COURS

D'ANALYSE

.*

Laupent SchwartzProfess+ur 1Ecole Polytechnique et la F$cultG des Sciences de Paris

Coursprofess 4 1Ecole Polytechnique, Paris

1

Hermann115 boulevard Saint-Germain Paris VI

0

HERMANN,

PARIS

1967 fragmentaire, sous quelque bande magn&ique, disque, forme que ce soit, Y compris ou autre, rservs pour tous

Tous droits de reproduction, m&ne photographie, photocopie, microfilm, Pays. Toute reproduction, passible des peines m?me pr&nes

partielle, par la loi

non expres&ment autorise, constitue une contrefaon du 11 mars 1957 sur la protection des droits dauteur.

TABLE

Chapitre 1 THEORIE DE~ ENSEMBLES

$ 1

ENSEMBLES. OPERATIORS ELEMENTAIRES Parties d'un ensemb3e . .. ... .. .. ... .. .. . . Relations d'inclusion complmentaires . .. Runion. Intersection . .. ... .. . ....... . . . Ensemble produit .. . ... . .. .. . .. ..... .. .. .

5 2

APPLICATIONS, Injections,

FONCTIONS

Exemples d'applications

. . .. .... .. .... .. . surjections, bijections . ... . 8 9 10 11 11 13 14

Image directe et image rciproque d'une partie . . .. .... ... ... .. . .. .. . .... ... .. .. . Ensembles d'applications. Familles,suites Compose . . .. ..... . ... . .. . ... Application Changements 0 3

de variables et changements de fonctions . .. ... .. ... .. .... ........ ... ENSEMBLE QUOTIENT

RELATIONS D'EQUIVALENCE,

Classes d'quivalence. Partitions ....... Ensemble quotient .......................

VIII

Quotient d'un groupe par un sous-groupe invariant .. .. ... ....... .. ... .. .. ...... .. . Quotient d'un espace vectoriel par un sous espace vectoriel 4 RELATIONS D'ORDRE Exemples de relation d'ordre ............. Parties majores, majorants, maximum, borne suprieure ............................ Fonctions croissantes .................... Droite acheve R ......................... . .. ... .... ... ... ...... .. .

14 1516

1719 20 22 22

$ 5 PUISSANCES. ENSEMBLES DENOMBRABLESPuissances. Cardinaux .................... Ensembles dnombrables ................... Puissance du continu ..................... ....................

Nombres transcendants

Hypothse du continu ..................... $ 6 QUELQUES PRINCIPES DE LOGIQUE

23 27 29 30 32 32

TABLE

Chapitre II TOPOLOGIE

1

ESPACES METRIQUES. EXEMPLES ELEMF,NTAIRES Spherea, boules . ..... . .. .... ... .. ..... . .. Espaces vectoriels norms . .. .... ..... ... .

37 38 39

5 2

OUVERTS. FERMES. VOISINAGES. INTERIEUR. FRONTIERE. ADHERENCE. SOUS-ENSEMBLE DENSES Parties ouvertes ......................... Partie6 fermes .......................... Voisinages ............................... Intrieur ................................ Extrieur ................................ Frontiere ................................ Adhrence ................................ denses .................... Sous-ensembles 41 41

Sous-espace. Mtrique induite ............

0 3 FONCTIONS CONTINUES. HOMEOMORPHISMESHomomorphismes $ 4 ..... . ..... . .. . .... .... . ..

43 44 46 46 46 47 48 48 50 52 54 58

ESPACES METRIQUES ET ESPACES TOPOLOGiQUES Topologie de la droite acheve j7z

X

9 5

S T S F G t C v

L P c c t p C t d s s D C u C c C a e d M 1

U O u o

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9 6

an ... . .tr n .

U 4e s 4 si r c 5 n 6 P p A l r i e R A cn l a

r o e o v p s u e . ...... .. . ..... .. ...... ... . .o . o p o S s o i r ' RF S o S s 0D OT S u c x if S C E O p e P c d O o 'd a f n P E s i R ' d rd o t M A L .. . .. . .. ....... ....... ... .. ....i . a r. . p. . . . . o . .t. . . . . a .a. ' . . . . . u . . n

u e te n i a C E c i t tf l e U78 P 85 87 N

9 7

E E P L d

u l mi t p i in .. ... .... .. .. .... . .. ..n u u i e . E OO C S S PN O U O P M A . .... ...... ... ... . ...t n n i . O ao P N A . p. . .a . . , . r . . . . . a . . .n . G MO E P d l en p t d 's o l i po P O f S N LE P P A de a lo p e rn a s m t u T rn o r

m78 t

5 8

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N RC C f i C c EN L O C qt e t t o r n oc C o i P i l n

$ 9 9 1

E E C E Q c E c

90 n c

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. .. ..... ..... ... ... ....... ... ..n . o n

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ne continue . .. ..... ... .. .. . ........ . .... . 5 1 E P c A d r a e o u p s l n p . ... ... ...... .. ... . ...... ... . ..t . o n

92 M 94 R

98

XI

Priorits particulires vectoriels topologiques $ 12 THEOREME DJ POINT FIXE 5 13 THEORIE ELEmNTAIRE

aux espaces de dimension finie

100 101104 106 112

DES ESPACES VECTORIELS

NORMES ET DES ESPACES DE EANACH Noyau et image d'une application linaire continue . ... ... .... ... ... ... ...... ... .. .. Produits d'espaces vectoriels normes . ... . Applications continues d'un norm dans un produit d'espace vectoriel espace vectoriel norm . .. .. ... .... .... .. . Applications Changement multilinaires continues . .. . $ 14 SERIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMES d'ordre des termes d'une srie Effet Produit de deux sries numriques. bilinaires

114

119120

123

d'une application bilinaire continue sur deux series .. ..... ..................... Critre de semi -convergence CONVERGENCE .. ........ . .;

129

133 137 141 143 145 151

9 15 EXEMPLES USUELS D'ESPACES FONCTIONNELS SIMPLE ET UNIFORME

Convergence uniforme d'une suite de fonctions . .. ..... .... . .. .....*.......... Autres emplois de l'expression : convergence uniforme .,........,............... Espaces faisant intervenir la fois la structure de E et la structure de F . ... Sries de fonctions valeurs dans un espace vectoriel norm .. ... .. ... .,.....a..

XII

$ 16 PRODUITS INFINIS DE NOMBRES OU DE FONCTIONS REE&S OU COMPLEXES Produit infini et srie deslogarithme Produits infinis de fonction6 relles ou complexes . . .. .. .. . ..... ... ... ... ... .... . .. Application h la fonction r de Riemann .. . . 159 160

155 156

TABLE

Chapitre III CALCUL DIFFERERTIEL

l

ESPACES AFFINES Dfinition ................................ .... Vari6ts affines ...... ... ................. .... Applications linaires, applications affines .. Espaces affines norms ..... .. ...... ..... ...... Ensembles convexes dans les espaces affines ... Espaces vectoriels et affines euclidiens . ..... Espaces vectoriels et affines hermitiens ... ... Isomorphisme (ou semi-isomorphisme) d'un espace euclidien (ou hermitien) de dimension fini et de son dual ......... ..........*.............. Bases orthonormales ... .. .. .... ........ ........ Espaces euclidiens ou hermitiens g&&aliss ..

167 168 169 170 172 174 175 176

178 179 181

2

FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE REELLE CONTINUITE A DROITE, A GAUCXE Discontinuitki de premire espce. Fonctions rgl6es ..... ... ...........................*.. D&rive d'une fonction relle de variable relle Fonctions convexes .... ........... .... ...... ... 184 186 192

XIV

3

DERIVEE D'UNE APPLICATION D'UN ESPACE AFFINE DANS UN AUTRE. VECTEUR DERIVE D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE SCALAIRE. Drive partielle suivant un vecteur ........_. Matrice drive. Dterminant jacobien .. .. .. ... Insuffisance de la drive suivant un vecteur . DGrive totale ou application drive . . . . . . . . . Interprtation gomtrique de l'application drive : varit diffreRtiable et varit linaire tangente ............... .. ...*....... Gradient d'une fonction relle sur un espace euclidien .... ... .. .... ............ ........... Drive d'une application bilinaire continue.. Fonctions drivables, fonctions continment dhrivables ...... ........... ...... ...... .... .. Espaces de fonctions drivables ... ....... .. ...

192 quart0 193 195

196 197201 204 209 211 212 214 232 241 245 250 251 252 257 260 269

4 $56

THEOREME DES FONCTIONS COMPOSEES FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS DERIVEES D'ORDRE SUPERIEUR D&rives successives ............. ... ..... ..... Cas d'espaces produits : Dgrivabilit totale et drivabilit partielle ............ .. .... .... . Espaces de fonctions m fois drivables . . . . . . . Drives d'un produit (formules de Leibnitz) ..

7

FORMULE DE TAYLOR - MAXIMA ET MINIMA Applications de la formule de Taylor au calcul de dhrives de fonctions ......... ... .. ....... Applications h l'tude des maxima et minima ...

xv

THEOREME DES FONCTIONS IMPLICITES Existence de la fonction implicite ....0....... Derivabilit de la fonction implicite . . . . . . . . . Fonction rciproque comme fonction implicite .. Calcul des drives d'ordre suprieur d'une fonction implicite ....................... .... Technique du changement de variables et du changement de fonction .......... ............. 9 VARIETES DIFFERENTIABLES Dfinltion d'une variet par une reprsentation parametrique ................ ............ ..... Varits reelles et variets complexes . . . . . . . . Variets abstraites .... ......... ...... ........ Espace vectoriel tangent en un point d'une varit d'un espace affine E de dimension N .. Espace vectoriel tangent en un point d'une varit abstraite .... ............... ......... Thoreme du rang constant ............. ... ... .. Fonctions dpendantes et fonctions independantes Varits singulires ou paramtriques .........

277

278 283 294299

303 305 306 318 319 323 327327 ter

332 334 336 338 341 350 ter 350 ter 353 359 363

s

10

MAXIMA ET MINIMA LIES Manire pratique de procder pour trouver un maximum ou un minimum relatif lie ............ Applications de la thorie des maxima li&s; ingalites de H6lder et Minkowski ........ .. ..

5

11

CALCUL DES VARIATIONS Position du probleme ............ .. .. ... ... .... Derivabilit de J

............................

Condition ncessaire d'extrmum ... .... ........ Cas simple d'intgrabilit elmentaire des quations d'Euler .. .. .. ... ........... ...... ..

XVI

Equation des godsiques sur une surface ...... Problmes d'extrma lis ...................... Effets d'un changement de variables ........... Extrmits variables. Conditions de transversabilit ....................................... Equations canoniques d'Hamilton ............... Applications la Mcanique ...................

3 3 3 3 39 3

XVII

NOTATIONS Paragraphe1

Page 17.6 178 178 179 187 187 194 198 207 213 242

1 1 1 2 2 3 3 3 3 6

6

249 249 251

XVIII

INDEX Paragraphe Accroissements finis ................. Application derivee .................. Applications derives partielles ..... Applications linaires, applications affines ............................. Application ouverte .................. Atlas ................................ Carte ................................ Chasles (relation de) ................ Classe cnLpar morceaux (fonction de). 2 2 t Page

5 3 3

189 232 197 207 170 296 311 311 168 188 299 274202

C ab diffeomorphisme .................Col .................................. Contingent vectoriel, contingent affine Derive partielle suivant un vecteur .. D&riv&e totale ....................... D&terminant jacobien ................. Discontinuit de lere espece ......... Espace affine ........................ Espace affine euclidien .............. Espace affine hermitien .............. Espace affine norme .................. euclidien Espace g&-i&ali& ..... t hermitien Espace-temps (physique) .............. Extrema lies ......................... Fonctions convexes ................... Fonctions dpendantes (independantes).

