Estadstica Empresarial

CONTENIDOMedia aritmtica3Para datos no agrupados3Para datos agrupados4Ventajas y desventajas de la media aritmtica5Determinacin de la media aritmtica con Excel6Mediana8Para datos no agrupados8Para datos agrupados9Ventajas y desventajas de la mediana11Determinacin de la mediana con Excel12Moda14Para datos no agrupados14Para datos agrupados15Determinacin de la moda con Excel17

IlustracionesIlustracin 1: Botn Insertar Funcin7Ilustracin 2: Datos Ejemplo Promedio en Excel7Ilustracin 3: Clculo de Promedio en Excel8Ilustracin 4: Resultado de la Funcin Promedio8Ilustracin 5: Datos Ejemplo Mediana en Excel13Ilustracin 6: Resultado de Mediana en Excel13Ilustracin 7: Datos Ejemplo moda en Excel18Ilustracin 8: Resultado de moda en Excel18

Tabla 1: Media Aritmtica Datos no agrupados4Tabla 2: Media Aritmtica Datos Agrupados5

Ecuacin 1: Media para datos no agrupados3Ecuacin 2: Media para datos agrupados4Ecuacin 3: Mediana9Ecuacin 4: Mediana para datos agrupados10Ecuacin 5: Moda para datos agrupados15Ecuacin 6: Moda para datos agrupados (Simplificada)15

SESIN 7 Media aritmticaCasi siempre cuando nos referimos al promedio de algo, estamos hablando de la media aritmtica. Esto es cierto en casos como la temperatura promedio del mes de febrero en Tacna, la vida promedio de un foco o la produccin promedio de aceituna por hectrea de tierra.

Para datos no agrupadosPodemos decir entonces que la media aritmtica es el valor caracterstico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemtica o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumandos.

Media PoblacionalMedia Muestral

Ecuacin 1: Media para datos no agrupados

Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadsticos muestrales.

Veamos algunos ejemplos de la determinacin de la media.

En la tabla 1 se puede observar los datos que describen el nmero de das que los generadores de una planta de energa se encuentran fuera de servicio debido a mantenimiento normal o por alguna falla.

Generador12345678

Das fuera de servicio82369312105

Tabla 1: Media Aritmtica Datos no agrupados

Para encontrar la media aritmtica, sumamos los valores y dividimos el resultado entre el nmero de observaciones:

Media aritmtica =8 + 23 + 6 + 9 + 3 + 12 + 10 + 5

8

=76

8

=8.5das

Si los 8 generadores fueran el total de la poblacin, entonces estaramos hablando de la media poblacional, pero si los 8 datos son una muestra tomada de una poblacin de generadores entonces hablaramos de la media muestral.Para datos agrupadosUna distribucin de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observacin cae dentro de alguna de las clases. A diferencia del ejemplo anterior, no conocemos el valor individual de cada observacin

Ecuacin 2: Media para datos agrupadosSupongamos que tenemos una distribucin de frecuencias, tal como se muestra en la tabla 2, del tiempo promedio de atencin de un cliente en una oficina bancaria

Intervalo[10 - 20[[20 - 30[[30 - 40[[40 - 50[[50 - 60[[60 - 70[[70 - 80[

fi27129642

Tabla 2: Media Aritmtica Datos Agrupados

A partir de la tabla 2 podemos calcular una estimacin del valor medio de los datos agrupados. Es una estimacin pues no utilizamos los 42 datos puntuales de la muestra.

Para encontrar la media aritmtica de datos agrupados, primero calculamos el punto medio (xi) de cada clase.

Intervalofixifi xi

[10 - 20[21530

[20 - 30[725175

[30 - 40[1235420

[40 - 50[945405

[50 - 60[655330

[60 - 70[465260

[70 80]275150

421770

=1770 = 42.14 minutos

42

De haber utilizado los datos originales sin agrupar, podramos haber calculado el valor real de la media, pero solo despus de obtener el promedio de los valores individuales. A veces el promedio es necesario sacrificar la precisin por la sencillez.Ventajas y desventajas de la media aritmticaLa media aritmtica, como un solo nmero que representa a un conjunto de datos completo, tiene importantes ventajas. Ventajas: Se trata de un concepto familiar para la mayora de las personas y es intuitivamente claro. Cada conjunto de datos tiene una media, es una medida que puede calcularse y es nica debido a que cada conjunto de datos posee una y solo una media. La media es til para llevar a cabo procedimientos estadsticos como la comparacin de medias de varios conjuntos de datos.Desventajas: Aunque la media es confiable en cuanto a que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos, puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de datos. Un segundo problema con la media es lo tedioso que puede significar su clculo, debido a que utilizamos cada uno de los datos. A menos, desde luego, que usemos el mtodo corto que consiste en utilizar datos agrupados para determinar la media aproximada. Una ltima desventaja es que somos incapaces de calcular la media para un conjunto de datos que tiene clases de extremos abierto en la parte inferior o superior de la escala.Determinacin de la media aritmtica con ExcelSi queremos determinar la media aritmtica el programa Excel nos brinda la posibilidad de hacerlo a travs de la funcin =PROMEDIO() Funcin PROMEDIODevuelve el promedio (media aritmtica) de los argumentos.SintaxisPROMEDIO(nmero1,nmero2,...)

