Les Engrenages

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 1 I : DIFFERENTS TYPES D’ ENGRENAGES DROITS à DENTURE DROITE

Il : DIFFERENTS TYPES d’ ENGRENAGES

Définition : On appelle Engrenage un ensemble de 2 roues dentées de même “Module” qui engrènent l’une avec l’autre.

A) Engrenages droits à denture droite

Ce sont les engrenages les plus simples et les plus économiques qui sont utilisés pour transmettre les mouvements ou la puissance entre 2 arbres d’axes parallèles. ( Les génératrices des dents seront parallèles à ces axes).

Ils seront utilisés pour définir la géométrie et les relations de définition ou de cinématique de base

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 2 B) Engrenages droits à denture hélicoïdale

Ces engrenages hélicoïdaux fonctionnent comme les engrenages droits mais seront les plus utilisés en transmission de puissance. Les dents inclinées par rapport à l’axe de l’angle d’inclinaison de denture, permettent d’avoir une surface de contact plus importante et une meilleure répartition des charges, une meilleure progressivité et une plus grande continuité d’engrène- ment. Ils seront ainsi plus performants et pourront transmettre des puissances et des couples supérieurs tout en étant plus silencieux. Mais l’inclinaison de denture engendre des poussées axiales et des surcharges sur l’arbre qu’il faudra encaisser.

Remarque : Ces engrenages peuvent être utilisés pour transmettre un mouvement entre axes non // : “engrenages gauches” En ajustant la valeur de l’angle d’inclinaison, il est possible d’ajuster la valeur de l’entraxe pour assurer certaines conditions de fonctionnement (Ex: Boite de vitesse à plusieurs rapports dont les deux axes principaux sont // et de même entraxe)

C) Engrenages coniques

Ils sont utilisés pour transmettre des mouvements et des couples entre des arbres en général perpendiculaires et concourants. Les dentures peuvent être droites, hélicoïdales ou spirales. Il existe des variantes complexes où les axes des roues ne sont plus concourants et peuvent ne plus être perpendiculaires : ce sont les dentures Hypoïdes. Mais les surfaces primitives ne sont plus des cônes mais des hyperboloïdes ; le fonctionnement est intermédiaire entre celui du couple conique et celui du système roue-vis : il y a donc roulement et glissement au contact ; le frottement est plus élevé et le rendement moins bon.

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D) Engrenages roue et vis sans fin

Engrenages roues et vis entre arbres orthogonaux : Le pignon arbré à denture spirale ressemble à une vis ; la roue est pourvue d’une denture hélicoïdale creuse pour augmenter la surface de contact. Le sens de rotation de la roue dépend du sens de rotation de la vis et du sens d’inclinaison de l’hélice. Le rendement est médiocre avec les frottements. L’irréversibilité dépend uniquement de l’angle d’inclinaison de l’hélice et du coefficient de frottement existant entre les matériaux des pièces. Une vis globique et une roue creuse permettent de transmettre des couples élevés mais ces pièces sont très coûteuses.

Engrenages coniques à axes concourants


Etude du profil en développante de cercle

Taillage de profils d’engrenages en développante par générations de surfaces ; en utilisant le principe de la base et de la roulante

Différents profils en développante de cercle

Génération de profils avec le pas de base pb

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 5 III : DEFINITIONS ; TERMINOLOGIE et RELATIONS ELEMENTAIRES

A) Pour Dentures droites Dans un engrenage (couple pignon-roue), le pignon est le plus petit des deux éléments et c’est aussi l’élément menant dans un réducteur - Si les dentures conjuguées ont des profils en développante ; Il y aura presque toujours RSG autour du contact

Caractéristiques

P : pas primitif = pas circonférenciel = π m

m : module (valeur normalisée) Z : nombre de dents d : = dp = diamètre primitif

a : entraxe = m 2

21 zz +

b : largeur de la denture b = k m (6 < k < 12) h : hauteur de dent = 2,25m

ha : saillie de la dent = m

hf : creux de la dent = 1,25m

s = e = P/2 α : angle de pression (ou de poussée) d 20° est la valeur la plus utilisée

rb : rayon du cercle de base qui sert de

support pour le tracé de la développante

Ligne de poussée ou Droite de pression : ♦ L’angle de pression α définit l’inclinaison de la droite de poussée et la forme de la dent (forme de la crémaillère de référence de taillage). Cette ligne de poussée est tangente aux cercles de base et porte en permanence le point de contact entre les dents et l’effort de contact transmis entre les deux roues ♦ Les points de contact extrêmes où les dents entrent en contact A et perdent le contact B définissent la longueur de conduite AB ♦ Pour assurer une conduite continue il est souhaitable qu’il y ait entre 2 et 3 couples de dents simultanément en prise.

