2 3

3

Assim, temos que:

x− 1 = 2x log2 3− 3 log2 3⇒ x =1− 3 log2 3

1− 2 log2 3

84

Page 91: MatematicaBasica VP

Caso tivessemos aplicado o logaritmo na base 3, terıamos obtido, explicita-

mente:

x =3− log3 2

2− log3 2

As respostas acima sao iguais e valem:

x =1− 3 log2 3

1− 2 log2 3=

3− log3 2

2− log3 2= 1, 73042271030919 ≃ 1, 73

5.10 Equacoes logarıtmicas

As equacoes logaritmicas que podemos resolver utilizando a definicao do logaritmo e

suas propriedades operatorias sao de quatro tipos.

Nesta secao vamos estudar estes tipos de equacoes e a forma de resolve-los.

1. Equacoes redutıveis a uma igualdade entre dois logarıtmos de mesma base.

logb f(x) = logb g(x)

Neste caso a solucao e obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. Ou seja, primeiro en-

contramos os valores de x que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) e, para estes valores,

testamos a condicao de existencia verificando se f(x0) > 0 ou se g(x0) > 0.

Exemplo: Resolva as seguintes equacoes logarıtmicas.

a) log2(2x− 5) = log2 3

Resolucao: Fazendo:

2x− 5 = 3⇒ x = 4

Como g(x) = 3 > 0, temos que o valor encontrado, x = 4, e solucao da equacao

log2(2x− 5) = log2 3.

b) log3(3− x) = log3(3x+ 7)

Resolucao: Fazendo:

3− x = 3x+ 7⇒ x = −1

Verificando a condicao de existencia:

85

Page 92: MatematicaBasica VP

f(x = −1) = 3− (−1) = 4 > 0

Portanto, x = −1 e solucao da equacao.

2. Equacoes redutıveis a uma igualdade entre um logarıtmo e um numero real.

logb f(x) = r

A solucao e obtida impondo-se f(x) = br.

Nestes casos nao ha necessidade de verificarmos a condicao de existencia, pois ela

sempre e satisfeita.

Exemplo: Resolva as seguintes equacoes logarıtmicas.

a) log5(2x− 3) = 2

Resolucao: Fazendo:

log5(2x− 3) = 2⇒ 5log5(2x−3) = 52 ⇒ 2x− 3 = 25⇒ x = 14

b) log3(x2 + x− 4) = 3

Resolucao: Fazendo:

log3(x2 + x− 4) = 3⇒ 3log3(x

2+x−4) = 33 ⇒ x2 + x− 31 = 0⇒ x =1± 5

√5

2

3. Equacoes que sao resolvidas por meio de uma mudanca de incognita.

Exemplo: Resolva a equacao:

a) (log3 x)2 − 2 · log3 x = 3

Resolucao: Fazendo:

y = log3 x

Podemos reescrever a equacao logarıtmica como:

86

Page 93: MatematicaBasica VP

(log3 x)2 − 2 · log3 x = 3⇒ y2 − 2y = 3

Resolvendo a equacao de segundo grau acima, encontramos y = −1 e y = 3.

Substituindo estes valores na equacao y = log3 x temos:

log3 x = −1⇒ 3log3 x = 3−1 ⇒ x =1

3

e

log3 x = 3⇒ 3log3 x = 33 ⇒ x = 9

4. Equacoes que sao resolvidas usando-se as propriedades operacionais dos logaritmos

ou mudancas de base.

Exemplo: Resolva as seguintes equacoes:

a)log3 3x

log3 x2= 2

Resolucao: Usando as propriedade operacionais dos logaritmos podemos reescrever

a equacao acima:

log3 3x

log3 x2= 2⇒ log3 3 + log3 x

2 log3 x= 2⇒ 1+log3 x = 4 log3 x⇒ 3 log3 x = 1⇒ log3 x =

1

3

Esta equacao e do tipo logb f(x) = r, portanto:

w log3 x =1

3⇒ 3log3 x = 3

13 ⇒ x =

3√3

b) 2 · log x = log(2x− 3) + log(x+ 2)

Resolucao: Usando as propriedade operacionais dos logaritmos podemos reescrever

a equacao acima:

2 · log x = log(2x− 3) + log(x+ 2)⇒ log x2 = log[(2x− 3)(x+ 2)]

Esta equacao logarıtmica e do tipo logb f(x) = logb g(x), portanto:

x2 = (2x− 3)(x+ 2)⇒ x2 + x− 6 = 0⇒ x′ = 2 e x′′ = −3

87

Page 94: MatematicaBasica VP

Como f(x) = x2 > 0, os dois valores encontrados para x sempre satisfazem a

condicao de existencia.

Repare que a condicao de existencia deve ser verificada em f(x) = x2 ou em g(x) =

(2x− 3)(x+ 2).

5.11 Comentarios

Sobre as equacoes exponencias e logaritmıcas, podemos fazer os seguintes comentarios:

1. Para se resolver equacoes exponenciais que nao podem ser reduzidas a uma potencia

de mesma base, utilizamos a definicao e propriedades dos logaritmos.

2. Para se resolver equacoes logarıtmicas vamos, tambem, utilizar as propriedades dos

logaritmos.

Tambem e muito importante lembrarmos aos estudantes que exponencias e logaritmos

sao de extrema importancia no Calculo Diferencial e Integral e na resolucao de diversas

equacoes que descrevem e modelam situacoes/problemas fısicos.

Devemos aprender a trabalhar com exponencias e logaritmos. Para este aprendizado

ser otimizado e para que consigamos trabalhar bem com eles, devemos treinar, ou seja,

fazer muitos exercıcios, como os apresentados nas listas deste capıtulo e tambem do

capıtulo anterior..

5.12 Exercıcios

1. Determine o valor dos logaritmos a seguir:

a) x = log25 0, 008

b) x = log 3√54√5

c) x = log 3√7 49

d) x = log 15√27

3√81

2. Detemine o valor de y nas expressoes a seguir:

a) y = log 3√4

√2 + log 3√100

6√0, 1− log 100

88

Page 95: MatematicaBasica VP

b) y = log4(log3 9) + log3(log 1000)

3. Supondo m > 0 e m = 1, calcule os seguintes logaritmos:

a) x = logm23√m

b) x = log√m

1

m

4. Determine o valor de:

a) x = 3log3 2

b) x = 4log2 3

c) x = 16log2 5

5. Determine o valor de y nas expressoes:

a) y = log4 4 + log√8 1 + 2 log 10

b) y = 32+log3 2

c) y = 54−log3 6

d) y = 81+log2 3

e) y = ln e+ 2 ln 3√e

f) y = eln 2

g) y = e1+ln 3

6. Supondo que a, b e c sao reais positivos, determine:

a) x = log5

(5a

bc

)b) x = log

(b2

10a

)c) x = log3

(ab2

c

)d) x = log2

(8a

b3c2

)7. Desenvolva os logaritmos a seguir, sabendo que a, b e c sao reais positivos.

a) x = log2

(b2√a

c

)

89

Page 96: MatematicaBasica VP

b) x = log

√ab3

c2

c) x = log3

(ab3

c3√a2

)d) x = log

(4√a2b

3√10c

)

8. Sabendo x, y e b sao reais positivos e, sabendo ainda, que logb x = 2 e logb y = 3,

detemine.

a) z = logb(x2y3

)b) z = logb

(4√x

by

)c) z = log3

(ab3

c3√a2

)d) z = log

(4√a2b

3√10c

)

9. Sejam a, b e c reais positivos, determine a expressao cujo desenvolvimento

logarıtmico vale:

a) z = log2 a+ log2 b− log2 c

b) z = 2 log a− log b− 3 log c

c) z = 2− log a+ 3 log b− 2 log c

d) z =1

3log a− 1

2log c− 3

2log b

d) z = 2 +1

3log2 a−

1

6log2 b− log2 c

10. Sabendo que log x+ log y = m, determine, em funcao de m, o valor de:

a) z = log1

x+ log

1

y

b) z = log1

x2+ log

1

y2

c) z = log x10 + log y10

11. Escreva na base 10 os seguintes logaritmos:

a) x = log2 7

90

Page 97: MatematicaBasica VP

b) x = log100 3

12. Se x e y sao reais positivos e logy x = 3, qual o valor de:

a) z = logx y

b) z = logx2 y

13. Determine o valor de y na expressao:

y = log3 2 · log4 3 · log5 4 · log6 5 · log7 6 ·· log8 7 · log9 8 · log10 9

14. Faca o esboco do grafico das seguintes funcoes:

a) f(x) = 3 + log x

b) f(x) = − log x

c) f(x) = 5 log x

d) f(x) = 3 log(x− 4)

e) f(x) = | log x2|

f) f(x) = 5− | log x|

15. Resolva as seguintes equacoes:

a) 3x = 5

b) 4x = 19

c)

(3

2

)x

= 2

d) 4x+1 = 5

e) 52x+3 = 50

f) 4x = 5 · 32x+3

g) 43x−1 = 3x+2

h) 4x + 3 · 4x+2 = 5x

i) log4(3x+ 2) = log4(2x+ 5)

j) log2(5x2 − 14x+ 1) = log2(4x

2 − 4x− 20)

91

Page 98: MatematicaBasica VP

k) log 13(5x− 4) = log 1

36

l) logx(4x− 3) = logx(2x+ 1)

m) logx(6x− 5) = logx(2x− 1)

n) logx+5(3x2 − 5x− 8) = logx+5(2x

2 − 3x)

o) logx(3x2 − 13x+ 15) = 2

p) logx−2(2x2 − 11x+ 16) = 2

q) log2(x− 3) + log2(x+ 3) = 4

r) 2 log x = log 2 + log(x+ 4)

16. Resolva o seguinte sistema de equacoes:

x+ y = 6

log2 x+ log2 y = log2 8

17. A lei N(t) = a · 2bt representa o crescimento de uma populacao de bacterias que se

reproduz em um laboratorio de pesquisa. Neste caso, N(t) e o numero de bacterias

no instante t (com t em horas) e a e b sao constantes reais. Sabendo-se que no inıcio

da observacao havia 3000 bacterias e que, apos duas horas de observacao, havia 4800

bacterias, detemine:

a) os valores das constantes a e b;

b) o numero de bacterias existentes apos meia hora de observacao;

c) o tempo mınimo necessario para que o numero de bacterias seja maior que 3

milhoes. (Use a aproximacao que 210 ∼ 103)

18. A populacao de Natal e de 800.000 habitantes e cresce a uma taxa de 3, 75% ao ano.

Quando, aproximadamente, a populacao chegara a 1 milhao de pessoas?

19. A meia-vida do fosforo-32 e de cerca de 14 dias. Inicialmente a cerca de 8 gramas

presentes.

a) Expresse a quantidade de fosforo-32 remanescente em funcao do tempo t.

b) Quando restara apenas 1 grama?

20. Determine quanto tempo e necessario para triplicar o valor de um investimento com

taxa de juros de 5, 5% composta mensalmente.

92

Page 99: MatematicaBasica VP

21. Suponha que em um ano o numero de casos de uma doenca seja reduzido em 20%.

Se existe 10.000 casos hoje, quantos anos serao necessarios:

a) para reduzir o numero de casos para 1000?

b) para eliminar a doenca, isto e, para reduzir o numero de casos a menos de 1?

22. Para cada funcao f (x) abaixo, determine sua funcao inversa f−1 (x), identificando

seus respectivos domınio e imagem e trace seus graficos.

a) f (x) = x5

b) f (x) = x2 + 1 para x ≤ 0

c) f (x) =1

x2para x > 0

d) f (x) =1

2x− 7

2

e) f (x) = x2 − 3x+ 2 para x ≥ 32

∗ ∗ ∗

93

Page 100: MatematicaBasica VP

Capıtulo 6

Operacoes com Funcoes e Funcao

Composta

A partir de duas funcoes e, muitas vezes, interessante e necessario obtermos uma outra

funcao. Esta nova funcao pode ser obtida diretamente pela aplicacao de uma das operacoes

aritmeticas usuais ao par original de funcoes ou atraves da composicao de funcoes.

Neste capıtulo vamos estudar brevemente as operacoes aritmeticas usuais envolvendo

funcoes e tambem a composicao de funcao.

6.1 Operacoes com funcoes

Uma maneira simples e importante de se construir novas funcoes e usando as operacoes

usuais (adicao, subtracao, multiplicacao e divisao) a pares de funcoes usando as definicoes

a seguir.

a) Adicao de funcoes

Considere a funcao h(x) que e a soma das funcoes f(x) e g(x). Assim:

h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)

b) Subtracao de funcoes

Se a funcao h(x) que e a diferenca entre as funcoes f(x) e g(x), temos que:

h(x) = (f − g)(x) = f(x)− g(x)

94

Page 101: MatematicaBasica VP

c) Multiplicacao de funcoes

A funcao h(x) que e o produto das funcoes f(x) e g(x), portanto:

h(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x)

d) Divisao de funcoes

Desde que g(x) = 0, se a funcao h(x) e o quociente entre as funcoes f(x) e g(x),

temos que:

h(x) =

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

Em cada caso acima, o domınio da nova funcao consiste de todos os valores que

pertencem, simultaneamente, ao domınio de f(x) e ao domınio de g(x). E, como vemos,

as raızes da funcao do denominador sao excluıdas do domınio do quociente de funcoes.

Exemplo: Considere as funcoes f(x) = x2 e g(x) =√x+ 1. Obtenha cada uma

das funcoes h(x) abaixo e encontre seus domınios.

a) h(x) = (f + g)(x)

Resposta: Temos que:

h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 +√x+ 1

Como o domınio de f(x) e todo o conjunto dos numeros reais e o domınio da

g(x) e o conjunto de todos os numeros reais que tornam o argumento da raiz

maior ou igual a zero, entao o domınio de h(x) sendo o conjunto de todos os

numeros que pertencem ao domınio de f(x) e de g(x) sera igual ao domınio de

g(x). Ou seja:

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1

b) h(x) = (f − g)(x)

Resposta: Temos que:

h(x) = (f − g)(x) = f(x)− g(x) = x2 −√x+ 1

E, o domınio de h(x) e dado por:

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1

95

Page 102: MatematicaBasica VP

c) h(x) = (f · g)(x)Resposta: Temos que:

h(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x) = x2√x+ 1

E, o domınio de h(x) e dado por:

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1

d) h(x) =

(f

g

)(x)

Resposta: Temos que:

h(x) =

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)=

x2

√x+ 1

Para o domınio de h(x), neste caso, temos que excluir os pontos que tornam

a raiz igual a zero (x = −1), pois a funcao g(x) esta no denominador de h(x).

Assim, o domınio de h(x) sera:

Dh = x ∈ IR|x > −1

e) h(x) = (f · f)(x)Resposta: Temos que:

h(x) = (f · f)(x) = f(x) · f(x) = x4

E, o domınio de h(x) e dado por:

Dh = Df = x ∈ IR

f) h(x) = (g · g)(x)Resposta: Temos que:

h(x) = (g · g)(x) = g(x) · g(x) =√x+ 1

√x+ 1 = (

√x+ 1)2 = x+ 1

Embora possamos simplificar a expressao de h(x) para h(x) = x+1, o domınio

da funcao h(x) nao e igual ao domınio da expressao x + 1 (que e o conjunto

dos numeros reais, pois h(x) a partir de duas funcoes com domınios restritos.

Ou seja, o domınio de h(x) e dado por:

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ −1

96

Page 103: MatematicaBasica VP

6.2 Funcao composta

Existem situacoes em que uma nova funcao e construıda pela combinacao de funcao,

mas por uma combinacao que nao e feita por meio de operacoes simples. Um nova funcao

pode ser obtida aplicando-se as leis (expressoes) envolvidas, primeiro uma e depois a

outra.

Esta operacao usada para combinar funcoes, que nao esta baseada nas operacoes ar-

itmeticas, e chamada de composicao de funcoes. E a funcao obtida por meio dessa

composicao e chamada de funcao composta.

Vamos a definicao da composicao de funcoes.

Definicao: Sejam f(x) e g(x) duas funcoes tais que o domınio de f(x) se intersec-

ciona com a imagem de g(x). A funcao composta f de g, denotada por (f g)(x) edada por:

(f g)(x) = f(g(x))

Nesta composicao, e aplicada aos pontos do domınio a funcao g e depois a funcao f .

O domınio da funcao (f g)(x) consiste de todos os valores de x que estao no domınio

de g e cujo valor g(x) encontra-se no domınio de f .

A funcao composta (g f)(x) e definida de forma similar. No entanto, na maioria dos

casos (f g)(x) e (g f)(x) sao funcoes diferentes.

Exemplos:

1) Considere as funcoes f(x) = ex e g(x) =√x. Encontre as funcoes h = (f g)(x) e

r(x) = (g f)(x) e seus domınios.

Resolucao: Para a funcao h(x) temos que:

h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = e

√x

Esta funcao h(x) tem como domınio todos os numeros reais nao negativos, ou seja,

Dh = x ∈ IR|x ≥ 0

Pois g(x) tem este domınio e todos os valores de g(x) deste domınio estao no domınio

de f(x).

97

Page 104: MatematicaBasica VP

Para a funcao r(x) = (g f)(x), temos:

r(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = f(ex) =√ex

que tem por domınio todos os numeros reais, ou seja,

Dr = IR

Podemos concluir, por exemplo que as funcoes h(x) e r(x) tem expressoes (leis)

matematicas diferentes e tambem domınios diferentes.

Se fizessemos os graficos destas funcoes perceberıamos que as curvas que represen-

tam estas funcoes sao completamente diferentes e, tambem, que suas imagens sao

diferentes, mesmo que estas funcoes tenham sido compostas a partir das funcoes

f(x) e g(x).

2) Sejam as funcoes f(x) = x2 − 1 e g(x) =√x, determine as funcoes compostas a

seguir e seus domınios.

a) h(x) = (f g)(x)Resolucao: Obtendo a funcao h(x), temos:

h(x) = (f g)(x) = f(√x) = (

√x)2 − 1

Ja, para determinarmos o domınio de h(x), devemos analisar primeiro o

domınio dda g(x). O Dg e o conjunto de todos os numeros reais positivos

maiores ou iguais a zero. Ja o domınio Df e todo o conjunto dos reais.

Portanto o domınio de h(x) sera igual ao domınio de g(x). Ou seja:

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≥ 0

b) r(x) = (g f)(x)Resolucao:

Obtendo a funcao r(x), temos:

r(x) = (g f)(x) = g(x2 − 1) =√x2 − 1

Para deteminarmos o domınio da r(x) devemos analisar, primeiro, o domınio de

f(x) que e todo o conjunto dos reais. Como depois e tirada a raiz quadrada de

f(x), entao o domınio de r(x) so pode conter valores para os quais x2− 1 ≥ 0.

Ou seja:

98

Page 105: MatematicaBasica VP

Dh = Dg = x ∈ IR|x ≤ −1 ou x ≥ 1

Dada uma funcao h(x) e possıvel, em muitos casos, encontrar funcoes f(x) e g(x) tais

que h(x) = (f g)(x). Ou seja, e possıvel decompor a funcao h(x) em termos de funcoes

f(x) e g(x).

Exemplo: Para cada funcao h(x), encontre funcoes f(x) e g(x) tais que h(x) =

f(g(x))

a) h(x) = (x+ 1)2 − 3(x+ 1) + 4

Resolucao: Observando que h e uma funcao quadratica em termos de x+1, pode-

mos escrever que: f(x) = x2 − 3x+ 4 e g(x) = x+ 1

b) h(x) =√x3 + 1

Resolucao: Ha, ao menos, duas maneiras de decompormos a funcao h de forma

que h(x) = f(g(x)).

De acordo com a primeira maneira, podemos dizer que f(x) =√x e g(x) = x3 + 1,

de onde teremos que h(x) = f(g(x)) =√x3 + 1.

Pela segunda forma, temos que f(x) =√x+ 1 e g(x) = x3. O que tambem fornece

h(x) = f(g(x)) =√x3 + 1.

Em um primeiro curso de Calculo Diferencial e Integral, ao trabalharmos com derivada

de funcoes, muitas vezes precisaremos da nocao de funcao composta e tambem ao trabal-

harmos com integracao de funcoes. Portanto, devemos ter atencao e cuidado ao estudar-

mos este topico de funcao composta e devemos entender e saber fazer todos os exercıcios

da lista a seguir.

6.3 Exercıcios

1. Dadas as funcoes a seguir encontre as formulas para as funcoes (f+g)(x), (f−g)(x),(fg)(x), (f/g)(x) e (f g)(x).

a) f(x) = x2 e g(x) =√x+ 1

b) f(x) = (x− 1)2 e g(x) = 7x− 4

c) f(x) =√x+ 5 e g(x) =

1

x

d) f(x) =√x+ 1 e g(x) = |x− 1|

99

Page 106: MatematicaBasica VP

e) f(x) = x3 e g(x) =3√1− x3

f) f(x) = 10x e g(x) = 3x2

2. Para as funcoes f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f g)(x), (gf)(x), (f f)(x)e (g g)(x).

a) f(x) = x2 + 3 e g(x) =√x+ 1

b) f(x) = 3x+ 2 e g(x) = x− 2

c) f(x) = x2 − 1 e g(x) =1

x− 1

d) f(x) =1

x− 1e g(x) =

√x

e) f(x) =1

4xe g(x) =

1

5xf) f(x) = log2 3x e g(x) = 2x

g) f(x) = 3x2 +5

xe g(x) = e2x

i) f(x) = log x2 e g(x) = 3x3 − 5x

j) f(x) = 10x e g(x) = 4x3 − 5

3. Dadas as funcoes a seguir, determine f(x) e g(x) de modo que as funcoes possam

ser escritas como y = f(g(x)). [Lembrete: Podem existir mais de uma maneira de

decomposicao das funcoes.]

a) y =√x2 − 5x

b) y = (x3 + 1)3

c) y = |3x− 4|

d) y =1

x3 − 5x+ 3

e) y = (x+ 2)3 + 1

∗ ∗ ∗

100

Page 107: MatematicaBasica VP

Capıtulo 7

Trigonometria e Funcoes

Trigonometricas

7.1 Introducao

Neste capıtulo queremos estudar as funcoes trigonometricas, as relacoes fundamentais

entre elas e as funcoes trigonometricas inversas.