8 7 3 3 3 32 1 1 1 11 1 10

193 197 195 184 168 175 176 171181

2 9

183 336 192 332

iragraphe Fonctions implicites Fonctions monotones Fonctions rgles .. rf&en Galllien v. Gdoddsiques . . . . . . . . Gradient ........... Haar (lemme de) .... Hamilton (quations............... ............... ............... el ............

Page

a2 2 11

277 190 186 370204

............... ............... ...............

!) ............. Holder (ingalit de ............... Homomorphisme local ............... Hyperplan .... ...... ...............Jacobien : v. dtermi Leibniz (formule de) tnt jacobien ...............

3 11 11 10 a 1 6 3 710 10 1

360 389 341 296 170 252 195 269 341 336 174327 ter 169

Matrice drive .. .. ............... Maximum, minimum rel ;if ............ Minkowskt (ingalitg le) ............ Multiplicateurs de 1 srange ......... Normal (syst. d'qua LonsI : V. systmt Partie convexe ..... ................ Rang constant (thdor ne du) ......... Rfrentiel, systme le rfrence ... Rfrentiel galilier Rolle (thorme de) ................................

91 1 2 2 1

Saut ............... ................ Segment .. .......... ................ Systme normal d'ql tions .......... Taylor (formule de) ................

183 18a 184 174316

9 711

190 25735Oter

Variation .....*.... . . . . . . . . . . . . . . . . Varit abstraite . . Varif5t affine, va&. . . . . . . . . . . . . . . .

91

t linaire ....

319 169

xx

P V V V d a l a d e . i f r i t r c . . f . n a . . i . i r . t. r . . n . e . . n3 . 9 a3 . g

a t t . t . i e . u .

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TABLE

Chapitre IV CALCUL INTEGRAL

1

INTEGRALE DE RIEMANN SUR LA DROITE Fonctions en escalier .. . ..... .. ... ... .. Intgrale suprieure de Riemann d'une fonction '20, borne, support compact 3 Intgrale d'une fonction intgrable..... Calcul de l'intgrale d'une fonction par la mthode des sommes de Cauchy-Riemann. Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle .. ....... . .... .. . .. .. ... .... .

399 401 404 409 420 424 425 425 430 ter 435 436 444 450

9 2

MESURES DE RADON SUR UN ESPACE LOCALEMENT COMPACT Mesures de Radon sur un espace compact . Mesures sur un espace localement compact% Mesures vectorielles . ... . . . . . . . . . . . . . . . de l'unit6 . .. .. ...a.......... Support d'une mesure de Radon . ....... . . d'une mesure des fonctions de support non compact . . . . continues Y

Partition

Prolongement

X

X

I

I

P m M M E 9 3 P D M M E i L

d . c r o

r r e e e p n D R E E m r M

ud e i m . s o r s . s o r s . P' O B d x e d n c m e s s s d

de c n o . e . m e. d E T u u u s e . OU L E 4 . s4 . p

es o c r r e r r i . 5 l m . i 5 SN O S r r m s g t U 5 5v r n 6r 6 7 7

5 . u5 . l

4. l t o 4 q S 4 s 4u s u 4 m 4 n sb u 4 4 4 t H

E

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e e n

e t n o u ....... ... u ' t o e e s e e

6 s u

Ensembles de mesure nulle . ........... ... .. .. ... .......*...... c F f o i t n a Fonctions borliennes I I I t I v I T L C I T f i P d c l D L v d s n f n d .. .. ........... . ... 'v t o u f t t v o e r et f t t d E D OL E 4 f e m E r e i ' p o d nf e n u 'r p o

t c g c n 4 4 u n g g l c e eg n u g s 4 VB R 4 n 5 e mt 5 s5 P c g n r r t r nn o t u n

7 7 ne

n d f ....o ..... .. . . d Ln a n e C H ' a d n e h o d r i d e

v a n s e . .. . . i . 4 * 'a b o e E NE O S a s n s i a o to u 4 t

7 . 7 o 8 8 c 0 s 0 u2

n

. e . . . . .l. . . . . . . .c. . . . . e

dfinies presque partout . .. ...... ..... .. 4

. t .e . . . . . . . . . t

e so n t en c n .... . .. ... .... ... .. ..... .. f m n' o e ou l

XXIII

5 5 MULTIPLICATION D'UNE MESURE PAR UNE l?ONCTIONProduit d'une mesure vectorielle par une fonction continue scalaire . ... .. ..... ... PropriGtGs lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . .

521-12 521-12

Cas Ofi est une mesure relle >

0 ... ..

523 523 531 534-1 535 550 550 551 554 559 564 570 575 575 582 583593 595 596-3

Application au prolongement d'une mesure h valeurs vectorielles . . ... ............ . Dualit entre L' et

L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$

6

INIAGE D'UNE MESURE PAR UNE APPLICATION CONVERGENCE VAGUE D'UNE SUITE DE MESURES DE RADON Convergence en norme, convergence locale en norme . ... . .... ... ... ... . .. .... ....... Convergence vague . .... .. .. ............ .. Les fonctions fi inthgrables Riemann ... .. Convergence vague et convergence uniforme Convergence vague d'une suite de mesures vers une mesure de Dirac . ... ... ... .. .. .. Convergence troite d'une suite de mesure de norme finie ... .... . .... ... ... .. .... . .

5 7

5 8

PRODUITS TENSORIEL3 DE MESURES. INTEGRALES MULTIPLES Position du problhme . .. ... ... .. ....... ... Proprits glhmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcul d'une intgrale double par deux intgrations simples successives . ... .. ... Extension aux intgrales multiples quelconques .. .. .. ... . ... ...... .. .. .... .. ... . ... . Convergences vagues de produits tensoriels 5 9 PROPRIETES PARTICULIERES AUX MESURES DE RADON SUR LA DROITE REELLER

XXIV

Intgrales indfinies . . ... ..... .. .. ... .. . Fonctions variation bornee sur la droite Foncti.ons variation borne et intgrales indfinies .. ....... .. .. ... ....... .. .. ... .

597 600 610 618 623 630 635 640 644 652 656

Longueur d'un chemin dans un espace mtrique Intgrale indfinie et primitive . . . . . . . . . Primitives successives d'une fonctign contipar parties .. ... nue sur la droite . . .. .. ... ... . ... ... . .. .. Formule de l'intgration Changement de variable dans le calcul des

intgrales simples .. . ... ... . ..."......... Intgrales impropres sur la droite . . . . . . . Exemples d'application $ 10 INTEGRALES MULTIPLES du critere d'Abel . LONGUEIJRS, Valeur principale de Cauchy ... ...... ... .. SURR&. AIRES, VOLUMES, DAKS LES ESPACES EJJCLIDIENS AFFINES DE D11'IENSIOR FINIE. CHANGEMENTS DE VARIABLES DAfiS LES INTEGRALES MULTIPLES SUR$? Nesure des vcl wes dans un espace affine euclidi.en de dimensi.on finie . . . . . . . . . . . . . Mesure des longueurs dans un espace affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xesure des aires h dimensionnelles dans une varit linaire de dimension m+ d'un espace affine euclidien de dimension finie .. .. ... Aire ~_dimensionnelle d'une vari.t parametriquz de dimensi.on n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul d'int&rales de vo1w.e~ partir d'intgrales d'hyper*surface ..... .. .. .. ... . PAR DES SZRIES OU

662 673 678

679 682 694

'S $ l:l FONCTZJOh REPRESEETEES

xxv

Fonctions reprsentes par des s&ries . ..* Continuit de la somme d'une srie . ... .. . Intgrabilit de la somme d'urie srie par rapport une mesure > 0 . .. .. ...... .. ... Dhrivabilit Drivabilit de la somme d'tine srie . . . . . d'un produit infini . . . . . . . . .

701 702 703 704 714 718 718 720 720 726. 733

Fonctions reprsentes par des intgrales. Continuit d'une fonction rqlrsente par une intgrale ..*......................... d'une fonction repreente par une intgrale ..,..................... Drivabilit d'une fonction dfinie par une intgrale .. ... ..... .. ... ......... .. .. Cas des intgrales impropres convergentes Application la divisibiljt des fonctions drivables ... ..... ..... ... ... .... . .. ... .. Intgrabilit

TABLE

Chapitre V EQUATIONS DIFFERENTIELLES

1 II

POSITION DU PROBLEME THEOREMES D'EXISTENCE et D'UNICITE definitions .......... ...... ....... existence et unicite des solutions locales ...... ..................... extension de la mthode de r&olution de certaines quations integrales ........ ........ ..... .... ...... prolongement des solutions locales d'une quation diffrentielle ..... majoration a priori des solutions d'une quation dlfferentlelle ..... une condition d'existence de solutions globales sur [ct,,&] . . . . . . . application & la m&anique ..... ... Continuit&? de la solution en fonction d'un parametre .. .... .. ....... ddrivees d'ordre suprieur de la solution d'une quation differentielle ... .. .. .. ........---........

V.l v.4 V.4 v.6 v.12 V.14 v.16 v.20 V.24 V.25

741 744 ?44 746

752 754 756 760 764 '765

V.33

773

XXVII

Page intgrales premieres d'une quation diff'rentielle ... .................. quation diffrentielle ddf'inie par un champ de vecteurs ............... III EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES rsolvante d'une quation diffrentielle linaire ....... ............ quation linaire avec second membre cas d'une quation diffrentielle scalaire d'ordre?% avec second membre ........... ................ .. application de la thorie des equations diffrentielles linaires la continuite et & la drivabilitd de la solution d'une quation diffrentielle dpendant d'un parametre ... IV EQUATIONS DIFFE3ENTIELLES A COEFFICIENTS CONSTANTS 2

v.34 v.37V.42

774 777 782 787 794 798

v.47V.54

v.5a

v.61

801

V.67

807

Cas particulier o c est de dimension finie. Construction de l'exponentlelle d'un operateur .. .. .......... ..... ....... Cas d'une quation diffrentielle d'ordre jv a coefficients constants Equation diffrentielle scalaire d ordre p a coefficients constants avec second membre ................ Solutions bornes des quations diffrentielles lineaires a coefficients constants .... ........ ... ..........

V.71

811

v.76V.a2

816 822 %28

v.80

XXVIII

INDEX Pages Cauchy (condition de) Cauchy (thorme de ) Champ de vecteurs Condition initiale Equation diffrentielle linaire Equation diffrentielle reguliere Equation diffrentielle scalaire Equation intgrale Equation lineaire associe Equation homogne associe Exponentielle Heaviside (thorme de) Inequation diffrentielle Intgrale d'une quation diffrentielle Intgrale premire Intervalle et boule de S&urit de s&urit) Localement lipschitzienne Mthode des constantes variables Oprateur diffrentiel Op&ateur Rsolvante Singularit imprvisible Solution a droite Solution prolongeable Systeme daffrentiel rsolvant (systeme

v.4 v.6 v.37 v.46V.42

va3 v.46 v.13 v.54 v-55 v.67 v.85V.32 v.2

.

v.34 v.4 vo5 vo55 v:76 v.49 vta v. 12v.16

744 746 777 786 782 743 786 753 794 795 807 825 7?2 742 774 744 745 795 816 789 788 752 756 77% 742

v.38v.2

XXIX

NOTATIONSPage

Page Jr33 v.49v.49

v. v.

