Lo c H elou et [email protected]/Loic.Helouet/Teaching/AlgosFlots.pdfMod ele de r eseau de Transport Ford-FulkersonCouplage maximalPr e ots Plan 1R eseaux de

Modele de reseau de Transport Ford-Fulkerson Couplage maximal Preflots

Algorithmes de flots

Loıc [email protected]

Prepa agreg 2014/2015

Algorithmes de flots – Prepa Agreg – 2014/2015, 1


Bibliographie

CLR Thomas Cormen, Charles Leiserson, Ronald RivestIntroduction a l’algorithmique (Chap 26).Dunod, 1994

GM Michel Gondran, Michel MinouGraphes et Algorithmes (chap. 5).Eyrolles, 1985.

BBC Jean Berstel, Daniele Beauquier et Philippe Chretienne.Elements d’algorithmique (chap. 8).Masson, 1992.



Plan

1 Reseaux de transport, probleme du flot maximal

2 Methode de Ford-Fulkerson

3 Focus : terminaison de Ford Fulkerson

4 Application: Couplage dans un graphe biparti

5 Algorithmes avec Preflots

6 Conclusion



Reseau de Transport

Reseau de Transport

Un Reseau de Transport est un graphe G = (S ,A) oriente, dans lequel chaquearc a une capacite

c(u, v) ≥ 0 si (u, v) ∈ A,c(u, v) = 0 sinon.

nb: c(u, v) peut etre une capacite entiere, rationnelle, reelle.

On distingue deux sommets particuliers : la source s et le puits t.On supposera, par commodite qu’il existe toujours un chemin permettantd’aller de s a t.

10

5

4

9

11

10

910S T



Exemples de reseaux de transport

I Reseau electrique : haute tension, circuit,....

I Reseau routier, ferroviaire : transport de marchandises,

I Reseau de fluides, gaz, hydrocarbures,

I Logistique, processus industriels

I ....

pour transporter un flux de la source vers le puits, sans exceder la capacite descanaux.

Probleme classique : comment maximiser ce flux ?



Exemples de reseaux de transport

La societe ZZZ livre par train a Nice des containers demarchandises remplis a Paris.

Probleme : une entreprise a le droit d’envoyer un nombrelimite de containers par jour sur chaque troncon de voie.

Comment expedier un maximum de containers chaque jour?

Lille

ParisStrasbourg

Nantes

Bordeaux

Toulouse

Lyon

Grenoble

NiceMarseille

7

15

6

5

8

5

2

8

10

5

6



Flots

Flot

Soit G un reseau de transport de capacite c(., .). Un Flot est une fonctionf : S × S → R avec les contraintes suivantes :

I Capacite : ∀u, v , f (u, v) ≤ c(u, v)

I Symetrie : f (u, v) = −f (v , u)

I Conservation du flot : ∀u ∈ S \ {s, t}, Σv∈S

f (u, v) = 0

Valeur d’un flot

La valeur d’un flot est :|f | =

∑v∈S

f (s, v)

|f ∗| = max{|f | | f flot de G}

Remarque : |f | =∑v∈S

f (s, v) =∑v∈S

f (v , t)



Probleme du flot maximal

Soit G = (S ,A) un reseau de transport de source s et de puits t et c(., .) unefonction de capacite,

Probleme : trouver un flot f de valeur maximale.

Contrainte de Flot :respecter les contraintes de capacite, symetrie, et conservation du flot

Maximalite : ∀f ′, flot de G , |f ′| ≤ |f |



Flux

Soit f : S × S → R un flot.

flux positif entrant/sortant

Le flux positif total entrant dans un sommet v est defini par∑u ∈ Sf (u, v) > 0

f (u, v)

Le flux positif total sortant d’un sommet v est defini par∑u ∈ Sf (v , u) > 0

f (v , u)

Flux net total

Le flux net total fnt(v) d’un sommet v est egal au flux positif sortant de v moinsle flux positif total entrant dans le sommet.