Lembrando que, epistemologicamente, trigonometria vem do grego e significa ’medida

dos tres angulos’ e nos remete ao estudos dos angulos, lados e outros elementos de um

triangulo.

Vamos comecar nosso estudo de trigonometria e funcoes trigonometricas fazendo uma

breve introducao sobre medidas de angulos e sobre o ciclo trigonometrico. A seguir ap-

resentaremos as principas funcoes trigonometricas e mostraremos algumas das relacoes

fundamentais entre elas e definiremos as funcoes trigonometricas inversas.

101

Page 108: MatematicaBasica VP

7.2 Medidas de arcos e angulos

Consideremos uma circunferencia de centro em O e raio r, como a mostrada na figura

a seguir.

O angulo α e chamado de angulo central e tem a mesma medida do arco de circun-

ferencia subtendido por ele. Desta forma, o arco que subtende uma circunferencia inteira

mede 360o.

Por definicao, o grau e o arco unitario que subtende1

360da circunferencia que contem

o arco a ser medido.

O ‘grau’, no entanto, nao e a unica medida de angulo e de arco de circunferencia.

Outra unidade de medida de angulo extremamente importante e que sera a mais utilizada

por nos daqui por diante e o radiano, cujo sımbolo e o rad.

O radiano (rad) e o arco unitario cujo comprimento e igual ao raio da circunferencia

que contem o arco a ser medido. O radiano equivale a1

2πda circunferencia1.

Como um angulo pode ser medido em graus ou em radianos, podemos obter a relacao

direta entre estas medidas utilizando o fato que 2π rad = 360o.

Resumindo

1. O angulo central de uma circunferencia tem a mesma medida do arco de circun-

ferencia subtendido por ele.

2. O grau (o) e o arco unitario que subtende1

360da circunferencia que contem o arco

a ser medido.

1O comprimento da circunferencia e igual a 2πr

102

Page 109: MatematicaBasica VP

3. O radiano (rad) e o arco unitario cujo comprimento e igual ao raio da circun-

ferencia que contem o arco a ser medido e equivale a1

2πda circunferencia.

4. Podemos expressar o valor de qualquer angulo em graus ou em radianos, mas vamos

dar preferencia ao radiano.

Outra medida de angulo e arco de circunferencia que tambem e utilizada e o grado,

cujo sımbolo e o grad ou o gr, que equivale a1

400da circunferencia.

Exemplo: Converta os angulos a seguir para radianos.

a) θ = 30o

Resolucao: Por regra de tres simples, temos que:

360o −→ 2π rad

30o −→ x rad=⇒ x =

30o · 2π360o

=⇒ x =π

6rad

b) θ = 150o

Resolucao: Neste caso:

360o −→ 2π rad

150o −→ x rad=⇒ x =

150o · 2π360o

=⇒ x =5π

4rad

c) θ = 52o

Resolucao: Neste caso:

360o −→ 2π rad

52o −→ x rad=⇒ x =

52o · 2π360o

=⇒ x =13π

45rad

No caso de termos angulos em radianos e querermos transformar em graus, podemos

usar a mesma relacao de correspondencia para obter esses valores via regra de tres. No

entanto, nao vamos fazer exemplos destes calculos aqui, embora tenhamos colocado varios

exercıcios desse tipo na lista de exercıcios do final do capıtulo.

103

Page 110: MatematicaBasica VP

7.3 Comprimento de arco

Fixada a medida de um arco de circunferencia em radianos, seu comprimento depende

do raio da circunferencia em que o arco esteja contido. O comprimento de um arco, para

o angulo medido em radianos, vale:

l = α · r

Exemplos

1) Detemine o comprimento do arco de circunferencia para os angulos subentendidos

nas circunferencias de raios especificados a seguir.

a) α =π

6na circunferencia de raio r = 5 cm;

Resolucao: Podemos escrever que:

l = α · r = π

6· 5 =

6cm

Observe que a unidade de comprimento de arco sera a mesma unidade em que

o raio da circunferencia foi explicitado. No caso acima, centımetros.

b) α = 3π na circunferencia de raio r = 2 m;

Resolucao: Podemos escrever que:

l = α · r = 3π · 2 = 6π m

c) α = 45o na circunferencia de raio r = 10 cm;

Resolucao: Neste caso, vamos primeiro converter o valor do angulo α = 45o

para radianos:

360o −→ 2π rad

45o −→ α rad=⇒ α =

45o · 2π360o

4rad

E, entao, temos:

l = α · r = π

4· 5 =

4cm

104

Page 111: MatematicaBasica VP

7.4 Ciclo trigonometrico

A palavra ciclo, no estudo da trigonometria, significa circunferencia com direcao pre-

definida. Ou seja, e uma circunferencia orientada.

Pode-se trabalhar no sentido horario ou no sentido anti-horario.

O chamado ciclo trigonometrico e:

a) um ciclo orientado no sentido anti-horario;

b) sua origem e no ponto A (sobre o eixo positivo de x);

c) o centro da circunferencia coincide com a origem do sistema cartesiano;

d) o raio da circunferencia e o raio unitario (r = 1⇒ l = 2π);

e) os eixos dividem o cırculo em quatro quadrantes.

Para cada numero real x, vamos associar um ponto P na circunferencia da seguinte

maneira:

a) Se x = 0, entao P = A;

b) Se x > 0, partimos de A e realizamos sobre a circunferencia um percurso de com-

primento x, no sentido anti-horario. O ponto final do percurso e o ponto P ;

105

Page 112: MatematicaBasica VP

c) Se x < 0, fazemos o percurso no sentido horario.

Assim, podemos associar a cada numero x um ponto do ciclo trigonometrico. Para

cada ponto P do ciclo trigonometrico que e imagem de um numero real α, ele tambem

sera imagem de:

α+ 2π (α mais uma volta)

α+ 4π (α mais duas voltas)

α+ 6π (α mais tres voltas)

. . .

α− 2π (α menos uma volta)

α− 4π (α menos duas voltas)

α− 6π (α menos tres voltas)

Ou seja, temos que:

x ∈ IR∣∣ x = α± 2kπ, k ∈ Z

Exemplo: Para que angulos, o ponto P estara sobre o mesmo ponto do ciclo

trigonometrico que α =π

6Resposta: Ao completar mais uma volta sobre o ciclo trigonometrico, por exemplo,

o ponto P estara na mesma posicao. Ou seja:

x1 = α+ 2π =π

6+ 2π =

13π

6

106

Page 113: MatematicaBasica VP

O mesmo valera para todos os pontos do tipo:

xi = α+ 2kπ =π

6+ 2kπ

Tais como: x =25π

6, x =

37π

6, etc.

Se partindo do ponto P de coordenadas α =π

6e dermos uma volta negativa com-

pleta (sentido horario) ou mesmo mais voltas completas neste sentido, tambem

voltaremos para o mesmo ponto do ciclo trigonometrico. Ou seja, nos pontos do

tipo

xi = α− 2kπ =π

6− 2kπ

tambem estarao sobre o ponto P do ciclo trigonometrico.

Assim, os pontos, por exemplo, x = −11π

6, x = −23π

6, x = −35π

6, entre outros,

estao sobre o ponto P .

Ao fazermos os graficos das funcoes senα, cosα, tgα e outras funcoes trigonometricas

perceberemos melhor esta periodicidade das funcoes. Mas devemos lembrar que as

funcoes trigonometricas (que estamos estudando neste capıtulo) nao sao as unicas funcoes

periodicas. Muitas outras serao estudadas em outros componentes curriculares e/ou textos

mais avancados.

7.5 Funcoes periodicas e o ciclo trigonometrico

Uma funcao f : IR → IR e dita periodica se existir um numero real p > 0, tal que

f(x+ p) = f(x), ∀x ∈ IR.

O menor valor de p que satisfaz a igualdade e chamado perıodo.

Ou seja, funcao periodica e aquela cujo valor, a partir de certo valor de x, se repete.

As funcoes trigonometricas sao funcoes periodicas e vamos estudar as principais funcoes

trigonometricas nas seccoes seguintes.

Para entendermos e estudarmos as funcoes trigonometricas, vamos considerar o ciclo

trigonometrico da figura:

Neste ciclo vamos definir:

a)−−→OB ⇒ eixo dos senos;

b)−→OA⇒ eixo dos cossenos;

107

Page 114: MatematicaBasica VP

c)−→AC ⇒ eixo das tangentes;

d)−−→BC ⇒ eixo das cotangentes.

7.6 Funcao seno

Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:

A funcao sen(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:

a) E a projecao do ponto P no eixo y ou, mais especificamente, no eixo dos senos (OB

e OB’).

b) Como a projecao de P esta dentro do cırculo trigonometrico, que tem raio igual a

1, a imagem de f(α) e o intervalo [−1, 1], ou seja, −1 ≤ sen(α) ≤ 1;

c) Nos 1o e 2o quadrantes, o seno e positivo; nos 3o e 4o quadrantes o seno e negativo;

d) Nos 1o e 4o quadrantes, a medida que o angulo cresce o seno tambem cresce; nos 2o

e 3o quadrantes, o seno e decrescente;

e) A partir de α = 2π, o seno se repete, ou seja, a funcao sen(α) e periodica de perıodo

2π;

f) A funcao seno e uma funcao ımpar, ou seja, f(α) = −f(−α).

108

Page 115: MatematicaBasica VP

O grafico da funcao seno e apresentado na figura a seguir.

Olhando o grafico, vemos explicitamente que a funcao, partindo de α = 0, volta para

o mesmo ponto e com o mesmo sentido de crescimento para α = 2π, como ja haviamos

discutidos nas propriedades desta funcao.

A partir do grafico da funcao f(α) = senα , podemos contruir o grafico de outras

109

Page 116: MatematicaBasica VP

funcoes que envolvam o seno. Vamos a alguns exemplos simples.

Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao seno, o grafico das seguintes

funcoes trigonometricas:

a) g(α) = 2senα

Resposta: Esta funcao tem o mesmo perıodo da funcao senα e tambem parte, em

α = 0, de g(0) = 0. Porem, sua amplitude e duas vezes maior, ou seja, no lugar

de oscilar no intervalo [−1, 1] como a funcao f(α) = senα, a funcao g(α) oscila no

intervalo [−2, 2]. Assim, seu grafico tera a forma mostrada na figura abaixo, onde

plotamos tambem, para comparacao, o grafico de f(α).

b) g(α) = −1

3senα

Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tambem tem a forma do grafico de

f(α) =senα, mas sua amplitude e menor e nos intervalos onde a f(α) e positiva a

g(α) e negativa e vice-versa. O grafico de g(α) e mostrado na figura abaixo onde,

para termos de comparacao, temos o grafico de f(α) = senα.

c) g(α) = sen(2α)

Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tem a forma na funcao f(α) =senα,

mas a sua oscilacao e mais ‘rapida’. Na verdade, enquanto a funcao f(α) executa

um perıodo de oscilacao a funcao g(α) executa dois perıodos de oscilacao.

Pois, considerando uma funcao do tipo h(α) = sen(ωα), o perıodo dela sera T =2π

ω.

Assim: (i) se ω > 1 a funcao h(α) tera um perıodo menor que a funcao f(α) = sen(α)

110

Page 117: MatematicaBasica VP

que tem ω = 1 e executara uma oscilacao mais rapidamente que f ; e (ii) se 0 < ω < 1

a oscilacao sera mais lenta (e o perıodo maior) que a funcao f .

Assim, o grafico de g(α) esta mostrado na figura abaixo (em comparacao com o

grafico de f(α) tambem mostrado nesta figura).

d) g(α) = −1

2sen(3α)

Resposta: Usando o raciocınio descrito nos itens anteriores, construimos o grafico

de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =

senα.

e) g(α) = |sen(2α)|Resposta: Usando o raciocınio descrito nos itens anteriores e lembrando a definicao

111

Page 118: MatematicaBasica VP

de modulo, construimos o grafico de g(α) que e mostrado na figura a seguir em

comparacao com o grafico de f(α) = senα.

O estudante deve familiarizar-se a construcao de graficos que envolvam a funcao sen(α)

e suas composicoes. Recomendamos que o estudante entenda e refaca os esbocos de

graficos do exemplo acima e recomendamo que faca, usando seu proprio racioncınio e nao

calculadora grafica ou computador, os varios exercıcios solicitados na lista ao final deste

capıtulo.

7.7 Funcao cosseno

Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:

A funcao cos(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:

a) E a projecao do ponto P no eixo x ou, mais especificamente, no eixo dos senos (OA

e OA’).

112

Page 119: MatematicaBasica VP

b) Como a projecao de P esta dentro do cırculo trigonometrico (que tem raio igual a

1) a imagem de f(α) e o intervalo [−1, 1], ou seja, −1 ≤ cos(α) ≤ 1;

c) Nos 1o e 4o quadrantes, o cosseno e positivo; nos 2o e 3o quadrantes o cosseno e

negativo;

d) Nos 3o e 4o quadrantes o cosseno e crescente; nos 1o e 2o quadrantes, o cosseno e

decrescente;

e) A partir de α = 2π, o cosseno se repete, ou seja, a funcao cos(α) e periodica de

perıodo 2π;

f) A funcao cosseno e uma funcao par, ou seja, f(α) = f(−α).

O grafico da funcao cosseno e apresentado na figura a seguir:

Olhando o grafico, vemos explicitamente que a funcao, partindo de α = 0, volta para

o mesmo ponto e com o mesmo sentido de crescimento para α = 2π, como ja haviamos

discutidos nas propriedades desta funcao.

A partir do grafico da funcao f(α) = cosα podemos contruir o grafico de outras

funcoes que envolvam o cosseno. Vamos a alguns exemplos simples.

Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao seno, o grafico das seguintes

funcoes trigonometricas:

113

Page 120: MatematicaBasica VP

a) g(α) = 2cosα

Resposta: Como no caso da funcao seno, o numero real multiplicado pela funcao

cosseno ira mudar sua amplitude de oscilacao. Assim, a imagem da funcao g ira

oscilar no intervalo [-2,2]. E seu grafico tera a forma mostrada na figura abaixo,

onde plotamos tambem, para comparacao, o grafico de f(α).

b) g(α) = −1

2cosα

Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tera sua amplitude alterada em

relacao ao grafico de f(α) = cosα e o sinal negativo inverte o sinal de g(α) em

relacao ao sinal de f(α). Ambas as curvas sao mostradas na figura a seguir.

c) g(α) = cos(3α)

114

Page 121: MatematicaBasica VP

Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tem a forma na funcao f(α) = cosα,

mas a sua oscilacao e mais ‘rapida’. Na verdade, enquanto a funcao f(α) executa

um perıodo de oscilacao a funcao g(α) executa tres perıodos de oscilacao.

O grafico de g(α) esta mostrado na figura abaixo (em comparacao com o grafico de

f(α) tambem mostrado nesta figura).

d) g(α) =1

3cos(2α)

Resposta: Usando o raciocınioo descrito nos itens anteriores, construimos o grafico

de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =

cosα.

e) g(α) = α cos(α)

Resposta: Usando o raciocınioo descrito nos itens anteriores, construimos o grafico

de g(α) que e mostrado na figura a seguir em comparacao com o grafico de f(α) =

cosα. Perceba que o grafico de f oscila entre as retas y = α e y = −α.

115

Page 122: MatematicaBasica VP

Novamente devemos lembrar ao estudante a importancia de saber contruir graficos que

envolvam as funcoes trigonometricas, neste caso a funcao cosseno e combinacoes desta.

Portanto, o estudante deve tentar refazer todos os exemplos acima e, ao final do capıtulo,

fazer os varios exercıcios solicitados.

7.8 Funcao tangente

Dado um angulo α e um ponto P da circunferencia:

A funcao tg(α) e a funcao que tem as seguintes propriedades:

a) E a projecao do ponto P no eixo das tangentes (marcado na figura).

b) Como o eixo das tangentes e tangente ao ciclo trigonometrico, a tg(α) pode assumir

qualquer valor real. Ou seja, Im = IR;

116

Page 123: MatematicaBasica VP

c) Nos 1o e 3o quadrantes, como a projecao esta acima do eixo x, a tangente e positiva.

Equivalentemente, no 2o e 4o quadrantes, a tangente e negativa.

d) A funcao e crescente em todo intervalo.

e) A funcao e periodica com perıodo π.

f) O domınio da funcao nao inclui os pontos x =π

2± kπ, com k ∈ Z.

A funcao tg(α) pode, ainda, ser escrita em termos das funcoes seno e cosseno como:

tg(α) =sen(α)

cos(α)

Esta relacao pode ser obtida diretamente por comparacao de triangulos semelhantes na

figura do ciclo trigonometrico onde definimos a funcao tangente. Esta relacao e chamada

de segunda relacao trigonometrica fundamental. A primeira relacao veremos um

pouco mais a seguir.

Vale lembrar que em alguns textos e livros a funcao tangente aparece representada

por f(α) = tanα no lugar de f(α) = tgα. Nao iremos usar, em nosso livro, essa notacao

que vem do textos de origem inglesa, mas ela representa a mesma tangente que estamos

escrevendo como f(α) = tgα.

O grafico da funcao tangente e mostrado na figura a seguir:

117

Page 124: MatematicaBasica VP

Neste grafico visualizamos as propriedade da funcao tangente que foram descritas

anteriormente.

Podemos, como feito para as funcoes seno e cosseno verificar o comportamento do

grafico de funcoes que envolvam a tangente e combinacoes da tangente. Nos exemplos a

seguir faremos isto.

Exemplo: Construa, a partir do grafico da funcao tangente, o grafico das seguintes

funcoes trigonometricas:

a) g(α) = 2tgα

Resposta: O numero real (> 1) multiplicando a funcao tangente faz ela crescer

mais rapidamente. Na figura a seguir temos o grafico de g(α) = 2tgα e, comparati-

vamente, o grafico de f(α) = tgα.

b) g(α) = tg(2α)

Resposta: Neste caso o grafico da funcao g(α) tera seu perıodo alterado em relacao

ao grafico de f(α). Ambas as curvas sao mostradas na figura a seguir.

7.9 Funcoes cotangente, secante e cosecante

Alem das funcoes seno, cosseno e tangente, podemos definir as seguintes funcoes

trigonometricas, cujas expressoes matematicas e graficos sao mostrados a seguir.

118

Page 125: MatematicaBasica VP

⋄ Funcao Cotangente:

cotgα =1

tg(α)=

cos(α)

sen(α)

Cujo grafico esta representado na figura a seguir.

⋄ Funcao Secante:

secα =1

cos(α)

Cujo grafico esta representado na figura a seguir.

⋄ Funcao Cossecante:

cossecα =1

sen(α)

119

Page 126: MatematicaBasica VP

Cujo grafico esta representado na figura a seguir.

120

Page 127: MatematicaBasica VP

Queremos que os estudantes tenham um primeiro contato com estes graficos, mas

queremos uma atencao bem maior aos graficos das funcoes seno, cosseno e tangente e

de suas combinacoes, pois estas funcoes trigonometricas sao mais fundamentais para se

trabalhar, por enquanto, do que as funcoes secante, cossecante e cotangente.

7.10 Relacoes fundamentais

A partir do ciclo trigonometrico abaixo:

Podemos verificar facilmente a chamada primeira relacao fundamental da

trigonometria:

sen2(α) + cos2(α) = 1

que e deduzida usando-se o teorema de Pitagoras no triangulo da figura acima.

A relacao trigonometrica que e chamada de segunda relacao fundamental e a

definicao da tangente em termos do seno e do cosseno:

tg(α) =sen(α)

cos(α)

Esta relacao ja foi citada numa das secoes anteriores e tambem ja foi explicada que

ela e facilmente provada usando-se o ciclo trigonometrico e a comparacao de triangulos

121

Page 128: MatematicaBasica VP

nesse ciclo.

Usando a primeira relacao trigonometrica e o ciclo trigonometrico, podemos deduzir

outras importantes relacoes trigonometricas. Como, por exemplo:

tg2(α) + 1 = sec2(α)

cotg2(α) + 1 = cossec2(α)

Com um pouco mais de trabalho, pode-se deduzir tambem que:

sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a)

cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a)sen(b)

Estas relacoes sao importantes para a deducao de varias identidades trigonometricas.

Vamos usa-las mas, no entanto, nao vamos deduzi-las em nosso livro. Fica a cargo do

estudante pesquisar sua deducao.

Usando estas ultimas relacoes trigonometricas podemos deduzir, por exemplo, que:

sen(2a) = 2sen(a) cos(b)

cos(2a) = cos2(a)− sen2(a)

Identidades e relacoes trigonometricas sao importantes, por exemplo, para simplificar

diversas expressoes que envolvam funcoes trigonometricas e sao usadas, por exemplo, no

calculo de intregrais.

A pratica e um melhor traquejo em seu uso e obtida com treino, ou seja, fazendo-se

bastante exercıcio.

7.11 Funcoes trigonometricas inversas

As funcoes trigonometricas sao funcoes periodicas, portanto, nao possuem funcao in-

versa em todo o seu domınio.

Sendo assim, as funcoes trigonometicas inversas ou f funcoes arco sao apenas

relacoes trigonometricas, mas de extrema importancia.

Para encontrarmos as relacoes chamadas de funcoes trigonometricas inversas pre-

cisamos restringir o domınio das funcoes trigonometricas para que, dentro deste sub-

conjunto do domınio, a funcao trigonometrica possua funcao inversa.

122

Page 129: MatematicaBasica VP

7.11.1 A Funcao arcosseno

Para definirmos a funcao arcosseno vamos considerar a funcao seno definida por:

f :[−π

2,π

2

]→ [−1, 1]

f(α) = sen(α)

Assim, a funcao arcoseno e definida como:

g : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]g(α) = arcsen(α)

Ela representa o arco ou angulo que tem como seno, dentro do intervalo de domınio

considerado, o valor α.

Seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se que voce poderia construir

este grafico a partir do grafico da funcao seno no intervalo em que definimos que ela e

inversıvel e usando o espelhamento do grafico da funcao senα em relacao a reta f(α) = α.

