Manual Estatica Particula Resistencia Materiales Tecsup

8/21/2019 Manual Estatica Particula Resistencia Materiales Tecsup

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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

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Unidad I

EESSTT Á ÁTTIICC A A DDEE LL A A PP A AR R TTÍÍCCUULL A A

1. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE FUERZAS

Las FUERZAS se pueden representar a través de VECTORES los cuáles sonentidades matemáticas que poseen:

• Norma o Módulo del Vector: es la magnitud o tamaño de la flecha.• Dirección: es el ángulo que forma la línea de acción del vector con respecto a

un eje de referencia.• Sentido: es la orientación de la flecha.

Es importante indicar que el punto donde se origina el Vector se llama PUNTO DE APLICACIÓN.

Figura 1.1

Las operaciones que se pueden realizar con los Vectores son las siguientes:

1. Suma y Resta Vectorial2. Descomposición Vectorial3. Producto de un Escalar por un Vector4. Producto Escalar de Vectores (también llamado producto punto)5. Producto Vectorial de Vectores (también llamado producto cruz)

Todas estas operaciones tienen aplicaciones en la Mecánica. La suma, resta ydescomposición vectorial se utilizan al aplicar la primera condición de equilibrio.

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Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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El producto de un vector por un escalar y el producto cruz se utilizan al aplicar lasegunda condición de equilibrio a cuerpos rígidos ósea en estática tridimensional. Y finalmente el producto escalar de vectores se utiliza para determinar el trabajo

realizado por una partícula en una trayectoria curvilínea.

Es importante que el alumno aprenda las operaciones vectoriales básicas parapoder aplicar estas técnicas en problemas reales. La ventaja de la mecánicavectorial es que es un método generalizado bajo las reglas operativas entrevectores, lo cual puede despojar de los complejos ropajes que un problemapuede llevar y permite que veamos la esencia del mismo. Si bien los vectoresson entes matemáticos abstractos sus aplicaciones son muy útiles a situacionesprácticas como ya se verá más adelante.

2. OPERACIONES VECTORIALES

2.1. SUMA Y RESTA DE DOS VECTORES

Se define la suma vectorial como el reemplazo de un conjunto devectores que se están "sumando" por otro único vector al cual se ledenomina "resultante" y que físicamente produce el mismo efecto que losvectores sumados. Existen varios métodos para determinar la resultante,geométricos y analíticos.

2.2. MÉTODOS GEOMÉTRICOS

2.2.1. POR TRIANGULACIÓN

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.2

A

- B R = A + (- B)

A

B

A

B

R = A + B

A

B



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2.2.2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.3

2.3. MÉTODOS ANALÍTICOS

a. Suma:

Figura 1.4

R 2 = A2 + B2 – 2AB Cos (180 - θ)Cos (180 - θ) = - cos θ R 2 = A2 + B2 + 2AB Cosb. Resta:

R

2

= A

2

+ B

2

– 2AB CosFigura 1.5

A

B R = A + B

A

B

A

B R = A - B

A

B

A

B

R

θ 180ºθ

A

B

R

θ A

θ

A

- B



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2.4. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

La descomposición vectorial es la operación inversa a la suma de dos

vectores. Es decir que consiste en separar o descomponer un vector endos vectores tales que sumados vectorialmente den como resultado elvector que se quiere descomponer. La descomposición de un vector endos dimensiones se puede realizar sobre cualquier par de rectas noparalelas.

Figura 1.6

Pero la descomposición que cobra importancia es aquella cuando entre las rectas

de descomposición existe un ángulo recto de separación; a este tipo dedescomposición se le llama DESCOMPOSICIÓN EN COMPONENTESRECTANGULARES.

Figura 1.7

P = F

Q = F

VECTOR : F = Fx i + Fy j

COMPONENTE EN EL EJE "x": Fx = Fcosθ COMPONENTE EN EL EJE "y": Fy = Fsenθ

MÓDULO: FDIRECCIÓN: θ ( medido siempre desde "+x")

VECTOR UNITARIO EN "X": i VECTOR UNITARIO EN "Y": j



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2.5. SUMA DE TRES O MÁS VECTORES

Cuando se suman tres o más vectores se procede de la siguiente manera:

1. Se descomponen todos los vectores en sus componentesrectangulares. La dirección siempre se debe tomar respecto al eje"+x".

