Lista de exerc cios para as aulas de problemas de Algebra

Instituto Superior Tecnico

Departamento de Matematica

Lista de exercıcios para as aulas de problemas de Algebra Linear

Cursos: MEAmbi, MEEC

2o Semestre 2010/2011

Conteudo

1 Sistemas de equacoes lineares e algebra matricial 1

1.1 Algebra de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas lineares e eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Matrizes invertıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Determinantes 6

2.1 Operacoes elementares e determinantes. Formula de Laplace. Cofactores . . . . . . . . . . 6

3 Espacos lineares 8

3.1 Subespacos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Vectores geradores. Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Bases e dimensao de espacos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Valores proprios e vectores proprios 12

4.1 Valores e vectores proprios de matrizes. Matrizes diagonalizaveis . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Transformacoes lineares 14

5.1 Representacao matricial de transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Transformacoes lineares injectivas/sobrejectivas. Equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . 16

5.3 Valores e vectores proprios de transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Produtos internos 20

6.1 Ortogonalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.2 Complementos e projeccoes ortogonais; equacoes cartesianas de planos e recta . . . . . . . 20

6.2.1 Diagonalizacao ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Topicos Adicionais 23

7.1 Formas quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 Mınimos quadradros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.3 Equacoes diferenciais ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


1 Sistemas de equacoes lineares e algebra matricial

1.1 Algebra de matrizes

1.1 Escreva a matriz A = [aij ]i,j=1,··· ,4 definida por

(a) aij =

1 se i = j,

−1 se j = i+ 1,

0 caso contrario.

(b) aij = j2 (c) aij =

{−aji para todo i, j

j para j > i.

1.2 Verifique se a matriz A = [aij ] ∈M2×2(R) definida por aij = 3i+ 2j e simetica.

1.3 Sejam A =

[1 π −12 3

√3

], B =

[−1 2 3

3 2 −1

], C =

[1 2

], D =

[π

3

].

(a) Calcule, se possıvel, A+B, 2A, CD, AB,AC,DC, CB e AD.

(b) Calcule, se possıvel, AT , ATB, DTCT , CTC,CCT e (CCT )T .

1.4 Seja A =

[1 1

−1 −1

]. Calcule A2.

1.5 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2×2 tais que AB = BA. Sera que (A+B)2 = A2+2AB+B2?

(b) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A entao temos A2 = A.

Resolucao: (a) Ha muitas – use por exemplo as seguintes A =

[1 1

0 0

]e B =

[0 0

1 1

].

1.6 Prove que {A ∈ M2×2(R) : AB = BA, para qualquer B} = {aI : a ∈ R} onde I designa a matriz

identidade do tipo 2× 2. Generalize para matrizes n× n.

Resolucao: Dada uma matriz A ∈ {A ∈M2×2(R) : AB = BA, para toda B} escrever as condicoes queprovem de AB = BA quando usamos cada matriz

B ∈ {

[1 0

0 0

],

[0 1

0 0

],

[0 0

1 0

],

[0 0

0 1

]}.

1.2 Sistemas lineares e eliminacao de Gauss

1.7 Quais das seguintes equacoes sao equacoes lineares em x, y e z?

(a) x+ π2y +√2z = 0, (b) x+ y + z = 1, (c) x−1 + y + z = 0, (d) xy + z = 0.

1.8 (a) Decida qual dos seguintes pontos (0, 0), (−1, 1), (1,−1), (1, 1) e a solucao do sistema

x+ y = 0

−x− 2y = 1

2x+ 2y = 0.

(b) Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (1,−1, 0, 0), (1,−1, 0, π), (0,−1, 1, 3), (0,−1, 0, 3) sao

solucao do sistema linear seguinte, nas incognitas (x, y, z, w):

{x+ y + 2z = 0

−x− 2y − z = 1.

1.9 Determine a interseccao entre as rectas y + x = 1 e y − 2x = 12 .

1.10 A conversao entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F , e governada pela equacao linear:

F = 95C + 32. Determine a unico valor da temperatura cuja conversao nao altera o seu valor (isto e

quando F = C).


1.11 Determine valores para x, y, z e w de modo a que nas reaccoes quımicas seguintes os elementos

quımicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equacao (isto e, equilibre

as equacoes quımicas):

(a) xC3H8 + yO2 → zCO2 + wH2O (b) xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O

1.12 Resolva cada um dos sistemas de equacoes lineares, utilizando o metodo de Eliminacao de Gauss:

(a)

x+ y + 2z = 8

−x− 2y + 3z = 1

3x− 7y + 4z = 10,

(b)

3x+ 2y = 1

6x+ 4y = 0

9x+ 6y = 1,

(c)

{x+ y + z + w = 1

2x+ 2y + 2z + 3w = 1,

(d)

2x+ 8y + 6z = 20

4x+ 2y − 2z = −23x− y + z = 11,

(e)

2x+ 8y + 6z = 20

4x+ 2y − 2z = −2−6x+ 4y + 10z = 24,

(f)

y + z = 2

3y + 3z = 6

y + x+ y = 0.

1.13 Escreva cada sistema linear do Problema 1.12 na forma matricial e aplique o metodo de Eliminacao

de Gauss, a matriz aumentada, para confirmar o resultado obtido no Problema 1.12. Indique o conjunto

solucao.

1.14 Interprete geometricamente cada conjunto solucao obtido no Problema 1.12.

1.15 Para cada parametro real α, considere o sistema de equacoes lineares cuja matriz aumentada e dado

por

1 4 2 10

2 7 2 20

1 5 α 10

.(a) Discuta em termos de α a existencia ou nao de solucao do sistema de equacoes lineares anterior.

(b) Para α = 4, determine o conjunto solucao do sistema de equacoes lineares correspondente.

1.16 Discuta, em funcao do parametros α e β, cada sistema de equacoes cuja matriz aumentada e:

(a)

α 1 1 1

1 α 1 1

1 1 α 1

(b)

α 0 β 2

α α 4 4

0 α 2 β

Solucao (a) Para α = 1 e α = −2 o sistema e possıvel e determinado. Para α = 1 sistema e possıvel e

indeterminado. Finalmente para α = −2, o sistema e impossıvel.

(b) O sistema e possıvel e determinado se α = 0 e β = 2. E impossıvel para α = 0 e β = 2. Nos restantes

casos, o sistema linear e possıvel e indeterminado (i.e. β = 2 e qualquer α).

1.17 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada e

1 2 −α 1

2 −1 −1 β

9 −2 1 −1

.(a) Calcule as caracterısticas de A e da matriz aumentada [A|b] em funcao dos parametros α e β.

(b) Discuta o tipo de solucao do sistema em funcao dos parametros α e β.1

Resolucao: Usando eliminacao de Gauss temos

1 2 −α 1

2 −1 −1 β

9 −2 1 −1

−→−2L1+L2

−9L1 + L3

1 2 −α 1

0 −5 2α− 1 β − 2

0 −20 1 + 9α −10

−→−4L2 + L3

1 2 −α 1

0 −5 2α− 1 β − 2

0 0 α+ 5 −4β − 2

.

1Note que num sistema Ax = b: car(A) = car [A|b] sse o sistema e possıvel (portanto impossıvel sse car [A] = car [A|b]).Mais car (A) = car [A|b]=numero de incognitas sse e possıvel determinado e possıvel indeterminado sse car (A) =

car [A|b] =numero de incognitas


(a) Donde

car A =

{3, α = −52, α = −5

, car [A|b] =

3, α = −5, β ∈ R3, α = −5 e β = −1/22, α = −5 e β = −1/2

.

(b) Analisando novamente a matriz em escada de linhas obtida em a) concluimos que o sistema e im-

possıvel quando α = −5 e β = −1/2. E determinado quando α = −5 (e qualquer β). Indeterminado

quando α = −5 e β = −1/2.

