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Maquette de couverture : GraphirMaquette intérieure : Frédéric JélyMise en page : CMB GraphicDessins techniques : Gilles Poing

© Hachette Livre 2008, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15.ISBN : 978-2-01-125581-5

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NOMBRES ET CALCULS

ORGANISATION ET GESTION DES DONNÉES, FONCTIONS

GÉOMÉTRIE

GRANDEURS ET MESURES

> SommaireSommaire

1 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Équations et équations produit nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Inéquations – Systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8 Proportionnalité et fonction linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12 Le théorème de Thalès et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

13 Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14 Angles inscrits – polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

15 Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

16 Aires et volumes – Grandeurs composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit.

Chapitre

1

1 SC Calculer, puis simplifier si possible le résultat.

a A = 34

+ 5

12b B =

815

– 65

c C = 32

– 23

d D = –57

+ 54

A = ....................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

A = ....................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

A = ....................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

A = ....................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

2 SC Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple.

a A = 98

× 4

21b B =

2524

× – 1845

c C = 1528

: 3

14d D = 39 :(– 13

3 )A = ...................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

A = ...................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

A = ...................................... B = ...................................... C = ...................................... D = ......................................

3 SC Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple.

a A = 25

– 25

× 34

b B = ( 13

+

12 ) × ( 1

5 – 1) c C = 5 : ( 3

2 +

27 )

A = ...................................................... B = ...................................................... C = ......................................................

A = ...................................................... B = ...................................................... C = ......................................................

A = ...................................................... B = ...................................................... C = ......................................................

A = ...................................................... B = ...................................................... C = ......................................................

a, b, c et d désignent quatre nombres relatifs ;

■ avec c ≠ 0, ■ avec b ≠ 0 et d ≠ 0, ■ avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0,

ac

+ bc

= ......................

et ac

– bc

= ......................

ab

× cd

= ......................

ab

: cd

= ..........

× ..........

J E R E V O I S L E C O U R S . . . É C R I T U R E S F R A C T I O N N A I R E S

5 Chapitre 1 – Calcul numérique

SC Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

a + b a – b a × c a d c c b × d b c

9

12 +

5

12

8

15 –

18

15

9

6 +

4

6

– 20

28 +

35

28

14

12 –

10

15

5

6

15

28

2 × 7

2 × 6 –

2 × 5

3 × 5

7

6 –

2

3

3 × 3 × 44 × 2 × 3 × 7

– 5 × 5 × 2 × 9

3 × 2 × 4 × 5 × 9

15

28 ×

14

3 39 × q

r–

313

it

3

14 –

5

12

3 × 5 × 14

14 × 2 × 3 –

13 × 3 × 313

5

2 – 9

2

5 –

2 × 3

5 × 2 × 2 (26

+

36 ) × ( 1

5 –

55 ) 5 : ( 21

14 +

414 )

2

5 –

3

10

5

6 ×

– 4

5 5 :

25

14

4

10 –

3

10 –

5 × 2 × 22 × 3 × 5

5 × 14

25

1

10 –

2

3

14

5


a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul.

■ an désigne le ................................. de ................................... égaux à .......... :

an = a × ... × a ; a1 = .............. ; pour a � 0, a0 = ....... .

..... facteurs

■ Pour a � 0, a–n désigne ................................. de an, donc a–n = ....... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . P U I S S A N C E S D ’ U N N O M B R E R E L A T I F

6

4 SC Calculer.

a 35 = ..... × ..... × ..... × ..... × ..... = .......... b (– 4)3 = ........ × ........ × ........ = ..........

c 26 = ........................................................................... d (– 1)4 = ........................................................

e ( 15 )

2 = ...................................................................... f (–

32 )

3

= ................................................................

5 SC Calculer.

a 3–2 = 1

3.... =

1......×......

= 1

.....b (– 4)–3 =

1(– 4)....

= ........................................................

c 2–4 = ............................................................................ d (– 1)– 5 = ......................................................................

e ( 15 )

– 1

= ...................................................................... f (–

32 )

– 2

= ...................................................................

6 SC Calculer chaque expression.

a A = (7 + 3)3 b B = 7 + 33 c C = 5 × 2– 4 d D = (5 × 2)– 4

A = ........................ B = ........................ C = ........................ D = ........................

A = ........................ B = ........................ C = ........................ D = ........................

7 SC Calculer chaque expression.

a A = (6 – 2)2 b B = 6 – 22 c C = (20 : 4)–2 d D = 20 : 4–2

A = ........................ B = ........................ C = ........................ D = ........................

A = ........................ B = ........................ C = ........................ D = ........................

8 Donner l’écriture scientifique de chaque nombre.

a 35 000 000 = 3,5 × 10.... b 0,000 006 2 = 6,2 × 10.... c – 154 000 = ........................

d –0,001 248 = ..................................... e 400 000 = ..................................... f 0,02 = .....................................

SC Définition des puissances.

r w q

produit n facteurs a

a 1

n

l’inverse 1

an

3 3 3 3 3 243 (– 4) (– 4) (– 4) – 64

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 (– 1) × (– 1) × (– 1) × (– 1) = 1

1

5 ×

1

5 =

1

25 (–

32 ) × (–

32 ) × (–

32 ) = –

27

8

2 3 3 9 3 –

164

124

= 1

16

1(– 1)5

= 1

– 1 = –1

1

( 15 )

1 =

115

= 1 × 51

= 5 1

(– 32 )

2 =

194

= 1 × 49

= 49

103 7 + 27 5 × 116

10– 4

1 000 34 5

16 0,0001

42 6 – 4 5–2 20 : 1

16

16 2 125

320

7 – 6 – 1,54 × 105

– 1,248 × 10– 3 4 × 105 2 × 10–2


9 SC Écrire chaque produit sous la forme an.

a 24 × 23 = 2......... + ......... = 2......... b 36 × 37 = 3......... c 75 × 7 = .....

d 114 × 11– 2 = .............................. e 135 × 13– 8 = .............................. f 5– 3 × 5– 2 = ..............................

10 SC Écrire chaque quotient sous la forme an.

a 28

25 = 2......... – ......... = 2......... b

36

39 = 3......... c 7

7–2 = ....

d 11– 2

113 = ............................ e

134

13– 1 = ............................ f

5– 4

5– 2 = ............................

11 SC Écrire chaque puissance sous la forme an.

a (23)4 = 2......... × ......... = 2......... b (34)2 = 3......... c (7–3)5 = ........

d (118)– 3 = ................ e (13–4)–4 = ................ f (5–1)15 = ................

12 SC Pour chaque expression, déterminer une écriture sans parenthèses.

a (3x)2 = 3......... × x......... = ........... b (2y)5 = ......... c (–4z)3= .........

d ( x3 )

4

= x ........

3 ........ = ................. e ( y

4 )3

= ................. f ( 1z )

5

= .................

13 SC Écrire chaque expression sous la forme an.

a 52 × 32 = (5 × 3)......... = 15......... b (–7)4 × 64 = ............. c (–2)5 × (–3)5 = .............

d 32 × x2 = ........... e 54 × y4 = ........... f 49z2 = ...........

14 SC Écrire chaque expression sous la forme a2.

a 2536

= 52

62 = (............)

2b

12116

= ............ c x2

9 = .............

d 25x² = ............ e 81y2 = ............ f 4z2

9 = ............

a et b désignent deux nombres relatifs non nuls. n et p désignent deux nombres entiers relatifs.

■ an × ap = a........ ■ an

ap = a........ ■ (an)p = a......... ■ (ab)n = a..... b..... ■ ( a

b )n

= a....

b....

J E R E V O I S L E C O U R S . . . C A L C U L E R A V E C D E S P U I S S A N C E S

7 Chapitre 1 – Calcul numérique

SC Utilisation des règles de calcul sur les puissances.

n + p n – p n × p n n n

n

4 3 7 13 76

112 13–3 5–5

8 5 3 –3 73

11–5 135 5–2

3 4 12 8 7–15

11– 24 1316 5–15

2 2 9x2 32y5 – 64z3

4

4

x4

81

y3

64

1

z5

2 2 (–42)4 65

(3x)2 (5y)4 (7z)2

56 ( 11

4 )2

( x3 )

2

(5x)2 (9y)2 ( 2z3 )

2

Chapitre

#J E R E V O I S L E C O U R S . . . T I T R E

8© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.

La photocopie non autorisée est un délit.

CChC apitreeChapitre

2

■ Développer revient à transformer .................................................. en .................................................. .

■ k, a, b, c et d désignent des nombres relatifs,

k(a + b) = ......................... (a + b)(c + d) = .................................................

■ a + (b + c – d) = ................................................. a – (b + c – d) = .................................................

1 Développer, puis réduire les expressions.

a A = 4(x + 3) – 2(8x – 1) b B = (5x + 7)(3 – x)

A = .................................................................................. B = ........................................................................................

A = .................................................................................. B = ........................................................................................

A = .................................................................................. B = ........................................................................................

c C = (2x + 3)(x – 5) – (4x – 1)(x – 9)

C = .................................................................................. – [4x × x .........................................................................................]

C = .................................................................................. – [4x² ..............................................................................................]

C = .................................................................................. – 4x² ................................................................................................

C = .............................................................................................................................................................................................

d D = – 5(x – 7) + (4x – 2)(7 – 3x)

D = ............................................................................................................................................................................................

D = ............................................................................................................................................................................................

D = ............................................................................................................................................................................................

D = ............................................................................................................................................................................................

e E = (x + 3)(x – 5) – (–1 + x)(x – 9)

E = ............................................................................................................................................................................................

E = ............................................................................................................................................................................................

E = ............................................................................................................................................................................................

E = ............................................................................................................................................................................................

f F = (5x – 1)(5x – 2) – (–7 + 2x)(–4 + 3x)

F = ............................................................................................................................................................................................

F = ............................................................................................................................................................................................

F = ............................................................................................................................................................................................

F = ............................................................................................................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É V E L O P P E R U N E E X P R E S S I O N

E N U T I L I S A N T L A D I S T R I B U T I V I T É

un produit une somme algébrique

ka + kb ac + ad + bc + bd

a + b + c – d a – b – c + d

4 × x + 4 × 3 + (– 2) × 8x + (–2) × (–1) 5x × 3 + 5x × (–x) + 7 × 3 + 7 × (–x)

4x + 12 – 16x + 2 15x – 5x² + 21 – 7x

– 12x + 14 – 5x² + 8x + 21

2x × x + 2x × (–5) + 3 × x + 3 × (–5) + 4x × (–9) + (–1) × x + (–1) × (–9)

2x² – 10x + 3x – 15 – 36x – x + 9

2x² – 7x– 15 + 36x + x – 9

–2x² + 30x – 24

–5 × x + (–5) × (–7) + [4x × 7 + [4x × (–3x) + (–2) × 7 + (–2) × (–3x)]

–5x + 35 + [28x –12x² – 14 + 6x]

–5x + 35 + 28x – 12x² – 14 + 6x

–12x² + 29x + 21

x × x + x (–5) + 3 × x + 3(–5) – [(–1) × x + (–1) × (–9) + x × x + x × (–9)]

x² – 5x + 3x –15 – [–x + 9 + x2 – 9x]

x² – 5x + 3x –15 + x – 9 – x2 + 9x

8x – 24

5x × 5x + 5x (–2) + (–1)5x + (–1)(–2) – [(–7)(–4) + (–7)3x + 2x (–4) + 2x × 3x]

25x² – 10x – 5x + 2 – [28 – 21x – 8x + 6x²]

25x² – 10x – 5x + 2 – 28 + 21x + 8x – 6x²

19x² + 14x – 26


J E R E V O I S L E C O U R S . . . T I T R E

9 Chapitre 2 – Calcul littéral

■ Factoriser revient à transformer un .................................................. en une .................................................. .

■ k, a, b désignent des nombres relatifs. k ¥ a + k ¥ b = .................................................. .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . F A C T O R I S E R U N E E X P R E S S I O N

E N U T I L I S A N T L A D I S T R I B U T I V I T É

2 Réduire chaque expression en montrant les étapes.

a A = x² – 8x²– 9x² – 3x – x + 6x – 12 + 1 b B = 5x² – 9x + 2 – 7x² – 5x + 4 – x² + x

A = .................................................................................. B = ........................................................................................

A = .................................................................................. B = ........................................................................................

B = ........................................................................................

3 Factoriser chaque expression après avoir fait apparaitre un facteur commun.

a C = 2a – 30 = ................................................................. b D = 8x² – 3x = ......................................................................

c E = 7x + 7 = .................................................................... d F = 15x² + 5x = .....................................................................

E = .................................................................................. F = ........................................................................................

4 Factoriser après avoir souligné en rouge le facteur commun à chaque terme.

a G = (x + 5)(7x– 3) + (x + 5)(2x – 4) b H = (x + 3)(x + 4) – 6(x + 4)

G = (..............)[(..............) + (..............)] H = ........................................................................................

G = .................................................................................. H = ........................................................................................

G = .................................................................................. H = ........................................................................................

c I = (x + 7)(2x + 1) – (9x + 4)(2x + 1) d J = (3x – 5)² + (3x – 5)(7x – 4)

I = (..............)[(..............) – (..............)] J = ........................................................................................

I = .................................................................................. J = ........................................................................................

I = .................................................................................. J = ........................................................................................

J = ........................................................................................

e K = (3x + 2)2 – (3x + 2)(x + 7) f L = (5x + 3)² – (5x + 3)(2x – 4)

K = .................................................................................. L = ........................................................................................

K = .................................................................................. L = ........................................................................................

K = .................................................................................. L = ........................................................................................

K = .................................................................................. L = ........................................................................................

g M = (3x + 2)(4x + 1) – (4x + 1)² h N = (x + 3)² + (x + 3)

M = ................................................................................. N = ........................................................................................

M = ................................................................................. N = ........................................................................................

M = ................................................................................. N = ........................................................................................

M = ................................................................................. N = ........................................................................................

produit somme algébrique

k × (a + b)

(1 – 8 – 9)x² + (– 3 – 1 + 6)x – 12 + 1 5x² – 7x² – x² – 9x – 5x + x + 2 + 4

–16x² + 2x – 11 (5 – 7 – 1)x² + (–9 – 5 + 1)x + 2 + 4

–3x² – 13x + 6

2 × a – 2 × 15 = 2 × (a – 15) x × 8x – x × 3 = x × (8x – 3)

7 × x + 7 × 1 = 7 × (x + 1) 5x × 3x + 5x × 1

7(x + 1) 5x × (3x + 1) = 5x(3x + 1)

x + 5 7x – 3 2x – 4 (x + 4)[(x + 3) – 6]

(x + 5 )[7x – 3 + 2x – 4] (x + 4)[x + 3 – 6]

(x + 5)(9x– 7) (x + 4)(x – 3)

2x + 1 x + 7 9x + 4 (3x –5)(3x –5) + (3x –5)(7x – 4)

(2x + 1)[x + 7 – 9x – 4] (3x – 5)[3x – 5 + (7x – 4)]

(2x + 1)(–8x + 3) (3x – 5)(3x – 5 + 7x – 4)

(3x – 5)(10x – 9)

(3x + 2)(3x + 2) – (3x + 2)(x + 7) (5x + 3)(5x + 3) – (5x + 3)(2x – 4)

(3x + 2)[3x + 2 – (x + 7)] (5x + 3)[(5x + 3) – (2x – 4)]

(3x + 2)(3x + 2 – x – 7) (5x + 3)(5x + 3 – 2x + 4)

(3x + 2)(2x – 5) (5x + 3)(3x + 7)

(3x + 2)(4x + 1) – (4x + 1)(4x + 1) (x + 3)(x + 3) + (x + 3) × 1

(4x + 1)[(3x + 2) – (4x + 1)] (x + 3)[(x + 3) + 1]

(4x + 1)[3x + 2 – 4x – 1] (x + 3)[x + 3 + 1]

(4x + 1)(–x + 1) (x + 3)(x + 4)

(x + 5)(7x– 3) + (x + 5)(2x – 4) (x + 3)(x + 4) – 6(x + 4)

(x + 7)(2x – 1) – (9x + 4)(2x + 1)

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a et b désignent des nombres relatifs. (a + b)² = ............² + ............ + ............²

(a – b)² = ...................................

(a + b)(a – b) = ...................................

5 SC Développer les expressions.

a A = (x + 4)² b B = (7 + a)² c C = (3x + 5)²

A = ................................................. B = ................................................. C = .......................................................

A = ................................................. B = ................................................. C = .......................................................


a D = (x – 5)² b E = (3 – b)² c F = (4x – 7)²

D = ................................................. E = ................................................. F = .......................................................

D = ................................................. E = ................................................. F = .......................................................


a G = (x + 9)(x – 9) b H = (5x + 6)(5x – 6) c I = (8 – 2a)(8 + 2a)

G = ................................................. H = ................................................. I = .......................................................

G = ................................................. H = ................................................. I = .......................................................

8 SC Développer et réduire chaque expression.

a J = (5x – 3)² + (x – 1)(x + 1) b K = (3x + 7)(3x – 7) – (3x + 7)²

J = .................................................................................. K = ........................................................................................

J = .................................................................................. K = ........................................................................................

J = .................................................................................. K = ........................................................................................

J = .................................................................................. K = ........................................................................................

9 SC On considère l’expression L = (3x – 1)2 + (2x + 5)(3x – 1).

a Développer et réduire L. b Calculer L pour x = –3.

L = ...................................................................................................... L = ......................................................................

L = ...................................................................................................... L = ......................................................................

L = ...................................................................................................... L = ......................................................................

L = ...................................................................................................... L = ......................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É V E L O P P E R U N E E X P R E S S I O N E N

U T I L I S A N T L E S I D E N T I T É S R E M A R Q U A B L E S

SC Utilisation des identités remarquables pour transformer

une expression littérale.

a 2ab b

a² – 2ab + b²

a² – b²

x² + 2 × x × 4 + 4² 7² + 2 × 7 × a + a² (3x)² + 2 × 3x × 5 + 5²

x² + 8x + 16 49 + 14a + a² 9x² + 30x + 25

x² – 2 × x × 5 + 5² 3² – 2 × 3 × b + b² (4x)² – 2 × 4x × 7 + 7²

x² – 10x + 25 9 – 6b + b² 16x² – 56x + 49

x² – 9² (5x)² – 6² 8² – (2a)²

x² – 81 25x² – 36 64 – 4a²

(5x)² – 2 × 5x × 3 + 3² + [(x)² – (1)2] (3x)² – 7² – [(3x)² + 2 × 3x × 7 + 7²]

(5x)² – 2 × 5x × 3 + 3² + (x² – 1) 9x² – 49 – (9x² + 42x + 49)

25x² – 30x + 9 + x² – 1 9x² – 49 – 9x² – 42x – 49

26x² – 30x + 8 –42x – 98

(3x)2 – 2(3x)(1) + 12 + [2x × 3x + 2x(–1) + 5(3x) + 5(–1)] 15(–3)2 + 7(–3) – 4

9x² – 6x + 1 + (6x² – 2x + 15x – 5) 15 × 9 – 21 – 4

9x² – 6x + 1 + 6x² – 2x + 15x – 5 135 – 25

15x² + 7x – 4 115



11 Chapitre 2 – Calcul littéral

a et b désignent des nombres relatifs. a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = ....................................................................

a² – b² = ....................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . F A C T O R I S E R U N E E X P R E S S I O N E N

U T I L I S A N T L E S I D E N T I T É S R E M A R Q U A B L E S

10 Factoriser les expressions suivantes.

a A = x² + 18x + 81 b B = 9x² + 60x + 100

A = (..............)² + 2 × .............. × .............. + (..............)² B = (............)² + ............ × ............ × ............ + (.............)²

A = (.............. + ..............)². B = ........................................................................................

c C = x² + 2x + 1 d D = 4x² + 20x + 25

C = .................................................................................. D = ........................................................................................