1 1

v.2 V.6 V.12 v.14

V.61 V.62 v.63

0 ACm @

v. 1'7 V.25 V.33 v.3e V.42 V.42V. 80

-b

v.45

v.62

PRFACE

Comme on l'a souvent dit, il n'est pas de 'Mathmatiques sans larmes' l'usage des physiciens et des ingnleurs. Le physicien et l'ingnieur moderne ont besoin d'un norme volume de connaissances mathmatiques, dans les domalnes les plus divers. Il n'est absolument plus possible, ces 'utilisateurs', de connaftre tous les rsultats dont ils ont besoin, avec toutes les dmonstratlons, conduites avec la rigueur qui est de rgle en Mathmatiques. On se trouve donc dans la situation suivante. Ou bien on fait un expose court, parce que contenant peu de rsultats solidement dmontrs; le Mathmaticien y trouvera satisfaction, pas le Physicien. Ou bien encore on fait un expos court, riche en rsultats, mais avec des dmonstrations seule ment esquissees, sinon absentes; l'esprit cartsien du lecteur en est incommod. Nous avons adopt une trolsime solution. Nous avons fait un cours long, trs long mme, comportant beaucoup de theoremes, et des dmonstrations gnralement compltes. C'est donc Plutt un livre, un document, qu'un cours proprement dit. Les confrences orales n'en donneront qu'un rsum. Les lves n'auront apprendre, a titre obligatoire, qu'une partie des feuilles, qui sera chaque fois trs prcisment spcifie, et qui comportera beaucoup d'noncs et peu de dmonstrations. Ils devront s'exercer comprendre les ides et les structures nouvelles qu'ils rencontreront, connaftre les thormes et leur esprlt, et a savoir les appliquer avec exactitude, feuilles en main. Ce n'est pas aussi facile qu'il peut le paraTtre;quelqu' un qui n'a jamais rflechi un nonc de thorme est, cou? stk, incapable de l'appliquer brille-pourpoint, mme avec 1 aide d'un livre ! Seules les dmonstrations les plus instructives et les plus caractristlques seront obligatoires. Mais les leves pourront, et cela leur est vivement conseill, tudier une partie des autres titre facultatif, en choisissant les passages les plus conformes leur go0t, et en suivant les.conseIls que les Ma!kres de Confrences et moi-mme ne demanderons qu' leur donner. Des gofits et des niveaux divers seront ainsi satisfaits; et SI tous les Polytechnlelens d'une mme promotion n'ont pas approfondi exactement les mmes choses, ce sera tout benfice. Laurent SChYWARTZ

THBORIE

DE;

ENSEMBLES

8 1

ENSEMBLES.

OPl8RATIONS

On appelle Ensemble une collection d'objets. Exemples : L'ensemble des 6lves d'une promotion; l'ensemble des points d'un-plan; l'ensemble des quadrlques non dgnrdes d'un espace 2 dimensions; ~q-AR_ NM l'ensembleIN des entiers 2 0 , l'ensemblez des entiers quelcon&es,-z&_ zfiHLed l'ensemble Q des nombres rationnels, -= h- QLJ&:~?.~z l'ensembleR des nombres rels, l'ensemble C des nombres complexes.

La notatloe*=e E signifie : 'CC,est (ou tant) hldment de l'ensemble E . Si un ensemble A est form dt14ments awartenant k un autre ensemble E Il est appel partie ou soi-ensemble de cet autre. L'ensembli des ellipsoXdes est une partle de mnsemble des quadriques. - Parmi les partles d'un ensemble E figurent E lui-meme, la partie vide note fi , la partie rduite & un hlhment CL , note a la partie forme des 3 lments CL,&,= qu'on note {a,&,~]. t1 Ne pis confondre o_ , lment de E , et {a} , partle de E rdulte a . Pour dsigner l'ensemble des blments qul vrl fient une certaine proprldt P , on emploie souvent la notaklon . Par exemple : {zc; ~~CGR, x a 0 J t Xi cc v6rlfleF] veut dlre : l'ensemble des nombres r&els 20; pq=; =elR, 65 6 z 6 2e veut dlre : l'ensemble des nombres ht+%, lorsque% 1 prend toutes le'svaleurs relles entre e et2C Inclusivement.

*

Un ensemble s'appelle aussi parfois un espace, ses l6ments s'appellent souvent des points.

4 O n p T n ol a ( d t 'p r E d eEe ea . ) e s nr C u n ' e n o q e np fu u s as e p ov d' Et . e u a r O p e n ce n T ou s ( nt u F s i - S E a i p n l e a 2 *( n * .E m )

c d

- S % e

e d

Y s id tp o X e E ,a o n d d eu x r n t q e i ux s i ot t e s ne o Y o q a Y cn u u X o n e d sY , le o e t X tY n cY 3 X C m . ' A r #i XEcE

xcp

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C Si C XcY .

e $

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Z , a k t

C ,

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s'crit C A ou s a c O ar r, * A S A e 6 s id ti o p a A - 6 p u d a d A q n e u ' p

de Ee l q od o r [ is n sa rA =l

A

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es p m t r

' p um si a a m ,a et p E i c mi u n o p A c , miiA [ a B nA

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de E ,a e n A eu B , r t t X ; s o i r o s l f d u s s ' o e a B i . a a p s

t n rl i e p

O p l ; *

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n

' e A , , C

p d e p ' p nu d de d e o r qe al r t us 'P p u l eo p l n n l n le r , o Br t j o p

la sn el p mm i a i nu a u e o pep .

E u e

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O A

a C n d u l e e c l o v q

m u n l Td e o p )e a r( p i e e l & n e n ? lm s I e ; t n o l o p o m eEr ( d a u o p s ss e r t l n n o u e e o i e s u m t t r

O p q n cA

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o e , ed u n d u n o e l i , n t ahn n s ' u ; ce ad eq ,

l ui r s d 'p s r e e x ' c q t e e n c u i e d at o - e q ' e c n m nu u u ( l n% mo sv 'ai E l

?

. e S

d (

l T

i oA E

a une partie

et L comme , AOG 4 ( E,, = e , 9 ), A% = !,z~.

i

t

5 - S l Y * - O a l p l f d s l D p s d d ' e ' r1 i f' d ' ' ip d n a 1 aa A u la e o' r s i , u u u mg k n ni pe e d n r n r

l

e

ii n n ap m

i n p dn e p 't p n e d d ue a s l e e n d E af a d e o r q e al r t u s p m l . i pm 2 Oe e a u cn s m r t p o p t e r a t a c o p o i i oa e e n ut l n e A n B n C C s pt m l e o m J b e c t i p v a se a da i a r l me d t c L A ou s r ir l d i nx i t st e e en t i ji u .

st

- L c p c e l( [

e

e od l l ar sd od l r s 'd l1 = (

m e 'd f p i' d a l nu e c te e tu o e l u in m t e r a f p' p u d a lu a n e m ie e o : n u m t r1

,e ~

=t [ n (

[;

l

L

BA

A 1 BB

)

n)

- L t a rq c so c dance qui transforme c

c au p d or o e en 3 , 2 en c

d E ,ni h a f e a s, r a o n pot nu mcs r e , U en fi,fi U. en

n

L

- O a p n p E x F r d dp e o e ee , F E n d ul , s l d t ' l c e o o e e o < u r) f u T s d n s o p e . d x ' d E e d u t 7 ' n l m O cu l e e n on dre ici que le couple (x , $f ) e d s t d ci u of c p ' a i e r m l F ' s i e o d nl

- O p d m n de e l p b o d l f u ' d e a ldentifler les produits ( E x F l E %F%G . C - L e - C I e l n p a d r tEe E

u)

d pm r ft ee le o e Ou p ' sd m nn e e i' x G , E x (F x G ) ' d l m e a e a u s n pnot

it 2u ,

n u e u n s t oie n o e e o s

r E

x Ex e , s x s o

c

.

ae E

d E oc

.

u

v ' l 1de uR s s o a

in R o o

u e ' l d en n nn y t ( m r

e ds I o e r e ns o u n Dr , s xx e b

rst e et I n p s te m n d Z c dn d nt , * l r i

6 8 2 APPLICATIONS,FONCTIONS

SoSt E et F deux ensembles, on appelle aopllcaton de E toute dans F ou fonction dfinle sur E a valeurs dans F correspondance# qui, a chaque ldmentx de E , fait correspondre un elment, note I(X), de F . La notation E L F signifie que$ est une appllcatlon de E dans F . E s'appelle ensemble initial, F ensemble flnal de l'application. - Il y a lieu de distinguersoigneusement 4 , qui est l'appli, cation, et J!(X) qui est l'lement correspondant a x par cette application. Cependant cette distinction, pour des ralsons pratiques, n'est pas toujours facile h faire dans l'usafe courant ! Alnsi il est incorrect(mais commode !) de dire la fonction &~XI~, on devrait dire 'la fonction&n, ', alor& que & = est la valeur de cette fonction au point=. On remdie a cet lnconvenlent en disant la f,z)nction X-P A&L%~' ' "la fonction! defInie par $(=) = A&= iie application d'un ensemble dans lui-meme s'appelle aussi un operateur.l

1

= La fonction 4 , dfinie par,!/'(X) $ , est une apgllcation de l'ensemble des lments =k 0 de la droite relle RP dansR. Il est donc inexact de dire que c'est la une fonction relle d'une variable relle, puisque la variable ne peut pas prendre toutes les valeurs relles. Mals on peut trs bien considrer l'appllcatlon 3 de R dansR,dfinle par : pour 9~) = &: cette fonction 9 est diffrente de la z#O, S(O) = 2 fonction t , elle n'a pas mme ensemble de dflnitlon. On peut aussl considrer l'applicatlonk , deflnle nar : k(z) = 2

pourcc#O,

&(~)=+a

, de l'ensemble e=R,

dans

l'ensemble F form de R not + w . 2

et d'un 616ment suppldmentalre

SIE est l'ensemble des fonctions relles dflnles sur un lntervaile rel [a,&] , et lntgrables, l'intgrale :v-+ j,yx) . cix ,

est une application de E

dans la droite

relle R 3

SI E est l'ensemble des courbes de longueur flnie du plan euclidien, on peut dflnlr une application de E dans la demidrolte R+ (ensemble des elments 3 0 courbe,falt correspondre sa longueur. de J3 ), qui, tichaque

7 - On appelle application identlaue d'un ensemble E , l'application 4 de E dans E , definIe par j(z) = z. on appelle injection SI E est une partle d'un ensemble P l'applicatlon'# de E dans F , canonique de E dans P dfinie par @c) = Dz. est un produit de 2 ensembles, on appelle -SiExF l'application de E x F dans E qui, projection sur E chaque couple(X,v) C (Exr),fait correspondre l'dlementz. On definit de mme la projection sur F . Soient E,F, G 3 ensembles. Une application t de E xF dans G fait correspondre a tout couple (~,y) = 5 & Ex F un lment de G , qui est f(j) = !((zc,~)) . On remplace genralement la double parenthese par une simple parenthse : est une fonction de 2 varla$+=,y) 3 et on dit que 4 si E est l'ensemble des fonctions relles bles. Par exemple, d'une variable relle, lntegrables sur tout intervalle fini, defInIt une application de Ex%!xR l'intgrale j+)Jx dansR8 en?. 3i

, ca;elle

est fonction de 3 variables, q

l

E , aeR, dans

maintenant on considre une application de E

T

.X G , elle est de la forme x -+w,$_Jw,ou #(Q+~J dans F(ktib.< 1 : la donnee de est une application de E

cette fonction est quivalente a celle d'un systme de 2 fonctions. Plus gnralement, la donne d'une appllcatlon d'un produit I,x Izx.,. X, EY,% dans un produit F, x F.. x x est quivalente a celle d'un systeme de m n variables. - Une application 4 - de E pour tous les JG EE, j(x) F_ fonctions de

dans F est dite constante si, est le mme elment de F .

