Notas en Equilibrio General AvanzadoAndrs Carvajal+Alvaro Riascos+++Universidad de WarwickE-mail address: A.M.Carvajal@warwick.ac.uk++Universidad de los AndesE-mail address: ariascos@uniandes.edu.coContentsPrefacio 11. Introduccin 12. Marco Terico 43. Mercados Contingentes 54. Mercados Financieros 145. La Relacon entre los Problemas del Consumidor en ambos Mercados 216. Mercados Financieros Completos 227. Aspectos Positivos del la Teora del Equilibrio General en MercadosCompletos 248. Disgresin: El Axioma de Preferencias Reveladas y el Teorema SMD 309. Existencia del Equilibrio en Mercados Completos 3710. Existencia del Equilibrio en Mercados Completos 3911. Economas Regulares en Mercados Completos: Nmero de Equlibrios,Esttica Comparativa y Genericidad 4212. Aspectos Normativos de la Teria del Equlibrio General en MercadosCompletos 4813. Identicacin 5214. Disgresin:Dualidad en Mercados Contingentes y el problema deIdenticacin 5415. Benecios del Comercio 5816. Existencia del Equilibrio en Mercados Incompletos con ActivosNominales y Numerarios 6317. Mercados Financieros con Estructuras de Activos Generales 6318. La relacin entre los Problemas del Consumidor 6719. Mercados Completos 6720. No Existencia del Equilibrio con Activos Reales y MercadosIncompletos (Hart 1975). 6821. Ineciencia del Equilibrio con Activos Reales y Mercados Incompletos 7122. Existencia del Equilibrio con Activos Numerarios en MercadosIncompletos. 7323. El modelo 7324. Notacin 7725. Referencias 77Bibliography 793PrefacioEsta monografa es una introduccin a la teora del equilibrio general con mer-cados incompletos. Ninguno de los resultados expuestos es nuevo. En casioneshemos utilizado algunos fragmentos de las Notas en Microeoconomia a Nivel In-termedio de los mismos autores. Agradecemos a los estudiantes de economa de laUniversidad del Rosario y a los estudiantes de matemticas de las universidades delos Andes y la Nacional quienes sufrieron durante la lectura de las primeras ver-siones de estas notas. Finalmente, agradecemos especialmete el excelente trabajode revisin realizado por Jean Pietro Bonaldi. Todos los errores u omisiones sonresponsabilidad exclusiva de los autores.11.INTRODUCCIN 11.IntroduccinEl padre del modelo de Equilibrio General (EG) es sin lugar a dudas LeonWalras (Francia, 1834-1910). Hijo de economista, Walras fue uno de los grandesexponentes de la tradicin Marginalista, junto con W. Jevons y C. Menger. Ademsde la importancia metodolgica de sus ideas, que fortalecieron el proceso de matem-atizacin de la ciencia econmica, las primeras contribuciones de Walras sentarongran parte del pensamiento econmico moderno. Por una parte, fue Walras quienprimero consider de una manera sistemtica el caso de mltiples mercados (con osin produccin). Adems, fue l quien primero deriv (explcitamente) las curvas dedemanda y oferta como solucin a problemas de maximizacin, y quien introdujoel concepto de equilibrio como aquella situacin en la que, en todos los mercados,oferta y demanda son iguales.A pesar de que su proyecto acadmico era fundamentalmente de carcter nor-mativo, en parte debido a su orientacin socialista, Walras decidi que las primeraspreguntas que deban responderse en torno a su modelo eran de carcter positivo.El primer problema que Walras atac fue el de existencia. Su respuesta a esta pre-gunta fue simplista: la observacin de que su modelo generaba un mismo nmerode incgnitas que de ecuaciones le sirvi de argumento para armar que la pre-gunta de la existencia del EG tena una respuesta positiva. De la misma forma,Walras introdujo el concepto de tatonador o subastador, consistente en un agentearticial que se encargaba de ajustar los precios en la direccin que los excesos dedemanda/oferta indicaran, y presumi que bajo este mecanismo el EG era estable.Con estos aspectos positivos presuntamente resueltos, Walras procedi a abor-dar preguntas normativas como cul debera ser la distribucin de la riqueza y cmoera que sta poda aumentarse.Walras, para entonces profesor de Lausana, fracas en su intento de popularizarsus ideas entre otros economistas y, de hecho, en la actualidad slo su estudiopositivo del problema de EG y su planteamiento del mismo son considerados aportesal desarrollo de la ciencia.Cuando Walras decidi que era tiempo de abandonar su posicin en Lausana,decidi tambin buscar alguien que lo reemplazara dentro del grupo de personasque haban sido receptivos de sus ideas. Uno de los corresponsales ms habitualesde Walras, un profesor italiano, le recomend a un joven ingeniero con vocacinmatemtica para la posicin, se trataba de Wilfredo Pareto (noble italiano, nacidodurante el exilio de su padre en Francia, 1848-1923).A pesar de grandes diferencias ideolgicas y personales, Walras decidi dejar aPareto la posicin y, l crea, el proyecto intelectual.Fueron muchos los aportes de Pareto, y muy grandes las diferencias entre suenfoque y el de Walras, a pesar de que gran parte de la modelacin fue similar.Un primer punto de partida fue que Pareto abandon el utilitarismo, que hastaentonces haba sido lugar comn en el pensamiento econmico y haba estado im-plcito en las ideas normativas de Walras. Pareto pens que uno poda deshacersetotalmente del concepto de funcin de utilidad, en tanto ste slo constituye unarepresentacin del concepto relevante, las preferencias, las cuales, al no ser compa-rables interpersonalmente, dejan sin piso la teora utilitarista.Adicionalmente, como parte de su rechazo del utilitarismo, Pareto se apartdiametralmente del concepto de equilibrio que haba defendido Walras. Para l,el equilibrio se obtena en aquella situacin en la que la tensin entre lo que los2 PREFACEindividuos desean y lo que es posible socialmente es plena en el sentido de que conlos recursos disponibles mejorar la situacin de un agente implicara empeorar lade algn otro.Pareto adems fue quien plante por primera vez el debate sobre implementacinde resultados, con la idea de que, dado que el EG era simplemente la solucin de unsistema de ecuaciones, un gobierno poda simplemente resolver el sistema de ecua-ciones y calcular e imponer el equilibrio sin necesidad de pasar por el funcionamientodel mercado.A pesar de su formacin de ingeniero, gran parte de su trabajo se centr enun discurso lgico sin formalizacin matemtica. Sin embargo, es tambin claroque sus resultados fueron obtenidos en gran parte gracias al aporte metodolgicoque vino con el concepto de curva de indiferencia, propuesto por un contemporneosuyo, Francis Ysidro Edgeworth (oligarca irlands/ingls - de madre catalana -,1845-1926).Ante la muerte de sus padres y sus seis hermanos, Edgeworth haba recibido unaherencia millonaria, la cual le permiti dedicarse al trabajo puramente acadmico,a pesar de enfrentar grandes dicultades para obtener una posicin en alguna in-stitucin prestigiosa. Matemtico autodidacta, sus primeros trabajos en economafueron en la tradicin normativa utilitarista, y condujeron a su denicin de lacurva de indiferencia social.Adems del aporte metodolgico que esto constituy, Edgeworth hizo enormescontribuciones conceptuales. En primer lugar, l estudi el conjunto de resultadosde intercambio a los que ningn individuo o grupo de individuos poda oponerseefectivamente, en el sentido de lograr una mejora para s aislndose del intercambio.Su conjetura es que en una economa con un nmero muy alto de agentes, esteconjunto se reduca a los resultados de equilibrio segn la denicin de Walras.El trabajo de Edgeworth fue de muy lenta aceptacin.El decidi incluso ale-jarse por un tiempo de la economa y, de hecho, hizo importantes contribucionesa la teora de la probabilidad, cuando, nalmente y gracias a recomendaciones dealgunos de sus crticos, le fueron ofrecidas una posicin en Oxford y la posicin deeditor de una revista muy prestigiosa: The Economic Journal. De ah, Edgeworthcontinu contribuyendo al EG, en particular con algunos resultados que parecanparadjicos y fueron poco aceptados (aunque hoy es claro que eran correctos) yprincipalmente a los modelos de competencia imperfecta.Edgeworth no estableci nunca una lnea de investigacin a seguir, y de hechofueron pocos los economistas que se preocuparon por seguir desarrollando sus ideas.Notables excepciones fueron, como ya dije, Pareto, y adems Irving Fisher (USA,1867-1947).Fisher, un economista de Yale, fue importante no slo porque, siendo un granformalizador matemtico, expres las ideas de Walras prcticamente como hoy lasutilizamos, y porque, independientemente de Edgeworth, deni la curva de in-diferencia (individual) como hoy lo hacemos, sino porque adems dio una nueva,aunque indirecta, prueba de existencia, al ser el primer economista en preocuparseexpresamente en el problema de computacin del EG: Fisher cre una mquinahidrulica que encontraba correctamente el EG en economas de intercambio.Entre la primera dcada del siglo XX y 1950, las grandes contribuciones a lateora del EG se detuvieron. Esto cambi cuando, por coincidencia, llegaron a1.INTRODUCCIN 3trabajar a la Cowles Commission en Chicago, Kenneth Arrow (Estados Unidos,1921-an vivo) y Gerard Debreu (Francia, 1921-2004).Arrow era un estadstico matemtico, no particularmente orientado a la vidaacadmica. Sin embargo, presionado por su asesor de tesis doctoral, l comenz sucarrera con dos contribuciones de gran trascendencia. En primer lugar, con su tesisArrow derrumb las bases del utilitarismo, cuando demostr que, bajo axiomasciertamente plausibles, es imposible construir una funcin de bienestar social queagregue las preferencias individuales. En segundo lugar, ya trabajando en Cowles,Arrow demostr que las diferencias entre las ideas de Walras y aquellas de Paretono eran tan relevantes como hasta entonces se haba credo, en el sentido de quelos enfoques de ellos dos eran fundamentalmente equivalentes. Especcamente, ldemostr que cualquier equilibrio de Walras (bajo ciertos supuestos muy razonablesen cuanto a los individuos) era tambin un equilibrio de Pareto y que cualquierequilibrio de Pareto poda implementarse como uno de Walras, por medio de unaredistribucin de los recursos.Estos dos resultados, que corresponden a la parte ms importante de la agendade Pareto, se conocen hoy como los dos teoremas fundamentales de la economa delbienestar. Coincidencialmente, los mismos resultados fueron descubiertos tambinen Cowles, de manera simultnea pero independiente, por Debreu.Debreu, un matemtico extraordinario por formacin, y que tambin lleg aCowles por sugerencia de su asesor de tesis doctoral, encontraba que los argumentosde existencia dados por Walras estaban lejos de ser satisfactorios.Al encontrarseen Cowles con Arrow, se form el equipo que logr el que podra considerarsecomo el desarrollo ms importante de la teora econmica en toda su historia:incorporando nuevos mtodos matemticos, en 1954 ellos demostraron que bajociertos supuestos poco controversiales, el equilibrio Walrasiano siempre existe (noslo eso, sino que lo lograron hacer de una manera axiomtica, que no necesitabaclculo diferencial). Este hecho revolucion la forma de hacer teora econmica: apartir de entonces, cuando un concepto de equilibrio es propuesto, su aceptacin enla comunidad acadmica slo puede lograrse cuando el problema de su existenciaha sido plenamente estudiado.Pero la agenda de investigacin de Arrow y Debreu no termin aqu. Arrow es-tudi el problema de unicidad del equilibrio para demostrar que las condiciones quedicha unicidad requiere son extremadamente duras. Entre tanto, Debreu demostrque el equilibrio no tiene por qu ser localmente aislado ni estable. Por otra parte,l tambin demostr que el equilibrio casi siempre es localmente aislado y que hayun nmero nito de ellos.Adems, Debreu demostr que Edgeworth estaba en lo correcto cuando conje-tur que al incrementar el nmero de agentes, el conjunto de asignaciones a las queno se les presenta ninguna objecin converge al conjunto de equilibrios Walrasianos.En sntesis, Arrow y Debreu asentaron denitivamente la teora econmica quesurgi de la agenda de investigacin de sus predecesores, al punto que el modeloWalrasiano tambin suele conocerse en la actualidad como el modelo de Arrow y De-breu. Adicionalmente ellos propusieron, de manera independiente, la generalizacindel modelo para hacerlo dinmico, e incorporaron aspectos de incertidumbre.Arrow gan el premio Nobel en 1972 y Debreu lo hizo once aos despus.4 PREFACE2.Marco TericoConsideremos una economa de dos periodos. En t = 0 el estado de la naturalezaes cierto, pero en t = 1 hay o N posibles estados de la naturaleza.Denotemoso = 0, 1, ..., o.Supongamos que existen 1 N individuos y 1 N bienes en laeconoma y denotemos J = 1, ..., 1 y / = 1, ..., 1.Denotemos : = 1(o 1).En esta economa, una canasta de consumo es r = (r0, r1, ..., rS) Rn+ donde,\: o, rs RJ+.Para cada individuo i J, nI: Rn+ R representa sus preferencias, mientrasque .I Rn+ representa la dotacin inicial.Observacin 1. Condiciones particulares de las preferencias,que aqu noasumimos, son:(1) Separabilidad: \i J, \: o, nIs : RJ+ R tal que \r = (r0, r1, ..., rS) Rn+, nI(r) =

sS nIs (rs).(2) Separabilidad en expectativas individuales: \i J, nI: RJ+ R y\: o, Is R+ tales que sS Is = 1 y \r = (r0, r1, ..., rS) Rn+,nI(r) = sS Is nI(rs) . El lado derecho de la anterior igualdad puedeexpresarse como 1ti_ jI(rs)_.(3) VonNewmann-Morgenstern: \i J, nI: RJ+ R y \: o, s R+tales que sS s = 1 y \i J, \r = (r0, r1, ..., rS) Rn+, nI(r) =

