Libro de Analisis Mio

Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasDepartamento de Matematicas

ANALISIS REAL

CURSO DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS

Abstract. El presente libro pretende servir a los alumnos como apunte guıa para un curso estandar de analisisreal 1 de licenciatura en matemaicas, curso en el cual se consideran como topicos a estudiar la construccion analıticade la recta real ademas de un estudio de espacios metricos generales con enfasis en Rn, finalmente se veran laspropiedades basicas de las sucesiones de funciones, los teoremas de aproximacion por polinomios y una breve resenade las propiedades topologicas del espacio de las funciones continuas.Se ha agregado un capıtulo dedicado a algunos resultados mas actuales respecto de la teorıa de puntos fijos con elfin de mostrar las dificultades propias de la investigacion actual en espacio metricos y normados.Debe quedar claro al lector que en ningun caso este apunte reemplaza a los libros del curso ni tampoco a las clasesexpositivas, sino que solo espera ser una guıa para la comprension de los resultados y sus demostrciones con elmayor detalle posible.Para una correcta comprension de los temas aquı expuestos se requieren conocimientos en algebra basica (ecuacionesde primer y segundo grado, teorema del binomio, funciones) y teorıa de conjuntos (familias, cardinalidad, uniones,intersecciones, particiones, productos cartesianos) para lo cual se recomienda el libro de Paul Halmos ’Teorıa in-tuitiva de los conjuntos’ ademas de algunas nociones de algebra abstracta (estructuras de anillos, grupos, cuerpos,relaciones de orden y de equivalencia, conjuntos cuocientes, axioma de eleccion y sus consecuencias) los cualesno necesariamente deben ser profundos y se pueden lograr con una lectura paralela del libro de Alamiro Robledo’Lecciones de algebra elemental moderna’.En este texto se pretende abarcar lo maximo posible en espacios metricos que sea comprensible para un alumno desegundo ano de licenciatura en matematicas, lo cual significa que no todos los topicos considerados aquı se estudianusualmente en un curso de pregrado de analisis real.Aunque se han dejado algunas afirmaciones para ser chequeadas por el lector se ha preferido no integrar ejerci-cios propuesto porque su busqueda por parte del estudiante permitira un desarrollo mas rapido de su madurezmatematica que es fundamental para obtener buenos reultados en este curso y en los que le siguen.El autor agradece de antemano que cualquier error matematico o tipografico que aparezca en este apunte comotambien cualquier aporte a la calidad del mismo sea comunicado cuanto antes a ’[email protected]’.

Escrito por Marcos Reyes G.c© 2004.Esta obra es de propiedad intelectual del autor quedando por tanto prohibida su reproduccion sin previo permiso del mismo (menos

esta que es una edicion especial).

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2 CURSO DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS

Contents

1. R como cuerpo ordenado y completo 4

1.1. La construccion axiomatica de N 4

1.2. Las operaciones aritmeticas y los axiomas de cuerpo 4

1.3. La construccion de Q y la existencia de R−Q 5

1.4. Valor absoluto y los axiomas de orden 6

1.5. El axioma del supremo y sus consecuencias 6

2. Breve recuento de algebra lineal 10

2.1. Productos internos, normas, metricas 10

3. Rn como espacio metrico 13

3.1. Nociones preeliminares 13

3.2. Clausura, adherencia e interior 18

3.3. Las categorıas de Baire 20

3.4. Compacidad 23

3.5. Conexidad 26

4. Sucesiones en R y Rp 30

4.1. Sucesiones y lımites 30

4.2. Lımites inferiores y superiores 33

5. Funciones continuas 36

5.1. Continuidad puntual y global 36

5.2. La relacion continuidad-conexidad 39

5.3. La preservacion de la compacidad y la relacion compacidad-sucesiones 41

5.4. Continuidad uniforme 43

5.5. Puntos fijos 45

5.6. Homeomorfismos y homotopıas 46

6. Teorıa de la aproximacion 50

6.1. Sucesiones de funciones 50

6.2. Teoremas de aproximacion 54

7. Propiedades relevantes del espacio (C (K ⊆ Rn), ‖ · ‖∞) 58

7.1. Los resultados de Stone y Weierstrass 58

7.2. Equicontinuidad y el teorema de Arzela-Ascoli 60

ANALISIS REAL 3

7.3. El Teorema de Tietze 62

8. Resultados adicionales en teorıa de puntos fijos 66

8.1. Estructuras convexas 66

8.2. Respecto de las iteradas de una contraccion 69


1. R como cuerpo ordenado y completo

1.1. La construccion axiomatica de N.

Comencemos suponiendo que existe un conjunto de numeros que sirve para contar (al que usualmentellamamos N) que verifica las caracterısticas siguientes:α- 1 ∈ N.β- Existe una funcion s : N −→ N definida por s(n) = n + 1 para cada n ∈ N.γ- Existe una funcion a : N− 1 −→ N definida por a(n) = n− 1 para cada n ∈ N− 1.δ- Podemos definir la funcion + : N2 −→ N como

+(n,m) = +(m,n) = n + m = n + m = s(n + a(m)) y + (n, 1) = s(1)

para cada n,m ∈ N (ademas la definimos de modo que (n + m) + p = n + (m + p)).ε- Podemos definir la funcion · : N2 −→ N por

·(n,m) = ·(m,n) = mn = nm = na(m) + m y · (n, 1) = n

para cada n,m ∈ N (tambien la podemos definir de modo que (mn)p = m(np)).A la terna (N, +, ·) se le llama conjunto de los numeros naturales.Este conjunto verifica dos propiedades muy imporntantes:

(1) Principio de induccion: Si S ⊆ N verifica quei- 1 ∈ S.ii- Para cada n ∈ S se tiene que n + 1 ∈ S.Entonces S = N, en efecto:Si S 6= N deberıa existir k ∈ N tal que k ∈ S y s(k) /∈ S porque si no S = ∅ o 1 /∈ S, lo cual es falso; asıel teorema esta probado porque para n = k falla (ii−).(2) Principio de buen orden: Todo subconjunto no vacıo de N tiene primer elemento, en efecto:Sea A ⊆ N no vacıo, si 1 ∈ A entonces el teorema esta probado; si no entonces sea B ⊆ N el conjunto detodos los naturales que son menores que todos los elementos de A, 1 ∈ S por hipotesis y debe existir unu ∈ S tal que u + 1 /∈ S porque de otro modo S = N or induccion y A = ∅ lo cual es falso. Si u + 1 nofuese el menor eemento de A entonces existe u′ ∈ A con u < u′ < u + 1, entonces u = u′ o bienu′ = u + 1, pero ambas posibilidades estan en contra de la definicion de u ası que u + 1 es el menorelemento de A.

Pero entre las cantidades que queremos simbolizar tambien se encuentra la ausencia de esta y lasimbolizamos por 0.Tenemos ahora un conjunto mas grande que denotamos por N0 = N ∪ 0 y se llama conjunto de losnumeros ordinales.

1.2. Las operaciones aritmeticas y los axiomas de cuerpo.

Definimos +(n, 0) = n para cada n ∈ N y por esto decimos que 0 es el neutro de la funcion + o bien que0 es el neutro aditivo.Intentamos ahora resolver para x la ecuacion

a + x = 0 a ∈ Nnaciendo ası la idea de inverso aditivo de a ∈ N definido como un x que verifica la ecuacion de arriba ylo denotamos por −a (notese que 0 + 0 = 0).Resulta que cada numero natural tiene un unico inverso aditivo y al conjunto de los inversos aditivos delos numeros naturales lo denotamos por N−.Llamamos conjunto de los numeros enteros a Z = N ∪ 0 ∪ N− y definimos la suma entre estosnumeros por la siguiente regla:

ANALISIS REAL 5

’Para calcular la cantidad a + b con a, b ∈ Z se distinguen 3 casos:1- a, b ∈ N, en tal caso la operancion ya ha sido definida.2- a, b ∈ N−, en tal caso se suman los opuestos de a y b y se halla el opuesto del resutado.3- a ∈ N y b ∈ N−, en tal caso se descompone el de mayor valor absoluto (que se definira acontinuacion) en la suma entre el opuesto del otro y alguna cantidad restante anulandose ası dos de lastres cantidades quedando entonces el resultado.’Resulta entonces que la suma es una operacion conmutativa, asociativa, con un elemento neutro (el 0)y, para cada z ∈ Z un opuesto aditivo.Definimos ademas el producto de enteros por la siguiente regla:’Para hallar la cantidad ab con a, b ∈ Z se halla el producto entre sus valores absolutos y luego alresultado se le da signo + si ambos son del mismo signo o signo - si son de signos distintos’.Como antes resulta que el producto es una operacion conmutativa, asociativa, con un elementoabsorvente (el 0) en el sentido que a0 = 0 porque

0 + 0 = 0 =⇒ a0 + a0 = a0 =⇒ (a0 + a0)− a0 = a0− a0 =⇒ a0 + (a0− a0) = 0 =⇒ a0 = 0

con elemento neutro (el 1).Resolvamos ahora para x la ecuacion

ax = 1 a ∈ Z− 0naciendo ası la idea de inverso multiplicativo de a definido como un numero x que verifica la ecuacionde arriba y se denota por a−1 (notese que 1−1 = 1).Se ve claramente que para cada a ∈ Z− 0 este inverso existe, es distino de 0 y es unico (el caso a = 0no tiene solucion y mas adelante se explicara por que).Definamos la operacion division entre enteros como

a

b= ab−1 para cada a, b ∈ Z con b 6= 0.

1.3. La construccion de Q y la existencia de R−Q.

Llamamos conjunto de los numeros racionales al conjunto formado por cantidades que son resultantesde dividir dos enteros y lo denotamos por Q (notese que N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q, porque?); si lo equipamos

con la suma (es facilmente visible quea

b+

c

d=

ad + bc

bd) y el producto usuales (aprovechando para esto

la asociatividad y conmutatividad del producto entre enteros y sus inversos) obtenemos las mismaspropiedades senaladas antes.Tambien hay otro conjunto que es disjunto de Q cuya existencia se demostrara mas adelante y quedenotamos por Q∗, tiene la particularidad que sus elementos no son expresables como cuociente entreenteros.Se llama conjunto de los numeros reales al conjunto R = Q ∪Q∗; si lo equipamos con la suma yproducto ya definidos obtenemos las propiedades anteriores y ademas que a(b + c) = ab + ac, la llamadadistributividad del producto sobre la suma por lo que a la terna (R,+, ·) se le llama cuerpo de losnumeros reales, sin embargo tambien se verifica que (a + b)c = ab + ac, es decir que la suma esdistribuible sobre el producto por lo que en realidad la terna (R,+, ·) es un espacio vectorial real, sinembargo estas no son las unicas propiedades que verifica R, por lo que en muchos libros se habla delsistema de los numeros reales.


1.4. Valor absoluto y los axiomas de orden.

Definimos el valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|, como

|x| =

x si x > 00 si x = 0−x si x < 0

donde x > 0 significa que el signo de x es + y x < 0 significa que el signo de x es −.Algunas de las propiedades de | · | se listan a continuacion, su demostracion se deja al lector.1- |x| = | − x| ∀x ∈ R.2- |x + y| ≤ |x|+ |y| ∀x, y ∈ R.3- x ≤ |x| ∀x ∈ R.4- |xy| = |x||y| ∀x, y ∈ R.

5-∣∣∣∣x

y

∣∣∣∣ =|x||y| .

Recuerdese que x ≤ y significa que x− y ≤ 0 donde x− y = x + (−y).A este punto se supondra un buen manejo en desigualdades por parte del lector ası que no se insistiramayormente en los axiomas de orden de R pues ya se han visto en cursos de calculo.

1.5. El axioma del supremo y sus consecuencias.

Definicion 1.5.1. Consideremos ahora A ⊆ R cualquiera, llamamos cota superior de A a cualquiernumero real c con la particularidad que

c ≥ a ∀a ∈ A

y del mismo modo diremos que b ∈ R es una cota inferior de A si

b ≤ a ∀a ∈ A

Diremos que A es acotado cuando A tenga cotas superiores e inferiores, si solo tiene un tipo de cotas sedebe especificar que acotamiento tiene y si no tiene cotas entoncese dice que A es no acotado.Si existe un numero real s que verifica que1- s es cota superior de A.2- Si s1 es cota superior de A entonces s ≤ s1.entonces decimos que s es el supremo de A y se escribe s = supA, en otras palabras el supremo es lamenor de las cotas superiores de A.Si existe un numero u ∈ R que verifica que1- u es cota inferior de A.2- Si u1 es otra cota inferior de A entonces u ≥ u1.entonces decimos que u es el ınfimo de A y escribimos u = inf A, dicho de otro modo el ınfimo de unconjunto es la mayor cota inferior del mismo.

De acuerdo a esta definicion vemos que el supremo o el ınfimo de un conjunto es en general un numeroreal que no necesariamente pertenece al conjunto, sin embargo si esto ocurre entonces los nombrescambian a maximo y mınimo respectivamente.

Proposicion 1.5.1. (propiedad arquimediana de N): N no tiene supremo.

Demostracion. Basta suponer que a ∈ R es el supremo de N, si consideramos n1 = s([a]) entoncesn1 ∈ N y n1 > a, contradiccion. ¤

ANALISIS REAL 7

La propiedad anterior se puede expresar diciendo que para cada numero real siempre es posibleencontrar un numero natural que lo supera, lo cual se conoce como el principio de Arquımedes que enterminos matematicos se escribe

(∀x ∈ R)(∃n ∈ N) :1n

< x

Combinando esto con la definicion de supremo se tiene que

a = supA ⊆ R⇐⇒ (∀n ∈ N)(∃x ∈ A) : a +1n

es cota superior de A ∧ x < a− 1n

Las propiedades del supremo e ınfimo de un conjunto se dejan para lectura paralela por parte del lector,aquı nos enfocaremos en el axioma del supremo que establece la completitud de R y dice que todosubconjunto de R no vacıo y acotado superiormente tiene supremo (por supuesto hay tambien unanalogo para el ınfimo de un subconjunto de R no vacıo y acotado inferiormente).En el curso de algebra abstracta se amplia este tema en un marco de conjuntos ordenados, sin embargoen este curso nos concierne solo R.Es claro que para subconjuntos de R no vacıos y acotados se tiene inf A ≤ supA, sin embargo si A = ∅entonces cualquier numero real es una cota superior de A, porque si no habrıa un elemento en A quesupera a x lo que es impoible, ahora de todos estos numeros reales el menor es −∞ por lo quesup ∅ = −∞ y de un modo analogo se obtiene que inf ∅ = ∞ por lo que sup ∅ ≤ inf ∅ (que pasarıa si elsupremo e ınfimo se hubiesen tomado en N?).

Proposicion 1.5.2. (principio de los intervalos encestados en R): Sea, para cada n ∈ N, In = [an, bn]con an, bn ∈ R an < bn para cada n ∈ N y supongamos que

I1 ⊇ I2 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ...

Entonces⋂

n∈NIn 6= ∅.

Demostracion. Se observa que si definimos A = an : n ∈ N y B = bn : n ∈ N entonces cadaelemento de A es cota inferior de B y cada elemento de B es cota superior de A, luego existe a = supAy b = inf B verificandose que

a, b ∈⋂

n∈NIn

lo cual prueba lo deseado. ¤

Establezcamos ahora la existencia de los numeros irracionales.

Lema 1.5.1.√

2 /∈ Q.

Demostracion. Sean p, q ∈ Z primos entre sı tales que√

2 =p

q, se tiene 2 =

p2

q2=⇒ p2 = 2q2 y ası p2

es par, luego p es par (porque?) y tenemos√

2 =2k

qpara algun k ∈ Z por lo que q2 = 2k2 y q2 es par,

luego q es par y tenemos una contradiccion porque p y q resultan no ser primos entre si. ¤Proposicion 1.5.3.

√2 ∈ R−Q.

Demostracion. Definamos

A = x ∈ R : x2 ≤ 2,tenemos que A ⊆ R, A 6= ∅ porque 1 ∈ A y A es acotado superiormente por ejemplo por 2; entonces porel axioma del supremo A tiene supremo, esto es, existe a ∈ R que es el supremo de A.Nos proponemos mostrar que a2 = 2.


Si a2 < 2 entonces 2− a2 > 0 y por Arquımedes existe n ∈ N tal que1n

<(2− a2)2a + 1

con el que se obtiene

a < a +1n

y ademas

(a +1n

)2 = a2 +2a

n+

1n2

≤ a2 +2a + 1

n< a2 + (2− a2) = 2

Ası resultarıa que a no es el supremo de A, lo cual es falso.

Si a2 > 2 entonces a2 − 2 > 0 y nuevamente por Arquımedes existe n ∈ N tal que1n

<a2 − 2

2a, como

a = supA debe existir un a0 ∈ A tal que a− 1n

< a0 y entonces

2 < a2 − 2a

n< x2 − 2a

n+

1n2

= (a− 1n

)2 < a0

por lo que a0 /∈ A lo que es falso, por tricotomıa se ha entonces probado que a2 = 2.El lema mostraba que a /∈ Q y aquı se probo que a ∈ R, por lo que finalmente a ∈ R−Q. ¤

Por la propiedad de estos numeros irracionales que ya se menciono pareciera que si se escoje al azar unnumero real cualquiera no deberıa ser irracional, sin embargo estos numeros forman la mayor parte delos reales y es mas, en cualquier intervalo de R; a esta propiedad se le llama densidad y la definicionformal es la siguiente:

Definicion 1.5.2. Un subconjunto D de R se dice denso en R si para cada a, b ∈ R existe d ∈ D talque a < d < b.

Proposicion 1.5.4. Q y Q∗ son partes densas de R.

Demostracion. Sean a, b ∈ R+ (notese que la demostracion se reduce a este caso, porque?) con a < b,entonces b− a > 0 y por Arquımedes existe un n ∈ N tal que 1

n < b− a. Definamos ahora el conjunto

A = m ∈ Z : m > natenemos que A 6= ∅ (porque?), y A es acotado inferiormente por a por ejemplo; entonces A tiene

supremo que denotamos por m0, claramentem0 − 1

n≤ a <

m0

ny ademas

m0

n< b porque si no

m0 − 1n

≤ a < b ≤ m0

n, de donde b− a ≤ 1

nlo que es falso.

Se ha entonces probado que a <m0

n< b por lo que Q es denso en R.

Por otro lado es claro que si q ∈ Q entonces q√

2 ∈ Q∗ (porque?), luego por lo antorior existe un

racional r tal quea√2

< r <b√2

(porque?), lo cual implica, miltiplicando por√

2 > 0, que a < r√

2 < b

donde r√

2 ∈ Q∗ lo cual prueba que Q∗ es denso en R.. ¤

Se acaba de probar que si graficamos los racionales en la recta real obtendremos casi toda la recta y lomusmo ocurrira con lo irracionales, sin embargo aun nos queda la pregunta ¿Que conjunto tiene maselementos? cuya respuesta es Q∗ lo que se prueba mostrando una funcion inyectiva f : Q −→ Q∗ que nosea sobreyectiva como por ejemplo la funcion x −→ √

x para x ∈ Q, la demostracion de que esta funcionsatisface las condiciones pedidas se deja nuevamente al lector.Mencinaremos por ultimo una division aun mas fina de los numeros reales:

Definicion 1.5.3. Diremos que un numero real es algebraico si es solucion de alguna ecuacionpolinomica con coeficiente enteros y se dice trascendente si no es algebraico.

ANALISIS REAL 9

No es difıcil probar que el conjunto de los numeros algebraicos es numerable y por tanto existennumeros trascendentes, por lo anterior se sigue entonces el conjunto de los numeros trascendentes es nonumerable y por tanto si elegimos al azar numeros reales lo mas probable es que estos seantrascendentes.Existe un problema planteado por Hilbert en 1900 en el que se busca un procedimiento aplicable atodos los numeros reales que sirva para determinar su naturaleza de algebraico o trascendente, sinembargo no se ha podido resolver satisfactoriamente hasta hoy.A traves de la historia se ha probado la trascendencia de numeros importantes en matematica como π ye, pero no se puede asegurar la trascendencia de numeros como 2

√3.

A este punto se estima conveniente que el lector investigue la definicion de las potencias de exponenteirracional y pruebe que esa definicion verifica las mismas propiedades que la de las potencias deexponente racional, este no es un ejercicio facil y se recomienda una actitud decidida por parte dellector menos experimentado en este tema.Cabe mencionar que a diferencia de la definicion de supremo e ınfimo que se da en algebra aquı se utilizoimplıcitamente la nocion de convergencia de sucesiones, lo cual constituye un aspecto topologico y sediferencia claramente del punto de vista de las relaciones de orden y los retıculos empleada en algebra.


2. Breve recuento de algebra lineal

2.1. Productos internos, normas, metricas.

Definicion 2.1.1. Se le llama producto interior sobre un espacio vectorial real V a toda funcionq : V × V −→ R que verifica1- q(u, u) ≥ 0 ∀u ∈ V .2- q(u, u) = 0 ⇐⇒ u = θV .3- q(u, v) = q(v, u) ∀u, v ∈ V .4- q(αu + βv, w) = αq(u,w) + βq(v, w) ∀u, v, w ∈ V ∀α, β ∈ R.5- q(u, αv + βw) = αq(u, v) + βq(u,w) ∀u, v, w ∈ V ∀α, β ∈ R.

Es decir, es una forma bilineal simetrica definida positiva.Un espacio vectorial con producto interior es un par (V, q) donde V es un espacio vectorial y q es unproducto interior que se ha definido sobre V . En particular aquı estudiaremos a R como el espaciovectorial del que se habla.

Definicion 2.1.2. Una norma sobre V es una funcion p : V −→ R que verifica1- p(v) ≥ 0 ∀v ∈ V .2- p(v) = 0 ⇐⇒ v = θV .3- p(u + v) ≤ p(u) + p(v) ∀u, v ∈ V.4- p(αv) = |α|p(v) ∀v ∈ V ∀α ∈ R.

Proposicion 2.1.1. Si q es producto interior sobre V entonces la funcion p : V −→ [0,∞[ definidacomo p(v) =

√q(v, v) es norma sobre V .

Demostracion. Se deja con ejercicio. ¤Proposicion 2.1.2. (desigualdad de Cauchy-Schwarz): Si q es producto interior y ‖ · ‖ es la normaasociada sobre V entonces

|q(u, v)| ≤ ‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V

Demostracion. Sabemos por hipotesis que para cada λ ∈ R se tiene q(u + λv, u + λv) ≥ 0, pero

q(u + λv, u + λv) = q(u, u) + 2q(u, λv) + q(λv, λv) = ‖u‖2 + 2λq(u, v) + λ2‖v‖2 ≥ 0

Si vemos el ultimo termino de esta desigualdad como una ecuacion cuadratica en λ tenemos que sudiscriminante es 4q(u, v)2 − 4‖u‖2‖v‖2. Por otro lado, si u + λv 6= 0 ≤ 0 se convierte en< 0 en laigualdad de arriba, ası el discriminante debe ser < 0 y se tiene en tal caso que

4q(u, v)2 − 4‖u‖2‖v‖2 < 0 =⇒ |q(u, v)| ≤ ‖u‖‖v‖lo cual prueba lo deseado porque esta cantidad es igual a 0 sı y solo sı u y v son linealmentedependientes (porque?). ¤

Notese que para probar la desigualdad triangular de una norma proveniente de un producto interior seusa esta desigualdad.

Definicion 2.1.3. Una metrica sobre V es una funcion d : V × V −→ R que verifica1- d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ V .2- d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.3- d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ V .4- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ V .

Proposicion 2.1.3. Si p es norma sobre V entonces la funcion (x, y) −→ p(x− y) es metrica en V .

ANALISIS REAL 11

Demostracion. Se deja como ejercicio. ¤

En todo espacio vectorial interesan las funciones lineales definidas sobre el, es decir las f : V −→ V queverifican1- f(u + v) = f(u) + f(v) ∀u, v ∈ V .2- f(λu) = λf(u) ∀u ∈ V ∀λ ∈ R.Consideremos un espacio vectorial real V de dimension n.

Proposicion 2.1.4. f : V −→ V es una funcion lineal sı y solo sı existen αi ∈ R ∀i = 1, n tales que,para cada v ∈ V , se tiene

f(u) =n∑

i=1

αif(ui)

u1, u2, ..., un son las coordenadas de u respecto de una base de V .

Demostracion. Ejercicio. ¤Proposicion 2.1.5. (teorema de representacion de Riesz): Sea V un espacio vectoria real dedimension n y sea B una base fija de V . Para cada funcion lineal f : V −→ R existe vf ∈ V tal que

f(u) =n∑

i=1

vfiui ∀u ∈ V

Donde las vfi y las ui son las coordenadas respecto de la base B de los vectores vf y u respectiamente.

Demostracion. Es una sencilla consecuencia de la proposicion anterior. ¤

Ya se probo que todo espacio normado es un espacio metrico, pero ¿cuando la metrica de un espaciometrico proviene de una norma?.

Proposicion 2.1.6. Sea d : M ×M −→ [0,∞[ una metrica invariante por traslaciones sobre el espaciovectorial real M , esto es, tal que para cada x, y, z ∈ M se tiene que

d(x, y) = d(x + z, y + z)

entonces d proviene de una norma en M sı y solo sı para cada x, y ∈ M y λ ∈ R se tiene que

d(λx, λy) = |λ|d(x, y)

Demostracion. Ejercicio. ¤Proposicion 2.1.7. (identidad del paralelogramo): Sea (V, p) un espacio vectorial normado cuyanorma provienen del producto interno q sobre V , entonces para cada x, y ∈ V se tiene que

12(p(x + y))2 + (p(x− y))2 = (p(x))2 + (p(y))2

Demostracion. Sean x, y ∈ V , entonces

(p(x + y))2 + (p(x− y))2 = q(x + y, x + y) + q(x− y, x− y) = 2(p(x))2 + 2(p(y))2

Dividiendo ambos miembros por 2 se obtiene el resultado. ¤

Este resultado tiene una interpretacion geometrica que se deja como tarea al lector el investigarla.Analogamente a lo antes propuesto nos podemos preguntar en que casos una norma proviene de unproducto interior, para lo cual necesitamos conocer el siguiente resultado.


