Libro Diferencial Ultima Version

CALCULO DIFERENCIAL

Jorge Adelmo Hernandez Pardo*

Especialista en Matematica Avanzada

Universidad Nacional de Colombia

Profesor Asistente de la Universidad Distrital

“Francisco Jose de Caldas”

Edilberto Sarmiento**

Magister en Ciencia Matematica


Profesor Asociado de la Universidad Distrital


Rodrigo Rincon Zarta***

Especialista en Matematica Avanzada


Profesor Asistente de la Universidad Distrital


Mayo de 2010

*email [email protected].**email [email protected]

***email [email protected]

2

Prefacio

Este libro es el resultado de la experiencia de los autores orientando la asig-

natura calculo diferencial en algunas universidades del pais y trabajando en

temas matematicos relacionados con el calculo.

El libro ha sido elaborado pensando en que pueda ser seguido en las carreras

de tecnologıa e ingenierıa, por tanto se han tenido en cuenta la mayorıa de

los temas y el orden de los programas de esta asignatura.

En cada una de las secciones del libro se presentan ejemplos resueltos, como

guıa para el estudiante al resolver los ejercicios propuestos

El libro consta de cinco capıtulos, en el primero se presentan los resultados

mas importantes de los numeros reales y las inecuaciones, y se hace el desa-

rrollo de algunos temas de geometrıa analıtica como son las rectas y conicas,

necesarios para el desarrollo de los temas posteriores del calculo.

En el segundo capitulo se trabaja el concepto de relacion y funcion, ejem-

plos, operaciones, las funciones se clasifican segun propiedades geometricas

y algebraicas. Como la mayorıa de los textos en la actualidad se presentan

las trascendentes tempranas, se estudian mas profundamente las funciones

trigonometricas, sus inversas, las logarıtmicas y exponenciales.

En el tercer capitulo se estudia el concepto de lımite, se presenta su definicion

formal, la demostracion de sus propiedades, el calculo de lımites algebraicos,

trigonometricos, infinitos, el estudio de las asıntotas de una funcion y algunos

lımites de funciones trascendentes, para finalizar el capitulo se presentan los

i

ii CAPITULO 0. PREFACIO

conceptos de continuidad y algunos teoremas importantes del calculo.

En el cuarto y quinto capitulo se estudian las derivadas y las aplicaciones

mas importantes, finalizando con la regla de L’Hopital.

El libro presenta algunos aportes, en la organizacion de los temas, la pre-

sentacion de la funcion exponencial y en particular el numero e, que se ob-

tiene al buscar aquella funcion exponencial, cuando se conoce la pendiente,

es decir, aproximado por una sucesion, cuya ganancia es poder hablar tran-

quilamente en calculo diferencial de la funcion exponencial y por lo tanto

de su inversa, la funcion logaritmo natural, sin necesidad del calculo inte-

gral para definir dicha funcion. El concepto de extension periodica de una

funcion, el uso del teorema de intercalacion para determinar el lımite parte

entera, ejemplo 3.27 de la pagina 195.

La mayorıa de graficas son originales y se han elaborado en el programa

PStricks anexo al programa MikTEX, solo cuatro han sido importadas de

Matlab.

iii

iv CAPITULO 0.

Indice general

Prefacio I

III

1. Los numeros reales y la recta numerica 1

1.1. Los numeros naturales: N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Los numeros enteros: Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Los numeros racionales: Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Numeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Numeros reales: R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Propiedades de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.2. Propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9.2. Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 15

1.10. Inecuaciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11. Distancia entre 2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.13. Introduccion a las secciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.13.1. Circunferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.13.2. Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

v

vi INDICE GENERAL

2. Relaciones y funciones 43

2.1. Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2. Dominio y rango graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Relacion funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4. Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1. Otras formas de representar una funcion . . . . . . . . 56

2.4.2. Criterio grafico para el calculo del dominio y recorrido

de una funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5. Funciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5.1. Funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.2. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.3. Funcion identica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.4. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.5. Funcion cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.7. Funciones radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.8. Funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.1. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8.2. Funcion escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8.3. Funcion parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.9. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.10. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.11. Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.12. Transformaciones geometricas con funciones . . . . . . . . . . 75

2.12.1. Desplazamientos verticales y horizontales de las graficas 75

2.12.2. Dilataciones y contracciones verticales . . . . . . . . . 77

2.12.3. Dilataciones y contracciones horizontales . . . . . . . . 80

2.12.4. Simetrıa con respecto al eje x . . . . . . . . . . . . . . 84

2.12.5. Simetrıa con respecto al eje y . . . . . . . . . . . . . . 85

2.12.6. Simetrıa con respecto al origen . . . . . . . . . . . . . 85

2.12.7. Accion del valor absoluto sobre una funcion . . . . . . 87

2.12.8. Funciones pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.12.9. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.12.10. Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

INDICE GENERAL vii

2.12.11.Extension periodica de una funcion . . . . . . . . . . . 92

2.13. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.13.1. Circulo unitario y angulos en radianes y grados . . . . 94

2.13.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.13.3. Funcion tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.13.4. Funcion cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.13.5. Funcion secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.13.6. Funcion cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.13.7. Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.13.8. Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.13.9. Identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.14. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.14.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.14.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.14.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.15. Inversa de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.16. Funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.16.1. Inversa de la funcion seno . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.16.2. Inversa de la funcion coseno . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.16.3. Inversa de la funcion tangente . . . . . . . . . . . . . . 132

2.16.4. Inversa de la funcion cotangente . . . . . . . . . . . . 134

2.16.5. Inversa de la funcion secante . . . . . . . . . . . . . . 136

2.16.6. Inversa de la funcion cosecante . . . . . . . . . . . . . 137

2.17. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.17.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.18. Funcion exponencial natural: ex . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.18.1. Propiedades de la funcion exponencial natural . . . . . 145

2.19. Funcion logaritmo natural: lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.19.1. Propiedades de la funcion logaritmo natural . . . . . . 147

2.20. Funcion logaritmo en base a: loga . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.20.1. Propiedades de la funcion logaritmo en base a . . . . . 150

2.21. Algunas aplicaciones de las funciones . . . . . . . . . . . . . . 154

viii INDICE GENERAL

3. Lımites 159

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1.1. Tres problemas clasicos que llevan al concepto de lımite159

3.2. Definicion de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2.1. Nocion intuitiva de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2.2. Definicion formal de lımite . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.2.3. Lımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.3. Propiedades de los lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.3.1. Definicion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.4. Lımites algebraicos de la forma 00 . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.5. Lımites trigonometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.6. Sustitucion en lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.7. Lımites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.7.1. Lımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.7.2. Lımites de valor infinito y asıntotas verticales. . . . . 210

3.7.3. Lımites al infinito de valor infinito . . . . . . . . . . . 216

3.8. Continuidad de funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . 221

3.8.1. Lımites y continuidad de funciones exponenciales, lo-

garıtmicas y funciones inversas . . . . . . . . . . . . . 230

3.9. Teoremas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3.9.1. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4. Derivadas 243

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.1.1. Velocidad media y velocidad instantanea . . . . . . . . 243

4.1.2. Rectas secantes y rectas tangentes. . . . . . . . . . . . 246

4.2. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.2.1. Derivadas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4.2.2. Algebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

4.2.3. Derivadas de las funciones trascendentes. . . . . . . . 265

4.2.4. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.2.5. Regla de la cadena o derivada de una funcion compuesta.270

4.2.6. Derivadas implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.2.7. Derivadas de las funciones trigonometricas inversas . . 280

INDICE GENERAL ix

5. Aplicaciones de la derivada. 287

5.1. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

5.2. Maximos y mınimos (absolutos) . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.3. Maximos y mınimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.4. Construccion de graficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . 309

5.4.1. Funciones monotonas y criterio de la primera derivada 309

5.4.2. Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.5. Problemas de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

5.6. Regla de L’Hopital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A. 339

A.1. Algunas identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 341

A.2. Respuesta a algunos ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Respuesta a algunos ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Bibliografıa 353

Indice de materias

x INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Los numeros reales y la recta

numerica

1.1. Los numeros naturales: N

Es un conjunto de numeros que se denota con una N (n mayuscula) y que

por extension se escribe de la siguiente manera:

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} (1.1)

Los puntos suspensivos significa que los numeros continuan en ese orden y

que no hay ultimo elemento. Para algunos autores el cero no es un numero

natural, para otros sı. Podemos graficar los numeros naturales en una rec-

ta numerica. Para ello debemos hacer una correspondencia entre algunos

puntos de la recta y los numeros naturales. Se dibuja una recta, puede ser

horizontal. Marcamos un punto

| |

0 1

O B

y lo llamamos O. Al punto O le asociamos el numero cero. Luego, marcamos

otro punto que este a la derecha de O, no importa la distancia, lo llamamos el

punto B y le asociamos el numero uno (1). De inmediato sabemos cuales son

los puntos de la recta a los cuales se les asocia un numero natural, puesto

que se ha escogido una unidad de longitud mediante el segmento OB. El

1

2 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMERICA

punto de la recta al cual se le asocia el numero dos (2) esta a la derecha

del uno y a la misma distancia que del cero al uno, que es la longitud del

segmento OB.

1.2. Los numeros enteros: Z

El conjunto de los numeros enteros, se denota mediante una letra z mayuscu-

la: Z, y por extension se escribe ası:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (1.2)

Hay que observar que el conjunto Z de los numeros enteros contiene al

conjunto N de los numero naturales, lo que se escribe Z ⊃ N, o, N ⊂ Z que

se lee N es subconjunto de Z. Los numeros naturales, fueron los primeros

numeros conocidos por el hombre y que sirvieron para contar.

Los numeros enteros ayudan a solucionar ecuaciones que no tienen solucion

en el conjunto de los numeros naturales, como por ejemplo: x+12 = 4, cuya

solucion es x = −8 que no es un numero natural pero si entero. Para hacer la

correspondencia, de los numeros enteros con la recta numerica, procedemos

de la misma manera que hicimos para ubicar los numeros naturales, pero

ademas a la izquierda de O marcamos el punto −B de tal manera que sea

simetrico del punto B, respecto del punto O y le asociamos el numero entero

−1 y ası sucesivamente. Hay que observar que los numeros naturales tienen

primer elemento pero no tienen ultimo elemento, mientras que los numeros

enteros no tienen primer elemento ni ultimo elemento. Ademas, todo punto

de la recta, al cual se le asocia un numero entero, tiene su respectivo punto

simetrico, con punto de simetrıa el origen O.

| | | | | | |

O−B B

−3 −2 −1 1 2 3

Una vez hecha la correspondencia entre los numeros enteros y los puntos de

la recta, la grafica nos muestra los puntos que estan aislados y separados

dos seguidos una distancia igual a la longitud del segmento OB. A pesar de

que se han ubicado infinitos puntos en la recta, quedan infinitos puntos a

1.3. LOS NUMEROS RACIONALES: Q 3

los cuales aun no se les ha asignado un numero, pero que a continuacion se

hace, para que a todo punto de la recta le corresponda un numero.

1.3. Los numeros racionales: Q

En el conjunto de los numeros enteros, ecuaciones como 2x+1 = 0, 3x−8 =

2, 5x − 7 = 3 no tienen solucion, esta deficiencia hizo necesario crear un

conjunto donde este tipo de ecuaciones tenga solucion.

El conjunto de los numeros racionales se denota mediante una letra q mayuscu-

la: Q y se escribe por comprension de la siguiente manera:

Q ={mn

∣∣∣m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0}

(1.3)

que se lee: Q es el conjunto de todos los numeros que tienen la formam sobre

n, siendom y n numeros enteros, con la condicion de que el denominador n es

diferente de cero. Hay que tener en cuenta que todos los numeros enteros son

numeros racionales puesto que por ejemplo el numero dos se puede escribir:

2 =2

1=

4

2=

6

3, . . .

Luego el conjunto de los numeros enteros es un subconjunto de los numeros

racionales. El significado dem

nes que el numero entero m se ha dividido en

n partes iguales. Si escribimos

1

n: entonces la unidad se ha dividido en n partes iguales.

1

2: el uno se ha dividido en dos partes iguales.

1

3: la unidad se ha dividido en tres partes iguales, y escogemos una.

Comom

n= m · 1

n, significa que la unidad se divide en n partes iguales y

cogemos m partes de esas. Por ejemplo

8

2= 8 · 1

2: la unidad, la dividimos en dos partes iguales y tomamos

ocho partes de esas.

6

4= 6 · 1

4: la unidad, la dividimos en cuatro partes iguales y tomamos

seis partes de esas.


| | | | | | | | |

| | |

0 12 1

0 1 2 3 48 veces 1

2

| | | | | | | | | |

| | | | |

0 14 1

0 1 2 3

La unidad dividida en 4 partes iguales

6 veces 14

Nuevamente, se hace una correspondencia, entre los numeros racionales y

puntos de la recta numerica. A pesar de dicha correspondencia quedan pun-

tos de la recta a los cuales no se les asigna un numero racional. Para com-

pletar la correspondencia, debemos ir a otro conjunto de numeros.

Operaciones en los racionales

Si a,b,c y d son enteros, con b y d no nulos, se define:

1. Sumaa

b+c

d=ad+ bc

bd

2. Productoa

b.c

d=ac

bd

3. Divisiona

b÷ c

d=ad

bco tambien

a

bc

d

=ad

bc

Orden en los racionales

Sia

b,c

dson numeros racionales, con b y d enteros positivos,

a

b<

c

d, si y solo

si, a.d < b.c. Note que cada numero racionala

bse puede expresar de la

forma a ∈ Z y b ∈ Z+, esto debido, a:

1.a

−b = −ab=−ab, adicionalmente,

1.3. LOS NUMEROS RACIONALES: Q 5

2.−a−b =

a

b

Se dice tambien que los numeros racionales son densos, con el orden definido

antes, si dado dos numeros racionales r1 y r2, existe al menos otro numero

racional entre ellos, a saber: r1 < r1+r22 < r2. Notese que si existe uno,

existen infinitos racionales entre ellos.

Teorema 1.1. Todo numero racionalp

qtiene escritura decimal finita o

infinita periodica.

Demostracion. Seap

qp, q > 0 y p, q numeros enteros con p < q, pues

cualquier otro caso se puede reducir a este. Se efectua la division.

p q

r1 0, c1

donde, c1 es un numero dıgito. En este caso se tiene p = (0, c1).q + r1

donde 0 ≤ r1 < q. Si r1 = 0 entonces, pq = 0, c1 y el resultado se tiene.

Supongamos que r1 > 0, entonces, como r1 ∈ {1, 2, · · · , q − 1} puede

suceder que r1 = p, en tal caso se tiene quep

q= 0, c1c1c1 · · · , y clara-

mente se cumple el teorema. Supongase que r1 6= 0, r1 6= p, continuando

con la division se tiene que p = (0, c1c2)q + r2, donde 0 ≤ r2 < q,

si r2 = 0, entonces,p

q= 0, c1c2 y el resultado se tiene. Supongamos

que r2 > 0. Entonces, puede suceder que r2 = p, en este caso se tienepq = 0, c1c2c1c2 · · · , y la conclusion se tiene, o puede suceder que r2 = r1,

entonces, se tiene quep

q= 0, c1c2c2 · · · , y nuevamente se tiene el resultado.

Supongase que r2 6= 0, r2 6= p, r2 6= r1, continuando la division se tiene

p = (0.c1c2c3) q + r3 con 0 ≤ r3 < q, entonces, pude suceder que

1. r3 = 0, en tal caso se tienep

q= 0, c1 c2 c3 y el teorema se cumple.

2. r3 = p en este caso se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c1 c2 c3 · · · y la conclusion

se tiene.

3. r3 = r1 aquı se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c2 c3 c2 c3


4. r3 = r2 aquı se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c3 c3 c3 c3 y tambien la conclusion

se tiene.

Continuando con este proceso se tendrıap

q= 0, c1 c2 . . . cq−1 en el caso en

que rq−1 6= 0, rq−1 6= r1, rq−1 6= r2, . . . , rq−1 6= rq−2.

Nuevamente, continuando con la division se tienep

q= 0, c1 c2 c3 . . . cq+ rq

donde 0 ≤ rq < q. Si rq = 0 el resultado se tiene.

Como rq ∈ { 1, 2, . . . , q − 1 }, entonces, existe rs, 1 < s < q− 1, tal que,

rq = rs y en tal caso se tendrıap

q= 0, c1 c2 . . . , cq1 cs cs+1 . . . cq . . . . Esto

completa la demostracion

Ejemplo 1.2.

1)1

2= 0,5 2)

3

4= 0,75

3)1

3= 0,3333 . . . = 0, 3 4)

5

11= 0, 454545 . . . = 0, 45

5)789

17= 46,411764

Observacion: la raya horizontal, sobre uno o varios dıgitos, indica que

dichos dıgitos se repiten infinitas veces.

1.4. Numeros irracionales: I

Son todos aquellos numeros que no se pueden escribir como racionales, es

decir, no se pueden expresar como cociente de enteros. Algunos ejemplos de

numeros irracionales son√2,√7,√11, π.

Los numeros irracionales se caracterizan por tener expansiones decimales

infinitas no periodicas, esto debido al teorema 1.1

De lo anterior se puede ver que el conjunto de los numeros racionales Q y el

conjunto de los numeros irracionales I son disyuntos, es decir Q ∩ I 6= φ.

1.5. NUMEROS REALES: R 7

1.5. Numeros reales: R

El conjunto de los numeros reales se denota con la letra R y es el conjunto

formado por los numeros racionales y los numeros irracionales:

R = Q ∪ I (1.4)

Al hacer la correspondencia entre los puntos de la recta y los numeros reales

queda de tal manera que a todo punto A de la recta numerica le corresponde

un unico numero real y viceversa. A todo numero real a, le corresponde un

unico punto A de la recta, es por ello que a la recta se le llama recta real

y debido a la correspondencia, podemos senalar puntos en la recta real y

llamarlos numeros reales. De esta manera a cada punto de la recta, se le

asigno un unico numero.

1.6. Propiedades de los numeros reales

Las propiedades de los numeros reales estan comprendidos en tres categorıas,

a saber:

1. Propiedades Algebraicas.

2. Propiedades de Orden.

3. Propiedades de Completitud.

1.6.1. Propiedades algebraicas

Las propiedades algebraicas nos permiten sumar, restar, multiplicar y dividir

(excepto entre cero) los numeros reales para producir mas numeros reales

utilizando las reglas usuales de la aritmetica.

La suma y la multiplicacion de numeros reales cumplen las siguientes propiedades:

1. Ley clausurativa: Al sumar o multiplicar entre sı dos o mas numeros

reales, el resultado que se obtiene es otro numero real:

∀ a, b ∈ R, a+ b ∈ R; a.b ∈ R


Otra forma de expresar dicha propiedad es diciendo que la suma y

la resta son operaciones cerradas en R el conjunto de los numeros

reales. Hay que tener en cuenta que por ejemplo la division no es una

operacion cerrada en el conjunto Z.

2. Ley asociativa: Para sumar o multiplicar tres o mas numeros reales

se pueden asociar de la forma como uno quiera o como nos convenga y

el resultado es igual. Formalmente, se escribe: para todo numero real,

a, b y c se cumple

1) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

2) (a · b) · c = a · (b · c),

donde a, b y c denotan numeros reales.

3. Ley conmutativa: Para todo numero real a y b

1) a+ b = b+ a

2) a · b = b · a

4. Ley modulativa:

1) Existe un numero real que es el cero (0) tal que para cualquier

numero real a:

a+ 0 = 0 + a = a.

El cero se llama modulo o elemento neutro de la suma.

2) Existe un numero real unico que es el uno 1 tal que para cualquier

real a:

a · 1 = 1 · a = a.

El uno es llamado modulo o elemento neutro de la multiplicacion.

5. Ley invertiva:

a) Para cualquier numero real a, existe un numero real unico, lla-

mado el opuesto de a y denotado −a tal que al operarlos da como

resultado el elemento neutro de la suma:

a+ (−a) = 0

1.6. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 9

b) Para cada numero real a, diferente de cero, existe un numero re-

al unico llamado el recıproco de a, denotado a−1 o1

a, tal que al

multiplicarlos da como resultado el elemento neutro de la multi-

plicacion:

a · a−1 = 1, o, a ·(1

a

)= 1

6. Ley distributiva: Esta ley relaciona la operacion de la suma con el

producto. Si a, b y c son numeros reales, entonces:

a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Por ejemplo,

3(5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

trabajando simultaneamente en ambos lados miembros de la igualdad,

tenemos:

3 · (9) = 15 + 12

27 = 27

1.6.2. Propiedades de orden

| |

a b

A B

Dados dos puntos de la recta numerica: el punto A y el punto B, sus res-

pectivas coordenadas son los numeros reales a y b. Si el punto B esta a la

derecha del punto A en la recta, decimos que b > a y se lee: el numero b es

mayor que el numero a, o lo que es lo mismo a 0) de tal forma que a+ c = b, en tal caso se escribe a < b.

Ejemplo 1.3. −5 < −2, pues, −5 + 3 = −2


1.7. Desigualdades

Expresiones como las anteriores: a < b, a ≤ b, b > a, b ≥ a se llaman

desigualdades y el numero b es mayor que el numero a si b − a > 0 y el

numero a es menor que el numero b, si a− b < 0.

Propiedades de las desigualdades

Si a, b y c son numeros reales, entonces:

1. Si a < b, entonces, a+ c < b+ c.

2. Si a < b, entonces, a− c < b− c.

3. Si a 0, entonces, a · c b · c.Si a −b: si se multiplica ambos lados de una

desigualdad por −1, la desigualdad cambia de sentido.

5. Si a > 0, entonces,1

a> 0.

6. Si a > 0 y b > 0, o si a < 0 y b < 0, entonces: a 

1

b.

Es logico que si se escribe b > a en lugar de a < b, las propiedades se

cumplen, tambien si la desigualdad es a ≤ b o b ≥ a.

La propiedad uno, nos dice que podemos sumar en cada miembro de una

desigualdad, la misma cantidad. Si hacemos eso, la desigualdad que resulta

es equivalente a la anterior. Que dos desigualdades sean equivalentes, sig-

nifica que tienen las mismas soluciones. Resolver una desigualdad, tambien

llamada inecuacion, es hallar todos los valores para los cuales la desigualdad

tiene sentido. Por ejemplo, si se escribe x − 5 > 0, o, x > 5, la solucion

consta de todos los numeros reales mayores que cinco.

1.8. INTERVALOS 11

1.8. Intervalos

Dados dos puntos A y B de la recta real, A a la izquierda de B, el con-

junto de todos los puntos de la recta que estan a la derecha de A y a la

izquierda de B, se llama intervalo. El punto A y el punto B, pueden o no

pertenecer al intervalo. Debido a la correspondencia entre puntos de la recta

real y numeros reales, dados dos numeros reales a y b, un intervalo consta

de todos los numeros reales que estan entre a y b. Los numeros reales a y b

pueden o no pertenecer al intervalo.

Los intervalos de numeros correspondientes a segmentos de la recta real se

llaman intervalos finitos y los intervalos correspondientes a semirrectas o a la

recta real misma, se llaman intervalos infinitos. Si los extremos del intervalo

pertenecen al intervalo, el intervalo se llama cerrado, si no pertenecen, se

llama intervalo abierto. Los intervalos se pueden dividir en dos clases, segun

tengan longitud finita o infinita y se definen de la siguiente manera: (a y b

son numeros reales)

1. Intervalos de longitud finita:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

2. Intervalos de longitud infinita:

[a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a}(a,∞) = {x ∈ R | x > a}

(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

(−∞,∞) = R.

Expresiones del tipo P (x) < 0, P (x) ≤ 0, P (x) > 0, P (x) ≥ 0, donde P (x)

es una expresion algebraica en la variable x, se llaman inecuaciones. Para


resolver inecuaciones, se utilizan las propiedades de las desigualdades dadas

en 1.7 de la pagina 10

Ejemplo 1.4. Resolver:

1. 3x− 5 ≤ 2x+ 3.

3x−5+5 ≤ 2x+3+5, se sumo 5 en cada miembro. Queda 3x ≤ 2x+8.

Sume −2x en cada miembro: 3x− 2x ≤ 2x− 2x+8, queda x ≤ 8, que

es la solucion.

Como conjunto: {x ∈ R | x ≤ 8}. Como intervalo: (−∞, 8].

2. −5x

4≥ x

4+ 3.

Se suma −x4 en cada miembro:

−5x

4− x

4≥ x

4− x

4+ 3.

Queda −6x

4≥ 3. Se multiplica ambos miembros por 4:

−6 · 4x4

≥ 3 · 4,

queda −6x ≥ 12. Se divide cada miembro de la desigualdad en −6 que

equivale a multiplicar cada miembro por −1

6y por propiedad, cambia

de sentido la desigualdad:

− 6x

−6 ≤12

−6 ,

queda x ≤ −2. Solucion como intervalo: (−∞,−2]. Como conjunto:

{x ∈ R | x ≤ −2}. Geometricamente:

]−2

Ejemplo 1.5. Resolver: 8x− 9 ≥ 6x+ 11.

8x− 6x− 9 + 9 ≥ 6x− 6x+ 9 + 11

1.9. VALOR ABSOLUTO 13

2x ≥ 20

x ≥ 20

2

x ≥ 10

1.9. Valor absoluto

El valor absoluto de un numero real x, se denota |x| y se define de la siguiente

manera:

|x| =

x, si x ≥ 0

−x, si x < 0(1.5)

Ejemplo 1.6. |6| = 6; | − 5| = 5.

Geometricamente, el valor absoluto de un numero x, denota la distancia que

hay del origen 0, de una recta numerica al punto considerado, entonces, |−5|es la distancia del origen al punto x = −5, que es de cinco unidades:

| | | | | | | | | | |

−5 −1 0

La distancia entre el punto A y el punto B, se denota |a− b| = |b− a|

| |

a b

A B

Ejemplo 1.7. La distancia entre el punto x = −5 y x = 10 es | − 5− 10| =| − 15| = 15 o tambien |10− (−5)| = |10 + 5| = 15.

Es importante saber que√a2 = a, si estamos seguros que a es un numero

positivo, de lo contrario se tendrıa como por ejemplo lo siguiente:

√(−5)2 = −5, de otro lado

√(−5)2 =

√25 = 5

es decir, que −5 = 5 lo que es imposible. Entonces, por definicion:

√a2 = |a|. (1.6)


1.9.1. Propiedades

El valor absoluto, tiene las siguientes propiedades:

| | |

−a 0 a

−A O B

1. Un numero y su simetrico, tienen el mismo valor absoluto:

| − a| = |a|

2. El valor absoluto de un producto, es el producto de los valores abso-

lutos:

|a · b| = |a| · |b|

3. El valor absoluto de un cociente, es el cociente de los valores absolutos:

∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , b 6= 0

4. El valor absoluto de la suma de dos numeros, es menor o igual que

la suma de sus valores absolutos. Esta propiedad se conoce como la

desigualdad del triangulo:

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (1.7)

5. |a|2 = a2

6. |a| < |b| ⇐⇒ a2 < b2

Ejemplo 1.8. Resolver la siguiente igualdad: |3x− 2| = 10. Por definicion

tenemos:

3x− 2 = 10 o 3x− 2 = −10, resolviendo

3x = 10 + 2 3x = −10 + 2

x =12

33x = −8

x = 4 x = −8

3

1.9. VALOR ABSOLUTO 15

1.9.2. Inecuaciones con valor absoluto

La desigualdad |x| < D, nos dice que la distancia entre x y cero es menor

que D, es decir que x esta entre −D y D:

| | |

−D 0 D

|x| < D ⇔ −D < x < D, D > 0

|x| ≤ D ⇔ −D ≤ x ≤ D, D > 0

La desigualdad |x| > D, nos dice que la distancia de 0 a x es mayor que D,

por lo tanto x < −D, o, x > D:

| | |� �

−x −D 0 D x

|x| > D ⇔ x < −D, o, x > D, D > 0

|x| ≥ D ⇔ x ≤ −D, o, x ≥ D, D > 0

Ejemplo 1.9.

1. |x| < 4. |x| < 4 ⇔ −4 < x < 4, la solucion: {x ∈ R | −4 < x < 4},que es el intervalo (−4, 4).

|

−4 0 4

2. |x| ≥ 5. |x| ≥ 5⇔ x ≥ 5, o, x ≤ −5. Solucion: (−∞,−5] ∪ [5,∞).

Graficamente:

| |

−5 0 5


o tambien: {x ∈ R | x ≤ −5, o, x ≥ 5}.

Ejemplo 1.10. |x− 3| ≤ 2.

−2 ≤ x− 3 ≤ 2

−2 + 3 ≤ x− 3 + 3 ≤ 2 + 3

1 ≤ x ≤ 5.

Ejercicios 1.11. Resolver:

1. |x− 5| = 7.

2. |x− 8| = 10.

3. |x+ 9| = 11.

4. |4x− 6| = 14.

5. |7x− 11| = 21.

6. |x− 5| ≤ 7.

7. |x− 8| ≤ 10.

8. |x+ 9| ≤ 11.

9. |4x− 6| ≤ 14.

10. |7x− 11| ≤ 21.

11. |8x+ 16| ≤ 24.

12. |x− 5| ≥ 7.

13. |x− 8| ≥ 10.

14. |x+ 9| ≥ 11.

15. |4x− 6| ≥ 14.

16. |7x− 11| ≥ 21.

17. |8x+ 16| ≥ 24.

18. |9x+ 16| ≥ 18.

1.10. Inecuaciones cuadraticas

Resolver: x2 + 5x+ 6 < 0.

La funcion f(x) = x2 + 5x + 6 es cuadratica y la grafica una parabola que

se abre hacia arriba y que tiene vertice en el punto donde x = − 52 , es decir,

el punto P(−5

2 ,−14

), pasa por los puntos (−3, 0), (−2, 0), (−4, 2), (−1, 2),

entre otros.

La inecuacion x2 + 5x+ 6 < 0, esta preguntando por los valores x para los

cuales la expresion x2 + 5x + 6 es menor que cero. Segun la grafica, la

desigualdad se cumple para todos los x en el intervalo (−3,−2). El ejerciciose resuelve de la siguiente manera:

x2 + 5x+ 6 < 0 ⇔ (x+ 3)(x+ 2) < 0

1.10. INECUACIONES CUADRATICAS 17

�

� �

�

�| | |

-

-

-

−4 1

−1

−1

1

2

Hay un producto de dos factores: (x + 3) y (x + 2). Cuando un producto

de dos factores es menor que cero? Cuando uno de los factores es positivo

y el otro negativo. Encontrando los ceros de f(x) = x2 + 5x + 6, x1 = −3y x2 = −2 y se ubican en el eje X, la recta queda dividida en tres partes a

saber: (−∞,−3), (−3,−2), (−2,∞)

| |

−3 −2

(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)

Se le dan valores a x en cada uno de los factores (x + 3) y (x + 2), valores

que esten en cada uno de los intervalos (−∞,−3), (−3,−2), (−2,∞), por

ejemplo, si le damos valores a x en el factor (x + 3), valores menores que

−3, es decir, si x recorre el intervalo (−∞,−3), el factor (x + 3) siempre

sera negativo, lo mismo el factor (x+2). Si x en los factores (x+3) y (x+2)

recorre el intervalo (−3,−2), el valor de (x+ 3) es positivo, mientras que el

valor de (x+ 2) sera negativo. Si x en los factores (x+ 3) y (x+ 2), recorre

el intervalo (−2,∞), los valores de (x+3) y (x+2) siempre seran positivos.

Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla:

(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)

(x+ 3) - + +

(x+ 2) - - +

Signo del producto + - +

Geometricamente, se puede hacer de la siguiente manera:

se ve claramente que en el intervalo (−3,−2), el factor (x + 3) el positivo,

mientras que el factor (x+ 2) es negativo. Luego, el producto es negativo y

la solucion de x2 + 5x+ 6 < 0, es (−3,−2).


��

−3 −2

(x + 2) : − − − − − − + + +

(x + 3) : − − − + + + + + +

Ejemplo 1.12. Resolver la siguiente desigualdad:

(x+ 4)(x− 5)

(x− 2)< 0, x 6= 2

Podemos evitar el denominador, multiplicando ambos lados de la desigualdad

por una cantidad positiva y que nos convenga, de tal manera que se cancele

el denominador. Para este ejemplo esa cantidad es (x− 2)2:

(x− 2)2(x+ 4)(x− 5)

(x− 2)< 0(x− 2)2,

queda

(x− 2)(x+ 4)(x− 5) < 0.

Cuando el producto de tres factores es menor que cero? Cuando los tres fac-

tores son negativos o cuando dos factores son positivos y el otro es negativo.

La expresion de la izquierda es cero cuando x = 2, x = −4 y x = 5, de tal

manera que esos tres numeros dividen la recta numerica en cuatro intervalos

que son: (−∞,−4), (−4, 2), (2, 5) y (5,∞).

| | |

−4 2 5

(−∞,−4) (−4, 2) (2, 5) (5,∞)

Geometricamente, tenemos

| | |

−4 2 5

(x + 4) : − − + + + + + + + + +

(x− 2) : − − − − − − − + + + +

(x− 5) : − − − − − − − − − + +


se observa claramente, que los tres factores son negativos en el intervalo

(−∞,−4). En el intervalo (2, 5), dos factores son positivos y uno negativo.

En el intervalo (−4, 2), dos factores son negativos y el otro positivo y en el

intervalo (5,∞) los tres factores son positivos. Luego la solucion de la

desigualdad

(x+ 4)(x− 5)

(x− 2)< 0, x 6= 2

consta de todos los numeros reales que esten en el intervalo (−∞,−4) o en

el intervalo (2, 5).

Ejercicios 1.13. Resolver

1. −2 ≥ 5(1− 3(1− 5x)) > −12

2. 2 ≤ 5− 3x+ 2(3− 5(2− 4(1− x))) ≤ 20

3. (x− 3)(x+ 5) > 0, Solucion: (3,∞) ∪ (−∞,−5)

4.4

x− 3 >

2

x− 7, Solucion: (0,∞) ∪

(−∞,−1

2

)

5. x2 > 4, Solucion: (2,∞) ∪ (−∞,−2)

6. x2 ≤ 9, Solucion: [−3, 3]

7. x2 − 3x+ 2 > 0, Solucion: (−∞, 1) ∪ (2,∞)

8. x3 − 3x2 − 33x+ 35 ≤ 0, Solucion: (−∞,−5) ∪ [1, 7]

9. x3 + 15x2 + 26x− 240 < 0, Solucion: (−∞,−10) ∪ [−8, 3]

10. x3 − 2x2 − 104x− 192 > 0, Solucion: (−8,−2) ∪ (12, ∞)

11. x3 + 1 ≤ 0, Solucion: (−∞,−1]

12. 6x2 + 21x− 147 > 0, Solucion: (−∞,−7) ∪(7

2,∞)

13. 2x4 − 9x3 + 11x2 − 4 < 0 Solucion:(−1

2 , 1)


14.x+ 3

x− 1+x− 1

x+ 1≤ 0, Solucion: (−1, 1)

15.x

x− 2+

1

x+ 1≤ 1

x− 2, Solucion:

[−1

2

√13− 1

2,−1

)∪[1

2

√13− 1

2, 2

)

16. x− 1 ≤ x2 + 2x− 2 < 5x+ 1

17.x2 + 5x− 2

x2 + 3x− 1+1 ≤ 2, Solucion:

(−∞,−1

2

√13− 3

2

]∪[1

2

√13− 3

2, 12

]

18. −1 < x2 + 5x− 2

x2 − 1+ 1 ≤ 2

19. −2 ≤ x2 + 5x− 1 < x+ 1

20. 1 ≤ |2x+ 10| < 8

21. |2x− 1| < 1 Solucion: (0, 1)

22. |4x+ 7| ≥ 5, Solucion: (−∞,−3] ∪[−1

2 ,∞)

23. |x+ 1| < |2x− 1| , Solucion: (−∞, 0) ∪ (2,∞),

24.

∣∣∣∣x+ 1

x− 3

∣∣∣∣ ≤ 5, Solucion: (−∞, 3) ∪ [4,∞) ∩ [3,∞) ∪(−∞, 73

]

25.

∣∣∣∣x

x+ 2

∣∣∣∣ ≤ 3, Solucion: (−2,∞) ∪ (−∞,−3] ∩ (−∞,−2] ∪[−3

2 ,∞)

26.

∣∣∣∣2x+ 8

6x+ 3

∣∣∣∣ > 10, Solucion es:(−1

2 ,−1129

)∪(−19

31 ,−12

)

27.

∣∣∣∣x− 1

2x+ 6

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣2x+ 1

x− 4

∣∣∣∣, Solucion :

(−∞,−3]∪[1

6

√337− 19

6,∞)∩(−3, 4)∪(4,∞)∪

(−∞,−1

6

√337− 19

6

]

28. James tiene dos puntajes de 71 y 82 sobre 100. Cuanto debe sacar en

el tercer examen para tener un promedio de 80 o mas.

(Respuesta Debe sacar 87 o mas)


29. Un taxi cobra $900 por el primer cuarto de milla y 300 por cada cuarto

de milla adicional. Que distancia en cuartos de milla puede recorrer

una persona que tiene entre $3000 y $6000.

(Respuesta entre 8 y 18 cuartos de milla)

30. El numero de diagonales, en un polıgono con n lados, esta dado por

d =n(n− 1)

2− n.

Para que polıgonos pasara de 35 el numero de diagonales?.

(Respuesta polıgonos de mas de 10 lados)

31. Una resistencia de 5 ohmios y una resistencia variable se instalan en

paralelo. La resistencia resultante RF esta dada por RF =5R

5 +R.

Determine los valores de la resistencia variable R para los cuales la

resistencia resultante RF sea mayor de 2 ohmios.

(Respuesta R > 103 )

32. La intensidad I en lumens de cierta fuente de luz en un punto a r

centımetros de la fuente esta dada por I = 625r2

. A que distancia de la

fuente de luz la intensidad sera menor de 25 lumens.

(Respuesta r > 5)

33. Se desea construir un terreno rectangular que tienen un area entre 4725

y 8800 metros cuadrados. Si la diferencia entre el largo y el ancho es

12 metros encuentre las posibles medidas del largo y el ancho.

(Respuesta largo entre 75 y 100, ancho entre 63 y 88 )

34. Si 0 < x < 2 probar que 3 < 2x+ 3 < 7

35. Si 1 < x < 5, entonces −2 < 3x− 5 < 10

36. Si 1 ≤ x ≤ 4 y 2 ≤ z ≤ 5, probar que 8 ≤ 2x+ 3z ≤ 23

37. Si 2 ≤ x ≤ 5, probar que7

3≤ x+ 5

3≤ 10

3

38. si 2 < x ≤ 5, probar que 1 ≤ 8− x

3< 2

39. Si 2 < x < 7, probar que

∣∣∣∣x−9

2

∣∣∣∣ <5

2


40. Si −10 < x < −5, probar que

∣∣∣∣x+15

2

∣∣∣∣ <5

2

41. Si 1 < x < 11, entonces |6− x| < 5

42. Si 0 < x < 1, entonces 0 < x2 < 1

43. Probar que x2 + 5 ≥ 5, para todo x ∈ R,

1.11. Distancia entre 2 puntos

Sean P = (a, b) y Q = (c, d) dos puntos del plano, la distancia entre P y Q

notada d(P,Q) es:

d(P,Q) =√

(c− a)2 + (d− b)2 (1.8)

Q(c, d)

P (a, b)

d− b

c− a

a c

b

d

Figura 1: d(P,Q)

1.12. Rectas

La ecuacion general de la recta tiene la forma Ax+By+B = 0, donde A,B

y C son constantes reales. Si A 6= 0 y B = 0, despejando en la ecuacion la

variable x se obtiene ecuaciones de rectas verticales de la forma x = p con

p constante.

1.12. RECTAS 23

Si B 6= 0 se puede despejar la variable y y se obtiene la ecuacion canonica

de la recta y = mx+ b, la constante m es la pendiente de la recta y el punto

(0, b) es el punto de interseccion entre el eje y y la recta. La pendiente de la

recta es el angulo formado por la recta y la horizontal. Si θ es este angulo

se tiene m = tan θ

θ

θ

Figura 2: angulo formado por la recta y la horizontal

Figura 3 rectas con pendientes positiva y negativa

θ1

θ2

Ecuacion pendiente de la recta dados dos puntos

Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos del plano, la pendiente m de la ecuacion

de la recta que pasa por estos puntos es:

m = tan θ =y2 − y1x2 − x1

(1.9)


Q(x2, y2)

P (x1, y1)

y2 − y1

x2 − x1

x1 x2

θy1

y2

Figura 4: m = tan θ

Ecuacion punto pendiente de la recta

Si m es la pendiente de la recta que pasa por el punto (x0, y0) despejando

b en la ecuacion canonica de la recta y sustituyendo x por x0 y y por y0

resulta: b = y0 −mx0 ası que y = mx + y0 −mx0 y se obtiene la ecuacion

punto pendiente

E.P.P. y = m(x− x0) + y0

Angulo entre dos rectas

Sean L1 y L2 las rectas con ecuaciones y = m1x+ b1 y y = m2x+ b2.

1.12. RECTAS 25

θ1 θ2

θ2 − θ1

Figura 5: angulo entre dos rectas

Si θ1 y θ2 son respectivamente los angulos de L1 y L2 entonces el angulo θ

formado por las dos rectas es:

θ = θ2 − θ1 = tan−1(m1)− tan−1(m2)

Dos rectas son paralelas si el angulo entre ellas es cero, es decir, tienen igual

pendiente.

Dos rectas son perpendiculares si el angulo entre ellas es 90◦, de este criterio

se deduce que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes

es −1

Figura 6 dos rectas perpendiculares

Punto de interseccion entre dos rectas

Para hallar el punto de interseccion entre dos rectas no paralelas planas con

ecuaciones y = m1x + b1 y y = m2x + b2, se resuelve simultaneamente el

sistema:


y = m1x+ b1

y = m2x+ b2

Distancia entre un punto y una recta

Sean L una recta y P un punto que no pertenece a la recta. Para obtener la

distancia mınima entre P y la recta L se procede de la siguiente Forma:

• LP

M

Figura 7 dos rectas perpendiculares

1. Hallar la ecuacion de la recta M perpendicular a L y que pasa por P.

2. Hallar el punto Q de interseccion entre las rectas L y M.

3. La distancia entre el punto P y la recta L, d(P,L) es la distancia entre

P y Q : d(P,L) = d(P,Q).

Ejemplo 1.14. Hallar la distancia del punto P (−4, 6) y la recta de ecuacion

y = 2x+ 1

1. Hallar la ecuacion de la recta perpendicular a y = 2x + 1 y que pasa

por P. La recta perpendicular tiene pendiente − 12 y pasa por el punto

P (−4, 6), luego se puede hallar la ecuacion:

y − 6 = −12(x+ 4),=⇒, y = − 1

2x− 2 + 6 =⇒, y = − 12x+ 4

2. Hallar el punto Q de interseccion entre las rectas

y = 2x+ 1 y y = − 12x+ 4

1.13. INTRODUCCION A LAS SECCIONES CONICAS 27

se igualan estas dos ecuaciones, para encontrar el punto de corte de

las dos rectas:

2x+ 1 = −12x+ 4,=⇒, x = 6

5 ,

reemplazando el valor de x, en cualquiera de las dos ecuaciones: y = 175 ,

el punto buscado, es Q( 65 ,175 )

3. La distancia entre el punto P (−4, 6) y la recta y = 2x + 1, es la

distancia entre el punto P y el punto Q,

d

((−4, 6),

(6

5,17

5

))=

√(6

5+ 4

)2

+

(17

5− 6

)2

=

√(6 + 20

5

)2

+

(17− 30

5

)2

=

√676

25+

169

25=

13√5

5≈ 5,81377

1.13. Introduccion a las secciones conicas

1.13.1. Circunferencias.

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un

punto fijo llamado centro.

si el centro es C = (h, k) y la distancia constante es r, tenemos que un punto

X = (x, y) esta sobre la circunferencia si satisface:

d(X,C) = r, aplicando la formula de la distancia√

(x− h)2 + (y − k)2 = r, elevando al cuadrado

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 (1.10)

Ejemplo 1.15. Hallar la ecuacion canonica de la circunferencia cuyo centro

es el punto C(4,−3) y tiene radio r = 5.

(x− 4)2 + (y + 3)2 = 25


Ejemplo 1.16. La grafica de la ecuacion x2 − 10x + y2 + 6y + 30 = 0,

es una circunferencia, en la cual es bastante complicado saber el radio y

el centro, para ello se completan los cuadrados perfectos para expresarla en

forma canonica:

x2 − 10x+ y2 + 6y + 30 = 0, ⇐⇒,

se suma y se resta, la mitad del coeficiente de x y de y al cuadrado

x2 − 10x+ 25− 25 + y2 + 6y + 9− 9 + 30 = 0, ⇐⇒,

(x2 − 10x+ 25)− 25 + (y2 + 6y + 9)− 9 + 30 = 0, ⇐⇒,

(x− 5)2 − 25 + (y + 3)2 − 9 + 30 = 0, ⇐⇒,

(x− 5)2 + (y + 3)2 = 4

Luego, la grafica de la ecuacion x2 − 10x+ y2 + 6y + 30 = 0, corresponde a

una circunferencia con centro en el punto (5,−3) y radio 2.

Ejemplo 1.17. Hallar los puntos de corte de la circunferencia que tiene

ecuacion x2 + y2 = 4, con la recta y = x+ 1.

Se trata de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas. Al

reemplazar la ecuacion de la recta en la ecuacion de la circunferencia, se

obtiene:

x2 + y2 = 4,=⇒, x2 + (x+ 1)2 = 4,=⇒, x2 + x2 + 2x+ 1 = 4

=⇒, 2x2 + 2x− 3 = 0, que es una ecuacion cuadratica, resolviendo:

x =−2±

√4− 4× 2× (−3)

4=−2±

√4 + 24

4=−2±

√28

4=−2± 2

√7

4

=−1±

√7

2,=⇒, x1 =

−1 +√7

2≈ 0,8228... y x2 =

−1−√7

2≈ −1,8228...

Reemplazando x1 y x2 en y = x+ 1:

y1 =−1 +

√7

2+ 1 ≈ 1,8228..., y2 =

−1−√7

2+ 1 ≈ −0,8228...,


se obtienen los puntos:P (x1, y1), Q(x1, y2), R(x2, y1), T (x2, y2)

de los cuales solo verifican las dos ecuaciones simultaneamente P y T .

Ejemplo 1.18. Por tres puntos no colineales, pasa una circunferencia.

Hallar la ecuacion canonica de la circunferencia que pasa por los puntos:

P (−2, 1), Q(−1, 3), R(1, 2).

La ecuacion canonica de la circunferencia con centro (h, k) y radio r es

(x − h)2 + (y − k)2 = r2, reemplazando cada punto en esta ecuacion, se

obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas:

para P (−2, 1) : (−2− h)2 + (1− k)2 = r2

para Q(−1, 3) : (−1− h)2 + (3− k)2 = r2

para R(1, 2) : (1− h)2 + (2− k)2 = r2

Al resolver dicho sistema se obtiene:

h = −1

2, k =

3

2, r2 =

5

2

luego, la ecuacion canonica solicitada, es:

(x+

1

2

)2

+

(y − 3

2

)2

=5

2

1.13.2. Parabolas

Una parabola es la curva plana formada por el conjunto de puntos que

equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.

Directriz, ecuacion: y = k − p

eje de la parabola

•parabola

•p

p

Foco

k

h

V (h, k), vertice de la parabola

F (h, k + p)

Figura 8: Parabola. p es la distancia focal


El eje de la parabola es la recta perpendicular a la directriz y que pasa por

el foco

El vertice de la parabola es la interseccion entre la parabola y su eje.

p

p

h x

F (h, k + p)

V (h, k)k

•

• P (x, y)

Q(x, k − p)

•

Figura 9: d(F, P ) = d(P,Q), p es la distancia focal

Parabola abre hacia arriba

Si suponemos que las coordenadas del foco son F = (h, k + p) y la directriz

es la recta y = k − p, cada punto (x, y) en la parabola satisface:

d((x, y), F ) = |y − (k − p)|d((x, y), (h, k + p)

)= |y − (k − p)|

√(x− h)2 + (y − k − p)2 = |y − (k − p)|, elevando al cuadrado:

⇔ (x− h)2 + (y − k − p)2 = (y − k + p)2

⇔ (x− h)2 = [(y − k) + p]2 − [(y − k)− p]2

⇔ (x− h)2 = (y − k)2 + 2(y − k)p+ p2 − [(y − k)2 − 2(y − k)p+ p2]

⇔ (x− h)2 = y2 − 2ky + k2 + 2(y − k)p+ p2 − [y2 − 2ky + k2 − 2(y − k)p+ p2]

⇔ (x− h)2 = 2(y − k)p+ 2(y − k)p

⇔ (x− h)2 = 4p(y − k) (1.11)

Es la ecuacion de la parabola que abre hacia arriba, tiene vertice V (h, k) y

distancia focal p.


Ejemplo 1.19. Encuentre la ecuacion de la parabola, que tiene vertice en

el origen y distancia focal p = 14

Utilizando 1.11, con (h, k) = (0, 0), se tiene:

(x− 0)2 = 4× 1

4(y − 0), =⇒, y = x2

Parabola abre hacia la derecha

Si suponemos que las coordenadas del foco son F = (h+ p, k) y la directriz

es la recta x = h− p, un punto P (x, y) en la parabola satisface:

p

p

•

• d(P,Q)

= |x− (h− p)|

•

•P (x, y)

V (h, k), es el vertice de la parabola

F (h+ p, k)

h

k

Q(h− p, y)

x = h− p (directriz)

eje de la parabola

Figura 10: d(P,Q) = |x− (h− p)|

d((x, y), F ) = |x− (h− p)|⇔ (x− h− p)2 + (y − k)2 = (x− h+ p)2

⇔ −[(x− h)− p]2 + [(x− h) + p]2 = (y − k)2

⇔ −[(x− h)2 − 2(x− h)p+ p2] + (x− h)2 + 2(x− h)p+ p2 = (y − k)2

⇔ −(x− h)2 + 2(x− h)p− p2 + (x− h)2 + 2(x− h)p+ p2 = (y − k)2

⇔ 2(x− h)p+ 2(x− h)p = (y − k)2

⇔ 4p(x− h) = (y − k)2 (1.12)


Es la ecuacion de la parabola que abre hacia la derecha, tiene vertice V (h, k)

y distancia focal p.

Elipses

Una elipse es la curva formada por el conjunto de puntos cuya suma de

distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elipse alargada en la horizontal.

c

b

Centro (C)•

a

eje principal

a

•Foco (F1) Foco (F2)

• •

Figura 11: c, es la distancia focal

c

b

C(h, k)•

a

V

Q

•F1(h− c, k)) F2(h+ c, k)

• •

Figura 12: d(Q,F2) = d(C, V ) = a

Si se supone el centro de la elipse como C(h, k) y las coordenadas de los

focos, F1 = (h− c, k), F2 = (h+ c, k), y la suma de distancias constante 2a,

donde hemos llamado c2 = a2− b2, cada punto X(x, y) en la elipse satisface:


C(h, k)

X(x, y)

•F1(h− c, k) F2(h+ c, k)

• •

Figura 13: d(X,F1) + d(X,F2) = 2a

d(X,F1) + d(X,F2) = 2a

⇔ d(X,F1)2 = (2a− d(X,F2))

2

⇔ d(X,F1)2 = 4a2 − 4ad(X,F2) + d(X,F2)

2

⇔ (x− h+ c)2 + (y − k)2

= 4a2 − 4a√

(x− h− c)2 + (y − k)2 + (x− h− c)2 + (y − k)2

⇔ (x− h+ c)2 − (x− h− c)2 = 4a2 − 4a√

(x− h− c)2 + (y − k)2

⇔ 4c(x− h) = 4a(a−√

(x− h− c)2 + (y − k)2)

⇔[c(x− h)− a2

]2=[−a√

(x− h− c)2 + (y − k)2]2

⇔ c2(x− h)2 − 2a2c(x− h) + a4 = a2[(x− h)2 − 2c(x− h) + c2] + a2(y − k)2

⇔ (x− h)2(c2 − a2)− a2(y − k)2 = a2(c2 − a2)

⇔ (x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1 (1.13)


Elipse alargada en la vertical

C(h, k)

X(x, y)

•

F1(h, k − c)

F2(h, k + c)

•

•

Figura 14: d(X,F1) + d(X,F2) = 2b

Si suponemos el centro de la elipse como (h, k) y las coordenadas de los

focos, F1 = (h, k− c), F2 = (h, k+ c), y la suma de distancias constante 2b,

donde hemos llamado c2 = b2− a2 un punto X(x, y) en la elipse satisface la

ecuacion:

d(X,F1) + d(X,F2) = 2b⇐⇒ (x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

Hiperbolas

Una hiperbola es la curva formada por el conjunto de puntos del plano cuya

diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Hiperbola que abre horizontalmente

Si la diferencia constante es 2a y las coordenadas de los focos son:

F1 = (h−c, k), F2 = (h+c, k) y c2 = a2+b2, un punto (x, y) en la hiperbola

satisface la siguiente ecuacion canonica:


• F2(h+ c, k)F1(h− c, k) •c

b

centro de la hiperbola: C(h, k)

Rectangulo con centro: C(h, k)

longitud de la base: 2a

longitud de la altura: 2b

a

h

k V1 V2

Figura 15: V1(h− a, k), V2(h+ a, k)

d(X,F1)− d(X,F2) = 2a

⇔ d(X,F1)2 = (2a+ d(X,F2))

2

⇔ d(X,F1)2 = 4a2 + 4ad(X,F2) + d(X,F2)

2

⇔ (x− h+ c)2 + (y − k)2

= 4a2 + 4a√

(x− h− c)2 + (y − k)2 + (x− h− c)2 + (y − k)2

⇔ (x− h+ c)2 − (x− h− c)2 = 4a2 + 4a√

(x− h− c)2 + (y − k)2

⇔ 2c(2x− 2h) = 4a(a+√

(x− h− c)2 + (y − k)2)

⇔ [c(x− h)− a2]2 =[a√

(x− h− c)2 + (y − k)2]2

⇔ c2(x− h)2 − 2a2c(x− h) + a4 = a2[(x− h)2 − 2c(x− h) + c2] + a2(y − k)2

⇔ (x− h)2(c2 − a2)− a2(y − k)2 = a2(c2 − a2)

⇔ (x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1 (1.14)


• •

• X(x, y)

F2(h+ c, k)

F1(h− c, k)

•C(h, k)

eje de la hiperbola

h

k

Figura 16: d(X,F1)− d(X,F2) = 2a

Hiperbola que abre verticalmente

Si suponemos el centro de la hiperbola como (h, k) y las coordenadas de los

focos, F1 = (h, k − c), F2 = (h, k + c), la diferencia de distancias constante

2b y c2 = a2 + b2 se obtiene:

d(X,F1)− d(X,F2) = 2b, ⇐⇒, −(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1 (1.15)

Ejercicios 1.20.