1.18 Quais das seguintes matrizes estao em escada de linhas? Indique as respectivas caracterısticas.

(a)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(b)

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(c)

0 1 0

0 0 1

0 0 0

(d)

0 1 0

0 0 1

0 0 1

(e)

3 1 −10 0 0

0 0 1

(f)

3 1 −10 0 1

0 0 0

(g)

0 0

0 0

0 0

(h)

[0 0 0

0 0 0

](i)

0

0

1

(j)[0 0 1

]

1.19 Determine o conjunto solucao de cada sistema homogeneo Au = 0 associado a cada matriz A do

Problema 1.12, indicando o numero de variaveis livres.

1.20 Seja Ax = b um sistema linear escrito na forma matricial e B a matriz que se obtem de A usando

uma operacao elementar. Sera que podemos garantir que o conjunto solucao do sistema Ax = b coincide

com o conjunto solucao do sistema By = b? Justifique a sua resposta.

1.21 Considere o sistema linear cuja matriz aumentada e:

1 1 1 5

2 −1 −1 1

−3 2 2 0

.(a) Determine o conjunto solucao deste sistema.

(a) Verifique que x = 2, y = i, z = 3− i e uma solucao deste sistema. Ha alguma contradicao?

(b) Se um sistema linear Ax = b for determinado com A e b matrizes reais, entao sera indiferente

considerar as incognitas reais ou complexas? Justifique.

1.22 Sejam x0 e x1 duas solucoes do sistema linear Ax = b. Prove que:

(a) Para qualquer real λ, xλ = λx0 + (1− λ)x1 e solucao de Ax = b,

(b) xλ − xλ′ e solucao do sistema homogeneo associado Ax = 0 para quaisquer λ, λ′ ∈ R.Conclua que se Ax = b tiver duas solucoes distintas, entao o conjunto solucao e infinito.

1.23 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna nao nula, decida o valor logica de cada uma

das seguintes afirmacoes:

(a) Seja x1 solucao do sistema Ax = b e y1 solucao do sistema homogeneo associado Ay = 0, entao x1 − y1

e solucao de Ax = b.

(b) Se x1 e x2 sao duas solucoes de Ax = b, entao x1 − x2 e solucao de Ax = b.

(c) Se x1 e x2 sao duas solucoes de Ax = b, entao x1 − x2 e solucao de Ax = 0.

(d) Se A e invertıvel, entao x = 0 e a unica solucao de Ax = 0.

1.24 Determine um sistema linear de equacoes cujo conjunto solucao seja dado por S:

(a) S = {(1 + t, 1− t) : t ∈ R}; (b) S = {(1, 0, 1)};(c) S = {(t, 2t, 1) : t ∈ R}; (d) S = {(t, s, t+ s) : t, s ∈ R}; (e) S = ∅.


1.25 Sejam Aα =

[α −1 0

1 α 1

0 0 α

], x =

[x1

x2

x3

], b =

[1

1

1

]onde α ∈ C e um parametro complexo. Considere

a seguinte lista de afirmacoes:

I) Existe um unico valor de α para o qual car(Aα) = 3.

II) O sistema homogeneo Aαx = 0 e possıvel para qualquer valor de α.

III) O sistema Aαx = b e possıvel para qualquer valor de α.

IV) O sistema Aαx = b e determinado para infinitos valores de α.

A lista completa de afirmacoes correctas e

A) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II

1.3 Matrizes invertıveis

1.26 Sejam A,B ∈Mn×n(R) invertıveis. Prove que AB tambem e invertıvel e que (AB)−1 = B−1A−1.

Resolucao: Temos que provar que existe uma matrix X tal que X(AB) = (AB)X = I, onde I designa a

matriz identidade n× n. Mas como sugere o enunciado, X = B−1A−1. Provemos p.ex. que X(AB) = I:

X(AB) = B−1A−1(AB) = B−1(A−1A)B = B−11B = B−1B = 1,

onde na segunda igualdade usa-se associatividade a da multiplicacao matricial, na terceira igualdade a

hipotese de A−1 ser a inversa de A e na ultima igualdade a hipotese de B−1 ser a inversa de B.

1.27 Prove que

[a b

c d

]−1

= 1ad−cb

[d −b−c a

]sempre que ad− cb = 0.

1.28 Sejam A,B,C matrizes n× n, tais que A e B sao invertıveis. Resolva a seguinte equacao matricial

em X: AXB = C.

Resolucao: Como A e invertıvel A−1A = I onde I designa a matriz identidade n× n. Portanto multi-

plicando a esquerda por A−1 obtem-se

AXB = C ⇔ A−1AXB = A−1C ⇔ IXB = A−1C ⇔ XB = A−1C.

De forma similar, multiplica-se a direita esta ultima equacao por B−1 e conclui-se que X = A−1CB−1.

1.29 Seja A ∈Mn×n(R) tal que Ak = 0 para algum k ∈ N, k = 1. Prove que

(I −A)−1 = I +A+A2 + · · ·+Ak−1.

1.30 Seja A =

10 7 4

−17 −12 −74 3 2

.

(a) Verifique que A3 e a matriz nula. Prove que A nao e invertıvel.

(b) Calcule (I +A+A2)(I −A).

Resolucao: (a) Calcule-se A3 por definicao de produto de matrizes e concluir que A3 e a matriz nula.

Supor que A e invertıvel, entao como o produto de matrizes invertıveis e invertıvel, conluimos que A2 e

A3 tambem sao invertıveis. Mas A3 nao e invertıvel. Alternativelmente, verifique que car (A) = 2 = 3.

Donde A nao e invertıvel. (b) Use o Problema 1.29.


1.31 Seja A tal que (7A)−1 =

[3 4

2 3

]. Calcule A.

Resolucao: Note que (7A)−1 = C significa que 7−1A−1 = C, i.e. A = 7−1C−1. Neste caso concreto,

A = 17

[3 −4−2 3

].

1.32 Quando possıvel, inverta as seguintes matrizes:

A =

[1 1

1 2

], B =

[1 1

1 1

], C =

0 1 1

1 0 1

1 1 0

, D =

3 5 0

−1 −2 −21 2 1

, E =

2 1 0 0

−7 3 0 −2π 3 1 1

3 9 0 0

Resolucao: Usando o metodo de Gauss-Jordan temos[1 1 1 0

1 2 0 1

]−→

−L1 + L2

[1 1 1 0

0 1 −1 1

]−→

−L2 + L1

[1 0 2 −10 1 −1 1

].

Portanto A e invertıvel porque car (A) = 2 e A−1 =

[2 −1−1 1

]. A matriz B nao e invertıvel pois

car (B) = 1 = 2. As matrizes C,D e E so invertıveis.

1.33 Em funcao do parametro real α, calcule a caracterıstica e justifique, quais sao os valores de α para

os quais as seguintes matrizes sao intertıveis:

(a)

[α −11 α

](b)

1 0 α

−1 α α

0 α 1

(c)

0 α2 − 1 α+ 1

2 α2 −α2 1 1

(d)

1 −1 α 0

−1 −α 1 0

1 −1 α3 0

1 −1 α 1− α2

1.34 Aproveite a matriz inversa de A do Problema 1.32 para resolver o sistema

{x+ y = 8

x+ 2y = 10

Resolucao: Como A e invertıvel, de Ax = b obtem-se x = A−1b multiplicando a esquerda por A−1.

Portanto pelo exercıcio 1.32 [x

y

]=

[2 −1−1 1

][8

10

]=

[6

2

].

1.35 Discuta a invertibilidade da matriz Aα, em funcao do parametro α, onde Aα =

0 1 1 1

1 1 −1 1

4 4 −α2 α2

2 2 −2 α

.Faca a discussao do sistema homogeneo associado Aαx = 0.

2 Determinantes 6

2 Determinantes

2.1 Operacoes elementares e determinantes. Formula de Laplace. Cofactores

2.1 Sejam A e B matrizes n× n. Decida se cada afirmacao seguinte e verdadeira:

(a) Seja B a matriz que se obtem de A fazendo uma troca de linhas Li ←→ Lj com i = j. Entao

det(A) = det(B).

(b) Seja B a matriz que se obtem de A multiplicando uma linha de A por um escalar nao nulo k. Entao

det(A) = 1k det(B).

(c) Seja B a matriz que se obtem de A substituindo a linha Li de A por Li +αLj , para qualquer escalar

α. Entao det(A) = det(B).