Proposicion 2.1.8. (identidad de polarizacion): Dado un espacio vectorial con producto interior (V, p)se tiene que:

(i) p(x, y) =14(p(x+ y, x+ y)− p(x− y, x− y)+ ip(x+ iy, x+ iy)− ip(x− iy, x− iy)) para cada x, y ∈ V .

(ii) x = θV ⇐⇒ p(x, y) = 0 ∀y ∈ V .

Demostracion. ejercicio (recuerde que i2 = −1). ¤

Con este resultado en cuenta podemos enunciar el siguiente

Proposicion 2.1.9. Una norma q sobre un espacio vectorial V proviene de un producto interior p (esdecir q(x) = 2

√p(x, x) para cada x ∈ V ) sı y solo sı vale la ley del paralelogramo en V y en tal caso se

tiene que

p(x, y) =14((q(x + y))2 − (q(x− y))2 + i(q(x + iy))2 − i(q(x− iy))2) ∀x, y ∈ V

Demostracion. ejercicio. ¤

Un tema muy interesante que se vera ampliado en analisis funcional es el de los espacios de Banach yHilbert, que surgen de la idea de preguntarse como funcionan juntas las nociones de normas, productosinternos y la convergencia de sucesiones de Cauchy.

ANALISIS REAL 13

3. Rn como espacio metrico

3.1. Nociones preeliminares.

Las nociones que se introducciran aquı se daran, en la mayor parte, en un marco de espacios metricosgenerales haciendose contınuo incapie en sus analogos para Rn.La definicion basica en Rn como en todo espacio metrico es la de bola abierta, que es la siguiente:

Definicion 3.1.1. Sea x ∈ Rn y ε > 0, la bola de centro x y radio ε respecto de la metrica d es elconjunto

Bd(x; ε) = y ∈ Rn : d(x, y) < ε

Observamos que si graficamos estas bolas nos encontramos con que el borde de la circunferencia no esparte de dicha bola, por ello se llama abierta.Cuando se agrega la circunferencia la bola pasa a llamarse bola cerrada y a la circunferencia se le llamaesfera.Para poder definir metricas en Rn necesitamos ciertos resultados previos.

Proposicion 3.1.1. (desigualdad de Young): Sea 1 ≤ p y q tal que1p

+1q

= 1, si a, b ≥ 0, entonces

ab ≤ 1pap +

1qbq

Demostracion. Si p ≥ 1 entonces las funciones s −→ sp y s −→ sp−1 son crecientes para s ≥ 0 por loque (se recomienda graficar la situacion en R2) se tiene

ab ≤(∫ a

0spds

)(∫ b

0s

1p ds

)=

1pap +

1qbq

lo cual muestra el resultado esperado . ¤

Proposicion 3.1.2. (desigualdad de Holder): Sea x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn,

1 ≤ p < ∞ y q tal que1p

+1q

= 1; entonces se verifica que

n∑

i=1

xiyi ≤ p

√√√√n∑

i=1

xpi

q

√√√√n∑

i=1

yqi

Demostracion. Para cada j = 1, n se tiene segun la desigualdad anterior que

xj

p

√n∑

i=1xp

i

yj

q

√n∑

i=1yq

i

≤ 1p

xpj

n∑i=1

xpi

+1q

yqj

n∑i=1

yqi

sumando estas n desigualdades se tiene quen∑

i=1xiyi

p

√n∑

i=1xp

iq

√n∑

i=1yq

i

≤ 1

de donde el resultado esperado es evidente. ¤


Proposicion 3.1.3. (desigualdad de Minkowsky): Sea x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn yp ≥ 1, entonces

p

√√√√n∑

i=1

(xi + yi)p ≤ p

√√√√n∑

i=1

xpi + p

√√√√n∑

i=1

yqi

Demostracion. Notemos primero quen∑

i=1

(xi + yi)p =p∑

i=1

xi(xi + yi)p−1 +n∑

i=1

yi(xi + yi)p−1

ademas p− 1 =p

q, usando esto y la desigualdad de Holder en la igualdad anterior tenemos que

n∑

i=1

(xi + yi)p =p∑

i=1

xi(xi + yi)p−1 +n∑

i=1

yi(xi + yi)p−1 ≤ p

√√√√n∑

i=1

xpi

q

√√√√n∑

i=1

(xi + yi)p + p

√√√√n∑

i=1

ypi

q

√√√√n∑

i=1

(xi + yi)p

la desigualdad buscada resulta de dividir el primero y ultimo termino de esta cadena de desigualdadespor el factor comun de ultimo miembro. ¤

Un punto interesante de destacar respecto de los resultados anteriores es que, aunque fuerondemostrados para sumas finitas, es facil ver de que si se cambian estas por sumas infinitas y a su vezestas tienen sentido (es decir son numeros reales) entonces la desigualdad todavıa vale; esto se usa paradefinir metricas sobre los espacios de sucesiones que se definiran mas adelante.Tambien son utiles estas desigualdades cuando se intenta probar la desigualdad triangular que verificala funcion

(x(t), y(t)) −→√∫ 1

0( supt∈[0,1]

|x(t)− y(t)|)2dt

definida en el espacio CB([0, 1]) de las funciones continuas y acotadas cuyo dominio es [0, 1], sinembargo para ello es necesario enunciar las desigualdades de Holder y Minkowsky de un modo masgeneral al recien expuesto.En Rn existe una distancia que es la natural llamada norma euclıdea que se define por

d2(x, y) =

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)2

En realidad los resultados anteriores sirven para probar (y se deja como ejercicio al lector comprobarlo)que para p ≥ 1 la funcion definida por

dp(x, y) = p

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)p ∀x, y ∈ Rn

es metrica en Rn, siendo las mas usadas las funciones para p = 1, 2 y ∞ (notese que en este ultimo casose tiene d∞(x, y) = max

1≤i≤n|xi − yi|, lo cual se probara en el capıtulo de sucesiones).

Se observara tambien que ası como se definieron estas metricas en Rn se pueden definir muchas mas, sinembargo quisieramos esperar que para x ∈ Rn las bolas respecto de una de estas metricas contuvieranbolas respecto de otras metricas. Este concepto se llama equivalencia entre metricas, formalmente ladefinicion es la siguiente:

ANALISIS REAL 15

Definicion 3.1.2. Sean da, db dos metricas cualesquiera sobre el mismo espacio X, diremos que ellasson equivalentes si existen k1, k2 ∈ R tales que para cada x, y ∈ X se tenga

k1da(x, y) ≤ db(x, y) ≤ k2da(x, y)

y existe un resultado no muy facil de probar que establece lo siguiente:

Proposicion 3.1.4. Dos normas cualesquiera de un espacio normado de dimension finita sonequivalentes entre sı.

Demostracion. Se hace en analisis funcional. ¤

En particular para Rn se tiene el siguiente resultado que repercutira en la forma en que abordaremosnuestro estudio de aquı en adelante.

Proposicion 3.1.5. Existen k1, k2, k3 ∈ R tales que para cada x, y ∈ Rn se tiene que

k1d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ k2d∞(x, y) ≤ k3d2(x, y)

Demostracion. Dados dos puntos de Rn digamos x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn) tenemos que

d2(x, y)2 =n∑

i=1

|xi − yi|2 ≤n∑

i=1

|xi − yi|2 +n∑

i,j=1 ∧ i 6=j

|xi − yi||xj − yj | =(

n∑

i=1

|xi − yi|)2

ası que d2(x, y) ≤ d1(x, y).Por otro lado

|xi − yi| ≤ max1≤j≤n

|xj − yj | ∀i = 1, n =⇒n∑

i=1

|xi − yi| ≤ n max1≤j≤n

|xj − yj |

por lo que d1(x, y) ≤ nd∞(x, y).Por ultimo es claro que

(max

1≤j≤n|xj − yj |

)2

≤n∑

i=1

|xi − yi|2 =⇒ max1≤j≤n

|xi − yi| = 2

√(max

1≤j≤n|xj − yj |

)2

≤ 2

√√√√n∑

i=1

|xi − yi|2

de donde d∞(x, y) ≤ d2(x, y), de manera analoga se prueba que

n d∞(x, y) ≤ 2√

n d2(x, y)

Hemos en definitiva probado que dados x, y ∈ Rn se tiene que

d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n d∞(x, y) ≤ 2√

n d2(x, y)

lo cual termina la demostracion. ¤

Lo que dice este resultado es que en cada bola respecto de d1 se puede incluir una respecto de d2 y lomismo vale cambiando los papeles de d1, d2 y d∞ por lo que las topologıas metricas son equivalentes, locual justifica que podamos trabajar con una cualquiera de estas metricas, por lo que en las notacionessera obviada la metrica o norma usada para ası destacar lo que nos importa.Otra manera mas elegante de justficar lo recien discutido es observar que dos normas equivalentes danorigen a dos metricas equivalentes y que la relacion R de ser equivalentes es una relacion deequivalencia en la clase M de las metricas sobre Rn que provienen de normas y que el espacio cuocienteM /R es unitario segun la proposicion enunciada, lo cual mostrarıa que es indistinto trabajar concualquiera de las metricas sobre Rn provenientes de normas pues todas ellas son equivalentes entre sı.


Definicion 3.1.3. Diremos que un subconjunto A ⊆ Rn es abierto si

(∀a ∈ A)(∃ε > 0) : B(a; ε) ⊆ A

Observemos que toda bola abierta es un conjunto abierto porque si tenemos la bola B(x; r) y tomamosy ∈ B entonces existe ε = r − d(x, y) > 0 (porque?) que verifica lo deseado.La siguiente proposicion es el fundamento para definir lo que llamamos topologıa, esta nace de la idea deextraer las caracterısticas de los abiertos de Rn listadas en la proposicion a continuacion y al mismotiempo abstraerse del contexto de espacio metrico.

Proposicion 3.1.6.1- Rn y ∅ son abiertos.2- Si Aii∈I es una familia arbitraria de abiertos entonces A =

⋃

i∈I

Ai es abierto.

3- Si Aii=1,p es una familia finita de abiertos entonces B =p⋂

i=1

Ai es abierto.

4- Un conjunto A ⊆ Rn es abierto sı y solo sı es union de bolas abiertas.

Demostracion. :1- Para cada x ∈ Rn existe ε = 1 tal que B(x; ε) ⊆ Rn.Si ∅ no fuera abierto existirıa x ∈ ∅ tal que para cada ε > 0 se tendrıa que B(x; ε) ∩ ∅c 6= ∅, luego ∅ noserıa vacıo, falso.2- Sea x ∈ A, existe entonces i ∈ I tal que x ∈ Ai por lo que existe ε > 0 tal que B(x; ε) ⊆ Ai ⊆ A, loque prueba que A es abierto.3- Sea a ∈ B, entonces a ∈ Ai ∀i = 1, n y por tanto existen εi > 0 i = 1, n tales que para cada i = 1, n se

tiene que B(a; εi) ⊆ Ai, si definimos ε = min1≤i≤n

εi > 0 entonces claramente B(a; ε) ⊆n⋂

i=1

Ai = B.

4- Como las bolas abiertas son abiertos se sigue que si A es union de bolas abiertas entonces el esabierto. Recıprocamente si A es abierto entonces para cada x ∈ A existe εx > 0 tal que B(x; εx) ⊆ A,por tanto

⋃

x∈A

B(x; εx) ⊆ A y tambien como A =⋃

x∈A

x ⊆⋃

x∈A

B(x; εx) tenemos finalmente que A es la

union de estas bolas abiertas. ¤

Estas son justamente las propiedades representativas que tienen los abiertos de Rn.

Definicion 3.1.4. Si tuviesemos un conjunto cualquiera X y una familia = ⊆ P(X) diremos que esuna topologıa para X si verifica que(i)- ∅, X ∈ =.(ii)- La union de culaquier familia de elementos de = (que son subconjuntos de X) es un elemento de =.(iv)- La interseccion de cualquier familia finita de elementos de = es un elemento de =.

El lector notara la estrecha similitud entre estos conceptos, los elementos de = se diran abiertos al igualque en Rn, sin embargo esta de finicion deja un cabo suelto: los elemntos de = son demasiados comopara definir como abierto a cualquier subconjunto de X que sea union de elementos de = en analogıa a(iv) de la proposicion anterior; requerimos entonces una subfamilia B de = tal que cualquier elementode = sea union de elementos de B, dicha familia recibe el nombre de base para = y por supuesto no esunica en general.Volviendo ahora a nuestro tema central diremos que un conjunto C es cerrado si su complemento esabierto, aplicado las leyes de Morgan a la proposicion anterior se tiene que

ANALISIS REAL 17

Proposicion 3.1.7.1- Rn y ∅ son cerrados.2- La interseccion de una familia arbitraria de cerrados es cerrado.3- La union de una cantidad finita de conjuntos cerrados es cerrado.

Demostracion. Ejercicio. ¤

Notese que la familia B[θRn ; 1− 1n ] : n ∈ N es una familia numerable de cerrados y el principio de

Arquımedes implica que⋃

n∈NB[θRn ; 1− 1

n] = B(θRn ; 1) que es abierta por lo que la propiedad 3- es

definitiva.Por supuesto que exsten conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados como Qn y otros que son abiertosy cerrados a la vez como Rn.

Definicion 3.1.5. Dados x, y ∈ Rn llamamos recta que une a x e y al conjuntoL = tx + (1− t)y : t ∈ [0, 1].

Una caracterıstica geometrica muy conveiente que verifican las bolas abiertas es la convexidad cuyadefinicion es

Definicion 3.1.6. Un subconjunto A de Rn se dice convexo si para cada par de puntos x, y ∈ A larecta que los une esta contenida en su totalidad en A.

Si en la definicion hubiesemos cambiado el hecho de poder unir los puntos por una recta a unirlosmediante una curva cualquiera entonces el conjunto pasa a llamarse conexo por arcos y se estudiaranlas propiedades de estos mas adelante.Observese que Rn y ∅ son convexos al igual que la interseccion de convexos. Para mostrar que engeneral la union de convexos falla de ser convexa considerense dos bolas abiertas disjuntas, su unionclaramente no es convexa.

Definicion 3.1.7. Para un C ⊆ Rn definimos el conjunto

co(C) = n∑

i=1

tixi :n∑

i=1

ti = 1 ∧ xi ∈ C ∀i = 1, n

como la capsula convexa de C, se prueba en analisis funcional que co(C) es convexo (aunque C no losea) y que es el menor convexo que contiene a C.

Definicion 3.1.8. Llamamos n-celda en Rn al producto cartesiano de n intervalos (casi siempre se pideque sean cerrados) de R; llamamos n-cubo de Rn al conjunto In donde I = [0, 1].

Definicion 3.1.9. Decimos que A es acotado si existe una n-celda que sea producto de intervalosacotados de Rn que contiene a A.

Aunque las sucesiones seran estudiadas con detalle mas adelante las definimos aquı por papel quejuegan en la definicion de las nociones topologicas de conjuntos de Rn.

Definicion 3.1.10. Una sucesion de elementos de Rn es una funcion x : N −→ Rn en la que a lasimagenes se las denota por xk para significar x(k) y a la sucesion se le denota por xkk∈N o mascortamente por xk

Diremos que la sucesion xk converge a un x ∈ Rn si

(∀ε > 0)(∃jε ∈ N) : xjε ∈ B(x; ε)

y se escribe limk−→∞

xk = x.


3.2. Clausura, adherencia e interior .

Definicion 3.2.1. Consideremos ahora A ⊆ Rn, sabemos por un lado que la interseccion de cerrados escerrada y por otro lado nos preguntamos: De todos los cerrados que contienen a A ¿Cual es el menor detodos (en el sentido de la inclusion)? cuya respuesta esta dada por el conjunto que denotamos por A ydefinimos como

A =⋂

F cerrado y contiene a A

F

o equivalentemente como

A = y ∈ Rn : ∀ε > 0 B(y; ε) ∩A 6= ∅y lo llamamos la clausura o adherencia de A.

Proposicion 3.2.1. Para A, B ⊆ Rn se tiene que1- A es cerrado.2- A es cerrado sı y solo sı A = A.3- A ∪B = A ∪B.4- A ∩B ⊆ A ∩B.5- A ⊆ B =⇒ A ⊆ B.6- x ∈ A ⇐⇒ (∃xkk∈N ⊆ A) : lim

k−→∞xk = x.

7- Si A es convexo entonces A tambien lo es.8- A = A.

Demostracion. Se demostrara solo 6-, las demas son un sencillo ejercicio que se deja al lector.

Sea x ∈ A, sabemos que para cada n ∈ N existen elementos y de A en B(x;1n

), es decir tales que

d(x, y) <1n

, definamos entonces la sucesion xk como sigue: para cada j ∈ N se elige xj ∈ A de modo

que d(x, xj) <1j; esta es claramente una sucesion de elementos de A que denotamos por xk, y como

para cada ε > 0 existe jε ∈ N tal que1jε

< ε entonces d(xjε , x) <1jε

< ε, lo cual prueba que xjε ∈ B(x; ε)

por lo que limk−→∞

xk = x. Recıprocamente si x es el lımite de alguna sucesion de elementos de A entonces

cualquier bola centrada en x tiene elementos de la sucesion que son a su vez elementos de A por lo quex ∈ A. . ¤

La proposicion nos presenta entonces la clausura de un conjunto como el conjunto de los lımites detodas las sucesiones posibles de los elementos del conjunto inicial que sean convergentes, en ciertosentido esto es una completacion del conjunto ya que en su clausura si volvemos a tomar sucesiones ylos lımites de estas entonces ellos vuelven a estar en dicha clausura.Sin embargo las sucesiones que se pueden definir podrıan ser poco interesantes (lo que se explicaraformalmente mas adelante), naciendo ası la idea del derivado de un conjunto que se define como

Definicion 3.2.2.

A′ = y ∈ Rn : (∀ε > 0)(∃y 6= x) con y ∈ B(x; ε) ∩AProposicion 3.2.2. Dado A, B subconjuntos de un espacio metrico X se tiene1- A = A ∪A′.2- x ∈ A′ ⇐⇒ (∃xi ⊆ A) :

∗limxi = x. (la expresion

∗lim denota el lımite separado que se definira mas

adelante)3- A es cerrado sı y solo sı A′ ⊆ A.

ANALISIS REAL 19

4- x ∈ A′ sı y solo sı en cada bola abierta de centro x hay infinitos puntos de A.5- A ⊆ B =⇒ A′ ⊆ B′.6- (A ∩A)′ ⊆ A′ ∩B′.7- (A ∪B)′ ⊆ A′ ∪B′.8- (A′)′ ⊆ A′.

Demostracion. Ejercicio (para la demostracion de 3- vea la definicion de lımite separado). ¤

En el sentido observado anteriormente decimos que A es denso en su clausura (porque no hay punto dela clausura que no este infinitamente cerca de algun elemento del propio conjunto) y, mas generalmente:

Definicion 3.2.3. Un conjunto D se dice denso en otro S si D = S

Notese que ya se dio una definicion de densidad en R que parecıa no extendible a Rn porque hacıa usofundamental de las propiedades de R como cuerpo ordenado y por otro lado no hay un orden sencillopara Rn por lo que esperarıamos que estas definiciones fueran distintas, embargo el lector puedechequear que un subconjunto de R es denso en R en el sentido recien descrito sı y solo sı lo es en elsentido especificado antes.El lector podrıa observar que R es, en este sentido, la completacion de el espacio metrico (Q, d2) (enrealidad con cualquier metrica equivalente a esta) porque es posible definir sucesiones de Cauchyformadas por numeros racionales convergentes a un numero irracional (cual por ejemplo?).Hemos respondido adicionalmente otra pregunta: ¿Cuando un conjunto contiene los lımites de todas lassucesiones posibles de elementos de el que sean convergentes? cuya respuesta se da en el siguienteresultado, el cual requiere de la definicion de conjunto completo:

Definicion 3.2.4. Una sucesion de Cauchy es una sucesion xk que verifica que

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) : n, m ≥ Nε =⇒ d(xn, xm) < ε

Se probara mas adelante que una sucesion es convergente sı y solo sı es de Cauchy, por otro lado estassucesiones tienen la particularidad que sus terminos de orden grande estan cada vez mas cercano unosde otros.

Definicion 3.2.5. Se dice que un conjunto B de Rn es completo si toda sucesion de Cauchy deelementos de B converge a un elemento de B.

Proposicion 3.2.3. Un subconjunto de Rn (y en general de cualquier espacio topologico) es completosı y solo sı es cerrado.

Demostracion. Sea B ⊆ Rn completo, para probar que es cerrado mostremos que B = B, siempre estagarantizada la inclusion B ⊆ B (porque?) ası que tomemos x ∈ B, por lo ya dicho existe una sucesionxk de elementos de B cuyo lımite es x, luego la sucesion es convergente y por tanto es de Cauchy porotro lado la completitud de B implica que si lımite x debe estar en B por lo que B es cerrado.Recıprocamente si B es cerrado y tomamos una sucesion de Cauchy de elementos de B su lımite debeestar en B por ser la sucesion convergente, pero B = B y ası el lımite de la sucesion de Cauchy esta enB lo que muestra que B es completo. ¤

Es necesrio aclarar que en caso de un espacio topologico la convergencia de las sucesiones de Cauchyesta referida a esa topologıa, por ejemplo si tomamos un espacio metrico de dimension infinita (en elque se probara en analisis funcional que pueden haber dos metricas que no sean equivalentes) entoncespodemos definir sucesiones de Cauchy convergentes respecto de una metrica a un x y divergentes a esex respecto de otra. Lo que ocurre aquı es que dependiendo de la topologıa puede tenerse que la clausurade un conjunto sea mas grande con una topologıa que la clausura respecto de otra ası que en rigor elenunciado de la proposicion anterior debiera ser


Proposicion 3.2.4. Un subconjunto C de un espacio metrico (X, d) (o topologico (X,=)) es completorespecto de d (o = segun corresponda) sı y solo sı es cerrado respecto de d (o = segun corresponda).

Donde ’ser completo respecto de d’ significa que las sucesiones de elementos de C que respecto de dsean de Cauchy son convergentes a un elemento de C.De un modo analogo a lo hecho para definir la clausura de un conjunto observemos que la union deabiertos es abierta, por lo que cabe preguntarnos ahora dado A ⊆ Rn ¿Cual es el mayor abierto quecontiene A (en el sentido de la inclusion)?

Definicion 3.2.6. Para contestar esta pregunta definamos el interior de A, denotado porA como

A=

⋃

C abierto contenido en A

C

o equivalentemente

x ∈ A⇐⇒ (∃ε > 0) : B(x; ε) ⊆ A

De manera analoga al caso de la clausura tenemos.

Proposicion 3.2.5. Para A, B ⊆ Rn se tiene que1-

A es abierto.

2- A es abierto sı y solo sıA= A.

3-

︷︸︸︷A ∩B =

A ∩

B.

4-A ∪

B⊆︷︸︸︷

A ∪B.5- A ⊆ B =⇒

A⊆B.

6- Ac =( A

)c

.

Demostracion. La mayor parte de las afirmaciones se prueba de manera analoga a como se demuestrala proposicion correspendiente con la clausura, por lo que se deja como ejercicio. ¤

En cierto modo el interior de un conjunto es el grosor porque se consideran lo puntos que estan, juntocon toda una bola abierta, dentro del conjunto.

3.3. Las categorıas de Baire.

Uniendo la observacion recien hecha con el hecho de que la clausura de un conjunto es un poco masgrande que el mismo nos preguntamos si habran conjuntos cuya clausura es delgada, es decir, nospreguntamos si existen A ⊆ Rn tales que

(A

) = ∅. Vemos, analizando esta expresion, que A debe serun conjunto tal que sus elementos esten suficientemente espaciados entre sı de modo que al tomarclausura los elementos de esta vuelvan a estar espaciados entre si para que tomando cada elementocomo centro de una bola abierta de radio arbitrario nos encontremos en ella elementos tanto de laclausura del conjunto como de su complemento, lo que ocurre por ejemplo en N (porque?).

Definicion 3.3.1. A los subconjuntos A de un espacio metrico (y en general de un espacio topologico)que verifican que

(A

) = ∅ se les llama nunca densos o no densos en parte alguna porque existen bolasabiertas que no contienen elementos de A.

Proposicion 3.3.1. Un conjunto es nunca denso en Rn sı y solo sı su complemento es denso en Rn.

Demostracion. Leyes de Morgan. ¤

ANALISIS REAL 21

Claramente la union finita de nunca densos es nunca densos por la proposicion, sin embargo pasan cosasdistintas con las uniones numerables por lo que cabe la siguiente clasificacion:

Definicion 3.3.2. Se dice que un conjunto es de primera categorıa de Baire o magro si es unionnumerable de nunca densos y se dice de segunda categorıa de Baire o no magro si no es de primeracategorıa.Un espacio (topologico) se dice de Baire si la interseccion numerable de subconjuntos abiertos densos esdenso.

Definicion 3.3.3. Llamamos diametro de un conjunto A a la cantidad d = supx,y∈A

d(x, y) = diam(A).

Lema 3.3.1. (teorema de la interseccion de Cantor): Sea X un espacio metrico completo y Aii∈Nuna familia numerable de cerrados de X tal que A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ... y tal que la sucesion de losdiametros de los Ai converga a 0, entonces

⋂

i∈NAi es exactamente un punto de X.

Demostracion. Obviamente la clave de la demostracion esta en encontrar el punto de interseccion detal familia.Definamos una sucesion en X como sigue: para cada i ∈ N escogemos xi ∈ Ai arbitrariamente, entoncestenemos para n,m ∈ N con n > m que 0 ≤ d(xn, xm) < diam(Ai) y como diam(Ai) −→ 0 se sigue quela sucesion xi ası definida es una sucesion de Cauchy en X.Por la completitud de X existe x = lim

i−→∞xi ∈ X; probemos que x ∈

⋂

i∈NAi.