2. Se suman algebraicamente las componentes a lo largo de cada eje. Así se tienen las resultantes a lo largo de cada eje:

3. La resultante Vectorialmente es:

4. El módulo y dirección de este vector son:

EJEMPLO: Determine la resultante de los siguientes vectores.

Figura 1.8

β

--γ

A

B

C

x

y

Rx = Σ Vx

Ry = Σ Vy

F = Rx i + Ry

22

Ry Rx R +=

Rx

Ryarctg=θ



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Paso 1 Descomponer en las componentes rectangulares.

• A = Ax i + Ay j = A cos α i + A sen α j •

B = Bx i + By j = B cos β i + B sen β j • C = Cx i + Cy j = C cos (-γ)i + C sen (-γ) j

Paso 2 Sumar algebraicamente las componentes.

• Rx = Ax + Bx +Cx• Ry = Ay + By + Cy

Paso 3 La resultante vectorial es:

• R = Rx i + Ry j

Paso 4 EL módulo y dirección son:

22 Ry Rx R +=

Rx

Ryarctg=θ

3.

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO - BIDIMENSIONAL

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático la suma de todas lasfuerzas que actúan sobre él debe ser nula. A este criterio se le conoce comoPRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Está condición es necesaria pero nosuficiente cuando se analizan cuerpos rígido cuyas fuerzas no son concurrentesen un mismo punto, sino son fuerzas en un mismo plano. Para cuerpos rígidosen donde todas las fuerzas se aplican en un mismo punto, se dice que se leconsidera como una PARTÍCULA y la primera condición de equilibrio en esoscasos es suficiente para lograr el equilibrio estático.

La Primera condición de equilibrio en forma Vectorial es:

La cual para aplicaciones prácticas se descompone en el plano en:

Σ F = 0

∑ Fx = 0

F = 0



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Figura 1.9a Fuerzas Concurrentes Figura 1.9b Fuerzas en el Plano

Figura 1.9

4. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO- TRIDIMENSIONAL

La forma vectorial de la primera condición de equilibrio es la más apropiada enel caso de problemas tridimensionales. El procedimiento es el siguiente:

Paso 1: determine el vector de dirección de la fuerza. Utilice las medidas de la

geometría del problema.

Paso 2: Determine el vector unitario de dirección de la fuerza.

Vector de Dirección AB = dx i + dy j + dz k

Medida en el eje "x": dx

Medida en el eje "y": dy

Medida en el eje "z": dz

Vector Unitario de Dirección µ AB = . AB . AB

Vector de Dirección: ABMódulo del Vector Dirección: AB= √ dx ² + dy ² + dz ²

R A↑ ↑ R B

B A

FL/2 L/2



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Paso 3: La fuerza en forma vectorial será:

Paso 4: Aplique la PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO en forma vectorial.

Normalmente después de aplicar la primera condición de equilibrio, queda unsistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas el cuál se puede resolver porcualquier método algebraico o matricial.

Problema 01

Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho mostrado en la figura.Sabiendo que P tiene un valor de 60 libras y Q tiene un valor de 25 libras,determine gráficamente la magnitud y dirección de su resultante usando:

• la ley del paralelogramo.• la regla del triangulo.

Figura 1.10

Σ F = 0

Fuerza Vector: F = Fµ AB

Módulo de la Fuerza: F

Vector Unitario de Dirección: AB



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Problema 02

La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las líneas a-a’ y

b-b’.

• Determine que la componente a lo largo por trigonometría el ángulo α sabiendo que la componente a lo largo de b-b’ es de 120 N.

• Determinar el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-a’.

Figura 1.11

Problema 03

Un cable telefónico se fija en A al poste AB. Sabiendo que la tensión T1 en laparte izquierda del cable es de 800 libras, determinar:

• La tensión T2 requerida en la parte derecha del cable si la resultante R de lasfuerzas ejercidas en A debe ser vertical.

• La magnitud correspondiente de R .

Figura 1.12



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Problema 04

Los elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la

figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza enel elemento A es de 15 kN, y en el elemento B es de 15kN, determine portrigonometría la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas alapoyo por los elementos A y B.

Figura 1.13

Problema 05

Determine las componentes x y y de acuerdo a la figura mostrada.