C = .................................................................................. D = ........................................................................................


a E = x² – 14x + 49 b F = 25x² – 10x + 1

E = (..............)² – 2 × .............. × .............. + (..............)² F = (..............)² – ........................ + ........²

E = (.............. – ..............)². F = ........................................................................................

c G = x² – 20x + 100 d H = 9x² – 30x + 25

G = .................................................................................. H = ........................................................................................

G = .................................................................................. H = ........................................................................................


a I = 49 – 36x² b J = (x + 1)² – 4

I = (..............)² – (..............)² J = (..............................)² – (2).......

I = (..............................)(..............................). J = (..............................)(..............................)

J = ........................................................................................

c K = 25 – 4x2 d L = 9 – (3x – 1)2

K = .................................................................................. L =.........................................................................................

K = .................................................................................. L =.........................................................................................

L =.........................................................................................

L =.........................................................................................


a M = (3x + 5)² – (2 – 7x)² b N= x² – 25 + (x + 5)(x – 2)

M = .................................................................................. N = ........................................................................................

M = .................................................................................. N = ........................................................................................

M = (................)(................). N = ........................................................................................

N = ........................................................................................

(a – b)²

(a + b)(a – b)

x x 9 9 3x 2 3x 10 10

x 9 (3x + 10)2

(x)2 + 2 × x × 1 + (1)2 (2x)2 + 2 × 2x × 5 + (5)2

(x + 1)2 (2x + 5)2

x x 7 7 5x 2 × 5x × 1 1

x 7 (5x – 1)2

(x)2 – 2 × x × 10 + (10)2 (3x)2 – 2 × 3x × 5 + (5)2

(x – 10)2 (3x – 5)2

7 6x x + 1 2

7 + 6x 7 – 6x x + 1 + 2 x + 1 – 2

(x + 3)(x – 1)

(5)2 – (2x)2 (3)2 – (3x – 1)2

(5 – 2x) (5 + 2x) [3 – (3x – 1)][3 + (3x – 1)]

(3 – 3x + 1)(3 + 3x – 1)

(–3x + 4)(3x + 2)

[(3x + 5) + (2 – 7x)][(3x + 5) – (2 – 7x)] (x – 5)(x + 5) + (x + 5)(x – 2)

[3x + 5 + 2 – 7x][3x + 5 – 2 + 7x] (x + 5)[(x – 5) + (x – 2)]

– 4x + 7 10x + 3 (x + 5)(x – 5 + x – 2)

(x + 5)(2x – 7)


Chapitre

#

12

Chapitre

3

1 1) Effectuer la division euclidienne de 1 254 par 27.

2) Dans la division euclidienne de 1 254 par 27, le quotient entier est ...... et le reste ....... .

Donc, 1 254 = 27 × ....... + ....... .

2 SC Compléter les égalités suivantes, puis donner la liste des diviseurs du nombre.

a 24 = 1 × .........

24 = 2 × .........

24 = 3 × .........

24 = 4 × .........

b 45 = 1 × .........

45 = 3 × .........

45 = ................

c 36 = 1 × .........

36 = ................

36 = ................

36 = ................

36 = ................

d 42 = ................

.........................

.........................

.........................

..........................

Les diviseurs de 24 sont 1, 2,

3, 4, ..., ..., ...., .... .

Les diviseurs de 45 sont 1, 3,

..., ..., ...., .... .

Les diviseurs de 36 sont ...,

..., ..., ..., ..., ..., ..., ...., ...., .... .

Les diviseurs de 42 sont ...,

..., ..., ..., ..., ...., ...., .... .

3 Donner la liste des diviseurs de chaque nombre, puis préciser si le nombre est premier.

a Les diviseurs de 14 sont : ......................... ; 14 .................... un nombre premier.

b Les diviseurs de 23 sont : ......................... ; 23 .................... un nombre premier.

c Les diviseurs de 31 sont : ......................... ; 31 .................... un nombre premier.

d Les diviseurs de 55 sont : ......................... ; 55 .................... un nombre premier.

4 SC a Les diviseurs de 18 sont ............................... . Les diviseurs communs à 18 et 27 sont ........................ .Les diviseurs de 27 sont ............................................................ .

b Les diviseurs de 30 sont ...................................................... .Les diviseurs communs à 30 et 12 sont ....................... .

Les diviseurs de 12 sont ............................................................ .

c Les diviseurs de 28 sont ...................................................... .Les diviseurs communs à 28 et 25 sont ....................... .

Les diviseurs de 25 sont ............................................................ .

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0.

■ Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que :

..................................... et ................................... .

■ On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que a = ............. .

■ Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : ............. et ................................ .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D I V I S I B I L I T É

SC Déterminer les diviseurs communs à deux entiers.

rwq

rwq

rwq

1 2 5 4 2 7

a = b × q + r r � b

n × b

1 lui-même

46 12 1 7 4 4 6

46 12 1 2

24 45 36 1 × 42

12 15 2 × 18 42 = 2 × 21

8 5 × 9 3 × 12 42 = 3 × 14

6 4 × 9 42 = 6 × 7

6 × 6

1 1

6 8 12 24 5 9 15 45 2 3 4 5 6 9 12 18 36 2 3 6 7 14 21 42

1, 2, 7, 14 n’est pas

1, 23 est

1, 31 est

1, 5, 11, 55 n’est pas

1, 2, 3, 6, 9, 18 1, 3, 9 1, 3, 9, 27

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 2, 3, 6 1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 4, 7, 14, 28

1, 5, 25 1



13 Chapitre 3 – Arithmétique

a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.

Les nombres a et b admettent au moins un diviseur commun : le nombre .......... .

Le PGCD de a et b est le plus ........................ des diviseurs ........................ aux nombres a et b.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . N O T I O N D E P G C D

5 Compléter.

a Les diviseurs de 21 sont ................................................ ; les diviseurs de 35 sont ................................................................ .

Les diviseurs communs à 21 et 35 sont ............................ . Donc, PGCD (21 ; 35) = ............................................................... .

b Les diviseurs de 20 sont ............................................... ; les diviseurs de 16 sont ................................................................ .

Les diviseurs communs à 20 et 16 sont ............................ . Donc, PGCD (20 ; 16) = ............................................................... .

6 Compléter le calcul du PGCD de 7 209 et 2 295 par l’algorithme d’Euclide.

7 209 = 2 295 × 3 + 324 ;

2 295 = 324 × .......... + .......... ;

324 = ......... × ......... + ......... ;

d’où : PGCD (7 209 ; 2 295) = PGCD (2 295 ; 324).

d’où : PGCD (2 295 ; 324) = PGCD (324 ; .........).

d’où : PGCD (324 ; ..........) = .......... .

Donc, PGCD (7 209 ; 2 295) = .......... .

7 Compléter le calcul du PGCD de 13 240 et 16 219 par l’algorithme d’Euclide.

16 219 = 13 240 × ........... + ........... ;

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

d’où : PGCD (16 219 ; 13 240) = PGCD (13 240 ; ...................... ).

d’où : ..............................................................................................

d’où : ..............................................................................................

d’où : ..............................................................................................

Donc, PGCD (16 219 ; 13 240) = ..........

8 Un fleuriste dispose de 411 jacinthes et de 685 anémones. Il désire confectionner des bouquets identiques.

Chaque bouquet doit être composé du même nombre de jacinthes et du même nombre d’anémones.

1) Calculer le nombre maximum de bouquets que pourra confectionner le fleuriste.

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

2) Calculer la composition de chaque bouquet.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

1

grand commun

1, 3, 7, 21 1, 5, 7, 35

1, 7 7

1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 2, 4, 8, 16

1, 2, 4 4

7 27 27

27 12 0 27 27

27

1 2 979 2 979

13 204 = 2 979 × 4 et 1 324 ; PGCD (13 240 ; 2 979) = PGCD (2 979 ; 1 324).

2 979 = 1 324 × 2 + 331 ; PGCD (2 979 ; 1 324) = PGCD (1 324 ; 331).

1 324 = 331 × 4 + 0 ; PGCD (1 324 ; 331) = 331.

331

685 = 411 × 1 + 274 PGCD (685 ; 411) = PGCD (411 ; 274)

411 = 274 × 1 + 137 PGCD (411 ; 274) = PGCD ((274 ; 137)

274 = 137 × 2 + 0 PGCD (274 ; 137) = 137

Donc, PGCD (411 ; 685) = 137

Le fleuriste pourra confectionner au maximum 137 bouquets.

411137

= 3 et 685137

= 5.

Chaque bouquet est composé de 3 jacinthes et de 8 anémones.



Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD ........................................................... .

■ Une fraction est irréductible lorsqu’elle ne peut plus être ........................................................... .

■ Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est ................................ .

■ Si l’on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, alors ............................................................

.................................................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . F R A C T I O N S I R R É D U C T I B L E S

9 1) Les diviseurs de 15 sont .................................................. . Les diviseurs de 25 sont ................................................. .

Donc, PGCD (15 ; 25) = .......... . Les nombres 15 et 25 .............................. des nombres premiers entre eux.

2) Les diviseurs de 20 sont ............................................. . Les diviseurs de 33 sont .............................. .

Donc, PGCD (20 ; 33) = .......... . Les nombres 20 et 33 .............................. des nombres premiers entre eux.

3) a Les diviseurs de 46 sont ..................................................... . Les diviseurs de 62 sont .................................................... .

Donc, PGCD (46 ; 62) = .......... .

b Rendre irréductible la fraction 4662

.

4662

= ................. = ................. .

10 SC Simplifier chaque fraction.

1525

= 5 × ........5 × ........

= ........ 4050

= ................................ 4527

= ............................. 1236

= .............................

11 1) Calculer le PGCD de 2 157 et 254.

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

........................................................................................................................................................................................................

2) La fraction 2542 157

est-elle irréductible ? Justifier la réponse. ....................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

12 1) Calculer le PGCD de 20 097 et 17 325.

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

...................................................................................................................................................................................................... .

2) Rendre irréductible la fraction 20 09717 325

. ....................................................................................................... .

SC Simplifier une fonction.

est égal à 1

simplifiée

irréductible

on obtient une fraction

irréductible

1, 3, 5, 15 1, 5, 25

5 ne sont pas

1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 3, 11, 33

1 sont

1, 2, 23, 46 1, 2, 31, 62

2

23 × 231 × 2

2331

2 157 = 254 × 8 + 125 PGCD(2 157 ; 254) = PGCD(254 ; 125)

254 = 125 × 2 + 4 PGCD(254 ; 125) = PGCD(125 ; 4)

125 = 4 × 31 + 1 PGCD(125 ; 4) = PGCD(4 ; 1)

4 = 1 × 4 + 0 PGCD(4 ; 1) = 1

Donc, PGCD (2 157 ; 254) = 1.

PGCD (2 157 ; 254) = 1.

Les nombres 2 157 et 254 sont premiers entre eux. Donc, la fraction 2542 157

est irréductible.

20 097 = 17 325 × 1 + 2 772 PGCD(20 097 ; 17 325) = PGCD(17 325 ; 2 772)

17 325 = 2 772 × 6 + 693 PGCD(17 325 ; 2 772) = PGCD(2 772 ; 693)

2 772 = 693 × 4 + 0 PGCD(2 772 ; 693) = 693

Donc, PGCD(30 097 ; 17 325) = 693

20 09717 325

= 693 × 29693 × 25

= 2925

3

35

4 × 105 × 10

= 45

5 × 93 × 9

= 53

1 × 123 × 12

= 13

5

15© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit.

1 SC Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur arrondie au centième de chaque nombre.

a �96 � ............... b �134 � ............... c �7,5 � ............... d �0,02 � ...............

e 3 × �11 ............... f �113

............... g � 113

............... h �11� 3

...............

2 Calculer sans utiliser la calculatrice.

a �16 = ............... b �81 = ............... c �144 = ............... d �49 = ...............

e �49

= ............... f �0,25 = ............... g �0,09 = ............... h � 1 = ...............

i �102 = ............... j �72 = ............... k �1 3572 = ............... l �(–6)2 = .......... = ..........

3 Réduire chaque expression.

a 3� 2 + 4� 2 = (........ + ........)� 2 = ........ � 2 b 5� 3 – 2� 3 = ........................................................................

c –7� 5 + 4� 5 = .............................................................. d 3�11 + 2�11 – 7�11 = .........................................................

e –2� 7 + 3� 3 – 5� 3 + 3� 7 = ....................................................................................................................................................

4 Développer et réduire chaque expression.

a A = � 2 (� 2 + 3) b B = 5� 3 (4 − � 3 ) c C = −3� 7 (5 – 2� 7 )

A = � 2 × ........ + � 2 × ........ B = 5� 3 × ........ − 5� 3 × ........ C = ........... × ..... + ............. × .............

A = (........)² + ............. B = 5 × ........ × � 3 − 5 × (........)² C = .......................................................

A = ........ + ............. B = ........ � 3 − 5 × ........ C = .......................................................

B = ........ � 3 − ........ C = .......................................................

d D = (5 + � 3 )² e E = (7 − � 2 )² f F = (� 3 − � 8 )(� 3 + � 8 )

D = (........)² + 2 × ........ × ........ + (........)² E = ............................................... F = .......................................................

D = ........ + ..................... + ........ E = ............................................... F = .......................................................

D = ....................................................... E = ............................................... F = .......................................................

Chapitre 4 – Racine carrée

a désigne un nombre positif.

■ La racine carrée du nombre a est le nombre ........................ dont le ........................ est a.

La racine carrée de a se note �a .

■ On a : �a ........ 0 (�a )2 = ........ �a2 = ........

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É F I N I T I O N E T P R E M I E R E P R O P R I É T É

Chapitre

4

SC Déterminer à l’aide de la calculatrice la racine carrée d’un nombre positif.

positif carré

� a a

9,78 11,58 2,74 0,14

� 9,95 � 1,11 � 1,91 � 1,91

4 9 12 7

23

0,5 0,3 1

10 7 1 357 �36 6

3 4 7 (5 – 2)�3 = 3�3

(–7 + 4)�5 = –3�5 (3 + 2 – 7)�11 = –2�11

(–2 + 3)�7 + (3 – 5)�5 = �7 – 2�5

�2 3 4 �3 –3�7 5 (–3�7) (–2�7)

�2 3�2 4 �3 –3 × 5 × �7 + 3 × 2 × (�7)²

2 3�2 20 3 –15�7 + 6 × 7

20 15 –15�7 + 42

5 5 �3 �3 7² – 2 × 7 × �2 + (�2)² (�3)² − (�8)²

25 10 × �3 3 49 – 14�2 + 2 3 – 8

28 + 10�3 51 – 14�2 –5



5 Calculer.

a � 8 × � 2 = � ...... × ..... = � ........ = ............................ b �20 × � 5 = ...........................................................................

c �54� 6

= ......................................................................... d �3�75

= ....................................................................................

e �203

× �

527

= .............................................................. f �13

× �

274

= ...........................................................................

6 Calculer.

a (3� 5 )² = ..................................................................... b 3� 2 × 4� 3 = ........................................................................

c (–4� 3 )² = .................................................................. d –7� 5 × 9� 2 = ......................................................................

7 Écrire les nombres suivants sous la forme a� 2 avec a entier relatif.

a � 8 = �4 × ...... = � 4 × �...... = ......... × ......... = ......... b �18 = ....................................................................................

c �72 = ........................................................................... d �128 = ..................................................................................

8 Écrire A sous la forme a� 3 et B sous la forme b� 5 avec a et b entiers relatifs.

a A = �27 + 6� 3 − 4�75 b B = –4� 5 + 3�80 – 2�245

A = ............................................................................. B = ........................................................................................

A = ............................................................................. B = ........................................................................................

A = ............................................................................. B = ........................................................................................

A = ............................................................................. B = ........................................................................................

A = ............................................................................. B = ........................................................................................

9 Développer et réduire chaque expression.

a C = (� 2 + � 3 )² b D = (� 7 − � 5 )² c E = (�11 – �13)(�11 + �13)

C = ................................................ D = ................................................ E = .......................................................

C = ................................................ D = ................................................ E = .......................................................

C = ................................................ D = ................................................ E = .......................................................

d F = (3� 5 − � 2 )² e G = (8� 7 + 2� 6 ) (8� 7 − 2� 6 ) f H = (7� 3 − 2� 5 )²

F = (........)² − 2 × ................. + (.....)² G = ............................................ H = .............................................................

F = ......² × (......)² − ........... + ....... G = ............................................ H = .............................................................

F = ............. − ................ + ........... G = ............................................ H = .............................................................

F = ........ − ........�10 G = ............................................ H = .............................................................

G = ............................................ H = .............................................................

H = .............................................................

a et b désignent deux nombres positifs.