Si x /∈⋂

i∈NAi entonces, siendo i0 el menor ındice i tal que x /∈ Ai, se tiene

d(x,Ai0) = infy∈Ai0

d(x, y) = r > 0

de modo que para j > i0 tendremos

d(x,Aj) > d(x,Ai0) = r

y como xj ∈ Aj tendremos d(x, xj) > r lo cual mostrarıa que la sucesion xi no converge a x, falso. Portanto

x ∈⋂

i∈NAi

Si x′ ∈⋂

i∈NAi fuese otro punto distinto de x entonces como d(x, x′) = s > 0 debe existir Ai tal que

diam(Ai) = s1 < s por lo que x′ /∈ Ai ya que d(x′, x) = s > supy∈Ai

d(x, y) = s por tanto x′ /∈⋂

i∈NAi, ası

⋂

i∈NAi = x

Lo cual termina la demostracion. ¤Proposicion 3.3.2. Todo espacio metrico completo es un espacio de Baire.

Demostracion. En esta demostracion se usaran implıcitamente axiomas de separacion para espaciostopologicos que aun no se han definido, sin embargo en un buen curso de topologıa se prueba que todoespacio metrico es un espacio paracompacto y por tanto verifica todos los axiomas de separacion (quetambien se definen en el mismo curso), en todo caso estas propiedades son facilmente verificables en Rn.Sea Aii∈N familia numerable de abiertos densos en el espacio metrico (X, d), sea U ⊆ X un abierto no

vacıo; debemos probar que U ∩(⋂

i∈NAi

)6= ∅.


Como A1 es denso en X debe ser Ai ∩ U 6= ∅ y abierto; sea x1 un elemento de dicha interseccion, existeun numero positivo ε1 < 1 tal que B(x1; ε1) ⊆ A1 ∩ U (ind: como A1 ∩ U es abierto existe ε > 0 tal que

B(x1; ε) ⊆ A1 ∩ U , sea ε′ =ε

4y ε1 =

ε′

1 + ε′por ejemplo), como A2 es denso en X y B(x1; ε1) es abierto

no vacıo entonces existe x2 ∈ B(x1; ε1) ∩A2 y ε2 <12

positivo tal que B(x2; ε2) ⊆ B(x1; ε1) ∩A2 (ind:

use lo ya hecho para hallar un ε con B(x2; ε) ⊆ A2 ∩ U y luego sea ε2 =ε

1 + 2ε).

Inductivamente tenemos la familia de cerrados B(xi; εi)i∈N que verifican las condiciones del lemaanterior, por tanto existe un x ∈

⋂

i∈NB(xi; εi) y por definicion de estos cerrados tiene que

x ∈( ⋂

i∈NAi

)∩ U terminando ası la prueba de la proposicion. ¤

En realidad la definicion de espacio de Baire se motiva por este resultado ya que se trata de clasificarlos espacios generales que verifican esta condicion; en particular se tiene

Proposicion 3.3.3. Rn es un espacio de Baire.

Demostracion. Ejercicio. ¤Proposicion 3.3.4. Si una familia numerable de cerrados no vacıos cubre a Rn entonces al menos unode ellos no es nunca denso.

Demostracion. Si Cii∈N es una familia numerable de cerrados de Rn tal que⋃

i∈NCi = Rn entonces

⋂

i∈NCc

i = ∅, luego uno de los Cci no es denso en Rn porque si todos fuesen densos, por ser Rn de Baire, se

tendrıa que la clausura de esta interseccion (que es vacıa) serıa Rn lo cual es falso; por lo que ∃i ∈ N talque Cc

i 6= Rn, pero

Cci =

( Ci

)c

y como Ci es cerrado se tiene que Ci = Ci ası que finalmente tenemos(Ci

) 6= ∅, lo que prueba que Ci

no es nunca denso. ¤

Notese que no constituyo un hecho crucial en la demostracion que el espacio en que trabajamos fueseRn sino que lo importante es que era un espacio de Baire, por lo que el resultado es valido en cualquierespacio de Baire.Como corolario a este resultado podemos observar que ninguna familia numerable de rectas puedecubrir a R2.

Proposicion 3.3.5. (teorema de Baire): Todo espacio metrico completo es de segunda categorıa.

Demostracion. Sea (X, d) un espacio metrico completo y supongamoslo de primera categorıa,entonces podemos escribir

X =⋃

i∈NAi

Donde los Ai-es son nunca densos en X, luego claramente X =⋃

i∈NAi; por lo antes probado uno de los

Ai-es debe no ser nunca denso, esto es

(∃i ∈ N) :(Ai

)c6= ∅

ANALISIS REAL 23

O, dicho de otro modo por las propiedades de la clausura

(∃i ∈ N) :(Ai

)c 6= ∅Por tanto este Ai no es nunca denso, contrario a la hipotesis, esto prueba que X no se puede escribircomo union numerable de nunca densos. ¤

3.4. Compacidad .

Todos los conjuntos construidos anteriormente nacen de preguntarse que es lo que hace continua a unafuncion continua, mas alla de la metrica o de las sucesiones; este es justamente uno de los problemas delanalisis real, dado un conjunto cual es la definicion clave que hace posible definir una funcion continuaque arranque del conjunto y llegue a algun otro lado, se pueden definir otros tipos de continuidad y portanto se puede volver a hacer la misma pregunta en todos estos casos.Sin embargo hay otras cosas importantes que son motivo de estudio como por ejemplo que propiedadesde los espacios de dimension finita se extienden a los de dimension infinita e incluso como se puedencaracterizar los espacios de dimension finita en funcion de sus propiedades topologicas (se entiende portopologica una propiedad que involucre explicita o implıcitamente la continuidad de funciones), y es poreste motivo que se define la siguiente clase de conjuntos.

Definicion 3.4.1. Una familia F = Gαα∈I de subconjuntos de un espacio (en general topologico) X

se llama cubrimiento abierto de un subconjunto C de X si cada Gα es abierto y⋃

α∈I

Gα = C y diremos

que una subfamilia G de F es un subcubrimiento de C si⋃

Gα∈G

Gα = C, en particular si G tiene una

cantidad finita de elementos decimos que G es un subcubriminto finito de C.

Definicion 3.4.2. Sea ahora X un espacio metrico y K ⊆ X, diremos que K es compacto cuando decada cubrimiento abierto de K sea posible seleccionar un subcubrimiento de K que sea finito.

Definicion 3.4.3. Diremos que una familia de cerrados Fii∈I subconjuntos de un espacio metrico Xtiene la propiedad de interseccion finita o abreviadamente la PIF si⋂

i∈J

Ai 6= ∅ ∀J ⊆ I ∧ J finito

Proposicion 3.4.1. Un espacio metrico X es compacto sı y solo sı cada familia de subconjuntoscerrados Fii∈I de X que tiene la PIF verifica que

⋂i∈I

Fi 6= ∅

Demostracion. Se deja como ejercicio porque es la negacion logica de la definicion de compacidad. ¤

Para notar la dificultad que implica usar la definicion en la practica mostremos por ejemplo que Rn noes compacto para lo cual consideramos el cubrimiento abierto F = B(θRn ; n) : n ∈ N; si existiera unsubcubrimiento finito para Rn de F entonces siendo N el mayor natural que indicia estesubcubrimiento se tendrıa que

Rn = ∪Nn=1B(θRn ;n) = B(θRn ; N)

sin embargo si tomamos x ∈ B(θRn ; N) tal que ‖x‖ =3N

4entonces claramente (por definicion de Rn) se

tendra que y = ‖x‖x ∈ Rn = B(θRn ; N), pero ‖y‖ =3N2

4> N para cada N ∈ N− 1 por lo que

y /∈ Rn lo cual es contradictorio mostrando ası que Rn no es compacto (falta refutar el caso en queN = 1, lo cual se deja al lector).Es aun mas difıcil mostrar la compacidad de un conjunto a partir de la definicion, sin embargo en Rn yen general en cualquier espacio metrico de dimension finita los compactos (que es una definicion


topologica porque involucra abiertos) se pueden caracterizar en funcion de cualidades bastante massimples.

Lema 3.4.1. Todo subconjunto compacto de un espacio metrico (y en general de un espacio topologicoal menos t2) es cerrado y acotado.

Demostracion. Sea K un subconjunto compacto de un espacio metrico X, para mostrar que K escerrado probemos que Kc es abierto.Sea x ∈ Kc, para cada y ∈ K se tiene (como y 6= x) que existen abiertos disjuntos Vy, Uy cotneniendo ay y x respectivamente; con este procedimiento aplicado a cada y en K con x fijo nos da dos familias deabiertos F = Vy : y ∈ K y G = Uy : y ∈ K donde los Vy contienen cada uno a y y es disjunto delcorrespondiente Uy que contiene a x.Claramente F es un cubrimiento abierto del compacto K existen por tanto Vy1, Vy2, ..., Vyn ∈ F tales

que K ⊆n⋃

i=1

Vyi, sea Uy1, Uy2, ..., Uyn la familia formada por los Uy correspondiente a los Vyi recien

descritos; entonces claramente

(n⋃

i=1

Vyi

)∩

(n⋂

i=1

Uyi

)= ∅ por lo que

x ∈n⋂

i=1

Uyi ⊆ Kc

lo que muestra que Kc es abierto y por tanto K es cerrado.Para mostrar que K es acotado encontraremos una bola abierta de radio finito que contenga a K.Sea x ∈ X un punto cualquiera, claramente cada punto es acotado (porque?) por lo que para cadak ∈ K existe una bola abierta de radio finito centrada e x que contiene a k; sea Bk tal bola y seaF = Bk : k ∈ K con x fijo.Claramente F es un cubrimiento abierto de K por lo que existen Bk1, Bk2, ...Bkn ∈ F tales que

K ⊆n⋃

i=1

Bki = B

El lector puede chequear que la union finita de acotados es acotada por lo que B es acotado, por tantoK es acotado (un subconjunto de un acotado es acotado, porque?) terminando ası de probar lo que sequerıa. ¤

Aquı incluso se puede probar este resultado sin hacer uso de la metrica del espacio definiendoadecuadamente la nocion de acotamiento, lo que se hace en analisis funcional; en otras palabras sepuede decir que el resulato es valido en general en cualquier espacio topologico.El recıproco del resultado sin embargo es valido en espacios de dimension finita, pero existen espaciosnormados de dimension infinita (por ejemplo espacios de sucesiones) en que se cumple el recıproco, aquılo enunciamos en Rn.

ANALISIS REAL 25

Proposicion 3.4.2. (teorema de Heine-Borel): Sea K ⊆ Rn, K es compacto sı y solo sı K es cerradoy acotado.

Demostracion. En la demostraion usaremos el princpio de los intervalos encestados en Rn que es unasencilla consecuencia de su analogo en R y de las desigualdades que verifica la distancia euclideana deRn por lo que se dejara al lector la tarea de chequear la efectividad de este principio.Por el lema es suficiente considerar un cerrado y acotado K, un cubrimiento abierto de K digamosF = Gαα∈I y encontrar un subcubrimiento finito de K; supongamos por el contrario que ningunafamilia finita de elementos de F encierra a K.Como K es acotado podemos escoger una n-celda I1 cerrada que contiene a K y podemos bisectar cadauno de sus lados para obtener 2n sub-celdas que son tales que al menos una de ellas contiene una partede K que requiere de una cantidad infinita de elementos de F para cubrirla (si la interseccion de cadauna de estas 2n n-celdas con K pudiesen ser cubiertas con un numero finito de elementos de F entoncessu union, que contiene a K, es encerrable en un numero finito de elementos de F ), llamemosla I2.El procedimiento anterior se puede aplicar a I2 para obtener una n-celda I3 cuya interseccion con K nosea cubrible con subfamilia finita alguna de F .Inductivamente encontramos una sucesion decreciente (en el sentido de la inclusion) de n-celdascerradas Inn∈N la particularidad que cada uno de los conjuntos no vacıos Ik ∩K, k ∈ N no es cubriblepor numero finito alguno de elementos de F .El principio de los intervalos encestados de Rn nos dice que existe x ∈

⋂

n∈NIn y como cada Ik contiene

elementos de K distintos de x (porque? ind: vuelva la definicion de Ik y suponga que un Ik contienesolo a x) se tiene que x ∈ K ′, pero K es cerrado por lo que x ∈ K ′ ⊆ K.Como F cubre a K debe haber un Gα ∈ F que contenga a x y por tanto (por ser Gα abierto) debeexistir ε > 0 tal que B(x; ε) ⊆ Gα (aquı conviene considerar la bola con la metrica d1 antes descrita);notemos por otro lado que la sucesion de las longitudes de las caras de las n-celdas Ik tiende a 0 cuadok tiende a ∞ por lo que para el ε > 0 recien descrito existe kε ∈ N tal que la longitud de las caras de Ikε

es menor que ε, pero x ∈ Ikε por lo que Ikε ⊆ Gα y ası Ikε y por tanto todos los Ij con j > kε estancontenidos en Gα lo cual contradice la definicion de los Ik con k ∈ N.Como la contradiccion viene de suponer que ninguna subfamilia finita de F puede cubrir a K hemosprobado la proposicion. ¤

Con el metodo usado en la demostracion se puede tambien probar el siguiente resultado:

Proposicion 3.4.3. (teorema de Bolzano-Weierstrass): Todo subconjunto infinito y acotado C de Rn

tiene un punto de acumulacion.

Demostracion. (Los detalles se dejan como ejercicio al lector) Usando el mismo argumento anterior sedefine la sucesion decreciente de n-celdas cerradas Inn∈N con la particularidad que Ik se obtiene deIk−1 bisectando sus 2n lados y eligiendo a Ik tal que Ik ∩ C tenga infinitos puntos (porque se puedesiempre elegir tal Ik?), luego existe x ∈

⋂

i∈NIi y para probar que x ∈ C ′ se nota que la sucesion de las

longitudes de los lados de los Ik tiende a 0 cuando k −→∞ por lo que si ε > 0 es arbitrario existek(ε) ∈ N tal que la longitud de los lados de Ik(ε) es menor que ε y este Ik(ε) contiene otros puntos de Cdistintos de x, esto es existe y 6= x con y ∈ C y tal que d1(y, x) < ε.Esto prueba que x ∈ C ′ terminando ası la demostracion de la proposicion. ¤

Debido a la caracterizacion de los compactos que se ha hecho en este resultado es que en lo que sigueveremos a los compactos de Rn como cerrados y acotados porque estas son propiedades bastante masmanejables que la definicion de compacidad.Una consecuencia de este resulado que se aplica a la teorıa de la integracion es el


Proposicion 3.4.4. (teorema del cubrimiento de Lebesgue) Si K ⊆ Rn es un compacto yF = Gαα∈I es un cubrimiento abierto de K entonces existe un numero λ > 0 tal que para cadax, y ∈ K se tiene que

d(x, y) < λ =⇒ (∃Gλ ∈ F ) : x, y ∈ Gλ

Demostracion. Para cada u ∈ K existe Gαu ∈ F con u ∈ Gαu y tambien existe ε = ε(u) > 0 tal queB(u; 2ε) ⊆ Gαu; consideremos la familia de abiertos G = B(u; ε) : u ∈ K, claramente G es uncubrimiento abierto de K y por compacidad existen u1, u2, ..., um ∈ K tales que la familiaG ′ = B(ui; ε) : 1 ≤ i ≤ m cubre a K.Sea λ = min

1≤i≤mε(ui) > 0, entonces si x, y ∈ K son tales que d(x, y) < λ se tiene que x ∈ B(uj ; ε(uj) para

algun 1 ≤ j ≤ m (porque G ′ cubre a k) por lo que d(x, uj) < ε(uj) y ademas

d(y, uj) ≤ d(x, y) + d(x, uj) < λ + ε(uj) < 2ε(uj)

por lo que

x ∈ B(uj ; ε(uj) ⊆ B(uj ; 2ε(uj)) ⊆ Gαuj

y de la misma manera

y ∈ B(uj ; 2ε(uj)) ⊆ Gαuj

ası que x, y ∈ Gαuj lo que prueba el resultado. ¤Definicion 3.4.4. Un numero λ con la propiedad enunciada arriba se llama numero de Lebesgue parael cubrimiento F y lo que dice es que donde sea que se abran bolas abiertas de un cierto radio (quedependera del cubrimiento) que esten en el compacto deben haber elementos del subcubrimiento finitoque la contengan en su interior.

Podemos sin embargo debilitar la definicion de compacidad de la siguiente manera:

Definicion 3.4.5. Sea C un subconjunto no vacıo de un espacio metrico X y ε > 0, se llama ε-redrespecto de C a cualquier conjunto finito de puntos de C digamos F = x1, x2, ..., xN(ε) tal que paracada y ∈ C existe xj ∈ F tal que d(y, xj) < ε.Un subconjunto H de un espacio metrico X se dice totalmente acotado o precompacto si para cadaε > 0 existe una ε-red respecto de H tal que

H ⊆nε⋃

i=1

B(xi; ε)

El lector podrıa observar que un compacto es precompacto (ind: para ε > 0 considere el cubrimientoabierto del compacto K definido por F = B(x; ε) : x ∈ K y use la compacidad de K para hallar laε-red) y que cualquier bola abierta de radio r es precompacta ya que basta hallar una ε-red para la boladel mismo centro y radio r − ε si r > ε o ε− r si ε > r (ind: considere la merica d1), sin embargo comola bola abierta no es cerrada ella no es compacta.

Definicion 3.4.6. Los conjuntos cuya clausura es compacta se llaman relativamente compactos.

3.5. Conexidad .

Vamos ahora a estudiar las caracterısticas de los conjuntos que estan separados en el sentido que seconforman por partes abiertas disjuntas.

Definicion 3.5.1. Para A subconjunto del espacio metrico (y en general topologico) X se llamadesonexion a cualquier par (C,D) de abiertos de X con la particularidad que A ∩ C ∩D = ∅ yA ⊆ C ∪D, si existe al menos una desconexion para A decimos que el es disconexo y diremos que unsubconjunto C de X es conexo cuando no es disconexo.

ANALISIS REAL 27

Aunque hay varias caracterizaciones de los conexos mediante funciones continuas aquı soloenunciaremos las propiedades mas basicas de la conexidad sin usar funciones debido a que aun no hansido convenientemente definidas.

Lema 3.5.1. El intervalo [0, 1] es un subconjunto conexo de R.

Demostracion. Si no fuese conexo existirıan dos abiertos de R digamos A y B tales queI = [0, 1] ⊆ A∪B y (A∩ I)∩ (B ∩ I) = ∅, note que A∩ I y B ∩ I son acotados, no vacıos y consisten enmas de un punto cada uno (porque si x ∈ I ∩A entonces existe ε > 0 tal que ]x− ε, x + ε[⊆ A yclaramente hay puntos de I que estan en ]x− ε, x + ε[ distintos de x).Supongamos que existen a ∈ A, b ∈ B tales que 0 < a < b < 1 (si no entonces se cambian los papeles deA y B), sea c = supx ∈ A : x < b de modo que c ∈ A ∪B.Si c ∈ A entonces c 6= b y como A es abierto existe a1 > c tal que [c, a1] ⊆ A (nuevamente usamos laspropiedades de separacion que verifica R), contrario a la definicion de c por lo que debe ser c ∈ B, peroen tal caso como B es abierto existe b1 < c tal que [b1, c] ⊆ B que tambien contradice la definicion de c.Hemos entonces obtenido una contradiccion que proviene de suponer disconexo a I, esto prueba que Ies conexo. ¤

Notese que ası tambien se puede probar que (0, 1) es conexo ya que en ningun momento se uso demanera fundamental que 0, 1 ∈ I.

Proposicion 3.5.1. Rn es conexo.

Demostracion. Si no entonces existen dos abiertos disjuntos A y B cuya union es Rn, sea x ∈ A ey ∈ B y definamos los subconjuntos de (0, 1) siguientes

At = t ∈ (0, 1) : tx + (1− t)y ∈ ABt = t ∈ (0, 1) : tx + (1− t)y ∈ B

Se observa sin problemas que ambos son abiertos, disjuntos por hipotesis y su union es I por definicionde que une dos puntos.Entonces el par (At, Bt) es una desonexion de I lo que en virtud del lema es imposible quedandoentonces demostrado que Rn es conexo. ¤

Proposicion 3.5.2. Los unicos subconjuntos de Rn que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y Rn.

Demostracion. Si A ⊆ Rn es no vacıo y abierto y cerrado a la vez entonces tambien lo es Ac que es novacıo si A 6= Rn, luego el par (A, Ac) es una desconexion del conexo Rn lo que es contradictorio. ¤

Esta proposicion en espacios topologicos generales constituye una de las tantas caracterizaciones deespacios conexos ya que (enunciada en tal contexto) dice que un espacio topologico es conexo sı y solo sısus unicas partes abiertas y cerradas a la vez son ∅ y el propio espacio; sin embargo en Rn se puedecaracterizar la conexidad (que de nuevo es una definicion topologica) en funcion de una caracterısticageometrica bastante mas visible como es la conexidad poligonal.

Definicion 3.5.2. Si x, y ∈ Rn entonces se le llama poligonal que una x con y a una sucesion finita desegmentos de recta (o caminos como se definio antes) tales que x es el origen del primero de ellos, elextremo de cada segmento es el origen del siguiente y el extreo del ultimo es y, un subconjunto de Rn sedice poligonalmente conexo si cada par de puntos del conjunto se pueden conectar por una poligonalcontenida en su totalidad en el conjunto.

Proposicion 3.5.3. (caracterizacion de los conexos de Rn): Un subconjunto abierto G de Rn esconexo sı y solo sı es poligonalemte conexo.


Demostracion. Para hacer una demostracion directa de la afirmacion derecha-izquierda se usannociones de continuidad de funciones por lo que se hara mas adelante.Recıprocamente si G es abierto sea x ∈ G fijo, definamos G1 como el conjunto de los puntos de G queson conectables con x por una poligonal contenida en G; entonces G1 6= ∅ porque x ∈ G1, ademas siy ∈ G1 tambien y ∈ G y existe por tanto ε > 0 tal que B(y; ε) ⊆ G, pero cada punto w de B(y; ε) esconectable con y a traves del segmento de recta que los une (que esta, segun lo ya observado, contenidoen B(y; ε)) y por tanto conectable a x por la poligonal obtenida uniendo la poligonal que conecta y conx con el segmento de recta que une y con w, lo que prueba que B(y; ε) ⊆ G1 por lo que G1 es abierto.Definimos G2 como el conjunto de los puntos de G que no son conectables con x a traves de poligonalalguna contenida en G, si z ∈ G2 entonces z ∈ G y por tanto existe ε1 > 0 tal que B(z; ε1) ⊆ G, sis ∈ B(z; ε1) fuese conectable a x por una poligonal P contenida en G entonces podemos suponer sinperdida de generalidad que el primer segmento de P , L1, esta contenido en B(z; ε1) ya que sin noentonces simplemente lo subdividimos de modo que resulte lo deseado (porque se puede hacer siempreesto?), y podemos suponer tambien sin perdida de generalidad que P pasa por z ya que si no entoncesal segmento de P que esta contenido en su totalidad en B(z; ε1) lo dividimos en tres partes y lomodificamos de manera que el extremo de la primera subdivision sea el origen del segmento que llega a zy que z sea el origen del segmento que une z con el origen de la tercera subdivision del segmento inicial.Obtenemos entonces una poligonal que une tambien z con x, pero z ∈ G2 implica que esto es imposible,lo cual muestra que B(z; ε1) ⊆ G2 y ası G2 es abierto.Claramente G1 ∩G2 = ∅ y cualquier g ∈ G esta o bien en G1 o en G2 ası que si G2 6= ∅ entonces el par(G1, G2) serıa una desconexion de G que por hipotesis es conexo, por tanto debe ser G2 = ∅ y estoimplica que G = G1 probando ası el resultado esperado. ¤

Veremos mas adelante que en el sentido que falta no es necesario que G sea abierto, sin embargo en elsentido aquı probado constituyo un hecho crucial de que G fuese abierto.Consideremos por ejemplo la esfera unitaria de R2 (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1; el es conexo (sefundamentara esto mas adelante) y es cerrado, sin embargo no es posible conectar dos puntoscualesquiera de el mediante una poligonal finita contenida en la esfera, esto prueba que efectivamente laproposicion puede fallar cuando el conjunto no es abierto.El lector podrıa observar que cualquier par de puntos de la esfera son conectables mediante una curvacontinua contenida en la esfera, sin embargo es posible todavıa encontrar conjuntos que son conexos ytales que lo anterior no es posible, por ejemplo podemos considerar el subconjunto de R2

(x, sin1x

) : 0 < x ≤ 1 ∪ (0, y) : −1 ≤ y ≤ 1 (nuevamente la fundamentacion de su conexidad se vera

mas adelante) es conexo y cualquier poligonal que una puntos de (0, y) : −1 ≤ y ≤ 1 con puntos de

(x, sin1x

) : 0 < x ≤ 1 se sale del conjunto.La caracterizacion de los conexos de R es bastante mas sencilla tanto de enunciar como de probar;notemos primero que todo intervalo de R (un subconjunto A de R se dice intervalo cuando para cadaa, b ∈ A se tiene que a < t < b =⇒ t ∈ A) finito o infinito es conexo (la demostracion se puede haceraquı, pero preferimos hacerla con funciones continuas debido a que es mas directa y facil de entender),recıprocamente

Proposicion 3.5.4. Si A ⊆ R es conexo entonces es un intervalo.