(d) Sendo AT a matriz transposta de A, det(A) = det(AT ).

(e) det(αA) = αn det(A).

2.2 Seja A =

a b c

d e f

g h i

tal que det(A) = −5. Calcule

(a) det(3A) (b) det(A−1) (c) det(−2A−1) (d) det((−2A)−1) (e) det(A3) (f) det

a g d

b h e

c i f

2.3 Mostre que det

b+ c a+ c a+ b

a b c

1 1 1

= 0 para quaisquer a, b, c ∈ R. Sera que A e invertıvel para

algum a, b, c ∈ R?

2.4 Para que valores de k a matriz A e invertıvel?

(a) A =

1 2 4

3 1 6

k 3 2

(b) A =

[k − 2 −2−2 k − 2

].

2.5 Use a Regra de Laplace para calcular os determinantes das matrizes

A =

1 π −10 2 0

3 4 5

, B =

1 −2 3 0

1 0 0 −10 −3 1 4

0 2 −1 0

, C =

0 5 1 0 2

0 3 2 1 −11 0 2 0 0

−1 0 3 2 1

1 −3 −2 −1 1

.

2.6 (a) Calcule det(Ax − λI) onde Ax =

1 0 0 x

0 1 x 0

0 x 1 0

x 0 0 1

onde x e um parametro real e I designa a

matriz identidade do tipo 4× 4.

(b) Determine os valores de λ (em funcao de x) para os quais Ax − λI e singular.

(c) Para que valor (ou valores) de x a matrix Ax e invertıvel?

2.7 Seja A ∈Mn×n(R) tal que AAT = I.

(a) Prove que det(A) = ±1.(b) Encontre uma matriz A tal que AAT = I e det(A) = −1.

2 Determinantes 7

2.8 Seja A =

1 −2 3

6 7 −1−3 1 4

.(a) Calcule det(A) e justifique que A e invertıvel.

(b) Determina a entrada (1,3) da matriz inversa A−1.

2.9 Seja Aα =

−1 α 0 −1α −1 −α 0

0 0 1 1

−1 α 0 −α

, com α ∈ R.

(a) Calcule det(Aα) e determine os valores de α para os quais Aα e invrrtıvel.

(b) Para cada n ∈ N, calcule det(An0 +An+2

0 ), onde A0 e a matriz Aα para α = 0.

(c) Considerando os valores de α para os quais Aα e invertıvel, calcule a entrada (3, 1) da matriz inversa

de Aα.

2.10 Resolva os seguintes sistemas de equacoes lineares usando a regra de Cramer.

(a)

{7x− 2y = 3

3x+ y = 5(b)

x− 3y + z = 4

2x− y = −24x − 3z = −2

2.11 Seja A =

[a b c

a 1 2

b 2 4

]. Sabendo que det(A) = 5, considere a seguinte lista de afirmacoes:

I) det

[a 1 2

a b c

4b 8 16

]= −20.

II) 2a = b.

III) det(−3A) = −135.


A) I B) II C) I e II e III D) I e II

2.12 Seja A =

3 2 1 −1

1 2 2 0

3 4 4 0

3 1 0 0

. Considere a seguinte lista de afirmacoes:

I) A matriz A e nao invertıvel.

II) A entrada (1,4) da matriz inversa de A e igual a 0.

III) A matriz 13A

2 e invertıvel.


A) I B) II e III C) II D) III


3 Espacos lineares

3.1 Subespacos lineares

3.1 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos sao espacos lineares (considere as operacoes usuais

de adicao de vectores e multiplicacao por escalares):

(a) {(0, 0)}.(b) {(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 0}.(c) {(x, y) ∈ R2 : x+ y = π}.(d) {(x, y) ∈ R2 : ax+ by = k}.(e) {(x, y) : x ∈ N0, y ∈ R}

3.2 Considere o espaco linear V = R3 com as operacoes usuais. Diga, justificando, quais dos seguintes

subconjuntos de R3 sao subespacos lineares de V :

(a) {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1},(b) {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0},(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + 2z = 0, x− y = 0},(d) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0,−x+ y + 3z = 0}.

3.3 Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z + w = 0, x− z + w = 0, x− w = 0}.(a) Quais os vectores u1, u2 e u3 pertencem a F , onde u1 = (0, 0, 0, 0), u2 = (1,−4, 2, 1) e u3 = (1, 4, 2, 1),

(b) Prove que F e um subespaco de R4.

3.4 (a) Seja A uma matriz real n ×m. Prove que V = {(x1, · · · , xm) ∈ Rm : A

x1

x2

.

..

xm

=

0

0

.

..

0

} e um

subespaco linear de Rm.

(b) Use (a) para resolver o Problema 3.3 (b).

3.5 Sejam A,B ∈M2×2(R).(a) Prove que N (B) ⊆ N (AB).

(b) Se A for invertıvel, entao prove que N (B) = N (AB).

3.6 Considere V o espaco linear das funcoes reais de variavel real t. Diga, justificando, quais dos seguintes

subconjuntos de V sao subespacos lineares de V :

(a) {f ∈ V : f(t) = f(−t)},(b) {f ∈ V : f contınua},(c) {f :∈ V : f diferenciavel e f ′(t) = f(t)} onde f ′ designa a derivada de f ,

(d) {f ∈ V : f e 3 vezes diferenciavel e f ′′′(t)− f ′′(t) + πf ′(t) = 0,∀t}(e) {p ∈ V : p polinomino},(f) Pn := {p(t) =

∑ni=1 αit

i : grau de p ≤ n} onde n e fixo,

(g) {p ∈ Pn : grau p = n},(h) {p ∈ Pn : grau de p ≤ n e p(1) = 0}.

3.7 Considere V =Mn×n(R) os espaco linear das matrizes n×n. Diga, justificando, quais dos seguintes

subconjuntos de V sao subespacos lineares de V :

(a) {matrizes triagulares superiores},(b) {X ∈ V : X e invertıvel},(c) {X ∈ V : Tr(X) = 0},(d) {X ∈ V : XT = X} onde XT designa a transposta da matriz X,


(e) {X ∈M2×2(R) : AX = XA}, onde A =

[0 1

−1 0

].

3.2 Vectores geradores. Independencia linear

3.8 Considere em R2 o conjunto de vectores S = {(1, 1), (−1,−1)}.(a) Mostre que o vector (3, 3) e combinacao linear de vectores de S.

(b) Mostre que o vector (0, 1) nao e combinacao linear de vectores de S.

3.9 No espaco linear R3 considere os vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0). Mostre que os

seguintes vectores sao combinacoes lineares de v1, v2 e v3:

(a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2, 1, 5) (c) v = (−1, 2, 0).

3.10 Determine o valor de k para o qual o vector v = (1,−2, k) ∈ R3 e combinacao linear dos vectores

v1 = (3, 0,−2) e v2 = (2,−1,−5).

3.11 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3:

(a) {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}.(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}.(c) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 3)}.

3.12 Considere, no espaco linear P2 dos polinomios de grau menor ou igual a 2, os vectores p1(t) =

2 + t + 2t2, p2(t) = −2t + t2, p3(t) = 2 − 5t + 5t2 e p4(t) = −2 − 3t − t2. O vector p(t) = 2 + t + t2

pertence a expansao linear L({p1, p2, p3, p4})? Verifique se p1, p2, p3 e p4 geram P2?

3.13 Considere A1 =

[1 1

1 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 0

1 1

]e A4 =

[0 0

0 1

]no espaco linear

V = M2×2(R). Prove que S = {A1, A2, A3, A4} gera V , i.e. L(S) = V . Escreva A =

[1 0

3 4

]como

combinacao linear de matrizes de S.

3.14 Quais dos seguintes conjuntos de vectores sao linearmente independentes:

Em R2:

(a) {(1, 1), (2, 2)}, (b) {(1, 1), (1, 2)},Em R3:

(c) {(2,−1, 4), (3, 6, 2), (2, 10,−4)}, (d) {(6, 0,−1), (1, 1, 4)}, (e) {(4, 4, 0, 0), (0, 0, 6, 6), (−5, 0, 5, 5)}.