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 6 B) Pour Dentures hélicoïdales Avec l’angle d’inclinaison de denture β on peut définir un pas et un module apparents ou tangentiels (indice t ) le pas normal et le module normal ( indice n ) seront en vraie grandeur et correspondront aux valeurs normalisées de taillage - Pour la roue ou le pignon β est l’angle d’hélice de la denture hélicoïdale ; que l’on appelle aussi angle d’inclinaison de denture.

C) Pour Système Vis – Ecrou βv est angle d’hélice de la vis

βR est l’angle d’hélice de la roue ; mais c’est aussi l’angle d’inclinaison d’hélice de la vis

Analogie avec la roue à denture hélicoïdale en partant de la définition des caractéristiques d’une crémaillère à denture inclinée

Principaux paramètres du système roue - vis

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 7 Remarques : Les caractéristiques de la roue sont celles d’une roue droite à denture hélicoïdale. La vis et la roue ont même

pas normal pn ; le pas axial apparent de la vis px est égal au pas apparent de la roue pt ; le pas axial réel pz représente le

pas d’un même filet de la vis. Lorsque l’angle d’inclinaison d’hélice βR de la vis est suffisamment faible (inférieur à 6 à 8°) le

système devient totalement irréversible et la roue ne peut pas entraîner la vis, il y a blocage. Cette propriété peut être recherchée et se rencontre également dans les systèmes vis-écrou.

En superposant sur une même figure la vis et la roue et en exagérant la largeur de la roue ; pour que les dentures inclinées ou hélicoïdales apparaissent de part et d’autre de la vis et puissent être cotées. (Les éléments de denture

en contact ; qui sont cachés, apparaissent en pointillés sous la vis).

βR = angle d’hélice de la roue et = angle d’inclinaison d’hélice de la vis

Axe de la Roue

Axe de la Vis

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 8 Panorama de différentes méthodes de taillage

A) Par une fraise ou un outil de forme, conçu pour ne pouvoir tailler en grande série, par usinage de forme, qu’un seul profil de denture dans une seule pièce (fig 16 et 21). B) Par un outil crémaillère de référence animé d’un mouvement de coupe et qui par d’autres mouvements conjugués de translation et de rotation permet de tailler par génération des profils extérieurs de denture de nombre de dents quelconque et de même module que le module de la crémaillère (fig 15 et 18). C) Par extrapola tion de cette méthode ; il est possible d’utiliser un outil Fellow pour tailler par génération des dentures extérieures et surtout des dentures intérieures (fig 17). D) Par génération par un Outil fraise du module désiré, utilisé sur machine à tailler les engrenages à CN (fig 19 et 20). E) Sur des centres d’usinage spécialisés ; par l’emploi de meules assiettes ou de fraises assiettes imbriquées et conjuguées, réglées pour créer la crémaillère théorique souhaitée ; sur laquelle sera taillée par génération la dent ure à obtenir, par un roulage approprié et conjugué de la pièce à usiner (fig 22).

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 9 Corrections de dentures

Ces corrections de dentures permettent de légèrement modifier et décaler des profils de denture qui resteront toujours en développantes de cercle ; pour les gonfler ou pour les amincir ; dans le but d’équilibrer les contraintes et les résistances de dentures ou pour créer des variations d’entraxe afin d’assurer et d’adapter le montage et le fonctionnement d’engrenages normalisés.


Eléments d’Etude du système Roue et Vis sans fin

Soient en M les différentes composantes caractéristiques de la résultante FN d’action normale à la denture de la vis sur la

roue dans une phase de fonctionnement :

♦ FT est la composante tangentielle à la roue, qui donnera le couple moteur sur la roue.