On dit qu'une application Z# de E dans F est injective ou encore que c'est une In ection SI 2 lements dissts de E ont pour Images par 1 dewc 416ments dlstinats L'injection canonique xd'u e partie d'un ensemble de F dans cit ensemble est bien une lnjectlon. On dit que ! est surjectlve, ou qu etest une sur ectlon si tout elkment de F est l'image par un 1 P d'au moins --&--J ment de E . On dit que $ est tout 614ment de F seul de F? . Une application est bljectlve si.et seulement SI elle est d la fois injective et surjective. Une bijection d'un

ensemble sur lui-mme s'appelle aussi une permutation ou transformation. Soit# une bijection, et soit v e F . Appelons $?-;y) l'unique klment 3z de E tel que t(s) = SJ, . Nous venons de df'inirune appllcatlon #-' de F dans E . C'est encore une bijection, on dit que c'est l'application rkciproque ou la bijection rciproque de $ ; on 1 appelle souvent Improprement fonction inverse.

l~~~~ll~~~~ill~~lll~~~~lll~~~~~~~lll~l~~ll~~~~~- 9oit# une application de E dans F et soitA une partie :Orme de tous les deE . On appelle j(A) la partie deT lments J(X), x e A . Evidemment {(#)= $ 0 On volt que nous venons de dflnlr une application A e {(A)

. dans T(F) , & partir de l'application f Cette application conserve les symboles C, 3 , U , en ce sens que :si

de

E Q( )

AcB =

, on a @A) u $?B).

#(A) C

f(B).

$?(AU~)

Par contre elle ne conserve pas les symboles fl , a seulement 0,2;2) j(AnB) c &N r-~ j(B) * .

,et on

La partle ,$'(A) s'appelle Image directe ou Image de la partie A par 1'applicatlonJ . Soit maintenant B une partie de T on appelle .$-l(B) la partie de E. forme de tous les% teis que f(z) e 6. '* Evidemment t-l($) = $Zj***. Nous venons ici encore d'associer # une application B t-'(B) de T(F) dans T(E).* soit f

une applhation . soient A,B (b , donc !(Afl

soit x G E = Ona AnB

quel que constante, !(x) = e deux parties dIsjointes de E . 7 B) = #,qui est distinct de

$'+B). Avec la notation abrge de la page 1, on a!-'(B)={zc; ;;A1 = {{ &*** z e A} .

On peut aussi avoir [-l(B)=9

pour

B # $ dansR,

Par

est l'application 3c-

SC* de R

Y Cette application conserve les 5 symboles C,=J, U)n, C en ce sens que l'on a :(I,2;3)

ainsi dfinie - On remarque donc que l'application $-' est plus simple que l'application 4 definie plus haut. s'appelle image rciproque de B par La partie j-'(B) l'application 4 . Il y a lieu de remarquer que cette dfinition ne suppose nullement que 8 soit bijective. De toute , on a le droit de parler de $)-'({y)), faon, si y t F mais c'est une partie de E et non un lment de E ; e l l e peut comprendre plus d'un lment, si 4 n'est pas injective, et elle peut tre la partie vide, si # n'est pas surjective C*). Si $ est bijective, on a exactement S-'(jyt) = {r(y)] ' En outre les deux significations possibles du symbole -1 f (B ) sont les mmes : cest limage rciproque de B part, ou limage directe del3 par la bijection rciproque $- . Naturellement, si{ est bijective, alors l'image directe conserve aussi les 5 symboles c ,3 , u , n,C. On a

Si E et F sont deux ensembles, on peut donc parler d'un nouvel ensemble, qui est l'ensemble des applications de E dans F. Si E n'a que 2 lbments, cet ensemble admet une bijection sur le carr F* ; car une application de E dans F est entirement dtermine par un couple(z,3) T2 , le couple des images des deux lments de E . Si E a n lments, a, , a*,... a-, cet ensemble admet une bijection sur f=,car il est quivalent de se donner une application de E dans T , ou de se donner le systme (=1,x* ,a-* 2,) e FF", ou JC,, x2 > . . . zkztr, sont les images par cette application de a,, a2 ,... a, . C'est pourquoi on a l'habitude de noter FE l'ensemble des applications de E dans F . Naturellement, on aura , considrer des sous-ensembles deF : l'eneemble des applications continues de E dans F , si E et ? sont des espaces mtriques, l'ensemble des applications linaires de E dans 7 , siE et T sont des espaces vectoriels, etc.... On appelle encore famille (2i);E1 d'lments de E Indexe par un ensemble d'indices 1, une application de 1 dans E L'ensemble des familles d'lments de E indexe par 1, n'eit autre que l'ensemble E1 des applications de 1 dans E . * Voir (***) page 8.E

10 F,n particulier, ce qu'on appelle une suite d'lments deE Index&e n'est pas autre chose qu'une famille d'lments de E ou encore une aiplicapar l'ensemblen\T des entiers 2 0 tion de N dans E . L'ensemble des iuites d'lments de E n est donc autre queEN . En rQa1it. une suite n'est pas toujours indexe parW et on peut aussi parler d'une suite ou d'une suite indexe par l'ensembl &J, des entiers 3 1 finie indexe par l'ensemble fini des entiers 1,2,...n . Il y aura toujours intre^t a prciser le sens du mot "suite", si l'ensemble d'indices n'est pasIN ~i;~~liR~~~~~ll~~~~ffl~~~l - Soient t,F, ti 3 ensembles, et soit8 une application deE On appelle applidansF et (I une ap licatlon de F dans G cation compose 90 P l'application de E dans G donne par y? (x) = 9($(X)). On remarquera qu'on crit 90 { dans l'ordre inverse de celui dans lequel les oprations sont effectues : EO-T%-G. (1, 2 i 4)

z

C'est une regle absolue en mathmatiques, que, dans une composition d'oprations %Of ' on doit commencer par celle,{, qui est indique a droite. SI A est une partie de E on a go{(A)= g{{(A)). SiB est une partiede G , on a (9 0 j! )-' ('3) = ~-'(q-'(B)).L5a composition des applications est associative:si #,%,A sont des applicatiens de E dans F , F dans G, G dans H respectivement, on a (hof)o{ = Ro(go$), 9 ui s'crit simplement kOtO 9.

si p- est la bijection rciproque d'une bijection 4 de E dans F , on a 8-'0! = 1~ , application identique de E , et -1 0 = IF p application identique de P . Inversement, si! 4 9 est une application de E dans F 1 et si 2 est une application de F dans E , telle que 3o.J = 1, , f03 ~1, , alors 4 est une bijection, et (I est sa bijection rciproque.Si4 est une bijection de E: sur 7 , une bijection deP surG rcip>roqi;es;st jne b,ijection de E sur % , et sa bijectionf 1) l

SoitJune application de f dans F et soit A une partie deE ; on appelle restriction de / a A lapplication $A , souvent note 4' A , de A dans p , donne par fp) = 4 C=l pour x e A

On dit aussi que 4 est un prolongement E de l'appllcation {,, de A dans F . Naturellement, le plus souvent, on continuera a crire p au lieu de {A De mme si 8 est une application de E dans F , et si de E dans B 1 dfinit une application jB (E CB, 4 '

11 . Pratiquement, on continuedonnee par #s(r) = j(z) ra toujours l'crire 4 au lieu de fs

une fonction dfinie sur E , a valeurs dans F. soit 8 $1 u. est une application d'un, ensemble El dans E , on peut dfinir une nouvelle fonction 4, = $0 IA,, dfinie sur E, valeurs dans r . On dit qu'on a effectu le changement de variable u , ou le changement d'ensemble initial E,Ij E , et que ?, est l'image rciproque de 1 r par ce changement de variable. On ootient.l'expression de , en faisant, dans l'expression de ftX) , 4,(W , ~1 e E, la substitution z = u(%). On crit aussi 4, = a*! , ou mme B* s'il n'y a pas lieu d'indiquer le changement de variable CL ; ainsi :

Couramment aussi, par un abus de langage parfois utile mais parfois Imprudent et pouvant mener de graves contra et 4 et on dit que c'est la dictions, on Identifie 4, mme fonction (sic !), reprsente h l'aide de la variable au lieu de la variable 3~ . 5 SI maintenant Iv est une application de F dans un ensemble on peut dfinir une nouvelle fonction, $% = VO$, dfi5 nie Sur E A valeurs dans F2 On dit qu'on a effectu le changement de fonction 0 ou 11 changement d'ensemble final imap;e directe de 4 par ce chanI gement de fonction. On peut effectuer a la fois un changement de variable et un changement de fonction et considrer & = W*toti, e,est l'image de4 par le changement de variable T.L et le changemais ce n'est plus ni une Image reciproment de fonction v que ni une Image directe.t$3 RELATIONS Dl?AWIVALENCE, ENSEMBLE QUOTIENT

On se donne une relationblnaire sur un ensemble E , si l'on se donne l'ensemble des couples (~~2) qui vrifient cette relation; ainsi les relations : (32+ f 81, Jcfo) x=y, xq, X-J, x2=y3, sont des relations binaires entre nombres rels. On voit quavec prcision, une relation binaire sur E n'est pas autre chose quune partie R du produit E Y E .

12

- Nous etudierons dans ce paragraphe et dans le suivant, des relations binaires d'une importance particulire. - Une relation binaire R est appele relation d'quivalence si elle vrifie les trois propridtes suivantes : a) reflexivit6 : (X,X) r symtrie :R

, quel que soit ze E ; impliqueR

(~y> e R

9 ' ~C)C-R

i

transitivitd: si (~,y) Au lieu d'crire

et C?,%)eR, alors (r,$)eR.

(2,y) E R >

ou x Es y (m0d.R) , que l'on nonce: d r: est congru a 9 , modulo R ; ou plus simplement x: N Y si aprs une dfinition de R , on n'prouve pas Y le b%sZn d'in:iquer qu'il s'agit toujours de la mme relation. Exemples i Les relations donnes au dbut ne sont pas des relations d'equivalence, sauf la premire. On dmontrera aisment que toutes les relations binaires suivantes sont des relations d'quivalence : l"/ Zdtant l'ensemble des entiers de signe quelconque, appelonsE le sous-ensemble de z x z form des couples 0 , Il existe T > 0 tel que

I r - al 5~ 7 entrane I~(X) - f(o)1 a & : Nous avons mis le symbole dtingalit6 large toutes les fols que c'tait possible , et n'avons employ l'lngalltt! stricte S- 0 que l o c'tait absolument ncessaire l'nonc4.

18 utllls~e - Ceci not, l'analogie que nous avons entre une relat.ion d'ordre quelconque 4 et la dans l'ensemble des nombres reiation particuliere G rels: peut conduire a certaines difficults, puisqu'on peut etre amen a noter X. 4 I+ et a dire ' zcinfrieur ay "S mme si l'on a choisi la relation d'ordre 3c 3y * 2"/ Dans l'ensemble des mots de la langue franaise, il existe une relation d'ordre, dite ordre alphabtique (si l'on convient d'identifier des homographes). 3"/ Dans l'ensemble 15 = p(F) des parties d'un ensemble F, S I il existe une relation d'ordre naturelle:X=$y xc Y.4/ Dans l'ensemble E = RF

Z

deS fonctions dfinies sur un ensemble quelconque T et valeursrelles , il existe aussi une relation d'ordre naturelle : 44% , si, quelque soit CC de F, f(n) s ~(CC). On remarquera que, dans cette relation,

2

signifie que, quelque soit X, l(x) s p, , Q-9 et que, pour au moins un 5, ! (2) -= g(x); elle ne signifie nullement que l'on a,ouel oue soit 3c, p(x) < g(x) * 5"/ Dans l'ensemble ]N, des entier-y > 1 , existe une relation d'or essentielle en arithmetique : a : P. Sa negatlon est videmment : il existe un cc vrifiant S , qui cependant ne vrifie pas P , ou(3x

vrifiant S ) : P' .

Le thorme est ainsi dmontr dans ce cas, et aussi, de . manire analogue, s'il n'y a qu'un quantificateur 3 Il suffit alors de faire une rcurrence sur le nombre de quantlficateurs.Supposons le thorme dmontr lorsqu'il y quantificateurs, montrons-le lorsqu'il y en a7t. a n-1 Alors la propridtd s'crit, par exemple, (vxOc:

vrifiant s ) : Q , est une proprldt contenant n-l quantificateurs.