3.15 Determine o unico valor de a que torna os seguintes vectores linearmente dependentes:

v1 = (1, 0, 0, 2), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, a).

3.16 Quais dos seguintes conjuntos de vectores sao linearente independentes:

Em P3:(a) {2− t, 1+ t}, (b) {1+ t, 1+ t2, 1+ t+ t2}, (c) {1+ t+ t3, 1− t− t2+ t3, t2}, (d) {1, t, t2, t3},No espaco das funcoes reais de variavel real:

(e) {cos2(t), sin2(t), 2}, (f) {t, cos(t)},EmM2×2(R):

(g) {A1 =

[1 1

1 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 0

1 1

], A4 =

[0 0

0 1

]}.


3.17 (a) Seja {v1, v2, · · · , vk} um conjunto de vectores linearmente independente de Rn (com k ≤ n) e

A ∈Mn×n(R) uma matriz invertıvel. Prove que {Av1, Av2, · · · , Avk} tambem e um conjunto de vectores

linearmente independente (escrevendo os vectores v1, ..., vk como vectores-coluna).

(b) Sejam v1, v2 e v3 vectores linearmente independentes em R3. Sejam w2, w2 e w3 vectores definidos do

seguinte modo: w1 = v1 + v2 + v3, w2 = 2v2 + v3 e w3 = −v1 + 3v2 + 3v3 sao. Prove que w2, w2 e w3 sao

vectores linearmente independentes.

3.3 Bases e dimensao de espacos lineares

3.18 Seja S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 0,−1)}.(a) Encontre um subconjunto de vectores S linearmente independentes.

(b) Indique um subconjunto S1 de vectores de S constituido por vectores linearmente independentes de

tal forma que se consideramos outro vector u de S, entao S1 ∪ {u} ja nao e um conjunto de vectores

linearmente indendentes.

(c) Sera o conjunto S1 de (b) unico?

3.19 Indique uma base e a respectiva dimensao para cada espaco linear:

(a) {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} (b) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0, x− y = 0} (d) {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y+ z = 0, x− y = 0, y+w = 0}.

3.20 Seja A =

1 5 9

2 6 10

3 7 11

4 8 12

. Determine a dimensao dos seguintes espacos lineares, indicando uma base

em cada caso:

(a) Nucleo de A (b) Espaco linhas de A (c) Espaco colunas de A.

3.21 Encontre a caracterıstica, bases para o nucleo, espaco das linhas e das colunas das matrizes

seguintes:

[1 5 9

2 6 10

],

[1 −43 −12

],

[0 0 0

0 0 0

],

1 5

2 6

3 7

,

1 2 −12 4 3

0 0 −24 8 12

e

1 −3 2 2 1

0 3 6 0 −22 −3 −2 4 4

3 −3 6 6 3

5 −3 10 10 5

.Para cada matriz A verifique que: dim N (A)+ car(A)= numero de colunas de A.

3.22 Seja A =

1 0 1

0 1 1

1 −1 0

.(a) Determine uma base para N (A).

(b) Determine uma base de R3 que inclua duas colunas de A.

(c) Determine uma base para L (A) ∩ C (A).

3.23 Encontre bases e respectivas dimensoes para os seguintes espacos lineares:

(a) V = {p ∈ P3 : p(1) = 0};(b) V = {p ∈ P2 : p(0) = p(1) = 0};

(c) V = {

[a b

c d

]∈M2×2(R) : a+ 2b = 0};

(d) {A ∈M2×2(R) : A = AT };


(e) {A ∈M2×2(R) : A

[0 −11 1

]=

[0 −11 1

]A}.

3.24 Sejam E = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2)}) e F = L({(0, 1,−1), (1, 1, 2)}).(a) Determine a dimensao de E + F .

(b) Determine a dimensao de E ∩ F .

3.25 Determine as dimensoes de E ∩ F e E + F :

(a) E = L({(1, 1,−1,−1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2)}) e F = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1)});(b) E = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ w = 0, y + w = 0};(c) E = L({1 + t+ t2, 1 + t2}) e F = L({3 + 2t+ 3t2}) em P2.

3.26 Seja V = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}. Considere a seguinte lista de afirmacoes:

I) O conjunto {(1, 0, 1), (0, 2, 0)} e uma base de V .

II) dim(V ) = 2 e {(1, 0,−1), (0, 1, 0)} forma uma base de V .

III) V = N (A) onde A =

[1 0 1

0 1 0

].

IV) V = N (A) onde A =

[1 0 −13 0 −3

].


A) I e III B) II e III C) I e IV D) II e IV

3.27 Para cada β seja Vβ = {(x, y) ∈ R2 : x − βy = 1 − β2, −βx + y = 1 − β}. Considere a seguinte

lista de afirmacoes:

I) O conjunto Vβ e um subespaco linear de R2 para um unico valor de β.

II) dim(V1) = 1 e {(1, 1)} e uma base de V1 (onde V1 designa Vβ fazendo β = 1).

III) As coordenadas de v = (a, b) na base ordenada {(1, 1), (1,−1)} sao (a−b2 , a+b

2 ).


A) I B) I e II C) II e III D) I e III

3.3.1 Coordenadas de um vector numa base

3.28 (a) Seja BC = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B = {v1 = (1, 1), v2 = (−1, 0)} duas bases de R2. En-

contre a as coordenadas vBc do vector v = (3, 4) na base Bc assim como as coordenadas vB do mesmo

vector v na base B.

3.29 Considere V = L({v1, v2, v3}) onde v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1,−1) e v3 = (1, 2, 2, 0).

(a) Encontre uma base para V e indique a respectiva dimensao.

(b) Quais sao as coordenadas do vector v = (2, 4, 4, 0) na base ordenada de (a)?

3.30 Encontre as coordenadas do vector v = (1, 2,−3) numa base do espaco linear E = {(x, y, z) ∈ R3 :

x+ y + z = 0} a sua escolha.


3.31 Seja B = {v1, v2} a base do subespaco linear W de R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Considere

a seguinte lista de afirmacoes:

I) (1, 2, 1) ∈W .

II) W = {(x, y, z) : x− z = 0}.

III) As coordenadas vB do vector v = (2, 3, 2) na base B sao vB = (2, 1).

IV) Se vB = (3,−1) sao as coordenadas de v na base B, entao v = (2, 3, 2).


A) I e IV B) II e III C) I, II e IV D) I, III e IV

3.32 (a) Seja Bc = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B = {v1 = (1, 1), v2 = (−1, 0)} duas bases de R2. Encontre

as coordenadas vBc do vector v = (3, 4) na base Bc, assim como as coordenadas vB do mesmo vector na

base B.(b) Qual e a matriz mudanca de base SBc→B da base canonica para a base B? e a da B para a base

canonica?

(c) Use estas matrizes e determine vB a partir de vBc.

(d) Determine o vector w = (a, b) de tal forma que wB = (1, 1).

3.33 (a) Prove que A1 =

[1 1

1 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 0

1 1

]e A4 =

[0 0

0 1

]constituem

uma base para o espaco linear V =M2×2(R).(b) Determine a matriz mudanca de base S da base canonica deM2×2(R) para a base {A1, A2, A3, A4}.

(c) Encontre as coordenadas de A =

[a b

c d

]na base canonica deM2×2(R) e na base {A1, A2, A3, A4}.

4 Valores proprios e vectores proprios

4.1 Valores e vectores proprios de matrizes. Matrizes diagonalizaveis

4.1 Seja A =

[1 2

2 1

]. Considere ainda os vectores v1 = (0, 0), v2 = (2, 1), v3 = (−1, 1), v4 = (2, 3)

e v5 = (2, 2). Identifique os que sao vectores proprios e A. Diga ainda quais sao os valores proprios

associados.

4.2 Seja A =

0 1 0

0 1 0

0 1 0

.(a) Determine o polinomio caracterıstico de A e o seus valores proprios.

(b) Mostre que os vectores v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) determinam um base de R3

constituıda por vectores proprios de A.

4.3 Determine os valores de a e b tais que (1, 1) e um vector de A =

[1 1

a b

]e que λ = 0 e um valor

proprio de A.