En los ejercicios del 1 al 8, hallar centro, radio y graficar las circunferencias

de las cuales se dan algunos elementos:

1. Ecuacion x2 + 4x+ y2 + 6y = 3

2. Ecuacion x2 + 8x+ y2 + 10y = 8


3. Ecuacion x2 − x+ y2 + x = 12

4. Centro (-1,1) y pasa por el punto (2,10)

5. Radio 4 y pasa por los puntos (1,1) y (-2,5)

6. Radio 2 y pasa por los puntos (2,1) y (-2,4)

7. Pasa por los puntos (1,2), (2,4) y (-1,3)

8. Pasa por los puntos (0,0), (1,1) y (2,0)

9. Hallar los puntos de interseccion de la circunferencia con ecuacion

x2 − 2x+ y2 + 2x = 2 y la recta 2x+ 2y = 2.

10. Hallar los puntos de interseccion de la circunferencia con ecuacion

x2 − 6x+ y2 + 4y = 3 y la recta x− 2y = 2.

11. Hallar los puntos de interseccion de las circunferencias con ecuaciones

x2 + 4x+ y2 + 6y = 3 y x2 + 2x+ y2 + 4y = 11

12. Hallar los puntos de interseccion de las circunferencias con ecuaciones

x2 + 2x+ y2 + 2y = 2 y x2 + 4x+ y2 + 4y = 0.

Para cada parabola en los ejercicios del 13 al 18 hallar vertice, foco,

directriz, eje y grafique:

13. y2 + 12y − 4x+ 16 = 0

14. x2 + 5x− y + 6 = 0

15. −2x2 + 12x− 8y − 18 = 0

16. 4y2 + 16y − 6x− 2 = 0

17. 3x2 + 30x− 8y + 75 = 0

18. y2 − 4y − 4x+ 3 = 0

En los ejercicios del 19 al 25 encuentre la ecuacion de la parabola que

cumpla las condiciones dadas:

19. Foco (0, 7) directriz y = −7


20. Foco (0,−5) directriz y = 5

21. Foco (1, 5), vertice (1,−3)

22. Foco (8,−3), vertice (0,−3)

23. Vertice (−1, 4), directriz x = 0

24. Vertice (1, 1), directriz y = 4

25. Vertice (0, 0) eje a lo largo del eje y, pasa por el punto (−2, 8)

26. Suponga que un rayo de luz que emana del foco de la parabola y2 = 4x,

se encuentra con la parabola en el punto (1,−2). ¿Cual es la ecuacion

del rayo reflejado?

27. Suponga que dos torres de un puente colgante tienen entre sı una

distancia de 350 metros y el vertice del cable parabolico es tangente a

la mitad de la carretera entre las torres. Si el cable esta a una altura

de 30 mts sobre la carretera en un punto a 20 metros del vertice.

¿Encuentre la altura de las torres sobre la carretera?

28. Suponga que el chorro de agua del extremo de un tubo horizontal sigue

un arco parabolico con vertice en el extremo del tubo. El tubo esta

a una altura de 20 metros de la tierra. En un punto a 2 metros por

debajo del final del tubo, la distancia horizontal desde el chorro de

agua hasta la vertical del final del tubo es 4 metros. ¿a que distancia

de la vertical del final del tubo el agua toca la tierra.?

29. Un lanzador de dardos arroja un dardo desde una altura de 5 metros

sobre la tierra. El dardo se lanza horizontalmente y sigue una trayec-

toria parabolica; golpea la tierra a 10 metros del lanzador. A una dis-

tancia de 8 metros del lanzador, ¿Que tan alto deberıa ser colocado un

blanco (objetivo) para que el dardo lo golpee? (suponga que el vertice

de la parabola esta en el punto inicial a una altura de 5m.)

30. La orbita de un cometa es una parabola con el sol como foco. Cuando

el cometa esta a 50.000 km del sol, la recta que va del cometa al sol


es perpendicular al eje de la parabola. Encuentre la ecuacion de la

trayectoria del cometa

En los problemas 31-36 hallar centro, focos, vertices, eje mayor, eje

menor y grafique:

31. 4x2 +(y + 2

3

)2= 4

32. 2x2 + 4y2 + 4x+ 16y = 733

33. 25x2 + 9y2 − 100x+ 18y − 116 = 0

34. x2 + 3y2 + 18y + 18 = 0

35. 4y2 + 12x2 − 4y − 24x+ 1 = 0

36. x2 + 4y2 − 2x− 4y + 1 = 0.

En los problemas 37-42 encuentre una ecuacion de la elipse que satis-

faga las condiciones dadas.

37. Vertices (±5, 0), focos (±3, 0)

38. Vertices (0,±2) y (±4, 0)

39. Un foco (0,−2), centro en el origen, b=3

40. Focos(√2 , 0) longitud del eje menor 6

41. Focos (0 ,√6) longitud del eje mayor 16

42. Centro (1, 3), un vertice (1,-1) y un foco (1, 0)

43. El planeta Pluton tiene una orbita elıptica alrededor del sol, con este

en uno de sus focos. Si la longitud del eje mayor es de 7.350 millones de

millas y la longitud del eje menor es 7.117 millones de millas, encuentre

las distancias minima y maxima entre pluton y el sol.

44. Un satelite de la tierra se mueve en una orbita elıptica, con el centro

de la tierra en un foco. Tiene una altitud mınima de 200 millas y

una altitud maxima de 1.000 millas sobre la superficie de la tierra.

Si el radio de la tierra es de 4.000 millas ¿Cual es la ecuacion de la

trayectoria del satelite?


45. Un pasadizo bajo un arco es semieliptico con un eje mayor vertical.

La base del arco es de 2 metros y la parte mas alta del arco es de

3 metros. Encuentre la altura del arco por encima del punto sobre la

base del arco a 3/5 metros del centro.

46. Un carpintero desea cortar la parte superior de una mesa de cafe, en

forma elıptica, de una pieza rectangular de madera que es de 2m por

3m, utilizando toda la longitud y el ancho disponible si la elipse va a

ser dibujada colocando dos tachuelas sobre los focos cual debe ser la

longitud de la cuerda cerrada que debe usarse para dibujarla sobre la

madera.

En los problemas 47-52 hallar centro, focos, vertices, asıntotas y grafique:

47. 5x2 − 6y2 − 20x+ 12y − 16 = 0

48. 16x2 − 25y2 +−256x− 150y + 399 = 0

49. 4x2 − y2 − 8x+ 6y − 4 = 0

50. x2 − y2 + 2y = 5

51. y2 − 2x2 − 4y − 4x = 2

52. 2y2 − 9x2 − 18x+ 20y + 5 = 0.

En los problemas 53-58 encuentre una ecuacion de la hiperbola que

satisfaga las condiciones dadas.

53. Vertices (5, 0), a = 3

54. Centro (−1, 3) un vertice (−1, 4) y pasa por (−5, 3 +√5)

55. Un foco (0,−3), centro (0, 0), vertice (0, 52)

56. Vertices (0, 8) asıntotas y = 2x

57. Vertices (0, 3) y pasa por ( 163 , 5)

58. Focos (0,−2) y (8, 4) la diferencia de distancias, fija 2a = 8


59. Encuentre el ancho focal de la hiperbola x2

4 −y2

9 = 1.

En los ejercicios 60 - encuentre los puntos de interseccion si los hay

entre las conicas.

60. x2 − y2 − 1 = 0 y x2 − 3x+ 3y2 = 3

61. y2 + 12y − 4x+ 16 = 0 y 2x2 + 4y2 + 4x+ 16y = 7

62. y2 − 2x2 − 4y − 4x = 2 y y2 − 8y − 4x+ 10 = 0

63. x2 + 4y2 − 2x− 4y + 1 = 0 y y2 − 2x2 − 18x+ 20y + 5 = 0


Capıtulo 2

Relaciones y funciones

Producto cartesiano

Si A y B son dos conjuntos no vacıos, el producto cartesiano de A y B, se

denota A×B y esta definido ası:

A×B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

2.1. Relacion

Sean A y B dos conjuntos diferentes de vacıo. Una relacion R del conjunto

A en el conjunto B, es cualquier subconjunto del conjunto A × B. Lo

que significa que el conjunto A × B es el conjunto de todas las parejas

ordenadas de la forma (x, y) de tal manera que la primera componente x

sea del conjunto A y la segunda componente y sea del conjunto B. Al

conjunto A se le llama conjunto de partida o dominio de la relacion y al

conjunto B se le llama conjunto de llegada o codominio de la relacion.

Definicion 2.1 (Dominio y recorrido).

Si R es una relacion de A en B, es decir, R ⊆ A × B, el dominio de R

denotado Dm(R) esta definido ası:

Dm(R) := {x ∈ A | (x, y) ∈ R}

El recorrido de R se denota Rec(R), esta definido de la siguiente manera:

Rec(R) := {y ∈ B | (x, y) ∈ R}

43

44 CAPITULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES

Dada una pareja ordenada cualquiera digamos (x, y) decimos que x esta re-

lacionada con y o que la imagen de x es y o que y es la imagen de x

y a veces se escribe xRy

Ejemplo 2.2. En el ejemplo 2.7 de la pagina 45, Dom(R3) = {5} y Rec(R3)

= {a}Ejemplo 2.3.

•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Figura 17: A×B

En este caso A×B es el siguiente conjunto de parejas ordenadas:

A×B = {(1, a), (1, b), (3, a), (3, b), (5, a), (5, b)}

y cualquier subconjunto R de A×B es una relacion de A en B, tal como:

Ejemplo 2.4. La relacion R1 dada por

R1 = {(1, a), (3, a), (3, b), (5, b)}

corresponde al diagrama

•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Figura 18: R1 = {(1, a), (3, a), (3, b), (5, b)}

2.1. RELACION 45

Ejemplo 2.5. La relacion

R2 = {(1, b), (5, a), (5, b)}

corresponde al siguiente diagrama

•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Figura 19: R2 = {(1, b), (5, a), (5, b)}


R3 = {(1, b), (5, a)}


•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Figura 20: R3 = {(1, b), (5, a)}


R3 = {(5, a)}



•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Figura 21: R3 = {(5, a)}

Otra forma de visualizar el conjunto A×B es haciendo el siguiente arreglo:

los elementos del conjunto A se colocan en forma horizontal y los elemen-

tos del conjunto B se colocan en forma vertical, entonces los puntos que

estan encerrados en el rectangulo (que llamamos parejas ordenadas) son los

elementos del conjunto A×B

• • •

• • •

• • ••

•

1 3 5

b

a

A

B

Figura 22: R×R

Cualquier subconjunto de puntos que estan en el rectangulo (corresponden

a parejas ordenadas), es una relacion R del conjunto A en el conjunto B,

digamos:

2.1. RELACION 47

Ejemplo 2.8.

• • •

• •

• ••

•

1 3 5

b

a

A

B

Figura 23: R = {(1, a), (1, b), (3, a), (5, b)}Ejemplo 2.9.

• • •

• •

• ••

•

1 3 5

b

a

A

B

Figura 24: R = {(1, a), (1, b), (3, a), (3, b)}

En la figura anterior se observa que el 1 tiene dos imagenes lo mismo que el

3, mientras que el 5 no tiene imagen.

Ejemplo 2.10.


• • •

• •

••

•

1 3 5

b

a

A

B

Figura 25: R = {(1, b), (3, a), (5, a)}

En la relacion anterior se observa que a todo elemento del conjunto A le

corresponde una unica imagen en el conjunto B

Ejemplo 2.11. En la siguiente relacion solo el 5 tiene imagen, que es b

• • •

••

•

1 3 5

b

a

A

B

Figura 26: R = {(5, b)}

Si se cambia el conjunto A por un subconjunto de numeros reales y el con-

junto B tambien por un subconjunto de numeros reales, se habla de una

relacion de R en R, o simplemente de una relacion en R. (una relacion en

los numeros reales)

2.1. RELACION 49

Ası, el conjunto R× R esta definido de la siguiente manera:

R× R = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R}

Figura 27: R× R

Lo que significa que el conjunto R × R es el conjunto de todas las parejas

ordenadas de la forma (x, y) de tal manera que la primera componente x sea

un numero real y la segunda componente y tambien sea un numero real. La

grafica es el plano Cartesiano.

De esta manera una relacion en R es cualquier subconjunto de R×R. Como

la grafica de una pareja ordenada (x, y) es un punto en el plano cartesiano,

entonces la grafica de una relacion en R es un conjunto de puntos del plano

cartesiano como por ejemplo una linea, un segmento, un rectangulo, una

circunferencia, un circulo, un conjunto de puntos aislados, una franja vertical

u horizontal, etc.

Para ubicar en plano cartesiano la pareja ordenada (a, b) se traza la recta

x = a que es la ecuacion de una recta paralela al eje y y luego la recta

y = b que es la ecuacion de una recta paralela al eje x, la interseccion de

las dos rectas es la pareja ordenada buscada.


y = b

x = a

•(a, b)

a

b

Figura 28

Como por ejemplo la pareja ordenada (3, 2)

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

y = 2

x = 3

•(3, 2)

Figura 29

Ejemplo 2.12. Ejemplos de relaciones en el plano Cartesiano

1. El plano Euclidiano R2 ={(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R}

2. Franjas horizontales: R×[a, b] con a, b numeros reales a < b.

3. Franjas verticales: [a, b]×R con a, b numeros reales a < b.

2.1. RELACION 51

4. Rectangulos: [a, b]× [c, d], a < b, y , c < d.

5. Semiplanos asociados a una recta

S = {(x, y) : y < mx+ b, m, b numeros reales fijos}.

Ejemplo 2.13. Hacer la grafica de la siguiente relacion en R :

R = {(x, y) | |x| < 2 ∧ |y| < 4}

Puesto que |x| < 2 ⇐⇒ −2 < x < 2 y |y| < 4 ⇐⇒ −4 < x < 4, la

relacion se puede escribir ası:

R = {(x, y) | −2 < x < 2 ∧ −4 < y < 4}

significa que la relacion R consta de todas las parejas ordenadas (x, y) de

tal manera que la primera componente x sea mayor que -2 y menor que 2, y

que la segunda componente y esta entre -4 y 4. La grafica correspondiente

consta de todos los puntos que estan dentro del siguiente rectangulo:

2 4−2−4−6

2

4

−2

−4

Figura 30: R = {(x, y) | |x| < 2 ∧ |y| < 4}

Ejemplo 2.14. Hacer la grafica de la siguiente relacion en R :

R = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 }


2 4−2−4

2

−2

Figura 31: R = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 }

2.2. Como encontrar graficamente el dominio y el

rango de una relacion sobre R

Para calcular el dominio se proyecta la relacion sobre el eje x y para calcular

el rango se proyecta la relacion sobre el eje y.

Rango

Dominio de la relacion

Figura 32: Dominio y rango de la relacion

Si la relacion es la elipse de la figura anterior, la proyeccion de la elipse sobre

el eje x, es el intervalo [2, 14] que es el dominio de la relacion. La proyeccion

de la elipse sobre el eje y, es el intervalo [1, 7], que corresponde al rango de

la relacion.

2.2. DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE 53

Ejercicios 2.15.

A- Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c} encontrar

a) A×B y B ×A y hacer las graficas de dos maneras diferentes

b) Dibujar cinco relaciones de A en B

c) Dibujar cinco relaciones de B en A

B- Hacer las graficas de las siguientes relaciones:

1- R = {(x, y) ∈ R× R | y = x }2- R = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x }3- R = {(x, y) ∈ R× R | y = −x }4- R = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x+ 1 }5- R = {(x, y) ∈ R× R | y < 2x+ 1 }6- R = {(x, y) ∈ R× R | y > 2x+ 1 }7- R = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x+ 1 }8- R = {(x, y) ∈ R× R | y 5 2x+ 1 }9- R = {(x, y) ∈ R× R | y = x− 2 }

10- R = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x+ 4 }11- R = {(x, y) ∈ R× R | |x| ≤ 4 }12- R = {(x, y) ∈ R× R | |x| ≥ 4 }13- R = {(x, y) ∈ R× R | |y| ≤ 3 }14- R = {(x, y) ∈ R× R | |x| ≥ 3 }

15- R = {(x, y) ∈ R× R | x2

4+y2

16≥ 1 }

16- R = {(x, y) ∈ R× R | x2

4+y2

16≤ 1 }

17- R = {(x, y) ∈ R× R | x2

36+y2

9≥ 1 }

18- R = {(x, y) ∈ R× R | x2

36+y2

9≤ 1 }


2.3. Relacion funcional

Sean X, Y conjuntos no vacıos, una relacion f de X en Y se denomina una

relacion funcional si satisface la siguiente propiedad:

Si (a, b) ∈ f y (a, d) ∈ f, entonces, b = d.

En una relacion funcional no pueden existir dos parejas distintas con primera

coordenada igual, es decir si (x, y) ∈ f , la coordenada y es unica para todo

x, esta componente y es llamada la imagen de x por f y se nota f(x).

Graficamente una relacion en R es funcional si satisface que cada recta

vertical (paralela al eje y) corta la grafica de la relacion en a lo mas un

punto.

2.4. Funcion

Una funcion f de X en Y que se denota por

f : X −→ Y o Xf−→ Y

es una tripla formada por una relacion funcional f de X en Y , X el dominio

de la relacion f y Y el codominio de f .

El grafo de la funcion f notada Gra(f) es el conjunto:

Gra(f) = {(x, y) ∈ X × Y | y = f(x)} (2.1)

La grafica de la funcion f es la representacion del grafo en el plano carte-

siano X × Y

Usualmente, la funcion viene dada en la forma y = f(x), entonces para

hacer la grafica de la funcion primero se halla el grafo, una vez que se tienen

bastantes parejas ordenadas, digamos:

Gra(f) = {(a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)), · · · }

dichas parejas ordenadas se ubican en el plano Cartesiano y esos puntos se

unen mediante una curva adecuada.

2.4. FUNCION 55

Ejemplo 2.16. Hacer la grafica de la funcion f(x) = 2x

El grafo de la funcion es el siguiente:

Gra(f) = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x}= {. . . , (−1,−2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), . . . , (x, 2x), . . . }

Ubicamos algunos puntos de ese conjunto en el plano y los unimos

y = x

•

•

•

Figura 33: y = 2x recta que pasa por los puntos (x, 2x), x ∈ R

Una funcion de valor y variable real es aquella cuyo dominio es un subcon-

junto A de R y toma valores en R, es decir el conjunto de llegada es un

subconjunto numeros reales.

En muchos casos una funcion se expresa como una formula f(x) que depende

de una variable x. En este caso es necesario hallar el dominio y el rango de

la funcion que estan definidos por:

Dom(f) = {x : f(x) es un numero real}R(f) = {f(x) : x ∈ DOM(f)}

Nota : Si en una funcion no se especifica el dominio, debe entenderse que

es el conjunto de todos los numeros reales para los cuales la funcion tiene

sentido. Por ejemplo, dada la funcion f(x) =√x− 4, se requiere que lo


que esta dentro de la raız sea mayor o igual a cero, es decir, se resuelve la

siguiente desigualdad:

x− 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 4, luego, Dom(f) = [4,∞)

Grafica de una funcion de valor y variable real, el concepto de imagen de un

punto P = (x, f(x)) sobre la grafica como una altura.

Note que si f es una funcion positiva, la imagen f(a) tiene una interpretacion

geometrica, que es la distancia desde el punto (a,0), perpendicular al eje x,

hasta la funcion f en el punto cuyas coordenadas son precisamente (a, f(a)).

Esto se muestra en la siguiente grafica:

y = f(x)

a−a

f(−a)f(a)

P (−a, f(−a))

Q(a, f(a))

R(b, f(b))

a

b

b

f(b)

•

• •

Figura 34: y = f(x)

2.4.1. Otras formas de representar una funcion

Las funciones se pueden representar de diferentes maneras:

1. Diagramas sagitales: son diagramas en los cuales aparecen dos conjun-

tos, el primero es el dominio, el segundo conjunto es el codominio y

por medio de flechas se indica la imagen de cada elemento del dominio:

2.4. FUNCION 57

•

•

•1

3

5

b

a

A

B

•

•

Dominio A = {1, 3, 5}, codominio B = {a, b}

2. Tablas de valores: son tablas de datos que pueden aparecer de la sigui-

ente forma:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2x− 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

3. Conjunto de parejas ordenadas: la funcion cuyos datos aparecen en la

tabla anterior, como conjunto de parejas ordenads queda de la siguiente

manera:

A = {(2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 9), (6, 11), (7, 13), (8, 15), (9, 17), (10, 19)}

4. Graficas Cartesianas

5. Formulas algebraicas: se dan en la forma y = f(x) y es una ma-

nera simplificada, de escribir un conjunto de finitas o infinitas parejas

ordenadas, pues para cada x en el dominio existe un y en el codominio.

6. Sistemas cerrados: una funcion es una maquina, a la cual por un lado

se ingresan los elementos del dominio y ella los procesa, convirtiendolos

en otros elementos que los envia al recorrido.


x√x√

Proceso

2.4.2. Criterio grafico para el calculo del dominio y recorrido

de una funcion.

Sea f una funcion con grafica conocida. El dominio de f se halla proyectando

al eje x la grafica de la funcion. El recorrido de f se halla proyectando al eje

y los puntos de la grafica de la funcion.

Ejemplo 2.17. Para la funcion f(x) =√9− x2 dibuje la grafica, halle

dominio y recorrido.

Se parte de y = f(x), se eleva al cuadrado, y se obtiene: x2 + y2 = 9 que es

la ecuacion de la circunferencia centrada en el origen y de radio 3, luego la

funcion f(x) es la semicircunferencia superior

Dominio

Rango

Figura 35: f(x) =√9− x2

Al proyectar la grafica de f al eje x Dom(f) = [−3, 3]Al proyectar la grafica de f al eje x RNG(f) = [0, 3]

Ejemplo 2.18. dibuje la grafica, halle dominio y recorrido de la funcion

f(x) = 2−√x2 − 16.

2.5. FUNCIONES POLINOMICAS 59

Se parte de y = f(x), se eleva al cuadrado, y se obtiene: x2 − (y − 2)2 = 16

que es la ecuacion de la hiperbola equilatera centrada en (0, 2) que abre hor-

izontalmente, la grafica de la funcion f(x) es la parte inferior de la hiperbola

• •

F2(4√2,−2)

F1(−4√2,−2)

•C(0, 2)

eje de la hiperbola

Figura 36:

Al proyectar la grafica de f al eje x: Dom(f) = (−∞,−4] ∪ [4,∞)

Al proyectar la grafica de f al eje y: R(f) = (−∞, 2]

Clases de funciones

2.5. Funciones polinomicas

Una funcion polinomica P en la indeterminada x es de la forma

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

donde los coeficientes ai son numeros reales, el numero real an 6= 0 se de-

nomina coeficiente principal del polinomio, el numero natural n se denomina

grado del polinomio y el real a0 es llamado el termino constante.


El dominio de una funcion polinomica es el conjunto de los numeros reales.

Algunas funciones polinomicas tienen nombres especıficos:

2.5.1. Funcion constante

f(x) = c : la grafica de esta funcion es la recta horizontal con ecuacion y = c.

El recorrido de esta funcion es el conjunto unitario {c}.

y = c

Figura 37: y = c recta paralela al eje horizontal

2.5.2. Funcion lineal

Es la funcion definida por: f(x) = mx + b, el recorrido consta de todos los

reales, la grafica es una linea recta no vertical, que tiene pendiente m y corta

al eje y en el punto (0, b):

y = mx+ b

b

Figura 38: y = mx+ b recta con pendiente m

2.5. FUNCIONES POLINOMICAS 61

2.5.3. Funcion identica

Es la funcion lineal, en la cual m = 1 y b = 0, definida por: f(x) = x, el

recorrido consta de todos los reales, la grafica es una linea recta que pasa

por el origen y por los puntos de la forma (x, x):

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

y = x

Figura 39: y = x recta que pasa por los puntos (x, x)

2.5.4. Funcion cuadratica

Una funcion cuadratica tiene la forma:

f(x) = ax2 + bx+ c con a 6= 0.

Si a > 0 la grafica de esta funcion es una parabola que abre hacia arriba

(h, k)

h

k

Figura 40: y = ax2 + bx+ c, a > 0


Si el vertice de la parabola es (h, k) el recorrido de la funcion es [k,∞)

Si a < 0 la grafica de esta funcion es una parabola que abre hacia abajo

(h, k)

h

k

Figura 41: y = −ax2 + bx+ c

Si el vertice de la parabola es (h, k) el recorrido de la funcion es (−∞, k]

2.5.5. Funcion cubica

Es una funcion polinomica de grado tres, tiene la forma f(x) = ax3 + bx2 +

cx+ d, a 6= 0.

Ejemplo 2.19. La funcion cubica f(x) = x3, a = 1, b = c = d = 0:

dominio todos los reales, recorrido todos los reales, la grafica es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

−6

f(x) = x3

Figura 42: y = x3.

2.6. FUNCIONES RACIONALES 63

2.6. Funciones racionales

Una funcion racional es de la forma r(x) = p(x)q(x) , donde p y q son polinomios.

El dominio de una funcion racional es el conjunto de numeros reales donde

el denominador es no nulo:

Dom(r) = {x ∈ R : q(x) 6= 0 } = R− {x ∈ R : q(x) = 0}De esta forma para calcular el dominio de una funcion racional se debe

resolver la ecuacion q(x) = 0.

Ejemplo 2.20. Funcion r(x) =3x2 − 5x+ 4

2x3 − 5x2 − 4x+ 3,

es una funcion racional, en la cual el numerador es un polinomio de segundo

grado y el denominador es un polinomio de tercer grado. El dominio consta

de todos los reales exceptuando los valores donde el denominador es cero, es

decir: x = 3, x = −1, x = 1/2

Ejemplo 2.21. Funcion r(x) =1

x

Es una funcion racional, el numerador es la funcion constante p(x) = 1, el

denominador es la funcion q(x) = x, dominio todos los reales excepto el cero

(x = 0 es el eje Y ), el recorrido todos los reales excepto el cero (y = 0 es el

eje X)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

f(x) =1

x

Figura 43: y =1

x


Ejemplo 2.22. Funcion f(x) = 1x2: dominio todos los reales excepto el cero

(x = 0 es el eje Y ), el recorrido todos los reales mayores a cero

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

f(x) =1

x2

Figura 44: y =1

x2

2.7. Funciones radicales.

Las funciones radicales aparecen de la forma R(x) = n√r(x), donde r(x) es

una funcion racional.

Si n es impar el dominio de una funcion radical es:

Dom(R) = Dom(r)

Si n es par el dominio de una funcion radical es:

Dom(R) = {x ∈ R : r(x) ≥ 0}

Ejemplo 2.23. Sea la funcion y =√x algunas parejas ordenadas son

f = {(0, 0), (1, 1), (2,√2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), · · · }

Como r(x) = x, el dominio es el conjunto {x ∈ R : x ≥ 0}, lo mismo que el

recorrido. La grafica es la siguiente:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

f(x) =√x

Figura 45: y =√x

2.7. FUNCIONES RADICALES. 65

Ejemplo 2.24. Hallar el dominio de la funcion: f(x) =√x2 − 9

Se requiere que lo que esta dentro de la raız sea mayor o igual a cero. Se

resuelve la siguiente desigualdad con valor absoluto:

x2 − 9 ≥ 0 ⇐⇒ x2 ≥ 9 ⇐⇒√x2 ≥ 3 ⇐⇒ |x| ≥ 3 ⇐⇒ x ≤ −3 o x ≥ 3.

Dom(f) = (−∞,−3] ∪ [3,∞)

Ejemplo 2.25. Hallar el dominio de la s funcion g(x) =√16− x2

Se requiere que lo que esta dentro de la raız sea mayor o igual a cero. Se

resuelve la siguiente desigualdad con valor absoluto:

16− x2 ≥ 0 ⇐⇒ 16 ≥ x2 ⇐⇒√x2 ≤ 4 ⇐⇒ |x| ≤ 4 ⇐⇒ −4 ≤ x ≤ 4.

Dom(g) = [−4, 4]

Ejercicios 2.26. Hacer la grafica de las siguientes funciones:

1. y = x2 + 4x− 2

2. y =√36 + x2

3. y =√x2 + 49

4. y = x2 − 4x+ 2

5. y = −x2 + 6x− 1

6. y = 2x+ 2

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

7.√25− x2

8.√36− x2

9.√x2 − 49

10.√7x2 − 49

11.√25− 10x2

12.√50− 5x2

13.√20x2 − 80

14.1√

x2 − 49

15.1√

10x2 − 90

16.1√

50− 10x2


17.1

50− 10x218.

1

100− 5x2

2.8. Funciones a trozos

Una funcion a trozos, es aquella que esta definida por un numero finito de

funciones en n subconjuntos disyuntos dos a dos, de la recta real ası:

f(x) =

f1(x) si x ∈ A1

f2(x) si x ∈ A2

...

fn(x) si x ∈ An

El dominio de esta funcion a trozos es:

Dom(f) = [Dom(f1) ∩A1] ∪ [Dom(f2) ∩A2] ∪ ... ∪ [Dom(fn) ∩An ]

Ejemplo 2.27. La funcion y = g(x) definida por:

y = g(x) =

1 si − 4 ≤ x < −2x2 si − 2 ≤ x < 0√x, si 0 ≤ x < 4

−1 si 4 ≤ x ≤ 6

es una funcion a trozos y la grafica es:

y =√x

y = x2

y = 1

y = −1

2

4−2

��

��

Figura 46: y = g(x)

Dominio y recorrido: [−4, 6] y [0, 4] ∪ {−1} respectivamente.

2.8. FUNCIONES A TROZOS 67

2.8.1. Funcion valor absoluto

La funcion valor absoluto de x, se nota |x| y se define de la siguiente manera:

|x| =

x, si x ≥ 0

−x, si x < 0

La funcion valor absoluto es una funcion a trozos, cuyo dominio consta de

los numeros reales R, el recorrido es [0,∞) y la grafica es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

f(x) = |x|

Figura 47: y = |x|

2.8.2. Funcion escalon unitario

La funcion escalon unitario es una funcion a trozos, cuyo dominio consta de

los numeros reales R y el recorrido es el conjunto: {0, 1}. Se denota µ(x) y

se define de la siguiente manera:

µ(x) =

1, si x ≥ 0

0, si x < 0

La grafica es la siguiente:

f(x) = µ(x)1

Figura 48: y = µ(x)


2.8.3. Funcion parte entera

La funcion denotada f(x) = bxc, se llama funcion parte entera de x y se

define para cada real x, como el unico entero bxc, tal que

bxc ≤ x < bxc+ 1

Por ejemplo, si x = 3,8 el mayor entero menor a 3.8 es tres.

b3,8c ≤ 3,8 < b3,8c+ 1,=⇒ b3,8c = 3

El dominio de esta funcion consta de todos los reales y el recorrido los

numeros enteros. La grafica es la siguiente:

1

1

...

...

Figura 49: f(x) = bxc ≡: la parte entera de x

2.9. Operaciones con funciones

Sean f y g funciones de valor y variable real y α un numero real. Las

funciones suma, resta, producto y cociente de f y g que se denotan respec-

tivamente: f + g, f − g, α.f, f.g y fg , y se definen en cada punto x, donde las

igualdades tengan sentido por:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2.9. OPERACIONES CON FUNCIONES 69

2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)

3. (α · f)(x) = α · f(x)

4. (f · g)(x) = f(x) · g(x)

5.

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

Con las definiciones anteriores se tienen los siguientes resultados:

1. Dom(f + g) = Dom(f − g) = Dom(fg) = Dom(f) ∩Dom(g)

2. Dom(fg

)= Dom(f) ∩Dom(g)− {x : g(x) = 0}

Ejemplo 2.28. Sean las funciones f(x) = x/2 y g(x) =√x, entonces,

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x/2 +√x

f(x) = x/2

g(x) =√x

(f + g)(x) = x/2 +√x

•

Figura 50: f(x) = x/2, g(x) =√x y f + g

Se observa que la suma es puntual, por ejemplo f(4) = 2 y g(4) = 2,

(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 4

Dom(f + g) = Dom(f) +Dom(g) = R ∩ [0,∞) = [0,∞)


Ejemplo 2.29. Sean las funciones f(x) = x/2 y g(x) =√x, entonces,

(f − g)(x) = f(x)− g(x) = x/2−√x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

3

4

5

f(x) = x/2

g(x) =√x

(f − g)(x) = x/2−√x

•

Figura 51: f(x) = x/2, g(x) =√x y f − g

Ejemplo 2.30. Sean las funciones f(x) = x y g(x) = 1x , entonces,

(fg) (x) = f(x)g(x) = x1

x= 1, x 6= 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

◦(f.g)(x) = 1, x 6= 0

Figura 52: (f.g)(x) = 1, x 6= 0

2.9. OPERACIONES CON FUNCIONES 71

Ejemplo 2.31. Sean las funciones f(x) =√x2 − 25 y g(x) =

√x− 4,

entonces,

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)=

√x2 − 25√x− 4

Observe que el dominio de la funcion f consta de los reales x, tales que

x2 − 25 ≥ 0, resolviendo la desigualdad se obtiene lo siguiente:

x2 − 25 ≥ 0⇐⇒ x2 ≥ 25⇐⇒ |x| ≥ 5⇐⇒ x ≤ −5 o x ≥ 5

es decir, los intervalos (−∞,−5] ∪ [5,∞), y el dominio de la funcion g con-

sta de todos los reales mayores o iguales a cuatro, pero como g esta en el

denominador, x 6= 4, entonces, el dominio de la funcion fg , consta de todos

los reales mayores o iguales a cinco: {(−∞,−5] ∪ [5,∞)} ∩ (4,∞) = [5,∞)

Ejemplo 2.32. Sean

f(x) =

2x− 1 si x < −14− x si − 1 ≤ x ≤ 1

x+ 1 si x > 1

y g(x) =

3x si x < 0

1− 2x si x ≥ 0

Hallar:

a) f + g b) f − g c) f.g d)f

g

Funcion Intervalo− > x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1

f(x) 2x− 1 4− x 4− x x+ 1

g(x) 3x 3x 1− 2x 1− 2x

(f + g)(x) 5x− 1 4 + 2x 5− 3x 2− x

(f − g)(x) −x− 1 −4x+ 4 x+ 3 3x

(f.g)(x) 6x2 − 3x −3x2 + 12x 2x2 − 9x+ 4 −2x2 − x+ 1

(f/g)(x) 2x−13x

4−x3x

4−x1−2x

x+11−2x


luego:

a) (f + g)(x) =

5x− 1 si x < −14 + 2x si − 1 ≤ x < 0

5− 3x si 0 ≤ x < 1

2− x si x > 1

b) (f − g)(x) =

−x− 1 si x < −1−4x+ 4 si − 1 ≤ x < 0

x+ 3 si 0 ≤ x < 1

3x si x > 1

c) (f.g)(x) =

6x2 − 3x si x < −1−3x2 + 12x si − 1 ≤ x < 0

2x2 − 9x+ 4 si 0 ≤ x < 1

2x2 − x+ 1 si x > 1

d) (f/g)(x) =

2x−13x si x < −1

4−x3x si − 1 ≤ x < 0

4−x1−2x si 0 ≤ x < 1, x 6= 1

2

x+11−2x si x > 1

2.10. Composicion de funciones

Si f y g son dos funciones de tal forma que Rec(f)⊆ Dom(g), entonces,

se puede definir la funcion g compuesta f , (g ◦ f) definida de la siguiente

manera:

(g ◦ f)(x) = g (f(x))

Si la condicion Rec(f)⊆ Dom(g) no se cumple, puede resultar que (g◦f)(x),sea la funcion vacia.

2.10. COMPOSICION DE FUNCIONES 73

Ejemplo 2.33. Dadas las funciones f(x) =√3x− 5 y g(x) = x2 + 3,

entonces, F (x) = (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f [x2 + 3] =√

3(x2 + 3)− 5 =√3x2 + 9− 5 =

√3x2 + 4

En este ejemplo, se observa que el dominio de la funcion g consta de todos

los reales, mientras que el dominio de f es el conjunto de los reales mayores

o iguales a 53 , la funcion f ◦ g consta de todos los reales x en el dominio de

g tales que g(x) esta en el dominio de f. Para la funcion g ◦ f, se tiene:

G(x) = (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g[√3x− 5] =

√(3x− 5)2 + 3

Ejemplo 2.34. Sean f(x) = 1x−1 y g(x) = x3 + 2

1. Hallar una funcion h tal que f ◦ h = g

2. Hallar una funcion k(x) tal que k ◦ g = f

Desarrollo

1) f (h(x)) = g(x) =⇒ f (h(x)) =1

h(x)− 1=⇒ 1

h(x)− 1= g(x)

despejando h(x)

1

g(x)= h(x)− 1 =⇒ h(x) =

1

g(x)+ 1

reemplazando

h(x) =1

x3 + 2+ 1 =

x3 + 3

x3 + 2

2) k (g(x)) = f(x) =⇒ k(x3 + 2

)=

1

x− 1

haciendo u = x3 + 2,=⇒ x = 3√u− 2

k (u) =1

3√u− 2− 1

, luego, k (x) =1

3√x− 2− 1


2.11. Funciones algebraicas

Una funcion se llama algebraica si esta expresada como combinacion de

sumas, restas, productos, cocientes o composiciones de funciones polinomi-

cas, racionales o radicales. por ejemplo:

f(x) = 2x3 +4 5√x2 + 1

3√x− 3

+x2 − 5

x− 1

Ejercicios 2.35.

Dadas las siguientes funciones:

a- f(x) =√5x− 10

b- g(x) = 4x+ 8

c- j(x) =√x2 − 3

d- h(x) = 2x− 5

Encontrar las siguientes funciones y decir cual es el dominio:

1. f + g

2. f + h

3. f − j

4. g − f

5. g + g

6. g + j

7. g + h

8. h+ f

9. h− j

10. h− h

11. h− g

12. j + j

13. j + h

14. j + f

15. j − g

16. f ◦ g

17. f ◦ h

18. f ◦ j

19. g ◦ f

20. g ◦ g

21. g ◦ j

22. g ◦ h

23. h ◦ f

24. h ◦ j

25. h ◦ h

26. h ◦ g

27. j ◦ j

28. j ◦ h

29. j ◦ f

30. j ◦ g

31. f.g

32. f.h

33. f.j

34. g.f

35. g.g

36. g.j

2.12. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS CON FUNCIONES 75

37. g.h

38. h.f

39. h.j

40. h.h

41. hg

42. jj

43. jh

44. jf

45. jg

Sean p(x) = 3√x, q(x) = x

x+1 , r(x) = x3 + 1 y t(x) = 1−xx

Encuentre:

46. Una funcion f(x) tal que p ◦ f = q

47. Una funcion g(x) tal que q ◦ g = p

48. Una funcion h(x) tal que r ◦ h = q

49. Una funcion k(x) tal que t ◦ k = r

50. Una funcion f(x) tal que f ◦ q = r

51. Una funcion g(x) tal que g ◦ p = t

52. Una funcion h(x) tal que h ◦ t = q

53. Una funcion k(x) tal que k ◦ r = p

2.12. Transformaciones geometricas con funciones

2.12.1. Desplazamientos verticales y horizontales de las grafi-

cas

Si la grafica de la funcion y = f(x) es conocida, con base en esa funcion se

puede facilmente hacer la grafica de funciones f(x) + c, f(x) + c, f(x+ c) y

f(x − c), mediante traslaciones de la siguiente manera: si c ∈ R y c > 0,

se tiene lo siguiente:

1. La grafica de g(x) = f(x)+c es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia arriba.


f(x) = x2

g(x) = x2 + c

c

Figura 53: Traslacion de f(x) = x2, c unidades arriba

2. La grafica de g(x) = f(x)−c es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia abajo.

f(x) = x2

g(x) = x2 − c

−cFigura 54: Traslacion de f(x) = x2, c unidades abajo

3. La grafica de g(x) = f(x−c) es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia la derecha.

4. La grafica de j(x) = f(x+c) es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia la izquierda.


Ejemplo 2.36. Sea f(x) = x2. Hacer las graficas de las funciones g(x) =

f(x− c) y j(x) = f(x+ c)

f(x) = x2j(x) = (x+ c)2 g(x) = (x− c)2

c

Figura 55: f(x) = x2, j(x) = f(x+ c) y g(x) = f(x− c).

2.12.2. Dilataciones y contracciones verticales

Sea c un numero real positivo diferente de uno y sea y = f(x) una funcion.

La grafica de la funcion g(x) = cf(x) se puede obtener de y = f(x) sim-

plemente multiplicando la segunda componente (la ordenada) por el numero

c . Las parejas ordenadas de la funcion y = f(x) son de la forma (x, f(x)),

mientras que las parejas ordenadas de g(x) = cf(x) son de la forma

(x, cf(x)). Por ejemplo si g(x) = 3f(x), entonces, la imagen de cada

valor de x se triplica respecto a la funcion y = f(x).

Si c > 1, se dice que la grafica de f se dilata, mientras que si 0 < c < 1, se

dice que la grafica de f se contrae.

Para funciones periodicas (ver 2.12.10 de la pagina 91), este proceso se

conoce como modulacion de amplitud.

Ejemplo 2.37. Para la funcion f(x) =√x algunas parejas ordenadas son

f = {(0, 0), (1, 1), (2,√2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), · · · }

1. Para la funcion g(x) = 2√x las parejas correspondientes son:

g = {(0, 0), (1, 2), (2, 2√2), (4, 4), (9, 6), (16, 8), (25, 10), · · · }


En este caso la grafica de g es una dilatacion de la grafica de f. Las

graficas quedan de la siguiente manera:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

f(x) =√x

g(x) = 2√x

Figura 56: y =√x y g(x) = 2

√x

2. Para la funcion g(x) =√x2 las parejas correspondientes son:

f = {(0, 0), (1, 12), (2,√x2 ), (4, 1), (9, 32), (16, 2), (25,

52), · · · }

En este caso la grafica de g es una contraccion de la grafica de f por

ser c = 12 . Las graficas quedan de la siguiente manera:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

f(x) =√x

g(x) =√x2

Figura 57: y =√x y g(x) =

√x2

Las tres graficas en el mismo plano se ven ası:


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6

7

f(x) =√x

2f(x)

f(x)

2

Figura 58: f(x) =√x,

Ejemplo 2.38. Dada la grafica siguiente de la funcion y = x2 defina

g(x) y j(x) . Cual es dilatacion y cual contraccion?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

f(x) = x2

j(x)

g(x)

Figura 59: y = x2.


2.12.3. Dilataciones y contracciones horizontales

Si c > 1 la funcion y = f(cx), se contrae horizontalmente en un factor c,

respecto a la funcion y = f(x). Si y = f(xc ), la funcion se dilata horizontal-

mente, en un factor de c con respecto a la funcion y = f(x).

Para funciones periodicas (ver 2.12.10 de la pagina 91 ), este proceso se

conoce como modulacion de frecuencia.

Ejemplo 2.39. Dada la funcion y = f(x) = x2 tal que −2 6 x 6 2 a

partir de ella definir la siguiente funcion con su respectivo dominio: y1 =

f(2x).

La funcion queda definida de la siguiente manera:

y1 = f(2x) = (2x)2.

como el cambio se hace en el dominio entonces tenemos lo siguiente:

−2 6 2x 6 2 ⇐⇒ −1 6 x 6 1

Notese que ha cambiado el dominio de y1 que ahora es −1 6 x 6 1,

mientras que el recorrido queda igual.

Ejemplo 2.40. Dada la funcion y = f(x) = x2 tal que −2 6 x 6 2 a

partir de ella definir la siguiente funcion con su respectivo dominio: y2 =

f(x/2).

La funcion queda definida de la siguiente manera:

y2 = f(x/2) = (x/2)2.

como el cambio se hace en el dominio entonces tenemos lo siguiente:

−2 6 x/2 6 2 ⇐⇒ −4 6 x 6 4

vemos que ha cambiado el dominio de y2 que ahora es −4 6 x 6 4,

mientras que el recorrido queda igual.

Las graficas de las funciones de los dos ultimos ejemplos quedan de la sigui-

ente manera


y1 = f(2x) = (2x)2

y = f(x) = x2

y2 = f(x2 ) = (x2 )2

Figura 60: y = f(x) = x2, f(2x) y f(x2 )

Ejemplo 2.41. Dada la funcion y = g(x) definida de la siguiente manera:

y = g(x) =

1 si − 4 ≤ x < −2x2 si − 2 ≤ x < 0√x, si 0 ≤ x < 4

−1 si 4 ≤ x ≤ 6

cuya grafica es:

y =√x

y = x2

y = 1

y = −1

2

4−2

��

��

Figura 61: y = g(x)


entonces, la funcion y1 = g(2x) queda definida de la siguiente manera:

y1 = g(2x) =

1 si − 4 ≤ 2x < −2(2x)2 si − 2 ≤ 2x < 0√2x, si 0 ≤ 2x < 4

−1 si 4 ≤ 2x ≤ 6

lo anterior es equivalente a:

y1 = g(2x) =

1 si − 2 ≤ x < −1(2x)2 si − 1 ≤ x < 0√2x, si 0 ≤ x < 2

−1 si 2 ≤ x ≤ 3

cuya grafica es:

2

4−2

��

Figura 62: y = g(2x)

Ahora vamos a definir y graficar la funcion y2 = g(0,8x). Observemos que

el dominio x se multiplica por una cantidad mayor que cero y menor que

uno. La funcion queda definida de la siguiente manera:


y2 = g(0,8x) =

1 si − 4 ≤ 0,8x < −2(0,8x)2 si − 2 ≤ 0,8x < 0√0,8x, si 0 ≤ 0,8x < 4

−1 si 4 ≤ 0,8x ≤ 6

lo anterior es equivalente a:

y2 = g(0,8x) =

1 si − 4/0,8 ≤ x < −2/0,8(0,8x)2 si − 2/0,8 ≤ x < 0/0,8√0,8x, si 0/0,8 ≤ x < 4/0,8

−1 si 4/0,8 ≤ x ≤ 6/0,8

es decir

y2 = g(0,8x) =

1 si − 5 ≤ x < −2,5(0,8x)2 si − 2,5 ≤ x < 0√0,8x, si 0 ≤ x < 5

−1 si 5 ≤ x ≤ 6,25

y =√0,8x

y = (0,8x)2

y = 1

y = −1

2

4−2

��

��

Figura 63: y2 = g(0,8 x)


2.12.4. Simetrıa con respecto al eje x

Dada la funcion y = f(x), si a partir de ella se quiere graficar la funcion

g(x) = −f(x), entonces, lo que tenemos que hacer es cambiarle el signo a

las ordenadas, es decir que si en la grafica de y esta la pareja (x, y) en g

la pareja correspondiente es (x,−y). Aquı el dominio no cambia, pero si el

recorrido y las dos graficas son simetricas con respecto al eje X

Ejemplo 2.42. Dada la funcion f(x) =√x a partir de ella graficar la

funcion g(x) = −f(x) = −√x, entonces, lo que se debe hacer es cambiar-

le el signo a las ordenadas (segundas componentes), es decir, que si en la

grafica de y esta la pareja ordenada (x,√x) en g la pareja ordenada

correspondiente es (x,−√x). Algunas parejas ordenadas de f y g son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,√2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), · · · } y

g = {(0, 0), (1,−1), (2,−√2), (4,−2), (9,−3), (16,−4), · · · }

Las graficas quedan de la siguiente manera:

f(x) =√x

g(x) = −√x(x,−y)

(x, y)•

•

Figura 64: y =√x y g(x) = −√x


2.12.5. Simetrıa con respecto al eje y

Si nos dan la funcion y = f(x) y a partir de ella queremos graficar la

funcion g(x) = f(−x), entonces, lo que se debe hacer es cambiarle el signo a

la primera componente, es decir, que si en la grafica de f(x) esta la pareja

ordenada (x, y) en g la pareja ordenada correspondiente es (−x, y). Aquı el

recorrido no cambia, pero si el dominio.


funcion g(x) = f(−x) =√−x, entonces, lo que se debe hacer es cambiarle

el signo a las abscisas en cada pareja ordenada de f(x) =√x, es decir, que

si en la grafica de f esta la pareja ordenada (x,√x) en g, la pareja ordenada

correspondiente es (−x,√x). Algunas parejas ordenadas correspondientes aestas dos funciones, son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,√2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), · · · } y

f = {(0, 0), (−1, 1), (−2,√2), (−4, 2), (−9, 3), (−16, 4), (−25, 5), · · · }

Las graficas quedan de la siguiente manera:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

f(x) =√xg(x) =

√−x(−x, y) (x, y)

••

Figura 65: y = f(x) =√x y g(−x) =

√−x

2.12.6. Simetrıa con respecto al origen

Dada la funcion y = f(x) a partir de ella graficar la funcion g(x) = −f(−x).Entonces, lo que se hace es cambiarle el signo a las abscisas y a las ordenadas


en cada pareja de y = f(x), es decir, que si en la grafica de f esta la pareja

ordenada (x, f(x)) en g la pareja ordenada correspondiente es (−x,−f(x)).Las dos graficas quedan simetricas al origen.


funcion g(x) = −√−x, entonces, lo que se debe hacer es cambiarle el signo

a las abscisas y a las ordenadas en cada pareja ordenada, es decir, que si

en la grafica de f esta la pareja ordenada (x,√x) en g, la pareja ordenada

correspondiente es (−x,−√x). Algunas parejas ordenadas correspondientesa estas dos funciones, son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,√2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), · · · } y

y1 = {(0, 0), (−1,−1), (−2,−√2), (−4,−2), (−9,−3), (−16,−4), (−25,−5), · · · }

Las graficas quedan simetricas respecto al origen puesto que si aparece la

pareja (x, y) tambien aparece la pareja (−x,−y). Las graficas son las

siguientes:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3f(x) =

√x

g(x) = −√−x

(−x,−y)

(x, y)•

•

Figura 66: f(x) =√x y g(x) = −

√−x

Ejercicios 2.45. Dada la siguiente grafica de la funcion y = f(x) definida

en el intervalo [1, 4]


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3y = f(x)

Figura 67: y = f(x)

1. Debe graficar las siguientes funciones:

y1 = f(x− 5) y2 = f(x+ 5) y3 = f(−x) y4 = −f(x)y5 = −f(−x) y6 = 2f(x) y7 = −2f(x) y8 = −2f(−x)

2. Especifique el dominio de cada una de las funciones del item anterior.

3. Que pares de funciones sus graficas son simetricas? Diga si la simetrıa

es respecto al eje Y al eje X o al origen.

4. En otro plano cartesiano haga la grafica de las siguientes funciones

especificando el dominio y el recorrido:

y9 = f(x− 5) + 4 y10 = f(x+ 5)− 4 y11 = −f(4− x) y12 = 3f(x− 2)

2.12.7. Accion del valor absoluto sobre una funcion

En el ejemplo 2.8.1 de la pagina 67 se dio la definicion de valor absoluto.

La definicion dice, que si a una funcion se le aplica valor absoluto, el valor

absoluto de esa funcion es el mismo, en los intervalos donde la funcion toma

valores positivos, pero en los intervalos donde la funcion toma valores nega-

tivos, el valor absoluto lo que hace es volver positivos esos valores. Entonces,

la grafica de la funcion donde toma valores negativos y la grafica del valor


absoluto de esa funcion donde toma valores negativos, son simetricas respec-

to al eje x, puesto que se le cambia el signo a las segundas componentes. De

hecho, la funcion identica f(x) = x, toma valores negativos en (−∞, 0)

g(x) = |x|, x ∈ (−∞, 0)

f(x) = x, x ∈ (−∞, 0)

Figura 68: f(x) = x, g(x) = |x|

Ejemplo 2.46. Analice las funciones f(x) = x2 − 2 y g(x) = |x2 − 2|

Mediante un analisis simple se observa que la funcion f toma valores nega-

tivos unicamente cuando x ∈ (−√2,√2), en los demas valores del dominio

la funcion es positiva. Eso significa que al aplicarle valor absoluto a f , se

afecta solamente en ese intervalo.

f(x) = x2 − 2

1

Figura 69: f(x) = x2 − 2


g(x) = |x2 − 2|1

Figura 70: |x2 − 2| : linea continua

Matematicamente se hace de la siguiente manera: por definicion de valor

absoluto, se tiene

|x2 − 2| =

x2 − 2, si x2 − 2 ≥ 0

−(x2 − 2), si x2 − 2 < 0(2.2)

En la desigualdad de la primera parte, se tiene:

x2 − 2 ≥ 0⇐⇒ x2 ≥ 2⇐⇒√x2 ≥

√2⇐⇒ |x| ≥

√2

⇐⇒ x ≥√2 o x ≤ −

√2

La desigualdad de la segunda parte queda:

x2 − 2 < 0⇐⇒ x2 < 2⇐⇒√x2 <

√2⇐⇒ |x| <

√2

⇐⇒ −√2 < x <

√2

Luego la definicion 2.2 queda ası:

|x2 − 2| =

x2 − 2, si x ≥√2 o x ≤ −

√2

−(x2 − 2), si −√2 < x <

√2

2.12.8. Funciones pares

Una funcion g se llama par si g(x) = g(−x)

Ejemplo 2.47. La funcion g(x) = 3x4+5x2−8 es una funcion par, veamos:


g(−x) = 3(−x)4 + 5(−x)2 − 8 = 3x4 + 5x2 − 8, vemos que, g(x) = g(−x)

Ejemplo 2.48. La funcion g(x) = 5x2 + 7x + 3 no es una funcion par,

veamos:

g(−x) = 5(−x)2 + 7(−x) + 3 = 5x2 − 7x+ 3, vemos que g(x) 6= g(−x)

La grafica de una funcion par, es simetrica respecto al eje y (simetrıa axial).

2.12.9. Funciones impares

Una funcion f se llama impar si f(−x) = −f(x)

Ejemplo 2.49. La funcion f(x) = 2x3−5x es una funcion impar, veamos:

−f(x) = −(2x3−5x) = −2x3+5x y f(−x) = 2(−x)3−5(−x) = −2x3+5x,

luego f(−x) = −f(x)La grafica de una funcion impar, es simetrica respecto al origen (simetrıa

central).

Nota:

Para decidir si una funcion f es par, impar o ninguna de las dos, escriba por

separado f(x), f(−x) y −[f(x)] y compare resultados.

Ejemplo 2.50. Diga si la siguiente funcion es par, impar o ninguna de las

dos: f(x) = 2x5 − 5x3 + 3x:

f(x) = 2x5 − 5x3 + 3x

f(−x) = 2(−x)5 − 5(−x)3 + 3(−x) = −2x5 + 5x3 − 3x

−[f(x)] = −[2x5 − 5x3 + 3x] = −2x5 + 5x3 − 3x

Claramente se ve que f(−x) = −[f(x)]


2.12.10. Funciones periodicas

Una funcion f , se llama periodica, si existe un numero real positivo p, tal

que

f(x) = f(x+ p) = f(x− np), (2.3)

para todo valor x, y para n = 0,±1,±2, · · · ,.El menor numero p que satisface la igualdad, se llama periodo fundamental

de f , o simplemente periodo de f .