Q

Sa ngation est donc (3x vrifiant S ) : P ,

en vertu de ce qui a t vu pour un seul quantificateur; mals $3 s'obtient en appliquant le thborme, puisque Q ne contient que n-1 quantificateurs, et alors le thorme est encore vrai dans ce cas; il en est de meme si le premier quantificateur est 1 , et le thorme est vrai dans le cas gnral.

35 Remarque - Toutes les fois qu'un quantificateur3est precede d'un certain nombre d'autres quantificateurs, la lettre qui le suit est ventuellement fonction de toutes les lettres figurant dans les quantifications antrieures. Par exemple, dans la proprit pour une fonction d'tre partout continue, q dpend dea et de a . 11 peut arriier en fait qu'on puisse choisir 1 dpendant de E mais non de a ; on dit alors que la fonction est uniformment continue. La proprit pour une fonction d'tre uniformment continue est plus forte que la proprit d'tre continue, elle peut s'crire de la manire suivante :(1,6;3)(k>O)(h~ >O)(tJatIR)(VccEIR,/r-aI~rj):IP(z)-e(a)I~~.

Comme on le voit, une interversion de quantificateurs modifie considrablement la proprit nonce; on voit immdiatement que la proprit la PlUS forte est celle O le SYmbale 1 est plac le plus tt. Avec une autre interversion, on aura :(1164)(3Tj> o)(VaER)(v~

r

Choisissons ce 7 dont il est dit au dbut qu'il existe. Pour tout ~0 de l'intervalle [a-?, a+~],on aura I~(x)-@/~&,v~~o, donc@c)-~~~/=o. Donc on aura j(z)= j(a), pour tout a et tout x de l'intervalle [a-T, o.+T] . En prenant pour a tous les nombres , + entier allant de - 00 +Q), 4 fixe 4% tel que ,& i 7 >*.on volt que ( 1,6; 4 ) signifie que $ est constante, ce qui est une proprit de "continuit' encore plus forte I

N.B. Nous avons considr toute la thorie dos ensembles et la logique du point de vue 'Lnaif": les mots ensemble, gal, quelque soit, il existe, implique, etc ..O. sont pris avec le sens qu'ils ont dans la langue franaise et l'intuition courante. Il est bien vident qu'il n'y a pas l un fondement mathmatique srieux. Les. symboles V 3 E ?,,=+,doivent tre seulement des signes, soumis a CertaineS rgles du jeu", comme le cheval et la tour aux checs, sont des pices aux mouvements rglements, et non un vrai cheval et une vraie tour; comme aussi le Plan d'Euclide n'est pas une Surface d'eau et la boule n'est Pas une orange. La logique mathmatique (cgmprenant la thorie des ensembles) est elle Seule une branche des mathmatiques modernes. Signalons qu'il n'est pas prouve que les logiques actuelles ne soient pas "contradictoires" Une thorie 10 ique est'dite contradictoire s'il existe une proposition F telle qu'on puisse la fois demontrerP et? Alors toute proposition Q (et aussi a ) est vraie. En effei ? -( P OU Q) et(( 7 ou QJ et ;ai.-, Q done( P et;ld) - Q . Si 1'aCtUe;le thorie des ensembles es{ contradictoire, cela ne signifie pas que nous soyons perdus sans remde, mais qu'il faut diminuer le nombre des axicmes de la thorie; ce qui, sans doute, ne changerait pas seneitlement l'ensemble des mathmatiques 1l

On appelle espace mtrique un ensembleE muni d'une fonction dans la distance, c'est--dire d'une application d de E x E demi-droiteE+= {z;rt~,z~o]de R , qui, au couple CX,~, de E x E fait correspondre un nombre d(zc,y) ao , appel distance de x et de y . Cette distance doit possder les 3 proprits suivantes : 1") symtrie : dcx,y) = d

o si

x #y;

et d(z,x) =

O.

3) ingalit triangulaire :

d(q) s +,y) + &y, 5)

(tout c6t d'un triangle est au plus gal A la somme des 2 autres). On sait que ceci entrahe, comme consquence, que tout cat d'un triangle est au moins gal la diffrence des deux autres :

Cela entrake aussi que si z,,~,,... z~, sontn points arbitraires de E , on ait :

Donnons tout de suite des exemples importants d'espaces mtriques : l"/ la droite relle w , le plan complexe 4: , munis de la distan; on appelle cette mtrique la mtrique ce d(r,y> = /z-y1 naturelle de lE?,c; sauf mention expresse du contraire III ou c est toujours muni de sa mtrique naturelle.

2O/ la droite relle R , munie de ~a distance d(z,y, = IF(r)-F(y)), o T est n'importe quelle fonction relle strictement monotone d'une variable rkelle. 3"/ L'espace euclidien rel R'" ou hermitien complexe c* n dimensions, dans lesquels la distance du point (z,,jcz,...= ) et du point ( ~,,~2,...l\dn) est (2 I"t;*=1

-

Nous dmontrerons plus loin rigoureusement qu'il s'agit bien d'un espace mtrique (page 40 ).On appelle cette mtrique la mtrique naturelle deIR" ou @" ; sauf mention expresse du contralre,Rn ou a/- sera toujours muni de sa mtrique naturelle.4/

E tant un ensemble quelconque, on peut le munir de la mtrique discrte, dans laquelle d(z,y) = 1 si z # 9 , et cl(r,~-) = 0.

On appelle sphre de centre a et de rayon R fini > 0 l'ensemble desz de E tels que d(a,z) = R . Rien ne dit qu'une telle sphre ne soit pas vide, ni que deux sphres de centres distincts ne puissent pas corncider (exemple : dans la mtrique discrte, toutes les sphres de rayon 2 coPncldent et sont vides). On appelle boule ouverte (resp. ferme) de centre a et de rayon R finl>O,et on note B, (a,R)ir;sesp. B(a,R) ) l'ensemble des x de E tels que dia,=) < R (resp. 4 R)

2 i: est l'espace entier. (Pour R = 0 la boule ouverte serait vide, la Sphre et la boule fermie se rddulralent leur centre; supposera toujours, mme si ce n'est pas dit on explicitement, que le rayon des sphres ou des boules est fini et>0 ).

* Contrairement l'usage courant dans les lyces, on distinguera toujours boule et sphre. Dans le cas du plan R' , on dit aussi -_ .-. circonfdrence ou cercle au lieu de sphere, et disque ?u lieli de boule.

39

Une partie d'un espace mtrique est dite borne si elle est contenue dans au moins une boule (de rayon fini, comme toujours). AInsiR n'est pas borne, ni la partieN de R; si E ala mtrique discrte, il est born.

SoitE un espace vectoriel sur le corps K des nombres rels ou des nombres complexes. On appelle alors norme sur l'espace vectorielE toute fonction, note Z 3 11Z11, * possdant les proprits suivantes;

1) positivlt : llzll > 0 (lI,1;4)

pour

zi #O, lITil\ coi

2O) transformation par les homoth&ies :Il'h511=I~IlIrlI,'hc~; 3") ingalit de convexit : llS!+~I( s IlsIl + lljll. Naturellement, de 2) et de 3), on dduit aisement l'ingallte gnrale de convexit

(II,l;5)W,f; 6)

IIZ, + It, + . . +q 4 II ql + IIqI+--- + IEJI Tet aussi

I r - g II b 1 II 2 Il - II 9 II 1 *Si E est muni d'une telle norme, on l'appelle espace vectoriel norm. Naturellement on ne peut employer le symbole II II que s'il s'agit d'une norme bien prcisSe une fois pour toutes. SI, dans un mme problme, Interviennent plusieurs normes diffrentes sur un espace vectoriel, on devra bien les reprsenter par des symboles diffrents. soit E un espace vectoriel norm; on peut le munir de la fonction distance dfinie par d(z,?) = IIZ-$II,qul vrifie bien les axiomes requis. Tout espace vectoriel norm est donc automatiquement un espace m&trique, sa distance possde en outre des proprits particulires* Nous conviendrons de toujours surmonter d'une flche les lments d'un espace vectoriel. Bien distinguer le nombre 0 et l'origine 0 de l'espace vectoriel.

40 compatibles avec sa structure vectorielle : d'une part la distance est invariante par translation, autrement dit d( 3i-a,~-%)=&~,~), d'autre part une homothtie de rapport? multiplie la distance pari'hI : d(AX, A~)=IAId(jF,~). Rciproquement, on voit sans peine que toute distance sur un espace vectoriel, ayant les deux proprits precdentes, est ncessairement dfinie partir d'une norme; celle-ci n'est autre que \\3Z Il = dl;,;). Dans un espace vectoriel, on appelle boule ouverte de rayon RP sans prciser le centre, la boule ayant pour centre l'origine de l'espace vectoriel et pour rayon R De mme pour la boule ferme . On les nAteraB,,(R) et B(R): En particulier la boule unit ouverte (resp. fermee) est la boule ouverte (resp. ferme) de centre 0 et de rayon 1, sans autre spcification. Boule unit, sans spclfication, veut dire : boule unit ferme. Dans un espace vectoriel sur les corps des rels ou des complexes, on appell.2 segment d'extrmits a et 8- l'ensemble des points t +(2-t)R, OS~: $4. On le notera [a,&], de la mme manire qu'un intervalle ferm dans un ensemble ordonn. On dit qu'une partie de E. est convexe si, toutes les fois qu elle contient 2 points distincts, elle contient tout le segment qui les a pour extrmits. L'ingalite de convexit nous' montre que dans un espace vectoriel norm, toute boule est un ensemble convexe. En effet, si IIx 11 6 R et Il< Ils R , on a

Donnons quelques exemples d'espaces vectoriels norms : l"/ Sur le corpsdes scalairesIR ou c,la fonction 3t -, 1x1 est une norme, elle dfinit la mtrique vue plus haut (I', page 37 >. On l'appellera la norme naturelle. 2'/ Sur 1 'espace vectcrlelWn ou en, les 3 fonctions suivantes sont des normes : 1

C'est vident pour les deux premires, il suffit de le voir pour la 3me. Sbient alors (x,,~~,... zm), (y, , y2 ,... 1,X2 systmes de% nombres complexes.

Nous voulons dmontrer lingalit de convexite(II, 1; 8)

il

Comme le premier membre est majore par (~(Ix;I+l~il)z)i,

s u f f i t , en levant au carr, de montrer

(B,l; 9)

ou(JI,l;lO)

c billyil 6 (Cld) (Liy;l) ,ce qui est lingalit de CAUCHY - SCHWYZ C h a p i t r e I I I , n7, thorkme 7 . 1 ) . Cette norme r. = (-cl, x,,... oz,) naturelle deW ou en. (Cours dAlgbre,

8 appellera la normei=l

Nous verrons plus tard dautres exemples essentiels despaces vectoriels norms, de dimension Infinie.

9 2 OUVERTS. FERMES. VOISINAGES. INTERIEUR. FRONTIERE. ADHERENCE, SOUS ENSEMBLES DENSES

Soit E un espace mtrique. Une partie A de E est appele o u v e r t e s i , t o u t e s l e s f o i s q u e l l e cont;;;.irE p o i n t d e E, (de elle contient au moins une boule r a y o n > 0 ) a y a n t p o u r c e n t r e c e p o i n t * . Les parties ouvertes de E possdent videmment les proprits suivantes :

*

En abrg : A

est ouverte si :(V,EA)(~~>O)(V~~E,~(S,U~)O):

Y tA.ou plus rapidement : (t/cceA)(3

BJrlp) CA .

N a t u r e l l e m e n t c e 4 d p e n d d e % . Cn p e u t , d a n s l a d f i n i t i o n remplacer boule ouverte par boule ferme car ]a boule ferme d e r a y o n p c o n t i e n t l a Douie o u v e r t e d e r a y o n p ) e t l a b o u l e ouve-rte d e r a y o n p c o n t i e n t l a b o u l e f e r m e de rayon P . 2

42

a) E lui mme , et la partie vide ( lI,2;1 b \

sont ouvertes *

b) Toute intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est ouverte. c) Toute runion d'une famille finie ou infinie d'ensembles ouverts est ouverte.