Figura 1.14



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Problema 06

Determine las componentes x y y de acuerdo a la figura mostrada.

Figura 1.15

Problema 07

El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura, reejerce sobre elbloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que lacomponente horizontal de P tiene una magnitud de 1200 N, determinar:

• La magnitud de la fuerza P.• La componente vertical.

Figura 1.16



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Problema 08

El elemento BD ejerce una fuerza P sobre ele elemento ABC la cual esta dirigida

a lo largo de BD. Sabiendo que P debe tener una componente vertical de 240libras, determine:

• Magnitud de la fuerza P.• Componente vertical.

Figura 1.17

Problema 09

Sabiendo que α tiene un valor de 35º, determinar la resultante de las tresfuerzas mostradas.

Figura 1.18



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Problema 10

Sabiendo que α tiene un valor de 40º, determinar la resultante de las tres

fuerzas mostradas

Figura 1.19

Problema 11

Sabiendo que αtiene un valor de 20º, determinar:

• La pensión en el cable AC.• La cuerda BC.

Figura 1.20



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Problema 12

Sabiendo que αtiene un valor de 55º y que el mástil AC ejerce sobre la

articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determinar:

• la magnitud de esta fuerza.• la tensión en el cable BC.

Figura 1.21

Problema 13

La conexión soldada de la figura se encuentra en equilibrio sometida a la acciónde cuatro fuerzas. Sabiendo que Fa tiene un valor de 8kN y Fb tiene un valor de16kN, determinar la magnitud de las otras fuerzas.

Figura 1.22



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Problema 14

Para la figura del problema anterior la conexión soldada se encuentra se

encuentra en equilibrio, sometida ala hacino de cuatro fuerzas. Sabiendo que fatiene un valor de 5kN y Fd tiene un valor de 6 kN, determinar la magnitud de lasotras fuerzas.

Problema 15

Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de unavión, como se muestra en la figura. Sabiendo que P tiene un valor de 500 librasy Q de 650 libras, y que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio,

determine las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre las barras A y B.

Figura 1.23

Problema 16

Para la figura del problema anterior, las fuerzas P y Q se aplican al componentede una pieza de ensamble de un avión, si se sabe que la pieza de ensamble se

encuentra en equilibrio y que las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre lasbarras A y B son Fa de 750 libras y Fb de 400 libras, determinar las magnitudesde P y Q.

Problema 17

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura.Sabiendo que Q es 60 libras, determinar:

•

la tensión en el cable AC.• La tensión en el cable BC.



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Figura 1.24

Problema 18

Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra en la figura. Sabiendoque la pensión máxima permisible en cada cable es 800N, determine:

• la magnitud de la máxima fuerza P que puede ser aplicada en C.• el valor correspondiente de α.

Figura 1.25

Problema 19

El collarín A esta conectado a una carga de 50 libras y se puede deslizar sinfricción sobre la barra horizontal, de acuerdo a la figura adjunta. Determine lamagnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio cuandox tiene un valor de 4.5 pulgadas y cuando x tiene un valor de 15 pulgadas.



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Figura 1.26

Problema 20

Una carga de 160 kilogramos esta sostenida por el sistema de poleas y cuerdasmostradas en la figura. Sabiendo que βtiene un valor de 20º, determine lamagnitud y la dirección de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre dela cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

Figura 1.27

Problema 21

Una caja de madera de 600 libras esta sostenida por varios arreglos de poleas ycuerdas, como se muestra en la figura. Determinar para cada arreglo la pensiónen la cuerda.



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Figura 1.28

Problema 22

El tirante de una torre esta anclado por medio de un perno en A. La tensión endicho cable es de 2500 N, determine:

• las componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa sobre el perno.• Los ángulos θx, θy, θz, que definen la dirección de dicha fuerza.

Figura 1.29



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Figura 1.30

Problema 23

Un cilindro de 200 kilogramos esta colgado por medio de dos cables AB y AC, loscuales están unidos a la parte superior de una pared vertical. Una fuerzahorizontal P, perpendicular a la pared, mantiene al cilindro en la posiciónmostrada. Determine la magnitud de P y la tensión en cada cable.

Figura 1.31



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Figura 1.32

Problema 24

La caja que se muestra en el problema pesa 800lb. Determine las tensiones encada una de las cuerdas.

Figura 1.33
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