Lecture  26:  Angular  velocity  and  acceleration;  Rotation  with  constant  angular  acceleration

Lecture  Objectives  1.  Distinguish  rotational  and  translational  quantities.    2.  Apply  the  rotational  kinematic  relations  in  rotating  objects.        

Rigid  bodyNeglect  deformations  

Perfectly  definite  and  unchanging  size  and  shape

Image  from  http://wiki.blender.org

5

Describing  rotation

 

 

Comparing  translational  and  rotational  motions

   

7

Example:  Earth  undergoes  both  types  of  rotational  motion.    

• It  revolves  around  the  sun  once  every  365  ¼  days.  • It  rotates  around  an  axis  passing  through  its  

geographical  poles  once  every  24  hours.

Rotation  and  Revolution

An  axis  is  the  straight  line  around  which  rotation  takes  place.  • When  an  object  turns  about  an  internal  axis—that  is,  

an  axis  located  within  the  body  of  the  object—the  motion  is  called  rotation,  or  spin.  

• When  an  object  turns  about  an  external  axis,  the  motion  is  called  revolution.  

Example  The  turntable  rotates  around  its  axis  while  a  ladybug  sitting  at  its  edge  revolves  around  the  same  axis.

Angular  measurements  

 

10

Angular  measurements  

11

•  Kinematics  of  a  rotating  body

12

Angular  velocity  (rad/s)•  

13

 

Given:  t1  =  2.0s  t2  =  5.0s

(a)  Substitute  the  values  of  time  t  into  the  given  equation:  

(b)  The  flywheel  turns  through  an  angular  displacement  of    Δθ  =    θ2  –  θ1  =  250rad  –  16rad  =  234rad.  Since  the  diameter  is  0.36m,  r  =  0.18m.  The  distance  traveled  is  therefore:  

(c)  The  angular  velocity:

(d)  The  instantaneous  angular  velocity  at  t  =  5.00s

Curl   (right  hand)   fingers   to  direction  of   rotation,   thumb  points  to  direction  of  angular  quantity

Direction  of  vector  quantities

17

Angular  acceleration  (rad/s2)

18

Relative  directions  of  angular  velocity  and  acceleration

Same  direction,  speeding  up  Different  directions,  slowing  down

19

 

(a)  Using  the  equation  for  instantaneous  angular  velocity  for  time  2.0s  and  5.0s:

We  will  use  this  to  solve  for  the  average  angular  acceleration:

(b)  The  instantaneous  acceleration  at  time  t  =  5.0s  is:

Comparing  translational  and  rotational  motion    

22

Constant  angular  acceleration

   

Problems  to  be  considered:  acceleration  =  constant

23

Sample  Problem:    Rotation  with  constant  acceleration  You  have  just  finished  watching  a  movie  on  DVD  and  the  disc  is  slowing  to  a  stop.  The  angular  velocity  of  the  disc  at  t  =  0  is  27.5rad/s  and  its  angular  acceleration  is  constant  at  -­‐10.0rad/s2.    A  line  PQ  on  the  surface  of  the  disc  lies  along  the  +x-­‐axis  at  t  =  0.  (a) What  is  the  disc’s  angular  velocity  at  t  =  0.300s?  (b) What  angle  does  the  line  PQ  make  with  the  x-­‐axis  at  

this  time?

Given:    ω0    =  27.5rad/s  Constant  α  =  -­‐10.0rad/s2  (a) ω  at  t  =  0.30s  (b)  angle  at  t  =  0.30s

(a)  Substitute  ω0  ,  α  and  t  to  the  equation:

Given:    ω0    =  27.5rad/s  Constant  α  =  -­‐10.0rad/s2

(b)  To  get  the  angle,  first  calculate  the  angular  displacement:

Converting    into  angle:

Seatwork

26

•  Seatwork  1

27

•  

28

Seatwork  2

Seatwork  3  and  4:  The  figure  shows  a  graph  of  ωz  and  αz  versus  time  for  a  particular  rotating  body.  SW  3:  During  which  time  intervals  is  the  rotating  body  speeding  up?  (a)  0  <  t  <  2s  (b)  2s  <  t  <  4s  (c)  4s  <  t  <  6s  SW4:  During  which  time  is    the  rotation  slowing  down?  (a)  0  <  t  <  2s  (b)  2s  <  t  <  4s  (c)  4s  <  t  <  6s

Seatworks  5,  6,  7,  8  and  9

Arc  length:  s  =  rθ  (with  θ  in  radians)  To  convert  in  radians  use:  πrad  =  180o

If  angular  velocity  is  constant:  θ-­‐θo  =  ωt

Seatwork  answers

31

•  Seatwork  1

32

•  

33

Seatwork  2

Seatwork  3  and  4:  The  figure  shows  a  graph  of  ωz  and  αz  versus  time  for  a  particular  rotating  body.  SW  3:  During  which  time  intervals  is  the  rotating  body  speeding  up?  (a)  0  <  t  <  2s  (same  sign:  both  positive)  (b)  2s  <  t  <  4s  (c)  4s  <  t  <  6s  (same  sign:  both  negative)  SW4:  During  which  time  is    the  rotation  slowing  down?  (a)  0  <  t  <  2s  (b)  2s  <  t  <  4s  (opposite  sign)  (c)  4s  <  t  <  6s

Seatworks  5,  6,  7,  8  and  9

Arc  length:  s  =  rθ  (with  θ  in  radians)  To  convert  in  radians  use:  πrad  =  180oIf  angular  velocity  is  constant:  θ-­‐θo  =  ωt

Seatwork 5 to 9: s  =  rθ  (with  θ  in  radians)  πrad  =  180o

 

 

 

 

 

Since  angular  velocity  is  constant:  θ-­‐θo  =  ωt