■ �a × b = ........ × ........ ■ Pour b � 0, �ab

= ........ ■ �a + b ........ �a + �b

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R E G L E S D E C A L C U L

�a �b � a�b

�

8 2 16 4 �20 × 5 = �100 = 10

�9 × 6�6

=

�9 × �6�6

= �9 = 3 �3

�25 × 3 =

�3�25 × �3

= 1�25

= 15

�20 × 53 27

= �

10081

= 109 �1 × 27

3 4 =

�3 × 93 × 4

= �

94

= 32

3² × (�5)² = 9 × 5 = 45 3 × 4 × �2 × �3 = 12�6

(–4)² × (�3)² = 16 × 3 = 48 –7 × 9 × �5 × �2 = –63�10

2 2 2 �2 2�2 �9 × 2 = �9 × �2 = 3 × �2 = 3�2

�36 × 2 = �36 × �2 = 6�2 �64 × 2 = �64 × �2 = 8�2

�9 × 3 + 6�3 – 4�25 × 3 –4�5 + 3 × �16 × 5 – 2 × �49 × 5

�9 × �3 + 6�3 – 4�25 × �3 –4�5 + 3 × �16 × �5 – 2 × �49 × �5

3�3 + 6�3 – 4 × 5 × �3 –4�5 + 3 × 4 × �5 – 2 × 7 × �5

(3 + 6 – 20)�3 –4�5 + 12�5 – 14�5

–11�3 (–4 + 12 – 14)�5 = –6�5

(�2)² + 2 × �2 × �3 + (�3)² (�7)² − 2 × �7 × �5 + (�5)² (�11)² – (�13)²

2 + 2 × �6 + 3 7 – 2 × �35 + 5 11 – 13

5 + 2�6 12 – 2�35 –2

3�5 3�5 × �2 �2 (8�7)² – (2�6)² (7�3)² − 2 × 7�3 × 2�5 + (2�5)²

3 �5 6�10 2 8² × (�7)² − 2² × (�6)² 7² × (�3)² – 14 × 2 × �15

9 × 5 6�10 2 64 × 7 – 4 × 6 + 2² × (�5)²

47 6 448 – 24 49 × 3 – 28�15 + 4 × 5

424 147 – 28�15 + 20

167 – 28�15

17© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 4 – Racine carrée

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L E S D I F F É R E N T S T Y P E S D E N O M B R E S

10 Écrire chacun des nombres suivants dans le bon cadre.

15,03 1 3618

47

3,14 �49

– 18

–� 3 –8,2

� 7 104

–5 –�36 0 π �0,25 – 311

Nombresrationnels

Nombresdécimaux

Nombres entiersrelatifs

Nombresirrationnels

Nombres entiersnaturels

11 1) a Trouver trois nombres décimaux qui ne soient pas entiers : ................................................................................. .

b Donner trois nombres rationnels qui ne soient pas décimaux : ............................................................................................. .

c Touver trois nombres irrationnels : ......................................................................................................................................... .

2) Écrire le nombre 13 sous la forme :

a d’un nombre à virgule : .................... b d’une fraction : .................... c d’une racine carrée : ......................

12 Dans chaque cas, déterminer si les nombres sont entiers, décimaux, rationnels, irrationnels.

a A = – 13

+ 23

× 67

b B = –5 × 104 × 14 × 10–11

35 × 10–5

A = ................................................................................... B = ........................................................................................

A = ................................................................................... B = ........................................................................................

A = ................................................................................... B = ........................................................................................

A = ................................................................................... B = ........................................................................................

A est un nombre .............................................................. B est un nombre ..................................................................

c C = 3� 5 (� 2 – 4� 5 ) – 3�10 d D = (13 + 56) : 56

C = ................................................................................... D = ........................................................................................

C = ................................................................................... D = ........................................................................................

C = ................................................................................... D = ........................................................................................

C = ................................................................................... D est un nombre ..................................................................

C est un nombre ..............................................................

15,03

0,5

–8,2

3

3,14–5

10

3618

104

311–

18–

47

π

�3–

�36–

49�

�7

2,5 ; – 0,631 ;

85

23

; – 111

; 76

�2 ; π ; –2�6

13,0 262

�169

– 13

+ 2 × 2 × 33 × 7

–5 × 7 × 2 × 10–7

7 × 5 × 10–5

– 13

+ 47

–2 × 10–7 –(–5)

– 7

21 +

1221

–2 × 10–7 + 5

5

21 –2 × 10–2 = – 0,02

rationnel. décimal.

3�5 × �2 − 3�5 × 4�5 – 3�10 (26 + 56) : 56

3�5 × 2 – 3 × 4 × (�5)² − 3�10 76

× 65

3�10 − 12 × 5 – 3�10 75

= 1,4

– 60 décimal.

entier relatif.



1 Résoudre chacune des équations suivantes.

a x + 2 = 28 b 2x = 28 c x – 13 = 3

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

Vérification : ........................................ .............................................................. ..................................................................

L’équation admet ................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

d x13

= 3 e 5x + 3 = 18 f 5(x + 3) = 18

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

.............................................................. .............................................................. ..................................................................

g 3x + 2 = –5x – 6 h 3(x + 2) = –5(x – 6)

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

............................................................................................ ....................................................................................................

■ Une équation à une .............................. est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre.

■ Résoudre une équation à une inconnue x, revient à trouver toutes les valeurs du nombre x qui .............................. l’égalité.

Chacune de ces valeurs est une .............................. de l’équation.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R É S O U D R E U N E É Q U A T I O N

Chapitre

5

inconnue

vérifient

solution

x + 2 – 2 = 28 – 2 2x × 12

= 28 × 12

x – 13 + 13 = 3 + 13

x = 26 x = 14 x = 16

26 + 2 = 28 Vérification : 2 × 14 = 28 Vérification : 16 – 13 = 3

une solution : L’équation admet L’équation admet

26. une solution : 14. une solution : 16.

13 × x13

= 3 × 13 5x + 3 – 3 = 18 – 3 5x + 15 = 18

x = 39 5x = 15 5x + 15 – 15 = 18 – 15

x = 155

5x = 3

x = 3 x = 35

Vérification : 3913

= 3 Vérification : 5 × 3 + 3 = 18 Vérification : 5(35 + 3) = 5 × 185

= 18

L’équation admet une L’équation admet une L’équation admet une

solution : 39. solution : 3. solution : 35

.

3x + 2 – 2 = –5x – 6 – 2 3x + 6 = –5x + 30

3x + 5x = –5x + 5x – 8 3x + 5x + 6 = –5x + 5x + 30

8x = –8 8x + 6 – 6 = 30 – 6

x = –1 8x = 24

x = 3

Vérification : 3x + 2 = –3 + 2 = –1 Vérification : 3(x + 2) = 3 × 5 = 15

–5x – 6 = 5 – 6 = –1 –5(x – 6) = –5 × (–3) = 15

L’équation admet une solution : –1. L’équation admet une solution : 3.


Étape 1 : Résolution

L’équation (2x + 4)(3x – 9) = 0 est une équation .......................

............... . Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors

l’un, au moins, de .................................................................. .

D’où : ............................... = 0 ou ............................... = 0

..................................... ou .....................................

..................................... ou .....................................

..................................... ou .....................................

..................................... ou .....................................

3 Résoudre l’équation (4x + 8)(2x – 6) = 0.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

4 Résoudre l’équation (7x – 9)(3x – 5) = 0.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

Étape 2 : Vérification

(2 × ............ + 4)(3 × ............ – 9) = .......................................

= ................................. = 0

(2 × ........ + 4)(3 × ........ – 9) = (................) ............................

= ......................................... = 0

Étape 3 : Conclusion

L’équation (2x + 4)(3x – 9) = 0 admet deux solutions : ........

et ........ .

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

a, b, c et d désignent des nombres relatifs.

Une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 est une équation .............................. d’inconnue x.

Si un produit est nul, alors l’un, au moins, de ses ......................... est nul.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . É Q U A T I O N P R O D U I T N U L

Chapitre 5 – Équations et équations produit nul

2 Compléter la résolution de l’équation (2x + 4)(3x – 9) = 0.

produit nul

facteurs

produit (–2) (–2) 0 × (–6 – 9)

nul 0 × (–15)

ses facteurs est nul 3 3 6 + 4 × 0

2x + 4 3x – 9 10 × 0

2x + 4 – 4 = 0 – 4 3x – 9 + 9 = 0 + 9

2x = –4 3x = 9

x = – 42

x = 93

–2

x = –2 x = 3 3


L’équation (4x + 8)(2x – 6) = 0 est une équation pro-

duit nul. Or, si un produit de deux facteurs est nul,

alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

D’où : 4x + 8 = 0 ou 2x – 6 = 0

4x + 8 – 8 = 0 – 8 ou 2x – 6 + 6 = 0 + 6

4x = –8 ou 2x = 6

x = –2 ou x = 3


(4 × (–2) + 8)(2 × (–2) – 6) = 0 × (–4 – 6)

= 0 × (–10) = 0

(4 × 3 + 8)(2 × 3 – 6) = (12+ 8) × 0

= 20 × 0 = 0


L’équation (4x + 8)(2x – 6) = 0 admet deux solu-

tions : –2 et 3.


L’équation (7x – 9)(3x – 5) = 0 est une équation pro-

duit nul. Or, si un produit de deux facteurs est nul,

alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

D’où 7x – 9 = 0 ou 3x – 5 = 0

7x – 9 + 9 = 0 + 9 ou 3x – 5 + 5 = 0 + 5

7x = 9 ou 3x = 5

x = 97

ou x = 53


(7 × 97

– 9)(3 × 97

– 5) = 0 × (…….) = 0

(7 × 53

– 9)(3 × 53

– 5) = (…….) × 0 = 0


L’équation (7x – 9)(3x – 5) = 0 admet deux solu-

tions : 97

et 53

.



5 On considère l’expression A = x(2x + 3) – 4x.

1) Prouver que A = x(2x – 1).

........................................................................................................................................................................................................

2) Résoudre l’équation A = 0.

6 On considère l’expression B = (x + 3)(4x – 5) – (x + 3)(2x + 1).

1) Factoriser l’expression B.

........................................................................................................................................................................................................

2) Résoudre l’équation B = 0.

7 On considère l’expression C = 25x2 – 36.

1) Factoriser l’expression C.

........................................................................................................................................................................................................

2) Résoudre l’équation C = 0.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................


L’équation x(2x + 3) – 4x = 0 est une équation

produit nul. Or, si un produit de deux facteurs est

nul, alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

D’où : x = 0 ou 2x – 1 = 0

x = 0 ou 2x – 1 + 1 = 0 + 1

x = 0 ou 2x = 1

x = 0 ou x = 12


0 × (2 × 0 – 1) = 0 × (…….) = 012

× (2 × 12

– 1)= (…….) × 0 = 0


L’équation x(2x – 1) = 0 admet deux solutions : 0

et 12

.

B = (x + 3)[(4x – 5) – (2x + 1)] = (x + 3)[4x – 5 – 2x – 1] = (x + 3)(2x – 6)


L’équation (x + 3)(4x – 5) – (x + 3)(2x + 1) = 0 est une

équation produit nul. Or, si un produit de deux

facteurs est nul, alors l’un, au moins, de ses fac-

teurs est nul.

D’où : x + 3 = 0 ou 2x – 6 = 0

x + 3 – 3 = –3 ou 2x – 6 + 6 = 0 + 6

x = –3 ou 2x = 6

x = –3 ou x = 3


(–3 + 3)(2 × (–3) – 6)= 0 × (…….) = 0

(3 + 3)(2 × 3 – 6) = (…….) × 0 = 0


L’équation (x + 3)(4x – 5) – (x + 3)(2x + 1) = 0 admet

deux solutions : –3 et 3.

C = (5x)² – 6² = (5x – 6)(5x + 6)


L’équation 25x2 – 36 = 0 est une équation produit

nul. Or, si un produit de deux facteurs est nul, alors

l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

D’où : 5x + 6 = 0 ou 5x – 6 = 0

5x + 6 – 6 = –6 ou 5x – 6 + 6 = 0 + 6

5x = –6 ou 5x = 6

x = –65

ou x = 65


(5 × 65

– 6)(5 × 65

+ 6) = 0 × (…….) = 0

(5 × (65) – 6)(5 × (65) + 6) = (…….) × 0 = 0


L’équation 25x2 – 36 = 0 admet deux solutions : –65

et 65

.

A = x(2x + 3) – 4x = x (2x + 3 – 4) = x(2x – 1)


8 – Manon : « J’ai calculé le triple de la somme d’un nombre et de 2. »

– Julie : « J’ai calculé la moitié de la somme de ce même nombre et de 4. »

• Sachant que Manon et Julie ont trouvé le même résultat, déterminer ce nombre.

Résolution du problème

1) Choix de l’inconnue : on appelle x le ...................................................................................................................................... .

2) Mise en équation

a Écrire le triple de la somme du nombre x et de 2. ........(x + ........)

b Écrire la moitié de la somme de ce même nombre et de 4. ........(x + ........)

c Les résultats sont les mêmes. ........(x + 2) = ........ (x + ........)

Chapitre 5 – Équations et équations produit nul

3) Résolution de l’équation

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

4) Vérification

.................................................................................................

.................................................................................................

5) Conclusion

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

3) Résolution de l’équation

( ........x – ........)² = 64

ou ( ........x – ........)² – 64 = 0

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

4) ............................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

5) Conclusion

.................................................................................................

.................................................................................................

9 Choisir un nombre, puis calculer son triple et lui retrancher 4.

Calculer le carré du nombre ainsi obtenu.

• Quels nombres choisir au départ pour que le résultat final soit égal à 64 ?

Résolution du problème

1) Choix de l’inconnue : on appelle x le ...................................................................................................................................... .

2) Mise en équation

a Écrire le triple du nombre x et lui retrancher 4. ........ × x – ........

b Écrire le carré du nombre ainsi obtenu. (........x – ........)2

c Le résultat final est égal à 64. (.........x – ........)2 = 64

nombre choisi par Manon et Julie.

3 2

12

4

3 12

4

nombre choisi.

3 4

3 4

3 4

3(x + 2) = 12

(x + 4)

On a alors : 3x + 6 = 12

x + 2

3x + 6 – 6 – 12

x = 12

x + 2 – 6 – 12

x

52

x = –4

x = –4 × 25

Soit : x = – 85

ou x = –1,6.

3(x + 2) = 3 × 0,4 = 1,212

(x + 4) = 14

× 2,4 = 1,2

La solution de l’équation est le nombre – 1,6.

Manon et Julie ont trouvé le nombre – 1,6.

3 4

3 4

(3x – 4)² – 8² = 0

[(3x – 4) – 8][(3x – 4) + 8] = 0

(3x – 12)(3x + 4) = 0

C’est une équation produit nul. Or, si un produit

est nul, alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

3x – 12 = 0 ou 3x + 4 = 0

3x = 12 ou 3x = –4

x = 4 ou x = – 43

Vérification

(3 × 4 – 4)² = 8² = 64

(3 × (– 43) – 4)² = (–8)² = 64

Les solutions de l’équation sont 4 et 43

.

On peut choisir au départ les nombres 4 et 43

.



1 On considère l’inéquation 3x + 2 � –5x – 6.

Dans chaque cas, déterminer si le nombre x proposé est solution de l’inéquation.

a Pour x = 1 b Pour x = –3

3x + 2 = ............................................................................. 3x + 2 = ..............................................................................

–5x – 6 = .......................................................................... –5x – 6 = ............................................................................

Or, ...................., donc : Or, ...................., donc :

................................................................................................ ............................................................................................

2 Résoudre chaque inéquation.

a 5 + x � 20 b 5x � 20

5 + x – ........ > 20 – ........ ............................................................................................

x � ........ ............................................................................................

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

c –5x � 20 d 5 – x � 20

........................................................................................... ............................................................................................

........................................................................................... ............................................................................................

............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

e –x � –3 f –x � 0

........................................................................................... ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

■ Résoudre une inéquation à une inconnue x, revient à trouver toutes les ......................... du nombre x qui .........................

l’inégalité.

Chacune de ces valeurs est une ......................... de l’inéquation.

■ Les nombres a + ........ et b + ........ sont rangés dans le ........................................ que les nombres a et b.

Si ........ > 0, alors les nombres a × ........ et b × ........ sont rangés dans le ...................................... que les nombres a et b.

Si ........ < 0, alors les nombres a × ........ et b × ........ sont rangés dans l’ ........................................ des nombres a et b.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . I N É Q U A T I O N S

Chapitre

6

valeurs vérifient

solution

c c même ordre

c c c même ordre

c c c ordre contraire

3 × 1 + 2 = 5 3 × (–3) + 2 = –9 + 2 = –7

–5 × 1 – 6 = –5 – 6 = –11 –5 × (–3) – 6 = 15 – 6 = 9

5 � –11 –7 � 9

1 est solution de l’inéquation. –3 n’est pas solution de l’inéquation.

5 5 5x5

� 205

15 x � 4

Les solutions de l’inéquation sont tous les

strictement supérieurs à 15. nombres strictement supérieurs à 4.

–5x–5

� 20–5

5 – x – 5 � 20 – 5

x � –4 –x � 15

x � –15

Les solutions de l’inéquation sont tous les Les solutions de l’inéquation sont tous les

nombres strictement inférieurs à –4. nombres strictement inférieurs à –15.

x � 3 x � 0

Les solutions de l’inéquation sont tous les Les solutions de l’inéquation sont tous les

nombres supérieurs ou égaux à 3. nombres supérieurs ou égaux à 0

23© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 6 – Inéquations – Systèmes d’équations

3 Dans chaque cas, graduer la droite et représenter en rouge les solutions de l’inéquation.

a x � –3 b x � 4

0 1 0 1

c x � 3 d x � 0

0 1

0 1

e x � 52

f x � –4,5

0 1

0 1

4 Résoudre chaque inéquation et représenter ses solutions sur une droite graduée.

a 2x + 1 � –3 b 3x – 5 < 4

2x + 1 – ........ � –3 – ........ ............................................................................................

2x � ........ ............................................................................................

x � ........ ............................................................................................

Les solutions de l’inéquation sont .......................................... ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

c –4x + 9 � –3 d –5x – 7 � 3

........................................................................................... ............................................................................................

........................................................................................... ............................................................................................

........................................................................................... ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

................................................................................................ ............................................................................................

210– 1

■ La partie colorée représente les nombres x tels que :

x ........ 2

210– 1


x ........ 2

210– 1


x ........ –1

210– 1


x ........ –1

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R E P R É S E N T A T I O N D E S S O L U T I O N S

0 1

1 1 3x – 5 + 5 � 4 + 5

–4 3x � 9

–2 x � 3

tous les nombres Les solutions de l’inéquation sont tous les

strictement supérieurs à –2. nombres strictement inférieurs à 3.

–4x + 9 – 9 � –3 – 9 –5x – 7 + 7 � 3 + 7

–4x � –12 –5x � 10

x � 3 x � –2

Les solutions de l’inéquation sont tous les Les solutions de l’inéquation sont tous

nombres inférieurs ou égaux à 3. les nombres supérieurs ou égaux à –2.

210– 1 210– 1

210– 1 210– 1

� �

� �

0– 3 1 0 1 4

1 30 0 1

0 1 2,5 0– 4,5 1

0– 2 1 10 3

10 3 0– 2 1



5 Dans chaque cas, déterminer si le couple proposé est solution du système 3x – 2y = 7

–2x + 5y = –12.

a Pour (4 ; 2,5) b Pour (1 ; –2)

3x – 2y = ............................................................................ 3x – 2y = ...........................................................................

–2x + 5y = .......................................................................... –2x + 5y = .........................................................................

Or, ........................, donc : ...................................................... Donc, .......................................................................................