Dmontrons par exemple b). Soient @,,@?,... 6, #des ouverts de E . Si SC appartient leur intersection, il existe, pour chaque i , un nombreR.70 % tel que la boule B(z,R;) soit tout entire contenue dans 0; . Alors, si on pose R = ML (Ri) , la boule i=l,Z,...n B(z,R) est contenue dns l'intersection; donc celle-ci est bien ouverte. Il existe en outre une 4me proprit interessante appele "Axiome de sparation de HAUSDORFF". d) Quels que soient les points R \ , et sa frontire est la sphre de centreaet de rayon R . * [ Notons que cette circonstance n'est pas absolument gnrale. SiE est muni de la mtrique%discrte, et SI A est une boule ferme de rayon 7 elle est identique a E donc identique son lntrieur,tandfs que sa frontire et son extrieur sont vides. Une boule ouverte de rayon 1 est rduite son centre). + Le thorme 15 donnera une autre caractrisation essentielle de l'adhrence.

48 3-w la droite relle W ,-SI. A est l'ensemble des nomA=A=R. bres rationnels, A = # , Pour qu'une partie A de E soit ouverte, Il faut et il suffit qu'elle soit identique a son Intrieur. Pour qu'elle soit ferme, il faut et il suffit qu'elle soit identique son adherence. II Une partie A d'un espace mtrique E est si tout point de E lui est adhrent, dite "dense"Qans E c'est-h-dire si son adhrence est E lui-mme. Cela Veut encore dire que tout ouvert rencontreA . Un espace mtrique E est dit sparable s'il est fini ou s'il contient une partie dnombrable dense. (Cette dnomination, assez largement adopte, est fcheuse, car separable n'a ainsi aucun rapport avec spar 1) Exemples - SurIR munie de sa mtrique naturelle, l'ensembleA des nombres rationnels, et 1'ensembleB des nombres lrrationnels sont denses. Comme l'ensemble des rationnels est dnombrable, R est sparable.

9' 9.\ i' ,- 5. ' 3' C;g ,r \!' '1 _ yy :.

Soit F' une partie d'un espace mtrique E La restriction a F x r de la fonction distance dfinie-sur E x E. fait deF lui-meme un nouvel espace mtrique. On l'appell un sous-espace-mgtrique de z , et on dit qu'il est muni de la mtrique "induite".

z

SI alors A est une partie de F il y a lieu de prciser avec soin, quand on dira qu'elle es; ouverte ou ferme, si elle l'est dans l'espace mtrique E , ou dans l'espace Par exempleF lui-mme est a la fois ouvert et m6trique F ferm dans i'espace mdtrlque F , alors qu'il ne l'est pas en gneral dans E . Thorme 5 - Pour qu'une partie A de F soit ouverte (resp. ferme) dans l'espace mtrique F , il faut et il suffit qu'elle soit l'intersection deT et d'une partie ouverte (resp. ferme) de l'espace mtrique E.. Pour qu'une partie de F soit, dans l'espace mtriquef,un voisinage de aeF.il faut et il suffit quelle soit l'intersection de P et d'un voisinage de a dans E . Dmonstration des boules dans E , par j les boules

Dsignons par B dansF o

49

Soit A une partie de F , intersection de F et d'un ouvertA, de E . Si a, ET' est dans A , donc dans A, il existe une boule B,(a, R) cnntenue dans A, * alori p (a,R) = B,(a,R)nF est contenue dans A ; A est bien ouvert dan: r . Rciproquement soit A un ouvert de F Alors il- est (page 43) une runion d'une famille B(cL;,~~), ieI,de boules ouvertes, die A, R; > o ; alors la runion des Bc a;, R, ) est un ouvert A, de E , et A = A,n F Ainsi la proprit relative aux ouverts est dmontre. Soit maintenant A, une partie ferme dans E . soit c, son complmentaire dans E . A, et C, coupent F suivant deux parties complmentaires A et C de F : C est ouverte est ferme. donc A = A,n F Rciproquement, soit A une partie ferme de F . Soit C son complmentaire relativement ap . C est ouverte, donc il existe un ouvert C, de E tel que C,n F = C . Soit A, le complmentaire de C, dans E , A, est ferme. A, et C, tant complmentaires dans E , leurs intersections avecF sont complmentaires dans T ; comme C, flr = C , on a A=A,nF, tant ferme dans E , ce qui dmontre la proprit A, relative aux ferms. Enfin soit v, un voisinage de oeF dans E v, contient un ouvert A, contenant a . Alors U = 2), ~IF contient louvert A = A, n F de P , contenant a , donc cest un voisinage de a dans F. Rciproquement, soit v un voisinage de a dans F . Il contient un ouvert A de F contenant d . Il existe alors un ouvert A, Alors v, = A,u 'V est un de E tel que A = A, nT voisinage de a dans E puisqu'il contient l'ouvert A, contenant a ; et IJ = IJ, fi F. Ceci montre deux choses : l"/ Les ouverts, les ferms, et par consquent les voisinages d'un sous-espaces mtrique F sont parfaitement connus des que l'on connait ceux de E sans qu'il soit ncessaire de connaetre la fonction distknce elle-mme. Nous en verrons plus tard l'intrt (voir 9 4) 2'/ Quelle que soit la partie F de E , si une partie A de F est ouverte {resp. ferme) dans l'espace mtrique E , elle l'est h fortiori dans le sous-espace mtrique F; si elle est un volsinage de a, E F dans E , elle lest a fortiori dans F .

4

50

La reciproque n'est pas nccessairement vraie, comme le montre le cas de A = F lui-mme vu plus haut. Mais : Thorme 6 - a) Si F est un ouvert de E , toute partie A de FS ouverte dans 1 espace mtrique F , est encore ouverte dans ' L'espace mtrique E . b) SI F est une partie ferme de E , toute partie A de F , ferme dans l'espace mtrique F , est encore ferme dans l'espace mtrique E . c) si F est un voisinage de QI dans E , toute pardans F , est encore un voitie A de F , voisinage de a sinage de CG dans E . Dmonstration a/ si A est une partie ouverte de F , suppos ouvert dans E il existe, d aprs le thorme 5, une partie Al , ouverie de E telle que A = A,n F ; comme alors A, etF sont ouvertes dans E, A = A,nP l'est aussi. On en dduit aussltat c) . b/ Dmonstration analogue, en remplaant ouvert par ferm .

Q 3 FONCTIONS CONTINUES. HOMliiOMORPHISMES

Soit$ une application d'un espace mtrique E dans un espace mtrique F . Cn dit que 1 est continue en un pointa de E que soit .5 > 0, il existe rl > 0 tel que cl(a,r) 6 fi , I ~~tra~~~ d(#ta) , f(r)) d &. On peut aussi dire : si quelle que soit la boule ayant pour centre ?(a>, Il existe une boule de centre a dont l'image par j soit dans la prcdente. n peut encore dire :si,quel que soit 'v voisinage de , il existe LC , voisinage de cL , te; que y(U) c'v. I On peut encore dire : si l'image rciproque par 9 de tout voisinage de P(a) est un voisinage de a . 1 Une application de E dans F est dite continue, si elle continue en tout point a de E . La premire dfinition de la continuit fait essentiellement intervenir la mtrique. Les deux dernires, au contraire, ne font intervenir que les ouverts et les voisinages, mais non la mtrique elle mme. On en verra l'intrt plus tard(0 4).

51

, c'est--dire l'application &-SQde l'espace mtrique E , c~lementalre de l'origine sk la droite relle, dans l'espace mtrlqueF=R, droite relle, est une application partout continue. La fonction $ d'un espace mtrique E Thorme 7 - Pour qu'une application dans un espace mtrique F soit continue, il faut et il suffit que l'image rciproque par 8 de tout ouvert de P soit un ouvert de E . Montrons d'abord que la condition est Dmonstration ncessaire : Supposons $ continue, soit B un ouvert de F , soit CLCA. et posons A = j-'(B) 4 est continue , donc A doit tre en a or B est un voisinage de {(a> Ainsi A est un voisina e de chacun de un volkinage de a ses points, donc ciest un ensemble ouvert 8 thorme 1). Montrons maintenant que la condition est suffisante : Supposons que l'image rciproque par 4 de tout ouvert de F soit un ouvert de E . alors, pour tout point a de E , soit21 dans T . un voisinage de t(a) Alors v contient un ouvert B contenant pf donc l'image rciproque j-'(v) contient j-'(B) qui est un ou;ert contenanta. est un voisinage de u , ce qui prouve que Alors {-'(V) l'application { est continue en d . Pour qu'une application 0 d'un espace mtrique E Thoreme 8 dans un espace metrique F , soit continue, il faut et il suffit, que l'image rciprocue part I de tout ferm de r soit un fer& de E . Dmonstration : en remplaant les dans F par leurs lisant la formule On passe du tnorme prcdent celui-ci parties ouvertes considres dans E et parties complmentaires fermes, et en uti(1, 2;3).

Remarque : Si, dans les deux thormes prcdents, on remplaait les images rciproques par des images directes on aboutirait des rsultats inexacts. Considrons par exemNe, en premier lieu, une application constante de E dansF. Une telle application est manifestement continue. Cependant l'image par cette application de n'importe quel ouvert de E, en particulier de E lui-mme, est rduite un point de F, et en gdnral une partie rduite un point n'est pas ouverte. SI par ailleurs nous considrons la fonction ? dfinie dans l'exemple ci-dessus, l'image par cette foncti& de l'ensemble E tout entier c'est--dire d'une partie ferme, est, dans F = ?.R , le complementalre de l'origine, qui n 'est pas une partie ferme,

52 Thorme 9 - Si E est un espace vectoriel norm, sa norme, application de E dans la droiteW munie de sa mtrique -~_ naturelle, est une fonction continue. Dmonstration : On en deduit en effet de (11,1;6) que, si 1 > 0 est donn, = E pour que Ilx-c/ 6 7 entrake

Thorme 10 - L'application compose de deux applications continues est continue. Dmonstration Soient E, F, G ,trois espaces mtriques, et -R_ = j"l l'application compose d'une application! de E dans F, et 'une application 9 de F dans G . On suppose en outre B continue en un point a de E , et % continueau point 4 = {(a) deF . soit c = g&, = R(a) . Soit& un voisinage de c dans G . L'application tant continue au point 8 l'image rciproque V = $'( lu ) est un voisinage de & dak P . L'application [ tant continue au point (L , l'image rciproque Lu =4-'(U) est un voisinage de Q. dans E . Mais n'est autre que 4aW) , et alors 41 = q-y lu)) ceci prouve bien que k. est continue au point (z a* . On en dduit bien v demment que, si 8 et % sont partout continues, alors K est aussi partout continue. On peut d'ailleurs le voir directement en utilisant le thorme 7 ou le thorme 8.

On appelle homomorphisme d'un espace mtrique E sur un espace mtrique P toute bijection de E sur F qui soit continue ainsi que sa bijection rciproque.

* A titre d'exercice, dOMer une autre dmonstration en utilisant la premire dfinition (mtrique) de la continuit, avec Ve, 3 . . . . 7

Thorme 11 Pour qu'une application !,dj bljective et contlnue, de E dans P soit un homeomorphisme, il est ---.necessaire et suffisant que l'image directe par f de tout ouvert de E soit un ouvert de F . 11 est aussi'ncessaire et suffisant que l'me directe par 4 de tout ferm de Esoit un ferm

deF .