4.4 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os valores proprios e bases para os espacos proprios

correspondenntes:

(a) A =

[3 0

8 −1

], (b) A =

[10 −94 −2

](c) A =

[0 3

4 0

](d) A =

[0 0

0 0

]

(e) A =

4 0 1

−2 1 0

−2 0 1

(f) A =

5 0 1

1 1 0

−7 1 0

(g) A =

0 0 2 0

1 0 1 0

0 1 −2 0

0 0 0 1

.

4.5 Seja A =

[1 2

0 3

].

(a) Determine o polinomio caracterıstico de A.

(b) Determine os espaco proprios e indique as respectivas dimensoes.

(c) Prove que A e diagonalizavel e indique uma matriz P que diagonalize A, i.e. matriz P tal que tal que

PAP−1 e uma matriz diagonal.

(d) Calcule A9.

4.6 Considere as matrizes

A =

0 0 0

0 0 1

10 −4 4

B =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

.

(a) Determine os valores e vectores proprios de A e de B.

(b) Diga, justificando, se existe alguma das matrizes A ou B e diagonalizavel.

4.7 Considere, para cada parametro real α, a matriz Aα e o vector vα definidos por:

Aα =

α 0 0 α

1 0 0 1

2 0 0 2

3 0 0 3

, vα =

α

1

2

3

.

(a) Determine o escalar λ ∈ R, em funcao do parametro, tal que Aαvα = λvα.

(b) Discuta as dimensoes do N (Aα) e do espaco C(Aα) gerado pelas colunas de Aα, em funcao de α.

(c) Determine, em funcao de α, bases para N (Aα) e C(Aα).

(d) Determine, em funcao de α, os valores proprios de Aα.

(e) Identifique os valores de α para os quais Aα e diagonalizavel.

4.8 (a) Seja A uma matriz n× n invertıvel, λ um valor proprio de A e v um vector proprio associado ao

valor proprio λ. Prove que entao λ−1 e valor proprio da matriz inversa A−1. Indique um vector proprio

associado a este valor proprio.

(b) Se v e um vector proprio comum as matrizes A e B, entao prove que v tambem e um vector proprio

de AB.

4.9 Seja p(λ) = det(A − λI) o polionomio caracterıstico de uma matriz real do tipo n × n e E(λ) =

N (A− λI). Decida sobre o valor logico das seguintes proposicoes:

(a) Temos p(λ) = 0 se e so se dim E(λ) = 0.

(b) A matriz e invertıvel se e so se 0 e valor proprios de A.

(c) Se a matriz B se obtem de A aplicando o metodo de Gauss, entao os valores proprios de A e B

coincidem.


(d) Se λ e µ sao valores proprios distintos de A, u vector proprio associado ao valor proprio λ, v vector

proprio associado ao valor proprio µ, entao u+ v e um vector proprio associado ao valor proprio λ+ µ.

(e) O conjunto {λ ∈ R : dim N (A− λI) = 0} e infinito.

4.10 Seja A matriz 2 × 2, v1 e v2 dois vectores proprios de A associados aos valores proprios λ1 = 1 e

λ2 = −1, respectivamente. Considere a seguinte lista de afirmacoes:

I) O vector −v1 − v2 nao e vector proprio de A.

II) λ1 + λ2 e um valor proprio de A.

III) A matriz A e diagonalizavel.

IV) A e invertıvel.


A) I e III B) III e IV C) I e II e III e IV D) I e III e IV

5 Transformacoes lineares

5.1 Considere as transformacoes P : R3 → R2 e T : R3 → R3 definidas como se segue:

P ((x, y, z)) = (x+ y, x+ y + 2z), T ((x, y, z)) = (x+ y, x+ y + 2z, 2x+ 2y + 4z),

e os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−1, 0, 1).(a) Calcule P (u), P (v), P (u+ v), P (u) + P (v), P (3u) e 3P (u).

(b) Calcule T (u), T (v), T (u+ v), T (u) + T (v), T (3u) e 3T (u).

5.2 Considere a transformacao linear T : P2 → P2 tal que T (p)(t) = p′(t)+p(t) e considere os polinomios

p1(t) = 1, p2(t) = x, p3(t) = x2 e p4 = 1 + 2t+ 3t2.

Calcule T (p1), T (p2), T (p3), T (p4) e T (p1 + 2p2 + 3p3).

5.3 Sejam E e F espacos lineares e T : E → F uma transformacao linear. Prove que entao T transforma

o vector nulo 0E de E no vector nulo 0F de F , i.e. T (0E) = 0F .

5.4 Determine quais das seguintes transformacoes sao lineares:

Em Rn:

(a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, y)

(b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ 1, y)

(c) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x, y2)

(d) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ 2y + z, y − 3z, 0)

(e) T : R2 → R3, T (x, y) = (x, 2x+ 3y, x+ y)

(f) T : R2 → R3, T (x, y) = (x, 2x+ 3y, 1)

Em Pn na varavel x e onde p′ designa a derivada de p:

(g) T : P2 → P2, T (p(t)) = tp′(t) + p(t)

(h) T : P2 → P3, T (p(t)) = t2p′(t) + p(t+ 1)

(i) T : P2 → P2, T (p(t)) = p(t+ 1) + p(t− 1)


(j) T : P2 → P3, T (p(t)) = p(−1) + p(0) + p(1)

(l) T : P3 → P2, T (p(t)) = p(0)p′(t)

EmMn×n(R):

(m) T :M2×2(R)→M2×2(R), T([

a b

c d

])=

[b+ 2c 0

3c+ a d− a

](n) T :Mn×n(R)→Mn×n(R), T (X) = X +Xt

(o) T :Mn×n(R)→Mn×n(R), T (X) = SX onde S e uma matriz fixa

(p) T : P2 →M2×2(R), T (p) =

[p(−1) p(0)

p(0) p(1)

].

5.5 Considere a transformacao linear T : R2 → R2 tal que T (1, 1) = (3, 3) e T (1,−1) = (1,−1). CalculeT (1, 0) e T (0, 1) e determine a expressao generica T (x, y).

5.1 Representacao matricial de transformacoes lineares

5.6 Considere a transformacao linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x− y,−x+ 3y). Em cada alınea,

determine a representacao matricial M(T ;B,B) na base ordenada B = {v1, v2}:(a) v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)

(b) v1 = (2, 0), v2 = (0, 2)

(c) v1 = (0, 1), v2 = (1, 0)

(d) v1 = (1, 1), v2 = (1,−1).

5.7 Considere a transformacao linear T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x + z, z + y). Em cada

alınea, determine a representacao matricial M(T ;B,B) na base ordenada B = {v1, v2, v3}:(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)

(b) v1 = (0, 3, 0), v2 = (0, 0, 3), v3 = (3, 0, 0)

(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)

5.8 Considere a transformacao linear T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x+ y, z + 3y). Em cada alınea,

determine a representacao matricial M(T ;B1, B2) nas bases ordenadas B2 = {v1, v2, v3} no espaco de

partida e B2 = {w1, w2} no espaco de chegada:

(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1), w1 = (1, 0), w2 = (0, 1).

(b) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1), w1 = (1, 0), w2 = (0, 1).

(c) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1), w1 = (1, 1), w2 = (0, 1)

5.9 Seja T : R2 → R2 a transformacao linear que na base canonica e representada pela matriz

A =

[1 2

2 1

]. Calcule mediante uma matriz mudanca de base apropriada:

(a) A representacao matricial de T na base v1 = (3, 0), v2 = (0, 3).

(b) A representacao matricial de T na base v1 = (1, 1), v2 = (1, 2).

5.10 Encontre as representacoes matriciais das transformacoes lineares do exercıcio 5.4 nas bases

canonicas.

5.11 Seja T : R2 → R2 a transformacao linear que na base B = {(1, 1), (1, 2)} e representada pela matriz

A =

[3 2

1 2

]. Calcule T (x, y).


5.2 Transformacoes lineares injectivas/sobrejectivas. Equacoes lineares

5.12 Seja T : R3 → R3 a transfrmacao linear definida como se segue:

T ((x, y, z)) = (x, y + 2z, y + 2z)

(a) Calcule T ((1, 1, 1)) e T ((1,−3, 3)) e verifique se T e injectiva.