................................................................................................ .................................................................................................

x – 3y = 7 (E1)6 Compléter chaque étape pour résoudre par substitution le système

2x + 5y = –19 (E2)

1) Dans l’équation (E1), j’exprime x en fonction de y. x = ........ y + ........

2) Dans l’équation (E2), je remplace x par ........y + ......... 2(........y + ........) + 5y = –19

3) J’obtiens une équation à une inconnue y que je résous. ........ y + ........ + 5y = –19

................................................................................................

................................................................................................

........................................................., d’où y = .......................

4) Pour obtenir x, je remplace la valeur de y dans l’équation x = ......... × ......... + ........., d’où x = ......... .

5) Vérification : x – 3y = .............................................................. et 2x + 5y = ..............................................................

6) Conclusion : le système admet une solution, le couple (......... ; .........).

–2x + 9y = 247 Compléter chaque étape pour résoudre par addition le système

4x + 3y = 18

–2x + 9y = 24 × (–2) 4x – 18y = –48

–4x + 3y = 18 × 1 + –4x + 3y = 18

0x – 15y = –30 Donc : y = .........

–2x + 9y = 24 × (–1) 2x – 9y = –24

–4x + 3y = 18 × 3 + –12x + 9y = 54

–10x + 0y = 30 Donc : x = .........

Vérification : ............................................................................................................................

et .............................................................................................................................

Conclusion : le système admet une solution, le couple (......... ; .........).

■ a, b, c, d, e et f désignent des nombres relatifs.

ax + by = c est un ................................... de deux ................................... à deux inconnues x et y.

dx + ey = f

■ Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y, revient à trouver tous les couples de nombres (x ; y)

qui sont simultanément ................................... des deux équations.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R É S O U D R E U N S Y S T E M E

rwq

rwq

rwq

rwq

rwq

rwq

système équations

solutions

3 × 4 – 2 × 2,5 = 7 3 × 1 – 2 × (–2) = 7

–2 × 4 + 5 × 2,5 = 4,5 –2 × 1 + 5 × (–2) = –12

4,5 � –12 le couple (4 ; 2,5) n’est pas le couple (1 ; –2) est solution du système.

solution du système.

3 7

3 7 3 7

6 14

11y + 14 = –19

11y + 14 – 14 = –19 – 14

11y = –33 –3

3 y 7 –2

–2 – 3 × (–3) = 7 2 × (–2) + 5 × (–3) = –19

–2 –3

2

–3

–2x + 9y = –2 × (–3) + 9 × 2 = 6 + 18 = 24

–4x + 3y = –4 × (–3) + 3 × 2 = 12 + 6 = 18

–3 2


9 Pour un spectacle, la famille Adam, composée de 4 adultes et de 3 enfants,

a payé 206 euros.

Pour le même spectacle, la famille Barnabé, composée de 2 adultes et de 2 enfants,

a payé 114 euros.

● Quel est le tarif enfant ? le tarif adulte ?

.....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

................................... × 1 .................................. ................................. × 3 ........................................

................................... × (–2) + .................................. ................................. × (–3) + ........................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

............................................................................................... et ..............................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

5x – y = 1 (E1)a

3x + 2y = 6 (E2)

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

et ..........................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

5x – 4y = 7 (E1)b

–3x + 20y = –2 (E2)

5x – 4y = 7 × 5 25x – 20y = 35

–3x + 20y = –2 × 1 + –3x + 20y = –2

................................

................................

5x – 4y = 7 × 3 15x – 12y = 21

–3x + 20y = –2 × 5 + –15x + 100y = –10

................................

................................

.................................................................................................

et ..........................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

Chapitre 6 – Inéquations – Systèmes d’équations

8 Résoudre par la méthode la mieux appropriée chaque système.

rwq

rwq

rwq

rwq

rwq

rwq

• Dans l’équation (E1), y = 5x – 1.

• Dans l’équation (E2), 3x + 2(5x – 1) = 6.

• J’obtiens une équation à une inconnue x que je

résous. 3x + 10x – 2 = 6

13x = 6 + 2

13x = 8, d’où : x = 813

• y = 5x – 1, d’où : y = 2713

• Vérification : 5x – y = 5 × 813

– 2713

= 1

3x + 2y = 3 × 813

+ 2 × 2713

= 6

• Conclusion : le système admet une solution,

le couple ( 813

; 2713

).

22x = 33

d’où : x = 32

88y = 11

d’où : y = 18

• Vérification : 5x – 4y = 5 × 32

– 4 × 18

= 7

–3x + 20y = –3 × 32

+ 20 × 18

= –2

• Conclusion : le système admet une solution,

le couple (32

; 18

).

On appelle x le prix payé par un adulte et y le prix payé par un

enfant.

On doit résoudre le système 4x + 3y = 206

2x + 2y = 114

4x + 3y = 206 4x + 3y = 206 4x + 3y = 206 8x + 6y = 412

2x + 2y = 114 –4x – 4y = –228 2x + 2y = 114 –6x – 6y = –342

–y = –22 2x = 70

d’où : y = 22 d’où : x = 35

• Vérification :

4x + 3y = 4 × 35 + 3 × 22 = 206 2x + 2y = 2 × 35 + 2 × 22 = 114.

• Conclusion : le système admet une solution, le couple (35 ; 22).

Le tarif enfant est 22 €, le tarif adulte 35 €.

rwq

Chapitre




Chapitre

7

1 On considère les fonctions f, g, h, i et j telles que :

f : 3 � 3x g (x) = x2

h : x � x2

2 i (x) =

( x2 )

2

j : x � – 1

x

Compléter les phrases suivantes avec les fonctions f, g, h, i ou j .

a La fonction qui, à un nombre, associe la moitié de son carré est la fonction .... .

b La fonction qui, à un nombre, associe sa moitié est la fonction .... .

c La fonction qui, à un nombre, associe l’opposé de son inverse est la fonction .... .

d La fonction qui, à un nombre, associe son triple est la fonction .... .

e La fonction qui, à un nombre, associe le carré de sa moitié est la fonction .... .

2 Une fonction est définie de plusieurs façons : par une phrase, par une notation, par une égalité.

Compléter le tableau suivant.

Par une phrase Par une notation Par une égalité

La fonction f, à un nombre, associe son carré. f : x � x2 f (x) = x2

La fonction g, à un nombre, associe ............................................. . ........................ g (x) = –x

La fonction h, à un nombre, associe ............................................. . h : x � 1x ........................

La fonction i, à un nombre, associe la moitié de son opposé. ........................ i (x) = –x2

La fonction j, à un nombre, associe ................................................

....................................................................................................... ......................... j(x) = (2x)2

La fonction k, à un nombre, associe ...............................................

....................................................................................................... .k : x �

1x2 ........................

■ On considère la fonction f qui, à un ................................ , associe le double de son carré.

Par exemple, au nombre 3, la fonction f associe le double du ........................... de 3,

c’est-à-dire le double du nombre ........, donc le nombre .......... .

On note f : 3 � .......... . On écrit l’égalité f (3) = ......... .

■ La fonction f, au nombre x, associe le double du ........................... de x, c’est-à-dire le double de ..........,

donc le nombre ............ .

La fonction f se note f : x � ............ . On écrit l’égalité f(x) = ........... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L E S N O T A T I O N S

nombre

carré

9 18

18 18

carré x²

2x².

2x² 2x².

h

g

j

f

i

son opposé g : x � – x

son inverse h (x) = 1x

i (x) = –x2

le carré de son double j : x � (2x)2

l’inverse de son carré k (x) =

1x2


27© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 7 – Notion de fonction

■ On considère la fonction définie par f : x � 12

x².

On a f (4) = 12

× (....)² = 12

× ....... = .... et f (−4) = 12

× (.....)² = 12

× ...... = .... .

On dit que l’image par la fonction f du nombre 4 est le nombre .... .

On dit que le nombre 4 est un antécédent par la fonction f du nombre .... .

Le nombre −4 est aussi ......................................... par la fonction f du nombre .... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L E V O C A B U L A I R E

3 On considère la fonction g telle que :

g : 1 � –3 g(2) = 0 g : –1 � 1 g(–2) = 2 g : 0 � 1 g(3) = 3

Compléter les phrases suivantes.

a L’image par la fonction g du nombre –1 est .................................... .

b Un antécédent du nombre 2 par la fonction g est .................................... .

c L’image du nombre 0 par la fonction g est .................................... .

d Un antécédent par la fonction g du nombre 0 est .................................... .

e L’image par la fonction g du nombre 1 est .................................... .

f Citer plusieurs antécédents du nombre 1 par la fonction g : .................................................. .

g Citer un nombre qui a pour image lui-même par la fonction g : .................................... .

4 On considère la fonction h définie par h : x � 2x² − 1.

1) a h(3) = 2 × (....)² − 1 = 2 × .... − 1 = ...... − 1 = ......

b h(0) = ............................................................................. c h(–1) = .................................................................................

d h(2) = ............................................................................. e h(–2) = .................................................................................

2) Quelle est l’image par h du nombre 12

?

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

5 On considère la fonction i telle que i(x) = x – 2x + 1

.

1) Compléter le tableau de valeurs suivant.

x 0 1 2 3 4 5

i(x)

2) Montrer que 12

est un antécédent du nombre –1 par la fonction i.

........................................................................................................................................................................................................

4 16 8 –4 16 8

8

8

un antécédent 8

le nombre 1

le nombre –2

le nombre 1

le nombre 2

le nombre –2

les nombres –1 et 0

le nombre 3

3 9 18 17

2 × 0² − 1 = 0 − 1 = −1 2 × (–1)² – 1 = 2 × 1 − 1 = 2 − 1 = 1

2 × 2² − 1 = 2 × 4 − 1 = 8 − 1 = 7 2 × (–2)² – 1 = 2 × 4 − 1 = 8 − 1 = 7

h( 12 ) = 2 × ( 1

2 )2 − 1 = 2 × 14

− 1 = 12

− 1 = − 12

L’image du nombre 12

par la fonction h est le nombre − 12

.

− 2 − 12

0 14

25

12

i ( 12 ) =

12

– 2

12

+ 1

= – 32

32

= – 1.




6 On a tracé, dans le repère ci-dessous, la représentation graphique (�g) de la fonction g.

1) Compléter en bleu ce graphique afin de déterminer l’image du

nombre 3 par la fonction g.

L’image du nombre 3 par la fonction g est ....... .

2) Compléter en vert ce graphique afin de déterminer les antécé-

dents du nombre 1 par la fonction g.

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

3) Compléter en rouge ce graphique afin de déterminer g(− 0,5).

.............................................................................................................

.............................................................................................................

4) Déterminer graphiquement les nombres x qui vérifient l’égalité

g(x) = 0.

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

5) Donner une valeur approchée de l’antécédent par la fonction g

du nombre 2.

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

■ On considère une fonction f. On note (�f ) sa représentation graphique dans un repère.

1) a En bleu, sur le graphique :

• écrire 1,5 sur l’axe des abscisses ;

• placer le point A de (�f ) d’abscisse 1,5 ;

• écrire l’ordonnée du point A.

b L’image du nombre 1,5 par la fonction f est donc

le nombre ................... .

2) a En vert, sur le graphique :

• écrire 2,5 sur l’axe des ordonnées ;

• placer les points B et C de (�f ) d’ordonnée 2,5 ;

• écrire l’abscisse du point B ;

• écrire l’abscisse du point C.

b Les antécédents du nombre 2,5 par la fonction f

sont donc les nombres ................ et ................ .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L A R E P R É S E N T A T I O N G R A P H I Q U E

D ’ U N E F O N C T I O N

1

5

6

4

3

– 2 – 1 21 43

2

0

– 1

210

5

6

4

3

– 2 3

2

1

– 1

– 0,5

– 1,5 3,5

2,5

Les antécédents du nombre 1 par la fonction g sont

les nombres −1 ; 0 et 2,5.

g(− 0,5) = 1,5.

Les nombres qui vérifient l’égalité g(x) = 0 sont les

nombres − 1,5 ; 0,5 et 2.

Un antécédent par la fonction g du nombre 2

est environ 2,8.

1

5

6

4

3

– 2 – 1 21 43

2

– 1,5

– 0,5

1,5

2,5

A

BC

0

– 1

3,5

210

5

6

4

3

– 2 3

2

2,5

– 1

B C D1,5

2,52,8

0

1

– 1

Chapitre

#


1 SC1

a Léo achète 2,5 kg de pommes à 2,30 € le kg.

La fonction qui modélise cette situation est :

f : x � ...................

x représente .........................................................................

f (x) représente .....................................................................

La fonction f est-elle linéaire ? Pourquoi ?

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

b Jade possède une carte d’abonnement à un ciné-club

qu’elle a payée 10 €. Elle achète ensuite le billet à 4,5 €.

La fonction qui modélise cette situation est :

g : x � ............................

x représente .........................................................................

g(x) représente .....................................................................

La fonction g est-elle linéaire ? Pourquoi ?

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

2 1) a Déterminer la fonction p qui modélise le périmètre du rectangle ci-contre en fonc-

tion de la longueur EF. ..................................................................................................................

b La fonction p est-elle linéaire ? Si oui, préciser son coefficient.

.......................................................................................................................................................

2) a Déterminer la fonction A qui modélise l’aire du même rectangle en fonction de la longueur EF .

.......................................................................................................................................................

b La fonction A est-elle linéaire ? Si oui, préciser son coefficient.

........................................................................................................................................................................................................

3 Déterminer dans chaque cas, si la fonction est linéaire. Si oui, préciser son coefficient.

a f(x) = 2x – 5x .......................................................................................................................................................

b g(x) = –3(x + 7) – 10 .......................................................................................................................................................

c h(x) = 2x(6 – x) + 2x² .......................................................................................................................................................

Chapitre 8 – Proportionnalité et fonction linéaire

F

3

E

GH

x

Chapitre

8

■ a est un nombre relatif donné.

Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre x, associe le ....................... de ce nombre par ....... .

On note f : x � ax ou f(x) = ax

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction .............................. .

Son coefficient est le coefficient de proportionnalité.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É F I N I T I O N E T P R E M I E R E P R O P R I É T É

SC1 Reconnaître la proportionnalité dans une situation de vie courante.

produit a

linéaire

10 + 4,5x

le nombre de billets.

le prix en € pour x billets.

La fonction g n’est pas linéaire car l’image de x

par la fonction g n’est pas le produit de x par

un nombre. Le prix n’est pas proportionnel au

nombre de billets.

2,3x

la masse en kilogrammes.

le prix en euros pour x kg.

La fonction f associe au nombre x le produit x

par 2,3 ; c’est une fonction linéaire de coefficient

2,3. Le prix est proportionnel à la masse.

p : x � 6 + 2x

La fonction p n’est pas linéaire.

A : x � 3x

La fonction A est linéaire et de coefficient 3.

f(x) = –3x. La fonction f est linéaire et de coefficient –3.

g(x) = –3x – 21 – 10 = –3x – 31. La fonction g n’est pas linéaire.

h(x) = 12x – 2x² + 2x² = 12x. La fonction h est linéaire et de coefficient 12.



4 On considère la fonction linéaire de coefficient 4.

1) Compléter le tableau suivant.

x 2 ........ ........ – 3 ........52

13

......... – 14

f(x) ........ 20 2 ........ – 4 ........43

– 14

........

2) a Quelle est l’image de 2 par la fonction f ? ............... puis de – 14

par la fonction f ? ....................

b Quel est l’antécédent de 2 par la fonction f ? ............... puis de – 14

par la fonction f ? .....................

5 On considère la fonction g : x � –2,5x.

1) Calculer les images des nombres 3 ; –5 ; 52

.

a g(3) = ............................................. L’image de 3 par la fonction g est ........... .

b ........................................................ L’image de –5 par la fonction g est ........... .

c ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) a Calculer l’antécédent de 10 par la

fonction g.

On cherche x tel que g(x) = 10.

Or g(x) = ..............................................

D’où .................... = ..............................

..............................................................

..............................................................

L’antécédent du nombre 10 par la

fonction g est .......................................

b Calculer l’antécédent de –30,25

par la fonction g.

On cherche x tel que g(x) = ...............

Or g(x) = ............................................

D’où ....................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

c Calculer l’antécédent de –

14

par la

fonction g .

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

6 h est une fonction linéaire telle que h(7) = – 2.

Calculer le coefficient de la fonction h.

h est une fonction ......................................., donc h(x) = ax.

Pour calculer a, on sait que :

h(7) = ....... × 7 et h(7) = – 2

D’où ........ × 7 = .......... .

On en déduit que a = ................

Donc, la fonction h est définie par h : x � .......... x

7 i est une fonction linéaire telle que i (–8) = –6.

Calculer le coefficient de la fonction i.

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

f est une fonction linéaire de coefficient a. f(x) est .............. du nombre x par la fonction f.

L’antécédent du nombre n par la fonction f est le nombre x tel que f (x) = n.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . I M A G E E T A N T É C É D E N T

30

l’image

5 0,5 –1 – 116

8 –12 10 –1

8 –1

0,5 – 116

–2,5 × 3 = – 7,5 – 7,5

g(–5) = –2,5 × (–5) = 12,5 12,5

g(52) = –2,5 × 52

= – 52

× 52

= – 254

= –6,25

L’image de 52

par la fonction g est – 6,25

– 2,5x

– 2,5x 10

x = 10

–2,5 x = – 4

– 4.

– 30,25.

– 2,5x

– 2,5x = – 30,25

x = –30,25–2,5

x = 12,1

L’antécédent du nombre 10 par

la fonction g est 12,1.

On cherche x tel que

g(x)= – 14

Or g(x) = – 2,5x

D’où – 2,5x = – 14

x = – 14

: (–2,5) = – 14

: (– 52).

x = – 14

× (– 25) =

110

L’antécédent du nombre – 14

par

la fonction g est 110

.

linéaire

a

a – 2

– 27

– 27

i est une fonction linéaire, donc i(x) = ax.

Pour calculer a, on sait que :

i(–8) = a × (–8) et i(–8) = – 6

D’où a × (–8) = – 6.

On en déduit que a = –6–8

= 68

= 34

.

Donc, la fonction i est définie par i : x � 34

x.

31© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 8 – Proportionnalité et fonction linéaire

8 SC2 En observant les représentations graphiques ci-dessous, préciser si les fonctions qu’elles représentent sont

linéaires. Justifier chaque réponse.

....................................... ....................................... ....................................... .......................................

....................................... ....................................... ....................................... .......................................

....................................... ....................................... ....................................... .......................................

....................................... ....................................... ....................................... .......................................

9 1) On considère la fonction f : x � 2x.

a La fonction f est ....................., donc sa représentation graphique est une

.................. (d) passant par ...................................................... . Pour la tra-

cer, il suffit donc de déterminer les coordonnées d’un deuxième point.