Ejemplo 2.51. Sea g(t) = t2, y sea f la funcion definida de la siguiente

manera:

f(t) =

t2, si t ∈ [−2, 2)f(t+ 4), si t /∈ [−2, 2)

Figura 71

· · ·· · ·

4

2 t

Ejemplo 2.52. La funcion f , cuya grafica es la siguiente, es una funcion

periodica de periodo 2a:


t

Figura 72

1

4a3a2aa

y se define de la siguiente manera:

f(t) =

1, si 0 ≤ t < a

0 si a ≤ t < 2a

f(t+ 2a) si t /∈ [0, 2a)

2.12.11. Extension periodica de una funcion

Sea f una funcion definida en un intervalo [a, b). A continuacion se constru-

ira una nueva funcion F que satisfaga las siguientes condiciones:

1. El dominio de F es R

2. La funcion F es periodica de periodo b− a

3. para todo punto x del intervalo [a, b), F (x) = f(x) .

La grafica de una funcion periodica de periodo p, en el intervalo [a, b)

de longitud p, es exactamente la misma en cualquier intervalo de la forma

[a ± np, b ± np), n = 0, 1, 2, 3, · · · , siempre que los valores en el intervalo

[a±np, b±np), esten en el dominio de la funcion. La grafica de una funcion

periodica de periodo p = b− a, tiene la siguiente forma:


x

Figura 73

· · ·

b− a

· · ·

· · ·

· · ·

(n+ 1)pxn

a+ npx0a b

x1 x3x2a + 2p

En la grafica anterior se observa:

1. p = b− a

2. x0 = a

3. x1 = b = a+ p, x2 = a+ 2p, x3 = a+ 3p, · · ·

4. xn = a+ np, xn+1 = a+ (n+ 1)p

Cada numero real x, se encuentra en algun intervalo de la forma:

a+ np ≤ x < a+ (n+ 1)p, restando a, np ≤ x− a < (n+ 1)p

dividiendo en p = b− a, se obtiene: n ≤ x− a

b− a< (n+ 1)

Lo que significa que n es la parte entera dex− a

b− a, es decir, n =

⌊x− a

b− a

⌋.

Como la funcion es periodica de periodo p, reemplazando n en 2.3, se tiene:

F (x) = f(x− np) = f

(x−

⌊x− a

b− a

⌋p

)(2.4)

restando np en a+ np ≤ x < a+ (n+ 1)p se obtiene a ≤ x− np < b, lo que

garantiza que F queda bien definida y que F (x) = f(x) para x en [a, b)

Por lo tanto la funcion periodica buscada es:

F (x) = f

(x−

⌊x− a

b− a

⌋p

)= f

(x−

⌊x− a

b− a

⌋(b− a)

).

Definicion 2.53. Extension periodica de una funcion

La expresion f

(x−

⌊x− a

b− a

⌋p

)se llama extension periodica de la funcion

f y se denota Efp(x)


En particular, si el intervalo [a, b) es [0, p), la extension periodica de la

funcion, es: f

(x−

⌊x

p

⌋p

)

Ejemplo 2.54. Sea f(t) = t2, −2 ≤ t < 2, La extension periodica de f a

toda la recta real es:

Ef (t) = f

(t−⌊t− (−2)2− (−2)

⌋4

)=

(t− 4

⌊t+ 2

4

⌋)2

Figura 74

· · ·· · ·

4

2 t

Si por ejemplo, se quiere hallar el valor de la funcion, periodica cuando

t = 97:

f

(97−

⌊99

4

⌋4

)= f (97− b24,75c 4) = (97− 24× 4)2 = (97− 96)2 = 1

2.13. Funciones trigonometricas

2.13.1. Circulo unitario y angulos en radianes y grados

La circunferencia unitaria, es una circunferencia que tiene centro en el ori-

gen del plano Cartesiano y radio uno, como la que se muestra en la figura

siguiente:

2.13. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 95

α = 1 radian

| CM |= 1

CO A

1

M

Figura 75:

Si la longitud del arco CM es 1, que es la longitud del radio, se dice que ese

arco mide 1 radian y que la medida del angulo α es 1 radian, que es una

unidad de medida de angulos. Existe otra medida para angulos que son los

grados y los utilizan bastante en algunos campos, pero aquı utilizaremos la

medida en radianes, puesto que son numeros reales y esto simplifica muchos

calculos, por lo tanto la calculadora hay que mantenerla en modo rad, al no

ser que se indique otra cosa. Observese que a medida que el radio OC gira

alrededor del origen O de la circunferencia, ya sea en sentido contrario a las

manecillas del reloj (angulos positivos) o en el sentido de las manecillas del

reloj (angulos negativos), los valores del angulo α genera los numeros reales.

Como al dividir la longitud (L) de cualquier circunferencia entre la longitud

de su diametro (2 radios), el resultado de dicha division siempre es el numero

irracional π ≈ 3,14159, entonces, se obtiene la conocida formula L = 2πr

y como se esta trabajando en la circunferencia unitaria r = 1, entonces, la

formula queda L = 2π, es decir, la medida del angulo α, cuando el radio

OC gira alrededor del origen O una vuelta es de α = 2π. De hecho, media

vuelta el angulo es α = π, para un cuarto de vuelta α = π2 , para tres cuartos

de vuelta α = 3π2 , etc..


Aquı la circunferencia unitaria mostrando algunos angulos.

CO

3π2

π2

π

−π2

Figura 76:

De esta manera hay una equivalencia entre angulos dados en grados y angu-

los en radianes, a saber: 180 grados, equivale a π radianes, y ası podemos

pasar de grados a radianes y viceversa, mediante una simple regla de tres.

Por ejemplo, para encontrar el equivalente de un angulo de a grados en

radianes, se tiene:

1800 −→ π radianes

a0 −→ a cuantos radianes equivale (x)?

Resolviendo para x se tiene:

x =a0 × π radianes

1800=a× π

180radianes

Para saber a cuantos grados equivale un radian se procede de la siguiente

manera:

1800 −→ π radianes

x −→ 1 radian


Despejando x se tiene:

x =1800 × 1 radian

π radianes=

1800

π≈ 57,2957grados

2.13.2. Funciones seno y coseno

Sean α un numero real, Lα la semirrecta que comienza en el centro de la

circunferencia unitaria y que forma un angulo α (medido en radianes), con

el eje positivo de las x. El punto Pα de interseccion de la recta Lα y la

circunferencia unitaria, tiene coordenadas que dependen del angulo α dadas

por: la primera componente se llama coseno del angulo α que se denota

cosα y la segunda componente, se llama seno del angulo α y se denota

senα, en sımbolos

Pα = (cosα, senα)

Por esta construccion para cada real α el punto Pα es unico y se pueden

definir las funciones f(α) = cosα como la primera coordenada o primera

proyeccion de Pα y g(α) = sen(α) como la segunda proyeccion o segunda

componente de Pα, ası que el dominio de estas funciones es el conjunto

de los numeros reales R. El recorrido de las funciones seno y coseno es el

intervalo [-1, 1] ya que las primeras y segundas coordenadas de puntos Pα

sobre la circunferencia estan sobre el intervalo [-1, 1] en los ejes X y Y

respectivamente.

sen : R −→ [−1, 1]

cos : R −→ [−1, 1]


α

Pα(cosα, senα)

C

O

1

Lα

cosα

sinα

Figura 77:

Signos de cos y sen en cada cuadrante

1. Primer cuadrante: si 0 ≤ α ≤ π2 , el punto Pα se encuentra en el

primer cuadrante y sus coordenadas son positivas:

cos(α) > 0 y sen(α) > 0

2. Segundo cuadrante: si π2 ≤ α ≤ π, el punto Pα se encuentra en

el segundo cuadrante y su primera coordenada es negativa y segunda

coordenada positiva:

cos(α) < 0 y sen(α) > 0

3. Tercer cuadrante: si π ≤ α ≤ π2 , el punto Pα se encuentra en el

tercer cuadrante y sus coordenada son negativas:

cos(α) < 0 y sen(α) < 0

4. Cuarto cuadrante: si 3π2 ≤ α ≤ 2π, el punto Pα se encuentra en

el cuarto cuadrante y su primera coordenada es positiva y segunda

coordenada negativa:

cos(α) < 0 y sen(α) > 0


Si el angulo α esta en el primer cuadrante, 0 < α < π2 , la longitud del

segmento OC = cosα y la longitud del segmento CP = senα. Como la

longitud de OC y de CP dependen del angulo α, entonces, cosα y senα

son funciones que las denotamos: y = cosα y y = senα siendo α cualquier

numero real, es decir, que el dominio de las funciones cos y sen corresponde

a todos los reales, pero el recorrido esta dado por: −1 ≤ cosα ≤ 1 y −1 ≤senα ≤ 1

Algunos valores de seno y coseno

α

Pα = (cosα, senα)

P0 = (1, 0)

Pπ2= (0, 1)

Pπ(−1, 0)

P 3π2= (0,−1)

Lα

Figura 78:

Cuatro puntos interesantes*

P0 = (cos 0, sen 0) = (1, 0) =⇒ cos 0 = 1 sen 0 = 0

Pπ2= (cos π2 , sen π

2 ) = (0, 1) =⇒ cos π2 = 0 sen π2 = 1

Pπ = (cosπ, senπ) = (−1, 0) =⇒ cosπ = −1 senπ = 0

P 3π2= (cos 3π

2 , sen 3π2 ) = (0, −1) =⇒ cos 3π

2 = 0 sen 3π2 = −1

*Cuando los ejes coordenados cortan la circunferencia


αcosα

cos(−α)−α

Pα(cosα, senα)

P−α(cos(−α), sen(−α)

)

CO A

1

MLα

L−α

sen(−α) = − senα

senα

Figura 79

Propiedades:

1. Para cada real α, el punto Pα = (cosα, senα) = (x, y), se encuentra en

la circunferencia unitaria y forma un triangulo rectangulo con ecuacion

x2 + y2 = 1, luego,

cos2 α+ sen2 α = 1 (2.5)

es una identidad trigonometrica, porque se cumple para todo α y se

llama identidad pitagorica.

2. Como α es cualquier numero real, segun la grafica anterior:

cos(−α) = cosα sen(−α) = − senα (2.6)

lo que significa que la funcion y = cosα, es una funcion par, y la

funcion y = senα, es una funcion impar

3. Si el punto P da otra vuelta, sobre la circunferencia unitaria, regresa

al mismo sitio, lo cual significa que

(cosα, senα) =(cos(α+ 2π), sen(α+ 2π)

)


4. Si el punto P da la vuelta en el sentido que giran las manecillas de los

relojes, el angulo es negativo y se tiene:

(cosα, senα) =(cos(α− 2π), sen(α− 2π)

)

5. Si el punto P da n vueltas, se tiene:

(cosα, senα) =(cos(α+ 2nπ), sen(α+ 2nπ)

), n = 0,±1,±2, · · ·

6. Lo anterior significa que las funciones senα y cosα son funciones

periodicas de periodo 2π.

cosα = cos(α+ 2π) = cos(α+ 2nπ)

senα = sen(α+ 2π) = sen(α+ 2nπ), n = 0,±1,±2, · · ·

7. La funcion senα, en el primer cuadrante aumenta de 0 hasta 1. En

el segundo cuadrante disminuye de 1 hasta 0. En el tercer cuadrante

disminuye de 0 hasta -1 y en el cuarto cuadrante aumenta de -1 hasta

0. La grafica es la siguiente, en esa vuelta:

π3

π2

π6

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6 2π

1

α

Figura 80 g(x) = senα

La grafica anterior se repite en los intervalos: [2π, 4π], [4π, 6π], · · · yen los intervalos: [−2π, 0], [−4π, −2π], · · · .


Figura 81 g(x) = senx

π2

Ceros de la funcion seno:

Se observa en la grafica que sen x = 0, cuando,

x = 0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π, · · ·

8. La funcion cosα, en el primer cuadrante disminuye de 1 hasta 0. En

el segundo cuadrante disminuye de 0 hasta -1. En el tercer cuadrante

aumenta de -1 hasta 0 y en el cuarto cuadrante aumenta de 0 hasta 1.

La grafica es la siguiente, en esa vuelta:

π3

π2

π6

2π3

5π6

π 7π6

4π3

3π2

5π3

11π6 2π

1

α

Figura 82 g(x) = cosα

La grafica anterior se repite en los intervalos: [2π, 4π], [4π, 6π], · · · yen los intervalos: [−2π, 0], [−4π, −2π], · · · .

Figura 83 g(x) = cosx

π2

π


Ceros de la funcion coseno:

Se observa en la grafica que cos x = 0, cuando,

x = ±π2, ±3π

2, ±5π

2, ±7π

2, · · ·

2.13.3. Funcion tangente

La funcion tangente se denota tan y esta dada por: tanx =senx

cosx.

El dominio de la funcion tan por ser un cociente, es el conjunto de los

numeros reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador

es cosx, hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la

funcion tangente. Se sabe que cosx = 0, cuando, x = ±nπ2, n = 1, 3, 5, · · · .

Para cada n = 1, 3, 5, · · · , las graficas de x = ±nπ2, son rectas verticales

(paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas

paralelas separadas una distancia de π que dividen el plano en infinitas

franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion tan, dandole

valores a x. La grafica es la siguiente:

· · ·· · ·

x =π

2

π

1

Figura 84: y = tanx

Como tanx =senx

cosx, entonces, tan(−x) =

sen(−x)cos(−x) = −senx

cosx= − tanx,

por lo tanto la funcion tan es una funcion impar.


2.13.4. Funcion cotangente

La funcion cotangente se denota cot y esta dada por: cotx =cosx

senx.

El dominio de la funcion cot por ser un cociente, es el conjunto de los

numeros reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador

es senx, hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio

de la funcion tangente. Se sabe que senx = 0, cuando, x = ±nπ, n =

0, 1, 2, 3, · · · . Para cada n = 0, 1, 2, 3, · · · , las graficas de x = ±nπ, sonrectas verticales (paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano,

son infinitas rectas paralelas separadas una distancia de π que dividen el

plano en infinitas franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion

cot, dandole valores a x. La grafica es la siguiente:

· · ·· · ·

π

1

Figura 85: y = cotx

2.13.5. Funcion secante

La funcion secante se denota sec y esta dada por: secx =1

cosx.

El dominio de la funcion sec por ser un cociente, es el conjunto de los numeros

reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador es cosx,

hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la funcion

tangente. Se sabe que cosx = 0, cuando, x = ±nπ2, n = 1, 3, 5, · · · . Para

cada n = 1, 3, 5, · · · , las graficas de x = ±nπ2, son rectas verticales (paralelas

al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas paralelas

separadas una distancia de π que dividen el plano en infinitas franjas y en


cada franja se dibuja una parte de la funcion sec, dandole valores a x. La

grafica es la siguiente:

· · ·· · ·

π

1

−1

cosx

Figura 86: y = secx

2.13.6. Funcion cosecante

La funcion cosecante se denota csc y esta dada por: cscx =1

senx.

El dominio de la funcion csc por ser un cociente, es el conjunto de los numeros

reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador es senx,

hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la funcion

cosecante. Se sabe que senx = 0, cuando, x = ±nπ, n = 0, 1, 2, 3, · · · .Para cada n = 0, 1, 2, 3, · · · , las graficas de x = ±nπ, son rectas verticales

(paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas

paralelas separadas una distancia de π que dividen el plano en infinitas

franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion csc, dandole

valores a x. La grafica es la siguiente:


· · ·senx

· · ·

π2

1

Figura 87: y = cscx

En general, las funciones trigonometricas se definen no necesariamente en el

circulo unitario, sino en cualquier circulo de radio r, de la siguiente manera:

α C

O

r

M = (x, y) = (r cosα, r senα)

x

y

Figura 88:

El radio r y el angulo α, forman el triangulo rectangulo OCM, en el cual,

el cateto adyacente al angulo α es x, el cateto opuesto al angulo α es y y la

hipotenusa es r:

1. senα =longitud del cateto opuesto

longitud de la hipotenusa=y

r,=⇒, y = r senα


2. cosα =longitud del cateto adyacente

longitud de la hipotenusa=x

r,=⇒, x = r cosα

3. tanα =longitud del cateto opuesto

longitud del cateto adyacente=y

x=

senα

cosα

4. secα =1

cosα=

r

x

5. cscα =1

senα=r

y

Una de las aplicaciones de las funciones trigonometricas es resolver triangu-

los rectangulos. Resolver un triangulo, es encontrar las longitudes de los

lados y las medidas de los angulos internos conociendo algunos datos.

Ejemplo 2.55. Resolver los siguientes triangulos rectangulos:

α = π4

y = 3h

x

α

h = 6 y = 3

Figura 89:

En el triangulo rectangulo de la izquierda, conoce la medida del angulo α y

la longitud del lado opuesto, se puede utilizar la funcion sen para encontrar

la longitud de h o la funcion tan para hallar la longitud de x o una vez que

se obtenga el valor de h o de x, utilizar el teorema de Pitagoras:

sen(π

4) =

3

h,=⇒, h =

3

sen(π4 )=

3

0,7071067≈ 4, 2426407

tan(π

4) =

3

x,=⇒, x =

3

tan(π4 )=

3

1= 3

En el triangulo rectangulo de la derecha, se conoce la longitud del lado

opuesto al angulo α y la longitud de la hipotenuusa. Se puede utilizar la

inversa de la funcion sen para encontrar la medida de α, hay otros caminos.


senα =3

6=

1

2,=⇒, α = sen−1

(1

2

)= 0, 5235987 =

π

6

Si los triangulos no son rectangulos, se debe aplicar la ley de los senos o la

ley de los cosenos, segun el caso, para resolverlos:

2.13.7. Ley de los senos

La ley de los senos se utiliza para resolver triangulos, cuando se conoce:

1. La longitud de dos lados y la medida de uno de los angulos opuestos.

2. La medida de dos angulos y la longitud de un lado cualquiera

b

a

A

Figura 90: π2 < A < π

Se introduce un sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

b

a

Aπ −A

h

B

Figura 91: sen(π −A) = senπ

En la figura anterior se observa lo siguiente:

h = b sen(π −A) = a senB, como, sen(π −A) = senA,=⇒,


b senA = a sinB,=⇒ senA

a=

senB

b(2.7)

Si se traza, en el mismo triangulo, una perpendicular, desde el lado a, hasta

el vertice A, se obtiene lo siguiente:

c

b

M

A

C

B

Figura 92: AM ⊥ BC

De los triangulos rectangulos AMC y AMB, se tiene:

AM = b senC = c senB,=⇒ senC

c=

senB

b(2.8)

De 2.7 y 2.8, se obtiene, la ley de los senos:

senA

a=

senB

b=

senC

c(2.9)

2.13.8. Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se utiliza para resolver triangulos en los siguientes

casos:

1. Se conoce la longitud de los tres lados.

2. Se conoce la longitud de dos lados y la medida del angulo entre ellos


c

b a?

A

C

Figura 93: se conoce la medida de A, y las longitudes b y c

Se obtienen las coordenadas del punto C:

c

b a

A

O P B(c, 0)

C(b cosA, b senA)

Figura 94: el triangulo OPC, es rectangulo

Como se conocen las coordenadas de los puntos B y C, hallamos la distancia

entre esos dos puntos que es a :

a2 = (b cosA− c)2 + (b senA− 0)2 =

b2 cos2A− 2b(cosA)c+ c2 + b2 sen2A =

b2(cos2A+ sen2A)− 2bc cosA+ c2,=⇒a2 = b2 + c2 − 2bc cosA (2.10)

Ahora, si se conocen las longitudes de los tres lados, entonces, de la ecuacion

2.10 se despeja A:

2bc cosA = b2 + c2 − a2,=⇒

cosA =b2 + c2 − a2

2bc,=⇒, A = cos−1

(b2 + c2 − a2

2bc

)(2.11)


Ahora, si el triangulo que se tiene es el siguiente, en el cual, nuevamente,

conocemos la longitud de dos de sus lados y el angulo A entre ellos, pero la

medida de dicho angulo es mayor que π2 y menor que π,

c

b

a?

A


Se introduce un sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

c

b

a?

A

b cos(π −A)

π −A B(c+ b cos(π −A), 0)

C (0, b sin(π −A))


Conocidas las coordenadas del punto C y del punto B, y teniendo en cuen-

ta que cos(π − A) = cosπ cosA + senπ senA = − cosA y sen(π − A) =

senπ cosA− senA cosπ = senA, se halla la longitud de a :

a2 = (c+ b cos(π −A)− 0)2 + (0− b sen(π −A))2 =

(c− b cosA)2 + (b senA)2 =

c2 − 2b(cosA)c+ b2 cos2A+ b2 sen2A =

b2(cos2A+ sen2A)− 2bc cosA+ c2,=⇒a2 = b2 + c2 − 2bc cosA (2.12)

Ejercicios 2.56. Pasar de grados a radianes


1. 15o

2. 20o

3. 30o

4. 45o

5. 75o

6. 240o

7. 330o

8. 210o

9. 135o

10. 450o

11. 680o

12. 96o

13. 500o

14. 270o

15. 720o

Pasar de radianes a grados

16. π3

17. 3π4

18. 9π4

19. 5π12

20. 11π6

21. 7π22

22. 5π4

23. 4,21

24. 3,14

25. 2,21

Ubique los siguientes angulos en planos Cartesianos

26. 65o

27. 120o

28. 360o

29. 370o

30. 420o

31. 720o

32. 1270o

33. 600o

34. 135o

35. 480o

36. 920o

37. Encuentre las medidas en grados y radianes del angulo obtuso formado

por las manecillas de un reloj que marca las 5 en punto

38. Encuentre las medidas en grados y radianes del angulo agudo formado

por las manecillas de un reloj que marca las 2 en punto.

39. Encuentre las longitudes de las diagonales de una caja cuyas dimen-

siones son 5 cm de largo, 4 de ancho y 3 de alto.

40. Encuentre las seis funciones trigonometricas del angulo α, si P es el el

punto terminal de α.


a) P = (5,−3)b) P = (4, 9)

c) P = (−7, 6)

d) P = (−12,−9)e) P = (−10,−3)f) P = (6,−4)

41. Encuentre las seis funciones trigonometricas del angulo α si:

a) cotα = 54 , senα < 0

b) senα = −27 , tanα > 0

c) cscα = −32 , cosα < 0

d) secα = 95 , senα < 0

e) tanα = 5, secα > 0

f) senα = − 517 , tanα > 0.

42. Un guardabosques que esta a 15 m de la base de un arbol observa que

el angulo entre el suelo y la cima del arbol es de 200 cual es la altura

del arbol.

43. Un observador sobre un edificio A mide un angulo de depresion de 350

respecto a la base de otro edificio B y un angulo de elevacion de 150

hasta la cima de B. Si la altura del edificio A es 24 m, cual es la altura

de B.

44. La parte superior de una escalera de 3 mts esta recostada contra el

borde del techo de una casa. Si el angulo entre la escalera y la hori-

zontal es de 480 ¿Cual es la altura aproximada de la casa y que tan

lejos esta el pie de la escalera de la base de la casa?

45. Dos observadores ubicados en linea recta sobre la horizontal miden

los angulos de elevacion hasta la parte mas alta de un edificio. Si el

primero mide un angulo de 400 y el segundo de 250 y la distancia entre

ellos es de 800mts encuentre la altura del edificio.

46. Para el triangulo siguiente, hallar la longitud de los lados y la medida

de los angulos incognitas:


c

ab

B A

C

Figura 97: se conoce la medida de A, y las longitudes b y c

a) Si A = 500 , B = 700 y a = 20

b) Si a = 6 , b = 8 y C = 1100

c) Si A = 300 , b = 9 y a = 7

d) Si A = 500 , B = 800 y a = 14

e) Si A = 400 , b = 20 y c = 12

f ) Si C = 1250, b = 18 y a = 15

g) Si C = 960, b = 20 y a = 22

h) Si a = 20, b = 30 y c = 18

i) Si a = 13, b = 9 y c = 8

47. Cuando el angulo de elevacion del sol es de 500, un poste de telefonos

inclinado a un angulo de 850 entre la horizontal y el poste, arroja una

sombra de 5 metros. Calcule la longitud del poste.

48. Un poste vertical de luz de y un hombre de 170 cm de altura estan

alineados sobre un anden que se inclina hacia abajo en un angulo

constante α. Si la sombra del hombre sobre el anden hacia abajo es de

4 metros y el angulo de depresion desde la cabeza del hombre hasta la

punta de su sombra es de 320 encuentre el angulo α.

49. Los angulos de elevacion de un aeroplano se miden desde lo mas alto

y desde la base de un edificio que mide 20 mts de alto. El angulo de

la cima del edificio es de 380 y el desde la base de 400. Encuentre la

altitud del aeroplano.


50. Un rombo tiene lados de 12 cm de longitud, si el angulo de uno de los

vertices es 550, hallar las longitudes de las diagonales.

51. Dos estaciones de radar se situan a 6 Km la una de la otra. Un avion

pasa directamente sobre la linea de las dos estaciones. En este instante

las distancias entre el avion y las estaciones son de 2.5 Km y 4 Km

Encuentre la altitud del avion.

52. Hallar las diagonales de un paralelogramo de lados 3 y 5 metros que

tiene un angulo interno de 60◦.

53. Un arbol en una ladera proyecta una sombra de 215 pies, si el angulo

de inclinacion de la ladera es de 22o con la horizontal y el angulo de

elevacion del sol es de 52o ¿Cual es la altura del arbol?

2.13.9. Identidades trigonometricas

Si en la identidad 2.5 de la pagina 100, se divide cada termino en cosα, se

obtiene:

cos2 α+ sen2 α = 1, =⇒,cos2 α

cos2 α+

sen2 α

cos2 α=

1

cos2 α

que es la identidad:

1 + tan2 α = sec2 α (2.13)

Nuevamente, en la identidad 2.5 de la pagina 100, se divide cada termino

en senα, se obtiene:

cos2 α+ sen2 α = 1, =⇒,cos2 α

sen2 α+

sen2 α

sen2 α=

1

sen2 α

que es la identidad:

cot2 α+ 1 = csc2 α (2.14)

La identidad que se va a obtener a continuacion, es muy importante, pues

combinada adecuadamente se obtienen muchas otras:


b

P (cos b, sen b)

O

Q(cos a, sen a)

1a

a− b

Figura 98:

El triangulo OPQ de la figura anterior, es un triangulo isosceles, pues, como

se esta en el circulo unitario : OP = OQ = 1, y la medida del angulo O es

a− b. Para encontrar la distancia entre P y Q, se puede utilizar la formula

1.8 de la pagina 22, entonces:

| PQ |2 = (cos a− cos b)2 + (sen a− sen b)2

= cos2 a− 2 cos a cos b+ cos2 b+ sen2 a− 2 sen a sen b+ sen2 b

= 1 + 1− 2 cos a cos b− 2 sen a sen b

= 2− 2 cos a cos b− 2 sen a sen b (2.15)

Tambien se puede encontrar la distancia entre P yQ, usando 2.10, el teorema

del coseno puesto que del triangulo se conoce la longitud de dos de sus lados

y el angulo entre ellos:

| PQ |2 = 12 + 12 − 2× 1× 1 cos(a− b)

= 2− 2 cos(a− b) (2.16)

Igualando 2.16 y 2.15, se tiene:

2− 2 cos(a− b) = 2− 2 cos a cos b− 2 sen a sen b,=⇒,


−2 cos(a− b) = −2 cos a cos b− 2 sen a sen b, luego,

cos(a− b) = cos a cos b+ sen a sen b (2.17)

Si en 2.17 se escribe −b en lugar de b, se obtiene:

cos(a+ b) = cos a cos(−b) + sen a sen(−b),=⇒,

cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b (2.18)

Si en 2.18 se hace b = a, se tiene:

cos(a+ a) = cos a cos a− sen a sen a =⇒

cos(2a) = cos2 a− sen2 a (2.19)

Reemplazando cos2 a = 1− sen2 a en 2.19, se tiene:

cos(2a) = cos2 a− sen2 a = 1− sen2 a− sen2 a = 1− 2 sen2 a,=⇒,

cos(2a) = 1− 2 sen2 a (2.20)

Despejando sen2 a en 2.20, se tiene:

sen2 a =1− cos(2a)

2(2.21)

Reemplazando sen2 a = 1− cos2 a en 2.19, se obtiene:

cos(2a) = cos2 a− sen2 a = cos2 a− (1− cos2 a) = 2 cos2 a− 1,=⇒,

cos(2a) = 2 cos2 a− 1 (2.22)

Despejando cos2 a en 2.22, se tiene:

cos2 a =1 + cos(2a)

2(2.23)


Sumando las identidades 2.18 y 2.17, se obtiene:

cos(a+ b) + cos(a− b) = 2 cos a cos b (2.24)

Restando las identidades 2.17 y 2.18, se obtiene:

cos(a− b)− cos(a+ b) = 2 sen a sen b (2.25)

Si en 2.17, se hace a = π2 , entonces:

cos(π2− b)= cos

(π2

)cos b+ sen

(π2

)sen b,=⇒,

cos(π2− b)= sen b (2.26)

En 2.26 se hace la sustitucion, c = π2 − b, =⇒, b = π

2 − c, reemplazando:

cos c = sen(π2− c)

(2.27)

Reemplazando a+ b en lugar de b en 2.26, se obtiene:

sen(a+ b) = cos(π2− (a+ b)

)= cos

((π

2− a)− b

)

= cos(π2− a)cos b+ sen

(π2− a)sen b, luego,

sen(a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a (2.28)

Si en 2.28 se escribe −b, en lugar de b, se obtiene:

sen(a− b) = sen a cos(−b) + sen(−b) cos a,=⇒,

sen(a− b) = sen a cos b− sen b cos a (2.29)

Sumando las identidades 2.28 y 2.29:

sen(a+ b) + sen(a− b) = 2 sen a cos b (2.30)

En 2.28, se hace b = a para obtener:

sen(a+ a) = sen a cos a+ sen a cos a,=⇒,

sen(2a) = 2 sen a cos a (2.31)


Ejemplo 2.57. Verificar la siguiente identidad trigonometrica:

2 sen2 x cos2 x tan2 x =tan2 x− (cos2 x− sen2 x) tan2 x

sec2 x

Para verificar una identidad trigonometrica, hay varias maneras de hacerlo:

1. Trabajar solamente en la expresion que esta a la derecha del igual,

hasta convertir esta expresion en la expresion que esta a la izquierda

del igual.

2. Trabajar solamente en la expresion que esta a la izquierda del igual,

hasta convertir esta expresion en la expresion que esta a la derecha del

igual.

3. trabajar simultaneamente en ambos lados del igual, utilizando las

propiedades de las igualdades hasta obtener una identidad obvia, por

ejemplo, 0 = 0

4. Combinar las anteriores.

Utilizando la parte 1, se tiene:


sec2 x

=tan2 x(1− (cos2 x− sen2 x))

sec2 x

=sen2 x(1− (cos2 x− sen2 x))

cos2 x sec2 x

como, cos2 x sec2 x = 1, entonces,

= sen2 x(cos2 x+ sen2 x− (cos2 x− sen2 x))

= sen2 x(cos2 x+ sen2 x− cos2 x+ sen2 x)

= sen2 x 2 sen2 x

reemplazando, sen2 x = cos2 x tan2 x, se tiene:

= 2 sen2 x cos2 x tan2 x


Otra forma

Utilizando la parte 3, se puede hacer de la siguiente manera:


sec2 x

se multiplica por sec2 x. A la derecha se saca factor comun tan2 x

2 sen2 x cos2 x tan2 x sec2 x = tan2 x(1− cos2 x+ sen2 x)

se divide ambos lados tan2 x.

2 sen2 x cos2 x sec2 x = 1− cos2 x+ sen2 x

como, cos2 x sec2 x = 1 y ademas, cos2 x+ sen2 x = 1

2 sen2 x = cos2 x+ sen2 x− cos2 x+ sen2 x

2 sen2 x = 2 sen2 x

Ejercicios 2.58. Demuestre cada una de las siguientes identidades trigonometri-

cas

1. (sec t− tan t) sec t =1

1 + sen t

2.cot(−t) + csc(−t)

sen(−t) =1

1− cos t

3.

√1− cos θ

1 + cos θ=

1− cos θ

| sen θ|

4.

√1− sen θ

1 + sen θ=

1− sen θ

| cos θ|

5.tan 3β − cot 3β

tan 2β + csc2β= tanβ − cotβ

6.cos a

1− tan a+

sen a

1− cot a= cos a+ sen a


7.sen t+ tan t

1 + cos t= tan t

8. sec t− cos t

1 + sen t= tan t

9.tan z − sec z

tan z + sec z=

sen z − 1

sen z + 1

10.tan z − cot z

tan z + cot z= −2 cos2 z + 1

11.tan θ + cot θ

cos 2θ− sen θ sec 3θ = sec θ csc θ

12.cos3 x+ sen3 x

cosx+ senx= 1− senx cosx

13.sen θ

1− cot θ+

cos θ

1− tan θ= cos θ + sen θ

14.tanx− cotx

senx cosx= sec2 x− csc2 x

15.1

1 + senα+ cosα= − csc 2α+ 1

2 secα+ 12 cscα

16.cos t

1− sen t= sec t+ tan t

17.sen t

1 + cos t= csc t− cot t

18.sen t− cos t

1− sen t+ cos t= − csc(2t) + 1

2 csc t− 12 sec t+ 1

19.cos(x+ h)− cosx

h= cosx

cosh− 1

h− senx

senh

h

20.sen(x+ h)− senx

h= senx

cosh− 1

h+ cosx

senh

h

Elimine los radicales realizando la sustitucion indicada

1.√

16− 49(z + 1)2, 7(z + 1) = 4 sen θ, −π2 ≤ θ ≤ π

2

2.√

144 + 169(3y − 2)2, 13(3y − 2) = 12 tan θ, −π2 ≤ θ ≤ π

2

3.√100w2 − 81, 10w = 9 sec θ, 0 ≤ θ ≤ π

2


4.

√7− 4(2z + 7)2

z, 2(2z + 7) =

√7 sen θ, −π

2 ≤ θ ≤ π2

2.14. Funciones inversas

2.14.1. Funciones inyectivas

Una funcion f es inyectiva o uno-uno, cuando asigna valores distintos en

el recorrido a valores distintos en el dominio. Esto es, si x 6= y, entonces,

f(x) 6= f(y). Lo que es equivalente a decir, que si f(x) = f(y), entonces,

x = y.

Ejemplo 2.59. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b, c, d, e}, lasiguiente funcion f : X −→ Y, es inyectiva:

5 •

3 •

1 •

•

•

•

f

• m

• m

b

a

X Y

c

de

•

•

Figura 99: Funcion inyectiva

2.14.2. Funciones sobreyectivas

Una funcion Xf−→ Y es sobreyectiva si el recorrido de la funcion es el

conjunto de llegada, esto es, R(f) = Y .

Ejemplo 2.60. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b} la siguiente

funcion es sobreyectiva:

2.15. INVERSA DE UNA FUNCION 123

•

•

f

•1

3

5

X Y

• b

• a

Figura 100: Funcion sobreyectiva

2.14.3. Funciones biyectivas

Si una funcion es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, se dice que la

funcion es biyectiva.

Ejemplo 2.61. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b, c}, la sigui-

ente funcion f : X −→ Y, es biyectiva:

5 •

3 • •

1 •

f

a

X Y

b

c•

•

Figura 101: Funcion biyectiva

2.15. Inversa de una funcion

Como se dijo en 2.14.1 de la pagina 122, una funcion es inyectiva, si asigna va-

lores diferentes en el recorrido a valores distintos en el dominio. Matematica-


mente se escribe: si x 6= y, entonces, f(x) 6= f(y), que es equivalente a de-

cir: si f(x) = f(y), entonces, x = y. Por ejemplo, veamos que la funcion

f(x) = 5x− 4 es inyectiva: sean a y b dos valores distintos en el dominio de

f , se debe mostrar que sus imagenes son diferentes, veamos:

a 6= b =⇒ 5a 6= 5b =⇒ 5a− 4 6= 5b− 4, luego, f(a) 6= f(b).

Tambien se utiliza: si f(a) = f(b), entonces, a = b, veamos:

f(a) = f(b), reemplazando, 5a− 4 = 5b− 4,=⇒ 5a = 5b, luego, a = b.

Definicion 2.62. Si f es una funcion inyectiva, que es el conjunto de pares

ordenados (x, y), con x en el dominio de f, entonces, existe una unica fun-

cion llamada la inversa de la funcion f, o simplemente la inversa de f y

denotada f−1, que es el conjunto de pares ordenados de la forma (y, x),

definida por:

x = f−1(y)⇐⇒ y = f(x) (2.32)

Se puede observar que el dominio de la funcion f−1 es el conjunto de todas

las segundas componentes de la funcion f, lo que significa, que el dominio

de la funcion f−1 es el recorrido de la funcion f y el recorrido de f−1 es el

dominio de f.

Si en 2.32, de la pagina 124 reemplazamos y = f(x) en x = f−1(y), se

obtiene x = f−1(f(x)), y si reemplazamos x = f−1(y) en y = f(x), se

obtiene y = f(f−1(y)), o, lo que es lo mismo, x = f(f−1(x)), por ser y una

variable muda. Esto significa que la compuesta de dos funciones inversas, es

la funcion identica f(x) = x

Como ejemplo ilustrativo, sea la funcion f(x) = x2, definida en el intervalo

[12 , 2], entonces, como y = x2, resolvemos para x y obtenemos x =√y, en el

intervalo [14 , 4]


y = f(x)

Figura 102

y = f−1(x)

Las graficas de f y f−1 son simetricas a la recta y = x, puesto que si la pareja

(x, y) esta en una funcion, entonces la pareja (y, x) esta en la otra funcion,

y el punto medio del segmento que une esos dos puntos

(x+ y

2,y + x

2

),

esta en la recta y = x.

Ejemplo 2.63. Dada la funcion y = 3x− 2, encuentre la funcion inversa,

verifique que las dos compuestas dan x y haga las graficas en el mismo plano

cartesiano, incluyendo la recta y = x

Se despeja x en la funcion: x =y + 2

3, intercambiamos x e y, se tiene:

y =x+ 2

3. Sea f(x) = 3x − 2 y f−1(x) =

x+ 2

3. Las dos funciones com-

puestas son:

(f ◦ f−1

)(x) = f

(f−1(x)

)= f

(x+ 2

3

)= 3

(x+ 2

3

)− 2 = x

(f−1 ◦ f

)(x) = f−1 (f(x)) = f−1(3x− 2) =

3x− 2 + 2

3= x

Aquı, dominio y recorrido de f y de f−1, son todos los reales.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4 y = f(x)

Figura 103

y = f−1(x)

Ejemplo 2.64. Sea f(x) = 3

√x− 2

x+ 1Pruebe que la funcion es inyectiva,

encuentre la inversa y halle el recorrido.

1. f es inyectiva

si f(x) = f(y),=⇒ 3

√x− 2

x+ 1= 3

√y − 2

y + 1elevando al cubo:

x− 2

x+ 1=y − 2

y + 1, aplicando propiedades de las desigualdades:

(x− 2)(y + 1) = (y − 2)(x+ 1),=⇒xy + x− 2y − 2 = xy + y − 2x− 2

transponiendo terminos:

x− 2y = y − 2x,=⇒ 3x = 3y,=⇒ x = y, luego, f es inyectiva

2. Para hallar la funcion inversa de f, se hace x = f(y) :

x = 3

√y − 2

y + 1, elevando al cubo: x3 =

y − 2

y + 1


aplicando propiedades de las desigualdades:

x3(y + 1) = y − 2,=⇒ x3y + x3 = y − 2,=⇒ x3y − y = −x3 − 2

y(x3 − 1) = −x3 − 2,=⇒ y =−x3 − 2

x3 − 1,

luego, la inversa de f es, f−1(x) =−x3 − 2

x3 − 1

3. R(f) = Dom(f−1) = R− {1}

Ejemplo 2.65. Restringiendo una funcion no inyectiva para hallar la in-

versa

La funcion f(x) = x2 + 4x+ 5 no es inyectiva pues:

f(x) = f(y), reemplazando, x2 + 4x+ 5 = y2 + 4y + 5, cancelando 5

x2 + 4x = y2 + 4y, igualando a 0, x2 − y2 + 4x− 4y = 0, factorizando,

(x− y)(x+ y) + 4(x− y) = 0,=⇒ (x− y)(x+ y + 4) = 0, resolviendo:

x = y, o y = −4− x, por ejemplo, si x = 1, y = −5, y,

f(1) = f(−5) = 10.

es decir, hay elementos diferentes en el dominio con la misma imagen.

La funcion es y = x2+4x+5: completando cuadrados resulta (x+2)2 = y−1,una parabola que abre hacia arriba con vertice V = (−2, 1). La grafica es:

f(x) = x2 + 4x+ 5

−2

1

Figura 104: f(x) = x2 + 4x+ 5


Luego, la funcion es inyectiva en (−∞,−2] o en [−2,∞)

La funcion restringida f : [−2,∞) −→ [1,∞) es biyectiva y su inversa es:

x = f(y), (y + 2)2 = x− 1

extrayendo raız resulta

y + 2 = ±√x− 1, como restringimos la funcion a [−2,∞), es decir, se

escogio la rama derecha de la parabola, la inversa es: f−1(x) = −2+√x− 1

f(x) = x2 + 4x+ 5,x ∈ [−2,∞), y ∈ [1,∞)

f−1(x) = −2 +√x− 1,

x ∈ [1,∞), y ∈ [−2,∞)

−2

1

Figura 105: f y f−1

Si se restringe f a (−∞,−2], esto es: f : [−∞,−2) −→ [1,∞), entonces, la

inversa es f−1(x) = −2−√x− 1


f(x) = x2 + 4x+ 5,x ∈ (−∞,−2], y ∈ [1,∞)

f−1(x) = −2−√x− 1,

x ∈ [1,∞), y ∈ (−∞,−2]

−2

1

Figura 106: f y f−1

Ejercicios 2.66. Dadas las siguientes funciones, verifique que son inyecti-

vas, encuentre la inversa, verifique que las dos compuestas da x, y haga la

grafica de las dos funciones en un mismo plano cartesiano:

1. y = 5x− 10

2. y = −4x+ 6

3. y = −3x− 8

4. y =√x− 5

5. y =√x+ 9

6. y = −7x+ 6

7. y =3x− 4

5

8. y =−2x+ 6

3

9. y =−4x− 8

3

10. y =7x− 4

5

Restrinja adecuadamente la funcion de tal manera que sea inyectiva,

encuentre la inversa y haga las graficas:

11. f(x) = x2 + 6x+ 25

12. f(x) = x2 + 8x+ 5

13. f(x) = x2 − 6x+ 10


14. f(x) = −x2 + 12x− 4

15. f(x) = 2x2 − 4x+ 8

16. f(x) = −2x2 + 8x− 10

2.16. Funciones trigonometricas inversas

2.16.1. Inversa de la funcion seno

La funcion f(x) = senx no es inyectiva

π2

1

Figura 107: y = senx

Sin embargo, al restringirla al intervalo [−π2 ,

π2 ], se obtiene la funcion:

sen : [−π2 ,

π2 ] −→ [−1, 1], cuya grafica, es:

π2

1

Figura 108: y = senx, x ∈ [−π2 ,

π2 ]

Dicha funcion, es una funcion biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama

arcoseno y se simboliza y = arc senx o y = sen−1 x y esta dada por:

sen−1 : [−1, 1] −→[−π2,π

2

], y la grafica es la siguiente:

2.16. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 131

π2

−π2

1−1

Figura 109 y = sen−1 x

y = arc senx

En este caso las ecuaciones de cancelacion de las inversas son:

y = sen−1 x⇐⇒ sen y = x

sen(sen−1 x) = x, para todo x ∈ [−1, 1]

sen−1(sen θ) = θ, para todo θ ∈[−π2,π

2

]

2.16.2. Inversa de la funcion coseno

La funcion f(x) = cosx no es inyectiva

π

1

Figura 110: y = cosx

Sin embargo, al restringirla al intervalo [0, π], se obtiene la funcion:

cos : [0, π] −→ [−1, 1], cuya grafica, es:


π

1

Figura 111: y = cosx, x ∈ [0, π]

Dicha funcion, es una funcion biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama

arcocoseno y se simboliza y = arc cosx o y = cos−1 x y esta dada por:

cos−1 : [−1, 1] −→ [0, π], y la grafica es la siguiente:

π2

1−1

π

Figura 112 y = cos−1 x

y = arc cosx


y = cos−1 x⇐⇒ cos y = x

cos(cos−1 x) = x, para todo x ∈ [−1, 1]

cos−1(cos θ) = θ, para todo θ ∈ [0, π]

2.16.3. Inversa de la funcion tangente

La funcion f(x) = tanx no es inyectiva


· · ·· · ·

π

1

Figura 113: y = tanx

Sin embargo, al restringirla al intervalo (−π2 ,

π2 ), se obtiene la funcion:

tan : (−π2 ,

π2 ) −→ (−∞, ∞), cuya grafica, es:

π

1

Figura 114: y = tanx, x ∈ (−π2 ,

π2 )

Dicha funcion, es biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama arcotangente

y se simboliza y = arctanx o y = tan−1 x y esta dada por:

tan−1 : (−∞, ∞) −→ (−π2 ,

π2 ), y la grafica es la siguiente:


y = tan−1 x

y = π2

y = −π2Figura 115


y = tan−1 x⇐⇒ tan y = x

tan(tan−1 x) = x, para todo x ∈ R

tan−1(tanx) = x, para todo x ∈(−π2,π

2

)

2.16.4. Inversa de la funcion cotangente

La funcion f(x) = cotx no es inyectiva

· · ·· · ·

π

1

Figura 116: y = cotx


Sin embargo, al restringirla al intervalo (0, π), se obtiene la funcion:

cot : (0, π) −→ (−∞, ∞), cuya grafica, es:

π

1

Figura 117: y = cotx, x ∈ (0, π)

Dicha funcion, es biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama arcotangente

y se simboliza y = arctanx o y = tan−1 x y esta dada por:

tan−1 : (−∞, ∞) −→ (0, π), y la grafica es la siguiente:

y = cot−1 x

y = π

y = 0

Figura 118


y = cot−1 x⇐⇒ cot y = x


cot(cot−1 x) = x, para todo x ∈ R

tan−1(tanx) = x, para todo x ∈ (0, π)

2.16.5. Inversa de la funcion secante

La funcion f(x) = secx no es inyectiva

· · ·· · ·

π

1

−1

Figura 119: y = secx

Sin embargo, al restringirla al intervalo [0, π2 )∪(π2 , π], se obtiene la funcion:

sec : [0, π2 ) ∪ (π2 , π] −→ (−∞, −1] ∪ [1, ∞), cuya grafica, es:

π

1

Figura 120: y = secx, x ∈ [0, π2 ) ∪ (π2 , π]


Dicha funcion, es biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama arcosecante y

se simboliza y = arc secx o y = sec−1 x y esta dada por:

sec−1 : (−∞, −1]∪ [1, ∞) −→ [0, π2 )∪ (π2 , π], y la grafica es la siguiente:

1−1

π

1

y = π2

y = 0

Figura 121 g(x) = sec−1x


y = sec−1 x⇐⇒ sec y = x

sec(sec−1 x) = x, para todo x ∈ (−∞, −1] ∪ [1,∞)

sec−1(secx) = x, para todo x ∈[0,

π

2

)∪(π2, π]

2.16.6. Inversa de la funcion cosecante

La funcion f(x) = cscx no es inyectiva


· · ·· · ·

π2

1

Figura 122: y = cscx

Sin embargo, al restringirla al intervalo [−π2 , 0)∪(0, π

2 ], se obtiene la funcion:

csc : [−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ] −→ (−∞, −1] ∪ [1, ∞), cuya grafica, es:

π2

1

Figura 123: y = cscx, x ∈ [−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ]

Dicha funcion, es biyectiva, luego tiene inversa, esta se llama arcocosecante

y se simboliza y = arc cscx o y = csc−1 x y esta dada por:

csc−1 : (−∞, −1) ∪ (1, ∞) −→ (−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ),


y la grafica es la siguiente:

1−1

π2

−π2

1

Figura 124

y = csc−1x

y = csc−1 x⇐⇒ csc y = x

csc(csc−1 x) = x, para todo x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

csc−1(cscx) = x, para todo x ∈[−π2, 0)∪(0,

π

2

]

Ejemplo 2.67. sen θ = 14 ,=⇒, sen−1 sen θ = sen−1 1

4 ,=⇒, θ = sen−1 14 =

0,2526

Ejemplo 2.68. Resolver la siguiente ecuacion trigonometrica: sen2 a−1 = 0

sen2 a− 1 = 0,⇐⇒, (sen a− 1)(sen a+ 1) = 0,

⇐⇒, (sen a− 1) = 0,⇐⇒, sen a = 1,⇐⇒, a = sen−1 1 =π

2+ 2kπ, k ∈ Z

o, (sen a+ 1) = 0, ⇐⇒, sen a = −1,⇐⇒, a = sen−1(−1) = −π2

Ejemplo 2.69. Elimine la funcion trigonometrica en la siguiente expresion:

cos(2 sen−1 x)

Se hace cambio de variable: y = sen−1 x, ⇐⇒, x = sen y, =⇒

cos(2 sen−1 x) = cos(2y) = cos2 y − sen2 y = 1− sen2 y − sen2 y

= 1− 2 sen2 y = 1− 2x2

Ejercicios 2.70. Encuentre los valores para:


1. sen−1 1√2

2. tan−1 56

3. sec−1 2√2

4. arc sen√32

5. arc cos 12

6. arctan√33

7. cot−1 12

8. cot−1 14

Elimine las funciones trigonometricas para cada una de las expresiones.

9. cos(2 cos−1 x)

10. cos(3 cos−1 x)

11. sen(cos−1 x)

12. tan(cos−1 x)

13. cot(sec−1 x)

14. sen(π4 + cos−1 x)

15. tan(π4 + cos−1 x)

16. sen−1(2 senx cosx)

17. sen(2 sen−1 x)

18. sen(cos−1 x+ sen−1 x)

Resuelva la ecuacion trigonometrica dada:

19. cos 2x− 1 = 0

20. 2 sen 2x− 3 senx+ 1 = 0

21. 3 sec 2x = secx

22. 2 cos 2y − 3 cos y − 2 = 0

23. cot 2φ+ cotφ = 0

24. cos 2a = sen 2a

25.1 + cosβ

cosβ= 2

26. cos 2x+ sen 2x = 1

27.1 + 2 senx

2= 1

28. sen4 x− 2 sen 2x+ 1 = 0

29. tan4 z − 2 sec 2z + 3 = 0

30. 2 sen 3φ = 1

31. tan 4γ = 12 sen 4γ

32.1− 2 cos(3β + 5)

senβ= 0

33. tan 2α+ sec 2α = 5

2.17. FUNCIONES EXPONENCIALES 141

2.17. Funciones exponenciales

Si a es un numero real positivo, se define:

a0 = 1, a1 = a, a2 = aa

y para cada n entero positivo, inductivamente se define

an+1 = ana

Si n es un numero natural

an = a.a.a.a · · · a︸︷︷︸n−veces

(2.33)

2.17.1. Propiedades

Para m, n enteros positivos y a, b reales positivos:

1. anam = a.a.a.a · · · a.︸︷︷︸n−veces

a.a.a · · · a︸︷︷︸m−veces

= an+m

2. (an)m = an.an · · · an︸︷︷︸m−veces

= a.a.a · · · a︸︷︷︸n−veces

. a.a.a · · · a︸︷︷︸n−veces

· · · a.a.a · · · a︸︷︷︸n−veces︸︷︷︸

m−veces

= anm

3. (a.b)n = a.b.a.b. · · · a.b︸︷︷︸n−veces

= a.a. · · · a︸︷︷︸n−veces

. b.b. · · · b︸︷︷︸n−veces

= an.bn

4.(ab

)n=a

b.a

b· · · a

b︸︷︷︸n−veces

=a.a · · · ab.b · · · b︸︷︷︸n−veces

=an

bn

5. a−n =(a−1)n

=

(1

a

)n=

1

an

6.an

am= an.a−m = an−m

Para los enteros negativos

a−n =1

anPara los numeros racionales

amn = n

√am


Si x es un numero irracional, por la densidad de los racionales en los reales,

siempre existe una sucesion de numeros racionales rn, que converge a x,

ası que se puede definir ax = lımn→∞

arn

La funcion exponencial f de base a

Definicion 2.71. Si a es un numero real positivo distinto de 1, se define la

funcion exponencial f de base a, de la siguiente manera:

f(x) = ax, ∀x ∈ R

La funcion es inyectiva, el dominio todos los reales, el recorrido todos los

reales positivos, puesto que el valor ax siempre es positivo, cualquiera sea el

valor de x.

f : R −→ (0, ∞)

La grafica de la funcion exponencial tiene la siguiente forma:

1

Figura 125: f(x) = ax, a > 1

Todas estas funciones pasan por el punto (0, 1). Si a > 1, tienen la siguiente

forma

2.17. FUNCIONES EXPONENCIALES 143

1

y = (1,5)x

y = 2x

y = 8x

y = 3x

Figura 126: f(x) = ax, a = 1 · 5, 2, 3, 4

Si 0 < a < 1, las funciones f(x) = ax, tienen la siguiente forma:

1

y = (15)x

y = ( 310)

xy = ( 110)

x

y = ( 710)

x

Figura 127: f(x) = ax, 0 < a < 1


2.18. Funcion exponencial natural: ex

De todas las funciones exponenciales, hay una muy importante y es aquella

que en el punto (0, 1) la recta tangente tiene pendiente 1. Para encontrar

esa funcion exponencial se escogen dos puntos muy cercanos al punto (0, 1),

digamos, el punto P (−x, y1) que esta antes del punto (0, 1) y el punto

Q(x, y2) que esta despues del punto (0, 1). Observese que las abscisas de

estos dos puntos, es decir, −x y x estan muy cerca a cero por la izquierda y

por la derecha respectivamente.