sS s nI(rs) .Definicin 1. nI: Rn+ R es montona si para rj, nI(r)nI(j) yestrictamente montona si r _ j, r ,= j implica nI(r)nI(j).Condicin 1. Asumimos que para todo i J:(1) nIes contnua, montona y estrictamente cncava.(2) En el interior de Rn+, nIes diferenciablemente estrctamente montona(i.e., \r Rn++, 1nI(r)0) y diferenciablemente estrctamente cn-cava (\r Rn++, 12nI(r) es denida negativa).(3) Para toda secuencia r|o|=1en Rn++ tal que r| r 0Rn++ = Rn+Rn++,es cierto que1ui(rk)rk]1ui(rk)] 0 y __1nI(r|)__ .Observacin 2. La primera parte de la condicin (3) quiere decir que cuantoms uno se acerca al borde del espacio de consumo, ms se inclina el espacio tan-gente a las supercies de indiferencia (las supercies de indiferencia son los con-juntos nIo, c R donde nIo =_r Rn+ : nI(r) = c_.La ltima parte se conoce como condicin de Inada: cuando no se tiene nadade algn bien, la utilidad marginal de un poco es tan grande como uno quiera. Lacondicin (3) implica que la demanda ptima est siempre en el interior de r Rn+.La condicin (3) est relacionada con, pero es independiente de, la condicinque pide que los contornos superiores de cada punto interior estn contenidos en elinterior del espacio de consumo. Es decir, que para todo r Rn++,_j 1n+ : nI(j) _ nI(r)__ Rn++.3.MERCADOS CONTINGENTES 5Sea n : R2+ R, denida por n(r0, r1) = r0r1. n satisface la condicin de loscontornos pero no la condicin (3).Ahora si n(r0, r1) = _r0 _r1, entonces nsatisface la condicin (3) pero no la de los contornos.Ambas condiciones garantizan que la demanda es interior. La condicin (3)no es una propiedad de las preferencias mientras que la de los contornos s lo es.Sin embargo, la condicin de contornos excluye funciones de utilidad separablesen estados, como por ejemplo, las de utilidad esperada del tipo Von Neumann-Morgenstern.Observacin 3. Estas condiciones no son las ms generales con las que po-dramos trabajar. Sin embargo, son lo sucientemente restrictivas para obtenertodos los resultados principales y lo sucientemente dbiles para incluir algnosde los ejemplos ms importantes. Por ejemplo, la satisfacen funciones de utilidaddel tipo VonNewmann-Morgenstern donde cada nIsatisface la condicin 1. Al-gunos ejemplos importantes como funciones de utilidad Cobb Douglas no cumplenla condicin 1.Ejemplo 1. Sea n : R2+ R,denida por n(r0,r1) = ro0ro1, una funcin deutilidad Cobb Douglas, entonces u satisface la condicin (3) si y solo si c , < 1.Considrese la secuencia r|o|=1 en R2+ denida por (r0|,r1|) = _1|, 1|_, es claroque lim|or| = 0. Obsrvese que si c, = 1 entonces |1n(r|)| _c2 ,2y si c ,1, |1n(r|)| 0. En cambio, si c , < 1, |1n(r|)| y1u(rk)rk]1u(rk)] 0 y es fcil vericar que esto ltimo se cumple para toda secuenciar|o|=1 en R2+ tal que r| r 0R2+.Ejemplo 2. Sea n : R2+ R, denida por n(r0, r1) = _r0 _r1 entonces nsatisface la condicin 1.Definicin 2. Una economa es c =_J,_nI, .I_I1_.3.Mercados ContingentesSuponga que en el periodo t = 0 se abren mercados spot para los 1 bienes y quehay mercados de contratos contingentes para cada uno de los o estados en t = 1. Esdecir, en t = 0 existe un mercado (o un mercado para cada bien) donde se transanlos 1 bienes a la vista. El intercambio de bienes toma lugar en ese mismo momento(t = 0) y no en el futuro.Esto es lo que queremos decir por mercados spot y losprecios a los que se intercambia en ese momento son 10. Por mercados contingentespara cada bien queremos decir que en t = 0 se transan promesas de intercambio debienes en el futuro y cada promesa es diferente para cada estado de la naturalezadiferente en el futuro. Asi, la promesa de entregar una unidad del bien | si el estadode la naturaleza es : en t = 1 se tranza hoy en t = 0, para hacer entrega en elfuturo t = 1, al precio 1s,l . Denotemos por 1 = (10, 11, ..., 1S) Rn++ los preciosen estos mercados (spot y contingentes).Cada agente i enfrenta la restriccin deescoger en el siguiente conjunto presupuestal:1_1, .I_=_r Rn+1r 6 1.I_Definicin 3. Para cada agente i J, denimos la funcin demanda individ-ual )I: Rn++ Rn+ Rn+ como )I_1, .I_= aig max_nI(r) : r 1_1, .I__.6 PREFACEObservacin 4. Por la condicin (1) y dado que los conjuntos presupuestalesson convexos y compactos, existe una nica solucin al problema de maximizacin,luego la funcin de demanda individual es, de hecho, una funcin y no una corre-spondencia.Observacin 5. Obsrvese que desde el punto de vista del consumidor, lo nicoque importa son los precios relativos. Por ejemplo:)I_1, .I_= )I_1t, .I_donde 1t =11s;l para cualquier estado : y bien |.Observacin 6. Es fcil ver que 1)I_1, .I_= 1.I. Es decir, los agentesagotan todo su ingreso. Esta caracteristica de la funcin demanda se conoce comola Ley de Walras.Definicin 4. Dada una economa c, un equilibrio en mercados contingenteses _1,_rI_I1_ tal que:(1) \i J, rI rq max_nI(r) : r 1_1, .I__.(2) I1 rI=

I1 .IObservacin 7. Por la ley de Walras, cuando : 1 mercados estn en equi-librio (condicin (2)) entonces : mercados estn en equilibrio.Ejemplo 3. (Mas-Colell et. al. 1995. Pgina 521). Sea 1 = 1, o = 1, 1 =2, n1= (2, r), n2= (r, 2), r = 289 2190 yn1(r1, r2) = r1 r828,n2(r1, r2) = 18r81r2Obsrece que las funciones de utilidad no satisfacen todas las condiciones im-puestas anteriormente. Sin embargo, intentemos calcular los equilibrios de estaeconoma.Es fcil ver que los precios de equilibrio son las soluciones a la siguiente ecuacin:_j2j1_19 2 r_j2j1_1_j2j1_89= 2 ry esta ecuacin tiene tres soluciones21 = 12, 1 y 2.Observacin 8. Los equilibrios en mercados contingentes no son necesaria-mente nicos.Proposicin 1.La funcion de demanda es continua en todo su dominio ydiferenciable en Rn++ Rn++. Adems, si .I,= 0 entonces )I_1, .I_ Rn++.Consideremos cada una de las anteriores armaciones por separado.3.1.Continuidad. Sea O _ R1, O ,= ?, y I : O Runa correspondenciade valores no vacos: \0 O, I(0) ,= ?.Definicin 5. Sea I de valores compactos: \0 O, I(0) es compacto. Deci-mos que Ies hemicontnua superior en 0 O si para todo par de secuencias (0n)on=1,denida en R1, y (rn)on=1, denida en R, y tales que3.MERCADOS CONTINGENTES 7(1) \: N, 0n O;(2) limno0n = 0;(3) \: N, rn I(0n);existe una subsecuencia _rn(|)_o|=1 y r I(0) tal que lim|orn(|) = r.I es hemicontnua superior si es hemicontnua superior en todo 0 O.FIGURA 1()xLa correspondencia de la gura 1 no es hemicontinua superior en 0, existensecuencias (0n)on=1 y (rn)on=1 tales que rn I(0n) para todo n, limno0n = 0,limnorn = r pero r , I(0) .Definicin 6.I es hemicontnua inferior en 0 O si para toda secuencia(0n)on=1, denida en R1, tal que(1) \: N, 0n O;(2) limno0n = 0;Entonces para todo r I(0), existe una secuencia (rn)on=1 en Rtal que(1) \: N, rn I(0n);(2) limnorn = r.I es hemicontnua inferior si es hemicontnua inferior en todo 0 O.FIGURA 2x 2 ()8 PREFACELa correspondencia de la gura 2 no es hemicontinua inferior en 0, porqueexiste una secuencia (0n)on=1 con limno0n = 0 y r I(0), pero no existe unasecuencia (rn)on=1 tal que rn I(0n) para todo :, que tenga una subsecuencia queconverga a r.Definicin 7. I es contnua en 0 O si es hemicontnua superior e inferioren 0. I es contnua si es contnua en todo 0 O.Una correspondencia contnua no explota.Teorema 1. Si 1 : O Res de valores unitarios y es hemicontnua superioro inferior entonces la funcin ) : O R, denida implcitamente por ) (0) =1 (0), es contnua.Ejercicio 1. Probar el anterior Teorema.La utilidad del concepto de continuidad de correspondencias es la siguiente:Teorema 2 (El Teorema del Maximo). Sea ) : R O R una funcincontnua y I : ORuna correspondencia contnua y de valores no vacos ycompactos. La correspondencia 1 : O Rdenida por1 (0) = rq maxr(0)) (r, 0)es hemicontnua superior (siendo de valores no vacos y compactos) y la funcin : O R denida por (0) =maxr(0)) (r, 0)es contnua.Teorema 3. La correspondencia presupuestal 1 : Rn++Rn+Rn+ es con-tnua.Proof. Fije (1, .) Rn++Rn+. Sea ((1n, .n))on=1una secuencia denida enRn++ Rn+ tal que (1n, .n) (1, .). Sea (rn)on=1 una secuencia tal que \: Nrn 1(1n, .n). Dado que 1n 1 Rn++, 1+ Rn++ tal que \: N 1n _ 1+.De la misma manera, dado que .n ., .t Rn+ tal que \: N .n 6.t.Ahora, como 1n .t _ 1n .n luego, 1.t _ 1.. Puesto que 1n .n 1.entonces N tal que : _ = 1(.t1) _ 1n .n. De otra parte es claro queexiste .+ Rn+ tal que 1+ .+ _ 1(.t 1) En conclusin 1+ Rn++, .+ Rn+y N tal que para todo : _ , 1n _ 1+, y 1n.n 6 1+.+.Por lo tanto, para todo : _ , rn 1(1n, .n) _ 1(1+, .+). Esto implica queexiste una subsecuencia _rn(|)_o|=1 de (rn)on=1 que es convergente. Sea r el lmitede esta subsecuencia. Por continuidad del producto interno 1n(|)rn(|) 1r,mientras que \/ N 1n(|) rn(|) 6 1n(|) .n(|) 1. implica que 1r 6 1.,y por tanto r 1(1, .). Esto muestra que 1 es hemicontnua superior en (1, .).Dado que (1, .) era arbitrario, 1 es hemicontnua superior.Sean ahora ((1n, .n))on=1una secuencia denida en Rn++Rn+ y r Rn+ tales que(1n, .n) (1, .) y r 1(1, .). Si . = 0, el problema es trivial. Supongamosentonces que . Rn++. Dena rI = 1i.i1._11r11i;1 , ..., 1nrn1i;n_. Es facil ver que \i NrI 1(1I, .I) y rI rEsto muestra que 1 es hemicontnua inferior en (1, .).Dado que (1, .) era arbitrario, 1 es hemicontnua inferior.3.MERCADOS CONTINGENTES 9Corolario 1. Sea n : RJ+ R una funcin de utilidad contnua. La corre-spondencia de demanda es hemicontnua superior y la funcin de utilidad indirectaes contnua. Si n es estrctamente cncava la funcin de demanda es contnua.3.2.Interioridad.Teorema 4. Si .I,= 0 entonces )I_1, .I_ Rn++.Proof. Supongamos, sin perdidad de generalidad que |1| = 1.Dena el conjunto 1(1) =_(:, -) R2++1-1 < :_, donde1 =__11...1__y la funcin : 1(1) Rnpor (:, -; 1) = maxrn(r) s.a. _ 1r 6 :r > -1El Lagrangiano asociado es es $ : Rn+ R+ Rn+ R, denido por$(r, `, j; :, -, 1) = n(r) `(:1r) j(r -1)El problema de maximizacin tiene una solucin r: Rn++, la cual, por elteorema de Kuhn-Tucker, debe satisfacer que, para algun `: R++ y j: Rn+1n(r:) j:= `:1j:(r: -1) = 0y por tanto que1n(r:)r: j:r: = `:1r:Reemplazando,1n(r:)r: -j:1 = `:1r:=00: (:, -; 1) 1r:>1r:|1n(r:)|211n(r:)donde la segunda igualdad viene por el teorema de la envolvente (que garantiza que es diferenciable y tiene esa derivada) y la desigualdad viene de lo siguiente: parad:0, por denicin (:d:, -; 1) > n(r: dr)para todo dr Rn+ tal que 1dr = d:. Por el teorema del valor intermedio, paraalgn r: entre r: y r: dr, se tiene que (:d:, -; 1) > n(r:) 1n(r:)drEn particular, sidr = d:1n(r:)11n(r:)10 PREFACEse tiene que (:d:, -; 1) (:, -; 1)d:> 1n(r:) 1n(r:)11n(r:)y tomando el lmite cuando d: 0,00: (:, -; 1) >1n(r:)1n(r:)11n(r:)=|1n(r:)|211n(r:)luego (recuerde que : = 1r:),1n(r:)r:|1n(r:)|-j:1|1n(r:)|>:1 _1]1u(r")]1n(r:)_>:110Ahora, dena 1 = | 1, ..., :[ r:,l = -/ = max_maxl]1,...,n]_l0]1,...,n]\]l]1l01l_, 1_y ^ = (c1, ..., cn) concl =_1si | 1 Pl02I 1l0#(]1,...,n]\1)1lsi | 1, ..., : 1donde = denota la cardinalidad del conjunto. Ahora, para d-0 tal que (:, - d-) 1(1) y r: ^d- > (- d-) 1, se tiene que (:, - d-) > n(r: ^d-)por denicin y dado que 1(r: ^d:) = 1r 6 :. Por el teorema del valorintermedio, para r: entre r: y r: ^d-, (:, - d-) > n(r:) d-1n( r:)^= (:, -) d-1n( r:)^de donde, dado que d-0, (:, - d-) (:, -)d-> 1n( r:)^y por tanto,00- (:, -) > 1n(r:)^Por el teorema de la envolvente, esto esj:1 > 1n(r:)^yj:1 6 1n(r:)(^)6 1n(r:)^]]donde ^]] = ([c1[ , ..., [cn[) y dado que 1n(r:) 0. Por denicin de /,j:1 6 /1n(r:)13.MERCADOS CONTINGENTES 11luego-j:1 6 /1n(r:)(-1)y dado que r: > -1 y 1n(r:) 0,-j:1 6 /1n(r:)r:luego0 6 -j:1|1n(r:)|6 /1n(r:)r:|1n(r:)|Ahora, dejando - 0, se tiene, por el teorema del mximo, que r: r+.Si r+ , Rn++, se tendra que1n(r:)r:|1n(r:)| 0lo cual es imposible por la condicin que hemos obtenido:1n(r:)r:|1n(r:)|-j:1|1n(r:)| >:110puesto que si1u(r")r"]1u(r")] 0, entonces el lado izquierdo de la anterior igualdadtendera a cero.3.3.Diferenciabilidad. Si : R++, en ocasiones denimos la restriccinpresupuestal 1, como:1(1, :) :=_r Rn+1r 6 :_En este caso, denimos la funcion de demanda individual ), como:) (1, :) = aig maxr1(1,n)n(r)Es obvio que:) (1, .) = ) (1, 1.)Luego por la regla de la cadena, si ) es una funcin diferenciable, ) tambin.Teorema 5. ) es diferenciable.Proof. Dado (1, :) Rn++R++, por el teorema de Kuhn-Tucker, existe` = `(1, :) R++ tal que1n_) (1, :)_`(1, :) 1 = 0:1) (1, :) = 0Denamos / : Rn++ R++ Rn++ R++ Rn+1por/(r, `, 1, :) =_ 1n(r) `1:1r_Luego,/_) (1, :) , `(1, :) , 1, :_= 0y por tanto, por el teorema de la funcin implcita, para demostrar que ) y `son diferenciables es suciente demostrar que \(1, :) Rn++R++ la matriz12 PREFACE1r,X/(r, `, 1, :) es no singular (para r y ` tales que /(r, `, 1, :) = 0). Porconstruccin,1r,X/(r, `, 1, :) =_ 12n(r)110_Suponga que 1r,X/(r, `, 1, :) no es de rango completo. Entonces, _a, /_ Rn+1 0 tal que_ 12n(r)110_ _ a/_= 0lo cual es12n(r) a = /11a = 0(ntese que a = 0 es imposible pues eso implicaria que /1 = / = 0). Ahora, dadoque 1 =1X1n(r), se sigue de la segunda ecuacin que 1n(r)a = 0, mientrasque, premultiplicando por a la primera ecuacin, tenemos quea12n(r) a = a (/1)= /a1= 0lo cual contradira el supuesto de concavidad estricta en 1n++.Se sigue entonces que _), `_ es diferenciable y que1_), `_(1, :) =_ 12n_) (1, :)_ 110_1_`1 0) (1, :) 1_Ejercicio 2. (Aliprantis et al [1990]). Suponga que 1 = 1, o = 1, 1 = 2 yn1(r0, r1) = (r11) oxp(r0), .1= (2, 1), n2(r0, r1) = r0r1 y .2= (2, 8). Calcularlos equilibrios de esta economa y dibujar todo en una caja de Edgeworth.Ejercicio 3.(Magill et al [1998]). Considere la siguiente economa: 1 =2, o = 2, 1 = 1, .1= (198 , 1, 8), .2= (218 , , 8) y las preferencias de los agentesson:n1(r0, r1, r2) = log (r0) 12_12 log (r1) 12 log (r2)_n2(r0, r1, r2) = log (r0) 18_12 log (r1) 12 log (r2)_Calcular el(los) equilibrio(s) de mercados contingentes.3.MERCADOS CONTINGENTES 1321]21]