Pour x = ......., on a f(....) = ............................. .

Donc, le point A (......... ; ........) appartient à (d).

b Tracer ci-contre la représentation graphique de la fonction f.

2) Sur le même repère ci-contre, représenter graphiquement les fonctions

suivantes : g : x � –1,5x et h : x � 13

x

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

La représentation graphique dans un repère d’une fonction linéaire de coefficient a est .................................. passant par

.............................. du repère.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R E P R É S E N T A T I O N G R A P H I Q U E

D ’ U N E F O N C T I O N L I N É A I R E

SC2 Caractériser graphiquement la proportionnalité.

8

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

– 6

– 8

5

10

0 1– 1– 2 2

– 5

– 10

8

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

– 6

– 8

8

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

– 6

– 8

5

10

0 1– 1– 2 2

– 5

– 10

8

0 2– 2– 4 4

2

4

6

– 2

– 4

– 6

– 8

une droite

l’origine

Non linéaire. Linéaire. Non linéaire. Linéaire.

La droite ne passe C’est une droite qui Ce n’est pas C’est une droite qui

pas par l’origine. passe par l’origine. une droite. passe par l’origine.

linéaire

droite l’origine du repère

3 3 2 × 3 = 6

3 6

La fonction g est linéaire, donc sa représentation

graphique est une droite (d’) passant par l’origine

du repère. Pour la tracer, il suffit donc de déter-

miner les coordonnées d’un deuxième point.

Pour x = 2, on a g(2) = –1,5 × 2 = –3.

Donc, le point B(2 ; –3) appartient à (d’).

La fonction h est linéaire, donc sa représentation

graphique est une droite (Δ) passant par l’ori-

gine du repère. Pour la tracer, il suffit donc de

déterminer les coordonnées d’un deuxième point.

Pour x = 3, on a h(3) = 13

× 3 = 1.

Donc, le point C(3 ; 1) appartient à (Δ).

0

A

B

C

(d’) (d)

1

6

1 2 3

– 3



10 On a représenté ci-contre des fonctions linéaires f1, f2 et f3

respectivement par les droites (d1), (d2) et (d3).

1) En traçant les pointillés nécessaires, trouver l’image de chacun

des nombres suivants par la fonction f1.

a 2 .......... b 1 .......... c –2 .......... d – 1 ..........



a 1,5 .......... b – 1 .......... c – 2 .......... d 1 ..........



a 3 .......... b – 3 .......... c 1 ..........

11 On a représenté ci-contre deux fonctions linéaires g1 et g2

respectivement par les droites (Δ1) et (Δ2).

1) En traçant les pointillés nécessaires, donner l’antécédent de

chacun des nombres suivants par la fonction g1.

a 3 .......... b – 4 .......... c 6 ..........

2) En traçant les pointillés nécessaires, donner l’antécédent de

chacun des nombres suivants par la fonction g2.

a 6 .......... b 3 .......... c – 6 ..........

12 Les droites (d1), (d2), (d3), (d4) et (d5) sont les représenta-

tions graphiques respectives des fonctions f1, f2, f3, f4 et f5.

Déduire graphiquement le coefficient de chaque fonction.

a f1 : x � ..... x

b .................................................................................................

c .................................................................................................

d .................................................................................................

e .................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L E C T U R E S G R A P H I Q U E S

0

1

5

4

3

2

2 31

(d1)(d2)

(d3)

– 1– 2– 3

– 2

– 3

– 1

2

4

6

8

– 2

– 4– 6

0– 2 2 4 1086 12– 4– 6– 8– 10– 12– 14

12

3

– 1– 2– 3– 4 1 2 3 4

1

2

3

4

5

– 1

– 2

– 3

(d1) (d5)

(d4)

(d3)

(d2)

0

32

3 1,5 – 3 – 1,5

– 3 2 4 –2

1 – 1 0,3

6 – 8 12

–8 – 4 8

3

f2 : x � –2x

f3 : x � – 1

2 x

f4 : x � 3

4 x

f5 : x � 5

3 x

0

1

5

4

3

2

2 31

(d1)(d2)

(d3)

– 1– 2– 3

– 2

– 3

– 1

2

4

8

– 2

– 4– 6

0– 2 2 4 1086 12– 4– 6– 8– 10– 12– 14

12

3

6

– 1– 2– 3– 4 1 2 3 4

1

2

3

4

5

– 1

– 2

– 3

(d1) (d5)

(d4)

(d3)

(d2)

0

33© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 8 – Proportionnalité et fonction linéaire

SC3 Pour les exercices 13 à 18, compléter.

13 a Augmenter de 100 %, c’est augmenter de la ....................... quantité, ce qui revient à .............................................. .

b Augmenter de 50 %, c’est augmenter de la ......................., ce qui revient à ......................................................................... .

c Diminuer de 50 %, c’est diminuer de la ......................., ce qui revient à ............................................................................... .

d Diminuer de 25 %, c’est diminuer de ............................, ce qui revient à multiplier .............................................................. .

14 La population d’une ville a augmenté de 50 %. Elle est

désormais de 30 000 habitants.

Combien y avait-il d’habitants avant cette augmentation ?

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

15 Gaëtan a acheté une veste à 86 €. Elle était soldé à

50 %. Quel était son prix de départ ?

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

16 a Une augmentation de ...... % est modélisée par la fonction linéaire f : x � 1,15 x.

b Une diminution de ...... % est modélisée par la fonction linéaire f : x � 0,90 x.

c Une .......................... de ...... % est modélisée par la fonction linéaire f : x � 0,75 x.

d Une ................................ de ....... % est modélisée par la fonction linéaire f : x � 1,3 x.

e Une augmentation de 5 % est modélisée par la fonction linéaire ............................................ .

f Une diminution de 18 % est modélisée par la fonction linéaire ............................................ .

17 Le volume d’un solide a augmenté de 3 %. Il est désor-

mais de 51,5 cm3.

Quel était son volume initial ?

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

18 Pendant la période des soldes, un commerçant accorde

une remise de 20 % à la première démarque, puis une remise

de 10 % sur le prix soldé. Calculer la réduction globale en

pourcentage sur ces deux démarques.

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

■ Augmenter un nombre positif de p % revient à multiplier ce nombre par ......................

Une augmentation de p % est modélisée par la fonction linéaire f : x � .............................

■ p est un nombre compris entre 0 et 100.

Diminuer un nombre positif de p % revient à multiplier ce nombre par .......................

Une diminution de p % est modélisée par la fonction linéaire f : x � ..........................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . É V O L U T I O N E N P O U R C E N T A G E

SC3 Calculer une augmentation ou une réduction de a %.

1 + p100

(1 + p100

) x

1 – p100

(1 – p100

) x

même multiplier par 2

moitié multiplier par 1,5

moitié diviser par 2

un quart par .34

30 000 ÷ 1,5 = 20 000

Avant l’augmentation , il y a avait 20 000 habi-

tants dans cette ville.

86 × 2 = 172

Le prix initial de la veste était 172 €.

15

10

diminution 25

augmentation 30

f : x � 1,05x

f : x � 0,82x

La fonction modélisant une augmentation de 3 %

est : f : x � 1,03 x.

f(x) = 51,5 d’où 1,03x = 51,5.

x = 51,51,03

= 50

Le volume initial était de 50 cm3.

La fonction modélisant une diminution de :

• 20 % est f : x � 0,80x

• 10 % est g : x � 0,90x

g(0,80x) = 0,90 (0,80x) = 0,90 × 0,80x = 0,72x

1 – 0,72 = 0,28 = 28100

La réduction globale est de 28 %.

Chapitre




Chapitre

9

1 On considère les quatre fonctions suivantes.

f : x � – 5x + 4 g : x � 4x + 5 h : x � 4x – 5 i : x � – 4x – 5

1) À quelle fonction correspond le processus : « Je multiplie par 4, puis j’ajoute – 5. » ?

........................................................................................................................................................................................................

2) Trouver le processus associé à chacune des autres fonctions.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2 On considère les cinq fonctions suivantes.

f : x � –3x + 2 g : x � – 6 h: x � 8 – x i : x � – x9

j : x � 9x

1) a Parmi ces cinq fonctions, trouver une fonction non affine. .................................................................................................

b Justifier la réponse. ....................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) Pour chacune des autres fonctions, justifier qu’elle est affine.

a ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

b ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

c ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

d ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

3) a Quelle fonction est linéaire ? ..............................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

b Quelle fonction est constante ? ................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

a et b désignent deux nombres relatifs donnés.

■ Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre .......................

On note f : x � .............................. . On écrit ainsi f(x) = ..............................

■ Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions ....................... f(x) = ax = ax + 0 ; b = ........

■ Toutes les fonctions constantes sont des fonctions ....................... f(x) = b = 0x + b ; a = ........

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R E C O N N A Î T R E U N E F O N C T I O N A F F I N E

ax + b

ax + b ax + b

affines 0

affines 0

● Le processus correspond à la fonction h : x � 4x – 5.

● Pour f, le processus est « je multiplie par (–5) puis j’ajoute 4 ».

● Pour g, le processus est « je multiplie par 4 puis j’ajoute 5 ».

● Pour i, le processus est « je multiplie par (–4) puis j’ajoute (–5) ».

j est une fonction non affine.

j est une fonction de la forme j(x) = ax

et non j(x) = ax + b.

f est affine car elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = –3 et b = 2.

g est affine car elle est de la forme g(x) = ax + b avec a = 0 et b = –6. (De plus, g est constante).

h est affine car elle est de la forme h(x) = ax + b avec a = –1 et b = 8.

i est affine car elle est de la forme i(x) = ax + b avec a = – 19

et b = 0. (De plus, i est linéaire).

i est linéaire car elle est de la forme i(x) = ax avec a = – 19

.

g est constante car elle est de la forme g(x) = b avec b = –6.


35© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 9 – Fonction affi ne

3 On considère la fonction affine f telle que f(x) = –6x + 5.

Calculer l’image par la fonction f du nombre : a 4 ; b – 3 ; c 0 ; d – 76

.

a f(4) = –6 × (.......) + 5 = .......... + ......... = ..........

L’image du nombre ......... par la fonction f est .........

b f(–3) = ............................. = ..................... = .....................

........................................................................................................................................................................................................

c ...................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

d ....................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

4 On considère la fonction affine f telle que f(x) = 2x + 7.

Déterminer l’antécédent par la fonction f du nombre : a 4 ; b – 3 ; c 0 ; d 23

.

a On cherche x tel que : f(x) = 4.

On a : 2x + 7 = ........................

2x = ........................

x = ........................

x = ........................

L’antécédent de 4 par la fonction f est ......................

b On cherche x tel que : f(x) = ...............

On a : 2x + 7 = .........................

......................... = .........................

......................... = .........................

x = ........................

.......................................................

.................................................. par la fonction f est .............

c ................................................. : f(x) = .....................

On a : .......................... = .....................

..................... = .....................

..................... = .....................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

d ............................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

.................................................................................................

a et b désignent deux nombres relatifs donnés. f : x � ax + b est une fonction ....................... .

• Pour calculer l’image du nombre x par la fonction f, on multiplie x par ............... puis on ajoute ............ .

• Si f est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un ............................ par la fonction f et cet antécédent

est ..................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É T E R M I N E R U N E I M A G E O U U N

A N T É C É D E N T P A R U N E F O N C T I O N A F F I N E

affine

a b

antécédent

unique

4 –24 5 –19

4 –19.

–6 × (–3) + 5 18 + 5 23

L’image du nombre –3 par la fonction f est 23.

f(0) = –6 × 0 + 5 = 0 + 5 = 5

L’image du nombre 0 par la fonction f est 5.

f(– 76) = –6 × (– 7

6) + 5 = 7 + 5 = 12.

L’image de – 76

par la fonction f est 12.

–3.

4 –3

4 – 7 2x –3 – 7

4 – 72

2x –10

–32

–102

x = –5 –

32 . L’antécédent de –3 –5.

On cherche x tel que 0. On cherche x tel que f(x) = 23

.

2x + 7 0 On a : 2x + 7 = 23

2x –7 2x = 23

– 7

x –72

2x = 2 – 213

L’antécédent de 0 par la fonction f est – 72

. 2x = –193

x = – 196

L’antécédent de 23

par la fonction f est – 196

.



5 f est la fonction affine telle que : f(– 2) = 9 et f(4) = – 3. On pose f(x) = ax + b.

1) Calculer le nombre a.

a = f(x2) – f(x1)

x2 – x1

= f(4) – f(–2)

4 – (–2)

a = ...............

.................. = ....................... = .......................

Donc, a = .......................

2) Calculer le nombre b.

Comme f est affine et que a = .....................,

on a alors f(x) = ..................... x + b.

On sait que f(4) = ..................... .

Donc, ..................... × 4 + b = .....................

d’où : ..................... + b = .....................

b = .....................

b = .....................

3) Déterminer la fonction f.

Cette fonction s’écrit f : x � .........................................................................................................................................................

6 f est une fonction affine telle que f(6) = 4 et f (8) = 16. On pose f(x) = ax + b.

1) Calculer le nombre a.

a = f(x2) – ................

................

= .......................................

a = .........................................................

= ...................... = ......................

Donc, a = ..............................

2) Calculer le nombre b.

Comme f est affine et que a = .............,

on a alors f(x) = ..................... x + b.

On sait que f(..............) = .............. .

Donc, .............. × .............. + b = ..............

d’où : ......................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

3) Déterminer la fonction f.

........................................................................................................................................................................................................

a et b désignent deux nombres relatifs donnés.

f est une fonction affine telle que f(x) = ax + b.

Pour deux nombres distincts x1 et x2 , on a : ............. = f(x2) – f(x1)

x2 – x1 .

Les accroissements des valeurs de f(x) sont ........................................... aux accroissements des valeurs de x.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É T E R M I N E R U N E F O N C T I O N A F F I N E

P A R L E C A L C U L

36

a

proportionnels

–2

–2

–3

–2 –3

–3 – 9

–126 –2 –8 –3

4 + 2

–3 + 8

–2

5

–2x + 5.

f(x1) 6

x

2 – x

1 6

f(8) – f(6)

8 – 6

6 4

6 6 4

36 + b = 4

16 – 4 122

6 b = 4 – 36

b = –32

6

La fonction f s’écrit f : x � 6x – 32.


37© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 9 – Fonction affi ne

7 Les fonctions affines f1, f2 et f3 sont représentées respectivement par les

droites (d1), (d2) et (d3).

Répondre aux questions en utilisant le dessin.

Justifier les réponses en complétant ce dessin par des pointillés ou des nombres.

1) Pour chacune des fonctions f1, f2 et f3 , déterminer graphiquement l’image de

2,5 puis celle de – 1,5.

a f1(2,5) = ................ ; f2(2,5) = ................ ; f3(2,5) = ............... .

b f1(– 1,5) = ................ ; f2(– 1,5) = ................ ; f3(– 1,5) = ............... .

2) a L’antécédent de 1 par la fonction f1 est .....................................................

b L’antécédent de – 0,5 par la fonction f2 est ...................................................

c L’antécédent de 0 par la fonction f2 est .........................................................

3) a Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite (d1) avec l’axe des ordonnées ? ....................................

b Quelle est l’ordonnée à l’origine de la droite (d1) ? ...................................................................................................................

Que peut-on en déduire pour la fonction f1 ? ................................................................................................................................

8 1) On considère la fonction f1 : x � 3x – 2.

a La fonction f1 est une fonction ......................., sa représentation graphique

est donc une ....................... (d1).

Pour la tracer, on détermine les ...................................... de deux de ses points.

Si x = 0, f1(0) = .......................... , donc B1(0 ; .......... ) Z (d1) ;

Si x = 1, f1(1) = .................................... , donc A1(1 ; .......... ) Z (d1).

b Tracer la représentation graphique de la fonction f1.

2) Tracer dans le même repère la représentation graphique de la fonction

f2 : x � – 2 x + 2,5.

La fonction f2 est ............................, donc sa représentation ..............................

.............................................. (d2).

Si x = 0, ......................................................... , donc B2(0 ; .................) Z .........

...................................

Si ....................................................................................................................................................................................................

• La représentation graphique d’une fonction affine f est .......................................

• Si la droite (d) est la représentation graphique de la fonction f : x � ax + b, alors :

– la droite (d) coupe l’axe des ordonnées au point B de coordonnées (0; ...............) ;

– le nombre b est appelé ................................................................. de la droite (d) ;

– le nombre a est appelé ................................................................. de la droite (d).

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R E P R É S E N T A T I O N G R A P H I Q U E

D ’ U N E F O N C T I O N A F F I N E

(d3)(d1)

1

1

(d2)

0

1

0 1

une droite.

b

ordonnée à l’origine

coefficient directeur

1,5 –1,5 2

–2,5 0 2

2.

0.

–0,5.

le point (0 ; –1).

–1.

f1(x) = ax – 1.

affine

droite

coordonnées

–2 –2

3 × 1 – 2 = 1 1

affine graphique

est une droite

f2(x) = –2 × 0 + 2,5 = 2,5 2,5 (d

2).

x = 1, f2(x) = –2 × 1 + 2,5 = –2 + 2,5 = 0,5, donc A

2(1 ; 0,5) Z (d

2).

(d3)(d1)

1

1– 1,5

1,5

2,5

– 1,5

– 2,5

2

(d2)

0

1

0 1

22,5

0,5

B2

A1

A2

(d1)

Chapitre

#



Chapitre

10

1 On a demandé à chaque élève d’une classe de Troisième son âge. Voici les réponses obtenues :

15 − 14 − 16 − 14 − 14 − 15 − 14 − 15 − 14 − 14 − 15 − 14 − 15 − 16 − 13 − 15 − 14 − 15 − 15 − 14 − 15 − 15 − 17 − 15.

a La population étudiée est .........................................................................................................................................................

b Le caractère étudié est .............................................................................................................................................................

c Les valeurs du caractère sont ...................................................................................................................................................

d On a relevé ......... données, donc l’effectif total est ............. .

2 SC1 Pour réaliser une expérience en chimie, des élèves ont mesuré par groupe, à l’aide d’une balance électronique, la

masse d’un bécher vide. Voici les résultats obtenus en grammes : 9,95 − 10,01 − 10,2 − 9,8 − 10,2 − 11 − 10 − 9,8 − 10,25.

1) a Quelle est la population étudiée ? ........................................................................................................................................

Quel est le caractère étudié ? .........................................................................................................................................................

b Combien de valeurs les élèves ont-ils trouvées ? .....................................................................................................................

c Combien de données cette série possède-t-elle ? .................................................................

En déduire l’effectif total ..................................................................

2) Donner plusieurs raisons pour lesquelles les mesures obtenues par les élèves sont différentes ?

........................................................................................................................................................................................................