−x x

¦

¦P (−x, a−x)Q(x, ax)

Figura 128: f(x) = ax, a = 1 · 5, 2, 3, 4

Como se tienen dos puntos de la recta, se aplica 1.12 de la pagina 23, para

encontrar la pendiente m de la recta tangente, entonces,

mPQ =y2 − y1x− (−x) =

ax − a−x

2x=

ax

1− 1

ax

2x=

a2x − 1

ax

2x=a2x − 1

2xax

Como la pendiente de la recta tangente esa2x − 1

2xax, se requiere encontrar

el valor a de la funcion para que la pendiente sea 1, es decir, se resuelve la

ecuaciona2x − 1

2xax= 1 :

a2x − 1

2xax= 1 =⇒ a2x − 1 = 2xax =⇒ a2x − 2xax − 1 = 0

2.18. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL: EX 145

que es una ecuacion cuadratica en la indeterminada ax, resolviendo se tiene:

ax =2x±

√4x2 − 4(−1)2

=2x±

√4x2 + 4

2= x±

√x2 + 1

Se escoge la parte positiva puesto que ax > 0, para todo x ∈ R

ax = x+√x2 + 1, =⇒, a =

(x+

√x2 + 1

) 1x

(2.34)

Por ejemplo, si x = 110 , entonces,

a110 =

1

10+

√(1

10

)2

+ 1

=1

10+

√1 + 100

100=

1 +√1 + 100

10, luego

a =

(1 +

√1 + 100

10

)10

≈ 2,71377536

Si x = 1100 , entonces,

a =

(1 +

√1 + 10000

100

)100

≈ 2,71823652

Si x = 11000 , entonces,

a =

(1 +

√1 + 1000000

1000

)1000

≈ 2,7182813754 · · ·

Entonces, la base de la funcion exponencial buscada es el numero irracional

2.7182813754 (aproximadamente con 10 cifras decimales). Dicho numero

aparece bastante en matematicas, se denota con la letra e y se le llama

Euler en honor a su descubridor, el gran matematico Suizo Leonhard Euler,

e ≈ 2,7182813754

y a la funcion f(x) = ex, se le llama funcion exponencial natural y por ser

funcion exponencial, cumple todas las propiedades de los exponentes

2.18.1. Propiedades de la funcion exponencial natural

Si x y y son numeros enteros, entonces:


1. e0 = 1

2. e−x = (e−1)x =

(1

e

)x=

1

ex

3. exey = ex+y

4. (ex)y = exy

5.ex

ey= exe−y = ex−y

6. exy = (e

1y )x = ( y

√e)x

2.19. Funcion logaritmo natural: ln x

Por ser la funcion exponencial natural una funcion biyectiva con dominio Ry recorrido el intervalo (0, ∞), tiene inversa que se llama logaritmo de base

e o logaritmo natural, que se denota loge o ln, dada por:

ln ≡ loge : (0, ∞) −→ R

Por ser f(x) = ex y f−1(x) = lnx, un par de funciones inversas, las ecua-

ciones de cancelacion son:

y = lnx⇐⇒ ey = x (2.35)

ln(ex) = x, para todo x ∈ R (2.36)

elnx = x, para todo x ∈ (0, ∞) (2.37)

Las dos graficas en el mismo plano Cartesiano:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y = ex

y = lnx

Figura 129

2.19. FUNCION LOGARITMO NATURAL: LNX 147

2.19.1. Propiedades de la funcion logaritmo natural

1. Como elnx = x , entonces, para cualquier a > 0, a = eln a y por ser

(ex)y = exy , entonces,

ar = (eln a)r = er ln a (2.38)

Esta propiedad, se cumple para cualquier r. En particular, si r = n,

se cumple 2.33, de la pagina 141 y se extiende a 2.18.1 de la pagina

145 para x, y numeros reales.

2. Como ln ex = x, entonces, ln ar = ln(eln a)r = ln er ln a = r ln a, luego,

ln ar = r ln a (2.39)

3. Puesto que ln(ab) = ln(eln aeln b), y exey = ex+y, entonces,

ln(eln aeln b) = ln e(ln a+ln b) = ln a+ ln b, luego,

ln(ab) = ln a+ ln b (2.40)

4. De la misma manera,

ln(ab

)= ln

(eln a

eln b

)= ln(eln ae− ln b) = ln e(ln a−ln b) = ln a− ln b, luego,

ln(ab

)= ln a− ln b (2.41)

5. Por ser ex una funcion biyectiva, entonces, para todo x, y , se tiene:

Si x = y, entonces, ex = ey (2.42)

6. Por ser lnx una funcion biyectiva, entonces, para todo x, y mayores

que cero:

Si x = y, entonces, lnx = ln y, (2.43)

7. Si se quiere hallar el valor de x, para que loge x = 1, se resuelve la

ecuacion loge x = 1,⇐⇒, e1 = x, entonces, x = e, luego,

loge e = 1 o, ln e = 1 (2.44)


8. Como e0 = 1,⇐⇒, ln e0 = ln 1, luego, ln 1 = 0

9. Cualquier logaritmo se puede escribir en terminos del logaritmo natu-

ral, veamos:

y = loga x,⇐⇒, ay = x,⇐⇒, ln ay = lnx,⇐⇒, y =lnx

ln a

reemplazando y, se tiene, loga x =lnx

ln a(2.45)

En el siguiente ejemplo se conoce y y se requiere encontrar el valor de t.

Ejemplo 2.72. y = ln(t− 5), t > 5

aplicando 2.42: ey = eln(t−5) = t− 5,=⇒ ey + 5 = t

Ejemplo 2.73. Encuentre el valor de x, sabiendo que y = e2x+1

Aplicando 2.43 de la pagina 147: ln y = ln e2x+1 = 2x+1,=⇒, ln y−1 = 2x,

luego,ln y − 1

2= x

Ejercicios 2.74. Simplifique utilizando propiedades

1. eln (3x−5) =

2. e2 ln (2x+3) =

3. eln (x+4)

2 =

4. e4 ln(6x)−4 ln(3x) =

5. eln(8x)−ln(2x)

2 =

6. eln(24x)−ln(3x)

3 =

7.3√eln(81x)−ln(3x) =

8. eln(8x)−ln(2x)

2 =

Despeje x en las siguientes ecuaciones:

9. y = 5 + 2 ln (3x− 7)

10. y + 4 = 6 ln (4x+ 6) + 2

11. y − 5 = 7− e(2x+1)

12. 3y + 2 = e(x+−5)3 + 3

Resuelva las ecuaciones dadas despejando x

2.20. FUNCION LOGARITMO EN BASE A: LOGA 149

13. ex = 16

14. ln(2x+ 1) = 3

15. e−2x = 16

16. ln(2x− 1) = 5

17. ln(x+ 6) + ln(x− 3) = ln 5 + ln 2

18. ln(x−2x−1) = 1 + ln(x−3

x−1)

19. lnx = ln 5 + ln 8

20. ln(e2x−1) = 5

21. ln(lnx) = 1

22. ln(x+ 6) + ln(x− 3) = ln 9 + ln 16

2.20. Funcion logaritmo en base a: loga

Por ser la funcion exponencial ax una funcion biyectiva con dominio R y

recorrido el intervalo (0, ∞), tiene inversa que se llama logaritmo de base

a, que se denota loga, dada por:

loga : (0, ∞) −→ R

Por ser f(x) = ax y f−1(x) = loga x, un par de funciones inversas, las

ecuaciones de cancelacion son:

y = loga x⇐⇒ ay = x (2.46)

loga(ax) = x, para todo x ∈ R (2.47)

aloga x = x, para todo x ∈ (0, ∞) (2.48)

Las dos graficas en el mismo plano Cartesiano:


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y = ax

y = loga x

Figura 130

2.20.1. Propiedades de la funcion logaritmo en base a

1. Como aloga x = x , entonces, para cualquier x > 0, x = aloga x y por

ser (ax)y = axy , entonces,

xr = (aloga x)r = ar loga x (2.49)

2. Como aloga x = x, entonces, loga xr = loga(a

loga x)r = loga ar loga x =

r loga x, luego,

loga xr = r loga x (2.50)

3. Puesto que loga(xy) = loga(aloga xaloga y), y axay = ax+y, entonces,

loga(aloga xaloga y) = loga a

(loga x+loga y) = loga x+ loga y, luego,

loga(xy) = loga x+ loga y (2.51)

Tambien, loga

(x

y

)= loga

(aloga x

aloga y

)= loga(a

loga xa− loga y)

= loga a(loga x−loga y) = loga x− loga y, luego,

loga

(x

y

)= loga x− loga y (2.52)


4. Por ser ax una funcion biyectiva, entonces, para todo x, y , se tiene:

Si x = y, entonces, ax = ay (2.53)

5. Por ser loga x una funcion biyectiva, entonces, para todo x, y mayores

que cero:

Si x = y, entonces, loga x = loga y, (2.54)

6. Si se quiere hallar el valor de x, para que loga x = 1, entonces, se

resuelve la ecuacion: loga x = 1,⇐⇒, a1 = x, entonces, x = a. Luego,

loga a = 1 (2.55)

7. Como a0 = 1,⇐⇒, loga a0 = loga 1, luego, loga 1 = 0

8. Cualquier logaritmo se puede escribir en terminos de otro logaritmo,

veamos:

y = loga x,⇐⇒, ay = x,⇐⇒, logb ay = logb x,⇐⇒, y =

logb x

logb a

reemplazando y, se tiene, loga x =logb x

logb a(2.56)

9. loga b =1

logb a, veamos:

y = loga b,⇐⇒, ay = b,⇐⇒, logb ay = logb b,⇐⇒, y =

logb b

logb a

reemplazando y, se tiene, loga b =1

logb a(2.57)

10. loga b = logar br, veamos:

y = loga b,⇐⇒, ay = b,⇐⇒, (ay)r = (b)r,⇐⇒,

(ar)y = (b)r,⇐⇒, logar(ar)y = logar(b)

r

⇐⇒, y = logar(b)r,⇐⇒,

loga b = logar(b)r = r logar(b) (2.58)


Ejemplo 2.75. y = log11(121) = log112(121)2 = log121(121)

2 = 2

Ejemplo 2.76. log√3 9 = log√3 32 = 2 log√3 3 = 2 log(√3)2 3

2 = 4 log3 3 = 4

En el siguiente ejemplo se conoce y y se requiere encontrar el valor de t.

Ejemplo 2.77. y = log2(t− 5), t > 5

aplicando 2.53 con a = 2: 2y = 2log2(t−5) = t− 5,=⇒, 2y + 5 = t

Ejemplo 2.78. Encuentre el valor de x, sabiendo que y = 3(2x+1)

Aplicando 2.54 de la pagina 151: log3 y = log3 3(2x+1) = 2x+ 1,=⇒,

log3 y − 1 = 2x, luego,log3 y − 1

2= x

Ejercicios 2.79. Use las propiedades vistas para simplificar:

1. AlogA 2¦6=

2. 5log5 8¦9=

3. 10log10 52 =

4. 23log23 2¦4=

5. logAA5 =

6. log9 918 =

7. log15 1529 =

8. log3 ¦ 79(3 ¦ 79)14¦5 =

9. log76¦52(76 ¦ 52)73¦19 =

10. log8 ¦ 17(8 ¦ 17)25¦3 =

11. log12 144 =

12. log3 9 =

13. log√2 4 =

14. log144 12 =

15. log9 3 =

16. log4√2 =

En los siguientes ejercicios, despeje x:

17. log6 x+ 3 = y

18. log6(x+ 3) = y

19. log5(x+ 4) = y + 9

20. 5 log3(x2 + 4x+ 4)2 = t− 5


21. log4(x2 − 2x− 15)4 = log√2[(t− 2)(x− 5)]

22. y − 2 = 5(3x−2)

23. y + 4 = 7(2x+5)

24. y + 9 = 12(3x−2)3

En los siguientes ejercicios, escriba el logaritmo en terminos del log-

aritmo natural y halle el resultado utilizando la calculadora (tecla

ln):

25. log8 92 =

26. log15 36 =

27. log32 134 =

28. log2 76 =

29. log3 0 ¦ 6 =

30. log3 ¦ 5 99 =

31. log0 ¦ 5 42 =

32. log9 ¦ 7 68 ¦ 4 =

33. log26 ¦ 46 122 ¦ 7 =

34. log14 ¦ 9 86 ¦ 54 =

En los siguientes ejercicios, escriba el logaritmo en terminos del loga-

ritmo vulgar (base 10) y halle el resultado utilizando la calculadora

(tecla log):

35. log9 76 =

36. log5 45 =

37. log11 144 =

38. log4 0 ¦ 5 =

39. log37 205 =

40. log57 36 =

41. log2 ¦ 3 0 ¦ 9 =

42. log0 ¦ 5 43 =

43. log12 ¦ 4 95 ¦ 9 =

44. log0 ¦ 6 222 ¦ 67 =

45. log25 ¦ 9 38 ¦ 2 =


2.21. Algunas aplicaciones de las funciones

Para resolver problemas de esta clase, se sugiere tener en cuenta algunos

pasos, como los siguientes:

1. Leer muy bien el problema

2. Identificar la pregunta del problema, que generalmente, es plantear

una funcion, por lo tanto se debe identificar la variable dependiente y

la variable independiente, como por ejemplo, area en funcion de x, que

se denota A(x), con A como variable dependiente y x como variable

independiente, volumen en funcion de y, que se denota V (y), siendo

V la variable dependiente y y la variable independiente

3. Al identificar la funcion, usualmente esta dada en terminos de dos

variables digamos x e y, por lo tanto, se debe encontrar una relacion

entre esas dos variables. Esa relacion a encontrar es una ecuacion, que

las relaciona, usualmente estan dadas implıcitamente en el enunciado,

o es una formula conocida, como por ejemplo, el volumen de un solido,

el area de un rectangulo, la longitud de la hipotenusa en un triangulo

rectangulo, semejanza de triagulos

4. Es de mucha ayuda, hacer un dibujo sobre el problema, describir las

variables, las constantes. Por ejemplo, si el problema es una escalera

apoyada en un edificio, y que empieza a deslisarce, el dibujo es un

triangulo rectangulo, cuyo cateto es la longitud de la escalera, luego, la

longitud de la hipotenusa del triangulo es constante, porque la escalera

no se estira ni se encoge, las longitudes de los catetos sı son variables,

porque cambian de longitud, durante el deslizamiento de la escalera.

Ejemplo 2.80. Resolver el siguiente problema:

Un rectangulo esta inscrito en un triangulo equilatero con perımetro de 30

cm. Exprese el area A del rectangulo como una funcion de la longitud x,

A(x), mostrada en la figura.

2.21. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 155

x

Figura 131: Rectangulo de base x, inscrito en un triangulo equilatero

Solucion:

1. Se debe encontrar una formula del area A, del rectangulo inscrito en el

triangulo equilatero, en terminos de x, que es el largo del rectangulo,

es decir, A(x). Se sabe, que el area de un rectangulo es largo por ancho.

Si se denota con y el ancho del rectangulo, entonces, el area esta dada

por: A = x.y. Se identifica que tanto x como y, son variables, pues, el

rectangulo dentro del triangulo equilatero, se puede hacer mas grande

o mas pequeno

2. Como la formula del area quedo en terminos de dos variables, se debe

buscar una relacion entre ellas, de la forma y = f(x), de tal manera

que al reemplazar y en A = x.y, A quede en terminos de una sola

variable x, es decir, A(x) = x.f(x)

3. Utilizando Pitagoras se encuentra la altura h del triangulo equilatero

ası:

h =√

102 − 52 =√100− 25 =

√75 =

√3. 52 = 5.

√3

L

2= 5cm

L L = 10cm

h

Figura 132: Triangulo equilatero de perımetro 30 cm


4. Se halla la relacion entre las variables x e y, de la siguiente manera

OR

Q

5− x2

P

x2

y

h

TFigura 133:

Los triangulos OPR y TQR son semejantes, entonces:

h

5=

y

5− x2

, =⇒, y =h. (5− x

2 )

5=

5√3. (5− x

2 )

5, luego,

y =√3.(5− x

2

)

Como A(x) = x. y y se conoce y, entonces,

A(x) = x.√3.(5− x

2

)=√3. x

(5− x

2

)

y queda, finalmente el area A en funcion de x.

Ejercicios 2.81.

1. Un triangulo isosceles tiene un perımetro de 8 cm. Exprese el area A

del mismo como una funcion de la longitud L del lado del triangulo.

2. La distancia s a la que viaja una piedra cuando cae de un edificio muy

alto es directamente proporcional al cuadrado del tiempo t de viaje.

Si la piedra cae 64 pies en 2 seg. Halle una formula que relacione s y

t. Hasta donde cae la piedra entre 2 y 3 segundos.

3. El peso p de una persona varıa directamente con el cubo del largo L

de la persona. A la edad de 13 una persona de 60 pulgadas de altura

pesa 120 libras. Cual es el peso de la persona a los 16 anos cuando

mide 72 pulgadas.

2.21. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 157

4. Segun la ley general de los gases, la presion P de una cantidad de

gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta T del gas,

e inversamente proporcional a su volumen V . Exprese esta variacion

combinada como formula. Un galon grande contiene 500 pies cubicos

de un gas a nivel del suelo donde la presion es de 14.7 lb/plg2 y la

temperatura absoluta es de 193oK (20oC). Cual es el volumen ocupado

por este gas a una altitud de 10 mı. Donde la presion es de 1,5lb/plg2

y la temperatura absoluta es de 218o, K(−55oC).

5. En un tanque conico invertido, con un orificio en el fondo, con un radio

de la base r0 y altura h0 constantes. Si en un instante de tiempo t, la

altura del agua es h y el radio de la base es r:

a. Encuentre el volumen de agua en ese instante en funcion de h

b. Encuentre el volumen de agua en ese instante en funcion de r

6. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes una de

longitud x se dobla para formar un cuadrado, y la otra se dobla para

formar un triangulo equilatero. Exprese el area total encerrada por

ambas figuras como una funcion de x.

7. Si se cuenta con 1200 cm2 de material para construir una caja con

base cuadrada y abierta en la parte superior. Encuentre el volumen de

la caja en funcion de la longitud x de la base de la caja.

8. Una caja de base cuadrada y abierta en la parte superior debe contener

un volumen de 32000cm3. Exprese el area lateral de la caja A, en

funcion de la longitud x de la base de la caja.

9. Exprese la distancia d entre un punto cualquiera de la recta y = 3x+8

y el origen, en funcion de x

10. Halle el area A de un rectangulo que se puede inscribir en un circulo

de radio r en funcion de su base b.

11. Exprese el area A del triangulo isosceles que pueda inscribirse en un

cırculo de radio r, en funcion de su base b.


12. Exprese el area A del rectangulo que se pueda inscribir en un triangulo

rectangulo con catetos de longitudes 3 y 4, si dos de los lados del

rectangulo estan sobre los catetos, en funcion de la base b del triangulo.

13. Una ventana tiene forma de rectangulo terminada con un semicırculo.

si el perımetro de la ventana es 8 metros. Exprese el area A de la

ventana en funcion de la base b del rectangulo.

14. Una cerca de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una

distancia de 4 pies de este ultimo. Exprese la longitud L de una escalera

que llegue desde el suelo, tocando la cerca, hasta la pared del edificio,

en funcion del angulo θ entre la horizontal y la escalera?

15. Se elabora un cono a partir de un trozo circular de papel de radio R,

al recortar un sector circular y unir los bordes. Exprese el volumen V

del cono en funcion del radio r del cono.

16. Exprese el area A de la region del primer cuadrante limitada por una

recta que pasa por el punto (3, 5) en funcion de la base x del triangulo

obtenido.

17. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, en

forma de un cilindro circular recto con un hemisferio en cada extremo.

Si la capacidad deseada es 2m3. Exprese el area lateral A del tanque

en funcion del radio r del cilindro.

18. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan

verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de

10 metros. Encuentre la longitud L de un cable que pueda ir desde la

punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes

y luego hasta la punta del otro poste, en funcion de la distancia x entre

el primer poste y el punto donde el cable toca el suelo.

19. Una caja abierta esta construida con un rectangulo de carton de base

12 y altura 18 metros, quitando cuadrados iguales de lado x en cada

esquina y doblando hacia arriba los bordes. Hallar el volumen V de la

caja en funcion de x.

Capıtulo 3

Lımites

3.1. Introduccion

El lımite es un proceso de tipo local, se trata de estudiar el comportamiento

de una funcion alrededor de un punto, usando valores muy cercanos a el.

Para analizar un lımite el valor de la funcion en el punto solo se tiene en

cuenta los valores de la funcion para numeros muy proximos al punto de

acercamiento, localizando la funcion en un intervalo abierto de radio muy

pequeno que contenga al punto, puede ser como su centro y en este intervalo

observar el comportamiento de las imagenes bajo la funcion.

3.1.1. Tres problemas clasicos que llevan al concepto de lımite

1. La recta tangente a la grafica de una funcion en un punto.

Sea f una funcion de valor y variable real y P (x0, y0) un punto en la

grafica de f . ¿Cual es la ecuacion de la recta tangente a la grafica de

f en el punto P?

Para comprender esta cuestion considerese una situacion particular.

Sea f(x) = 3x2 − 1 y el punto P = (1, 2). Se ilustra la ecuacion de la

recta tangente:

159

160 CAPITULO 3. LIMITES

1 2 3−1

4

8

12

16

−4 Figura 134

Para hallar la ecuacion de esta recta tangente, se comienza eligiendo

cualquier otro punto Q = (x, y) sobre la grafica de la funcion f y se

halla la ecuacion de la recta secante S que pasa por los dos puntos

P = (1, 2) y Q = (x, y), como ya tenemos un punto para hallar la

ecuacion de esta recta basta encontrar su pendiente, si se denota por

mPQ(x) a la pendiente de la recta secante que pasa por estos puntos

entonces tenemos:

mPQ = mPQ(x) =y − 2

x− 1=f(x)− 2

x− 1=

3x2 − 1− 2

x− 1=

3x2 − 3

x− 1

y la ecuacion de la recta secante que pasa por P = (1, 2) y Q = (x, y)

es:

y = mPQ(x− 1) + 2.

En el siguiente diagrama se muestran algunas graficas de rectas se-

cantes:

3.1. INTRODUCCION 161

−1 0 1 2 3 4 5−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Q

Q

Q

Q

P

recta tangentey=6x−4

y=3x2−1

Figura 135

A medida que el punto Q esta mas proximo del punto P la recta

secante esta mas proxima de la recta tangente y lo mismo ocurre con

sus pendientes ası que si mT denota la pendiente de la recta tangente,

entonces

mT = lımQ→P

mPQ.

Si Q = (x, f(x))→ P = (1, 2), entonces x→ 1, luego

mT = lımQ→P

mPQ = lımx→1

3x2 − 3

x− 1.

2. La velocidad instantanea.

Sea s(t) la posicion de una partıcula en un instante t, ¿cual es la

velocidad instantanea de la partıcula en el instante t0.?

Para ilustrar como puede resolverse esta pregunta analicemos un caso

particular.

Sea s(t) = 4t2 + 9 la posicion de una partıcula en un instante t, s

en metros y t en segundos. Encontremos la velocidad instantanea de la


partıcula cuando t = 2 segundos. La velocidad media de la partıcula

en un intervalo de tiempo [t0, t1] es:

V (t) =diferencia en el espacio

diferencia en el tiempo=4s4t =

s(t1)− s(t0)

t1 − t0

Ası que la velocidad media en el intervalo de tiempo [2, t] o [t, 2]

es:

V (t) =4s4t =

s(t)− s(2)

t− 2=

4t2 + 9− 25

t− 2=

4t2 − 16

t− 2

Las velocidades medias tienden a la velocidad instantanea de la partıcu-

la en t = 2 notada V (2). Cuando t tiende a 2, usando simbologıa de

lımites se tiene:

V (2) = lımt→2

V (t) = lımt→2

4t2 − 16

t− 2.

3. El area bajo la grafica de una funcion.

Sea f una funcion definida en [a, b] y positiva en este intervalo, sea

R la region limitada por el eje X, la recta x = a, la recta x = b y la

grafica de la funcion f . ¿Cual es el valor exacto del area de la region

R?

Se analiza esta pregunta en un caso particular.

Sea f(x) = x2 + 4, en el intervalo [0, 2], y R la region limitada por las

rectas verticales x = 0, x = 2, el eje X y la grafica de la funcion. En

sımbolos

R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ x2 + 4}.

Para hallar el area de R se comienza por aproximar la region por

union de rectangulos con bases iguales sobre el eje X en [0, 2] y alturas

hasta la funcion como se ilustra en la figura


y = f(x)

Figura 136

( 2

n

)2+ 4

( 4

n

)2+ 4

( 6

n

)2+ 4

( 2kn

)2+ 4

( 2nn

)2+ 4

2

n

4

n

6

n

k − 1

n

k

n

2n

n

La suma de las areas de los rectangulos notada AR(n) es:

AR(n) =

[2

n

((2

n)2 + 4

)+

2

n

((4

n)2 + 4

)+ . . .+

2

n

((2k

n)2 + 4

)+ . . .+

2

n

((2n

n)2 + 4

)]


=2

n

[4

n2+

16

n2+ . . .+

4k2

n2+ . . .+

4n2

n2+ 4n

]

=8

n3[12 + 22 + . . .+ k2 + . . .+ n2 + n3

]

=8

n3[12 + 22 + . . .+ k2 + . . .+ n2

]+ 8

y el area exacta de la region R se obtiene cuando n tiende a infinito,

luego si a(R) denota el area de R, entonces,

a(R) = lımn→∞

[8

n3(12 + 22 + . . .+ k2 + . . .+ n2

)+ 8

]

Ejercicios 3.1.

Exprese la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion dada en

el punto indicado, como un lımite

1. f(x) = x2 + x en el punto x = 2

2. f(x) = 4− 2x2 + x en el punto x = 1

Encuentre la velocidad instantanea de la funcion de posicion en el

instante t indicado, expresandola como un limite.

3. s(t) = 3t2 + 1 en el punto t = 1

4. s(t) = 14− 3t2 en el punto t = 2

5. Exprese el area de la region limitada por la grafica de y = 1 + x2, el

eje x, el eje y y la recta x = 3, usando un limite.

6. Determine el area de la region limitada por la grafica de y = 1 + x2,

el eje x, el eje y y la recta x = 3 en terminos de un limite.

3.2. Definicion de lımite

3.2.1. Nocion intuitiva de lımite

Intuitivamente, el lımite cuando x tiende hacia un numero a de una funcion

f es igual a un numero L, si los valores de la funcion f(x) se pueden hacer

3.2. DEFINICION DE LIMITE 165

tan proximos a L como se quiera, tomando valores de x suficientemente cer-

canos al punto a. Cuando esto ocurre se simboliza lımx→a

f(x) = L.

Tambien se define que el lımite cuando x tiende por la izquierda hacia a de

una funcion f es igual a L, si los valores de la funcion f(x) se pueden hac-

er tan proximos a L como se quiera, tomando valores de x suficientemente

cercanos y menores que a. En este caso se simboliza lımx→a−

f(x) = L.

Analogamente, el lımite cuando x tiende por la derecha hacia a de la funcion

f es igual a L, si los valores de la funcion f(x) se pueden hacer tan proxi-

mos a L como se quiera, tomando valores de x suficientemente cercanos y

mayores que a. En este caso se simboliza lımx→a+

f(x) = L.

Los lımites se pueden analizar desde los siguientes puntos de vista:

Numerico.

Ejemplo 3.2. uso de una tabla de valores.

Analizar el comportamiento de los valores de la funcion f(x) =x4 − 1

x2 − 1alrededor del punto x = 1.

Solucion

Una tabla de valores para numeros x cercanos al punto x = 1 es:

x 0 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999

f(x) 1 1,25 1,81 1,9801 1,998 1,9998

x 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 2

f(x) 2,0002 2,002 2,0201 2,21 3,25 5

Cuando los valores de x se acercan a 1 por la izquierda, es decir, con

valores de x menores que 1, los valores de f(x) tienden a 2. Y cuando


los valores de x se aproximan a 1 por la derecha, es decir con valores de

x mayores que 1, los valores de f(x) tambien se acercan a 2. Cuando

este tipo de comportamiento aparece, se dice que segun la tabla de

valores, el lımite de la funcion f cuando x se acerca hacia 1 es 2 y se

usa la simbologıa lımx→1

x4 − 1

x− 1= 2.

Grafico.

Analisis de lımites a partir de la grafica de la funcion.

Ejemplo 3.3. Usando la grafica de la funcion dada y = f(x) calcule

los siguientes lımites.

a) lımx→2−

f(x) b) lımx→2+

f(x) c) lımx→3−

f(x)

d) lımx→3+

f(x) e) lımx→4

f(x) f) lımx→1

f(x)

1 2 3 4

2

4

−2

−4

−6

��

��

��

��

��

Figura 137

y = f(x)•

Solucion.

a) Observando la grafica de f , se ve que: Tomando valores de x

menores que 2 y acercandonos al punto 2 en el eje X, y sobre la


grafica de la funcion vemos que los valores de f(x) se acercan al

punto 4, luego

lımx→2−

f(x) = 4

b) Tomando valores de x mayores que 2 y acercandonos al punto 2

en el eje X, vemos que los valores de f(x) se acercan al punto 0,

luego

lımx→2+

f(x) = 0

c) Tomando valores de x en el intervalo (2, 3) y acercandonos al

punto 3 en el eje X, vemos que los valores de f(x) se acercan al

punto -5, luego

lımx→3−

f(x) = −5

Con un analisis similar vemos que

d) lımx→3+

f(x) = −4 e) lımx→4

f(x) = −5 f) lımx→0+

f(x) = −4

Ejercicios 3.4. Use una tabla de valores para determinar cada uno de los

limites.

1. lımx→1

2x2 − x− 1

x− 1.

2. lımx→−3

x3 + 3x2 + x+ 3

x+ 3.

3. lımx→0

x3 − x

x.

4. lımx→3

(x− 2)2 − 1

x− 3.

5. lımx→2

√x+ 2− 2

x− 2.

6. lımx→2

√x+ 2− 3x+ 4

x2 − 4.

Sea f la funcion con grafica:


-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y = f(x)

Figura 138

Determinar

7. lımx→−2−

f(x)

8. lımx→−2+

f(x)

9. lımx→1−

f(x)

10. lımx→1+

f(x)

11. lımx→0−

f(x)

12. lımx→1

f(x)

13. lımx→2

f(x)

14. lımx→3

f(x)

15. lımx→−3+

f(x)

16. lımx→3−

f(x)

Sea g la funcion cuya grafica es:


-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y = g(x)

Figura 139Hallar

17. lımx→−2−

g(x)

18. lımx→−2+

g(x)

19. lımx→1−

g(x)

20. lımx→1+

g(x)

21. lımx→0−

g(x)

22. lımx→1

g(x)

23. lımx→2

g(x)

24. lımx→3

g(x)

25. lımx→−3+

g(x)

26. lımx→3−

f(x)

3.2.2. Definicion formal de lımite

Definicion 3.5. Sean a y L numeros reales y f una funcion de valor y

variable real definida en algun intervalo abierto que contenga al numero a.

El limite cuando x tiende hacia a de la funcion f es igual a L, si y solo si,

para cada numero real positivo ε existe siempre un numero real positivo δ tal

que si la distancia entre x y a es menor que δ, entonces la distancia entre

f(x) y L es menor que ε. Esto se escribe simbolicamente en la forma:

lımx→a

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.


Usando la notacion de intervalos esta definicion es equivalente a:

lımx→a

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ (a− δ, a+ δ)− {a} ⇒

f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)

Grafica de la situacion

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

L

L− ε

L+ ε

a+ δaa− δ

Figura 140

La definicion 3.5 de lımite es equivalente a:

lımx→a

f(x) = L si y solo si para todo intervalo abierto J que contenga al punto

L, existe un intervalo abierto I que contiene a a, tal que si x ∈ I − {a},entonces, f(x) ∈ J .

La siguiente grafica ilustra la situacion


0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

J

L

aI

Figura 141

3.2.3. Lımites laterales

Definicion 3.6.

Lımite por derecha: para este lımite el acercamiento solo se hace con

valores x > a ası que la definicion epsilon delta queda expresada

simbolicamente:

lımx→a+

f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ (a, a+ δ)⇒ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)

La siguiente grafica ilustra la definicion de limite por la derecha


0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

L

L− ε

L+ ε

a+ δa

Figura 142

Lımite por izquierda: en este caso el acercamiento solo se hace con

valores x < a y la definicion en notacion simbolica es:

lımx→a−

f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ (a− δ, a)⇒ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)

La siguiente grafica ilustra la definicion de lımite por la izquierda

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

L

L− ε

L+ ε

aa− δ

Figura 143

De las definiciones de lımite bilateral y lımites laterales se deduce el siguiente:


Teorema 3.7. Sean a y L numeros reales y f una funcion de valor y vari-

able real definida en algun intervalo abierto que contenga al numero a. El

lımite bilateral existe si y solamente si los lımites laterales existen y son

iguales. Simbolicamente:

lımx→a

f(x) = L⇐⇒ lımx→a−

f(x) = lımx→a+

f(x) = L.

Del resultado anterior se tiene que si los lımites laterales son distintos, en-

tonces, el lımite de la funcion no existe.

Si lımx→a−

f(x) 6= lımx→a+

f(x), entonces, lımx→a

f(x) no existe .

Calculo de algunos lımites usando la definicion.

1. Lımite de una constante.

Sea f (x) = c, c una constante

Se prueba que lımx→a

f(x) = c

Como en este caso |f(x)− L| = |c− c| = 0 < ε siempre se satisface

(sin importar el valor de δ). Tenemos que

lımx→a

f(x) = c, es decir, lımx→a

c = c.

2. Lımite de la funcion identidad.

Sea f (x) = x, la funcion identidad

Se demuestra que lımx→a

f(x) = a

Como en este caso |f(x)− L| = |x− a|Para cada ε > 0, existe δ = ε > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces,

como δ = ε, y f (x) = x, se tiene que |f(x)− L| = |x− a| < δ = ε,

por tanto lımx→a

f(x) = a, es decir lımx→a

x = a.

Prueba de algunos lımites usando la definicion

3. lımx→−3

(4x+ 3) = −9

Con respecto a la definicion se tiene que f (x) = 4x + 3, a = −3,L = −9 luego


Para cada ε > 0, existe δ = ε4 > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces

0 < |x+ 3| < ε4 ası que

|f(x)− L| = |4x+ 3 + 9| = |4x+ 12| = 4 |x+ 3| < 4 ε4 = ε,

por tanto lımx→a

f(x) = L, es decir lımx→−3

(4x+ 3) = −9.

4. lımx→−1

(3x2 + 1) = 4

En este caso se tiene que f (x) = 3x2 + 1, a = −1, L = 4 luego

Para cada ε > 0, existe δ = mın(1, ε3)> 0, tal que si 0 < |x− a| < δ,

entonces

0 < |x+ 1| < δ luego |x+ 1| < 1 y |x+ 1| < ε3 de la primera

desigualdad resulta:

|x+ 1| < 1

−1 < x+ 1 < 1

−3 < x− 1 < −1

−3 < x− 1 < 3

|x− 1| < 3

propiedad |u| < r ⇔ −r < u < r

restando 3 en la desigualdad

transitividad del orden − 1 < 3

propiedad − r < u < r ⇔ |u| < r

multiplicando |x− 1| < 3 por |x+ 1| < ε

3

se obtiene |x− 1| |x+ 1| < ε

3

ası que

|f(x)− L| =∣∣3x2 + 1− 4

∣∣ =∣∣3x2 − 3

∣∣ = 3 |x− 1| |x+ 1| < 3 ε3 = ε,

por tanto lımx→a

f(x) = L, es decir lımx→−1

(3x2 + 1) = 4.

5. lımx→1

3x

2x+ 1= 1

En este lımite la funcion es f (x) =3x

2x+ 1, el punto es a = 1, y el

valor del limite L = 1 luego


Para cada ε > 0, existe δ = mın(1,ε

3

)> 0, tal que si 0 < |x− a| < δ,

entonces

0 < |x− 1| < δ luego |x− 1| < 1 y |x− 1| < ε de la primera

desigualdad se tiene:

|x− 1| < 1

− 1 < x− 1 < 1 propiedad |u| < r ⇔ −r < u < r

0 < x < 2 sumando 1 en la desigualdad

1 < 2x+ 1 < 5 multiplicando por 2 y sumando 1

1

5<

1

2x+ 1< 1 propiedad 0 < a < b =⇒ 1

b<

1

a

− 1 <1

2x+ 1< 1 transitividad del orden −1 < 1

5∣∣∣∣

1

2x+ 1

∣∣∣∣ < 1 propiedad −r < u < r ⇔ |u| < r

multiplicando

∣∣∣∣1

2x+ 1

∣∣∣∣ < 1 por |x− 1| < ε se obtiene

∣∣∣∣x− 1

2x+ 1

∣∣∣∣ < ε

ası que,

|f(x)− L| =∣∣∣∣

3x

2x+ 1− 1

∣∣∣∣ =∣∣∣∣3x− 2x− 1

2x+ 1

∣∣∣∣ =∣∣∣∣x− 1

2x+ 1

∣∣∣∣

= 3 |x− 1| |x+ 1| < 3ε

3= ε

por tanto, lımx→a

f(x) = L, es decir, lımx→1

3x

2x+ 1= 1

Ejercicios 3.8. Usando la definicion formal de limite pruebe cada uno de

los limites:

1. lımx→1

5x = 5

2. lımx→2

(2x− 3) = 1

3. lımx→−1

(3x+ 5) = 2


4. lımx→−3

(2x+ 9) = 3

5. lımx→2

3x2 = 12

6. lımx→−1

2x2 = 2

7. lımx→1

1x = 1

8. lımx→2

xx−1 = 2

3.3. Propiedades de los lımites

En el siguiente teorema se presentan las propiedades algebraicas mas impor-

tantes de los lımites.

Teorema 3.9. Sean f y g funciones tales que

lımx→a

f(x) = L, lımx→a

g(x) = M ; L, M ∈ R y α ∈ R

entonces:

1. limx→a

f(x) = L si y solo si limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x)= L

2. lımx→a

[f(x) + g(x)] = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x).

3. lımx→a

αf(x) = α lımx→a

f(x).

4. lımx→a

[f(x)− g(x)] = lımx→a

f(x)− lımx→a

g(x).

5. lımx→a

f(x)g(x) =[lımx→a

f(x)] [

lımx→a

g(x)].

6. lımx→a

1

g(x)=

1

lımx→a

g(x), si lım

x→ag(x) 6= 0.

7. lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x), si lım

x→ag(x) 6= 0.

8. lımx→a

[f(x)]n =[lımx→a

f(x)]n.

3.3. PROPIEDADES DE LOS LIMITES 177

9. lımx→a

n√f(x) = n

√lımx→a

f(x), donde lımx→a

f(x) ≥ 0 si n es par.

.

Demostracion.

1. Si lımx→a

f(x) = L se cumple que para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si

0 < |x− a| < δ,entonces, |f (x)− L| < ε, ası que

a) existe δ > 0 tal que si x ∈ (a − δ, a) , entonces, 0 < |x− a| < δ,

entonces, |f (x)− L| < ε y

b) existe δ > 0 tal que si, x ∈ (a, a+ δ), entonces, 0 < |x− a| < δ,

entonces, |f (x)− L| < ε

luego, limx→a+

f(x) = L = limx→a−

f(x).

Recıprocamente, si limx→a+

f(x) = L y limx→a−

f(x) = L, entonces,

Para todo ε > 0,

a) existe δ1 > 0, tal que si, x ∈ (a− δ1, a), entonces, |f (x)− L| < ε

y

b) existe δ2 > 0, tal que si, x ∈ (a, a+ δ2), entonces, |f (x)− L| < ε

si δ = mın (δ1, δ2) > 0

0 < |x− a| < δ, implica que a− δ < x < a+ δ, luego, x ∈ (a− δ1, a) y

x ∈ (a, a+ δ2)

y |f (x)− L| < ε.

por lo tanto, lımx→a

f(x) = L.

2. lımx→a

(f(x) + g(x)) = L+M

Sea ε > 0,

como lımx→a

f(x) = L y lımx→a

g(x) = M entonces para ε2 > 0:

existe δ1 > 0, tal que 0 < |x− a| < δ1,entonces |f (x)− L| < ε2 y

existe δ2 > 0, tal que 0 < |x− a| < δ2,entonces |g (x)−M | < ε2

ası que existe δ = mın (δ1, δ2) > 0, tal que si


0 < |x− a| < δ, entonces, 0 < |x− a| < δ1 y 0 < |x− a| < δ2 luego

|f (x) + g (x)− (L+M)| ≤ |f (x)− L|+ |g (x)−M | < ε2 +

ε2 = ε

3. lımx→a

αf(x) = αL

si α = 0 la igualdad se satisface inmediatamente, luego suponiendo

α 6= 0.

Sea ε > 0,

como lımx→a

f(x) = L para ε|α| > 0:

existe δ1 > 0, tal que 0 < |x− a| < δ1,entonces |f (x)− L| < ε|α|

luego |α| |f (x)− L| < ε, ası que |αf (x)− αL| < ε y lımx→a

αf(x) = αL.

4. lımx→a

(f(x)− g(x)) = lımx→a

(f(x) + (−1) g(x)) = L+ (−1)M = L−M.

5. lımx→a

f(x)g(x) = LM

Sea ε > 0,

como lımx→a

f(x) = L y lımx→a

g(x) = M, entonces, paraε

P> 0:

existe δ1 > 0, tal que 0 < |x− a| < δ1,entonces, |f (x)− L|

<ε

2 (1 + |M |) y

existe δ2 > 0, tal que, 0 < |x− a| < δ2, entonces |g (x)−M | < ε

2 |L|para ε = 1, existe δ3 > 0, tal que, 0 < |x− a| < δ3, entonces

|g (x)−M | < 1

|g (x)| − |M | ≤ |g (x)−M | < 1, entonces´´|g (x)| < 1 + |M |ası que existe δ = mın (δ1, δ2, δ3) > 0, tal que si,

0 < |x− a| < δ, entonces, 0 < |x− a| < δ1 y 0 < |x− a| < δ2 y

0 < |x− a| < δ3 ası que,

|f (x) g (x)− LM |= |f (x) g (x)− Lg (x) + Lg (x)− LM |= |(f (x)− L) g (x) + L (g (x)−M)|≤ |f (x)− L| |g (x)|+ |L| |g (x)−M |


<ε

2 (1 + |M |) (1 + |M |) + |L|ε

2 |L| = ε.

Por tanto lımx→a

f(x)g(x) = LM

6. lımx→a

1

g(x)=

1

M, M 6= 0.

(i) Como lımx→a

g(x) = M, para ε =|M |2

> 0, existe δ1 > 0, tal que si

0 < |x− a| < δ1, |g (x)−M | < |M |2

dividiendo por1

|M | se tiene que∣∣∣∣g (x)

M− 1

∣∣∣∣ <1

2, luego −1

2 <g (x)

M− 1 <

1

2, sumando 1 se obtiene

1

2<g (x)

M<

3

2por propiedad de los recıprocos en desigualdades se

llega a lo siguiente:

2

3<

M

g (x)< 2 de donde

∣∣∣∣M

g (x)

∣∣∣∣ < 2 y1

|g (x)| <2

|M | .

(ii) Como lımx→a

g(x) = M, paraε |M |2

2> 0, existe δ2 > 0, tal que

|g (x)−M | < ε |M |22

.

(iii) Prueba del lımite.

Para todo ε > 0, existe δ = mın (δ1, δ2) > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ,

entonces, 0 < |x− a| < δ1 y 0 < |x− a| < δ2 luego por (1) y (2) se

satisface |g (x)−M | < ε |M |22

y

∣∣∣∣M

g (x)

∣∣∣∣ < 2. Ası que

∣∣∣∣1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ =∣∣∣∣M − g (x)

Mg(x)

∣∣∣∣ =|g (x)−M ||M | |g(x)| =

|g (x)−M ||M |

1

|g (x)|

<

ε |M |22|M |

2

|M | = ε.

7. lımx→a

f(x)

g(x)=

L

M, M 6= 0

lımx→a

f(x)g(x) = lım

x→af(x) · 1

g(x)= lım

x→af(x) · lım

x→a

1

g(x)= L · 1

M=

L

M.


8. lımx→a

[f(x)]n = Ln, n ∈ Z

La prueba de este resultado se realiza por induccion.

9. lımx→a

n√f(x) = n

√L, donde L ≥ 0, si n es par.

y = n√f(x), entonces, yn = f (x)

lımx→a

yn = lımx→a

f (x) = L, entonces,(lımx→a

y)n

= L, entonces,

lımx→a

y = n√L, luego, lım

x→a

n√f(x) = n

√L.

Ejemplo 3.10 (Usando las propiedades de los lımites). Sean f, g y

h funciones de valor y variable real. Si lımx→a

f(x) = 2, lımx→a

g(x) = −3 y

lımx→a

h(x) = 4 encontrar

a) lımx→a

[2f(x)− 3g(x)− h(x)]

b) lımx→a

[f(x)g(x)h(x)]

c) lımx→a

[5f(x)− g(x)

h(x)

]

d) lımx→a

[f(x)− g(x)

h(x)

]3

e) lımx→a

3

√f(x)4 + 4g(x)

h(x)3

Solucion.

a) lımx→a

[2f(x)− 3g(x)− h(x)] = lımx→a

2f(x)− lımx→a

3g(x)− lımx→a

h(x)

= 2 lımx→a

f(x)− 3 lımx→a

g(x)− 4

= 2(2)− 3(−3)− 4 = 9.

b) lımx→a

[f(x)g(x)h(x)] = lımx→a

f(x) lımx→a

g(x) lımx→a

h(x) = (2)(−3)(4)

= −24.

c) lımx→a

[5f(x)− g(x)

h(x)

]=

lımx→a

5f(x)− lımx→a

g(x)

lımx→a

h(x)=

5 lımx→a

f(x)− (−3)4

=5(2) + 3

4=

13

4.


d)

lımx→a

[f(x)− g(x)

h(x)

]3=

[lımx→a

f(x)− g(x)

h(x)

]3=

[lımx→a

f(x)− lımx→a

g(x)

lımx→a

h(x)

]3

=

[2− (−3)

4

]3=

(5

4

)3

=125

64.

e)lımx→a

3

√f(x)4 + 4g(x)

h(x)3= 3

√lımx→a

f(x)4 + 4g(x)

h(x)3= 3

√√√√ lımx→a

f(x)4 + lımx→a

4g(x)

lımx→a

h(x)3

= 3

√√√√√√

[lımx→a

f(x)]4

+ 4 lımx→a

g(x)[lımx→a

h(x)]3

= 3

√(2)4 + 4(−3)

(4)3

=3

√16− 12

64=

3

√4

64=

3√4

4.

Ejemplo 3.11. Sean f y g las funciones determinadas por las graficas:

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y = f(x)

Figura 144


-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y = g(x)

Figura 145Hallar:

a) lımx→−1

[2f(x)− 3g(x)].

b) lımx→2

[f(x)g(x)].

c) lımx→0

[5f(x)− g(x)

f(x)

].

d) lımx→1

[f(x)− g(x)

f(x) + g(x)

]3.

e) lımx→2

√5f(x)− g(x)

f(x).

Solucion

a) lımx→−1

(2f(x)− 3g(x)) = 2 lımx→−1

f(x)− 3 lımx→−1

g(x) = 2 · 1− 3 · (−1) = 5

b) lımx→2

(f(x)g(x)) = lımx→2

f(x) · lımx→2

g(x) = 4 · 2 = 8

c) lımx→0

(5f(x)− g(x)

f(x)

)=

lımx→0

(5f(x)− g(x))

lımx→0

f(x)=

5 lımx→0

f(x)− lımx→0

g(x)

lımx→0

f(x)=

5 · 2− (−2)2

=12

2= 6


d) lımx→1

(f(x)− g(x)

f(x) + g(x)

)3

=

(lımx→1

f(x)− g(x)

f(x) + g(x)

)3

=

lımx→1

f(x)− lımx→1

g(x)

lımx→1

f(x) + lımx→1

g(x)

3

=

(3− (−1)3 + (−1)

)3

=64

8= 8

e) lımx→2

√5f(x)− g(x)

f(x)=

√lımx→2

5f(x)− g(x)

f(x)=

√√√√5 · lım

x→2f(x)− lım

x→2g(x)

lımx→2

f(x)=

√5 · 4− 2

4=

√18

2=

3

2

√2.

3.3.1. Definicion de continuidad

Definicion 3.12. Sea f una funcion de valor y variable real.

1. La funcion f es continua en a si lımx→a

f(x) = f(a).

Notese que para que esto sea cierto se requiere que lımx→a

f(x) y f(a)

existan y sean iguales.

2. La funcion f es continua por la izquierda en a si lımx→a−

f(x) = f(a),

siempre que lımx→a−

f(x) y f(a) existan.

3. La funcion f es continua por la derecha en a si lımx→a+

f(x) = f(a),

siempre que lımx→a+

f(x) y f(a) existan .

4. f es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada

punto c del intervalo (a, b)

5. f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada

punto c del intervalo (a, b) y es continua por derecha en a y continua

por izquierda en b, es decir si lımx→a+

f(x) = f(a) y lımx→b−

f(x) = f(b).

6. Una funcion f es continua si es continua en su dominio.

Usando las propiedades de los limites se demuestran los siguientes resultados

de continuidad.


Lımite de un polinomio

Sea P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1x

n−1 + anxn un polinomio y c un

numero real.

lımx→c

P (x) = lımx→c

(a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n)

= lımx→c

a0 + lımx→c

a1x+ lımx→c

a2x2 + · · ·+ lım

x→can−1x

n−1 + lımx→c

anxn

= a0 + a1 lımx→c

x+ a2 lımx→c

x2 + · · ·+ an−1 lımx→c

xn−1 + an lımx→c

xn

= a0 + a1c+ a2

(lımx→c

x)2

+ · · ·+ an−1

(lımx→c

x)n−1

+ an

(lımx→c

x)n

= a0 + a1c+ a2c2 + · · ·+ an−1c

n−1 + ancn = P (c)

Luego los polinomios son funciones continuas.

Ejemplo 3.13. Hallar lımx→−2

(x4 + 2x3 + x2 + 3x− 5

).

Se sustituye x por −2,

lımx→−2

(x4 + 2x3 + x2 + 3x− 5

)= (−2)4 + 2(−2)3 + (−2)2 + 3(−2)− 5

= 16− 16 + 4− 6− 5 = −7

Lımite de una funcion racional

Sea r(x) =P (x)

Q(x)una funcion racional, donde P y Q son polinomios.

lımx→c

r(x) = lımx→c

P (x)

Q(x)=

lımx→c

P (x)

lımx→c

Q(x)=P (c)

Q(c)= r(c),

si Q(c) 6= 0, o, c ∈ Dom(r).

Las funciones racionales son continuas en su dominio.

Ejemplo 3.14. Encontrar el valor de lımx→−3

x3 + 3x2 − 3x− 5

x2 + x− 2.

Reemplazando x por −3,

lımx→−3

x3 + 3x2 − 3x− 5

x2 + x− 2=

(−3)3 + 3(−3)2 − 3(−3)− 5

(−3)2 + (−3)− 2

=27− 27 + 9− 5

9− 5=

4

4= 1


Lımite de una funcion radical

Sea R(x) = n

√P (x)

Q(x)una funcion racional, donde P y Q son polinomios.

lımx→c

R(x) = lımx→c

n

√P (x)

Q(x)= n

√lımx→c

P (x)

Q(x)= R(c),

si c ∈ Dom(R).

Las funciones radicales son continuas en su dominio.

Ejemplo 3.15. Determinar lımx→1

3

√x3 + 3x2 + 9x− 5

x2 + x− 1.

Al reemplazar x por 1 resulta,

lımx→1

3

√x3 + 3x2 + 9x− 5

x2 + x− 1= 3

√13 + 3(1)2 + 9(1)− 5

(1)2 + 1− 1=

3

√8

1= 2.

Lımite de una funcion algebraica

Una funcion es algebraica si es una combinacion por medio de suma, res-

ta, producto, cociente y composicion de funciones polinomicas, racionales o

radicales.

Sea A(x) una funcion algebraica. Por las propiedades de los lımites y los

resultados anteriores

lımx→c

A(x) = A(c),

si c ∈ Dom(A).

Ası que las funciones algebraicas son continuas en su dominio.


√√√√√x3 + 3x2

2x−1 + 3√9x− 1

4√4x2 − x− 2

.

lımx→1

√√√√√x3 + 3x2

2x−1 + 3√9x− 1

4√4x2 − x− 2

=

√√1 + 3 + 3

√8

4√1

=

√2 + 2

1= 2

Ejemplo 3.17. Encuentre el conjunto mas grande donde la funcion f(x) =√x2 − 1

x+ 5sea continua.


Como la funcion f es una funcion algebraica y estas funciones son continuas

en su dominio, solo se debe hallar el dominio de la funcion, es decir, se se

resuelve la inecuacion:

(x− 1)(x+ 1)

x+ 5≥ 0

ası, el conjunto mas grande donde f es continua es (−5,−1] ∪ [1,∞)

Ejercicios 3.18.

Usando propiedades, el limite de una constante y el de la funcion identidad

determine:

1. lımx→3

(x4 + 3x2 + x− 3)

2. lımx→1

3x2 + 2x− 1

x3 − x+ 1

3. lımx→−1

5x2 + 4x− 1

2x3 − 2x+ 1

4. lımx→1

√5x2 + 4x

2x3 − 2x+ 1

5. lımx→2

√3x2 + 6x+ 1

2x3 − 2x+ 4

Sean f, g y h funciones de valor y variable real. Si lımx→a

f(x) = 2,

lımx→a

g(x) = 3 y lımx→a

h(x) = −1, encontrar

6. lımx→a

[12f(x) + 5g(x)− 3h(x)]

7. lımx→a

[3f(x)(2g(x) + 3h(x))]

8. lımx→a

[2f(x) + 6g(x)

h(x)− 2f(x)

]

9. lımx→a

[h(x)− 3g(x)

2h(x) + 3

]3


10. lımx→a

3

√h(x)4 + g(x)

h(x)3 − g(x) + 1

Sean f y g las funciones determinadas por las graficas:

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

y = f(x)

Figura 146

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

6

7

y = g(x)

Figura 147

Hallar:


11. lımx→−3

[5f(x) + 3g(x)]

12. lımx→−2

[2f(x)g(x)]

13. lımx→−1

[2f(x)(f(x)− 3g(x))]

14. lımx→0

[f(x)(g(x) + 3f(x))]

15. lımx→1

[5f(x) + 2g(x)

3f(x)

]

16. lımx→2

[f(x) + g(x)

f(x)− g(x)

]3

17. lımx→3

√4f(x)− 3g(x)

f(x) + 3g(x)

Encuentre el conjunto mas grande donde la funcion sea continua:

18. f(x) = x2 − 5x5 + 3

19. f(x) =x2 + x− 2

x− 3

20. f(x) =x3 − x− 1

x2 − 49

21. f(x) =x3 − x− 1

x3 − 169x2

22. f(x) =√x− 1

23. f(x) =√x2 − 1

24. f(x) =

√x− 1

x+ 1

25. f(x) =4

√x2 − 1

x2 − 4

3.4. LIMITES ALGEBRAICOS DE LA FORMA 00

189

3.4. Algunos lımites algebraicos de la forma 00

Lımites de funciones racionales

Supongamos quep(x)

q(x)es una funcion racional y queremos calcular el lım

x→a

p(x)

q(x)y p(a) = q(a) = 0. Esto indica que a es una raız de los polinomios p(x) y

q(x), aplicando el teorema del factor tenemos que x−a es factor de los poli-

nomios p y q, ası que existen polinomios p1 y q1 tales que p(x) = (x−a)p1(x)y q(x) = (x− a)q1(x), los polinomios p1 y q1 se obtienen por division:

p(x) x− a

0 p1(x)

,q(x) x− a

0 q1(x)

Para realizar estas divisiones se utiliza el algoritmo de la division sintetica

y el lımite se halla:

lımx→a

p(x)

q(x)= lım

x→a

(x− a)p1(x)

(x− a)q1(x)= lım

x→a

p1(x)

q1(x)=p(a)

q(a).


4x2 − 5x− 6

9x2 − 16x− 4.

lımx→2

4x2 − 5x− 6

9x2 − 16x− 4= lım

x→2

(x− 2)(4x+ 3)

(x− 2)(9x+ 2)= lım

x→2

4x+ 3

9x+ 2=

11

20.


x4 − x3 − x2 − 8x− 21

x5 − 2x4 − 16x− 33.

lımx→3

x4 − x3 − x2 − 8x− 21

x5 − 2x4 − 16x− 33= lım

x→3

(x− 3)(x3 + 2x2 + 5x+ 7)

(x− 3)(x4 + x3 + 3x2 + 9x+ 11)

= lımx→3

x3 + 2x2 + 5x+ 7

x4 + x3 + 3x2 + 9x+ 11=

67

173

1 −1 −1 −8 −21 3

3 6 15 21

1 2 5 7 0

1 −2 0 0 −16 −33 3

3 3 9 27 33

1 1 3 9 11 0


Algunos lımites con radicales

Ejemplo 3.21. Hallar el valor de lımx→−3

√x+ 7−

√2x+ 10

x+ 3.