Recriture de la regle de conservation : pour tout sommet v 6= s, t, fnt(v) = 0

Exemples de flots.



Sources, Cibles multiples

Le probleme de flux maximal reste identique avec sources ou cibles multiples.

10

5

4

9

11

10

910

5

S1

S2

10

5

4

9

11

10

910

5

S1

S2

t

88

t

10

5

4

9

11

10

910

5

s

t2

t110

5

4

9

11

10

910

5

s

t2

t1 8

8

Homework : Montrer que si un flot f∞ est maximal dans un reseau avecsupersource s∞, alors la somme des flux sortant de l’ensemble des sources dureseau initial est maximale.



Flux et valeurs d’ensembles de sommets

Sommation Implicite

Soient X ,Y ⊆ S f (X ,Y ) =∑x∈X

∑y∈Y

f (x , y)

Conservation de flots : ∀u ∈ S \ {s, t}, f (u,S) = 0

Valeur d’un flot

La valeur |f | d’un flot f definit la taile du flux qui peut s’ecouler dans un reseaude transport:|f | = f (s,S) = f (S , t)

Somme de deux flots

Soient f1, f2 deux fonctions de flot. La somme de f1 et f2 est definie par

(f1 + f2)(u, v) = f1(u, v) + f2(u, v)



Capacite residuelle

Principe: etant donne un reseau G = (S ,A) et un flot f , maintenir un reseauresiduel constitue des arcs qui peuvent supporter un flux plus important quecelui defini par f

Capacite residuelle

La capacite residuelle de u vers v apres application du flot f est definie par

cf (u, v) = c(u, v)− f (u, v)

Exemple : c(u, v) = 20, f (u, v) = 11, cf (u, v) = 9



Reseau residuel

Reseau Residuel

Soit G = (S ,A) un reseau de transport, f un flot.Le reseau residuel de G induit par f est Gf = (S ,Af ), ouAf = {(u, v) ∈ S × S | cf (u, v) > 0}



Annulation

Soient : c(u, v) = x , c(v , u) = 0

Choisissons f (u, v) = y < x

on a donc cf (u, v) = x − y ,

A cause de la contrainte de symetrie : f (v , u) = −y etcf (v , u) = c(v , u)− f (v , u) = 0 + y

De nouveaux arcs apparaissent !

10 10

16

10 10

s

t

u v

5

5

5

s

t

u v

105

11

5 10

s

t

u v5

5

5

G f Gf

Interpretation : On peut annuler un flux pour obtenir un meilleur flot.Algorithmes de flots – Prepa Agreg – 2014/2015, 14


Proprietes des graphes residuels

Ajout de flot du reseau residuel

Soit G un graphe de transport, et f un flot de G .

Soit Gf le reseau residuel de G induit par f et f ′ un flot de Gf , alors,

f + f ′ est un flot de G de valeur |f |+ |f ′|.

Preuve: Verifier les proprietes de flots (capacite, symetrie, conservation) endecomposant f + f ′.

Idee d’algorithme: trouver une succession de flots f1 dans G , f2 dans Gf1 , f3dans Gf1+f2 ....



Chemins ameliorants

Chemin Ameliorant

Un chemin ameliorant de source s et cible t est un chemin elementaire de s verst dans le graphe residuel Gf .La capacite d’un chemin ameliorant ρ est cf (ρ) = min{cf (u, v) | (u, v) ∈ ρ}

La capacite d’un chemin ameliorant est la plus petite capacite d’un arc duchemin (le ’maillon faible’)

Proprietes des chemins ameliorants(1)

Soit G un reseau de transport, et f un flot de G . Soit ρ un chemin ameliorantdu reseau residuel Gf

Soit fρ(u, v) =

cf (ρ) si (u, v) ∈ ρ−cf (ρ) si (v , u) ∈ ρ0 sinon

Alors fρ est un flot de Gf et |fρ| > 0



Algorithme de Ford Fulkerson (1956)

Proprietes des chemins ameliorants(2)

Soit G un reseau de transport, et f un flot de G . Soit ρ un chemin ameliorantdu reseau residuel Gf , alors f + fρ est un flot de G de valeur superieure a |f |.