1I es h.c.i pero no h.c.s.

I es h.c.s. pero no h.c.i.14 PREFACE211 2 211 2 4.Mercados FinancierosUn activo nanciero (nominal), es ro= [ro1, ..., roS[ RS. roes un vectorcolumna y ros representa el retorno (nominal) del activo, en caso de realizarse elestado : de la naturaleza en t = 1.Ahora supongamos que en el periodo t = 0, slo abre el mercado spot paralos 1 bienes y mercados para N activos nancieros: r1, ..., r.. Denotemos/ = 1, ..., . Adems, en t = 1, en cada estado de la naturaleza, abrirn mercadosspot para los 1 bienes.Denotando \: o 0, rs = _r1s, ..., r.s,1y dados precios spot j Rn++ yprecios R.de los activos, cada agente enfrenta la restriccin de escoger en elsiguiente conjunto:E_j, , .I_:=_r Rn+ [_j R._:j j0r0 6 j0.I0(\: o 0) : jsrs 6 js.Is rsj_La interpretacin del vector j R.es que estos son portafolios de los activos.La estructura de activos la podemos resumir en la matriz de retornos 1, denidapor 1 =_r1, ..., r..Observacin 9. La denicin de la restriccin presupuestal reejan implci-tamente que los agentes consideran que todos los estados de la naturaleza tienenprobabilidad positiva.Definicin 8. Una economia con mercados nancieros es c =_J, 1,_nI, .I_I1_Definicin 9. Dada una economa c, un equilibrio en el mercado nanciero1 es _j, ,_rI, jI_I1_ tal que:(1) \i J, rI rq max_nI(r) : r E_j, , .I__, jIj0 rI0 6 j0 .I0 y,\: o 0, jsrIs 6 js.Is rsjI.(2) I1 rI=

I1 .I(3) I1 jI= 01Ntese que tomamos los vectores rs como las.En general, tomaremos a los precios comolas y a las cantidades como columnas.4.MERCADOS FINANCIEROS 15Observacin 10. Si 1 es de rango mximo por columnas entonces la condicion(8) sobra.Ejercicio 4.(Magill et al [1998]). Considere la siguiente economa: 1 =2, o = 2, 1 = 1, = 1, 1 =_ 11_ (i.e. slo hay un activo, que es libre de riesgo),.1= (198 , 1, 8), .2= (218 , , 8), y las preferencias de los agentes sonn1(r0, r1, r2) = log (r0) 12_12 log (r1) 12 log (r2)_n2(r0, r1, r2) = log (r0) 18_12 log (r1) 12 log (r2)_Calcular el equilibrio(s) de mercados nancieros. Obsrvese que este ejercicio esidntico al 3, excepto por que hemos introducido un mercado nanciero con un nicoactivo.4.1.No Arbitraje. Dado un mercado nanciero 1, denamosQ1 =_ R.: \j R., 1j _ (0, ..., 0), 1j ,= 0 == j0_Q1 es el conjunto de precios de activos nancieros con la siguiente propiedad:Cualquier portafolio que prometa rendimientos no negativos en todos los estados dela naturaleza, y estrictamente positivo en al menos un estado de la naturaleza, debetener un costo estrctamente positivo. Esta condicin se conoce como condicin deno-arbitraje. Los precios en Q1 se llaman precios de no-arbitraje. El conjunto Q1se denomina cono de no-arbitraje.Observacin 11.Ntese que Q1 es convexo: sean , t Q1 y ` [0, 1[;suponga que 1j(0, ..., 0). Entonces (` (1 `) t)j = `j(1 `) tj0,de donde ` (1 `) t Q1. Ntese que Q1 es un cono. Ntese que Q1 es no-vaco: =

sS\]0]rs Q1.Ejercicio 5. Es Q1 = R.Denamos,Q2 =_ R.: RS++, 1 = _Q2 es el conjunto de precios de los activos tales que = [[_ t]t]1_, donde[[ =S

s=1s y RS++. Obsrvese quet]t] puede interpretarse como una probabil-idad estrictamente positiva sobre los estados de la naturaleza. Luego podemos in-terpretar_ t]t]1_como el retorno esperado del portafolio de activos con una unidadde cada uno y [[_ t]t]1_ como el valor presente (descontando por [[) del valoresperado de este portafolio. Es decir, Q2 son los precios de los activos que puedenexpresarse como el valor presente del valor esperado del retorno del portafolio deactivos con una unidad de cada uno.2Para precisar ms la interpretacin det]t] supongamos que entre los activosnancieros existe un activo libre de riesgo. Denotemos ste por r1. En t = 1 paga2Ntese que las probabilidades se toman como vectores la.16 PREFACE1 independientemente del estado de la naturaleza y se tranza hoy a un precio11+:.Entonces si = 1 y por lo tanto [[ = 1 r.Observacin 12. Ntese que Q2 es convexo: sean , t Q2 y ` [0, 1[; porconstruccin, existen , t RS++ tales que 1 = y t1 = t; entonces ` (1 `) t RS++ y (` (1 `) t) 1 = ` (1 `) t, de donde ` (1 `) t Q2. Ntese que Q2 es un cono: sean Q2 y ` R++; por construccin, existe RS++ tal que 1 = ; entonces, ` RS++ y `1 = `, de donde ` Q2. Esobvio que Q2 es no vaco.Ejercicio 6. (Magill et al [1998]). Considere una economa con o = 8, = 2y la siguiente estructura nanciera:1 =__10 2020 8060 10__(1) Encuentre el conjunto Q1. Adems, demuestre que es un conjunto abierto.(2) Encuentre el conjunto Q2.(3) Ahora, je un precio de arbitraje cualquiera. Exhiba un portafolio (j1, j2)sin ningn costo y tal que su retorno sea no negativo en los tres estadosde la naturaleza y estrictamente positivo en por lo menos uno.El siguiente resultado, muy conocido e intuitivo, ser importante ms adelante..Teorema 6. (Separacin de convexos por hiperplanos):(1) Sea Q R.un conjunto convexo y cerrado. Dado R.Q, existen/ R. (0, ..., 0) y c R tales que / < c < /, \ Q.(2) Sean Qt, Qtt _ R.conjuntos convexos y disyuntos. Entonces, existen/ R. (0, ..., 0) y c R tales que \(t, tt) QtQtt, t / _ c _ tt /.Proof. Ver Mas-Collel et al. [1995], Teorema M.G.2.Con estos teoremas bsicos, es fcil probar el siguiente resultado:Teorema 7. Sean Qt, Qtt _ R.conjuntos convexos y disyuntos. Sea Qtcerrado y Qtt compacto Entonces, existen / R. (0, ..., 0) y c R tales que\(t, tt) Qt Qtt, t/ < c < tt/.Ejercicio 7. Pruebe el anterior teorema.Este teorema permite demostrar el siguiente lemma.Lema 1. (Minkowski-Farkas). Si \ es una matriz (o 1) entonces o bienexiste un j R.tal que \j0, existe un RS++ tal que _ 1 \ =(0, ..., 0)Proof. Sea \ _ RS+1el espacio generado por \. Suponga que \ (RS+1+ (0, ..., 0)) = ?. Sea ^ = r RS+1+:S+1

I=1rI = 1. Entonces \ y ^son conjuntos convexos y disyuntos. Adems, \ es cerrado y ^ es compacto,luego, por el teorema 7, existe , RS+1tal que ,.1 < ,.2, para todo (.1, .2) \ ^. Esto implica que ,.20 para todo .2 ^, y por tanto que , RS+1++ .Ahora, jemos .2 ^. Por construccin, para todo j R.debera ser ciertoque , (\j) = (,\) j < ,.2, pero sto es imposible excepto cuando ,\ = 0.Dividiendo todos los componentes de , por el primero de ellos se obtiene .4.MERCADOS FINANCIEROS 17AB