Se multiplica por la expresion conjugada el numerador y denominador,

lımx→−3

√x+ 7−

√2x+ 10

x+ 3= lım

x→−3

(√x+ 7−

√2x+ 10

)

x+ 3

(√x+ 7 +

√2x+ 10

)(√

x+ 7 +√2x+ 10

)

= lımx→−3

x+ 7− (2x+ 10)

(x+ 3)(√

x+ 7 +√2x+ 10

) , se simplifica

= lımx→−3

−x− 3

(x+ 3)(√

x+ 7 +√2x+ 10

)

= lımx→−3

−(x+ 3)

(x+ 3)(√

x+ 7 +√2x+ 10

) , se cancela

= lımx→−3

−1√x+ 7 +

√2x+ 10

, se evalua el lımite

=−12 + 2

=1

4

Ejemplo 3.22. Hallar el valor de lımx→2

√x3 − 4− x2 + 2

x2 − 4.

Al multiplicar por la expresion conjugada el numerador y el denominador se

obtiene,

lımx→2

√x3 − 4− x2 + 2

x2 − 4= lım

x→2

(√x3 − 4−

(x2 − 2

))

(x− 2)(x+ 2)

(√x3 − 4 +

(x2 − 2

))(√

x3 − 4 + (x2 − 2))

se simplifica y sustituye U = (x+ 2)(√

x3 − 4 +(x2 − 2

))

= lımx→2

x3 − 4−(x4 − 4x2 + 4

)

(x− 2)U

= lımx→2

−x4 + x3 + 4x2 − 8

(x− 2)U

se realiza la division sintetica para factorizar

−1 1 4 0 −8 2

−2 −2 4 8

−1 −1 2 4 0

= lımx→2

(x− 2)(−x3 − x2 + 2x+ 4

)

(x− 2)U


191

se reemplaza U y se cancela

= lımx→2

−x3 − x2 + 2x+ 4

(x+ 2)(√

x3 − 4 + (x2 − 2))

se evalua el lımite

=−8− 4 + 4 + 4

4(2 + 2)= −1

4.

Lımites de funciones a trozos

Ejemplo 3.23. Si

f(x) =

x2 − 3x

x2 − x, si x < 0

16x2 − 13x− 3

x− 1, si 0 ≤ x < 1

8x2 + 3x− 11

x− 1, si x > 1

19, si x = 1

,

hallar lımx→−2

f(x), lımx→ 1

4

f(x), lımx→3

f(x), lımx→0

f(x), lımx→1

f(x).

intervalo x < 0 0 ≤ x < 1 x > 1

funcion f(x)x2 − 3x

x2 − x

16x2 − 13x− 3

x− 1

8x2 + 3x− 11

x− 1

Solucion:

a) lımx→−2

f(x) = lımx→−2

x2 − 3x

x2 − x=−8 + 6

4 + 2=−26

= −1

3.

b) lımx→ 1

4

f(x) = lımx→ 1

4

16x2 − 13x− 3

x− 1=

1− 13

4− 3

1

4− 1

=1− 13

4− 3

1

4− 1

=−21

4

−3

4

= 7.

c) lımx→3

f(x) = lımx→3

8x2 + 3x− 11

x− 1=

32 + 9− 11

2= 15


Para las partes d) y e) del ejercicio se deben usar los lımites laterales:

d) lımx→0−

f(x) = lımx→0

x2 − 3x

x2 − x= lım

x→0

x (x− 3)

x (x− 1)= lım

x→0

x− 3

x− 1=−3−1 = 3.

lımx→0+

f(x) = lımx→0

16x2 − 13x− 3

x− 1= 3

como los lımites laterales existen y son iguales, entonces, lımx→0

f(x) = 3.

e) lımx→1−

f(x) = lımx→1−

16x2 − 13x− 3

x− 1= lım

x→1−

(x− 1) (16x+ 3)

x− 1

= lımx→1−

(16x+ 3) = 19.

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

8x2 + 3x− 11

x− 1= lım

x→1+

(x− 1) (8x+ 11)

x− 1

= lımx→1+

(8x+ 11) = 19

como los lımites laterales existen y son iguales, entonces, lımx→1

f(x) = 19.

Ejercicios 3.24.

Calcular

1. lımx→−3

x2 − x− 12

x+ 3.

2. lımt→−3

t3 − t2 − t+ 10

t2 + 3t+ 2.

3. lımx→1

x3 − x

x2 − 1.

4. lımh→0

(x+ h+ 1)2 − (x+ 1)2

h.

5. lımx→3

(x− 2)4 − 1

x− 3.

6. lımx→2

x4 − 2x3 + x− 2

x5 − 2x4 + x2 − 4.

7. lımh→0

(x+ h)3 − x3

h.

8. lımx→4

√x+ 5− x+ 1

x− 4.

9. lımx→2

√x+ 2− 3x+ 4

x2 − 4.

10. lımx→a

√x+ 4−

√a+ 4

x− a.

11. lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

.

12. lımx→2

√x2 + x+ 3−

√x+ 7

x− 2.


193

13. lımx→1

√x2 + x+ 2− x− 1

x2 − 1.

14. lımx→−1

√x3 + x+ 3−

√2x2 − 1

2x2 + x− 1.

15. lımx→−2

√x2 + x+ 2− 2

x+ 2.

16. lımx→0

√x2 + x+ 4−

√x+ 4

x2 − x.

17. lımx→1

√x2 + 4x+ 4− 3

x2 − x.

18. Si f(x) =

x2 + 3x− 2, si x < 0

x3 + 7x− 2, si 0 ≤ x < 1

8x2 + 3x− 5, si x ≥ 1

, hallar

lımx→−2

f(x), lımx→ 1

4

f(x), lımx→3

f(x), lımx→0

f(x), lımx→1

f(x).

19. Si f(x) =

3x− 2, si x < −1x3 − 4, si −1 ≤ x < 2

x2 + 3x− 3, si x ≥ 2

, hallar

lımx→−2

f(x), lımx→ 1

4

f(x), lımx→3

f(x), lımx→−1

f(x), lımx→2

f(x).

20. Si f(x) =

3x− 2

x− 1, si x < 0

x+ 2, si 0 ≤ x < 3

3x− 4, si x ≥ 3

, hallar

lımx→−2

f(x), lımx→ 1

4

f(x), lımx→3

f(x), lımx→0

f(x), lımx→5

f(x).

21. Si f(x) =

x2 + 3x

x2 − x, si x < 0

16x2 − 13x− 3

x− 1, si 0 ≤ x < 1

8x2 + 3x− 11

x− 1, si x > 1

19, si x = 1

, hallar

lımx→−2

f(x), lımx→ 1

4

f(x), lımx→3

f(x), lımx→0

f(x), lımx→1

f(x).


3.5. Lımites trigonometricos

Teorema 3.25 (Teorema de intercalacion).

1. Sean f y g funciones tales que f(x) ≤ g(x) para todo x de un intervalo

abierto I que contenga al punto a. Entonces

lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x).

2. Sean f , g y h funciones tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x de

un intervalo abierto I que contenga al punto a.

Si lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = L, entonces, lımx→a

g(x) = L.

Demostracion. 1. Por reduccion al absurdo

Si se supone que lımx→a

f(x) = L, lımx→a

g(x) = M y L > M, entonces,

L−M > 0.

Para ε = L−M > 0, existe δ > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ1,entonces

|f (x) + g (x)− L−M | < L−M

M − L < f (x)− g (x)− L+M < L−M, ası que 0 < f (x)− g (x) <

2 (L−M)

y g (x) < f (x) para |x− a| < δ lo cual contradice la hipotesis.

2. Por el resultado anterior, lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x) ≤ lımx→a

h(x), lo que

equivale a l ≤ lımx→a

g(x) ≤ l, es decir, lımx→a

g(x) = l.

Ejemplo 3.26.

Hallar lımx→0

x2 cos(4x

)

como la funcion coseno tiene amplitud 1 se tiene que

−1 ≤ cos(4x

)≤ 1

multiplicando la desigualdad por x2 ≥ 0, resulta

−x2 ≤ x2 cos(4x

)≤ x2

Estas desigualdades se ilustran en la siguiente grafica

3.5. LIMITES TRIGONOMETRICOS 195

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 148

Como lımx→0

(−x2

)= 0 = lım

x→0x2, entonces, por el teorema de intercalacion se

tiene que

lımx→0

x2 cos(4x

)= 0

Ejemplo 3.27.

Hallar lımx→0

x⌊1x

⌋


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

o

Figura 149

Sean f(x) =

1, si x ≤ 0

1− x, si x > 0

y g (x) =

1− x, si x ≤ 0

1, si x > 0

para todo x real no nulo se satisface f (x) ≤ x ·⌊1

x

⌋≤ g (x)


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 150

como lımx→0

(− |x|+ 1) = 1 = lımx→0

(|x|+ 1) , entonces, lımx→0

x

⌊1

x

⌋= 1.

En efecto: Si x > 0,

i) x =1

n, n ∈ Z+ entonces, x ·

⌊1

x

⌋=

1

n. n = 1

ii) si x > 1, entonces, 0 <1

x< 1, luego,

⌊1

x

⌋= 0 y x ·

⌊1

x

⌋= 0

iii) si 1n+1 < x <

1

n, con n ∈ Z+, entonces,

⌊1

x

⌋= n y x ·

⌊1

x

⌋= nx

1

n+ 1< x y x <

1

nası 1 < nx+ x y nx < 1, de donde, 1− x < nx < 1,

por lo tanto, 1− x < x ·⌊1

x

⌋< 1

De los tres casos anteriores tenemos que si x > 0 1− x ≤ x ·⌊1

x

⌋≤ 1.


Si x < 0, i) x = − 1

nn ∈ Z+ entonces, x ·

⌊1

x

⌋= − 1

n(−n) = 1

ii) si x < −1, entonces, −x > 1 y 0 <1

−x < 1, es decir, ,−1 <1

x< 0,

luego,

⌊1

x

⌋= −1 y x ·

⌊1

x

⌋= −x

iii) si1

n+ 1< −x <

1

n, con n ∈ Z+, entonces, n <

1

−x < n + 1 y

−n− 1 <1

x< −n ası que

⌊1

x

⌋= −n− 1 y x ·

⌊1

x

⌋= −nx− x

1

n+ 1< −x y −x < 1

nası 1 < −nx− x y −nx < 1, de donde,

−nx− x < 1− x de forma que 1 < −nx− x < 1− x

por lo tanto, 1 < x ·⌊1

x

⌋< 1− x

De los tres casos anteriores se tiene que si x < 0 1 ≤ x ·⌊1

x

⌋≤ 1− x.

Se ha probado que para todo real x 6= 0, f (x) ≤ x ·⌊1

x

⌋≤ g (x)

Ahora, como lımx→0

f(x) = lımx→0

g(x) = 1, entonces, por el teorema de inter-

calacion lımx→0

x ·⌊1

x

⌋= 1


Lımite trigonometrico fundamental

Sea x ∈(0, π4

).

α

B

C

O A

1

Figura 151:

a(4OAB) < a(sector OAB) < a(4OAC)

1.1

2senx <

1

2x <

1

2

senx

cosx, multiplicando por

2

senx> 0.

2. 1 <x

senx<

1

cosxaplicando recıprocos se tiene:

3. cosx <senx

x< 1.

de (1.) tenemos que senx < x, luego 0 < sen2 x < x2 y 0 < 1−x2 < 1−sen2 x,√

1− x2 <√

1− sen2 x = cosx, para todo x ∈(0,π

4

)


de donde

√1− x2 < cosx <

senx

x< 1, para todo x ∈

(0,π

4

)

Sea x ∈(−π

4 , 0), entonces, −x ∈

(0, π4

), luego, −x satisface la desigualdad

anterior ası: √1− (−x)2 < cos(−x) < sen(−x)

−x < 1

como las funciones que intervienen en esta desigualdad son pares tenemos:

√1− x2 < cosx <

senx

x< 1, para todo x ∈

(−π4, 0).

Aplicando el teorema de intercalacion, como lımx→0

√1− x2 = lım

x→01 = 1,

entonces, lımx→0

senx

x= lım

x→0cosx = 1.

y = 1

y = sinxx

y =√1− x2

Figura 152

Calculo de algunos lımites trigonometricos

Ejemplo 3.28. Encuentre

1. lımx→0

senx 2. lımx→0

1− cosx

x

3. lımx→0

cosx− 1

x4. lım

x→0

x

senx

Solucion

1. lımx→0

senx = lımx→0

xsenx

x= lım

x→0x lımx→0

senx

x= 0 · 1 = 0.

3.6. SUSTITUCION EN LIMITES 201

2. lımx→0

1− cosx

x= lım

x→0

1− cosx

x

1 + cosx

1 + cosx= lım

x→0

1− cos2 x

x(1 + cosx)

= lımx→0

sen2 x

x(1 + cosx)= lım

x→0

senx

x

senx

1 + cosx

= lımx→0

senx

xlımx→0

senx

1 + cosx= 1 · 0

2= 0

3. lımx→0

cosx− 1

x= lım

x→0

−(1− cosx)

x= − lım

x→0

1− cosx

x= 0

4. lımx→0

x

senxDividiendo numerador y denominador por x se obtiene

lımx→0

xx

senx

x

separando el lımite para el cocientelımx→0

1

lımx→0

senx

x

= 1.

3.6. Sustitucion en lımites

Teorema 3.29. Sean f y g funciones.

1. Si lımx→a

g(x) = b, entonces,

lımx→a

f [g(x)] = lımu→b

f(u).

2. Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces, la compuesta

f ◦ g es continua en a.

3. Si f es continua y lımx→a

g(x) existe, entonces,

lımx→a

f(g(x)) = f(lımx→a

g(x))

.

Calculo de algunos lımites algebraicos usando sustitucion

Ejemplo 3.30. Calcular lımx→2

3√x+ 25− 3

x− 2.

Sea y = 3√x+ 25, elevando al cubo se tiene y3 = x + 25 y despejando x se


obtiene x = y3 − 25. Ahora se analiza la tendencia de la variable nueva y:

si x→ 2 entonces y → 3√2 + 25 = 3. Ası que

lımx→2

3√x+ 25− 3

x− 2= lım

y→3

y − 3

y3 − 25− 2= lım

y→3

y − 3

y3 − 27

= lımy→3

y − 3

(y − 3)(y3 + 3y + 9)= lım

y→3

1

y2 + 3y + 9=

1

27

Ejemplo 3.31. Calcular lımx→−1

5√2x+ 3 + x

x2 − 1.

Sea z = 5√2x+ 3, elevando a la 5 resulta z5 = 2x + 3 y despejando x se

obtiene, x =z5 − 3

2. Ahora se analiza la tendencia de la variable nueva z:

si x→ −1 entonces, z → 5√−2 + 3 = 1. Ası que:

lımx→−1

5√2x+ 3 + x

x2 − 1= lım

x→−1

5√2x+ 3 + x

(x+ 1)(x− 1)

= lımx→−1

1

x− 1lımx→−1

5√2x+ 3 + x

x+ 1= −1

2lımz→1

z + z5−32

z5−32 + 1

= −1

2lımz→1

2z+z5−32

z3 − 3 + 2

2

= −1

2lımz→1

z5 + 2z − 3

z5 − 1

1 0 0 0 2 −3 1

1 1 1 1 3

1 1 1 1 3 0

1 0 0 0 0 −1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0

= −1

2lımz→1

(z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 3)

(z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1)

= −1

2lımz→1

z4 + z3 + z2 + z + 3

z4 + z3 + z2 + z + 1= −1

2· 75= − 7

10

3.6. SUSTITUCION EN LIMITES 203

Calculo de algunos lımites trigonometricos usando sustitucion

Ejemplo 3.32. Determinar lımx→π

6

sen(3x)− 2 senx

x− π6

.

Tomando u = x− π6 , x = u+ π

6 , 3x = 3u+ π2 . Si x→ π

6 , u→ 0.

lımx→π

6

sen(3x)− 2 senx

x− π6

= lımu→0

sen(3u+ π

2

)− 2 sen

(u+ π

6

)

u

= lımu→0

sen(3u) cos(π2

)+ sen

(π2

)cos(3u)− 2 senu cos

(π6

)− 2 sen

(π6

)cosu

u

= lımu→0

cos(3u)− 2√

32

senu− 2 12cosu

u

= lımu→0

[cos(3u)− 1 + 1− cosu

u− −

√3 senu

u

]= −

√3


sen(3x2 − 4x− 4

)

x4 − 16.

lımx→2

sen(3x2 − 4x− 4

)

x4 − 16= lım

x→2

sen [(x− 2)(3x+ 2)]

(x2 + 4)(x+ 2)(x− 2)

= lımx→2

3x+ 2

(x2 + 4)(x+ 2)

sen [(x− 2)(3x+ 2)]

(x− 2)(3x+ 2)

= lımx→2

3x+ 2

(x2 + 4)(x+ 2)lımx→2

sen [(x− 2)(3x+ 2)]

(x− 2)(3x+ 2)

=8

32lımu→0

senu

u=

1

4

Ejemplo 3.34. Calcular los lımites

a lımx→c

senx

b lımx→c

cosx

Sustituyendo u = x− c podemos calcular los limites


a lımx→c

senx = lımu→0

sen(u+ c) = lımu→0

(senu cos c+ sen c cosu)

=(lımu→0

senu)cos c+ sen c

(lımu→0

cosu)= sen c

b lımx→c

cosx = lımu→0

cos(u+ c) = lımu→0

(cosu cos c+ sen c senu)

=(lımu→0

cosu)cos c+ sen c

(lımu→0

senu)= cos c

Del ejemplo 3.34 se deduce que las funciones seno y coseno son continuas

en su dominio. Como el cociente de funciones continuas es continuo, las

demas funciones trigonometricas son continuas en su dominio.

Ejercicios 3.35.

1. Si 1 ≤ f(x) ≤ x2 − 2x− 2 para todo x, encuentre lımx→−1

f(x).

2. Si 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encuentre lımx→1

f(x).

3. lımx→0

x4 sen(1x

).

4. lımx→0

3√x sen

(13√x

).

5. lımx→0

xn sen(1x

).

6. lımx→0

2x

sen(3x).

7. lımx→0

sen(2x)

sen(3x).

8. lımx→0

1− cos(4x)

x.

9. lımx→0

1− cosx

senx.

10. lımx→0

1− cos2 x

2x2.

11. lımy→0

cos(3y)− 1

sen(4y).

12. lımx→π

2

1− senxπ2 − x

.

13. lımx→π

2

cosxπ2 − x

.

14. lımx→0

x2 + 3x

sen(3x).

15. lımx→π

2

sen(cosx)

cosx.

16. lımx→0

x2 + 3x

sen (x− x2).

17. lımx→1

sen(x2 − 5x+ 4

)

x2 − 1.

18. lımx→π

4

√2− 2 cosx

senx− cosx.

19. lımx→π

6

1− 2 senx

senx− cos(2x).

3.7. LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO 205

20. lımx→π

2

cosx

1− senx− cosx.

21. lımx→π

4

sen(x+ π

4

)− 1√

2 cosx− 1.

22. lımx→1

3√x− 1

x− 1.

23. lımx→2

5√x+ 30− 2

x− 2.

24. lımx→3

x− 33√2x+ 2− 2

.

25. lımx→4

x− 44√x+ 14− 2

.

26. lımx→1

6√x+ 63− 2

x− 1.

27. lımx→2

x2 − 43√x+ 6− 2

.

3.7. Lımites infinitos y al infinito

3.7.1. Lımites al infinito, asıntotas horizontales

Definicion 3.36. Sea f una funcion definida para x > a, a ∈ R.

lımx→∞

f (x) = L significa que para cada ε > 0, existe N > 0, tal que si x > N,

entonces |f (x)− L| < ε.

Intuitivamente esto significa que para valores grandes y positivos de x los

valores de la funcion f (x) estan muy cerca del valor L.

Graficamente esto indica que la funcion y = f (x) tiende a la grafica de la

recta horizontal y = L para valores grandes de x.

y = f(x)

y = L

Figura 153

Definicion 3.37. Sea f una funcion definida para x < a, a ∈ R.

lımx→−∞

f (x) = L significa que para cada ε > 0, existe M < 0, tal que si

x < M, entonces |f (x)− L| < ε.

Intuitivamente la definicion anterior dice que para valores grandes pero neg-

ativos de x los valores de la funcion f (x) estan muy cerca del valor L.

Graficamente esto indica que la curva de y = f (x) tiende a la grafica de la

recta horizontal y = L para valores grandes y negativos de x.


y = f(x)

y = L

Figura 154

Definicion 3.38. La recta y = c es una asıntota horizontal de la funcion f

si lımx→∞

f(x) = c o lımx→−∞

f(x) = c.

Usando la definicion de lımites al infinito se pueden probar las siguientes

propiedades de los limites al infinito 1. Si c es una constante y p es un

numero positivo se cumple que:

a) lımx→∞

c = c

b) lımx→∞

cxp = 0.

Si f y g son funciones tales que los lımites lımx→∞

f (x) y lımx→−∞

f (x) existen,

entonces,

1. lımx→∞

(f(x) + g(x)) = lımx→∞

f(x) + lımx→∞

g(x).

2. lımx→∞

αf(x) = α lımx→∞

f(x), donde α es un numero real.

3. lımx→∞

(f(x)− g(x)) = lımx→∞

f(x)− lımx→∞

g(x).

4. lımx→∞

f(x)g(x) = lımx→∞

f(x) lımx→∞

g(x)

5. lımx→∞

1

g(x)=

1

lımx→∞

g(x), lımx→∞

g(x) 6= 0

6. lımx→∞

f(x)

g(x)=

lımx→∞

f(x)

lımx→∞

g(x), lımx→∞

g(x) 6= 0


7. lımx→∞

[f(x)]n =[lımx→∞

f(x)]n, n ∈ Z

8. lımx→∞

n√f(x) = n

√lımx→∞

f(x), donde, lımx→∞

f(x) ≥ 0, si n es par.

Estas propiedades tambien son validas cuando x tiende a −∞.

Ejemplo 3.39. Lımite de una funcion racional

lımx→∞

x4 + 3x7 − x+ 2

4x− x6 − 5x2 − 9x7,

se divide cada termino del numerador y denominador por x7

= lımx→∞

x4

x7+

3x7

x7− x

x7+

2

x7

4x

x7− x6

x7− 5x2

x7− 9x7

x7

, se simplifica

= lımx→∞

1

x3+ 3− 1

x6+

2

x74

x6− 1

x− 5

x5− 9

se evalua el limite

=0 + 3− 0 + 0

0− 0− 0− 9= −1

3.

Ejemplo 3.40. Asıntotas horizontales de una funcion cociente con radicales

Las asıntotas horizontales de la funcion f(x) =

√81x2 − 5x+ 3− 2x+ 1

6x−√144x2 − 20x+ 3

se

obtienen calculando los limites hacia infinito y menos infinito de la funcion:

a) lımx→∞

f(x) = lımx→∞

√81x2 − 5x+ 3− 2x+ 1

6x−√144x2 − 20x+ 3

= lımx→∞

√81x2 − 5x+ 3√

x2− 2x

x+

1

x

6x

x−√144x2 − 20x+ 3√

x2


= lımx→∞

√81x2 − 5x+ 3

x2− 2x

x+

1

x

6x

x−√

144x2 − 20x+ 3

x2

= lımx→∞

√81x2

x2− 5x

x2+

3

x2− 2 +

1

x

6−√

144x2

x2− 20x

x2+

3

x2

=

√81− 0 + 0− 2 + 0

6−√144− 0 + 0

= −7

6

b) lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

√81x2 − 5x+ 3− 2x+ 1

6x−√144x2 − 20x+ 3

= lımx→−∞

√81x2 − 5x+ 3√

x2− 2x

−x +1

−x6x

−x −√144x2 − 20x+ 3√

x2

= lımx→−∞

√81x2 − 5x+ 3

x2+

2x

x− 1

x

−6x

x−√

144x2 − 20x+ 3

x2

= lımx→−∞

√81x2

x2− 5x

x2+

3

x2+ 2− 1

x

−6−√

144x2

x2− 20x

x2+

3

x2

=

√81− 0 + 0 + 2− 0

−6−√144− 0 + 0

= −11

18.

Luego las asıntotas horizontales de la funcion son y = −7

6y y = −11

18.

Ejemplo 3.41. Calculo de un lımite al infinito multiplicando por la expre-

sion conjugada. Hallar

lımx→∞

(√169x2 + 300x− 5− 13x

)


Solucion

lımx→∞

(√169x2 + 300x− 5− 13x

)

= lımx→∞

(√169x2 + 300x− 5− 13x

)(√169x2 + 300x− 5 + 13x

)

√169x2 + 300x− 5 + 13x

= lımx→∞

169x2 + 300x− 5− 169x2√169x2 + 300x− 5 + 13x

= lımx→∞

300x

x− 5

x√169x2

x2+

300x

x2− 5

x2+

13x

x

= lımx→∞

300− 5

x√169 +

300

x− 5

x2+ 13

=300− 0√

169 + 0− 0 + 13=

300

26=

150

13.

Ejemplo 3.42. Dos lımites hacia infinito con funciones trigonometricas

usando sustitucion. Hallar:

1) lımx→∞

x sen(5x

)2) lım

x→∞x(cos(

13x

)− 1)

Solucion

1. lımx→∞

x sen

(5

x

)

Sustituyendo u =5

xresulta, x =

5

uy si x→∞, u =

5

x→ 0 ası que:

lımx→∞

x sen

(5

x

)= lım

u→0

5

usenu = 5lım

u→0

senu

u= 5.

2. lımx→∞

x

[cos

(1

3x

)− 1

]

Sustituyendo u =1

3xtenemos que, x =

1

3uy si x → ∞, u =

1

3x→ 0

ası que:


lımx→∞

x

[cos

(1

3x

)− 1

]= lım

u→0

1

3u(cosu− 1) =

1

3lımu→0

cosu− 1

u= 0.

Ejemplo 3.43. Lımite hacia infinito trigonometrico usando el teorema de

intercalacion: Hallar lımx→∞

sen (7x)

x

Solucion

Para cada x > 0 se satisface

∣∣∣∣sen (7x)

x

∣∣∣∣ ≤1

x, luego, −1

x≤ sen (7x)

x≤ 1

x

como lımx→∞

(−1

x

)= lım

x→∞1

x= 0 por el teorema de intercalacion

lımx→∞

sen (7x)

x= 0.

3.7.2. Lımites de valor infinito y asıntotas verticales.

Definicion 3.44. Sea f (x) = N(x)D(x) una funcion, la recta x = a es una

asıntota vertical de f si N (a) 6= 0 y se presenta alguna de las siguientes

condiciones

1. lımx→a−

f(x) = −∞

2. lımx→a−

f(x) =∞

3. lımx→a+

f(x) = −∞

4. lımx→a+

f(x) =∞

Analisis del comportamiento de una funcion en una asıntota vertical

Sea x = a una asıntota vertical de f (x) =N (x)

D (x)y N (a) = N.

1. Si N > 0 y D (x) tiende a 0 con valores positivos, entonces,

lımx→a

f (x) =∞

2. Si N > 0 y D (x) tiende a 0 con valores negativos, entonces,

lımx→a

f (x) = −∞


3. Si N < 0 y D (x) tiende a 0 con valores positivos, entonces,

lımx→a

f (x) = −∞

4. Si N < 0 y D (x) tiende a 0 con valores negativos, entonces,

lımx→a

f (x) =∞

El resultado anterior sigue siendo valido si sustituimos a por a+ o por a−

Posibilidades de la grafica de una funcion en una asıntota

Sea f una funcion y x = a una asıntota vertical. La grafica de f cerca de x

puede tener las siguientes posibilidades:

1. lımx→a−

f (x) =∞ y lımx→a+

f (x) =∞

y = f(x)

x = a

Figura 155

2. lımx→a−

f (x) = −∞ y lımx→a+

f (x) =∞

y = f(x)

x = a

Figura 156

3. lımx→a−

f (x) = −∞ y lımx→a+

f (x) = −∞


y = f(x)

x = a

Figura 157

4. lımx→a−

f (x) =∞ y lımx→a+

f (x) = −∞

y = f(x)

x = a

Figura 158

Ejemplo 3.45. Esbozar las graficas de las funciones dadas usando su com-

portamiento asintotico.

1.f(x) =4x− 3

x+ 1

Asıntotas horizontales

Como la funcion f es racional lımx→−∞

f (x) = lımx→∞

f (x) , ası que la asıntota

horizontal de f es:


y = lımx→∞

f (x) = lımx→∞

4x− 3

x+ 1= lım

x→∞

4x

x− 3

xx

x+ 1

x

= lımx→∞

4− 3

x

1 +1

x

= 4.

Como la funcion es racional, se resuelve la ecuacion denominador igual a

cero: x+ 1 = 0, y la asıntota vertical es la recta x = −1

Para conocer el comportamiento de la funcion en la asıntota, se calcula los

lımites laterales:

El numerador de la funcion evaluado en -1 es N (−1) = −7

i)x −2 −1,5 −1,01

D (x) = x+ 1 −1 −0,5 −0,01

El denominador evaluado en valores menores que −1 tiende hacia cero con

valores negativos

ası que lımx→−1−

f (x) = lımx→−1−

4x− 3

x+ 1=∞

ii)x −0,99 −0,9 0

D (x) = x+ 1 0,01 0,1 1

El denominador evaluado en valores mayores que −1 tiende hacia cero con

valores positivos

ası que, lımx→−1+

f (x) = lımx→−1−

4x− 3

x+ 1= −∞

Se tabula algunos valores para la funcion y se traza una grafica que cumpla

las condiciones encontradas:

x −3 −2 0 1

f(x) = 4x−3x+1 7,5 11 −3 0,5


y = f(x)

-1

4

Figura 159

2.f(x) =

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3

Asıntotas horizontales

Las asıntotas horizontales de la funcion son: y = lımx→−∞

f (x) y y = lımx→∞

f (x)

en caso que existan y sean finitos. Ası que:

Se divide cada termino del numerador y denominador entre√x2 = |x| = x

y = lımx→∞

f (x) = lımx→∞

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3= lım

x→∞

√9x2 + x+ 8√

x2− 2x

xx

x− 3

x

= lımx→∞

√9x2

x2+

x

x2+

8

x2− 2

1− 3

x

= lımx→∞

√9 +

1

x+ 8

x2− 2

1− 3

x

=3− 2

1− 0= 1

Se divide cada termino del numerador y denominador entre√x2 = |x| = −x


y = lımx→−∞

f (x) = lımx→−∞

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3= lım

x→−∞

√9x2 + x+ 8√

x2− 2x

−xx

−x −3

−x

= lımx→−∞

√9x2

x2+

x

x2+

8

x2+ 2

−1 + 3

x

= lımx→−∞

√9 +

1

x+

8

x2+ 2

−1 + 3

x

=3 + 2

−1− 0= −5.

Se ha obtenido que las asıntotas horizontales son y = 1 y y = −5.Asıntotas horizontales

Se resuelve la ecuacion denominador igual a cero:

x− 3 = 0, la asıntota vertical es la recta x = 3.

Para conocer el comportamiento de la funcion en la asıntota, se calculan los

lımites laterales:

El numerador de la funcion evaluado en 3 es:

N (3) =√81 + 3 + 8− 6 =

√92− 6 > 0

i)x 2 2,9 2,99

D (x) = x− 3 −1 −0,1 −0,01

El denominador evaluado en valores menores que 3 tiende hacia cero con

valores negativos

ası que, lımx→3−

f (x) = lımx→3−

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3= −∞

ii)x 3,01 3,1 4

D (x) = x− 3 0,01 0,1 1

El denominador evaluado en valores mayores que 3 tiende hacia cero con

valores positivos

ası que, lımx→3+

f (x) = lımx→3+

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3=∞

Se tabula algunos valores para la funcion y se traza una grafica que cumpla

las condiciones encontradas:


x 1 2 4 5

f(x) =

√9x2 + x+ 8− 2x

x− 3−1,12 −2,78 4,49 2,71

y = f(x)

Figura 160

3.7.3. Lımites al infinito de valor infinito


lımx→∞

f (x) = ∞ significa que para cada M > 0, existe N > 0, tal que si

x > N, entonces f(x) > M.

Intuitivamente esto significa que los valores de f(x) se pueden hacer tan

grandes como se quiera, tomando valores de x suficientemente grandes.


1

Figura 161: y = f(x)


lımx→−∞

f (x) = ∞ significa que para cada M > 0, existe N < 0, tal que si

x < N, entonces f(x) > M

Intuitivamente la definicion anterior dice que los valores de f(x) se pueden

hacer tan grandes como se quiera tomando valores de x suficientemente

grandes pero negativos.

1

Figura 162: y = f(x)


lımx→∞

f (x) = −∞ significa que para cada M < 0, existe N > 0, tal que si

x > N, entonces f(x) < M.


Intuitivamente esto significa que los valores de f(x) se pueden hacer tan

grandes y negativos como se quiera, tomando valores de x suficientemente

grandes.

Figura 163:

y = f(x)


lımx→−∞

f (x) = −∞, significa que para cada M < 0, existe N < 0, tal que si

x < N, entonces, f(x) < M

Intuitivamente la definicion anterior dice que los valores de f(x) se pueden

hacer grandes y negativos como se quiera tomando valores de x suficiente-

mente grandes pero negativos.

Figura 164:

y = f(x)


Ejemplo 3.50. Sea n un entero positivo y c un real positivo, demuestre

cada uno de los siguientes lımites

1. lımx→∞

cxn =∞

2. Si n es par, lımx→−∞

cxn =∞

3. Si n es impar, lımx→−∞

cxn = −∞

Solucion

1. Para cada M > 0, existe, N = n

√Mc > 0, tal que si, x > N = n

√Mc >

0, entonces, f(x) = cxn > M .

2. Para cada M > 0 existe N = − n

√Mc < 0, tal que si, x < N = − n

√Mc ,

entonces, −x > n

√Mc > 0 y f(x) = cxn = c(−x)n > M .

3. Para cada M < 0 existe N = n

√Mc < 0, tal que si, x < N = n

√Mc ,

entonces, −x > −N = − n

√Mc > 0 y f(x) = cxn < M .

Ejercicios 3.51. Hallar los siguientes lımites

1. lımx→∞

x4 + 3x7 − x+ 2

4x− x6 − 5x2 − 9x7.

2. lımx→∞

x2 + 3x+ 24x5 − 2

4x5 + 3x4 + 5x3 + 1

3. lımx→−∞

7x9 + 3x+ 24x5 − 2

−3x5 − 2x9 + x3 + 1

4. lımx→∞

√x2 + 3x+ 2− 2x+ 1√9x2 + 5x+ 1− 2x+ 1

5. lımx→∞

√100x2 + 2− 8x+ 1√49x2 + 5− 10x


6. lımx→∞

3√8x2 + 3x+ 24x5 − 2

4x+ 9√27x6 + 5x3 + 1

7. lımx→∞

7√128x3 + 3x+ 24x5 − 9x

x+ 7√x3 + 5x2 + 1

8. lımx→∞

(√400x2 + x+ 1− 20x)

9. lımx→−∞

(√169x4 + 30x2 + 1− 13x2)

10. lımx→∞

(√81x6 + 10x3 + 1− 9x3)

11. lımx→∞

(√289x8 + 50x4 + 1− 17x4)

Encuentre las asıntotas horizontales y verticales y uselas para esbozar

la grafica de cada una de las funciones:

12. f(x) =x

2− x

13. g(x) =2x− 1

x+ 3

14. h(x) =3√x− 1 + 3

x+ 2

15. j(x) =9− 5

√32x− 2− 1

x2 − 4

16. f(x) =

√x2 + 1 + 2x

1− x

17. g(x) =

√x2 + 4 + x

2x− 8

18. h(x) =

√x2 + 5 + 3x2

x2 − 16

3.8. CONTINUIDAD DE FUNCIONES A TROZOS 221

19. j(x) =6x− 2√

x2 + 1 +√2x2 + 5

20. f(x) =

√81x2 − 5x+ 3− 2x+ 1

6x−√144x2 − 20x+ 3

.

21. lımx→∞

2x3

Determine en cada caso si el lımite es ∞ o −∞.

22. lımx→−∞

5x8

23. lımx→−∞

5x7

24. lımx→∞

3x3 + x− 1

x2 − x− 3

25. lımx→∞

8x4 + 3x7 + 4x− 3

2x4 − x− 7

26. lımx→−∞

x4 + x6 + x− 3

x4 − 7x− 1

27. lımx→−∞

2x4 − 3x7 + 4x− 3

2x4 − x− 7

28. lımx→∞

√x6 + x5 + x

x4 − x

29. lımx→−∞

3

√x5 − 3x2 + 4x− 3

8x2 − x− 7

3.8. Continuidad de funciones a trozos

Analisis de la continuidad de una funcion a trozos

Ejemplo 3.52. Hallar el conjunto mas grande donde la funcion f sea con-

tinua


f(x) =

3x− 1, si x ≤ −2x− 2

x− 1, si − 2 < x < 2.

4x+ 1, si x ≥ 2.

Intervalos de la funcion a trozos x < −2 −2 < x < 2 x > 2

Funcion 3x− 1x− 2

x− 14x+ 1

Tipo de funcion lineal racional lineal

Intervalo donde f es continua (−∞,−2) (−2,−1) ∪ (1, 2) (2,∞)

Ahora se debe analizar la continuidad de la funcion en los puntos de salto

x = −2 y x = 2

1. En x = −2f(−2) = −7lım

x→−2−f(x) = lım

x→−2+(3x− 1) = −7

lımx→−2+

f(x) = lımx→−2+

x−2x−1 = 4

3

Ası que lımx→−2−

f(x) no existe y f no es continua en x = −2.

2. En x = 2

f(2) = 9

lımx→2−

f(x) = lımx→2−

x−2x−1 = 0

lımx→2+

f(x) = lımx→2+

(4x+ 1) = 9

Ası que lımx→2−

f(x) no existe y f no es continua en x = 2.

Concluyendo, la funcion f es continua en R− {−2,−1, 2}


Pegando funciones con continuidad

Hallar constantes para que una funcion a trozos sea continua

Ejemplo 3.53. Hallar los valores de las constantes a y b para que la fun-

cion f(x)sea continua en R. Donde

f(x) =

ax2 + bx+ 1, si x < 1

3ax− 2b, si x > 1.

4, si x = 1.

Solucion

Como las funciones componentes de la funcion a trozos f(x) son polinomios,

son continuas, luego solo se debe analizar la continuidad de la funcion en el

punto de salto x = 1

intervalo x < 1 x > 1

funcion f(x) ax2 + bx+ 1 3ax− 2b

Analisis de la continuidad en x = 1

i f(1) = 4

ii lımx→1−

f(x) = lımx→1−

(ax2 + bx+ 1) = a+ b+ 1

iii lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(3ax− 2b) = 3a− 2b

Para que f sea continua en x = 1 se requiere I) = II) = III) ası que las

ecuaciones E1) : ii) = i) a+ b+ 1 = 4 y E2) : iii) = i) 3a− 2b = 4

Realizando la operacion −3E1) + E2) resulta −5b = −5, de donde, b = 1,

despejando a en la ecuacion E1) y sustituyendo b = 1, se tiene que, a = 2.

Ejemplo 3.54. Hallar los valores de las constantes p, q y r para que la

funcion g(x) sea continua en R. Donde


g(x) =

p+ qx+ r + 2, si x < −13px+ q + r, si − 1 ≤ x < 1.

px− qx2 − 1, si x > 1.

−3, si x = 1.

Solucion

Como las funciones componentes de la funcion a trozos g(x) son polinomios

solo se debe analizar la continuidad de la funcion en los puntos de salto

x = 1 y x = −1

intervalo x < −1 −1 < x < 1 x > 1

funcion g(x) p+ qx+ r + 2 3px+ q + r px− qx2 − 1

Analisis de la continuidad en x = −1

i) g(−1) = p− q + r + 2

ii) lımx→−1−

g(x) = lımx→−1−

(p+ qx+ r + 2) = p− q + r + 2

iii) lımx→−1+

g(x) = lımx→−1+

(3px+ q + r) = −3p+ q + r

Para que g sea continua en x = −1 se requiere i) = ii) = iii) ası se obtiene

la ecuacion E1) : p−q+r+2 = −3p+q+r que equivale a E1) : 2p−q = −1

Analisis de la continuidad en x = 1

i) g(1) = −3

ii) lımx→1−

g(x) = lımx→1−

(3px+ q + r) = 3p+ q + r

iii) lımx→1+

g(x) = lımx→1+

(px− qx2 − 1) = p− q − 1


Para que g sea continua en x = 1 se requiere i) = ii) y i) = iii) ası que

tenemos las ecuaciones E2) : 3p + q + r = −3 y E3) : p − q − 1 = −3Restando las ecuaciones E1) − E3) resulta p = 1 de E3) q = p + 2 = 3 de

E2)r = −3− 3p− q = −9 Ası que los valores que hacen continua la funcion

son p = 1, q = 3 y r = −9 y la funcion continua g es:

g(x) =

3x− 6, si x < 1

x− 3x2 − 1, si x > 1.

−3, si x = 1.

Ejemplo 3.55. Continuidad de la funcion parte entera

Sea f(x) = bxc la funcion parte entera. Sea r = n un numero entero.

Para calcular el lımite cuando x tiende a n por la izquierda, consideramos

valores de x cercanos y menores que n, por ejemplo,

n− 1 < x < n ası que bxc = n− 1 y lımx→n

bxc = lımx→n

(n− 1) = n− 1

Para calcular el lımite cuando x tiende a n por la derecha, consideramos

valores de x cercanos y mayores que n, por ejemplo n < x < n+ 1, ası que,

bxc = n y lımx→n

bxc = lımx→n

n = n

Por lo tanto si n es un numero entero, entonces, lımx→n

bxc no existe.

Si r no es un numero entero, suponga que bxc = n, ası que, n < r < n+ 1,

luego, para calcular lımx→r

bxc considerando valores de x en el intervalo

n < r < n+ 1, entonces, lımx→r

bxc = lımx→r

n = n = brc.

Ejemplo 3.56. Continuidad de la funcion f(x) =|x− 1|x− 1

Primero expresamos la funcion f como una funcion a trozos:

1. Si x− 1 < 0, se cumple x < 1 y f(x) =|x− 1|x− 1

=−(x− 1)

x− 1= −1

2. Si x− 1 < 0, se cumple x < 1 y f(x) =|x− 1|x− 1

=x− 1

x− 1= −1


La funcion no esta definida en x = 1. Ası que la funcion f es

f(x) =

−1, si x < 1

1, si x > 1

lımx→1−

f(x) = lımx→1−

(−1) = −1,

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

1 = 1,

luego lımx→1

f(x) no existe y f no es continua en x = 1. Por lo anterior f es

continua en R− {−1}.

Ejemplo 3.57. Continuidad de la funcion g(x) =|x2 − 9|x2 − 3x

La funcion g se puede expresar como la funcion a trozos:

1. Si x2 − 9 > 0, se cumple, x ∈ (−∞,−3] ∪ [3,∞) y

g(x) =|x2 − 9|x2 − 3x

=−(x− 3)(x+ 3)

(x− 3)x= −(x+ 3)

x

2. x2 − 9 < 0, x 6= 0, se cumple, x ∈ (−3, 3) y

g(x) =|x2 − 9|x2 − 3x

=(x− 3)(x+ 3)

(x− 3)x=

(x+ 3)

x

La funcion no esta definida en x = 0.

Ası que la funcion g es

g(x) =

− (x+3)

x , si x < −3 o x > 3(x+3)x , si −3 < x < 3

lımx→−3−

g(x) = lımx→−3−

−(x+ 3)

x= 0,


lımx→−3+

g(x) = lımx→−3+

(x+ 3)

x= 0,

Luego, lımx→−3

g(x) = 0 y es igual a g(−3) por tanto, g es continua en x = −3.

lımx→3−

g(x) = lımx→3−

−(x+ 3)

x= −2,

lımx→3+

g(x) = lımx→3+

(x+ 3)

x= 2,

Luego lımx→3

g(x) no existe y g no es continua en x = 3. La funcion g tiene una

discontinuidad infinita en x = 0. Por lo tanto g es continua en R− {0, 3}.

Discontinuidades removibles.

Sea f una funcion. Si f(a) no esta definida pero lımx→a

f(x) = L, f tiene una

discontinuidad removible en x = a

y al redefinir la funcion fe(x) =

f(x), si x 6= a

L, si x = aesta funcion fe resulta

continua en x = a.

Ejemplo 3.58. Redefina la funcion f(x) =x3 − 3x2 + 2x

x2 − xpara que sea

continua en toda la recta real.

Solucion

La funcion f no esta definida en x = 0 y x = 1 pero:

lımx→0

x3 − 3x2 + 2x

x2 − x= lım

x→0

x(x− 1)(x− 2)

x(x− 1)= lım

x→0(x− 2) = −2

lımx→1

x3 − 3x2 + 2x

x2 − x= lım

x→1

x(x− 1)(x− 2)

x(x− 1)= lım

x→1(x− 2) = −1

Luego, la funcion redefinida


fe(x) =

x− 2, si x 6= 0 y x 6= 1

−2, si x = 0

−1, si x = 1

es continua en R y coincide con f en su dominio.

Ejercicios 3.59.

Hallar el conjunto mas grande donde la funcion sea continua

1. f(x) =

x− 3, si x ≤ 2

x2 − 4, si x > 2

2. f(x) =

x2 + 6x− 7

x2 − 9x+ 8, si x < 1

x2 + x− 6

x2 − 3x+ 2, si 1 ≤ x ≤ 2

5x2 − 8x− 4

3x2 − 4x− 4, si x > 2

3. f(x) =

x2 + 6x

x2 − 6x, si x < 0

x2 − 3x+ 2

x2 − 3x+ 2, si 0 ≤ x ≤ 1

x2 + x+ 1

x+ 5, si x > 1

4. g(x) =

x2 + 6x− 27

x2 − 9, si x < 3

x2 + x− 20

x2 − 3x− 4, si 3 ≤ x < 4

5x2 − 22x+ 8

3x2 − 14x+ 8, si x > 4

9

5, si x = 4

5. f(x) =|2x2 − x− 1|

x− 1


6. g(x) =x+ 5

|x2 − 25|

7. h(x) =x2 + 2x

|x3 − 4x|

8. r(x) =|x2 + 6x|x3 − 36x

Hallar los valores de a, b y c para que la funcion sea continua

9. f(x) =

ax+ b, si x ≤ 2

ax2 − 3bx+ 2, si 2 < x < 3

3x+ a+ b, si x ≥ 3

10. f(x) =

ax3 + bx2 + cx+ 2, si x ≤ −1

ax2 + bx+ c, si − 1 < x < 2

ax+ b+ c, si 2 ≤ x < 3

2ax− b si x ≥ 3

11. f(x) =

2ax+ 3b+ c, si x ≤ −2

2ax2 − bx+ 2c− 3, si − 2 < x < 2

3cx+ a+ 2b− 5, si x > 2

3 , si x = 2

12. f(x) =

5ax− 2b− 3c− 2, si x ≤ −1

4ax2 − 2bx+ 2c− 3, si − 1 < x < 1

3cx3 + ax2 + 2bx− 5, si x > 1

−2, si x = 1


Redefina la funcion para que sea continua en R.

13. f(x) =x2 − 4

x− 2

14. g(x) =x3 − 1

x− 1

15. h(x) =x4 − 16

x+ 2

16. k(x) =x3 − 9x

x2 + 3x

3.8.1. Lımites y continuidad de funciones exponenciales, lo-

garıtmicas y funciones inversas

Ejemplo 3.60. Analisis numerico del lımite lımh→0

eh − 1

h

La tabla de valores

x −1 −0,1 −0,01 −0,001 0 0,001 0,01 0,1 1

eh − 1

h0,632 0,951 0,995 0,9995 1,0005 1,005 1,05 1,71

induce lımh→0

eh − 1

h= 1

Ejemplo 3.61. Continuidad de la funcion exponencial

a) lımh→0

eh = lımh→0

(heh − 1

h+ 1) = lım

h→0h lımh→0

eh − 1

h+ 1 = 0 · 1 + 1 = 1

b) En el lımite lımx→a

ex sustituyendo h = x − a, si x → a, entonces, h → 0

ası que:

lımx→a

ex = lımh→0

ea+h = ea lımh→0

eh = ea

Luego, la funcion exponencial es continua en R


Continuidad de las funciones inversas

Sea f : A −→ B una funcion continua y biyectiva, entonces, existe la funcion

inversa f−1 : B −→ A .

Sea b ∈ B, entonces,

f(lımy→b

f−1(y)) = lımy→b

f(f−1(y)) = lımy→b

y = b

Por tanto lımy→b

f−1(y) = f−1(b) para cada b ∈ B, lo que prueba que la funcion

f−1 es continua.

En particular la funcion y = lnx es continua en (0,∞) y se satisface:

lımx→a

lnx = ln a, para a > 0

Ejemplo 3.62. lımh→0

ln(h+ 1)

h

Sustituyendo u = ln(h + 1), despejando h = eu − 1, si h → 0, entonces,

u→ 0 ası que:

lımh→0

ln(h+ 1)

h= lım

u→0

u

eu − 1= lım

u→0

1eu − 1

u

= 1

Ejemplo 3.63. lımx→∞

(1 + 1x)

x

Sustituyendo u = 1x , despejando x = 1

u , si x→∞, entonces, u→ 0 ası que:

lımx→∞

(1 + 1x)

x = lımu→0

(1 + u)1u = lım

u→0e

1uln(1+u) = e

lımu→0

ln(1+u)u = e

Ejemplo 3.64. lımx→0

arc sen( x

x2 + 2x

)

lımx→0

arc sen( x

x2 + 2x

)= arc sen

(lımx→0

x

x(x+ 2)

)= arc sen

(lımx→0

1

x+ 2

)

= arc sen(12

)=π

6

Ejemplo 3.65. lımx→1

arctan( x3 − 1

2x2 − x− 1

)


lımx→1

arctan( x3 − 1

2x2 − x− 1

)= arctan

(lımx→1

(x− 1)(x2 + x+ 1)

(x− 1)(2x+ 1

)

= arctan(lımx→1

x2 + x+ 1

2x+ 1

)= arctan(1) =

π

4

Lımites a partir de las graficas de las funciones trigonometricas

inversas, logaritmo y exponencial

y = ex

Figura 165

y = lnx

Figura 166

A partir de la graficas de la funcion y = ex y y = lnx se obtienen los lımites:

lımx→−∞

ex = 0

lımx→∞

ex =∞


lımx→0+

lnx = −∞

lımx→∞

lnx =∞

π2

−π2

1−1

Figura 167

y = arc senx

A partir de la grafica de la funcion y = arc senx se obtiene:

lımx→−1+

arc senx = −π2

lımx→1−

arc senx =π

2

π2

1−1

π

Figura 168

y = arc cosx

Usando la grafica de la funcion y = arc cosx se tiene:

lımx→−1+

arc cosx = π

lımx→1−

arc cosx = 0


y = arctanx

y = π2

y = −π2Figura 169

De la grafica de la funcion y = arctanx resulta:

lımx→−∞

arctanx = −π2

lımx→∞

arctanx =π

2

y = cot−1 x

y = π

y = 0

Figura 170

A partir de la grafica de la funcion y = arccotx se obtiene:

lımx→−∞

arccotx = π

lımx→∞

arccotx = 0


1−1

π

1

y = π2

y = 0

Figura 171 g(x) = sec−1x

Con la grafica de la funcion y = arc secx resulta:

lımx→−∞

arc secx = lımx→∞

arc secx =π

2lım

x→−1−arc secx = π

lımx→1+

arc secx = 0

1−1

π2

−π2

1

Figura 172

y = csc−1x

Observando de la grafica de la funcion y = arc cscx se tiene:

lımx→−∞

arc cscx = lımx→∞

arc cscx = 0

lımx→−1−

arc cscx = −π2

lımx→1+

arc cscx =π

2


3.9. Teoremas de continuidad

3.9.1. Teorema de Bolzano

Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] si f(a) y f(b) tienen signo

contrario, entonces existe un numero c, a < c < b, tal que f (c) = 0.

El teorema de Bolzano produce un criterio para aproximar soluciones de

ecuaciones como se ve en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 3.66. Pruebe que el polinomio p(x) = x3+x+1 tiene una raız en

el intervalo [−1, 1] y hallarla con una aproximacion de una cifra decimal.

p(x) es continua en R y por tanto en [−1, 1] como p (−1) = −1 y p (1) = 3

p tiene signos contrarios, el teorema de Bolzano garantiza la existencia de

un numero c en el intervalo (−1, 1) tal que p (c) = 0. Ahora se divide el

intervalo [−1, 1] en dos intervalos de igual longitud para comprobar en cual

se presenta cambio de signo y otra vez con el teorema de Bolzano garantizar

en este intervalo una raız del polinomio:

p (−1) = −1p (0) = 1

p (−0,5) = 0,375

p (−0,75) = −0,171 88p (−0,875) = −0,544 92p (−0,62) = 0,141 67

p (−0,685) = −6. 419 1× 10−3

3.9. TEOREMAS DE CONTINUIDAD 237

Intervalo [a, b] p(a) p (b)Cambio

de signo

punto medioa+b2

[−1, 0] −1 1 X−1−0

2 = −0,5

[−1,−0,5] −1 0,37 X−1−0,5

2 = −0,75

[−0,75,−0,5] −0,171 0,37 X−0,75−0,5

2 = −0,625

[−0,75,−0,62] −0,171 0,13 X−0,75−0,62

2 = −0,685

[−0,685,−0,62] −6,4191× 10−3 0,13 X

Ası que el valor de la raız con una cifra decimal es x = −0,6

Los datos de la tabla anterior se pueden llevar a un arbol binario:

[−1, 1]

[−1, 0]

[−1,− · 5]

[−1,− · 75] [− · 75,− · 5]

[− · 75,− · 62]

[− · 75,− · 685] [− · 685,− · 62]

[− · 62,− · 5]

[− · 5, 0]

[0, 1]


Teorema del valor intermedio

Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] si f(a) 6= f(b) y N es

un numero entre f(a) y f(b), entonces, existe un c, a < c < b, tal que

f (c) = N.

Esto indica que la funcion f toma todos los valores entre f(a) y f(b).

Ejemplo 3.67. Como hallar el valor de c que garantiza el teorema del valor

intermedio. Hallar el valor de c que garantiza el teorema del valor intermedio

para la funcion f(x) = 2x3 en el intervalo [−1, 2] para el numero 2 entre

las imagenes f(−1) y f(2).

solucion

Se resuelve la ecuacion f(c) = 2, 2c3 = 2, luego c = 1. En la grafica siguiente

se muestra la solucion.

y = f(x)

Figura 173

f(c) = 2

c = 1


Ejemplo 3.68. La tesis del teorema del valor intermedio no se cumple si

no se satisface alguna de las hipotesis, en particular la continuidad de la

funcion.

y = f(x)

Figura 174

Sea f (x) =

2x− 1 si 1 ≤ x ≤ 2

x+ 5 si 2 < x ≤ 8

La funcion f esta definida en el intervalo [1, 8] f (1) = 1 y f (8) = 13.