♦ FA est la composante axiale encaissée uniquement par le roulement qui reçoit la poussée axiale dans ce cas d’étude.

♦ FR est la composante radiale qui sera encaissée par les deux roulements de guidage de la roue.

Palier de butée de la vis

Palier de butée de la Roue

β est l’angle d’inclinaison d’hélice de la Vis et est aussi

l’angle d’hélice de la Roue

α est l’angle de pression de taillage

FN est la Résultante des actions de contact ; normale à la denture dans la zone de contact et portée

par la droite de poussée


Différents Calculs de Trains d’Engrenages A) Ces Engrenages en Cascade dont tous les Axes sont fixes par rapport au bâti constituent un Train Simple

On définit un sens d’étude ou de « circulation » de la puissance dans le système étudié de : de E vers S

Pour ce train simple, avec ce sens d’utilisation, on définit et on détermine : la Raison « k » du train simple.

(Dans cette relation : n est le nombre d’engrenages à dentures à contacts extérieurs rencontrés dans l’étude du train)

Dans le cas d’un train simple uniquement : k = raison du train simple

d = rapport de réduction = 0/

0/

E

S

ωω

B) Train Epicycloïdal : (Certains axes d’Engrenages sont en mouvement par rapport au bâti)

Dans ce genre de mécanisme il faut repérer : le porte – satellite dont la pivot de guidage du satellite est en mouvement par rapport au bâti . d et le ou les satellites qui auront une rotation propre associée à une rotation d’entraînement.

Méthode d’étude du système ci- contre :

En conservant ici la même entrée :

a) On bloque le porte-satellite 3 ou PS et c’est le bâti 0 qui tourne en sortie; mais alors tous les axes sont fixes par

rapport au porte-satellite 3 et nous avons alors : un train simple de raison k . Soit pour le cas ci-dessus

b) On libère le porte-satellite 3 et on cherche à obtenir le rapport de réduction réel d’emploi : de ce réducteur à train Epicycloïdal ; (mais en sachant que la relation précédente qui a permis de déterminer le train simple équivalent reste valable) [et l’on retrouve sans problèmes /0 : la relation de Willis] d Il faut maintenant mettre en « forme » la relation tirée du train simple équivalent pour obtenir le résultat désiré :

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 12 Pour établir ou retrouver la relation de Willis Générale : Bloquer le porte satellite et écrire la raison du train simple fonctionnant en ayant environ le même sens de circulation de la puissance que dans les conditions du système étudié.

Cas usuels d’Emploi: pour Différents fonctionnements avec satellites à 2 roues, puis remise en forme de la relation générale de Willis.

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 13 Remarques importantes de terminologies : Dans les sujets qui traiteront de différents réducteurs ou dans des documents constructeurs vous allez traiter ou utiliser ; vous allez rencontrer de nombreuses terminologies : ex : rapport de réduction ; rapport de multiplication ; rapport de démultiplication ; réduction ; multiplication ; rapport de transmission ; transmission ; « facteur » ou « coefficient » multiplicateur de force ou de couple ; etc .

Pour un réducteur qui réduit sa vitesse de l’entrée vers la sortie ; le rapport de réduction est parfaitement défini, de façon unique et correspond au rapport signé de la Vitesse de sortie / Vitesse d’entrée . La valeur absolue de ce rapport est toujours inférieure à 1 pour un réducteur et supérieure à 1 pour un multiplicateur ; ce qui donne alors le rapport de multiplication ou la multiplication. Alors que la réduction est toujours l’inverse du rapport de réduction. Pour le rapport de transmission et la transmission, ce sont les mêmes éléments que le rapport de réduction et la réduction ; mais parfois sans signe, car ces termes remontent à l’époque des alimentations mécaniques générales par courroies plates, où l’entrée et la sortie tournaient généralement dans le même sens. L’utilisation de ces terminologies est souvent confuse et erronée ; il est important dans chaque cas d’usage de parfaitement définir ce que l’on emploie et ce dont on parle. Dans le cas de données constructeur il est facile et utile, avec un peu de bon sens de faire la correction.