(b) Verifique que nao existe um vector u tal que T (u) = (0, 0, 1). Conclua que T nao e sobrejectiva.

5.13 Considere as transformacoes lineares do Problema 5.4.

(a) Indique as que sao injectivas ou sobrejectivas. Nos casos em que o espacos de partida e de chegada

coincidam e a transformacao seja bijectiva, determine a transformacao inversa T−1.

(b) Se T e nao injectiva, entao encontre uma base para o nucleo de T .

(c) Se T e nao sobrejctiva, entao encontre uma base para a imagem de T .

5.14 Seja T : R3 → R2 a transformacao linear definida por

T (x, y, z) = (x+ y, x+ y − z).

(a) Calcule a matriz que representa T nas bases canonicas.

(b) Calcule uma base para o nucleo de T . A transformacao e injectiva?

(c) Calcule uma base para a imagem de T . Sera T sobrejectiva?

(d) Resolva a equacao linear T (x, y, z) = (1, 1).

(e) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equacao T (x, y, z) = (a, b) seja impossıvel?

(f) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equacao T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada?

5.15 Seja T : R3 → R4 a transformacao linear definida por T (x, y, z) = (x+ 2y, x− y, x, x− z).

(a) Represente T matricialmente nas bases canonicas.

(b) Sera T sobrejectiva ou injectiva?

(c) Determine um vector v ∈ R4 tal que T (u) = v nao tenha solucao.

5.16 Seja T : R3 → R3 a transformacao linear definida por

T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ 2y + 2z,−x− y − z).

(a) Encontre a representac ao matricial de T numa bse de R3 a sua escolha.

(b) Justifique que T nao e injectiva, nem sobrejectiva.

(c) Resolva, em R3, a equacao linear T (x, y, z) = (3, 3, 3).

5.17 Considere a transformacao linear T : R3 → R4 tal que a sua representacao matricial nas bases

ordenadas B1 = {(1, 2, 0), (3, 2, 1), (2, 1, 0)} e B2 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 4)} de R4 e

R3, respectivamente e M(T ;B1;B2) =

1 5 9

2 6 10

3 11 19

4 16 28

.(a) Verifique se T e injectiva ou sobrejectiva.

(b) Determine uma base para o nucleo de T .

(c) Determine uma base pata o contradomınio de T .

5.18 Seja T : P2 → P2 a transformacao linear definida por

T (p(t)) = t2p′′(t)− 2p(t).


(a) Calcule a matriz que representa T na base canonica de P2.(b) Calcule uma base para o nucleo de T e uma base para o contradomınio de T . Conclua que T nao e

injectiva nem sobrejectiva.


T (p(t)) = p′(t)− 2p(t),

onde p′ designa a derivada de p.

(a) Determine a expressao geral de T .

(b) Determine a representacao matricial de T na base canonica de P2.(c) Justifique que T e bijectiva e verifique que

T−1(p(t)) = −1

2p(t)− 1

4p′(t)− 1

8p′′(t).

(d) Resolva, em P2, a equacao linear T (p(t)) = 1 + t.

5.20 Considere a transformacao linear T : P2 → P2 tal que T (p) = p′. Resolva a equacao linear T (p) = q,

onde q(t) = 1 + t.


T (p(t)) = t2p′′(t)− 2p(t).

(a) Calcule a matriz que representa T na base canonica {p1, p2, p3}.(b) Resolva, em P2, a equacao linear t2p′′(t)− 2p(t) = 1.

5.22 Seja S =

[1 2

2 1

]e a transformacao T :M2×2(R)→M2×2(R) dada por

T (X) = tr(X)S

onde tr(X) designa o traco da matriz X.

(a) Prove que T e uma transformacao linear.

(b) Considere a base canonica Bc = {

[1 0

0 0

],

[0 1

0 0

],

[0 0

1 0

],

[0 0

0 1

]} deM2×2(R). Calcule a

matriz que representa T nesta base.

(c) Encontre uma base para o nucleo de T e verifique se T e injectiva.

(d) Encontre uma base para a imagem de T e verifique se T e sobrejectiva.

(e) Encontre os valores e vectores proprios de T .

(f) Verifique se T e diagonalizavel.

(g) Resolva a equacao linear T (X) =

[−1 −2−2 −1

].

5.3 Valores e vectores proprios de transformacoes lineares

5.23 Considere a transformacao linear T : R2 → R2 definida por

T (x, y) = (2x+ y, 2y).

(a) Determine a representacao matricial de T da base canonica de R2.

(b) Determine os valores proprios e os subespacos proprios de T .

(c) Mostre que nao existe nenhuma base de R2 constituida por vectores proprios de T .


5.24 Considere a transformacao linear T : R3 → R3 definida por

T (x, y, z) = (y + z, 2y + z, y + 2z).

(a) Determine o polinomio caracterıstico de T .

(b) Determine os valores proprios e bases dos subespacos proprios de T .

(c) Determine uma base de R3 constituıda por vectores proprios de T . Qual e a matriz que representa T

nesta base?

(d) Seja A = M(T,Bc,Bc) a matriz que representa T na base canonica de R3. Diagonalize a matriz A.

Isto e, determine uma matriz de mudanca de base P−1 e uma matriz diagonal D tais que D = PAP−1.

(e) Determine An e Tn(x, y, z).

5.25 Considere a transformacao linear T : R3 → R3 que em relacao a base ordenada B =

{(0, 1, 0), (1, 0,−1), (1, 0, 1)} e representada pela matriz:

A =

7 4 2

1 7 −1−1 2 10

.

(a) Determine o polinomio caracterıstico de T .

(b) Determine os valores proprios e bases dos subespacos proprios de T .

(c) Determine uma base de R3 constituıda por vectores proprios de T . Qual e a matriz que representa T

nesta base?

(d) Diagonalize a matriz A, isto e, determine uma matriz de mudanca de base P−1 e uma matriz diagonal

D tais que D = PAP−1.

(e) Determine An e Tn(x, y, z).

5.26 Considere a transformacao linear T :M2×2(R)→M2×2(R) definida por T (A) = A+AT .

(a) Determina a representacao matricial de T numa base deM2×2(R) a sua escolha.

(b) Determine os valores proprios e os vectores proprios de T .

(c) Verifique se T e diagonalizavel. Em caso afirmativo, indique uma base ordenada de M2×2(R) em

elacao a qual a representacao matricial de T e uma matriz diagonal.

5.27 Considere2 a transformacao linear T : P2 → P2 que na base ordenada {1, t, t2} e representada pela

matriz

A =

0 0 0

0 0 1

10 −4 4

.

(a) Determine os valores e vectores proprios de T .

(b) Diga, justificando, se existe alguma base de P2 cuja representacao matricial de T e uma matriz

diagonal.

5.28 Seja T : P2 → P2 a aplicacao definida como se segue T (p(t)) = p(t+ 1).

I) T nao e uma transformacao linear.

II) p(x) = 1 + t+ t2 e uma solucao da equacao linear T (p(t)) = 3 + 3t+ t2.

III) A transformacao linear T e bijectiva.

2Confronte este Problema com o Problema 4.6


IV) O polinomio p(t) = 5 e um vector proprio de T .


A) I B) II C) III D) II e III e IV

5.29 Seja Pn, com n ∈ N, o espaco linear real dos polinomios reais de variavel real e de grau menor ou

igual a n. Considere a transformacao linear T1 : P2 → P1 cuja representacao matricial em relacao as

bases ordenadas B1 ={1 + t, 1− t, t2

}de P2 e B2 = {1 + t, 1 + 2t} de P1, e dada pela matriz:

M(T1;B1;B2) =

[1 2 0

0 −1 1

].

Considere ainda a transformacao linear T2 : P1 → P2 tal que

T2(1) = 1− t T2(t) = 2 + 8t− 2t2.

a) Determine a matriz M(T2;B;B1) que representa T2 em relacao as bases ordenadas B = {1, t} de P1 e

B1 ={1 + t, 1− t, t2

}de P2.

b) Determine uma base para N (T1) (nucleo de T1) e diga, justificando, se T1 e sobrejectiva.

c) Determine T1(t) e encontre, em P2, a solucao geral da equacao T1(p (t)) = t.

d) Verifique se 1 e o unico valor proprio de T1 ◦ T2.