Preuve : propriete des flots du graphe residuel.

Algorithme:

Input : G = (S ,A)for all (u, v) ∈ S × S do

f (u, v) = 0end forwhile ∃ρ chemin ameliorant do

augmenter f avec ρend whileretourner f



Coupe

Questions :

I L’algorithme est-il correct ?

I L’algorithme termine-t-il ?

Coupe

Une coupe d’un Rdt de source s et de cible t est une partition de S en (E ,T )ou s ∈ E et t ∈ T .La capacite d’une coupe est c(E ,T ) =

∑u∈E ,v∈T

c(u, v)

Une coupe minimale est une coupe dont la capacite est minimale (pour G)

Flot net d’une coupe

si f est un flot de G , le flot net a travers (E ,T ) est f (E ,T ).



Coupe

Le flot net a travers une coupe est toujours le meme !

Propriete du flot net

Soit f un flot de G , et (E ,T ) une coupe de G , alors f (E ,T ) = |f |

Explication : on peut passer d’une coupe a une autre en ”‘ajoutant/enlevantun sommet, mais en vertu de la conservation du flot, cela ne change pas le flotnet entre E et T .

Majoration par les coupes

La valeur maximale d’un flot de G est inferieure a la capacite de toute coupe deG .

Demo : |f | = f (E ,T ) =∑E

∑T

f (u, v) ≤∑E

∑T

c(u, v) = c(E ,T )



Max Flow, Min Cut

Si f est un flot dans un reseau de transport G = (S ,A) de source s et de puitst, alors les conditions suivantes sont equivalentes :

1) f est un flot maximal de G .

2) Le reseau residuel Gf ne contient aucun chemin ameliorant.

3) |f | = c(E ,T ) pour une certaine coupe (E ,T ) de G .



FF : Terminaison et correction

Terminaison

L’algorithme de Ford Fulkerson termine en O(|f ∗|.|A|) lorsque la capacite dureseau est entiere ou rationnelle.

Correction

Lorsque l’algorithme de Ford Fulkerson termine, il retourne un flot de capacitemaximale.



FF : efficacite

1 000 000

1

1 000 000

1 000 000

1

1 000 000 1 000 000

1 000 000 999 999

1

1 000 000 999 999

1 000 000

Gf G'

1

1

999 999

1

1 000 000 999 999

1 000 000

1

1

G'

1

1 000 000

1 000 000999 999

1

999 999

1

1

G''

999 999

999 999

1

1f'



FF : Terminaison

Le probleme de flot maximal peut aussi se poser avec des capcites reellesL’algorithme peut ne pas terminer !



Amelioration: Algorithme de Edmonds-Karp (1972)

Algorithme:

for all (u, v) ∈ S × S dof (u, v) = 0

end forwhile il existe un chemin ameliorant do

choisir ρ parmi les plus courts chemins de s vers t.augmenter f avec ρ

end whileretourner f



Algorithme de Edmonds-Karp

Terminaison et correction

Soit G un reseau de transport. L’algorithme d’Edmond Karp termine enO(|S |.|A|2), et retourne un flot maximal.

Correction : facile, on ne choisit que des chemins ameliorants, comme dansFord Fulkerson.

Terminaison : chaque chemin ameliorant ajoute la capacite d’un ’arc critique’,qui est annule. Un arc ne redevient critique qu’au bout d’un certain nombre depas de l’algorithme. Au bout d’un moment il n’existe plus de chemin de s vertt.



Application: le Couplage maximal

Couplage

Soit un graphe non oriente G = (S ,A).Un couplage de G est un sous ensemble M d’arretes de G tel que pour toutsommet v ∈ S , au plus une arrete de M est incidente a v .La valeur |M| d’un couplage M est le nombre d’arretes dans M.Un couplage M est dit maximal si pour tout couplage M ′, |M| ≥ |M ′|.