El numero 5 esta entre las imagenes f (1) y f (8) pero no existe un valor de

c en el intervalo (1, 8) para el que f (c) = 5

Teorema 3.69. Si f es una funcion definida y continua en un intervalo

cerrado [a, b] con a, b ∈ R, entonces la funcion f alcanza sus valores

maximo M y mınimo m es decir existen numeros reales x1, x2 ∈ [a, b]

de tal forma que f(x1) = m y f(x2) = M, y para cualquier otro valor de

x ∈ [a, b] se cumple que m ≤ f(x) ≤M.


Ejemplo 3.70. Uso del teorema del valor intermedio para hallar puntos

fijos.

Puntos fijos de una funcion.

Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua en [0, 1]. Existe un numero

c ∈ (0, 1) tal que f (c) = c.

Prueba

Definamos la funcion g(x) = f(x) − x, que esta definida y es continua en

[0, 1] y toma sus imagenes en [−1, 1] , pues

si 0 ≤ x ≤ 1, entonces,

0 ≤ f (x) ≤ 1

−1 ≤ −x ≤ 0

sumando las desigualdades obtenemos −1 ≤ f (x)− x = g(x) ≤ 1.

luego, existen valores d, e en el intervalo [−1, 1] tales que, g(d) y g(e) tienensignos contrarios y por el teorema de Bolzano existe c en (0, 1) tal que

g(c) = 0 y f (c) = c.

Ejemplo 3.71. Encuentre los puntos fijos de la funcion f (x) = 1 − x2 en

el intervalo [0, 1]

La funcion f toma valores en [0, 1] y toma sus imagenes en [0, 1] por el

teorema del punto fijo, existe un c en [0, 1] tal que f (c) = c, reemplazando

en esta ecuacion se tiene que 1 − c2 = c, lo que equivale a c2 + c − 1 = 0

resolviendo la ecuacion cuadratica resulta c = 12

√5 − 1

2 ≈ 0,618 03 y c =

−12

√5− 1

2 ≈ −1,618, luego, el valor de c es aproximadamente 0,61803.

Graficamente los puntos fijos se obtienen intersectando la grafica de la fun-

cion con la recta y = x.

Ejemplo 3.72. La funcion f (x) = x2+1 alcanza valores maximo y mınimo

en el intervalo [−2, 4] pues es un polinomio que es continuo en toda la recta

real.

Dibujando la parabola en el intervalo


1 2 3 4−1−2

4

8

12

16

Figura 175

tenemos que el valor mınimo lo alcanza en x = 0 que se encuentra dentro

del intervalo (−2, 4) y su maximo en x = 4 que es el lımite superior del

intervalo [−2, 4] .

Ejercicios 3.73. Usando el teorema de Bolzano, hallar una raız del poli-

nomio dado en el intervalo indicado con una aproximacion de una cifra

decimal y construya el arbol binario:

1. p(x) = x3 − 2x− 1 [1, 2]

2. p(x) = x3 − x2 + 1 [−1, 0]

3. p(x) = x3 + 2x− 1 [0, 1]

4. p(x) = 2x3 + x− 1 [0, 1]

Encuentre los puntos fijos de la funcion dada en el intervalo indicado

con una aproximacion de una cifra decimal.

5. p(x) = x2 − 2x+ 1 [0, 1]

6. p(x) = x3 − x+ 2 [−2,−1]

7. p(x) = senx+ 1 [1, 2]

8. p(x) = ex + x− 1 [−2,−1]


Capıtulo 4

Derivadas

4.1. Introduccion

En esta parte del texto trataremos uno de los temas mas importantes de

la matematica: la derivada. Este concepto es el que le da el nombre a la

asignatura. Inicialmente trataremos dos conceptos introductorios que nos

permiten acercarnos al tema central.

4.1.1. Velocidad media y velocidad instantanea

Si consideramos un automovil que viajo entre las ciudades de Bogota y

Melgar cuya distancia es de aproximadamente 120Km y en dicho viaje se

toma un tiempo de 2 horas y media (2.5 horas), entonces, se concluye que

dicho automovil viajo a una velocidad promedio de 1202,5 = 48 km por hora

(vprom = 1202,5 = 48 km

h ) esto no quiere decir que el velocımetro del automovil

estuvo marcando continuamente 48 Km es mas, es posible que el velocımetro

nunca hubiera estado en esa posicion. Lo que si es cierto es que pudo haber

pasado por esa posicion probablemente mas de una vez, entonces que pudo

haber ocurrido, pues que el automovil en algunos casos viajo por ejemplo a

80 kmh y en algunos otros a 16 km

h y ası sucesivamente. Es mas, si consider-

amos que por los trancones que existen saliendo de Bogota el automovil no

puede ir rapido y que los 45 Km que existen entre Bogota y Fusagasuga los

recorrio en una hora y cuarto (1.25horas), entonces, tendrıamos que la ve-

locidad promedio entre Bogota y Fusagasuga fue de 451,25 = 36,0Km por

243

244 CAPITULO 4. DERIVADAS

hora (vprom = 451,25 = 36 km

h ) de hecho, el vehıculo viajo a una velocidad

promedio mayor a esta ultima entre las ciudades de Fusagasuga y Melgar

(vprom = 751,25 = 60kmh )

Consideremos el siguiente otro ejemplo: un objeto P se lanza desde el edifi-

cio de Colpatria (145 m aproximadamente) de la fısica experimental se sabe

que P cae al vacıo a una velocidad x(t) = 16t2 pies en t segundos; es decir

que el objeto P cae 16 pies en el primer segundo, 64 pies durante el 20

segundo, 144 pies durante los tres primeros segundos y ası sucesivamente

hasta estrellarse contra el suelo. Luego podemos advertir que las veloci-

dades promedio alcanzadas por el objeto P son: Durante el primer segundo

(vprom = 161 = 16pies/seg). Durante el segundo segundo (vprom = 64−16

2−1 =

48 pies/seg) durante el tercer segundo(vprom = 144−643−2 = 80 pies/seg)

y las velocidades promedio alcanzadas durante los perıodos(intervalos de

tiempo) [2; 2,1] ; [2; 2,01] ; [2; 2,001] ; [2; 2,0001] ; [2; 2,00001] son

respectivamente:

vprom =16(2,1)2 − 64

2,1− 2= 65,6

pies

seg, vprom = 16(2,01)2−64

2,01−2 = 64,16piesseg

vprom =16(2,001)2 − 64

2,001− 2= 64. 016 pies/seg,

vprom =16(2,0001)2 − 64

2,0001− 2= 64. 002 pies/seg

vprom =16(2,00001)2 − 64

2,00001− 2= 64 pies/seg.

El ultimo resultado no es completamente cierto ya que la calculadora con la

que se hicieron los calculos aproxima con cuatro decimales. Lo que si es cierto

es que a medida que el intervalo es mas pequeno la velocidad promedio cerca

del segundo segundo es mas cercana a64 pies/seg . Lo que se suele decir es

que la velocidad instantanea en el segundo segundo es de 64 pies/seg y se

escribe v(2) = lım4t→0

16(2+4t)2−16(2)2

2+4t−2 o lo que es lo mismo v(2) =

lım4t→0

16(2+4t)2−16(2)2

4t : v(2) = lım4t→0

16t4(t4+4)4t : v(2) = lım

4t→016t4 +64 es

decir que v(2) = 64pies/seg .

Ejercicios 4.1.


1. Para un cuerpo que cae al vacıo mediante la formula x(t) = 16t2 pies

en t segundos, calcular,

a) La velocidad media en los intervalos de tiempo

[1; 1,1] ; [1; 1,01] ; [1; 1,0001]

b) La velocidad instantanea en el primer segundo

2. Para un cuerpo que cae al vacıo mediante la formula x(t) =√2t+ 3 pies

en t segundos calcular


[3; 3,1] ; [3; 3,01] ; [3; 3,0001]

b) La velocidad instantanea en el tercer segundo

c) La velocidad instantanea en el primer segundo

d) La velocidad instantanea en el segundo segundo

3. Para un cuerpo que cae al vacıo mediante la formula x(t) =2

t+ 3pies

en t segundos calcular


[2; 2,1] ; [2; 2,01] ; [2; 2,0001]




4. Para un cuerpo que cae al vacıo mediante la formula x(t) = 3t2+2t+

1 pies en t segundos calcular


[1; 1,1] ; [1; 1,01] ; [1; 1,0001]





4.1.2. Rectas secantes y rectas tangentes.

De la geometrıa elemental se sabe que sobre una circunferencia existen los

conceptos basicos de recta secante (cualquier recta que toque la circunfer-

encia en dos puntos) y recta tangente (es una recta que unicamente toca a

la circunferencia en un punto)

Figura 176:

Estos conceptos se pueden generalizar a cualquier curva, inicialmente con-

sideremos la curva f(x) = 12x

2 + 2


1 2 3 4−1

1

2

3

4

5

Figura 177

Entonces, la pendiente de la recta secante msec a la curva y = f(x)

que pasa por los puntos P (1, 52) y Q(2, 4) es msec =4− 5

2

2− 1= 3

2 . La

pendiente de la recta secante a la curva indicada que pasa por los puntos

P (1, 52) y Q(1. 1, 2. 605) : es msec =

2. 605− 52

1. 1− 1= 1. 05, La

pendiente de la recta secante a la curva indicada que pasa por los puntos

P (1, 52) y Q(1. 001, 2. 501) es msec =

2. 501− 52

1. 001− 1= 1.

Observemos que a medida que el punto Q se “acerca”al punto P la secante

tiene la tendencia a tocar a la curva en un unico punto. Esa recta secante

concebida de esa forma (como la unica que toca a la curva en un unico

punto) se llama recta tangente en el punto P (1, 52). Se puede decir que la

tangente a la curva f(x) = 12x

2 + 2 en el punto P (1, 52) es aquella que

tiene pendiente mtan = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4xEjemplo 4.2. Encontrar la pendiente de la tangente a la curva indicada en

el punto senalado en cada caso

1. f(x) = x3 en P (2, 8)

mtan = lım4x→0

f(2 +4x)− f(2)

4x =


lım4x→0

(2 +4x)3 − 23

4x = lım4x→0

4x((4x)2 + 64x+ 12

)

4x = 12

2. f(x) =√3x+ 1 en P (1, 2)

mtan = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x

= lım4x→0

√3(1 +4x) + 1 −

√3× 1 + 1

4x = lım4x→0

√34x+ 4− 2

4x

= lım4x→0

(√34x+ 4− 2)(

√34x+ 4 + 2)

4x(√34x+ 4 + 2)

= lım4x→0

34x4x(

√34x+ 4 + 2)

= lım4x→0

3√3(4x) + 4 + 2

=3

4.

Se sabe que la ecuacion de la recta con pendiente m y que pasa por

el punto P (x1, y1) es y − y1 = m(x− x1).

3. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva y = 2x2 − 3 en

el punto P (1,−1).

En efecto,

mtan = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x = mtan =

lım4x→0

2(1 +4x)2 − 3− (2× 12 − 3)

4x =

lım4x→0

24x (4x+ 2)

4x = lım4x→0

(24x+ 4) = 4

luego la ecuacion de la recta tangente es

y + 1 = 4(x− 1); es decir y = 4x− 5

Definicion 4.3. La recta l1 que es perpendicular a la recta tangente l2 a

una curva y = f(x) en un punto p( x0, f(x0)) se llama recta NORMAL.


y = f(x)

Recta tangente

Recta normal

Figura 178

Recordemos que dos rectas l1, l2 con pendientesm1,m2 respectivamente, son

perpendiculares si m1 ×m2 = −1

1. Encuentre la ecuacion de la recta normal a la curva y = 3√x + 1

en el punto P (1, 4). En efecto:

mtan = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x = lım4x→0

3√1 +4x+ 1− (3

√1 + 1)

4x

= lım4x→0

3√1 +4x− 3

4x = lım4x→0

(3√1 +4x− 3)(3

√1 +4x+ 3)

4x(3√1 +4x+ 3)

= lım4x→0

9(1 +4x)− 9

4x(3√1 +4x+ 3)

= lım4x→0

94x4x(3

√1 +4x+ 3)

= lım4x→0

9

(3√1 +4x+ 3)

=3

2

como la recta norma es perpendicular a la tangente,3

2×mnor = −1, luego,

mnor = −2

3, entonces, la ecuacion de la recta normal es:

y − 4 = −2

3(x− 1), es decir que, y =

14

3− 2

3x.

Ejercicios 4.4. Encuentre en cada caso la pendiente de la recta tangente

a la curva dada en el punto indicado y despues encuentre la ecuacion de la

recta tangente


1. f(x) = 2x2 − 3x− 4 ; p(−2, 10)

2. f(x) =3

x+ 1; p(2, 1)

3. f(x) =√x ;P (1, 1)

4. f(x) =√x2 + 5 ; p(2, 3)

5. f(x) =3x

x+ 1; p(2, 2))

6. f(x) = x+1

x; p(1, 2)

7. f(x) = 3x+ 2 ; p(−1,−1)

8. f(x) =√x+ 3 ; p(1, 2)

9. f(x) =x

x+ 1; p(0, 0)

10. f(x) = 3x3 + 2 ; p(−1,−1).

4.2. Derivadas

Estos dos conceptos que acabamos de exponer son casos particulares de una

idea mucho mas general que se estudia en calculo diferencial y que se conoce

como La Derivada.

Definicion 4.5. Si f es una funcion, la derivada de f en c, f ′(c), y que se

lee “f prima en c” esta dada por f ′(c) = lım4x→0

f(c+4x)− f(c)

4x siempre

que el lımite exista.

Ejemplo 4.6. Encuentre (si existe) la derivada de cada funcion en el punto

indicado

1. f(x) = x√x+ 3 en el punto c = 1

f ′(1) = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x

4.2. DERIVADAS 251

= lım4x→0

(1 +4x)√

(1 +4x) + 3 − 2

4x

= lım4x→0

(1 +4x)√

(1 +4x) + 3 − 2

4x

= lım4x→0

(1 +4x)√4 +4x − 2

4x

= lım4x→0

(1 +4x)(√4 +4x − 2)((1 +4x)

√4 +4x + 2)

4x((1 +4x)√4 +4x + 2)

= lım4x→0

(1 +4x)2(4 +4x)− 4

4x((1 +4x)√4 +4x + 2)

= lım4x→0

(1 +4x)2(4 +4x)− 4

4x((1 +4x)√4 +4x + 2)

= lım4x→0

4x (4x+ 3)2

4x(1 +4x)√4 +4x + 2

= lım4x→0

(4x+ 3)2

(1 +4x)√4 +4x + 2

, entonces, f ′(1) =9

4

2. f(x) = 3x+ 2; en c = −1

En efecto f ′(−1) = lım4x→0

f(−1 +4x)− f(−1)4x = lım

4x→0

3(−1 +4x) + 2 + 1

4x =

lım4x→0

34x4x = 3

3. f(x) = senx; en c = π2

En efecto, f ′(π2 ) = lım4x→0

f(π2 +4x)− f(π2 )

4x = lım4x→0

sen(π2 +4x)− sen(π2 )

4x

= lım4x→0

sen(π2 ) cos(4x) + sen(4x) cos(π2 )− sen(π2 )

4x

= lım4x→0

cos(4x)− 1

4x = lım4x→0

cos(4x)− 1

4x = 0, luego, f ′(π2 ) = 0.


4. f(x) =

x2 + 1 si x ≤ −1

3x− 2 si x > −1en c = −2

En efecto f ′(−2) = lım4x→0

f(−2 +4x)− f(−2)4x = lım

4x→0

(−2 +4x)2 + 1− 5

4x =

lım4x→0

4x (4x− 4)

4x = lım4x→0

(4x− 4) = −4

5. f(x) =

x2 + 1 si x ≤ 1

3x− 1 si x > 1

en c = 1

En efecto, para este ejemplo, debemos tener en cuenta dos casos, a

saber 1) 4x > 0 o 2) 4x < 0, para el primer caso, es decir, si

4x > 0 se tiene:

f ′(1) = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x = lım4x→0

3(1 +4x)− 1− 2

4x

= lım4x→0

34x4x = 3

Para el caso dos, es decir, si 4x < 0, se tiene:

f ′(1) = lım4x→0

f(1 +4x)− f(1)

4x = lım4x→0

(1 +4x)2 + 1− 2

4x

= lım4x→0

4x (4x+ 2)

4x = lım4x→0

(4x+ 2) = 2

de las consideraciones 1) y 2) se concluye que el lımite no existe y por

tanto la derivada no existe.

Ejercicios 4.7.

1. Encuentre la derivada(si existe) de cada una de las siguientes funciones

en el punto indicado en cada caso

a) f(x) = −x√x2 + 3 en c = 1

b) f(x) =3 + x

xen c = −1

4.2. DERIVADAS 253

c) f(x) = cosx en c = 0

d) f(x) =

x2 + 1 si x ≤ 1

2x si x > 1

en c = 1

e) f(x) =

2x− 1 si x ≤ −1

3x− 2 si x > −1en c = −1

2. Para que valores de las constantes a y b existe la derivada de la

funcion f en el punto c = 2 si f(x) =

3x2 − 8 si x ≤ 2

ax+ b si x > 2

3. Para que valores de las constantes a y b existe la derivada de la funcion

f en el punto c = 1 si f(x) =

3x+ 1 si x > 1

ax2 + b si x ≤ 1

Se puede definir la derivada de una funcion f en un punto cualquiera de

la siguiente forma.

Definicion 4.8. Si f es una funcion, la derivada de f en x, f ′(x), y que se

lee “f prima en x ” o simplemente la derivada de la funcion f esta dada

por f ′(x) = lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x siempre que el lımite exista, en tal

caso se dice que f es derivable.

Se puede decir que para una funcion cualquiera la derivada es “aproximada-

mente” la razon de cambio de la variable dependiente respecto a la variable

dependiente en el caso en que haya unicamente dos variables, una indepen-

diente y la otra dependiente.

Ejemplo 4.9. Encontrar la derivada de cada una de las siguientes funciones

1. f(x) =√x

En efecto, f ′(x) = lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x = f ′(1) = lım4x→0

√x+4x)−√x

4x


= lım4x→0

(√x+4x−√x)(

√x+4x+

√x)

4x(√x+4x+

√x)

= lım4x→0

x+4x− x

4x(√x+4x+

√x)

= lım4x→0

4x4x(

√x+4x+

√x)

= lım4x→0

1

(√x+4x+

√x)

=1

(√x+

√x)

=

1

2√x

Es decir, f ′(x) =1

2√x

2. f(x) = x3. En efecto:

f ′(x) = lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x = lım4x→0

(x+4x)3 − x3

4x =

lım4x→0

3(4x)2x+ 3(4x)x2 + (4x)34x = lım

4x→0

4x(3(4x)x+ 3x2 + (4x)2)4x

= lım4x→0

(3(4x)x+ 3x2 + (4x)2) = 3x2, es decir, que f ′(x) = 3x2

Una definicion alternativa para la derivada de una funcion es: “la

derivada de f en x esta dada por

f ′(x) = lımz→x

f(z)− f(x)

z − x(4.1)

siempre que el lımite exista.” Con esta ultima definicion calcular f ′(x)

3. f(x) =x

x− 1. En efecto,


f(z)− f(x)

z − x= lım

z→x

z

z − 1− x

x− 1z − x

= lımz→x

x− z

(x− 1) (z − 1)

z − x=lımz→x

(− 1

(x− 1) (z − 1)) = − 1

(x− 1)2

es decir, que f ′(x) = − 1

(x− 1)2

Teorema 4.10. Si una funcion f es derivable en x = a (o simplemente en

a), entonces f es continua en a.

Demostracion. como f es derivable en a, entonces, lımx→a

f(x)− f(a)

x− aexiste,

de otro lado

4.2. DERIVADAS 255

lımx→a

(f(x)− f(a)) = lımx→a

(f(x)− f(a)

x− a)(x− a) =

lımx→a

(f(x)− f(a)

x− a) lımx→a

(x− a) = f ′(a)× 0 = 0

es decir, que lımx→a

(f(x)− f(a)) = 0, por tanto, lımx→a

f(x) = f(a), esto ultimo

indica que f es continua en a.

El recıproco del teorema anterior en general no es cierto. Por ejemplo, si

f(x) = |x− 2| , entonces, f es continua en x = 2 y f no es derivable en

x = 2. En efecto, lımx→2

f(x)− f(2)

x− 2=lımx→2

|x− 2|x− 2

. En este caso

lımx→2+

|x− 2|x− 2

= lımx→2+

x− 2

x− 2= 1, ahora, lım

x→2−

|x− 2|x− 2

= lımx→2+

−(x− 2)

x− 2= −1

esto es, el lımite no existe y por tanto la derivada en x = 2 no existe.

Ejercicios 4.11. Usando cualquiera de las definiciones dadas en esta sec-

cion encontrar la derivada de cada una de las siguientes funciones

1. f(x) =√3x+ 1

2. f(x) = 2x2 + 3x+ 1

3. f(x) =x+ 1

x

4. f(x) = 3x3 + 1

5. f(x) =1

x+ 2

Cada uno de los siguientes lımites corresponde a la derivada de al

menos una funcion, en cada caso escriba una de tales funciones.

6. lım4x→0

(x+4x)4 − x4

4x

7. lım4x→0

(x+4x)2 − 2(x+4x)− x2 + 2x

4x

8. lım4x→0

√(x+4x)3 + 1−

√x3 + 1

4x

9. lımz→x

z3 + 2z2 − 1− x3 − 2x2 + 1

z − x


10. lımz→x

√z − 3z − 1−√x+ 3x+ 1

z − x

11. lımz→x

√z + 2− 5 3

√z + 1−

√x+ 2 + 5 3

√x+ 1

z − x

4.2.1. Derivadas basicas

1. Si f es una funcion constante es decir si f(x) = k (k constante),

entonces f ′(x) = 0.

2. Si f(x) = xn n ∈ N , entonces f ′(x) = nxn−1

3. Si f(x) =1

xn, n ∈ N, es decir, si f(x) = x−n, n ∈ N, entonces,

f ′(x) = −nx−n−1

1. En efecto, si f(x) = k (k constante), entonces,

f ′(x) = lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x = lım4x→0

k − k

4x = lım4x→0

0 = 0

2. Ahora, si f(x) = xn n ∈ N, entonces,


f(z)− f(x)

z − x= lım

z→x

zn − xn

z − x=

lımz→x

(z − x)(zn−1 + zn−2x+ ....+ zxn−2 + xn−1)

z − x=

lımz→x

(zn−1 + zn−2x+ ....+ zxn−2 + xn−1) = nxn−1.

3. Finalmente, si f(x) =1

xn, n ∈ N, entonces,


f(z)− f(x)

z − x= lım

z→x

z−n − x−n

z − x= lım

z→x

1

zn− 1

xn

z − x=

lımz→x

xn − zn

xnzn

z − x= lım

z→x

xn − zn

(z − x)xnzn=

lımz→x

(−(zn−1 + zn−2x+ ....+ zxn−2 + xn−1)

xnzn) =

4.2. DERIVADAS 257

−nxn−1

x2n= −nx−n−1.

De 2 y 3 se concluye que si f(x) = xn, n ∈ Z, entonces, f ′(x) = nxn−1.

Ejemplo 4.12. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes fun-

ciones

1. f(x) =√2, f ′(x) = 0

2. f(x) = x4, f ′(x) = 4x3

3. f(x) =1

x5, f(x) = x−5, f ′(x) = −5x−6

4. f(x) =π

2, f ′(x) = 0

5. f(x) =1

x10, f(x) = x−10, f ′(x) = −10x−11

6. f(x) =1

x100, f(x) = x−100, f ′(x) = −100x−101

7. f(x) = x25, f ′(x) = 25x24

4.2.2. Algebra de derivadas

Si f y g son dos funciones derivables entonces las siguientes funciones son

derivables.

1. h(x) = kf(x) y h′(x) = kf ′(x)

En efecto h′(x) = lım4x→0

h(x+4x)− h(x)

4x = lım4x→0

kf(x+4x)− kf(x)

4xfactorizando k se obtiene h(x) = lım

4x→0

k(f(x+4x)− f(x))

4x , es de-

cir, que h′(x) = k lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x , luego, h′(x) = kf ′(x)

como se querıa: la derivada de una constante por una funcion,

es la constante por la derivada de la funcion.


2. h(x) = (f + g)(x), y h′ (x) = f ′(x) + g′(x). En efecto h′(x) =

lım4x→0

h(x+4x)− h(x)

4x = lım4x→0

(f + g)(x+4x)− (f + g)(x)

4x =

lım4x→0

f(x+4x) + g(x+4x)− f(x)− g(x)

4x = lım4x→0

f(x+4x)− f(x)

4x +

lım4x→0

g(x+4x)− g(x)

4x = f ′(x) + g′(x), es decir,

h′(x) = f ′(x) + g′(x).

En el lenguaje comun se puede decir: la derivada de una suma de

funciones es la suma de las derivadas.

3. h(x) = (f g)(x) y h′ (x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x). En efecto

h′(x) = lım4x→0

h(x+4x)− h(x)

4x = lım4x→0

(fg)(x+4x)− (fg)(x)

4x =

lım4x→0

f(x+4x)g(x+4x)− f(x)g(x)

4x . Si sumamos y restamos en el

numerador la expresion g(x+4x)f(x) se obtiene

lım4x→0

f(x+4x)g(x+4x)− g(x+4x)f(x) + g(x+4x)f(x)− f(x)g(x)

4x

factorizando adecuadamente se obtiene

lım4x→0

g(x+4x)(f(x+4x)− f(x)) + f(x)(g(x+4x)− g(x))

4x =

lım4x→0

g(x+4x)(f(x+4x)− f(x))

4x + lım4x→0

f(x)(g(x+4x)− g(x))

4x =

lım4x→0

g(x+4x) lım4x→0

(f(x+4x)− f(x))

4x +f(x) lım4x→0

(g(x+4x)− g(x))

4x

como g es una funcion continua y tanto f como g son derivables se

tiene que h′ (x) = g(x)f ′(x) + f(x)g′(x) o lo que es lo mismo

h′ (x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) como se querıa.

4.2. DERIVADAS 259

En el lenguaje comun se puede decir, que: la derivada de un produc-

to de dos funciones es la derivada de la primera funcion mul-

tiplicada por la segunda funcion sin derivar mas la primera

funcion sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda

funcion.

Adicionalmente a las condiciones establecidas al iniciar este teorema siexigimos que la funcion g no sea identicamente cero podemos establecerque

4. Si h(x) =f(x)

g(x), entonces, h′ (x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2En efecto:

h′(x) = lım4x→0

h(x+4x)− h(x)

4x= lım4x→0

(f

g

)(x+4x)−

(f

g

)(x)

4x=

lım4x→0

f(x+4x)

g(x+4x)− f(x)

g(x)

4x= lım4x→0

f((x+4x)g(x)− f(x)g(x+4x)

g(x+4x)g(x)

4x=

lım4x→0

f((x+4x)g(x)− f(x)g(x+4x)

(4x)g(x+4x)g(x)

restando y sumando f(x)g(x) se obtiene

lım4x→0

f((x+4x)g(x)− f((x)g(x) + f((x)g(x)− f(x)g(x+4x)

(4x)g(x+4x)g(x)=

lım4x→0

f((x+4x)g(x)− f((x)g(x) + f((x)g(x)− f(x)g(x+4x)

4x× 1

g(x+4x)g(x)=

lım4x→0

(f((x+4x)− f((x))g(x) + f((x)(g(x)− g(x+4x))

4x× 1

g(x+4x)g(x)=

lım4x→0

(f((x+4x)− f((x))g(x)

4x+ lım4x→0

f((x)(g(x)− g(x+4x))

4x× lım4x→0

1

g(x+4x)g(x)

= g(x) lım4x→0

(f((x+4x)− f((x))

4x+ f((x) lım

4x→0

(g(x)− g(x+4x))

4x×

1

g(x)lım4x→0

1

g(x+4x)(g(x)f ′(x) + f((x)(−g′(x)))× 1

g(x)2=

g(x)f ′(x)− f((x)g′(x)

g(x)2, es decir, h′ (x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2


En el lenguaje comun se puede decir, que la derivada de un cociente es

la derivada del numerador multiplicado por el denominador sin derivar

menos el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del de-

nominador todo sobre el cuadrado del denominador.

Ejemplo 4.13. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes fun-

ciones.

1. f(x) = 5x4, f ′(x) = 5(4x3) = 20x3

2. f(x) = 3x4 + 5x2, f ′(x) = 12x3 + 10x

3. f(t) = 2t3 − 5t2 + 4t− 7, f ′(t) = 6t2 − 10t+ 4

4. f(s) = (3s3 + 2s + 1)(2s4 + 5s − 2), f ′(s) = (9s2 + 2)((2s4 + 5s −2) + (3s3 + 2s+ 1)(8s3 + 5) = 42s6 + 20s4 + 68s3 − 18s2 + 20s+ 1

5. f(x) =3x4 + 5x+ 1

2x− 4,

f ′(x) =(12x3 + 5)(2x− 4)− (3x4 + 5x+ 1)2

(2x− 4)2=

−(−9x4 + 24x3 + 11

)

2(x− 2)2

Si y = f(x), otras notaciones para la derivada son y′,dy

dx, fx, Dy,Df

o si y = f(t) entonces y′ ,dy

dt, ft, Dy, Df

Ejercicios 4.14. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones

1. f(x) = 3x2 − 5x+ 6

2. f(t) = 5t3 − t+ 10

3. f(x) =3

x4− 5

x3+ 2

4.2. DERIVADAS 261

4. f(t) =3

t2+

5

t+ 7t2 + 5

5. y = (3x2 + 2x+ 1)(x5 − 4x3 + 2x+ 5)

6. y =(t2 − 2t+ 3)

t3 + 4

7. y =3x+ 1

2x− 3

8. y =x2 + 1

x2 + 3

9. y =x(x2 − 12x+ 3)

x2 − 3

10. y = 7x3 − 2x+x

x+ 1

11. y = 4x3 − 23x+2x+ 1

x2 − 7

12. y =

2x3 − 7, si x < 2

x2 + 5, si x ≥ 2.

13. y =

1

x− 1, si x < 0

2x− 3, si x > 2.

14. y =

2x2 + 1, si x < 0

3x+ 1, si 0 ≤ x < 2

x2 − 4, si x ≥ 2.

15. y =

x+ 1

x2 + 1, si x < −1

(x+ 1)(x2 + 1), si x ≥ −12.Si f(2) = −3, g(2) = 5, f ′(2) = 2, g ′(2) = −3, calcular

16. (f + g)′(2)

17. (fg)′ (2)


18.

(f

g

)′(2)

19.

(f

g+g

f

)′(2)

20. [(3f + 5g)(4f − 7g)]′ (2)

En general, para calcular la derivada de una funcion f en x = a (si

existe) bastara calcular, usando las reglas de derivacion adecuadas, la

derivada de la funcion y finalmente reemplazar la variable independi-

ente (x ) por a. Por ejemplo, si f(x) = 2x3 − 5x + 1, entonces, para

calcular f ′(2) se calcula f ′(x) = 6x2− 5 y finalmente reemplazamos

la x por 2 ası f ′(2) = 6× 22 − 5 = 19

21. Calcule f ′(−2) si f(x) =3− x

3 + x

22. Calcule f ′(√3) si f(x) =

x2 + 1

x2 + 2

23. Calcule f ′(12) si f(x) = x3 + 2x2 − 3x− 4.

Se sabe que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el

punto P (a, f(a)) es mtan = lım4x→0

f(a+4x)− f(a)

4x , pero, el ultimo

limite es la derivada de la funcion f en x = a lo que significa que la

pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) es la derivada de

f calculada en a, es decir, mtan = f ′(a). Recuerde que la ecuacion de

una recta que tiene pendiente m y que pasa por el punto P (x0, y0)

es y − y0 = m(x− x0)

Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva dada en el punto

indicado en cada caso.

24. y =3x+ 2

2x− 3, P (1,−5)

25. y =x2

x2 + 1, P (−1, 1

2)

26. y = x(x2 − 4x+ 3), P (2,−2)

4.2. DERIVADAS 263

27. y = 3x2 − 6x+ 3, P (2, 3)

Teorema 4.15. Si y = [f(x)]n, n ∈ N, f es derivable y f no es constante,

entonces, y ′ = n[f(x)]n−1f ′(x)

Demostracion. y ′ = lım4x→0

[f(x+4x)]n − [f(x)]n

4x multiplicando y di-

vidiendo por f(x + 4x) − f(x), esto es distinto de cero, pues f no es

constante, se obtiene

y ′ = lım4x→0

[f(x+4x)]n − [f(x)]n

[f(x+4x)− f(x)]lım

4x→0

[f(x+4x)− f(x)]

4x =

lım4x→0

(f(x +4x)− f(x))(f(x +4x)n−1 + f(x +4x)n−2f(x) + f(x +4x)n−3f(x)2 + .... + f(x)n−1)

(f(x +4x)− f(x))

× lım4x→0

(f(x +4x)− f(x))

4x

= lım4x→0

[f(x+4x)n−1 + f(x+4x)n−2f(x) + f(x+4x)n−3f(x)2 + ....+

f(x)n−1]

lım4x→0

(f(x+4x)− f(x))

4x =

[f(x)n−1 + f(x)n−2f(x) + f(x)n−3f(x)2 + ....+ f(x)n−1

]× f ′(x) =

n [f(x)]n−1 × f ′(x).

Ejemplo 4.16. En cada uno de los siguientes ejercicios calcule y ′.

1. y = (3x2 + 1)5, y ′ = 5(3x2 + 1)4(6x) = 30x(3x2 + 1)4

2. y = (2x+ 3)5(3x− 1)6,

y ′ = 5(2x+ 3)42(3x− 1)6 + (2x+ 3)56((3x− 1)53 =

10(2x+ 3)4(3x− 1)6 + 18((2x+ 3)5(3x− 1)5 =

2(2x+ 3)4(3x− 1)5[5(3x− 1) + 9(2x+ 1)] =

2(2x+ 3)4(3x− 1)5(33x+ 4).


3. y =(2x+ 1)3

x2 + 3

y ′ =3(2x+ 1)22(x2 + 3)− (2x+ 1)32x

(x2 + 3)2=

2(x2 − x+ 9

)(2x+ 1)2

(x2 + 3)2


1. y = (3x2 + 2x+ 1)7

2. y = (2x3 − 3x+ 5)6

3. y = (12x4 − 7x+ 3)2

4. y = (3x+ 5)4(2x− 7)3

5. y = (3− 5x2)4(2− 7x)5

6. y = (3x2 + 5)3(2x3 − 7x+ 1)4

7. y =

(3x2 + 5

2x− 3

)3

8. y =

(x+ 1

x− 3

)4

9. y =5

(2x3 − 5)2

10. y = 5(7x4 + 3x+ 1)−3



11. y =

(3x− 2

2x− 3

)2

, P (1, 1)

12. y =

(x2

x2 − 3

)3

, P (2, 64)

13. y = x(x2 − 2x)4, P (2, 0)

14. y = (3x2 − 7x+ 3)2(3x− 4), P (2, 2)

4.2. DERIVADAS 265

4.2.3. Derivadas de las funciones trascendentes.

Una funcion es trascendente si no se puede obtener mediante un numero

finito de operaciones elementales de polinomios.

Derivadas de las funciones trigonometricas

En esta parte del texto se calcularan las derivadas de las funciones seno,

coseno y cotangente; las restantes se dejaran como ejercicio para el lector.

1. Derivada de la funcion seno.

Si f(x) = sen(x), entonces, f ′(x) = lım4x→0

sen(x+4x)− sen(x)

4x ,

es decir que f ′(x) = lım4x→0

sen(x) cos(4x) + sen(4x) cos(x)− sen(x)

4xagrupando adecuadamente y factorizando se obtiene

f ′(x) = lım4x→0

sen(x)(cos(4x)− 1) + sen(4x) cos(x)4x =

lım4x→0

sen(x)(cos(4x)− 1)

4x + lım4x→0

sen(4x) cos(x)4x =

sen(x) lım4x→0

(cos(4x)− 1)

4x + cos(x) lım4x→0

sen(4x)4x =

senx× 0 + cosx× 1 = cosx. Es decir, que f ′(x) = cosx.

La derivada de la funcion seno es la funcion coseno.

2. Derivada de la funcion coseno. Si f(x) = cosx, entonces

f ′(x) = lım4x→0

cos(x+4x)− cos(x)

4x , es decir, que

f ′(x) = lım4x→0

cos(x) cos(4x)− sen(4x) sen(x)− cos(x)

4x

agrupando adecuadamente y factorizando se obtiene

f ′(x) = lım4x→0

cos(x)(cos(4x)− 1)− sen(4x) sen(x)4x =

lım4x→0

cosx(cos(4x)− 1)

4x − lım4x→0

sen(4x) sen(x)4x =


cos(x) lım4x→0

(cos(4x)− 1)

4x − senx lım4x→0

sen(4x)4x =

cosx× 0− senx× 1 = − senx, es decir, que f ′(x) = − senx.

La derivada de la funcion coseno es, menos la funcion seno.

3. Derivada de la funcion cotangente.

Si f(x) = cotx, entonces, f(x) =cosx

senx.

Aplicando la regla para derivar un cociente se obtiene

f ′(x) =− senx senx− cosx cosx

sen2 x=−(sen2 x + cos2 x)

sen2 x

=−1

sen2 x= − csc2 x

Ejercicios 4.18. Use las reglas para derivar para calcular la derivada de

cada una de las siguientes funciones

1. y = secx

2. y = cscx

3. y = tanx

4. y =1 + senx

cosx

5. y =senx

cosx+ 1

6. y =tanx+ senx

cosx+ secx

7. y =cotx+ 1

tanx

8. y = x3 senx+ x2 senx+ 3x+ 2

9. y =tanx

1− cotx+ cosx

10. y = (1 + senx)5 − tanx

11. y = (cosx+ senx)6

4.2. DERIVADAS 267

12. y =

(1 + secx

cscx

)3

+x

senx

13. y = (secx

cscx+ 1)3

14. y = (1 + tanx)11 secx

15. y = (cos3 x+ 2)7 + (1 + cscx)2



16. y = senx+ 1, P (0, 1)

17. y =senx

cosx+ 1, P

(π2, 1)

18. y =

√2 secx

tanx+ 1, P

(π4, 1)

19. y = (x2 + 1) cosx, P (0, 1)

Derivada de la funcion logarıtmica y la exponencial

Derivada de la funcion logarıtmica.

Si f(x) = lnx , entonces,

f ′(x) = lım4x→0

ln(x+4x)− ln(x)

4x

= lım4x→0

1

4x(ln(x+4x)− ln(x))

= lım4x→0

1

4x ln(x+4x

x

)

= lım4x→0

1

4x ln(1 +

4xx

), sustituyendou = ln

(1 +

4xx

)

si 4x→ 0, entonces, u→ 0 y 4x = x(eu − 1)

= lımu→0

u

x(eu − 1)

=1

xlımu→0

1eu − 1

u


=1

x

Derivada de la funcion exponencial.

Si f(x) = ex, entonces,

f ′(x) = lım4x→0

e(x+4x) − ex

4x = lım4x→0

ex(e4x − 1)

4x = ex lım4x→0

e4x − 1

4x = ex

Ası, la derivada de la funcion exponencial es ella misma.

Ademas si f(x) = enx, n ∈ Z, entonces, f ′(x) = nenx, en efecto bastara ver

que ( ex)n = enx y que si y = ( ex)n, entonces y′ = n( ex)n−1ex =

n( ex)n = nenx.


1. y = x3 lnx

2. y = x3(lnx)2 + 3x+ 1

3. y =x3

lnx+ 2x2 − 3x+ 1

4. y = x3ex + 2x− 5

5. y =x3

1 + ex

6. y = x2e3x+1 + xe2x

7. y = x2e3x+1 lnx

8. y = x2e3x+1 + lnxe2x − 3x+ 7

9. y =lnx

1 + ex

10. y =e2x

1 + lnx+ e2x lnx+ 12

4.2. DERIVADAS 269

4.2.4. Derivadas de orden superior

En algunos casos al derivar una funcion, resulta una expresion que a su

vez resulta derivable, esta ultima derivada, si existe , se llama la derivada

segunda de la funcion original, es decir, que si y = f(x), entonces y′′ =

(f ′(x))′. Otra notacion para la derivada esd2y

dx2o f ′′(x)

Ejemplo 4.20. En cada uno de los siguientes casos calcular la segunda

derivada de cada funcion.

1. y = x3 + 2x+ 3, y′ = 3x2 + 2, y′′ = 6x

2. y = 4x5 − 2x3 + 3x+ 2, y′ = 20x4 − 6x2 + 3, y′′ = 80x3 − 12x

3. y =x

x+ 1,dy

dx=

1

(x+ 1)2,d2y

dx2= − 2

(x+ 1)3

4. y =lnx+ 1

lnx,dy

dx= − 1

x ln2 x,

d2y

dx2=

lnx+ 2

x2 ln3 x.

5. y = x3e2x+3x−5, dydx

= 3x2e2x+2x3e2x+3,d2y

dx2= 2xe2x

(2x2 + 6x+ 3

)

La derivada tercera escrita y′′′ se define como la derivada de la segunda

derivada, es decir, que y′′′ = (f ′′(x))′ y en general la derivada n− esima

escrita y(n) es la derivada de la derivada n−1, es decir, que y(n) = (y(n−1))′

o y(n) = (f (n−1)(x))′

Ejercicios 4.21. Encuentre las derivadas terceras de cada una de las sigui-

entes funciones

1. y = x3 + 2x+ 3

2. y = −2x4 + 2x+ 13

3. y =x

x+ 1

4. y = x3 lnx+ 2x+ 3

5. y = x3e2x − 4x+ 3

6. y = xe2x − 4x lnx+ 3


7. y = x2 senx+ 2x− 3

8. y = lnx senx+ x− 23

9. y = cosx senx− 3x− 5

10. y = ex cosx+ 3x+ 7

4.2.5. Regla de la cadena o derivada de una funcion com-

puesta.

Cuando se tienen las funciones y = f(x) y y = g(x) se pueden encontrar

las funciones y = (f ◦ g)(x) y y = (g ◦ f)(x) . Supongamos, que tanto

la funcion f como la funcion g son derivables. Son derivables la funciones

f ◦g y g ◦f ? en caso afirmativo. Que relacion existe entre las derivadas

de estas funciones y las derivadas de f y g? El siguiente teorema nos da

respuesta a este interrogante.

Teorema 4.22. Si f y g son dos funciones tales que f es derivable en

g(x) y g es derivable en x y no es constante , entonces f ◦ g es derivable

en x y (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)

Prueba:

(f ◦ g)′(x) = lımz→x

(f ◦ g)(z)− (f ◦ g)(x)z − x

= lımz→x

f(g(z))− f(g(x))

z − xmultiplicando y dividiendo por g(z)− g(x), esto es distinto de cero pues g

no es constante, se obtiene

lımz→x

f(g(z))− f(g(x))

z − x=

lımz→x

[f(g(z))− f(g(x))](g(z)− g(x))

(z − x)(g(z)− g(x))= lım

z→x

[f(g(z))− f(g(x))](g(z)− g(x))

(z − x)(g(z)− g(x))

= lımz→x

f(g(z))− f(g(x))

(g(z)− g(x))= lım

z→x

(g(z)− g(x))

z − x

si hacemos que w = g(z) y r = g(x) es claro que si z → x, entonces, g(z)→g(x) ( o lo que es lo mismo w → r ) pues g es continua, entonces (f◦g)′(x) =lımw→r

f(w)− f(r)

w − rlımz→x

(g(z)− g(x)

z − x= f ′(r)g′(x) = f ′(g(x))g ′(x) como se

querıa.

4.2. DERIVADAS 271

Ejemplo 4.23.

1. Si f(x) = senx, g(x) = lnx, entonces, (f ◦ g)(x) = sen(lnx) ahora,

f ′(x) = cosx, f ′(lnx) = cos(lnx), g′(x) =1

x, entonces, (f◦g)′(x) =

cos(lnx)1

x=

cos(lnx)

x

2. Si y = ecosx aquı y = (f ◦ g)(x) donde, f(x) = ex y g(x) = cosx,

entonces,dy

dx= ecosx(− senx), o ,

dy

dx= − senx ecosx pues f ′(x) = ex

y f ′(cosx) = ecosx, g′(x) = − senx

3. Si y = ex2+1, aquı y = f(g(x)) donde, f(x) = ex y g(x) = x2+1,

entonces,dy

dx= ex

2+1 2x

4. Si y = sen4(cosx) aquı y = f(g(h(x))), donde f(x) = x4, g(x) =

senx, h(x) = cosx, entonces, y′ = 4 sen3(cosx)×cos(cosx)×(− senx),

esto es, y′ = −4 senx sen3(cosx)× cos(cosx)

Podrıamos pensar que la derivada de una funcion de la forma y =

f(g(x)) se encuentra calculando la derivada externa ( derivada de

la funcion f calculada en g(x)) multiplicada por la derivada interna

(derivada de la funcion g, esta si calculada en x)

Ejercicios 4.24. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes fun-

ciones

1. y = sen(cosx)

2. y = esen(cosx) + 3x− 4

3. y = tan(cos(senx))− 2x+ 1

4. y = ln5(sen(cosx)) notese que y = f(g(h(t(x)))) domde f(x) =

x5, g(x) = lnx, h(x) = senx, t(x) = cosx

5. y = sec3(ln(tanx))

6. y = cos5(4x2 + 3x− 1)

7. y = cos5(cos(secx))


8. y = sen(cos(sen(2x+ 1)))

9. y = tan(cos(4x2 + 3x− 1))

10. y = csc(cot(senx))

11. Si f(1) = 2, f ′(1) = 3, g(1) = 0, g′(1) = 2, calcular h′(1) si

h(x) = f(x) cos(g(x))

12. Determinese la ecuacion de la recta tangente a y = ln(ex+1) en el

punto p(0, ln 2)

13. ¿En que punto cruza el eje “x” la recta tangente a y = cos(πx− π

2) en

el punto p(1, 0) ?

14. Determinese la ecuacion de la recta tangente a y = ex2−1 en el

punto p(1, 1).

Definicion 4.25. (Curva parametrica) Si x e y estan dadas como fun-

ciones que dependen de una tercera variable (parametro) t es decir que x =

f(t), y = g(t) donde t varia en un intervalo cerrado [a, b] , t ∈ [a, b] ,

entonces, el conjunto de puntos de la forma (x, y) = (f(t), g(t)) definido, de

esta forma se llama curva parametrica, y las ecuaciones x = f(t), y = g(t)

se llaman ecuaciones parametricas de la curva.

Ejemplo 4.26. En los siguientes casos encontramos distintas curvas para-

metricas

1. x = 3 sen t, y = 3 cos t, t ∈ [0, 2π] es un cırculo de radio 3. En efecto

x2+y2 = (3 sen t)2+(3 cos t)2 = 9 sen2 t+9 cos2 t = 9(sen2 t+cos2 t) =

9× 1 = 9, es decir, que x2 + y2 = 9

2. x = t, y =√t, t ∈ [0, 9] , observese que x = t = (

√t)2 = y2, es decir,

que x = y2, la cual, es un segmento de parabola horizontal.

3. x = 2− t, y = 3+2t, t ∈ [0, 9] observese que de la primera ecuacion

tenemos t = 2 − x y de la segunda ecuacion se tiene t = y−32 luego

y−32 = 2−x, es decir, que y = 7−2x, la cual, es un segmento de recta

de pendiente −2 y con corte con el eje y igual a 7.

4.2. DERIVADAS 273

Pendientes de una curva parametrizada.

Una curva parametrizada x = f(t), y = g(t) es derivable en t , si tanto f

como g son derivables en t. En un punto de una curva parametrizada deriva-

ble donde y es una funcion tambien es derivable respecto a x,las derivadasdx

dt,

dy

dt,

dy

dxestan ligadas mediante la regla de la cadena siguiente.

dy

dt=

dy

dx× dx

dtadicionalmente, si

dx

dt6= 0, se puede escribir que

dy

dx=

dy

dtdx

dt

Ejemplo 4.27. En cada caso encontrardy

dxpara cada una de las siguientes

curvas definidas parametricamente.

1. x = t + 3, y = 1 + cos t, en efecto,dy

dt= − sen t,

dx

dt= 1, luego,

dy

dx= − sen t

2. x = sen(2t), y = cos(2t− π), en efecto,dy

dt= −2 sen(2t− π),

dx

dt=

2 cos(2t), luego,dy

dx=− sen(2t− π)

cos(2t)

3. x = t3 + 1, y = t2 − 1, entonces,dx

dt= 3t2,

dy

dt= 2t, luego,

dy

dx=

3t2

2t=

3 t

2

Ejercicios 4.28. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva en

el punto que define el valor de t dado en cada caso

1. x = 3t2 + 1, y = 2t− 1, t = 2

2. x = 3 sen(2t− π2 ), y = cos(t− π), t = π

3. x =√t+ 1, y = t+ 1, t = 3

4. x = et−1 , y = 2 ln t+ 1, t = 1

5. x =√t2 + 1, y = 2t2 − 1, t =

√3


6. x = sec t, y = tan t, t =π

4

7. x = sec t+ 1, y = tan2 t, t = −π4

8. x =√sen t, y = 1 + cos t, t =

π

2

9. x = sec2 t, y = 1 + tan t, t =π

4

10. x = −√t+ 2, y =

√2t, t = 2

4.2.6. Derivadas implıcitas

Hasta el momento hemos calculado derivadas de funciones, es decir, de ecua-

ciones en dos variables en donde una de ellas esta despejada (variable de-

pendiente) y la otra variable esta en el despeje (variable independiente); se

conoce explıcitamente cual es la relacion de una variable con la otra. Con

frecuencia se presentan ecuaciones en donde no es facil despejar alguna de

las variables (no se sabe cual es la relacion de una con la otra) se conoce

de que forma estan ligadas las dos. Por ejemplo en los siguientes casos

x2y3+2xy2+3x2y−2x+3y = 5, sen(xy)+cos(x+y) = 1, exy+ln(xy)+

x2y3 = 3. En general una expresion de la forma f(x, y) = k donde f(x, y)

es una expresion en terminos de x y y, k una constante, aquı se dice que

y depende implıcitamente de x o que x depende implıcitamente de y en

estas situaciones se puede derivar implıcitamente y respecto a x o se puede

derivar implıcitamente a x respecto a y, es decir, se puede calculardy

dxo

dx

dypara esto se tienen en cuenta las reglas del algebra de derivadas y la

regla de la cadena, en particular se tiene en cuenta que la derivada de yn

respecto a x, es decir, para calculardyn

dx= nyn−1 dy

dxo ( yn)′ = nyn−1y′

para todo n ∈ Z, queda claro que la derivada de y es y′. En forma similardxn

dy= nxn−1dx

dy.

Ejemplo 4.29. Encuentre y ′ en cada caso.

1. x2y − xy3 − 2x + 3y = 4 derivando implıcitamente a cada lado de la

ecuacion se tiene:

2xy + x2y ′ − y3 − 3xy2y′ − 2 + 3y ′ = 0

4.2. DERIVADAS 275

transponiendo terminos, se obtiene

x2y ′ − 3xy2y ′ + 3y ′ = −2xy + y3 + 2 factorizando y ′

y ′(x2 − 3xy2 + 3) = −2xy + y3 + 2

despejando y ′ resulta

y ′ =−2xy + y3 + 2

x2 − 3xy2 + 3

2. cos(xy)+y2 = 3, derivando implıcitamente a cada lado de la ecuacion,

se tiene,

− sen(xy)(y + xy ′) + 2yy ′ = 0, =⇒,

− y sen(xy)− xy ′ sen(xy) + 2yy ′ = 0

transponiendo terminos, se obtiene

xy ′ sen(xy)− 2yy ′ = −y sen(xy), factorizando

(x sen(xy)− 2y)y ′ = −y sen(xy), despejando y ′ resulta,

y ′ =−y sen(xy)x sen(xy)− 2y

3. xy + xy3 − 2x3 + 2y3 = 2x+ 3y derivando respecto a x

d

dx(xy + xy3 − 2x3 + 2y3) =

d

dx(2x+ 3y) se obtiene

y + xdy

dx+ y3 + 3xy2

dy

dx− 6x2 + 6y2

dy

dx= 2 + 3

dy

dx

transponiendo terminos

xdy

dx+ 3xy2

dy

dx+ 6y2

dy

dx− 3

dy

dx= 2 + 6x2 − y3 − y, es decir, que

(x+ 3xy2 + 6y2 − 3)dy

dx= 2 + 6x2 − y3 − y, luego

dy

dx=

2 + 6x2 − y3 − y

x+ 3xy2 + 6y2 − 3.


4. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x3y + xy3 = 30

en el punto p(1, 3)

Primero se calcula la pendiente de la recta tangente, que como ya

sabemos, es la derivada de la relacion en el punto indicado.

d

dx(x3y + xy3) =

d

dx(30)

3x2y + x3dy

dx+ y3 + 3xy2

dy

dx= 0

x3dy

dx+ 3xy2

dy

dx= −3x2y − y3

(x3 + 3xy2)dy

dx= −3x2y − y3

dy

dx=−3x2y − y3

x3 + 3xy2

si reemplazamos la x por 1 y la y por 3 se obtiene:

dy

dx=−3× 12 × 3− 33

13 + 3× 1× 32= −9

7

Luego, la ecuacion de la recta tangente es:

y − 3 = −9

7(x− 1), y =

30

7− 9

7x

Ejercicios 4.30. Encuentre la derivada y ′ de cada una de las siguientes

relaciones

1. x2 + y3 = 3

2. x2y + xy3 = 3x− 2y

3. xy2 − x2y3 = −3x+ 2y2

4. xy2 − x2y3 = x+ 2y2

5. xy2 − y3 = x2 + 2y2

6. xy + cos(xy) = 1

7. xy2 + exy = 3

8. sen(xy2) + 2 = x2 + y

4.2. DERIVADAS 277

9. y lnx+ 2x = 3y + 1

10. x ln y + 2x = y



11. xy2 − 3x = 2y − 3, p(1, 2)

12. x2y2 + 4xy = 12y , p(2, 1)

13. sen(xy) + y = 2, p(0, 2)

14. y lnx+ 2x = 3y + 1, p(1,1

3)

15. xy2 + 3exy = 3y , p(0, 1)

16. xy(2x+ y) = 0, p(−1, 2)

17. x ln y2 + 2x = y , p(1

2, 1)

18. sec(x+ y) + 2x = 3y + 1, p(0, 0)

19. (x+ y)3 = 2x+ 3y + 3, p(1, 1)

20. 4(x+ y)4 = 4x− 3y , p(1, 0)

Derivadas logarıtmicas

En esta seccion estudiaremos como usar la funcion logarıtmica, la derivada

implıcita y las reglas de derivacion vistas hasta ahora para calcular derivadas

de otras funciones.