7.11.2 A Funcao arcocosseno

Para definirmos a funcao arcocosseno vamos considerar a funcao cosseno definida por:

f : [0, π]→ [−1, 1]

f(α) = cos(α)

A funcao arcocosseno e definida como:

123

Page 130: MatematicaBasica VP

g : [−1, 1]→ [0, π]

g(α) = arccos(α)

Ela representa o arco ou angulo que tem como cosseno, dentro do intervalo de domınio

considerado, o valor α. E seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se que

voce poderia construir este grafico a partir do grafico da funcao cosseno no intervalo em

que definimos que ela e inversıvel.

7.11.3 A Funcao arcotangente

Para definirmos a funcao arcotangente vamos considerar a funcao tangente definida

por:

f :[−π

2;π

2

]→ IR

f(α) = tg(α)

A funcao arcotangente e definida como:

g : IR→[−π

2;π

2

]g(α) = arctg(α)

A funcao arcotangente de α representa o arco que tem como tangente, dentro do in-

tervalo considerado, o valor α. Seu grafico esta representado na figura abaixo. Lembre-se,

124

Page 131: MatematicaBasica VP

novamente, que voce poderia construir este grafico a partir do grafico da funcao tangente

no intervalo em que definimos que ela e inversıvel.

7.11.4 A Funcao arcocotangente

Para definirmos a funcao arcocotangente vamos considerar a funcao cotangente definida

por:

f : [0; π]→ IR

f(α) = cotg(α)

A funcao arcocotangente e definida como:

g : IR→ [0, π]

g(α) = arccotg(α)

A funcao arcocotangente de α representa o arco que tem como cotangente, dentro do

intervalo considerado, o valor α.

Apesar de definirmos esta e as proximas funcoes inversas trigonometricas, nao vamos

nos ater ao estudo de seus graficos, ficando apenas com suas definicoes matematicas.

125

Page 132: MatematicaBasica VP

7.11.5 A Funcao arcossecante

Para definirmos a funcao arcossecante vamos considerar a funcao secante definida por:

f :[0;

π

2

[∪]π2; π]→ IR−]− 1, 1[

f(α) = sec(α)

A funcao arcosecante e definida como:

g : IR−]− 1, 1[→[0;

π

2

[∪]π2; π]

g(α) = arcsec(α)

A funcao arcosecante de α representa o arco que tem como secante, dentro do intervalo

considerado, o valor α.

7.11.6 A Funcao arcocossecante

Para definirmos a funcao arcocossecante vamos considerar a funcao cossecante definida

por:

f :[−π

2, 0[∪]0,

π

2

]→ IR−]− 1, 1[

f(α) = cosec(α)

A funcao arcocossecante e definida como:

g : IR−]− 1, 1[→[−π

2, 0[∪]0,

π

2

]g(α) = arccosec(α)

A funcao arcocosecante de α representa o arco que tem como cossecante, dentro do

intervalo considerado, o valor α.

7.12 Exercıcios

1. Exprima em radianos os seguintes angulos:

a) x = 60o

b) x = 15o

126

Page 133: MatematicaBasica VP

c) x = 75o

d) x = 240o

e) x = 45o

2. Exprima em graus os seguintes angulos:

a) x =π

4rad

b) x =2π

3rad

c) x =π

6rad

d) x =5π

6rad

3. Determine o comprimento do arco AB definido em uma circunferencia de raio igual

a 10 cm e que subtende um angulo central AOB = 2 rad.

4. Duas polias, de tamanhos diferentes, estao ligadas por uma correia comum e inex-

tensivel. Sabendo que o raio da polia maios e de 5 cm e da polia menor e de 2 cm,

detemine o quanto deve girar :

a) a polia maior para que a menor de uma volta completa;

b) a polia menor para que a maior de uma volta completa.

5. Determine, quando possıvel, o valor de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante

e cotangente dos seguintes angulos:

a) x =π

2b) x = π

c) x =π

6

d) x =5π

6e) x = 120o

f) x = 210o

g) x = 150o

6. Determine o valor de y dado pelas seguintes expressoes:

a) y = sen140o − sen40o

127

Page 134: MatematicaBasica VP

b) y =senπ

4· sen2π

3

sen7π6· sen5π

3

c) y =senπ

3− 2 · senπ

6

sen3π2− 3 · senπ

2

d) y =cos(−π) · sen

(−π

2

)sen5π

2· cos 8π

5

e) y =tgπ

3· tg3π

4− tg0

tg(−π

3

)· tg(−5π

6

)f) y =

tg2π − sen2π + cos π

senπ + cos 2π − tgπ

g) y =tg2π − sen2π + cos π

senπ + cos 2π − tgπ

7. Determine os valores reais de m para os quais podemos ter:

a) senx =2−m

3

b) cos x =2m− 3

4

8. Sendo x um arco do 2o quadrante, qual o sinal da expressao y =tgx · cotg(x+ π

2)

cotgx · cotg(x+ π)?

9. Sendo x um arco do 3o quadrante, qual o sinal da expressao y =senx · cosx · secxtgx · sec(x+ π)

?

10. Sabendo que 2senx+ 5 cosx = 0 e queπ

2< x < π, obtenha senx e cos x.

11. Encontre os valores de x para os quais:

a) senx = cos x

b) cos2 x = 1

c) cos2 x− sen2x = 0

12. Simplifique a expressao:

y =sec x− cossecx

1− cotgx

13. Verifique se as seguintes identidades trigonometricas sao verdadeiras.

a) senx · sec x = tgx

b) (1− cosx)(1 + cosx) = sen2x

128

Page 135: MatematicaBasica VP

c) cotgx+ senx1+cosx

= cossecx

c)tga+tgb

cotga+cotgb = tga · tgb

14. Usando relacoes trigonometricas, determine o valor de y nas expressoes abaixo:

a) y = tg2x+ tg4x

b) y =cos2x

1− senx

c) y =1− sen2x

cotgx · senx

15. Determine:

a) y = arccos

(−√2

2

)b) y = arccos (−1)

c) y = arccos (−1) + arccos

(1

2

)d) y = arccos (−1)− arccos

(1

2

)+ π

16. Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes y = f(x):

a) f(x) = 3 cos(x)

b) f(x) = sen(x2

)c) f(x) = 3sen(2x)

d) f(x) = 5− sen(3x)

e) f(x) = 2x+ cos(2x)

f) f(x) = 3|sen(2x)|

g) f(x) = exsen(x)

h) f(x) = 2x+ |sen(3x)|

∗ ∗ ∗

129

Page 136: MatematicaBasica VP

Apendice A

Introducao aos Conjuntos

A.1 Nocoes iniciais

Os conjuntos numericos sao conjuntos cujos elementos sao numeros que guardam,

entre si, uma caracterıstica comum e, por isto, possuem elementos perfeitamente carac-

terizados.

Ao estudarmos e trabalharmos em Matematica, Fısica e Engenharia, estamos fazendo

operacoes dentro de um conjunto numerico. Por exemplo, ao fazermos uma operacao entre

dois elementos de um conjunto numerico e obtendo como resultado um outro elemento

desse mesmo conjunto numerico, quando dizemos que a operacao esta definida dentro

deste conjunto numerico.

Precisamos conhecer os principais conjuntos numericos e aprender a trabalhar e ope-

rar matematicamente com os elementos deste conjuntos. Assim, nos primeiros apendices

de nosso livro iremos revisar as operacoes aritmeticas fundamentais no contexto dos con-

juntos numericos. Para tanto, neste apendice A iremos estudar/revisar algumas nocoes

e conceitos basicos sobre teoria geral dos conjuntos, para nos proximos apendices estu-

darmos os principais conjuntos numericos (desde o conjunto dos numeros naturais ate o

conjunto dos numeros reais) e as operacoes aritmeticas que estao definidas dentro desses

conjuntos.

Assim, neste apendice, para revisarmos algumas nocoes basicas da Teoria dos Con-

juntos, vamos comecar relembrando os principais conceitos e definicoes referentes a con-

juntos. Estes primeiros conceitos que precisamos relembrar/conhecer sao as definicoes

relacionadas a conjuntos e a seus elementos.

• Conjunto e uma colecao bem definida de objetos.

• Os objetos de um conjunto sao chamados de membros ou elementos.

130

Page 137: MatematicaBasica VP

• Classe, colecao e famılia sao sinonimos para conjuntos.

• Para designar os conjuntos usamos letras maiusculas.

Podemos tomar como exemplo os seguintes conjuntos:

1. A = 1, 3, 5, 7, . . . .

2. B = 0, 2, 4, 6, . . . .

3. IN = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , conjunto dos numeros naturais.

4. W = amarelo, branco, preto.

5. V = v : v e um segmento orientado, horizontal,

orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 .

6. P = x : x e aluno da Escola de Ciencia e Tecnologia.

As definicoes e propriedades que vamos estudar neste capıtulo valem tambem para os

conjuntos numericos. Mas, o que sao conjuntos numericos?

Conjunto Numericos: sao conjuntos cujos elementos sao numeros que guardam

entre si uma caracterıstica comum. Tais conjuntos possuem elementos muito bem carac-

terizados.

Os principais conjuntos numericos sao:

• IN: conjunto dos numeros naturais;

• Z: conjunto dos numeros inteiros;

• IQ: conjunto dos numeros racionais;

• II: conjunto dos numeros irracionais;

• IR: conjunto dos numeros reais;

• C: conjunto dos numeros complexos.

Estes conjuntos numericos, excetuando-se o conjunto C serao revisados/estudados nos

proximos apendices de nosso livro na revisao sobre as operacoes aritmeticas basicas. Mas,

antes de os estudarmos, precisamos estudar alguns conceitos e importantes propriedades

relacionadas a todos os conjuntos, assim como duas das operacoes entre conjuntos.

131

Page 138: MatematicaBasica VP

A.2 Representacao dos conjuntos

Nos exemplos de conjuntos que vimos ate aqui, usamos duas maneiras distintas para

especificar os conjuntos.

a) Listando seus elementos separados por vırgulas e entre chaves.

1. A = 1, 3, 5, 7, . . . .

2. B = 0, 2, 4, 6, . . . .

3. IN = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , conjunto dos numeros naturais.

4. W = amarelo, branco, preto.

b) Descrevendo as propriedades que caracterizam estes elementos.

5. V = v| v e um segmento orientado, horizontal,

orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 .

6. P = x| x e aluno da Escola de Ciencia e Tecnologia.

Um mesmo conjunto pode ser especificado por qualquer das duas maneiras. Assim,

por exemplo, podemos ter:

1. A = 1, 3, 5, 7, . . . A = x| x e um numero ımpar

2. B = 0, 2, 4, 6, 8, . . . B = x| x e um numero parB = x = 2k| x ∈ IN

3. C = 1, 2, 3, 4, 5C = x| x ∈ IN; 1 ≤ x ≤ 5

Observacoes importantes

1. A ordem na qual os elementos sao apresentados dentro do conjunto nao e importante.

Assim, os conjuntos D = a, b, c, d e C = b, d, c, a sao identicos.

2. O conjunto vazio e, em nosso livro e na maioria dos livros didaticos, representado

pelo sımbolo ∅.

3. Usa-se, normalmente, o sımbolo ♯ para representar o numero de elementos de um

conjunto.

132

Page 139: MatematicaBasica VP

4. Usamos retiscencias apos indicar alguns elementos de um conjunto (como no con-

junto A = 1, 3, 5, 7, . . . ) para indicar que o conjunto e infinito. Por convencao,

so colocamos as retiscencias quando ja esta subentendido quais sao os proximos

elementos do conjunto (no caso do conjunto A, ja se percebeu que os elementos a

seguir sao 9, 11, 13 e os demais numeros ımpares).

Exemplo: Determine o numero de elementos dos conjuntos enunciados a seguir.

a) P = x| x ∈ IN; 0 < x < 1Resposta: Nao ha nenhum numero natural que obedeca a condicao 0 < x < 1, ou

seja, P = ∅ =⇒ ♯P = 0.

b) C = amarelo, azul, vermelho, brancoResposta: O numero de elementos de C e 4, ou seja, ♯C = 4.

c) IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . Resposta: O conjunto dos numeros naturais tem infinitos elementos, ou seja, ♯IN =

+∞.

A.3 Relacao de pertinencia

A letra grega ∈ da a relacao de pertinencia entre elementos e conjuntos. Por exemplo,

dado o conjunto A = 1, 3, 5, 7, . . . , podemos escrever que: 1 ∈ A; e 2 /∈ A.

Vamos entender melhor o uso da relacao de pertinencia com o exemplo a seguir.

Exemplo: Considere os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, . . . e B = 0, 2, 4, 6, . . . . Pode-mos escrever que:

a) 0 ∈ A?

Resposta: Nao, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros ımpares e o zero

e par. Podemos escrever que 0 /∈ A.

b) 7 ∈ A?

Resposta: Sim, pois o conjunto A e o conjunto dos numeros ımpares e o

numero sete e ımpar.

c) 1 ∈ B?

Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e o

numero um e ımpar. Podemos escrever que 1 /∈ B.

133

Page 140: MatematicaBasica VP

d) 3 ∈ B?

Resposta: Nao, pois o conjunto B e o conjuntos dos numeros pares e o

numero tres e ımpar. Podemos escrever que 3 /∈ B.

Devemos ressaltar que, de forma alguma, pode-se usar ∈ para relacionar um conjunto

a outro. Por exemplo, se A = 1, 3, 5, 7, . . . e C = 1, 3, 5, NAO podemos escrever

que C ∈ A.

A.4 Subconjuntos

Consideremos dois conjuntos A e B. Esses conjuntos sao tais que todos os elementos

do conjunto A sao tambem elementos do conjunto B.

Dizemos que o conjunto A e subconjunto de B e escrevemos:

A ⊂ B ou A ⊆ B

Tambem podemos dizer que B contem A e escrever:

B ⊇ A

Se A ⊆ B e existe um elemento de B que nao pertence a A, dizemos que A e subcon-

junto proprio de B e escrevemos:

A B

Para que dois conjuntos sejam iguais devemos ter a seguinte condicao:

A = B ⇔ A ⊆ B; B ⊆ A

Exemplo: Considere o conjunto dos numeros naturais IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . ., oconjunto A = 1, 3, 5, 7, . . . e o conjunto vazio ∅. Podemos escrever que:

i) A IN?

Resposta: Sim, pois todo elemento de A tambem e elemento de IN e em IN

ha elementos que nao pertencem a A.

ii) ∅ A?

Resposta: Sim, pois todo elemento de ∅ tambem e elemento de A e ha

elementos de A que nao pertencem ao conjunto ∅.

iii) ∅ ∈ A ?

Resposta: Nao, ∅ nao e elemento do conjunto A.

134

Page 141: MatematicaBasica VP

iv) ∅ ⊂ A ?

Resposta: Nao, pois ∅ nao e elemento do conjunto A.

v) ∅ ⊂ ∅ ?Resposta: Sim, pois todo elemento do conjunto ∅ pertence ao conjunto ∅.

Importante: Sejam A, B e C tres conjuntos. Entao, e sempre verdade que:

1. A ⊆ A

2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, entao A = B.

3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, entao A ⊆ C.

A.5 Conjunto Universo - Ω

Uma teoria e desenvolvida, em geral, usando subconjuntos de um dado conjunto. O

conjunto de todos os subconjuntos usados na teoria e denominado conjunto universo.

Normalmente, usamos a letra grega Ω (Omega maiuscula) para indicar este conjunto.

Exemplos:

1. Ao estudarmos populacoes ou ao fazermos contagem de elementos, o conjunto uni-

verso e o conjunto dos numeros naturais, ou seja,

Ω = IN = 0, 1, 2, 3, 4, ....

2. Em nosso livro o conjunto universo sera o conjunto dos numeros reais, Ω = IR.

3. Na maioria dos componentes curriculares da area de exatas, o conjunto universo e

o conjunto dos numeors reais (IR), mas em alguns poucos casos e o conjunto dos

numeros complexos (C).

135

Page 142: MatematicaBasica VP

A.6 Diagrama de Venn

O chamado diagrama de Venn e uma representacao grafica de um ou mais conjuntos.

Nela, os conjuntos sao representados por areas fechadas dentro de um plano.

Assim, o conjunto A = a, b, c, d, tem como diagrama de Venn qualquer uma das

representacoes mostradas na figura abaixo:

O conjunto universo Ω e representado pelo interior de um retangulo. Assim, o conjunto

A, subconjunto do conjunto universo Ω e este proprio, tem como representacao o diagrama

de Venn dado pela figura a seguir:

Exemplo: Considere os conjuntos representados nas figuras abaixo.

O que podemos afirmar sobre os conjuntos A e B nas situacoes representadas pelas

figuras (a), (b) e (c)?

Resposta: Na figura (a) temos que A ⊆ B. Na figura (b) os conjuntos A e B tem

alguns elementos em comum. E na figura (c) os conjuntos A e B sao disjuntos.

136

Page 143: MatematicaBasica VP

A.7 Operacoes com conjuntos

Agora que revisamos os principais conceitos e definicoes relacionados aos conjuntos

vamos estudar/relembrar duas das principais operacoes entre conjuntos, que sao a uniao

e a interseccao de conjuntos. As outras operacoes entre conjuntos (subtracao, diferenca

simetrica e complementacao) ficam a cargo do estudante pesquisar e estudar em material

complementar.

• Uniao

A primeira operacao que vamos estudar e a uniao entre conjuntos. Vamos a sua

definicao.

Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A ∪ B a uniao dos conjuntos A e B e

que e o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Ou seja:

A ∪B = x| x ∈ A ou x ∈ B.

Em termos dos diagramas de Venn, a uniao de dois conjuntos A e B e representada

pela figura a seguir:

Assim, o conjunto A ∪ B e representado, no diagrama de Venn, pela area de A e de

B, incluindo a area comum a estes dois conjuntos.

A uniao de tres conjuntos sera indicada por: A ∪B ∪ C.

Generalizando, a uniao de n conjuntos A1, A2, A3, . . . An sera indicada por∪n

k=1 Ak.

Ou seja:

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An =n∪

k=1

Ak

137

Page 144: MatematicaBasica VP

Exemplo: Dados os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, ..., B = 0, 2, 4, 6, 8, ... e IN =

0, 1, 2, 3, 4, ..., determine:

a) A ∪B.

Resposta: O conjunto A∪B, que e o conjunto dos elementos que pertencem

a A ou a B e dado por:

A ∪B = 0, 1, 2, 3, 4, ... = IN

b) B ∪ IN.

Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN, assim temos

que:

B ∪ IN = IN

• Interseccao

A interseccao de conjuntos e considerada a operacao inversa da uniao de conjuntos.

Vamos a sua definicao.

Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A∩B a interseccao entre os conjuntos A

e B que e o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ou seja:

A ∩B = x| x ∈ A e x ∈ B.

Em termos dos diagramas de Venn, a interseccao de dois conjuntos A e B e represen-

tada pela area que pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. A representacao

da interseccao dos conjuntos A e B no diagrama de Venn e mostrada na figura a seguir.

A interseccao de tres conjuntos sera indicada por: A ∩B ∩ C.

Generalizando, a interseccao de n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera indicada por:∩nk=1 Ak. Ou seja,

A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · · ∩ An =n∩

k=1

Ak.

138

Page 145: MatematicaBasica VP

Dizemos que dois conjuntos sao disjuntos se sua interseccao e vazia. Ou seja, dados

os conjuntos A e B, se A ∩B = ∅ dizemos que A e B sao disjuntos.

Exemplo: Dados os conjuntos A = 1, 3, 5, 7, ..., B = 0, 2, 4, 6, 8, ... e IN =

0, 1, 2, 3, 4, ..., determine:

a) A ∩B.

Resposta: O conjunto A ∩ B e o conjunto dos elementos que pertencem a

A e, ao mesmo tempo, pertencem a B. Como os conjuntos A e B nao tem

elementos em comum (A e B sao disjuntos), temos que:

A ∩B = ∅

b) B ∩ IN.

Resposta: Todos os elementos de B tambem sao elementos de IN (B e sub-

conjunto de IN). Desta forma temos que:

B ∩ IN = B ⇒ B ⊂ IN

Ha outras operacoes entre conjuntos (subtracao, diferenca simetrica e comple-

mentacao) mas nao vamos relembra-las aqui, pois estamos interessados em estudar os

conjuntos numericos e as operacoes entre elementos destes conjuntos e nao entre os con-

juntos.

A.8 Numero de elementos do conjunto uniao

Dada a uniao entre dois ou mais conjuntos finitos, muitas vezes, mesmo sem conhecer-

mos os elementos de cada conjunto, precisamos saber o numero de elementos do conjunto

uniao.

Para tanto, precisamos precisamos definir uma expressao matematica para calcular o

numero de elelemtos do conjunto uniao em termos do numero de elementos de cada um

dos conjuntos individuais e das interseccoes entre eles.

Vamos primeiro considerar a uniao entre os conjuntos A e B finitos, de forma que ♯A

seja o numero de elementos do conjunto A, ♯B o numero de elementos de B e ♯(A∩B) o

numero de elementos do conjunto A ∩ B. Desta forma, o numero de elelemtos de A ∪ B

sera dado por:

♯(A ∪B) = ♯A+ ♯B − ♯(A ∩B)

139

Page 146: MatematicaBasica VP

onde foi subtraıdo o ♯(A ∩ B) pois, por serem os elementos comuns aos conjuntos A e B

sao somados duas vezes quando contamos os elementos de A e depois os elementos de B.

Analogamente, podemos obter o numero de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C, onde

A, B e C sao conjuntos finitos, como:

♯(A ∪B ∪ C) = ♯A+ ♯B + ♯C − ♯(A ∩B)− ♯(A ∩ C)− ♯(B ∩ C) + ♯(A ∩B ∩ C)

A partir do conteudo revisado e/ou estudado neste apendice, e importante que o

estudante verifique seus conhecimentos fazendo os exercıcios constantes na lista a seguir.

A.9 Exercıcios

Vamos alguns exercıcios para fixar melhor os conceitos que acabamos de relembrar.