3) Calculer la masse moyenne d’un bécher.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

3 Dans une usine de fabrication de pièces métalliques, 100 pièces sont choisies au hasard et sont pesées.

Voici les résultats obtenus :

masse (en g) 320 330 340 350 360 370 380

effectif 1 2 21 28 23 20 5

1) a Quelle est la population étudiée ? ........................................................................................................................................

Quel est le caractère étudié ? .........................................................................................................................................................

b Combien de valeurs a-t-on trouvées ? ......................................................................................................................................

2) Calculer la masse moyenne d’une de ces pièces.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . V O C A B U L A I R E D E S S T A T I S T I Q U E S

SC1 Comprendre qu’à une mesure est associée une incertitude.

SC2 Comprendre la nature et la validité d’un résultat statistique.

constituée d’élèves d’une classe de Troisième.

l’âge des élèves.

13 – 14 – 15 – 16 – 17.

24 24

Des béchers

La masse des béchers

7 valeurs (9,95 ; 10,01 ; 10,2 ; 9,8 ; 11 ; 10 ; 10,25)

9 données

L’effectif total est 9.

Les béchers sont différents ; les balances sont différentes.

(9,95 + 10,01 + 10,2 + 9,8 + 10,2 + 11 + 10 + 9,8 + 10,25) ÷ 9 = 91,21 ÷ 9 � 10,13

La masse moyenne d’un bécher est environ 10,13 g.

Des pièces métalliques

La masse des pièces métalliques

7 valeurs

(1 × 320 + 2 × 330 + 21 × 340 + 28 × 350 + 23 × 360 + 20 × 370 + 5 × 380) ÷ (1 + 2 + 21 + 28 + 23 + 20 + 5)

= 35 500 ÷ 100 = 355. En moyenne, une pièce pèse 355 g.


39© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 10 – Statistiques

4 On a relevé le poids en kg des 15 joueurs d’une équipe de Rugby.

86 − 96 − 100 − 106 − 80 − 85 − 106 − 82 − 73 − 94 − 102 − 85 − 98 − 95 − 115.

1) a Ranger les données de cette série dans l’ordre croissant.

........................................................................................................................................................................................................

b Entourer en rouge la médiane de cette série.

2) Interprétation :

Dans cette équipe, il y a autant de joueurs qui pèsent ..................................... que de joueurs qui pèsent ..................................

5 Voici les notes obtenues par un groupe d’élèves :

15 – 12 – 9 – 6 – 18 – 12 – 14 – 8 – 9 – 15 – 9 − 10

1) a Ranger les données de cette série dans l’ordre croissant.

........................................................................................................................................................................................................

b Déterminer la médiane de cette série. .......................................................................

2) Interpréter le résultat obtenu.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

6 Lors d’une enquête, on a demandé à 70 foyers le nombre de téléviseurs dont ils disposent.

Téléviseurs 0 1 2 3 4 5

Effectif 15 30 18 6 1 0

1) Calculer le nombre moyen de téléviseurs dans un de ces foyers.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) a Compléter le tableau suivant.

Nombres de téléviseurs n n � 0 n � 1 n � 2 n � 3 n � 4 n � 5

Effectif

b En déduire le nombre médian de téléviseurs.

........................................................................................................................................................................................................

■ La médiane d’une série de données est un nombre qui précise la ............................... de ces données. Elle partage cette

série en deux séries de même ................................. .

■ Pour déterminer la médiane d’une série de données, on range ces données dans .............................................. .

Si l’effectif total de la série est :

– impair, alors la médiane est une .............................. de la série ;

– pair, alors la médiane est la ......................................... de deux données centrales de la série.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . M É D I A N E

position

effectif

l’ordre croissant

donnée

demi-somme

73 − 80 − 82 − 85 − 85 − 86 − 94 − 95 − 96 − 98 − 100 − 102 − 106 − 106 − 115

moins de 95 kg plus de 95 kg.

6 – 8 – 9 − 9 – 9 – 10 – 12 – 12 – 14 – 15 –15 –18

10 + 122

= 222

= 11

Il y a autant d’élèves qui ont obtenu une note inférieure ou égale à 11 que d’élèves qui ont obtenu une

note supérieure ou égale à 11.

(15 × 0 + 30 × 1 + 18 × 2 + 6 × 3 + 1 × 4 + 0 × 5) ÷ ( 15 + 30 + 18 + 6 + 1 + 0) = 8870

� 1,3

Le nombre moyen de téléviseurs dans un de ces foyers est 1,3.

15 45 63 69 70 70

Le nombre médian de téléviseurs est 1.


7 Calculer la moyenne, la médiane et l’étendue de chaque série.

Moyenne Médiane Étendue

Série 1 5 7 9 13 16 16 18

Série 2 9 8 15 11 3 7 12 9

Série 3 6,5 8,7 17,25 12,3 9,5

Série 3 14 –7 25 17 –6 –9 20 1

8 Voici les tailles en centimètres de deux groupes de personnes.

Groupe 1 : 175 − 159 − 162 − 160 − 161 − 165 − 181 − 168 − 159 − 180.

Groupe 2 : 158 − 173 − 169 − 186 − 175 − 162 − 157 − 150 − 148 − 192.

1) Calculer la taille moyenne de chaque groupe et les comparer.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) a Calculer l’étendue de chaque groupe.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

b Pour chaque groupe, préciser si les tailles sont resserrées ou bien dispersées autour de la moyenne.

Groupe 1 : ......................................................................................................................................................................................

Groupe 2 : ......................................................................................................................................................................................

c Quel groupe peut-il être qualifié d’« homogène » ? d’« hétérogène » ? Pourquoi ?

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

9 On a relevé la température en degrés Celcius (°C) au levée du jour durant deux semaines.

Première semaine : 3 8 6 9 16 15 13

Deuxième semaine : 10 8 12 9 8 12 11


Moyenne Étendue

Première semaine

Deuxième semaine

2) Interpréter les résultats obtenus et comparer les deux

semaines.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

■ L’étendue d’une série de données est un nombre qui précise la ................................... de ces données.

C’est la différence entre la valeur la plus ...................... et la valeur la plus ........................ de la série.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . É T E N D U E

40

dispersion

grande petite

12 13 13

9,25 9 12

10,85 9,5 10,75

6,875 7,5 34

Groupe 1 : 1670 ÷ 10 = 167

Groupe 2 : 1670 ÷ 10 = 167

La taille moyenne du groupe 1 et celle du groupe 2 sont égales.

L’étendue du groupe 1 est : 181 – 159 = 22.

L’étendue du groupe 2 est : 192 – 148 = 44.

Les tailles sont resserrées autour de la moyenne.

Les tailles sont dispersées autour de la moyenne.

Les tailles du groupe 1 sont resserrées autour de la moyenne, ce groupe peut être qualifié d’homogène.

Par contre, les tailles du groupe 2 sont dispersées autour de la moyenne, c’est un groupe hétérogène.

10 13

10 4

En moyenne, il a fait la même température

chaque semaine. Mais, les températures de la

1re semaine sont hétérogènes tandis que celles de

la 2e semaine sont homogènes.


41© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 10 – Statistiques

On considère une série de données rangées dans l’ordre croissant.

Les quartiles sont des ................................. de la série qui la partagent en .................................... parties à peu près égales.

Le premier quartile est noté Q1.

Le troisième quartile est noté Q3.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . Q U A R T I L E S

10 Les gendarmes ont effectué un contrôle de vitesse sur le bord d’une route nationale.

Voici les relevés en km/h :

80 − 92 − 110 − 90 − 86 − 95 − 70 − 92 − 85 − 75 − 88 − 96 − 100 − 94

1) Ranger ces données dans l’ordre croissant.

........................................................................................................................................................................................................

2) a Quel est l’effectif total N de la série ? N = ...............

b N est-il divisible par 4 ? ...............

c En déduire le rang du premier quartile. .....................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

Le premier quartile est donc ............... .

d En déduire le rang du troisième quartile. ..................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

Le troisième quartile est donc .............. .

11 Voici les résultats obtenus par différents candidats à une compétition de lancer de poids.

Série no 1 : 11 m 17 − 8 m 92 − 8 m 72 − 9 m 37 − 10 m 53 − 6 m 72 − 9 m 10 − 9 m 30.

Série no 2 : 11 m 55 − 6 m 60 − 7 m 95 − 8 m 90 − 9 m 50 − 10 m 73 − 8 m 36 − 10 m 70.

1) Ranger les données dans l’ordre croissant.

Série no 1 : .....................................................................................................................................................................................

Série no 2 : .....................................................................................................................................................................................


Médiane Premier quartile Troisième quartile

Série no 1

Série no 2

3) Interpréter les résultats obtenus et comparer les deux séries.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

25 % 25 % 25 % 25 %Q1 Q3

70 − 75 − 80 − 85 − 86 − 88 − 90 − 92 − 92 − 94 − 95 − 96 − 100 − 110

14

Non

14 : 4 = 3,5.

Le rang du premier quartile est 4.

85

(14 : 4) × 3 = 10,5.

Le rang du troisième quartile est 11.

95

6 m 72 − 8 m 72 − 8 m 92 − 9 m 10 − 9 m 30 − 9 m 37 − 10 m 53 − 11 m 17.

6 m 60 − 7 m 95 − 8 m 36 − 8 m 90 − 9 m 50 − 10 m 70 − 10 m 73 − 11 m 55.

9 m 20 8 m 72 9 m 37

9 m 20 7 m 95 10 m 70

Pour chacune des deux séries, il y a autant de longueurs inférieures ou égales à 9 m 20 que de longueurs

supérieures ou égales à 9 m 20.

Pour la 1re série, environ 50 % des longueurs sont comprises entre 8 m 72 et 9 m 37. Tandis que pour la

2e série, environ 50 % des longueurs sont comprises entre 7 m 95 et 10 m 70. Cette série est donc plus

hétérogène que la première.

données quatre

Chapitre

#



■ Chaque résultat possible d’une expérience est une ......................... de l’expérience.

■ Un ....................................... peut être réalisé par une ou plusieurs issues.

Un événement réalisé par une seule issue est un ................................................................ .

■ Lorsque chaque issue d’une expérience ne dépend pas des issues précédentes, on dit qu’il s’agit d’une ...........................

................................................ .

Chapitre

11

J E R E V O I S L E C O U R S . . . L E V O C A B U L A I R E

1 SC On écrit sur les faces d’un dé à 6 faces, chacune des lettres A, B, C, D, E et F.

On lance le dé et on note la lettre écrite sur sa face supérieure.

1) Les issues de cette expérience sont : ......................................................................................................................................

2) Pour chaque événement, préciser le nombre d’issues qui le réalisent.

a « on obtient C » est réalisé par ........ issue(s) ; b « on obtient F » est réalisé par ........ issue(s) ;

c « on obtient G » est réalisé par ........ issue(s) ; d « on obtient A ou B » est réalisé par ........ issue(s) ;

e « on obtient une consonne » est réalisé par ........ issue(s) ;

f « on obtient une lettre du mot PROBABLE » est réalisé par ........ issue(s) ;

g « on obtient une lettre » est réalisé par ........ issue(s).

3) Proposer un événement élémentaire, non cité à la question 2) .

........................................................................................................................................................................................................

4) Proposer un événement non élémentaire, non cité à la question 2).

........................................................................................................................................................................................................

5) Expliquer pourquoi il s’agit d’une expérience aléatoire : ...........................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2 On lance trois pièces de monnaie identiques. On note P pour pile et F pour face.

On ne tient pas compte de l’ordre. Par exemple, PPF et PFP sont la même issue.

1) Citer les quatre issues de cette expérience : ............................. ; ............................. ; ............................. ; ............................ .

2) Écrire un événement élémentaire : «...................................................................................................................................... ».

3) Écrire un événement non élémentaire : «............................................................................................................................... ».

3 On lance trois pièces de monnaie différentes. On note P pour pile et F pour face.

On tient compte de l’ordre. Par exemple, PPF et PFP sont deux issues différentes.

1) Citer toutes les issues de cette expérience : .............................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) Écrire un événement non élémentaire : « ............................................................................................................................... »

SC Expériences à une épreuve.

A, B, C, D, E et F.

1 1

0 2

4

3

6

« on obtient la lettre D »

« on obtient une voyelle »

Lorsqu’on lance un dé, chaque issue ne dépend pas

des issues précédentes.

PPP PPF PFF FFF

on obtient trois piles

on obtient au moins une pile

PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP et FFF.

on obtient exactement une pile

issue

événement

événement élémentaire

expérience

aléatoire

43© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 11 – Probabilités

■ Lorsqu’on effectue .................................................. nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation

d’un événement se rapproche d’une « .................................................. théorique » appelée ................................................. .

■ Un événement se note A et .................................................. qu’il se réalise se note p(A).

J E R E V O I S L E C O U R S . . . P R O B A B I L I T É E T F R É Q U E N C E

4 SC On jette une punaise sur la table et on étudie dans quelle position elle tombe.

D « la punaise tombe sur le dos » P « la punaise tombe pointe en bas »

1) On a effectué 500 lancers et on a obtenu 312 fois D.

La fréquence de D est ......................... et celle de P est ......................... .

2) On a effectué 1 200 lancers et on a obtenu 471 fois P.

La fréquence de P est ......................... et celle de D est ......................... .

3) On a effectué 2 800 lancers et on a obtenu 1 673 fois D.

La fréquence de D est ......................... et celle de P est ......................... .

4) Il semble que la probabilité d’obtenir D est ......................... à celle d’obtenir P.

5) On peut conjecturer que : p(D) � ........10

et p(P) � ........10

.

5 SC On étudie le lancer d’une pièce de monnaie. On note P pour pile et F pour face.

1) Si la pièce est équilibrée, la probabilité d’obtenir P ........................................ à celle d’obtenir F.

2) On a effectué 3 500 lancers d’une pièce de 1 € et on a obtenu 1 738 fois P.

Cette pièce semble-t-elle truquée ?

Justifier la réponse. .........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

3) On a effectué 5 400 lancers d’une pièce de 2 € et on a obtenu 2 148 fois P.

Cette pièce semble-t-elle truquée ?

Justifier la réponse. .........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

4) On lance une pièce de monnaie équilibrée. On a obtenu PPPPPPPP. Quelle est la probabilité d’obtenir P au lancer suivant ?

........................................................................................................................................................................................................

6 SC Un bulletin météorologique prévoit que la probabilité qu’il pleuve sur une zone est de 30 %. Entourer l’affirmation

suivante qui est la meilleure interprétation de ce bulletin.

Affirmation 1 : Il va pleuvoir sur environ 30 % de la zone.

Affirmation 2 : Il va pleuvoir pendant environ 30 % de la journée.

Affirmation 3 : Si la même prévision était faite 100 fois, il pleuvrait à peu près 30 fois.

Affirmation 4 : La quantité de pluie tombée sera 30 % de celle tombée lors d’une forte pluie.


un très grand

fréquence probabilité

la probabilité

0,624 0,376

0,3925 0,6075

0,5975 0,4025

supérieure

6 4

est égale

La fréquence d’obtenir P est environ 0,4966.

Ce nombre est proche de 0,5. Donc, cette pièce ne semble pas truquée.

La fréquence d’obtenir P est environ 0,3978.

Ce nombre n’est pas proche de 0,5. Donc, cette pièce semble truquée.

La pièce étant équilibrée, la probabilité d’obtenir pile est 12

.



■ Une probabilité est un nombre compris entre ........ et ........ .

■ Lorsque tous les événements ....................................................... ont la même probabilité, on dit qu’il s’agit d’une situation

....................................................... .

Dans ce cas : p(événement élémentaire) = ................nombre d’issues de l’expérience

.

J E R E V O I S L E C O U R S . . . P R O P R I É T É S D E S P R O B A B I L I T É S

7 SC On considère une expérience aléatoire.

Cette expérience admet 7 issues différentes et il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

1) La probabilité d’un événement élémentaire est égale à ................

.

2) La probabilité d’un événement réalisé par trois issues est égale à ................

.

3) La probabilité d’un événement qui n’est pas réalisé par cinq issues est égale à ................

.

8 SC On écrit sur les faces d’un dé à 6 faces, chacune des lettres du mot « PLAGES ».

On lance le dé et on note la lettre écrite sur sa face supérieure.

1) Justifier qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité : ...............................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants.

a Z : « on obtient la lettre G » p(Z) = ................

. b Y : « on obtient la lettre H » p(Y) = ................

.

c X : « on obtient une lettre du mot SOLEIL » p(X) = ................

.

d W : « on obtient une consonne » p(W) = ................

.

e V : « on obtient une lettre du mot ALPAGES » p(V) = ................

.

9 SC Les boules ci-contre sont mises dans une urne.

On tire une boule au hasard de cette urne.

1) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants.

a R : « on tire une boule rouge » p(R) = ................

= 1........

.

b J : « on tire une boule jaune » p( J) = ................

= 1........

.

c V : « on tire une boule verte » p(V) = ................

= 1........

.

d B : « on tire une boule bleue » p(B) = ................

= 1........

.

2) Déterminer la probabilité d’obtenir une couleur primaire.

...............................................................................................................................


0 1

élémentaires

d’équiprobabilité

1

1 7 3 7 2 7

Lorsqu’on lance un dé, chaque issue ne dépend pas des

issues précédentes.

1 0 6 6 3 6 4 6 6 6

8 16 2 4 16 4 2 16 8 2 16 8

p = 8 + 4 + 2

16 = 1416 =

78

.

Chapitre

#

45© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 12 – Le théorème de Thalès et sa réciproque

1 SC 1) a Tracer un triangle EFG tel que :

EGlF = 50°, GE = 6 cm et GF = 5,4 cm.

b Placer le point O tel que O Z [EG) et EO = 8 cm.

c Placer le point L tel que L Z [EF) et (OL) // (GF).

2) Déterminer EOlL. Justifier la réponse.

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

3) Déterminer la longueur OL. Justifier la réponse.

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

2 SC Le triangle ALF est une réduction du triangle APR.

On a : AL = 3,5 cm ; LF = 5,5 cm ; AR = 7,2 cm ; AP = 5,6 cm.

1) Déterminer et simplifier le rapport k de cette réduction.

k = A.....A.....

= ..............................

= .............................

= ..............................

= ......................

.

2) Déterminer la longueur AF.

.....................................................................................................................

3) Déterminer la longueur PR.

........................................................................................................................................................................................................

Chapitre

12

Sur la figure ci-contre : G Z [ST) , H Z [SR) et (GH) // (TR).

On a de plus : SR = 5 cm et SH = 7 cm.

• Le triangle ............ est un agrandissement du triangle RST.

• Le rapport de cet agrandissement est SHSR

= ........ .

• Le triangle ............ est une réduction du triangle HSG.

• Le rapport de cette réduction est SRSH

= ........ .