Demostracion. Supongamos que A no es un intervalo, existen entonces a, b ∈ A y a < t < b con t /∈ A,por tanto el par ((−∞, t), (t,∞) es una desconexion de A lo que mostrarıa que A no es conexo. ¤

Mas propiedades importantes de los conexos se probaran mas adelante.El estudio de la conexidad nos lleva a formulaciones mas debiles de la definicion como son la conexidadpoligonal y por caminos (que se dara mas adelante), ellas estan orientadas a diferenciar cierto tipo deconjuntos.

ANALISIS REAL 29

Por ejemplo en Rn consideramos una bola abierta digamos de centro θRn y radio 1, y ademas otro

conjunto que se obtiene de la bola anterior quitandole la bola del mismo centro y de radio12; el lector

notara que intuitivamente esos conjuntos no son topologicamente iguales (es decir no se pueden vercomo un mismo espacio) y la razon es porque si consideramos una curva simple cerrada en la primerabola siempre es posible ’achatarla’ hasta llegar a un punto de ella misma; sin embargo esto no es posibleen el segundo caso ya que si tomamos una curva simple cerrada cada vez que la ’achatemos’ nosatascamos en la bola que le quitamos (por supuesto que estas ideas intuitivas tienen una formulacionmatematica estandar).Las ideas anteriores nos llevan a pensar en que debemos hacer una cierta correspondencia entre estoscaminos cerrados y alguna otra estructura matematica que nos diga en que casos podemos achatar elcamino como en el primer conjunto y en que casos no; esta es la motivacion intuitiva de definir el grupofundamental asociado a un espacio y que se produce porque en el segundo ejemplo hay caminoscerrados que se pueden contraer a un punto y son aquellos que no encierran al conjunto que sacamos.Para introducir la escritura matematica de estas estructuras es necesario que el lector maneje bien lasnociones de topologıa general, conocimientos que no se supondran en este libro y son objeto de estudiodel curso de topologıa algebraica.


4. Sucesiones en R y Rp

4.1. Sucesiones y lımites.

Un concepto mucho mas cercano a la continuidad de las funciones es el de sucesion convergente,recordemos que una sucesion en Rp es una funcion a : N −→ Rp (en general se pueden considerar lasllamadas sucesiones multiples que son funciones a : Nr −→ Rp y se puede hacer una teorıa analoga a laque se desarrollara aquı).hacer diferencia entre una sucesion y una funcion ordinaria se denota la imagen por a de un n ∈ N comoan en lugar de a(n) y a la sucesion propiamente tal se le denota por ann∈N o mas sencillamente poran y decimos que este es el termino general de la sucesion (notese que la sucesion es la funcion, no elconjunto de valores que toma, sin embargo a veces se identifica la sucesion mediante el conjunto de susvalores).

Definicion 4.1.1. Si existe un a ∈ Rp con la particularidad de que

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ an ∈ B(a; ε)

Entoces diremos que a es el lımite al que tiende la sucesion an cuando n aumenta indefinidamente y seescribe

a = limn−→∞ an o an −→ a

En la practica para probar lımites se usa mas la definicion del mismo que involucra las normas ya quees muy util la desigualdad triangular para estos fines, sin embargo por el caracter teorico de este cursoes que se prefiere enunciarla de manera general ya que se dara mayor enfasis a los resultados de caracteranalıtico que a los que permiten el calculo de lımites.

Recordemos que el lımite (si existe) de una sucesion es unico.La definicion de lımites implia rapicamente que el conjunto de terminos de una sucesion convergente esacotado porque si fijamos un ε = 1 por ejemplo entonces todos los terminos de la sucesion estancontenidos en una bola de centro en el lımite y radio ε exepto una cantidad finita de terminos quecorresponden a puntos de Rp que son acotados al igual que su union (porque es finita) por tanto todo elconjunto de terminos es acotado. El recıproco no es en general cierto.Como una aplicacion directa de las desigualdades de las normas de Rp tenemos

Proposicion 4.1.1. Sea yn = (y1n, y2

n, ...ypn) una sucesion en Rp, yn converge a y = (y1, y2, ...yp) sı y

solo sı yjn converge a yj para cada 1 ≤ j ≤ p.


Respecto del calculo de lımites tenemos el conocido resultado

Proposicion 4.1.2. Sean an, bn sucesiones en Rp convergentes a a y b respectivamente y sea α ∈ R, setiene que1- lim

n−→∞(an ± bn) = a± b.2- lim

n−→∞ anbn = ab

3- limn−→∞αan = αa

4- Si b 6= 0 y bn 6= 0 para cada n ∈ N entonces limn−→∞

an

bn=

a

b.


ANALISIS REAL 31

Definicion 4.1.2. Si an es una sucesion en Rp llamamos subsucesion de an a cualquier sucesion bn quesea el resultado de componer alguna funcion φ : N −→ N estrictamente creciente con a y se denota poraφ(n).

Supongamos que an converge a a y que aφ(n) es una subsucesion de an, entonces por hipotesis paraε > 0 arbitrario existe Nε ∈ N tal que n ≥ Nε =⇒ an ∈ B(a; ε), peron ≥ Nε =⇒ φ(n) ≥ φ(Nε) ≥ Nε =⇒ aφ(n) ∈ B(a; ε), lo que prueba que si la sucesion es convergentoncescualquier subsucesion de ella converge al mismo lımite; el recıproco se deja como ejercicio (ind:considere la subsucesion φ(n) = n + 1).Nuestro problema a resolver sera entonces dada una sucesion decidir si ella es o no convergente (a vecesesto no implica que podamos encontrar explıcitamente su lımite) y ademas clasificar todas estassucesiones convergentes.Por un lado tenemos ya un criterio para ver si una sucesion es o no convergente; la desventaja de este esque no es tan simple mostrar que el lımite de todas las subsucesiones de ella es uno solo por lo quedebemos encontrar criterios de convergencia mas aplicables.

Proposicion 4.1.3. Sea ann∈N una sucesion de numeros reales monotona creciente, es decir

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ...

Entonces la sucesion es convergente sı y solo sı el conjunto de sus valores es acotado superiormente y ental caso el lımite de la sucesion es el supremo de este conjunto.

Demostracion. Supongamos que la sucesion es convergente, por lo anterior el conjunto de sus valoreses acotado superiormente (en particular) y como es no vacıo entonces existe a = sup

n∈Nan.

Por definicion de lımite para cada ε > 0 existe un elemento aN(ε) de la sucesion tal que aN(ε) > a− ε ylo mismo vale para cada n ∈ N mayor que N(ε) lo que muestque

(∀ε > 0)(∃N(ε) ∈ N) : n ≥ N(ε) =⇒ |an − a| = |a− an| = a− an < ε

por lo que a = limn−→∞ an.

Recıprocamente supongamos que la sucesion (identificada como el conjunto de sus valores) es acotadasuperiormente, de nuevo existe el supremo del conjunto de sus valores que llamaremos a, lademostracion sigue analoga a como se hizo antes. ¤

Es claro que el resultado se puede tambien enunciar para sucesiones de numeros reales monotonasdecrecientes, en este caso la sucesion sera convergente sı y solo sı el conjunto de sus valores es acotadoinferiormente y en tal caso el lımite de la sucesion sera el ınfimo de este conjunto.Ya se dijo que una sucesion convergente es acotada y claramente su recıproco no es cierto, si embargo esposible hallar un subconjunto de ella en que si se cumpla esto.

Lema 4.1.1. Si un punto esta en la acumulacion de un subonjunto C de Rp entonces el tambien estaen la acumulacion de C − F para cualquier conjunto finito F .


Proposicion 4.1.4. (teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones): Toda sucesion acotada deelementos de Rp tiene una subsucesion convergente.

Demostracion. Sea S1 = an la sucesion en cuestion, si en este conjunto hay un numero finito devalores distintos entonces al menos uno de ellos debe repetirse infinitas veces y bastarıa en tal casodefinir la subsucesion como este conjunto de valores constantes.


Si hay un numero infinito de valores distintos en la sucesion entonces por el teorema del mismo nombrepara conjuntos debe existir al menos un punto de acumulacion que llamamos a. Hay entonces elementosde la sucesion S1 distintos de a en V1 = y ∈ S1 : y ∈ B(a; 1), sea an1 uno de ellos y notemos que segunel lema a es punto de acumulacion de S2 = an − an : n ≤ n1 por lo que existen punots distintos de

a en V2 = y ∈ S2 : y ∈ B(a;12), sea an2 uno de ellos y volvemos a aplicar el razonamiento anterior

para encontrar un an3 distinto de a en V3 = y ∈ S3 : y ∈ B(a;13) con S3 = S2 − an : n ≤ n2.

Inductivamente encontramos un conjunto ank ⊆ an que ank

∈ B(a;1k) para cada k ∈ N (notese que

nk < nk+1) mostrando ası que a = limk−→∞

ank. ¤

El resultado recien descrito muestra tambien otra cosa: es claro que, por un lado, si a es el lımite dealguna subsucesion de an entonces a ∈ an′ y por otro lado la demostracion recien hecha nosmuestra un procedimiento para, dado a ∈ an′, construir una subsucesion de an convergente a a porlo que podemos enunciar el siguiente resultado

Proposicion 4.1.5. Un punto a ∈ Rp esta en la acumulacion de una sucesion sı y solo sı existe unasubsucesion de ella convergente a a.

Demostracion. Aunque a grandes rasgos ya se hizo es un buen ejercicio escribir los detalles. ¤

Los resultados anteriores son muy utiles e importantes, sin embargo no hemos respondido aun lapregunta que nos hacıamos acerca de la convergencia de una sucesion cualquiera, casi siempre enmatematicas la manera de responder este tipo de interrogantes es clasificar los entes que verifican lapropiedad que buscamos y ası se comienzan a investigar caracterizaciones de ese conjunto.En lo que respecta a las sucesiones de Cauchy claramente toda sucesion convergente es de Cauchy (porla desigualdad triangular de la norma).

Lema 4.1.2. Si una sucesion de Cauchy tiene una subsucesion convergente a a entonces toda lasucesion converge a a.

Demostracion. Sea an la sucesion y aφ(n) la subsucesion en cuestion; como an es de Cauchy

dado ε > 0 existe un M(ε

2) ∈ N tal que

n, m ≥ M(ε

2) =⇒ ‖an − am‖ <

ε

2=⇒ ‖aφ(n) − aφ(m)‖ <

ε

2(porque?).Por otro lado aφ(n) converge a a por lo que existe K(

ε

2) ∈ N tal que

φ(n) ≥ K(ε

2) =⇒ ‖aφ(n) − a‖ <

ε

2

Sea N(ε) = maxM(ε

2),K(

ε

2), entonces si n, m ≥ N(ε) tenemos que

‖a− an‖ ≤ ‖a− aφ(m)‖+ ‖aφ(m) − an‖ <ε

2+

ε

2= ε

Lo que prueba el resultado. ¤

Tambien obtenemos facilmente el resultado siguiente

ANALISIS REAL 33

Lema 4.1.3. Toda sucesion de Cauchy en Rp es acotada.

Demostracion. Sea an la sucesion en cuestion y ε = 1, existe M(1) ∈ N tal que m = M(1) yn > M(1) implican que ‖an − am‖ < 1 por lo que ‖an‖ < ‖am‖+ 1 para n ≥ M(1), ası que si definimosB = sup

1≤i≤m−1‖ai‖ tendremos que ‖an‖ ≤ maxB, ‖am‖+ 1 para cada n ∈ N mostrando ası lo

deseado. ¤

Con todo lo ya visto es facil ahora probar el criterio de convergencia que resolvera completamente elproblema que nos habıamos planteado.

Proposicion 4.1.6. (criterio de Cauchy para convergencia): Una sucesion en Rp es convergente en Rp

sı y solo sı es de Cauchy.

Demostracion. Ya se dijo que una sucesion convergente es de Cauchy.Recıprocamente si la sucesion es de Cauchy entonces ella es acotada y por tanto posee una subsucesionconvergente a un a ∈ Rp, lo que implica que la sucesion completa converge a a. ¤

4.2. Lımites inferiores y superiores.

Ya se vio que los puntos de acumulacion de una sucesion son lımites de alguna de sus subsucesiones,cabe entonces la interrogante ¿Como saber cual es el menor de estos puntos (y obviamente cual es elmayor)?.La nocion que buscamos es entonces una adaptacion para lo que se hace en subconjuntos acotados deR, donde se define el mayor punto de acumulacion de un conjunto como el ınfimo del conjunto de todoslos reales que son excedidos a lo mas por un numero finito de elementos del conjunto en cuestion.

Definicion 4.2.1. En consecuencia con lo anterior sea an una sucesion de numeros reales (esto sepuede extender a una sucesion sobre un espacio metrico en que se puede definir un orden parcial),definimos el lımite superior de la sucesion como el ınfimo de todos los reales que son superados por unacantidad finita de elementos de la sucesion y lo denotamos por lim supan; del mismo modo se define ellımite inferior de la sucesion como el supremo de todos los reales que son mayores que a lo mas unnumero finito de elementos de la sucesion y lo denotamos por lim inf an.

La definicion anterior parece poco matematica por la falta de fundamento formulıstico, sin embargoesableceremos su equivalencia con una definicion mas esperada.

Proposicion 4.2.1. Sea an una sucesion acotada de numeros reales y a∗ ∈ R, son equivalentes1- a∗ = lim sup an.2- Si ε > 0 entonces hay a lo mas un numero finito de elementos de la sucesion que superan a a∗ + ε,pero hay infinitos elementos de la sucesion que superan a a∗ − ε.3- a∗ = inf

m∈Nsupn≥m

an.

4- Si vm = supn≥m

an entoces a∗ = limm−→∞ vm.

5- Si L es el conjunto de todos los v ∈ R tales que existe una subsucesion de an convergente a ventonces a∗ = supL.

Demostracion. :1− =⇒ 2−:Sabemos que para ε > 0 arbitrario a∗ + ε es cota superior del conjunto de los reales que son superados alo mas por finitos elementos de la sucesion por lo que a∗ + ε tambien es superado a lo mas por finitoselementos de la sucesion, por otro lado a∗ es el menor de los reales con esta propiedad, por tanto a∗ − εno puede tener esa caracterıstica y es en consecuencia superado por infinitos elementos de la sucesion.


2− =⇒ 3−:Definamos vm = sup

n≥man y notemos que cuado aumenta m disminuyen los vm, por otro lado cada vm es

superado a lo mas por un numero finito de elementos de la sucesion, por tanto para ε > 0 arbitrario ym suficientemente grande se tendra vm ≤ a∗ + ε por lo que inf

m∈Nvm ≤ a∗ + ε. Por otro lado hay infinitos

elementos de la sucesion que superan a a∗ − ε por tanto a∗ − ε < vm para cada m ∈ N y entoncesinf

m∈N< a∗ − ε.

Como ε > 0 era arbitrario tenemos que a∗ = infm∈N

vm.

3− =⇒ 4−:Es claro del hecho que la sucesion vm es monotona decreciente y acotada.4− =⇒ 5−:Sea ank

una subsucesion convergente de an, como nk ≥ k tenemos que ank≤ vk y por tanto

a∗ = limk−→∞

vk ≥ limk−→∞

ank; ademas podemos encontrar inductivamente nk+1 > nk tales que

vk − 1k + 1

< ank+1≤ vk de donde lim

k−→∞vk ≤ lim

k−→∞ank+1

teniendose la igualdad esperada.5− =⇒ 1−:Para cada ε > 0 solo un numero finito de elementos de la sucesion superan a (supL) + ε por lo quelim sup an ≤ (supL) + ε, por otro lado hay una subsucesion de an convergente a (supL)− ε por lo quelim

n−→∞ an ≥ (supL)− ε resultando que supL = lim sup an

Esto completa la demostracion. ¤

Respecto de la relacion entre el concepto de lımite superior y la combinacion de sucesiones tenemos elsiguiente resultado que debiera ser facilmente chequeable por el lector.

Proposicion 4.2.2. Sean an y bn sucesiones acotadas de numeros reales, entonces1- lim inf an ≤ lim sup an.2- Si c ≥ 0 entonces lim sup can = c lim sup an y lim inf can = c lim inf an.3- Si c ≤ 0 entonces lim sup can = c lim inf any lim inf can = c lim sup an.4- Si an ≤ bn para cada n ∈ N entonces lim inf an ≤ lim inf bn y lim sup an ≤ lim sup bn.


Se observara que ya se dijo que una sucesion es convergente sı y solo sı todas sus subsucesiones tienenun mismo lımite, por lado el lımite superior y el inferior son respectivamente el mayor y el menorposible entre todos ellos por lo que es de esperar que una sucesion sea convergente sı y solo sı su lımitesuperior e inferior coinciden. Es posible sin embargo demostrar este resultado directamente de ladefinicion de lımite, lo cual no debiera presentar mayor problema al lector.Por ultimo distingamos dos clases de lımites de una sucesion, lo cual viene motivado por el hecho de queuna sucesion puede contener su lımite entre sus elementos como tambien puede ser que esto no sea ası.

Definicion 4.2.2. Diremos que x es el lımite simple de la sucesion xn si

xn −→ x ∧ (∃n ∈ N) : xn = x

Y diremos que a es el lımite separado de la sucesion an si

an −→ a ∧ an 6= a ∀n ∈ N

Como informacion final de esta seccion aclaramos que la completitud de conjunto o un espacio estasujeta a la convergencia de una generalizacion natural de las sucesiones (el dominio de la sucesion no esN sino que es un conjunto dirigido o filtrante a izquierda o derecha) que son las llamadas redes(obviamente de Cauchy) y se motiva por el hecho de que en ciertos espacios topologicos hay fallasrelacionadas con las sucesiones y sus propiedades; por ejemplo se probo que para cada punto en la

ANALISIS REAL 35

clausura de un subconjunto de Rn existe una sucesion de elementos del conjunto que converge a dichopunto, sin embargo hay espacios topologicos en que esto no es cierto y es esperable, ya que en lademostracion de lo recien recordado se uso implıcitamente el hecho de que estamos en Rn, por lo que elenunciado general de esa propiedad hace mencion a las redes.En Rn sin embargo se prueba que las redes se pueden estudiar como sucesiones y por ello es que sedefine la completitud como se vio en la seccion anterior.Por el caracter basico que tiene este curso es que este tema no se ampliara, pero se puede ver undesarrollo bastante acabado en cualquier libro de topologıa.Mas adelante se consideraran sucesiones que son especialmente importantes como son las sucesiones defunciones y algunas propiedades topologicas del espacio que definen.Otro tema interesante que se amplıa en analisis funcional es el estudiar la estructura de espacionormado de los conjuntos s de todas las sucesiones de numeros reales, c ⊆ s el conjunto de todas lassucesiones de numeros reales convergentes, c0 ⊆ c el conjunto de todas las sucesiones de numeros realesconvergentes a 0 y los conjuntos

`p(R) = xn ⊆ R :∞∑

i=1

|xi|p < ∞ 1 ≤ p < ∞ y `∞(R) = xn ⊆ R : supi∈N

|xi| < ∞

de los cuales es especialmente importante `2 ya que es un espacio con producto interior cuya norma

inducida lo convierte en un espacio completo, ademas notese que su exponente conjugado q = (1− 1p)−1

es nuevamente 2 lo cual se vera en analisis funcional que no es un hecho menor.La norma que se define en `p(R) con 1 ≤ p < ∞ es

‖xn‖p = p

√√√√∞∑

i=1

|xi|p

y en el caso p = ∞ se define

‖xn‖∞ = supi∈N

|xi|

El lector observara que solo para p ≥ 1 se tiene que (`p(R), ‖ · ‖p) es un espacio normado, sin embargo laestructura de ellos para 0 < p < 1 tambien se estudia y surgen ası ideas de debilitacion para la nocionde norma.Se sugiere a este punto al lector investigar las debilitaciones de la nocion de norma y notar que en cadacaso hay propiedades que fallan de la metrica que ellas definen.


5. Funciones continuas

5.1. Continuidad puntual y global .

La nocion de funcion continua es el comienzo del estudio de ramas de la matematica como son latopologıa y el analisis funcional (lineal y no lineal) puesto que en ellos se intenta dar respuesta a loantes expuesto de dar la caracterıstica clave un espacio dado que permitira hacer de una funcion comuny corriente una funcion continua (o uniformemente continua, etc).En esta seccion nos basaremos de lleno en Rn ya que el estudio general de esta nocion requiere deherramientas que hasta ahora no se han dado.

Definicion 5.1.1. Entenderemos por vecindad de un punto x ∈ Rn a cualquier conjunto que contengaun abierto que contiene a x, sin embargo es usual considerar (y aquı lo haremos) este conjunto comoabierto. A la coleccion de todas estas vecindades de x la denotamos por ν(x).

Definicion 5.1.2. Sea f : A ⊆ Rn −→ Rm una funcion y sea x ∈ A, decimos que f es continua en x si

(∀U ∈ ν(f(x)))(∃V ∈ ν(x)) : f(A ∩ V ) ⊆ U

Es decir que cada vez que se consideren puntos arbitrariamente cerca de f(x) resultara que ellos sonimagenes por f de puntos que estan a una distancia de x que depende de la cercanıa de sus imagenespor f a f(x).El lector deberıa estar ya familiarizado con la definicion ε− δ de continuidad que se da en los cursos decalculo por lo que quizas haya algo de esoterico en la definicion anterior, sin embargo se puede chequearrapidamente (y se deja de ejercicio al lector) que debido a la definicion de vecindad que se dio recien setiene que f es continua en x en el sentido recien descrito sı y solo sı

(∀ε > 0)(∃δ(ε; x) > 0) : a ∈ A ∧ ‖x− a‖ < δ(ε; x) =⇒ ‖f(a)− f(x)‖ < ε

Veamos ahora el nexo que existe entre la convergencia de una sucesion y la continuidad de una funcion.

Proposicion 5.1.1. Sea f : A ⊆ Rn −→ Rm y sea x ∈ A; f es continua en x sı y solo sı para cualquiersucesion xn de elementos de A se tiene

limn−→∞xn = x =⇒ lim

n−→∞ f(xn) = f(x)

Demostracion. Por la observacion anterior podemos usar indistintamente culquiera de las dosdefiiniciones de continuidad dadas antes.Sea xn una sucesion de elementos de A convergente a x y sea ε > 0, por hipotesis existe δ(ε; x) > 0 talque si a ∈ A es tal que ‖x− a‖ < δ(ε; x) entonces ‖f(x)− f(a)‖ < ε.Por la convergencia de xn a x para δ(ε; x) > 0 existe Nδ(ε;x) ∈ N tal que n ≥ Nδ(ε;x) implica‖xn − x‖ < δ(ε; x) y por lo de arriba tenemos entonces ‖f(xn − f(x)‖ < ε mostrando quelim

n−→∞ f(xn) = f(x).Supongamos, recıprocamente, que f no es continua en x; existe entonces ε > 0 tal que para todo δ > 0existen a ∈ A con ‖x− a‖ < δ y ‖f(x)− f(a)‖ ≥ ε.

Definamos la sucesion de elementos de A como sigue: xn es un elemento de A que verifica ‖xn−x‖ <1n

,

tenemos entonces que xn converge a x y por lo anterior se iene que f(xn) converge a f(x).Esto termina de probar lo deseado. ¤

Notemos que la demostracion del resultado nos da un criterio de discontinuidad de una funcion en unpunto que podemos enunciar como sigue

Proposicion 5.1.2. (En las hipotesis de la proposicion anterior) f es discontinua en x sı y solo sıexiste una sucesion de elementos de A xn convergente a x tal que f(xn) no coverge a f(x).

ANALISIS REAL 37

Demostracion. Es simplemente reenunciar la proposicion anterior. ¤

En lo que sigue nos ocuparemos de estudiar las propiedades locales y globales de las funciones continuasen un punto y en un conjunto.Es un ejercicio del lector chequear que si f, g son funciones continuas y c es un numero real entonces

(cuando estan definidas) son continuas las funciones f ± g, fg,f

g, cf , ‖f‖, supf, g, inff, g; el lector

podrıa tambien investigar la estructura que inducen estas operaciones en la clase de rodas las funcionesde Rn en Rm.

Proposicion 5.1.3. Sea f : A ⊆ Rn −→ Rm una funcion y sea a ∈ A, f es continua en a sı y solo sıpara cada vecindad U de f(a) existe una vecindad V de a tal que V ∩A = f−1(U).

Demostracion. Si f es continua en a entonces para U ∈ ν(f(a)) existe V1 ∈ ν(a) tal quef(V1 ∩A) ⊆ U , por tanto V = V1 ∩ U es una vecindad de a tal que f(V ∩A) = U .Recıprocamente sea U ∈ ν(f(a)), por hipotesis existe V ∈ ν(a) tal que f(V ∩A) = U por tanto V1 = Ves una vecindad de a tal que en particular se tiene que f(V1 ∩A) ⊆ U lo cual termina lademostracion. ¤

Una funcion que es continua en todos los puntos de un conjunto A se dice simplemente continua en A.

Proposicion 5.1.4. Sea f : A ⊆ Rn −→ Rm y g : B ⊆ Rm −→ Rp funciones continuas en su dominiocon f(A) ⊆ B, entonces la funcion g f : A −→ Rp definida por (g f)(x) = g(f(x)) es continua en A.

Demostracion. Es un ejercicio para el lector el demostrar esta propiedad mediante a definicion ε− δde la continuidad; sin embargo el resultado se puede probar caracterizando la continuidad en terminosde abiertos y cerrados. ¤Proposicion 5.1.5. (caracterizacion de la continuidad global): Sea f : D ⊆ Rn −→ Rm, las siguientesafirmaciones son equivalentes1- f es continua en D.2- Para cada U ⊆ f(D) abierto existe V ⊆ Rn abierto tal que f(V ∩D) = U .3- Para cada cerrado C ⊆ f(D) existe un cerrado F ⊆ Rn tal que f(F ∩D) = C.