En effet ces images directes ne sont autres que des im?ges rciproques, relatives la bijection rciproque 9 = $ ) et les conditions prcdentes ne sont autres que celles qui sont donnes dans le thoreme 7 et dans le thorme 8 pour la continuit de 4-l. Remarque - Il ne faudrait pas croire que toute application bijective et continue soit ncessairement un homomorphisme. Par exemple, si E est la droite R munie de sa mtrique discrte, et si F est la droite lR munie de sa mtrique naturelle, l'application identique de E dans F est continue et bijective, mais n'est manifestement pas un homomorphisme. On dit que deux espaces mtriques E etF sont homomorphes, s'il existe au moins un homomorphisme de l'un sur l'autre. Ces deux espaces ont alors les m8mes proprits topologiques, c'est--dire les mmes proprits pour tout ce qui concerne les ensembles ouverts, les ensembles ferms et les voisinages. Exemple - L'intrieur d'un disque et l'intrieur d'un triangle, dans un plan euclidien, sont des espaces mtriques y > 0 , la rgion 9 > x2 homomorphes. Le demi-plan situe au-dessus de la parabole 9 = x2 , la rgion 3~ r' situe au dessous de cette parabole, dans le plan w' , sont homomorphes * . Les deux espaces mtriques dfinis par les lignes traces sur la figure qui suit sont homomorphes.

* A titre d'exercice, dfinir chaque fois un homomorphlsme entre les espaces mtriques homomorphes considrs.

54

Z94

Mais attention ! Cela ne veut nullement dire qu'il existe un homomorphisme du premier plan sur le deuxime, qui amne le premier sous-espace sur le deuxime J La droite relle, munie de sa mtrique naturelle, et la droite relle, munie de la mtrique discrte, ne sont pas homomorphes, puisque, sur cette dernire, toutes les parties sont ouvertes et qu'il n'en est pas de m@me sur la premire *

ESPACESM~TRIQUESETESPACESTOPOLOGIQUES A partir de la notion de distance, nous avons pu dfinir, sur un espace mtrique E les notions d'ensemble ouvert, d'ensemble ferm, de voisinage, d'intrieur, d'extrieur, de frontire, d'adhrence, d'ensemble dense, d'application continue. Toutes ces notions de dduisent de celle d'ensemble ouvert. Il mme Elles nages peut arriver que deux mtriques diffrentes, sur le espace E , aient le mme systme d'ensembles ouverts. ont alors les mmes parties fermes, les mmes voiside chaque point, etc....

Par exemple, si E est un espace mtrique et sid est sa fonction distance, la fonction distance 2d, c'est-a-dire telle que la distance de deux points x et? soit 2 d(z,y), donne bien videmment les mmes ensembles ouverts. On dit que deux mtriques sur un mme ensemble E sont quivalentes, si elles ont le mme systme d'ensembles ouverts. -On dit encore qu'elles dfinissent la mme topologie sur E . Cela revient a dire que l'aoolication identique de E , muni de la lre mtrique, sur E , munie de la 2me metrique, est un homeomorphisme. les Sur un espace vectoriel, 2 normes sont dites quivalentes, si mtriques correspondantes-sont quivalentes.

Thorke 12 - Pour que 2 normes sur un espace vectoriel notes sous la forme (1 11, et Il Il, soient quivalentes, il faut et il suffit qu'il existe des Constantes k' -yZ'> 0 tellesque 7 l'on ait, pour tous les 35 de E :

+ A la page 53 , nous avers indiqu que l'application identique n'tait pas un homomorphisme de 1 une sur l'autre. Nous disons ici qu'il n'existe aucun homomorphisme de l'une sur l'autre, ce qui est un rsultat plus fort.

55 Dmonstration - Appelons ferme de centre origine et norme (resp. pour la 2$me). normes soient quivalentes, ouverts. B,(R) (resp. B,(R) ) la boule de rayon R , pour la premire Supposons alors que les deux c'est--dire donnent les mmes

contient un ensemble ouvert deE ,dans la Alors B,(I) lre mtrique, contenant l'origine: il contient donc aussi un ensemble ouvert, dans la $!me,contenaTt l'origine; il existe par suite un nombre -,, tel que 1 on aitB,(l) 3 BZ(k). Par une homothtle de rapport -k"R , on en dduit la relation d'inclusionB,($'R) 3 B,(R) . Elle signifie que II~I& < R entraine IIE II, 6 i%R ; mais la premire ingalit est vraie avec R = II'3 II, , la seconde donne alors I!x I\, 4 k"1\2112. * En oprant de mme en sens inverse, la ncessit de la condition est bien dmontre. Exprimons maintenant que cett; condition est suffisante. Si elle est ralise,alors 11"211,4 %,,, entrahe I\Zl\, 6 R .

B* ( $g c B,(R).Il en rsulte que toute boule, pour la lre mbtrlque, contient ncessairement une boule pour la 2me, et vice versa; ce que nous venons de dire pour les boules ayant pour centre l'origine est vrai, par translation, pour les boules ayant un centre quelconque. Comme un ouvert pour la topologie est un ensemble qui, tOUteS les fois qu'il contient un point, contient au moins une boule ayant pour centre ce point, les proprits que nous venons de Voir pOUr les boules entrainent l'identit des ouverts pour les deux mtriques. Remarque - si d, e t d, sont les distances dfinies par 2 normes equivalentes, il y.a donc une constante & telle que, quels que soient3C et y1 d,(yj> 6 a d&,$ > d,w,y) G k d,cx,y). Cette circonstance est trs spciale aux mtriques qulvalentes dfinies par des normes quivalentes sur un espace - vectoriel. Voici une autre dmonstration. S'il n'existait pas de tel nombre %", alors, pour tout entier n 3 0 il existerait un point %?=#-a tel que HsnII, 3 ~L~I~~I\~ . En' remplaant au besoin 2, par un homothtique, on peut toujours supposer que [iZfln, = 1 . Alors l~YQ2 6 & . Donc la suite des convergerait vers 0 pour la 2me norme et pas pour ZL la premire, et elles ne seraient pas quivalentes (cette dmonstration utilise les suites convergentes, qui seront vues plus loin).*

56 Mais, si d est la distance d'une mtrique quelconque sur un ensemble E , on.voit aussitt que &=117f (R I), dfinie par dcx )=Mm(db,y),l) , est aussi'une fonction distance' 1 vrifier 11,l;l)). Il est trivial que la mtrique dfinie par d ' est quivalente a la mtrique initiale (les boules de rayon ~1 sont les mmes). Or, lorsque d varie de 0 +oo d varie de 0 $1 . Il n'y a donc pas entre elles d'ingalits du type (11,4;1). SiE est un espace vectoriel, et si d est la distance dfinie a partir d'une norme, il n'en est plus de mme de d'. Cet exemple montre que, tant donn6 une mtrique sur E , on Peut touiours trouver une- metrique eouivalente pour laquelle E soit bor&.

Corollaire - Les 3 normes donnes au dbut pour l'espace vectoriel W" sont quivalentes. - f

On a en effet, les ingalitis :

Plus gnralement nous admettrons le thoreme suivant, dont la dmonstration est dlicate * Thorme 13 - Sur un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des rels ou des complexes, 2 normes quelconques sont quivalentes; il existe par suite un seul systme d'ensembles ouverts, d'ensembles fermes, etc.... valable pour toutes les normes possibles.

2

Il est bon de remarquer, comme nous en verrons plus tard des exemples, que cette proprit ne subsiste absolument pas pour des espaces vectoriels de dimension infinie.

Nous sommes ainsi amens, pour des espaces mtriques, introduire deux sortes de proprits : les proprits mtri* On trouvera une ddmonstration (facultative) a la page 72 avec le thorme 23.

57 ques qui dpendent explicitement de la metrique elle-mme, comme la distance de deux points, la proprit des cts d'un triangle ou d'une figure forme par plusieurs points, les boules, etc...;d'autre part, les proprits topologiques qui ne dpendent pas de la mtrique elle-mme mais seulement de l'ensemble des parties ouvertes, des parties fermes * etc.... ? us gngralement, on oonoit qu'il soit mme possible d'introduire une topologie, sans passer par l'intermdiaire d'une mtrique : On appelle espace topologique E , un ensemble E sur lequel on a aistinguune famille de parties, appeles les parties ouvertes de la topologie. C'est une famille absolument quelconque de parties astreinte seulement a satisfaire aux proprits a9 Pf,crd, ** donnes page 42 -0 Nous voyons qu'un espace mtrique est un espace topologique particulier, mais il existe des espaces topologiques qui ne peuven pas tre dfinis partir d'une mtrlque. i.CL fit+- N*rx%LLJ ,

* Le fait, pour une partie A de E , d'tre borne,(voir dfinition page 39) est une proprit mtrique et non topologique:l ensemble m, des entiers 7,2 n est pas born si on le munit de la mtrique d 0 9 il existe un entier n, telque * % n0 entraine d(l,z*) < & . On -- _Peut encore dire si, quel que soit le voisinagev de k , il existe un entier n, tel que, pour 12 an,,tous les SC% appartiennent 27 . On peut encore dire : si, quel que soit le voisinage v de 1 , tous les 5, appartiennent 'v, sauf au plus pour un nombre fini de valeurs de l'entiers. ** Ces deux dernires dfinitions sont valables siE est un -7 espace topologique; mme siE est mtrique, la convergence d'une suite est une proprit topologique, et non mtrique.' Il existe bien d'autres notions de lirAtes qui ne sont ' pas relatives aux suites : 2'/ Considrons par exemple une suite double 3c,,,, m entierao, 72/ entier 2 0 , c 'est--dire une application de WxJN dans E. On dit que cette suite double converge vers l'lment & de E lorsque7n etm tendent simultanment vers l'infini, * On sous-entend l'expression : "Quand n. tend vers + 00 11 Si les x, sont rels, on peut prendre 4!= + 40 ; on considre alors que la suite est sur W . ** Cette dfinition montre en outre que la convergence d'une suite est Indpendante de l'ordre de ses termes. Changer l'ordre des termes d'une sultex,,z,,r,,... F,,..., c'est la remplacer par la suite r +o,xp,,... x?~,... , O~C+% et une bijectiondeNsur lui -mme; si la suite initiale converge vers .l, Il en est de mme de la suite modifie.

60

si, quel que soit E > 0 , il existe des entiers m, )n, tels que m a m, t n 2n,,entraine d(r,,,,A, Q 6 * Jo/ On dit au contraire que oc,,% converge vers l 1 orsque rn ou n tend vers l'infini, si q uel que soit & > 0 , il existe des entiers m., n, tels que ?n > Tn0~22 an.entraine 4%?l,,,~)d& ** . 4"/ Si4 est une application de la droite relleR dans E l'expression ' j~)tend vers e lorsque x tend vers CL par valeurs strictement suprieures" signifie qu, quel que soit & )o, il existe y > 0 tel que (Ix-f21 & 7, 5 > a) entraene d (f(x)) 1) 6 6 . 5"/ Dans les mmes conditions, ;'expression ' f(r) tend vers 4 lorsquer tend vers + 00 signifie que , quel que soit& )o, il existe A rel tel que z 2 A entrafne d(f(x),!,) 6 t. Toutes ces limites se dfinissent aisment siE est un espace topologique, non ncessairement mtrique. Elles rentrent dans un cadre bien plus gnral, que voici. Soit X un aun point de X espace topologique, A une partie de X adhrent A . On dira, si { est une application de A dans E, que a 1 -

Dans 5/,

X=iR,

A=R,a z+cxJ * d'un espace topologique E dans

un espace topologique T est continue en un point a de E ,

Dire qu'une application 4

* En abrg : (Ve > 0) (3 ~~c@J)(3n,aq(\im,m a-tyo) ( y%, -I-L a -no): de,,,J.) 6 &.