Ici, probleme du couplage maximal pour des graphes bipartis: G = (L ] R,A)avec A ⊆ L× R ∪ R × L.

Application :

I L: machines de production,

I R:ensemble de taches.

Trouver une affectation des taches aux machines qui soit la plus rentablepossible (utilisant le plus de machines).



Couplage maximal

Du Couplage aux Reseaux

Soit G = (L ] R,A) un graphe biparti.

Le reseau de transport correspondant est un reseau G ′ = ({s, t} ] L ] R,A′)avec

A′ = {(s, u) | u ∈ L} ∪ (A ∩ L× R) ∪ {(v , t) | v ∈ R}

La capacite associee a G ′ est c(u, v) = 1 pour tout (u, v) ∈ A′

ST



Couplage maximal

Relation entre valeur des flots et taille de couplage

Soit G un graphe biparti, G ′ son reseau de transport correspondant.

I Si M est un couplage de G , alors il existe un flot a valeurs entieres f dansG ′ tel que |M| = |f |.

I Si un flot a valeurs entieres f dans G ′, alors il existe un couplage M de Gtel que |M| = |f |.



Couplage Maximal

Pas encore suffisant :

Theoreme de l’integralite

Si la fonction de capacite prend des valeurs entieres, alors Ford Fulkerson retourneun flot maximal a valeur entiere.

Corollaire

La valeur d’un couplage maximal dans un graphe biparti est la valeur du flotmaximal dans le reseau de transport correspondant



Couplage maximal

Algorithme de recherche de couplage

Input = un graphe biparti G = (S ,A)Calculer un graphe de transport G ′ = (S ′,A′)f = Ford − Fulkerson(G ′) (en O(|f ∗|.A′)M = {(u, v) | f (u, v) > 0}

Remarque: un couplage maximal possede au plus min(|L|, |R|) arcs.La valeur du flot correspondant est donc en O(S)),et |f ∗| < min(|L|, |R|)l’algorithme tourne donc en O(S .A)



Preflots

I Algorithmes plus efficace en principe. Goldberg (1988) O(S2.A)

I S’appliquent a des problemes de flots minimaux et autres

Principe : considerer les sommets et leur voisinage dans le reseau residuelplutot que les chemins.

On ne maintient pas la propriete de conservation de flot.

On debute en initialisant des flux utilisant la capacite maximale des arcsquittant la source, et on cherche ensuite a eviter les ’debordements’ enpropageant ou reduisant ces flux.



Preflots

Preflot

Un preflot d’un GdT G est une fonction f : S×S → R, satisfaisant les proprietesde symetrie, et de capacite d’un flot, et la propriete suivante :

∀u ∈ S \ {s}, f (S , u) ≥ 0

e(u) = f (S , u) est appele l’excedent de flot sur u.

u ∈ S \ {s, t} deborde si f (S , u) > 0

Important : s et t ne peuvent pas deborder.



Preflots

Hauteur

Soit G = (S ,A) un reseau de transport de source s et de puits t et soit f unpreflot. Une fonction h : S → N est une fonction de hauteur si h(s) = |S |,h(t) = 0 et h(u) ≤ h(v) + 1 pour tout arc residuel (u, v) ∈ Af .

Hauteur et arcs residuels

Soit G = (S ,A) un reseau de transport, soit f un preflot de G et soit h unefonction de hauteur. Pour deux sommets u, v ∈ S quelconques, si h(u) >h(v) + 1, alors (u, v) n’est pas un arc du graphe residuel.