Demostracion. :1− =⇒ 2−:Sea U ⊆ f(D) abierto y sea u ∈ U , como existe a ∈ D tal que f(a) = u se tiene que U es una vecindadde f(a). La continuidad de f en a implica que existe un abierto Va ∈ ν(a) tal que f(Va ∩D) ⊆ U ,repitiendo este proceso para cada u ∈ U tenemos una familia de abiertosA = Va : ∃u ∈ U con u = f(a), si definimos V =

⋃

Va∈A

Va tenemos que f(V ∩A) = U .

2− =⇒ 3−:Sea C ⊆ f(D) un cerrado, Cc es abierto y existe V ⊆ Rn abierto tal que f−1(Cc) = V ∩D. AdemasC ∩Cc = ∅ implica que D = (V ∩D)∪ (V c ∩D) = f1(Cc)∪ (V c ∩D), esto muestra que f(V c ∩D) = Cc.3− =⇒ 2−:Es claro usando el argumento de arriba para C = U c.2− =⇒ 1−:Si a ∈ D y U es una vecindad (abierta) de f(a) entonces existe un abierto V ⊆ Rn tal quef−1(U) = V ∩D por lo que a ∈ V (ası V ∈ ν(a)) lo que prueba 1−.Esto prueba el resultado. ¤

Como corolario para el caso D = Rn podemos enunciar el util criterio de continuidad siguiente


Proposicion 5.1.6. (En las hipotesis de la proposicion anterior para D = Rn) las siguientesafirmaciones son equıvalentes:1- f es continua.2- La imagen inversa por f de cualquier abierto de Rm es abierto en Rn.3- La imagen inversa por f de cualquier cerrado de Rm es un cerrado en Rn.

Demostracion. Es igual a la de la proposicion anterior. ¤

Consideremos ahora las hipotesis de la proposicion que establecıa la continuidad de la compuesta; si Ues un abierto de Rp entonces existe un abierto V de Rm tal que g(V ∩B) ⊆ U , por otro lado para esteabierto V existe un anierto W de Rn tal que f(W ∩A) ⊆ V ası que finalmente se tiene que

(g f)(W ∩A) = g(f(W ∩A)) = g(f(W ∩A) ∩ f(A)) = g(V ∩B) ⊆ U

lo que prueba la continuidad de g f en A.Notese que en nungun momento se uso el que A fuese abierto o cerrado, ası que esta demostracion sirveincluso para probar la continuidad de la compuesta en un punto de su dominio.Antes de avanzar mas recordemos que entre todas las funciones hay una clase que es de especialimportancia y que son las funciones lineales. En el siguiente resultado el lector notara que esfundamentalel hecho de que estemos trabajando en Rn (en que parte de la demostracion se usa esto?).

Proposicion 5.1.7. Sea f : Rn −→ Rm una funcion lineal, entonces existe una constante positiva A talque

‖f(x)− f(y)‖ ≤ A‖x− y‖ ∀x, y ∈ Rn

En particular f es continua.

Demostracion. Notemos primero (y se deja como ejercicio al lector, ind: use la base canonica de Rn yla proposicion vista al final de la seccion 2) que para cada a ∈ Rn se tiene que las coordenadas deb = f(a) son

bj =n∑

i=1

cijai ∀1 ≤ j ≤ m

por lo que

‖bj‖2 ≤(

n∑

i=1

|cij |2)‖a‖2

y luego

‖b‖2 ≤

n∑

i=1

m∑

j=1

|cij |2 ‖a‖2

entonces para a = x− y se concluye por linealidad de f que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ A‖x− y‖

Donde A = 2

√√√√n∑

i=1

m∑

j=1

|cij |2 es una constante positiva.

La continuidad de f se sigue directamente de esto porque si ε > 0 es arbitrario entonces para‖x− y‖ < δ(ε) =

ε

Ase verifica la condicion ε− δ de la continuidad si A > 0; si A = 0 el resultado es

trivialmente satisfecho para δ = ε > 0. ¤

ANALISIS REAL 39

Claramente el recıproco de este resultado no es cierto, por otro lado el hecho de que sea fundamental elestar en Rn en el resultado abre paso a varias interrogantes que aquı no responderemos porque se salede los objetivos del curso como por ejemplo ¿Como saber en que tipo de espacios las aplicacioneslineales son continuas? o incluso ¿Que aplicacion no es continua en algun espacio dado donde se sepaque existe una de ellas?.

5.2. La relacion continuidad-conexidad .

Ampliaremos aquı el tema de la conexidad mediante la continuidad de funciones y veremos la estrecharelacion que existe entre estos dos conceptos.

Proposicion 5.2.1. Sea A un subconjunto de un espacio metrico (e incluso de un espacio topologico)X, entonces A es conexo sı y solo sı para cada funcion continua F : A −→ 0, 1 se tiene que F no essobreyectiva.

Demostracion. Si (U, V ) es una desconexion de A y definimos la funcion F : A −→ 0, 1 comoF (x) = 1 si x ∈ U y F (x) = 0 si x ∈ V , entonces claramente F es continua y sobreyectiva.Recıprocamente si existe una F : A −→ 0, 1 continua y sobreyectiva entonces el par((F−1(0))c, (F−1(1))c) es una desconexion de A. ¤

En topologıa esta proposicion se enuncia como

Proposicion 5.2.2. Un subconjunto A de un espacio topologico X es conexo sı y solo sı para cadafuncion continua F : A −→ K se tiene que si K es un conjunto finito entonces F es constante.

Demostracion. No es difıcil pero se sale del objetivo del curso ya que aquı habrıa que analizar latopologıa discreta de K. ¤Proposicion 5.2.3. Si A es un subconjunto conexo de un espacio metrico (e incluso de un espaciotopologico cualquiera) y F es una funcion continua definida en A entonces F (A) es conexo.

Demostracion. Supongamos que F (A) no es conexo, entonces sea (U, V ) una desconexion de F (A).La continuidad de F implica la existencia de dos abiertos A1 y A2 de X tales que A1 ∩A = F−1(U) yA2 ∩A = F−1(V ). Los conjuntos A1 ∩A y A2 ∩A son no vacıos y disjuntos (porque?) y ademas

(U ∩ F (A)) ∪ (V ∩ F (A)) = F (A) =⇒ (A1 ∩A) ∪ (A2 ∩A) = A

ası (A1, A2) serıa una desconexion de A lo cual termina la demostracion. ¤

A este punto debiera quedar claro al lector que los conjuntos ejemplificados en la seccion de conexidadson conexos, por otro lado esta propiedad mezclada con el resultado anterior nos permite caracterizarlos conexos en terminos de funciones continuas justificando en cierto modo el tıtulo de este parrafo.

Proposicion 5.2.4. Un subconjunto de un espacio metrico (e incluso de cualquier espacio topologico)es conexo y solo sı su imagen por cualquier funcion continua es conexo.

Demostracion. Si A es conexo entonces lo ya probado F (A) es conexo para cualquier funcioncontinua.Recıprocamente si F : A −→ 0, 1 es continua entonces por hipotesis F (A) es conexo, pero los unicossubconjuntos conexos de 0, 1 son ∅, 0 y 1. Como F (A) 6= ∅ se sigue que, o bien F (x) = 0 paracada x ∈ A o F (x) = 1 para cada x ∈ A lo que prueba que F (A) es constante y ası A es conexo. ¤Definicion 5.2.1. Dado un espacio (metrico o topologico) X y dos puntos a, b ∈ X se llama caminoque une x con y a cualquier funcion continua c : I −→ X tal que c(0) = x y c(1) = y; en general a c(0)se le llama origen y a c(1) extremo.


El siguiente resultado generaliza el sentido que faltaba demostrar en la caracterizacion de los conexos deRn.

Proposicion 5.2.5. Si dos puntos cualesquera de un subconjunto C de un espacio metrico (y engeneral de un espacio topologico) son conectables por un camino contenido completamente en Centonces C es conexo.

Demostracion. Sea F : C −→ 0, 1 una funcion continua, fijemos y ∈ C y supongamos si perdida degeneralidad que F (y) = 0.Si x ∈ C es cualquier otro punto entonces por hipotesis existe un camino c con c(0) = y y c(1) = xcontenido completamente en C, por tanto F (v) esta definido para cada v en el camino (que es conexopor ser la imagen de I = [0, 1] por la funcion continua c) ası que F (v) = 0 para cada v en el camino, enparticular F (x) = 0 mostrando ası lo que se querıa. ¤

Vemos, sin embargo que no podemos aplicar tan directamente este resultado para probarlo en el caso deuna poligonal en lugar de un camino por lo que sera util el siguiente resultado.

Proposicion 5.2.6. Si C = Cii∈J es una familia de conexos de un espacio (metrico o topologico) talque

⋂

i∈J

Ci 6= ∅

entonces C =⋃

i∈J

Ci es conexo.

Demostracion. Sea F : C −→ 0, 1 una funcion continua como existe y ∈⋂

i∈J

Ci por hipotesis

supongamos por ejemplo que F (y) = 0.Si x ∈ C entonces existe j0 ∈ J tal que x ∈ Cj0 , pero y ∈ Cj0 y Cj0 conexo implican en tal caso queF (x) = 0, lo cual muestra la conexidad de C. ¤

Ahora podemos ver una poligonal como una union disjunta de conexos, con lo cual el lector no deberıatener mayor problema en demostrar lo que nos proponıamos.Dado un conjunto conexo C en un espacio topologico denotamos por C(C) la union de los subconjuntosconexos de X que contienen a C.

Definicion 5.2.2. Llamamos conexo maximal de un espacio X a un subconjunto conexo C de X talque si E ⊆ X es conexo entonces E ⊆ C ∧ E ∩ C = ∅, llamamos componente conexa de X a cualquiersubconjunto conexo maximal de X; designamos por π0(X) la particion de X en componentes conexas.

Dada una funcion f : X −→ Y se puede definir una funcion f∗ : π0(X) −→ π0(Y ) mediante la igualdad

f∗(C) = C(f(C))

Un ultimo resultado concerniente a la conexidad que debemos resaltar es el siguiente.

Proposicion 5.2.7. (teorema del valor intermedio de Bolzano): Sea F : D ⊆ Rn −→ R una funcioncontinua, sea C ⊆ D un conexo y a, b ∈ F (C) con a < b; entonces para cada k con a < k < b existec ∈ C tal que F (c) = k.

Demostracion. Si k /∈ F (C) entonces el par ((−∞, k), (k,∞)) es una desconexion del conexo F (C) locual es contradictorio. ¤

ANALISIS REAL 41

5.3. La preservacion de la compacidad y la relacion compacidad-sucesiones.

El siguiente resultado toma una forma muy particular en Rn y en su demostracion se puede por tantousar la caracterizacion de Heine-Borel, sin embargo aquı lo enunciamos en un contexto mas general yaque podemos usar solo la definicion de compacidad mediante cubrimientos para probarlo.

Proposicion 5.3.1. Sea K un subconjunto compacto de un espacio (metrico o topologico al menos t2)X y sea F : D ⊆ X −→ Y una funcion continua donde K ⊆ D y Y es un espacio metrico (en generaltopologico al menos t2), entonces F (K) es compacto.

Demostracion. Si F = Aii∈J es un cubrimiento abierto de F (K) entonces G = F−1(Ai)i∈J es uncubrimiento abierto de K (porque?), por la compacidad de K es posible extraer una cantidad finita deelles, digamos F−1(Ai1), ..., F

−1(Ain) ∈ G que cubren a K, por tanto Ai1 , ..., Ain ∈ F cubren a F (K)(porque?) lo cual muestra la compacidad de F (K). ¤

En lo que sigue ampliaremos el tema de la compacidad, aunque en la mayor parte usaremos solosucesiones preferimos exponer este tema aquı por el caracter un poco mas elevado lo que se ha vistohasta ahora.

Definicion 5.3.1. Un subconjunto K de un espacio metrico (y en general topologico al menos t2) X sedice numerablemente compacto si de cada cubrimieto abierto numerable de K se puede extraer unsubcubrimiento finito.Diremos que K es secuencialmente compacto si toda sucesion de elementos de K tiene una subsucesionconvergente a un elemento de K.

Lema 5.3.1. Sea A = xn una sucesion definida en un espacio metrico (y en general en un espaciotopologico al menos t2) X y sea x ∈ X tal que ninguna subsucesion de A converge a x, entonces existeuna bola abierta U centrada en x tal que U ∩A = ∅ si x /∈ A o bien U ∩A = x si x ∈ A.

Demostracion. Supongamos que x /∈ A, el caso x ∈ A se hace de manera analoga; como x /∈ A′ setiene que existe una bola abierta V de centro x que contiene solo un numero finito de elementos de Adigamos xn1 , xn2 , ..., xnj , como cada uno de estos elementos es distinto de x se tiene que d(x, xni) > 0

para cada i = 1, j. Sea ε =12

min1≤i≤j

d(x, xni) > 0, entonces tenemos que B(x; ε) ⊆ V es una vecindad

abierta de x que no contiene puntos de la sucesion. ¤

Proposicion 5.3.2. Sea K un subconjunto de un espacio metrico X, entonces K secuencialmentecompacto sı y solo sı K es numrablemente compacto.

Demostracion. Supongamos que K es secuencialmente compacto y sea U = Ui i ∈ N uncubrimiento abierto numerable de K tal que no es posible cubrir a K con subcubrimiento finito algunode U .

Para cada n ∈ N existe entonces xn ∈ K ∩ (n⋃

i=1

Ui)c, la sucesion xn ası definida consiste en elementos

de K, por hipotesis una subsucesion xni de xn converge a un x ∈ K.Como U cubre a K debe haber un k ∈ N tal que x ∈ Uk y la convergencia de xnia x implica por otrolado que para esta vecindad de x existe j ∈ N tal que i ≥ j =⇒ xnj ∈ Uk lo que en particluar significaque esto prueba que K es numerablemente compacto.Recıprocamente supongamos que K no es secuencialmente compacto, entonces existe una sucesion ande elementos de K que no tiene subsucesion alguna convergente a algun punto de K. Notemos primeroque esta sucesion debe tener una infinidad de valores distintos, de otro modo habrıa una subsucesion deella convergente a un punto de ella misma y por tanto de K (ind: es lo mismo que se dijo en lademostracion del teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones).


Sea a ∈ K, la no convergencia de susbsucesion alguna de A = an a a implica que existe una vecindadabierta de x digamos Vx tal que Vx ∩A es finito por el lema, por otro lado para cada an ∈ Aencontramos abiertos Un tales que para cada k ∈ N se tenga que A ∩ Uk = ak (ind: aplıquese el lemaanterior a ak ya que el no es punto de acumulacion de la sucesion).Por razones analogas a lo ya dicho para cada x ∈ K −A existe un abierto Wx que contiene a x y esdisjunto con A; sea W =

⋃

x∈K−A

Wx, entonces tenemos que

F = Unn∈N ∪W

es un cubrimiento numerable para K con la particularidad de que ninguna subfamilia propia de Fcubre a K por definicion de los Un (an /∈ F − Un para cada n ∈ N), esto muestra que K no esnumerablemente compacto terminando ası con la demostracion. ¤

Proposicion 5.3.3. Si K es secuencialmente compacto entonces K es precompacto.

Demostracion. Sea ε > 0 dado y elijamos x1 ∈ K, si K ⊆ B(x1; ε) entonces estamos listos, si noentonces existe x2 ∈ K −B(x1; ε), si K ⊆ B(x1; ε) ∪B(x2; ε) estamos listos, si no seguimos ası

inductivamente y aseguramos que existe Nε ∈ N tal que K ⊆Nε⋃

i=1

B(xi; ε), porque si no la sucesion que

encontrarıamos, A = xn tendrıa la particularidad de que existeε

4> 0 tal que A ∩B(xj ;

ε

4) = aj

(porque) lo cual mostrarıa que A no tiene puntos de acumulacion y por tanto no tiene subsucesionalguna convergente; esto contradice el hecho de que K es secuencialmente compacto. ¤

Antes de enunciar el siguiente resultado notemos que el teorema del cubrimiento de Lebesgue se puedeenunciar como sigue.

Proposicion 5.3.4. Si F = Cαα∈J es un cubrimiento abierto de un subconjunto secuencialmentecompacto de Rn digamos K, entonces existe λ > 0 tal que para cada x ∈ K existe Cλ ∈ F tal queB(x;λ) ⊆ Cλ.

Demostracion. Si no hay tal λ entonces para cada n ∈ N se tiene que B(xn;1n

) co esta totalmente

contenido en elemento alguno de F . Como K es secuencialmente compacto la sucesion xn tiene unpunto de acumulacion x ∈ K y por tanto x ∈ Cα para algun Cα ∈ F .Definamos r = d(x,K − Cα) > 0, para

r

2> 0 existe n(r) ∈ N tal que n ≥ n(r) =⇒ xn ∈ B(x; r) y por

Arquımedes existe m ∈ N tal que1m

<r

4. Sea N = maxn(r),m, entonces B(xN ;

1N

) ⊆ Cα lo cualcontradice la eleccion de xN y prueba en consecuencia lo que se querıa. ¤

Proposicion 5.3.5. Un subconjunto de un espacio metrico X digamos K es compacto sı y solo sı essecuencialmente compacto.

Demostracion. Si K es compacto entonces es numerablemente compacto y por tanto secuencialmentecompacto segun lo ya probado.Recıprocamente si K es secuencialmente compacto sea F = Cαα∈J un cubrimiento abierto de K, porlos resultados anteriores K es precompacto y ademas existe un numero de Lebesgue λ para elcubrimiento F lo cual significa por un lado que existe (para λ > 0) un subconjunto finito de K digamos

x1, x2, ..., xn tal que K ⊆n⋃

k=1

B(xk; λ) y por otro lado que para cada j = 1, n existe Cij ∈ F tal que

ANALISIS REAL 43

B(x;λ) ⊆ Uij , por lo que finalmente

K ⊆n⋃

k=1

B(xk; λ) ⊆n⋃

j=1

Uij

Ası que la subfamilia finita Ui1 , Ui2 , ..., Uin de F cubre a K mostrando entonces que K escompacto. ¤Corolario 5.3.1. : Si K es un subconjunto de un espacio metrico X entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes.1- K es compacto.2- K es secuencialmente compacto.3- K es numerablemente compacto.

Demostracion. Ya esta hecha. ¤

A este punto podemos aclarar que no todos los espacios que se encuenctran en la practica verifican estecorolario por lo que es objeto de estudio el clasificarlos.Como ultimo resultado concerniente a los compactos podemos enuciar el

Proposicion 5.3.6. (teorema de los valores extremos de Weierstrass): Sea F : D ⊆ Rn −→ R unafuncion continua y sea K ⊆ D un compacto, entonces existen x1, x2 ∈ K tales que

F (x1) = supx∈K

F (x) y F (x2) = infx∈K

F (x)

Demostracion. Sea M = supx∈K

F (x) y definamos para cada n ∈ N el abierto Gn = (−∞,M − 1n

).

La continuidad de F en K implica que para cada Gn existe un abierto Cn tal que

Cn ∩K = F−1(Gn) = x ∈ K : F (x) < M − 1n.

Si M no se alcanza por elemento alguno de K entonces para cada x ∈ K existe n ∈ N tal que

F (x) < M − 1n

, por lo que la familia de abiertos F = Cnn∈N cubre a K. La compacidad de K

implica que podemos extraer un numero finito de ellos digamos Cn1 , Cn2 , ..., Cnj para cubrir a K,ademas como la familia F es creciente (porque Gnn∈N lo es) ası que si consideramos r = max

1≤i≤jni

tendremos que K ⊆ Cr por lo que F (x) < M − 1r

y en consecuencia M no serıa el supremo de F (K) locual es falso. ¤

5.4. Continuidad uniforme.

La continuidad uniforme es en cierto modo una globalizacion del concepto de continuidad ya estudiado,intuitivamente una funcion (por ejemplo de R en R es uniformemente continua cuando su grafico ocambia abruptamente de forma, por ejemplo el grafico de f(x) = sinx.

Definicion 5.4.1. Sea F : D ⊆ Rn −→ Rm un funcion y A ⊆ D, diremos que F es uniformementecontinua en A si

(∀ε > 0)(∃δ(ε) > 0) : x, y ∈ A ∧ ‖x− y‖ < δ(ε) =⇒ ‖F (x)− F (y)‖ < ε

Notese que δ solo de ε y no de x como sucedıa antes, lo cual justifica el hecho de que la continuidaduniforme hace que δ sea global y no dependiente del punto x ∈ A.Otra forma de definir la continuidad uniforme es diciendo que cualesquiera que sean las sucesiones xne yn de A con ‖xn − yn‖ −→ 0 se tiene que ‖F (xn)− F (yn)‖ −→ 0 por lo que un criterio para


demostrar la no continuidad uniforme de F en A serıa hallar un ε > 0 y dos sucesiones en K digamos

xn e yn tales que ‖xn − yn‖ <1n

para cada n ∈ N y ‖F (xn)− F (yn)‖ ≥ ε.La pregunta que surge a este punto es ¿Como debe ser A para que una funcion continua en A resulteuniformemente continua? cuya respuesta esta parcialmente en el siguiente resultado.

Proposicion 5.4.1. Sea F : D ⊆ Rn −→ Rm una funcion continua sobre K ⊆ D, si K es compactoentonces F es uniformemente continua en K.

Demostracion. Sea ε > 0 y u ∈ K, existe entonces δ(u;12ε) > 0 tal que

y ∈ B(u; δ(12ε; x)) ∩K =⇒ ‖F (u)− F (y)‖ < ε

Definamos F = B(u; 12δ(1

2ε; u))u∈K , entonces F es un cubrimiento abierto de K.La compacidad de K implica que existen u1, u2, ..., uk ∈ K tales que la subfamilia finita de F definidapor G = B(uj ; 1

2δ(12ε; uj))1≤j≤k cubre a K.

Sea δ(ε) =12

min1≤j≤k

δ(12ε; uj)) > 0 y sean x, y ∈ K tales que ‖x− y‖ < δ(ε).

Por un lado existe j0 ∈ 1, k tal que x ∈ B(uj0 ;12δ(1

2ε; uj0)) y por otro δ(ε) ≤ 12δ(1

2ε; uj0) por lo que

‖y − uj0‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− uj0‖ <12δ(

12ε;uj0) +

12δ(

12ε; uj0) = δ(

12ε; uj0)

y ademas por definicion de δ(12ε; uj0) se tiene que

‖F (x)− F (uj0)‖ <12ε ∧ ‖F (y)− F (uj0)‖ <

12ε

por tanto finalmente tenemos que

‖F (x)− F (y)‖ ≤ ‖F (x)− F (uj0)‖+ ‖F (y)− F (uj0)‖ <12ε +

12ε = ε

Lo cual prueba la continuidad uniforme de F en K. ¤

En cierto modo decimos, de acuerdo al resultado precedente, que los compactos tienen una propiedadglobalizante de la continuidad (en este caso).

Definicion 5.4.2. Una funcion f : D ⊆ Rn −→ Rm se dice que satisface una condicion de Lipschitz enA ⊆ D si existe una constante positiva K tal que para cada x, y ∈ A se tenga que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ K‖x− y‖Si A = D se dice simplemente que f es Lipschitz en D y si para cada punto u de C existe una vecindadabierta Vu tal que f es Lipschitz en D ∩ Vu entonces decimos que f es localmente Lipschitz en D.

Proposicion 5.4.2. Sea f : D ⊆ Rn −→ Rm y K ⊆ D un compacto, si f es localmente Lipsschitz en Kentonces f es Lipschitz en K.

Demostracion. Supongamos que, por el contrario, para cada real A existen x, y ∈ K tales que

‖f(x)− f(y)‖ > A‖x− y‖Y pongamos sup

x∈K‖f(x)‖ = M , existen entonces dos sucesiones de elementos de K digamos xn e yn

tales que

‖f(xn)− f(yn)‖ > n‖xn − yn‖ ∀n ∈ N

ANALISIS REAL 45

la compacidad de K implica la existencia de subsucesiones xnk e ynk

de xn e ymrespectivamente convergentes digamos a α y β ambos en K, pero

‖xnj − ynj‖ <1j‖f(xnj )− f(ynj )‖ ≤

2M

j

por lo que α = β.Existe por otro lado una vecindad Vβ de β en la que f es Lipschitz con constante digamos Aβ, laconvergencia de xnk

y ynk a β implica que para esta vecindad de β existen naturales N1 y N2 tales

que

j ≥ N1 =⇒ xj ∈ Vβ ∧ j ≥ N2 =⇒ xnj ∈ Vβ

por tanto si j > maxN1, N2 entonces

‖f(xnj )− f(ynj )‖ ≤ Aβ‖xnj − ynj‖En particular para j > maxN1, N2, Aβ tenemos que

f(xnj )− f(ynj )‖ ≤ Aβ‖xnj − ynj < jxnj − ynj ≤ nj‖xnj − ynj‖Lo cual no concuerda con la eleccion de xn e yn, esta contradiccion proviene de suponer que f no esLipschitz en K lo cual termina la demostracion. ¤

El resultado precedente muestra que la continuidad no es la unica propiedad que se globaliza en uncompacto, se evidencia entonces un algo que se verifica en los compactos.La caracterıstica importante de los compactos es que estan muy cerca de los conjuntos finitos (en lo quea caracterısticas respecta) ya que no es difıcil probar que una funcion continua con dominio finito (y portanto acotado) es uniformemente continua y que una funcion localmente Lipschitz sobre un conjuntofinito es una funcion de Lipschitz sobre el mismo conjunto.

5.5. Puntos fijos.

Definicion 5.5.1. Llamamos punto fijo de la funcion continua f : A −→ B ⊆ A a cualquier puntox ∈ A tal que f(x) = x.

Definicion 5.5.2. Diremos que f : D ⊆ Rn −→ Rm es una contraccion si existe una constante C ≤ 1tal que para cada x, y ∈ D se tenga que ‖f(x)− f(y)‖ ≤ C‖x− y‖; el lector podrıa chequearrapidamente que una contraccion es uniformemente continua en su dominio.