AB

Ejercicio 8. Se pueden cumplir ambas condiciones en el lema de Minkowski-Farkas?Cuando en un mercado nanciero 1, las columnas (los activos) no son lineal-mente independientes, uno puede eliminar todos los activos redundantes y trabajarcon un mercado 1t, que tenga rango mximo por columnas y es equivalente al mer-cado 1 en el sentido de que todas las transferencias de ingresos entre los diferentesestados y periodos que son posibles con 1 son tambien posibles con 1t y viceversa.En adelante eliminamos activos que sean redundantes, en el sentido de quepueden ser replicados por otros activos ya existentes. Es decir, suponemos la sigu-iente condicin:Condicin 2. El mercado nanciero 1 tiene rango mximo por columnas.La utilidad del lemma de Minkowski-Farkas es que permite demostrar el sigu-iente teorema:Teorema 8. Q1 = Q2.Proof. Sean Q1 y\ =_ 1_Por la denicin de Q1 y la condicin 2, entonces no es verdad que \j0. Sesigue inmediatamente del lema anterior que Q2.Suponga ahora que Q2. Por denicin, RS++ tal que 1 = . Supongaahora que, para j R.cualquiera, 1j(0, ..., 0). Entonces, j = (1)j = (1j)0, dado que (0, ..., 0). Esto implica que Q1.Observacin 13. En general, si 1 no tiene rango mximo por columnas, Q2 _Q1.18 PREFACECuando se consideran mercados nancieros de rango mximo por columnas,puede darse una prueba alternativa del teorema 8 que slo requiere utilizar la versindbil del teorema de separacin de convexos.Ejercicio 9. Utilizando la parte 2 del teorema 6, y no el lema de Minkowsky-Farkas, demuestre que Q1 _ Q2.La importancia de la condicin de no arbitraje se sigue del siguiente teorema:Teorema 9. Para todo i J, dado j Rn++, el problemamax_nI(r) : r E_j, , .I__tiene solucin si, y slo si, Q1.Proof. Suponga que (r+, j+) soluciona el problema, pero , Q1.Entonces,jt R.tal que 1jt(0, ..., 0) y jt 6 0. Dena j = j+ jt, r0 = r+0 y\: o 0, rs = r+s _:s0s;1, 0, ..., 0_.Por construccin, rr+, luego r Rn+.Adems,j = j+ jt6 j+6 j0 _.I0 r+0_en tanto que, \: o 0,jsrs= jsr+s rsjt6 js.Is rs (j+ jt)= js.Is rsjEsto implica que r E_j, , .I_, pero como rr+, bajo monotonicidad estricta,nI(r)nI(r+), una contradiccin.Ahora, suponga que Q1. Por el teorema 8, Q2, lo cual implica que RS++ tal que 1 = . Suponga que r E_j, , .I_. Por denicin, j R.tal que j 6 j0 _.I0 r0_ y__j1 _r1 .I1_...jS _rS .IS___ 6 1jReemplazando = 1, tenemos que1j 6 j0 _.I0 r0_mientras que__j1 _r1 .I1_...jS _rS .IS___ 6 1jAs, se sigue que

sS\]0]sjs _rs .Is_6 j0 _.I0 r0_4.MERCADOS FINANCIEROS 19lo cual implica que r 1_1, .I_ con 1 = (j0, 1j1, ..., sjs) Rn++. Esto implicaque E_j, , .I_ _ 1_1, .I_. Dado que E_j, , .I_ es cerrado y 1_1, .I_ es com-pacto, entonces E_j, , .I_ es compacto y como nIes contnua, entonces existe unasolucin al problema.Observacin 14. Sea Q2, 1S++ tal que 1 = y 1 = (j0, 1j1, ..., sjs) .Entonces en el anterior teorema demostramos que: E_j, , .I__ 1_1, .I_.Ejercicio 10. En este ejercicio se esboza una prueba alternativa del teorema9. Sea \(, 1) =_ 1_.(1) Muestre que E_j, , .I_=___r Rn+ [_j R._,__j0 _r0 .I0_...jS _rS .IS___ _ \(, 1)j___(2) Muestre que si , Q1 entonces el problema de maximizacion no tienesolucin.(3) La siguiente es una caracterizacin bien conocida de los conjuntos com-pactos en Rn: 1 _ Rnes compacto si, y slo si, para toda secuencia(rn)on=1 contenida en 1 existe un subsecuencia, _rn(|)_o|=1 convergentea un punto de 1. Utilizando esta caracterizacin muestre que si Q1entonces E_j, , .I_ es compacto.4.2.Precios Descontados. Sea Q2, 1S++ tal que 1 = y 1 =(j0, 1j1, ..., sjs). Decimos que 1 es el precio spot j descontado por y lo lla-maremos precio descontado. Obsvece que la forma de descontar precios spot no esnica. Dado , en principio pueden existir varios 1S++ tales que 1 = . Msadelante volveremos sobre este punto.Denamos:E0_j, , .I_=_r Rn+ [_j R._:j j0r0 6 j0.I0(\: o 0) : jsrs = js.Is rsj_,1_1, .I; 1_=___r Rn+ [

sS 1s _rs .Is_6 0_j R._,__11 _r1 .I1_...1S _rS .IS___ _ 1j___y10_1, .I; 1_=___r Rn+ [

sS 1s _rs .Is_6 0_j R._,__11 _r1 .I1_...1S _rS .IS___ = 1j___Decimos que 1_1, .I; 1_ o 10_1, .I; 1_ es la restricin presupuestal en mer-cados nancieros con precios descontados.Observacin 15. Obsrvese que, gracias a la monotonicidad estricta de lasfunciones de utilidad:rI rq max_nI(r) : r E_j, , .I__= rI rq max_nI(r) : r E0_j, , .I__20 PREFACEEl siguiente lema lo invocaremos en repetidas ocasiones.Lema 2. Con la misma notacin anterior E0_j, , .I_ = 10_1, .I; 1t_ donde1t =__1r1.SrS__Ejercicio 11. Probar este lema.Como consecuencia inmediata tenemos:Proposicin 2. El problema del consumidor en mercados nancieros:max_nI(r) : r E0_j, , .I__es equivalente a:max_nI(r) : r 10_1, .I; 1t__Observacin 16.Obsrvese que si 1 satisface la condicin 2, entonces 1ttambin lo hace.Observacin 17. La anterior proposicin pone de maniesto las restriccionesadicionales que la estructura de mercados nancieros impone sobre la estructura demercados contingentes. En mercados nancieros, los agentes enfrentan la misma re-stricin presupuestal que en mercados contingentes ms un requerimiento adicional.En el segundo perodo, el gasto tiene que ser nanciable con los activos nancierosdisponibles. Obsrvese que si 1 tiene rango mximo por las (1t tambin lo tiene)entonces la restriccin del segundo perodo no es importante. Este es una caso muyimportante que utilizaremos como punto de referencia durante el desarrollo de lateora.Utilizando la idea de precios descontados, vamos a introducir otro concepto deequilibrio que resulta estar estrechamente relacionado con el concepto de equilibrioen mercados nancieros y que en la prctica es muy utilizado como herramientaterica.Definicin 10. Dada una economa c, un equilibrio de no arbitraje en elmercado nanciero 1 es _1,_rI_I1_ tal que:(1) \i J, rI rq max_nI(r) : r 1_1, .I; 1__(2) I1 rI=

I1 .ILa importancia de esta denicin radica en la siguiente proposicin que rela-ciona el concepto de equilibrio en mercados nancieros con el de equilibrio de noarbitraje.Proposicin 3. Sea c una economia con mercados nancieros: c =_J, 1,_nI, .I_I1_(1) Si_j, ,_rI, jI_I1_es un equilibrio de mercados nancieros de la economac entonces existe 1 tal que _1,_rI_I1_ es un equilibrio de no arbitrajede la economa ct = _J, 1t,_nI, .I_I1_ donde 1 = (j0, 1j1, ..., sjs) ,1t =__1r1.SrS__ y es cualquier vector, 1S++ tal que 1 = .5.LARELACONENTRE LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDORENAMBOS MERCADOS21(2) Si _1,_rI_I1_ es un equilibrio de no arbitraje de la economa cen-tonces existen _j, ,_jI_I1_ tal que _j, ,_rI, jI_I1_ es un equilibriode mercados nancieros de la economa ct = _J, 1t,_nI, .I_I1_ dondej = _10, 11t1, ..., 1StS_, = 1t, 1t =__:1t1.:StS__ y es cualquier vector, 1S++.En particular, Obsrvese que = (1, ..., 1) 1S++, y en este casoj = 1, =S

s=1rs y 1 = 1t, luego c = ct.Observacin 18.Obsvece que en la segunda parte de la proposicin, esindependiente de pero j y 1t si dependen de .Proof. Se sigue del lema 2.5.La Relacon entre los Problemas del Consumidor en ambosMercadosLos problemas que un consumidor enfrenta bajo mercados contingentes y bajomercados nancieros guardan la siguiente relacin:Teorema 10. Dado i J, suponga que a precios (j, ) Rn++R., (r+, j+) Rn++ R.resuelve el problemamax_nI(r)r E_j, , .I__con j+ j0r+0 6 j0.I0 y \: o 0, jsr+s 6 js.Is rsj+. Entonces,existe 1 Rn++ tal que r+ resuelvemax_nI(r) : r 1_1, .I__Proof. Consideremos el Lagrangiano del primer problema: /1J: Rn+R.

R+ RS+ R, denido por:/1J(r, j, `0, `) := nI(r)`0_j0 _.I0 r0_j_ sS\]0]`s_rsj js _.Is rs__Bajo interioridad, monotonicidad y cuasiconcavidad estricta, para algn (`+0, `+) R++ RS++, las siguientes condiciones de primer orden deben ser satisfechas:(\: o) : 1rsnI(r+) = `+sjs1__`+1...`+S__ = `+0r E_j, , .I_Reexprese las condiciones de primer orden de esta manera:(\: o) : 1rsnI(r+) = `+0sjs1 = donde =_X

sX

0_s2S, y dena 1 =__X

sX

0_js_sS.22 PREFACEAhora considere el Lagrangiano del segundo problema: /1c: Rn+R+ R,denido por:/1c(r, j) := nI(r) j

sS_1s _.Is rs__Las condiciones de primer orden, que bajo cuasiconcavidad estricta son sucientes,son que exista j+ R++ tal que(\: o) : 1rsnI(r) = j+1sy1s _rs .Is_= 0Obsrvese que la la segunda condicin es una consecuencia de las condiciones deprimer orden con respecto al portafolio en el primer problema (ver la prueba delteorema 9, en el cual obteniamos E_j, , .I_ _ 1_1, .I_). Finalmente si j+ = `+0y reemplazando 1, se sigue que r+ tambin satisface las primeras condiciones deprimer orden del segundo problema.Ejercicio 12. Dada una economa en mercados nancieros, existe un con-verso del anterior teorema?6.Mercados Financieros CompletosPara consideraciones de equilibrio general el anterior resultado no es sucientepues, dado que el 1 que hace al segundo problema equivalente al primero dependedel individuo en consideracin.Nos preguntamos ahora qu transferencias de riqueza entre estados de la nat-uraleza son posibles dada una estructura de activos nancieros. Cuando cualquiertransferencia es posible, decimos que los mercados nancieros son completos:Definicin 11. Un mercados nanciero 1 se dice completo si tiene rangomximo por las.Ejercicio 13. Demuestre que un mercado nanciero 1, que satisfaga la condi-cin 2, es completo si, y slo si, = o y 1 es una matriz invertible (ayuda:recuerde que el rango por columnas y por las de cualquier matriz es igual).Cuando los mercados nancieros son completos entonces podemos ir un pocoms alla del teorema 10 y caracterizar los equilibrios en ambas economas.Teorema 11. Suponga que el mercado nanciero 1 es completo.(1) Suponga que a precios (j, ) Rn++R., para cada i J, _rI+, jI+_ Rn++ R.resuelve el problema,max_nI(r)r E_j, , .I__con jI+ j0rI+0 6 j0.I0 y (\: o 0) : jsrI+s 6 js.Is rsjI+.Entonces, existe 1 Rn++ tal que para todo i J, rI+ resuelvemax_nI(r) : r 1_1, .I__Ms an, si _j, ,_rI+, jI+_I1_ Rn++R. Rn1+R.1es unequilibrio en mercados nancieros, entonces _1,_rI+_I1_ Rn++Rn1+es un equilibrio en mercados contingentes.6.MERCADOS FINANCIEROS COMPLETOS 23(2) Supongamos que a precios 1 Rn++, para cada i J, rI+ Rn+ resuelveel problemamax_nI(r) : r 1_1, .I__Entonces existen _j, ,_j+I_I1_ Rn++R.

_R._1tal que para todoi J, _j, ,_rI+, jI+_I1_ resuelve,max_nI(r)r E_j, , .I__con jI+ j0rI+0 6 j0.I0 y (\: o 0) : jsrI+s 6 js.Is rsjI+.Ms an, si _1,_rI+_I1_ Rn++Rn1+es un equilibrio en merca-dos contingentes, entonces _j, ,_j+I_I1_ Rn++R.

