M|NISTERUL EDUcATtEt $l CERGETARI

Prof. univ. dr. Constairtin Nistisescu Prof. univ. dr. Constantin NiFMembru coresp. al Academiei Romtne

Prof. univ. dr. Ion Chifescu Prof. gr.I. Dan Mihalca

Prof. univ. dr. Monica Dumitrescu

lilatentatlka

TiirzsaltyilU gs

ililleroltcif,ll lanleruTanktinyu a X.oszlflly szimita

(@EDrruRA o,ro"r,a[ PEDAGo.TA, R.A.

BUCURE$T!,2005

Tartalorn

1. fejezetFiiggvdnyek ...........3

l.Injektiv, szfiektiv, bijektiv fiiggv6nyek .............32. Invertrilhat6 fiiggvdnyek. Egy fiiggv6ny inverze ...................8

2.fejwtHatvfnyolq gyOkmennyisfuetc llatvrf,nyfiiggv6ny 6s gy6kfiiggv6ny............16

1. Hatv6nyok. Hatvrinyftiggvdny....... ....................162. Gydkmennyis6gek. Gy6kftiggv6ny ...................253. Racion6lis kitev6jfi hatvrflnyok.. .....37

i. feiezetExponenciiilis ftggy6ny 6s logaritmusf[ggv6ny

l. Az exponencirilis frggv6ny ............462. Logarinnusok.............. ...................553. Exponenci6lis 6s logarihikus egyenletek 6s egyenl6tlensdgek .............62

4,fejaetfigonometrikus ffiggv6nye1c................ ......................69

1. Ism6tl6s 6s kiegeszitesek.............. .....................692. A trigonometrikus ffiggv6nyek v6ltoz6sdnak tanulm6nyozdsa 6s

grdfikus 6br6zol6sa.. .......................733.lnverz frigonometrikus ftiggv6nyek ..................814. Trigonometri*us egyenletek.. ..........90

S.feiqet(6mplex sz{mok

l. A komplex sz{mok halmaza ....... 1052. A komplex szimok algebrai alakja ................ 1093. A complex szrimokmdrtani itbrivnlfusa ..........1124. A val6s egy0tthat6jf m6sodfoloi egyenletek megoldiisa ......1145. Komplex szimfrigonomefrikus alakja .............1186. A trigonometrikus alakban irt komplex szimok s2or2iisa................. ......L217. Komplex szitmn-ed*gyiike......... ..................L248. Binom egyenletek. Bikvadratikus egyenletek ....................1269. A complex sz{mokm6rtani alkalmaz6sai .......128

32t

6. fejezetKombinatorika

1. A matematikai indukci6 ................ .................133

2. Rendezett v6ges ha1ma2ok............. ................. 138

3. Permutici6k.............. ...................' 139

4. Variici6k ...................141

5. Kombin6ci6k.............. .................. 143

6. Newtonbinomi6lis tdte1e.......... ....151

7. fejezetA Descartes f6le koordin6t6k m6dszere (Analitikus geometria)................. 162

1. Descartes-fdle koordiniltilkazegyenesen.. ..""1622. Descartes-f6le koordinht{k asikban......... ....... 168

3. Vektorok 6s koordin6t6k a Descarte-f6le sikban..... ...........173

8. fejezetAz egyenes analitikus Sbriaolfusa a sikban .........'..' 184

t. a, "gy"res

5ltal6nos (Descartes-f6le) egyenlete '.......-.....-.""""""""" 185

2. Az egyenes egyenlet6nek saj6tos alakjai........ ..'-""""""""1943. Adott pontoon 6trnen6 6s adott fuanyu egyenes egyenlete.... ......"""""""2044.Kdtegyenes kdlcs<inds helyzete a sikban...... ""210

9. fejezettivohagot a Descartes-f6le sikban """221

1. K6t vektor skal6ris szorzatbnakanalitikus kifejezdse """"221z.Ketpont t5vo1s5ga............... .""""2233. Kdt egyenes mer6legessdg6nek felt6tele ........225

4. Pont t6volsfga egyenest6l.. ...........228

5. M6rtanfeladatokinegold6sa analitikus m6dszenel ............ -....... " " " " " 232

10. fejezaGazdasigi matematika, val6sziniis6gszfmitis, statisztika. """252

l.InformSci6 6s bizonytalans6g....... ."""""""""2522. Gazdasigi matematikai fogalmak """""""""'2533. Leir6 statisztika... """2664. A val6szinrisdgsz6mitas elemei ""2745. A matematikai statisztika elemei.'....... """"""'291

Ellendrzf tesdek....Vdlaszok is rttm utatdsok

296302

322

1. Fiiggv6nyek1. Injektiv, sziirj ektiv, bijektiv fitggvGnyek

1.1. A IX. osztflyban drtetneaiik a fiiggveny fogalm6t, 6s kiemeltiik n6hdnyje11emz6j6t. Most itism6teliink ndh6nyat ezek kOziil, majd tj fogalmakat veze-tiink be 6s tanulmanyozntk ezeket.