** En abrg :(~&>o)(~~,~N)~~~,EN)(v(~,~)~N~N, m3m, ou T-L -L): d(=q-,,,,,4) 4 e.2

Trs souvent, CL~- A mais d 4 A . Cest ce quon suppose toujours en taupe : quand on dit que CC tend vers d, on suppose x# a. Ici nous ne nous placerons pas forcment dans ce cas : on peut avoir a e A ou a$A.

***

61 c'est alors exactement dire que quand zc- tend vers a -Thorme 14 - Si une suite admet une necessairement unique. (2) tend vers (a) _

limite, cette

limite est

Dmonstration - Supposons qu'une suite ~,,z,,r,,...~~.d'lments de E puisse admettre deux limites distinctes a,& de E On sait qu'il existe, d'aprs l'axiome de sparation de HAUSDORFF, un voisinage % de a, et un voisinage U de & qui sont sans point commun. Alors il doit exister d'une pkt un entier m, tel que 12 3 m, entrarne xn G 4k , et d'autre part un entier no tel que m 3 yno entrafne z=e V. Alors n 3 Mar(mo ,n,)entraTne x, r% n u, ce qui est absurde puisque cette intersection est vide. Pour qu'un point a d'un espace mtrisable E Thorme 15 soit adhirent une partie A de E , il faut et il suffit Au'il existe une suite d elments de A qui converge vers a ** Dmonstration - Il est vident que la condition est suffisante, car, s'il existe une telle suite, alors tout voisinage 'U' de a contient au moins un point de la suite et par consquent un point de A , et a, est bien adhrent A (thorme 4) Rciproquement, si a est adhrent A , et si nous choisissons une mtrique dfinissant la topologie de E alors la boule de centre a et de rayon $ contient au moins un point 5, appartenant A . La suite zc,,z,,+,... z=,,--. ainsi forme appartient bien A et converge bien vers a . Ainsi l'adhrence A de A est l'ensemble des limites des suites de A qui sont convrgentes dans E . Corollaire - Pour qu'une partie d'un espace topologique , wble E soit ferme, il faut et il suffit qu'elle contienne toutes les limites de ses suites convergentes dans E .

* Si E est topologique non mtrisable, la condition suffisante mais non ncessaire.

reste

62

Thorme 16 - Pour qu'une application t d'un espace mtrlsableE dans un espace mtrisable F soit continue en un point CL de E, il faut et il suffit que l'image par j? de toute suite de points de E convergeant vers a. soit une suite de points de P convergeant vers O(Q) * . l"/ La condition est ncessaire. Supposons en effet 1 continue en CL, et soit3t,,2,,2,,... z+..une suite convergeant vers & dans E . Alors,quel que soit g voisinage de g(a) dans T , son image rciproque par $ est un voisinageq de a dans E. Alors, pour tous les entiers 7~ sauf au plus un nombre fini, et par suite I 3f,, =, ,-* * X?l,... une suite d'lments d'un espace on dit que a est point d'accumulation de la topologique E de a , il existe une suite si, pour iout voisinage 'If infinit de valeurs de l'entier R telles quer, e v . Si une suite converge versa , elle admet a comme point d'accumulation. Thorme 24 - Si E est un espace mtrisable, CL est point d'accumulaticn d'une suite ~o~,%,,%~,...Jc,,,... d'lments de E , si et seulement si on peut extraire de cette suite une suite Partielle convergeant vers cx. Dmonstration - On appelle suite partielle de la suite z,,x,,Jc~,... X R 1 *aune suite du typez y, ' . . . zen , . . . o -n/-+"(c,~ -P* ' est une application strictement croissante deNdansli\T +* . Il est alors vident, en appliquant simplement la dfinition, que s'il existe une suite partielle de la suite initiale qui converge vers a , cette suite initiale admet d comme point d'accumulation (et ceci mme si E. est topologique non mtrisable) Montrons la rciproque, en supposant choisie une mtrique dfinissant la topologie. Supposons CL point d'accumulation de la suite Witiale. Puisque CL est point d'accumulation, pour chaque bouleB (a,k),il existe une infinit de valeurs de + telles que z?e B(a,i). Prenons d'abord un entier e, tel que X+C B(a,l),prenons ensuite un entier Fi )T, tel que'z,,, 2~B(a+), 1 * On dit souvent "point adhrent ij, une suite", mais cela introduit des confusions possibles avec la notion de point adhrent un ensemble, c est pourquoi nous employons un mot diffrent. ++ En prenant +* = 72 , on voit que la suite elle-mme est une suite partielle.

puis un entierI;>ir, suite; de proche en partielle n -, =c+ videmment, converee

, et ainsi de te17iue CC?,C B(a,$) proche, nous formons ainsi une suite de la suite initiale, et qui, bien vers d .

/,oM- &j( mAMi; -hbew- &z.. Thorme 25 - (Proprit de Weierstrass Bolzano). Si E est un espace mtrisable, pour qu'il soit compact, il faut et il suffit que toute suite d elements de E admette au moins un point d'accumulation * Dmonsttiicn l"/ -Supposons E compact et soit %,x,,... JC, ,..a une -suite d'lments de E . Appelons A, lrensemble{rcn,3cn+,,... et An son adhrence. Alors les A, forment une suite dcroissante d'ensembles ferms et aucun d'eux n'est vide, donc leur intersection n'est pas vide. Soit & un point de cette intersection. Dire que d appartient a A,ou est adhrent A, , cest dire que tout voisinage de a contient au moins un et comme c'est vrai pour tout 7L cela prouve point de A, bien que U es; un point d'accumulation de la Sui;e. 2'/ La rciproque est dlicate. re de deux lemmes.

1,

Nous passerons par l'intermdiai-

Lemme 1 - Soit E un espace mtrique, dans lequel toute suite admet au moins un point d'accumulation. Soit& un recouvrement ouvert de E . Alors il existe un nombre 6 > 0 tel que toute boule, de centre quelconque et de rayon 6 & , soit contenue toute entikre dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi. Alors, pour tout entier n , il serait possible de trouler un point a, de E. tel que la boule de centre a, et de rayon < ne soit pas contenue toute entiere dans l'un au moins des ouverts du recouvrement. Nous formons ainsi une suite infinie hi, ap,... a,,... d'ldments de E . Cette suite admet au moins un point d'accumulation a . Comme& est un recouvrement, il existe un des ouverts de& , soit (r , qui contient a , et cet ouvert lui-mme contient une boule de centre a et de rayon a. Mais il existe une infinit de valeurs de -r , donc au moins me , telles que lon ait Sr la fois $ 6 % , et d(a,,a) 5 5. On voit alors que la boule de centre arr et de rayon A< % * Si E, est topologique non mtrisable, la condition reste ncessaire, mais non suffisante.

76 est toute entire contenue dans la boule B(LG,~), et par consdquent dans l'ouvert (s du recouvrement, ce qui est contraire a l'hypothse faite sur la suite des an . Nous aboutissons ainsi une contradiction. Lemme 2 - SoitE un espace mtrique, dans lequel toute suite admet au moins un point d'accumulation. Alors, quel que soit E->O , on peut recouvrir E tout entier l'aide d'un nombre fini de boules de rayon E . , le lemme En effet soit un point a, de E . SiB,(a,,e) = E est dmontr. S'il n'en est pas ainsi, il existe au moins un point U, qui n'appartienne pas B,(a,,e) . Si alors B,(cL,,~) U B,(a,,k) = E , alors le lemme est dmontr, et ainsi de suite. Nous pouvons former de cette manire une suite B,(a,, &),B,(a,,+... B,( a,,c),...de boules de rayon & . Si nous ne sommes jamais arrts, cela prouve que nous pouvons former une suite infinie de points a, ,a,,&*,... a,,... . Or il est facile de dont les distances mutuelles sont 2~ voir que cette circonstance est irrpossible, car cette suite infinie possderait au moins un point d'accumulation a , et par suite il existerait une infinit de valeurs de%. , dont au moins deux valeurs distinctes + et q , telles que d(a,a7,)a $t 4a,aq) < 5 - On en dduirait d(a+,a?) < y , ce qui serait contradictoire avec l'hypothse d(a+,a,) a & . Il en rsulte bien que nous sommes arrts, dans notre construction, un certain entier?% , et qu'alors on peut recouvrir E avec n+l boules ouvertes de rayon & . Moyennant ces deux lemmes la dmonstration du thorme est vidente. Choisissons une mtrique dfinissant la topologie de E. pour prouver que E est compact, nous devons considrer un recouvrement ouvert quelconque (a . D'aprs le lemme 1, il existe un nombre 6 > 0 tel que toute boule de rayon < & soit contenue toute entire dans au moins l'un des ouverts du recouvrement 8,. D'aprs le lemme 2, on peut recouvrir E tout entier par un nomComme chacune bre fini de boules B,,B,,B,,...,B,,,de rayon E d'elle B* est contenue toute entire dans un kvert 6 du reco vrement dt on obtient un nombre fini d'ouverts ~,8;,(4;,...q, de ._ # , qui suffit recouvrir E . ,, Il en rsulte que les lemmes 1 et 2 sont des ==Y& des espaces mtriques compacts * . proprit s + Le mot "compact" signifie (Dictionnaire Larousse) : serr, press. C'est bien de cela qu il s'agit. Le lemme 2 indique que, mme si des boules ont un petit rayon , un nombre fini d'entre elles suffit B recouvrir E , qui est donc trs serr.

77 Remaraue 2 - Le thorkme de WBIERSTRASS-BOLZANO n'est manifestement pas vrai pour la drolteIEP : la suite des entiers 3 0 n'a aucun point d'accumulation. Par contre sur K , qui est

compact, elle converge vers + 00 .Thorme 26 - Le produit de deux espaces compacts, pour la topologie produit, est compact. Demonstration - Nous nous bornerons donner la dmonstration dans le cas de deux espaces mtriques compacts E et F . Soit alors (ro,230)1~~',uq,),...(5,,~~~~~une suite d'lments de E XF 9 D'aprs le thorme 25 la suite x,, zc,r3t27.-V JC,,... admet au moins un point d'accumulation a dans E D'aprs le thorme 24, on peut donc en extraire une suite partielle 3tro,3~~,,3~~~,...~~,... convergeant vers a . Alors la suitey /roi 'b-fi, y+* 1..- y+/-* admet n au moins un point d'accumulation 8 dansF et d'ap&s le thorme 24 on peut en extraire une convergeant vers a . Alors est une suite partielle ge vers (a,&) On en dduit que la suite Initiale admet au , et cela prouve bien moins un point d'accumulation dans Ex F que ce produit est compact. Thorme 27 - Si E est un espace compact, pour au'une suite d'lments de E soit convergente vers a , il faut et Il suffit qu'elle admette a, comme seul point d'accumulation. Dmonstration - La condition est manifestement ncessaire. Si la suite converge vers a, elle l'admet comme point d'accumulation, et ne peut manifestement pas en admettre un autre-& * Il existe en effet un voisinage Q1de CL et un voisinage V de 8 sans point commun; or on devrait avoir x,t 4L pour tous les n , sauf un nombre fini, et zwe v pour une infinit de ti,ce qui serait absurde. Montrons que la condltinn est suffisante. Soit donc 3t0, s,, zc',... x,,... une suite d'lments de E admettant& comme seul point d'accumulation. SI cette suite n'tait pas convergente, il existerait au moins un ouvert (s contenant cb et une suite partielle%+* de la suite donne, tels que tous soient dans le complmentaire de 0 . Comme ce complles cc+ mentai; est ferm, il est compact d'aprs le thorme 22. La suite partielle des %+* devrait alors avoir sur CU au moins un point d'accumulation, et par consquent aussi la suite inltiale,ce qui contredit l'hypothse qu elle admet a comme seul point d'accumulation. Remarque, Le mme resultat serait manifestement faux sur la droite relle IR . Par exemple, la suite 1,1,2, &,3, $,...n, 'tr ?,... admet 0 comme seul point d'accumulation , et elle n'est manlfestement pas convergente.