Proposicion 5.5.1. Sea D ∈ Rn un cerrado y sea f : C −→ Rn una contraccion con f(C) ⊆ C yconstante A < 1; entonces f tienen un unico punto fijo en C.

Demostracion. Sea x1 ∈ C arbitrario y para cada n ∈ N definamos xn = f(xn−1); entonces la sucesionxn se compone de elementos de C y verifica que ‖xk − xk−1‖ < Ak−1‖x2 − x1‖ por induccion.Si n,m ∈ N con n < m entonces por lo anterior y la desigualdad triangular tenemos que

‖xm − xn‖ ≤

m−1∑

j=n

Aj

‖x2 − x1‖

pero

m−1∑

j=n

Aj =An

1−A


Y como A < 1 =⇒ An −→ 0 se tiene queAn

1−A−→ 0 lo cual muestra que si n y m aumentan

indefinidamente entonces ‖xm − xn‖ se acerca a 0 por lo que xn es una sucesion de Cauchy formadapor elementos de C.La completitud de C implica que existe x ∈ C tal que xn −→ x y este x es tal que

f(x) = f( limn−→∞xn) = lim

n−→∞ f(xn) = limn−→∞xn+1 = x

Ası x es un punto fijo para f en C y si y 6= x fuese otro punto fijo de f en C entonces ‖x− y‖ 6= 0 conlo que se tendrıa

‖x− y‖ = ‖f(x)− f(y)‖ ≤ A‖x− y‖ =⇒ A ≥ 1

contrario a la hipotesis.Esto prueba que x es el unico punto fijo de f en C terminando ası la demostracion. ¤

En Rn el hecho de que f(C) ⊆ C se verifica por ejemplo cuando C = B(θRn ; ε), pero para asegurar quela sucesion de Cauchy definida en la demostracion converja en C se necesita una relacion entre laconstante de Lipschitz y ε, se deja como ejercicio el investigar con mas detalle este punto.El siguiente resultado es bastante general y su demostracion se puede hacer mediante tratamientoselementales, sin embargo resulta muy larga por lo que aquı no se pondra. En topologıa algebraica (eincluso en un buen curso de topologıa) se entregan conceptos (las homotopıas y las retracciones) quefacilitan enormemente la demostracion, de hecho la propiedad que establece el teorema se usa paraclasificar conjuntos entre los que la verifican y los que no.

Proposicion 5.5.2. (teorema del punto fijo de Brouwer): Toda funcion continua cuyo dominio seauna bola cerrada centrada en el orıgen y cuyo recorrido este contenido en dicha bola tiene al menos unpunto fijo.

Demostracion. (para n = 1): Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una funcion continua, si f(0) = 0 o f(1) = 1estarıamos listos por lo que podemos suponer que f(0) > 0 y f(1) < 1.Definamos g(x) = x− f(x), entonces g(0) < 0 y g(1) > 0 por tanto debe existir c ∈ (0, 1) tal queg(c) = 0 (porque?) lo cual implica que f(c) = c. ¤

El tema de los puntos fijos no termina aquı sino que es aun motivo de estudio los espacios que no tienenla propiedad del punto fijo de Brouwer, ademas las funciones que se buscan para que tengan puntos fijosson muy importantes en analisis numerico porque se usan como iteraciones para acercarse a ciertospuntos como soluciones de ecxuaciones, integrales e incluso valores propios de matrices.

5.6. Homeomorfismos y homotopıas.

Entre las funciones continuas existen algunas que verifican ciertas propiedades que son de gran interesen topologıa, tales son por ejemplo estas dos clases que estudiaremos ahora (por supuesto hay muchasmas, pero ellas necesitan de nociones un poco mas avanzadas para poder definirse).El nivel de las propiedades que enunciaremos aquı esta sin duda al alcance del lector, por lo que lasdemostraciones se dejan como ejercicio, sin embargo este tema en espacios generales esta hoy en dıasiendo objeto de estudio por lo que no se debe mirar como un tema menor.

Definicion 5.6.1. Sea f : X −→ Y una funcion entre dos espacios que pueden ser en generaltopologicos, diremos que f es abierta si f(A) es abierto para cada A ⊆ X abierto, se dira cerrada sif(B) sea cerrado para cada B ⊆ X cerrado, y se dira un homeomorfismo entre X e Y si f verifica lassiguientes condiciones:(i)- f es continua.(ii)- f es biyectiva.(iii)- f−1 es continua.

ANALISIS REAL 47

Proposicion 5.6.1. Sea f : X −→ Y una biyeccion, las siguientes afirmaciones son equivalentes:(1)- f es homeomorfismo.(2)- f es continua y abierta.(3)- f es continua y cerrada.(4)- f(A) = f(A) ∀A ∈ X.


El lector podrıa observar de que existen funciones que son continuas y abiertas y no cerradas, continuascerradas y no abiertas y a la vez abiertas y cerradas pero no continuas, (cuales por ejemplo?) por lo quese debe cuidar el hecho de que sea biyectiva para lograr un homeomorfismo.

Definicion 5.6.2. Dos espacios entre los cuales existe un homeomorfismo se dicen topologicamenteequivalentes, se deja al lector verificar que efectivamente en este caso existe una biyeccion entre losabiertos de X y los de Y inducida por f .

Definicion 5.6.3. Definamos la relacion R en la clase de los espacios topologicos T por XRY ⇐⇒ Xes homeomorfo a Y , se observa que R es de equivalencia y que la particion que induce en T deja enuna misma clase a todos los espacios que son topologicamente equivalentes entre si, a lo que llamamosclase de homeomorfismo.

Definicion 5.6.4. Diremos que una propiedad P es un invariante topologico si cada vez que unespacio topologico X verifique P y sea homeomorfo a otro Y , entonces Y tambien verifica P.

Proposicion 5.6.2. Las siguientes propiedades son invariantes topologicos:- metrizabilidad.- compacidad (de cualquier tipo).- conexidad (de cualquier tipo).- separabilidad.- completitud.


Esto significa que si se escoje un representante distinguido de una clase del conjunto cuociente antesdescrito y se prueba que el verifica cualquiera de las propiedades antes mencionadas entonces tambienla verifican todos los otros elementos de la misma clase.Podemos por tanto trabajar con uno cualquiera de los elementos de una cierta clase y elaborar teorıa oresolver problemas sobre el y a la vez hacerlo implıcitamente en todos los otros elementos (que sonespacios topologicos); lo cual permite entre otras cosas ver espacios cuya construccion es complicadacomo otros que sean topologicamente equivalentes a los iniciales y resolver sobre ellos problemas quetengamos en los mas complicados.Otra aplicacion de los homeomorfismos se relaciona con la teorıa de la integracion, donde se define lalebesgue-equivalencia de dos funciones f y g definidas en un mismo espacio (llamado espacio de medidapor ciertas razones que no necesitamos explicar por ahora) X si existe un homeomorfismo h : X −→ Xtal que f h = g, notese que en cierto modo estamos reordenando el espacio X de modo que la funcionf en este nuevo espacio (escencialmente igual al inicial) se vea como g.

Definicion 5.6.5. Agregamos por ultimo que un espacio topologico X se dice homogeneo si para cadax, y ∈ X existe un homeomorfismo h : X −→ X tal que f(x) = y (observe que Rn es homogeneo), sedeja la tarea al lector de investigar conjuntos en Rn que no sean homogeneos.

Para lo que sigue daremos los resultados en el contexto de espacios metricos y mas particularmente enRn, sin embargo toda la teorıa se puede generalizar rapidamente a espacios topologicos generales.


Consideremos dos aplicaciones continuas f0, f1 : A ⊆ Rn −→ B ⊆ Rm, la idea intuitiva es de ’deformar’continuamente la funcion f0 (que identificamos por su grafico) hasta llegar a f1; si esto es posiblediremos que las funciones son homotopicas, matematicamente hablando:

Definicion 5.6.6. Diremos que f0 es homotopica a f1 si existe una funcion continua F : A× I −→ Bdonde I = [0, 1] que verifica las codiciones siguientes:1- F (x, 0) = f0(x) ∀x ∈ A.2- F (x, 1) = f1(x) ∀x ∈ A.

Para cada t ∈ I designamos ft(x) = F (x, t).

Proposicion 5.6.3. La relacion ’ser homotopicas’ es de equivalencia en la clase de las funcionescontinuas de A ⊆ Rn en B.

Demostracion. Ejercicio. ¤Definicion 5.6.7. A las clases de equivalencia de esta relacion se les llama clase de homnotopıa de unafuncion y por tanto dos funciones son homotopicas si ellas tienen la misma clase de homotopıa.

Notese que si B es convexo entonces f0 y f1 son siempre homotopicas.

Proposicion 5.6.4. Sean f0, f1 dos aplicaciones cotınuas y homotopicas de A ⊆ Rn en B ⊆ Rm y seang0, g1 dos aplicaciones continuas y homotopicas de B ⊆ Rm en C ⊆ Rp, entonces g0 f0 es homotopica ag1 f1.

Demostracion. Ejercicio. ¤Definicion 5.6.8. Diremos que dos espacios metricos X e Y tienen el mismo tipo de homotopıa siexisten f : X −→ Y y g : Y −→ X continuas tales que f g es homotopica a la funcion identidad en Yy a la vez g f es homotopica a la funcion identidad en X; en tal caso decimos que f es un inversohomotopico de g y que f es una equivalencia homotopica de X a Y y analogamente para g.

Proposicion 5.6.5.(i)- La relacion ’tener el mismo tipo de homotopıa’ es de equivalencia en la clase de los espaciostopologicos.(ii)- Dos espacios con el mismo tipo de homotopıa tienen la misma cantidad de componentes conexas.(iii)- Dos espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopıa.

Demostracion. Ejercicio. ¤Definicion 5.6.9. Diremos que un subconjunto de Rn es contractible si tiene el mismo tipo dehomotopıa que cualquiera de sus puntos.

Proposicion 5.6.6. Todo subespacio convexo de Rn es contractible.


Como la idea inicial era deformar una funcion hasta llegar a otra supongamos que dichas funciones yacoinciden en un conjunto, nuestro objetivo es entonces no deformar ese conjunto sino que solo lo quefalta; para ello se define la siguiente nocion.

Definicion 5.6.10. Sean f0, f1 : A ⊆ Rn −→ B ⊆ Rm funciones continuas tales que existe C ⊆ A talque f0|C = f1|C , diremos que f0 y f1 son homotopicas relativamente a C si existe una homotopıa F def0 a f1 tal que F |C×I = f0|C = f1|C .

ANALISIS REAL 49

Proposicion 5.6.7. La relacion ’ser homotopicas relativas a C’ es de equivalencia en la clase de lasfunciones continuas de A ⊆ Rn en B ⊆ Rm que coinciden en C ⊆ A.

Demostracion. Ejercicio. ¤Definicion 5.6.11. Sean A ⊆ B ⊆ Rn, diremos que A es un retracto de B si existe una funcioncontinua r : B :−→ B tal que r|A = IdA donde IdA es la funcion identica sobre A, y decimos en estecaso que r es una retraccion de B a A.

El lector no deberıa tener mayor problema en ver que todo punto de un espacio X es un retracto de Xy que 0, 1 no puede ser un retracto de [0, 1].

Definicion 5.6.12. Decimos que A es un retracto por deformacion de B si existe una retraccion r de Ba A homotopica relativamente a A a IdB.

Consideremos ahora el caso especial en que las funciones entre las que investigamos homotopıas son loscaminos sobre un espacio X, en este caso buscaremos en especial caminos homotopicos relativamente asus extremos.

Definicion 5.6.13. Diremos que un espacio X es estrellado si existe un punto x0 ∈ X tal que cualquierpunto de X es conectable a x0 mediante un camino contenido en X.

Proposicion 5.6.8. Sean f, g dos funciones continuas con valores en un conjunto estrellado, entonces fes homotopica a g.


Finalmente para dar una nocion intuitiva de lo que se entiende por grupo fundamental de un espacionotamos que las funciones que son motivo de estudio de las homotopıas son los caminos y entre ellos losque comienzan y terminan en un mismo punto digamos x0 ∈ X, por tanto se consideran las clases deequivalencia de la relacion ’ser homotopica relativamente a 0, 1 (por supuesto se deja al lector elchequear que esta relacion es efectivamente de equivalencia en la clase de los caminos cuyo extremo esigual a su punto inicial sobre el espacio X; en dicha clase se pueden definir los caminos constantes, loscaminos inversos y la composicion de caminos mostrandose que el conjunto cuociente obtenido tieneestructura de grupo al que se denota por π1(X, x0), las propiedades de este grupo y la informacion queentrega sobre X es el motivo de estudio de la topologıa algebraica.


6. Teorıa de la aproximacion

6.1. Sucesiones de funciones.

Definicion 6.1.1. Consideremos para cada n ∈ N la funcion fn : D ⊆ Rn −→ Rm, a cada x ∈ Dpodemos asociarle la sucesion an definida por an = fn(x).Obviamente aquı hemos definido una sucesion de funciones mediante la aplicacion n −→ fn y si existeuna funcion : D −→ Rm tal que para cada x ∈ D se tenga que fn(x) −→ f(x) entonces decimos que fes el lımite de la sucesion fn, en terminos de ε y N tenemos que

fn −→ f ⇐⇒ (∀ε > 0 ∧ x ∈ D)(∃N(ε, x) ∈ N) : n ≥ N(ε, x) =⇒ ‖fn(x)− f(x)‖ < ε

Analogamente a la continuidad uniforme pensemos ahora en que N(ε, x) = N(ε) en la definicionanterior, entonces tendremos que n ≥ N(ε) =⇒ ‖fn(x)− f(x)‖ < ε para cada x ∈ D por lo quesupx∈D

‖fn(x)− f(x)‖ < ε (en realidad ≤ ε, pero esto aquı no influye).

Nos preguntamos ahora como son las funciones f : D ⊆ Rn −→ Rm el las que supx∈D

‖f(x)‖ existe, la

manera mas sencilla de responder a esto es clasificarlas como el conjunto

B(D) = f : D ⊆ Rn −→ Rm : supx∈D

‖f(x)‖ < ∞

Definicion 6.1.2. En B(D) definimos la norma ‖f‖∞ = supx∈D

‖f(x)‖ y la llamaremos norma uniforme,

claramente B(D) es un espacio vectorial real bajo las operaciones de suma y producto por escalarusuales en las funciones ası que finalmente hemos construido un espacio vectorial normado en el cualnos basaremos en todo este capıtulo.

Definicion 6.1.3. Volviendo a nuestro estudio de la convergencia diremos, motivados por lo yaobtenido y lo recien definido, que la sucesion de funciones fn ⊆ B(D) converge uniformemente af ∈ B(D) si se tiene que

(∀ε > 0)(∃N(ε) ∈ N) : n ≥ N(ε) =⇒ ‖fn − f‖∞ < ε

Aclaremos que B(D) es un espacio vectorial normado de dimension infinita, por lo que pueden definirsenormas en el que no sean equivalentes con ‖ · ‖∞ lo que significa que pueden haber sucesiones defuniones que sean convergentes respecto de una norma y divergentes respecto de ‖ · ‖∞ por lo que sedebe especificar la norma respecto de la cual se esta dando la convegencia o divergencia de la sucesionen cuestion (este punto sera ampliado con bastante detalle en analisis funcional).Claramente fn

unif−→ f ⇐⇒ fn − funif−→ 0 y fn no converge uniformemente a f en D sı y solo sı existe

ε0 > 0, una sucesion xk en D y una subsucesion fnk de fk tal que

‖fnk(xk)− f(xk)‖ ≥ ε0 ∀k ∈ N

El criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones de Elementos de Rp se traduce aquı medianteel siguiente resultado que de paso evidencia la completitud del espacio normado (B(D), ‖ · ‖∞), lo cualno ocurre con otras normas.

Proposicion 6.1.1. Sea fn una sucesion en B(D), existe una funcion f ∈ B(D) tal que fnunif−→ f sı y

solo sı

(∀ε > 0)(∃N(ε) ∈ N) : n,m ≥ N(ε) =⇒ ‖fn − fm‖∞ < ε

Demostracion. Si existe tal f es claro (y por tanto se deja su chequeo al lector) que se verifica lo dearriba.

ANALISIS REAL 51

Recıprocamente si se verifica la condicion de Cauchy entonces para cada x ∈ D la sucesion fn(x) esde Cauchy y por tanto existe un elemento de Rm al cual converge, definamos la funcionf : D ⊆ Rn −→ Rm por f(x) = lim

n−→∞ fn(x).

Si fijamos m ≥ N(ε) entonces para cada n ≥ N(ε) se tiene que

‖fn(x)− fm(x)‖ < ε

por tanto ‖fn(x)− f(x)‖ < ε (ind: suponga que no y deduzca una contradiccion con la desigualdadanterior), ademas se sigue de la desigualdad triangular aplicada a esta ultima desigualdad y del hechode que fn ∈ B(D) que f ∈ B(D) terminando ası con la demostracion. ¤

El paso al lımite de una sucesion de funciones tiene una caracterıstica regularizante en ciertascondiciones como lo muestra el siguiente resultado.

Proposicion 6.1.2. Sea fn una sucesion de funciones continuas definidas en D (como antes)convergente uniformemente a f : D ⊆ Rn −→ Rm, entonces f es continua.

Demostracion. Sea a ∈ D y ε > 0 dados; por un lado existe N(ε

3) ∈ N tal que

n ≥ N(ε) =⇒ ‖fn − f‖∞ <ε

3

fijemos entonces n0 ∈ N tal que n0 ≥ N(ε

3), tenemos en particular que

‖fn0(a)− f(a)‖ <ε

3

por otro lado fn0 es continua en a ası que existe δ(ε

3, a) > 0 tal que

‖x− a‖ < δ(ε

3, a) ∧ x ∈ D =⇒ ‖fn0(x)− fn0(a)‖ <

ε

3

pongamos δ(ε, a) = δ(ε

3, a), entonces

x ∈ D ∩B(a; δ(ε)) =⇒ ‖f(x)− f(a)‖ ≤ ‖f(x)− fn0(x)‖+ ‖fn0(x)− fn0(a)‖+ ‖fn0(a)− f(a)‖<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

lo cual muestra la continuidad de f en a.Como a ∈ D era cualquiera se sigue que f es continua en D. ¤

Existen por supuesto sucesiones de funciones discontinuas convergentes uniformemente a una funcioncontinua y sucesiones de funciones continuas que convergen no uniformemente a una funciondiscontinua por lo que el resultado es definitivo.El lector no debiera tener problemas en modificar la demostracion para probar un resultado analogo encondiciones de continuidad uniforme de los elementos de la sucesion.El siguiente resultado responde a la pregunta que surge sobre el tipo de continuidad que tendra el lımiteno uniforme de funciones continuas, la demostracion se detalla lo mas posible ya que se introducenalgunas nociones nuevas.

Proposicion 6.1.3. Sea fn una sucesion de funciones continuas de I = [0, 1] en R convergentepuntualmente a una funcion f : I −→ R, entonces el conjunto de los puntos de I en que f es continua esdenso en I

Demostracion. Para demostrar este resultado procedemos por partes para detallar lo maximo posiblelos pasos a seguir:Parte 1 :


Sea φ : I = [0, 1] −→ R una funcion acotada, se define la oscilacion de φ en x ∈ I como

ωφ(x) = limε→0

diam(φ(Aε)) donde Aε = [x− ε, x + ε] ⊆ I

1- Mostremos que el lımite existe:

Consideremos, para cada n ∈ N y x ∈ I, el conjunto Ωn,x = [x− 1n

, x +1n

], entonces dado n1 ≥ n2 ∈ Ntendremos que

Ωn1,x ⊆ Ωn2,x =⇒ φ(Ωn1,x) ⊆ φ(Ωn2,x) =⇒ diam(φ(Ωn1,x)) ≤ diam(φ(Ωn2,x))

lo cual muestra que la sucesion diam(φ(Ωn,x))n∈N es decreciente y claramente acotada inferiormente(por ejemplo por 0), entonces ella converge y su lımite es inf

n∈Ndiam(φ(Ωn,x))

2- Mostremos que la funcion f : I −→ R definida por

f(x) = ωφ(x) ∀x ∈ I

es semicontınua superiormente:Para cada x ∈ I podemos escribir

f(x) = infn∈N

supy,z∈Ωn,x

|φ(y)− φ(z)|

El teorema de la interseccion de Cantor implica la buena definicion de f .Observamos entonces que f es el lımite superior de la sucesion sup

y,z∈Ωn,x

|φ(y)− φ(z)|n∈N, por tanto es

una funcion semicontınua superiormente.3- Probemos que φ es contınua en x sı y solo sı ωφ(x) = 0:Si φ es contınua en x entonces dado ε > 0 existe δ(

ε

4, x) > 0 tal que

|y − x| < δ(ε

4, x) =⇒ |φ(y)− φ(x)| < ε

4, por otro lado para δ(

ε

4, x) > 0 existe n(δ) ∈ N tal que

1n(δ)

< δ(ε

4, x), consideremos entonces un natural n cualquiera mayor o igual a n(δ), tendremos

entonces que

y, z ∈ Ωn,x =⇒ |z − y| < 1n

< δ(ε

4, x) =⇒ |φ(y)− φ(z)| ≤ ‖φ(y)− φ(x)|+ |φ(z)− φ(x)| < ε

4+

ε

4=

ε

2=⇒ ωφ(x) = inf

k∈Nsup

y,z∈Ωk,x

|φ(y)− φ(z)| ≤ supy,z∈Ωn,x

|φ(z)− φ(y)| ≤ ε

2< ε

lo cual muestra que ωφ(x) = 0.El recıproco es claro.Parte 2 :Para la sucesion de funciones del enunciado de la proposicion y para ε > 0 fijo se definen los conjuntos

Fn,p = x ∈ I : |fn,p(x)− fn| ≤ ε Fn =⋂

p≥0

Fn,p

1- Dado ]u, v[∈ I probemos que existe un n0 ∈ N tal que Fn0∩]u, v[ no es nunca denso, y enconsecuencia, existe x0 ∈]u, v[ tal que ωf (x0) < 4ε:Notamos primero que para cada x ∈ I la sucesion fn(x)n∈N es de Cauchy por hipotesis, luego paraε > 0 dado existe N(ε) ∈ N tal que n ≥ N(ε) y p ∈ N implican que

|fn(x)− fn+p(x)| ≤ ε

por lo que x ∈⋃

n∈NFn, la inclusion recıproca es obvia y por tanto tenemos que

I =⋃

n∈NFn =⇒]u, v[= I∩]u, v[=

( ⋃

n∈NFn

)∩]u, v[=

⋃

n∈N(Fn∩]u, v[) =⇒]u, v[⊆

⋃

n∈NFn∩]u, v[

ANALISIS REAL 53

ası que tenemos una familia numerable de cerrados que cubre a un abierto no vacıo, por el teorema deBaire existe n0 ∈ N tal que

︷︸︸︷Fn0∩]u, v[ =

︷︸︸︷Fn0∩]u, v[ 6= ∅

existe entonces

x0 ∈︷︸︸︷

Fn0∩]u, v[ ⊆︷︸︸︷

Fn0 ∩ [u, v] =

︷︸︸︷Fn0 ∩]u, v[⊆]u, v[

y δ > 0 tal que

]x0 − δ, x0 + δ[⊆ Fn0∩]u, v[

por otro lado observamos que cada Fn,p (y por tanto cada Fn) es cerrado por la continuidad de lasfunciones fn y fn+p en I, luego se tiene que ]x0 − δ, x0 + δ[⊆ Fn0 . Vemos entonces que, como fn0 es(uniformemente) contınua en I, existe δ(ε) > 0 tal que para cada y, z ∈]u, v[ se tiene que

|y − z| < δ(ε) =⇒ |fn0(y)− fn0(z)| < ε(1)

y que para cada y0 ∈]u, v[ la convergencia de fn(y0) a f(y0) implica que existe n(ε, y0) ∈ N tal que

k ≥ n(ε, y0) =⇒ |fk(y0)− f(y0)| < ε(2)

Sea n ∈ N tal que1n

< minδ, δ(ε), entonces tenemos que

Ωn,x0 ⊆ Fn0

ademas como ]u, v[⊆ Fn0,p para cada p ∈ N se sigue que si y, z ∈ Ωn,x entonces

|f(y)− f(z)| ≤ |f(y)− fn0+p(y)|+ |fn0+p(y)− fn0(y)|+ |fn0(y)− fn0(z)|+ |fn0(z)− fn0+p(z)|+ |fn0+p(z)− f(z)|

si elegimos convenientemente p ∈ N de modo que n0 + p ≥ maxn(ε

2, y), n(

ε

2, z) tendremos de acuerdo

con (1) y (2)

|f(y)− f(z)| < ε

2+ ε + ε + ε +

ε

2= 4ε

por lo que, finalmente

ωf (x0) = infk∈N

diam(f(Ωk,x0)) ≤ diam(f(Ωn,x0)) = supy,z∈Ωn,x0

|f(y)− f(z)| ≤ 4ε

2- Mostremos ahora que el conjunto de los puntos de continuidad de f en I es denso en I Escribimos talconjunto como

Cf (I) = x ∈ I : ωf (x) = 0 =∞⋂

n=1

x ∈ I : ωf (x) <1n

la semicontinuidad superior de la funcion x −→ ωf (x) implica que cada uno de los conjuntos queconforma la interseccion es abierto, el inciso anterior probaba que, dado un intervalo abierto arbitrariode I, su interseccion con cualquiera de los conjuntos que conforman la interseccion es no vacıa, por tantocada uno de ellos es denso en I y el teorema de Baire implica entonces la densidad de Cf (I) en I. . ¤Lema 6.1.1. Sea fn una sucesion de funciones continuas definidas en D ⊆ Rn con valores en R quees monotona decreciente en el sentido que para cada x ∈ D se tiene que

f1(x) ≥ f2(x) ≥ f3(x) ≥ ...

y tal que existe c ∈ D con limn−→∞ fn(c) = 0, entonces dado ε > 0 existe N(ε) ∈ N y U ∈ ν(c) tales que

m ≥ N(ε) ∧ x ∈ U ∩D =⇒ fm(x) < ε


Demostracion. Consideremos un tal c y sea ε > 0, existe N(ε) ∈ N tal que

n ≥ N(ε) =⇒ fn(c) ∈]− ε, ε[

por otro lado ]− ε, ε[ es una vecindad de 0 para la cual existe una vecindad abierta Uc de c tal que

x ∈ Uc ∩D =⇒ fn(x) ∈]− ε, ε[ ∀n ≥ N(ε)

ası que si m > N(ε) y x ∈ Uc entonces

fm(x) ≤ fN(ε)(x) < ε

lo cual termina la demostracion. ¤Proposicion 6.1.4. (teorema de Dini): Sea fn una sucesion monotona de funciones continuasdefinidas en D ⊆ Rn con valores en Rm convergente puntualmente en un compacto K ⊆ D a unafuncion continua f : K −→ Rm, entonces la convergencia es uniforme en K.