Atiiggdny drtelmezdseLegyen A 6s B kethalnaz. Az Ahalmaz.on drtetnezeff, drtdkeit a B fulmazban

felvev6/eljdr6son (tijrv6nyen, megfeleltetdsw)fiiggyityt drtiinlq haazAhullmazminden elemdnek megfelel egy 6s csakis ery elem a B balmazb6l, amelyetfla)-valjeldliink.

Egy fiiggvdny 6rtelmez6s6hez hdrom feltitel sziiks6ges:

- egy A halmaz, amelyen firtelmezziik a ftiggv6nyt, 6s amelyet a fiiggvinyirt e lm ez es i t art om dny dnak nev eziink;

- egy B lrulfiaz, amelyben a fiiggvdny felveszi 6rt6keit, 6s amelyet afi gg iny kip h almaz dnat neveztink;

- egy f eljilrils (tdrv6ny, megfeleltet6s).Egy A halmazon $rklmezett" ert6keit a B halmazban felvevd fiiggv6nyt a

k6vetkezdkdppen j eldlhetiink:f

f:A+BvagyA -+ B.

Egy olyan f : A -+.8 fiiggvdnyt, amelynek A firtelmez6si tartom6nya 6s .Bdrtdkk6szlet e az R r$szhalmazai, szdmfi)ggvinynefr nevezilnk.

Afiiggvdny grafthonjaI-egyenf : A --+ B ery ftiggv6ny. A fiiggv6ny grafikonjdn az A xB Descartes-

szorzatnak azt a G1ftszhalmazdt 6rtjiik, amelyet az tisszes (a, flo)) aeA pfirokkepeznek. Teh6t G1: {(a, fla)) | a e A).

Legyen f : A --+ B egy sz6mfiiggveny 6s G7 a grafikonja. Legyen xq egyderdlrszogii koordini{ta-re,ndszer. A sik dsszes olyan r 6s y koordinritrijf pontjainakhal azbt, arrelyekre (x, y) a Qhalmaz eleme, uffisgveny grafilanja geometriaidbrdzoldsdnak nevezztik. Az egyszenls6g kedv66rt ezl az {hr[zolilst Ltov6bbiakban u{"fuSgviny grafilanj dnak vagy grafilrus kipinek nev emitk.

A figgv dny eh 6s s zetev ds eI*gaf : A + B 6s g : B + Ckdt fiiggvCny. Megillapithatjuk, hory ag fiiggvdny

ertelmezqsi tartomdnya megeryuik azf fugglrfuy kephalmazflval. A go/fiiggvetryt,abolg " f : A + C6s (S"INa):g(fra)) bdnnely a e Aewt*r\Mf& agfiiggvenydsvetettfrigvqtyenekvagy lonpozicinjdmakneveruii?u 6s igy olvassuk ki: ,g dssze-

tevef-fe?'.A fiiggvenyek dsszetev6sdnek fontos tulajdons6ga a kdvetkez6:

A figgvinyek dsszetevdse asszociativ, azaz ha f ; A - B, g : B + C 6s

h: C + D, akkor igazak6vetkez6 egyenl6s6g:(h. dof= fto (g"fl.

Pdros ds pdratlan tfrggvdnyekEgy A c IR halmazt az ongiranflz're szimmetrilannakneveztit*, ha brimtely

xeA esetpn-x e A.

Legyen A c IR egy, az origfira nflzrre szimmetrilars halmaz, 6s f : A -+ ts egy

fiiggv6ny.

Azf fi tggvirrytpdrosnaknevezztrk,habirmelyxeAeset6n{-x)=flx).Az/fiiggv6nyt pdratlannaknevezztilg ha brlrmelyx e A esetenft-x): -flx).A el6zo 6vi tanulm6nyainkb6l tudjuk, hogy egy p6ros ftiggv6ny grafikonja

szimmetrikus M q tengelyre nflrve,6s egy paratlan fiiggv6ny grafftonja szim-metrikus az oigfira nflrve.

M onoton szdmlfiggvdnyek

I*gyenf : A--+B egy szimfiiggvdny , 6s I c. A egy nem iire s rdszhalmaza A-nak.

Azt mondjuk, hory az f ndvelad az I halmuon, ha b6rmely olyan x; x2 e Iesetdn, amelyre x1 < 12, kdvetkenk, hoW flx) < flx).