1. Dados os conjuntos A = 0, 1, B = 0, 2, 3 e C = 0, 1, 2, 3, classifique em

verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmacao abaixo.

a) ( ) A ⊂ B

b) ( ) 1 ⊂ A

c) ( ) A ⊂ C

d) ( ) B ⊃ C

e) ( ) B ⊂ C

f) ( ) 0, 2 ∈ B

2. Se A ⊂ B ⊂ C e x /∈ B, entao, necessariamente:

a) ( ) x /∈ C

b) ( ) x ∈ A

c) ( ) x ∈ C

d) ( ) x /∈ A

e) ( ) x ∈ A ou x ∈ C

3. Dados os conjuntos abaixo: A = 1, 3, 4, 7, 8, 9, B = 1, 2, 3, 4, 5 e C = 1, 3,podemos fazer as seguintes afirmacoes sobre eles: i) C ⊆ A; ii) C ⊆ B; iii) B * A;

e iv) A * B. Usando as nocoes de subconjuntos, podemos fazer outras afirmacoes

sobre os conjuntos A, B e C? Quais?

140

Page 147: MatematicaBasica VP

4. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de A∩B e 30, o numero

de elementos de A∩C e 20 e o numero de elementos de A∩B ∩C e 15. Determine

o numero de elementos de A ∩ (B ∪ C).

5. Se A, B e A ∩ B sao conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, qual o

numero de elementos do conjunto A ∪B?

6. Sabendo-se que a, b, c, d∪X = a, b, c, d, e, c, d∪X = a, c, d, e e b, c, d∩X =

c, determine o conjunto X?

7. Sejam ♯A = 2, ♯B = 3 e ♯C = 4, entao e verdadeiro que:

(a) ♯(A ∩B) ≤ 1

(b) ♯(A ∪ C) ≤ 5

(c) ♯((A ∩B) ∩ C) ≤ 2

(d) ♯((A ∪ C) ∩ C) ≤ 2

(e) ♯(A ∩ ∅) ≥ 2

8. Dados os conjuntos A = 1, 2,−1, 0, 4, 3, 5 e B = −1, 4, 2, 0, 5, 7 assinale a

afirmacao verdadeira:

(a) A ∪B = 2, 4, 0,−1

(b) A ∩ (B − A) = ∅

(c) A ∩B = −1, 4, 2, 0, 5, 7, 3

(d) (A ∪B) ∩ A = −1, 0

(e) n.d.a.

9. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentecas a seguir:

a) ( ) 1 ∈ 1

b) ( ) 1 ⊆ 1

c) ( ) 1 ∈ 1

d) ( ) ∅ ∈ 1

e) ( ) ∅ ⊆ 1

10. Dados os conjuntos A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, B = 3, 6, 9, 12, 15 e C =

0, 5, 10, 15, 20, determine:

141

Page 148: MatematicaBasica VP

a) A ∪B

b) A ∩B

c) A ∩ C

d) A ∪ C

e) B ∪ C

f) A ∩B ∩ C

g) A ∪B ∪ C

h) A ∩ (B ∪ C)

i) (A ∩B) ∩ (B ∪ C)

11. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O numero de elementos de A∩B e 45; o numero

de elementos de A∩C e 40 e o numero de elementos de A∩B∩C e 25. Determinar

o numero de A ∩ (B ∪ C).

12. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam ingles, 163 estudam frances e 52

estudam ambas as lınguas. Quantos alunos estudam ingles ou frances? Quantos

alunos nao estudam nenhuma das duas?

13. Fez-se uma pesquisa de mercado com a populacao de uma cidade sobre o consumo

de sabao em po de tres marcas distintas A, B e C. Na tabela abaixo sao mostrados

os resultados da pesquisa em relacao a populacao consultada.

Marcas No consumidores

A 109

B 203

C 162

A e B 25

A e C 28

B e C 41

A, B e C 5

Nenhuma 115

Determine o numero de pessoas:

(a) consultadas;

(b) que nao consomem as marcas A ou C;

142

Page 149: MatematicaBasica VP

(c) que consomem pelo menos duas marcas;

(d) que consomem as marcas A e B mas nao consomem a marca C;

(e) que consomem apenas a marca C.

14. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respon-

dessem sim ou nao: gosta de musica? gosta de esportes? Responderam sim a

primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim a segunda pergunta; 25 respon-

deram sim a ambas; e 40 nao a ambas. Qual o total de jovens entrevistados?

15. De um total de 35 estudantes estrangeiros que vieram ao Brasil, 16 visitaram Ma-

naus, 16 visitaram Sao Paulo e 11 visitaram Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram

Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram tambem Sao Paulo. Determine o numero

de estudantes que visitaram Manaus ou Sao Paulo.

16. Em uma cidade constatou-se que as famılias que consomem arroz nao consomem

macarrao. Sabe-se que 40% consomem arroz, 30% macarrao, 15% arroz e feijao, 20%

macarrao e feijao e 60% consomem feijao. Determinar a percentagem correspondente

as famılias que nao consomem esses produtos.

∗ ∗ ∗

143

Page 150: MatematicaBasica VP

Apendice B

Conjunto dos Numeros Naturais, IN

B.1 Introducao

O conjunto IN, que ja foi utilizado em alguns exemplos e exercıcios do apendice anterior,

e o conjunto dos numeros naturais.

IN = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

O conjunto IN e um conjunto infinito e surgiu da necessidade natural de se contar

objetos (dedos, ovelhas do rebanho, filhos, dias, etc.). Os outros conjuntos numericos sao

ampliacoes do conjunto dos numeros naturais.

O conjunto N pode ser representado geometricamente por uma reta numerada.

Cada elemento marcado na reta acima corresponde a um elemento de N.O conjunto IN possui alguns subconjuntos importantes:

1. O conjunto dos numeros naturais nao nulos.

IN∗ = 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ IN∗ = IN− 0

Atualmente alguns autores usam como convencao que IN∗ e conjunto dos numeros

naturais. Neste caso, o conjunto IN = IN∗∪0 e chamado de conjunto dos naturais

estendidos. Nao usaremos esta convencao!

2. O conjunto dos numeros naturais pares.

INp = 0, 2, 4, 6, . . . ⇒ INp = n = 2k| k ∈ IN

144

Page 151: MatematicaBasica VP

3. O conjunto dos numeros naturais impares.

INi = 1, 3, 5, 7, . . . ⇒ INi = n = 2k + 1| k ∈ IN

4. O conjunto dos numeros primos:

P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .

B.2 Operacoes com numeros naturais

No conjunto IN estao definidas duas operacoes: adicao e multiplicacao. Isto quer

dizer que: i) adicionando-se dois elementos quaisquer de IN, a soma e elemento de IN; ii)

multiplicando-se dois elementos quaisquer de IN, o produto e elemento de IN. Ou seja:

∀m,n ∈ IN

m+ n ∈ IN

m · n ∈ IN

Ou podemos dizer:

O conjunto IN e fechado em relacao

a adicao e a multiplicacao.

Efetuar as operacoes de soma e multiplicacao dentro do conjunto dos numeros naturais

e bem simples, mas devemos efetua-las com cuidados para evitar enganos.

Vamos resolver algumas expressoes algebricas simples dentro do conjunto IN para

treinar.

Exemplo: Obtenha os resultados das expressoes numericas a seguir.

a) x = 1 + 2 + 3 + 4

Resolucao: Neste caso, somamos os numeros diretamente e obtemos:

x = 1 + 2 + 3 + 4

x = 10

b) x = 2 + 3 · 5.Resolucao: Neste caso, efetuamos a multiplicacao antes da soma. Assim:

x = 2 + 3 · 5x = 2 + 15

x = 17

145

Page 152: MatematicaBasica VP

c) x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1.Resolucao: Neste caso, temos:

x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1x = 2 + 14 + 3 + 4

x = 23

Ao trabalharmos com expressoes numericas e mesmo algebricas, devemos lembrar

sempre que:

A multiplicacao precede a soma!!!

No caso de algumas operacoes virem entre parenteses (ou colchetes ou chaves), efe-

tuamos primeiro as operacoes entre parenteses para elimina-los. Vejamos o exemplo a

seguir.

Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.

a) x = (2 + 3) · 4Resolucao:

x = (2 + 3) · 4x = 5 · 4x = 20

b) x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3.

Resolucao:

x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3

x = 15 · 6 + 3

x = 90 + 3

x = 93

Em expressoes numerica e algebricas, e muito importante colocar parenteses, colchetes

e chaves para separar as operacoes e indicar a ordem certa de se efetua-las.

O conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multiplicacao, mas o mesmo nao

ocorre para a subtracao. Isto e, o conjunto IN nao e fechado em relacao a subtracao. Por

exemplo, se tenho duas ovelhas e prometi duas para minha esposa e tres para meu filho,

nao poderei quitar minhas promessas.

146

Page 153: MatematicaBasica VP

x = 2− 5 = −3⇒ x /∈ IN

Assim, teve-se a necessidade de ampliar o conjunto N e surgiu o conjunto dos numeros

inteiros Z que estudaremos na proxima seccao.

Embora conjunto IN nao seja fechado em relacao a subtracao, podemos realizar esta

operacao entre numeros naturais e, em muitos caso, obter resoltados dentro do conjunto

dos numeros naturais.

Do estudo/revisao deste conjunto numerico, alem da breve revisao das operacoes ar-

itmetica de adicao e multiplicacao, ficam as regras que sao validas para quaisquer ex-

pressoes algebricas e numericas:

1) Ao efetuar as operacoes de adicao e multiplicacao, a multiplicacao e feita antes da

adicao.

2) Os parenteses, colchetes e chaves sao usados para separar operacoes aritmeticas. As

operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes entre colchetes, que sao

feitas antes das operacoes entre chaves.

B.3 Exercıcios

1. Resolva as seguintes expressoes numericas:

a) x = 2 + 3 · 5 · 2 + 1

b) x = 3 · 2(3 + 1) + 7

c) x = (1 + 2) + (3 + 4) · (5 + 6) + 7

d) x = 39 + [1 + 4 · (2 + 2) · 5] + 1

∗ ∗ ∗

147

Page 154: MatematicaBasica VP

Apendice C

Conjunto dos Numeros Inteiros, Z

C.1 Introducao

A primeira extensao do conjunto dos numeros naturais e o conjunto dos numeros

inteiros ou conjunto Z, que esta explicitado a seguir:

Z = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Da representacao acima vemos que todos os elementos de IN pertencem tambem a Z.Ou seja:

IN Z

A representacao geometrica de Z e feita a partir da representacao de IN. Basta acres-

centarmos os pontos correspondentes aos numeros negativos.

O conjunto Z possui alguns subconjuntos notaveis:

1. O conjunto dos numeros inteiros nao nulos.

Z∗ = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Z∗ = Z− 0

2. O conjuntos dos numeros inteiros nao negativos:

Z+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ Z+ = IN

148

Page 155: MatematicaBasica VP

3. O conjunto dos numeros inteiros positivos:

Z∗+ = 1, 2, 3, 4, 5, . . . ⇒ Z∗

+ = IN∗

4. O conjunto dos numeros inteiros nao positivos:

Z− = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0

5. O conjunto dos numeros inteiros negativos:

Z∗− = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1

C.2 Operacoes com numeros inteiros

No conjunto Z estao definidas tres operacoes: adicao, multiplicacao e subtracao. As-

sim, fazendo-se a adicao, multiplicacao ou subtracao entre dois elementos quaisquer de Z,o resultado e elemento de Z. Ou seja:

∀m,n ∈ Z

m+ n ∈ Zm · n ∈ Zm− n ∈ Z

Ou podemos dizer:

O conjunto Z e fechado em relacao

a adicao, a multiplicacao e a subtracao.

No conjunto Z podemos e devemos estar habilitados a fazer as operacoes de adicao,

multiplicacao e subtracao entre seus elementos.

Ao efetuar estas operacoes em expressoes numericas devemos lembrar que:

1. A multiplicacao e feita antes da adicao e da subtracao.

2. A adicao e a subtracao sao efetuadas ao mesmo tempo.

3. As operacoes entre parenteses sao feitas antes das operacoes entre

colchetes que sao feitas antes das operac eos entre chaves que sao feitas

antes das operacoes que estao fora destes.

Vamos treinar um pouco resolvendo o exemplo a seguir.

Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expressoes numericas.

149

Page 156: MatematicaBasica VP

a) x = 3 · (4− 1) + 4

Resolucao:

x = 3 · (4− 1) + 4

x = 3 · 3 + 4

x = 9 + 4

x = 13

b) x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3.

Resolucao:

x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3

x = −2 · [2 + (−5) · (−3)] + 3

x = −2 · [2 + 15] + 3

x = −2 · [17] + 3

x = −34 + 3

x = −31

No exemplo acima usamos, implicitamente, a regra dos sinais para a soma/subtracao

e tambem a regra dos sinais para a multiplicacao/divisao. Estas regras valem sempre e

podem ser enunciadas da seguinte maneira:

1. Regra dos sinais para a soma/subtracao:

a) para numeros com sinais iguais, somamos os coeficientes e mantemos o sinal;

b) para numeros com sinais diferentes, subtraimos os coeficientes e mantemos

o sinal do maior.

2. Regra dos sinais para a multiplicacao/divisao (e eliminacao de parente-

ses):

a) para numeros com sinais iguais, o resultado e sempre positivo;

b) para numeros com sinais diferentes, o resultado e sempre negativo.

O conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao e a subttracao, mas o

mesmo nao ocorre em relacao a divisao, ou seja, o conjunto Z nao e fechado em relacao

a divisao.

150

Page 157: MatematicaBasica VP

Por exemplo, se dividimos (-5) por 10, nao existe numero inteiro que seja resultado

desta operacao, ou seja,

x =(−5)10

= −1

2

x /∈ Z

Assim, teve-se uma necessidade de ampliar o conjunto Z e surgiu o conjunto dos

numeros racionais, IQ, que sera estudado na proxima seccao. Por hora, vamos fazer o

exemplo abaixo para fixarmos melhor as ideias e conhecimentos a cerca dos conjuntos IN

e Z. O conjunto dos numeros racionais sera revisado no proximo apendice.

Exemplo: Classifique as sentencas como verdadeiras ou falsa, para ∀m,n, p ∈ IN

a) [(m+ n) · p] ∈ IN

Resposta: Como o conjunto IN e fechado em relacao a adicao e a multi-

plicacao, temos que (m + n) ∈ IN e, por conseguinte, [(m + n) · p] ∈ IN, o que

torna a sentenca verdadeira.

b) [m · (n− p)] ∈ ZResposta: Como o conjunto Z e fechado em relacao a adicao, a multiplicacao

e a subtracao, e como todo elemento de IN tambem pertence a Z, temos que

(n − p) ∈ Z e, por conseguinte, [m · (n − p)] ∈ IN, o que torna a sentenca

verdadeira.

c) [(m+ n) · (n+ p)] > 0

Resposta: Como m,n, p ∈ IN, as adicoes (m+n) e (n+p) podem ser maiores,

menores ou mesmo iguais a zero, desta forma sua multiplicacao tambem pode

ter qualquer sinal ou mesmo ser igual a zero, o que torna a sentenca falsa.

Tome, por exemplo, m = −5, n = 2 e p = 1, neste caso temos que o resultado

da sentenca e [(m+ n) · (n+ p)] = [(−5 + 2) · (2 + 1)] = −9 < 0.

d) (mp−m) ∈ IN

Resposta: Temos que mp−m = m(p− 1), como m, p ∈ IN temos que m(p−1) ∈ IN ⇔ p ≥ 1, mas como o p tambem pode ser igual a zero, temos que a

expressao e falsa.

Antes de estudarmos o conjunto dos numeros racionais, vamos estudar dois impor-

tantes conceitos que surgem ao estudarmos o conjunto Z e que, por serem conceitos

gerais, tambem serao validos para os outros conjuntos numericos estudados nos apendices

seguintes e em todo o nosso livro. Estes conceitos sao a nocao de numeros opostos ou

simetricos e o modulo de um numero.

151

Page 158: MatematicaBasica VP

C.3 Numeros opostos ou simetricos

Dois numeros inteiros sao ditos opostos ou simetricos quando apresentam soma igual

a zero.

Os pontos que representam dois numeros opostos na reta numerada estao igualmente

distantes da origem. Como exemplo podemos visualizar na figura a seguir:

Assim, o oposto de m e −m, e vice-versa.

O oposto de zero e o proprio zero.

Exemplo: Determine quantas unidades devemos diminuir de:

a) 5 para chegar a −9;Resposta: So temos que resolver a equacao 5− x = −9⇒ x = 14. Portanto,

temos que diminuir 14 unidades de 5 para chegar a −9.

b) −2 para chegar a −8;Resposta: Neste caso, temos que resolver a equacao −2 − x = −8 ⇒ x = 6.

Portanto, temos que diminuir 6 unidades de −2 para chegar a −8.

c) 5 para chegar a 12.

Resposta: Pela equacao, 5 − x = 12 ⇒ x = −7, portanto para sairmos de 5

e chegar a 12 temos que somar (e nao diminuir) 7 unidades.

C.4 Modulo de um numero inteiro

O modulo ou valor absoluto de um numero inteiro e a distancia da origem ao ponto

que o representa na reta. Assim, dizemos que o modulo de -5 e 5. E o modulo de 5 e 5.

Indicamos o modulo de um numero inteiro, pelo numero inteiro entre barras verticas.

Ou seja, o modulo de −m e dado por:

| −m| = m ∀m ∈ IN

e o modulo de m e dado por:

|m| = m; ∀m ∈ IN

152

Page 159: MatematicaBasica VP

Em alguns textos o modulo de um numero e representado pelo numero entre barras

verticais duplas, ou seja, nesses textos tem-se que |m| = ||m||.

Exemplos: Calcule:

a) x = |10− 7|;Resposta: Resolvendo a expressao, temos:

x = |10− 7| = |3| = 3

b) x =∣∣∣10− |5 + 7|

∣∣∣;Resolucao:

x =∣∣∣10− |5 + 7|

∣∣∣ = ∣∣∣10− |12|∣∣∣ = ∣∣∣10− 12∣∣∣ = | − 2| = 2

c) x = 5−∣∣∣5 + | − 5|+ |5|

∣∣∣;Resolucao:

x = −∣∣∣5 + | − 5|+ |5|

∣∣∣ = 5−∣∣∣5 + 5 + 5

∣∣∣ = 5− |15| = 5− 15 = −10

d) x =∣∣∣|7− 5| − 2 + | − 8|+ |2|

∣∣∣− 1.

Resolucao:

x =∣∣∣|7− 5| − 2+ | − 8|+ |2|

∣∣∣− 1 =∣∣∣|2| − 2+8+2

∣∣∣− 1 = |10| − 1 = 10− 1 = 9

C.5 Exercıcios

1. Resolva as seguintes expressoes numericas:

a) x = 2− 3 · 5 · 2 + 1

b) x = 3 · 2(3 + 1)− 7 · 4 + 2

c) x = (1 + 2) + (3− 4) · (5 + 6)− 7

d) x = 39 + [1 + 4 · (2− 2) · 5] + 11

e) x = 80− 6 · 7 + 5

f) x = 80− (6 · 7 + 5)

153

Page 160: MatematicaBasica VP

g) x = (80− 6) · (7 + 5)

2. Ernesto Comprou duas canetas. Uma custou R$ 5,00 e a outra custou R$ 9,00.

Como ele usou uma nota de R$ 20,00 para pagar a compra, qual foi o seu troco?

3. O que podemos afirmar sobre dois numeros nao nulos que possuem o mesmo modulo?

4. Calcule o valor de:

a) x = |4− 7|

b) x = | − 4|+ | − 6|

c) x = 13 + | − 5| − | − 3− 6|

d) x = 2−∣∣| − 4|+ |3|

∣∣5. Em um rigoroso inverno na Finlandia, as 18h, a temperatura na capital Helsin-

quia era de -4 oC. Cinco horas mais tarde, a temperatura caiu mais 3 oC. Qual a

temperatura em Helsinquia as 23h desta noite de inverno?

6. Analisando sua planilha de controle dos gastos domesticos, Marcos descobriu que

pode estar com um pequeno problema financeiro. Marcos tem em seu caixa o valor

total de R$ 600,00 e possui as seguintes dıvidas: R$ 80,00 de telefone; R$ 50,00 de

agua; R$ 60,00 de luz; R$ 210,00 de cartao de credito; e R$ 180,00 de combustıvel.

Marcos conseguira pagar todas as suas contas?

7. Duas pessoas distantes 30m, caminham uma em direcao a outra. Uma pessoa cam-

inhou 12m e a outra caminhou 5m. Qual a distancia que separa essas duas pessoas

agora?

∗ ∗ ∗

154

Page 161: MatematicaBasica VP

Apendice D

Conjunto dos Numeros Racionais, IQ

D.1 Introducao

A extensao do conjunto dos numeros inteiros e o conjunto dos numeros racionais

ou conjunto dos numeros fracionarios ou conjunto IQ.

IQ =

0, . . . ,±1

3, . . . ,±1

2, . . . ,±1, . . .

Ou seja:

IQ =

p

q| p ∈ Z e q ∈ Z∗

Assim, vemos que todos os elementos de Z pertencem tambem a IQ. Ou seja:

Z IQ

A representacao de IQ na reta numerada e feita a partir da representacao de Z.

Entre cada elemento de Z marcado na reta ha infinitos elementos de IQ. E entre cada

elemento de IQ marcado acima ha outros infinitos elementos de IQ.

O conjunto numerico IQ possui alguns subconjuntos notaveis:

1. IQ∗: O conjunto dos numeros racionais nao nulos;

2. IQ+: O conjuntos dos numeros racionais nao negativos;

3. IQ∗+: O conjunto dos numeros racionais positivos;

4. IQ−: O conjunto dos numeros racionais nao positivos;

155

Page 162: MatematicaBasica VP

5. IQ∗−: O conjunto dos numeros racionais negativos.

Em relacao aos conjuntos numericos apresentados nos apendices de nosso livro ate o

momento, podemos montar o seguinte diagrama de Venn:

D.2 Operacoes com fracoes

Ao estudarmos o conjunto dos numeros fracionarios, IQ, vemos a necessidade de relem-

brar os principais conceitos e definicoes e as operacoes numericas relacionadas as fracoes.

Esta necessidade vem do fato de que muitos estudantes, ao iniciarem um curso supe-

rior na area de exatas, encontram certa dificuldade ao trabalhar com fracoes devido ao

tempo decorrido desde que estudaram tais operacoes em sua vida academica. Para sa-

narmos estas dificuldades e propiciarmos ao aluno uma rapida revisao sobre o assunto,

vamos apresentar estes conceitos, definicoes e operacoes de forma pratica e suscinta neste

apendice de nosso livro.