La sintaxis de la funcin PROMEDIO tiene los siguientes argumentos:ArgumentoCondicinDescripcin

NMERO1, NMERO2ObligatorioSon entre 1 y 30 argumentos numricos cuyo promedio desea obtener.

OBSERVACIONES Los argumentos deben ser nmeros o nombres, matrices o referencias que contengan nmeros. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lgicos o celdas vacas, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirn las celdas con el valor cero.

Podemos aplicar esta funcin escribiendo la sintaxis anterior o acceder fcilmente partiendo del botn Insertar Funcin que se encuentra en la pestaa Frmulas tal como se muestra en la Ilustracin 1.

Ilustracin 1: Botn Insertar FuncinVamos a utilizar el caso de los generadores de energa cuyos datos se pueden observar en la Tabla 1. Despus de colocar los datos respectivos en una hoja de Excel, nos situamos en la celda donde queremos colocar la frmula y donde se mostrara el resultado de la funcin.

Ilustracin 2: Datos Ejemplo Promedio en ExcelEn la ilustracin 2 podemos ver cmo vamos a calcular la media aritmtica de los valores introducidos en las celdas C3, D3, E3, F3, G3, H3, I3 y J3; y el resultado aparecer en la celda C5.

Ilustracin 3: Clculo de Promedio en ExcelComo vemos en la Ilustracin 4 el resultado es el mismo obtenido en el ejemplo 1

Ilustracin 4: Resultado de la Funcin Promedio

MedianaLa mediana se simboliza como Me. Es menos usada que la media aritmtica. La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la observacin central del conjunto. Esta sola observacin es el elemento que est ms al centro del conjunto de nmeros. La mitad de los elementos estn por arriba de este punto y la otra mitad est por debajo.Para datos no agrupadosPara hallar la mediana de un conjunto de datos, primero se organizan en orden descendente o ascendente. Si el conjunto de datos contiene un nmero impar de elementos, el de en medio en el arreglo es la mediana; si hay una nmero par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos elementos de en medio.

Ecuacin 3: Mediana Veamos algunos ejemplos de la determinacin de la mediana.Si la serie tiene un nmero impar de medidas la mediana es la puntuacin central de la misma.

Si la serie tiene un nmero par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Para datos agrupadosMuchas veces, tenemos acceso a los datos hasta despus de agruparlos en un distribucin de frecuencias por lo que se hace necesario seguir otro procedimiento que nos permita determinar la mediana de datos que conforma un cuadro de distribucin de frecuencias. Para poder hallar la mediana se busca el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre /.La frmula que debemos aplicar sera la siguiente:

Ecuacin 4: Mediana para datos agrupadosDonde: Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase.Nota: La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos

Supongamos que en una encuesta, parte de una investigacin de mercado, se plante la pregunta de edad para que el encuestado escoja su respuesta entre una serie de intervalos, del cual determinamos la frecuencia absoluta y acumulada, obteniendo los siguientes resultados:IntervalofiFi

[16 - 20[44

[21 - 25[610

[26 - 30[717

[31 - 35[522

[36 - 40]325

25

El primer paso es determinar la semisuma (/) para a partir de este dato determinar en qu intervalo se encuentra la mediana.

Por lo tanto la clase de la mediana sera: [26 - 30[Cmo la frecuencia absoluta de este intervalo (17) es el primer valor mayor a la semisuma (12.5) se convierte en nuestro intervalo o clase de la mediana. Considerando que la amplitud del intervalo es cuatro (30 - 26 = 4) Reemplazamos en la ecuacin 3:

Ventajas y desventajas de la medianaLa mediana tiene varias ventajas con respecto a la media. Ventajas: Los valores extremos no afectan la mediana de manera tan grave como la media. La media es ms fcil de entender y se puede calcular a partir de cualquier tipo de datos, incluso a partir de datos agrupados. Se puede encontrar la mediana incluso cuando nuestros datos son descripciones cualitativas. Por ejemplo: Como parte del control de calidad de una imprenta, del tiraje de 3 mquinas, podemos ordenar los resultados respecto a la nitidez desde mejor hasta peor: extremadamente ntida, muy ntida, ntida, ligeramente borrosa y muy borrosa. La mediana de las cinco clasificaciones ser (5+1)/2, es decir la tercera (ntida)Desventajas: Ciertos procedimientos estadsticos que utilizan la mediana son ms complejos que aquellos que utilizan la media. La dificultad que puede significar ordenar los datos antes de llevar a cabo la determinacin de la mediana. Lo cual complica, mucho ms, principalmente cuando tenemos muchos datos.Determinacin de la mediana con ExcelSi queremos determinar la mediana usando el Excel podemos hacerlo a travs de la funcin =MEDIANA() Funcin MEDIANADevuelve la mediana de los nmeros dados. La mediana es el nmero que se encuentra en medio de un conjunto de nmerosSintaxisMEDIANA(nmero1,[nmero2],...)