• On a aussi : SRlT = ............ et STlR = ............ .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . R É D U C T I O N E T A G R A N D I S S E M E N T

E

G

SC Agrandissement ou réduction d’une figure.

F

LP

R

A

G

HR

T

S

Le triangle EOL est un agrandissement du triangle

EGF.

Donc, ElOL = ElGF = 50°.

Le rapport de cet agrandissement est k = EOEG

= 86

= 43

.

Donc, OL = kGF = 43

× 5,4 = 7,2 cm.

L 3,5 35 5 × 7 5 P 5,6 56 8 × 7 8

AF = kAR = 58

× 7,2 = 4,5 cm.

LF = kPR, d’où PR = 1k

LF = 85

× 5,5 = 8,8 cm.

HSG

75

RST

57

SHlG SGlH G

HR

T

S

6 cm

5,4 cm

E

F

L

G

O

8 cm50°

F

LP

R

A



3 SC On considère la figure suivante.

G

I

M

P

U

4 On considère la figure suivante.

Z

N

RS

T

Énoncer le théorème de Thalès. Énoncer le théorème de Thalès

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

FR

T

VE

H

K

L

O

A

SC Sur la figure ci-dessus :

• les droites (........) et (........) sont sécantes en V ;

• les points ........, ........ et ........sont alignés ;

• les points ........, ........ et ........ sont alignés ;

• les droites (........) et (........) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :................

= ................

= ................

Sur la figure ci-dessus :

• les droites (........) et (........) sont sécantes en A ;

• les points ........, ........ et ........sont alignés ;

• les points ........, ........ et ........ sont alignés ;

• les droites (........) et (........) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :................

= ................

= ................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . É N O N C É D U T H É O R E M E D E T H A L E S

SC Utilisation, dans un triangle, du théorème de Thalès.

R Z [TN]

R Z [SZ]

(SN) // (TZ )

Les droites (GP) et (UP) sont sécantes en P.

Les points G, I et P sont alignés.

Les points U, M et P sont alignés.

Les droites (GU) et (IM) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :PIPG

= PMPU

= IMGU

Les droites (SZ) et (NT) sont sécantes en R.

Les points S, R et Z sont alignés.

Les points N, R et T sont alignés.

Les droites (NS) et (ZT) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :RSRZ

= RNRT

= SNZT

VR VF OK HL

V E R O A K

V T F H A L

ET RF OH LK

VE VT ET AO AH OH VR VF RF AK AL KL

FR

T

VE

H

K

L

O

A

G

I

M

P

U

Z

N

RS

T

E Z [VR]

T Z [VF ]

(ET ) // (RF )

A Z [OK]

A Z [HL]

(OH) // (LK )

I Z [GP]

M Z [UP]

(GU) // (IM)

47© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 12 – Le théorème de Thalès et sa réciproque

5 Sur la figure ci-contre, on a :

AM = 3,6 cm ; AP = 4,8 cm et PM = 2,4 cm.

Placer les points B, C, D et E tels que :

● B Z [AM) et AB = 4,2 cm ;

● C Z [AP) et (BC) // (MP) ;

● D Z [PA) et AD = 5,6 cm ;

● E Z (AM) et (DE) // (MP).

Sur la figure ci-contre :

● les droites (............) et (............) sont sécantes au point ........ ;

● les points ........, ........ et ........ sont alignés ;

● les points ........, ........ et ........ sont alignés ;

● les droites (............) et (............) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : DYDU

= DM

........ =

........U.....

.

C’est-à-dire : 43

= DM

........ =

........U.....

.

Calcul de la longueur UK :

On a ainsi 43

= ........U.....

, d’où UK × ........ = ........ × ........ ; donc UK = ........................

= ................

= ............... cm.

SC Utilisation, dans un triangle, du théorème de Thalès.

D Z [YU] ; D Z [MK] ; (YM) // (UK).

J E R E V O I S L E C O U R S . . . U T I L I S A T I O N D U T H É O R E M E D E T H A L E S

Y

D

K

M U

4 cm

3 cm

3 cm

A

M

P

6 SC Calculer la longueur AC.

Les droites (........) et (........) sont sécantes en .........

Les points ........, ........ et ........ sont alignés.

Les points ........, ........ et ........ sont alignés.

Les droites (........) et (........) sont parallèles.

Donc, d’après .........................................................................,

on a : ....................

= ....................

= ....................

.

C’est-à-dire : ................

= ................

= ................

.

Ainsi : ................

= ................

.

D’où : ........× ........ = ........× ........ .

Donc, AC = ........ × ........

........ = ........cm.

7 Calculer la longueur DE.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

YU MK D

Y D U

M D K

MY KU YM DK K 3 DK K

3 4 3 3 3 × 3 9

2,25 K 4 4

AB AC A.

A M B

A P C

MP BC

le théorème de Thalès

AM AP MP AB AC BC

3,6 4,8 2,4 4,2 AC BC

3,6 4,8 4,2 AC

AC 3,6 4,2 4,8

4,2 4,8 5,6

3,6

Les droites (DP) et (EM) sont sécantes en A.

Les points D, A et P sont alignés.

Les points E, A et M sont alignés.

Les droites (DE) et (MP) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès,

on a : ADAP

= AEAM

= DEMP

.

C’est-à-dire : 5,64,8

= AE3,6

= DE2,4

.

Ainsi : 5,64,8

= DE2,4

.

D’où : DE × 4,8 = 5,6 × 2,4.

Donc, DE = 5,6 × 2,4

4,8 = 2,8 cm.

Y

D

K

M U

4 cm

3 cm

3 cm

D

E

A

MB

PC



SC Sur la figure ci-dessus :

● KPKT

= ................

= 45

........ =

15......

et KMKE

= ................

= 60

........ =

15........

.

● On constate que KPKT

........ KMKE

.

Or, les points K, T, P et les points K, E, M sont alignés dans

le même .............................................................................. .

Donc, d’après la .......................................... du théorème de

Thalès, les droites (TE) et (PM) ........................................... .

Sur la figure ci-dessus :

● LSLC

= ................

= 25

........ =

5.....

et LRLA

= ................

= 21

........ .

● On constate que LSLC

........ LRLA

.

Donc, d’après la .......................................... du théorème de

Thalès, les droites (SR) et (AC) ...............................................

............................................................................................. .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É T E R M I N E R S I D E S D R O I T E S

S O N T P A R A L L E L E S

SC Utilisation, dans un triangle, de la réciproque du théorème de Thalès.

K

MP

T E C

L

R

S

A

8 SC Démontrer que les droites (ME) et (NF) ne sont pas parallèles.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

9 Démontrer que les droites (ME) et (SR) sont parallèles.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

FN

M

D

R

S

E

Les points S, D, E et F sont alignés.

Les points N, M, D et R sont alignés.

DM = 2,5 cm ; DE = 3 cm ;

DN = 3,8 cm ; DF = 4,5 cm ;

DS = 5,4 cm ; DR = 4,5 cm.

L Z [SC]

L Z [RA]

LS = 2,5 cm

LR = 2,1 cm

LA = 2,5 cm

LC = 3 cm

4,5 6 2,1 21 7 2,8 28 7

=

ordre

réciproque

sont parallèles

2,5 2,1 3 30 6 2,5 25

�

contraposée

ne sont pas parallèles

● DNDM

= 3,82,5

= 3825

= 1,52 et DFDE

= 4,53

= 1,5.

● On constate que DNDM

� DFDE

.

Donc, d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites

(EM) et (NF) ne sont pas parallèles.

● DMDR

= 2,54,5

= 2545

= 59

et DEDS

= 3

5,4 =

3054

= 59

.

● On constate que DMDR

= DEDS

.

Or, les points M, D, R et les points E, D, S sont alignés dans le même

ordre.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ME)

et (SR) sont parallèles.

K

MP

T E C

L

R

S

A

FN

M

D

R

S

E

E Z [KM]

T Z [KP]

KE = 2,8 cm

KT = 2,1 cm

KM = 6 cm

KP = 4,5 cm


1 Le triangle ABC est ........................ en ........ .

cos ABlC = ....................

sin ABlC = ....................

............................................

tan ABlC = ....................

2 1) Le triangle EFG est .............................. en E.

● L’hypoténuse est ............... . Donc : cos EFlG = ..........

.......... .

Le côté adjacent à l’angle EFlG est ............... .

● L’hypoténuse est ............... . Donc : sin EFlG = ..........

.......... .

Le côté opposé à l’angle EFlG est ......................... .

● Le côté adjacent à l’angle EFlG est ............... . Donc : tan EFlG = ..........

.......... .

Le côté opposé à l’angle EFlG est ............... .

2) Le triangle EFH .............................. en H.

● L’hypoténuse est ..............., le côté adjacent à l’angle EFlH est ............... . Donc : cos EFlH = ....................

.

● L’hypoténuse est ..............., le côté opposé à l’angle EFlH est ............... . Donc : sin EFlH = ....................

.

● Le côté adjacent à l’angle EFlH est ..............., le côté opposé à l’angle EFlH est ............... . Donc : tan EFlH = ....................

.

3) Le triangle ............... est rectangle en ..............., on a :

sin EGlF = ....................

; .............................. = EGFG

et .............................. = EFEG

.

Chapitre 13 – Trigonométrie dans le triangle rectangle

■ Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du ............................................

à cet angle par la longueur ........................................ .

■ Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du ................................................

à cet angle par la longueur ........................................ .

■ Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du ...........................................

à cet angle par la longueur du ........................................ .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . D É F I N I T I O N S

Chapitre

13

Aucune compétence n’est exigible au socle commun.

CB

Acôté .............................. côté ..............................

à l’angle ABlC. à l’angle ABlC.

F GH

Eiyt

iyt

iyt

côté adjacent

de l’hypoténuse

côté opposé

de l’hypoténuse

côté opposé

côté adjacent

rectangle A

adjacent opposé AB BC AC BC AC

Hypoténuse AB

rectangle

[FG] EF

[EF] FG

[FG] EG

[EG] FG

[EF] EG

[EG] EF

rectangle

[EF] [FH] FH EF

[EF] [EH] EH

EF [FH] [EH]

EH FH

EFG E

EF cos ElGF tan ElGF

FG



3 Calculer la longueur EG arrondie au dixième.

25°

?

G

FE

5 cm

Dans le triangle EFG .............................. en ...............,

on connaît :

– la mesure de l’angle ............... ;

– la longueur de l’hypoténuse.

On cherche la longueur de son côté opposé.

On utilise donc .............................. .

............... EFlG = ....................

............... 25° = EG..........

EG = ............... × ............... 25°

EG � ............... cm

4 Calculer la longueur AT arrondie au dixième.

35°

?

M

TA

3 cm

Dans le triangle MAT .............................. en ...............,

On connaît :

– la mesure de l’angle ............... ;

– la longueur de ................................................. .

On cherche la longueur de ................................................ .

On utilise donc .............................. .

............... MAlT = ....................

............... 35° = ..........AT

AT × ............... 35° = ...............

AT = .................... 35°

AT � ............... cm

5 Calculer la longueur RC arrondie au dixième.

64°

? C

P

R

2,5 cm

Dans le triangle ................................................. en ................,

On connaît :

– la mesure de l’angle .............................. ;

– la longueur de .................................................. .

On cherche la longueur de ......................................

On utilise donc .............................. .

............... RPlC = ....................

............... 64° = ....................

RC = ............... × ...............

RC � ............... cm

6 Le point I appartient au cercle de diamètre [AD].

21°4 cmD

I

A

1) Démontrer que le triangle IDA est rectangle.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

2) Calculer la longueur IA arrondie au dixième.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . C A L C U L D E L O N G U E U R S

rectangle E rectangle M

ElFG MlAT

son côté adjacent

l’hypoténuse

le sinus le cosinus

sin EG cos MA FG AT

sin cos 3 5

5 sin cos 3

2,1 3 cos

3,7

RCP rectangle C

RlPC

son côté adjacent

son côté opposé

la tangente

tan RC CP

tan RC 2,5 2,5 tan 64°

5,1

Le point I appartient au cercle de diamètre [AD].

Or si un triangle est inscrit dans un cercle de

diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.

Donc le triangle IDA est rectangle en I.

Le triangle IDA est rectangle en I.

sin IDlA = IADA

sin 21° = IA4

IA = 4 × sin 21° � 1,4 cm

51© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 13 – Trigonométrie dans le triangle rectangle

7 Dans chaque cas, en utilisant la calculatrice, déterminer la mesure de l’angle arrondie au degré.

a cos ABlC = 0,7 ABlC � ............... b sin IJlK = 0,4 IJlK � ................

c tan EFlG = 0,9 EFlG � ............... d sin OPlR = 35

OPlR � ...............

e cos LAlM = 13

LAlM � ............... f tan SOlU = �3 SOlU � ...............

8 Calculer la mesure de l’angle EMlR arrondie au degré

près.

2 cm5 cm

M

R

E?


on cherche la mesure de l’angle ............... .

On connaît :

– la longueur de ........................................ ;

– la longueur de ........................................ .

On utilise donc .............................. .

............... EMlR = ....................

............... EMlR = ....................

EMlR � ............... .

9 Calculer la mesure de l’angle BHlI arrondie au degré

près.

6,3 cm

1,8 cm

?

HI

B


on cherche la mesure de l’angle ............... .

On connaît :

– la longueur de ........................................ ;

– la longueur de ........................................ .

On utilise donc ........................................ .

............... BHlI = ....................

............... BHlI = ....................

BHlI � ............... .

10 Le point B appartient au segment [AC].C

D

B

A

On donne AD = 5 cm ; AB = 1,2 cm et AC = 3 cm.

1) Calculer la mesure de l’angle ADlC arrondie au degré.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

2) Calculer la mesure de l’angle ADlB arrondie au degré.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

3) En déduire une valeur approchée de la mesure de l’angle

BDlC.

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . C A L C U L D ’ A N G L E S

46° 24°

42° 37°

71° 60°

ERM rectangle E

EMR

l’hypoténuse

son côté opposé

le sinus

sin ER RM

sin 2

5

24°

BIH rectangle B

BlHI

son côté opposé

son côté adjacent

la tangente

tan BI BH

tan 6,3 1,8

74°

m

Le triangle ADC est rectangle en A.

tan AlDC = ACAD

tan AlDC = 35

AlDC � 31°

Le triangle ABD est rectangle en A.

tan AlDB = ABAD

tan AlDB = 1,25

AlDB � 13°

BlDC = AlDC − AlDB

BlDC � 31° − 13°

BlDC � 18°



11 1) Construire ci-dessous un rectangle ABCD tel que AB = 7 cm et BAlC = 30°.

2) Calculer la longueur BC arrondie au mm près.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

3) Construire le point E du segment [BD] tel que AE = 7,5 cm.

Calculer la mesure de l’angle BAlE arrondie au degré près.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

12 Le quadrilatère ABCD est tel que les angles BAlD, ADlC et CBlD sont droits.

1) Calculer DB.

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

2) Calculer la mesure de ADlB, arrondie au degré près.

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

3) Calculer une valeur approchée de la longueur DC.

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . C A L C U L D E L O N G U E U R S E T D ’ A N G L E S

ABCD étant un rectangle, le triangle ABC est rectangle en B.

tan BlAC = BCBA

BC = BA × tan BlAC = 7 tan 30° � 4 cm.

Le triangle BAE est rectangle en B.

cos BlAE = BAAE

= 77,5

BlAE � 21°.


D’après le théorème de Pythagore :

DB2 = AD2 + AB2

DB2 = 362 + 482

DB2 = 3 600

DB = �3 600 = 60 mm


cos AlDB = ADDB

cos AlDB = 3660

AlDB � 53°

BlDC = AlDC – AlDB � 90° – 53° = 37°

Le triangle DBC est rectangle en B.

cos BlDC = DBDC

cos 37° � 60DC

DC × cos 37° � 60

DC � 60cos 37°

DC � 75°


53© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 14 – Angles inscrits — Polygones réguliers

Chapitre

14

1 Dans chaque cas, colorier en bleu l’angle inscrit et en vert l’angle au centre qui interceptent l’arc de cercle rouge.

a b c

O

O

O

2 Dans chaque cas :

1) tracer en vert l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit (qui est coloré en vert) ;

2) tracer en rouge l’arc de cercle intercepté par l’angle au centre (qui est coloré en rouge) ;

3) préciser si l’angle inscrit et l’angle au centre interceptent le même arc de cercle.

Sur la figure ci-contre, l’angle BAlD est un ..................................................... dans le cercle (�).

Cet angle intercepte le petit arc de cercle .......... .

L’angle BOlD est l’............................................................., qui intercepte le ...............................

arc de cercle .......... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . .

D

O

B

A

a M

O

BA

L’angle inscrit AMlB et l’angle

au centre AOlB .......................

...............................................

...............................................

b

P R

S

T

L’angle inscrit ............... et

l’angle au centre .....................

...............................................

...............................................

c

F

G H

I


l’angle au centre .....................

...............................................

...............................................

d D

J

K

N


l’angle au centre .....................

...............................................

...............................................

3 1) En utilisant les points de la figure, tracer un angle inscrit et un angle au centre qui

interceptent le même arc de cercle.

2) Mesurer chacun de ces deux angles.

Que remarque-t-on ?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

O

N

MP

F

G H

I

angle inscrit

B+D

angle au centre petit

B+D

interceptent le même

arc de cercle.

TlSP

PlRS

n’interceptent pas le

même arc de cercle.

GlFH

GlIH

n’interceptent pas

le même arc de cercle.

NlDK

NlJK

interceptent le même

arc de cercle.

On remarque que la mesure de l’angle au centre est égale au double de celle

de l’angle inscrit.

D

O

B

A

O O O

M

O

BA

P R

S

T D

J

K

N

O

N

MP




4 On veut calculer la mesure de l’angle BAlD.

Compléter la démonstration suivante.

L’angle BAlD est un angle ......................... dans le cercle (�).

Il intercepte le petit arc de cercle ............ .

L’angle BOlD est l’...................................................... qui intercepte le même petit arc

de cercle ............ .

Or, dans un cercle , si ...................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Donc, BAlD = ................................... BAlD = ..........

5 1) On veut calculer la mesure de l’angle FIlD.

Compléter la démonstration suivante.

L’angle FElD est ..............................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

L’angle FIlD est ..............................................................................................................

......................................................................................................................................

Or, dans un cercle, .......................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Donc, FIlD = .......... . FIlD = .......... .

2) Le point O est le centre du cercle (�). Calculer la mesure de l’angle FOlD. Justifier la réponse.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

■ Propriété : Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le ........................................................,

alors la mesure de l’angle inscrit est égale à ....................................... de celle de l’angle au centre.