Para alguns alunos esta seccao do apendice e mesmo este e outros apendices podem

parecer triviais, mas em muitas provas e teste feitos por alunos universitarios nos primeiros

componentes curriculares da area de Matematica aparecem erros de alunos que se equi-

vocam ao realizar as operacoes aritmeticas basicas com fracoes e numeros decimais. Em

alguns casos os alunos realmente apresentam dificuldades em trabalhar com os numeros

em sua forma decimal e/ou fracionaria sem o uso de calculadora e em outros casos isto

ocorre devido ao nervosismo de se estar fazendo uma prova ou teste. Em qualquer destes

dois casos, e importante que o aluno faca esta revisao, quer seja para relembrar o que

esta guardado no fundo de sua mente ou para treinar um pouco e, desta forma, diminuir

o possıvel nervosismo na hora de fazer testes e provas.

Voltando a nossa revisao das operacoes aritmeticas envolvendo fracoes vamos, antes,

relembrar algumas definicoes e conceito a cerca de fracoes.

156

Page 163: MatematicaBasica VP

1. Uma fracao e uma forma pictorica usada para representar uma divisao entre dois

numeros. Assim, por exemplo, a divisao entre os numeros 22 e 7 pode ser represen-

tada como a fracao22

7, que tambem pode ser denotada por 22/7.

2. Numa fracao a/b temos que o numero a, que e o dividendo da fracao, e chamado de

numerador e o numero b, que e o divisor da fracao, e chamado de denominador.

3. Uma fracao e, normalmente, usada para representar o numero de partes tomadas

de um objeto ou de um segmento (uma pizza ou uma regua, por exemplo) que

foi dividido em partes iguais. Numa fracao temos que o denominador da fracao

representa o numero de partes iguais em que o segmento foi dividido e o numerador

da fracao representa o numero de partes deste segmento que foram destacadas.

Assim, a fracao 3/4 nos diz que o nosso objeto ou segmento foi dividido em 4 partes

iguais e que dele foram destacadas 3 partes.

4. As fracoes podem ser classificadas como proprias ou improprias. Numa fracao

propria o numerador e menor que o denominador (3/5, 4/9 e 1/2, por exemplo). Ja

numa fracao impropria o numerador e maior que o denominador (5/2, 22/7 e 4/3,

por exemplo).

5. Todos os numeros inteiros sao tambem numeros fracionarios. Um numero inteiro e,

na verdade, uma fracao com denominador igual a 1. Ou seja, 3 = 3/1 e −4 = −4/1,por exemplo.

6. Ao estudarmos fracoes costumamos falar de fracao inversa ou inverso de uma

fracao. Dada uma fracao a/b, a sua fracao inversa e a fracao b/a.

Apos relembrarmos estes conceitos e definicoes, podemos passar a nossa revisao das

operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e a forma como estas operacoes devem ser rea-

lizadas sem o auxılio de calculadoras.

As operacoes aritmeticas envolvendo fracoes estao listadas e explicadas a seguir.

a) Simplificacao

As vezes, duas fracoes aparentemente diferentes representam o mesmo numero. Por

exemplo, as fracoes 8/12 e 6/9 representam o mesmo numero e sao ditas equivalentes.

Assim, cabe a pergunta: quando duas fracoes sao equivalentes?

Podemos dar a seguinte resposta a pergunta acima: duas fracoes sao equivalentes

quando podem ser simplificadas em uma mesma fracao reduzida.

A resposta acima pode ter gerado outras duas perguntas: i) como simplificar uma

fracao? ii) o que e uma fracao reduzida?

157

Page 164: MatematicaBasica VP

Vamos responder a estas perguntas aprendendo/relembrando a simplificacao de

fracoes.

Para simplificarmos uma fracao devemos verificar se numerador e denominador da

fracao possuem divisores em comum, ou seja, devemos decompor o numerador e o deno-

minador da fracao em seus fatores primos e simplificarmos os que forem comuns.

Ha tres maneiras simples e completamente equivalentes para se simplificar uma fracao.

Vamos a elas no exemplo a seguir.

Exemplo: Simplifique a fracao x = 8/12.

Resolucao 1: Decompondo os numeros 8 e 12 em seus fatores primos podemos

reescrever esta fracao como:

x =8

12=

2 · 2 · 22 · 2 · 3

Simplificando os termos em comum nos numerador e denominador, ou seja, cortando

no numerador e denominador os termos que sao comuns a ambos, ficamos com:

x =8

12=

2

3

Resolucao 2: Uma forma completamente equivalente de simplificarmos uma fracao

e dividindo numerador e denominador, pelo maior divisor comum entre eles. Ou seja,

o exemplo acima pode ser refeito da seguinte maneira:

Vendo que o maior divisor comum entre 8 e 12 e o numero 4, podemos fazer:

x =8

12=

8 : 4

12 : 4=

2

3

Resolucao 3: Tambem pode-se simplificar a fracao dividindo-se, simultaneamente,

numerador e denominador por divisores que sejam comum aos dois. Este proce-

dimento deve ser realizado ate que nao hajam mais divisores comuns. Ou seja, o

exemplo acima pode ainda ser refeito como a seguir.

Podemos simplificar esta fracao fazendo:

x =8

12=

8 : 2

12 : 2=

4

6=

4 : 2

6 : 2=

2

3

158

Page 165: MatematicaBasica VP

A fracao 2/3 obtida nas tres versoes do exemplo acima e chamada de fracao re-

duzida ou de fracao irredutıvel, pois ela nao pode mais ser simplificada. Como

pode ser facilmente verificado, a fracao 6/9 tambem tem como fracao reduzida a

fracao 2/3, por isto dizemos que ela e equivalente ou igual a fracao 8/12 e tambem

a fracao 2/3.

b) Adicao

Para adicionarmos fracoes devemos seguir uma regra simples e pratica que vamos

explicar fazendo os exemplos a seguir.

Exemplo: Determine a soma entre as fracoes 8/12 e 5/4.

Resolucao: Para fazermos esta soma:

x =8

12+

5

4=?

Devemos tirar o MMC (mınimo multiplo comum) entre os denominadores das

fracoes. Ou seja, neste caso, tirar o MMC entre 12 e 4 que e 12. Este sera o

denominador da fracao que e a soma das anteriores.

x =8

12+

5

4=

?

12

Para obtermos o numerador, dividimos o novo denominador pelo denominador de

cada fracao e multiplicamos pelo numerador correspondente e somamos os valores

encontrados. Ou seja, temos que 12 dividido por 12 e igual a 1 que multiplicado por

8 da 8; e 12 dividido por 4 e 3 que multiplicado por 5 vale 15. Assim:

x =8

12+

5

4=

8 + 15

12=

23

12

Quando for possıvel, devemos simplificar a fracao obtida como soma de outras

fracoes.

A regra usada para somar duas fracoes e a mesma usada para somar tres ou mais

fracoes.

Exemplo: Determine as somas a seguir:

a) x =1

3+

2

5+

4

6Resolucao: Somando estas fracoes:

x =1

3+

2

5+

4

6=

10 + 12 + 20

30=

42

30=

42 : 6

30 : 6=

7

5

159

Page 166: MatematicaBasica VP

b)7

4+

1

5+ 3

Resolucao: Somando estas fracoes, temos:

x =7

4+

1

5+ 3 =

35 + 4 + 60

20=

99

20

c) Subtracao

O procedimento usado na adicao de fracoes e o mesmo usado na subtracao de fracoes.

Vamos aos exemplos:

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das subtracoes e/ou somas a

seguir:

a) x =1

3− 2

5Resolucao: Fazendo a subtracao:

x =1

3− 2

5=

5− 6

15=−115

= − 1

15

b) x =2

3− 5

6+

1

4Resolucao: Determinando a fracao resultante:

x =2

3− 5

6+

1

4=

8− 10 + 3

12=

1

12

d) Multiplicacao

Realizar a multiplicacao entre duas ou mais fracoes e bastante simples.

Suponha dadas duas ou mais fracoes e que queiramos obter a fracao que e resultante

de sua multiplicacao. A fracao resultante tem como numerador o produto dos nume-

radores das fracoes que sao os fatores desta multiplicacao e o denominador da fracao

resultante e igual ao produto dos denominadores das fracoes fatores. Quando possıvel

podemos/devemos simplificar a fracao resultante.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das multiplicacoes abaixo:

a) x =1

3· 25

160

Page 167: MatematicaBasica VP

Resolucao: Fazendo a multiplicacao:

x =1

3· 25=

1 · 23 · 5

=2

15

b) x =2

3·(−5

6

)·(−1

4

)Resolucao: Determinando a fracao resultante:

x =2

3·(−5

6

)·(−1

4

)=

2 · (−5) · (−1)3 · 6 · 4

=10

72=

10 : 2

72 : 2=

5

36

c) x =1

3· 7 ·

(−5

4

)Resolucao: Determinando a fracao resultante:

x =1

3· 7 ·

(−5

4

)=

1 · 7 · (−5)3 · 1 · 4

=−3512

= −35

12

e) Divisao

A divisao entre duas fracoes tambem pode ser feita com uma regra bastante simples.

Para fazermos a divisao entre duas fracoes multiplicamos a primeira fracao pelo in-

verso da segunda fracao, ou seja, a fracao resultante tem como numerador o produto do

numerador da primeira pelo denominador da segunda fracao e o denominador da fracao

resultante e o produto do denominador da primeira pelo numerador da segunda fracao.

Vamos a alguns exemplos para ilustrar a divisao entre fracoes.

Exemplo: Determine as fracoes reduzidas resultantes das divisoes abaixo:

a) x =1

3:2

5Resolucao: Multiplicando a primeira fracao pelo inverso da segunda temos:

x =1

3:2

5=

1

3· 52=

1 · 53 · 2

=5

6

b) x =2

3:

(−5

6

)Resolucao: Determinando a fracao resultante:

x =2

3:

(−5

6

)=

2

3·(−6

5

)=

2 · (−6)3 · 5

=−1215

= −12

15= −12 : 3

15 : 3= −4

5

c) x =3457

161

Page 168: MatematicaBasica VP

Resolucao: Note que, como uma fracao representa a divisao entre dois

numeros, uma divisao entre fracoes pode ser escrita como uma fracao onde

o numerador e o denominador sao fracoes. Assim, realizando a divisao:

x =3457

=3

4:5

7=

3

4· 75=

3 · 74 · 5

=21

20

Entre os exercıcios deste apendice ha alguns exercıcios para ajudar o estudante a

refamiliarizar-se com as operacoes com fracoes. E essencial para um bom aprendizado de

todo o conteudo deste livro que o estudante esteja bem treinado na rapida execucao deste

tipo de operacao sem fazer uso de calculadora.

D.3 Representacao decimal das fracoes

Tomemos um numero racional do tipo

x =

p

q| p ∈ Z; q ∈ Z∗; p = m q | m ∈ IN

Podemos escreve-lo na forma decimal efetuando a divisao do numerador pelo denomi-

nador. Nesta divisao podem ocorrer dois casos.

1. O numeral decimal encontrado possui, apos a vırgula, um numero finito de algaris-

mos nao nulos.

Exs.:

1

5= 0, 2;

8

50= 0, 16;

30

4= 7, 5; etc.

Tais racionais sao chamados de decimais exatos.

2. O numeral decimal encontrado possui, apos a vırgula, infinitos algarismos (nem

todos nulos), que se repetem periodicamente:

Exs.:

1

3= 0, 333 · · · = 0, 3;

7

9= 0, 777 · · · = 0, 7;

1

22= 0, 0454545 · · · = 0, 045; etc.

Tais racionais sao chamados de decimais periodicos ou dızimas periodicas. Os

numeros que se repetem sao chamados de perıodo da dızima.

162

Page 169: MatematicaBasica VP

As dızimas periodicas, como pode ser observado nos exemplos acima, podem ser re-

presentadas na forma decimal escrevendo-se o numero e colocando-se retiscencias para se

indicar que os algarismos apos a vırgula continuam indefinidamente ou com uma ‘barra’

sobre o perıodo da dızima, indicando que e esta parte do numero que esta se repetindo.

A fracao que e equivalente a uma dızima periodica e chamada de fracao geratriz.

Para sabermos se uma fracao irredutıvel e equivalente a um decimal exato ou a uma

dızima periodica sem efetuar a divisao basta decompormos o denominador em fatores

primos. Ela sera:

1. Decimal exato: se o denominador contiver apenas os fatores 2 e/ou 5

Exemplo: As fracoes 7/50, 3/4 e 11/160, sao decimais exatos, pois seus denomi-

nadores (50 = 2 · 5 · 5; 4 = 2 · 2; 160 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5) possuem apenas os fatores

primos 2 e 5.

2. Dızima periodica: se o denominador contiver outros fatores primos diferentes de

2 ou 5.

Exemplo: As fracoes 4/9, 13/42 e 25/48, sao dızimas periodicas pois seus denomi-

nadores (9 = 3 · 3; 42 = 2 · 3 · 7; 48 = 2 · 2 · 2 · 3) possuem fatores primos diferentes

de 2 e 5.

D.4 Operacoes com numeros decimais

Ao trabalharmos ou fazermos operacoes com numeros, muitas vezes e mais conveniente

trabalhar com os numeros em sua forma decimal no lugar de os mantermos em sua forma

fracionaria.

Tomemos como exemplo o caso de um atleta em preparacao para uma prova de ve-

locidade que quer calcular sua velocidade media em certo percurso sabendo a distancia

percorrida e o tempo usado para percorrer esta distancia. Este atleta esta percorrendo

um percurso de 400 metros em exatos 42 segundos. Sabendo que a velocidade media e

definida como sendo a razao entre a distancia percorrida e o tempo usado para percorre-la,

o atleta calcula sua velocidade media como:

vm =∆s

∆t=

400

42m/s = 9, 523809 m/s ∼= 9, 52 m/s

O atleta nao diz que percorre 400/42 m/s ou mesmo 200/21 m/s, ele dira que sua

velocidade media e, aproximadamente, igual a 9,52 m/s. Neste e em varios outros casos e

163

Page 170: MatematicaBasica VP

mais conveniente trabalhar com os numeros em sua forma decimal do que com os numeros

em sua forma fracionaria.

Nesta secao revisaremos as operacoes com numeros decimais, pois precisamos saber

como realizar as diferentes operacoes aritmeticas com numeros decimais sem precisar

reescreve-los antes em sua forma fracionaria e sem fazer uso de calculadoras.

a) Adicao

Vamos comecar relembrando a regra pratica para se somar numeros decimais (sem o

uso de calculadoras).

Suponha que voce queira somar os numeros 8,45 e 27,5. Como proceder?

No caso da adicao, igualamos o numero de casas decimais e armamos a operacao de

soma colocando a vırgula de um numero embaixo da vırgula do outro e fazemos a soma

dos numeros igual fazıamos no ensino fundamental com numeros inteiros.

Desta forma temos que:

8, 45

+27, 50

35, 95

Assim, temos como resposta para esta soma o valor 35,95.

Este e o procedimento para se somar qualquer numeros de parcelas.

Exemplo: Quanto vale a soma 0, 27 + 11, 3 + 15, 075 ?

Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos que:

0, 270

11, 300

+15, 075

26, 645

b) Subtracao

A regra para realizar uma subtracao entre numeros decimais e a mesma que para a

adicao, com a diferenca que, no caso da subtracao, so podemos subtrair (manualmente)

um numero de outro. Por isto, quando ha varias parcelas devemos, primeiro, somar

as parcelas de mesmo sinal antes de fazermos a subtracao entre as parcelas de sinais

diferentes. Vamos aos exemplos para ilustrar melhor o que estamos falando.

164

Page 171: MatematicaBasica VP

Exemplo: Calcule o resultado de cada conta a seguir:

a) 32, 5− 7, 753

Resolucao: Igualando o numero de casas decimais e armando a conta temos

que:

32, 500

− 7, 753

24, 747

b) 23, 54− 47, 3

Resolucao: Como o numero negativo tem maior modulo, vamos igualar o

numero de cassas decimais e subtrair o menor numero do maior e manter o

sinal (negativo, no caso) do numero de maior valor absoluto. Assim:

− 47, 30

+ 23, 54

− 23, 76

c) 23, 541− 47, 3 + 12, 54 + 45− 2, 755

Resolucao: Neste caso somamos, separadamente, as parcelas positivas e as

negativas:

− 47, 300 + 23, 541

− 2, 755 + 12, 540

− 50, 055 + 45, 000

+ 81, 081

E, entao, subtraimos a parcela negativa da positiva:

+ 81, 081

− 50, 055

+ 31, 026

c) Multiplicacao

No caso da multiplicacao, fazemos a conta como se os numeros nao fossem decimais

e, apos, contamos o numero total de casas decimais dos fatores e colocamos este mesmo

numero de casas decimais no produto. Vejamos o exemplo:

Exemplo: Determine o valor de 5, 86× 1, 2.

165

Page 172: MatematicaBasica VP

Resolucao: O fator 5,86 tem duas casas decimais e o fator 1,2 tem uma casa

decimal, logo o produto tera tres casas decimais. Fazendo a multiplicacao como se

fossem numeros inteiros temos:

5, 8 6

× 1, 2

1 1 7 2

5 8 6

7, 0 3 2

Onde o resultado ja foi expresso com o numero correto de casas decimais (tres casas

decimais).

d) Divisao

No caso da divisao envolvendo numeros decimais, temos tres passos a seguir: i)

igualamos o numero de casas decimais do dividendo e do divisor; ii) retiramos a vırgula

de ambos os numeros; iii) fazemos a divisao dos numeros inteiros que apareceram.

Vamos ao exemplo para ilustrar este procedimento.

Exemplo: Determine o valor de 15÷ 1, 2.

Resolucao: Igualando o numero de casas decimais temos que a nossa divisao pode

ser escrita como: 15, 0÷ 1, 2.

Retirando a vırgula de ambos, dividendo e divisor, temos que a nossa divisao e a

mesma que: 150÷ 12. E esta conta que devemos fazer.

Armando e fazendo a conta temos que:

150 | 12

30 12, 5

60

0

Ou seja, 15÷ 1, 2 = 12, 5.

Devemos lembrar que operacoes aritmeticas envolvendo fracoes e numeros decimais

aparecem em diversos exemplos e exercıcios de nosso livro. Tais contas podem, no dia-

a-dia, ser feitas com o uso de calculadoras, mas e importante para o estudante ter a

habilidade e traquejo para conseguir reproduzir boa parte destas contas sem a ajuda de

calculadoras. Estes calculos, no geral, ficam em nossos rascunhos e nao aparecem na

166

Page 173: MatematicaBasica VP

resolucao dos exemplos e exercıcios mas e muito importante que saibamos faze-los de

forma praticamente automatica.

D.5 Representacao fracionaria dos numeros decimais

Trata-se do problema inverso do discutido em secao anterior. Estando o numero

racional escrito na forma decimal, vamos escreve-lo na forma de fracao.

Temos dois casos:

a) O numero e decimal exato.

Assim transformamos o numero em uma fracao cujo numerador e o numero decimal

sem a vırgula. E o denominador e o numeral 1 seguido de tantos zeros quantas

forem as casas decimais do numero original. A fracao resultante, em alguns casos,

pode ainda ser simplificada.

Exemplos:

1. O numero decimal 0,7.

Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:

0, 7 =7

10

2. O numero decimal 2,35.

Resposta: Este numero decimal pode ser escrito como:

2, 35 =235

100=

47

20

b) O numero e uma dızima periodica.

Neste caso, devemos achar a fracao geratriz da dızima. Vamos explicar o procedi-

mento com dois exemplos.

Exemplos:

1. Seja a dızima periodica 0, 3 = 0, 333 . . . , qual a sua fracao geratriz?

Resolucao: Facamos x = 0, 333 . . . .

Multipliquemos os dois lados da equacao por 10, de forma que 10x = 3, 333 . . . .

Subtraindo, membro a membro a primeira igualdade da segunda:

167

Page 174: MatematicaBasica VP

10x− x = 3, 333 · · · − 0, 333 · · · ⇒ 9x = 3⇒ x =3

9=

1

3

Assim, a fracao geratriz de 0, 3 = 1/3.

2. Seja a dızima periodica 0, 4231 . . . , qual a sua fracao geratriz?

Resolucao: Facamos x = 0, 423131 . . .

Multipliquemos os dois lados da equacao por 100, de forma que 100x =

42, 3131 . . .

Multipliquemos, novamente, os dois lados da equacao por 100, de forma que

10000x = 4231, 3131 . . .

Subtraindo, membro a membro a segunda igualdade da terceira:

10000x− 100x = 4231, 3131 · · · − 42, 3131 . . .

9900x = 4189⇒ x =4189

9900

O estudante deve ter percebido nos exemplos acima que subtraimos a dızima com

somente perıodo apos a dızima de uma dızima com exatamente um perıodo antes da

vırgula, de forma a obter um numero inteiro em cada lado da equacao.

D.6 Exercıcios

1. Escreva cada uma das fracoes a seguir em sua forma decimal.

a) x =5

4

b) x =5

12

c) x =3

8

d) x =9

5

e) x =7

4

f) x =7

2

g) x =1

5

168

Page 175: MatematicaBasica VP

2. Calcule o valor de x nas expressoes a seguir:

a) x =1

6− 5

4+

2

3

b) x =

(1

2− 1

3

)+

(4

7− 2

7

)− 1

21

c) x = 1 +

(1

2− 1

5

)−(7

4− 5

4

)d) x = 3 +

5

2·(1/2

7/4− 1

9

)+

2

11

e) x =

(2/3

2/5+

3

7

)·(10

4− 5

6:1

3

)+ 2

f) x =1

2−[8

5

(1

3+

3

5

)−(7

4:2

3

)]3. Determine a fracao irredutıvel que e a geratriz de cada uma das dızimas periodicas:

a) x = 0, 666 . . .

b) x = 2, 05252 . . .

c) x = 3, 444 . . .

d) x = 1, 326363 . . .

e) x = 0, 05431431 . . .

f) x = 2, 13131313 . . . ;

4. Calcule:

0, 666 · · ·+15+ 1

335− 1

15

5. Determine o valor de2

0, 666 . . .