5.30 Quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras?

A) Seja B = {v1, v2} a base do subespaco linear W de R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Entao:

as coordenadas uB do vector u = (2, 3, 2) na base B sao uB = (2, 1). Se vB = (3,−1) sao as

coordenadas de v na base B, entao v = (2, 3, 2).

B) Existe uma transformacao linear T : R3 →M3×3(R) sobrejectiva.

C) Seja T : P2 → P2 definida por T (p(t)) = p(−1) − p(1)t2 onde P2 designa o espaco linear dos

polinomios de grau menor ou igual a 2. Entao T e uma transformacao linear.

D) O polinomio p(t) = π − πt2 e um vector proprio da transformacao definida em C).

E) Os valores proprios de A =

1 0 β

0 β 0

β 0 1

sao {β, 1 + β, 1− β}.

F) A matriz A definida em E) e invertıvel sse β ∈ {0, 1,−1}.

G) O vector (0, 1, 0) e um vector proprio de A definida em E) cujo valor proprio associado e λ = 1+β.

H) A matriz A definida em E) e uma matriz diagonal para qualquer β.

I) A matriz A definida em E) e diagonalizavel para qualquer β.

A lista completa de afirmacoes verdadeira e:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


6 Produtos internos

6.1 Identifique as aplicacoes ⟨, ⟩ : Rn × Rn → R que definem um produto interno,

Em R2:

(a) ⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ = x1y1 + x2y2.

(b) ⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ = x1y1 + x1y2 + x2y2.

(c) ⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ = −2x1y1 + 3x2y2.

(d) ⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ = x1x2y1 + x2y2.

(e) ⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ = x2y1y2 + x1y2.

Em R3:

(f) ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1 + x2y2 + x3y3.

(g) ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1 + 2x1y2 + x2y2 + 3x1y3 + x2y3 + x3y3.

(h) ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x3x1y2 + x1y2.

6.2 Determine um produto interno de R2 tal que ⟨(1, 0), (0, 1)⟩ = 2. Sera unico?

6.3 Usando o produto interno usual e os vectores u = (1, 1, 2, 2) e v = (−2,−2,−1,−1), calcule:(a) ||u||, (b) ||v||, (c) ||u|| − ||v||, (d) ||u− v||, (e) || u

||u|| ||, (f) projvu, (g) projuv, (h) ](u, v).

6.1 Ortogonalizacao de Gram-Schmidt

6.4 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortog-

onal de R3.

(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},(b) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0,−1,−1)},(c) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, 1,−1)},(d) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1)}.

6.5 Determine uma base ortogonal para cada espaco linear E que se segue.

(a) E = R2.

(b) E = {(x, y) : x+ y = 0}.(c) E = L({(1,−1), (−2, 2)}).(d) E = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0}.(e) E = L({(1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1)}.(f) E = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z + w = 0, z − 2w = 0}.

6.6 Considere o produto interno em R2 definido como se segue:

⟨(x1, x2), (y1, y2)⟩ =[x1 x2

] [ 2 0

0 3

][y1y2

].

(a) Verifique se os vectores u1 = (1, 1) e u2 = (1,−1) sao ortogonais para este produto interno.

(b) Use o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt para encontar uma base ortogonal de R2 usando

os vectores u1 e u2 de (a).

6.2 Complementos e projeccoes ortogonais; equacoes cartesianas de planos e recta

6.7 Considere R3 munido com o produto interno usual e F = L({u1}) onde u1 = (1, 1, 1).

(a) Determine uma base ortonormada para F .


(b) Determine uma base para o complemento ortogonal F⊥ de F .

(c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F , i.e. base ortonormal para F⊥.

6.8 Considere R3 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0}.(a) Determine uma base ortonormada para F .

(b) Determine uma base para F⊥, o complemento ortogonal de F .

(c) Determine uma base ortonormal para F⊥, i.e. uma base ortonormal para F⊥.

6.9 Seja F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z + w = 0, z − 2w = 0}.(a) Determine uma base para o complemento ortogonal de F .

(b) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de F .

6.10 Considere R4 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y = 0}.(a) Calcule uma base ortogonal para F⊥.

(b) Determine a projeccao ortogonal de p = (1, 1, 1, 1) sobre F e sobre F⊥.

(c) Calcule dist(p, F ) e dist(p, F⊥).

6.11 Seja F = {(x1, x2, ..., x100) ∈ R100 : x1 + x2 + .....+ x100 = 0}.(a) Calcule dim(F ) e dim(F⊥).

(b) Seja p = (1, 2, 3, ..., 99, 100) ∈ R100. Calcule a diatancia entre p e F⊥.

6.12 Seja W o plano de R3 definido pela equacao x− 2y + z = 0.

(a) Determine a(s) equacoes (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (1, 0, 0).

(b) Determine a equacao catersiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (1, 0, 0).

6.13 Considere a recta (1, 1, 1) + L({(1, 2, 3)}). Encontre equacoes cartesianas desta recta.

6.14 Seja p+ F um k-plano em Rn. Prove que p+ F e um subespaco linear de Rn se e so se p ∈ F .

6.15 Considere em R4 o produto interno usual.

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal E⊥ de E = L({(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}). E uma

base ortogonal para E⊥.

(b) Determine uma base para o complemento ortogonal de N ([1 1 1 1

)).

(c) Calcule o angulo entre v = (1, 1, 1, 1) e w = (1, 0, 0, 0).

6.16 Determine uma base para o complemento ortogonal de N (

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 0 2

).6.17 Em P2, considere a a seguinte aplicacao P2 × P2 → R:

⟨p(t), q(t)⟩ = p(0)q(0) + p′(0)q′(0) + p′′(0)q′′(0),

(a) Prove que esta aplicacao define um produto interno em P2.(b) Calcule ||p(t)|| para cada polinomio p(t) = a+ bt+ ct2 de P2.(c) Calcule o angulo entre os polinomios p(t) = 1 e q(t) = 2 + t2.

(d) Encontre uma base para o complemento ortogonal E⊥ de E = L({p1(t)}) onde p1(t) = 1 + t2.

(e) Calcule as distancias de p(t) = 1 a E e a E⊥, i.e. dist(p,E) e dist(p,E⊥).

(f) Escrevendo p(t) = a0 + a1t+ a2t2 e q(t) = b0 + b1t+ b2t

2, encontre uma matriz simetrica A tal que:

⟨p(t), q(t)⟩ =[a0 a1 a2

]A

b0b1b2


6.18 No espaco linear E =M2×2(R) considere o produto interno

⟨A,B⟩ = tr(ABt),

e o subespaco linear F = {

[x y

z w

]∈M2×2(R) : x+ w = 0, y − z = 0}.

(a) Encontre uma base para F .

(b) Encontre uma base para F⊥.

(c) Calcule dist(A,F ) onde A =

[0 1

1 0

].

6.19 Decida sobre o valor logico das seguintes proposicoes:

(a) Existem produtos internos em R2 que satisfazem ||(1, 0)|| = 0.

(b) Para cada a ∈ R, existe um produto interno em R2 tal que ||(1, 0)|| = a.

(c) O angulo entre e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) e π/2 para qualquer produto interno.

(d) Seja E um subespaco linear de Rn. Entao dist(0, E) = dist(0, E⊥) = 0, para qualquer produto

interno.

(e) A origem 0 e o unico ponto de Rn que satisfaz dist(0, E) = dist(0, E⊥) = 0.

(f) Se E ⊆ F entao F⊥ ⊆ E⊥.

(g) Para qualquer subespaco linear E do espaco Euclideano Rn temos que E⊥ ⊆ {0}⊥.(h) Usando o produto interno usual se F = N (A), entao F⊥ = L(A).