_R._1es unequilibrio en mercados nancieros.Proof. Consideremos cada parte por separado:(1) Dada la prueba del teorema 10, es suciente demostrar que \i, it J,_1Xi0_`I+ = _1Xi0

0_`I0+.Pero esto es obvio en mercados completos dadoque, como 1 es invertible, de la segunda condicin de primer orden:(\i J) :_ 1`I+0__`I+_ = 11La segunda armacin es trivial.(2) Sea RS++. Dena j = (10, 11t1, ...1StS ), = 1. Por el lema 2 tenemosque E0_j, , .I_ = 10_1, .I; 1t_ donde 1t =__1r1.SrS__. Pero si el mer-cado nanciero 1 es completo, entoces 1t tambien lo es y 10_1, .I; 1t_=10_1, .I_. Esto implica que para todo i:rI+ = rq max_nI(rI) : r E_j, , .I__Ahora, como 1 es invertible, denamos para todo i :jI+ = 11__11 _rI+1 .I1_...1S _rI+S .IS___Entonces:

I1 jI+= I1___11__11 _rI+1 .I1_...1S _rI+S .IS______= 11__11

I1_rI+1 .I1_...1S

I1_rI+S .IS___=__0...0__24 PREFACEEstos dos resultados implican que _j, ,_rI+, jI+_I1_ es un equilibrio enel mercado nanciero 1.Observacin 19. Obsvece que en la segunda parte del anterior teorema podemosescojer j = 1. Basta con escojer = (1, ..., 1) 1S++ en la demostracin arriba.Ejercicio 14. (Magill et al [1998]). Considere la misma economa del ejercicio4 excepto por la estructura del mercado nanciero: ahora suponga que = 2,1 = _ 1 11 0_. Calcular el equilibrio de mercados nancieros de esta economa(ayuda: utilizar el anterior teorema).7.Aspectos Positivos del la Teora del Equilibrio General en MercadosCompletosEn esta parte de las notas vamos a estudiar con ms detalle el concepto de equi-librio que introdujimos anteriormente para el caso en que los mercados nancierosson completos. De hecho, hasta este punto no nos habiamos preguntado sobre la ex-istencia del equilibrio. Esta es la primera pregunta fundamental que nos podemoshacer sobre el concepto de equilibrio y la primera tambin de caracter positivo.Adicionalmente, estudiaremos otras caractersticas positivas como la unicidad delequilibrio, su estabilidad y la refutabilidad de la teora del equilibrio como teoracientca. Concretamente, nos preguntamos si, a partir de caractersticas observ-ables en el mundo real como precios, asignaciones agregadas de equilibrio y/o dota-ciones individuales, es posible demostrar la existencia de un una economa tal que,las caracteristicas observadas, sean consistentes con el equilibrio de esta economa.Para comenzar, ntese un gran problema que tiene el modelo de equilibrio gen-eral. En fsica, uno comienza el anlisis con un proceso dinmico (por ejemplo, lasecuaciones que caracterizan el movimiento de un pndulo) y el equilibrio aparece,de manera natural, como la situacin en la que las fuerzas dinmicas se cancelan.En equilibrio general, como en muchas otras teoras econmicas, formulamos con-ceptos de equilibrio que no provienen de una dinmica previa!. Puesto en otraspalabras, el concepto de equilibrio que hemos propuesto nos describe precios yasignaciones para los cuales no existe un incentivo a desviarse de las asignacionesde equilibrio y que, en el agregado, es consistente con las decisiones de los demsagentes. Sin embargo, la teora no nos dice cmo llegamos a ellos. Este problemamotiva la siguiente discucin.7.1.El Subastador Walrasiano. Walras tena en mente un proceso de ajustede precios que correspondeda a lo siguiente. Si un mercado muestra exceso de de-manda, su precio (relativo) debe subir, y si un mercado muestraexceso de oferta,su precio (relativo) debe bajar.Lo ms cercano que tenemos a un proceso dinmico de ajuste fu un artefactoque Walras denomin el Subastador (Tatonador) y que haca exactamente lo quehemos dicho previamente: mover los precios en la direccin indicada por los excesosde demanda.As, supongamos que tenemos una economa con mercados contingentes comola descrita anteriormente.Sea 1 Rn++, y denamos la demanda agregada de laeconoma (como funcin nicamente de los precios), 1(1) como:7. ASPECTOS POSITIVOS DEL LATEORADEL EQUILIBRIOGENERAL ENMERCADOS COMPLETOS 251(1) =1

I=1)I(1)y la funcin de exceso de demanda (como funcin unicamente de los precios) como:7(1) = (71(1), 72(1), ..., 7J(1)) = 1(1) 1

I=1nIEs fcil ver que las funciones de demanda individual son funciones homoge-neas de grado cero en los precios, luego la funcin exceso de demanda es tam-bin homognea de grado cero. Por lo tanto,vamos a normalizar los preciosde tal forma que estos se encuentren en el simplejo : 1 dimensional positivo^n1++=_1 Rn++ :

nl=11l = 1_.Lo que el subastador va a hacer es subir los precios de aquellos bienes | paralos cuales 7l(1)0 (exceso de demanda) y bajar los precios de aquellos para loscuales 7l(1) < 0 (exceso de oferta).La forma ms sencilla de lograr esto sera la siguiente. Ante los precios 1 elsubastador reaccionara con los nuevos precios:1t = 1 7(1)Aqu, sin embargo, el subastador encontrara dos problemas. Para un biencon un gran exceso de oferta, el precio 1tl que l denira sera negativo. Y porotro lado, si 1 ^n1++ , 1t , ^n1++excepto cuando 7(1) = 0. Para evitar estosproblemas, utilizaremos la siguiente modicacin del mecanismo de ajuste. SeaT : ^n1++ ^n1++denida por:T(1) =1n

l=0(1l max0, 7l(1)) (11 max0, 71(1), ..., 1n max0, 7n(1))Ejercicio 15. Sigue siendo cierto que cuando existe un exceso de demandapor un bien el subastador Walrasiano aumenta el precio de ste?7.2.Existencia del Equilibrio. Utilizando la denicin anterior del mecan-ismo de ajuste del subastador Walrasiano, es relativamente sencillo identicar losprecios de equilibrio.Proposicin 4. Sea c =_J,_nI, .I_I1_una economa que satisface las propiedadesusuales. Obsrvese que, si la funcin exceso de damanda es continua, entonces lafuncin de ajuste del subastador Walrasiano T, tambin es continua. Adems, si Ttiene un punto jo 1+ ^n1++ , entonces 7(1+) = 0.Proof. Como 1+ es punto jo de T entonces, para todo | :1+l=1n

l=0(1+l max0, 7l(1+)) (1+l max0, 7l(1+))Multiplicando el lado izquierdo y derecho por 7l(1+) y sumando sobre todos losbienes es fcil probar que:n

l=0(max0, 7l(1+)) 7l(1+) = 0, luego 7(1+) _ 0.Ahora, como 1+ Rn++ entonces 7(1+) = 026 PREFACEPor supuesto, la dicultad radica en demostrar la existencia del punto jo.Intuitivamente, una aproximacibn sera aplicar el Teorema del Punto de Fijo deBrower sin embargo, si bien el conjunto ^n1++es convexo, este no es compactopues nosotros hemos desarrollado toda la teora asumiendo que los precios sonestrictamente positivos.Esto responde informalmente a la pregunta ms importante con relacin anuestro concepto de equilibrio en mercados contingentes. La siguiente preguntaque uno suele formularse en trminos de anlisis positivo es la de unicidad y luegoalgo que suele estar muy relacionado, la de estabilidad.Antes de analizar estos aspectos positivos, introduciremos de manera informalel siguiente resultado que ms adelante abordaremos formalmente.7.3.El Teorema SMD. De manera independiente, tres economistas muyfamosos, Hugo Sonnenschein, Rolf Mantel y Gerard Debreu, estudiaron las propiedadesque la estructura habitual del modelo de equilibrio general impone en la funcinde exceso de demanda agregada, 7. Es decir, ellos se preguntaron hasta que puntouna economa c =_J,_nI, .I_I1_ que satisface las condiciones usuales, caracter-iza la funcin exceso de demanda. La respuesta que ellos dieron a este problemafu negativa. Es decir, ellos encontraron que el hecho de que la funcin de de-manda proviniera de una economa que satisface las propiedades usuales imponamuy pocas restricciones sobre la funcin exceso de demanda. En particular, estasson:(1) La funcin exceso de demanda (como una funcin de precios) es una fun-cin continua.(2) La funcin exceso de demanda (como funcin de precios) es homogneade grado cero.(3) La funcin exceso de demanda satisface la ley de Walras. Para todo1 Rn++,n

l=11l7l(1) = 0El resultado que Sonnenschein, Mantel y Debreu obtuvieron puede resumirseinformalmente de la siguinete manera. Dada cualquier funcin denida ) : Rn++ Rn, que satisfaga las tres propiedades anteriores, existe una economa c =_J,_nI, .I_I1_,con por lo menos un nmero mayor o igual de agentes que de bienes de consumo,que satisface las propiedades habitulaes y tal que la funcin ) es igual a la funcinexceso de demanda 7 de la economa c.Este resultado se conoce como el teorema Sonnenschein, Mantel y Debreu (oSMD). A continuacin vamos a utilizar este resultado para estudiar otras propiedadespositivas del modelo de Equilibrio General.7.4.Unicidad. Lo primero que se concluye del teorema de SMD es que nohay por qu esperar que el equilibrio sea nico: no hay ninguna razn por la cualla funcin 7 de una economa slo deba tener un precio 1 normalizado tal que7(1) = 0.7. ASPECTOS POSITIVOS DEL LATEORADEL EQUILIBRIOGENERAL ENMERCADOS COMPLETOS 27Por ejemplo, ignorando la dimensionalidad del problema, uno podra tener que7 es como en el siguiente grco.3PLRp p p ZEn cuyo caso tendramos tres precios (relativos) de equilibrio. Esto no deberaresultar sorprendente. Por una parte, nosotros ya hemos obtenido multiplicidad deequilibrios en algunos de nuestros ejemplos; y por otra, los teoremas de punto jo,como el que utilizamos para demostrar existencia, aseguran que existe por lo menosun punto jo pero no que sea necesariamente nico.De hecho, Arrow demostr que las condiciones para que el equilibrio sea nicoson extremas (bsicamente,que todos los agentes tengan funciones de utilidadCobb-Douglas). Debreu, sin embargo, estaba preocupado por un problema ms3Por qu? Supongamos que tenemos dos bienes. El eje x representa el precio relativo entrelos dos bienes.El eje y representa el exceso de demanda de uno de los dos bienes.Por la ley deWalras, esta grca determina la funcin exceso de demanda del otro bien y, por construccin,esta funcin exceso de demanda satisface las tres condiciones del teorema de SMD.28 PREFACEcomplicado. Nada garantiza que la funcin 7 no sea como a continuacin:PLRZEn cuyo caso uno tendra un nmero innito de equilibrios, y lo que es ms grave,tendra un continuo de equilibrios. El problema sera que en una situacin comosta los equilibrios ni siquiera son nicos en un sentido local: se encuentran in-nitamente cerca! Debreu demostr, sin embargo, que esto casi nunca pasa. Demanera informal supongamos que las dotaciones de la economa no hubieran sido lasque generaron el grco 7 anterior, sino otras levemente diferentes. Uno entonces,esperara una funcin 7t como a continuacin:PLRZZdonde slo un nmero nito de equilibrios (todos ellos aislados) se presenta. Senecesitara una tremenda coincidencia para que fuera 7 y no 7t la funcin dedemanda agregada de la economa.En sntesis, no hay razn para esperar que el Equilibrio General sea nico, perocasi siempre uno encuentra que es localmente nico.7. ASPECTOS POSITIVOS DEL LATEORADEL EQUILIBRIOGENERAL ENMERCADOS COMPLETOS 297.5.Estabilidad. Como ya hemos dicho, la denicin de Equilibrio Generalcarece de un mecanismo natural que explique cmo evoluciona la economa cuandouno se encuentra por fuera de equilibrio. Hemos propuesto el mecanismo del sub-astador Walrasiano, que, sin ser natural, parece aceptable. Ntese, sin embargo,que bajo este mecanismo el equilibrio general no tiene por qu ser estable (anlocalmente). Como vimos anteriormente, del Teorma de SMD se sigue que 7 puedeser como a continuacin:PLRp p p Z1tt, an siendo un equilibrio, no es estable bajo el subastador Walrasiano!7.6.Refutabilidad. Note cmo hemos utilizado hasta ahora el teorema deSMD. Hemos aprovechado el resultado para argumentar que no podemos descartarfunciones exceso de demanda agregada, a pesar de lo mal comportadas que staspuedan resultar. Pareciera como si cualquier cosa fuera compatible con la teoradel equilibrio general, como si uno nunca pudiera refutar la hiptesis de equilibriogeneral.Esto resulta problematico pues, segn una importante corriente epistemolgicaconocida como falsacionismo (tambin refutacionismo o principio de falsabilidad)fundada por el lsofo Karl Popper, slo las teoras que son refutables pueden hacerparte del conocimiento cientco.En efecto, durante mucho tiempo los economistas crean que del teorema deSMD se desprenda que la hiptesis de equilibrio general no era refutable.Muy recientemente se ha demostrado que esto no es as. Cuando uno utilizael teorema de SMD est manteniendo las dotaciones jas y permitiendo slo a losprecios variar. Donald Brown y Rosa Matzkin han demostrado que si uno permiteque las dotaciones sean observables, uno puede refutar la hiptesis de equilibriogeneral. Es decir, la existencia de una economa que satisface las propiedadesusuales y tal que sus equilibrios sean consistentes con los datos observados.Por ejemplo, tomemos una economa 22 en la que se han observado lassiguientes dotaciones y precios:30 PREFACEp2010 1020Bien 1, agente 1Bien 2, agente 2Bien 2, agente 1Bien 1, agente 2ww p Bien 1, agente 1Bien 2, agente 1Bien 1, agente 2Sobreponiendo los dos grcos, obtenemos las asignaciones que seran factiblesen cada caso como equilibrio general (las partes ms gruesas de cada grco).201020pww p Bien 1, agente 1Bien 2, agente 1Claramente, tales observaciones son inconsistentes con maximizacin individ-ual.Ms an, no es posible que el agente 1 satisfaga el axioma dbil de las pref-erencias reveladas. Esto implica que es imposible que dadas las observaciones dedotaciones y precios, al mismo tiempo los agentes maximizen su bienestar y losmercados se agoten: es posible refutar la hiptesis de Equilibrio General!.8.Disgresin: El Axioma de Preferencias Reveladas y el Teorema SMDSea A el conjunto de escojencia de los agentes.8.1.Reglas de Decisin Individual y el Axioma Dbil de PreferenciasReveladas.8.DISGRESIN:EL AXIOMADE PREFERENCIAS REVELADAS YEL TEOREMASMD31Definicin 12. Una estructura de escogencia C en A es una pareja (E(A), CB)donde E es una familia de subconjuntos de A (que por analoga con la teora delconsumidor llamaremos conjunto de restricciones presupuestales) y CBes unaregla de escogencia no vacia (e.g. una correspondencia) CB : E(A)A tal queCB(1) 1, CB(1) ,= c para todo 1 E(A).Definicin 13. La estructura de escogencia C = (B(A) , C1) cumple con elaxioma dbil de preferencias reveladas (ADPR) si para todo 1 1(A), y paratodo r y j en A, si r, j _ 1 y r C1 (1) (es decir, x es escogido cuando laalternativa y es factible) entonces para cualquier otro 1t E(A) tal que r, j _ 1ty j CB(1t), se tiene r CB(1t) (es decir, cuando tenemos que escoger de unnuevo conjunto de alternativas donde r y j son fctibles, no puede ser que escojamosa j y no a r).El axioma dbil de preferencias reveladas es un axioma fundamental de cualquierestructura de escogencia y es anloga a la propiedad que una preferencia sobre Asea racional. Ms adelante daremos muchos ejemplos de estructuras de escogenciaque satisfacen el axioma dbil de preferencias reveladas (ver proposicin 5). Unejemplo de una estructura de escogencia que no lo satisface es el siguinete.Ejemplo 4.Sea A = r, j, . y considere la siguiente estructura de esco-jencia, C = (E(A), CB) donde E(A) = r, j, r, j, ., CB(r, j) = r, j yCB(r, j, .) = j, .. Esta estructura de escogencia no satisface el ADPR.El ejemplo ms importante de estructura de escogencia que satisface el ADPRes la estructura de escogencia Walrasiana.Ejemplo 5.Sea A = Rn+ y n : Rn+ R una funcin de utilidad que sat-isface las propiedades usuales. Denimos la estructura de escogencia WalrasianaCu = (E(A) , CB) donde E(A) =_1(1, .) : 1 Rn++, n Rn+_ y CB(1(1, .)) =aig max n(r) : r 1(1, .) . Es fcil demostrar que Cu satisface el ADPR.8.2.Preferencias y Racionalidad Individual.Definicin 14. Una relacin de preferencia sobre el conjunto A es una relacinbinaria _ en A. Decimos que la relacin de preferencia es racional si cumple conlas siguientes propiedades:(1) Completitud: para todo r, j A o bien r _ j o j _ r (o ambas).(2) Transitividad: para todo r, j, . A si r _ j y j _ . entonces r _ .Cuando r _ j decimos que r es preferible (dbilmente) a j. Dada una relacinde preferencia sobre un conjunto A (racional o no) denimos la siguiente relacinbinaria ~ en A. r ~ j si y solo si r _ j y no es verdad que j _ r. En este caso,cuando r ~ j decimos que r es preferible (estrictamente) a j.Ejercicio 16. + Mostrar que ~ no es una relacin binaria completa sobre A.Sin embargo, s es transitiva.Ejemplo 6. Sea A cualquier conjunto y l : A 1 cualquier funcin. Deni-mos una relacin _ de la siguiente forma: r _ j = l(r) _ l(j). Es fcil vericarque _ es de hecho una relacin de preferencia racional sobre ADefinicin 15. Dado C = (E(A), CB) denimos las preferencias reveladas porC como _+ donde:r _+ j = 1 E(A) tal que r, j 1 y r CB(1)32 PREFACEUtilizando esta denicin, el ADPR puede expresarse como: \r, j A si r _+ jentonces no es verdad que j ~+ r. Intuitivamente, si r es revelado como preferible(debilmente) a j entonces j no puede ser revelado preferible (estrictamente) a r.Definicin 16. Dado _ una relacin de preferencia, denimos una estructurade escogencia C+ = (E(A), C+B) como:C+B(1) = r 1 : r _ j, \j 14Proposicin 5. Si _ una relacin de preferencia racional entonces C+ satis-face el axioma dbil de las preferencias reveladas.Ejercicio 17. Probar el anterior teorema.El converso de la anterior proposicin no es vlido. Es decir, dado Dado C =(E(A), CB) que satisface el ADPR, entonces no siempre existe _, una relacin depreferencia racional sobre A, tal que C+B = CB, en particular, _+=_. Cuando sexiste _, una relacin de preferencia racional sobre A tal que C+B = CB, decimosque _ racionaliza la estructura de escogencia C relativo a E(A).Observacin 20. Se puede demostrar que la relacion de preferencia que racional-iza una estructura de escogencia no es necesariamente nica.A continuacin damos un ejemplo de una estructura de escogencia que no esracionalizable.Ejemplo 7.Sea A = r, j, . y considere la siguiente estructura de esco-jencia, C = (E(A), CB) donde E(A) = r, j, j, ., r, ., CB(r, j) = r,CB(j, .) = j y CB(r, .) = .. Esta estructura de escogencia satisface elADPR. Sin embargo, no existe una relacin de preferencia que racionalice la es-tructura de escogencia relativo a A. Pues, si sta existiera, digamos _, entoncesr ~ j (puesto que C+B(r, j) = CB(r, j) = r, luego r _ j pero no es verdadque j _ r) y j ~ ., luego por transitividad r ~ .. Sin embargo, CB(r, .) = .implica . ~ r, una contradiccin.Ejemplo 8. En al ejemplo anterior falla la transitividad de las preferencias.Es muy fcil dar un ejemplo donde fallen la completitud de las preferencias. SeaC = (E(A), CB) donde E(A) = r, j, j, ., CB(r, j) = r, y CB(j, .) =j. Entonces es imposible comparar r y ..Observacin 21. Obsvece que en el ejemplo de Brown y Matzkin, las obser-vaciones (1t, nt) y (1tt, ntt) no son consistentes con ninguna estructura de esco-gencia para el agente 1, C = (E(A), CB) que satisfaga el ADPR, donde A = Rn+ yE(A) = _1(1, .) : 1 Rn++, n Rn+_. Luego, este par de observaciones no sloson inconsistentes con la teora del equilibrio general sino con algo an ms funda-mental, escogencias individuales consistentes con el ADPR.8.3.Demandas Individuales y el Axioma Debil y Fuerte de Prefer-encias Reveladas. Sea r : Rn++ Rn+ Rn+ una funcin que satisface:(1) r es homognea de grado cero en su primer argumento.(2) r satisface la ley de Walras: 1r(1, n) = 1nEn este caso diremos que r es una funcin Walrasiana.4Bajo ciertas condiciones relativamente dbiles uno puede mostrar que C