6. Qual o valor de x =√

0, 444 · · · + 16

0, 888 · · ·?

7. Seja a/b a fracao geratriz da dızima 1, 3636 . . . . Qual e a dızima periodica equiva-

lente a fracao b/a.

8. Um auditorio esta sendo ladrilhado com ceramica. O pedreiro comecou a trabalhar

ontem e conseguiu ladrilhar1

7do auditorio. Hoje ele ladrilhou mais

3

8. Nesses dois

dias ja foram assentados 870 ladrilhos. Quantos ladrilhos, ao todo, serao colocados

no auditorio?

169

Page 176: MatematicaBasica VP

9. Em razao da instalacao da rede de agua, foi construıdo um grande reservatorio.

Anteontem, primeiro dia de funcionamento dessa bomba, ela encheu1

3do reser-

vatorio e ontem ela encheu mais2

5do reservatorio. Se ainda faltam 4400 litros para

completar o reservatorio, qual a capacidade dele?

∗ ∗ ∗

170

Page 177: MatematicaBasica VP

Apendice E

Conjunto dos Numeros Irracionais, II

Assim como existem numeros decimais que podem ser escritos como fracoes de numeros

inteiros (numeros racionais), existem os decimais que nao admitem tal representacao.

Eles sao numeros decimais nao exatos que possuem representacao infinita nao

periodica.

Vejamos alguns exemplos:

x = 0, 2121121112111 . . . ; x = 1, 203040 . . .

x =√

2 = 1, 4142136 . . . ; π = 3, 141592 . . . ; etc.

O numero cuja representacao decimal infinita nao e periodica e chamado numero

irracional.

Seu conjunto e representado por II.

O conjunto II e um conjunto a parte dos numeros racionais. Para os conjuntos IQ e II

vale que; IQ ∩ II = ∅.O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado

conjunto dos numeros reais que estudaremos logo a seguir.

∗ ∗ ∗

171

Page 178: MatematicaBasica VP

Apendice F

Conjunto dos Numeros Reais, IR

F.1 Introducao

O conjunto formado pelos numeros racionais e pelos numeros irracionais e chamado

conjunto dos numeros reais que e representado por IR. Onde, temos que:

IR = IQ ∪ II

Em termos da reta numerada podemos representar o conjunto IR como:

O diagrama de Venn do conjunto dos numeros reais pode ser representado por:

Para os numeros reais, assim como para os inteiros, racionais e irracionais, continuam

valendo os conceitos de numeros opostos e de modulo.

172

Page 179: MatematicaBasica VP

F.2 A ordem na reta e a notacao de intervalo

O conjunto dos numeros reais e ordenado.

Podemos fazer esta comparacao entre quaisquer dois numeros reais que nao sao iguais

usando desigualdades.

Sejam a e b dois numeros reais quaisquer, se:

a > b a− b > 0

a < b a− b < 0

a ≥ b a− b ≥ 0

a ≤ b a− b ≤ 0

Podemos comparar dois numeros reais devido a chamada lei da tricotomia.

Lei da Tricotomia: Sejam a e b dois numeros reais quaisquer, somente uma das

seguintes expressoes e verdadeira:

a < b; a = b ou a > b

Exemplos:

1. Disponha em ordem crescente os seguintes numeros reais 0, 7, 0, 71, 0, 7, 3/4,√

2 /2

e 18/25.

Resolucao: A melhor forma de comparar dois ou mais numeros reais e escreve-los

em sua forma decimal. Reescrevendo os numeros acima em sua forma decimal e em

ordem crescente temos:

0, 7 < 0, 70710678... < 0, 71717171... < 0, 72 < 0, 75 < 0, 7777...

Ou, equivalentemente:

0, 7 <

√2

2< 0, 71 <

18

25<

3

4< 0, 7

2. Considere as seguintes desigualdades e represente-as na reta numerada.

a) x ≤ 2;

b) x ≥ 1;

173

Page 180: MatematicaBasica VP

c) −5 < x ≤ 2;

d) −3 ≤ x < 1.

Respostas:

Como vimos no exemplo acima, desigualdades podem ser representadas, na reta real,

por intervalos de numeros reais. Estes intervalos tambem podem ser expressos na forma

da notacao de intervalo.

Considerando que os intervalos podem ser limitados ou nao-limitados e sejam a e

b dois numeros reais quaisquer, temos como intervalos limitados:

Desigualdade Tipo de intervalo Notacao

a ≤ x ≤ b Fechado [a, b]

a < x < b Aberto ]a, b[

a ≤ x < b Fechado-aberto [a, b[

a < x ≤ b Aberto-fechado ]a, b]

E como intervalos nao-limitados:

Desigualdade Tipo de intervalo Notacao

x ≥ a Fechado [a,+∞[

x > a Aberto ]a,+∞[

x ≤ b Fechado ]−∞, b]

x < b Aberto ]−∞, b[

174

Page 181: MatematicaBasica VP

Observacoes

1. Intervalos nao-limitados tem um so extremo.

2. Alguns autores usam para o intervalo aberto a esquerda usam “(” no lugar de “]” e

para o aberto a direita “)” no lugar de “[”. Exemplo:

5 < x < 8⇒ (5, 8)

Em nosso livro nao usamos esta notacao com parenteses para intervalo aberto por

achar mais conveniente a notacao com colchetes e para nao confundir a notacao

de intervalo com a notacao de par ordenado (e ponto) onde sempre e usado, por

todos os autores, os parenteses. No entanto, acreditamos que o estudante deve estar

ciente das duas notacoes para intervalo para quando se deparar com autores e/ou

professores que prefiram a notacao diversa da usada em nosso livro.

Em resumo, ha tres formas de representar um intervalo de numeros reais:

1) Usando as desigualdades.

a ≤ x < b

2) Usando a notacao de intervalo.

[a, b[

3) Usando a reta numerada.

Dentro do conjunto dos numeros reais podemos falar, alem da adicao, subtracao,

multiplicacao e divisao, de outras duas operacoes aritmeticas basicas: a exponenciacao e

a radiciacao. Vamos estuda-las nas secoes a seguir.

F.3 Potenciacao com expoente inteiro

Vamos comecar, agora, a estudar a potenciacao e suas propriedades, comecando por

apresentar a definicao de potenciacao com expoentes inteiros e tambem suas propriedades.

175

Page 182: MatematicaBasica VP

Um pouco mais a frente, apos definirmos e estudarmos radiciacao, estudaremos a poten-

ciacao com expoentes racionais, que tem as mesmas propriedades que a potenciacao com

expoente inteiro.

A notacao exponencial e utilizada para diminuir/encurtar produtos de fatores que se

repetem.

Exemplos

1. O produto 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 pode ser escrito como 56, ou seja, 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56.

2. O produto (x+1)(x+1)(x+1) pode ser escrito como (x+1)3, ou seja, (x+1)(x+

1)(x+ 1) = (x+ 1)3

Entao, seja a um numero real, uma variavel ou uma expressao algebrica, e n um

numero positivo, temos que:

an = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸n fatores

onde n e o expoente, a e a base.

CUIDADO: A base de −52 e 5. O produto de n fatores de um numero negativo e

escrito como (−a)n. Por exemplo, (−5)3.A potenciacao tem algumas propriedades que sao bastante uteis. Vamos enuncia-las

e ver alguns exemplos de seu uso.

Sejam u e v numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas e m e n numeros inteiros,

valem as seguintes propriedades da potenciacao1:

1. umun = um+n

Exemplo: 52 · 53 = 52+3 = 55

2. um

un = um−n

Exemplo:65

62= 65−2 = 63

3. u0 = 1

Exemplo: 70 = 1

4. u−n = 1un

Exemplo: x−4 =1

x4

1Todas as bases sao consideradas diferentes de zero

176

Page 183: MatematicaBasica VP

5. (uv)m = umvm

Exemplo: (3x)2 = 32x2 = 9x2

6. (um)n = umn

Exemplo: (y2)4 = y2·4 = y8

7.(uv

)m=

um

vm

Exemplo:

(x

y

)3

=x3

y3

Estas propriedades podem ser usadas, por exemplo, para simplificar expressoes

algebricas que envolvam potencias. Vejamos exemplos simples.

Exemplo: Simplifique as seguintes expressoes algebricas.

a) z = 3x(x2y5)(5y3x7)

Resolucao: Fazendo as contas temos:

z = 3x(x2y5)(5y3x7) = (3 · 5)(x · x2 · x7)(y5 · y3) = 15x10y8

b) z =4a4b3

5ab6Resolucao: Fazendo as contas temos:

z =4a4b3

5ab6=

4a4a−1

5b6b−3=

4a3

5b3

c) z =

(2x2

5

)−3

Resolucao: Fazendo as contas temos:

z =

(2x2

5

)−3

=

(5

2x2

)3

=53

23(x2)3=

125

8x6

F.4 Radiciacao

Para relembrarmos o que e a operacao de radiciacao e estudarmos suas propriedades,

vamos comecar relembrando a definicao de raiz n-esima de um numero real.

Sejam n um numero inteiro maior que 1 e a e b numeros reais.

1. Se bn = a, entao b e uma raiz n-esima de a.

2. Se a tem uma raiz n-esima, entao a principal raiz n-esima de a e aquela com

mesmo sinal de a.

177

Page 184: MatematicaBasica VP

A principal raiz n-esima de a e denotada pela por n√a. O numero inteiro positivo n e

chamado ındice do radical e a e chamado radicando.

Desta definicao para raiz n-esima, temos que:

1. Todo numero real tem exatamente uma raiz n-esima real quando n e ımpar.

Exemplo: 3√8 = 2

2. Quando n e par, os numeros reais positivos tem duas raızes n-esimas reais.

Exemplo: 4√81 = ±3

3. Quando n e par, os numeros reais negativos NAO tem raızes n-esimas reais.

Exemplo: 4√−81 @

4. Quando n = 2 uma notacao especial e usada para indicar a raiz: omitimos o ındice

e escrevemos√a no lugar de 2

√a.

5. Se a e um numero real positivo e n um inteiro par positivo, suas duas raızes n-esimas

sao denotadas por n√a e - n

√a.

A radiciacao tem algumas propriedades que sao bastante uteis. Vamos estuda-las e

ver alguns exemplos de seu uso.

Sejam u e v numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas e m e n numeros inteiros

positivos e maiores que 1, valem as seguintes propriedades da radiciacao, onde estamos

supondo que todas as raızes sao numeros reais e que todos os denominadores sao diferentes

de zero:

1. n√uv = n

√u · n√v

Exemplo:√605 =

√121 · 5 =

√121 ·

√5 = 11

√5

2. n

√u

v=

n√u

n√v

Exemplo:3√2433√9

=3

√243

9=

3√27 = 3

3. m√

n√u = m·n

√u

Exemplo:3

√√50 =

3·2√50 =

6√50

4.(

n√u)n

= u

Exemplo:(√

3)2

= 3

178

Page 185: MatematicaBasica VP

5. n√um =

(n√u)m

Exemplo:3√1252 =

(3√125)2

= 52 = 25

6. n√un =

|u|, para n par

u, para n ımpar

Exemplo:i)√

(−5)2 = | − 5| = 5

ii) 3√(−5)3 = −5

As propriedades da radiciacao citadas acima podem ser utilizadas para simplificar

expressoes que contenham raızes de numeros reais ou para racionalizar fracoes que con-

tenham radicais no denominador.

Exemplos

1. Simplifique as expressoes a seguir:

a) z =√675

Resolucao:

z =√675 =

√3 · 3 · 3 · 5 · 5 =

√32 · 3 · 52 = 3 · 5 ·

√3 = 15

√3

b) z =√2x2y2

Resolucao:

z =√2x2y2 =

√2(xy)2 = |xy|

√2

c) z = 3√−48x6

Resolucao:

z =3√−48x6 = 3

√(−2)3 · 2 · 3 · (x2)3 = −2x2 3

√2 · 3 = −2x2 3

√6

d) z =√45x2

Resolucao:

z =√45x5 =

√32 · 5 · x2 · x2 · x = 3x2

√5x

e) z = 2√363−

√27

Resolucao:

z = 2√3 · 112 −

√3 · 32 = 2 · 11

√3− 3

√3 = 22

√3− 3

√3 = 19

√3

2. Racionalize as seguintes fracoes:

179

Page 186: MatematicaBasica VP

a) z =

√3

5Resolucao:

z =

√3

5=

√3√5=

√3√5·√5√5=

√3 · 5√52

=

√15

5

b) z = 6

√x3

y4

Resolucao:

z = 6

√x3

y4=

6√x3

6√y4

=6√x3

6√y4·

6√

y2

6√

y2=

6√

x3y2

6√y6

=6√

x3y2

y

F.5 Potenciacao com expoente racional

Ate agora, definimos e trabalhamos com exponenciais (numeros ou expressoes) com ex-

poentes inteiros. No entanto, os expoentes de uma potencia podem ser quaisquer numeros

racionais (fracionarios) e, por isto, precisamos tambem aprender a trabalhar com potencias

de expoentes racionais.

Para tanto, vamos definir a potencia com expoente racional.

Seja x um numero real, variavel ou expressao algebrica e n um inteiro maior que 1.

Temos que:

x1/n = n√x

Se m e n sao inteiros positivos, m/n e uma fracao na forma reduzida e todas as

raızes sao numeros reais, entao:

xm/n = (u1/n)m = ( n√x)m

e

xm/n = (um)1/n = n√xm

Ou seja, toda potencia com expoente racional na forma de uma fracao reduzida cor-

responde a uma raiz e vice-versa.

Exemplos

1. Converta os radicais a seguir para potencias equivalentes.

180

Page 187: MatematicaBasica VP

a) z = x7/3

Resposta: z = x7/3 =3√x7

b) z = x1/3y4/3

Resposta: z = x1/3y4/3 = x1/3(y4)1/3 = (xy4)1/3 = 3√xy4

c) z = x−2/3

Resposta: z = x−2/3 =1

x2/3=

13√x2

2. Converta as seguintes potencia para seus respectivos radicais.

a) z =3√2x2

Resposta: z =3√2x2 = (2x2)1/3 = 21/3x2/3

b) z =1

5√x6

Resposta: z =1

5√x6

=1

x6/5= x−6/5

Vale ressaltar que, no caso de expressoes numericas ou algebricas envolvendo radiciacao

e potenciacao e as outras operacoes aritmeticas, resolvemos as operacoes na seguinte

ordem:

(i) primeiro as potencias e radicais;

(ii) em seguida as multiplicacoes e divisoes; e

(iii) por ultimo, as adicoes e subtracoes.

Vejamos o exemplo a seguir.

Exemplo: Resolva as seguintes expressoes numericas.

a) x = [(52 − 6 · 22)3 + (13− 7)2] : 5

Resolucao:

x = [(52 − 6 · 22) · 3 + (13− 7)2 + 1] : 5

x = [(25− 6 · 4) · 3 + (6)2 + 1] : 5

x = [(25− 24) · 3 + 36 + 1] : 5

x = [1 · 3 + 36 + 1] : 5

x = [3 + 36 + 1] : 5

x = 40 : 5

x = 8

181

Page 188: MatematicaBasica VP

b) x = −(−2) · 3 + (−1) · 0−√25− 32 − 53 : 25

Resolucao:

x = −(−2) ·+(−1) · 0−√25− 32 − 53 : 25

x = −(−2) · 3 + (−1) · 0−√25− 9− 125 : 25

x = 6− 0−√16− 5

x = 6− 0− 4− 5

x = −3

F.6 Propriedades basicas da Algebra

O uso e traquejo das propriedades basicas da algebra e extremamente importante.

Por este motivo, dedicamos esta breve secao para reapresentar este topico de matematica

elementar e, desta forma, sanar as possıveis duvidas dos alunos. Em todoo livro, estas

propriedades serao comumente utilizadas na resolucao dos mais variados problemas e

exemplos e, como podemos perceber, elas sao simples e ja estao em nossa mente e cotidiano

ao trabalharmos com numeros e expressoes matematicas. Vamos a elas.

Sejam u, v e w numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas. Valem as seguintes

propriedades:

1. Propriedade comutativa

Adicao: u+ v = v + u

Multiplicacao: uv = vu

2. Propriedade associativa

Adicao: (u+ v) + w = u+ (v + w)

Multiplicacao: (uv)w = u(vw)

3. Propriedade do elemento neutro

Adicao: u+ 0 = u

Multiplicacao: u · 1 = u

4. Propriedade do elemento inverso

Adicao: u+ (−u) = 0

Multiplicacao: u · 1u= 1, u = 0

5. Propriedade distributiva

Multiplicacao com relacao a adicao:

182

Page 189: MatematicaBasica VP

u(v + w) = uv + uw; (u+ v)w = uw + vw

Multiplicacao com relacao a subtracao:

u(v − w) = uv − uw; (u− v)w = uw − vw

F.7 Exercıcios

1. Simplifique a expressao|x− 1|x− 1

.

2. Determine o conjunto solucao das seguintes equacoes e inequacoes:

a) |x− 1| = 3

b) |x+ 5| ≤ 4

c) |2x+ 3| < 6

d) |2x− 3| = |4x+ 5|

e) |x− 3|+ |x+ 4| = 7

3. Sejam a, b e c numeros reais quaisquer, classifique cada uma das afirmacoes abaixo

como verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de uma afirmacao falsa, justifique sua

resposta.

a) a > b⇔ a2 > B2

b) a > b⇔ ac > bc

c)√

a2 + b2 ≥ a

d) a2 = b2 ⇔ a = b

e) a3 = b3 ⇒ a = b

f) a4 = 16b4 ⇒ a = 2b ou a = −2b

g) a2 + b2 = 0⇒ a = b = 0

h) a3 + b3 = 0⇒ a = b = 0

4. Dados os intervalos A = [−3, 3[, B =]0,+∞[ e C =]−∞, 2], determine:

a) A ∩B

b) A ∩ C

183

Page 190: MatematicaBasica VP

c) B ∩ C

d) A ∩B ∩ C

e) A ∪ C

f) A ∪B ∪ C

g) B ∪ C

5. Converta a notacao de intervalo para desigualdade e vice-versa. Faca a representacao

grafica destes intervalos.

a) −4 < x ≤ 7;

b) ]−∞,−3];

c) ]−∞,+∞[;

d) [4, 8];

e) x > 3;

f) x ≤ 4.

6. Represente os intervalos em termos da notacao de conjuntos e da reta real.

a) [3, 9]

b) [−3, 7[

c) ]− 1, 3[

d) ]0,+∞[

e) ]− 2, 5[

f) ]−∞,+∞[

g) ]2, 9]

h) [3, 6[

7. Considere os numeros reais x e y que obedecem a desigualdade 0 < x < y < 1 e

faca o que se pede:

a) represente estes numeros e o intervalo considerado na reta numerada;

b) represente, na mesma reta numerada, o ponto z = xy.

8. Simplifique as raızes removendo fatores do radicando:

184

Page 191: MatematicaBasica VP

a) z =√500

b) z = 3√500

c) z = 4√192

d) z = 3√−27x3y7

e) z =√363x4y5

9. Escreva as expressoes a seguir na forma de potencia:

a) f =√x+ 1

b) f = 3x 3√

x2y

c) f = 5√x3y4

d) f = 3√x3y6

e) f = xyz 3√xy2

10. Escreva as expressoes a seguir na forma de um radical:

a) f = x1/2y3/2

b) f = y−1/3

c) f = x4/5y3/5z−1/5

d) f =

(x

y

)−1/2

11. Determine o valor de:

a) x = −72

b) x = −53

c) x = (−2)5

12. Calcule o valor das expressoes:

a) x =√

5 (√

5 + 3)

b) x = (3 +√

2 )(3−√

2 )

c) x = (3√

2 + 7√

3 )(√

2 −√

3 )

d) x = (5 +√

3 )2

13. Resolva as equacoes:

185

Page 192: MatematicaBasica VP

a) 2x = 512

b) 2x+1 − 2x−1 + 2x−3 − 2x−4 = 50

c) 7x =1

2401

d) 53x−7 = 125

e) (5x)x = (252)9

f) 234x

= 512

14. Simplifique as expressoes:

a) z =10−5 · 10−4

102 · 10−5

b) z =3

53 · 3 7

2

316

c) z =x4y3

x2y5

d) z =(3x2)3y4

3y2

e) z =

(3

xy

)−3

f) z =(x−4y3)−2

(y5y−4)−3

g) z =

(4a3b

a2b3

)(3b2

2a2b4

)

∗ ∗ ∗

186

Page 193: MatematicaBasica VP

Apendice G

Plano Cartesiano

G.1 Introducao

Em nosso livro aprendemos a representar o grafico de algumas funcoes simples. Para

isto precisamos definir o plano cartesiano e aprender a localizar pontos neste plano. Para

tanto, vamos comecar definindo par ordenado.

Um

ordenado e um conjunto de dois numeros reais em certa ordem. Usa-se a notacapo

(a, b) para indicar o par ordenado onde a e o primeiro elemento e b e o segundo elemento.

Vejamos os seguintes exemplos.

1. (1, 3) e o par ordenado em que o primeiro elemento e 1 e o segundo elemento e 3.

2. (3, 1) e o par ordenado em que o primeiro elemento e 3 e o segundo elemento e 1.

Note que os pares ordenados (1, 3) e (3, 1) diferem entre si pela ordem de seus

elementos.

Os pares ordenados representam coordenadas de pontos. Assim, podemos dizer que

o primeiro par ordenado refere-se as coordenadas do ponto P1 = (1, 3) e o segundo par

ordenado refere-se as coordenadas do ponto P2 = (3, 1).

A maneira geometrica de representar os pontos ou pares ordenados e localiza-los em

um sistema de coordenadas, ou seja, localiza-los no plano denominado plano cartesiano.

187

Page 194: MatematicaBasica VP

G.2 O sistema de coordenadas cartesianas no plano

Para localizar um ponto ou um par ordenado no plano usaremos a nocao de Sistema

de Coordenadas Cartesianas no Plano ou Plano Cartesiano. Este sistema de

coordenadas tambem e chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os

eixos formam angulos de 90 entre si.