6.20 Sejam u = (4, 3, 7), v = (2, 5,−3) ∈ R3. Determine os produtos externos u× v, v× u, u× u e v× v.

6.21 Calcule a area do triangulo de vertices u, v, w, com u = (0, 1, 1), v = (2, 0,−1) e w = (3, 4, 0).

6.22 Prove que ||u× v||2 = ⟨u, u⟩⟨v, v⟩ − ⟨u, v⟩2.

6.2.1 Diagonalizacao ortogonal

6.23 Para cada aplicacao ⟨, ⟩ : Rn ×Rn → R definido no Problema 6.1, determine uma matriz A tal que

⟨u, v⟩ = uAvT .

(a) Em que casos e esta matriz A e simetrica e tem todos os valores proprios estritamento positivos?

Compare esta resposta com a solucao do Problema 6.1.

6.24 Das seguintes matrizes indique as que sao as matrizes hermiteanas:[1 2

2 3

],

[1 2

−2 3

],

[1 i

−i 3

],

[i i

−i 3

], onde i =

√−1.

6.25 Seja A ∈Mn×n(R).(a) Usando o produto interno usual, prove que ⟨Au, v⟩ = ⟨u,AT v⟩ para quaisquer u, v ∈ Rn, (u e v

escritos como vectores verticais).

(b) Se a matriz A for ortogonal, prove que ||Au|| = ||u||, para qualquer u ∈ Rn.

6.26 Seja T : Cn → Cn transformacao linear do espaco euclidiano Cn e T ∗ a transformacao definida

usando a equacao ⟨T (u), v⟩ = ⟨u, T ∗(v)⟩, u, v ∈ Cn.

(a) Calcule T ∗(vi), onde vi = (0, ..., 0, 1, 0..., 0) o vector da base canonica de Cn (em que entrada i de vie igual a 1).

(b) Fixando uma base B de Rn, sera que M(T ∗;B;B) = A∗ onde A = M(T ;B;B)?

(c) Se λ for valor proprio de T , entao λ e valor proprio de T ∗?


6.27 Seja A ∈Mn×n(C) e A∗ a matriz transconjudada de A cuja entrada (i, j) e aji o complexo conjugado

da entrada (j,i) de A.

(a) Usando o produto interno usual de Cn, prove que ⟨Au, v⟩ = ⟨u,A∗v⟩ para quaisquer u, v ∈ Cn.

(b) Se A for uma matriz unitaria, entao prove que ||Au|| = ||u||, para qualquer u ∈ Cn.

6.28 Considere as seguintes matrizes reais

A =

0 0 0

0 0 1

10 −4 4

, B =

1 0 1

2 0 2

3 0 3

, C =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

.

a) Indique as matrizes normais (isto e verifique se AAT = ATA, etc.) e as matrizes simetricas.

b) Identifique as matrizes X ∈ {A,B,C} diagonalizaveis, construindo para cada X uma matriz P−1 tal

que D = PXP−1 (onde D e uma matriz diagonal).

c) Identifique as matrizes diagonalizaveis atraves de um sistema de coordenadas ortonormais, e para cada

matriz X nessa situacao, construa uma matriz ortogonal Q tal que D = QXQT .

7 Topicos Adicionais

7.1 Formas quadraticas

7.1 Classificar as seguintes formas quadraticas, em definids positivas, definidas negativas, semidefinidas

positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas:

(a) Q(x, y) = x2 + y2 + 2xy.

(b) Q(x, y) = 2x2 + 2y2 + 2xy.

(c) Q(x, y) = −3x2 + 2yx− 2y2.

(d) Q(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + 4yx.

(e) Q(x, y, z, w) =[x y z w

]3 0 0 0

0 1 α 0

0 α 2 0

0 0 0 7

x

y

z

w

, onde α e um parametro.

7.2 Seja A uma matriz real simetrica n× n. Prove que A2 e definida positiva se e so se A for invertıvel

(nao singular).

7.2 Mınimos quadradros

7.3 Seja A =

4 1

3 −14 1

, b =

10

2

2

, u =

[−23

]e v =

[−11

].

(a) Calcule Au e Av e compare estes vectores com b.

(b) Diga se u pode ser uma solucao de mınimos quadrados para a equacao Ax = b.

(c) Determine o sistema normal associado ATAx = AT b e determine a(s) suas solucoes.

Compare com (b).

7.4 Determine todas as solucoes de mınimos quadrados para a equacao Ax = b:

(a) A =

1 1

−1 1

−1 2

, b =

7

0

−7

.


(b) A =

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

, b =

3

1

2

4

.7.5 Um produtor de aco obteve os seguintes dados:

Ano 1997 1998 1999 2000 2001 2002

vendas anuais (em milhoes de euros) 1, 2 2, 3 3, 2 3, 6 3, 8 5, 1

Vamos representar os anos de 1997 a 2002 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente, e representar o ano por

x. Seja y a venda anual (em milhoes de euros).

(a) Encontre a recta de mınimos quadrados relacionando x e y.

(b) Use a equacao obtida em (a) para estimar as vendas no ano de 2006.

7.6 Seja A uma matriz cujas colunas sao linearmente independentes e b um vector ortogonal a todas as

colunas de A. Prove que a unica solucao de mınimos quadrados de Ax = b e x = 0.

7.7 Considere as matrizes A =

1 1

1 2

1 3

e b =

3212

3

.(a) Verifique que o sistema Ax = b e impossıvel.

(b) Determine todas as solucoes de mınimos quadrados associadas ao sistema Ax = b.

(c) Foi observado que os lucros obtidos nas 3 primeiras semanas pela venda de um automovel na Uniao

Europeia foram:

Semana 1 2 3

Lucros (em milhoes de euros) 1, 5 0, 5 3

Vamos representar as semanas por x e o lucro semanal por y. Encontre a recta y = α+ βx de mınimos

quadrados relacionando x e y. Use a recta obtida para estimar os lucros na semana 6.

7.3 Equacoes diferenciais ordinarias

7.8 Das funcoes y1(t) = e2t, y2(t) = e2t + π, y3(t) = πe2t, y4(t) = e2t+π quais sao solucoes da equacao

diferencial y′(t) = 2y(t)?

7.9 Determine a solucao geral dos seguintes sistemas de quacoes diferenciais.

(a)

{y′1 = 3y1 + y2y′2 = 5y1 + y2

, (b)

{y′1 = 3y1 + 2y2y′2 = y1 + y2

(c)

y′1 = 3y1 + 2y2y′2 = y1 + y2y′3 = y2 − y3

7.10 Para cada um dos sistemas do Problema anterior determinte a solucao que verifica as condicoes

(a) y1(0) = 0 e y2(0) = 0.

(b) y1(0) = 2 e y2(0) = 1.

(c) y1(0) = −1, y2(0) = 1 e y3(0) = 0.

7.11 (a) Mostre que a matriz A =

[2 1

−2 5

]e diagonalizavel, indicando uma matriz diagonal D e

matriz mudanca de base P−1 tais que D = PAP−1.


(b) Encontre a unica solucao do seguinte sistema de equacoes diferenciais:{2y1(t) + y2(t) = y′1(t)

−2y1(t) + 5y2(t) = y′2(t)

com as condicoes y1(0) = 1, y2(0) = −1.

7.12 Considere o seguinte sistema de equacoes diferenciais com valor inicial:y′1 = y1 + 2y2y′2 = 3y2y1(0) = 8 e y2(0) = 5.

A solucao deste sistema e:

A) y1(t) = 3et + 5e3t, y2(t) = 5e3t B) y1(t) = 8et, y2(t) = 5e3t

C) y1(t) = 3e3t + 5et, y2(t) = 5et D) y1(t) = 3et + 5e2t, y2(t) = 5e3t.

7.13 Determine o conjunto de todas as solucoes do seguinte sistema de equacoes diferenciais de 1a ordem:{−3y1(t) = y′1(t)

3y1(t)− 2y2(t) = y′2(t)

(a) Usando as condicoes iniciais y1(0) = 40 e y2(0) = 5, verifique que

y1(t) = 40e−3t, y2(t) = −120e−3t + 125e−2t,

e a (unica) solucao do sistema de equacoes diferenciais descrito anteriormente.

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Lista de exerc cios para as aulas de problemas de Algebra