Demostracion. Consideremos la sucesion de funciones continuas fn − f, para cada x ∈ K se tieneque fn(x)− f(x) converge a 0. Por el lema para ε > 0 y x ∈ K existe un abierto Ux que contiene a xy un natural nx tal que

n ≥ nx ∧ y ∈ U ∩D =⇒ ‖fn(x)− f(x)‖ <ε

2Claramente F = Uxx∈K cubre a K por lo que existen x1, x2, ..., xj ∈ K tales que G = Uxi1≤i≤j

cubre a K.Sea N(ε) = max

1≤i≤jnxi , entonces para n ≥ N(ε) tenemos que

‖fn − f‖∞ = max1≤i≤j

supx∈Uxi∩K

‖fn(x)− f(x)‖ ≤ ε

2< ε

Lo que muestra la convergencia uniforme de fn a f en K . ¤

6.2. Teoremas de aproximacion.

Tecnicamente hablando lo que se probara aquı son algunos resultados de densidad en C (D ⊆ Rn) (lacoleccion de todas las funciones de dominio D continuas en D) respecto de ‖ · ‖∞ que verifican algunosde sus subespacios por lo que el enunciado de los resultados se hara en este contexto ya que en terminosde aproximacion uniforme nos acercarıamos a procesos computacionales que no son nuestro proposito.

Definicion 6.2.1. Para A = [a, b] ⊆ R llamamos funcion en escalera sobre A a cualquier funcionf : A −→ R tal que existe una particion de A digamos a = a1 < a2 < a3 < ... < an−1 < an = b y ki ∈ Rcon i = 1, n− 1 tal que

x ∈ [ai, ai+1[=⇒ f(x) = ki ∀1 ≤ i ≤ n− 1 ∧ f(b) = kn−1

Definamos S(D ⊆ R) como el conjunto de todas las funciones en escalera de dominio D y equipemoslocon la norma uniforme. (S por step)

Proposicion 6.2.1. Si K ⊆ R es un intervalo compacto entonces (C (K), ‖ · ‖∞) ⊆ (S(K), ‖ · ‖∞)

Demostracion. Sea f ∈ (C (R), ‖ · ‖∞) y ε > 0, notemos que f es uniformemente continua en K por loque existe δ(

ε

2) > 0 tal que

|x− y| < δ(ε) ∧ x, y ∈ K =⇒ ‖f(x)− f(y)‖ <ε

2

Por Arquımedes existe n0 ∈ N tal que1n0

< δ(ε

2), dividamos K = [a, b] en n0(b− a) subintervalos (si

este numero es entero proseguimos ası, si no lo es encontramos un natural mayor digamos m0 y

ANALISIS REAL 55

dividimos K en m0 subintervalos y si es menor que n0 entonces dividimos a K en n0 subintervalos) de

longitud 1n0

con la particion ai1≤i≤n0 definida por ai = a +i− 1n0

para 1 ≤ i ≤ n0(b− a) + 1,

pongamos Kj = [aj , aj+1[ para cada 1 ≤ j ≤ n0 y sea ξj =aj + aj+1

2para cada 1 ≤ j ≤ n0(b− a).

Definamos la funcion en escalera gε en K por

gε(x) =

f(ξj) si x ∈ Kj ∩Kf(b) si x = b0 en otro caso

Tenemos entonces que

‖gε − f‖∞ = max max1≤j≤n0(b−a)

supx∈Kj∩K

‖gε(x)− f(x)‖, ‖gε(b)− f(b)‖ ≤ ε

2< ε

Lo cual muestra lo deseado (porque?). ¤Definicion 6.2.2. Dado un intervalo A = [a, b] ⊆ R llamamos funcion lineal por tramos en A acualquier funcion f : A −→ R tal que existe una particion de A digamosa = a1 < a2 < ... < an−1 < an = b y ck, dk ∈ R con k = 1, n− 1 tales que

f(x) =

cjx + dj si x ∈ [aj , aj+1[cn−1x + dn−1 si x = b0 en otro caso

Definamos P(D ⊆ R) como el conjunto de todas las funciones lineales por tramos con dominio D yequipemoslo con la norma uniforme. (P por poligonal)

Proposicion 6.2.2. Si K ⊆ R es un intervalo compacto entonces (C (K), ‖ · ‖∞) ⊆ (P(K), ‖ · ‖∞).

Demostracion. Sea f ∈ C (K) y ε > 0, f es uniformemente continua en K por lo que existe δ(ε

2) > 0

tal que

x, y ∈ K ∧ |x− y| < δ(ε

2) =⇒ ‖f(x)− f(y)‖ <

ε

2

Por Arquımedes existe n0 ∈ N tal que1n0

< δ(ε

2), dividamos K = [a, b] en n0(b− a) subintervalos (si

este numero es entero proseguimos ası, si no lo es encontramos un natural mayor digamos m0 ydividimos K en m0 subintervalos y si es menor que n0 entonces dividimos a K en n0 subintervalos) de

longitud1n0

con la particion ai1≤i≤n0(b−a) definida por ai = a +i− 1n0

para 1 ≤ i ≤ n0(b− a) + 1,

pongamos Kj = [aj , aj+1[ para cada 1 ≤ j ≤ n0(b− a).Definamos la funcion lineal por tramos gε en K como

gε(x) =

f(aj+1)−f(aj)aj+1−aj

(x− aj) + f(aj) si x ∈ Kj ∩K

f(b) si x = b0 en otro caso

Y al igual que en la demostracion precedente tenemos que

‖gε − f‖∞ = max max1≤j≤n0(b−a)

supx∈Kj∩K

‖gε(x)− f(x)‖, ‖gε(b)− f(b)‖ ≤ ε

2< ε

lo que prueba lo deseado (porque). ¤

El lector podrıa observar que en ninguno de los dos resultados es posible asegurar la inclusion recıprocay que ninguna inclusion es cierta si quitamos la clausura.Si ahora nos ponemos en el contexto de la aproximacion hay dos resultados que son especialmenteimportantes.


Proposicion 6.2.3. (teorema de aproximacion de Bernstein): Sea f : I = [0, 1] −→ R una funcioncontinua y definamos la sucesion de funciones Bn con dominio I y valores en R por

Bn =n∑

k=0

f(k

n)(

nk

)xk(1− x)n−k

entonces Bn converge uniformemente a f en I.

Demostracion. Notemos primero que f es uniformemente continua en I por lo que para ε > 0 dadoexiste δ(

ε

2) tal que

x, y ∈ I ∧ |x− y| < δ(ε

2) =⇒ |f(x)− f(y)| < ε

2

por otro lado del hecho de quen∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k = 1 para cada n ∈ N se sigue que

f(x) =n∑

k=0

f(x)(

nk

)xk(1− x)n−k

por lo que obtenemos

f(x)−Bn(x) =n∑

k=0

(f(x)− f(k

n))

(nk

)xk(1− x)n−k

y por tanto

|f(x)−Bn(x)| ≤n∑

k=0

|f(x)− f(k

n)|

(nk

)xk(1− x)n−k

Por lo antes probado f es acotada en I digamos por M , sea n > maxδ( ε

2)−4,

2√

2M2

ε2 y dividamos el

segundo miembro de la desigualdad anterior en dos sumas: la primera para |x− k

n| < n−

14 < δ(

ε

2) que

nos da la estimacionn∑

k=0

ε

2

(nk

)xk(1− x)n−k ≤

n∑

k=1

ε

2

(nk

)xk(1− x)n−k =

ε

2

y la segunda para |x− k

n| ≥ n−

14 con la que obtenemos la estimacion

n∑

k=0

2M

(nk

)xk(1− x)n−k = 2M

n∑

k=0

(x− kn)2

(x− nk )2

(nk

)xk(1− x)n−k

≤ 2M 2√

n

n∑

k=1

(x− k

n)2

(nk

)xk(1− x)n−k

≤ 2M 2√

n

(1n

x(1− x))≤ M

2 2√

n<

ε

2

por que x(1− x) ≤ 14

en [0, 1] ya que esta es una funcion creciente en [0,12] (se asume a este punto un

cierto manejo por parte del lector del teorema del binomio y los coeficientes binomiales).Uniendo ambas estimaciones tenemos que

|f(x)−Bn(x)| < ε

2+

ε

2= ε ∀x ∈ [0, 1]

lo cual prueba la convergencia uniforme de Bn a f en I. ¤

ANALISIS REAL 57

Definicion 6.2.3. La sucesion Bn se llama sucesion de polinomios de Bernstein para f por lo que sepone Bn(x; f) para notar esta dependencia.

Proposicion 6.2.4. (teorema de aproximacion de Weierstrass): Sea K un intervalo compacto de R yf : K −→ R una funcion continua, entonces f es uniformemente aproximable en K por polinomios.

Demostracion. Si K = [a, b] entonces la funcion g : [0, 1] −→ R definida por g(t) = f((b− a)t + a) escontinua y por lo recien probado puede ser aproximable uniformemente en I por la sucesion depolinomios de Bernstein Bn(t; g).Entonces la sucesion de polinomios Bn(

t− a

b− a; g) aproxima uniformemente a f en K. ¤

Tambien es posible enunciar resultados de aproximacion de funciones mediante homeomorfismos comoel siguiente, que para su demostracion requiere conocimientos de teorıa de la medida y de teoremas detopologıa como el llamado teorema de Jordan-Schoenflies para curvas planas por lo que la prueba seomite.

Proposicion 6.2.5. (teorema de Goffman): Cualquier biyeccion T de un cuadradoQ = [a, b]× [a, b] ⊆ R2 en sı mismo puede ser uniformemente aproximada por homeomorfismos.

Demostracion. No se hara. ¤

Lo interesante de este resultado es que no vale en otra dimension.Tambien es posible aproximar elementos de C [0, 1] por funciones no diferenciables en punto alguno desu dominio y que todavıa son continuas, la demostracion de este hecho no es difıcil pero en estrictoorden con el curso es tema de analisis real 2 y por tanto no la haremos aquı, en todo caso fueWeierstrass el primero que mostro la forma explıcita de una funcion continua no diferenciable en puntoalguno de su dominio.La existencia de tales funciones se sospecha a partir del hecho de que se muestra que dada una funciong continua en [0, 1], un numero positivo ε cualquiera y un numero natural n es posible encontrar unafuncion f ∈ C [0, 1] que tiene pendiente por lo menos ingual a n en todos sus puntos y que aproxima a gen [0, 1] con error menor que ε; por lo que si definimos el conjunto

Kn = f ∈ C [0, 1] : (∃x ∈ [0, 1])|f tiene pendiente en x menor que nentonces resulta que Kn es cerrado y C [0, 1]−Kn es denso en C [0, 1] (considerando ‖ · ‖∞); por otro

lado (C [0, 1], ‖ · ‖∞) es un espacio de Baire (porque?) por lo que K =∞⋂

n=1

C [0, 1]−Kn =

( ∞⋃

n=1

Kn

)c

es denso en (C [0, 1], ‖ · ‖∞), por ultimo se prueba que

K = f ∈ C [0, 1] : (∀x ∈ [0, 1])f no es diferenciable en xası que finalmente se deduce que existe un conjunto denso de funciones continuas no diferenciables enpunto alguno de su dominio (si lo consideramos compacto, porque?).


7. Propiedades relevantes del espacio (C (K ⊆ Rn), ‖ · ‖∞)

7.1. Los resultados de Stone y Weierstrass.

Los siguientes resultados generalizan bastante lo expuesto en la seccion anterior la que se obtienenpropiedades referentes a aproximacion uniforme con la salvedad de que ahora nos abstraemos del tipode funciones con las que construimos la sucesion.

Definicion 7.1.1. Dadas dos funciones f, g definidas en un mismo dominio de Rn con valores en R sedefinen las funciones f ∨ g = supf, g e f ∧ g = inff, g como

(f ∨ g)(x) = supf(x), g(x)(f ∧ g)(x) = inff(x), g(x)

Se deja como ejercicio al lector el probar que si f y g son continuas en su dominio entonces f ∨ g y f ∧ gtambien lo son, para lo cual se recomienda notar que si a, b ∈ R entonces

a ∨ b =12(a + b + |a− b|) y a ∧ b =

12(a + b− |a− b|)

y usar la desigualdad triangular.

Proposicion 7.1.1. (teorema de aproximacion de Stone): Sea K ⊆ Rn un compacto y sea L lacoleccion de todas las funciones continuas a valores reales que tienen dominio K que verifican lassiguientes propiedades:α− Si f, g ∈ L entonces f ∨ g, f ∧ g ∈ L .β− Si a, b ∈ R y x, y ∈ K con x 6= y entonces existe f ∈ L tal que f(x) = a y f(y) = b.Entonces (L , ‖ · ‖∞) = (C (K), ‖ · ‖∞).

Demostracion. Sea F ∈ C (K), para cada x, y ∈ K sea gxy ∈ L tal que gx,y(x) = F (x) ygxy(y) = F (y). Como F y gxy son continuas e iguales en y entonces dado ε > 0 arbitrario existeUy ∈ ν(y) abierta tal que

z ∈ Uy ∩K =⇒ gxy(z) > F (z)− ε

Si fijamos x y ε y movemos y ∈ K entonces encontramos una familia de abiertos F = Uyy∈K quecubre a K.

De la compacidad de K se deduce que existen y1, y2, ..., yj ∈ K tales que K ⊆j⋃

i=1

Uyi ; definamos

hx = sup1≤i≤j

gxyi , entonces tenemos que

hx(z) > F (z)− ε ∀z ∈ K

Repetimos este procedimiento para cada x ∈ K y notamos que en cada caso hx(x) = F (x), por lo queexiste Vx ∈ ν(x) abierta tal que

z ∈ Vx ∩K =⇒ hx(z) < F (z) + ε

La familia G = Vxx∈K es un cubrimiento abierto de K, por tanto existen x1, x2, ..., xk ∈ K tales que

K ⊆k⋃

i=1

Vxi .

Pongamos h = inf1≤i≤k

hxi ∈ L , entonces por ser una de las funciones hx tendremos que

h(z) > F (z)− ε ∀z ∈ K

y por ser Vxi1≤i≤k cubrimiento de K se tiene tambien que

h(z) < F (z) + ε ∀z ∈ K

ANALISIS REAL 59

ası que finalmente tenemos que

‖h− F‖∞ < ε

lo cual termina la demostracion (porque?). ¤

En el siguiente resultado las condiciones de la proposicion precedente seran debilitada en trescondiciones relativas a la estrucutra algebraica de C (K), sin embargo mostraremos que de ellas sedesprenden las hipotesis del teorema de Stone y tambien haremos uso del teorema de aproximacion deWeierstrass para la funcion t −→ |t| definida en R para concluir que en cualquier subconjunto compactode R ella puede ser uniformemente aproximada por polinomios (lo cual no es tan facil de probardirectamente).

Proposicion 7.1.2. (teorema de Stone-Weierstrass): Sea K ⊆ Rn un compacto y sea A la coleccionde todas las funciones continuas de K en R que verifican las condiciones siguientes:i- La funcion constante e(x) = 1 ∀x ∈ K perenece a A .ii- Si f, g ∈ A y α, β ∈ R entonces αf + βg ∈ A .iii− Si f, g ∈ A entonces fg ∈ A .iv- Si x, y ∈ R con x 6= y entonces existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y).Entonces (A , ‖ · ‖∞) = (C (K), ‖ · ‖∞).

Demostracion. Sean a, b ∈ R y x 6= y ∈ K, segun iv existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y); ademase(x) = e(y) = 1 y por tanto existe α, β ∈ R tales que

αf(x) + βe(x) = a ∧ αf(y) + βe(y) = b

(los reales buscados se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones recine descrito) perog = αf + βe ∈ A por ii por lo que existe en definitiva g ∈ A tal que g(x) = a y g(y) = b obteniendo asıla condicion (β) del teorema de Stone para la coleccion L de todas las funciones continuas de K en Rque pueden ser uniformemente aproximadas por funciones de A .Probemos ahora que L tiene la propiedad (α) tambien, para lo cual notamos que para f, g sonfunciones entonces (veanse las notaciones en el teorema de Stones)

h(x) =12(f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|) ∧ k(x) =

12(f(x) + g(x)− |f(x)− g(x)|)

Por lo que para que la condicion (α) se satisfaga es suficiente ver que si f ∈ L es cualquiera entonces|f | ∈ L .Sea entonces f ∈ L , existe M > 0 tal que ‖f‖∞ ≤ M por ser funcion continua en un compacto.Por definicion de L se tiene que exite una sucesion de funciones en A digamos fn convergenteuniformemente a f en K, para ε = 1 existe n(1) ∈ N tal que

n ≥ n(1) =⇒ ‖hn − h‖∞ < 1

por tanto para n ≥ n(1) tendremos que

‖hn‖∞ ≤ ‖hn − h‖∞ + ‖h‖∞ ≤ M + 1

Definamos una sucesion h′n en A de la siguiente manera:

h′j = hn(1) ∀1 ≤ j ≤ n(1) ∧ h′j = hj ∀j < n(1)

tenemos entonces que h′n converge uniformemente a h en K y es tal que ‖hn‖∞ ≤ M + 1 para cadan ∈ N.Sea ahora ε > 0 arbitrario, apliccando el teorema de aproximacion de Weierstrass a la funcion t −→ |t|en el compacto [−M − 1,M + 1] concluimos la existencia de un polinomio pε tal que

|t| ≤ M + 1 =⇒ ||t| − pε| < 13ε


en particular

||h′n(t)| − pε(h′n(t))| < 13ε ∀t ∈ K ∀n ∈ N

Notese que pε h′n ∈ A pues esta funcion es una suma de productos entre potencias de hn y escalares.Tambien sabemos que

||h′n| − |h|| ≤ ‖h′n − h‖∞ <ε

3

Para n suficientemente grande (digamos mayor que n(ε

3) ∈ N).

Ademas paraε

3> 0 existe, por la continuidad de pε, n′(

13ε) ∈ N tal que

n ≥ n′(13ε) =⇒ ‖pε h′n − pε h‖∞ <

13ε

por lo que, para n ≥ maxn(13ε), n(1), n′(

13ε) se tiene

‖|h| − pε h‖∞ ≤ ‖|h| − |h′n|‖∞ + ‖|h′n| − pε h′n‖∞ + ‖pε h′n − pε h‖∞ <13ε +

13ε +

13ε = ε

Hemos en definitiva mostrado que pε h ∈ A aproxima uniformemente a |h| con un errorarbitrariamente cercano a 0, lo cual significa que |h| ∈ L y ası el teorema sigue como una consecuenciadel teorema de Stone. ¤

Observese que del teorema se obtiene una generalizacion para Rn del teorema de aproximacion deWeierstrass (los detalles del enunciado y la demostracion se dejan al lector).Es un interesante tema de estudio el preguntarse sobre que otro espacio ademas de Rn se verifica esteteorema, ya que no fue fundamental el hecho de que K ⊆ Rn.

7.2. Equicontinuidad y el teorema de Arzela-Ascoli .

El siguiente resultado es una analogıa del teorema de Bolzano-Weierstrass concerniendo ahora alconjunto de las funciones continuas en un cierto subconjunto de Rn con la salvedad que tambien esvalido en espacios metricos generales.Si lo enunciaramos en el contexto de las redes podrıamos obtener una forma mas general, valida enciertos espacios topologicos.Se convierten entonces este resultado en una clasificacion para espacios topologicos generales y portanto es necesario enunciarlo en contextos propiamente topologicos, sin embargo aquı lo probaremossolo mediante sucesiones convergentes.Son necesarias ciertas nociones preeliminares que tienen gran importancia sobre todo en analisisfuncional.Para lo que sigue fijaremos K ⊆ Rn como compacto y la continuidad o continuidad uniforme de lasfunciones que consideremos estara referida a K.

Definicion 7.2.1. Sea F ⊆ C (K) una familia arbitraria; como sabemos cada f ∈ F es acotada, perosi existe M ≥ 0 tal que ‖f‖∞ ≤ M ∀f ∈ F entonces diremos que F es uniformemente acotada.

Definicion 7.2.2. Sea ahora x ∈ K y ε > 0 arbitrarios, sabemos que para cada f ∈ F existeδ(f, ε, x) > 0 tal que

y ∈ B(x; δ(f, ε, x)) ∩K =⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε

Si para cada x ∈ K y ε > 0 existe δ(ε, x) > 0 tal que

y ∈ B(x; δ(ε, x)) ∩K =⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε ∀f ∈ F

ANALISIS REAL 61

entonces decimos que F es equicontinua (el lector deberıa notar que como el dominio es compactoentonces las funciones son uniformemente continuas y por tanto la definicion anterior se deberıa hacercon la salvedad de generalizar el dominio K).

Definicion 7.2.3. La continuidad uniforme de las funciones implica que para cada ε > 0 y f ∈ Fexiste δ(ε, f) > 0 que satisface la condicion de continuidad uniforme; pero si este δ depende solo de ε yno de la f que se tome entonces decimos que F es uniformemente equicontinua.

Proposicion 7.2.1. (teorema de Arzela-Ascoli): Sea K ∈ Rp un compacto y sea F la coleccion detodas las funciones cuyo dominio es K y toman valores en Rq que son continuas en K, entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:(i)- F es uniformemente acotada y uniformemente equicontinua.(ii)- Toda susecion en F tiene una subsucesion que es uniformemente convergente en K.

Demostracion. Si F no es uniformemente acotada entonces para cada n ∈ N existe fn ∈ F tal que‖fn‖∞ < n, la sucesion fn de esta forma construida es tal que ninguna de sus subsucesiones puede serconvergente (porque?); de la misma forma si F no es uniformemente equicontinua entonces existe

ε0 > 0 tal que para cada n ∈ N es posible encontrar fn ∈ F y xn, yn ∈ K tales que ‖xn − yn‖ <1n

y

‖fn(xn)− fn(yn)‖ ≥ ε0, la sucesion fn ası definida es tal que ninguna subsucesion de ella puede seruniformemente convergente.Esto termina de probar que (ii)=⇒(i).Recıprocamente supongamos que se verifica (i); es posible encontrar un subconjunto numerableC = x1, x2, ... ⊆ K tal que para cada x ∈ K y ε > 0 existe y ∈ C tal que ‖x− y‖ < ε (esto no essimple de probar, pero a este punto del curso se deja al lector la tarea de hacerlo).Sea fn una sucesion acotada de elementos de F , en particular fn(x1) es una sucesion acotada y porel teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesion de ella digamos f1

n(x1) que es convergente.La sucesion f1

n(x2) es acotada, por lo antes argumentado tiene una subsucesion convergente quellamamos f2

n(x2) y un argumento similar permite comcluir la existencia de una subsucesion def2

n(x3) digamos f3n(x3) que es convergente.

Inducivamente encontramos una familia de sucesiones fkn(xk)k∈N convergentes, si las disponemos en

forma matricial tendremos

f11 (x1) f1

2 (x1) ... f1n(x1) ...

f21 (x2) f2

2 (x2) ... f2n(x2) ...

... ... ... ...fn1 (xn) fn

2 (xn) ... fnn (xn) ...

... ... ... ...

Definamos la sucesion de funciones gn por gk = fkk ∀k ∈ N, es decir consideramos la sucesion formada

por las funciones de la diagonal de la matriz.Se deja al lector la tarea de verificar que gn es convergente puntualmente en cada punto de C.Sea ε > 0 arbitrario, existe δ(

ε

6) > 0 tal que para cada f ∈ F se tiene que

x, y ∈ K ∧ ‖x− y‖ < δ(ε

6) =⇒ ‖f(x)− f(y)‖ <

ε

6

Sabemos que para δ(ε

6) > 0 se tiene que para cada x ∈ K existe y ∈ C tal que x ∈ B(y; δ(

ε

6)), por tanto

B(y; δ(ε

6))y∈C es un cubrimiento abierto de K; existe entonces un subconjunto finito

C1 = y1, y2, ..., yk ⊆ C tal que cada x ∈ K esta a distancia menor que δ(ε

6) de algun yj ∈ C1.

Para cada j ∈ 1, k existe M(ε

6, j) ∈ N tal que

n,m ≥ M(ε, j) =⇒ ‖gn(yj)− gm(yj)‖ <ε

6


Como dado x ∈ K fijo existe yj ∈ C1 tal que ‖x− yj‖ < δ(ε

6) se tiene, por equicontinuidad uniforme,

que ‖gn(x)− gn(yj)‖ <ε

6para cada n ∈ N.