La figure ci-dessus symbolise un mécanisme à engrenages à train épicycloïdal. Les rayons indiqués sont ceux qui corres-

pondent aux différents diamètres primitifs des différentes roues dentées. On note R0 (O, 0x , 0y , 0z ) le repère lié au bâti

0 ; R1 le repère lié au solide 1 et R2 sera le repère lié au solide 2 .

on pose : Ω (R1/R0) = ω1/0 0z ; Ω (R2/R0) = ω2/0 0z ; Ω (P/R0) = ωP/0 0z .

Etablir la relation qui existe entre : ω 1/0 , ω 2/0 , et ω P/0 .

Par la méthode de WILLIS ; en bloquant le porte satellite, nous obtenons les rapports suivants :

Psentrée

Pssortie

/

/

ωω

= 0/0/

0/0/

Psentrée

Pssortie

ωωωω

−−

= (-1)n Zmenées

Zmenantes

ΠΠ

Soit :

Ce qui donne la relation :

Cette relation nous montre qu’il est nécessaire de contrôler à la fois l’entrée et le porte satellite pour motoriser la sortie.

SORTIE

ENTREE


Dessin d’Ensemble simplifié d’un REDUCTEUR de VITESSE de Type FARFELU

Dans ce mécanisme : A est une couronne dentée, à denture intérieure fixe ; B est une couronne dentée, à denture intérieure mobile, liée à l’arbre de sortie 5

Effectuer le schéma cinématique minimal de ce mécanisme pour bien repérer les différentes formes et liaisons d complètes des pièces qui vont constituer le porte satellite.

Déterminer pour ce réducteur dans les conditions d’emploi définies ci-dessus : ♦ le rapport de réduction ; d ♦ la réduction ; ♦ le rapport de transmission .

Entrée

Sortie

Cours sur les ENGRENAGES et Exemples de Calculs d’Engrenages et de Réducteurs p 15 Etude CINÉMATIQUE de REDUCTEUR

A) — Soit le réducteur à train épicycloïdal de la figure ci-contre :

Le pignon moteur d’entrée A tourne à la vitesse Nm

Le porte satellite de sortie tourne à la vitesse Nr

Déterminer littéralement le rapport de transmission :

Nr / Nm

B) — Le réducteur ci-dessous est composé comme suit :

un couple de roues dentées à denture droite, A = 60 dents, d B = 120 dents ; de module M = 1,75 mm;

un couple de roues dentées à denture hélicoïdale, C = 40 d dents, D = l00 dents ; de module réel Mn = 2mm

un train épicycloïdal comprenant : une roue E (80 dents), d 2 satellites F et F’ (40 dents), une couronne G à denture intérieure (? dents), fixée sur le bâti 0 , un porte satellite T.

La vitesse d’entrée par A est : N = 1500 tr/mn.

Déterminer : 1° L’entre axes d;

2° L’inclinaison des dentures hélicoïdales des roues C et D;

3° Les rapports de réduction ND / N et NS / ND en déduire : NS / N ainsi que NS;

4° le rapport de réduction du train épicycloïdal par une méthode différente de la formule de Willis.

Indications : On se servira de la notion de centre instantané de rotation et de roulement sans glissement en certains points

et l’on exprimera les vitesses 0/FVJ et 0/TVJ ; avec :

d 0/TVJ : vitesse du point J appartenant au bras porte train T,

d 0/FVJ : vitesse du point J appartenant au satellite F.


Poulie REDEX.

La poulie Redex représentée sur le dessin ci - après est une Poulie comportant un réducteur épicycloïdal intégré dans son boîtier; ce train épicycloïdal est dit train de Pecqueur. Cette poulie, qui est alimentée en puissance par plusieures courroies trapézoïdales montées en parallèle ; est implantée sur l’arbre A d’entrée de puissance de l’appareil commandé.

Le mouvement d’entrée est reçu par le tambour tournant 5 de la poulie. Ce tambour est guidé par deux roulements à billes 10 . Les flasques rapportés 6, munis de joints d’étanchéité 13 permettent le montage et le maintien des organes intérieurs.