Ejemplo 4.31. Use la derivacion logarıtmica para calcular las siguientes

derivadas

1. y = xx. En efecto tomando logaritmo natural se obtiene ln y = lnxx,

luego, ln y = x lnx, derivando implıcitamente se obtieney ′

y= lnx+

x1

x, es decir, que y ′ = y(lnx + 1) como y = xx, entonces, y ′ =

xx(lnx+ 1).


2. y = xcosx, tomando logaritmos a cada lado se obtiene ln y = lnxcosx,

es decir, que ln y = cosx lnx, derivando implıcitamente respecto a x se

obtieney ′

y= − senx lnx+cosx

1

x, es decir, que y ′ = y(− senx lnx+

cosxx ), entonces, y ′ = xcosx(− senx lnx+ cosx

x )

Ejercicios 4.32. Use la derivacion logarıtmica para calcular cada una de

las siguientes derivadas

1. y = (senx)x

2. r = (sen θ)cos θ

3. y = (1 + x)x

4. y = lnx√x

5. y = lnxlnx

6. y = (ex)ex

Ahora tenemos todas las herramientas para poder extender la derivada de

una potencia (y = xr) para el caso en que r ∈ Q.

Teorema 4.33. Si r es cualquier numero racional distinto de cero, en-

tonces, para x > 0 la funcion y = xr tiene como derivada y ′ = rxr−1

Demostracion. Como r ∈ Q, r =p

q, entonces, y = x

pq elevando a la

potencia q se obtiene yq = xp, derivando implıcitamente respecto a x resulta

q yq−1y′ = pxp−1 despejando

y′ =p xp−1

q yq−1=p

qxp−1y−q+1 =

p

qxp−1(x

pq )−q+1

=p

qxp−1(x

−p+ pq ) =

p

q(x

−1+ pq )

=p

q(x

pq−1

) = r xr−1

4.2. DERIVADAS 279

Teorema 4.34.

Si r es cualquier numero real distinto de cero, entonces para x > 0 la

funcion y = xr tiene como derivada y ′ = rxr−1

Demostracion. Se sabe que si a > 0, ab = eb ln a, entonces, y = er lnx

derivando se tiene, y ′ = er lnx( rx

), y ′ =

r er lnx

x=r xr

x= r xr−1

Ejemplo 4.35. Encuentrese la derivada de cada una de las siguientes fun-

ciones.

1. y =√x2 + 3 se puede escribir y = (x2 + 3)

12 , entonces,

dy

dx=

1

2(x2 + 3)−

12 × 2x =

x√x2 + 3

2. y = (2x3 − 3x+ 2)π, entonces,dy

dx= π

(6x2 − 3

) (2x3 − 3x+ 2

)π−1

3. y = 3√senx+ 3, entonces,

dy

dx=

1

3

cosx

3

√(senx+ 3)2

Ejercicios 4.36. Encuentrese la derivada de cada funcion

1. y =√x3 + 3x− 2

2. y =

√x− 1

x+ 1

3. y =√senx+ cosx

4. y = x√2x+ 3

5. y = 3√lnx+ 3

6. y = sen√2x+ 5

7. y = 5√

sen√2x+ 5 +

√2x+ 1

8. r = sec√10θ2 + 1

9. r =√

tan 3√2θ + 5


10. t =

√s2 + 13√s+ 1

Encuentrese la derivadady

dxen cada caso

11.√x2 + y = 2x+ 3y

12.√xy = sen(xy)

13. x23 + y

23 = 1

14.√

sen(xy) + 2x = 3y

15.1√

lnx+ 2=√y + 2

Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva

dada en el punto indicado en cada caso.

16.√x2 + 3y2 = x+ y , p(1, 1)

17.1√

lnx+ 4=

1√y + 2

, p(1, 2)

18.√

7x2 + y =√2x+ y + 1, p(1, 2)

19. x2 −√3xy + 2y2 = 5 p(√3, 2)

20. 2y2 − 3√3xy = 2x2 + 2, p(1, 1).

21. x sen 2x = y cos 2x, p(π4 ,π2 )

22. y = 2 sen(πx− y), p(1, 0)

23. x2 cos2 y − sen y = 0, p(0, π)

4.2.7. Derivadas de las funciones trigonometricas inversas

Debemos recordar que una funcion f tiene inversa, si y solo si, la funcion f

es uno a uno. Sabemos que ninguna de las funciones trigonometricas es uno

a uno, por tanto para garantizar la existencia de la inversa de cada una de

dichas funciones necesitamos restringir adecuadamente el dominio de cada

una de ellas.

4.2. DERIVADAS 281

Derivada de la inversa de la funcion seno

Tengamos en cuenta que si f(z) = sen z, entonces, f es uno a uno, si

z ∈[−π

2 ,π2

]

Figura 179

−π2

π2

t

1

recordemos que y = arc senx, ⇐⇒, x = sen y, derivando implıcitamente

respecto a x se obtiene 1 = cos ydy

dx, despejando resulta

dy

dx=

1

cos y, de

la identidad trigonometrica fundamental sen2 y + cos2 y = 1, despejando

cos2 y = 1 − sen2 y, sacando raız cuadrada a cada lado de la ecuacion se

obtiene√

cos2 y =√

1− sen2 y, esto es, |cos y| =√

1− sen2 y, como y ∈[−π

2 ,π2

], entonces, cos y ≥ 0, luego |cos y| = cos y y en consecuencia

cos y =√

1− sen2 y, de esta forma,dy

dx=

1√1− sen2 y

, como x = sen y, se

obtiene:dy

dx=

1√1− x2

.

π2

1

−π2

Figura 180

g(x) = arc senx


La grafica de la funcion y =1√

1− x2, es

1−1Figura 181

y =1√

1− x2

Derivada de la inversa de la funcion tangente.

Recordemos que la funcion f definida por f(z) = tan z, entonces, f es uno

a uno, si z ∈(−π

2 ,π2

).

· · ·· · ·

x =π

2

π

1

Figura 182: y = tan z

Ahora y = arctanx ↔ x = tan y, derivando implıcitamente respecto a x

resulta 1 = sec2 ydy

dxdespejando se obtiene

1

sec2 y=dy

dxteniendo en cuenta

4.2. DERIVADAS 283

la identidad trigonometrica 1 + tan2 y = sec2 y, luego,dy

dx=

1

1 + tan2 y,

como, x2 = tan2 y, entonces,dy

dx=

1

1 + x2.

1 2−1−2

1

Figura 183 y =1

1 + x2.

Derivada de la inversa de la funcion secante.

Recordemos que la funcion f definida por f(z) = sec z, entonces, f es uno

a uno, si z ∈[0,π

2

)∪(π2, π]

· · ·· · ·

π

1

−1

cosx

Figura 184: y = sec z

Ahora, y = arc secx↔ x = sec y, derivando implıcitamente respecto a x

resulta: 1 = sec y tan ydy

dx, despejando se obtiene:


1

sec y tan y=dy

dx, teniendo en cuenta la identidad trigonometrica

1 + tan2 y = sec2 y, se encuentra que:

tan2 y = sec2 y−1, luego,√

tan2 y =√

sec2 y − 1 , |tan y| =√

sec2 y − 1,

es decir, tan y = ±√

sec2 y − 1, por tanto,dy

dx=

1

sec y(±√

sec2 y − 1),

como x = sec y, entonces,dy

dx=

1

±x√x2 − 1

=1

|x|√x2 − 1

.

π/4

1π/21

Figura 185 g(x) = sec−1 x

la grafica de y =1

|x|√x2 − 1

es

Figura 186 g(x) =1

|x|√x2 − 1

Ejercicios 4.37.

4.2. DERIVADAS 285

1. Diga para cada una de las siguientes funciones ¿en que intervalo es

uno a uno? y encuentre la derivada de cada una de ellas.

a) y = arc cosx

b) y = arc cotx

c) y = arc cscx

2. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones

a) y = arc sen√x

b) y = arctan ex

c) y = arc sen(lnx)

d) y = arctan(senx)

e) y = x arc senx+√1− x2

f ) y = x arctanx− ln(1 + x2)

g) y = arc cot( 1x) + arctanx

h) y = arc sen 2x+ arc cos 2x

i) y = arc sec (2θ − 1)

j ) r = arctan(ln s)

k) r = ln(arctanx)

l) y = x arc cosx−√1− x2

m) y = arc sen(e−x).


Capıtulo 5

Aplicaciones de la derivada.

5.1. Razones de cambio

En esta parte consideramos situaciones en donde encontramos dos o mas

variables ligadas de alguna forma en terminos algebraicos F (x, y) = k,

F (v, r) = k, etc (k constante), que a su vez cada una de ellas depende

implıcitamente de un parametro que generalmente es el tiempo t. Los sigui-

entes casos son ejemplos de estas situaciones.

1. El radio de una esfera de hielo esta creciendo a razon de 0.05 cm por

segundo. Cual es la razon de cambio de el volumen respecto al tiempo.

2. Una volqueta descargando un viaje de arena (el monton de arena

descargado forma una pila en forma de cono). Cual es el crecimiento

de el radio de la base respecto al tiempo si la altura crece a razon de

2cm por segundo y ademas el radio siempre es dos tercios de su altura

3. En cierto momento, por razones externas, la base de una escalera re-

costada contra un edificio empieza a resbalarse sobre el pavimento a

razon de 3m por segundo. Con que rapidez desciende por la pared la

parte superior de la escalera en determinado momento?

4. Dos autos que se movilizan uno por una calle y otro por la carrera,

que se intersectan, se mueven a razon de 60km por hora y 70km por

hora. Con que rapidez se acercan uno al otro.

287

288 CAPITULO 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

5. Una vasija llena de agua en forma de tronco de piramide se esta va-

ciando a razon de 5 cm3 por segundo. Cual es la razon de cambio de

la altura respecto al tiempo si el radio de la base mayor es de 12cm y

el radio mayor.

6. Un nino esta inflando un globo a razon de 5 cm3 por segundo. Con

que rapidez crece el radio del globo en un determinado momento.

Estas son algunas de las situaciones que podemos solucionar mediante el uso

del calculo diferencial y en particular de las derivadas implıcitas.

1. Una bola de hielo se esta derritiendo a razon ce 10cm3 por minuto

¿Con que rapidez decrece el radio cuando este mide 30cm?

Ante todo debemos establecer, si existe, una relacion que nos ligue el

volumen con el radio.

para este caso la relacion natural es que el volumen v = 43πr

3

En segunda instancia nos damos cuenta que tanto el radio como el

volumen dependen, en forma implıcita, del tiempo, luego podemos

derivar con respecto al tiempo t asıdv

dt= 4πr2

dr

dtA continuacion se reemplazan los datos que nos da el ejercicio. Es

decir, que 10cm3 = 4π(30cm)2dr

dt.

Finalmente se despeja la incognita:dr

dt=

10

4π(30)2cm =

1

360πcm = 8. 841 9× 10−4cm

2. Una volqueta descargando un viaje de arena, el monton de arena

descargado forma una pila en forma de cono cuyo radio siempre

es dos tercios de su altura¿ Cual es el crecimiento del volumen del

monton de arena cuando el radio es de 120cm? si la altura crece a

razon de 2cm por segundo (2cm/seg)

En primera instancia buscamos una relacion entre el volumen v del

monton de arena, el radio r y la altura h del mismo monton. De manera

natural la relacion es v =1

3πr2h, seguidamente derivamos respecto al

tiempo, fijemonos que tanto v, como r y h dependen del tiempo.

5.1. RAZONES DE CAMBIO 289

dv

dt=

2

3πr

dr

dth+

1

3πr2

dh

dt. El ejercicio dice que r =

2

3h, luego,

dr

dt=

2

3

dh

dtreemplazando estos valores tenemos

dr

dt=

2

3× 2cm/seg=

4

3cm/seg, cuando r = 120cm, h = 180cm.

Finalmente se tiene

dv

dt=

2

3π × 4

3cm/seg(120cm)(180cm)+

1

3π(120cm)2(2cm/seg) =

28 800πcm3/seg

3. Un estanque de 2m de alto y 1, 5m de radio, en forma de cono inver-

tido, que inicialmente esta lleno de agua, esta vaciandose a razon de

10cm3/seg ¿Con que rapidez esta bajando el nivel del agua cuando

el radio es de 0,8m ?

En el ejemplo anterior se vio que la relacion que liga el volumen v, la

altura h y el radio r es v =1

3πr2h (∗) recordemos ademas que

2m = 200cm, 1, 5m = 150cm, adicionalmente podemos establecer las

siguientes proporciones150

200=

r

h, luego r =

3

4h (o h =

4

3r) reem-

plazando este valor de r en (∗) se obtiene v =1

3π(

3

4h)2h = 3

16πh3

derivando respecto al tiempo se obtienedv

dt=

9

16πh2

dh

dt, finalmente

reemplazando los datos del ejercicio se obtiene

10cm3/seg = 916π(

4

380cm)2

dh

dt, 10cm3/seg = 6400πcm2 dh

dtes

decir, quedh

dt=

1

640πcm/seg =4. 973 6× 10−4cm/seg .

En los ejemplos similares 2 y 3 se trabajo de manera distinta, en

el primero se derivo, usando las reglas de la derivada; en este caso la

derivada de un producto, la relacion sin antes haber reemplazado la

altura h o el radio r. En el segundo caso primero se reemplazo el

radio r en terminos de la altura h y despues se derivo, esto se puede

hacer en cualquier ejemplo que se tengan las condiciones para ello.


4. Una escalera de 10m de larga esta recostada contra un edificio, cuando,

por razones externas, la escalera empieza a resbalarse. En el instante

en que la parte inferior de la escalera esta a 8m del pie del edificio,

esta se mueve a razon de 1, 2m/seg .

a) ¿A que velocidad se esta moviendo la parte superior de la escalera

en ese instante?

b) ¿A que tasa esta cambiando el area del triangulo, formado por

la pared del edificio, el piso y la escalera, en ese momento?

c) ¿A que tasa esta cambiando el angulo formado por la escalera y

el piso en ese momento?

Debemos encontrar una relacion que nos ligue la distancia del suelo

hasta la parte superior de la escalera y con la distancia que hay del

pie de la pared hasta la parte inferior de la escalera x. Como la pared,

el suelo y la escalera forman un triangulo rectangulo, la relacion es

x2 + y2 = (10)2 o x2 + y2 = 100

Derivando implıcitamente respecto al tiempo se obtiene 2xdx

dt+2y

dy

dt=

0 despejandody

dtse obtiene

dy

dt= −x

y

dx

dt, en el instante en que

x = 8m, y = 6m luego reemplazando estos valores se tienedy

dx=

−8

6× 1,2m/seg = −1. 6m/seg, el signo menos significa que la distan-

cia entre el piso y la parte superior esta disminuyendo.

b. El area del triangulo rectangulo que se forma con la pared del ed-

ificio, el suelo y la escalera es A = 12xy derivando implıcitamente

respecto al tiempo se obtienedA

dt=

1

2

dx

dty +

1

2xdy

dt, reemplazando se

obtienedA

dt=

1

2×1,2m/seg×6m− 1

2×1,6m/seg×8m = −2,8m2/seg.

c. Sea θ el angulo formado por la escalera y el piso. Se puede establecer

la relacion cos θ =x

10luego derivando implıcitamente respecto al

tiempo se obtiene

− sin θdθ

dt=

1

10

dx

dt, despejando

dθ

dtse obtiene

dθ

dt=

1

10

dx

dt− sin θ

reem-


plazando se obtienedθ

dt=

1

10× 1,2m/seg

− 6

10

= −0,2rad/seg, nueva-

mente el signo menos significa que el angulo esta decreciendo.

5. Dos autos A y B que se movilizan uno por una calle y otro por la

carrera ( la calle y la carrera se intersectan formando un angulo recto)

se mueven a razon de 60km por hora y 70km por hora respectiva-

mente. ¿Con que rapidez se acercan uno al otro cuando estan a 30km

y 40km del punto de interseccion de la calle con la carrera? Como

la calle y la carrera se intersectan formando un angulo recto podemos

establecer la siguiente relacion: sea x la distancia que hay del auto

A a la esquina, y la distancia que hay del auto B a la esquina y z

la distancia entre los dos autos, entonces x2 + y2 = z2 derivando

implıcitamente respecto al tiempo se obtiene 2xdx

dt+2y

dy

dt= 2z

dz

dt,

es decir que xdx

dt+ y

dy

dt= z

dz

dtreemplazando los datos conocidos se

obtiene 30km× (−60km/h)+40km× (−70km/h) = 50× dz

dtdespe-

jandodz

dt=30km× (−60km/h) + 40km× (−70km/h)

50= −92km/h

no olvidemos que el signo negativo de las velocidades significan que el

espacio considerado esta decreciendo o reduciendose

6. Una balde en forma de tronco de cono cuyo radio de la base mayor es de

20cm, el radio menor es de 15cm y de 30cm de altura,que inicialmente

estuvo lleno de agua, se esta vaciando a razon de 5 cm3 por segundo.

¿Cual es la razon de cambio de la altura respecto al tiempo, cuando

la altura del nivel de agua es de 20cm?

Se puede establecer las siguientes proporciones20

30 + x=

15

x, luego

20x = 450 + 15x, entonces, x = 90, de otro lado para cualquier radio

mayor R y cualquier altura h se cumple20

120=

R

h+ 90, es decir,

que R =1

6(90 + h). Se sabe ademas que el volumen v, en cualquier

instante, de un tronco de piramide es


v =1

3π(R2(90 + h)− (15cm)290cm), como R =

1

6(90 + h), entonces,

v =1

3π

(1

36(h+ 90)2(h+ 90)− (15cm)290cm

)

=1

108π((h+ 90)3 − 20250

),

derivando implıcitamente respecto al tiempo se tiene

dv

dt=

1

36π((h+ 90)2

)dhdt,

reemplazando los datos del ejercicio se tiene

−5cm3/seg =3025

9π cm2 dh

dt, despejando se tiene

dh

dt=

−453025π

cm/seg odh

dt= −4. 7352× 10−3cm/seg

Ejercicios 5.1. Solucione cada uno de los siguientes ejercicios.

1. La arena cae a la parte superior de una pila conica desde una banda

transportadora a razon de 2 m3/mın la altura h de la pila siempre

es 13 del diametro d de la base que tan rapido cambian, a) La

altura b) El radio de la base , cuando el cono tiene 3m de altura?

2. De un deposito de forma semiesferica con radio R = 10m el agua sale

a razon de 4m3/mın . Dado que el volumen v del agua que esta en

el deposito semiesferico de radio R es v =π

3y2(3R − y) cuando el

agua tiene y metros de profundidad.

a) A que velocidad cambia el nivel del lıquido cuando tiene 8m de

profundidad?

b) Cual es el radio r de la superficie del agua, cuando esta tiene

y metros de profundidad?

c) A que razon cambia el radio r cuando el agua tiene 8m de

profundidad?


3. Un globo que asciende verticalmente a 30cm/seg . Justo cuando el

globo esta a 21m sobre el suelo un ciclista que va a 5m/seg pasa

debajo de el. Que tan rapido aumenta la distancia entre el ciclista y

el globo 3seg despues?

4. Un diamante de beisbol es un cuadrado de 90pies de lado. Un jugador

corre de la primera a la segunda base a razon de 16pies/seg .

a) A que razon cambia la distancia entre el jugador y la tercera base

cuando aquel esta a 30pies de la primera base?

b) A que razon cambian los angulos θ1 y θ2 en ese momento?

c) El jugador se desliza en la segunda base a razon de 15pies/seg .A

que razon cambian los angulos θ1 y θ2 cuando el jugador toca la

segunda base?

5. A cierta hora del dıa, la sombra sobre el piso de un edificio que

mide 50m de alto es de 30m de largo. En ese momento el angulo

θ de elevacion ( el angulo que forman los rayos del sol con el piso )

esta creciendo a razon de 0,004 59rad/mın .

a) A que razon esta cambiando la sombra?

b) A que razon esta cambiando el area del triangulo formado por los

rayos de luz, el edificio y el piso?

6. En la azotea de un edificio de 40m de alto, un observador divisa un

automovil que se acerca a 80 km/h y se dirige a la parte inferior del

edificio.cuando el automovil esta a 10km del edificio.

a) A que razon cambia la distancia entre el observador y el au-

tomovil?

b) A que razon esta cambiando el area del triangulo formado por

la linea imaginaria entre el automovil y el observador en ese ins-

tante?

c) A que razon esta cambiando el angulo de elevacion del automovil

en ese instante?


7. Una luz brilla desde el extremo de un poste de 17m de alto. Se lanza

una pelota desde la misma altura desde un punto ubicado a 10 metros

de la luz. Que tan rapido se mueve la sombra de la pelota a lo largo del

piso 12seg despues? Suponga que la pelota cae una distancia s = 16t2

pies en t segundos.

8. Se utiliza una cuerda para arrastrar un bote hacia el muelle.Un ex-

tremo de la cuerda esta atada a la proa de la embarcacion y el otro

a un aro ubicado en el muelle, en un punto ubicado 2m arriba de la

proa. La cuerda se hala a razon de 12m/seg

a) Que tan rapido se acerca el bote al muelle cuando la cuerda mide

4m?

b) A que razon esta cambiando el angulo de elevacion del bote en

ese instante?

9. Un hombre de 1, 80m de estatura camina a razon de 2m/seg hacia

un farol cuya luz esta a 5m del piso

a) A que razon se mueve sobre el piso la punta de su sombra?

b) A que razon cambia la longitud de su sombra cuando el hombre

esta a 3m de la base del farol?

c) A que razon cambia el area del triangulo formado por el hombre,

su sombra y la linea imaginaria que va de la parte superior del

hombre hasta la punta de la sombra cuando el hombre esta a 3m

de la base del farol?

d) A que razon esta cambiando el angulo de elevacion de la sombra

cuando el hombre esta a 3m de la base del farol?

10. Un cubo de hielo de 30cm de lado se esta derritiendo, conservando

su forma, a razon de 5cm3/seg . A que velocidad decrece el lado del

cubo cuando este tiene 10cm de longitud?

11. Un nino esta inflando un globo a razon de 15cm3/seg . A que velocidad

crece el radio cuando este tiene 30cm de longitud?

5.2. MAXIMOS Y MINIMOS (ABSOLUTOS) 295

12. Una companıa puede fabricar n artıculos a un costo de C(n) millones

de pesos,obteniendo unos ingresos I(n) de millones de pesos y unas

utilidades U(n) de millones de pesos U(n) = I(n)−C(n) . EncuentredC

dt,dI

dt,dU

dtpara los siguientes valores de n ,

dn

dt

a) C(n) = n3−2n+3000000, I(n) = 180000n ,dn

dt= 2 artıculos/dıa

b) C(n) = n3−2n2+3000000

n, I(n) = 90000n ,

dn


c) C(n) = 5n4−2n2+3000000

n2, I(n) = 290000n ,

dn


No olvide quedC

dt=dC

dn

dn

dt,

dI

dt=

dI

dn

dn

dt,

dU

dt=dU

dn

dn

dt

13. Una partıcula se mueve sobre la curva cuya ecuacion es

x2 + 3y2 + 3xy − 4y − 2x = 1.

a) Si la velocidad sobre el eje x,dx

dt= 3m/seg en x = 1. Cual

es la velocidad sobre el eje y en ese instante?

b) Si la velocidad sobre el eje y,dy

dt= 5m/seg en y = 0. Cual es

la velocidad sobre el eje x en ese instante?

5.2. Maximos y mınimos (absolutos)

Definicion 5.2. Sea f una funcion con dominio D. Decimos que f tiene

un maximo absoluto en un punto en x = a (o en a), a ∈ D si f(x) ≤ f(c)

para toda x ∈ D. y f tiene mınimo en x = c ( o en c) c ∈ D si

f(x) ≥ f(c) para todo x ∈ D.

Los maximos y mınimos (absolutos) tambien los llamaremos extremos o

extremos globales. Para distinguirlos de los extremos locales que definiremos

mas adelante. Por ejemplo la funcion f definida por f(x) = senx, x ∈[−π, π] cuya grafica es:


π2

1

Figura 187: y = senx

Tiene maximo absoluto en x = π2 y su valor es de 1, tiene mınimo abso-

luto en x = −π2 y su valor es de −1. Observemos que una cosa es donde

esta ubicado el maximo valor de la funcion f en cuestion y otra es cual es

su valor?. Adicionalmente notemos que el maximo y el mınimo (si existen)

dependen no solo de la funcion si no tambien del dominio D que estemos

considerando. Por ejemplo si f(x) = |senx| , x ∈ [0, 2π] cuya grafica es:

π/2

1

Figura 188: f(x) = |senx| , x ∈ [ 0, 2π ]

Tiene maximos en x = π2 y su valor es 1, y en x = 3π

2 y su valor es 1.

Ahora si consideramos la funcion f(x) = |x|

Figura 189: f(x) = |x|

Tendremos:


Expresion

algebraica

Dominio

considerado

Extremos absolutos

f(x) = |x| (−∞,∞)No existe maximo

Mınimo en x = 0, con valor de 0

f(x) = |x| [−2, 0] Maximo en x = −2, con valor de 2

Mınimo en x = 0, con valor de 0

f(x) = |x| (−2, 0] , No existe maximo

Mınimo en x = 0 con valor de 0

f(x) = |x| (−2, 0) No existe maximo

No existe mınimo

Como se observa el dominio considerado D en cada caso es muy importante

para la existencia de extremos globales. El siguiente teorema garantiza, bajo

ciertas condiciones, la existencia de extremos globales.

Teorema 5.3. Si f es una funcion definida y continua en un intervalo

cerrado de la forma [a, b] con a, b ∈ R, entonces, la funcion f alcanza sus

valores maximo M y mınimo m globales es decir existen numeros reales

x1, x2 ∈ [a, b] de tal forma que f(x1) = m y f(x2) = M, para cualquier

otro valor de x ∈ [a, b] se cumple que m ≤ f(x) ≤M.

La demostracion se omite porque no se tienen los conocimientos necesarios

sobre los numeros reales.

Teorema 5.4. Si f es una funcion definida en un intervalo [a, b] si f tiene

un maximo o un mınimo absoluto en x = c, c ∈ (a, b) y si f ′(c) existe,

entonces, f ′(c) = 0

Demostracion. Para demostrar que f ′(c) = 0 debemos probar que f ′(c) no

puede ser mayor que cero como tampoco f ′(c) puede ser menor que cero.

supongamos que f tiene un maximo en x = c, se sabe que f ′(c) =

lımx→c

f(x)− f(c)

x− c, supongamos que x−c > 0, como f tiene maximo en x =

c, f(x)−f(c) < 0, luegof(x)− f(c)

x− c< 0, es decir que lım

x→c

f(x)− f(c)

x− c≤


0, ahora supongamos que x− c < 0,como f tiene maximo en x = c, f(x)−f(c) < 0, luego,

f(x)− f(c)

x− c> 0, es decir, que lım

x→c

f(x)− f(c)

x− c≥ 0, por

tanto, 0 ≤ f ′(c) ≤ 0, luego, f ′(c) = 0.

supongamos que f tiene un mınimo en x = c, supongamos que x− c > 0,

como f tiene mınimo en x = c, f(x)− f(c) > 0, luegof(x)− f(c)

x− c> 0, es

decir, que lımx→c

f(x)− f(c)

x− c≥ 0, ahora, supongamos que x− c < 0, como f

tiene mınimo en x = c, f(x)− f(c) > 0, luego,f(x)− f(c)

x− c< 0, es decir,

que lımx→c

f(x)− f(c)

x− c≤ 0, por tanto 0 ≤ f ′(c) ≤ 0, luego, f ′(c) = 0. Es decir,

que si f tiene maximo o mınimo en c y f ′(c) existe, entonces, f ′(c) = 0

como se querıa.

El recıproco del teorema anterior en general no es cierto, es decir, es posible

encontrar funciones f tales que f ′(c) = 0 y f no tiene un maximo ni un

mınimo en c, como sucede con la funcion f definida por f(x) = x3, x ∈[−2, 3] , notese que f ′(0) = 0 y sin embargo f no tiene extremo en 0.

El teorema anterior nos dice que la primera derivada de una funcion es cero

en un punto distinto de los extremos del intervalo (punto interior) donde

la funcion tiene extremos y la derivada existe. Por tanto, los unicos puntos

donde una funcion puede tener extremos, son:

a- Puntos interiores c donde f ′(c) = 0

b- Puntos interiores c donde f ′(c) no existe

c- puntos extremos del dominio de f

Definicion 5.5. (puntos crıticos) sea f definida en un intervalo [a, b] , un

punto c ∈ (a, b) es un punto critico de f si f ′(c) = 0 o si f ′(c) no existe.

En resumen, los unicos puntos del dominio de f donde la funcion puede ten-

er extremos son: puntos crıticos y puntos extremos del dominio de la funcion.

NOTA: Para encontrar los valores extremos de una funcion continua f en

un intervalo cerrado de longitud finita se debe tener en cuenta los siguientes

pasos


1. Encontrar la derivada de la funcion y calcular los puntos crıticos

2. Evaluar la funcion en los puntos crıticos y en los extremos del intervalo

3. Tomar el mayor y el menor de estos valores

Ejemplo 5.6. Para cada una de las siguientes funciones definidas en el in-

tervalo cerrado que se indica encontrar los maximos y los mınimos absolutos

1. f(x) = x2 − 3x+ 2 , x ∈ [−2, 3]

f ′(x) = 2x− 3, f ′(x) = 0, si y solo si, 2x− 3 = 0, si y solo si, x = 32

es decir el unico punto critico es 32 .

f(−2) = (−2)2 − 3(−2) + 2 = 12,

f(32) = (32)2 − 3(32) + 2 = −1

4

f(3) = (3)2 − 3(3) + 2 = 2

luego el maximo es 12 y el mınimo es − 14

2. f(x) = x2 − 3 3√x+ 2 , x ∈ [0, 2]

f(x) = 1

x23

(2x

53 − 1

), f (x) = 0:, si y solo si, 1

x23

(2x

53 − 1

)= 0, si

y solo si, x = 12

5√22, x = 0,659 75

Ahora f ′(x) no existe en x = 0

Por tanto los puntos crıticos son 12

5√4 y 0.

f(0) = (0)2 − 3( 3√0) + 2 = 2,

f( 12

5√4 ) = ( 1

25√4 )2 − 3( 3

√12

5√4 ) + 2 = 2− 5

45√16 = −0,176 38

f(−1) = (−1)2 − 3( 3√−1) + 2 = 6

f(2) = (2)2 − 3( 3√2) + 2 = 6− 3 3

√2 = 2. 220 2

luego, el maximo es 6 y el mınimo es 2− 54

5√16


1. f(x) = |2x− 3| x ∈ [−2, 3]

f ′(x) =

2 si x > 32

−2 si x < 32

Los puntos crıticos son: puntos donde la derivada es cero. No hay,

puntos donde la derivada no existe x = 32

f(−2) = |2(−2)− 3| = 7

f(3) = |2× 3− 3| =3

f(32) =∣∣2× 3

2 − 3∣∣ = 0

Luego, el maximo es 7 y el mınimo es 0

2. f(x) = senx+ cosx, x ∈[−π

2 ,π2

]

f ′(x) = cosx− senx, f ′(x) = 0, si y solo si, cosx− senx = 0, si y solo

si, x = 14π

Los puntos crıticos son: puntos donde la derivada es cero. x = 14π,

puntos donde la derivada no existe No hay

f(−π2 ) = sen(−π

2 ) + cos(−π2 ) = −1

f(π2 ) = sen(π2 ) + cos(π2 ) = 1

f(π4 ) = sen(π4 ) + cos(π4 ) =√2

Luego el maximo es√2 y el mınimo es −1

3. f(x) = x4 − 2x2 + 1, x ∈ [−2, 1]f ′(x) = 4x3 − 4x, f ′(x) = 0, si y solo si,

4x3 − 4x = 0, si y solo si, x = 1, x = 0, x = −1Puntos crıticos: puntos donde la derivada es cero x = 0, x = −1puntos donde la derivada no existe. No hay

f(−2) = (−2)4 − 2(−2)2 + 1 = 9

f(0) = (0)4 − 2(0)2 + 1 = 1

f(−1) = (−1)4 − 2(−1)2 + 1 = 0

f(1) = (1)4 − 2(1)2 + 1 = 0


Luego, el maximo es 9 y el mınimo es 0

4. Los buques cisterna cargan petroleo de un muelle ubicado a 4 millas de

la costa. La refinerıa mas proxima esta a 9 millas al este del punto mas

cercano al muelle. Se debe construir una tuberıa que conecte el muelle

con la refinerıa. La tuberıa cuesta $300.000 por milla si se construye

por debajo del agua y $200.000 por milla si se hace en tierra. Encontrar

el punto B para minimizar el costo de la construccion.

︷︸︸︷

B

9 millas

Figura 190

4 millas

La funcion de costos C(x) esta dada por C(x) = 300000√42 + x2 +

200000(9 − x), x ∈ [0, 9] . Ahora derivando la funcion de costo se

obtiene

C ′(x) = −100 000 2√x2+16−3x√x2+16

, entonces, C ′(x) = 0 si y solo si

−100 000 2√x2+16−3x√x2+16

= 0, si y silo si, x = 85

√5.

Los puntos crıticos son: puntos donde la derivada es cero, x = 85

√5

puntos donde la derivada no existe: No hay

C(0) = 300000√42 + 02 + 200000(9− 0) = 3000 000

C(9) = 300000√42 + 92+200000(9−9) = 300 000

√97 = 2. 954 7×106

C(85√5) = 300000

√42 + (85

√5)2 + 200000(9 − 8

5

√5) = 400 000

√5 +

1800 000 = 2. 694 4× 106


Luego el mınimo de la funcion de costo es $2694 400 es decir que

el la ubicacion del punto B que minimiza el costo de construccion es85

√5 = 3. 5777millas al este del punto A.

5. Hay dos torres una de 50 pies y la otra de 30 pies de alta. Entre las

dos torres hay 150 pies de separacion. Se debe tender un cable desde

un punto A que esta al nivel del pie de las dos torres a la parte superior

de cada torre.

Ubique el punto A de tal forma que la longitud del cable sea mınima.

︷︸︸︷

A

150 pie

Figura 191

30 pie

50 pie

La longitud L del cable es L(x) =√502 + x2 +

√302 + (150− x)2

x ∈ [ 0, 150 ] . Derivando la funcion de longitud se tiene:

L′(x) =1√

x2 + 2500√x2 − 300x+ 23 400

×(x√x2 + 2500 + x

√x2 − 300x+ 23 400− 150

√x2 + 2500

)

Ahora L′(x) = 0, si y solo si,

1√x2 + 2500

√x2 − 300x+ 23 400

×(x√x2 + 2500 + x

√x2 − 300x+ 23 400− 150

√x2 + 2500

)= 0


si y solo si, x =375

4

Los puntos crıticos son: puntos donde la derivada es cero. x = 3754 =

93.75

puntos donde la derivada no existe, no hay

L(0) =√502 + 02 +

√302 + (150− 0)2 = 30

√26 + 50 = 202.97

L(x) =√502 + 1502 +

√302 + (150− 150)2 = 50

√10 + 30 = 188.11

L(x) =√

502 + (3754 )2 +√

302 + (150− 3754 )2 = 170

El punto A debe estar a 93.75 pies de la torre que tiene 50 pies de alta y la

longitud de este es de 170 pies.

Ejercicios 5.7. Encuentre los maximos y los mınimos de cada una de las

siguientes funciones en el intervalo indicado en cada caso

1. f(x) =x

x2 + 1, x ∈ [−1, 2]

2. f(x) =x2

x2 + 1, x ∈ [−2, 3]

3. f(x) =x3

3− 3

2x2 − 10x+ 1, x ∈ [−3, 4]

4. f(x) = x2 − 3x− 1, x ∈ [−1, 2]

5. f(x) =x

4− 3√x+ 2, x ∈ [−8, 1]

6. f(x) = |x− 2| , x ∈ [−2, 1]

7. f(x) = 2− |x− 3| , x ∈ [−1, 4]

8. f(x) = 2 senx− cosx, x ∈[−π

2 , π]

9. f(x) =cosx

cosx+ 1, x ∈

[−π

2 ,π2

]


5.3. Maximos y mınimos relativos

Las funciones que no estan definidas en un intervalo de la forma [a, b] con

a, b ∈ R (cerrado y acotado), es decir, en dominios D mas generales pueden

tener o no maximos y mınimos globales o absolutos. Pero si pueden ten-

er maximos y mınimos locales. La presente seccion hara referencia a estos

conceptos.

Definicion 5.8 (Maximos locales). Una funcion f tiene un maximo local

en un punto interior c del dominio D de la funcion (c ∈ D) si existe ε > 0

tal que

f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ (c− ε, c+ ε).

Ejemplo 5.9. Si f(x) = ||x| − 2|, entonces, f tiene un maximo local en 0.

En efecto, f(0) = ||0| − 2| = |2| = 2. Ahora si x ∈ (−ε, ε), f(x) = ||x| − 2|.Como x ∈ (−ε, ε) supongamos que 0 ≤ x < ε, entonces

f(x) = ||x| − 2| = |x− 2| = −(x− 2) = 2− x ≤ 2.

Ahora si −ε < x < 0, entonces

f(x) = ||x| − 2| = | − x− 2| = −(−x− 2) = x+ 2 < 2

pues x < 0, luego f(x) = ||x| − 2| < 2 para todo x ∈ (−ε, ε).

Definicion 5.10 (Mınimos locales). Una funcion f tiene un mınimo

local en un punto interior c de su dominio D (c ∈ D) si existe ε > 0 de tal

forma que

f(x) ≥ f(c) para todo x ∈ (c− ε, c+ ε).

Ejemplo 5.11.

f(x) =

−3x− 8, si x < −2x, si −2 ≤ x < 0

−x, si x > 0

tiene un mınimo local en −2. En efecto,

f(−2) = −2.

5.3. MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS 305

Ahora si x ∈ (−2− ε,−2 + ε), entonces, supongamos que −2− ε < x < −2,entonces multiplicando por −3 se obtiene −3(−2− ε) > −3x > 6. Restando

8 a cada lado se obtiene

−3(−2− ε)− 8 > −3x− 8 > 6− 8 = −2,

es decir, que 6− ε− 8 > −3x− 8 > −2, luego, −2− ε > −3x− 8 > −2, esdecir, que f(x) = −3x− 8 > −2.Supongamos ahora que −2 < x < −2 + ε, entonces −2 < x < −2 + ε;

observando la parte izquierda de estas inecuaciones, es decir, que x > −2;entonces, se cumple f(x) > −2.Recordemos que cuando hablamos de extremos absolutos, estamos hablando

de maximos absolutos y mınimos absolutos; de manera similar podemos

usar la expresion extremos relativos para referirnos a maximos relativos y

mınimos relativos.

La pregunta natural es ¿que tiene que ver la derivada con los extremos

relativos? y la respuesta la da el siguiente teorema.

Teorema 5.12. Si una funcion f tiene un valor maximo local o mınimo

local en un punto interior c de su dominio D (c ∈ D) y si f ′(c) existe,

entonces

f ′(c) = 0.

La demostracion es identica al teorema para calcular extremos absolutos.

Ejemplo 5.13. Encuentre los puntos donde cada una de las siguientes fun-

ciones tiene extremos relativos.

1. f(x) = x3 − 12x+ 1.

f ′(x) = 3x2 − 12, entonces, f ′(x) = 0, si y solo si, 3x2 − 12 = 0, si y

solo si, x2 = 4, si y solo si, x = ±2.

2. f(x) =x

x2 + 1.

f ′(x) =x2 + 1− x(2x)

(x2 + 1)2=

1− x2

(x2 + 1)2, entonces, f ′(x) = 0, si y solo si,

1− x2

(1 + x2)2= 0, si y solo si, 1− x2 = 0, si y solo si, x = ±1.


3. f(x) =√1− x2.

f ′(x) =−2x

2√1− x2

=−x√1− x2

, luego, f ′(x) = 0, si solo si, −x = 0, si

y solo si, x = 0.

4. f(x) =x+ 2

x2 + x+ 1.

Entonces f ′(x) =(x2 + x+ 1)− (2x+ 1)(x+ 2)

(x2 + x+ 1)2, es decir, que

f ′(x) =x2 + x+ 1− 2x2 − 5x− 2

(x2 + x+ 1)2=−x2 − 4x− 1

(x2 + x+ 1)2.

f ′(x) = 0, si y solo si,−x2 − 4x− 1

(x2 + x+ 1)2= 0, luego, x2 + 4x + 1 = 0, si

solo si, x =−4±

√16− 4

2, si y solo si, x =

−4±√12

2, si y solo si,

x = −2±√3; x1 = −2 +

√3 y x2 = −2−

√3.

El teorema precedente nos da una condicion necesaria para saber cuando

una funcion f tiene extremos relativos. Pero no tenemos, hasta ahora, un

criterio para saber que tipo de extremo existe en un determinado punto. El

siguiente teorema nos soluciona este problema.

Teorema 5.14. Supongamos que c es un punto crıtico de una funcion con-

tinua f y que f es derivable en todo punto de un intervalo de la forma

(c− ε, c+ ε); ε > 0, excepto posiblemente en el punto c. Entonces,

1. Si f ′ cambia de negativo a positivo en c, entonces, f tiene un mınimo

local en c.

2. Si f ′ cambia de positivo a negativo en c, entonces, f tiene un maximo

local en c.

3. Si f ′ no cambia de signo en c (es decir, si f ′ es positiva en ambos lados

de c o negativa en ambos lados de c), entonces, f no tiene extremo en

c. A dicho punto se le llama estacionario.

Demostracion:

5.3. MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS 307

1. Supongamos que f ′ cambia de negativo a positivo en c, es decir, que

f ′(x) < 0 si c− ε < x < c , entonces,f(c+∆x)− f(c)

∆x< 0, como

∆x < 0, entonces, f(c+∆x)− f(c) > 0, es decir, f(c+∆x) > f(c).

Ahora, si c < x < c + ε, entonces,f(c+∆x)− f(c)

∆x> 0, como

∆x > 0, se concluye que f(c+∆x)− f(c) > 0, es decir, f(c+∆x) >

f(c), es decir, que f(x) > f(c) para todo x c− ε < x < c+ ε. Por tanto

f tiene mınimo en c

2. Supongamos que f ′ cambia de positivo a negativo en c, es decir, que

f ′(x) > 0 si c − ε < x < c , entonces,f(c+∆x)− f(c)

∆x> 0, como

∆x < 0, entonces, f(c+∆x)− f(c) < 0, es decir, f(c+∆x) < f(c).

Ahora , si c < x < c+ ε, entonces,f(c+∆x)− f(c)

∆x< 0, como ∆x >

0,se concluye que f(c + ∆x) − f(c) < 0, es decir, f(c + ∆x) < f(c),

es decir, que f(x) < f(c) para todo x, c − ε < x < c + ε por tanto

f tiene maximo en c.

3. Supongamos que f ′ no cambia de signo en c, es decir, que f ′(x) > 0

si c − ε < x < c, y f ′(x) > 0, si c < x < c + ε, entonces,f(c+∆x)− f(c)

∆x> 0, luego f(c + ∆x) < f(c) ahora, si

f(c+∆x)− f(c)

∆x> 0, entonces, f(c + ∆x) > f(c), resumiendo

f(c+∆x) < f(c) < f(c+∆x), es decir, que f no tiene maximo ni mıni-

mo en c. En forma similar se prueba que si f ′(x) < 0si c− ε < x < c

y f ′(x) < 0, si c < x < c+ ε, entonces, f no tiene maximo ni mınimo

en c.

Ejemplo 5.15. Encuentre los extremos locales de cada una de las siguientes

funciones

1. f(x) = x3 − 12x+ 1.

f ′(x) = 3x2 − 12; f ′(x) = 0 si y solo si x = 2 o x = −2. Luego, lospuntos crıticos son:

f ′(1.99) = 3(1.99)2 − 12 < 0

f ′(2.01) = 3(2.01)2 − 12 > 0


luego, f tiene un mınimo en x = 2 y su valor f(2) = 23 − 12(2) + 1 =

8− 24 + 1 = −15.Ahora

f ′(−1.99) = 3(−1.99)2 − 12 < 0

f ′(−2.01) = 3(−2.01)2 − 12 > 0

luego, f ′ cambia de positivo a negativo en −2 o sea que f tiene un

maximo local en ese punto. Ahora su valor es f(−2) = (−2)3−12(−2)+1 = −8 + 24 + 1 = 17.

2. f(x) =x

x2 + 1.

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2; f ′(x) = 0, si solo si, x = 1 o x = −1, luego los

puntos crıticos son esos puntos.

Ahora

f ′(−1.01) = 1− (−1.01)2(1 + (−1.01)2)2 < 0

f ′(−0.99) = 1− (−0.99)2(1 + (−0.99)2)2 > 0

es decir, f ′ cambia de negativo a positivo en −1, es decir, que f tiene

un mınimo en dicho punto y su valor es f(−1) = −1(−1)2 + 1

= −1

2.

Ahora

f ′(1.01) =1− (1.01)2

(1 + (1.01)2)2< 0

f ′(0.99) =1− (0.99)2

(1 + (0.99)2)2> 0

luego f ′ pasa de positivo a negativo, es decir tiene un maximo local en

dicho punto y su valor es f(1) =1

12 + 1=

1

2.

3. f(x) =√1− x2.

f ′(x) =−x√1− x2

y f ′(x) = 0 si y solo si,−x√1− x2

= 0, si y solo si,

x = 0, es decir, el unico punto crıtico es 0.

Ahora

f ′(−0,01) = −(−0,01)√1− (−0.01)2

=0.01√

1− (0.01)2> 0

5.4. CONSTRUCCION DE GRAFICAS DE FUNCIONES 309

f ′(0.01) =−0.01√

1− (0.01)2=< 0

luego f ′ cambia de positivo a negativo y por el teorema f tiene un

maximo local en x = 0 y su valor es f(0) =√1− 02 = 1.

Ejercicios 5.16. Encuentre los extremos locales de cada una de las sigu-

ientes funciones.

1. f(x) = x3 − 27x+ 30.

2. f(x) = x4 − 2x2 + 1.

3. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 2.

4. y =√3 + 2x− x2.

5. y = 3√1− x2.

6. y = x5 − 20x+ 7.

7. y = x4 − 4x2 + 4.

8. y =x2

x2 + 1.

9. y =x2 + 1

x2 + 3.

10. y =x+ 1

x2 + 2x+ 2.

11. y = x√4− x2.

12. y = x2/3(x+ 1).

13. y = x2/3(4− x2).

14. y = x2/3(x2 − 1).

15. y = senx+ cosx.

16. y = secx.

17. y = (1− x2)ex.

18. y = (x2 − 4)e−x.

19. y = x lnx.

20. y = x√1− x2.

5.4. Trazo de curvas o construccion de graficas de

funciones

5.4.1. Funciones monotonas y criterio de la primera derivada

En esta seccion estudiaremos la relacion que hay entre las funciones cre-

cientes o decrecientes y la derivada primera de las funciones.

Definicion 5.17 (Funcion creciente). Una funcion f es creciente en un

intervalo (a, b); si para x1, x2 ∈ (a, b); x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2).


Ejemplo 5.18. f(x) = 3x+2 es creciente en (−∞,∞). En efecto, supong-

amos que x1 < x2 entonces 3x1 < 3x2, sumando 2 en ambos lados se obtiene

3x1 + 2 < 3x2 + 2,

es decir, f(x1) < f(x2).

El perfil grafico de una funcion creciente en un intervalo (a, b) es

| |

��

��

a b| |

��

��

a b

Figura 192

| |

��

��

a b

o una combinacion de las tres anteriores.

Definicion 5.19 (Funcion decreciente). Una funcion f es decreciente en

un intervalo (a, b) si para x1, x2 ∈ (a, b); x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2).

Ejemplo 5.20. Si f(x) = −2x + 1, entonces f es decreciente en R =

(−∞,∞). En efecto, supongamos que x1 < x2, multiplicando por −2 se

obtiene −2x1 > −2x2. Ahora sumando 1 en ambos lados se obtiene

−2x1 + 1 > −2x2 + 1,

es decir, que f(x1) > f(x2) como se querıa.

El perfil grafico de una funcion decreciente es:

| |

��

��

a b| |

�

�

a b

Figura 193

| |

�

�

a b

o una combinacion de las tres anteriores.

A las funciones crecientes o decrecientes en (a, b) se les llama monotonas.

La relacion que existe entre las funciones monotonas y la derivada primera

en un intervalo (a, b) esta dada en el siguiente teorema.


Teorema 5.21 (Criterio de la primera derivada). Supongamos que una

funcion f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces

1. Si f ′(x) > 0 para x ∈ (a, b), entonces, f es creciente en (a, b).

2. Si f ′(x) < 0 para x ∈ (a, b), entonces, f es decreciente en (a, b).

Ejemplo 5.22. Use el criterio de la primera derivada para encontrar los

intervalos donde f es creciente, donde f es decreciente.

1. f(x) = x3 − 12x+ 8.

f ′(x) = 3x2 − 12, luego f ′(x) > 0 si y solo si 3x2 − 12 > 0 si y solo

si 3(x2 − 4) > 0 si y solo si 3(x − 2)(x + 2) > 0. Luego f ′(x) > 0

si y solo si x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞), por lo tanto f es creciente en

(−∞,−2) ∪ (2,∞) y f ′(x) < 0 si y solo si 3x2 − 12 < 0 si y solo si

x ∈ (−2, 2) es decir que f es decreciente en (−2, 2).

2. f(x) =x

1 + x2.

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2, entonces f ′(x) > 0 si y solo si

1− x2

(1 + x2)2> 0 si

y solo si 1 − x2 > 0 si y solo si x ∈ (−1, 1), luego f es creciente en

(−1, 1).f ′(x) < 0 si y solo si

1− x2

(1 + x2)2< 0 si y solo si 1−x2 < 0 si y solo si x ∈

(−∞,−1)∪(1,∞), es decir que f es decreciente en (−∞,−1)∪(1,∞).

3. f(x) = x√1− x2.

f ′(x) =√1− x2 − x2√

1− x2=

1− x2 − x2√1− x2

=1− 2x2√1− x2

luego

f ′(x) > 0 si y solo si1− 2x2√1− x2

> 0 si y solo si 1− 2x2 > 0 si y solo si

x ∈(−

√22 ,

√22

), es decir f es creciente en

(−

√22 ,

√22

).

Ahora, f ′(x) < 0 si y solo si1− 2x2√1− x2

< 0 si y solo si 1 − 2x2 < 0

si y solo si x ∈(−∞,−

√22

)∪(√

22 ,∞

), es decir f es decreciente en

(−∞,−

√22

)∪(√

22 ,∞

).


Ejercicios 5.23.

1. Encuentre los intervalos en los que la funcion es creciente o decreciente.

a) f(x) = −x2 − 4x+ 5.

b) f(x) = −x3 + 2x2 + 4.

c) f(x) = 3x2 − 4x3.

d) f(x) = 2x3 − 18x+ 5.

e) f(x) = x3 − 12x+ 7.

f ) f(x) = x4 − 2x2 + 1.

g) f(x) =x2

x2 + 1.

h) f(x) =x

x2 + 3.

i) f(x) = x2√1− x.

j ) f(x) = x4 − 8x2 + 16.

k) f(x) =3

2x4 − 12x.

l) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2.

m) f(x) =x3

x2 + 1.

n) f(x) =x2 − 3

x− 2; x 6= 2.

n) f(x) = x2/3(x2 − 4

).

2. Dada la grafica de la derivada f ′(x) de la funcion y = f(x) usar el

teorema 5.21 de la pagina 311 para decidir los intervalos donde f es

creciente y los intervalos donde f es decreciente

i- y = f ′(x)

10

1

Figura 194

ii- f ′(x)


1

4

Figura 195

5.4.2. Concavidad

Definicion 5.24 (Concavidad hacia arriba y concavidad hacia aba-

jo). La grafica de una funcion diferenciable f es:

1. Concava hacia arriba en un intervalo (a, b) si f ′ es creciente en (a, b).

El perfil grafico de una funcion concava hacia arriba es

| |

��

��

a b| |

��

��

a b

2. Concava hacia abajo en un intervalo (a, b) si f ′ es decreciente en

(a, b). El perfil grafico de una funcion con grafica concava hacia abajo

es

| |

��

��

a b| |

��

��

a b


Ejemplo 5.25.

1. f(x) = x2 − 3x + 2 es concava hacia arriba en (−∞,∞). En efecto,

f ′(x) = 2x− 3, obviamente esta funcion es creciente en (−∞,∞).

2. f(x) = −3x2 +2x+1 es concava hacia abajo en (−∞,∞). En efecto,

f ′(x) = −6x+ 2, esta funcion es decreciente en (−∞,∞).

Si la funcion f es derivable por segunda vez, es decir si f ′′ existe entonces

aplicando el teorema para funciones monotonas tenemos.

Teorema 5.26. Si f es una funcion dos veces derivable, es decir si f ′′

existe, entonces

1. Si f ′′(x) > 0 en (a, b) la grafica de y = f(x) es concava hacia arriba

en (a, b).

2. Si f ′′(x) < 0 en (a, b) la grafica de y = f(x) es concava hacia abajo

en (a, b).

Ejemplo 5.27. Use la segunda derivada para calcular los intervalos donde

la grafica de la funcion y = f(x) es concava hacia arriba y donde es concava

hacia abajo.

1. f(x) = x3 − 12x+ 5.

f ′(x) = 3x2 − 12. f ′′(x) = 6x. f ′′(x) > 0 si y solo si 6x > 0 si y solo

si x > 0; luego, f es concava hacia arriba en (0,∞).

Ahora f ′′(x) < 0, si y solo si, 6x < 0 si y solo si x < 0, luego, f es

concava hacia abajo en (−∞, 0).

2. f(x) =x

1 + x2.

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2.

f ′′(x) =−2x(1 + x2)2 − (1− x2)2(1 + x2)2x

(1 + x2)4

=(1 + x2)

[−2x(1 + x2)− (1− x2)4x

]

(1 + x2)4

=−2x− 2x3 − 4x+ 4x3

(1 + x2)3=

2x3 − 6x

(1 + x2)3,


entonces f ′′(x) > 0 si y solo si2x3 − 6x

(1 + x2)3> 0, si y solo si, 2x3−6x > 0,

si y solo si, 2x(x2 − 3) > 0, si y solo si, 2x(x−

√3) (x+

√3), si y

solo si, x ∈(−√3, 0)∪(√

3,∞), luego f es concava hacia arriba en(

−√3, 0)∪(√

3,∞).

Ahora, f ′′(x) < 0, si y solo si,2x3 − 6x

(1 + x2)3< 0 si y solo si 2x(x2−3) < 0,

si y solo si, x ∈(−∞,−

√3)∪ (0,

√3).

3. f(x) =1

3x3 − 5

2x2 + 6x+ 1.

f ′(x) = x2 − 5x+ 6, f ′′(x) = 2x− 5, entonces ,f ′′(x) > 0 si y solo si

2x− 5 > 0 si y solo si x > 52 , es decir, que f es concava hacia arriba

en(52 ,∞

).

Ahora f ′′(x) < 0 si y solo si 2x − 5 < 0, si y solo si, x < 52 , luego, f

es concava hacia abajo en(−∞, 52

).

Ejercicios 5.28.