Sea M(ε) = max1≤j≤k

M(ε

6, j), entonces para n,m ≥ M(ε) se tiene que

‖gn(x)− gm(x)‖ ≤ ‖gn(x)− gn(yj)‖+ ‖gn(yj)− gm(yj)‖+ ‖gm(yj)− gm(x)‖ <ε

6+

ε

6+

ε

6Lo anterior se puede establecer para cada x ∈ K ası que en definitiva

‖gn − gm‖∞ ≤ ε

2< ε

verificandose entonces el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de la sucesion gn lo cualprueba (ii) y termina la demostracion de la proposicion . ¤

7.3. El Teorema de Tietze.

El siguiente resultado tiene un caracter netamente topologico respecto de Rn, sin embargo se prefiereenunciarlo aquı ya que considera funciones continuas.En el curso de topologıa se enuncia de manera mas general y se ve entonces que resulta ser unacaracterizacion de los espacios regulares, propiedad que es facil probar que tienen los espacios metricos ypor tanto Rn.Antes de enunciar este resultado introduciremos aquı las nociones de distancia de un punto a unconjunto y de funcion de Uryson.

Definicion 7.3.1. Para x ∈ Rn y A, B ⊆ Rn definimos la de un punto a un conjunto y la distanciaentre dos conjuntos como

d(x,A) = infy∈A

‖x− y‖ ∧ d′(A,B) = inf(x,y)∈A×B

‖x− y‖

por supuesto que el lector debe probar que las fuciones ası definidas son metricas y ademas que se tiene

d(x,A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A

Proposicion 7.3.1. (teorema del punto mas cercano): Sea F ⊆ Rn un cerrado convexo y x ∈ Rn − F ,existe un unico y0 ∈ F tal que d(x, F ) = ‖x− y0‖.

Demostracion. Para cada n ∈ N definimos yn ∈ K de modo que ‖yn − x‖ < d(x, F ) +1n

, entonces la

sucesion yn ⊆ K es tal que limn−→∞ ‖yn − x‖ = d(x, F ), debido a esto y a la desigualdad triangular se

tiene que si ε > 0 es arbitrario entonces

(∃N(ε) ∈ N) : n ≥ N(ε) =⇒ ‖yn − x‖ ≤ d + ε

Sea ahora n,m ≥ N(ε), tendremos por la identidad del paralelogramo aplicada a los vectores yn − x, yym − x que

‖yn − ym‖2 = 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − ‖(yn − x) + (ym − x)‖2

= 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4∥∥∥∥yn + ym

2− x

∥∥∥∥2

Pero

(yn, ym ∈ F ∧ F convexo) =⇒ 12yn +

12ym ∈ K =⇒

∥∥∥∥yn + ym

2− x

∥∥∥∥ ≥ d(x, F )

ANALISIS REAL 63

por lo que

‖yn − ym‖2 ≤ 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4(d(x, F ))2 ≤ 4(d(x, F ) + ε)2 + 4d(x, F )2

= ε(4d(x, F ) + 4ε)

ası que yn es una sucesion de Cauchy en F , existe entonces y0 ∈ F tal que yn −→ y0 y claramente‖y0 − x‖ = d(x, F ).Si existe z ∈ F con z 6= y y tal que ‖x− z‖ = d(x, F ) entonces por la identidad del paralelogramo

‖y0 − z‖2 = 2‖y0 − x‖2 + 2‖x− z‖2 − ‖y0 + z − 2x‖2

= 4(d(x, F ))2 − 4∥∥∥∥y0 + z

2− x

∥∥∥∥2

como antes

(z, y0 ∈ K ∧ K convexo) =⇒ 12y0 +

12z ∈ K =⇒

∥∥∥∥z + y0

2− x

∥∥∥∥ ≥ d(x, F )

por tanto finalmente

‖y0 − z‖ ≤ 0 =⇒ y0 = z

lo cual termina la demostracion. ¤

El lector observara que el resultado aun es valido en el caso que dispongamos solo de un espacio deHilbert digamos E (es decir un espacio vectorial con producto interior cuya norma inducida lo convierteen un espacio normado completo), en tal caso dado K ⊆ E cerrado convexo no vacıo se define laaplicacion x −→ y0 donde y0 es como en el teorema precedente y recibe el nombre de proyeccion de xsobre K.En analisis funcional se prueba que dado un espacio de Hilbert y un subespacio cerrado convexo de el esposible expresar cada elemento del espacio como suma de un elemento del subespacio y uno ortogonal aeste ultimo (es decir tal que el producto interno con el anterior es nulo).

Definicion 7.3.2. Si A, B ⊆ Rn son cerrados disjuntos entonces llamamos funcion de Uryson acualquier funcion continua f : Rn −→ R que verifica las condiciones siguientes

f(x) = 0 ∀x ∈ A f(y) = 1 ∀y ∈ B 0 ≤ f(a) ≤ 1 ∀a ∈ Rn

En realidad los valores 0 y 1 se pueden cambiar por cualquier par de numeros reales distintossimplemente mediante un cambio de variable.

El lector podrıa observar que la funcion f(x) =d(x,A)

d(x,A) + d(x,B)es una funcion de Uryson.

En el curso de topologıa se amplia el tema de las funcxiones de Uryson y se estudia en que espacios esposible definirlas.

Proposicion 7.3.2. (teorema de extension de Tietze): Sea D ⊆ Rp un conjunto cerrado y f : D −→ Runa funcion continua y acotada, existe entonces una funcion g : Rp −→ R tal que

g(x) = f(x) ∀x ∈ D ∧ supx∈Rp

‖g(x)‖ = supx∈D

‖f(x)‖

Demostracion. Sea M = supx∈D

‖f(x)‖, como D es cerrado los conjuntos

A1 = x ∈ D : f(x) ≤ −M

3 B1 = x ∈ D : f(x) ≥ M

3

son cerrados en Rp y por tanto existe una funcion de Uryson φ1 : Rp −→ R tal que

φ1(x) = −13M ∀x ∈ A1 φ1(y) =

13M ∀y ∈ B1 − 1

3M ≤ φ1(a) ≤ 1

3M ∀a ∈ Rp


Sea f2 = f − φ1, notemos que f2 es continua en D y que |f(x)− φ1(x)| ≤ 23M (porque?).

Por razones analogas a lo anterior se tiene que los conjuntos

A2 = x ∈ D : f2(x) ≤ −13

23M B2 = x ∈ D : f2(x) ≥ 1

323M

son cerrados y nuevamente existe una funcion de Uryson φ2 : Rp −→ R tal que

φ2(x) = −13

23M ∀x ∈ A2 φ2(y) =

13

23M ∀y ∈ B2 − 1

323M ≤ φ2(a) ≤ 1

323M ∀a ∈ Rp

Definimos entonces la funcion f3 = f − φ1 − φ2 = f2 − φ2, notamos que ella es continua y tal que

|f2 − φ2| ≤ 23

23M (porqu’e?).

Inductivamente obtenemos una sucesion de funciones de Uryson φn tales que para cada n ∈ N setenga que

|φn(x)| ≤ (13)(

23)n−1M ∀x ∈ Rp ∧ |f(x)−

n∑

i=1

φi(x)| ≤ (23)nM ∀x ∈ D

Definamos para cada n ∈ N la funcion gn =n∑

i=1

φi, tenemos entonces que para cada n,m ∈ N con m ≥ n

|gn(x)− gm(x)| ≤ 13(23)nM(1 +

23

+ (23)2 + ... + (

23)m)

pero

1 +23

+ (23)2 + ... + (

23)m =

1− (23)m

1− 23

≤ 3

por lo que

|gn(x)− gm(x)| ≤ (23)nM

lo cual muestra que a medida que n y m crecen |gn − gm| tiende a 0 (porque?) ası que el criterio deCauchy implica que gn converge uniformemente a una funcion g definida en todo Rp que es continua(porque?) y se desprende de la relacion

|f(x)− gn(x)| ≤ (23)nM ∀x ∈ D ∀n ∈ N

que

f(x) = g(x) ∀x ∈ D

y ademas que

|gn(x)| ≤ 13M(1 +

23

+ (23)2 + ... + (

23)n−1) ≤ M ∀x ∈ Rp ∀n ∈ N

por lo que

|g(x)| ≤ M ∀x ∈ Rp

terminando ası la demostracion. . ¤

Respecto de este tema existen resultados interesantes de extension de homeomorfismos de los cualespodemos destacar el siguiente que fue aportado por Goffamn, para enunciarlo se necesita una nocionpropia de teorıa de la medida que no requiere conocimientos muy elevados (y por eso se da aquı).

ANALISIS REAL 65

Definicion 7.3.3. Sea n ∈ N y para cada k = 1, n definimos la funcion

πk : Rn −→ R(x1, x2, ..., xn) −→ xk

llamada la k-esima proyeccion canonica de Rn.

Definicion 7.3.4. Diremos que un subconjunto E de Rn es totalmente disconexo si todos lossubconjuntos conexos de E son unitarios, y diremos que un subconjunto compacto K de Rn esseccionalmente 0-dimensional si para cada k = 1, n el conjunto πk(K) es totalmente disconexo en R.

Proposicion 7.3.3. Sea n ≥ 2, I =n∏

i=1

[ai, bi] ⊆ Rn y sean A,B conjuntos seccionalmente

0-dimensionales contenidos en el interior de I, si T : A −→ B es un homeomorfismo entonces existe unhomeomorfismo H : I −→ I tal que H|A = T .

Demostracion. Esta por ahora fuera de nuestro alcance. . ¤


8. Resultados adicionales en teorıa de puntos fijos

El proposito principal de esta ultima seccion es profundizar un poco mas el tema de los puntos fijossobre espacios metricos generalizando ciertas nociones ya vistas e introdicendo nuevas.Por supuesto este capıtulo no forma parte del curso en sı pero puede servir como tema de exposicion ocomo lectura paralela segun el nivel del lector.

8.1. Estructuras convexas.

En todo lo que sigue instituimos la notacion I = [0, 1] y (E, d) denotara un espacio metrico.

Definicion 8.1.1. Llamaremos estructura convexa sobre E a cualquier funcion continuaW : E × E × I −→ E que verifique que para cada (x, y, λ) ∈ E × E × I se tenga

d(a,W (x, y, λ)) ≤ λd(a, x) + (1− λ)d(a, y) ∀a ∈ E

Y en caso de existir tal estructura diremos que (E,W, d) es un espacio mterico convexo.

El lector observara que con esta definicion nos ahorramos el definir una suma y un producto por escalarcontinuos sobre E y que ademas si consideramos la funcion particular W (x, y, λ) = λx + (1− λ)yentonces volvemos a la definicion de espacio normado convexo que conocemos, para lo que se deja acargo del mismo la tarea de verificar la condicion de la definicion.

Definicion 8.1.2. Consideremos ahora un subconjunto no vacıo A de un espacio mterico convexo(E,W, d), diremos que A es convexo si se verifica que

(x, y, λ) ∈ A×A× I =⇒ W (x, y, λ) ∈ A

El problema que se propone al lector es el de probar con esta definicion que las bolas abiertas ycerradas en espacios metricos convexos son conjuntos convexos.Nuestra meta aquı sin embargo es mostrar una clase de funciones sobre E que, bajo ciertas condiciones,tendra un punto fijo unico.

Definicion 8.1.3. Sea K ⊆ E no vacıo y T : K −→ K, diremos que f pertenece a la clase D(a, b, c) si

d(Tx, Ty) ≤ a(d(x, y)) + b(d(x, Tx) + d(y, Ty)) + c(d(x, Ty) + d(y, Tx)) ∀x, y ∈ K

donde obviamente a, b, c son reales no negativos (observese que para b = c = 0 y a ∈ R se obtienenfunciones Lipschitzianas).

Definicion 8.1.4. Para cada z ∈ K definimos su T -orbita como el conjunto

OT (z) = z, T (z) = Tz, T (Tz) = T 2z, T 3z, ...y definimos la funcion diametro T -orbital como

ρT : K −→ [0,∞]z −→ diam(OT (z))

Suponiendo ahora que T : E −→ E y denotando por PT = z ∈ K : ρT (z) > 0 (note que si PT = ∅entonces T es la aplicacion identica sobre K) diremos que T tiene una funcion diametro T -orbitaldecreciente sobre E si para todo subconjunto no vacıo de E T -invariante (es decir T (A) ⊆ A) digamosA se tiene que si A ∩ PT 6= ∅ entonces existe z1 ∈ A tal que ρT (z1) < diam(A) y diremos que T tiene undiametro orbital decreciente en E si para cada z ∈ E tal que ρT (z) > 0 se tiene que

limn−→∞ diam(OT (Tnz)) < diamOT (z)

ANALISIS REAL 67

Proposicion 8.1.1. Si T tiene diametro T -orbital decreciente entonces T tiene funcion diametroT -orbital decreciente

Demostracion. Sea T : E −→ E una funcion con diametro T -orbital decreciente y sea A unsubconjunto no vacıo invariante por T (es decir tal que T (A) ⊆ A) y acotado de E tal que A ∩ PT 6= ∅,existe z ∈ A tal que ρT (z) > 0 y como T tiene diametro T -orbital decreciente sobre E se debe verificarque

limn→∞ diam(OT (Tnz)) < ρT (z)

luego existe z1 = Tmz ∈ OT (z) ⊆ A tal que ρT (z1) < diam(OT (z)) ≤ diam(A) lo cual muestra que Ttiene una funcion diametro T -orbital decreciente sobre E. . ¤Definicion 8.1.5. Sea M un subconjunto no vacıo de un espacio metrico convexo (E, d, W ), diremosque M tiene la propiedad C si para toda cadena decreciente Kii∈I de subconjuntos cerrados no vacıosy convexos de E tales que Ki ∩M 6= ∅ para cada i ∈ I se tenga que (

⋂

i∈I

Ki) ∩M 6= ∅.

Se ha probado recientemente que si E es espacio normado y completo (espacio de Banach) entonces Mtiene la propiedad C sı y solo sı es debilmente compacto (es decir que para cada cubrimiento porabiertos de la topologıa debil por el dual topologico de E es posible escoger un subcubrimiento finito) yse propone al lector que encuentre un ejemplo de un conjunto que no tenga la propiedad C.Vamos ahora al resultado principal de esta seccion.

Proposicion 8.1.2. Sean (E, d,W ) un espacio metrico convexo y K ⊆ E no vacıo, cerrado, acotado yconvexo; sea M ⊆ E con la propiedad C.Si T : E −→ E es una aplicacion de la clase D(a, b, c) con a + 3b + 3c ≤ 1 que verifica las condicionessiguientes:(i) T tiene una funcion diametro T -orbital decreciente sobre K.(ii) Para cada z ∈ K se tiene que co(OT (z)) ∩M 6= ∅.entonces existe z0 ∈ M tal que Tz0 = z0 y si a 6= 1 entonces ese punto es unico.

Demostracion. Definamos la coleccion

I = A ⊆ K : A es no vacıo, cerrado, convexo, T -invariante y A ∩M 6= ∅se ve que K ∈ I por lo que I 6= ∅, si definimos un orden parcial por

A 4 B ⇐⇒ B ⊆ A ∀A,B ∈ I

por el lema de Zorn I tiene un elemento K1 maximal respecto de 4 que resulta ser minimal respectode la inclusion de conjuntos (se sugiere usar el hecho de que M tiene la propiedad C para probar esto).Si demostramos que ρT (z) = 0 para cada z ∈ K1 ewntonces tendremos por (ii) que existe al menos unpunto z0 ∈ M tal que Tz0 = z0 (sugerencia: T actuarıa como la aplicacion identica sobre K1 ∈ I )).Supongamos por el contrario que existe x ∈ K1 tal que ρT (x) > 0, luego K1 ∩ PT 6= ∅ y como K1 6= ∅ esacotado y T -invariante existe por (i) z1 ∈ K1 tal que ρT (z1) < diam(K1).Elijamos entonces r > 0 tal que ρT (z1) ≤ r < diam(K1), definamos el conjunto

U = z ∈ K1 : d(Tnz1, z) ≤ r excepto para finitos n ∈ Ny probemos que U ∈ I .U 6= ∅ porque z1 ∈ U , por otro lado U es T -invariante porque z ∈ U ⊆ K1 =⇒ Tz1 ∈ K1 por laT -invariancia de K1, ademas como T ∈ D(a, b, c) se tiene que

d(Tnz1, T z) ≤ a(d(Tn−1z1, z)) + b(d(Tn−1z1, Tnz1) + d(z, Tz)) + c(d(Tn−1z1, T z) + d(z, Tnz1))

≤ a(d(Tn−1z1, z)) + b(d(Tn−1z1, Tnz1) + d(z, Tnz1) + d(Tnz1, T z))

+ c(d(Tn−1z1, Tnz1) + d(Tnz1, T z) + d(z, Tnz1))


excepto para finitos n ∈ N, pero como z1 ∈ U y ρT (z1) ≤ r la desigualdad anterior queda

(1− b− c)d(Tnz1, T z) ≤ (a + 2b + 2c)r excepto para finitos n ∈ Nademas por hipotesis

a + 3b + 3c ≤ 1 =⇒ a + 2b + 2c ≤ 1− b− c =⇒ a + 2b + 2c

1− b− c≤ 1

con lo que finalmente obtenemos que

d(Tnz1, T z) ≤ a + 2b + 2c

1− b− cr ≤ r excepto para finitos n ∈ N

lo cual muestra que Tz ∈ U (observe que 1− b− c ≥ 0, porque?) y por tanto la T -invariancia de U .La convexidad de U sigue del hecho de que si z, z′ ∈ U y λ ∈ I entonces W (z, z′, λ) ∈ K1, lo cualsignifica en particular que

d(Tnz1,W (z, z′, λ)) ≤ λ(d(Tnz1, z)) + (1− λ)(d(Tnz1, z′)) ≤ λr + (1− λ)r = r excepto para finitos n ∈ N

ası que W (z, z′, λ) ∈ U y en consecuencia U es convexo.Que U es cerrado resulta tambien claro ya que si zm es una sucesion de elementos de U convergente az ∈ E entonces z ∈ K1 (porque?) y ademas para cada ε > 0 existe Nε ∈ N tal quem ≥ Mε =⇒ d(zm, z) < ε y ademas d(Tnz1, zm) ≤ r excepto para finitos n ∈ N con lo que en definitivatenemos que

d(Tnz1, z) ≤ d(Tnz1, zm) + d(zm, z) < r + ε excepto para finitos n ∈ Nası que z ∈ U y por tanto U es cerrado.Que z1 ∈ U y U sea cerrado T -invariante implica que OT (z1) ⊆ U , la convexidad de U implica queco(OT (z1)) ⊆ U y que U sea cerrado implica que co(OT (z1)) ⊆ U y la condicion (ii) implica que∅ 6= coOT (z1) ∩M ⊆ U ∩M lo cual muestra finalmente que U ∈ I .La minimalidad de K1 implica que U = K1, definamos S = z ∈ K1 : K1 ⊆ B[z, r] y probemos queS ∈ I .Para ver que S 6= ∅ consideramos p ∈ K1 = U , entonces d(Tnz1, p) ≤ r excepto para finitos n ∈ N por loque existe N1 ∈ N tal que OT (z1) ⊆ B[p, r] para cada n ≥ N1 y como B[p, r] es cerrado y convexo setiene que co(OT (Tnz1)) ⊆ B[p, r] para n ≥ N1.

Sabemos que co(OT (Tnz1)) ⊆ K1 para cada n ∈ N, por tanto∞⋂

n=1

co(OT (Tnz1)) ⊆ K1 y por hipotesis

co(OT (Tnz1)) ∩M 6= ∅ para cada n ∈ N y como M tiene la propiedad C se sigue que

H =∞⋂

n=1

co(OT (Tnz1)) ∩M 6= ∅.

Sea u ∈ H, en particular u ∈ K1 y por lo ya discutido se tiene que u ∈ B[p, r] para cada p ∈ K1 y enconsecuencia p ∈ B[u, r] para cada p ∈ K1 por lo que K1 ⊆ B[u, r], es decir u ∈ S y por tanto S 6= ∅.Veamos ahora que S es convexo; para z, z′ ∈ S y λ ∈ I tenemos que W (z, z′, λ) ∈ K1 por la convexidadde K1 y para cada p ∈ K1 tenemos que

d(p,W (z, z′, λ)) ≤ λ(d(z, p)) + (1− λ)(d(z′, p)) ≤ λr + (1− λ)r = r

esto prueba que K1 ⊆ B[W (z, z′, λ), r], lo que significa que W (z, z′, λ) ∈ S por lo cual S es convexo.Probemos finalmente que S es cerrado; sea zm una sucesaion en S convergente a z ∈ E, claramentez ∈ K1 y para cada ε > 0 y p ∈ K1 existe N0 ∈ N tal que

m ≥ N0 =⇒ d(z, zm) + d(zm, p) < ε + r

lo cual se establece de manera analoga a la antes hecha; lo cual muestra que para cada p ∈ K1 se tieneque d(z, p) ≤ r, es decir K1 ⊆ B[z, r] y en consecuencia z ∈ S y ası S es cerrado.

ANALISIS REAL 69

Para probar la T -invariancia de S procedemos por contradiccion; supongamos que z2 ∈ S es tal queTz2 /∈ S y sea y ∈ F = B[Tz2, r] ∩K1 (porque no es vacıo este conjunto?), tenemos entonces que

d(Ty, Tz2) ≤ a(d(y, z2)) + b(d(y, Ty) + d(z2, T z2)) + c(d(y, Tz2) + d(z2, T y))≤ a(d(y, z2)) + b(d(y, Tz2) + d(Tz2, T y) + d(z2, T z2))+ c(d(y, Tz2) + d(z2, T y))

reduciendo y ordenando obtenemos

(1− b)(d(Ty, Tz2)) ≤ a(d(y, z2)) + b(d(y, Tz2) + d(z2, T z2)) + c(d(y, Tz2) + d(z2, T y))

usando el hecho de que z2 ∈ S, Ty, Tz2 ∈ K1 se sigue que

d(Ty, Tz2) ≤ a + 2b + 2c

1− br ≤ r

por lo que Ty ∈ F y en consecuencia F es T -invariante.Como F es cerrado, T -invariante, convexo y Tz2 ∈ F se sigue que co(OT (Tz2)) ⊆ F y por la condicion(ii) se tiene que co(OT (Tz2)) ∩M 6= ∅ y por tanto F ∩M 6= ∅ y ademas como Tz2 /∈ S existe t ∈ K1 talque d(t, T z2) > r (use el teorema del punto mas cercano); en consecuencia con lo anterior tenemos queF es un subconjunto propio de K1 que esta en I contradiciendo la minimalidad de K1.Queda entonces demostrado que S es T -invariante y por un razonamiento analogo al ya varias vecesrepetido tenemos que S ∩M 6= ∅ y por tanto S ∈ I , ademas por definicion de S y la eleccion de r sesigue que diam(S) ≤ r < diam(K1) lo cual vuelve a contradecir la minimalidad de K1.Concluimos entonces que no puede existir x ∈ K1 con ρT (x) > 0, por tanto ρT (x) = 0 para cada x ∈ K1

con lo que probamos lo deseado.Supongamos ahora que a 6= 1, si u, v son dos puntos fijos de T distintos entonces

d(u, v) ≤ a(d(u, v)) + 2c(d(u, v)) = (a + 2c)(d(u, v)) < d(u, v)

ya que d(u, Tv) = d(u, v) = d(Tu, v), lo cual es imposible y por tanto el punto fijo es unico y la pruebadel teorema queda completa. . ¤

8.2. Respecto de las iteradas de una contraccion.

Comencemos con un resultado en relacion a las iteradas de una funcion continua; se advierte al lectorque las demostraciones de esta seccion seran bastante menos detalladas que la anterior por lo que elsentido crıtico se debe agudizar aquı.

Proposicion 8.2.1. Sea (X, d) un espacio metrico compacto y T : X −→ X una funcion continua,entonces existe x ∈ X y φ : N −→ N creciente tal que

limn−→∞T φ(n)x = x

Demostracion. Definamos la coleccion

V = C ⊆ X : C 6= ∅ cerrado y T − invariantese tiene que V 6= ∅ porque X ∈ V , ademas si definimos un orden parcial en V por

A 4 B ⇐⇒ B ⊆ A

Entonces si Aii∈I es una cadena en V tenemos que⋂

i∈I

Ai 6= ∅ (porque? ind: Aii∈I tiene la

propiedad de interseccion finita y X es compacto), por el lema de Zorn V tiene un elemento maximalque resulta ser minimal respecto de la inclusion al que llamamos C0 y notemos que su minimalidadimplica que Tn(C0) = C0 para cada n ∈ N por ser T cerrada (porque?).


Fijemos x ∈ C0 y definamos K = Fnx : n ∈ N ⊆ C0, entonces K es no vacıo, cerrado y T -invariantepor lo que la minimalidad de C0 implica que K = C0, luego como x ∈ C0 = K = K se tiene que existeuna sucesion de elementos de K convergente a x, lo cual significa que existe φ : N −→ N creciente tal que

limn−→∞T φ(n)x = x

lo que termina la demostracion. ¤

Es ya sabido que si tenemos una aplicacion T contractiva entre espacios metricos entonces sus iteradasT k, k ∈ N son tambien contractivas y por tanto el teorema de punto fijo para aplicaciones contractivasvale tambien para sus iteradas; el siguiente resultado establece una forma de recıproco de lo recien dicho.

Proposicion 8.2.2. Sea (X, d) un espacio metrico compacto y G : X −→ X continua, supogamos queexiste m ∈ N tal que la iterada Gm verifica que

d(Gmx,Gmy) ≤ maxd(x, y), d(x,Gmx), d(y,Gmy), d(x,Gmy), d(y, Gmx) ∀x, y ∈ X con x 6= y

Entonces:(i) G tiene un unico punto fijo x∗ ∈ X.(ii) La sucesion de iteradas Gkx converge a x∗ para cada x ∈ X.(iii) Dado λ ∈ (0, 1) existe una metrica dλ sobre X equivalente a d tal que

dλ(Gx,Gy) ≤ λdλ(x, y)∀x, y ∈ X

Demostracion. Llamamos F = Gm y observemos como antes que F es cerrada por ser contınua y Xcompacto, ¤

Respecto del enunciado del teorema se propone al lector imponer condiciones a a, b, c de modo queGm ∈ D(a, b, c).

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Libro de Analisis Mio