Para definirmos um sistema de coordenadas:

1. Fixamos um ponto no plano que sera chamado de origem e sera denotado por O.

2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que

passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos (eixo x e eixo y). Em

geral, escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical

que chamamos de eixo y.

3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera considerado positivo. Em geral,

da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.

4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo

a um numero real. Associamos a origem O ao numero zero 0. A partir da origem, no

sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os numeros reais positivos.

E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,

de forma decrescente, os numeros reais negativos.

Os procedimentos descritos acima nos dao o seguinte sistema de eixos coordenados,

onde a origem e a interseccao dos eixos.

188

Page 195: MatematicaBasica VP

Fixado um ponto A do plano, chamaremos:

⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,

⋄ Ax o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo x.

A coordenada xA (componente do ponto A em relacao ao eixo x) e o numero associado

ao ponto Ax. Ela e chamada de abscissa do ponto A. E o eixo x e chamado de eixo da

abscissas.

Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos:

⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,

⋄ Ay o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo y.

189

Page 196: MatematicaBasica VP

A coordenada yA (componente do ponto A em relacao ao eixo y) e o numero associado

ao ponto Ay. Ela e chamada de ordenada do ponto A. E o eixo y e chamado de eixo

da ordenadas.

Assim, cada ponto A do plano sera associado a um par de numeros reais xA e yA.

Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas (ou componentes) cartesianas do ponto A

no plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto

A.

Exemplos:

1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:

a) A = (0, 3);

b) B = (−2,−4);

c) C = (0, 2);

d) D = (3,−5);

e) E = (1, 6);

f) F = (−4, 0);

g) G = (−1, 1);

h) O = (0, 0);

i) H =(0,−1

3

).

Na figura a seguir e mostrada a representacao destes pontos no sistema cartesiano.

190

Page 197: MatematicaBasica VP

Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro

quadrantes.

⋄ Primeiro Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0.

⋄ Segundo Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0.

⋄ Terceiro Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0.

⋄ Quarto Quadrante: (x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0.

Estes quadrantes estao destacados e nomeados na figura a seguir.

191

Page 198: MatematicaBasica VP

Apos apresentadas estas nocoes sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano

vamos, nos exemplos a seguir, aprender a localizar pontos e regioes no plano cartesiano.

Exemplos

1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2 represente as estruturas

geometricas descritas algebricamente abaixo:

a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.

Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacado na figura a seguir.

192

Page 199: MatematicaBasica VP

b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.

Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.

c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.

Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.

193

Page 200: MatematicaBasica VP

d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.

Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.

e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1).Resposta: Estes pontos correspondem a circunferencia de raio 1 e centrada

no ponto P = (−2, 1).

194

Page 201: MatematicaBasica VP

f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam

3u.c. do ponto Q = (−1,−2).Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a equacao das duas cir-

cunferencias especificadas. Portanto, sao os dois pontos mascados na figura a

seguir.

g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequacoes x ≤ −3, y ≥ 0 e distam

no maximo 4u.c. da origem O = (0, 0).

Resposta: A regiao explicitada esta marcada na figura a seguir.

195

Page 202: MatematicaBasica VP

G.3 Exercıcios

1. Assinale no plano cartesiano os pontos A = (2,−3), B = (0,−4), C = (−4,−5),

D = (−1, 0), E = (0, 5), F = (5, 4), G = (3, 0), H = (−3, 2), I =

(1

2,5

2

),

J = (1, 5), K = (5, 1).

2. O ponto N tem coordenadas (m−2, 5) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine

o valor de m.

3. O ponto P = (a,−b) pertence ao primeiro quadrante. Quais sao os sinais de a e b?

4. Sabendo que o ponto Q = (1− a, b+2) pertence ao quarto quadrante, determine os

possıveis valores de a e b.

5. O ponto R = (−a,−b) pertence ao 3o quadrante. Qual e o sinal do produto a · b?Justifique sua resposta.

6. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-

nadas satisfazem as seguintes expressoes:

a) x = 2 ;

b) x = 2 e y = −3 ;

c) y = −3 ;

d) x ≤ 2 ;

e) x ≤ 2 e y ≥ −3 ;

f) x ≤ 4 e y = −3 ;

∗ ∗ ∗

196

Page 203: MatematicaBasica VP

Apendice H

Polinomios

H.1 Definicao

Um polinomio na variavel real x e uma expressao composta pela soma de produtos de

constantes por potencias inteiras positivas de x e sempre pode ser escrito na forma:

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0

onde n ∈ IN; ai (com i = 0, 1, 2, . . . , n) sao numeros reais chamados coeficientes; e as

parcelas aixi sao chamados termos do polinomio.

Podemos citar como exemplos de polinomios:

a) P (x) = 7x4 − 3x2 + 1

b) P (x) = 2x5 +√3x4 − x

c) P (x) = −3x2 + π

d) P (x) = 0

No entanto, as expressoes a seguir nao sao polinomios.

a) f(x) = x2 − 3x12 + 1

b) f(x) = x−3 + 2x+ 1

Nos dois casos acima temos expoentes de x que nao sao numeros naturais, portanto

estas expressoes nao representam polinomios.

197

Page 204: MatematicaBasica VP

H.2 Valor numerico de um polinomio

Quando e atribuıdo um valor fixo para x, por exemplo x = α (α ∈ IR), e calculamos

P (α) = anαn + an−1α

n−1 + . . . + a3α3 + a2α

2 + a1α + a0, dizemos que P (α) e o valor

numerico do polinomio P (x) para x = α.

Exemplo: Determine o valor numerico do polinomio P (x) = 3x3 − 4x2 + 1 para:

a) x = 2;

Resolucao: Fazendo as contas temos:

P (2) = 3 · 23 − 4 · 22 + 1 = 3 · 8− 4 · 4 + 1 = 9

b) x = −1

2;

Resolucao: Fazendo as contas temos:

P

(−1

2

)= 3

(−1

2

)3

− 4 ·(−1

2

)2

+ 1 = −3

8− 4 · 1

4+ 1 = −3

8− 1 + 1 = −3

8

c) x = 0;

Resolucao: Fazendo as contas temos:

P (0) = 3 · 03 − 4 · 02 + 1 = 0− 0 + 1 = 1

d) x = 1;

Resolucao: Fazendo as contas temos:

P (1) = 3 · 13 − 4 · 12 + 1 = 3− 4 + 1 = 0

Observacao: Quando P (α) = 0, dizemos que α e raiz do polinomio P (x). Assim,

no item d acima, temos que x = 1 e raiz do polinomio P (x) = 3x3 − 4x2 + 1.

H.3 Polinomio nulo

Polinomio nulo ou Polinomio identicamente nulo e aquele em que todos os seus

coeficientes sao iguais a zero (an = an−1 = . . . = a2 = a1 = a0 = 0) e, portanto, P (x) = 0.

Exemplo: Supondo que o polinomio P (x) = (a− 7)x3− 4(2− b)x2 +6(c+2)x− d

e identicamente nulo, determine os valores de a, b, c e d.

Resolucao: Se cada coeficiente do polinomio deve ser nulo, temos que:

198

Page 205: MatematicaBasica VP

a3 = 0 =⇒ a− 7 = 0⇒ a = 7

a2 = 0 =⇒ −4(2− b) = 0⇒ b = 2

a1 = 0 =⇒ 6(c+ 2) = 0⇒ c = −2a0 = 0 =⇒ −d = 0⇒ d = 0

H.4 Grau de um polinomio

Dado o polinomio P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a3x3 + a2x

2 + a1x + a0, nao iden-

ticamente nulo, com an = 0, dizemos que o grau do polinomio corresponde a mais alta

potencia de x presente nesse polinomio e denotamos por gr(P (x)) = n.

Exemplo: Qual o grau de cada polinomio P (x) a seguir?

a) P (x) = 5x3 − 3x+ 1;

Resposta: O grau do polinomio P (x) e 3, ou seja, gr(p(x)) = 3

b) P (x) = 9x9 − 2;

Resposta: gr(p(x)) = 9.

c) P (x) = −2x;Resposta: gr(p(x)) = 1.

d) P (x) = 7;

Resposta: gr(p(x)) = 0.

H.5 Igualdade de polinomios

Dois polinomios P (x) e Q(x) sao iguais ou identicos, P (x) = Q(x), quando todos os

seus coeficientes sao ordenadamente iguais.

Exemplo: Dados os polinomio P (x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f e Q(x) =

4x4 − 9x3 + 7x+ 1, determine os valores das constantes reais a, b, c, d, e e f , para

que P (x) e Q(x) sejam iguais.

Resposta: Para que P (x) = Q(x), devemos ter a = 0, b = 4, c = −9, d = 0, e = 7

e f = 1.

199

Page 206: MatematicaBasica VP

H.6 Operacoes com polinomios

Agora vamos definir as operacoes que podemos realizar com polinomios. Para isto

vamos considerar que sao dados os polinomios P (x) e Q(x), tais que P (x) = anxn +

an−1xn−1+. . .+a3x

3+a2x2+a1x+a0 e Q(x) = bnx

n+bn−1xn−1+. . .+b3x

3+b2x2+b1x+b0,

e tambem temos dado k ∈ IR.

Desta forma podemos realizar as seguintes operacoes com polinomios:

a) Adicao de polinomios

A adicao de polinomios, que e representada por (P + Q)(x) = P (x) + Q(x), e feita

somando-se os coeficientes dos termos de mesma potencia de x em cada polinomio. Ou

seja, a adicao de polinomios e dada por:

(P+Q)(x) = (an+bn)xn+(an−1+bn−1)x

n−1+. . .+(a3+b3)x3+(a2+b2)x

2+(a1+b1)x+(a0+b0)

Exemplo: Dados os polinomios P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e Q(x) = 4x4 + 5x3 +

7x+ 1, qual e o polinomio dado pela soma P (x) +Q(x)?

Resposta: O polinomio soma, (P +Q)(x), vale:

(P +Q)(x) = (3 + 4)x4 + (−8 + 5)x3 + (1 + 0)x2 + (−3 + 7)x+ (0 + 1)

(P +Q)(x) = 7x4 + 3x3 + x2 + 4x+ 1

b) Diferenca de polinomios

A diferenca de polinomios, que e representada por (P −Q)(x) = P (x)−Q(x), e feita

subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesma potencia de x em cada polinomio. Ou

seja, a diferenca de polinomios e dada por:

(P−Q)(x) = (an−bn)xn+(an−1−bn−1)xn−1+. . .+(a3−b3)x3+(a2−b2)x2+(a1−b1)x+(a0−b0)

Exemplo: Dados os polinomios P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e Q(x) = 4x4 + 5x3 +

7x+ 1, qual e o polinomio dado pela diferenca P (x)−Q(x)?

Resposta: O polinomio diferenca, (P −Q)(x), vale:

(P −Q)(x) = (3− 4)x4 + (−8− 5)x3 + (1− 0)x2 + (−3− 7)x+ (0− 1)

(P −Q)(x) = −x4 − 13x3 + x2 − 10x− 1

200

Page 207: MatematicaBasica VP

c) Multiplicacao de polinomio por numero real (ou escalar)

Amultiplicacao do polinomio P (x) pelo escalar k, representada por (k·P )(x) = k·P (x)

e feita multiplicando-se k por cada coeficiente do polinomio P (x). Assim, temos que:

(k · P )(x) = (k · an)xn + (k · an−1)xn−1 + . . .+ (k · a3)x3 + (k · a2)x2 + (k · a1)x+ (k · a0)

Exemplo: Dados o polinomio P (x) = 3x4 − 8x3 + x2 − 3x e k = −5, determine o

polinomio (k · P )(x).

Resposta: O polinomio (k · P )(x), vale:

(k · P )(x) = (−5)(3x4 − 8x3 + x2 − 3x)

(k · P )(x) = (−5)3x4 + (−5)(−8)x3 + (−5)x2 + (−5)(−3)x(k · P )(x) = −15x4 + 40x3 − 5x2 + 15x

d) Multiplicacao de polinomios

A multiplicacao dos polinomios P (x) e Q(x), que e representada por (P · Q)(x) =

P (x) ·Q(x), pode ser feita utilizando-se a propriedade distributiva da multiplicacao.

Vamos demonstra-la atraves dos dois exemplos a seguir.

Exemplo: Determine o produto dos polinomios P (x) e Q(x) dados a seguir.

a) P (x) = 3x+ 1 e Q(x) = 4x2 − 3x+ 2.

Resolucao: O produto (P ·Q)(x) e dado por:

(P ·Q)(x) = (3x+ 1) · (4x2 − 3x+ 2)

(P ·Q)(x) = 3x · (4x2 − 3x+ 2) + 1 · (4x2 − 3x+ 2)

(P ·Q)(x) = 12x3 − 9x2 + 6x+ 4x2 − 3x+ 2

(P ·Q)(x) = 12x3 − 5x2 + 3x+ 2

b) P (x) = 2x3 − x2 + x e Q(x) = x2 − 5x+ 2.

Resolucao: O produto (P ·Q)(x) e dado por:

(P ·Q)(x) = (2x3 − x2 + x) · (x2 − 5x+ 2)

(P ·Q)(x) = (2x3) · (x2 − 5x+ 2)− x2 · (x2 − 5x+ 2) + x · (x2 − 5x+ 2)

(P ·Q)(x) = 2x5 − 10x4 + 4x3 − x4 + 5x3 − 2x2 + x3 − 5x2 + 2x

(P ·Q)(x) = 2x5 − 11x4 + 10x3 − 7x2 + 2x

201

Page 208: MatematicaBasica VP

e) Divisao de polinomios

A divisao do polinomio D(x) (dividendo) por d(x) (divisor), nao nulo, significa que

temos que determinar o polinomio quociente, q(x), e o polinomio resto, r(x), tais que:

a) D(x) = d(x) · q(x) + r(x).

b) gr(r(x)) < gr(d(x)) ou r(x) = 0.

Obs.: Se r(x) = 0, dizemos que D(x) e divisıvel por d(x) ou que a divisao e exata.

A divisao pode ser feita por meio de um algoritmo simples, que simula a divisao de

numeros inteiros, conhecido como metodo da chave. Este algoritmo pode ser descrito

pelas seguintes etapas:

i) divide-se o termo de mais alto grau do polinomio dividendo pelo termo de maior

grau do divisor;

ii) multiplica-se o quociente pelo divisor e subtrai-se este resultado do dividendo;

iii) repete-se o processo ate se obter um polinomio de grau menor que o divisor. Este

ultimo polinomio sera o resto da divisao.

Vamos demonstrar a divisao de polinomios no exemplo a seguir.

Exemplo: Determine a divisao entre os polinomios D(x) e d(x) dados a seguir.

a) D(x) = 3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1 e d(x) = x2 − 2x+ 3.

D −→ 3x5 −6x4 13x3 −9x2 11x −1 x2 −2x +3 ←− d

−3x5 +6x4 −9x3 −9x2 11x −1 3x3 +4x −1 ←− q

4x3 −9x2 11x −1−4x3 8x2 −12x

−x2 −x −1x2 −2x +3

r −→ −3x +2

A divisao feita na ‘conta’ acima pode ser descrita nos seguintes passos.

i) Faz-se a divisao: (3x5) : (x2) = 3x3;

ii) Faz-se a multiplicacao: (3x3) · (x2 − 2x+ 3) = 3x5 − 6x4 + 9x3;

202

Page 209: MatematicaBasica VP

iii) Subtrai-se este polinomio do dividendo: (3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1)−(3x5 − 6x4 + 9x3) = 4x3 − 9x2 + 11x− 1;

iv) Recomeca-se o processo, ate que o resto tem grau inferior ao divisor.

Assim, temos que o dividendo pode ser escrito como:

3x5 − 6x4 + 13x3 − 9x2 + 11x− 1 = (x2 − 2x+ 3) · (3x3 + 4x− 1) + (−3x+ 2)

b) D(x) = x4 − 3x2 + 5x+ 1 e d(x) = x− 2

Neste caso, temos que:

x4 0x3 −3x2 +5x +1 x −2−x4 +2x3 x3 +2x2 +x +7

+2x3 −3x2 +5x +1

−2x3 4x2

x2 +5x +1

−x2 +2x

+7x +1

−7x +14

+15

Pela divisao feita acima, podemos escrever que:

x4 − 3x2 + 5x+ 1 = (x− 2) · (x3 + 2x2 + x+ 7) + 15

A divisao acima e as outras divisoes de polinomio de grau n por um polinomio de

grau 1 tambem podem ser feitas usando o metodo de Briot-Ruffini. Mas iremos deixar

este metodo a parte deste apendice e apresentar apenas o metodo para divisao de um

polinomio de grau qualquer.

H.7 Exercıcios

1. Determine quais expressoes a seguir sao polinomios.

a) y = 3x6 + 5x4 − x3 + 9

b) y = x23 − 5x+ 3

c) y = (a+ 2)x4 − (a2 − 1)x2 −√2

203

Page 210: MatematicaBasica VP

d) y = (4x2 − 3)12

e) y = 3x−2 + 2x−1 − 1

f) y = π3

2. Determine o valor de r no polinomio P (x) = x3− rx2 +2, sabendo que x = 1 e raiz

desse polinomio.

3. Seja o polinomio P (x) = x4 − 3x2 − 5. Calcule P (−1)− 1

7P (3).

4. Determine m e n no polinomio P (x) = mx3− 2x2 + nx− 1, sabendo-se que 1 e raiz

do polinomio e que P (−2) = −21.

5. Determinar o polinomio P (x) = ax2 + bx+ c, sabendo-se que P (0) = 5, P (1) = 6 e

P (−2) = −9.

6. Determinar a, b e c de modo que os polinomios P (x) = 15x+3 e Q(x) = (a− b)x2+

(3a+ 2b)x+ (2a− c) sejam iguais.

7. Diga quais afirmacoes sao verdadeiras.

a) A soma de dois polinomios de grau 4 e sempre um polinomio de grau 4.

b) O produto de dois polinomios de graus 5 e 8, respectivamente, e um polinomio

de grau 13.

c) A diferenca de dois polinomios de grau 9 pode ser um polinomio de grau 5.

8. Dados os polinomios P (x) = 8x5− 5x4+7x3− 3x+4 e Q(x) = 4x2− 5, determinar:

a) (P +Q)(x)

b) (P −Q)(x)

c) (P ·Q)(x)

d)(−2) · P (x)

Q(x)

e)P (x)

x+ 2

9. Seja o polinomio P (x) = 2x2 − 3x+ 5, determinar os seguintes polinomios:

a) P (x+ 1)

b) P (1− x)

c) P (x2 − 2x)

204

Page 211: MatematicaBasica VP

d) P (x3)

10. Complete os quadrados das expressoes a seguir:

a) z = x2 + 3

b) z = 2x2 + 4

c) z = 3x2 + 3y2

d) z = x2 + x+ 9

e) z = 3x2 + y

f) 5z = x2 − 3x

g) z = x2 − 3x

h) z = x− 9x2

i) z = x4 − 2x2 + 2

j) z = x4 − 3x+1

∗ ∗ ∗

205

Page 212: MatematicaBasica VP

Apendice I

Produtos notaveis e fatoracao

I.1 Produtos notaveis

Ao trabalharmos com operacoes entre expressoes algebricas, alguns tipos de expressoes

aparecem com certa frequencia. Estas expressoes, que sao multiplicacoes de polinomios,

sao bastante conhecidas e utilizadas e sao chamadas de produtos notaveis.

Como estes produtos de polinomios sao bastante utilizados, vamos listar os principais e

mostrar alguns exemplos que ajudarao o estudante a adquirir traquejo com a manipulacao

de expressoes algebricas.

Os principais produtos notaveis sao:

1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2. (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

3. a2 − b2 = (a+ b) · (a− b)

4. (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

5. (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

6. a3 + b3 = (a+ b) · (a2 − ab+ b2)

7. a3 − b3 = (a− b) · (a2 + ab+ b2)

8. (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

9. (x− a) · (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

10. (x+ a) · (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab

11. (x+ a) · (x− b) = x2 + (a− b)x− ab

206

Page 213: MatematicaBasica VP

Apresentados os principais produtos notaveis, vamos fazer alguns exemplos para fixar-

mos em nossas mentes a sua forma.

Exemplo:

1. Obtenha o valor das expressoes a seguir desenvolvendo as multiplicacoes e mostre

que e igual a expressao do produto notavel correspondente.

a) (2x− y)2

Resolucao: Desenvolvendo a multiplicacao temos que:

(2x− y)2 = (2x− y) · (2x− y) = 4x2 − 2xy − 2xy + y2

(2x− y)2 = 4x2 − 4xy + y2

Usando o produto notavel, temos que:

(2x− y)2 = (2x)2 − (2 · 2x · y) + (y)2 = 4x2 − 4xy + y2

Como podemos observar, as expressoes sao exatamente iguais

b) (x+ 4z)3

Resolucao: Desenvolvendo a multiplicacao temos que:

(x+ 4z)3 = (x+ 4z) · (x+ 4z)2 = (x+ 4z) · (x2 + 8xz + 16z2)

(x+ 4z)3 = x3 + 8x2z + 16xz2 + 4x2z + 32xz2 + 64z3

(x+ 4z)3 = x3 + 12x2z + 48xz2 + 64z3

Usando o produto notavel temos que:

(x+ 4z)3 = (x)3 + 3 · (x)2 · (4z) + 3 · x · (4z)2 + (4z)3

(x+ 4z)3 = x3 + 12x2z + 48xz2 + 64z3

Onde vemos que as duas expressoes sao exatamente iguais.

I.2 Completar quadrados

Os produtos notaveis mais utilizados sao os dois primeiros, (a + b)2 e (a − b)2. Sua

larga utilizacao deve-se ao fato de estarem relacionados a funcoes de segundo grau que sao

usadas para modelar diversos problemas simples em Matematica, Fısica e Engenharia.

Um polinomio de segundo grau (polinomio onde a maior potencia da variavel e igual

a 2), sempre pode ser reescrito em termos dos produtos notaveis citados acima. Esta

207

Page 214: MatematicaBasica VP

operacao usada para reescrever um polinomio e chamada de completar quadrados e

feita por comparacao direta entre os termos do polinomio e o desenvolvimento de um dos

produtos notaveis.

Vejamos os exemplos a seguir para entender esta operacao algebrica.