Poussage

POUSSER(u, v)s’applique quand : u deborde, cf (u, v) > 0 et h(u) = h(v) + 1.action : pousser df (u, v) = min(e[u], cf (u, v)) unites de flot de u vers v.df (u, v) := min(e[u], cf (u, v))f [u, v ] := f [u, v ] + df (u, v)f [v , u]:=−f [u, v ]e[u]:= e[u]− df (u, v)e[v ]:=e[v ] + df (u, v)

Explication : le sommet u possede un excedent positif e[u] et la capaciteresiduelle de (u, v) est positive. Il est donc possible d’augmenter le flot entre uet v d’une quantite df (u, v) = min(e[u], cf (u, v)) sans que e(u) ne deviennenegatif ou que la capacite c(u, v) de l’arc ne soit depassee.



Poussage

Poussage Saturant

Un poussage de u vers v est saturant si l’arc (u, v) devient sature (cf (u, v) = 0apres poussage).

NB: apres un poussage non saturant, un sommet u n’est plus debordant.



Reetiquetage

REETIQUETER(u)s’applique quand : u est debordant et, pour tout v ∈ S tel que (u, v) ∈ Af ,h[u] ≤ h[v ]action : accroit la hauteur de u.h[u] := 1 + min{h[v ] | (u, v) ∈ Af }

Donner a u la plus grande valeur permise par les contraintes d’une fonction dehauteur.

Cela permettra ensuite de pousser un flot de u vers un de ses successeurs.



Algoritme generique de Preflot

INITIALISER-PREFLOT(G, s)

for all u ∈ S (sommets) doh[u] := 0e[u] := 0

end forfor all (u, v) ∈ A (arcs) do

f [u, v ] := 0f [v , u] := 0

end forh[s] := |S |for all u adjacent a s do

f [s, u] := c(s, u)f [u, s] := −c(s, u)e[u] := c(s, u)e[s] := e[s]− c(s, u)

end for



Preflot Generique

PREFLOT-GENERIQUE(G)INITIALISER-PREFLOT(G,s)while il est possible d’appliquer un poussage ou un reetiquetage do

Choisir un poussage ou un reetiquetage et l’appliquerend while



Correction, terminaison

Terminaison

L’algorithme de Preflot generique termine

Idee : On maintient constamment une fonction de hauteur parpoussage-reetiquetageSi f est un preflot, alors apres poussage ou reetiquetage, on conserve un preflot.Durant toute l’execution de l’algorithme, il n’existe aucun chemin de s a t dansle reseau residuel Gf .Si u est un sommet debordant, alors on peut lui appliquer un poussage ou unreetiquetage.Si u est un sommet debordant, alors il existe un chemin de u vers s dans legraphe residuel (on pourra eliminer l’excedent).Chaque operation de pousssage-reetiquetage ne peut etre appliquee qu’unnombre borne de fois.



Correction

Validite de l’algorithme de preflot

Si l’algorithme de preflot termine pour un reseau G = (S ,A) de source s et depuits t, alors le preflot f calcule est un flot maximal de G .

Facile : a la fin de l’algorithme, plus aucun sommet ne deborde, i.e e(f)=0, ona donc conservation des flots, et f est un flot.

Et comme Gf ne contient pas de chemin de s a t (et donc pas de cheminameliorant), f est maximal.



Complexite des preflots

Terminaison et Complexite

L’algorithme de preflot sur un graphe G = (S ,A) termine et s’execute enO(S2A).

Voir [Cormen] : le nombre de reetiquetage, poussage saturants, poussages nonsaturants son respectivement < 2s2, < 2SA, et < 4|S |2(|S |+ |A|).



Conclusion

Les Flots / graphes de transport : des objets qu’on trouve partout

Application pratique et polynomilae pour des questions d’affectations deresources

Complexites:

I Ford Fulkerson : O(|f ∗|.A)

I Edmonds - Karp : O(|S |.|A|2)

I Preflot : O(|S |2.|A|)


Documents

Lo c H elou et [email protected]/Loic.Helouet/Teaching/AlgosFlots.pdfMod ele de r eseau de Transport Ford-FulkersonCouplage maximalPr e ots Plan 1R eseaux de