Azt mondjuk, bogy az f csdklcenf az I halmuon, ha b6mrely olyan x; xz e Ieset6n, amelyrexl<xz, ktivetkezilq hogyfl.r1) > fuz).

Azt mondjuk, hogy az f ftiggvfiny ndvelad (illetvecsdklrend) u I halmruon, ha b6rmely olyan x; xz e I eset6n, amelyre xt l x2,

k6vetkezils ho W flx r) <.flxr) (i11etvefl.r1) > flx )).EW I halmazon n6vekv6 vagy csdkken6 (illetve szigoruan n6vekv6 vagy

szigonran csdkke,n6) f : A + B ffiggv6nyt monotonnak (illetve szigonianmonotonnak) neveziiink az I halmazon.

Ha I : r4, akftor az f : A --r B ftiggv6nyt egyszerfien monotonnak (illetve

mono t onnak) nevezziik.

Periodikus figgvdnyekI*gyenA c IR egy val6s szrlmhalmaz.Egyf : I -+ IR fiiggvdnyt 7+ 0 peri6-

dasiperiodilcusfiggvAnynek nevezihk, habrlrmely x e A eset6n x + T e A,6s

flx + T):.flx).Ha l6tezik egy legkisebb pozitiv ?t peri6dus, akkor ezt azf ftiggvflny alap-

perihdusdnaknevezziik.EW T > 0 alapperi6dusri fiiggv6nyt el6gs6ges eW T hosszusdgfr interval-

lumon tanulmrinyozni.

I A fenti fogatnak megkOnnltik a tov6bbiakban bemutatott frggveny-tlpusok tanulmf nyoz6s6t

4

1.2. Ismerkedjiink meg ndhiny rij fogalommal 6s tulajdons6ggal, mert ezekre

sziiks6giink lesz a tov6bbiakban.

I frtetmez6s. Legyen f : A -+ B eW fiiggv6ny. Azt mondjuk,hogy azffiiggv6ny injeh{v, hab6rmely ketx, y e A,x*y esenlnflx)*fly).

Azt, hogy azf fiiggv&y injektiv, igy is kifejezhetjtik ha r 6s y M A halmaz

kdt, tetsz6leges eleme olyan, hogyfl.r) :fly), akkorx:y.Azfirtelmezflsb6l kdvetkezik, hogy azf : A + B fiiggv6ny nem injektiv,haaz

Ahalmazban l6tezik legal6bb kdtx 6sy, x+y elem, amelyreflx) :^y).

1. Az 1.6bnin l6that6 diagramhoz taxtozbf : A -+ B fiiggveny injektiv.

2. A S: IN + IN, a g(x) : x' k6plettel drtelmezett fiiggv6ny injektlv.

Val6ban, feltdtelezztik, hogy g(x) : g(y), ahol x, / e IN. Akkor * : f ,

ahonnan (x-y)(x +y):0.Ebb6l az egyenl6sCgb6l kdvetkezik, hogy x - y:0 vagy x + y:0. Az els6b6l

kapjuk, hogy x : y. Ha x * ! : 0, akkor x : y : 0, mivel x 6s y term6szetes

sz6mok. TehSt a g(x) : g(y) egyenl6s6gb6l k6vetkezik, hogy x : y, azaz a gffiggv6ny injektiv.

1. 6bra 2. frbra

3. Ah: Z -+ IN, h(x):f fiiggv6ny nem injektiv, mert ft(- 2): h(2)= 4.

4. A 2. 6tnim liihatf diagramhoz tartoz6 k : A -+,8 fliggv6ny nem injektiv,mert ft(l) : ft(!): c.

I frtetme4s. Mf : A -> B fiiggvdnyt sziirieWtwek (szuperiektiwtek) nevez-

ziik, ha bdrmely D e B esetdn l6tezik legal6bb egy olyan d e A, amelyrefla): b.

I2

3

4

5

ab

c

d

e

Kdvetkezik, hogy azf : A + B fiiggv6ny nem sziirjektiv, ha l6tezik legal6bb

egy olyan b e B, amelyre b6rmilyen.x e A esednflx)* b.

Adott/: A -+ B fiiggv6ny esetdn jeldljiikft)-val vagy h4ffel a B-nek aEY, L

kdvetkezdkeppen drtelmez ett ftszJlralmazifi:

flA): tflr)l* e A): {y e B I E)r e A, anelyrey:flx)}.

^A)-t az f ftiggv1ny drtdftkdszletdnek nevezziil<. Az flA) 6rtelmez6s6b61

kdvetkezik, hogy/akkor 6s csak akkor szfiekt|v,haflA): B.