Exemplo: Complete quadrados com as expressoes a seguir:

a) x2 + 8x

Resolucao: Podemos comparar esta expressao com o produto notavel (a+b)2,

pois o coeficiente do termos em x e positivo. Assim:

(a+ b)2 = a2 +2ab +b2

x2 +6x

Comparando as expressoes acima temos que a = x e 2ab = 8x. Portanto, temos

que 2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16. Desta forma, o produto notavel completo

seria:

(x+ 4)2 = x2 + 8x+ 16

Mas, temos que:

x2 + 8x = x2 + 8x+ 16− 16 = (x+ 4)2 − 16

Ou seja, realizando a operacao de completar quadrados temos:

x2 + 8x = (x+ 4)2 − 16

b) x2 − x+ 3

Resolucao: Para completar quadrado nesta expressao vamos, primeiro, des-

considerar a constante e completar quadrado da expressao x2 − x.

A expressao x2 − x pode ser comparada com (a − b)2, pois o coeficiente do

termo em x e negativo. Assim:

(a− b)2 = a2 −2ab +b2

x2 −x

Comparando as expressoes acima vemos que a = x e que 2ab = x. desta forma,

temos que 2b = 1⇒ b =1

2⇒ b2 =

1

4.

Assim, temos que:

x2 − x =

(x+

1

2

)2

− 1

4

Substituindo este valor na expressao original temos:

x2 − x+ 3 = (x2 − x) + 3 =

(x+

1

2

)2

− 1

4+ 3

208

Page 215: MatematicaBasica VP

O que nos da, finalmente:

x2 − x+ 3 = (x2 − x) + 3 =

(x+

1

2

)2

− 11

4

I.3 Fatoracao

Fatorar um polinomio significa reescreve-lo como produto de outros polinomios.

Esta operacao pode ser efetuada dividindo-se por outro polinomio ou pondo um termo

em evidencia e/ou comparando com algum dos produtos notaveis.

Vamos demonstrar esta operacao no exemplo a seguir.

Exemplo: Fatore os polinomios a seguir.

a) P (x) = 2x+ 2

Resposta: Podemos fatorar este polinomio pondo o coeficiente a1 = a2 em

evidencia. Assim:

P (x) = 2x+ 2 = 2(x+ 1)

b) P (x) = x3 − x

Resposta: Podemos fatorar este polinomio pondo o x em evidencia e, depois,

comparando um dos polinomios do produto com os produtos notaveis. Assim:

P (x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x+ 1)(x− 1)

c) P (x) = x4 − 5x2

Resposta: Neste caso, temos que:

P (x) = x4 − 5x2 = x2(x2 − 5) = x2(x+√5)(x−

√5)

d) P (x) = x4 − 1

Resposta: Neste caso, temos que:

P (x) = x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)

e) P (x) = x3 + 8

Resposta: Neste caso, temos que:

P (x) = x3 + 8 = (x+ 2)(x2 + 2x+ 4)

f) P (x) = x6 − 27

Resposta: Neste caso, temos que:

P (x) = x6 − 27 = (x2 − 3)(x4 + 3x2 + 9)

P (x) = (x+√3)(x−

√3)(x4 + 3x2 + 9)

209

Page 216: MatematicaBasica VP

I.4 Exercıcios

1. Determine quais expressoes a seguir sao polinomios.

a) y = 3x6 + 5x4 − x3 + 9

b) y = x23 − 5x+ 3

c) y = (a+ 2)x4 − (a2 − 1)x2 −√2

d) y = (4x2 − 3)12

e) y = 3x−2 + 2x−1 − 1

f) y = π3

2. Determine o valor de r no polinomio P (x) = x3− rx2 +2, sabendo que x = 1 e raiz

desse polinomio.

3. Seja o polinomio P (x) = x4 − 3x2 − 5. Calcule P (−1)− 1

7P (3).

4. Determine m e n no polinomio P (x) = mx3− 2x2 + nx− 1, sabendo-se que 1 e raiz

do polinomio e que P (−2) = −21.

5. Determinar o polinomio P (x) = ax2 + bx+ c, sabendo-se que P (0) = 5, P (1) = 6 e

P (−2) = −9.

6. Determinar a, b e c de modo que os polinomios P (x) = 15x+3 e Q(x) = (a− b)x2+

(3a+ 2b)x+ (2a− c) sejam iguais.

7. Diga quais afirmacoes sao verdadeiras.

a) A soma de dois polinomios de grau 4 e sempre um polinomio de grau 4.

b) O produto de dois polinomios de graus 5 e 8, respectivamente, e um polinomio

de grau 13.

c) A diferenca de dois polinomios de grau 9 pode ser um polinomio de grau 5.

8. Dados os polinomios P (x) = 8x5− 5x4+7x3− 3x+4 e Q(x) = 4x2− 5, determinar:

a) (P +Q)(x)

b) (P −Q)(x)

c) (P ·Q)(x)

d)(−2) · P (x)

Q(x)

210

Page 217: MatematicaBasica VP

e)P (x)

x+ 2

9. Seja o polinomio P (x) = 2x2 − 3x+ 5, determinar os seguintes polinomios:

a) P (x+ 1)

b) P (1− x)

c) P (x2 − 2x)

d) P (x3)

10. Complete os quadrados das expressoes a seguir:

a) z = x2 + 3

b) z = 2x2 + 4

c) z = 3x2 + 3y2

d) z = x2 + x+ 9

e) z = 3x2 + y

f) 5z = x2 − 3x

g) z = x2 − 3x

h) z = x− 9x2

i) z = x4 − 2x2 + 2

j) z = x4 − 3x+1

11. Prove, por desenvolvimento das multiplicacoes, os produtos notaveis.

a) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

b) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

c) a2 − b2 = (a+ b) · (a− b)

d) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

e) (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

f) a3 + b3 = (a+ b) · (a2 − ab+ b2)

g) a3 − b3 = (a− b) · (a2 + ab+ b2)

h) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

i) (x− a) · (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

211

Page 218: MatematicaBasica VP

j) (x+ a) · (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab

k) (x+ a) · (x− b) = x2 + (a− b)x− ab

12. Resolva as expressoes a seguir.

a) z = (2x− y)3

b) z = (x+ 4y)2

c) z = (3x− 4) · (3x+ 5)

c) z = (3x− 4) · (3x+ 4)

13. Fatorar os seguintes polinomios:

a) y = 6x+ x2

b) y = x2 − 25

c) y = 16x4 − a4

d) y = x7 − 1

e) y = x6 + 2x4 + x2

f) y = x5 − 6x3 + 9x

14. Determine as raızes reais de cada uma das funcoes quadraticas dadas:

a) f(x) = x2 − 3x+ 2

b) f(x) = 3x2 − 7x+ 2

c) f(x) = −x2 − 3

2x+ 1

d) f(x) = x2 − 2x

e) f(x) = −3x2 + 6

f) f(x) = x2 + (1−√3)x−

√3

g) f(x) = x2 − 4√3 + 12

h) f(x) = (2− x)(2x− 5)

15. Determine os valores de m, com m ∈ IR, de modo que a a funcao f(x) seja uma

funcao de segundo grau.

a) f(x) = (m− 1)x2 + 2x− 3

b) f(x) = (m2 − 5m+ 4)x2 − 4x+ 5

212

Page 219: MatematicaBasica VP

16. Determine o valor de p para o qual a funcao quadratica f(x) = x2 + (3p + 2)x +

(p2 + p+ 2) tenha uma unica raiz.

17. As raızes da funcao f(x) = x2 − 2px + 8 sao positivas e uma e o dobro da outra.

Qual o valor de p?

18. Determine o parametro m de modo que a funcao f(x) = x2 +mx+ (m2 −m− 12),

de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva.

∗ ∗ ∗

213

Page 220: MatematicaBasica VP

Apendice J

Trabalhando com Numeros

Muitas vezes, ao escrever um numero decimal, quer seja um numero exato, uma dızima

perıodica ou um numero irracional, somos impelidos a escreve-lo com muitas casas deci-

mais. Isto pode acontecer:

i) se for um decimal exato por este ter muitas casas decimais;

ii) se for uma dızima pelo perıodo da dızima “demorar” a aparecer;

iii) pelo numero ser irracional (infinitas casas decimais que nao se repetem periodica-

mente).

Nestes casos podemos escrever estes numeros decimais de forma aproximada, sem que

estejamos abdicando de nenhuma informacao relevante a cerca do resultado procurado

em um exercıcio ou problema.

Tomemos como exemplo a fracao:

2

17= 0, 11764705882352941176470588235294 . . .

2

17= 0, 1176470588235294

Podemos escrever esta fracao, na forma decimal aproximada, como:

2

17∼= 0, 117647 ∼= 0, 11765 ∼= 0, 1176 ∼= 0, 118 ∼= 0, 12

A forma como vamos escreve-la e o numero de casas decimais que mantemos ao escreve-

la como numero decimal aproximado depende do numero de algarismos significativos que

estivermos interessados.

Ao escrever um numero de forma aproximada, estamos arredondando-o para um certo

numero de significativos.

214

Page 221: MatematicaBasica VP

Muitas vezes em Fısica, Quımica e engenharia, por exemplo, arredondamos um numero

devido a precisao de nossas medidas. Nestes casos, nao ha sentido em se trabalhar com

numeros com muitos significativos quando nossa precisao se restringe a alguns poucos.

Outras vezes arredondamos o numero so para nao levarmos um grande numero de alga-

rismos significativos em nossas notas

Agora, vamos aprender o que e algarismo significativo e a trabalhar com eles e as

regras para de arredondar numeros. Tambem vamos aprender a escrever numeros muito

grandes e muito pequenos de forma concisa usando a notacao cientıfica ou a notacao de

engenharia.

J.1 Algarismos significativos

Antes de aprendermos a arredondar numeros e a identificar para quantos algarismos

significativos devemos arredondar um numero, devemos aprender (ou relembrar) o que

e um algarismo significativo e a identificar em um numero a quantidade de algarismos

significativos que esse tem.

Algarismo significativo: e qualquer dıgito do numero, incluindo o zero se nao for

usado para posicionar a vırgula.

Exemplo: Quantos algarismos significativos tem cada numero abaixo?

a) 1, 2

Resposta: Tem 2 algarismos significativos.

b) 50, 0

Resposta: Tem 3 algarismos significativos.

c) 3, 05

Resposta: Tem 3 algarismos significativos.

d) 0, 0003

Resposta: Tem 1 algarismo significativo.

e) 0, 03456

Resposta: Tem 4 algarismos significativos.

f) 200

Resposta: Tem 3 (ou 2 ou 1) algarismos significativos. Nao podemos ter

certeza, so vendo o numero, se os zeros estao posicionando a vırgula ou nao.

215

Page 222: MatematicaBasica VP

Ou seja, para numeros escritos ao acaso, nem sempre e possıvel se determinar o numero

de significativos que o numero tem. Mas ja sabemos o que e um algarismo significativo

e tambem aprendemos a identificar, na maioria dos casos, o numero de algarismos signi-

ficativos que um numero tem.

Ao usarmos uma calculadora ou programa de computador para fazer uma conta, o

resultado pode aparecer com muitas casas decimais ou mesmo algarismos significativos.

Dependendo da conta feita, a calculadora ou computador esta mostrando apenas uma

pequena parte dos algarismos significativos desta resposta.

Quantos algarismos mantemos? Quantos devemos usar? Quantos algarismos signi-

ficativos deve ter a nossa resposta?

A resposta a estas perguntas e simples! Mas depende do tipo de calculo feito para se

chegar ao valor encontrado. Portanto, devemos levar em consideracao, ao determinarmos

o numeros de algarismos significativos do valor encontrado, se o calculo feito para achar

este valor foi:

1. Multiplicacao ou divisao: o numero de algarismos significativo do valor encon-

trado deve ser o mesmo numero de algarismos significativos do valor, dentre os

valores usados no calculo, que tinha menos algarismos significativos.

2. Soma ou subtracao: o numero de algarismos significativos depende da localizacao

da vırgula indicadora da casa decimal nos valores usados para o calculo.

Vamos ao seguintes exemplos para ilustrar estas simples regras.

Exemplos

1. Uma porta tem 2,2 m de altura e 82,1 cm de largura. Qual a area desta porta?

Resolucao: Queremos determinar a area da porta com o numero correto de alga-

rismos significativos. Os dados do problema sao:

h = 2, 2 m (2 algarismos significativos)

l = 82, 1 cm = 0, 821 m (3 algarismos significativos)

A area deve, portanto, ter 2 algarismos significativos.

Fazendo as contas:

A = l · h = 2, 2× 0, 821 = 1, 8062 m2 (5 significativos)

Assim, a resposta, com o numero correto de significativos, e:

A = 1, 8m2

216

Page 223: MatematicaBasica VP

2. Qual a area total de uma peca formada por duas figuras planas de areas iguais a

123,62 cm2 e 8,9 cm2?

Resolucao: A area total vale:

A = A1 + A2

Onde:

A1 = 123, 62 cm2(5 significativos, incerteza na 2a casa decimal)

A2 = 8, 9 cm2 (2 significativos, incerteza na 1a casa decimal)

A area resultante deve, portanto, ter uma casa decimal, nao importando o numero

de significativos.

Fazendo as contas:

A = (123, 62 + 8, 9) cm2 = 132, 52 cm2

A = 132, 5 cm2 (4 significativos, incerteza na 1a casa decimal)

J.2 Arredondamento de numeros

Nos exemplos da secao anterior, para conservar e/ou acertar o numero de algarismos

significativos arredondamos alguns numeros. Em diversas situacoes e ocasioes, ao traba-

lhar com numeros, vamos precisar arredonda-los para uma certa quantidade de algarismos

significativos. Mas, como fazer estes arredondamentos de maneira uniforme e de forma

que todos os profissionais, ao arredondar um numero qualquer para um mesmo numero

de algarismos significativos cheguem a mesma resposta?

Para evitar possıveis arredondamentos diferentes para um mesmo numero, ha algumas

regras importantes que utilizamos como convencao na hora de arredondar numeros. Estas

regras estao descritas abaixo e seguidas de exemplos para um melhor entendimento.

Se queremos arredondar um numero para n significativos (por exemplo, 3) e:

1. O (n+1)-esimo significativo e menor que 5, o dıgito n+1 e todos os seguintes serao

truncados:

Exemplos

1. 2, 36232 ∼= 2, 36 (3 significativos)

2. 0, 45619 ∼= 0, 456 (3 significativos)

217

Page 224: MatematicaBasica VP

2. O (n+1)-esimo dıgito e igual a 5 seguido de “zeros”, o arredondamento do n-esimo

dıgito sera para um numero par.

Exemplos

1. 2, 455 ∼= 2, 46 (3 significativos)

2. 0, 4565 ∼= 0, 456 (3 significativos)

3. O (n+1)-esimo dıgito e maior que 5 ou igual a 5 seguido de algum numero diferente

de “zero”, o n-esimo dıgito aumenta em uma unidade e os seguintes sao truncados.

Exemplos

1. 0, 72387 ∼= 0, 724 (3 significativos)

2. 562, 5003 ∼= 563 (3 significativos)

Vamos fazer mais alguns exemplos para testar o nosso entendimento do explicitado

ate o momento neste apendice.

Exemplos

1. Quantos algarismos significativos tem os seguintes numeros?

a) 15,0;

Resposta: Tem 3 algarismos significativos.

b) 0,12;

Resposta: Tem 2 algarismos significativos.

c) 0,0007;

Resposta: Tem 1 algarismo significativo.

d) 180.

Resposta: Nao se pode ter certeza. Pode ter 2 pou 3 algarismos significativos.

2. Realize as operacoes aritmeticas a seguir e expresse o resultado com o numero correto

de algarismos significativos.

a) A soma dos valores medidos em um experimento 756; 38,9; 0,81; 4,5.

Resolucao: Usando a regra para soma de numeros decimais estudada em

apendice anterior (ou mesmo uma calculadora) encontramos como resposta

para esta soma:

S = 756 + 38, 9 + 0, 81 = 795, 71

218

Page 225: MatematicaBasica VP

Mas, como os valores usados para obter a soma correspondem a medidas de um

experimento, devemos expressar nossa resposta final em termos da precisao da

medida que tem menor precisao. Por isto devemos expressao nossa resposta

final com zero casas decimais, ou seja, devemos arredondar nossa resposta para

um numero inteiro, nao importando o numero de algarismos significativos que

este valor tenha.

Usando a regra de arredondamento de numeros temos que:

S = 796

b) O produto de 5,31 por 3,14159.

Resolucao: O produto dos numeros acima vale:

P = 5, 31× 3, 14159 = 16, 6818429

Como este valor foi obtido a partir de uma multiplicacao, o resultado, devi-

damente arredondado, deve ser expresso com o mesmo numero de algarismos

significativos do numero que tem o menor numero de significativos dentre os

valores usados para fazer a multiplicacao, ou seja, 3 algarismos significativos.

Usando a regra de arredondamento de numeros temos que:

P = 16, 7

E muito importante frisarmos neste momento que, mesmo que expressemos nossas res-

postas em termos de numeros arredondados e com uma quantidade limitada de algarismos

significativos, ao precisarmos usar estes valores para novos calculos devemos usar, para

fazer estes calculos, o valor com o maior numero possıvel de algarismos significativos.

Vamos a um novo exemplo para ilustrar este fato.

Exemplo: Os valores medidos em um experimento 750; 538,3; 120,57; 38,9.

Sabendo que neste experimento estava sendo medida, em metros, a distancia per-

corrida por um movel que se movia em linha reta e sempre no memo sentido e que

o tempo total do movimento foi de 200 segundos, determine:

a) a distancia total percorrida por este movel;

Resolucao: A distancia total percorrida e a soma das distancias percorridas.

Assim:

∆s = 750 + 538, 3 + 120, 57 + 38, 9 = 1447, 77 m ∼= 1450 m

b) A velocidade media do movel ao final de seu movimento.

Resolucao: A velocidade media e a razao entre a distancia percorrida e o

tempo total do movimento, assim:

219

Page 226: MatematicaBasica VP

vm =∆s

∆t

Embora a distancia percorrida, com seu valor devidamente arredondado, seja

∆s = 1450 m, para calcular a velocidade media devemos usar como valor para

a distancia o valor calculado sem arredondamento, ou seja, ∆s = 1447, 77 m.

Assim:

vm =∆s

∆t=

1447, 77

200= 7, 23885 m/s ∼= 7, 24 m/s

Se tivessemos usado o valor arredondado de ∆s para fazer a conta encon-

trarıamos como resposta para a velocidade media o valor vm = 7, 25 m/s.

Neste caso, a diferenca entre o valor encontrado pelo procedimento correto e o

valor encontrado pelo procedimento errado diferem muito pouco, mas ha casos

em que a discrepancia entre os valores encontrados por diferentes procedimen-

tos e bastante significativa.

J.3 Notacao cientıfica e notacao de engenharia

Ao trabalharmos com numeros muito grandes ou muito pequenos e conveniente e im-

portante representarmos estes numeros usando potencias de 10.

A principal representacao de numeros em termos de potencias de 10 e chamada de

notacao cientıfica.

Ao usarmos a notacao cientıfica representamos um numero qualquer em termos de um

numero entre 1 e 10 (1 ≤ x < 10) multiplicado por uma potencia de 10.

Vejamos alguns exemplos de numeros muito grandes ou muito pequenos escritos em

notacao cientıfica:

Exemplo: Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica.

a) 1000 = 10 · 10 · 10 = 103

b) 5000 = 5 · 10 · 10 · 10 = 5 · 103

c) 325000000 = 3, 25 · 108

d) 0, 1 = 1/10 = 10−1

e) 0, 001 = 1/1000 = 1/(10 · 10 · 10) = 1 · 10−3 = 10−3

f) 0, 0000000036 = 3, 6 · 10−9

220

Page 227: MatematicaBasica VP

Importante: Na notacao cientıfica temos sempre um numero entre 1 e 10 multiplicado

por uma potencia de 10. Quando o numero e exatamente 1 e nao precisarmos escrever

com dois ou mais significativos (como 1,0 ou 1,00, por exemplo) podemos omiti-lo.

Por exemplo, ao arredondarmos o numero 360000 devemos escrever x = 360000 =

3, 6 · 105. E NAO x = 36 · 104 ou 0, 36x106. Ao escrever o numero 10000 em notacao

cientıfica, com um unico significativo, podemos escrever apenas 104.

Ja ao usarmos a notacao de engenharia para representar um numero temos sempre

um numero entre 1 e 1000 multiplicado por uma potencia de 10 com expoente que e

multiplo de 3.

Vejamos alguns exemplos de numeros representados em termos da notacao de engen-

haria.

Exemplo: Escreva os numeros a seguir em notacao de engenharia.

a) 360000 = 360 · 103

b) 0, 000012 = 12 · 10−6

b) 5000 = 5 · 103

J.4 Exercıcios

1. Quantos algarismos significativos tem cada numero abaixo?

a) 1, 32

b) 5, 0

c) 3, 05

d) 0, 0003

e) 0, 03456

f) 200

g) 3, 2× 10−5

h) 540× 109

i) 0, 0102

2. Uma janela tem 1,6 m de largura e 93,2 cm de altura. Determine a area desta janela

com o numero correto de algarismos significativos.

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Page 228: MatematicaBasica VP

3. Qual a area total de uma peca formada por duas figuras planas de areas iguais a

123,62 cm2 e 8,9 cm2?

4. Determine, com o numero correto de algarismos significativos, a velocidade media

de atleta que corre 42,6 km em 2,1 horas.

5. Escreva os numeros a seguir em notacao cientıfica e de engenharia:

a) 35.000.000.000.000;

b) 8510;

c) 457;

d) 0,1;

e) 0,000065;

f) 0,00000000072.

g) 12400000000;

h) 15600;

i) 100;

j) 0,32;

k) 0,0000045;

l) 0,000000123;

m) 1,2.

6. A massa da Terra e aproximadamente igual a 5.970.000.000.000.000.000.000

toneladas. Escreva este numero em termos de notacao cientıfica e de engenharia.

7. Um ano-luz tem, aproximadamente, 1, 5 · 108 km. Escreva este numero em notacao

de engenharia.

∗ ∗ ∗

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