■ Propriété : Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le ..................................................................................,

alors ils ont ..................................................................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . P R O P R I É T É S

DB

A

138°

O

O

DF

I

E

52°

même arc de cercle

la moitié

même arc de cercle

la même mesure

inscrit

B+D

angle au centre

B+D

un angle inscrit et un angle au centre inter-

ceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l’angle inscrit est

égale à la moitié de celle de l’angle au centre.

138° : 2 = 69° 69°

un angle inscrit dans le cercle (�).

Il intercepte le petit arc de cercle F+D.

l’angle au centre qui intercepte le même petit arc de

cercle F+D.

si deux angles inscrits interceptent le même arc de

cercle, alors ils ont la même mesure.

52° 52°

L’angle FElD est un angle inscrit dans le cercle (�).

Il intercepte le petit arc de cercle F+D.

L’angle FOlD est l’angle au centre qui intercepte le même petit arc de cercle F+D.

Or, dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors la

mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre.

Donc, FElD = FOlD : 2.

Or, FElD = 52°. Donc, FOlD = 2 × 52° = 104°. FOlD = 104 °

DB

A

138°

O

O

DF

I

E

52°


6 1) À l’aide du compas, construire un hexagone régulier de centre O et dont un som-

met est le point A.

Retracer cet hexagone en bleu.

2) Tracer en rouge le triangle équilatéral de centre O et dont un sommet est le point A.

3) À l’aide du compas, construire le carré de centre O et dont un sommet est le point A.

Retracer ce carré en vert.

7 ABCDE est un pentagone régulier de centre O.

1) Calculer la mesure de l’angle AOlB.

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

2) En utilisant le rapporteur, tracer un pentagone régulier ABCDE de centre O.

8 Construire un octogone régulier ABCDEFGH de centre O.

■ Un polygone régulier a : – tous ses côtés .......................................................................................................................... ;

– tous ses angles ........................................................................................................................ .

■ Un polygone régulier est inscrit dans un ............................... .

On appelle centre du polygone régulier le ..................................................... .

Si A et B sont deux sommets consécutifs d’un polygone régulier à n côtés, alors l’angle AOlB est appelé angle ..........................

du polygone. On a : AOlB = ............................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . P O LY G O N E S R É G U L I E R S

SC Construire un triangle équilatéral et un carré connaissant son centre et un des sommets.

O

A

O

O

Chapitre 14 – Angles inscrits — Polygones réguliers

de la même longueur

de la même mesure

cercle

centre de ce cercle

au centre

360° : n

AlOB = 360° : 5

AlOB = 72°

O

A

O

A

B

CD

E

O

A

B

CD

E

F

HG

Chapitre

#



1 SC La figure ci-contre est la représentation en perspective cavalière d’un

parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que AB = 4 cm ; AE = 2 cm et AD = 5 cm.

1) a Placer le point M de l’arête [AB] tel que AM = 1,5 cm.

b Tracer la section du parallélépipède rectangle par le plan qui passe par le point M

et qui est parallèle à la face ADHE.

2 SC La figure ci-contre est un cube ABCDEFGH d’arête 5 cm.

Le quadrilatère IJKL est la section du cube par un plan parallèle à l’arête

[BF]. On donne : AI = 2 cm et BJ = 2 cm.

■ La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un ........................................ de mêmes

dimensions que ......................................... .

■ La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un ......................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . S E C T I O N S P L A N E S D E P A R A L L É L É P I P E D E S

R E C T A N G L E S

CChCC apitreeChapitre

15

SC Reconnaître une section plane.

CD

GH

FE

BA

c Quelle est la nature de cette section ?

......................................................................................

2) Représenter en vraie grandeur cette section.

3) Représenter en vraie gran-

deur la section du parallélépi-

pède rectangle par un plan qui

passe par le milieu de l’arête

[AE] et qui est parallèle à la

face ABCD.

1) Représenter en vraie grandeur la face ABCD. 2) Représenter en vraie grandeur le quadrilatère IJKL.

CD

F

GK

LE

A

H

BI J

rectangle

la face

rectangle

Cette section est un rectangle

CD

GH

M

FE

BA

CD

F

GK

LE

A

H

BI J

CD

J

I BA

I J

KL


3 SC On considère un cylindre de révolution de hauteur 2 cm, de base un disque dont le rayon vaut 1,5 cm.

■ La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un ......................................... .

■ La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un ......................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . S E C T I O N S P L A N E S D E C Y L I N D R E S

D E R É V O L U T I O N


1) On coupe ce cylindre par un plan perpendiculaire à son

axe.

a Quelle est la nature de cette section ?

.................................................................................................

.................................................................................................

b Représenter cette section en vraie grandeur.

2) On coupe ce cylindre par un plan passant par le centre

d’une base et parallèle à son axe.

a Quelle est la nature de cette section ?

.................................................................................................

.................................................................................................

b Représenter cette section en vraie grandeur.

2) Représenter en vraie grandeur la face du dessus du

cylindre. Puis, placer les points R, A et S.

3) Représenter en vraie grandeur le quadrilatère RSTV.

4 SC Sur la figure ci-contre, le quadrilatère RSTV est la section d’un cylindre de révolution de

hauteur 5 cm par un plan parallèle à son axe.

Le point O est le centre d’une base du cylindre.

La droite (OA) est perpendiculaire à la droite (RS).

On donne : OA = 1,5 cm et OS = 3 cm.

1) Quelle est la nature du quadrilatère RSTV ?

........................................................................................................................................................................................................

O

RA

T

S

V

Chapitre 15 – Géométrie dans l’espace

disque

rectangle

Cette section est un disque de rayon 1,5 cm. Cette section est un rectangle.

Le quadrilatère RSTV est un rectangle.

O

R

S

V

O

R SA

R S

TV




5 La figure ci-contre est la représentation en perspective d’une pyramide régulière.

Le point M appartient à l’arête [SA]. On donne : SA = 6 cm ; SH = 5 cm ; SM = 4 cm.

1) La section de la pyramide par un plan passant par le point M et parallèle à sa base est

le quadrilatère MNOP.

Tracer ce quadrilatère sur la perspective. Placer son centre I.

2) Quelle est la nature du quadrilatère MNOP ?

............................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

■ La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un ........................................................... de même nature

que ....................................................................................... .

■ La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un .................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . S E C T I O N S P L A N E S D E P Y R A M I D E S

E T D E C Ô N E S D E R É V O L U T I O N

CD

H

M

S

BA

3) Représenter en vraie grandeur le triangle SAH.

Placer les points M et I.

4) Représenter en vraie grandeur le quadrilatère MNOP.

1) Représenter le triangle SOM en vraie grandeur.

Placer les points O’ et M’.

2) Représenter la section en vraie grandeur.

6 La partie verte de la figure est la section d’un cône de révolution par un plan parallèle

à sa base.

On donne : SO = 4 cm ; SM = 7 cm ; SM’ = 3 cm.M’

MO

S

O’

polygone

le polygone de base

disque

Le quadrilatère MNOP est un polygone de même nature que la base

de la pyramide.

Or, la pyramide est régulière : sa base est un carré. Donc, MNOP est un carré.

CD

H

NM

OP

S

BA

I

I M

S

H A

IMO

N

P

M’

MO

S

O’

M

O’M’

O

S

M’ O’

59© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 15 – Géométrie dans l’espace

7 SC1 Une sphère de centre O et de rayon 4,5 cm est coupée par un

plan (�) qui passe par un point I et qui est perpendiculaire à la droite (OI).

1) On suppose que OI = 4 cm.

a Quelle est la nature de la section de la sphère par le plan (�) ?

............................................................................................................................

2) On suppose que OI = 4,5 cm. Quelle est la nature de la section de la sphère par le plan ?

........................................................................................................................................................................................................

3) On suppose que OI = 6 cm. Que se passe-t-il ?

........................................................................................................................................................................................................

8 La section d’une sphère de centre O par un plan (�) est un cercle de

centre I et de rayon 20 cm.

La distance du plan au centre de la sphère est 15 cm.

1) À quelle longueur correspond la distance du plan au centre de la sphère ?

................................................................................................................................

2) Quelle est la nature du triangle OIM ?

........................................................................................................................................................................................................

3) Calculer le rayon de la sphère.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

La section plane d’une sphère est ......................................... .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . S E C T I O N S P L A N E S D E S S P H E R E S


IM

O

b Représenter en vraie grandeur le triangle IOM. c Représenter en vraie grandeur la section.

IM

O

un cercle

La section de la sphère par le plan est le point I.

Le plan ne coupe pas la sphère.

Cette distance correspond à la longueur OI.

Le triangle IOM est rectangle en I.

Le triangle IOM est rectangle en I.

Or, d’après le théorème de Pythagore, on a : OM² = OI² + IM².

D’où : OM² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625.

Or OM � 0. Donc, OM = �625 = 25.

Le rayon de la sphère est 25 cm.

Cette section est un cercle.

IM

O

I M

O

I M

IM

O

Chapitre

#



CChCC apitreeChapitre

16

■ L’aire d’une sphère de rayon r est donnée par la formule � = .............................. .

■ Le volume d’une boule de rayon r est donné par la formule � = .............................. .

J E R E V O I S L E C O U R S . . . A I R E D ’ U N E S P H E R E ,

V O L U M E D ’ U N E B O U L E

1 Calculer l’aire totale de chaque objet.

2 Calculer le volume de chaque solide.

a Pyramide régulière

5 m

8 m

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

b Cylindre de révolution

8 cm

3 cm

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

c Sphère

4 m

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

a Pyramide à base rectangulaire

3,5 cm4 cm

7,5 cm

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

b Cône de révolution

9 cm

4 cm

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

c SC1 Boule

4 m

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

SC1 Calculer le volume de certains solides.

4πr2

43

πr3

� = 5 × 82

× 4 + 5²

� = 80 + 25

� = 105

L’aire totale de la pyramide est

105 m2.

� = π × 32 × 2 + 2 × π × 3 × 8

� = 18π + 48π

� = 66π

L’aire totale du cylindre est

66π cm2.

� = 4 × π × 42

� = 64π

L’aire de la sphère est 64π m2.

� = 3,5 × 4 × 7,53

� = 1053

� = 35

Le volume de la pyramide est

35 cm3.

� = π × 42 × 9

3� = π × 144

3� = 48π

Le volume du cône est 48π cm3.

� = 43

× π × 43

� = 2563

π

Le volume de la boule est 2563

π m3.

61© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection PhareLa photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 16 – Aires et volumes – Grandeurs composées

3 SABCD est une pyramide régulière telle que AB = 4 cm.

Sa hauteur [SO] mesure 6 cm. O’ est le point du segment [SO] tel que SO’ = 3,6 cm. En coupant

la pyramide SABCD par le plan passant par le point O’ et parallèle à sa base, on obtient une pyra-

mide SA’B’C’D’, réduction de la pyramide SABCD.

1) Calculer le rapport de réduction.

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2) SC2 Calculer l’aire du quadrilatère ABCD. En déduire l’aire du quadrilatère A’B’C’D’.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

3) Calculer le volume de la pyramide SABCD. En déduire le volume de la pyramide SA’B’C’D’.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

4 (�) est un cône de révolution de sommet S. Le point O est le centre de sa base. O’ est un point du segment [SO].

En coupant le cône (�) par un plan passant par le point O’ et parallèle à sa base, on obtient un cône (�’), réduction du cône (�).

On donne : SO’ = 8 cm ; SO = 10 cm et OM = 6 cm.

Le solide obtenu en enlevant le cône (�’) au cône (�) s’appelle un tronc de cône.

1) Calculer le volume du cône (�).

........................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

2) Calculer le volume du cône (�’).

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

3) Calculer le volume du tronc de cône.

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

Si une figure (�’) est un agrandissement ou une réduction d’une figure (�) de rapport k, alors :

■ une longueur de (�’) s’obtient en multipliant par ........ la longueur associée de (�) ;

■ l’aire d’une surface de (�’) s’obtient en multipliant par ........ l’aire associée de (�) ;

■ le volume de (�’) s’obtient en multipliant par ........ le volume de (�).

J E R E V O I S L E C O U R S . . . A G R A N D I S S E M E N T - R É D U C T I O N

SC2 Utiliser un rapport d’agrandissement, de réduction.

C

C’

S

A

A’

B

B’D

D’

O

O’

MO

O’

S

k

k2

k3

SO’SO

= 3,66

= 3660

= 3 × 125 × 12

= 35

. Le rapport de réduction est 35

.

La pyramide est régulière. Donc, sa base ABCD est un carré. Son aire est : � = AB2 = 42 = 16 cm2.

Le quadrilatère A’B’C’D’ est une réduction de rapport 35

du carré ABCD.

Donc, son aire est : �’ = 35

2 × � = 9

25 × 16 = 5,76 cm2.

Le volume de la pyramide SABCD est : � =AB2 × SO3

= 42 × 63

= 32 cm3.

La pyramide SA’B’C’D’ est une réduction de rapport 35

de la pyramide SABCD.

Donc, son volume est : �’ = 35

3 × � = 27

125 × 32 = 6,912 cm3.

� = π × 62 × 103

= 60π.

Le volume du cône est 60π cm3.

Le rapport de réduction est : SO’SO

= 810

= 45

.

�’ = (45)3 × � = 64125

× 60π = 30,72π.

Le volume du cône est 30,72π cm3.

� – �’ = 60π – 30,72π = 29,28π.

Le volume du tronc de cône est 29,28π cm3.




■ Lorsqu’on effectue le quotient de deux grandeurs, on obtient une autre grandeur appelée .................................................

...................................................................................................................................................................................................

■ Lorsqu’on effectue le produit de deux grandeurs, on obtient une autre grandeur appelée ...................................................

.................................................................................................................................................................................................

J E R E V O I S L E C O U R S . . . G R A N D E U R S C O M P O S É E S

5

a Un automobiliste effectue 646 km en

8 h 30 min.

Calculer sa vitesse moyenne en km/h.

b Un cycliste a roulé pendant 50 min à

la vitesse constante de 30 km/h.

Calculer la distance parcourue.

c Un randonneur a parcouru 7,5 km à la

vitesse moyenne de 6 km/h.

Calculer la durée de son parcours en

heures et minutes.

8 h 30 min = ............. h

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

6 L’énergie E transformée par un appareil électrique est le produit de sa puissance P par la durée de fonctionnement t.

1) Si la puissance P s’exprime en kilowatts (kW) et si la durée s’exprime en heures (h), alors :

l’énergie s’exprime en ....................................................................... (.........................).

2) Calculer, en kWh, l’énergie transformée par chacun des appareils suivants.

a Un aspirateur (puissance : 1,8 kW) qui fonctionne pendant 3 h.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

b Un téléviseur (puissance : 210 W) qui fonctionne pendant 45 min.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

7 La masse volumique d’un corps est le quotient de sa masse par son volume. La masse volumique du cuivre est

8 920 kg/m3. La boule ci-contre est en cuivre.

1) Calculer son volume en m3.

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

2) Calculer sa masse, à 1 g près.

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

6 cm

grandeur quotient.

grandeur produit.

kilowatts-heures kWh

E = P × t = 1,8 × 3 = 5,4 kWh.

45 min = 0,75 h. 210 W = 0,21 kW. E = P × t = 0,21 × 0,75 = 0,157 5 kWh.

� = 43

× π × 63 = 288π cm3 = 288π × 10-6 m3.

Le volume de la boule est 288π × 10-6 m3.

8 920 × 288π × 10-6 � 8,071.

La masse de la boule est environ 8,071 kg.

8,5

v = dt

= 6468,5

= 76

La vitesse moyenne est 76 km/h.

50 min = 5060

h = 56

h

d = v × t = 30 × 56

= 25

La distance parcourue est

25 km.

t = dv

= 7,56

= 1,25

1,25 h = 1 h 15 min

La durée est 1 h 15 min.

63© Hachette Livre, Mathématiques 3e, cahier d’activités, collection Phare.La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 16 – Aires et volumes – Grandeurs composées

8 SC3 Compléter les égalités suivantes.

a 8 dm² = ....................... cm² b 35,45 dam² = ....................... m² c 150 m² = ....................... dm²

d 4 m² = ....................... cm² e 0,73 hm² = ....................... m² f 2,75 cm² = ....................... m²

g 15 000 m² = ....................... km² h 0,25 hm² = ....................... dm² i 0,003 m² = ....................... mm²


a 1 584 dm3 = ....................... m3 b 8 700 cm3 = ....................... dm3 c 0,745 dm3 = ....................... cm3

d 0,65 m3 = ....................... cm3 e 85 000 cm3 = ....................... m3 f 5 dm3 = ....................... mm3

g 25 L = ....................... dm3 h 0,8 L = ....................... cm3 i 17 m3 = ....................... L

10 SC3 Une guirlande électrique est composée de 20 lampes de puissance 25 W chacune.

1) Calculer la puissance de la guirlande.

........................................................................................................................................................................................................

2) Cette guirlande fonctionne pendant 4 heures.

a Calculer, en kWh, l’énergie transformée par la guirlande.

........................................................................................................................................................................................................

b Calculer, en joules, l’énergie transformée par la guirlande (1 J = 1 Ws).

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

c Le coût de l’énergie électrique est 0,070 7 €/kWh. Calculer la dépense occasionnée par le fonctionnement de la guirlande

pendant les 4 heures.

........................................................................................................................................................................................................


a 3 000 m/h = ............. km/h b 0,7 km/min = ............. km/h c 15 m/s = ............. km/h

d 180 m/min = ............. m/s e 0,05 km/s = ............. m/s f 90 km/h = ............. m/s

12 SC3 Le débit d’un robinet est 5 L/min.

1) Exprimer ce débit en m3/h. ......................................................................................................................................................

2) L’aquarium ci-contre a la forme d’un pavé droit.

Calculer la durée de remplissage de cet aquarium en minutes et secondes.

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

SC3 Effectuer des changements d’unité.

40 cm 20 cm

30 c

m

J E R E V O I S L E C O U R S . . . C H A N G E M E N T S D ’ U N I T É S

800 3 545 15 000

40 000 7 300 0,000 275

0,015 250 000 3 000

1,584 8,7 745

650 000 0,085 5 000 000

25 800 17 000

3 42 54

3 50 25

5 L/min = 300 L/h = 0,3 m3/h.

40 × 20 × 30 = 24 000 cm3 = 24 L. Le volume de l’aquarium est 24 L.245

= 4,8. 4,8 min = 4 min + 0,8 min = 4 min + 0,8 × 60 s

= 4 min 48 s.

L’aquarium est rempli en 4 min 28 s.

P = 20 × 25 = 500 W = 0,5 kW

E = P × t = 0,5 × 4 = 2 kWh.

4 h = 4 × 3 600 s = 14 400 s.

E = P × t = 500 × 14 400 = 7 200 000 J.

0,0707 × 2 = 0,1414. La dépense est d’environ 0,14 €.

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