La sintaxis de la funcin MEDIANA tiene los siguientes argumentos:ArgumentoCondicinDescripcin

NMERO1, [NMERO2]ObligatorioNMERO1 es obligatorio, los nmeros siguientes son opcionales. De 1 a 255 nmeros cuya mediana desea obtener.

Vamos a ver la determinacin de la mediana para los datos utilizados en el caso en el ejemplo inicial sobre la mediana. Despus de colocar los datos respectivos en una hoja de Excel, nos situamos en la celda donde queremos colocar la frmula y donde se mostrara el resultado de la funcin.

Ilustracin 5: Datos Ejemplo Mediana en ExcelEn la ilustracin 5 podemos ver cmo vamos a calcular la mediana de los valores introducidos en el rango B4:J4 (Nmero de datos pares), y posteriormente en el rango B10:K10 (Nmero de datos impares).

Ilustracin 6: Resultado de Mediana en ExcelComo vemos en la Ilustracin 6 el resultado es el mismo obtenido en el ejemplo inicial de la mediana.ModaLa moda simbolizada por Mo, es una medida de la tendencia central diferente de la media, pero un poco parecida a la mediana, pues en la realidad no se calcula mediante algn proceso aritmtico ordinario. La moda es el valor que ms se repite en el conjunto de datos.Es una distribucin bimodal (o multimodal) cuando dos o ms puntuaciones tienen la misma frecuencia mxima. Cuando todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia no hay moda. Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia mxima la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.Para datos no agrupadosHallar la moda de la distribucin:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la mxima, la distribucin es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Si la serie tiene un nmero par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Para datos agrupadosMuchas veces, tenemos acceso a los datos hasta despus de agruparlos en un distribucin de frecuencias por lo que se hace necesario seguir otro procedimiento que nos permita determinar la mediana de datos que conforma un cuadro de distribucin de frecuencias. Para poder hallar la mediana se busca el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre /.La frmula que debemos aplicar sera la siguiente:

Ecuacin 5: Moda para datos agrupadosDonde: Li es el lmite inferior de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi-1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal. fi+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. ai es la amplitud de la clase.Tambin se utiliza otra frmula de la moda, ms sencilla y que da un valor aproximado de sta:

Ecuacin 6: Moda para datos agrupados (Simplificada)

Supongamos el caso de una distribucin de frecuencias que muestra los tiempos que le toma a un equipo de 100 operadores la realizacin de un trabajo manual que se muestra a continuacin:Intervalofi

[60 - 64[5

[63 - 66[18

[66 - 69[42

[69 - 72[27

[72 - 75]8

100

El primer paso es identificar la clase o intervalo modal que en este caso sera el de mayor frecuencia (42): [66 - 69[Considerando el lmite inferior de la clase modal (66), la frecuencia absoluta de este intervalo (42), la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal (18), la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal (27) y la amplitud de clase o intervalo (3) determinamos la moda:Caso usando ecuacin 5

Caso usando ecuacin 6 (Simplificada)

Como vemos el resultado no es el mismo pero ms sencillo de calcular.Determinacin de la moda con ExcelSi queremos determinar la mediana usando el Excel podemos hacerlo a travs de la funcin =MODA.UNO() Funcin MODA.UNODevuelve el valor que se repite con ms frecuencia en una matriz o rango de datos. SintaxisMODA.UNO(nmero1,[nmero2],...)

La sintaxis de la funcin MEDIANA tiene los siguientes argumentos:ArgumentoCondicinDescripcin

NMERO1ObligatorioEl primer argumento para el que desea calcular la moda.

[NMERO2]OpcionalDe 2 a 254 argumentos cuya moda desea calcular. Tambin puede usar una matriz nica o una referencia matricial en lugar de argumentos separados por comas.

Vamos a ver la determinacin de la moda para los datos utilizados en el caso en el ejemplo inicial. Despus de colocar los datos respectivos en una hoja de Excel, nos situamos en la celda donde queremos colocar la frmula y donde se mostrara el resultado de la funcin.

Ilustracin 7: Datos Ejemplo moda en ExcelEn la ilustracin 7 podemos ver cmo vamos a calcular la moda de los valores introducidos en el rango B3:I3.

Ilustracin 8: Resultado de moda en Excel

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