1. Para cada una de las siguientes graficas de las funciones dadas en-

contrar los intervalos donde f es concava hacia arriba y los intervalos

donde f es concava hacia abajo.

a) f(x) = −x2 − 4x+ 5.

b) f(x) = −x3 + 2x2 + 4.

c) f(x) = 3x2 − 4x3.

d) f(x) = 2x3 − 18x+ 5.

e) f(x) = x3 − 12x+ 7.

f ) f(x) = x4 − 2x2 + 1.

g) f(x) =x2

x2 + 1.

h) f(x) =x

x+ 1.

i) f(x) = x2√4− x.

j ) f(x) = x4 − 8x2 + 16.

k) f(x) =3

2x4 − 12x.

l) f(x) =x3

x2 + 1.

m) f(x) = x2/3(x2 − 4

).

n) f(x) = x√1− x2.

n) f(x) =x+ 1

x+ 2.

2. Dada la grafica de la segunda derivada f ′′(x) de la funcion y = f(x)

usar el teorema 5.26 de la pagina 314 para decidir los intervalos donde

f es concava hacia arriba y los intervalos donde f concava hacia abajo.


i- f ′′(x)

10

1

Figura 196

ii- y = f ′′(x)

10

1

Figura 197

Recordemos que para poder decidir sobre un punto extremo local debemos

hacer un analisis del comportamiento de la primera derivada antes del punto

crıtico y despues del punto crıtico. El siguiente teorema nos da un criterio

para saber si un punto crıtico es maximo o mınimo local usando la segunda

derivada.

Teorema 5.29. Supongamos que f ′′ existe y es continua en un intervalo

(a, b) tal que c ∈ (a, b) entonces

1. Si f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0, f tiene un maximo local en x = c.

2. Si f ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0, f tiene un mınimo local en x = c.

3. Si f ′(c) = 0 y f ′′(c) = 0 el criterio no decide, es decir puede haber un

maximo, un mınimo o no tener extremo.

Demostracion.


1. Si f ′′(c) < 0, entonces f ′′(x) < 0 en algun intervalo (c− ε, c+ ε) para

ε > 0, ya que f ′′ es continua, por lo tanto f ′ decrece en el intervalo

(c − ε, c + ε). Como f ′(c) = 0, el signo de f ′ cambia de positivo a

negativo en “c” de manera que segun la prueba de la primera derivada,

f tiene un maximo local en “c”.

2. Supongamos que f ′′(c) > 0, entonces f ′′(x) > 0 en un intervalo de la

forma (c− ε, c+ ε); ε > 0, ya que f ′′ es continua. Por lo tanto, f ′ crece

en el intervalo (c − ε, c + ε); ε > 0. Como f ′(c) = 0, el signo de f ′

cambia de negativo a positivo en “c”, de manera que segun el criterio

de la primera derivada f tiene un mınimo local en “c”.

3. Si f ′′(c) = 0, el criterio no decide. Por ejemplo si f(x) = x6, f ′(x) =

6x5, f ′′(x) = 30x4 y f ′′(0) = 0. En este caso f tiene un mınimo en 0.

Si f(x) = −x6, f ′(x) = −6x5, f ′′(x) = −30x4 y f ′′(0) = 0. En este

caso, f tiene un maximo local en 0.

Si f(x) = x5, f ′(x) = 5x4, f ′′(x) = 20x3 y f ′′(0) = 0 y f no tiene ni

maximo ni mınimo local en “0”.

Ejercicios 5.30. Use el criterio de la segunda derivada para encontrar los

maximos y mınimos de cada una de las siguientes funciones.

1. f(x) = x3 − 27x+ 30.

2. f(x) = x4 − 2x2 + 1.

3. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 2.

4. f(x) =√3 + 2x− x2.

5. f(x) = 3√1− x2.

6. f(x) = x5 − 20x+ 7.

7. f(x) = x4 − 4x2 + 4.

8. f(x) =x2

x2 + 1.

9. f(x) =x2 + 1

x2 + 3.

10. f(x) =x

x2 + 4.

11. f(x) = x√4− x2.

12. f(x) = x2/3(x+ 1).

13. f(x) = x2/3(4− x2).

14. f(x) = x2/3(x2 − 1).

15. f(x) = senx+ cosx.


16. f(x) = secx.

17. f(x) = (1− x2)ex.

18. f(x) = x lnx.

19. f(x) = x√1− x2.

20. f(x) = (x2 − 4)e−x.

21. f(x) =1

x2 − 4.

22. f(x) =x

x2 − 1.

23. f(x) =3

1− x2.

Con los criterios de la primera derivada y la segunda derivada para calcular

intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos de concavi-

dad hacia arriba y concavidad hacia abajo, podemos hacer una muy buena

aproximacion de la grafica una funcion.

Ejemplo 5.31. Construir la grafica que cumpla las condiciones indicadas.

1. f(−2) = 8, f(0) = 4, f(2) = 0,

f ′(2) = f ′(−2) = 0,

f ′(x) < 0 si |x| < 2,

f ′(x) > 0 para |x| > 2,

f ′′(x) < 0 para x < 0,

f ′′(x) > 0 para x > 0.

Intervalos f ′ f ′′

−∞ < x < −2 f ′ > 0; creciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

−2 < x < 0 f ′ < 0; decreciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

0 < x < 2 f ′ < 0; decreciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

2 < x <∞ f ′ > 0; creciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

Puntos crıticos −2 y 2.x −2 0 2

y 8 4 0


Con toda esta informacion se puede construir la grafica que aparece

en la figura siguiente:

| |

�

�

�

−

−2 2

8

(2, 0)

(0, 4)

(−2, 8)

X

Y

Figura 198 Grafica del Ejemplo 5.31

2. f(x) = x4 − 4x2 + 4. f ′(x) = 4x3 − 8x.

f ′(x) > 0 si y solo si, 4x3−8x > 0, si y solo si, 4x(x2−2) > 0, si y solo

si, 4x(x−

√2) (x+

√2)> 0, si y solo si, x ∈

(−√2, 0)∪(√

2,∞). f

es creciente en(−√2, 0)∪(√

2,∞).

f ′(x) < 0, si y solo si, 4x3−8x < 0, si y solo si, 4x(x−

√2) (x+

√2)<

0, si y solo si, x ∈(−∞,−

√2)∪(0,√2). f es decreciente en

(−∞,−

√2)∪(

0,√2).

Ahora f ′′(x) = 12x2 − 8.

f ′′(x) > 0, si y solo si, 12x2 − 8 > 0, si y solo si, 4(3x2 − 2) > 0, si y

solo si, 4(√

3x−√2) (√

3x+√2)> 0, si y solo si, x ∈

(−∞,−

√63

)∪

(√63 ,∞

), es decir, f es concava hacia arriba en el intervalo

(−∞,−

√63

)∪(√

63 ,∞

).

f ′′(x) < 0, si y solo si, 4(√

3x−√2) (√

3x+√2)< 0, si y solo si,

x ∈(−

√63 ,

√63

), es decir que f es concava hacia abajo en el intervalo

(−

√63 ,

√63

).


Intervalos f ′ f ′′

−∞ < x < −√2 f ′ < 0; decreciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

−√2 < x < −

√63 f ′ > 0; creciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

−√63 < x < 0 f ′ > 0; creciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

0 < x <√63 f ′ < 0; decreciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

√62 < x <

√2 f ′ < 0; decreciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

√2 < x <∞ f ′ > 0; creciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

x −√63 −

√2 0

√63

√2

y 169 0 4 16

9 0

Con toda esta informacion se construye la siguiente grafica

| | | |�

�

�

�

�

−

−2 −1 1 2

1

(0, 4)

X

Y

Figura 199

3. f(x) = x2/3(1− x).

f ′(x) =2

3x−1/3(1− x) + x2/3(−1) = 2

3 3√x(1− x)− x2/3

=2(1− x)− 3x

3 3√x

=2− 2x− 3x

3 3√x

=2− 5x

3 3√x


f ′(x) > 0 si y solo si2− 5x

3 3√x

> 0 si y solo si x ∈(0, 25), es decir, f es

creciente en(0, 25).

f ′(x) < 0 si y solo si 2−5x3 3√x < 0 si y solo si x ∈ (−∞, 0) ∪

(25 ,∞

). Es

decir f es decreciente en (−∞, 0) ∪(25 ,∞

).

Ahora,

f ′′(x) =−5 (3 3

√x)− (2− 5x)

(x−2/3

)

(3 3√x)

2 =−15 3

√x− 2x−2/3 + 5x1/3

9 ( 3√x)

2

=−15x− 2 + 5x

93√x4

=−2− 10x

93√x4

f ′′(x) > 0 si y solo si−2− 10x

93√x4

> 0 si y solo si −2−10x > 0 si y solo

si x < −15 , luego f es concava hacia arriba en

(−∞,−1

5

).

f ′′(x) < 0 si y solo si−2− 10x

93√x4

< 0 si y solo si −2−10x < 0 si y solo

si x > −15 , luego f es concava hacia abajo en

(−1

5 ,∞).

Intervalo f ′ f ′

−∞ < x < −15 f ′ < 0; decreciente f ′′ > 0; concava hacia arriba

−15 < x < 0 f ′ < 0; decreciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

0 < x < 25 f ′ > 0; creciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

25 < x <∞ f ′ < 0; decreciente f ′′ < 0; concava hacia abajo

x −15 0 2

5

y 65 3√25

0 35

3

√425


| | | |

�

�

�

−1 − 15

25 1

X

Y

Figura 200

Ejercicios 5.32.

1. Para cada una de las siguientes funciones, encontrar los intervalos de:

crecimiento, decrecimiento, concavidad hacia arriba, concavidad hacia

abajo y puntos crıticos, extremos locales y construya la grafica.

a) y =1

3x3 − x2

2− 6x+ 3.

b) y =x

x2 + 1.

c) y =x2

x2 + 1.

d) y = x2/3(x− 4).

e) y = x√4− x2.

f ) y = x2/3(4− x2).

g) y =1− x

1 + x2.

h) y =1

x2 − 4.

i) y = x5 − 20x+ 15.

j ) y = x4 − 2x2 + 1.

k) y = 2x− 3x2/3.

l) y = x(6− 2x)2.

m) y = 4x3 − x4.

n) y =1

2x+ senx.

n) y =∣∣x2 − 4

∣∣.

o) y = x2/3(5

2− x

).

p) y =√|x− 3|.

q) y = x3 + 3x2 + 3x.

r) y = x3 − 12x+ 4.

s) y =3

4

(x2 − 4

)2/3.

t) y = x4 − 13x2 + 36.

2. En los siguientes ejercicios se da la primera derivada de una funcion

y = f(x). Encuentre y′′ y despues use las propiedades adecuadas para

trazar una aproximacion de dichas funciones.


a) y′ = 2 + x− x2.

b) y′ = 2x+ 3.

c) y′ = x(x− 2)2.

d) y′ = x2 − x− 12.

e) y′ = (x− 1)2(x+ 2).

f ) y′ = senx; 0 ≤ x ≤ 2π.

g) y′ = 2|x|.h) y′ = 4− 3x.

i) y′ = x2.

j ) y′ = x2(2− x).

3. Dada la grafica de la derivada f ′(x) de la funcion y = f(x) usar el

teorema 5.21 de la pagina 311 y la definicion 5.24 de la pagina 313

para decidir los intervalos donde f es creciente y los intervalos donde

f es decreciente, los intervalos donde f es concava hacia arriba y los

intervalos donde f concava hacia abajo y construya una aproximacion

de una funcion f

i- f ′(x)

10

1

Figura 201

ii- f ′(x)


1

4

Figura 202

5.5. Problemas de optimizacion

Optimizar una situacion significa encontrar el maximo y/o el mınimo de

dicha situacion. En esta seccion trataremos algunos problemas aplicados a

situaciones reales o seudo-reales cuya solucion se encuentra mediante el uso

de las derivadas.

Ejemplo 5.33.

1. Un rectangulo tiene su base en el eje “x” y sus dos vertices superiores

sobre la parabola y = 12 − x2. ¿Cual es el rectangulo de mayor area

que se puede construir de esa forma?

La grafica de la curva y = 12− x2 se muestra en la figura siguiente

5.5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION 325

| | | | | |

−−−−−−−−

︸︷︷︸x

X

Y

Figura 203

El area del rectangulo es

A = 2x · y

como la altura “y” esta sobre la curva y = 12 − x2 entonces y es

justamente 12− x2, luego reemplazando el valor de “y” se obtiene

A = 2x(12− x2

)= 24x− 2x3,

derivando respecto a “x” se obtiene

A′(x) = 24− 6x2.

A′(x) = 0 si y solo si 24 − 6x2 = 0 si y solo si 24 = 6x2 si y solo

si x2 = 4 si y solo si x = ±2; luego los puntos crıticos son 2 y −2.Derivando por segunda vez se obtiene A′′(x) = −12x, luego A′′(2) =

−12(2) = −24, luego A tiene un maximo local en x = 2. Luego el area

maxima es

A(2) = 4(12− 22) = 4(12− 4) = 32 u.a.

y las dimensiones son 4 y 8.

2. Se quiere cultivar un huerto de acelgas en un terreno rectangular que

tenga 216 m2; dicho terreno se quiere encerrar con una cerca y luego

dividirlo en dos partes iguales mediante una cerca paralela a uno de


los lados. ¿Que dimensiones del rectangulo exterior requiere la menor

longitud total de cerca? ¿Cuanta cerca se requiere?

x

A = x · y, luego 216 = x · y, es decir y =216

x. Ahora la longitud de la

cerca es

P (x) = 3x+ 2y

pero y =216

x, luego

P (x) = 3x+432

x.

Derivando respecto a “x” tenemos

P ′(x) = 3− 432

x2.

P ′(x) = 0 si y solo si 3− 432

x2= 0 si y solo si 3 =

432

x2si y solo si

3x2 = 432 si y solo si x2 = 144 luego x = ±12, como x es la longitud

de un lado x = −12 no es posible. Luego la unica opcion es x = 12.

Derivando por segunda vez P se obtiene P ′′(x) =864

x3y

P ′′(12) =864

123=

864

1728> 0, luego P tiene un mınimo en x = 12 y su

valor es

P (12) = 3(12) +432

12= 36 + 36 = 72,

luego la longitud de la cerca es 72 m y las dimensiones del rectangulo

son 12 m y 18 m.

3. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo de area maxima que se

puede inscribir en un cırculo de radio 5 cm?

La ecuacion de la circunferencia es x2 + y2 = 25.


y

x

x2 + y2 = 25

X

Y

El area del rectangulo A esta dado por

A = 2x · 2y = 4xy (5.1)

pero como (x, y) esta sobre la circunferencia se tiene y =√25− x2,

reemplazando este valor en (5.1) se obtiene

A(x) = 4x√

25− x2

derivando respecto a x se obtiene

A′(x) = 4√

25− x2 − 4x2√25− x2

es decir que

A′(x) =4(25− x2)− 4x2√

25− x2=

100− 8x2√25− x2

,

luego, A′(x) = 0 si y solo si,100− 8x2√25− x2

= 0 si y solo si 100− 8x2 = 0

si y solo si, x2 = 504 si y solo si x = ± 5

√2

2 ; luego, podemos suponer

que x = 5√2

2 .

Ahora, derivando por segunda vez la funcion de area A(x) se obtiene

A′′(x) =−16x

√25− x2 +

(100−8x2)x√25−x2

25− x2

es decir que,

A′′(x) =−16x(25− x2) + (100− 8x2)x

(25− x2)3/2


=−400x+ 16x3 + 100x− 8x3

(25− x2)3/2

=8x3 − 300x

(25− x2)3/2

A′′(5√2

2

)=

8(5√2

2

)3− 300

(5√2

2

)

(25−

(5√2

2

)2)3/2=

50(5√2

2

)− 300

(5√2

2

)

(252

)3/2

es decir que A′′(5√2

2

)< 0, es decir, A tiene un maximo en 5

√2

2 . Por

lo tanto las dimensiones del rectangulo son 5√2

2 y 5√2

2 , es decir que el

rectangulo es un cuadrado. Ademas el area es

A = 4

(5√2

2

)(5√2

2

)= 50 u.a

4. Se coloca una hoja de papel de 8,5 por 11 cm sobre una superficie

plana. Una de las esquinas se coloca sobre el lado opuesto mas largo,

como se muestra en la figura y se mantiene ahı conforme se aplana el

papel suavemente. El problema es hacer la longitud del pliegue tan

pequena como sea posible.

a) ¿Que valor de “x” minimiza a L?

b) ¿Cual es el valor mınimo de L?


θ θ

90− 2θ

L

x

Pliegue

x

8,5

11√L2 − x2

cos θ =

√L2 − x2

L; sen θ =

x

L; cos(90− 2θ) =

8,5√L2 − x2

pero cos(90− 2θ) = sen 2θ, luego sen 2θ =8,5√

L2 − x2.

Ademas sen 2θ = 2 cos θ sen θ, luego

8,5√L2 − x2

= 2

√L2 − x2

L· xL

es decir que,

8,5√L2 − x2

=2x√L2 − x2

L2

8,5L2 = 2x(L2 − x2

)

es decir, que

2x3 = 2xL2 − 8,5L2

2x3 = (2x− 8,5)L2

luego L2 =2x3

2x− 8,5. Sea z = L2, derivando respecto a “x” se

obtiene

z′ =6x2(2x− 8,5)− 2x3(2)

(2x− 8,5)2=

12x3 − 51x2 − 4x3

(2x− 8,5)2=

8x3 − 51x2

(2x− 8,5)2.


z′ = 0 si y solo si8x3 − 51x2

(2x− 8,5)2= 0 si y solo si 8x3 − 51x2 = 0 si y

solo si x2(8x− 51) = 0 si y solo si x = 0 o x = 518 . Luego z tiene dos

puntos crıticos 0 y 518 .

Si x = 0 no hay pliegue. Ahora si x = 518 como z′(x) =

8x3 − 51x2

(2x− 8,5)2,

entonces

z′′(x) =

(24x2 − 102x

)(2x− 8,5)2 −

(8x3 − 51x2

)4(2x− 8,5)

(2x− 8,5)4

es decir que

z′′(x) =(2x− 8,5)

[(24x2 − 102x

)(2x− 8,5)− 4

(8x3 − 51x2

)]

(2x− 8,5)4

=

(24x2 − 102x

)(2x− 8,5)− 4(8x3 − 51x2)

(2x− 8,5)3

=48x3 − 204x2 − 204x2 + 817x− 32x3 + 204x2

(2x− 8,5)3

=16x3 − 204x2 + 817x

(2x− 8,5)3

z′′(51

8

)=

16(518

)3 − 204(518

)2+ 817

(518

)(2(518

)− 8,5

)3 > 0

es decir z tiene un mınimo y por lo tanto L2 tiene un mınimo en

x = 518 y su valor es

L2

(51

8

)=

2(518

)3

2(518

)− 17

2

=121859

64

Ejercicios 5.34.

1. Demuestre que el rectangulo de area maxima con perımetro P = 144 cm

es un cuadrado.

2. Se quiere hacer una caja de base rectangular sin tapa a partir de una

hoja rectangular de carton cuyos lados son 80 cm y 100 cm cortan-

do para ello pequenos cuadrados de lado “x” y luego doblando hacia

arriba. ¿Cuales son las dimensiones con mayor volumen que se puede

construir?


3. Una pequena parcela rectangular en una granja tendra lımites, por una

lado por un rio y por los otros tres mediante una cerca electrificada

con un solo alambre. Si se cuenta unicamente con 800 m de alambre,

¿cual es la mayor area que puede ocupar la parcela y cuales son sus

dimensiones?

4. ¿Cuales son las dimensiones del mayor cono circular recto que se puede

inscribir en una esfera de radio 50 cm?

5. ¿Cuales son las dimensiones de un cırculo y un rectangulo cuya suma

de las areas sea maxima y que se pueden construir con una cuerda de

longitud 200 cm?

6. Una ventana tiene forma de rectangulo, y esta coronada con un semi-

cırculo. El rectangulo es de vidrio claro, mientras que el semicırculo es

de vidrio de color y transmite solamente la mitad de la luz por unidad

de area en comparacion con el vidrio claro. El perımetro total es de

6 m. Encuentre las proporciones de la ventana que admitan la mayor

cantidad de luz.

7. Se debe construir una canal de hojalata para recoger agua. Se debe

hacer con las dimensiones que se muestran. Solamente se puede variar

el angulo θ. ¿Que valor de θ maximizara la cantidad de agua a recoger?

200 cm

θ

20 cm

20 cm 20 cm

8. Compare las respuestas de los dos problemas de construccion

siguientes

a) Una hoja rectangular de perımetro 36 cm y dimensiones “x” por


“y” cm se enrolla a manera de cilindro como se muestra en la

figura.

x

y

b) La misma hoja se gira alrededor de uno de los lados de longitud

“y” para general el cilindro que se muestra en la figura.

�

�x

y

¿Que valores de “x” e “y” dan el mayor volumen?

9. Encuentre las dimensiones del mayor rectangulo que se puede

inscribir en una elipse de ecuacion

x2

16+y2

9= 1.

10. Un cono de altura h y radio r se construye a partir de un disco

circular plano de radio “a” quitando un sector circular AOC de

longitud de arco x, despues juntando los bordes OA y OC.

x

O

a

C

A

h

r

5.6. REGLA DE L’HOPITAL. 333

a) Encuentre la formula para el volumen V del cono en terminos de

“x” y “a”.

b) Encuentre r y h en el cono de volumen maximo si a = 12 cm.

c) Encuentre una relacion entre r y h que sea independiente de “a”

para el cono de volumen maximo.

5.6. Regla de L’Hopital.

Teorema del valor medio de Cauchy

Supongase que f y g son funciones continuas en [a, b], derivables en (a, b) y

que g ′(x) 6= 0 para todo x en (a, b). Entonces, existe un numero c en (a, b)

tal quef ′(c)g ′(c)

=f(b)− f(a)

g(b)− g(a)

Notese que este teorema es una generalizacion del teorema del valor medio

ya que al reemplazar g(x) = x en el teorema obtenemos precisamente el

teorema del valor medio.

Demostracion.

Sea h(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

g(b)− g(a)(g(x)− g(a)) la funcion h es continua

en [a, b] y derivable en (a, b), ademas h(a) = h(b), luego, por el teorema de

Rolle, existe un numero c en (a, b) tal que h ′(c) = 0 por lo tanto

f ′(c)− f(b)− f(a)

g(b)− g(a)g ′(c) = 0 y

f ′(c)g ′(c)

=f(b)− f(a)

g(b)− g(a)

Teorema (Regla de L’Hopital)

Sean f y g continuas y derivables en un intervalo abierto I que contiene al

punto a y g ′(x) 6= 0 para x ∈ I.

1. Si lımx→a

f(x) = 0, lımx→a

g(x) = 0 y lımx→a

f ′(x)g ′(x)

existe. Entonces,

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)g ′(x)

.

2. Si lımx→∞

f(x) = 0, lımx→∞

g(x) = 0 y , lımx→∞

f ′(x)g ′(x)

existe. Entonces,


lımx→∞

f(x)

g(x)= lım

x→∞f ′(x)g ′(x)

3. Si lımx→a

f(x) = ±∞, lımx→a

g(x) = ±∞ y, lımx→a

f ′(x)g ′(x)

existe. Entonces,

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)g ′(x)

Demostracion

Se demuestra la parte 1 y 2 y la parte 3 se deja para un curso mas avanzado

1. Sea L = lımx→a+

f ′(x)g ′(x)

. Sean

F (x) =

f(x) si, x 6= a

0 si, x = ay

G(x) =

g(x) si, x 6= a

0 si x = a

F y G son continuas en I, luego si x > a, a ∈ I, F y G son continuas

en [a, x] y derivables en (a, x) y G ′ 6= 0. Por el teorema del valor medio

de Cauchy existe un y, tal que, a < y < x y

F ′(y)G ′(y)

=F (x)− F (a)

G(y)−G(a)=F (x)

G(x)

Si x→ a+, entonces, y → a+, pues a < y < x, luego,

lımx→a+

f(x)

g(x)= lım

x→a+

F (x)

G(x)= lım

y→a+

F ′(y)G ′(y)

= lımy→a+

f ′(y)g ′(y)

= L

De manera analoga se prueba que el lımite por la izquierda tambien

es L.

2. Se sustituye u = 1x , si x→∞, entonces, u→ 0+ y

lımx→∞

f(x)

g(x)= lım

u→0+

f

(1

u

)

g

(1

u

)


usando la regla de L’Hopital, ya probada

= lımu→0+

f ′(1

u

) −1u2

g ′(1

u

) −1u2

= lımu→0+

f ′(1

u

)

g ′(1

u

)

= lımx→a

f ′(x)g ′(x)

Ejemplo 5.35. Hallar el valor de lımx→1

sen(x2 + x− 2)

x2 − 1

El lımite es de la forma 00 y se puede aplicar la regla de L’Hopital

lımx→1

sen(x2 + x− 2)

x2 − 1= lım

x→1

(2x+ 1) cos(x2 + x− 2)

2x=

3

2

Ejemplo 5.36. Determine el valor de lımx→0

x− senx

1− cosx

El limite es de la forma 00 y se debe aplicar la regla de L’Hopital dos veces

lımx→0

x− senx

1− cosx= lım

x→0

1− cosx

senx= lım

x→0

senx

cosx= 0

Ejemplo 5.37. Encuentre lımx→∞

xn

exdonde n es un entero positivo.

El lımite es de la forma ∞∞ y aplicando la regla de L’Hopital n veces se ob-

tiene

lımx→∞

xn

ex= lım

x→∞n!

ex= lım

x→∞n! e−x = 0.

Ejemplo 5.38. Encuentre lımx→0+

(tanx)senx .

El lımite tiene la forma 00 pero usando propiedades de la funcion exponencial

se lleva a la forma −∞∞

lımx→0+

(tanx)senx = lımx→0+

esenx ln(tanx)


como la funcion exponencial es continua, permite el ingreso del lımite

= elım

x→0+senx ln(tanx)

= elım

x→0+

ln(tan x)csc x

= elım

x→0+

cot x sec2 x− csc x cot x

= elım

x→0+

− sen x

cos2 x

= e0 = 1

Ejemplo 5.39. Encuentre lımx→0+

(x+√x2 + 1)

1x .

El limite tiene la forma 1∞ pero usando propiedades de la funcion exponen-

cial se lleva a la forma 00

lımx→0+

(x+√x2 + 1)

1x = lım

x→0+e

1xln(x+

√x2+1)

como la funcion exponencial es continua, permite el ingreso del lımite

= elım

x→0+

ln(x+√x2+1)

x

= elım

x→0+

1

(x+√x2+1)

(1+ 2x

2√x2+1

)

= e1 = e.


Ejercicios 5.40. Calcule cada lımite usando la regla de L’Hopital.

1. lımx→0

x cosx− senx

1− secx

2. lımx→0

x2 senx

1− cos3 x

3. lımx→0

tan2 x+ x

sen2 x+ x

4. lımx→0

tan(2 senx)

sen(3 tanx)

5. lımx→0

x3 sen3(2x)

x3 − cos3(2x)

6. lımx→0

x2 csc2(5x)

7. lımx→0+

x ln3 x

8. lımx→0

x arc senx

x2 + tan2 x

9. lımx→0

x+ arc senx

x+ tan2 x

10. lımx→0

x+ arc senx

x+ sen3 x

11. lımx→0

arctan2(4x)

arc sen2(2x)

12. lımx→0+

x3 ln2 x

13. lımx→0+

senx lnx

14. lımy→0+

tan y ln2 y

15. lımt→∞

t8e−t

16. lımx→0+

xx

17. lımx→0+

xarc senx

18. lımx→0+

xsen2 x

19. lımx→0+

(x4 + 4√x4 + 1)

1x4

20. lımx→0+

(ax+√x2 + 1)

1x

21. lımx→0+

(ax4 +√x2 + 1)

1bx

22. lımx→0

(1

x2− csc2 x

)

23. lımx→0+

(cotx− 1

x

)

24. lımx→1+

(1

x− 1− 1

lnx

)

25. lımx→0+

secx− 1

ex − 3x− 1

26. lımt→∞

5et − t3

3et − t3 + t

27. lımt→∞

t1ln t

28. lımt→∞

t1

ln2 t

29. lımy→∞

y

ln (y + e3y)

30. lımz→∞

(2z + 4z)1/z

31. lımz→0+

(3z − 2z)1/z

32. lımz→∞

(3z + 2

3z − 5

)3z+1


339

340 APENDICE A.

Apendice A

Resumen de las propiedades de los logaritmos*

1 loge 1 = 0 loga 1 = 0

2 ln e = loge e = 1 loga a = 1

3 y = lnx⇐⇒, ey = x y = loga x,⇐⇒, ay = x

4 ln(ex) = x, para todo x ∈ R loga(ax) = x, para todo x ∈ R

5 x = elnx, para todo x ∈ (0, ∞) x = aloga x

6 lnxr = r lnx loga xr = r loga x

7 xr = er lnx xr = ar loga x

8 ln(xy) = lnx+ ln y loga(xy) = loga x+ loga y

9 ln

(x

y

)= lnx− ln y loga

(x

y

)= loga x− loga y

10 Si x = y,⇐⇒, ex = ey Si x = y,⇐⇒, ax = ay

11 Si x = y,⇐⇒, lnx = ln y Si x = y,⇐⇒, loga x = loga y

12 loga x =lnx

ln aloga x =

logb x

logb a

13 ln b =1

logb eloga b =

1

logb a

13 loga b = logar(b)r

*a > 0, b > 0. Para loga x, x > 0

A.1. ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 341

A.1. Algunas identidades trigonometricas

1. sen2A+ cos2A = 1

2. 1 + tan2A = sec2A

3. 1 + cot2A = csc2A

4. sen(A+B) = senA cosB + senB cosA

5. cos(A+B) = cosA cosB − senA senB

6. sen(A−B) = senA cosB − senB cosA

7. cos(A−B) = cosA cosB + senA senB

8. sen 2A = 2 senA cosA

9. cos 2A = cos2A− sen2A = 1− 2 sen2A = 2 cos2A− 1

10. sen2A =1− cos 2A

2

11. cos2A =1 + cos 2A

2

12. tan(A+B) =tanA+ tanB

1− tanA tanB

13. tan(A−B) =tanA− tanB

1 + tanA tanB

14. tan(2A) =2 tanA

1− tan2A

15. 2 senA cosB = sen(A+B) + sen(A−B)

16. 2 cosA senB = sen(A+B)− sen(A−B)

17. 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A−B)

18. 2 senA senB = cos(A−B)− cos(A+B)

19. sen(−A) = − senA

20. cos(−A) = cosA

21. tan(−A) = − tan(A)

342 APENDICE A.

A.2. Respuesta a algunos ejercicios

Ejercicios 1.11, de la pagina 16

1) 12 y − 2 2) 18 y − 2 3) 11 y − 20

4) 5 y − 2 5) 32/7 y − 10/7 6) − 2 ≤ x ≤ 12

9) − 2 ≤ x ≤ 5 12) (−∞,−2] ∪ [12,∞) 17) (−∞,−5] ∪ [1,∞)


3−3

3

−3

1)

3−3

3

−3

3)

4−4−8

−4

7)

2−2−4

2

4

−2

−4

12)


1) 3 3) 0 5) 0,25 7) 4 9) 1

11) 2 12) 3 13) 4 14) NE 15) 9

17) − 42 19) − 1 21) − 2 23) 2 25) − 9

A.2. RESPUESTA A ALGUNOS EJERCICIOS 343


1) lımx→−3

x2 − x− 12

x+ 3= lım

x→−3

(x+ 3)(x− 4)

x+ 3= lım

x→−3(x− 4) = −7.

3) lımx→1

x3 − x

x2 − 1= lım

x→1

x(x2 − 1)

x2 − 1= lım

x→1x = 1.

5) lımx→3

(x− 2)4 − 1

x− 3= lım

x→3

((x− 2)2 + 1)((x− 2)− 1)((x− 2) + 1)

x− 3=

lımx→3

((x− 2)2 + 1)((x− 3)((x− 1)

x− 3= lım

x→3((x− 2)2 + 1)(x− 1) = 4.

7) lımh→0

(x+ h)3 − x3

h= lım

h→0

(x+ h− x)((x+ h)2 + x(x+ h) + x2)

h=

lımh→0

((x+ h)2 + x(x+ h) + x2) = 3x2.

9) lımx→2

√x+ 2− 3x+ 4

x2 − 4= lım

x→2

(√x+ 2− (3x− 4))(

√x+ 2 + 3x− 4)

(x2 − 4)(√x+ 2 + 3x− 4)

=

lımx→2

x+ 2− (3x− 4)2

(x2 − 4)(√x+ 2 + 3x− 4)

= lımx→2

−9x2 + 25x− 14

(x− 2)(x+ 2)(√x+ 2 + 3x− 4)

=

lımx→2

(x− 2)(−9x+ 7)

(x− 2)(x+ 2)(√x+ 2 + 3x− 4)

= lımx→2

(−9x+ 7)

(x+ 2)(√x+ 2 + 3x− 4)

=−2516

.

11) lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

= lımx→2

(√6− x− 2)(

√6− x+ 2)(

√3− x+ 1)

(√6− x+ 2)(

√3− x− 1)(

√3− x+ 1)

=

lımx→2

(2− x)(√3− x+ 1)

(√6− x+ 2)(2− x)

= lımx→2

√3− x+ 1√6− x+ 2

=1

2.

13) lımx→1

√x2 + x+ 2− x− 1

x2 − 1= lım

x→1

(√x2 + x+ 2− (x+ 1))(

√x2 + x+ 2 + x+ 1)

(x2 − 1)(√x2 + x+ 2 + x+ 1)

=

lımx→1

x2 + x+ 2− (x2 + 2x+ 1)

(x2 − 1)(√x2 + x+ 2 + x+ 1)

= lımx→1

−(x− 1)

(x− 1)(x+ 1)(√x2 + x+ 2 + x+ 1)

=

lımx→1

−1(x+ 1)(

√x2 + x+ 2 + x+ 1)

=−18.

344 APENDICE A.

15) lımx→−2

√x2 + x+ 2− 2

x+ 2= lım

x→−2((√x2 + x+ 2− 2)

√x2 + x+ 2 + 2)

(x+ 2)√x2 + x+ 2 + 2)

=

lımx→−2

x2 + x− 2

(x+ 2)√x2 + x+ 2 + 2)

= lımx→−2

(x+ 2)(x− 1)

(x+ 2)√x2 + x+ 2 + 2)

=−34.

17) lımx→1

√x2 + 4x+ 4− 3

x2 − x= lım

x→1

(√x2 + 4x+ 4− 3)(

√x2 + 4x+ 4 + 3)

(x2 − x)(√x2 + 4x+ 4 + 3)

=

lımx→1

x2 + 4x− 5

x(x− 1)(√x2 + 4x+ 4 + 3)

= lımx→1

(x− 1)(x+ 5)

x(x− 1)(√x2 + 4x+ 4 + 3)

=6

6=

1.

19) lımx→−2

f(x) = −8; lımx→ 1

4

f(x) =−25564

; lımx→3

f(x) = 15,

lımx→−1

f(x) = −5, pues, lımx→−1−

f(x) = −5 = lımx→−1+

f(x)

lımx→2

f(x), no existe, pues, lımx→2−

f(x) = 4 y lımx→2+

f(x) = 7

.

21) lımx→−2

f(x) =−13; lım

x→ 14

f(x) = 7; lımx→3

f(x) = 35,

lımx→0

f(x) no existe, pues, lımx→0−

f(x) = −3 y lımx→0+

f(x) = 3,

lımx→1

f(x) = 19 pues, lımx→1−

f(x) = 19 = lımx→1+

f(x)


1)Si 1 ≤ f(x) ≤ x2 − 2x− 2 para todo x, encuentre lımx→−1

f(x).

Como lımx→−1

1 = 1 y lımx→−1

(x2 − 2x− 2) = 1, por el teorema de intercalacion,

tenemos que lımx→−1

f(x) = 1.

3) lımx→0

x4 sen(1x

).

Para todo x 6= 0 se cumple −1 < sen(1x

)< 1, ası que −x4 < x4 sen

(1x

)<

x4. Como lımx→0

(−x4) = 0 y lımx→0

x4 = 0, por el teorema de intercalacion,


tenemos que lımx→0

x4 sen(1x

)= 0.

5) lımx→0

xn sen(1x

).

Para todo x 6= 0 se cumple | sen(1x

)| < 1, ası que |xn sen

(1x

)| < xn, luego

−xn < sen(1x

)< xn. Como lım

x→0(−xn) = 0 y lım

x→−1xn = 0 , por el teorema

de intercalacion, tenemos que lımx→0

xn sen(1x

)= 0.

7) lımx→0

sen(2x)

sen(3x)=

2

3.

lımx→0

sen(2x)

sen(3x)= lım

x→0

2 sen(2x)

2x3 sen(3x)

3x

9) lımx→0

1− cosx

senx.

lımx→0

1− cosx

senx= lım

x→0

1− cosx

xsenx

x

=0

1= 0

11) lımy→0

cos(3y)− 1

sen(4y).

lımy→0

cos(3y)− 1

sen(4y)= lım

y→0

cos(3y)− 1

ysen(4y)

y

=0

4= 0.

13) lımx→π

2

cosxπ2 − x

.

Sustituyendo u = π2 − x obtenemos

lımx→π

2

cosxπ2 − x

= lımu→0

cos(u+ π2 )

u= lım

u→0

cos(u) · cos(π2 )− sen(u) · sen(π2 )u

=

lımu→0

− senu

u= −1

15) lımx→π

2

sen(cosx)

cosx.

346 APENDICE A.

Se sustituye u = cosx

lımx→π

2

sen(cosx)

cosx= lım

u→0

senu

u= 1.

17) lımx→1

sen(x2 − 5x+ 4

)

x2 − 1.

lımx→1

sen(x2 − 5x+ 4

)

x2 − 1= lım

x→1

sen((x− 1)(x− 4))

(x− 1)(x+ 1)= lım

x→1

(x− 4)

(x+ 1)

sen((x− 1)(x− 4))

(x− 1)(x− 4)=

lımx→1

−3sen((x− 1)(x− 4))

(x− 1)(x− 4)= −3 · lım

x→0

senu

u= −3

19) lımx→π

6

1− 2 senx

senx− cos(2x).

Sustituyendo u = x− π6 obtenemos

lımx→π

6

1− 2 senx

senx− cos(2x)= lım

u→0

1− 2 sen(u+ π6 )

sen(u+ π6 )− cos(2u+ π

3 )

= lımu→0

1− 2 senu · cos π6 − 2 cosu · sen π6

senu · cos π6 + cosu · sen π6 − cos 2u · cos π3 + sen 2u · sen π

3

= lımu→0

1−√3 senu− cosu

√32 · senu+ 1

2 · cosu− 12 · cos 2u+

√32 · sen 2u

= lımu→0

−√3 senu

u+

(1− cosu)

u√32 ·

senu

u+ 1

2 · (cosu− 1

u+

1− cos 2u

u) +

√32 ·

sen(2u)

u

=−√3

3√3

2

=

−2

3.

21) lımx→π

2

cosx

1− senx− cosx.

Sustituimos u = x− π2

lımx→π

2

cosx

1− senx− cosx= lım

u→ 0

cos(u+ π2 )

1− sen(u+ π2 )− cos(u+ π

2 )

= lımu→ 0

cosu · cos π2 − senu · sen π2

1− senu · cos π2 − cosu · sen π2 − cosu · cos π2 + senu · sen π

2


= lımu→ 0

− senu

1− cosu+ senu= −1


1) − 1

33) − 7

25) − 2

3

7) − 9 9)15

1311)

25

17

13) asıntota horizontal: y = 2; asıntota vertical: x = −3.

15) asıntota horizontal: y = 2; asıntota vertical: x = 4.

17) asıntotas horizontales: y = 2, y = 0 asıntota vertical: x = 4.

19) asıntotas horizontales: y = 2, y = 0 asıntotas verticales: no tiene.


1. a) v =16× 1. 12 − 16

0. 1= 33. 6 pies

segundo

v =16× 1. 012 − 16

0. 01= 32. 16 pies

segundo

v =16× 1. 00012 − 16

0. 0001= 32. 002 pies

segundo .

b) v = lımh→0

16× (h+ 1)2 − 16

h= 32 pies

segundo

3. a) v =

2

2. 1 + 3− 2

2 + 30. 1

= −0. 07843 1 piessegundo

v =

2

2. 01 + 3− 2

2 + 30. 01

= −0. 07984 piessegundo

v =

2

2. 0001 + 3− 2

2 + 30. 0001

= −0. 07999 8 piessegundo .

b) v = lımh→0

2

h+ 2 + 3− 2

5h

= − 2

25:2

25= 0. 08 pies

segundo .

348 APENDICE A.


1. mT = lımx→−2

f (x)− f (−2)x− (−2) = lım

x→−2

2x2 − 3x− 4− 10

x+ 2= −11

E.R.T: y = −11 (x+ 2) + 10 : y = −11x− 12

3. mT = lımx→1

f (x)− f (1)

x− 1= lım

x→1

√x− 1

x− 1=

1

2.

E.R.T: y =1

2(x− 1) + 1 : y =

1

2x+

1

2.

5. mT = lımx→2

f (x)− f (−2)x− 2

= lımx→2

3x

x+ 1− 2

x− 2=

1

3.

E.R.T: y =1

3(x− 2) + 2 : y =

1

3x+

4

3.

7. mT = lımx→−1

f (x)− f (−2)x− (−1) = lım

x→−1

3x+ 2 + 1

x+ 1= 3.

E.R.T: y = 3 (x+ 1)− 1 : y = 3x+ 2

9. mT = lımx→0

f (x)− f (0)

x− 0= lım

x→0

x

x+ 1− 0

x= 1.

E.R.T: y = 1 (x− 0) + 0 : y = x.


1. f ′ (x) = lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

√3 (x+ h) + 1−

√3x+ 1

h=

3

2√3x+ 1

3.d

dx

(x+ 1

x

)= − 1

x2

5.d

dx

(1

x+ 2

)= − 1

(x+ 2)2

7. lım4x→0

(x+4x)2 − 2 (x+4x)−(x2 − 2x

)

4x =d

dx

(x2 − 2x

)= 2x− 2

9. lımz→x

z3 + 2z2 − 1−(x3 + 2x2 − 1

)

z − x=

d

dx

(x3 + 2x2 − 1

)= 3x2 + 4x.


11. lımz→x

√z + 2− 5 3

√z + 1−

(√x+ 2− 5 3

√x+ 1

)

z − x=

d

dx

(√x+ 2− 5 3

√x+ 1

).


1 ddx

(3x2 − 5x+ 6

)= 6x− 5

3 ddx

(3x4− 5

x3+ 2)= − 12

x5+ 15

x4.

5 ddx

[(3x2 + 2x+ 1

) (x5 − 4x3 + 2x+ 5

)]= 21x6 + 12x5 − 55x4 − 32x3 +

6x2 + 38x+ 12.

7 ddx

(3x+12x−3

)= − 11

(2x−3)2.

9 ddx

[x(x2−12x+3)

x2−3

]= x4−12x2+72x−9

(x2−3)2.

11 ddx

(4x3 − 23x+ 2x+1

x2−7

)= 12x2 − 23− 2(x2+x+7)

(x2−7)2.

13 ddx

1x−1 si x < 0

2x− 3 si x > 2

=

− 1

(x−1)2if x < 0

2 if x > 2

.

15 ddx

x+1x2+1

si x < −1

(x+ 1)(x2 + 1

)si x ≥ −12

=

−x2+2x−1(x2+1)2

if x < −1

3x2 + 2x+ 1 if x > −1217 (fg) ′ (2) = f ′ (2) g (2) + f (2) g ′ (2) = 2× 5 + (−3) (−3) = 19.

19(fg + g

f

)′ (2) = f ′(2)g(2)−f(2)g ′(2)

g(2)2+ g ′(2)f(2)−g(2)f ′(2)

f(2)2= 1

25 + −19 = − 16

225 .

21 ddx

(3−x3+x

)= − 6

(x+3)2f ′ (−2) = −6.

23 ddx

(x3 +−2x2 − 3x− 4

)= 3x2−4x−3, f ′ (1

2

)= 3

(12

)2−4(12

)−3 =

−174 .

25 ddx

(x2

x2+1

)= 2x

(x2+1)2, mT = f ′ (−1) = −2

4 = −12 .

E.R.T. y = −12 (x+ 1)− 1

2 : y = −12x− 1

27 ddx

(3x2 + 6x+ 3

)= 6x+ 6, mT = f ′ (2) = 18.

E.R.T. y = 18 (x− 2) + 3 : y = 18x− 33.

Ejercicios 4.17

1. y ′ = 7 (6x+ 2)(3x2 + 2x+ 1

)7.

3. y ′ = 2(12x4 − 7x+ 3

) (48x3 − 7

)

5. y ′ = −40x(3− 5x2

)3(2− 7x)5 − 35

(3− 5x2

)4(2− 7x)4 .

7. y ′ =8(3x2+5)

3(3x2−9x−5)

(2x−3)5

350 APENDICE A.

9. y ′ = ddx

(5

(2x3−5)2

)= −60x2

(2x3−5)3.

11. ddx

(3x−22x−3

)2= −10(3x−2)

(2x−3)3mT = f ′ (1) = 10

E.R.T: y = 10 (x− 1) + 1 : y = 10x− 9

13. ddx

(x(x2 − 2x

)4)= x4 (9x− 10) (x− 2)3 = mT = f ′ (2) = 0

E.R.T: y = 0 :

Ejercicios 4.18

1. y ′ = secx tanx

3.y ′ = sec2 x

5. ddx

(senx

cosx+1

)= 1

cosx+1

7. ddx

(cotx+1tanx

)= − csc2 x tanx+(cotx+1) sec2 x

tan2 x

9. ddx

(tanx

1−cotx + cosx)= sec2 x(1−cotx)+tanx csc2 x

(1−cotx)2− senx

11. ddx (cosx+ senx)6 = 6 (cosx− senx) (cosx+ senx)5 .

13. ddx

(secx

cscx+1

)3= 3

(secx

cscx+1

)2secx tanx(cscx+1)+secx cscx cotx

(cscx+1)2.

15. ddx

((cos3 x+ 2

)7+ (1 + cscx)2

)=

−21(cos3 x+ 2

)6cos2 x senx− 2 (1 + cscx) cscx cotx

17. ddx

(senx

cosx+1

)= 1

cosx+1 mT = f ′ (π2

)= 1. ERT : y = x− π

2 + 1.

19. ddx

((x2 + 1

)cosx

)= 2x cosx − x2 senx − senx, mT = f ′ (0) = 0.

ERT : y = 1.

Ejercicios 4.19

1. ddx

(x3 lnx

)= 3x2 lnx+ x2.

3. ddx

(x3

lnx + 2x2 − 3x+ 1)= 3x2 lnx−x2

ln2 x+ 4x− 3.

5. ddx

(x3

1+ex

)= 3x2ex−x3ex+3x2

(ex+1)2

7. ddx

(x2e3x+1 lnx

)= xe3x+1 (2 lnx+ 3x lnx+ 1) .

9. ddx

(lnx1+ex

)= ex−xex lnx+1

x(ex+1)2.

Ejercicios 4.21.

1. 6

3. ddx

(ddx

(ddx

(x

x+1

)))= 6

(x+1)4.

5. ddx(ddx

(ddx

(x3e2x − 4x+ 3

)))= 2e2x

(4x3 + 18x2 + 18x+ 3

).

7. ddx

(ddx

(ddx

(x2 senx+ 2x− 3

)))= 6 cosx− x2 cosx− 6x senx.

9. ddx

(ddx

(ddx (cosx senx− 3x− 5)

))= −4 cos 2x.


Ejercicios 4.24.

1. ddx (sen (cosx)) = − senx cos (cosx)

3. ddx (tan (cos (senx))− 2x+ 1) = − sec2 (cos (senx)) sen (senx) cosx− 2

5. ddx

(sec3 (ln (tanx))

)= 3 sec2 (ln (tanx)) sec (ln (tanx)) tan (ln (tanx)) cotx sec2 x.

7. ddx

(cos5 (cos (secx))

)= 5 cos4 (cos (secx)) sen (cos (secx)) sen (secx) secx tanx.

9. ddx

(tan

(cos(4x2 + 3x− 1

)))= − (8x+ 3) sec2

(cos(4x2 + 3x− 1

))sen(4x2 + 3x− 1

),

11. h ′ (1) = f ′ (1) cos (g (1))− f (1) g ′ (1) sen (g (1)) = 3− 2× 2× 0 = 3

13. ddx(cos(πx− π

2

))= π cosπx, ERT: y = −π (x− 1) .

La cruza en x = 1.

Ejercicios4.28

1. dydx = 2

6t , mT = 6. ERT : y = 16 (x− 13) + 3 : y = 1

6x+ 56

3. dydx = 2

√t+ 1, mT = 4. ERT : y = 4 (x− 2) + 4 : y = 4x− 4

5. dydx = 4√t2 + 1,mT = 8. ERT : y = 8 (x− 2)+5 : y = 8x−11

7. dydx = 2 sec t, mT = 2

√2. ERT : y = 2

√2(x−

√2− 1

)+ 1 :

y = 2√2x− 2

√2− 3.

9. dydx = 1

2 tan t , mT = 12 . ERT : y = 1

2 (x− 2) + 2 : y = 12x+ 1.

Ejercicios 4.30.

1. y ′ = − 2x3y2

3.. y ′ = − y2−2xy3+32xy−3x2y2−4y

5. y ′ = − y2−2x2xy−3y2−4y

7. y ′ = − y2+yexy

2xy+xexy

9. y ′ = −1x+2

lnx−3

11. mT = −12 . ERT : y = −1

2 (x− 1) + 2 : y = 52 − 1

2x.

13. mT = −2. ERT : y = −2x+ 2.

15. mT = 43 . ERT : y = 4

3x+ 1.

17. La recta tangente es vertical

19.mT = −109 . ERT : y = −10

9 (x− 1) + 1 : y = 199 − 10

9 x.

Ejercicios 4.32

1. ddx (senx)x = 1

senx (senx x ln (senx) senx+ x cosx senx x) .

3. ddx (1 + x)x = x (x+ 1)x−1 + (ln (x+ 1)) (x+ 1)x

5. ddx (lnx)

lnx = 1x

(lnlnx x

)(ln (lnx) + 1) .

352 APENDICE A.

Ejercicios 4.36

1. ddx

(√x3 + 3x− 2

)= 1

23x2+3√x3+3x−2

3. ddx

(√senx+ cosx

)= 1

2cosx−senx√cosx+senx

.

5. ddx

(3√lnx+ 3

)= 1

3x(lnx+3)23.

7. ddx

(5√

sen√2x+ 5 +

√2x+ 1

): 15√2x+1

√2x+5

(cos√2x+5)

√2x+1+

√2x+5

(sen√2x+5+

√2x+1)

45

.

9. ddθ

(√tan 3

√2θ + 5

)= 1

3(√

tan 3√2θ+5)(2θ+5)

23

(tan2 3

√2θ + 5 + 1

).

11. dydx = 2

(6√x2 + y + 1

)x−2√x2+y

36x2+36y−1

13. dydx = − 3

√y

3√x .

17. y = x+ 1

23. y = π.

Ejercicio 4.37

1 a)dy

dx= − 1√

1− x2intervalo (−1, 1)

1 b)dy

dx= − 1

1 + x2intervalo (−∞,∞)

1 c)dy

dx= − 1

x√x2 − 1

intervalo (−∞,−1] ∪ [1,∞)

Bibliografıa

[1] Apostol, Tom M. Calculus volumen I. Reverte, 2001.

[2] Leithold, Louis. El Calculo con Geometrıa Analıtica, quinta edicion, Har-

la. Mexico, 1987.

[3] Purcell, Edwin J. y otros. Calculo, octava edicion. Pearson Educacion.

Mexico, 2001.

[4] Stewart, James . Calculo de una Variable. Thomson, 2001.

[5] Swokowski, Earl. Calculo con Geometrıa Analıtica. Segunda edicion.

Grupo Editorial Iberoamerica, 1988.

[6] Thomas, George B. Jr. Calculo una variable. Undecima edicion. Pearson

Addison Wesley, 2006.

[7] Thomas, George B. Jr. y Finney, Ross L. Calculo una variable. Novena

edicion. Addison Wesley, 1998

[8] Rincon Z, Rodrigo. Ensenanza de algunos temas de calculo. Investi-

gacion. Universidad Distrital, 2008.

353

Indice alfabetico

angulos

radianes y grados, 94

asıntotas

horizontales, 206

horizontales, 207

verticales, 210

concavidad, 312

continuidad, 183

contracciones

horizontales, 80

verticales, 77

derivada

criterio de la primera, 309, 311

criterio de la segunda, 313

de un cociente, 259

de un producto, 258

de una constante, 256

de una suma, 258

funcion coseno, 266

funcion exponencial, 268

funcion seno, 265

derivadas, 243, 250

algebra de, 257

de funciones trascendentes, 265

de las funciones

trigonometricas inversas , 280

de orden superior, 269

implıcitas, 274

desigualdades, 10

propiedades de las, 10

desigualdades cuadraticas, 16

desplazamientos

horizontales, 75

verticales, 75

dilataciones

horizontales, 80

verticales, 77

e, 145

funcion

algebraica, 74

biyectiva, 123

cosecante, 105

coseno, 97

cotangente, 104

creciente, 309

decreciente, 310

dominio de una, 55

escalon unitario, 67

exponencial natural, 145

extension periodica, 93

impar, 90

inyectiva, 122

354

INDICE ALFABETICO 355

logaritmo en base a, 149

logaritmo natural, 146

par, 89

parte entera, 68

periodica, 91

secante, 104

seno, 97

sobreyectiva, 122

tangente, 103

uno a uno, 122

valor absoluto, 67

funciones, 43

composicion de , 72

dilataciones-contracciones, 77

inversas, 123

monotonas, 310

operaciones con, 68

transformaciones geometricas,

75

trigonometricas, 94, 106

inecuaciones, 11

intervalos, 11

de longitud finita, 11

de longitud infinita, 11

L’Hopital, 333

lımite

de funciones a trozos, 191

de un polinomio, 184

de una constante, 173

de una funcion algebraica, 185

de una funcion racional, 184,

189

de una funcion radical, 185

definicion formal, 169

definicion intuitiva , 164

funcion identidad, 173

numerico , 165

trigonometrico fundamental, 199

lımites, 159

al infinito, 205

laterales, 171

propiedades, 176

trigonometricos, 194

logaritmo

natural, 146

maximos y mınimos

absolutos, 295

relativos, 304

numeros reales, 1, 7

enteros, 2

irracionales, 6

naturales, 1

propiedades algebraicas de , 7

propiedades de los, 7

propiedades de orden de los, 9

racionales, 3

producto cartesiano, 43

radian, 96

razones de cambio, 287

recta tangente, 160

rectas secantes, 246

rectas tangentes, 246

regla de la cadena, 270

relacion, 43

dominio de una, 43

356 INDICE ALFABETICO

recorrido de una, 43

relaciones, 43

simetrıa

respecto al eje x, 84

respecto al eje y, 85

respecto al origen, 85

teorema

de Bolzano, 236

de intercalacion, 194

del valor intermedio , 238

del valor medio, 332

del valor medio de Cauchy, 332

valor absoluto, 13

desigualdades con, 15

propiedades, 14

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