B(B) 6= :8.DISGRESIN:EL AXIOMADE PREFERENCIAS REVELADAS YEL TEOREMASMD33Ejemplo 9. La funcin de demanda individual de una economa es una funcinWalrasiana.Definicin 17. Decimos que la funcin r satisface el Axioma Dbil de Pref-erencias Reveladas (ADPR) si \(1, n) , (1t, nt) Rn++ Rn++ tenemos:(1r(1t, nt) _ 1n) . (r(1, n) ,= r(1t, nt)) = 1tr(1, n)1tntIntuitivamente, si a los precios y dotaciones (1, n), (1t, nt) , r(1, :) ,= r(1t, :t)son escogencias factibles distintas y el agente revela su preferencia por r(1, n) , en-tonces r(1, n) no puede ser factible cuando los precios e ingresos son (1t, :t) , puesen este caso, r(1t, :t) se revelara preferible a r(1, :).Observacin 22. Si Cu = (E(A) , CB) es la estructura de escogencia Wal-rasiana, entonces Cu satisface el ADPR si y solo si la funcin de demanda individ-ual ), satisface el ADPR.Observacin 23. Un de las caracterisaziones ms importantes del ADPR deuna funcin Walrasiana es en trminos de la ley de la demanda compensada (i.e elADPR es equivalente a que, ante cambios en precios compensados, el cambio en lademanda y el cambio en los precios ocurren en sentidos contrarios. Ver Mas-Colellet. al. proposicin 2.F.1 pgina 30).Observacin 24. Cuando la funcin r es adems diferenciable y satisface elADPR entonces la matriz de Slutsky es semidenida negativa y es siempre singular(Obsrvese que no armamos nada sobre la simetra de esta matriz).Observacin 25. Una funcin r Walrasiana, difenciable y que su matriz deSlutsky sea semidenida negativa no satisface necesariamente el ADPR (ver MasColell et. al.).Ahora, una pregunta fundamental que salta a la vista es la siguinete. Es lateora de escogencia con base en preferencias racionales sobre A = Rn+ equivalente ala teora de escogencia con base en funciones Walrasianas que satisfacen el ADPR?La respuesta es no, la teora de escogencia con base en preferencias racionales esmas restrictiva e informalmente, la razn es la siguiente. La teora de escogenciacon base en preferencias racionales (ms algunas hiptesis estndar) implica que lamatriz de Slutsky es simtrica, algo que no es necesariamente cierto para la teorade la escogencia con base en funciones Walrasianas que satisfacen el ADPR.Esto motiva la introduccin de una propiedad ms fuerte que el ADPR, estoes, el Axioma Fuerte de Preferencias Reveladas.Definicin 18. Una funcin Walrasiana ) : Rn++Rn++ Rn+ satisface elaxioma fuerte de las preferencias reveladas (AFPR) si para todo y para toda lista__1I, nI_I=1,..._ tal que:\/ _ 1, )_1|+1, n|+1_ ,=)_1|, n|_ entonces,si \/ _ 1, 1|

)(1|+1, n|+1) _ 1| n|= 1 )(11, n1)1 n.Intuitivamente: Si )(11, n1) es revelado que es preferible a )(1, n) (portransitividad) entonces )(1, n) no puede ser revelado como preferible a )(11, n1).Observacin 26. Cuando : = 2, el AFPR es equivalente al ADPR.Para la demostracin del siguiente teorema utilizaremos un resultado profundode la teora de conjuntos, el Lema de Zorn.34 PREFACEDefinicin 19. Un orden estricto (parcial) sobre cualquier conjunto o es unarelacion binaria sobre o, 7l (1) cl (1) 1l= 7l (1) 7l_1l_ 1> 1En notacin vectorial, esto implica que_\1 on1:_: 7 (1) c(1) 1 Rn++Dena para cada i 1, ..., :, la funcin .I: on1Rnpor.I(1) = (7I (1) c(1) 1I)_cI1I1_donde cIes el i-simo vector cannico.36 PREFACEPara ver que .Isatisface la ley de Walras:1.I(1) = 1 _(7I (1) c(1) 1I)_cI1I1__= (7I (1) c(1) 1I) 1 _cI1I1_= (7I (1) c(1) 1I) (1I 1I11)= (7I (1) c(1) 1I)_1I 1I|1|2_= (7I (1) c(1) 1I) (1I 1I)= 0Ntese adems que para 1, 1t on1:1.I(1t) 6 0 == 1 _(7I (1t) c(1t) 1tI)_cI1tI1t__6 0== (7I (1t) c(1t) 1tI) (1I 1tI1t1) 6 0== (1I 1tI1t1) 6 0 (porque _\1 on1:_: 7 (1) c(1) 1 Rn++)==1I1tI 6 1t1 6 1== _(1 ,= 1t) == 1I1tI < 1_Lo anterior implica el AFPR para .I: suponga un secuencia nita _1|_1|=1 enon1:tal que(\/ 1, ..., 1 1) : 1| 7_1|+1_6 07_11_,= 7_11_11 7_11_6 0Entonces,11I6 12I 6 ... 6 11I11,= 1111I6 11Iy por ende11I 6 12I 6 ... 6 11I< 11Iuna contradiccin.Finalmente, demostramos que las funciones individuales generan la funcinagregada: sea 1 on1,

I1.I(1) = I1(7I (1) c(1) 1I)_cI1I1_= I1_7I (1) cI7I (1) 1I1 c(1) 1IcIc(1) 12I 1_= 7 (1) 1_

I17I (1) 1I_c(1) 1 c(1) 1 |1|2= 7 (1)dado que 7 satisface la ley de Walras.9.EXISTENCIADEL EQUILIBRIOENMERCADOS COMPLETOS 379.Existencia del Equilibrio en Mercados CompletosLa siguinetes propiedades de la funcin exceso de demanda son, independiente-mente de la prueba de existencia del equilibrio, muy importantes y las enunciaremoscomo un lema.Sea c =_J,_nI, .I_I1_donde cada funcin de utilidad satisface las propiedadesusuales. Denamos,^ =_1 Rn+n

l=11l = 1_y ^o= ^ Rn++.Denotamos por 7 : ^o Rnla funcin de exceso de demanda agregada(dependiendo nicamente de los precios):7 (1) :=

I1_)I_1, .I_.I_donde )Ies la funcin de demanda individual del agente i J con caractersticas_nI, .I_.Lema 4. Supongamos que tenemos una economa c =_J,_nI, .I_I1_ dondecada funcin de utilidad satisface las propiedades usuales y I1 .I Rn++. En-tonces la funcin exceso de demanda 7 : ^oRnsatisface:(1) Es contnua.(2) Ley de Walras: \1 ^o, 17 (1) = 0.(3) Es limitada inferiormente: 7 Rntal que 7(1) _ 7 para todo 1 ^o.(4) Para toda sequencia _1|_o|=1 denida en ^otal que 1| 1 ^J=^^o, entonces es cierto que max_7l_1|_: | 1, ..., :_ . Enparticular __7_1|___ .Proof. La continuidad y la ley de Walras son propiedades que demostramosanteriormente y que son consecuencia de que las funciones de utilidad satisfacen laspropiedades usuales. Sea 7 =