1. Azf : IR + IIl,/(x) : ac (a * 0) fiiggveNry

szfiektiv. Val6ban, legyen.y € IR. Akkor

.: *e rR,6s t(*)= o*= y. A=

2. A 3. 6bn[n l6that6 diagramnak megfe-lel6 g : A + B fiiggv6ny sztirjektiv.

S(1) : a, gQ): g(3) : b, g(4): c, g(5): a. 3. {bra

A

3. L h: lR + IR, ft(r) : I kdplettel 6rtelmezett fiiggv6ny nem sz'tirjektiv.

Val6ban, b6rmely xelR esetdn h(x): * * -1. Teh6t a -l nem kdpe az 6rtelmez6si

tartomr{ny egyetlen elem6nek sem.

4. A 4.6bnin l6that6 diagrammal 6rtelmezett k : A -+.8 ftiggveny nem sztir-

jektiv, mert a 2 e B nem k6pe az Ahalmaz egyetlen elem6nek sem.

/"\b-c-d-

/\

k 4,\2

-3r-/4.6bra-

f (l): b,f Q): c,f (3): a,f (4): d.

2.\*gyenA: {x e IRlr> 0}. Ertetmezz*ag:A-+A,g(x):y'fiiggvdnyt' Ag fiiggveny biiektiv. Ehhez ki kell mutafinmh hory injektiv is 6s sziirjektiv is.

6

ff.t"t-":9t. .Egy olymf : A -+ B fiiggvdnyt, amely egyid6ben injettiv is 6s

WWltsffieAivfi ggdnyne&neveztink.

@1:Az 5 .6br6n 16that6 diagrarnnak me gfelell f : A -> B fiiggveny bijektiv:

/,]2

3..-...-...-

VIa

b

c

d

5.6bra

A g fiiggv6ny injektiv. Legyen x,/ e A ttgy,hogy g(r) : g{y). Ekkor i: f ,ahonnan (x - y)(x + y) : 0, azaz x - ! : 0 vagy x*y = 0. Ha x - ! : 0, akkor x : y;hax + y:0, akkorx : -y, 6s mivelx, y pozitiv val6s sz6mok, x: !:0. Teh6t a

g(r) : g(y) egyenl6sdgb6l minden esetben kOvetkezik, hogy x: y.

A g fiiggveny sziirjektiv. Legyen y e A. Mivel y>O,l6tezrktly,6s mivel

Ji aO, J y . A.Konnyen be l6that6,hogy g( ..F ) = ( Ji f : y, tehirt s sziirjektiv.

3. Az f : IR -+ IR,/(x) : ax * b fi,tggvdty, ahol a,D e IR 6s a +0 bijektiv. Ha

flx) : J@), alftor @q * b : mz * D, amibdl kdvetkezik, hogy aq: cta2.Mivel

a * 0, akkor xt: xz, teh6t/iqiektlv.

Igazoljuk, hogy/sziiq-ektiv is. Legyeny e IR. Ekkor M x: !-b val6s szim

l6tezik,6s/(x): igazolja, hogy / szurj ektiv is.

13. Egr sz6mfiiggv6nyinjektivitis{nakds sziirjektivitSs6nak m6rtani jelentdse

Adottak azA,B clRnemtireshalmazokflsazf :A-+ B fiiggv6ny.Az 6rtelmez6s alapjrin, ha/injektiv, akkor brirmely xy x2 e A, x1* x2 eseten

igaz azf (x) *"f (xr) rel6ci6, Maz a fiiggv6ny grafikonj6n birmilyen k6t kiil0nbtiz6abszcisszijri pontnak ktildnbdz6ek az ordtnittii. Ez azt jelenti, hogy ha egy Ox ten'gellyel parhuzamos egyenes metszi a fiiggvdny grafikonj6t, alckor csak egy pont-ban metszi. M6s sz6val, ha/injektiv, akkor birmely, az Ox tsngellyel prlrhuzamos

egyenes a fiiggvdny grafikonjit legfeljebb egy pontban metszi (6. 6bra).

Ha ldtezik olyan, az Ox tengellyel p6rhuzamos egyenes, amely azf ftiggvfinygrafikonj6t k6t vagy ttibb pontban metszi, akkor azf nem injektiv (7. 6bra).

Kdvetkezdsk6ppen azffrsgviny akkor ds csak akkor iniehiv, ha bdrmely, azOx tengellyel pdrhuzamos eglenes a Jilggveny graJikonidt legfeliebb egtpontban metszi.

Az 6rtelmez6s alapjrin, ha/szErjektiv, akkor b6rmilyen b e B eset6n l6tezik(legal6bb eW) a e A tryy,hogy f (a): b, azuz brirmely, az Ox tengellyel p6rhu-,amos, (0, b), b e B koordin6tSjri ponton 6trren6 egyenes metszi a fiiggv6ny

4', 4*u-v,dtr'\i

6.6bra 7.{brz