Les axes 2 montés et guidés sur le corps de 5 par l’intermédiaire des roulements à aiguilles 1 portent les satellites 3 et 4 clavetés sur eux et rendus ainsi solidaires en rotation entre eux et avec l’axe 2 .

Le satellite 4 est en prise avec le planétaire fixe 12 monté par un assemblage cannelé sur la douille 14 . Cette douille centrée sur l’arbre A par des cages à aiguilles ; est maintenue immobile en rotation par le levier 8 portant les ressorts à lames 7 qui prennent appui sur une tige liée au bâti. ( Ces ressorts assurent l’amortissement des variations brutales de couple ) .

Le satellite 3 est en prise avec le planétaire de sortie 11 qui, par l’intermédiaire du fourreau cannelé 9 , entraîne l’arbre A sur lequel ce fourreau est immobilisé et claveté.

L’une des difficultés délicates à résoudre dans la fabrication des trains épicycloïdaux est celle du correct des pignons et surtout des satellites : Des positions de répartitions angulaires précises des satellites doivent être respectés ; ces satellites doivent aussi se monter et engrener, tant avec les planétaires, qu’avec les dentures internes des couronnes. Dans les modèles actuels de poulies REDEX, les clavettes disques dessinées pour immobiliser les satellites 3 et 4 sont remplacées par une douille cannelée en matière plastique ou en résine injectée entre l’axe et le moyeu en cours de montage du système ; ces pièces sont alors en montage flottant et s’auto centrent et s’auto positionnent.

A) Effectuer un schéma cinématique simplifié, mais complet et lisible de ce mécanisme ; en y faisant figurer les gorges d’entrée d de la poulie ; mais aussi le Bâti de la machine qui va guider l’arbre A par une liaison pivot.

B) Déterminer la raison du train simple associé à ce réducteur à train épicycloïdal. [ Justifier et préciser les conditions et la c méthode permettant d’établir ce train et sa raison associée ; en soignant particulièrement les notations ].

C) Déterminer de façon littérale : ♦ le rapport de réduction de ce réducteur à train épicycloïdal. (Justifier la méthode et les c calculs) ♦ le rapport de transmission de ce même réducteur.

D) Préciser sous quelles conditions ce mécanisme fonctionnera en : ♦ multiplicateur ? ou en : ♦ réducteur ? ♦ ce même d mécanisme peut-il inverser son sens de rotation en sortie ; en maintenant le même sens de rotation en entrée ?

E) Effectuer les calculs d’applications numériques des différents cas de combinaisons de couples d’engrenages suivants ; qui d vous sont proposés

a) La poulie tourne à 750 tr/mn avec : Z12 = 37 dents ; Z4 = 26 dents ; Z3 = 23 dents et Z11 = 35 dents ; calculer la vitesse de sortie sur l’arbre A ?

b) Avec les nombres de dents de la question a) ; ♦ déterminer l’entraxe de l’engrenage 12 – 4 à denture droite dont les dents sont de module 2 mm ♦ quel serait le module des dents de l’engrenage 3 – 11 si celui-ci était à dentures droites ♦ Les dents de ce même engrenage 3 - 11 à denture hélicoïdale sont de module normalisé 2 mm ; quel est l’angle d’inclinaison de denture, de la denture de cet engrenage ?



Dans le dessin d’ensemble à l’échelle 5 du micro Moto réducteur à étudier : constitué d’un train simple, en cascade avec un train épicycloïdal ; il est très important de bien repérer les formes du porte satellite à roue dentée : com- posé des pièces 21 – 22 et 11. Les satellites 29 prennent appui sur 2 couronnes à dentures intérieures ; la couronne 27 liée à l’arbre de sortie et la couronne 17 liée au bâti fixe par un limiteur de couple

Effectuer : a) le schéma cinématique du train simple d’entrée du système ; d b) le schéma cinématique du train épicycloïdal final de sortie ; d c) calculer littéralement ; puis numériquement la réduction du train simple ; puis du train épicycloïdal ; d d) calculer le rapport de réduction complet et total de ce mécanisme.

DESSIN à l’Echelle 5

M ( 7 dents )

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