I1 .I, entonces 7 sirve de limite inferior de lafuncin exceso de demanda. La ltima propiedad la demostraremos por contradic-cin. Supongamos que existen 1 ^Jy una secuencia _1|_o|=1 denida en ^otalque 1| 1 ^J, pero no es cierto que max_7l_1|_: | 1, ..., :_ .Entonces, existe r R tal que \/+ N, / > /+ tal que max_7l_1|_: | 1, ..., :_6r. Dado que 7es acotada inferiormente,se sigue que hay una subsecuencia_1|(n)_on=1 tal que _7_1|(n), .__on=1 es limitada. Como _7_1|(n), .__on=1 eslimitada y )I(1, .) Rn+ entonces _)I_1|(n), .__on=1 esta limitada para todo i.Ahora, dado que I1.I Rn++, existe i J tal que 1.I 0. Fije un icon esta propiedad. Como _)I_1|(n), .__on=1 es limitada existe una subsecuenciaconvergente a r Rn+ y que por simplicidad denotaremos de la misma forma. Luego_)I_1|(n), .I__on=1 r Rn+. Vamos a jar un par de bienes fundamentales enla demostracin. Como 1 ^Jentonces existen _|,|_ 1, ..., : tal que 1el = 0y 1eel0.38 PREFACEAhora denamos r Rn+ de la siguinete forma: rl =_rl si | ,=|rel 1 si | =|Dado que rr, nI( r)nI(r). Por continuidad, existe -0 tal que\ rt 1: ( r) , \rt 1: (r) , nI( rt)nI(rt)Dado que:(1) _)I_1|(n), .I__on=1 r.(2) 1|(n)el 1el = 0 y 1|(n)eel 1eel0 y,(3) 1|(n) .I 1.I 0Entonces existen :1 N y 0 < - < -tal que:(1) )I_1|(n1), .I_ 1"2 (r) 1: (r) .(2) 1|(n1)eel_:2_1|(n1)el< 0(3) )Ieel_1|(n1), .I_ :20.Las dos primeras son obvias. La tercera parte es una consecuencia de la interior-idad de las demandas individuales cuando estas se derivan de funciones de utilidadcon las propiedades usuales. Esto es importante para la siguiente denicin.Denimos la secuencia r+ como:r+l =___)Iel_1|(n1), .I_ 1 si | =|)Ieel_1|(n1), .I_ :2 si | =|)Il_1|(n1), .I_ si | ,=|,|Entonces, r+ Rn+ (por la parte (3) arriba) y,1|(n1) r+= 1|(n1) )I_1|(n1), .I_1|(n1)eel_-2_1|(n1)el< 1|(n1) )I_1|(n1), .I_6 1|(n1) .IEs decir r+ 1(1|(n1), nI), luego nI_)I_1|(n1), .I___ nI(r+) .Sin embargo,(r+l rl) =___)Iel_1|(n1), .I_rl si | =|)Ieel_1|(n1), .I_ :2 rl si | =|)Il_1|(n1), .I_rl si | ,=|,|y como )I_1|(n1), .I_ 1"2 (r) entonces r+ 1: ( r) 1: ( r), luego: )I_1|(n), .I_1: (r) y r+ 1: ( r) lo cual implica que nI(r+)nI_)I_1|(n1), .I__ una con-tradiccin.Para demostar la existencia del equilibrio cuando los mercados son completosvamos a utilizar el siguiente teorema.Teorema 14. (Teorema del Punto Fijo de Kakutani). Sea _ R, no vacio,compacto, convexo, y I : es una correspondencia hemi continua superior-mente tal que I(r) es un conjunto convexo para todo r . Entonces I tienen unpunto jo (i.e. existe r tal que r I(r)).10.EXISTENCIADEL EQUILIBRIOENMERCADOS COMPLETOS 39Como sabemos, es suciente con considerar la existencia del equilibrio en unaeconoma con mercados contingentes.10.Existencia del Equilibrio en Mercados CompletosLa siguinetes propiedades de la funcin exceso de demanda son, independiente-mente de la prueba de existencia del equilibrio, muy importantes y las enunciaremoscomo un lema.Sea c =_J,_nI, .I_I1_donde cada funcin de utilidad satisface las propiedadesusuales. Denamos,^ =_1 Rn+n

l=11l = 1_y ^o= ^ Rn++.Denotamos por 7 : ^o Rnla funcin de exceso de demanda agregada(dependiendo nicamente de los precios):7 (1) :=

I1_)I_1, .I_.I_donde )Ies la funcin de demanda individual del agente i J con caractersticas_nI, .I_.Lema 5. Supongamos que tenemos una economa c =_J,_nI, .I_I1_ dondecada funcin de utilidad satisface las propiedades usuales y I1 .I Rn++. En-tonces la funcin exceso de demanda 7 : ^oRnsatisface:(1) Es contnua.(2) Ley de Walras: \1 ^o, 17 (1) = 0.(3) Es acotada inferiormente: 7 Rntal que 7(1) _ 7 para todo 1 ^o.(4) Para toda sequencia _1|_o|=1 denida en ^otal que 1| 1 ^J=^^o, entonces es cierto que max_7l_1|_: | 1, ..., :_ . Enparticular __7_1|___ .Proof. La continuidad y la ley de Walras son propiedades que demostramosanteriormente y que son consecuencia de que las funciones de utilidad satisfacen laspropiedades usuales. Sea 7 =

I1 .I, entonces 7 sirve de limite inferior de lafuncin exceso de demanda. La ltima propiedad la demostraremos por contradic-cin. Supongamos que existen 1 ^Jy una secuencia _1|_o|=1 denida en ^otalque 1| 1 ^J, pero no es cierto que max_7l_1|_: | 1, ..., :_ .Entonces, existe r R tal que \/+ N, / > /+ tal que max_7l_1|_: | 1, ..., :_6r. Dado que 7es acotada inferiormente,se sigue que hay una subsecuencia_1|(n)_on=1 tal que _7_1|(n), .__on=1 es limitada. Como _7_1|(n), .__on=1 eslimitada y )I(1, .) Rn+ entonces _)I_1|(n), .__on=1 esta limitada para todo i.Ahora, dado que I1.I Rn++, existe i J tal que 1.I 0. Fije un icon esta propiedad. Como _)I_1|(n), .__on=1 es limitada existe una subsecuenciaconvergente a r Rn+ y que por simplicidad denotaremos de la misma forma.Luego _)I_1|(n), .I__on=1 r Rn+.Vamos a jar un bien fundamental en lademostracin. Como 1 ^Jentonces existe | 1, ..., : tal que 1el = 0.40 PREFACEAhora denamos r Rn+ de la siguinete forma: rl =_rl si | ,=|rel 1 si | =|Dado que rr, nI( r)nI(r). Por continuidad, existe -0 tal que:\ rt 1: ( r) Rn+, \rt 1: (r) Rn+, nI( rt)nI(rt)Dado que_)I_1|(n), .I__on=1 r, existe :1 N tal que \: _ :1, )I_1|(n), .I_1"2 (r) .Como, para todo : N, 1|(n) )I_1|(n), .I_ = 1|(n) .Iy 1|(n) .I1.I 0, se sigue que 1r0, entonces existe algn |t 1, ..., : tal que 1l00y rl00. Por la convergencia, :2 N tal que \: _ :2, )Il0_1|(n), .I_

12rl0 .Sea - = min_-, 12rl0_ 0, se dene _r|(n)_on=1 de la siguiente manera:r|(n)l=)Iel_1|(n), .I_ 1 si | =| y : _ :2)Il0_1|(n), .I_ :2 si | = |ty : _ :2)Il_1|(n), .I_ en otro casoEs claro que _r|(n)_on=1 es una secuencia en Rn+. Adems, dado que 1|(n)l01l00 y 1|(n)el 1el = 0, :3 N tal que \: _ :3, 1|(n)l0_:2_1|(n)el< 0.Ahora, sea : _ max :1, :2, :3 . Entonces,1|(n) r|(n)= 1|(n) )I_1|(n), .I_1|(n)l0_-2_1|(n)el< 1|(n) )I_1|(n), .I_6 1|(n) .IEs decir r|(n) 1(1|(n), .I), luego nI_)I_1|(n), .I__ _ nI_r|(n)_.Sin em-bargo,_r|(n)l rl_=___)Iel_1|(n), .I_rl si | =|)l0_1|(n), .I_ :2 rl si | = |t)Il_1|(n), .I_rl si | ,=|, |ty como )I_1|(n), .I_ 1: (r) entonces r|(n) 1: ( r) 1: ( r),luego:)I_1|(n), .I_ 1: (r) y r|(n) 1: ( r) lo cual implica que nI_r|(n)_ nI_)I_1|(n1), .I__una contradiccin.Para demostar la existencia del equilibrio cuando los mercados son completosvamos a utilizar el siguiente teorema.Teorema 15. (Teorema del Punto Fijo de Kakutani). Sea _ R, no vacio,compacto, convexo, y I : es una correspondencia hemi continua superior-mente tal que I(r) es un conjunto convexo para todo r . Entonces I tienen unpunto jo (i.e. existe r tal que r I(r)).Como sabemos, es suciente con considerar la existencia del equilibrio en unaeconoma con mercados contingentes.10.EXISTENCIADEL EQUILIBRIOENMERCADOS COMPLETOS 41Teorema 16 (Existencia). Supongamos que tenemos una economa c =_J,_nI, .I_I1_donde cada funcin de utilidad satisface las propiedades usuales y I1 .I Rn++.Entonces existe _1,_rI_I1_ Rn++Rn1+tal que _1,_rI_I1_ es un equilibrio enmercados contingentes.Proof. Primer paso.Denamos la correspondencia I : ^ ^ de la siguiente manera:(\1 ^o) : I(1) = rq max 7 (1) : ^_\1 ^J_: I(1) = ^ : 1 = 0Si existiera 1 un punto jo de I (i.e. existe 1 tal que 1 I(1)), entonces 1es un precio de equilibrio de la economa c. Pues, si 1 es punto jo, es obvioque 1, ^Jde lo contrario 11= 0 = 1= 0 , ^; y si 1 es punto jo y1 ^o= 7 (1)1 = 0 _ 7 (1) para todo ^ = 7 (1) _ 0 = 17 (1) < 0si 7 (1) ,= 0, luego 7 (1) = 0 y 1 es un precio de equilibrio.Segundo paso.Para demostrar la existencia de un punto jo, vamos aplicar el Teorema delPunto Fijo de Kakutani 15. Para esto es necesario probar que la correspondenciaI satisface:(1) I es de valores no vacos (si 1 ^oesto es una consecuencia del Teo-rema de Weierstrass, si 1 ^Jes obvio escogiendo ^ de la maneraadecuada).(2) I es de valores convexos.(3) I es de valores compactos.(4) I es hemicontnua superior:para todo 1 ^, toda sequencia _1|_o|=1denida en ^ tal que 1| 1 y toda sequencia _|_o|=1 denida en ^tal que \/ N | I_1|_ existe una subseccuencia |(n) paraalgn Rncon I(1) .Demostramos a continuacin la ultima propiedad (las tres primeras son obvias).Ntese que es inmediato que ^. Suponga inicialmente que 1 ^o. Porconstruccin /+ N tal que, \/ > /+, 1| ^oy el resultado se sigue porel Teorema del Mximo, dada la continuidad de 7. Ahora, considere 1 ^J.Consideramos dos casos:(1) _1|_o|=1 no tiene una subsequencia en ^oy,(2) _1|_o|=1 tiene una subsequencia en ^o.En el primer caso, sea _1|(n)_on=1 una subsecuencia de _1|_o|=1en ^Jtalque 1|(n) 1 y que |(n) I_1|_ tal que |(n) ^. Por denicin1|(n) |(n)= 0 y en el limite, 1 = 0 = I(1) .En el segundo caso, sea_1|(n)_on=1 una subsecuencia de elementos de_1|_o|=1en ^otal que 1|(n) 1 ^Jy |(n) ^. Fijemos | 1, ..., : talque 1l0 y supongamos que l0. Como max_7l0_1|(n)_: |t 1, ..., :_ y |(n)ll0, entonces :+ N tal que, \: >:+ 7l_1|(n)_ :+, entonces:_max_7l0_1|(n)_: |t 1, ..., :__

_

l]1,...,n]|(n)l_ 7(1|(n))tpara todo t ^. Luego _max_7l0_1|(n)_: |t 1, ..., :__ 7(1|(n))t paratodo t ^, pero esto es imposible. Por lo tanto, l = 0 siempre que 1l0 y estoimplica que 1 = 0 = I(1) .Dado que ^ es compacto y convexo y I es de valores no vacios, compactos yconvexos y que es hemicontnua superior, se sigue del Teorema de Punto Fijo deKakutani que 1 ^ tal que 1 I(1). Por construccin, 1 ^oy 7 (1) = 0.Ejercicio 18. Dada una economa de intercambio puro, suponga que_j,_rI_I1_y _ j,_ rI_I1_ son equilibrios competitivos. Demuestre que, si existe un c R++tal que j = cj, entonces para todo ` [0, 1[ , _j,_`rI (1 `) rI_I1_ es unequilibrio competitivo. Es necesario suponer que j = cj?11.Economas Regulares en Mercados Completos: Nmero deEqulibrios, Esttica Comparativa y GenericidadAhora nos preocuparemos por conocer el nmero de equilibrios de una economay por describir cmo varan estos equilibrios cuando uno vara la denicin de laeconoma. En particular, como varian los equilibrios cuando variamos las dota-ciones iniciales de los agentes. Sabemos que en el modelo de Equilibrio General conmercados contingentes no hay por qu esperar que el equilibrio sea nico (a menosque uno imponga supuestos muy fuertes sobre las preferencias de los agentes).De ahora en adelante vamos a suponer que tenemos una economia con mercadoscontingentes (i.e., mercados nancieros completos) Las preguntas que queremosresponder son: Bajo qu condiciones puede uno asegurar que una economa tenga unnmero nito de equilibrios (unicidad)? Bajo qu condiciones puede uno asegurar que ante un choque pequeoa la economa (sus dotaciones), el equilibrio cambie slo un poco (suavi-dad)? Qu tan restrictivas son las condiciones con las que respondemos lasanteriores preguntas (regularidad)?Sea c =_J,_nI, .I_I1_ una economa que satisface las propiedades usuales yon1++=_1 Rn++ : 11 = 1_Denimos la funcin exceso de demanda 7 : on1++ Rn1+ Rncomo 7_1,_.1, ..., .1__=

I1 )I_1, .I_.Idonde )Ies la funcin de demanda individual del agente i. Ob-svece que esta funcin exceso de demanda es la misma que denimos anteriormentesolo que aprovechando su hogeneidad de grado cero, hemos escogido normalizar losprecios de una manera diferente. Imponer que el precio del primer bien es siem-pre uno, establece este bien como el numerario de la economa. Adicionalmente,en la denicin de la funcin exceso de demanda estamos siendo explcitos en sudependencia de las dotaciones individuales de los agentes.11. ECONOMAS REGULARES ENMERCADOS COMPLETOS:NMERODE EQULIBRIOS,ESTTICACOMPARATIVAYGENERICIDAD 43Ahora, por ley de Walras, podemos ignorar una de las componenetes (equiva-lentemente, uno de los bienes) de la funcin exceso de demanda sin perder ningunainformacin. Denimos la demanda agregada truncada: 7 : on1++ Rn1+ Rn1,como:7 (1, .) =__72 (1, .)...7n (1, .)__Luego, 1 on1++es un precio de equilibrio si y solo si, 7_1,_.I_I1_= (0, ..., 0)t.11.1.Nmero nito de equilibrios. Es bien sabido que salvo en circunstan-cias muy especcas, el equilibrio no es nico y no podemos, por tanto, denir demanera unvoca una funcin de precios de equilibrio que dependa de las dotacionesindividuales de los agentes.Sin embargo, nos gustara qsaber si dadas dotacionesindividuales_.I_I1 Rn1+si 1 es un precio de equilibrio con estas dotaciones (i.e.,7 (1, .) = (0, ..., 0)T), existe un conjunto abierto relativo a on1++que contiene a 1y en el cual no se encuentra ningn otro vector de precios de equilibrio. Cuandoesto ocurre decimos que el equilibrio es localmente nico. Formalmente,Definicin 21.Dada una economa c = _J,_nI, .I_I1_ que satisface laspropiedades usuales, un vector de precios 1 on1++es un equilibrio localmentenico si 7_1,_.I_I1_= (0, ..., 0)Ty existe -0 tal que para todo 1t 1: (1) on1++ 1, 7_1t,_.I_I1_,= (0, ..., 0)T.La condicin para que una economa slo tenga equilibrios localmente nicosse conoce como condicin de regularidad .Definicin 22. Una economa c =_J,_nI, .I_I1_que satisface las propiedadesusuales es una economa regular si:7_1,_.I_I1_= (0, ..., 0)T== ra:qo__ 1127 (1, .).11n7 (1, .)__= : 1Una economa que no es regular se denomina crtica.Observacin 29. Obsrvese que la matriz en consideracion es una matrizcuadrada de dimensin (: 1) .Observacin 30. Si denimos 7t : Rn1++ Rn1++ Rn1, como 7t_1,_.I_I1_=7_(1, 1),_.I_I1_), entonces c es una economia regular si y solo si (0, ..., 0)TRn1es un valor regular de 7t en el sentido que se utiliza en Topologa Diferencial.Para demostrar que, en efecto, la condicin de regularidad es suciente uti-lizamos el teorema de la funcin inversa, uno de los teoremas ms importantes delanlisis (ver Rudin, 1976):Teorema 17.(Funcion Inversa). Sea ): l R, donde l _ Resabierto, una funcin C1. Sea r l un punto regular de ). Es decir, ra:qo (1) (r)) =. Entonces existen l0 _ l, \0 _ R, abiertos, tales que r l0, ) (r) \0 y la44 PREFACErestriccin de ) a l0 es una biyeccin entre l0 y \0. Ms an, la funcin inversade la restriccin de ) a l0, q : \0 l0 es C1y \j \0,1q (j) = (1) (q (j)))1Podemos ahora demostrar fcilmente el siguiente teorema.Teorema 18. Sea c =_J,_nI, .I_I1_ una economa regular. Todos los equi-librios de c son localmente nicos y el nmero de equilibrios es nito.Observacin 31. Obsrvese que esto no contradice ninguna de las guras quehicimos anteriormente para la funcin exceso de demanda. El problema radicaen que el teorema de SMD se enuncia en la esfera : 1 dimensional positiva,on1= _1 Rn++|1| = 1_ mientras que los grcos utilizan como dominio dela funcin exceso de demanda, on1++=_1 Rn++ : 11 = 1_.Proof. Probamos primero unicidad local: Denamos 7t : Rn1++Rn1Rn1, como 7t_1,_.I_I1_= 7_(1, 1),_.I_I1_) y (1, 1) on1++tal que 7_(1, 1),_.I_I1_) =(0, ..., 0)T. Entonces 7t_1,_.I_I1_ = 0 y como c es regular entonces, 17t (1)tiene rango :1 y por tanto, por el teorema de la funcin inversa, para una vecin-dad de 1 en 1n1++ , 7t es inyectiva, esto implica que (1, 1) on1++es localmentenico.Para probar que el nmero de equilibrios es nito, argumentamos por contradic-cin. Supongamos que _1|_o|=1 es una secuencia de precios de equilibrio en on1++tal que / ,= /t == 1|,= 1|0. Sea ||cualquier norma en 1n. Entonces existe unasubsecuencia _1|(n)_on=1 tal que:1|(n)=1|(n)__1|(n)__ 1 _r Rn+ : |r| = 1_Notese que la subsecuencia _1|(n)_on=1 no esta mas en on1++ . No obstante, todoslos elementos de esta secuencia son precios de equilibrio. Ahora, si 1 Rn++, porcontinuidad de la funcin exceso de demanda, 1 sera un precio de equilibrio y por lotanto111 on1++tambin sera un precio de equilibrio. Como c es regular entonces111 deberia ser localmente nico, sin embargo_1k(m)

1k(m)

1_on=1 on1++y es tal que1k(m)

1k(m)

1111 una contradiccin. Finalmente, si 1 0Rn+, entonces debera sercierto que __7(1|(n))__ , pero esto es imposible porque 7(1|(n)) = (0, ..., 0)para todo :.11.2.Esttica comparativa. Mostramos ahora que cuando una economaes regular, una pequea perturbacin de las dotaciones no tiene por qu afectarmucho los precios.Para esto necesitamos otro teorema bien conocido, el teoremade la Funcin Implcita.Teorema 19. (Funcin Implcita). Sea ) : l R, donde l _ R+1es abierto, una funcin C1. Sean r Ry j R1tales que (r, j) ly11. ECONOMAS REGULARES ENMERCADOS COMPLETOS:NMERODE EQULIBRIOS,ESTTICACOMPARATIVAYGENERICIDAD 45ra:qo (1r) (r, j)) = . Entonces, existen \ _ R1abierto, tal que j \ , yq : \ R, C1, tal que:(1) \jt \ , (q (jt) , jt) l(2) q (j) = r(3) \jt \ , ) (q (jt) , jt) = ) (r, j)(4) \jt \ , 1q (jt) = (1r) (q (jt) , jt))11) (q (jt) , jt)Observacin 32. Obsrvese que el teorema de la Funcin Inversa es un casoparticular del teorema de la Funcin Implcita (i.e., = 0).Ahora, manteniendo a los individuos y sus preferencias, vamos a denir una fa-milia de economas segn las dotaciones de los individuos. Especcamente, jemosun conjunto no-vaco y abierto \ _ Rn1++ y denamos la familia de economas:c

=__J,_nI, .I_I1__.I_I1 \_Ahora tenemos que:Teorema 20. Sea c = _J,_nI, .I_I1_ c

una economa regular. Si 1 on1++es un precio de equilibrio de c entonces existen \t _ \, abierto y , : \t on1++ , C1, tal que _.I_I1 \t y para todo nt = _.tI_I1 \t, 7 (,(.t) , .t) =(0, ..., 0).Proof. Denamos 7t: Rn1++Rn1++ Rn1,como 7t_1,_.I_I1_=7_(1, 1),_.I_I1_). Por hiptesis, si 7 (1, .) = (0, ..., 0) entonces 11 7t (1, .) =11 7 ((1, 1), .) es de rango mximo. El resultado se sigue del anterior teorema dela Funcin Implcita.Observacin 33. Ntese que slo estamos utilizando como parmetros a lasdotaciones. El problema hace sentido cuando parametrizamos las economas porsus funciones de utilidad.11.3.Genericidad. Hasta este punto ha sido evidente la utilidad del supuestode regularidad de una economa. Ahora nos interesa determinar que tan restrictivoes el supuesto. El resultado que obtenemos es que casi todas las economas sonregulares. Para demostrar esto necesitaremos algunos resultados matemticos muyutilizados en Topologa Diferencial.Definicin 23. Suponga que l _ Res abierto y ) : l R1es contnua-mente diferenciable. Decimos que ) es transversa a cero si satisface:) (r) = 0 == 1a:qo (1) (r)) = min, 'La utilidad de este concepto radica en el siguiente teorema. Probablemente elteorema ms profundo que utilizaremos en el resto de estas notas.Teorema 21 (El teorema de la transversalidad). Sean l1 _ Ry l2 _ R1conjuntos abiertos y sea ) : l1 l2 R1, r veces continuamente diferenciable,con rmax ', 0.Para todo j l2, dena ) : l1 R1por ) (r) =) (r, j). Suponga que ) es transversa a cero. Entonces,jj l2[ ) no es transversa a cero = 046 PREFACEdonde j denota la medida de Lebesgue.Proof. Ver MasColell (1985), pgina 320.Ejemplo 10. Considere la funcin ) : RR R, ) (r, j) = r2 j2 1.Entonces,1) (r, j) =_ 2r2j_y ) es transversa a cero (las races de ) son el crculo unitario y, por tanto, al menosun componente ser no-nula, con lo que el rango de 1) (r, j) debe ser mnimo 1).El teorema de la transversalidad nos dice que en relacin con R, el conjunto depuntos j tales que, ) no es transversa en cero es muy pequeo. En efecto, paratodo j R, ) (r) = r2_j21_ y 1) (r) = [2a[. Para que ) no sea transversaa cero, se requiere que exista r R tal que ) (r) = 0 y 1) (r) = [0[. Dadolo segundo, se requerira que ) (0) = 0, lo cual slo es posible si _j21_ = 0.Conclumos quej R[ ) no es transversa a cero = 1, 1en efecto un conjunto de medida cero.Los siguientes resultados nos van a demostrar que la gran mayora de laseconomas son regulares lo cual, como vimos en las secciones anteriores, implicaque casi siempre, los equilibrios en mercados contingentes son localmente nicos,son un nmero nito y dependen suavemente de los parmetros de la economa.Teorema 22 (Debreu). Sea \ _ Rn1++ un conjunto abierto no vacio y de-namos \t =__.I_I1 \ :_J,_nI, .I_I1_ es critica_. Entonces \t tiene medidade Lebesgue cero.Proof. Denamos 7t: Rn1++Rn1++ Rn1,como 7t_1,_.I_I1_=7_(1, 1),_.I_I1_) y calculemos 1.17t_1,_.I_I1_. Esto es,1.17t_1,_.I_I1_=__J}12((1,1),.1)J.11J}12((1,1),.1)J.121 ...J}12((1,1),.1)J.1n... ...J}1n((1,1),.1)J.11...J}1n((1,1),.1)J.1n1J}1n((1,1),.1)J.1n1__Ahora, )I_(1, 1), .I_ = )I_(1, 1), (1, 1).I_. LuegoJ}iJ.ik =J}iJni1| si / ,= 1 yJ}iJ.ik =J}iJni si / = 1. Por lo tanto, la matriz anterior la podemos reescribir como:__J}12((1,1),.1)Jn1J}12((1,1),.1)Jn112 1 ...J}12((1,1),.1)Jn11n... ...J}1n((1,1),.1)Jn1...J}1n((1,1),.1)Jn11n1J}1n((1,1),.1)Jn11n 1__Ahora multiplique la primera columna por 1n y sumela a la ltima, multi-plique la primera por 1n1 y sumela a la penultima y asi sucesivamente. Al nalde este proceso obtenemos la matriz:11. ECONOMAS REGULARES ENMERCADOS COMPLETOS:NMERODE EQULIBRIOS,ESTTICACOMPARATIVAYGENERICIDAD 47__J}12((1,1),.1)Jn1-1 0 0. . . .J}1n((1,1),.1)Jn10 -1__Luego, 17t_1,_.I_I1_tiene como mnimo rango :1 y como 17t_1,_.I_I1_es una matriz (: 1 :1) : 1 entonces 17t_1,_.I_I1_ tiene rango exacta-mente : 1.Finalmente, basta con aplicar el teorema de tranversalidad. Sea l1 = Rn1++y l2 = Rn1++. Hemos visto que 7t es transversa a cero. Luego por el teorema detransversalidad,j____.I_I1 \ : 1 Rn1++: 7t_1,_.I_I1_= 0 .ra:qo_11 7t (1, .)_,= min: 1 :1, : 1___= 0,equivalentemente,j____.I_I1 \ : 1 Rn1++: 7_(1, 1),_.I_I1_= 0 .ra:qo_11 7 ((1, 1), .)_< : 1___= 0Queda entonces demostrado.Sea \t =_.t \ :_J,_nI, .tI_I1_ es regular_.Corolario 2. \t es denso en \.Proof. S